ПРЕДИСЛОВИЕ

Авторы поставили перед собой цель ——дать по возможности простое и ясное представление о процессах, протекающих в погра- ничнолг слое ；на поверхности летательного аппарата при переходе от л^амиларной формы движения к турбулентной. Для решения многих задач естествознания и техники проблема перехода приобрела определяющее значение, наблюдается быстрый рост числа публикаций и а данную тему. И тем ：пе менее мы решили сконцентрировать внимание на во пр осе возникновения турбулентности в пограничном слое, поскольку «прорыв» наступил именно здесь. Читатель, несомненно, поймет, как лучше распространить развиваемые в монографии методы на другие объекты исследования.

Г. Хаген более 140 лет тому назад впервые описал переход ламинарного движения в турбулентное. Результаты систематических: наблюдений этого явления были опубликованы О. Рейнольдсом в 1883 г. Однако только сейчас мы можем для небольшого числа частных случаев пре网。казать, в каком месте пограничного слоя на крыле самолета при данных условиях происходит переход ламинарного течения в турбулентное, и до сих пор без грубых эмпирических предположений не в состоянии рассчитать последующее турбулентное движение.

Столь необычно большой срок от эксп ер имел! а льно го открытия я)вления до его теоретического осмысления имеет, естественно, глубокие причины. Дело в том, что разработанный физический и математический аппарат позволяет исследовать лишь устойчивые Движения СПЛ0Ш1Н0Й среды. Однако большинство решений изучаемых нами нелинейных диссипативных систем сплошных сред (простейшей из которых ясвляется модель несжимаемой вязкой жидкости, описываемая классическими уравнениями Навье — Стокса) неустойчиво в определенных областях характерных параметров. Вместе с тем известно, что именно феномен неустойчивости вызывает турбулентный режим течения. Это положение, высказанное в конце прошлого столетия О. Рейнольдсом и Дж. В. С. Рэлеем как гипотеза, сейчас твердо установленный факт. Таким образом, если говорить о строгой теории ламинарно-турбулентного перехода, то адекватный формальный аппарат должен позволить описать в пер-

вую очередь эволюцию неустойчивости ——се возпикновепие (возбуждение), развитие, наблюдаемый «распад» и переход течения к развитому турбулентному режиму.

В. Гейзенберг замечательной работой [1] положил начало созданию линейной теории гидродинамической устойчивости. Линейная теория гидродинамической устойчиво1сти псзвсляет получи'ть детальные характеристики неустойчггвостей 卫 однородных пограничных слоях (по нашей терминологии — решить ло1кально^одно- родную задачу) [2—4]. Однако она не дает ответа на принципиальный вопрос о возбуждении неустойчивостей.

Ключевую роль в процессе возяикповенпя неустойчивости играет начальный фон возмущений: начальная турбулеттлость в набегающем потоке, иеоднородаость среды, шерохо>ватость обтекаемой поверхности, ее вибрации, химическая неоднородность, вдув ——отсос пограничного слоя и 1. п. В задачах о возмикнове'нии турбулентности фо,н и)меет для уравнений гидродинамики такое же фундаментальное значение, как и традиционно рассматриваемые граничные и начальные условия. Появляются новые параметры подобия, связанные с фоном.

Предлагаемая М1опография написана па основе результатов исследований, проведенных в Московском физико-техническом институте. Их принципиальной oichoboh нвляе'тсн тредложеиный и развиваемый авторами подход, заключающий|ся в том, что возникно- вепие и далынейшая эволюция неус тойчиво стей в пограничных слоях представляются как результат взаимодейст1вия элементарных возмущений (мод), число и вид которых зависят от конкретной задачи обтекания. Для решения уравнений Навье ——Стокса (или других урав!непий сплошной среды) предложен специальный метод возмущений, реализующей идею межмпдового обмена.

Таким образом, можно говорить о создании динамической теории возбуждения и развития иеуicтойчлвостей в пограничных слоях.

В монографии даются конкретные решения ряда задач о возбуждении неу ст ойчивостей, вызванных акустическим фоном, шеро- ховатиствю, виб!раци.ям11 поверхиости и т. п. Определяется связь амплитуды и фазы неустойчивости с характеристиками фона, а в конечном счете ——зависiimoictb критического числа РейиюльД|са ла- мииар1но-турбулентн1ого перехода от амплитуды фоновых во^змуще^ иий, в частности от начальной степени турбулентности набегающего потока.

Вопрос о развитии иеустойчивости в лелилейлой области изучался в работах Л. Д. Ландау [5]т Д. Ме1ксина и Дж. Т. Стюарта [6], В. В. Струйные кого [7——9] и др. Частично он освехцеи в монографиях В. Я. Шкадо:ва [10], М. А. Гольдштжа и В. Н. Штерна [И], а также в обзорах [12 — 18]. Большое внимание в данной монографии уделяется также вопросам нелинейиой фазы развития неустойчивости в зоне лами|нарно-тур6уле1нтно1х)перехода в пограничных слоях. Приведены последние экспериментальные результаты. Излагается теория нелинейного критического слоя и вторичной неустой^ ливости. В|водят；ся гепералыпые параметры, характеризующие поло-

жение начала турбулентной зоны течения. Даются основы статистического подхода к псследоталию зоны перехода, позволившего обнаружить новые типы неустойчивостей, свойственные сложным нелинейным нестационарным полям течения. Обсуждается проблема релаксации потока к развитой форме турбулентного течения.

Существенное место в монографии отводится новым способам управления течением в зоне перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный, вопросам подобия течений в аэродинамической трубе и в натурном полете.

На основе развитых представлений о характере течения в зоне перехода предлагаются варианты инженерных методов оценки влияния различных факторов ла переход, а также определения критических чисел РеЙ1нольдса перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный.

Больш'ое внимание уделяется эксп еримент а лыю му изучению зо пы л амин арп о-турбул е.нтиого перехода в пограничных слоях.

Для того чтобы исследовать зону хгерехода в усло-виях, хотя бы лапомипающих условия в полете при обтжаиии реальных летательных аппаратов, необходимы так называемые малошумные аэродинамические трубы. Они характеризуются величиной степени турбулентности в рабочей части (отношение амплитуды флуктуаций скорости к скорости течения), существенхю меньшей, чем 10-2. При этих условиях зона перехода, как правило, имеет значительный по протяженности участок, описываемый л ин е(а ризиро^ваниыми уравнениями Навье —— Стокса. Впервые малышумиая труба была создана под руководством X. Л. Драйдена в Нацию；пальпом бюро стандартов США в начале 40-х годов. В ней Г. Б. Шубауэром и X. К. Скрэ1М>стедо'М [19] были гыполне1ны замечательные иС|Следова- нин, результатхя которых указали ла практическую важность выводов линейной творил гидродипамичесх^ой устойчивости.

В середине 60-х годов под руководством В. В. Струминского в Институте теоретиче1стой и лрикладпой механики Сибирского отделения Академии паук СССР были созданы малошумная аэродинамическая труба Т-324 для исследования проблем перехода при малых дозвуковых скоростях и труба Т-325 для изучения этих проблем при около- и сверхзвуковых скоростях потока.

В ИТПМ СО АН СССР сложилась группа ученых-экспериментаторов, получивших ряд выдающихся результатов, большинство из которых будет обсуждено в монографии. Мы выражаем свою при- зпательпость сотрудникам ИТПМ СО АН СССР В. Я. Левченко, Ю. С. Качаиюву, В. В. Козлову, А. А. Маслову и Н. Ф. Полякову за лредоставлеп'пую возможность подробного ознакомления с их работами.

В моно графин приводятся численные и аналитические решения конкретных задач, полученные сотрудниками МФТИ Н. В. Сидоренко, А. В. Федоровым, В. Е. Шепелевым, Е. А. Ерофеевым, К). П. Черновым и В. Р. Гущиным. Большая оформительская работа проделана Л. А. Гладковой и Е. В. Хохловой. Авторы выражают всем им искреннюю благодарность за помощь при написании рукописи и подготовке ее к печати.

В заключение авторы считают своим приятным долгом отме-' тить, что ряд решений, представленных в монографии, получен в процессе тесного сотрудничества с Г. Е. Лозино-Лозинским, Л. П. Воиновым и В. Е. Соколовым, которые активно участвовали в доведении результатов теоретических исследовапий до практических прило/кений. Авторы выражают им искреннюю иризнатель- пасть за постоянную поддержку данной работы.

Весь цикл исследований был выполнен благодаря большому вниманию академика Н. Н. Яненко. ‘

с 尸 Gм n^ ^ R ^ и т 力з /с 尸 Gм n^ ^ R ^ и т 力з /—фазовая скорость возмущения—безразмерный частотный параметр——пиело Гёртлера—мнимая часть комплексного числа—число Маха——давление——число Праидтля—число Рейнольдса—вещественная часть комплексного числа—/-компонента скорости—температура—время—^-компонента скорости—— денартовы координаты— /-компонента вопио- ■вого числа——юлщи1на пограиич- того слюя——толщина вытеснения—фазовая скорость возмущения—безразмерный частотный параметр——пиело Гёртлера—мнимая часть комплексного числа—число Маха——давление——число Праидтля—число Рейнольдса—вещественная часть комплексного числа—/-компонента скорости—температура—время—^-компонента скорости—— денартовы координаты— /-компонента вопио- ■вого числа——юлщи1на пограиич- того слюя——толщина вытеснения

с 尸 Gм n^ ^ R ^ и т 力з /

с 尸 Gм n^ ^ R ^ и т 力з /

—фазовая скорость возмущения

—безразмерный частотный параметр

——пиело Гёртлера

—мнимая часть комплексного числа

—число Маха

——давление

——число Праидтля

—число Рейнольдса

—вещественная часть комплексного числа

—/-компонента скорости

—температура

—время

—^-компонента скорости

—— денартовы координаты

— /-компонента вопио- ■вого числа

——юлщи1на пограиич- того слюя

——толщина вытеснения

—фазовая скорость возмущения

—безразмерный частотный параметр

——пиело Гёртлера

—мнимая часть комплексного числа

—число Маха

——давление

——число Праидтля

—число Рейнольдса

—вещественная часть комплексного числа

—/-компонента скорости

—температура

—время

—^-компонента скорости

—— денартовы координаты

— /-компонента вопио- ■вого числа

——юлщи1на пограиич- того слюя

——толщина вытеснения

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

6**——толщина потери им

пульса

— малый лараметр (ам

плитуда возмущения и т. д.)

况——показатель адиабаты

X——длииа волны

Е——коэффициент вязко

сти

*——кин е мат ич е с кий ко

эффициент вязкости

р— плотность

G——скорость усиления

возмущения

з— угловая частота воз

мущения

Ийдексы:

е ' — на внешней грапице лограничлого слоя

w— на обтекаемой по-

1верхпо'сти

— п.о толщине погра-

Ш1ЧП0ГО слоя

— в набегающем по

токе

汀一匚я компонента /-го

вектора -

Глава 1

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЗОНЫ

ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА

§ 1Л. КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ ЗОНЫ ПЕРЕХОДА.КОНСТРУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕПОНЯТИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Все результаты экспериме нт а льных исследований од1но>значно указывают на то, что реальные пограничные слои никогда не бывают стационарными в строгом смысле —— пограничный слой у поверхности обтекаемого тела всегда знгюпгнен различного рода колебаниями. Поэтому *важшейшее значение приобретает вопрос о том, являются ли уравнения для осредненпого движения в пограничных слоях в каком-либо смысле замкнутыми (уравнениями Навье —— Стокса) или нахождение поля ср&днего течения сутцесТвенно зависит oiT поля флуктуаций, и тогда ур^виеатия для средиего течения — уравнения Рейнольдса ——должны быть дополнены уравнениями для поля флуктуаций.

Строго говоря, всегда наблюдается ситуация, когда для точного определения поля средних величин необходимо знать и поле флуктуаций. Однако в каждом конкретном случае имеется безразмерный пороговый параметр % ('см. § 9.1) такой, что если амплитуда флуктуаций е《еь то задача определения гтоля средних величин приближенно отщепляется от задачи отьцскания поля флуктуаций. При этом задачу определения гидродииамических полей мюжно решать методом последовательных приближений, ковда 'в первом приближении находятся поля средних величин и по лим — поле флуктуаций; во，втором цриближешии устанавливается поправка к средним величинам вследстки© влияния флуктуаций, подправляется поле флуктуаций и т. д.

Обратимся нетто ср едетвеят к пограничному слою около обтекаемой поверхности. Опьп указывает на то, что если величина ；на- чального' поля флуктуаций в набегающем потоке (:нач1альпая турбулентность) достаточно мала, в пограничном слое есть область, где е《Ер Как оказывается, именно этот случай чаще ъсего наблюдается и а практике. Типиштая картина представлена на рис. 1.1' В пограничном сло-е имеются следующие характерные сечения, определяемые точками Р на обтекаемой noBiepxinocTii. Точка Р”у отмечает сечение, в ротором пограничный слой становится неустойчивым. В сечении Р амплитуда возмущений неустойчивостей достига-

ет значения £匕 и профиль средней скорости существенно зависит от поля флуктуаций. Начиная с сечения Р*, где амплитуда неустойчивости равна пороговому значению е* (см. § 9.1), фл}гктуации достигают нелинейной стадии своего развития. В сечении Рвн (обычно близком к сечению Р*) наступает так называемая вторичная неустойчи1вость. В сечении Ррт в пограничном слое образуется развитое турбулентное состояние.

Координата Pnv ни в коей мере, даже по иорядку величины, не определяет протяженнс'Сти зоны перехода к турбуле1ттп1О'Сти. Например, при течении у плоской пластины длина этой зоны примерно в 102 раз больше длины золы устойчивости пограничного слоя, а область, характеризуемая координатами сечений Р или Р*, составляет основную но протялАенности часть всей области перехода. Обычно величины флуктуаций, отвечаюш；ие сечениям Р и 〃* (% и 8* см. § 9.1), имеют одинаковый порядок.

Введем величину smin, нвняющуюся минимальной из трех величин €1, % е £* (см. § 9.1). Соответствующее сечение ,па рис. 1.1 обозначим через Pmin- С физической точки зрения сечение Рт*п разделяет зону перехода на две принципиально различные области. В области до сечения Pmtn флуктуация развивается в соответствии с линеаризованными уравнениями Навье — Стокса, а параметры среднего течения удовлетворяют в первом приближении замкнутым уравнениям Навые — Стокса; наличие флуктуаций не сказывается в существенной мере н「а характере среднего течения. Таким образом, эта зола обладает имелпо теми свойствами, которые мы подразумеваем при определении области ламинарного потока. Наоборот, в зоне за сечелием Pm?% у флуктуаций, как правило, изменяются их шткремент роста, характеристики переноса, в част.но'сти тречхия и теплообмена с поверхностью, они развиваются в ооответствии с не- липейпыми уравпениями и, что особенно важно, профили средних величин в пограничном слое существенно зависят от поля флуктуаций.

На основании сказанного нве^вм следующие определения понятий ламинарной и турбулентной зон течения в пО'Праиичлом слое. Будем лазыкать В'сю область за сечениелг Pmin зоной турбулентного течения, в то время как область до сечепия РШ{П ——зоной ламинарного течения. В тур|булептпой зоне значительно большую роль играет сечение 夕卩” в котором достигается развитое турбулентное течение (если о по достигается вообще).

Характеристики флуктуаций в ламинарной зоне и в части турбулентной (до образования развитого турбулентного течения) за ни-

I i I I I I 451Р и_UooI i I I I I 451Р и_UooРис. 7.2. Профиль скорости в пограничном слое на плоской пластине.

I i I I I I 451Р и_

Uoo

I i I I I I 451Р и_

Uoo

1 — по данным [20], 2 — [21].

сят от параметров возмущений в набегающем потоке. Возможно, что развитых турбулентных течений несколько, и тогда флуктуации в ламинарной зоне, а также течение во всей турбулентной области будут определяться полем флуктуаций в набегающем потоке.

В ламинарной зоне течения средние характеристики потока не зависят от значений поля флуктуаций и удовлетворяют в главном приближении замкнутым урависнням Навье — Стокса.

На ри;с. 1.2 приведены результаты сравнения 9ikc перимента ль- пых и теоретических профилей средней скорости в ламинарной зо- пе пограничного слоя у плоской пластины з потоке несжимаемо!! жидкости. Измерения были проведены либо нас ад ком полного дав- линил (припиипиалыю осредияющим прибором) в различных оече- лиях пластины (данные из работы [20]), либо осреднением показаний термоаыемс'метра (данные из работы [21]). Сплошной линией доказан классический профиль Блазиуса.

Конец ламинарной зоны течения согласно нашему определению

совпадает, понвидимому, с концом л-аминариого участка течения, исследованного экспериментально Г. Б. Шубауэром и X. К. Скрэм- стедом [19]. Что касается турбулентной зоны течения, то она у нас охватывает переходный участок и участок турбулентного течения по терминологии, данной в монографии Г. Шлихтипга [22].

До сих пор мы рассматривали обтекаш4c гладкой стационарной певорхП'О'Сти. Однако при после口оваиип явл'епия перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный необходимо с практической точки зрения учитывать возможность шероховатостей стешки, а также вибраций обтекаемой поверхности. Существенную роль в дальнейшем будет иметь понятие фона.

Говоря о наличии фон-a, будем разуметь присутствие либо начальных флуктуаций гидродинамических величин в набегающем потоке, либо вибраций обтекаемой поверхности, ее шероховатости, ос химической неодиородис'Сти и т. п. В дальнейшем увидим, что ве|Сьма малые значения величкл, характеризующих фон, могут приводить именно к тем явлениям в зоне перехода, которые наблюдаются в экспериментах. Можно утверждать, что у^ет фона s проб-

леме перехода к турбулентности имеет такое же важное значение, как м удовлетворение граничных （辽 начальных} условий, налагаемых обычно при исследовании задач обтекания. С изменением характеристик фона изменяются амплитуды возбуждаемых неустойчивостей, что существенным образом влияет на всю структуру зоны п-ерехода. Возмоя^но, что в силу именно этого обстоятельства мы наблюдаем явления гистерезиса в ряде Турбулентных течений и течений с отрывом потока.

С практической точки зрения отмеченные особенности обусловливают необходимость строгого контроля характеристик фона в ходе экспериментальных исследований.

В задаче о возбуждении и еус т о йчивост ей принципиальную роль играет неоднородность пограничигого слоя вдоль по потоку. Поэтому необходимо пересмотреть основные положения теории гидро ди п ам.ической устойчивости, обобщить классическую задачу Ор- ра ——Зоммерфелъда, что сделано в посте дующих разделах.

Отметим еще одно важное обстоятельство, которое позволяет построить физически ясные образы развития флуктуаций в зоне перехода. Поскольку уравнения для амплитуд возмущений в золе перехода носят Э'1вюлюцио,н1ный характер, в определенном смысле нужно решать задачу Коши, несмотря па общий эллиптический характер уравнений гидр；оди-намики.

В зоне ламинарно-'турбулетИного перехода мы наблюдаем процесс возбуждения неустойчивостей, их рост в соответствии с липеа- ризироваштыми уравшениями Навье — Стокса, этюлкщию в нелинейной зоне и образование развитого турбулентного течения. Таким образом, выделяются следующие теоретические проблемы, подлежащие ц1сследо1ванию.

Возбуждетш1е н еу ст о йчивос т ей внешним фоном возмущений.

Развитие неустойчивостей в ламинарной зоне.

Развитие неустойчивостей в ,нелине-й|ной области.

Образование развитого турбулентного течения.

В этой монографии основное внимание будет обращено па ис- сл&дова1ни1е проблем I, II, а также III.

МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСАДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕНЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Излагаемые в § 1.2 и 1.3 результаты основаны на исследованиях [23—25] и являются их дальнейшим развитием.

0% дуЗм ,ди ,диди .Su ,ди亦+①部+ D而=1 др |（丸、一不茹+r病+斤丿；0% дуЗм ,ди ,диди .Su ,ди亦+①部+ D而=1 др |（丸、一不茹+r病+斤丿；Система уравнений Навье —— Стокса для плоских движений не- сялимаемой жидкости имеет вид ди , + 7-=

0% ду

Зм ,ди ,ди

ди .Su ,ди

亦+①部+ D而=

1 др |（丸、

一不茹+r病+斤丿；

0% ду

Зм ,ди ,ди

ди .Su ,ди

亦+①部+ D而=

1 др |（丸、

一不茹+r病+斤丿；

Рис.，3. Схема обтекания плоской пластины.

здесь 〃 и и составляющие скорости вдоль осей хну соответственно, р — плотность жидкости, р — давление в ней, V — кинематический коэффициент вязкости, предполагаемый постоянной волитанож

Пусть имеется стациопарлое дви;ксште жидкости в пюграпич- лом слое (рте. 1.3), описываемое точным решением уравнений (1.2.1):

u=U(x, у); v = V(x, у)-, р=Р(х, у).

Будем рассматривать возмущенное движение

и = U + £»； V — V + E^Z； р =^ Р + £//.

Навье ——Стокса для воз- 沙)будетНавье ——Стокса для воз- 沙)будетСистема л ине аризирс® а.нных уравнений мущений 〃'(％ х, у), и'(% /, у} и р (Z, е,

Навье ——Стокса для воз- 沙)будет

Навье ——Стокса для воз- 沙)будет

диди8J ду8J дуо；о；3优丽十3优丽十Т7 диТ7 ди++/ dU ,/ dU TZ/ dU ,/ dU TZ

ди

ди

8J ду

8J ду

о；

о；

3优

丽十

3优

丽十

Т7 ди

Т7 ди

+

+

/ dU ,/ dU TZ

/ dU ,/ dU TZ

(1.2.2)

дТ +дТ +дхдх++/ dV , тW I / dV/ dV , тW I / dV《ар： /務厂 0~ + у 1 9р 8y \0力2《ар： /務厂 0~ + у 1 9р 8y \0力2

дТ +

дТ +

дх

дх

+

+

/ dV , тW I / dV

/ dV , тW I / dV

《ар： /務厂 0~ + у 1 9р 8y \0力2

《ар： /務厂 0~ + у 1 9р 8y \0力2

Вязкие слагаемые в уравнениях (1.2.2) могут быть приведены с ж- пользованием уравнения неразрывности к виду

居/丄也_ 。/ , 8y2居/丄也_ 。/ , 8y2ddдхдхдхдх

居/丄也_ 。/ , 8y2

居/丄也_ 。/ , 8y2

d

d

дх

дх

дх

дх

т； е* йыр^жены через ^-компоненту вектора вихря

(rotv)z =右一歹

Система уравнений (1.2.2) имеет смысл в случае достаточно малой величины е.

Введем BeiKTop-столбец А, состоящий из компопетГт

Ai = 〃'， А2 = А3 = и', Л4 = ди /ду диЧдх.

Система уравнений (1.2,2) переишпется в ©気е即紡щем виде через величины Aj (j = 1, . .4):

。"一叫—0.

41 + u^ + 鸣 + 4力41 + u^ + 鸣 + 4力P 8七十A дуP 8七十A дудАле°;дАле°;&施' + 万痴 + в + ° 17 +&施' + 万痴 + в + ° 17 +°斤+ 4西+°斤+ 4西+(1.2.3)V — = О；(1.2.3)V — = О；дАхдАх0力40力40.0.

41 + u^ + 鸣 + 4力

41 + u^ + 鸣 + 4力

P 8七十A ду

P 8七十A ду

дАл

е°;

дАл

е°;

&施' + 万痴 + в + ° 17 +

&施' + 万痴 + в + ° 17 +

°斤+ 4西+

°斤+ 4西+

(1.2.3)

V — = О；

(1.2.3)

V — = О；

дАх

дАх

0力4

0力4

0.

0.

Систему (1.2.3), я(вляющуюся системой уравнений первого порядка, можно переписать в следующей операторной форме:

方冷+冗^ =方厶+百;A.(1.2.4)

Операторы Н являются квадратными матрицами 4X4. Вид матриц, входящих в (1.2.4), дан в приложении 1. Операторы Ht и Нх являются операторами умножения; операторы Н^ и Н1 содержат операции д/ду и умножения ,на определенные величины.

В случае niorpauHniioriO слоя с таким расположением осей, как показано на рис. 1.3, подчеркнутые члены в уравнениях (1.2.2), (1.2.3) являются малыми, все они выделены в оператор Я1? который, следовательно, также будет малым.

Проанализируем вначале задачу о развитии возмущений в пограничном слое на плоской пластине длиной 厶(см. рис. 4.3) и в следе за пей. Начало пластины находится в точке О, пластина лежит в плоскости у = 0. Нам нужно научиться ставить и решать определенные начальные и краевые задачи для уравнений (1.2.4), например задачу в полюсе АВ (см. рис. 1.3), где на плоскостях А и В заданы величины «входных» и «выходных» возмущений, предполагая огряничепность решения при у f 士8. Поскольку сист&ма уравнений Навье ——Стокса ——<сложная эллиптико-гиперболическая система, то затруднительно ©формулировать правильную математическую постановку задачи без детального разбора совокупности присущих ей элементарных возмущений. Поэтому задачу о развитии возмущений в полосе АВ мы будем анализировать по частям.

Прежде всего возмущения А представим в виде интеграла Фурье по времени А= J А。ехр (—心力)d(o. На основании (1,2.4) для фурье-образа Аю получим следующее уравнение:

— /As +^ПАШ, (1-2.5)

где Н° = Н° + i^Hi， Будем предполагать, что частота со в (1.2.5) является и ©которой фиксированной действительной величиной, имеющей порядок UJb.

В задаче о развитии возмущений в полосе АВ имеются два характерных линейных масштаба ——величина 厶 и толщина погра- атичпого слоя 6. Их отношение

6 Т ( R 5

будет мало, если считать число Рейнольдса R большой величиной (порядка 105 и белее). Это предлол о жеиие об узости пограничного слоя в дальнейшем будет основным: 乂 = 8/£ < 1.

Как^ мы увидим, Hcc^eдуемые элементарные возмущения представляют собой некоторые волны, обладающие периодичностью по е (или к в азипе р.ио дичыо-стью для комплексных волновых чисел). Будем предполагать, что дей|Ствительная часть их В1оли1ового числа 2п/九 такова, что 九(длина волны) соизмерима с толщиной пограничного слоя. Элементарное возмущение ищем в форме

Аз = @(况，办exp(歹(/)),(1.2.6)

где эйконал W (况)=X j a (/) dx. Во липовое число a(z) ~ 1/九(力 рас- хо

смат.риваемое сечение). Эйконал 尸(右)имеет два масштаба изменения 九 и 厶,мы будем предшолагать, что структура зависимости от этих масштабов такова, что dFJdx = ia(x) ^ 1/К. a d^F/dx2 = ^ Zda/dz 〜1AL. Таким образом, эйконал F является большой величиной и имеет порядо'К F ~ 厶/九 三 i/h > 1. Малый параметр 无=VL будет основным в исследуемой задаче.

Пусть функции ①$(/, у) имеют 'также два масштаба изменения: вдоль。/ —' L, вдоль Оу — б. Тогда

Подставив выражение (1.2.6) в уравнение (1.2.5), получим следующее уравнение для определения вектора Ф：

攸瓦@ =冗①十瓦①， (1.2.7)

где оператор % = Н； — Нхд/дх. Уравнение (1.2.7) будет основным в дальнейшем иеследом&пии. Матрицы операторов 〃㈠ /7()приведены в приложении 1.

На основании сделанных нами предположений о иорядках величин и их производных, входящих в (1.2.7), можно сделать вывод о том, что члены, объединяемые операторами Нх и 770, являются величинами одаого порядка. Как мы увидим в дальнейшем, величины с V в этих операторах имеют одинаковый порядок с остальными членами в критическом слое и вязком подслое для возмущения.

Что касается членов, объединенных оператором Ih, то о пи малы и имеют порядок h (по отношению к основным членам, объединенным операторами 方工 и Но). Поэтому приведение системы (1.2.7) к безразмерному виду дает

£①-ЖФ,(1.2.8)

где 厶=iaHx 一 Яо.

Одни члены в 1Ц имеют порядок 无,а другие — х. Но поскольку по предположению Д ^ х, запись (1.2.8) подразумевает, что максимальные члены в правой части порядка 无,который в дальнейшее станет основным параметром разложения.

Физический смысл рассматриваемых решений состоит в том, что опи представляют собой волны, быстро осциллирующие по времени 方 и ню е (九〜8) с амплитудами Ф, мало изменяющимися по / на длине волны и сильно изменяющимися на внешнем масштабе L.

Приступим к исследованию системы (1.2.8). Поскольку имеется малый параметр, решение Ф будем искать в виде ряда

Ф -①⑼+无①⑴+加①⑶+ 一 . .(1.2.9)

Подставляя (1.2.9) в уравнение (1.2.8), имеем следующую рекуррентную систему уравнений:

2ф ⑺=0; Z ①⑷=瓦0 ⑺.(1.2.10)

Особую роль для дальнейшего будет играть первое приближение ①⑼；задачу его вычисления назовем локально-однородной задачей, а саму величину Ф(0)—локалыю-одно'родпым приближением.

Локально-однородное приближение удовлетворяет следующим уравнениям (в размерном виде, индекс (0) опущен):

八aU _ 3)① 1 + ^-①2 + f^ ①3 — V "^ = °；

万号 +方@U - 3)①3 +运、@4 = 0；

历--方a①3 -①4 = ()•

Система уравнений (1.2.11) является системой обыкновенных Дифференциальных уравнений по у. Переменная х входит в них в качестве параметра через величины 力(/, у) и а(/). Систему (1.2.11) легко свернуть» в одно обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно величины ср = Ф3 — амплитуды возмущения вертикальной скорости. Уравнение для ф, являющееся классическим уравнением Орра ——Зоммерфельда, имеет вид

(U - 頂中" — a2中)- u〃屮=表 SV 一 2a2屮" + a%)，(1.2.12)

где с = з/а ——фазовая скорость, штрих означает дифференци!рова- ние по у. Оно было получено при исследовании устойчивости однородного по 第 ламинарного течения с профилем скорости U=U(沙)； волновое число а ——константа, определяемая при решении задачи на собственные значения; эйконал имеет вид 耳(况)=%а(/ ——х0).

В нашем случае Bice входящие в уравнение (1.2.12) функции являются медленными функциями /, т. е. е входит в уравнение (1.2.12) как параметр. Зависимость решения от х будет найдена в результате апалжа лоследующлх уравнений системы (1.2Л0) или общего исследо'ваиия на больших расстояниях 岂〜 L. Сформуй лируем следующие три граничные задачи для уравнений (1.2.12) или (1.2.11).

Первая задача.、

у = 0: ср = фх = 0

нана—— условие прилипания жидкости к обтекаемой гюваркности； у — ср, cpz О

на

на

——условие обращения в ：нуль возмущений скорости границе пограничного слоя.

Для системы (1.2.11) эти условия имеют вид

(1.2.13)(1.2.13)у = 0: Ф1 = Фз = 0;

(1.2.13)

(1.2.13)

L 0: Ф； 0 (/ = 1, ..4).

Это есть задача нахождешия собственных В1олн в слое, исследуемая обычно в теории гидро динамической устойчивости.

Вторая задача.

g = 0: Фц = Ф3 = 0 (или ф = ф7 = 0);

у f 8：丨①/ < оо (/ =4),(1214)

т. е. возмущения оуранииены в набегающем пютоке. Класс решений задачи (1.2.14) помимо решений задачи (1.2.13) содержит дополнительно приходящие в пограничный слой волны, выз^апные при- сувствием фона в набегающем потоке.

7ретъя задача.

у = 0： I ①/ V 8 (/ = 1, . . ., 4);

沙 f 0: |ф;-| f 0 (/ = 1, . .4) (или ф, cpz 0).(’215)

Класс решений задачи (1.2.15) помимо решений задачи (1.2.43) содержит дополнительно приходящие в пограничный слой волны, вы- 3|Ва.Ш1ые фоном, идущим от стенки (шероховатость, вибрации поверхности, отсос и т. п.). Задачу лахождевия решений уравнений (1.2.12) или (1.2.11) при условиях (1.2.14), (1.2.15) мюжно назвать обобщенной проблемой Орра ——Воммерфельда. В результате ее решения мы получим совокупность собственных колебаний в иогра- 瓜инном слое, а также вынужденных колебаний, вызванных присутствием фана.

Определим произведение А и В:

[А; В] = lim 2 I e~^yAjBjdy,

где черта сверху означает комплексное сопряжение, а 8——положительный параметр. Это произведение в отличие от обычного скалярного произведения векторов (А, В) — 2} AjBj будем назы- 0)

вать интегральным произведением векторов. Определим далее сопряженный оператор 〃* па основании соотношения [26, 27]

[Ж；叫]=[九；н^^

где индексы а, 0 указывают па величину собственного числа, к которому относится соответствующая функция. Нетрудно видеть, что соиряжеины员 оператор L* получается из матрицы оператора L путем ее тран спю:н щро® >ан и я, замены ее элементов на комплекспо-со- пряженные и операции д/ду на —д/ду. Определим сопряженную задачу как проблему нахождения функций Та, удовлетворяющих уравнениям 厶*屮仪=0 с граничными усло-виями при у = 0 и у f 8, обеспечивающими существование сопряженного оператора L*. Запишем подробно систему уравнений L^T = О

_一84r

-痘叭-/ (aU — з)屮2 —宕=О；

—汝中2計=°；

W—力— co) % + 2a匕=0;

v^一av%一吗=0■

После несложных преобразований получим следующее уравнение для U = Ч^з：

(U - e)仲"-必屮)+ 2/屮=费(屮川一 2a2中"+公屮)，(1.2.16)

которое обыч1но называют сопряженным уравнением Орра ——Зом- мерфельда. Легко показать, что если одно из собственных чисел (а, §) относится к дискретному спектру, то

[区①.；%]=隔，

где бар — СИМ1В10Л Кронекера. В общем случае имеет место соотношение ортогональности [28]

[ЯхФа；叫]=АаР,

1717где Аав ——символ Кронекера, когда одно из чисел (а, В) относился к дискретному спектру, и Дар ^ дельта-функция 5(а ——В), когда

17

17

2 В. н. Жигулев, А. М. Тумин

оба числа (а, В) относятся к непрерывному спектру. Собственные функции {Фа, Т₽} образуют так называемую биортогональную систему Be.KTopoiB. В гл. 3 будут рассмотрены конкретные примеры таких систем. Здесь только отметим, что в каждом конкретном случае требуется проверять возможность выполнения условий ортогональности. Дело в том, что необходимо сформулировать также граничные условия для сопряженной задачи, чтобы существовал сопряженный оператор В простейшем случае двумерного несжимаемого пограничного слоя должно выполняться условие при у = О：

一 03TХ + V①,吼 一 У ①刑3 -①I叽=0.(1.2.17)

Для граничной задачи (1.2.13) спектр получается дискретным. При ртом на обтекаемой поверхности ①1 = ©з = 0. Соотношение (1.2.17) будет выполняться при любых Ф2, Ф4 тогда и только тогда, когда 屮屮з = 0 при 沙=0. Однако для задачи (1.2.15) условий 4f2 H =Тз = 0 при у = 0 уже недостаточно для выполпения (1.2.17), так как на обтекаемой поверхности Ф1 и Ф3, вообще говоря, не обращаются 1В нуль.

Цродолжим общее исследование намеченного метода о представлении искомой функции Ф в виде ряда по параметру h. В следующих приближениях получаем уравнения

Хо^)=瓦①厂 D.(1.2.18)

Умножим интегрально (1.2.18) на функцию Т₽, сопряженную собственным функциям оператора L. В результате

[ЬФ«; Т₽] = За [ЯХФ«; Т|3] 一 旧。酰)；呼]=

=以[瓦с①仅呼]-[①科Я^Р] = ia [瓦喷;叫]一

-Ф [①? ^>ё] = 4a - Р) [^хФ^；呼J.

Таким образом, получаем следующие условия для правых частей уравнений (1.2.18):

区I①厂D；呼]=i似一 Р)[冗①Р呼], еткуда выт&кает свойство

便 1 ①尸 Та] = 0,(1-2.19)

т. е. правые части должны быть ортогональны решению со прямленной задачи для того же спектрального параметра а. Условие (1.2.19) — это условие разрешимости уравнений в каждом приближении. Оно определяет зависимость решения от параметра х.

Далее, предатавляя функции ①^)(%》1) в виде ряда (или интеграла) по спектру собственных функций оператора 厶 с коэффициентами, являющимися функциями /： Фа} = 2 сп (^) Фп» по-

лучим па основании (1.2.19) соотношения, определякицве сп (^) для 孔，а：

[方1①厂Tр]= % (а — Р) % (/)•

На этом мы прервем анализ разложения ①^〈 следующего из условий (1.2.19), так как оно написано фактически для фиксированного а, т. е. для уточнения системы собственных функций. Приступим к разработке более эффективного метода, с помощью которого можно было бы решить граничную задачу для уравнений Навье — Стокса в полосе АВ (см. рис. 1.3).

Предположим полноту1} системы собственных функций оператора % в том смысле, что любая из исследуемого класса функция As может быть представлена в виде ряда (или интеграла)

Асо = 2^(х) ФпеР^\(1.2.20)

Каждую собственную функцию Фп^п в дальнейшем мы будем называть модой (квазичастицей). Таким образом, мы предположим, что любое возмущение можно представить суперпозицией мод.

Под|ста'вИ1в выражение (1.2.20) в уравнение (1.2.5), получим, учитывая уравнение для Фп,

?空瓦0户=?(济5)戸％.(1.2.21)

Умножив теперь интегрально равенство (1.2.21) на гГт — сопряженную функцию для а = &俏 —— и учитывая условие ортогональности, получим для функций Ст(/) следующую систему дифференциальных уравнений:

需=；w鹏分…叫(1-2.22)

где обозначено

=[瓦 6； 4M

Существенно, что система уравнений (1.2.22) является точной в том смысле, что она ——точное следствие уравнений (1.2.5).

В соответствии с (1.2.20) искомое решение для Ам представляется как сумма элементарных возбуждений, мод, которые в определенном смысле ортогональны друг другу. Уравнения (1.2.22)— это уравнения для амплитуд указанных мод； они описывают процесс развития мод по координате х. Если исходное течение однородно по 况，т. е. оператор 区=0 (это означает, что все элементы матрицы Н] равны пулю), то амплитуды всех мод постоянны по х. Наоборот, если невозмущеппое течение неоднородно по е, как это

” В дальнейшем наличие полноты в смысле (1.2.20) будет анализироваться в конкретных случаях.

имеет место, например, в пограничном слое на плоской пластине, то матрица Wmn отлична от нуля, т. е. появляются члены с межмодовым взаимодействием и амплитуды мод изменяются по коорди- на'те х,

Л4атрицу Wmn уместно назвать матрицей переходов. Диагональ- лые члены этой матрицы описывают изменение амплитуды m-й моды за счет изменения нево змущенно го пограничного слоя вдоль 0第 (его непараллельности), а недиагональные члены матрицы Wmn (т Ф п) — лроцесс -возбуждения моды m модой п.

Итак, в рассмотренном случае, когда решения для элементарных возбуждений Ф„ ортогональны между собой, процесс взаимодействия мод наблюдается только в неоднородном пограничном слое.

В одномодовом случае, когда отлично от нуля только одно элементарное возбуждение, уравнение для его амплитуды имеет вид

откуда

с == с° ехр ] W (/) dx *

Таким образом, в одно модовом случае амплитуда моды будет полностью определена, если она задана в каком-либо сечении 力=/о. Может пред1ставиться двухмодовый случай распространения волн. Тогда уравнения для амплитуд мод будут

厶m dxdx厶m dxdx~ ^^тт^т + ^^mn^^^^nj~ ^^тт^т + ^^mn^^^^nj-Wnmcme~^ + Wnncn；-Wnmcme~^ + Wnncn；(1.2.23)(1.2.23)

厶m dx

dx

厶m dx

dx

~ ^^тт^т + ^^mn^^^^nj

~ ^^тт^т + ^^mn^^^^nj

-Wnmcme~^ + Wnncn；

-Wnmcme~^ + Wnncn；

(1.2.23)

(1.2.23)

A (力)=几(/) — £„(/)・

Простейшая задача возбуждения моды т модой п описывается системой (1.2.23) при следующих условиях:

第 н 力0： °m = °, С?г = С*。*

Переходя снова к общему случаю взаимодействия мод, амплитуды которых удовлетворяют уравнениям (1.2.22), видим, что характерным масштабом для изменения амплитуды ст(х) является длина 厶.При этом фаза Fn — Fm — быс'троосциллирующая (на длине ~九)функция.

Таким образом, структура уравнений (1,2.22) весьма сложна. Все члены в них имеют, вообще говоря, одинаковый порядок малости, однако производная dcm/dx является быстроесциллирующей функцией х. В дальнейшем эта система уравнений будет нами подробно изучаться.

§ 1.3. 0Б1ЦИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯИ РАЗВИТИЯ ВОЛН НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

Метод, разработанный в предыдущем параграфе, допускает весьма широкое обобщение.

Рассмотрим трехмерный нестационарный пограничный слой, расположенный в окрестности обтекаемой поверхности S, часть которой изображена на рис. 1.4. Пусть имеется ортогональная криволинейная система координат у, z такая, что линия х = const, z = const ортого,пальна поверхности S, а линии у = 0,力=const и У = 0, z = const, принадлежат поверхности S. Пусть обтекающая среда характеризуется вектором Q, состоящим из величин проекций скоростей на местные направления осей координат, темпе(рату- ры, давления, пл1отпости, компонент электрического и магнитного полей и т. п. и их первых производных по у, z.

Введем возмущение А:

Q = Qo + вА.

Величина Qo описывает исходное поле, являющееся нестационарным трехмерным пограничным слоем, с характерным временем т 〜 LIUПограничный слой расположен в окрестности поверхности S и имеет характерную толщину 6 ту же, что и в § 1.2. Вектор Qo является точным решением исходных гидродинамических уравнений.

Линеаризированные уравнения для возмущения А могут быть представлены в следующем операторном виде：

%誓+乱^+冗号=力;a +力;A, (1.3.1)

где 〃t, Ях, Hz являются некоторыми операторами матричшого умножения, 〃；содержит операцию д/ду. Оператор Н； является малылг в том же смысле, что и в § 1.2: оп содержит составляющую скорости V，в пограничном слое, производные от скоростей U м W по х и г и операцию д/ду с малым множителем.

Решение для в&ктора А представим в виде

А=© (厶爲 у, z)戸，/ %(1.3.2)

где эйколал 歹(/, z,力) имеет вид

F (х, z? £) = % f (а〃/ + ydz — з成)，

①——кривая в пространстве i,力，z с подвижной конечной точкой К, и потому эйконал есть функция тонки К. Величины со, а, 丫 имеют порядок Us/九,I/九,1А и являются медленными функциями переменных 力瑞 z, так что

1 Осо Оз Осо 13a За 1 @丫 。丫 外 1°8 dt dx dz Ug dt dxdt dx dz 九厶

Рис. 1.4. Ортогональная система координат (S — обтекаемая поверхность).

Функция Ф быстрая по переменной у и медленная по переменным 力 招 z, т. е.

1 дФ.дФ-дФ-&①"狷％1

。8 dtdxdz ' ду I drк

Форма представлений искомых функций (1.3.2) с учетом предположе

ния о порядках величин позволяет, как это будет ясно из дальнейшего, анализировать также процесс пространственно-временного развития пакетов волн 2 А・

也/①=Я0Ф 4-^Ф,也/①=Я0Ф 4-^Ф,(1.3.3)(1.3.3)Подставив выражение (1.3.2) в уравнение (1.3.1), получим уравнение для определения величины Ф

也/①=Я0Ф 4-^Ф,

也/①=Я0Ф 4-^Ф,

(1.3.3)

(1.3.3)

т. е. то же, что и в § 1.2, с той лишь разницей, что тетерь

^о — Hg + imH — iyHZj

方I =方；_员^ _方z±一瓦奇

После приведения уравнения (1.3.3) к безразмерному виду имеем

(1.3.4)(1.3.4)Z①h戒①，

(1.3.4)

(1.3.4)

А = tall к — А。.

Далее представим Ф в виде ряда

①=①(。)+九①(1)+加①(2)十一..

Фундаментальную роль играет локально-однородная задача для функции Ф(о), удовлетворяющей уравнению

Zw°)= о

и одной из следующих трех систем граничных условий.

При g = 0 некоторые из компонент Ф^ = 3' при у f 8 喈 то.

При у = 0 некоторые из компонент Ф^ = 0, при у f 8 |Фт |<°°.,

При J/ = о」Фт 1< при у f 8晩」0.

В процессе решения локально-однородной задачи получаем дис- 1те1р：сионное уравнение а = а(厶况,z, s, Y, &), где йг — совокупность физических параметров задачи (числа Рейнольдса, Маха и т. д.).

В дальнейшем мы будем исследовать проблему распростраие- м舅я возмущений либо (а) в стационарных двумерных пограничных слоях (лапример, при плоских или осесимметричных течениях газа, пр口 обтекании скользящего крыла и т. п.), либо (б) в нестационарном одномерном пограничном слое (например, в пограничном слое, образующемся в жвдкости около бесконечной пластины, внезапно приведенной в движение с некоторой постоянной скоростью, на~ цравленной параллелыыо пластине).

В случае (а) можно считать, что

а = сх(芻(о, % ©),(1.3.5)

з, Y 一 произвольные постоянные величины.

В случае (б)—

з =(о(厶 сх, % &),(1.3.6)

где а и у —— произвольные постоянные величины.

И в случае (1.3.5), и в случае (1.3.6) условия существования эйконала 歹(厶爲 z) выполнены.

В результате решения локалыю-одпородтой задачи зависимость от медленных переменных 厶 х^ z находится лишь частично. Для определения зависимости решения от переменных 力 х, z ищем искомое возмущение А в виде

А = £ % (力爲 z)①也亿 X, у, z) J" '(1.3.7)

где 2 означает суммирование по дискретной части спектра функций л о к а л ь：п о - одпоро д;н о й задачи и И11*тегри1рование по сплошной части спектра.

Подставив (1,3.7) в исходное уравнение (1.3.1), имеем

£户伉 > + 瓦窑 +Яг»Фя = 2с J爲5・(138)

Умножив интегрально (1.3.8) на сопряженную функцию ^m(t, х, у, z) и предполагая выполненными условия ортогональности

[反内；4%]=Apq

(см. § 1.2), получим следующие уравнения в частных произ'воднгых для величия Ст也况,z), где 加 приобретает значения, соответствующие модам дискретного и сплошного спектров:

2 ^ > 戶 f +>+pmn> 戶宀=? .

" “ ” (1.3.9)

Матрицы переходов Umn = [^Фп; YJ,乙也=国名①然屮小 Wmn = ~ [Я1ФП；屮/ Система уравнений (1.3.9) обобщает систему (1.2.22). С ее помощью можно решать ряд важнейших задач по

возбуждению и развитию неустойчивостей. В последующих главах мы приведем их конкретные решения.

Существенно отметить, что сами по себе уравнения (1.3.9) являются точными уравнениями, следующими непосредственно из исходных уравнений (1.3.1). Это важное обстоятельство нужно иметь в виду, принимая во внимание весьма сложную структуру уравнений (1.3.9), связанную с наличием быстроосциллирующих слагаемых, ответственных за межмодовый обмен, а также то, что могут встретиться области небольшой протяженности по i, и z, где предположение о медленном характере изменения величин сп может и не выполняться.

ОСНОВНОЙ МЕХАНИЗМВОЗБУЖДЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

Для исследования механизма возбуждения неустойчивостей рассмотрим одномерный двухмодовый случай взаимодействия волн. Уравнения (1.3.9) примут вид

%т(1-4.1)

-/ == <>nW пп + С-mWпгпе ,А = Fn — Fm.

Пусть в точке 况о

^т =0, % R(1.4.2)

Предположим, что мода m является неустойчивостью, т. е. мнимая часть ее волнового числа ат имеет такой вид, какой показан па рис. 1.5 (/пу ——точка потери устойчивости).

Сформулированная задача (1.4.1), (1.4.2) является простейшей задачей о возбуждении неустойчивости. Ее формальное решение имеет вид

/К\ ~X\сп = exp ( J Wnndx I с”。+『cmWnm ехр[ — J Wnndx — A Ux/К\ ~X\сп = exp ( J Wnndx I с”。+『cmWnm ехр[ — J Wnndx — A Ux(1.4.3)(1.4.3)

/К\ ~X\

сп = exp ( J Wnndx I с”。+『cmWnm ехр[ — J Wnndx — A Ux

/К\ ~X\

сп = exp ( J Wnndx I с”。+『cmWnm ехр[ — J Wnndx — A Ux

(1.4.3)

(1.4.3)

Система (1.4.3) является системой интегральных уравнений для определения функций ст (^) и &%(/), заменяющей собой систему (1.4.1). Переход к системе интегральных уравнений (1.4.3) весьма удобен, ибо эйконал А (х) является большой величиной (порядка 彳/7г), и в этом случае для вычисления интегралов в правых частях уравнений (1.4.3) можно с успехом применить метод скорейшего

-Im(oCm)-Im(oCm)Рис. 1.6. Пример эйконала, когда седловая точка лежит на вещественной оси (резонансный режим).Рис. 1.6. Пример эйконала, когда седловая точка лежит на вещественной оси (резонансный режим).рис, 7.5. Зависимость инкремента роста возмущения от координаты вниз по потоку.

-Im(oCm)

-Im(oCm)

Рис. 1.6. Пример эйконала, когда седловая точка лежит на вещественной оси (резонансный режим).

Рис. 1.6. Пример эйконала, когда седловая точка лежит на вещественной оси (резонансный режим).

спуска (см., например, [29]), если предположить, что все входящие функции суть аналитические функции переменной х.

Существенный интерес для дальнейшего представляет случай, который мы назовем резонансным возбуждением. Рассмотрим модельный пример, когда волновое число моды п действительно, и пусть Re (сх7)1) — ап, а также

Im (czm) = —д- (^ 一 翼ny) +。(I ②一爲【у 卩)

(厶——действительное положительное число). Тогда

А =—壶(2 — 2rly)2 +。(I 2 — 2“y I).(I .4.4)

Эйконалы Fm и Fn здесь и в дальнейшем определяются равенствами

Хцухпу

Из (1.4.4) следует, что точка 况=力口丫 ——седловая точка эйконала А = 〃十 2», рассматриваемого как функция комплексного переменного X + IXi (рис. 1.6) ； ЛИНИИ и = const ВЫХОДЯТ ИЗ ТОЧКИ /ну под углами 士п/4; секторы, через которые проходит действительная ось, являются отрицательными 2).

Главная часть по Л интеграла для ст системы (1.4.3) легко вычисляется. В итоге

у、"％(X【iy) Wтп (第ny) G•

если x > /"； если х <С хлу.если x > /"； если х <С хлу.(1.4.5)(1.4.5)0:

если x > /"； если х <С хлу.

если x > /"； если х <С хлу.

(1.4.5)

(1.4.5)

Рис. 1.7. Пример эйконала, когда седловая точка лежит в комплексной плоскости (квазирезопапсный режим).

Таким образом, в рассмотренном резонансном случае неустойчивость возбуждается волной п непосредственно в точке потери устойчивости /пу (точнее, в ок

рестности 〜丫无точки/h).

Проведенный анализ резонансного возбуждения неустойчивости

целиком относится к возбуждению волны Толлмина ——Шлихтинга,

если возбуждающая волна (/?) имеет в точке потери устойчивости 胃吋 фазовую скорость в направлении Ох ту же, что и фазовая скорость волны Толлмина ——Шлихтинга.

Рассмотрим более общий случай, когда фазовые скорости воли тп и тг различны. Пусть эйконал А имеет такую структуру, как показано на рис. 1.7. В точке /* расположена седловая точка эйконала \ = и + iv. Точки Л и 5 — это точки пересечения линий и =

const, ]]роходящих через седловую точку, с действительной осью

ааhhЕп = ~ГЕп = ~Г/,; указаны расположения отрицательных и положительных секторов. Подобным эйконалом обладает, например, случай

а

а

h

h

Еп = ~Г

Еп = ~Г

где величины атг. а”, а ——действительные иоложительпые постоянные. Тогда

a =一 防(/-召1y)? + %」"/一- (/-/1下)，

Вводя обо значения х ^^ 力/%пу, а ^^ анцу, ^тг:== атг£ну, а^т ^^仪件丁汽口力 Аа = схпг — %п?‘，получим

a =—柒g_炉+罕g—а

седловая тонна X* = 1 + t、3d. Значение эйконала А в седловой точке: А* =——(Atz) 2/2ha, Разложение эйконала по степеням (х — ^*) принимает вид: А = △* —万(W — W*)"2%. Графическое представление этого эйконала ——портрет эйконала ——показано на рис. 1.8. Прямые и = const, проходящие через седловую точку, пересекают действительную ось в точках А я В под углами 土л/4. Проведены гиперболы, соответствующие другим линиям и = const. Семейство линий v = const ортогонально семейству и = const; они являются также гиперболами, изображенными штриховыми линиями.

Предположим, что все входящие в уравнения (1.4.3) функции аналитические и одттозпачио определены в области мегкду действительной осью и седловой точкой, так что контур интегрирования в

проходящий по действительной оси, можно деформировать так, чтобы его начало и конец были фиксированы, т. е. принадлежали действительной оси, а сам контур проходил бы через седловую точку. Могут представиться три существенно различных случая расположения точек ⑥° и х.

Точки х и ^о находятся внутри отрезка АВ (см. рис. 1.7). В этом случае контур интегрирования можно деформировать в контур 旨,выходящий из точки /о и входящий в точку х по соответствующим линиям » = const, и тогда значение искомого интеграла будет представляться в главном приближении суммой интегралов по малым окрестностям точек х и xQ. Члены этой суммы будут иметь порядок малости h.

Асимптотическое представление для интеграла в этом случае может быть получено путем последовательного интегрирования по частям:

/' exp j j Wmmdx j,

/ = I cnWmn exp — ) Wmndx + A 石=无 ％ 他A)断&卜、

^0\金0/b I

гДе/н \

%(/"А)=談儡7 exp 11 Wmmdx j.

Далее

f % 仅A)爲厶=丨 / {% (M- ^ +—胪/ } I；； +

+九，J炉-%a = I "A?⑺吟，

где T {х) — степенной ряд по малому параметру Л, йачинающийс^ с члена порядка единицы. Окончательно

Cm =呢常°{с乳⑶т （胃）е&⑴一G/仆）Т （/）」（"）〕.

Полное выражение для m-волны будет

А俨=—hcn (%) Фт (爲 у) 7(%) exp А (&) + f Wmmdx + Fm ⑺ +

+ hcn (x) Фт (爲 у) 7 Q) exp ] Wmmdx 十 Fn (幻.(1.4.6)

Таким образом, возбужденная тп-волпа состоит из чистой т-волны (первый член в (1.4.6)) и промежуточной волны (второй член в (1.4.6)), имеющей распределение амплитуд по у такое же, как у моды те, но эйконал — как у моды п.

Система уравнений (1.4.3) для рассмотренного двухмодового случая фактически расщепляется, так как добавка к величине сп за счет взаимодействия воли будет иметь относительный порядок малости Л2, ибо выражение для интеграла во втором уравнении (1.4.3) можно получить процедурой, аналогичной описанной выше, с той лишь разницей, что эйконал заменяется теперь на ——А; контур интегрирования х.о — х и здесь не пересечет границы секторов. Поэтому под величиной с^(х) в выражении (1.4.6) нужно понимать в главном приближении величину 已^)= %口 exp J Wnndx .

Рассмотрим случай, когда точка 内)находится левее точки Л, а точка х ——внутри отрезка /笈,т. е. когда контур интегрирования пересекает границу секторов эйконала А(х).

Контур интегрирования мо?кет быть деформирован в сумму М+,毋 (см. рис. 1.7). Контур (加)входит в седловую точку по линии V = const со стороны отрицательного сектора. Контур & выходит из седловой точки в положительном секторе и входит в точку 力 на действительной оси в направлении v = const. Тогда интеграл по контуру 垓 определяется небольшой окрестностью (〜У/，) седловой точки, а интеграл по контуру ^ — малой окрестностью (〜九) точки х:

2 ~22 ~2Главные члены величин /j/и I^ имеют вид

2 ~2

2 ~2

W^dx + А* ;W^dx + А* ;с,г (%*) Wmn (z*) exp j 士0 — j

W^dx + А* ;

W^dx + А* ;

/团="-d 聞)仙 exp — J Wmmdx + A ; A* = A(z*); A〃(d) =》J°・

Выражение для возбужденной волны т будет

①m (芻 У)сп (/*) Wmn (/*) exp①m (芻 У)сп (/*) Wmn (/*) exp22

①m (芻 У)сп (/*) Wmn (/*) exp

①m (芻 У)сп (/*) Wmn (/*) exp

2

2

+ J Wmmdx + A* + Fm ⑴ + 1гФт (% у) ‘" /時)exp (娱⑺).

Итак, возбужденная волна состоит из чистой ттг-волны с амплитудой, нс зависящей от точки х^ и той же промежуточной волны, что и в случае 1.

Пусть теперь точка /о лежит левее точки Л, а точка 力—— правее точки В. Тогда контур интегрирования может быть деформирован в контур 加十勿 и, таким образом, величина интеграла будет определяться только малой (〜У^) окрестностью седловой точки —

—сп (ж*) Wmn (z*) exp—сп (ж*) Wmn (z*) exp] Wmmdx + А* .

—сп (ж*) Wmn (z*) exp

—сп (ж*) Wmn (z*) exp

ЛХехр г —ЛХехр г —Выражение для возбужденной ттг-вонны принимает следующий вид:

Л

Хехр г —

Л

Хехр г —

аГ =аГ =Wmmdx + А* + ^m ⑺•Wmmdx + А* + ^m ⑺•①m (z, у) & (ж*) Wmn(2*)Х

аГ =

аГ =

Wmmdx + А* + ^m ⑺•

Wmmdx + А* + ^m ⑺•

Таким образом, при переходе точки х через границу секторов В появляется еще одна чистая /тг-волпа с той же амплитудой, как и у ттг-волны в случае 2. При дальнейшем перемещении точек 力卩 и 力 внутри отрицательных секторов амплитуда возмущенной волны в главном приближении изменяться не будет. Поэтому можно утверждать, что зоной возбуждения /тг-волпы (неустойчивости) волной п является отрезок АВ действительной оси, попадающий в нолояш- тельный сектор эйконала А(х).

Добавка к величине ©冷。в выражении для сп за счет взаимодействия волн будет в случае 3 иметь порядок Л3/2, а в случае 2 ——порядок h, т. е. и здесь уравнения для ст и сп расщепляются, и в выражении для ст можно в главном порядке полагать 已?)вместо сн.

Исследованный механизм является механизмом взаимодействия воли, имеющих различные фазовые скорости и одинаковые частоты.

Замечательно, что главный порядок величины неустойчивости (〜У%) возбуждается при прохождении конечной точкой интегрирования х (1.4.3) окрестностей Л и В ——точек пересечения линий 〃 =const, исходящих из седловой точки, с действительной осью. Причем возбуждения в главном порядке носят характер резонансов аналогично тому, как это отмечалось в начале этого параграфа; m-волна половинной амплитуды возбуждается при переходе 力 через точку Л и вторая половина ——при переходе 况 через точку В.

Описанное явление можно назвать квазирезопапсом, учитывая, что амплитуда волны в этом случае в отличие от истинного резонанса (см. формулу (1.4.5)) содержит множитель 产аде Re(A*) < 0.

Существенно, что описанный механизм возбуждения неустойчивостей проявляется па конечном отрезке АВ изменения переменной н, расположенном в окрестности точки потери устойчивости /п”

Рис. 1.8. Модельный пример портрета эйконала.Рис. 1.8. Модельный пример портрета эйконала.Рис. 1.9. Графические решения модельной задачи о возбуждении неустойчивости по мере приближения к резонансу.

Рис. 1.8. Модельный пример портрета эйконала.

Рис. 1.8. Модельный пример портрета эйконала.

Таким образом, амплитуда неустойчивости при переходе через точки Л и 5 претерпевает разрыв в асимптотическом по h смысле и эти скачки должна правильно описывать система уравнений (1.4.3). Более того, мы видели, что система (1.3.4) является точпым следствием исходных уравнений (1.3.1). Поэтому можно утверждать, что система (1.4.3) правильно описывает также структуру разрывов амплитуд неустойчивостей в окрестностях точек А а В.

При решении конкретных задач оказывается удобным решать непосредственно систему (1.4,3) числеппо, поскольку все входящие в псе функции известны лишь в результате численных расчетов, что затрудняет процедуру аналитического продолжения этих функций в седловую точку. Кроме того, как это будет следовать из дальнейшего, матричные элементы часто сами имеют особенности в седловой точке эйконала.

В заключение этого параграфа приведем решение модельной задачи о возбуждении неустойчивости по мере приближения к резонансу.

Рассмотрим случай эйконала, изображенного на рис. 1.8； предположим, что Wmm = 0, Wmn = const. Тогда

(х — 1) . Пример расчета для(х — 1) . Пример расчета длягде функция w (z) является интегралом вероятностей от комплекс-

(х — 1) . Пример расчета для

(х — 1) . Пример расчета для

нои переменной z = — I/ "^^^Т

модуля амплитуды возбужденной волны в случае а/2Д = 102 и х0 =

u ——8 изображен на рис.u ——8 изображен на рис.пиям %； (= А。/。)，равнымпиям %； (= А。/。)，равнымТам жеТам жекривые 7, 2, 3, 4 относятся к зпаче-

u ——8 изображен на рис.

u ——8 изображен на рис.

пиям %； (= А。/。)，равным

пиям %； (= А。/。)，равным

Там же

Там же

соответственно 0; 0,1; 0,2; 0,3 0匕1三~8 = изображены портреты соответствующих

эйконалов Л. Для кривой 4 максимальное значение ординаты ^815; оно достигается при 豆=1.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПАКЕТА ВОЛННЕУСТОЙЧИВОСТИ

Развитый в § 1.2, 1.3 метод исследования уравнений для возмущенного движения позволяет решить ряд важных практических задач, во-первых, вопрос о взаимодействии мод дискретной частоты (о0 и дискретного значения параметра ^0. Для этого достаточно положить в уравнениях (1.3.9)

&(力，/, z,①，丫)= 3%(匕爲 z)5(①一ш,о)б(7 — у".(1.5.1)

В результате получим уравнение для пространственно-временных изменений амплитуд cn (^ х, z)：

(1.5.2)

где значения матричных элементов, а также эйконалов относятся к ①=со。и у = у。.

С помощью уравнений (1.5.2) можно, например, решить задачу о возбуждении неустойчивости дискретной частоты ①。 падающей на пограничный слой монохроматической акустической волной той же частоты. Решение этой задачи, как и других аналогичных, будет приведено в дальнейшем (см. главы 7, 8).

Во-вторых, разработанный метод позволяет проследить пространственно-временное развитие пакета воли неустойчивости, т. е. суперпозиции воли с определенными значениями параметров со и ^. Пакет волн, относящийся к какой-либо одной моде, может быть представлен как

2 А = [ с (爲爲％ ①，V)Ф (х,仇 z,力，о, у) ^(/А,2,03,?)й(£>йу, (1.5.3)

F (厶爲瑞①，丫)= % J [a (x, z,詳 co, y) d/ + у dz—⑴山]. (1.5.4)

Предполагая эйконал F большой величиной порядка 1/无， можно Для вычисления интеграла (1.5.3) применить метод скорейшего спуска. Если контуры интегрирования в плоскостях комплексных переменных ①覧 т можно деформировать так, чтобы опи прошли через седловую точку эйконала F по ее отрицательным секторам,

но главная часть (по h) интеграла (1.5.3) при фиксированной кривой 2, вдоль которой исследуется поведение пакета, моя^ет быть представлена в виде одной эквивалентной волны, определяемой значением эйконала в седловой точке:

± А = d (% 駕力，①*, Y*) c (x, 2, t,①*, ?*) Ф (х, у, 2, %,①*, 丫*) е" + • • •,

(1.5.5)

F^ = F (厶 x, z, co*, ?*).

Соотношение (1.5,5) представляет собой ряд по степеням параметра h.

Эйконал в седловой точке удовлетворяет соотношениям

Условия (1.5.6) с учетом (1.5.4) принимают вид

J dt — ■— dx = 0, ] %■ dx -\- dz = 0;(1.5.7)

где производные За/己① и 己а/己丫 вычисляются из дисперсионного уравнения

(158)(пакету) 乐 upn-(158)(пакету) 乐 upn-a = a(/,z，力①，7).

(158)

(пакету) 乐 upn-

(158)

(пакету) 乐 upn-

Из выра?кений (1.5.7) следует, что для эквивалентной волны эйконал F вычисляется вдоль произвольной кривой чем имеют место следующие соотношения:

(1.5.9)(1.5.9)dtОссdzda

(1.5.9)

(1.5.9)

dr х ds ' дхду '

Соотношения (1.5.9) доказываются на основании (1.5.7) методом от противного.

Итак, выражение (1.5.5) является асимптотическим представлением исследуемого пакета воли при произвольном выборе кривой 2. При этом в зависимости от значений действительных величин dt/dx = ki и dz/dx = к2 в силу (1.5.9) будут найдены, вообще говоря, комплексные значения параметров(о* (自，砌 и / (以 自)，соответствующие седловой точке эйконала F.

Если рассматриваемый пакет является пакетом воли неустойчивости, например пакетом волн Толлдиша ——Шлихтипга, то существен вопрос о нахождении такой кривой ①，вдоль которой волны в пакете растут наиболее быстро. Назовем такую кривую 纟 гребнем пакета. Решение задачи о нахождении гребня пакета определит выбор такой эквивалентной неустойчивости, которая «выживает» в процессе эволюции пакета.

Задачу о нахождении гребня пакета поставим следующим образом. Дадим кривой 2 приращение 22 (рис. 1.10) и найдем d^ из

22Н£а|dzН£а|dz= 1£а|(х += 1£а|(х +(1.5.10)(1.5.10)dzdz* 7东* 7=①也一％ 一匕%.* 7东* 7=①也一％ 一匕%.

2

2

Н£а|

dz

Н£а|

dz

= 1£а|(х +

= 1£а|(х +

(1.5.10)

(1.5.10)

dz

dz

* 7东* 7

=①也一％ 一匕%.

* 7东* 7

=①也一％ 一匕%.

Рис. 1.10, Траектория грсбпя пакета волн неустойчивости па обтекаемой поверхности.

условия того, чтобы вдоль dZ модуль 2 А получил бы наибольшее приращение. На основании (1.5.5)

Производные в (1.5.10) вычисляются вдоль dZ. Величина % — это функция, составленная из производных вдоль d纟 от величин ", с, Ф при фиксированном у, а также самих этих величин;^, со£ —мнимые части соответственно а*,①*,产

Предполагая, что выполнено неравенство

1/1《1/无厶(1.5.11)

приходим в главном по h приближении к следующим условиям для нахождения гребня пакета:

откуда имеемоткуда имеем8 /—® +西一自8 /—® +西一自=0,=0,两+同需=°，两+同需=°，(1-5,12)(1-5,12)

откуда имеем

откуда имеем

8 /

—® +西一自

8 /

—® +西一自

=0,

=0,

两+同需=°，

两+同需=°，

(1-5,12)

(1-5,12)

亲0建 03： 外：

Yi H—"办 I-7T— + 办2~ 0.

‘‘ 泌、 L 0"、2 dk,

222

Неравенство (1.5.11) является, по существу, условием достаточисА гладкости спектрального состава пакета волн.

На основании тождеств

@а*/ da \ @со* ( да\ ду*

и соотношений (1,5.9)

условия (1,5.12) принимают вид

5 =也=0・

(1.5.13)

Таким образом, для гребня пакета воли неустойчивости в седловой точке эйконала F величины (о* и 丫* являются действитель-

3 В. Н. Жигулев, А. М. Тумин

33

ными. Наличие этого свойства сильно упрощает анализ эволюции пакета волн неустойчивости, сокращая объем необходимых расчетов, как это будет продемонстрировано в гл. 6.

Итак, гребень пакета определяется соотношениями

dt 3%%

n a(1.0.14)

dz

Изменение амплитуды эквивалентной неустойчивости с(芻 羽 匕 о*, 7*) в (1.5.5) находится на основании уравнений (1.3.9).

Нетрудно изучить эволюцию пакета волн нез/стойчивостей в следующих по h приближениях, эквивалентных асимптотическому ряду (1.5.5).

ОБ ЭВОЛЮЦИИ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

В НЕЛИНЕЙНОМ СЛУЧАЕ

Точные уравнения Навье——Стокса для возмущения А. = 114』 (/=1, ..., W) могут быть записаны в операторной форме:

£厶=ЯЛ + 倉[А, А] + 育[А, А, А],

где М、N ——нелинейные операторы, последнее слагаемое появляется при рассмотрении газа.

Уравнение для фурье-образа (по времени) возмущений имеет вид

£А(о == /71A ① + J d(y)r М [А(о (“), А © (со — о/)] +

+『d^d^'N [Аи (s'), A(d (①”)，A(d (①一①'~(o")]・(1.G.1)

Для периодического возмущения с периодом Т = 2冗/(0祖

Aw = 2 А’^'З (со —於①°),

£а® = н^ + ^М 厶(疗),A^f 4 + ^N [а"), а”‘),小…j〃)L

Представив А")в виде ряда по собственным функциям локальнооднородного линеаризированного оператора L, получим уравнение для коэффициентов разложения с^\ Структура этих уравнений (без учета некоторых слагаемых, имеющих нерезонансный характер) имеет вид

穿-工卩£，弊• = e肥2 exp (现？ -成))制+

+ 2 "篇小咸圖”')exp (嚟')+ F^吟一 F『)+

+ 2汐寫彌，，"exp (嚟)+$)+月需"'*')一或)).

Нелинейные члены (1.6.1) обладагот свойствами:

①m/ + ^т" ~ ⑴m■图 ①m? + ^mr, + ①m"/^=①??!・

На основании уравнений (1.6.1) получаем следующее условия резонансного возбуждения неустойчивости (m-волны) для одномерного случая:

одповолповой резонанс

Qm — (^mf)x=x11y = 0；(1.6.2)

двухволновой резонанс

(а^ ссщ， ^7пл)л：~хПу = 0；(1.6.3)

трехволновой резонанс

(a т-е4m/ -аm" —■a7汽/")光=光口 = 0.(1.6,4)

Соотношения (1.6.2) — (1.6.4) должны удовлетворяться в точке потери устойчивости (х =片吋)постраничного слоя по отношению к т-волпе.

Одномодовый тип возбуждения с возможным резонансом г1ипа (1.6.2) обсуждался в § 1.4. Решения конкретных задач на эту тему будут рассматриваться в гл. 7, 8.

К классу задач о двухволновом возбуждении с возможным резонансом типа (1.6.3) относится задача о возбуждении волн Толл- мина —— Шлихтинга акустической волной, падающей на пограничный слой около шероховатой поверхности (см. § 7.3).

§ 17 АМПЛИТУДНЫЙ МЕТОДОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛРЕЙНОЛЬДСА ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДАВ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ

Амплитудный метод расчета критических чисел Рейнольдса перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный применительно к достаточно малым величинам начального фона возмущений состоит в следующем.

Определение наиболее опасной неустойчивости 力,возбуждаемой и сепарируемой рассматриваемым в общем случае трехмерным пограничным слоем па поверхности летательного аппарата в условиях заданного начального фона возмущений.

Нахождение эквивалентной амплитуды этой неустойчивости на линии потери устойчивости исходного пограничного слоя па основании известного фона начальных возмущений.

Расчет усиления этой неустойчивости в рассматриваемом пограничном слое в рамках линеаризированной теории возмущений.

з)Наиболее опасная неустойчивость выделяется па основе рассмотрения пакета воли пеустойчивостей, возбуждаемых в каждом конкретном случае.

Нахождение линии П на поверхности летательного аппарата, соответствующей тем сечениям пограничного слоя, где амплитуда исследуемой неустойчивости достигает значения gmin, совпадающей с минимальной из величин gb ^, е*.

Отождествление линии П с началом зоны турбулентного движения в рассматриваемом пограничном слое.

Положение 5 может и не определить в приближенном смысле сечение, соответствующее началу развитого турбулентного движения,—у нас пока пет способа нахождения длины зоны нелинейной релаксации к развитому турбулентному движению, если таковое имеет место.

Начало разработке амплитудного метода было положено Л. М. Мэком в работах [30, 31], где для амплитуды неустойчивости в области потери устойчивости было предложено некоторое чисто эмпирическое соотношение, связывающее ее с амплитудой фоновых возмущений. Расчет усиления неустойчивости обрывался в том месте, где относительная амплитуда неустойчивости достигала значения 1%, что также являлось чисто эмпирическим правилом.

В дальнейшем суть магического 1 % была выяснена в работах [21, 32——42]. Оказалось, что неустойчивость при достижении ее амплитудой порогового значения е* переходит в нелинейную стадию своего развития, где инкремент ее роста существенно увеличивается, и можно ожидать, что сравнительно быстро наступит развитый турбулентный режим течения.

Параметр 8* получается в результате приравнивания в критическом слое возмущения величин линейных и нелинейных членов в определяющих уравнениях (см. § 9.1).

J(。产(aR『/3 11Pli

L (а!!б)т/з при 勿《1,

где а ——действительная часть волнового числа неустойчивости в единицах обратной местной толщины пограничного слоя; Rs ——число Рейнольдса, вычисленное по местной толщине пограничного слоя и местной скорости па границе пограничного слоя Uе\ Uc—— градиент скорости основного течения в критическом слое для возмущения, отнесенный к скорости Ue и обратной толщине пограничного слоя; с — фазовая скорость возмущения в единицах U。； ус ——высота расположения критического слоя, отнесенная к местной толщине пограничного слоя.

Для случая, когда критический слой неустойчивости расположен во внешних слоях пограничного слоя, величина 8*, сосчитанная по формуле (1.7.1), обычно равна 1 %. Если критический слой неустойчивости расположен вблизи поверхности, значение параметра е* может достигать величины 10% и более. Нужно отметить, что практически могут осуществляться оба рассматриваемых случая расположения критического слоя неустойчивости. Параметр е* встречался еще в работе Ц. Ц. Линя [43], однако его важнейшее значение было попятно лишь в последующих исследованиях. Наря- 36

ду с сечениел! ?*, где амплитуда неустойчивости достигает значения £*，важную роль играет сечение Рь где в вязком подслое неустойчивости впервые сравниваются линейные члены и члены с напряжениями Рейнольдса в уравнениях для определения средних величин. Соответствующая сечению Pi оценка для амплитуды неустойчивости 81 имеет вид (см. § 9.1)

^=@凡)-。

Параметры е* и % обычно одного порядка малости.

Приведем основное соотношение для определения критического числа Рейнольдса перехода, которое является итогом проведенных исследований по возбуждению и развитию неустойчивостей (двумерный пограничный слой):

-Tm f а (х) dx = In - f Re [Ж (.r)] dx, (1.7.2) ^пу жпу

где 胃——координата вдоль поверхности обтекаемого тела в каком- либо его сечении плоскостью вдоль по потоку; хпу ~ координата точки потери устойчивости Рпу;爲中——координата точки Рщщ, где амплитуда неустойчивости достигает величины Етн； а(х) — волновое число 八лн рассматриваемой неустойчивости, полученное в результате численного решения задачи па собственные значения и последующего анализа волнового пакета; 8НП ——значение эквивалентной амплитуды неустойчивости в точке Рпу ——находится путем исследования задачи о возбуждении неустойчивости заданным фоном возмущений (начальная турбулентность потока, вибрации обтекаемой поверхности, ее шероховатость и т. п.); Re [Ж(х)]—— действительная часть матричного элемента W(х), характеризующего изменение неустойчивости вследствие непараллельности исходного пограничного слоя.

При рассмотрении трехмерного пограничного слоя выражение (1.7.2) следует заменить соотношением, выражающим усиление эквивалентной неустойчивости вдоль гребня пакета.

Если исследуется двумерный пограничный слой, то соответствующая неустойчивость называется обычно волной Толлмина —— Шлихтинга (ТШ). Приведем для величин, входящих в выражение (1.7.2), оценки, полученные па основе расчетов работ [44 — 47] для течения около плоской пластины. Для наиболее опасных воли ТШ Ima имеет порядок 2 • 10-2/б, поэтому левая часть выражения (1.7.2) порядка 伤审/505. При возбуждении воли ТШ внешней турбулентностью 8ни 〜10~2&比,где Еп ——амплитуда начальной турбулентности в набегающем потоке; отсюда первый член в правой части (1.7.2) имеет порядок 1п(1028*/8п). Если &н = 10「 т0 1п(е*/г11и) 5; если sn = 10-4, то 1п(£*/£нн)^ 9. Второй член в правой части (1.7.2) обычно не превышает значения 1, 5.

"77戸70-3"77戸70-3Рис. 1.11. Зависимости чисел Рейнольдса ла- мпиарпо-турбулептпого перехода в случае различных механизмов возбуждения волп неустойчивости.

"77戸70-3

"77戸70-3

[22, 35, 48]). В этом случае[22, 35, 48]). В этом случаеНа основании сказанного видно, что если Ен 〜Ю'4 (порядка сотых долей процента, что осуществляется, например, в малошумных дозвуковых аэродинамических трубах), то формула (1.7.2) приводит по порядку величины к известному критерию《，》(см. 曲р/В 〜450 или RI；P 〜5 • 10е, поскольку

[22, 35, 48]). В этом случае

[22, 35, 48]). В этом случае

для пограничного слоя на плоской пластине 5// 〜 5/VR.

Вследствие того что амплитуда фоновых волн входит в формулу для определения критического числа Рейнольдса (1.7.2) под знаком логарифма и сравнительно слабо изменяется при изменении

£н, “ри практическом нахождении положения точки перехода мож- ло всю совокупность встречающихся случаев (аэродинамические трубы, различающиеся характером и амплитудами фоновых волп, натурные исследования для различных высот, чисел Маха и т. и.)

разделить на ряд классов, характеризующихся примерно одним и тем же показателем роста амплитуды волны неустойчивости в зоне

перехода.

Можно надеяться, что амплитудный критерий по определению х1；р (см. формулу (1.7.2)) справедлив для всех случаев зон перехода к турбулентности. Если распределение характеристик в певозму- щешюм пограничном слое известно, то по формуле (1.7.2) можно непосредственно рассчитать хкр. В противном случае (что имеет место, например, тогда, когда переход к турбулентности сопровождается локальным ламинарным отрывом пограничного слоя с турбулентным присоединением) соотношение (1.7.2) должно быть включено в общую схему расчета зоны перехода.

В заключение приведем примеры зависимостей RKp(8Н), вычисленные на основе применения формулы (1.7.2).

На рис. 1.11 представлены примеры зависимостей RHp (sn), рассчитанный для трех различных случаев возбуя^дения волн в пограничном слое плоской пластины но данным работы [45] (см. главы 7, 8). Число Маха в набегающем потоке М = 0,6; частотный параметр для волп 尸=20 • I。-'(尸=sv/UZ). Кривая 1 соответствует случаю возбуждения волн ТШ внешней акустической волной, падающей под углом *ф = 70° (弋 ——угол между фронтом волны и осью х). При этом Ен равна амплитуде продольной компоненты скорости в падающей волне им отнесенной к скорости набегающего потока. Кривая 2 отражает случай резонансного возбуждения волны ТШ акустической волной (，= 70°), которая надает па пограничный слой, примыкающий к волнистой поверхности. В приведенном при-

мере uAb = 10^3 (b — амплитуда волнистости, отнесенная к толщине пограничного слоя в точке потери устойчивости 夕ну). Если при этом форма неровности фиксирована, то 8Н = ^А и кривая 2 иллюстрирует зависимость RKp от интенсивности падающей звуковой волны. Если, наоборот, величина иА = 10~3 неизменна, то gH = Z? и кривая 2 показывает зависимость RHp от амплитуды волнистости стенки. Кривая 3 соответствует резонансному возбуждению волн ТШ вибрирующей поверхностью, имеющей форму бегущей волны. В этом случае 8Н =。, где а ——амплитуда вибрации, отнесенная к толщине пограничного слоя в точке потери устойчивости.

Анализ рис. 1.11 показывает: 1) зона перехода очень чувствительна к малым вибрациям обтекаемой поверхности, что имеет су- ществешое практическое значение; 2) для каждого фяксированиого типа внешних возмущений существует своя критическая амплитуда, меньше которой пограничный слой на плоской пластине будет всюду ламинарным.

Глава 2

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯЛОКАЛЬНО-ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ОРРА — ЗОММЕРФЕЛЬДА.ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Уравнения для определения возмущений течения в пограничном слое на плоской пластине, обтекаемой однородным потоком несжимаемой жидкости, сводились, как мы видели, к системе (1.2.11), эквивалентной одному уравнению четвертого порядка для величины 中，связанной с вертикальной скоростью для возмущения, называемому уравнением Орра 一 Зоммерфельда:

(U - e) ((р〃 - 炉中)一 U"中-•表(科 - 2a2屮"+ 公中).(2.1.1)

Перейдем в (2.1.1) к безразмерным величинам. Скорости будем из- мерхтв в единицах U^, а все длины (включая и волновое число %)—в единицах В, где В = 3、、x「U 国—толщина пограничного слоя. Уравнение Орра ——Зоммерфельда примет следующий вид:

(。一 e)仰〃 _ 必中)_ u〃屮=血 @IV 一 2a2中" + a4(p), (2.1.2) где для простоты написания мы сохранили для безразмерных вели- уен соответствующие старые обозначения. Так, с = co/а, где (о измеряется уже в единицах [7^/6.

Уравнение Орра — Зоммерфельда имеет четыре линейно независимых решения:屮仆 ф2,屮з,屮《• Выясним их асимптотическое поведение при у f °0. Уравнение (2.1.2) при у f g принимает вид

(1 - С)(屮"-d中)=方，网(中"一2a2中"+ а，ср), (2.1.3) решение которого отыскиваем обычной процедурой, переходя к характеристическому уравнению для q путем подстановки ср = =ехр(ду). Получим

(1 一 С)(炉一d)=念(炉—a".

Это уравнение имеет четыре корпя. Таким образом, общее решение системы (2.1.3)

中=&6悶+a自8+ a応+ &6一"

X = fa2 + zR6a (1 — с), Rc 入 V 0.

Введем такую фундаментальную систему функций уравнения Орра Зоммерфельда 屮詳 которая имеет при у —尸 °° асимптотику

伙 f еа\ 屮2 f e—ay,恥 f e"伙 f

Общее решение уравнения Орра — Зоммерфельда будет

屮=С1ф1 + &屮 2 + Gq)3 + & 屮」(2.1.5)

Уравнению Орра — Зоммерфельда в безразмерном виде (2.1.2) соответствует система уравнений для вектора Ф:

%а ① 1 +(I)； = 0；

汲(U 一 С)皿+以①2 + 17①3 — R忒①；=0；…/小

,一(2.1.6)

①2 +运(0- C)①3 +以R6①4 = °；

① 1 — 2a ① 3 -① 4 = 0.

