Предисловие редактора перевода

Название книги недавно умершего известного английского ученого Филипа Дразина вполне соответствует идее автора - создать учебник по теории гидродинамической устойчивости. Написание такого учебника является довольно непростой задачей и это связано с высокой степенью академичности данной науки и вытекающими отсюда объективными трудностями доступного изложения относящихся к ней фактов математического и физического характеров. Все это оказало влияние на книгу, которая представляет собой скорее монографию без изложения ряда деталей, необходимых для подробного знакомства с положением дел в современной теории гццродинамиче ской устойчивости, чем стандартный учебник по методически освоенной области классической науки. С учебным пособием книгу явно сближают справочный характер, а также приведенные в конце каждой главы многочисленные упражнения, от самых легких до очень трудных, которые позволят терпеливому читателю активным образом освоить теорию гццродинамической устойчивости. Написанное выше ни в коей мере не умаляет ценности книги как учебного пособия, тем более, что до сих пор такого пособия не было и само по себе появление подобной книги вне всякого сомнения свидетельствует о полноценном формировании теории гидродинамической устойчивости в самостоятельный раздел гидромеханики, которому вполне может быть придан классический статус.

К несомненным достоинствам книги можно отнести четкую формулировку и последующее изложение методов и задач теории гидродинамиче ской устойчивости. Так, в главе 2 книги излагается, по сути дела, метод нормальных мод, представляющий собой один из основных математических инструментов линейной теории устойчивости, причем пристальное внимание уделяется очень важному обстоятельству непосредственной связи по- те₽и устойчивости и возникновения бифуркации, приводящей к ответвлению вторичного режима от потерявшего устойчивость течения. В главе 5 вводятся фундаментальные понятия конвективной и абсолютной неустой- ^швости, кратко дается представление о пространственном развитии возмущений, а также рассматриваются основные положения слабонелинейной теории, которая учитывает влияние ведущих нелинейных эффектов малых возмущении на экспоненциальный рост возмущений в результате этапа линейной неустойчивости. В главах 9 и 10 дается краткий обзор методов теории развитой неустойчивости, описывающих допустимые и типичные пути к хаосу и турбулентности, с привлечением классических примеров обтекаНИя* В главах 3, 4, 6-8 на примерах классических задач о неустойчивости

8 Цр^Д^зовие редактора перевода

Кельвина-Гельмгольца и струи с учетом капиллярных эффектов, конвекции Релея-Бенара, центробежной неустойчивости, теории устойчивости параллельных и почти параллельных течений иллюстририруется приложение методов гидродинамической устойчивости. При изложении этого материала автор не злоупотребляет абстрактными теориями, более того, у читателя формируется вполне устойчивое (и совершенно справедливое) впечатление, что высокая математика играет далеко не ведущую роль в данной области. Трудности при качественном анализе возникают для неоднородных течений уже на первом этапе неустойчивости ——линейном, когда приходится решать линейные уравнения с переменными коэффициентами, и в общем случае это решение может быть выполнено до конца только численными методами. Тем более на этапах развитой неустойчивости и перехода к турбулентности, наличие которых представляет собой интригующую особенность теории гидродинамической устойчивости, численные методы представляют собой основной инструмент теоретического изучения этих явлении. Едва ли не самую важную роль в исследованиях на этапах развитой неустойчивости играют эксперименты и натурные наблюдения, более того, даже типы первичных бифуркаций в сложных течениях могут быть идентифицированы только экспериментгизьно. Очень полезным для изучения развития неустойчивости было бы знакомство с цитированными в книге фильмами, иллюстрирующими это явление. К сожалению, доступ к библиотеке этих фильмов затруднен для отечественного читателя.

За пределами изложения остался ряд современных аналитических методов теории устойчивости, таких, например, как метод исследования перехода к неустойчивости при помощи функции Званса и модификация метода Ляпунова для бесконечномерных гамильтоновых систем с симметриями. Эффективность этих методов, однако, ограничена задачами устойчивости весьма частного вида, и их использование актуально лишь для специалистов, активно работающих в данной области.

В книге представлена довольно полная библиография, иллюстрирующая историческое развитие и современное состояние теории гидродинамической устойчивости и содержащая ссылки как на теоретические, так и на экспериментальные работы.

А. Т. Ильичев

Посвящается Юдифь

Предисловие автора

Данный текст появился из записей лекций, прочитанных студентам Бристольского университета в восьмидесятых годах. Эти записи были переработаны и напечатаны для курса лекций, прочитанных аспирантам Токийского университета в 1995 г., который способствовал сотрудничеству с профессором Цутому Камбе (Tsutomu Kambe) при написании книги на японском языке ((Динамика жидкости — устойчивость и турбулентность", опубликованной издательством Токийского университета в 1998 г. Настоящая книга является расширенным английским вариантом первой части книги, изданной на японском языке. Доработанная версия была написана для лекционного курса, прочитанного студентам и аспирантам Оксфордского университета в 2001 г. Я благодарен многим студентам Бристоля, Токио и Оксфорда, которые стимулировали меня яснее выражать мои идеи, а также за их желание узнать больше. Я особенно благодарен профессору Камбе за те факты, что узнал от него и включил в текст.

В результате получился скорее учебник, чем исследовательская монография. Хотя, несомненно, многие вопросы текущих исследований были включены в текст, но не было предпринято попыток подвести читателя к переднему фронту этих исследовании. Так, математическая теория пред

ставлена по возможности просто и кратко с привлечением многочисленных примеров и доступных упражнении, разработанных специально для студентов* Я процитировал много публикаций, возможно в силу глубоко укоренившейся привычки, и уж, конечно, не потому, что когда-либо мог подумать о большом числе студентов, заботящихся о ссылках — пусть хотя бы обратят внимание на них. Явное намерение включения ссылок состоит в стимулировании 1феподавателей следить за различными деталями и, что более важно, использовать иллюстрации и фильмы, которые дополняют книгу в процессе обучения.

Конечно, там где только предстгшляется целесообразным, в тексте дается описание соответствующих гидромеханических экспериментов. Это достигается прежде всего включением иллюстраций. Однако практические ограничения объема привели к дополнению иллюстративного материала в этой книге цитированием других источников, в особенности прекрас- книг: Albom of fluid motion^ ed. Van Dyke (1982) и Visualized Flow, ed. a15aУ ma (1988). Гидродинамическая неустойчивость, однако, является су- Пественно динамическим явлением, поэтому фильмы могут передать мноГие вещи, которые иллюстрации отразить не в состоянии. В соответствии

10 Предисловие автора с этим, часто делаются ссылки на ряд прекрасных классических фильмов Национального Центра Образования. Эти фильмы являются старыми и более не поступают в продажу. Они были переизданы в качестве видеофильмов корпорацией британская Энциклопедия. Более того, недавно был выпущен компактный диск Homsy et al. (CD2000) Multi-media fluid mechanics. Его раздел Video Library содержит ряд коротких видеофильмов, которые имеют отношение к предмету этой книги и цитируются в тексте. Надеюсь, что новые видеофильмы будут в будущем занесены на этот диск, и уверен, что скоро достижения в компьютерных технологиях приведут к улучшению иллюстративного материала настоящей книги.

Предполагается, что читатели этой книги знакомы с элементами теории и экспериментальным материалом гидродинамики в объеме, который обычно содержится в стандартных курсах по динамике идеальной и вязкой жидкостей. Так, теория уравнений движения Эйлера, потенциальных течений, теория вихрей, уравнения Навье-Стокса, теория пограничного слоя и отрыва пограничного слоя и так далее, будут использоваться с небольшими объяснениями в тексте по мере надобности. Это касается также элементарной теории линейной алгебры, комплексных переменных, обыкновенных уравнении и уравнений в частных производных. Разделы, абзацы и упражнения, которые требуют более глубоких знании или относятся к более специальным вопросам, помечены звездочками.

Я благодарен профессору Уильяму Риду (William Н. Reid) за его великодушие, позволившее мне воспроизвести с небольшими изменениями главы 1, 4 и 5 нашей книги Hydrodynamic stabilityв качестве раздела 1.1, глав 3 и 4 настоящей книги, а также некоторые упражнения. Я благодарен ему за огромное количество информации о том, как писать книги, и о теории гидродинамической устойчивости, которую я получил от него за многие десятилетия. Я благодарен профессору Герберту Гапперту (Herbert Е. Huppert), доктору Ричарду Керсуэллу (Richard R・ Kerswell) и профессору Стефану Моббсу (Stephen D. Mobbs) за идеи, которые легли в основу упражнений, приведенных в книге. Я благодарен доктору Алану МакАль- пину (Alan McAlpine) за материалы для рисунка 8.10. Я благодарен доктору Альваро Месеге (Alvaro Meseguer) и профессору Николасу Трефете- ну (L. Nicholas Trefethen) за их конструктивные комментарии, относящиеся к содержанию отдельных частей рукописи и за копии рис. 8.14 и 8.15. Я благодарен профессору Уильяму Сэрику (William Saric) за дискуссию, проливающую свет на задачу о течении за плоской пластиной. Я благодарен владельцам прав за их великодушное разрешение на воспроизведение многих рисунков в этой книге и тем авторам, которые выразили согласие на публикацию их оригинальных рисунков.

Филип Дразин Университет Бата

Июль, 2001

Глава 1

Общее введение

Кто любит наставление, тот любит знание...

Притч. 12, 1

В этой главе изложение начинается с неформального определения понятия устойчивости и объяснения природы неустойчивости конкретного течения ——течения в трубе, в качестве базовой модели. Эта модель иллюстрирует важность неустойчивости как предварительной стадии перехода к турбулентности. Кратко представлены основные методы изучения неустойчивости течений.

Вступление

Предметом изучения теории гидродинамической устойчивости являются устойчивость и неустойчивость движения жидкостей.

Понятие устойчивости состояния физической или математической системы было осознано в восемнадцатом веке, а в девятнадцатом веке Клерк Максвелл (см. [Campbell & Garnett, 1882, р. 440]) ясно выразил качественную идею:

Когда ... бесконечно малое возмущение данного состояния будет изменяться только на бесконечно малое количество в некоторым будущий момент времени, положение системы, является ли оно покоем или движением, назовем устойчивым; но когда бесконечно малое изменение в данном состоянии может принести к конечному отклонению системы за конечное время, полоЖение системы назовем неустойчивым.

Таким образом, теория гидродинамической устойчивости есть важная часть гидромеханики, в силу того обстоятельства, что неустойчивое течение ненаблюдаемо и в реальности быстро разрушаетСя какими-либо “малыми изменениями”. С другой стороны, неустой-

Рис. 1.1. Эксперимент Рейнольдса по исследованию течения в трубе [Reynolds, 1883, Fig. 13]

чивые течения часто эволюционируют в важное состояние движения, называемое турбулентностью, с хаотическими трехмерными вихревыми полями, которые обладают широким спектром временных и пространственных масштабов.

Важные проблемы гидродинамической устойчивости были определены и сформулированы в девятнадцатом веке преимущественно Гельмгольцем, Кельвином, Релеем и Рейнольдсом. Трудно обозначить эти проблемы проще, чем это сделал Осборн Рейнольдс в 1883 г., описав ряд своих классических экспериментов по неустойчивости течения в трубе (рис. 1 с безымянным человеком викторианской эпохи, который изображен для сравнения масштабов).

Эксперименты были проведены на трех трубгсс... . Диаметр труб был около 1 дюйма, 1/2 дюйма, 1/4 дюйма. Все они были ... соединены с соплами, так что вода могла втекать в них без возмущений. Вода прокачивалась через трубы извне большого стеклянного резервуара, в котором были заключены

Рис. 1.2. Схемы (а) ламинарного течения в трубе, показанного окрашенной полоской; (d) перехода к турбулентному течению в трубе; и (б) перехода к турбулентному течению, видимого при освещении вспышкой [Reynolds, 1883, Figs. 3, 4 и 5]

трубы, струя или струйки окрашенной жидкости втекгши в трубы вместе с чистой водой.

Общие результаты были следующими:

Когда скорости были достаточно малыми, слой окрашенной жидкости растягивался в красивую прямую линию через всю трубу, рис. 1.2 (а).

Если вода в резервуаре не была приведена в состояние покоя, то при достаточно малых скоростях слой смещался относительно трубы, но волнистости не проявлялось.

По мере того как скорость понемногу увеличивалась, в некоторой точке трубы, всегда на значительном расстоянии от раструба сопла или водозаборника, окрашенная полоска перемешивалась с окружающей водой, так что часть трубы ниже по течению заполнялась окрашенной водой, как 4To изображено на рис. 1.2 (б).

Всякое увеличение скорости приближало точку разрушения струи к раструбу, но она его не достигала ни при каких скоростях.

Наблюдение за трубой при освещении светом электрической вспышки показало, что окрашенная масса трасформируется в массу более или менее отчетливых завитков, отвечающих вихрям, как показано на рис. 1.2 (в).

Рейнольдс пошел дальше, чтобы показать, что ламинарное течение — гладкое течение, описанное им в абзаце (1),——разрушается, корда отношение Va/y превосходит определенное критическое значе- н^е, где V является наибольшей скоростью жидкости в трубе, а — РЗДиус трубы, а р — кинематическая вязкость воды при соответствующей температуре. Безразмерное число Va/", названное числом Рей- "Ь"ь8са, определяет класс динамически подобных течений в трубе;

澱例澱例

澱例

澱例

Рис. 1.3. Схема турбулентных пятен в трубе [Reynolds, 1883, Fig. 16]

будем обозначать это число буквой R. Ряд экспериментов определил величину критического число Рейнольдса Яс в окрестности 13000. Однако,

критическая скорость была очень чувствительна к возмущениям в жидкости перед входом в трубы ....

Это обстоятельство сразу подсказало идею, что данное условие могло бы быть условием неустойчивости для возмущений определенной амплитуды и [устойчивости] для возмущений меньшей амплитуды.

Сразу за критическим значением скорости наблюдалось

Другое явление ... состояло в том, что возмущения носили прерывистый характер. Возмущение вдруг внезапно возникало через определенное растоя- ние вдоль трубы и пропадало, а затем возникало снова, вызывая '^вспышки”， которые часто появлялись последовательно в некоторой точке трубы. Ситуация, когда вспышки быстро следуют друг за другом, проиллюстрирована на рис. 1.3.

Такие “вспышки” получили название турбулентных пятен или турбулентных вспышек. При значениях числа Рейнольдса ниже критического имело место ламинарное течение Пуазейля в трубе с параболическим профилем скорости, при этом сила сопротивления со стороны трубы,- была пропорциональна средней скорости. Рейнольдс обнаружил, что по мере того, как скорость возрастала выше этого критического значения, течение становится турбулентным с хаотическим трехмерным движением, которое сильно перемешивает краситель при движении жидкости по трубе. Сопротивление турбулентному потоку растет пропорционально квадрату средней скорости.

Оригинальная установка Рейнольдса находится в Манчестере в Англии и была использована в 1970 г. для повторения его экспериментов. Именно поэтому фотографии течений в этой установке [Van Dyke, 1982, Fig. 103] предлагаются вниманию читателя. Позднее экспериментаторы вводили возмущения конечной амплитуды на входе или использовали трубы с шероховатыми стенками, чтобы снизить число Рейнольдса Rc до 2000 и, наоборот, создавали такие регулярные течения в трубах с настолько гладкими стенками, что Rc достигало 105 или даже более. Описание, данное Рейнольдсом, иллюстрирует цели

изучения гидродинамической устойчивости: определить, является ли данный ламинарный поток неустойчивым и если это так, то как он разрушается и переходит в турбулентность или в какое-нибудь другое ламинарное течение.

Методы исследования устойчивости течений появились еще во времена Рейнольдса. Метод нормальных мод для изучения колебаний и неустойчивости динамических систем частиц и твердых тел был уже хорошо разработан. Известное решение уравнений движения Ньютона или Лагранжа для рассматриваемой системы подвергалось возмущению. Уравнения сводились к линейным при пренебрежении произведениями возмущений. Далее предполагалось, что возмущения каждой искомой функции могут быть разложены по независимым компонентам или модам, изменяющимся со временем 力 как е“ с некоторой постоянной s — в общем случае комплексной величиной. Значения s для мод вычислялись из линеаризованных уравнений. Если оказывалось, что действительная часть s положительна для какой-либо моды, то система считалась неустойчивой, потому что начальное малое возмущение системы росло экспоненциально со временем вплоть до того момента, когда оно уже переставало быть малым. Стокс, Кельвин и Релей адаптировали метод нормальных мод к задачам гидродинамики. Существенное математическое различие между гидродинамикой и динамикой частиц заключается в том, что в первом случае уравнения движения являются уравнениями в частных производных, а во-втором —обыкновенными дифференциальными уравнениями. Это различие приводит ко многим техническим трудностям в задачах гидродинамической устойчивости, которые до настоящего времени были полностью преодолены только для некоторых классов течений, имеющих простую конфигурацию.

Конечно, эксперименты Рейнольдса сами по себе еще не до конца поняты [Eliahou et al,, 1998]. Однако мы можем объяснить качественно переход от ламинарного течения к турбулентному с некоторой долей уверенности. Течение Пуазейля в трубе с параболическим профилем является устойчивым по отношению к бесконечно малым возмущениям при всех числах Рейнольдса. Для существенно малых значений числа Рейнольдса, скажем, для R < Я^, все возмущения параболического течения, как большие так и малые, затухают со временем; наблюдения показывают, что Rg а 2000. Несколько ниже наблюдаемого критического числа Рейнольдса возмущения могут расти, если они не очень малы. Выше значения критического числа Рейнольдса Довольно малые возмущения, возможно возникающие на входе или порожденные неровностями на стенках трубы, растут быстро, имея колебательный характер. Вскоре возмущения вырастают до таких Размеров, что влияние нелинейности становится сильным и формиру- утся крупномасштабные вихри (рис. 1.2 (в)) или турбулентные пятна (Рнс. 1.3). (Такой механизм, посредством которого течение, устойчи-

вое по отношению ко всем бесконечно малым возмущениям, внезапно меняется на турбулентное или около турбулентное течение из-за действия возмущении конечной амплитуды, часто называется побочным переходом (bypass transition). По мере того, как возрастает число Рейнольдса, порог для амплитуды возмущений, вызывающих неустойчивость, уменьшается. Для больших чисел Рейнольдса турбулентность возникает немедленно как результат неизбежного присутствия возмущений малой амплитуды и поток становится случайным, существенно трехмерным (т.е. существенно не осесимметрическим) и везде сильно нелинейным. Характер неустойчивости течения Пуазейля в трубе отличается от характера неустойчивости плоского течения Пуазейля, которое является неустойчивым по отношению к бесконечно малым возмущениям при достаточно больших значениях числа Рейнольдса. Объяснение этого различия дает теория линейной устойчивости течения Пуазейля в трубе, изложенная в параграфе 8.10. Однако на практике неустойчивость плоского течения Пуазейля обнаруживает сходство с неустойчивостью течения Пуазейля в трубе, по крайней мере на первый взгляд (см. рис. 1.4).

Физические эффекты экспериментов Рейнольдса по исследованию неустойчивости течения Пуазейля в трубе ярко проиллюстрированы в фильме [Stewart, FL1968], сделанным для Центра развития образования. Этот ролик состоит из отредактированных отрывков более протяженного фильма о турбулентности [Stewart, F1968]. Детали об этих и других фильмах о гидродинамической устойчивости могут быть найдены в конце этой книги после списка литературы. Видеофильмы эксперимента можно увидеть на компакт-диске [Homsy et aL, CD2000]; этот диск является более доступным, чем сам ролик фильма или его видео-версии, хотя видеофильмы на компакт диске короче. В собрании фильмов Видео-библиотека в подразделах “Reynolds Transition Apparatus55 и “Reynolds Transition Experiment", демонстрируются некоторые короткие видеофильмы недавних экспериментов на оригинальной установке Рейнольдса; дальнейшие эксперименты могут быть найдены в подразделах “Pipe Flow”，“Tube Flow" и “Turbulent Pipe Flow”. В разделе Boundary Layers и подразделах “Instability, Transition and Turbulence55 и “Instability and Transition in Pipe and Duct Flow" доступны и другие короткие видеофильмы.

Методы теории гидродинамической устойчивости17

Рис. 1.4. Турбулентное пятно, вызванное струями, бьющими из стенки, для плоского течения Пуазейля при R = 1000, где R = Vd/幺 V - максимальная скорость течения; стенки находятся на расстоянии 2d друг от друга [Carlson et aL, 1982, Fig. 4]

1・2・ Методы теории гидродинамической устойчивости

Прежде всего полезно заметить, что гидродинамическая устойчивость имеет много общего с устойчивостью в многих других областях, тагах как магнитная гидродинамика, физика плазмы, теория упругости, реология, теория горения и общая теория относительности. Физика явлений может сильно отличаться, но математические методы исследования аналогичны. Математическое существо вопроса заключается в上 том, что физические явления моделируются уравнениями в частных производных и исследуется устойчивость известных стационар- ньпс и нестационарных решений. Гидродинамика является достаточно зрелой наукой (уравнения Навье-Стокса были выведены в первой половине девятнадцатого века), а заданное движение жидкости часто 即工РУДно воспроизвести и наблюдать в лаборатории, так что гидродинамическая устойчивость может служить прототипом ангшогичных свойств в нелинейной физике в более широком контексте.

Неустойчивость течений и переход к турблентности изучается раз- ^ьгмн способами в рамках следующих пяти более или менее различных направлений.

Природные явления и лабораторные эксперименты. Очевидно, не потребовалась бы теория, описывающая гидродинамическую неустойчивость, если бы последняя не проявлялась в природных явлениях, процессах, связанных с человеческой деятельностью, и лабораторных экспериментах. Наблюдения природных явлений и экспериментов, таким образом, проставляют собой предварительный этап изучения. Все теоретические исследования должны быть связаны прямо или косвенно с объяснениями этих наблюдений. Наоборот, теоретические представления являются необходимыми для описания и интерпретации наблюдений.

Численные эксперименты. Вычислительная гидродинамика стала играть все большую роль в исследовании гидродинамической устойчивости с 1980 г., с тех самых пор, как возможности численного моделирования возросли, а компьютеры увеличили свое быстродействие и стали обладать большей памятью, в результате чего уравнения Навье-Стокса могут быть решены для все большего числа течений. Действительно, вычислительная гидродинамика находится сейчас на такой стадии развития, что может конкурировать с лабораторными исследованиями гидродинамической устойчивости, моделируя контрольные эксперименты.

Линейная и слабо нелинейная теория. Линеаризация методом малых возмущений заданного основного течения является самым первым методом, который следует применять в теории гидродинамической устойчивости, и этот метод использовался гораздо чаще, чем другие вплоть до шестидесятых годов XX века. Он остается основным в теории и до сих пор. В то же время, слабо нелинейная теория, которая строится на основе линейной теории при помощи рассмотрения главных нелинейных эффектов для малых возмущении, берет начало в девятнадцатом веке и интенсивно развивалась, начиная с 1960 г.

Качественная теория бифуркаций и хаоса. Математическая теория дифференциальных уравнений показывает, что течения могут развиваться по мере того, как безразмерные параметры, например, число Рейнольдса, возрастают. Последовательность бифуркаций от одного режима течения к другому при возрастании параметра не может быть предсказана количественно без аккуратных численных расчетов, но допустимые и типичные пути к хаосу и, следовательно, к турбулентности могут быть установлены математической теорией на качественном уровне. Таким образом, качественная теория динамических систем, также как и слабо нелинейный анализ, очерчивают полезные концеп-

туальные рамки для интерпретации лабораторных и численных экспериментов ・

Сильно нелинейная теория. Имеются различные математически точные методы, особенно теорема Серрина (Serrin) и прямой метод Ляпунова, которые дают детальные результаты в случае произвольно больших возмущений для конкретных течений. Эти результаты являются обычно ограничениями, дающими достаточные условия для устойчивости течения, или ограничениями на величины, характеризующие течение.

В книге планируется подробно развить основные идеи и методы теории и затем применить их к исследованию неустойчивости некоторых течений, устанавливая связь между теоретическими и экспери- ментгшьными результатами. Этот план подробно отражен в оглавлении. Во-первых, в этой и в следующей главах многие идеи и методы будут описаны и проиллюстрированы на простых примерах. Затем, раз за разом, эти методы и идеи, вместе с некоторыми другими, будут использоваться в последующих главах для того, чтобы установить условия устойчивости некоторых важных классов течений. Теория гидродинамической устойчивости была применена к такому множеству различных классов течений, что невозможно, да и нежелательно, дать исчерпывающую трактовку приложений данной теории в этой книге. Выбор приложений является произвольным и, возможно, чрезмерно продиктован традицией. Тем не менее этот выбор покрывает многие полезные и важные классы течений и хорошо иллюстрирует пять классов основных методов, кратко изложенных выше.

1・3・ Что читать и смотреть далее

Для того чтобы найти более полное изложение некоторых аспектов, затронутых в этой книге, возможно будет полезным обратиться к следующим книгам, хотя многие из них устарели, будучи написанными до того, как пришествие компьютеров оказало сильное воздействие на теорию гидродинамической устойчивости. (Возможно, вычислительная гидродинамика привела к наиболее важным достижениям в недавние годы, а теория динамических систем или приложения этой теории привели к расширению круга новых физических задач). Тем не менее, предмет исследовании является старым, важность большинства Результатов выдержало испытание временем, поэтому эти книги все еще представляют научную ценность.

Монография [Betchov & Criminale, 1967] заключает в себе, главным образом, теорию устойчивости плоско-параллельных течений, особенНо хорошо отражая вычислительные аспекты проблемы. ВнушительнЫй трактат [Chandrasekhar, 1961] является сокровищницей ислледо-

вательских результатов как в теоретической, так и в экспериментальной областях. В книге сделан акцент на задачи линейной устойчивости течений, отличных от плоско-параллельных, с учетом влияния внешних магнитных полей, плавучести и сил Кориолиса. Освещение литературы является необычным, информативным и представляет большой интерес. В монографии [Drazin & Reid, 1981] предмет изложен с высокой степенью подробности. Монография содержит отдельные задачи для студентов, некоторые из этих задач довольно просты. Книга [Huerre & Rossi, 1998] представляет собой набор лекций, хотя заметно более высокого уровня, чем настоящая книга. Это обзор, относящийся, главным образом, к линейной устойчивости плоско-параллельных течений, с хорошим современным освещением численных, экспериментальных и теоретических результатов. В монографии [Joseph, 1976] сделан упор на нелинейные аспекты, особенно на энергетический метод, в то же время большой материал посвящен основным (базовым) течениям. Книга [Landau & Lifshitz, 1987] является прекрасным трактатом, замаскированным под учебник, где физические особенности гидродинамической устойчивости изложены с мастерством и краткостью. Монография [Lin, 1955], дополняющая трактат Чандрасекхара, является классической и посвящена, главным образом, вопросам линейной устойчивости плоско-параллельных течений вязкой жидкости. Монография [Schmid & Henningson, 2001] представляет собой современное и всеобъемлющее исследование по устойчивости и переходам к неустойчивости плоско-параллельных течений.

Мы уже обращались к иллюстративному материалу, чтобы обогатить понимание эксперимента Рейнольдса. Такие иллюстрации, без сомнения, представляют ценность и для понимания многих других типов гидродинамической неустойчивости. Книга [Van Dyke, 1982] является прекрасным собранием фотографий течений, в том числе и гидродинамически неустойчивых. Накаяма [Nakayama, 1988] собрал другую замечательную коллекцию фотографий течений, некоторые из них также подвержены гидродинамической неустойчивости. Обратите внимание на эффекты гидродинамической устойчивости, изображенные на этих фотографиях, обдумайте их и соотнесите их с теорией, излагаемой в этой книге.

Гидродинамическая неустойчивость, тем не менее, представляет собой динамическое явление, которое лучше всего воспринимается в фильмах. Множество соответствующих фильмов, роликов, видеофильмов и компакт-диск [Homsy et aL, CD2000], перечислены в перечне фильмов, представленном в конце списка литературы. Представляется уместным добавить здесь несколько слов в предостережение. Результаты визуализации нестационарных течений весьма легко неправильно интерпретировать. Будьте осторожны. В частности, проверьте, правильно ли вы понимаете различие между линиями тока, струйками и траекториями, прежде чем сделать какие-либо выводы.

Глава 2

Введение в теорию стационарных течений, их бифуркации и неустойчивость

... кто слушает слова Мои сии и исполняет их, уподоблю мужу благоразумному, который построил дом свой на камне; и пошел дождь, и разошлись реки, и подули ветры, и устремились на дом тот, и он не упал, потому что ochobelh был на камне.

Мф. 7, 24-25

В настоящей главе при помощи простых иллюстративных примеров обыкновенных дифференциальных уравнений описаны общие типы бифуркации, т. е. общие типы смены режимов течения. Показано, что бифуркации возникают, когда возникает неустойчивость. В заключение с математической строгостью определяется понятие устойчивости течения и описываются методы линеаризации и нормальных мод.

