ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящей работе по сравнению с [ 47,54] более подробно исследовано применение разностных схем для уравнения Гельмгольца при решении волновых задач. Рассмотрены оценки скорости и точности, исследованы пути повышения эффективности разностных схем, дано сравнение волновых полей, вычисленных различными методами. Показана связь метода конечных разностей, лучевого метода и метода нормальных волн для волноводов. Рассмотрена задача о численном выделении поля прямых и обратных волн. Подробно исследована проблема численного моделирования негармонических волновых полей при решении волнового уравнения методом сеток. Установлена связь спектрального и разностного подходов к нестационарной задаче при распространении импульсов в сеточном волноводе. Выполнены оценки и приведены алгоритмы для расчетов различных классов двумерных и трехмерных волноводов: акустических, волоконно-оптических сейсмических. Такие волноводы представляют большой интерес во всех областях физики и техники: акустические — при изучении Мирового океана, оптические — при передаче информации по волоконным линиям связи (ВОЛС), а сейсмические - при изучении внутренних слоев Земли. Метод конечных разностей удобен для получения полной картины волнового поля в волноводе и выводу ее на экран дисплея, что позволяет осуществить не только численное, но и графическое моделирование волновых полей. Трехмерные графики на экране дисплея позволяют отобразить волновые поля и процессы в динамической форме, наиболее удобной для изучения зависимости от всех параметров задачи.

Кроме численного и графического моделирования, внимание уделено математическому моделированию волновых процессов на примере гиперболических уравнений: волнового, Клейна— Гордона, уравнения Гельмгольца в комплексной области. При этом рассмотрены соотношения как для электромагнитных волн в движущихся системах координат, так и для акустических волн при движущихся источнике и приемнике волн. В обоих случаях исследуется эффект Доплера, временные и пространственные соотношения.

Результаты численного моделирования,волновых полей, вошедшие в настоящую работу, были опубликованы в Акустическом журнале [48, 56, 57], неоднократно доложены на семинарах по акустике океана в Звенигороде [49, 51], доложены на 2-й конференции по вычислительной акустике.

По сравнению с [47, 54] существенно расширен обзор зарубежных работ, посвященных применению метода конечных разностей, метода сеток в волновых акустических задачах. Хотя объем книги не позволяет подробно осветить вопросы компьютерного моделирования и волнового вычислительного эксперимента в самых различных областях физики, однако внимание к этим вопросам все время растет. Это связано с тем, что класс задач, доступных для решения на ЭВМ, быстро расширяется. Моделирование на ЭВМ

обходится дешевле, а его качество лучше, чем при реальном эксперименте тогда, когда процесс адекватно описывается дифференциальным уравнением со всеми известными величинами как в уравнении, так и на границе области.

Конечно, дифференциальные уравнения представляют сложнейшую область математики и математической физики. И все же дифференцируемые многообразия, с которыми имеют дело уравнения и системы уравнений в частных производных, неизмеримо проще дискретных многообразий, величин, заданных на сетке, уравнений в частных конечных разностях. Вопросы устойчивости, корректности и непрерывности зависимости начальных и краевых задач для дифференцируемых многообразий исследуются уже давно. Для дискретных многообразий эти вопросы возникли вместе с началом эры компьютеризации. Понятно, что при постановке волновых задач на ЭВМ, когда число узлов сетки может превысить 109, данные вопросы играют первостепенное значение.

Значительное внимание уделяется решению конкретных волновых задач излучения и приема волн, методам обработки информации на сеточных отрезках. Но главное внимание обращено на выявление самого пути (метода, алгоритма), в конце которого найти решение волновой задачи может компьютер.

Автор выражает глубокую благодарность своим товарищам по работе, оказавшим огромную помощь в обсуждении работы, в получении численных результатов,в оформлении рукописи. Обзор работ по методу конечных разностей в акустике океана (введение, разд. 5) выполнен автором совместно с А.А. Веселковым. Русский перевод работы Д. Ли и С.Г. Мак-Даниел [112] был любезно предоставлен автору В.И. Сизовым, что также оказалось полезным при написании обзора.

Книга является продолжением трех предыдущих работ автора [47, 53, 54]. Все четыре книги посвящены методам вычисления волн и численному моделированию волновых процессов и полей в задачах акустики и в других областях физики.

список

УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

ЛМ - лучевой метод

МКР - метод конечных разностей

МНВ - метод нормальных волн

ПЗК - подводный звуковой канал ур _ уравнение Гельмгольца

ПУГ - преобразованное уравнение Гельмгольца

ПУ - параболическое уравнение

УПУ - уточненное параболическое уравнение

МПУ - модифицированное параболическое уравнение

СТО (ОТО) - специальная (общая) теория относительности

U(x, у), и(х) - решение дифференциального уравнения Гельмгольца; волновое поле в сплошной среде

Г(х, у), и(х) - решение преобразованного уравнения Гельмгольца; волновое поле ~ в сплошной среде ~

U (х, у), и (х), V(х, у), и (х) - решение разностных и дифференциально-разностных уравнений; волновое поле в узлах сетки

А - шаг сетки вдоль оси волновода - координата х

I - шаг сетки по нормальному сечению волновода - координата у

к — волновое число, максимальное число нормальных волн в волноводе шириной Н = 1т

с - скорость (скорость света, скорость вычисления поля, скорость сходимости ите- рационального процесса) 1

$ - скорость звука

N - число узлов сетки по нормальному сечению волновода

No - число учтенных нормальных волн

Н,-п - ширина волновода

StL - длина трассы в волноводе и, ц, n,m,p - целочисленные параметры Qn^m* ap,n,m - поле в Узлах сетки в двумерном и трехмерном волноводах е, 5 - малые положительные величины

/ Э1 Э2

Д - оператор Лапласа ^ Д = —у + ■ ^2 , Д =

а

а

ах2 ау

а2

az2

еф, е-п, 6^1,2 ~ переменная часть квадрата волнового числа в волноводе 18 Ф - поглощение в волноводах р — плотность среды

5 (х), 5 (у - у0) - функция Дирака

5/00,8/(у - у0) - разностный аналог 8-функции

5/(У - у0) - разностный аналог 5-функции с ограниченным спектром

Lh.x-4y

- разностные операторы второго порядка на сетке с шагом А, I, аппрокси-

Э

мирующие операторы--^2

Э2

X - длина волны, спектральный параметр кп - корни характеристического уравнения Z - время, итерационный параметр в эволюционном уравнении Т, т - время т - шаг по t для разностного уравнения

Хи, Хл, фп, фп, фп, фп - собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля

&п - угол направления распространения л-й нормальной волны с осью волновода

^п = V^ ~ продольное волновое число л-й нормальной волны в волноводе

ап, ап, Ьп, 0п - коэффициенты ряда Фурье

fW,fW ~ функции непрерывного и дискретного аргументов у и у = nl

р, vp, z ~ параметры цилиндрической системы координат

v0, vx\vx ~ частота (нулевая, низкая, высокая)

f”,- интервалы времени на телах Л, В, принимающих низкую и высокую

доплеровские частоты

tA, tg - полное время приема низкой и высокой доплеровских частот

и, и, ип, vn - скорость тел А, В

Z - зеркало

^пр ~ преобразователь электромагнитных, акустических волн (Эл, Ак)

х, t, х\ t* - оси координатных систем К, К' а - расстояние

7 = а (v) = (1 - и2) ”^2 - фактор Лоренца

^,Ч>- углы при движении тел Л, В

ВВЕДЕНИЕ

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛНОВОДА

ЭВМ дает возможность перебросить мост через пропасть, отделяющую понятие простого и тривиального ст сложного и интегрального.

К. Левитан

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

Волны переносят энергию и информацию. Они обладают такими физическими свойствами, которым можно сопоставить свойства решений дифференциальных уравнений в частных производных — в этом и состоит ма- матическое моделирование. Проблема заключается в том, чтобы извлечь из решения краевых задач для уравнений максимум информации с помощью математических методов и методов численного анализа, а также представить эту информацию наглядно на экране дисплея. Наиболее оптимальным при моделировании является сочетание математических, численных и графических методов, реализуемых на компьютерах с многоцветными экранами высокой четкости высвечивания.

Применение численных методов расширяет класс решаемых задач. Объем информации растет. Это предъявляет более жесткие требования к отбору того материала, который необходим для сравнения с реальным экспериментом и для корректировки волновых моделей. Высокая производительность компьютеров изменила соотношение между вычислениями при использовании теоретических решений в виде формул для волновых задач и численными алгоритмами, схемами, разностными методами, применяемыми непосредственно к исходным уравнениям задач. Конечно, формулы сохранили свое значение как более наглядные средства представления решения простых идеализированных задач. В то же время стало ясно, что в более сложных задачах необходимо использовать всю мощность компьютера и применять универсальные алгоритмы.

Одним из методов построения универсальных алгоритмов является метод замены производных в дифференциальных уравнениях их разностными аналогами. Вводятся параметры разностной аппроксимации. Непрерывные функции аппроксимируются дискретными. Область покрывается сеткой, в узлах которой разыскивается решение дискретной алгебраической задачи. Величины размещаются в памяти ЭВМ. Так реализуется разностный алгоритм. Он состоит из сетки, схемы на сетке, полученной при замене дифференциального уравнения конечно-разностным, и начальных

условий, с которых надо начать счет по разностной схеме. Такая разностная дискретная модель физического процесса кажется на первый взгляд вполне адекватной самому процессу и хорошо приспособленной для численного анализа. Необходима только достаточно быстродействующая ЭВМ. Однако после изучения дискретной задачи положение дел не кажется слишком простым. Такая задача всегда сложнее непрерывной, описываемой дифференциальным уравнением. Возникает ряд вопросов, на которые совершенно необходимо ответить прежде, чем ставить дискретную задачу на счет. Будет ли вычислительный процесс устойчив для заданной сетки, схемы, начальных условий? К чему будет сходиться при мельчании сетки, с какой скоростью? Какая точность решения задачи? Насколько процесс эффективен для существующих ЭВМ и может ли он на них быть реализован?

Анализ сходимости процесса очень важен, особенно в общем случае для широкого класса задач. Для него оправданна разработка устойчивых универсальных разностных схем, алгоритмов, численных моделей. Например, если речь идет о сложных волноводных задачах, это разностная аппроксимация уравнений с переменными коэффициентами, введение сетки в волноводах переменного сечения, учет потерь, рассеяния, прямых и обратных волн, различных излучателей широкого диапазона частот, длинных трасс и т.п. Все перечисленные модификации волновых задач должны укладываться в область сходимости *разработанного разностного алгоритма. Моделирование, вычислительный эксперимент должны обладать такими же потенциальными возможностями, как реальный эксперимент.

Проведение волнового эксперимента в естественных условиях стоит дорого, особенно при изучении полей звуковых волн в океане. Поэтому особое значение имеет численный эксперимент, поставленный в контролируемых условиях при полной повторяемости входных и выходных данных, при любой практически необходимой точности, в любых модификациях параметров задачи. С таким численным экспериментом может сопоставляться только полная теория, которая сама ничем не пренебрегает, что, вообще говоря, невозможно. Решение в виде формул, даже приближенных, асимптотических, получить не всегда удается. В то же время компьютер может эффективно решать разностное уравнение, описывающее волновой процесс для широкого класса задач. Введение сетки не портит физику распространения волн несмотря на то, что среда становится дискретной. В аэродинамике, физике плазмы, теории элементарных частиц ЭВМ успешно решает разностные нелинейные уравнения, более сложные, чем уравнение Гельмгольца или волновое уравнение, описывающее поля в волноводах. Распространение волн в волноводе - это в основном линейный процесс. Поля описываются комплексными величинами в бесконечных областях. Здесь тоже есть свои особенности и трудности. Они существенно возрастают тогда, когда это природные волноводы огромных размеров, заполненные неоднородными средами, такие, как, например, подводный звуковой канал в океане. Число узлов сетки в таком волноводе очень велико. Поэтому, заменяя производные конечными разностями, приходится рассматривать алгебраические системы высокого порядка, чтобы затем решить на ЭВМ разностный аналог уравнения Гельмгольца или волнового уравнения. Все же применение МКР в волноводных задачах оправдывает себя. Вместо многих методов, используемых при поиске слож- 8

пых формул и формульных алгоритмов, делается немногое: осуществляется выбор сетки, производится замена производных разностями, начинается счет с некоторых начальных величин. Реализуется самое важное свойство МКР — единый подход к широкому классу задач.

Выбор сетки и разностной схемы является необходимым, но не достаточным условием для численного решения задачи. Не менее важно, чтобы схема была доступна для работы на современных ЭВМ. Не только быстродействие ЭВМ определяет класс задач, но и универсальность, гибкость алгоритма. Приходится идти и на снижение точности, на ограничение класса задач. Главное внимание приходится уделять разработке более эффективных алгоритмов, чтобы не превратиться в специалиста, пассивно ожидающего ЭВМ 5-го и 6-го поколений в XXI в.: ’’Разрыв между нарастающей сложностью решаемых задач и мощностью ЭВМ - объективная и долговременная ситуация. Еще долго практика будет ставить перед нами проблемы, решение которых потребует более совершенных машин, чем у нас есть. Из этой ситуации два выхода: чисто технический, заключающийся в том, чтобы концентрировать вычислительные мощности, и интеллектуальный. Суть его — в создании алгоритмов, а также численных методов, позволяющих решать нужные задачи с наличным машинным парком. Мне кажется более прогрессивным второй путь. Немало примеров, когда очень сложные задачи были решены на относительно маломощных ЭВМ .

Вычисления на ЭВМ вносят неизбежную погрешность. Но это не столь важно, так как погоня за точностью не всегда бывает оправданна. Часто бывает так, что, чем точнее становится теория в рамках принятой концепции, тем более очевидно ее расхождение с фактами. Например, для волновых задач приближением является идеально-слоистая среда волновода, идеальный гармонический сигнал, ровное слоистое дно в океане и ровная невзволнованная поверхность, полная информация о всех точках волновода в любой момент времени и т.п. Не учитывая всех характерных особенностей реальной задачи, можно получить ошибочный результат ’’даже с 15 знаками”. Чтобы этого не было, необходимы своевременная смена научных концепций, разработки радикально новых теорий, математическое и численное моделирование в условиях наиболее близких к реальным. Становится необходимым не просто улучшать и усложнять прежние формулы, а принципиально изменять подход, переходя от чрезмерной, иногда парализующей всякий анализ (даже численный) сложности теоретических формул к простоте, ясности и своеобразной красоте алгоритмических решений, которые берут в основу простоту и красоту исходных уравнений математической физики.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

В настоящее время даже минимальные требования гидроакустики выше максимальных возможностей МНВ и ЛМ. Оба метода наиболее пригодны для слоистых сред. Однако в реальном океане на профиль скорости звука всегда накладываются небольшие возмущения, переменные по трассе. Приходится считаться с отсутствием достаточно протяженных, зеркально отражающих границ: дно и поверхность океана всегда неровные. Среда перестает быть слоистой.. Поэтому повышение точности и контроль ошибки в рам-

ках метода нормальных волн невозможны. Наклонное дно — клин в шельфовой зоне, т.е. в зоне материковой отмели, вихрь, возмущающийся канал, трехмерная неоднородная среда приводят к тому, что МНВ не работает. В ЛМ при введении неслоистости сразу портится геометрия каустик. Они становятся сильно изрезанными, а в лучевом приближении поле на изрезанной каустике бесконечно. Оценка ошибки в ЛМ тоже принципиально невозможна. Оба метода — МНВ и ЛМ — имеют еще целый ряд недостатков. При использовании МНВ сложно вычислять поле распределенных и направленных излучателей, импульсных излучателей, а при использовании ЛМ нельзя рассматривать достаточно протяженные трассы, гидрологию с изломами и т.п. Поэтому появление новых численных методов было своевременным и связано с существенной необходимостью в них.

От недостатков МНВ и ЛМ свободен метод конечных разностей: МКР. К основным свойствам вычислительных схем на сетке с помощью МКР можно отнести устойчивость, высокую точность решения задач, высокую скорость, универсальность. Используя разностную схему, ЭВМ проходит сотни миллионов узлов сетки. При этом все узлы проходятся в одном направлении — вдоль оси волновода. Это очень важно. Решается начальная задача для эллиптического уравнения Гельмгольца. А задачи такого класса не являются корректно поставленными задачами. Их решения неустойчивы. Они не зависят непрерывно от начальных условий и могут неограниченно расти. Физически это означает, что в волноводе наряду с распространяющимися в обе стороны его оси однородными волнами присутствуют как затухающие, так и нарастающие неоднородные волны. Нарастающие неоднородные волны и дают неограниченный рост, неустойчивость поля.

Согласно положению Адамара, некорректные задачи неустойчивы и их решение, вообще говоря, лишено физического смысла. Однако положение Адамара может и нарушаться. Это происходит тогда, когда класс рассматриваемых величин, компонент, объектов (в данной задаче это однородные и неоднородные волны) попадает в такое состояние, когда часть объектов - однородные волны — находят реальную возможность для прохождения всей трассы волновода, а остальные, неустойчивые (неоднородные волны) вообще не возникают. Если в дифференциальной задаче разделить оба типа волн сложно, то их разделение в разностной задаче происходит естественно и сравнительно просто. Неоднородные волны вследствие выбора шагов сетки в волноводе и схем, реализующих вычисления на сетке, вообще не возникают. Процесс счета получается устойчивым. Поэтому при решении начальной задачи малые изменения в начальных условиях и в гидрологии, т.е. в переменном коэффициенте уравнения, приводят к малым изменениям поля в волноводе. Непрерывность выполняется, и решение разностной начальной задачи имеет физический смысл.

Другое свойство МКР — это высокая точность вычислительных процессов. Она достигается также выбором сетки, а главное, выбором соответствующей схемы. Поскольку для устойчивости начальной задачи шаг сетки нельзя устремлять к нулю (иначе мы перейдем к дифференциальному уравнению и к неустойчивости), приходится вводить ограничения снизу на шаг сетки по вертикали для явных схем и на шаг сетки по горизонтали для неявных схем Кранка—Никольсона. Это, естественно, отражается на точности решения разностного уравнения по сравнению с диффе- 10

ренциальным. Однако даже при таких ограничениях точность можно значительно повысить, аппроксимируя вторые производные не только на трех-, но и на пяти- и более точечных схемах. Добавление в разностную схему двух точек каждый раз незначительно увеличивает время счета, но повышает точность сразу на один—два порядка. Этого бывает вполне достаточно при сравнении расчетов с данными эксперимента или с точными решениями некоторых модельных задач.

Если же по каким-либо причинам использовать многоточечные схемы становится сложно, то возможен другой путь повышения точности. Обычно в оценку ошибки разностной схемы входит величина угла, внутри которого происходит распространение волн. Угол можно разбить на ряд углов меньшей величины. Такое разбиение соответствует аддитивному представлению исходного поля вблизи излучателя в виде суммы полей, каждое из которых соответствует узкоугловому пространственному спектру. Тем самым широкоугольные приближения в ПУ и в УПУ можно реализовать как сумму узко угольных приближений. Если такой путь увеличения дает недостаточное увеличение точности, то можно перейчи к вычислительным схемам регуляризованного уравнения, где на шаги ограничений вообще нет, наконец, решать краевую задачу, где любая точность достижима.

Таким образом, контроль точности и уменьшение ошибки происходи) либо при мельчании сетки там, где это возможно, либо путем многоточечной аппроксимации производных поля, первоначально вычисленного на схемах с меньшим числом точек. Алгоритмический контроль осуществляется по результату стабилизации поля, например вертикального разреза поля. Возможны и другие пути повышения точности: решение уравнения с правой частью, с невязкой и др.

Часто бывает так, что построить схему легче, чем понять, как она работает. Особенно приходится опасаться даже небольшой неустойчивости, которая, приводя к росту решения, может понизить точность и вообще может испортить все. Поэтому говорят, что в разностных схемах, как и в некоторых житейских ситуациях, нет мелочей. Величину ошибки всегда важно знать. Если в МНВ и ИМ оценить ошибку в общем случае бывает невозможным, то в МКР это удается выполнить сравнительно легко. Контроль точности и вычисление величины ошибки всегда связаны с повышением точности. Конечно, величина точности должна быть разумной. Не нужно при моделировании волновых полей осваивать шестой знак, так как эксперименты в океане и в других волноводах (твердотельных, ВОЛС) такой возможностью не обладают .

В гл. III рассмотрен универсальный метод контроля, удобный при решении любых волновых задач. Метод состоит в вычислении разностных аналогов Производных уже найденного поля, измеренного или вычисленного

на сетке. Разностные аналоги производных вычисляются по схеме, превышающей по числу точек схему, использованную в разностных уравнениях. Контроль точности осуществляется по невязке поля, возникающей вследствие применения различных схем (с разным количеством узловых точек) при аппроксимации производных.

Например, если в уравнениях используется трехточечная схема для аппроксимации производных, то невязку — функцию на дискретном множестве узлов — можно вычислить при подстановке найденного на сетке поля уже в пятиточечную схему. Если затем эту функцию с отрицательным знаком отнести в правую часть уравнения, то она будет как бы соответствовать ложным источникам поля, возникающим из-за разностной аппроксимации. Их уровень, как правило, на 40—60 дБ меньше, чем уровень самого поля. Если же ошибку отнести в неточность коэффициента уравнения, например волнового числа или квадрата скорости звука, то это дает, как правило, погрешность в определении скорости порядка 0,1%, т.е. 1м/с, что вполне достаточно для сопоставления с точностью, достигаемой в эксперименте.

Применение в уравнениях пятиточечных схем для производных, контроль вычисленного поля по семиточечным схемам при аппроксимации вторых производных и оценки достигаемой точности показывают, что величина ошибки уменьшается еще на два—три порядка, в то время как объем вычислений увеличивается всего в 2 раза. В этом и состоит высокая эффективность разностных схем при вычислениях с повышенной точностью.

Кроме ошибок при решении цифференциального уравнения, которое заменяется разностным, могут быть ошибки при задании источника, его характеристики направленности. Конечно, в лучевом приближении любую не- правленность задать легко. Можно ограничиться, например, полем внутри граничных лучей, т.е. лучей, касающихся границ волновода. Другие лучи можно не учитывать, так как для протяженных трасс они ударяются много раз о дно и поверхность, рассеиваются и поглощаются. Для ’’внутренних” же лучей в геометрическом приближении исключается эффект надбарьерного просачивания волн к границам волновода и другие волновые явления. Это приводит к ошибкам ЛМ, особенно большим для протяженных трасс.

В МКР при решении начальной задачи учитываются однородные, распространяющиеся вдоль оси волновода волны. Однако для слоистой среды эти волны в поперечном направлении могут становиться неоднородными для разных обласзей волновода и тем самым осуществлять перенос энергии из канала в канал (если волновод многоканальный) и из канала к границам волновода благодаря надбарьерному просачиванию. В лучевом приближении это невозможно. Хотя асимптотические формулы метода ВКБ весьма сложны, однако позволяют учесть этот эффект затухания поля в двумерном- волноводе. В случае трехмерного цилиндрического волновода излучение из- канала методом ВКБ учесть нельзя. Это можно сделать только при использовании МКР.

В приближении метода нормальных волн, исходя из условий волноводного распространения в канале, можно также учесть некоторое их число. Вблизи источника эти нормальные волны образуют поле, обладающее направленностью, хотя сам источник ненаправленный. Поэтому поле внутри 12

граничных лучей или поле нескольких распространяющихся с небольшим затуханием нормальных волн характеризует свойства скорее самого волновода, чем излучателя. Если длину трассы уменьшить, то вклад в поле дадут лучи и затухающие нормальные волны, испытавшие влияние границ. Тогда и направленность излучателя будет другая.

Лучи, нормальные волны и конечные разности возникают из различных приближений при решении уравнений, описывающих волновые поля. Лучи и нормальные волны являются понятиями, полезными при геометрическом или алгебраическом упорядочении компонент поля. МКР, метод сеток представляют другую точку зрения на волновые поля, скорее адекватную алгоритмическому их изучению, чем теоретическому. Понятно, что алгоритмического подхода избежать нельзя, если стремиться расширить класс волновых задач и избежать трудностей, которые уже давно переживает волновая теория. Поэтому приходится исследовать ’’разностные” волны, которые распространяются в сеточной среде. В методе сеток прежние критерии выбора числа мод или множества лучей становятся уже неэффективными или вообще не пригодными. Однако волновод, даже сеточный, по-прежнему работает как пространственный фильтр. Алгоритмическое устранение, отфильтрование ненужной, затухающей части поля необходимо осуществлять, исходя из других соображений. Можно, например, вводить затухание на границах так, как это происходит в реальном волноводе. При более грубом приближении можно, конечно, разложить поле на сетке в окрестности излучателя в дискретный ряд Фурье, т.е. по плоским разностным волнам, а затем оставить в сумме ряда только ту часть нормальных распространенных волн, которые выходят под определенными углами. Однако в общем случае ело исто-неоднородно го волновода такое представление будет содержать ошибку. Поэтому для более точного описания разностных волн можно ввести ’’околоволноводное” пространство. Оно представляет собой сеточную среду вне границ самого волновода. В процессе вычисления часть волн будет просачиваться из волновода в околоволноводное пространство. Эту часть волнового поля можно периодически убирать , если считать, что она соответствует тем волнам, которые не удерживаются волноводом, а ударяются о его границы. Это, например, волны, которые рассеялись на верхней границе, а затем ушли в грунт. Они не вернутся обратно в волновод. Их можно убрать благодаря определенной вычислительной процедуре. Оставшиеся волны хотя и будут ’’высвечиваться” в околоволноводное пространство из-за надбарьерного просачивания, однако если частота высока, то этот эффект скажется только на очень длинных трассах, на которых, вероятно, уже и сама слоистость, и регулярность волновода не выполняются. Рассеяние, поглощение, надбарьерное просачивание — волновые эффекты, величина которых существенно зависит от частоты, длины трассы, геометрических и физических свойств волновода.

Таким образом, при использовании МКР можно добиться, чтобы с малой ошибкой удовлетворялись уравнение и условия на источнике. Однако этого еще недостаточно. При вычислении в сеточном слоистом волноводе могут

возникнуть обратные волны, величину которых необходимо оценить. В регулярных частях волновода эти волны можно найти, используя, например, уточненное параболическое уравнение. Затем, взяв поле обратных волн с отрицательным знаком, и, используя метод последовательного прохождения волн, можно решить начальную задачу, пройдя в обратном направлении вдоль оси волновода. Таким образом можно оценивать и находить обратные волны, т.е. отраженные от нерегулярности в волноводе.

Существуют и другие пути для повышения точности решения задач, для контроля точности, для обработки уже вычисленного (или измеренного) поля. Например, зная численное значение поля в узлах, можно найти путем соответствующей обработки поля на сеточных горизонтальных (т.е. ориентированных вдоль границ волновода) отрезках собственные значения и собственные функции соответствующей задачи ШЛ. Если сравнить их с аналогичными величинами, вычисленными из решения уже непосредственно самой задачи ШЛ на сеточном отрезке, ориентированном поперек волновода, то можно сопоставить те и другие и убедиться как в их соответствии, так и в соответствии поля, вычисленного другим путем (суммированием нормальных волн) в регулярных волноводах. Таким образом, точность аппроксимации, сходимость разностной задачи к дифференциальной, стабильность результатов решения разностных задач на сетке анализируется довольно широким набором средств.

Еще одно ценное свойство МКР состоит в высокой скорости решения начальной задачи для ПУГ. Это достигается путем сведения до минимума операций в одном узле сетки как для явной схемы (5 операций), так и для схемы КН (8—10 операций). Сами же операции — всего лишь только умножение и сложение величин, в ряде случаев даже вещественных. Благодаря высокой скорости охватывается очень широкий класс задач: прямых, обратных, скалярных, векторных, гармонических и мультигармонических, с импульсным источником, с флуктуирующим излученным сигналом, задач в двумерных и трехмерных волноводах, с идеальными, поглощающими и рассеивающими; средами и границами.

Высокая скорость делает возможным вычисление полного поля, его визуализацию, решение голографических задач, когда восстанавливается поле в волноводе по его значению на апертуре — сеточном отрезке и даже динамическую голографию, когда вместе с изменениями данных ”на голограмме”, т.е. на приемной системе — сеточном апертурном отрезке, восстанавливается изменяющееся поле во всем волноводе.

Можно в самом общем случае сформулировать основные требования при численном моделировании. К ним относятся: универсальность метода, что позволит от идеализированных задач перейти к более реальным; высокая скорость при снижении точности и возможность повышения точности до любой необходимой величины; широкий класс задач; алгоритмическая простота, удобство для программирования, доступность для программистов различной квалификации; возможность работать с волновым полем в диалогографическом режиме. Всем этим требованиям при решении волновых задач удовлетворяет метод сеток, всеми этими качествами обладает МКР для широкого класса акустических, оптических, сейсмических, радиофизических и других волноводов.

К другим важным свойствам МКР и его программ относятся: удобство и естественность распараллеливания вычислений; простота логическая: весь волновод ’’пробегается” на ЭВМ в одном направлении, слой за слоем; математическая простота: необходимо выполнять только несколько элементарных операций — сложений и умножений вещественных чисел в каждом узле; физическая наглядность: поле образуется в памяти ЭВМ в результате имитационного моделирования, аналогично тому как оно образуется в реальном волноводе, когда волны распространяются от излучателя все дальше и дальше. Следует отметить ценную возможность использования сеточных программ на ЭВМ всех классов, начиная с микроЭВМ, а также на ЭВМ без специального математического обеспечения, простоту обучения и простоту работы с программой. Но, конечно, полнее всего свойства МКР при решении волновых задач самых различных классов, механических и электромагнитных, проявляются при использовании суперкомпьютеров, когда высокая скорость распространения волн в волноводах находится в соответствии с высокой скоростью вычислений полей МКР и производительностью ЭВМ [ 106].

ПРЕИМУЩЕСТВА ГРАФИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

Высокая скорость вычислений и визуализация гармонических и негармонических волновых полей могут быть положены в основу работы различных устройств. Элементом этих устройств является графический дисплей. Визуализация полей и их наиболее наглядное представление смыкается с проблемами машинной графики [3, 47, 65, 80, 93]. При этом предполагается в процессе проведения вычислительного эксперимента наряду с численным моделированием выполнять также моделирование величин, для которых удобна геометрическая интерпретация. Звуковые волны в океане необходимо видеть: ’’Курьезный факт заключается в том, что из всех видов излучения акустические волны исторически оказались в числе последних, используемых для получения изображений” [65].

Исследование волновых полей, разработка новых эффективных алгоритмов для их вычисления - это, как правило, фундаментальные исследования. Фундаментальным результатом является установленный в работах [47, 54] математический и подтвержденный компьютерными экспериментами факт, что сетка может работать в огромных областях — в волноводах, имеющих размер десятки тысяч длин волн по ширине и длину трассы во много миллионов длин волн. Причем скорость вычисления такова, что на компьютерах сравнительно малого быстродействия (105 — Ю6 операций в секунду) полное поле вычисляется за несколько минут. Визуализация полей, разработка новой аппаратуры визуализации носит больше прикладной, технический характер. Хотя, конечно, достижение высоких скоростей в вычислении полного поля — это всегда фундаментальный результат. Лучше всего, когда аппаратные и алгоритмические средства объединяются. Это важно как при моделировании, так и при обработке экспериментальных данных. Чтобы более полно использовать акустическую прозрачность океана, необходимо применять антенны и излучатели, ЭВМ и программы, экраны дисплея и математические средства машинной графики. При этом можно решать как прямые задачи визуализации

собственных полей излучателей, точечных и распределенных, так и обратные задачи о восстановлении на экране полей в волноводе по сигналу, принятому на вертикальной сеточной апертуре волновода или горизонтальном сеточном отрезке. Визуализация волновых полей на экране дисплея как в модельных, так и в реальных экспериментах позволяет рассмотреть изменение свойств ПЗК на трассе, исследовать влияние всех параметров (частота, местоположение излучателя, свойства среды, границ и т.п.) на полное звуковое поле, найти и изучить ’’пик-факторы” поля вблизи источника, исследовать расплывание сигнала во времени и в пространстве.

На экране дисплея можно видеть, как формируется полное акустическое поле в волноводе с одним или двумя каналами, как изменяется уровень поля на каустиках сложной формы, в тени, в ПЗК с неровными рассеивающими и поглощающими границами, с переменной по трассе гидрологией, в трехмерном волноводе, как цилиндрическом, так и слоистом. Интерес представляет изменение всего поля в зависимости от частоты, от местоположения излучателя и его характеристики направленности. Для исследования полей в различных волноводах это, несомненно, очень ценная возможность, а картины полного поля обладают определенным эстетическим содержанием. Полное поле можно вычислять МКР в предположении веерной характеристики направленности излучения волн, наблюдая каждый волновой ”луч” в узком пространственном угле. Такая картина тоже красива и более содержательна, чем просто множество лучей.

В сущности, с помощью МКР компьютер, сопряженный с дисплеем или графопостроителем, помог увидеть то, что лежало на поверхности, но оставалось невидимым из-за недостаточной вычислительной эффективности ДМ и МНВ. В предположении слоистости волновода можно для вычисления использовать МНВ, а для визуализации геометрической картины лучей — приближение ЛМ. Однако лучи - это только ’’скелет” волнового поля. Информация, переносимая ими при решении прямых и обратных задач, сильно ограничена по сравнению с волновой информацией. Если же ддя вычисления полного поля складывать десятки, сотни и тысячи нормальных волн в каждом узле сетки, то соответственно возрастает объем вычислений. Поэтому в МНВ полное поле, как правило, не вычислялось. Ограничивались его разрезами. После того как было показано, что МКР по скорости и универсальности превосходит МНВ, положение изменилось. Стало возможным вводить сетку в волноводе так, чтобы она была адекватна сетке на экране дисплея и обеспечивала необходимую четкость высвечивания поля. При этом можно наиболее эффективно решать задачи визуализации волновых полей и графического моделирования. Высокопроизводительный персональный компьютер, диалоговая графическая система, трехмерная цветная графика для изображения волновых полей в различных масштабах и ракурсах и программы МКР для их вычисления создают зрительную информацию о волновых полях, которая наиболее полно соответствует их всестороннему изучению, дает эстетическую картину восприятия сложного физического явления. При этом, кроме анализа, в работу включается воображение исследователя. Не зря, компьютер, оснащенный трехмерной графикой, называют инструментом воображения.

Графический видеоиндикатор для персональной ЭВМ — это инстру-

мент научной фантазии. Исследователь как бы сливается с предметом своего исследования, а обработка информации осуществляется глазом. Зрительное восприятие всего поля в волноводе дает больше возможностей, чем восприятие одного-двух горизонтальных разрезов, так привившихся в старом традиционном облике акустики океана благодаря отсутствию производительных ЭВМ. В новом облике акустика океана, возможно, представление на видеоиндикаторе сразу нескольких сотен разрезов в виде объемной трехмерной картины поля и одновременной динамики этой картины в зависимости от параметров задачи. Однако старое оказалось таким стойким и привычным, что даже получение большого объема информации и ее графическое представление на экране подвергались критике и не всегда встречали понимание у специалистов, привыкших анализировать разрезы, т.е. одномерные функции.

Приведем примерный комплекс программ на основе МКР для графического представления полей на экране дисплея.

Регулярные волноводы; разные гидрологии, трассы, различное местоположение излучателя или нескольких излучателей; широкий диапазон частот.

Неидеальные волноводы; потери на границах, в среде, на излучении, при рассеянии; перекачка энергии из канала в канал.

Различные излучатели в волноводе: точечный, точечный с ограниченным пространством спектра, излучатели в среде и на границах, распределенный излучатель в среде и на границах, поршневой излучатель, веерный излучатель.

Обратная задача в волноводе; различные размеры и местоположение излучателя, изменение частоты, гидрологии, наличие нескольких излучателей, различные местоположения и размеры сеточного отрезка, на котором задано поле для решения обратных задач, наличие случайного шумового сигнала.

Векторное полное поле (поле скорости в волноводе, полученное численным дифференцированием по любому направлению [58]).

Демонстрация на экране дисплея применения различных методов и схем повышения и контроля точности в волноводе; стабилизация поля при мельчании шагов сетки и при использовании многоточечных разностных схем.

Нерегулярные волноводы; изменение гидрологии по трассе, влияние переменных потерь в среде и на границах, рельефа поверхности и дна, влияние рассения в среде и на границах.

Волновод и клин; диаграмма направленности поля в клине; обратные задачи в клине, сопряженном с волноводом; другие неоднородности (горы, впадины и т.п.) .

Поля в трехмерных волноводах, их двумерные разрезы, влияние трехмерной неоднородности среды на формирование поля.

1717Частотно-пространственные диаграммы в регулярных и в нерегулярных волноводах.

17

17

Высокая скорость МКР и достаточная разрешающая способность дисплея позволяют увидеть на экране полные волновые поля для самых разнообразных волновых задач, как детерминированных, так и статистических. Возможно случайное изменение положения излучателя, свойств среды и границ.

Графическое моделирование, трехмерная машинная цветная графика позволила ввести в процесс научного исследования волновых полей критерий очевидности. Он основан на уникальной способности человеческого глаза видеть, анализировать всю картину в целом и сосредоточивать внимание на необходимых деталях. Понятно, что такой общий, созерцательный подход к сложным задачам имеет преимущество перед числовым, где тысячи многозначных чисел скорее скрывают информацию и затрудняют ее использование. Графическая диалоговая система человек-ЭВМ-экран дисплея обладает целым рядом преимуществ перед трудновоспринимае- мыми массивами численного моделирования и кривыми разрезов поля на одномерных графиках. Графическое полномасштабное моделирование в задачах обтекания тел, поведения плазменных волн, распределения напряжений в телах, эволюции звездных систем, динамике процессов горения и взрыва — общепризнанный путь исследования. Для сложных задач лучше один раз увидеть исследуемый объект на экране, чем иметь многие тысячи цифр в памяти ЭВМ или на бумаге. С помощью МКР становится возможным получить изображение волновых полей, акустических полей в океане. Графическое моделирование обеспечивает единый подход к программным и алгоритмическим средствам: ’’Объект, с которым человек работает, появляется на дисплее, а не только обрабатывается где-то там в глубине электронных схем. Создается модель (модель поля, модель акустических волн в океане), имеющая зрительное выражение, и человек ощущает себя находящимся как бы в этом мире... Новый способ — это некое аппаратурное новшество или определенная система программирования, а скорее, смена вех в работе с ЭВМ, новая идеология наших отношений с миром компьютеров... Программирование приобретает дополнительный облик прямой и творческой деятельности”.

Графическое моделирование удобно при постановке вычислительных экспериментов. МКР обеспечивает при этом все необходимые условия проведения ВЭ: универсальность, быстродействие, широкие пределы применения, гибкость ддя широкого класса задач, точность. Когда представляющий интерес эффект обнаружен и его необходимо вычислять и представить точнее, то это несложно сделать, используя разностные схемы повышенной точности на той же самой сетке или уменьшая шаг сетки. Изображение поля на экране дисплея имеет также большое значение при анализе точности вычислений. На экране видна стабилизация результатов в зависимости от точности схемы и шагов сетки. Это особенно удобно, когда компьютерные программы проверяются тестированием некоторых контрольных задач, а не строгим математическим доказательством, которое не всегда возможно и часто дает завышенную оценку ошибки.

Программы МКР позволяют вычислять полное поле в волноводе и выводить его на экран. Что дает информация, полученная при вычислении и визуализации полного поля? Во-первых, видно сразу все детали поля —

области фокусировки, зоны тени, каустики. Видя их одновременно, можно сравнивать эти объекты, рассматривать их зависимость от параметров задачи, от местоположения и направленности излучателя, от гидрологии, рельефа дна и волнения на поверхности, от частоты и других физических и геометрических параметров. Например, выводя какой-нибудь разрез поля, сразу можно видеть его окрестность. Понятно, что его сильная из- резанность означает, что осциллирующий характер волнового поля наблюдается и в окрестности разреза. Об этом можно получить ясное представление, только вычисляя и выводя на экран полное поле. Во-вторых, полное поле необходимо при решении голографическим методом обратных задач. Оно позволяет увидеть максимумы интенсивности именно в тех местах, где находится предполагаемый локализованный источник волн, и отличить их от распределенных источников: шумов моря и др. В сущности говоря, получение полной объемной картины волнового поля со всеми деталями и объектами на основании исходной информации, заданной на плоскости (плоскость точечного источника, плоскость антенны и т.п.) — это типичная голографическая задача [23, 40, 41, 90]. Неважно, как это реализуется: математически (преобразование Фурье, МКР) или аппаратур- но — путем освещения голограммы когерентным световым или звуковым лучом. Важно то, что если обычно голография, как правило, позволяет восстанавливать поля в однородных средах (иногда в средах используются фокусирующие системы [64]), то голография в волноводе — это восстановление поля в сложной неоднородной среде. Понятно, что реализовать аппаратурно сложную неоднородную среду и осуществить в ней распространение когерентных гармонических волн — весьма трудная задача. Математически это тоже не просто, так как в неоднородной среде преобразование Фурье становится неадекватным. Подобную задачу просто и эффективно удается решить только с помощью МКР.

И наконец, полное поле в сложном волноводе имеет не только познавательный характер. Его картина с ’’хребтами” (каустики), пиками, ’’провалами” (области тени) имеет определенный научно-экстетический аспект. Как в физике, так и в математике красота в вычислительных моделях часто бывает фактором, сопутствующим исследованию задачи и облегчающим такое исследование.

В ряде задач необходимо от моделирования переходить к обработке. Подстановка экспериментальных данных в сеточное уравнение - вполне реальное дело. Визуализатор поля или графический дисплей с полем на экране - это готовый прибор для решения прямых и обратных задач, задач ’’акустического видения” в океане (или в любом другом волноводе). На нем можно проводить различные статистические исследования, меняя по случайному закону местоположение излучателя, приемника, свойства среды и границ. Комплекс конечно-разностных программ с графическим выходом на экран дисплея можно все время пополнять и совершенствовать. Графический дисплей — визуализатор поля можно применять для исследования полей в радиотехнических и радиофизических волноводах, сейсмических и волоконно-оптических, нелинейных волноводах, стыкующихся волноводах различной размерности (планарных и цилиндрических) и др.

Непосредственное решение волнового уравнения и уравнения Гельмголь-

ца с помощью МКР дает само волновое поле. Поле всегда первично, а способы его описания — диаграммы направленности, лучи, нормальные волны — всегда вторичны. Конечные разности — тоже приближенный дискретный способ описания волн. Во всех вычислительных задачах дискретное переходит в непрерывное тогда, когда оно перестает заметным образом зависеть от параметра дискретизации — шага сетки. На экране дисплея это виднее всего. Точность высвечивания и четкость воспроизведения волновых полей лучше всего позволяют оценить необходимую точность.

МКР и явные схемы позволяют вычислить поле в каждом узле. Благодаря этому реализуется хорошо известный принцип локальной причинности при распространении волн. Он в каком-то смысле соответствует принципу Гюйгенса, согласно которому математическая модель волнового распространения состоит в том, что каждая точка среды (каждый узел, если в пространстве введена дискретная группа — сетка) является источником волны. Этот принцип физически обеспечивает простоту программ, реализующих МКР. В отличие от нарастающей сложности ’’нелокальных” теорий и теоретических формул, пытающихся учесть сразу влияние на поле всех областей волновода, явные разностные схемы значительно проще и надежнее, так как они работают локально.

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ И ИСКУССТВЕННЫХ ВОЛНОВОДОВ

В природных условиях образуются различные волноводы. Имеется ионосферный волновод для радиоволн. Существует два атмосферных акустических волновода, характеризуемых минимальным значением скорости звука на высоте около 10 и 70 км. На границе коры и мантии существует подземный, еще малоизученный волновод Гутенберга для сейсмических волн, характеризуемый минимумом скорости поперечных волн, возникающим в связи с температурным размягчением пород. Мало исследованы и волноводы для световых волн в атмосфере, которые иногда передают изображения предметов на десятки и сотни километров. Вблизи холодной земли или воды образуется приповерхностный звуковой волновод, передающий речь и музыку на многие километры. В квантовой механике прохождение электрического тока в металле описывается как распространение электронных волн по сеточным коридорам между колеблющимися атомами или по волноводам. Рассеяние и поглощение волн происходит из-за нарушения порядка в расположении колеблющихся атомов и создает электрическое сопротивление металлов.

Среди искусственных волноводов особенно большим многообразием отличаются волоконно-оптические линии связи (ВОЛС). Здесь используются как трехмерные, так и двумерные, так называемые планарные, волноводы; цилиндрические волноводы с параболическим профилем показателя преломления, с усеченным параболическим профилем, со ступенчатым профилем; волноводы, характеризуемые показателем преломления в виде однородной функции: р^ах, by) = арр(х, у); ВОЛС с некруглым сечением; с показателем преломления в виде параболического, эллиптического, гиперболического профиля.

Для расчетов таких волноводов применяются ЛМ, МНВ, асимптотические методы [42, 95]. Реже применяется МКР [91, 92]. Источники волн иногда задаются в виде коллиматорного пучка, идущего под определенным углом. Возможно диффузное возбуждение волн, когда каждый элемент площадки нормального сечения ВОЛС излучает во всех направлениях.

ВОЛС бывают нерегулярными с непрерывно и ступенчато изменяющимися профилями. В ВОЛС учитывается уширение импульсного света, нелинейные явления, потери, возникающие благодаря рассеянию в среде и на регулярностях границ канала, затухание вследствие волнового эффекта, характеризуемого вытекающими волнами (надбарьерное просачивание) . В ВОЛС большое значение имеет пространственно-установившийся режим.

Различные механизмы потерь (главный из них — рэлеевское рассеяние) важно уметь рассчитать. Не менее важно знать величину расплывания импульса в ВОЛС, т.е. его дисперсию. Один вид дисперсии - это дисперсия модовая, когда сигнал возбуждает несколько мод, идущих с разной групповой скоростью, или в лучевом представлении сигнал идет по разным путям. Другая дисперсия — это внутримодовая, хроматическая, когда скорость зависит от частоты (чем выше частота, тем меньше скорость).

В маломодовых сверхпротяженных оптических волноводах длиной 1—100 км МКР имеет значительные преимущества перед ЛМ, МНВ при расчете полей. Расчет поля в ВОЛС необходимым при излучении нелинейных явлений, солитонов, динамики временной огибающей в виде рисунков полного поля, эффектов уширения импульсов в световодах со ступенчатым профилем и его сужение в градиентах световода. Очень ценным является то, что МКР позволяет учесть в ВОЛС самые различные эффекты: нелинейность, затухание, нерегулярность и др. Особый интерес представляет фокусировка волн в нелинейных волноводах [66].

Рассмотрим приближенную оценку числа узлов сетки при применении МКР для расчета ВОЛС. Пусть, например, оптический световод (т.е. сам канал) имеет ширину 1 мм, а длина световой волны Х = 10”3мм. Тогда общее число незатухающих мод £=103. Пусть угол г^внутри^ которого распространяются цикличные моды, равен i>=ve? Тогда k\/e=N0. Шаг

1

сетки вдоль оси волновода будет И =—. Общее число узлов сетки, при ке

котором время счета займет 4—5 мин, положим равным 2 • 107 (БЭСМ-6 проходит за 1с 7 • 104 узлов). Тогда для десяти учтенных мод No = 10, взяв 20 узлов (N = 2W0 - 20) по нормальному сечениию волновода, имеем е = 10~4, h = 10 мм, L = 106 h = 10 км. Для одномодового волновода (Wo = 1, Nq ~ 2 4-3) имеем е = 10~6, h = 103 мм, L = 106 И = 103км. Световоды такой длины начинают широко использоваться в технике.

Конечно, малое число узлов (Wo ~ 5 -НО) на нормальном сечении внесет ошибку. Понятно, что увеличение узлов даст соответствующее уменьшение длины трассы при прежнем времени счета. Если же в ВОЛС рассмотреть световой импульс, то для расчета поля МКР на ЭВМ среднего быстродействия типа БЭСМ-6 длину световода придется уменьшить до 0,1—10 км. Но даже в этом случае можно изучать сжатие и расширение импульса в ВОЛС с различными нерегулярностями, нелинейностями, изгибами под

крутыми углами, потерями на излучение и т.п. Применение более современных быстродействующих ЭВМ значительно расширяют возможности МКР.

Не менее сложными, имеющими разъемы, соединения, переменные сечения и т.п., являются волноводы, используемые в различных приборах, в радиотехнических устройствах, в технике СВЧ, в линейных ускорителях элементарных частиц. Вентиляционные короба и шахты проводят не только воздух, но и звук. Разрабатываются и широко применяются газонаполненные, диэлектрические, анизотропные и многие другие волноводы. В лазерной технике используются открытые резонаторы и открытые волноводы.

Все искусственные волноводы должны быть рассчитаны. При их конструировании необходимо знать, как поведет себя волновое поле в сложном волноводе переменного сечения с неоднородным заполнением, с внутренними телами, ответвлениями, диафрагмами. Однако эти расчеты в большинстве случаев приходится выполнять сильно упрощая, идеализируя задачу, чтобы получить формулы, по которым можно было бы вычислять. При этом многими существенными свойствами сред и границ приходится пренебречь, вводить малый параметр, чтобы получить сложные асимптотические разложения. Оценка ошибки в таких разложениях, как правило, не делается, так как сделать ее очень трудно. К тому же часто в задаче вообще нет такого параметра, по степеням которого можно искать решение в виде асимптотической формулы. Тогда приходится решать на ЭВМ сами уравнения, описывающие волновой процесс. С этой целью производные в уравнениях заменяются конечными разностями. В волноводе вводится сетка. Решение дифференциальных уравнений аппроксимируется решением алгебраической системы, которое можно получить только на ЭВМ. Понятно, что такой более прямой, более эффективный путь требует знания методов вычислительной математики и умения их применять к сложным волновым задачам.

Звуковые волны являются полноправными представителями многообразного и сложного мира волн, в котором представлены механические, электромагнитные, квантовомеханические и многие другие волны. Хотя многие физические свойства различных полей исследованы не полностью и сильно отличаются, однако поля описываются функцией пространства и времени, которая во многих случаях удовлетворяет практически одним и тем же дифференциальным волновым уравнениям, лишь незначительно отличающимся. Основные свойства этих уравнений связаны с устойчивостью (корректностью) начальных и краевых задач для них в конечных и бесконечных областях, в волноводах, а также с требованиями непрерывности и дифференцируемости их решений.Во всех случаях математические условия одни и те же. Это позволяет применить для решения волновых задач одни и те же математические методы, а также вычислительные методы, алгоритмы и некоторые программы. Универсальный подход к исследованию волновых полей разной природы давно оправдал себя. Благодаря ему принципиально новые результаты, найденные для одних каких-нибудь волн, например для акустических, являются новыми для электромагнитных волн видимого и невидимого диапазонов, для квантовомеханических волн, для упругих волн в твердом теле и для многих 22

других волн. Новые решенные задачи дифракции, распространения, отражения и поглощения волн быстро находят широкое применение во всех областях физики и техники.

Наибольший интерес представляет уникальный природный волновод в океане — подводный звуковой канал с осью, характеризуемой минимальным значением скорости звука, зависящей от глубины. Ось канала расположена обычно на глубине около 1000 м, но иногда минимум скорости звука наблюдается вблизи поверхности при соответствующих температурных условиях. Несомненно, главное предназначение канала и его наиболее важное использование — это подробное изучение океана на значительных расстояниях на основе звуковых волн, для которых океан также прозрачен, как прозрачна атмосфера для света [1, 2, 20, 22, 59—61, 82]. Сама же идея осветить океан, увидеть его дно всегда поражало воображение.

В акустически прозрачном океане звуковое поле можно визуализировать аналогично тому, как звуковое поле визуализируется в акустической голографии [33, 59-61,65, 78, 104,107,109]. Прежде всего удается визуализировать полное поле в вычислительных экспериментах, в которых используется алгоритмический подход к его вычислению и изучению. Такой подход соответствует применению сеток. В волноводе вводится сетка, чаще всего регулярная, решетка, состоящая из узлов и ребер, т.е. шагов между узлами. Узлы — это то, что остается от непрерывной среды, заполняющей волновод. Дифференциальные уравнения заменяются конечно-разностными, сеточными, алгебраическими уравнениями в узлах решетки. Вычисляя или измеряя звуковое поле в одном дискретном множестве точек, можно восстановить значения поля на всей сетке в волноводе, вывести эти значения в виде соответствующих рисунков на графопостроитель при ЭВМ или какое-либо другое устройство, преобразующее цифры в графические изображения. В этом и состоит сущность визуализации звукового поля.

Различные классы волновых акустических задач широко рассматриваются в литературе и исследуются теоретически, экспериментально и в процессе постановки численных экспериментов, модельных расчетов на ЭВМ. Различные методы, математические и технические средства используются для решения этих задач.

В основе многих расчетов использовались различные теоретические приближения: лучи, нормальные волны, асимптотические формулы, переход к параболическому уравнению, интегральные представления поля — все это в большей или меньшей степени требовало обращения к ЭВМ. Чем удачнее в теории выбиралась модель, тем легче было с ней работать. Однако при сопоставлении теоретических моделей с реальными условиями возникал ряд проблем. Прежде всего модель не должна быть точнее, чем наше знание об океане, его дне и поверхности, о подводном звуковом канале. В погоне за излишней точностью приходилось терять в полноте, т.е. в правильности в близости к реальности. Оставаясь в рамках метода с ограниченными возможностями, не удавалось решать новые задачи, хотя метод и позволял находить решение идеализированных задач с избыточной точностью.

Океан изменчив во времени. Это серьезно влияет на возможность по-

вторяемости результатов эксперимента. Изменчивость океана можно условно разделить на мелкомасштабные движения: турбулентность, вертикальные потоки, поверхностные волны, а также и мезомасштабные зависимости: внутренние волны, инерционные колебания, приливы, фронтальные и свободные вихри, волны Росби, меандры течений. Таким образом, факторов, дестабилизирующих звуковое поле, затрудняющих воспроизводимость эксперимента, довольно много. Все это очень усложняет теоретическое рассмотрение подводного волновода, не говоря уже о нерегулярности, связанной с изменением глубины оси самого канала, а также переходу из глубоководных районов к шельфовым областям, учету хребтов, подводных гор, впадин и т.п. Чрезмерно детальное описание состояния океана является просто невозможным и ненужным. Необходимы разумные пределы точности как для измеряемых, так и для вычисляемых величин. Поэтому в акустике океана в первую очередь ощутилось влияние вычислительной техники. Около 20 лет назад в применении к волноводам наряду с ЛМ, МНВ начал развиваться МКР.

Неточное знание среды влияет на расчет поля. Но даже ее точное знание ничего не меняет, так как при расчете поля ЛМ и МНВ неизбежны потери точности. Кроме того, при теоретическом рассмотрении различных задач отдельные результаты были получены при изучении слоистого волновода, рассеивающей поверхности, поглощающего и рассеивающего дна, рассеяние на внутренних волнах и т.п. Понятно, что при рассмотрении акустических волн в реальном подводном волноводе все эти отдельные частные результаты требуется объединить. Такое объединение очень затруднено при использовании ЛМ и МНВ. Успешнее всего влияние всех перечисленных факторов осуществляется в сеточном приближении. При этом математическая модель в виде исходных уравнений и условий на границах берется за основу, а вычислительная модель — в виде их сеточных, разностных аналогов. Для численного моделирования МКР наиболее оптимальный путь объединения в ЭВМ всех отдельных теоретических и алгоритмических результатов, совмещения в математическом обеспечении единого численного моделирования всех отдельных волновых задач.

Среди методов прикладной вычислительной математики начинает применяться единый алгоритмический подход, основанный на введении сетки в океане. Однако его внедрение происходит постепенно. Нетрудно понять, почему это так. На его пути наиболее серьезным препятствием, возможно, снова является психологический фактор, указывающий на несоразмерность величины океана и сетки. Океан огромен. Его глубина порядка 6000—10000 м (около 104м), а расстояния, которые проходит в нем звук, несколько тысяч километров (около 106м). Поэтому область, которую охватывает звуковое поле даже в двумерном вертикальном прямоугольном разрезе по трассе распространения* звука имеет размер 1010 м2. Если звук имеет частоту/ = 0,1 кГц, длину волны Х~ 15 м, то эта область соответствует размерам ~ 108 X2.

На первый взгляд кажется, что вводить в такой огромной области сетку было бы совершенно неоправданно. Воображение нас подводит. Оно как бы подсказывает незавершенность проблемы размещения такой ’’редкой” сетки в огромном океане. Мы больше полагаемся на сложные многоэтажные формулы для поля, которые удается получать из дифференциальных

уравнений при весьма жестких ограничениях на класс задач. Длительное отсутствие хороших ЭВМ привело к тому, что усилия теоретиков были направлены на поиски хитроумных формул. Однако в конце XX в. положение изменяется. Оказывается, что современные ЭВМ даже средней производительности способны реализовать всего за несколько секунд или минут работы сетку с большим числом узлов. Например, ЭВМ БЭСМ-6, выполнявшая за секунду 106 операций, способна за несколько минут ’’просмотреть” сетку (т.е. выполнить несколько простейших операций в каждом ее узле) размером 103 узлов (глубина волновода) на 105 узлов (длина трассы). Поэтому за несколько минут ЭВМ БЭСМ-6 легко справляется с вычислением поля на сетке, имеющей примерно 100 млн узлов. Такое число узлов, 108, уже вполне соизмеримо с интересующей нас областью в океане Ю10м2. В такой области узлы можно разместить довольно часто даже на расстоянии порядка X. Что же говорить о применении ЭВМ со скоростью 109 операций в секунду и больше.

Второе опасение при введении сетки состоит в том, не проиграем ли мы в скорости вычисления поля, если нам придется его вычислять на всей сетке, перебирая слой за слоем узлы сетки на каждом нормальном сечении волновода, медленно продвигаясь вдоль его оси. И здесь наши опасения напрасны. Оказывается, что полное звуковое поле в волноводе ’’воспроизводится” самим исходным уравнением Гельмгольца или его разностным аналогом на сетке довольно быстро и достаточно точно. Подобно тому как волновой процесс развивается в реальном сплошном волноводе, так развивается он и в процессе вычисления на сетке, заложенной в ЭВМ, только в ряде случаев значительно быстрее благодаря тому, что упругость водной среды и скорость звука в ней — заданные величины, а эффективность конечно-разностного алгоритма на сетке квадратично растет с уменьшением частоты.

Переход к дискретному описанию непрерывных величин широко распространен, потому что он неизбежен при использовании ЭВМ. При этом необходимо, чтобы шаг пространственной или временной дискретизации был не больше половины наименьшего пространственного или временного периода в спектре анализируемого процесса. Это означает, что если в волноводе учтены ^Vo нормальных волн, то число узлов в нормальном сечении волновода можно взять равным 2W0 [47].

Так, например, в океане глубиной 6 км на частоте /= 1 кГц, когда длина волны звука равна 1,5 м, на нормальном сечении волновода укладывается 8 • 103 полуволн. Поэтому в таком примерно однородном водном слое с идеальными границами (абсолютно отражающими плоским дном и поверхностью) звуковое поле точечного ненаправленного излучателя в полном соответствии с известными волновыми требованиями и законами для волноводов состоит из 8 • 103 незатухающих нормальных волн, направления распространения которых составляют любые углы от 0 до ±90° с осью волновода, т.е. с горизонтальной координатой, направленной вдоль дна и поверхности. (Неоднородные затухающие волны при выборе сетки в МКР можно не учитывать подобно тому, как они не учитываются в ЛМ и МНВ при достаточно протяженной трассе.)

В однородном волноводе с постоянной скоростью звука с = 1,5 км/с все нормальные волны достигают дна и поверхности, которые, конечно, в реаль-

ном океане совсем не плоские и не абсолютно отражающие. Они рассеивают и поглощают волны. Нормальные волны, достигшие взволнованной поверхности океана, рассеиваются на ней, а достигшие поглощающего дна проникают в него и поглощаются. Поэтому в однородном волноводе все нормальные волны испытывают рассеяние и поглощение на границах. Они быстро устраняются из волнового поля, а само поле быстро затухает с рассстоянием.

Однако в океане существует слабая неоднородность водной среды по вертикали, когда скорость звука c(z) имеет минимум примерно на глубине 1 км и максимальна вблизи дна и поверхности: cmax/cmjn ^ 1,05. Эта слабая неоднородность совершенно изменяет картину распространения нормальных волн. Часть волн, идущих под крутыми углами к границам, по-прежнему достигает дна и поверхности, рассеивается и поглощается. На них неоднородность океана почти не сказывается, да и сами эти волны не вносят вклада в волновое поле на достаточно большом расстоянии, равном десяткам толщин волновода. Зато другие нормальные волны, идущие под малыми, скользящими углами к оси, испытывают на себе в полной мере влияние неоднородности водной среды. Они, двигаясь вдоль соответствующих им траекторий — лучей, отклоняются по известным законам рефракции в область минимума скорости звука — в область оси звукового канала, пересекают эту ось под малым углом, удаляются от нее, но снова поворачивают, не достигая границ волновода и областей, где скорость звука максимальна. Такие волны или лучи многократно пересекают ось канала под углом от 0 до ±5°: ’’Фактически при распространении в звуковом канале наибольшая часть энергии приходится на долю сектора углов с полушириной 5°” [84].

На таких волнах уже не сказывается ни рассеяние на взволнованной поверхности, ни поглощение в донной среде. Они просто не доходят до границ волновода, но зато, распространяясь почти без затухания, проходят в звуковом' подводном канале огромные расстояния в несколько сот толщин волноводов.

* Возвращаясь к нашему примеру, видим, что в неоднородном волноводе для частоты / = 1 кГц из 8 • 103 нормальных волн, заполняющих углы от 0 до ±90°, можно учесть примерно всего одну пятнадцатую часть, равную 5 • 102 волн, заполняющих углы от 0 до ±5,7°, т.е. сектор с полушириной в одну десятую радиана. Число узлов сетки в нормальном сечении волновода можно взять при этом равным N = 103. Число узлов по трассе, равной, например, ста толщинам волновода, в рассмотренном примере следует взять порядка 104, так как шаг сетки в направлении распространения узкого пучка волн можно увеличить пропорционально самому углу (0,1 рад) по сравнению с шагом ’’поперек” пучка, т.е. по нормальному сечению волновода.

Поэтому на частоте / = 1 кГц в глубоком (77 = 6 км) океане за несколько минут работы ЭВМ БЭСМ-6 на трассе L = 100/7 = 600 км можно вычислить звуковое поле. При этом используется разностный аналог уравнения Гельмгольца на сетке, имеющей 107 узлов, и в каждом узле выполняется 5-10 простых арифметических и логических операций. Эта величина снова соответствует приведенным выше оценкам размеров интересующей нас области океана. Близость тех и других величин позволяет более уверен- 26

но воспользоваться методом сеток. Кроме того, оценка скорости вычисления поля методом сеток показывает, что она обратно пропорциональна квадрату частоты, свыч ~ /"2(fp /2, ^р - время решения задачи). Все это означает, что существует полное соответствие как размеров звуковых трасс в океане, так и быстродействия и памяти современных ЭВМ средней производительности для наиболее типичного частотного диапазона звука в океане, когда / = 0,1^1 кГц, а X = 1,5^15 м.

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ. ОБЗОР РАБОТ

В начале 70-х годов были рассмотрены различные разностные схемы в применении к волноводным задачам [53]. Доказана сходимость схем, построенных на основе метода дробных шагов, установлена высокая скорость сходимости ’’классической” схемы хопскоч, исследованы разностные схемы с нелокальным краевым условием и другие схемы. Затем в работах [38,47,49,51,52,54,81], метод конечных разностей получил дальнейшее развитие в применении к задачам вычисления полей. Был предложен метод последовательных прохождений волн, метод внутренних точек для волноводов, имеющих сложную границу и заполненных неоднородной средой. Кроме того, была реализована возможность получить решение уравнения Гельмгольца в комплексной области независимых переменных, где оно обращалось в гиперболическое уравнение Гельмгольца (уравнение Клейна- Гордона) , и ’’проектировать” его численное решение в вещественное пространство.

Работы по применению численных методов к волновым задачам широко обсуждались на школах-семинарах в Звенигороде и были опубликованы в соответствующих трудах [51, 52]. Особенно полное и всестороннее обсуждение численных методов прошло на двух всесоюзных конференциях (1984 г., Душанбе и 1988 г., Москва) по численным методам в акустике. Результаты были опубликованы в тезисах конференций.

С конца 70-х годов, когда появились первые статьи по применению метода сеток (МС) или, что то же самое, МКР для решения параболического уравнения в гидроакустике, начался ускоряющийся рост публикаций иностранных авторов по этой проблеме.

В 1987 г. вышли две работы, носящие обзорный и обобщающий характер. Одна из них [111] посвящена развитию метода параболического уравнения и обзору существующих разновидностей ПУ. Вторая [112] делает упор на развитии МКР для их решения.

Представленный обзор состоит из краткого изложения работ [111, 112], дополненного сведениями из других публикаций. Кроме того, все формулы приведены к единой системе обозначений, а некоторые формулы (например, (8), (19), (28) и (32) из [111]) исправлены. За основу системы обозначений приняты обозначения работы [111].

В [111] дана таблица существующих вариантов ПУ, которая в дополненном виде воспроизведена в табл. 1. В первой колонке - номер уравнения, на который мы будем потом ссылаться в тексте. В следующей колонке - название уравнения. В третьей — представлено само уравнение, в четвертой - его авторы и в последней - год создания.

Для всех уравнений из этой таблицы (если не оговорено особо) и —

№ п/п

Название

Вид уравнения

Авторы

Год

1

2

3

4

5

1

Стандартное ПУ

ur =(n’(r, z) - D“ + тт" “zz

Тапперт

1974

2

ПУ с поглощением

“г = -у2 I”2 кг, z) - 1 + iv(r, z^u + ^- “zz

To же

1974

3

Упрощенное ПУ

ur= ik^nt?) - i)u + 2_ uzz

1977

4

Независимое от с0 ПУ

к

=2kZn^uzx

1977

5

ПУ с учетом кривизны земли

“г=’-у- [”2 kF, z') — 1 — 2z'/R] и + ^- uzz

1977

6

ПУ с коррекцией фазы

Палмер

1976

7

ПУ с рефракцией по дистанции

i Э /1 Эц \ . Г 1 f hlAzz\l

Ur 2k0 dz Vi dz / * еЦ + 4^o \ ^3^2 Al

Тапперт, Ли

1983

8

ПУ для горизонтальных границ

ur= (1 +—VT^ + £1+

\^i Pa bj L\^i Pi ^2/

+^Um + 1 ~~ UH2 - 1) ) I

hz \Pi/ J

Мак-Даниел

1982

9

ПУ с переменной плотностью

ifuix/p Э Г1 Э Г1 d z n 11

22 dz LP dz Lp dzJJ

Кригсман

1983

10

Широкоугольное ПУ

-17/ »l+PH^r.z)-1 + «j Э /3z ]

иг,Л0 1+9[Аз(Г)г)_1 + Л-2Эа/ЭгЗ]

Тапперт, Ли

1981

и

Высокочастотное ПУ

Э2и

ur = Упк0 — + ik0 u(r, p)u

Грин, Гилберт, Ли

1983

12

Трехмерное ПУ с поглощением

ur = Шо [h2 (r, 0, z) - 1 ] uzz + У2 -^д ueo

Тапперт

1977

13

Трехмерное узкоугольное ПУ

Ur-Vnk^h^, e,z) 11“ + 2jfc “zz+ 2^,., “09

Тапперт и др.

1981

14

Трехмерное широкоугольное ПУ

ur = -ik0 + ik0 X

1 + px [h2(r, 0, z) - 1 + ^”2d2/dz2] + p2(^or)2d2/d02

Байер, Перкинс

1983

X 1 + qx \h2V, 0, z) - 1 + k"2d2/dz2] + q2(kor)2d2/d62

15

Нелинейное ПУ

d

(Vdt+cod/dr)R = -— <cxR*Vt^c0R2^-

-- У2 j

16 ПУ с временной зависимостью -urt = uzz + (Д с\С

17Очень широкоугольное ПУ иу = (-?^0 + ik0

~^TdrЛи, Мэри, Сигман1984

1 \

Г ~ ~ )uttМак-Дональд,1984

7.Куперман

1 + pxL + p2L2\ “Марфи1984

г + a.L + a.L2 7

огибающая быстроосциллирующей функции, z — глубина, г — дистанция, 0 — азимутальный угол.

Перейдем теперь к рассмотрению каждого уравнения, давая для некоторых из них описание существующих численных алгоритмов.

Первым по времени создания и изученности стоит стандартное ПУ [111]. Для него разработано несколько численных алгоритмов split-step Fourier, ODE, IFD. Два последних связаны с использованием конечных разностей. Первым из них был предложен метод линий, или ODE [113]. Этот метод предусматривает дискретизацию в вертикальном направлении и решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В [114] был предложен метод, позволяющий использовать переменный шаг по глубине, что существенно упрощает выбор hr. Применение разработанной в [114] техники допускает нелинейное изменение глубины по трассе. Последние успехи в развитии явного решения матричного уравнения ODE описаны в [112].

Неявный конечно-разностный метод (IFD) состоит в использовании схемы Кранка—Никольсона [112, 115]

[1 - ^НАат 1 + № Wm 1 = [1 + Wa‘m + b’mDWm .(5-1)

гдеill

i^(\,1o,11, x «х il _ ^r^2 _um + 1 " ^um + um- 1 zr o\

am = —- Qi4lhr,mhz) - 1), bm - — » D^ 2)

n,z

Эта схема дает точность аппроксимации до О (hl + hl ) и безусловно устойчива. В монографии [112] и ряде статей подробно изучаются различные аспекты использования этой схемы. В качестве начального значения поля (г = 0) предлагается использовать результаты, полученные по методу нормальных волн, быстрой полевой программе или моделировать его гауссовой функцией

/ Г fmh„-zA2A Г f-mhz-zA4\ ,, Re(w0) = 6и4 ехр -I —) J - exp| ~ I/ ]/ ’^5’3^

X LX Gw ' J L x Uw 7 J/

Im(u0) = 0,

где Gw - ширина пучка по уровню 3 дБ; Ga = VlfW^IGw*, WQ - средний волновой номер. Описан способ включения условия абсолютно жесткой нижней границы в вычислительную схему. Кроме того, в [112] детально рассмотрен общий случай нерегулярной границы раздела двух сред с разными р и c(r, z).

В [116] дается подробный анализ для оптимального выбора величины ко» а в [112] — к0 и hx. Пирце, опираясь на физические соображения, делает вывод о том, что в качестве к0 надо брать взвешенное среднее

1.2 _ $<wlc>P~x Wdz - $p"x\uzVdz

” (5'4)

Мак-Даниел и Ли [112] приходят к похожему результату из условия минимума ошибки аппроксимации. Из этого же условия следует соотношение для выбора hr, hl = hhko и, где и — некоторый коэффициент.

В последнее время увеличивается интерес к использованию для решения уравнения 1 (см. табл. 1) и других ПУ явных конечно-разностных схем (ЯКРС). В статье [117] предложена одна из таких схем. Функцию u (г, z) из 30

предлагается представить в виде суммы ее вещественной и мнимой компонент u(r, z) = v(r, z) + iw(r, z), v = Re(u), w = Im(u). Тогда (1) распадается на систему

Vr = ~4г w^ -l)w, wr = -L vzz + ^(h2(r,z) -l)u.

°2^°2(5.5)

Заменяя все производные конечными разностями, получаем две условноустойчивые ЯКРС. Условие устойчивости имеет вид

1\Мк^\*\кИАп2 -х^1\ < 1.

Авторы отмечают такие достоинства ЯКРС, как точность, эффективность (особенно для векторных ЭВМ), простота реализации, возможность задания произвольных граничных условий, меньшие требования к памяти и быстродействию ЭВМ. В [112] приводятся ЯКРС, в которые для устойчивости введено искусственное поглощение [16], однако эти схемы записаны не для ПУ, а для уравнения Шредингера.

Для конечно-разностных схем важное значение имеют вопросы устойчивости. Мак-Даниел [118] применила метод энергетических неравенств, разработанный Самарским и Гулиным, для анализа устойчивости неявной конечно-разностной схемы (НКРС) в случае зависимости коэффициента преломления среды от дистанции. В этой ситуации традиционные методы анализа устойчивости неприменимы.

Метод энергетических неравенств заключается в разложении вектора поля w^no собственным векторам А1:

и1 = S^u',(5.6)

где А^ = Xlsv‘s, а А1 - тридиагональная матрица из матричного уравнения НКРС

(/ - iAl + 1 )Ul + 1 = (7 + iA'V-(5.7)

После ряда преобразований получаем

И|2 < S^'ll + zX»|2 =М(5.8)

для всех q и / (звездочкой обозначено комплексное сопряжение). Для ЙКРС, таким образом, норма конечна для всех I для ограниченных начальных данных.

Пригодность этого метода показана на примере решения ПУ в среде со скачком плотности по глубине и произвольно меняющимися коэффициентами преломления выще и ниже скачка (границы раздела сред). Для наклонной границы этот метод применить не удалось. Для достижения возможно большей точности Мак-Даниел предлагает в окрестности источника использовать меньший шаг по дистанции, чем вдали от него, и выбирать такое к0, величина которого близка собственным значениям основных распространяющихся мод.

В уравнение (5.2) входит объемный коэффициент поглощения v (г, z). Уравнение (5.3) получается из (5.1) для постоянного по трассе h(z), мало отличающегося от единицы. В уравнении (5.4) v^ = Й(и2(2) — 1) и коэффициент при uzz не зависит от выбора с0. Уравнение (5.5) учитывает эффекты, вносимые кривизной Земли.31

(5.9)(5.9)В этом уравнении z = z - zs = z - r2 /2R, и (r, R) = ф(г', r)exp {z^or[^ - r2/3^)/^]} .

(5.9)

(5.9)

Уравнение (5.6) дает лучшее совпадение с точным решением по фазе. Уравнения (5.2) —(5.6) не нашли достаточного развития и применения.

Уравнение (5.7), как подчеркивают Тапперт и Ли [119], удалось решить только с помощью НКРС. При использовании этого уравнения нет необходимости в тщательном выборе к0 [116]. Применение этого уравнения для задач с быстрым изменением коэффициента преломления по трассе показало его преимущество перед стандартным ПУ, приводя к незначительному увеличению времени счета, так как приходится вычислять конечные разности для производных коэффициента преломления.

Уравнение (5.8) разработано Ли и Мак-Даниел для того, чтобы включить в рассмотрение среды с различной плотностью. В этом уравнении и1т - поле на границе; и1т + 1 и и1т _ х - поле в точках над и под границей; а^ = (^о/2)(и2(г, z) - 1); bj = Уьк0; hz - шаг сетки по глубине. Это уравнение выписано для использования совместно с IFD. В [112] дан общий вид этого уравнения, допускающий наклон границы.