Элементы вектора Ф следующим образом определяются: через решения уравнения Орра — Зоммерфельда:

①I = ф'/^а;

Фо =—:——ср— Ф_L ср + 〃屮； m 4 К

仪У 以年3a丿 (24.7)

① 3 = Ф；

①4 = iacp - *.

Четырем фундаментальным решениям 屮)уравнения (2.1.2) соответствуют четыре фундаментальных решения Ф； системы (2.1.6).

Общее решение системы (2.1.6) имеет вид:

Ф = &①I + С3Ф2 + С3Ф3 + С4Ф4.

На основании (2.1.7) видно, что асимптотика при у f 8 функции Ф^ совпадает с асимптотикой функции ср^, т. е.

①]〜CW; ф2〜L; Ф3〜?吗ф4~?-吗

В зависимости от значений а и 入 имеют место рассматриваемые ниже пять классов решений уравнения (2.1.2),

Итак, исследуем решения уравнения Орра ——Зоммерфельда, ограниченные при у f 8. На основании (2.1.4) видно, что ограниченные и конечные ири у f 00 возмущения существуют лишь в случае, когда либо а, либо X являются чисто мнимыми величинами. Если а и Л ——комплексные числа с отличными от пуля действительными частями, ограниченные при у -> g решения обращаются там в нуль. Поэтому при а и 入 комплексных мы имеем решение задачи (1), а в случае чисто мнимых значений либо а, либо 入—— решение задачи (2) о возбуждении фоном в набегающем потоке.

La — чисто мнимая величина, a = ik^ 乃 > 0. Ограниченные при у 8 решения имеют вид

屮=Gqh + 3屮2 + С*зфз.

Граничное условие при у = 0 (ф = q)z — 0) приводит к уравнениям

GT1 (0) + С2ф2 (0) + С3<р3 (0) = о,

(0) + Gs (0)+ Сзфз (О) = о.

Из системы (2.1.8) определяются две константы, например С2 и С3, через С{. Таким образом, & произвольна; выберем для определенности С】=1. Решение для 屮 в рассматриваемом случае будет иметь вид

屮н 0 + &屮2 + a屮з・

Оно существует при любом к и поэтому имеет непрерывный спектр.

В рассматриваемом случае при у f g

и на основании (2.1.7) при 沙-> 8一

①4 = 0；①2 = "1— ©)(* —Ge»),“

т. е. рассматриваемая волна при у f 00 имеет возмущение завихренности, равное нулю, и отличное от нуля возмущение давления. Кроме того, эта волна является стоячей волной, поскольку ее фазовая скорость с = з/a —— чисто мнимая величина.

Зависимость от / и 方 дается выражением

ехрр(а/ —— coi)] = exp (——力з 方)exp (——к储, т・ е. амплитуда волпы убывает с ростом /.

Рассматриваемую волну назовем волной давления.

. a ——чисто мпимая величина, a =——％А, /с > 0. Эта волна аналогична волке I с той лишь разницей, что ее амплитуда растет как 済* при увеличении /. Назовем и эту стоячую волну также волной

давления. Все формулы, описывающие ее характеристики, те же, что и для волпы I, нужно только помнить об определении X.

Волна II, так же как н I, относится к сплошному спектру возмущений.

Если иметь в виду решение задачи о возмущениях в полосе АВ (см. рис. 1.3), то волпа I описывает затухание возмущений давления от левой границы Л, а волпа II ——затухание возмущений давления от правой границы В.

.九一 чисто мнимая величина,入 = ik.

Найдем волновое число а, соответствующее этому случаю. Имеем

сх2 + ZccRs + к2 一 zcoRs = О, откуда

Предполагая R6》1, имеем для главных частей

0-4 ― —G) — zRfi.

Волной III будем называть волну с волновым числом %. Ее изменение по и дается выражением

/ М + ю2 X

exp [f (&力一⑴川=exp [心(x — t)] exp — —x ).

Таким образом, волпа III имеет фазовую скорость, равную скорости потока при у — о© (с = 1), л сравнительно слабо затухает в направлении увеличения /.

Характерная длина, на которой затухает волна III, х-^ имеет порядок /зат/8 〜R6. Но так как £/5 〜R&, то /зат 〜 力. Время затухания ВОЛПЫ III "зат 〜/зат/Ug 〜67'V, Т. в. ПОрЯДКИ обыЧНОГО ВрСМС- ни выравнивания за счет процесса вязкого переноса. Амплитудная функция 屮 для волны III имеет вид

Ср м a中2 + G屮з + &中4 (з > 0);

中=a屮1 + а中з + а屮4 (зV0).

Граничные условия при у = 0 (ф — ф' = 0) определяют две произвольные константы через третью, полагаемую равной единице. Таким образом, волны III существуют при любых 乃 и потому представляют собой сплошной спектр.

При у f в имеем

(Р + С3еХу + &е-吗

На осповапии (2.1.7) получим

①2 = 0；①4 =(兴+①2)屮/a.

Таким образом, в рассматриваемой волпе при у + 8 возмущение давления равно нулю, по, поскольку имеется возмущение завихренности, волны III называются волнами завихренности 4).

Итак, волны III распространяются вниз по потоку со скоростью Uв и слабо затухают.

.入 ——чисто мнимая величина,厶=ik. Волновое число а《= =——со ——ZRg. Изменение по времени и по координате х волны IV дается выражением

ехр [/ (а&/ —①力)]=exp [—必(/ + %)] ехр(7?б/) •

Следовательно, волна IV распространяется вверх по потоку со скоростью Ug и сильно затухает в направлении отрицательного изменения х (по направлению своего распространения) с характерной длиной затухания х^1Ь 〜1/R6, или j：3aT 〜v/U^, т. e. имеет порядок вязкой длины.

Амплитудная функция 屮 для волны IV аналогична таковой для волны III

ср = &屮[+ С3фз + Gw (з > 0),

ср С2ф2 + &屮3 + &屮4 (о)< 0) •

Две константы определяются через третью граничным условием при у = 0. Волна IV существует при любых значениях дей- ствптелыюто к и также представляет собой сплошной спектр. Возмущение давления в волне IV равно нулю, возмущение завихретшо- стл, наоборот, отлично от нуля. Волла IV мож.ет быть названа также волной завихренности.

Итак, волна IV переносит завихренность вверх по потоку и быстро затухает.

Волна III подобно волне I при рассмотрении краевой задачи в полосе рис. 1.3 несет информацию о данных на левой границе А, в то время как волна IV, распространяясь вверх по потоку,— о данных на пра；вой границе В.

V. Величины а л 入 комплексны.

Пусть Re а > 0, тогда ограниченным решением при у f g будет

<р = С2(р2 + С3фз-

Ясно, что при этом 屮 f 0, если у -> 8. Граничные условия при у = 0 првдодят к соотношениям

а屮 2(о)+а 伙(о)= о,

С2ф；(0) + С3ф；(0) = 0.

Для существова ни я ненулевых значений величин Сг и С3 необходимо, чтобы детерминант системы (2.1.9) был равен нулю, т. е.

^23 = срг(0)фз (0)-Фз(0)Ф；(0) = 0.(2.1.10)

4)Иногда волны Ш называют также chocoiblimh волнами.

Уравнение (2.1.10) приводит к тому, что спектр волн V является дискретным, т. е. при фиксированных ① и R% имеется дискретный ряд чисел а” (『2=1, 2, 3, ...), удовлетворяющих соотношению (2.1.10). Среди волн дискретного спектра содержится и неустойчивость (Im а < 0) — волна Толлмина ——Шлихтинга.

Фаз01вая скорость для волн V находится в диапазоне 0 < с < 1,

т. е. это волны, распро-страняющиеся вниз по потоку; они могут как расти в направлении своего распространения (незтстойчивость), так и затухать или быть нейтральными, т. е. не изменять iCBoeii ампл итуды при изменении /. Волны класса V являются внутренними волнами в пограничном слое ш том смысле, ито 血х колебания

происходят исключительно внутри пограничного слоя и их характер связан с профилем скорости невозмущенного течения.

Волны рассмотренных пяти классов исчерпывают все особенности спектра уравнение Орра—Зоммерфельда. У каждой из этих волн свое дисперсионное соотношение а = а (со, 7?б). Так, для волны в классе I или II дисперсионное соотношение имеет вырожден- Hbiii характер а = "с {к — произвольная деиствителытая величина). Для волн классов HI, IV дисперсионное соотношение в главном приближении будет а =(D Ч- f (Zi：2 + ^2)/Rb (7с ——произвольная действительная величина) и а = — со — iR§ соответственно. Наконец, для каждой 汽-血 из волн дискретного спектра V а = с^(со, R$， (汽=1, 2, 3,…).

В заключение отметим, что мы, как правило', рассматрнвае、 ]юзмущения, имеющие фиксированную qacioiy и развивающиесг в пространстве. При развитии возмуще

Рис. 2.1. Собстветшая функция Рис. 2.2. Пропикновспис в пограничны!, волпы завихрсшюсти (厶=1, F= c〃oii Bojnibi завихренности {F = 20・10一6, =20-IO-6).屈=0,1 (a), 0,01 (6).Рис. 2.1. Собстветшая функция Рис. 2.2. Пропикновспис в пограничны!, волпы завихрсшюсти (厶=1, F= c〃oii Bojnibi завихренности {F = 20・10一6, =20-IO-6).屈=0,1 (a), 0,01 (6).ний во времени полагают а вещественным числом, частоту со —)юмплексно1 величиной. В последнем случае будут отсутствовать элементарные рет* пия типа голи давления. Соответствук-

Рис. 2.1. Собстветшая функция Рис. 2.2. Пропикновспис в пограничны!, волпы завихрсшюсти (厶=1, F= c〃oii Bojnibi завихренности {F = 20・10一6, =20-IO-6).屈=0,1 (a), 0,01 (6).

Рис. 2.1. Собстветшая функция Рис. 2.2. Пропикновспис в пограничны!, волпы завихрсшюсти (厶=1, F= c〃oii Bojnibi завихренности {F = 20・10一6, =20-IO-6).屈=0,1 (a), 0,01 (6).

Рис. 2.4. Проникновение в пограничный слой волны давления (^ = 20-10-6)./< = 0」(а), 0,01 (б).Рис. 2.4. Проникновение в пограничный слой волны давления (^ = 20-10-6)./< = 0」(а), 0,01 (б)."，& 2.3. Собственная функция волны давления (/с = 1,尸=20-10-6).

Рис. 2.4. Проникновение в пограничный слой волны давления (^ = 20-10-6).

/< = 0」(а), 0,01 (б).

Рис. 2.4. Проникновение в пограничный слой волны давления (^ = 20-10-6).

/< = 0」(а), 0,01 (б).

щие непрерывному спектру элементарные решения будут являться волнами завихренности, которые впервые были рассмотрены в [49]. Представленная классифика- из непрерывного спектра для воз-щие непрерывному спектру элементарные решения будут являться волнами завихренности, которые впервые были рассмотрены в [49]. Представленная классифика- из непрерывного спектра для воз-дия элементарных возбуждений

щие непрерывному спектру элементарные решения будут являться волнами завихренности, которые впервые были рассмотрены в [49]. Представленная классифика- из непрерывного спектра для воз-

щие непрерывному спектру элементарные решения будут являться волнами завихренности, которые впервые были рассмотрены в [49]. Представленная классифика- из непрерывного спектра для воз-

тущоний, развивающихся в пространстве, была выполнена в [23] и 【есколько позднее в [50]. На рис. 2.1 — 2.2 представлены результаты деленных расчетов действительной (屮丿 и мнимой (屮,частей собст- зепиой функции для волны завихренности (а = Сз) при R = =VU^x/v н 300, частотном параметре F = mvlU^ = 20-10-6, координата у измеряется в единицах ^vx/U^. На рис. 2.3 —2.4 представ-

[ены результаты расчетов фг н фг для волны давления, соответству- эхцей ветви а = а^ Частотный параметр и число Рейнольдса такие ке, как и в случае расчета волны завихренности.

Обратим внимание на тот факт, что с увеличением параметра к возмущения из непрерывного спектра более -сильно проникают зпутрь пограничного слоя. Однако1 для больших значений к решетин, соответствующие а = а】и а = сх3, сильно затухают вниз по

ютоку.

§ 2.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В ГАЗЕ.

АКУСТИЧЕСКАЯ МОДА5)

Рассмотрим двумерные возмущения фиксированной частоты со 飞 пло1скопараллельном пограничном слое газа. В качестве характер- юго масштаба длины выберем некоторую длину L. Скорость, тем-

з)Параграф написан совместно с А. В. Федоровым.

пературу и вязкость будем измерять в единицах соответствующих величин на внешней границе пограничного слоя, давление ■— в единицах pj), где ре, Ue ——плотность и скорость на внешней границе пограничного слоя. Тогда линеаризированные уравнения Навье —— Стокса для элементарного возмущения с волновым числом а в совершенном газе могут быть сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка:

^ =倉向zb° (2・2・1)

оператор Яо имеет матрицу размерностью 6 X ,； отличные от нуля элементы которой приведены в приложении 2/ Вектор-функция z, имеющая шесть компонент, определена следующим образом: Z]——возмущение ^-компоненты скорости; г2 = dzjdy\ 23 — возмущение т/^компоненты скорости; z《——возмущение давления; Z5——возмущение температуры; z6 = dzjdy. Систему уравнений (2.2.1) обычно называют системой Лиза — Линя.

На верхней границе пограничного слоя параметры основного течения выходят на постоянные значения и (2.2.1) превращается в систему с постоянными коэффициентами. При этом асимптотики шести линейно независимых решений системы (2.2.1) имеют вид 4 〜*)ехр (九初 (/ = 1, …，6), где 珞①—— собственные векторы, соответствующие собственным значениям 入力 определяемым из характеристического уравнения

det ИЯ0 — XEII = 0 при д-> 8,(2.2,2)

Е ——единичная матрица. Уравнение (2.2.2) сводится к виду [51] (6“ 一 ^2) [ (^22 —九2) (6зЗ —入2) — &3匕32〕== 0}

k =第，%2 =现研4 + WW + 拜 W，:

% =鳄梵5 + W第+卿第°(2.2.3)

%2 = 8片2 ^33 =硏,，

где —— элементы матрицы Яо, вычисляемые на внепшей границе пограничного слон. Из (2.2.3) получаем

九:2 = %U ^3,4 =咨"^-典^ /(%2 -633)"+ 4&23&32，

后,6 = 2r~~ + ^ У (%2 — %а)2 + 4b23%2・(2.2.4)

Для определенности фиксируем ветви Re (Х1? Х3, Х5)< 0. Для системы уравнений (2.2.1) .имеют место следующие граничные условия:

у = 0:= z5 = 0,

g_8：闯 Vs (/ = (,…，6),(2-2-5)

При формулировке граничного условия на температуру на стенке (у = 0) в (2.2.5) предполагается, что обтекаемая поверхность выполнена из высокотеплопроводного материала [52].

Если для всех / Re (入,)耍 0, то из условия ограниченности решения при у f 8 имеем

z = &% + C3z3 + С^z = &% + C3z3 + С^(2.2.6)(2.2.6)где &, &, а — константы, стенке (2.2.5):где &, &, а — константы, стенке (2.2.5):определяемые из граничных условий наопределяемые из граничных условий на(2.2.7)(2.2.7)+ &Z]3 + C5z^ = 0, + &Z33 + C5Z35 = 0,+ &Z]3 + C5z^ = 0, + &Z33 + C5Z35 = 0,0.0.

z = &% + C3z3 + С^

z = &% + C3z3 + С^

(2.2.6)

(2.2.6)

где &, &, а — константы, стенке (2.2.5):

где &, &, а — константы, стенке (2.2.5):

определяемые из граничных условий на

определяемые из граничных условий на

(2.2.7)

(2.2.7)

+ &Z]3 + C5z^ = 0, + &Z33 + C5Z35 = 0,

+ &Z]3 + C5z^ = 0, + &Z33 + C5Z35 = 0,

0.

0.

Здесь Zz?——f-я компонента у-го вектора при у = 0.

Zu £135 = det Z31-51Zu £135 = det Z31-51Нетривиальное решение системы (2.2.7) возможно только в том случае, если выполняется дисперсионное соотношение

Zu £135 = det Z31

-51

Zu £135 = det Z31

-51

(2.2.8)

которое приводит к дискретному спектру собственных колебаний по'Грапичного слоя.

Если одно из собственных 储 является чисто мнимым, условию ограни1чешюст,и при у f 8 будет удовл!етвО1рять линейная комбинация из четырех собственных векторов, которая определяется тремя граничными условиями при у = 0. Одна из констант, как обычно, может быть выбрана произвольно в силу линейности задачи, что определяет нормировку решения системы уравнений (2.2.1). Этот случаи соответствует непрерывному спектру, рассмотрение которого был-о начато в [38]. Подробный анализ «непрерывного спектра был выполнен в [45]. Оказывается, что задача (2,2,1), (2.2.5) содержит семь типов элементарных .возбуждений, имеющих непрерывный спектр.

Численный и асимптотический анализ уравнения (2.2.3) позволяет получить -следующие сведения о семи классах волновых решений, соответствующих сплошному спектру.

Если 九;=——/с?, где к ——произвольное положительное число, то . R 4 一 ；「、 4 心 4/с2

(R — число Рейнольдса). Это волны завихренности (см. § 2.1) со спектральными линиями, выходящими из тодекр=2 1 十 у 1L комплексной плоскости6) р = 1м (см. кривые 7 и 2 на рис. 2.5 и

°)Комплексная плоскость р вводится для удобства дальнейших рассмотрений (см. гл. 3).

Рис. 25. Линии непрерывного спектра в приближении Лиза — Липя для пограничного слоя в газе (р = ia, М = 0,5, R = 10, со ~ 1).Рис. 25. Линии непрерывного спектра в приближении Лиза — Липя для пограничного слоя в газе (р = ia, М = 0,5, R = 10, со ~ 1).

Рис. 25. Линии непрерывного спектра в приближении Лиза — Липя для пограничного слоя в газе (р = ia, М = 0,5, R = 10, со ~ 1).

Рис. 25. Линии непрерывного спектра в приближении Лиза — Липя для пограничного слоя в газе (р = ia, М = 0,5, R = 10, со ~ 1).

рис. 2.6; номер кривой совпадает с ицдексом 匕).Решение в этом случае является линейной комбинацией векторов 方,z2, z3, z5.

Условие 九；=—— 乃2 (次 > 0) вътде мет две спектральные кривые

5 и 4, берущие начало в точках

?3=心一露当^ + O(RT),

HPr P/r2 、/

P& = So + ?8P& = So + ?8十。(RT), (2；2.9)十。(RT), (2；2.9)p0 [1 + M? (rPr + x)] + 2/M2RPr

P& = So + ?8

P& = So + ?8

十。(RT), (2；2.9)

十。(RT), (2；2.9)

Po [1 — M? (rPr + %)] + 2 (1 — M?) iRPr

[1—М〃>с + гРг)产4ЛА? / '[1—М〃>с + гРг)产4ЛА? / 'где

[1—М〃>с + гРг)产

4ЛА? / '

[1—М〃>с + гРг)产

4ЛА? / '

卩。=焉[1一M^ + rPr)±出[!^^ +

(2.2.10)

Рг — число Прандтля, 乂 ——показатель адиабаты, г ——константа, явный вид которой дай в приложении 2. Знак « + » в (2,2.10) соответствует сверхзвуковому режиму (М > 1),《—» ——дозвуковому (М < 1). Эти волновые решения можно иптепретировать как волны энтропии, для которых решение строится в виде линейной комбинации векторов Zj, z3, z4, z5.

Уравнение ?4 =——卧也>6) приводит к трем спектральным линиям. Для чисел Маха М < 1 (см. рис. 2.5) — две из них берут начало в точках

^ = ^ + °М р^-^-^0(『)

(кривые 5 и 6 соответственно).

Для малых к эти линии соответствуют слабо затухающим звуковым волнам. С ростом к вещественные части р приобретают

с ростом X.

Для числа Маха М > 1 (см. рис. 2.6) акустические спектральные линии выходят из тонек

Рз =必 Й^Л +。(RT)，Р7 =加 й^ + О (R-i) (кривые 5 и 7 соответственно). При этом вторая из них заканчивается в предельной точке р*. Третья линия соответствует быстро растущим по 胃 волновым решениям и выходит из точки р§, определяемой соотношением (2.2.9), при выборе знака «+» перед корнем в (2.2.10).

Решения сплошного спектра, выделяемые уравнением ?4 = —А”， являются линейной комбинацией векторов zt, z3,窃> z7.

На рис. 2.5, 2.6 нумерация спектральных линий выбрана таким образом, чтобы при переходе от дозвуковых к сверхзвуковым режимам одна линия переходила 上 другую без изменения номера. Данный расчет проводился при Рг = 0,72, к 1,41.

Следует отметить, что система уравнений (2.2.1) достаточно громоздкая. Поэтому в работе [53] проанализировано влияние различных членов уравнений устойчивости и предложена более простая система уравнений, пригодная при умеренных числах Маха для течения в пограпичном слое. Дополнительный анализ членов уравнений устойчивости выполнен в [54]. Подробно эти вопросы обсуждались в [55]. Сейчас в практических расчетах используют упрощенную систему уравнений [52, 53], называемую системой Да-

49494 В. Н. Жигулев, А. М, Тумин

49

49

Рис. 28 Структура непрерывного спектра в приближении Дана — Линя (сплошная линия) и Лиза — Лиия (штриховая) для пограничного слоя в газе (М = 2, R = 100, w = 1).Рис. 28 Структура непрерывного спектра в приближении Дана — Линя (сплошная линия) и Лиза — Лиия (штриховая) для пограничного слоя в газе (М = 2, R = 100, w = 1).

Рис. 28 Структура непрерывного спектра в приближении Дана — Линя (сплошная линия) и Лиза — Лиия (штриховая) для пограничного слоя в газе (М = 2, R = 100, w = 1).

Рис. 28 Структура непрерывного спектра в приближении Дана — Линя (сплошная линия) и Лиза — Лиия (штриховая) для пограничного слоя в газе (М = 2, R = 100, w = 1).

Рис. 2.7. Спектральные линии не- рер*вного спектра в приближении Дана Линя (сплошная линия) и Лиза — Линя (штриховая) для пограничного сяоя в газе (М = 0,5, R = KJ, з = 1).

на ——Линя. В этом приближении вместо (2.2.1) имеем

^ =貪。仔(2.2.11)

Оператор Яоо имеет матрицу 6X6 (см. приложение 2). Характеристическое уравпе- иие для системы уравнений (2.2.11) приводит к соотношениям [52]冠2 = %R (а — со), 隽,4 = %РгН(а-з),

抬,6 к a2 — М2 (a -(о)2. При 入：=一/产(以〉0)

имеем спектральную линию, соответствующую волнам завихренности. Условие 九^ =——к? выделяет эптропмйные волны, и, наконец, Аб = — &2отвечает акустическим волнам.

На рис. 2.7 и 2.8 изображен непрерывный спектр системы Дана —-Линя и соответствующий ему спектр полной системы в комп-

лексной плоскости а. Как видно, в оплошном спектре Дана ——Линя отсутствуют три ветви, соответствующие волновым решениям типа пограничного слоя по координате /; афотические ветви при дозвуковых режимах течения образуют «крест», пересекаясь в точке а = —М2(о/(1 — М2); ветви, 1соответст|вующпе вихревым и энтропийным волнам, сливаются в одну; при больших {а\ 〜 R спектр системы (2.2.11) существеыно отличается от точного. Кроме того, если а соответствует энтропийной (или вихревой) моде, то Re 九i = =Re 入з = 0 и имеет место вырождение задачи. В этом случае решение, удовлетворяющее условию ограниченности при у f °°, может быть построено из пяти линейно независимых векторов, и нам не хватает граничных условий для определения констант & перед каждым линейно независимым решением 4. Что^бы снять вырождение, необходимы дополнительные сведения о внешних возмущениях, которые дали бы еще о дне граничное условие.

Следует отметить, что при рассмотрении акустических возмущений обычно |а丨《R и спектр задачи (2,2.1), (2.2.5) может быть неплохо аппроксимирован спектром задачи (2.2.11), (2.2.5).

Глава 3

ЛОКАЛЬНО-ОДНОРОДНАЯ ЗАДАЧА.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

ВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ НАЧАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯВ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕНЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Задача о развитии во времени начального возмущения в плоскопараллельном пограничном слое несжимаемой жидкости впервые рассмотрена в работе [56]. Позднее, в работе [49] сформулирована биортого-нальная система векторов для уравнений Орра ——Зоммер- фельда при развитии возмущений во времени и доказано, что формальное разложение решения уравнений по этой системе совпадает с решением задачи, данной в [56]. Этот способ конструктивного доказательства полноты биортогоиальных систем векторов использовался авторами работы [57] в случае пространственного развития возмущений в пограничном слое сжимаемой среды. С целью сохранения единого подхода рассмотрим заново задачу о развитии во времени начального возмущения.

Пусть имеется плоскопараллельное течение несжимаемой жидкости типа пограничного слоя. Выберем в качестве координат оси: 。胃——направлена вниз по потоку, Оу ——перпендикулярна обтекаемой поверхности. Введем в>ектор-фуикцию А(е, у,力,состоящую из четырех компонент; А^ — возмущение ^-компоненты скорости,儿一

возмущение давления, Л3 ——возмущение //-компоненты скорости, A^^dAJdy — dAJdx, Выберем в качестве масштабов: длины ——толщину лограничного слоя 6, скорости — скорость внешнего течения 3、времени — 8/Uey давления——рС7^ где р —- плотность. Тогда линеаризированные уравнения Навье ——Стокса можно записать в -виде

需+倉号=育4+存2爲(3.1.1)

соответствующие матрицы приведены в приложении 3.

Предположим, что при 力=0 задано начальное локализованное в пространстве возмущение //-компоненты скорости v0(xf у), удовлетворяющее условию и。(胃, 8)=Uq(±8, у) = 0. Из уравнения неразрывности можно однозначно1 определить соответствующее распределение ^-компоненты скорости uQ^Xi у), удовлетворяющее условию 笈° (%, 8)=笈0(±8, у) = 0. После преобразования Фурье по координате 力 получим ,из (3.1.1)

+ Н± = ^iAa + taH2Ms(3.1.2)

где Аа обозначает фурье-'О'браз7 соответствующий волновому числу а.

Построим решение системы уравнений (3.1.2), удовлетворяющее граничным условиям

(3.1.3)(3.1.3)У = 0： Aai — Ааз = 0,

(3.1.3)

(3.1.3)

у f 8： I4cj V 8 (j = 1,…，4), а также начальному условию при 力=0:

(3.1.4)(3.1.4)А® = Ао ®) = ；，2 ,

(3.1.4)

(3.1.4)

где 笈0仪,Уоа — фурье-образы функций и^х^ у) и %(е, у) соответственно. Заметим, что в силу уравнений движения жидкости и условий локализации возмущений по координатам 胃 л у величины 北оа(у), /°2(У), /(и(у) однозначно определяются через величину foa.

Поставленную задачу (3.1.2)— (3.1.4) решаем с помощью преобразования Лапласа по времени

А? (у) = J e~~piAa ®, 0 dt.о

Для величины А^(у) имеем неоднородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

今 + р方也卩一瓦Ар — iaH2Ap 二 团％•(3,1.5)

(3.1.6)(3.1.6)Рассмотрим однородную систему уравнений, саответствующую системе (3.1.5)

(3.1.6)

(3.1.6)

〃。~ —pHt + 〃i + 力а〃2・

СистемаСистема(3.1.6) имеет четыре линейно независимых решения "(у)(3.1.6) имеет четыре линейно независимых решения "(у).4). Так как след матрицы Яо.4). Так как след матрицы Яоравен нулю (ЗрЯ0 = 0),равен нулю (ЗрЯ0 = 0),1ожно показать, что вронскиниан матрицы фундаментальных ре- нений W = det !lz1? z2, z3, z/l не зависит от у [58]. Его значение1ожно показать, что вронскиниан матрицы фундаментальных ре- нений W = det !lz1? z2, z3, z/l не зависит от у [58]. Его значениеюжио определить из асимптотическогоюжио определить из асимптотическогорассмотрения линейно нерассмотрения линейно независимых решений при у f g, где U -^ 1, dU/dy 0. Выпишемзависимых решений при у f g, где U -^ 1, dU/dy 0. Выпишем1вный вид асимптотических выражений при у f оо для1вный вид асимптотических выражений при у f оо дляуйзависимых решений системыуйзависимых решений системы(3.1.6)(3.1.6)линейнолинейно?ос + р?ос + р产,产,1010iKiKa01a01г(X2 一 *г(X2 一 *аа(3,1.7)(3,1.7)

Система

Система

(3.1.6) имеет четыре линейно независимых решения "(у)

(3.1.6) имеет четыре линейно независимых решения "(у)

.4). Так как след матрицы Яо

.4). Так как след матрицы Яо

равен нулю (ЗрЯ0 = 0),

равен нулю (ЗрЯ0 = 0),

1ожно показать, что вронскиниан матрицы фундаментальных ре- нений W = det !lz1? z2, z3, z/l не зависит от у [58]. Его значение

1ожно показать, что вронскиниан матрицы фундаментальных ре- нений W = det !lz1? z2, z3, z/l не зависит от у [58]. Его значение

южио определить из асимптотического

южио определить из асимптотического

рассмотрения линейно не

рассмотрения линейно не

зависимых решений при у f g, где U -^ 1, dU/dy 0. Выпишем

зависимых решений при у f g, где U -^ 1, dU/dy 0. Выпишем

1вный вид асимптотических выражений при у f оо для

1вный вид асимптотических выражений при у f оо для

уйзависимых решений системы

уйзависимых решений системы

(3.1.6)

(3.1.6)

линейно

линейно

?ос + р

?ос + р

产,

产,

1

0

1

0

iK

iK

a

0

1

a

0

1

г(X2 一 *

г(X2 一 *

а

а

(3,1.7)

(3,1.7)

九=Уа2 + Re (fa + р) *

Пусть ос> 0, Re 入 V 0. На яианПусть ос> 0, Re 入 V 0. На яианосновании (3.1.7) находимосновании (3.1.7) находимвронски-вронски-

Пусть ос> 0, Re 入 V 0. На яиан

Пусть ос> 0, Re 入 V 0. На яиан

основании (3.1.7) находим

основании (3.1.7) находим

вронски-

вронски-

4九(卫 + ia)? R^4九(卫 + ia)? R^a3a3

4九(卫 + ia)? R^

4九(卫 + ia)? R^

a3

a3

=—力а система векторов (3.1.7) не=—力а система векторов (3.1.7) неПоэтому для определения значенияПоэтому для определения значенияЛегко видеть, что в точке является линейно независимой.

=—力а система векторов (3.1.7) не

=—力а система векторов (3.1.7) не

Поэтому для определения значения

Поэтому для определения значения

V в этой точке необходимо провеюти дополнительное исследование, .;ак это было сделано автором [56]. В результате оказывается, что з точке р =—力а величина W отлична от нуля. Точка, в которой ,(р) = 0, является точкой ветвления. Выбор ветви Re X < 0 оз!нача- 」т, нто мы в плоскости комплексной переменной р проводим разрез j соответствии с уравнением 7?=—乱？(厶 > 0), или

р (к) = — /а —р (к) = — /а —(a2 + м)(a2 + м)仆仆(3.1.8)(3.1.8)

р (к) = — /а —

р (к) = — /а —

(a2 + м)

(a2 + м)

仆

仆

(3.1.8)

(3.1.8)

'ешепие пеодиоро-дпой системы уравнений (3.1.5) ищется в виде

(3.1.9)(3.1.9)Ap = zQ(y).

(3.1.9)

(3.1.9)

После подстановки (ЗЛ.9) в (3.1.5) получаем алгебраическую систему уравнений для dQ^dy (7 = 1, ..4):

2翁=济A。.

Запишем искомые компоненты вектор-функции Q(y)

У

где 口力 Уз ——константы, определяемые из граничных условий при у = 0 и yf °0. Величины。式沙)равны определителе! матриц, получающихся из матрицы 么 путем замены /-го столбца столбцом правой части уравнений (3.1.5). Искомое решение для Ар будет

a上+ f自卜上十[存或儀+ f ^з + J f|7 ^ j z3 + J ^ dyz生;

0丿оо\0/оо

(3.1.10)

°2芯23 十 С^^3.С2^12 + %* 14.

где Zij обозначает 匸ю компоненту /-го вектора. После выполнения обратного преобразования Лапласа находим решение поставленной задачи:

Аа=^ J &3 户盯, (3.1.11) p*78

где постоянная p* выбирается так, чтобы путь интегрирования в комплексной плоскости р располагался правее всех особенностей Ар. Известно, нто равенство нулю функции Ei3(pv) определяет дискретный спектр задачи Орра ——Зоммерфельда; и для самой неустойчивой моды Re pv < 00.

Если мы замкнем путь интегрирования Г (рис. 3.1) дугой окружности Сг обходом вдоль берегов разреза 7, обозначенных на рисунке «плюс» и «мищ^с», то в пределе rf оо получим результат обратного преобразования Лапласа в виде суммы вычетов по полюсам & и интеграла по двум сторонам разреза 7 [56]. Заметим, что на верхнем берегу разреза 九 f — 〃* а па нижнем 九一> +泣. Представим интегралы по двулг берегам разреза 丫 в виде одного интеграла по вещественному параметру /с, когда подынтегральное выражение вычисляется в пределе по нижнему берегу разреза. Для этого раосмотрим разность амплитуд А]~ ——Ар (3.1.10) т вытасляе-

Рис. 3.1. Контур интегрирования в комп-лексной плоскости р в случае задачи о раз-витии начального возмущения во времени[56] (М = 0).

мых соответственно на берегах «плюс» и «минус». Нетрудно получить, что

А 在=Ар — Ар =

В G (方434 + А\/3 一方13%),

(ЗЛ.12)

G~ (С?豆 12 + Q豆 14 十 ^3^13)/^13^14?

где все величины вычисляются на нижнем берегу разреза 丫. Окончательно будем иметь

Аа — 2 Res (認Ар)—爲『寫 G^^A^dk, (3.1.1^ 0

где G определена в (3.1.12), а функция p(k) задана соотношением (3.1.8). Решение (3.1.13) поставленной задачи (3.1.2) (3.1.4) представляет собой сумму мод, относящихся к дискретному и непрерывному спектрам элементарных возмущений, раз в и в ающихся во времени.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЯФИКСИРОВАННОЙ ЧАСТОТЫ

В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Рассмотрим, как и в § 3.1, плоюкопараллельное течение несжимаемой жидкости типа погранично1го слоя. Предположим, что при ж = 0 задано возмущение, для которого фурье-гармонику, соответствующую частоте ① по времени, можно представить в виде вектор-функции А°(у). После преобразования Фурье по времени запишем лшюар изироз^ ашхые уравнения Навье ——Стокса в виде

О А.—ЗА，、

云=/аЗ +而"人 + h2 肃，(3.2.1)

где индекс «(о» обозначает фурье-образ, соответствующий частоте(о. Для системы (3.2.1) формулируется следующая задача:

У = 0： /з[~ 0；

у — 8： \Л^\ V 8 (/ = 1，…，4) ；(322)

力=0: Аз = А° (у).

Задача (3.2.1), (3.2.2) в отличие от сформулированной в § 3.1 некорректна ио Адамару [59]. Однако опа может быть регуляризована, если предположить, что Ао допускает построение решения лине аризированных уравнений Навье——Стокса Аз (%, д) с конечные показателем роста. Это означает 'Существование таких положительных констант Mq, s, что \А^(х, у)\ <MQ exp (s^r) (/ = 1, ..4). Ниже будут получены интегральные соотношения, которым должен удовлетворять вектор Ао, чтобы задача (3.2,1)——(3.2.2) была условно-корректной. Заметим, что обычно в литературе по теории гидродинамической устойчивости постановка граничной задачи на уровне линеаризированных уравнений Навье——Стокса не рассматривалась, л поэтому не обращалось внимания на необходимость регуляризации з адата при анализе возмущений, развивающихся в пространстве.

Переходя от Ао (ж, у) с помощью преобразования Лапласа к образу

А° 仅)=J ©-0"А(о (胃,у) а%,о

получим неоднородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

-^ = Н 工卜卩 + i^Hf Ар + pH2Ap —■ ^2^о*(3.2.3)

Однородная система уравнений (3.2.3) имеет четыре линейно независимых решения, асимптотические преставления которых при у f 00 будут

(3.2.4)(3.2.4)

(3.2.4)

(3.2.4)

% = У—,?十[%(р — %①).

Матрица фундаментальных решений z = llzj, z2, z3, z4ll имеет определитель W, величина которого не зависит от у и потному легко вычисляется из асимлтот,и веских выражений (3.2.4):

W = I囤氏入(Р —心)2] //А

Аналогично сказанному в § 3.1 определитель W в точке р = is должен быть вычислен после перестроения системы линейно не-

Рис. 3.2. Контур иптегрировапия в комплексной плоскости р в случае развития возмущения вниз по потоку (М = 0).

зависимых векторов. Точки, в которых 九(р) = 0, являются точками ветвления многозначной функции 九(р). Для построения однозначного решения в комплексной плоскости uepeMennoii р зафиксируем ветвь Rc 入 V О, выбирая разрезы 丫匕 ^3 с помощью уравнения 九？ = —к (左 > 0) (рис. 3.2). Решение

неоднородной системы (3.2.3)

ищется в виде Ap = zQ(y), где dQ/dy находится из алгебраической

(3.2.5)(3.2.6)(3.2.5)(3.2.6)системы уравнений

(3.2.5)

(3.2.6)

(3.2.5)

(3.2.6)

Константы 的,Уз в (3.2.6) выбираются из граничных условий при у=0 и у f 8. Так как 裔,z2 при у +8 пропорциональны ехр(±?ру), выбор констант 的，仇 в (3.2.6) будет различным в зависимости от знака Im р. 口 в общем случае мы не можем аналитически продолжить решение из нижней полуплоскости в верхнюю. Поютроение аналитического решения (3.2.6) во всей плоскости р, за исключением некоторого дискретного набора полюсов и определенным образом выполненных разрезов, возможно с помощт>ю специального выбора начальных данных Ао.

Запишем решение (3.2.6):

в верхней (Полуплоскости

Q \V D

+ [ / G/ )十出[苗du +

()丿8

0/8•

в нижней полуплоскости

A卩—Zj J £ 阳 + Z? (。2 +A卩—Zj J £ 阳 + Z? (。2 +о /у DJ帚第•о /у DJ帚第•

A卩—Zj J £ 阳 + Z? (。2 +

A卩—Zj J £ 阳 + Z? (。2 +

о /

у D

J帚第•

о /

у D

J帚第•

Введем следующие обозначения:

。1 =。1 =々3々3c/13 + %ё43

。1 =

。1 =

々3

々3

e2%2 十 04%4

&з

где с?・,£勺 определены в § 3.1.

Рассмотрим .разноють F2 (/с, у)二(AJ7 —厶力卩曰， где Е — вещественный параметр. После несложных преобразований получим

(3.2.7)(3.2.7)F2的 y)Н Р—a «1/2 + 当1%3 -方23%1)/=月， 23 13

(3.2.7)

(3.2.7)

仇 ~(C］居 3 + e4e43 + %后23)。曰.

Вектор-функция F2 обращается в пуль, если начальные данные Ао таковы, что G2(〃) = 0. Если при всех к^ к> s G? = 0, то решение (3.2.6) можно из верхней полуплоскости аналитически продолжить В НН刑НГОЮ.

Найдем второе интегральное со-отношени(е для Ао, обеспечивающее непрерывность решения при переходе с нижнего берега разреза «минус» на верхний «плюс» (см. рию. 3.2). Рассматривая разность А, на верхнем и иижцем берегах разреза 丫3 и выражая результат через функции, вычисляемые на верхнем берегу разреза, ползучим искомое условие непрерывности Ар

G4 =修也21 + С4^24 + Q笈23)卜=Р4 = 0,

冗6「/ I ~(З.2.8)

04 =三 1 + / 1 +京8一£①及)

для всех к больше значения, при котором Re р4》s. Из теюрии гцдр один амической устойчивости известно, что функция Ei3 в верхней полуплоскости, а функция Е2з в нижней имеют дискретный набор нулей р”，соответствующий волнам дискретного спектра.

При выполнении обратного нреобраз.ования Лапласа, выбирая коптур интегрирования в ввде ирямои Г и дуги окружности Сг с обходом до точки А вдоль 丫1, до точки С вдоль 丫2 风 с обходом разреза на 丫3 от точки 5 до D, получим в пределе г + g решение As(x, у) в виде суммы вьгчетов ио дисиретпому набору полюсов pv и шиег-

ралпв по двум сторонам разрезов 沁诲 и % (от точки В до D) (см. рис. 3.2).

Запишем окончательный результат в виде

4

А。(瑞 у) = £ Res (ApeQ + 2 I；;

Руj=l

Ij = -f%3) Fj(A 汾 ^dk, 0

F］ (k, У)=~ (%3%1 + £工必3 + Ез1%4)0=Р］；

Gi -修2e12 +%发 13)『)=吗；必 = 2Я?(3.2.9)

p1 =含卜一］/ 1 +鳥(*一?叫)；F3(及汾二FJ一吼y);

%П圭；网⑺用Р3 (/) = 7e； 03 = %；偌=爲亲；

F4(/, У)= ~『(z2%3 + %3e24 + %方32)片

Ф^^нкции F2, G2, G&, “ (友丿 определены в (3.2.7), (3.2.8).

Как и в § 3.1, построенное решение является разложением по модам, соответствующим диюкретному и непрерывному спектрам. Однако в отличие от результатов § 3.1 появляются два условия: С2 ^ 0, Re Pi ^ s; G4 = 0, Re р4 ^ s; которым должна удовлетворять начальная вектор-функция А。(у). Выполнение этих условий обеспечивает >^словно-кор,ректпый характер решения и, как будет видно из дальнейшего, означает .отсутствие таких начальных данных, которые приводят к появлению достаточно быстро растущих по х мод непрерывного спектра.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЯФИКСИРОВАННОЙ ЧАСТОТЫ

В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ГАЗА

В этом параграфе решение задачи распространения возмущений, рассмотренной в § 3.2, будет обобщено на случай сжимаемо!! среды. Предположим, что при 化=0 задано возмущение, для которого фурье-гармонику, соответствующую частоте ① по времени, можно представить в виде вектор-фупкции Ао (у), состоящей из девяти компонент: Ai — возмущение ^-компоненты скорости; Л2 = =dAJdy\ /3 ——возмущение //-компоненты скорости; Л；——возмущение давления; Л 5 — возмущение температуры; Л 6 дАь/ду\ Л7 = = @//@算；Л8 — dAJdx\ Л9 =^ dAJdx. Выбор масштабов, по которым выполнено обезразмеривание линеаризированных уравнений На-

вье ——Стокса, такой же, как и в § 3.2, с добавлением в качестве масштабов температуры и вязкости их значений на внешней границе пограничного слоя; коэффициент вязкости является функцией температуры 卩=n(7).

Линеаризированные уравнения Навье ——Стокса пссле преобразования Фурье по времени запишутся в виде

爲+ 倉2^'(3.3.1)

где Zo, £], 方i, 7/2 — матрицы размерностью 9X9; их ненулевые элементы выштсаны в цриложении 4. ''равнения (3.3.1) будем исследовать при условиях

у = 0：人1 =儿3= О,

У f 8： |/з/ < оо(/ = 1,…,9),(…)

化 н 0: Aw = Ао (у).

Граничное условие для возмущения температуры при у = 0 в (3.3.2) иредполагает, что обтекаемая поверхность выполнена из высокотеплопроводпого материала. Как будет видно пз дальнейшего, начальные данные А。(у) должны удовлетворять трем скалярным интегральным соотношениям, чтобы решение линеаризированных уравнепий Навье ——Стокса имело конечный показатель роста вниз по потоку.

Переходя с помощью преобразования Лапласа к образу Ар (у), на основании (3.3.1) получим систему уравнений

(工。-^) + Z1 旨=%А/, + рЯ2Ар + F, (3.3.3) г 一瓦A。.。

Решение системы (3.3.3) ищем методом вариации постоянной точно так же, как в § 3.2. В одно!родной системе (3.3.3) уравнения для первых шести компонент отщепляются и приводятся к хорошо известной 1системе Лиза —— Линя для вектора z, построенного п>о первым шести компонентам вектора А「：

=方。Z,(3.3.4)

где 〃о имеет матрицу размерностью 6X6 (см. приложение 2). При этом компоненты Apj (j = 7, 8, 9) однозначно определяются по первым шести компонентам. Система (3.3.4) допускает шесть линейно независимых решений, которые при у f 8 имеют асимптотические зависимости от у: Zj~exp (九)у) (j = 1, ..., 6). Постоянные 九j ош1СЫ1?1аются соотношениями (2.2.4).

Зафиксируем ветви?: Re Xj < 0 (/ = 1, 3, 5) ； для noiCTpo-einiH однозначного решения проведем в комплексной плоскости переменной р разрезы, олределяемые уравнениями 入^ =——^2 (/ = 1, 3, 5; А; > 0). Для каждо.го липейпо независимого решения системы (3.3.4) построим липешю независимое решение g (7 = 1, . . ., 6) однородной

системы (3.3.3), имеющее девять компонент?. Решение йеодаород- ной системы (3.3.3) ищем в виде

Ар=е(у)+г

У\ = 0 (Z = 1, ..., 6),(3.3.5)

Yi = — Fi (Z = 7, 8, 9),

где С = li^i,...,三6” ——матрица фзпхдаментальных решений размерностью 9Х 6; Q—неизвестная вектор-функция, имеющая шесть компонент. Для величины Q имеем следующее уравнение:

〃。明匆十生3尸十勾G勿十LК% 1'

dF(З.З.Ь)

/i =尸1 = e；力=為一 pH^F7 + Z:8 号；

/3 =方3；/4 = % ■p//；8方8；』5 = *5；

fQ = FQ-pHfF^ 力=0 (/ = 7,8, 9)・

Система (3.3.6) содержит шесть уравнений для определения шести компонент вектора Q. После несложных преобразований приводам (3.3.6) к виду

dQ

2 — = ф, dy

(3.3.7)(3.3.7)中丄Н。，①2 =/一pHf F^定8竣一金:汕3卩, 屮3 ~ %, Фо = 0, фб~ 歹6—pH^L 9,

(3.3.7)

(3.3.7)

①4 =①4 =一 L^HfF3 + Fi-pH^F,- (£"з) (1 + СО"1,一 L^HfF3 + Fi-pH^F,- (£"з) (1 + СО"1,dydy

①4 =

①4 =

一 L^HfF3 + Fi-pH^F,- (£"з) (1 + СО"1,

一 L^HfF3 + Fi-pH^F,- (£"з) (1 + СО"1,

dy

dy

где z к 口％1, . .%6口 — матрица фундаментальных решений системы

(3.3.4). Решая (3.3.7), получим окончательно

(3.3.8;(3.3.8;Ар = 2 卜j + ! jJ 十 丫,

(3.3.8;

(3.3.8;

W = detz, Dj/W = dQj/dy^

где константы。厶 у『должны выбираться из граничных условий при у = 0 и у f 8. Отличная от нуля функция W(у) находится с помощью а симптотичес,кого представления 方 ири у — 8 и известного тождества Якоби [58]:

W (у) = W (оо) ехрW (у) = W (оо) ехрj Sp (讶°) dyj Sp (讶°) dy

W (у) = W (оо) ехр

W (у) = W (оо) ехр

j Sp (讶°) dy

j Sp (讶°) dy

Введение последних трех компонент в выражение для вектора Ар (3.3.8) необходимо, так как их значение при 芯=0 припципиаль-

по для построенного решения. В дальнейшем внимание будет сосредоточено на первых шести компонентах вектора Ар, так как оставшиеся компоненты будут однозначно очтределяться через них. Поэтому вектор Y будет опущен, а линейно независимые решения Nj будут заменены на %「 В соответствии с выбором ветвей 九)па основании граничных условий при у = 0 н у f 8 вектор Ар представим в виде

^\w次以2 +^\w次以2 +。3 +。3 +Z3 +Z3 +

^\w次以2 +

^\w次以2 +

。3 +

。3 +

Z3 +

Z3 +

+ j 才"""4 + (。5+j存也/卜5 + j請 dy%6，339)

ОО\0/oo

。1 = (&£235 + 备总435 +С6 项 35)/团 35, 。3 = (0耳125 + С4耳145 + е6е]63)/笈135, а5 = (喝£132 + ^4-^134 + e6耳433 /月135,。1 = (&£235 + 备总435 +С6 项 35)/团 35, 。3 = (0耳125 + С4耳145 + е6е]63)/笈135, а5 = (喝£132 + ^4-^134 + e6耳433 /月135,^1J 方在73方23長，Zbj ^5Й I у—о^1J 方在73方23長，Zbj ^5Й I у—о

。1 = (&£235 + 备总435 +С6 项 35)/团 35, 。3 = (0耳125 + С4耳145 + е6е]63)/笈135, а5 = (喝£132 + ^4-^134 + e6耳433 /月135,

。1 = (&£235 + 备总435 +С6 项 35)/团 35, 。3 = (0耳125 + С4耳145 + е6е]63)/笈135, а5 = (喝£132 + ^4-^134 + e6耳433 /月135,

^1J 方在

73方23長，

Zbj ^5Й I у—о

^1J 方在

73方23長，

Zbj ^5Й I у—о

Обратное преобразовапие Лапласа от (3.3.9) будет определяться наличием точек ветвления и полюсов функции А「. Полюсы в (3.3.9) соответствуют нулям функции 月⑶仇)，совпадающим с ре

шением дисперсиошюго соотношения для волн дискретного спектра. Структура семи разрезов 7； (/ = 1, ..., 7) в плоскости комплексного переменного р, определяемых уравнением笈?ч =——友？(力=1, 3, 5; А: > 0), была рассмотрена в гл. 2 (см. рис. 2.5, 2.6). Было выяснено, что три разреза находятся в полуплоскости Re р > 0 и уходят на

бесконечность Ro 卩-> °°. Их существование отражает факт некорректности задачи. Однако, если мы потребуем от начальных данных Ао, чтобы решение (3.3.9) было непрерывно при переходе через разрезы при всех р, удовлетворяющих неравенству Re р > s ^ So, задача будет регуляризована. При зтом появляются три условия, которым должна удовлетворять начальная функция А。(у).

Рис. 3.3. Контур интсгрировапия в комплексной илоскости р в случае развития возмущения вниз по потоку (М > 1).

Замыкая путь интегрирования Г дугой окружности Сг с обходом всех тоиек ветвления, как показано на рис. 3.3, получим при гоо решение А(/, у), состоящее из суммы вычетов по дискретному набору полюсов 网 и интегралов по двум сторонам всех имеющихся разрезов.

Вычислим, папример, вклад в обратное пре обр а.з об апие Лапласа от интегралов по двум сторонам разреза 丫「On будет равен

(3.3.10)(3.3.10)

(3.3.10)

(3.3.10)

где р (友) определяется уравнением 入;r——к2. На верхнем берегу разреза %i f —ife на нижнем 入i +方友.Выразим интеграл через значения функций на верхнем берегу разреза:

"+, D7 = 一^, /^ = — Dt。7 = 一。^ (/ = 3,…，6),

(3.3.11) 笈135 = E爲5,后235 П笈*5,总力工=e嬴(/,友，2).

Используя (3.3.11), получим

Lb 2S 'e"'盍 g'["235%1 一 ^135Z1 十笈 125"3 + %32%5]1%""

0・

(3.3.121

G] —〔С丄笈135 + & 笈 233 + % 笈 435 + ‘6 石 633〕/Е13з£235 1%・

Вклад от интегралов по берегам разреза у{ будет равен пулю, если Ар = Ар. Это будет выполнено при условии Gi = 0. На разрезе 丫片 определяемом также уравнением 九；工一fc2, разность Aj ——А~ будет пропорциональна G?. Функция G? совпадает с G、из (3.3.12) при замене уравнения разреза 丫1 уравнением разреза у2. Одним из условий регуляризации задачи будет: G2 = 0 при Rep > s. Аналогичные два условия регуляризации получаются при рассмотрении интегралов но разрезам 厶,у6. Окончательный результат можно записать в виде

А (侣 у) = £ Res (人0央笈)+ £ % (3.3.13)

Pv

где L соответствует вкладам от интегралов по берегам семи разрезов ,j； 2 в (3.3.13) означает 'Суммирование по дискретному набору ПОЛЮСОВ.

Таким образом, решение поставленной: задачи также имеет впд разложения по модам, соответствующим дискретному и непрерывному спектрам.

БИОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ

ДЛЯ ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА

На основании результатов § 3.1—3.3 развитие возмущения в пограничном слое представляется в виде некоторых интегралов по параметру и сумм дискретных решений. Фактически это соответствует разложению решения линеаризированных уравнений Навье —— Стокса по системе собственных векторов.

В данном параграфе мы сформулируем системы собственных векторов в явном виде для различных случаев и приведем показа- тельства лол но ты этих систем.

В задаче о развитии во времени возмущения в плоскопараллельном пограничном слое несжимаемой жидкости следующим образом определим би^ртогональпую систему векторов {Ашсс： Вша}：

~^а — isHfAsa = Н 丄 А за + ia/f2Aoaj у = 0： 4al = 4оаз ~ °,(341)

У 00 • I /(oaj I V^ сю (/ — 1, . . ., 4) J

一等+石方:By =方；вЗа 一 24阳В皿

у = 0:风а?&ct4 = °,(3.4.2)

оо： \B^aj\C ОО (/ = 1,4).

В уравнениях (3.4.1), (3.4.2) со — комплексное число, величина a действительна, звездочка (*) обозначает соиряжеетьте матрицы, че.рта сверху ——комплексное сопряжение. Матрицы Я4, Я2, Я/ приведены в приложении 3. Система уравнений (3.4.1) сводится к решению одного дифференциального уравнения четвертого порядка для Азаз (уравнения Орра ——Зоммерфельда), система уравнений (3.4.2) ― к 1сопряж!&пному уравнению Орра——Зоммерфельда для Вма2. Задачи (3.4.1), (3.4.2) соответствуют дискретному спектру (см. гл. 2), который характеризуется тем, что решения вне пограничного слоя затухают, а собственное значение o)v =(о (а) находится из решения дисперсионного уравнения. Кроме того, имеется одна ветвь неире- рывиото спектра, которая порождала в иоследованной в § 3.1 задаче разрез в комплексной плоскости р — 一心.Можно убедиться в сцраведливости соотношений ортогональности (см. § 1.2):

[Н/Аза； Во// = lim J 也(亙方厶①仪，Bda) "у =go о

(3.4.3)(3.4.3)=lim f е~8yl2 (Hf А^)jBs’ajdy = A(o“・£-0 h j=i

(3.4.3)

(3.4.3)

Если предположить полноту биортогональной системы векторов {Аз%, Вз&}, то формальное решение задачи о развитии началь-

лого возмущепия из § 3.1 можно записать в виде

Аа =』6一恥％^ [存А； В。”。] + f [ЯгА0; В。/] A^e-^dk, wvо

(344)'

где (Оу соответствует дискретному спектру, а ①克==(о(а, к) — непрерывному.

Соотношение ортогональности (3.4.3) и формальное разложение (3.4.4) совладают с испо л ь(з о в. а вшим и с я в работе [50]. Это можно установить, если выразить все компоненты ,векторов А^а, В»” через Азаз и ^иа2 соответственно. Удобство развиваемых методов построения био|ртогональных систем векторов состоит в том, что линеаризированные уравнения Навье ——Стокса записываются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Это позволяет легко устанавливать искомые соотношения ортогональности в каяедом конкретном случае. Авторами работы [50] было проанализировано формальное разложение для решения начальной задачи и установлено совпадение его с решением, указанным в работе [56]. На этом основании делается вывод о полноте биортогональной системы векторов {Аша, Восс}. В нашем случае это означает, что решение (3.4.4) .совпадает с (3.1.13).

Рассмотрим более подробно случай пространственного развития возмущения из § 3.2, для которого доказательство полноты биор- тогональной системы векторов выиолняется аналогично приведенному в работе [50]. Определим биортотональную систему векторов {А* ВШ(Х} следующим образом:

(3.4.5)(3.4.5)(3.4.6)(3.4.6)一方广=/а(ой +加%аза +必е2 Ag у = 0： /(оа1 = /(оаз = 0,

(3.4.5)

(3.4.5)

(3.4.6)

(3.4.6)

У °° • I /(octj IV 00 (/ == 1, .. . 5 4) j 一等=文:в“а -2月;B。。一 ^Я：виа, У = 0：石(0СС2 = 2(0Ct4 ~ 3

у ОО: IВ^ I < ОО (/ = 4…，4).

В уравнениях (3.4.5), (3.4.6) (о — вещественное число, величина а комплексна. В этом случае также имеются дискретный спектр czv и четыре ветви непрерывного спектра с «1,2 ™ ±2归 и а314 = = -0,5R6| l +/1 + 4 (^ - i(oR6)/R§] (см. гл. 2). Соотношение ортогональности для {Айа, Bwa} принимает вид

[亙2Aза； B(ow] = Асса，[亙2Aза； B(ow] = Асса，(3.4.7)(3.4.7)

[亙2Aза； B(ow] = Асса，

[亙2Aза； B(ow] = Асса，

(3.4.7)

(3.4.7)

6565

65

65

5 В. Н. Жигулев, А. М. Тумин

Формальное решение задачи из § 3.2 можно записать так:.

А(о (爲 У)= / 产"厶①外[я2А0; Awav] +

4 再.

十 2 j Aso^e* 色[н2A°; B(oaj dk%(3.4.8)

где av соответствует дискретному спектру, aA==a((D, к) — одному из четырех типов непрерывного спектра задач (3.4.5), (3.4.6). Решение (3.4.8) имеет смысл, если начальные данные Ао обеспечивают конечный показатель роста решения вниз по потоку, т. е. должны выполняться условия

[Й2A°; Вза〃 = о(3.4.9)

при всех а, имеющих мнимую часть меньше некоторого заданного числа So.

Покажем, что формальное разложение (3.4.8) совпадает с решением (3.2.9), полученным методом Лапласа. Воспользуемся тем, что четыре линейно независимых решения для системы уравнений (3.4.6) %； можно построить из комплекспо-сопряженных элементов алгебраических дополнений /-го столбца матрицы фундаментальных решений z = "%, ..., z4il для системы уравнений (3.4.5) [60]. Тогда, например, функция G2 из (3.2.7) оказывается пропорциональной [方2Aо； BfocJ, где

в(оа 色-^13Х1 + e23%2 + £43%4

является решением задачи (3.4.6), соответствующей ветви разреза 丫2 в комплексной плоскости переменной р = Ха (см. рис. 3.2). Кроме того, легко устанавливается пропорциональность вектор-функции Awaft выражению Е^ — Е2^ + Е^ из (3.2.7) на разрезе 已 и аналогично ——пропорциональность всех других выражений из (3.4.8) соответствующим слагаемым из (3.2.9). Поскольку решение (329)， полученное преобразованием Лапласа, удовлетворяет начальным данным при 芯=0 [59], то, задавая в качестве Ао один из векторов Awa из (3.4.5), приходим к выводу о том, что все коэффициенты пропорциональности между слагаемыми из (3.4.8) и (329) тождественно равны единице. Заметим, что доказательство совпадения (3.4.8) и (3.2.9) можно было бы установить и непосредственным сравнением этих выражений, если предварительно найти коэффициент перед Ааа/ в (3.4.7) при произвольной нормировке биорто- гональной системы векторов {Aoa, Воа}.

Наконец, задача о пространственном развитии возмущений в пограничном слое газа, рассмотренная в § 3.3, может быть решена

с помощью разложения по биортогональной системе йекторой {Аа)BJ:

板仅。穿+ 工塞=冗а8 +方a后2аа；

|у = О： Ла1 н 4з = 4a5 = 0;(3.4.10)

b/f 8： I I < oo (j = 0$・・・g9);

片仅需)一金:需=方:b—粉妳；

У = o： 反2 =儿4 =/6 =0；(3411)

[уoo: [ Bjj ^<C 8 (j 1 j .. ., 9).

Соотношение ортогональности таково:

[jysAa; Ва/ ] = Да(х/.(3.4.12)

В этом случае имеются дискретный спектр av = а(со) и семь ветвей непрерывного спектра а在= а(со, к) (см. гл. 2). Формальное решение задачи (3.3.1), (3.3.2) можпо записать как

А(2, S = W 产*A«v [瓦Ao； BaJ +

+ 2 J [я2А0; ^hX^hdk.(3.4.13>

片工о

В случае газа несколько сложнее выполнить этап доказательства пропорциональности подынтегральных выражений в (3.4.13) и (3.3.13). Рассмотрим, например, из (3.3.13) интеграл вдоль разреза %. Нетрудно установить, что функции Dj/W из (3.3.9) удовлетворяют соотношению

W = @ 左)，(3414)

где 屮 определена в (3.3.7), х； линейно независимее решение сопряженной системы Лиза ——Липя:

_强=力/.(3.4.15)

Можно проверить, что вектор-функция х = ^issXi + Д35Х2 ~ ^345X4 ~~ —Ез65%6 удовлетворяет граничным условиям:

y = 0：左=力=%6 = 0,仆/ 伯、

Z/f8：勿|V8(/ = I, . .6).

Поэтому величина G\ из (3.3.12) пропорциональна [ф； х]* Непосредственными вычислениями можно убедиться, что имеют место

следующие соотношения:

瓦а = %i — %а£農％&〃；月《2 =心；

заз = Y3 + 丽2穿一L^Td^ -聞*；

区 GC4 =欧4； В аз = %5 +(3.4.17)

月аб = Хб；月СС9 == — Zo%；庆7 =夜方;”2；

d = k +咪制)

Используя (3.4.17), определение 屮 из (3.3,7), получим

[ф； Ха] = -[Я2А0； Ва],

где индекс «а» у вектора % означает, что берется решепие задачи (3.4.15), (3.4.16), соответствующее собственному значению а из непрерывного спектра, определяемого разрезом у「Аналогично устанавливается пропорциональность других слагаемых из (3.4.13) и (3.3.13). Затем, задавая в качестве Ао один из векторов Аа системы {А,а, Ва} (3.4.10) — (3.4.11) и рассматривая (3.3.13) при 况=0, приходим к выводу, что соответствующий коэффициент пропорциональности равен единице.

В заключение данного параграфа остановимся на формулировке биортогональной системы векторов для линеаризированных уравнений Навье ——Стокса в случае пограничного слоя в газе па стреловидном крыле бесконечного размаха [61] (рис. 3.4). Выберем следующую криволинейную систему координат:况——расстояние от передней кромки вдоль обтекаемой поверхности; у ——расстояние по нормали от нее; ось Oz направлена вдоль передней кромки крыла. Линеаризированные уравнения Навье — Стокса запишем в безразмерном виде, введя масштабы длины L и скорости U^ время измеряется в единицах 厶/Ug； давление отнесено к величине pgU^； температура, коэффициент вязкости измеряются в единицах их величин в набегающем потоке. После преобразования Фурье по времени имеем

+ (*為)+ 登1% % * + %2给 +宛з 裟，(3418)

где В。，2\，第i,制2, 5^з ■— матрицы размерностью 16 X 16. Их ненулевые элементы выписаны в приложении 4. В уравнениях (3.4.18) отброшены слагаемые, содержащие производные по координате х от функций основного течения, а также //-компоненту скорости основного течения, что соответствует локально-однородному приближению. Вектор-функция А в (3.4.18) определяется следующим образом: Л1 ——возмущение ^-компоненты скорости; Л2 = =dAJdy\ 4 — возмущение //-компоненты скорости; А^ — возмуще-

пие давления; Л5 ——возмущение температуры; Л6 = dAJdy\ /7—— возмущение 2-компонепты скорости; Л8 — дАч!ду\ Л9 = dAJdx\ Л10 = =dAjdx\ Лц = dAJdx\ Лп — dAJdx^ Л13 ~ dAJdz\ Л14 = dAJdz\ 415 = 0A』8z; Л1б = dA^/dz. Определим биортогональную систему векторов {Ат, ВаТ}：

(3.4.19)(3.4.19)^ (z()~^^) + 必1 @；?—第]Аау + Za^zAay +介％зАа， у = °： /«у]=』虞¥3 = /сц)5 — /&¥7 — О,

(3.4.19)

(3.4.19)

у т оо： I I < 00 (7=1,..., 16);

d dy -d dy -芸）一分；*=%;B。,一痘嘱Ba, - %Y篇:B^,

d dy -

d dy -

(3.4.20)(3.4.20)У = 0：月《у? = ^avi =区ауб = /%¥8 匸 °, у —> Оо: I 区虞访 I V； 8 (/ ~ 1 j , . ., d 6).

(3.4.20)

(3.4.20)

Индексы а и у означают принадлежность вектор-функции решению задач (3.4.19), (3.4.20) при заданных параметрах any. Считаем, что 丫 ——вещественный параметр, соответствующий рассматриваемой фурье-компопенте, a a ——комиле1；сное число. Уравнения для первых восьми компонент в (3.4.19), (3.4.20) отщепляются, а остальные определяются по ним однозначно. Задачи (3.4.19), (3.4.20) при заданном значении частоты ① и параметра у имеют дискретный и непрерывный спектры значений волнового числа а; соотношение ортогональности имеет вид -7

[场2&V； В。,/ = Aaa，・ (3.4.24)

Анализ элементарных возмущений в рассматриваемом случае аналогичен анализу двумерных возмущений в двумерных пограничных слоях (см. гл. 2). При этом в непрерывном спектре принципиально новые решения не появляются, а лишь добавляется параметрическая зависимость от у. Единственное смысловое отличие от плоских задач наблюдается при рассмотрении волны завихренности (см. последующий анализ).

Обозначим через z(y) вектор, состоящий из первых восьми компонент вектора Аат. Задача (3.4.19) может быть сведена к хорошо известной системе Лиза —— Линя для трехмерных возмущений

в трехмерном пограничном слое газа [62]:

登=箔 о%,(3.4.22)

у = 0: Z] = ?з = z§ = z? = 0；

歹 f 8： MJ VOO (J』],…，8),

где； J^o — матрица размерностью 8X8, отлйчже от нуля ее элементы вы-

Рис. 3.4. Система координат при рассмотрении обтекания стреловидного крыла.

штсаны в приложении 4. Система уравнений (3.4,22) имеет восемь линейно независимых решений. Полагая вне пограничного слоя производные от функций основного течения по координате У равными нулю, получаем на основании (3.4,22) систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отыскивая ее решение, пропорциональное ехр (入у), получим характеристическое уравнение для 入：

(Ь“ 一 Х2)2[(包2 - 入2) (Ьзз —入2) — ЬгзЬза] = 0,(3.4.23)

lj %>2\ к *^42 ^^24 , ^^43 ^^34 . -^^46 ^^64 । ^^48 •^84

*11 =弟0 , D22 =弟0龙0十能0能0十能0禿0十龙0龙0 ,

К ^^42^^25 , ^^43 攵)35 . @?46必?65 . "^"48 攵?85

L23 ===00 十 0 ^^0 十 00 十 0 ^^ 0，

I%2-%:* Ь33 =雍*

где 彌У — элементы матрицы 箔°, вычисляемые вне пограничного слоя. Уравнение (3.4.23) в отличие от плоского случая имеет два двукратно вырожденных корня:九工=УЬ”, Х2 ^ —УЬи. Обозначим два линейно независимых вектора, соответствующих Ль через 4 и z7: Их отличные от пуля компоненты вне пограничного слоя равны:

Z37 = ~^~ е )Z77 н е ，纟87 =%еZ37 = ~^~ е )Z77 н е ，纟87 =%е

Z37 = ~^~ е )Z77 н е ，纟87 =%е

Z37 = ~^~ е )Z77 н е ，纟87 =%е

Два линейно независимых решения, соответствующих 入力 обозначим z2 и z8. Уравнение (3.4.23) имеет корпи:

%б = 土%б = 土入屏6 = 士入屏6 = 士У (瓦2 + Ь33) + М}(瓦2 — Ь33)2 十 Ь23Ь33

%б = 土

%б = 土

入屏6 = 士

入屏6 = 士

(]/* ]1/2

2"(匕22 + Ьзз) — Р % (Ь22 — Ьзз)? + Ь33Ь32.

Им будут соответствовать линейно независимые решения z3, z4, z5 и z6. Для определенности выберем ветви Re ?и < 0, Re 入3 V 0, Re 入5 V < 0. Решение (3.4.22) для дискретного спектра примет вид

z = CjZi + C3z3 + C5z5 + C7z7. (3.4.24)

Один из коэффициентов в (3.4.24) произволен в силу линейности задачи, остальные определяются из граничных условий при р = 0. При этом собственное значение а находится из дисиорсиошюго со

отношения:

Е1357 Q) н detЕ1357 Q) н det2丄上Zf3 % 217231 z33 z35 Z37z51z53z53z57Z71 Z73 Z75 Z772丄上Zf3 % 217231 z33 z35 Z37z51z53z53z57Z71 Z73 Z75 Z77=0.g=o=0.g=o(3.4.25)(3.4.25)

Е1357 Q) н det

Е1357 Q) н det

2丄上Zf3 % 217

231 z33 z35 Z37

z51z53z53z57

Z71 Z73 Z75 Z77

2丄上Zf3 % 217

231 z33 z35 Z37

z51z53z53z57

Z71 Z73 Z75 Z77

=0.

g=o

=0.

g=o

(3.4.25)

(3.4.25)

Непрерывный спектр возникает, если Re Л； = 0 (/ = 1, ..., 6). Интересная особенность появляется в случае, когда 入士 —— чисто мнимая величина. Общее решение задачи (3.4.19) содержит при этом шесть слагаемых:

z — С^{ + C2z2 + а% + C5z5 + C7z7 + C8z8. (3.4.26)

Одна из констант в (3.4.26) произвольна в силу линейности задачи, четыре другие определяются из граничных условий при у = 0. Остается произвольно法 одна константа. Смысл этого произвола заключается в следующем. Решения с 入？= 土力左 (^ > 0) описывают волны завихренности,, и, поскольку завихренность является векторной величиной, необходимо указать ее ориентацию вне пограничного слоя, чтобы полностью определить задачу.

В заключение данного параграфа отметим, что решающий вклад в общую спектральную теорию несамосопряженных операторов был сделан советскими математиками М. В. Келдыпюм, В. Б. Лидским [289—291] и др. (см. [27]).

ПРОБЛЕМА РЕГУЛЯРИЗАЦИИНЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

В § 3.2, 3.3 были рассмотрены задачи о пространственном развитии возмущений в двумерных пограничных слоях. В некотором начальном сечении задавалось исходное возмущение фиксированной частоты. Сформулированные задачи являлись в общем случае некорректными, так как существовали решения, сколь угодно быстро растущие вниз по потоку. Так, в случае пограничного слоя (см. § 3.2) имеются решения, которые могут расти вниз по потоку как ехр(к出),где к ——произвольное положительное число. Рассматривая последовательность решений вида ехр(—VA: + кх), сходящуюся при 优=0 к нулю при к f д и стремящуюся к 8 при любом 优 > 0, убеждаемся в том, что отсутствует норма, в которой решение непрерывно зависит от начальных данных. Это является признаком некорректности поставленной задачи по Адамару [59]. Как указано в § 3.2, 3.3, задачу можно регуляризовать, если наложить определенные ограничения па начальные данные. Однако подобная регуляризация указывает па возможность построения формально корректного решения, по не определяет, какие огратгичепия и при каких условиях имеют физический смысл. В работе [50] в связи с этим было предположено, что начальные данные должны исключать все решения из непрерывного спектра, растущие вниз по потоку. В настоящем параграфе мы проиллюстрируем на модельном примере, как в конкретной ситуации может быть использовано разложение решений линеаризированных уравпений Навье ——Стокса по биортогональной системе векторов и каким образом решение краевой задачи в полосе (см. рис. 1.3) приближенно сводится в некоторых случаях к решению эволюционной задачи для уравнений (1222).

Рис. 35. Качественная схема обла-стей влияния левых и правых гра-личных условий.Рис. 35. Качественная схема обла-стей влияния левых и правых гра-личных условий.Изучим следующее течение несжимаемой жидкости. Пусть имеется однородный поток со скоростью 17то, на который наложено возмущение с заданныИзучим следующее течение несжимаемой жидкости. Пусть имеется однородный поток со скоростью 17то, на который наложено возмущение с заданными граничными условиями па левой (х = 0) и правой (优=L) границах (рис. 3.5). Линеаризированные уравнения Навье — Стокса в безразмерной форме после преобразования ①урье по времени будутми граничными условиями па левой (х = 0) и правой (优=L) границах (рис. 3.5). Линеаризированные уравнения Навье — Стокса в безразмерной форме после преобразования ①урье по времени будут•. ди—г (ou + — дх•. ди—г (ou + — дх-沁U +-沁U +ди дхди дх(3.5.1)(3.5.1)ди . ди с右+而=6ди . ди с右+而=6Гранитные условия для системы (3.5.1) сформулируем в видеГранитные условия для системы (3.5.1) сформулируем в виде况=0:几= 〃](у)? u = s(y);优=1:几=%(y), и =么®);X = const, у f ±8： W, U f 0.况=0:几= 〃](у)? u = s(y);优=1:几=%(y), и =么®);X = const, у f ±8： W, U f 0.(352)(352)+ oo+ 8+ oo+ 8—ОО—ОО—ОО—ОО

Рис. 35. Качественная схема обла-стей влияния левых и правых гра-личных условий.

Рис. 35. Качественная схема обла-стей влияния левых и правых гра-личных условий.

Изучим следующее течение несжимаемой жидкости. Пусть имеется однородный поток со скоростью 17то, на который наложено возмущение с заданны

Изучим следующее течение несжимаемой жидкости. Пусть имеется однородный поток со скоростью 17то, на который наложено возмущение с заданны

ми граничными условиями па левой (х = 0) и правой (优=L) границах (рис. 3.5). Линеаризированные уравнения Навье — Стокса в безразмерной форме после преобразования ①урье по времени будут

ми граничными условиями па левой (х = 0) и правой (优=L) границах (рис. 3.5). Линеаризированные уравнения Навье — Стокса в безразмерной форме после преобразования ①урье по времени будут

•. ди

—г (ou + — дх

•. ди

—г (ou + — дх

-沁U +

-沁U +

ди дх

ди дх

(3.5.1)

(3.5.1)

ди . ди с

右+而=6

ди . ди с

右+而=6

Гранитные условия для системы (3.5.1) сформулируем в виде

Гранитные условия для системы (3.5.1) сформулируем в виде

况=0:几= 〃](у)? u = s(y);

优=1:几=%(y), и =么®);

X = const, у f ±8： W, U f 0.

况=0:几= 〃](у)? u = s(y);

优=1:几=%(y), и =么®);

X = const, у f ±8： W, U f 0.

(352)

(352)

+ oo+ 8

+ oo+ 8

—ОО—ОО

—ОО—ОО

Можно решить сформулированную задачу, переходя к фурье- представлению по у. Однако с целью уяснения физического смысла введенных в § 2.1 классов элементарных возбуждений представим искомое решение в виде суперпозиции волн завихренности и давления. В отличие от § 2.1 в рассматриваемой задаче возможна дополнительная классификация элементарных возмущений, основанная на свойствах симметрии относительно у = 0・

Собственные векторы Айа находятся из решения системы уравнений из (3.4.5) с граничными условиями: \А^\ < <^ при у f ±8 (7=1, ..., 4). Так как система уравнений из (3.4.5) имеет два линейно независимых решения, ограниченных при у f ±°°, то Awa можно представить в виде

7? + a2 + i R （a — co） /О1X （店 + 口2）a7? + a2 + i R （a — co） /О1X （店 + 口2）a

7? + a2 + i R （a — co） /О

1

X （店 + 口2）

a

7? + a2 + i R （a — co） /О

1

X （店 + 口2）

a

Симметричные по продольной скорости решения бунут соответствовать знаку «минус» в （3.5.3）, антисимметричные ——знаку «плюс». Введем обозначения：

A（s,i）— симметричная»»A（a,2）— антисимметричнаявтораяволнаА（з,2）— симметричная»»А（а,з）— антисимметричнаяперваяволнаA（s,3）— симметричная»»A（a,&）— антисимметричнаявтораяволнаA（s,4） — симметричная»»A（s,i）— симметричная»»A（a,2）— антисимметричнаявтораяволнаА（з,2）— симметричная»»А（а,з）— антисимметричнаяперваяволнаA（s,3）— симметричная»»A（a,&）— антисимметричнаявтораяволнаA（s,4） — симметричная»»Представим решение задачи （3.5.1）, （3.5.2）Представим решение задачи （3.5.1）, （3.5.2）завихренности］»（завихренности］»завихренности］»（завихренности］»A（a,i）— антисимметричная первая волна давленияA（a,i）— антисимметричная первая волна давлениядав订сн^я）дав订сн^я）каккакa — a、a — a、a ^= a2a ^= a2aaaa&;&;a4.a4.

A（s,i）— симметричная

»

»

A（a,2）— антисимметричная

вторая

волна

А（з,2）— симметричная

»

»

А（а,з）— антисимметричная

первая

волна

A（s,3）— симметричная

»

»

A（a,&）— антисимметричная

вторая

волна

A（s,4） — симметричная

»

»

A（s,i）— симметричная

»

»

A（a,2）— антисимметричная

вторая

волна

А（з,2）— симметричная

»

»

А（а,з）— антисимметричная

первая

волна

A（s,3）— симметричная

»

»

A（a,&）— антисимметричная

вторая

волна

A（s,4） — симметричная

»

»

Представим решение задачи （3.5.1）, （3.5.2）

Представим решение задачи （3.5.1）, （3.5.2）

завихренности］

»（

завихренности］

»

завихренности］

»（

завихренности］

»

A（a,i）— антисимметричная первая волна давления

A（a,i）— антисимметричная первая волна давления

дав订сн^я）

дав订сн^я）

как

как

a — a、

a — a、

a ^= a2

a ^= a2

a

a

a

a

&;

&;

a4.

a4.

2）e+2）e+А（伤 у）= j ［以iA（aj）e + aiA（s,i）e 十以2A（a.2）eH-CS2A（,

2）e+

2）e+

о

叔3kА込3%ia,x 1

十0аза（а,з）е+。53A（5,3）e+0公小（仇4）e十厶54Ae尸及j dk.

（3.5.4）

Используя граничные условия при 优=0,况=1, приходим к двум системам алгебраических уравнений

&1 + &2 + Da3 + Oa4 =。,5 ［% （"）+（一 7^）］,

Ca2 + 鼻 Da3 +（&）— 〃】（一厶儿

（：5 5.5）

Сие 1 + Ca2e 2 + Duse 3 + Daie 4 = 0,5 ［y2 （k） + 办（〃）］,

+ ^DaJaS + ^几0,5 從（к） - £（一〃）］；

Gi + U: + Os3 + D$—-0,5［内（〃）一力（一及）］,

%a2%40门e + Cs^e I + D^e + а世%a2%40门e + Cs^e I + D^e + а世0,5 ［"］（厶）十〃1 （- 〃）］,宀 宀（356）0,5 ［u2 佐）-"2 （一奄）］，0,5 ［"］（厶）十〃1 （- 〃）］,宀 宀（356）0,5 ［u2 佐）-"2 （一奄）］，

%a2%4

0门e + Cs^e I + D^e + а世

%a2%4

0门e + Cs^e I + D^e + а世

0,5 ［"］（厶）十〃1 （- 〃）］,

宀 宀（356）

0,5 ［u2 佐）-"2 （一奄）］，

0,5 ［"］（厶）十〃1 （- 〃）］,

宀 宀（356）

0,5 ［u2 佐）-"2 （一奄）］，

^ Gi6 1 +^e$2)3 + ^"。53;3 +卷少54/% = - 0,5 M (a)十"к—k)], где через 也…，％2 обозначены фурье-комнопенты функций аь 2(у),

Рассмотрим общий характер решений систем (3.5.5), (3.5.6) при R > 1. В этом случае 力§對 Da^ 〜exp(—R), а остальные искомые коэффициенты зависят в главном порядке лишь от величин и】,аь а?. Величины Ds4 Dai определяются из третьих уравнений систем (3.5.5), (3.5.6). В окрестности сечения 优=1 располагается пограничный слой толщиной порядка R-1 (зона D на рис. 3.5) и ио выходе из него, т. е. почти всюду в промежутке 0W况 Ml, «забывается» информация о величине вертикальной скорости на границе 7 = 1. Это обстоятельство ——прямое следствие быстрого затухания волн завихренности типа IV.

Таким образом, исследуемое решение всюду, за исключением тонкого слоя около правой границы полосы, зависит только от величин ZZ],讶2, S и представляет собой суперпозицию воли давления I, II и волн завихренности III, распространяющуюся вниз тю потоку.

Предположим теперь, что величины 也匕 辽？,少㈠ v2 отличны от нуля лишь в области к kQ = VR (В > 1), т. е. исходные данные на границах полосы являются быстро осциллирующими по у функциями (в масштабе £). В этом случае полоса 0W；rWl разбивается на четыре зоны (см. рис. 3.5). В пограничном слое Л шириной порядка А*；' решение есть суперпозиция волн давления тина I и волн завихренности тина III, амплитуды которых зависят в главном порядке только от данных па левой границе полосы. В зоне N, занимающей почти всю полосу, имеем лишь суперпозицию волн завихренности III, распространяющихся вниз по потоку с амплитудами, зависящими только от данных па левой границе полосы.

В пограничном слое С шириной порядка 力丁' решение представляется суперпозицией волн давления типа II и волн завихренности тина III, как и в рассмотренном случае R > 1 и kQ ^ 1. Амплитуды этих волн зависят главным образом от величин и【,〃㈠ и2. Наконец, в пограничном слое D шириной порядка R-1 присутствуют все типы гюлтт, за исключением в(“ты I.

Итак, в этом случае данные па правой границе в областях Л и 5 полностью «забываются» и исследуемая задача по развитию возмущении приобретает гиперболический характер.

Рассмотренный пример, как нам кажется, достаточно наглядно поясняет смысл эволюционных уравнений, приведенных в § 1.2, и иллюстрирует физический смысл постулата из работы [50] о необходимости использовать разложение решения линеаризированных уравнений Навье — Стокса по собственным векторам, не содержащих воптт типа П, IV.