Бифуркация

Рассмотрим течения несжимаемой вязкой жидкости в заданной области У. Обозначим: р — плотность жидкости, 〃 — кинематическая вязкость, и*, р* — скорость и давление в данной точке х* в момент времени %*. Течение описывается уравнениями Навье-Стокса

Зи* _1 _а

= 一u*,

Уравнением неразрывности

▽* ・и* = О

в области У, а также некоторыми граничными условиями на границе ЗУ области У, например,

u* = Uo* на части ЗУ, и* периодична на другой части ЗУ.

Здесь △* — оператор Лапласа и Uo* — заданная скорость жидкости на границе.

Предположим, что данные уравнения имеют решение (приближенное или точное), удовлетворяющее приведенным граничным условиям и описывающее стационарное течение, устойчивость которого подлежит изучению. Пусть этому основному течению соответствует поле скоростей U* и давление Д. В дальнейшем часто будет удобно вводить безразмерные переменные и определять соответствующее число Рейнольдса Я. Выберем некоторый характерный масштаб длины L основного течения, например, диаметр области У, а также некоторый характерный масштаб скорости У, например, максимальное значение |U*| в У. Для обтекания сферы однородным потоком, например, в качестве V можно выбрать скорость потока на бесконечности, а в качестве L — радиус или диаметр самой сферы. Далее, определим безразмерные переменные х = х*/Е, t = Vt*/E, u = и*/匕 p = p*/pV2 и т.д., а также число Рейнольдса Я = VL/u. Безразмерные поля скорости U(x, Я) и давления Р(х, Я) основного течения удовлетворяют уравнениям Навье-Стокса

U. VU = -▽尸 + fl-^U,(2.1)

▽ • U = 0(2.2)

в области У и граничным условиям

U = Uo на части 3V; U периодична на другой части ЗУ. (2.3)

В общем случае U, Р зависят от Я, и может существовать более одного стационарного решения U, Р для одного и того же значения Я и тех же граничных условий. Мы увидим, что бифуркация, т. е. изменение числа или качественных свойств возможных стационарных течений (или нестационарных течений в состоянии динамического равновесия), при изменении R часто связана с переходом к неустойчивости.

Важная физическая идея, относящаяся к чередованию неустойчивостей и смены режимов течения на “пути к турбулентности" при увеличении числа Рейнольдса, будет представлена далее на примере ряда очень простых модельных задач о бифуркации. Может показаться на первый взгляд, что модельные гшгебраические и обыкновенные дифференциальные уравнения, относящиеся к этим задачам, являются слишком простыми для того, чтобы служить описанием каких-либо

Рис. 2.1. Бифуркационная диаграмма в плоскости (R, U) для точки поворота при 2 > О

задач гидродинамики. Тем не менее, мы покажем, что эти уравнения не только иллюстрируют многие важные идеи устойчивости, но также асимптотически описывают локальные свойства большого числа неустойчивостей и бифуркаций. Это происходит по той причине, что хотя уравнения Навье-Стокса и являются уравнениями в частных производных и их решения принадлежат бесконечномерному функциональному пространству, решение может быть приближено элементом пространства низкой размерности. На практике решение представляется в виде спектрального разложения, например, в виде ряда Фурье по пространству и асимптотически приближается только небольшим числом компонент разложения. Амплитуды этих компонент удовлетворяют системам обыкновенных дифференциальных уравнений низкого порядка. Мы вернемся к этому вопросу в следующих главах и проиллюстрируем его на примере ряда течений.

Пример 2」：Точка поворота. В качестве простой модельной задачи рассмотрим для иллюстративных целей вспомогательную задачу:

吁e一庆)2 = 0,

где а = k(R — Re) и fc > О, Z / 0, С7о и Яс — некоторые постоянные. Вспомогательная задача может оказаться полезной при изучении сложного свойства движения жидкости, если она описывает именно изучаемое свойство, даже не имея отношения к большинству других свойств движения. Величина U может рассматриваться в качестве компоненты скорости жидкости в некоторой заданной точке стационарного течения в зависимости от числа Рейнольдса. Тогда

U = ^±[^-^)/1]^2.

Имеем два решения, когда k(R — R^)]l > 0, одно, когда R = Яс, и ни одного, когда 6(R— R^)/l < 0. Удобно изобразить решение на бифуркационной диаграмме, где дана зависимость некоторых переменных, описывающих состояние специальных течений от некоторого параметра, характеризующего жидкость или форму течения, и т.д. На рис. 2.1 изображен график зависимости U от R для случая kl > 0. Будем говорить, что имеет место простая точка поворота^ складка или бифуркация седло-узел при R = Яс, U = Uq. Эта точка называется точкой бифуркации, так как число (и свойства) решений меняются в ней.□

Пример 2・2: Транскритическая бифуркация. В качестве другой очень простой модели бифуркации стационарных течений уравнений Навье- Стокса рассмотрим следующее квадратное уравнение:

aU - IU2 = 0.

Таким образом,

U = 0 или U = a/l = k[R —凡)/厶

так что имеют место два решения при R / Rc. Бифуркация при R 二 Rc, U = 0 дает пример транскритической точки (рис. 2.2).□

Пример 2.3: Вилообразная бифуркация {pitchfork bifurcation). Рассмотрим далее модельное уравнение

aU - IU3 = 0,

которое является типичным для первой бифуркации течений с симметрией ±U・ Тогда

U = 0, или U 二 ±[fc(jR — Rc)/qi/2, если k(R — Rc) > 0.

Говорят, что имеет место вилообразная бифуркация при R =凡, U = 0. Легко видеть, что в результате этой бифуркации происходит нарушение симметрии при R= Rc в том смысле, что если kl > 0, то

Рис. 2.2. Бифуркационная диаграмма в плоскости (R, U) для транскритической точки при Z > О

имеет место единственное симметричное решение при R < Яс, а также и пара несимметричных решений при R> Rc (см. рис. 2.3). □

Пример 2.4： Плоское течение Куэтта-Пуазейля. Для того чтобы определить плоско- параллельное течение несжимаемой вязкой жидкости, будем искать вектор скорости, например, в виде U = U(z)i・ Подставим это выражение для скорости в размерное уравнение завихренности двумерного течения в плоскости (ж, z) (которое является удобной формой записи уравнений Навье-Стокса для настоящего рассмотрения):

а

丽丽+仪莎=必〃

где 〃 = du/dz — dw/dx. Имеем

Следовательно,

U(z) = Az2 + Bz + &

где постоянные 4, В, С определяются градиентом давления и граничными условиями. Для того чтобы последнее выражение было решением, градиент давления должен быть постоянен вдоль трубы. На стенках должно выполняться условие прилипания. Имеем А = 匚(2〃)一1@「/@工,где 从—динамическая вязкость жидкости. В частности, для плоского течения Куэтта

U⑶=Vz/L при — L < z < L,

еслн др/дх = 0, и жесткие пластины при z = 士Е двигаются со скоростями 士V соответственно. В этом случае число Рейнольдса часто

Рис. 2.3. Бифуркационная диаграмма в плоскости (A, U) для “вил” при I > О

Рис. 2.4. Схема течения Куэтта-Пуазейля

выбирают в виде R 二 VL/v. Плоскому течению Пуазейлл соответствует

U(z)二叭 1 - z2/Z2) при -L<z<L,

если жесткие пластины при z = 士Е неподвижны, где V = =—{17/2^др/дх. И для этого течения обычно определяют R = VL/v. Схема течения показана на рис. 2.4. Заметим, что основное паргшлель- ное течение в этом примере единственно и не зависит от значения числа Рейнольдса. Это специальное свойство параллельных течений, нетипичное для течений вязкой жидкости, имеет место в результате исчезновения инерциальных членов в уравнениях Навье-Стокса. Последнее обстоятельство, в свою очередь, обусловлено особенностями геометрической формы течения, в результате которых число Рейнольдса для динамически подобных потоков не является обычной ха-

6 = а

рактеристикой отношения инерционных и вязких сил. Обычно стационарное основное течение меняется при увеличении числа Рейнольдса и не является единственным при данных обстоятельствах. □

*Пример 2.5: Течения Джеффри-Гамеля. В качестве следующего примера выберем некоторые стационарные течения, которые меняются при увеличении числа Рейнольдса и не являются единственными (см., например, [Batchelor, 1967, параграф 5.6]).

Рассмотрим двумерное течение несжимаемой вязкой жидкости между двумя твердыми плоскостями, заданными уравнениями в = =士а. Течение возбуждается стационарным линейным источником (или стоком) с объемным расходом Q на единицу расстояния по нормали к плоскости течения. Источник (сток) расположен на пересечении т* = 0 двух плоскостей, где (г*, 0) — полярные координаты. Схема течения изображена на рис. 2.5. Граничные условия имеют вид

叽=±^Q，а”*/ае 二 о при е 二 士①

гДв 吵* — функция тока, так что радиальная и касательная компоненты

скорости даются соответственно формулами 〃「・=дф^/г^дО и 〃е = —а叽/а%.

Рис. 2.6. Формы профилей скорости для наиболее важных течений Джеффри-Гамеля (по Р. Drazin & Т. Kambe, Ryitai Rikigaku — Anteisei To Ranyi (Fluid Dynamics — Stability and Turbulence)^ University of Tokyo Press, 1989, Fig. 2.4. Воспроизведено по разрешению University of Tokyo Press)

Будем искать стационарные течения, для которых функция тока зависит только от 0, т. е.吵* =屮*(£)• В результате имеем чисто радиальное течение со скоростью ur^ = U* = d屮* "*de и завихренностью С* = 一a* 九=-d2亚*/T出供.

Определим далее безразмерные переменные ” = V*/^Q и т. д. и число Рейнольдса Я = Q/2〃・ Тогда безразмерная форма уравнения для завихренности имеет вид

丽+⑵4)

Это уравнение для 吵=屮(0) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение

а4Ф а2Ф »d^d2^ с

而+ 4丽+ 2R而丽=0-⑵5)

Граничные условия принимают вид

Ф = ±1, d^/d^ 二 0, при 8 = 士а.(2.6)

Решение задачи может быть выражено в явном виде через эллиптические функции Якоби, однако во многих отношениях его проще получить численно. Имеют место разнообразные решения, принадлежащие

а

Рис. 2・7・ Области возникновения наиболее важных типов течения Джеффри-Гамеля на плоскости (В, а). Здесь А > 0 отвечает линейному источнику (с расходящимся течением для Q > 0, а А < 0 соответствует линейному стоку (со сходящимся течением) в точке г = 0 (по [Fraenkel, 1962, Fig. 5]; воспроизведено по разрешению Королевского общества)

типам I, IIn, IIIn, IVn и Vn в обозначениях Френкеля [Fraenkel, 1962, Р-124]; форма некоторых профилей скорости представлена на рис. 2.6. (Для настоящей цели демонстрации иллюстративного примера нет необходимости знать подробности о перечисленных типах решений).

С риском чрезмерного упрощения, в общих чертах свойства течений Джеффри-Гамеля можно суммировать следующим образом. Для любой заданной пары (Я, а) существует бесконечное число стационарных течений. Наиболее важные из них (включая все устойчивые) изображены как на плоскости (Я, а) (рис. 2.7), так и на бифуркационной диаграмме (рис« 2,8) в плоскости (a, W'(0)) для заданного “ти- пииного" значения R. Главным для нас в этих диаграммах являются не количественные детали, но то обстоятельство, что имеет место сложная структура, содержащая большое число точек поворота и вил. Отметим также, что входящее течение более устойчиво, чем исходя-

Рис. 2・8・ Бифуркационная диаграмма течении Джеффри-Гамеля на плоскости (a, [d亚/d竹0=о) для А = 20 (по [Sobey & Drazin, 1986, Fig. 3]). Эту диаграмму можно рассматривать как результат проекции на плоскость пространственной кривой, каждая ветвь которой представляет собой решение Джеффри-Гамеля. Здесь а > 0 отвечает линейному источнику и, как обычно, а < 0 — стоку. Заметим, что два решения типа % могут возникнуть между вилообразной бифуркацией 5г (вид “сбоку”) и точкой поворота &• Устойчивое решение обозначено сплошной кривой, а неустойчивое — пунктирной

щее; другие свойства одинаковы для обоих типов течений. Наводящие соображения для того, чтобы показать, какие решения устойчивы, а какие нет, приведены в параграфе 10.3.3.

(На плоскости (а, [(12Ф/(102]0=о) лучше видно, что & соответствует вилообразной бифуркации с Hi в качестве “ручки”，％ в качестве среднего “зубца” и IVi, Vi в качестве боковых “зубцов” в силу того обстоятельства, что IVi и Vi имеют одну и ту же скорость иг на центральной линии 0 = 0; симметричные течения I, Пп, Шп, однако, удовлетворяют условиям d?亚/dg? = 0 при 0 = 0). □

2・2・ Неустойчивость

Сложность течений вязкой жидкости и соответствущих им решений уравнений Навье-Стокса послужила основанием для того, чтобы разобрать в данном параграфе ряд модельных задач с простыми обыкновенными дифференциальными уравнениями для объяснения фундаментальных идей теории устойчивости. В предыдущем параграфе уже были представлены некоторые стационарные решения и их бифуркации; далее будет обсуждаться неустойчивость этих решений, а также других решений, стационарных или нестационарных, в которые эти решения могут переходить под действием малых возмущений. Для

Рис. 2.9. Бифуркгщионная диаграмма в плоскости (А,〃) для примера точки поворота с I > 0. Устойчивое стационарное решение U+ обозначено сплошной кривой^ а неустойчивое U-——пунктирной кривой. Вертикальные линии со стрелками обозначают изменение зависящего от времени решения tx при увеличении 力 и фиксировгкнном R

введения в предмет в предыдущем параграфе рассмотрены лишь немногие из простейших бифуркаций. Более общие системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеют как бифуркации, которые сходны с этими простейшими бифуркациями локально (так же как гладкая кривая с вертикальной касательной в данной точке имеет сходство с параболой той же кривизны с той же касательной в этой точке), так и обладают более сложными формами бифуркаций. Кроме того, более общие системы часто имеют последовательности бифуркаций при увеличении параметра, числа Рейнольдса, например; важный пример эволюции решений при увеличении параметра дается в примере 2.5 и в упражнении 6.11 и будет подробно разобран в главе 9.

Реальные гидродинамические задачи обычно требуют большого численного счета и поэтому являются менее поучительными, чем простые модельные задачи; некоторые задачи об устойчивости течений, обладающих сильной симметрией (например, плоскопаргш- лельные течения обладают симметрией относительно группы сдви・ нов в направлении течения) могут быть решены при помощи сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решения некоторых Из этих уравнений записываются в явном виде. Эти простые (и нетипичные) решения часто приводятся в учебниках и лекционных курсах.

Рис. 2.10. Эскиз бифуркационной диаграммы в плоскости (А, и) для тргжскритической бифуркации в случае Z > 0Рис. 2.10. Эскиз бифуркационной диаграммы в плоскости (А, и) для тргжскритической бифуркации в случае Z > 0

Рис. 2.10. Эскиз бифуркационной диаграммы в плоскости (А, и) для тргжскритической бифуркации в случае Z > 0

Рис. 2.10. Эскиз бифуркационной диаграммы в плоскости (А, и) для тргжскритической бифуркации в случае Z > 0

Пример 2.6: Снова точка поворота. Рассмотрим модельное уравнение

石=а — 2(〃 一 и。)?，(2.7)

где снова а = k(R — Яс), к > 0. Используя легко получаемое в явном виде аналитическое выражение точного решения этого дифференциального уравнения, либо производя качественный анализ знака d〃/dt (и, следовательно, свойств монотонности и с увеличением t), можно показать, что любое малое возмущение стационарного решения и = и^. = Uo + ^a/l)1^2 будет убывать при t —> оо и, следовательно, это решение устойчиво. Аналогично, некоторые малые возмущения решения и = U_ = Uo — (а//)】/? будут расти, так что в результате они не будут более малыми и, следовательно, это решение неустойчиво. Для I > 0 и R > Rc малое начальное возмущение С7_ приводит к асимптотике 〃(%) т U+ при % т 8 или 微伯)Т —8, если t —> к конечному пределу, в зависимости от знака возмущений. Малое начальное возмущение 斗 дает 〃(％) т 耳 при t т 8 (рис. 2.9).口

(2.8)(2.8)Пример 2.7: Снова транскритическал бифуркация. Рассмотрим далее уравнение

(2.8)

(2.8)

= аи — lv?d力

где а = k(R — %), k > 0. Снова при помощи точного решения или качественных методов можно показать, что решения обладают поведением, как представлено на рис. 2.10. 口.

Рис. 2.11. (а) Надкритическая устойчивость при 0<R — Rc^lnl>0z зависимость решения и уравнения Ландау (2.9) от времени для некоторых начальных данных 〃о・(d) Докритическая устойчивость при 0 < 凡一К《1 и Z < 0: зависимость решения и уравнения Ландау (2.9) от времени для некоторых начальных данных 〃()• На каждой диаграмме ue = [k(R —RJ/Z]"?. (По [Drazin & Reid, 1981, Figs 7.1(a), 7.2(a)])

Пример 2.8; Снова вилообразная бифуркация. Рассмотрим уравнение

—=аи — 1и^,(2.9)

где а = 6(R —Хс), 6 > 0・ Это уравнение Ландау^ которое, по-существу, является уравнением, впервые предложенным в 1944 г. Ландау в качестве модели гидродинамической устойчивости. Форма уравнения не меняется при изменениии знака 〃, так что оно часто^ возникает как слабонелинейное уравнение, управляющее амплитудой наиболее неустойчивых (или наименее устойчивых) собственных функций для течений с подобной симметрией (это может быть зеркальная симметрия течения относительно некоторой плоскости или трансляционная симметрия, когда амплитуда волны в точке равна амплитуде с обратным знаком при сдвиге этой точки на половину длины волны). Будем рассматривать это уравнения, которое является классическим прототипом нарушения симметрии, при помощи тех же методов, что и ранее, различая два случая соответствующих знаков постоянной Ландау I,

Для случая Z > 0 имеем надкритическую устойчивость^ т.е.

Два линейно устойчивых решения для R больших, чем критичес-

Рис. 2.12. Бифуркационная диаграмма для уравнения Ландау в плоскости (jR,u): (а) надкритическая устойчивость; (d) докритическая неустойчивость, Z < О

кое значение Лс и одно неустойчивое решение и = 0. Заметим, что 微伯)—[sgn〃(0)][6(R— Rc)/l]^2 при t —> оо, если Я > % в то время как 後伯)т 0 при t —> оо, если Я < Яс; в первом случае конечное состояние зависит только от знака начального значения 〃(0) величины 〃, а не от его величины, в последнем случае конечное состояние одно и то же для всех начальных значений. Некоторые типичные решения изображены на рис. 2.11 (а).

Для случая I < 0 имеем два неустойчивых решения при R < 风 в дополнение к устойчивому решению 価=0. Заметим, что имеет место wnoporw: если |〃(0)| < [k(R—兄)川1/2,工。也(£) Т 0 口put Т 8, а если |〃(0)| > \k(R — Яс)//]1/2, то 後(%) монотонно стремится к бесконечности при увеличении 九 Используя точное решение дифференциального

уравнения можно показать, что u(t) т [sgnt4(0)]oo при t стремящемся к конечному числу (во всяком случае, в рамках данной модели), которое зависит как от 〃(0), так и от 6, Я, 2・ Некоторые типичные решения изображены на рис 2.11 (б).

Можно подтвердить некоторые из этих результатов при помощи изучения поведения малых возмущений стационарных решений. Определим возмущение U для данного решения и как

1/(%)=好)—U,

где U — одно из решений уравнения aU = IU3. Тогда

dt? d〃. о

— =- = au^lu =

二 a(U + J)+《U + J)3 =

=aU — IU3 + (a — BZU2)^ + O(u2) при t? T 0

=(a—3ZU2)t/ + 0(t/2),

так как U — одно из стационарных решений. При изучении устойчивости изучается поведение решений вблизи данного решения U, т. е. производится линеаризация, которая в данном случае приводит к уравнению

^ = (a-3lU2)uf.

Для нулевого решения £7 = 0 имеем

dt? .

出=CLU •

Следовательно,

/0)工 〃(0)е“，

где показатель экспоненты s = а = k(R — Яс) для fc > 0 (в реалистических приложениях). Таким образом, имеет место линейная устойчи- востъ с экспоненциальным убыванием возмущений при R < Rc и линейная неустойчивость с экспоненциальным ростом возмущений при R> Rc・ Экспоненциально растущее со временем решение линеаризованного уравнения дает пример нормальной моды.

Если U = ±[fc(E -凡)/『/2 при % > 0, R > 兄, тогда аналогично находим uf(t)二後(0)е“, но теперь

s = a - 31U2 = -26(R一凡)< 0

и, таким образом, имеем надкритическую устойчивость, как указано на Рис. 2.12 (а).

Все эти результаты могут быть подтверждены при помощи анализа точного решения уравнения Ландау.口

Пример 2.9: Бифуркация Хопфа, Рассмотрим уравнения

^ = —У + 3 —必—у)х, ^| == ж + (а - ж2 -/)у,

где а = k^R — Яс), к > 0. Единственным стационарным решением этой системы уравнений является нулевое решение х = у = 0. Для исследования его устойчивости линеаризуем систему по отношению к малым возмущениям этого решения:

da;

—=+ аж, — = х + ау.

Будем решать эту систему линеаризованных уравнений, снова используя метод нормальных мод, т. е. полагая ж, у а е“ и замечая, что

sx = ах — у, зу = х + ау,

dr r 2、 d£ т(а-т),-dr r 2、 d£ т(а-т),-откуда следует, что s должно быть собственным значением матрицы

dr r 2、 d£ т(а-т),-

dr r 2、 d£ т(а-т),-

Рис. 2・13・ Две орбиты системы уравнений dx/dt = —у 4- (а — ж2 — у2)х, dy/dt = я; + (а — я? — у?)? из примера 2.9 в плоскости (ж,у) при R> Rc (по P.Drazin & T.Kambe [Ryutai Rikigaku — Anteisei To Ranyu {Fluid Dynamics —Stability and Turbulence), University of Tokyo Press, 1989, Fig. 2.10]. Воспроизведено по разрешению University Tokyo Press)

для всех т(0) при R > Rc (см. пример). Имеем также 0(%) = % + %, где 6(0) = @о — любое число. В результате для всех R> Rc получаем нелинейное решение ж = tcosJ, у = rsing периода 2тг при t —> оо. Такое периодическое решение дифференциального уравнения, к которому приближаются соседние решения при увеличении времени называется предельным циклом. Две типичные орбиты изображены на фазовой плоскости (м,у) для Я > Дс на рис. 2.13. На рисунке видно, как предельный цикл притягивает соседние орбиты.

Это типичный пример бифуркации Хопфа, когда вещественная часть Re(s) комплексно сопряженной пары собственных значений после прохождения через ноль увеличивается при увеличении или уменьшении параметра по отношению к критическому значению. Здесь при прохождении Я через Яс и дгшьнейшем увеличении возникает осциллирующее решение из постоянного, причем последнее становится неустойчивым. Конечно, не является случайностью, что реальные системы часто имеют пару комплексно сопряженных собственных значений, так что бифуркации Хопфа для уравнений в частных производных, описывающих течения жидкости, встречаются так же как и в этом простом примере с обыкновенными дифференциальными Уравнениями. Таким образом, важно определить из линейной задачи, является ли показатель экспоненты s нулем или чисто мнимым на гра- ннце устойчивости; в первом случае типичными являются бифурка- цнн точки поворота, транскритическая или вилообразная, а в последнем — бифуркация Хопфа. В гидродинамическом контексте иногда говорят, что справедлив принцип обмена устойчив остей {exchange

of stabilities ), если показатель экспоненты наименее устойчивой нормальной моды равен нулю на границе устойчивости. □

Перед тем, как двигаться дгшьше, заметим, что в примере 2.9 было использовано комплексное представление вещественного решения вещественной задачи. Возможность такого представления, которое будет часто использоваться далее, основана на следующем свойстве: если комплексная функция удовлетворяет вещественному однородному уравнению, то вещественная и мнимая части функции удовлетворяют этому уравнению по отдельности. Будем записывать комплексное решение вещественного линеаризованного уравнения или системы уравнений, неявно подразумевая, что его вещественная часть представляет собой соответствующую физическую величину, как-то: возмущение компоненты скорости или давления; можем написать, например, 工伯)=4e(а+山,где A ——некоторая комплексная постоянная, имея в виду вещественную часть ^(4е" + 4*©一")№* = \A\eat cos(t + arg А), Это и есть традиционный путь использования метода нормальных мод.

Изложенные примеры представлены скорее из соображения их простоты, нежели для иллюстрации всех аспектов гидродинамической устойчивости. Они не описывают общее явление неустойчивости надкритично устойчивого потока, возникшего в результате вилообразной бифуркации или бифуркации Хопфа, когда число Рейнольдса продолжает увеличиваться, значительно превосходя критическое значение. Будем называть начальное течение первичным течением^ его неустойчивость ——первичной неустойчив остьюнадкритично устойчивое течение — вторичным течением и его неустойчивость — вторичной неустойчив остью. Эти следующие одна за другой неустойчивости обсуждаются далее в параграфе 9.1.

В целом, этот параграф предназначен для знакомства с некоторыми важными понятиями (основное решение, устойчивость, бифуркация) и методами (линеаризации, нормальных мод) теории гидродинамической устойчивости на примере обыкновенных дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения будут использоваться и в дальнейшем для иллюстрациии других важных понятий (таких, как квазипериодические решения и хаос) и методов (слабонелинейных возмущений) теории гидродинамической устойчивости. Тем не менее, не следует забывать, что движение жидкости происходит не только во времени, но и в пространстве и моделируется дифференциальными уравнениями в частных производных. Это обстоятельство ограничивает использование моделей с обыкновенными дифференциальными уравнениями, которое, тем не менее, представляется целесообразным с педагогической точки зрения. Более ре- гшистичные модели с уравнениями гидродинамики в частных производных рассматриваются в следующем параграфе, в котором также представлены некоторые фундаментгшьные понятия и методы теории гидродинамической устойчивости, в особенности линейной теории.

2・3・ Устойчивость и линеаризованная задача

Сначала выбирается интересующее нас основное течение — решение уравнений движения, устойчивость которого подлежит исследованию. Это решение может быть просто или непросто найти, оно может быть получено в явной форме или только численно. Например, в качестве характеристик потока в несжимаемой вязкой жидкости можно искать поле скоростей U(x, t) и давлений P(x,t) в заданной области V с границей ЗУ. Течение определяется из уравнений Навье-Стокса, которые в безразмерном виде записываются в форме

需 + U • VU = — ▽尸 + 冗-】AU(2.10)

и

▽ •U = 0(2.11)

в области У; U = Uo на части границы ЗУ и периодична на другой ее части. Здесь Я ——число Рейнольдса.

Для общих начальных данных скорости и(х, 0) и давления р(х, 0) существует полное течение^ которому отвечает скорость и(х,力)и давление р(х, t), при 力 > 0 удовлетворяющие уравнениям

^ + u. Vu= -Vp + Д-^и,(2.12)

▽ •u = 0(2.13)

в области У и

u = ио и т. д. на ЗУ.(2.14)

Определим величины возмущений u‘ = u — U и pf = р — Р, Вычитая соответствующие уравнения друг из друга, получим, не накладывая ограничений на величину возмущений:

万^ + "• VU + и • ▽!/ + / ▽" = -▽“ + Д-^и；(2.15)

▽ •" = 0(2.16)

в области У и

и' = 0 на части 3V и и' периодична на другой ее части. (2.17)

Пример 2.10: Течение Пуазейля в трубе. Точным решением уравнений Навье-Стокса (записанным в размерной форме), является

U* = У(1 - т：/а2)， Р* = ро* - 4pi/Vx^/a2, где течение занимает область

V = {х* :0<г*<а, О<0<2тг, —оо < ®* < оо}

в цилиндрических координатах (ж*, г*,0). Это решение представляет собой изученное Рейнольдсом [Reynolds, 1883] стационарное течение в трубе радиуса а, поддерживаемое градиентом давления 4рУ/а2. В безразмерных переменных г = т*/а, ж = ж*/а, U = U*/匕 р = Р*/严？ имеем

U = (1 - r2)i, Р = ро-4ж/Д,где Я = Va/u, В качестве граничных значений возьмем

и = 0 при г = 1, и —> U при Ж Т ±8,

где V = {х : 0 < г < 1} в безразмерной форме. В качестве других граничных условий можем взять

и = 0 при т = 1, и имеет период L по ж,

где

V = {х : 0 < г < 1, 0 < 0 < 2тг, 0 < ж < Z} и

ЗУ = {х : т = 1 при 0 < ж < Z, или ж = 0, Z при 0 < г < 1}

для данного Z > 0. Без ограничения общности будем полагать, что и имеет период 2тг по 仇□

Будем говорить, что данное основное течение устойчиво, если все малые начальные возмущения остаются малыми в течение всего времени и неустойчиво, если по крайней мере одно изначально малое возмущение растет и перестает быть малым по прошествии некоторого времени. Для того чтобы строго математически определить, что такое устойчивость, необходимо ввести некоторую метрику для придания смысла понятию малости. Это может быть сделано многими эквивалентными способами. Определим устойчивость в смысле Ляпунова следующим образом.