Уравнение (5.9) также представляет возможность рассматривать случаи с переменной плотностью. Кригсманн [120], разработавший это уравнение, предложил для дего простую НКРС, имеющую второй порядок точности по глубине и первый порядок точности по дистанции (что, вообще говоря, является недостаточным). В этом уравнении Л2 (г, z) = 1 + ef (г, z), а г и z — безразмерные координаты.

Большой интерес представляют работы, связанные с увеличением допустимого диапазона вертикальных углов для ПУ. В работе [121] вводится широкоугольное ПУ 10 (см. табл. 1), которое с ошибкой в фазовой скорости не более 0,01% описывает распространение мод, имеющих угол скольжения до 50°. Оценки, данные в [112] (для другого критерия точности), свидетельствуют о хорошем совпадении с уравнением Гельмгольца для углов до 23°. Грин разработал высокоточную НКРС с использованием метода Нумерова, которая имеет четвертый порядок точности по Глубине и легко адаптируется к стандартному ПУ. Выбором q = 0, р = И (у Грина р = %, q = 3/4).

Главная идея получения широкоугольных ПУ заключается в дробнорациональной аппроксимации оператора V^ + t, где L = (и2 - 1) '+

Э2 с

+ —г —- . Еще одно уравнение, являющееся разновидностью уравнено dz

ния 10, включающей смешанные производные третьего порядка, предложено Мэри и Ли [112]. Для него разработана НКРС.

Уравнение 77 (см. табл. 1) - это высокочастотное ПУ или HYPER, которое получается введением лучевых координат. Подробности можно найти в [111].

Уравнения 72, 13 и 14 являются трехмерными аналогами уравнений 2, 7 и 10 соответственно (см. табл. 1). Трехмерные уравнения описывают полную пространственную картину распределения звука. Объем вычислений для этих уравнений особенно велик, и проблема создания высокоэффективных программ и вычислительных схем стоит чрезвычайно остро, Байер и Перкинс [123] предложили использовать вместо полной трех32

Уравнение

Коэффициенты

Угол,град

Pi

Рг

41

Яг

Стандартное (1)

Уг

0

0

0

10

Широкоугольное (10)

3/4

0

Уа

0

23

Очень широкоуголшое

♦ 5Д

5/16

Уа

Vie

44

мерной задачи набор из N двумерных и показали, что в ряде случаев можно добиться хорошего соответствия между результатами при значительной экономии времени. Однако они использовали трехмерное Б ПФ, которое очень эффективно.

Условия проявления трехмерных свойств и критерии целесообразности применения трехмерных алгоритмов подробно обсуждали Зигманн и Ли [124]. Они подчеркнули высокую точность НКРС и сообщили о разработках ЯКРС с поглощением.

Мэри [125] представил уравнение 14 в виде уравнения со смешанными производными третьего порядка и предложил НКРС для его решения. Однако метод Мэри слишком громоздкий и предусматривает операции с матрицами, элементами которых являются другие матрицы. Кроме того, для устойчивости его схемы необходимо медленное изменение h(r, z) по дистанции и соответствующий выбор шага Иг.

В статье [126] анализируется несколько условно-устойчивых ЯКРС для уравнений шредингеровского типа (в том числе и трехмерного параболического) и проводятся сравнения по точности и скорости. Трехслойная ЯКРС работает в трехмерном случае почти в 11 раз быстрее, чем НКРС при большей точности вычислений.

Кроме работ, посвященных созданию эффективных численных алгоритмов [130-133], появляются публикации по проблемам разработки специализированных ЭВМ. Шульц [127] обсуждает выбор архитектуры многопроцессорных систем в зависимости от выбора алгоритма решения уравнения 13 (см. табл. 1). Он показал, что для кольцевой архитектуры и ЯКРС быстродействие почти неограниченно растет с увеличением числа процессов, в то время как для Б ПФ и архитектуры с общей шиной быстродействие лимитируется пропускной способностью канала процессора.

Для решения задач, в которых интерес представляет временная структура поля, Мак-Дональд, Куперманн [111] и Марфи [129] предложили для различных ПУ с зависимостью от времени уравнения 15 и 16.

Последним достижением в расширении диапазона допустимых углов является создание’’очень широкоугольного ПУ” [128]) — уравнение 17, которое является более общим случаем уравнений 1 и 10 (см. табл. 2).

Для решения уравнения 17 (см. табл. 1) применяется НКРС, устойчивая при

(4/£q/ij)cos2[(7r/2Af)(fH - Й)] Ф 6±2\/5’, где т= 1,2 ..., М.

Интересно, что это условие сводится к условию khz > 2.

3. Зак. 831 33

Глава I

ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ВОЛНОВОДЕ

Не следует думать, что наличие неявных схем лишает смысл использования схем явных. Простота и компактность последних оказываются во многих случаях чрезвычайно ценными, особенно для сложных нелинейных многомерных задач.

В.Ф. Дьяченко1

ОДНОМЕРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Простые задачи иногда помогают понять основные свойства более слож-

ных задач. Так уравнение ^Д - / д2 случае: —- -времени р (х, t)ных задач. Так уравнение ^Д - / д2 случае: —- -времени р (х, t)бывает и при изучении волновых процессов. Волновое

ных задач. Так уравнение ^Д - / д2 случае: —- -

времени р (х, t)

ных задач. Так уравнение ^Д - / д2 случае: —- -

времени р (х, t)

с"2с"2с"2с"2— р = 0 значительно упрощается в одномерном

с"2

с"2

с"2

с"2

Эг 7

д2\

— jp(x,t) = О- Для гармонической зависимости от

= м(х)ехр(—icot) оно переходит в одномерное уравнение

Гельмгольца (УГ)

(1.1)(1.1)им(х) + к2и^х^ = 0, где к = со (с.

(1.1)

(1.1)

УГ (1.1) имеет решение в виде прямой и+ = exp(zfcx) и обратной и_ = = ехр(—ikx) волн и их линейной комбинации и = Ciexp(f^x) + c2exp(-zto). Для вещественного постоянного волнового числа к волны tu имеют постоянные амплитуды сх и с2. Поэтому начальная задача для (1.1) ы (0) = = сх + с2 = а, м'(0) = ik^cx - с2) -Ь, где а, b - заданные величины, не имеет экспоненциально растущих компонент. В этом смысле можно сказать, что она устойчива.

Численное решение задачи требует перехода от непрерывных величин к дискретным. При этом производные заменяются их разностными аналогами [5,47]

(1.2)(1.2)2h

(1.2)

(1.2)

~- и<х+К) + и(х-К)-2и(х)

и W - Lh,xu\x)п’

где h (параметр разностной аппроксимации) - шаг сетки на оси х; Lh х

'См. [44].

Lh х — операторы, соответствующие образованию таких выражений от функции u(xV которые аппроксимируют первую или вторую производную по х.

Уравнение (1.1)переходит в разностное УГ*

(Lh, х + к2^й(х^ = [w(x + /z) + и(х - h) - 2u(x)^lh2 + к2й(х) = 0. (1.3)

Это разностное уравнение или разностная схема, как такие уравнения часто называют, является, трехточечным,, поскольку искомая функция й(х) связана в (1.3) в трех точках: х - h; х, х + h. Зная й(х) в двух соседних точках, например при х = 0, х = h, можно найти й(2Л), u(3h) и т.д., т.е. решить численно начальную задачу для (1.3). Можно решить (1.3) и в аналитическом виде. Воспользовавшись общими правилами для решения линейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем и(х) = ехр(гкх). Для неизвестной величины к из (1.3) получим следующее характеристическое уравнение:

h"2Vexp(ikh) + Qxp(-iKh) - 2] +^2 = 0,^ ^

cosich = 1 - к2к212, (-4!h2)sin2(Kh!2) + к2 = 0.

Нетрудно убедиться, что все записи (1.4) эквивалентны. Определяя к из (1.4), имеем й(х) = с1ехр(/кх) + с2ехр(—1кх). Снова получили общее решение в виде суммы прямой и обратной волн. Однако, конечно, к Ф к. Более того, если шаг сетки недостаточно мал, величина h становится комплексной. При kh > 2 имеем 1тк Ф 0. Одно из решений ехр (± 1кх^ начнет экспоненциально расти. Его отличие от ехр(±гкх") станет столь существенным с увеличением х, что можно говорить о неустойчивости начальной задачи для (1.3) при kh > 2. Чтобы устранить неустойчивость, надо подчинить шаг h неравенству

0< kh <2.(1.5)

Чем меньше h, тем меньше отличие разностного решения и (х) от дифференциального, тем больше узлов сетки на заданном интервале 0 < х < L. Точность и скорость вычисления находятся, как правило, в обратной зависимости. Однако скорость вычисления очень важна. Поэтому существуют различные пути повышения точности, для которых можно не слишком увеличивать объем вычислений, т.е. не слишком уменьшать h.

Один из путей связан с методом Ричардсона [74, 75]. Метод состоит в проведении вычислений с одинарным и двойным шагами. Поясним его суть. Из (1.4) видно, что к —четная функция от h. Следовательно,

и(х, h) = и(х) *vh2Ui(x) + h*u2(x) + ...,

й(х, 2h) = u(x) + 4h2ul(x) + 16h4u2(x) + ...О ^

Откуда

u(x) = 4j3u(x,h) - Уз и(х, 2h) + О (h4).(1.7)

Проделав вычисления с шагом h и с шагом 2h и образовав выражение (1.7), будем иметь ошибку порядка h4, в то время как в каждом из равенств (1.6) ошибка порядка h2. Если же продолжить ряды (1.6) и написать ряды для й(х, ЗН), и(х, 4hV то можно получить такие функции:

w(x) = 15/i6 u(x, h) - 6/i6 u(x, 2h) + 7i6 u(x, 3h) + OQi6),

u(x) = 56/з5 u(x, h) - 28/з5 u^x, 2/z) + 8/з5 w(x, 3h?) - 735u(x, 4h) +(1.8)

+ 0Qi4 *

Для реализации (Г8) требуются величины с шагом h, 2h, 3h, 4h.

Конечно, точность в (1.3) зависит от точности аппроксимации второй производной согласно (1.2), Ln^uXx) = и\х^ + Н2иг (х). Поэтому если точнее аппроксимировать вторую производную, то будем иметь уравнение

(Уз LX х - Уз Ци.х + k2W) = Уз+

+ ^+ к^ = о.(1.9)

4й2

Оно является пятиточечным и связывает и^ в точках х, xth, x±2h. Характеристически уравнение имеет вид

4 2cosk/z - 2 _2со$2кй--2 + ^2 = 0(1.10)

/г4й2

Из него находим k^O(h^), в то время как из (1.4) к = k^OQi2). Для анализа устойчивости схемы (1.9), т.е. отсутствия экспоненциально растущих решений уравнения (1.9), запишем (1.10) в виде

4/з(2со8кЛ — 2) — 712 [(2cosk/i)2 - 4] + k2h2 = 0.(1.11)

Откуда

2cosk/z = 8 ± V367T2FF*.(1.12)

Наряду с корнем cosk/z = 1 — k2h2j2 появляются корни, для которых cosk/z > 1, что может создать неустойчивость начальной задачи для УГ при использовании схемы (1.9). Для преобразованного уравнения Гельмгольца (ПУГ) и для параболического уравнения (ПУ) с устойчивостью схем повышенной точности дело обстоит лучше. Однако в каждом конкретном случае требуется соответствующий анализ.

Рассмотрим одномерное У Г с переменным коэффициентом

им(х) + [&2(1 + е«р(х))] и(х) = 0,(1-13)

где е > 0, 0 < <р(х) < 1. Сделаем замену и (х) = и(х) exp (ikx"). Имеем ПУГ v"(x) + 2ikv\x) + к2 е<р(х)и(х) = 0.(1.14)

Для дальнейшего анализа воспользуемся методом замороженных коэффициентов и положим ^х^ = 1 = const. Тогда находим точные решения (1.13) и (1.14):

tz±exp(±z^VT+T), и+ = exp [^/^(VT+T1 - 1)] .(Ы5)

Предполагая, что е мало, 0 < е < 1, имеем и* — и = Qxp(ikxe/2). Функция и удовлетворяет уравнению первого порядка — одномерному ПУ

2ikv(x) + k2ev(x) = 0.(1.16)

Аппроксимируем его конечно-разностным аналогом

2ikLh xv + k2ev = 2z^[u(^ -th) - v(x - h)^ )2h + k2ev(x) = 0.(1-17)

Схема (1.17) снова трехточечная. Полагая и(х) = ехр(/кх), находим для к характеристическое уравнение

2ik(elKh - e~lKh)]2h + к2е = - — ыпкН + к2е = 0.(118)

h

Величина к будет вещественной при условии kh е/2 < 1 или

0 < h < 2,ке.(1.19)

Неравенство (1.19) по сравнению с (1.5) значительно ослабляет требование на величину шага Н в том случае, когда е мало.

Рассмотрим разностный анализ ПУГ (1.14):

Lh,x^x)-t2ikLh Xv(x)-tk2ev^ = 0.(1.20)

Схема (1.20) тоже трехточечная. Полагая и = ехр(/кх), приходим к следующему характеристическому уравнению:

(-4//z2)sin2-—- - (2к/Н)ыпкН + к2е = 0.(1-21)

Прежде всего заметим, что уравнение

sinz = а + bcosz(1.22)

с вещественным коэффициентом а и b может быть преобразовано к виду sinz/x/TTp1 - bcosz/xJTvb^ = sin(z - а) = а/д/т? ,(1.23)

где

sina = b(\/x -t b2', cosa = (1 + b2)-Vl.(1-24)

В (1.23) величина z — a вещественна при условии, что

а2 < 1 + Ь2(1.25)

При этом же условии уравнение (1.22) имеет вещественный корень.

Запишем (1.21) в виде

(-2^//z)sinK/z + k2e—2jh2 + (2//z2)cosk/z = 0(1.26)

или в виде (1.22), где

z = кН, а=кеН]2 - X^kh), b = XI(kh).(1.27)

Неравенство (1.25) имеет вид

k2e2h2j4 - е + XKk2h2) < 1 + ХЦк2Н2\(1.28)

откуда следует khe < 2 х/ТТ? или

0< Н <2хГхТеКке).(1.29)

При малых е условие устойчивости (1.29) для разностной схемы ПУГ практически не отличается от условия устойчивости (1.19) для схемы ПУ. Аналогичным образом можно рассмотреть пятиточечные схемы повышенной точности для (1.14).

Обратим внимание на ряд обстоятельств. Прежде всего отметим, что как УГ (1.13), так и ПУГ (1.14) имели одни и те же решения в виде прямых и обратных волн, так как при дифференциальном преобразовании ничем не пренебрегалось. Кроме того, и в УГ и в ПУГ можно стремить h к нулю, что позволит из ПУГ получать все решения уравнения Гельмгольца. Нет интереса получать эти решения, когда ^(х) = 1 = const. Однако в случае, когда <р(х) — функция ограниченной вариации (0 < <р(х) < 1), подход к решению даже одномерного уравнения Гельмгольца вполне оправдан. Отметим также, что переменный коэффициент е^(х) в разностной схеме можно заменить на нелинейно зависящую от и функцию F (и) ограниченной вариации (например, е^(х), |м|2) и т.п.). Устойчивость трехточечных разностных схем сохраняется и в этом случае. Наконец, эти трехточечные схемы являются явными схемами при решении начальной задачи, так как значение искомой величины в точке х + h может быть явным образом вычислено в зависимости от значения в точках х и х + к.

ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СРЕД С ПОТЕРЯМИ

Рассмотрим среды с потерями, волны в которых описываются У Г с комплексным коэффициентом ib^^xY

ихх + &2[1 + е^(^)+ г’5^(^)] и = 0.(2.1)

При замене и = uexp(z^x) приходим к ПУГ

vxx + 2ikvx + к2 [е^(х) + z*6V/(x)ju = 0.(2.2)

При анализе устойчивости разностных схем, действуя методом замороженных коэффициентов, будем считать, что <р(х) = \р(х) = 1 = const. Тогда и± (х) = exp(to>/i + е + z*5), волна и^ затухает, а волна и_ растет с ростом х при 6 > 0. Аналогичные решения (растущее и убывающее) имеет и ПУГ (2.2). Что касается ПУ

2ikvx + к2 (е + z’6)v = 0,(2.3)

то оно имеет одно убывающее решение и = exp(Zx&(e + ib){2. Его разностный аналог — трехточечная схема —

'Hk\v^x-vhV4x-hY\j2h + к2 (е + id)v(x) = 0(2.4)

приводит к характеристическому уравнению ( А = ехр(/кА))

А - А"1 - ikH<e А-гЪ^ = 0,(2.5)

которое имеет уже два комплексных корня. Произведение А! Л2 по модулю равно единице и поэтому одно из решений разностного уравнения будет экспоненциально расти. В этом смысле начальная задача для (2.4) неустойчива, т.е. в решении будут присутствовать растущие члены.

Чтобы устранить неустойчивость, возьмем вместо (2.4) следующую схему с усреднением при члене, характеризующем потери:

2z^[u(x + /?) - v(x - h)\!2h + fc2eu(x) + (Fz6/2)[u(x +/г) + ^=0.

о(2-6)

Приходим к такому характеристическому уравнению:

А(1 +^/z/2)-A‘1(l -kbh^-ikhe = 0.(2.7)

Полагая М = Л(1 + kbh(T), имеем М - М ^1 — k2S2k214) - ikke = 0. Откуда

Мх>1 = ikkej2 ±(2.8)

Следовательно, | МХд I < 1 при условии кк\/Ъ2 + е2 <2. При этом же условии | Л ! >2 I < 1 • Схема с усреднениями устойчива при

0 < к < 2/(М2 +е2).(2.9)

При малых к, пренебрегая в (2.8) величиной к2 к2, находим Л = (ikkj2)(e + + z5), что приближенно соответствует величине решения дифференциального ПУ для х = к.

Несколько иначе обстоит дело с разностной схемой с усреднением для ПУГ (2.2), описывающем прямые и обратные волны в средах с потерями. Имеем

L2h xv^x) + 2ikvx -vk2ev(x) + к2 (ib/2) [u(x + /z) + v(x - /z)] = 0.(2.10)

Вместо (2.7), полагая u(x) = exp(zKx), получим

(2cosk/z — 2)(k2 - (2k/h)sinKh -tk2e + к21Ьсо^кк = 0.(2.11)

Поскольку мы исследуем задачу на устойчивость, то в первую очередь нас интересует диапазон этой устойчивости, когда | exp (zk/z) | = 1. Это возможно только при кк вещественном. Тогда в (2.11) должно быть cosk/z = 0; sinx/z = ±1. Полагаем sinx/z = + 1. Тогда -2к/к + к2е - 2)к2 = 0,или кек - - 2](кк) = 2. Откуда кек > 2, что противоречит (2.9) (при 3=0). Следовательно, при 6 = 1 в область устойчивости мы не попадаем. Положим sin k/z = = -1. Тогда кке - 2/(^/z) =-2 или кк = e"1 ± V^ 2 + 2с"1 = б-1(1 ±>/1+2е). При знаке + мы опять попадаем в область неустойчивости больших к. кке > 2. Однако при знаке - образуется вторая область неустойчивости для малых к: кк < б-1(1 — >/1 + 2е) — б"хе = 1, т.е. 0 < кк < 1. Следовательно, решая ПУГ для сред с потерями по разностной схеме с усреднением и ограничиваясь только одной затухающей волной, нельзя перейти к пределу к ^ 0. В области 0 < кк < 1 возникает корень (2.11), характеризующий экспоненциально нарастающую волну. Для крупных к можно использовать схемы повышенной точности.

Понятно, что если в УГ (2.1) воспользоваться заменой и =иехр( -ikx), то мы перейдем к ПУГ

vxx - 2ikvx + к2 [1 + 6^ + Z6 V/] и = 0.(2.12)

Разностная схема с усреднением для (2.12) описывает в области 1 < кк < < е"1 только одну волну, амплитуда которой экспоненциально убывает с уменьшением координаты х и растет в обратном направлении.

Одномерное уравнение Гельмгольца, ПУГ, ПУ, различные схемы для их численного решения не представляли существенных сложностей. Их легко анализировать как в задачах на устойчивость (если ограничиться простейшими трехточечными схемами), так и при оценке точности аппроксимации. Сравнительно просто сконструировать для этих задач и схемы повышенной точности или осуществить повторный расчет с удвоенным шагом, что позволяет значительно уменьшить объем вычислений. В тех случаях, когда нельзя уменьшить шаг к, схемы повышенной точности или повторный

счет с 2 /z позволяют уменьшить ошибку до величины L^. Поэтому вполне возможно проводить вычисления с шагом, ограниченным снизу.

Для решения ПУГ в среде с потерями рассмотрим пятиточечную разностную схему повышенной точности с усреднением

^/^.х + ^Й.Х^- ^Ид + ^Цн-х^5^ + ^ОО +

+ l^bil [4/з (и(х *И> + и(х - h^ - 7з(и (* + 2А) + и(х - 2й))] = 0. (2.13)

Приходим к характеристическому уравнению

(2.14)(2.14)4/з [(2 cosk/z — 2)//z2 — (А/Лг)8ткЛг] - 7з [(2cos2k/z — 2)/(4/z2) -

(2.14)

(2.14)

-/:sin2K/z/2/z] + k2e + ik26 [4/3 cosk/z - 7зСО82к/г] = 0.

Откуда, приравнивая мнимую часть нулю, 4cosk/z = cos2k/z = 2cos2k/z - 1, находим cosk/z = 1 ±V1 + %, cosk/z = 1 - V^- Полагая kh = p, cosk/z = = cos<p, запишем вещественную часть уравнения (2.14) в виде

р2е + p[-8/3sin<p + 7з8ш2^] + 4/3 [2cos^ - 2] - 76 [cos2<p - 1 ] = 0. (2.15)

При любом значении ф (2.15) - квадратное уравнение относительно р. Оно определяет два значения рх и р2, при которых один из корней Л [Л = exp(z*K/z)J характеристического уровня (2.14) по модулю обращается в единицу. Конечно, значений ф может быть несколько и тогда значений Pi ир2 будет столько же.

Наиболее простой случай, когда в (2.13) член с поглощением заменен на усредненное значение ^[и^х + h) + v(x - h)]. Тогда сохк/z = cos^ = 0, cos2^= —1, sin2i = 0, sin«p = ± 1. Из (2.15) находим

(2.16)(2.16)p2e - ’Apsin^-7/3 = 0.

(2.16)

(2.16)

Для sin^)= 1 Pi>2 = 4/зе ± V16/«e2 + 7Ae. Pi — 8/3e, kh> 8/3e. Для siny? = -1 Pi,2 = -4/зе ± V^Ae1 + 7/3e; Pi =4/3e[Vl +79e/316- 1} ~ 7/8.

При 7 /8 < kh < 2/e схема (2.13), в которой последний член заменен на И [и(х + h) + v(x - /z)], будет устойчивой.

волны В ОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ

Рассмотрим в полуполосе х > 0,0 <у < я краевую задачу для двумерного У Г с постоянным вещественным коэффициентом к:

“хх + иуу*к2и = 0, и | х=0 = /(у) = |a„sin(«y),

и | А =0, lim и =0, 1mA; = 5>0,(3.1)

где Ду) - заданная функция, имеющая разложение в бесконечный ряд Фурье по синусам. Находим и(х, у) тоже в виде ряда Фурье:

и(х, у) = S ап sin(nj) exp(ixVк1 -п2).(3.2)

Решение состоит из суммы распространяющихся волн (однородных волн с постоянными, не зависящими от х амплитудами), для которых п < к, и затухающих с ростом х неоднородных волн п > к.

Если ввести обозначение п = fcsin£„ и представить sin (лгу) в виде суммы двух экспонент, то имеем (при п > к, то &п — мнимая величина)

и(х,у) = £ [ — expQk^y ^ik^x) - — exp(-ik^ + ik^x)^ ,(3.3) м=1 2г y * x Цy x

где kx = fccos£„, ky = &sin£„, [fc^]2 + [^”^]2 = к2. Видно, что решение (3.2) - (3.3) - сумма плоских волн, а каждая распространяющаяся нормальная волна - сумма двух плоских волн, идущих под соответствующим углом ±#„ к границе волновода.

Условие на бесконечности — принцип предельного поглощения, согласно которому lim и(х, у^ = 0, Imfc = 5 > 0 позволяет исключить из решения как распространяющиеся в отрицательном направлении оси х волны: exp(—ix\/k2 - ir\ п < к, так и неоднородные нарастающие волны: exp(—ixVk2 - п2\ п> к.^ аналитическом решении, если его удается найти в виде формулы, это можно сделать, исследуя поведение решения на бесконечности. При численном решении начальной (а не краевой) задачи для эллиптического дифференциального УГ эти неоднородные волны, если их не исключить посредством процедуры регуляризации, наложатся на решение (3.2). Они вырастут до сколь угодно больших величин и полностью испортят искомое решение (3.2). Решение начальной задачи для УГ ’’взрывается”, т.е. сколь угодно быстро растет. В таком случае говорят, что начальная задача — некорректно поставленная задача для эллиптического уравнения. Ее надо как-то сделать устойчивой, т.е. регуляризовать. В данном конкретном случае это означает, что необходимо исключить неоднородные нормальные волны, как затухающие, так и нарастающие. Подобные приближения вполне оправданы для волноводных задач. Затухающие волны при достаточно больших значениях х дают малый вклад в решение (3.2), а нарастающие — вообще нежелательны из-за порождаемой ими неустойчивости.

Прежде всего заметим, что индекс суммирования — целое число и, стоящее в решении (3.2) в аргументе sin(«^) и соответственно под знаком корня в экспоненте — связан простой зависимостью с собственным значением дифференциальной задачи Штурма-Лиувилля (ШЛ) на отрезке О <j < 7Г при нулевых условиях на его концах:

$"О) = рз(у\ $(0) = s(tt) = 0.

Собственные функции задачи ШЛ (3.3) будут фп = sin(ny). Собственные значения - значения параметра р = рп = —п2. Собственных функций и собственных значений бесконечно много: я = 1, 2 ... Те из них, для которых п > к, порождают неоднородные волны, последние прибавляются к сумме в (3.2), вызывая неустойчивость начальной задачи.

Перейдем к разностной задаче ШЛ на этом же интервале. Введем сетку с шагом / и числом узлов N: М = л. Имеем

L\ys^ = [$ о+ 0+ $о - о - 2s(y)]//2 = P^s^»

У(6) = х(я) = 0 (y = Z, (N — 1)/).(3-4)

Легко убедиться, что дискретная, разностная задача ШЛ (3.4) имеет те же

самые собственные функции крп(У) = sin (л у), что и дифференциальная (3.3). Однако собственные значения р^ будут другими:

p(0=pW = (-4/Z2)sin2(n//2), п = 1,2, ...N.(3.5)

Имеется соотношение периодичности P^N = P^ln1 Благодаря ему число собственных значений в разностной задаче ШЛ ограничено и равно N. Для дискретных значений у = I, 21, ..., vl имеем sin(«y) = sin(wvZ). Откуда sin [(TV + w)vZ] = ± sin(7V — m)W]. Следовательно линейно-независимых собственных функций тоже всего N.'

Собственные значения разностного оператора отличаются от собственных значений тех же самых номеров и дифференциального на величину порядка Z2. Это видно из разложения

р(л) = (—4/Z2)sin2 (wZ/2) = (2/Z2)(l - cosmZ) = (—2/Z2 )(м2 Z2/2 - и^/4! +

+ ...) = -и2 + O^Y(3.6)

Полагая I = тг/N и n/N = &, имеем A = -р(п)1№, где

/i = -p№ = (4/tf2)sin2(i^/2)=<^ 0<#<l.(3.7)

Аппроксимируя вторую производную в (3.4) конечно-разностными аналогами более высокого порядка (пяти-, семи-, девятиточечными), имеем

(4/э^х - M^W) = P^WV(3.8)

Откуда /2 W = 4/з^) - 7з (^4 l(2#). Аналогично находим

Л = 171 о ^ - 71 о [74^2^] + ^ о [% ^3^)],

А = 57з5<*>) - 2735(74<Л2^^^^(3.9)

Функции /о, /ь - э /а представлены на рис. 1.1. Аналогичные соотношения легко получить при аппроксимации первой производной центрированной конечной разностью (1.2).

Таким образом видно, как, не меняя шаг сетки, можно значительно повысить точность аппроксимации производных разностными аналогами. Это обстоятельство является существенным в тех случаях, когда уменьшение шага сетки не только вызывает увеличение объема вычислений, но и вводит в игру собственные функции высоких номеров, соответствующих неоднородным затухающим и нарастающим волнам, что приводит к неустойчивости. На крупной сетке можно сохранить устойчивость. Можно увеличить точность до необходимой величины и, конечно, избежать неоправданно большого роста объема вычислений.

Вернемся к волноводной задаче для уравнения (3.1). Рассмотрим дифференциально-разностное УГ

uxx + L^ + кЧ = 0,(3.10)

где NI = я, у = vl, v = 0,1, ...,N. Поскольку по нормальному сечению волновода введена сетка с числом узлов внутри волновода N — 1, то именно в этих узлах и надо задавать функции дискретного аргумента Ду) = f(yl)= = cv. Ее значения можно представить дискретным рядом Фурье по синусам

N-12 N-1

av = 5 ^sinnvl, Рп = — 5 avsin(v«Z), 1 = тг/N.(3.11)

п=1N V=1

Рис. 1.1. Графики функций /0 -f4

f0 — точное решение; fx —f4 — решение на трех-, пяти-, семи- и девятиточечном шаблоне

Тогда решение УГ (3.10) имеет вид

и^х, у) = S j3„sin(^)exp[ZxV^2 - (4/Z2)sin2(«Z/2)].(3.12)

Л=1

Оно отличается от (3.2) очень существенно. Во-первых, тем, что под корнем вместо и2 стоит величина 4Z-2 sin2 /?Z/2, а во-вторых, тем, что сумма стала конечной. Поэтому, ограничивая шаг Z снизу неравенством

kl > 2,(3.13)

можно исключить из рассмотрения неоднородные затухающие и нарастающие волны. Это сделает начальную задачу для (3.10) устойчивой, а число узлов ТУна интервале будет ограничено сверху k/N>2lir.

Что касается аппроксимации целых величин л2 (л = 1,2,...) функциями 4Z-2 sin2(«Z/2), то такая аппроксимация лучше всего выполняется на интервале п < к, т.е. когда n/N = £ < 1 (см. рис. 1.1). Так как п[к = sin£„, где §п — угол скольжения нормальной волны л-го номера вдоль границ волновода. Поэтому тогда, когда углы скольжения всех предствляющих интерес нормальных волн невелики, замена п2 величиной 4Z-2sin2(nl(2) вполне оправданна. Например, если ^п < V^(е < 1), то полагаем для числа узлов

N = 2kVT. (3.14)

Имеем kl = -nt^lxf?) > 2 при е < тг2 /16.

Вводя сетку с шагом h вдоль оси х и с шагом I вдоль оси .у можно рассмотреть разностное УГ

Ц2 + L2 + к2)й = 0.(3.15)

v И,х 1,У'

Его решение предствим в виде конечного ряда

и(х,у) = S pnsin(ny)exp(iKkx).(3.16)

п=\

Подставляя (3.16) в (3.15), находим характеристическое уравнение

(-4//z2)sin2(K„/z/2) - (4/Z2)sin2(rtZ^л=1,..., N- 1. (3.17)

Все величины ... Kn-i ~ корни уравнения (3.17) — будут вещественными, если kl > 2,kh < 2, т.е. выполняются неравенства (1.5) и (3.13). При этих условиях неоднородных волн в сеточном волноводе не возникает.

Схему (3.15) можно записать в виде

[u(x *vh,yVu<x - h.y^lh1 + \и\х, у + Z) + и^х, у - Z)] /Z2 +

+ (^ _ 2/Л2 - 2//2>(х, л) = 0(3д8)

или в виде

u<x-th,y^ = аи^х, у) + £ [w(x, у +Z) + и^х,у - Z) ] - и(х - h, у), (3.19) где коэффициенты а, £ легко найти из (3.18). Сразу видно, что эта схема пятиточечная. Она связывает и(х, у) в пяти соседних узлах сетки, расположенных ’’крестом” (схема ’’крест”) : х, у; х ^h, у; х, у ± Z. Схема (3.18) трехслойная, так как связывает и(х, у) на трех слоях — трех нормальных сечениях волновода х - h, х, х + к. Схема явная, так как новое значение и(х + И, у) в узле на третьем слое находится в явном виде по формуле (3.19) через значение и(х, у) в четырех узлах на двух предыдущих узлах. При этом согласно (3.19) необходимо выполнить два умножения и три сложения, вообще говоря, над комплексными величинами, характеризующими поле.

ТРЕХМЕРНЫЙ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫЙ ВОЛНОВОД

Уравнение гармонических колебаний для звукового давления Р в трехмерной неоднородной среде с переменной скоростью с(х, у, z) звука и плотностью р(х, у, z) имеет вид

pV(p‘x ЧР) + к2Р = F(x,y,z),(4.1)

Э Э_

где V = i— +j + k— ; к = со jc (x,y,z); F -функция,характе- dx Эу dz

ризующая источники. Путем замены q = P\fp (4.1) приводится к УГ (Д =V2)

Д^ + \к2 ^Vp V(p"^Vp)]^ = Fpv\(4.2)

Поскольку VP V(p"3/2 Vp) = p"1 Др - 3A)P-2 (Vp)2, то член ky/PlP^1 имеет один и тот же знак при флуктуации плотности вблизи среднего значения. Из (4.2) видно, что изменение плотности приводит к изменению коэффициента к2ф в УГ Д^ + К2ф^= Fpx/1. Что касается источника, то он в ряде задач бывает точечным ненаправленным F = 8(х - х0)5(у - y0)5(z - z0), где 5 - функция Дирака.

Трехмерные волноводы могут быть цилиндрическими, т.е. с нормаль-

ным сечением в виде односвязной или более сложной плоской фигуры (например, ВОЛС). Они могут быть и в виде слоев, как, например, в сейсмике. Однако наиболее интересным случаем трехмерного слоистого волновода является подводный звуковой канал — ПЗК.

В трехмерном слоистом звуковом волноводе в океане интерес представляет наиболее хорошо изученный и чаще всего встречающийся случай, когда рис зависят только от глубины z, а излучатель, характеристика направленности которого изменяется только в вертикальной плоскости, расположен в точке х = у = 0, г = z0. Этот случай подробно исследован в [20, 22]. Вводя цилиндрическую систему координат г, Ф, z (г2 = х2 ^у2) и предполагая, что поле не зависит от угла Ф, имеем двумерное У Г на плоскости г, z

(4.3)(4.3)Р„ + (l/r)Pr+P2z + кг^Р = о.

(4.3)

(4.3)

В правой части (4.3) стоит нуль, так как при численных решениях (4.3) 3-образный источник можно учесть в виде начального условия при г = 0. Полагая в (4.3) P-r^uQr, z) имеем

Член 1/(4^2) не дает вклада в поле на расстояниях, превышающих несколько длин волн. Пренебрегая им, находим окончательно

(4.5)(4.5)д2и/дг2 = -(к2 + d2/dz2)w.

(4.5)

(4.5)

Двумерное УГ (4.5) с переменным коэффициентом к2 (z), а в более общем случае для волноводов, переменных по трассе - к2 (г, z), является основным уравнением, для которого рассматривалось конечно-разностное приближение. Для решения его используются параболическое приближение, разные другие пути аппроксимации оператора в правой части (4.5), о которых было подробно рассказано выше (см. введение, разд. 5).

ЯВНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ

Приведенные выше простые примеры и оценки можно использовать и в конкретных, более сложных случаях. Рассмотрим в полуполосе х > 0, 0 < у < я задачу для У Г с переменным коэффициентом

Uxx + Uy у + *2 [1 + ^OOl U = 0, и 1Х=О = f^y\ U | y=Oit = 0, где к, е — вещественные положительные величины; ^(у) - вещественная функция, принимающая значения от 0 до I: 0 < ^ < I. Пусть /(у) = = 6(у - у0). Это означает, что в точке у = у0 на границе х = 0 находится источник звука. Будем считать, что слоистая среда, заполняющая волновод, имеет минимальное значение скорости звука на оси канала тоже при У = Уо: ^(Уо ) = I. На границах волновода скорость максимальна, а к минимально: <р(0) = ф(у) = 0. То, что источник находится на оси канала, не является существенным, но упрощает вид геометрической картины лучей, выходящих из точки у = Уо- При этом по закону Снеллиуса к2 (I + e)cos2 #о = к2, где ± #0 - углы выхода двух лучей из точки у = .Уо,

один из которых касается границы у = 0 (^ = —^о), а другой - границы У = я(^ = а0). Это так называемые граничные лучи. Если е < 1, то cos2 £ — 1 - е, sin £0 — #0 = V^ 4

Неоднородность среды определяет геометрическую картину лучей, как граничных, так и выходящих под меньшими углами. Если же вблизи источника сопоставить направлению лучей Sn плоские нормальные_волны, то приближенно п = fcsin£„. Следовательно, £„о = £0 = п^/к = V^- Это означает, что если в плоском однородном волноводе шириной л может распространяться без затухания всего к нормальных волн внутри угла ±я/2, то внутри угла # 0 будет распространяться всего м0 = ^о = ^х/ё"нормальных волн. Чтобы их удобно было аппроксимировать в сеточной среде, можно ввести сетку с числом узлов N = 2м0 = 2к\[е[ т.е. вдвое большим, чем учтенное число нормальных волн. В таком случае вместо 3 Ду - у0) -функции Дирака дискретного аргумента возьмем функцию Дирака с ограниченным спектром: б Ду - у0) • В качестве их представления используем дискретный ряд Фурье по синусам

2 N

5/(у-.Ро) =— S sin (му 0) sin (му),(5.1)

N 1

А 2 NJ2

8/ = — S sin (му 0) sin (му) .(5.1а)

N 1*

Таким образом выбор пространственного спектра точечного излучателя тесно связан с неоднородностью среды, заполняющей волновод. Поле в таком волноводе состоит из волн, распространяющихся преимущественно в узком угле (при е =1О”2,^о=5°), что соответствует реальному подводному звуковому каналу. Поэтому, используя замену и(х, у) = = и(х, y)exp(ikx), преобразуем УГ (5.1) в ПУГ

ихх + иуу + ^ikux + k2e^(y) и = 0.(5.2)

Опуская член ихх, получаем ПУ

2ikvx + vyy + ^2е^(у)и = 0.(5.2а)

Вводим сетку с шагом I noynh по х. Переходим к разностному ПУ

2ikLhxv + L2yv + k2etp(y)v = 0.(5.3)

Действуя методом замороженных коэффициентов, полагаем ф(у) = фс =

N

= const, где 0 < v<? < 1- Тогда, полагая в (5.3) и - 2 я„ sin (му) охр (/к „х), 1*

приходим к следующему характеристическому уравнению:

{-2k/h) sin к nh + k2e^c- (4/Z2) sin2 (mZ/2) = 0.(5.4)

Уравнение (5.4) имеет вещественные корни Kt ... kn при условии

2kfh > max(Ve, 4/Z2).(5.5)

Откуда следует, что решать разностное ПУ (5.3) можно на сетке с любым значением шага Z, но при этом должно выполняться неравенство h < 2)12к. Если взять N = 2кхГё\ то 4/Z2 = (4/тг2 )А^ = 16^2е/тг2. Полагая

h = (^e)"1, получаем, что схема (5.3) будет устойчива и решать начальную задачу для нее возможно.

Так как выбор шага h должен удовлетворять не только требованию устойчивости, но и условию, чтобы поле на каждом шаге менялось незначительно, то в качестве начального условия на двух сеточных отрезках х = 0, X = И можно положить

у(О^) = 5/0-уо), v(h,y) = 6/0-^о).(5.6)

Затем можно вычислить значения v(2h, у), v(3h, у), ... при х = 2h, 3h, ... по трехслойной явной схеме (5.3), т.е. найти их в явном виде во всех узлах сетки, не решая никаких уравнений. Это основное достоинство явных схем. Рассмотрим разностный аналог ПУГ (5.2)

Щ.х + 2ikLhx + L2y + ^2ev>O)]u =0.(5.7)

Действуя методом замороженных коэффициентов, приходим к характеристическому уравнению

4к/z2к4п1

-— sin2-— shik/z - — Sin2 — + к2^ = 0.(5.8)

h2 2hZ22

или

sin Kh = khe^dl — (2h/kl2) sin2 nl(2 — (Mkh) + (i/kh) cosk/z. (5.9) Воспользовавшись (1.24) и неравенством (1.26) при фс = 0, п = N, Nl = тг, имеем

V2h/(kl2) + 1/(М)]2< 1 + l^h2).

(5.10)

ДЛЯ фс =1, П = 0

(khe!2 - l/(kh))2 < 1 + lKk2h2).

(5.11)

Сразу же из (5.11) находим, что шаг h ограничен сверху: khe < 2\/1 + 6.

(5.12)

или при малых е kh < 2/е.

(5.13)

Неравенство (5.10) дает

4^27z2/(^4Z4) + 4/(£2Z2) < 1

(5.14)

или

kh < klx/k2l2!4 - 1.

(5.15)

Сразу видно, что (5.14) выполняется только при условии kl > 2. Шаг I должен быть ограничен снизу. Раньше это условие было получено при рассмотрении волн в однородном волноводе. Шаг h выбирается так, чтобы (5.12) и (5.15) выполнялись.

Таким образом, при решении начальной задачи для разностного аналога ПУГ шаг сетки по нормальному сечению волновода ограничен снизу. Это обстоятельство является существенным и в ряде случаев может повлиять на точность решения задачи. Тогда для повышения точности приходится использовать другие пути. Можно вводить многоточечную аппроксимацию

производной иуу на той же самой сетке с шагом Z, удовлетворяющим неравенству kl > 2. Можно применять неявную схему Кранка-Никольсона (КН), в которой ограничение шага I снизу нет, а также использовать уточненные ПУ (УПУ). В дальнейшем будут рассмотрены все эти пути повышения точности.

Взяв значение kl > 2 из (5.15), находим диапазон изменения kh или, наоборот, из (5.15) можно найти шаг I при заданном Л, обеспечивающий устойчивость ЯС для ПУГ. Взяв, например, kh = е"1 и kl = 2е"1/2, можно удовлетворить обоим неравенствам (5.13) и (5.15).

НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ

Было использовано разложение 6,(у - ^0)-функции по синусам. При этом предполагалось, что в слабо неоднородном волноводе поле вблизи источника по всей ширине волновода такое, как в однородном волноводе с условием и = 0 на его границах:

и = 5 sin (ну) sin(«y0) exp(ZxV к1 - и).(6.1)

N 1

Легко видеть, что влияние границ волновода на поле при использовании явной схемы на сетке с шагами I и h скажется только тогда, когда ”ква- зихарактеристика”, проходящая через источник у = у0 П°Д углом ±7(tg7 = ^/0 достигнет одной из границ. Это происходит потому, что для явной схемы возмущение (или поле) от точки (например, у = у о) распространяется в угловой области —7 < ф< у — области влияния точки. Напротив, в любую заданную точку приходит возмущение с угловой области —7 < V/ < 7 — области зависимости поля в точке. Поэтому с квазихарактеристиками явных схем все обстоит точно так же, как с обычными характеристиками гиперболического уравнения, для которого корректна начальная задача.

Поскольку нас интересует значение поля при х = 0, х = h, которые можно в пределах разумной точности считать одинаковыми, то влияние границ на поле локального источника вблизи него вообще не скажется. Поэтому можно воспользоваться таким разложением

1 N

5/О-^о)=— S exp(in(y-.y0)),(6.2)

TN -N

а для функции с ограниченным пространственным спектром2 - рядом

a1 NJ2

S/O-Jo) = — 2 ехр(ш(> - jo)).(6.2a)

27V -N/2

Сразу видно, что разложения (6.2), (6.2а) представляют ненаправленный источник, расположенный в начале волновода на сеточном отрезке х = О в точке у о. Все плоские волны имеют одну и ту же амплитуду й. Волна п-го номера идет под углом &п к оси х, п = ^sin^„. Нет никаких принципиальных трудностей, чтоб рассмотреть математическую модель направленного источника с характеристикой направленности F(^y Тогда ряд

л1N/2

81 О - Jo) = — 2 F(t?„)exp [Л cost^O - j0)J A = n* (6.3) IN -N)2

будет представлять источник с ограниченным пространственным спектром. Например, полагая

F<dy £ ехр[-я(»-»/)2],(6.4)

/=1

имеем характеристику направленности, соответствующую р гауссовым пучкам волн, группирующихся вблизи углов #! ... ^р в окрестности излучателя. Если эти волны излучаются в волновод, то в волновом приближении получается картина, похожая на лучевую. Кроме того, излучатель может быть поршневым с ограниченной апертурой, излучающим плоскую волну под некоторым углом к границам волновода и более сложным, распределенным как в среде, так и на границах волновода. Излучателей может быть несколько, локализованных как на границах, так и в среде в виде некоторой функции в правой части УГ. Для точечного излучателя проще ограничить угловой пространственный спектр некоторым числом волн — числом компонент ряда Фурье, таким, что поле в лучевом приближении концентрируется в области внутри двух граничных лучей. В случае многих более сложных, распределенных в среде и на границах, с заданной направленностью и т.п. излучателей ограничивать их спектр, исходя из свойств канала как пространственного фильтра, становится труднее. К тому же в волновом приближении поле из канала все равно ’’просачивается” к границам волновода, на которых волны рассеиваются и поглощаются. Поэтому, если нас интересуют достаточно протяженные трассы, можно убрать ’’лишнее” поле, попадающие на границы волновода волны следующим алгоритмическим путем. Вводим в окрестности каждой границы вне волновода некоторое ’’околоволноводное” пространство (рис. 1.2). Волны, которые уходят из регулярного волновода либо благодаря конечной частоте (подбарьерное просачиванйе), либо из-за направленности излучателя, либо из-за рассеяния в нерегулярном волноводе, попадают вначале в это околоволноводное сеточное пространство. В нем волны при использовании ЯС распространяются под углом х (tgX = //Л) к границам. Если необходимо, чтобы волны не вернулись обратно в волновод, то эту часть поля можно регулярно исключать из распространения путем математических процедур. Например, можно обращать поле в нуль на двух соседних слоях сетки (х), (х + h) в околоволноводном пространстве. Тогда эти волны, обратившиеся в нуль, уже не вернутся обратно в волновод. Конечно, чтобы не часто Делать ’’обнуление”, проще всего взять околоволноводное пространство 4. Зак. 83149

достаточно большим. Однако это неудобно, так как тогда снизится скорость вычисления и чрезмерно загрузится память.

Особенно адекватным с точки зрения вычисления поля МКР является случай, когда точечный или распределенный излучатель находится на границе волновода. Для точечного излучателя, как показано в [47], можно воспользоваться решением волновой задачи в локально-однородном волноводе, получить функцию Ду), характеризующую поле в начале волновода при х = 0 и убрать из нее те компоненты ряда Фурье по синусам, которые не соответствуют распространяющимся вдоль волновода волнам, не испы- тывающим^ влияния его границ. Полученная функция с ограниченным спектром Ду) имеет максимум при у = у0 не на самой границе, где расположен точечный излучатель, а на некотором расстоянии у0 от нее, зависящем от частоты и свойств волновода. При измерении поля на сеточном отрезке х = х0, перекрывающем всю апертуру волновода, и при возвращении с помощью МКР к исходному сечению х = 0 мы получаем всплеск в точке У~Уо-

Если же источник на поверхности является распределенным, то для получения Ду) и фильтрации поля удобнее всего воспользоваться околовол- новодным пространством. Все поле, излученное в околоволноводное пространство, исключается из процесса распространения.

Так, например, если на высоте Я над поверхностью волновода находится точечный излучатель, то имеем

U = г"1 exp(ikr).(6.5)

Пусть источник находится в воздухе. Поскольку

$ВОЗД АвОДЫ ~ 1/5,

критический угол, при котором луч из воздуха входит в воду, будет ^кр~ Vs рад ~ 12 . Поэтому на границе волновода -х0 <х <х0, где О < | х01 <Я/5. Следовательно,

U ^exp(ikH + ix2 /2Я), V = Uexp(—2кх) = exp(ikH + ix2 /2Н — ikx^.(6.6)

Задавая И(х) при -х0 <х <х0 в виде (6.6), можно посчитать поле в волноводе и отфильтровать ту часть поля, которая соответствует волнам, не испытывающим рассеяния по поверхности и поглощения на дне. Аналогичным образом рассматривается случай, когда источник звука находится ниже дна океана.

РАСПРЕДЕЛЕННЫЙ ИСТОЧНИК В БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ

Рассмотрим задачу для неоднородного У Г в полосе -°° <х <°°, 0<у < <L:

ихх + иуу + к2 (у)и = f(x, у).(7.1)

Пусть Дх, у^ - финитная по х функция с носителем (а, Ь). Представим / и и интегралами Фурье

и(х, у) = /* Ф(£ y)exp(i^x)d^,f(x, у) = J^F(^,y)exp(^x)dt (7.2)

Приходим к одномерному неоднородному УГ

Фуу+[^СУ)-?2]Ф = ^аУ).(7.3)

Пусть V^GO и Х„ - собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (ШЛ):♦

^(у)+^(у)^ = ^, W) =^(тг) = О.(7.4)

Раскладывая Ф и F по собственным функциям ^(у) задачи ШЛ:

Ф(1у) = ^Апфп(у\ F&y) = ^„(^„Су),(7.5)

и=1М=1

находим, что Ап(£) = ап(£) (Х„ - £2)-1. Окончательно получаем

и(х,у) = s 7 а^ХХп -^уЧп^ехр^х^.(7.6)

Л= 1 —оо

Поскольку Дх, у) финитная по х функция, т.е. отлична от тождественного нуля на интервале а <х < Ь, то ее трансформация Фурье F^ у) целая по £ функция. Следовательно, все амплитуды ап(^ тоже целые функции. Поэтому интеграл равен сумме вычетов

ОС1~

и(х,у) = -АИлп S an(FVXn)—— ^„(yyxptFixx/Xn)(7.7)

при х < а и х > Ь. Пусть, например, Дх, у) = 8(х)8(у - у0). Тогда F(£, у) = = &(у - Уо)- Следовательно, ап (£) = ^п(Уо\ Если для однородного УГ в полуполосе х > 0 при условии un j 0 = 6(у - у0) существовало решение

и^х, у) = Ефп(уо)Фн(у)ехр(^Д,,),(7.8)

то в случае Дх, у) = 6(х)6(у -.у0) имеем решение

и(х, у) = лИ^ф^уоУ^^ф^уУхрУхх/Уп).(7.9)

Дифференцируя и(х, у) по х, получаем и ^х, у) = irun(x, у).

ФОРМИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМ СПЕКТРОМ

Ряды Фурье по синусам и экспонентам являются разложениями, в которых нет необходимости находить систему ортогональных функций. При решении задачи ШЛ в общем случае этого уже не удается избежать. Однако часто такое разложение необходимо для того, чтобы сформировать функцию с заданным спектром, например, соответствующим распространяющимся нормальным волнам.

Конечно, если есть ортонормированная система собственных функций I Фп(у) } , по которой разложена заданная функция Ду)

f(y)=La^n(y).(8.1)

1

то сформировать функцию Ду) со спектральными компонентами ах ... а^ не представляет никаких сложностей. Однако всегда достаточно сложно

найти систему { фп(у) ( . Для этого надо решить задачу ШЛ (М - оператор ШЛ)

Мф = ф” + к2(у)ф = Ж Ф(О)=ф(тг) = О.(8.2)

Затем необходимо найти коэффициенты^. Все это сопряжено с определенными вычислительными трудностями. Их можно избежать, если приближенно положить Ку) Ку), где

ЯУ) = 2 Ип(р)апФп(У-).(8.3)

а рп(р) ~ величины, близкие к единице при Ах < Х„ < Д2 и к нулю при Х„ ^ Л1>2 ^ причем

(8.4)(8.5)(8.6)(8.4)(8.5)(8.6)f 1 ^ < А„ < Д2,

(8.4)

(8.5)

(8.6)

(8.4)

(8.5)

(8.6)

Нт ДПМ = , "-"1ол„%л112.

Можно положить

^(р)=[М/р(А)1"*= ЙН+тзАХ))-1,

1

где7(Х)~ линейная функция

2ХЛ2 + Л,

7(Х)= ,

л2-л,л2-л.

равная - 1 при X = Ах и +1 при X = Л2, обращающаяся в нуль при 2Х = = Лх + Л2. Эта функция по модулю меньше единицы внутри интервала и больше единицы вне его. Поэтому условие (8.4) выполняется. Величины тх — тр (Р ~ четное число) - комплексно-сопряженные корни алгебраического уравнения

+ тр = О,(8.7)

Ts = exp[m/p + (2m/p) (s - 2)].

Для вычисления функции Ку) образуем следующую последовательность функций/,

TsV2MfsW - (Л2 + Л, )ЛО)] + [Л2 - Л, ]/зО) = (А2 - Л, W,О),

/рО)=ЛУ). Л(0)=Л00 = 0.(8.8)

Получаем fp(y) = f(y). При этом необходимо решить на интервале 0 < у < я р краевых задач для уравнения (8.2) с комплексными переменными коэффициентами. Это можно сделать при помощи аппроксимации оператора М его разностным аналогом и метода прогонки [47, 54, 75].

ЗАКОН СНЕЛЛИУСА ДЛЯ СЕТОЧНЫХ СРЕД

Волны в сеточной среде ведут себя более сложным образом, чем в сплошной. Возникает дисперсия скорости ’’сеточных” волн, их специфическая групповая скорость, обусловленная дискретными свойствами сетки.

Рассмотрим пример. В сплошной среде у плоской волны ехр(/Ъс - icot)s

к = gj/c, удовлетворяющей УГ и”^ + к2и^ = 0, групповая и фазовая скорости совпадают. В сеточной среде для волны exp (/кх — igdi) , удовлетворяющей разностному УГ L2u + к2и = 0, имеем зт(кЛг/2) = kh!2. Возникает дисперсия скорости. Находим

<Г1 = ^—=с"х -^- = (1 -к2Н2/4ГУ2с'х.

р Эы дк

Откуда #гр = с(1 — k2h2^/2. Для данного примера в сеточной среде имеется нормальная дисперсия, при которой групповая скорость растет с ростом частоты со. Она при фиксированном шаге сетки убывает с уменьшением частоты и обращается в нуль при кН = 2.

Сетка также влияет на углы преломления разностных волн, на законы Преломления волн, переходящих из одной сеточной среды в другую. Оценим ее влияние, рассмотрев следующий пример. Введем на плоскости XV сетку с шагом / по оси у и рассмотрим два следующих дифференциальноразностных уравнения Гельмгольца:

“хх + Ц/^ ^)+ ^2“(х. ^ = °- у < °;(9.1а)

«1хх +^2/(^^) + *1“(^>') = 0. У>0.(9.16)

В среде у < О (коэффициент УГ к) возьмем плоскую падающую волну и0 (х, у) = exp(f£x + ipy), где р = 2Г1 arcsin [(Z/2)V&2-- ^ ] • В среде у > О (Z^i) рассмотрим прошедшую волну ^(х, у) = ыехр(/£с + ipxyV где рх = = 2Г1 arcsin(%V^i ~ £2)» ^ - коэффициент прохождения. Полагая, что фаза падающей волны постоянна, получаем соотношение z£x + ipy = const. Из него находим, что фронт падающей конечно-разностной волны наклонен к оси х под углом

tgp = — V1 i"1 ^ arcsin(O,5Z Vk2 - £2 ).(9.2а)

Аналогичным образом находим, что фронт прошедшей конечно-разностной волны наклонен к оси х под углом

tg^i = -2 Г1 Г1 arcsin (0,5/V*2 - £2 ‘) •(9.26)

Выразить параметр £ в явном виде из (9.2а, 9.26) не удается. Не удается и исключить £ на этих уравнений так, чтобы получить связь между ф и рх - закон Снеллиуса для сеточных сред. Только в предельном случае, когда Z -> 0, находим tg^ = V^2 — L2 IL tg^x = \Д1 — £2 IL Исключая £, имеем закон Снеллиуса в обычном виде kcosp = кх cos^i.

Рассмотрим другой частный случай, когда угол скольжения р в среде у > О (А^) равен нулю рх = 0. Имеем ^ = кх. Будем считать, что кх < к, т.е. скорость сх > с. Получим

2/'sin () = s/k2 - к2 ‘.(9.3)

Если Z -> 0, то ^2tg2(p = к2 -к2, т.е. ^sin2^ = (к - ^2)cos2<p, или cos^ = = кх/к = с/сх. Мы получили известное соотношение для угла полного внутреннего отражения [62].

В качестве еще одного примера рассмотрим волновод шириной я, в котором на оси канала скорость звука минимальна, а волновое число максимально, Л^ = &2(1 + е). Введем в таком волноводе сетку, взяв на нормальном сечении число узлов N = уУ0 = 'ykV^ I = ir/N, где у - некоторый параметр; No = к\/ё — число учтенных, распространяющихся внутри угла (sin# = уе) нормальных волн в дифференциальной задаче; общее число распространяющихся нормальных волн равно к. Теперь, переходя к разностной задаче, необходимо найти угол~<р, под которым должна выходить нормальная волна некоторого номера N0(N0 = кф), соответствующая граничному лучу, т.е. лучу, касающемуся границы волновода. Полагая в (9.3) к2 = к2 (1 + е), находим

tgl) = кх/ё .tgl) = кх/ё .(9.4)(9.4)l^kVe/ itkx

tgl) = кх/ё .

tgl) = кх/ё .

(9.4)

(9.4)

sin I —

я\ 2*ук

sinsinОткуда

sin

sin

(9.5)

Сразу же видно, что если у < я/2, то в правой части (9.5) стоит величина больше единицы. Поэтому параметр у не должен быть меньше я/2. При у < я/2, когда

я 2

из (9.5) найти угол ф невозможно. Ограничение на у не позволяет пользоваться слишком крупной сеткой. Физически это означает, что для достаточно крупной сетки по нормальному сечению волновода конечно-разностные волны, выходя из источника, расположенного на оси канала, вообще не смогут достичь границ волновода. Волны поворачивают к оси канала гораздо раньше. Например, это происходит на том горизонтальном уровне, где к2^ = &2(1 + ер), ер < е. Найдем величину ер. В соотношении (9.3) заменяем кх на кр = кх/\ + ер

2Г1 sin(kplt^/2) -хП? -к2 ,(9.7)

или

/ kDir \_

sin |- tg<p I = кх/ёр.(9.8) я\ 2yk ye/

Откуда

(

kDit\я

”7^ tgi I = .(9.9)

2?fcVe/27 e

Следовательно, при выбранном шаге I сетки, т.е. выбранном коэффициенте у, ’’крайние” или ’’граничные” разностные волны поворачивают на том горизонте у = ур сеточного волновода, на котором величина ер определяет значение к2:

р

ер = е472/тг2, к2 = к2(1 * ер).(9.10)

За горизонт у = ур никакие распространяющиеся конечно-разностные волны прийти не могут. Точнее сказать, они приходят, превращаясь в неоднородные волны, но не за счет свойств среды, а за счет сетки. Это может привести к ошибкам.

Таким образом, фильтрующие свойства крупной сетки сказываются на волновом поле в сеточной среде. Никакие предположения о том, что в результате суммирования многих нормальных волн поле приобретает более гладкий характер и, следовательно, может быть аппроксимировано на более крупной сетке, не проходят.

Когда задана величина у > я/2, например у = 2,7V= Тк\[ё , тогда находим из (9.5)

sin( tg^)= я/4.(9.11)

\/

Определяем угол граничной волны:

тгх/1 + е4

—— tg«p ^0,91; tg<p^0,91 — \/е .

4\/бл

Из этого соотношения угол ф и граничную нормальную волну No = кф найти легко.

Рассмотрим преломление волн на границе сплошных и сеточных сред. В качестве одного из примеров возьмем среду, заполняющую полупространства у < 0, у > 0. При у S 0 среду характеризуем одним и тем же волновым числом, но в полупространствах вводим сетку с разной ячейкой.

Тогда

tg<p = 2Z-1 §-1 arcsin — V^2 - £2 Л§^1 = 2/[х ^arcsin у->Д2 ~ Si • (9.12)

Пусть I и 1Х — шаги сетки - малые величины. Воспользовавшись разложе- 23

нием arcsin 2^2 + — + ..., получаем

tg^v*547^*/2^2 -№/12$,

tg^i =^кг -^'l^ + 1} {к2 -е?1г1П^.(9.13)

Сразу видно, что если lx > Z, то фх > р, т.е. ’’разностный луч” или, вернее, разностная волна отклоняется в сторону более крупной сетки до тех пор, пока сетка не станет такой крупной, что волна отразится назад. В другую среду пройдет только неоднородная волна.

Таким образом, было показано, что при использовании явной схемы чрезмерное мельчание сетки по нормальному сечению волновода невозможно: при kl < 2 теряется устойчивость. С другой стороны, чрезмерное укрупнение сетки тоже недопустимо: при kl > (tt/2)V7нормальные волны в сеточном волноводе не достигают его границ. Если же взять число узлов меньше чем число учитываемых нормальных волн, то аппроксимация поля теряет всякий смысл. Невозможно и чрезмерное увеличение шага сетки по оси волновода khe < 1. Все это позволяет выделить область kl, для которой выполняются как удовлетворительная аппроксимация поля, так и

Рис. 1.3. Выбор шагов сетки h и /л

I — область устойчивости ЯС при 2 < kl < —7=, 6 = 0,25; II — область неустойчи- вости ЯС и аппроксимация No волн; III — схема устойчива, но поле No нормальных волн не аппроксимируется

устойчивость явной схемы. На рис.1.3 изображены: III — область неустойчивости явной схемы; кривая kh = Дк1) = kl^k1 -г!4 — 1 соответствует

П — область, для которой сетка в волноводе становится настолько крупной, что волны не достигают его границ, т.е. обращаются в неоднородные волны. Небольшой ’’островок” на рисунке - это область устойчивости и удовлетворительной аппроксимации всех волн. Обычно вычисления по явной схеме проводятся в прямоугольной области DsplC^ < kl е~’/2

(рисунок изображен для частного случая, когда е = 0,25). Островок D в море неустойчивости и плохой аппроксимации очень невелик. Но все же он позволяет пользоваться явной схемой, переходить для улучшения аппроксимации второй производной по у к многоточечным схемам. Эти многоточечные схемы обеспечивают в случае необходимости высокую точность, а сама сетка и ее область D обеспечивают устойчивость и препятствуют превращению однородных разностных волн в неоднородные.

СЕТКА В ВОЛНОВОДЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛЕЙ В ПОЛОСЕ ЧАСТОТ. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛЕЙ

Рассмотрим диапазон усттойчивости разностной схемы на фиксированной сетке при движении в сторону уменьшения частоты. Возьмем некоторую фиксированную частоту о)0, соответствующую волновому числу к0. Для разностного аналога ПУГ ДИ + koepV + 2ik0Vx = 0 выберем сетку в волноводе с ячейкой /0 X h0. Шаги l0, h0 определим согласно соотношениям

h0 = 1/(£оеХ I» = njlkoVe, (10.1)

при которых разностная схема устойчива. В (10.1) € - малый параметр,

стоящий при переменном коэффициенте в УГ, а также квадрат угла (е = = #2W0) заданного ’’пучка” учтенных нормальных волн No, т.е. еугл = егидр = = €. Известно, что требования устойчивости схемы на другой сетке И, I для другого волнового числа к позволяют выбрать параметры h, I следующим образом:

h=lllke, l=-n!1kVe. (10.2)

Предположим, что к < к0. Тогда на основании (10.1) и (10.2) h > Ао, l> lQ. Нам известно, что разностная схема с шагом 10 по оси у теряет устойчивость только при kl0 > 2. Поэтому, воспользовавшись выражением для /0 из (10.1), находим 2 = kl0 = nk/lkey/e. Получаем следующий диапазон изменения к/к0:

1 > А:/А:о > 4л/ё/т7. (10.3)

Для такого изменения к/к0 устойчивость схемы на сетке (h0, Zo) сохранится. Если же необходимо понизить частоту еще сильнее, то приходится, чтобы сохранить устойчивость, брать сетку вдвое крупнее, /0 2/0.

При уменьшении частоты параметр егидр = е, характеризующий неоднородность среды в УГ, остается прежним. Число же членов суммы, соответствующее учитываемым нормальным волнам,- приходится изменить. Необходимо суммировать только те нормальные волны, которые соответствуют лучам, лишь касающимся границ волновода - дна или поверхности.

Это означает, что для фиксированной ячейки сетки, т.е. для заданного числа узлов по ширине волновода, равного 2N0) где No = kxfe, необходимо найти верхний предел W(fc) в сумме

8/О - Уо) = $т(иу ). (10.4)

Раньше он был равен No. Теперь имеем N(k)/k = N0/k0 = V^, откуда при к<к0

N(k) = kN0/k0 = kVe, k<kQ. (10.5)

Рассмотрим диапазон устойчивости разностной схемы на фиксированной сетке при движении в сторону увеличения частоты. Для фиксированной частоты, соответствующей волновому числу ^0, вместо сетки с ячейкой ho X Zo возьмем сетку с более мелкой ячейкой ho X Iq. Положим

ho =а/к0€, a<i; 1о=тг/ркох/^ Р>2. (10.6)

Параметры а и Р выбираем так, чтобы устойчивость не терялась. Затем рассмотрим поле для нового волнового числа к > ко при той же самой сетке ho X Iq, Устойчивость сохраняется при условии

к<ко!а (а<1). (10.7)

Число членов суммы в (10.4), равное N^k-V следует заменить на величину М(к). Так как первоначальное число узлов было равно PNO, где No - число нормальных волн, имеем M(k)lk = No]k = V^ Следовательно, М(к) = кх/е, к/ко < PI2, р> 2. к > ко» Величина р была выбрана соответствующим обра-

зом, когда согласно (10.6) был взят шаг Zq, меньший чем /0. Причем при 0> 2 можно положить к/к0 < 0/2, к> к0.

Алгоритм, использующий метод сеток для волноводных задач, оказался достаточно эффективным. Большое число задач решено и представлено на рисунках в [47, 48, 51]. Время счета Т пропорционально квадрату частоты и кубу угла учтенных нормальных волн

T=Af43N=Bk1e3!\ (10.8) где А, В — некоторые коэффициенты, зависящие от быстродействия ЭВМ. шагов сетки и длины трассы. Так, например, для волновода глубиной 6 км при длине трассы 500 км, частоте 1,25 кГц и£„ = 0,1 рад ЭВМ БЭСМ-6 (~ 106 операций в секунду), проходя в секунду 7 - 104 узлов сетки, выполняла весь расчет за 7—10 мин. Соответственно для/ = 125 Гц аналогичный расчет выполнялся примерно за 10 с. Это для наиболее крупной сетки, которая обеспечивает устойчивость и дает среднюю ошибку порядка 10%. Если же точность необходимо повысить, то либо сетку приходится брать более мелкой, либо прибегать к многоточечной аппроксимации производных. При этом скорость вычисления уменьшается.

Приведем некоторые примеры вычисления полей [37, 47]. На рис. 1.4,а представлено поле в канале с параболическим изменением к1 (к2 = &о (1 + + е^(у)) по глубине при частоте 625 Гц. На рис. 1.4, б в том же волноводе в качестве начальных значений для разностной схемы взято поле на всей глубине волновода, вычисленное ранее. В'точке, где был локализован излучатель, поле фокусируется и дает выброс. На рис. 1.5 представлено поле направленного излучателя. При этом КО — координаты излучателя; ИХ, НУ — шаги по осям X и У; к — волновое число; Е = 0^t N — число шагов по ширине волновода; NK - число учтенных нормальных волн; XL - длина трассы (при ширине волновода л); Т — время счета в минутах; F - частота. На рис. 1.6 представлено поле излучателя в волноводе с линейным профилем к2; на рис. 1.7 — поле в волноводе с усеченным параболическим профилем; на рис. 1.8 - поле в волноводе с параболическим профилем и с осью канала, глубина которого меняется по синусоидальному закону

ус - а + а81п(2лх/р) <у <ус + я + а$т(2лх/р).

Поле в ’’извивающемся” волноводе представлено на рис. 1.9. Видно, как волны ’’высвечиваются” из канала в околоволноводное пространство.

При вычислении в полосе частот можно получить пространственно-частотные диаграммы звукового поля в неоднородном по трассе волноводе. Так, например, на рис. 1.10, а приведена диаграмма к-х в волноводе с параболическим профилем при частоте 25 < / < 300 Гц. Взята часть трассы 50л < х < 150л; разрез при .у = л/2. На рис. 1.10,б тот же разрез, но вводится возмущение профиля вдоль трассы по синусоидальному закону.

На рис. I. 11, а-г рассмотрено поле в волноводе глубиной 3,14 км. Взято расстояние от излучателя до апертурного отрезка 50 км. Частотный диапазон 215-500 Гц. На рис. 1.11, а длина апертурного отрезка 300 м (он содержит девять узлов), движение к источнику от апертурного отрезка на одной частоте; на рис. 1.11, б - на восьми частотах. На рис. 1.11, в, г

СП

Рис. 1.4. Поле в волноводе от б-источника (а) и поле от распределенного по нормальному сечению источника (б)

Всплеск — в окрестности б-источника

м

Рис. 1.6. Поле в волноводе с билинейным профилем £2(у)Рис. 1.6. Поле в волноводе с билинейным профилем £2(у)

Рис. 1.6. Поле в волноводе с билинейным профилем £2(у)

Рис. 1.6. Поле в волноводе с билинейным профилем £2(у)

. Зак.831

О)О)

Рис. 1.9. Поле в волноводе с ’’извивающимся” по синусоидальному закону усеченным параболическим каналом

Рис. 1.10. Диаграммы к-х (зависимость поля от координаты и частоты) для регулярного волновода с параболическим каналом (а) и для нерегулярного волновода (б)

/7

co

<D

Рис. 1.11. Одночастотный (а, в) и многочастотный (б, г) распределенные источники

О0Л^550,8О0Л^550,8

О0Л^550,8

О0Л^550,8

Рис. 1.11. (окончание)Рис. 1.11. (окончание)

Рис. 1.11. (окончание)

Рис. 1.11. (окончание)

длина апертурного отрезка 200 м (6 узлов сетки); на рис. 1.11, в — одна частота; на рис. 1.11, г - шесть частот.

В настоящее время в практику измерения акустических полей в океане широко входят векторные приемники, т.е. приемники, измеряющие приближенно производную скалярного звукового поля в виде конечной разности на концах некоторого вектора s [58]. Векторные приемники могут быть объединены в векторную антенну, линейную или более сложную. Возникает задача, как, зная производную поля на некотором апертурном отрезке, восстановить звуковое поле в волноводе, его характерные детали, пики в окрестности источников. Выбор длины вектора и его ориентации могут быть более обстоятельно выполнен, если вместо рельефа скалярного поля, которое визуализируется в расчетах, визуализировать его соответствующую производную (конечную разность). Семейство таких ’’векторных голограмм”, зависящих от s и от самого поля, представляет большой интерес. Особенно естественно они вписываются в вычисления, выполняемые на основе трехслойных явных разностных схем, когда для нахождения поля на третьем слое необходимо знать его значения на двух слоях.

Глава II

НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧ

Никогда не приступайте к вычислениям, пока не знаете результата.

Р. Фейман

Каждое новое изделие, процесс или услуга начинают устаревать в тот день, когда они впервые достигают самоокупаемости. Единственный путь - самому признать свое изделие устаревшим, чтобы помешать это сделать конкуренту1.

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ КРАНК А-НИКОЛЬСОНА

Положительные свойства явных схем для решения разностных аналогов ПУ и ПУГ несомненны. Однако ограничение на шаг / снизу при решении ПУГ заставляет рассмотреть еще один класс уже неявных схем, где это ограничение удается снять.

Для ПУ ИкУх + Ууу + к2 врсУ = 0, используя явную схему на сетке с шагами 7, h получим, что шаг 7 может быть любым. Шаг h необходимо выбрать так, чтобы выполнялось неравенство Ik/h > max (47-2, кге\ Следовательно, шаг h ограничен сверху, что не всегда удобно. Воспользуемся для решения ПУ неявной схемой Кранка-Никольсона

И(х+Л)-И(х-й) „

ТУ^х, у) = Ик + Vl [L2 V^x ^h.yV

+ к2врсУ(х + h, v) + L2 у У(х - h, у) + к2ефсУ^х - h, ^)] = 0.

Десять правил, обеспечивающих эффективность НИОКР // БИНТИ. 1989. Т. 33. С. 41 72

В ЯС использовалась величина а-Ц ?И(х, у) + к2ефсУ. В схеме Кранка- Никольсона вместо нее взято среднее значение этой величины на слоях х + к и х - к. Поэтому, если ЯС была пятиточечной схемой, в которую входили значения У^х, у) в пяти узлах: х, у; х ± к, у; х, у ± 1 на трех слоях: х - к, х, х + к, то КН (1.1) является уже шеститочечной двухслойной схемой. Это означает, что значение У(х, у) входит в (1.1) в шести точках: х - к, у; х - к, у ± I; х + к, у; х + к, у ± I на двух слоях:х - ких + Л.'На новом слое х + к необходимо найти значения V^x-tk, у), которые связаны уравнением (1.1), в трех узлах: х + к, у - I; х + к, у; х + к, у +I. Они также связаны со значением У(х - к, у") в трех узлах на предыдущем слое х -к. Если в ЯС на новом слое х + к необходимо было найти значения поля в одном узле (в пятом узле) , выраженном в явном виде через уже известные, вычисленные прежние значения в четырех узлах, то в НС, схеме КН (1.1) все новые значения можно найти на слое х + к сразу во всех узлах. Это можно сделать, только решив трехточечное уравнение на этом слое и удовлетворив краевым условиям на границах у = 0, у = л. Подобная операция под силу хорошо известному алгоритмическому методу прогонки [88]. Сама же необходимость решать уравнение для продвижения по сетке вдоль оси волновода означает, что схема КН (1.1) является неявной схемой.

Рассмотрим устойчивость схемы (1.1) . Полагая

N

У(х, у) = S ап sin Оту) ехр <1кпх\ (NI = л), ехр (гкпк) = А, 1

приходим к характеристическому уравнению

A(Zp + 7р2) + А"1 (— гр + тр2) = 0,(1.2)

где

р = кк, 7 = % [е^ - (4/£2 /2) sin2 (л//2)] .(1.3)

При любых значениях р и 7, т.е. при любых к, к, e, фс, I, из (1.3) следует, что I А1>21 = 1- Схема КН (1.1) для ПУ безусловно устойчива. Никаких ограничений на к и I нет. Точность тоже может быть любая. Однако само ПУ всего лишь приближенное описание волновых процессов, подчиненных У Г или ПУГ.