Укажем конструктивный метод построения решения ио собственным векторам, когда известно, что правая граница находится

достаточно далеко вниз по потоку, и заданы только значения 江i(y), fi(у) па левой границе. Задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты разложений при векторах А« 口, А(Я11)5 А〔§, з), А口 3).

Сопряженные векторы В^^ будут определяться решением системы уравнений из (3.4.6) с грашгшыми условиями \В^\ V в при у f ±8 (j = 1, ..., 4). Построим сопряженные векторы

B(s,D =B(s,D =(3.5.7)(3.5.7)

B(s,D =

B(s,D =

(3.5.7)

(3.5.7)

Используя определение Я2 (см. § 3.1), соотношение (3.5.3), (3.5.7), получим условие ортогональности:

KAsj) (у, к); B(s,D ®, *)] = 8就侬-к')生戸丄

旧2&力)(у, 7г); B(""仇 g] = - 8Л6 他一ё"Р尸,

(3.5.8)

庐2f（7广十片）+婚 寸L庐2f（7广十片）+婚 寸L包A(.,3)(% 硕 В(,.з)(У，"')]= 4r5 (I) 1 +今-当j3

庐2f（7广十片）

+婚 寸L

庐2f（7广十片）

+婚 寸L

[a2A(a,3)仅，A)； B(a,3)(y, /i*')] = 一 4лб 侬一*) 1

Дальнейшая нроцед^фа построения решения заключается в том, чтобы найти неизвестный вектор А0(у) при 优=0, который Дает решение в виде разложения по векторам (3.5.3), соответствующим волнам I, III. Для этого представим неизвестный вектор как

ту 〃/ u.ту 〃/ u.(3.5.9)(3.5.9)p (» = J [csl ^^ (产"+ ef + &1(e 询_ e一询)卜瓦0p (» = J [csl ^^ (产"+ ef + &1(e 询_ e一询)卜瓦0

ту 〃/ u.

ту 〃/ u.

(3.5.9)

(3.5.9)

p (» = J [csl ^^ (产"+ ef + &1(e 询_ e一询)卜瓦

0

p (» = J [csl ^^ (产"+ ef + &1(e 询_ e一询)卜瓦

0

где。也,。&1, Os3,少аз пока не определены. С другой стороны, вектор Ао(у) раскладывается по системе (3.5.3) согласно сделантому предположению только по волнам' типа I, 1П:

Ао (у) — J [GlA(sj)+ &]А(а,1) + _О$зА(зЗ) + 几3&%3)1 &瓦(3.5.10) о

Приравнивая (3.5.9) и (3.5.10) и используя соотношения ортогональности (3.5.8), можно определить величины Cs^。^, Ds3^ Da3 как функции iii(у) и Ui(y). При этом получается, что (3.5.10) совпадает с (3.5.4) ири удалении правой границы на бесконечность (£ f 8).

Таким образом, на модельном примере мы показали, что предложенный в [50] постулат относительно разложения решения по системе собственных векторов имеет вполне определенный физический смысл: при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности, когда масштаб возмущений по вертикали фиксирован, а правая граница удаляется на большое расстояние вниз по потоку, исходная эллиптическая задача в главном приближении сводится к задаче с начальными данными на левой границе расчетной области.

Можно надеяться па то, что полученные качественные представления отпосительпо роли регулярных и нерегулярных решений из непрерывного спектра будут справедливы и в случае течения в пограничном слое.

§ 36 ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫСОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ

В ТРЕХМЕРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ГАЗА

С развитием вычислительной техники появилась возможность точного рептепия уравнений гидродинамической устойчивости. Под- робпый анализ возникающих при этом проблем можно найти в [3, 10, 11, 52, 63, 64]. Работа Г. И. Петрова [65] была одной из первых, посвященных методам численного решения задач гидродинамической устойчивости. Различные методы численяого решенлн уравнения Орра — Зоммерфельда развивались Н. А. Желтухиным, В. М. Лутовиновым, В. А. Сапожниковым, В. II. Штерном и др. (см. [64]). Первые исследования по численному интегрированию уравнений гидродинамической устойчивости в газе были выполнены В. Б. Брауном ]66, 67]. Большой вклад в решение этих вопросов внес Л. М, Мэк [30, 31, 51, 68—70]. В Советском Союзе аналогичные работы были начаты в 70-х годах и выполнялись главным образом С. А. Гапоновым и А. А. Масловым (см. [71 — 78]).

Как было показано в предыдущих параграфах настоящей главы, задачи о развитии возмупдеиип в пограничном слое сводятся к построению биортогоиалыюй системы собственных векторов. При этом основные уравнения для двумерных задач есть уравнения типа (3.3.4) f а для трехмерных ——(3.4.22). Основная, трудность, воз- пикающая при их численном решении, заключается в том, что они являются сингулярно возмущенными. Кроме того, часть граничных условий для задачи на собственные векторы формулируется в пределе при 4 f 8. При численном рестгепии тем или иным способом граничные условия при 4 f 8 сводят к граничным условиям при конечной координате 仇 находящейся вне пограничного слоя.

Чтобы решать задачи устойчивости в трехмерных пограничных слоях газа, тгримепяются методы, основанные на разложении решения по полиномам Чебытева [79, 80], а также разностные методы аппроксимации дифференциальных уравнений [81]. Наиболее широко используются методы решения, базирующиеся на идеях С. К. Годунова об ортогонализации системы линейно независимых решений [82].

Как показал опыт решения задач устойчивости трехмерных пограничных слоев, процедура ортогонализации линейно независимых решений может быть эффективно использована на ЭВМ типа БЭСМ-6. Практически все расчеты, представленные в настоящей монографии, были выполнены именно с помощью процедуры ортогонализации. Опишем подробнее схему численного решения в этом случае.

Прежде всего находим систему линейно независимых рептенип данной задачи. Для этого предполагаем, что вне пограничного слоя на некотором расстоянии у0 система линейно независимых векторов 马1, z2, z3, ... дается соответствующими асимптотическими выражениями при у — 8. Затем с помощью какого-либо пошагового метода выполним их численный расчет в интервале от 丸 до обтекаемой

поверхности. Обычно используется метод Рунге ——Кутта четвертого порядка точности. При этом, как показывает опыт расчетов, можно ограничиться интегрированием с постоянным шагом, если на ио- граничный слой приходится порядка 70 узлов интегрирования. Если в какой-либо узловой точке одно из линейно независимых решений становится слишком большим, то выполняется ортогонализация решений, и как следствие ——переход к новым линейно независимым решениям zb z2, z3, ... по следующим формулам:

Z1 = z/lzj,

(3.6.1)(3.6.1)Z2-(Z2，Z)Z ,也一色，Z"J '

(3.6.1)

(3.6.1)

23一03，名户2一色，办Z

|Z3~(Z3-4P2-(Z3' К).」

(Izl = У (z, z)).

После того как найдены линейно независимые решения, удовлетворяем граничным условиям на обтекаемой поверхности. Это позволяет найти требуемую линейную комбинацию из построенных решений и для задач дискретного спектра установить собственное значение. Как было замечено в [3], целесообразно при поиске собственных значений определять нуль какой-либо физической величины. Для этого предварительно отыскиваются коэффициенты при линейно независимых решениях из условия прилипания на обтекаемой поверхности для заданной нормировки решения при ?/ — 0. Обычно мы полагали, что производная по у от возмущения продольной скорости при у = 0 равняется единице. Затем в процессе поиска собственного значения требовалось, чтобы возмущение температуры при у = 0 обращалось в нуль (если мы имеем дело с обтеканием поверхности из высокотеплопроводного материала). Мы ис1[ользовали условие выхода из процесса поиска собственного значения дискретного спектра, когда возмущение температуры на стенке у = 0 становилось меньше 10~5. Результаты таких расчетов для пограничных слоев в газе давали хорошее совпадение с данными расчета собственных значений для несжимаемой жидкости, если положить число Маха равным 0,02.

В процессе численного решения необходимо запоминать промежуточные значения линейно независимых решений, координаты узлов, на которых выполнялась ортогонализация, а также коэффициенты, входящие в формулы типа (3.6.1). Эта информация позво- лнет впоследствии восстановить каждое линейно независимое ре- шепие и построить собственную функцию.

Глава 4

ХАРАКТЕРНЫЕ ТИПЫ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙВ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ

СТРУКТУРА РЕШЕНИИУРАВНЕНИЯ ОРРА — ЗОММЕРФЕЛЬДА

Начиная с рабтоы [1], уравнение Орра — Зоммерфельда (1.2.17) широко исследовалось асимптотическими методами [2, 83——89j. В результате развития теории дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при старшей производной (сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения), в последнее время стал использоваться метод сращиваемых асимптотических разложений, позволяющий яаглядпо представить структуру решения уравнения Орра — Зоммерфельда (см., например, [15, 16, 42, 90—95]). Это уравнение содержит малый параметр (aR^)"1 ири старшей производной. Кроме того, в него входит еще один параметр ——волновое число а, что позволяет сравнительно просто выполнить асимптотический анализ длинноволновых возмущений (а — 0).

Обычно параметры (aR6) ^1 и а следует считать независимыми при асимптотическом анализе неустойчивости, что мы и будем полагать в дальнейшем. Однако для длинноволновых колебаний, соответствующих кривой нейтральной устойчивости, эти параметры зависимы, и можно осуществить асимптотический метод костроепи>[ решения уравнения Орра ——Зоммерфельда, основанный на одно?.1 малом параметре (см., например, [92—94]). Ясно, что на кривой нейтральной устойчивости оба метода эквивалентны, если в выражениях, полученных Первым методом, произвести переразложение по единому параметру второго метода. Но первый метод более общий, мы будем пользоваться им и при анализе задач с нелинейным критическим слоем (см. гл. 9).

Исходим из уравнения Орра ——Зоммерфельда

(U 一 с)(屮"一 сс2(р) —■ О"屮=^^— (cpIV — 2a2屮"+ a4(p).(4.1.1)

Для интересующих нас целей рассматриваем возмущения для достаточно больших R6, когда параметр сШб — болыпая величина. Поэтому ясно, что уравнением, описывающим поведение неустойчивости почти во всей области течения, является уравнение, получаемое из (4.1,1) выбрасыванием вязких членов

中"一壮屮一帚=°・(4丄2)

Уравнение (4.1.2) называется уравнением Рэлея.

Помимо невязкой зоны сущестиуют топкие слои, где уравнение Рэлея принципиально неприменимо. Действительно, оно содержит

Рис. 4.7. Структура области течения в пограничном слое при разделяющихся критическом и пристеночном слоях.

Два линейно независимых решения,五ото рые при 沙—8 имеют асимптотическую зависимость ~ехр (土ау), и для интересующих нас случаев (Re(a)kO) вслед

ствие условия ограниченности при g — °° одно из решений необходимо исключить. С помощью оставшегося одного линейно незави

симого решения, вообще говоря, нельзя удовлетворить граничным условиям при у = 0. Поэтому в окрестности у = 0 (рис. 4.2) имеется область — вязкий подслой, где вязкие члены принципиальны (подобно тому, как в аэродинамике стационарных течений при больших числах Рейнольдса в окрестности обтекаемой поверхности располагается пограничный слой Прандтля).

Произведем обычную оценку членов уравнения (4.1.1), исходя из предположения о существовании подслоя толщиной порядка 5匕 поперек которого характерным изменением для функции 屮 явля

ется величина 屮：

и главных вязких чле-и главных вязких чле-屮’ ~屮/3；屮"〜屮/5；; •…；屮1V〜中/8•

и главных вязких чле-

и главных вязких чле-

1 имеет поря-1 имеет поря-Приравнивая порядки главных инерционных

1 имеет поря-

1 имеет поря-

нов, паходим, что толщина вязкого подслоя при с ~

док 8] = (й1Дб)-"2. Введем внутреннюю переменную для подслоя W = y/6i и будем искать решение уравнения Орра — Зоммерфельда в виде разложения по степеням Si：

中⑴=需)@ + 3]*)@+

Уравнения для нахождения 屮『'，屮上)и т. д. будут

游喏l产増о__ + l__ = Os游喏l产増о__ + l__ = Os(4.1.3)(4.1.3)笛齊），22吧）笛齊），22吧）_/胪喏)一T 6 虎2*_/胪喏)一T 6 虎2*(4,1.4}(4,1.4}

游喏l产増о__ + l__ = Os

游喏l产増о__ + l__ = Os

(4.1.3)

(4.1.3)

笛齊），22吧）

笛齊），22吧）

_/胪喏)

一T 6 虎2*

_/胪喏)

一T 6 虎2*

(4,1.4}

(4,1.4}

где индекс «и?» означает, что соответствующая величина вычисляется на стенке (?/ = 0). Уравнение (4.1.3) легко интегрируется

需)=q严 + &е-К + &W + &, 9 = О — 0/ /2.(4.1.5

Так как exp(qg)、oo при выходе из подслоя (gf °°), необходим( в (4.1.5) выбрать С[ = 0. Удовлетворяя граничным условиям 口口$ 中“〉при ^ = 0, получим

晒)0 7^肃储一"+ k 一 0&丄С

В (4.1.6) выбрана такая нормировка ср^, чтобы вне вязкого подслоя решение уравнения Орра ——Зоммерфельда было порядка единицы.

Условие сращивания гласит, что предел внутреннего разложения при внутренней переменной, стремящейся к бесконечности (gf °°), должеп быть равен пределу внешнего разложения при внешней переменной, стремящейся к нулю (у = 0) [26, 96, 97]. При С f 00 находим из (4.1.6)

Фо11~ 歹上声执声 £

V 0 V 叫

или, переходя к переменной 沙,получаем граничное условие для внешнего решения при у — 0 в виде

А-ТЙГ (4」・7)

(2)I屮h/7(2)I屮h/7Мы не рассматривали следующие члены разложений в вязком подслое потому, что нас интересуют в граничном условии (4.1.7) лишь главные члены разложений по степеням 5& и у. Так, из (4.1.4) можно найти функцию ①，)(9， которая, как оказываемся, при g — оо даст вклад в слагаемое с (со Rg)^1/2 из (4.1.7) более высокого порядка малости при 4 fo. Поэтому граничными условиями для возмущения в зоне II (у 〜1) будут

(2)I

屮h/7

(2)I

屮h/7

Итак, возмущение на дне внешней зоны II таково:

Ь(ак-з£)Ь(ак-з£)£ ^i(ax—cof)£ ^i(ax—cof)(4.1.8)(4.1.8)

Ь(ак-з£)

Ь(ак-з£)

£ ^i(ax—cof)

£ ^i(ax—cof)

(4.1.8)

(4.1.8)

Интересно выяснить, какому физическому образу соответствует граничное условие (4.1.8). Рассматривая исследуемое движение в системе координат, движущейся с фазовой скоростью возмущения, имеем следующие значения компонент суммарной скорости течения:

и(в) —и(в) —g V叫g V叫

и(в) —

и(в) —

g V叫

g V叫

g = / —с方；cr == Re (с).

Уравнение для линии тока в рассматриваемой системе (мгновенная фотография течения при t const) у = “ (三)будет иметь вид

ReReи 01）一 書 一 Re 住и 01）一 書 一 Re 住11qq

Re

Re

и 01）一 書 一 Re 住

и 01）一 書 一 Re 住

1

1

q

q

81

Считая, что амплитуда возмущения мала по сравнению с dri поЖу^ чаем для 〃“/〃三 выражение

也=R J 一一 1产自应 L _

откуда находим

刀=_ Re £°xp(ia (忆一以))ас/ j/sR®

Для нейтрального возмущения, когда Im а = Im с = О, 刀=(o_3/2r『/2 exp [■^ — а (е — G).

Итак, эквивалентная обтекаемая в области II стенка является бегущей волной. Для достаточно больших амплитуд бегущая волна представляет собой колебания эластичной стенки. Действительно, если на бегущей волне выполняется со-отношепие

и78^\и\,(4.1.9)

то горизонтальные колебания точек эквивалентной стенки совершаются по закону dX/dt = и (X — горизонтальное смещение точки стенки), откуда X = —ехр [%а(力一⑺]/аз. При этом разность смещений АХ в двух сечениях (第i и х2) равна

т. е. разность АХ сама меняется но гармоническому закону. Поэтому эквивалентная стенка является эластичной.

Условие (4.1.9) требует, чтобы переменная по времени часть горизонтальных скоростей на поверхности бегущей волны была велика по сравнению с постоянной частью U'bi, происходящей от течения в пограничном слое, и может быть переписано как

乙/ МsR(5《£，

где е ——амплитуда колебания горизонтальной составляющей скорости.

В волне неустойчивости, как мы увидим, в случае ее нейтральности (Im а = 0) с ~ а, со а2, а Нб~1/6} откуда условие (4.1.9) дает

т. е. амплитуда должна быть весьма велика. При выполпении условия (4.1.9) каждая точка эластичной стенки описывает при своем движении некоторый эллипс, причем фазы движения по эллипсу меняются по /.

Анализируем далее течение в тюдслое. Выражение для напряжения Рейнольдса (в размерном виде) имеет вид

т = —р〈〃и〉，(4.1.10)

где

Т — 2л/(о.Т — 2л/(о.</> =</> =Обезразмеривая в (4.1.10) т = —〈〃и〉= 一 }Обезразмеривая в (4.1.10) т = —〈〃и〉= 一 }т — по pU%Ф；Ф (р'(рт — по pU%Ф；Ф (р'(ргагаZaZaИспользуя асимптотическоеИспользуя асимптотическое,скорости — ПО 。8, получим,скорости — ПО 。8, получимвыражениевыражениеL" (& = Tma). (4.1.11) для фоХ) при g f 8, найдемL" (& = Tma). (4.1.11) для фоХ) при g f 8, найдем—2а产—2а产2 [а|2 |/1й耳2 [а|2 |/1й耳(4.1.12)(4.1.12)Интересно, что при а「+ с^ > 0 (в частности, для нейтральных колебаний) напряжение Рейнольдса положительно.Интересно, что при а「+ с^ > 0 (в частности, для нейтральных колебаний) напряжение Рейнольдса положительно.Рассмотрим теперь пия, основываясь на СтоксаРассмотрим теперь пия, основываясь на Стоксауравнение для баланса энергии линеаризированных уравненияхуравнение для баланса энергии линеаризированных уравненияхвозмуще- Навье —возмуще- Навье —ди , ди с屛石ди , Тг ди ,丽+0存+ди , ди с屛石ди , Тг ди ,丽+0存+d。 , l dv 一；b一= dt dxd。 , l dv 一；b一= dt dxзи1 др-8而зи1 др-8而1 др .(外乂 I д2и]1 др .(外乂 I д2и](4.1.13)(4.1.13)Умножив второе уравнение вУмножив второе уравнение в+ "俗+打(4.1.13) на 史,третье уравнение ——+ "俗+打(4.1.13) на 史,третье уравнение ——

Т — 2л/(о.

Т — 2л/(о.

</> =

</> =

Обезразмеривая в (4.1.10) т = —〈〃и〉= 一 }

Обезразмеривая в (4.1.10) т = —〈〃и〉= 一 }

т — по pU%

Ф；Ф (р'(р

т — по pU%

Ф；Ф (р'(р

га

га

Za

Za

Используя асимптотическое

Используя асимптотическое

,скорости — ПО 。8, получим

,скорости — ПО 。8, получим

выражение

выражение

L" (& = Tma). (4.1.11) для фоХ) при g f 8, найдем

L" (& = Tma). (4.1.11) для фоХ) при g f 8, найдем

—2а产

—2а产

2 [а|2 |/1й耳

2 [а|2 |/1й耳

(4.1.12)

(4.1.12)

Интересно, что при а「+ с^ > 0 (в частности, для нейтральных колебаний) напряжение Рейнольдса положительно.

Интересно, что при а「+ с^ > 0 (в частности, для нейтральных колебаний) напряжение Рейнольдса положительно.

Рассмотрим теперь пия, основываясь на Стокса

Рассмотрим теперь пия, основываясь на Стокса

уравнение для баланса энергии линеаризированных уравнениях

уравнение для баланса энергии линеаризированных уравнениях

возмуще- Навье —

возмуще- Навье —

ди , ди с

屛石

ди , Тг ди ,

丽+0存+

ди , ди с

屛石

ди , Тг ди ,

丽+0存+

d。 , l dv 一；b一= dt dx

d。 , l dv 一；b一= dt dx

зи

1 др

-8而

зи

1 др

-8而

1 др .(外乂 I д2и]

1 др .(外乂 I д2и]

(4.1.13)

(4.1.13)

Умножив второе уравнение в

Умножив второе уравнение в

+ "俗+打

(4.1.13) на 史,третье уравнение ——

+ "俗+打

(4.1.13) на 史,третье уравнение ——

на V, складывая эти произведения и применяя операцию

T 儿 8

dt^ dx^ dy (Л = 2以/&),

ООО

получим после некоторых преобразований

/1丄р\7 +/1丄р\7 +dy + ^ (up} dyОdy + ^ (up} dyОо爲"/k(好+(о оо оdxdy + ^ А^(^ + оо爲"/k(好+(о оо оdxdy + ^ А^(^ + о++dy,dy,2+2+(4.1.14)(4.1.14)

/1丄

р\7 +

/1丄

р\7 +

dy + ^ (up} dyО

dy + ^ (up} dyО

о

爲"/k(好+(

о оо о

dxdy + ^ А^(^ + о

о

爲"/k(好+(

о оо о

dxdy + ^ А^(^ + о

+

+

dy,

dy,

2

+

2

+

(4.1.14)

(4.1.14)

где А尸 обозначает изменение величины F на периоде Для нейтрального возмущения выражение (4.1.14)где А尸 обозначает изменение величины F на периоде Для нейтрального возмущения выражение (4.1.14)X по х. переходит вX по х. переходит в

где А尸 обозначает изменение величины F на периоде Для нейтрального возмущения выражение (4.1.14)

где А尸 обозначает изменение величины F на периоде Для нейтрального возмущения выражение (4.1.14)

X по х. переходит в

X по х. переходит в

X 8f J xU'dydx =卩о 0X 8f J xU'dydx =卩о 0X 8X 8о оо о+噺+偿）+⑶）姒也（4//5）+噺+偿）+⑶）姒也（4//5）

X 8

f J xU'dydx =卩

о 0

X 8

f J xU'dydx =卩

о 0

X 8

X 8

о о

о о

+噺+偿）+⑶）姒也（4//5）

+噺+偿）+⑶）姒也（4//5）

Рис, 4.2. Распределение напряжения Рейнольдса потолщине пограничного слоя.

Выражение в правой части (4.1.15) описывает вязкую диссипацию возмущения в пограничном слое, которая в основном реализуется в вязком подслое, где градиенты скорости максимальны.

Как мы увидим дальше, величина т для нейтрального возмущения изменяется по у так, как указано на рис. 4.2； в невязкой зоне II она постоянна, а в зоне III — критическом слое, где U ^ с, меняется так, что в невязкой зоне IV эта величина равна нулю. Как ясно из рис. 4.2, зона II является зоной подвода энергии к возмущению за счет энергии основного потока

К 8

J J xU'dydx =入q。* 工 肌 о о

На основании условия сращивания Тп = rj^co. Для нейтрального возмущения напряжение Рейнольдса (4.1.12)

口工-=〉0.

2a /2(oR6

Положительность значения т, вырабатываемого вязким подслоем, обусловливает осуществление равенства (4.1.15) и тем самым наличие внутренних волн в пограничном слое. В этом факте проявляется двоякая роль вязкости в гидродинамике: с одной стороны,——это диссипирующее начало, имеющее локальный характер, а с другой ——начало, приводящее к генерации внутренних волн (нелокальное свойство!) и в конечном счете — к неустойчивости, ибо вязкий подслой обязан своим существованием исключительно конечной величине вязкости. Двоякая роль вязкости в гидродинамике впервые была обнаружена В. Гейзенбергом.

Итак, эффект вязкого подслоя радикально отличается от эффекта пограничного слоя Прандтля в стационарном течении. Там, как известно, пограничный слой служит лишь удовлетворению гра- нииного условия прилипания на обтекаемой поверхности, знак напряжения трения связан со знаком скорости во внешнем течении. В отличие от него вязкий подслой в нестационарных течениях вне зависимости от знака горизонтальной составляющей скорости во внешнем течении всегда для &丫 + %>0 вырабатывает только положительные значения напряжений Рейнольдса.

В то время как погранслой Прандтля выполняет лишь подчиненную роль, вязкий подслой песет определенное управляющее начало.

Вычислим теперь производную от напряжения Рейнольдса по у в рэлеевской зоне. На основании выражения (4.1.11) имеем

dx1 一2修案（p 〃屮两dx1 一2修案（p 〃屮两粤+g2券粤+g2券

dx1 一2修案（p 〃屮

两

dx1 一2修案（p 〃屮

两

粤+g2券

粤+g2券

Далее, взяв комплексно-сопряженное уравнение Рэлея и само уравнение Рэлея и комбинируя их, получим после некоторых преоб- разовапий

dx dydx dya.flU"I。一 ，『|a』a.flU"I。一 ，『|a』

dx dy

dx dy

a.flU"

I。一 ，『|a』

a.flU"

I。一 ，『|a』

Для нейтрального колебания имеем в рэлеевской зоне dx/dy = 0.

Поскольку в силу граничного условия при у -а 8 т 0, невозможно срастить одну рэлеевскую зону с зоной вязкого подслоя. Следовательно, рэлеевская зона над теодслосм должна в каком-то месте прерываться еще одной зоной, где существенны силы вязкости. Такой зоной является критический слой, в котором у ^ ус (у, соответствует тому месту в пограничном слое, где U = c). Если с находится для нейтрального возмущения вне области

OVC『V1,(4.1.16)

то такого нейтрального，возмущения не существует.

Так обстоит дело с волнами дискретного спектра (класс V по терминологии § 2.1). В случае волн сплошного спектра "工/dy 耍 0, поскольку у них Ct ¥^ 0. Например, для волн классов I и II (волны давления)

аt 済崑"dy2/саt 済崑"dy2/с|ф/ |2 + (ф|2|ф/ |2 + (ф|2UU〃 一mu2 — s2(u2+0?/店)厶UU〃 一mu2 — s2(u2+0?/店)厶

аt 済崑"

dy2/с

аt 済崑"

dy2/с

|ф/ |2 + (ф|2

|ф/ |2 + (ф|2

UU〃 一mu2 — s2

(u2+0?/店)厶

UU〃 一mu2 — s2

(u2+0?/店)厶

В случае волны завихренности III

dx dydx dy2(声 + 0>2) (б? + 庐) КГ~ 20?/ e2(声 + 0>2) (б? + 庐) КГ~ 20?/ e中'f+丨叫2中'f+丨叫2U"U . (0一分2U"U . (0一分2

dx dy

dx dy

2(声 + 0>2) (б? + 庐) КГ~ 20?/ e

2(声 + 0>2) (б? + 庐) КГ~ 20?/ e

中'f+丨叫2

中'f+丨叫2

U"U . (0一分2

U"U . (0一分2

(4.1.17)(4.1.18)(4.1.17)(4.1.18)

(4.1.17)

(4.1.18)

(4.1.17)

(4.1.18)

и в главном порядке при R6 f 8

皆=0 или т — const = т

На основании (4.1.12) для волны III получим

Выражения (4.1.17), (4.1,12) могут рассматриваться как одно из соотношений для определения констант 舊,& для волны III.

Вернемся снова к волне V. Появление здесь еще одной вязкой зоны следует также из того, что точка у = ус 一 особая для уравнения Рэлея. Для волн типа I, П? Ш, IV такая зона не может иметь место во внутренних точках пограничного слоя. Эта особая точка существует только для воли типа V, когда 0 < cr < 1.

Итак, рассмотрим область в районе уС1 так пазьтваемтяй критический слой, с точки зрения уравнения Орра ——Зоммерфельда. Можно записать

и — с = и'с (у - уе) + и” 马旷 + где индекс «с» означает, что соответствующая функция вычисляется при у = у* Уравнение Орра ——Зоммерфельда примет вид

Uc (У — Ус) -¥ Uс g~^卜• • •(屮"一仪2屮)一 [t с + . . . ] ф =

^■^""-ZdU' + aV].(4.1.19)

Оцепим различные члены уравнения (4.1.19) в предположении, что существует особый тонкий слой толщиной 3『поперек которого величина ф меняется на величину порядка Аф, т. е. там

U 〜Аф/6С; ср"〜Аф/6с； • .. ；(pIV 〜Аф/6с- . (4.1.20)

На основании (4.1.20) легко усмотреть, что главные члены в уравнении (4.1.19) 〃；(У — %)屮"，ср 1V//々1% имеют соответственно оценки ^сАф/6с, Ay/aRd般.После приравнивания порядков этих главных членов получим следующее выражение для толщины критического слоя:■

6с = (t7eaR6)~1/3.

При оценке толщины вязкого пристеночного слоя мы предполагали, что фазовая скорость с имела порядок единицы. На самом деле полученная оценка справедлива и при малых значениях с, если только вязкий пристеночный и критический слои асимптотически разделяются, т. е. между областями I и III (см. рнс. 4.1) имеет место псвязкая зона II, описываемая в главном приближении уравнением Рэлея. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие 5С《ус. Оказывается, что такая ситуация соответствует верхней ветви кривой нейтральной устойчивости (см. § 4.3, рис. 4.7). Возможен также другой случай, когда 勿 ~ 5。(см. § 4.3, рис. 4.7, нижняя ветвь кривой нейтральной устойчивости), критический п вязкий пристеночный слои сливаются и образуют одпу вязкую область толщиной порядка 6С [90——95]. Для качественного анализа мы ограничимся возмущениями, когда ус > 5「

Уравнение Рэлея имеет два линейно независимых: решения % (у)①(у) [1]:

%= G - c) 0户%®)，(4.1.21)

72=0

УУ

% = 1； hn = ^ (斤乌直卜。一О? hn~idy；

& = (U — c)』a： 儿=i& = (U — c)』a： 儿=i2%п(У),2%п(У),(4.1.22)(4.1.22)уо 'уо 'dydyVj 做一 1 (U — c)2 dy,0Vj 做一 1 (U — c)2 dy,0которые пазовелг фупдамептальпыдиг решениями С помощью линейно независимых решений (4.1.21), i ставим решение в повязкой области II в видеЕсли пренебречь в (4.1.23) слагасдгым порядка ct2,， получим асимптотическое разложениеф(2)Л (и'иу — с) — ~у + О 伊).Из условия сращивания (4.1.24) с (4.1.7) найдем константыкоторые пазовелг фупдамептальпыдиг решениями С помощью линейно независимых решений (4.1.21), i ставим решение в повязкой области II в видеЕсли пренебречь в (4.1.23) слагасдгым порядка ct2,， получим асимптотическое разложениеф(2)Л (и'иу — с) — ~у + О 伊).Из условия сращивания (4.1.24) с (4.1.7) найдем константыГейзенберга.(4.1.22) пред-Гейзенберга.(4.1.22) пред-(4.1.23) то при 5fo(4.1.23) то при 5fo(4.1.24)(4.1.24)неизвестныенеизвестные/1 ,/) у Ь.,с У toRgq У (0%/1 ,/) у Ь.,с У toRgq У (0%(4.1.25)(4.1.25)При g f % функция Ао(у) из (4.1.22) имеет особенность. Выделим ее в явном видеПри g f % функция Ао(у) из (4.1.22) имеет особенность. Выделим ее в явном виде〃。⑻= g°(")—而°(4.1.26)(U 一 с)2 一(么)2 (У — y°)2 + (%)3 仅—％)」У-Учитывая (4.1.26), полудам в пренебрежении слагаемь^ми 。(竄？) асимптотическое разложение (4.1.23) при у ~- ус—0:〃。⑻= g°(")—而°(4.1.26)(U 一 с)2 一(么)2 (У — y°)2 + (%)3 仅—％)」У-Учитывая (4.1.26), полудам в пренебрежении слагаемь^ми 。(竄？) асимптотическое разложение (4.1.23) при у ~- ус—0:中⑶（4）〜一g +（y 一 уe）中⑶（4）〜一g +（y 一 уe）1沙一%|1沙一%|-訟+"的-訟+"的(4.1.27)(4.1.27)

& = (U — c)』a： 儿=i

& = (U — c)』a： 儿=i

2%п(У),

2%п(У),

(4.1.22)

(4.1.22)

у

о '

у

о '

dy

dy

V

j 做一 1 (U — c)2 dy,

0

V

j 做一 1 (U — c)2 dy,

0

которые пазовелг фупдамептальпыдиг решениями С помощью линейно независимых решений (4.1.21), i ставим решение в повязкой области II в виде

Если пренебречь в (4.1.23) слагасдгым порядка ct2,， получим асимптотическое разложение

ф(2)Л (и'иу — с) — ~у + О 伊).

Из условия сращивания (4.1.24) с (4.1.7) найдем константы

которые пазовелг фупдамептальпыдиг решениями С помощью линейно независимых решений (4.1.21), i ставим решение в повязкой области II в виде

Если пренебречь в (4.1.23) слагасдгым порядка ct2,， получим асимптотическое разложение

ф(2)Л (и'иу — с) — ~у + О 伊).

Из условия сращивания (4.1.24) с (4.1.7) найдем константы

Гейзенберга.

(4.1.22) пред-

Гейзенберга.

(4.1.22) пред-

(4.1.23) то при 5fo

(4.1.23) то при 5fo

(4.1.24)

(4.1.24)

неизвестные

неизвестные

/1 ,/) у Ь.

,с У toRgq У (0%

/1 ,/) у Ь.

,с У toRgq У (0%

(4.1.25)

(4.1.25)

При g f % функция Ао(у) из (4.1.22) имеет особенность. Выделим ее в явном виде

При g f % функция Ао(у) из (4.1.22) имеет особенность. Выделим ее в явном виде

〃。⑻= g°(")—而

°(4.1.26)

(U 一 с)2 一(么)2 (У — y°)2 + (%)3 仅—％)」У-

Учитывая (4.1.26), полудам в пренебрежении слагаемь^ми 。(竄？) асимптотическое разложение (4.1.23) при у ~- ус—0:

〃。⑻= g°(")—而

°(4.1.26)

(U 一 с)2 一(么)2 (У — y°)2 + (%)3 仅—％)」У-

Учитывая (4.1.26), полудам в пренебрежении слагаемь^ми 。(竄？) асимптотическое разложение (4.1.23) при у ~- ус—0:

中⑶（4）〜一g +（y 一 уe）

中⑶（4）〜一g +（y 一 уe）

1沙一%|

1沙一%|

-訟+"的

-訟+"的

(4.1.27)

(4.1.27)

Вводя внутреннюю переменную т]=(у — у「)/5c для области III, перепишед! (4.1.27) в виде

屮(叫〜一彳一5c 1口 5в ^rp + 5c AUcx] - 9( g,a " +

+每"m次一蟲+ 8":'娱d）一詮+每"m次一蟲+ 8":'娱d）一詮T] In T] +。(蹬 In бс).(4.1.28)T] In T] +。(蹬 In бс).(4.1.28)

+每"m次一蟲+ 8":'娱d）一詮

+每"m次一蟲+ 8":'娱d）一詮

T] In T] +。(蹬 In бс).

(4.1.28)

T] In T] +。(蹬 In бс).

(4.1.28)

Рассматривая асимптотическое разложение (4.1.28), приходам на основании условия сращивания к выводу о том, что в критическом слое необходимо искать решение в форме

.寿仔й^ "1加2 -0，"4中$3)d2成3)/(4/■3。)祠dr］drf 2UC Uc.寿仔й^ "1加2 -0，"4中$3)d2成3)/(4/■3。)祠dr］drf 2UC UcПереходя в (4.1.29) к переданной 刀 и используя разложение (4.1.29), получим следующую цепочку уравнений:Переходя в (4.1.29) к переданной 刀 и используя разложение (4.1.29), получим следующую цепочку уравнений:П -> оо на-П -> оо на-屮⑶;細=也"⑺ + 5/n 6cd3〉(n) + 6c屮界⑺ +。(贫 in бс). (4.1.29)

.寿仔

й^ "1加2 -0，

"4中$3)d2成3)

/(4/■3。)

祠dr］drf 2UC Uc

.寿仔

й^ "1加2 -0，

"4中$3)d2成3)

/(4/■3。)

祠dr］drf 2UC Uc

Переходя в (4.1.29) к переданной 刀 и используя разложение (4.1.29), получим следующую цепочку уравнений:

Переходя в (4.1.29) к переданной 刀 и используя разложение (4.1.29), получим следующую цепочку уравнений:

П -> оо на-

П -> оо на-

И а основании условия сращивания с (4.1.28) при ходим из (4.1.30)

* — Bfu's 碎)=—BulMky.

Для 碍'получаем уравнение

(4.1.31)(4.1.31)底限.歩р驴^в

(4.1.31)

(4.1.31)

11P2 一 口产

к неоднород-(4.1.32)к неоднород-(4.1.32)которое можно свести с помощью замены z =产仆刀 ному уравнению Эйри для функции S =虑中⑶/&哦：

к неоднород-

(4.1.32)

к неоднород-

(4.1.32)

Решение уравнения (4.1.32) может быть выражено через функции Эйри %%(z), Bi(z), которые имеют следующие представления через функции Бесселя с индексом 1/3 при larg z\ < 2л/3:

Ai (- 2)= ^^ 卜 1/3 传片2)+ J—1/з 得尸］:； 历(-z) = |/看卜 1/3 修23/2)- 停23/2)［；

& (Z)=亨卜-1/з 俘 z3/2 )-厶/3 (尹В］； 历(z) = ］/等［/_1/3("! z"/2)+ /1/3(4^2)］,

Для решения интересующей пас задачи не нужно детально исследовать критический слой, нужно лишь проследить, по какому контуру в комплексной плоскости (у —勿)необходимо обходить точку у н у『В силу условия однозначности (largzl < 2п/3) для линейно независимых решений Ai, Bi и выбора 产"—5冗/6 необходимо в

комплексной плоскости (у ~ ус) обходить нуль снизу [2]. Тогда, рассматривая интегральные выражения из (4.1.21), (4.1.22) по контуру, состоящему из отрезков действительной оси у —y^W—в', У — Ус^ г (г > 0) т! полуокружности малого радиуса &' с центром в точке у —可"=0, получим, что при у > 九 в решении (4.1.23) следует интегралы понимать в смысле главного значения, а от интеграла по дуге окружности в (4.1.26) появится добавка —Ey'U；7(U；)3 (力=1 при у > у,,力=0 при у V %)•

Таким образом, итогов! исследования критического слоя (области III) будет следующее правило: при переходе от у = Ус —0 из области II к у ^= ус + 0 в область IV в (4.1.27) необходимо заменить In \у — ус\ па In \у — %| + in [2, 88—91].

Итак, при у уе -^ 0 имеет место асимптотическое разложение вида

一鳥 + BUcgo (贝)一号.(4.1.33)

Решение в области IV дюжно представить как(产)=0g1仅)+6等2(刃；

n—0

УУ

Ях = 1 ； Ята = J J (f7 - с)г H^dy- (4.1.34)

歹2 = (U - 0 £ BKn @)；

貝уу

"。=!占；臨7占w一"

Пренебрегая в 歹力歹2 слагаемыми。(竄？), найдем разложение при У Ус ~^ 0 и из условия сращивания (4.1.34) с (4.1.33) с необходимой точностью устанавливаем неизвестные константы

G = -3;(4.1.35)

где g-o — функция, оцределеппая в (4.1.26). После того как решение в области IV известно, дюжно найти из условия затухания возмущений в области V соотношение, которому должны удовлетворять Л л В из (4.1.25), что и даст искомое дисперсионное уравнение для определения с (a), a(R§) (см. § 4.2).

Остановимся также еще па одном представлении фундаментальных решений уравнения Рэлея. Речь пойдет о так называемых функциях Толлмина, которые являются рядами Фробениуса, представляющими линейно независимые решения для уравнения второго порядка в окрестности регулярной особой точки [98]. Найдем представления для решений уравнения Рэлея непосредственно в окрестности особой точки

) + 乙 ^^ + и： Ц^ + . . J (“ 一 сАр) —

-匕 +。；' (У 一 勿)+。厂 1L^Z + Ф = 0. (4.1.36)

Рассмотрим вначале пеособос решение, т. е. представим ф в вл де

屮=〃о + 内 ® - ус) + а. (у - усу + . . ..(4.1.37)

Подставив (4.1,37) в (4.1.36), имеедг после формально необходимых операций следующие уравнения для определения коэффициентов ])азлояхетшя (4.4.37): U；。。= 0; считаем, что Uc ^ 0, тогда «о = 0; 2。2°； н U；dy； счптаелт, что Uc 声 0п ал 工 1, тогда a.2~Uc/2Uc. Далее а3 = (b'c/U； + сс2)/б. Таким образом? иеособая функция Тол- лмипа имеет вид

①丄=(У — %) + 恭，(У — Ус)? + "^ (启 + а? ) (У — Ус)' + • • • •

Вторая линейно независимая функция Толлмипа Ф2 должна содержать логарифм \w\y — уД [98], т. е.

Ф = 〃俨 + 〃；" ® — %) +。!°(У — Ус)? + ■ • • +

+ In I У — Ус I [^()2)+ 〃f)(，％) +。产(у — %)2 + • • • ]• После формально необходимых операций, считая, что。『)=1, 。；工)= 0, окончательно имеем

При переходе через критическую точку // = у。и здесь спрс1ведаиво преобразование

?/ = .% _ о f «/ =仇 + о,

①1 f ①],(4.1.38)

① 2 f■① 2 + M^Br

ВОЛНЫ ТОЛЛМИНА 一 ШЛИХТИНГА.КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ

Приступим теперь к непосредственному рассмотрению волны Толлмина——Шлихтинга вблизи кривой нейтральной устойчивости. Пусть область критического слоя III снизу и сверху граничит с рэлеевскими областями II и IV. Найдем прежде всего, пользуясь функциями Толлдпша, скачок в нанрял?енип Рейнольдса при переходе через критически!! слон.

Решение для ср представим в виде

中==%①1 + &①2 + 0%'沆方①1,

,|0 при усус, И при

Поскольку R，％) = 0, Ф2(г/с)= 1,①；(勿)=1, TO 屮(％)=Q н и ф' (г/с) = 4 + с歩2 (%) + c^'inUс/%. Таким образом, для нейтраль- пых возмущений

Поэтому

г |ус+о — Т Ьс-0 фс |2Я 京.(4. 2.1)

Поскольку т|Ус+0 === 0, то в силу соотношения (4.1.12) имеем

尸卞г 1, = л I(рс I2—у.(4.2.2) ]/2叫，

Соотношение (4.2.2) является универсальным для задач, в которых критический и пристеночный слои асимптотически разделяются, и в области у > у© т обращается в нуль. Из (4.2.2) можно по- ;гучить связь с, cz, R6. Чтобы найти зависимость с (а), необходимо рассмотреть конкретную задачу с граничными условиями для ср и(pz на выходе из невязкой области IV.

Для случая течения в пограничном слое запишем условие затухания возмущения при у -> 8 в приближенном виде при у = 1:

(4.2.3)(4.2.3)фл(1)+ сор(1)= 0.

(4.2.3)

(4.2.3)

Соотношение (4.2.3) получается па осповапии рассмотрения уравнения Рэлея при у^1. Его решение можно приближенно записать как ф = /It ех^(ау) + Л2 ехр(—а?/). Из условия затухания константа Ai — 0. При а0 получим из (4.1.34), (4.2.3) соотношение

aD(「c)2-G = 0. (4.2.4)

Отделяя действительную и мнимую части (4.2.4), находим два соотношения, одно из которых определяет с (а), а другое соответствует (4.2.2). Например, учитывая, что а, с, ус 0, находим из (4.2.4) с помощью (4.1.25), (4.1.36) а =(U；『％ или, принимая во внимание, что с 冗и "с

Поскольку получимПоскольку получимС — СХ / Ь у;.]%卩=1讣/(畸2弋，2/ду,С — СХ / Ь у;.]%卩=1讣/(畸2弋，2/ду,(4.2.5) то из (4.2.2), (4.2.5)

Поскольку получим

Поскольку получим

С — СХ / Ь у;.

]%卩=1讣/(畸2弋，2/ду,

С — СХ / Ь у;.

]%卩=1讣/(畸2弋，2/ду,

(4.2.6)

Для течения Блазиуса кривизна профиля скорости в окрестности пластины мала. Используя уравнения Блазиуса и то, что с Uwyc, находим Uс = —■ 25б*2/4. Поэтому (4.2.6) перепишется в виде

25 吟_(

4 (窿y = /^^，

откуда

「— ( 625d「/I。I/】。

—-—/.一 一J-4 /2叫 ® — %)—-—/.一 一J-4 /2叫 ® — %)(4.2.7)(4.2.7)Если учесть, что для течения Блазиуса Uw = 1,66, то с = 0,65 RU"% Займемся теперь исследованием полученной нейтральной волны. Главный член воздтущения при у ус имеет вид

—-—/.一 一J-

4 /2叫 ® — %)

—-—/.一 一J-

4 /2叫 ® — %)

(4.2.7)

(4.2.7)

ср = (U — с)ср = (U — с)

ср = (U — с)

ср = (U — с)

Аналогично получаем главную часть q/:

д/ н S (у)青 +д/ н S (у)青 +С一叫/厂茹^ "У 仅一％)С一叫/厂茹^ "У 仅一％)(4.2.8)(4.2.8)

д/ н S (у)青 +

д/ н S (у)青 +

С一叫/厂茹^ "У 仅一％)

С一叫/厂茹^ "У 仅一％)

(4.2.8)

(4.2.8)

В точке у н 勿 рестности у = %В точке у н 勿 рестности у = %(р7 имеет логарифмическую особенность. В ок-(р7 имеет логарифмическую особенность. В ок-

В точке у н 勿 рестности у = %

В точке у н 勿 рестности у = %

(р7 имеет логарифмическую особенность. В ок-

(р7 имеет логарифмическую особенность. В ок-

小砧'小砧'$=万$=万I ?/ 一 Uc IУсI ?/ 一 Uc IУс(429)(429)

小砧'

小砧'

$=万

$=万

I ?/ 一 Uc I

Ус

I ?/ 一 Uc I

Ус

(429)

(429)

На основании (4.2.9) главные части горизонтальной и вертикальной компонент вектора возмущении скорости будут соответственно

〃 =，In I——sin а (х 一 ct),

i? = - cos a (第一以).

Исследуем подробнее поведение течения в окрестности критического слоя. Построим функцию тока ^ для возмущения

屮=—屮(У)exp [ia{x — ct)]/ia,откуда, выделяя действительную часть, имеем с учетом (4.2.5)屮=L^l sin (X + arg ф), X = a (z — ct). (4.2.10)

Если воспользоваться вкраженпем для 屮(у) (4.2.7), содеря^ащидт главную часть при a2fo и у 〜у。, то пожно рассчитать суммарную линию тока возмущенного течения 屮=“в +。叭 где а)” соответствует течению Блазиуса, а 屮 определяется по формуле (4.2.10). Па рис. 4.3 приведен результат расчета картины суммарного те-

Рис. 4.3. Линии тока возмущенного течения в пограничном слое в системе отсчета, связанной с волной неустойчивости. Амплитуда возмущения £ — 0,1.

^епия в координатах, связанных с волной Тол л ми па ——Шлихтипга, для случая R6 = 105, с = 0,205, ус = 0,12, а = 0,1. Видно, что имеет место сепаратисса 屮=0, отделяющая область с замкнутыми линиями тока от области с разомкнутыми линиями тока. Если теперь перейти в лабораторную систему отсчета и попытаться построить траектории движения частиц, то в окрестности критического слоя они будут иметь сложный характер. На рис. 4.4 изображены траектории частиц в колеблющемся потоке с поперечным сдвигом (расчет Хама взят из книги [3]).

Исследуем теперь поведение возмущенных скоростей по высоте пограничного слоя у.

£ У《％：

Рис. 4.4. Траектории движения частиц в колеблтощемся потоке с поперечным сдвигом.

2а. у - ус, у < %：

u =(и- e)u =(и- e)ии26. у - уС1 У > 勿:26. у - уС1 У > 勿:X + arctgX + arctgУсУсIn ! cosIn ! cos3. у 〜1：3. у 〜1：X + 导 + arctg jInX + 导 + arctg jIn_ U(y)一丁_ U(y)一丁coscosarctgarctgс р2(oR6с р2(oR6nUcc(4)2 + /〃(《-")nUcc(4)2 + /〃(《-")ПСПСУсУсX + arctgX + arctg

u =(и- e)

u =(и- e)

и

и

26. у - уС1 У > 勿:

26. у - уС1 У > 勿:

X + arctg

X + arctg

Ус

Ус

In ! cos

In ! cos

3. у 〜1：

3. у 〜1：

X + 导 + arctg j

In

X + 导 + arctg j

In

_ U(y)一丁

_ U(y)一丁

cos

cos

arctg

arctg

с р2(oR6

с р2(oR6

nUcc

(4)2 + /〃(《-")

nUcc

(4)2 + /〃(《-")

ПС

ПС

Ус

Ус

X + arctg

X + arctg

Что же касается величины w, то здесь следует различать два случая：

у ~ L Uo^ 1,

77’4什nU.c I

g ^^ f 成 cos [x + E + arctg 协];

94

a

б

”c. 45 Распределение по тол-叩но пограничного слоя ампли-уды возмущения вертикалbiToiiюмпопепты скорости (о) и ее фа-зы (6).”c. 45 Распределение по тол-叩но пограничного слоя ампли-уды возмущения вертикалbiToiiюмпопепты скорости (о) и ее фа-зы (6).Рис. 4.6. Распределение по толщине пограничного слоя амплитуды возмущения продольной компоненты скорости (о) и ее фазы (6).

”c. 45 Распределение по тол-叩но пограничного слоя ампли-уды возмущения вертикалbiToiiюмпопепты скорости (о) и ее фа-зы (6).

”c. 45 Распределение по тол-叩но пограничного слоя ампли-уды возмущения вертикалbiToiiюмпопепты скорости (о) и ее фа-зы (6).

у 〜1,。:《1,

!nU'c

〃 =c°s X亨 + arctg ，

г. е. в случае (б) величина 〃 становится малой по сравнению :ее значениями в случае (а).

Качественный вид распределения амплитуд 北(＜乜)и v(Av) по ;оординате у и их фаз у切 汽 представлен на рис. 4.5, 4.(). Логарифмическая особенность в 〃 при у = ус раскрывается в теории кри- ического слоя, приводя к максимуму функции Ли (у).

ВОЛНЫ ТОЛЛМИНА 一 ШЛИХТИНГА.

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

В настоящем параграфе мы приведем некоторые результаты расчетов волн неустойчивости в пограничных слоях. Более под- юбпую иифордтацию можно па订丁氫 в монографиях. [2, 3, 35, 52, 64]. )тдельные данные расчетов будут приводгггься по ходу изложения татериала в других главах.

На рис. 4.7 представлена кривая нейтральной устойчивости в дамках локально-однородного приближения для пограничного слоя ia плоской пластине в плоскости (R, F), где R = 7卩8〃8毋/卩8—— тисло Рейнольдса, F = (Ojioo/Pco^— частотный параметр [99]. Ми- хималыюе число Рейнольдса потери устойчивости равно Rn y ^ 302. 1а рис. 4.8 показан типичный ирофпль амплитуды возмущения тродолыюй кодшопенты скорости в несжимаемом пограничном слое та плоской пластине при R = 290, F = 20 • 10_6.

Обратим внимание па тот факт, что при некотором значении ;оординаты n = y/Yfig力/pgUg имеется точка, в которой 丨〃丨 обра- цается в нуль. Это связано с тедт, что па этой высоте происходит

Рис. 4.7. Кривая нейтральной устойчивости для течения Блазиуса.Рис. 4.7. Кривая нейтральной устойчивости для течения Блазиуса.Рис. 4.8. Распределение по толщине пограничного слоя амплитуды возмущения продольной компоненты скорости.Рис. 4.8. Распределение по толщине пограничного слоя амплитуды возмущения продольной компоненты скорости.

Рис. 4.7. Кривая нейтральной устойчивости для течения Блазиуса.

Рис. 4.7. Кривая нейтральной устойчивости для течения Блазиуса.

Рис. 4.8. Распределение по толщине пограничного слоя амплитуды возмущения продольной компоненты скорости.

Рис. 4.8. Распределение по толщине пограничного слоя амплитуды возмущения продольной компоненты скорости.

быстрое изменение фазы колебаний на 180° (см. § 4.2). На рис. 4.9, 4.10 представлены результаты расчетов скорости пространственного усиления волн Толлмина ——Шлихтипга о = —Im а? измеряемой в единицах 丫卩国卄国/卩国化 для пограничных слоев в газе при различных частотных параметрах и числах Маха [45, 46]. Отметим, что в области затухания (о V 0) имеемся качествёппо отличающаяся зависимость от R при М W 1 и М > 1. Этот важный факт играет существенную роль в задачах о генерации воли неустойчивости,

Приведем далее ряд результатов чпслетшых расчетов, иллто- стрирующих влияние различных параметров на устойчивости рассматриваемых течений. На рис. 4.11 представлена зависимость числа Рейнольдса потери устойчивости, определяемого ио толщине вытеснения для течений типа Фокнера ——Скэн, характеризуемого параметром = 2т/ {т + 1) (zn — d In UJdx = const) [100]. Совместное влияние отсоса из несжимаемого пограничного слоя и градиента давления исследовалось в работе [101], в которой рассматривался пограничный слой в рамках модели Польгаузена. Результаты расчетов [101] приведены на рис. 4.12. Обратим внимание па то, что отрицательный градиент давления и отсос пограничного слоя сильно стабилизируют пограничный слой.

При сверхзвуковых режимах течения имеется еще одна важная особенность, которая связана с тем, что наиболее неустойчивыми оказываются трехмерные возмущения. На рис. 4.13 показаны результаты расчетов [52] (выполнявшихся на основе системы уравнений Дана ——Линя) числа Рейнольдса потери устойчивости для пограничного слоя на плоской пластине для двумерных возмущений и наиболее неустойчивых трехмерных. Совместное влияние градиента давления и отсоса при сверхзвуковом обтекании иссле-

2 о

石•© о

-2

Рис. 4.10. Зависимость скорости пространственного усиления возмущений па плоской теплоизолированной пластине при М = 1,5 и 2,0.

Усл. обозы, кривых 1—3 см. на рис. 4.9.

Р〃с. 4.9. Зависимость скорости пространственного усиления возмущений на плоской тепло- usojiHpoBainiioii пластине при М = 0,6 и 1,0. 艮106 = 20 (3), 40 (2), GO (，)•

Рис. 4.11. Зависимость числа Рейнольдса поте- pEf устойчивости Ruy = Ugtny/v от формпараметра Фокнера — Скэн [100].

Рис. 4.12. Зависимость числа Рейнольдса потери устойчивости от фармпараметра Польга- узена 九 при различных параметрах отсоса.

Pw6/V=—8 (1), -5 (2), —2,7 (3), —1,5 (4), 0 (5) ЦОИ.

7 В. Н. Жигулев, А. М. Тумин

§7

Рис. 4.14. Влияние градиента давления Л и отсоса Cq на число Рейнольдса потери устойчивости, вычисленное по толщине вытеснения (М 二 2,5).Л-0 (J), о,1 ⑶，0,2 (3), 0,3 ⑺，0,4 ⑺ 152].Рис. 4.14. Влияние градиента давления Л и отсоса Cq на число Рейнольдса потери устойчивости, вычисленное по толщине вытеснения (М 二 2,5).Л-0 (J), о,1 ⑶，0,2 (3), 0,3 ⑺，0,4 ⑺ 152].Рис. 4.16. Влияние числа Маха на высшие моды нейтральных дозвуковых возмущений на теплоизолированной пластине (расчет Л. Мэка, см. [52]).Рис. 4.16. Влияние числа Маха на высшие моды нейтральных дозвуковых возмущений на теплоизолированной пластине (расчет Л. Мэка, см. [52]).。53o'75。95T：lQ。53o'75。95T：lQ

Рис. 4.14. Влияние градиента давления Л и отсоса Cq на число Рейнольдса потери устойчивости, вычисленное по толщине вытеснения (М 二 2,5).

Л-0 (J), о,1 ⑶，0,2 (3), 0,3 ⑺，0,4 ⑺ 152].

Рис. 4.14. Влияние градиента давления Л и отсоса Cq на число Рейнольдса потери устойчивости, вычисленное по толщине вытеснения (М 二 2,5).

Л-0 (J), о,1 ⑶，0,2 (3), 0,3 ⑺，0,4 ⑺ 152].

Рис. 4.16. Влияние числа Маха на высшие моды нейтральных дозвуковых возмущений на теплоизолированной пластине (расчет Л. Мэка, см. [52]).

Рис. 4.16. Влияние числа Маха на высшие моды нейтральных дозвуковых возмущений на теплоизолированной пластине (расчет Л. Мэка, см. [52]).

。53o'75。95T：lQ

。53o'75。95T：lQ

Рмс. 4.13. Зависимость числа Рейнольдса потери устойчивости от числа Маха для плоских (7) и трехмерных (2) возмущений [52].

Рис. 4.15. Зависимость числа Рейнольдса потери устойчивости, вычисленного по толщине потери импульса, от температуры обтекаемой пластины.

МТ (1), 0,5 (N), 0,7 (3), 0,9 ⑷ [52].

довалось также авторами [52]. На рис. 4.14 представлены результаты расчета числа Рейнольдса потери устойчивости, определяемого по толщине вытеснения, для числа Маха М — 2,5 при различных параметрах градиента давления и отсоса (Л, Cq соответственно), которые определяются Как

A 2&叫 e1/殘%

где Vw — вертикальная компонента скорости в пограничном слое па обтекаемой поверхности.

На рис. 4.15 представлены результаты расчета [52] числа Рейнольдса потери устойчивости R**, определяемого по толщине по- тери импульса, на охлаждаемой поверхности пластины. Оказыва- ется, что при сверхзвуковом режиме обтекания в случае охлаждае- мой поверхности существуют несколько областей неустойчивости (подробнее см. [52]). Сложность явления устойчивости сверхзву- новых пограничных слоев обусловливается существованием обобщенных точек перегиба у§, в которых для профилей скорости U (у), температуры Т(^) выполняется равенство

言(督)卜。，

В этом случае реализуется повязкин механизм неустойчивости, когда фазовая скорость распространения возмущения равна U(ys).

С увеличением числа Маха появляются новые неустойчивые моды, обнаруженные Л, Мэком (см. монографию [52]). На рис. 4.16 приводятся примеры расчетов (Л. Мэка) волновых чисел для этих новых пеусто11чивых мод.

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯОКОЛО ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 7)

При обтекании вогнутой Поверхности начинает проявлять себя неустойчивость, вызванная центробежными силами. Впервые ме~ ханизм данного типа неустойчивости был рассмотрен Гёртлером в работе [102J; в пограничном слое возбуждается пара стационарных вихрей (вихрей Гёртлера), имеющих противоположное вращение и ориентированных вдоль потока (рис. 4.17). Краткий обзор ранних работ по данному типу неустойчивости имеется в монографии [52J. Более поздние сведения по неустойчивости пограничных слоев на искривленных поверхностях обсуждаются в статьях [103, 104].

Основной особенностью данного типа неустойчивости является то, что вихри Гёртлера характеризуются слабой интенсивностью движения и медленным усилением вниз по потоку. Уже в главном приближении оказывается необходимым сохранять те члены ли- пеаризовашшх уравнений Навье — Стокса, которые обычно связывают с эффектами непараллелыюсти течения. Нужно отметить,

7)Параграф написан совместно с Ю. П. Черновым.

лера отсоса пограничного слоя,

Рис. 4.17. Схематическая картина вихрей Гертлера в пограничном слое па ис- кривлешюн поверхности [104].

что только в последние годы было достигнуто согласие между результатами различных работ в части постановки задачи и расчета кривой нейтральной устойчивости для вихрей Гёртлера. Среди работ последнего времени следует указать [105—107], в которых обсуждаются вопросы, связанные с влиянием па неустойчивость Гёрт- его охлаждения, а также изменения

градиента давления в среднем течении.

Численные расчеты устойчивости пограничного слоя в газе на искривленной поверхности наиболее полно проведены авторами работы [107J. Результаты наших расчетов подтвердили достоверность выводов [107].

В работе [108] была получена асимптотическая форма кривой нейтральной устойчивости в случае несжимаемого пограничного слоя, когда пространственный период вихрей в трансверсальном направлении мал по сравнению с толщиной пограничного слоя. В более поздней работе [109] задача об устойчивости пограничного слоя па искривленной поверхности анализировалась в рамках численного решения уравнений в частных производных. При этом автор обратил внимание па то обстоятельство, что найденное им двухчленное асимптотическое выражение, описывающее кривую нейтральной устойчивости, пригодно для широкого диапазона параметра, характеризующего масштаб вихрей в трансверсальном направлении. Ниже будут представлены результаты, обобщающие данные [108] на случай течения газа над искривленной поверхностью, включая результаты расчетов инкрементов роста неустойчивостей Гёртлера.

Рассмотрим в качестве основного течения двумерный пограничный слой в газе на слабоискривлешюй поверхности. Используем систему координат （况,у, z）, связанную с линиями тока и равного потенциала для невязкого течения па той же искривленной поверхности. Координата 况 изменяется вдоль линии тока, координата у ——по линии постоянного потенциала, а координата z направлена по нормали к плоскости （/, р）. Выберем в качестве масштабов длины вдоль Ох величину х^ а вдоль Оу и Oz — величину 3 = 丫卩8力（）/卩8 08； в качестве масштабов скорости, вязкости, плотности и температуры выбираем соответствующие значения этих величин в набегающем потоке; давление измеряем в единицах

со •

называемое числом Гертлера,называемое числом Гертлера,Течение над искривленной поверхностью характеризуется следующими двумя параметрами, которые в дальнейшем будем предполагать малыми: вязким параметром 8о = 6/х0 = R-1 и параметром кривизны к = УК8 (К ——кривизна обтекаедгой поверхности), Будем рассматривать предел, когда величины е0 и к стремятся

называемое числом Гертлера,

называемое числом Гертлера,

к нулю, а их отношение к/г^ — G,

остается конечной величиной. В этом случае в качестве главного приближения для осповпого течения имеем течение в пограничном слое на плоской пластине. Относительно возмущений х-, у-, z-kom- ■ попент скорости м, и, w, давления 〃, температуры 6 предположим, что они имеют следующие порядки величии:

и = О (1), V = О (е0), w ~ О(80), р О (ву), 9 = <? (1).

Ищем решения для возмущений в виде

乂 = 〃1(У)cos 0z exp I J od/丿;乂1 = 乂 十 £。〃(1)+ . • •,

u= %心仅)cos P2 exp (j adx^;出=и + ju⑴ + …，

w = £()必1 ®) sin pz exp I j adxj; ш2 = w 4- %〃匕)+"

p = e筋i@) cos Rzexp (/айх); p】=p + e/⑴ + .,

0=0! (у) cos 卩么 exp H adxj; % = 8 十 ％%)+

F (也+釣+F (也+釣+и-[1~ +и-[1~ +人Vu + [ т—人Vu + [ т—Подставив эти выражения в линеаризированные уравнения Навье —— Стокса, для величин м, и, w, 〃, в получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет главное по 80 приближение для возмущений:

F (也+釣+

F (也+釣+

и-[1~ +

и-[1~ +

人V

u + [ т—

人V

u + [ т—

1 ди人

7尸 uт ду

-闵啜+陽)+总俳券№ -骑^%。，

+ 及 博 +。°) + 咿 d + 院i _ 2)制^一 2)卩|^ 一嘴阿一(C + 1)呻器+黑-

-+ U? + U2G2)+ (c + l)雾爲,务 X

..дт su tд (d\idv\ r от ди ,

茫+ С + 4而[8 5?丿+ 济脂 丙+

+ cr+ cr小丄dU 訳而"小丄dU 訳而"〕嚼^+修+ 2）黒務〕嚼^+修+ 2）黒務0,0,

+ cr

+ cr

小丄dU 訳而"

小丄dU 訳而"

〕嚼^+修+ 2）黒務

〕嚼^+修+ 2）黒務

0,

0,

В 卜 + 1)*1 + 雾系 " + 嚼^？ + (С + DB啜 +В 卜 + 1)*1 + 雾系 " + 嚼^？ + (С + DB啜 +_e］迎一_e］迎一卩犷一卩犷一一” +С嚼[^ + 對。=0,一” +С嚼[^ + 對。=0,(4.4.1)(4.4.1)11 ат ГТГ~ r 57Г11 ат ГТГ~ r 57Г1 дТ1 дТ5 U +5 U +1 dv , В с T7力+ 7。+1 dv , В с T7力+ 7。+1「2UdT .戸厅股+1「2UdT .戸厅股+++2P dT dU2P dT dUdvdvТ ду дх дуТ ду дх ду一。屮-齧=。,一。屮-齧=。,；^z 一 2 (% — 1) M'V ^窮 + ^ 蒙—用 U

В 卜 + 1)*1 + 雾系 " + 嚼^？ + (С + DB啜 +

В 卜 + 1)*1 + 雾系 " + 嚼^？ + (С + DB啜 +

_e］迎一

_e］迎一

卩犷一

卩犷一

一” +С嚼[^ + 對。=0,

一” +С嚼[^ + 對。=0,

(4.4.1)

(4.4.1)

11 ат Г

ТГ~ r 57Г

11 ат Г

ТГ~ r 57Г

1 дТ

1 дТ

5 U +

5 U +

1 dv , В с T

7力+ 7。+

1 dv , В с T

7力+ 7。+

1「2UdT .戸厅股+

1「2UdT .戸厅股+

+

+

2P dT dU

2P dT dU

dv

dv

Т ду дх ду

Т ду дх ду

一。屮-齧=。,

一。屮-齧=。,

+ ^g] + (x - 1) m2机制 + ^ 計器部一

дТ .дх +дТ .дх +吆一 7吆一 7晦1q1，「厂 2 d"d7)d书 1 片价 С

дТ .

дх +

дТ .

дх +

吆一 7

吆一 7

■ Рг [т Pr dT ду J dy Pr E 6•

Исходное течение определяется распределением температуры Т(х, у), продольной скорости U(х, у) и нормальной компоненты скорости V^ = 80V (гс, у). Величина х входит в уравнения (4.4.1) в качестве параметра. Отношение коэффициентов второй и первой вязкости е входит через величину с = 2(е — 1)/3.

Для полученных уравнений должны выполняться граничные условия

у f 8： м, % w, 0, р = О,

у = С: % и, w = 0. (4.4.2)

Если обтекаемая поверхность теплоизолированная, то при у ~ О должно быть выполпсно условие d§/dy ^ 0; если темпсрату])а обтекаемой поверхности фпкспровгта, то выполняется условие 8 = 0.

Сформулированная задача представляет собой задачу на соб- ствеипыс значения, в которой устанавливается связь между вещественными параметрами о,区 G.

Рис. 4.18 соответствует течению па тепл о и золиро в апной поверхности. Результаты расчета, представлепные на рис. 4.18, б, получены для случая теплопзолпроваииоп поверхности с отсосом пограничного слоя, параметр отсоса 丫 = (pU)乂工/卩国。^， На рис. 4.18, 4,19 штриховой линией отмечено положение хакснмахьноги инкремента Отах тхрн G = const. На рис. 4.20 приведены зависилгости максимальных инкрементов при различных числах М на теплоизолированной поверхности в отсутствие отсоса.

Остановимся па асимптотическом анализе устойчивости пограничного слоя на искривленной поверхности. Рассмотрим случай,

Рис. 4.18. Результаты расчета характеристик устойчивости Гертлера на теплоизолирован ной поверхности без отсоса (а) и с отсосом (6).

когда величины G = O('), о = О(§2), § + °°. Анализ уравнений для /-, ^/-компонент импульса и для температуры позволяет сделать вывод, что и = 0(0%), 9 ~ 0(и). Тогда в главном прибли- женин система уравнений (4.4.1) эквивалентна алгебраическим уравнениям

呻2以十干" +f希0,

—亍—辽 + "уг v + 仍林〉—^2 G U н 0,(4.4.3)

惠+算+尚俨

Система (4.4.3) является системой однородных линейных уравнений для величин 〃, и, 0. Поэтому для существования нетривиального решения необходимо, чтобы определитель этой системы обращался в нуль

呼+乎J -军訂а専)+*哪咿+ ?)=0. (4.4.4)

Как показтявают анализ it ]^езулт>таты конкретных расчетов, соотпо1по1ше (4.4.4) мо?кит быть выполнено лишь в некоторой тои^ ке у+. Это приводит к тому, что всюду вне точки у+ величины

Рис. 4.19. Результаты расчета характеристик устойчивости Гертлера на охлаждаемой поверхности без отсоса.Рис. 4.19. Результаты расчета характеристик устойчивости Гертлера на охлаждаемой поверхности без отсоса.Рис. 4.20. Линаи максимальных инкрементов гёртлсровских вихрей при различных числах Маха.Рис. 4.20. Линаи максимальных инкрементов гёртлсровских вихрей при различных числах Маха.

Рис. 4.19. Результаты расчета характеристик устойчивости Гертлера на охлаждаемой поверхности без отсоса.

Рис. 4.19. Результаты расчета характеристик устойчивости Гертлера на охлаждаемой поверхности без отсоса.

Рис. 4.20. Линаи максимальных инкрементов гёртлсровских вихрей при различных числах Маха.

Рис. 4.20. Линаи максимальных инкрементов гёртлсровских вихрей при различных числах Маха.

и, q w, /7, 0 обращаются в нуль. Следовательно, возмущение локализуется в тонком слое в окрестности у+, толщина которого имеет порядок ^一"； Построим асимптотический метод, позволяющий при разложении искомых функций в ряды по степеням §~"2 получить дифференциальные уравнения для определения поведения функций главного приближения внутри этого слоя.

Анализ дает, что

и 5) А %(п)+ Е»论(!])+ 8^2(П)+ • •

乂(")= £%о(п)+ Е»2北](刀)+ 83JZ2(n)+

切(刀)=е”2з()(")+ ESi(r)) + &3/2wz(x\)+ ..

方(i])= ei/2p0(il)+ Р1(П)+ е'/'/Мт])%

0(т]) = 829о(л)+е5/201(л)+ е3е2(т])+.

G2 = е j (go + £”& + eg2 + ..

П =(У - y+VeR e =尸.

В дальнейшем исследовании удобно предполагать, что величина о = о°е~2 задана, а параметр Гертлера G определяется в процессе решения. Подставляя выписанные разложения в исходную систему уравнений для возмущений (4.4.1) и переходя к пере-

мепной т], получим следующую процедуру решения поставленной задачи.

В главном прпблия-;ении приходим к алгебраической системе уравнений

(军 + 卩)"0 + 争^ = 0,

竿卫。+ (军 +卩卜。一 ^ ?090 = 0,

+(¥ + й)9° = °*(4.4.5)

§ + = °'

(с + 1)卩而 + [(с + 2)卩 + -jr-j ①о — Po == О,

где функции, относящиеся к основному течению, вычисляются при у = у十.Первые три уравнения отщепляются, и мы приходим к алгебраическим уравнениям, условие разрешимости которых связывает у+, go,.o0：

［（¥+/一竿制件+［（¥+/一竿制件+备)+ *g居(齐+ и)备)+ *g居(齐+ и)=0.=0.(4.4.6)(4.4.6)

［（¥+/一竿制件+

［（¥+/一竿制件+

备)+ *g居(齐+ и)

备)+ *g居(齐+ и)

=0.

=0.

(4.4.6)

(4.4.6)

На основании уравнений (4.4.5) можно выразить все неизвестные функции через "о：

=一鶴（4- +卩），

90 =90 =一幺Т ду\ Т 十 Рг/ ■一幺Т ду\ Т 十 Рг/ ■(4.4.7)(4.4.7)

90 =

90 =

一幺

Т ду\ Т 十 Рг/ ■

一幺

Т ду\ Т 十 Рг/ ■

(4.4.7)

(4.4.7)

Ро =

На этом этапе функция % остается пока не определенной. В следующем приближении приходим к уравнению

[-^r +卩 Ml +[-^r +卩 Ml +

[-^r +卩 Ml +

[-^r +卩 Ml +

(4.4.8)(4.4.8)竿 <+ [军 + m % 一 ^ go% =p2 ⑺

(4.4.8)

(4.4.8)

#^+ [货+百。1 =耳3(哨.

Мы опустили уравнения, получающиеся лз уравнения неразрывности, и уравнения для 2-компопепты импульса. Правые части

системы (4.4.8) имеют следзпощпп в貝又：

" 喊上"0。"4-卩

71 =亍十卩，％ н

Условия разрешимости системи (4.4.8) запишутся так:

尸20也2 + 尸3 7з gWl -%3 =。，

(4.4.9)(4.4.9)(4.4.10)(4.4.10)Это выражение содержхтт два типа слагаемых: пропорциональных п и gi. Для выполпения равенства (4Л.10) необходимо, чтобы коэффициенты при rj п g, порознь обращались в нуль. При этом, если gi отлично от 幵ухя, должно быть выполнено условие

(4.4.9)

(4.4.9)

(4.4.10)

(4.4.10)

2U I Q / 2U ~ dU一厅"о + рио = (了 丽一

дТдТ%,%,откуда с учетом (4.4.6) следует, что '； = 0. Одпако последнее соотношение по может быть выполнено. Поэтому тгрпходим i; выводу, что gi = 0. Подставляя (4.4.9) в (4.4.10), получаем следующее уравнение:

дТ

дТ

%,

%,

竺丝也％ 尸匆％ /%竺丝也％ 尸匆％ /%冏1冏1(4.4.11)(4.4.11)п д IU ди\ 0 (и2 дт\ , 网［2%丽(戸^ 一厶矶戸折丿+戸丽

竺丝也％ 尸匆％ /%

竺丝也％ 尸匆％ /%

冏1

冏1

(4.4.11)

(4.4.11)

Соотношения (4.4.6)， (4.4.11) позволяют при заданном знаисшш о。найти неизвестные у+, g『Исключение из (4.4.11) go с помощью (4.4.6) дает уравнение млн нахождения》十：

/3()у 72 ду 5 ' 与勿 ду/3()у 72 ду 5 ' 与勿 ду(4.4.12)(4.4.12)

/3()у 72 ду 5 ' 与勿 ду

/3()у 72 ду 5 ' 与勿 ду

(4.4.12)

(4.4.12)

В частпом случае M = Q Т -= const, о = 0 из (4412) следует, что координата у+ соответствует точке максимума функции UdU/dy, как было получено в работе [108].

В третьем прттближетиш пол5тчаем из уравнений для х- и г/-компоиепт импульса тт уравнения этюргии следующую систс^ту:

-2犯0心

(4.4.13)(4.4.13)力〃2 + 7■而=31⑴，

(4.4.13)

(4.4.13)

丁一 乂2 + 01^2 产 ％ = S?(T)),

负!^ 十 0292 R S3(Л)-

Условие разрешимости (4.4.13) приводит нас к выражениям

邑%% + 53 % g也1 - Y go仇邑=°，

Si工Si工"仙历一玄1!犷词（『秒"仙历一玄1!犷词（『秒

Si工

Si工

"仙历一玄1!犷词（『秒

"仙历一玄1!犷词（『秒

(4.4.14)(4.4.14)旬=公,旬=公,8丄=[%8丄=[%(4.4.15)(4.4.15)

(4.4.14)

(4.4.14)

旬=公,

旬=公,

8丄=[%

8丄=[%

(4.4.15)

(4.4.15)

$2 =f1- yr 9o — 2goU■川 呑(亍

一金"。9前I歹丿一%n痂一万S林+统仇“西］戸）+

+*9浦%伶）+ 9 + 2）"宰 +（c+ 1）"靠一認，

Оd f 1 дг\ ио ? а2 / 1 д'Г

через 办:через 办:Из хрдззисний (4.4.8) можно выразить 〃口 Oi 1

через 办:

через 办:

S?, 53 из (4.4.14), по- условии разрешимостиS?, 53 из (4.4.14), по- условии разрешимости

S?, 53 из (4.4.14), по- условии разрешимости

S?, 53 из (4.4.14), по- условии разрешимости

Подставляя (4.4.15) в выра;ксния для 5(, лучим, что слагаемые, содержащие v{ н

сокращаются, п мы имсел! дифференциальное уравнение Для 寿(“)

Г 5 / U2\。2気西“］「1 от dq2-g。丿一声mГ 5 / U2\。2気西“］「1 от dq2-g。丿一声m(4.4.16)(4.4.16)

Г 5 / U2\。2気西“］「1 от dq2

-g。丿一声m

Г 5 / U2\。2気西“］「1 от dq2

-g。丿一声m

(4.4.16)

(4.4.16)

一步" 再丿」一丁盼斤/十2 彳一27入

X而斤凉丿+卞-赤行诵丿一E+

,gF^au證q& g。。^ 疋（1 ди\

+ 帀步犷一〒凉斤万卜

0产a??3町0产a??3町2a%竺?2 ду .2a%竺?2 ду .

0产a??3町

0产a??3町

2a%竺?2 ду .

2a%竺?2 ду .

Следуя работе [108J, перейдем к переменной J = У2(3//)"4»; тогда

~ 4 у|^ г；0^2 =(4.4.17)

Решение уравнения (4.4.17), затухающее при 匕 f ±8, с необходимостью имеет вид (108]

一(4.4.18)

где Hm — полипом Эрдгита. При этом неизвестная константа g2 определяется из условия

g2 =+ 2/n)/C,0,(4.4.19)

Различные значения целого параметра m в (4.4.18), (4.4.19) соответствуют различным модам задачи устойчивости пограничного слоя. Интересно, что все моды могут иметь характер неустойчиРазличные значения целого параметра m в (4.4.18), (4.4.19) соответствуют различным модам задачи устойчивости пограничного слоя. Интересно, что все моды могут иметь характер неустойчивости, однако наиболее опаснойвости, однако наиболее опасноймУд-g。g?()2,162,962,8612,854,083,6235,1114,5010,72мУд-g。g?()2,162,962,8612,854,083,6235,1114,5010,72Таблица 4.1Таблица 4.1является мода с тп = 0. В табл. 4.1 приведены результаты расчета асимптотической зависимости для ]<ривых нейтральной устойчивости (о = 0) при различных числах Маха в случае zn = 0.На рис. 4.21 представлены результаты сравнения численного расчета нейтральной кривой при М = 3 и асимптотического ре-является мода с тп = 0. В табл. 4.1 приведены результаты расчета асимптотической зависимости для ]<ривых нейтральной устойчивости (о = 0) при различных числах Маха в случае zn = 0.На рис. 4.21 представлены результаты сравнения численного расчета нейтральной кривой при М = 3 и асимптотического ре-

Различные значения целого параметра m в (4.4.18), (4.4.19) соответствуют различным модам задачи устойчивости пограничного слоя. Интересно, что все моды могут иметь характер неустойчи

Различные значения целого параметра m в (4.4.18), (4.4.19) соответствуют различным модам задачи устойчивости пограничного слоя. Интересно, что все моды могут иметь характер неустойчи

вости, однако наиболее опасной

вости, однако наиболее опасной

м

Уд-

g。

g?

()

2,16

2,96

2,86

1

2,85

4,08

3,62

3

5,11

14,50

10,72

м

Уд-

g。

g?

()

2,16

2,96

2,86

1

2,85

4,08

3,62

3

5,11

14,50

10,72

Таблица 4.1

Таблица 4.1

является мода с тп = 0. В табл. 4.1 приведены результаты расчета асимптотической зависимости для ]<ривых нейтральной устойчивости (о = 0) при различных числах Маха в случае zn = 0.

На рис. 4.21 представлены результаты сравнения численного расчета нейтральной кривой при М = 3 и асимптотического ре-

является мода с тп = 0. В табл. 4.1 приведены результаты расчета асимптотической зависимости для ]<ривых нейтральной устойчивости (о = 0) при различных числах Маха в случае zn = 0.

На рис. 4.21 представлены результаты сравнения численного расчета нейтральной кривой при М = 3 и асимптотического ре-

Рис. 4.21. Результаты расчета кривой нейт-ральной устойчивости (М = 3, т = 0).

Сплошная линия — численный, штриховая — асим-птотический расчет.

шепия. Заметим, что построенное асимптотическое решение при § -> °° вполне приемлемо и при В〜丄

В гл. 10 мы снова вернемся к исследованию неустойчивости Гётлера и приведем

приближенные аналитические зависимости для скоростей усиления возмущений о. Обширную информацию по исследованию неустойчивости типа Гёртлера можно найти в монографии [293].

§ 45 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ВТОРИЧНОГО ТЕЧЕНИЯВ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА СКОЛЬЗЯЩЕМ КРЫЛЕ )

В пограничном слое вблизи кромок стреловидного крыла существует тип неустойчивости, отличный от рассмотренных в предыдущих параграфах. В 1951 г. В. Б. Грэй [ИО] обнаружил неожиданно ранний переход к турбулентности па стреловидном крыле самолета. Визуализация течения с помощью сублимирующих покрытий показала, что вверх по потоку от зоны перехода имеют место стационарные вихревые жгуты, ориентированные приблизительно вдоль линий тока невязкого течения. В [111] было высказано предположение, что данная вихревая структура обусловлена неустойчивостью вторичных течений, возникающих в пограничном слое в окрестности передней кромки. Особенность обтекания стреловидного крыла состоит в том, что под действием градиента давления линии: тока па внешней границе пограничною слоя приобретают S-образыую форму (рис. 4.22). ]1о мере погружения в пограничный слой искривление линий тока усиливается, в результате чего в пограничном слое образуется так называемое вторичное течение перпендикулярно направлению местного вектора скорости потока на внешней границе пограничного слоя. На рис. 4.22 схематически изображены ориентации векторов скорости течения по высоте пограничного слоя и профиль скорости вторичного лечения W(у).

Задача устойчивости трехмерных пограничных слоев, по-ви- димому, впервые рассматривалась в [112], где показано, что неустойчивость вторичных течений несжимаемой жидкости в первом приближении описывается уравнением Орра ——Зоммерфслъда в рамках плоскопараллельного пограничного слоя. Подробные расчеты характеристик неустойчивости данного типа выполнены В. Б. Брауном [ИЗ], которым были построены диаграммы инкре-

Рис. 4.22, Профиль скорости среднего течения в пограничном слое на стреловидном крыле.

7 — стреловидное нрыло; 2 — передняя кромка; 3 — задняя кромна; 4 ——лилии тока невазкого течения; 5 ——профиль г-компоненты скорости ~W(y~); 6 — профиль х-комионен- ты скорости U(у); 7 — вектор скорости в пограничном слое.