Основное течение устойчиво^ если для всех € > 0 существует 6(e) такое, что если

|Н(х,0||, |/(х,0)||<6,(2.18)

то

||и'(х,川，||р'(х")||<£ для всех ^ > 0.(2.19)

Здесь норма 11 11 может быть выбрана различными способами (и, тем самым, определения устойчивости будут несколько различаться); например, можем выбрать ||u,(x?t)|| = sup^ylu^x, t)| или [J^ u，2 dx]1 в каждый момент. Устойчивость с ||и'|| ос [&и”(1х]歹 называется устойчив остъю в среднем.

Течение называется асимптотически устойчивым^ если оно устойчиво и, более того,

||u'(x,t||, ||p,(x,t)|| ~> 0 при t ~> оо.(2.20)

В теории динамических систем асимптотически устойчивое решение, стационарное или нестационарное, называется аттрактором, так, в примере 2.9 нулевое решение является атрактором для Я < Яс, а предельный цикл является атрактором для R > Rc. Система может иметь более одного аттрактора, как в примере для Я > Кс и Z > 0.

Существенным в определении устойчивости является свойство малости возмущений, подвергающихся эволюции, и это свойство может служить основанием для пренебрежения в процессе исследования устойчивости произведениями возмущений искомых функций, входящих в уравнения движения и граничные условия. Эта процедура приводит к линеаризованной задаче. Из приведенных выше уравнений получаем

u{ + U - Vuz + uz - VU = -▽" + 2rl△u,,(2.21)

V - uz = 0(2.22)

в У, а также

u‘ = 0 или является периодическим на ЗУ. (2.23)

Если основное течение стационарно, т.е. если U не зависит от t, то коэффициенты линеаризованной задачи также не зависят от %. Отсюда следует, что можно разделить переменные так, что общее решение задачи с начальными данными является линейной суперпозицией нормальных мод, которые имеют вид

uz(x, t) = e"G(x),Р‘(х,力)=е"/(х),(2.24)

где собственное значение s и соответствующие собственные функции 6> р могут быть в принципе определены из решения результирующих уравнений и граничных условий, а именно:

зй + и. Vu + u-VU= -Vp + Д-^й,(2.25)

▽ •6 = 0 (2.26)

в V и

й = 0 или является периодическим на 5V. (2.27)

(Выделение переменной t может быть мотивировано и во многих случаях обосновано при помощи преобразования Лапласа). Собственные значения s этой вещественной задачи являются действительными числами или парами комплексно сопряженных чисел. Если область V ограничена, то имеется счетное число собственных значений. Основное течение устойчиво, если Re(s) < 0 для всех собственных значений s, и неустойчиво, если Re(s) > 0 для по крайней мере одного собственного значения s, потому что эта мода растет со временем как

exp[Re(s)t + ilm(s)吋=exp[Re(s)t] x {cos[Im(s)t] + i sin[Im(s)t]}.

(В случае нейтральной устойчивости по линейной теории, когда Re(s) = 0, учет нелинейных членов может привести к неустойчивости течения). Для одной нормальной моды пространственная структура возмущения не изменяется по мере того, как мода распространяется, растет или затухает со временем, хотя, конечно, структура суперпозиции более чем одной моды может изменяться по пространству.

Следует заметить, что для некоторых основных течений общее решение задачи с начальными данными не может быть выражено в виде суперпозиции экспоненциально растущих или затухающих нормальных мод. Упражнение 2.8 (i) иллюстрирует суть этого утверждения.

Заметим также, что если собственное значение s является комплексным числом, то представление (2.24) решения вещественной задачи должно интерпетироваться как неявное обозначение его действительной части. Это допустимо, потому что комплексные собственные значения вещественной системы встречаются в виде комплексно сопряженных пар, а действительные и мнимые части решения вещественной линеаризованной системы удовлетворяют этой системе по отдельности.

Определим критическое число Рейнольдса Яс, например, следующим образом: если Я < Яс, то Re(s) < 0 для всех собственных значений и Re(s) > 0 для, по крайней мере, одной моды и для, по крайней мере, одного значения Я в любой окрестности Яс. При R = Rc назовем основное течение маргинально устойчивые? в силу того обстоятельства, что это течение устойчиво при Л < Яс и неустойчиво для всех достаточно малых положительных значений R — Rc; на практику, течения обычно становятся более неустойчивыми, по мере того, как они ускоряются, таким образом следует ожидать неустойчивости для

2От английского слова margin — край, грань. (Прим, ред, персе.)

всех R > Яс- Маргинальная устойчивость подразумевает нейтральную устойчивость. Понятия нейтральной и маргингшьной устойчивости почти всегда совпадают, когда жидкость является вязкой, но для идеальных жидкостей это обычно не так и часто приходится различать две эти устойчивости.

*Если имеется счетная полная система нормальных мод, состоящее из собственных функций йп, рп, отвечающих собственным значениям Sn для тг = 0,1, 2..., тогда любое начальное возмущение может быть выражено как суперпозиция мод

ОООО

и'(х,0)二 £%6n(x), ”(х,0) = £b4(x),(2.28)

>=it=i

с некоторыми коэффициентами ап,Ьп. Теперь задача на собственные значения является вещественной, так что каждая собственная функция или действительна или представлена в паре со своей комплексно сопряженной функцией. Поэтому каждый коэффициент ап,Ьп является действительным или представлен вместе со своим комплексно сопряженным. Моды могут быть упорядочены таким образом, что Re(si) > Re($2)Тогда имеем

ОООО

Uz(x,t) = ^2anun(x)exp(snt), pf(x,t) = ^ 5nPn(x) exp(snt), i=it=i

(2.29)

а значит,

u'(x,t) ~ aiiii(x) exp(sit), p'(x,t) ~ biQi(x) exp(sit) при t —> oo,

(2.30)

если имеется единственная наиболее быстро растущая или наиболее медленно затухающая мода, т.е. Re®) > Re($2)> Re($3)> ..., или

u'(x,t) ~ aiui(x) exp(sit) + a；G；(x) ехр(з^),

d(x, 0) ~ &ipi(x) exp(sit) + b；/；(x) exp(s；t) при t —> oo, (2.31) если имеется комплексно сопряженная пара мод, растущая наиболее быстро или затухающая наиболее медленно Re(si) = Re($2)〉 > Re($3) > ... . Если система собственных функций являются полной, но их несчетное число, тогда суперпозиция может выражаться интегралом, например, интегралом Фурье вместо суммы и могут присутствовать моды, растущие только бесконечно мало медленнее, чем наиболее быстро растущая мода.

*Классическии метод нормальных мод, который был описан, и примеры применения этого метода, которые будут приведены в последующих главах, могут дать преувеличенное представление о важности наиболее быстрорастущих неустойчивых мод. Считается, что экспоненциально растущие моды столь эфемерны, что они редко наблюдаются в природных процессах и лабораторных экспериментах. Одна из причин недостаточной наблюдаемости экспоненциального роста возмущений состоит в том, что неустойчивое основное течение на практике не устанавливается мгновенно; скорее, устойчивое основное течение медленно изменяется, пока не станет неустойчивым, а затем быстро разрушается под воздействием естественных возмущений. Другая причина состоит в том, что в общем случае возмущение не представляет собой наиболее быстро растущую моду, а является суперпозицией всех мод, как устойчивых, так и неустойчивых, каждая из них или растет или затухает экспоненциально с различными скоростями, так что возмущение не растет экспоненциально со временем. Несомненно также, что суперпозиция экспоненциально затухающих мод может вырастать на несколько порядков на некоторое время. (Упражнение (ii) иллюстрирует это обстоятельство). Согласно линейной теории возмущение растет экспоненциально (2.30) только после прошествия большого промежутка времени, когда быстро растущая мода доминирует над другими, однако на практике возмущения не являются малыми и обычно влияние нелинейности становится значительным до достижения стадии экспоненциального роста. Почти все возмущения, которые наблюдаются на практике для неустойчивых стационарных или периодических по времени основных потоков, являются нелинейными. Однако, критерий устойчивости основного течения, который дает линейная теория нормальных мод, выполняется на практике (за исключением случаев, когда имеет место докритическая неустойчивость). Также и экспоненциальный рост контролируемых возмущений можно наблюдать при численном моделировании течений.

*Мы вполне можем забыть определение (2.18), (2.19) для практических задач, потому что для того, чтобы установить устойчивость основного течения достаточно только найти собственные значения линеаризованной задачи. При этом течение считается устойчивым, если не существует собственных значений с положительной действительной частью. Такой образ действий оправдывается соответственными ответами на два математических вопроса, которые могут побудить к размышлениям читателя, более склонного к теории, и быть спокойно проигнорированы читателем, имеющим практические наклонности; последнему рекомендуется перейти сразу к следующему абзацу. Первый вопрос: является ли основное течение устойчивым в тбм и только в том случае, если нулевое решение линеаризованной системы устойчиво, иными словами управляется ли устойчивость нелинейной задачи устойчивостью линеаризованной или нет. Существуют

простые контрпримеры, показывающие, что основное течение может быть неустойчивым в то время, когда линеаризованная система является нейтргшьно устойчивой. Второй вопрос состоит в том, управляется ли устойчивость нулевого решения линеаризованной системы спектром нормальных мод. Далеко не очевидно, что всегда ат = шт, где

ат = sup{Re(s) : s есть собственное значение}, 3m = sup^lim [Iog||u,(x,t)||]/t},

и верхняя грань берется по решениям линеаризованной задачи при всех гладких начальных условиях. Об этих вопросах было написано много и найдено много контрпримеров, опровергающих наивную веру в то обстоятельство, что собственные значения определяют устойчивость как линеаризованной, так и первоначальной задач для систем нелинейных уравнений в частных производных. Тем не менее, эта наивная вера, по-видимому, вполне оправдана при решении задач об устойчивости течения ньютоновских жвдкостей, когда принимается, что если нулевое решение линеаризованной системы является асимптотически устойчивым, то основное течение устойчиво, хотя при этом допускается, что основное течение может быть неустойчивым, когда линеаризованная система является нейтрально устойчивой. Принимается также, что линеаризованная система устойчива, если ат < 0. Исходя из этого, будем рассматривать устойчивость течения, определяя ее, главным образом, при помощи собственных значений линеаризованной задачи.

*Эти вопросы не являются надуманными в математической теории устойчивости идеальной жидкости по той причине, что подобные теории являются структурно неустойчивыми, т.е. небольшое изменение в модельных уравнениях может привести к существенному изменению результатов. Например, если основное параллельное течение идеальной несжимаемой жидкости в бета-плоскости Россби не имеет нормальной моды, растущей со временем (и поэтому могло бы быть сразу объявлено устойчивым), то волновое возмущение малой амплитуды е генерирует возмущение с амплитудой порядка е"' в тонком критическом слое ширины е по прошествию большого интервала времени порядка с"* как можно показать с помощью слабо нелинейной теории [Warn & Warn, 1978; Brown & Stewartson, 1979], и, тем самым, делают течение неустойчивым (по крайней мере, согласно определению неустойчивости в терминах некоторых норм) •

Для типичных основных течений единственным способом найти множество характеристик устойчивости^ т. е. свойств собственных значений и собственных функций для всех значений числа Рейнольд- са，является использование численных методов. В связи с этим пред-

ставляется уместным ограничиться в учебнике только представлением некоторых результатов вычислений и сопоставлением их с наблюдениями. Тем не менее, для конкретных простых течений большая часть теории может быть развита аналитически. Если U, Р являются независимыми от одной или более пространственных переменных, например, когда основное течение инвариантно относительно сдвига или вращения, тогда возможно разделение пространственных переменных. (Разделение переменных может быть обосновано при помощи преобразования Фурье или обобщенного преобразования Фурье). Так, например, если U не зависит от ж и t, то можно представить нормальные моды в виде u'(x,t) = est+lkxu(y, z), где 6 является волновым числом в направлении оси ж; если U зависит только от полярной координаты г, тогда u‘ = ^t+i^+nd)^^^ где п —— (целое) азимутальное волновое число, а 0 — азимутальный угол вокруг оси ж. (Понятно, что каждая физическая величина является действительной частью ее комплексного представления, которое допустимо ввиду линейности и однородности задачи). Разделение переменных может привести к задаче на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений, а не для уравнений в частных производных, и таким образом, к более легко решаемой математической задаче нахождения характеристик устойчивости для основного течения. Именно по причине математического, а не физического характера, так часто рассматриваются простые симметричные стационарные течения в курсах лекций, книгах и статьях по гидродинамической устойчивости.

Пример 2.11: Устойчивость течения Пуазейля в трубе. Если U = =(1 — r2)i, Р = ро — 4ж/Я и u_d ос 6“+"。+^), то линеаризованная задача об устойчивости (2・25)一(2・27) имеет вид (см. упражнение 2.17) (s + ikU)ux + 各Г и-ik/ + 冗T［當 + ^-(m + 土)卜。，

(s +诵味=一票+冗一［亲+寿-(*+卜+ ^说,

(S +诵唄 + 部 =一?/+冗一1 ［鳥+ 7^~

一k+号-)］现一鴿

住&+二包哭+史% = 0,r ar г

где

йх =йг = ug = ^ при т = 1

и

й, р не имеют особенностей при г = 0.

Здесь U(t) = 1 — М, й = (%，自у, %) в цилиндрических координатах. Это сложная, хотя и линейная, задача на собственные значения для определения s и структуры моды. Многочисленные вычисления (см. [Salwen et aZ., 1980]) показывают, что, как ни странно, Re(s) < 0 для всех мод, всех R и всех волновых чисел к、п. Отсюда следует, что течение Пуазейля в трубе является устойчивым, что находится в очевидном противоречии с экспериментами Рейнольдса [Reynolds, 1883]; считается, что хотя в рамках данной теории течение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям, на практике оно неустойчиво по отношению к возмущениям малой, но конечной амплитуды из-за проявления некоторой формы докритической неустойчивости. □

В качестве послесловия к этой главе напомним содержание параграфа 1.1, где было замечено, что течение в трубе устойчиво для всех достаточно малых возмущений для любого числа Рейнольдса Я, но устойчиво ко всем возмущениям любой амплитуды только при R < Rg, где Rg а 2000. Математически это выражается определением основного течения как глобально асимптотически устойчивого: любое возмущение исчезает после прошествия достаточно большого времени и соотношение (2.20) оказывается справедливым для любого начального возмущения, а также определением Rg как наибольшего числа, для которого течение является глобально асимптотически устойчивым при всех R < Rg.

Упражнения

Точка поворота и транскритическая бифуркация, (а) Найдите точное общее решение и уравнения (2.7) для примере 2.6 и воспроизведите схему бифуркационной диаграммы, данной на рис. 2.9 для Z > 0.

(Ь) Найдите точное решение и уравнения () для примера 2.7 и воспроизведите бифуркационную диаграмму, изображенную на рис. 2.10 для I > 0.

2・2・ Уравнение Ландау. Покажите, что если и удовлетворяет уравнению

谭=6(R - Rc)u — /б

для fc, Я, jRc > 0 и действительных 厶 то

2俏_6(R 一几)呜

1丿一2呜 + [k(R - KJ - E期 exp[-2k(R -凡)牙

пока и остается конечным. Докажите, что нулевое решение U(t) = 0 является устойчивым, если R < Яс? и неустойчивым,

если R > Rc, Воспроизведите схему бифуркационной диаграммы в плоскости (Я, й) для случаев I > О, Z < 0.

Инеариантпностъ комплексного уравнения Ландау, (i) Покажите, что если комплексная амплитуда А удовлетворяет уравнению Ландау

瑞=§4 - l\A^A(E2.1)

для комплексных постоянных s, 2 и если В(Т) = е‘°4伯),Т = =% + %о, для действительных постоянных 夕> 力о> то

^ = sB^l\B^B.

Докажите, что если 4(%) является решением уравнения (Е2.1), то ^A^t — to) также является решением.

Покажите, что если

ди д2и |2Э1=адЧ^Ь^иди д2и |2Э1=адЧ^Ь^и(Е2.2)(Е2.2)

ди д2и |2

Э1=адЧ^Ь^и

ди д2и |2

Э1=адЧ^Ь^и

(Е2.2)

(Е2.2)

для 7* = %— %о, Х = м — м()и комплексных постоянных а, & то

ди д2и 2行= a/T岡〃

и уравнение инвариантно относительно сдвига по времени и пространству. Докажите, что если u(x,t) = 4(%)^"。является решением уравнения (Е2.2) для действительных 6, то 〃(£,%)= = 4(t -t0)em""+0), где 0 = -6工0, также является решением. Покажите, в частности, что если % = 0, жо =万/Е то знак А изменяется при этом преобразовании.

Бифуркация из бесконечности. Дано

^ = _〃(1 — jRt4)(l — и)

для Я > 0. Покажите, что U = 0 является устойчивым стационарным решением для всех R. Имеются ли другие стационарные решения? Для каких значений R они устойчивы? Нарисуйте схему бифуркационной диаграммы.

Если и = А при t = 0, для каких значений Л верно, что 〃(%) т О при t т оо? Прокомментируйте ваши выводы для случая больших R.

2・5・ Вторичная неустойчивость. Дано

dudu=-lt(l - ")(1 -r+ It2).=-lt(l - ")(1 -r+ It2).

du

du

=-lt(l - ")(1 -r+ It2).

=-lt(l - ")(1 -r+ It2).

Покажите, что первичное решение U = 0 подвергается вилообразной бифуркации при Я = 1, а вторичное решение U = =(Я — I)"? имеет вторичную неустойчивость в точке транскритической бифуркации при 冗=2, и = 1.

2・6・ Различные определения устойчивости. Рассмотрим простую динамическую систему:

м=_必2+才产，祭二标+竹色

Вначале покажите, что общее решение имеет вид

ж = a cos(at + с), у = a sin (at + с)

для произвольных постоянных а > 0, с. Далее, покажите, что из этих решений устойчивым по норме ||(с, у)|| = (ж2 + у?)"? является только решение 工=у = 0.

Определяя новые координаты г = (ж2 + у2}1^2 и Ф так, что

X = Г СО8(Т$ + 0),у = т®п(т$ + «),

покажите, что данная система эквивалентна системе уравнений

A，*。■

Покажите, что общим решением этой системы являются т = а, 0 = с и что все эти решения являются устойчивыми по норме 11(Т,柳=(m+從1/2・

Что означает то обстоятельство, что одно и то же решение устойчиво в одной системе координат и неустойчиво в другой [Cesari, 1959, параграф 1.9]?

2・7・ Математическая и физическая концепции устойчивости — пусть математика будет твоим слугощ а ке твоим хозяином. Рассмотрим вспомогательную математическую систему

ди ди

где u(x,t) т 0 экспоненциально при z т ±оо для всех t > 0.

Покажите, что u = U является стационарным решением системы, где U(x) = 0 для всех х.

Покажите, что если и(®, 0) = ^(®), где ф не равно нулю, бесконечно дифференцируемо и затухает экспоненциально на бесконечности, то 後(z,t) = 0(ze*) для всех t > 0.

Сформулируйте аксиоматические свойства нормы. Пусть

2,(闔+ 4厂

для р > 0. Проверьте, что это — норма в соответствующем векторном пространстве. (Подсказка: используйте неравенство Минковского).

Покажите, что для вышеприведенного решения

Гл 1/рI叫 ~e(i〃)[/j"(疥匆Гл 1/рI叫 ~e(i〃)[/j"(疥匆при % т оо・при % т оо・

Гл 1/р

I叫 ~e(i〃)[/j"(疥匆

Гл 1/р

I叫 ~e(i〃)[/j"(疥匆

при % т оо・

при % т оо・

Докажите, что решение U является асимптотически устойчивым, если р < 1, и экспоненциально неустойчивым, если р > 1.

Означает ли это, что заданное решение некоторой гидродинамической задачи может быть и устойчивым и неустойчивым одновременно? Обсудите [Yudovich, 1989, р. 101].

2・8・ Неполное и полное множества нормальных мод, (i) Предположим, что

dx

夜二 Ах,х(0)二[Жо,2/о],

где

х=[；]' А=[оо

Во-первых покажите, что

x(t)=[亚+如力g]'.

Является ли нулевое решение устойчивым?

Во-вторых, решите задачу, используя метод нормальных мод; полагая x(t) ос е", найти собственные значения з“ и ассоциированные собственные векторы и“ матрицы А. Сколько существует собственных значений и собственных векторов? Может этот

метод быть использован для решения задачи с начальными значениями для всех жо» 2/0?

Используйте метод нормальных мод для решения возмущенной задачи, а именно:

^ = Вх, х(0) = [жо,2/о]Т,

где

В 二常 _； , 0<e《L

Покажите, что

X(±) = (жо - 2/o/e)uie-2" +(如/9山e-"，

где ui = [I,。]2", и? = [1,е]Т. (Заметим, что собственные векторы почти параллельны). Сколько здесь собственных значений и собственных векторов? Можно ли использовать этот метод для решения задачи с начальными данными для всех 工。,g?

Докажите, что |х(±)| Т 0 при ± т 8 для всех фиксированных жо? 2/0 и £• Устойчиво ли нулевое решение?

С другой стороны, покажите, что maxt>0|x(f)| т ±|Уо|/е при е Т 0 для всех фиксированных жо» Уо ¥ 0・ Устойчиво ли нулевое решение? (Подсказка: может оказаться полезным ввести величину 硏土)= (1 — £Мо/уо)е-“ и найти точки поворота |x(t)|2 = [уо/е(1-е :ио/уо)КЕ伯)2{0_硏切2 + 巒}. чтобы понять, как все это относится к теории гидродинамической устойчивости см. упражнение 8.44, [Trefethen е力 al., 1993] и [WalefFe, 1995]).

* Градиент давления в течениях Джеффри-Гамеля. Покажите, что в задаче Джеффри-Гамеля градиент радиального давления выражается в виде

勿_战21 d3Ф1

где р — плотность жидкости.

Докажите, что градиент давления противоположно направлен на стенке, если там cPU/d俨 < 0. Покажите, что [dU/dg]e=a меняет знак с отрицательного на положительный для решений типа Hi, П2, когда R возрастает и становится больше 冗2・

*Точное общее решение задачи Джеффри-Гамеля. Покажите, что интегралом уравнения Джеффри-Гамеля (2.5)

屮 iv + 4 屮〃 + 2ЯФ,Ф,/ = О

является

中"，十 4 中，+ 氏(史，)2 = 4, где 屮'=d^/dd и А — постоянная интегрирования. Получите выражение

；及〃)2 + 2(w)2 + ^氏(w)3 = 4w + b,

и установите таким образом, что решение Ф уравнения (2.5) с граничными условиями (2.6)

史(е)二 ±i, р(е)二 о при е = 士а,

может быть выражено в терминах эллиптических функций Якоби [Jeffrey, 1915; Hamel, 1916; Abramowitz & Stegun, 1964, параграф 17.4.61]; см. также [Fraenkel, 1962; Batchelor, 1967, параграф 5.6].

2Л1 .*Профили скоростей типов I, IIn и Шп для течения Стокса. Покажите, что если Я = 0, то задача Джеффри-Гамеля (2.5), (2.6) имеет решение

_sin 20 — 2в cos 2a

中(0) = 丁一7П-.sin 2a — 2a cos 2a

2Л2.*Плоское течение Пуазейлл, Покажите, что если а Т 0 для фиксированного 0/а, то задача Джеффри-Гамеля (2.5), (2.6) имеет предельное решение Ф(0) = 30/2a — 03/2仪3, ^ есть U(g) ~ |(l-02/a2)/ar.

2.13. *Линеаризацил уравнения завихренности. Линеаризуя уравнение завихренности (2.4) для малых возмущений решения уравнений (2.5):吵 = 屮 + 吵,，покажите, что

学：L收学 2 d2Ф炒 I d3Ф绅一 L ",皿『 эГ + 7 de э7 + ^ d^-^ + ^ d^lT - R △& (Е2・з)

где С = — Д^7. Для стационарных нормальных мод 吵'=гхф(в).

вывести уравнение Дина (Dean)

0iv + [Л2 4- (Л-2)2]0〃 + Л2(Л - 2)2。=

=同(》-2)/0" + 20)- 2巫"# -》亚"],(Е2.4)

где

0(g)="⑼=0 при 0 = 士а.(Е2.5)

Эти соотношения представляют собой задачу Дина определения собственных значений Л и собственных функций ф при заданных Ф, Я и а.

Почему переменные 力 г не разделяются? [Dean, 1934; Banks et а" 1988].

2Л4.*Задача Орра-Зоммер步еаьНа для стационарных возмущений плоского течения Пуазейля. Покажите, что rA ^ const х е'*‘ при а —> 0 и фиксированных k = —iaA, ag и 工=(т — то)/ат()・ Докажите, что уравнения (Е2.4), (Е2.5) принимают вид

№ 一 2廿0〃 + 抬0 =球r[uз" - к2ф) - ипф\,

。®) = "®) = 0 при у = ±1,

если а Т 0 для фиксированных у = 0/а; штрих здесь обозначает дифференцирование по у, и 亚'(0) т U(y) = |(1 — у2}.

2Л5.*Четыре точные собственные функции. Проверьте равенство

(亚" + 4亚" + 2r亚‘亚")’=亚V + 4ф/// + 2r亚，亚〃，+ 2R(亚〃)2.

Докажите, что собственные функции задачи (Е2.4), (Е2.5) имеют вид: (i) Л = 0, 0 = W, (ii) Л = 2, 0 = Фх, (iii) Л = —1, ф = cosg 亚 и (iv) Л 二—1, ф = sin。если W〃 二 0 при в = 士а.

(Дин [Dean, 1934] нашел решения (i), (ii). Фактически уравнение завихренности (2.4) инвариантно относительно действия группы вращений т*Тт, 010 + 6, “т 吵 для всех действительных 6, поэтому Ф(04-(У)=亚(0)+6 亚'(0)+。伍2) цриб т 0 также является решением этого уравнения, в результате имеем 吵'=W, т.е. Л = =0, 0 =亚'・ Уравнение также инвариантно при преобразованиях :и т 工 + 6cosQ, у 1 у + 6 sin 仇 吵 т 叽 для которых Ф(0 — Jr-1 sin(0 -尸))=亚(0)—打-isin(g —例亚'+ 0(卢)при ^ —> 0, поэтому Л = —1, ф = sin(g —尸)亚〈g)).

2Л6.*Собственные функции для течения Стокса, Покажите, что если Я = О, то четной собственной функцией задачи (Е2.4), (Е2.5) является

,、_ cos Л0 cos(A — 2)6

—cos аЛ cos а(А - 2)'

где Л — ноль функции У(—Л), а V определяется выражением

V (р) = (р + 1) sin 2a + sin 2a(р + 1).

Докажите, что 2 — А также является собственным числом.

Аналогичным образом найдите нечетные собственные функции.

.Задача об устойчивости течения Пуазейля в трубе. Запишите уравнения Навье-Стокса в цилиндрической системе координат (ж, г, 0), используя безразмерные переменные и число Рейнольдса Я.

Линеаризуйте эти уравнения относительно основного течения несжимаемой вязкой жидкости со скоростью U = U(T)i и давлением Р = Р(ж), где U(t) = 1 — г2, Р(ж) = Ро — 4ж/Я для О < г < 1, полагая u = U 上 u‘, р = Р ^р1 (см. пример 2.11).

Неустойчивость вследствие линейного резонанса. Положим da;dy・

石=-дм + ер*у,— =。2工-и%

где 32 = 3i + be для действительных 3力 е,瓦 Покажите, что подстановка нормальных мод ж, у a e-ia* приводит к дисперсионному соотношению

3 = 31 + $£ 士 £(庐—4Plp2)'/2.

Докажите, что нулевое решение х = у = Q является устойчивым, если € = 0, и неустойчивым для малых е, когда 4Plp2 > 62.

(Физики, работающие в области физики твердого тела, называют этот резонанс “avoided crossing5^. Посредством него слабая линейная связь двух нейтрально устойчивых волн приводит к неустойчивости основного состояния. Дразин [Drazin, 1989] показал, что при помощи этого механизма пловучесть, обычно считающаяся стабилизирующим фактором, может дестабилизировать

3Буквально переводится как “перекресток, который избежали". (Прим. ред. персе.)

короткие волны для устойчивого основного параллельного течения; см., например, [Drazin & Reid, 1981, уравнение (44.36)]).

Нормальные моды, которые являются точными решениями нелинейных уравнений. Пусть u = U(x,t), р = P(x,t) являются решениеми уравнений Навье-Стокса

ЗиЗи+ и • Vu =——Vp + 〃Аи,P+ и • Vu =——Vp + 〃Аи,PV • и = 0,V • и = 0,

Зи

Зи

+ и • Vu =——Vp + 〃Аи,P

+ и • Vu =——Vp + 〃Аи,P

V • и = 0,

V • и = 0,

которые описывают течение однородной несжимаемой вязкой жидкости в неограниченной области. Считая это течение основным и полагая u = U + и', р =尸 + р\ где и' = /(х, t)u(t), для некоторых функций /, й таких, что ▽ • и' = 0, покажите, что соотношение

u'・ Vuz 二 0

удовлетворяется тождественно. Докажите, что если линеаризованная задача имеет решение в виде нормальной моды, где /(х, %) = g(k • х — 3%) и u a eat для действительных к, з, сг, то это возмущение также является точным решением нелинейной задачи.