Исследуем устойчивость схемы КН для ПУГ. С этой целью к (1.1) необходимо прибавить разностный аналог Ухх. Имеем

[У(х + к,у) + У(х- к, у) - 2У(х, .у)] /А2 + ТУ = 0,(1.4)

где ТУ — выражение (1.1). В (1.4) появился член 2У(х, у^к2, взятый в узле х, у на среднем слое х. Поэтому схема (1.1) уже семиточечная, трехслойная. Она по-прежнему неявная, так как связывает значения У(х + + А, у), ^(х + к, у + I), У(х + к, у - /) в трех узлах. Анализируя ее устойчивость, вместо уравнения (1.2) получаем такое уравнение для А:

А(1 + гр + 7р2) - А-1 (1 - ip + 7р2) - 2 = 0.(1 5)

Находим корни Л1#2 уравнения (1 5) :

Л1,2 =(1 ±х/3*)/(1+zp+7Р2),(1.6)

где А = 1 - (1 + тр2)2 - р2 = 2ур2 - 72р4 - р2 = -р2(1 + 27) - 72р4 = = -(7р2 + I)2 + 1 - р2, причем

1 + 1Л I = 1 + 72р4 + 27р2 +р2.'(1.7)

Поэтому при условии, что А < 0, имеем 1Л121 = 1 и схема КН для ПУГ (1.4) устойчива. Само же условие А < 0 можно реализовать двумя следующими способами.

Если р > 0 и 7>-% (при фс- 0) . Это выполняется при kl>2. Схема (1.4) устойчива при любом h, если kl>2.

Если р > 1 (kh > 1) , то Л < 0 при любом 7, т.е. при любых к, е, vpCl L Схема КН для ПУГ устойчива при любом I при условии kh > 1.

Условная устойчивость схемы КН не является помехой для повышения точности вычисления. Так же как в случае ЯС, можно применять многоточечные схемы по у, аппроксимирующие вторую производную Vyy все с большей и большей точностью на той же самой сетке с шагом /, так и в случае КН можно применять многоточечную схему, аппроксимируя производную Vxx с повышенной точностью на сетке с тем же шагом к, ограниченным снизу неравенством kh > 1. Как правило,’’гладкость” среды в направлении вдоль оси канала волновода более высокая, чем в поперечном. Кроме того, само волновое^поле одного локализованного излучателя на разрезах вдоль волновода меняется более плавно, чем по нормальному сечению. Поэтому многоточечная аппроксимация Vxx может дать большую точность, чем аналогичная аппроксимация Vyy в явных схемах.

0 ПРИМЕНЕНИИ ПОЛУЯВНЫХ СХЕМ

Остановимся на некоторых достоинствах неявной схемы КН. Рассмотрим также класс частично явных или полуявных схем. Если в ЯС нельзя было увеличить шаг И по х, то в КН это стало возможным. Открылась возможность для повышения эффективности МКР в случае вычисления поля узкого пучка нормальных волн, т.е. распространяющихся по направлениям, отличающихся незначительным изменением углов. Не обязательно направление их распространения симметрично относительно оси волновода (см. гл. I). Узкий пучок волн может иметь любое направление своей биссектрисы внутри широкого угла, в котором необходимо выполнить вычисление поля, складывая поля в узких углах. Аддитивное представление поля в виде групп волн, имеющих узкоугловые пространственные характеристики, и использование схемы КН позволяют повысить как скорость, так и точность вычисления волнового поля. Это происходит благодаря тому, что оба данных параметра весьма существенно зависят от величины угла и быстро растут при его уменьшении, как правило обратно пропорционально кубу его величины.

Можно также совместить хорошие свойства ЯС и КН для ряда задач с нелинейностью в уравнении. Например, малый нелинейный член 51 Kl2 И в УГ можно ввести явно в схеме КН на среднем слое х. Что касается других линейных членов, входящих в неявную схему, то они на слое х + h вычисляются методом прогонки.

Аналогично для слабонерегулярных волноводов имеем ф = ^(х, у) + + ^(у) + 5i//(x, у). Если 5 мало,то член 5V/ И в разностную схему КН можно

ввести только на среднем слое. Совмещая ЯС и схему КН,имеем

Lh.xVQc, y)*v2ikhV(x, yV Ууу л-к1^^ V + к^Ь^Кх, у) +^ ^

+ Vyy + ^2e^(y) У^к2еЬф(х, у) У(х, y) = 0,

где знак Д означает операцию усреднения на двух слоях: х - h, х - h.

Вычислительные преимущества при совмещении ЯС и КН проявляются в случае трехмерных неоднородных волноводов. Предположим, что неоднородность среды состоит из слоистой неоднородности вида e^(z) и неслоистой вида 5ф(х, у, z), (5 < е). Тогда в соответствующем ПУГ будем иметь член ep(z)V(x, у, z) + &ф(х, у, z)V(x, у, z). Последний член можно учесть явным образом, что делает процесс вычисления поля более эффективным.

Повышение размерности задачи всегда увеличивает объем вычислений. Размерность может увеличиваться не только благодаря переходу от двумерных к трехмерным волноводам, но и при рассмотрении негармонических волновых процессов, зависящих от времени более сложно, чем в виде множителя ехр (- /соГ). Использование схемы КН и ЯС оказывается возможным при решении нестационарных волноводных задач для узких ’’пучков” негармонических волн, вычисленных в разностном приближении. Полуявные схемы, основанные на совмещении КН и ЯС, можно применять при вычислении частотно-пространственных характеристик, для статистических расчетов, когда необходимо учесть на трассе слабые случайные флуктуации среды в виде члена &ф(х, у), где ф(х, у) — случайная функция. Снова член &фУ(х, у^ входит в уравнение явно, как и в предыдущем случае, а детерминированная неоднородная среда характеризуется функцией ар(у), влияние которой на поле учтено в схеме КН.

Таким образом, схеме КН присущ ряд достоинств Во-первых, можно устремить к нулю шаг Z: / -> 0. Во-вторых, можно взять достаточно большим шаг h вдоль оси волновода. Можно совмещать ЯС и КН, конструируя различные полуявные схемы. Все это существенным образом влияет на класс рассматриваемых задач, повышает скорость их решения на существующих ЭВМ, увеличивает точность их численного решения. Однако вопросы, возникающие при решении методом прогонки трехточечных уравнений, входящих в неявную схему, необходимо исследовать более подробно.

ОБЪЕМ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ

Явная вычислительная схема, хотя и условно устойчива (kl > 2, h < < h^, однако она чрезвычайно удобна и эффективна благодаря своей простоте. Вернемся к ней еще раз. Используя обозначения (1.3) и полагая ехр(/к„/г) = А, запишем характеристическое уравнение для ПУГ и ЯС в виде

А(1 + zp) + А"1 (1 - zp) + l^p2 -2 = 0.(3.1)

Корни Ах 2 равны по модулю единице при условии

(72р2 — 1 — 27) < 0.(3.2)

Пои kl > 2 условие (3 2) выполняется для достаточно малых kh. Затем

с ростом р при Ро = (1 + 2у)/у2 неравенство (32) уже не выполняется. Поэтому только при 0 < р < р^ вычисления по ЯС для ПУГ будут устойчивы. Объем вычислений и время счета определяются в основном количеством операций в узле и, конечно, числом узлов.

Можно использовать для ПУГ неявную схему Кранка-Никольсона. Эта схема позволяет снять ограничения на шаг I снизу. Данное обстоятельство имеет важное значение в тех случаях, когда среда в волноводе по его нормальному сечению изменяется достаточно сложным образом и для лучшей аппроксимации необходимо брать шаг I достаточно малым.

Схема КН — схема с усреднением - требует применения метода прогонки. При реализации метода прогонки необходимо ввести ряд новых операций в каждом узле сетки% включая операцию деления, значительно более трудоемкую для ЭВМ (в 5—10 раз), чем операции умножения и сложения. Поэтому, переходя к схеме КН, можно было бы ожидать, что эффективность вычислительного процесса снизится в 10—20 раз. Ценность схемы КН упадет из-за необходимости выполнять новые сложные операции в каждом узле сетки. Однако по ряду обстоятельств этого не происходит и эффективность вычислительного процесса не снижается. Убедимся, что это действительно так.

Вначале рассмотрим схему КН (1.1) для ПУ с переменным коэффициентом <р(у). Запишем ее в виде

2ik[F(x+h)- H(x-h)]/2h+Ll уУуу+к^ОО И=0,(3.3)

где знак А над функцией Q^x, у) по-прежнему обозначает операцию усреднения

Q(x, у) = % [С(х + h, у) + Q^x - h, у)] •(3.4)

Схема (3.3) шеститочечная; прежние значения У^х-к, у), У(х - к, у ± Z) и новые искомые значения У(х + к, у), У(х - к, у + Z) связаны в шести узлах: х - к, у; х - к, у ± I; х + к, у; х + к, у ± I. Поэтому, чтобы найти новые значения на слое х + к, необходимо применить метод прогонки. Запишем уравнение (3.3) относительно новых значений так:

(ik/k) V(x + к, у) + % [А:2 е^(у) У(х + к, у) - (2/Z2) У(х + к, у)] +

+ Г2 У(х + к,у+1) + Г2 У(х А-к,у - Г) = (ik/k) У(х - к, у)-(3.5)

- % \к2 еФ(у) - 2Z"2 ] У(х -к, у)- Г2 [ У(х - к, у +I) + У(х + к, у - /)].

В левой части (35) собраны неизвестные величины, которые предстоит вычислить методом прогонки. С этой целью запишем (35) еще так:

У(х + и, у)а + У(х + к, у + Z) + У(х + к, у - Г) =

= -У(х-к,у)а - У(х-к, у + Z) - У(х - к, у — Г),(3.6)

где

а = а(у) = ^к/к + к2еф(у)/2 - 2Z‘2]Z2;^ ^

а = [- ik/k + к2 вр(у)12 - 2Г2 ]Z2.

Пусть на границах у ~ 0,у = я поле обращается в ноль:

К(х,0) = 0, У(х, я) = 0, И(х±А,у)^=о,а=О.. (3.8)

Следуя методу прогонки [47, 75, 88], полагаем

У(х + к,у-Н) = р(у) У(х ^h.yVq^,(3.9)

где p(y), 4 (у) -- новые неизвестные функции дискретного аргумента у. Начнем оценку объема вычислений с ’’конца” решения задачи. Если бы функция р(у) и q(у) были известны, то, чтобы найти новое значение У(х * к, у * Г) в каждом узле, необходимо согласно (3.9) выполнить одно умножение и одно сложение: (х +).

Найдем уравнения, из которых можно определить функции дискретного аргумента р (у) и q(y) . Из (3.9) имеем

(3.10)(ЗЛ1)(3.12)(3.10)(ЗЛ1)(3.12)И(х - к, у - Г) = [К(х + к, y)-q(y - /)] !р(у - Z) .

(3.10)

(ЗЛ1)

(3.12)

(3.10)

(ЗЛ1)

(3.12)

Подставляя (3.9) и (3.10) в (3.6), получаем

[я(у)+р(у) + М?(У - 0] ^(х + к, у) + [F(y) + ^(y) —

- qty - Olpty - 0] =0, где

F(y ) = aty) У(х - к, у) + У(х - к, у + Г) + У(х - к, у - Z) .

По условию задачи величины а (у), У(х - к, у), У(х -к, у ± Г) нам известны. Поэтому, чтобы вычислить функцию F(y) в одном узле, надо согласно (3.12) выполнять одно умножение и два сложения: (х + +).

Уравнения для функции р и q мы получаем, приравнивая к нулю выражение в квадратных скобках (3.11):

aty^^ptyV Mpty -0 = 0,(3.13а)

qty^-qty - Ор"1 (у - O + F(y) = o.(з.13б)

Эти уравнения нелинейные, двухточечные, т.е. р и q связаны в двух точках у и у - I. Оба уравнения необходимо решать на сеточном отрезке 0 < у < л. Следуя методу прогонки, полагаем pty - Z) = qQn - Z) = 0. Тогда согласно (3.8) имеем У(х + к, л) = 0. Одно граничное условие (3.8) удовлетворяется.

Полагая в (3.13а) у = л - 1, р(л - Z) = 0, находим р(л - 2Z) и затем pty - 30-. .р (0). В (3.13а) входит только а^ или согласно (3.7) только функция ^(у), характеризующая заданную слоистую неоднородность среды. Поэтому при фиксированных шагах сетки Z, к и параметрах к, Е величину р (у) можно найти на сеточном отрезке 0 < у < it независимо от поля. Затем при вычислении поля использовать ее на всех шагах х = к, 2к... по оси волновода. Понятно, что объем вычисления функции р^ на одномерной сетке мал по сравнению с объемом вычисления поля на всей двумерной сетке, и его можно не принимать во внимание.

Найдя р(у) и зная F(y), qty), находим функцию ^(у) уже из уравнения (3.136) , которое запишем в виде

»О - 0=р(у - 0^0)+^(у)1 •(3.14)

Функцию q(у) вычисляем последовательно в узлах л — 2Z, л — 3Z. На это требуется в каждом узле всего одно умножение и одно сложение: (х +).

Для нахождения р(у) и qty) была выполнена ’’обратная прогонка”, т.е. расчет от конца интервала (у = л) к его началу (у = 0). Теперь,используя формулу (3.9) и подставляя в нее условие на границе У(х + к, y)l ^ =0,

выполняем прямую прогонку и находим функцию К(х + Л, 7) во всех узлах у = 1, 21. . - 1).

Видим, что общее число операций, необходимых для вычислений по схеме КН равно семи: три умножения и четыре сложения в каждом узле. Напомним, что при использовании ЯС потребовалось в каждом узле выполнение двух умножений и трех сложений. Поэтому схема НК для ПУ по объему вычислений всего на 40% превосходит ЯС.

Это очень обнадеживающий результат. Не в 10-20 раз больше, как предполагалось, придется затратить машиносчетного времени, а только на 40%, несмотря на то что используется весьма трудоемкий метод прогонки. Конечно, сетка в обоих случаях одна и та же и число узлов тоже одинаково как в ЯС, так и в КН.

Если же перейти от ПУ к ПУГ, то объем вычислений для ЯС не изменится. В схеме КН придется ввести величину А К(х, у^ на среднем слое сетки, умноженную на некоторый вещественный коэффициент А. Эта величина войдет в (3.12) при вычислении,-функции F. Прибавится еще одно умножение и одно сложение. Трудоемкость схемы КН для ПУГ будет вдвое превышать трудоемкость ЯС.

УТОЧНЕННЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Хорошо известно, что ПУ получается при аппроксимации ь/к2 - м2' выражением к - п212к. Возможны и другие аппроксимации \/ТТг, например такое:

,(1+а^)(1+a2z)

VI + ^ —•(4.1)

(1 + ^z)(l ^hz)V 7

После логарифмирования находим

& In (1 +z) = In (1 + ayz) + In (1 + a2z) - In (1 + 0xz) - In (1 + j32z).(4.2)

После разложения в ряд получаем•

^(z - z2 /2 + z3/3 — z4/4 + .. .) = axz - a2z2/2 +aiz3/3 + ... + a2z -

- a2z2!2 + . . . - 0iz +0iZ2/2 - ... 02z + P2z2(2 - 02z3/3 + . . .

Откуда следует система уравнений

«1 + а2 + .. . — & — j32 = %,

а? +al + ...-02 -02 = ^,, .

а?+^+...-^-/323 = %,( '

«1+^+...-^-^ = %.

Если «1 = а2 = 0i = 02 = 0, то остается только одно уравнение, из которого находим «1 = %, т.е. V1 + ? = 1 + z/2. Если а3 = 02 -0з = 0, то из двух первых уравнений (4.4) получим а = 3/4, /3 = 1/4. Следовательно,

п2

Т2

1 - 3/4 и2 /к1

1 - 1 /4 ^Д2

и2

2к2

In4 In6

8 к* 32 к6 +' “

(4.5)

Поскольку Vi + z = 1 + z/2 - ^gz2 + 716z3 - kz%^ + то ошибка в (4.5) Ег = V32 n(к6. Согласно (4.5) находим уточненное ПУ (УПУ) для И2) [и = 02^ exp (z^x)]

lik^ + ^- (l/2z*) VW = 0.(4.6)

Наконец, полагая а3 = ^ = 0, находим из первых трех уравнений (4.4) а, = Н + х/2У4, а2 = К - ^Ж /3) = %. ОткудаНаконец, полагая а3 = ^ = 0, находим из первых трех уравнений (4.4) а, = Н + х/2У4, а2 = К - ^Ж /3) = %. ОткудаСледовательно,Следовательно,

Наконец, полагая а3 = ^ = 0, находим из первых трех уравнений (4.4) а, = Н + х/2У4, а2 = К - ^Ж /3) = %. Откуда

Наконец, полагая а3 = ^ = 0, находим из первых трех уравнений (4.4) а, = Н + х/2У4, а2 = К - ^Ж /3) = %. Откуда

Следовательно,

Следовательно,

с ошибкой Е3 = - «/(128 А;8). Находим УПУ (и = И3) exp (ikx))

2ikV<^ + ^3)- OJik) ^ + (1/4*2) ¥$>у = 0.(4.9)

Таким образом, кроме обычного ПУ (4.3), можно сконструировать уточненные ПУ. Их удобно использовать для уточнения узкоуглового приближения как вблизи л=0, так и вблизи любого п~п0.

Был рассмотрен простейший случай однородной среды к = const. В случае слоистой среды можно положить Vx^ = V^* (Х„ - ^2У= к VT +7, где z = Хп — к2 /к2. Оператор X соответствует образованию уравнения ШЛ Хф = к2 (у) ф + фуу. Все остальные приближенные формулы для V^ ^ z и УПУ остаются такими же, как для к = const. В дальнейшем получим ПУ и УПУ для негармонической зависимости от времени.

Можно написать неявную разностную схему для любого уточненного ПУ, а также показать, что она устойчива при любых параметрах сетки /, к. Например, в случае уравнения (4.6), переходя к неявной разностной схеме, а затем получая характеристическое уравнение для А = exp (zk„/i), имеем

[

4 о 1

- - sin2 — +

(4.10)(4.10)I2 2 J

(4.10)

(4.10)

где а — некоторый положительный коэффициент. Имеем

N

И(х, у) = 2 я„ sin (лу) exp [- ix и2 IQk + он2)].(5.2)

1

Конечно, член с а вносит неизбежную ошибку в решение ПУ. Однако и само ПУ — приближенное решение У Г с ошибкой Е^ в фазе для и - нормальной волны порядка EW = ^х я4/(8&4). В случае (5.2) найдем ошибку Е^ в фазе (- ikx n2(2k2} (1 - от2}. Имеем Е^1^ ~ n4a(4k3. Полагая а ~ к-1, видим, что ошибки Е^ и Е^ будут одного и того же порядка.

Кроме ошибки, возникающей вследствие аппроксимации У Г параболическим уравнением, и ошибки, связанной с коэффициентом а при численном решении МПУ, будет ошибка вследствие разностной аппроксимации. Это понятно. Ясно также, что не следует добиваться высокой точности, уменьшая только одну какую-нибудь ошибку. Более важным является возможность повысить эффективность схем. Рассмотрим пример. В обычном ПУ использование явной схемы

2ik [К(х + к} - V<x - к}^ l(2k} + LlyV=0(5.3)

приводит к ограничению на шаг к в зависимости от шага I 2к/к > 4/Z2 или к < 2kl2 !4-к0) где

к о = (2fc/4) (я2 IN2) = я2 M2N2.(5.4)

Воспользуемся для решения МПУ такой неявной схемой

2ik [К(х *к}- aLl у V(x + Л)] - [И(х - к} - oiL^ у К(х - 7z)] 1(2к} +

+ ^уГ(х,у) = 0,(5.5)

в которой член L?, у К(х, у') входит на среднем слое х. В то же время член (— aVyy}x аппроксимируется конечной разностью по х на слоях х ± к. Следовательно, схема (5 5) девятиточечная. Значения V(x +/?, у), связанные в узлах у, у ± Z, необходимо искать с помощью метода прогонки. Для (5.5) получаем характеристическое уравнение

(2к[к} [1 + (a 4/Z2 ) sin2 (mZ/2)] sin кк - (4/Z2 ) sin (nl!2} = 0.(5.6)

Оно имеет вещественные корни кп при условии

2Мк>4Г2К1 ^а4Г2}.(5.7)

Пусть нас интересуют нормальные волны не выше номера и0, а число узлов сетки на нормальном сечении волновода пусть будут N. Полагаем

а^ИоЛТ1-(5.8)

Тогда

ка < 2к (1 + а 4Г2 )/(а 4Г2) - 2kl(nQN} = к0(а.(5.9)

Видно, что ка> к, что позволяет вычислять поле, двигаясь вдоль оси волновода более крупным шагом.

Глава III

ТОЧНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Числа сами по себе могут не показать ничего или даже вводить в заблуждение.

Дж. Холтон'

В условиях естественного отбора, в которых формируется мозг, предпочтение отдается быстрым, хотя и приближенным решениям, а не точным, но медленным2.

ТОЧНОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧАХ

Конструирование явных и неявных разностных схем представляет собой сложную задачу. Но еще более сложную задачу представляет анализ каждой схемы на устойчивость, сравнение ее по скорости, точности и эффективности с другими схемами и другими методами вычисления. Не менее важным критерием является сравнительная простота, надежность схем. Усложнять схемы легко, упрощать их - сложно. Простота схемы сопровождается ее эффективностью и универсальностью [9, 27, 34, 38, 44, 47-57, 74, 75,81,86, 88, 89, 108].

В математической физике широко применяется метод сведения многомерных задач к более простым одномерным — метод разделения переменных. В вычислительной математике аналогичные соображения стали тоже совершенно необходимы. Так, например, в методе расщепления оператора на сумму или произведение более простых операторов осуществляется сведение сложной задачи к более простой, одномерной. То же самое происходит в методе переменных направлений, дробных шагов. Для сложных волновых задач в [53] была показана универсальность метода хопскоч и его схем для пространств любого числа измерений, работающих на любой сетке и с любой точностью. Однако при этом рассматривались краевые задачи.

Нам необходимо рассмотреть разностные начальные задачи и схемы для волноводов и оценить их основные параметры. Сама линейная волновая задача для волноводов сравнительно несложная. Она описывается простыми скалярными линейными уравнениями: волновым, Гельмгольца, параболическим. В этом ее отличие от сложных векторных, тензорных, нелинейных уравнений, систем уравнений в аэродинамике, теории горения и взрыва, теории плазмы, теории элементарных частиц, теории упругости. Но именно простота и сравнительная наглядность волновых задач позволяет полнее сосредоточить внимание на разностных схемах, позволяющих решать непосредственно сами уравнения, а не тратить силы и время на поиски теоретических решений, которые затем приходится ’’обсчитывать”.

Введение сетки в волноводе, замена дифференциальных уравнений конечно-разностными и численное решение их позволяет более просто и наглядно получить полные волновые поля, чем в случае поиска сложных

Холтон Дж. Социальные показатели в системе научно-технической политики: Сб. переводов. М.: Прогресс, 1986. С. 34.

В мире науки. 1989. № 9. С. 8.

8181Зак. 831

81

81

теоретических формул. Да и не всегда такие формулы удается найти и оценить их точность. В общем случае алгоритм конечно-разностного решения состоит из сетки, схемы на сетке и начальных условий, с которых начинается счет. Такой алгоритм используется для решения сложных задач в различных областях физики. Его можно применять и для волноводов, заполненных неоднородной средой с неровными, рассеивающими и поглощающими границами, для сложных направленных излучателей, для решения прямых и обратных задач, для задач цифровой голографии.

Вопросы точности очень важны. В случае сеточного алгоритма необходимо знать, с какой точностью разностные уравнения аппроксимируют исходные дифференциальные, как поле представляется в виде прямых и обратных конечно-разностных волн, как выполняются условия на источнике, на границе, где свойства среды имеют разрыв. Необходимы оценки ошибки на протяженных волноводных трассах и сравнение конечно-разностных решений с решениями, полученными другими методами. Все эти вопросы исследованы в работах [47, 50, 74]. При этом проблема оценки погрешности и повышения точности имеет особенно важное значение для тех задач, теоретические решения которых найти не удается. Не всегда удается также получить исчерпывающее математическое доказательство. Чаще приходится полагаться на машинное моделирование, численный эксперимент, тестирование вариантов более простых, чем общая задача. Оказывается, например, что наиболее существенные свойства разностного алгоритма, точность и скорость решения волновой задачи можно оценить на примере слоисто-неоднородных волноводов [43, 50] и даже в самом простом случае, когда волновод заполнен однородной средой. Рассмотрим э!от случай подробнее.

Пусть в полуполосе л:>О,О<^<тгимеем уравнение Гельмгольца (УГ) ихх л-иуу *k2UF^, к = const.^’^

При условиях U (х, 0) = и (х, тг) = 0, ^7 (0, ^) = f (у) = 2 ап sin (ну) нахо-

И = 1

дим поле в виде бесконечной суммы нормальных волн

U (х, у)= Ъ ап sin (ну) exp (ix Vk2-^.(1.2)

п= 1

Если /(у) — функция с ограниченным спектром, то

N

U (х, у)= 2 ап sin (ну) exp (jx Vfc2-^ Л(1.3)

и = 1

Пусть N1 (к2 = е< 1. Тогда решение (1.3) содержит только однородные нормальные волны, распространяющиеся внутри угла ± 0п: 0п = N/k = V^ Полагая U (х, у)= У(х, y^eikx, приходим к преобразованному уравнению Гельмгольца (ПУГ)

Vxx^Vyy + 2^ = 0.(1.4)

Пренебрегая в (1.4) второй производной Ухх, приходим к параболическому уравнению (ПУ) 82

Vyy^2ikVx=^(1.5)

имеющему решение ~TV

V (х, у^ = 2 ап sin (пу) exp (-Zx п2 /2 к).(1.6)

л = 1

Поскольку имеет место разложение Vк2 -гг = к - V2 п2 (к2 -Vs м4/Аг4 + + Чгеп6 )к6*то

N

U(х, у) - V (х, у) exp (ikx) ~ S ап sin (му) [exp (Zx \/к2 -п2 ) - « = 1

N

— exp (ikx - ixn2 )2к)^ ~ 5 ап sin (му) exp \ikx и4/(8 Аг4)].(1.7)

Разность (1.7) мала при условии Агхм4/(8 Аг4) < 1. При этом в фазе exp (ix\fk2~^n2') ~ exp [ZArx - (м2 /2 к2) ikx + (м4/8 к4) ikx^ мы допускаем ошибку Еп порядка (м4/8 Аг4) Агх. Полагаем ехр [—ZAtxm4/(8 Аг4)] - 1 ~ ~ - ikx п4/(8 к4). Если

и4 (к4 <N4 (к4 = е2, то Еп = Епу = У8 кхе2.

Даже в этом простом примере мы сознательно завысили ошибку, предполагая, что вся волновая энергия сосредоточена в одной моде TV-го порядка. В более реальном случае можно предположить, что волновая энергия равномерно распределяется по всем модам. Тогда3 1 лг м4 1 кх _1 кх N5 кхе2

Е^К < — 5 кх—-= 2 м4-=.(1.8)

пу Nn=x 8к4 N S к4N 8к4 540

Кроме ПУ можно рассмотреть еще уточненное параболическое уравнение (УПУ). Запишем (1.4) в виде /19 \

2ikl\ +-^Uv =0.(1.9)

Раскладывая в ряд оператор ^1 +2 ikUx + Uy у — ——- Uyyx = 02 tkи его решениеU(х. У) =5 ап sin (пу) ехр | - -п= 1\эNп^*13 Для больших N [35] S ns ~ п = 15 + 11 Э \ ,1 э) 1 = 1 -+ ..., имеем УПУ2 ik Ьх/21к Эх(1.10)ixn2\2к(1-п2!4к2))(1П)Раскладывая в ряд оператор ^1 +2 ikUx + Uy у — ——- Uyyx = 02 tkи его решениеU(х. У) =5 ап sin (пу) ехр | - -п= 1\эNп^*13 Для больших N [35] S ns ~ п = 15 + 11 Э \ ,1 э) 1 = 1 -+ ..., имеем УПУ2 ik Ьх/21к Эх(1.10)ixn2\2к(1-п2!4к2))(1П)

Раскладывая в ряд оператор ^1 +

2 ikUx + Uy у — ——- Uyyx = 0

2 tk

и его решение

U(х. У) =5 ап sin (пу) ехр | - -

п= 1\

эNп^*1

3 Для больших N [35] S ns ~ п = 15 + 1

1 Э \ ,1 э

) 1 = 1 -+ ..., имеем УПУ

2 ik Ьх/21к Эх

(1.10)

ixn2\

2к(1-п2!4к2))(1П)

Раскладывая в ряд оператор ^1 +

2 ikUx + Uy у — ——- Uyyx = 0

2 tk

и его решение

U(х. У) =5 ап sin (пу) ехр | - -

п= 1\

эNп^*1

3 Для больших N [35] S ns ~ п = 15 + 1

1 Э \ ,1 э

) 1 = 1 -+ ..., имеем УПУ

2 ik Ьх/21к Эх

(1.10)

ixn2\

2к(1-п2!4к2))(1П)

п2п21 /I41 пъ

Поскольку— = +- - + ...ТО

2к2 (1-п214к2)1k28 кА32 к6

= кхе3,= кхе3.

32упу 32-7

Теперь перейдем к сетке с шагом / по оси у (Nol = я) и с шагом h по оси х и рассмотрим различные схемы на сетке: явную схему (ЯС), схему Кранка-Никольсона (КН), обычной (ЯС3, КН3) и повышенной (ЯС5, КН5) точности, т.е. при аппроксимации производных на трех и на пяти узлах сетки.

Прежде всего отметим, что вместо собственного значения дифференциального оператора д2/^^2 мы имеем следующее собственное значение (—4/Z2) sin2 («Z/2) (и = 1,2 ... No) разностного трехточечного оператора:

L2U(у) = [I/ (у + Z) - 1 U^y) + U (у—Z)] /Z2.

Таким образом, при введении сетки по у с шагом Z и аппроксимации второй производной конечной разностью приходится аппроксимировать дискретную функцию п2 функцией 4 Z~2 sin2 (rill 2) на интервале 1 < п < nQ (NqI = л) или на меньшем интервале Kn<N<No, где TV — число учтенных и

нормальных волн. Обозначим £ = — . Тогда имеем

No

fo = n2/N% = $2,

/1 = —4 л"2 sin2 £л/2 = 2 л-2 (1—cos ^л) = ^(|),

=4/з ^(П - Va [ */4^(2 §)],(1-12)

А = Wiо 103 - 6АО [ */41(2 О] + *А о[ V» t (3 01,

Г4= “As^)- 28/э5 [V4 ^(2 01 + 8As[V9 ^(ЗЩ.

Функции /о-Га приведены на рис. LL Формула для /2-/4 получена в соответствии с правилом многоточечной аппроксимации второй производной по методу Ричардсона [74]. Например, для пятиточечной аппроксимации (функция/2)

С/зЦ-1^ LX^U (у)=4 /зГ2[и (у + 0+ и (у-Г)-2 и (у)] -

-[Г2/(4-3)] [[7O + 2/) + t/(y-2Z)-2l/(»].(1ЛЗ)

Погрешность аппроксимации параболы /0 = я2/^о = £2 функциями /1-/4 будет тем больше, чем ближе к правому концу интервала п, т.е. при £ ^1. Если же N < Nq и N2 (к2 = е < 1, то, например, для /2 имеем

А = % [(2/Z2) (1-cos nZ)] - У, [(1/2 Z2) (1-cos 2«Z)] ~

~n2+n6Z4/30.(1.14)

Следовательно, погрешность в фазе будет

txxjk2-^г-п2)^1кх - [(/2-^2)/2 ^2] ikx,(1.15)

Ei.s = [W6Z4/(30 • 2 А:2)] кх = [TV6f(k6 • 60)] (kl)4x = (e3/60) (kl)4x.

Для явной схемы, рассмотренной ниже, значение к! ограничено снизу 84

kl>2. Это позволяет оценить величину ошибки согласно (1.15). Если же предположить равномерное распределение энергии по всем модам, то для пятиточечной схемы будем иметь

£zp5aBH = (е3/60 -Т)(к1)Чх.(1.16)

Например, при kl = 2, е = 10~2 (20„ =12°), к = 102, х = 102 имеем Е) 5 = = 1/40, ЕДавн ^0,005.

Конечно, многоточечная аппроксимация Vyy нам необходима в ПУГ при использовании явных схем (ЯС), для которых kl > 2, к > 0. Рассмотрим ЯС для ПУГ (1.14)

VAX ^ЦуА К (х, у) + 2 ik (И<х + h,y) - V (x-h, у)) Щ2Н) = 0,(1.17)

где£^ х, L] - разностные аналоги вторых производных по хи по у. Полагая, что зависимость от у п-й нормальной волны имеет вид sin ну, а зависимость от х ехр(7к„х), из (1.17) находим характеристическое уравнение

(-Ik/h) sin Knh — (4/h2) (Knh/2) - (4/Z2) sin2 (nl/2) = 0(1.18)

или

sin Knh =an + bncosKnh,(1.19)

an = (-2 kh/k2l2) sin2(«Z/2) - l/(^7z), bn = \jkh.

Чтобы корни Knh были вещественными, необходимо а2п< 1 + b^. Откуда следует неравенство

kh0 < kl ^k2l2,4- 1',(1.20)

имеющее смысл только при kl> 2. Поэтому схема (1.17) устойчива только при kl>2. В то же время из (1.20) следует, чтоh<h0) где h0 определено равенством (1.20).

а Понятно, что улучшить аппроксимацию в (1.17) второй производной Ухх можно просто уменьшая шаг h. Однако при этом мы проиграем в скорости. Если же мы хотим повысить точность, сохраняя примерно прежним объем вычислений, т.е. оставляя шаг h большим h^hQ, то можно аппроксимировать Кхх на 5, 7 и т.д. узлах по формуле Ричардсона [74].

В однородном волноводе ’’гладкость” среды по координатам х и у одинакова. Поэтому при многоточечной аппроксимации производных следует в первую очередь принимать во внимание изрезанность самого волнового поля по х и по у. В неоднородном волноводе многоточечная аппроксимация позволяет повысить точность в зависимости от того, по какой из координат ’’гладкость” среды выше. В слоистых волноводах среда является более гладкой вдоль оси волновода. Это и предопределяет выбор разностной схемы.

Улучшение аппроксимации вдоль оси волновода по х по формуле Ричардсона нам будет особенно необходимо при использовании неявной схемы — схемы Кранка—Никольсона (схемы с усреднением). Для ПУГ схемы КН имеет вид

2 /Л (1/2 Л) [7(х + /г,^)- V\x-h,y>j\ + 72 ЦyV (х + h, у) +(1.21)

+ 72 L 2 К (x-h, у) + 72 к2 е<°) V (х + h, у) + 72 к2 е<°) •

• у (x-h, у) = 0,

где в исходное уравнение Гельмгольца (1.1) мы прибавили некоторую постоянную величину к1 eW. Полагая в (1.21) V (x + h,y) -Л11 V (х, у), приходим для величин Л = Л„ к следующему характеристическому уравнению:

(1.22)(1.23)(1.22)(1.23)Л (1 + ip + 7р2 ) + Л 1 (1 - ip + 7р2 ) - 2 = О, где p = kh, 7 = 1/2 е^0) - я2/(2 £2). Находим корни (1.22)

(1.22)

(1.23)

(1.22)

(1.23)

1,21 + zp + ур2

Сразу видно, что для любых у, т.е. для любых е^°\ п, I (если п2 ^4/~2 sin2 (и//2)), при р > 1 под корнем стоит отрицательная величина и | Л1>2 I = 1- Процесс вычисления по схеме КН (и сама схема) устойчив при любом шаге I сетки по у, но только при условии kh > 1. Если же потребовать, чтобы величина под корнем была отрицательна для сколь угодно малых значений p-kh, то имеем р2 (— 1 + 2 7) < 0. Отсюда 2 7 > -1, что при е^ = 0 дает 4 (kiy2 sin2 (nil!) < 1, т.е. прежнее условие к! > 2.

Для оценки точности схем ЯС и КН в зависимости от шага h (считаем, что шаг I по у или многоточечная разностная схема по у выбраны так, что — п2 = Э2/Э^2 с достаточной точностью) рассмотрим разложение корня к„ в (1.18) по степеням/?. Запишем (1.18) в виде

Л (1 + ?р) + Л-1 (1 —?р) — 2 + 2 7р2 =0, (1.24)

где

Л = exp (Unh\ p-kh, 27 = -4 (кГуг sin2 (nl (2)^ 2 70 = -п2(к2.

Находим

1 -р2 7 ± i \/р2 (1 +27)—р72

Л-.= =[7^'(125)

Величина под корнем положительна при условии р2 <(1 +27/72), т.е. должно быть |27l < 1 или kl>2. Сразу же находим другое условие:

kh <7-1 V1 +2Т,= % k2l2 Vl-4/^2/2)^ kl>V г/4 k2l2-Т,

т.е. условие (1.20)

Чтобы оценить ошибку, воспользуемся следующим разложением фазы Л (р) по степеням р4:

Л(р) = exp (iap + ibp3 +...)= 1 + iap + ibp3 —(ар + bp3 )2 — -

ia3p3 a4p4(1.26)

+ + ... 3!4!

Подставляя (1.26) в (1.24) и удерживая необходимое число членов, имеем

ReRe1 + йр + ibp3 - — (ар + bp3)2 -1 + йр + ibp3 - — (ар + bp3)2 -ia3p3 a*p*3!4!ia3p3 a*p*3!4!(1 + ipV(1 + ipV(1-27)(1-27)

Re

Re

1 + йр + ibp3 - — (ар + bp3)2 -

1 + йр + ibp3 - — (ар + bp3)2 -

ia3p3 a*p*

3!4!

ia3p3 a*p*

3!4!

(1 + ipV

(1 + ipV

(1-27)

(1-27)

- 1 +p27 = 0

(1.28)(1.28)2 /° \ 4 ( Q“ \

(1.28)

(1.28)

p (7 - a -— |+p4 I— - b -ab + — 1=0. \2 /\4!3!/

Откудад = До = — 1 + V1 + 27'— 7,Откудад = До = — 1 + V1 + 27'— 7,— 73. 3!— 73. 3!Поскольку 7~7o =-п2Д2, то exp (ipa) = (-ikh + h ^k2-^), просто точное решение У Г при x = h. Следовательно, член Ьр3 - ошибкаПоскольку 7~7o =-п2Д2, то exp (ipa) = (-ikh + h ^k2-^), просто точное решение У Г при x = h. Следовательно, член Ьр3 - ошибкаe3k3h3Ear = ЯСз 6-8e3k3h3Ear = ЯСз 6-8(ekh?Т. г^равн _ Л—IV fv, Zv ГТIV IV .ЯСз 42-8(ekh?Т. г^равн _ Л—IV fv, Zv ГТIV IV .ЯСз 42-8(1-29) т.е. это искомая(1.30)(1-29) т.е. это искомая(1.30)

Откуда

д = До = — 1 + V1 + 27'— 7,

Откуда

д = До = — 1 + V1 + 27'— 7,

— 73. 3!

— 73. 3!

Поскольку 7~7o =-п2Д2, то exp (ipa) = (-ikh + h ^k2-^), просто точное решение У Г при x = h. Следовательно, член Ьр3 - ошибка

Поскольку 7~7o =-п2Д2, то exp (ipa) = (-ikh + h ^k2-^), просто точное решение У Г при x = h. Следовательно, член Ьр3 - ошибка

e3k3h3

Ear =

ЯСз 6-8

e3k3h3

Ear =

ЯСз 6-8

(ekh?

Т. г^равн _ Л—

IV fv, Zv ГТIV IV .

ЯСз 42-8

(ekh?

Т. г^равн _ Л—

IV fv, Zv ГТIV IV .

ЯСз 42-8

(1-29) т.е. это искомая

(1.30)

(1-29) т.е. это искомая

(1.30)

Рассмотрим теперь ЯС при пятиточечной аппроксимации Ux, Uxx по формуле Ричардсона

4/з Wxxlh- 7з WxxAah + % [2 IkVxAh -

-7з l2ikVx]2h+£3yK=0,<L31)

где в скобках заключены производные, которые аппроксимируются на сетке с шагом h и 2h . Полагая V (х ± h, у) = A11 V (х, у\ V (х ± 2 к, у^ = = Л±2 V (х, у^ из (1.31) получим для Л уравнение уже четвертого порядка

4/3 [(Л + Д-*-2)/Л2] - 7з [(Л2 + Л”^-2)/4 А2 ] +

+ 4/Л/3 [(Л—Л-‘)/А] — ik(3 [(Л2 —Л"2)/2й] + 2£27 = 0.(1.32)

Воспользовавшись снова разложением

Л(р) = exp (iap + ibp3 + icp5) = 1 + tap + ibp3 + icps + ...,(1.33)

где p = kh, легко находим a = aQ = -1 + V1 +27,* b = 0, c 7^/5!. Откуда

Еяс. = [(^e)5/(120 25)] кхэ Е^н = [(^e)5/(l 1 • 120 • 25)]^x.(1.34)

Вернемся теперь снова к схеме КН (1.21) и характеристическому уравнению (1.22). Используя разложение (1.26), находим а = aQb = 1/6 73. Следовательно,

(1-35)(1-35)(khe)3k3h3€3

(1-35)

(1-35)

ЕКн ="”кх; =кх.

КНз 6-8 КНз 6-8.7

Схема КН при пятиточечной аппроксимации Vxx будет отличаться от ЯС (1.31) только тем, что последний член Цу Vtx.y) в (1.31) надо заменить на такое выражение:

% L2,y [ 72 V(x + h,y)+ 72 v (x-h, у)] - */з L2l y [ */2 v (X + 2 h, у) +

+ 7з V(x-2h,y)L

Используя ряд (1.33), приходим к значениями = tz0, b = 0,с = 75/5!, откуда следуют оценки FKH F^H, совпадающие с (1.34). Графическое изображение этих оценок представлено на рис. III. 1.

Чтобы не усложнять изложение, мы взяли простейший случай волновода, в котором к = const. Если к2 -к1^-^ (1 + 6 р (у)) , т.е. волновод слоистый, то разность к2—и2 надо просто заменить на Хп - собственное значение соответствующей дискретной (Л7 = л) задачи Штурма-Лиувилля, а 6 - на (XN-ko)lko.

Таким образом, если мы имеем У Г с коэффициентами к2 [1 + е^ (у)]. О < i < 1, то воспользуемся разложением

-(к2-хп^ку

Находим решение ПУ

V (х, у) = ^ап фп (у) ехр \—гкх <к2-Хп^^1 к2)],

где Хп^п — собственные значения и собственные функции задачи ШЛ. Ошибка Е = кх (к2 —Хп)2/(8 кА)<кх кАе2 )(^>кА) = кх в2/8. Конечно, при гипотезе о равнораспределении энергии по модам оценки сделать сложнее. Необходима асимптотика Хп.

Ошибка растет вместе с ростом угла 6п = 6 . Нас будет интересовать случай узкого угла ±0, но не обязательно с биссектрисой вдоль оси волновода. Рассмотрим снова простейшее ПУ. Пусть нас интересуют углы вблизи 0„о (sin0„o =По(кУ В уравнении Гельмгольца Uxx^Uyy -t-k2U = 0 сделаем замену U = V exp (ikox). Тогда имеем ПУГ Vxx + 2 ik0 Vx + Vуу + + (&2-k^V = 0. Точное решение его

V = 2 ап sin (fry) ехр (гк \^к2—пу—гкок^.(1.35)

Пусть к0 =Vk2-Ho. Тогда вблизи п^п0 можно воспользоваться параболическим уравнением 2 гк0 Vx + Vyy + (^2-^о) V= 0. Имеем его приближенное решение

V= 2 ап sin (ну) ехр [z&ox ^2—ко-п2 )/(2 &о)1 •(1.36)

Оценим разность И—К. Полагая и = и0 + 8„, где 8П — малая величина, квадратом которой можно пренебречь, находим

^/к^—п1' = V^2-(^o + 5П)2 ^хЛ^-По-^ =

= V^-Ио х/Т^2Й8/(Р^й^ ^£0(1 - п0Ьп/к0 - Ио5^/2 ^о-(1.37)

Тогда

У-К~1-) S sin (и0 +6„)70sin(n0 +5„)ехр [кох п2 6^/(2^)]. (1.38)

Полагая 8„ = т, т = 0, ±1,... ±т0 (т0 <и0) , можно оценить ошибку в (1.38) в зависимости от величины угла 5 = тй(к. Заметим, что в данном примере гипотеза о равнораспределении энергии по модам не даст значительного уменьшения ошибки, так как параметра входит в (1.38) в экспоненту всего лишь в квадрате. Однако если предположить, что — mQ <т<

<^о, и разложить вблизи и = л0 величину sin Qiy^ sin (му) = V2 [sin (у + уо) - - sin (у-у о)], то мы получим в первом приближении

V-V = Аох 2 т3.

-т0

Ввиду нечетности целочисленной функции под знаком суммы член порядка т3 исчезает. Поэтому У-У^А^О^, где 0Шо — величина узкого угла, внутри которого учтены нормальные волны, распространяющиеся вблизи угла sin 0О = п^/к. Были выполнены вычисления, которые полностью подтвердили полученный порядок оценки. Аналогично если вместо ПУ взять уравнение повышенной точности УПУ, то мы будем иметь ошибку либо порядка 0^о, либо 0^о.

Все эти приближения можно назвать приближениями узкого угла, биссектриса которого расположена внутри заданного широкого угла. Так как задача линейна и все поле в волноводе аддитивно складывается из компонент пространственного углового разложения поля на источнике (или вблизи его) в интеграл или ряд Фурье, то это обстоятельство открывает возможность более точного решения задачи методом ПУ в любом широкоугольном приближении. Считая, что компоненты группируются в несколько групп нормальных волн, которые излучаются каждая внутри своего достаточно узкого угла, полагаем

U= Voeik»x + У^х + ... + vseiksx,

где функция U по-прежнему удовлетворяет У Г, а компоненты Ко, ^i ... ^удовлетворяют каждая соответствующему ПУ внутри достаточно узкого узла.

В связи с тем что разбиения на аддитивные компоненты по углу справедливы в любых волновых линейных задачах, такой подход справедлив в случае слоисто-неоднородных и нерегулярных по трассе волноводов. При этом надо выделить узкий угол 0 , величина которого входит в оценку допускаемой ошибки и другой узкий угол 0, в котором задана соответствующая компонента поля — группа нормальных волн. Если волновод

является нерегулярным, то в процессе прохождения трассы эта группа волн ’’расплывается” по всему углу, определяющему величину допустимой ошибки. Понятно, что ’’заполнение” всего угла 6 волнами определяет тот момент вычисления поля, когда поле становится необходимо снова разложить на аддитивные компоненты внутри соответствующих углов 6п.

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ОШИБКИ И УВЕЛИЧЕНИЯ ТОЧНОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Контроль точности при вычислении полей самыми разнообразными методами является важнейшим условием широкого применения этих методов. Правда, иногда контроль точности представляет собой более сложную задачу, чем получение самого приближения. Найти границы применимости метода бывает гораздо сложнее, чем просто провести вычисления. Так, например, оценка применения метода ВКБ, лучевого приближения, различных асимптотических разложений практически и не делается, так как это очень сложно, требует большой гладкости границ, коэффициентов в уравнениях. Оценка применяемости МНВ, широкоугольного ПУ в неслоистых волноводах, в клине тоже не делается. Получить ошибку приближения всегда сложнее, чем ’’обсчитать” само приближение. Метод сеток, метод конечных разностей среди всех приближенных методов являются исключениями: оценить ошибку, уточнить результаты, найти границы применения сетки или схемы можно тем же самым алгоритмическим сеточным путем, которым считается поле. Можно выделить ряд отдельных этапов контроля точности и уточнения результатов.

Необходимо контролировать с какой точностью удовлетворяется само исходное дифференциальное уравнение - волновое, Гельмгольца, параболическое — тогда, когда функция, характеризующая поле, задана (вычислена, измерена) в дискретном семействе точек, например в узлах некоторой сетки.

Необходимо контролировать однонаправленность поля в регулярной части волновода, в которой поле должно состоять только из уходящих волн, если в направлении от излучателя нет нерегулярности в волноводе и на бесконечности нет источников.

Требуется контролировать условие на самом источнике в зависимости от того, характеризуется ли он функцией, стоящей в правой части уравнения, или функцией, заданной в качестве краевого условия.

В случае фильтрующих свойств волновода, особенно для достаточно протяженных трасс, когда часть волн или лучей уходит из канала, рассеивается и поглощается, их можно не учитывать при вычислении. Для приближенного устранения этих волн можно использовать направленные источники. Если же необходимо более точное описание волновода как пространственного фильтра волн, то можно вводить ’’околоволноводное” пространство. Попадающие в него волны исключаются из рассмотрения посредством ряда алгоритмических процедур.

Если сеточный алгоритм и разностная схема позволяют мельчить сетку, то контроль правильности вычисленного поля можно осуществлять по стабилизации вертикальных и горизонтальных разрезов поля при достаточно мелком шаге.

После вычисления поля в регулярном волноводе, используя его численные значения на сетке, можно найти продольные волновые числа и собственные функции задачи ШЛ. Эти величины проверяются путем подстановки в само уравнение ШЛ. Поле вычисляется также суммированием нормальных волн.

Остановимся на некоторых из перечисленных вопросах. Рассмотрим методы контроля на ряде примеров.

Конечно явные и неявные схемы с аппроксимацией Vxx, Vyy не на трех, а на пяти соседних узлах можно использовать не только для получения более точного решения. Пятиточечные схемы пригодны для контроля точности значений поля на сетке, вычисленных с помощью трехточечных схем для производных. Это трехточечное поле подставляется в пятиточечную схему. Результат при этом, естественно, отличен от нуля. Его можно перенести в правую часть дифференциального уравнения. Тогда ’’невязка” в пятиточечных схемах, т.е. правая часть уравнения, даст величину ошибки. Если же теперь снова решить это уравнение уже с правой частью (со знаком минус) аппроксимируя дифференциальные операторы трехточечной схемой, то можно уменьшить ошибку. Поясним этот универсальный метод контроля и повышения точности на простейшем примере.

Рассмотрим уравнение у” (х) + к2 у (х) = 0 и его частное решение у (х) = = exp (ikx). Вводя сетку с шагом И и аппроксимируя у" (х) по трехточечной схеме, получим решение у (х) = exp (/кх), где cos кН = 1 — х/2 к2 h2. Чтобы оценить, какую ошибку мы при этом допускаем, подставим полученное решение ехр (гкх) в у” (х) + к2у (х) = 0 при пятиточечной аппроксимации производной по формуле Ричардсона:

%1Н^)+)'М)-2)'№1- (2.1)

- */з [У (* + 2Л) +у (х-2й) - 2у (х)] /4 А2 ] $ + к1 у (х) = Е.

Справа в (2.1) стоит ’’невязка” — искомая ошибка Е. Находим Е = к2 (кН)2 (12. Величину (кН)2,12 можно отнести в правую часть уравнения. Тогда она будет характеризовать амплитуду некоторых ложных ’’источников”, возникших вследствие разностной аппроксимации.

Можно также положить £раз = &2(1 - к2Н2)\2), т.е. отнести величину Е к неточности задания коэффициента в исходном уравнении, например скорости звука с в этой или в более сложной волноводной задаче. Оценка сраз — с Для пятиточечной схемы в случае ПУГ дает сраз - с — 10 "4, что соответствует точности измерений с.

Найдя Е = Е (х) (а в более сложных задачах - Е (х, у)), можно положить

у"(х) + к^у^ = —Е. (2.2)

Это позволит на следующем этапе вычислений по трехточечной простой схеме по прежней программе значительно уменьшить ошибку. Такой путь контроля точности и уменьшения ошибки является универсальным. Он годится для любого из рассмотренных в книге уравнений и для схем с любым количеством узлов. Например, можно проводить вычисления производных по пятиточечным схемам, а контроль точности осуществлять по семиточечным. Тогда оценки дают еще на два—три порядка меньшую погрешность. Получаемую при этом невязку можно отнести либо в правую часть

Рис. III.2. Горизонтальный разрез поля в слоистом волноводе глубиной 5 км при частоте 25 Гц

1 — трехточечная ЯС, 2 — МНВ

46810127^16/8 Л, км

111111111

Рис. Ш.З. Мелкое море (глубиной 200 м)

1 — неявная схема с усреднением, 2 — МНВ

уравнения (ложные сеточные источники поля), либо к неточности определения коэффициентов уравнения.

Приведенные методы были применимы для самых различных классов волновых задач, которые решаются методом сеток. Приведем примеры расчета поля точечного гармонического источника в слоисто-неоднородном акустическом волноводе для модели (рис. III.2) глубокого океана — 37 распространяющихся нормальных волн в водном слое, на глубине 5,579 км, лежащем на жидком однородном полупространстве и для модели мелкого моря (рис.Ш.З) —две распространяющиеся нормальные волны в водном слое, на глубине 200 м, с учетом жидкого поглощающего грунта. На рис. 3.2 и 3.3 представлены для сравнения кривые спадания уровня поляР в зависимости от расстояния на заданном горизонте гР (глубина источника z 0 ), вычисленные по явной трехточечной разностной схеме для двухслойной

модели плоского волновода — кривая 7 и по методу нормальных волн (см. рис. Ш.2, по программе В.Д. Крупина z0 = 253,9 м, zP = 865,5 м; рис. Ш.З -поарограмме В.В. Бородина z0 = zP = 170 м) - кривая 2. Расчеты проводились для частоты 25 Гц, соответствующие профили скорости звука даны на рисунках.

Универсальный метод контроля сеточных уравнений основан на использовании аппроксимирующих схем повышенной точности и применяем во всех рассмотренных нами задачах. Конечно, когда свойства среды и поля более медленно меняются вдоль оси волновода, чем в его сечении, тогда основную ошибку вносит изрезанность поля по вертикали. Эту ошибку легко оценить и проконтролировать, используя предложенный метод. В тех же случаях, когда волновод является нерегулярным, ось канала резко меняет глубину или упирается в одну из границ, волновод переходит в клин и изрезанность поля в горизонтальном направлении увеличивается, тогда метод контроля лучше применять для производных Vxx, Vx поля вдоль осих.

Наконец, как мы видели раньше (см. гл. i и [47, 54]), используя метод выделения спектральной полосы и метод регуляризации, можно построить разностную схему, позволяющую осуществлять решение начальной задачи на сетке со сколь угодно мелкой ячейкой (/ -^0, h ->0). При этом можно добиться высокой точности, получить совпадения с соответствующей суммой распространяющихся в волноводе однородных нормальных волн, а в случае необходимости учесть и неоднородность волн.

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ПРОХОЖДЕНИЯ ВОЛН

В волновых задачах для гармонических волн на бесконечности должен выполняться принцип предельного поглощения. В применении к волноводам он означает, что в регулярной части волновода должны быть только уходящие на бесконечности волны. Когда мы начинаем численно решать начальную задачу для ПУГ или УГ, в решении остаются только распространяющиеся в обе стороны однородные волны. Поэтому величину обратных волн необходимо уменьшить либо при задании условий начальной задачи, либо, если приходится проходить нерегулярный участок волновода, другими алгоритмическими средствами.

Один из методов устранения обратных волн из численного решения был развит в [47, 54]. Это метод последовательного прохождения волн. Поясним его суть на простом примере. Рассмотрим снова одномерную задачу, когда при х < 0 после удовлетворяет УГ Ц” (х) + к1 U(x) = 0, а при х > 0 U"(x) + ^i Ux (х) = 0. На границе х = 0 имеем ^(0) = Ux (0), ТУ' (0) = U\ (0). Образуем следующий итерационный процесс:

(ЗЛ)(ЗЛ)

(ЗЛ)

(ЗЛ)

x >0 aeik^ -^e"ikxx

-peik'x

axlik^x + ^Xl"ikix (a + «! + ... )l'k*x,

где в последней строчке записана сумма величин слева и справа. Как видно из (3.1), сначала в среде х < О мы берем одну прямую волну exp(to). Удовлетворяя условиям на границе, в среде х > 0 получим сумму двух волн odlk'x + prlklX. Второй волны не должно быть. Потому, полагая в среде х > О Ux = —№к^х, получим в среде х < О U = allkx + Ы~1*х. Так как при х < 0 волны allkx не должно быть, то, полагая при х < О U = -allkx, получим поле в среде axllkx х + &х1~'к' х. Процесс повторяем, образуя сумму всех волн в обеих средах. После несложных вычислений находим коэффициент отражения V и прохождение W

b+bx + ../ ^ V = (к-кх)!(к + кх), « + «! + ... = W=2kl(k + kx). (3.2)

Нетрудно убедиться, что метод последовательного прохождения волн сходится при условии

<к-кх)2 < 4ккХ)(3.3)

т.е. довольно в широких пределах, когда Уб < ^1/ к < 6. Этот метод, как показано в [54], обладает ценным свойством самокорректировки в процессе вычисления. Он применим к волноводным задачам, так как позволяет обходиться без условия на бесконечность.

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДЕ

Не менее сложным вопросом, чем вопрос об удовлетворении с заданной точностью самого исходного дифференцированного уравнения, является вопрос о контролируемом однонаправленном поле волн в сеточном и сплошном волноводах, а также задача выделения поля обратных волн для последующего применения МППВ. Понятно, что все это необходимо сделать на сетке, не вычисляя собственных значений и собственных функций волновой задачи. Необходимо использовать только ее решение в разностном приближении: уравнения, хорошо аппроксимирующие поля однонаправленных волн.

Рассмотрим метод выделения прямых и обратных волн без решения задачи ШЛ. Метод основан на использовании ПУ повышенной точности, справедливых для более широкого угла (точность в процессе вычисления можно повышать). Пусть в волноводе имеется известное нам, т.е. найденное разностным методом, прямыми измерениями или любым другим путем поле U, состоящее из прямых и обратных волн:

U(x)= ^„фп^е^х/^ + bnyh0(y)e~ix'^-"),(4.1)

где Х„, ап, Ьп, фп(у) — неизвестные величины. Дифференцируя (4.1) пох, находим

Ux (х) = S/V^<а^х^ -bne ~«V^).(4.2)

Взяв в качестве начальных значений U(x) и Ux(х) при некотором значении х, например х = х0 (выбор начала координат не играет роли, так как

ехр.С^о'Ао) прото фазовый множитель в ап и 6„), используя ПУ, нахо

дим

U* = 2(а„ *bnVXs^",(4.3)

Uxx = ^'VX^foi *Ь„\е,х^пъ(43а)

Uix = ^'V^^n - b^e^V^.(4J6)

Дифференцируем Ux и U^ еще раз по х:

иххх = -2Х" Van + М eix^(4.4а)

и*Хг = -SX„ [а„ - Ь„] е‘х^_(4.46)

Решая систему двух уравнений (4.4а) и (4.6) при любом фиксированном х, находим

f(y) = -SX„a„0„(y)exp(ix\A7j.(4-5)

Чтобы найти функцию Ф+ (у) = - 2ял i//„00 exp(txV^i),необходимо решить уравнение

Ф+"(у) + ^2 ОО^ОО = -^0) •(4.6)

Решая его методом прогонки при условиях Ф(0) = Ф(л) = 0, мы получаем поле прямых волн. Затем также находим поле обратных волн и, наконец, осуществляем проверку Ф+ + Ф" = U.

Таким образом на основе рассмотренного метода можно контролировать однонаправленность поля, выделять поле обратных волн, использовать МППВ и уточнять полученное на сетке значение поля.

Что касается условий на источнике, то рассмотрим У Г с правой частью Uхх + Uy у ^к1 (y)U= 8 (х). Представим его решение* в виде ряда

и = SZ>„i//„(y)exp(ixVX^), /(у) =Lan фп (у).(4.7)

Найдем связь коэффициентов ап и Ьп. Полагая

6(х) = J exp(z,^x) и t/(x) = 7 Р(у^)ехр^х>1 £,(4.8)

2л -оо-оо

имеем

^’(уП ^(yV^1^ = f(У)— .(4.9)

Если F(y) = ^«„^„(у)^ то ап(^) = (an!2ir)(X - £2). Подставляя ап(^) в интеграл и вычисляя его, обходя полюса (при £ = Vx^, имеем

м(х) = 7 F(y, OexpOtx) = S^“п х 2л(-2^ )

X Фп(у)ехр(1х\/Х^) = — 5—п^2^ exp(ixVX^).(4.10)

VXn

Если рассматривать однородное УГ t/(0) + Uw + к1 (y)Uw = 0 с условием на границе U^o\o,y) =/(у) = ^апф„, то^получим

lA^tx.yV ^ОпФп^ехр^х/х'п).(4.11)

Следовательно,

Ux(x,y) = У^Чх.уУ(4.12)

Пусть необходимо по заданной величине U^°\x, у) найти U(x,y). Тогда можно избежать интегрирования (4.12) по х, если воспользоваться соотношением

(4.13)(4.13)U^k^V = ViU^4x,yY

(4.13)

(4.13)

Интегрируя уравнение (4.13) снова методом прогонки уже по у, легко находим при любом х формулу

SX„6n'Mxp(aVX^) = -WLiVXian^nexp(b<VM. (4.14)

Окончательно получаем, что bn = an/(2z‘VX^), как это и должно быть. Понятно, что U^x, у) можно найти в одном или в двух соседних сечениях, например при х = 0, х = к. Затем, используя сеточные методы, можно решать начальную задачу и найти разностный аналог поля для 5 -источника в правой части УГ.

Как было показано в гл. I, в сеточном волноводе, когда не используются лучевые представления и нет вычисленных нормальных волн, значение поля вблизи направленного источника (а < х < к) можно связать с его характеристикой направленности по углу р (л) :

N—NN—Np(n)exp(in(y -уо)).p(n)exp(in(y -уо)).(4.15)(4.15)

N

—N

N

—N

p(n)exp(in(y -уо)).

p(n)exp(in(y -уо)).

(4.15)

(4.15)

Разложение в ряд 5 -образного локализованного источника можно осуществить либо как в однородной среде: exp \in^y - Jo)], либо по собственным функции однородного волновода: sin(wy) sin(«y0). Выбирая соответствующим образом характеристику направленности - функцию р (и), можно получить поле вдоль соответствующих ’’лучей”, т.е. максимумов р(п). Однако подобрать характеристику направленности излучателя так, чтобы волновое поле локализовалось ’’вдоль лучей”, или, чтобы волны не уходили из канала, можно только приближенно. Вследствие волнового подбарьерного эффекта просачивающиеся волны все равно будут покидать канал. Этот эффект в лучевом геометрическом приближении не проявляет себя, а в сеточном расчете поля он присутствует и может быть оценен.

Можно рассмотреть задачу, как наиболее точно задать поле на источнике, чтобы на достаточно протяженной трассе учитывать только поле в канале. К ее решению ведет следующий путь. Вначале в точке, где находится излучатель, в сечении х = 0 (ив соседнем сечении х = к) берем просто разностную 8-функцию, т.е. единичный выброс. Пусть волновод занимает полосу а < у < тг — а. Его окружаем двумя полосами 0 < у < а, тг — а < у < тг шириной а. Эти полосы считаем некоторым околоволноводным пространством, областью, попадая в которую волны уже не возвращаются в волновод, поглощаются и выбывают из игры. В программной реализации их легко устранить, обращая поле в нуль на двух соседних нормальных сечениях в околоволноводном пространстве. Затем, вычисляя поля вдоль волновода и пройдя некоторую трассу L, можно в случае необходимости снова возвратиться к излучателю, используя ту же самую устойчивую разностную схему, и получить поле при х = 0,х = к. Такой алгоритмический метод формирования необходимой характеристики направленности годится для любого источника, сосредоточенного или распределенного в среде или на границах волновода, а также для нескольких источников.

Глава ГУ

УЗКОУГЛОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ И В ВОЛНОВОДАХ

Много столетий физическая теория жила, тесно прижавшись к эксперименту. Она всегда следовала за опытом - сначала накапливались наблюдения, потом появились формулы. Но вот наступило время, когда их роли в значительной степени поменялись местами, -лидером стала теория.

В.С. Баратенковх

1. МОДОВО-ЛУЧЕВОЕ ОПИСАНИЕ ПОЛЯ В ВОЛНОВОДЕ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Рассмотрим параболическое уравнение с постоянными коэффициентами

HkVx + Vyy + (Л2 - к2) V = 0.(1.1)

Для полосы х>0,0<7<7Т оно при Г(0,.у) = /(у) имеет решение

V(x,y) = S я„ sin (л у) exp [-(-л2 + к2 -к2)/2дх].(1.2)

(«)

V(x + А) - V(x - hh

Введем сетку с шагом h по х и положим Vx . Диф

ференциально-разностный аналог ПУ имеет решение

^(х^у) = S ^8т(^)ехр(/р„х),(1.3)

(«)

где

(2x//z) sinp„A = к2к2 - п2.(1.4)

Решение (1.2) содержит под знаком суммы только экспоненты от мнимого показателя. Модуль их равен единице. Что касается решения (1.3) на сетке с шагом И, то только те экспоненты будут иметь мнимый показатель, для которых Pnh вещественно и (к2 - к2 - n2)h/2x < 1. Члены суммы с номером п, для которых Imp„ ^ 0, могут расти экспоненциально с ростом х. Ограничение величины соответствующих коэффициентов ап в разложении функции /(у) не может ограничить экспоненциальный рост. Для реализации численного решения необходимо вообще исключить экспоненциальный рост. С этой целью введем сетку с шагом I (NI = я) по у. Тогда для выполнения условия устойчивости Imp„ = 0 в случае ЯС для ПУ должны выполняться следующие два неравенства:

\к2 -к2 \И/2к < 1, \к2 - к2 — 4//2 | Н(2к < 1.(1.5)

Пусть к < к. Тогда из первого неравенства находим

h < 2к/(£2 - к2) = hx,(1.6)

а из второго

h < Ik) I к2 - к2 - 4/Z2 | = Л2.(1-7)

Барашенков В.С. Тень Вселенной // Знание - сила. 1988. № 5.

Зак. 83197

Если к2 — к2 — 4/Z2 > 0, то h2 > hx и первое неравенство(1.6) сильнее, чем (1.7). В этом случае при заданных к, к, I областью устойчивости для h будет интервал 0 <h<hx. Если же к2 - к2 - 4/Z2 < 0, то находим

h2 = 2k/(4/Z2 - к2 + к2).(1.8)

По-прежнему, если h2 > hx, то первое неравенство сильнее. Оно и определяет область устойчивости 0 < И < hx. Если h2 < hx, то 0 <h <h2.^ оптимальном случае, когда интервал устойчивости для h имеет максимальную величину, полагаем hx =h2. При этом имеем

к2 - к2 = 2/Z2.(1.9)

Явная схема устойчива при 0 < h < к12. Выбор параметров Z, к, к в явной схеме для ПУ определяет выбор шага h.

Рассмотрим снова решение разностного аналога ПУ (1.1). Воспользуемся сеткой с шагом h по х и неявной схемой Кранка —Никольсона

2/х[К(х+Л)+К(х-Л)]/2Л + K[^+(^2 -к2)^]^ +(1.10)

^Wyy + ^-^V\x-h = 0.

В квадратных скобках величины взяты при х ± к. Находим точное решение (1.10) (т.е. начальной задачи для (1.10))

V = La„sin(^)exp(/^„x),(1.11)

где

(2K//z)tg^„/z = к2 - к2 - п2.(1-12)

Сразу видно, что qn (1.12) всегда вещественная величина и что экспоненциальный рост решения (1.11) вообще невозможен ни для каких Л, п. Следовательно, он невозможен и при введении сетки по у с любым шагом Z. Схема КН (1.11) безусловно устойчива. Она работает при численной реализации на любой сетке. Поэтому теперь в отличие от ЯС можно некоторые коэффициенты ап в (1.11), (1.2) сделать малым и ап ^Еп, vj\eEn - заданные величины ошибки. Устойчивость от этого не пострадает, а члены ряда Enexp(iqnx) так и останутся величинами порядка | Еп । при любом х. Ввести ограничения на пространственный спектр функции /(у), характеризующий источник, — это значит сформировать характеристику направленности источника. При использовании как ЯС, так и схемы КН, характеристика направленности источника, т.е. значения коэффициентов ап ряда Фурье функции /(у) никак не влияет на выбор сетки в волноводе. Однако отсутствие роста всех членов суммы в случае схемы КН можно использовать при вычислениях.

Обратимся к рассмотрению проблемы аппроксимации дифференциальных и разностных решений. Решение ПУ (1.2), (1.3) или (1.11) всегда будут приближенными, так как они получились благодаря выбрасыванию в УГ (точнее, в ПУГ) второй производной Ухх. Никакими путями эту выброшенную производную уже не удается восстановить, однако можно оценить ее величину. Для этого требуется связать решения ПУ (1.1) с решением ПУГ

рхх + Икрх + руу -v^k2 - к2)р = 0.(1.13)

Представим его тоже в виде ряда

р = ^ansin(ny)exp(ixV]?^ Ьск).(1.14)

Прежде всего положим п = п0 л-т, где к2 - По = к2. Если п0 = &sinv0, то к = A:cosv0. Поэтому, задавая либо угол £0, либо номер нормальной волны п0» находим значение параметра к. Затем предположим, что п0+т0 = = k sin(£0 ± 8±). Тогда приближенно получим 8+ = 8_ = 8и

т0 1

6 ^ "— —Г" *(1.15)

кcosizg

Разложим величины \Д2 - и2 - к, (к2 -к2 - п2)^ в (1.14) и в (1.2) в степенные ряда при п = л0

х]к2 -п2 -к = Vk - «о - 2м0^ - п? - к = -(тп0 + т212)1\/к2 - л о - - х/%<2пот -vm2y((k2 - п^ + ...,(1.16)

\к2 - к - (л0 + ^)2]/2к] = (2тп0 - m2)^Vk^ ^о)-(1.16а)

Члены — тпо(\/кг - По в (1.16) и в (1.16а) совпадают. Следующие члены разложения имеют порядок т2 ^-WIxT- ^о/2(х/Р), - ти2/2\/? Погрешность Е = - «o^o/2(V)3 = Пот12к2. Если т < и0, я о <к, то ошибка параболической аппроксимации волнового поля внутри малого угла ±5 будет небольшой.

Таким образом, было выбрано узкоугловое приближение в виде поля 8-волн, т.е. волн, направление распространения которых заключено внутри угла раствора 28 ; #0 ±8. Хорошо известно, что параболическое уравнение является одним из удобных способов описывать поля волн, распространяющихся внутри узкого угла в одном направлении. Поэтому имеет смысл исследовать поля 8-волн при разностной аппроксимации узкоуглового ПУ. Сразу же заметим, что 8-волны это не лучи, хотя как те, так и другие распространяются внутри узкого угла. Скорее можно считать, что это некоторое число нормальных волн, направление распространения которых незначительно отличаются по углу. Нас интересует задача, вычисления поля 8-волн с достаточной точностью и высокой скоростью.

Узкоугловое приближение является как бы антиподом широкоугольного параболического уравнения, применение которого достаточно подробно описано в литературе [84]. Оно основано на более точном разложении оператора у к2 -л2 (или уХ^) в степенные ряды или в виде дробей. При этом точность контролируется числом членов разложения, а скорость вычисления будет та, которая получится. Понятно, что при смешивании внутри широкого угла нормальных волн самых различных направлений скорость будет сильно снижаться2. В значительной степени она будет определяться волнами высоких номеров, идущими под крутыми углами. Чтобы этого избежать и увеличить скорость вычисления, не уменьшая при этом точности, и имеет смысл ввести узкоугловое приближение 8-волн. Конеч-

но, сразу же возникает вопрос о классе нерегулярных волноводов. Для них узкоугловое приближение будет, естественно, расплываться в процессе распространения. Однако, как об этом сказано в гл. III, узкий угол 6 (9 < 5) может определять диаграмму направленности источника, а угол 5 - ошибку при используемом приближении. Как только благодаря нерегулярности волновода волны заполнят весь угол 5, необходимо использовать переразложение поля снова по 3-волнам. Частота повторения такой процедуры зависит от нерегулярности волновода и от величины 6-угла.

Рассмотрим какой величины необходимо выбрать шаг И в схеме КН (1.10) и в формуле (1.12), чтобы ошибка разностной аппроксимации имела такой же порядок, как найденная ошибка аппроксимации ПУ и ПУГ Е = ПоШо/(2к2). Пусть при п = nQ + т, qnh < 1. Тогда tg^„/z = qnh + + ^qnh^ /3 + ... Следовательно,

qn + Qnh2/(2к2) = (-2м0^ - ^2)/(2к),(1-17)

или

qn = -п^т/к - И2погп31(Зк3\(1-18)

Полагая h2 Пот1/(Зк3) = т1/(2к), находим шаг

h = ^Зк2К2топ^) = l/V^V^7O/?^7.(1-19)

Так, например, если k = 10, е = 102 = ^о = Пъ/кг (к ~к, п0 = 103),то дня устойчивой ЯС необходимо взять h = like = 10”2. Пусть m0 = 10. Тогда из (1.19) находим h ~1. Для этого примера в схеме КН шаг можно увеличить в 1000 раз по сравнению с ЯС для вычисления поля 6-волн, содержащих около двадцати нормальных волн 103-10<м<103 + 10. Направления их распространения сгруппированы вблизи угла $ = 0,1 рад. Они образуют некоторый луч, выходящий из источника3. В другом примере положим к = 10s, е = 10"2, кяс = 10"3, т0 = 10. Находим hKH>& ~ 10. Здесь шаг можно взять уже в 104 раз больше, чем в ЯС. Поэтому, если даже разбить все поле, состоящее из 104 нормальных волн, на 500 групп 6-волн по 20 нормальных волн в каждой группе, идущих вдоль соответствующих лучей, то вычисление волнового поля 6-волн потребует времени в ~20 раз меньше, чем при использовании ЯС.

Таким образом, путь вычисления поля состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо выбрать величину т^, т.е. ширину 6-лучей - число нормальных мод поля 6-волн. При этом обеспечиваем необходимую точность Е ^т2 По/к3. Например, при т0 = 10, Ио/^2 = 10”2, к = 104 имеем Е = 10”4. Во-вторых, используя схему КН, можно значительно ускорить вычисление поля 6-волн по сравнению с ЯС. И в-третьих, суммируя поля 6-волн, вычисляем не лучевое приближение к полю, а само поле. Тем самым удается избежать всех трудностей классического лучевого приближения: устранить особенность лучевого приближения при вычислении поля на каустиках, рассмотреть проникновение волн в область геометрической тени. Хорошо известна также неэффективность ЛМ для дальних трасс и нерегулярных волноводов. Эти трудности ЛМ давно уже пытались обойти

с помощью приближения узких гауссовых пучков. Но даже гауссовые пучки волн все равно приходилось вычислять в приближении ЛМ. Рассмотренное приближение узких пучков 8-волн на основе МКР и метода сеток позволяет упростить и ускорить вычисление полей.

Если углы выбраны достаточно часто так, что изменение поля 8-волн от угла к углу незначительно, то приближение 8-волн просто соответствует некоторому ’’прореживанию” полного волнового поля. Зная коэффициент прорежения D, т.е. отношение всей суммы 8-углов к полному углу, внутри которого распространяются волны, можно получить полное поле просто умножением вычисленного поля на постоянную величину, равную D"l = -const. Конечно, весь угол может быть достаточно широким, 8-волны могут взаимодействовать с границами волновода, на которых отражаются и рассеиваются .