ментов роста возмущения во времени в плоскости волновое число ——число Рейнольдса при различных параметрах вторичного течения. Таблицы характеристик устойчивости несяшдгаемых трехмерных пограничных слоев вблизи кромки стреловидного крыла имеются также в [64]. В дальнейшем с целью установления критериев перехода па основе линейной теории гидродинамической устойчивости был выполнен ряд работ [114— 一121] по анализу вторичных течений в пограничных слоях с учетом сжимаемости, отсоса пограничного слоя, а также охлаждения обтекаемой поверхности. В связи с тем, что у профиля скорости вторичного течения W(у) есть точка перегиба, его неустойчивость имеет невязкую природу. На рис. 4.23 показапы профили скорости вторичного то- чоппя W (//), обезразмерепной по вел пчпне полной скорости на границе пограничного слоя U*、при различных углах направления линии тока 1|)р (см. рис. 4.24) и параметрах градиента давления Л:

А — — ，自=)ре「e\^edsi0

где s ——координата вдоль поверхности по нормали к передней кромке; ре|ле ——местные значения плотности и вязкости на границе пограничного слоя; Ue — компонента скорости внешнего течения вдоль координаты s. На рис. 4.23 координата у по нормали к обтекаемой поверхности отнесена к местной толидине вытеснения пограничного слоя, определяемой по профилю скорости течения вдоль координаты s.

Приведенные здесь расчеты пограничного слоя выполнялись в рамках локально-автомоделызого ириближепия [122], показатель адиабаты z — 1,41, число Прандтля Рг = 0,72, температура торможения 7\)= 310 К. Обтекаемая поверхность считалась теплоизолированной, а вязкость вычислялась по формуле Сазерленда.

Рис. 4.23. Профили скорости вторичного тс'чсгшя.

Из рис. 4.23 ВХ1Д1Ю, что при фиксированных значениях Л, М& максимум модуля скорости во вторичзюм течении Wm^x = =max \ W(у) I достигает наибольших значений при 冲中^43°. Для заданных Ме и 屮「вторичные течения усиливаются с увеличением параметра градиента давления.

Предполагая, что среднее течение в гюграппчпом слое является слабонеодпородпым по координатам вдоль передней кромки и по нормали к ней (масштаб неоднородности велик по сравнению с характерным масштабов неустойчивых возмущений), возмутце- ние течения в локально-одпородпом приближении описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений для вектор- функции z (см. § 3.4):

Для решений системы (4.5.1), соответствующих дискретнодту спектру, должны выполняться следующие граничные условия:

оо：务一 0 (/ = 1,…,8);

у = 0: Zi = Z3 = ?7 = 0,窃 + g/ = 0.(

Еелй частота возмущения велика, то последнее условие (4.5.2) можно записать как z§ = 0, в противном случае это условие сводится к z6 — 0, т. е. к требованию о том, что возмущение теплового потока на поверхности тела обращается в нуль [52].

Дисперсионное соотношение, получаемое при решении сформулированной задачи, имеет вид

а = а(% со),(4.5.3)

где параметр 丫 =匕 + 汉.

Удобно ввести волновой вектор к = (аг, %), составляющий с местным вектором внешнего потока угол 业，н вектор скорости пространственного усиления (т = (—а；, 一丫/), составляютцин с том же вектором Up угол 屮(рис. 4.24).

Из результатов работы [116J, а также из наших расчетов следует, что при до- и трансзвуковых режимах обтекания крыла

Рис. 4.24. Ориентация волн неустойчивости вторичного течения.

1—линия тока невязкого течения; 2 ——■ волновой вектор; 3 — вектор скорости пространственного усиления.

сжимаемость среды слабо влияет на характеристики неустойчивости. Поэтому можно использовать линеаризированные трехмерные уравнения Павье — Стокса для несжимаемой среды, взяв в качестве исходных профилей скорости в пограничном слое профили, вычисленные с учетом сжимаемости, и величину плотности среды, равную плотности на границе пограничного слояЛ

На рис. 4.25 показаны зависимости инкремента роста неустойчивости от модуля волнового вектора к с учетом и без учета сжимаемости среды, а также угла направления вектора о от' к. Величины а и к обезразмерены по характерному масштабу £ = =(Wes/peUe)"?. Расчет выполнен для частоты возмущения (о = О, числа Рейнольдса R = peUpL/це = 301, местного числа Маха Ме — = 0,62, параметра градиента давления А = 0,87, угла наклона линии тока 0® = 55°. Эти параметры соответствуют одной из расчетных точек на стреловидном крыле, рассмотренном в [116]. Линии на рис. 4.25, 4.26 соответствуют нашим расчетам, крестиками отмечены результаты работы [116]. Видно, что инкременты роста, вы-

Рис. 4.25. Зависимость инкремента от модуля волнового вектора (о): 7 — без учета сжимаемости среды; 2 ——с учетом сжимаемости среды и зависимость угла направления вектора пространственного усиления от модуля волнового вектора (6).

Линии — результаты расчета [255], крестики — [116].

Рис. 4.26. Зависимость инкремента от частотного параметра для_ьюдуля волнового вектора (衣 = 0,52,屮 = 0, Me = =0,62,办=55。，А = 0,87, R = 301).

численные по несжимаемой теории, отличаются от инкрементов роста, полученных с учетом сжимаемости среды/ менее чем на 10%.

Согласно результатам расче

тов, максимальные инкременты

роста неустойчивостей хотя и реализуются на частотах, отличных от нуля, их величина мало отличается от инкрементов роста стационарных возмущений. Данное свойство иллюстрируется на рис. 4.26. Исходные параметры те же, что и на предыдущем графике.

Неустойчивость вторичных течений обусловлена наличием точки перегиба в профиле скорости вторичного течения W(у). По данным расчетов, для неустойчивых возмущений направление волнового вектора к почти перпендикулярно вектору невозмущенной скорости течения в пограничном слое на высоте, соответствующей точке перегиба кривой W(у) ； вектор скорости пространственного усиления о составляет с волновым вектором к угол, близкий к 90°,

и ориентирован примерно по линии тока певязкого течения на границе пограничного слоя. На рис. 4.25 показаны углы направления векторов кис (巾阻 и 屮 соответственно).

Таким образом, наиболее, опасные волны неустойчивости вторичного течения представляют собой почти стоячие волны, экспо- ненциально растущие вдоль линии тока невязкого течения н имеющие периодическую структуру в перпендикулярном направлении. На рис. 4.27 показаны распределения модуля возмущенихг продольной м, трансверсальной ш и вертикальной v компонент возмущения скорости для случая со = 0 (а) и схематически изображена картина линий тока возмущенного течения (6). Видно, что стоячая волна неустойчивости состоит из продольных вихревых жгутов.

2 一 модуль возмущения эс-компоненты скорости; 2 — модуль возмущения у-номпоиенты скорости； з — модуль возмущения 2-компоненты скорости; 4 — граница пограничного слоя (£7 = 0,99Up).2 一 модуль возмущения эс-компоненты скорости; 2 — модуль возмущения у-номпоиенты скорости； з — модуль возмущения 2-компоненты скорости; 4 — граница пограничного слоя (£7 = 0,99Up).

2 一 модуль возмущения эс-компоненты скорости; 2 — модуль возмущения у-номпоиенты скорости； з — модуль возмущения 2-компоненты скорости; 4 — граница пограничного слоя (£7 = 0,99Up).

2 一 модуль возмущения эс-компоненты скорости; 2 — модуль возмущения у-номпоиенты скорости； з — модуль возмущения 2-компоненты скорости; 4 — граница пограничного слоя (£7 = 0,99Up).

1131138 В. Н. Жигулев, А. М, Тумин

113

113

Эти результаты согласуются с экспериментальными наблюдениями в пограничном слое на стреловидном крыле [110, 121].

В заключение данного параграфа отаетим, что все приводимые расчеты выполнялись без учета влияния кривизны поверхности крыла вблизи передней кромки. Опубликованные недавно результаты [292] указывают на возможность сильного влияния кривизны на развитие неустойчивых возмущений.

Глава 5

гайвигиЕ НЕУСТОЙчмпис i лиВ НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ

Как уже отмечалось в предыдущих главах, в силу того что характерный масштаб волн неустойчивости (длина волны) обычно много меньше характерного масштаба, определяющего неоднородность основного течения, в главном лриближеиии необходимо рассматривать локально-однородную задачу, в которой пограничный слой представляется как плоскопараллельный. Однако при анализе развития возмущения в области лаА1инарно-турбулентпого перехода, имеющей протяженность порядка основного масштаба неоднородности, следует ожидать, что эффекты непараллелыюсти течения могут оказаться существенными. Особенно важным учет непарал- лельности течения становится при анализе экспериментальных данных. Это объясняется тем, что по мере продвижения вниз по потоку происходит деформация профиля скорости возмущения. В результате этого в эксперименте регистрируются не только изменение амплитуды возмущения, по и эс^фекты, обусловленные искажением его профиля [123——125].

Достаточно подробный обзор теоретических исследований по устойчивости слабонеоднородпых несжимаемых течений имеется в монографии [35]. Отметим здесь устоявшиеся методы анализа таких течений, которые основаны на методе многих масштабов [26, 96] и изложены в работах [126—130]. Сопоставление экспериментальных [124] и расчетных [130] данных подтвердило адекватность теоретической модели наблюдаемым явлениям в пограничном слое. В связи с проведением анализа экспериментальных данных [131] по переходу ламинарного течения в турбулентное, вызванному контролируемым возмущением, в работах [44, 99] была реализована схема расчета [129] и доказана пригодность линейной теории устойчивости как основы для расчета чисел Рейнольдса возникновения турбулентности (подробнее см. § 5.1). Результаты, полученные в [129], были обобщены на случай трехмерпых возмущений [132].

Учет эффектов непараллельности течения в пограничном слое в газе был выполнен в '[133—138, 45, 62]. Следует отметить, что

учет сжимаемости течения значительно усложняет процедуру численных расчетов. Поэтому желательно выполнение независимых контрольных расчетов различными авторами. Кроме того, информация о влиянии нелараллельности течения в пограничном слое, формирующемся на таком сложном теле, как профиль крыла, на характеристики его устойчивости получена лишь для отдельных примеров. Поэтому необходимо дальнейшее накопление опыта подобных расчетов.

§ 5.1. ОДНОМОДОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕВ СЛАБОНЕОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ.СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ

И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Рассмотрим пограничный слой на стреловидном крыле бесконечного размаха. Выберем в качестве системы координат:胃—— расстояние от передней кромки вдоль обтекаемой поверхности; у — расстояние по нормали от нее; ось Oz направлена вдоль передней кромки крыла. Уравнения Навье ——Стокса записываются в безразмерном виде; вводятся масштаб длины 厶 и масштаб скорости——скорость набегающего потока U-； время измеряется в единицах L1Uд’ давление — в единицах p^U^. Температура, коэффициент вязкости также измеряются в единицах соответствующих величии в набегающем потоке.

Для компонент скорости (U, Р*, W)^ давления и температуры (Р, Т) в невозмущенном течении предполагается следующая зависимость от координат:

и = и (勺，у),兀=8V (勺，у), W -W (/, у), -

(5.1.1) P = P(/i), T = T(%i,y), Xi — гх, 8 < 1.

Схема учета слабой неоднородности течения, используемая здесь, совпадает с развитой в работе [62]. Запишем линеаризированные уравнения Навье — Стокса после преобразования Фурье по времени в виде

告(①為)+次詹=嘱a+%2診+箔i给+ 8氮a,(5.1.2)

где вектор-функция А и матрицы ^о, S第匕案2,第з определены в § 3.4. В отличие от уравнений (3.4.18) здесь появилась матрица 第4, учитывающая неоднородность основного течения. В нее включены все слагаемые, содержащие производные по 第^ от функций основного течения и компоненту скорости V из (5.1.1) (см. приложение 4). При анализе волны неустойчивости в слабопеод- нородном пограничном слое решение (5.1.2) ищется в форме

А = [с (с。Атт (д, У) + О ⑼ exp 卜 j аТш^ + 丫成)，(5.1.3)

где Атш® у) —решение (3.4.19) при заданном значении у и атш, определяемом из дисперсного соотношения (3.4.25). Величины АТш и атв зависят от 胃力 как от параметра. Подставляя (5.1.3) в (5.1.2), получим после интегрального умножения на Втш (х15 у) из (3.4.20) уравнение

d^ [^Атш； Втш]=—d^ [^Атш； Втш]=—^Атш能 2^Атш能 2%Н1%Н1+ J宠《Атт； Втш] I,+ J宠《Атт； Втш] I,

d^ [^Атш； Втш]=—

d^ [^Атш； Втш]=—

^Атш

能 2

^Атш

能 2

%Н1

%Н1

+ J宠《Атт； Втш] I,

+ J宠《Атт； Втш] I,

(5.1.4)

из которого находим c(/J с точностью до произвольного комплексного множителя, определяющего выбор начальной амплитуды и фазы решения (5.1.3) в каком-либо сечении Xj =：第g：

с (^i) = ехр [『"тшат (第工)dx^ (5.1.5) "tHIQIIiQJh—] %2 З；111 ； В"™ + [^4^ТШ； ВТШ]П [5^2^ТШ； ^TUi]*

(5.1.G)Вектор-функция zTm arm, вектор-фуякция arm, к которой сво-(5.1.G)Вектор-функция zTm arm, вектор-фуякция arm, к которой сво-^Ттш,тш =^Ттш,тш =唸j L Z, Y唸j L Z, YВыражение (5.1.5) для Wym, тш можно привести к виду [62]

(5.1.G)

Вектор-функция zTm arm, вектор-фуякция arm, к которой сво-

(5.1.G)

Вектор-функция zTm arm, вектор-фуякция arm, к которой сво-

^Ттш,тш =

^Ттш,тш =

唸

j L Z, Y

唸

j L Z, Y

(5.1.7)(5.1.7)где оператор G приведен в приложении 5. является решением задачи (3.4.22) при а = % ——решением сопряженной задачи при а = дится задача (3.4.20):

(5.1.7)

(5.1.7)

У = 0： Хг = М = Хв = Х8 = 0；

у °°： ш < 00 (/ = 1,…，8).

При a = атш решения (3.4.22), (5.1.7) будут затухающими, если

Первоначально в рамках модели несжимаемой жидкости была разработана вычислительная программа, в которую были заложены расчетные формулы [129], обобщенные на случай трехмерных возмущений [132]. Впоследствии, при разработке пакета вычислительных программ для исследования устойчивости трехмерных пограничных слоев, была реализована описанная выше процедура; результаты расчетов для случая несжимаемой жидкости легко воспроизводятся, если положить число Маха М = 0,02.

С целью проверки пригодности линейной теории гидродипами* ческой устойчивости для описания области перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный были выполнены расчеты для той же области параметров, что и в экспериментах, описанных в работе [131]. Результаты [131] получены в малошумиой дозву-

Рис. 57. Распределение амплитуды воз- 1ущсния продольной компоненты ско- 1ости по толщине пограничного слоя ,ля двух чисел Рейиольдса Ri (1) и R2 (2) (R2>R】)・Рис. 57. Распределение амплитуды воз- 1ущсния продольной компоненты ско- 1ости по толщине пограничного слоя ,ля двух чисел Рейиольдса Ri (1) и R2 (2) (R2>R】)・Рис. 5.2. Положение нейтральных то・ чек для амплитуды возмущения продольной компоненты скорости в ПЛОСКОСТИ (R = pU00a/v, T| = y/yv①/。8, M = 0,尸=200-10-6).1—результаты расчета [44], 2 — экспериментальные данные [124], з — линия движения минимума 同.В областях I —Рис. 5.2. Положение нейтральных то・ чек для амплитуды возмущения продольной компоненты скорости в ПЛОСКОСТИ (R = pU00a/v, T| = y/yv①/。8, M = 0,尸=200-10-6).1—результаты расчета [44], 2 — экспериментальные данные [124], з — линия движения минимума 同.В областях I —рост возмущения： в областях II — зату-хание.рост возмущения： в областях II — зату-хание.Толлмина — Шлих-модуля возмущенияТоллмина — Шлих-модуля возмущения

Рис. 57. Распределение амплитуды воз- 1ущсния продольной компоненты ско- 1ости по толщине пограничного слоя ,ля двух чисел Рейиольдса Ri (1) и R2 (2) (R2>R】)・

Рис. 57. Распределение амплитуды воз- 1ущсния продольной компоненты ско- 1ости по толщине пограничного слоя ,ля двух чисел Рейиольдса Ri (1) и R2 (2) (R2>R】)・

Рис. 5.2. Положение нейтральных то・ чек для амплитуды возмущения продольной компоненты скорости в ПЛОСКОСТИ (R = pU00a/v, T| = y/yv①/。8, M = 0,尸=200-10-6).

1—результаты расчета [44], 2 — экспериментальные данные [124], з — линия движения минимума 同.В областях I —

Рис. 5.2. Положение нейтральных то・ чек для амплитуды возмущения продольной компоненты скорости в ПЛОСКОСТИ (R = pU00a/v, T| = y/yv①/。8, M = 0,尸=200-10-6).

1—результаты расчета [44], 2 — экспериментальные данные [124], з — линия движения минимума 同.В областях I —

рост возмущения： в областях II — зату-хание.

рост возмущения： в областях II — зату-хание.

Толлмина — Шлих-

модуля возмущения

Толлмина — Шлих-

модуля возмущения

;овой аэродинами теской трубе ；условиях контролируемого воз- 1ущения, вносимого в пограпич- imR слой. Ниже приводятся дан-

1ые, полученные при анализе развития волн -ипга в пограничном слое на плоской пластине.

На рис. 5.1 показано изменение профилей

жомпоненты скорости, вызванное неоднородностью невозмущен- юго течения, при М f 0 на плоской пластине для двух чисел Рейнольдса R1T R2 (R2 > Ri) - Рисунок дает представление о деформации профиля возмущения скорости при смещении точки наблюде-

хия вниз по потоку.

Уже вследствие одной деформации профиля возмущения в экс- терименте при движении датчика вниз по потоку будет регистри- •оваться либо усиление, либо затухание возмущения ——в зависимо-

Рн& 3.3. Рассчитанные значения коэффициентов усиления для про-R)j[hHOii компопопты возмущения скорости нри различш^х углах на-правления распространения волны.

М> о, F= 104'10-G (о); М=о, у = 88-Ю-6(б).

КиКи

Ки

Ки

Рис. 54 Результаты расчета коэффициентов усиления для Kui — J ( и ^dyy М = 0,尸= о

=88 • ЮТ

Начальная амплитуда возмущения s = 0.3%.

• — экспериментальные данные [131].

сти от расстояния до обтекаемой поверхности. Поэтому корректное сопоставление экспериментальных и теоретических данных возможно лишь при учете неоднородности потока. На рис. 5.2 представлено положение нейтральных точек для амплитуды возмущения ^-компоненты скорости |〃| в плоскости (R, г() для безразмерного частотного параметра F = 200 • 10-6. Видно, что ниже линии движения минимума возмущения скорости расположена область его затухания при всех числах Рейнольдса. На рис. 5.2 также нанесены экспериментальные данные [124]. Некоторое расхождение результатов расчетов с экспериментом можно объяснить небольшим градиентом давления, имевшимся при проведении опытов [124], а также, как указывают авторы (124J, существенной погрешностью в определении нейтральных точек в окрестности линии движения минимума среднеквадратичной по времени продольной компоненты возмущения скорости. Результаты расчета, пред-

Рис, 5.5. РассчитатпЕые значения коэффициентов усиления для продольной компоненты возмущения iCKOpO'CTH.

м=0,斤=88d0-6 (a,6), m=0,' 尸=104-10~6 (в)；начальная амплитуда возмущения е=0,03% (а), 0,88% (6), 0,45% (е).9—экспериментальные

，данные [131].

Рис. 5.6. Коэффициенты усиления для плоских возмущений в пограничном слое Блазиуса при различных частотных параметрах F — тг・ I。-，

ставленные на рис. 5,2, хорошо согласуются с данными работы [130].

На рис. 5.3 приводятся значения коэффициента усиления Ки продольной компоненты возмущения

распространения волны Коэффициент усиленияраспространения волны Коэффициент усиленияскорости при М f 0, F = 88 • 10~6, 104 - 10-6 и различных углах направления в пограничном слое на плоской пластине.

распространения волны Коэффициент усиления

распространения волны Коэффициент усиления

определялся как отношение максимального значения амплитуды пульсаций скорости в пограничном слое в данном сечении к его значению в исходном сечении. Нужно отметить, что неоднородность течения по продольной координате вызывает разворот волны, но в данных примерах расчета из-за малой протяженности рассматриваемой области развития вариация угла 0 = =arctg (у/а『) мала и составляет величину порядка градуса. Характер влияния угла 0 на усиление пространственной волны Толлми- на——Шлихтинга согласуется с экспериментальными данными [139].

На рис. 5.4, 5.5 показаны результаты сравнения рассчитанных значений коэффициентов усиления с экспериментальными данными [131]. В экспериментах [131] амплитуда возмущения была достаточно велика для того, чтобы в исследуемой области наблюдался переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный (рис. 5.5,6, б). Отметим неплохое согласование экспериментальных и расчетных данных практически до конца области ламинарнотурбулентного перехода. Это указывает на возможность применения линеаризированной теории для построения приближенных методов расчета критических чисел Рейнольдса перехода.

Согласно работе [131], турбулентный режим течения реализу

ется в сечениях, где амплитуда возмущения скорости достигает значения нескольких процентов от скорости внешнего потока. Этот результат соответствует оценке порогового значения амплитуды е*, начиная с которого можно ожидать существенно нелинейный режим развития возмущения с последующей тзфбулизацией течения (см. гл. 9).

На рис. 5.6 представлены результаты расчетов коэффициентов усиления Ки для случая плоской пластины; считается, что Ки = 1 при R = 300. Обращает на себя внимание тот факт, что в достаточно протяженной области от передней кромки до точки нейтральной устойчивости имеется сильное затухание возмущений. Эта ситуация, как отмечалось в § 4.3, типична для чисел Маха М < 1.

§ 5.2. ВЛИЯНИЕ 'НЕОДНОРОДНОСТИ ТЕЧЕНИЯВ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ В ГАЗЕНА ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕГО УСТОЙЧИВОСТИ

Влияние неоднородности течения в пограничном слое в газе на его устойчивость исследовалось в работах [133—137]. Эти результаты получены без учета вязко-невязкого взаимодействия, вследствие которого пограничный слой при сверхзвуковых режимах течения индуцирует градиент давления во внешнем потоке. Известно, что с ростом числа Маха роль этого эффекта должна возрастать [122]. Влияние вязко-невязкого взаимодействия на характеристики устойчивости неоднородных пограничных слоев при сверхзвуковых скоростях обтекания изучалось в работе (138]. Было рассмотрено обтекание плоской пластины при М = 4,5, числе Прандтля Рг = 0,72, показателе адиабаты х == 1,41, температуре торможения 70 = 310 К, коэффициент вязкости зависел от температуры по формуле Сазерленда. Основное течение рассчитывалось в приближении локальной автомодельности [122]. Условия на внешней границе пограничного слоя определялись в рамках теории сверхзвукового обтекания тонкого профиля с уравнением поверхности у — 8* (х), где 6* ——толщина вытеснения на плоской пластине без учета вязко-невязкого взаимодействия. Далее расчет выполнялся на основе найденных профилей скорости и температуры. На рис. 5.7 показана зависимость пространственного усиления а^?п /^-компоненты двумерного возмущения массового расхода от величины 外=少/^卩^//。^。® в сечении, соответствующем R = 1550, вычисленная с учетом неоднородности течения. На рис. 5,8 представ

лено распределение модуля возмущения х-компонеиты массового расхода по пограничному слою для тех же условий. Как видно из этих рисунков, эффект вязко-невязкого взаимодействия проявляет

ся в окрестности максимума модуля возмущения х-компопепты массового расхода. Результаты расчета без взаимодействия совпадают с данными работы [134].

В работах [134, 135] в главном приближении изучается система уравнений Дана ——Линя, а в других исследованиях па рассматриваемую тему за основу берется приближение Лиза — Линя. Это соответствует тому, что в работах [134, 135] матрицы Яо или 附) из (3.4.22) и (3.3.4) раскладываются на две части: ^ = 3^Оо + e^oi, где матрица 雍川 описывает приближение Дана ■— Лиля. При этом от величины ^01 появляется добавка к правой части (5.1.4), что

Таблица 5.1

R

aDL^e

674

4,16-10-2+ з2,4・10т

4,16-10-2+ f-2,4-Ю-з

734

4,47-10-2 — i-1,6.10"3

4,47・10-2 + m,6-10-3

794

4,77-10-3+ f.0,8-10~3

4,78.10-2 十 з0,8・10-з

Рис. 5.8. Распределение амплитуды возмущения продольной компоненты массового расхода по толщине пограничного слоя (М — 4,5, F — 130-10~6, /?— =1550),Рис. 5.8. Распределение амплитуды возмущения продольной компоненты массового расхода по толщине пограничного слоя (М — 4,5, F — 130-10~6, /?— =1550),)qc. 5.7. Распределение скороститространствепиого усиления двумер-лого возмущения продольной компо-юнты массового расхода по толщи-io пограничного слоя (М — 4,5,尸 ==130-Ю-6, R = 1550).—без учета вязко-иевязкого взаимен__ействия; 2 ——с учетом вязко-невязкогозаимодепствия; 3 ——но данным расчета[134].)qc. 5.7. Распределение скороститространствепиого усиления двумер-лого возмущения продольной компо-юнты массового расхода по толщи-io пограничного слоя (М — 4,5,尸 ==130-Ю-6, R = 1550).—без учета вязко-иевязкого взаимен__ействия; 2 ——с учетом вязко-невязкогозаимодепствия; 3 ——но данным расчета[134].1 — результаты расчета [45], 2—[134].1 — результаты расчета [45], 2—[134].

Рис. 5.8. Распределение амплитуды возмущения продольной компоненты массового расхода по толщине пограничного слоя (М — 4,5, F — 130-10~6, /?— =1550),

Рис. 5.8. Распределение амплитуды возмущения продольной компоненты массового расхода по толщине пограничного слоя (М — 4,5, F — 130-10~6, /?— =1550),

)qc. 5.7. Распределение скороститространствепиого усиления двумер-лого возмущения продольной компо-юнты массового расхода по толщи-io пограничного слоя (М — 4,5,尸 =

=130-Ю-6, R = 1550).

—без учета вязко-иевязкого взаимен__ействия; 2 ——с учетом вязко-невязкогозаимодепствия; 3 ——но данным расчета[134].

)qc. 5.7. Распределение скороститространствепиого усиления двумер-лого возмущения продольной компо-юнты массового расхода по толщи-io пограничного слоя (М — 4,5,尸 =

=130-Ю-6, R = 1550).

—без учета вязко-иевязкого взаимен__ействия; 2 ——с учетом вязко-невязкогозаимодепствия; 3 ——но данным расчета[134].

1 — результаты расчета [45], 2—[134].

1 — результаты расчета [45], 2—[134].

обусловливает поправку к собственному значению as. Обозначим юбственные значения, получающиеся из приближений Лиза ——Лиия n Дана ——Линя, через aLL и 仪口乙.Как показали результаты работы 138], величины aDL + схг и 仪工乙 весьма близки (табл. 5*1, данные триведены для плоской пластины при М = 1 и F = 20 • 10-6).

Расчеты зависимости скорости пространственного усиления от высоты в пограничном слое, полученные на основе приближения 1иза ——Линя, совпадают с результатами работы [134], в которой ：а основу было взято приближение Дана — Линя (см. рис. 5.7). Три этом надо отметить, что скорость пространственного усиления ；локально-однородном приближении Дана ——Линя сама по себе .южет отличаться от скорости усиления в приближении Лиза —— 1иня ла величину 10% и более (рис. 5.9).

Рассмотрим логарифмическую производную возмуидения массового расхода д:

.5 In 7.. Г^ In %.5 In 7.. Г^ In %+ 2abe + ?%w，+ 2abe + ?%w，CQoc =能CQoc =能密中ВТШ密中ВТШа^р = i&а^р = i&[^2Атш; Втш] [莞4AT111； Btiii ] [第2Атт； Втш][^2Атш; Втш] [莞4AT111； Btiii ] [第2Атт； Втш](5.2.1)(5.2.1)

.5 In 7.. Г^ In %

.5 In 7.. Г^ In %

+ 2abe + ?%w，

+ 2abe + ?%w，

CQoc =能

CQoc =能

密中ВТШ

密中ВТШ

а^р = i&

а^р = i&

[^2Атш; Втш] [莞4AT111； Btiii ] [第2Атт； Втш]

[^2Атш; Втш] [莞4AT111； Btiii ] [第2Атт； Втш]

(5.2.1)

(5.2.1)

浜® 外一возмущение массового расхода, рассчитанное по вектору

Рис. 59 Результаты расчета скорости пространственного усиления для двумерного воз- мущелия в пограничном слое па плоско!! ила” стине (М 二 0,6, F = 20-10-6).J ——локалыго-одпородное приближение па основе системы Лиза — Линя; 2 — расчетные данные с >гчетом непараллельноети на высоте Т)= —у/"|/Ц^Л/Рос^оо и 1，36； 3 — локально-однородное приближение на основе системы Дака — Линя.Рис. 59 Результаты расчета скорости пространственного усиления для двумерного воз- мущелия в пограничном слое па плоско!! ила” стине (М 二 0,6, F = 20-10-6).J ——локалыго-одпородное приближение па основе системы Лиза — Линя; 2 — расчетные данные с >гчетом непараллельноети на высоте Т)= —у/"|/Ц^Л/Рос^оо и 1，36； 3 — локально-однородное приближение на основе системы Дака — Линя.Рис. 5J0. Характер пространственного усиления для двумерного возмущения в пограничном слое на плоской пластине (М = 1,5, F — 40-JО-6). 1 — локально-однородное прибли- }ьение па основе Лиза — Линя; 2 — расчетные данные с учетом нспараллельЕости на высоте =2您.Рис. 5J0. Характер пространственного усиления для двумерного возмущения в пограничном слое на плоской пластине (М = 1,5, F — 40-JО-6). 1 — локально-однородное прибли- }ьение па основе Лиза — Линя; 2 — расчетные данные с учетом нспараллельЕости на высоте =2您.

Рис. 59 Результаты расчета скорости пространственного усиления для двумерного воз- мущелия в пограничном слое па плоско!! ила” стине (М 二 0,6, F = 20-10-6).

J ——локалыго-одпородное приближение па основе системы Лиза — Линя; 2 — расчетные данные с >гчетом непараллельноети на высоте Т)= —у/"|/Ц^Л/Рос^оо и 1，36； 3 — локально-однородное приближение на основе системы Дака — Линя.

Рис. 59 Результаты расчета скорости пространственного усиления для двумерного воз- мущелия в пограничном слое па плоско!! ила” стине (М 二 0,6, F = 20-10-6).

J ——локалыго-одпородное приближение па основе системы Лиза — Линя; 2 — расчетные данные с >гчетом непараллельноети на высоте Т)= —у/"|/Ц^Л/Рос^оо и 1，36； 3 — локально-однородное приближение на основе системы Дака — Линя.

Рис. 5J0. Характер пространственного усиления для двумерного возмущения в пограничном слое на плоской пластине (М = 1,5, F — 40-JО-6). 1 — локально-однородное прибли- }ьение па основе Лиза — Линя; 2 — расчетные данные с учетом нспараллельЕости на высоте =2您.

Рис. 5J0. Характер пространственного усиления для двумерного возмущения в пограничном слое на плоской пластине (М = 1,5, F — 40-JО-6). 1 — локально-однородное прибли- }ьение па основе Лиза — Линя; 2 — расчетные данные с учетом нспараллельЕости на высоте =2您.

А-гш. Влияние неоднородности основного течения впиз по потоку па характеристики неустойчивости заключается в зависимости Атш от 胃 1, которая связана с деформацией профиля возмущения (выражения в квадратных скобках в первом соотношении (5.2.1)), и в появлении в правой части (5.2.1) членов, связанных с существованием dU/dxh dW/dx^ дТ/дх^ 匕 dV/dy (а^р в (5.2.1)). Вьт- ражепие в квадратных скобках в первом соотношении (5.2.1), а следовательно, и а。 инвариантны относительно выбора нормировки Атш. На рис. 5.9 приведены зависимости мнимых частей аТш и а。 (кривые 1 и 2 соответственно) от числа Рейнольдса R для случая плоской пластины при М = 0,6, F = 20 • 10-6, т] = 1,36. При этом для всей расчетной области оказалось, что I Im апр\ ^ 3 - 10-'1. На рис. 5.10 приведены аналогичные результаты для М = 1,5 и высокочастотного возв^ущеннх с F =^ 40 -10-6. Оказалось, дто и в этом случае величина Im апр мала ( —10~4).

ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ТЕЧЕНИЯ

В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ КРЫЛАНА РАЗВИТИЕ ВОЛН ТОЛЛМИНА — ШЛИХТИНГА

В последние годы в связи с решением вопросов управления течением в пограничном слое па поверхности летательных аппаратов были начаты теоретические исследования по устойчивости пограничных слоев па стреловидных крыльях бесконечного размаха.

Рис. 5.ZZ. Численный анализ плоских возмущений на профиле крыла (/ = =1,35 кГц).

— скорость пространственного усиления в лоналыю-однородном приближении; 2 — до^ банка к скорости усиления из-за неоднородности течения; 3 ——коэффициент усиления максимума возмущения компоненты массового расхода по нормали к передней кромке; 4 — коэффициент усиления без учета неоднородности течения.

Однако ввиду сложности задачи к настоящему времени имеются лишь отдельные примеры расчетов устойчивости трехмерных пограничных слоев с учетом влияния неодпородности течения [136, 137].

В исследованных случаях в работах [136, 137] получены качественно различные результаты влияния нарастания пограничного слоя на развитие возмущений. Расчеты [136] выполнялись на стреловидном крыле с суперкритическим профилем, на котором осуществлялся отсос пограничного слоя, число Маха в набегающем потоке Моо = 0,82. Обнаружено, что на верхней поверхности вблизи передней кромки учет неоднородности течения вносит сильное дестабилизирующее влияние. В средней части профиля крыла разные частоты возмущений по-разному реагировали на неоднородность течения. Для низких частот наблюдалась стабилизация, а для высоких ——дестабилизация течения. В [137] приводятся результаты аналогичных расчетов для крыла самолета X = 21. В отличие от [136] вблизи передней кромки неоднородность течения приводила к стабилизации, а в средней части профиля крыла имела место на всех частотах дестабилизация течения.

В связи с различием в проявлении неоднородности течения при анализе устойчивости трехмерных пограничных слоев в настоящее время эти исследования нужно расценивать как предварительные. В этом плане В. И. Беловоловой [138] проведаны рас-

-100л-100лL ~5 —/0。」L ~5 —/0。」7070Рис. 5,12. Численный анализ плоских возмущении на профиле крыла. Усл. обозн. см. на рис. 5.11./ = 2,70 (а) II 4,05(б).Рис. 5,12. Численный анализ плоских возмущении на профиле крыла. Усл. обозн. см. на рис. 5.11./ = 2,70 (а) II 4,05(б).

-100л

-100л

L ~5 —/0。」

L ~5 —/0。」

70

70

Рис. 5,12. Численный анализ плоских возмущении на профиле крыла. Усл. обозн. см. на рис. 5.11.

/ = 2,70 (а) II 4,05(б).

Рис. 5,12. Численный анализ плоских возмущении на профиле крыла. Усл. обозн. см. на рис. 5.11.

/ = 2,70 (а) II 4,05(б).

Рис. 5.74. Чпслеппып анализ возмущения па стреловидном крыле (/ = = 2.7() кГц, % = 25* г^ ™ 0°). Усл. обози. см. па рис. 5.11.Рис. 5.74. Чпслеппып анализ возмущения па стреловидном крыле (/ = = 2.7() кГц, % = 25* г^ ™ 0°). Усл. обози. см. па рис. 5.11.Рис, 5.13. Численный анализ трехмерного возмущения па профиле крыла. (/ = 2,70 кГп, 2 = 41°). Усл. обозп. см. на рис. 5.11.

Рис. 5.74. Чпслеппып анализ возмущения па стреловидном крыле (/ = = 2.7() кГц, % = 25* г^ ™ 0°). Усл. обози. см. па рис. 5.11.

Рис. 5.74. Чпслеппып анализ возмущения па стреловидном крыле (/ = = 2.7() кГц, % = 25* г^ ™ 0°). Усл. обози. см. па рис. 5.11.

четы характеристик устойчивости на крыльях бесконечного размаха с симметричным профилем NACA-0012 под нулевым углом атаки при различных углах стреловидности для числа Маха в набегающем потоке, равном 0,2, давлении 105 Н,/м2, температуре 300 Кт хорда 6 равнялась 1,5 м. На рис. 5.11, 5.12 приведены зависимости скорости усиления возмущения о ^ —Im ссТш от координаты вдоль хорды крыла, добавка к скорости усиления максимума продольной компоненты возмущения массового расхода из-за неоднородности течения А, а также коэффициенты усиления максимума возмущения продольной компоненты массового расхода по нормали к передней кромке с учетом и без учета неоднородности течения для возмущений с частотами 1,35; 2,70; 4,05 кГц (/^ =^ 20 • 10-6, 40 TOU 60 ■ 10-6 соответственно). На рис. 5.13 представлены аналогичные результаты для трехмерного возмущения с частотой 2,7 кГц, когда компонента волнового вектора ^Ъ вдоль размаха крыла равнялась 958,5. Этот режим соответствует распространению возмущения под углом ^41° к координате вдоль поверхности, ориентированной по нормали к передней кромке. На рис. 5.14 приводятся данные для возмущения с частотой 2,7 кГц. распространяющегося по нормали к передней кромке, когда угол стреловидности равен 25°. Итак, в данном примере эффект неодпородпосгги течения на уиастке 0,1—0,4 хорды крыла носит стабилизирующий характер.

Приведенные результаты исследований иллюстрируют необходимость дальнейшего накопления расчетного материала с целью выяснения закономерностей влияния различных факторов, в том т1исле неоднородности, на характеристики устойчивости трехмерных пограничных слоев.

Глава 6

РАЗВИТИЕ ПАКЕТА ВОЛН НЕУСТОЙЧИВОСТИВ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ

РАЗВИТИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПАКЕТА ВОЛННЕУСТОЙЧИВОСТИ ФИКСИРОВАННОЙ ЧАСТОТЫ

В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕНА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

В отличие от экспериментальных исследований перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный при малых скоростях потока в случае сверхзвуковых течений весьма сложно ввести ис

кусственное возмущение и контролировать его развитие в условиях аэродинамической трубы. Первая работа, посвященная экспериментальному исследованию развития возмущений в сверхзвуковом пограничном слое в контролируемых условиях, выполнена в ИТПМ СО АН СССР [140]. Был применен точечный источник возмущений——пульсирующий электрический разряд (рис. 6.1), возбуждающий пространственный пакет волн неустойчивости фиксированной частоты, для анализа которого использовалась методика обработки сигнала термоанемометра, применявшаяся для случая малых дозвуковых скоростей потока в работе [139].

Нами были проведены специальные расчеты с целью сопоставления результатов теории и эксперимента [140] по пространственным пакетам волн неустойчивости в случае сверхзвукового пограничного слоя. В некотором сечении ^0 проводился спектральный анализ экспериментальных данных [140] и определялся вид иро- странствепного пакета волн неустойчивости. Далее численно изу

чалось развитие этого пакета волн вниз по потоку, и результаты

сравнивались с экспериментом. Расчет проводился для погранич

20 кГц (частотный параметр F =20 кГц (частотный параметр F =ного слоя на плоской теплоизолированной пластине при числе Маха

20 кГц (частотный параметр F =

20 кГц (частотный параметр F =

М = 2, частоте возмущения =37,5 ■ 10-6), единичном числе Рейнольдса Ri = U^/v = =6,6 ■ 10~6 м-'; ОН ВЫПОЛ' пялся в тридцати сечениях по координате ② с шагом по R = 丁凡招 равным 15. z-kom- понеита волнового числа 7 в каждом сечении изменялась от нуля до 5,74 рад/мм с ша-

Рис. 6.1. Схема эксперимопталь- ного устройства из работы [140]. а — пластина, вид сверху; 6 — разрядное устройство.

002/,раО/мм2/,раО/ммРис, £2 Распределение амплитуд в пакете волн неустойчивости в начальном '■сечении % = 30 мм.

0

0

2/,раО/мм

2/,раО/мм

гом 0,227 рад/мм. Учитывая симметрию течения, расчет покрывает значения 丫 от —5,74 до +5,74 рад/мм. Для каждого из 630 найденных собственных значений вычислялись комплексные

%PQ#mm%PQ#mmРис. 6.3. Сравнение расчетных и эцс- перимептальных распгределений амплитуд по z-компоненте волнового числа в различных сечениях а.Рис. 6.3. Сравнение расчетных и эцс- перимептальных распгределений амплитуд по z-компоненте волнового числа в различных сечениях а.значения /- и z-компоненты групповой скорости ①《 и(от, а также их отношение ①丿①厂

%PQ#mm

%PQ#mm

Рис. 6.3. Сравнение расчетных и эцс- перимептальных распгределений амплитуд по z-компоненте волнового числа в различных сечениях а.

Рис. 6.3. Сравнение расчетных и эцс- перимептальных распгределений амплитуд по z-компоненте волнового числа в различных сечениях а.

В качестве начального было взято сечение с ^0 = 30 мм. На рис. 6.2 представлены экспериментальные распределения амплитуд Л (у) в этом сечении. В расчет закладывалась сплошная линия, проведенная по экспериментальным точкам. На рис. 6.3 приведены расчетные и экспериментальные данные для трех сечений. Видно, что для 尤=45 мм имеет место хорошее согласие расчета с экспериментом, при 尤=60, 80 мм оно ухудшается, и расхождение достигает примерно 20% при 尤=80 мм. Это связано, возможно, с тем, что при развитии пакета вниз по потоку проявляются эффекты непараллельности течения в пограничном слое, которые не учитывались в данном расчете. Кроме того, в эксперименте из-за конечного притупления передней кромки пластины следует ожидать отличие пограничного слоя от расчетного, где эффект затун- 1ения не учитывался.

На рис. 6.4, а представлены результаты сравнения теоретических и экспериментальных значений ^-компоненты волнового числа а「в сечении 出=41,8 мм. Имеющееся расхождение ~10% приведет к большому различию экспериментальных и расчетных значений для зависимости фазы сигнала от расстояния вниз по потоку. Причины этого расхождения остались пока не выясненными. Наблюдается хорошее совпадение расчетных значений угла распространения волны с экспериментальными (рис. 6.4, б). Расчетные и экспериментальные данные скорости усиления возмущений при различных углах их распространенно возмущений (рис. 6.4, в) находятся в соответствии с данными работы [140].

^-компоненты волнового числа, к = 41,8 мм (а), угла распространения возму- щепия (6) и скорости прострапствеппого усиления в сечспии х — 55 мм (е)・^-компоненты волнового числа, к = 41,8 мм (а), угла распространения возму- щепия (6) и скорости прострапствеппого усиления в сечспии х — 55 мм (е)・

^-компоненты волнового числа, к = 41,8 мм (а), угла распространения возму- щепия (6) и скорости прострапствеппого усиления в сечспии х — 55 мм (е)・

^-компоненты волнового числа, к = 41,8 мм (а), угла распространения возму- щепия (6) и скорости прострапствеппого усиления в сечспии х — 55 мм (е)・

На рис. 6.5—6.8 представлены распределения амплитуд и фаз в пакете волн неустойчивости. При получении численных результатов выполнялось интегрирование по 丫 от —5,5 до +5,5 рад/мм по формуле трапеций с шагом 0,02. Обратим внимание на то, что фазы в расчете и эксперименте хорошо согласуются. Распределение амплитуд нормировалось в соответствии с экспериментальным распределением в сечениях 尤=30 мм. В целом наблюдается неплохое согласие с экспериментом.

Можно сделать вывод о том, что разработанные в [140] методики введения контрол ируемых возмущений п обработкгт сигнала термоанемометра позволяют в принципе детально сравнивать результаты линеаризированной теории гидродинамической устойчивости с экспериментальными данными в случае сверхзвуковых пограничных слоев. Можно надеяться на то, что выполненное численное исследование приведет к дальнейшему совершенствованию экспериментальной техники измерения и обработки сигнала с датчика '■.

термоанемометра при исследовании 拉'J / пакетов волн неустойчивости. Инте- респо, что применяемый метод анализа эволюции пакетов волн пеус- тойчивости позволяет пе только

255075 н,мм255075 н,ммРис. 6.5. Расчетная зависимость ?-коппо- ненты волнового числа для максимально усиливающотося возлгущения.

255075 н,мм

255075 н,мм

Рис. 6.6. Результаты сравнения расчетных (сплошная линия) и экспериментальных (О, △) данных для распределения амплитуды возмущения в пакете в сечении % = 30 мп (а) и 45 мм (6). Штриховая линия — модель Гаусса.

Рис. 67. Расчетные и экспериментальные данные распределения фазы в пакете в сечении я： — 45 мм (а) и 60 мм (б) и 70 мм (е).

Рис, 6.8. Результаты сравнения расчетных (сплошная линия) и экспериментальных (•, △) данных для распределения амплитуды возмущения в пакете в сечении а? ~ 60 мм (а) и 80 лм (6). Штриховая линия — модель Гаусса.Рис, 6.8. Результаты сравнения расчетных (сплошная линия) и экспериментальных (•, △) данных для распределения амплитуды возмущения в пакете в сечении а? ~ 60 мм (а) и 80 лм (6). Штриховая линия — модель Гаусса.

Рис, 6.8. Результаты сравнения расчетных (сплошная линия) и экспериментальных (•, △) данных для распределения амплитуды возмущения в пакете в сечении а? ~ 60 мм (а) и 80 лм (6). Штриховая линия — модель Гаусса.

Рис, 6.8. Результаты сравнения расчетных (сплошная линия) и экспериментальных (•, △) данных для распределения амплитуды возмущения в пакете в сечении а? ~ 60 мм (а) и 80 лм (6). Штриховая линия — модель Гаусса.

чассчитывать его изменение вниз по потоку, по и восстанавливать картину в сечениях, расположенных вверх по потоку от выбранного тсходного сечения xQ. На рис. 6.9 произведен такой расчет для амп- штуд в пакете волн для сечения х — 19,5 мм по эксперименталь- 丄ым данным в сечении 况=30 мм. Видно, что источник возмущений, гспользуемый в работе [140], вырабатывает существенно неоднород- тый сигнал.

В связи с тем, что для практических целей требуется уметь 1ыстро оценивать развитие пакетов волн неустойчивости, в гл. 1 )ыл приведен асимптотический метод описания пакетов волн не- хтойчивости с помощью эквивалентной неустойчивости на основа- чип решения задачи о гребне пакета. В работах [141, 143] обсуждались возможности применения различных асимптотических

тетодов к решению задачи о распространении пакетов волн неустойчивости как для плоскопараллельного, так и для нарастающего юграничиых слоев в несжимаемой жидкости. Следует отметить зк- ^ивалентность результатов гл. 1 для главного приближения и порученных авторами работ [141—143] для случая распространения пакета А з плоскопараллельном пограничной!

лое./

На рис. 6.6, 6.8 штриховой ли- 1 -一」 шей изображены результаты чис- 〔енного решения задачи о гребне пакета волн неустойчивости в главном

2-у,ра5/мм2-у,ра5/мм'辽с, 69. Расчетная амплитудная функция ° в сечении 花=19,5 мм.

2-

у,ра5/мм

2-

у,ра5/мм

приближении. Как видно, начиная лишь с сечения ②=80 мм наблюдается качественное совпадение прямого н асимптотического расчетов, что на первый взгляд 口с согласуется с результатами работы [141]. Однако нужно иметь в виду, что в сверхзвуковом пограничном слое возмущения усиливаются значительно слабее, чем в дозвуковом случае [141]. Это в конечном итоге приводит к тому, что рассматриваемое асимптотическое представление начинает удовлетворительно описывать пакет значительно дальше вниз по течению.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПАКЕТАВОЛН НЕУСТОЙЧИВОСТИ ФИКСИРОВАННОЙ ЧАСТОТЫ

В НЕСЖИМАЕМОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ.

АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Экспериментальные данные по развитию пространственного пакета волп неустойчивости [139], полученные при малых дозвуковых скоростях потока, были проанализированы в [144] с точки зрения результатов линеаризованной теории гидродинамической устойчивости. Нас будет интересовать возможность качественной интерпретации экспериментальных данных [139] на основании расчетных исследований характеристик пространственного пакета волн неустойчивости, проведенных в работе [145].

В соответствии с данными работы [139] р а с cai а три в ало сь обтекание плоской пластины при скорости набегающего потока U^ = =9,18 м/с. Координата 尤 соответствовала расстоянию до передней кромки пластины. Поскольку в [139] источник возмущений был локализован при 尤о = 250 мм, в расчетах анализировалась область /》®（）. Рассматривались частоты возмущений /1=^55, /2 = 81,4, /3 = 120 Гц, что соответствовало безразмерным частотным параметрам Ft н 63,6 • 10-6,尸2 = 94,1 • 10-6, F3 = 138,7 • 10t Числ0 Прандтля Рг = 0,72, число Маха М = 0т02. На рис. 6.10 приведены зависимости 々i（Y） （измеряемые в мм""） для частоты 55 Гц при различных значениях х. Привлекая соображения симметрии, получим, что в данном течении при 丫 * 0 имеются две седловые точки, описывающие гребень пакета. Седловые точки в области затухания располагаются в окрестности концов кривых （см. рис. 6.10）, в области роста возмущения седловые точки находятся при у* = 0. Следовательно, плоские волны （丫 = 0） затухают быстрее пространственных, в то время как в области нарастания плоские волны растут быстрее пространственных. Поэтому в области затухания （4>0） в спектре пакета будут доминировать пространственные волны, а в области роста （а； V 0）, наоборот, будут преобладать плоские волны. Это соответствует данным работы [139].

На рис. 6.11 для частоты возмущения 力 представлены зависимость dz/dx от координаты х （кривая 1） и соответствующая ей траектория движения гребня пакета волн неустойчивости, распространяющихся в пограничном слое на плоской пластине （кри-

吃♦ 70£ мм吃♦ 70£ мм;wc. 6.10. Расчетная зависимость at(Y)[F = 63,6-10-6).;-244 мм (7), 284 (2), 342 (3), 457 (4), 735 мм (5).;wc. 6.10. Расчетная зависимость at(Y)[F = 63,6-10-6).;-244 мм (7), 284 (2), 342 (3), 457 (4), 735 мм (5).Рис. G./7. Расчетная зависимость dz/dx (7) и з(/) (2) для гребня пакета. ，Рис. G./7. Расчетная зависимость dz/dx (7) и з(/) (2) для гребня пакета. ，зая 2), В силу однородности течения по координате z в физиче- -кой плоскости (片,z) будут существовать две симметричные отно- ителыю оси О/ траектории движения максимума, что и наблюдаюсь в эксперименте [13*9]. По результатам измерений [139], для /казанной частоты при 尤=600 мм максимум амплитуды возму- цения приходится на значения 2 < 40 мм, что удовлетворительно огласуется с расчетной траекторией па рис. 6.11.

吃♦ 70£ мм

吃♦ 70£ мм

;wc. 6.10. Расчетная зависимость at(Y)[F = 63,6-10-6).

;-244 мм (7), 284 (2), 342 (3), 457 (4), 735 мм (5).

;wc. 6.10. Расчетная зависимость at(Y)[F = 63,6-10-6).

;-244 мм (7), 284 (2), 342 (3), 457 (4), 735 мм (5).

Рис. G./7. Расчетная зависимость dz/dx (7) и з(/) (2) для гребня пакета. ，

Рис. G./7. Расчетная зависимость dz/dx (7) и з(/) (2) для гребня пакета. ，

Рис. 6._72. Характер вычисленной зависимости <Zi (у)仍= 94,3IL).Рис. 6._72. Характер вычисленной зависимости <Zi (у)仍= 94,3IL).ж-244 мм (Z), 300 (2), 457 (3), 549 мм (4).ж-244 мм (Z), 300 (2), 457 (3), 549 мм (4).Рмс. 6.13. Зависимость амплитуда в〃ут- реппего (7) и внешнего (2) максимумов ^-компоненты скорости возмущения от хРмс. 6.13. Зависимость амплитуда в〃ут- реппего (7) и внешнего (2) максимумов ^-компоненты скорости возмущения от хДля возмущения с частотой 120 Гц начальное сечение х0 рас- юложено в области неустойчивости, где зависимость а» (у) анало- 'ична кривой 5 на рис. 6.10. Поэтому становится понятной обнаруженная авторами работы [139] особенность, состоящая в том, -тто максимум спектральной плотности распределения по 7 приходится на область плоских воли 7 — 0. Результаты расчетов, аыало- -10, указаны на рис. 6.12 для частоты /2 = 81,4 Гц. Как видно, последний режим не содержит ярко выраженных минимумов аД^) в области затухания, что объясняется тем, что начальная точка ^0 близка к области неустойчивости.

Рис. 6._72. Характер вычисленной зависимости <Zi (у)仍= 94,3IL).

Рис. 6._72. Характер вычисленной зависимости <Zi (у)仍= 94,3IL).

ж-244 мм (Z), 300 (2), 457 (3), 549 мм (4).

ж-244 мм (Z), 300 (2), 457 (3), 549 мм (4).

Рмс. 6.13. Зависимость амплитуда в〃ут- реппего (7) и внешнего (2) максимумов ^-компоненты скорости возмущения от х

Рмс. 6.13. Зависимость амплитуда в〃ут- реппего (7) и внешнего (2) максимумов ^-компоненты скорости возмущения от х

-Поэтому из асимптотического анализа следует, что основной вклад в картину развития пакета должны давать в данном случае плоские волны.

一 Авторами работы [139] измерялись амплитуды и фазы для ^-компоненты скорости возмущения. Характерно наличие двух максимумов ио координате у (см. рис. 4.8): внутреннего——iii ma、, внешнего — w2 ma2. Для частоты 81,4 Гц результаты измерений в окрестности внутреннего максимума и{ тах показали, что линия движения максимума в пакете соответствует dz/dx Q 0,1 и в распределении спектральной плотности по 7 наблюдается максимум при Y 声 0, в то время как в окрестности внешнего максимума 辽2 max преобладают плоские волны.

На рис. 6.13 приведены расчетные зависимости th та式Y)и 以2max(Y)при х = 300 мм и частоте 81,4 Гц (кривые 1 и 2 соответственно). Видно, что распределение и{ max (у) имеет ярко выраженный максимум при 丫，0. В подобных случаях может оказаться, что асимптотический анализ пакета волн не >7 ст ойчив о сти, приведенный в гл. 1, неприменим в силу нарушения условия (1.1.11) о достаточной гладкости спектрального распределения. Что касается распределения w2 max(7)? т° оно практически не зависит от 丫 и, возможно, поэтому измерения [139] привели здесь к преобладающему влиянию плоских волн.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХПАКЕТОВ ВОЛН НЕУСТОЙЧИВОСТИ

В ДВУМЕРНЫХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ

Рассмотрим пакет волн неустойчивости, возбуждаемый импульсным воздействием в двумерном пограничном слое. Если не учитывать эффектов непараллельности течения, развитие пакета можно в главном приближении анализировать в рамках локально- однородного приближения, когда в каждом сечении пограничный слой рассматривается как плоскопараллельный. В этом случае пакет волн неустойчивости можно представить как суперпозицию отдельных гармоник, имеющих различные 胃一 и s-компоненты волнового числа а, у. Развитие гребня пакета будет описываться эквивалентной волной неустойчивости, определяемой седловой точкой в плоскости вещественных а,『Эта точка соответствует максимуму 3e = Ims(a, т) (см. гл. 1).

Нами были рассчитаны характеристики пакетов волн неустойчивости в двумерных пограничных слоях при различных числах Маха и параметрах градиента давления:

А 2自 dUeА 2自 dUe

А 2自 dUe

А 2自 dUe

где ре, це, Ue — плотность, коэффициент вязкости и скорость на

Рис. 6.14. Зависимость гс-компо- непты групповой скорости распространения пакета в пограничном слое па плоской пл астинеотчис- ла Рейнольдса R — ¥pooUoo£/% М-0,02 (I), 0,6 (2).Рис. 6.14. Зависимость гс-компо- непты групповой скорости распространения пакета в пограничном слое па плоской пл астинеотчис- ла Рейнольдса R — ¥pooUoo£/% М-0,02 (I), 0,6 (2).Рис. 6.15. Зависимость максимальной скорости пространственного усиления возмущения от числа Рейнольдса. Усл. обозн. 1—2 см. на рис. 6.14.Рис. 6.15. Зависимость максимальной скорости пространственного усиления возмущения от числа Рейнольдса. Усл. обозн. 1—2 см. на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Зависимость гс-компо- непты групповой скорости распространения пакета в пограничном слое па плоской пл астинеотчис- ла Рейнольдса R — ¥pooUoo£/% М-0,02 (I), 0,6 (2).

Рис. 6.14. Зависимость гс-компо- непты групповой скорости распространения пакета в пограничном слое па плоской пл астинеотчис- ла Рейнольдса R — ¥pooUoo£/% М-0,02 (I), 0,6 (2).

Рис. 6.15. Зависимость максимальной скорости пространственного усиления возмущения от числа Рейнольдса. Усл. обозн. 1—2 см. на рис. 6.14.

Рис. 6.15. Зависимость максимальной скорости пространственного усиления возмущения от числа Рейнольдса. Усл. обозн. 1—2 см. на рис. 6.14.

Рис, 6,16. Зависимость углов направления волнового вектора 屮(сплошная линия) и вектора групповой скорости Ф (штриховая) для наиболее быстро растущих возмущений от числа Рейнольдса.

Рис. 6.77. Зависимость максимальной скороспг пространствеплого усгтлсния (а) it ^-комноиецты групповой скорости пакета (6) от числа Рейнольдса при различных параметрах градиента давления (М = 2,5).Рис. 6.77. Зависимость максимальной скороспг пространствеплого усгтлсния (а) it ^-комноиецты групповой скорости пакета (6) от числа Рейнольдса при различных параметрах градиента давления (М = 2,5).М=1,0 (Л, 1,5 (2).

Рис. 6.77. Зависимость максимальной скороспг пространствеплого усгтлсния (а) it ^-комноиецты групповой скорости пакета (6) от числа Рейнольдса при различных параметрах градиента давления (М = 2,5).

Рис. 6.77. Зависимость максимальной скороспг пространствеплого усгтлсния (а) it ^-комноиецты групповой скорости пакета (6) от числа Рейнольдса при различных параметрах градиента давления (М = 2,5).

внешней границе пограничного слоя. Условием окончания поиска экстремума ⑵ было 11msК, |Im сот| < 4 • 10~4. На рис. 6.14 представлена зависимость ^-компоненты групповой скорости распространения пакета соа от величины R ^ Vpe?7^/ge для плоской пластины при М = 0,02 и 0,6 (кривые 1^2 соответственно) [146J. Видно, что групповая скорость растет с увеличением числа М и медленно убывает при возрастании R. На рис. 6.15 показана зависимость скорости пространственного усиления б = со/Ке (соа) (в единицах ^Uepe/\iex) от величины R для плоской пластины при М = 0,02 и 0,6 (кривые 7 и 2 соответственно).

Зависимости тангенсов углов направления -ф распространения волны неустойчивости, имеющей наибольшее усиление, и направления Ф распространения энергии в пакете волн показаны на рис. 6.16. Интересно, что в то время как при М = 1,5 угол направления распространения максимально растущей волны близок к 45° (результат, впервые отмеченный Л. М. Мэком, см. [52]), направление распространения энергии в пакете волн примерно совпадает с направлением основного течения.

Влияние градиента давления при различных числах Маха проиллюстрировано на рис. 6.17, где R§* ——число Рейнольдса, определяемое по параметрам внешнего течения и толщине вытеснения б*.

Глава 7

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛНТОЛЛМИНА 一 ШЛИХТИНГА ВОЗМУЩЕНИЯМИИЗ НАБЕГАЮЩЕГО ПОТОКА

Еще в экспериментах Шубауэра и Скрэмстеда [19] была обнаружена зависимость числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода от уровня возмущений в рабочей части аэродинамической трубы. Впоследствии была накоплена обширная информация относительно влияния внешних возмущений на протяженность переходной области (см. |[35, 147—150]).

Можно выделить следующие механизмы преобразования возмущений из набегающего потока в волны пеустойчивости пограничного слоя:

——генерация волн неустойчивости внешними возмущениями в окрестности передней кромки крыла;

——распределенная генерация воли пеустойчивости ла слабой неоднородности течения, связанной с медленным изменешюл! характеристик пограничного слоя вниз по потоку;

——генерация волн пеустойчивости внешними возмущениями па неоднородностях обтекаемой поверхности.

Роль передней кромки в механизме преобразования внешних возмущений в волны неустойчивости была выяснена в работах [151 — 157]. Теория возбуждения волн неустойчивости в окрестности передней кромки модели вихревыми возмущениями из набегающего потока разработана [158] на основе подхода [23]. Исследованиями [158] показано, что механизм преобразования вихревых возмущений в волпы неустойчивости весьма чувствителен как к форме передней кромки, так и к параметрам, характеризующим сами возмущения (см. § 7.4). В работе [159] обнаружено слияние дискретного и непрерывного спектра возмущений вблизи передней кромки при сверхзвуковом режиме течения. Этими обстоятельствами, по-видимому, можно объяснить наличие сильной зависимости местоположения перехода от величины затупления передней кромки [52].

Анализ зфавнений Навье ——Стокса, выполненный К. И. Артамоновым [160] н В. В. СтрумпНским i[161], показал, что в неоднородных течениях возможна связь между вихревыми и акустическими возмущениями. Однако распределенной генерации волн неустойчивости турбулентностью внешнего потока в теоретической работе [162] обнаружить не удалось; не наблюдалась она и в ходе экспериментов, проведенных авторами работы [154]. Прямые численные расчеты, выполненные на основе линеаризированных уравнений Навье ——Стокса [163], привели к заключению, что распределенная генерация если и имеет место, то лишь в окрестности передней кромки.

Теоретические результаты работ [23, 24] (см. гл. 1) указывают на то, что преобразование внешних возмущений во внутренние волны неустойчивости, имеющие другую фазовую скорость, возможно лишь на неоднородностях течения, в то время как в работе [162] рассматривался плоскопараллельный пограничный слой. Кроме того, как показано исследованиями [24? 45, 47, 164, 165], волна неустойчивости при распределенной генерации формируется достаточно далеко вниз по потоку, как правило, в середине области неустойчивости^ При этом на протяжении большого участка пограничного слоя должна наблюдаться так называемая промежуточная волна, которая имеет профиль возмущения тот же, что и волны неустойчивости, но распространяется по потоку с фазовой скоростью внешнего возмущения. Поэтому экспериментальная регистрация распределенной генерации весьма затруднительна.

При распределенной генерации неустойчивостей, когда фазовые скорости внешнего возмущения и волны неустойчивости сильно различаются, имеет место суммирование весьма малых интенсивностей па длине, много большей, чем длина волны неустойчивости. Поэтому попытки обнаружить распределенную генерацию путем прямого численного расчета линеаризированных уравнений Навьо — Стокса с помощью разностных методов [163] вызывают сомнения. Автором работы [166] получена генерация волн неустойчивости акустическими возмущениями. Но, как показал анализ [165], конечный результат работы [166] определялся исключительно

неоднородностью в начальной расчетной точке, в которой происходило мгновенное «включение» пограничного слоя. Отдельные расчеты в рамках схемы [23, 24] были выполнены для сверхзвукового пограничного слоя в [167].

Генерация волн неустойчивости внешними возмущениями на неоднородностях обтекаемой поверхности первоначально исследовалась только на основе прямого численного интегрирования линеаризированных уравнений Навье ——Стокса [155, 168——170]. Показано, что на волнообразных [168] и локализованных {170] шероховатостях происходит эффективное преобразование акустических возмущении в волны неустойчивости. Первая аналитическая модель, описывающая взаимодействие внешних возмущений с шероховатостью, предложена для случая малых скоростей потока в работе [1711- Асимптотическими методами эта задача была рассмотрена в [172т 173], а также в работе [174], Подробный анализ этих вопросов с учетом сжимаемости течения выполнен в работе [45].

В настоящей главе будут приведены теоретические результаты, полученные па основе методов гл. 1 применительно к вопросам возбуждения волн неустойчивости возмущениями из набегающего потока.

ВОЗБУЖДЕНИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНОЙ,ПАДАЮЩЕЙ НА ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим возбуждение гидродинамических неустойчивостей в различных конкретных случаях, пользуясь изложенным в гл. 1 общим методом.

Мы видели, что для исследования вопроса о возбуждении неустойчивостей должны быть разработаны численные методы решения следующих задач：

локально-одпородной задачи нахождения собственных значений и собственных функций дискретного спектра, а также соответствующих сопряженных величин. В результате получаем набор собственных значений и собственных функций в зависимости от параметров х- и z-координат, изменяющихся по пограничному слою;

локально-одпородной задачи нахождения функций сплошного спектра и им сопряженных, являющихся результатом взаимодействия приходящих фоновых волн с пограничным слоем. Получаемый набор функций сплошного спектра также зависит параметрически от координат / и z;

определения матричных элементов Wmn и эйконалов Fm в зависимости от величин / н ?;

численного решения системы дифференциальных уравнений (1.4.1) для конкретного исследуемого случая.

Разберем результаты решения задачи о возбуждении волны Тоннмпна — Шлихтияга акустической волной, падающей па пограничный слой плоской пластины [45, 47, 175].

Рис. 7上 Схема взаимодепст^ вия акустической волны с пограничным слоем.

Рассмотрим дозв^'ко- вое обтекание плоской по- лубесконечной пластины с острой передней кромкой, установленной под нуле

вым углом атаки (рис. 7.1). Пусть на пограничный слон падает под некоторым углом 《плоская акустическая волна заданной интенсивности и частоты со, которая преобразуется пограничным слоем и отражается от него. В результате взаимодействия акустической волны с неоднородностью, обусловленной нарастанием пограничного слоя вниз по потоку, происходит, согласно результатам гл. 1, возбуждение волны Толлмина——Шлихтинга с частотой (о. Иптея- сивиость падающей волны определяется ее источником, который находится на достаточном удалении от пограничного слоя, а фазовая скорость распространения вдоль оси х соответствует непрерывному спектру акустических возмущений.

Ограничимся двухмодовым режимом взаимодействия. В этом

случае будемА(/,')случае будемА(/,')искать решение в виде суперпозиции двух волн =са (勺)А厶(7工,У) /а + 5m (%J Атш (勺,沙)е'т%

случае будем

А(/,')

случае будем

А(/,')

/[=8爲 8 ^= V^卩8/pgU8厶 ^^C1 $ Fa/[=8爲 8 ^= V^卩8/pgU8厶 ^^C1 $ Fa(7.1.1)(7.1.1)

/[=8爲 8 ^= V^卩8/pgU8厶 ^^C1 $ Fa

/[=8爲 8 ^= V^卩8/pgU8厶 ^^C1 $ Fa

(7.1.1)

(7.1.1)

где индекс《А» соответствует акустической моде. Мы полагаем, как и в гл. 5, течепие слабопеоднородньш; L ——характерный масштаб, на котором рассматривается развитие возмущений (порядка расстояния от передней кромки до точки потери устойчивости течения относительно возмущений с частотой (о). Согласно методу, изложенному в гл. 1, для стш (^i) получается уравнение

工 СТШ^ТШ, Tin + С J歹4 Tli©Р，А —FТ111), (7.1.2)

где 1Утш, тш — матричный элемент, описывающий влияние неоднородности течения в пограничном слое на развитие волны Толлмина —Шлихтинга; WA Тщ — матричный элемент, который отвечает за преобразование акустического возмущения в волну. неустойчивости.

Пусть в некотором иачалыгом сечешш заданы условия:

Строго говоря, константы сТШо, ©ао должны определяться из расчета непосредственно от передней кромки пластины. Однако в окрестности передней кромки имеет место сильная неоднородность основного течения, которая не описывается данной математической моделью. Эту трудность удается преодолеть в том сл>?чае, когда в докритической области (область между передней кромкой и точкой потери устойчивости) происходит сильное затухание волн Толлмина——Шлихтинга, зародившихся вблизи носика модели. Тогда возможно существование области О, достаточно удаленной от передней кромки, чтобы выполнялось условие о слабой неоднородности основного течения, и в то же время достаточно удаленной от точки потери устойчивости, чтобы волны Толлмина——Шлпхтин- га, выходящие из этой области, приходили в зону неустойчивости с достаточно малыми амплитудами. Тогда, выбирая начальное сечение ^о в О и задавая Стт(/о) произвольной величиной порядка единицы, мы не исказим конечного результата. Пренебрегая деформацией акустической моды из-за слабой неоднородности течения (см. § 1.4), будем считать, что сА (х^ = сло = const. Интегрируя (7.1.2), найдем сТш(^1)：，

©тт (々)н стшо + с$и『№а, тш(^1) exp is 1 J («л — ©тш) dxx d/口

a Tin = «тт — /еИ^тш, тш?(7.1.3)

где arm ——собственное значение волны Толлмина ——Шлихтхтнга с учетом эффектов непараллельности. Тогда для вектор-функцип Q-гш, описывающей возбужденную волну, приходим к выражению

Qtiii = ©Tin Si) Атт (欠工，S ехр 卜&т j атгп彰1 )•(7.1.4)

Для модуля ^-компоненты массового расхода, рассчитанного в окрестности его максимума по вектору QTm, получаем

7m (^i) ?тш,т (^i) I стш (^ 1) I ОХР —Im『 声“•彰 1 , (7.1.5)

где 夕丁皿，m ——максимум модуля ^-компоненты массового расхода, рассчитанного по вектору АТш-

На рис. 7,2 показаны результаты расчета кривой нарастания qm в зависимости от параметра R = У^^U^х/^^ для числа Маха М = 0,6, частотного параметра F = 20 • 10-6, р = 86°. При этом сло = 1, стшо = 0, в начальном сечении R。= ¥pgU8g/圆=160, амплитуда возмущения ^-компоненты скорости в падающей волне задавалась равной единице на верхней границе пограничного слоя. Расчеты выполнялись па основе системы Дана — Лппя. Как видно из графика, возбуждаемая волна медленно затухает в докритиче-

Рис, 7.2. Рассчитанные зависимости максимума амплитуды возмущения гс-ком- попопты массового расхода от числа Рейнольдса (М = 0,7, F = 20- Ю-*6,屮= =86°).I ——индуцированная волна; 2 — свободная волна Толлмина — Шдихтлнга; 3 — промея;у- точная волна.Рис, 7.2. Рассчитанные зависимости максимума амплитуды возмущения гс-ком- попопты массового расхода от числа Рейнольдса (М = 0,7, F = 20- Ю-*6,屮= =86°).I ——индуцированная волна; 2 — свободная волна Толлмина — Шдихтлнга; 3 — промея;у- точная волна.

Рис, 7.2. Рассчитанные зависимости максимума амплитуды возмущения гс-ком- попопты массового расхода от числа Рейнольдса (М = 0,7, F = 20- Ю-*6,屮= =86°).

I ——индуцированная волна; 2 — свободная волна Толлмина — Шдихтлнга; 3 — промея;у- точная волна.

Рис, 7.2. Рассчитанные зависимости максимума амплитуды возмущения гс-ком- попопты массового расхода от числа Рейнольдса (М = 0,7, F = 20- Ю-*6,屮= =86°).

I ——индуцированная волна; 2 — свободная волна Толлмина — Шдихтлнга; 3 — промея;у- точная волна.

ской области, проходит точку потери устойчивости без изменения характера поведения и растет, подобно свободной волне Толлмп- на — Шлихтинга, начиная лишь с центральной зоны области неустойчивости.

Интегрируя в (7.1.3) по частям и подставляя в (7.1.4) при условии, что с*тп10 = 0, имеем

Qtih = Ат；」(勺，у)Qtih = Ат；」(勺，у)TIL! ■ z (% 一包m)TIL! ■ z (% 一包m)

Qtih = Ат；」(勺，у)

Qtih = Ат；」(勺，у)

TIL! ■ z (% 一包m)

TIL! ■ z (% 一包m)

_ e(％)e %_ e(％)e %X.is-1 [X.is-1 [—“Tin ki) e—“Tin ki) e!西口时!西口时,(7.1.6),(7.1.6)^ТШ(N。= £ J 青^ТШ(N。= £ J 青TUI(аА~аТШ)一TUI(аА~аТШ)一expexp(aA — атш) dxr dxr.(aA — атш) dxr dxr.

_ e(％)e %

_ e(％)e %

X.

is-1 [

X.

is-1 [

—“Tin ki) e

—“Tin ki) e

!西口时

!西口时

,(7.1.6)

,(7.1.6)

^ТШ(N。= £ J 青

^ТШ(N。= £ J 青

TUI

(аА~аТШ)一

TUI

(аА~аТШ)一

exp

exp

(aA — атш) dxr dxr.

(aA — атш) dxr dxr.

(7.1.7)

Второй член в квадратных скобках (7.1.6) описывает главную часть волны Толлмина ——Шлихтинга, которая появилась вследствие выбора начального условия стш(^0). Кривая нарастания для этой «наведенной» волны показана на рис. 7.2. Наведенная волна затухает в докритической области и оказывает заметное влияние иа интегральную кривую 1 только в узкой переходной зоне К = 160—— 450, вызывая быстро затухающие биения. На рис. 7.3 приведена завпсттмость %门 при В = 2180 от положоштя пачалытого сечения R°, начиная с которого выполнялся расчет. Как видно, прп перемеще-

%77%77Рис. 7.3. Амплитуда возмущения массового расхода в возбуждаемой волне Толлмина — Шлихтинга в зависимости от начальной расчетной координаты.

%77

%77

шш начального сечения вниз по потоку амплитуда наведенной волны в контрольном сечении R возрастает и начиная с Ro ^ 350 существенно влияет на конечный результат.

Таким образом, область начальных сечений, когда отсутствует Г.ЛТ1ЯНИО начальных данных па результат расчета амплитуды возбуждаемой волны неустойчивости? расположена вверх по потоку от точки Е； да 300.

Первый член в ква；фатных скобках выражения (7.1.6) описывает промежуточную волну, которая развивается вниз по потоку как акустическая волна и в то же время в каждом сечении х = const имеет профиль волны Толлмина—Шлихтинга (см. гл. 1). Амплитуда данной волны изображена также на рис. 7.2. Из графика видно, что именно эта часть возмущения является доминирующей во всей докритической области и в начальной зоне области неустойчивости к определяет характер поведения интегральной кривой 1 на участке R = 400—1400.

Амплитуда волны Толлмина — Шлихтинга, возбуждаемой на слабой, неоднородности пограничного слоя, содержится в третьем члене выражения (7.1.6) и имеет экспоненциально малую величину из-за быстрых осцилляций подынтегральной функции в (7.1.7). Однако, усиливаясь в области неустойчивости, эта волна становится доминирующей при R》1500 (см. рис. 7.2). В окрестности точки R = 1500 амплитуда возбуждаемой волиы Толлмина — Шлихтинга сравнима с амплнтудоИ промежуточной волны, и их суперпозиция приводит к биениям интегральной кривой 1.

Таким образом, основное возбуждение волны Толлмина —■ Шлихтинга происходит на конечном отрезке пластины R = 300—— 1500, не содержащем окрестность передней кромки.

Согласно § 1.4 характер возбуждения волн неустойчивости определяется портретом эйконала^ А = 〃厶一Ьтт и существенно зависит от выбора начального сечения Ro и контрольного сечепия R. При этом на основе разработанного асимптотического метода удается провести качественный анализ всех возможных проявлений механизма возбуждепия в топ или иной задаче. Следовательно, при решении конкретных задач можно установить соответствие между результатами численных расчетов и асимптотической теорией. Это позволит верно интерпретировать результаты численного исследования, правильно выбрать диапазон параметров, от которых зависит задача, сущоствешто сократить объем пислепттых расчетов, что особенно важно в приложениях. Обратимся снова к розульта-

этом случае асимптотичеэтом случае асимптотичеРис. 7.4. Анализ влияния различных факторов на результат расчета возбуждаемой волпы ие- устойчи1вости.

этом случае асимптотиче

этом случае асимптотиче

там расчетов, изображенным на рис. 7.2, предполагая, что портрет эйконала А показан на рис. 1.7.

Пусть контрольное сечение R расположено значительно правее точки В, в отрицательном секторе (см. рис. 1.7), а начальное сечение ——левее точки А. В

ское значение интеграла в (7.1.3) определяется окрестностью седловой точки и не зависит от положения начального и контрольного сечений. При этом в контрольном сечении мы получаем нарастающую волну Толлмина——Шлихтинга (рис. 7.2, кривая 1 при R 2000).

Если точка R лежит в положительном секторе, то асимптотическое значение интеграла в (7.1.3) будет определяться левой окрестностью седловой точки 比* и окрестностью точки R, а возбуждаемое возмущение будет складываться из волны Толлмина — Шлихтинга и промежуточной волны. При этом амплитуда промежуточной волны (см. рис. 7.2, кривую 3) будет значительно больше амплитуды волны Толлмина——Шлихтинга. Если контрольное сечение находится в окрестности точки В, промежуточная волна и волна Толлмина—Шлихтинга имеют приблизительно равные амплитуды, но различные фазовые скорости, что приводит к биениям интегральной кривой 1. Таким образом, точка пересечения В линии Re А = Re А* с действительной осью находится в окрестности этих биений, т. е. при R 工 1400——1600 (см. рпс. 7.2).

Попытаемся теперь локализовать точку А. Для этого зафиксируем контрольное сечение R в отрицательном секторе (правее точки В) II будем изменять положение контрольного сечения Ro, как это было сделано выше. На рис. 7.4 кривая 7 показывает результат численного расчета зависимости qm при R = 2180 от величины Ro. Для Rq W 300 значение интеграла в (7.1.3) практически не зависит от положения Ro. С точки зрения асимптотической теории это означает, что Ro находится в отрицательном секторе, лежащем левее точки А. При R。^ 300 мы переходим в положительный сектор и, как следствие, появляется зависимость амплитуды волны Толлмина ——Шлихтинга в контрольном сечении R от выбора начального сечения Ro. Вклад окрестности точки Ro, если она находится в положительном секторе, правее точки А, будет определяться в главном приближении величиной второго члена в выражении (7.1.6).

При переходе начального сечения Ro через точку А из отрицательного сектора в положительны!! вклад седловой точки уменьшается в 2 раза. Для того чтобы обнаружить эту особенность в расчете, избавимся от влияния начального сечения R。путем вы-

читапия величины, соответствующей второму члену (7.1.6) из выражения для 。加,и вновь проведем расчет с различными Ro (кривая 2 рис. 7.4). Как видно из графика, при изменении Ro от 160 до 360 происходит уменьшение амплитуды возбуждаемой волны Толлмина — Шлихтинга в контрольном сечении (R = 2180) в 2 раза, что согласуется с выводами асимптотической теории. Дальнейшее увеличение вызывает слабый рост амплитуды возбуждаемой волны (по сравнению с кривой 1), что связано с членами более высокого порядка малости в разложении интеграла из (7.1.3) в окрестности точки Ro. Таким образом, точка Л пересечений линии Re Д ™ Re А ^ локализована в окрестности Ro = 300 — 500. Учитывая, что Re А в точках Л и 5 должны быть одинаковыми, для значений координат точек А и В окончательно имеем Ra = 450—— 500, RB = 1550-1600.

Итак, сопоставление результатов асимптотической теории и численного исследования показало их полное соответствие. Следовательно, для рассматриваемого примера применимы все выводы асимптотической теории § 1.4 для данного типа эйконала А.

В зоне положительного сектора (R = 450——1600) возбуждается промежуточная волна, амплитуда которой распределена по у, как у волны Толлмина—Шлихтинга, а фазовые скорости промежуточной волны и акустической моды совпадают.

В зоне правого отрицательного сектора (R ^ 1600) наблюдается быстрорастущая волна Толлмина — Шлихтинга (кривая 1 (рис. 7.2) здесь эквидистантно смещена относительно кривой 2).

Возбуждение волны Толлмина—Шлихтинга происходит в окрестности точек пересечения линии Re А = Re Д^ с действительной осью, а се амплитуда определяется окрестностью седловой точки (квазирезонанс).

Приведем результаты численных расчетов по влиянию })азлич- ных параметров на амплитуду возбужденной неустойчивоста. Расчетами, выполненными для различных углов падения ф акустической волны, показано, что качественный характер поведения интегральной кривой нарастания не меняется. На рис. 7.5 приведены результаты расчетов для ф = 11° и 86° с прежней нормировкой в падающей акустической волне.

Характер влияния частотного параметра F на развитие возбуждаемой волны показан на рис. 7.6. Для F = 60 • 10~6 усиление волны Толлмина — Шлихтинга в области неустойчивости намного слабее, чем для ^ = 20 • 10""6, и амплитуда промежуточной волны всюду имеет величину, сравнимую с амплитудой волны Толлмина——Шлихтинга. Поэтому биения интегральной кривой нарастания, соответствующие F ^ 60 ■ 10-6, наблюдаются почти по всей расчетной области.

Кривые нарастания возбуждаемой волны неустойчивости для чисел Маха М = 0,2 и 0,6 показаны на рис. 7.7. Вычисления проводились при нормировке амплитуды возмущения давления р в падающей акустической волне согласно условию хМ2р = 1 на внеш- нехх границе пограничного слоя. Как видно, эффект сжимаемости

Рис. 7.5. Расчет зцвясммости максимума амплитуды возмущения ж-компоношы массового расхода от числа Рейнольдса и угла падения волнах (М = 0,6, F = =20-Ю"6).

11)=11° (2), 86° ⑶.

Рис. 7*6. Влияние тесла Рейпольдса и частотного параметра на максимум амплитуды возмущения ir-компопеиты массового расхода (М 户 0,6, 2 н 83,6е).

尸=6(М0-6 "), 20Т0Т (2).'

Рис. 7,7. Расчет завжсямоети максимума амплитуды возмухцеяия ^-компоненты массового расхода от 扌立сел Рейпольдса и Маха (F = 20* 10*6,巾』56°)* М=0,2 (1), 0,6 ⑶.

aaРис. 7.8. Результаты сравпепия расчетного начала появления волны Толлми- иа — Шлихтинга с экспериментальными данными.а) М=0,01, 2=0°, сплошные линии ——ветви нейтральной кривой (О ——начало интенсивного роста возбуждаемой волны [152]); 6) М=0,6, ij?=56°, штриховая ——расчетное положение начала интенсивного роста возбуждаемой волнм, сплошные линии ——ветви нейтральной кривой.Рис. 7.8. Результаты сравпепия расчетного начала появления волны Толлми- иа — Шлихтинга с экспериментальными данными.а) М=0,01, 2=0°, сплошные линии ——ветви нейтральной кривой (О ——начало интенсивного роста возбуждаемой волны [152]); 6) М=0,6, ij?=56°, штриховая ——расчетное положение начала интенсивного роста возбуждаемой волнм, сплошные линии ——ветви нейтральной кривой.

a

a

Рис. 7.8. Результаты сравпепия расчетного начала появления волны Толлми- иа — Шлихтинга с экспериментальными данными.