Возвращаясь к рассмотрению основного течения покажите, что если U(x,t) = S(t)x + U0(t) — неустойчивое линейное сдвиговое течение с некоторой матричной функцией S, то

trace(S) = 0,trace(S) = 0,

trace(S) = 0,

trace(S) = 0,

где M(t) — симметрическая матричная функция [Craik & Criminale, 1986].

Неустойчивость эллиптического течения. Рассмотрим стационарное основное течение однородной несжимаемой вязкой жидкости с функциями

и =и =鼻（-公^%，0），鼻（-公^%，0），_ 2a2 b2pQ2(①2 + y2) 一(a2 + 产)2-_ 2a2 b2pQ2(①2 + y2) 一(a2 + 产)2-

и =

и =

鼻（-公^%，0），

鼻（-公^%，0），

_ 2a2 b2pQ2(①2 + y2) 一(a2 + 产)2-

_ 2a2 b2pQ2(①2 + y2) 一(a2 + 产)2-

Ж2 у2 Z2Ж2 у2 Z2где а, b, p, Q — положительные постоянные. Покажите, что вектор вихря V х U = 2Ск постоянен. Проверьте, что это течение удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса и что U • п = 0 на эллипсоиде, заданном уравнением

Ж2 у2 Z2

Ж2 у2 Z2

=

где п — вектор нормали к эллипсоиду (хотя течение и не удовлетворяет условию прилипания на эллипсоиде).

Рассмотрим возмущение скорости в форме

и' = (aqz/c — ary/b, brx/a —如z/c, cpy/b — cqx/a)

для некоторых функций р, g, т, зависящих только от 力.Покажите, что вектор вихря имеет вид

V х и;=((庐 + c2)p/bc, (с2 + а2)д/са(а2 + 52)г/а5),

являясь вектором, постоянным в каждый момент времени, и с учетом этого приведите линеаризованные уравнения для завихренности в вязкой несжимаемой жидкости к виду

^蜀一出"一出^蜀一出"一出优d优d_ 2СаЬ俨 一 i)g

^蜀一出"一出

^蜀一出"一出

优d

优d

_ 2С叫巒-*p

=о.

Подставив нормальные моды р, g а е", покажите, что

2 _ 4Q2a252(c2 - №)(а2 - с2)$ 二伍2 + c2)(a2+c2，(a2 + i>2,2,

откуда следует, что течение является неустойчивым, если а < < с < 5 или 也 < с < а, и устойчивым (по отношению к этим возмущениям) в противном случае [Lamb, 1932, параграф 384]. (Заметим, что найденная выше устойчивость для случая b = a согласуется с устойчивостью основного течения при вращении твердого тела (см. упражнение 5.12), хотя и имеет место неустойчивость при 0 < b — а《1 при условии а < с < 5. Заметим также, что значение вязкости не влияет на результаты, потому что члены с вязкостью обращаются в ноль для рассмотренных возмущений специгшьного вида).

Принцип минимума энергии Кельвина и устойчивость потенциальных течений. Докажите, что из всех течений идеальной несжимаемой жидкости в односвязной области с заданным нормальным потоком на поверхности, безвихревое течение имеет наименьшую энергию.

Объясните, рассматривая двумерные возмущения однородного течения U = Ui в квадрате —Е < х,у < " почему основное безвихревое течение, хотя и представляет собой течение

Упражнение

с минимальной кинетической энергией, не является с необходимостью устойчивым. Покажите, что линеаризованное уравнение для возмущений завихренности удовлетворяется при ^(ж, у, %)= =/(ж —Ш, у) для любой дифференцируемой функции / и, следовательно, задача для возмущений скорости и^ж, y,t) не является корректной, если граничные условия таковы, что нормальная компонента и' обращается в ноль на сторонах квадрата. Кроме того, если 7'(工，弘0) = ^(ж, у) в квадрате и ^(-Д У^)=五("") при t > 0, где U > 0, а. д и h являются заданными функциями, найдите С' внутри квадрата для t > 0. Докажите, что С' не обязана быть малой при t —> оо, даже если д(м, у) = 0 для всех ж, у. (По [Drazin & Reid, 1981, Problem 1.1]. См. [Lamb, 1932, параграф 45]. Подсказка: d^/dt 4- Ud^/dx = 0, ^(ж,^,^) = g(c — Ut^y) для 0 < t < (ж 4-力/U и U =五®，力一工勿> для (ж + L)/U < t).

Неустойчивость Джинса для самогравитирующего газа. Динамика самогравитирующего межгалактического газа моделируется уравнением Пуассона

△0 = 4тгСр,

уравнениями Эйлера, уравнением неразрывности

Р (^ + u ・ Vu)二-Vp — pV0, 警 + ▽・(pu) = 0,

а также уравнением состояния р = р(р) для баротропной идеальной жидкости, где ф — гравитационный потенцигш, a G — постоянная гравитации.

Рассматривая малые возмущения основного состояния покоя с ф = Ф(х), р = jR(x), и = 0 обозначая их штрихами:

0 = ® + “， р = R + r^ u = и',

линеаризуя уравнения движения и пренебрегая произведениями возмущений, получите

△“ = 4ttG//,

誓+ 5(码=0,誓+ 5(码=0,

誓+ 5(码=0,

誓+ 5(码=0,

где с = [dp(R)/dR]i/2 一 скорость звука для основного течения. Предполагая, что основное состояние является однородным с Я = const, Ф = const (хотя последнее соотношение влечет

за собой равенство Я = 0 не имеющее физического смысла, и в дальнейшем будем предпологать, что R > 0), используя нормальные моды uz, 〃，3х ос е‘к，х+“，покажите, что

У = 47tGjR — c2k2.

Докажите, что однородный газ является гравитационно неустойчивым по отношению к длинным волнам [Jeans, 1902].

Глава 3

Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца

Отправляющиеся на кораблях в море, производящие дела на больших водах, видят дела Господа и чудеса Его в пучине: Он речет, — и восстает бурный ветер и высоко поднимает волны его...

Пс.106, 23-25

Для лучшего понимания механизмов и концепций линейной теории устойчивости, изложенной во второй главе, полезно рассмотреть несколько простых примеров. Во всех этих примерах можно усмотреть общие этапы изучения устойчивости: (1) идентификация физического механизма неустойчивости данного течения и моделирование неустойчивости выбором соответствующей системы уравнений и граничных условий; (2) выбор решения, удовлетворяющего системе уравнений, для описания основного течения; (3) линеаризация системы методом малых возмущений на фоне основного течения; (4) использование метода нормальных мод; и (5) приложение результатов для понимания характера наблюдаемой неустойчивости или контроля за ней. Для начала будет рассмотрена классическая задача, которая не требует много математики. Эта задача относится к описанию важного физического механизма, посредством которого градиент завихренности основного течения стремится дестабилизировать течение.

Основное течение

Рассмотрим основное течение в двух горизонтальных параллельных бесконечных и расположенных один над другим слоях несжимаемых идеальных жидкостей, имеющих различные скорости и плотности. Основное течение задается, соответственно, распределениями скорое-

ти плотности и давления

U(z)= {壯 №)={侬P{z}=[P^9p2Z(3.1)

[Uli,I Pl, J [po-gpiz для z < 0, ')

где U*、U? — скорости течений в двух слоях, pi,他—плотности слоев, ро — постоянное давление, z — вертикальная координата и g —ускорение свободного падения.

3・2・ Физическое описание неустойчивости

Гельмгольц [Helmholtz, 1868] отметил, что “каждая геометрически идеальная острая кромка, обтекаемая жидкостью, должна разрезать ее на две части, формируя поверхность раздела при медленном движении жидкости", тем самым неявно признавая существование представленного выше основного течения; математическая задача о неустойчивости, однако, была впервые поставлена и решена Кельвином [Kelvin, 1871], а эта неустойчивость получила название неустойчивости К ель в ина-Гельмг ольца. Мотивы, в соответствии с которыми Кельвин выбрал указанное основное течение, ясны не до конца, но он был другом Гельмгольца и, как увидим, применил эту модель с целью попытаться понять механизм генерации ветром океанических волн.

Физический механизм неустойчивости Кельвина-Гельмгольца был описан Бэтчелором [Batchelor, 1967, р. 515-516] в терминах динамики вихревых движений. Для простоты описания положим на некоторое время, что Ui = —К U2 = V > 0 и рг = Р1? т.е. рассмотрим специальный случай вихревго слоя в однородной жидкости, пренебрегая эффектом плавучести. Далее, рассмотрим начальное возмущение, которое слегка смещает слой, так что его отклонение становится синусоидальным. Вновь для простоты полагаем, что течение является двухмерным в плоскости (m,z), так что отклонение слоя в последующие моменты времени описывается соотношением z = ^(ж, t). Бэтчелор проследил динамику вихрей, используя их следующие фундаментальные свойства: каждая вихревая линия в идеальной жидкости переносится вместе с жидкостью и вызывает вращательное течение с циркуляцией, равной интенсивности вихревой линии. Завихренность du/dz — dw/dx в слое положительна для V > 0. Положительная завихренность сносится из точек типа А (рис. 3.1), где С = 0, д^/дх > 0, по направлению к точкам типа С, где С = 0, д^/дх < 0, потому что завихренность в части слоя, смещенной вверх (или вниз) индуцирует скорость с положительной (или отрицательной) компонентой по оси ж в любой части полосы, где z > 0 (или < 0). В частйости, индуцированная скорость в точках типа В в каждой части смещенной вихревой полосы имеет положительную компоненту по оси ж. Положи-

Рис. 3・1・ Рост синусоидального возмущения вихревого слоя с положительной завихренностью, направленной по нормали к плоскости рисунка. Величина локальной интенсивности слоя соответствует его толщине. Стрелки указывают направления самоиндуцированного движения завихренности в слое и показывают (а) накопление завихренности в точках типа А и (б) общее вращение вокруг точек типа С, что все вместе ведет экспоненциальному росту возмущения (по [Batchelor, 1967, Fig. 7.1.3])

тельная скорость, накапливающаяся в точках типа С, будет генерировать направленные по часовой стрелке скорости вокруг таких точек и тем самым усиливать синусоидальное смещение вихревой полосы. Совместное действие процессов накопления завихренности в точках типа С и вращения близлежащих точек слоя будут приводить к экспоненциальному росту возмущения без изменения его пространственной формы до тех пор, пока возмущение остается достаточно малым для того, чтобы значительно изменить основное состояние. В дальнейшем справедливость этого физического описания будет обоснована при помощи некоторых математических деталей.

3・3・ Основные уравнения для возмущений

Кельвин предположил, что возмущенное течение является безвихревым с каждой стороны вихревого слоя. Так будет, если начальное возмущение являлось безвихревым, потому что безвихревое течение в невязкой жидкости остается таковым всегда. Тем не менее, также возможны начальные возмущения с завихренностью. Для упрощения используемого математического аппарата примем это ограничительное предположение Кельвина, имея в виду, что оно позволяет доказать неустойчивость, но не позволяет судить об условиях устойчивости потому, что это предположение не содержит информации о вихревых возмущениях. Фактически, как будет видно из упражнения 3.4 и главы 8, вихревые возмущения не являются неустойчивыми, так что Кельвин нашел как необходимое, так и достаточное условие неустойчивости. Таким образом, предполагается существование потенциала скорости ф с каждой стороны поверхности раздела между двумя по-

токами с U = ▽，，где

Для^><,(3.2)

I 加 для z < С,

поверхность раздела имеет форму

z=C(/2/<),(з.з)

когда течение является возмущенным. Уравнения неразрывности и несжимаемости дают V • и = 0 и поэтому лапласианы потенциалов обращаются в ноль, т. е.

△勿=0 для z > С, A。] = 0 для z <，・(3.4)

Заметим, что уравнения движения Эйлера были использованы только неявно, обеспечивая сохранение безвихревого движения.

Граничные условия определяются следующим образом:

предполагается, что начальное возмущение возникает в конечной области, так что для любого момента времени

▽0 Т U при Z Т ±8；▽0 Т U при Z Т ±8；(3・5)(3・5)

▽0 Т U при Z Т ±8；

▽0 Т U при Z Т ±8；

(3・5)

(3・5)

жидкая частица на поверхности раздела двух жидкостей должна двигаться вместе с этой поверхностью, движение происходит без образования полости между жидкостями. Поэтому вертикальная скорость определяется при помощи субстанциональной производной от возвышения поверхности (см. [Lamb, 1932, р. 7]):

(3.6)(3.6)дФ М ас .дфдс дф ас

(3.6)

(3.6)

灰二市=丽+瓦陆+否切npHZ

Это кинематическое условие совпадает с соответствующим условием для поверхностно-гравитационных волн, которые, как будет показано, могут являться продуктом рассматриваемой неустойчивости. Разрыв касательной скорости на поверхности раздела приводит к двум уравнениям:

при z = С для fc = 1,2;при z = С для fc = 1,2;(3・7)(3・7)дфк = К дфк дС дфк д(dz ~ di дх дх ду ду

при z = С для fc = 1,2;

при z = С для fc = 1,2;

(3・7)

(3・7)

нормальное напряжение в жидкости является непрерывным на поверхности раздела. Для идеальной жидкости это дает динамическое условие непрерывности давления:

Pi G — £(V0i)2 — @01/dt — 9z =

г 1]

=Р2 С2 — d(V02)2 - ”2/出-gz при z = С, (3.8)

3・4・ Лкнеарнзованная задала63

которое следует из теоремы Бернулли для безвихревого течения, справедливой с каждой стороны вихревого слоя z = С・ Для того чтобы основное течение удовлетворяло этому условию, постоянные Ci, С2 должны быть связаны соотношением

Pl(G _ ^U；) = Р2 (。2 — ^2^ •(3.9)

Уравнения (3.2)-(3.9) представляют собой полную нелинейную систему уравнений для возмущений основного течения (3.1).

3・4・ Линеаризованная задача

Для исследования линейной устойчивости запишем

ф2 = U2x 4- Ф2 для z > <,。1 =。1工 + 弘 для z < С, (3.10)

а для эффективного определения малых возмущений искомых функций пренебрежем произведениями 01, 0* С・ В силу того, что отсутствует характерный масштаб длины для скорости основного течения, не совсем ясно, насколько малой должна быть величина С для того, чтобы процедура линеаризации была справедливой. Однако можно достаточно убедительно оправдать линеаризацию, если смещение поверхности и ее наклон являются малыми в безразмерной форме, т. е. д^/дх, д^/ду 《1 и дС 《 匿，可・ Если эти неравенства выполняются, а также признается, что точное положение поверхности при z = С может быть заменено положением z = 0 в основном состоянии при разложении в ряд Тейлора

［九］2=e=［丸］2=0+ UM/a*=o + ・・・，

то линеаризация уравнений (3・4)-(3・8) является оправданной, приводя к следующим уравнениям и граничным условиям:

△弘=0 для z〉0, △科=0 для z < 0;(3.11)

▽0* Т 0 при z Т 干оо для fc = 1,2 соответственно;(3.12)

J^ =書 + Ujg ^-при z = 0 для fc = 1,2,(3.13)

网("誓+簪+")=/3礬+礬+或)п₽и Z = 0.

(3.14)

Легко заметить, что все коэффициенты этой системы линейных уравнений в частных производных являются постоянными величинами, а все границы — горизонтальны. Далее используем метод нормальных мод, предполагая, что произвольное возмущение может быть выражено при помощи независимых мод в виде

《先也)=伍,厶⑶,公⑶)ei("，+心)+".(3.15)

Эта процедура сводит задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, где z — независимая переменная, $2 ——функции только переменной z, а является постоянной величиной.

Из уравнений (3.11) следует

$2(z) = A2^z + 瓦診，(3.16)

где Дг И В2 ЯВЛЯЮТСЯ произвольными ПОСТОЯННЫМИ И W = (А? + 尸)1/2 —полное волновое число. Из граничного условия (3.12) на плюс бесконечности следует, что & = 0 и поэтому

$2(z) =42е-&・(3.17)

Аналогично получаем

ф^) = А^2.(3.18)

Уравнения (3.13)$， (3.14) приводят к трем однородным линейным алгебраическим уравнениям для трех неизвестных постоянных С, 41, <2・ Уравнения (3.13) дают

4 = -(s + ikU2)C/k 4 = (s + i6Ui)《/A (3.19)

и, следовательно, определяют собственные функции (3.15) с точностью до произвольных постоянных сомножителей. Тогда уравнение (3.14) приводит к уравнению для собственных значений

Pi [й + (s + ifcCZi)2]=偌 Rg - (s + 诚5丹・(3.20)

Решение этого квадратного уравнения дает две моды, для которых р11/2

S = —ik Р15 + P2U2 ± k2piP2(Ui - 5)2 —句(必一P2)(3 21)

Pl + P2(P1 + P2)2Pl + P2

Обе моды являются нейтрально устойчивыми, если

而(屐-Р2)> 炉必他(5 - U2)2.(3.22)

В случае равенства имеет место маргинальная устойчивость. Одна мода является асимптотически устойчивой, но другая неустойчива, если

而(。；-Р2) < 62Plp2(Ui -。2产・(3.23)

Это и есть необходимое и достаточное условия устойчивости мод с волновыми числами 6」・ Таким образом, течение всегда неустойчиво (по отношению к модам с достаточно большими 6, т.е. по отношению к коротким волнам), если Ui ?。2・

3・5・ Поверхностные гравитационные волны

В качестве приложения полученного результата рассмотрим отдельно специальный случай. Условия р2 = ^ ^ Ui = U2 = Q соответствуют модели поверхностных гравитационных волн на глубокой воде. Эти волны являются устойчивыми и имеют фазовую скорость

с 二 \s/k 二 ±(gz/笈)1/2,(3.24)

как это хорошо известно. Данный случай иллюстрирует идентичность волн и колебательно устойчивых нормальных мод. Часто оказывается полезным рассматривать волны как специальный случай гидродинамической устойчивости.

3・6・ Внутренние гравитационные волны

Когда основное течение является состоянием покоя ((Д = U? = 0), имеем

s = ±Eg(P2-m)/(m + P2)] / •(3.25)

Состояние неустойчиво в том и только в том случае, когда pi < />2, т.е. когда тяжелая жидкость находится над легкой. Однако если Pi > />2? то состояние устойчиво, а нормальная мода представлят собой волну, распространяющуюся с фазовой скоростью

С = ± 卜(他一 Р1)/Цр1 + Р2)] / •(3.26)

Собственные функции (3.15) для потенциала скорости затухают экспоненциально с расстоянием при удалении от поверхности раздела, как во всех случаях неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, и, таким образом, движение является ограниченным в окрестности поверхности раздела двух жидкостей. Эти волны представляют собой

Рис. 3.2. Результат ранней стадии неустойчивости Релея-Тейлора Крабовидной туманности, наблюдаемой через большое время после расширения газа в пространство (воспроизведено с разрешения Chandra X-Ray Observatory)

специальный случай внутренних гравитационных волн, которые могут распространяться внутри стратифицированной жидкости вдали от какой-либо границы. Они могут наблюдаться в слоях между пресной и соленой водой, которые появляются в устьях рек; верхняя граница пресной воды может быть очень гладкой, в то время как сильные внутренние гравитационные волны возникают метром или двумя ниже, потому что для пресной и соленой воды (pi — Р2)/(Р1 + Р2) * * IO-2 《 1 и уравнения (3.23) дают относительно малые скорости для заданной амплитуды смещения поверхности раздела.

3・7・ Неустойчивость Релея-Тейлора

Собственные числа (3.25) могут интерпретироваться иначе, если жидкая система в целом имеет направленное вверх вертикальное ускорение величины /. Тогда, используя принцип эквивалентности в динамике или решая задачу с нормальными модами, имеем

s = ± [而(他-Pi)/(P1 + 他)],(3.27)

3.8. Сдвиговая неустойчивость 67 где д' = f+д — кажущееся гравитационное или результирующее вер- тикгшьное ускорение системы. Отсюда следует, что неустойчивость имеет место в том и только в том случае, если д' < 0, т.е. результирующее ускорение направлено от легкой жидкости к тяжелой. Эта неустойчивость была названа неустойчивостъю Релел-Тейлора в честь теории Релея [Rayleigh, 1883] устойчивости стратифицированной жидкости, находящейся в состоянии покоя под воздействием гравитационных сил, и наблюдения Тейлора [Taylor, 1950] о важной роли ускорений, отличных от гравитационных (см. упражнение 8.20).

Неустойчивость Релея-Тейлора можно легко наблюдать при быстром ускорении стакана воды вниз (если он прозрачный!). Количественные наблюдения были сделаны Льюисом с соавторами [Lewis et aL, 1950]. Существует большое количество приложений данной теории. Одно из них относится к наблюдению молодых сверхновых звезд, в которых газ концентрируется в тонких оболочках позади поверхности раздела, теряющей ускорение после взрыва, в результате которого более плотный газ оказывается лежащим внутри менее плотного, по мере того, как расширяющаяся сфера распространяется в область межзвездного газа [Gull, 1975]. После этого долгое время наблюдается последовательное нарушение симметрии с формированием волокон (см. рис. 3.2).

3・8・ Сдвиговгш неустойчивость

Естественный механизм сдвиговой неустойчивости в отсутствии плавучести имеет всеобъемлющую важность. Лундгрен [Lundgren, 1982] выдвинул гипотезу, что именно эта неустойчивость является основной при возникновении турбулентности при больших числах Рейнольдса, разрушая сдвиговые слои.

В присутствии вихревого слоя в однородной жидкости (pi = 02, CG ? %) уравнение (3.21) дает

s = -$k(Ui + U2) 士 *(% - %)・ (3.28)

Одна из этих мод растет экспоненциально, так что течение всегда неустойчиво; моды являются растущими и затухающими волнами, имеющими фазовую скорость, по величине равную средней скорости основного течения с = ^k(Ui + %)/*, спроецированной на направление (k/k^ 1/1) распространения. Неустойчивыми являются волны всех Длин из-за отсутствия масштаба длины для основного течения. Ско- ростъ роста возмущений пропорциональна к, так что короткие волны растут быстрее, однако не существует наиболее быстрорастущей волны. Фактически, линеаризованнгея задача с начальными значениями

Рис. 3・3・ Схема сворачивания вихревого слоя вследствие сильнонелинейного роста двумерного возмущения. Форма поверхности посчитана для различных временных интервалов по [Krasny, 1986, Fig. 2]; воспроизведено с разрешения Academic Press)

для этого течения является плохо поставленной и особенность в профиле вихревой полосы может развиваться за конечное время, даже если начальные данные являются аналитическими. Также можно видеть, что среди всех волн заданной длины 入=2тг/Х наиболее быстро растут волны, которые распространяются в направлении основного течения (т.е. к = к). Таким образом, через некоторое время волны в направлении течения становятся доминирующими.

Можно было бы ожидать, что не будет границ устойчивости вихревого слоя в идеальной жидкости, потому что не существует безразмерной комбинации физических параметров U? — U* pi, определяющих рост возмущений в этой модели. (Существенной является только разность скоростей, поскольку возможно, без потери общности, придать любое значение средней скорости ^(СЛ + U公,применив преобразование Галилея). Взяв в качестве характерного масштаба длины L длину волны Л, а характерной скорости — половину разности компонент скорости основного течения V = ^(СЛ — %), находим характерный масштаб времени L/V = 4тг/А(С71 - СТг), в течении которого амплитуда волны вырастает в exp(6ciE/V) = ехр(2тг6/左)а ехр(2тг) * 536 раз. На практике неустойчивость не растет так быстро, из-за идегши-

заций в модели Кельвина: хотя уравнение (3.28) и хорошо описывает очень быстрый рост длинных волн малой амплитуды в сдвиговом слое слабо-вязкой жидкости, модель является сильно упрощенной для описания неустойчивости реальной жидкости. Тем не менее, амплитуда растет быстро и нелинейность искажает профиль волны в направлении основного течения и скручивает поверхность раздела, как показано на рис. 3.3. Для реального сдвигового слоя конечной толщины, называемого свободным сдвиговым слоем или слоем смешения^ будет показано (в главе 8), что короткие волны являются устойчивыми. Ной [Neu, 1984] дал более реалистичное описание сворачивания вихревой полосы и развития вторичной неустойчивости в слабо-вязкой жидкости. Тем не менее, полученный здесь результат с несомненностью демонстрирует неустойчивость сдвигового слоя по отношению к волнам с длинами много большими толщины слоя. Кельвин [Kelvin, 1871] (см. также упражнение 3.2 этой главы) включил в модель также поверхностное натяжение и плавучесть и нашел границы устойчивости вихревого слоя, определив соответстветствующее критическое значение безразмерного параметра.

Общее условие (3.23) неустойчивости Кельвина-Гельмгольца выражает нарушение балланса между дестабилизирующим влиянием инерции и стабилизирующим влиянием плавучести, когда более тяжелая жидкость расположена под более легкой. Кельвин [Kelvin, 1871] использовал эту теорию в качестве модели генерации океанских ветровых волн. Гельмгольц [Helmholtz, 1890] применил эту теорию к волнистым облакам, возникновение которых в виде регулярных последовательностей свидетельствует о неустойчивости ветров с сильным сдвигом. Замечательная фотография волнистых облаков показана на рис. 3.4 (а), где фотографу посчастливилось запечатлеть регулярную форму облаков в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны. Волнистые облака, видимые под углом, часто называют “небом макрели" (“mackerel sky") вследствие аналогии с полосатым узором на коже этой североатлантической рыбы. Рассматриваемая неустойчивость приводит к тому, что называется турбулентностью чистого воздуха (clear-air turbulence), когда не имеется достаточного количества водяного пара для того, чтобы сформировать облака, и тем самым сделать неустойчивость видимой.

В статье [Reynolds, 1883] о течении в трубе также описываются некоторые эксперименты по неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, хотя он и не идентифицировал ее как таковую. Рейнольдс заполнил трубу водой (сверху) и дисульфидом углерода (снизу) и наклонил ее. Результирующее относительное движение двух жидкостей привело к неустойчивости границы раздела между ними. Торп [Thorpe, 1969] позднее усовершенствовал этот эксперимент и явно идентифицировал неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. Один из его результатов показан на на рис. 3.4(6) и (в).

Рис. 3・4・ Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, (а) Волнистые облака около Денвера, Колорадо; фотография Поля Еранстайна (Paul Е. Branstine). О метерологических деталях, см. [Colson, 1954]

Следует подчеркнуть, что эта грубая модель Кельвина, являясь ценной первой попыткой осознать неустойчивость, тем не менее не описывает многих важных черт наблюдаемой неустойчивости, таких как ненулевая толщина сдвигового слоя, влияние вязкости и нелинейности возмущений. Кельвин также не исследовал конечную стадию эволюции неустойчивости. Как видно из рис. 3.4, в реальности вихревая полоса укручается, а затем и скручивается; Клаасен и Пелтье [Klaasen & Peltier, 1985] показали теоретически, а Торп [Thorpe, 1985] — экспериментально, что трехмерная вторичная неустойчивость Релея-Тейлора в ядрах волнистости развивается на поздних стадиях, после чего происходит окончательный распад сдвигового слоя и переход в турбулентность. Об этом сложном явлении может быть написано гораздо больше, чем здесь.

Поверхностные волны иллюстрируются в фильме [Bryson, FL1967, содержащем отрывки из F1967] и внутренние гравитационные волны в фильме [Long F1968], содержащем лишь несколько эпизодов о них. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца модифицированная на случай присутствия вязкости, показана в одном эпизоде фильма [Mollo- Christensen & Wille, FL1968], а неустойчивость Релея-Тейлора, модифицированная введением поверхностного натяжения — в другом.

Рис. 3.4. (продолжение), (б) Развитие неустойчивости на границе двух жвдкостей равной глубины, имеющих разные ускрения вследствие наклона канала [Thorpe, 1968]. (в) Момент эксперимента Торпа секундой позже

Упражнения

Закон поверхностного натяжения Лапласа. Пусть S — ограниченная односвязная гладкая поверхность с гладким замкнутым периметром С, принадлежащая поверхности раздела между жидкостью и газом. Предполагая, что поверхностное натяжение 7 приводит к возникновению силы 7 J^, n х dx на С и что эта сила находится в равновесии с результирующей силой, возникающей вследствие разности давлений Др в направлении поперек поверхности раздела, покажите что

7 ^ nxdx= / / (△「)!! dS.