Преимущества такого метода численного моделирования и описания полей очевидно. Он является синтезом лучевых, модовых и конечно-разностных представлений. Наглядность, высокая точность и скоробь, удиост- во графического отображения результатов расчета на экране дисплея, эффективность графического моделирования — все это существенно для метода. Наиболее полно его преимущества раскрываются в процессе решения задач различных классов. Перейдем к рассмотрению двух классов таких задач — гармонических полей в волноводах, заполненных неоднородными средами, и негармонических полей звуковых импульсов в волноводах.

ПОЛЕ 6-ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим ПУ с коэффициентом ^р(у) > 0 в полосе х > 0,0 < j < я

likVx + Vyy + &2е^(у) V = 0.(2.1)

Пусть источник расположен в начале полосы при у0 = тг/2,л: = 0. Функцию ^(у) возьмем такой, чтобы ^(я/2) = 1, ^(0) = ^(я) = 0, т.е. чтобы в середине полосы волновое число к1 (1 + е<р(у)) было максимальным, а скорость звука - минимальной. Рассмотрим, как пойдут лучи, выходящие из источника под разными углами х- По закону Снеллиуса со$х(у)^(у) = const, т.е. cos2 хСу)(1 + el00) = const = cosxo(l + Ю, гДе Хо - угол выхода луча из источника. Следовательно,

COS2 X (у) = COS2 Хо (1 + е)/ [ 1 + е^(у)] •(2.2)

Для граничного луча, который касается границ у0 = 0, у = я. имеем cosxfcO + 0 = 1,т.е. cos2x* = (1 +е)"‘,

cos2 XfcOO = 1/[1+6100L sin2Vzfc = e^(y)/[l + e^(y)].(2.3)

Пусть .у = г = г (г) — траектория граничного луча. Тогда

dy

г = ,

tgxOO

у dyу dyу 1

^0 tgXfcCr) у о Ve^OO" у о V«2(v)(l +е)-1 ■

У1*

= со$Хо I гл, :=^=. dy,(2.4)

У о V« W-cos Хо

что совпадает с известной формулой луча.

Теперь рассмотрим ”луч”, соответствующий 5-волне. Этот луч, или соответствующая ему нормальная волна номера п, выходит под углом ^ь: sin# § = п/к, затем он идет в волноводе так, чтобы в ПУ (2.1) сумма \Ууу + + к2бф^У\ = [-и2 + ^2е^(у)]^=0И обращалась в нуль вначале на нормальном сечении волновода в точке, где расположен источник, а затем и на любом сечении в точке, через которую проходит 5-луч. Сразу видно, что

(2.5)(2.5)sin2x5 = е^(тг/2) = е.

(2.5)

(2.5)

Поэтому уже на сечении источника угол \ь отличается от угла Хк^ определенного согласно (2.3), во втором порядке величины е. Тогда в процессе распространения 5-волны имеем

sin2x$(y) = ev>(j'), cos2X6 W= 1 -е^(у). (2.6)

Следовательно, для траектории у^ = г5 (х) граничного луча 5-волн ( е. луча, который касается границу = 0, я) имеем

• (2.7)• (2.7)dy V1 - е^(^)cos Хо VT^n^b^OO) dy

• (2.7)

• (2.7)

= /—, —dy = / tgx8(y) Ve^WV^CH - cos2x0

Как и следовало ожидать (2.7) отличается от (2.4). Приближенно находим

rs=r- (е/2) s ФкУ\(2.8)

Уо

Следовательно, кривая граничного луча г (у) и кривая гб луча 6-волны проходят очень близко друг к другу тогда, когда неоднородность среды слабая.

На самом деле никаких 6-лучей, представляющих собой направление распространения волн, в волноводе нет. Есть просто некоторая траектория 'бОО, вблизи которой сумма двух величин в ПУ Vyy + к2€ф(у) V мало отличается от нуля тогда, когда вторая производная Ууу в этой сумме вычисляется в точке или окрестности узла сетки в приближении описания поля локально-плоскими волнами, распространяющимися как бы в однородной среде. Параметры однородной среды в точке у характеризуются коэффициентом е^(у). Такой путь соответствует описанию слабонеодпо- родной среды в волноводе как локально-однородной.

Так можно выделять поле 6-лучей или 6-волн на уровне физического описания волновых процессов, происходящих в волноводе. Если требуется математически более точно выделить ту группу нормальных волн, для которых собственные значения д„ задачи ШЛ расположены вблизи нуля в полосе —6 < цп < 6, то это можно сделать на основании ряда математических и алгоритмических процедур.

Рассмотрим уравнение для собственных функций ф^ (у) задачи ШЛ = цп Ф^Чу), ^"ЧО) = ^w.(2.9)

Воспользовавшись методом формирования функции с заданным спектром, подробно изложенным в [47, 54] (см. гл. I), образуем на основании некоторой функции /(у), /(у) = ^а^лСО, имеющей разложение в ряд 1

Фурье

g КиФиМ 1 1 + М^Р

Видно, что при 1д„1 > 6 для достаточно больших р функция /б (у) мала. Наоборот, при 1д„1 < 5 она имеет спектральное представление в виде суммы тех компонент разложения в ряд Фурье, для которых \рп\ < 6. Понятно, что в качестве /(у) можно взять поле К(х, у) на любом фиксированном сечении волновода х = const.

Таким образом, выделение спектральной 5-полосы — это математический пддход к задаче о 5-волнах в любой среде. Здесь предположение о малости параметра е не нужно. Однако в случае, когда е мало и среда слабонеоднородная, тогда можно использовать локальное представление о плоских 5-волнах. Именно тогда можно говорить о квази-лучах с траекторией ^5 , на которой величина Vyy + ^2е^(у)И слабо отличается от нуля, при соответствующем превоначальном распределении поля на слое х = 0, т.е. в начале волновода. Конечно, это будет волна (или группа волн), идущая только под одним углом или в его малой окрестности.

Для того чтобы учесть волны, идущие под другими углами, вместо подстановки U = Kexp(f^x), приводящей ~после пренебрежения членом Vxx к ПУ (2.1), воспользуемся заменой U = Уехр(гкх), приводящей к ПУ

2гкУх + Vyy + Y^e^ + k1 - к2] V= 0.(2.11)

Меняя параметр к, как это было сделано в разд. 1, можно получить группу 6-волн, распространяющихся в узком пространственном угле, биссектриса которого наклонена к оси волновода под заданным углом.

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Исследование волновых процессов, зависящих от времени, представляет более сложную задачу, чем исследование гармонических волн. Поэтому для выяснения принципиальных методических вопросов необходимо вначале рассмотреть наиболее простые модельные задачи.

Уравнение

^ + 6^ = 0(3.1)

называется кинематическим волновым уравнением. Если дано начальное Условие

и^0)=№\(3.2)

где /(г) - финитная функция, отличная от тождественного нуля на интер-

вале (0, 7), то решением (3.1), (3.2) будет волна

U(Г, ТЙ=№ - ет?),(3.3)

распространяющаяся вдоль оси г со скоростью е = dtddri под углом tg£ = е к оси 1?.

Введем на оси т сетку с шагом lT: lTM = Т. Воспользуемся представлением и в виде дискретного ряда Фурье

М-1

“(т,т?) = 2 рр(т?)ехр(гт£Д(3.4)

р=о

1 М-1

Pp(0) = — s /(/Тд)ехр(-/т^), М д=0

где т^р = 2nivmlMf г = mlT^v = 2nv/MlT. Компонента pv(rf) ряда Фурье при введении в (3.1) сетки с шагом lT (ит) = [n(r+ZT) - и (т - 1Т) ] КД/)

будет удовлетворять уравнению

pL(t?)+ [Zesin(^ZT)/ZT]pp(i7) = O; Р^т?)!^ =р„(0),(3.5)

причем ^vlT = luvlM, 0 < v < М — 1. Если ввести сетку с шагом h по 17, то вместо (3.5) имеем уравнение

[РрО? + А) - pv(ji - Л)] /(2Л) + [ze sin(^ZT)/ZT] р^ = 0;(3.6)

решение которого находим в виде

^(т?)=Рр(0)ехр(1К17),(3.7)

где

suik/z/Zz = -е sin(^ZT )/ZT .(3.8)

В пределе, при h -> 0, находим к = -еsin(^ZT)/ZT. При ZT -> 0, к = -е^ имеем

и(г, 17) = Ерк(т?)ехр[г(т - ет?)^] =/[т - ет?).(3.9)

На этом элементарном примере волновой задачи можно продемонстрировать аппарат спектрально-разностного решения более сложных задач о волновых процессах в волноводах.

Отметим ряд обстоятельств. Во-первых, выбор шага h в (3.6) должен быть таким, чтобы величина к была вещественной. Для этого должно выполняться неравенство

eh/lT<\. (3.10)

В противном случае в (3.7) появятся экспоненциально растущие множители, которые исказят решение и приведут к неустойчивости. Если же положить ehjlT = 1, то Kv = ^vlT/h = ^е. Получаем волну u(t,ti) = f(r - erf) без всякого предельного перехода ZT -> 0, h -> 0.

Во-вторых, совсем необязательно полагать w(r,0) = /(г). Процесс, описываемый кинематическим волновым уравнением (3.1) и его разностными аналогами, а также обычным волновым уравнением в среде, свойства которой не зависят от времени, является однородным по времени. Это означает, что любой сдвиг по времени не меняет решения уравнений.

Поэтому на сетке с шагом 1Т можно положить

u5(t,O) = 8z(t-to),(3.11)

где 8z(r - т0) - единичный выброс в узле сетки при т = т0. Согласно (3.4) находим спектральное представление

1 М-1

5/(т-т0) = — S ехр(г(т - т0)1м) =(3.12)

М д=0

_ 1 1 -exp[z(T-r0)^l _ sin[(T-T0)$„/2]

М 1 - ехр[г(т - т0]$1п[(т - r0)€i/2] '

Тогда сеточная функция /(г) = f(lTm) дискретного аргумента тт = 1тт может быть представлена в виде

№) = S (/Тт)8,(т -тт),(3.13)

(т)

т.е. в виде суммы сдвинутых 8/-импульсов с соответствующими амплитудами. Поэтому достаточно решить задачу для одного 8/-импульса, например 8/(7), равного единице при т0 = 0, а решения всех других задач получаются просто сдвигом этого решения с соответствующей амплитудой и суммированием.

В-третьих, заметим, что при спектральном представлении решения и(т, 1?) в виде конечного дискретного ряда Фурье (3.4) решение будет периодическим. Вместо одной волны f(r — 61?) имеем целый ряд волн, отстоящих на оси т на период Т:

М-1

и(т^рТ,-п) = 2 ^(7?)exp(fT^+ fsT^) = v=0

= ^pv(ri)exp(ir^v -vi'l'ns^utj.TiY(3.14)

Пусть нас интересует область на плоскости т, 17 в виде угла со скошенным острием г] > 0, т = Т + ei?. Тогда в ней сначала при 0 < 1? < Т/е будет распространяться одна волна, например 5/(7-61?), если /(т) = /(7). Затем при 1? = Т/е, т) = 2 Т/е... в эту область снизу начнут вторгаться ’’ложные волны” 8/(7 - Г- 61?), 8/(7 — 2Т — ei?). Смешиваясь с волной 8/(7 — ei?), в при сдвиге по т - с волнами 8/(7 - ei? - тт), эти ложные, возникающие благодаря периодичности дискретного ряда Фурье волны исказят искомое решение разностной задачи в интересующей нас области. Все это означает, что спектральное представление зависящих от времени волновых процессов в виде конечного дискретного ряда Фурье годится только для определенных расстояний, зависящих от параметров задачи и шагов сетки. В этом проявляется существенное отличие интеграла Фурье от аппроксимирующего его дискретного ряда. Интеграл Фурье, позволяющий представить финитную функцию в виде ее спектрального разложения, этих ложных волн не создает. Но вычислить интеграл возможно только при замене его конечными суммами с соответствующим периодическим ядром.

Наконец, заметим, что, полагая в (3.1)

1/(7, т?) = И(7,1?)ехр(1&7),

можно прийти к уравнению для огибающей ^(т, т?)

Ип +еКг -НкеУ=й,(3.15)

которая заполнена несущей синусоидой exp(z^r). Используя спектральное представление для

1/(т,т?) = 2^(т?)ехр(/т^),(3.16)

приходим к уравнению

qv^iVQkeqx +zesin^ZT/ZT)^(7?) = O.(3.17)

Когда e/ZT < к, тогда огибающая достаточно плавная и может быть описана сеткой с шагом 1Т > 2тгХ, где X — длина волны несущей к = 2я/Х. При этом шаг h при разностной аппроксимации (3.17) выбирается из условия устойчивости

e^ + Z/^/zC 1,(3.18)

которе при 1Т> к переходит в условие (3.10).

В реальных волноводах существенно не только расплывание импульса с увеличением пройденного им пути, но и затухание ряда его спектральных компонент. Поэтому можно предположить, что такой ’’расплывшийся” импульс ’’потерял” некоторые спектральные компоненты, и его целесообразно описывать с более крупным шагом.

Использование переменного шага в волновых задачах вполне оправданно. На этом же достаточно простом примере рассмотрим применение сетки с переменным шагом 1Т

к^ = /т«»(1 + ец/Т) = 1?Ч1 + §„) = 1^ + ец/М, 8 = е/Т.(3.19)

Значит,

т = т0 + ет? + klT Qq^M = т0 + eq + кТ + keq,(3.20)

где к = 0, ±1,... — ’’ложные импульсы”, идущие снизу. Первый из них соответствует значению к = — 1. Для него т = т0 — Т = const, т.е. в область т > 0 ’’ложный импульс”, какой бы он формы ни был, не попадает.

Поскольку ^v = luv!(MlT), то ^vlT = 2'nv]M. Теперь, когда шаг 1Т меняется в зависимости от т?, будем искать решение в виде такой прямой волны м(т, 1?) = /[(т — ei?)/(l + 5т?) ]. Это означает, что первоначальный импульс начинает искажаться и расплывается с ростом q. Производя модельные исследования и меняя Z°,Ми б, можно дойти до такого расстояния, на котором величина lT(q) еще не очень портит одиночную волну. Если же волн много, как в волноводе, и каждая волна испытывает поглощение, то само ’’уширение” первоначального импульса, его растягивание (примерно до 1 с на каждых 100 км) и, как следствие этого, сглаживание позволяют предполагать, что растянутые и сглаженные импульсы можно описать с более крупным шагом, чем первоначальный, крутой и короткий (0,1-0,01 м) импульс, например от взрывного источника звука. Тогда предположение о сетке с переменным, зависящим от расстояния шагом вполне допустимо.-

Поскольку и (г, 1?) = Spp (i?)exp [z^r/(l + 877) ], то величины pv 00

должны удовлетворять некоторому уравнению

„ ,sin(£„ZT)

Р М + i Ф We —^pv (т?) = О,(3.21)

где Vt = ^v,M = const, ^0) = luvKMl^, № = Т/М- Неизвестную функцию 0 (i?) необходимо найти из тех соображений, чтобы решение

PvW = PpW exp [(—Z sin£° Z° / Z?) J ф W^W(3.22)

0

при малых значениях lT QT -► 0) имело вид

PvW = Pp(0)exp[-z^ ne/(l + 6т?)].

Откуда

J ФWdтl = t?/G + 5??), ф = 1/(1+ 5т?) - 8т?/(1 + 6т?)2 = 1/(1 + 6т?)2.(3.23)

О

Следовательно, в случае сетки с переменным шагом по т дифференциальное уравнение для величины^ (i?) имеет вид

Аге sin (^1^)

PvW ^-T^^PvW = 0,(3.24)

z(°\l + 8т?)2

и решение для t7(r, 17) можно представить рядом (sin?^/^)

и(т, ц) = Spp(0)exp I (Z^0)T - i —^^ ет?) G + St?)’‘ j •(3.25)

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

И ЕГО РЕШЕНИЯ В ОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ

И В СЛОИСТОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим двумерное волновое уравнение

ихх +Uyy -Co2G +e^(x,y))utf = 0.(4.1)

Для нас представляет интерес его решение в полуполосе %>0,0<^<я, удовлетворяющее краевым условиям и = 0 при у = 0, тт и начальному условию, заданному либо при х = 0 в виде и (0,^, г) = Л (у, f), либо при t = 0 и (к, у, 0) = /2 (^ У) • При изучении импульсов небольшой длительности, пока еще свойства волновода и среды не повлияли на формирование процесса во времени и в пространстве, можно считать, что как временная зависимость сигнала при х = 0 в точечном (или распределенном) излучателе, так и пространственная зависимость излученного импульса будут одинаковыми. По своей форме они идентичны. Поэтому, вводя переменную т = х- cot, можно обе эти зависимости характеризовать финитной по г одной функцией /(т, у").

Полагая в (4.1) т = х - cot, и(х, у, t) = Q(x, у,т) = У(х, у, т)е1кт, для Си V(x, у, т) имеем уравнения

(4.2)(4.2)^-Qxt ^ Qxx ^ Q-yy — €кР^> y^Qn о,

(4.2)

(4.2)

1 э

Ик Эх

1 д \

^ + Vyy + ik дт/ уу

(4.3)

, (1 э \2

+ к2еи 1 +7=0.

\ik Ьт '

Пусть волновод заполнен слоистой средой ф = <р(у). Рассмотрим для различных значений вещественного параметра а следующую задачу ШЛ:

Фа, п ^ €{Р(У)Фа,п(У) ~ ^а,п Фа, и >

0(О) = 0(а) = О,(4.4)

где Фа,п(У)1 \i и — собственные функции и собственные значения, зависящие от непрерывного параметра а и целочисленного параметра и. Тогда для слоистого волновода уравнение (4.3) имеет следующее решение:

Q(x,y, т)= f Fia^an |/'а>„0)ехр(гх7Х„ а'- iax + iaT)da =(4.5)

— ООп

= J Р(а)^апфа-П(у)ехр(1арпах-Ha^da, и

где рП1а = 1 — Д-1\АЙТ'’ ^^ ~ любая функция с интегрируемым квадратом; ап — коэффициенты обобщения ряда Фурье заданной при х = 0 функ- ции/О, т) = (2(0,У, т),

(4.6)(4.6)/О, т)= S J F(a)a^an(y)exp(ikT)da.

(4.6)

(4.6)

И = 1 — 00

Подставляя в (4.2) решение (4.5), находим

2й Ри,а — а2Рп,а + ^п,а — #2 0,(4.7)

т.е. рп,а = 1 - а Хх1^п,а- В параболическом приближении можно положить \^и,д “ х/# ^п,а — ## + ^п,а — ^ / (2<0 •

К параболическим уравнениям с зависимостью от времени удобнее перейти, используя уравнение (4.3). В случае медленного изменения огибающей И(х, у, г) в зависимости как отх, так и от т, пренебрегая вторыми производными по этим переменным в (4.3), вначале полагаем приближенно

1 +1 +э1 э v1 i эid

1 +

1 +

+^ 1 ,(4.8)

Ик Эхik Эт /Ик Эхik дт

1 э \21 + ik Эт /1 э \21 + ik Эт /(4.9)(4.9)2 Э

1 э \2

1 + ik Эт /

1 э \2

1 + ik Эт /

(4.9)

(4.9)

+ik Эт

После этого из (4.3) сначала находим

1Ик1ИкЭЭхЭЭх1 Э \ /-х -tk^V-t-Ik дт 7 V уу1 Э \ /-х -tk^V-t-Ik дт 7 V уу(4.Ю)(4.Ю)

1

Ик

1

Ик

Э

Эх

Э

Эх

1 Э \ /-

х -tk^V-t-

Ik дт 7 V уу

1 Э \ /-

х -tk^V-t-

Ik дт 7 V уу

(4.Ю)

(4.Ю)

2^2eu? ~ \

+7Т =0.ik /

Если свойства среды зависят отх, у, то в окончательное ПУ с зависимостью от времени войдет производная <рх(х, у). Для слоистого волновода

= ф(у). Пренебрегая в (4.10) второй производной VTT и производной утх, получаем уравнение

2ikVx + Vyy-№k)Vxyy-Oiik)VTyy +k2e^-(4.11)

- (k2e^/2ik)Fx + (k2e^/ik)TT = 0.

Конечно, как и точное решение (4.5) волнового уравнения для импульса в слоистом волноводе, также можно найти и записать точное решение ПУ через интеграл Фурье, собственные функции задачи ШЛ, зависящие от непрерывного и целочисленного параметров а и и. Однако объем вычислительной работы при использовании формулы для Q^x, у, т) будет чрезмерно велик. Ее нельзя использовать для вычисления волнового поля импульса в слоистом волноводе. Известно, что даже для гармонического процесса приходится ограничиться сравнительно небольшим числом собственных функций, низкими частотами. Что же касается целого семейства собственной функции ^И)а(^)> зависящей от трех параметров, то вычислить их, разместить в памяти ЭВМ, а затем вычислить дискретный аналог интеграла Фурье по а, избегая ложных волн, — задача совершенно непосильная для самых перспективных ЭВМ. Поэтому конечно-разностный подход к решению нестационарных задач в волноводе имеет принципиальное значение. Он важен не только с точки зрения расширения класса задач. Класс задач, описываемого выражения (4.5), достаточно широк как с точки зрения неоднородности сред, характеризующейся функцией кр(у), так и при рассмотрении различных форм импульса. Однако только МКР позволит достаточно конструктивно приблизиться к численному решению этого класса задач, позволяя расширить его затем на нерегулярные волноводы.

Рассмотрим пример, когда в (4.11) <р = 1 = const. Будем искать решение (4.11) в виде ряда

У, О = s <z„ sin(ny)f(T + anx)exp(iP„x),(4.12)

л = 1

где У(0,у,т) =f(r) 2 а„51п(п,^) - f(f) F(у), f (т) - дифференцируемая п-1

функция. Для точечного излучателя Е(у) = 8 (у - ,у0). Находим

кап = (и2 + к2е^к - п2,2к + к2€(2к\(4.13)

Зи = (—и2 + к2е)/(2к - п2!2к + к2е!2к).

Если 6 = 0, то 0„ = — п21(2к— n2l2kV что соответствует в случае стационарного процесса уточненному ПУ в гл. III с ошибкой £2 ~ Vsi^6/^6- В УПУ (4.11) ошибка Е — V32 (^2 " ^2^)3/^6- Это особенно важно при исследовании распространения узких импульсов в пространственно-узких Углах, когда п2 — к2е.

Ограничение простейшими разложениями операторов (4.7) и (4.9) приводит к параболическим уравнениям, для который в однородной среде <р = 1 = const импульсы, идущие по лучам, соответствующим нормальным волнам, не расплываются. В таких волноводах нет внутримодовой

дисперсии сигнала (если с0 не зависит от частоты), а есть только между- модовая, когда импульсы, пришедшие по различным путям, в точке приема накладываются друг на друга и образуют своеобразную гребенку [1, 2]. В реальных слоисто-неоднородных волноводах все ’’зубья” гребенки расплываются, сливаясь друг с другом. Благодаря поглощению спектр импульсного сигнала с расстоянием обедняется. Сам же сигнал растягивается как во времени, так и в пространстве. Поэтому его можно описать на сетке с более кру 1ым шагом, а число узлов сетки как для начальной функции /(т), так и для сигнала, прошедшего определенное расстояние в волноводе, взять одним и тем же. Рассмотрим сетку с переменным шагом в волноводе. Вначале вернемся к кинематическому волновому уравнению (3.1) и^ + еит = 0, имеющему решение в виде дискретного ряда Фурье

и(т,т?)= S Рп^ехр^^т) = 5anexp(i^„T-i^nen),(4.14)

(")(”)

причем величина рп(т() — спектральная компонента удовлетворяет уравнению

p'n(n)+eUnp„=0.(4.15)

Предполагая, что <„ = ^0) /(1 + 8т?) = ^ fm (17), где

7и(т?)= 1+817.(4.16)

Вместо (4.14) имеем

«(т, т?) = SPn(7j)exp(i^0)T/w(T))= 2 д„exp[z^°)(r - ei?)/zn(7?)].(4.17)

И

Следовательно,

PnW = е 1 х* Рп "" е 7777 '2 Рп =2/ ч Р«^’

1+01?(1+б1?)2^2(т?)

Р*п(ч)± ei^0)/m2(n)Pn(4) = 0.(4.18)

Получить уравнение (4.18) для спектральной компоненты рп (1?) нестационарного волнового процесса удалось только благодаря тому, что в решение (4.14) входила разность т — е??, от которой решение и (г, 1?) зависит. Конечно, выбор величины 5, характеризующий шаг по т для нерегулярной сетки, и оценку расстояния 1?, на котором выполняется приближенное равенство и (т, 1?) — и (т, 1?), можно выполнить только в процессе численного эксперимента, в особенности в волноводных задачах, к алгоритмическому рассмотрению которых мы перейдем.

С этой целью вместо интеграла Фурье в решении (4.5) возьмем дискретный ряд Фурье по спектральному параметру ^ и положим

Q(x,y,T) = Zp1,(x,y')e^p(i^vT) = ^^anFv^^n(y)X

Xexp(-i£ppnx + i£vr).(4.19)

Поскольку величина Q удовлетворяет уравнению (4.2), то величины pv удовлетворят уравнению

21 ^iPvx + Рихх + Pvyy + £ е* (У)Р„ = °>(4.20)

т.е. вместо волнового числа к в ПУГ (4.20) стоит спектральный параметр £г Величина рп = X — V^J^v» гДе ^n,v — собственные значения задачи ШЛ (4.14) 0 ”+ ^ eq? (у) фп = \п^п- Видно, что если раньше в (4.14) стояла в экспоненте разность т — ец, то теперь в (4.19) стоит разность т—хрп. Поэтому, переходя к сетке с переменным шагом по т и полагая ^v ~ ^ ,m<x^ m(x) = X + 6х, находим новую величину

Q(x,y, т) = ^^„Гуф^^у) exp[(-z^0)рпх + i^ г)] =

= ^Ру (х, у) ехр [ z ^0) т/т (17) ].(4.21)

Поскольку р^.у) зависит от х согласно множителю exp[-z^0^ рпх) m (х) ], то имеем

Рх = -i^PnPlm4xV рхх = (-(^0))2p2n/m4+ 2i^°'*pjm3')p.

~(4-22)

Находим, что спектральные компоненты^ (значок v опускаем) в слоистонеоднородном волноводе с нерегулярной сеткой по х удовлетворяют уравнениям

(2i^vm2 + 28m3)px + т4рхх+руу + е^(у)р = 0.(4.23)

Если спектр достаточно узкий и группируется вокруг величины к, то полагая { = k*ttV) получаем

[2z(^ + rv)m2 + 28т3\рх* т4рху+руу+ е(к + ty)2v(y)p = 0.(4.24)

При tv =0, 5=0, т = 1 (4.24) переходит в ПУГ с волновым числом к. Пренебрежение членом рхх приводит к ПУ.

Мы рассмотрели спектральные представления негармонического волнового процесса в волноводе, сведя его к сумме гармонических полей в виде (4.19), но на сетке, неравномерной по параметру т = х —cQt. Тем самым видно, что введение неравномерной сетки по г эквивалентно неравномерной сетке по х и по t. В сеточном приближении возможно искусственно создавать небольшую подконтрольную нерегулярность в волноводе. Такой прием позволяет уменьшить объем вычислений и избежать попадания в волновод ложных импульсов из-за периодичности ряда Фурье.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ В ВОЛНОВОДЕ

В ПРИБЛИЖЕНИИ 6-ВОЛН

Основные трудности при распространении в волноводе импульсов и сигналов нестационарных, негармонических волн хорошо известны. Даже короткий импульс без всякого заполнения или импульс в виде огибающей, заполненной некоторым синусоидным сигналом, расплываются в процессе распространения. Длина импульса растет пропорционально длине трассы, а первоначально заданный узкий пространственный спектр (спектр по параметру г) может расширяться по своему частотному диапазону, хотя высокочастотные временные гармоники быстро затухают. Соответственно

растут трудности адекватного представления такого расплывающегося импульса на дискретном множестве узлов сетки. Растет само число узлов, необходимых для этого, а эффективность вычисленного процесса существенно падает. Повышение числа измерений задачи и соответствующее увеличение размерности числового массива на сетке приводит к новым трудностям, имеющим принципиальный характер. Это в полной мере относится к моделированию происходящих в двумерных и трехмерных волноводах волновых процессов, зависящих от времени.

Так, например, короткий импульс длительностью меньше одной десятой доли секунды на точечном излучателе растягивается во времени, пробегая трассу в реальном подводном звуковом канале. Он, как правило, удлиняется на одну секунду, проходя каждые 100 км трассы. И если его вначале можно было описать на сетке, имеющей во времени некоторое число узлов М, то на расстоянии 100 км уже понадобится число узлов 102 М, а на расстоянии 1000 км 103 Af. Это представляет большое неудобство. Кроме того, при численном моделировании волновых полей вместо теоретического интегрального представления импульса или его огибающей используются представления в виде конечной суммы или дискретного ряда Фурье. Ядро ряда — периодическая величина, сам ряд — периодическая функция. Поэтому, учитывая периодичность ряда, приходится принимать во внимание с увеличением длины трассы опасность вторжения в волновод ложных периодических импульсов, обязанных своим появлением дискретизации задачи и замены интегралов Фурье конечными рядами с периодическим ядром. Чтобы этого избежать, надо сразу брать сетку с достаточно большим числом по времени (по т) узлов, а интеграл Фурье аппроксимировать суммой со значительным числом членов. Все это очень неудобно, неэффективно при вычислениях.

Конечно, если функция расплывается, то для ее описания необходимо либо брать больше узлов сетки с постоянным шагом, либо, если ее расплывание сопровождается сглаживанием и потерей высокочастотных компонент, то можно, ограничившись прежним числом узлов сетки, менять только шаг между узлами. Поскольку расплывание происходит как во времени, так и в пространстве (т = х — с0 f), то изменение шага между узлами эквивалентно введению некоторой нерегулярности в волноводе, связанной с неравномерностью сетки. Поэтому, хотя оба пути (спектральный и сеточный с неэквидистантно расположенными узлами) и использовались в программах, они были все же не совсем удобны при численной реализации.

Расплывание импульса в волноводе связано с тем, что волны, обусловленные характеристикой направленности излучателя, нормальные волны, лучи и другие компоненты, представляющие поле, идут по разным путям. Например, лучи, приходя в точку приема, проходят разные расстояния как в геометрическом смысле, искривляясь в среде и многократно отражаясь от границ волновода, так и запаздывают во времени, испытывая влияние областей волновода с разными значениями скорости звука. Физически ясно, что чем теснее, ближе группируются лучи, волны возле одного ’’среднего” луча, одной волны, тем меньшего расплывания импульса можно ожидать. Поэтому, если выделить такие семейства, группы лучей или волн, для которых расплывание импульса на трассе заданной длины будет незна- 112

читальным (например, двукратным или трехкратным), то для описания таких импульсов потребуется всего лишь небольшое увеличение (удвоение или утроение) числа узлов сетки. Это вполне можно предусмотреть в программе.

Конечно, введение представления о 6-волнах как о узкоугловом приближении внутри широкого угла было бы неоправданным, если бы речь шла только о регулярных, слоистых волноводах. Волновая задача как для регулярного, так и для нерегулярного волновода линейна. Это означает, что выполняется аддитивность полей любых источников. Можно сложить частные решения задач для излучателей, обладающих различными узкими характеристиками направления. Иначе говоря, ненаправленный источник можно представить как сумму направленных, излучающих 5-волн. Поле в волноводе, регулярном или нерегулярном, будет суммой полей этих направленных источников. Однако, конечно, в нерегулярном волноводе узкий пучок волн может начать расширяться. Это означает, что, если в задаче ШЛ (2.9) ^--^(х,у), то спектр функции Д(у), узкий в одних участках волновода, расширяется в других. Тогда уже не удается проводить с заданной точностью вычисления с крупным шагом h вдоль волновода. Шаг придется уменьшить, чтобы уменьшить ошибку. Хотя, конечно, сказать заранее, когда это необходимо сделать, оценить аналитически ошибку, расплывание 5-волн трудно. При программном, алгоритмическом рассмотрении такая задача выглядит более просто.

Рассмотрим пример, когда свойства волновода зависят от х. Оценим, как будет меняться траектория гб (у) 5-волн. Пусть при х < xt sin2 #§ = е, а при x>Xi sin2^1) = 6i. Тогда cos2i>6 = l-6, cos2^1^ = 1-ех. Причем по закону Снеллиуса к2 (1 + б) cos2^6 = к2 (1-е2) ~ к2 (1 -е2). Таким образом, видно, что для малых углов и для малых значений параметров 6, бх 6-волны будут преломляться так же, как и обычные лучи или плоские волны на границе двух сред. Конечно, для оценки взято одно лишь сечение в окрестности у = тг/2. Если же при х < хх среда характеризуется коэффициентом еф^у), при х>хг Ф1(у) >0, то в сечение х=хх, где согласуются два волновода, имеющие различную неоднородность по у, т.е. различную слоистость, любые плоские волны будут рассеиваться, будут рассеиваться и 6-волны. В таком случае, чтобы сохранить узкоугловую направленность, необходимо снова рассмотреть задачу ШЛ уже для области х > х х:

Функцию /г(у) (2.10) необходимо будет разложить в ряд по (^У^.а затем оставить в разложении только те компоненты, для которых I д„| < 6. Другие узкоугловые компоненты спектра необходимо будет учесть отдельно.

Вернемся к исследованию волновых процессов в волноводах. Рассмотрим снова волновое уравнение ихх + иуу — [(1 + е^)/со] utt = 0 ^Ц) = ~^^У)} которое после замены и(х, у, s) = р(х, у, т) = Vexp(z^r) , т = x-s, s = cot переходит в следующее уравнение для огибающей по х

8. Зак. 831

и по времени функции V:

191 91 Э 2

2Щ1 ++) К + К „ + Л2е^(1 +) V = 0.

2ik Эхik дтх ууik дт „ х

(5.1)

Предположим достаточную гладкость огибающей У(х,у,т) по х и по т. Тогда вторыми производными Vxx, VTT можно пренебречь, а для операторов, содержащих первые производные, воспользоваться приближениями

(5.2а)(5.26)(5.2а)(5.26)1919 -*1919

(5.2а)

(5.26)

(5.2а)

(5.26)

( 1 + — +) ~ 1 —>

2ik Эх ik дт2ik дх ik дт

1 9 22 9

( 1 +) ~ 1 +

ik дтik дт

После этого получаем ПУ для нестационарных, негармонических полей в виде

2ikrx+Kyy-(l/2k)Vyyx-(l/ik)VyyT + k2ev>V +

+ (к2 ef/ik) Ут - (к2 e»t2ik) Vx = 0.(5.3)

Пусть Ду) = 1 = const. Тогда в полосе 0< j < тт, х>0, т>0 можно найти решение (5.3) в виде ряда

V (х. у, т) = Sa„ sin (пу) f(T + а„х) exp (i(Зп х),(5.4)

где

а„ = (n2 + k2e)IVkV2k+(-п2*к2е1С2к)П,(5.5)

Pn = (-n2 +k2ejV2k +(-n2*k2e)l(2k)L

Причем

К(0, у, т) = /(т) 2 д„ sin (пу), F (у) = Sап sin (пу),(5.6)

где Дт) , F(y) — заданные функции, характеризующие временную и пространственную зависимость сигнала в излучателе. Например, если ап = = (1/7V) sin (и у0), то F^y^ — точечный импульсный излучатель в точке у=Уо- Если V не зависит от т, то мы получим обычное уточнение ПУ (УПУ). В случае нестационарной задачи мы имеем УПУ (5.3).

Убрав в (5.1) в скобках оператор Э/Элс, т.е. не учитывая вторую производную VXX) мы приходим к обычному, или неуточненному, ПУ для нестационарной задачи

2ikVx + Vyy - (1/zк) VyyT + к2 e^pV + (к2 e^tik^ VT = 0.(5.7)

При ф = 1 находим решение (3.7) в виде (5.4), где

ап = (п2 + к2€)/(2к2) = €/2 + п2/(2к2), ^п = [-е/2 + п2Ц2к2) ]^.

(5.8)

Выполняя замену т = тх- ex, имеем п2к2еп2—к2е

V (х, у, т) = 5 ап sin (пу)/^ + ■"2"‘) ехР ^”ikx "^2)*(519)

Теперь все становится ясно. Если п^ — к2е = 0, п = л0 А-m, —т0 <т<т0 то полагая (л0±^2)2—^2^ = ± 8 (2&2), имеем

(л0 ± т)2 — к2е ((2к2^х = ±&х.(5.10)

Зная протяженность трассы х = L, длительность Т импульса /(т^, число узлов М на сетке по тхЦТх м= Т, нетрудно подобрать величину 5 так, чтобы, пройдя трассу L, импульсы расплывались вдвое (втрое). В таком случае во избежание попадания в волновод ложного импульса при рассмотрении нестационарной задачи можно положить М2 = 2Mt и считать /Т1м2 = = ТГ. Видно, что импульс /(ri) длительностью 7 занимает половину интервала 27. Когда он расплывается ’’вдвое”, то занимает уже весь интервал 27, а никакой ложный импульс в волновод попасть не может: просто не успеет дойти до нижней границы временного интервала 27.

Из (3.10) приближенно имеем

(no + т0)2 = к2е + 2Л23 = (kVe + кх/б)2.(5.11)

Отсюда

m0=kV§.(5.12)

Если, например, 7 = 150 м = 0,15 км, к = 104, 8 = 10"6, то т0 = 10. Чтобы в правой части (5.10) получить 0,15 км, необходимо взять длину трассы такой, чтобы 10‘67 = 0,15 км, откуда L = 15 • 104 км, т.е. в этом случае расплывание 8-волны на трассах ~ 103 км будет совсем незначительное.

Рассмотрим, как преобразуется уравнение (5.7) при замене т = Ti-ex.

Имеем

2ikVx (х,у, т) = 21к^П (х,у, п) + 2ЛеИт(1)-(5-13)

Следовательно,

likV^ * V^ -Ofik)Vyy^ + к2е^<^ +

+ [k2e^l{ik) + 2ike\ ^1)= 0.(5.14)

Аналогичным образом преобразуется и более сложное (более точное) уравнение (5.3) и его решение (5.4).

В более общем случае, когда вместо замены р = Иехр(г^т) = = Кехр (z^Ti- ikex) используется замена

р = Vsexp (ikrs - ike^ ),(5.15)

т.е. 7^ = т + е$т, тогда каждый раз необходимо выбирать определенный s-пучок 8-волн и добиваться, чтобы этот пучок был узким по углу и мало расширялся. Суммируя s-пучки 8-волн, окончательно получаем

(5.16)(5.16)Ри (г, х, у) = S Vs (7) exp QkTs - ikesx).

(5.16)

(5.16)

Преобразованное точное волновое уравнение (3.1), как и его прибли-

женное, сведенное к ПУ, позволило для однородной среды (<р = 1) полу, чить решение в явном виде. Было удобно исследовать это решение и изучить ряд важных свойств узкого 5-пучка нестационарных импульсных волн в волноводе. Теперь можно приступить к точному разностному решению исходной задачи (к построению алгоритмических формул) без предположения о малости вторых производных. С этой целью можно воспользоваться спектральным представлением

7(х,у,т) = ^ WtmHx,y,U)exp^mT>,(5.17)

где

т — ZT V, ^т- хли/ву^М, ^т — Ъшп^Мку(5.18)

Поскольку по т мы вводим сетку с шагом ZT, то дифференцирование по т необходимо заменить разностным аналогом

Э

— -> exp[z^ZT(r+l)] -exp[z^ZT(K-l)]/2ZT = от

= z sin ^m lT exp (z U r)/ ZT .(5.19)

После этого уравнение (3.1) преобразуется к виду

2/Jl+— — + ^^ -l^(m)++

L Ик Эх 1Т к J

+ ^ L + ^(Ц^ГиДт) = 0(52О)

L klT J

Это уравнение идентично ПУГ для гармонического сигнала с волновым числом km = fc[l + sin(^ZT)/(Z;ZT)]. Поскольку ^mlT = Ivim/M (т = = 1, 2,,.., М), то -1 <sin(^mZT) < 1. Следовательно, диапазон изменения кт зависит от величины klT. Поскольку к характеризует несущую частоту импульса exp(z^r), a ZT - шаг дискретной аппроксимации огибающей, то понятно, что 1Т нельзя брать слишком малой величиной: периодичность огибающей не должна быть больше, чем период несущей. Из этой оценки следует неравенство klT > 2тг.

Глава V

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ИМПЕДАНСНЫХ ГРАНИЦ И ДЛЯ РЕЗКИХ ГРАНИЦ МЕЖДУ СРЕДАМИ

Новую идею легко критиковать - одним она кажется ненужной и необоснованной, другие указывают не ее логическое несовершенство, третьи борются с ней потому, что не доверяют ее автору.

В. С. Барашен ков1

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ИМПЕДАНСНЫХ ГРАНИЦ

Импеданс - некоторый коэффициент а в краевом условии третьего рода - характеризует связь между полем и его нормальной производной на границе, например, при у = 0:

[Myt- сш]у = 0 =0 .(1.1)

Пусть вблизи границы при у < 0 среда однородная и характеризуется волновым числом к. Волна exp(ffcy) падает на границу нормально. Полагаем и = [exp(z^y) + иехр(-/^у)] (1 + и)*"1, где и - коэффициент отражения. Тогда из (1.1) находим

ik (1 — и) (1 + и)"1 + а = 0.

Откуда

и = (1 ^a/ik))^ — a/ik) = Qk A-aW - *Y(1.2)

Пусть при у < 0 в среде с волновым числом к имеется сетка с шагом I. Воспользовавшись решением и разностного У Г, полагаем

и = [ехр (гку) + иехр (— /ку)] [1+7]"1,(1.2а)

где

coskZ = 1 -кМ1!!..(1.26)

Разностный аналог условия (1.1) запишем в виде

[м(у + Z)~u(y-/) + 2а/и(у)]у = 0 =0.(1.3)

Подставляя и в (1.3),имеем

ехр(/к/) + иехр (/kZ) — ехр (—/к/) — иехр (/к/) +

+ 2aZ(Z + u) = 0.(1.4)

Откуда

и = (fsinK/ + aZ)/(/sinKZ - aZ).

При I ->0 имеем к -> к и 7 -> и.

Краевому условию (1.3) можно удовлетворить, используя самые различные схемы вычисления поля: ЯС, КН и др. Конечно, в волноводных задачах волна падает на границу под некоторым углом у. Тогда волно-

Барашенков В.С. Сохраняется ли энергия? // Знание - сила. 1983. № 1.

вое число к в (1.1) ив (1.3) необходимо заменить на Л: cosy. Для малых углов скольжения # (у = я/2 — ^ и комплексных а=ах + za2 имеем

ik^ + Qi + za2

I U I = I —— I .(1,4a)

гкй-ах -za2

При a2 < О получаем, что | и | < 1. Подбирая ах и а2, можно аппроксимировать кривую | и (£)| на небольшом участке вблизи # = 0 в виде зависимости (1.4а).

Поле в волноводе с поглощающей импедансной границей должно затухать. Однако, как мы видели, само использование какой-либо вычислительной схемы вместе с краевым и начальным условиями еще далеко не все. Необходимо, чтобы сохранялась устойчивость для достаточно широкого класса задач, для волноводов, характеризуемых неоднородной средой, неровной отражающей, рассеивающей и поглощающей границей, для которой, например, коэффициент а является комплексным и изменяется от точки к точке. Удобнее всего анализировать вопросы устойчивости схем, используя метод ’’замороженных” коэффициентов. При этом исследуется явное решение уравнения с постоянными ’’замороженными” коэффициентами для краевого условия первого рода [м]г = 0. В случае импедансного условия на границе — краевого условия .третьего рода (1.1) - решение волновых задач в явном виде даже для однородных волноводов с к = const представляет определенные трудности. Для исследования устойчивости приходится идти другим путем. Необходимо вначале преобразовать краевое условие (1.3) в некоторый коэффициент самого уравнения Гельмгольца или точнее, в его разностный аналог на трех узлах: на двух узлах сетки у = ±1 в окрестности импедансной границы у = 0 и на узле у = 0. В дифференциальной задаче это не удается сделать. Но возможности разностной задачи более разнообразны, и такую операцию можно попытаться осуществить.

Сделаем это следующим образом. Новую границу, которую поместим при у = +Z, будем характеризовать однородным краевым условием Дирихле

и (+Z) = 0.(1.5)

Рассмотрим в окрестности узла у = 0 (или границы у = 0) разностное одномерное уравнение Гельмгольца

[и (+ Z) + u(-Z) — 2ы (0)] /Z2 +Мф«(0) =о.(1.6)

При у = 0, у = -I берем следующее решение (1.2а):

и (у) = [ехр (1ку) + иехр (-/ку)] (1 + и)-1,

а при у = Z согласно (1.5) полагаем и^Ц = 0. Подставляя эти величины в (1.6), имеем

[exp (-zkZ) + иехр (zkZ)] (1 + и)"1 - 2 + &|фZ2 = 0.(1.7)

Откуда

и = — [exp (ZkZ) - 2 + &эф Z2] [exp (—/к Z) - 2 + £дф Z2] -1.(1.8)

Потребуем, чтобы коэффициент отражения и в (1.4) разностной волны 118

вхрО*к^) совпадал с JX из (1.8). Так как exp(+/KZ) = coskZ + zsinKZ, cosk! = 1 - к2I212 согласно (1.26), то коэффициент и из (1.8) будет равен коэффициенту отражения и из (1.4) только при условии

^ф = (Z"2 - aZ"1 + к2 /2).(1.9)

Таким образом, пусть в узлах сетки при у = — 2/, —3Z, ... или в области у < —I имеется среда с волновым числом к. Разностный аналог одномерного УГ имеет такой вид: и (у + Z) + и (у - Z) - 2и (у) + к212и^ = 0. Тогда в узле у = 0, т.е. на предпоследнем перед идеальной границей у = Z (k(Z) = 0) узле, необходимо взять среду с волновым числом &эф (1.9) и разностный аналог (1.6) УГ с &эф. Тогда общий коэффициент отражения от такой среды и идеальной границы совпадает с коэффициентом отражения и (1.4) от импедансной границы с разностным аналогом (1.3) краевого условия третьего рода (1.1).

В чем смысл такой процедуры? Как уже отмечалось, разностные схемы УГ с переменным коэффициентом к2^ удобно анализировать на устойчивость методом замороженных коэффициентов. Например, схема КН будет всегда устойчива для к = ktyV а ЯС — только при определенном выборе шагов. Условие же на границе для явной схемы будет uQ^ = 0, что значительно упрощает анализ устойчивости схемы в неоднородных средах. Конечно, после анализа устойчивости разностных схем с замороженными коэффициентами коэффициенты можно делать снова переменными (’’размораживать”), а по схемам считать обычным образом.

Выше было рассмотрено одномерное УГ. Для двумерного уравнения с переменным к0 (£0 = ^о (*, 7)) ихх + иуу + к^и = 0 полагаем к2 = ко + + д2 jdx2. Тогда иуу + к2и = 0, где к2 — оператор. Согласно (1.9) находим ^ф тоже в виде оператора

кэф = (Z~2 - аГ1 + ко(2 + 72 Э2/Эх2).(1.10)

На предпоследнем слое у = 0 перед идеальной границей у = Z, подставляя (1.10) в (1.6), имеем УГ

иуу* гкихх* {к2/2 + Z"2 - aZ”1)z/ = O,(1.11)

в котором, конечно, иуу аппроксимируется разностным аналогом.

Рассмотрим ПУГ Ухх + 2гк0 Vx + Vyy + &о е^К = 0. Имеем &2 = ко^^ *12ко^1^х + Э2(Ъх2. Для предпоследнего слоя (у = 0) имеем ПУГ

Ууу + ik¥x + 72 Vxx + (^е^/2 + Г2 - aZ"1) У = 0,(1.12)

где Ууу надо заменить разностным аналогом.

Для неидеальных поглощающих границ коэффициент а в (1.1) будет комплексным. Аналогичный комплексный коэффициент войдет вив уравнения (1.11), (1.12). Чтобы ЯС была устойчива для сред с потерями, необходимо применить для (1.11), (1.12) ЯС с усреднением. Теперь это не вызывает никаких трудностей.

Если коэффициент а считать отрицательной величиной (а -> —а), то вдоль такой границы возможно распространение поверхностной экспоненциально убывающей вглубь среды волн. Поведение поверхностных волн отличается большим своеобразием и представляет большой интерес. Расчет 119

их свойств сильно усложняется, когда а является функцией точки на границе. Для некоторых других задач коэффициент а может сложным образом зависеть от производной по у, как, например, в случае когда упругая пластина находится на поверхности жидкости [53].Понятно,что анализ устойчивости ЯС, схемы с усреднением, схемы с более высокими производными по у может быть выполнен методом замороженных коэффициентом с однородным условием на границе. Это ценное обстоятельство. Однако подробное исследование полей поверхностных волн на основе МКР мы здесь не проводим.

Особенно удобным оказывается переход к УГ с &Эф для неровной рассеивающей импедансной границы. С этой целью рассмотрим в окрестности границы у = 0 неравномерную сетку с шагом I при у < 0 и с шагом 1Х при ^>0. Разностный аналог краевого условия (1.1) в окрестности границы у = 0 возьмем в виде трехточечной схемы

u(Jx) -и^ + (/ + /1)сш(0) = 0.(1.13)

Для нахождений и(1х) воспользуемся следующим разностным уравнением Гельмгольца на неравномерной сетке тоже в окрестности узла у = 0:

1и(1х) - и(0)М1х - [и(0) — z/(--Z) ]/Z + &2ф [(Z + Zx)/2] 1/(0) = 0. (1.14)

Пусть решение и^у) в двух точках у = 0 и у = — I имеет вид суммы прямой и отраженной волн:

и = [ехр(-/ку) + иехр(—iny) ] (1 + и) -1,(1.14а)

где cos кД = l-^2Z2/2. Исключая и(1х) из (1.13) и (1.14),имеем

u^ll + hll-^I) (//, + /?) + «(Z + M1 -«(-/)(!+/t//) =0.

Откуда.'

(1 + v){l + IJI- Цс^ЖП^Ъ + «(/ + М1 -

- (1 ^-1110 [exp(-z/<Z) +exp(z/<Z)] =0.(1.16)

После элементарных преобразований, находим

(1- и) / (1 + и) = [aZ + (к2 Z/2) (Z — Zx)] Цг sin кГ).(1.17)

Теперь рассмотрим снова УГ (1.14) с ЛЭф- Полагая

и(1х) = 0,(1.17а)

а также согласно (1.14а)

i/(0) = 1,w(-Z) = [exp(-zKZ) + uexp(zKZ)] (1 + и) ~1,(1.18)

имеем

(1 + и) [^ф (Z + lx)(2 - 1/Zi - 1/Z + cos kZ/Z] -

- (z sin kZ/Z) (1 - u) = 0.(1.19)

Сравнивая (1.17) и (1.19), полу чаем

*U(Z?+ "i)/2 = 1 - a/1 + кЧХ^.(1.20)

Как и в предыдущей задаче, все результаты, полученные в случае импе-

дансного условия на границе и неравномерной сетке вблизи границы, справедливы как для одномерной, так и для двумерной волноводной задачи. Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если граница волновода у = /1 неровная, то в разностной схеме шаг перед границей можно считать зависящим от х: Zi = Z^x). Такая граница рассеивает волны. Вычисление в однородном и в слоисто-неоднородном волноводе с рассеивающей границей проводились на основе метода сеток. Они дали удовлетворительное совпадение результатов с известными аналитическими оценками для слабонеровной границы. Конечно, неровность границы в соответствующей разностной схеме может измениться в достаточно широких пределах, характеризоваться детерминированной и случайной частью функции /1 (х), причем статистические свойства случайной части могут изменяться по трассе. Вычислительные эксперименты в различных классах двумерных и трехмерных волноводных и неровными рассеивающими и поглощающими границами более разнообразны и охватывают более широкий класс задач, чем самые сложные аналитические формулы, полученные в задачах рассеяния волн при довольно жестких предположениях.

Если неровная граница у=Ц^ является идеальной, то при малых Z^x) имеем м(х,0) + иу(х, 0) lx (х) =0. Тем самым приближенно неровная идеальная граница соответствует ровной импедансной границе с переменным импедансом. Таким образом, при использовании МКР открываются две возможности вычислять рассеяние от неровной границы: вводя переменный шаг или переменный импеданс. Обе возможности были сравнительно легко реализованы в вычислительных схемах МКР и дали хорошее сравнение результатов.

Еще в более сложном случае неровная граница 1Х = 1Х (х) может характеризоваться переменным импедансом а=а(х). Тогда, используя формулу (1.17), можно рассмотреть такие величины /(х), а(х), к, для которых

а^Н (к21(1) (I — l^x)) = const. (1.21)

При таком соотношении Z(x), а(х), к коэффициент отражения V (согласно выражению (1.17)) — постоянная величина. Поэтому такая искривленная граница с переменным импедансом обладает свойством не рассеивать одну волну, поскольку ^одн = к2 + Э2 /Эх2, т.е. волну, идущую под определенным углом, зависящем от а(х) и /(х). Граница отражает ее зеркально.

Переход от импедансного условия заданного на границе к переменному коэффициенту в самом уравнении, характеризующему один слой некоторой неоднородной среды, является специфическим свойством разностных Уравнений и разностных краевых условий. Поэтому данный метод может оказаться эффективным при исследовании устойчивости системы уравнений с условиями импедансного типа на границах, обеспечивающих взаимную трансформацию волн. Рассмотрим, например, уравнения

<^ + ^ = 0, ^ + р2ф=0 (1.22)

с условиями

^+ акр + Р<р = О, фу — 7кр + 5ф=0 (1.23)

на границе у = 0. Полагая

Р=а exp{iky) + Ухха exp{-iky) ^ ЬУ2Х exp {-iky),

ф =b exp(fKy) + У22 b ехр{Чку) + aVx2 exp {-i ку), (1-24) где a, b = const, находим коэффициенты отражения и трансформации волн двух типов. Выражения для них нет необходимости приводить. Затем переходим к разностным уравнениям, разностным аналогам условия (1.23), находим коэффициенты V- отражения и трансформации разностных волн и, наконец, находим уравнение вида

^ + ^эФ^ + Рэф^=0, ^+^ф ^+4ф¥’ = 0, (1.25) разностные аналоги которых при идеальном условии р = ф = 0 на границе у =0 будут давать такие же коэффициенты Уф как и в случае импедансных условий (1.23).

Понятно, что уравнения (1.22) и условия (1.23) могут быть как двумерными, так и трехмерными, например при описании продольных и поперечных волн в твердых волноводах [77] .Численные задачи о волнах в твердых волноводах с плавным изменением свойств были рассмотрены в [47]. Переход от условий импедансного типа на границах к условиям = ф = 0 очень облегчает анализ устойчивости явных схем при решении волновых задач в твердых волноводах с резкими границами.

Заметим, что условия импедансного типа встречаются также при удовлетворении требованиям непрерывности поля и его нормальной производной на границе двух жидких сред и=их, и = тиХ) где т - некоторый коэффициент. Если полупространство, в котором поле характеризуется уходящей волной их = exp {i^x + iy V^i — ?3» заполнено средой с волновым числом кх, то для поля и имеем иу — im\f к2 — £2 и = 0. Следовательно, а = — im Vк\ — £2 ’ Используя предложенный метод в окрестности границы, вместо УГ получаем уравнение

[Э2/Эх2 + Э2/Э/ + l/Z2+^2/Z2 + f \ЛЛ^1Ци=^. (1.26)

Запишем его в виде Lu = — i \У к2 — ^и = w , где L — соответствующий оператор из (1.26). Тогда приходим к системе двух уравнений

Lu = w„ w= -{k2x-£)u = tt, (1.27) где £2 = b2 (bx2. Эти уравнения должны быть использованы только на одном сеточном слое у = ±1 в окрестности идеальной границы и = w = 0. А в среде имеем обычное уравнение для и.

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД

Пусть поле в двух средах удовлетворяет дифференциальным уравнениям Гельмгольца с волновыми числами k{z < 0) и к\ (z >0). На плоской границе двух сред необходимо приравнять сами решения и, их и их производные и’, иХ) иногда с некоторым весом т; и = ти\. Если в окрестности границы ввести сетку с шагом I, то в средах с к и кх (в многомер-

ном случае ^2 и^ — операторы) имеем разностные аналоги УГ

u^U) + и(—0) -2«(-Z) + (^Z2/2)M(-Z) =0,(2л)

Wi(2Z) + W1(0) -2M1(Z) + (^Z2/2)M1(Z) =0.

Вторые производные аппроксимированы в точках z = — Z и z =1. В этих же точках берем значения самих функций w(-Z), Wi(Z); согласно условию задачи полагаем

u(-0 = u^l).(2.1а)

Иначе говоря, используя равенство (2.1а), мы как бы считаем, что границы двух сред проходят не через слой г = 0. Пусть граница между средами соответствует совмещению слоя z = — Z со слоем z = I. Это означает, что для правильной аппроксимации уравнений их разностными аналогами мы как бы сначала продолжаем среды за границу z = 0, а затем уже требуем выполнения равенства w(-Z) = Ui(Z). Такой прием ’’продолжения сред”2 позволяет легко удовлетворить второму условию задачи — равенству разностных аналогов производных. Производные вычисляем так же в окрестности узлов z = -I и z = Z и приравниваем их:

u(-2Z) -и(0) =(wi(0) — u(2Z).(2.2)

Теперь мы имеем четыре уравнения (2.1), (2.1а), (2.2) для пяти следующих величин w(-2Z), м(—Z), ^(0), ^(Z), Ux^l^. Исключим две величины u(Z) и «i(—Z), которые находятся вне реальных сред. Они были введены искусственно для лучей аппроксимации производных. Приходим к уравнению

u_(-2Z) + и+(2/) -2и0/ + (k2Z2/2+ ^Z2/2)w0(Z) = 0.(2.3)

Уравнение (2.3) является разностным аналогом У Г на границе двух сред с различными свойствами. Здесь и01 — значение поля на этой границе м0 = = «(—Z) = их (I), а и* и и _ - значение поля по обе стороны от границы на расстоянии от нее ±Z, т.е. на концах интервала 2Z: и_ = w(-2Z), м+= = «1 (2Z). Иначе говоря, УГ, описывающее поле в окрестности сред с волновыми числами к и кх и коэффициентами к2 и к2, для хорошей аппроксимации должно быть таким, чтобы квадрат его коэффициента был равен среднему арифметическому к2 и к2: к2у = Vz^2* ^i)- Конечно, в двумерном и трехмерном случаях, а также при использовании ПУ и ПУГ величины к и к! могут быть операторами.

Рассмотрим случай, когда узел сетки не попадает на границу z = 0, а попадает в точку z = у>0 (0< у< I). Тогда имеем два разностных уравнения Гельмгольца

1/(7-2Z) + u(?) -2u(t-Z) + £2Z2u(7-Z) =0,(2.4)

“i (7 + 0 + «1 (7 -0 - 2и(7) + кУиг (7) = 0.

Что касается первых производных, то на интервалах —2Z < z < 0 и

О < z < 21 в любой точке, в том числе и в точке z = 7, они вычисляются из линейной интерполяции, и, следовательно, соответственно фор. муле (2.2) имеем

“(—2/) -и(0) = ux(y+l) — и0(у—Г). (2.2а)

Для нахождения функции в точке z = 0, т.е. на границе двух сред, воспользуемся тем, что в окрестности этой точки при z = 7 — I и 7 поле ц равно и ( 7 - Z) и 1/(7) • После линейной интерполяции имеем

“(0) = и(т-/)у/2+ и(т)(1 -7/0- (2.5)

Аналогично в окрестности точки 7 при z = ^ - I и 7 имеем величины ^1 (7 — О и мх (7). Следовательно, на границе z = 0 должно выполняться равенство

“(7-05 + и(7) (1 -5) = их (7— 7)5 + их (7) (1-5), (2.6)

где 5 = 7/Z. Мы снова пришли к тому, что для шести величин

«(7-2/), «(7 — /), “(7), “1(7), “1(7+0, “1(7-0

имеется четыре уравнения (2.2а), (2.4), (2.6). Исключив из них величины «(7), ^(7 —Z), 1/(7—2Z), будем иметь для трех величин //+ = = Wi(7 + Z), и_= и^— V), и0 = «1(т) соответствующее уравнение Гельмгольца.

Конечно, случай, когда узел не попадает на границу двух сред, можно было бы и не рассматривать специально, если бы не одно обстоятельство. Если считать, что м = 0 при 7 = tW или 7=?(^), то это соответствует случаю неровной границы между двумя средами. Разностная схема обеспечивает аппроксимацию поля для сетки на такой границе даже в том случае, когда узлы прямоугольной сетки не попадают на криволинейную границу между средами.

Отметим, что если среды различаются не только волновыми числами, но и плотностью, то вместо равенства производных (2.2) необходимо воспользоваться соотношением

«(-2/) -«(0) = [И1(0) -«1(2/)]т> (2.7) где т = р(рх.

МЕТОД РИЧАРДСОНА И ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ НА КРУПНОЙ СЕТКЕ

Метод Ричардсона основан на том, что если некоторая величина д(/) для малых / имеет разложение д(/) = д0 + 12ах + 0(/4), то

д(/) = До + /2Д! + 0(/4),(31)

д(2/) = д0 + 4/2Д! + 0(/4).

Следовательно,

(3.2)(3.2)До = 4/з“(/) -7з«(2/) + 0(/4).

(3.2)

(3.2)

В предыдущем разделе были рассмотрены разностные схемы повышенной

точности порядка 0(Z2) вблизи границы. Такие схемы необходимы для дальнейшего повышения точности по методу Ричардсона. В качестве простого примера рассмотрим дисперсионное уравнение для однородного слоя Л = const, 0< у< л, лежащего на однородном полупространстве, в котором ^1 = const, у > л.

Имеем*

ихх + иуу + к2и = 0,0 < у< л,(зз)

иХх + uXyy-v к2их =0, у>тт.

Пусть

и^у") = и(у) exp(zlx), их(х,у) = их (.у) exp(z£x),

w(0) =0, м (л) = Mi (л), и (л) = м^л),(3.4)

«1 (у) = В ехр О’ (у - я) V*2-?2).

Находим и (у) = A sin V^2 - ^У- Следовательно, удовлетворяя уело- вию на границе у = л, приходим к известному дисперсионному уравнению [20] для нахождения величин £ = £„ (п = 1,2,...) :

tg (ях/^2-?2) = V^^l (iy/^-l2).(3.5)

Теперь рассмотрим эту же задачу в разностном варианте. Введем сетку с шагом Z^Z = 7V) по оси у. Используя зависимость от х в виде множителя exp(z£x), получим два разностных УГ

Ц,уи<У) + (^-^“М =°>(3.6)

Ь2уи<у)*(к2г-£)иАу)=0.

Ищем их решения в виде

и(у) = A sinру, у = 0, /, ... NI,^3 7)

ut(y) = В exp(,i(y -Tt))q,

где после подстановки (3.7) в (3.6) величины р и q определяются из равенств,

(4/Z2) sin2 (pZ/2) = к2-£,(38)

(4/Z2)sin2 <ql^ = kV£.

Сразу видно, что р = х/к1-^ + pvl2 ..., ^ = V^2 - ^2‘+ <7i^2 + •••• Ошибка из-за разностной аппроксимации р и q имеет порядок Z2. На границе У=к потребуем выполнения условия и=их. В окрестности границы воспользуемся разностным УГ

[«(л-Z) + м^л + Z) -2w(0)]/Z2 + (Р/2 + ^/2-£2)м(0) =0.(3.9)

Получаем два уравнения

Л81прл-В=0,(3 10)

A sin^(л-Z) +5 exp(iql) + (к212(2 + ^Z2/2 - Т^В =0,

из которых следует дисперсионное уравнение для определения {

sinp7r[exp(z^Z) + к2!212 + k\l212 - 2] + sin р(я - Z) = 0.(3.11)

Так как cos ql = 1 — (к2 — £2)/2, то несложно убедиться, что £ = ^л + Z2z, т.е. р — четная функция шага сетки. Удобнее всего это сделать, если записать второе уравнение (3.10) в эквивалентном виде:

A sinp(7r + Z) — A sinp(7r — Z) + В expQql^ —В exp{—iql) =0. (3.10а)

Теперь видно, что уравнение как (3.9), так и (3.10а) от изменения знака Z не меняет своего вида. Следовательно, его корни £„(Z) - четные функции от Z. Аналогичным образом можно рассмотреть дисперсионное уравнение для двух или нескольких слоев как в дифференциальном, так и в разностном варианте.

Заметим, что реализация схемы Ричардсона требует выполнения двукратного решения разностной задачи сначала на сетке с шагом Z, а затем с шагом 2Z. Этого можно избежать, если сразу аппроксимировать вторую производную в УГ по пятиточечной схеме, а на границе приравнивать не двух-, а четырехточечные аналоги первых производных согласно формуле

% (Z3- Z2)/2 - 7з (z4- Z!) /4 = % («3 -и^Ц- Уз («4- «1)/4.(3.12)

На самой же границе поле полагаем равным нулю. Тогда

zx + а - 2z2 = k2l2z2,

zi + a 2z3 = к I z3 s(313)

их + а - 2м2 = к212и2,

u4 + а — 2u3 = ^Z2z/3.

Исключая из пяти уравнений (3.12), (3.13) четыре величины zx, z2, иi, и3, приходим к уравнению, связывающему их, и2, a, z3) z4, т.е. к пятичленному разностному аналогу У Г на самой границе, где поле z = а. Нетрудно найти, какими разностными аналогами УГ надо пользоваться при пятиточечной аппроксимации УГ в окрестности границы.

Этот ряд примеров соответствует средам со скачком свойств, т.е. резкой границе, по обе стороны которой волновое число к^у^ имеет разные значения. Если к^У^ — непрерывная функция, а к1 ^у^, к” (у) имеют разрывы, то, по-прежнему, исходя из продолжения поля за границу, возможна правильная аппроксимация УГ его разностным аналогом в окрестности таких границ. Такая аппроксимация дает порядок ошибки Z4 более высокий, когда это необходимо при использовании в среде схем повышенной точности более высокого порядка, что эквивалентно разностному аналогу УГ при семиточечной схеме.

ГИПОТЕТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Пусть под углом S (^ = ^i sin#) из среды с волновым числом кх на границу х = 0 со средой к2 падает плоская волна exp(zx V^i'— 5* + Й^) • Тогда отразится волна Гехр(—zx y^i — £2 + Z£y), а пройдет волна Wexp(ix Vк2 — ^2 ^ i^y). Приравнивая на границе х=0 поля их(х, у),

иг (** ^ и ноРмальные производные

«1(0,^) = «2(0,^),И1х(0,^) = «2^(0,^),(4.1)

п0 луча ем уравнения

1 + V = W, (1 - К) VIFT" = xjk\-£ w.(4.2)

Вводя обозначения &=(&! + ^)/2, 8 = (£2 — ^i)/2, находим

(1 - Ю/О + И = VF77?/VTF~F = W + s^-^/V^-s)2-^ = ^VF77^ + Ski [ Vk^l Jf^ - Ski Vfc^F] -1 - 1 +2М/ (fc2 - e2).

(43) Приближенное равенство получаем при условии, что 5 < 1 и ^ к. Из (4.3) видно, что для любых й, т.е. для любых углов й, коэффициент отражения И~8, т.е. | И| при малом отличии сред всегда пропорционален величине 6 = (^2 - ^i)/2.

Заменим теперь второе краевое условие в (4.1) на следующее гипотетическое условие [53, 54]:

(k2 + kS + d2!V)ulx(0,y) = (A2-k8+d2/dy2)M2x(0,y).(4.4)

Вместо (4.2) имеем

1 + V=W, (i-V)Vk\-^(k2+kb-^)=(4.5)

= W(k2-kB -^) <к^ - ?2.

Введем обозначения д2 = к1 - £2,$ = к sin £. Поскольку к =

=(&г+ &2)/2, то ^^sintf, ^=^2sin^2, где #i, i>2 - углы падения плоской волны в средах. Следовательно,

sin й = Ук= 2sin г>х sin ^2/(sin г>х + sin г>2).(4.6)

Так как к2 — к1 = 26, | 8 | < 1, то приближенно 1>~т>х~#2- Из двух равенств (4.5) находим

(1 - К)/(1 + П = (а1-кд) V(fc + 5)2-^/[a2+ кд) V<^ — 5)2— ^2 ] =

= (а2-кд) 7д2+2£8 +62/[(д2 + кд) Va2-2£8 + 82] = /(8)//(-8).

л(4.7)

Откуда

^=[f(-5)-/(8)]/[f(8) + /(-8)],(4.8)

где /(5) = ^-kb^x/a1 + 2 ^8 + 52. Из (4.8) следует, что И (8) — нечетная функция аргумента 8, И(8) = + А 8 + ВЬ3... Легко найти, что А = 0, В = = 2 (^-4-^3а"6). Откуда приближенно

|К|=53и2Д3.(4.9)

Граница между двумя средами с близкими по величине волновыми числами kv, к2 отражает плоскую волну, падающую под любым углом ui (и ^Ut) значительно слабее, чем граница с условием (4.1).

Отсюда следует, что если необходимо согласовать две среды с произ-

вольными волновыми числами ^^ и к^э к = 1/2 (^^^ + к^^ в широ. ком диапазоне углов падения волн, то это можно сделать следующим обра. зом. Вначале разбиваем согласующий слой (толщина его несущественна если речь идет о математическом моделировании) на N слоев, в которых ^(!) = ^(О + 25, к^-к2 + 28, где 5 = [^2^-^1^]/W. Тогда на границе я-го и (и—1)-го слоев имеем коэффициенты отражения (4.9). Суммарный коэф, фициент отражения равен

| И^| ~7V(5/7V)3 v2/k3 =<b3[NT>)^!k3Y(4.10)

Увеличивая N, можно добиться сколь угодно малой величины (VaY В этом состоит просветвляющее применение моделей согласующих слоев.

Для произвольной зависимости к (х) от координаты х возьмем следующее выражение для волнового поля:

(7= U^(x,yV U_ Qc,yV$F^exp ^ + if V^AF-W (4.11) + f F_^exp Ob' - i J Vi^xV^dx^d^.

Это приближенное решение УГ [Д + к2 (х)] Р (х, у) = 0, полученное методом ВКБ [53]. Структура его такова, что оно состоит из двух волн U* и U^ распространяющихся совершенно независимо и не превращающихся друг в друга в процессе распространения. Для реальной среды это невозможно. Однако можно построить модель среды, в которой волны 1К и U_ распространяются независимо [53]. Имеем

[Д + Л2(х)] U = S<x,y\(4 Al)

Sy у + к2 (х) 5 = к(х) к'(х) Ux.

Это уравнение неоднородной среды с правой частью и уравнение колебания струны соответственно. Легко убедиться, что (4.11) удовлетворяет (4.12).

Если положить к2^ = w2/e2(x) = -с2(х) <Y/bt2, то можно перейти к уравнениям с произвольной зависимостью от времени

[Д-с-2(х)Э2/Э?] U(x,y,t) = S(x,y,t),(413)

Syy-c’4xWW)S = - VcW^ и^Лх.у, 0.

В том случае, когда £2(х) = &о (1 + *V(X))> в среде присутствуют потери, характеризуемые функцией <р(х) или соответствующим нечетным производным по времени в адекватной системе уравнений. Если реализовать поглощающий слой толщиной L в виде дискретных слоев с краевыми условиями (4.5) на их границах, то можно прийти к оценке

1^1= а/ - - ' ,., ехр [2 ReG/vWT^p)^) dx +(4.14)

о 0 +l )3'2о

+ ехр [2 Re (i f<k2 (х) - ^) ^], о

где параметры а, £ связаны с количеством однородных слоев N (а -> 0 при 7V->°°) углом падения волны. Монотонно растущие функции ^(х) характеризуют приближенно скачкообразные изменения потерь в слоях. Функ- 128

ционал (4.14) можно либо минимизировать по правилам вариацион- иоГо исчисления, либо оценить его величину на семействе пробных функций.

О СЕТОЧНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОСВЕТВЛЯЮЩЕГО КРАЕВОГО УСЛОВИЯ

Рассмотрим снова краевые условия на границе двух сред, которые

запишем следующим образом:

AUy\x=0=BU2\x=0, ctMx=0=DU2x\x=0,(5.1)

где А, В, С, D — некоторые операторы, действующие в среде при х < 0 и х > > 0. Если A=B = C = D=1, то приходим к обычным краевым условиям (4.1). Из (5.1) находим

(1-Ю/О + n = DA VkVVKCBV^2) =(5.2)

= DA V^TTkTT?-(CB V«2-2fc6 +62).

Полагая

DA = k2 + d2/d/ + kb, CB = k2 + d2/d/ -kb,(5.3)

приходим к выражению (4.7) (Э2/Эу2 = -£2). Можно положить А = В = 1. Тогда из (5.3) и (5.1) следуют условия (4.4), когда операторы С и D содержат вторую производную по у. Если же положить

А = д/д у + z 7^+76? D = д/д у - i Vk2 + kb,(5.4)

C = — *i\/k1-kd, B = — -iVk1-k5, дуду

то снова приходим к выражению (5.2) при условиях (5.1), когда на гра-

нице х = 0 действуют на Ux, U2 уже операторы первого порядка по у.

При численной сеточной реализации нам удобнее всего, чтобы во второй среде при х > 0 узлов сетки было как можно меньше в каждом краевом условии, чтобы все вычисления при продвижении вдоль оси х можно было бы производить явно. Тогда положим В = D= 1,

А = к2 + Э2/Э^2 + kb = ci2 + kb,

С = кг л-д1/ду1 - кЬ = а1-кд.^5^

Снова приходим к выражению (5.2).

Имеем

(к1 + Э2/Э/ + кЦ и. |х=0 = U2(0\(5.6а)

(к1 + Э2/д/ -M)t/lx|x=0 = U2x(0\(5.66)

Следовательно, t72(0), U2x (0) из (5.6) можно вычислить явно. Конечно, поскольку необходимо вычислять производную по х при х = 0, то в случае сетки лучше отступить на ±h от границы х = 0. Имеем вместо (5.66)

(к1 + 1?1у-к6) [U1(h,X)-U1(-h,y)]l(2h) =(5.6в)

= lU2(h,y)-U2(-h,yM2 h).

Наконец, заметим, что U^x, у) в сеточной среде удовлетворяет разностному УГ

[172(0,У + D + V2(0,y-D-2l72(0,y)UZ2 +(5.7)

+ [1Шу) + 172(-Ь,у)-2172(0,у)1/к2 + к2 l/2(0,y) = 0.

Следовательно, найдя из (5.6а) величины U2 (0, у), U2 (0, у ± /), U2(0,у + ± 2 /) ..., а из (5.6в) и (5.7) разность и сумму U2(h, у) и U2^-h, у), имеем

Ui(h,yVU2(-h,y) = (k2 *Цу-к^ [U^h.y-U^-h^] = а, (5.8)

U2 (h, у) + U2 ^-h, y) = 2U2 (0, у) -^/РИЗД.У+П*

+ и2<0,у-П-2иг(р,у^ = 0.