а) М=0,01, 2=0°, сплошные линии ——ветви нейтральной кривой (О ——начало интенсивного роста возбуждаемой волны [152]); 6) М=0,6, ij?=56°, штриховая ——расчетное положение начала интенсивного роста возбуждаемой волнм, сплошные линии ——ветви нейтральной кривой.

Рис. 7.8. Результаты сравпепия расчетного начала появления волны Толлми- иа — Шлихтинга с экспериментальными данными.

а) М=0,01, 2=0°, сплошные линии ——ветви нейтральной кривой (О ——начало интенсивного роста возбуждаемой волны [152]); 6) М=0,6, ij?=56°, штриховая ——расчетное положение начала интенсивного роста возбуждаемой волнм, сплошные линии ——ветви нейтральной кривой.

при дозвуковых режимах обтекания проявляется довольно слабо и пе влияет на качественную картину развития индуцированной волны.

Результаты приводимых здесь численных расчетов качественно соответствуют данным экспериментов [152], в которых исследовалось развитие волн неустойчивости в пограничном слое на плоской пластине, облучаемой продольным акустическим полем. Как в экспериментах, так и в численных расчетах интенсивно растущие волны Толлмипа —— Шлихтинга, отвечающие различным частотным параметрам F, появляются только в центральной зоне области неустойчивости (рис. 7.8).

Рассматриваемый механизм распределенной генерации волн неустойчивости при дозвуковых режимах обтекания довольно слабый. Дело в том, что масштаб неоднородности Л, на котором происходит возбуждение, значительно превосходит масштаб межмодового обмена акустической волны и волны Толлмина — Шлихтинга % 〜 〜£厶/丨々а — «тп/. Подынтегральная функция в (7.1.3) сильно осциллирует, и интеграл имеет экспоненциально малые значения. Поэтому данный механизм может быть существенным только в тех случаях, когда локальные неоднородности находятся на достаточном удалении вверх по потоку от точки потери устойчивости, чтобы возбуждаемая на них волна Толлмина ——Шлихтинга успевала сильно затухнуть.

В § 4.3 мы приводили результаты расчетов характеристик устойчивости в области, близкой к передней кромке, как при до-, так и при сверхзвуковых условиях обтекания плоской пластины. При сверхзвуковых режимах возмущения сравнительно слабо затухают в докритической области. Поэтому роль передней кромки в процессе возбуждения волны неустойчивости для сверхзвуковых ре-

жимов течения может оказаться более важной, чем при дозвуковых скоростях потока.

С другой стороны, с увеличением числа Маха возможна реализация таких режимов, при которых разность \аА аТш! настолько мала, что масштаб межмодового обмена I гЬ/\аА — аТш! сравним с масштабом непараллельности £. Это неизбежно приведет к более интенсивному возбуждению волн неусто1хтшвости за счет механизма распределенной генерации.

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛНАМИ ЗАВИХРЕННОСТИИ ДАВЛЕНИЯ, ПАДАЮПЦШИ НА ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ

В данном параграфе приведены результаты численных расчетов, аналогичных проведенным в § 7.1, для случая возбуждения волн неустойчивости возмущениями из непрерывного спектра в песжи- маемой жидкости [164]. Анализ пространственного развития возмущений фиксированной частоты в несжимаемом пограничном слое (см. § 2.1) показал, что непрерывный спектр возмущений состоит из двух волн давления и двух воли завихренности. Комплексные значения волновых чисел для волн давления (ап а2) и волн завихренности (&з, <х» определяются следующими зависимостями от параметра к (А: > 0):

Две ветви непрерывного спектра (аг, а&), как отмечалось в § 3.6, связаны с влиянием граничных условий, которые формулируются для линеаризированных уравнений Навье—Стокса в некотором сечении вниз по потоку, предполагаемом достаточно удаленным от анализируемой области течения. Поэтому мы рассматриваем только ветви аь а3.

145145В § 2.1 отмечалось, что возмущение из непрерывного спектра описывается решением обобщенной задачи Орра ——Зоммерфельда, которое можно представить в виде суммы трех линейно независимых решений. Вне пограничного слоя два из них имеют асимптотические зависимости вида ехр(土i及у), условно их можно интерпретировать как «падающую» (exp (~iky)) и «отраженную» (exp(iky)) волны. Для определенности задания внешнего возму- тцешы в приводимых далее расчетах принято, что в начальном се- пени и фиксирован коэффициент перед линейно независимым решением, соответствующим «падающей» волне. Далее, вниз по потоку, этот коэффициент изменяется в соответствии с законом затухания,

145

145

10 В. Н. Жигулев, А. М. Тумин

Рис, 79 Расчет зависимости от числа Рейнольдса максимума амплитуды ж-ком- понепты скорости возмущения, возбуждаемого волной завихреипости.

^=20-10~6,九=1 (1), 0,5 (2), 0,3 (3), 4 — свободная волна Толлмина — Шлихтинга.

Р〃с 7.10. Расчет зависимости от числя Рейнольдса максимума амплитуды ^-компоненты скорости возмущения, возбуждаемого волной давления.

尸=20。10-6,九=5，10-5(i). 10-4(2), 5，10-4(3), 10 ~"3 (4),

0,1 (5), 0,5 (6), 7 ——свободная волна Толлмина ——Шлихтинга.

определяемым Im a【или Im а3 для волн давления и завихренности. На основании результатов численного анализа § 2.1 можно сделать качественные выводы относительно характера возбуждения волн неустойчивости волнами непрерывного спектра. В самом деле, взаимодействие различных мод определяется перекрестными матричными элементами вида Wa, тпг (§ 7.1). Собственные функции, описывающие волны Толлмина — Шлихтинга, затухают вне пограничного слоя. Поэтому матричный элемент WA> Тш, рассчитываемый как интеграл по координате д, будет определяться в основном окрестностью вблизи обтекаемой поверхности. С другой сто-

рис. 7.11. Результаты сравнения различных механизмов во-збужде- пия волны неустойчивости но амплитуде матричных элементов.

роны, с увеличением параметра к усиливается проникновение решений из непрерывного спектра внутрь пограничного слоя — это должно проявляться как более интенсивное их взаимо

действие с волной неустойчивости. Одпако увеличение параметра к вызывает, в свою очередь, более интенсивное затухание амплитуды

возмущения из непрерывного спектра при его распространешш

вниз ло потоку.

При расчете начальную координату xQ мы выбирали соответствующей числу Рейнольдса Ro ^qU^xj^ = 300. Безразмерные значения параметра к измеряются в единицах ^U^р/х^^. На рис. 7.9, 7.10 представлены амплитуды максимальной ло у ^-компоненты скорости возбужденной волны Толлмина ——Шлихтинга, отнесенной к начальной амплитуде падающей волны из неирерыв- ного спектра к зависимости от чисел Рейнольдса R = ~^pU^x/^. Из результатов расчетов следует, что более существенная генерация достигается внешней волной завихренности, и в некоторых случаях амплитуда возбужденной волны становится намного больше единицы (относительно амплитуды внешнего возмущения).

Как уже указывалось, на значения амплитуд возбуждаемых волн Толлмина ——Шлихтинга сильно влияет величина соответствующих матричных элементов переходов. На рис. 7.11 приведены матричные элементы перехода акустической волны и волны Толлмина—Шлихтинга (кривая 工 М ~ 0,6, F = 20 * 10-8,屮^=86°), перехода волны завихренности и волны Толлмина——Шлихтинга (кривая 2, М = 0, F — 28 • 10~6, к = 0,2), а также перехода волны давления и волны Толлмина——Шлихтинга (кривая 3, М = 0, 〃 = =20 • 10-8, к ~ 0,001). Как видно из графика, матричные элементы, соответствующие возбуждению акустической волной, значительно превосходят в указанном диапазоне матричные элементы переходов для других типов волн. Данное обстоятельство объясняется тем, что акустическая мода, являющаяся результатом взаимодействия падающей акустической волны с рассматриваемым пограничным слоем, сильно проникает в пограничный слой и имеет там амплитуды, иногда превышающие амплитуды этой моды вне пограничного слоя. В то же время волны завихренности и волны давления весьма слабо проникают в пограничный слой. Итак, акустические возмущения оказываются более эффективными при рас-, предсленной генерации волн неустойчивости в рассмотренном диапазоне параметров (см. рис. 7.11).

ВОЗБУЖДЕНИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНОЙ,ПАДАЮЩЕЙ ИА ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙОКОЛО ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ 9)

Рассмотрим сначала течение в двумерном пограничном слое па слабоволнистой поверхности

⑺=瓦 exp [iav (啰一g) ](7.3.1)

Будем считать, что амплитуда 耳① настолько мала, что характеристики основного стационарного течения в пограничном слое на волнистой стенке мало отличаются от соответствующих характеристик на ровной поверхности. Для этого необходимо, чтобы Лу была мала по сравнению с толщиной вязкого пристеночного слоя для возмущения 6口〜bR^"? [176]. Предположим, что поверхность является теплоизолированной из высокотеплопроводного материала. Для суммарных компонент скорости и температуры возмущенного течения на обтекаемой поверхности имеем

U (ж,狐，t) — О, V (^, yw, i) = О, T 3, %, t) = Т吟(7.3.2)

где Tg — температура поверхности.

Представим характеристики течения в виде

方(芻 у, t)=U(жт y) + hvuv(x7 у)ехр(/) +t〃(怎 у,力)，

會(夠弘 t)=V(x, y)+hvvv(x, ?/)exp(Fv)+xv(x,仇力)，

(7.3.3)

戸(怎仇力)=pК，y) + hvpv(r^ y)exp (%)十可(怎y,力)，?(储 y, t) = T(x, y)十焉&(е г/)exp(^)+ t0(^, g,力)，

где U, У, Р, Т соответствуют пограничному слою на плоской пластине;7 uj иУ1 р., 8。описывают стационарное возмущение, вносимое в пограничный слой волнистой стенкой; u, q 〃，0 — характеристики нестационарного возмущения.

Подставляя (7.3.3) в уравнения Навье — Стокса и удерживая члены порядка т, Лут, вт для вектора А, описывающего периодическое ио времени возмущение с частотой со, приходим к системе уравнений

总佐^) + Z■焉=方仄+瓦^ +由за + Г exp犀)方А(7.3.4) где & — малый параметр, характеризующий непараллелыюсть течения; Н3 — оператор, связанный с непараллельностью течения;

9)Параграф написан совместно с А. В. Федоровым.

Я4 ——оператор, описывающий неоднородность, выз喪口口吹 волнистой стенкой. Вектор А, матрицы операторов 厶°, "，Яь Н2 определен ны в § 3.3.

Введем вектор-функцию Аг(-^, у), которая описывает стационарное возмущение течения, вызванное шероховатостью поверхности. Она удовлетворяет уравнениям

+ 厶 1 — Н、Х + %包02厶0, (7.3.5)

в которых (0 = 0.

Разлагая граничные условия (7.3.2) в ряд в окрестности у = 0 и учитывая, что U = дТ/ду = 0 при у = 0, Т(х, 0)=7“％ приходим к следующим граничным условиям с точностью。(无J: для вектора А

у =0: 4(芻 0) = ,4з(е, 0)^4(芻 0) = 0,外

yfg：l4・|V8 (j = l, 9);

для вектора А”

у = 0 ： Avl = — 4з = 4з п °，(7.3.7)

г/ оо： |Лг.| —* 0 (у — 1, ..., 9).

При выводе граничных условий мы предположили, что длина волны 入。—2冗/々D > т. Мы также полагаем, что фиксирована температура поверхности Tw = Twa.

Можно показать, что вектор z„, составленный из первых шести компонент вектора А。, удовлетворяет системе уравнений (см. § 3.3)

g = 0" 备工=■- 少犯，Z&3 - ZD5 Н а у 6 8：風/ <80 = 1,6),

где матрица оператора Яо вычисляется при а = а。и(о =0. Учитывая, что для задач, в которых рассматриваются акустические возмущения, можно ограничиться приближением типа Дапа — Линя (см. § 2.2), рассматриваем следз^ющую задачу для величины z。：

3% _行

足；一 以00人，

(7.3.8)(7.3.8)у = 0： z。］ = . — Uwt 互3 班5 = °，

(7.3.8)

(7.3.8)

у f 8： IzJ V oo (j =1,…，6).

Будем считать, что а。не является решением дисперсионного уравнения (2.2.8) при з=0. Тогда решение % представляет собой линейную комбинацию трех векторов, экспоненциально затухающих прп у f 8, а константы при этих векторах однозначно определяй ются из неоднородных граничных условий на стенке.

Пусть на пограничный слой падает акустическая волна, которая взаимодействует с неоднородностью и возбуждает волну Тол- лмина — Шлихтинга. Ограничиваясь двухмоповь^м режимом взаимодействия, имеем

А ⑶ у)^сА{х)Ал [х1 у) exp (F^ + стш (х) Атш (х, у)ехр(歹丁再)， где индекс «А» соответствует акустическому возмущению, а «ТШ» ——волне Толлмина ——Шлихтпнга.

Переходя к медленной переменной 况i = £疗,получаем следующее уравнение для Стш (况J:

£?Сгр yj

= ^тш^тш,™ + ^а^а^ш exp (歹А —歹тт) +

+ 7" Стт%тт,тп1 exp (储)十子 ^^„4,™ exp (% —仆皿—尸》

%%ТП1,Т1П%%ТП1,Т1П(7.3.9)(7.3.9)忆,A,Till忆,A,Till.[%AT皿вТт] [Я2Атш; ВгГШ] [/Аа； B^m] [Я2Атш; втш].[%AT皿вТт] [Я2Атш; ВгГШ] [/Аа； B^m] [Я2Атш; втш]

%%ТП1,Т1П

%%ТП1,Т1П

(7.3.9)

(7.3.9)

忆,A,Till

忆,A,Till

.[%AT皿вТт] [Я2Атш; ВгГШ] [/Аа； B^m] [Я2Атш; втш]

.[%AT皿вТт] [Я2Атш; ВгГШ] [/Аа； B^m] [Я2Атш; втш]

伤0=£胃0,

где матричный элемент ТУТш, тш, как и прежде, описывает влияние слабой неоднородности течения на развитие волны Толлмина —— Шлихтипга； WAj тШ ——матричный элемент, характеризующий возбуждение волны Толлмина——Шлихтинга в результате взаимодействия акустического возмущения с непараллельным пограничным слоем (см. § 7.1); вектор-функция Втш соответствует сопряженной задаче для дискретного спектра с а ^= сетш (см. § 3.4), которая также решается в нриближении Дана — Линя.

Для т — 0 (ровная поверхность) (7.3.9) совпадает с (7.1.2). Если сА = 0, уравнение (7.3.9) описывает пространственное развитие уединенной волны неустойчивости в пограничном слое на слабоволнистой поверхности [177, 178].

Наиболее сильное возбуждение волны Толлмина—Шлихтинга будет происходить в том случае, когда в некоторой точке выполняется условие резонанса (1.6.9) (см. § 1.6):

а а — 々тш + а@1=2 0.

При этом наибольший интерес представляет резонанс в окрестности точки потери устойчивости 犷口八 Волны Толлмина ——Шлихтинга, возбуждаемые возле названной точки, сразу попадают в область Hej^CTonniiBocTii и достигают максимальных конечных знтюшт汇

Потребуем, чтобы в начальном сечении х^, расположенном

достаточно далеко вверх по потоку от точки 第^* = zny5

^tШ (/ 10)= 0, сa (/10)= ea0.

После формального интегрирования уравнения (7.3.9) для стш(^1) имеем

СТШСТШJ [cAWA^me^-F^ + ^CaWvA^a~f^+fv\ "10 \J [cAWA^me^-F^ + ^CaWvA^a~f^+fv\ "10 \[Ес%：10 鸡 X[Ес%：10 鸡 X

СТШ

СТШ

J [cAWA^me^-F^ + ^CaWvA^a~f^+fv\ "10 \

J [cAWA^me^-F^ + ^CaWvA^a~f^+fv\ "10 \

[Ес%

：10 鸡 X

[Ес%

：10 鸡 X

(7.3.10)(7.3.10)Xexp f Ed^ ,

(7.3.10)

(7.3.10)

Е = КтШ'ТП! ^W 1),ТШ,ТП1'

Наличие малого параметра в показателях экспонент позволяет воспользоваться методом скорейшего спуска для вычисления интеграла в (7.3.10). Асимптотическое значение интеграла будет определяться окрестностью седловой точки 况Для хх——况丄*》

CTiii=taA(k)g exp XCTiii=taA(k)g exp Xf % 一 %f % 一 %dx± + Edxk ,dx± + Edxk ,(7.3.11)(7.3.11)11也T以] dx. I1 / *也T以] dx. I1 / *^Л,™ (/*)夕① +。(£1/2),^Л,™ (/*)夕① +。(£1/2),

CTiii=taA(k)g exp X

CTiii=taA(k)g exp X

f % 一 %

f % 一 %

dx± + Edxk ,

dx± + Edxk ,

(7.3.11)

(7.3.11)

1

1

也T以] dx. I

1 / *

也T以] dx. I

1 / *

^Л,™ (/*)夕① +。(£1/2),

^Л,™ (/*)夕① +。(£1/2),

々4 一《ТИ! + 々0々4 一《ТИ! + 々0（/上一/上*） +。［（胃2一/上*尸1，（/上一/上*） +。［（胃2一/上*尸1，QTui=T"A(2i*)gATin(Zi，y)expQTui=T"A(2i*)gATin(Zi，y)exp1 (注T«Tin + E)d 况 I X1 (注T«Tin + E)d 况 I X

々4 一《ТИ! + 々0

々4 一《ТИ! + 々0

（/上一/上*） +。［（胃2一/上*尸1，

（/上一/上*） +。［（胃2一/上*尸1，

QTui=T"A(2i*)gATin(Zi，y)exp

QTui=T"A(2i*)gATin(Zi，y)exp

1 (注T«Tin + E)d 况 I X

1 (注T«Tin + E)d 况 I X

где a a (-^iJ — ^A (-^ij exp jg—工]«&@/工 I——амплитуда звуковой волны

в точке резонанса; действительная фаза Ф связана с выбором ветви корня в (7.3.11); символом «*» помечены величины, вычисляемые в точке 胃1 = ^i^-При выводе (7.3.11) мы учли, что

<0.

Для вектор-функции QTm, описывающей возбуждаемую волну Толлмина Шлихтинга, имеем

Xexp 把t j avdxr

При этом модуль х-компоненты массового расхода

0 (第工，у) = т;「&4 (xu) g I gTHI (勺，у) exp0 (第工，у) = т;「&4 (xu) g I gTHI (勺，у) expj (— 8~i Im 口丁皿十 Re E) d%、

0 (第工，у) = т;「&4 (xu) g I gTHI (勺，у) exp

0 (第工，у) = т;「&4 (xu) g I gTHI (勺，у) exp

(7.3.12)

где ^Тш рассчитывается по вектору Атш(^i, у).

Таким образом, возбуждение волн Толлмина ——Шлихтинга происходит в з^зкой резонансной области | хх —— 胃1*| 〜/е. При /工——胃工*》丿£ сформировавшаяся волна неустойчивости развивается независимо от акустической волны.

Если начальное сечение х10 находится на достаточном удалении от резонансной точки (т. е. х^——ж10 S> V^s ),то согласно (7.3.12) асимптотическое значение амплитуды возбуждаемой волны не будет зависеть от выбора начального условия сТш (^ю) •

При наличии малой расстройки резонансного режима (Да = =а& —《тш + 0 при 々=胃1*) вновь воспользуемся методом скорейшего спуска. В этом случае седловая точка z*, определяемая равенством «厶—©тт + а, = 0, будет лежать в комплексной области:

z* = /* ++°(Аа2).z* = /* ++°(Аа2).(7.3.13)(7.3.13)

z* = /* ++°(Аа2).

z* = /* ++°(Аа2).

(7.3.13)

(7.3.13)

Продолжая подынтегральные функции с厶(色), WVi л, Тш (^i) и «厶—«тш + a« в комплексную плоскость z и интегрируя по контуру, проходящему через седловую точку по линии скорейшего спуска (рис. 7.12), получаем

+0⑹X+0⑹XгФ егФ еСТП1 (勺)=T~FТАСТП1 (勺)=T~FТА

+0⑹X

+0⑹X

гФ е

гФ е

СТП1 (勺)=T~F

ТА

СТП1 (勺)=T~F

ТА

I乓складывал функцииGa(zQ,叩办儿丁皿便东),(da/dz)*циальпые множители в ряды в окрестности точки /工*? соотношениюI乓складывал функцииGa(zQ,叩办儿丁皿便东),(da/dz)*циальпые множители в ряды в окрестности точки /工*? соотношениюи эксцонен- приходим ки эксцонен- приходим к

I乓складывал функцииGa(zQ,叩办儿丁皿便东),(da/dz)*

циальпые множители в ряды в окрестности точки /工*? соотношению

I乓складывал функцииGa(zQ,叩办儿丁皿便东),(da/dz)*

циальпые множители в ряды в окрестности точки /工*? соотношению

и эксцонен- приходим к

и эксцонен- приходим к

Qtiii= t I〃a (%) g + о (Ag)] АттехрQtiii= t I〃a (%) g + о (Ag)] Аттехр2f .2f .XX44XexpXexpiiexpexpx10x10(7.3.14)(7.3.14)

Qtiii= t I〃a (%) g + о (Ag)] Аттехр

Qtiii= t I〃a (%) g + о (Ag)] Аттехр

2f .

2f .

X

X

4

4

Xexp

Xexp

i

i

exp

exp

x10

x10

(7.3.14)

(7.3.14)

Из (7.3.14) видпо, в узком диапазонеИз (7.3.14) видпо, в узком диапазоне

Из (7.3.14) видпо, в узком диапазоне

Из (7.3.14) видпо, в узком диапазоне

rto резонансное взапмодспствттс сосредоточено волновых чисел ar (I ал — сстш + czJ ^ V е) при

Рис. 7.12. Линии, определяемые уравнением Rc (尸厶一%ш + К) = const (7, 2); 3 — контур интегрирования.Рис. 7.12. Линии, определяемые уравнением Rc (尸厶一%ш + К) = const (7, 2); 3 — контур интегрирования./*・ Это позволяет иолу-/*・ Это позволяет иолу-хода в волне Толлмина ——Шлихтинга (2)и модуль ^-компоненты скорости в акустической волпо (3).хода в волне Толлмина ——Шлихтинга (2)и модуль ^-компоненты скорости в акустической волпо (3).

Рис. 7.12. Линии, определяемые уравнением Rc (尸厶一%ш + К) = const (7, 2); 3 — контур интегрирования.

Рис. 7.12. Линии, определяемые уравнением Rc (尸厶一%ш + К) = const (7, 2); 3 — контур интегрирования.

/*・ Это позволяет иолу-

/*・ Это позволяет иолу-

хода в волне Толлмина ——Шлихтинга (2)и модуль ^-компоненты скорости в акустической волпо (3).

хода в волне Толлмина ——Шлихтинга (2)и модуль ^-компоненты скорости в акустической волпо (3).

чить асимптотическую оценку для амплитуды возбуждаемой волны Толлмина ——Шлихтинга на неровности, локализованной возле точки 优］* = 2rly

Пусть неровность поверхности имеет высоту hv《谷口 и

длину Z 〜5 〜£厶.Уравнение по

верхности в переменной s = ^-1(^i —зашштем в виде

加(s) = "/(s), max/(s) = l.

Представим 沙心 в виде интеграла Ф^фье по а”：

仇。=^ I Р (а»)

В результате взаимодействия акустической волны с неоднородностью, вносимой в пограничный слой фурье-компонентой 「(《&) с волновым числом, близким к резонансному режиму, произойдет возбуждение волны Толлмина ——Шлихтинга с амплитудной вектор- фзпткцией_

Qtiii= / 仪&(А)р d) g exp ±АТщХ

Хехр j (能t^ts + Е)dq ,

где a。* — волновое число, соотвстств^чотцое резонансу. Интегрируя Qthi по а。, принадлежащим резонансной области ^―а^ |^ Y£j

Таблица 7.4

м

f-lO8

R*

々цгЗ

02

分心’102

0,2

20

1020

7,27

6,96

2,86

6,50

—

40

685

8,84

8,41

2,10

6,42

60

55()

10,04

9,52

1,75

6,37

0,4

20

1010

7,02

6,47

2,19

4,90

—

40

680

8,57

7,82

1,62

4,90

—

60

540

9,64

8,76

1,36

4,90

0,6

20

960

6,44

5,74

1,56

3,42

—

40

645

7,85

6,92

1,17

3,47

—

60

520

8,97

7,84

1,01

3,54

0,8

20

900

6,73

4,96

1,01

2/4

—

40

615

7/2

6,07

0,80

2,28

60

490

8,06

6,88

0,68

2,33

приходим к следующей асимптотической формуле для суммарной амплитуды возбуждаемой волны неустойчивости:

QTni,£ = t〃A (方 1*) Р (gj И\а,ТТЛ @1*)』т111cxp ](无 ％ТП1 + Е)认•

(7.3.15)

Модуль ж-компонеяты массового расхода, рассчитанный по вектору Qtw.z, будет

出(叼,力=t I a4(勺*) P (gQ М,а>tш (方]J I 7Tш (勺，У) X

Хехр У (—s^1 ImciTITI + Re E} dxr .(7.3.16)

Соотношение (7.3.16) соответствует результату [171], полученному там в пределе М f О1.

На рис. 7.13 представлены профили модуля ж-компоненты скорости возмущения, вносимого в пограничный слой волнистой стенкой (кривая 7), модуля ^-компоненты скорости акустической моды (кривая 3) и модуля ж-компоненты массового расхода, рассчитанной по вектору zTm (кривая 2). Расчет выполнялся для М = 0,6, частотного параметра F = 20 ■ 10"G, R = 960, /^=1； возмущение давления в акустической волне, падающей под углом 巾= 45°, удовлетворяет условию 卩 аМ?" = 1 на внешней границе пограничного слоя. В табл. 7.1 приведены результаты расчетов массового расхода qm, определенного соотпошепиом (7.3.12), а также ж-компонепты модуля массового расхода в волне Толлмина — Шлихтинга, возбуждаемой па локализованной ше])оховатости 07n£ = шах [支(龙几,у)] при 色4(£1*) = 1, %=1, p(«》J = l. Там же указаны значения чисел Рейнольдса R*, соотвотствуютцпе точке т^, резонапсттые значения «% к ^тш (^1ф)- В этих расчетах полагалось, что £ =石；\ 巾= 20°,

Рис. 7.14. Расчетные данные для коэффициента преобразования акустической волны в волну Толлмина ——Шлихтинга на локализованной шероховатости в сравлепии с экспериментальными.

амплитуда продольной компоненты скорости в падающей акустической волне на внешней границе пограничного слоя равна единице. Следует отметить, что gm* практически не зависит от величин F и R*.

Авторы работы [171] экспериментально исследовали возбуждение волны неус

тойчивости в пограничном слое на плоской пластине с искусственной шероховатостью в виде ступеньки высотой hv и шириной I. Опи ввели понятие коэффициента порождения Кл, тш? вычисляемого в

сечении, которое соответствует середине ступеньки, и определяемого как отношение максимальной по координате у амплитуды пульсаций скорости в волне Толлмипа ——Шлихтинга к амплитуде пульсаций скорости в акустической волне при том же значении у. Результаты наших расчетов при М ->• 0,巾=20" и расчетов [171] совпали, они хорошо согласуются с экспериментальными данными (рис. 7.14).

ВОЗБУЖДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВИХРЕВОЙ ВОЛНОЙ,ПАДАЮЩЕЙ НА ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

У ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА )

Д° сих пор мы рассматривали различные случаи возбуждения волны неустойчивости в пограничном слое плоской пластины. Однако практически 6о〃ее важно изучение вопросов возбуждения л развития неустойчивостей в пограничных слоях на реальных обтекаемых телах, обычно имеющих затупленную переднюю кромку.

В этом параграфе исследуются проникновение нестационарных волн завихренности набегающего потока в пограничный слой па затупленном теле, а также возбуя^депие ими неустойчивостей. В качестве затупленного тела для простоты вычислений был выбран параболический цилиндр. Частота вихревых возмущений принималась порядка частоты неустойчивых волн Толлмина ——Шлихтинга в пограничном слое. 1

Исследование проводится методом сращиваемых асимптотических разложений. Применение этого метода значительно облегчается тем, что при выбранных определяющих параметрах задачи вихревые возмущения в окростпости тела имеют характерную вязкую область, толщина которой больше толщины пограничного слоя. Происхож-

Денис такой области связано с тем, что иевязкие вихревые возмущения в потенциальных потоках в окрестности критической точки имеют сингулярность [179]. При учете вязкости появляется характерная область, где вязкие эффекты компенсируют эту сингулярность.

Ограничимся рассмотрением двумерных возмущетш计 и их взаимодействием с телом, у которого радиус кривизны в критической точке имеет порядок расстояния от критической точки до точки потери устойчивости течения в пограничном слое. Метод легко обобщается на более тупые в том же смысле тела, однако неприменим для достаточно тонких тел н возмущений слишком малой частоты, когда толщина отмеченного выше вязкого слоя для волны завихренности меньше или порядка толщппы пограничного слоя.

Итак, будем исследовать прежде всего задачу о взаимодействии волны завихренности с обтекаемым затупленным телом, в частности изучим, как волна завихренности проникает в пограничный слой у поверхности параболического цилиндра, обтекаемого несжимаемой ;з近дкостью под нулевым углом атаки (см. рис. 7.15). В параболических координатах, вводимых соотношением —胃十 勿=[(三+〃) + + %г)『一у/, значению g = 0 соответствует поверхность тела; 2// —— радиус кривизны в вершине образующей параболы. Все параметры обезразмериваем так, чтобы U= х0 =^ = 1. Здесь U^ ——скорость основного течения при / +—8； 胃。=刀彳一■ точка потери устойчивости течения в пограничном слое с числом Рейнольдса

где Ue — скорость основного течения на границе пограничного слоя, имеющего толщину 6.

Введем малый параметр е = R-1/2. Предположим, что безразмерный коэффициент затупления тела 卩用若〜丄 Рассмотрим набегающие возмущения с частотой (о и волновым вектором %, которые соответствуют характерным значениям этих величин в пограничном слое:

① ~ Uoo/5,乃〜尸 при n — Ло*

Для безразмерных частот возмущения имеем

①=(о0е~2, Е = &о£「(7.4.1)

где(0° 〜乃° ~ 1.'

Область течения ио координате 己 разбивается на четыре характерные зоны (рис. 7.15): область внешнего невязкого течения I; область II, в которой вязкие эффекты для возмущения становятся существенными; пограничный слой III; вязкий подслой IV. Последний рассматривать отдельно не будем, включив его в пограничный слои. Толщина зоны II (оценку см. ниже) имеет порядок % ~ толщина пограничного слоя бш 〜е2; толщтна вязкого подслоя 6Ту ~ е3. При другик порядках величин со,九 разбиение па зоны может быть иным.

Рис. 7.15. Схема обтекания затуплен-кого тела.

Рассмотрим возмущение последовательно во всех зонах.

Зона I. Функция тока не- возмущенного течения 取 разлагается в ряд по е2:

W =，о + IQm + ….(7.4.2)

Здесь 也=2己％ а 口小 удобно представить в виде ряда по 自:

1闻=—2"6*(t]) + R(t])W + O(F),(7.4.3)

где б^ (т]) — толщина вытеснения.

Для В{ (rj) имеем

в, (Л) =丝dz.(7.4.4)

Здесь d* (n) н 5* (") — 8* (a).

Рассмотрим двумерные возмущения с функцией тока гр (ж, р)ехр(?(о%). Линеаризованные уравнения гидродинамики для завихренности

◎ = —А取(7.4.5)

записанные в параболических координатах, имеют вид

~夕© +毋+們Q +血&L电Ql e"层+ k尸（746）

В зоне I первое частное решение днн 9 ищется следующим образом:

Q = % ехрQ = % ехр(74 7)(74 7)

Q = % ехр

Q = % ехр

(74 7)

(74 7)

Подставляя (7.4.2)——(7.4.4), (7.4.7) в (7.4.6) и приравнивая коэффициенты при е~М находим из полученного уравнения

z° =必° (刀2 —守)一4心дрЕ — 2fcoop2 In ^ + 2"喷斗(7.4.8)

Решение для z° в согласии с [179] имеет логарифмическую особенность в фазе при 自 f 0. Решение (7.4.8) при 胃 + —8, у ^ const характеризуется следующим асимптотическим поведением:

旺 ду

Аналогично для 2i находим

-3犷8時?3 - 2^ор2соол - 2方%對* (⑴

+ (12喘/户 _ 4оэор6* (0) + ®/АВ；(0)) In 自一(畸 + 砲 т]2 +

+ ^окоРП — 2%т)6* 仙)+ 4iraop6* ⑺—的о J 必(％) d% +

0

，6* (%) - 6*(0)，. 2 2 f 告(%) 一 8[(0)

+ 4出0卩 J —Лh -"働加 J ■ - - n~1— dlh +0(F)■

001

Функцию тока 巾 возмущенного течения будем искать в виде 2 = =夕(式，Е)С・ Подставляя в (7.4.5), находим

(7.4.9)(7.4.9)

(7.4.9)

(7.4.9)

Выражение (7.4.9) является первым членом асимптотического разложения функции тока в зоне I, не удовлетворяющим, вообще говоря, граничным условиям. Вопрос об общем решении будет рассмотрен ниже, при построении решения в зоне III.

Величину Q из (7.4.7) можно связать со степенью турбулентности в набегающем потоке

5 = £ М〈（〃'产〉十〈8）2〉5 = £ М〈（〃'产〉十〈8）2〉при % —> — ОО,при % —> — ОО,

5 = £ М〈（〃'产〉十〈8）2〉

5 = £ М〈（〃'产〉十〈8）2〉

при % —> — ОО,

при % —> — ОО,

|QoI=]/2(R+^)£hU.

Зона II. Толщину 61Т можно оцепить, если приравнять порядки величин нестационарных и конвективных членов (7.4.6), дающих сингулярность при 自 f 0, и вязких членов. Получим 6口 = бУсоо/А Представим z в виде

Z =為 + 821 + Е”2 + ..., где все《)ут:щш зависят от впузрепиих переменных зоны II 匕= =自/% г]. Уравнение для z0

2i]zon — 2ylz0yl = 4® (户 + I]2) +味胃

имеет следующее решение, сращивающееся при Rf в е разложением z0 + s2^! + ... в переменных 〃 丫丁

徇=必0"22^ + 扌 U y； 一 4加苏2 —

У] + 1/^ У； — ^^qP^

-2®〃21口h 电卩2 - 2包卩21口 E. (7.4.10)

При Y1~^ оо z0-> icooT]2—2/%№ (In e) У工十。(У ；2). Значения квадратного корня в (7.4.10) лежат в четвертом квадранте. Аналогично находим 2i и z2:

Z] = —4icoop J/^У：—々о)。卩2 + 5* (п)(У工一]/"У； — 4io)op2)十十 ：泳。刀口1 + 1/*4加。#);

из-за громоздкости вмражсние для z2 не приводим. Для зоны II функция тока возмущенного течения

屮=一踵 4(^ + ?)+0(叨.

Зона III (пограничный слой). Внутренние переменные этой зоны У = YJе, г). Фуикгцгя тока основного течения имеет вид

5 = 282rl/(% У) + Е41|：01 + ....

При у -> оо / -^ У —5*(п). Функция тока i|; н завихренность Q возмущения в пограничном слое удовлетворяют уравнениям

—4ito0[ (р + е^У)? + “2]Q 十 1|:ОУЙП —必&『+ 屮rQut] —

—RQop = iCyy + е6Рлт),(7.4.11)

Q = 一[4哦 + (° + dy)2]-(2一飞匸 + 心力.(7.4.12)

Qo связано с 巾° таким же соотношением, как и (7.4.12). Величину Q в пограничном слое ищем в виде

С = С。ехр {Ф + e-2[i(o0r]2 + е& + dz + ...]},(7.4.13)

где Ф ——константа, определяемая из условий сращивания решений во II и в III зонах:

①=一e-2[2心炉 Ln V一心炉 + 心好2 — 2fcoop2 In e -

—4注⑴必？ /—&3鼠户]+ ^ In 2 + 1 Осо訪2 + iOyp-^j^ (0) In ]/ ~^)oP2 +■

+ In(8 丿一^oZ;2) [12«о/>2 — 4соор26^ (G) + ib\p~B1 (0)].

Для % получаем уравнение

-4% (哦+ 〃2) + 4心0h2广=z}.

Здесь и далее 广=刃(“，У)/@У,力i = @/(% У)/6г). С учетом условий сращивания:

УУМ— 4® 卩 2М— 4® 卩 2у — 5* ⑺ + 沦m +у — 5* ⑺ + 沦m +dYdY

У

У

М— 4® 卩 2

М— 4® 卩 2

у — 5* ⑺ + 沦m +

у — 5* ⑺ + 沦m +

dY

dY

(7.4.14)

рр(7.4.15)(7.4.15)1 +1 +屮屮4(^ + d)4(^ + d)Q(1 + 0 ⑹).Q(1 + 0 ⑹).(7.4.16)(7.4.16)

р

р

(7.4.15)

(7.4.15)

1 +

1 +

屮

屮

4(^ + d)

4(^ + d)

Q(1 + 0 ⑹).

Q(1 + 0 ⑹).

(7.4.16)

(7.4.16)

Для z получаеИ

У + 5* (n) +У + 5* (n) +z = " 1 ("TT-—泌。)dF + %" (У — 6* (喇一

У + 5* (n) +

У + 5* (n) +

8'CO

In 1 +4(1—力 +

Функция тока возмущенного течения в зоне III будет иметь вид

Решение (7.4.16) пе удовлетворяет граничным условиям прилипания при У = 0. Поэтому построим еще два частных решения уравнений (7.4Л1), (7.4.12), исчезающих при У+8 K имеющих при У = 0 для 屮 и «у такую же зависимость от 斗 как и у построенного выше частного решения («падающей» волны завихренности). Возьмем их линейную комбинацию и удовлетворим граничным условиям при У = 0. Одно из этих решений («отраженная» волна завихренности) в зоне III имеет вид, аналогичный (7.4.13) с заменой 勺 ла z；，z на z] где

оо1 + , (1 -广)丿 一 I1 + , (1 -广)丿 一 IdYdY(7.4.17)(7.4.17)

о

о

1 + , (1 -广)丿 一 I

1 + , (1 -广)丿 一 I

dY

dY

(7.4.17)

(7.4.17)

zr = I"] f ——- dY — f (/ + nA]) dY — -i In (]

(7.4.18

Можно показать, что решения (7.4.17), (7.4.18) экспоненциально убывают в зонах II и I и имеет ту же зависимость от 刀 при У = О, что и решение для «падающей» волны (7.4.14), (7.4.15).

Функцию тока второго дополнительного решения ищем в форме

中=或q(一心0)1 exp Ф H——5 [(p(r), y) +(?(e)].

Функция ф удовлетворяет уравиеншо Орра——Зоммерфельда:

—4庙0卢(1 +予(1 — /')) (," — 4嗡 1]2ф) — ^^■j"'屮=

=卢(亲' -4庙河)中，(7.4.19)

Ф f const ехр(—2(ОоГ)У) при У — 8.(7.4.20}

Уравнение (7.4.19) с асимптотикой (7.4.20) и условием нормировки 屮(П, 0)= 1 решалось численно.

Искомая функция тока волны завихренности в пограничном слое искалась в виде

叭=V + Q (n)炉+ & (刀)炉，где б(г|) и &(п) определялись из граничных условий

屮力=~dY~ 0 ПРИ 2=0.

Изложенный метод решения можно применить и для других порядков величин(о, 6,屮,лишь бы толщина слоя II была бы много больше толщины пограничного слоя.

Особый интерес для вопросов устойчивости представляет случай более низких частот со 口 соо&~М так как при этом значения ① будут порядка частоты неустойчивых волн Толлмина——Шлихтинга. Ввиду того что положение зон I ——III не зависит от волнового числа к, полученные выше результаты остаются справедливыми для 友0 =介00ё.

Для случая(о = «0&-1 имеют место оценки:

% 〜ё財2, 61И ~ 吃 小V ~

Решение исходной задачи для воли завихренности такой частоты получается заменой со на соо8 тт перегруппировкой членов в полученном выше решении для Q и，. Некоторое отличие состоит лишь в том, что для второго дополнительного решения характерной областью будет не только пограничный слой, но и область с У2 £~*'丫. Так как нас интересует решение для волны завихренности в основном в зоне III, второе дополнительное решение в этой области мы исследовать ие будем.

161161На рис. 7.16—7.19 представлены результаты численного расчета амплитуды ^-компоненты возмущенной скорости, отнесенной

161

161

11 В. Н. Жигулев, А, М, Тумин

Рис. 7.16. Распределение амплитуды пульсаций скорости по пограничному слою при различных значениях частоты.Рис. 7.16. Распределение амплитуды пульсаций скорости по пограничному слою при различных значениях частоты.Рис. 7.17. Распределение амплитуды пульсаций скорости по пограничному слою при различных значениях параметра к0.Рис. 7.17. Распределение амплитуды пульсаций скорости по пограничному слою при различных значениях параметра к0.

Рис. 7.16. Распределение амплитуды пульсаций скорости по пограничному слою при различных значениях частоты.

Рис. 7.16. Распределение амплитуды пульсаций скорости по пограничному слою при различных значениях частоты.

Рис. 7.17. Распределение амплитуды пульсаций скорости по пограничному слою при различных значениях параметра к0.

Рис. 7.17. Распределение амплитуды пульсаций скорости по пограничному слою при различных значениях параметра к0.

к 8$ 〈К'〉=〈м'〉/£н для случая ①=йи&т. Расчеты проведены для R = е" = 1450, р 0,41.

На рис. 7.16 показана величина 〈讶‘〉по сечению пограничного слоя при г] = 2,5, к = 1?2, со。= 0,5 (кривая 7), (о0 = 1,0 (2), g = —2,0 (3), а на рис. 7.17 — то же при соо = 0,5, “ — 2,5,儿=1,0; 1,2; 4,4; 1,6; 1,8 ——кривые 7——5 соответственно. Штриховая линия —— граница пограничного слоя. Видно, что внешнее возмущение в данном случае сильнее проникает в пограничный слой, чем на плоской пластине (см. § 7.2).

Зависимость величины 〈広，〉от kQ при г] — 2,5, «о = 0,5, У == 6 показана на рис. 7.18 и то же при У ~ 6, (о0 = 0,5, “ = 3,0; 2,5; 2,0; 1,5 (кривые 7—4 соответственно)—на рис. 7.19.

Перейдем теперь к вопросу о возбуждении воли неустойчивости в пограничном слое у параболического цилиндра. Выше были получены главные члены асимптотического решения линеаризованных уравнений Навье ——Стокса для волны завихренности, взаимодействующей с пограничным слоем на параболическом цилиндре. Это решение удовлетворяет граничным условиям на поверхности тела и имеет соответствующее асимптотическое доведение при 出 f 一吗 у = const. Ограничимся рассмотрением этого решения в зоне III (пограничный слой). Заметим, что оно не полное. Локально, т. е при фиксированном 刀,к нему можно добавить любую комбинации собственных pemeiuiii уравнения Орра ——Зоммерфельда той же са мой частоты со, удовлетворяющих однородным граничным условиям при У = 0 и У f в. Это можно сделать потому, что с той же точ ностью, что и выше, задача для таких собственных решений будет

4ic. 7.18. Зависимость ампли- уды пульсаций скорости на лешпей границе пограничного слоя от параметра ко.4ic. 7.18. Зависимость ампли- уды пульсаций скорости на лешпей границе пограничного слоя от параметра ко.<7><7>Рис. 7.19. пульсаций метра ка вРис. 7.19. пульсаций метра ка вРасчетные значения амплитуды скорости в зависимости от пар®- различных сечениях пограничного слоя.Расчетные значения амплитуды скорости в зависимости от пар®- различных сечениях пограничного слоя.

4ic. 7.18. Зависимость ампли- уды пульсаций скорости на лешпей границе пограничного слоя от параметра ко.

4ic. 7.18. Зависимость ампли- уды пульсаций скорости на лешпей границе пограничного слоя от параметра ко.

<7>

<7>

Рис. 7.19. пульсаций метра ка в

Рис. 7.19. пульсаций метра ка в

Расчетные значения амплитуды скорости в зависимости от пар®- различных сечениях пограничного слоя.

Расчетные значения амплитуды скорости в зависимости от пар®- различных сечениях пограничного слоя.

локально-однородной. Зависимость коэффициентов от п перед эти- аш собственными решениями можно найти методом, основывающимся на разрешимости следующего по 8 приближения (см. гл. 1). Наибольший интерес здесь представляет собственное решение, соответствующее еонно Толлмина ——Шлихтинга, возбуждаемой в пограничном слое волной завихренности.

Следуя методу, описанному в гл. 1, введем вектор-функцию юзмущения

А II f диг ,, ди! 5pz II . Tcof

ще 北‘,i/ — r)- и ^-компоненты возмущенной скорости, р‘ 一 возму- цение давления. А(г),自,(о) удовлетворяет системе линеаризованных уравнений Навье ——Стокса (в параболических координатах):

£А = 0,(7.4.21)

£，= £。专 + £]-"為-

Здесь Li — линейные операторы, представляющие собой матрицы размерностью 6X6. Матрицы Lo,乙匕 L2 составляют локально-однородную задачу и содержат главные члены, характеризующие основное течение, L& — матрица неоднородности, содержащая члены, связанные со слабым расширением пограничного слоя и кривизной поверхности, которые имеют более высокий порядок малости по степеням е, чем элементы матрицы L^

Определим бпортогональную систему собственных вег\тор-фупк~ ций локалыю-однородпого приближения (см. гл. 1)

广 0А& 不Mai = 4x3 = 0 ПРИ 自=О,厶。方г =+ 心Aa, h %] V 8 при Wf8；广 0А& 不Mai = 4x3 = 0 ПРИ 自=О,厶。方г =+ 心Aa, h %] V 8 при Wf8；0丁0丁=KBa —痘房 Ba,=KBa —痘房 Ba,J&2 ~ В a* — 0 При ^ = О, Н Baj I < 8 При 占~> 8：J&2 ~ В a* — 0 При ^ = О, Н Baj I < 8 При 占~> 8：(7.4.22)(7.4.22)

广 0А& 不Mai = 4x3 = 0 ПРИ 自=О,

厶。方г =+ 心Aa, h %] V 8 при Wf8；

广 0А& 不Mai = 4x3 = 0 ПРИ 自=О,

厶。方г =+ 心Aa, h %] V 8 при Wf8；

0丁

0丁

=KBa —痘房 Ba,

=KBa —痘房 Ba,

J&2 ~ В a* — 0 При ^ = О, Н Baj I < 8 При 占~> 8：

J&2 ~ В a* — 0 При ^ = О, Н Baj I < 8 При 占~> 8：

(7.4.22)

(7.4.22)

(7.4.23)(7.4.23)Решение системы (7.4.21) с начальными данными а(t]0。,自)Н40代) имеет вид

(7.4.23)

(7.4.23)

А н А。+ £' % 師 Aa (% § exp %』々(％) %

где A。——построенное выше частное решение для волны завихренности, 士 означает суммирование по дискретному и интегрирование a,

по непрерывному спектрам. Пренебрегая всеми модами, кроме исходной волны завихренности и волны Толлмина——Шлихтинга, будем искать решение в форме

А = А：? + ^тш(Л)Атш (л^ У ехР % J атш (^li) ^Л1，(7.4.24)

Атт(п, S) — нормированные собственные функции задачи (7.4.22) для волны Толлмина Шлихтинга.

Подставляя (7.4.24) в (7.4.21) и умножая интегрально на Втш, получаем

r n一

©тп!(Л)= — exp — J 叩工口叮口(％) &% X

丿(Жтш)тш — /атш) &П“ 對2丿(Жтш)тш — /атш) &П“ 對2XC+ J%Tm(G)exp

丿(Жтш)тш — /атш) &П“ 對2

丿(Жтш)тш — /атш) &П“ 對2

[^2^Tin； Втш],[^2^Tin； Втш],Здесь.

[^2^Tin； Втш],

[^2^Tin； Втш],

W7™,™ = % - 方詐-十 ЕаАтщВтп!

叩巩Tin =【£А&; ВТП1]/[£2Ат1п； Втш],

Соо ——амплитуда волны Толлмина ——Шлихтинга при 刀 ~ п。。, определяемая из (7.4.23).

На рис. 7.201 представлены результаты численного расчета ве личины

Q ⑺=9таx (叫 5皿(叫 exp f 必Tin (%)@/ ,

Рис. 7.20. Расчет амплитуды возбуждаемой волны неустойчивости в пограничном слое па затупленном тело.

представляющей собой фактически амплитуду волны Толлмина ——Шлихтинга, отнесенную к &н, возбуждаемую волной завихренности. ЗдеСЬ Qmax ~ =max IАТШ1 (自，n) I — мак

симум мо^ун月 ^-компоненты скорости для нормированной вектор- функции волны Толлмина—Шлихтинга. Расчеты проведены для 卩= 0,367, е- 3,028-10-2, & =叫 13,92-Ю"6 (кривая 7)hF- =20,88-10-6(2).

Результаты численных исследований показали, что непосредственная окрестность самой крнтн叮ecKoii точки не оказывает влия

ния на величину амплитуды возбужденной волны неустойчивости. Следует отметить также то обстоятельство, что на затупленных телах волны завихренности более интенсивно возбуждают волны неустойчивости, чем это имеет место в пограничном слое на плоской пластине. Это связано с тем, что волны завихренности проникают в пограничный слой более глубоко па телах с затуплением.

ВОЗБУЖДЕНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ВОЛНОЙЗАВИХРЕННОСТИ, ПАДАЮЩЕЙ НА НЕСТАЦИОНАРНЫЙПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ,ВНЕЗАПНО ПРИВЕДЕННОЙ В ДВИЖЕНИЕ

Пусть имеется бесконечная пластина (沙= 0), внезапно приведенная в движение в направлении х (О优 расположена в плоскости пластины) со скоростью UQ в несжимаемой вязкой жидкости. Тогда в окрестности пластины образуется нестационарный пограничный слой, имеющий единственную отличную от нуля компоненту скорости и вдоль Ох

u^Uq erf (z//2Vv^).(7.5.1)

Поставим вопрос о возбуждении и развитии неустойчивостей в таком пограничном слое. Пусть длина волны возбуждаемой неустойчивости порядка толщины пограничного слоя 6 〜2Yv方.В рассматриваемой задаче имеют место два временных масштаба: один масштаб ~£ связан с характерным изменением пограничного слоя, дру- roii ——с периодом возмущения т ^ ^xt/U^. Если число Рейнольдса, вычпслешгое по толщине пограничного слоя Re ^ U{]b/v, велико, то для задачи характерно наличие малого параметра h = x/t ^ R^ L

Рис. 7.27. Рассчитанные значения амплитуды возбуждаемой волны неустойчивости в нестационарном пограничном слое.Рис. 7.27. Рассчитанные значения амплитуды возбуждаемой волны неустойчивости в нестационарном пограничном слое.Рис. 7.22. Портрет з立копала в случае нестационарного погранично го слоя.

Рис. 7.27. Рассчитанные значения амплитуды возбуждаемой волны неустойчивости в нестационарном пограничном слое.

Рис. 7.27. Рассчитанные значения амплитуды возбуждаемой волны неустойчивости в нестационарном пограничном слое.

Возбуждение неустойчивости связано со слабой временной неоднородностью исходного течения (〜力). Формально эта задача- по исследованию возбуждения и развития неустойчивостей ничем пе отличается от тех, которые обсуждались в предыдущих параграфах данной главы； соответствующий формализм полностью переносится на этот случай с заменой пространственной координаты временем.

Ясно, что для изучения возбуждения и развития неустойчивостей и здесь должна быть выполнена программа, изложенная в § 7.1. Соответствующая работа была проведена В. Р. Гущиным, им были получены следующие результаты.

Рассматривалась задача о возбуждении неустойчивостей в пограничном слое (7.5.1) падающей вихревой волной. В данном случае лектор возмущения

Величина А отыскивалась в виде интеграла Фурье по координате /А = J А/"%,.

Для величин Аа имеем

Аа = W % (%) Фп (力，У) С > 尸？г”= % [①乳位；

①门 и (Dn—собственные функции и собственные числа соответствующей нокально-одноро口но立 задачи, совпадающей с обобщенной задачей для уравнения Орра ——Зоммерфельда по z/ с невозмущенной функцией (7.5.1).

Аналогом частотного параметра F предыдущих задач здесь является величина

= сбб/Rfi = f7c

(с——отношение фазовой скорости волны к скорости движения пластины “).

На рис. 7.21 показан пример расчета интенсивности возбужденной неустойчивости И), отнесенной к средней квадратичной пульсации горизонтальной скорости в волне завихренности, падающей под углом 冗/4 к пластине. Параметр Rf = 2U^t/v. Кривые 1——3 отличаются величиной параметра 歹(&), соответственно равного 1,76 • I。-* 4 . Ю"-5, 0,75 • 10-5. Качественный характер этих кривых и кривых возбуждения и развития волн Толлмина ——Шлихтинга в рассмотренных случаях (с заменой / на t) весьма схож. На рис> 7.22 приведен пример расчета действительной части эйконала А (см. § 1.3) в плоскости комплексного переменного 方=勿十让彳 для случая кривой 3 па рис. 7.21. Как видно, седловая точка эйконала А (А*) расположена в данном случае вблизи начала координат.

Глава 8

ВОЗБУЖДЕНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ВОЗМУЩЕНИЯМИ,ИДУЩИМИ ОТ ОБТЕКАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Одним из наиболее эффективных механизмов возбуждения волн пеустопчивости в пограничном слое являются локализованные источники внешних возмущеиий (вибрирующая лепта, узкий пучок звуковых волн, вибратор на поверхности тела н т. п.). Уже экспериментами [19] показано, что присутствие ленточки, вибрирующей в пограничном слое, весьма эффективно возбуждает волны Толлмина—Шлихтинга. В современных исследованиях для искусственного возбуждения волн неустойчивости кроме внбрирующе血 ленты используются такие типы локальных источников, как искровой разряд, возмущения, вносимые в пограничный слой через узкие отверстия на обтекаемой модели каким-либо вибратором, тепловые возмущения на поверхности [139, 140, 180—183].

Одна из первых теоретических моделей, описывающих такой тип возбуждения, предложена М. Гастером [184]. На тесную связь между возникновением: неустойчивости в пограничном слое и характеристиками вибраций обтекаемой поверхности модели указывают эксперименты [151], согласно результатам которых возбуждение волны Толлмина——Шлихтинга в пограничном слое па плоской пластине, облучаемом внешним акинетическим полем, происходило за счет поперечных вибраций носика пластины. В работе [152] обнаружена корреляция между числом Рейнольдса перехода и амплитудно-частотными характеристиками вибраций обтекаемой по-

и) §тш — максимальная по у величина амплитуды пульсации ж-к.омпонен' ты скорости.

Верхности. Теоретические модели, описывающие возмущения, вносимые вибратором в пограничном слое, развивались в работах (185— 490工 В [186] рассматривался вибратор в пограничном слое на плоской пластине при сверхзвуковых режимах обтекания. Анализ проводился в рамках трехслойной асимптотической модели в предположении, что параметры вибратора соответствуют окрестности нижней ветви кривой нейтральной устойчивости. При этом генерации волн Толлмина — Шлихтипга обнаружено не было. В работе [187] рассмотрен дозвуковой режим течения при докрптпческпх частотах колебаний вибратора. Были получены асимптотические выражения для возмущений давления, возбуждаемых в окрестности вибрирующего участка поверхности. В частности, определена амплитуда затухающей волны Толлмина ——Шлихтинга. При переходе от до-耳 закритическим частотам в [188] был предложен постулат, позволяющий определить амплитуду экспоиенциалыюй растущей волны Толлмина — Шлихтинга. Этот постулат может быть строго обоснован, если ввести в рассмотрение момент начала колебаний вибратора [184, 189, 190]. В работе [191] рассмотрен резонансный режим возбуждения волны неустойчивости вибрационной волной, бегущей по обтекаемой поверхности; обнаружена высокая эффективность резонансного возбуждения. Результаты [191] были обобщены на случай локализованных вибраций обтекаемой поверхности [192, 193]. Теоретические модели, относящиеся к возбуждению волн Толлмина——Шлихтинга вибрациями поверхности, легко распространяются на такие случаи, как периодический отсос ——вдув газа, а также периодический нагрев участка обтекаемой поверхности [494].

В данной главе представлены основные теоретические результаты, относящиеся к возбуждению волн неустойчивости возмущениями, идущими от обтекаемой поверхности. Показано, что здесь могут иметь место весьма эффективные механизмы возбуждения неустойчивостей. Проанализированы результаты экспериментальных исследований по данному вопросу.

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛНОЙ ВИБРАЦИИ,БЕГУЩЕЙ ПО ОБТЕКАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Рассмотрим возмущение те тения в пограничном слое на плоской пластине, вызванное волной вибрации, бегущей по обтекаемой поверхности

（0^于—（0方），（0^于—（0方），^ = ^ехр

（0^于—（0方），

（0^于—（0方），

где (о, а» ——действительные положительные безразмерные величины, измеряемые в единицах U^/д и 6一'. Координата у и величина cv отнесены е толщине пограничного слоя 6 в точке потери устойчивости, координаты х н t ——к координате LHy точки потери устойчивости и (Ug/Z/ny)" соответственно; параметр 力= §/£“ предполагается, как всегда, малым.

Обсудим основные этапы решения этой задачи для случая несжимаемой жидкости с методической точки зрения. Прежде всего построим решение для вибрационной волны, бегущей по пограничному слою. Поскольку ее эйконал Fv = io^x/h^ по предположению, велик, в главном приближении вектор А整)(4 = % 4=卩，А3 = г, &4 — ди/ду — dv/to) удовлетворяет локально-однородным уравнениям, т. е. может быть выражен через решения уравнения Орра— Зоммерфельда ①加a 眾=①"p exp (几).

Найдем граничные условия для вектора ①⑪.По смыслу задачи каждая точка пластины совершает колебательное движение вдоль Оу. Поэтому условия прилипания к обтекаемой поверхности S имеют вид

"Is =0，咻=无 ％

^ и г ——компоненты суммарной скорости потока. Возмущение скорости 偉力 и Гу удовлетворяют соотношениям

%(优,0) + -%他，°)+方俨+…=一^卜+…+"弟.%(优,0) + -%他，°)+方俨+…=一^卜+…+"弟.(8.1.1)(8.1.1)

%(优,0) + -

%他，°)+方

俨+…=一^卜+…+"弟.

%(优,0) + -

%他，°)+方

俨+…=一^卜+…+"弟.

(8.1.1)

(8.1.1)

Для исследуемой волны, так же как и для волны Толлмина — Шлихтинга, вообще говоря, имеет место явление вязкого подслоя (ем. § 4.1), поэтому выражения (8.1.1) можно записать в виде

①办丄(况，0) +。Ф^Р1, / = Uwcv +。(W),

■ 工(8.1.2)

①iw(爲0) +。①н 0 Л)十庇盡

(Ф^рг ~" характерная величина ①曾pt в подслое). Поскольку отношение вторых членов в (8.1.2) к первым имеет порядок cjb% всегда можно выбрать такое достаточно малое 金,что вторые члены (8.1.2) будут пренебрежимо малы. Так, если ①①^ 〜①如幺(况,°) и со ~ 1, то для пренебрежения вторыми членами в (8.1.2) достаточно малости величины &/УА Представляя ①力⑫=с曾①力 имеем следующие граничные условия для величины Ф„ в главном порядке (если, конечно, (0》无)：

忆二讶2=。■…

Наложим также условие отсутствия возмущения при у -^ °°, т. е.

A f 0 (/ = 1, .. .4) при у = 8.(8.1.4)

Уравнения для локальтто-одпородпого приближения в случае несжимаемой жидкости допускают четыре линейно независимых

решения со следующими асимптотиками при у — °°:

① 1 〜еау； Ф2 〜е"ау； Ф3 = е竺 Ф4 〜

(a=7a2 - ?е6 (1 - c)Rg, Re 九 V0).

В нашем случае а = а» ——положительная действительная величина. В силу (8.1.4) искомое решение 0 = &①2 + Сз①з, где постоянные с? и。3 выбираются из условий (8.1.3). Имеем

①。=1^й {[彌① 32 (0) 一 庙吗 2 (0)] R 仅)+ [t4 ① 33 (0) 一

—沁Ф^з (0)] Ф2(4)},

石23(々)=Ф12 (0) Ф33 (0) 一 Фи (0) Ф32 (0)；

①幫(0) означает / ю компоненту г-го вектора Ф1? взятого при 4 = 0.

Величина ①” определена у нас на действительной оси комплексной переменной а, однако она может быть аналитически продолжена на всю область изменения а. Ясно, что в точке а = аТш (остш 一 волновое число волны Толлмина ——Шлихтинга)笈2з(а) обращается в нуль, причем, как заказывают результаты расчетов, имеет место простои нуль. Поэтому в данной точке 12) величина ①期 имеет полюс первого порядка и может быть представлена в ее окрестности как

①。」第(8-1.5)

В случае, если а。—仪工可 в точке потери устойчивости волны Толлмина——Шлихтинга, полюс функции Ф^ располагается на де1г- ствительной оси, и решение (8.1.5) перестает иметь смысл в окрестности точки потери устойчивости х ~ 1, Факт отсутствия требуемого регулярного решения, включая и точку 胃=1, непонятен, т. е. задаяа с физической точки зрения сформулирована неверно.

Регулярное всюду решение для возмущения может быть построено на пути исследования двухмодового взаимодействия. Оказывается, что в окрестности точки 胃=1 возбуждается волна Толлмина ——Шлихтинга так, что суммарное решение остается там регулярным. Докажем это.

Итак, пусть

Аы = с。[①об尸° + стшФтп1^Г™]-

12)Полюса первого порядка у функции Фг имеют место и в других точках комплексной переменной а, соответствующих собственным числам дискретного спектра ураннення Орра — Зоммерфельда.

Для амплитуды волны Толлмина ——Шлихтинга имеем выражение (см. § 1.2):

Стт = exp [ И^тт’тпгСтт = exp [ И^тт’тпгdx j W^m,v expdx j W^m,v expX-—I 汇Tm,Tiiid寫 + A d爲X-—I 汇Tm,Tiiid寫 + A d爲(8.1.6)(8.1.6)

Стт = exp [ И^тт’тпг

Стт = exp [ И^тт’тпг

dx j W^m,v exp

dx j W^m,v exp

X-

—I 汇Tm,Tiiid寫 + A d爲

X-

—I 汇Tm,Tiiid寫 + A d爲

(8.1.6)

(8.1.6)

A =b》一 FTm=%)(a0 - атm) dx^ Wtei, тит = [Hi①тт； ^тш],

叫me В因①价%、m]= -六1反:；码]+ ^^ 叫皿Tm+ 0 (1).

Порядок величины ^(а) следующий: 笈(а)〜а —仪丁皿 ~ 胃一优*, где 胃* ——седловая точка эйконала А. Поэтому матричный элемент перехода РКтшл имеет в седловой точке полюс

/0Рис. 8.1. Контур интег-рирования при наличиив седловой точке полю-са./0Рис. 8.1. Контур интег-рирования при наличиив седловой точке полю-са.второго порядка.

/0

Рис. 8.1. Контур интег-рирования при наличиив седловой точке полю-са.

/0

Рис. 8.1. Контур интег-рирования при наличиив седловой точке полю-са.

Если £о < /а, х > хв (см. § 1.4), то контур интегрирования в (8.1.6) может быть деформирован так, что он будет подходить к седловой точке в отрицательном секторе по линии скорейшего спуска, огибать бесконечно близко седловую точку снизу и ухо-

дить в отрицательном секторе снова по линии скорейшего спуска (рис. 8.1).

Таким образом, вычисление амплитуды возбужденной волны Толлмина ——Шлихтинга сводится к исследованию хорошо известного интеграла (см. [29]) типа

Имеем

где Г ~ гамма-функция. В нашем случае рн—1 и, следовательно,

[^ТШ I 〜2^ «А*

(при резонансе, когда Ln 第* = О, Д* = 0), т. е. коэффициент возбуждения волны Толлмина ——Шлихтинга бегущей волной вибрации весьма велик (ср. с модельным случаем, описанным в § 1.3, где I стш I ~¥%ехр(А*), ибо тогда было р = 1).

Таким образом, наличие особенности матричных элементов переходов и седловой точке эйконала Л соответствует усилению процесса возб>7ждения неустойчивостей, в данном случае — в l/九 раз.

Обратимся снова частям первого членаОбратимся снова частям первого члена%т,тт%т,тт+。⑴+。⑴

Обратимся снова частям первого члена

Обратимся снова частям первого члена

%т,тт

%т,тт

+。⑴

+。⑴

к формуле (8.1,6). Поело интегрирования по основного интеграла имеем

员^ ё1； + i k焉修+/皿皿)+。⑴卜〃=

=⑺ + °(1)； ^ = A - f Wm.Tin^.

厶23⑴

Переходя к выражению для Ам, получим

a。〜I①。-含鵠p+0(4).

Таким образом, выражение для возмущения в исследуемом двухмодовом варианте является всюду регулярным, включая особую точку 方2з(а) = 0. С физической точки зрения, в двухмодовом случае взаимодействия волна вибрации возбуждает, во-первых, промежуточ- ную, которая компенсирует особенность волны вибрации в резонансной точке, и, во-вторых, чистую волну неустойчивости.

Приведем здесь окончательное выражение из работы [191] для слагаемого, описывающего возбуждаемую волну Толлмина — Шлих-

тинга:тинга:Фтш (%, ^i, У) — gAmi expФтш (%, ^i, У) — gAmi exp-Р + ТУтш^шр^,-Р + ТУтш^шр^,U 病 таи + 心8 Tlпз"у=оU 病 таи + 心8 Tlпз"у=о[я2аТ1П； втш][я2аТ1П； втш](8.1.7)(8.1.7)

тинга:

тинга:

Фтш (%, ^i, У) — gAmi exp

Фтш (%, ^i, У) — gAmi exp

-Р + ТУтш^шр^,

-Р + ТУтш^шр^,

U 病 таи + 心8 Tlпз"у=о

U 病 таи + 心8 Tlпз"у=о

[я2аТ1П； втш]

[я2аТ1П； втш]

(8.1.7)

(8.1.7)

где 力I =力历,вектор-функции Атт, Втш являются элементами биортогональной системы векторов {Аа, Ва}, ра^мотренной для случая несжимаемой жидкости в § 3.4; оператор Н2 определен в § 3.2; черта сверху обозначает комплексное сопряжение; знак 芸 означает, что соответствующая величина вычисляется в седловой точке, где av = =々тт. Результат, представленный формулой (8.1.7), легко обобщается на случай пограничного слоя в газе.

Приведем результаты численных расчетов из работы [45]. На рис. 8.2 показан пример расчета максимальной по у амплитуды волны Толлмина一 Шлихтинга (отнесенной к амплитуде волны вибрации) ,возб5гждешюн волной вибрации в пограштчтгом слое плоско计 пластины, обтекаемой газом при М = 0,6, /?=20 • IO-'6, Rny = yU^L^/v.

^uc. 8.2. Зависимость максимума модуля возмущения ^-компоненты массового расхода в возбуждаемой волне Толлмина — Шлихтипга на плоской вибрирующей пластине от числа Рейнольдса (М = 0,6; F = 20-10-6; 几守 = 960; а。= =6,34-10~2).

а。^ 6,34 ■ 10~6. Вычисления проведены для двух начальных сечений х0, соответствующих Ro = 360 и 560. Как видно, конечная амплитуда возбуждаемой волны не зависит от выбора начального сечения. Штриховой линией изображена промежуточная волна в смысле § 4.1; видно, что в окрестпости точки потери устойчивости и в этом случае промежуточная волна доминирует над остальными.

На рис. 8.3 представлены зависимости амплитуды волны Толл- мпна ——Шлихтинга для различных частот волп вибрации. Исходное

Рис. 8.3. Максимум модуля возмущения ^-компоненты массового расхода в возбуждаемой волне Толлмина — Шлихтинга на плоской вибрирующей пластине в зависимости от частот волп вибрации.

а»= 6,54Т0-2 (1), 6,64Т0-2(2), с^ = 口工皿俨 11y) = 644d0-2 ⑻.

ибвозмущбнное течение и параметр Р здесь те жет что и на рис. 8.2 ⑷.

Как видно, даже при незначительном удалении от резонансного режима резко уменьшается амплитуда возбуждаемой волны. Локальные максимумы кривых нарастания соответствуют областям наибольшего сближения величин / п 々丁皿 В этих областях происходит быстрая «накачка» амплитуды волны Толлмина——Шлих- тиига. Затем возбуждаемая волна неустойчивости вступает в фазу экспоненциального роста и начиная с некоторого момента приобретает доминирующее значение.

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН

ТОЛЛМИНА — ШЛИХТИНГА ВИБРАТОРОМ.

СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Решение, данное в § 8.1, позволяет построить теорию возбуждения волны Толлмина ——Шлихтинга вибратором, расположенным на обтекаемой поверхности. Пусть в окрестности точки х0 пластины, обтекаемой потоком жидкости, расположено следующее устройство (рис. 8.4): часть поверхности пластины /()—2&/&& + 2 (где 2 〜6) совершает колебательные движения с частотой о>, так что

у (瑞 方) = /(/ — /)exp [—心〃矶

где max l/(x — x0) I достаточно мал. Представим f(x — x0) в виде интеграла Фурье

+言热I。)

/ (允一％) = j p (a) e d%

Г ^z(821)

P 3)М击J /⑶e "成.

Изучим возмущенное движение от вибратора. Поскольку в спектре вибратора (8.2.1) всегда находятся значения а, совпадающие с aim в точке потери устойчивости, необходимо рассматривать двухмодовый режим взаилюдействия, т. е.

А(о = J р (а) [Ф^еГг + ^тш (а) Фтш

н)) Все цитируемые результаты расчетов работы [45] проведены для совершенного газа при числе Прандтля 0,72, температуре торможения в набегающем потоке 310 к и показателе адиабаты 尤=1,4丄 Предполагалось, что коэффициент вязкости зависит от температуры по формуле Сазерленда. Поверхность пластины предполагалась теплоизолированной и имеющей большую теплопроводность. Расчет выполнялся в приближении Дана 一 Линя.

Рис. 8.4. Схема обтекания пластиныс локализованным вибратором.Рис. 8.4. Схема обтекания пластиныс локализованным вибратором.%%пупу

Рис. 8.4. Схема обтекания пластиныс локализованным вибратором.

Рис. 8.4. Схема обтекания пластиныс локализованным вибратором.

%

%

пу

пу

Здесь определено, что

F = ^ \ adx =方今(况一％； Fтш =亍 J о^тш^л

т. e. начальная точка интегрирования в выражении для эйконалов находится на вибраторе. Как выяснится дальше, такое определение эйконалов весьма удобно, ибо отражает 小]13Mqecкую сущность задачи о вибраторе. На основании § 8.1 главная по h часть выражения для стт(а) при х > хА (а) будет (卩=—1)：

стш 3)стш 3)f WTIIIjT[Irdx黑0染*f WTIIIjT[Irdx黑0染*

стш 3)

стш 3)

f WTIIIjT[Irdx

黑0染*

f WTIIIjT[Irdx

黑0染*

ж* — седловая точка эйконала A (dA / d况 |* = % [а — с^тш (户出%-二电,

A；A；d2Ad2A_—也 THh dz_—也 THh dzA*A*厶J厶J[a -аTш (况)]d芻[a -аTш (况)]d芻

A；

A；

d2A

d2A

_—也 THh dz

_—也 THh dz

A*

A*

厶J

厶J

[a -аTш (况)]d芻

[a -аTш (况)]d芻

晨=何吟=［警1aL

Найдем далее суммарную амплитуду возбужденной волны Толлмина —Шлихтинга

стш2 — J р (а) Ст!п (a) da.(8.2.2)

Главная по 无 часть интеграла (8.2.2) определяется седловой точкой эйконала А*, рассматриваемого как функция от комплексной переменной а, которая находится из выражения

令= Х(2*-%/瓦(8.2.3)

Таким образом, седловая точка а。 эйконала А* устанавливается из соотношения х* = х0 и соответствует тому случаю, когда седловая точка /* в первой половине задачи находится на действительной оси и совпадает с центром вибратора х0, т. е. а。= атт (况о).

Далее, па основании (8.2.3)

(получено дифференцированием по а выражения, определяющего седловую точк\^, а = атш ).

Из (8.2.4) следует, что если точки А и В, отделяющие отрицательные и положительные секторы в первой задаче, находятся па действительной оси плоскости 方(см. рис. 1.7), то и соответствующие точки А и В при вычислении интеграла (8.2.2) расположены на действительной, оси плоскости а. Поэтому контур интегрирования в (8.2.5) можно деформировать так, что он будет проходить седловую точку по отрицательным секторам эйконала А*・ Главная по h часть интеграла (8.2.5) имеет вид (А* [а0 = 0)：

cTni2cTni2印 TIHQIIld 况印 TIHQIIld 况论о =论密!I%*；*。。论о =论密!I%*；*。。

cTni2

cTni2

印 TIHQIIld 况

印 TIHQIIld 况

论о =论密!I%*；*。。

论о =论密!I%*；*。。

Для завершения рассмотрения определим величину fc0. Умножив интегрально уравнение для ①и на величину Ттш и учитывая условия (8.1.3), получим

% [%①力；屮таг] (а — атт) = —(Uош^тпи —血Утпи儿=о・(8.2.5)

Устремляя в (8.2.5) а—атпг, имеем на основании выражения (8.1.5) для R:

二=(说鬲Ш4 一必^TIHl) ILO

综[^кФТШ5 ^тш]

Последнее записано в инвариантной форме независимо от нормировки Фтш, 4f тш.

Окончательное выражение для возбужденной вибратором волны Толлмина — Шлихтипга имеет вид для х — х0> h (см. [192]) а。/、(00鹏T口14TIIU)1『0,Н

AgTin = 2лр (%)г^-—1X

(8.2.6)(8.2.6)X Фтш (爲 У)exp { J И7тш)тп1^ + 尸тш ь

(8.2.6)

(8.2.6)

Можно показать, что при 无 f 0 имеет место идентичность ре” зультатов (8.2.6) и приведенных в [187].

Все исследования по вибратору указывают на высокую эффективность возбуждения им волны неустойчивости. Для проверки результатов теории были проведены тщательные эксперименты по

0，叫0，叫Рис. 8.5. Экспериментальные данные для аозмущеиия скорости локализованными вибрациями в сравнении с рассчитанными зна- чениядги амплитуды волпы неустойчивости.

0，叫

0，叫

490 先 7^ ―Ito490 先 7^ ―Ito650 N?MM650 N?MMисследовашпо возмущений, возбуждаемых локализованным вибратором в пограничном слое на плоской пласта- не {181].

490 先 7^ ―Ito

490 先 7^ ―Ito

650 N?MM

650 N?MM

На рис. 8.5 представлен один из результатов работы [181], а также нанесена теоретическая кривая (сплошная линия), вычисленная па основе соотношения (8.2.6). Показаны форма вибратора (2 = 28 мм, амплитуда колебаний вибратора а = 10 мкм), положение центра вибратора х0. Величина и ——максимум по у пульсации горизонтальной компоненты вектора скорости; 口о = ЗОСИЗио^ U8=7,25 м/с. Частота колебаний вибратора составляла 70 Гц.

Отметим хорошее совпадение теории с данными эксперимента.

В заключение этого раздела заметим, что максимальный коэффициент преобразования колебаний вибратора в волну Толлмина — Шлихтинга имеет место, если ее длина волны в районе расположения Атто имеет порядок длины вибратора 2. В случаях 2《入丁^。 или I > Лтшо коэффициент преобразования по порядку величин уменьшается (относительно случая I ~ Хтшо) соответственно в Z/Xuno ИЛИ Атто/% раз.

ВОЗБУЖДЕНИЕ СИСТЕМОЙ ВДУВА — ОТСОСАИ ТЕПЛОВЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИОТ ОБТЕКАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ >

177177Результаты § 8.1, 8.2 могут быть легко обобщены на случай периодического вдува ——отсоса пограничного слоя, а также периодического нагрева обтекаемой поверхности. Отличие заключается лишь в формулировке неоднородных граничных условий на поверхности. Однако здесь мы изложим другой подход к решению задач, в которых имеются периодические воздействия, локализованные на дне пограничного слоя. При решении задачи о вибраторе нами существенно использовалась слабая непараллельпость течения в пограничном слое. В работах [186——190] эта же задача рассматривалась в асимптотическом пределе, когда число Рейнольдса стремится к бесконечности, а в рассматриваемых приближениях пограничный слой является плоскопараллельным. В этом случае решение задачи

177

177

Рис. 86 Схема локализованного вду- ва — отсоса через обтекаемую поверхность.

Рис. 8.7. Схема деформации контура интегрирования при переходе к за- критическим частотам.

для 巾икс玫рованно立 частоты колебаний вибратора строится с помощью преобразования Фурье по продольной координате с последующим использованием сращиваемых асимптотических разложений для определения зависимости амплитуды фурье-компонент от координаты, перпендикулярной обтекаемой поверхности.

Если параметры задачи допускают экспоненциально растущие вниз по потоку решения, при обратном преобразовании Фурье по волновым числам а необходимо ввести принцип обхода полюса в комплексной плоскости а [188]. При рассмотрении непараллельного пограничного слоя в § 8.1, 8.2 эта проблема не возникала. Как уже отмечалось во введении к данной главе, в случае плоскопараллельных пограничных слоев принцип выбора контура интегрирования в комплексной плоскости а может быть строго обоснован при исследовании задачи о вибраторе, который начинает колебаться от состояния покоя. Эти результаты [188—190] позволили азюру [194] применить метод разложения решений линеаризованных уравнений Навье ——Стокса по биортогональной системе векторов к задачам о локализованном воздействии па дне плоскопараллельного пограничного слоя.

Рассмотрим двумерное течение в пограничном слое сжимаемого газа. Пусть на расстоянии L от передней кромки обтекаемого профиля производится периодическое по времени внешнее воздействие, сосредоточенное на узком участке поверхности с характерным масштабом Z*. Предполагается, что масштаб источника внешних возмущений соизмерим с толщиной пограничного слоя. Число Рейнольдса R = ypeUe£/|ie》1, так что в окрестности источника пограничный слой в первом приближении можно считать плоскопараллельным. Предполагается, что возмущения, вносимые в пограничный слой внешним воздействием, малы и описываются линейной теорией.

Введем систему к о ординат, как показано на рис. 8,6. За масштаб длины выберем 6 = ^[ieL/peUe и ограничимся рассмотрением плоских возмущений. Тогда линеаризованные уравнения Навье ——

Стокса после преобразования Фурье по времени можно записать в виде (см. § 3.3)

^仅。劉+金鑑=方小+方2箱 (8.3.4)

Внешнее воздействие вызывает, вообще говоря, возмущения скорости и температуры на обтекаемой поверхности, что приводит к неоднородным граничным условиям

少 Н 0: 4 =中1(/), 4 =屮2(/)? 4 =恥(/)，(8.3.2)

где q)f — компоненты вектор-функции ф(^), описывающей форму воздействия. Вне области локализации источника (х < —Z/2, х > Z/2; Z — Z*/6)(р(/)三 0.

Потребуем, чтобы при g f 8, / = const

I4・l + 0 (/ = 1,9).(8.3.3)

А (-Т, у)=А (-Т, у)=弋:[方2 A, Bq/ V 匹 A.j； 1M弋:[方2 A, Bq/ V 匹 A.j； 1MРешение задачи (8.3.1) — (8.3.3) будем искать с помощью разложения по биортогональной системе собственных функций задачи с однородными при д = 0 граничными условиями {Аа, Ва}. В некотором сечении 比=况匕 расположенном вниз по потоку от участка внешнего воздействия, амплитуда возмущения А4 = А(хь у) удовлетворяет однородным граничным условиям на стенке Ли — Ai3 = =厶15 = 0 и условию ограниченности |力仃| V 8 при ^ +8 (/= =1, ..., 9). Тогда в области ^> Xj > Z/2 амплитуду А(х, у) можно разложить по системе собственных функций {Аа, Ва}：

А (-Т, у)=

А (-Т, у)=

弋:[方2 A, Bq/ V 匹 A.j； 1M

弋:[方2 A, Bq/ V 匹 A.j； 1M

exp [电(况一况J] Аа> (у) dk,exp [电(况一况J] Аа> (у) dk,(8.3.4)(8.3.4)вхр [iav (х 一修)]A«v (У) +

exp [电(况一况J] Аа> (у) dk,

exp [电(况一况J] Аа> (у) dk,

(8.3.4)

(8.3.4)

где 2 ' суммирование по дискретному спектру, £ — сумма интегралов по ветвям сплошного спектра & = %«), 0vkV8.

Представляя А(/, у) и вектор 中(力),входящий в граничные условия (8.3.2), в виде интегралов Фурье по волновым числам, имеем

А н £ j А》(у) ехр (包/) dag

屮=^ j f (а》) exp (以必)da# — ОО&

d I"不 dA。] j p dA»

=H]Ao + z0^〃2A6

U = 0: 4i ― /1 (④),4з =力(а?), 4s — /з (ар),

у f f 0 (/ = 1，…,9).(83。)

Фурье-компонента А” описывает возмущение, вносимое в пограничный слой гармоникой внешнего воздействия с волновым числом и… Выполняется соотношение

[ЛгАи； BJ “％ — a) + (AU5 Ва)『=0.(8.3.6)

Из (8.3.5), (8.3.6) для коэффициентов в разложении (8.3.4) имеем

[互2Aв Ва] = —爲 J ^-^gfe°. exp (ia„x) dav. (8.3.7)

Ограничимся рассмотрением возбуждения волны Толлмина ——Шллх- тинга, которая принадлежит к дискретному спектру. В случае до- критических частот колебаний, когда волна Толлмина —■ Шлихтинга затухает вниз по потоку, для вычисления интеграла в (8.3.7) выберем контур интегрирования в комплексной плоскости а, как показано на рис. 8.7. Устремляя радиус окру?кности г к бесконечности и учитывая, что 比i > 0, находим

曲2А1； BJ = — (А。, Ва)у=о exp(jOTi).(838)

Здесь и далее в этом параграфе а ——собственное значение волны Толлмина ——Шлихтинга.