Докажите, что

△р =(Е3.1)

Ослабление неустойчивости Кельвина-Гельмгольца поверхностным натяжением. Покажите, что если имеется поверхностное натяжение 7 между двумя жидкостями (параграф 3.3), то

уравнение (3.21) замененяется соотношением:

_.7%6 +他5 J 62Pl以仞-5)2

" P1 + P2(Р1+Р2)2

_+同 '：(Е3.2)

Pl + 他 L 6J J

Докажите, что течение является устойчивым в том и только том случае, если

(Ui — U2)2 < 2(pi + P2)fe7(Pi — Р2)]"2/Р1Р2,(Е3・3)

при длине волнь^наименее устойчивой волны на границе устойчивости А = 2тг/Х = 27rb/д(т —偿乎/久

Используя модель Кельвина, покажите, что ветер генерирует волны на море, если разница скоростей основных течений для воздуха и воды такая, что

15-% |> 6.6 м/с,

а наименее устойчивые волны имеют длину А =0,017 м и скорость 0,008 м/с [Drazin & Reid, 1981, Problem 1.4; Kelvin, 1871]. (Подсказка: используйте уравнение (Е3.1) упражнения 3.1, чтобы учесть поверхностное натяжение в динамических условиях на поверхности раздела. Используйте значения pi = 1020 кг-м-3, Р2 = 125 кг«м-3, g = 9, 8 м«с-2, ) = 0, 074 Н«м-1).

3・3・ Задача с начальными значениями для возмущений вихревой полосы, Предположим, что основное течение представляет собой вихревой слой в однородной идеальной несжимаемой жидкости и используем уравнения (3.2)-(3.9) с 5 = Р > 0, 5 = — К 他= =pi・ Рассмотрим безвихревое двумерное возмущение для которого начальное возмущение, поверхности раздела имеет вид

《0?, 0) = нехp(一m2/2e2).

Находя 01，О；, докажите, что

С(ж, t) = Еехр [(У2^2 — ж2) /2Z2] cos(V xt/L2) для t > 0,

[Drazin & Reid, 1981, Problem 1.5]. (Подсказка:

《工,0) = (2?г)т/2H e/ exp (-*2g+诵工)认

Следовательно,

《吃力)= (27t)t/2re《吃力)= (27t)t/2reexpexp(-犷д+ ^(-犷д+ ^&i(kVt) dk,&i(kVt) dk,

《吃力)= (27t)t/2re

《吃力)= (27t)t/2re

exp

exp

(-犷д+ ^

(-犷д+ ^

&i(kVt) dk,

&i(kVt) dk,

так как s 士 kV и d^/dt при 力=0・ Поэтому

0l(2；,z/) = 2(2тг)т/2ееу / exp (―^廿加 + 诚2)х

x (sin kx ch(fcVt) + cos kx sh(fcVt)) dfc,

с аналогичным выражением для 0g, отличающимся только знаками в некоторых местах. Заметим, что V^i, ▽玄 R 0 при t = 0).

3・4・ Влияние возмущений с ненулевой завихренностью на неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. Покажите, что в задаче параграфа 3.3 линеаризованные уравнения движения Эйлера имеют вид

Hu' Зи' _i ,

М + % 菰=-质'▽「ДЛЯ Z > £

Докажите, что △?' = 0 и возмущение вектора вихря удовлетворяет уравнению

J(xJ) = J(m - U2t,y, z) для z > C・

Отсюда заключите, что присутствие вихря в начальных возмущениях не влияет на критерий неустойчивости (3.23) [Drazin & Reid, 1981, Problem 1.6].

Устойчивость Релел-Тейлора жидкостей заключенных в вертикальный цилиндр и расположенных одна над другой. Рассмотрим несжимаемую идеальную жидкость плотности р», расположенную под аналогичной жидкостью плотности 偿,обе жидкости находятся в состоянии покоя и заключены в длинный вертикальный твердый цилиндр радиуса г = а. На горизонтальной поверхности раздела z = 0 действует поверхностное натяжение 7. Воспользуемся цилиндрическими координатами г, 0, z, где координатная ось Oz направлена вверх. Покажите, что так же, как и в упражнении 3.2, малые безвихревые возмущения состояния покоя могут быть найдены как суперпозиция нормальных мод вида

фг ос Jn(kr) cosпвe_fclzl+et и С " “(кт) cosnge",

п = 0,1,..;, где

2 _ д(м — р〕к 一 ？2

SPl + Р2

ика = j^ m — положительный ноль под номером m производной 4 функции Бесселя n-го порядка, m = 1,2,... . Докажите, что устойчивость имеет место, если

a2gs2 - Pi) < ?Лд.

[Drazin & Reid, 1981, Problem 1.12]. Этот результат показывает, что стабилизация длинных волн присутствием границы, а коротких волн — поверхностным натяжением, может иметь место для всех возмущений и в случае, когда тяжелая жидкость находится над легкой жидкостью. Данное физическое явление можно наблюдать в эксперименте [Mollo-Christensen, F1968] для реальных (и поэтому вязких) жидкостей, короткие волны в которых стабилизируются влиянием вязкости [Maxwell, 1876].

3・6・ * Неустойчив ость Релея-Тейлора q присутствии вязкости и поверхностного натяжения. Рассмотрим две несжимаемые жидкости, находящиеся в состоянии покоя и разделенные горизонтальной границей z = 0・ Пусть pi — плотность нижней жидкости, а />2 — верхней. Предположим, что обе жидкости имеют ту же самую кинематическую вязкость 〃 и на поверхности раздела действует сила поверхностного натяжения с коэффициентом поверхностного натяжения)・ При помощи метода малых возмущений покажите, что нормальные моды, пропорциональные e"+i(k‘+Jy), подчиняются соотношению на собственные значения (Pi + Р2)麻(pi - р-2) + /)] (т 一 1) + 4fc2si/(pi 一 偌)2(丁 - 1)+

+4s2Plp2 = 4方4"23_能)2(T一1)2, где fc2 = fc2 + /2, т = (1 + s//〃)'/2 и Re(r) > 0. (Подскаг ки: Линеаризуйте уравнения движения, а затем положите 仅‘= =Wj(z)est+l^kx+ly\ где j = 1 под поверхностью раздела и j = 2 над ней; докажите, что уравнения движения и граничные условия на бесконечности удовлетворяются выбором wi(z) = A^z + 4-Bie^rz,仍2 = A2^z + B2^rz. Покажите, что непрерывность нормальной и касательной компонент скоростей на возмущенной поверхности означают непрерывность w, Dw при z = 0 соответственно. Покажите, что непрерывность нормальной и касательной компонент напряжений на возмущенной поверхности дает при z = 0~~

他(02 + /)仍 2 = p1(p2 + 讲)仍1,

рг[1 — vs^^D2 — k2)]Dw2 —必口 一 〃$т(£>2 — k2)]Dw2 =

=—к2з~~2[д(р2 — pi) — k2y]w — 2 讲〃 $一1(02 — pi)Dw соответственно [Harrison, 1908); Bellman & Pennington, 1954]. См・ также [Chandrasekhar, 1961, параграф 94]).

Неустойчивость Релея-Тейлора и критерий Шварцшильда для атмосферной устойчивости. Можно показать, что^идеальная несжимаемая жидкость плотности Q(z) будет устойчива, если 歹(z) < 0 для всех z, при помощи следующего эвристического “физического” довода. “Положим, что частица жидкости на уровне zo немного поднимается (или опускается, если 6z < 0) на высоту zo +6z・ Тогда ее плотность остается p(zo) (потому что в несжимаемой жидкости плотность не рассеивается, но окружающая жидкость имеет плотность p(zo + 6z) = p(zo) + 6zQ'(zo) + °[(6z)2] при 8z T 0. Поэтому, если частица плотнее, чем окружающая жидкость (легче, если 5z < 0), то p(zo) > Q(zo+6z), т.е. Q’(zo) < 0, и силы плавучести тянут частицу назад к ее начальному уровню. Наоборот, если 歹(z。)> 0, то частица продолжает удаляться от ее первоначального уровня. Отсюда следует, что жидкость является устойчивой, если 歹(z) < 0 для всех z, и неустойчивой, если 歹(z) > 0 для некоторых z”・(Релей [Rayleigh, 1883] произвел линеаризацию уравнений Эйлера, чтобы продемонстрировать этот результат более убедительно. См. упражнение 8.19).

Известно, что атмосфера, состоящая из совершенного газа, находящегося в состоянии покоя, является устойчивой по отношению к малым возмущениям, если Г < Га, и неустойчивой, если Г > Га, Г = —d®/dz — скорость падения температуры {lapse rate) атмосферы, представляет собой вертикальный градиент температуры, взятый с обратным знаком, Га называется адиабатической скоростью падения температуры^ т.е. Га ——скорость падения температуры атмосферы в состоянии адиабатического равновесия. Придумайте или найдите “физическое” обоснование этого критерия устойчивости для атмосферы (планеты или звезды).

(Подсказка: Р = Яр0, R = ср — cv, 7 = cp/cv для совершенного газа, а Р/р7 не зависит от высоты в состоянии адиабатического равновесия).

3・8・ Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца трехмерного основного течения. Задано основное течение, скорость, плотность и давление для которого имеют вид

=+-(Р2,ПРИ Z > 0,

' 丿 I Uli +1 (Pi, IPo -gpiz при z < 0・

Покажите, что нормальным модам, пропорциональным еМ"”+1у）+“，соответствует дисперсионное соотношение

—“点（伫5 + P2U2） + I^PiVl + Рг^）]s = -±

Pl + P2

± （-u1中（眩-%）+ 产 产｝ I（P1+P2）2P1+P2 J

Докажите, что течение устойчиво, если

（Р1 + P2）（P1 L P2）g > PlP2（^U）2[k2 + 户）1",

где △£/ = [6（5 —6）+““一匕）]/（必 + 尸）〃？ 一 разность скоростей основного потока в направлении вектора волновых чисел.

3.9. Неустойчив ость Саффмана-Тейлора или неустойчив ость Ре- лея-Тейлора в пористой среде. Рассмотрим неустойчивость основного течения, для которого две несжимаемые вязкие жидкости двигаются с горизонтальной поверхностью раздела и однородной вертикальной скоростью в пористой среде. Известно, что движение жидкости в пористой среде подчиняется закону Дарси u = V^, где ф 二—6（Р + 9"）/他 р — плотность жидкости, 〃 一 динамическая вязкость, а к — постоянная величина, называемая проницаемостью пористой среды по отношению к жидкости.

Пусть жидкость, расположенная снизу, имеет плотность pi и вязкость 从 1, а верхняя жидкость — плотность 必 и вязкость 〃2 соответственно; пусть среда имеет проницаемость к± по отношению к нижней жидкости и проницаемость fc2 по отношению к верхней, а скорость основного течения жидкостей равна Wk・ Покажите, что течение устойчиво в том и только том случае, когда

（貲-告）w+gSi）2。，

[Drazin & Reid, 1981, Problem 1.11; Saffman & Taylor, 1958]. （Подсказка: используйте для мгновенного положения средней поверхности раздела уравнение z = 0, а для возмущенной поверхности —уравнение z = С・ Докажите, что △« = 0 при z R С・ Используя непрерывность нормальной скорости и давления, линеаризуйте задачу. Полагая для нормальных мод 彳 ос ехр（з^ + 1аж）, покажите, что

^信+豈）=一心一闲一信一豈）哟

Глава 4

Капиллярная неустойчивость струи

Польется как дождь учение мое...

Втор. 32, 2

Еще одна классическая проблема, не требующая применения сложных математических методов, формулируется и решается в этой главе. Это опять идеализированная модель важного физического явления, на сей раз — распада круглой струи жидкости под действием сил поверхностного натяжения.

Теория Релея капиллярной неустойчивости струи жидкости

Для иллюстрации идей и методов главы 2 рассмотрим другой пример классической задачи, впервые решенной Релеем в 1879 г. Взгляните на рис. 4.1, где изображена струя воды, распадающаяся на капли. Процесс распада выглядит как проявление неустойчивости. Будем описывать струю жидкости в воздухе (например, падение воды из приоткрытого крана) как цилиндрический объем несжимаемой идеальной жидкости, движущейся с постоянной скоростью параллельно оси цилиндра. Положим далее, что присутствует сила поверхностного натяжения, а объемлющая жидкость вне цилиндра имеет нулевую плотность. Теперь уже наиболее трудная часть нашего задания, а именно, моделирование явления с помощью поддающейся анализу математической задачи, преодолена!

Удобно использовать цилиндрические координаты (ж, г, 0). Тогда размерные уравнения, описывающие струю в возмущенном состоянии,

Рис. 4.1. Распад струи воды, по мере возбуждения различных длин волн [Van Dyke, 1982, Fig. 122]

——это уравнения движения Эйлера идеальной жидкости

Р (^ + u ・ Vu) = —▽「,(4.1)

а также уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

V • и = 0.(4.2)

Результат Лапласа (см. упражнение 3.1) о том, что скачок давления в направлении, поперечном к поверхности струи жидкости, равен произведению коэффициента поверхностного натяжения 7 и суммы главных кривизн дает

Р = Роо + ?V • п при г = С,(4.3)

где т = C(x,8,t) — уравнение возмущенной поверхности,「8 ——внешнее давление и единичный вектор внешней нормали от поверхности равен

口二(-"/珈」一次/丁能)[(次/加)2+1+("/7能)2r/2

Необходимо также использовать кинематическое условие, что каждая частица, принадлежащая поверхности, остается на этой поверхности:

"г = ^j при г = С(4.5)

Для того чтобы описать основное состояние, воспользуемся, без потери общности, преобразованием Галлилея, применение которого приводит основное состояние к состоянию покоя. Получаем

U = О, Р = роо + Э7a при 0 < г < а, (4.6)

где а ——радиус струи, 7 ——коэффициет поверхностного натяжения и роо — давление окружающей жидкости, так как V • п = дпх/дх + +3(гпг)/гЗг + дпо/гв = 1/г, когда п = (0,1, 0).

Для определения характеристик устойчивости линеаризуем уравнения относительно малых возмущений u，= u, р' = р—尸,0 = С — а. Находим, таким образом,

。絹= -▽”， (4・7)

▽ • u‘ = 0,(4.8)▽ • u‘ = 0,(4.8)

▽ • u‘ = 0,(4.8)

▽ • u‘ = 0,(4.8)

так как ▽ • и = 1/г —乎С[3R — d2^f/г2дв2 плюс квадратичные члены относительно《'и производных《'.Заметим, что эти уравнения дают

= —Р= 0,(4.10)

где оператор Лапласа в цилиндрических координатах определяется выражением

△ = д2/дх2 + д2/дг2 + д/гдг + д2/г2де2.

Переходя к нормальным модам

(и",)=(6⑺毋),0 e”+k+叫

сразу получаем из уравнения (4.10)

嘗+衅一(廿+三)户=0.(4.11)

dr2 r dr \ r2 /

Уравнение (4.11) представляет собой модифицированное уравнение Бесселя n-го порядка для функций In^kr)^ Кп(кг)\ можно взять п > 0 без потери общности. Из условия ограниченности 双丁)при г —> 0, получим

(4.12)(4.12)р(г) = А1п(кг)

(4.12)

(4.12)

для некоторой постоянной А. Из уравнение (4.7) тогда имеем й = — A(ps)"1 (ikln(kr)y kl^(kr)y inr"1^^^) .(4.13)

Наконец, линеаризованные граничные условия дают

А1П (а)二—7(1 — а2 — п2)С/а2, — А(арз)-1а/^(а)二 s?, (4.14) где а = ак. Исключая А, получаем соотношение на собственные значения

(4.15)(4.15)

(4.15)

(4.15)

В силу свойств функций Бесселя имеем al^(a)/ln(а) > 0 для всех а 0 0. Поэтому з2 < 0 для всех а, если п ^ 0, но з2 > 0 для —1 < а < 1 и з2 < 0 для а > 1 или а < —1, если п = 0. Следовательно, струя является устойчивой Re(s) = 0 по отношению ко всем возмущениям, которые не являются осесимметрическими, и неустойчивой — по отношению к осесимметрическим возмущениям, длина волны которых Л = 2тг/к больше, чем длина окружности струи 2тга. Если мы определим кт как значение fc, для которого Re(s) является наибольшим, то в результате несложных вычислений получим кт а 0,7/а.

Что представляет собой нелинейная стадия развития этой неустойчивости? Бифуркации отсутствуют (в этой модели, потому что струи всех радиусов являются неустойчивыми: неустойчивость нарастает быстрее для более тонких струй). Безразмерной комбинации физических параметров а, 7, р, определяющих модель, нет, в связи с чем невозможно определить критическое значение параметра, отвечающее границе устойчивости. Ожидается, что малое начальное возмущение струи возбуждает моды всех волновых чисел кип. Экспоненцигшьно растут только моды сп = 0и0<аА;<1ипо прошествии небольшого промежутка времени эти моды будут доминировать, содержа наиболее быстро растущую моду, скорость роста которой опережает скорость роста всех остальных мод. Экспоненциальный рост, предсказанный данной линейной теорией, не может длиться долго, потому что по мере роста возмущения становится существенной нелинейность. Без численных расчетов стадии сильно нелинейного развития возмущения возможно только ориентироваться на результаты экспериментов или рискнуть предсказать, что струя жидкости будет разрушаться с длиной волны равной 2ir/km ^ 9a. Отправляйтесь на кухню, откройте кран и проверьте для себя это утверждение! Можно также взглянуть на фотографии аккуратного лабораторного эксперимента (рис. 4.1). Еще лучше посмотреть анимацию [Trefethen FL1965, отредактированный F1965], где используется высокоскоростная фотография с тщательно контролируемым освещением. Рисунок 4.2 показывает некоторое количественное подтверждение теории Релея.

Рис. 4・2・ График безразмерной скорости роста {а^р/^^з как функции безразмерного волнового числа а для осесимметрических кгшилляр- ных мод (п = 0). Кривая соответствует теоретическим результатам Релея, а точки — экспериментальным результатам, представленным в [Donnely & Glaberson, 1966]Рис. 4・2・ График безразмерной скорости роста {а^р/^^з как функции безразмерного волнового числа а для осесимметрических кгшилляр- ных мод (п = 0). Кривая соответствует теоретическим результатам Релея, а точки — экспериментальным результатам, представленным в [Donnely & Glaberson, 1966]

Рис. 4・2・ График безразмерной скорости роста {а^р/^^з как функции безразмерного волнового числа а для осесимметрических кгшилляр- ных мод (п = 0). Кривая соответствует теоретическим результатам Релея, а точки — экспериментальным результатам, представленным в [Donnely & Glaberson, 1966]

Рис. 4・2・ График безразмерной скорости роста {а^р/^^з как функции безразмерного волнового числа а для осесимметрических кгшилляр- ных мод (п = 0). Кривая соответствует теоретическим результатам Релея, а точки — экспериментальным результатам, представленным в [Donnely & Glaberson, 1966]

Эта задача была выбрана здесь как простая иллюстрация методов линейной теории гидродинамической устойчивости, которая может быть непосредственно связана с физическим наблюдением. Однако, кроме того, она является фундаментальной для понимания явления атомизации с формированием капли и брызг. Эти более общие аспекты проблемы, а также более современные результаты по распаду струй содержатся в обзоре [Lin & Reitz, 1998].

Упражнения

Капиллярная неустойчив ость струи газа. Для струи газа в жидкости, которая находится в состоянии покоя в области г > а вне газа, покажите, что соотношение на собственные значения (4.15) заменяется на

)а抬 3) аЗр Кп(а))а抬 3) аЗр Кп(а)(Т — М),(Т — М),

)а抬 3) аЗр Кп(а)

)а抬 3) аЗр Кп(а)

(Т — М),

(Т — М),

т. е. что неустойчивость имеет место только для варикозной моды (п = 0) с —1 < а < 1 и что безразмерная относительная скорость роста GpItW2 s достигает своего наибольшего значения 0,820 при а =0,484 [Drazin & Reid, 1981, Problem 1.8].

4・2・ Роль завихренности при капиллярной неустойчивости. Из уравнения (4.7) следует, что вектор вихря з‘ = ▽ х и' не зависит от времени. Докажите, что

J(x,t) = з'(х, 0).

Обсудите значение этого факта для решения линеаризованной задачи о капиллярной неустойчивости с начальными данными, замечая, что безвихревые и вихревые компоненты возмущения удовлетворяют принципу суперпозиции [Drazin & Reid, 1981, Problem 1.9].

Капиллярная устойчивость плоской струи. Идеальная несжимаемая жидкость с плотностью р и коэффициентом поверхностного натяжения 7 находится в состоянии покоя между свободными плоскими поверхностями z = ±а・ Покажите, что устойчивость жидкости определяется уравнением

= 0 для — оо < ж, у < оо, — а < z < а

и граничными условиями

Р^ = ±，(泰 + 壷■)駕 ПрИ z =

Полагая р‘ ос exp[s土 + i(kx + ly)]^ покажите, что

2 竺 = —a3th а или — d3cthd,

7

где & = a(k2 + Z2)1/2. Докажите, что такая плоская струя является устойчивой, в отличие от круглой струи, которая неустойчива по отношению к осесимметрическим возмущениям. [Drazin & Reid, 1981, Problem 1.10]. (Подсказка: pduf/dt = =—▽「'，▽ • их = 0, и = ±(—考/比,—給/@2/, 1), Р‘ = —)▽ • п, 仅‘二—d^/dt при z = ±а・ Заметим, что s? ^ —у а3/а^р при G т 8 для коротких капиллярных волн на свободной поверхности как и в случае с круглой струей).

Глава 5

Развитие неустойчивости во времени и в пространстве

И настанут устойчивые времена твои, изобилие спасения, мудрости и ведения...

Ис. 33, 6

Более сложные свойства неустойчивостей будут описаны и объяснены в этой главе: эволюция нормальных мод как в пространстве, так и по времени, эффект малой нелинейности и балланс энергии.

*Эволюция возмущений в пространстве и во времени

Для уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости, полезно более детально проанализировать природу устойчивости.

Во-первых, заметим, что если течение ограничено (а на практике, разумеется, все течения ограничены), то имеет место счетное множество нормальных мод; если течение неограничено, то нормальных мод несчетное число. Для течения Пуазейля в примере 2.11, которое не- ограничено в направлении ж, существует континуум мод с непрерывно изменяющимся волновым числом 6 наряду с дискретными волновыми числами в направлениях 0 и т, в то же время для течения в кубе имеют место три дискретных волновых числа, отвечающих каждой нормальной моде. Таким образом, для неограниченного течения наиболее неустойчивой модой может быть только первая среди、равных, а для ограниченных течений скорость роста наиболее неустойчивой моды в общем случае будет значительно больше, чем у второй из наиболее неустойчивых мод. Для ограниченных течений с большим отношени-

ем масштабов (или большим числом Рейнольдса) наиболее неустойчивые моды обычно близки друг к другу, тем самым аппроксимируя континуум.

Полезно также делать различия между течениями, которые часто называются закрытыми и открытыми. На этот счет не принято строгих определений и закрытым обычно называется такое течение, в которым все жидкие частицы, проходящие через каждую точку, не покидают области течения. Течение, в котором жидкие частицы покидают область течения или входят в нее через границы или бесконечность называется открытым. Например, состояние покоя жидкости в непроницаемом ящике или течение Куэтта между двумя коаксиальными цилиндрами являются закрытыми. Течение Пуазейля вдоль бесконечно длинной круглой трубы представляет собой открытое течение, так же как и течения в каналах, пограничный слой Блазиуса на плоской пластине, струя, след, вихревая дорожка и свободный сдвиговый слой (слой смешения). Открытое течение часто имеет естественное начало, например, край пластины, на которой расположен пограничный слой, сопло струи или движущийся край разрезающей пластины, которая производит свободный сдвиговый слой; в этих явлениях открытое течение не обладает галилеевой инвариантностью.

Неограниченное течение допускает физически различные типы неустойчивости. Оно абсолютно неустойчиво^ если достаточно малое возмущение вырастает больше заданного порога в фиксированной точке течения. То же самое может быть выражено в математической форме определением абсолютно неустойчивого течения как течения, в котором существует малое начальное возмущение, удовлетворяющее линеаризованной задаче, такое, что

|uz(x, t)| —> ОО при t Т 8

для всех фиксированных ж. Течение конвективно неустойчиво^ если, аналогично, достаточно малое возмущение не вырастает больше заданного порогового значения ни в какой фиксированной точке, но растет в движущейся точке; в этом случае возмущение может расти экспоненциально в процессе распространения вниз по потоку (и за пределы лаборатороной сточной трубы)・ Отсюда имеем

|uz(x, t)| т 0 при t —> оо

для всех фиксированных х, но существует V такое, что

|u'(x + V& 力)I т 8 при 力 Т 8・

Заметим, что это различие не является галилеево инвариантным. Конвективная и абсолютная неустойчивости проиллюстрированы на рис. 5.1.

Рис. 5・1・ Схема развития (а) абсолютной и《6) конвективной неустойчивости в плоскости (ж, t) (по [Schmid & Henningson, 2001, Fig. 7.6]; воспроизведено по разрешению Springer-Verlag GmbH & Co. KG)

Пример 5・Z: Дисперсия, Для представления понятия дисперсии и некоторых обозначений расмотрим линейное уравнение, имеющее только вспомогательное значение:

dv! „гди182M„ ч

万Г +二冠 + (А - %加•(5」)

где W — постоянная. Это уравнение можно рассматривать как линеаризованное уравнение для задачи об устойчивости некоторого основного “течения" U. Подстановка нормальных мод

叫：М) = Re [4/3-3 切(5.2)

дает дисперсионное соотношение частоты и волнового числа:

D 的 з;А) = 0, (5.3)

где ^(к^ш; Я) = —iw + \Wfc + fc2 — (Я—Rc) для уравнения (5.1). Отсюда з =公6), где f(k) = Wk-ik2+i(R-Rc) и 叩=尸(0), R-Rc = -i/(0). Уравнение (5.1) может быть записано также в символическом виде D(-ia/ax,ia/dt；R)" = o・

“Теиение" асимптотически устойчиво, если Я < Лс, потому что все моды экспоненциально убывают. “Течение" конвективно неустой- инво, если R > Rc и W ^ Q, потому что экспоненцивльно растущие моды также и распространяются. “Течение” обсолютно неустойчиво, если R > Rc и W = Q. Групповая скорость волн (5.2) Сд = df/дк = W- 2ifc. 口

Другая важная идея, пришедшая из физики плазмы, оказывается полезной при рассмотрении возмущений, генерируемых вибрирующиМи лентами или маленькими громкоговорителями, которые помеща- ттс兄 экспериментаторами в течения в каналах или пограничные слои

в качестве малоразмерного источника колебаний фиксированной частоты. Если течение абсолютно неустойчиво, то внесение источника сразу приведет к появлению возмущений, которые растут по линейной теории в его окрестности, там где можно ожидать скорого возникновения нелинейных эффектов и, может быть, турбулентности. Если течение устойчиво или конвективно неустойчиво, то возмущения могут иметь ту же частоту, что и источник в его окрестности, где они затухают или растут по пространству. Эти возмущения называются пространств енными модами. Если источник имеет частоту з, то возмущения могут затухать или расти по пространству как где к — корень 1?(Е з; R) = 0.

Можно предвидеть, что в общем случае будет бесконечный спектр таких комплексных корней к и что наиболее быстрорастущая из нормальных мод будет преобладать в возмущении вскоре после включения источника, располагаясь вниз или вверх по потоку от источника в соответствии со знаком групповой скорости.

Для простого обоснования этих идей, рассмотрим другую вспомогательную одномерную задачу, например, основное “течение” U с возмущением ^(ж, t) и некоторой дисперсионной функцией 0(к,з), по которой можно восстановить линеаризованное уравнение

V(-id/dx,id/dt}uf(x,t) = 0.(5.4)

Для изучения развития возмущений от различных источников рассмотрим функцию Грина G мгновенного локализованного единичного источника при t = 0, ж = 0. Она удовлетворяет неоднородному уравнению

刀(-i@/加,id/dt)G(x, t) = 6(力)6他)(5.5)

и исчезает при t < 0 и при х т ±оо для фиксированных t > 0. Поучительно отметить, например, поведение G при % т оо и фиксированных x/t = V. Если основное течение асимптотически устойчиво, то

G(M,t) Т 0 при t т 8 Vk(5.6)

Если основное течение экспоненциально неустойчиво, то

G(x^t) —> оо при t Т 8(5.7)

для, по крайней мере, одного значения V. Если, более того, основное течение конвективно неустойчиво, то

G(m,力)т 0 при % т 8 для V = 0;(5.8)

и если основное течение абсолютно неустойчиво, то

G(%t) т оо при % т оо для V = 0・(5.9)

Такому рассмотрению линеаризованной задачи с начгшьными значениями и изучению решения по прошествии большого времени было положено начало Ландау [Landau, 1946] и дано всеобъемлющее развитие Бриггсом [Briggs, 1964] для физики плазмы. Ангшогич- ные идеи были впоследствии применены в теории гидродинамической устойчивости, в значительной степени Хуэрром и Монкевитцем [Huerre & Monkewitz, 1990]. Разумеется, в этих теориях поведение возмущений по прошествии большого времени является важным и с физической точки зрения. В зависимости от природы дисперсионной функции D возникают дополнительные сложности, поэтому остановимся только на основных правилах. Используя преобразования Лапласа и Фурье, выразим функцию Грина:

(5.10)

где F — контур в комплексной плоскости 6, подходящий для обращения преобразования Фурье по 6, а Е — контур в комплексной плоскости з, подходящий для обращения преобразования Лапласа. Расположение контуров F и Z, а также действия с ними, представляют собой тонкий технический вопрос, решение которого зависит от расположения особенностей интегралов, т.е. нулей дисперсионной функции d Поведение G(z,£) при t —> оо может быть определено методом наибыстрейшего спуска. Седловые точки находятся там, где групповая скорость удовлетворяет соотношению

*款%

а ветвь функции з(6) определяется из равенства 1?(к,з(к)) = 0. Во многих задачах может быть найден комплексный корень 6°, удовлетворяющий уравнению

и может быть показано, что если 1т(з(6о)) > 0, то течение абсолютно неустойчиво, а если 1т(з(6о)) < 0, то течение конвективно неустойчиво.