Получаем окончательно

U1 (-И, у) = №-а)/2, D2(h,y) = (^ а)/2.(5.9)

Таким образом, выполняя только явные вычисления, удается ’’пройти” численно слабоотражающую гипотетическую границу с условиями (5.6а), (5.66) и соотношением для коэффициента отражения (4.7). Затем, если при х> х0 (х0> h) расположена среда с волновым числом £3, всю эту процедуру можно повторить, добиваясь достаточно малого коэффициента отражения между двумя средами с волновыми числами к^ и к^.

Здесь нет необходимости подробно обсуждать, как может быть реализована динамическая модель для слабоотражающей границы в виде уравнений (4.12), (4.13), условий (4.4), (5.6а, 5.66) и др. Рассмотрим, как волна приходит из сплошной среды с волновым числом к в сеточную с таким же волновым числом. Полагая в (5.7) к2 = кх, h=l, имеем

Ux(x,y} = exp (ix \Jk2-£ + zbO + Исхр (-чхлД2—£2 * i^ ,(5.10)

x<0,

U2^x, у) = IV exp (i^y + ixk) ,

где

4 Г2 sin2(KZ/2) = ^ -47-2sin2(^Z/2).(5.11)

После несложных вычислений находим

к =V^i-52 + 7 /2/24,(5.12)

7 = (^И2) {VFF + т^-^кН^

Полагая £ = kx sin О, при I K|< 1 имеем

V = (к212/48) (cos2# + sin2 и tg2i?).(5.13)

При Z -► 0 коэффициент отражения волны, падающей на границу сплошной и сеточной сред, обращается в нуль.

Глава VI

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

Хоть простота приятна людям, Но сложное доступней им.

Б. Пастернак

ЯВНАЯ СХЕМА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Комплексные числа характеризуют гармонические волновые поля в узлах сетки. Арифметические действия над ними более трудоемкие, чем операции с вещественными числами, и требуют, как правило, в 4-6 раз больше машинного времени и в 2 раза больше ячеек оперативной памяти. Поэтому один из путей повышения эффективности и быстродействия разностных схем связан с использованием вещественных схем вместо комплексных, т.е. схем с вещественными коэффициентами для комплексных величин, характеризующих волновые поля.

В качестве примера рассмотрим вначале ПУ 2 ikVx + Vyy + k1 epV = 0. На сетке /, h для него имеем явную трехслойную схему

К(х + Л,;у)(ад+ К(х-й, j)(-z*//0H-2(^(1.1)

+ V (х, у-Г) + V (х, у)) [Л2 еч>-2112 ] = 0.

Пусть для трехслойной схемы (1.1) на двух слоях х = 0, х = /1 заданы одинаковые начальные условия

K(O,y) = 6z(y-yo), Г(й,у) = 8;(у-у0),(1.2)

где 5=8z(y—у0) — вещественная разностная 8-функция или любая другая вещественная функция дискретного аргумента. При малых h, как и раньше, считаем, что поле незначительно изменяется на расстояниях И и поэтому приближенно Г (0, у) ~ Г (А, у) = 8.

Конечно, волновое поле V (х, у) — комплексная функция К = V^ * iV^2\ При нахождении ее из разностного уравнения должно выполняться условие устойчивости. Это условие характеризуется тем обстоятельством, что все фурье-компоненты поля на сетке имеют единичный модуль и некоторую фазу, изменяющуюся от слоя к слою. Поэтому в фазе V (х, у^ можно выделить некоторую функцию, которая постоянна в нормальном сечении волновода и изменяется от слоя к слою1. Не нарушая устойчивости схемы, можно положить

К (м/г, у^ = Р (nh, у) exp (-inh тг/2),(1.3)

где P(nh,y) = P(x,y) = P^1^ *iP£\ x = nh.

Подставляя (1.3) в (1.1), имеем вещественную схему

Умножение V на фазовую функцию exp [za(y)] по смыслу очень близко к идее умножения функции ф, характеризующей волны де Бройля в квантовой механике на exp [za (х, у, z, Г)] так, что вероятность \ф |2 при этом не изменяется. Известно, что благодаря такой операции были найдены калибровочные поля и установлена связь между различными фундаментальными силами в природе.

Рп+\,т &Рп,т + Р(Рп,т + 1 + Рп,т — 1) ~ Рп—1 ,т >0*4)

где Рп rn = Р (пИ, ml^^x = nh, у = ml\ а = -h/k Yk1 еф-2Г2 ], 0=-(^/&)/-2 Коэффициенты а,Р вещественны.

Видно, что применение схемы (1.4) требует в каждом узле сетки всего двух умножений величин Рпт, Рп,т + 1 ^Рп,т-\ на заранее вычисленные коэффициенты а и Р и трех сложений, т.е. двух сложений и одного вычитания. Конечно, поскольку величины Рп,т комплексные, то это все же действия над комплексными числами. Вещественную и мнимую части Рп т можно вычислить отдельно, если использовать для них следующие из условий (1.2) и замены (1.3) начальные условия:

^о,т = ^(О.у) = 8;Р^=8;Р^=0;(15)

А,™ = И (Л, у) exp (z тт/2) = IV Qi, у) = /8; f^ = 0; Р<^т =5.

Обе величины Р^^, h^,2^ вещественны. Поэтому на первый взгляд кажется, что их вычисление по схеме (1.4) требует двойного применения вещественной схемы (1.4) для вещественных начальных условий (1.5) на двух первых слоях п = 0, 1 отдельно для Pt1) иР(2). Причем для Р^ согласно (1.4) и (1.5) имеем на трех первых слоях (п = 0, 1,2)

^=5; ^=о; ^ = -5,(1.6)

для Р^^ на двух первых слоях (и = 0, 1) и на слое и = -1 получаем

Р^_ = —8; Р^ =0; Р^ = 8.(1.6а)

Поскольку схема (1.4) линейная и трехслойная, то значения функций дискретных аргументов Р^^, Р^т линейно зависят от их значений на любых двух соседних слоях. Откуда согласно (1.6) и (1.6а) следует равенство

р(2) =_р(1).(1.7)

п,т п+1,тv

Соотношение (1.7) означает, что для вычисления комплексной величины Р^т’ а слеД°вательн°, и комплексной величины V (х, у) можно ограничиться всего однократным2 расчетом по вещественной схеме (1.4) с вещественным начальным условием Р^т = 5, Р^1^ = 0. Таким образом, непосредственным вычислением по схеме (1.4)’ находим только Р^т- Затем, используя соотношение (1.7), определяем Р^т и все поле. Если,

Конечно, если вместо условия (1.5) мы имеем условия

(0, х) =/i О)+ ^А О); Р^’^’ ^^(уУ

V (А, у) =510) *1810); A.m^A.m^i-^: р^т = "gz ’ Р^т = 81 ’

то двойного вычисления по вещественной схеме (1.4) с начальным вещественным условием для, Р^ , Р^ избежать уже не удается.

и,т 1,т •

например, нас интересует | V (х, ^)|2, то

(1.8)(1.8)I V^x, z>|2 = \Р„>т |2 = У>^тУ + (Р^\ >тУ •

(1.8)

(1.8)

Вычисление поля по вещественной схеме (1.4) дает более высокую скорость, чем по комплексной схеме (1.1). Программа для (1.4) проще, чем для (1.1). В программе вычисления поля в волноводе, кроме арифметических действий, в каждом узле приходится выполнять логические операции: перебора всех узлов сетки и др. Поэтому, например, ЭВМ среднего быстродействия БЭСМ-6 проходит за 1 с 7 • 104 узлов сетки в том случае, когда коэффициент а = ап— заданная таблица (т.е. волновод слоистый), а 0 = const. Приведем некоторые оценки. Положим Z = тг/Я, N=2k\fef h = 1/(^е), где е = £2 — квадрат угла $ учтенных в волноводе распространяющихся нормальных волн, общее число которых равно к (к — число полуволн, укладывающихся на глубине волновода Я = тг). Тогда для трассы Ьн = 100 Я (сто глубин волновода) для различных частот и углов легко оценить необходимое количество узлов сетки, введенной в волноводе, а следовательно, найти время вычисления полного поля на БЭСМ-6.

Имеем N = 2k\/е — число узлов по вертикали. Оно в два раза превышает число учтенных нормальных волн kS=k\fe. При шаге h = 1/(Аге) имеем s = itLke— число узлов по трассе (в единицах глубины Я); число всех незатухающих нормальных волн к

НЯ2Ю34

(1.9)(1.9)к =— • 103 ==-fH.

(1.9)

(1.9)

Х/21500//3

Следовательно, число узлов Q равно

Q = Ns = ^tLk2e312 ^6X^LfH2e3!2 ~\0Lf2H2e3^^(1.10)

Время вычисления

T = Nsp ■ 104 * Ьн^Н2е31211 • 103.(1.10а)

Например, для /= 103 Гц, Н = 6 км, L = 100Н, е = 10~2 находим

Q = 103 ■ 106 -36 • 10‘3 =36 • 106, Т = 36 ^ s5 ■ 102 с— 9 мин;

7 • 104

Для /= Ю2 Гц, Я = 6 км, LH = 100, е = 10"2 Т = 5 с,

Для f= Ю2 Гц, Я = 6км, LH = 20(120 км), е = 10"2 Т= 1 с,

Для/= Ю2 Гц, Я=6км, LH = 20(120 км), e=10"*Г=30с.

Непосредственные вычисления полностью подтвердили полученные оценки времени расчета полного поля.

Введем потери в ПУ в виде члена ik2b ф (ф > 0) и воспользуемся явной схемой с усреднением, т.е. добавим к (1.1) член (гк2Ьф!2) [ V (х + h, у) + + V (x-h, ^)]. Это означает, что в схеме (1.1) два первых члена надо заменить на такую сумму:

V (х + И, у) (ik/h + ik2 8 ф(2) + V (х + h) (-ik/h + ik2 8 ф^ + ...(1.11)

Пусть ф = ф (у), т.е. среда слоистая. Тогда, используя замену (1.3), полу-

чаем вместо (1.4) снова схему с вещественными коэффициентами

Рл+1,т ~ ^т^т + Рт ^п.т^Л + ^п.т - 1) + 7 ^п—Х ,т >(112)

где

2m = ("W [^2 е ф О) - 2I"2 ] [ 1 + кН 5 V/ 00/2] -1,

^т =(-h/k)l-2 [1 *khM(yW\(1.13)

Г khb 1

7rn =-|1 - — ^ О')] [1 + кИЬф (у)/2] *, у = 1т.

В среде с потерями число операций в узле составляет уже три сложения и три умножения. Соответственно возрастает и время вычисления, примерно в 6/5, т.е. в 1,2 раза, если считать, что умножение и сложение одинаково трудоемки, или в 1,5 раза, если умножение требует значительно больше времени, чем сложение. Очень важно, что во всех ЯС отсутствует деление, операция, как известно, значительно более трудоемкая даже для оптических и нейронных ЭВМ близкого будущего [62].

ЯВНАЯ ВЕЩЕСТВЕННАЯ СХЕМА

ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Рассмотрим ПУГ Vxx + 2ikVx + ^у + k2e^)V= 0 и ЯС для него

Г(х + /2,^)(/2‘2 + iklh) + V(x-h,y)QT2 + ik/h)^!"2^^^ + /) + (2.1) + V (x, y-l)) + V (x, у) (к2 e^p -2/12 - 2fh2) = 0.

Вместо (1.3) воспользуемся заменой

И (nh, у)=Р (нН, у^ ехр (-/мт),(2.2)

где tg 7 = ^/2. Для Рп т = Р^т *1Р^т приходим к вещественной схеме

^п*Х,т ~ ^т^п.т ^5Фп,т*Х *^ ^п.т — Х^ — ^п — Х ,m^(2-3)

где

22,

«т = - (к2 еф (у) --ч- - — ) h2/л/Тй^К2;(2.4)

г Н

Р = -Г2И2/\/ \ -V к2Н2; у=1т.

Следуя предположению о незначительном изменении поля на соседних слоях сетки при х и при х + h, полагаем

V№M V<KyVf^,(2.5)

где /(у) = fm — заданная вещественная функция дискретного аргумента у = ml. Например, для точечного излучателя/*= 8Z (^-у^ или /= 5Z (у-у0У В связи с заменой (2.2) и начальными условиями (2.5) находим

^0,т ” fm> ^Хут ~fm ехР От) •(2.6)

Представим комплексную функцию Рп>т в виде суммы Рп т = Р^^ + 134

iP^m’ где P^m> P^m Удовлетворяют вещественной схеме (2.3) и вещественным начальным условиям

P^m=fm, P^/m cosТ,(2.7а)

4^=°’ PS=^sin7.(2.76)

Пусть некоторая величина 1п т удовлетворяет вещественной схеме (2.3) и вещественным начальным условиям

Jo.m ~ fm» ^\,т ~ О-(2.8)

Тогда находим

^п,т ~ ^п*т ~Cos ^*^ +1 ,т’ ^п,т ~ —sin 7 Jn- 1 ,т •(2.9)

Следовательно,

\Рп,т I -(/п,т) + (Ai+l,m) “2cOS yJn,m ^п — 1 ,т-(2.Ю)

Заметим, что для вычисления Р^^ и Р^т нам потребовалось решить только одну задачу: найти Jп т для вещественного уравнения (2.3) с вещественными начальными условиями (2.8).

В том случае, если вторая производная по у аппроксимируется пятиточечной схемой

^ = 4/э [И(у + /)+ Г(у-/)-2И(у)]//2 -(2.11)

- 7э [И(У + 2Z) + K(y-2Z) - 2 Г(х,^)]/(4/2),

вместо (2.3) имеем

P„+i,m = а^Рпт + ^ЧРп.т^ + Рп,т-1) +(2.12)

+ Р^ \Рп,т + 2 "*"Рп,т —2) — Р« — 1 ,т

где

а(1 > = -А2 (1 + к1 h2 г\к2 еф-8/312 + % • 2Д /2 ),

/!<*> =-4/3/-2й2(1 + k2h2)~^1,(2.13)

/з(2>= 712 /-2й2(1+а2а2ги

Семиточечная схема (2.12) для вычисления поля Pn+i,m в Узле (л + 1,^) требует трех умножений и пяти сложений. Аналогичным образом можно рассмотреть вещественные схемы с более высоким порядком аппроксимации Vyy.

Введение потерь, т.е. члена Q^ib^jl^ (У(х + к,у) + V (x-h, у)] в (2.1) Уже не позволяет перейти точно к схеме с вещественным коэффициентом. Однако в частном случае, когда kh = e-x>\, возможно положить Т = тг/2, е~п = ±i. Тогда такой переход можно выполнить для среды с потерями совершенно аналогично тому, как потери учтены в вещественной схеме для ПУ в разд. 1.

Для трехмерного волновода несложно преобразовать У Г в ПУГ. Когда

ось волновода направлена вдоль координаты (шаг h), оси в нормальном сечении у и у1? с шагами сетки Z и Zi по ним, тогда вещественная схема ДЛяР(х,у,ух>) = Рптт1 (х = nh, у = 1т, ух = тх1х^ имеет вид

^n-v\,m,mx "^^п.т.ту + Р(Рп,т + 1,т1 + ^n.m-l ,т ,) +(2.14)

7 0°п,т,т , +1 + ^п.т.т j — 1) — ^п — 1 ,т,т , >

где

а = -Л2(1 + k2h2y~(к2еф -2/Z2+2/Z2 -2/Л2),

0 = -Г2Н2 (И-к2И2ГУ\(2.15)

7 = -l2h2 (1 + k2h2Y"X^.

Для устойчивости схемы (2.3) необходимо выполнение двух неравенств \а -v 2g \ < 2 и \ а-2Р \ < 2. Из первого находим \ k2h2€^c-21 < 2 Vl + &2к2. При фс= 1 к2 eh2 —2 < 2 Vl ^ к2И2, откуда

£йе<2(1 + е)1^. (2.16)

Из второго неравенства 2 + 4h2l 2 <2^/1 + k2h2 (^с = 0), откуда

1/(^2Z2)<(V1 ^k2h2 - \^2к2И2у(2.17)

В трехмерном случае (2.14) для устойчивости необходимо выполнение уже четырех неравенств: |а±20±27|<2. Взяв знаки +, находим снова условие (2.16). Для знаков - имеем [а — 20—27] < 2. При фс= 0 находим 2^4к2Г2 + 4h2lx <2 Vl ^k2h2, откуда

(2.18)(2.18)W2 4WXY2 < (Vl *k2h2 - l)/2 k2h2.

(2.18)

(2.18)

СХЕМА КРАНКА-НИКОЛЬСОНА

И ВЕЩЕСТВЕННАЯ СХЕМА

Рассмотрим для ПУГ Vxx + 2ikVx + Ууу + к2 €^рс V + к2 € (ф-кРс) V= 0 следующую схему Кранка-Никольсона:

И(х + А,^)(1/А2 ^ ikjh 4г к2 екрс!2 - 1/Z2)+(3.1)

+ И(х-/2,^)(1//22 ^2k/h-vk2€kpc!2- 1/Z2) +

+ (1/2 Z2) [H(x + /2,^ + Z)+ V^xA-Ky-lV

+ V (x-h, у + Z) + V (x-h, .y-Z)] + к2 e ^р-крг) V (x, y) = 0,

где фс = const. Если положить

и воспользоваться заменой

V (х t h, у) = + IP (х ± h, у),

V (х, у ± Z) = ± iP (х, у ±1),

то приходим к схеме КН с вещественными коэффициентами

Р (х + й, у) (k/h) + Р (x-h, у) (k/h) + (1/2 I2) [Р (х + И, у + /) -(3.4)

- Р (х + h, у-Г) - Р (х-й, у + I) + Р (x-h, jp-Z)] +

+ й2е(у>-^с)Р(х,у) = 0.

Схема (3.4) хотя и вещественная, но неявная. Запишем ее в следующем виде:

P(x+h, у + О-Р(х + й,у-/)+Р(х + й,у)2й/2/й + Р = 0,(3.5)

где

F = Р (х-й, у-/) - Р (х-й, у + /) + Р (x-h, у) 2 кР /h +(3.6)

+ 2й2е/2(^-^с)Р(х, у).

Для вычисления величины F необходимы два умножения и три сложения Для решения уравнения (3.5), следуя методу прогонки, полагаем

Р (х + h, у + /) = р (у) Р (х + к, у) + q (у),(3.7а)

Р (х + А, у-П =\P^^h>yVq О-/)] 1Р (У"П •(3.76)

Величина р (у) удовлетворяет уравнению

р (у) — 1/Р (У-/) + 2 kl2/h2 = 0,(3.8)

a q (у) - уравнению

q(y)-q(y-niP(y-n*F = O,(3.9)

q(y-l) = p(y-l) [F + <z(y)].(3.9а)

Согласно (3.7а) видно, что для того, чтобы найти в одном узле Р (х 1-к, у-t-Г), необходимо выполнить одно умножение и одно сложение. Также одно сложение и одно умножение необходимы в (3.9а), чтобы найти q (у-Г) в одном узле. Следовательно, всего необходимо выполнить девять операций над вещественными числами: четыре умножения и пять сложений. Такова трудность вещественной схемы (3.4), полученной из схемы КН (3.1).

Поскольку член к1 е [^ (х, у)-^рс1 ^входиг в схему без усреднения, то возникает ограничение на шаг к сверху. Если же ^ = ^с =0, то использование вещественной схемы для КН связано с ограничением к = I согласно (3.2) при ^с = 0.

Заметим, что если в вещественной схеме КН взять начальные условия

И(0,у) = 6 (у-у0) = jz^^)::^ (у-у0),(3.10)

Р(0,у) = 5 (у-у0), P(h,y) = i& (у-у0),

то, решая вспомогательную задачу

Р(0,у) = 6 (у-у0Х Р^У^^,(3.11)

согласно (3.4) находим, что Р(2к, у) = — 5(у — у0)- Следовательно, когда

Р(х,у) = РО) * iP W, получаем

(3.12)(3.12)Р<^ (nh, у) = Р (nh, у); Р^ (mh,y) = -P ((т л- \)Н,у).

(3.12)

(3.12)

Соотношение (3.12) позволяет для вычисления комплексного решения Р = Р^1^ + IP (2) ограничиться однократным вычислением вещественного решения P(nh ,у).

СХЕМА ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Использование комплексной схемы КН (3.1) возможно для неоднородной среды при шагах I, h, изменяющихся в широких пределах. Вещественная схема (3.4) получена для однородной среды чч = const и к тому же при связях на I, h (3.2). Это сильно ограничивает возможности ее применения. Поэтому можно вернуться к ПУ 21кУх + Ууу = 0 в узком угле л2 < N2, N2(к2 = е. Модифицируем ПУ следующим образом (см. гл. II, разд. 5) :

21к(У-аУуу)х + Vyy = 0,(4.1)

где а — некоторый положительный коэффициент. Находим решение (4.1) в полуполосе х > 0, 0 < у < тг

У (х,у) =2 ап sin (ну) ехр [— гх п21(2к + ал2)].(4.2)

Конечно, введение параметра а вносит ошибку в решение ПУ. Но и само ПУ является всего лишь удобным приближением при решении уравнения Гельмгольца. Введение сетки с шагами h и I вносит дополнительную погрешность. Поэтому введение параметра а будет полезным тогда, когда ошибка, связанная с а, не превышает ошибку от аппроксимации. Если при этом улучшается устойчивость, то использование (4.1) вместо ПУ будет вполне оправданно. Переход к разностной схеме для уравнения (4.1) подразумевает использование неявной схемы, поскольку на слое х + h необходимо вычислять значение V (х + h, у) в трех узлах у, у ± L Это потребует применения метода прогонки, что несколько снижает эффективность неявных схем.

Для повышения эффективности вычислений можно рассмотреть использование для решения (4.1) вещественной неявной схемы. Сначала запишем комплексную неявную разностную схему для решения (4.1)

/ гк 4гка \/ ik 4гка \

kh l22h / vh l22h)'

2ika2ika

l22h 1 У ’ l22h k У

2ika2ika

+ —— У (x-h, у + Z) + — V(x-h,y-1)4- l22h 1’ l22h k

+ Z‘2[K(x,^+Z)+ V(x,y -l)-2V(x,y)\ =0.(4.3)

Затем, воспользовавшись заменой V(nh, у) -P(nh, у) exp(—inirl2),

получаем уравнение с вещественными коэффициентамиполучаем уравнение с вещественными коэффициентами(кPtxFh.y^X —(кPtxFh.y^X —2ка \(к— + P(x-h,y) —l2h / V *J’\h2ка \(к— + P(x-h,y) —l2h / V *J’\hIka \l2h /Ika \l2h /■ 2ka \ 2ka2ka:^r^r(x+h’y+''>--y^ Р(х+л','-'>-■ 2ka \ 2ka2ka:^r^r(x+h’y+''>--y^ Р(х+л','-'>-Ika2ka+ /■2[P(x,y+/) + P(x,y-Z)-2P(x,y)] =0.Его удобно представить в виде(kl2 2ка \ ка P(x+h,y)[-—- P^h,y^lVх Нh /hIka2ka+ /■2[P(x,y+/) + P(x,y-Z)-2P(x,y)] =0.Его удобно представить в виде(kl2 2ка \ ка P(x+h,y)[-—- P^h,y^lVх Нh /h(4.4)(4.4)гдегде— Р (х + h, у - Z) 4- F = 0, h— Р (х + h, у - Z) 4- F = 0, h/ kl F = P(x-И.уЙ — \ h/ kl F = P(x-И.уЙ — \ h2ка \ка— - —- VP(x-^h,y^lV hlh2ка \ка— - —- VP(x-^h,y^lV hlh+ Р(х -h,y -l)^P(x,y + Z) + P(x,y - l)-P(x,y)-P(x,y).(4.5)+ Р(х -h,y -l)^P(x,y + Z) + P(x,y - l)-P(x,y)-P(x,y).(4.5)Для вычисления функции F необходимо выполнить шесть сложений и два умножения. Полагая, как обычно,Для вычисления функции F необходимо выполнить шесть сложений и два умножения. Полагая, как обычно,Р (х + к, у + Z) = р (у) Р (х + h, у) + q (у),Р (х + к, у + Z) = р (у) Р (х + h, у) + q (у),(4.6)(4.6)видим, что для вычисления Р (х + к, у + I) в узле необходимо всего одно умножение и одно сложение. Функция q удовлетворяет уравнениювидим, что для вычисления Р (х + к, у + I) в узле необходимо всего одно умножение и одно сложение. Функция q удовлетворяет уравнению<7(У) -<7(У) -5 (У - Ор(у -05 (У - Ор(у -0h- F = 0.каh- F = 0.ка(4-7)(4-7)

получаем уравнение с вещественными коэффициентами

получаем уравнение с вещественными коэффициентами

(к

PtxFh.y^X —

(к

PtxFh.y^X —

2ка \(к

— + P(x-h,y) —

l2h / V *J’\h

2ка \(к

— + P(x-h,y) —

l2h / V *J’\h

Ika \l2h /

Ika \l2h /

■ 2ka \ 2ka2ka

:^r^r(x+h’y+''>--y^ Р(х+л','-'>-

■ 2ka \ 2ka2ka

:^r^r(x+h’y+''>--y^ Р(х+л','-'>-

Ika2ka

+ /■2[P(x,y+/) + P(x,y-Z)-2P(x,y)] =0.

Его удобно представить в виде

(kl2 2ка \ ка P(x+h,y)[-—- P^h,y^lV

х Нh /h

Ika2ka

+ /■2[P(x,y+/) + P(x,y-Z)-2P(x,y)] =0.

Его удобно представить в виде

(kl2 2ка \ ка P(x+h,y)[-—- P^h,y^lV

х Нh /h

(4.4)

(4.4)

где

где

— Р (х + h, у - Z) 4- F = 0, h

— Р (х + h, у - Z) 4- F = 0, h

/ kl F = P(x-И.уЙ — \ h

/ kl F = P(x-И.уЙ — \ h

2ка \ка

— - —- VP(x-^h,y^lV hlh

2ка \ка

— - —- VP(x-^h,y^lV hlh

+ Р(х -h,y -l)^P(x,y + Z) + P(x,y - l)-P(x,y)-P(x,y).(4.5)

+ Р(х -h,y -l)^P(x,y + Z) + P(x,y - l)-P(x,y)-P(x,y).(4.5)

Для вычисления функции F необходимо выполнить шесть сложений и два умножения. Полагая, как обычно,

Для вычисления функции F необходимо выполнить шесть сложений и два умножения. Полагая, как обычно,

Р (х + к, у + Z) = р (у) Р (х + h, у) + q (у),

Р (х + к, у + Z) = р (у) Р (х + h, у) + q (у),

(4.6)

(4.6)

видим, что для вычисления Р (х + к, у + I) в узле необходимо всего одно умножение и одно сложение. Функция q удовлетворяет уравнению

видим, что для вычисления Р (х + к, у + I) в узле необходимо всего одно умножение и одно сложение. Функция q удовлетворяет уравнению

<7(У) -

<7(У) -

5 (У - Ор(у -0

5 (У - Ор(у -0

h

- F = 0.ка

h

- F = 0.ка

(4-7)

(4-7)

Откуда

(4-8)(4-8)п

(4-8)

(4-8)

q(y -I) = р(у -1) q^-F -—

Ага

Для вычисления правой части в (4.8) необходимо два умножения и одно сложение.

Итак, при вычислении поля в одном узле согласно неявной вещественной девятиточечной схеме (4.4) всего необходимо выполнить пять умножений и восемь сложений над вещественными числами. Это примерно в 2,5 раза более трудоемко, чем при использовании вещественной пятиточечной явной схемы (1.4).

Оценим погрешность в схеме (4.1) при малых a, h и при использовании сетки с шагом h Q -^0) на оси х. Имеем

И(х, у) = IL ansinny ехр (-1хкп),(4.9)

где

(2^/A)sinK„/z = к2 /(1 + аи2).(4.10)

В пределе к -► 0, а -► 0 имеем 81пк„ = к2 (2к = к^. Приближенно при малых к и а получаем

IkKn — (2klh)Knk3j6 = п2—anV(4.11)

Следовательно,

к„ = к^ + к2к^к)6-ап^]1к - к^ Qi2!4%к3^п6—

-ап*12к = (и2/2£)(1 -VaEx + к2Е2у(4.12)

где Ех = и2, Е2 =п4124к3. Обозначим максимальное значение и для волн, которые необходимо учитывать, через п0. Пусть а = (noNy1. Тогда

аЕх -n^N, к<к0, к0~ 2£ (1 + aN2/N2)^ 2k!n0N,

к2Е2 = Ve^o/W2.

Таким образом, использование модифицированного ПУ и разностной неявной вещественной схемы для него дает возможность увеличить шаг к вдоль оси волновода, не потеряв при этом устойчивость. Это очень важно, когда приходится иметь дело с узким пучком волн п2 < N2. Если в этом случае применялась бы явная схема, то для сохранения устойчивости пришлось бы все равно двигаться достаточно мелким шагом. В неявной комплексной схеме КН крупный шаг возможен. Однако все вычисления требуют действий с комплексными числами. Для модифицированного ПУ (4.1) возможно как увеличение шага вдоль оси волновода, так и переход к вещественной схеме. Два этих обстоятельства приведет к значительному ускорению вычислений.

Конечно, ограничиться узким углом совсем не означает использовать малые значения к по сравнению N. Это просто означает, что используется узкоугловое приближение внутри широкого угла. Переход к ПУ Ик Vx + Vyy + {к2 к 2) V = 0, а затем к модифицированному ПУ

Ик^У-аУууУ + Р^ + (£2-к2)Е=0(4.13)

позволяет рассмотреть узкоугловое приближение в любом направлении достаточно широкого угла, а не только вдоль оси волновода. Как обычно, для решения (4.13) используется комплексная схема КН, а затем осуществляется переход к вещественной схеме. Переход к волноводам, заполненным неоднородной средой ^ (х, у), при разностном решении задачи выполняется обычным путем.

ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ВЕЛИЧИНАХ

В СЕТОЧНЫХ ВОЛНОВОДАХ

Пусть в полосе с идеальными границами при у = 0 и у = тг (м|у = Ол = = 0) волновое поле удовлетворяет УГ с вещественным коэффициентом uxx + ^уу + к2(х, у) и = 0, Умножая УГ на комплексно сопряженную величину и и интегрируя по области D — прямоугольника (а < х < У 0 <;у < тг), находим

JH«xx+uyy + k2(x,y)]udxdy = J uxu \ b - f uxu x +

D(y)D

+ (x)“v“ ' ° ~ о uy“y + $ ^(x.y) iu2]dxdy =0.(5.1)

Взяв мнимую часть (5.1), получим

Im J uuxdy = 0,(5.2a)

Cv)

или T

Im Ju (b, y)ux (b, y) dy = Im Ju (a, y) ux (a, y) dy.(5.26)

о

Это равенство легко обобщить на область, верхняя и нижняя границы которой и| г = 0 являются неравными, т.е. для нерегулярного волновода переменной ширины. Пусть при этом в окрестности сечения х = а имеется представление поля в виде суммы прямых и обратных волн и аналогичное представление при х = b

U (х, у^^а* ф^ (у) exp (z^a)x) + ап ф^ (у) exp (-z £п(а)х),

х = а ± 3,

и^.У^^Ьпф^^ехр^^хЛА-Ь"п Ф<ь> (y)exp<-i^b) х\ (5-3) х = b ± 5 .

Подставляя (5.3) в (5.26), имеем

^ ^„a) (I a„ + ^ I2 — I а„ I2) = S£n<b> [ I 6^ I2 ~ |6^~) I2].(5.4)

Поскольку ^°\ ^Ь^ — волновые числа соответствующих нормальных волн, то (1.4) - просто формула сохранения потоков энергии. Например, пусть Ь^ = 0, тогда в правой части волновода при х > b есть только уходящие волны. Поэтому согласно (5.2а, 5.26) и (5.4) поток энергии падающих волн S|a^|^ равен сумме потоков отраженных с амплитудами (^“Ъ и проходящих kb^ волн.

Вместо УГ рассмотрим ПУ likVx + Vyy + [^2(х, у) - к2] И = 0. Умножая его на И, а комплексно-сопряженное ПУ для V — на И, берем их разность. Затем, вычисляя интеграл по D и взяв мнимую часть, получаем HHk^yxV + VV^dxdy = 0.

D

Откуда

S IkW^a.y^Vdy = $ lk\V<b,y^\2dy. (5.5) 00

Равенство (5.5) вместо (5.26) означает, что все нормальные моды в приближении ПУ можно считать распространяющимися волнами с волновыми числами, близкими к к = const. Причем к в обеих частях равенства (5.5) сокращается. Такое предположение соответствует замене и = = Иехр(/^х), которая используется при выводе ПУ при условии, что

Если же не отбрасывать Vxx, то можно взять ПУГ Vxx + 2ikVx + Vyy + + (к\х,у) -fc2)K=0. Умножив уравнение на V, затем интегрируем по D, и, взяв мнимую часть, получим равенство - ъъ

f Im И KJ^dy + J k\V\ J dy = 0.(5.6)

0000 a

В сущности, если и (х, у^ = V (х, у) exp (ikx), то (5.6) сразу следует из (5.26). Тогда

их = (Ух + ^ Ю ехР (^х) , их й = Vx V + ik | V |2, Im йux =

= imF^ + &m2.

Полученные соотношения хорошо известны при рассмотрении законов сохранения потоков энергии в волноводах в случае дифференциальных волновых задач. Для сеточных волноводов тоже можно найти соответствующие законы сохранения потоков энергии. В математическом смысле они означают постоянство некоторых конечных сумм на сетке в волноводе, заменяющих интегральные соотношения для сплошной среды. Постоянство сумм указывает на известное свойство консервативности данных схем. Это обстоятельство может служить дополнительным контролем правильности работы программы. Хотя, конечно, устойчивость разностной схемы и сохранения потоков энергии в сеточном волноводе совершенно не связанные вещи. Оказывается, что определенные сеточные суммы могут сохраняться и для неустойчивых схем.

При рассмотрении дифференциальных задач потребовалась формула интегрирования по частям. В разностных задачах будем использовать следующую формулу суммирования по частям:

N-Y^-1

2 as(bs+i - bx) = aNbN-axbx - S (as+, - as) bs+1.(5.7)

5-1

Вначале рассмотрим в волноводе 0 <_у <я дифференциально-разностный аналог ПУГ

К^+1 - ^)-(^- ^-1)1 /й2 +(2^/2/i)(^+1 - KP_D +

+ [Л2 (х, у) - к1 ] Vv + Vyy = 0,(5.8)

где

Vv (у) = V (х, у); х = vh, v = 0, ± 1.

Выбираем в волноводе прямоугольную область D (а < v < <3, 0 <у <я). Умножаем (5.8) на сопряженную величину Vv (у), интегрируем по у от 0 до я и суммируем по v = s от s -а до s = 0. При этом используем формулу (5.7), в которой полагаем as = ЦДр = s), bs = ^ + 1~ Vv^v = s). Получаем

2(7^ (bs*x -bO^dy + 7 ikh [Kp+1 - Vv_x ] V„dy +

v,s 00

+ h2 7 (k2Ax,y)-k2yVyyVv-}(VvyX y„HVv+1 -M dy = 0. (5.9) .00

Воспользуемся следующим равенством:

Re 2 Vp^i - V^) = Re(^^_! - K^o).(5.10)

Его легко проверить для любых комплексных величин Ко... VN. Взяв мнимую часть равенства (5.9), имеем

7 ПтГДГ^ - Vv)^kh^VvVv_x^dy=^.(5.11)

о

Поскольку ImKyKp = 0, то выражение (5.11) можно упростить. Получаем окончательно, что при вычислении поля в сеточном волноводе в соответствии с дифференциально-разностным аналогом ПУГ будет инвариантна,т.е. независима от р,величина

Im7 YVv^)Vv^)^ikhVv^)Vv_x^^(5.12)

о

При этом шаг h вдоль оси волновода х = vh может быть любым, даже таким, когда явная схема для решения (5.8) неустойчива. Переходя к сетке с шагом, также любым по оси у, интеграл в (5.12) просто надо заменить на соответствующую сумму.

Если в сеточном волноводе поле представлено в виде суммы распространяющихся нормальных волн

Vv О) = S ап V/„ exp Q^n vh) (x = vh),(5.13)

то согласно (1.12) инвариантной будет величина

h-1 Im [S | an |2exp (/£„ h) + ikh | an |2 exp (-z^n^)l =

= 2\an |2 sin ^nh)!h + к | an |2 cos(£„ h).(5.14)

Величина (5.14) действительно не зависит от v, т.е. от х. При h -> 0 она переходит в соответствующее выражение для потоков энергии в обычном (не сеточном) волноводе в параболическом приближении, которое следует из (5.6) при vh = х. Если сеточный волновод является нерегулярным, т.е. изменяется его ширина и коэффициент в УГ к2(х, у) зависит от х, то представляя в любом сечении поле в виде суммы прямых и обратных волн и подставляя эту сумму в (5.12), получаем конкретный вид инвариантной величины, соответствующий сохранению потоков ’’энергии” в сеточном волноводе в приближении ПУ.

Если в (5.8) член (к2(х, у) - k2)Vv заменить на величину {[fc2(x, у) - &2]/2} (Ир + i + Vv_x), т.е. перейти к схеме с усреднением, то в подынтегральное выражение (5.12) войдет соответствующая величина

Обратимся снова к схеме (5.12), которую запишем так (опускаем знак интеграла и в правой части пишем Im(...) = const, чтобы показать, что эта величина сохраняется) :

Im Ир+1 Vp + kh Re Vp^x Vp = const.(5.15)

Теперь положим

^p+i = ^p+i exp (-fx), Vp = Pp,(5.16)

где tgx = ^, Рр — новая комплексная функция целочисленного аргумента р. Тогда вместо (5.15) получим

Im^p + iP^] = const.(5.17)

Положим Рп = anQxp(i^nPh ) + Ьпехр^-1^^РЬ^. Снова как интеграл, так и знак суммы при суммировании по к при написании опускаем. Тогда

ImPp^tPp = Im [ |а„ |2 exp (i£nh) + | Ьп |2 exp (-i£n А)] = const. (5.18)

Если Ьп = 0, то Рр+1 = ИрбхрО'Х) и |a„|2sin|^nA + xl = const. Теперь можно перейти к вещественной схеме. Эту схему запишем так:

^v^ 1, т *1" ^v — 1, п ~ ^^и, т ~ ^пт ^пт *^~ ^пт (Дп, т + 1 "1" ^п, т — 1 ) )

(5.19)

где комплексные величины av> т характеризуют поле, а вещественные коэффициенты ап>т, &п> т - сетку и среду. После умножения (5.19) на av> т и суммирования по т видно, что остается инвариантной, т.с. не зависит от v, следующая величина:

Im 2 и у т Q^v-v 1, т — ^v, т^ — const.(5.20)

т ’

Соотношение (5.20) проще, чем формула (5.12). К тому же, так как \n\aVi maVi т = 0, оно полностью соответствует формуле (5.18). Получается одинаковый результат при любом переходе от комплексной (5.18) к вещественной схеме (5.19) согласно (5.17). В вещественной схеме (5.19) величины av>т = а^т + ^а^т комплексные. Как было показано, приближенный переход к вещественным величинам av> т возможен при условии kh > 1, tg^/z = я/2. Тогда

Рассмотрим выражение

Л/ = Im S av (Др1 _ д^ = Im S avav+x = (m)т

= Im S (я ^ - ia^ ) (a ^ + ia^ = Im 2 (я(1> + zV1) ) X x VV ' X Vp+ 1x vp+ 1 z

{

m । [a0?.]2”60^1^ •(5-22>

L p+ 1 J v p+2 jv

Величина M является инвариантом для сложного волновода.

Таким образом, величины ^^т> характеризующие поле в сеточном волноводе с достаточно крупной сеткой kh > 1 и связанные на любых трех соседних нормальных слоях волновода вещественной разностной схемы (1.19), могут быть просуммированы по нормальному сечению волновода согласно (5.22). Эта сумма обладает инвариантным свойством. Величина (5.22) будет постоянной для любого сеточного слоя в нормальном сечении волновода. Даже тогда, когда kl < 2 или kh >kh0, т.е. когда явная вещественная разностная схема становится неустойчивой, что приводит к расходящемуся вычислительному процессу, уже никак не адекватному волновому полю. При этом инвариантность, г.е. независимость суммы (5.22) от р,все равно сохраняется.

Рассмотрим волноводы с потерями. Пусть к\х, у) = ко(х, у^ + + ib^(x, .у), где функция \р(х, у) характеризует потери в волноводе. Перейдем в разностном ПУГ с усреднения к вещественной схеме. Тогда вместо (5.19) имеем

0у+1, m [1 + ^^ 51Д/2] *v Qv_ i, m [1 — ^^ 5^/2] — 2av> т =

= -^v, mav, т “^ Sv, т ^v, m + 1 + av, m —1)? (5.23) где D = h1 (1 + ^h1^-41; Ф(х, у) = ф (,, m; Av>m ,Pv,m - коэффициенты, характеризующие среду, потери в среде и сетку. Используя (5.22), можно снова осуществить суммирование по всем узлам сетки, а затем найти инвариантные величины (5.22) и соответствующие ’’поправки” к ним в виде двойной суммы, которая каждый раз меняется, если изменяется поглощение в волноводе. Такой путь не является оптимальным.

Поэтому для слоистых сред, в которых ф = ф(У) = фт) поступим иначе. В уравнении av^it т (1 + рт) +^-1, т^—Рт ) +— = 0 сделаем замену av, т = bv m йт, где 6m — пока неизвестная функция дискретного аргумента. Тогда получим уравнение

8y+i, т (1 "^Рт) bm + by_ J т (1 — рт) б^1 + ... =0. Полагая

приходим к уравнению прежнего вида (5.22) только с другими коэффициентами а, 0, полученными делением величин Лр^+2,|3р}т наб^ (l+pw) = = V1 -Рт-

ЛЛ

Ьу* 1, т "^ bv_x t т — Oty, mbv,m “^ Sv, т (bv, m-v 1 $т + j /бт +

+ bv, m — 1 bm _ i lbm^ .(5.25)

Особенно простым уравнение (5.25) будет для постоянных потерь ^т±1 ™ Ьт. Тогда для нахождения величины bv + x, т в одном новом узле потребуется два умножения и три сложения с потерями. Правда, затем, чтобы получить само поле aV)m, необходимо величины bvт умножить на bvm. Для экономии это можно выполнить и на более редкой сетке. Так как I б^ | < 1, то поле av т в среде с потерями будет убывать вдоль оси волновода как это и должно быть. Что же касается инварианта mv (1.22), то он будет прежним для величин b*v т:

Му — S (Ьу+Х т ~ ЬуЬу+2^ - const.(5.26)

т ’

Глава VII

ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ НА СЕТОЧНЫХ ОТРЕЗКАХ

Я хотел бы обратить внимание на аналогию между голографической записью и памятью людей.

Д. Габор

Существует, казалось бы, заколдованный круг, из которого нет выхода: нельзя сделать никакую работу без ясного понимания, но ясное понимание возникает только в конце работы и то не всегда. Стремление сначала понять цсе до самого конца, а потом уже работать - очень частая причина неудач.

А. Мигдал

. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ И ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ СЕТОЧНЫЕ ОТРЕЗКИ

Метод сеток позволяет наиболее естественным образом установить связь между вычисленными или измеренными значениями поля на различных множествах узлов. Он позволяет осуществить пересчет поля с одного множества узлов на другое, если при этом удается сохранить устойчивость и необходимую точность разностных схем [47].

Рассмотрим в качестве примера У Г ихх + иуу + к1 и = 0 с постоянным коэффициентом к в области х > 0, 0 < у < тг. Воспользовавшись заменой и = иехр(/кх), перейдем к ПУ с постоянными коэффициентами к,к

Иких + иуу + (к2 — к2) и = 0.(1.1)

Его решение при условиях и (х, 0) = и (х, тг) = 0; и (0, ^) = / (у) = = ^ ап sin ну имеет вид

и (х,у) = S a„sin (ну) ехр { - [(-л2 + к2 — к2)]21к\х } .(1.2)

Оно является суммой плоских волн, распространяющихся под разными углами. Рассмотрим узкий пучок волн внутри угла, соответствующего значению п вблизи nQ:n0 — т0 <n0 ^Ио + ^о-Тогда

т0

^m(xfy) = ^ an +msin[(nQ^m)y] exp -хХ

-т0

X \к2 — к2 — (п0 + ти)2] /21к }2.(1.3)

Параметр к выбираем из условия

к2 — к2 — По = 0.(1.4)

При условии (1.4) для волны п = по первая производная их обращается в нуль. Для нормальных волн с номером п в окрестности л0 первая и вторая производные иХ) ихх малы. Второй производной вообще можно пренебречь. Поэтому для этих волн выполнение равенства (1.4) создает наиболее благоприятное условие для применения ПУ.

Если п0 = fcsinpo, где р0 — биссектриса углового пучка п0 ^ mi0, то к = ^cosp0- Считая, что п0 > т, пренебрегаем в (1.3) величиной т2

п0 сравнению с 2nQm, имеем

т0

^ (х,у) = S a„o+„sin[(no+и)Л exp(-ixwtgPo)-(15)

-m0

Введем сетку с шагом I по y(Nl = тг) и рассмотрим дифференциально- аналог уравнения (1.1). Его решение V/ (х, у^ имеет вид

N

Vi (X,у) = ^ ап sin (пу) ехр {— [Л2 — к2 — (4/Z2 ) sin2(n//2)] /(2 z к) } .

(1.6)

Для дальнейших преобразований решения (1.6) необходимо взять вполне определенную сетку. Ее шаг I выбираем из условия

п01 = я/2.(1.7)

Так как NI = тг, то значение л0 как бы соответствует нормальной волне со средним номером между 1 и N, т.е. л0 = W/2. Затем находим значение параметра к из уравнения

к1 -к2 -2/12 = 0.(1.8)

Как условие (1.4) для дифференциальной задачи, так и условие (1.8) для разностной означают, что при п = по показатель экспоненты в (1.2) или в (1,6) обращается в нуль. Полагая п = п0 + т, имеем sin2(«Z/2) = = (1 - cosmZ)/2 = V2 (1 - cos(m0^ + mZ)) * V2 [1 - cos(tt/2 + ml)^ = = V2 [1 + sin (znZ)]. Тогда

m0

Vi, m^y) = 2 аПо + m sin [(«о + m^yA X

X exp [- Zxsin (^Z)/(kZ2)].(1.9)

Введем в полосе x>0, 0<^<тг сетку с шагами Z и h по у и х. Тогда получим из уравнения (1.1) его разностный аналог

21к [и (х + h, у^ - и (х - И, jp)] /(2 Л) + [и (х, у + Z) +

+ и (х, >--/)]//2 + (к2 -к2-2/Р)и(х,у) = 0.(1.10)

Пусть выполнено условие (1,8). Тогда последний член в (1.10) обращается в нуль. Имеем

Zk [и (х + h, у) - и (х - h, jp)] /(2Л) + [и (х, у + Z) + и (х, у - Z)] /Z2 = 0.

(1.10а)

Кроме того, шаг h можно брать не произвольным, а связанным с Z и к. Положим

к/h = 1/Z2.(1.11)

Теперь уравнение (1.10а) еще упростится:

и (х, у + Z) + и (х, у - Z) + i [и (х + h, у^ - и (х - Н, ^)] = 0.(1.12)

Его решение представим в виде ряда

ui, Н.п - 2 д„о + msin [(п0 + Ш^у ] ехр[- (ix/h) (mZ)J .(] .13)

— ?TZ о

Введем параметры а и Р, связанные с / и /г: /~2 = к2Р, h 2 = к2 а, р - ^А^2/-2^ Л2ея-2 . Имеем

к2 = к2 (1 -20); <а = 0/V1 -20; к -к.(1.14)

В решении (1.9) дифференциально-разностного уравнения (А -> 0) под знаком суммы имеется множитель ехр(—ixk Vasinml); в решении разностного (1.12): ехр(—ixml (h) = exp(-ixmlк Va)• Приближенное равенство этих экспоненциальных множителей при ml ^ \(m!N < 1 IN = л) следует из приближенного равенства sinm/ ~ ml, ml < i.

Рассмотрим связь ряда (1.5) с решением (1.3) дифференциального уравнения (1.1). При сделанных предположениях т < л0, nQlkQ = tgp0. Под знак суммы (1.5) входит экспоненциальный множитель ехр(-/тхи0/£). Поскольку в (1.9) для малых ml имеем exp [—ixml(к/)], где I = л/(2и0), к ~ к, то для полного соответствия дифференциальной и дифференциально-разностной задачи необходимо изменить масштаб расстояния по х и положить

■^диф “^разн^/^(1.15)

К аналогичному соотношению можно прийти, если просто вычислить производные

Э

-- (fc2-К2-и2)|„ = „ = -2И1,(1.16а)

ОН1

2

=(Мбб)

Для того чтобы (1.16а) и (1.166) были равны, необходимо положить «1 = 1/7 =п01 (я/2). Откуда следует (1.15).

Разностное уравнение (1.12) является уравнением гиперболического типа. Оно позволяет вести устойчивый счет, перебирая сеточные отрезки не только вдоль оси волновода х, но и в направлении оси у. В сеточной области его характеристики, соединяющие семейства узлов, пересекаются под прямым углом и составляют угол ± л/4 с сеточными отрезками, т.е. с семействами эквидистантно расположенных узлов, ориентированных вдоль оси волновода и вдоль его нормального сечения. Но поскольку I Ф h, то на плоскости х, у углы между характеристиками разностного сеточного уравнения (1.12) будут другими. Используя явную схему для решения (1.12), можно проводить вычисления не только вдоль оси волновода, но и в направлении его нормального сечения. Правда, в этом случае краевых условий уже нет: область влияния — треугольная область с размерами, определенными горизонтальным сеточным отрезком. Так, например, если поле задано на двух соседних горизонтальных слоях волно- В9да у = а, у = а +1 при —vok <х <voh, то, используя (1.12), можно проводить вычисления в треугольной сеточной области с основанием на заданных горизонтальных слоях и с вершиной треугольника, которая может находиться либо внутри волновода, либо на его границе. Высота, опущенная с средины основания к вершине, - вертикальный сеточный отрезок. Соответственно рассмотренной алгоритмической процедуре можно получить 148

поЛе на вертикальном отрезке в волноводе х = 0, -vl < у <vl при условии, чТо оно задано на горизонтальном отрезке[45].

Пусть волновод заполнен неоднородной средой. Тогда, вводя сетку и используя краевые условия на границах волновода, можно вычислить волновое поле для узких пучков волн. Воспользуемся схемой КН. В этой задаче волновод (или среда) считается однородным. Схема КН устойчива для ПУГ при любых I и при kh > 1. Для ПУ область устойчивости схемЫ КН не имеет ограничений: схема устойчива для kh > 0, т.е. для любых /,/z :7>0,Л>0.

Рассмотрим следующий разностной аналог ПУ:

(2^/2/z) [и(х + Ку^ - v(x—h, 7)] + [и(х, у + /)-и(х, у - /) - 2v(x, у^Ц2 +

*кгери = 0.' (1.17)

Перейдем от ЯС (1.17) к схеме КН. Для этого необходимо взять среднее значение двух последних членов в (1.17) на слоях х = х + h соответственно. Пусть ф = ф(х, у). Следуя методу замороженных коэффициентов, полагаем фс = const. Имеем характеристическое уравнение для КН

(~2k/h) sinK/z + (2zosnl/l2) cosk/z + (k2&pc - 2fl2) cosk/z = 0,(1-18)

или

t^Kh = h/k [coswZ/Z2 + (к2€фс —2/Z2/2)].

Из характеристического уравнения (1.18) следует, что величины кН для любых п, I, h, к, е, крс всегда вещественны. Схема КН всегда устойчива для ПУ.

Теперь рассмотрим явную схему (1.17). Пусть согласно методу замороженных коэффициентов ^ = 1. Если положить — 2)12 + к2е = 0 и k/h0 = I//2, то h0 = kl2 = 2Цке\ Тогда приходим снова к уравнению (1.12). Положим ем < е* < е. Для ЯС имеем

{-2k/h ) sinK^z - (4/Z2) sin2(«Z/2) + k2e = 0, или

(—2klh) sinK/z - 2/Z2 + fc2e + (2/Z2) cosrzZ = 0.(1-19)

Пусть к212 = 2/e, тогда

(-Tzo/Zz) sinK/z - 1 + k2el2!2 + cosazZ = 0.(1.20)

Возьмем шаг h из условия

-holh- 1+ем/е = -1,(1.21)

где h0/h = ем/е. При этих условиях по явной схеме можно устойчиво передвигаться в вертикальном направлении, т.е. вдоль оси у, перпендикулярно границам волновода. Неоднородность среды, т.е. когда ф = ф(х, у), не нарушает при этом устойчивости ЯС. Что касается движения по разностной схеме КН вдоль границ волновода, то для ее устойчивости никаких ограничений на шаги сетки h, I нет. Таким образом, в неоднородном неслоистом волноводе вдоль оси можно проводить вычисления поля на любой сетке, используя схему КН, а в вертикальном направлении для вычисления поля в соответствующих 8 треугольной области необходимо взять сетку с шагами Z, h, обеспечивающим устойчивость ЯС.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОЙ ЗАДАЧИ В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассмотрим дифференциально-разностный аналог ПУ на плоскости х, 7 с сеткой по^у: у = yv = vl, v = 0, ± 1 ..., v(x, ^v) = uv(x),

2ikvx + (1/Z2)[uv+1 +и„_1 — 2u„] = 0, uv(0) = /(у,,)^,,,(2.1)

я1

r^ef(yv) = av = J F(t)exp(ivt)dt; F(t) = — SaM exp(-/дг) ,av - заданные -я2тт д

величины, представленные интегралом Фурье с ядром exp (zvr). Находим решение

яI4t]

и(х, jv) = uv(x) = J F(f)expUvt + sin2— x 1 dt.(2.2)

-я(Икг2J

Коэффициенты av и функция /(у) известны. Например, они могут быть получены либо в численном, либо в реальном эксперименте, когда в области х > 0 расположены источники волн, излучающие волну с цилиндрическим фронтом. Пусть/(у) характеризует амплитуду и фазу волны, излученной источником, находящимся в точке х = R, у = 0. Координата у изменяется в пределах — а <у < а, так что f(y) — финитная функция. Тогда интеграл (2.2) будет иметь максимум по модулю в окрестности точки х = R, у = 0 при условии, что этот максимум находится в зоне Френеля R < Via1 к, -а < у < а. Непосредственные вычисления интеграла (2.2) подтверждают этот вывод. Вычислять интеграл (2.2) непосредственно - весьма трудоемкая работа. Гораздо эффективнее воспользоваться разностным аналогом ПУ и выполнять поиски максимума (или максимумов, если источников несколько) на сетке в области зоны Френеля. Такой ’’сеточный” метод поиска максимума наиболее оптимален тогда, когда av заданы численно в модельных или реальных экспериментах.

При математическом моделировании задачу можно упростить. Воспользуемся известным приемом [30], расширим интервал -а <у <а на всю ось —00 < у < 00 так, чтобы все интегралы вычислялись аналитически и решение задачи имело вид простых формул.

Пусть

/(у) = [exp(-z&V(x"-^^^“ exp(-ikR - iky1 (TRY(2.2a)

В квадратных скобках дано выражение расходящейся волны с цилиндрическим фронтом. Видно, что при х = 0 ее фронт идет в направлении +х. Нам же надо искать волну, идущую в направлении оси — х, т.е. к источнику х = R. Поэтому либо надо взять комплексно-сопряженное ПУ — 2ikux + + иуу = 0 с условием v ।0 = zxpiiky1 [2R), либо обычное ПУ 21ких +

+ иуу = 0, но с комплексно-сопряженным условием

У I x=0 = ехР (-iky2j2R),(2-3)

т.е. в У (у) необходимо заменить i на -i: f(y) -* f(y). Считаем расстояние R достаточно большим и используем приближенное разложение /(у) в виде (2.2а)._

Пусть начальное значение и к = /(у) задано не только на отрезке

-a < у < а, но и на всей оси при —00 <у < тг. При этом выделим значение интервала — а < у < а, так что введем некоторый быстро убывающий вне интервала весовой множитель ехр {—у2 /а2). Полагаем

и| х=0 = ехр(гЛ//2К)ехр(-//«2)-(2.3а)

Для уравнения 2ik Vx + Vyy = 0 легко находим решение начальной задачи с условием (2.3а) в виде простой формулы

V(x, у) = [ 1 + 2ix/{kl2)]_ 1/2ехр {(- у2 (Ь2)[ 1 + 2ixKkb2) Г* },(2.4)

где 1/£2 = 1/я2 + ik/(2R). Следовательно

| 1 + 2дх/(^2)| =(1 — x/R)2 -v4x2Kk2aAY(2.4а)

Выражение (2.4а) имеет минимум при х0 = А[1 + 4R21(к2а4^ -1. Область R < Via2 к соответствует зоне Френеля. В ней приближенно х0 — R. Соответственно модуль решения (2.4) имеет максимум при* — R.

Когда источник расположен в зоне Френеля на оси х (при у = 0), тогда его местоположение несложно найти. Это можно сделать по максимуму волнового поля, найденного перед отрезком — а < у < а. В более общем случае необходимо по максимуму поля определить не только расстояние, но и направление (угол ф) на источник, который расположен в некоторой точке х0, уо р2 = хо + Уо ; у0 = psin^. Тогда аналогично формуле (2.2а), считая р большим, имеем при х = 0 .

ехр VikV(х - х0)2 + О - .Уо)2] х=0 - ехр [ ikp - iy^k^p) + 1куу0,р\ .(2.5) Кроме того, по-прежнему предполагаем, что заданное на оси -°° < у < 00 поле (2.5) умножается на весовой множитель с коэффициентом а = scostp. Однако для небольших углов ^, когда справедливо приближение ПУ cos^ ~ 1, полагаем 2 — а.

Решение ПУ 2ikvx + vyy = 0 ищем в виде

и(х,.у) = J F(£) expiry +xldt(2.6)

4 2ik J

Тогда

v(OjO = Г^)ехР(^У)^

Следовательно,

*°° /у2ikv2\

F(^) = — J+ iky sirup- i$y dy.(2.7)

zu -oo \a2pJ

Воспользовавшись табличным интегралом

J exp(-py2 ±qy)dy = \firjpexp(^2/4p),(2.8)

+ oo

находим F(^) =—-=exp(^2/4p); p = 1 ta2, q = i(ksirup - £). Затем, еще раз пр

используя формулу (2.8), находим согласно (2.6) и само решение снова

Рис, VII.L Равноугловые области перед отрезком а

<71 = О' + — &sin vpa2,<71 = О' + — &sin vpa2,в виде простой формулы (2.8), в которой

<71 = О' + — &sin vpa2,

<71 = О' + — &sin vpa2,

; (2.9); (2.9)а2хik + 1а2х

; (2.9)

; (2.9)

— + = :

42/^4а2 ik

ииPlPl^e~^2 sin2 <^/4а2 /__ eqr2/4р

и

и

Pl

Pl

Поиски максимума модуля | и(х, у) | лучше всего начать с поиска его максимума по х при у = 0. Тогда в окрестности х = х0, где находится максимум, находится и источник, т.е. для небольших углов ф он находится вблизи линии х = х0. Чтобы получить ’’всплеск”, максимум поля, совсем необязательно ’’упереться” в источник: достаточно пройти где-то рядом с ним. Таков первый этап приближенного поиска максимума и координат источника. Затем на втором этапе, передвигаясь по линии х = х0 вдоль оси у, находим максимум модуля поля на этой оси в точке у =Уо- Используя выражение (2.9), нетрудно убедиться, что величина у = у0 соответствует углу ф. Тем самым найдены направление на источник волнового поля и расстояние до него, если он расположен в зоне Френеля.

Конечно, источников может быть несколько. Тогда и максимумов I w(x, /) I также будет несколько. В некоторых случаях они будут сливаться, а в некоторых их удастся различить. Вне зоны Френеля максимумы будут отсутствовать. Однако направление на источник и в этом случае можно определить обычным образом, анализируя угловой спектр.

Параболическое уравнение дает правильный результат в случае, когда источник расположен под небольшим углом к оси .у. Если же перед некоторым отрезком -а < у < 3 имеется область в виде угла большого раствора -0о < 0 < 0О, то, конечно, непосредственно использовать ПУ нельзя. Однако эту область можно разделить на ряд подобластей с углами малого раствора —0# < 0 < 0^ (0^ < 0о/^), в каждой подобласти ввести свои координаты х^ у^, причем а^ - 3^cos0^. Такие области будут заполнять большой угол и частично накладываться друг на друга внутри него (см. рис. VII. 1). Но это не существенно: источники, обнаруженные в одной из областей малого угла раствора, могут быть обнаружены и в другой, а затем идентифицированы. Сам же угловой спектр поля, приходящего на апертурный отрезок — а < у < а просто получается путем ’’вырезания” соответствующей полосы углового спектра всего поля, представленного интегралом Фурье по углам. Ясно, что при таком разбиении зона Френеля будет уменьшаться в зависимости от угловой направленности на источник. Самой протяженной зона Френеля будет в направлении, перпендику-

лярном апертурному отрезку. Под скользящими углами она будет мала, как это и должно быть.

Если на апертурном отрезке заданы просто числовые значения поля f(yо), то аналитическими решениями, рассмотренными выше, не удается воспользоваться. Тогда необходимо использовать либо интегральное решение дифференциально-разностного ПУ (2.1), либо его численное решение на сетке. Вычисление интеграла (2.2) требует большого объема расчетов. Поэтому применение МКР более эффективно. Если шаг по j постоянен, то размеры угловой области, где может находиться максимум поля и сам источник, увеличиваются по мере удаления от апертурного отрезка. Чтобы ограничить число узлов в сетке и повысить эффективность программ МКР, было рассмотрено проведение вычислений на цилиндре при периодическом условии для решения ПУ. Максимумы поля, соответствующие источникам, были обнаружены и в этом случае.

ОДНОМЕРНАЯ ВЫБОРКА ВОЛНОВОГО ПОЛЯ

В ТРЕХМЕРНОМ ВОЛНОВОДЕ

Когда волновое число к в УГ или ПУ известно, решение уравнений при заданных условиях на границах и заданном источнике поля представляет лишь технические трудности. Так обстоит дело с двумерными и трехмерными прямыми задачами. Однако в трехмерных обратных волноводных задачах могут встречаться случаи, когда известен только интервал, в котором заключены изменения горизонтальных волновых чисел, характеризующих распространяющиеся волноводные моды.

Действительно, гидроакустический волновод — подводный звуковой канал представляет собой пространственный фильтр распространяющихся под разными углами к его границам нормальных волн. Большая часть из них рассеивается на взволнованной поверхности и поглощается в дне в процессе распространения звука. И лишь небольшое число волн, направления которых заключены внутри угла 7 = ±5°, проходит в волноводе большие расстояния. На горизонтально расположенной ненаправленной антенне — сеточном отрезке — они все как бы складываются и дают суммарное поле. Отдельные моды из этого суммарного поля уже никак не выделить. Однако для малого угла 7 приближенное представление о месте локализации максимума поля вблизи источника звука получить все же можно, пользуясь слабым разбросом углового направления распространения мод по вертикали и тем, что продольные волновые числа мод близки к к.

Рассмотрим пример. Пусть

(ЗЛ)(ЗЛ)N

(ЗЛ)

(ЗЛ)

u(x,z) = S a^sin (wz)exp (z^x).

Л=1

- поле распространяющихся нормальных волн в однородном трехмерном волноводе 0 < z < 7Г; £„ = Vk2 - п2 ;х - направление их распространения. Пусть на своем пути волны встречают горизонтальный сеточный отрезок z = z0 (г =0), расположенный под углом ^ к оси х: х = i?sin^ + rcos^. Тогда на отрезке будем иметь поле

А1?) = Sa„sin(^0)exp(^„7?sin^),

т.е. сумму ’’спрессованных” в одну функцию нормальных волн. Поэтому функция /(т?) — одномерная выборка поля в трехмерном волноводе. Проанализируем угловую структуру приходящего на апертурный отрезок —а/2 < 1? < а/2 поля, исходя из того, что разброс углов волн невелик. Имеем

а/2

^(0 = / Дт1) exp(-i^) di] =

-а/2

La„sin(«z0) {(a/2)sin [^„sin^ - fcsinfl]} /(£„sini- &sin0).(3.2)

Приближенно считаем задачу двумерной, полагаем волновое число равным к . Находим

1 ОО

Ui^,^ = ~ J F^exp^ + iry/k2 - £2)d£,(3.2а)

где и2(т?, т) удовлетворяет УГ (Э2/дт?2 + д2/дт2 + А:2)м2 = 0 и условию (3.2) прит =0. Из (3.2) следует соотношение

sin0„ = (J„/^)sin^,(3.3)

при котором каждый член суммы (3.2) максимален по ^. Так определяются углы распространения волн в двумерном волноводе с волновым числом к. Однако, поскольку исходный сигнал был получен как одномерная выборка поля в трехмерном волноводе, то в двумерном волноводе получается уже целый набор азимутальных, т.е. лежащих в горизонтальной плоскости 1?, г углов, под которыми приходят волны на апертурный горизонтальный отрезок в трехмерном волноводе. Воспользуемся тем условием, что вертикальный пространственный спектр нормальных волн достаточно узок: г? [к1 < 1. В реальных волноводах это обусловлено свойствами самого ПЗК. Тогда ^п/к — 1 и 0п ^ф. Поэтому азимутальное направление на источник хотя и размывается немного, как размывается и сам максимум, характеризующий местоположение излучателя, даже в двумерной, рассмотренной в предыдущем разделе задаче, однако и максимум и направление на источник определяются достаточно точно благодаря фильтрующим свойствам ПЗК1.

Двумерность вспомогательной задачи не особенно влияет на точность восстановления угла на источник. Если считать, что апертурный отрезок -а (2 <Т1 < а/2, т = 0 расположен в трехмерной однородной среде с волновым числом к, то находим

W3(^,T,r) = —— 2 / /^(^ехрО^т?+zt\A2 - I2 -m2)d^,(3.4)

2я I-*

Для проявления фильтрующих свойств ПЗК трасса должна быть достаточно протяженной, а для определения максимума источник должен быть в зоне Френеля, т.е. достаточно близко к апертурному отрезку. Это противоречивые требования. Их оценку можно выполнить, взяв необходимый частотный диапазон, свойства ПЗК и его поглощающих границ, размеры апертурного отрезка. Тогда возможно выделение области параметров, в которой восстановление местоположения источника возможно с заданной точностью без учета шумовых помех, конечно.

где и3 удовлетворяет трехмерному УГ, а функция Fm^ по-прежнему дается формулой (3.2), в которой необходимо заменить к на ^т = \/к^ - т2. Тогда

sin0„m = (^/U)sin^. (3.5)

Если раньше в (3.3) было ^п <к и вп < <р, то теперь ’’размытие” азимутального направления на источник происходит согласно (3.5) в обе стороны угла ф, поскольку £„ < ^т при п > т и наоборот.

Перейдем к полю нормальных волн в слоисто-неоднородном трехмерном волноводе. Это не представляет принципиальных трудностей. Только надо заменить в выражении (3.1) sin^z на ^(z) - собственные функции задачи ШЛ, а £„ считать собственным значением. Спектр азимутальных углов, задающих направление на ’’размытый” источник, будет по-прежнему определяться формулами (3.3) или (3.5), где £„ - продольное волновое число л-й моды — собственное значение задачи ШЛ.

Более сложной является проблема, когда волновод не является слоистым или когда трехмерный слоистый волновод в океане заканчивается трехмерным клином - шельфовой зоной. Если апертурный горизонтальный отрезок расположен в клине, то на него могут приходить как прямые нормальные волны из канала, так и волны, отраженные однократно (или многократно) от дна и рассеянные поверхностью. Направление вертикального угла прихода этих волн будет испытывать сильное влияние клина в шельфовой зоне, если они идут под углом к нижней грани клина. Пространственный вертикальный спектр волн будет расширяться, что повлияет на точность определения горизонтального азимутального угла. А затем все волны приходят на одномерный горизонтальный отрезок, образуют на нем поле в виде функции одного аргумента. Извлечь все эти волны из такой функции невозможно.

Конечно, в связи с отражением и рассеянием амплитуды этих волн будут меньше, чем волн, приходящих на отрезок непосредственно из ПЗК. Они будут испытывать влияние нестационарной поверхности океана. В таком случае, возможно, эти волны можно рассмотреть как помеху, так как они флуктуируют из-за рассеяния на поверхности.

Если береговой клин действует локально только на часть нормальных волн, то течения, внутренние волны, горизонтальная рефракция могут изменить траектории лучей от источника. Тогда обработка поля, пришедшего на горизонтальный участок, должна быть принципиально другой и вестись с учетом данных о неслоистости трехмерного волновода.

Рассмотрим, как изменится зона Френеля, если на апертурный отрезок приходит нормальная волна из трехмерного волновода. Следуя волновым законам, имеем известную формулу, связывающую угол Ф расхождения (схождения) пучка, длину волны X и величину апертуры a, \ja = Ф. С другой стороны, поскольку пучок сам содержит неопределенности в угле порядка у?, то р(Ф + V^) = а. Исключив Ф, имеем

р = а2 КУ -vaVe^. (3.6)

Можно сказать, что формула (3.6) приближенно определяет уменьшение зоны Френеля, возникшее вследствие пространственного вертикального размывания спектра нормальных волн на угол £ ~Ve. Для реального

волновода # ~0,1, е = 0,01. Формула (3.6) определяет минимальные раз- меры зоны Френеля. Результат будет более точным, если принять гипотезу равнораспределения волновой энергии между модами.

Определить направление на источник и расстояние до него можно, ’’про- ектируя” волновую информацию на горизонтальный сеточный отрезок, перпендикулярный направлению на источник. Затем, используя результаты разд. 1, пересчитать ее в вертикальный отрезок. Самый оптимальный случай будет при условии, что исходный горизонтальный отрезок направлен прямо на источник. Тогда пересчет поля на вертикальный сеточный отрезок даст самую большую длину последнего. Если же источник находится под некоторым углом, то фактические размеры горизонтального отрезка уменьшаются. Это отразится на длине вертикального отрезка, в который можно пересчитать поле с помощью МКР. Величина вертикального сеточного отрезка сильно уменьшится тогда, когда излучатель будет находиться вблизи оси, проходящей через середину горизонтального отрезка. Перед самим отрезком будет некоторая ’’мертвая зона”, для которой вертикальный отрезок уменьшается до размеров, не позволяющих решить обратную голографическую задачу путем движения от вертикальной цепочки узлов в направлении на источник уже в слоисто-неоднородном двумерном волноводе, используя МКР. При этом по характерному всплеску, максимуму, ’’пику” поля вблизи излучателя можно снова найти расстояние до него, уже используя информацию о неоднородности среды в волноводе. Можно, наконец, определить третью координату источника, его местоположение внутри волновода.

Таким образом, трехмерную задачу о нахождении трех координат источника мы свели к двум двумерным задачам. Причем в первой задаче нам вообще не требовалось знание гидрологии — закона изменения c(z) в слоистой среде. Достаточно было одного предположения, что трехмерный волновод является слоистым, а трасса достаточно протяженной, чтобы проявились фильтрующие свойства ПЗК.

Двигаясь в волноводе к локализованному излучателю, предполагая получить ’’всплеск” в точке, где расположен излучатель, мы решаем обратную задачу голографическим методом [23, 24, 31, 59—61, 64, 78, 79, 82, 90, 93,107, 109]. Конечно, голографический путь при обращении волнового фронта, при решении обратных задач - это прежде всего математический подход, который может быть реализован либо аппаратурно — в когерентном лазерном свете для однородной среды, либо в виде интеграла Фурье, представляющего волновое поле в такой среде, либо на ЭВМ с помощью разностной устойчивой схемы для неоднородной среды. В первом случае высокое быстродействие осуществляется благодаря распараллеливанию восстановления поля источника или изображения волнового поля в среде по записи на голограмме, осуществляемому самой волной лазерного излучателя из-за ее локальных физических свойств и локальных свойств голограммы. Во втором случае, который довольно трудоемок из-за необходимости многократно выполнять преобразование Фурье, распараллеливание тоже возможно на матричном или векторном процессоре. Эффективность математического процесса можно повысить, отказавшись от преобразования Фурье и перейдя к вычислению поля МКР. Особенно МКР эффективен для явных разностных схем в неоднородной среде, обладающих ло- 156

кальными свойствами и связывающих волновое поле всего в нескольких соседних узлах. Локальность явных схем МКР обеспечивает простой и наглядный путь к распараллеливанию вычисления: поле можно вычислять на всех узлах нового волнового фронта независимо.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗЫ ПО АМПЛИТУДЕ

НА ВЕРТИКАЛЬНОМ СЕТОЧНОМ ОТРЕЗКЕ В ВОЛНОВОДЕ

В акустике, как и в оптике, голографии, радиофизике, имеет большое значение восстановление фазы по амплитуде. Так как фаза и амплитуда для гармонического сигнала связаны одним уравнением (УГ, ПУ, ПУГ), то в принципе эта связь должна позволять находить одну функцию, если известна другая. Однако здесь, конечно, есть свои сложности, так как амплитуда и фаза в общем случае удовлетворяют нелинейным уравнениям. В некоторых случаях уравнения можно линеаризовать и решить. Наиболее просто это сделать, если пучок волн является достаточно узким и описывается ПУ

2ikvx + vyy + ^evp^v = 0.(4.1)

Полагая и = рехр(/х),где р, х — вещественные функции, находим

2ik(px +руХх) + (Руу + 2ipyXy +ipxyy -РХу) + к2е-р(у)р = 0.(4.2)

Отделяя мнимую часть, имеем

2крх + 2руХу + РХУ у = 0.(4.3)

Это линейное уравнение в обыкновенных производных для функции Х(х, у) при фиксированном х. Для волновода фиксированное значение координат х означает, что рассматривается его нормальное сечение или что имеется вертикальный отрезок, в разностном приближении - .сеточный отрезок. Зная р, рх и ру легко находим

х(х, У) = ^ [- /(кр2 )xdy/p2 ] dy + х(х, 0) + ху(х, 0),(4.4)

О о

где х(^, 0) и Ху^х, 0) - значения фазы и ее производной при у = 0. Заметим, что для нахождения х(х> У) нам необходимо знать амплитудыр(х, у) при фиксированном х на вертикальной апертуре и значение ее производной рх^х, У) вдоль координат х. Если мы в некоторых точках х, х ^h имеем несколько вертикальных сеточных отрезков, то вычислить рх(х, у) не представляет трудностей.

Если мы сразу возьмем разностный аналог ПУ по у

2ikvx + L2 уи(х, у) + к2 €<р(у)и = 0(4.5)

и воспользуемся подстановкой и = pexp(z'x), то получим уравнение

2ik(px + рх^ + {р(у + /)ехрг[х(У / 0 - хО)] + 2р(у)/2 +

+ Р(у - Oexpz [х(У - 0 -ХО)]//2}+£2еР= 0.(4.6)

Отделяя мнимую часть, имеем

2кРх + Г2 {Р(у + Z)sin [хСУ + 0 - ХО)] +^О - 0 sin[x(y - 0 - ХО)]}= 0.