При переходе от до- к закритическим частотам собственное значение волны неустойчивости пересекает действительную ось в направлении штриховой стрелки на рис. 8.7. В этом случае правило обхода полюса о^ = а устанавливается в соответствии с работой [188] (см. рис. 8.7). Учитывая свойства собственных функций {Аа, Ва}, можно показать, что

(А”； Ва)у=0 = (4及1 + Av3Ba3 + А&5石明)n = 0 —

=厶@)瓦,(0) + /2口)瓦3(0) + /3(a)及5(0).(8.3.9)

Из (8.3.8), (8.3.9) следует, что амплитуда волтты Толлмина —— Шлихтинга, распространяющейся вниз по потоку от источника внешних возмущений,

Атш (招 У) = — [А (а)豆 ai (0)十 ％ (а)百аз (0) + /3(а)Ва5 (0)]Х

X exp (zax) Аа (y)/\HzK^ Ва].(8.3.10)

Если внешнее воздействие производит локализованный вибратор, который рассматривался в § 8.2, то /1, /20, Д 0. Пусть внешнее

воздействие представляет собой периодический нагрев узкой полоски поверхности обтекаемого профиля (аналог экспериментов [182, 183]). Тогда граничные условия (8.3.2) примут вид

厶t(% 0) = 4 (х, 0) = 0, Л5(х, 0)=仇屮(比)；

Ф(х) = 0(1), ~//2 < х < Z/2; q? = 0, х > Z/2, х < —Z/2,

Таблица 8.1

F-10»

м

R

Re(a)102

P0-1O8

%・10

20

0,2

1020

7,27

2,4

6,2

40

685

8,84

3,6

5,1

60

—

550

10,04

4,1

4,4

20

0,4

1010

7,02

3,5

5,8

40

—

665

8,40

4,4

4,8

60

549

9,64

4,8

4,1

20

0,6

960

6,44

3,4

5,3

40

645

7,85

4,3

4,3

60

520

8,97

4,8

3,8

20

0,8

900

5,73

3}0

4J

40

—

615

7,12

3,6

3,8

60

—

490

8,06

4,1

3.4

где 0О ——характерная амплитуда колебаний температуры стенки. Для экспериментально определяемой величины максимума модуля х-компопенты возмущения массового расхода в возбуждаемой волне Толлмпна 一 Шлихтинга имеем

g (2) = бц^е I / (а) I ехр [— Im (а) х], Рв =g (2) = бц^е I / (а) I ехр [— Im (а) х], Рв =%5(。〉[^2^а> ®а]%5(。〉[^2^а> ®а]?amf?amf

g (2) = бц^е I / (а) I ехр [— Im (а) х], Рв =

g (2) = бц^е I / (а) I ехр [— Im (а) х], Рв =

%5(。〉

[^2^а> ®а]

%5(。〉

[^2^а> ®а]

?amf

?amf

где Ре ——коэффициент порождения, равный пачальной амплитуде волны Толлмина —— Шлихтиига, возбуждаемой внешним воздействи' ем с амплитудой резонансной гармоники 0olf (ос) I; 7am ——максималь^ ное по у значение модуля ^-компоненты массового расхода, рассчИ' танного по вектору Аа. Этот случай соответствует асимптотическому анализу [195] в рамках трехслойной схемы.

Если внешнее воздействие обусловлено периодическим отсосом—вдувом через узкую щель (аналог экспериментов [196]), то 4(芻 0) = 0, 4(况/0) = %屮(比)，4(招 0) = 0,

。(/) — vGPv I / (a) I exp [― Im (a)叫 Pv =。(/) — vGPv I / (a) I exp [― Im (a)叫 Pv =%3(0)[/А" B&]%3(0)[/А" B&]QamnQamn

。(/) — vGPv I / (a) I exp [― Im (a)叫 Pv =

。(/) — vGPv I / (a) I exp [― Im (a)叫 Pv =

%3(0)

[/А" B&]

%3(0)

[/А" B&]

Qamn

Qamn

где f0 ——характерная амплитуда колебаний ^-компоненты скорости. Этот случай соответствует задаче [197], рассмотренной на основе прямого численного решения линеаризированных уравнений Навье —Стокса.

Численньге значения коэффициентов порождения Р9,尸办 рассчитанных для пограничного слоя на плоской пластине, представлены в табл. 8.1 для различных чисел Маха М и частотных параметров. Расчеты выполнены на основе системы Дана ——Линя для числа Прандтля 0,72, показателя адиабаты 1,41, температуры торможения 310 К. Вязкость зависит от температуры по формуле Сазерленда.

На рис. 8.8, 8.9 представлены амплитуды внешних воздействий 0о, и。, необходимые для возбуждения волн Толлмина —— Шлихтинга

Рис. 8.8. Рассчитанные амплитуды пульсаций температуры, необходимой для возбуждения волны Толлзш- на ——Шлихтинга с амплитудой 0,1%.Г-108^20 (I), 40 (2), 60 (<?)； Л/=0,8-Рис. 8.8. Рассчитанные амплитуды пульсаций температуры, необходимой для возбуждения волны Толлзш- на ——Шлихтинга с амплитудой 0,1%.Г-108^20 (I), 40 (2), 60 (<?)； Л/=0,8-%x勿4%x勿4Рис. 8.9. Расчет амплитуды пульса- цип скорости, необходимой для возбуждения волны Толлмина ——Шлих- тлпга с амплитудой 0,1%. Уел. обозы.2—3 см. на рис. 88Рис. 8.9. Расчет амплитуды пульса- цип скорости, необходимой для возбуждения волны Толлмина ——Шлих- тлпга с амплитудой 0,1%. Уел. обозы.2—3 см. на рис. 88

Рис. 8.8. Рассчитанные амплитуды пульсаций температуры, необходимой для возбуждения волны Толлзш- на ——Шлихтинга с амплитудой 0,1%.

Г-108^20 (I), 40 (2), 60 (<?)； Л/=0,8-

Рис. 8.8. Рассчитанные амплитуды пульсаций температуры, необходимой для возбуждения волны Толлзш- на ——Шлихтинга с амплитудой 0,1%.

Г-108^20 (I), 40 (2), 60 (<?)； Л/=0,8-

%x勿4

%x勿4

Рис. 8.9. Расчет амплитуды пульса- цип скорости, необходимой для возбуждения волны Толлмина ——Шлих- тлпга с амплитудой 0,1%. Уел. обозы.

2—3 см. на рис. 88

Рис. 8.9. Расчет амплитуды пульса- цип скорости, необходимой для возбуждения волны Толлмина ——Шлих- тлпга с амплитудой 0,1%. Уел. обозы.

2—3 см. на рис. 88

с начальными амплитудами 7(0) = 0,1%. Форма внешних воздействий соответствует 屮(/)=1 при —Z/2 < х < Z/2,屮(比)=0 при х > Z/2, / V—〃2. Масштаб источника %*/5 = 40 Q 久/lal приводит к режиму наиболее сильной генерации волны неустойчивости. Для генерации воли Толлмина ——Шлихтинга равной интенсивности необходимы безразмерные пульсации скорости, намного меньшие соответствующих пульсаций температуры.

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛИ ТОЛЛМИНА — ШЛИХТИНГА

В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

ИА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЗЯЩЕГО КРЫЛА

Результаты § 8.1——8.3 по возбуждению волн Толлмина — Шлихтинга локализованпым воздействием на дне пограничного слоя в плоском потоке легко обобщаются па случай воздействия на погра-- личный слой стреловидного крыла бесконечного размаха: необходимо исходить из биортогональной системы векторов {Аат, Ват) для данного типа течения (§ 3.4) и ввести в рассмотрение неоднородное при ^ = 0 решение

2° "^］十 2工~^ =宓jA。+ Xa。羽2% + %Y箔зА》・ (8.4.1)

При рассмотрении вибрации обтекаелюй поверхности граничные условия для (8.4.1) имеют вид

// =。： 4工=—U：、p (&, у), 4з = — %зр (%, у), Av7 = — IF^p (a* у)；

L 8； MM f 0 (j = l,16),

p (a。.p (a。.Y)Y)+ 8+ 8/a n) exp (aE + jyn)恋力1，/a n) exp (aE + jyn)恋力1，(8.4.2)(8.4.2)

p (a。.

p (a。.

Y)

Y)

+ 8

+ 8

/a n) exp (aE + jyn)恋力1，

/a n) exp (aE + jyn)恋力1，

(8.4.2)

(8.4.2)

E = (/ 一 /*)他；h = © -z*)/儿

一步 01530 夕.一步 01530 夕.X expX expI (/ %TIII ,.ЖфI (/ %TIII ,.Жф+ И^тт’тт) 〃/+ 加 i?⑸ 一 z*) , (8.4.3)+ И^тт’тт) 〃/+ 加 i?⑸ 一 z*) , (8.4.3)

一步 01530 夕.

一步 01530 夕.

X exp

X exp

I (/ %TIII ,.Жф

I (/ %TIII ,.Жф

+ И^тт’тт) 〃/+ 加 i?⑸ 一 z*) , (8.4.3)

+ И^тт’тт) 〃/+ 加 i?⑸ 一 z*) , (8.4.3)

'一

рис. 8.10. Зависимость максимума амплит^^ды возмущения х- и z-ком- с ^.^л< понепт массового расхода (2 л 2 соответственно) на вибрирующей поверхности стреловидного крыла.

где 富东,z* ——координаты центра вибратора с формой У = /(Е, 4) (max / = 1).

В случае резонанса в точке 胃工= /* для волны Толлмина — Шлихтинга и вибрационной волны а。* =々工皿(力东)вместо соотношения (8.1.7) получим

Фтш % 爲 У) = Р (々и*, Y)^Атш X

1gП试1gП试

1

gП试

1

gП试

(U 点 t1Ш —而笈 T1П3 + 次/Tи!7)吿,У=/①+。(%"В.

В работе [61] рассмотрено резонансное возбуждение волны Толлмина ——Шлихтинга в результате распространения вибрационной волны на поверхности стреловидного крыла бесконечного размаха. Рассматривался симметричный профиль NACA-0012 под нулевым углом атаки с углом стреловидности 30°. Длина хорды 1,5 мт давление и температура в набегающем потоке 104 Н/м2 и 300 К соответственно, число Маха М = 0,28. Коэффициент вязкости предполагался зависящим от температуры по формуле Сазерленда. Число Прандтля равнялось 0,72. Расчет пограничного слоя выполнялся в рамках локально-автомодельного приближения [122],

На рис. 8.10 представлены амплитуды максимального значения массового расхода для /- и ^-компонент волны Толлмина ——Шлих- типга (кривые 2 и 2 соответственно) в зависимости от угла распространения вибрационной волны ^ = arctg(Y/au) в случае резонансного режима возбуждения при частоте возмущения 500 Гц. Численные значения приведены в размерном виде на 1 м амплитуды вибрации поверхности. Согласно представленным результатам, в этом случае значение амплитуды вибрации 1 мкм дает амплитуду пульсаций в неустойчивой волне ~1%・ При переходе к локализованному вибратору амплитуда пульсаций по порядку величины изменяется в У九 раз, обычно 无〜10~3. Следовательно, как и в рассмотренном экспериментальном примере в § 8.2, на плоской пластине амплитуда вибратора 〜10 мкм будет давать пульсации ~°」%, т. е. для течения в трехмерном пограничном слое механизм возбуждения воли Толлмина — Шлихтинга вибрацией обтекаемой поверхности также весьма эффективен.

УПРАВЛЕНИЕ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНЫМПЕРЕХОДОМ АКТИВНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

НА ДНЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

В § 8.1—8.4 мы рассмотрели задачи о возбуждении волн неустойчивости периодическим локализованным воздействием на дне пограничного слоя. Любой из рассмотренных методов может быть использован для ламинаризации течения в пограничном слое, если ламинарно-турбулентный переход обусловлен какой-либо детерминированной волной неустойчивости определенной частоты. Для этого необходимо создать устройство, обеспечивающее возбуждение аналогичной волны неустойчивости в противофазе по отношению к «естественно» возникшей в пограпичном слое. Например, в [198] с помощью одной вибрирующей ленточки моделировалась «естественная» волна неустойчивости, которая затем гасилась волной неустойчивости от управляющей вибрир^^ющеп ленточки, колебания которой были сдвинуты по фазе ла 180°. В работах [182, 183} в качестве управляющего элемента использовался периодический нагрев участка обтекаемой поверхности. При этом за счет того, tjto переход был вызван определенной детерминированной гармоникой, задаваемой установкой, удавалось путем подбора фазы колебаний нагрева активного элемента увеличить для течения воды число Рейнольдса перехода на 30%.

Рассмотренные в предыдущих параграфах вопросы приводят к мысли о том, что в качестве активных элементов могут быть использованы вибраторы, а также периодический отсос — вдув газа ■через перфорацию или щель, расположенные непосредственно па обтекаемой поверхности. Эти принципы были реализованы в экспериментах, выполненных авторами работ [196, 199, 200]. В [200] ими в качестве одного из активных элементов был использован рассмотренный в § 8.2 вибратор. Ламинарно-турбулентный переход вызывался контролируемым возмущением, которое в эксперименте моделировалось вибрирующей ленточкой. За счет сдвига фазы колебаний вибратора удавалось существенно сместить точку ламинарнотурбулентного перехода вниз по потоку. На рис. 8.11 представлены результаты работы [200], которые были получены на плоской пластине при скорости внешнего точения Ug = 7,25 м/с. Ленточка располагалась на расстоянии х = 460 мм от передней кромки пластины. Параметры вибратора, использованного в эксперименте, были теми же, что и в § 8.2. Переход к турбулентности мог вызываться как колебаниями ленточки, так и вибрациями участка обтекаемой поверхности. Если фазы этих колебаний совпадали, то местоположение ламинарпо-турбулептного перехода смещалось вперед. Если сдвиг по фазе между колебаниями ленточки и вибратора приближался к 180°, местоположение ламинарно-турбулентного перехода сильно смещалось вниз по потоку.

В экспериментах [196] в качестве активного элемента для управления ламинарпо-турбулентным переходом использовался перио-

ным переходом с помощью вибратора.

1 ——переход вызывается «естественной» волной неустойчивости; 2 — вибратор работает в фазе с «естественной» волной неустойчивости; 3 — вибратор работает в противофазе с «естественной» волной неустойчивости.

Щель

Рис. 8.12. Диапазон чисел Рей- польдса, в котором проводились измерения при периодическом вдуБе — отсосе через ряд перфорационных отверстий (7) и через щель (2).

дический отсос — вдув газа через перфорационную полосу и щель в обтекаемой поверхности. Исследоваштя [196] проводились при Ug = 7,25 м/с в малошумной аэродинамической трубе на плоской пластине. В одном случае на расстоянии 400 мм было просверлено в один ряд 85 отверстий диаметром 0,8 мм с шагом 1,2—1,5 мм, а в другом — на расстоянии 况=500 мм от передней кромки пластины была вырезана щель шириной 0,57 мм. Периодический от-

сос — вдув организовывался с помощью акустического источника, который крепился с нижней сторопьт пластины 讶 обеспечивал требуемую частоту пульсаций и амплитуду вектора скорости па обтекаемой поверхности. Для моделирования «естественной» волны Толлмина — Шляхтппга использовалась ленточка, которая размещалась в пограничном слое на расстоянии 300 мм от передней кромки пластины. На рис. 8.12 показаны частотный параметр и диапазон проводимых измерений по числу Рейнольдса для ряда перфорационных отверстий (7) и щели (2). В первом случае измерения проводилпсъ на f = 7° Гц (F = 121 • 10^6. y^l мм), во-вто- ром — на частоте / — 82 Гц (F = 141 • 10~6, у Q 1,5 мм). На рис. 8.13 приведены кривые нарастания амплитуды возмущенна, создаваемых ленточкой (I) и возникающих из-за периодического отсоса — вдува (2) на ряде перфорационных отверстий, а также соответствующие суммарные кривые, когда разность фаз колебаний ленточки и активного элемента составляла 0 (5) и 180° (4).

В случае сдвига по фазе, равного 180°, происходило интенсивное подавление волны неустойчивости, вызванной колебаниями ленточки. На рис. 8.14 приведены кривые нарастания амплитуд возмущений в случае использования ряда перфорационных отверстий, когда амплитуды колебаний ленточки и динамика были уве- личепьт на порядок, чтобы имел место коптролпруемый переход ламипарпого пограничного слоя в турбулентный. Видно, что при «сложении» двух колебаний происходило смещение точки перехода

Рис. 8.73. Кривые нараста

ния интенсивности возму

щений для

частоты

121 • 10~б при

=70 Гц 俨=

у = 1 ММ).

。产

равном 180°.'

сдвиге фазы,

0/

а-

450

Рис. 8.14. Кривые нара

стания амплитуды воз

мущений для

частоты

/ - 70 Гц.

Усл. обоз[{. 2—4 см. на рис.

^^^^^^^^

рехода к тур-булентностп,

7W

800

1 ——ленточка; 2 — ряд отвер-

4 ММ

〃жд

8.13; 5—«точна» конца пе-

2△ 4

х 7 о J

550

стий; 3 — суммарный сигнал при сдвиге фазы, равном 0°;

4 — суммарный сигнал при

4

夕

7

2

350

вверх по потоку, а при «вычитании» ламинарпо-турбулептного перехода па пластине не наблюдалось вовсе.

Аналогичные результаты были получены и при возбуждении неустойчивых возмущений через щель в обтекаемой поверхности.

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН НЕУСТОЙЧИВОСТИВТОРИЧНОГО ТЕЧЕНИЯ

В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ СКОЛЬЗЯЩЕГО КРЫЛА ,б)

В § 4.5 рассматривалась теория волн неустойчивости вторичного течения вблизи передней кромки стреловидного крыла бесконечного размаха. Одной из основных особенностей этого типа ноустог'ншвости является возникновение стационарных вихрей, ориентированных по направлению скорости на внешне止 границе пограничного слоя и быстро нарастающих вниз по потоку. Для построения теории возбуждения этого типа неустойчивости можно воспользоваться результатами § 8.1 —8.4, применив их для стационарного случая (①= 0), что соответствует генерации стационарных неусто[тчивостеи от стационарных неровностей на обтекаемой поверхности.

Выберем систему координат, как показано на рис. 3.4. Будем считать, мто по координате х (по нормали к передпетт кромке)

⑹ Параграф иаписаи совместно с Л. В. Федоровым.

рис. 8.15. Расчет коэффициента преобразования стационарных возмущений, вызванных шероховатостью, в стационарную неустойчивость вторичного течения.

имеется локализованная на длине 1Х шероховатость с периодической структурой по координате z (вдоль передней кромки) с периодом %z = =2冗/у； высота шероховатости равна 〃・ Максимальное значение амплитуды возмущения /-компоненты

скорости, возбуждаемого на шероховатой поверхности представим

辽max辽maxG,G,как

辽max

辽max

G,

G,

где а东——^-компонента волнового числа неустойчивого возмущения в точке расположения шероховатости; р (а)——фуръе-компонента от формы шероховатости по координате х. В табл. 8.2 приведены ре-

Таблица 8.2

аг -1 0

间T0

Т-10

G-103

Л

2000

—2,81

3,98

2,81

5,92

1400

—2,77

3,92

2,78

6,29

0,9

800

—2,76

3,91

2,77

7,14

150

—2,66

3,77

2,66

1,42

1

зультаты расчета коэффициента преобразования G при различных значениях плела Рейнольдса, вычисленного по скорости течения Up на внешпен грашщо пограничного слоя и толщине вытеснения 5*, определяемой по ^-компоненте скорости основного течения. Число Маха в набегающем потоке Моо=0,5; угол между направлением U「 и осью х равен 1рР = 50°. В качестве масштаба длины использована 6东，Параметр градиента давления А = 0,9. В расчетах обнаружено, что в интервале А = 0,3—0,9 коэффициент преобразования G практически не зависит от Л. На рис. 8.15, представлены результаты расчета G в зависимости от Ве^ 风 Л,

Оценки, полученные на основании приведенных расчетов, показывают, что при начальных амплитудах шероховатости порядка 50 мкм, когда 6东=5 мм,艮=ОД мм, усиление возбужденных неустойчивостей вториппого течения на стреловидном крыле в е° раз приведет к амплитудам неустойчивосте1г порядка 1 %.

Глава 9

РАЗВИТИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙВ НЕЛИНЕЙНОЙ ОБЛАСТИ

§ 9.1. ГЕНЕРАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ,ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ НАЧАЛО ТУРБУЛЕНТНОЙ ЗОНЫ ТЕЧЕНИЯ

В предыдущих главах мьг рассмотрели структурные особенности неустойчивостей, поэтому теперь можем оценить различные члены уравнений Навье — Стокса и получитг^ вырая^ения для пороговых значений амплитуд возмущенш'т, когда становятся существенными те пли иные нелинейные процессы.

Задача ставится следующим образом. В начальной части зоны ламипарпо-турбулентпого перехода возбуждается и вступает в фазу роста какая-либо неустой чивость. Спрашивается, до каких пор можно считать режим развития неустойчивости подчиняющимся линеаризированным уравнениям Навье ——Стокса.

Имея в впду волну Толлмина ——Шлихтинга, рассматриваем уравнения Навье ——Стокса в системе координат, связанной с волной. Вводя функцию тока U' в виде

W = ^ (U — с) dy + 叫，

получим следующее уравнение для возмущения ф:

~ ^ (必屮)+ (U - e) а1Рх — U"R, + e (办А也一屮小办)ПщА纣.

(D) (А) (В) (С)

(9.1.1)

В уравнении (9.1.1) единицей длины выбрана толщина пограничного слоя 6, единицей скорости——скорость потока на бесконечности f/oo, единицей времени ——величина 8/U^.

Линейные члены уравнения (9.1.1) (А) минимальны в крхтти- ческом слое волны Толлмина — Шлихтинга, где U ^ с. Поэтому следует ожидать,叮то в процессе роста амплитуды возмущения 8 нелинейные члены (В) впервые сравниваются с линейными именно в критическом слое. Оценим линейные и нелинейные члены уравнения (9.1.1) в критическом слое, предполагая нормировку ампли- т\7ды горизонтальной компоненты возмущения скорости такой, как показано па рис. 9.1:

屮〜玖

Поэтому в критическом слое 屮〜у^ “％ 〜аус. Обозначив через 屮 характерную величину изменения функции тока для возмущения 屮 поперек критического слоя, получим слод^^ютцие оценки：

Рис. 9.1. Профиль амплитуды возмущения продоль-ной компоненты скорости в пограничной! слое паплоской пластине.

Отношение характерных величин линейных и нелинейных членов в критическом слое возмущения имеет порядок

(А)/(В)〜М贤/&%.

Пороговый параметр £*, характеризующий такую амплитуду возмущения е, начиная с которой нелинейные члены в уравнениях для возмущений становятся существенными в критическом слое, найдется из условия (А)/(В) ~ 1, откуда ь* = %礙/%， или

(9.1.2)(9.1.2)(Х)1/з (aRo厂2/3 11Pli 头〜1,(畸4/3 @现尸/3厂1 11Pxi %《1.

(9.1.2)

(9.1.2)

Здесь учтены выражения для 6С из § 4.1, а также то, что Ус ~ с/。】 при ус < 1. Согласно расчетным данным, для Ус ~ 1 величина е* обычно составляет около 10^2, а для Ус« 1 она может достигать значений 10 • 10~2.

Выражение (9.1.2) для е* было получено на основании асимптотических оценок при (ocRe) > 1. Однако оно может быть найдено и непосредственным вычислением путем сравнения характерных величии линейных и нелинейных членов уравнения (9.1.1)

па основании численного анали-

Таблица 9.1 за волны Толлмина ——Шлпхтинга.

А

е*-103

(9.1.2)

Е*-102 (расчет)

7,25

3 000

0,7-0,9

6,28

3 520

0,6—1,6

8,20

11 320

0,3—0*

В табл. 9.1 приводятся результаты соответствующих расчетов, выполненных В. Р, Гущиным, для трех случаев волн Толлмина —— Шлихтинга в пограничном слое плоской пластины в потоке несжимаемой жидкости. Длины вол

ны X для возмущений представлены в единицах толщины пограничного слоя. Видно, что формулой

(9.1.2) можно пользоваться с достаточной степенью точности.

Перейдем теперь к определению других пороговых параметров, характеризующих начало искажения возмущением профиля средней скорости. Систему уравнений Навье — Стокса всегда можно представить как совокупность уравнений Рейнольдса (результат осреднения уравнений Навье ——Стокса) и замыкающей системы уравнений для возмущений (типа уравнений (9,1.1)), получаемую из Уравнений Навье ——Стокса путем представления гидродинамических характеристик суммой из средних значений и возмущений. Изучим взаимоотношение следующих членов уравнений Рейнольдса для

пограничного слоя (в размерном виде):

⑷子礬;(2)奇

Т ~ —p<WP>.

Очевидно, что если член (2) сравнивается по порядку величины с членом (1), то профиль средней скорости в пограничном слое начнет искажаться напряжениями Рейнольдса.

Величина дх/ду максимальна в вязком подслое и в критическом слое для возмущения, оценки для нее будут соответственно

pe2^Lcc/6, ре2671абп/6с6 (т 〜p^U^abn),

где 6П = (ас&)Т2, 6с = (at7cR6)~1/3; а, с, “ обезразмерены с помощью 6, 〃8・ Эти величины нужно сравнивать с 卩Ug/Bl Таким образом, получим оценки для &】и е2, являющихся пороговыми значениями для амплитуд горизонтальной скорости возмущения, начиная с которых профиль средней скорости вначале в вязком подслое, а затем и в критическом слое становится зависимым от поля флуктуаций:

Si =(aR6)~1/2,

= (а%)72 (&/Зп)"2 =(Х)т/б с】/4 (aR6)f/i2.

Обычно 3с》3п, поэтому &2 > £八 Кроме того, е* < 81 при у。~ 4, но при у。« 1 может быть и обратное неравенство, когда 8i < 8*. Для случаев, представленных в табл. 9.1, величина £i ■ 102 соответственно равна 2; 1,7; 0,93.

Согласно конструктивному определению турбулентности (см. § 1.1), турбулентная зона течения начинается в том месте пограничного слоя, где уровень флуктуаций достигает значения

min(£*, е“ &2)= min(E*, %).

В принципе, в уравнениях для флуктуаций, замыкающих уравнения Рейнольдса, помимо членов, входящих в уравнение (9.1.1), имеются члены с производными от компонент тензора напряжений Рейнольдса. Однако по порядку величины они не превышают нелинейных членов, учтенных в (9.1.1), и поэтому не могут привести к появлению дополнительных пороговых параметров.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕО РАЗВИТИИ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБЛАСТИ

Обзор экспериментальных исследований на конец 70-х годов по нелинейному развитию воли неустойчивости в области ламинарно-турбулентного перехода был приведен в монографии [35]. Здесь мы обратим внимание лишь на некоторые основные результаты,

Рис. 93 Зкспсримептальные дан-ные [131] нарастания максимумаамплитуды возмущения. / ==96,4 Гц.1—3 ——соответственно ' f, 2/, 3f.Рис. 93 Зкспсримептальные дан-ные [131] нарастания максимумаамплитуды возмущения. / ==96,4 Гц.1—3 ——соответственно ' f, 2/, 3f.представленные в ([35], а также па новые экспериментальные данные, которые, па наш взгляд, будут способствовать дальнейшей разработке

Рис. 93 Зкспсримептальные дан-ные [131] нарастания максимумаамплитуды возмущения. / ==96,4 Гц.

1—3 ——соответственно ' f, 2/, 3f.

Рис. 93 Зкспсримептальные дан-ные [131] нарастания максимумаамплитуды возмущения. / ==96,4 Гц.

1—3 ——соответственно ' f, 2/, 3f.

теоретических моделей.

Первые работы по исследованию области нелинейного раз1вития неустойчивостей были выполнены Г. Б. Шубауэром, X. К. Скрэм- стедом, П. С. Клебановым и др. [19, 201, 202]. В [19, 201] было обращено внимание па тот факт, что турбулизации течения всегда

предшествовало развитие трехмерной структуры возмущений в области перехода. Например, при искусственно введенной в пограничный слой волне неустойчивости, имеющей практически двумерное распределение амплитуды и фазы, па некотором расстоянии вниз по потоку всегда наблюдается модуляция амплитуды продольной

компоненты скорости возмущения по трансверсальной координате z (см. рис. 9.2, взятый из работы [203]). Это валяное обстоятельство было проанализировано в [202].

Авторы работы [202] обнаружили, что в месте образования пика амплитуды пульсаций имеет место бурный рост высших гармоник с появлением па каждом периоде первичной гармонической волны высокочастотной пульсации в виде одного или нескольких «шипов» па осциллограмме с 1госледующим формированием турбулентного пятна. После опубликования результатов работы [202] длительное время считалось общепринятым, что в пограничном слое ламинарно-турбулентный переход происходит вследствие бурного

роста высокочастотных гармоник в окрестности пика амплитуды. Эти выводы [202] имели важное значение в развитии дальнейших экспериментальных и теоретических исследо'вапий. Например, в теоретических работах [32, 204—206] были предприняты поиски механизмов вторичной неустойчивости, которая могла бы объяснить иоявление высо1кочастотных пульсаций. Экспериментальными исследованиями [207——209] были лишь подтверждены и дополнены наблюдаемые явления, описанные в предыдущих работах. Таким образом, в течение последующих 15 лет исследователи пе сомневались в том, что наблюдаемая в работе [202] закономерность ламипарпо- турбулентного перехода в пограничном слое носит общий характер.

Однако в 1976 г. и в последующий период группой ученых в Сибирском отделении АН СССР были выполнены важные экспериментальные исследования [21, 35, 131, 210, 211], обнаружившие другой тип ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое. Впоследствии ламинарпо-турбулентный переход, наблюдавшийся в [202], стали называть Я-разрушением [212]. Переход типа [21, 35, 131, 210, 211] естественно назвать эволюционным, когда последовательно нарастают высшие гармоники, появляются субгармоники (имеющие половинную частоту по .отношению к некоторой основной), а также различные комбинационные частоты. Подобная эволюция спектрального состава возмущений приводит к постепенному заполнению всего спектра, который принимает вид, характерный для турбулентного течения [210]. Главной особенностью экспериментов [131] является то, что впервые в пограничном слое было обнаружено возбуждение субгармоники. На рис. 9.3 представлены результаты измерений развития нескольких гармоник в области на- минарно-турбулентлого перехода. Существенный рост кратных гармоник наблюдался, как и следовало ожидать, в зоне, где амплитуда волны Толлмина — Шлихтинга достигла величины порядка 1%.

Основываясь па наблюдаемых явлениях, авторы [131] выделили четыре характерные области нелинейного развития ламинарно-турбулентного перехода (см. [35]).

«I ——область линейного и слаболинейного развития возмущений с началом генерации комбинационных мод, в частности кратных высших гармоник без существенной трехмерности и искажения среднего потока.

II ——область замедления роста (или затухания) большинства генерируемых мод с одновременным зарождением трехмерности без заметного искажения профиля средней скорости; возможна генерация некомбинационных низкочастотных мод и субгармоники.

III — область заполнения спектра в результате бурного роста всех комбинационных мод, сопровождающегося искажением профиля средней скорости и началом сильной трехмерности поля пульсаций и среднего потока; возможно появление перемеж аюпщхся всплесков пульсаций.

IV ——область затухания всех выделенных спектральных гармоник, сглаживания спектра, наполпепия профиля средней скорости и окончательного перехода к турбулентному режиму; возможны образование перемежающихся турбулентных вспышек и одновременное возрастание интенсивности низкочастотных пульсаций с последующим их затуханием и слиянием турбулентных участков».

Следует иметь в виду, и это отмечают а!вторы [35], что данная классификация условна и в зависимости от амплитуды первичной волны могут наблюдаться различные картины ламинарно-турбулентного перехода. Авторами работы [211] проведены детальные измерения трехмерной картины течения, формирующейся при возбуждении субгармоники, которая возбуждалась фоном в исходном течении. Ими показано, что в этих экспериментах выделяются из фона внешних возмущений те, которые синхронизованы с пер!вичной вол-

ной в соответствии, по их мнению, с моделью [213]. Результаты расчетов [214, 215] в рамках модели, аналогичной [213] качественно согласуются с [211]. В работе [216] высказаны соображения, что экспериментальные данные [211] могут быть хорошо описаны в рамках иной модели. Д опо л ните льную информацию по интерпретации имеющихся экспериментов можно найти в работах [217—220].

В ходе экспериментальных исследований [221] была изучена зависимость режима ламинарно-турбулентного перехода от начальных данных. В первой серии экспериментов возбуждалась одна волна Толлмина ——Шлихтинга в пограничном слое на плоской пластине в условиях малошумной аэродинамической трубы Вирджинского политехнического института с рабочей частью 1,83 X 1,83 м и длиной 7,3 м при скорости 〃8 = 8 м/с, когда степень турбулентности набегающего потока равнялась 0,03%. Частота задаваемой первичной волны неустойчивости равнялась 45,5 Гц (частотный параметр F = 81 ■ 10~6).

Путем изменения амплитуды возбуждаемой волны были реализованы различные трехмерные структуры в области перехода. При больших амплитудах основной гармоники осуществлялся Х-режим разрушения. Визуализация картины с помощью дымящейся проволочки давала типичную картину Л-образных вихрей, следующих один за другим с периодом основной волны (рис. 9.4, заимствованный из работы [221]). В месте образования трехмерных структур спектр состоял исключительно из высших гармоник, наложением которых можно объяснить, как отмечалось еще в [35], появление «шипов» на осциллограмме на каждом периоде основной волны. «К-режим характеризуется интенсивной гармонической активностью, и субгармопика к моменту формирования трехмерных вихревых структур не успевает выделиться из общего фона возмущений, вводимых ленточкой и существующих в потоке», — сделан вывод в [221]. При уменьшении амплитуды первичной волны формировалась трехмерная картина, которая типична для субгармонического режима (см. рис. 9.4, а), когда Л-вихри имеют шахматное расположение.

193193Возможное объяснение различия наблюдаемых в эксперименте картин трехмерных структур в области ламинарно-турбулентного пограничного слоя было дано еще в работе [211]. Оно связано с различным характером фона в разных экспериментах. При малых амплитудах первичной волны не успевают разыграться нелинейные процессы генерации кратных гармоник, в то время как присутствующие в потоке педетерминированпые субгармонические затравки вступают в интенсивный параметрический резонанс и догоняют амплитуду первичной волны. В случае большой амплитуды задаваемых искусственных колебаний наблюдается интенсивный рост второй гармоники, которая затем взаимодействует с детерминированными наклонными возмущениями с частотой первичной волны. Последние возбуждаются самой вибрирующей ленточкой из-за ее конечной длины, а также вследствие других причин, вызывающих

193

193

13 в. Н. Жигулев, А; М, Тумин

Рис. 94 Визуализация образования трехмерных структур в режилге ^'разрешения (6) и в субгармоническом режиме (а).

неравномерность ее колебаний по координате 2. Возникает УГ-режик перехода [212].

Заметим также, что аналогичные режимы ламинарпо-турбулеп^ ного перехода наблюдались и в течении Пуазейля [222—224].

В цитированных выше работах было установлено, что Х-режи^ отнюдь не является едипстоеппым механизмам ламинарпо-турб*' лентного перехода. Однако вопрос о существовании механизма вт「 ричной неустойчивости в смысле [202] в К-ре沼име оставался ст

a 490MMa 490MM47。47。45。45。'二 ；0; z 二一%Kv/X/VW''二 ；0; z 二一%Kv/X/VW'IIIIIIII44。42038034。44。42038034。30030045042040。38034。30045042040。38034。3004仞4404仞440工I工I42040038。34。30042040038。34。300Pu& 95. Типичные осциллограммы с^нала с терлюапемометра б рушения [203].Pu& 95. Типичные осциллограммы с^нала с терлюапемометра б рушения [203].=490 м".48047046。4-5044。4304204%38036034032030045042038034。3004504203&034。30。е К-p аз-=490 м".48047046。4-5044。4304204%38036034032030045042038034。3004504203&034。30。е К-p аз-

a 490MM

a 490MM

47。

47。

45。

45。

'二 ；0; z 二一%

Kv/X/VW'

'二 ；0; z 二一%

Kv/X/VW'

I

I

I

I

I

I

I

I

44。

420

380

34。

44。

420

380

34。

300

300

450

420

40。

380

34。

300

450

420

40。

380

34。

300

4仞

440

4仞

440

工

I

工

I

420

400

38。

34。

300

420

400

38。

34。

300

Pu& 95. Типичные осциллограммы с^нала с терлюапемометра б рушения [203].

Pu& 95. Типичные осциллограммы с^нала с терлюапемометра б рушения [203].

=490 м".

480

470

46。

4-50

44。

430

420

4%

380

360

340

320

300

450

420

380

34。

300

450

420

3&0

34。

30。

е К-p аз-

=490 м".

480

470

46。

4-50

44。

430

420

4%

380

360

340

320

300

450

420

380

34。

300

450

420

3&0

34。

30。

е К-p аз-

i^VAZXZ

IkZATXZV

工7VW

夕=；0j £ =-X/2

& v/Az^^\<

-\AVATV"

儿 /х/X L

k/V\/\Z v/XZVZV4

yy'\J'^-J'~'^y'^、 yvw yvw

工 v/^O^V^ 工 x/XT^VT4 v/VX^^

I ч/VW iyw\/ I^V\/V^

isZVXWV^

у = ^ 5; z =-л/2

工*

Рис. 97. Эволюция амплитудных спектров пульсацрш по координате ж в пике (г = 0) при у — 4,5 мм.

крытым. Первое исследование, в котором был начат подробный ана-лиз картины 7^-разрушения, выполнено авторами работы [203].Искусственные возмущения вбодились в пограничный слой на плос-кой пластине с помощью вибрирующей ленточки, расположенной нарасстоянии 250 мм от передней кромки и на высоте 0,15—0,2 ммот поверхности пластины. Скорость потока U^ = 9,18 м/с, степеньначальной турбулентности 0,02%. Под ленточкой наклеивалиськвадратики 12,5X12,5 мм на расстоянии 九1=12,5 мм друг от дру-га. Их толщина составляла 0,045 мм. Частота первичной волны за-давалась равной 96,4 Гц. Измерения проводились с помощью термо-аиемометра. На рис. 9.5 приведены типичные картины осциллограмм

аб

7"с. 9.8. Нарастание амплитуды основной (О) гармоники и интегральной по пектру (△) величины пульсаций скорости в пике, у = 4,5 мм (а) и в окрестности максимума амплитуды (пик, z == 0) (6).

■is [203], иллюстрирующие развитие возмущения (вниз по потоку ipn различных координатах z = 2rz/九〕и па разных высотах от об- екаемой поверхности. Точка z = 0 соответствует центру одного из таксимумов в распределении амплитуды возмущения на рис. 9.2, )цна черта слева — масштабу пульсаций скорости в 1 %, две ——10%. Ja внешней границе пограничного слоя (у ^ 4 мм при z = 0) па осциллограммах появляются локализованные «шипы». Приведен- тые на рис. 9.6, 9.7 эволюции амплитудных спектров пульсаций по 二 в пике (z = 0) при у = 1.必 4,5 мм свидетельствуют о том, что гакая-либо высокочастотная неустойчивость, в смысле работы [202], ie наблюдается там, где, как считают, опа должна иметь место. 3 действительности появление «шипов» на осциллограммах объяс- тяется ростом гармоник, кратных основной частоте. На рис. 9.8, а шив еден график нарастания интегральной по спектру амплитуды пульсаций скорости и амплитуды основной волны в пике на высо- 'е 4,5 мм, отмечено место регистрации одного «шипа» (одна черта), 】вух (две черты) и трех (три черты) «шипов». Указанный график, *ак и результаты [202], как будто свидетельствуют о бурном росте амплитуды возмущенна. Однако, как выяснилось в [203], этот рост ]мплитуды сигнала обусловлен большим градиентом по координате 'в распределении амплитуды возмущенна, профиль которого па- “шаст быстро «встшывать» к верхней границе пограничного слоя ⑵R раз при 况=430 мм. Результаты измерений в максимуме про- оилн возмущения скорости, приведенные на рис. 9, 8, 6, указывают 『п монотонное усиление амплитуды, а в месте появления «шипа» —— ；а》ке на ее уменьшение.

В работе [203] показано, что в области перехода происходит не только генерация кратных гармоник (а иногда и субгармопик с комбинационными модами), но и выделение определенных z-компонент волновых чисел вследствие каких-то своеобразных резонанс^ ных механизмов. Таким образом, и на стадии появления «шипов» в 7^-режиме перехода имеет место постепенная картина развития частотно-волнового спектра возмущения.

В целом, по результатам последних экспериментальных исследований, можно сделать вывод о решающем влиянии начальных данных на механизм турбулизации течения в стадии нелинейного развития возмущений. Об этом также свидетельствуют данные [225], полученные в сверхзвуковой аэродинамической трубе. Там же было замечено, что протяженность нелинейной области развития возмущений, которую можно характеризовать координатой начала искажения характеристик основного течения и координатой выхо^ да на развитый турбулентный режим, существенно зависит от уровня фона возмущений в набегающем потоке： протяженность пели- нейного участка зоны перехода уменьшается с уменьшением амплитуды фона. Теоретические исследования [32] в рамках модели нелинейного критического слоя, например, указывают на принципиально новую возможность (см. § 9.4, 9.5), приводящую к бурному росту возмущения, а также допускающую существование вторичной неустойчивости в смысле работы [202]. В экспериментах [131, 203] не могла реализоваться ситуация, соответствующая модели [32], поскольку переход происходил при небольших числах Рейнольдса. В ситуациях, когда начальный фон возмущений весьма мал и определяется в основном низкочастотными возмущениями, возможно формирование при больших числах Рейнольдса режима с сильно нелинейным критическим слоем (см. § 9.4, 9.5).

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС

В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБЛАСТИ. ВТОРИЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Г, С. Рэтцем, Дж. Стюартом и А. Д. Крайком (см, [213, 217]) было высказано предположение, что причиной образования трехмерной структуры в области перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный является трехволповое peisoiiaHCiioe взаимодействие, которое появляется во второ!М порядке по амплитуде возмущения. Триады резонансного взаимодействия образуются из первичной плоской волны с частотой з, с продольной компонентой волнового числа а и из двух наклонных волн, имеющих частоту (о/2, продольную компоненту ваднавого числа а/2, трансверсальные компоненты волнового числа 士『Асимптотический анализ, выполненный в пределе, когда число Рейнольдса стремится к бесконечности, показал, что в таких триадах следует ожидать сильпухс нелинейную связь, которая будет в основном определяться областыс совпадающих критических слоев для возмущений. В дальнейшее идеи работы [213] нашли свое развитие в исследованиях [214, 215

226——231], где обсуждались различные аспекты трехволно-вого резопапса (влияние начальных амплитуд возмущений, расстройка резонанса, влияние непараллельности течения в пограничном слое). Аналогично анализу ураштепия Матье [26], описывающего параметрический резонанс, с помощью метода многих масштабов для рассматриваемой триады волн получаются амплитудные уравнения вида [217]

^ + cе) 4 = 0\4 + 邑44,

^ + с2V)儿=%4 + $244， (9.3.1) 痴 + сзХ7^ 4 = 0rз"з + *^з^2^и

где Gj (『=1, 2, 3)——скорости усиления во времени волн, определяемые лииейпым приближением; 仿 ——групповые скорости, вычисляемые па основе линейного приближения; S； — коэффициенты связи, определяющие интенсивность взаимодейстшия воли в триаде; Aj —— комплексные амплитуды возмущений; черта сверху означает комплексное сопряжение. Как показали численные расчеты [214], в пограничном слое может иметь место селективное усиление наклонных волн, развитие которых описывается зависимостью вида exp(exp((Ji 况/|с/))・

В работах [216, 218, 232—234] Т. Хербертом предложен другой подход к описанию явления возпикносвепия трехмерных структур в области ламинарпо-турбулентно1го перехода. За основное течение принимается нестационарный поток, получающийся в результате нелинейного развития плоского первинното возмущения типа волны Толлмина ——Шлихтинга, имеющего конечную амплитуду. Возле этого основного течения осуществляется линеаризация урав^ пений Навье ——Стокса и формулируется задача на собственные значения для возмущений, распространяющихся под углом к направлению потока. При определенных значениях амплитуды первичной волны (порядка 1 %) обнаруживается сильный рост трехмерных возмущений из-за параметрического резонанса. Оказывается, что система уравнений для вторичных возмущений расщепляется на два класса. Первый класс решений (основная мода) имеет пространственный период по продольной координате такой же, как и первич- пая волна, а второй (субгармоническая мода)——в 2 раза больший, чем первичная волна.

После ряда предположений, связанных с квазистац|ИЮБ：ар11Ым приближением для первичной волны и с обрезанием рядов для решений, описывающих как первичную волну, так и вторичные возмущения, в работе [216] были продемонстрированы результаты численных расчетов для пограничного слоя Блазиуса, которые хорошо согласуются с экспериментом [211]. На рис. 9.9 представлены результаты сравнения расчетных [216] с эксперилюнтальшлми данными [211] для амплитуды первичной волны Толглмина — Шлихтинга

мени субгармоники при различныхмени субгармоники при различныхзначенияхзначенияхамплитуды первичной волны [216].амплитуды первичной волны [216].сравнении с экспериментальными [211] амплитуды первичной волны Толлмм- $а — Шлихтинга (А) и субгармонического возмущения (В).сравнении с экспериментальными [211] амплитуды первичной волны Толлмм- $а — Шлихтинга (А) и субгармонического возмущения (В).

мени субгармоники при различных

мени субгармоники при различных

значениях

значениях

амплитуды первичной волны [216].

амплитуды первичной волны [216].

сравнении с экспериментальными [211] амплитуды первичной волны Толлмм- $а — Шлихтинга (А) и субгармонического возмущения (В).

сравнении с экспериментальными [211] амплитуды первичной волны Толлмм- $а — Шлихтинга (А) и субгармонического возмущения (В).

и амплитуды субгармонического возмущения, когда начальная амплитуда первичной волпы Л = 0,44%, а начальная амплитуда субгармоники была равна 0,00186%; безразмерная трансверсальная компонента волнового числа субгармоники у = 0,33 • 10_3R (в качестве масштаба длины при определении числа Рейнольдса R берется ^vx/U^); частотный параметр пер1вичной волны Ь= 124 • 10~6. На рис. 9.10 представлена скорость усиления во времени субгармо- пики в зависимости от параметра 6 = lO'^/R при R = 606, F = =124 • 10~б и различных значениях амплитуды первичной волны. Интересно отметить, что максимум скорости усиления о достигается при значении параметра Ъ = Ьтах, вообще говоря, не соответствующем резонансной триаде, описываемой уравнениями (9.3.1). При уменьшении амплитуды первичной волны, как отмечается в работе [216], точка максимума скорости усиления 匕max отвечает параметрам трехволнового резонанса [213].

Итак, на основании имеющихся эксперимептальных и теоретических данных складывается следующая картина ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое на пластине. При достаточно малых значениях фона в силу неустойчивости течения Блазиуса возникает волна Толлмина —— Шлихтинга, сравиителыю медленно растущая вниз по потоку. При достижении амплитудой волпы Толлмина ——Шлихтинга порогового значения е* она вступает в зону нелинейного развития возмущений, которая характеризуется ростом высших гармоник и субгармоник, имеющих характер новых неустойчивостей (вторичная неустойчивость). Последние возбуждаются в рассматриваемой нелинейной области фоновыми волнами. Характер этих фоновых волн определяет дальнейший путь развнтмн возмущенного движения в пограничном слое, вплоть до образования развитого турбулентного течения.

Представляет большой интерес проведение расчета эгволюции возмущения в нелинейной области в зависимости от того или ипого

спектрального состава фоновых волн. Однако в настоящее время мы имеем лишь небольшое число модельных примеров возможных путей развития возмущения в нелинейной области.

§ 9Л. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОГО КРИТИЧЕСКОГО СЛОЯВ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые результаты теории нелинейного критического слоя (КС) (см. § 9.1) в несжимаемой жидкости. Стационарные волны с нелинейным КС впервые рассматривались в [235—237]. Волнам с нестационарным нелинейным КС посвящена работа [238]. Волны с нелинейным КС в стратифицированных течениях изучались в [239—243]. Из других работ по теории течений с нелинейным КС можно отметить исследования [39—41, 244—248]. Результаты настоящего параграфа содержатся в [16, 42, 249].

Здесь будут рассмотрены нестационарные волны с сильно нелинейным КС в плоскопараллельных течениях типа пограничных слоев. Исследование нестационарных решений позволяет, во-первых, изучать нелинейную стадию эволюции возмущений вс времени, во-вторых, дает ответ на вопрос об устойчивости полученных в [237] стационарных решений. Кроме того, поскольку исследованные в [237] нейтральные возмущения существуют при достаточно больших числах Рейнольдса R, при умеренно больших R необходимо рассматривать сразу нестационарные возмущения.

Поставлена следующая задача. Рассматривается развитие двумерного возмущения с амплитудой &(力)《I в стационарном плоскопараллельном течении несжимаемой жидкости типа пограничного слоя с профилем невозмуп^енной скорости U(у). Уравнение и граничные условия для функции тока во1змущения 屮(см. § 9.1) в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью волпы с, имеют вид ^^ (eа屮)+ (U - С) a фх - 〃"也 + e (也A必一必А也)=Rf 屮；

(9.4.1) y н 0:屮=屮g=0; y 8：中一> 0.

Здесь с ——действительное число. Зависимостью с от времени в главном приближении пренебрегаем ; для определен пости е — адгпли- туда волны в КС. Возмущепие будем считать периодическим ио / с периодом 2л/а.

Будем предполагать, что помимо е < 1, R^《、выполнено также условие ®t = dAnddt《1. В этом случае функция тока 屮 везде, кроме КС и пристеночного вязкого подслоя, в главном приближении удовлетворяет уравнению

(U —WfTG = 0.(9.4.2)

Предполагаем, что КС и пристеночный вязкий подслой асимптотически разделяются и между ними имеется область, где справедливо уравнение (9.4.2). Как показано, например, в [237], интенсивность второй и высшей гармоник, генерируемых пелипеиным КС, относительно мала вне КС. Учитывая это, вне КС ограничимся рассмотрением гармонического по 况 колебания, для которого из (9.4.2) получается уравнение Рэлея

(U — с)(屮"-*屮)一U"屮=0.(9.4.3)

В КС уравнения (9.4.2) и (9.4.3) неприменимы, и для того итобы связать решения по разные стороны КС, необходимо в КС решать полное уравнение (9.4.1). В настоящей работе будет везде считаться, что критический слой сильно нелинейный, т. е. % — e3/2aR > 1. В критическом слое относительная величина вязких членов а не ст ацион арных членов 〜6 = а)г8~1/2/а. Будем предполагать, что пестационариость мала и в критическом слое, т. е.〜6《1. Как показано в [235], структура течения <в КС устанавливается из условия периодичности вязкой поправки ~%~‘ к основному решению. Нестационарные члены будут определять структуру КС уже в главном приближении, когда они будут порядка вязких, и, таким образом, влияние нестационарных членов па структуру КС описывается безразмерным параметром а = WigR = Ь^- Если а«1, то КС квазиста- циопарный, если %》〃》1, то приходим к постановке [238].

Следует отметить, что соотношения между St, s, с, a, R определяются из соответствующей задачи на собственные значения. Такая задача для уравнения (9.4.3) с формулами перехода через КС, определяемыми структурой КС, и с учетом вязкого пристеночного подслоя в общем виде рассмотрена, папример, в [16, 237]. Это дает, во-первых, в главном приближении зависимость

с = с (а),(9.4.4)

口7 во-вторых, соотношение, связанное с условием прилипания на стопке у = 0:

一①頂Еи； =(Х)з.(9.4.5)

Здесь Ф — изменение фазы логарифма в особом решении Толлмина (см. (4.1.38)) уравнения Рэлея при переходе через критический слой [16, 237]. В частности, для линейного КС Ф = л, для стационарного нелинейного КС 疝=①(％) [237]. В работе [235] условие (9.4,5) вообще пе рассматривалось. Как будет видно из дальнейшего (см. (9.4.12)), вклад нестационарных эффектов КС в величину скачка фазы Ф, а следовательно, н в функцию тока 屮 имеет порядок 方= Gh&T/2/a, вклад нестационарных членов вне КС порядка (о/а. Отсюда вытекает, что нестационарными членами вне КС в главном приближении можно пренебречь, чем oitpaB-дыйается тгри- меиепие результатов (9.4.4) и (9.4.5) и в нестационарном случае.

Для нахождения скачка фазы Ф рассмотрим ггодробпее структуру КС. В переменных КС У=(д — дс)/Уе«), X = ах для полной

функции токафункции тока

функции тока

функции тока

W = ^ (U — с) dy 叫о

даавнения Навье ——Стокса имеют вид

YyYyyx — Тх^ууу + 2a2 (屮yWxxx — НхПхх)=

8 尸[可yYYY + 2на^уTхх8 尸[可yYYY + 2на^уTхх+ f^aKPxxxx + ^ Wyyy ++ f^aKPxxxx + ^ Wyyy +

8 尸[可yYYY + 2на^уTхх

8 尸[可yYYY + 2на^уTхх

+ f^aKPxxxx + ^ Wyyy +

+ f^aKPxxxx + ^ Wyyy +

+ 4 a^wYXX屮丫丫 + 壮屮髙! •（э.4.6）

Прежде чем приступить к решению этого уравнения, предположим, что функция тока Чг не зависит от времени явно, а только через посредство параметров 8Т %, о, т. е. рассмотрим некоторый класс «автомодельных» движений. Для замыкания задачи необходимо знать зависимость а(е). Ее можно определить из следующих сооб- ражеттип. Как будет показано далее, выражение для Ф имеет вид ①=饗匕 @ %)=粵/⑷+。(打叽 (947)

Членами 。(工一？) далее пренебрегаем. Согласно (9.4.5) величина Ф для нестационарной волны при- сделанных предположениях не зависит от времени, так что %一丄/(〃)之 const. Дифференцируя это соотношение по времени, получаем

(9.4.8)(9.4.8)da 3/ (а)

(9.4.8)

(9.4.8)

Если учесть, что 屮 явно от времени не зависит, то

аа9 д 3 д 3 fM д

а

а

次'="上右+石"浜十 t0了丽俞

1+2 aninа 2 gnL/з1+2 aninа 2 gnL/зПодстановка (9.4.8) в (9.4.6) дает уравнение для 屮,в которое входит неизвестная функция /(а). Находя нз решения этого уравнения скачок фазы Ф и сра1вни：вая его с (9.4.7), получим окончательное соотношение для /(«). Практически эта процедура выполняется при помощи разложений /(а) в асимптотические ряды

1+2 anin

а 2 gnL/з

1+2 anin

а 2 gnL/з

/(а)/(а)при(9.4.9)

/(а)

/(а)

при а》1(9.4.10)

и последовательным вычислением величин fn и gn.

Функцию тока в КС ищем в виде ряда [235]

屮=£屮。+川/2] 口 £屮⑴+員2甲⑶+

Дляу⑺и q嶋получаем выражения

В。)= ^- + cos X, 4f②=0.

Скачок фазы ① определяется выражением для 屮⑶.Уравнение для 屮(2)имеет вид

W驴叭鼠一嗯）屮丫丫Y =尸凯Y丫丫 + 4 G"價Y -

一告寸喂一一告寸喂一33(9.4.11)(9.4.11)

一告寸喂一

一告寸喂一

3

3

(9.4.11)

(9.4.11)

Скачок фазы Ф можно naiiTR из соотношения (подробнее см. [237, 42])

—口^①=[屮驴sinXdX|±：：.

Далее, интегрируя (9.4.11) ио X от 0 до 2л и дважды по У, по- л>гчаем

-口 ?①=「J ^dX + 告 j (y屮肾)一34r⑶)dX -

2K2Л] +°о

-ia^\ 屮⑶ 〃Х-4«%^ J 屮⑶ dX + /1 + 3 .

00丿一8

(9.4.12)

Здесь /1 и /2 — подлежащие определению константы. Из (9.4.12) видно, что выражение для Ф действительно имеет вид (9.4.7). Для нахождения /(а) согласно (9.4.12) достаточно знать первый член разложения Y(2) по степеням %-1.

Решение для Туу ищем в виде

屮弊= Q + %tQi + 0(%t).

Для S2 и !2[ j юлу чаем уравнения

少(в"),© —

少（屮⑹,%） 少（n友）一少（屮⑹,%） 少（n友）一a C 3/（a） @a三见一下取广而石.a C 3/（a） @a三见一下取广而石.(9.4.13)(9.4.13)

少（屮⑹,%） 少（n友）一

少（屮⑹,%） 少（n友）一

a C 3/（a） @a

三见一下取广而石.

a C 3/（a） @a

三见一下取广而石.

(9.4.13)

(9.4.13)

[Тз (9.4.13) находим Q = Q(屮(吗 а). Для определения этой зависимости, так ;ке как и в [235], па основании условия периодичности

◎，по X получаем

匕)=sgn Y匕)=sgn Y4(iF(0)-cosX)^¥[16, 42],4(iF(0)-cosX)^¥[16, 42],(9.4.14)(9.4.14)

匕)=sgn Y

匕)=sgn Y

4(iF(0)-cosX)^¥[16, 42],

4(iF(0)-cosX)^¥[16, 42],

(9.4.14)

(9.4.14)

где Ф означает интегрирование от 0 до 2n при 4/(0) > 1 и интегрирование вдоль линии тока 4r° = const при 屮")<1. При 4rоо асимптотика Q находится из асимптотического разложения внешнего решения:

(9.4.15)(9.4.15)(9.4.16)(9.4.16)Qf sgn / J//斗 + 8± (") + 0(屮(0)-1/2).JU с

(9.4.15)

(9.4.15)

(9.4.16)

(9.4.16)

Из (9.4.14) определяется зависимость 〃土(a):

〃士 (a) = 〃±(0"(a)-"3.

Появление величины H± («) связано с искажением профиля осред- нетшого течения [237]. Опа определяется при исследовании вязкой структуры особой области в окрестности 4rw = 1 [243].

Согласно (9.4.10), (9.4.16) при «℃ Н土 f(5. Рассмотрим сна

чала случай 1. Разлагая Q в ряд по a

Q = Gq + aGi + ...,

получим для членов разложения уравнения

6"^仇П&(9.4.17)

G1^-~G1 —(言伉—G；).(9.4.18)

Как показано в [243], решение уравнения (9.4.17) должно быть непрерывно при Т(о) = 1. Можно показать, что этот же результат справедлив и при 。声 0, т. е. решение уравнения (9.4.14) должно быть непрерывно три ?Р(°)= 1. Решение уравнения (9.4.17) приведено в [237]. Уравнение (9.4.18) с соответствующими граничными усл'О(виями, вытекающими из (9.4.15), решалось численно при различных значениях Д. По найденным значениям Q находилась величина Т(2), подстановка которой в (9.4.12) и сравнение с (9.4.7) Дают трансцендентное уравнение для Д. Это уравнение решалось численно; было получено 九=0,55. Аналогично могут быть найдены и другие члены в разложении (9.4.9). Таким образом,

①=5,52%- (1 + 0,55。+。(出)). (9.4.19)

Теперь из (9.4.5) и (9.4.19) можно найти зависимость £ (力)：

工——0,23工——0,23⑺ 4&3/2a"21,82〃⑺ 4&3/2a"21,82〃RR

工——0,23

工——0,23

⑺ 4&3/2a"21,82〃

⑺ 4&3/2a"21,82〃

R

R

или вблизи нелинейной нейтральной х^ривой [237] 8qR — = 60,9ас(и；У/(Х)б：

穿=2,73 糸(е 一 £。) + °【(е 一 ％丹 (9.4.20)

Из (9.4.20) видно, что полученная и [237] леллнейная нейтральная кривая неустойчива.

Рассмотрим теперь случай а > 1. Здесь

①=统扌[1 +。(a-"叨.

Для расчета go можно опустить д/да и д/д% в (9.4.14). В пренебрежении членами О(сг1/3) для Й получаем уравнение откуда следует

Q = * 几 при 屮⑹》1.(9.4.21)

При 屮(°)V [ необходимо специальное рассмотрение. Уравнение (9.4.11) для Q =屮%± можно записать в переменных Т(0\ X как

U'cYQx = i UCY^W 一 ^0.(9.4.22)

Уравнения для характеристик:

翼二 sgn y M2U；(屮⑹-cos X), 齊=Л — cosX).

Решения этих уравнений в координатах (У, X) соБпадают с фазовыми траекториями математического маятника с трением X + -г ~2" X—UcsinX = 0, У = Х и представляют при 屮⑻ V 1 спира- ловидные траектории, сходящиеся к центру области 屮付)=—1; расстояние между соседними витками траектории ~Ь.

Интегрируя (9.4.22) по характеристикам и учитывая (9.4.21), находим [42]

Й = ±^|У0|при ¥(0)<1.

Знак «плюс)> или «мииус)> в этом выражении зависит от знака У, при котором характеристика пересекает границу Т(0) — 1 (рис. 9.11). Характеристики, выходящие из узлов У = О, X = 2лп (п = 0,1,. . .,)? являются особыми: завихренность С на них претерпевает разрыв.

Вязкую структуру этих разрывов качественно можно описать

Рис. 9.11. Спиральная структура ячейка Кельвина при сильном влиянии нестацпо- нарности возмущения.

следующим образом [42]. В узлах толщина разрыва будет постоянной величиной 〜％-"Г при уда

лении от узлов по характеристикам толщина переходного слоя растет как 工一"2ys. Вязкая структура области 屮(°)< 1 определяется соотношением между толщиной переходного слоя и расстоянием между витками (〜6). Если 案一'/?〜6 или а 〜 ~ Х~"2, то спираль характеристики сделает несколько оборо- то(в (s~l), после чего вязкие слои будут перекрываться, и далее разрывная спиральная структура будет сглажена вязкостью (рис. 9.12). В вязком ядре, почвидимому, Q ^ 0, хотя это строго не доказано. При %-1/2 < 6<(6/)-1/2 иликартина будет аналогичной, но спиральная поверхность разрыва успеет совершить много оборото!В. При s 〜б^1 или а 〜吧今 разрушение вихревой структуры вязкостью начнется где-то внутри области 4r(°)< 1 (см. рис. 9.12), и при а》％》а?* спиральная вихревая поверхность займет всю зону Т(0) < 1, за исключением малого вязкого ядра в окрестности 屮(°)=—1 (рис. 9.13). Из решения задачи на собственные значения при а》1 получается, что b со временем не меняется, а % растет. Отсюда вытекает, что в своем развитии волна последовательно проходит стадии, показанные на рис. 9.12, 9.13.

Отметим, что рассмотрение задачи (в случае, подобном разобранному, при а》1 начато в работе [238]. Однако там не решалась задача на собстоенпые значения и полученные решения справедливы лишь при Т(0) > 1.

Скачок фазы при 。》1 находится аналогично случаю а《1. Для первого члена разложения (9.4.10) получаем [42]

ФФИз (9.4.23) и (9.4.5) можноИз (9.4.23) и (9.4.5) можнонайти зависимость е от ®рб®£0Нинайти зависимость е от ®рб®£0Ние (0 =е (0 =8о8о0一佝20一佝2(9.4.23)

Ф

Ф

Из (9.4.23) и (9.4.5) можно

Из (9.4.23) и (9.4.5) можно

найти зависимость е от ®рб®£0Ни

найти зависимость е от ®рб®£0Ни

е (0 =

е (0 =

8о

8о

0一佝2

0一佝2

128 U；丽QP128 U；丽QP

128 U；

丽QP

128 U；

丽QP

% =—

Рассмотрим, следуя [235], плоскую волну, расйрострапяющуюся' направлении х под пвкоторым углом 0 к основному потоку. Все

Рис. 9.12. Спиральная структура ячейки Кельвина при сравнимых влияниях неста- ционариости возмущения и эффектов вязкости на решение уравнений.Рис. 9.12. Спиральная структура ячейки Кельвина при сравнимых влияниях неста- ционариости возмущения и эффектов вязкости на решение уравнений.Рис. 9.13. Схема выбора знака за- вихренностн для возмущения внутри ячейка Кельвина.Рис. 9.13. Схема выбора знака за- вихренностн для возмущения внутри ячейка Кельвина.

Рис. 9.12. Спиральная структура ячейки Кельвина при сравнимых влияниях неста- ционариости возмущения и эффектов вязкости на решение уравнений.

Рис. 9.12. Спиральная структура ячейки Кельвина при сравнимых влияниях неста- ционариости возмущения и эффектов вязкости на решение уравнений.

Рис. 9.13. Схема выбора знака за- вихренностн для возмущения внутри ячейка Кельвина.

Рис. 9.13. Схема выбора знака за- вихренностн для возмущения внутри ячейка Кельвина.

ее характеристики считаем постоянными в направлении z‘ 丄 ％'• Уравнение для функции тока такой волны в плоскости (е[ у) аналогично (9.4.1). Кроме того, имеется уравнение для г'-компопеиты скорости ш. В КС для главного члепа разложения w — Е1/21Уи + ... можно получить

%o = jtgew¥±. (9.4.24)

Таким образом, из решения задачи для двумерной волны в КС получается решение и для трехмерной волны. Как уже показано, для волны с достаточно большим значением а в области 4f(°)v I завихренность ¥у| терпит скачок в масштабе, определяемом вязкой структурой скачка толщиной ^%~1/2. Согласно (9.4.24) такой же разрыв для трехмерной волны терпит скорость 少,что может, в принципе, приводить к высокочастотной (вторичной неустойчивости волны и ее разрушению [16, 32] в смысле работы [202]. Характеристики устойчивости образовавшейся нелинейной пространственной волны относительно вторичных возмущений будут определяться числом Рейнольдса RB, которое (вычисляется по масштабу толпц1ны вязкого внутреннего слоя 6口 ~ £v2^-i/2§ и масштабу изменения скорости w порядка WUт. е. RB = Кб8/'1/2. Так как внутри тонкого вязкого слоя, в котором резко изменяется профиль скорости, имеется точка перегиба, следует ожидать, что сформировавшееся течение будет неустойчивым относительно мелкомасштабных возмущений с длиной волны 猫〜6口 = 6s1/2%~ly，2 = b/^^a1^^^2^.^2).

Это представление соответствует механизму вторичной неустойчивости течения, как имелось в виду в работе [202]. Если параметр RB определяющий, то можно ожидать, что он будет принимать некоторое фиксиро[ванное значение на заключительном этапе турбулизации течения, т, е. из условия RB = const будет следовать зависимость критического числа Рейнольдса перехода от величины фактора начальной турбулентности потока (см. работы [16, 32]).

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОГО КРИТИЧЕСКОГО СЛОЯВ ГАЗЕ

Основная цель данного параграфа ——обобщить результаты § 9.4 на случай сжимаемых течений.

Рассмотрим плоское возмущение с амплитудой s < 1 в стационарном зглосколараллелыюм пограничном слое совершенного газа с профилями скорости U(у), температуры Т(у). Для определенности выберем случай течения на плоской пластине и будем искать решение для возмущений с волновым числом а, которые могут развиваться во времени. В качестве характерных масштабов длины по координате у примем толщину пограничного слоя б, по координате ж — а-1. Скорость и время будут измеряться в единицах U^ и 6/Ug соответственно. Плотность р, давление 尸,температура Т и коэффициент вязкости измеряются в единицах, равных соотоетстаующим значениям в набегающем потоке. Сделаем следующие предположения относительно рассматриоваемого возмущения:

8 < 1 — амплитуда возмущения мала;

% = g3/2a/vc》1 ——критический слой является сильно нелинейным (“=叫(勿)——кинематический коэффициент вязкости в критическом слое);

е"2《Ус ——критический слой и вязкий пристеночный слои асимптотически разделяются;

Ъ = «У(ае1/2)< 1 — нестационарные члены уравнений для возмущения, рассматриваемой) в системе отсчета, движущейся со скоростью с вниз по потоку, много меньше нелинейных членов («г = dill &/dt)；

« =(0i8/vc > 1 — нестационарные члены уравнений для возмущения в критическом слое много больше вязких членов;

冗'，о(忆= (U，/7%『s штрих означает дифференцирование по у)—отсутствует так называемая обобщенная точка перегиба, наличие которой связано с существованием невязких решений уравнений линейной теории гидродинамической устойчивости.

На основании предположения 1 вне критического слоя нелинейными членами в главном приближении можно пренебречь. В силу условий 1, 4 инкримент ①^《1, т. е. вне критического слоя задача для возмущения в главном приближении линейная и стационарная. Кроме того, (вне критического и вязкого пристеночного слоев задача для расчета возмущения в главном приближении является невязкой. В критическом слое в силу предположения 2 необходимо исследсхвать уже в главном приближении нелинейную систему Уравнений для возмущений. Кроме предположений 1—6 такхсе считаем, что число Маха М = О(1), У1 — М2(1 — с)2 == 0(a).

Уравнения для плоского течения газа в системе отсчета, движущейся вдоль оси Ое со скоростью с, имеют вид

玩+ a w3

伍 В. II. Жигулев, А. М. Тумии

дидиdUdU+沖苧Гду+沖苧Гдуd арd ар(9.5.1)(9.5.1)++2 а а2 а аж дхж дх+4+4^ / J^ / J

ди

ди

dU

dU

+沖苧

Гду

+沖苧

Гду

d ар

d ар

(9.5.1)

(9.5.1)

+

+

2 а а

2 а а

ж дх

ж дх

+4

+4

^ / J

^ / J

dV ,〜户分干，〜方汴 一L亦，2 8储〜乔

PR +冲乙而+旷石=_俞17 +丽百（2卩两

++m布［收17 +a匈外m布［收17 +a匈外

+

+

m布［收17 +a匈外

m布［收17 +a匈外

3警 + 肃累 + p产普 + (% 一 1)R [a ^ + ,-]=

a?况 8 f〜疗I , X 8 /~ дТ \ Ё?Ё石俨17J十PH 用伍而j +

++x (x — 1) R~x (x — 1) R~

+

+

x (x — 1) R~

x (x — 1) R~

户=附，

где C\ F 力一,//-компоненты скорости, Г——температура; Р давление; р плотность; М число Маха на внешней границе пограничного слоя; Рг число Прандтля; 乂 показатель адиабаты; ji = =^(Т7)— коэффициент вяз(кости.

Введем возмущения /, <р, г, л, 9 в соответствии с выражениями

0=。一с + е/, F — е(р, Т = Т + е8,、

—(9.5.2/

р = р + sr, Р = ел.

Для пограничного слоя на плоской пластине Р = 1, р = Т—

Систему уравнений (9.5.1) буд&м анализировать при следующих граничных 5гсловиях: 1) условие пер|иодичиости по ^ с периодом 2冗；2) условие затухания возмущений /, ф, г,冗,0 при у f °°； 3) при у = О U = —с, F — От 8 = 0.

Решение системы уравнений (9.5.1) будем строить методом сращиваемых асимптотических разложений. В пограничном слое выделяются следующие характерные области (см. гл. 4, рис. 4.1): область внешнего течения (V), невязкая область при у > ус (IV), критический слой (III) т невязкая область при у <ус (II) 7 вязкий пристеночный слой (I).

Как указывалось, лишь в критическом слое исследуемые уравнения для возмущений являются нелинейными. Соответствующая полностью линейная задача была решена в работе [250], результаты которой мы используем при построении решения в областях I, II, IV, V. Введем комплексную амплитуду возмущений q(y) согласно соотношению g(y) = Re[q(y)exp(i/)] В главном приближении для

see получаются следующие ттовязкие уравнения:

Е_ с) [п _，] + 器 _ 并 |^ = О,-

方а (U с) ? ср dU icc —

fa {U — c)人_4 d冗

В области V, где。= Т = 1, получим из (9.5.3) 岗⑹+汝(1 — С) (n⑸一濟))+需 =0,

(1 - e) /⑸=餐n⑹

、''хМ2

(5)1 而⑸

ia (1 — с) ф ; = — -—а ——^

(9.5.4)

ia (1 - с) 0 + (х-1)卜財⑸ +

喲=。。

Верхний индекс означает, что амплитудная функция q ищется в области V. Мы также опустили черту сверху над функцией возмущения давления и знак 《—» над амплитудными функциями. Рассматривая дозвуковые возмущения, удовлетворяющие усло(вию 11 — cl < М-1, получим из (9.5.4)

冗⑹=хМ2k exp (―九у)$

川

(9.5.5)(9.5.5)/⑸=—К±ехр (― Zy),

(9.5.5)

(9.5.5)

⑹ 呪 —— c)2

二不.(1у

е⑸ f (乂 — 1)м2 m(1 ~ky+ .

Решение в области IV ищется в виде разложения по степеням а2:

/⑷二守+樽守+

(р⑷=а(f俨 + 炉*)+ ..

6⑷=8f)+ 长出4)+ ....

Из системы (9.5.3) получим уравнения для первых членов разложения, которые при у f 8 должны удовлетворять усло(вию сра- щивания с (9.5.6). Мх решения имеют вид

君4)=心俨沉，

於於呪i (U — с)呪i (U — с)у Т \°，т(4)у Т \°，т(4)党）=m2忆a一с）一匕1示，°*立党）=m2忆a一с）一匕1示，°*立(9.5.7)(9.5.7)TАС (〃 — g)2TАС (〃 — g)2dydy

於

於

呪

i (U — с)

呪

i (U — с)

у Т \°，т(4)

у Т \°，т(4)

党）=m2忆a一с）一匕1示，°*立

党）=m2忆a一с）一匕1示，°*立

(9.5.7)

(9.5.7)

T

АС (〃 — g)2

T

АС (〃 — g)2

dy

dy

(9.5.8)(9.5.8)Найдел! разлолхеяие решений (9.5.7) при у f у。+ О л^->хМ2<,

(9.5.8)

(9.5.8)

5华，一 -77 仅一%） In （y 一次）一贵0 ® -%）+

+0 [仅一%)2 In仅-%)1,

/伊 f / 1口 (沙 一 %) + (统 + / 1 + ° [仅 一.%) 1口(y 一 %)])

暗)f 了7'—F。口п (у —■ %)],

% 他 一%)

a (1 — с)2几

g (%)=]1g (%)=]1^\U-cfm'2匕〃(!/一%户^\U-cfm'2匕〃(!/一%户

g (%)=]1

g (%)=]1

^\U-cfm'2匕〃(!/一%户

^\U-cfm'2匕〃(!/一%户

dyi M'2 «)2 〃 (У — %)M?%* 0 — yc)

Индекс 《с» означает, что соответствующая функция вычисляется при У = %・ Из (9.5.8) видно, что /俨，屮炉)содержат логарифм при у уе. Задача анализа критического слоя, по существу, заключается в выборе ветви логарифма при переходе в нежнзкую область II. Будем считать, что In (у — ус) при переходе через критический слой заменяется па 1п \у — ус\ — ?Ф, где скачок фазы логарифма Ф пока не определен. Для певязких решений в области II получим граничные условия при у f ус — 0 в виде

吟)f—Г + ° Un (у - %)】，(9.5.9)

/о2)f / In I I + (筑 + /)^Л + ° [匂一％) In (у — %)],

伙2)f — ％ (у — Ус) In 仅—%) — iB0 (у — ％) —

①У

—г(У — ％) +。[(У —勿)2 In I у — yc I ].

Решение в певязкой области II удовлетворяет в главном приближении тем же уравнениям, что и в случае области IV. Запишем их решения в виде, который обеспечивает выполнение условий (9.5.9):

曙=xMW；,

%“О —с)

5用,

(9.5.10)(9.5.10)陪)=(x—I)%;? —陪)=(x—I)%;? —T I , M2(U—C)2T I , M2(U—C)2Q。Q。

(9.5.10)

(9.5.10)

陪)=(x—I)%;? —

陪)=(x—I)%;? —

T I , M2(U—C)2

T I , M2(U—C)2

Q。

Q。

7’限

〃万 一一e) )

①m 优 (一%) 纟

晒 + 党+ ^^^ +

+ i M2 W；go —

a (1 — с)?

g° = ! ' 一 M2 a 二 d - M2 W^ (y - yc)2 一 № (吋 U'e (y - %) dy' При у -> 0 получим из (9.5.10) предельные значения для решения в вязком пристеночном слое:

時)Т %м?%

看，毋 +飞%，(9-5.11)

^-^^-^WT^+iQ^

Фо2)т Qo%

где индекс《в» означает, что соответствующая функция вычисляется при у = 0.

В вязком пристеночном слое необходимо перейти к координате П = у (aRc)"z и искать решение в виде

П⑴= n$)+ T成0 +…當

/⑴ н舟)+ $#)+ ・・・$(9.5.12)

中⑴=屮俨+*)+

6⑴=曉)十 T&D +t = (a R с)т/2.

В главном приближении получаем следующую систему уравнений:

冰）一历［婦）-里］+；零=0工

啮）^ , u c<}（9 5 13）

■； == Uy

一云 +出-1）华+ 31）為-P： 3

Решение (9.5.13), удовлетворяющее граничным условиям при п =0； можно записать так:

忌1)= »М2%；*

唄——^ 庐 + Kм2%* 一 ^，

Фо1}=譬[M2c2 —北]叮_ 9o J^^exp (— n ]/j^^T") + 分，

(9.5.14)

G A 备 у 二T'

Haii/i^M предел решения (9.5.14) при г| 8 н перейдем к переменной у. Из условия сращивания (9.5.14) с (9.5.11) получается дисперсионное соотношение

夕冲=—Qo& (9.5.15)

Или, отделяя вещественную часть, получим

М 2aR『М 2aR『/нЛ[(х-1)М2с2 + Tw]=/нЛ[(х-1)М2с2 + Tw]=Ф<《（忆产Ф<《（忆产(9.5.16)(9.5.16)

М 2aR『

М 2aR『

/нЛ[(х-1)М2с2 + Tw]=

/нЛ[(х-1)М2с2 + Tw]=

Ф<

《（忆产

Ф<

《（忆产

(9.5.16)

(9.5.16)

Мнимая часть выражения (9.5.15) определяет зависимость с(сс). Имеем

К 匕一 М2(1 — с)2К 匕一 М2(1 — с)2а (( — с)2а (( — с)2=М2Hzego + -у—7 In 恥e%=М2Hzego + -у—7 In 恥e%" 一 %)Ус" 一 %)УсF O(t)・ %4(1 一耳)F O(t)・ %4(1 一耳)

К 匕一 М2(1 — с)2

К 匕一 М2(1 — с)2

а (( — с)2

а (( — с)2

=М2Hzego + -у—7 In 恥e%

=М2Hzego + -у—7 In 恥e%

" 一 %)Ус

" 一 %)Ус

F O(t)・ %4(1 一耳)

F O(t)・ %4(1 一耳)

(9.5.17)(9.5.17)Таким образом, из (9.5.17) находим в зависимости от скачка фазы Ф.Следуя основной идее § 9.4, приТаким образом, из (9.5.17) находим в зависимости от скачка фазы Ф.Следуя основной идее § 9.4, прис(а), а из (9.5.16)—сс(7?)% f оо ищется скачок фазыс(а), а из (9.5.16)—сс(7?)% f оо ищется скачок фазы

(9.5.17)

(9.5.17)

Таким образом, из (9.5.17) находим в зависимости от скачка фазы Ф.

Следуя основной идее § 9.4, при

Таким образом, из (9.5.17) находим в зависимости от скачка фазы Ф.

Следуя основной идее § 9.4, при

с(а), а из (9.5.16)—сс(7?)

% f оо ищется скачок фазы

с(а), а из (9.5.16)—сс(7?)

% f оо ищется скачок фазы

ФФconst / 、十9(吟const / 、十9(吟(9.5.18)(9.5.18)

Ф

Ф

const / 、

十9(吟

const / 、

十9(吟

(9.5.18)

(9.5.18)

В силу дисперсионного соотношения (9.5.15) скачок фазы Ф не зависит от времени. Тогда, дифференцируя (9.5.18) по времени, получим!

(9.5.19)(9.5.19)da 3 q (а)

(9.5.19)

(9.5.19)

где q (а) = dq/da. При а-> оо 夕=。廿 Qn^n^ (см. § 9.4). Переходя 71=0

в критическом слое к внутренней переменной У 工(у — yJ/^E(%), представим в уравнениях для возмущений производную по времени в форме (см. § 9.4)

д'~д1д'~д13,3 д 3 q д У d

д'

~д1

д'

~д1

=3声況+ ^%g扳+ в例丁而一史g疗•

Из внешнего разложения при у -^ ус~^ 0 находим граничные условия для суммарного решения в критическом слое при У f 8：

— У2 Н7 cos 1rli1 У 十2%— У2 Н7 cos 1rli1 У 十2%U ⑶-> &1/2UcY + sin e —^ COS 胃 + E 2WC

— У2 Н7 cos 1rli1 У 十

2%

— У2 Н7 cos 1rli1 У 十

2%

十 COS X (筑 + /]] + ° ('"2 历 E)，

『⑶ f г(х sin х + s3/2 In s ―аУ sin x + &'/2a sin 况 X 2WC

(9.5.20)(9.5.20)X ^Y\nY + B0Y +0^ 1п8)г т^-^тс + ^ %Y + *争 +O(elne),

(9.5.20)

(9.5.20)

P⑶ f 4 + ехМ21Гс cos x + О (s2),；

с(з) 1S1/2р FFс(з) 1S1/2р FF+ O(elne).+ O(elne).

с(з) 1S1/2

р FF

с(з) 1S1/2

р FF

+ O(elne).

+ O(elne).

Выражения (9.5.20) получены как главное приблияление раз- лоя^ений по степенна а* и (aR)~\ В критическом слое решение ищется в виде

т⑶=出з) + 81/20(з)+。(£ 历 е),

「⑶=需)+ 3%，)+ О (е In е),；

[/⑻=修/2宵)+ е 1пе/^3) + 守鼠)+。(ез/2 ln 明 (9.5.21)

?⑶=叫，)+ e"2 m S 中,)+ g3/2磯)+0伯2 ]n E)s

P ⑶=g俨 + 耽£)+ 0(82).