Аналогично, линейное возмущение от локализованного элементар- н°го источника в точке ж = 0, имеющее вещественную частоту и возникающее в момент t = 0, может быть выражено в виде интегргша с использованием преобразований Фурье и Лапласа, и можно получить асимптотическую оценку этого интеграла при t -4- оо и фиксирован- Hbix х. Это даст пространственные моды частоты з вниз или вверх ц° потоку от источника в зависимости от знака групповой скорости, если течение не является абсолютно неустойчивым.

Линеаризованные задачи с начальными данными в трех измерениях имеют гораздо более сложную структуру, чем вспомогательные одномерные задачи, тем не менее оба типа задач подчиняются сходным закономерностям. Часто оказывается, что для течений вязкой жидкости все моды устойчивы при R < %, некоторые из них конвективно неустойчивы при Rc < R < Яа? а некоторые абсолютно неустойчивы только при R > Ra, где Ra — значение числа Рейнольдса R или какого-либо другого безразмерного параметра.

Совершенно другой подход к развитию возмущений в пространстве и по времени был применен в случае эволюции волновых пакетов, состоящих из слабо неустойчивых мод. Этот подход может быть схематически представлен на интуитивном уровне снова в случае одного измерения, так что независимыми переменными являются только ж и %. Многие из идей могут быть достаточно легко обобщены на случай более высоких размерностей. В теории гидродинамической устойчивости имеет место множество задач, которые инвариантны относительно обращения оси ж и однородны по пространству, так что будем предполагать эти свойства выполненными. Пусть линеаризованная задача допускает решение в виде нормальных мод

叫:М) = Re(4eM+“)， (5.11)

с вещественными волновыми числами к и дисперсионным соотношением s = o + ir = /(fc, Я), где Я является параметром задачи, например, числом Рейнольдса. Основная идея заключается в том, чтобы алгебраически аппроксимировать дисперсионную функцию D(6,s;R) для OCR — Ас《1с целью описания узкой полосы слабо неустойчивых мод, а затем восстановить приближенное дифференциальное уравнение, которому подчиняется М・

Из инвариантности относительно отражения следует, что выражение Ae~lkx+st также представляет из себя решение линеаризованной задачи и, следовательно, /(—fc, Я) = f (6,冗)・ Предположим далее, что существует наиболее неустойчивая или наименее устойчивая мода, отвечающая волновому числу 6с(А) # 0 м что функция / аналитична по к в точке 6с, тогда <т = Re (/) имеет простой максимум при к = k&R). Таким образом,

ст = а — Ь(к2 —磯У +。[(廿—磅)3] при к т кс,

где а 〜)(R — Rj Q < b bc при R -^ Rc и. к > Q, Маргинальная кривая ь(6, Я) = 0, характерная для многих задач гидродинамической устойчивости, схематически изображена на рис. 5.2 (а). График <т как функции от к при фиксированном R в малой окрестности Яс тогда имеет форму, изображенную на рис. 5.2 (б). Заметим, что ширина полосы неустойчивых волн имеет порядок величины е при е т 0, где е= (R-Rc)1/2.

Рис. 5・2・ (а) Вид типичной критической кривой а = 0 в плоскости k、R. (б) Вид графика tr(k, А) при фиксированных RiQ<€2=R — Rc^l

Положим з = —Im[/(fcc, jRc)]. Задача при 0 < R—Rc《 1 допускает приближенные моды вида

u^x^t) = Re{ А(Х, Т) exp[i(fcca; — з%)]},(5.12)

где X, Т — “медленные" координата и время соответственно. Имеем X =巒工,т = e2t, а функция Л удовлетворяет эволюционному уравнению, члены которого соответствуют членам в уравнении (5.3). Переходя при помощи преобразования Галилея к системе отсчета, движущейся с групповой скоростью наиболее неустойчивой моды на границе устойчивости % = — [dr/dk]R=Rcik=k0» можно устранить слагаемое дА/дХ. Здесь введено обозначение 6。= kc{Rc). Модуляции наиболее неустойчивой моды, таким образом, подчиняются уравнению

дА .д2А«с、

-= 7A4- 41坛生瓦戸.(5.13)

Ото уравнение в частных производных приближенно описывает модуляцию растущего пакета слабо неустойчивых волн по пространству и во времени при распространении пакета с групповой скоростью и перестает быть верным, как только нелинейность становится существенной.

5・2・ Слабонелинейная теория

Другим важным методом теории гидродинамической устойчивости является слабонелинейная теория, по-существу представляющая собой метод возмущения характеристик линейной теории устойчивости для возмущений малой амплитуды. Этот метод также включает в себя локальную теорию бифуркаций режимов течения. В параграфе 1.1 упоминалось о том, что Рейнольдс [Reynolds, 1883] осознал физическую важность нелинейных возмущений течения Пуазейля в трубе. Первые шаги в нелинейной теории были сделаны Стоксом [Stokes, 1880] для поверхностных гравитационных волн в глубокой жидкости, Бором [Bohr, 1909] для капиллярной неустойчивости и Нетер [Noether, 1921], а также Гейзенбергом [Heisenberg, 1924] для неустойчивости плоско-параллельных течений вязкой жидкости, однако первые общие результаты по неустойчивости были получены Ландау [Landau, 1944]. Он имел свое видение слабонелинейной теории, которое позволило ему выписать уравнение, называемое ныне уравнением Ландау, но он не выводил его непосредственно для неустойчивости конкретных течений. Стационарная форма этого уравнения впервые была выведена из одной задачи механики жидкости независимо Горьковым [Gor'kov, 1957], а также Малкусом и Веронисом [Malkus & Veronis, 1958], которые решили слабонелинейную задачу о конвекции Релея-Бенара со свободно-свободными условиями на границе. Стюарт [Stuart, 1960] и Ватсон [Watson, 1960 b] первыми асимптотически вывели полное уравнение Ландау для слабонеустойчивых возмущений плоскопараллельных течений.

Из общих соображений можно описать генерацию слабонеустойчивым возмущением слабонелинейных взаимодействий и посредством этого подавление собственной неустойчивости. В линейной теории устойчивости стационарного основного течения имеющего скорость U, например, рассматривается возмущенное течение u = U+u\ уравнение движения линеаризуется для малых возмущений и' и возмущения выражаются в виде суперпозиции нормальных мод вида и' = £[4（力）6 + 4*«）6*] с некоторым малым параметром е и комплексной амплитудой 4（%） = 4（）е“, имеющей порядок единицу для умеренных значений времени 力.

Эта аппроксимация обычно обоснована при рассмотрении эволюции наиболее неустойчивой моды, когда игнорируется влияние других мод, а течение только-только становится неустойчивым, так что имеет место либо одна неустойчивая мода, либо узкая полоса неустойчивых мод в волновом пакете. Между тем, уравнения Навье-Стокса квадратично нелинейны и нелинейная часть и' • Vuz их нелинейного члена и • Vu будет генерировать члены, пропорциональные |从2|, А2 и А*2 при порядке е2. Сначала эти члены будут расти экспонен-

циально вместе с А. Затем вскоре они генерируют каскад дальнейших нелинейных взаимодействий друг с другом и нормальной модой. В некотором порядке по е, в общем случае квадратичном, имеет место резонансное взаимодействие с нормальной модой, которое изменит скорость ее роста. Тогда главным эффектом слабой нелинейности должно быть изменение медленной экспоненциальной скорости неустойчивой линейной моды, но не изменение ее венного характера.

Можно более полно описать каскад нелинейных взаимодействий, когда нормальная мода является плоской волной вида d = ё[4(堆ia±6®,z) +£(力宀它(协叫

например. Тогда образующиеся квадратичные члены будут пропорциональны |4『и ^2е21ая?^ ^2e-2iax Назовем ВОЛНОВуЮ МОДУ ОСновной, а вклад в течение, представленный членами e±2i“‘ первой гармоникой. Таким образом, основная мода как генерирует первую гармонику, которая имеет половину ее длины волны и растет в два раза быстрее, так и изменяет средний поток (при помощи члена, пропорционального |4『и не зависящего от ж). Первая гармоника и изменение среднего потока через квадратичные члены в уравнениях Навье-Стокса в свою очередь генерируют члены порядка е3, пропорциональные \А^А^ах^ \А^А^^ах^ а также A^ePiax, A*3e^3iax. (Трансляционная симметрия течения приводит к тому, что старшая нелинейность имеет не квадратичный, а кубичный порядок по е)・ Последняя пара членов представляет собой генерацию второй гармоники, длина волны которой составляет треть от длины волны основной моды. Первая пара членов резонансно взаимодействует с основной модой и может увеличивать или уменьшать скорость экспоненциального роста; в частности, это взаимодействие может уравновешивать основную моду, в результате чего образуется стационарная нелинейная волна. В соответствии с этим механизмом слабо неустойчивая нормальная мода малой величины может расти экпоненциально в течение длительного времени и, в конце-концов, генерировать слабую, но важную нелинейность, которая подавляет рост основной моды.

Технические детали слабонелинейной теории для задач гидродинамики сложны и их изложение не очень уместно для первого знакомства с предметом. Поэтому для иллюстрации основных идей теории обратимся здесь к простой модельной задаче [Matkowsky, 1970].

Пример 5,2: Модельная задача для нелинейного уравнения диффузии. Рассмотрим уравнение

dt^SinU=Rd^(5」4)

вместе с граничными условиями

〃 =0 при z = 0, тг・(5.15)

Эту задачу можно рассматривать как модельную для течения жидкости со скоростью 価(z, t) вдоль канала между параллельными стенками z = 0 и z = тг, где R — число “Рейнольдса”.

Сначала рассмотрим основое “течение” и = U, где U — нулевое решение: U(z) = 0 для всех z. Затем предположим, что основное течение возмущается следующим образом: 〃 = U + et? + о(е), г? = 0(1) при е т 0, а постоянная е может рассматриваться как малая амплитуда возмущения. Подставим решение в этом виде в уравнение (5.14), учтем граничные условия (5.15) и, приравняв коэффициенты при е, т.е. линеаризовав систему, получим

(5.16)(5.16)ди1 ,1 З2^

(5.16)

(5.16)

万L=丘庐，

從=0 при z = 0, тг(5.17)

Решение этой линеаризованной задачи может быть представлено в виде ряда Фурье

ОО u^z^t) = ^2 ^п (^) sinnz.(5.18)

п=1

Подставляя (5.18) в (5.16) и интегрируя по z от 0 до тг с использованием граничных условий (5.17), получим

-^― - ^т = - -^"4m.(5.19)

Решением является нормальная мода вида

4m (%) = 4т (0) ехр($т%), $т — 1 —^ /冗・

Отсюда следует, что мода с номером т устойчива, если R < т?. Основное “течение” устойчиво, если все моды устойчивы, т. е. если

R С Rc = minm2 = 1.т>1

Ангшогично, “тенен叮е” неустойчиво по отношению хотя бы к одной моде, если Я > 1.

Эти результаты линейной теории могут быть получены проще, хотя и более примитивным способом: (i) используя сразу нормальную моду u^z^t)=包(z)e“，(ii) выводя из уравнений (5.16), (5.17):

+ а(1 _ s)自=0,

й = 0 при z = О, тг;

а также (iii) заключая, что u{z) = sinmz, 3= 1 — 7722/jR,

как и прежде.

Рассмотрим далее слабо нелинейную стадию развития неустойчивых возмущений, когда 0 < Я — Яс ^С 1 так, что основное “течение” является слабо неустойчивым. Можно взглянуть на проблему эвристически следующим образом. Все моды ст>2 сильно затухают, когда значение R близко к Яс, таким образом, все компоненты начального малого возмущения, за исключением первой компоненты 4, будут быстро исчезать. Если 41(0) достаточно мало, то А будет сначала расти экспоненциально по линейной теории, приближенно удовлетворяя уравнению

d(e4)4

а по прошествии длительного времени порядка 1/si а 1/(Я —冗力, амплитуда 4i(t) не будет более малой, а нелинейность начнет влиять на эволюцию. Можно ожидать, что нелинейные по 4】члены должны будут добавляться к вышеуказанному линейному амплитудному уравнению в целях описания эволюции 41 для таких больших времен. Заметим, что изначальная нелинейная задача (5.14), (5.15) инвариантна по отношению к сдвигам координаты z на тг и что указанный сдвиг меняет знак sinz, а это влечет за собой смену знака у 4]. Замечая, что амплитудное уравнение для 4】должно быть инвариантно относительно смены знака у 4力 получим, что нелинейный член минимальной степени по 4】должен быть кубическим, а не квадратичным, и уравнение для амплитуд слабонелинейных возмущений, таким образом, представляет собой уравнение Ландау

= sieAi - b3司 at

где I — некоторая постоянная Ландау. Для описания эволюции 4】на больших временах необходимо, чтобы эти члены были одного порядка малости при € —> 0, т. е. при переходе к замечательному пределу при е — 0. Таким образом, необходимо потребовать si = °(巒)и， следовательно, R — Rc =。(巒)при е т 0・

Интуитивный подход, описанный в последнем абзаце, предполагает формальное введение медленного времени

T =巒力

а также разложения

(5.20)(5.20)u(z,t) = U(z) + e〃i(z,T) +€2u2(z,T) + •••

(5.20)

(5.20)

при е т 0 при фиксированных z, Т, где е = [(R — R^/R^f2 и 马 не зависит от R. Можно взять 冗2 = ±1, чтобы фиксировать положительную функцию е от R в зависимости от того, больше или меньше А, чем Rc. Такое разложение мотивировано соображениями, приведенными в последнем абзаце, однако обоснование будет дано позже, когда будет проверена его непротиворечивость (вопрос о доказательстве сходимости такого асимптотического решения слишком сложен, чтобы его ставить для подобных задач)・

Используем далее разложение (5.20) для решения задачи и для проверки того, что она всегда разрешима. Перепишем в терминах Т полную задачу, расположив меньшие члены в правой стороне уравнения:

@2〃ди

^5* + Rcu = R — + Rc(u — sin и) — (R — Яс) sin и =

(5.21)(5.21)=€2jR— + Rc(u — sin〃)一 €2jR2 sint4

(5.21)

(5.21)

и учтем граничные условия (5.15). Остается только приравнять коэффициенты при соответствующих степенях е и решить возникшую в результате последовательность линейных задач, определяя U,冗⑦ и^ 〃2,・•• по очереди. Полагая е = 0, что эквивалентно приравниванию коэффициентов при е°, получим, что равная нулю функция U является решением задачи.

Приравнивая коэффициенты при е, находим

д2и±

标+r…0,

где 〃1 удовлетворяет условиям (5.15). Для наиболее неустойчивой моды имеем

Rc = 1, %(z, Т) = 4(Т) sin z,

как и ранее в линейной задаче. Произвольная функция А подлежит определению в дальнейшем.

Приравнивая коэффициенты при е2, находим

где 〃2 удовлетворяет условиям (5.15). Отсюда 後2(z) = 0 для всех z (〃2 пропорционально 〃i； без ограничения общности рассуждений константу пропорциональности можно положить равной нулю; это не повлияет на окончательное решение, а только на способ его нахождения).

Приравнивая коэффициенты при е3, получим

"〃з ,_ _ 3t411 з—

+ й3 =+ T-Rc^l -R2微1 =

oz2ат 6

= ^^ sin z + ^ (A sin z)3 — R2A sin z =

=(祭 _&4+｝讀)sinz-^43sin3z,

а 〃з подчиняется условиям (5.15). Согласно альтернативе Фредгольма (см. упражнение 5.8) эта линейная неоднородная двухточечная граничная задача имеет либо (i) единственное решение, если соответствующая однородная задача не имеет решения, либо (ii) не имеет решения или имеет бесконечное множество решений, если однородная задача имеет решение. Следовательно, эта задача не может иметь единственного решения, так как было показано, что 〃i — решение однородной задачи. Таким образом, для существования 〃з и справедливости разложения в ряд по степеням необходимо выполнение условия разрешимости. Условие разрешимости находится следующим образом. Какой бы ни была неизвестная функция 〃з, граничные условия (5.15) дают

Следовательно,

1

=冗2从一-А3.(5.22)

dT8

Это — уравнение Ландау, в котором 冗2 三 ±1 в зависимости от того, сверхкритично или докритично “нисло Рейнольдса^Я. Изменение значения Яг меняет не решение, а только способ выражения для него, меняя масштаб е или делая его комплексным, так как на самом деле вышеприведенное уравнение Ландау имеет вид

АД1

3而=(兄-Rc)e4 -а丄0

Можно продолжать дальше с целью нахождения бесконечного числа решений 〃з и воспроизвести единственное 〃з, используя нормировочное условие, найти условие совместности для существования 〃4, затем найти само 〃4 и так далее, однако асимптотическое поведение

решения и уравнения Ландау в главном порядке для малых R — Rc уже найдено и этим следует ограничиться. Читатель может проделать итерацию самостоятельно и убедиться в непротиворечивости процедуры.

Главной особенностью поведения решения (5.20) при R т % является то, что пространственный характер неустойчивости определяется собственной функцией (а именно, sinz) для наиболее неустойчивой моды линейной задачи, а временной характер — решениями А нелинейного амплитудного уравнения (5.22).

В качестве комментария к данному примеру рассмотрите снова, как было получено условие разрешимости. Как вы думаете, каково было основание начинать с равенства 0 = [sinz du^/dz — 〃3dsinz/dz]^? Если осталась непонятным мотивация выбора этого равенства, постарайтесь решить упражнение 5.7. □

Напомним, что в параграфе 5.1 было показано, почему слабонеустойчивый волновой пакет часто описывается амплитудным уравнением (5.13). Делая те же самые предположения о дисперсионном соотношении для линеаризованной задачи гидродинамической устойчивости, рассмотрим слабонелинейную задачу для слабонеустойчивых мод так, что \А\ и R — Rc малы. Снова положим

〃(z,力)=Re[A(X, Т) exp(iac® — i^)], (5.23)

где X = е2ж, Т = €2^. Тогда А удовлетворяет нелинейному эволюционному уравнению, линейные члены в котором те же самые, что и в уравнении (5.13). Предположение о пространственной однородности теперь означает, что задача также инвариантна относительно сдвигов ж 1-4- ж + Z для всех 厶 при этом А т 4exp(iaJ)・ Следовательно, ведущие слабонелинейные члены в амплитудном эволюционном уравнении будут кубическими и будут включать в себя только Щ2А, потому что уравнение инвариантно относительно отражений и всех сдвигов по х. Пример 5.2 также показывает, что А имеет порядок е. Отсюда следует, что слабонелинейные модуляции наиболее неустойчивой моды удовлетворяют уравнению Гинзбурга-Ландау^ а именно,

л л л2 л

-=m - 1\a^a + 4h孤瓦戸， (5.24)

где I — некоторая комплексная постоянная. Это уравнение применимо для описания возмущений многих типов течений (и, разумеется, ко многим нелинейным явлениям, которые не касаются жидкостей), хотя вычисления значений постоянных очень длинны и сложны.

Формы амплитудных уравнений, отличные от уравнения Ландау (2.9), могут возникать в других задачах в рамках слабонелинейного приближения.

Как мы видели в параграфе 2.2, могут возникать алгебраические члены, отличные от тех, что содержатся в правой части (2.9); системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут иметь порядок выше первого и содержать более одной амплитуды; система уравнений может быть интегро-дифференциальной.

Далее, для возмущений открытых течений в общем случае имеет место слабонелинейная модуляция амплитуды как в пространстве, так и во времени, как показано в параграфе 5.1 для линеаризованнной задачи. Крейк - [Craik, 1985] рассмотрел эти вопросы подробно.

Тем не менее, используя симметрии задач слабонелинейной гидродинамической неустойчивости, может оказаться возможным преодолеть длинные и подробные вычисления и найти значения коэффициентов в амплитудном уравнении и определить форму амплитудного уравнения с относительной легкостью. Такая форма, например, совпадающая с формой уравнения Ландау, называется нормальной формой. Качественные свойства слабонелинейных возмущений могут быть определены из нормальной формы, так же как они определялись из уравнения Ландау в параграфе 2.2.

5・3・ Уравнение для возмущений энергии

В настоящем параграфе изучаются важные физические вопросы, относящиеся к баллансу энергии возмущения основного течения общего вида. Используя точное уравнение (2.15) для и', р‘, запишем в тензорных обозначениях

a((i/2)u")吗_

Следовательно,

(Е)(Е)(F)(F)

(Е)

(Е)

(F)

(F)

так как V-uz = 0hV-U = 0;

представляет собой тензор скоростей деформаций основного течения. Уравнение (5.25) описывает скорость изменения энергии возмущения. Каждый из входящих в него шести членов может быть интерпретирован следующим образом: (А) представляет собой скорость увеличения плотности кинетической энергии (напомним, что используются безразмерные переменные с р = 1); (В) представляет перенос кинетической энергии возмущения основным течением, (С)——энергию передаваемую возмущению основным течением, (D) — перенос энергии возмущения возмущением основного течения; (Е) представляет собой скорость работы возмущения давления, a F — вязкую диссипацию энергии.

К =К =dx.dx.Это можно увидеть более ясно, проинтегрировав уравнение энергии по области, занятой течением. Определим полную кинетическую энергию возмущения:

К =

К =

dx.

dx.

(5.27)

Тогда, если V не меняется со временем 力 используя уравнение (5.25) теорему Гаусса о дивергенции и граничные условия, получим

dK / 例 J石小寸

=-/ D^ + R-1 篇)=-/ D^ + R-1 篇)dx.dx.(5.28)(5.28)

=-/ D^ + R-1 篇)

=-/ D^ + R-1 篇)

dx.

dx.

(5.28)

(5.28)

Это знаменитое уравнение энергии Рейнольдса-Орра [Reynolds, 1895; On, 1907 b, Art. 28]. Среднее от —川|吟 часто называют тензором напряжений Рейнольдса^ потому что свертка этой величины с тензором скоростей деформаций основного течения равна локальной скорости передачи энергии от основного течения к возмущению.

Заметим, что —冗一】fv(du^/dxj)2 dx < 0 для всех возмущений, так как вязкость всегда рассеивает энергию. Кубичные члены исчезают при интегрировании, потому что нелинейные члены в исходном уравнении Навье-Стокса, дающие здесь кубические слагаемые, описывают только конвекцию энергии, а не ее возникновение или исчезновение; в результате уравнение энергии оказывается таким же, каким оно было бы, если бы задача была линеаризована (так как энергия

не поступает в V через границу 3V). Величина K^dK/dt зависит от пространственной структуры возмущений скорости, а не непосредственно от их величины, однако сама пространственная структура зависит от величины возмущения.

Энергетический метод представляет собой способ строгого вывода условий устойчивости, часто имеющих определенную общность. Основная идея этого метода заключается в том, чтобы показать, что если R достаточно мало, например,兄 < R, то вязкая диссипация настолько велика, что

，Diju'^+Л-1 (碧)]，Diju'^+Л-1 (碧)]dx < 0.dx < 0.

，Diju'^+Л-1 (碧)]

，Diju'^+Л-1 (碧)]

dx < 0.

dx < 0.

Отсюда следует, что

dK с

Следовательно, K(t) < К(0) для всех t > 0, т. е. основное течение устойчиво в среднем. Это может означать, что и'(х, %) т 0 при 力 т оо для всех х G V. Тем не менее, вполне вероятно, что К«) т 0 при 力 Т оо, но и'(хоМ)в одной единственной точке xq G V не остается малым при t т 8, так что течение может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от выбора нормы в определении устойчивости.

На этом пути может оказаться возможным доказать достаточное условие для устойчивости (в среднем) по отношению к возмущениям всех величин и R < R^ определяя R как

(5.29)(5.29)丄 _JV Dij^j dx

(5.29)

(5.29)

R 一 'У &(&&/呢)2 dx

Для всех u‘, таких что ▽•и' = 0вУии' = О или периодичной на 8» (см. упражнение 5.13). Заметим, что эти аргументы составляют содержание прямого метода Ляпунова с функционалом Ляпунова К. Основное течение устойчиво в среднем (с нормой ||и|| = (2К)】/2), если R < Rn^ следовательно, Rc > R.

Часто оказывается полезным знать, что основное течение является единственным стационарным решением, когда R < R. Если, например, 左二 % то докритическая неустойчивость не имеет места.

Со времени оригинальной работы Рейнольдса в 1895 г. было много исследований, посвященных энергетическому методу, с использованием вариационных принципов. Джозеф [Joseph, 1976] применил энергетический метод ко многим задачам гидродинамической устойчивости. Строган [Straughan, 1982] дает обзор метода и его приложений в мехаНике сплошных сред в общем и в теории гидродинамической устойчи- в℃тн в частности. Не имея возможности подробно излагать здесь этот

подход, заметим, что если R может быть найдено, то Я < Rc, хотя возможно, что R настолько меньше Яс, что это неравенство не представляет никакой практической ценности при определении, какое течение устойчиво, а какое нет. Теорема Серрина, однако, является одним из подобных результатов, которые имеют большую теоретическую ценность: все стационарные основные течения U* (х) несжимаемой вязкой жидкости в ограниченной области У устойчивы, если R < 5,71, где R = LV/v^ L — максимальный диаметр У и У = supxeV |U*(x)|. Сер- рин [Serrin, 1959] получил этот результат при помощи прямого применения неравенств, устанавливающих, что основное течение является устойчивым, если число Рейнольдса достаточно мало. Сюда попадает хорошо известный результат, что стационарное течение Стокса^ т. е. течение, для которого Я = 0, единственно и устойчиво.

Энергетический метод является дополнительным к линейной теории устойчивости в том смысле, что в рамках линейной теории можно показать, что данное течение неустойчиво для некоторых возмущений, но нельзя показать, что течение устойчиво для всех возмущений, в то время как в рамках энергетического метода можно показать, что течение устойчиво для всех возмущений, но нельзя показать, что течение неустойчиво по отношению к некоторым из них.

Упражнения

Дисперсионные соотношения. Покажите, что (i) для дисперсионной функции 刀(6,3)= W2 — Wq — v2k2 С ПОСТОЯННЫМИ Зо, •у > 0, соответствующее “течение" является устойчивым, а если (ii) 刀(6,3)= w2 4- Wq — v2k2, то соответствующее течение абсолютно неустойчиво.

Абсолютная и конвективная неустойчив ость. Рассмотрите линейное модельное уравнение

ди хгди

V— = аи, —8 < ж < оо, ох

с вещественным сг и V > 0, заметив, что и = U、где U^x^t) = 0, для всех s и t является решением, описывающим основное состояние покоя. Взяв нормальные моды в виде 〃 = Re [е】"(，-。*)], найдите дисперсионное соотношение, определяющее комплексную скорость с как функцию волнового числа к и получите критерий для устойчивости каждой моды.

Покажите, что если и(ж, 0) = /(ж), где / дифференцируема везде и / = 0 при |ж| > X для некоторого X > 0, то

u(x,t) = e^f^x — Vt)

при 力 > 0・ Покажите, что нулевое решение U = 0 устойчиво, если ст < 0, и конвективно неустойчиво, если ст > 0.

Покажите, тем не менее, что если /(ж) = Uo зесЬ2ж в области —оо < ж < оо, то и(х,力)Т 0 при 力 т оо для фиксированного ж только если a < 2V.

Конеективкая и абсолютная неустойчивость. Дано линейное модельное уравнение

д2и

для V, 〃 > 0 и вещественных сг・ Покажите, что дисперсионное соотношение 2?(fc,w) = 0 для нормальных мод с w a ^(kx-^t) имеет вид

D®, k) = —i® — kV) — cr + 〃廿.

Покажите, что нулевое решение устойчиво, если ст < 0, и конвективно неустойчиво, если <т > 0.

5・4・ Пространственные моды уравнения Бюргерса» Положив 8〃8〃 д2и

丽+嗎"森

и

u(x,t) = U + г?(м,力)

с некоторой вещественной постоянной U, линеаризуйте это уравнение для малых uf и, подставив пространственную нормальную моду

叫工由=加3-3£)

для данной частоты з > 0, выведите равенство

а 二扌(U/〃)[—1 ± (1 — 4i〃3/U2)〃2]=

=з/U + i〃J/u3 + 0{у2ш3/Ub} или

—iU/〃 — з/U + О (〃J/u3)口рИ 〃з/и2 To.

Найдите групповые скорости cg = дз]да этих мод для малых 〃з/0・

5・5. Взаимодействие мод вследствие нелинейности. Покажите, что если 価=а + 〃2, где

Uj(x,t) = Re住式力)exp(ia*)], Uj = |%| exp(i。/) для j = 1,2,

тотоиидидиaj, 0/(%) — соответственно вещественные постоянная и функция, u(x,t) = |й1| cos(sz + 01) + 检 2I cos(«2® + 02)

то

то

и

и

ди

ди

=—g { ai|&Fsin2(aiz + 弘)+ s|仓2『sin2(a2® +。2)+ +31 + 仪2)汝1| 汝 2| sin[(ai + s)z + (01 + «2)} + + 31 一 a2)汝11 汝2| sin[(ai - s)z + 01 -《2)]}.