(4.7)

Предположим, что величина рх нам известна. Пусть F^y + /) = Р(у + /)sin [хО + 0 - хОО] • Тогда (4.7) имеет вид

F(y + l)-F(y-I)=-2kPPx=f(y).(4.8)

Решить это линейное уравнение и найти F(y) не представляет труда. Имеем F(2/) = /(/) + F(0), F(4/) = ДЗ/) + F(2ty и т.д. Найдя F(y) и зная р(>), решаем линейное уравнение

ХО + 0 " ХО) = arcsin [F(y + О/рО + /)](4.9)

с известной правой частью. Все это было выполнено на ЭВМ М.Н. Жаглиной. Затем фаза, восстановленная по амплитуде, была использована при решении обратных голографических задач в волноводе (рис. VIL2-VIL4).

Параболическое приближение может оказаться удовлетворительным не только тогда, когда направление распространяющихся волн близко к оси волновода, а вообще если пучок достаточно узок, т.е. если иуу + (^2 (у) - — к2)и < би, где 6 — малая величина. Поэтому, зная распределение амплитуды р и ее производной рх на вертикальном сеточном отрезке и зная функцию Ду), характеризующую неоднородность среды по глубине, можно выделить в узком угле б(^0 — 6 < £ < #0 +5) поле волн рь в виде пучка, направление распространения которого находится вблизи заданного угла #0. Откуда sin^o = Ho/fco- Пусть на сеточном отрезке Л:2 n <к1^ <^ах- Тогда полагаем к2 = (^in + ^ах)/2 - ^sin2^0 (ymin <^<Утах)- Можно считать, что 2&о = ^min + ^тах* Поэтому к2 = &ос°82#о- После этого рассматриваем уравнение

21ких +иуу + [^2 О) - к2]и = 0,(4.10)

из которого находим фазу выбранного узкого пучка волн.

Действуя таким путем, можно блокировать, исключить из рассмотрения те пространственные компоненты поля, которые не являются существенными для решения обратных голографических задач, как, например, низкие пространственные частоты.

Наконец заметим, что если мы имеем трехмерное ПУ 2ikvx + иуу + ихх = = 0, то для восстановления фазы приходим к уравнению

^Р* 2рх\х + ^уХу + Р(ХхХ +Хуу) = 0.(4.11)

ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ СЕТОЧНЫЕ ОТРЕЗКИ

И МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ

Вычисления или измерения поля в волноводе дают просто набор чисел, количество которых связано либо с квантованием непрерывного сигнала по координатам (и по времени — в случае негармоничности), либо соответствует количеству узлов сетки. Представление поля в виде суммы нормальных волн позволяет значительно упорядочить этот численный массив. Конечно, при отклонении от слоистости, которое часто наблюдается на практике, никакое уточнение расчета поля МНВ не позволяет приблизить модельную задачу к реальной. Поэтому при более широком классе задач избыточная точность метода, пригодного для решения более узкого класса задач, ничего не дает. В связи с подобными ситуациями и говорят, что

159

8

- 0.9289А

0,0072-

7,26

788

- 7,3497-

-0,3088

0,3773-

0,9374

7,3376^

— —2

in и I

I I III

0,3/063

III II I H I

3,20 2,5f2,85 3,^

Г1 • t ii I 1 ‘I i • I И

Рис, V1L3, Сравнение фаз поля

1 — фаза, восстановленная по амплитуде; 2 — фаза, взятая из вычисленного поля

/

сейчас открылась возможность получать неверное решение задач ”аж с точностью до 15 знака”!

Однако МНВ, хотя он и неприменим непосредственно к неслоистым волноводам и к полям волн, испытывающих взаимную трансформацию и идущих в двух различных направлениях, может быть критерием как для контроля неслоистости волновода, так и для контроля однонаправленности волн в нем. В этом несомненно еще одна из привлекательных сторон МНВ, на которой следует остановиться. Эта сторона важна именно в алгоритмическом аспекте, так как неизбежные ошибки при измерениях и вычислениях поля всегда существуют даже в слоистом волноводе [45].

После того как поле вычислено каким-нибудь методом, например сеточным на основе ПУ, или ПУГ, или измерено в процессе эксперимента, возникает проблема, как представить уже найденное поле в виде суммы нормальных волн в том случае, если волновод регулярный. При этом следует рассмотреть путь, при котором нет необходимости решать задачу ШЛ, раскладывать функцию, характеризующую источник по собственным функциям волновода, а затем сопоставлять известное поле и поле, найденное методом суммирования нормальных волн. При таком сравнении всегда могут быть ошибки, так как в МНВ суммирование просто обрывается на некоторой нормальной волне, а в МКР никаких суммирований вообще нет, так как решается само исходное уравнение. Зная поле в достаточно большой области волновода, решение задачи ШЛ можно выполнить иначе.

N

Пусть и(х, у) = S апфn(y)exp(i^ х) — поле в регулярном волноводе, 1

без потерь, измеренное или вычисленное в результате каких-то процедур. Нам известна только функция и(х, у^, а величины ап, ^n^Y in неизвестны. Чтобы их найти, рассмотрим следующий алгоритмический процесс. Вначале образуем такую функцию от параметра t:

а

F(t)= J дехр(/!-х - ixt - pl xl )dx,(5.1)

— A

где 1А — пределы интеграла (суммирование); £, t, р — некоторые параметры. Вместо F(t) можно взять функцию

^1 (О = / aexp(i^x - txt - рх )dx.(5.2)

— А

Для дальнейшего это несущественно, так как пределы ±4 мы выбираем достаточно большими, чтобы подынтегральное выражение было малым. Для вывода теоретических формул можно считать, что А -► °°. Тогда из (5.1) приближенно при А -► 00 находим

Е^=Ър1\рг +а-02].(5.3)

Если 0 < р < 1, то F(t) имеем максимум F(/o) = 2а/р при tQ = £, а затем быстро убывает. Следовательно, вычисляя функцию

F(f) = J u(x, y)exp(-ixt - р(х( )dx =

—л

N00

= S апфп(У) J^exp(z^x - ixt - p\ x| )dx(5.4)

и определяя ее максимумы с достаточной точностью, мы находим ^ , т.е. Хп = £^- собственные значения задачи ШЛ.

Следует заметить, что собственные значения можно найти, имея только горизонтальный у = у г достаточно протяженный разрез поля. Это обстоятельство представляет удобство при измерениях звукового поля в реальном океане с движущегося корабля. Конечно, если его прямолинейная трасса движения вдоль координаты х не проходит через ’’эпицентр” источника, тогда вместо exp(ztnx) следует взять величину ехрЦ^^х1 + Го \ где г0 — расстояние от источника до прямой х.

Таким образом, для вычисления собственнных значений необходим горизонтальный разрез поля и(х, у) достаточной протяженности. Чтобы исключить возможность попадания на нуль некоторой собственной функции фп(у), можно взять F(r) не для самого поля и(х, у), а для интеграла иф) =

я

= J и(х, у)и(х, y)dy. Однако в этом случае уже необходимо знать поле о

в достаточно большом прямоугольнике —А < хх < Л, 0 < у < тг. Чтобы найти фп(у) и Х„, необходимо иметь вертикальную зависимость поля. Тогда, найдя £ , определяем для каждого максимума F^t, у\ t = t„ = ^ » вертикальную зависимость, т.е. находим отдельно величины^„={а„0„(у)| -

я

члены суммы нормальных волн. Осуществляя нормировку J ф (y)dy = 1, тгО п

т.е. вычисляя J q (y)dy = а , находим величины ап, характеризующие о”

источник. После этого открывается возможность вычислить поле и(х, у^ в виде суммы N нормальных волн так, как оно было представлено в самом начале. Проверку же самих собственных значений и собственных функций можно провести, решая задачу ШЛ, если при этом известен коэффициент к2 (у), характеризующий неоднородную среду. Заметим, что в рассмотренном методе для вычисления £„, фп(у\ ап функция к^ нам вообще не потребовалась.

Конечно, расхождение величин, характеризующих заданное поле и величин, вычисленных в виде суммы нормальных волн, будут иметь место. Ошибка возможна вследствие конечности интервала интегрирования, шага интегрирования, неточного поиска максимумов функции F(f) и других обстоятельств. Но величина ошибки может быть уменьшена.

Если в волноводе имеется рассеивающая граница или неоднородная по трассе среда, то применение метода также возможно. Однако функции Ф пСуЗ уже не будут собственными функциями задачи ШЛ, так же как и X = ^ не будут собственными значениями. Наконец, в том случае, когда в волноводе имеются волны обратного направления 'Lb^^xp^—ix^), функция F(f) будет иметь максимумы не только при г > 0, но и при t < 0.

ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАНТ Z НА СЕТОЧНЫХ ОТРЕЗКА);

Лучевые представления и представления о плоских волнах более адекватны при рассмотрении прямых и обратных волновых задач в однородных средах. Среди обратных задач наиболее важным является класс голографических задач, когда двумерные поля со всеми деталями, источниками, предметами восстанавливаются на основании волновой информации, заданной (записанной) на отрезке (при цифровом восстановлении - на сеточном отрезке), а трехмерные оптические и акустические копии предметов - по информации на сеточной двумерной области [40, 41, 47, 109]. Например, в случае трехмерных слоистых волноводов и горизонтального сеточного отрезка возможно определить направление на источник, а если он находится в зоне Френеля, то и расстояние по горизонтали до него при условии, что разброс горизонтальных волновых чисел нормальных мод, распространяющихся в канале, незначителен.

Значительно более сложной является проблема голографии при наличии фокусирующих систем [64], неоднородных сред перед сеточным отрезком ограниченной апертуры, не всегда перекрывающий всю ширину волновода. Как и в случае голографии в фокусирующих системах здесь большое значение имеет расширение спектра пространственных и временных частот — использование полихроматического восстановления источника, особенно эффективного при наличии как детерминированного сигнала, так и случайных помех [31]. Здесь же полностью проявляется удобство визуального наблюдения голографического изображения. Если голограмма восстанавливается в лучевом приближении и лучей достаточно много, то нельзя избежать ’’всплеска” поля в области каустики, периодического повторения вдоль волновода точек пересечения лучей и соответствующих им ’’ложных” максимумов поля. В волновом приближении, если даже оно основано на конечно-разностной, сеточной аппроксимации поля, каустики исчезают. Периодического повторения максимумов тоже не наблюдается. На визуализированной картине волнового поля виден только один наиболее высокий, выделяющийся максимум, расположенный вблизи источника, создающего первоначальное поле и голограмму на сеточном отрезке. Можно сказать, что лучевая обработка голограмм позволяетт как бы восстановить лучевой ’’скелет” поля и соответствующий ’’скелет” предметов. В то же время волновая обработка восстанавливает само поле и сами предметы, источники в нем. Таким, образно говоря, является отличие между лучевой и волновой обработкой в фокусирующих системах и в волноводах. В последнем случае аналогия вполне понятна, так как волновод сам является фокусирующей системой [84].

Что касается объема операций для одной частоты / и пространственного угла £0, то Для ЯС он равен

<7 = ^^, (6.1) где коэффициент к зависит от длины трассы. Скорость вычисления полного поля при этом

s = Mq"\ (6.2) где коэффициент М зависит от быстродействия ЭВМ. Так, например, для 164

явной вещественной схемы БЭСМ-6 проходит за 1 с 70 тысяч узлов сеточного волновода. Это при ^—2 тысяч узлов по вертикали волновода (Я - глубина; Н = 6 км, / = 1,2 кГц, £0 = 0,1 рад) и 104 узлов для трассы L - 500 км (к = 0,01 Н, L/h^ 5 • 104 /6 - 104) дает время (2 - 103 - 104)/ /(7 • 104) ^ 3 • 102 с ~ 5 мин. Вычисления полностью подтвердили полученную оценку.

В трехмерном волноводе, чтобы избежать восстановления всего трехмерного волнового поля перед некоторой ограниченной сеточной областью, состоящей из сеточных отрезков, можно поступить следующим образом. Разбиваем в горизонтальной плоскости область на ряд подобластей, в каждой из которых, используя обратное дискретное преобразование Фурье, выделяем поле, приходящее на вертикальные сеточные отрезки (см. рис. VII.1). Затем в каждой из р областей, используя МКР и ЯС, восстанавливаем поле. Тем самым задача о нахождении максимума в каждом секторе перед двумерной голограммой решается самостоятельно. Причем максимум возникает не только тогда, когда мы прямо ’’упремся” в источники в секторе рп (при наличии сетки с ячейкой / X h это вообще невозможно), но и тогда, когда мы пройдем в некоторых секторах рп±\, рп вблизи него, решая двумерные задачи. Имеем объем вычислений

Q = pq.(6.3)

Если р = 102, то для рассмотренного примера время решения трехмерной голографической задачи на БЭСМ-6 будет 500 мин.

Необходимость при наличии шума целого ряда частотных и временных реализаций еще увеличивает время вычисления таким образом, чтобы полезное детерминированное поле увеличивалось алгебраически пропорционально числу реализации М, а случайное — пропорционально \/Л^ т.е. геометрически [8]. Понятно, что подобные задачи для БЭСМ-6 (106 операций в час) уже недоступны. Однако если для мультигармони- ческого поля воспользоваться более современной ЭВМ, то можно выполнить распараллеливание как по частоте, так и по секторам р. Нелишним может оказаться и распараллеливание ЯС. Все это может ускорить процесс трехмерной голографической цифровой многочастотной обработки [62].

ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ И ЛУЧЕВАЯ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ОБРАБОТКА

ПРИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИНФОРМАЦИИ НА ГОЛОГРАММЕ

В однородном двумерном волноводе все нормальные волны являются суммой плоских волн. Фронты таких волн тоже плоские. Поэтому, если на некотором, являющемся небольшой частью ширины волновода апертурно-сеточном отрезке волновода заданы углы прихода лучей, то зная времена (относительные) прихода каждого луча, т.е. фазу соответствующей ему плоской волны, можно полностью восстановить эту плоскую волну и ее поле на сеточном отрезке. Затем, используя прямолинейность фронтов, можно продолжить поле каждой плоской волны на всю ширину волновода. Сумма волн дает поле уже на всей ширине волновода. После

этого, используя МКР и двигаясь в направлении источника (источников) 5 можно по волновой голограмме — поле на нормальном сеточном волноводе — восстановить поле во всем волноводе.

Вопрос о выделении углов прихода лучей и времен прихода на фоне шума давно обсуждается в литературе [8]. Однако если первая часть задачи — выделение углов и времен прихода — решается довольно успешно, то вторая часть — о восстановлении поля — решается, как правило, тоже в лучевом приближении. При голографическом рассмотрении на первом этапе лучи использовались для восстановления поля в нормальном сечении. Затем обращение фронта можно было выполнить на основе МКР в волновом приближении.

Если же волновод заполнен слоистой средой, то волны (лучи) испытывают в нем фокусировку. Такой волновод работает как линза с фокусным расстоянием 25 км [84]. Понятно, что в нем фронты волн искривляются, хотя и очень незначительно. Все же если по-прежнему на некотором небольшом апертурном сеточномготрезке мы выделяем углы прихода лучей и их относительные времена прихода путем соответствующей обработки (конечно, на фоне шума), то каждому лучу в пределах размеров апертурного отрезка можно сопоставить некоторую плоскую волну. Суммируя эти волны, можно получить поле на апертуре заданной длины. При этом кривизна волнового фронта может еще не сказаться.

Однако, если кривизна фронта мала, а фокусное расстояние в слоистонеоднородном волноводе велико, можно, как и выше, рассмотреть группу плоских волн, соответствующих выделенным углам. Их можно продолжить и вне заданной апертуры на некоторое расстояние. Тогда ошибка в фазе каждой волны из-за слабой кривизны фронта еще не накопится сильно. Апертурный отрезок и поле на нем можно будет продолжить вверх и вниз в волноводе. Конечно, расстояние, за которое можно выйти из реальной апертуры, на которой измеряются углы прихода волн, будет зависеть от частоты и от других параметров задачи. На низких частотах это расстояние можно считать большим, чем на высоких.

Затем, выйдя за апертуру малой величины и воспроизведя поле на голограмме в виде апертуры большой величины, можно снова обратиться к МКР и реализовать полную волновую картину вне ’’продолжений” голограммы. МКР позволяет это сделать быстро и надежно. Он позволит рассмотреть различные величины ’’продолженной” апертуры, исследовать частотное наложение полей (см. разд. 10, гл.1). Так лучевая обработка может успешно быть совмещена с волновой голографической обработкой. Преимущества такого комбинированного пути очевидны и вполне реализуемы как в численных модельных экспериментах, так и в реальной ситуации, когда измеряются углы прихода лучей (волн) и относительные времена их запаздывания (фазы).

ТОМОГРАФИЯ В ВОЛНОВОДЕ

НА ОСНОВЕ ВОЛНОВЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Пусть в трехмерном слоистом волноводе на некоторой глубине расположен точечный гармонический излучатель. На расстоянии R от него расположена вертикальная цепочка гидрофонов (сеточный отрезок), принимающих амплитуду и фазу гармонического сигнала. Тогда, зная свойства волновода и используя МКР для обращения фронта поля, заданного на вертикальной антенне, можно восстановить поле в волноводе и получить пик, выброс в точке, где находится излучатель. На трассе излучатель-приемник среда может изменить свои свойства, например, благодаря прохождению через трассу вихря, циклона или антициклона, внутренних волн и других образований. Измеряя поле на вертикальной антенне и обращая фронт, пик в точке, где расположен излучатель, получить уже не удастся.

Рис. VII.5. Прохождение вихря через прямоугольную область

И — источники, П — приемники

Если в вершинах прямоугольника расположить два локализованных излучателя, а в других двух вершинах — вертикальные сеточные антенны, то трасс будет уже четыре (рис. VII.5). Пусть вихрь движется прямолинейно со скоростью и по прямой -у = ах + b и пересекает трассы в моменты

времени r0, tx> t2, t3. Тогда нам известны величины 7} = (^ - tj_xM= 1, 2, 3, а величины а и b неизвестны. Имеем следующие расстояния гь г2, г3 между точками пересечения трасс вихрем:

'7 = VO/ - У}-1 )2 + (Xj - Xj - I)2 '= (.Xj - Xj_! )V1 +Я2/=1,2,3.(8.1)

Откуда

n + r2 + r3 =eVT + ar,(8.2)

где Q — длина стороны прямоугольника между двумя вершинами, которые также известны. Имеем

Л = гхи, Т2 = r2v, Т3 =г3и.(8.3)

Следовательно, зная и и зная Тх, Т2, Т3, можно найти гх, г2 и г3. Тогда из формулы (8.2) можно определить параметр а, характеризующий угол наклона траектории вихря, проходящего в прямоугольнике, к его сторонам. Можно определить и другие параметры задачи.

Таким образом, использование МКР при нарушении свойств трассы между приемной и излучающей системой позволяет, во-первых, фиксировать это нарушение по расплыванию пика в точке локализованного излучателя. Во-вторых, при более детализированном рассмотрении, используя ряд трасс, свойства вихря можно изучить томографическими методами.

РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМ А-ЛИУВИЛЛЯ

МЕТОДОМ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

При вычислении волновых полей в слоисто-неоднородных средах широко применяется метод нормальных волн. При обработке информации, измеренной на сеточном отрезке, т.е. на антенне, состоящей из эквидистантно расположенных гидрофонов, также необходимы основные характеристики нормальных волн. Для нахождения нормальных волн необходимо численно решить задачу ШЛ.

Задача ШЛ состоит в нахождении собственных значений Х„ и собственных функций ип уравнения

и’^ = к20)^0) = Хм (у), м(0) = м(л) = 0.(9.1)

На ЭВМ краевую задачу ШЛ решают часто методом начальной задачи, полагая м(0) = 0, t/(0) = а. Известно, что такой путь связан с рядом трудностей. Например, при разностной аппроксимации уравнения (9.1) в тех областях интервала (0, я) на оси у, где коэффициент к2 (у) — X отрицателен и имеет большую величину, решение начальной задачи может экспоненциально расти. Поэтому трудности вычисления Х„ и ип^ методом начальной задачи особенно увеличиваются с ростом частоты, когда вещественный коэффициент к2 (у) растет. В то же время решение краевой задачи для сред с потерями, когда к2^ - комплексная функция, не встречает принципиальных трудностей. В таких средах нет резонансных явлений, а метод решения разностного аналога краевой задачи — метод прогонки — устойчив в широких пределах.

Поэтому вместо (9.1) рассмотрим следующую задачу. Введем малые потери и воспользуемся приближенным методом решения задачи ШЛ. Имеем следующее уравнение и условия на границах:

и"О) + (^2(У) + 18)иО) = ХиО), и(0) = 0, и(я) = 8.(9.2)

Вычисления проводим для вещественных значений параметра X на полуоси X < max к2 (у) с таким шагом, чтобы обнаружить максимум функции

m(X) = J|u(X2jOldy.(9.3)

о

Причем

Im Jv”(y)v(y) + (^2(у) - X + z5)u(y)u(y) =

07Г

= Imi/(»i7(»| ” + J 81 u| 21 ” dy.(9.4)

00

Следовательно,

/I v\dy = -1ти(я).(9.5)

о

Это соотношение позволяет избежать интегрирования (т.е. суммирования для разностной задачи) в (9.3). При переходе к разностному аналогу (9.2) используем метод прогонки. В этом и состоит путь решения задачи ШЛ методом краевой задачи.

В качестве примера рассмотрим случай к = const. Тогда решение (9.2)

выглядит особенно просто:

(9.6)(9.6)и(у) = 5 sinV^-^X^T^jy/sinV^--^^

(9.6)

(9.6)

функция т(Х) (9.3), как и само решение w(y) достигает максимального значения в окрестности тех X, для которых к1 - X2 = п2.

ТОЧЕЧНЫЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ НА ГРАНИЦЕ ВОЛНОВОДА

В работе [47] рассмотрен точечный излучатель на границе волновода -oo<N <°°, 0<_у <л

ихх + иуу +к2и=0(7(х, 0) = (7(х, 0)= Цх, я)=0, U(x, 0) = 5(х).

(ЮЛ)

Показано, что задача (10.1) имеет решение

z °0 И8ш(итт - иу)„

U(x,y) =— 5=== exp(z]x|) .(Ю.2)

7Г 1 СО8ШТУ& -И

Переход к сетке NI = л по координате у приводит к конечной сумме

z n 5„sin(OT - пу)«

Цх,^)= - 2 —.==== exp(/|x|V^2-S^) ,(10.3)

Л 1- SnC0SH7Tп

где Sn = (2/Z)sin(nZ/2). Взяв в качестве начальных значений и^,У^ и uQi, y^exp^—iKh^ и использовав ПУ, можно вычислить поле как в однородном волноводе, так и в волноводе с каналом &2(1 + е^)). В этом случае в канале будут распространяться не все N сеточных нормальных волн (10.3), а только некоторое их число No < N. Остальные волны ’’высветятся” в околоволноводное пространство, в котором можно ввести и затухание. На реальных границах волновода волны рассеятся и поглотятся.

Для нас важным обстоятельством является следующее. Так как функция й(х, у) (10.3) обращается в нуль на границах волновода при у = 0, у = тг, то ее максимум удален от границы у = 0 (где находится 5-источник) и локализован в глубине волновода. Его местоположение зависит от частоты к, от числа учтенных распространяющихся нормальных волн, так как неоднородные волны п > к, присутствующие в (10.2) и исключенные в (10.3), не учитываются при формировании поля в волноводе.

Из этого следует, что, взяв поле распространяющихся нормальных волн на вертикальном апертурном отрезке, используя ПУ и продвигаясь по трассе в направлении поверхностного источника 5(z), мы не получим всплеска поля, интерференционного пика волн на поверхности. Это невозможно: границы волновода идеальные, и на них поле обращается в нуль. Максимум поля будет находиться на некотором расстоянии от границы, в’’эпицентре” 5-источника. Это обстоятельство хорошо показывает различие между волновым и лучевым приближением в данной задаче: лучи выходят из поверхностного источника и углы их прихода определяют (вернее, должны определять) направление на него. Заметим также, что любой распределенный поверхностный источник может быть представлен в виде суммы 5- йсточников.

Глава VIII

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ И АКУСТИКЕ

Разделение физики на различные дисциплины - механику, электродинамику и т.п. является педагогическим приемом, не имеющим строгого аналога в природе. Поэтому специальная теория относительности справедлива для всех явлений.

Вселенная, не будучи в состоянии сохранять покой, вступила на неизмеримый путь времени, и движение составляет суть ее жизни.

В.И. Уколова

ВОЛНОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ И ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

В 1992 г. исполнится 150 лет с того времени, когда Христиан Доплер предположил изменение цвета двойных звезд при приближении и удалении их от наблюдателя [103]. Он правильно связал возникновение голубоватого и красноватого цвета со скоростью движения звезд, влияющей на частоту излучаемого света. Аналогичные явления были затем обнаружены при движении источников и приемников звука, электромагнитных сигналов, радиоволн. Явление Доплера нашло практическое применение в физике и технике, в быту, при определении скорости ракет, автомобилей, отдаленных звезд и галактик, отдельных молекул. На его основе была выполнена проверка ОТО в земных условиях с помощью эффекта Мёссбауэра [85]. Эффект Доплера используется при охлаждении газов до сверхнизких температур [6], при изучении движения огромных вихрей в океане и мельчайших частиц в турбулентной струе и в ряде других областей. Явление Доплера в электродинамике, оптике, спектроскопии тесно связано с представлениями квантовой механики [12], в астрофизике — с моделью расширяющейся Вселенной [4], в физике — с основами СТО и ОТО. Эйнштейн уже в первой своей работе [102] смотрит на СТО прежде всего с точки зрения, как соблюдается принцип Доплера. С созданием ОТО было показано, что изменение частоты излучателя наблюдается не только благодаря движению тел, но и благодаря гравитационному полю или ускорению. Принцип эквивалентности гравитационной и инертной массы связал поле тяготения с полем ускорителя. В сущности, благодаря эффекту Доплера была подтверждена фридмановская модель нестационарной расширяющейся Вселенной, возникшей в результате взрыва 1520 млрд лет назад.

Наблюдать изменение частоты оказалось намного легче, чем измерить другие параметры сигнала: время прохода, искривленность луча. Особенно это существенно при радио- и акустической локации. Конечно, наблюдать эффект Доплера в акустике много легче, так как реальная скорость движения сравнима со скоростью звука и даже может превышать ее. В электродинамике и радиоспектроскопии это гораздо сложнее из-за малости скорости движения тела по сравнению со скоростью света с. Нужен хороший эталон частоты^ гармонический сигнал. Такие условия существовали при излучении и приеме радиоволн. В оптике и в области рентгеновского излучения существовали высококачественные естественные эталоны частоты — это молекулы, атомы, ядра. В частности, эффект Мёссбауэра, основанный на приеме излучения 7-лучей ядра, оказался столь чувствительным инструментом исследований, что позволил с помощью изменения частоты в земных условиях проверить ОТО. Удалось измерить скорость частиц 10~5 см/с [85].

Исключительно высокая точность измерения частоты, достижимая при помощи эффекта Мёссбауэра, позволила проверить одно из важнейших следствий СТО - поперечный доплер-эффект [68, 67]. Было экспериментально показано, что поперечный доплер-эффект и замедление времени в гравитационном поле, моделированного вращающейся системой координат, - одинаковые явления.

С созданием лазеров положение в оптике стало очень благоприятным для измерения и использования эффекта Доплера. Стало возможным измерение локальной скорости частиц в потоке. Так как движущиеся атом и молекулы очень избирательны по частоте при поглощении энергии ’’встречного” кванта света, удалось, используя доплеровский сдвиг частот, такие молекулы и атомы ’’останавливать” в объеме газа и охлаждать газ до очень низких температур [6,36].

В настоящее время эффект Доплера для акустических волн в океане используется при определении характеристик дна методом доплеровской томографии [25,26]. Особенно важным является превращение электромагнитных волн в акустические при использовании лазеров [71,72], а также при фотоакустическом зондрировании оптически непрозрачных объектов [83]. В светоакустике [7, 24] наблюдается образование волноводов в жидкости (под влиянием лазерного луча) , по которым может распространяться звук.

Интересно, что эффект Доплера, наблюдающийся при связи механических и световых волн, позволил измерить скорость вращения глубинных слоев Солнца [63]. Известно, что внешние части Солнца вращаются неравномерно: на экваторе делают один оборот за 25 су г, а вблизи полюсов - за 35 сут. В глубине происходит турбулентная конвенция, переносящая тепло к поверхности Солнца. Были использованы эффекты, связанные с возникновением в Солнце на глубине 210 тыс. км (одна греть радиуса) звуковой волны, вызывавшей на поверхности колебания, которые влияли на доплеровское смещение частот солнечного излучения, связанное с этими колебаниями.

Не менее важным с физической точки зрения является проблема излучения доплеровских частот частицей, которая движется со сверхсветовой скоростью в среде или досветовой, испытывая при излучении отдачу. Эти эффекты изучались Эйнштейном, Франком, Таммом, Гинзбургом [12, 32, 102] . К числу основных вопросов, рассмотренных в первых работах по теории относительности, Эйнштейн относит эффект Доплера. Эйнштейн считает эту проблему фундаментальной.

Исследуя излучение движущегося прямолинейно со скоростью V тела ”с отдачей”, Эйнштейн получает формулу для доплеровского сдвига частоты со' по всем направлениям

, COoVi со = ,

- В cos 6

где Р = и/с, 6 - угол между вектором скорости и соответствующим направлением. Эйнштейн называл такое излучение во все стороны световым комплексом. Он показывал, что аналогичным образом распределяется и энергия по углам:

AEoVT^F

АЕ = .

- Р cos 6

Остается только найти константу И в уравнении Е* = Низ*. Об этом результате Эйнштейн сказал: ’’Замечательно то, что энергия и частота светового комплекса с изменением состояния движения изменяется линейно по одному и тому же закону” [102].

Важнейшим вопросом, который Эйнштейн исследовал в первой своей работе по СТО, является вопрос об отражении наклонно падающей волны от движущегося зеркала [10]. В дальнейшем результаты были получены для движущихся границ реальных сред [10]. Были проведены эксперименты. Рассматривали различные реализации движущихся границ: падение электромагнитных волн на резкий фронт пучка релятивистских электронов, распространение миллиметровых волн в замедляющихся системах, где роль зеркала играло сопряжение волновода с волноводом запредельного диаметра. Различные движущиеся границы раздела были рассмотрены в работах [10, 11].

Что касается возбуждения звуковых волн световыми, то этой проблеме посвящается большое количество работ [46, 69, 71]. Точка фокусирования лазерного излучения может бежать в жидкости с большой скоростью, порождая звуковые волны. Нелинейные явления сопровождаются

распространением звука бдо^ь волновода, образованного световым лучом большой интенсивности. Такие явления относятся к области светоакусти- ки [7, 71,98].

Таким обратом, акустические и световые волны могут тесно взаимодействовать в ряде природных и лабораторных явлений. Особенно важно такое взаимодействие в тех случаях, когда имеются движущиеся тела и границы. При высокой скорости движения возникают эффекты, которые можно отнести к области релятивистской акустики.

Релятивистские процессы, описываемые СТО, представляют собой интерес как в кинематическом, так и в динамическом аспекте: изменение массы в зависимости от скорости, доплеровское релятивистское смещение частот и другие эффекты. Но. конечно, самым интересным и фундаментальным оказалось изменение масштабов времени и пространства. Бег времени — самое фундаментальное и самое элементарное понятие в физике. В процессах излучения и приема сигналов можно проследить связь частоты v и времени t. Действительно, если некоторое тело А — излучатель — излучает сигнал конечной длительности, состоящий из N импульсов, следующих с частотой р0, то можно написать равенство

N—VqIq,(1.1)

где Го — время, прошедшее с начала посылки сигнала до его окончания. Конечно, под временем надо понимать либо некоторое целое число (число колебаний маятника и т.п.), либо непрерывную величину, равную пути стрелки на циферблате, и т.п. Если такой дискретный или непрерывный процесс (качание маятника, ход стрелки и т.п.) имеется, а также имеется целое число импульсов N. то частота р0 понимается в соответствии с формулой (1.1). Понятно, что, если на теле В — приемнике сигнала имеется идентичный измеритель времени, то, поскольку В примет те же самые N импульсов с частотой Ро, испытавшей доплеровское смещение относительно р0? при движении А или В, то и Го на теле В будет to Ф Го. Поэтому представляет интерес рассмотреть ряд задач для движущихся тел в электродинамике (отсутствие эфира) и в акустике (наличие среды), а также в комбинированных акустических электродинамических задачах и по; смотреть, как в них изменяются Ро и ^о •

В однородной изотропной среде со скоростью звука s поле звуковых о 1

волн удовлетроряет уравнению Даламбера П<р = 0, где □ = V ~ -

Эг

оператор Даламбера. Для электромагнитных волн в вакууме имеем уравнения Максвелла

ЭНЭЕ

- - с V х Е, с □ х Н = — , V Н = V Е = О

ЭгЭг

или ПН = ПЕ = 0, где с — скорость света.

В плоской одномерной волне векторы Н и Е имеют по одной компоненте, направленных перпендикулярно друг другу и перпендикулярно направлению распространения. При этом частота и форма волны как в акустическом, так и в электромагнитном случае может быть любой.

Изучение по отдельности акустических и электромагнитных волн в случае движущихся тел, излучателей и приемников является важнейшей областью физики. В них много общего. Однако и различие очень существенно: электромагнетизм является фундаментальной силой природы, а сила упругости сводится к электромагнитным и другим силам, возникающим при деформации различных тел и сред. Электромагнитные волны распространяются в безвоздушном пространстве всегда со скоростью света, а для звуковых нужна среда. Электромагнитные волны приводят к концепции СТО, когда движущиеся относительно друг друга излучатель и приемник характеризуются только относительной скоростью движения, а в случае звуковых волн необходимо рассмотреть отдельно движение излучателя и приемника относительно среды. Поэтому и эффект Доплера в этих столь различных случаях будет совершенно разным, что очень существенно. Особенно это важно в тех случаях, когда электромагнитные и звуковые волны испытывают взаимное превращение. Так, например, свет лазера может порождать в среде звук [7]. При этом область, где происходит превращение света в звук, может перемещаться с огромной скоростью [98]. Наверное, наиболее привычным устройством преобразования электромагнитных колебаний в звуковые волны и наоборот являются бытовые приемник и передатчик. Конечно, если скорость их движения мала, то эффект незначителен. Но можно создать несложные устройства, когда скорость приемника (или цепи приемников, которые обегают электромагнитный луч) становится значительной. Возможны и другие комбинации электромагнитных способов передачи сигнала и звуковых волн, испытывающих однократные или многократные взаимные превращения. Все это вызывает физический интерес, так как звуковой сигнал, идущий по эфиру (среде), обладает свойствами, которые более рельефно подчеркивают свойства светового сигнала, распространяющегося без всякого эфира по закону СТО. В этой главе мы рассмотрим ряд простейших примеров, несложных’’школьных” упражнений с формулами Доплера и преобразованиями Лоренца.

2.ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА В АКУСТИКЕ

Рассмотрим эффект Доплера в акустике в неподвижной среде со скоростью звука s. Пусть излучатель В в момент времени t! начинает излучать звуковую волну в направлении приемника Д, находящегося на расстоянии а от В в момент времени tv Относительно среды излучатель В движется со скоростью и < s, удаляясь от Д, а приемник А движется со скоростью v < s, тоже удаляясь от В, т.е. и и и направлены в разные стороны. Тогда волна или сигнал, излученные в момент времени tv догонят Д в момент времени

0i =tx + \а + и(0! - fi)]/s, (2.1) где a/s - время, необходимое сигналу, чтобы пройти расстояние а; и(0! -

I — расстояние, которое за время 6^ — t\ пройдет приемник А. Откуда 6! = (1 - u/s)"1 (G + a/s - vti/s).(2.2)

Волна или сигнал, испущенный В в момент времени r2 ~ 6 + 7> достигнет приемника А в момент времени

02 =Г2 + Ya + т(и + и) + и(02 - t2)Ms.(2.3)

Откуда

02 = (1 - v/s)"1 (t2 - a/s + т(и + v))s - vt2/s).(2.4)

Находим

(25)(25)1 ^-u/s

(25)

(25)

0 = 02 -е^т--.

1 - v/s

(2.6)(2.6)Следовательно, если излучатель В за время излучения т изучил некоторое число импульсов равное

(2.6)

(2.6)

N=vot,

где v0 — частота излучения импульсов в В, то естественно, что приемник А примет все Nимпульсов за время приема 0 с некоторой частотой v : N = v6. Поскольку соотношение между т и 0 найдено, а число излученных импульсов равно числу принятых, то находим

(2.7)(2.7),1 - u/s

(2.7)

(2.7)

V = Vo -

1 A-u/s

Если же скорости и и и меняют знак,т.е.Л и В сближаются, то

Vй = VoVй = Vo1 + u/s1 -u/s1 + u/s1 -u/s(2.8)(2.8)

Vй = Vo

Vй = Vo

1 + u/s

1 -u/s

1 + u/s

1 -u/s

(2.8)

(2.8)

Формулы (2.7) и (2.8) и определяют изменение частоты как при удалении излучателя и приемника, так и при их сближении. А, вообще говоря, знаки и в (2.7) или (2.8) можно брать любые.

Заметим, что если излучатель В считать неподвижным (и ~ 0), то удаляющийся приемник А примет частоту v' = р0(1 - u/s). Если теперь приемник сам становится излучателем, который удаляется от неподвижного приемника В* (В* и В совпадают), то В1 примет частоту

^ = у' [1 + и/s]"1 = Уо ;—7- ■ (2.9) 1 + u/s

В данном случае тело А (приемник и излучатель) — это просто движущееся со скоростью и зеркало Z, которое лоцируется из неподвижной точки (В, В^ акустическим сигналом частоты v0. Формула (2.9) выражает локационный или двойной эффект Доплера.

Мы заполнили в излучателе В интервал излучения сигнала т некоторым числом импульсов, следующих с частотой v0. Затем на приемнике Л получили другой интервал длительностью 0, тоже заполненный импульсами. Тем самым был рассмотрен какой-то периодический процесс с некоторой частотой. Если же такого процесса нет, а есть просто длительность сигнала

в В, характеризуемого финитной функцией /(/) с носителем г, i.e. /(г) отлична от тождественного нуля при tx <t <tx + т, то в В будет принята тоже финитная функция Е^Г) с носителем 9 : 9Х < Т < 9Х + 9. причем

+ м/$

F^=Kt у).(2.10)

Носитель г = supp/при удалении А и В увеличивается, сигнал растягивается, а при сближении уменьшается — сигнал сжимается. Это все просто и понятно.

Может возникнуть вопрос, что понимать под временем в акустических задачах. В данном случае величина t — независимая переменная, ассоциируемая либо с некоторым периодическим процессом (качание маятника, колебания тел, молекул, частиц и т.п.), либо с непрерывным процессом: движением стрелки часов, ростом или убыванием чего-то, например воды в сосуде, стеарина свечи и т.п. Важно, что время измеряется совершенно идентичным процессом на телах А и В, а произведение времени на частоту дает некоторое количество импульсов как излученных так и принятых.

Если меняется частота, то меняется и время, а количество импульсов остается неизменным. Изменение интервала времени видно сразу же из изменения величины носителя финитной функции, излученной и принятой. Может ли изменение времени на двух телах, движущемся и покоящемся, сохраниться, если движущееся тело В сначала удаляется от покоящегося тела А со скоростью и, а затем с такой же скоростью приближается к нему? Рассмотрим этот пример подробнее. Будем считать, что А и В обмениваются акустическим сигналом в покоящейся среде. Без ограничения общности полагаем s = 1. Исследуем относительное изменение интервала времени на А и В тремя следующими путями.

Пусть тело А - приемник (Лпр) — покоится, а тело В (5ИЗЛ) излучает частоту р0 и удаляется со скоростью и < 1 (т.е. и <s). Имеем

VotB = vt^,(2.11)

где v = р0/(1 + м) согласно (1.7); tB - время, в течение которого Визл излучает частоту р0; votB — число излученных телом В импульсов, пока оно удаляется от Л; аналогично v — низкая частота, которую принимает Л в течение неизвестного времени t^; vt^ — число принятых в А импульсов низкой частоты, равное числу импульсов Pots» излученных В при удалении.

Затем излучатель В изменит свою скорость на противоположную -и и приближается к приемнику А то же самое время tB (путь и скорость одни и те же), излучая частоту р0 • При второй половине замкнутого цикла движения имеем

Мв = v”t^ ,(2.12)

где v = ^о /(1 — “) • Время, в течение которого приемник А принимал излучения Визл,г5 = г® + Г*.Из (2.12) находим

tA=tA *^А =tB(yolv ^volv") = tB{\ + и + 1 — u) = 2tB = tB .(2.13)

Никаких изменений в масштабе времени, протекающего на телах А и В

(причем сначала В улетело от А со скоростью и, а затем вернулось), не произошло. Это, конечно, в том случае, если А и В обменивались акустическим сигналом или волной, распространяющейся в среде.

Пусть и = 0. Тело А находится на месте и излучает, а В удаляется

сначала со скоростью и, принимая сигнал А, а затем с такой же скоростью приближается к А. Понятно, что сигнал низкой частоты и = р0(1 — и) В

будет принимать тогда, когда В будет удаляться от А, т.е. в течение времени ?в- Точно такое же время tB - tg - гв В будет приближаться к А

(2.14)(2.14)(2.15)(2.15)и принимать высокую частоту р" = р0( 1 + и). Имеем votA = vt%, votA = v"^B.

(2.14)

(2.14)

(2.15)

(2.15)

Откуда находим

t^ = tA *tB<v'lv0 +v"!v0) = tB{\ — v +1 + u) = 2r6 = ri.

Масштаб, т.е. скорость течения времени на А и В, опять оказался без изменений.

Пусть А покоится и принимает сигнал от В. В излучает и удаляется от А со скоростью w, затем поворачивает и приближается к Л со скоростью и!. Тогда

tB^O=^A^(u\ ^О^Д^хУ(2.16)

где ^(м) ~ (1 + иу1, vXux^ = (\ -ихУх * Пусть 1В = ув> где у - пока что неизвестная величина, равная отношению времени, затраченного В на обратный путь к Л, ко времени, затраченному на прямой путь при удалении от А. Тогда

(2.17)(2.17)(2.18)(2.18)tB =tB ^tB = tB{\ + 7).

(2.17)

(2.17)

(2.18)

(2.18)

Находим из (2.16)

V^0Vo

tA^^A + ^А =tB(-—) +Гв7(-^— ) = м(м)V (uj

= ?в(1 + 7) 1 [1 Л и +7(1 -Ml)] •

Чтобы определить неизвестную величину у, будем считать, что в этом же цикле движения тела В будет излучать покоящееся тело Л. Тогда

t*AVo=^v^, Г^о=^(«1),(2 19)

где У(и) = р0(1 — w), v(ux) = р0(1 + ихУ Конечно, по-прежнему тело В принимает низкую частоту, когда удаляется от А за время tg, высокую — когда приближается за время г|. Поскольку tB ^у^в^о из (2.19) находим

fA = t*A + tA = РоЧ^^м) + ^*(U 1)] =20)

= (в(1 +7)"1 [1 -и *"7(1 +U1)].'

Приравнивая (2.18) и (2.20), находим у=и/М1.При у = и/их имеем Гд = ' ^в, как это и должно быть.

5Впрочем, в нерелятивистском акустическом случае, когда размеры отрезка не зависят от скорости, выражение 7 = и/их можно было предвидеть сразу, так как Zgw = = 43м i* В релятивистском случае, рассмотренном ниже, когда тела обмениваются электромагнитным сигналом, выражение для 7 будет иметь более сложный вид.

12-Зак. 831177

Можно рассмотреть еще случай, когда излучатель А и приемник В неподвижны и находятся в одной точке, а движется акустическое зеркало Z сначала удаляясь от А, В со скоростью и, а затем с такой же скоростью приближаясь. Имеем

tAv0 = t'fev, tA v0 = t^v",(2.21)

где v = p0(1 - v)(l + v) X, v" = p0(l + v)(l - v)1 • Пусть Z удаляется от Л, В на расстояние а, затратив на это время tz = a/v, затем поворачивает и движется к А, В. Однако приемник В будет принимать низкочастотный сигнал в течение времени tz + Mz = a/v + a/s = a/v + а (при s = 1), где a/s - время, необходимое звуковой волне, чтобы пройти расстояние а. Аналогично высокочастотный сигнал, отраженный от приближающегося зеркала z, будет приниматься в течение времени, меньшего tz : tz - Mz = a/v - a/s = a/v - а. Откуда

Т = ^Лв = (1 -0/(1 + 0.(2.22)

Следовательно, из (2.21) имеем

V А АУ R Vм v, / 1 - V \

tA = U +tA = ^ — +te — =rs(l + 7)"1 : +

VoVo\ 1 + V /

H.\ E<2 23)

- V /

Имеем tg = t^, т.е. никакого ’’замедления” времени в расположенном рядом неподвижном приемнике и излучателе не возникает несмотря на то, что зеркало движется и Л, В обмениваются акустическим сигналом.

Если зеркало Z движется в одном направлении со скоростью и и в обратном с и, то при s = 1

tB=a/v + a/s = a/v + я, tg ~а/и - a/s = a/u - а.

Отсюда

Следовательно

^ = ^(1 +71Г1(2.25)

А в\ 1 + и 1 -и / в

Если в акустическом случае среда анизотропна, т.е. скорость звука от Л к Z равна s, а от Z к A s i, то

,1 + v/s „1 + v/sх

V =v0— , P = PO •(2.26)

+ v/sx1 - v/sx

Рассмотрим связь времени на А и В для акустически анизотропной среды. Соотношения (2.21) выполняются как обычно. Однако tg = я/и + #/$i, t^=a/v - д/si, откуда

(2.27)(2.27)tB = 1 - ^»

(2.27)

(2.27)

Тв 1 + ^Ai

„„/ 1 - u/s 1 + u/s \ v

t^ti^ +72Г1 ~ + 72 — ) = ri-(2.28)

\ 1 + U/S!1 - U/?!

Таким образом, и в (2.25) и в (2.28) tA = tg .

Пусть в среде скорость звука в одном направлении — от излучателя А к зеркалу Z будет $+, а в обратном направлении s„. Зеркало удаляется от А на расстояние а со скоростью и, принимая сигнал частоты р' = р0(1 ~

А, 1 -v/s+

v/s+) от А (р0) , и излучает его в сторону В v = vQ. Затем зеркало Z '1 *и(8_

л„ 1 + l‘/s*

приближается к В со скоростью и v = р0 • Пусть tg и tg - дли-

1 -u/s_

гельность приема в В низкочастотного и высокочастотного сигналов. Так как fg~a/v^ a/s, tg = afu - a/s, то

77и 1 — u/s_ =№ = -и 1 — u/s_ =№ = -ии1 + u/s_1 + u/s_(2.29)(2.29)

7

7

и 1 — u/s_ =№ = -

и 1 — u/s_ =№ = -

и

и

1 + u/s_

1 + u/s_

(2.29)

(2.29)

Имеем tA Vq = tgv, tA p0 ~ tgv”. Откуда

tA = tA + tA = iV (fB + tBB^ = tB До1 (1 + 7)' (* + 7^) =

у/ u= ГвЬ + -\ и/ 1 -VuISaX Iу/ u= ГвЬ + -\ и/ 1 -VuISaX I1 — u/s_1 + u/s_1 — u/s_1 + u/s_1 - u/s+ v /1 - u/s_ \ + — | I X . 1 +u/s_ U \1 +m/s- /1 - u/s+ v /1 - u/s_ \ + — | I X . 1 +u/s_ U \1 +m/s- /(2.30)(2.30)1 -u/sj.1 -u/sj.=tl-=tl-

у/ u

= ГвЬ + -

\ и

/ 1 -VuISa

X I

у/ u

= ГвЬ + -

\ и

/ 1 -VuISa

X I

1 — u/s_

1 + u/s_

1 — u/s_

1 + u/s_

1 - u/s+ v /1 - u/s_ \

+ — | I X . 1 +u/s_ U \1 +m/s- /

1 - u/s+ v /1 - u/s_ \

+ — | I X . 1 +u/s_ U \1 +m/s- /

(2.30)

(2.30)

1 -u/sj.

1 -u/sj.

=tl-

=tl-

При механическом движении в анизотропной среде изменение масштаба времени не произошло. Правда, в последних задачах сами тела А и В не двигались, а двигалось только зеркало Z. Однако это ничего не меняет.

Если бы двигалось со скоростями и и и тело В — излучатель сигнала, то мы имели бы

^о = ^А (о) vx (и), tBv0 = г5 (и) ^ (и).(2.31)

Поскольку для нерелятивистского движения tB и = tBu, а для частот

^=v’^ =1 - v!s_^=v’^ =1 - v!s_1 -uh?1 -uh?Q.3T)Q.3T)

^=v’^ =

1 - v!s_

^=v’^ =

1 - v!s_

1 -uh?

1 -uh?

Q.3T)

Q.3T)

тогда

гл =^{v) +tA(u) =tB (1 +u/s_) +TB(1 -u(s_)=(2.33)

= t^\ + v,uyx [1 +v/s_+ (v/u)(l -u/s_)] =tB.

Если бы по-прежнему двигалось со скоростями и и и тело В. а излучателем

сигнала было А, то

^0 ^B^(v), <^0 ^S^x^)*РЗ^)

где

^х(и) ^oU ~и/$+), ~х(«) =^о(1 *иЬ+У ф) = 1>.(2.35)

Откуда

tA=tA +<А =^(! -у/$+) ^вО + u/S+) =?в(1 ^Vjuy1 [(1 + v/s+) +

+ (и/м) (1 +u/s+)] =te.(2.36)

Как видно из (2.30), (2.32) и (2.36), ни в одном из этих случаев масштаб времени на А и В не меняется.

Можно еще было бы попробовать сверхзвуковое движение ^ и^ (и > s+, у > s_),- но и это во всех трех случаях не привело бы к изменению масштаба времени. Нужны электромагнитные волны и соответствующее выражение для эффекта Доплера в виде квадратного корня, которое естественным образом вытекает из СТО. Можно также рассмотреть обмен акустическими и электромагнитными сигналами на разных этапах всего цикла движения, рассмотреть анизотропию пространства. Тогда релятивистский эффект проявит себя и повлияет на масштаб времени.

Конечно, использование акустических волн вместе с электромагнитными может оказаться проблематичным в связи с тем, что электромагнетизм обусловлен фундаментальными силами природы, а упругие силы и связанные с ними акустические волны не являются фундаментальными: они порождаются электромагнитными силами. Поэтому для замедления времени можно попытаться обойтись только электромагнитными волнами, например светом, распространяющимся в движущейся со скоростью и прозрачной жидкости (опыт Физо) [73], или светом, движущимся в поле

сил гравитации — тоже фундаментальных сил природы [19].

ДАЛАМБЕРОВСКИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Рассмотрим одномерное волновое уравнение

ихх = c~2utt= 0,(3.1)

в котором без ограничения общности можно положить с = 1. Оно имеет решение в виде суммы прямой и обратной волн

и(х, t) =f(x - Z) +Л (х + Z),(3.2)

где Д fx — дважды дифференцируемые функции. Рассмотрим линейное преобразование независимых переменных х и t

к х = а(иХх* + vt^) t = а(и)(их' + t'),(3.3)

где и — вещественная переменная; а (и) — функция и4. Находим

и(х, ^=их<х\ 0=/W)0 -^Х'-^)] + /i[^M(1 + u)(*'+^)L(3.4)

7Если вернуться снова к уравнению ихх - с~гип = 0, его решению и =/(.х - ct) + + /i (х + сО» то необходимо было бы положить t = ct, и = vlc, t‘ = ct9. Тогда

Рис. VIII. 1. Движущиеся инерциальные системы координат

Рис. VIII.2. Прямые и обратные волны в системах координат К, К*

функция и^хЛ1) по-прежнему удовлетворяет волновому уравнению (при с = 1), а волны Л Л как были прямой и обратной волной, так ими и остались, только в новых переменных х\ t\

Таким образом, мы имеем две системы координат К^х, О vlK’^x, fY Поскольку точка х = 0 соответствует равенству х1 = —vt\ а точка х = 0 — равенству х = vt. то можно считать, что К1 движется вправо относительно К со скоростью и (рис. VIII. 1). Если ввести еще одну систему координат K'^W t), движущуюся влево относительно К? со скоростью и и, следовательно, покоющуюся относительно К, то, заменяя в (3.3) и (3.4) и на -у, находим

Ui(x” t") =/[д(и)д(—v)(l - 0(1 + и)(х" - г")] +

+/i [а(0д(-0(1 + w)(l - 0(х" + г")).

Пусть и2 < 1 (т.е. и2 <с2). Тогда, потребовав, чтобы иг(х,г) = u(x,f), находим коэффициент а (и), так называемый фактор Лоренца,

я(у) = (1 -и2)”1/2 = (1 — О2/с*2)-1/2.(3.6)

При условии, что и2 < 1 и что я(у) имеет вид (3.6), преобразование (3.3) называется преобразованием Лоренца — непрерывной группой Лоренца, зависящей от параметра у. Групповые свойства (3.3)8 легко установить, если взять систему ^”(х", tnY движущуюся со скоростью Ui(v2<l) относительноК\х\ t1^. Тогда

х = а(и1)(хм + и^”), tf = a(viXuixH ^ tnY(3-7)

Объединяя (3.3) и (3.7), находим

х = а(ио)<хп ^-votnY t =a(vo)(voxM -H"Y(3.8)

где

y + Ui L У + У1 \

»о = —U =, -Гл Л ) •(3‘9)

1 + УУ! \1 + С VV1 /

Под группой понимается набор операций, обладающих тем свойством, что любые Две операции, выполненные последовательно, эквивалентны некоторой третьей из того же набора.

Формула (3.9) — это формула Эйнштейна сложения скоростей в случае одномерного релятивистского движения в СТО. Попутно заметим, что

для ультрарелятивистского движения, когда и = 1 — 8, и1=1—8lv 5, 6i <1, фактор Лоренца tiri2(va) — ^(^)^i(^i)- Это сразу же следует из

теоремы сложения скоростей.

1 + V ,,(/ + /) .1 -и1 + V ,,(/ + /) .1 -иu^t’Vfu^t’Vf;(* -6 +Л1+и J;(* -6 +Л1+и J(3.10)(3.10)Подставляя коэффициент а (и) (3.6) в (3.4) , находим г1’

1 + V ,,

(/ + /) .

1 -и

1 + V ,,

(/ + /) .

1 -и

u^t’Vf

u^t’Vf

;(* -6 +Л

1+и J

;(* -6 +Л

1+и J

(3.10)

(3.10)

Если /(z), Д (z) — финитные функции с носителем L, то носитель функ/\, / 1+и1 _/ Д+и '\

ции Дуz) будет Ly>Ь. Наоборот, носитель Д (уz)

\ 1+и /Д-и\ 1-v /

/1 -и '

сожмется и будет £у<L. Таким образом, обратная волнаД, т.е. 1+и

волна, идущая против движения системы К’ или К, как бы сожмется. Наоборот, прямая волна, идущая вслед движущейся системы, растянется (рис. VIII.2).

Мы предполагали, что в системе К носитель функции / и Д один и тот же. Если же предположить, что прямая <р (х' - t*) и обратная фх(х1 + t’^ волны в системе К1 имеют один и тот же носитель 1Д то в системе К. движущейся относительно К’ со скоростью и (движение инерциальных систем в СТО относительно) снова ’’сожмется” та волна, которая движется против движения К, т.е. ф (х' + t'), а ’’растянется” — идущая по движению, т.е. li(x' + Y'), скорость которой складывается с относительной скоростью движения системы^ иК1 (см. рис. VIII.2).

Конечно, волны, т.е. функции Д Д, ^, ^1» могут быть не обязательно финитными, а например, периодическими, состоящими из импульсов, следующих с частотой р0 во времени t в любой системе координат. Тогда в разбегающихся системах координат, которые обмениваются периодическим сигналом, мы будем иметь частоту принятого сигнала vx. а в сближающихся vx\

- V 4, ./ 1 +1/

^ = ^oV-—, ^ = ^oV",(3.11)

1+и1-и

причем

у, + рх = 2у0 (1 - и2)~У2, vx - vx = 2р0^(1 - и2)~У\ (v2 < О •(3.12)

Если же перейти к системе координат К” (х", tn>) с параметром Ui, то получимЕсли же перейти к системе координат К” (х", tn>) с параметром Ui, то получим

Если же перейти к системе координат К” (х", tn>) с параметром Ui, то получим

Если же перейти к системе координат К” (х", tn>) с параметром Ui, то получим

где ио дается формулой сложения скоростей (3.9).

9 Аналогичным образом в соответствующей системе координат изменяется наблюдаЛ - и 1/1 + и *

емая длина стержня Zx=Zoy, Zx* = Zoy [14]. Этот вывод теоретически

1+и1 - и

был подробно рассмотрен в работе [14]. Он экспериментально подтвержден при фотографировании сверхкороткого летящего импульса света.

(3.14а)(3.14а)1 - u/s 1 - u/s Vl-V2)?1 - u/s 1 - u/s Vl-V2)?(3.15 а)(3.15 а)

(3.14а)

(3.14а)

1 - u/s 1 - u/s Vl-V2)?

1 - u/s 1 - u/s Vl-V2)?

(3.15 а)

(3.15 а)

В частном случае, когда неподвижный излучатель А излучает волну частоты Ро» которая попадает на движущееся от А со скоростью и зеркало

_/ 1 — U

Z. на ^ будет принята частота vx = p0V. Затем, рассматривая зеркало

1 + и

как излучатель частоты vx, движущегося со скоростью и относительно неподвижного приемника В (А и В расположены в одной и той же точке), получаем, что В принимает частоту

Аналогично при приближении зеркала

1 + и

1 - и

формулы (3.14) и (3.14а) получаются из (3.13) при Ui = и. Они характеризуют двойной, радиолокационный эффект ДоплерЬ, который полностью эквивалентен двойному акустическому эффекту Доплера при отражении звуковой волны от ’’акустического” двигающегося зеркала.

1 -и

Заметим, что величину можно разбить на множители самым 1 + и

различным образом, например так: 1 - и / 1 — и / 1 - и / 1 \

=V V= I (1 -и).(3.15) 1+и1+и1+и\1+и/

В первом случае оба множителя совершенно одинаковы и говорить можно только об относительном движении излучателя - приемника А, В и зер-

/1 — и

кала z со скоростью и. Это основа СТО, а множитель у — формула

1 + и

эффекта Доплера в СТО. Во втором случае удаляющееся зеркало z при- нимате сначала частоту излучателя А ^ = ^0/(1 + и), а затем движущееся зеркало само становится излучателем, посылая на неподвижный прием- „,.1 - и

ник В частоту v = v (1 — и) = v0 Это акустический случай, когда

1 + и

имеется среда и эффект Доплера зависит по отдельности от скорости излучателя и приемника различным образом.

Пусть скорость звука s, а скорость света е. Тогда формулу (3.15) отражения звука от удаляющегося зеркала можно записать

1 + u/s V1 - V2!^1 + u/s

Первый множитель соответствует релятивистскому эффекту Доплера для удаляющегося тела (зеркала), принимающего в среде со скоростью звука sзвуковую волну, второй множитель - телу (зеркалу), излучающему звуковую волну.

Если в (3.15а) положить s = c, т.е. считать, что звук распространяется через среду со скоростью света с, то получим из (3.15а)

1 - v)c1 + и/с1 - v)c1 + и/с(3.156)(3.156)j \ - vic\ - vic 1

1 - v)c

1 + и/с

1 - v)c

1 + и/с

(3.156)

(3.156)

1 + v)c1 + V /с

т.е. релятивистский эффект Доплера в такой гипотетической среде будет одинаковым как для движущегося приемника, так и для движущегося излучателя. Совсем как в СТО, где никакой среды нет.

Почти всюду выше мы полагали скорость света с = 1. Однако в некоторых случаях, особенно при наличии силового центра (тяготеющей массы), можно в качестве упрощения приближений ОТО [19, 72, 96, 97] вводить анизотропию пространства и считать, что в одном направлении скорость света с, а в противоположном — сх. Такие предположения рассматривались в ряде работ [15—17]. Для подобного анизотропного пространства возможно получение преобразований, аналогичных преобразованиям Лоренца.

Рассмотрим, например, волновое уравнение

(3.16)(3.16)Э 1 Э\/Э 1 Э \ — +и — |и(х, /) = 0.

(3.16)

(3.16)

Эх с bt ]\Ъх сх Ы /

Оно содержит произведение двух операторов (соответствующих кинематических волновых уравнений) и имеет решение

(3.17)(3.17)и(х, tVf<x -c^+fdx -tcxt\

(3.17)

(3.17)

Линейное преобразование независимых переменных с единичным определителем

х = а( —v)(x' + vt’Y t = a(-v) (uxf,/(ccx) + (1 + vic - vjcxy\,(3.18)

где

(3.19)(3.19)д(-и) = (1 ^vjc)”72^ -vlcx)~x\

(3.19)

(3.19)

оставляет ковариационным уравнение (3.16), а его решение (3.17) преобразует к виду

UxtxVWlal-vXl -v/c^x' -ct')] +

+/i [«(-0(1 + v/c)(x' +c1r')]

ИЛИ

1 - vlcxX ,, ] Г / 1+vlc ,, ■

(3.21)(3.21)^(V-ct1) + /i V -(x^c^)

(3.21)

(3.21)

1 + vjcL 1 - vlcx

Поскольку для точки x = 0 согласно (3.18) имем х1 = -xt\ то величина а (—и) соответствует случаю движения системы К влево, т.е. с отрицательной скоростью. Величины под знаком корня дают соответствующее

изменение частот при движении источника и приемника (и>с, и>с1)

1 - via1 + и(с1 - via1 + и(с1 + и/с1 -»1а1 + и/с1 -»1а(3.22)(3.22)

1 - via

1 + и(с

1 - via

1 + и(с

1 + и/с

1 -»1а

1 + и/с

1 -»1а

(3.22)

(3.22)

Полагая

(3.23)(3.24)(3.23)(3.24)1 - v/c, 1 - V^Ci _ 1 - vola

(3.23)

(3.24)

(3.23)

(3.24)

1 + и/с 1 *vvjc 1 + vojc '* получаем формулу сложения скоростей

V + и, -VV1 (с i -е)/(СС!) у =,

1 + «uj^a)

Можно сказать еще несколько слов о сверхзвуковом и сверхсветовом движении. Прежде всего если в решении (3.10) волнового уравнения положить v = 1, т.е. считать, что система К1 движется относительно К со скоростью света с, то при удалении системы сигнал вообще не может быть принят, так как VG - и) (1 + и)* = 0. Вернее, он будет принят, но частота его будет равна нулю, а любой носитель функции, характеризующий длительность излученного импульса, станет бесконечным на приемнике. Если же системы сближаются со скоростью света с, то частота принятого сигнала бесконечна, а длительность (носитель финитной функции) равна нулю. Иначе говоря, сигнал бесконечной частоты будет принят, когда излучатель вплотную приблизится и сольется с приемником. Имеет ли смысл такая ’’передача'’ волновой информации?

В акустическом случае дело обстоит совершенно иначе. Полагая в (2.7) и = 0, а и = 5, мы видим, что, если излучатель удаляется от неподвижного приемника со скоростью звука, то приемник будет принимать частоту v-VqI2. Когда излучатель удаляется от приемника со скоростью u>s. приемник будет принимать частоту v' = р0/ G + u/s).

Если же излучатель неподвижен (и = 0) и приемник удаляется от него со скоростью и = 5, то у' = 0 и приема сигнала нет. При v> s удаляющийся от неподвижного излучателя приемник примет излученный им ранее сигнал в обратном порядке, начиная с ’’хвоста”, т.е. с той части сигнала, идущего в среде, который ближе к излучателю [76]. На это указывает знак минус в числителе формулы (2.7) при и > s. Частота же принятого сигнала будет V1 = у0 (у/s - 1). Следовательно, формула (2.7) работает прии>$, u>s, только ее надо написать в виде

V1 = ^0V1 = ^01 - vis1 + и/s1 - vis1 + и/s(3.25)(3.25)

V1 = ^0

V1 = ^0

1 - vis

1 + и/s

1 - vis

1 + и/s

(3.25)

(3.25)

Обратимся снова к электромагнитному случаю при v> а т.е. и> 1. Произведение (1 + и) (1 — и) при и > 1 в решении (3.5) будет отрицательным. Поэтому считая а (и) вещественной функцией, необходимо положить

(3.26)(3.26)а(и) = (и2 - 1) 1/2, и2 > 1.

(3.26)

(3.26)

После этого решение (3.4) будет выглядеть как

и1(х'л')=Г

--' (х* - г') (u+D

(х' + г') .

(V - 1) J

(3.27)

’’Прямая” волна /(х - f), т.е. излученная в направлении сверхсветового движения системы К\ догоняющая К -систему, проходит для наблюдения в системе К* в обратном порядке: на это указывает знак минус перед корнем в (3.27). ’’Обратная” волна /(х + Г), т.е. волна, которая идет навстречу системе К , проходит перед наблюдением в К’ в обычном порядке. Для доплеровских частот имеем

_ /и - 1 '/и + 1 *

^ = "<л/——^oV(3.28) и + 1и - 1

причем

^х -= 2^о (у2 - 1)”У\ ^х + ^х “ 2p ou (у2 - 1) и2 > 1.(3.29)

При сложении двух сверхсветовых скоростей имеем

и - 1 Ui - 11 - и 1 — и i 1 -

!== -,(3.30)

и + 1 Ui+ 11 +и 1 + Ui 1 + ио

где и о дается формулой (3.9) и и^ < 1.

Известно, что в пространстве Минковского (X] ,х2 ,х3, х4), (прих4 = = ix0 = ict^ вводится общее преобразование Лоренца с матрицей L. Однако группу образует только собственное преобразование Лоренца, для которого |^| = 1. Досветовые движения и повороты, когда направление оси времени сохраняется, образуют ортохронную подгруппу группы Лоренца. Несобственное неортохронное преобразование Лоренца не образует группы, как это видно в частном случае сложения двух сверхсветовых скоростей в виде формулы (3.30).

Движение со скоростью W > 1 (т.е. со сверхсветовой) соответствует преобразованию Лоренца, которое изменяет знаки у пространственной и временной координат. Так, например, если мы имеем уравнение

Uxx*uyy*uzz -Utt = ^(3.31)

то при движении со скоростью Wj > 1 вдоль х, воспользовавшись преобразованием Лоренца, приходим к уравнению

-ихх ^иуу +uzz + utt = °-(3.32)

Теперь ’’временем” стала координата х, a t — пространственной координатой. Пусть имеем движение со скоростью w2 > 1 вдоль у (х - время). Получаем

ихх - иуу *uzz *иИ = 0.(3.33)

Временем стала координата у. Рассматриваем движение вдоль z со скоростью w3 > 1. Получаем

^хх + ^уу " ^ zz + ^rt — 0.(3.34)

Наконец, снова рассматриваем движение со скоростью w4 > 1 вдоль координаты t. Получаем

ихх + иуу + uzz ~ utt - 0.(3.35)

Мы пришли к исходному волновому уравнению (3.31). Четырехкратное

леортохронное преобразование Лоренца оказывается эквивалентным одному собственному преобразованию с некоторой скоростью vo и вращению системы координат. Пользуясь результатами работы [101], можно отделить суммарное вращение от скорости vCT(|vCT| < 1). Однако эти вопросы не связаны с эффектом Доплера, который рассматривается в данной главе.

Рассмотрим эффект Доплера в движущейся среде. Пусть тело движется со скоростью и (х = vt) в покоящейся среде с показателем преломления п-_ a -c!ns п> 1. Электромагнитная или световая волна в такой покоящейся среде имеет вид j\t -Х1С\У Пусть волна представляет собой некоторое число импульсов N^ следующих с частотой v. N = y^t -x)cxY Тогда, переходя к системе координат, движущейся со скоростью и, имеем

? = (1 - v2Ic2}"* (t -их (с2), х =(1 -v2!c2YV1Xx -vtY(3.36)

Понятно, что N — инвариант, т.е. число импульсов в любой системе координат будет одно и то же. Следовательно,

N=v<t-xlc^ =v\t'-x’fci)(3.37)

или

i^r- их(с2 -x)cxV(3.38)

где v\ c i — частота и скорость волны в системе координат, движущейся со скоростью и.

Рассмотрим цепочку волн (3.33) в один и тот же момент времени t = 0. Тогда, полагая в (3.3) t = 0, имеем

vv1 /и 1 \

- = /Г^ТтЬ + ” '(339)

СХ V1 - V 1с \с Сх /

Теперь рассмотрим ту же цепочку волн, проходящих через сечение х = 0. Полагая в (3.3) х = 0, находим

^"ТГ^^Р”(3-40)

VI - У \ Сх /

Из (3.34) и (3.35) получаем

, vV^ -v2lc2' ci+u , Сх -V41)

У = ~ , С1 -Г" , Сх ~,V ‘7

l+u/c{\*Vc\lCi l-VCxlCi

Таким образом, скорость Сх ’’увлечения” света движущейся средой при движении света ”по течению” (+) и против (—) будет

, Cx^V cfntv

с+ = —! =,(3.42)

IfucVc 1 ± и/сп

(3.43)(3.43)а доплеровское изменение частоты

(3.43)

(3.43)

V* =:.

1 ± и/с т

Знаки в (3.38) надо брать в соответствии с тем, чтопри движении света по направлению вектора и частота уменьшается, а скорость с* увеличивается: с+ > (?i, и наоборот.

Если в движущемся со скоростью и потоке имеется зеркало, которое движется со скоростью и i, то отражение света от него можно рассматривать как бы в анизотропной среде со скоростями с+ и с_ соответственно. Эти скорости можно использовать в решении (3.21) для определения соответствующих доплеровских смещений частот [18, 73].

КИНЕМАТИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ НА ОСНОВЕ

РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭФФЕКТА ДОПЛЕРА

Рассмотрим снова, как и в разд. 2, два гела А и В. Одно из них будет излучать электромагнитную (световую) волну, а другое — принимать. Одно будет неподвижным, а другое - двигаться прямолинейно по замкнутому циклу, то удаляясь со скоростью и, то приближаясь к исходному месту, где Л и В совмещены.

Пусть тело А - приемник - покоится, а тело В излучает частоту р0, удаляясь от А со скоростью и < 1 (и < с), а затем приближается снова с такой же скоростью. Имеем

Vote =^". votB = vxt^.(4.1)

Уравнения (4.1) совершенно идентичны с (1.11) и (1.12), только vx и vx - релятивистское доплеровское изменение частот согласно (2.11). В соответствии (1.13), используя (2.12), получаем

1а=^Мд = tB <volvx+volvx') = rj(l - u2)"y\(4.2)

Мы получили формулу замедления времени. Согласно ей время на движущемся теле В течет замедленнее (tB < t^), чем на неподвижном А.

Такое замедление произошло благодаря релятивистским формулам эффекта Доплера при световой связи между А и В. Конечно, реальной связи между А и В может и не быть. Это просто прием, позволяющий контролировать течение времени на Л и В.

Рассмотрим тот же цикл движения тела В тогда, когда А излучает частоту v0. Тело В вначале удаляется от Л в течение времени tB, принимая низкую частоту vx. Затем в течение такого же времени tB тело В приближается, принимая уже высокую частоту vx. Приравниваем количество импульсов как испущенных, так и принятых с той или иной частотой; причем на пути от А частота низкая, а на пути к А частота высокая. Имеем два уравнения

(Г^о = tBvx, rj2)p0 = tB vx.(4.3)

Эти уравнения полностью аналогичны (1.14). Откуда, используя (2.12), находим

^ = 2tB{\ -и2)",л = f/(l -v2)-*.(4.4)

Мы снова получили формулу замедления времени. Согласно ей космонавт, улетевший на ракете, вернется на Землю более молодым, чем его близнец, оставшийся на Земле (парадокс близнецов) [18, 19, 39, 94, 99, 100].

рис. VIIL3. Оймен сигналом между Л и В

Приведем еще один вывод формулы (4.2) и (4.4), связывающие t^ и г|. Пусть снова В движется и излучает сигнал. Обозначим tA время, определенное по часам Л, в течение которого тело В удаляется. Понятно, что А будет принимать низкочастотный сигнал несколько дольше, а именно tA + МА. Тело В уже повернет обратно к Л, а низкая частота все еще будет идти некоторое время МА -а/с-а (при с = 1). Так как tA = а/и, то Д tA = = vtA. Аналогично находим, что сигнал высокой доплеровской частоты, излучаемый В при приближении к А, будет приниматься в А уже не время tA. а меньшее время tA — ktА. Это происходит потому, что сигнал высокой частоты еще должен дойти до Л, преодолевая расстояние а. Приравнивая число излученных и принятых импульсов, имеем для t^ =2 tB

фо =2fBp0 = ^tA + MA^vx*v (tA - MA)vx =

= tA K(1 +u) + ^(1-u)] =2^y0(l - uyV11дУ0<\ -u1yv*.(4.5)

Во всех случаях получилось одно и то же релятивистское соотношение для времени, текущем на покоящемся теле А и движущемся В. Из него следует, что ’’стареет” быстрее покоящееся тело, поскольку tA > tB.

Процесс изменения масштаба времени можно изобразить на простой диаграмме (рис. VIII.3). Вдоль горизонтальных осей отложено время, протекающее на А и на В. На тех же осях изображен один и тот же периодический процесс, когда В излучает (вариант 2), сначала удаляясь от Л, а затем приближаясь. А принимает те же самые импульсы с низкой частотой какое-то время tA (^ ^ tB y Затем А принимает импульсы с высокой частотой. В результате суммарное время tA = tA + ^ будет больше, чем 2 tB. Это видно на рис. VIII.3.

Если, кроме импульсов с частотой v0, которыми обмениваются тела Л и В. ввести на А и В еще один совершенно идентичный периодический процесс с частотой д0 (идентичные ’’часы”, идущие на А и В), то его можно сопоставить с непрерывно текущим временем, описываемым параметром L Если внутри крупного импульса частоты v0 укладывается п мелких импульсов частоты д0, то в ^ импульсах уложится nN = (nN^B мелких. Поскольку обмен излучением между А и В происходит крупными импульсами, то они сначала растянутся (В удаляется), а затем сожмутся, так что в сумме дадут интервал а + р, больший, чем а0 + р0 (рис. VIII.3).

Если точно такие же часы,, т.е. с частотой д0, имеются на покоящемся теле Л, то они сделают больше колебаний маятника, чем аналогичные часы на В:

(4.6)(4.6){nN)а = {nNBy\ -Уух/\

(4.6)

(4.6)

Конечно, так будет тогда, когда А и В обмениваются импульсами частоты р0, В испускает Nимпульсов, а А примет те же N импульсов. Если же считать, что тела обмениваются импульсами частоты д0, а ’’часами” считать импульс частоты р0, то аналогичное увеличение числа импульсов частоты р0 произойдет в А.