Легко получить для главных членов разложений

瞰=TCi附)=77* * = 1,尸=忆爲

屮俨=a sin 玲冗£)= xM2^ cos 勺/“ = ^7 cos 々 (9522)

屮 J = a sin 2 —7 •

Для простоты положим, что 卩=7, Pr = 1. Тогда для следующих членов разложения в (9.5.21) получим уравнения, представ-

ляющие для нас основной интерес:

LcY^T + ^-ir+slnxW +百k

=小岁一个一3*=小岁一个一3*—3%—3%(9.5.23)(9.5.23)呢3)呢3)+ sin X+ sin X

=小岁一个一3*

=小岁一个一3*

—3%

—3%

(9.5.23)

(9.5.23)

呢3)

呢3)

+ sin X

+ sin X

Т 守丄方。晔）з "鼎3小穹）Т 守丄方。晔）з "鼎3小穹）,e v。穹) a %(3)+ 三 уk _ 2浜cos?— 咽］,,e v。穹) a %(3)+ 三 уk _ 2浜cos?— 咽］,(9.5.24)(9.5.24)

Т 守丄方。晔）з "鼎3小穹）

Т 守丄方。晔）з "鼎3小穹）

,e v。穹) a %(3)

+ 三 уk _ 2浜cos?— 咽］,

,e v。穹) a %(3)

+ 三 уk _ 2浜cos?— 咽］,

(9.5.24)

(9.5.24)

，畔的,)(％-1) М k + sm^k +，畔的,)(％-1) М k + sm^k +++1。噌1。噌兄兄0総）［0総）［W丄3 gW丄3 g緇厂да '緇厂да '(9.5.25)(9.5.25)看）=一附）/需），唄=—р断".看）=一附）/需），唄=—р断".(9.5.26)(9.5.26)Используя e :Используя e :(9.5.23), (9.5.26), получим из (9.5.25) уравнение для(9.5.23), (9.5.26), получим из (9.5.25) уравнение для,8呼利3）1外6（3）5右+ Se？丁 =而斤+,8呼利3）1外6（3）5右+ Se？丁 =而斤++1+190 3)50 3)„ 50 3)ЗУ 1' 3%da90 3)50 3)„ 50 3)ЗУ 1' 3%da(9.5.27)(9.5.27)УравнениеУравнение(9.5.27)(9.5.27)совпадает с уравнением для завихренности всовпадает с уравнением для завихренности вслучае несжимаемой жидкости (см. § 9.4). Его решение ищется, так же как и в § 9.4, в виде разложения по степеням %一丄.Далее, при & < 1, а》(оно представляется в форме0® = С)+ ИГ+случае несжимаемой жидкости (см. § 9.4). Его решение ищется, так же как и в § 9.4, в виде разложения по степеням %一丄.Далее, при & < 1, а》(оно представляется в форме0® = С)+ ИГ+При этом 呢)удовлетворяет уравнению+ sinx^y- = 0.При этом 呢)удовлетворяет уравнению+ sinx^y- = 0.(9528)(9528)

，畔的,)(％-1) М k + sm^k +

，畔的,)(％-1) М k + sm^k +

+

+

1。噌

1。噌

兄

兄

0総）［

0総）［

W丄3 g

W丄3 g

緇厂

да '

緇厂

да '

(9.5.25)

(9.5.25)

看）=一附）/需），唄=—р断".

看）=一附）/需），唄=—р断".

(9.5.26)

(9.5.26)

Используя e :

Используя e :

(9.5.23), (9.5.26), получим из (9.5.25) уравнение для

(9.5.23), (9.5.26), получим из (9.5.25) уравнение для

,8呼利3）1外6（3）

5右+ Se？丁 =而斤+

,8呼利3）1外6（3）

5右+ Se？丁 =而斤+

+1

+1

90 3)50 3)„ 50 3)

ЗУ 1' 3%da

90 3)50 3)„ 50 3)

ЗУ 1' 3%da

(9.5.27)

(9.5.27)

Уравнение

Уравнение

(9.5.27)

(9.5.27)

совпадает с уравнением для завихренности в

совпадает с уравнением для завихренности в

случае несжимаемой жидкости (см. § 9.4). Его решение ищется, так же как и в § 9.4, в виде разложения по степеням %一丄.Далее, при & < 1, а》(оно представляется в форме

0® = С)+ ИГ+

случае несжимаемой жидкости (см. § 9.4). Его решение ищется, так же как и в § 9.4, в виде разложения по степеням %一丄.Далее, при & < 1, а》(оно представляется в форме

0® = С)+ ИГ+

При этом 呢)удовлетворяет уравнению

+ sinx^y- = 0.

При этом 呢)удовлетворяет уравнению

+ sinx^y- = 0.

(9528)

(9528)

Его решение, удовлетворяющее условию сращивания ири У f 8, имеет вид при Ч『> 1 (屮'=。；产/2 + cos /)：

0得工肃尔。⑺，(9.5.29)

s = sgny,匕(屮)=]|/Д■(屮一cos X)dx.

В следующем приближении, переходя к переменным 屮，％, получим для 8* уравнение

Y = s у/"★ (В — cos х).

Решение уравнения (9.5.30) таково:

嘗)=・Т %卜痂—3jL汝+S(屮)，(9.5.31)

- ос о-

где неизвестная функция S(W) должна определяться из условия периодичности следующего по Ъ приближения и из условия сра- ищвапия с внешним разложением в слагаемых, которые пропорциональны «г. При 1P < I, как было показано в § 9.4, течение имеет вид спиралей, сходящихся к 屮=—1, а расстояние между соседними витками характеристик порядка Ъ. Решение при Ф < 1 также совпадает с (9.5.29), но выбор знака в нем зависит от знака У, с которым характеристика, приходящая в данную точку, пересекает границу W = 1 (см. рис. 9.11).

Прежде чем， искать решение для 穹)， найдем Q = @晋)/@У. Для этого продиффорет^ируем (9.5.24) по У и получим, учитывая выражения (9.5.23), (9.5.26),

加丫 * + sin "浆一％； sin 2 与=

Опуская слагаемые порядка %一\ получим в переменных 屮,况

dQ ■。署© , ь \ dQ 1 I

—=ТУсЗшх-^г- + -—— —(2j-(9.5.32)

Отыскивая решение (9.5.32) в виде Q = Qo + bQi 十..., имеем

Q° =屮；(1 一 cos 方)證十少(T).(9.5.33)

Функцию 尸(Т) находим из условия периодичности следующего приближения Qi：

(9.5.34)(9.5.34)川1 球.50^1 vdQ0 1

(9.5.34)

(9.5.34)

it = %m “k + 三 у 誣一就Q°・

Интегрируя (9.5.34) по х от 0 до 2л, использз^я (9.5.33), полупим Зфавненне для F(W)

2Л2Л

(9.5.35)(9.5.35)W；备、跄;％in xdx + 4^1(' — cos ")丫彰乂 оо

(9.5.35)

(9.5.35)

d2Q^X—+d2Q^X—+2Л丄f Y姦竺2 Jо2Л丄f Y姦竺2 Jо"c "啕)f (1 — ®os x)"c "啕)f (1 — ®os x)2Л2Л汶汶0.0.

d2Q^X—+

d2Q^X—+

2Л

丄f Y姦竺

2 J

о

2Л

丄f Y姦竺

2 J

о

"c "啕)f (1 — ®os x)

"c "啕)f (1 — ®os x)

2Л

2Л

汶

汶

0.

0.

На основании (9.5.31) после интегрирования по частям имеемНа основании (9.5.31) после интегрирования по частям имеем2Л2Л00sin 工彰二匕⑺ f У cos 2源—兀系f У cos xdx. (9.5.36)sin 工彰二匕⑺ f У cos 2源—兀系f У cos xdx. (9.5.36)Подставляя (9.5.36) в (9.5.35), находим решение для F(W), а затемвыражение для Qo (屮,％), удовлетворяющее условию сращивания с внешним разложением:Подставляя (9.5.36) в (9.5.35), находим решение для F(W), а затемвыражение для Qo (屮,％), удовлетворяющее условию сращивания с внешним разложением:Qo = ^s几(屮)一危 j(I二券月dz _О2Л -—(1 — COS%) [ ^ •о -Из (9.5.37) после интегрирования по У находам /^) приблигггении по b皆)=J —==^^= dr] +goo ⑺.? |/ 24 5 一 cos 方)Qo = ^s几(屮)一危 j(I二券月dz _О2Л -—(1 — COS%) [ ^ •о -Из (9.5.37) после интегрирования по У находам /^) приблигггении по b皆)=J —==^^= dr] +goo ⑺.? |/ 24 5 一 cos 方)(9.5.37)в главном(9.5.38)(9.5.37)в главном(9.5.38)Функция go。(х) определяется из условия сращивания с внешним разложением при У — 00Функция go。(х) определяется из условия сращивания с внешним разложением при У — 00

На основании (9.5.31) после интегрирования по частям имеем

На основании (9.5.31) после интегрирования по частям имеем

2Л

2Л

0

0

sin 工彰二匕⑺ f У cos 2源—兀系f У cos xdx. (9.5.36)

sin 工彰二匕⑺ f У cos 2源—兀系f У cos xdx. (9.5.36)

Подставляя (9.5.36) в (9.5.35), находим решение для F(W), а затемвыражение для Qo (屮,％), удовлетворяющее условию сращивания с внешним разложением:

Подставляя (9.5.36) в (9.5.35), находим решение для F(W), а затемвыражение для Qo (屮,％), удовлетворяющее условию сращивания с внешним разложением:

Qo = ^s几(屮)一危 j(I二券月dz _О2Л -

—(1 — COS%) [ ^ •о -

Из (9.5.37) после интегрирования по У находам /^) приблигггении по b

皆)=J —==^^= dr] +goo ⑺.

? |/ 24 5 一 cos 方)

Qo = ^s几(屮)一危 j(I二券月dz _О2Л -

—(1 — COS%) [ ^ •о -

Из (9.5.37) после интегрирования по У находам /^) приблигггении по b

皆)=J —==^^= dr] +goo ⑺.

? |/ 24 5 一 cos 方)

(9.5.37)

в главном

(9.5.38)

(9.5.37)

в главном

(9.5.38)

Функция go。(х) определяется из условия сращивания с внешним разложением при У — 00

Функция go。(х) определяется из условия сращивания с внешним разложением при У — 00

Ugoo(况)=/ (1 一 cos /)U сUgoo(况)=/ (1 一 cos /)U су COS X in —77" + COS X2吃2у COS X in —77" + COS X2吃25 +%0十2M5 +%0十2M

U

goo(况)=/ (1 一 cos /)U с

U

goo(况)=/ (1 一 cos /)U с

у COS X in —77" + COS X

2吃2

у COS X in —77" + COS X

2吃2

5 +%

0十2M

5 +%

0十2M

(9.5.39)(9.5.39)j Г sQ° (@ £) Uc % cos x ][H2U；(T)— cos x) 。；2% Q

(9.5.39)

(9.5.39)

После того как найдена 屮3”工 можно определить ^ из уравнения неразрывности.

Рассмотрим вывод интегральных соотношений для скачка фазы

Ф при переходе через критический слой. Проинтегрируем уравнения (9.5.24) по х от 0 до л:

2Л2Л噌).刀 丁严■ ст/- Sin N〃N + Uс噌).刀 丁严■ ст/- Sin N〃N + Uсоо/3)/3)+ 3'下 一 Lf+ 3'下 一 Lf+ sin x —+ sin x —РсРсdx =dx =z J I Mz J I Mоо2Л2ЛЪ十2Ъ十2ооУУ~dY~dY一彦 d%.一彦 d%.3 ，/ 玻)3 ，/ 玻)dx +dx +(9.5.40)(9.5.40)

2Л

2Л

噌).刀 丁严■ ст/- Sin N〃N + Uс

噌).刀 丁严■ ст/- Sin N〃N + Uс

о

о

/3)

/3)

+ 3'下 一 Lf

+ 3'下 一 Lf

+ sin x —

+ sin x —

Рс

Рс

dx =

dx =

z J I M

z J I M

о

о

2Л

2Л

Ъ

十2

Ъ

十2

о

о

У

У

~dY

~dY

一彦 d%.

一彦 d%.

3 ，/ 玻)

3 ，/ 玻)

dx +

dx +

(9.5.40)

(9.5.40)

На основании уравнения (9.5.23) попуиим

2Л2ЛооdрС衣dрС衣十 sin x-—十 sin x-—Uy 1Uy 1.⑶.⑶dx —dx —3, "13, "1qf daqf da.⑶.⑶-3%长 dx--3%长 dx-(9.5.41)(9.5.41)Интегрирование последнего выра/кеиия по У от о° до ловка рез^'льтата в (9.5.40) дают с учетом (9.5.26)：Интегрирование последнего выра/кеиия по У от о° до ловка рез^'льтата в (9.5.40) дают с учетом (9.5.26)：УУииподста-подста-2冗2冗/(У)-/(8)=尸/(У)-/(8)=尸專 + <е® dx —專 + <е® dx —оо2л У2л УО 82Л УО 82Л У-HI-HIО ооО оо吼3)吼3)•⑶]•⑶]姦 dY-/]У-厶 +姦 dY-/]У-厶 +：(3)：(3)У 岁 dxdyУ 岁 dxdy勿勿3c 况:3)3c 况:3)丁 да丁 даУ Y 2nУ Y 2n—3%4 dxdYdY,—3%4 dxdYdY,(9.5,. 42)(9.5,. 42)

2Л

2Л

о

о

d

рС衣

d

рС衣

十 sin x-—

十 sin x-—

Uy 1

Uy 1

.⑶

.⑶

dx —

dx —

3, "1

3, "1

qf da

qf da

.⑶

.⑶

-3%长 dx-

-3%长 dx-

(9.5.41)

(9.5.41)

Интегрирование последнего выра/кеиия по У от о° до ловка рез^'льтата в (9.5.40) дают с учетом (9.5.26)：

Интегрирование последнего выра/кеиия по У от о° до ловка рез^'льтата в (9.5.40) дают с учетом (9.5.26)：

У

У

и

и

подста-

подста-

2冗

2冗

/(У)-/(8)=尸

/(У)-/(8)=尸

專 + <е® dx —

專 + <е® dx —

о

о

2л У

2л У

О 8

2Л У

О 8

2Л У

-HI

-HI

О оо

О оо

吼3)

吼3)

•⑶]

•⑶]

姦 dY-/]У-厶 +

姦 dY-/]У-厶 +

：(3)

：(3)

У 岁 dxdy

У 岁 dxdy

勿

勿

3c 况:3)

3c 况:3)

丁 да

丁 да

У Y 2n

У Y 2n

—3%4 dxdYdY,

—3%4 dxdYdY,

(9.5,. 42)

(9.5,. 42)

2Л

/ (У) n I 授 sin xdx^

о

где константы интегрирования Л, Л определяются вд условия, что выражение (9.5.42) должно выполняться при любых значениях У. Устремляя У f 8, найдем, что

人=2h (( + и:r/*),/=。■

Рассматривая предел при У -> —о°, найдем, что скачок фазы Ф = = О(Ь) п с требуемой точностью определяется из выражения

黎一伊dYdx +г ⑶1У 帚■一宵 dYdx-黎一伊dYdx +г ⑶1У 帚■一宵 dYdx-(9.5.43)

黎一伊dYdx +

г ⑶1

У 帚■一宵 dYdx-

黎一伊dYdx +

г ⑶1

У 帚■一宵 dYdx-

-cose严)彰—-cose严)彰—京①一 cos q dT]京①一 cos q dT]При этом в (9.5.43) следует брать только главные члены разложений по Ъ для £" и 8，)， определяемых уравнениями (9.5.29), (9.5.39). Заменим в (9.5.43) интегрирование по У на интегрирование по ^. Учтем, также, что в подынтегральных выражениях при Т < 1 стоят сильно осциллирующие функции, которые дают вклад в интегралы порядка 0(b). После громоздких преобразований, которые аналогичны случаю несжимаемой жидкости, получим выражение

-cose严)彰—

-cose严)彰—

京①一 cos q dT]

京①一 cos q dT]

Подстановка в (9.5.44)。；京 Q俨 из (9.5.23), (9.5.37) дает окончательно

(9.5.45)(9.5.45)64 Uc Wc л Тс О；

(9.5.45)

(9.5.45)

Зя 口)3/2 忆[丄一6 7c 元

Выражение (9.5.45) является обоби^еиием результата, полученного в §9.4 для случая М f 0.

Таким образом, непосредственным вычислением показано, что в качественном плане теории нелинейного критического слоя в газе и нелинейного критического слоя в несжимаемой жидкости аналогичны. Следовательно, все выводы § 9.4 о возможной вторичной неустойчивости и появлении при этом характерного параметра RB остаются в силе и в случае пограничного слоя в газе.

§ 9.6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕИССЛЕДОВАНИЙ ЗОНЫ ПЕРЕХОДАНА ПРОФИЛЯХ 吵

В этом параграфе приведем экспериментальные данные по зоне ламинарпо-турбзтлентпого перехода, изученной в малошумнон аэродинамической трубе па двух различных профилях (1, 2)' (рис. 9.14, 9.15), расположенных иод нулевым，углом атаки [286, 287]. Эти результаты были получены с помощью специальной измерительной системы, использующей бесконтактны!^ лазерный, однолучевой, времяпролетный метод регистрации мгновенной локальной скорости потока. Система снабжена специальным приемником направления. Каждое измерение состоит в регистрации модуля скорости в плоскости %, у ее знака ^-компоненты вектора скорости. Данные измерения основаны на светорассеянии частицами, входящими в состав естественной запыленности воздуха в аэродинамической трубе. Испытания производились при скорости потока в диапазоне 70——75 м/с со степенью начальной турбулентности в рабочей части трубы 0,04%. Число Рейнольдса по хорде модели составляет примерно 1,5 • 106.

Приведем профили средней скорости течения U (у) и среднеквадратичной пульсации Е(д), определенные по 500 регистрациям скорости в каждой измеряемой точке потока.

На рис, 9.16, 9.17 построены измеренные профили средней скорости и среднеквадратичной пульсации скорости в указанных на рис. 9.14 сечениях для 15-процентного симметричного профиля NACA 65—015 (1). Начало координат по х располагалось на задней кромке крыла. Приведены сечения (в долях хорды крыла) и соответствующие им U(y) и в(у), которые построены в указанном на рисунках масштабе. Начало координат этих зависимостей совпадает с положением соответствующего сечения. Координата у указана также в долях хорды крыла. Величина скорости U и степени турбулентности е отнесены к скорости па бесконечности. На рис. 9.18 приведены распределения тех же величин в следе за крылом.

Вид профилей для £(у) свидетельствует о том, что критический слой для развивающейся неустойчивости в области —0,66 W С х С — 0,38 располагается вблизи границы пограничного слоя. Начиная примерно с сечения z = —0,66, критический слой является нелинейным, ибо здесь е А £*. Интересно также выглядит конец нелинейного участка развития неустойчивости. В области —0,39 С W ◎ W — 0,37 вблизи поверхности обнаружено возвратное течение с характерной средней скоростью порядка 1 м/с. Эта область и примыкающая к ней зона исследованы подробнее (рис. 9.19). Зона возвратного течения имеет толщину 0,1—0,15 мм и длину 10—12 мм (5——6 местных толщин пограничного слоя), она отличается аномально малой концентрацией запыленности: если обычно время

1з)Параграф написан совместно с С. В. Жигулевым (см. работы [286, 287]).

Рис. 9.15. Профиль крыла (2).

旳丿

+

+ + + + +++ 廿

+ + + +

+

+

+ + ++ +

#产+ R6

一34

Рис. 9」6. Профили средней скорости при обтекании крыла ({).

1змерения на установке по 500 частицам составляет 2——30 с в зави- -имостп от местной скорости, то здесь ——30 мин. Величина степени 'урбулентности около стенки сечения х = —0,39 равна 0,6%, в се- т^нии / = —0,37 уже 5%. В области / = —0,37 коэффициент перемежаемости скорости по знаку N = 0,92 — 0,96, что говорит о су- чествовании там почти чисто возвратного течения .

С увеличением / величина N плавно уменьшается до 0,2 в се- т^нии / — —0,35 и затем ——до нуля. Этот процесс сопровождается

「力

I JL+^+tAH^

JJ+1+ ++ ±二一-

夕

石

•0

•勿

14Д

Рис. 9.17. Профили среднеквадратичной пульсации скорости пои обтекании крыла (1).

Рис. 9,8. Раслродоление' средпей скорости и пульсаций в следе за кры-лом (1).

ростом степени турбулентности потока около стенки до максимального значения £ = 0,19 в сечении х == —0,35, после чего происходит быстрое формирование развитого турбулентного течения в пограничном слое. Интересно, что уже при угле атаки 2° аналогичной особенности в течении не наблюдается, лишь в сечении 况=—0,42 зарегистрировано значение N = 0,2, а в сечении 况=—0,4 N = 0,07.

+ +++++1/

+++ + ;▼ + + t+.rl+ ^p + + + +++Н-4Ч^_ + + + +++ + + + + + ixx^r ++ + +4- +rХХ-

+ + ++十二十

+ + + +TTTTTJ

+ + + + 一 --工・ +.

+++ 十 ++i+*

+ + + 十-н-+-н-^

+ + + + + +±4.

+ +t±>±i±.

|十十十 fЬ

5

;+牛一十.

•+Г+ 十/一〕！

±Л^С+.

развития возмущении в пси'ранпчпом

(1)・

крыла

W丿

я;

hi с. 9.19. Область нелинейного слое

%& 9.20, Профили средней скорости в пограничном слое на верхней поверх-ности крыла (2).

В. Н. Жигулев, А. М. Тумии

+

+ + + т т~+ 一 - i 4 一 二 + 一i т*+「 - -i ~

+ H+JIJIJ. I J.i

一0声 -g4 -дз -0,2 亠g7 0。

Рис, 921. Профили среднеквадратичной величины пульсаций скорости наверхней поверхности крыла (2).

Таким образом, удалось экспериментально изучить явление ламинарно-турбулентного перехода в пограничном, слое, сопровождающееся отрывом потока с последующим быстрым турбулентным присоединением.

На рис. 9.20, 9.21 приведены зависимости U(y) и Е(у) в пограничном слое на верхней поверхности крыла (2) в сечениях, указанных на рис. 9.15, для несимметричного профиля с относительно небольшим радиусом, закругления передней кромки. Расположение графиков и соответствующих масштабов такое же, как и на предыдущих рисунках. Характер зависимостей U(y) и £(у) для этого профиля существенно отличается от того, что наблюдалось для симметричного профиля рис. 9.14. Развитый турбулентный характер течения в пограничном слое наблюдается начиная с сечения х — —0,16. Распределение флуктуаций скорости по высоте пограничного слоя таково: в развитой турбулентной зоне они отсутствуют вне пограничного слоя, в то время как в области перехода отличны от нуля в точках, отстоящих от поверхности крыла на 4——5 толщин местного пограничного слоя. Это определенно указывает на длинноволновый характер возмущений в зоне перехода. Легко оценить длину волны в зоне перехода, основываясь на том, пто вне пограничного слоя возмущение затухает как ехр(—ау) (а = 2п/九—— волновое число неустойчивости). Получаем оценку Л ^ 30 6.

Распределение флуктуаций скорости в зоне перехода имеет характер воли Толлмина ——Шлихтинга с критическим слоем, расположенным в вязком подслое для возмущения. За основу последующих расчетов выберем сечения / = — 0,33; —0,24; U^ = 70 м/с; 6 = 10~3 м. Имеем R6 = 4,8 • 103. Для установления характера зоны перехода определил! пороговый параметр е*, который в случае критического слоя, расположенного вблизи стенки, нужно оценивать по формуле

Величину фазовой скорости принимаем с = 0,lt/TO. Поэтому е* ^ 10%.

Таким образом, вплоть до сечения 宠=/* = 一 0,24 зона перехода является линейной, т. е. ее эволюция подчиняется линеаризированным уравпениям Навье ——Стокса. На долю нелинейного участка (до зоны развитой турбулентности, начинающейся с / = /工=一0,16) приходится интервал А/= 0,12, т. е. Ах/х^ ^ 0,14. Следовательно, в рассматриваемом случае доля нелинейной области в зоне ламинарно-турбулентного перехода небольшая, занимающая примерно 14% области перехода до начала развитого турбулентного перехода несмотря на знатательную величину пульсаций скорости.

Глава 10

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙВ ЗОНЕ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА*ИНЖЕНЕРНЫЕ ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯРАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ НА ТЕЧЕНИЕ

§ 10.L ПРОБЛЕМА ПОДОБИЯ ТЕЧЕНИЙВ ЗОНЕ ПЕРЕХОДА. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Одним из первых исследователей вопросов моделирования зоны перехода с точки зрения результатов теории устойчивости является Е. Решотко [251], которым проанализирована важная роль частотного параметра F =(ov/f/L. Поскольку теорема о существовании и единственности для турбулентного течения в настоящее время не сформулирована, при анализе проблемы подобия течений в зоне перехода для геометрически подобных тел можно говорить в строгом смысле лишь о тех или иных гипотезах подобия.

Предлоя^им следующую формулировку гипотезы о подобии те- Уен瓜й в зоне ламинарно-турбулентного перехода для геометрически Подобных тел. Пусть имеются два геометрически подобных тела (рис. 10.1), обтекаемых двумя неоднородными потоками одного и того же вязкого идеального газа с постоянными значениями коэф-

Рис. 10.1. Схема обтекания моделей.

44фициентов вязкости и теплопроводности; пусть потоки перед телами могут быть представлены как суммы однородных течений с параметрами Ugi, poo；, T^i и фона с характеристиками

4

4

^^г ~ {Z2g‘i (%)/Uooi； Ps’i (力)/Pgf；7gt (勿)/TooJ(" = Ugi〃厶i? % = 1, 2).

z Геометрическое подобие тел означает полное подобие, т. е. учитывается шероховатость поверхности. Пусть поверхности тел неизменны во времени н имеют в аффинно-подобных точках температуры, различающиеся постоянным для каждого тела множителем 7\м, так что для любых дву^ аффинно-лодоблых точек поверхностей тел отношение температур равно Т^/Т7^， Пусть, далее, безразмерные характеристики фонов £成 совпадают при 九=i2T а также совпадают числа Маха QJJa^ г), Рейнольдса (U^ iLJv^ i) и температурные факторы (ссг- = Twi/T ooi) для обоих течений. Тогда в аффинно-подобных точках для этих течений при 厶=t2 значения безразмерных полей скорости (щ/U^i), плотности (рУр^г) и температуры (TJT^ будут одинаковы20).

Необходимо остановиться еще на вопросе о задании условий в набегающем потоке. Мы предполагаем, что эти условия заданы на плоскостях 尸為 перпендикулярных осям Xi и расположенных от начала обтекаемого тела на расстоянии NL (где N ——достаточно большое число, одинаковое для обоих тел) и на правой полусфере бесконечно большого радиуса. Для сверхзвуковых скоростей величина N выбирается такой, чтобы плоскость Р находилась целиком перед головной ударной волной.

Имея в виду исследование зоны ламинарно-турбулентного перехода, удобно характеристики фона представлять в спектральном виде 2г (^0 (斤i = 0)Vg〃UK——частотный параметр) и для подобия течений требовать равенства безразмерных спектральных характеристик фона в точках 匕=F2.

Итак, в соответствии с гипотезой о подобии, для того чтобы смоделировать зону перехода, нужно, помимо удовлетворения обычным критериям, смоделировать фон возмущений, существующих в потоке перед обтекаемым телом, т. е. для несжимаемой жидкости,

2°)Гипотеза о подобии основывается па универсальности задачи обтекания, сформулированной для безразмерных величин скорости, плотности и температуры в рамках уравнений Навье ——Стокса для рассматриваемой среды и соответствующих начальных и граничных условий.

например, — безразмерную спектральную плотность возмущений вектора скорости. Однако вопрос полного моделирования фона является сам по себе очень трудной задачей и иногда излишней. Так, если фон в натуре таков, что в зоне перехода основную роль играют наиболее опасные в смысле роста неустойчивостей частоты, то требование о полном моделировании фона можно заменить требованием о моделировании фона в наиболее опасной полосе частот (частичное правило моделирования). Приведем оценку величин таких частот со*. На основании имеющихся расчетных данных для до- и сверхзвуковых течений наиболее опасные возмущения (с максимальными пространственными инкриментами роста) имеют длины волн порядка 10 характерных толщин пограничного слоя и фазовую скорость с порядка UJ2 (Uc — характерная скорость над пограничным слоем). Поэтому

=〜2n• 1() -?-=〜2n• 1() -?-(10.1.1)(10.1.1)

=〜2n• 1() -?-

=〜2n• 1() -?-

(10.1.1)

(10.1.1)

(大〜106〜50厶/瓜 R = UA/s),

герцах по(10.1.2)герцах по(10.1.2)(10.1.3)(10.1.3)£t ——длина зоны перехода. Величина опасной частоты в порядку величины равна

герцах по

(10.1.2)

герцах по

(10.1.2)

(10.1.3)

(10.1.3)

Частотный параметр А* при этом будет оцениваться как

斤*〜10-2(R)-1/2

В наиболее существенных случаях Lt 〜L (£ ——характерная длина аппарата). Поэтому оценка для /* принимает более опреде- ленпый вид: вместо Lt в (10.1.2) нужно подставить L. Из (10.1.2) следует, что если в аэродинамической трубе и в натуре одинаковы скорости Ue и числа Рейнольдса R, то наиболее опасная частота в аэродинамической трубе больше, чем в натуре, в число раз, равное отношению длин аппарата и модели. Так, если принять, что Uc — =100 м/с, R = 106, Ла = 10 м, LM ― ОД м, то /а = 103 Гц, /м = =104 Гц (индекс 《а» относится к натуре,《〃»——к аэродинамической трубе).

Нужно добавить, пто если необходимо смоделировать зону перехода при дви?кеиии тела, поверхность которого сама вибрирует, то помимо фона в набегающем потоке необходимо моделировать и фон, идущий от обтекаемой поверхности. Здесь появятся свои параметры подобия.

Из сказанного о моделировании зоны перехода ясно, что предпринимаемые иногда попытки свести зависимость RHp перехода от различных факторов к зависимости лишь от так называемого единичного числа Рейнольдса Rx = U^/v^ не могут привести к универсальным корреляционным зависимостям, ибо параметр R не характеризует физических особенностей перехода. Наблюдаемая за-

Рис. 10.2. Влияние единичного числа Рейнольдса на число Рейнольдса перехода.

висимость RKp от Ri объясняется целиком изменением фоновых характеристик потока и модели в конкретных экспериментах, когда изменяются скорость 〃8 и кинематическая

вязкость Vco. Характер зависимости Rhp(Ri) получается различным в различных экспериментах. На рис. 10.2 приведены три экспериментальные зависимости

для числа Рейнольдса начала развитого турбулентного течения в пограничном слое: кривая 1 получена при исследовании в аэродинамической трубе при числе М 比 7,5 перехода на конусе с полууглом раствора 0 = 5° [252]; кривая 2 — исследование зоны перехода на пластине в потоке воздуха с малым числом М [253]； кривая 3 ——данные натурных исследований по конусам с 6 = 22° при М^б [254].

Изменение 氏中 на модели в сверхзвуковой аэродинамической трубе при изменении Ri (которое достигается путем изменения полного давления в форкамере трубы) связано, как это хорошо известно (см., например, [52]), с уменьшением амплитуд фоновых возмущений, генерируемых турбулентным пограничным слоем на стенках рабочей части трубы, при увеличении Ri. Количественная оценка этого эффекта может быть получена таким образом [36]. При больших уровнях начальной турбулентности (£口~1%), которая имеется в современных сверхзвуковых аэродинамических трубах, имеет место зависимость ВЕр ^н1- В свою очередь, па основании оценок для турбулентного пограничного слоя 8Н имеет порядок R§ ^2(R6 ——число Рейнольдса, сосчитанное по толщине пограничного слоя на стенках трубы). Используя далее выражение для толщины пограничного слоя (см., например, [22]), имеем Re 〜R%' (Rd ——число Рейнольдса, рассчитанное по диаметру рабочей части аэродинамической трубы). Окончательно получим

Rkp ~ R 咨

Эта зависимость неплохо качественно соответствует экспериментальным данным, полученным в сверхзвуковых аэродинамических трубах с большой начальной степенью турбулентности па моделях с гладкими поверхностями.

Итак, моделирование фона в аэродинамических трубах, соответствующего условиям натурного полета, является важнейшей задачей экспериментальной аэродинамики.

曇 192 ВОПРОСЫ РАЗРАБОТКИ ИНЖЕНЕРНЫХ ОЦЕНОКВЛИЯНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ

НА ТЕЧЕНИЕ В ЗОНЕ ПЕРЕХОДА

Необходимость разработки инженерного анализа устойчивости пограничных слоев и развития возмущений диктуется потребностями практики сегодняшнего дня. В связи с созданием ламинаризо- ванных летательных аппаратов, малошумных аэродинамических установок, а также важностью получения оценок положения точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный в сложных трехмерных течениях в последнее время получили широкое применение численные методы анализа устойчивости пограничных слоев. Однако на пути их непосредственного использования в инженерных приложениях стоят следующие трудности [255]. Во-первых, задача численного расчета устойчивости трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе является весьма трудоемкой и требует значительных затрат времени ЭВМ. Во-вторых, численное решение задачи на собственные значения, возникающей при анализе устойчивости течения, не допускает полной стандартизации, когда пользователю вычислительной программы достаточно только задать входные данные программы, чтобы сразу получить интересующий его ответ. При численном расчете устойчивости течений необходимо хорошо ориентироваться в особенностях того или иного типа неустойчивости, чтобы правильно задать начальные приближения для итерационных процессов и обеспечить работу вычислительной программы.

Таким, образом, возникает настоятельная необходимость выполнения специалистами предварительных многопараметрических расчетов и сведенигя их по возможности к простым корреляционным зависимостям.

Существуют различные методы расчета чисел Рейнольдса возникновения турбулентности в пограничных слоях на основе линейной теории гидродинамической устойчивости. Один из первых методов [22] основывался на анализе точки потери устойчивости течения. Однако обычно ламинарно-турбулентный переход наступает значительно ниже по потоку от точки потери устойчивости и обусловлен протяженной областью развития неустойчивых возмущений. В связи с этим А. М. Смитом [256] (см. [22, 48]) была предложена схема, которая учитывает характер развития неустойчивости. Амплитуда неустойчивого возмущения заданной частоты (о может быть рассчитана как

£ (з, /) = £н exp I J о со) dx где б — скорость прострапственного усиления возмущений; ен ~ на' чальная амплитуда в некоторой точке хн.

Согласно [256], необходимо в качестве хн взять точку потери Устойчивости для возмущения заданной частоты и рассчитать отно-

Рис. 10.3. Коэффициенты усиления волп Толлмина ——Шлихтинга в песжимаемодг пограничном слое па плоской пластине.

сительное усиление вниз по потоку /г(/) = к](£，£н). Пример такого расчета для пограничного слоя на плоской пластине при М = 0 приведен на рис. 10.3. Далее предлагается характеризовать развитие неустойчивых возмущений с помощью огибающей N(х) (рис. 10.3). В рамках этого метода, получившего название «метода е*», предлагается оценивать протяженность области пере

хода на основе эмпирически установленного критического значения W*. Для практического использования подобных методов необходимо создание таблиц характеристик устойчивости в различных типах течения. В работе [64] разработаны таблицы характеристик устойчивости пограничных слоев в несжимаемой жидкости. Они предусматривают анализ нескольких характерных частот возмущений при различных параметрах градиента давления и значениях местного числа Рейнольдса. Однако при учете сжимаемости течения становится важным анализ возмущений, распространяющихся под раз

личными углами к направлению внешнего потока, а также появляются новые типы неустойчивостей. Это приводит к нецелесообразности создания таблиц типа разработанных в [64] вследствие их большого объема.

В работе [114] было предложено рассчитать в каждом сечении х = const максимальную скорость усиления данного типа возмутце- ния Отах и характеризовать развитие возмущений в области пере

хода с помощью величины

N = J °maxd/fхпу

где /” ——точка потери устойчивости. Этот метод получил название «метода огибающей». В § 1.5 было показано, что развитие пакета волн неустойчивости может быть описано приближенно как развитие некоторой эквивалентной волны неустойчивости, которая имеет максимальный инкремент стах. Поэтому метод огибающей имеет конкретпую физическую интерпретацию (см. гл. 1). Кроме того, при его практическом использовании можно создать компактные таблицы характеристик устойчивости.

В § 1.6 был сформулирован амплитудный метод расчета критических чисел Рейнольдса ламипарпо-турбулентпого перехода, фактически обобщающий описанные методы и при использовании кото-

рого, строго говоря, не нужны какие-либо эмпирические константы, однако требуется знать детальные характеристики фона возмущений, который обычно известен плохо. Поэтому инженерные методы расчета зоны ламинарно-турбулентного перехода будут разрабатываться, по-видпмомз^ как различного рода гибридные методы, использующие минимальный исходный эмпирический материал.

Для амплитудного метода существенное значение имеет ширина спектра фоновых возмущений. Так, в случае очень узкого по частоте спектра фоновых возмущений при исследовании условий неустойчивости будет использован, по существу, метод фиксированной частоты, в то время как при достаточно широком спектре можно применять идеологию развития гребня пакета воли неустойчивости.

ИНЖЕНЕРНЫЙ АНАЛИЗРАЗВИТИЯ ВОЛН ТОЛЛМИНА — ШЛИХТИНГА

Возмущения типа воли Толлмина — Шлихтинга существенны при двумерном' характере течения. На стреловидных крыльях они доминируют в средней части профиля крыла, где интенсивность вторичного течения в пограничном слое сравнительно мала. Эти неустойчивые колебания имеют, как отмечалось в гл. 4, сугубо вязкую природу. Результаты расчета характеристик пакетов волн Толлмина ——Шлихтипга представлены в § 6.3. Оказывается, что табличные данные для максимальных скоростей усиления, включая и волны, распространяющиеся под различными углами к направлению потока, можно аппроксимировать простыми аналитическими зависимостями. Например, для течения на плоской пластине при М < < 2,5 экстремальная скорость пространственного усиления возмущений вниз по потоку описывается зависимостью

(10.3.1)(10.3.1)Отах = a — b exp {—cR},

(10.3.1)

(10.3.1)

а 二 4,65 • 10-з ехр(-0,875М2)+ 2,234 • 10"3,

Ъ - 1,131 • 5 ехр (—1,129кг)+ 7,293 • Ю^3,с - 2,028 • 10-3 ехр(0,128М2)+ 1,377 • 10「

где R = VpooUco宠/卩^, х — расстояние от передней кромки пластины. Скорость усиления 。由匸 в (10.3.1) обезразлЛрена по масштабу длины 丫К8况/p8u8.

(10.3.2)(10.3.2)Если известна эффективная начальная амплитуда возмущений в пакете воли неустойчивостей ен? то их развитие будем характеризовать с помощью экстремальных скоростей усиления

(10.3.2)

(10.3.2)

£ (尤)=% ехр [ J Umaxd<^ ] ♦'л'пу丿

На рис. 10.4 приведена номограмма линий N = 1пе/8Н = const для

пограничного слоя на плоской пластине.

Рис. 10.4. Номограмма линий ^ = ==const.

7 — область высокоинтенсивного обхода; I/ — переходная область; III一область существования линейного развития неустойчивости.

Согласно представлениям, изложенным в гл. 9, переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный происходит, когда амплитуда возмущения 8 достигает порогового значения с*, порядка нескольких процентов. Поэтому если ,иа

номограмме 10.4 считать, что /V — In s*/eH, то изображенные там линии N = const характеризуют изменение величины критического

числа Рейнольдса перехода в зависимости от изменения числа Маха

при постоянном значении эффективной начальной амплитуды неустойчивости, что может приближенно соответствовать постоянным характеристикам фона. На рис. 10.4 в скобках указаны соответствующие начальные амплитуды неустойчивости при с* = 0,01. Как видно, если эффективная начальная амплитуда неустойчивости 8Н = =const, то с увеличением числа Маха число Рейнольдса перехода

растет.

Интересно, что номограмма рис. 10.4 может классифицировать аэродинамические установки на уровне возмущения в них. Если получаемые в аэродинамической трубе данные по переходу удовлет

видимо, можно утверждать, чтопроисходил минуя стадию линей-соответствует так называемомувидимо, можно утверждать, чтопроисходил минуя стадию линей-соответствует так называемомуворяют УСЛОВИЮ III 8*/8н ^ 0, ТО, ламинарно-турбулентный переход ного усиления возмущений, что высокоинтенсивному обходу [148].

видимо, можно утверждать, чтопроисходил минуя стадию линей-соответствует так называемому

видимо, можно утверждать, чтопроисходил минуя стадию линей-соответствует так называемому

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ РАЗВИТИЯНЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ ВТОРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ

В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ НА СТРЕЛОВИДНЫХ КРЫЛЬЯХ

Особенности неустойчивостей вторичных течений в пограничных слоях на стреловидных крыльях, рассмотренные в § 4.5, позволяют сделать ряд упрощений :при инженерном анализе развития неустойчивых возмущений. Во-первых, при анализе до- и трансзвукового обтекания стреловидного крыла можно ограничиться решением уравнений для возмущений в приближении несжимаемой жидкости. Во-вторых, поскольку максимальные инкременты усиления возмущений достигаются при частотах, близких к нулю, можно рассматривать только возмущения с нулевой частотой. В-третьих, так как вектор групповой скорости возмухцелий практически совпадает с направлением вектора местной скорости на внеш-

Рис. 70.5. Распределение давления в окре-- стности передней кромки стреловидного крыла.Рис. 70.5. Распределение давления в окре-- стности передней кромки стреловидного крыла.Рис. 10.6. Усиление стационарного неустойчивого вихря в пограничном слое на стреловидном крыле.Рис. 10.6. Усиление стационарного неустойчивого вихря в пограничном слое на стреловидном крыле.

Рис. 70.5. Распределение давления в окре-- стности передней кромки стреловидного крыла.

Рис. 70.5. Распределение давления в окре-- стности передней кромки стреловидного крыла.

Рис. 10.6. Усиление стационарного неустойчивого вихря в пограничном слое на стреловидном крыле.

Рис. 10.6. Усиление стационарного неустойчивого вихря в пограничном слое на стреловидном крыле.

ней границе пограничного слоя Up, развитие возмущения можно рассчитывать вдоль линии тока внешнего невязкого течения, а вектор о^(ай у), определяющий скорость усиления возмущения, также считать ориентированным вдоль Up.

В качестве примера для использования разработанных А. В. Федоровым таблиц рассмотрим летный эксперимент [257] на стреловидном крыле с эллиптической носовой частью. Распределение давления на нижней поверхности профиля для угла атаки 4° показано на рис. 10.5. Угол стреловидности % =45°, длина хорды 6 = 3,3 м. Условия расчета течения соответствовали экспериментальным: R)=卩8〃8〃核8 = 4,44 • 10* 08=43,6 м/с. Результат расчета усиления неустойчивости вторичных течений изображен на рис. 10.6. Согласно экспериментальным данным, начало перехода наблюдалось при х/Ъ ^ 0,15, что соответствует In 8*/&н ^ 9, т. е. при с* = 10-2 эффективное значение 8Н = 10-й. Этот результат согласуется с выводами работы [117], где анализ различных экспериментальных данных показал, что коэффициент усиления волны неустойчивости в точке перехода соответствует значениям /V = 9——10. (Заметим, что учет кривизны поверхности может изменить это значение [292].)

ИНЖЕНЕРНЫЙ АНАЛИЗ РАЗВИТИЯНЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ

НА ВОГНУТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

Инженерный анализ развития неустойчивостей в пограничных слоях на вогнутых поверхностях может быть также основан на методе огибающей. Для этого необходимо рассчитать максимальную скорость усиленття возмущения Отах в зависимости от 2-компоненты волнового числа § и определить соответствующие значения Гертлера G(cm. § 4.4). В безразмерных переменных, принятых нами в

Рис. 107. Усиление вихрей Гертлера на теплоизолированной поверхности без отсоса.

Рис. 10,8. Усиление вихрей Гертлера на охлажденной поверхности без отсоса.

4.4, усиление возмущения вниз по потоку может быть охаракте- ризовапо показателем

n二h?=母f 込必(10.5.1)

Guy

где Guy соответствует числу Гёртлора, при котором происходит потеря устойчивости течения. На рис. 4.20 представлены результаты

Рис. 10.9. Усиление вихрей Гертлера на теплоизолированной поверхности с отсосом пограничного слоя.

Mg=3,0Mg=3,0нашего расчета положе- лия линий максимальных 纟• инкриментов в плоскости

Mg=3,0

Mg=3,0

(В, G) при различных чис-―1*

лах Маха. Они совпадают乃 °

с результатами работы

]. На рис. 10.7—10.9 показана зависимость N(G) (10.5.1), рассчитанная при различных М. Эти данные также согласуются с результатами работы [107].

Полезные для практических целей соотношения могут быть получены из асимптотических выражений, представленных в § 4.4. Полагаем-, что вязкость линейно зависит от температуры (卩=7), а число Прандтля равно единице (Рг — 1). Тогда из уравнения (4.4.11) получаем

% =% =2 дТ U2 гг д f i а (炉、\т Оу г 丄 Gy \ т ay \ т )丿

% =

% =

и д ( 1 d fu2\\2 д ( u \ д (и2

т ду\т ду \ т п т ду\т )ду\т

(10.5.2)(10.5.2)+。(/)+。(/)(10.5.3)(10.5.3)Оказывается, что при 卩 ~ 2, о。2 1 во многих случаях координата локализации внутреннего вязкого слоя у+ находится на небольшом удалении от стенки. Поэтому дальнейший поиск приближенных соотношений будет основан на разложении всех функций основного течения в ряд Тейлора в окрестности ^ = 0. После необходимых вычислений получаем из (10.5.2) соотношение, связывающее е。и ^十：

(10.5.2)

(10.5.2)

+。(/)

+。(/)

(10.5.3)

(10.5.3)

2%2%(10.5.5)(10.5.5)

2%

2%

(10.5.5)

(10.5.5)

Ограничиваясь лишь двумя членами разложения в (10.5.3) и учи:- тыиая, что, согласно определению, Оо = о/р2, находим

(10.5.4)

где штрих обозначает дифференцирование по у, индекс 《切》 отражает то, что соответствующая величина вычисляется при у = 0.

Из уравнения (4.4.5) имеем с учетом (10.5.3)

Ограничиваясь Двумя членами разложений и исключая в (10.5.5) у+ с помощью (10.5.4), получим

(10.5.6)(10.5.6)

(10.5.6)

(10.5.6)

Для коэффициентов Л, Б, С из уравнения (4.4.16) паходим

▲ = 16為1+ У+(Д發-学制］+ 00»

C = iI^±_i + %£^_4习_ +0(冰).

Затем определим коэффициент g2 в разложении для числа Гёртлера

ё2^^м^~^у+ + ^у^^+0^' (10,5'7)

После подстановки в (10.5.7)После подстановки в (10.5.7)выражения для у+ извыражения для у+ из(10.5.4) по-(10.5.4) по-

После подстановки в (10.5.7)

После подстановки в (10.5.7)

выражения для у+ из

выражения для у+ из

(10.5.4) по-

(10.5.4) по-

лучим

十 72s uw十 72s uw.哦.哦on 7’7 и"合 TH ".8)on 7’7 и"合 TH ".8)

十 72

s uw

十 72

s uw

.哦

.哦

on 7’7 и"

合 TH ".8)

on 7’7 и"

合 TH ".8)

Тогда на основании (10.5.5) и (10.5.8) получаем с точностью до двух членов разложения

G2 ="g 終 +'&03.(10.5.9)

(10.5.10)(10.5.10)Рассмотрим случай, когда отсутствует отсос пограничного слоя, а обтекаемая поверхность теплоизолирована. Имеем

(10.5.10)

(10.5.10)

Подстановка (10.5.10) в (10.5.9) дает

Учитывая, нтоU〔 — 0,332,為=1 + 0,5 (乂一 1)М2, находим

(10.5.11)так как(10.5.11)так какG в 7时2“十 0,5(乂一UM?)邛2 +，,41о2/р.

(10.5.11)

так как

(10.5.11)

так как

Заметим, что формула (10.5.11) не пригодна при G =

в этом случае координата внутреннего вязкого слоя у^ находится

Рис. 10.10. Результаты численного расчета (сплошная линия) в сравнении с асимптотическими см, § 4.4 (штриховая) для нейтральной кривой в случае теплоизолированной поверхности (М = =3). Расчет по приближенной формуле (10.5.11) (□, О, +).Рис. 10.10. Результаты численного расчета (сплошная линия) в сравнении с асимптотическими см, § 4.4 (штриховая) для нейтральной кривой в случае теплоизолированной поверхности (М = =3). Расчет по приближенной формуле (10.5.11) (□, О, +).Рис, 10.11, Результаты сравнения численного расчета линий максимальных инкрементов в случае тепло из о лирован пой поверхности (М = =3) с расчетом по приближенной формуле (10.5,12).М=0 (2), 3 (2), 5 (3).Рис, 10.11, Результаты сравнения численного расчета линий максимальных инкрементов в случае тепло из о лирован пой поверхности (М = =3) с расчетом по приближенной формуле (10.5,12).М=0 (2), 3 (2), 5 (3).

Рис. 10.10. Результаты численного расчета (сплошная линия) в сравнении с асимптотическими см, § 4.4 (штриховая) для нейтральной кривой в случае теплоизолированной поверхности (М = =3). Расчет по приближенной формуле (10.5.11) (□, О, +).

Рис. 10.10. Результаты численного расчета (сплошная линия) в сравнении с асимптотическими см, § 4.4 (штриховая) для нейтральной кривой в случае теплоизолированной поверхности (М = =3). Расчет по приближенной формуле (10.5.11) (□, О, +).

Рис, 10.11, Результаты сравнения численного расчета линий максимальных инкрементов в случае тепло из о лирован пой поверхности (М = =3) с расчетом по приближенной формуле (10.5,12).

М=0 (2), 3 (2), 5 (3).

Рис, 10.11, Результаты сравнения численного расчета линий максимальных инкрементов в случае тепло из о лирован пой поверхности (М = =3) с расчетом по приближенной формуле (10.5,12).

М=0 (2), 3 (2), 5 (3).

вдали от стенки. Из (10.5.11) можно получить уравнение линии максимальных инкрементов в плоскости (§, G)

G = 12,</2(1 + 0,5(х 一 1)М2)2.(10.5.12)

На рис. 10.10, 10.11 представлены результаты сравнения прямых численных расчетов с асимптотическими выражениями (10.5.11), (10.5.12).

На основе зависимости (10.5.12) можно также рассчитать усиление возмущений вниз по потоку

W = 0,46iG6/I + 0,5(к — 1)МТ2/\(Ю.5.13)

Если считать,叮то в точке перехода ламинарного точения в турбулентное, обусловленного неустойчивостью типа Гертлера, 7V принимает фиксированное значение N* то из (10.5.13) получаем координату точки перехода в виде выражения для числа Гертлера

Gkr =(蕊户 п + 0,5 (х —〕)：М2卩色

О СОЗДАНИИ ИНЖЕНЕРНОГО МЕТОДАРАСЧЕТА ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСАЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА

Большое внимание к проблеме определения чисел Рейнольдса возникновения турбулентности обусловлено рядом обстоятельств. Во-первых, обнаружена сильная зависимость многочисленных характеристик летательного аппарата от местоположения перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Во-вторых, из-за

сложности моделирования явления перехода экспериментальные данные по переходу, получаемые в аэродинамических трубах, не удается непосредственно перенести на условие натурного полета.

Принципиальным является тот факт, что возникновение турбулентности обусловлено развитием воли неустойчивости, возбуждаемых фоновыми возмущениями, присутствующими в потоке. При этом выделяются следующие относительно самостоятельные задачи： изучение типа и спектрального состава внешних возмущений; преобразование внешних возмущений в волны неустойчивости пограничного слоя; их развитие вниз по потоку; нелинейная эволюция неустойчивостей и возникновение развитой турбулентности.

Как отмечалось в гл. 1, методы расчета чисел Рейнольдса перехода могут быть развиты на основе линейной теории гидродинамической устойчивости, так как протяженность области нелинейного развития до образования развитой турбулентности оказывается часто сравнительно небольшой. Для замкнутого описания необходимо решить задачу о возбуждении волн неустойчивости внешними возмущениями и рассчитать их нарастание вниз по потоку вплоть до пороговых значений амплитуды с*, при которых начинаются существенно нелинейные процессы. Однако с практической точки зрения мы не можем надеяться на исчерпывающего информацию о внешних возмущениях, вызывающих переход. Поэтому неизбежно будут широко применяться методы, базирующиеся на линейной теории и использующие по возможности минимальный исходный экспериментальный материал.

На основе изложенного в предыдущих параграфах инженерного анализа устойчивости течения в пограничном слое и анализе развития возмущений (в рамках метода огибающей) можно определить координату перехода хпер из уравнения

Отах©花=In ^― = JV 21).

Начальная амплитуда 8П зависит как от имеющихся в потоке фоновых возмуп^ений, так и от характера преобразования этих возмущений в неустойчивые колебания в пограничном слое. Как уже отмечалось, на практике мы не имеем исчерпывающей информации относительно ен. Однако ^пер слабо зависит от ен (по логарифмическому закону), поэтому начальную амплитуду для конкретных классов течений можно определить из специальных экспериментов и использовать ее для расчета хпер.

В § 10.2——10.5 настоящей главы обсуждалось основное звеш) инженерного метода расчета чисел Рейнольдса перехода ——анализ устойчивости пограничпого слоя и развития возмущений. Созданные

В случае трехмерного течения интеграл вычисляется вдоль паправле- ния вектора групповой скорости. Кац указывают результаты расчетов, это направление практически совпадает с линией тока на внешней границе пограничного слоя.

таблицы характеристик развития различных типов неустойчивостей [255] можно использовать в различных итерационных процессах по оптимизации проектируемых форм профилей крыла. Кроме того, в сочетании со специальными экспериментами они могут быть использованы для пересчета данных по ламинарно-турбулентному переходу, полученных в аэродинамических трубах, на натурные условия.

Пусть в экспериментальной установке измерена координата начала ламинарно-турбулентного перехода х^^ тр. Тогда, рассчитав интегральное усиление неустойчивостей, можно определить эффективную начальную амплитуду возмущений в условиях аэродинамической трубы sH| тр из уравнения

£н,тр н £* ехр —■ J dmaxd胃•- 8nу _

Если известны амплитуды фоновых возмущений в трубе, то можно рассчитать коэффициент преобразования внешних возмущений в волны неустойчивости К = ен, Tp/e$, тр. Предположим, 41To механизм возбуждения неустойчивостей в аэродинамической трубе и в натурных условиях один и тот же. Тогда эффективная начальная амплитуда волн неустойчивостей в полете ен, нат = К&ф, нат・ В результате приходим к следующему уравнению для расчета координаты начала перехода в трубе на натурные условия:

хпер,нат 5cliер,тр

“пах汝=In /処 Р + I Omaxdk，&ф,нат 丿

Вообще говоря, амплитудные характеристики фона еф)тр и еф> нат зависят от частоты, что существенно усложняет обработку экспериментальных данных. Предположим, что частотные спектры фоновых возмущений в трубе и в натурных условиях подобны. Тогда под &飢 тр, £巾，нат можно понимать среднеквадратичные значения пульсаций. Такая упрощенная процедура пересчета, как показал Ю. П. Чернов [255], дает в ряде случаев хорошее согласие с опытом. Однако эта работа находится в начальной стадии и потребуются целенаправленные экспериментальные исследования.

Рассмотрим, следуя [255], экспериментальные результаты по переходу па плоской пластине. Ограничимся серией данных, полученных при единичных числах Рейнольдса /Л = 10——20 • 106 м-1. Предположим, что ламинарно-турбулентный переход в аэродинамической установке и в натурных условиях обусловлен акустическими возмущениями.

241241В работе [258] показано, что при числах Маха М > 1 уровень шума в рабочей части трубы лропорционален М2. Поэтому амплитуда фоновых возмущений 8Ф? Тр = М28ф, тР(1), где еф, тр (1) — уровень акустических возмущений при М = I. Коэффициент преобразования К зависит от проникновения акустических возмущений внутрь

241

241

16 В. Н. Жигулев, А. М. Тумин

Рис. 10.12. Усиление амплитуды акустических возмущений при проникновении в пограничный слои.Рис. 10.12. Усиление амплитуды акустических возмущений при проникновении в пограничный слои.Рис. 10.13. Сравнение расчетной номограммы с экспериментальными данными по переходу на плоской пластине.Рис. 10.13. Сравнение расчетной номограммы с экспериментальными данными по переходу на плоской пластине.Я0еф)тв(1)М2/(М)еХрЯ0еф)тв(1)М2/(М)еХр々пер’тр--宽ну-々пер’тр--宽ну-

Рис. 10.12. Усиление амплитуды акустических возмущений при проникновении в пограничный слои.

Рис. 10.12. Усиление амплитуды акустических возмущений при проникновении в пограничный слои.

Рис. 10.13. Сравнение расчетной номограммы с экспериментальными данными по переходу на плоской пластине.

Рис. 10.13. Сравнение расчетной номограммы с экспериментальными данными по переходу на плоской пластине.

Я0еф)тв(1)М2/(М)еХр

Я0еф)тв(1)М2/(М)еХр

々пер’тр-

-宽ну-

々пер’тр-

-宽ну-

пограничного слоя. Согласно теоретическим данным [30, 52, 259] при сверхзвуковых режимах течения амплитуда пульсаций массового расхо

да акустической волны zmi внутри пограничного слоя значительно больше, чем соответствующая амплитуда 8т0 в набегающем потоке. На рис. 10/12 приведено отношение /(М) — ет1/ет0 для фиксированного числа Рейнольдса [259]. Предполагая, что амплитуда

волн неустойчивости пропорциональна амплитуде акустических возмущений внутри пограничного слоя, для коэффициента преобразования имеем К = ^0/(М), где К^ = const. В результате эффективная начальная амплитуда 8И1 тр = Х08ф； тр (1) М2/(М), и для расчета ко

ординаты начала перехода хдер)тр приходим к уравнению

На рис. 10.13 представлены расчетные зависимости 7?пер от М, соответствующие ХС8Ф1 тр (1) = 10-6, 10-5, 10~4. Видно, что экспериментальным данным [260—262], полученным в малошумных трубах, соо^тветствует Т^08ф1 тр (1) 夂

Из сравнения летных и трубных экспериментальных данных [263, 264] следует, что числа Рейнольдса перехода при М W 1 совпадают. Поэтому эффективная начальная амплитуда в натурных условиях £н, нат ^ K(jE电 гр (1)/(М). Тогда для расчета точки перехода в полете ^nePf нат приходим к уравнению

8цер,нат хпер

『 Отах汝=『Отах©花十 ММ*. хпу %пу

22)Обратим внимание на то, что рассматривается только первая мода ие- устойчивог。возмущения. Влияние числа Маха на величину инкремента и ин“ тепоивпость проникновения возмущения в пограничный слой привело к появ* лепию на графике 10.13 локального минимума.

R;，/ Rxn

Рис. 10.14. Расчетная зависимость числа Рейнольдса перехода на плоской пластине от числа Маха в условиях натурного фона БО'ЗМуЩОН'ИЙ.

Рис. 10.15, Экспериментальные даипые для отношения чисел Рейнольдса перехода на конусе и лластине.

Расчетная зависимость числа Рейнольдса перехода в натурных условиях от числа Маха изображена па рис. 10.14.

Чтобы сравнить результаты пересчета с экспериментальными, воспользуемся данными по переходу, полученными на конусах в условиях полета [263, 264]. В настоящее время нет единой точки зрения относительно сопоставления данных по переходу на плоской пластине и конусе (см. [30, 52]). Расхождения, на наш взгляд, обусловлены влиянием кривизны обтекаемой поверхности на инкримен- ты роста неустойчивых возмущений, а также различием в механизмах возбуждения неустойчивостей. Из-за отсутствия соответствующих теоретических работ привлечем экспериментальные данные. Воспользуемся результатами исследований перехода на 10-градусном конусе, проведенных в аэродинамических трубах при Ri ^ 107 м-1 (263]. Выделим класс труб, для которых среднеквадратичные значения пульсаций давления составляют 0,1——1% от скоростного напора. Сравнивая результаты [263] с данными на плоской пластине [260—262], получаем зависимость отношения 斤驶卩田 от числа Маха (рис. 10.15). Как видно, число Рейнольдса перехода на конусе примерно в 3 раза больше, чем на плоской пластине. Используя данную зависимость и расчетную кривую для плоской пластины (см. рис. 10.14), получаем числа Рейнольдса перехода на конусе для натурных условий, приведенные на рис. 10.16. Здесь же нанесены летные экспериментальные данные для 10-градусяого конуса, взятые из работ [263, 264]. Видно, что расчетная кривая удовлетворительно совпадает с результатами натурного эксперимента.

В приведенной процедуре пересчета экспериментальных данных на натурные условия сделаны грубые допущения из-за отсутствия достаточных сведений о характеристиках фоновых возмущений. Поэтому расчетная кривая на рис. 10,14 не является Универсальной. Она справедлива для ограниченного набора экспериментальных данных [260—264]. Для разработки более гибких схем

%卫/3

Рис. 10.16. Оценочный расчет чисел Рейнольдса перехода на конусе при условиях натурного фона возмущений.

необходимо детальное изучение спектра фоновых возмущений в аэродинамической трубе, которые должны являться ее «паспортными» данными. Не монее важны подробные исследования характеристик фона, присутствующего в натурных условиях.

Глава И

ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ РЕЛАКСАЦИИДЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ

ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ

В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Цель этой главы ——обсуждение некоторых положений и выводов современной статистической физики, необходимых для понимания процесса выхода на развитый (равновесный) режим турбулентных течений. Центральное место здесь занимает проблема обоснования классической статистической физики. Решение этой проблемы предполагает разъяснение вопроса о связи детерминированного механического описания системы (классическая механика) с ее вероятностным описанием в С|татистической физике, а(так;«е о том, какими принципами нужно дополнить механику, чтобы получить аппарат статистической физики.

Нужно сказать, что зта проблема последнее время вновь оживленно обсуждается. Причем если ранее интересовались главным образом системами с весьма большим числом степеней свободы, то теперь анализируются нелинейные системы с небольшим числом

степеней свободы (например, тремя в системе Лоренца). Указывается на ряд свойств (в первую очередь на так называемую стоха- стичность, см., например, [265]), приближающих эти нелинейные системы к системам, традиционно рассматриваемым в статистической механике (газ, жидкость и т. п.).

Последующее рассмотрение будет состоять из двух частей. В первой мы коснемся проблемы обоснования статистической физики в более или менее традиционном плане, во второй части попытаемся приложить эти принципы к теории турбулентности.

В конце 40-х годов Н. С. Крыловым в его замечательной монографии «Работы по обоснованию статистической физики» [266] был принципиально решен главный вопрос о связи классической механики и классической статистической физики ——вопрос о появлении вероятностного описания. Книгу Н. С. Крылова можно считать итогом работы, связанной с именами Больцмана, Гиббса, Пуанкаре, Боголюбова и др.

Согласно Н. С. Крылову, эволюция далеко не всякой системы подчиняется законам статистической физики. Проводя обстоятельный критический разбор предшес.твующих работ, Н. С. Крылов пришел к выводу о том, что одна классическая механика не может быть признана основой статистической физики. По Н. С. Крылову, ее необходимо дополнить следующими основополагающими принципами.

А. Принцип о размешивании в фазовом пространстве. Размешивание достигается неустойчивостью движения рассматриваемых систем. Этот принцип выделяет те динамические системы, которые могут быть рассмотрены статистически. Размешивание обусловливает процесс релаксации системы к равновесному состоянию.

Б. Принцип неопределенности начального состояния. Это ограничение «по тонкости» начального задания системы. Дело в том, что благодаря принципиальному искажению системы при проведении над ней процесса измерения, определение положения системы в начальный момент времени не может быть сделано сколь угодно точно. Наиболее «тонкое» из возможных заданий системы следует из рассмотрения, основанного на принципе неопределенности Гейзенберга. Так, для газа, состоящего из N одинаковых частиц, начальный объем системы в фазовом пространстве не может быть меньше, чем AF =(厶勺厶卩)'"=力⑶"(充— постоянная Планка). Принцип (Б) вводит вероятность в начальный момент.

Применение этой идеологии привело Н. С. Крылова к следующему выражению для времени релаксации в идеальном газе:

ЗтЗт2 In —2 In —,2лр。,2лр。

Зт

Зт

2 In —

2 In —

,2л

р。

,2л

р。

Здесь т — время свободного пробега,入——среднее расстояние между частицами, г0 ——радиус молекулы, р0 = УткТ/2, т — масса частицы, к — постоянная Больцмана, Т ——температура, Ар ——неопределен-

но&ть задания импульса частш^ы в начальный момент. Это выражение может быть переписано так:

q 〜rlln ен|, (11.1.1)

где Ен ——степень начальной неопределенности задания системы. Н. С. Крылов отмечает, что если формально устремлять ен к нулю, то время релаксации устремляется к бесконечности (правда, весьма «вялой» из-за того, что ен входит в (11.1.1) под знаком логарифма).

Работы Н. С. Крылова носят гносеологический характер и не приводят к эффективным методам расчета эволюции динамических систем. Позднее, в 60——70-х годах, была построена эффективная теория газа [267—271], свободная от противоречий, обсуждавшихся Н. С. Крыловым. Такая теория исходит из анализа цепочки уравнений Н. Н. Боголюбова, которая формально следует из классического уравнения Лиувилля для плотности вероятностей. В работах [267——271] вероятность вводилась «в начальный момент». Понятие, взятое в кавычки, было подробно обсуждено в [271]. Оказалось, что процесс определения (измерения) плотности вероятностей в начальный момент времеш! принципиально не может быть выполнен со сколь угодно большой степенью точности уже потому, что само понятие плотности вероятностей требует проведения осреднения положений системы по определенной совокупности характерных времен и длин, составляющих основу данного измерения.

Таким образом, измерение начальной функции распределения может быть осуществлено лишь с той или иной степенью грубости (крупнозернистые функции распределения). Это утверждение аналогично принципу (Б) Н. С. Крылова, с той лишь разницей, что мы наравне с ограничениями квантово-механического характера допускаем и более грубые, основанные на грубых (включая и гидродинамические) методах измерения.

В дальнейшем мы исходили из столь грубых начальных заданий, что функции распределения не могли существенно изменяться на длинах порядка размера молекулы (в микропространстве). Применение метода сращиваемых асимптотических разложений позволило материализовать постулат о «крупнозернистости» введением предположения о том, что функции распределения принадлежали бы к классу L*, а значит, что почти всюду в фазовом пространстве функции распределения не зависят от координат микропространства. Предположение о принадлежности функций распределения к классу £* вводит определенный принцип отбора, позволивший построить необратимые уравнения для совокупности функций распределения /($)в макропространстве (т. е. на длинах порядка длины свободного пробега и больших).

В работах [267—271] был доказан ряд теорем, разъясняющих имевшиеся раньше парадоксы. Наиболее существенным результатом являлось то, что кинетика идеального газа удовлетворяет в действительности специальной цепочке уравнений для функции /(s\ сводящейся лишь в частном случае, когда в начальный момент времени система обладает свойством молекулярного хаос-а, к классическому

уравнению Больцмана. Оказалось, что в гидродинамическом случае (когда все характерные длины велики по сравнению с длиной свободного пробега) цепочка уравнений для функции 广$> переходит в определенном смысле в цепочку уравнений Фридмана ——Келлера для турбулентных течений. Этот результат не является, конечно, неожиданным, ибо и .турбулентные движения описываются классическим уравнением Лиувилля.

Как следствие этого, наряду с обычным временем релаксации для кинетики, подчиняющейся уравнению Больцмана,

тр = пх 5 ~〔у) (11.1.2) возникает новое характерное время релаксации, в течение которого система приобретает свойство молекулярного хаоса. Это повое время не меньше, чем время релаксации (11.1.2), которое, как оказалось, появляется при описании процессов вырождения некоторых типов движения, например, какого, как вырождение турбулентности, рассмотренное Карманом и Ховартом, характеризз^емых стремлением к нулю корреляционных функций. Это последнее движение подчиняется цепочке уравнений для функций /")[271], если взято специальное начальное поле корреляций.

Влажное следствие исследований [267——271]——обнаружение нового типа неустойчивостей, свойственных движению сред с корреляциями, названного статистической неустойчивостью (см. § 11.3).

Статистическая неустойчивость ——это тип неустойчивости, проявляющийся в достаточно сложных гидродинамических полях, которым свойственны существенно нелинейные нестационарные процессы.

ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯТЕОРИИ РЕЛАКСАЦИИ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Вернемся -тетерь к обсуждению процессов, происходящих в воне ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое (см. рис. 1.1). Поскольку для интенсивно исследуемых в настоящее время сравнительно простых течений (каким, например, является сферическое течение Куэтта [265]) размерность аттрактора растет с увеличением числа Рейнольдса, трудно ожидать, что в таких сложных течениях, .какими являются течения в пограничных слоях, аттрактор при R 8 будет обладать какими-либо простыми свойствами и его размерность будет невысока. Вероятнее всего, что размерность аттрактора в развитом турбулентном течении в пограничном слое при R -> 8 будет стремиться к бесконечности, что в ко- newoM итоге соответствует обычным оценкам числа степеней свободы в турбулентном течении [272]. Поэтому из нерешенных

2з)Сравните с формулой (11.1.1). Разница обусловлена исключительно тем, что Н. С. Крылов рассматривает мепее грубые задания функций распределения, тк1м это имеет место в классической теории Больцмана. Следствие этого ——появление в (11.1.1) члена с In ен.

принципиальных вопросов наиболее важен поиск асимптотических свойств аттрактора, описывающего турбулентное течение в погра- нинн ом слое, при числах Рейнольдса R 8. Отсюда становится ясным, что наиболее перспективным подходом к решению проблем развитой турбулентности остается статистический, который развивается в гидродинамике начиная с работы А. Д. Фридмана и Л. Келлера [273].

Мы видели, что для возбуждения неустойчивостей, приводящих в конце концов к турбулентному режиму течения, необходим начальный фон возмущений. Именно начальное поле флуктуаций обусловливает уход системы из положения «равновесия», каким является неустойчивый стационарный ламинарный режим течения. Если начальное поле флуктуацит! имеет слу^тайнып элемент (например, случайную фазу начальных колебаний), то возможно статистическое рассмотрение, когда вероятность вводится, как и обычно, в начальный момент времени (в стационарном пограничном слое в начальном сечении %). В случае, когда начальное поле флуктуаций таково, что енн < етиъ оценка для времени релаксации системы к турбулентному режиму следует из амплитудного метода;

Т 〜职〜(11.2.1) *% "Imai 8нн '''

где limed——характерная величина мнимой части волнового числа неустойчивости. Напротив, если еНн 才 втщ, то оценка времени релаксации, следующая из экспериментальных данных и подкрепленная некоторыми теоретическими соображениями [16], получается иной, ибо здесь уже нет места для линеаризированной зоны развития возмущения:

% 〜(11.2.2) 匕н

Существование двух режимов релаксации в зависимости от величины начального фона возмущений для турбулентных движений аналогично отмеченному выше факту о различных процессах релаксации к равновесному состоянию в зависимости от величины неопределенности начального состояния в кинетике идеального газа.

На рис. 11.1 приведена зависимость критического числа Рейнольдса (в смысле § 1.7) от фактора начальной турбулентности для пограничного слоя плоской пластины в потоке с малым числом Маха. Кривая 7 вычислена на основании работы [45] для акустического фона возмущений, 2——на основании ^работы [16]; приведены результаты экспериментов различных авторов (см. подробнее [37]). Ясно, что все данные определенно указывают на существование двух различных режимов перехода к турбулентному движению. Разброс экспериментальных данных в зоне кривой 1 лишний раз подчеркивает, что там имеют место различные процессы перехода в зависимости от наличия тех или иных особенностей в начальном фоне возмущений, которые пока еще иедостатояпо контролируются экспериментаторами.

R*R*Рис. 11.1. Эк-сперюгецтальныеРис. 11.1. Эк-сперюгецтальныеданные зависимости числа Рейнольдса перехода на плоской пластине при малых скоростях потока (М -> 0) от уровня Мона в набегающем потоке.данные зависимости числа Рейнольдса перехода на плоской пластине при малых скоростях потока (М -> 0) от уровня Мона в набегающем потоке.

R*

R*

Рис. 11.1. Эк-сперюгецтальные

Рис. 11.1. Эк-сперюгецтальные

данные зависимости числа Рейнольдса перехода на плоской пластине при малых скоростях потока (М -> 0) от уровня Мона в набегающем потоке.

данные зависимости числа Рейнольдса перехода на плоской пластине при малых скоростях потока (М -> 0) от уровня Мона в набегающем потоке.

02%ff%76% г 8•力г Sri

На основании сказанного важнейшее направление будущих исследований ——выяснение вопроса о сущности развитого турбулентного состояния, и в частности вопроса о его единственности.

В кинетике идеального газа, подчиняющегося уравнению Больцмана, мы имеем единственное равновесное состояние ——максвелловское распределение по скоростям. Поэтому задача об исследовании равновесных или почти равновесных течений такого газа отщепляется от задачи исследования достижения системой этих состояний, ибо истинные начальные состояния для таких систем являются фактически забытыми.

Однако для турбулентных течений дело обстоит, по-видимому, гораздо сложнее. Опыт указывает и а то, что развитое турбулентное состояние может быть и не одно (например, явление гистерезиса для некоторых турбулентных течений). В этих условиях первостепенное значение приобретает проблем® классификации начальных затравочных полей (фона возмущений), приводящих к определенному развитому (равновесному) турбулентному режиму.

Иными словами, при наличии нескольких развитых турбулентных режимов система эволюционирует к одному из них при условии (а) устойчивости в определенном смысле (метастабильнос,ти) состояния и (б), если начальные данные позволяют достичь этого состояния, т. е. возбуждаемые неустойчивости приводят систему в конце концов 代 этому состоянию.

Как мы уже отмечали, в настоящее время интенсивно исследуются статистические свойства аттракторов, соответствующих сравнительно простым гидродинамическим ситуациям [265, 274, 275]. Изменяя характерное число Рейнольдса, авторы изучают смелу состояний движения, соответствующую появлению все новых бифуркаций, приводящих к усложнению аттрактора. В пограничном слое, поскольку характерное число Рейнольдса вниз по потоку увеличивается, мы наблюдаем одновременно всю зону ламинарнотурбулентного перехода, отвечающую последовательным сменам состояний аттрактора локально-однородно го пограничного слоя.

С физической точки зрения эта картина ——аналог той, которая будет получена, например, в сферическом течении Куэтта, когда определяющее число Рейнольдса будет монотонно увеличиваться.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

К АНАЛИЗУ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА.НОВЫЙ ТИП НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

В статистическом подходе к теории гидродинамической устойчивости обсуждается развитие возмущения не на фоне отдельной реализации течения, как это имеет место в обычной теории устойчивости, а в среднем по ансамблю реализации. Интерес к статистическому анализу устойчивости течения обусловлен следующими обстоятельствами: 1) возможность исследования устойчивости течения относительно малых возмущений без рассмотрения детальной структуры каждой реализации; 2) анализ поведения статистических характеристик течения позволяет получить информацию о различных динамических процессах в турбулентных потоках.

Например, задачу о вторичной неустойчивости в области перехода ламинарного течения в турбулентное в рамках статистической гидродинамики можно сформулировать следующим образом. После потери устойчивости течения в пограничном слое появляются растущие возмущения, которые характеризуются, вообще говоря, случайной фазой, соответствующей случайной фазе фоновых возмущений. Осредняя по ансамблю реализаций, мы получим статистические характеристики течения в области перехода. Теперь вопрос о возникновении вторичной неустойчивости типа рассмотренной в § 9.4 можно сформулировать как задачу об определении таких значений статистических характеристик, которые приводят к лтелкомасштаб- ной ^неустойчивости в области перехода.

Точно так же вопрос о различных динамических процессах в развитом турбулентном потоке -сводится к определению основных статистических параметров, которые ответственны за возникновение вторичной неустойчивости на фоне крупномасштабных пульсации, рассматриваемых в среднем по ансамблю реализаций.

Исходными уравнениями при статистическом .анализе устойчивости течения является цепочка уравнений Фридмана ——Келлера [273, 276, 277], которая в случае несжимаемой жидкости имеет вид

OUJdq§ = О,

Г 0£ U,師符。© q)_ 0

[前-必]乙+-丽+福:一 3

д齐一vд齐一v泣，0泣，0

д

齐一v

д

齐一v

泣，0

泣，0

-i，28 + i，…,2气,0Qq .十（丄丄丄丿

+證7回（柒）死？…,j,九+1，—,近.0 +

где U——средняя скорость; pQ ——среднее давление, отнесенное к плотности； Wi^,.iin>0 — корреляционный тензор скоростей п-то ранга;

■Pi1,，..\?s_1,2s+1,...,?n,o к〈卩‘（柒）也I（71） • • •也一工（仇7）气+工（仇+1）* • ■

• • • Щп （?77）/ корреляция флуктуаций давления и скорости; Да — оператор Лапласа по переменной q§.

К этим уравнениям следует добавить соотношения, вытекающие из уравнения неразрывности для корреляционных тензоров, а также условия перестановочности координат в корреляционных моментах с соответствующей перестановкой индексов. Цепочку моментах с соответствующей перестановкой индексов. Цепочку нения 汽=2 удобно представить в виде цепочки операторных соотношений

"（m?.%,。,屮年.\5，。,u）=

1 '^^/?£,... ,ig-工）26+工，…，玩,01 '^^/?£,... ,ig-工）26+工，…，玩,0

1 '^^/?£,... ,ig-工）26+工，…，玩,0

1 '^^/?£,... ,ig-工）26+工，…，玩,0

Линеаризуя （11.3.1）, получим цепочку уравнений для возмущений средней скорости, давления и корреляционных моментов （при этом предполагается, что возмущение мало лишь в статистическом смысле, т. е. малы лишь средние по ансамблю от возмущений）

dV,dV,%+%学字+要+а ] 3叫 3勺 А%%+%学字+要+а ] 3叫 3勺 А%з啕（G, 0）з啕（G, 0）=О,=О,

dV,

dV,

%+%学字+要+

а ] 3叫 3勺 А%

%+%学字+要+

а ] 3叫 3勺 А%

з啕（G, 0）

з啕（G, 0）

=О,

=О,

（11.3.2）

21 WSMn21 WSMn备一" e As死？" +备一" e As死？" +

2

1 WSMn

2

1 WSMn

备一" e As死？" +

备一" e As死？" +

十匕6 @）小一口"+1….，兀。 +匕（柒）…,?小0+

+ W忆11?■小 j (仆，…，Zl, 4" =0，

где 卩,р — возмущения средней скорости и давления; 巾!"…，诟, Р；：：?,%_「^+2rL возмущения корреляционных тензоров w*)，.，^,0,尸：；?品—1人+「…，е,о соответственно.

Таким образом, предлагается исследовать решения цепочки (11.3.2), содержащей также характеристики исходного поля. Существенная трудность, возникающая при статистическом подходе, связана с проблемой обрывания бесконечных цепочек (11.3.1), (11.3.2). Кроме того, эта трудность усугубляется тем обстоятельством, ч,то, как показали результаты исследований [278—284], замкнутая система уравнений, получающаяся из (11.3.2), обладает экспоненциально растущими решениями, т. е. при достаточно больших числах Рейнольдса система уравнении (11.3.2) очень чувствительна к источникам возмущений, вносимым процедурой обрывания. Поскольку при достаточно большак числах Рейнольдса оборванная цепочка (11.3.2) обладает экспоненциально растущими решениями, становится существенным анализ всех возмущений, вносимых процедурой обрывания. Необходимо также дать детальную интерпретацию появляющихся источников.

Ранее, в работах [269, 270], динамические уравнения для макроскопических корреляций были получены исходя из уравнения Лиувилля для плотности вероятности ансамбля многих частиц. Этими исследованиями показано, в частности, что корреляционные функции, удовлетворяющие цепочке зфавнений Фридмана — Келлера, могут задаваться в начальный момент времени независимо и произвольно. В соответствии с этими результатами в работах [278——283] изучалась устойчивость изотропных турбулентных течений, когда

，е，о [= о, п> №

При этом возмущенные движения являлись неоднородными и ис- ■ следовались в рамках класса точных решений

个0,Uo,个0,Uo,у N+ 1, 汽АN+1.у N+ 1, 汽АN+1.(11.3.4)(11.3.4)

个0,Uo,

个0,Uo,

у N+ 1, 汽АN+1.

у N+ 1, 汽АN+1.

(11.3.4)

(11.3.4)

При рассмотрении устойчивости изотропных турбулентных течений (что можно понимать как изотропность в локальном смысле) предполагалась стационарность исходного поля корреляций. Пока- ?кем, что это предположение является весьма существенном. С помощью преобразований

方?？-S匕I (仇)小,0 +公；二.,彤,

p(电*) __,2「…，？5 -1，2$+1…••彳乳p(电*) __,2「…，？5 -1，2$+1…••彳乳2 尸:(%)— l^l^n2 尸:(%)— l^l^n

p(电*) __,

2「…，？5 -1，2$+1…••彳乳

p(电*) __,

2「…，？5 -1，2$+1…••彳乳

2 尸:(%)— l^l^n

2 尸:(%)— l^l^n

1Р （柒）忆 1，...自一13+1，.小,0 + ^ i1,，..\,i5_1,is_）_1.. ..,in?

方!:% =虎儿，必T）=川丁），以:# =為了）

получим цепочку уравнений

峭（g，g）峭（g，g）a%a%2Of2Of厶2 （了鏡2, /%2,方，°）=匕 1厶2 （了鏡2, /%2,方，°）=匕 1十匕2十匕2(11.3.5)初黑Г。(А %)(11.3.5)初黑Г。(А %)72 V ^1, •,'1 гT1, "「•♦♦，2九+1， 丿 ^^ "1 …，，iS一1, ?8 +1, ♦ • ., ?272 V ^1, •,'1 гT1, "「•♦♦，2九+1， 丿 ^^ "1 …，，iS一1, ?8 +1, ♦ • ., ?2@3，吟久,0 (%' %)@3，吟久,0 (%' %)

峭（g，g）

峭（g，g）

a%

a%

2Of

2Of

厶2 （了鏡2, /%2,方，°）=匕 1

厶2 （了鏡2, /%2,方，°）=匕 1

十匕2

十匕2

(11.3.5)

初黑Г。(А %)

(11.3.5)

初黑Г。(А %)

72 V ^1, •,'1 гT1, "「•♦♦，2九+1， 丿 ^^ "1 …，，iS一1, ?8 +1, ♦ • ., ?2

72 V ^1, •,'1 гT1, "「•♦♦，2九+1， 丿 ^^ "1 …，，iS一1, ?8 +1, ♦ • ., ?2

@3，

吟久,0 (%' %)

@3，

吟久,0 (%' %)

Видно, что зависимость от основного течения в (11.3.5) входит через профиль средней скорости и .тензор напряжений Рейнольдса.