Аналогично выразите udu/dx, когда

出(х,t) = Re[%(t) exp(i弓-x)], % = |%| exp(i^), где 丐=(%,%,%), x= (x,y,z).

Какие моды кроме первых двух гармоник 〃i и 乜2 могут быть возбуждены нелинейными взаимодействиями в механике жидкости?

Рост волнового пакета в пространстве и во времени. Дана операторная форма линеаризованного уравнения в частных производных

Покажите, что подстановка комплексных волновых решений 乜(z,t) = ^(kx-ujt) дает дисперсионное соотношение з = /(fc).

Рассмотрите решение типа волнового пакета, описываемое как u(x,t) = A^x^^U^x^t), где комплексная амплитуда А является медленно меняющейся функцией пространства и времени, а “несущая волна" U(x,t) = ^(长立一。*)имеет частоту Q = f(K) для данного волнового числа К # 0・ Выведите приближенное урав- нвнив

i 憶 + 尸(К)對 +#〃(К)礬=0,

если fn непрерывна.

Далее, дано, что слабонелинейное приближение для вещественных волн u(z,力)=Re[4(z,t)U(z,t)] приводит к уравнению

i悔+『'(К喲+#'阳礬+44『4 =。，

где I — некоторая комплексная постоянная Ландау. Устраните слагаемое с дА/дх преобразованием Галилея (замечая, что групповая скорость cg = /'(女))и перенормируйте z и % так, чтобы

получить нелинейное уравнение Шрёдингера в виде

,дА д2Ас

1証+赤+ "闺" = °.

(Слагаемое Z|A|2A, описывает главное приближение самодейст- вия слабонелинейной волны в однородной среде в общем случае; однородность влечет инвариантность по отношению к сдвигам, см. упражнение 2.3).

Некоторые условия разрешимости. Определите скалярное произведение как

他,о〉= / 微(z)o(z)dz

Jo

т d2,y doдля данных гладких функций р, q. При помощи интегрирования по частям покажите, чтот d2,y doдля данных гладких функций р, q. При помощи интегрирования по частям покажите, что他,Lo)=(炉%0)+他,Lo)=(炉%0)+d〃 d〃 и —v ——h puvd〃 d〃 и —v ——h puv*17r-о*17r-одля всех щу Е С2[0, тг] и линейный оператор L : С2[0,тг] —> С[0,тг] как

т d2,y do

для данных гладких функций р, q. При помощи интегрирования по частям покажите, что

т d2,y do

для данных гладких функций р, q. При помощи интегрирования по частям покажите, что

他,Lo)=(炉%0)+

他,Lo)=(炉%0)+

d〃 d〃 и —v ——h puv

d〃 d〃 и —v ——h puv

*17r

-о

*17r

-о

где оператор bt, называемый сопряженным к L, определен как 炉典一包也

dz2 dz 十 q

Это равенство иногда называеся тождеством Лагранжа. Покажите, что если, к тому же, 〃 = 0, о = 0 при z = 0, тг, то

他Ьy）=（炉微,V）,

Рассмотрите задачу

Ъип = Ап, 〃л = 0 при z = 0, тг,

для данных непрерывных функций Лп? если известно, что существует ненулевая функция 召 такая, что

Ь^| = 0, 〃[ = 0 при z = 0, тг.

Полагая u = tz|? v = ип, докажите, что необходимое условие для существования ип есть

〈〃[,八п〉= 0

или, эквивалентно,

У tt[(z)/in(z) dz — 0»Jo

Альтернатива Фредгольма. Даны вещественная п х п матрица А и вектор-столбец b С 2RT Будем искать решения х С JRn уравнения

Ax = b.(Е5.1)

Покажите, что

х = А」％,(Е5.2)

если А обратима.

Предположим далее, что матрица А необратима. Покажите, что если у е Жп — собственный вектор транспонированной матрицы Ат, отвечающий нулевому собственному значению, т. е. если

Ату = 0 и у / О,

то

у<Ь = 0.(Е5.3)

Условие (Е5.3), таким образом, является необходимым для существования решения уравнения (Е5.1).

Докажите альтернативу Фредгольма: либо решение уравнения (Е5.1) единственно, либо существует решение z # 0 уравнения Az = 0, которое показывает, что в первом случае А обратима и ноль не является собственным значением А, а в последнем — А необратима и х существует, только если b ортогонально всем собственным векторам Ат с нулевым собственным значением, и если х существует, то оно неединственно. (В самом деле х существует тогда и только тогда, когда b ортогонально всем собственным векторам с нулевым собственным значением).

Обсудите обобщение этих результатов на случай линейного оператора к : Н Т Н、где Н — некоторое бесконечномерное вещественное векторное пространство со скалярным произведением (•••,•••), заменяя транспонированную матрицу А сопряженным оператором А% определяемым из равенства

〈％ А〃〉= (и, A^v)

для всех 〃, и С Н, (Конечно, для матричного оператора можно отождествить At и Ат, выбрав Н = Жп и определив скалярное произведение 〈％。〉= uTv. Оператор А, для которого выполняется альтернатива Фредгольма называется фредгольмовым оператором^ не все линейные операторы являются фредгольмовыми. В качестве контрпримера можно заметить, что оператор рождения С, определенный равенством C[mi,工2,・・・]丁 = [О, Ж1, жг, •••]т, не является фредгольмовым, потому что Сх = О влечет за собой х = 0, хотя Сх = [1,0,0, ...]т не имеет решения).

5・9・ Сопряженные операторы и биортогональность в линейной алгебре конечномерных пространств. Определив скалярное произведение равенством

(U, V)= v*Tu

для всех n-векторов u, v е (?〃, покажите, что

〈и, и) > 0, Л(и, V)= (Ли, V)= (и, *V〉，〈и, V〉=〈и, V〉*

для всех ЛеС

Для данной комплексной пхп матрицы А определите сопряженную А^ так, что

(Au, г?)=他 А%〉

для всех u, V G Фп- Покажите, что At = А*т.

Покажите, что если Au = Ли для некоторого комплексного собственного вектора и / 0 и собственного значения Л, то существует такой собственный вектор v # 0 сопряженной матрицы, что А% =入* v・

Покажите, далее, что если

Au = Ли и А% = 〃v

для U, V / 0, то либо 〃二 Л*, либо

(U,v) = 0.

(Это свойство собственных векторов оператора А и его сопряженного называется биортогональностью^ часто используют нормировку (u, V)= 1, если 从=Л*).

Нелинейные моды для уравнения Бюргерса. Преположим, что для заданных 〃 > 0 и вещественной функции /

ди ди д2и

〃(аз, 0) = /(ж) для 0 < ж < 2тг,微(2开,力)=微(0,力)， 出(2?г<)=出(0,力)при t > 0.

Положив v! = u — U для некоторой вещественной постоянной “основной скорости" U, покажите, что

耳"菰”京="经.(E5.4)

Используя разложение Фурье

ОО

娼伯,t)=£崛⑸由‘，

П = —8

где 〃_九 二 哈 чтобы г? было вещественным, покажите что

1产 .

〃m(0) = ； 貝工卜山"

27r 丿о

для m = ±1, ±2,.... Что такое 〃о(0)? Умножая уравнение (Е5.4) на e-im’ и интегрируя от ж = 0 до 2тг, покажите, что

d〃m • "21. 登

石-=um- -im 乙 um^nun.

n=—oo

Докажите, что w)(t) = w)(0) и что, если 〃 велико, то

〃1(力)a 〃i(0) ехр[—i(U + u())t — 〃母・

Устойчив ость однородного течения. Проверьте, что однородное основное течение несжимаемой вязкой жидкости с постоянной скоростью U и давлением Р дает точное решение уравнений движения Навье-Стокса и уравнения неразрывности. Представляя u(x,t) = U + u'(x,t) и полагая, что и' исчезает на границе ЗУ области течения У (но не считая и' малым), покажите, что

Докажите, что течение устойчиво (в среднем). Обсудите соответствие этого результата теореме Серрина об устойчивости основного течения при малых числах Рейнольдса (см., например, [Drazin & Reid, 1981, параграф 53.1]).

5・12・ Устойчив ость равномерно вращающейся жидкости. Будет расматриваться устойчивость равномерномерного вращения несжимаемой вязкой жидкости внутри твердого контейнера. Покажите, что уравнения Навье-Стокса в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью Q, принимают вид

^ + и • Vu + 2Q х и = —▽ ^ + ^(Q х х)2 + "Au, V • u = 0.

(Подсказка: см., например, [Batchelor, 1967, параграф 3.2 и уравнение (7.6.1)]).

Покажите, что основным течением может быть, например, выбрано течение с нулевой относительной скоростью U = 0 и давлением Р = — |p(Q х х)2 внутри области V покоящегося в подвижной система отсчета контейнера 3V. Используя теорему о дивергенции Гаусса и граничное условие и = 0 на V, докажите, что

Покажите, что течение устойчиво (по [Drazin & Reid, 1981, Problem 1.2; Sorokin, 1961]).

^1=s[Zp,^^1=s[Zp,^5・I3・ Уравнение энергии Рейноль дса-Opp а. Пусть

^1=s[Zp,^

^1=s[Zp,^

(Е5.5)

где S множество гладких векторных полей 〃| в У таких, что ▽ • и' = 0 в V и и' = 0 на @У・(Е5.6)

Покажите, что

2 dx — R~2 dx — R~dx,dx,VV

2 dx — R~

2 dx — R~

dx,

dx,

V

V

где К = & ^и^ dx, а также, что

洋—С “器)、40, если Ж Я.

Покажите, что вариационный принцип, выведенный из уравнения (5.29), дает уравнения Эйлера-Лагранжа

а*

DW = -ЪТ7 + p-丛吗，

где — 2Л‘, р-1 — множители Лагранжа, связанные с соответствующими ограничениями, что дивергенция скорости равна нулю и диссипативный интеграл нормирован. Покажите, что если 冗 меньше, чем минимальное собственное значение р линейной задачи (Е5.7), (Е5.6), то основное течение глобально асимптотически устойчиво, т.е. асимптотически устойчиво относительно всех возмущении независимо от их величины.

Глава 6

Конвекция Релея-Бенара

... когда вы видите облако, поднимающееся с запада, тотчас говорите: дождь будет, и бывает так...

Лк. 12, 54

В данной главе рассмотрены частные задачи о неустойчивости течений. Неустойчивость, когда жидкость нагревается снизу, обнаруживает себя как тепловая конвекция. Это явление моделируется имеющей отношение к наблюдениям классической задачей, которая решена математически и представляет важность в качестве базовой модели тепловой конвекции и перехода к турбулентности.

Тепловая конвекция

В 1900 г. Бенар произвел ряд количественных экспериментов по тепловой конвекции. Он растопил некоторое количество воска в металлической посуде, нагревая ее основание, на котором находился слой воска толщиной 1 мм. Когда основание не было еще достаточно горячим, чтобы растопить весь воск, движение жидкого воска вначале отсутствовало. Однако когда основание было нагрето выше некоторой критической температуры, Бенар увидел шестиугольную структуру, образующиеся на поверхности воска, и сделал вывод о наличии ячеек конвекции под поверхностью. Посмотрите на рис. 6.1 для того, чтобы понять, что он увидел.

Рэлей смоделировал эту задачу в 1916 г. и исследовал ее, применяя теорию гидродинамической устойчивости. Он рассмотрел бесконечный слой жидкости, ограниченный неподвижными горизонтальными плоскостями z* = 0 и z* = d, температура которых поддерживается постоянной и равной б。и & соответственно. Геометрия задачи и обозначения изображены на рис. 6.2. В основном состоянии покоя темпе-

Рис. 6.1. Вид сверху поверхности слоя спермацета, нагретого снизу (по [Benard, 1900])

6* =肉 ^WWWW^^WW^WW^* =d

Рис. 6・2・ Геометрия задачи о конвекции Релея-Бенара ратура распределяется за счет теплопроводности, а давление является гидростатическим. Скорость, температура и давление, соответствующие основному течению, имеют, таким образом, вид

U* = 0, ®* =阮 一 (3z*,尸* = ро - gpo (z* + ^仪&‘(6.1)

соответственно, для 0 < z* < d, где /? = (0。— 6i)/d — величина, противоположная градиенту температуры основного течения, ро — средняя плотность и а — коэффициент кубического расширения жидкости. Можно предвидеть, что если /? достаточно мало, то вязкость и тепловая диффузия будут стабилизировать течение, даже если /? > О (т. е. горячая жидкость располагается ниже более холодной и, следовательно, более плотной жидкости), но если /? превосходит некоторое критическое значение, то возникает “опрокидывающая” неустойчивость.

證+ u* •▽区=必冉證+ u* •▽区=必冉(6・4)(6・4)P* = Po[l — a(0* — %)]•P* = Po[l — a(0* — %)]•(6・5)(6・5)

證+ u* •▽区=必冉

證+ u* •▽区=必冉

(6・4)

(6・4)

P* = Po[l — a(0* — %)]•

P* = Po[l — a(0* — %)]•

(6・5)

(6・5)

Буссинеск [Boussinesq, 1903, vol. II, р. 172], и, фактически, Обербек [Oberbeck, 1879] еще до него поняли, что когда изменения температуры малы, изменение таких термодинамических параметров жидкости как вязкость, тепловая диффузия, плотность и удельная теплота также малы и жидкость приближенно можно считать несжимаемой, хотя пловучесть жидкости значительна. Это происходит вследствие того, что ускорение жидкости много меньше, чем ускорение свободного падения и может оказаться, что произведением д и малой разности плотностей не всегда можно пренебречь по сравнению с другими членами в уравнениях вертикального движения. Они предполагали также, что в уравнении состояния плотность линейно зависит от температуры и не зависит от давления. Вскоре Релей предложил моделировать конвекцию в тонком слое при помощи уравнений движения, энергии и состояния для жидкости Буссинесков

^1 + щ • ▽*!!* = 一▽*(「*//>()+ gz*) +ag(0* -%)k+ 〃△*!!*, (6.2)

(6・3)(6・3)▽* • u* = 0,

(6・3)

(6・3)

Звездочки в качестве нижних индексов используются для обозначения размерных зависимых и независимых переменных. Эти уравнения называются уравнениями Буссинеска,

На неподвижной твердой поверхности, z* = const, нет проскальзывания и проникновения жидкости, так что

и* = 0.

Это условие соответствует наличию твердой плоской горизонтальной пластины. Релей считал свободную поверхность горизонтальной и стационарной с нулевым сдвиговым напряжением^ т.е.

3w*3w*а。*

на свободной поверхности, задаваемой уравнением z* = const. Если, более того, поверхность является идеальным проводником тепла, то

0* 二 const.

Pассматривалисв также другие граничные условия, например, описывающие идеальные изоляторы, когда градиент температур в основном течении возникает за счет внутреннего источника тепла.

Можно проверить, что основное состояние покоя является решени- ем вышеприведенных уравнений.

6・2・ Линеаризованная задача

Записав

И* = И： (х*，力*),0* = ®*(Z* ) + 伊(х*，土*), Р* =尸* (z*) + р： (х*,力*),

линеаризуем уравнения Буссинеска (6.2)-(6.5) для малых возмущений. В безразмерных переменных х = x*/d, t = «t*/d2, u = du*/«, 0 = =^//?d, p =心P‘]pqd эти уравнения примут вид

-^ = — Vp + RPr 0k + РгДи,. (6.6)

V • и = О,V • и = О,де訴де訴一仅=△0,一仅=△0,(6・7)(6・8)(6・7)(6・8)

V • и = О,

V • и = О,

де

訴

де

訴

一仅=△0,

一仅=△0,

(6・7)

(6・8)

(6・7)

(6・8)

где R = а/Зд心/ки — число Релея s Рт = и]汽—число Прандтля, Безразмерное число Релея характеризует отношение дестабилизирующего эффекта пловучести (для /? > 0) к стабилизирующим эффектам молекулярной диффузии и пловучести; число Рт характеризует свойства жидкости (а не форму слоя).

Применение оператора ротора к обеим частям уравнения (6.6) дает

дш而дш而=R 尸tV0 х k + 尸тАЕ=R 尸tV0 х k + 尸тАЕ(6.9)(6.9)

дш而

дш而

=R 尸tV0 х k + 尸тАЕ

=R 尸tV0 х k + 尸тАЕ

(6.9)

(6.9)

где w = V x u — завихренность. Применение оператора ротора к обеим частям уравнения (6.9) и использование уравнения неразрывности (6.7) дает

噌如（△*嗡噌如（△*嗡+ РгД2и.+ РгД2и.

噌如（△*嗡

噌如（△*嗡

+ РгД2и.

+ РгД2и.

Компонентой z этого уравнения является

2(£仅)二 RPr^O + Pr^w,(6.10)

где Д1 = 32/3ж2 + д2/ду2 — оператор Лапласа по горизонтгшьным переменным. Исключая 0 из (6.8) и (6.10), окончательно получим

係-△）（去》△卜"叫皿係-△）（去》△卜"叫皿(6.11)(6.11)

係-△）（去》△卜"叫皿

係-△）（去》△卜"叫皿

(6.11)

(6.11)

Граничные условия, которые уже линейны, и уравнение неразрывности (6.7) дают

dw _

w =万~ = 0 = 0

на твердой плоскости z = const и

d2w

на свободной поверхности z = const.

Релей использовал нормальные моды вида

О = T(z)貝 м,у)е", w = W(z)f(x,y)est.(6.12)

При таких условиях разделения переменных уравнение (6.8) приводит к уравнению Гельмгольца для /:

(6.13)(6.13)△1/ + «2/ = 0,

(6.13)

(6.13)

где а2 ——постоянная разделения; будем отождествлять а с горизонтальным волновым числом моды. Уравнения (6.8), (6.10) принимают соответственно вид

(D2-a2_s))T=-叱(6.14)

(D2- a2) (D2 -a2-s/Pr)W = a2RT,(6.15)

уравнение (6.11):

(D2- a2)(D2 - “2 - $) (d2 -(? - s/Pt)W = -a2RW, (6.16) а граничные условия на идеальном проводнике:

W = DW = Т = 0 (твердый) 1_ пi п

W = D2^ = Т = 0 (свободный) j При z —，，(・)

где D = d/dz и Т = (a2R)-i(D2 — a2)(D2 一 絞 一 s/Pr)W. Уравнения (6.16), (6.17) представляют собой задачу на собственные значения для определения характеристик линейной устойчивости.

6・3・ Характеристики устойчивости

Можно доказать с достаточной степенью общности (см. упражне- нне 6.2), что для рассматриваемых задач справедлив принцип обмена

устойчивостей, т. е. если Я < 0, то Re(s) < 0 и, таким образом, течение устойчиво, а если Я > 0, то Im(s) = 0. Первый результат физически правдоподобен: если нижняя пластина охлаждена (б。< 01), то тогда имеет место устойчивость. Второй результат влечет за собой равенство s = 0 везде на границе устойчивости.

Релей [Rayleigh, 1916а] решил задачу точно в специальном случае двух свободных границ (которые иногда называются свободносвободными границам^ при z = 0,1 (пример 6.1 далее). Он выбрал две границы свободными с целью удобства математического характера; хотя свободная граница на дне и может показаться искусственной, ее можно представлять себе, заменив нижнюю пластину слоем жидкости много меньшей вязкости [Goldstein & Graham, 1969]. Точное решение является также полезным для объяснения структуры решений задачи с другими граничными условиями.

Пример 6.1: Параметры устойчивости для свободно-свободных идеально проводящих границ. Здесь необходимо решить уравнение (6.16) с свободно-свободными граничными условиями (6.17). Можно усмотреть, что

^V = W^Ti, S = Sji ДЛЯ 72 —— 1,2,・・・，(6.18)

где

Wn{z} = sin n?rz(6.19)

и

(MM + a?) (7227r2 + a2 + sn) (n27r2 + a2 + sn/Pr) = d 冗.(6.20)

Отсюда

Sn = - ^(1 + 尸T)(九2开2 + 必)±

o-11/2

±4(尸Т - 1)2(九2开2 + a2) + 必冗尸 t/(九2开2 + a2).

Можно проверить в этом случае, что если Я < 0, то Re(sn) < 0, и 3九=0 на границе устойчивости при Я > 0. Положив зп = 0 в квадратном уравнении для зп, найдем зависимость Я, соответствующую маргинальной устойчивости моды с номером п, от волнового числа а:

Яп(а) = (п2тг2 + а2)3/а2.(6.21)

График кривой Bi(a) изображен на рис. 6.3. Она назывется маргинальной кривой^ задающей границу между растущими и убывающими

Рис. 6・3・ Маргинальная кривая — график зависимости критического числа Релея Ri от безразмерного волнового числа а. Минимум Ri находится в точке а = % [Drazin & Reid, 1981, Fig. 2.2(a)], обработано

модами в плоскости, где изменяются число Релея и волновое число; минимум числа Релея на кривой дает его критическое значение.

Для определения границы устойчивости течения находим минимум Яп для всех п, полагая n = 1 (для наименее устойчивой вертикальной моды), и затем берем минимум по всем горизонтальным волновым числам а. В результате получаем

Rc 二 min Ri (d)二 277r4/4 = 657,5,

—oo<a<oo 、丿

минимум достигается при а = ас = (тг/2)1/2 = 2,221. Отсюда следует, что при R < Rc имеет место устойчивость, а при R> Rc — неустойчивость. Если Я лишь немного превосходит 冗⑦ то следует ожидать, что только мода с п = 1 при а « ас, и никакая другая, растет экспоненциально. □

Этот тип неустойчивости иногда называют конвективной неустойчив остью^ иногда неустойчивостью Релея-Бенара, а иногда конвекцией Релел-Бенара, Необходимы численные расчеты для нахождения Rc и ас для конвекции в случае двух твердых границ, называемых иногда твердо-твердыми, а также твердой нижней границы и свободной верхней границы, которые иногда называют свободнотвердыми (см. табл. 6.1). Форма кривых R = Rn(a) в каждом случае качественно подобна форме кривой R = Ri(a) на рис. 6.3.

Размер ячеек определяется через горизонтгшьное волновое число ас, а их форма — через решение / уравнения Гельмгольца (6.13), которое является неопределенным в настоящей модели. Моделируя тонкий слой жидкости неограниченным слоем, ищем решение уравнений

Таблица 6.1. Критические значения числа Релея и волнового числа для конвекции Релея-Бенара между идеально проводящими горизонтальными плоскостями с различными граничными условиями

Свободно-свободная

Свободно-твердая

Твердо-твердая

R

657,5

1101

1708

ас

2,211

2,682

3,117

Гельмгольца, которые имеют вид мозаики на плоскости, состоящей из периодических ячеек, например, треугольных, прямоугольных, имеющих форму параллелограмма или шестиугольника. Для большего реализма необходимо учитывать влияние боковых стенок (которое делает волновое число а дискретным) или нелинейности (которое может сделать некоторые формы ячеек неустойчивыми) для того, чтобы найти формы ячеек по функции /. Так, например, если стенки имеют круговое сечение, то можно ожидать возникновения кольцеобразных ячеек (см. [Van Dyke, 1982, Fig. 140]).

Самым простым является случай длинных роликов. Можно усмотреть, что /(ж, у) = cosas является решением уравнения (6.13) и имеет период 2тг/а по ж. Также при помощи уравнения неразрывности (6.7) можно показать, что в этом случае

後=—a-isina：BDWe", о = 0, w = cos аж West,

и, следовательно, 〃 = 0 при ж = 6тг/а для к = 0,±1,±2,... . Это решение описывает ячейки в форме длинных роликов, параллельных оси у.

В теории Релея, которая здесь описана, слой жидкости бесконечен, поэтому волновое число а является непрерывным параметром. Любой реальный слой жидкости, однако, является ограниченным — должны быть боковые стенки, ограничивающие жидкость, и бесконечный слой рассматривается только как приближение слоя больших горизонтальных размеров. Так что лучше учитывать боковые стенки (см. упражнение 6.7), волновое число при этом становится собственным значением и, следовательно, дискретной переменной, для данных числа Релея и области течения. Для слоя, глубина которого сравнима с его шириной, дискретность собственых значений и собственных функций является физически важной.

Рис. 6・4・ Некоторые экспериментальные результаты, относящиеся к переносу тепла в различных жидкостях в различных контейнерах. Изображен график изменения числа Нуссельта в зависимости от числа Релея: о — вода (Рг = 7,02); Чгептан (Рг = 7,05); х — этилен гликоль; • — силиконовое масло АК 3 (Рг = 4,20); ▲ — силиконовое масло АК 350 (Рг = 44,0); △ — воздух (Рг = 0,62); □ — Меркурий (Рг = 0,025) (по [Drazin & Reid 1981, Fig. 2.6; Silveston, 1958; Rossby, 1969])Рис. 6・4・ Некоторые экспериментальные результаты, относящиеся к переносу тепла в различных жидкостях в различных контейнерах. Изображен график изменения числа Нуссельта в зависимости от числа Релея: о — вода (Рг = 7,02); Чгептан (Рг = 7,05); х — этилен гликоль; • — силиконовое масло АК 3 (Рг = 4,20); ▲ — силиконовое масло АК 350 (Рг = 44,0); △ — воздух (Рг = 0,62); □ — Меркурий (Рг = 0,025) (по [Drazin & Reid 1981, Fig. 2.6; Silveston, 1958; Rossby, 1969])

Рис. 6・4・ Некоторые экспериментальные результаты, относящиеся к переносу тепла в различных жидкостях в различных контейнерах. Изображен график изменения числа Нуссельта в зависимости от числа Релея: о — вода (Рг = 7,02); Чгептан (Рг = 7,05); х — этилен гликоль; • — силиконовое масло АК 3 (Рг = 4,20); ▲ — силиконовое масло АК 350 (Рг = 44,0); △ — воздух (Рг = 0,62); □ — Меркурий (Рг = 0,025) (по [Drazin & Reid 1981, Fig. 2.6; Silveston, 1958; Rossby, 1969])

Рис. 6・4・ Некоторые экспериментальные результаты, относящиеся к переносу тепла в различных жидкостях в различных контейнерах. Изображен график изменения числа Нуссельта в зависимости от числа Релея: о — вода (Рг = 7,02); Чгептан (Рг = 7,05); х — этилен гликоль; • — силиконовое масло АК 3 (Рг = 4,20); ▲ — силиконовое масло АК 350 (Рг = 44,0); △ — воздух (Рг = 0,62); □ — Меркурий (Рг = 0,025) (по [Drazin & Reid 1981, Fig. 2.6; Silveston, 1958; Rossby, 1969])

Обратимся к конвекции снова. Для начала ознакомьтесь с книгой [Van-Dyke, 1982, Figs. 139-142]. Взгляните на рис. 6.4, где представлены измеренные значения переноса тепла (см. упражнение 6.8) как функция от числа Релея для жидкостей с различными значениями числа Прандтля. Изображена зависимость от числа Релея числа Нуссельта^ которое представляет собой отношение актуального переноса тепла к тому переносу тепла, который присутствовал бы в случае чистой теплопроводности без конвекции. Число Нуссельта, таким образом, равно единице в случае отсутствия конвекции. Обратите внимание на то, как было обнаружено, что число Релея в начале неустойчивости почти не зависит от жидкости и, значит, от числа Прандтля тоже. Можно с успехом произвести собственный эксперимент (см. упражнение 6.18).

6・4・ Нелинейная конвекция

Итак, линейная теория устойчивости дает наиболее неустойчивую моду в виде

(6.22)(6.22)гдегде0(х") = A(t)f(x,y, a)Ti(z),

(6.22)

(6.22)

где

где

△if + a2f = О,

d4 dTd4 dT=s±Aи=s±Aи

d4 dT

d4 dT

=s±A

и

=s±A

и

si ~ k(R — Rc) при R—^RC

для некоторого fc > 0. Для свободно-свободной конвекции П(%)= =siiiTrz. Представляется правдоподобным, что если R> Rc и R — Rc достаточно мало, то имеет место только одна неустойчивая мода (строго говоря, для обоснования этого необходимо учитывать боковые стенки с целью превращения горизонтального волнового числа в дискретное). Тогда все другие моды будут экспоненциально убывать и их влиянием, таким образом, можно пренебречь. Неустойчивая мода, имея малую амплитуду 4(0) вначале, медленно растет с экспоненциальной скоростью s ~ 6(R — Rc)・ В конце концов нелинейность станет значительной и умерит экспоненциальный рост (чем меньше R— &, тем позже это произойдет).

Слабонелинейная теория по существу показывает, что для неустойчивой моды трансляционно инвариантной задачи

e = s4 - m川-関川44——.