Понятно, что следует подразумевать под обменом между А и В импульсами одной, двух или сколько угодно частот: излученное число импульсов любой частоты должно быть равно принятому числу. Под временем в таком случае можно понимать любой периодический (или непрерывный) процесс, который идет идентично на А и В и которым А и В не обмениваются в виде количества импульсов, излученным одним из тел. Тогда число периодов этого процесса (число колебаний маятника на идентичных часах или число делений шкалы, пройденных стрелкой и т.п.), уложившихся на всем протяжении другого процесса испускания и приема импульсами, будет различным на А и В. Это и подтверждено формулой релятивистского соотношения tA и Гв. Конечно, часами может быть и процесс, протекающий в кристалле или в живом организме. В таком случае можно говорить о замедлении роста ’’кристалла”, замедлении старения и т.п. Но если считать ’’возраст” по числу излученных и принятых импульсов, то это число должно быть равно. Иначе говоря, число ’’ударов”, ’’качаний” маятника идентичных часов на А и В должно быть одинаковым — ведь этим числом можно обменяться путем посылки сигнала.

Эйнштейн по этому вопросу говорит следующее: ’’Чтобы придать понятию времени физический смысл, нужны какие-то процессы, которые дали бы возможность установить связь между различными точками пространства. Вопрос о том, какого рода процессы выбирать при таком определении времени, несущественен. Для теории выгодно, конечно, выбирать только те процессы, относительно которых мы знаем что-то определенное”.

Рассматривая принцип Доплера, легче всего понять особенности релятивистской кинематики. Поэтому Эйнштейн в первой своей работе прежде всего смотрит, как выходит у него принцип Доплера [102].

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОДНОВРЕМЕННОСТЬ В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Одним из свойств волнового уравнения с постоянной скоростью с состоит в том, что возмущение или поле, описываемое им, распространяется со скоростью с во все стороны от излучателя — источника возмущений. Еще одно свойство уравнения состоит в том, что если источник движется, то возмущение — будь то электромагнитные волны или звуковые — все равно распространяется в пространстве или в среде со скоростью с (или s). Иначе говоря, эта скорость не зависит от скорости источника, даже если он движется со сверхзвуковой скоростью в среде или со * сверхсветовой скоростью в пространстве, хотя последнее пока что с достоверностью не наблюдалось. В дальнейшем мы также не будем рассматривать передачу сигналов со сверхсветовой скоростью, которая, как известно, приводит к нарушению принципа причинности [100]. Движение тел А и В может быть сверхсветовым, т.е. его можно рассматривать таким при математическом моделировании волновых процессов, а обмен

сигналом между ними можно по-прежнему счигать происходящим со скоростью с. Однако об этом речь впереди.

Если первым постулатом СТО было утверждение постоянства скорости света, то вторым постулатом было утверждение об относительности движения при отсутствии эфира. Эйнштейн получил все из гипотезы относительности движения, которая гласит, что нельзя сказать, какое из тел А или В равномерно и прямолинейно движется, а какое покоится. Как же в таком случае относиться к найденному замедлению времени на движущемся теле, если нельзя сказать, какое из тел двигалось?

Здесь необходимо опираться на понятие синхронизации часов, введенное также Эйнштейном при гипотезе передачи сигнала с конечной скоростью. Предполагается, что часы, расположенные в различных точках пространства, можно сначала синхронизовать при следующих условиях. Пусть Г1 — время посылки короткого светового сигнала по часам А от А до В, t’ — время прихода сигнала на В, a t2 — время по часам А, когда сигнал приходит обратно. По определению Эйнштейна, часы в А и В идут синхронно, если

r' = (G + ^)/2.(5.1)

Так как в природе мгновенная передача сигнала при разнесенных А и В не наблюдается, то потребовалось новое понятие одновременности, разработанное Эйнштейном. Все следствия теории относительности возникли из логического применения принципа наблюдаемости одновременности и синхронизации часов, примененных к понятиям пространства и времени [73].

Одним из необходимых понятий СТО является понятие инерциальных систем, т.е. системы координат тела (излучателя, приемника), двигающегося равномерно и прямолинейно. Пусть в одномерном случае две инерциальные системы координат В и С двигаются навстречу друг к другу и имеют в точках Вси Ссчасы. В момент совпадения точек Вси Ccj.e. когда в (5.1) можно положить t’ = ti = t2 = 0 на часах, находящихся в Вси С^ можно установить одно и то же время. Иначе говоря, часы в Ссможно синхронизовать с часами в Вс.

Теперь рассмотрим снова цикл движения, когда тело В ’’улетает” от А со скоростью и, а затем с такой же скоростью возвращается. Однако нам важно, чтобы не само тело В вернулось, а вернулась в А информация о ходе часов, находящихся на В. Поэтому введем три инерциальных, т.е. Движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, системы: А и В, которые имеют относительную скорость разлета и, и 6, которая Движется со скоростью 2и/(1 + и2) навстречу В. Следовательно, система С имеет по теореме сложения скорость ио навстречу А:

2и

Г”у

1 + и2

^а= тт- -и.(5.2)

2и

Иначе говоря, инерциальные системы А^и С сближаются со скоростью и, т-е. с такой же скоростью, с которой А и В разлетаются.

Рис. VIII.4. Системы координат, связанные с телами А, В, С, D

Теперь перейдем к часам Ас, Вс, CCi совершенно идентичным I расположенным в соответствующих системах. Пусть в некоторый Л ^ момент Ас и Вс окажутся в одной точке (в точке, где покоится I ° тело Л) и их можно синхронизировать, т.е. установить на них одно и то же показание стрелок. Затем часы Вс удаляются от А с со скоростью и и в некоторой точке встречают часы Сс. В этой точке показания часов Сс и Вс можно будет снова синхронизовать, т.е. установить на них то же самое положение стрелок, которое наблю- дается на В, удаляющемся от А. Часы Сс движутся навстре- чу А со скоростью v равномерно и прямолинейно вместе с инерциальной системой С. После этого, дождавшись пока часы С4, находящиеся в системе С, совпадут с часами Л4 в системе Л, т.е. в точке А. откуда стартовало тело В, можно сравнить их показания и получить соотношение

и =?s(l -V2)""‘/2.(5.3а)

В этом случае ни один из постулатов СТО — об инерциальных системах, об одновременности в одной точке — не нарушается. Что же касается тела В, то оно может лететь куда угодно: нам оно не нужно, а нужны только показания часов на нем. Если В получает импульс, изменяющий его скорость на обратную, то оказывается, что этот импульс никак не отражается на показаниях часов и не меняет их идентичности с часами на А [94]. Поэтому после возвращения В часы на А и В будут связаны соотношением (5.2). В таком случае космонавт, улетевший на ракете и вернувшийся на Землю, будет более молодым, чем его близнец, оставшийся на Земле.

Однако ничто нам не мешает ввести четвертую инерциальную систему D с часами Dc, которая движется со скоростью 2иД1 + и2) относительно А в том же самом направлении, что и система В (и тело В вместе с часами Вс) (рис. VIII.4), и, следовательно, со скоростью и догоняет В. В момент, когда Dc проходит мимо Ас, на них устанавливается одинаковое время, т.е. на Dc такое же, как на Ас. В то же время мы знаем, что Вс были синхронизированы с Ас в предыдущий момент, когда Ас и Вс находились в одной точке. Теперь Dc догоняет ВС) и показания их часов можно будет сравнить в этот самый момент. Получим

tB = tD(l-v2r'/2.(5.36)

Таким образом, если оставшийся на Земле близнец космонавта догонит его на ракете D, то он, будучи еще молодым человеком, встретит старика: согласно (5.3) время на D течет замедленно по сравнению с В.

В этой ситуации существенным является то обстоятельство, что совершенно неважно, что от чего удаляется: ракета от Земли или Земля от ракеты. Важно, каким образом, т.е. с какой инерциальной системой, часы, вернее, показания часов на Земле и на ракете, совмещаются (или переносятся) в одну точку и в ней согласно принципа СТО сравниваются. Сов- 192

сем не обязательно при этом перемещать тела — достаточно передавать информацию, т.е. показания часов.

Однако волна не может ’’накапливать” и передавать время с А на В и с В на А. Она передает только частоту и информацию об эффекте Доплера, т.е. об относительном движении А и В. ’’Накапливать” время могут только часы, процессы, происходящие на А и В. Зеркало, движущееся и отражающее волну обратно, тоже не может никак передать этой волне ход времени, накопившийся на самом зеркале.

ЗАМКНУТЫЙ ЦИКЛ ДВИЖЕНИЯ

ДЛЯ ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ СКОРОСТЕЙ

Фундаментальное понятие инерциальной системы и формулы доплеровского смещения частот позволяет рассмотреть изменение масштабов времени и расстояния при движении с различными скоростями на различных участках трассы. При этом, естественно, можно оставаться в рамках кинематического рассмотрения ускоренного или замедленного движения, не принимая во внимание силу, которая сопровождает ускорение. Действительно, поле доплеровского изменения частоты — чисто информационное поле. Аналогичный информационный аспект имеют эффекты изменения масштабов времени и длины.

Рассмотрим цикл движения тела В, когда оно удаляется по прямой от тела А со скоростью и, а затем возвращается по тому же пути со скоростью и: и2, и2 < 1(с = 1). Здесь, оказывается, не удается обойтись без изменения масштабов длины пути. Релятивистское сокращение длины возникает естественным образом из соображений, связанных с эффектом Доплера.

Пусть В излучает сигнал частоты р0, сначала удаляясь от А со ско-

ростью и, а затем приближаясь со скоростью и. Имеем

^(у)уо = ^(у)Ух(у). tBWo = ^“К^’(6Л)

где ^(и) — время движения В от А со скоростью и по часам В; Г5(и) - время движения В к А со скоростью и также по часам В. Так как путь туда и обратно одинаков, то хотелось бы положить, как и в акустическом случае tB(u) и = гв(и) и. Однако это не так: в релятивистском движении длина пути зависит от скорости. Поэтому полагаем

?в(м) = Т'в(у).(6.2)

где 7 — пока что неизвестная величина, зависящая от и и и. Тогда г^ = = tB(v) + tB(iT) = tB(v) (1 + у), где tB - полное время движения В по часам В. Из (6.1) и (6.2) находим, что г^ - время, прошедшее по часам А за весь цикл движения В,

{А=г^+{А = tB^ ^/^(у)] + ?в(и)Уо/Ух(“) = ^ + 7Г* [VU + у)/(1-у)+

♦ tVO^/o"^)]-(6.3)

Пусть теперь В снова повторит свой цикл движения, а излучает при этом сигнал частоты р0 тело

Тогда

t'A ^v° = ^(^^(у), гл ^v° = гв(и)ух(и) •(6-4)

Здесь Z^(v) — время приема "В" низкой частоты, когда В удалится, а т^(и) - время приема высокой частоты на обратном пути, т.е. это снова время движения В туда и обратно, для которых согласно (6.2) ^и^ = ^^и\ Следовательно,

f Л = ^А^ + ^А^ = ^(^(У)/Уо + -YV*x(u)№

= t|(1 + у)"1 [^ (1 — и)/(1 + и) + ух/сГТ^Г^и)].(6.5)

Конечно, излучение сигнала либо телом А, либо В является просто некоторым контролем информации относительно хода времени или часов на Л и В. Излучение сигнала никак не влияет на сам процесс хода часов. Поэтому можно считать, что показания на часах А и В, когда В, совершив цикл, вернется к Л, не будут зависеть от того, излучает ли тело В, а А принимает или излучает А, а В принимает. Эти показания будут связаны формулой (6.3) или (6.5). Поэтому, приравняв правые части (6.3) и (6.5), находим

Из (6.6) сразу видно, что длина L одного и того же отрезка пути зависит от скорости. Отрезок сокращается в V1 — и2 Раз или в \Д — « раз соответственно. Это и есть лоренцово сокращение расстояния в СТО. Время, за которое тело проходит расстояние L, двигающееся со скоростью ц и

V1 — V2 V1 - W2

и будетL, L в отличии от нерелятивистского соотно-

ии

щения^/и, L/и.

Подставляя у в (6.3) и в (6.5), находим

(6'7>

функция Дм, и) равна (1 - и2)-1/2 при и = и. При и -> 0 она обращается в единицу. Действительно, как бы не изменялся масштаб времени на tA и tB при удалении В от Л со скоростью и, обратный путь В к Л со скоростью и -> 0 займет по часам Л и В бесконечно большое время. Это в целом и даст равенство r^ = (^ при и = 0. В другом предельном случае, когда тело В возвращается к Л со скоростью света tz = 1, имеем Д1, и) = VG + и)/(1 - и). Эта формула означает, что Д1, и) = volvx, где Рх(и) - доплеровское уменьшение частоты при удалении излучателя В от Л. Следовательно, t^vx^ = = г^0. Откуда r^ = V(1 + u)/G - и) t^.

Рассмотрим еще раз задачу об излучающем теле В, которое удаляется от приемника Л на расстояние а со скоростью и, а затем возвращается со скоростью и. Следовательно, низкочастотный сигнал от В к Л будет поступать по часам Л в течении времени t^ = a/v + а]с = я(1 + и)/и (при с = 1), а высокочастотный сигнал tbA = а/и - а/с = а(\ — и)(и. Откуда

!^1_ уЦ-к)^(V) u(l+v) ’!^1_ уЦ-к)^(V) u(l+v) ’W^v)].W^v)].(6.8)(6.8)

!^1_ уЦ-к)

^(V) u(l+v) ’

!^1_ уЦ-к)

^(V) u(l+v) ’

W^v)].

W^v)].

(6.8)

(6.8)

Тогда на основании (6.1), используя (6.8), находим

tg = tB(v^ + tB(u) = Уо1 [^(^(и) + ^AWx<u)\ =

= ^(1 + /3)"1 [V(l-u)/(l+u) + Ml + *0/(1 - и)] =

(6.9)(6.9)= t^ (uV1 - u2 + V\/l -U2 )KU + u) •

(6.9)

(6.9)

Снова получили соотношение (6.7).

Заметим, что такой путь получения соотношений для tA и tB обладает определенными удобствами, так как интервалы времени прихода низкочастотного и высокочастотного сигналов определяется по часам неподвижного тела Л.

Это обстоятельство сразу же упрощает задачу, когда тело Л неподвижно и излучает сигнал, тело В тоже неподвижно. Оно находится в той же точке, что и Л, и принимает сигнал от зеркала, которое сначала удаляется от Л, В со скоростью и, а затем приближается со скоростью и. Понятно, что интервалы времени приема В низкочастотного и высокочастотного сигналов будут находиться в соотношении

0 = ^(u)/z^(u) = и(1 - «)/[«(! + и)]; [^(М) = 0^(у)]. (6.10)

Имеем

^6 = ^В^х^- ^ = ^В^х^ ’(6Л О

А А,

где vx, vx — доплеровские частоты сигнала, отраженные от зеркала Z, и принятого в В,

vx =р(1 — и)/(1 + и), ^ = Р0(1+w)/(l-и).(6.12)

Имеем

t= t'A + ^ = Z^(u) Vx(v)lv0 + ?в(и)р'х(и>0 =

= Г=(1 + $Л(1-1О/(1+0 + 1Х1+«)/(1-и))=ф(6.13)

Никакого изменения масштабов времени в расположенных рядом и обменивающихся сигналом через двигающееся зеркало Z телах Л, В не произошло. Этот вывод справедлив как в релятивистском случае, так и в нерелятивистском акустическом, так как эффект Доплера от двигающегося зеркала как в том, так и в другом случае дается формулами (6.12).

Поскольку имеется такая аналогия, можно рассмотреть сверхзвуковое движение зеркала Z, которое вполне реально и в данном примере совершенно подобно сверхсветовому движению Z, которое проблематично, как и вообще все сверхсветовые движения. Что касается скорости и, то ее надо считать дозвуковой, и < 1, иначе звук (свет) просто не догонит удаляющееся зеркало. Скорость и считаем сверхзвуковой, и > 1. Тогда от зеркала Z при его удалении от А, В на В будет поступать низкочастотный сигнал в течение времени Г^ = а/и + а/с = я(1 + и)/и, (с = 1). Что касается интервала поступления на В высокочастотного сигнала, то он теперь будет ^ = а/с - а/и = а(и - l)/w (при с = 1). Действительно, поскольку и > 1, то он (сигнал) начнет поступать на В в обратном порядке, начиная с момента, когда Z вернется в В. На это потребуется а/и времени (’’хвост” высокочастотного сигнала). Он закончится тогда, когда ’’начало” высокочастотного сигнала пройдет расстояние а/с, Величина ^в — а/с - а/и и выражает разность между приходом на В ’’хвоста” и ’’начала” сигнала. Его доплеровская частота при этом будет

^=у0(1+«)/(«-!).(6.14)

Имеем~

tAVo = ^Bvx^\ tA^ = ^x^-(6.15)

Соотношение для времени приема сигналов различной частоты будет

« = ^ = ^-!)/[«(!+у)].(6.16)

Интервал времени от момента отлета зеркала Z до момента его возвращения обозначим Т. Поскольку момент возвращения предшествует поступлению на В высокой частоты, то имеем

т=^в-^в = ^х-а^<6Л7)

Именно в этот момент необходимо сравнить время, которое потребовалось излучателю А, чтобы излучить сигнал частоты у0, и приемнику В, чтобы принимать сигнал до момента остановки зеркала. Имеем

tA = ТА + ТА = 1^ vx^v)lv0 + f= У (u)/p0 =

= tg^x^lvo + « v'xWlv6) = Л( 1 - Ж1 + и) + “(“ + 1W - 1)/(1 - a) = Г.

(6.18)

Мы получили r^ = T. Изменения масштаба времени нет.

Рассмотрим еще два примера, когда А, В покоятся, а зеркало Z движется по прежнему замкнутому циклу. Пусть скорости и и и больше единицы. Понятно, что если А начало излучать сигнал в момент отлета Z, то сигнал с А достигнет Z только тогда, когда Z будет на обратном пути. Следовательно, чтобы зеркало принимало сигнал на всем своем пути, то его надо начать излучать с А еще до ’’старта” Z за некоторое время tA. При этом Z уже не зеркало, а более сложное устройство: оно принимает сигнал в обратном, естественном порядке и на этом участке пути по направлению своего полета и переизлучает его в сторону В с частотой 7^ = p0(u — 1)/(и + 1), и > 1. Пусть с момента начала излучения, после отлета Z до момента его возвращения всего пройдет время tA + tA. Понятно, что в течение времени tA (Z удаляется) приемник будет принимать низкую частоту, а затем в течение времени tA + tX высокую. Имеем

?л^=^х, (Гл+^4)^0 =Д(«).(6.19)

Соотношение между ^ и ^ прежнее в виде (6.16). Тогда, используя (6.17), получим

7а = tA *7А -tA= Уо1 VtBjKw ~ ^1 = ^ta(u + XW - 0 -

- (и - 1) /(и + 1)] = [77(1 - а)] [а(м + l)/(u - 1) - (и - l)/(v + 1)] = Т.

(6.20)

Рассмотрим пример, когда в среде скорость звука в одном направлении от излучателя А к зеркалу Z будет s+, а в обратном $_. Зеркало удаляется от А на расстояние а со скоростью и (и < $+), принимая сигнал частоты V = ^о(1 ~ *>Д+) от Л и излучает его в сторону В v = р0(1 — u/s+) (1 + и/$_). Затем зеркало приближается к В со скоростью и:У* = р0 (1 + + м/$+) (1 ~ и!$_У пУсть ^ и /^ - длительность приема в В низкочастотного и высокочастотного сигналов. Так как г” = а(и + a/s _t t^ = alu - a/s_, to

(6.21)(6.21)^ L и 1 - u/s_

(6.21)

(6.21)

^“ 1 + UA+ ‘

Как обычно, имеем tA v0 = t^v, tA vQ = t^", откуда t ^ = ty.

При обмене информацией в анизотропной среде в виде звуковых волн изменение масштаба не происходит. Правда, сами тела А и В не двигаются, а движется только зеркало Z. Однако ничего не меняет и движение тел А, В,

если они обмениваются только звуковыми волнами. Однако если использованы релятивистские формулы акустического эффекта Доплера (3.15а), то масштаб времени изменится. Действительно, если тело В приближается

и удаляется, а А излучает, то имеем

tj^x = tAv0, tBv’x = tAv0,(6.22)

где

vx =(1 -u/s)(l -v2yv\ vx =(1 +u/s)(l -v2yV1.(6.23)

Откуда t^ = ^( 1 — v2)~1/2. Аналогично если В движется и излучает акустическую волну,то

рх = \Л — у2 (1+u/s)"1, vx = V1 -v2 (1 — v/s)-1.(6.24)

Находим

t^tA^x +T‘,X')/(1 + 7) =dVl -V2 •(6.25)

Получили прежнее соотношение для изменения масштаба времени. Поэтому если А и В обмениваются звуковой волной, распространяющейся в среде, то эффект Доплера учитывает релятивистское изменение масштаба времени. Поэтому возможен эффект ’’акустических” близнецов.

ДВИЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ СКОРОСТЬЮ

Конечно, не обязательно иметь только две скорости и и и на всем цикле движения излучающего тела В. Скорость может меняться более сложным образом. Сначала предположим, что скорость тела В изменяется скачками. Разобьем трассу длиной L на п + т отрезков равной длины а = Цп* Р = l/т. На каждом из отрезков скорость считаем постоянной их, м2, -, ип при удалении В от Л и иь и2, —, ^т ПРИ приближении В к А. Тем самым мы как бы вводим п + т инерциальных систем, в которых соответствующим образом синхронизируем часы.. Нашей задачей является изучение информационного поля, связанное с эффектом Доплера, а не силового поля, характеризующего ускорение тел. Движение с ускорением — это область ОТО. Нас же в первую очередь интересует кинематика, изменение масштаба времени при кусочном неравномерном движении.

Рассмотрим случай, когда излучает тело В. При удалении В с участков движения а, 2а ... в Л будут приходить низкочастотные сигналы различной частоты vx^ux), vx(u2) ... vx (unY Их длительность по часам Л будет

Д7\ = a/iq +а/с, ..., &Тп = а/ип + а/с.(7.1)

Затем В начнет обратный путь к Л и с участков 0, 2)3 ... в А будут приходить высокочастотные сигналы ^х(их), ^(^2) •• ух(ртУ Их длительность будет

△^1 = №т - 9 к Д^ = Ркт - р/с.(7.2)

Тогда

1В ^ = ^ ° ^“1)’ "’ ^В^^ = ^^UnY

^VO = r^(1V (Ui) %m4 = r”(mV (um),(7.3)

где в релятивистском случае

Ро1 ух(“) = V(1 -u)/(l +u) . ^о1 ^(и) = х^нО/й^^.(7.4)

0з (7.1) и (7.2) прис = 1 находим

и2 1 + Miип 1 + Ux

= гв(1)дн(1)_£ —“* ■5 = . в(т)/^н(1) = £ -—“*

1 А ’А а «г 1+«1 ” 'А ,А а ит 1+и/

(7.5)

Полагая г^ =г(1)+ ... + dn) + г*^ + ... +Km), ^ = 7”(1) + ... + г”(п) + ... +

В вВ ВВ А АА

+, имеем

АА

^в =t^A ^ ^ +Т1 + ...+?»+1 +81 + ...+8от)’1px(«l) + 71I'x(и2) + •••

— "*" 7п — 1 ^х (Un) + 8 i^x (Un) + •••"*" 8т Ux(um)] •(7-6)

Умножив числитель и знаменатель в (7.6) на (1 + u^ju^ получим

т т ”1 + u„m 1 - U„ -1” V1 - Un

М[«2 р +0S ?] [«2-^ +

Я р=1Upр=1 Upр=1 Up

« V1 - Un

+ ^S ^b(7 7)

Р=1 Upv ’

«1 m 1

Поскольку an = mP = L, то знаменатель в (7,7) равен a S—+ 0 S — . Если p = l up p=Wp

n = 1, m = 1, то получаем прежнюю формулу. Переходя в (7.7) к пределу п, т -> оо; а, Р -> 0 получаем интегральную формулу замедления времени на неравномерно движущемся по замкнутому циклу теле В

(7-8)(7-8)га =tB #и ^dx\^7Т^>

(7-8)

(7-8)

А вL и(х)

£ О

где £ = / + /, если тело А расположено при х = 0, а тело В удаляется от А О L

по осих на рассгояние L.

Соотношения (7.1)-(7.3), (7.5)-(7.6) являются достаточно универсальными, Так, например, если А и В покоятся в одной точке, а движется с переменной скоростью зеркало Z, то в качестве доплеровских частот вместо (7.4) необходимо взять

"о1 Ux(u) = (l-u)/(l+и), Ро1 и,(и) = (1 +и)/(1 -и).(7.9)

Тогда из (7.6), умножая числитель и знаменатель на (1 + Mi)/^!, находим

Г2 =ГЕ1В 1АГ2 =ГЕ1В 1Аи aS . p=iи aS . p=i1 ^ирUp1 ^ирUpтР=1тР=11-”рГUp .1-”рГUp .п aS p=iп aS p=i2 ир +Up2 ир +Upт+ 35 р=1т+ 35 р=1^ ^ ^Р 1£= f А ‘ир1А^ ^ ^Р 1£= f А ‘ир1А(7.Ю)(7.Ю)

Г2 =ГЕ

1В 1А

Г2 =ГЕ

1В 1А

и aS . p=i

и aS . p=i

1 ^ир

Up

1 ^ир

Up

т

Р=1

т

Р=1

1-”рГ

Up .

1-”рГ

Up .

п aS p=i

п aS p=i

2 ир +

Up

2 ир +

Up

т

+ 35 р=1

т

+ 35 р=1

^ ^ ^Р 1£

= f А ‘ир1А

^ ^ ^Р 1£

= f А ‘ир1А

(7.Ю)

(7.Ю)

Изменения масштаба времени на А, В нет как в электромагнитном, так и в акустическом случае (эффект Доплера для зеркала одинаков), как для конечных и, т, так и в пределе и, т -> °°; a, 0 -> 0.

Отметим следующее обстоятельство. Поскольку движение с переменной скоростью — это всегда движение с ускорением, то в полученные соотношения можно ввести ускорение. Сделаем это таким образом. Формулы преобразования Лоренца для двух инерциальных систем А(х, t) и В(х\ t^

(7.11)(7.11)X + vt*t’ + vx’jc2

(7.11)

(7.11)

-===-, t = —7==- , &=v/c

Vi -P2VT^

запишем в следующем эквивалентном виде

х=хв^*х'1х/Т^. t=tB(W&x'KcVv -Р2),(7.12)

где

хв(г') = иг'/71-Р2', rB(t’) = r'/Vl -Р2..(7.13)

Величины xB(f’) и tB(t^ — это координаты начала (х’ = 0) движущейся системы В и изменение этих координат в зависимости от t’.

Тем самым при V = 0 мы получаем

t = t'ix/TT^ = t'BlVT^.(7.14)

Часы tB расположены в В при х' = 0, и по ним осуществляется отсчет времени t’A. Часы системы А оказываются в разные моменты времени совмещены с точкой х = 0, и по ним ведется отсчет времени t.

Наоборот, если в (7.1) положить х = 0, то

tA = t\l - u2/c2)/V 1 —132, т. е. г' = tA /V 1 — Р2,(7.15)

т, е. часы, расположенные в начале системы координат A (tA), сравнивали с проносящимися мимо них часами в системе В(А. Этот случай вполне идентичен случаю, рассмотренному в разд. 2, где относительность движения систем К и К1 проявляется одинаковым образом для изменения интервала финитности прямой и обратной волн /, j\.

Таким образом, х = vfjx/l - ^ — расстояние до начала (х’ = 0) системы координат К\х\ f) или до тела В, помещенного в начало координат. Причем

(7.16)(7.16)dx = vdt’lx/\ — ^.

(7.16)

(7.16)

Если теперь мы снова вернемся к движению В по замкнутому циклу со скоростью и(х), то согласно (7.8) имеем

ТА = Тв ф dx[v^l$ V1 - v2(x3lc2 dx/v(x).(7.17)

Пусть х = x(t’) и и(х) = v^t’V тогда согласно (7.16), производя замену в интеграле (7.17), находим

То dt’ ТВтв df

ТА=ТВ$1$ dt’ т.е. ТА =f -.(7.18)

о VI-040 оо V1-02(O

Следовательно, в случае зависимости скорости и от t’ соотношения (7.12)

можно записать в виде

t X1^х

X=J dx+ -==-, T=$dT-v/=™ .(7,19)

о х/Г^ о cVl-/?2

Откуда

0(0dtB

dX=cWT=c —7=5- dt; dT= —^^ ;(7.20)

/3(0dx xfidfi/dt

dX= c —7===— dt + —7==- + "7=^:dt\

Vi- 01 V1 -^ V^F(i - /?2)

dtP dxx dQ/dt

dT= -7=» + - rй + - "T-^^. dt.

VM? c V1-02cVi-^2(i-^2)

Поскольку для интервала времени dr в движущейся системе мы имеем формулу

dT = Vl~^J^yidXjdTfdT,(7.21)

где Х,Т — параметры покоящейся системы, т. е. системы Л, или

d2T = dT2 -^\lc2>)dX2,(7.22)

то находим, подставляя (7.20) в (7.22),

( dt7 = [1 +(x/c2)g(0] 2dt2 - dx2 (с1 ={[1 + (x/c2)g(?)]2 -

X-^lc^dx^ldAdt7,(7.23)

Здесь g^t") = dv(t)jdt — ускорение начала системы координат К\ где находится тело В. Видно, что метрика пространства в К зависит от ускорения # [72, 94].

В связи с полученными соотношениями отметим ряд особенностей при движении с ускорением. Заметим, что если ускорение на всей трассе является постоянным, то

u/Vl-u2=gr.(7.24)

Откуда

(7.25)(7.25)(7.26)(7.26)V = gt(x/\ + g2t2.

(7.25)

(7.25)

(7.26)

(7.26)

Следовательно,

x = J udt= f—~=^=(ljgHx/i+g2t2 - 1). о о VI*g r

Поскольку X! = t - t\ то при t* > \]g имеем xx <x. Сигнал с А никогда не догонит точку х в системе В, двигающейся с конечным ускорением. Это обычная проблема горизонта событий. Масштабный фактор растет медленнее, чем размер причинно-связанной области [19].

Согласно фундаментальной гипотезе Эйнштейна масса тела в ускорении и масса тела во всемирном законе тяготения одна и та же. Следовательно, движение с ускорением в одномерном случае можно считать движением в поле тяжести.

ДВИЖЕНИЕ СО СВЕРХСВЕТОВОЙ СКОРОСТЬЮ

Проблема движения тел со сверхсветовой скоростью - тахионов - так и остается нерешенной проблемой, несмотря на тысячи статей, которые ей были посвящены [4, 100]. Иногда такие движения наблюдаются в астрофизике, хотя их достоверность все же не окончательная и вызывает сомнение [32]. Тем не менее поиск ’’сверхсветовых” обобщений СТО вполне оправдан, так как позволяет полнее представить СТО. Нас будут интересовать эффект Доплера при сверхсветовом движении и соответствующее изменение масштабов времени и координат.

Эффект Доплера позволяет рассмотреть движение излучателя и приемника со сверхсветовыми скоростями. Хотя проблема сверхсветовых частиц — тахионов пока еще не решена, однако движения со скоростями больше скорости звука подробно изучены. Для них используется преобразование Лоренца для и2 > 1 [4, 76, 100]. Само сложение сверхсветовых (сверхзвуковых) скоростей согласно (2.9) и (2.30) дает и2 < 1, т. е. досветовую скорость. Если в (2.9) их = —и, причем и2 > 1, то в (2.5) хп -> -> -х, tu -> -t. Это означает, что порядок событий во времени изменяется на противоположный. В процессах с участием сверхзвуковых (сверхсветовых) тел от скорости зависит не только длительность сигнала, но и сам порядок событий. Даже бывает так, что следствие и причина могут поменяться местами. Поэтому, хотя сигнал и испытывает доплеровский сдвиг частот, однако может в ряде случаев поступать на приемник в обратном порядке тогда, когда излучатель приближается со сверхсветовой скоростью. Однако это не мешает ’’подсчитывать” излученные и принятые импульсы и, воспользовавшись эффектом Доплера, исследовать масштаб времени согласно соотношению vt = N. Рассмотрим примеры.

Пусть В излучает сигнал частотой v0 и удаляется от А со скоростью и > 1 (и > с, с = 1). Тогда В в течение какого-то времени t^ будет сначала принимать низкочастотный сигнал vx = v0. Зате^ если В

возвращается к Л со сверхсветовой скоростью, в течение времени Гд прием- /и +1

ник А будет принимать высокочастотный сигнал vx = v^xj— в обратном и - 1

порядке (см. диаграмму на рис, VIIL5). Точка а на оси 1д обозначает момент прилета тела В в точку 0 (где расположен приемник А). Если В двигалось со сверхсветовой скоростью и > 1, то после возвращения В к А все еще будет поступать сигнал низкой частоты, излученный В во время удаления. Он будет поступать и во время приближения В к А. После прилета В будут поступать к Л и сигналы высокой частоты в обратном порядке (см. рис. VIIL5), которые в точке £ смыкаются с сигналами низкой частоты Спрашивается, какое время Т пройдет по часам А от момента отлета тела В до его возвращения? Из рисунка видно, что

(8.1)(8.2)(8.1)(8.2)т=^-^

(8.1)

(8.2)

(8.1)

(8.2)

Для tB, t^ и Г® имеем соотношения ^ ^0 = Ma, tB Pq = ^ ^ •

Р^ VHL5. Обмен сигналом между А и В

Скорость сближения А и В больше скорости света

Откуда (см. (29.а))

/(иПУ

T=^-t-A=tBbA—7-

(V- 1)

J^—^-\=itB^-\r/1 =

(и + 1)

= ^(и2-1)-'Л.(8.3)

Раньше при и2 < 1 мы имели tA = rs(l — и2)~‘/2, т. е. tA > tB. Если и -* -* 1 — 0, то tA -> °°. Теперь, при и2 > 1, имеем tA > tB, когда и2 - 1 < 1. Для интервала и2 > 2 tA < tB; в пределе и2 -> 00 получим tA -* 0.

Пусть тело В улетает, а затем возвращается к Л со сверхсветовой скоростью v2 > 1. При этом А излучает сигнал частоты vQ) распространяющийся со скоростью света с = 1. Понятно, что если А начало излучать в момент отлета В, то сигнал с А достигает В, когда В будет на обратном пути и будет принимать только высокую частоту. Следовательно, чтобы В принимало сигнал от А все время, необходимо, чтобы А начало излучать еще до ’’старта” В за некоторое время tA. Всего же после начала излучения, отлета В и возвращения В на А должно пройти время tA + 7^. Понятно, что в течение времени tA (В удаляется) приемник В будет принимать низкую частоту, а затем в течение времени tА + ТА — высокую. Совершенно аналогичный пример мы рассмотрели для зеркала Z в разд. 6. Имеем

tAV0=tBvX) (tA *7A)v0=t^vx.(8.4)

Интервалы времени движения В по часам В при прохождении в прямом и обратном направлениях одного и того же пути с одной и той же скоростью равны tB-t^- AtB. Откуда

7а = tA + ТА - tA = % t ^ (V(u + 1)/(и - 1) - V(v- l)/(v+ 1) =

= ^(и2-1)-^.■(8.5)

Мы пришли снова к соотношению (3.3).

Теперь можно рассмотреть движение с разными скоростями. Пусть, например, излучает А, а В улетает с досветовой скоростью и(и < 1) и прилетает со сверхсветовой и(и > 1). Имеем

t*A V» = tB ^хМ, tA v0 = t^ Vx (и).(8.6)

Мы не знаем пока, сколько времени В потратило на обратный путь, но Можем положить Гв = у ^ Тогда

tA = t'A + ^=^(i +т)-Чх/ГГгЖ^+7х/(^^^(8.7)

Пусть теперь В проделает тот же самый путь, однако излучает сигнал В,

а принимает А. Тогда

(8.8)(8.8)Г^0 = ^^(и), ^Ро = ^(«)-

(8.8)

(8.8)

Причем снова после прибытия В через время Т (прошедшее после отлета) на приемник А все еще будут поступать как низкочастотный сигнал в прямом порядке, т, е, так, как он был излучен, так и высокочастотный сигнал в обратном порядке. Поэтому

T=tHA-t\.(8.9)

Время /д, которое тело В потратило на обратный путь, двигаясь со скоростью и, связано со временем tV *в=П(*в- Откуда

Т= ‘а~'а = ^в (! + ^'* [ТОЖ/ОЖ- 7 V(« - Ши + 1)]. (8.10)

Приравнивая (1.7) и (1.9), находим

и7 = - ии7 = - ии1 - 11 - и2 5и1 - 11 - и2 5(8.Н)(8.Н)Т=Т=и + ии V1 ~ V + V xju1 - 1и + ии V1 ~ V + V xju1 - 11 в1 в(8.12)(8.12)

и

7 = - и

и

7 = - и

и1 - 1

1 - и2 5

и1 - 1

1 - и2 5

(8.Н)

(8.Н)

Т=

Т=

и + и

и V1 ~ V + V xju1 - 1

и + и

и V1 ~ V + V xju1 - 1

1 в

1 в

(8.12)

(8.12)

Есть большое сходство (8.11) с (6,6). Это означает, что лоренцево сокращение расстояния наблюдается и в сверхсветовой области движений. Функция

ли + и

Яи, и)—=^—==(8,13)

и \/1 - V +UVW - 1

обладает следующими свойствами: /frAjJ^^OTTTV^и) =

= V(1 + v)7(l - ^Х / (°°, и) = (и + V1 - ^Г1 •

Можно рассмотреть еще целый ряд задач для движения тел со сверхсветовыми скоростями, например, изменяющимися на всем цикле движения, Конечно, хотя формула сложения двух сверхсветовых скоростей и дает суммарную досв.етовую скорость (так же как сумма двух досвето- вых), однако эффект Доплера дает более полное представление о непосредственно наблюдаемых явлениях. Еще точнее эти явления можно рассмотреть, комбинируя эффект Доплера с временем прихода сигнала в каждом конкретном случае. Это обстоятельство позволяет более подробно исследовать эффект Доплера и времена прихода сигналов для волновых процессов разной физической природы. Например, если 1 > и2 > й, то, полагая и = vbflv* — Г > 1, имеем 7=1. Это означает, что время движения тела с досветовой скоростью и (и2 > %) и со сверхсветовой скоростью и по одному и тому же пути будет одним и тем же в каждой из движущихся инерциальных систем координат. Такое возможно только в теории относительности благодаря лоренцеву сокращению расстояний. Поэтому тахионы и брадионы (’’быстрые” и ’’медленные” частицы), для которых скорости и и w находятся в соотношении

и"2 +w‘2=2,(8.14)

различать и обнаружить по времени пролета (по ’’внутренним” часам) од-

кого и того же отрезка почти невозможно. Импульсы у них тоже одинаковы при одинаковой массе mvK/\ - и2 = mw!\/w2 — 1. Однако энергии тс1!^ - ^Ч тс2 !\/w2 - 1 и эффекты Доплера при одной и той же излучаемой частоте разные. Если считать одинаковыми эффекты Доплера для брадионов и тахионов, то имеем

V(1 -и)/(1 +и) = V(w - l)/(w + 1).(8.15)

Откуда vw = 1, При совпадении энергий, когда 71 — v2 = 7w2 — 1, получаем

w2+u2=2.(8.16)

Рассмотрим удаление и приближение излучателя В со сверхсветовой скоростью w относительно приемника А. Имеем

tA "о = t" vx (w), tB v0 = t® v'x(w),(8.17)

причем t® = tH 7, 7 = (w — l)/(w + 1) ■ Для T= tH. - t” = r” (1 — 7) находим A AAAA

^-^(VF^W + Q+y V(w + l)/(w -T)) = 7(1 - 7)-1 [V(w-l)/

/(w + l)'+7 Т(^ПГ)7(^^= T\/w2 - 1.(8.18)

Видно, что при соотношении (8,14) (для скорости и tg = tA (1 - И2)1/2) масштабы Т и t J разные.

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО ОКРУЖНОСТИ И СПИРАЛИ

В предыдущих примерах мы сравнивали часы А и В в одной точке, в которой тела начинали движение и в которую они возвращались. Конечно, сопоставление часов можно произвести и тогда, когда А и В находятся в разных точках, следуя при этом релятивистскому понятию одновременности, т. е. конечной скорости передачи информации.

Рассмотрим пример, когда А излучает, а В удаляется от Я на расстояние а до некоторой точки В. Достигнув точки В, тело В посылает А сигнал со скоростью с(с = 1), с тем чтобы А прекратило излучать импульсы частотой v0. Можно рассмотреть эту задачу, полагая, как обычно, что сколько А излучит импульсов за время гл, столько В примет их за время tB + Дг, где М — время, которое необходимо сигналу, чтобы пройти расстояние а по часам неподвижного тела Я Д Г = а/с, а = vtA, At = vtA при с = 1. Причем все это время тело В уже неподвижно. Следовательно, tA v0 = t^vx + + vtA у0- Откуда находим

tA (1 - Фо = t® vx, tA=t*<\(9.1)

Пусть после остановки тело В двинулось из В к А, излучая частоту ^0. Тогда

1ъДХ-М = тв^. г”=Гв(1-и2)Ф(9.2)

Может получиться так, что тело В находится в точке В, на расстоянии b от А (А находится в точке 0), а затем двигается со скоростью и в точку Вп (на расстояние а от Л) и принимает излучение от А. Тогда надо учи-

тывать, что от tA необходимо отнять интервал времени, необходимый на прохождение сигнала от В до 0. Получится прежнее соотношение.

Мы рассматривали все время одномерное движение В по прямой. Одна, ко может возникнуть такая ситуация, когда тело В, удалившись от А на расстояние а со скоростью и, двигается по окружности радиуса а с цент, ром в точке 0 (где находится тело Л), а затем возвращается вдоль радиу. са окружности в ту же точку 0. Рассмотрим различные варианты этой дву. мерной задачи.

Пусть излучает тело В. Имеем

гв ^о^0 ^, ^°ч, 40)ir° "d2^0=^2)^’ <9-3) где t^ B^ ~ время по часам А или В при движении В по радиусу в прямом и обратном направлении, a t^, t^ - время А, В при движении В по окружности; р0 - частота так называемого поперечного эффекта Доплера [18, 67,68, 102, 105]

^о = ^о V1 — v2> (9.4) когда излучатель движется по окружности, а приемник находится в центре. Так как = г^2\ то сразу находим

1д ^ + ^ = <В С1 “ ^Y^' (95) Если же в процессе подобного движения В излучает Л, имеем

7^} р0 =7^> vx, 7<0)р0 =7<0)~0, 7<2) р0 ^^р'х, (9,6) где ?0 - неизвестная величина, характеризующая приемный поперечный эффект Доплера, когда приемник движется по окружности, а излучатель находится в центре.

Воспользовавшись соотношением?^1 ) = t^\ имеем

^л ^л } +^2) +^л0) = ^° +^) 0 - v2YV1 *1^ро]ро. (9.7)

Для нахождения ?0 необходимо снова воспользоваться принципом, чтобы показание часов В относительно часов Л были одинаковыми в обоих случаях, когда В излучает, а Л принимает, и наоборот. Это возможно только тогда, когда независимо от длины пути, пройденного телом В, на окружности

p=p0(l -и2У*А. (9-8)

Следовательно, если при излучающем продольном эффекте Доплера согласно (9.4) частота снижается (’’покраснение” света), то при приемном поперечном эффекте Доплера частота наоборот повышается (’’посинение” света). Это важный вывод. Он был неоднократно подтвержден экспериментально [13, 68, 105].

Интерес представляет случай, когда излучатель В и приемник Л движутся по одной и той же окружности со скоростью и, находясь на концах одного диаметра. Связь между ними осуществляется сигналом, проходящим через центр окружности, т. е- через точку О. Тогда если В излучает частоту р0, то О принимает частоту V = р0(1 - р2)1/г. Тогда можно рассматривать О как переизлучатель частоты ^, а Л принимает частоту vn = z/(l — и2)"1/2 = ^о-

Несмотря на то что относительная скорость противоположных точек диаметра вращающегося диска, т. е, тел А и В будет 2 и, эффект изменения частоты и масштаба времени отсутствует. Это было подтверждено эксперИ' ментально [105].

Не менее интересным является вопрос о лоренцевом сокращении длины окружности и изменении ее отношения к диаметру. Для получения этого эффекта необходимо, конечно, чтобы скорость движения В по окружности и по одному из радиусов были разными. Только тогда при разном сокращении длины окружности и диаметра эффект станет заметен.

Пусть тело А находится в центре окружности, а тело В удаляется со скоростью и на расстояние а, проходит дугу L = ар Qp - угол в радианах) со скоростью и и возвращается с этой же скоростью и в центр окружности к телу Л. Имеем

4° v0 = ^ vx(v), 7Bv0=<tAv0(.u'), 42)РО = ^ vx(u). (9.9)

Наоборот, когда В проходит тот же путь, а излучает Л, то имеем ?дУо = ^(и), t^Vo = t^vo<uY Та^^х^У(9.10)

где ^о(^) = ^о (1 ~ м2У/2, ро = ^о 0 - w2) /2 — частота поперечного эффекта

в, нм \1/2

Доплера. Имеем у == tB/tB = - (см. разд. 6, форму-

и \1 - v /

ла (6.16)). Поскольку длина дуги L = ра, то получаем

(9-11)

Следовательно, из (2.29) и (2.30) с учетом (2.31) находим

f^=^+^4 + гл =ро'в U+G+‘Р)7]'1 [l/^(v) + 7(l/^(“) +

+ ^o(u))] = ^о^ [1 +(1 +^)7]"* [^(^^О^М+^оСи)].(9.12)

Поскольку pIvq(u) = ^о(м)> то значение величины р в уравнении (9.12) не важно: параметр р сокращается в левой и правой частях равенства (9.12).

Точнее сказать, что уравнение (9.12) справедливо для любых р. Уменьшение длины окружности будет таким же, как и уменьшения длины радиуса, по которым тело В со скоростью и возвращается в центр окружности. Следовательно, отношение длины окружности к диаметру будет отлично от 7Г в том случае, если тело движется с одной скоростью по радиусу, а по окружности - с другой. Это означает, что изменилась метрика пространства, Начинает себя проявлять общая теория относительности, справедливая для всех систем отсчета, а не только для инерциальных, т. е. двигающихся прямолинейно с постоянной скоростью. Кроме того, скорость тела на окружности порождает определенную силу, которая может быть связана с силой тяготения, удерживающей тело. Вращающийся упругий диск — диск Эренфеста изгибается. Видно, что даже с точки зрения СТО невозможно существование абсолютно твердых тел. Диск, изготовленный из абсолютно твердой среды, нельзя было бы раскрутить, так как он не испытал бы деформаций, необходимых в СТО [70].

Что касается движения тела В по прямой с мгновенными изменениями скорости на обратную, то это тоже случай не инерциальной системы. Однако если ввести три инерциальных системы координат: одну - покоящуюся 207

вместе с телом А, другую — движущуюся со скоростью и относительно тела А (тело В) и третью - движущуюся со скоростью —и, то для двух последних систем возможны синхронизация часов в некоторой совпадающей точке. Эта точка — точка В на расстоянии а от А затем приблизится к телу А. Часы можно будет сверить непосредственно, не подвергая тело В никакому ускорению: оно просто равномерно улетает со второй инерциальной системы координат, удаляясь от А со скоростью и. Это было рассмотрено выше в разд. 5.

Формула релятивистского эффекта Доплера, когда направление движения тела В составляет угол ф с касательной к окружности, в центре которой находится приемник, имеет вид (с = 1) [103]

Уф =^о(1 - «^КД -vsinV').(9.13)

Отсюда следует, что, если излучающее тело В приближается к приемнику А по скручивающейся спирали р = р^ехр^Х^ф^ где р, ^ — параметры цилиндрической системы координат, то полагая

1 - и sin 1Д = \/1^^ sinV' = (1 - Vl - и^)/и = и/(1 +V1 -u2),(9*14)

имеем v^ = ^o- Следовательно, несмотря на то, что тело В движется и приближается к телу Л, приемник Л никакого доплеровского изменения частоты не заметит. Можно считать (если не учитывать направленность приемной системы по углу), что тело В неподвижно.

Наоборот, частота приемного поперечного эффекта Доплера на той же самой спирали (но только раскручивающейся ф < 0) будет

Vo (1 — и2)~^/(1 — v sin 1^).(9.15)

Тогда, если 1 — и sin ф = (1 — u2')~V1, находим

sin ф = и"1- у"1 (1 - и2) "У2.(9.16)

Таким образом, если излучатель В при вращении по окружности с центром в А излучает сигнал частоты у0, то А принимает сигнал пониженной частоты у1 = у о V1 — V2 • Если теперь В начинает приближаться к Л по спирали р-ро exp (<р tg V/), то понижение частоты компенсируется и А будет принимать частоту у0. Наоборот, если В удаляется от Л по той же самой спирали, причем А излучает, а В принимает сигнал, то снова как излученный, так и принятый сигналы будут иметь одинаковую частоту у0. Как в том, так и в другом случае нельзя будет по доплеровскому сдвигу частот определить приближается ли В к А или стоит на месте, или, наоборот, удаляется В от А. Как быть в этом случае с изменением масштаба времени?

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если мы имеем спираль р = о

= Ро exp(<ptg ф),—со< <р< 0,то ее длина L= f dl, dl2 = p2dy2 + d^p1.

Находим

L = ро VT +tg2 Wtg ф = Po/sin ф.(9.17)

Следовательно, отношение длины Л к расстоянию р0

Ыро = 1/sin ф.(9.18)

Пусть сначала В удалено от А и между ними расстояние р0. В некоторый момент времени Го В начинает излучать частоту р0 и одновременно двигаться в сторону Л по спирали. Следовательно, приемник А примет излучение частоты у о через некоторый интервал времени Ы, которое необходимо, чтобы сигнал от В дошел до А. С другой стороны, по часам неподвижного приемника А имеем, что время tA на прохождение телом В всей дуги L и время Дг на прохождение световым сигналом расстояния р0 удовлетворяют равенствам utA = L, c^t = р0 (с = 1). Значит, в соответствии с (9.14) ^t]tA = (p0/L)u = и sin ф = 1 - V1 - v2. Пусть время излучения В будет tB, а время приема сигнала А будет tA. Тогда tA — Дг = tB. Следовательно,

гл = rs(l-u2)-^.(9.19)

Мы снова получили формулу релятивистского соотношения времени на движущихся и неподвижном телах. Оно работает даже в том случае, когда частота, излучаемая движущимся к А телом В не претерпевает никакого изменения. По измерениям в А (если система измерения в А ненаправленная) нельзя сказать, приближается ли излучающее тело В, например звезда, к приемнику Л, или она неподвижна: все спектральные линии окажутся на месте. Можно сказать, что здесь кончаются владения информационного поля эффекта Доплера о движении тел. Информационное поле изменения масштаба времени по-прежнему работает в зависимости от скорости движения тел.

Рассмотрим еще одну задачу. Пусть вначале А, В находятся в одной и той же точке. Затем В начинает удаляться по спирали (А, р0) до точки р = ро, а А в это время излучает. Тогда В снова будет принимать излучаемую А частоту у о без всякого доплеровского сдвига. Время, в течение которого излучает А, обозначим tA. Конечно, после того как А перестанет излучать, В будет принимать сигнал еще в течение времени Дг, а всего tB + Дг, где ^t — интервал времени, необходимый, чтобы сигнал прошел расстояние р0. Расстояние р0 может быть любым. Важно, чтобы А в какой-то момент времени прекратило излучать сигнал, а В прекратило его принимать при р = р0. Сигнал прошел расстояние р0 со скоростью с (с = 1) от Л до В по часам неподвижного тела Л Дг = ^А v sin ф. Имеем

Та = Тв + tA v | sin ф |.(9.20)

Откуда, используя (9.16), получаем снова, что tA = tB (Д — ц2)“1/г. Изменение масштаба времени произошло несмотря на то, что никакого доплеровского изменения частот на В не было зафиксировано. По наблюдениям на В нельзя было установить, удаляется ли В от излучающего Л по спирали или стоит на месте. Снова изменение масштаба времени оказалось более универсальным, чем доплеровское изменение частоты, хотя при других видах движения оба эффекта связаны.

1/2 14. Зак. 831209

Конечно, поперечный доплеровский эффект при движении ^ела на орбите может быть получен и из других соображений. Пусть, двигаясь по круговой орбите со скоростью и, тело В проходит малую дугу а (а — часть окружности с центром в Л) и излучает сигнал частоты р0 во все стороны, в том числе против движения и по движению. Впереди и сзади тела В находятся на концах дуги два неподвижных зеркала Zx и Z2, которые пере- отражают сигналы низкой и высокой частот к А — приемнику. Сколько времени уходит у светового сигнала на прохождение дуги а? Имеем Дг = а/с=а (при с = 1). Так как по часам A vtA =а, то Дг = vtA. Следовательно, сигнал низкой частоты, отражаясь от ZX) будет приниматься на Л в течение Гд(1 + и), а сигнал высокой частоты, отражаясь от Z2, будет приниматься Гл(1 — и), где tA — время движения В на дуге а, измеренное по часам А. Имеем

v<)tB = рх(1 + и)гл, votB = vx(l -v)tA.(9.21)

Откуда из любого уравнения (9.21) получаем

tB =(9.22)

т.е. Ув = ^л(1 ~ у2)-1/2 — понижение частоты на неподвижном приемнике Л.

Пусть теперь А излучает, а В по-прежнему движется по дуге и сигнал в В попадает через зеркала Zx и Z2. Имеем

v^tA = Vx^^^tB.vQtA= ^(l~v)?B.(9.23)

Откуда из любого равенства (9.23) находим

U = tB(9.24)

и vB = vA(l — v2)14. Теперь уже наблюдается повышение частоты на движущемся приемнике В.

Соотношения (9.22) и (9.24) очень интересны. Пока излучает движущееся тело В, а приемник А неподвижен, на движущемся теле В ход времени замедляется. Наоборот, когда излучает сигнал Л, то на движущемся теле В ход времени ускоряется. Конечно, это происходит не только благодаря зеркалам Zx и Z2, находящимся на траектории движения и отражающим сигнал, которые сколь угодно близко в 5, т.е. фактически для сигнала в самом В. Наличие зеркал — просто наглядный прием.

Если тело В движется под углом ф к окружности, в центре которой находится приемник Л, то вместо дуги а возьмем наклонную под углом к а малую дугу Р, на концах которой находятся два зеркала Zx и Z2. Раньше, когда излучатель В двигался по дуге а и сигнал длился время 1в, его начало — начало низкочастотного сигнала — достигало А через время т = г/с = г (с = 1), а его конец по часам А был принят в момент времени тх = г/с *avtA* tA. Теперь, если оба зеркала близко расположены к В, то сигналу в конце дуги Р предстоит путь L = г — Р sin ф. В связи с сокращением времени прихода сигнала на А наблюдение будет продолжаться меньше в 1 — v sin V/ раз и соответственно во столько же раз повысится

частота сигнала на А

(9.25)(9.25)vA = vB л/1 - v2/(l - v sin 0).

(9.25)

(9.25)

Это совпадает с релятивистской формулой эффекта Доплера.

Конечно, попадание на приемник сигнала сразу двух частот (наличие двух зеркал на орбите В) меняет ситуацию с формулами замедления времени в зависимости от того, излучает А или В. Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении движения излучателя В по окружности. Пусть на той же окружности находится приемник сигнала А. Сигнал распространяется также по окружности по движению (ух) и против движения (ух) излучателя В. Учитывая время приема Л сигнала низкой и высокой частоты, имеем

^о=+(9.26а)

tBv» = ^(1-и)^,(9.266)

где Тв — время по часам В, в течение которого В излучает и совершает свой путь по окружности (один оборот или много оборотов, как, например, в синхрофазотроне элементарная частица, мезон например). После того как В совершит оборот и будет находиться в А, низкая частота vx все еще будет поступать в Л за время Af = vt^ - по часам А. Это и учтено в (9.26а). Наоборот, высокая частота сигнала, бегущего впереди В, достигнет А не сразу, а с опозданием на Ar'= utA — формула (9.266). Из (9.26а), (9.266) находим

(а = гА = Ч =(9-27)

Время на В идет с опаздыванием. Однако оказывается, что это связано совсем не с тем, что В движется со скоростью и, как это могло бы следовать из рассмотренного примера, а с тем, что В излучает, а А принимает.

Движение по окружности (без учета центробежных сил) относительно. В какой-то мере системы координат, связанные с А и В на окружности (если и сигнал тоже идет по окружности), являются инерциальными системами. Поэтому с точки зрения кинетики нельзя сказать, что В движется, а А стоит на месте; с таким же правом можно считать А движущимся. Однако совсем другое дело, какое тело считать приемником сигнала, а какое — излучателем (см. разд. 2). Рассмотрим этот процесс подробнее.

(9.28а)(9.286)(9.28а)(9.286)Пусть В движется по-прежнему по окружности со скоростью, но теперь принимает сигнал, который Л излучает в обе стороны. Имеем

(9.28а)

(9.286)

(9.28а)

(9.286)

Vo = М1 +u)fB’

1Ау» = ^О -»)^'

Снова множитель 1 + у указывает на то, что пока В совершает полный оборот, ’’догоняющий” В сигнал низкой частоты будет идти по окруж-

ности несколько дольше: Дг = ut^. Из любой формулы (9.28а) или (9.286) находим

Теперь время уже на А идет с запаздыванием, несмотря на то что движется В.

Из (9.27) и (9.29) видно, что движение тел А и В по окружности относительно. Проблема близнецов на орбите синхрофазотрона решается так: моложе будет тот близнец, который посылает сигнал. Известно, что мюон в синхрофазотроне живет в десятки раз дольше, чем покоящийся мюон . Связано ли это со скоростью его движения? Скорее всего нет, если он информирует наблюдателя о себе, т.е. о времени своей жизни, сигналом по окружности синхрофазотрона, а не напрямую через стенки. Если же наблюдатель будет информировать о себе летящую частицу, то частице будет ’’казаться” согласно формуле (9.29), что время наблюдения сильно замедлилось, возросло, с точки зрения летящего в синхрофазотроне мюона. Все, кого мюон ’’наблюдает”, и от всех, от кого он получает сигнал (т.е. вся Вселенная) ’’живет” сильно замедленной жизнью. В этом примере проявляется наиболее наглядная демонстрация полного равноправия двух инерциальных систем согласно специальной теории относительности.

Что будет, если В движется со скоростью и, излучая на пути, равном половине окружности, низкую частоту, т.е. сигнал для А против движения, а половину окружности — высокочастотный, т.е. сигнал для А по

движению? Имеем

rsp0 = Vx(v) (1 + u)r“, гвр0 = i4o) (1 - и)1^-(930)

Откуда

г;+ ^в= 2гв(1-и2)-*Л.(9.31)

Рассмотрим еще вывод формулы для эффекта Доплера в случае движения тела В под углом х к направлению от А кВ. Пусть В удаляется и излучает. Тогда

^о =+v)<4 = С1(1-и2)*-(9.32)

Если В приближается, то

Гв^о = ^(1 -v)tA = tA(\ -и2УА.(9.33)

В случае любого угла х

tBv0 = ^(1 + « cosx)?B = CiU -и2)Уг.(9.34)

Откуда находим для доплеровской частоты у приемника в А, принимающего излучение движущегося В

у = (1 + и cos х)”1 (1 - и2>)У1.(9.35)

Пусть теперь А излучает, В удаляется, проходя какой-то отрезок дуги. Имеем

^0^4 = ^(1 +v)?s = tB V 1 - V1 •(9.36)

Понятно, что если в первом случае (см. (9.32)) при удалении излучателя В тело А по собственным часам принимало излучение в течение времени tA + ЫА) где ЫА = vtA) то теперь, когда А излучает, а В удаляется, тело В по собственным часам В принимает сигнал от Л в течение времени tB + &tBi где &tB = vtB. Откуда и следует формула (9.36). Ее легко получить, если принять во внимание, что нет движущегося тела А или движущегося В, а есть только либо разлетающиеся, либо сближающиеся А и В. Движение в СТО всегда относительно в движущихся инерционнах системах координат. Но вот излучать сигнал может либо одно, либо другое тело. Которое излучает, то и ’’молодеет”, т.е. время на нем идет замедленнее, как видно из всех полученных формул.

Имеем для доплеровской частоты 7 в принимающего излучение Л

tAVo =v(l+vcosx)tB = tB(l-и2УА.(9.37)

Откуда

у = (1 + v cos х)/ V1 - v2 •(9.38)

Если же нам необходимо сравнить показания часов в А и В одновременно, то это можно сделать либо тогда, когда оба тела находятся в одной точке, либо используя сигнал, распространяющийся со скоростью света. В первом случае, когда тела вначале разлетаются, а потом слетаются, нам необходимо, чтобы для одного из тел, скажем для В, скорость изменяла знак. Тогда В уже не будет находиться в инерционной системе координат и часы в В будут отставать в соответствии с формулой сжатия времени. Конечно, если ввести третью инерционную систему координат, движущуюся к телу Л, то в ней и в удаляющемся от А теле В часы можно просто синхронизировать.

Во втором случае нам необходимо учитывать, что расстояние между А и В изменилось и световой сигнал должен потратить неодинаковое время на прохождение расстояния в начале и в конце цикла движения.

Так произошло при движении излучающего тела В к телу А по спирали р =0о exp(i tg ф) , где и sin ф = 1 - V1 - и2 ‘ (см. (9.15)-(9.17)). На этой спирали, как мы видели, поперечный эффект Доплера v = = Vq у1 - и/(1 — и sin V/) - ’’покраснение” света - компенсируется встречным движением В к А и поэтому Л принимает свет той же частоты, которую излучает В. По доплеровскому сдвигу частот нельзя сказать, двигается ли тело В или стоит на месте. На прохождение всей спирали длиной L телу В потребуется время tA по часам Л такое, что utA =L, а на прохождение расстояния р0 от В до А в начале движения (и излучения) тела В световому сигналу потребуется время Дг: с kt = р0 (с = 1), т.е. Дг = Ро (см. (9.16)). Это означает, что пока по часам Л пройдет время tA, то по часам В пройдет tB + Дг, где Дг — время, необходимое, чтобы установить связь между В и А. Так будет тогда, когда излучатель В получает от А сигнал в виде приказа: начать одновременно движение и излучение.

Если бы тело В двигалось по прямой к А, начиная с расстояния р0, то сигнал высокой частоты, принятый в А, длился бы в 1 — и раз меньше времени по часам А, чем время его излучения В. Тогда в момент встречи В и А мы имели бы

Vx(l - v)tA = votB, т.е. tA = tB (I - u2)”‘/2. (9.39)

Пусть теперь В начинает движение к излучателю А с расстояния а. Тело А излучает сигнал. Тогда время излучения сигнала по часам А до соединения В с А продлится в 1 + и раз дольше, чем время приема этого сигнала в В. Имеем

Гл^о (1 + v) = vxtB, т.е. tA = tB (1 - и2)"‘/2. (9.40)

Снова получаем тот же самый результат.

Можно рассмотреть случай, когда А излучает, а В удаляется от А по спирали, причем такой, что ’’посинение” принятого света на В компенсируется его удалением от А. Наблюдатель на В по эффекту Доплера не может определить, удаляется ли он от А или стоит на месте. Когда А прекращает излучение, В будет получать сигнал еще некоторое время Дг. Снова имеем tA = tB + Дг, или tA — ^t = tB, где Дг по часам A /кг = = tA v sin V/ = tA (1 — V1 ~ v2) • Получаем tA = tB (1 - v2)~1/2. Если же Л излучает, а В удаляется от А по прямой, принимая низкую частоту, то время приема В будет в 1 — и раз больше по часам В, чем время, в течение которого Л излучает, также по часами. Имеем

(4^0 = z^U - v)"1^, т.е. tA = tB(l-и2)”'А. (9.41)

Таким образом, мы во всех случаях получаем один и тот же результат: время замедляет ход на движущемся теле. Это можно доказать, используя принцип синхронизации часов в СТО либо совмещая оба тела в одной точке (неинерционная система координат) , либо посылая сигнал о моменте начала или окончания излучения. Если же оба тела находятся в инерционных системах координат и Осуществляется взаимный обмен сигналами (или только односторонний), тб время протекает замедленнее на теле, которое излучает с точки зрения того наблюдателя, который принимает сигнал. Движение относительно, и кто на них на самом деле двигается, сказать нельзя, но кто излучает, а кто принимает сигнал — установить можно.

В связи с рассмотренным вариантом движения тел А и В возникает вопрос: что будет с соотношением времени, если А и В движутся параллельно друг другу, но в противоположные стороны каждое тело со скоростью и? Например, если А и В расположены на вращающемся диске?

Пусть излученный сигнал частоты р0 идет напрямую от А к В через О по диаметру диска. Тогда приемник в 0 получит сигнал частоты V = = v0 (1 — v2)1/2, с которой как бы после переизлучения в 0 придет в В частотой Vм = z/(l —и2)-1/2 = v0, т.е. с той же самой частотой. Изменения же расстояния между А и В при параллельном движении в разные стороны нет. Значит tA = tB •

Опыты для подтверждения этого равенства были поставлены и описа-

ны в работе [67]. В статье [105] описывается эксперимент, когда излучатель находится в центре и приемник находится на окружности. Наблюдается повышение частоты. Экспериментальное подтверждение поперечного эффекта Доплера описано также в работе [68]. В этом случае наблюдалось понижение частоты — ’’покраснение” света.

Были выполнены также опыты при движении света по направлению движения вращающегося диска и против. Подробный расчет смещения интерференционной картины приведен в [70, 105].

Как мы видели в разд. 8, одним из интересных видов двумерного движения является движение по равноугольной спирали на плоскости. При этом если положительный угол 0 является углом между окружностью радиуса р и наклоном спирали и этой окружности, то длина спирали от точки пересечения с окружностью до ее центра А будет

L = plsin ф.(9.42)

Релятивистский эффект Доплера при движении излучающего частоту у0 тела В по свинчивающейся спирали и приемника Л в ее центре будет (при с =1)

vx = ^о V1 - 1^/(1 - v sin V/).(9.43)

Теперь рассмотрим сверхсветовое (IV > 1) движение излучателя В по той же самой раскручивающейся спирали, т.е. при удалении В от А. Имеем для доплеровских частот следующую формулу [4]:

vx = v0 VtV2-1/(1 + W sin i//).(9.44)

Пусть угол ф спирали выбран так, что частота при удалении излучающего тела В со сверхсветовой скоростью W> 1 и при его приближении к Л со скоростью И< 1 не изменяется:

V1 - и2/(1 - Г sin ^) = x/w1- 1/(1 + И/sin ф"> = 1.(9.45)

Откуда

sin ф = (1 - V1 ”^2)/^ = ( V^2- 1 - 0/W.(9.46)

Следовательно,

(rv^2+ 1 + ^Vl - V^Ky + И/) = 1.(9.47)

Поэтому

tBVo= Vo(tW+ t^),$=(9.48)

Изменение масштаба времени не происходит.

Путь, который пришлось пройти телу В со скоростью IV и со скоростью И, одинаков с точки зрения неподвижного тела А. Он равен L. Тогда приемник А получает сигнал от удаляющегося со скоростью IV тела В в течение времени t^ , а от приближающегося со скоростью V — в течение времени t^. Имеем

t^ = L(W * р/с, Т^-ЦУ-р/с (с = 1).(9.49)

Следовательно, используя (9.43) -(9.45) , находим

Т = t^^t^ = (1 - Tsin 0) И//[Г(1 + И/sin ^)] =

= (wt v) (Vi -^ZVw7^).

Можно ли из соотношения (9.46) определить величину У < 1 и W> 1? Положим V < 1, a W2 = 2 + 5, 5 < 1. Тогда имеем VII V6/хГ1. т.е. трудностей с выбором V и W в (9.46) нет.

Пусть условия (9.45), (9.46) вообще отсутствуют, и равноугловая спираль характеризуется некоторым углом ф. Рассмотрим два варианта движения В.

Пусть В движется по замкнутому циклу и излучает. Тогда

tB <w)v0 = r^(w)^(w), t® (v)p0 = ^(u)^-

(9.51)

Положим

fO) = -yf(H)

В1 lB ’

(9.52)

где величина у неизвестна. Тогда

rj= Гд(1 ^Г'^оКМ + VolVx^

(9-53)

ИЛИ

1^ = ?д(1 +?)-1 [(1 + w sin ^N^- 1 + 7(1 - v sin ф)/\/1

- v2].

2. Пусть В движется, а излучает А

(9.54)

v»tA (w) = t® (w) px(w), votA (v) = Г® (v)£x(u).

(9.55)

Причем t® (u) = r” 7. Откуда

tj= /^(1 + 7)"1 [(1 - w sin i//)/\/w2 - 1 + 7(1 + v sin ф)/ V1 -

Приравнивая t^ в (9.54) и (9.56) , находим

-v2].

(9.56)

7 = (w/v) ( V1 - v1 / ч/и'2 — 1) ,

(9.57)

rj= r^ (и + w)/(v Vw2 — 1 + wV 1 — у2)-

(9.58)

Соотношения (9.57) и (9.58) получены уже для любой равноугловой спирали и для любых скоростей и < 1 и w > 1.

Рассмотрим тот же самый замкнутыйцикл движения по спирали при условии, что движется зеркало Z, а А, В расположены в центре спирали. Имеем

tj = (1 -wa)/(l twa)t^ + t^ (1 + ua)/(l - va),(9.59)

где а = sin ф. Имеем согласно (8.17) (А совместно с 5)

(9.60)(9.60)7 = ^^в = К1 - и sin VO/U +w sin V/)] (w/v) =

(9.60)

(9.60)

= [(1 - va)/(l+wa)] (w/v).

Из (9.59) и (9.60) следует, что t^ = t^. Изменения масштаба времени не происходит.

АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ

Если при движении тел эффект изменения масштаба времени связан с их скоростью, то при движении зеркала такое изменение возможно только благодаря релятивистской анизотропии среды при использовании различных волн, например электромагнитных и акустических, на разных трассах зеркала Z, а в наиболее общем случае Znp — приемника, преобразователя и излучателя волн. Однако, как было показано в разд. 2, одной анизотропии и нерелятивистских, акустических волн для изменения масштаба времени недостаточно.

Наиболее простым случаем распространения электромагнитных волн в анизотропной среде является их распространение в струе прозрачной (для света) жидкости, движущейся со скоростью V, с показателем преломления п^ = с/п, и > 1). Формулы (3.7) для скорости светового сигнала по течению и против течения получены в разд. 3. Там же найдено доплеровское ’’изменение” частот: формулы (3.8).

Рассмотрим в таком потоке движение вдоль излучающего тела В со скоростью И, которое сначала удалится от покоящегося тела А. Тогда, учитывая то обстоятельство, что связь с телом А будет происходить с помощью световой волны, идущей против скорости К, нам необходимо взять формулу (3.8) для эффекта Доплера, в которой сх = с_ и в знаменателе 1 + (И + v)/c_. Затем, когда излучатель В начнет приближаться к приемнику А, в знаменателе (3.8) для у1 необходимо положить 1 — - (К— и)/с*. Время, в течение которого А (по часам А) будет принимать низкую частоту t^ = a/v + а/с_, высокую Тд = а[и - а(с_ . Откуда

T = ^/^=(l-^-)(l+vA-)"*.(ЮЛ)

Имеем tBv0 = t^v* ,tBv0 = t^v*. Откуда

гА = *в + tB = ?J(1 + 7)’1 [VF^/c2(l + и(с_ух + yVl - v2/c2(l -

-v/c*)-1] = ^^V1 -u2/c2[l + (1 -u/c+)-1(l -v/c_)] =(10.2)

= HfJx/T^uVc2 [(2 - u/c+ - v/c_) (1 - u/c+)-1].

Теперь рассмотрим движение зеркала Z, когда излучает Л. Имеем

^ = v0 [V1 — и2/с2/(1 + v/c*) ] [V1 -uV^/C1 + v/c_)] =

= р0(1-и2/с2)(1+и/с+) ‘(l+u/c-)

(10.3)(10.3)^i = t'o(1 - «2/с2) О - и/с+УЧ^ - и/с-У1 •

(10.3)

(10.3)

Следовательно, для В, принимающего сигнал в той же точке, где расположено Л, имеем (по часам 5) 7 = tgbic!t^ = (1 — и/с _)/(1 + и/с_). Откуда

'1 _ и2/с21 - и2/с2'

(1 + и/с+)(1 +и/с_) т(1 - и/с+)(1-и/с_) .

(Ю.4)

= ty (1 — и2/с2) (1 -V2/d) *.

Поскольку с+ < с, то t^ > tg . Движение зеркала в среде приводит к тому, что время на излучателе течет быстрее, чем в приемнике. Если сх = с, то подобного эффекта не происходит.

Рассмотрим случай, когда движущееся зеркало получает от Л сигнал через среду (с+), а отраженный сигнал идет к В в вакууме (с). Тогда 71 = (1 - и/с) / (1 + и/с). Имеем

tA=t^\ + 7J"1tA=t^\ + 7J"1V1 - l^A*2 /1 + v/c+ у t

tA=t^\ + 7J"1

tA=t^\ + 7J"1

(10.5)(10.5)1 - и/с_ 1 - и/с _

(10.5)

(10.5)

= ШвО -иЧсЧ ;—

Противоположный случай, когда к зеркалу поступает сигнал от Л по вакууму, а отраженный сигнал идет по среде, соответствует 72 = (1 — и/с_)/(1 + + и/с_). Тогда

Если жидкость с показателями преломления и ^сх = с/и) течет со скоростью w, а зеркало Z движется со скоростью и, то с+ и с_ получаются по правилу сложения трех скоростей. Это довольно громоздкие, но простые по структуре формулы, и поэтому нет необходимости на них останавливаться. Чтобы найти с+ и с_. можно воспользоваться формулой (10.4). Вывод об изменении масштаба времени остается в силе. Возможно, что это изменение масштаба времени происходит в живых системах в связи с анизотропией, вызванной потоками жидкости по сосудам. Многократные переотражения от Z способны усилить эффект замедления времени. Особенно такое изменение бывает заметно во время сна и сновидений.

Вернемся снова к случаю релятивистской анизотропии среды, в которой скорость света в одном направлении с, а в противоположном Cj. Как известно [15—17], такой случай соответствует приближенному описанию действия силового центра (тела, имеющего поле гравитации). Его же можно реализовать путем асимметричного ускорения цикла движения в двух направлениях на основе гипотезы Эйнштейна о локальном соответствии сил инерции силам тяготения. В случае одномерного движения силы ускорения и силы гравитации полностью соответствуют друг другу [94].