Когда начальное состояние изотропно и изменяется на временах 62/v (6 ——характерный масштаб корреляций), имеем в рамках класса решений (11.3.3), (11.3.4) для ^,...лп конечную систему зацепляющихся уравнений теплопроводности. Решая эту систему с конца, в неограниченном пространстве получим, что 17 fo при 方一> 8, н. е. решение устойчиво. Если начальное состояние поддерживается стационарным на временах Т ^ 21、(что возможно, например, за счет крупномасштабной неустойчивости), как следствие, придем к результатам работ [278——283]. Основные выводы последних заключаются в том, что при достаточно большом тесле Рейнольдса (R > 7?Кр), определяемом по масштабу корреляции 6 и ее амплитуде Wq, происходит дробление основного масштаба мелкомасштабными пульсациями с длиной волны 九《5. При этом процесс диссипации энергии может идти не через последовательность однородных состояний на временах t ~ 62/v, а путем дробления основного масштаба 6 с последующей быстрой диссипацией мелкомасштабных компонент па временах t 〜九？/*. Таким образом, предположение о стационарности соответствует наличию источников, ответственных за энергетическую «подпитку» крупных масштабов 6 на временах 7\ что приводит к механизму вторичной неустойчивости, связанному с процессом турбулентной диссипации энергии.

В работе [280] показано, что каждый конкретный случай определяет способ обрывания цепочки Фридмана ——Келлера. При N = 2 в (11.3.3), (11.3.4) асимптотика верхней ветви кривой нейтральной устойчивости [284] оказывается —YR.

В работе [285] проанализированы численно характеристики устойчивости течения, описываемого системой уравнений (11.3.2)'

Рис. 11.2. Расчет устойчивости течения типа Миллионщикова ——Лой- цянского.

в рамках класса решений {11.3.3), (11.3.4) при N = 2. Предполагалось, что исходное состояние описывается стацио- Варной гауссовой продольной

корреляционной функцией [277] BLL = Ж exp (—r27L2). На рис. 11.2 зредставлены результаты расчетов из работы [285], где R = W^Ljv ——число Рейнольдса, к ——волновое число, с\ =

Из асимптотического анализа [281] и из расчетов [285] следует, что при увеличении числа Рейнольдса максимум инкремента нарастания возмущения смещается в коротковолновую область.

Рассматриваемый тип неустойчивостей, который можно назвать статистической неустойчивостью, очевидно, свойствен сложным нелинейным и нестационарным гидродинамическим полям. В этом смысле можно предположить, что .такой тип неустойчивостей в физическом плане аналогичен типам неустойчивостей, рассматриваемым в нелинейной области зоны ламинарно-турбулентного перехода обычными методами [15, 16, 32, 33, 42, 216, 218, 232—234].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной монографии изложена динамическая теория возбуждения и развития неустойчивостей в пограничных слоях. Ее основные положения сводится к следующему.

Если обычно в теории гидродинамической устойчивости анализировались некоторые частные решения, то в этой книге поставлен вопрос о необходимости исследования краевых и начальных задач уравнений для гидродинамических возмущений (линеаризированных уравнений Навье ——Стокса) и дано их решение в некоторых случаях. Как показано на ряде примеров, неустойчивость возбуждается как следствие задания начального фона возмущений в постановке краевой или начальной задачи. Таким образом, в принципе решен вопрос о влиянии начального фона возмущений на характер и детали развития зоны ламинарно-турбулентного перехода.

Для исследования поставленных краевых задач для линеаризированных уравнений Навье ——Стокса разработан специальный метод теории возмущений, основанный на разложении решения уравнений Навье ——Стокса по собственным функциям непрерывного и дискретного спектров, свойственных конкретной исследуемой задаче. Представление искомого возмущения в виде суперпозиции некоторых элементарных возмущений (мод, квазичастиц), естественно, созвучно с общими методами, развиваемыми в современной теоретической физике (квантовой механике, физике твердого тела, физике плазмы и т. п.).

Показано, что уровень начального фона для возмущений во многих практических задачах таков, что значительная по протяженности часть зоны ламинарно-турбулентного перехода в пограничных слоях может быть описана линеаризированными уравнениями Навье ——Стокса.

Дано конструктивное определение понятия турбулентности, согласно которому при турбулентном течении уравнения для флуктуаций в системе уравнений Рейнольдса играют определяющую роль уже в главном приближении. Введены соответствующие генеральные параметры.

Сформулирован амплитудный метод расчета критического числа Рейнольдса перехода RKp к турбулентности в пограничных

слоях, позволяющий рассчитывать RKp в ряде практически ьажных случаев с достаточной степенью точности.

Исследован механизм возбуждения неустойчивостей в пограничных слоях: неустойчивость возбуждается в конечной части области пограничного слоя, примыкающей к точке потери устойчивости. Причел! в области возбуждения неустойчивость в существенной мере камуфлируется промежуточной волной, имеющей распределение поперек пограничного слоя такое же, как и у неустойчивости, и эйконал, совпадающий с эйконалом возбуждающей волны.

Разобрана теория развития пакета волн неустойчивости. Интересен случай развития гребня пакета, когда при достаточно широком спектральном составе возмущающего фона пакет волн неустойчивости в каждом сечении пограничного слоя может быть представлен приближенно своей эквивалентной неустойчивостью с максимальным инкриментом роста. Анализ развития пакета воли неустойчивости существен при реализации амплитудного метода расчета критических чисел Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода.

Выяснено, что при количественном анализе развития возмущений в пограничном слое, а также для их согласования с соответствующими экспериментальными данными необходим учет всегда имеющейся непараллельности течения в пограничном слое. При решении задач распределенной генерации неустойчивостей учет пе- параллельности основного течения является принципиальным.

Проанализированы следующие задачи о возбуждении: д^кус- (Тическим фоном волн Толлмина — Шлихтинга (ТШ); волнами давления и завихренности волн ТШ; акустической волной волны ТШ на шероховатости поверхности.

Приведены результаты исследования следующих задач о возбуждении волн неустойчивости фоном от обтекаемой поверхности: о возбуждении воли ТШ волной вибрации, бегущей по обтекаемой поверхности; о возбуждении неустойчивостей вторичного течения в пограничном слое скользящего крыла шероховатостями на его поверхности; комплекс задач о возбуждении не у с тойчив о с,тп локализованным воздействием на дие пограничного слоя (вибратор, периодический вдув ——отсос, периодический разогрев части поверхности и т. п.). Сравнение с экспериментальными данными указало на то, что данный тип возбуждения волн неустойчивостей может быть эффективно использован при решении задач управления течением в зоне ламинарно-турбулентного перехода.

Показана настоятельная необходимость теоретического исследования эволюционной задачи развития вюзмущеиий в нелинейной зоне, включая влияние на него различных факторов фона.

Рекомендуется исследование вкладов всех типов неустойчивостей, возможных в реальных пограничных слоях, т. е. помимо волн Толлмина ——Шлихтинга необходимо рассматривать следующие неуС|Тойчйвости: Гертлера, вторичного течения в пограничном слое на стреловидных крыльях, в районе передней критической линии

на стреловидных крыльях и другие возможные неустойчивые моды, проявляющиеся, в частности, при сверхзвуковых скоростях потока.

Выяснено, что для решения практических задач важная роль принадлежит инженерным методам анализа развития неустойчивостей в пограничных слоях, а также поиску надежных оценок критических чисел Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода. В последнем случае подходящей основой для разработки таких инженерных 'оценок является амплитудный метод расчета RKP. Поскольку характеристики фона стоят в уравнении для определения RItp под знаком логарифма, вполне возможно проведение такой классификации различных практических случаев, когда в рамках одного класса показатель нарастания возмущения N будет некоторой постоянной величиной. Указанные примеры свидетельствуют о возможности создания методов пересчета на иатурные условия критических чисел Рейнольдса перехода, полученных в аэродинамических трубах.

Поскольку фоновые характеристики определяют структуру эоны ламинарно-турбулентного перехода, необходима соответствующая паспор|Тизация всех аэродинамических установок, т. е. выяснение уровня, природы, тила и спектрального состава возмущений в их рабочих частях.

Анализ эволюции возмущений в развитой турбулентной зоне должен носи1ть статистический характер. По-видимому, существенную роль в дальнейших исследованиях должны сыграть здесь новейшие достижения в области общей теории нелинейных диссипативных систем, в частности в символической динамике (см., например, [288]), с применением идеологии топологических марковских цепей, марковских разбиений, которые необходимо производить на актуальных траекториях рассматриваемых движений. И это — доло недалекого будущего...

47 В. Н. Жигулев, А. М. ТумиИ

ПРИЛОЖЕНИЕ

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВВЕДЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

оооооодхОдхОоорр石石88жжооооооооооооооICOICOооооРР—石—石一初一初ооооооооVVоо11оооо-V-V-1 8-1 8ООа石Оа石ОdUdUicoicoооарароооооо11

о

о

о

о

о

о

дх

О

дх

О

о

о

р

р

石

石

8

8

ж

ж

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

ICO

ICO

о

о

о

о

Р

Р

—石

—石

一初

一初

о

о

о

о

о

о

о

о

V

V

о

о

1

1

о

о

о

о

-V

-V

-1 8

-1 8

О

О

а石

О

а石

О

dU

dU

ico

ico

о

о

ар

ар

о

о

о

о

о

о

1

1

Приведем вид лхатриц, использованных в

§ 1.2:

00001 0

0 0

忆=

1 0 0 0 行 и рТ

0 0

0 0 1 00 0

U V

00000 0 -

一 1 0

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

О

о

о

工工ООдхv&_”L_u 丄ду дx日方дУдхдхv&_”L_u 丄ду дx日方дУдхооооООоо8V гг а8V гг а

工

工

О

О

дх

v&_”L_u 丄

ду дx日方

дУ

дх

дх

v&_”L_u 丄

ду дx日方

дУ

дх

о

о

о

о

О

О

о

о

8V гг а

8V гг а

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Обозначим U, 7, р — скорость, температура, плотность основ' ного течения; х ——показатель адиабаты; Рг ——число Прандтля; 協（7）—первый коэффициент вязкости; ц' = йц/dT; М——число Маха； 尸=2（е + 2）/3; т = 2（е — 1）/3; е — отношение коэффициента второй вязкости к первой; = [R/ц + rnW（pU — io））] -1;① ——частота возмущения; R — число Рейнольдса; р = Ха; а ——волновое число воз- мущеппя; D = d/dy. 宀 + l\6

Ненулевые элементы матрицы Н°: ~~歩

冗2 =力黑=厶 方廿=二^_ + (pU 一⑷R"7; "『=-0卩/卩；

方瞪=一，⑺+ 1）007一歹0財卩-^^DUl^T'

/4 = P R/祖 4- （^ + 1） x AP 卩（pU -必）；

Ha" = ^p （^ + 1）（心一pU）[T — D （р/OU）/卩；

W = - XDU/汨

方^ = -p; Hf - DT/T;

H^ = 乂 М2 （гоэ — pU）;

8『（，U —必）/7；

晁 1 =一闻（rDT1T + 2Z）wm；"费=-節；

方『=p [-/ + （心 一 pU） R/卩7 + rD'2T!T +r0f077卩图；

方U - ₽rx M2 IpDU + （pU -庙）（OT/T + /）ц/ц）]；

用5 = ₽ l^pDU/T + 卩‘卩。。/卩—г （庙—pU）D[i/T[k];

后『=一自，（心一加7）/7隔

方『=一 2 （乂 — 1） М2 Prgou；

皆3 = _ 2（X _ 1）М2 Pr 场и + RPr。〃卩т；

"Г = 3 — 1） M2 R a （бсо — pU）/卩；

，丁 =二P2 + R Pr （pU -心）/卩7 —（X - l^M2 Prixz （DUf^ 一 力凯/n;

用T = - 2Z）卩/卩；

Ненулевые элементыНенулевые элементы玛^ = ^00 = 1；0^ '

Ненулевые элементы

Ненулевые элементы

[允訂=Z QU —①)R/卩丁；

I H^^^DU/^ ■*

[X爲=iaR/^i;

I 鶴=—Zoe；；”

H^^DTIT-

方^ = 一汶IQ QU -叫住

:篇=方(以7一3)/7; *

声需= _£@U_s)/T; *Ь

倉需= RPr0T/NT；誉三

E窑=—力(％ — 1) M2 Pr R (aU — o))/jx;

E需=i R Pr (aU — 3)/卩7.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

о о оо о о—%—%о о о оо о о оооооо о о оо о о оо-1о-1о оо о&U вб&U вбо оо о0 0 О о 0 00 0 О о 0 0о оо оо о оо о оо оо оУкажем выражения для матриц Ht, Яь Я2 из § 3.1, 3.2 (R6 = р/7е6/|1 — число Рейнольдса, определяемое по толщине погра* яичного слоя 6):

о о о

о о о

—%

—%

о о о о

о о о о

о

о

о

о

о о о о

о о о о

о

-1

о

-1

о о

о о

&U вб

&U вб

о о

о о

0 0 О о 0 0

0 0 О о 0 0

о о

о о

о о о

о о о

о о

о о

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Ненулевые элементы матриц Lo, Lb Яъ Н2 (обозначения см. в приложении 2) следующие:

厶黑=—rp/R;厶乎=1 (/ = 1 f . .., 6); £产=(тп + 1);

方;7 = Д88 =笈：9 =—尤己 1 = — g83

育F = 一心R/財；方f=-0同m7；比3 = R DUI^T-

Я? = —D 屮'。。)個 方Г = 一 u'DU!^,万;з = DT/T-

Hf = iojz M2:方我=_必/?；方普=心/7；

Н^ =-2М2 (x-l)PrW; ЙТ= Rpr。？/卩7；

H^ = ico (х - 1) М2 R Pr/fi;宜弋=一 D (m'DT)/卩一庙 R Pr/卜"-

-(z - 1) р/ ND Pr {DU^!^-

方曾=一 20园固 H^ = R0/“；月T = 一。m"；

皤=R/出 ЯГ = - г；賓1 = ЯГ = -1; ЯГ = - X M2 U;

ЯГ = и/Т- Н^ = "Sw/R; Н^ = W + 1) 口/R；

砧з = 一 и/Т.百= ^'DU/^- Hf = м/R；

簿=-2(%-l)M2PrZ)。；

倉雕=一仇―l)M2RPrU/fi; U^ = R Pr U.^T.4& 6 R 匕

^^

Ненулевые элементы матриц 2°, 2i，髡工,Ж2,非з,宠&，於о，

(W z-ком口онента скорости, Р давление):、

S^ = - н/R;烫片二一⑴/用 £f= —M/RPr;J

史Г = _ 卩/R； ^ii = ^ = ^ = ^'

穿=一絹长步产= -(w + M/R；交F = p；

£f = — (ж + 1) м/R;登产'=—(от + 1) ц/R;

登：i = - 2卩(g — 1) M2 dU/dy RT；

登；5 = 一 ^дТ/ду (R Pr厂Г 砂曾二-2“ (к 一 1) M2 dW/dy ГР】：

登;5 _ - ^dW/dy rt；次尸工=一侬 + 1)m/r；

務2=猶6 =%■T=]；猶1=心p；

燄=必% m2/7; 羽我=-e：t;

%"『=icop, 非？ ： — рдТ/ду.

秃？= _ 面3一 [)m2；

君5 = КиМ'器)е；%:7 =心()；

非乎-=—1 （/ = 9, . . ., 16）;

制^ = — pU;非；'——1 ；非『=厂卩/R;

"¥•宠；5=м 等/r；宠严= gR；

宠;3 = 211（X 一 1） M2 备/ R;宠『=（X - 1） М2 и-

^»5 = - pU-宠严= "/RPr; 居=一川;

雍計二一p忆 至严 =M/R；禿/=М2 %*；

飞专 %^ = pW"；第了 =-p;%;"=-pи7;

爲『 ="中'*/ R;%产丄=卩/R;

^；3 = 2（x~ 1）M2h4t~/r；宠^4 = （乂 一 1） AU %；

能；5 = _p屮；雍严二闻RRr;分龍=1r今/R；

宠弟=_ I；窟了 = _ plF;宛;J。 =中/R; 宠;3」=^11,3 _ 宠,5 =宠;6,7 _ 丄

В выражениях для матричных элементов %?

мые7 имеющие относительный порядок малости 0（В~*）:

宠f = —р3и/а/； %f = -pК 宠г=-学（u言+17*+

符符+W+W"/+吋+吋卜"/+吋+吋卜雙.0七J雙.0七J宏了宏了кМ? / ОТ и еи7（尾 Т ^кМ? / ОТ и еи7（尾 Т ^ду @4 予 дуду @4 予 дуW дТТ垣W дТТ垣dW\dW\符=符=и @рТ дх±и @рТ дх±?2 @%Г 2 dq?2 @%Г 2 dqТ匹W дрТ匹W дрр17 дТр17 дТТ А%Т А%++р/р/Т助Т助

符

符

+W

+W

"/+吋+吋卜

"/+吋+吋卜

雙.

0七J

雙.

0七J

宏了

宏了

кМ? / ОТ и еи

7（尾 Т ^

кМ? / ОТ и еи

7（尾 Т ^

ду @4 予 ду

ду @4 予 ду

W дТ

Т垣

W дТ

Т垣

dW\

dW\

符=

符=

и @р

Т дх±

и @р

Т дх±

?2 @%

Г 2 dq

?2 @%

Г 2 dq

Т匹

W др

Т匹

W др

р17 дТ

р17 дТ

Т А%

Т А%

+

+

р/

р/

Т助

Т助

%歴=一P岩+ 3 - 1) m2簪

窗&窗&дтдт+%崙)+ з+%崙)+ з1)MW*；1)MW*；

窗&

窗&

дт

дт

+%崙)+ з

+%崙)+ з

1)MW*；

1)MW*；

^ = T^^[ + v^ + w^}' 能：6=_pH

胤7 = — р 岩 +(X — 1)М?楽；第：1 = — р§

箝=*U器箝=*U器

箝=*U器

箝=*U器

宠？ = - p岩；％『 = 一 р匕宠？ = - p岩；％『 = 一 р匕门369、门369、

宠？ = - p岩；％『 = 一 р匕

宠？ = - p岩；％『 = 一 р匕

门369、

门369、

第廿=懈 + $ — i (и — aU — yW) R/卩？;

%『=-0卩/卩；宠『=-以⑺ t1)。77?—汲0卜卩+ r07/Иr, 非学=sa R/卩 + ⑺ + 1) X Mz a (® - aU — Y万)；

^f = - a(m + 1) (co — a。— yW)/T - D (^'DU)I^,

^ = - ^1DUI^, 宠詁=-以；； 献= DT|T;

宠片=Zz M2 (а-aU- yW); 齡=-“9 一 aU — vlF)/7;

齡=-沱 宛学=-tРa (rDT/T + 2。闻卩)；

宠片=-фа； 宠f = p[_a2_v2 + i(C0_af/_ 丫万)R/財 +

+ rD2T/T + rD[iDT/[iT]-,

金У = - фгхМ2 [aDU + yDW - (® - a^ - yW) (DT/T +。闻卩)]; 宠黑=ф [r (^DU + yDW)/T + * (aDU + yDW)/^ -

耘『=-i^r^-aU — Y万)/7;%？ = - i^ryDTIT - 2承叩卩/因

宠小=_単% ^2 = -2(x-l)M2 PrDt/;

宠『=_ 2j(z _ 1) M2 Pr (aDU + yDW) + R PrDT/M;

非г=i (% - 1) M2 Pr R (® - aU — y%)仙

宠片=a? + ?2 — i R Pr (s — aU — Y次)/卩7 -

-(X - 1) M2 Pr 卩'[(Dt/)2 + (0万月瓜-厶2卩/因 茏片=—2D卩仙 窕『=—2 & — 1) M2 Pr DW-,

ЖТ = — i (m + 1) yD T/T — iyD^ + ROW/pT; 非詁=(/" + 1) % M? у (co — aU — yW) + iFl/w；不9 速片=-(m + 1) ?(ш - aU - yW)/T _ D (卩力巾)/n; 龙片=一 ^DWiu-,

宠г=n2 +产一 j® 一 aTJ 一 .J汴)R/2？；

非俨=一0m/2.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Представим 口©нулевые элементы матрицы <^-(обозначения см. в приложении 2) (в выражениях для G?力 Ge% G^ опущены слагае-

мыео(1)；мыео(1)；в выражениях для Gz^ G^ —。(五一‘)；G^ = Gs； = G?； = О 8))

мыео(1)；

мыео(1)；

% н% нe34 =e34 =RЙ7RЙ7R7R7Uk +垣十 и而Т"五J;Uk +垣十 и而Т"五J;дх.дх.11хМ2хМ2dUdUии+ F+ Fдидидиди^7，^7，一乂 MW一乂 MWааdW \1dW \1т (^т (^十T ［再 Т дур十T ［再 Т дур9V , dW\ ,丽+瓦丿+W / a 2 AT \9V , dW\ ,丽+瓦丿+W / a 2 AT \1 dT7"近1 dT7"近UU五；-T-+V— + — 4-ТУ dq dy dy五；-T-+V— + — 4-ТУ dq dy dyRPr 3 — 1) М? ЭР RPr 37 .RPr 3 — 1) М? ЭР RPr 37 .xM? /xM? /u^~ + v^- + wu^~ + v^- + wат \ат \++

% н

% н

e34 =

e34 =

R

Й7

R

Й7

R

7

R

7

Uk +垣十 и而Т"五J;

Uk +垣十 и而Т"五J;

дх.

дх.

1

1

хМ2

хМ2

dU

dU

и

и

+ F

+ F

ди

ди

ди

ди

^7，

^7，

一乂 MW

一乂 MW

а

а

dW \

1

dW \

1

т (^

т (^

十T ［再 Т дур

十T ［再 Т дур

9V , dW\ ,

丽+瓦丿+

W / a 2 AT \

9V , dW\ ,

丽+瓦丿+

W / a 2 AT \

1 dT

7"近

1 dT

7"近

U

U

五；

-T-+V— + — 4-ТУ dq dy dy

五；

-T-+V— + — 4-ТУ dq dy dy

RPr 3 — 1) М? ЭР RPr 37 .

RPr 3 — 1) М? ЭР RPr 37 .

xM? /

xM? /

u^~ + v^- + w

u^~ + v^- + w

ат \

ат \

+

+

+ (х 一 I) m2 2号 +V号)+ 巾号］;

RPt Г U д卩

65N [ T 鸣 T

RPr [ дР1 дТ 1

“卩[%T

FT碧，

= 7+ 丁 1 E

一 ^2 Г 5^ + У ау

371 山，勺 + 7 ду +

9№ ?丄4份

+у；

T 為工+ t北J’

48 В. Н. Жигулев, А. М. Тумин

ЛИТЕРАТУРА

Heisenberg W・ Uber Stabilitiit und Turbulenz von Flussigkeitsstromen / Ann. Phys.— 1924— B. 74, N 15.— S. 57 7—627.

Линь Ц.-Ц. Теория гидродинамической устойчивости,— М.: Изд-во иностр, лит., 1958.——194 с.

Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости,— М.: Мир, 1971.— 350 с.

Drazin Р., Reid W. Hydrodynamic stability.— Cambridge: Univ. Press, 1981.— 525 p.

Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности 〃 Докл. АН СССР.——1944.— Т. 44, № 8,— С. 339-342.

Meksyn D., Stuart J. Т. Stability of viscous motion between parallel walls for finite disturbances / Proc. Roy, Soc.— Ser A.— London.— 1951.— V. 208, N 1095.— P. 517—526.

Струминский В. В. К нелинейной теории развития аэродинамических возмущений / Докл. АН СССР.— 4963.— Т. 153, № 3.— С. 547—550.

Струминский В. В. О законах развития и стабилизации аэродинамических возмущений / Докл. АН СССР.— 1965,— Т. 164, № 1,— С. 47—50.

Струминский В. В. Проблемы устойчивости ламинарных потоков и перехода в турбулентные течения 〃 Турбулентные течения: Сб. науч. тр.— М.: Наука, 1970.—С. 11—23.

Шкадов В. Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической уо тойчивости / Тр. НИИмеханики МГУ.— 1973.— № 25.— С. 1—192.

И. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность.—Новосибирск: Наука. Сиб. отд-пие, 1977.——366 с.

Stuart L' Т. Stability of laminar flows / Fluid Dynamics Trans.— V. 5, part 1,—■ Warszawa: Polish. Scientific Pubt., 1971.— P. 267—287.

Stuart J. T. Nonlinear stability theory / Ann. Rev. Fluid Meeh.— 1971.— V. 3.—P. 347—370.

Stewartson K. Some aspects of nonlinear stability thory / Fluid Dynamic Trans — V. 7, part 1,— Warszawa: Polish Scientific PubL, 1974.—P. Ю1— 12&

Жигулев В. H. Нелинейная теория развития возмущений 〃 Аэрогазодинамика и физическая кинетика: Сб. науч, тр.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1977,- С. 7-42.

Жигулев В. Н. Современное состояние проблемы устойчивости ламинарных течений / Механика турбулентных потоков: Сб. науч, тр.— М.: Наука, 1980.— С. 109—133.

Craik A. D. D. Nonlinear evolution and breakdown in unstable boundary layers / J. Fluid Meeh.— 1980.— V. 99, part 2.—P. 247—265.

Craik A. D. D. Wave induced longtitudial-vortex Instability in shear flows / J. Fluid Meeh.— 1982.— V. 125,— P. 37—52.,

Schubauer G. B., Skramstad И. K. Laminar boundary layer oscillations and transition on a flat plate / NACA Tech. Report.— 1943.— N 909.

Hansen M. Die Geschwjndigkeits Verteitung in dcr Grenzschicht an emcr cingetauchte^ Platte / Z- angew. Math. Meeh.— 1928.一Bd 8, II. 3.— S. 185—199.

Левченко В. Я. Генерация и развитие возмущений при переходе к турбулентности в пограничном слое: Дисс. ... Д-ра физ.-мат. наук.— М.: МФТИ, 1980.

Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1969.——744 с.

Жигулев В. Н., Сидоренко Н. В., Тумин А. М. О генерации волп неустойчивости в пограничном слое внешней турбулентностью / Жури, прикл. механики и техн, физики.——1980.——№ 6.— С. 43——49.

Жигулев В. Н. О возбуждении и развитии неустойчивостей в трехмерных пограничных слоях.— Новосибирск, 1982.— С. 126. (Препринт АН СССР. Сиб. €тд-ние, ИТПМ; 3).

Жигулев В. Н. О возбуждении и развитии неустойчивости в трехмерных стационарных пограничных слоях 〃 Журн. прикл. механики и техн, физики.— 1983.— № 4.—С. 100—110.

Найфэ А. X. Введение в методы возмущений.——М.: Мир, 1984.— 535 с.

Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.——М.: Наука, 1969.— 526 с.

Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций.—М.: Наука, 1977.— 286 с.

Смирнов В. И. Курс высшей математики.—Т. 3. Ч. 2・—М.: Гостехиздат, 1949.— 672 с.

Mack L. М. Linear stability theory and the problem of supersonic boundary Jayer transition / AIAA J.— 1975.—V. >13, N 3.—P. 278—289.

Mack L. M. A numerical method for the prediction of high-speed boundary layer transition using linear theory 〃 NASA-SP-347.— 1975.— P. 101—123.

Жягулев В. IL, Кяркинский А. И., Сидоренко H. В., Тумга А. М. К вопросу о механизме вторичной неустойчивости и его рояи в процессе возникновения турбулентности / Аэромеханика: Сб. науч. тр.— М.: Наука, 1976.— С. 118—140.

Жигулев В. Н., Сидоренко Н. В., Тумин А. М. К проблеме возникновения турбулентности / Числ. методы механики сплошн. среды.——Новосибирск: ВЦ АН СССР, 1975,- Т. 6, № 1,- С. 30-41.

Zhigulev V. N. The problems of theoretical description of the transition zope of a laminar boundary layer into a turbulent one / Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl„ 1985.— P. 273—282.

Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое.——Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1981.——152 с.

Жигулев В. Н. Проблема определения критических чисел Рейнольдса перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный / Механика неоднородных сред: Сб. науч. тр.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1981.— С. 5—28.

Жигулев В, Н. Проблема определения критических чисел Рейнольдса перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный 〃 Модели механики сплошной среды: Сб. науч, тр.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983,— С. 6—30.

Сидоренко Н. В., Тумин А. М. Гидродинамическая устойчивость в пограничном слое сжимаемого газа 〃 Механика неоднородных сред: Сб. науч, тр.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1981.—С. 29—45.

Зубцов А. В., Пономарев В. И. К нелинейной теории гидродинамической устойчивости 〃 Уч. заи. ЦАГИ — 1976.— Т. 7, № 1,— С. 18—23.

Зубцов А. В., Пономарев В. И. Об одном классе нестационарных волн в ламинарном пограничном слое несжимаемой жидкости / Аэромеханика: Сб. науч. тр. — М.: Наука, 1976. — С. 140—147.

Зубцов А. В., Пономарев В. П. О нелинейных волнах с малой фазовой скоростью и о возможном влиянии этих волн на явление перехода ламинарного течения в турбулентное / Тр. ЦАГИ, 1982, вып. 2151 — С. 3—26.

Сидореико Н. В. Некоторые вопросы нелинейной теории гидродинамической устойчивости: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук,— М.: МФТИ, 1978.

Liii С. С. On the instability of lamjinar flow and its transition to turbulen-

се / Boundary layer research symposium (Freiburg, 1957).— Berlin: Springer, 1958.— P. 144—160.

Тумин A. M., Шепелев В. E. Численный анализ развития возмущения в несжимаемом пограничном слое на плоской пластине / Числ. методы механики сплошн. среды.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980.— Т. 11, № 3.—С. 141—152.

Федоров А. В. Возбуждение и развитие волн неустойчивости в пограпич- ттом слое сжимаемого газа: дис. ... каттд. физ.-мат. паук.— М.: МФТИ, 1982.

Федоров А. В. К вопросу о развитии волн неустойчивости в пограничном слое сжимаемого газа / Чис. методы механики сплошн. среды.——Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.— Т. 13, № 2.- С. 144-149.

Федоров А. В. Возбуждение волн неустойчивости в пограничном слое сжимаемого газа под действием акустического поля / Числ. методы механики сплошн. среды.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.— Т. 13, № 3.— С. 106—107.

Jaffe N. A., Okamura Т. Т., Smith А. М. О. Determinalion of spatial amplification factors and their application to prediction transitdon / AIAA J.— 1970.— V. 8, N 2.— P. 301—30S.

Grosch С. E., Salwen H. The continuous spectrum of the Orr — Sommerfeld equation. Part 1. The spectrum and the eigenfunctions / J. Fluid Meeh.— 1978.—V. 87,.—P. 33—54.

Salwen II., Grosch С. E. The continuous spectrum of the Orr — Sommerfeld equation. Part 2. Eigenfunction expansions / J. Fluid Meeh.— (981.— V. 104.— P. 445—465.

Mack L. M. Computation of the stability of the laminar compressible boundary layer / Methods in Computational Phys.— 1965.— V. 4.— P. 247—299.

Гапонов С. А., Маслов А. А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках.—— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1980.— 144 с.

Dunn D. W., Lin С. С. The stability of the laminar boundary layer in a compressible fluiid for the case of three-dimensional disturbances / J. Aer. Sci.— 1952,— V. W, N 7.—P'・ 491；

Cheng S. L On the stability of laminar boundary layer flow 〃 Qart. AppL Math.— 1953.—V. 11, N 3,— P. 346-350.

Алексеев M. А. Об асимптотических приближениях в задаче устойчивости ламинарного пограничного слоя при сверхзвуковых скоростях / Тр. ЦАГРТ, вып. 1420. — (972.— 28 с.

Gustavsson L. Н. Initial-value problem for boundary layer flows / Phys. Fluids.— 1979.—V. 22, N 9•— P. 1602—1605.

Тумин A. M., Федоров А. В. -Пространственное развитие возмущения в пограничном слое сжимаемого газа.— Журн. прикл. механики и техн.巾и- зики.— 1983.— № 4.— С. 110—118.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.一 М.: ГИТЛ, 1953.— 491 с.

Годунов С. К. Уравнения математической физики.——М.: Физматгиз, 1971.—— 416 с.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Физматгиз, 1961.— 576 с.

Тумин А. М. Возбуждение волн Толлмина ——Шлихтинга в пограничном слое на вибрирующей поверхности стреловидного крыла бесконечного размаха / Журн. прикл. механики и техн, физики.— 1983,— № 5.— С. 70—74.

Nayfen А. Н. Stability of three-dimensional boundary layers / AIAA J.— 1980.—V. 18, N 4.— P. 406-416.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.——М.: Наука, 1972.——392 с.

Левченко В. Я., Володин А. Г., Гапонов С. А. Характеристики устойчивости пограничных слоев.——Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1975.——314 с.

Петров Г. И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости 〃 Прикл. математика и механика.— 1940.— Т. 4, ,№3.—С. 3-12.

Brown W. В. Exact numerical solution of the complete Lees — Lin equations for the stability of compressible flow / Summary of laminar boundary layer control research.-— 1964.— V. 2.— P. 55—94.

Brown W. В. Stahility of compressible boundary layers / AIAA J.— 1967.— V. 5, N 10.— P. 1753二 1759.

Mack L. M. The inviscid stability of the compressiiible laminar boundary layer 〃 JPL Space Programs Summary 37—36.— 1964.一 V. 4.一 P. 221—223.

Mack L. M. The stability of the compressible laminar boundary layer according to a direct numerical solutions 〃 Recent developments in boundary layer research: AGARDograpli 97.— Part I.— 1967.—P. 328—362.

Mack L. M. Viscous and inviscid amplification rates of two- and three-dimensional linear disturbances -in the laminar compressible boundary layer 〃 JPL Space Program Summary 37—42.— 1966.— V. 4.— P. 158—162.

Гапонов С. А., Маслов А. А. Устойчивость сжимаемого пограничного слоя 〃 Пзв. СО АН СССР.— Сер. техн, паук, 1971.— № 3, вып. 1.— С. 24—27.

Маслов А. А. Численное исследование устойчивости сверхзвукового ламинарного пограничного слоя / Журн. прикл. механики и техн, физики.—— 1972.—№ 5.—С. 181—184.

Гапонов С. А., Маслов А. А. Численное решение задачи о полной стабилизации сверхзвукового пограничного слоя 〃 Журн. прикл. механики и техн, физики.— 1972.— № 2~ С. 39—43.

Маслов А. А. Влияние трехмерных возмущений на устойчивость пограничного слоя при числе Маха М = 3 〃 Аэрофизические исследования.——Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1973.— С. 80—82.

Маслов А. А. Устойчивость сверхзвукового пограничного слоя по отношению к трехмерным возмущениям 力 出урн. прикл. механики и техн, физики,— 1974— № 1.— С. 37—41.

Зайцев А. А., Сиварамахришнан М. М. Исследование устойчивости сжимаемого пограничного слоя / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1974.— № 3.— С. 58—65.

Гапонов С. А. Влияние сжимаемости газа на устойчивость пограничного слоя пад проницаемой поверхностью при дозвуковых скоростях 〃 Жури, прикл. механики и техн, физики.— 1975.— № 1.— С. 121——125.

Гапонов С. А. Устойчивость сверхзвукового пограничного слоя на проницаемой поверхности с теплообменом 〃 Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1977.— № 1,— С. 41—46.

Benney D. J., Orszag S. A. Stability analysis for laminar flow control. Part 1' / NASA-CR-2910.— 1977,—89 p.

Orszag S. A. Advanced stability theory analysis for laminar flow control % NASА-СН-ЗЗЗЗ.у-1980.— 48 p.'

Malik M. R. Finite-difrerence solution of the compressible stability eigenvalue problem 〃 NASA-CR-3584— 1982.

Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 〃 Успехи мат. паук,— 1961.—Т. 16, вып. 3.— С. 171—174.

ToIImien W. Uber die Entstehung der Turbnlenz / Nachr. Ges. Wdss. Gdt- tingen. Malh.-Phys. Klasse — 1929.— S. 21—44.

ToIImien W. Ein allgemeines Kriterium der instabilitat lamdnarer Gesch- windigkeitswerteilungen 〃 Nachr. Ges. Wiss. GotLingen, Mah-Phys. Klasse.— 1935.— S. 80—114.

ToIImien W. Asymptotische integration der Stdrungsdifferentialgleiichung ebener lamiinarer Strdmungen bei bohen Reynoldsschen Zahlen 〃 Z. Angew. Afafh. M.ech.— 1947.— Bd 25/27S. 33—50.— S. 70—83.

Schlichting H. Zur Entstehung der Turbulenz bes der Plattcnstromung 〃 Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Klasse.— 1933.— S. 182—208.

Schlichting H. Uber die Enstehung der Turbulenz bei der Plattenstromung / Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Klasse.— 1932 — S. 160—198.

Lin С. C. On the stability of two-dimensional parallel flows / Qart. Appl. Math.— 1954.— V. 3,—P. 1.17—142, 218—234, 277—301.

Holstein H. Uber die auBere und innere Reibungsschicht bei Storungen laminarer Stdimungen / Z. Angiew. Math. Meeh.— 1950.— Bd 30, N 1/2.— S. 25—49.

Graeble W. P. On determination of characteristic equations for the stability of parallel flows 〃 J. Fluid Meeh.— 1966.— V. 24, part 3.— P. 497—508

Eagles P. M. Composit series in the Orr — Sommerfeld problem “ Quart. J. Meeh, and Appl. Math.— 1969.—V. 22, N 2.—P. 129—182.

Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О нестационарном пограничном слое с само- индуцированньш давлением 〃 Прикл. математика и механика.— 1977.— Т. 41, вып. 6.— С. 1035—1052.

Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике решений уравнения Орра — Зои- мерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших числах Рейнольдса 〃 Докл. АН СССР.— 1983.— Т. 268, № 6.— С. 1328—1332.

Zhuk V. I. On long-wave asymptotic solutions of the Oit — Sommerfeld equation for boundary layer / Laminar-Turbu lent Transition / Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Ver]., 1985.— P. 723-728.

Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя / Изв. АН СССР. Механика жидкости п газа.— 1981.— № 5.— С. 39—46.

В ан-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.— М.: Мир, 1967.— 310 с.

Найфэ А. Методы возмущений.— М,: Мир, 1976.—453 с.

Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции.—— М.: Наука. 1978.— 375 с.

Шепелев В. Е. Численный анализ развития воля Толлмина ——Шлихтинга в пограничном слое несжимаемой жидкости: Дисс. ...канд. физ.-мат. наук.— М.: МФТИ, 1980.

Володин А. Г., Гапонов С. А. Устойчивость несжимаемого пограничного слоя / Изв. СО АН СССР.— Сер. техн. наук. — 1970.— № 8, вып. 2.— С. 55—58.

Левченко В. Я,, Соловьев А. С. Об устойчивости пограничного слоя при наличии градиента давления и отсоса / Изв. СО АН СССР.— Сер. техн, наук, 1970.— № 8, вып. 2.― С. 65—67.

Gortler IL Uber eine dreidimensionale Instabiilitat laminarer Grenzschichten an konkaven Wanden / Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Klasse, neue Folge, Fachgruppe 1-— 1940.— Bd 2, N 1.— S. 1—26.

Herbert T. On the stability of the boundary layer along a concave wall 〃 Arch. Meeh. Stosow.— 1976.—V. 28, N 5-6.

Florvan J. M“ Saric W. S. Stability of Gortler vortices in boundary layers / А1АЛ Г- 1982.— V. 20„ N 3.— P. 316-324.'

Floryan 丄 M., Saric W. S. Wave length selection and growth of Gortler vortices / AIAA Paper.— 1980.—N 80—1376.— 17 p.

Ragab S. A., Navfeh A. IL Effect of pressure gradients on Gortler instabi、 " lity 〃 AIAA Paper.—,4980.— N 80— 1377•— 25 p.

El-llady N. M・，Verma A. K. Instability of compressible layers along curved ' walls with suction or cooling 〃 AIAA Paper.— 1982.— N 82—1010.— 14 p.

Hall P, Taylor-Gdrtler vortices in fully developed or boundary layer flows: ' linear theory 〃 J. Fluid Meeh.— 1982.™ V. 124.一 P. 475—494.

Hall P. The linear development of Gortler vortices in growing boundary layers 〃 J. Fluid Meeh.— 1983.— V. 130,— P. 41—58.

Gray W. E. The effect of wing sweep on laminar flow 〃 RAE TM Aero,— 1952,—№ 255.

Owen P. R., Rendall D. J. Boundary layer transition on the swcptback wing 〃 RAE TM Aero.— 1953•— № 375：

Gregory N., Stuart J. T., Walker W, S. On the stability of 3-dimensional boundary layers with application to the How due to a rotating disc.— Phil. Trans. Roy. Soc. Ser A. London.一 1955.— V. 248, N 943.— P. 155—199.

Brown W. B. A stability criterion for three-dimensional laminar boundary layers 〃 Boundary layer and flow controI/Ed. G. V. Leuchmann.— Pergamon Press.—19 61.— V. 2.— P 1033—(048.

Srokowski A., Orszag S. A. Mass flow requirements for LFC wing design / AIAA Paper.— 1977,— N 1222,— 15 p.'

Runyan L. J., George-Falvy D. Amplification factors at transition on a unswept wing in free flight and on a swept wing in wind tunnel / AIAA Paper.— 4979.— N 79—0267.— 17 p.

Mack L. M. On the stability of the boundary layer on a transonic swept wing / AIAA Paper,— 1979.— N 79—0264.一 16 p.

Hefner J. N・,Bushnell D. M. Application of stability theory to laminar flow control / AIAA Paper.— 1979.— N 79—1493.— 19 p.

Lecoudis S. G. Stability of three-dimensional compressible boundary layers over wing suction / AIAA Paper.— 1979.— N 79—265.— 12 p.

Dagenhart J. R. Amplified crossflow disturbances in the laminar boundary layer on swept wings with suction 〃 NASA-TP-1902.一 1981-— 90 p.

Amal D., Habiballah M., Coustols E. Theorie de renstabilite laminaire et criteres de transition en ecoulement bi et tridimensional / La Rech. Aerosp.— 1984.— N 2 — P. 125—143.

Michel R., Arn al D., Coustols E. Stability calculations and transition criteria on 2- or 3-D flows 〃 Laminar-Turbulent transition / Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl., 1980.— P. 455—462.

Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: ИЛ, 1962,— 607 с.

Ross J. A., Barnes F. П., Burns J. G., Ross М. A. S. The flat plate boundary layer. Part 3. Comparison of theory with experiment 〃 J. Fluid Meeh.— 1970.- V. 43, part 4一 P. 819—832.

Качанов Ю. С.ч Козлов В. В., Левченко В. Я. Развитие колебаний малой амплитуды в ламинарном пограничном слое / Учен. зап. ЦАГИ.——1975.— Т. 6, № 5.— С. 137-140.

Козлов Л. Ф., Бабенко В. В. Экспериментальные исследования пограничного слоя.— Киев: Наук, думка, 1978.— 184 с.

Bonthier М. StabiJite lisieaire des ecoulements presque paralleles par la met- Jiod des echelles multiples / Compt. Rendus Acad. Sci., Ser. A.—1971.— T. 273.—P. 1101—1104.

Bouthier M. Stabilite lineair des ecoulements presque parallcles. Part 1 〃 J. de Mecanique.— 1972.— V. 11, N 4.—R 599—621.

Bouthier M. Stabilite lineaire des ecoulements presque paralleles. Part 2. La Couche limite de Blasius 〃 J. de Mecanique.— 1973.— V. 12, N 1.— P. 75-95.

Gaster M. On the effects of boundary layer growth on flow stability / J. Fluid Mech-1974— V. 66, part 3.— P. 465-480.”

Saric W. S., Nayfeh A. H. Nonparallel stability of boundary layers with pressure gradients and suclion / AGARD-CP-224.— 1977.

Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Нелинейное развитие волны в пограничном слое / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1977.— № 3.一 c. 49—5&

Тумин А. М., Шепелев В. Е. Численный анализ развития пространственных возмущений в несжимаемом пограничном слое на плоской пласти^ не / Учен. зап. ЦАГИ,— 1982.— Т. 7.—№ 1,— С. 94—97.

El-IIady N. М. Effect of compressibility, suction and heat transfer on the nonparallel stability of boundary layer flows: Diss. ... doctor of phi]. Virgin nia Politec. Inst and Slate Univ., Blackburg, 1978.

Гапонов С. А. Влияние непараллельности течения па развитие возмущений в сверхзвуковом пограничном слое 〃 Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1980,—№ 2.— С. 26—31.

Гапонов С. А. Развитие трехмерных возмуп^епий в слабонепараллельпом сверхзвуковом потоке.™ Новосибирск, 1980,— 24 с,— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ; 29).

El-IIady N. М. On the stability of three-dimensional, compressible nonparaL lei boundary layers 〃 AIAA Paper — 1980 — N 80—1374.— 14 p.

Padhye A. R.* Nayfeh A. H. Nonparallel stability of three-dimensional flows / ATAA Paper.— 1979.—N 79^—1281.— 41 p.

Тумин A. M., Федоров А. В. О учете влияния слабой неоднородности тс- иениа на характеристики его устойчивости 〃 Учен, зап, ЦАГИ.— 1982.—— Т. 13, № 6.— С. 91—96.

Гилев В. М., Качанов Ю. С., Козлов В. В. Развитие пространственного волнового пакета в пограничном слое,— Новосибирск, 1981,— 46 с.—(Пре- принт/AH СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ; 34).

Косинов А. Д., Маслов А. А., Семенов Н. В. Методы введения искусственных возмущений в сверхзвуковой поток,— Новосибирск, 1983,— 32 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд~ние, ИТПМ; 34—83).

vaster М. Propagation of linear wave packets in laminar boundary layers / AIAA L- 1981.- V. 19, N 4.— P„ 419—423.

Gaster M. The development of a two-dimensional wave packet in growing boundary layer / Proc. Roy. Soc. Ser A. London.— 1982.— V. 384, N 1787.— P. 317—332.

Itoh N. Linear stability theory for wave-packet disturbances in parallel and nearly parallel flows / Laminar-Turbulent Transition (IUTAM Symposium, Slulgart, 1979).— Berlin: Springer-Verl., 1980；—P. 86—95.

Mack L. M. Instability wave patterns from harmonic point and line sources iin laminar boundary layers / Laminar-Turbulent TransiLion/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Ver!., 1985.— P. 125—132.

Тумин A. M. Численный анализ пространственного пакета волн Толлмина—Шлихтиига / Изв. СО АН СССР.— Сер. техи. наук, 1983.— № 13, въш. 3.— С. 45—49.

Тумип А. М. Численный анализ характеристик пакета волн Толллшна — Шлихтинга в пограничном слое 〃 Учен. зап. ЦАГИ.一 1984,— Т. 15, № 2.— С. 125—127.~

Гиневский А. С., Власов Е. В., Колесников А. В. Аэроак5гстическис взаимодействия.— М.: Машиностроение, 1978.— 177 с.

Morkovin IL V. Instability, transition to turbulence and predictability / AGARD-AG-236.— 1977,— 33 p.

Reshotko E. Boundary layer stability and transition 〃 Ann. Rev. Fluid Meeh,- 1976,-V. 8.— P. 3*1-349.

Pate S. R., Schueler C. J. Radiated aerodynamic noise effects on boundary layer transition in supersonic, hypersonic wind tunnels / J. Aerospace Sci.— 1961.— V. 28, N 9.— P. 685—692.

Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Генерация и развитие возмущений малой амплитуды в ламинарном пограничном слое при наличии акустического поля / Изв. СО АН СССР.— Сер. техн, наук, 1975.— № 13, вып. 3.— С. 18—26.

Поляков Н. Ф. Ламинарный пограничный слой в условиях «естественного» перехода к турбулентному течению 〃 Развитие возмущений в пограничном слое: Сб. науч. тр.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1979.—С. 23— 67.

Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я., Максивюв В. П. Преобразова' пие внешних возмущений в волны пограничного слоя 〃 Чис. методы механики сплошн. среды.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978.— Т. 9, № 2,— С. 49-52.

Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение волн Толлмина ——Шлихтинга при воздействии внешних возмущений 〃 Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1978.— № 5.— С. 85—94.

Максимов В. П. Генерация волн в пограничном слое внешними возмущениями: Дисс. ...канд. физ.-мат. наук.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1975.

Leehey Р. Influence of environment in boundary layer control / Viscous How drag reduct. (Techn. Paper Symp., Dallas, Tex., 1979),—N. Y., 1980.— R 4—16.

Leehey P., Shapiro P. Leading edge effect in laminar boundary7 layer excitation by sound / Laminiar-Turbulent Transition (IUTAM Symposium, Stuttgart, 1979).— Berlin: Springer-VerL, 1980.— P. 321—331.

Sidorenko N. V., Erofeev E. A. Interaction of vortex disturbances and boundary layer on blunt bodies / Laminar-Turbulent Transilion/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl.? 1985.— P. 261—266..

Gaponov S. A. On the development of disturbances in nonparallel supersonic flows 〃 Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V- Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl., 1985.—P. 581—588.

Артамонов К. И. Проблемы устойчивости в физической механике.— М.: МФТИ, 1977.- 116 с.

Струминский В. В. 06 нодном новом направлении исследования турбулентности / Турбулентные течения: Сб. пауч. тр.— М.: Наука, (977.— С. 20—24.

Rogier Н. L., Reshotko Е. Disturbances in boundary layer introduced by a low intensity array of vortex 〃 SIAM J. AppL Meeh.— 1975.— V. 28, N 2.一 P. 431—462/

Murdork J. W. The generation of a Tollmicn — Schlichtmg waves by a sound wave / Laminar-Turbulent Transition (IUTAM Symposium, Stutt^ gart, 1979).— Berlin: Springer-Verl., 1980.— P. 332—340.

Тумин A. M” Шепелев В. E. Возбуждение волн Толщина — Шлихтинга в пограничном слое несжимаемой жидкости на плоской пластине / Теоретическое и экспериментальное исследование возмущений потоков жидкости и газа: Сб. науч, тр.— М.: М①ТИ, 1984.— С. 22—30.

Fedorov А. V. Excitation of Tollmien — Schlich ting waves by acoustic disturbances in a compressible boundary layer 〃 Laminar-Turbulent Transition/ Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium. Novosibirsk, 1984).— Berlin: Sprin- ger-Verl., 1985.— P. 249—254.

Tam С. K. W. The excitation of Tollmien — Schlichting waves in low subsonic boundary layers by free stream sound waves 〃 J. Fluid Meeh.— 1981.一 V. 109.— P. 483—501.

Гапонов С. А. Возбуждение волн Толлмина — Шлихтипга в сверхзвуковом пограничном слое звуком / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1983.— № 3.— С. 59—66.

Lindors М” Laine S. Numerical Sohilion of Ilie Navier Stokes equations for unsteady boundary-layer flows past a wave-like bulge on a flat plate 〃 Leet. Notes Phys.— 1976.— V. 59.— P. 293—299.

Schefenacker R., Fasel H. Numerical Bcrechung der instationaren Stromung langs einer ebenen Platte mit einem Rauhigkeitselement 〃 Z. angew. Math. Mcch.— 1978.— V. 58, N 7P. 265—267.

Максимов В. П. Возникновение волн Толлмина — Шлихтинга в осциллирующих пограничных слоях / Развитие возмущений в пограничном слое: G6. науч. тр.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1978.— С. 68—75.

Айзин Л. Б., Поляков И. Ф. Генерации волны Толлмина——Шлихтинга звуком на отдельной неровности поверхности, обтекаемой потоком.——Новосибирск, 1979.— 22 с.— (Препринт/АН СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ; 17).

Рубан А. И. О генерации волн Толлмина — Шлихтинга звуком 〃 Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1984.— № 5,— С. 44—52.

Ruban A. I. On Tollmien — Schlichting wave generation by sound / Lami- nar-Turbiilcnt Transilion/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Vorl., 1985.— P. 313—320.『

Завольский И. А., Реутов В. П., Рыбушкина Г. В. Возбуждение волн Толлмина ——Шлихтинга при рассеянии акустических и вихревых возмущений в пограничном слое на волнистой поверхности / Жури, прикл. механики и техн, физики,— 1983.— № 3.— С. 79—86.

Жигулев В. Н., Федоров А. В. Исследование возбуждения воли Толлмипа — Шлихтинга.— Новосибирск, 1982.— С. 27—33.— (Препринт/АН СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ; 3).

Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа 〃 Тр. ЦАГИ, вып. 1363.—— 〕971.— 12с.

Левченко В. Я., Соловьев А. С. Устойчивость пограпичного слоя па волнистой поверхности / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1972, № 6.—С. 11—16.

Качанов Ю. С., Козлов В. В,, Левченко В. Я. Экспериментальное исследование устойчивости ламинарного пограничного слоя на волнистой поверхности / Изв. СО АН СССР.— Сер. техн, наук, 1974.— № 13, вып. 3.— С. 3—6.

Столяров Е. II. Распространение слабых вихревых и энтропийных воли в потенциальных течениях сжимаемого газа 力 Учел. зап. ЦЛГИ.— 1980.— (Т- И, № 3.-G. 1-13.

[SO. Gaster М., Grant I. An experimental investigation of the formation and development of a wave packet in a laminar boundary layer 〃 Proc. Roy. Soc.— 1975.— V. 347.— P. 253—269.'

Гилев В. М., Козлов В. В. Возбуждение воли Толлмина — Шлихтиига на вибраторе.—■ Новосибирск, 1983.— 14 с.— (Преприпт/АН СССР, Оиб. отд-ние, ИТПМ; 19—83).

Liepmann И. W” Brown G. L>, Nosenchunck D. M. Control of laminar- instability waves using a new technique 〃 J. Fluid Meeh.— 1982.— V. 118.— P. 187—200.

Liepmann П. W.. Nosenchunck D. M. Active control of laminar-turbulent transition 〃 J. Fluid Meeh.— 1982.— V. M8.—P. 201—204.

Gaster M. On the generatiion of spatialy growing waves in a boundary layer / J. Fluid Meeh.— 1965.— V. 22, part 3.— P. 433—441.

Терентьев E. Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцирован- ным давлением около колеблющейся стенки в сверхзвуковом потоке / Докл. АН СССР,— 1978.— Т. 240, № 5,—С. 1046—1049.

Терентьев Е. Д. Расчет давления в линейной задаче о вибраторе в сверхзвуковом пограничном слое / Прикл. математика и механика.— 1979.— Т. 43, вып. 6.— С. 1014—1028.

Терентьев Е. Д. Линейная задала о вибраторе в дозвуковом пограничном слое / Прикл. математика и механика.——1981.——Т. 45, вып. 6.— С. 1049— 1055.

Богданова Е. В., Рыжов О. С. О возмущениях, генерируемых осцилляторами в потоке вязкой жидкости на закритических частотах 〃 Журн. прикл. механики и техн, физики.— 1982.— № 4.— С. 65—72.

Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе, совершаюп]；ем гармонические колебания па закритических частотах в дозвуковом пограничном слое / Прикл. математика и механика.— 1984.— Т. 48, № 2,— С. 264—272.

. Terentiev Е. D. Linear problem on vibration on a flat plate in subsonic boundary layer / Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (ШТАМ Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl., 1985,— P. 303—312.

Тумин A. M., Федоров А. В. Возбуждение волп неустойчивости в пограничном слое па вибрирующей поверхности / Жури, прикл. механики и техн, физики.— 1983.— № 3.— С. 72—79.

Тумин А. М., Федоров А. В. Возбуждение волн неустойчивости локализованным вибратором в пограничном слое / Журн. прикл. механики и техн, физики.— 1984— № 6.— С. 65—72.

Tumin А. М., Fedorov А. V. Excitation of instability waves by a vibrator localized in the boundary layer / Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl., 1985-— P. 295—302.

Федоров А. В. Возбуждение волн Толлмина ——Шлихтинга в пограничном слое периодическим внешним воздействием, локализованным на обтекаемой поверхности / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.——1984.—— № 6.- G. 36-41.

Maestrello L. Analysis of active control by surface heating 〃 Л1АА Paper.— 1984.—N 84-0173.- 11 p.

Гилев В. M., Козлов В. В. Влияние периодического вдув а — отсоса па процесс перехода в пограничном слое.— Новосибирск, 1983.—18 с.— (Прс- припт/АН СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ; 1—85).

Biringen S. Active control of transition by periodic suctionblowing / Phys. Fluids.- 1984.— V. 27. N 6.- P. 1345—1347.,”

Milling R. W. Tollmien — Schlichting wave cancellation 〃 Phys Fluids.— 4 98L-V. 24, N 5.- P. <)79-981.

Gilev V. M. Tollmien — Schlichbing waves excitation on the Vibrator and laminar-turbulent transition control 〃 Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium. Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer- Verl., 1985.— P. 243-248.

Гилев В. M., Козлов В. В. Использование малых локализованных вибраций поверхности для управления процессом перехода в пограничном слое / Изв. СО АП СССР.— Сер. техн, наук, 1983.— вьш. 2.

Klebanoff Р. S., Tidstrom К. D. Evolution of amplified waves leading to transition in a boundary layer with zero pressure giaddcnt 〃 NACA TN, D-]95.— (959.'

Klebanoff P. S., Tidstrom K. D., Sargent L. M. The three-dimensional nature of boundary layer instability / J. Fluid Meeh.一 1962.— V. 12, part 1.— P. 1-41.

Качанов IO. С., Козлов В. В., Левченко В. Я., Рамазанов М. П. Эксперимен- талтэпое изучение К-ре*има разрушения ламинарного пограничного слоя.— Новосибирск, 1984.-60 с,— (Преприпт/АН СССР, Сиб. отд-ние, ИТМП; 9—84)...…

Betchov R. On the mechanism of turbulent transition 〃 Phys. Fluids,— I960.— V. 3.— P. 1026—1027.

Greenspan H. F., Benney D. J. On Shear-layer instability, breakdown and transition " J. Fluid Meeh.— 1963.— V. 15, part 1.— P. 133—153.。

Герценштейн С. Я. Об устойчивости нестационарного прямолинейного плоскопараллельного потока идеальной жидкости / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1969.— № 2.— G. 5—10.

Tani L, Komoda II. Boundary layer transition in the presence of streamwise vortices / J. Aerospace Sci.— 1962.—- V. 29, N 4— P. 440—444.

Komoda П. Nonlinear development of disturbance in a laminar boundary layer 〃 Phys. Fluids, Supple— 1967.— V. 10, N 9, part IL—P. 87—94.

llama F. R., Nutant J. Detailed flow field observation in the transition proces in a thick boundary layer / Proc. Heat Transfer and Fluid Meeh. InsL, Stanford Univ. Press.— 1963，н~ P. 77—93.

Качаиов Ю. С. Экспериментальное моделирование процесса перехода _к турбулентности в пограничном слое: Дис. ...канд. физ.-мат. паук. 01.02.05/ ИТПМ СО АН СССР.— Новосибирск, 1978.。

21t. Качанов Ю. С., Левченко В. Я. Резонансное взаимодействие возмущений при переходе к турбулентности в пограничном слое.— Новосибирск, 1982.— 55 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ; 10—82).

Herbert Т., Morkovin М. V. Dialogue on bridging some gaps in stability and transition research / Laminar-Turbulent Transition (IUTAM Symposium, Stuttgart, 1979).— Berliji: Springer-Verl., 1980.— P. 47—72.

Graik A. D, D. Non-linear resonant instability in boundary layers / J. Fluid Meeh.— 1971.—V. 50, part 2.—P. 399—413. *。

Володин А. Г., Зельман M. Б. Трехволновое резонансное взаимодействие возмущений в пограничном слое 〃 Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1978.— № 5.— С. 78—84.

Зельман М. Б., Масленникова И. И. Резонансное возбуждение пространственных возмущений в пограничном слое 〃 Неустойчивость до- и сверхзвуковых течений: Сб. науч. тр.— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1982.—С. 5—15.

Herbert Т. Analysis of the subliarmonic route to transition in boundary layers 〃 ATAA Paper.— 1984.— N 84—0009 — 9 p.

Craik A. D. D. Resonant interactions in shear flows / Laminar — Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov ([UTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Bcr- lin: Springer-Verl., 1985.— P, 1—7.

Herbert T. Secondary instability of plane shear flows — theory and application 〃 Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk. 1984).— Berlin: Springer-Vorl., 1985.— P. 9—20.

Maslennikova I. I.. Zelman M. B, On subharmonic-1 ype 1 aminar-turbulent transition in boundary layer / Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Ver].. 1985.— P. 21—28.

Kachanov Yu. S., Kozlov V. V., Levchenko V. Ya., Ramazanov M. P. On nature of К-breakdown of laminar boundary layer. New experimental data 〃 Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium. Novosibirsk, 1984).—Berlin: Springer-Verl., 1985,— P. 61—74.

Козлов В. В., Левченко В. Я., Сарик В. С. Образование трехмерных структур при переходе к турбулентности в пограничном слое / Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа,— 1984.— № 6.— С. 42—50.

Nishioka М., Iida S., Ichikawa Y. An experimental investigation of the stability of plane Poiseuillo flow 〃 J. Fluid Meeh.— 1975.— V. 72. part 4,— P. 731 -751.

Козлов В. В., Рамазанов М. П. Развитие возмущений конечной амплитуды в течении Пуазейля 〃 Изв. АП СССР. Механика жидкости и газа.— 1983.— № L— С. 43—47.

Козлов В. В., Рамазанов М. П. Образование трехмерных структур в течении Пуазейля при резонансном взаимодействии.— Новосибирск, 1983.—— 10 с.— (Преприпт/АИ СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ; № 10).

Beckwith I. Е., Creel Th. R. Jr., Chen F. J., Kendall J. M. Free-stream noise and transition measurements on a cone in a Mach 3.5. pilot low-dislurbance tunnel / KASA-TP.— 1983.—N 2180.— 68 p.

Usher J. R., Craik A. D. D. КопИдеаг wave interactions in shear flows. Part 1. A variational formulation 〃 J. Fluid Meeh.— 1974.— V. 66, part 1.一 P. 209—221.

Usher J. R., Graik A. D. D. Nonlinear wave interactions in shear flows. Part 2. Tliiird-order theory / J. Fluid Moch.— 1975.— V. 70, part 3.— P. 437一 461.

Craik A. D. D. Second order resonance and subcritical instability / Proc. Roy. Soc.— 1975.— V. 343, N 1634.— P. 351—362.

Штерн В. H. О неустойчивости к трехмерным возмущениям / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1976.— № 5,— G. 29—34.

Зельман М. Б. Нелинейное развитие и взаимодействие возмущений в пограничном слое: Дис. ...капд, физ.-мат. наук: 01.02.05/ИТПМ СО АН СССР.— Новосибирск, 1978.

Зельман М. Б., Масленникова И. И. Об эффектах резонансных взаимодействий волповых возмущений в пограничном слое/Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1984.— № 4.— С. 23—30.

Herbert Т. Secondary instability of plane channel f!ow to subharmonic threc-dimensAonal dislurbances / Phys. Fluids.— 1983.— V. 26,—N 4.— P. 371-874.

Herbert T. Subharmonic three-dimensional disturbances in unstable shear flows / AIAA Paper.— 1983..— N 83—1759.— P. 13.

Herbert； T. Modes of secondary instability in plane Poisendlle flow / Proc. HJTAM Symposium on Turbidence and Chaotic Phenomena in Fluids, Kyoto, Japan, 1983,— 6 p.

Benney D. J., Bergeron R. F. A new class of nonlinear waves in parallel flows Ц Stud. Appl. Math.— 1969.— V. 48, N 3.— P. 181—204.

Davis R. E. On the high Reyno! s number flow over a wavy boundary 〃 J. FMid Meeh.— 1969.— V. 36, part 2.— P. 337—346.

Haberman R. Critical layers in parallel flows.— Stud. Appl. Math.— 1972.— V. 51, N 2.— P. 139—161/

Robinson J, L. The inviscid nonlinear inslab让ity of parallel shear flows / J. Fluid Meeh.— 1974.— V. 63. part 4.—P. 723—702.

Kelly R. E., Maslowe S. A. The nonlinear critical layer in slightly stratified shear flow 〃 Stud. Appl. Math.— 1970.— V. 49, N 3.— P. 301—326.

Maslowe S, A. The generation of clear air turbulence by nonlinoar waves 〃 Stud. Appl. Math.- 1972.— V. 51, N 1,- P. 1-16.

Haberman R. Wave-induced distortions of a slightly stratified shear flow: nonlinear critical-layer effect / J. Fluid Mcch.一彳973.— V. 58, part 4.— P. 727-735.

Warn T.. Warn H. The evolution of a nonlinear critical layer 〃 Slud. Appl, Ma〔k— 1978.— V. 59, N 1.— P. 37—71.

Brown S. N., Stewartson K= The evolution of critical layer of a Rossby wave. Part II 〃 Geopliys. Astrophys. Fluid Dvn.— 1978,— V. Ю. N 1.— P. 1—24.

Benney D. J., Maslowe S. A. Tbe Evolution in space and time 0f nonlinear waves in parallel shear-flows 〃 Stud. Appl. Math.—1975.—V. 54, N 3.— P 181-205.

Huerre P., Scott J. F. Effects of critical layer structure on the nonlinear evolution ol waves in free shear layers 〃 Proc. Roy. Soc. Ser A, London.— 1980.— V. 371. N 1747,—P. 509—524.

Зельман M. Б. Развитие возмущений конечной интенсинпости в плоскогга- раллсльпых потоках.— Новосибирск, 1981.— 16 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ: 10—81).

Реутов В. П. Нестационарный критический слой и нелинейная стадия развития неустойчивости в плоском течении Пуазейля / Жури, прикл. механики и техн, физики.— 1982.— № 4.— С. 43—54.

Reutov V. Р. The critical layer apd nonlinera waves in the wall flows 〃 Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).—Berlin: Springer-Verl., 1985,— P. 81—86.

Zhigulev V. N., Sidorenko № V. On llic issue of the nonlinear theory of the instability waves / Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposdum, Novosibirsk, 1984).— Berlip: Springer-Verl.f 1985.— P. 75—80.

Кузьминский В. А. О полной стабилизации течения в пограничном слое при сверхзвуковых скоростях 〃 Учен. зап. ЦАГИ.— 1975.— Т. 6, № 5.— G. 45—54...

Rcshotko E. Stability theory as a guide to the evaluation of transition data / AIAA J.— 1969.— V. 7, N 6.— P. 1086—1091.

Owen F. K., Horstman С. C., Stainback P. C., Wagner R. D. Comparison of wind tunnel transition and freestream disturbance measurements / AIAA J.— 1975.— V. 13, N 3,—P. 266—269.

Довгаль А. В., Качанов Ю. С., Козлов В. В. и др. Возникновение возмущений в пограничном слое 〃 Развитие возмущений в пограничном слое: Сб. науч, тр,— Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР,— 1979.— С. 4—22..

Berkowitz А. М., Kyriss С. L., Martellucci A. Boundary layer transition flight test observations.— AIAA Paper.— 1977.— N 125.— 41 p.

Проблемы создания инженерного метода анализа устойчивости пограничного слоя и расчета числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода/ Воинов Л. П., Жигулев В: Н., Лозино-Лозинский Г. Е. и др.— Новосибирск, (985.—25 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-ние, ИТПМ; № 31).

Smith А. М. О. Transitiozi pressure gradient and ^lability theory / J. Aerospace Sci,.— 1959.— V. 26. — G. 229—245.

Walton J. Addendum to a theoretical and experimental study of the boundary layer flow on a 45° swept back wing 〃 The College of aeronautics cran- field: CoA Report N 109: Addendum.— 1957.— 37 p,

Laufer J. Some statistical properties of the pressure field radiated by turbulent boundary layer / Phys. Fluids.— 1964.— V. 7, N 8・一P. 1191—1197.

Гапонов С. А. Взаимодействие сверхзвукового пограничного слоя с акустическими возмущениями / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1977.—№ 6.—С. 51—56.

Приданов В. Г., Харитонов А. М., Черных В. В. Влияние числа Маха и единичного числа Рейнольдса на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный 〃 Аэродинамические исследования: Сб. науч. тр.——Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1972.— С. 124.

Лысенко В. Л, Маслов А. А. Экслеримелталыюе исследование влияния чисел Маха, Рейнольдса и притупления передней кромки на переход пограничного слоя при охлаждении поверхности модели.——Новосибирск.— 1980.——18 с.— (Препринт/AH СССР, Сиб. отд-пие, ИТПМ; 18).

Coles D. Measurements of turbulent friction in a smooth flat plate in super- ,sonic flow 〃 J. Aeron. Seii.— 1954.— V. 21, N 7.—P. 433—448.

Harvey W. D. Some anomalies between wind tunnel and flight transition results / AIAA Paper.— 1Q81- N 81—1225,— 18 p.

Dougherty N. S., Rischer D. F. Boundary layer transilion on a 10-degry con： wmd tunnel/flight date correlation AIAA Papen.— 1980.—N 80—154.— _ 16

Беляев Ю. H., Яворская И. M. Экспериментальное исследование возникновения стохастичности в сферическом течении Куэтта / Механика неоднородных сред: Сб. науч. тр.~ Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1985.— С. 6—31.

Крылов И. С. Работы по обоснованию статистической физики.— М.—Л・： Изд-во АН СССР, 1950.— 207 с.

Жигулев В. Н. К теории упорядоченных статистических систем 〃 Докл. АН СССР.- 1965.— Т. 161, № 5.- С. 1051-1054

Жигулев В. Н. Об уравнениях турбулентных движений газа 〃 Докл. АН СССР.— 1965.— Т. 165, № 3 — С. 502—505.

Жигулев В. Н. Исследование цепочных уравнений Н. Н. Боголюбова Для сильиокоррелированиых статистических систем 〃 Теорст. и и ат ем. физика.—1971.— Т. 7, № 1.— С. 106—119.

Жигулев В. Н, К проблеме фундаментальных характеристик движений сплошной среды 〃 Теорет. и матем. физика.— 1971.— Т. 7, № 2. — С. 271— 285.

Жигулев В. И. Некоторые проблемы неравновесной статистической механики и их связь с вопросами статистической теории турбулентности / Тр. ЦАГИ, вып. 1135.一 1969.— 47 с.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М,: Гостехиздат, 1953.-788 с.

Keller L,, Fridman A. D. Dilierentialgleichnng fik die turbulent Bewegung einer compressiblen Flussigkeit / Proc. 1st Intern. Congr. appl. Meeh., Delft., 1924.L P. 395—405.

Belyaev Yu. N., Monakhov A. A., Scherbakov S. A., Yavorskaya I. M. Some routes to turbulence in spherical Couette flow / Laminar-Turbulent Tran- sition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl., 1985.— P. 669—676.

Buhler K., Zierep J. New secondary instahili ties for high Re-number flow between two rotating spheres / Laminar-Turbulent Transilion/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl., 1985.— P. 677-685.

Монин А. С., Яглом A. M. Статистическая гидромеханика.— M.: Наука.— 1965.— Ч. 1,- 639 с.

Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика.——М.: Наука.— 1967.—Ч. 2.-720 с.

Жигулев В. Н., Киркииский А. И. Распространение малых возмущений в турбулентном потоке несжимаемой жидкости 〃 Числ. методы механики сплошн. среды/ВЦ СО АП СССР.— Новосибирск.— 1971.— Т. 2, № 3.— С. 70—72.

Жигулев В. Н. К вопросу о распространении возмущений в турбулентных потоках / Числ. методы механики сплошн. среды/ВЦ СО АН СССР.— Новосибирск.一 1973.— Т. 4, № 2.— С. 51—61.

Жигулев В. Н. Модели турбулентных движений / Числ. методы механики сплошп. среды/ВЦ СО АН СССР.— Новосибирск.— 1973.— Т. 4, № 3.— С. 76—89.

Жигулев В. Н. Об устойчивости решения Миллионщикова ——Лойцянского для изотропной турбулентности / Числ. методы механики сплошн. среды/ ВЦ СО АН СССР.— Новосибирск.™ 1973,— Т. 4, № 4- С. 30-36.

Жигулев В. Н. К теории каскадного процесса Ричардсона ——Колмогорова / Числ. методы механики сплошн. среды/ВЦ СО АН СССР.— Новосибирск.— 1973.—Т. 4, № 5,- С. 17—24

Жигулев В. Н. К теории процесса диссипации в турбулентном потоке ；［ Турбулентные течения: Сб. науч, тр,— М.: Наука, 1974— С. 75—84

Reynolds W. С. Large-scale instability of turbulent wakes / J. Fluid Meeh.-™ 1972・l V. 54, part 3.— P. 481—488.

Тумин A. M. Расчет нейтральной кривой устойчивости для изотропных турбулетных течений типа Миллионщикова — ЛойцяНского / Числ, мето-

ды механики спйошн. среды/ВЦ СО АН СССР.一 Новосибирск. — (975.— Т. 6, № 1.— С. 107—108.

Жигулев С. В. Локальное бесконтактное измерение скорости воздушного потока лазерным однолучевым времяпролётпым методом / Теоретические и экспериментальные исследования возмущений потоков жидкости и газа: Сб. науч, тр.— М.: МФТИ, 1984.— С. 68—84.

Жигулев С. В. Экспериментальное исследование некоторых отрывных течений / Теоретические и экспериментальные исследования движений жидкости и газа: Сб. науч. тр.一 М.: М①ТИ, 1985.— С. 14—23.

Боуэн Р. Методы символической динамики.— М.: Мир.— 1979.一 184 с.

Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений / Докл. АН СССР.——1951.—— Т. 77, № l.~ С. 11-14.

Келдыш М. В., Лидский В. Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов / Тр. IV Всесоюз. матем. съезда.— 1963.— Т. 1.一 С. 101—120.

Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов / Тр. Моск, матем. об-ва.— 1962.— Т. И.

Malik М* R., Poll D. I. A. Effect of curvature on crossflow instability 〃 Laminar-Turbulent Transition/Ed. V. V. Kozlov (IUTAM Symposium, Novosibirsk, 1984).— Berlin: Springer-Verl., 1985.— P. 563—571.'

Козлов Л. Ф., Цыганюк А. И., Бабенко В. В. и др.①оркпгрованне турбулентности в сдвиговых течениях.——Киев: Наук, думка, 1985.— 284 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие °

Список основных обозначений 7

Глава 1. Общие положения теории зоны ламинарно-турбулентпого пе- рехода8

Качественное расслютрение зоны перехода. Конструктивное

Метод решения уравнений Навье ——Стокса для возмущений в пограничном слое несжимаемой жидкости41

Общий метод исследования возбуждения и развития волн неустойчивости2]

Основной механизм возбуждения неустойчивостей .24

Распространение пакета волн неустойчивости .31

I 1.6, Об эволюции неустойчивостей в нелинейном случае .34

Амплитудный метод определения критических чисел Рей- нольдса ламинарно-турбулентного перехода в пограничных слоях35

-Глава 2. Основные результаты исследования локальпо-одиородной задачи 39

Обобщенная задача Орра — Зоммерфельда. Элементарные возмущения в йес^имаемои жидкости—

Элементарные возмущения в газе. Акустическая мода ..45

Глава 3. Локально-однородная задача. Общая теория и численные методы исследования51

ременное развитие начального возмущения в плоскопараллельном пограничном слое несжимаемой жидкости—

Пространственное развитие возиущения фиксированной частоты в плоскопараллельном пограничном слое ....55

Пространственное развитие возмущения фиксированной частоты в плоскопараллельном пограничном слое газа ...59

Биортогопальная система векторов для линеаризированных уравнений Навье — Стокса64

Проблема регуляризации некорректных задач ... . .71

Численный метод построения системы собственных векторов в трехмерном пограничном слое газа77

Глава 4.Характерные типы неустойчивостей в пограничных слоях79

Структура решений уравнения Орра — Зоммерфельда . .—-

Волны Толлмина ——Шлихтинга. Качественное рассмотрение91

Волны Толлмина — Шлихтипга. Численные исследования95

Неустойчивость течения около вогнутой поверхности ...

Неустойчивость вторичного течения в пограничном слое на скользящем крыле

Глава 5. Развитие неустойчивостей в непараллельных пограничных слоях*

Одномодовое приближение в слабопеоднородном потоке. Сравнение теоретических и экспериментальных: даппы?< .•■

Влияние неоднородности течения в пограничном слое в газе па характеристики его устойчивости

Влияние неоднородности течения и пограничной! слое К]}ыла иа развитие волн Толлмина ——Шлихтинга

Глава 6. Развитие пакета волн неустойчивости в пограничных слоях

Развитие прострапствеипого пакета волн неустойчивости .亠 фиксированной частоты в сверхзвуковом пограшишоп слое на плоской пластине. Сравнение теоретических и экспериментальных данных

Характеристики пространственного пакета воли неустойчивости фиксированной частоты в нес?кнпаемоп пограничном слое на плоской пластине. Анализ экспергшсптальных данных

Характеристики £ространс1зешю-вре:пеш1ых пакетов волн неустойчивости в двумерных пограничных слоях .

Глава 7. Возбуждение волн Толлмина — Шлихтинга возмущениями из набегающего потока

Возбуждение акустической волной, падающей на пограничный слой плоской пластппы .

Возбуждение волнами завихренности и давления, падающими на пограничный слон плоской пластины

Возбуждение акустической волной, падающей на пограничный слой около шероховатой повсрхпостп. Теория и эксперимент

Возбуждение плоской вихревой волной, падающей на пегра- ничный слой у параболического цилиндра

Возбуждение неустойчивостей волной завихренности, падающей на нестационарный пограничный слой около бесконечной пластины, внезапно приведенной в движение ...

Глава 8. Возбуждение неустойчивостей возмущениями, идущими от обтекаемой поверхности

Возбуждение волной вибрации, бегущей по обтекаемой поверхности

Возбуждение волн Толлмина ——Шлихтинга вибратором. Сравнение теоретических и экспериментальных данных

Возбуждение системой вдува — отсоса и тепловыми возмущениями от обтекаемой поверхности

Возбуждение волн Толлмина ——Шлихтинга в пограничном слое па вибрирующей поверхности скользящего крыла ..

Управление ламипарпо-турбулентпым переходом активным воздействиел! на дне пограничного слоя

Возбуждение волн неустойчивости вторичного течения в пограничном слое скользящего крыла

Глава 9. Развитие неустойчивостей в нелинейной области .

Генеральные параметры, характеризующие начало турбулентной зоны течения

Экспериментальные данные о развитии неустойчивостей в нелинейной области

9910911411512012212513013213443614514815516516716847417718218418618819099109114115120122125130132134436145148155165167168474177182184186188190Параметрический резонанс в нелинейной области. Вторичная неустойчивость

99

109

114

115

120

122

125

130

132

134

436

145

148

155

165

167

168

474

177

182

184

186

188

190

99

109

114

115

120

122

125

130

132

134

436

145

148

155

165

167

168

474

177

182

184

186

188

190

20120922222723f233234235239244247・25025525826620120922222723f233234235239244247・250255258266

201

209

222

227

23f

233

234

235

239

244

247・

250

255

258

266

201

209

222

227

23f

233

234

235

239

244

247・

250

255

258

266

Теория нелинейного критического слоя в несячимаемой жидкости

Теория нелинейного критического слоя в газе ....

Экспериментальные данные исследований зоны перехода на профилях

Глава 10. Моделирование течений в зоне ламинарно-турбулентного перехода. Инженерные оценки влияния различных факторов на течение

Проблема подобия течений в зоне перехода. Основные параметры

Вопросы разработки инженерных оценок влияния различных факторов на течение в зоне перехода

Инженерный анализ развития воли Толлмина ——Шлихтинга

Приближенный анализ развития неустойчивостей вторичных течений в пограничных слоях на стреловидных крыльях

Инженерный анализ развития неустойчивостей в пограничных слоях на вогнутых поверхностях

О создании инженерного метода расчета чисел Рейнольдса ламинарно-турбулептного перехода

Глава И. Проблемы построения теории релаксации для турбулентных течений

Теория релаксации в классической статистической физике

Особенности построения теории релаксации для турбулентных течений

Статистический подход к анализу ламинарно-турбулентного перехода. Новый тип неустойчивостей

Заключение

Приложения. Матричные элементы введенных операторов ....

Литература

Вадим Николаевич ЖигулевАнатолий Максимович Тумин

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИДинамическая теория возбужденияи развития неустойчивостейв пограничных слоях

Утверждено к печати ИиститутОА! теоретическойи прикладной механики СО АН СССР

Редактор издательства Л. П. Голышева. Художестве!шый редактор В. If. Шуманов. Художник А. И. Смирнов. Технический редактор Л. //. Минеева. Корректоры В. В. Борисова, Л. А. Шестак

ИБ № 30188

Сдано в набор 16.12.86. Подписано к печати 26.06.87. МН-02661. Формат G0X90Vig. Бумага типографская № 1. Обыкневепная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 17,5.

Усл. кр.-отт. 17,8- Уч-изд. л. 19. Тираж 2150 экз. Заказ № 509. Цена 4 р. 20 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099, Новосибирск, 99. Советская, 18.

4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского. 25.

6 В. Н. Жигулев, А, М. Тумин

13) Нормировочное соотношение [//хФтш； Утш] = 1 предполагается выполненным путем выбора множителя при функции 'Гтш.

(5) W^l- M2 (1 - с)2,,、

225.6

*Ж62$

L*滋尸св 工 М.Туин

ВОЗНИКНСЗЕНИЕ

ТУРБУЛЕНТНОСТИ

АКАДЕМИЯ НАУК СССРСИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

В. Н. ЖИГУЛЕВ А. М. ТУМИН

ВОЗНИКНОВЕНИЕ

ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Динамическая теориявозбуждения и развитиянеустойчивостей

в пограничных слоях

Ответственный редакторд-р физ.-мат. наук В. Я. Левченко

НОВОСИБИРСК

ИЗДАТЕЛЬСТВО《НАУКА»СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ1987

УДК 532.526.013

Жигулев В. Н., Т у м и и А. М. Возникновение турбулентности. Динамическая теория возбуждения и развития неустойчивостей в пограничных слоях.——Новосибирск: Наука, 1987.

В монографии на основе сформулированной авторами теории возбуждения и развития неустойчивостей в пограничных слоях решаются конкретные задачи определения возмущспного движения. Устанавливается связь между амплитудами неустойчивостей и фона внешних возмущений. Изучается нелинейное развитие возмущений и находятся параметры, характеризующие начало различных нелинейных процессов в зоне перехода. Предлагается метод расчета критических чисел Рейнольдса ламинарно-турбулеит- ного перехода.

Для специалистов в области механики сплошных сред, аспирантов и студентов вузов.

Рецензенты Л. Ф. Курбацкий, ^. Б. Павлов

Ж 1703040003—82gl舞—食7_ш 042(02)—87

© Издательство «Наука», 1987 Г,