Пусть прямые и обратные волны в такой среде описывались решением (3.17), которое при с = 1,0 = с(сх = \]сх запишем

м(х, г) = /(х - ct) + Л(х ^cxt)=f(x - t) + Л(х + 0-11).(Ю.7)

Преобразование Лоренца

х = a(-v) (х' + vt1), t = a(-v) { и^х' +t’ [1 + и(1 - 0)]] ,

e(0= [(1-0(1+00] "й.(10.8)

переводит (10.7) в (3.21)

их^, г') =/[V(T^0)/(l + 0 (X* - ?')] +л [ V(TT0/(i -00 X

Х(х' + 0-4')] .(10.9)

Множители при х* — t* и х' + 0-1г' определяют соответствующую величину эффекта Доплера, если скорость и направлена вдоль направления распространения прямой волны.

Рассмотрим снова изменение масштабов времени при удалении, а затем сближении двух тел А и В тремя способами.

Пусть В удаляется от А и излучает. Тогда связь с А осуществляется через обратную волну fx как при и = —и (удаление), так и при и = +и (сближение) .

Тогда

^В^О ~ *Л ^х , ^B^Q - ТА vx . ^^В~~У’

Откуда

= ^(1+7)-1= ^(1+7)-1/1 -Зи1 +и/1 -Зи1 +и(10.10)(10.11)(10.10)(10.11)tA=tA*tBA= t^ Ро(1 + 7)-* (^jv, + 7/^) =

= ^(1+7)-1

= ^(1+7)-1

/1 -Зи

1 +и

/1 -Зи

1 +и

(10.10)

(10.11)

(10.10)

(10.11)

В удаляется от А. А излучает: tAv0 = Гд^, ^л^о = ?врх> ?в/гв = 7- Связь с В осуществляется уже только через прямую волну Дх — г) в системе К(х, t) при удалении К’(и -> —и) и при приближении (и = +и). Имеем

tA = tA +1 = t^ (i + 7)-* [ va^o/a7^)+tVg +0/(1 -00] .(Ю.12)

Приравнивая (10.11) и (10.12),находим

(10.13)(10.13)_ /(1+0(1 -00

(10.13)

(10.13)

7 V (1 -0(1 +00 ’

(10.14)(10.14)tA = 2Гд [VT^Vl + Зи +VT+vVl - Зи ] "*.

(10.14)

(10.14)

При 3 = 1 имеем 7 = 1 и tA = tg (1 — и2)—V1.

Пусть В излучает как в п. 1. По часам А при движении сигнала от В к Л со скоростью сх = 1/3 имеем обычное соотношение для Г® и t^

^ = 1аЬа=^ -3uW*3vY(10.15)

Следовательно, из (10.10) находим

<в =7B*tB=^x [ух^ + ^^] =fj(l +7)"1 [V(l -U)/(1 + 3») +

+ 7V(1 +0/(1 ~М1 = VttA (Vb^uV^7^ +V1 +U V1 -3vY (10.16)

Получили прежний результат (10.14).

Совершенно аналогичным образом можно рассмотреть движение с разными скоростями при удалении от Л и при приближении к Л, а также ’’сверхсветовые” движения в анизотропной среде при v > 1 и при Ри > 1 (Р ^ 1). Во всех этих случаях возможно найти изменение масштабов времени и координат.

Что касается сложения скоростей в анизотропной релятивистской среде, то, если Ui и и2 направлены в одну сторону, на (10.9) имеем [16]

/1 - игр\/1 — v2P\ i-vop (1-Р')и1и2^и1и2

I1 =, Ua = (10.17)

\ 1 + U1 / \ 1 + и2 /1 -Va1 +0и1и2

Рассмотрим в такой анизотропной релятивистской среде движение зеркала Z со скоростью и от излучателя А (частота р0) и приемника В, находящихся в одной точке. Для низкой и высокой частот, которые принимает В, имеем

vx = POV(1 -и)/(1 + 3») VcT^MT^),(10.18)

= p0V(1 +u)/(i -3») VO + Зи)КД -»\

Понятно, что, когда зеркало движется, его догоняет одна волна, прямая, а отражается от него уже другая, обратная. Это и использовано в выражении для частот (10.18). Перегруппировав множители в (10.17), мы видим, что каждый из них будет соответствовать релятивистскому доплеровскому изменению частот либо в среде, где скорость с, либо в среде, где скорость сх. Заметим, что при отражении электромагнитных волн от зеркала в изотропной среде мы имеем произведение одинаковых множителей у* == ^о(1 - v)/(l + и), при

отражении акустических волн — произведение различных множителей у7^о = (1 — y/s) (1 + ^Л)1» а в анизотропной релятивистской среде — также произведение различных множителей VQ^^^OTC^^) vT^^O/O^^) = = vTl"~~w77O—^Если в первых двух случаях ко

рень квадратный для v1 отсутствует, то в третьем он есть. Это и должно привести к изменению масштаба времени в системе А, В и Z. Один множитель характеризует релятивистский эффект Доплера в изотропной среде со скоростью света, равной единице, другой — также в изотропной среде со скоростью света равной 1/0. Их произведение дает доплеровское

смещение частот при отражении света от зеркала, движущегося в анизотропной среде.

Для движущегося зеркала имеем

tAv0 = tBBv'x, t'AP0 = tHBvx, r^=7 = (l -М/d+^).(10.19)

Откуда

tA = (1 + ?) (vx + 7^) = V^Wj/OT^).(10.20)

При 0 > 1 (сг < с) получаем Тд < tB\ время в приемнике В протекает быстрее, чем в излучателе А тогда, когда зеркало Z удаляется в анизотропной среде в направлении большей скорости с: с > сх. Поскольку с не обязательно предельная скорость (скорость света), ею может быть и сг. Поэтому возможен случай сх > с, Р < 1. Тогда t^>t^ при условии, что Z удаляется от А, В в направлении меньшей скорости. Таким образом, в анизотропной среде возможно изменение масштаба времени в обе стороны, а следовательно, возможно как опережение, так и запаздывание событий в А и В. Заметим, что, если Р -> 0, т.е. сх -► «>, то t^ - tB^\ - и2)-1/2, т.е. мы получим такое же соотношение для масштабов времени, как если бы двигалось тело В, а не зеркало. Конечно, как было отмечено в работах [15-17, 72, 96], анизотропия пространства, т.е. зависимость координатной скорости света ск от направления, наблюдается вблизи силовых центров, т.е. в гравитационном поле15. Проблема ’’машины времени” в гравитационном поле, например, в поле черной дыры давно привлекает интерес.

Необходимо отметить, что если в анизотропной среде изменение масштаба времени между t и t* происходит согласно (10.8) (при х = 0 t = = а (-и) [1 + и(1 - 0)г']), то изменение времени на движущемся теле В, совершившим замкнутый цикл (проблема ’’близнецов”), происходит согласно (10.14). Только при cv =с(Р= 1) оба выражения совпадают.

Непосредственное измерение зависимости ск от угла Р сложно. Однако в случае движения масс изменение анизотропии пространства может сказаться на частотно-временном соотношении сигнала, отраженного от движущегося зеркала согласно формуле (10.14). Конечно, вместо движущегося зеркала можно взять неподвижную систему зеркал, например, в виде сред обращающих волновой фронт. При угловом движении (качании, вращении) луча света реализуется любая скорость движения светового зайчика вдоль системы зеркал, даже сверхсветовая [32]. Эту скорость можно связать со скоростью движения масс, создающих анизотропию пространства. При многократном излучении—приеме сигнала эффект можно усилить. При этом существенным является то, что сжатие временного масштаба, т. е. изменение длительности принятого сигнала, можно

наблюдать в той же точке, где он был испущен и куда возвратился после отражения от зеркала. Это значительно упростит измерения. Тем самым может быть реализован индикатор перемещения масс, создающих анизотропию пространства.

Измерение анизотропии пространства представляет также важную фундаментальную проблему [97]: ’’Многие авторы (А.Д. Александров, В .А. Фок и др.) справедливо рассматривали определение одновременности Эйнштейном как базирующееся на законе о постоянстве скорости света в противоположных направлениях. Эддингтон вслед за Пуанкаре считал, что определение одновременности основано на соглашении о равенстве скорости света в противоположных направлениях. Конвенциали- стический характер этого утверждения подчеркивался как Эддингтоном, так и Пуанкаре”.

Понятие относительности движения, введенное Эйнштейном при создании СТО и ОТО, оказывается достаточно универсальным, чтобы рассматривать анизотропию пространства и как одно из следствий изменение интервалов времени при прохождении сигнала к движущемуся зеркалу и обратно, в точку излучения. Мы видели, что обмен сигналами между телами А и В позволяет решить проблему близнецов в СТО без использования ускоренных систем координат, не обращаясь к ОТО. Нужны только четыре инерциальных, движущихся прямолинейно с постоянной скоростью системы координат — две, связанные с А и В, и две (С, /)), переносящие показания часов с А на В или с В на А. Обмен электромагнитными сигналами (отсутствие эфира) или акустическим (наличие среды, см. гл. IX) может оказаться полезным при исследовании пространственно-временных соотношений в анизотропных средах.

Глава IX

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА ПРИ ДВИЖЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ВОЛН

Даже специалисты, владеющие математическим аппаратом, не всегда сразу и не всегда правильно улавливают глубокий смысл, скрытый за математическими формулами.

ДА. Франк-Каменецкий

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА ДОПЛЕРА

ПРИ ЗАМКНУТОМ ЦИКЛЕ ДВИЖЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ВОЛН

При обмене световыми сигналами между движущимися телами эффект Доплера характеризуется соотношением vx = р0(1 ~ и/с)* (1 + vlcYx/1-. где и — относительная скорость удаления тел. Эта формула следует из того, что волна f(x- ct} при преобразовании Лоренца переходит в волну Z [VO — v/c)l(l + v/c) (х1 - ct^y Если же движение происходит в среде со

Рис. IX.1. Движущийся фокус сходящихся волн

скоростью звука s, то нерелятивистский эффект Доплера при неподвижном излучателе и удаляющемся приемнике будет vx = р0 О ~ ^hY В случае, когда приемник неподвижен, а излучатель удаляется, имеем vx = = ^0(1 -u/s)"1-*

С эффектом Доплера в электродинамике связано явление изменения масштаба времени при движении тел. Причем произведение частоты сигнала на время его излучения (приема) является величиной постоянной. Поэтому эффект изменения масштаба времени используется при преобразовании частоты.

Так, например, электронный синхротрон в Дарсбери (Великобритания) позволяет разогнать электроны до скорости ~ 1 10-6 от скорости света. Ход времени на таких электронах замедляется в 103 раз. Соответственно частота увеличивается в 103 раз. Если в собственной системе координат электрон излучает частоту порядка нескольких килогерц (радиодиапазон), то в лабораторной системе эта частота соответственно возрастает в 103 раз. Электрон генерирует частоты в области ультрафиолетового и рентгеновского спектра. Таинственное замедление времени приобретает практический характер. Аналогично в средах с движущимися границами (границы могут быть моделированы резким фронтом пучка релятивистких электронов) происходит также преобразование частоты. СТО стало основой инженерных расчетов. Многие результаты возникли из формулы отражения от зеркала, полученной Эйнштейном при рассмотрении аналогичной задачи.

Не менее интересным и важным является моделирование сверхсветовых движений и гипотетических частиц, так называемых тахионов, двигающихся со скоростью больше скорости света. Одна из таких моделей рассмотрена в работе [98]. В этой работе сверхсветовой источник реализован в виде движущегося фокуса сходящихся и расходящихся волн. Связанное с ним электромагнитное поле тождественно конусу черенковского излучения (рис. IX.1). При использовании конического зеркала с углом раствора

2 а такой тахион может быть получен из одного электромагнитного импульса.

Мы не будем останавливаться на свойствах тахиона. Они подробно рассмотрены в работе [98]. Для нас важным является другое обстоятельство. В том случае, если фокусирование лазерного луча осуществляется в оптически активной среде, которая к тому же является акустически активной средой, возможно преобразование электромагнитного сигнала в акустический благодаря большому значению амплитуды в фокусе и нелинейным механическим явлениям, сопровождающим фокусировку.

Область преобразования электромагнитных волн в акустические может перемещаться в среде с достаточно большой скоростью, близкой к световой. Тогда возникают условия для изменения частоты и масштаба времени, для совершения фокусом замкнутого или незамкнутого цикла движения. Как было подробно показано, изменение масштаба времени связано с определением асимметрии либо в переносе показаний часов с одного тела на другое, либо в анизотропии пространства. Преобразование сигнала одного типа в другой (электромагнитного в акустический) тоже приводит к определенной асимметрии. Поэтому в такого рода задачах можно ожидать для движущихся тел не только доплеровского изменения частоты, но и изменения масштаба времени согласно специальной теории относительности .

Можно ожидать, что в дальнейшем введение асимметрии и анизотропии приведет к замедлению или ускорению хода часов. Таким образом, анизотропия скорости в среде или в вакууме, в которых распространяется световой сигнал, приводит к изменению масштаба времени. В случае изотропного пространства все же удается создать некоторую асимметрию при сравнении показаний часов на одном из тел путем их переноса на другое тело в соответствующей инерциальной системе. Часы, показания которых переносятся, будут отставать, несмотря на то что движение обоих тел относительно и в этом смысле они совершенно равноправны.

Рассмотрим анизотропию в самой физической природе излучаемого и принимаемого сигнала. Пусть излучатель А излучает световой сигнал на всем пути движения зеркала Znp а зеркало Znp (или более сложный прибор) преобразует свет (или электромагнитную волну) в звуковую волну и посылает ее через среду со скоростью звука s в приемник В.

Как обычно, записываем уравнения

tA ^0 = tB ", U "О = fs A (1 Л) где при v < s, v < с имеем доплеровские частоты для акустических волн, принятых в В

V* = р0 V<r^v7cJ7(rTi7cJ(l + «(sY1, у" = ^oV(l + v/cYO - v/cY<

Х(1-и/$Г*. (1.2)

Поскольку tв = я/и + a/s, Гв = a/v - a/s, то

Тз = ts/tB = (1 - v/s)Ki + v/s).(1.3)

На основании (1.1) имеем

Г а = ^d ^зГЧУО - и/сЖ! + и/с)(1 +W1 +

+ 7зУ(1 + v/c)/(X - v/c)(l - v/s)"1] = Гв(1 - v2/c2yV1.(1.4)

Получилось обычное релятивистское соотношение для масштаба времени на телах А и В точно такое же, как если бы А покоилось, В двигалось. На самом деле двигалось зеркало Znp —приемник электромагнитных сигналов некоторой частоты и преобразователь этих сигналов в звуковые, т.е. самый обычный бытовой приемник.

Интересным является то обстоятельство, что скорость звука s не вошла в окончательную формулу для изменения масштаба времени. Вообще говоря, 5 может быть любой, даже больше чем с (’’сверхсветовой” звук). Все равно s на масштаб времени не влияет, так как в среде, в которой распространяется звук, нет относительности движения. Только относительность движения, такая, как в СТО, приводит к изменению масштаба времени.

Можно, конечно, рассмотреть скорость движения зеркала - преобразователя больше 5. Тогда

Га ^о = ГвУх. tA^о = v'xtL(1 -5)

где

(1.6)(1.6)(1-7)(1-7)vx = Уо V(1 - v/c)/(l + и/с) (v/s + I)"1, vx = ^oVO + v/c)/0 - v/c) (v/s - I)"1•

(1.6)

(1.6)

(1-7)

(1-7)

Имеем

74 = ГвЬв = (a/s - a/v)l(a/v + a/s) = (v/s - l)(i/s + 1) 1

Поскольку электромагнитная волна на Znp преобразуется в акустическую, то в связи с тем, что v > s, зеркало-преобразователь Znp уже достигнет точки А, В, а акустические волны низкой и высокой частоты все еще будут поступать на приемник В. Поэтому нас интересует разность

Т=^ -t% = tAv0/vx = -tAv0/v'x = votl (1 *0Y4X/vx -0h4), (1.8)

где л

0 = Гд/Га = ^BVx/(tBVx^ = 74 vx/vx.(1.9)

Время T, прошедшее с момента ’’отлета” Znp и начала излучения А электромагнитного сигнала до ’’прилета” Znp в точку А, В, будет

т = tB - ti.

Откуда

т _ (X +74X4 ._ ,Е 1-7_

1 - Га (1 [ 1 + 74 — I - Гд- =

1 - (v/s - XYXv/s + 1) vx + 74 v’x1 - (v/s - XYXv/s + 1) vx + 74 v’x\ Vx J\ Vx)Vx + yvx

1 - (v/s - XYXv/s + 1) vx + 74 v’x

1 - (v/s - XYXv/s + 1) vx + 74 v’x

(1.10)

Сравнивая (1.4) и (1.10), видим, что результат изменения масштаба времени tg одинаков как в случае дозвукового движения зеркала Znp, так и в случае сверхзвукового. Только в последнем случае вместо t^ необходимо рассматривать время Т = t^ - t^, т.е. время от начала до конца движения зеркала-преобразователя.

Необходимо отметить, что в рассмотренных задачах фактически нет движущихся тел, обладающих массой и требующих затраты энергии на свое движение. Приемник-излучатель Znp можно реализовать самым различным образом и его движение тоже имитировать. Например, качанием светового луча вдоль цепи приемников-преобразователей, т.е. в виде светового ’’зайчика”, обегающего эту цепь. Световой зайчик может двигаться со скоростью большей с [32]. Представляет интерес не только досветовые движения Znp, но и его сверхсветовое движение. Действуя обычным способом, можно рассмотреть сверхсветовое движение как при удалении Znp, так и при его приближении к А, В. При этом необходимо, чтобы принятый сигнал не имел разрывов. Для этого излучатель А должен начать излучать сигнал за время tA до отлета Znp. Тогда будем иметь

^tA*~tA>0 = t^vx, tAv0 = tlvx, (1.11) где IA — время излучения сигнала А за весь цикл отлета—прилета Znp. Откуда для Т =tg - tBB имеем

tAv0 = tev’x = IbVx = tBbs^'x -Vx) = ^G “УдТ^Х -^хУ (112) где у4 — величина (1.7); для и > с, v > s имеем доплеровские частоты

v'x = y0V(v/c+ l)(u/c- 1) (v/s - I)"1,

Vx = vox/Vv(c- l)/(u/c + 1) (u/s + I)"1, (M3) После этого из (1.12) находим, что 7Л = T^Jc1 — 1)"1/2 или

Т = Ta^Ic1 - 1', »>с. (1.14)

Если в случаях (1.4) , (1.10) справедливо неравенство t^ > Г#, то в (1.14) возможно как Т < ^ так и Т > t.

Как видно, во всех трех рассмотренных выше задачах скорость звука s вообще не входит в результирующую формулу для изменения масштабов времени.

Рассмотрим задачу, когда излучатель А излучает звуковую волну, которая на зеркале-преобразователе превращается в электромагнитную. Эта волна приходит на приемник В, расположенный в той же точке, что и А. Тогда можно снова воспользоваться основным уравнением (2.11) (см. гл. VIII). При этом доплеровские частоты сигнала, принятого В, будут

у = ^0 7О~^Л)7О^А)(i - »h\

v" = PoV(l + u/c)/(l - u/c)(1 + u/s).G15)

7 s = tBit's = (a/c - aju^Kajc + a/v) = (1 - u/c)/(l + v/c).(1.16)

Следовательно,

tA = ?в(1 + 7s)"1 [V(l - v/c)/(l + v/c) (1 - v/s) +

+ 74V(1 + u/c)/(l - u/c) (1 + v/s)] = rf(l - v^c1^.(1.17)

Снова эффект изменения масштаба времени есть, хотя и противоположного характера, чем в рассмотренном выше случае (1.4), когда было г^ = = Гд (1 - v1(c2YVl. Теперь Гд < Гд.

Необходимо подчеркнуть, что использование ньютоновского абсолютного времени для акустического доплер-эффекта и эйнштейновского времени для электромагнитного эффекта вносит необходимую анизотропию в скорость передачи сигнала через пространство. В первом случае — это бесконечная скорость, а во втором — скорость света с.

Можно сказать, что объединение формул доплер-эффекта в акустике и в электродинамике будет правильным только тогда, когда релятивистское изменение масштаба времени в акустических формулах будет учтено. В этом смысле рассмотренные задачи являются просто модельными задачами, примерами из области СТО.

Можно отметить то важное обстоятельство, что скорость передачи звукового сигнала через среду совершенно не влияет на изменение масштаба времени на движущемся и покоящемся телах. Звуковая волна может быть даже сверхсветовой. Среда может быть анизотропной для звуковых или упругих волн. На масштаб времени это не влияет. Время изменяется только при соблюдении принципа относительности световых или электромагнитных волн, когда всякая среда (эфир) отсутствует, а движение излучателя и приемника происходит относительно друг друга.

ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

И РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ФОРМУЛЫ ДОПЛЕР-ЭФФЕКТА В АКУСТИКЕ

Известно, что движение тела со скоростью и сквозь среду (жидкость, газ) можно полностью моделировать при обтекании неподвижного тела движущимся потоком жидкости, газа. Из этого следует в некоторых механических задачах относительность движения. Относительность сохраняется и при рассмотрении задач об излучении-приеме акустических волн.

Так, например, пусть неподвижный приемник А в неподвижной среде со скоростью звука s принимает частоту v’A = vo0 — v/s)"1 приближающегося к нему со скоростью и излучателя В. Если же излучатель В остановить, а приемник А двигать со скоростью и ему навстречу в неподвижной среде, то будем иметь vA = р0(1 + u/s). Неподвижная среда, в которой распространяется акустическая волна, не позволяет ограничиться только относительным движением двух тел А и В. Поэтому полагаем в этой формуле для скорости звука s = s — и, т.е. двигаем среду против звуковой волны излучателем В. Тогда будем иметь на приемнике Л

vX = Уо [1 +«/($—»)] = y0/(l -v/s) = Уд.(2-1)

Теперь принцип относительности полностью выполнен.

Аналогично если в формуле для vA положить s = s + и, т.е. двигать

среду вместе с излучателем В навстречу неподвижному приемнику Л, то будем иметь

Va = Vo [1 - ^/0 + V)]"1 = Vo (1 + v/s) = vA.(2.2)

Таким образом, относительность движения тел (и, конечно, среды) при рассмотрении акустического эффекта Доплера имеется. Почему же в таком случае формулы эффекта Доплера в акустике (2.1), (2.2) и формула эффекта Доплера в электродинамике

tBV0= у0 V(1 + v/c) (1 - v/c)tA, v'x = р0 V(1 + v/c)iO -- v/c) (2.3)

так отличаются? Совершенно ясно, что это происходит благодаря изменению масштаба времени. Предполагалось, что в акустике масштаб времени tA и tB на движущемся теле Л и неподвижном В не изменяется (вернее, таким изменением пренебрегалось). Хотя, конечно, интервалы излучения частоты р0 и приема V различны. В сущности говоря, при выводе формул акустического доплер-эффекта была использована ньютоновская концепция абсолютного времени t. Или, при излучении акустических волн предполагалось, что скорость света с = °°. Эго считалось вполне допустимым, так как s < с. Однако при совместном рассмотрении электромагнитных и звуковых волн тем самым в пространство была внесена анизотропия, асимметрия. Они и привели к изменению масштаба времени с помощью двигающегося преобразователя Znp.

Пусть В излучает и движется относительно Л. Согласно СТО имеем

*в = Ч V1 - ^к1-(2-4)

В акустике на теле Л и В масштаб времени был бы один и тот же. Поэтому в первой части (2.3) следовало бы заменить tA на tB и воспользоваться формулой (2.4) для tA. Тогда

/ 1 + u/c '1

(bVo = Vox/ -— tB.(2.5)

1-v/c Vl-v/c

Откуда

v* = p0/(l - v/c).(2.6)

Получается формула для акустического эффекта Доплера (при s = с. конечно).

Таким образом, различие в формулах Доплера в акустике и электродинамике обусловлено не относительностью движения, а изменением масштабов времени и, конечно, тем, что с = const. Теперь можно обратиться снова к выяснению принципиальных вопросов, связанных с тем, что при выводе формул доплер-эффекта в акустике предполагалось, что па Л и В течет абсолютное время, т.е., что с =°° при передаче акустического сигнала со скоростью звука 5. Это и привело к анизотропии пространства, сформировало лоренц-фактор 7 = (1 — и2/с2)~ Уг на приемнике в точке А, В благодаря движению Znp.

Будем снова считать, что излучатель акустических волн В движется навстречу А со скоростью и, а приемник А неподвижен. Тогда tB7 = tA.

Откуда имеем

VA = Ро V1 -v^c1/ (1 - v/c).(2.7)

Наоборот, в случае, когда излучатель В неподвижен, а приемник А движется ему навстречу со скоростью и, находим

V^ = уо (1 + «Л)/ V1 - и2/с2\(2.8)

При движении А и В навстречу друг другу получим

va = [v0 (1 + «Л) / (1 - v/s) ] [ Vl -v2lc^l v 1 - и2/с2 ].(2.9)

Следовательно, учет релятивистских поправок в соответствующих формулах доплер-эффекта нейтрализует изменение масштаба времени на А и В в том случае, когда асимметрия порождается акустическими волнами, связанными с преобразованием Znp и распространяющимися в среде со скоростью звука s. Теперь становится понятным, почему в ряде полученных выше формул не фигурирует скорость звука s: относительность равным образом проявляет себя в электромагнитном и в акустическом эффекте Доплера. Однако получение эффекта изменения масштаба времени при использовании нерелятивистских формул акустического доплер- эффекта представляет определенный интерес: раскрывается еще одна сторона, еще одно свойство времени.

ПОПЕРЕЧНЫЙ ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА В АКУСТИКЕ

Таким образом, при отражении звуковой волны, излученной Л от зеркала Z, удаляющегося от точки А, В со скоростью и, на приемник В придет волна частоты v

(3.1)(3.1)~1 - v/s

(3.1)

(3.1)

V =

+ v/s

В случае, когда на Znp падает электромагнитная волна, а отражается звуковая, получим

V1 -v2/c2' /1 - v/c '1 - v/c

v = v0 = Ро(3.2)

+ v/s 1 + v/c. 1 + vjs

В противоположном случае

- v/s h-vfc '1 - v/s

у = V = (3-3)

V^T^ 1 + v/c ° 1 + v/c' '

Таким образом, сразу видно, что речь идет как бы об акустических волнах (без всякого релятивизма), отражающихся от зеркала и распространяющихся в анизотропной среде с различной скоростью звука: скорость равна s (или с) в одном направлении и с (или s) в другом. Из результатов разд. 2 гл. VIII ясно, что изменение масштаба времени в таком случае движения не происходит.

Легко обобщить формулы релятивистского акустического эффекта

Доплера на случай, когда движение тела В (излучатель) происходит под углом ф к окружности, в центре которой расположен приемник Л

РА = р° ^ -^/^/(^ “u/s sin 0).(3.4)

Если же излучает А, а принимает В, то

v’b = v0 (1 + v/s sin 0)/ V1 - у2/^-(3.5)

При V/ = 0 имеем поперечный эффект Доплера для излучателя (приемника), который движется по окружности. Величина этого эффекта, т.е. относительное изменение частоты акустической волны не отличается от случая электромагнитной волны несмотря на то, что в первом случае волны распространяются в среде со скоростью звука s, а во втором — без всякой среды со скоростью света с.

Пусть v^ = v0. Тогда излучатель В движется по равноуглрвой спирали с углом

sin V/ (s/u) (1 - V1 - ^(с2^ - 0/2 с) (и/с).(3.6)

Угол равноугловой спирали должен быть исключительно малым, чтобы изменение частоты звука отсутствовало. Он меньше в s/c раз (т.е. для воздуха в 106 раз) угла спирали, при движении по которой электромагнитное излучение тела В приходит в Л с неизменной частотой.

4. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ВОЛН

В АНИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Самым простым устройством преобразования электромагнитных волн в звуковые, а звуковых в электромагнитные является движущийся приемник (передатчик) радиоволн. В первом случае излученный А радиосигнал, модулированный звуковой частотой, принимается движущимся приемником (например, вращающимся), а на В поступает уже звуковой сигнал от динамика.

Наиболее оптимальной аппаратурной реализацией установки для наблюдения электроакустических релятивистских явлений является следующая. Помещаем на некоторой кривой достаточно большое число znp. Электромагнитный контакт достигается с каждым из них посредством качания электромагнитного луча (светового). Достаточно большая угловая скорость качания может реализовать любые линейные скорости контакта элек- электромагнитной волны с каждым приемником. Приемники, в данном случае неподвижные, будут растягивать носитель, т.е. длительность любого излученного сигнала, при движении луча вправо и сжимать носитель при движении влево. Следовательно, если излучаемый сигнал состоит из импульсов с частотой v0) на растянутом или сжатом сигнале они будут следовать с соответствующими доплеровскими частотами. Получив электромагнитный сигнал, каждый из приемников будет его излучать в сторону А, В в виде звуковой волны с сжатым или растянутым носителем сигнала, т.е. с соответствующей доплеровской частотой. Конечно, сама цепь приемники—излучатели должна быть достаточно частой, чтобы дискретность не проявляла себя. Наверное, лучше всего иметь непрерывный прием-

ник—излучатель, который принимает в каждой своей точке сигнал от качающегося луча .

В случае изотропного пространства время, протекающее на излучателе Л, не изменяет масштаба по сравнению со временем, протекающем на приемнике В* Это выполняется как при обмене световым сигналом через зеркало z, так и при использовании звукового сигнала в комбинации с электромагнитным, преображающихся друг в друга на znp.

Однако в случае нарушения изотропии пространства для электромагнитных волн, как было показано в разд. 10 гл. VIII, протекание времени на Л и В будет различным.

В СТО предполагается, что скорость света в одном направлении вдоль любой линии равна скорости его в обратном направлении [97]. В ОТО возникает анизотропия скорости света в пространстве вследствие сил тяготения [72,96]. Вместе с тем при исследовании волновых полей, например в процессах обращения волнового фронта, также ставится вопрос об изотропии окружающего нас пространства: ’’Нельзя ли, используя эффект обращения, выяснить, насколько изотропно окружающее нас пространство? Ведь экспериментируя с исходной и обращенной волнами, мы, по существу, имеем дело с движением одного и того же физического объекта в двух противоположных направлениях, и если пространство обладает какой-то анизотропией, то почему бы ей здесь не проявиться?” [87].

Анизотропия может проявляться в виде изменения масштаба времени и в случае движущегося преобразователя волн. Пусть, например, А излучает электромагнитную волну в анизотропном пространстве со скоростями света с (с = 1) в прямом направлении (в направлении движения znp) и с^ (1/cj = Р) — в обратном. Тогда, используя результаты разд. 10 гл. VIII, имеем для доплеровской частоты на удаляющемся znp v^ = = р0 VT^^W/O"^^ • Соотношение масштабов времени t и t* соответственно на А, В и znp будет согласно (10.8) t = «(-И) [ 1 + И (1 — /3)] t*, а(-И) = [(1 + К) (1 — РК)]-1/2. Поэтому если znp излучает звуковой сигнал частоты % в среду со скоростью звука 5, то в В он будет принят с частотой у^ = р0(1 + Vls)~^t' It. Следовательно, для частоты сигнала на В при удалении znp находим

рх= ро V(T^w(TTF) (1 + т-1 уД1Т7)(Г^^1[1+у (i_0)i

(4-1)

Пусть znp движется по замкнутому циклу. Тогда

Ci^o = t^vx, tAv0 = t^v'x .(4.2)

Поскольку t®(tB = 7 = (1 - v/s)/(i + u/s), TO

tl =Ч*Ч= ^1 (^ vx* t^= v»4\* 7) "X^x + ^) =

= {[1 +v20(l-ОП -v2(l-0)2]Uj.(4.3)

Скорость звука не вошла в окончательную формулу (4.3). Выше (см. ф-лу (10.20) в гл. VIII) при обмене в анизотропной среде электромагнитным сигналом между A, Z и В был получен результат tA = te V 1 — 02 и2 / V1 - v2. Обе формулы зависят от и2.

Поскольку j3=l/c1>l (Р = с(с1) Ci < с), то при и = 1/0 имеем и!^в =0- При и = 1/(3— 1) (0>2 - сильная анизотропия) из (4.3) находим tAlt^^ °°. При р = 1 + 5, 5 < 1 rj = rj(l - 6v2).

Согласно оценке свет в системе с Солнцем распространяется медленнее, чем в отсутствие солнечного гравитационного поля. Этот эффект был подтвержден экспериментально с помощью радара. Имеем

ск = с(1 - rg/R),(4.4)

где rg = 2GM/c2 — так называемый гравитационный радиус, где G — постоянная тяготения, М — масса тела, г — расстояние от центра Солнца. Для Солнца rg = 3 км. Вблизи поверхности Солнца (го = 7 • 105 км) rglrQ ~ ^ * 10-6. Следовательно, Р = с/ск = 1 + 5 • 10‘6, р2 = 1 + 10“5. Однако вблизи экзотических объектов типа черных дыр ск может сильно отличаться от с.

Глава X

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Красивую выстраданную формулу нельзя продать ни в музей» ни в частную коллекцию, а детективный роман о поиске ее не разойдется миллионным тиражом.

А. Смолин

Искатели приключений за письменным столом - самые отчаянные искатели приключений. Они ищут приключений интеллектуальных.

Ф. Меерсон

УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Свойства уравнения Гельмгольца в комплексном пространстве независимых переменных изучались в работах [53, 54]. Рассмотрим в полуполосе х>0,0<^</ следующую задачу:

Гд2 д2 , I

—Т + —+ ^2 (*’ JOI U^x, у) = 0, х > 0, 0 <у < 1

Ldx2 Эу2J

У(о,у)=№ i/(vH(V) = o,(1.1)

lim U^, у) = О, Im к > 0, х -> °°.

Предполагаемого:

функция к2(х, у) - регулярная в области при 0 < Imfc < g(Rex) аналитическая функция комплексного аргумента х, причем g(^) — положительная функция, удовлетворяющая условию g(OS-1 < tg i0, если х = Iх I exp(ip), ф< фо;

к2 (х, у) в области S для достаточно больших 1x1 стремится к к2(у), так что при Ixl > lx0 I приближенно выполняется равенство

^(х,у)^ S Апфп(у)ехр(1Хх/\1'), х> 1х01,(1.2)

И = 1

где фн, Хп — собственные функции и собственные значения соответствующей задачи ШЛ. При этих условиях задача (1.1) имеет единственное решение, которое может быть продолжено в комплексную область переменной х. Причем в соответствии с (1.2)

lim [7(х, у) = О,

х = Ixl exp(?V), ixl ->°°, 0 < ф< тг/2.

Полагаем

[/(Re х, у) = [P(Re х + / Im х - it, у)] г = ^ х(1.3)

где P(z, у) = ^7(z, у) для комплексных z Е 5. Вводя обозначение P(Re х + z Imx - it, у) = ^(г, у),

(1.4)(1.4)видим, что функция IV(г, у) удовлетворяет:

(1.4)

(1.4)

гиперболическому уравнению Гельмгольца

[

ЭЭ21

— — — + &2 (Re х + i Im х - it, у) I ^(г, у) = О при

д/Э?J(1.5)

0<у<1, 0<Г<1тх;

краевым условиям

WU.O^WCt.l^O;(1-6)

начальным условиям

^(0,^) =P(Re х + z Im х, у,у) = U(z,y),

где z = zQn) — непрерывная кривая в области S, т? > 0. Например, в частном случае, полагая z = i?ez^(i = const), имеем в соответствии с (1.3)-

/ dz V1/ dz V1(1.7)

/ dz V1

/ dz V1

(2.1)(2.1)

(2.1)

(2.1)

U(Rex,y)= [^(r,y)]f = Imx = U(ti cos^y).

Начальная задача (1.7), (1.8) для гиперболического уравнения Гельмгольца является корректно поставленной. Функция U(z, у) при z = це1* служит решением краевой задачи для уравнения Гельмгольца в комплексном пространстве. Следовательно, полученные соотношения позволяют установить связь этих двух задач с решением исходной краевой задачи (1.1) в вещественном пространстве. Для построения эффективных вычислительных схем такая связь может оказаться полезной, например, тогда, когда две задачи в комплексном пространстве легче решить, чем одну задачу в вещественном.

сложным. Предполагая, что зависимость потенциала Фот z определяется в виде множителя exp(z£z): Ф = фexp(i£,z\приходим к задаче ШЛ

Фхх + руу -^2tp + (k-0^)2«p=O, i(x,y)/r =0.(2.2)

Собственные функции фп(х, у) соответствуют собственным значениям £„. Пусть Хи, Фп — собственные значения и собственные функции двумерной задачи ШЛ

Фхх + ФУУ +к2Ф = \1Ф, x.yED, ф/г=0.(2.3)

Тогда, полагая фп = фп, имеем равенство

\, = Й+2№-^,(2.4)

откуда

(2-5)(2-5)^П = (-Рк ± х/^к1 + (1-02)Л„) (1 - ^Г*.

(2-5)

(2-5)

Пусть Р < 1, Тогда вещественные, положительные и отрицательные значения £„ соответствуют тем величинам ХП) для которых выполняется неравенство

Х„ > -рЧ2К>-Р2)(Хп<к). (2.6)

Вводя сетку на плоскости ху с ячейкой lx X 1у, имеем для разностной задачи ШЛ оценку

-4/;2 - 4/;2 + к1 < Х<1} < к2.(2.7)

Выбирая параметры 1Х, 1у такими, чтобы выполнялось неравенство

—4/^-2 _ 4/-2 *к2 >-р2к2К1 -02)(0< 1),(2.8)

приходим к задаче с вещественными величинами ^nQV характеризующими поле Ф = Ъапф^^х, y^exptjl^) незатухающих нормальных волн в волноводе с амплитудами аП) которые зависят от конкретного вида задачи (источник в волноводе, излучение в полуволновод, источник на бесконечности и т. п.).

Рассмотрим пример, когда D = Нх X Ну - прямоугольное сечение, а на границах волновода нормальная производная Ф обращается в нуль.

Тогда ^пт (х, у) = cosl— I 1 HXJТогда ^пт (х, у) = cosl— I 1 HXJ(тнуХ

Тогда ^пт (х, у) = cosl— I 1 HXJ

Тогда ^пт (х, у) = cosl— I 1 HXJ

cos| — ЬХит = к2 -I —I -I — 1 . Согласно \нУ ) пт \нх/ \ну)

определим ^пт. Для разностной задачи имеем

\W = к2 - 41ф sin21-I - 4i;* sin21— I.(2.9)

nm\ 2Hj y \2Hy )’

Легко найти такие lx, ly, при которых все ^ будут вещественными.

С увеличением числа Маха Р величины Хи изменяются согласно (2,6). При Р -> 1 — 0 можно брать 1Х> 1у близкими к нулю. Когда в волноводе имеется сверхзвуковой поток (0 > 1), идущий в положительном направлении оси z, то нормальные волны распространяются тоже только в этом направлении. Волны от источника звука находятся внутри конуса Маха. Заметим, что при Р > 1 уравнение (2.1) становится вообще гиперболическим по z, а следовательно, для него начальная задача является корректно поставленной задачей.

(2.10)(2.10)Рассмотрим уравнение pV„*2ikVz + Vyy = 0.

(2.10)

(2.10)

В полосе 0 < у < тг, —°° < х < 00 введем сетку с шагом I по у NI = л и с шагом h по х. Имеем следующее характеристическое уравнение для ЯС:

4р о Xuh ^к4 nl

sin2 —— + — sinxuA - — sin2 — =0.(2.11)

/г 2 Лг 2

Величины Хп (и = 1,2,..., 7V) будут вещественными при условии

(2.12)

Откуда для устойчивости должно выполняться неравенство kh<kW-р.(2.13)

Сразу видно различие между тремя случаями.

р = 0; уравнение (2.10) параболическое. Для ЯС к212

kh<-y.(2.14)

р = 1; уравнение (2.10) эллиптическое, ПУГ. Для ЯС

к? > 2, kh<kl\]1.(2-15)

4

3.р = -1; уравнение (2.10) гиперболическое. Для ЯС

kh<kW+ 1.(2-16)

4

Видно, что в случае гиперболического уравнения шаг I может быть любым, а шаг h — выбираться согласно (2.16). /Э \

Если теперь записать уравнение (2.1) (— = 0) в виде \Эл:/

г , э2 э э2 J

О "0+2^— +— +F Ф(А^) = 0,(2.17)

L dzdz ду J

то можно перейти к его разностному аналогу и для ЯС к характеристическому уравнению

п1Л I-/?2— , b =.2 k№п1Л I-/?2— , b =.2 k№(2.18)(2.19)(2.18)(2.19)sin Хи ^ ~а + b cos\n^>

п1Л I-/?2

— , b =.

2 k№

п1Л I-/?2

— , b =.

2 k№

(2.18)

(2.19)

(2.18)

(2.19)

где

h Г 24 о

а- -—г(1 — j32) + &2 sin2

2^ [ ^2’ I2

При j3 > 1 всегда, т. e. для любых значений шага I, можно подобрать такой шаг h, чтобы выполнялось неравенство а2 < 1 + Ь2 и корни уравнения (2.18) были вещественными.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Одномерное волновое уравнение является наиболее простым уравнением гиперболического типа. В работах [53, 54] было исследовано гиперболическое уравнение Гельмгольца (уравнение Клейна-Гордона). Оно возникало при переходе к мнимой координате (х -► zx) в обычном эллиптическом УГ. Кроме того, гиперболическое УГ возникает при рассмотрении частотно-пространственных зависимостей поля в волноводе и в ряде других случаев. Для всех подобных гиперболических уравнений возможна группа преобразований Лоренца. В случае же эллиптических уравнений эта группа соответствует инвариантному преобразованию в пространстве Минковского, тоже представляющему большой интерес в физических задачах.

(3.1)(3.1)Наиболее интересно проследить все возможности преобразования координат по формулам Лоренца на примере простой волноводной задачи. Рассмотрим решение уравнения Гельмгольца ихх + иуу + к2и = 0 для волновода х > 0, 0 <у < л. Оно имеет вид

(3.1)

(3.1)

u^xt y)=S ап sin(wy)exp(zx V^2 - п2у /2=1

Перейдем к комплексному пространству: х -> ix. Этот прием был использован при численном решении различных волноводных задач, когда решение находилось в комплексной области переменных х, у, а затем проектировалось в вещественную область [53, 54]. Имеем следующее гиперболическое уравнение Гельмгольца:

-ихх + иуу + к2и = 0.(3.2)

Возьмем его частное решение

и(х, у) = 2 ап sin(wy) ехр(-х \/к2 - п2).(3,3)

«=1

Воспользуемся заменой

(3.4)(3.4)х = а{х + Vy), y = a(Vxf^y'),

(3.4)

(3.4)

где а = (1 - К2)~1/2 при V2 < 1; а = (И2 - l)"^2 при К2 > 1. При такой замене мы перешли к системе косоугольных координат х1, у’, широко используемых в задачах дозвуковой и сверхзвуковой аэрогидродинамики [76]. Таким образом, использование гиперболического уравнения Гельмгольца (3.2) и преобразований Лоренца (3.4) позволяет рассмотреть волноводные задачи в косоугольной системе координат.

Гиперболическое уравнение Гельмгольца возникает также при исследовании пространственно-частотных зависимостей поля в волноводе. Рассмотрим функцию

W(x, у, к) = (1/х) 2 ап sin(«y)exp(zx V^2 - л2) = х хи(у,уУ (3,5)

п-\

где w(x, у) — решение (5.1). Дифференцируя по х и по к, находим уравнение

(3.6)(3.6)Wkx -vkxW=Q.

(3.6)

(3.6)

(3.7)(3,8)(3.9)(3.7)(3,8)(3.9)Введем независимые переменные p^vq k = Vp^ x=\/q?

(3.7)

(3,8)

(3.9)

(3.7)

(3,8)

(3.9)

Имеем

1

Wpq^ 4W=^

4

Полагая

к2 + х2 p^q х2 - к2 q-p S = = , т? = = ,

2222

приходим к гиперболическому уравнению Гельмгольца или уравнению Ютейна— Гордона

Wu- ^ + ^=0.(ЗЛО)

Оно ковариантно к преобразованию Лоренца

£ = д($'+Гт?'), т? = д(П' + т?'), a^l-V1^, Г2<1.(3.11)

Рассмотрим плоскую волну

u^xpQkx^(3.12)

или синусоидальную зависимость от произведения кх

u = s\nkx._(ЗЛЗ)

х 1

Для И/х = х и, W2 (к, х) = — и или для их линейной комбинации IV = к

= Ci Wt ^ c2W2 находим уравнение (3.6). При гармонической зависимости от времени и = ехр(—loot), и = sin(cur) для величин Wx = Г1 и, W2 = = gd^zv находим гиперболическое уравнение

Wtw^tGDW=0.(3.14)

В этом случае снова встречается произведение частоты на время. В главах VIII, IX это произведение оказалось полезным при рассмотрении частотных и временных соотношений на движущихся телах.

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

(4.1)(4.1)Рассмотрим уравнение Клейна-Гордона ^хх -Wyy±m2W = 0.

(4.1)

(4.1)

Пусть IV(0,^) - ip(y\ ^x(0,j) = ф(у), где ф(у\ i//(y) имеют представление в виде интегралов Фурье

?О) = 7 Р^ехр^Ж Ф(у)= J F,G)exp(i&№.(4.2)

Находим

о» г Fm/VF^^ + ^if?)

^(r, j)= W^x.y)* W^x.yV / .. X (4.3)

-~L 2ix/^*m2

♦ X exp(i<y + гхх/рТ^) + —-

При £ = ± m подынтегральная функция не имеет точки ветвления, так как при изменении знака у V$2 ^nv, она не меняет вида. Параметр т2 считаем положительным, вещественным. Характеристики гиперболического уравнения являются семейством прямых х = ty + const. Поэтому если tp(y), \^у) - финитные функции с носителем в виде интервала \а, 6), то их трансформанты Фурье F(£), Fx^ - целые функции с ограниченным ростом в комплексной плоскости. Как показано в [53], W^x, у) = 0 при* >у* а и при х < —у + Ь. Поэтому скорость распространения любого финитного возмущения-сигнала вдоль оси х и вдоль оси у, конечно, не может превышать единицы, как это и следует из самого вида уравнения (4.1). Знак ± т2 при этом не играет никакой роли.

Решение представляет сумму двух волн exp (z^p ± ixV?2 ±w2) с амплитудами, которые уже не являются целыми функциями параметра £. Они имеют точку ветвления при £ = ± т. Поэтому по отдельности решения Wx и W2 даже для финитных ф, ф не обращаются тождественно в ноль вне характеристик. Обращается в ноль их сумма.

Исследуем скорость распространения волн exp (iky ± ixco) вдоль оси у при условии, что к = со = W ±т2, т.е.

со = V к2 ± т2,(4.4)

тем самым мы считаем координату х временем, а у — пространственной координатой.

Закон дисперсии показывает, что групповая скорость каждой группы волн для И^ и W2 равна

с/сок

Vrv = lk = 7F7^ •(4-5)

Если при -tm2, игр < 1, то при —т2 имеем ипр > L Группа волн, образующих решение И\ и И^, распространяется со скоростью > 1. Поэтому они должны выйти за характеристики х > у + а их< -у + Ъ, что невозможно для группы волн, описываемыми финитными функциями. Но в том то и дело, что ^ и И/2 - функции, не равные тождественно нулю на всей оси. Если ф и ф выбраны так, что Wx и W2 имеют максимумы на оси у, то с ростом х эти максимумы будут перемещаться со скоростью > 1 (т.е. для реального уравнения Клейна—Гордона со скоростью больше скорости света). Тем не менее сумма M^j и 1V2 вне характеристики будет обращаться в ноль.

Результат игр > 1 был получен в предположении, что в (4.1) х - время, а перед т2 выбран знак минус. Совершенно тот же вывод получается, если считать, что у — временная координата, а перед т2 стоит знак плюс.

Интегралы, описывающие решения И/ь ^2. можно вычислить. Но еще проще выполнить вычисления на сетке. Введя на плоскости х, у сетку с шагом h X h, приходим к разностному аналогу уравнения Клейна—Гордона

и^х *vh,y) + м(х-h,y)— и(х,у + Л)-и^х, у - h) + m2h2u (х, у) =0.(4.6)

Схема (4.6) пятиточечная, трехслойная. Сразу видно, что возмущение, заданное в точках х = 0, у = 0; х = h, у =0, распространяется внутри угла, образованного характеристиками у = ±х. Считаях временной координатой, а у — пространственной, рассмотрим распространение волны exp Qky + ixco) в такой сеточной среде. Имеем характеристическое уравнение

2coso)/z- 2coskh ± m2h2 = 0. (4.7)

Откуда

h 1 arccos coskh +h 1 arccos coskh +m2h22m2h22(4.8)(4.8)

h 1 arccos coskh +

h 1 arccos coskh +

m2h2

2

m2h2

2

(4.8)

(4.8)

Следовательно,

a dcosin kh

у = = —.—— —(4

гр Ък ^УЧ—^cos^^ л

При h -> 0 И -> Ггр из (4.5). Заметим также, что Игр ->°° при£ = т(-Щ ). Аналогично ггр -* 00 при к = /z-1arccos(l ^т2И2/2). Конечно, поведени Игр в зависимости откк,т более сложное, чем Игр ^к, т). Однако положение облегчается тем обстоятельством, что с уравнением (4.6) в сеточной области можно проводить различные вычислительные эксперименты, задаваясь начальными условиями в виде финитных сеточных функций, имеющих максимумы, и следя, с какой групповой скоростью эти максимумы перемещаются.

ЛИТЕРАТУРА

Акустика океана / Под ред. Л.М. Бреховских. М.: Наука, 1974. 695 с.

Акустика океана. М.: Мир, 1982, 320 с.

Андреев Г.А. и др. Визуализация и преобразование электромагнитных полей миллиметрового диапазона// Зарубеж. радиоэлектрон. 1984, Вып, 11. С, 3-27.

Астрофизика, кванты и теория относительности. М.: Мир, 1982. 565 с.

Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные краевые задачи. М.: Мир, 1968. 512 с.

Аскаръян С.П., Юркин А.В. Новое в светоакустике // УФН. 1989. Т. 157, № 4. С. 667-681.

Балыкин В.И., Миногин ВТ, Лазерное охлаждение атомов // Природа. 1989. № 7. С. 19-26.

Воронкин В.М., Тужилкин Ю.И. Измерение амплитуд и фаз сложных многолучевых сигналов // Проблемы акустики океана. М.: Наука, 1984. С. 133-142.

Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М,: Наука, 1984. 520 с.

Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Отражение света от двигающего зеркала и родственные задачи // УФН. 1989. Т. 159, № 1. С. 155-180.

Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Поле источника излучения в движущейся среде // Эйнштейновский сб., 1978-1979, М.: Наука, 1983. С. 173-277.

Болотовский Б.М., Гинзбург В.Л. Эффект Вавилова-Черенкова и эффект Доплера при движении источников со скоростью больше скорости света в вакууме // УФН. 1972. Т. 106, № 4. С. 577-592.

Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Современное состояние электродинамики движущихся сред // Эйнштейновский сб., 1978-1979. М.: Наука, 1983. С. 179-275.

Болотовский Б.М. О видимой форме быстро движушихся тел // Эйнштейновский сб.1980 - 1981. М.: Наука, 1985. С. 14 2-16 8.

Болтянский ВТ. Принцип максимума, черные дыры и квазары. Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 10. С. 1888-1890.

Болтянский ВТ. Анизотропный релятивизм // Там же. 1974. Т. 8, № 12. С. 21612810.

Болтянский ВТ. Анизотропная теория относительности и оптимизация // Там же. Т. 15, №11. С. 1923-1932.

Борн М. Эйнштейновская теория относительности. М.; Мир, 1964. 453 с.

Боулер М. Гравитация и относительность. М.: Мир, 1979. 215 с,

Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР, 1957. 501 с.

Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире. М.: Наука, 1982. 310 с.

Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидром етеоиздат, 1982. 263 с.

Бункин Ф.В., Власов Д.В. Обращение волнового фронта в акустике // Вести. АН СССР. 1982. № И. С. 52-59.

Бункин Ф.В., Кравцов Ю.А., Ляхов Г.А. Акустические аналоги нелинейных оптических полей // УФН. Т. 149, № 3. С. 391-413.

Бурлаков И.Б., Петухов Ю.В., Словинский М.М. Определение акустических характеристик дна волновода методом доплеровской томографии // Акуст. журн. 1989. Т. 35, №6. С. 1015-1020.

Бурлаков И.Б. и др. Доплеровская томография и акустика океана // Там же. 1988, Т. 34, №6. С.756-762.

Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 487 с.

Валихаджиев Ш.М. Новые методы специальной теории относительности. Ташкент: Укитувчи, 1967. 142 с.

Валяев А.Б., Кривошлыков С.Г. Модовый состав излучения в рефракционном волноводе с параболическим профилем показателя преломления, возбужденном локализованным источником // Акуст. жури, Т. 36, № 3. С. 431-436.

Виноградов М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.

Гинзбург В.М. Как научить машину видеть или антропоморфный принцип образования изображений // Природа. 1986. № 6. С 14-23.

Гинзбург В.А, О теории относительности. М.: Наука, 1979. 238 с.

Гик Л.Д. Акустическая голография. М.: Наука, 1981. 64 с.

Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: Наука, 197 3. 400 с.

Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1098 с.

Далибар Ж. Остановка атомов лазерным светом // Физика за рубежом. М.: Мир, 1987. С. 241-247.

Данилов А.А., Завадский В.Ю., Поварнина Н.П. Некоторые вопросы исследования звуковых полей в волноводе методом конечных разностей // Вопр, судостроения. Акустика. 1984, № 18. С. 3-10.

Данилов А.А. Применение метода конечных разностей для вычисления акустических полей в нерегулярных волноводах: Дие, ... канд. физ.-мат. наук. М.: Акуст. ин-т АН СССР, 1989. 150 с.

Девис П. Суперсила. М.: Мир, 1989. 271 с.

Демидов В. Как мы видим то, что видим. М.: Знание, 1979. 200 с.

Демидов В. Пространство, запертое в плоскости. М.: Знание, 1982. 220 с.

Дианов Е.М. Волоконная оптика, проблемы и перспективы // Вести. АН СССР. 1989. № 10. С. 41-51.

Даровских Д.И. Моделирование на ЭВМ распространения гармонических звуков в океане методом конечных разностей: Дис. ... канд. физ-мат. наук. М.: Акуст. ин-т АН СССР, 1990. 150 с.

Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

Елисеевнин В.А. О работе горизонтальной линейной антенны в водном слое в поле узкополосного шумового сигнала // Акуст. журн. 1984. Т. 3, № 2, С. 213-217.

Есипов И.Б., Наугольных КА. Оптико-акустические и акусто-оптические взаимодействия на границе раздела сред // Акустические волны в океане. М.: Наука, 1987. С. 198-204.

Завадский В.Ю. Метод сеток для волноводов. М.: Наука, 1987. 367 с.

Завадский В.Ю., Крюков Ю.С. Применение метода конечных разностей для исследования трансформации нормальных волн на нерегулярных участках волновода // Акуст. журн. 1986. Т. 3 2, № 2. С. 177-183.

Завадский В.Ю.» Сопелева Т.Н. Конечно-разностные схемы при вычислении волновых полей // Вопросы судостроения. Акустика. 1983. Вып. 16. С. 20-29.

Завадский В.Ю., Поварнина Н.П. Точность разностных схем в волновых задачах // Судостроит. пром-сть. Акустика. 1989. №4. С. 72-82.

Завадский В.Ю. Алгоритм быстрого вычисления волновых полей и его применение в задачах акустики океана // Акустические волны в океане. М.: Наука, 1987. С. 210.

Завадский В.Ю. Метод конечных разностей при вычислении волновых полей // Проблема акустики океана. М.: Наука, 1984. С. 43-57.

Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. М.: Наука, 1972. 558 с.

Завадский В.Ю. Метод конечных разностей в волновых задачах акустики. М.: Наука, 1982. 273 с.

Завадский В.Ю. Вычислительная гидроакустика и звуковые поля в нерегулярных волноводах // Вопр. судостроения. Акустика. 1983, № 16. С. 3-19.

Завадский В.Ю., Крюков Ю.С. Вычисление акустических полей в нерегулярных волноводах, моделирующих континентальный шельф методом конечных разностей // Акуст. журн. 198 8. Т. 3 6, № 6. С. 105 2-106 0.

Завадский В.Ю., Крюков Ю.С. Вычисление акустических полей в нерегулярном океаническом подводном звуковом канале методом конечных разностей // Там же. 1983. Т. 29, № 6. С. 758-764.

Захаров Л.Н., Ильин С.А., Ильичев В.И., Шуров В.А. Векторно-фазовые методы в акустике океана. М.: Наука, 1989. 216 с.

Зверев В.А. Голография в акустике океана // Акустика океана. Современные системы. М.: Наука, 1982. С. 175.

Зверев В.А., Орлов Е.Ф., Шарапов Г.А. и др. Получение изображения источника звука в модельном волноводе голографическим методом с использованием оптических широкополосных систем // Тр. VIII Акуст. конф. М., 1973. С. 164.

Интерференция широкополосного звука в океане // Сборник статей. Горький: ИПФ АН СССР, 1984. С. 185.

Кузнецов М.А. Применение в ЭВМ средств интегральной оптики и нейронных сетей // Судостроение за рубежом. 1989. № 12. С. 20-32.

Как вращается Солнце // Природа. 1989. Т. 10. С. 102.

Клименко И.С. Голография с фокусировкой изображения и спеклинтерферо- метрии. М.: Наука, 1985. 222 с.

Кок У.Е. Видимый звук. М.: Мир, 1974. 120 с.

Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во МГУ, 1989. 154 с.

Кюндич В. Измерение поперечного эффекта Доплера в ускоренной системе // Эйнштейновский сб., 1968. М.: Наука, 1968. С. 247-257.

8. Ландсберг СТ. Оптика. М.: Гостехтеориздат, 1954. 7 2 7 с.

Лямшев Л.М. Лазерное термооптическое возбуждение звука. М.: Наука, 1989. 240 с.

Логунов А.А., Чугреев Ю.В. Эффект Саньяка в специальной теории относительности// УФН. Т. 156, № 1. С. 137-143.

Лямшев Л.М. Лазеры в акустике // Вести. АН СССР. 1984. № 8. С. 97-107.

2. Меллер К. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1975. 3 80 с.

Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теория относительности в квантовой механике. М.: Наука, 1972.437 с.

Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решения разности схем. М.: Наука, 1979. 315 с.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977, 4 56 с.

Майлз Дж.У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 272 с.

Николаевский В.Н. Волноводы земной коры // Природа. 1987. № 7. С. 54-60.

Осетров А.В. Цифровая акустическая голография // Зарубеж. радиоэлектрон. 1987. № 11. С. 28-38.

Орлов Е.Ф. Метод обобщенных голограмм в акустических исследованиях океана // Тр.Х Всесоюз. школы-семинара по стат, гидроакустике, Сухуми, 1978. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1980. С. 107.

Пилюгин В.В., Сумароков ЛИ, Фролов Ю.В. Машинная графика и автоматизация научных исследований // Вести. АН СССР. 1985. № 10. С. 51-58.

Поварнина Н.П. Численное моделирование на ЭВМ акустических полей в нерегулярных волноводах на основе связи краевых и начальных задач: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1986. 145 с.

Подводная акустика и обработка сигналов. М.: Мир, 1985, 488 с.

Раевский В.Ю. Фотоакустическое зондирование оптически непрозрачных объектов: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1988. 152 с.

Распространение волн и подводная акустика / Под ред. Дж.С. Келлера. М.: Мир, 1980. 225 с.

Ринкевичюс Б.С. Доплеровский метод измерения локальных скоростей с помощью лазеров // УФН. 1972. Т. 111, №2. С. 305-3 28.

Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М.: Наука, 1987. 320 с.

Рагульский В.В. Обрашения волнового фронта. М.: Наука, 1990. 180 с.

Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вести. АН СССР. 1979. № 5. С. 38-49.

Свет В.Д. Методы акустической голографии. Л.: ЦНИИ ’’Румб”, 1976. 122 с.

Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Применение метода конечных разностей крас-

чету световодов // Вычисл. математика и программирование. 1978. Вин. 28. С. 104-117.*

Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Расчет плоского волновода трансформатора конечно-разностным методом // Вычисл. математика и программирование. 1978. Вып. 28. С. 118-133.

Система акустического изображения / Под ред. Г Уэйда. Л.: Судостроение, 1981. 208 с.

Скобельцын А.В. Парадокс близнецов в теории относительности. М.: Наука, 1966. 190 с.

Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987, 656 с.

Урусовский И.А. Шестимерная интерпретация некоторых релятивистских и квантовых величин и явлений // Изв. вузов. Физика. 1985. С. 1-43.

Тяпкин А.А. Выражение общих свойств физических процессов в пространственновременной метрике специальной теории относительности // УФН. 1972. Т. 106, №4. С. 617-659.

Файнгольц М.И. О сверхсветовом источнике типа движущегося фокуса // Эйнштейновский сб., 1974, М.: Наука, 1976, С. 276-285.

Франкфурт У.И., Франк И.М. Оптика движущихся тел. М.: Наука, 1982. 197 с.

Философские проблемы гипотезы сверхсветовых скоростей / Отв. ред, Ю.В. Молчанов. М.: Наука, 1986. 450 с.

Федоров Ф.И. Группа Лоренца. М.: Наука, 1979. 384 с.

Франк И.М. Эйнштейн и оптика // УФН. 1979. Т. 129, № 4. С. 685-704.

Франкфурт У.И. Оптика движущихся сред и специальная теория относительности // Эйнштейновский сб., 1977. М.: Наука, 1980. С. 25 7-3 25.

Цифровая обработка сигнала и ее применение. М.: Наука, 1981. 222 с.

Чемпни Д.К., Мун П.Б. Отсутствие доплеровского сдвига при движении источника и датчика гамма-излучения по одной круговой орбите // Эйншейновский сб., 1978 1979. М.: Наука, 1983. С. 319-3 20.

Чепмен Д.Р. Вычислительная аэродинамика и перспективы ее развития // Ракетная техника и космонавтика. 1980. Т. 18, № 2. С. 3- 32.

Шарапов Г.А., Лобанов В.Н. Акустическая голография в слоистых волноводах // Интерференция широкополосного звука в океане. Горький: ИПФ АН СССР, 1984. С. 34-53.

Яненко Н.Н. Метод дробных шагов. Новосибирск: Наука, 1967. 196 с.

Ярославский Л.П., Мерзляков Н.С. Цифровая голография. М.: Наука, 1982.

ПО. Libbreht К. New Sci. 1989. Vol. 122, N 1659. P. 28.

Ames W.F., Lee D. Current development in the numerical treatment of ocean acoustic propagation // Appl. Numerical Math. 1987. N 3. P. 25-47.

Lee D., McDaniel S.T. Ocean acoustic propagation by finite difference methods // Com- put. and Math, with Appl. 1987. Vol. 14, N 5. P. 305-423.

Lee D., Papadakis J.S. Numerical solutions of the parabolic wave equation: An ordinary-differential-equation approach // J ASA. 1980. Vol. 68, N 5. P. 1482-1488.

de G. Gribble L, G. Le Extending the finite difference treatment of interfaces when; using the parabolic wave eqyation // JASA. 1984. Vol. 76, N 1. P. 217-221.

WS. Botseas G., Papadakis J.S. Finite-difference solution to the parabolic wave equation // JASA. 1981. Vol. 70, N 3. P. 795-799.

Wb. Pierce A.D. The natural reference wavenumber for parabolic approximations in ocean acoustics // Comput. and Mach, with Appl. 1985. Vol. 11, N 7/8.

Peggion G., O’Brien J.J. An explicit finite-difference scheme for solving the ocean acoustic parabolic wave equation // Ibid. N 9. P. 937-942.

WS. McDaniel S.T. Applications of energy methods to finite-difference solutions of the parabolic wave equation // Ibid. Vol. 11, N 7/8. P. 823—829.

Tappert F.D., Lee D. A range refraction parabolic equation // JASA. 1984. Vol. 76, N 6. P. 1797-1803.

Kriegsmann G.A. К multiscale derivation of a new parabolic equation which includes density variations // Comput. and Math, with Appl. 1985. Vol. 11, N 7/8. P. 817-821.

Greene R.R. The rational approximation to the acoustic wave equation with bottom interaction// JASA. 1984. Vol. 76,N6.P. 1764-177 3.

St.Mary D.F., Lee D. Analysis of an implicit finite difference solution to an underwater wave propagation problem // J. Comput. Phys. 1985. Vol. 57. P. 378-390.

Perkins J.S., Baer R.N. An approximation to the three-dimensional parabolic-equation method for acoustic propagation // J ASA. 1982. Vol. 72, N 2. P. 515-522.

Siegmann W.L., Lee D. Aspects of three-dimensional parabolic equation computations// Comput. and Math, with Appl. 1985. Vol. 11, N 7/8. P. 85 3-862.

Mary D.F.St. Analysis of an implicit finite-difference scheme for a third-order partial differential equation in three dimensions // Ibid. P. 873—885.

Chan T.F., Shen L., Lee D. Difference schemes for the parabolic wave equation in ocean acoustics // Ibid. P. 747-754.

Schultz M.H. Multiple array processors for ocean acoustic problems // Ibid. P. 777-7 85.

Knightly G.H., Lee D., Mary D.St. A higher-order parabolic wave equation // JASA. 1987. Vol 82,N2.P. 580-587.

Murphy J.E. Finite-difference treatment of a time-domain parabolic equation: Theory // JASA. 1985. Vol. 77, N 5. P. 1958-1960.

Birkhoff G. Some mathematical problems of numerical ocean acoustics// Comput. and Math, with Appl. 1985. Vol. 11, N 7/8. P. 64 3-6 5 4.

5ЛмЬт G.R., Bell J.B. A modified equation approach to constructing tourth order methods for acoustic wave propagation SIAM // J. Set Stat. Comput. 1987. Vol. 8, N 2. P. 135-151.

Vichnevetsky R. Wave propagation and reflection in irregular grids for hyperbolic equations //Appl. Numerical Math. 1987. N 3. P. 133-166.

Santosa E., Pao Y.-H. Accuracy of a Lax-Wendroff scheme for the wave equation // JASA. 1986. Vol. 80, N 5. P. 1429-1437.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Список условных обозначений и сокращений 5

Введение. Алгоритмическая теория волновода 7

Математическое и численное моделирование волновых полей 7

Основные свойства метода конечных разностей 9

Преимущества графического моделирования и визуализация волновых полей 15

Метод конечных разностей для естественных и искусственных волноводов 20

Метод конечных разностей.Обзор работ 27

Глава 1

Явная разностная схема для уравнения Гельмгольца в волноводе 34

Одномерное дифференциальное и разностное уравнения Гельмгольца 34

Одномерные задачи для сред с потерями 38

Волны в однородном волноводе 40

Трехмерный слоисто-неоднородный волновод 44

Явная схема для уравнения Гельмгольца в слоисто-неоднородном волноводе 45

Начальные условия для разностной задачи 48

Распределенный источник в бесконечной полосе 51

Формирование функции с заданным спектром 52

Закон Снеллиуса для сеточных сред 53

Сетка в волноводе для вычисления полей в полосе частот. Примеры вычисления полей 57

Глава 11

Неявные разностные схемы для волновых задач 72

Устойчивость неявной схемы Кранка-Никольсона 72

О применении полуявных схем 74

Объем вычислений для неявной схемы 75

Уточненные параболические уравнения 78

Модифицированное параболическое уравнение 79

Глава III

Точность и эффективность разностных схем 81

Точность разностных схем в волновых задачах 81

Универсальный метод контроля ошибки и увеличения точности разностных схем 90

Метод последовательного прохождения волн 93

Прямые и обратные волны в волноводе 94

Глава ГУ

Узкоугловое приближение и нестационарные волновые поля в волноводах . . . 97

Модово-лучевое описание поля в волноводе на основе разностного приближения 97

Поле 6-волн в неоднородной среде101

Кинематическое волновое уравнение 103

Преобразования волнового уравнения и его решения в однородном волноводе и в слоистой среде107

Распространение импульсов в волноводе в приближении 6-волн111

Глава V

Разностные схемы для импедансных границ и для резких границ между средами117

Разностные схемы для импедансных границ117

Разностные уравнения на границе двух сред122

Метод Ричардсона и повышение точности аппроксимации разностных схем на крупной сетке124

Гипотетические краевые условия126

О сеточной реализации просветвляющего краевого условия129

Глава VI

Вещественные разностные схемы для комплексных волновых полей131

Явная схема для параболического уравнения131

Явная вещественная схема для преобразованного уравнения Гельмгольца134

Схема Кранка-Никольсона и вещественная схема136

Схема для модифицированного параболического уравнения138

Об инвариантных величинах в сеточных волноводах140

Глава VII

Волновое поле на сеточных отрезках146

Вертикальные и горизонтальные сеточные отрезки146

Аналитические решения волновой задачи в параболическом приближении . . 150

Одномерная выборка волнового поля в трехмерном волноводе153

Восстановление фазы по амплитуде на вертикальном сеточном отрезке в волноводе157

Горизонтальные сеточные отрезки и метод нормальных волн в волноводе 158

Голографическая обработка информации на сеточных отрезках164

Голографическая и лучевая пространственно-временная обработка при представлении информации на голограмме165

Томография в волноводе на основе волновых представлений167

Решение разностной задачи Штурма-Лиувилля методом краевой задачи . . . 168

Точечный излучатель на границе волновода169

Глава VIII

Эффект Доплера в электродинамике и акустике170

Волновые проблемы и эффект Доплера170

Эффект Доплера в акустике174

Даламберов ские решения волнового уравнения и преобразования Лоренца . 180

Кинематика движущихся тел на основе релятивистского эффекта Доплера . 188

Инерциальные системы и одновременность в теории относительности190

Замкнутый цикл движения для двух различных скоростей193

Движение с переменной скоростью198

Движение со сверхсветовой скоростью202

Эффект Доплера при движении по окружности и спирали205

Анизотропные среды217

Глава IX

Эффект Доплера при движении преобразователя волн222

Моделирование эффекта Доплера при замкнутом цикле движения преобразователя волн222

Относительность движения и релятивистские формулы доплер-эффекта в акустике227

Поперечный эффект Доплера в акустике229

Преобразователь волн в анизотропном пространстве230

Глава X

Гиперболическое уравнение Гельмгольца233

Уравнение Гельмгольца в комплексном пространстве233

Волновод, заполненный движущейся средой234

Гиперболическое уравнение Гельмгольца237

Групповая скорость для уравнения Клейна-Гордона238

Научное издание

Завадский Владислав Юрьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВОЛНОВЫХ

ПРОЦЕССОВ

Утверждено к печати

Акустическим институтом им. акад. Н.Н. Андреева АН СССР

Редактор Е.И. Павлова

Художник И.В. Монастырская

Художественный редактор В.Ю. Яковлев

Технический редактор О.В. Аредова

Корректор Т.Н. Шаповалова

Набор выполнен в издательстве на наборно-печатающих автоматах

ИБ № 48445

Подписано к печати 29.11.90

Формат 60 X 90 Vie • Бумага офсетная № 1 Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная Усл.печ.л. 15,5. Усл.кр.-отт. 15,8 Уч.-изд.л. 17,0. Тираж 1040 экз.

Тип. зак. 831. Цена 3 р. 50 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство ’’Наука”, 117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., д. 90 Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства ’’Наука” 199 034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12

4

Для полуполосы х > 0, 0 <у < я вместо ПУ 2ikVx + Vyy = 0 рассмотрим модифицированное параболическое уравнение

Расширение Вселенной привело к ее охлаждению. Через 106 лет после взрыва температура плазмы упала до Т = 3 • 103 градусов. Начали образовываться нейтральные атомы и электромагнитное излучение перестало с ними взаимодействовать, т.е. оно выключилось из термодинамического взаимодействия, свет стал свободно проходить через всю Вселенную. Это реликтовое излучение. Согласно закону Хаббла, если расстояние до источника велико, то скорость его удаления близка к с. Длина электромагнитной волны от такого источника согласно Доплеру сильно возрастает. Поэтому на Земле волны реликтового излучения принимаются как излучение источника с температурой Т = 2,7 К. Кроме того, измерение эффекта Доплера показало анизотропию приходящего на Землю реликтового излучения. Это позволило определить, что Земля вращается в Галактике со скоростью 300 км/с, а сама Галактика летит относительно реликтового излучения со скоростью 600 км/с по направлению к созвездию Девы. (См. Смолин А. Реликтовый эфир // Знание-Сила. 1982. № 11.)

ВЮ.Завадский

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

Акустический институт имени академика Н.Н. Андреева

ВЮ.Завадский

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

&Ш99&Ш99МОСКВА ’’НАУКА” 1991

&Ш99

&Ш99

УДК 519.63:551.463.256:530.12

Моделирование волновых процессов / В.Ю. Завадский, —М.: Наука, 1991. -248 с. ISBN 5-02-000150-3

Книга посвящена математическому моделированию волновых полей и их вычислению на ЭВМ. Главное внимание уделено вычислению полей звуковых волн в океане. Развит единый алгоритмический подход к решению волновых задач, основанный на применении метода сеток - метода конечных разностей. Показано, что метод обладает высокой эффективностью при вычислении звуковых полей в океане в широком диапазоне частот. Рассмотрен эффект Доплера в акустике и электродинамике. Содержание книги отличается большой практической направленностью: предложенные алгоритмы просты и неоднократно проверены на ЭВМ, вычислительные схемы устойчивы и пригодны для решения широкого класса волновых задач. Приведены результаты вычисления полей.

Книга может быть полезна научным сотрудникам, инженерам, аспирантам и студентам, исследующим различные волновые поля и использующим в работе ЭВМ.

Табл. 2. Ил. 30. Библиогр.: 133 назв.

Modelling of wave processes / V.Yu. Zavadsky. - M.: Nauka — 248 p.

The work is devoted to mathematical wave field simulation and computation. Special attention is given to ocean sound wave field calculation. General algorithmic approach to wave problem is developed using a finite-difference method. It is shown that the method is highly effective when sound fields in the ocean are cal, culated in the wide range of frequencies. Doppler effect in acoustic and in electrodynamic are considered. The content of the work is presented in practical terms: proposed algorithms are simple and proved valied on computer many times. Computation procedures are stable and applicable to a broad range of wave problems. Field simulation results are presented.

The work is aimed at researches, engineers, postgraduates and students, which investigate various wave fields and use a computer.

Tab. 2. 111. 30. Ref. 133.

Ответственный редактор

доктор физико-математических наук Л.М. Лямшев

Рецензенты

доктора физико-математических наук К.А. Наугольных, С.Д. Чупров

23020201004703 —586-91, I полугодие042(02)-91ISBN 5-02-000150-323020201004703 —586-91, I полугодие042(02)-91ISBN 5-02-000150-3© Издательство ’’Наука”, 1991© Издательство ’’Наука”, 1991

2302020100470

3 —586-91, I полугодие

042(02)-91

ISBN 5-02-000150-3

2302020100470

3 —586-91, I полугодие

042(02)-91

ISBN 5-02-000150-3

© Издательство ’’Наука”, 1991

© Издательство ’’Наука”, 1991