(Эта специальная форма амплитудного уравнения возникает для мод, которые не зависят от фазы комплексной амплитуды; если волна с Af =闺壮("+吟 инвариантна относительно сдвигов в направлении оси ж, то эволюционное уравнение для амплитуды должно не зависеть от изменений ту, которые соответствуют изменениям кх). В случае конвекции Релея-Бенара были найдены вещественные s и можно установить, что нет нужды в комплексных числах, по крайней мере, для роликовых ячеек, так что можно взять А, /, %i, %2,・•• вещественными. Таким образом,

М~ = sA — АЛ3 —纟屋—• • •.

- = k(R-Rc)A-l1A3.- = k(R-Rc)A-l1A3.В общем случае может быть как положительным, так и отрицательным. Но фактически, для конвекции Релея-Бенара вычисления с применением теории возмущений по аналогии с упражнением 5.3 дают /] > 0. Это означает, что имеет место уравновешивание и можно вполне обоснованно пренебрегать 办灰，...，если 4(0) мала и 0 < Я — Яс <^С 1. Тем самым установлено каноническое уравнение для надкритической вилообразной бифуркации, такое же, как в параграфе 5.2:

- = k(R-Rc)A-l1A3.

- = k(R-Rc)A-l1A3.

(6.23)

wPy4Kaw и ^средний зубец” вил отвечают решению 4 = 0, которое представляет собой основное состояние покоя. Два остальных “зуб- g” отвечают решениям А = ±[6(冗一冗力/⑷〃* которые описывают ячеистое движение, “+" для течения в одном направлении и “一” для течения в противоположном направлении. Можно подсчитать величину полей скорости и температуры при помощи этого решения, в то время как линейная теория дает только пространственную структуру ячеистого движения и скорость (мгновенную) его роста. Заметим, что нелинейная теория дает ячеистое движение независимо от начального возмущения, которое в конце концов определяет только направление движения.

Характер первичной бифуркации при увеличении числа Релея из состояния покоя тонкого слоя жидкости, нагретой снизу, слабо зависит от числа Прандтля. После первой бифуркации происходит много дальнейших бифуркаций при увеличении числа Прандтля в зависимости от его величины (и ряда других обстоятельств). Структура бифуркаций сложна и, хотя и с некоторым риском чрезмерного упрощения, полезное впечатление о ней может быть получено из рис. 6.5, который в компактной форме описывает результаты многих лабораторных экспериментов. Часто, однако, имеет место гистерезис, когда число Релея сначала медленно увеличивается, а затем уменьшается. Для больших значений числа Релея наблюдалось множество различных форм ячеек (см. рис. 6.6).

Большинство ранних экспериментов было предпринято с мелкими жидкостями для того, чтобы согласовать эксперимент с моделью Релея. Трелфолл [Threlfall, 1975] начал эксперименты с жидком гелием в контейнерах, которые не были мелкими. Жидкий гелий позволяет с меньшими трудностями производить аккуратные измерения. Наличие не малой глубины ячейки уменьшает скорость наступления последовательных бифуркаций и они легче поддаются изучению, а также изменяет природу бифуркаций. Используя эти преимущества Алерс (Ahlers) и Либхабер (Libchaber) с коллегами сделали много интересных экспериментов по переходу конвекции к турбулентности в конце семидесятых и в восьмидесятых годах XX века. Фактом особой важности является наблюдение Либхабером и Маурером [Libchaber & Maurer, 1978] бифуркаций удвоения периода и начала хаоса при конвекции в ячейке в глубоком слое жидкости, а также теоретическая интерпретация их результатов Фейгенбаумом [Feigenbaum, 1980].

К настоящему моменту написано гораздо больше, чем здесь, о формах ячеек, боковых стенках, небуссинесковых жидкостях, переходе к турбулентности при увеличении R далеко за значение Rc и 。6 экспериментальных результатах. Конвекция Релея-Бенара может быть обобщена, если принять во внимание эффект Марангони, когда поверхностное натяжение свободной поверхности меняется вместе с температурой (см. упражнение 6.17), наличие пористой среды,

ЛО-2 10-1110102103104

Число Пранд тля

Рис. 6・5・ Режимная диаграмма наблюдавшихся форм конвекции Релея- Бенара в тонком слое жидкости между твердыми горизонтгизьными пластинами для заданных значении чисел Релея и Прандтля. Горизонтальная линия Nu = 1 отмечает начало первичной неустойчивости состояния покоя при увеличении числа Релея. Кривая II отмечает появление вторичной неустойчивости, так что стационарные длинные ролики (с осями, паргит- лельными более коротким сторонам прямоугольного контейнера) обычно располагаются преимущественно ниже кривой, а трехмерные стационарные ячейки ——над ней. Выше кривой Ш течение становится нестационарным. На кривой IV наклон графика зависимости числа Нуссельта от числа Релея увеличивается (достаточно внезапно) снова. В области V над кривой IV частоты нестационарных течении увеличиваются в процессе того, как течение становится хаотическим, о — стационарные течения; • — нестационарные течения; * — точки перехода с наблюдаемым изменением наклона; □ —результаты Россби наблюдений нестационарного течения [Rossby, 1969]; □ — результаты Уиллиса и Деадорфа наблюдений турбулентного течения [Willis & Deadorff, 1967]; △ — точка Силверстона [Silverston, 1958] перехода к нестгщионарному течению (по [Krishnamurti, 1973, Fig.4])

такой, как песок или горная порода (см. упражнение 6.13), двойную диффузионную конвекцию, когда изменения плотности, так же как и температуры, обусловлены присутствием раствора (см. упражнение 6.16), вращение основной системы отсчета, излучение тепла, эффекты Сорета и Гиббса-Томсона при росте кристаллов и другие эффекты, возникающие в приложениях. Фактически, эффект Марангони был важен в оригинальных экспериментах Бенара. Также изучались различные геометрические конфигурации, например, слой жидкости на нагретой сфере, вращающейся и невращающейся, в присутствии и отсутствии силы тяжести. Книга [Koschmieder, 1993] предоставляет большое число деталей этих и других вопросов, относящихся к линейной и нелинейной теориям и лабораторным наблюдениям. Неустойчи-

Рис. 6.6. Фотографии различных типов ячеек, стационарных и нестационарных, которые наблюдались при различных значениях чисел Релея и Прандтля, (а) Вид сверху роликовых ячеек (стационарных) (по [Srulijes, 1979]; см. [Koschmieder, 1993, Fig. 5.3])

вость Релея-Бенара имеет отношение к большому числу разновидностей конвекции, происходящей в природе, даже несмотря на то, что модель не учитывает детгшей этих процессов достаточно верно; это относится, например, к грануляции на поверхности солнца и облаков, показанных на рис. 6.7. Кроме того, большинство положений теории неустойчивости Релея-Бенара представляет интерес в связи с широким применением в нелинейной физике; многие другие проблемы эволюции в слоях, например, электрически возбужденное движение в^жвдком кристалле, имеют те же симметрии и, таким образом, демонстрируют множество сходных типов неустойчивости и образования структур. Возможно, конвекция Релея-Бернара была предметом большего теоретического исследования, чем это было обосновано ее физической важностью, но она может рассматриваться как базовая Модель для многих типов образования структур и неустойчивостей, так же как и конвекций.

Рис. 6.6 (продолжение), (d) Вид сбоку роликовых ячеек (стационарных) в силиконовом масле (по [Oetrtel & Kirchartz, 1979]; см. [Van Dyke, 1982, Fig. 139]; воспроизведено по разрешению Springer-Verlag GmbH & Co. KG)Рис. 6.6 (продолжение), (d) Вид сбоку роликовых ячеек (стационарных) в силиконовом масле (по [Oetrtel & Kirchartz, 1979]; см. [Van Dyke, 1982, Fig. 139]; воспроизведено по разрешению Springer-Verlag GmbH & Co. KG)

Рис. 6.6 (продолжение), (d) Вид сбоку роликовых ячеек (стационарных) в силиконовом масле (по [Oetrtel & Kirchartz, 1979]; см. [Van Dyke, 1982, Fig. 139]; воспроизведено по разрешению Springer-Verlag GmbH & Co. KG)

Рис. 6.6 (продолжение), (d) Вид сбоку роликовых ячеек (стационарных) в силиконовом масле (по [Oetrtel & Kirchartz, 1979]; см. [Van Dyke, 1982, Fig. 139]; воспроизведено по разрешению Springer-Verlag GmbH & Co. KG)

Упражнения

Линейное обыкновенное дифференциалньное уравнение, которое грубо моделирует конвекцию Релел-Бенара. Дано в качестве вспомогательной задачи:

^ = -ud^2w + адв,^ = -ud^2w + адв,dg 証dg 証=—Ы-20 + /?仅.=—Ы-20 + /?仅.

^ = -ud^2w + адв,

^ = -ud^2w + адв,

dg 証

dg 証

=—Ы-20 + /?仅.

=—Ы-20 + /?仅.

Покажите, что имеют место нормальные моды 仅,0 ос е", где

3 = -%〃 + /€)「士 1 [(!/ - «)2d~4 4- 4af3g]1/2.

Докажите, что нелевое решение 仅=0, 0 = 0 устойчиво, если Я > 1, где R = a^gd^/ку.

Покажите, что если отсутствует диссипация, т. е. 〃 =左=0, то

d2w赤d2w赤+ N2w =+ N2w =О,О,

d2w

赤

d2w

赤

+ N2w =

+ N2w =

О,

О,

где N2 = —а09 определяет частоту ипловучести^ N.

6・2・ Принцип обмена устойчив остей для конвекции Релея-Бенара. Умножая уравнение (6.14) на комплексно сопряженное Т* к Т, интегрируя от z = 0 до 1 и используя любое из условий (6.17) при z = 0,1 для идеально проводящих или идеально изолированных неподвижных границ, покажите, что

s/o+A= dz,

6

Рис. 6.6 (продолжение), (в) Перекрестно-роликовая неустойчивость (стационарный случг1Й, взаимодействие двух роликов одинаковой длины) при R = 3000, Рг = 100, силиконовое масло Dow Corning 200 (по [Busse & Whitehead, 1971, Fig. 10])

где Iq = J^ |T|2 dz, /1 = /q (|DT|2 + a^\T\2) dz・ Умножая уравнение (6.15) на W*y аналогично покажите, что

」2 + sJr/Pr =公兄/1 W^TAz,

гдеJi = J^(|DW|2 + a2|w|2)dzH

办=[\\D2W\2 + 2a2|DW『+ a4\W\2) dz・ Jo

Отсюда покажите, что для сг = Re(s), з = Im(s) выполняются равенства

ct^RIq — J" Р 斗 + а2Ш1 —办=0, ^{o^RIq + Ji/Pr) = 0.

Докажите, что если Л < 0, то ет < 0 и имеет место устойчивость, а если 兄〉0, то з = 0 и, следовательно, справедлив принцип обмена устойчивостей [Pellew & Southwell, 1940].

в.З. Конвекция Релея-Бенара в необычной жидкости, (i) Жидкость под названием “Hupnol", имеющая плотность ро при температуре 0о, обладает необычным свойством, которое заключается

Рис. 6.6 (продолжение). (г) Зигзаговая неустойчивость (стационарный случай) при R = 3600, Рг = 100 (по [Busse & Whitehead, 1971, Fig. 11])

Рис. 6.6 {продолжение)\д) Пинчевая (pinching) неустойчивость, R = 18х 103, Рг = 100 (по [Busse & Whitehead, 1971, Fig. 15])

в том, что возмущения ее плотности ро изменяются как куб возмущений температуры % и меньшая плотность соответствует большей температуре, т. е. р = ро[1 — а(0 — 0о)3], где а —— положительная постоянная.

В лабораторном эксперименте некоторое количество жидкости Hupnol заключается между двумя горизонтальными плоскостями, которые обеспечивают, с хорошей степенью аппроксимации, свободные от напряжений граничные условия для Hupnol. Температура на нижней плоскости равна 0°, а на верхней z = d равна 0]. Расстояние d между плоскостями много меньше, чем их горизонтальная протяженность.

Пренебрегая эффектами сжатия, изменения плотности вследствие инерции и полагая коэфициенты вязкости, теплопроводности и т. д. постоянными, покажите, что устойчивость состояния по-

[:三三三ZZEB三三工5HEX三B工V工上：二上工二二：二二:三： 「不工寸？产产T壬壬三三■ £上?三?不匚，口工丿」上；—=7x^™s?/!.;r7工工三三三二二三：？三 :三玩专京彳箏节蛮.台：;丁■亍壬三Еe工爱二三.[:三三三ZZEB三三工5HEX三B工V工上：二上工二二：二二:三： 「不工寸？产产T壬壬三三■ £上?三?不匚，口工丿」上；—=7x^™s?/!.;r7工工三三三二二三：？三 :三玩专京彳箏节蛮.台：;丁■亍壬三Еe工爱二三.二 二 二 1： ^Г* —* —-・二；不代* ^X «W 二"* ef —У "** м一 一……———2 j л….二 二 二 1： ^Г* —* —-・二；不代* ^X «W 二"* ef —У "** м一 一……———2 j л….二 I …：二：..：：：..……f …，.4 E 丁 1：•二上二工工上上± 士二三二：二二 丁 不т 八丁 丁 丁 丁 :；；；.「.二二'工亠二二一J* j J 一一一：一.. T 个 T 丁 T 丁丁 丁 丁 丁 丁 :丁 "；『七…7 T-T-T T T I' 7*"- .L» 二 1・ 一」.二一—1 1 **- *，- '丁 .？ Г7ТТТТ.7*Г〜工 A. A 厶亠—I *** 1*・ ..;.£ ГТГ ГГТТГТ-：^ .一".丁 . . -•「丁 丁 .…二 I …：二：..：：：..……f …，.4 E 丁 1：•二上二工工上上± 士二三二：二二 丁 不т 八丁 丁 丁 丁 :；；；.「.二二'工亠二二一J* j J 一一一：一.. T 个 T 丁 T 丁丁 丁 丁 丁 丁 :丁 "；『七…7 T-T-T T T I' 7*"- .L» 二 1・ 一」.二一—1 1 **- *，- '丁 .？ Г7ТТТТ.7*Г〜工 A. A 厶亠—I *** 1*・ ..;.£ ГТГ ГГТТГТ-：^ .一".丁 . . -•「丁 丁 .…rsxssxx^s^rx^r: FES工Tf Z£2 工:壮 7 •丁丁7e:六二：：；》二二二二rsxssxx^s^rx^r: FES工Tf Z£2 工:壮 7 •丁丁7e:六二：：；》二二二二Рис. 6.6 (продолжение), (е) Бимодальная неустойчивость (стационарное взаимодействие роликов различной длины) при Я « 20 х 103 — 65 х 103, Рг = 100 (по [Busse & Whitehead, 1971, Fig. 14])Рис. 6.6 (продолжение), (е) Бимодальная неустойчивость (стационарное взаимодействие роликов различной длины) при Я « 20 х 103 — 65 х 103, Рг = 100 (по [Busse & Whitehead, 1971, Fig. 14])коя определяется решением линеаризованной задачикоя определяется решением линеаризованной задачи△少=Зда (О-а") 22Д1^/,△少=Зда (О-а") 22Д1^/,

[:三三三ZZEB三三工5HEX三B工V工上：二上工二二：二二:三： 「不工寸？产产T壬壬三三■ £上?三?不匚，口工丿」上；

—=7x^™s?/!.;r7工工三三三二二三：？三 :三玩专京彳箏节蛮.台：;丁■亍壬三Еe工爱二三.

[:三三三ZZEB三三工5HEX三B工V工上：二上工二二：二二:三： 「不工寸？产产T壬壬三三■ £上?三?不匚，口工丿」上；

—=7x^™s?/!.;r7工工三三三二二三：？三 :三玩专京彳箏节蛮.台：;丁■亍壬三Еe工爱二三.

二 二 二 1： ^Г* —* —-・

二；不代* ^X «W 二"* ef —У "** м

一 一……———2 j л….

二 二 二 1： ^Г* —* —-・

二；不代* ^X «W 二"* ef —У "** м

一 一……———2 j л….

二 I …：二：..：：：.

.……f …，.4 E 丁 1：

•二上二工工上上± 士二三二：二二 丁 不т 八丁 丁 丁 丁 :；；；

.「.二二'工亠二二一J* j J 一一

一：一.. T 个 T 丁 T 丁丁 丁 丁 丁 丁 :

丁 "；『七…7 T-T-T T T I' 7*"- .L» 二 1・ 一」.二一—1 1 **- *，- '

丁 .？ Г7ТТТТ.7*Г

〜工 A. A 厶亠—I *** 1*

・ ..;.£ ГТГ ГГТТГТ-：^ .一".丁 . . -•「丁 丁 .…

二 I …：二：..：：：.

.……f …，.4 E 丁 1：

•二上二工工上上± 士二三二：二二 丁 不т 八丁 丁 丁 丁 :；；；

.「.二二'工亠二二一J* j J 一一

一：一.. T 个 T 丁 T 丁丁 丁 丁 丁 丁 :

丁 "；『七…7 T-T-T T T I' 7*"- .L» 二 1・ 一」.二一—1 1 **- *，- '

丁 .？ Г7ТТТТ.7*Г

〜工 A. A 厶亠—I *** 1*

・ ..;.£ ГТГ ГГТТГТ-：^ .一".丁 . . -•「丁 丁 .…

rsxssxx^s^rx^r: FES工Tf Z£2 工:壮 7 •丁丁7e:六二：：；》二二二二

rsxssxx^s^rx^r: FES工Tf Z£2 工:壮 7 •丁丁7e:六二：：；》二二二二

Рис. 6.6 (продолжение), (е) Бимодальная неустойчивость (стационарное взаимодействие роликов различной длины) при Я « 20 х 103 — 65 х 103, Рг = 100 (по [Busse & Whitehead, 1971, Fig. 14])

Рис. 6.6 (продолжение), (е) Бимодальная неустойчивость (стационарное взаимодействие роликов различной длины) при Я « 20 х 103 — 65 х 103, Рг = 100 (по [Busse & Whitehead, 1971, Fig. 14])

коя определяется решением линеаризованной задачи

коя определяется решением линеаризованной задачи

△少=Зда (О-а") 22Д1^/,

△少=Зда (О-а") 22Д1^/,

少=△少=△%' = 0 при z = 0, d,

где 俨一возмущение температуры, △】一оператор Лапласа по горизонтальным координатам, g — ускорение свободного падения, /с — коэффициент тепловой диффузии и и — кинематическая вязкость жидкости Hupnol.

Выведите обыкновенное дифференциальное уравнение, представляющее собой задачу на собственные значения для нормальных мод.

Докажите, что принцип обмена устойчивостей справедлив для настоящей задачи на собственные значения. (Подсказка: Представьте 水 z2 |Т|2 dz как квадратный полином от s с коэффициентами, выражающимися через положительно определенные интегралы).

Придумайте метод для нахождения приближенного значения критического числа ^^Peлeя^^ А = да(0° — B^WI^М ни-

6262Рис. 6.6 (продолжение), (%) Косая варикозная неустойчивость (нестационарная) для R а 104, »г = 3,7 (по [Busse & Clever, 1979, Fig. 7])Рис. 6.6 (продолжение), (%) Косая варикозная неустойчивость (нестационарная) для R а 104, »г = 3,7 (по [Busse & Clever, 1979, Fig. 7])

6

2

6

2

Рис. 6.6 (продолжение), (%) Косая варикозная неустойчивость (нестационарная) для R а 104, »г = 3,7 (по [Busse & Clever, 1979, Fig. 7])

Рис. 6.6 (продолжение), (%) Косая варикозная неустойчивость (нестационарная) для R а 104, »г = 3,7 (по [Busse & Clever, 1979, Fig. 7])

же которого никакое возмущение не будет расти. Не предпринимая точных вычислений, кратко опишите, каким образом может быть получена наиболее аккуратная оценка критического значения. Как вы думаете, будет ли это критическое значение меньше, больше или равно критическому значению числа Релея, если жидкость Hupnol заменить водой в эксперименте? [Н. Е. Huppert, частное сообщение].

=尸心,=尸心,Горизонтальное движение нормальной моды в конвекции Релея- Бенара. Используйте уравнение (6.9) для вывода уравнения диффузии

=尸心,

=尸心,

(Е6.1)

Рис. 6.6. (продолжение), (з) Узловая неустойчивость (нестационарная) для К а 5 х 104, Рг = 7,1 метил алкоголь (по [Busse & Clever, 1979, Fig. 8])

где С = dv/dx — ди/ду — вертикальная компонента завихренности возмущения. Покажите (правдоподобно, по крайней мере), что С Т 0 при 力 т 8 при фиксированном х.

Далее, предполагая, что dv/dx = ди/ду и используя уравнение неразрывности (6.7), покажите, что

a32w а@2 仅

Докажите, что для нормальной моды

g营寫①昨一二营嘗①眸叱(e6・3)

10SI X〕

о———В——

О 510152025

[X 1000 кт]

Рис. 6.7. (а) Гранулы на поверхности солнца. Ширина конвекционной ячейки имеет порядок 100 км. (Воспроизведено по разрешению National Optical Astronomy Observatory, T. Rimmele/NOAO/AURA/NSF). (б) Спутниковая фотография, изображающая открытые конвекционные ячейки в области движения вниз и закрытые ячейки в области движения вверх (по [Krishnamurti, 1975, Fig. 3(e)])

6.5・ Прямоугольные ячейки. Проверьте, что

/(ж, у) = cosaiz cos a2g

является решением уравнения Гельмгольца (6.13), если а；+а^ = =а2. Покажите, что / имеет период 2?r/ai по ж и период 2Klа? по у. Покажите, что 乜=0 при z = 0, тг/ai и о = 0 при у = 0, тг/аг* Покажите, что функция / описывает движение внутри периодических ячеек с вертикальными границами и прямоугольным сечением, каждый прямоугольник имеет стороны длины 2?r/ai, 2开/02.

Шестиугольные ячейки. Проверьте, что

f(Z, у) = cosf(Z, у) = cos1 2^1 2^+ cos+ cos1 2^1 2^z — у) ] + cos ayz — у) ] + cos ay

f(Z, у) = cos

f(Z, у) = cos

1 2^

1 2^

+ cos

+ cos

1 2^

1 2^

z — у) ] + cos ay

z — у) ] + cos ay

является решением уравнения Гельмгольца (6.13). Покажите, что / инвариантно относительно поворотов на угол 60° относительно оси z и что 〃 = 0 при z = ^З”"，—^L<y< 拉，где L = 4тг/3а.

Покажите, что функция / описывает движение внутри регулярных шестиугольных ячеек, каждая сторона шестиугольника, при этом, имеет длину L [Christopherson, 1940].

Роликовые ячейки при наличии боковых стенок. Из примера 6.1 следует, что для маргингшьной устойчивости первой моды свободно-свободной конвекции

(а2 + 7г2)3 = a2R\

покажите, что это уравнение имеет три корня: a；(R),遗(R), а|(Я), где а；〉遞〉0〉а|, если R> Rc = 277r4/4.

Покажите, что если имеет место стационарная двумерная линейная конвекция с идеально проводящими стенками, расположенными при z = 士厶 то некоторые собственные функции имеют вид

/、/ Ai cosaiic А2 cos аг®43chiаз|к、.

仅 3, z) =丿 sm 眸

где

а дискретные значения R, отвечающие маргингшьной устойчивости, удовлетворяют соотношению

++

+

+

Здесь использованы обозначения [Drazin, 1975]:

П = tga*,戛=tgazE,方=tg |的|工

Передача тепла в слабонелинейной конвекции Релея-Бенара, Покажите, что число Нуссельта

Nu = Hd/k(0Q-e1),

где Н — фактический перенос тепла в жидкость на единицу площади пластины, к = ср« — теплопроводность и с — теплоемкость жидкости.

Используя уравнение (6.22), покажите, что

^ = /5(%)(1+，4)，

когда Я а Яс? где 6 — некоторая безразмерная постоянная, которая зависит от формы ячейки, а А удовлетворяет уравнению Ландау (6.23). Выразите число Нуссельта в виде функции числа Релея. Сравните ваш результат с экспериментальными измерениями на рис. 6.4.

Энергетический метод для конвекции Релея-Бенара. Дано, что безразмерные нелинейные уравнения, которым подчиняются возмущения основного состояния покоя с тепловой проводимостью, а именно, U = 0 и 0 = —z, описывающие конвекцию Релея- Бенара, имеют вид

^ 4- и • Vu = — Vp + R Prffk + РгДи,

▽ • и = О,

五一仅 + и • ▽£ = А®.

Предположив, что течение удовлетворяет свободно-свободным граничным условиям при z = 0,1 и имеет период 2^/^ по ж и период 2тг/ау по у, вывести уравнение “знергии” для возмущении:

叮咏2Р寸[-4篇5 (誥», (E6.4) где

К = ( ^* 也，H = (，2 dx,

а областью интегрирования является кубоид

V = {х : 0 < ж < 2тг/%, 0 < у < 2тг/ау? 0 < z < 1}.

Используя связь дщ/дх{ = 0 с лагранжевым множителем р, покажите, что вариационный принцип минимизации интеграла в правой части уравнения “знергии” (Е6.4) дает уравнения Эйлера-Лагранжа

О = — Vp + R0k + Ди

и

一仅=△0,

т.е. линеаризованные уравнения (6.6), (6.8) для стационарных возмущений. Далее покажите, что все возмущения, малые или большие, убывают (иными словами, течение является асимптотически устойчивым), если R < Яс, где Яс критическое значение числа Релея, которое определяется при помощи линейной теории со свободно-свободными граничными условиями при z = 0,1 (по [Drazin & Reid, 1981, Problem 7.13; Joseph, 1965]).

Вывод системы Лоренца как модели тепловой конвекции. Известно, что возмущения и и & соответственно полей скорости и температуры в жидкости, подогретой снизу, подчиняются уравнениям Буссинеска, а именно,

Зи

—+ и • Vu = —Vp + crgk + сгДи,

▽ • и = О,

двдв+ и • ▽£ = Rw + △&+ и • ▽£ = Rw + △&

дв

дв

+ и • ▽£ = Rw + △&

+ и • ▽£ = Rw + △&

при —оо <ж<оо, 0<z<tt, где a = 〃/左一число Прандтля для жидкости, R = agd?bTj izv — число Релея; используются безразмерные переменные, обезразмеренные при помощи масштабов d длины, d2/« времени и АТ/А температуры. Здесь 7rd — глубина слоя жидкости, ДТ — разница температур поперек слоя, а — коэффициент теплового расширения, « — тепловая диффузия и 〃 一кинематическая вязкость жидкости. “Свободные" идеально проводящие границы расположены при z = 0, тг и

ди

—=w = в = Q при z = 0, тг.

Далее дано, что имеют место слабонелинейные роликовые ячейки, форма которых приближенно описывается выражениями

U^XyZ^t) = 21/2(倉2 + ^k^XifySxCz,

w(x,z;t) = 一21/2(廿 + ^X^CxSz.

0(吃 z;t)=-(廿 + l^k-^Y^C^ + Z(t)s22],

где Sx = sin6工，C2 = cosz, Cx = cos kx, Sz = sinz и &Z = sin2z.

Проверьте, что удовлетворяется уравнение неразрывности.

Проверьте, что удовлетворяются граничные условия.

Покажите, что каждый нелинейный член в уравнении моментов пропорционален sin 2kx или &Z ・ Отсюда или иным способом покажите, что двукратное применение ротора к уравнению моментов приводит к уравнению

^=(T(y-X),(Е6.5)

где т = (fc2+l)t, если соответствующие компоненты можно опустить. (Подсказка: Покажите, что

du/dz 一 dw/dx = 一2斗(廿 + ^k^XSxSz).

Аналогично покажите, что

^ = тХ - У - ZX,(Е6.6)

芻=-ЬХ + XY,(Е6.7)

где г = A;2r/(62 + 1)з, ь = 4/(依十 ^у (Подсказка: Покажите, что и-^0=(к2 + l)4k-2[XYS2z + H^ZXCtSzCzz [Lorenz, 1963]).

Решения системы Лоренца. Используйте систему Лоренца (Е6.5)-(Е6.7) из предыдущего упражнения в качестве модельной задачи для устойчивости, бифуркации, нарушения симметрии, начала хаоса и восстановления симметрии следующим образом. Выясните, когда нулевое решение системы Лоренца устойчиво и объясните физическое значение результата с точки зрения конвекции Релея-Бенара.

Найдите все другие стационарные решения системы Лоренца. Обсудите физическое значение этих решений с точки зрения конвекции Релея-Бенара.

* Обсудите устойчивость этих других стационарных решений и изменения множества аттракторов при увеличении г от нуля до бесконечности при фиксированных <т и Ь・(Подсказка: Для того чтобы сделать это, вам, вероятно, придется почитать книгу, например, [Drazin, 1992, параграф 8.1]).

Предполагалось, что система Лоренца моделирует определенные свойства турбулентной конвекции. Обсудите достоинства и недостатки этой системы в качестве модели.

Модель нелинейной тепловой конвекции Сви0mа-Хознбераа. Дано, что возмущения w некоторой скорости подчиняются уравнению

舞=r一凡-(爲+ 1)位一炉

при —8 <ж<оои^>0, где R — параметр, моделирующий число Релея. Найдите характеристики линейной устойчивости методом нормальных мод ос ^x+st^ Изобразите маргинальную кривую на плоскости (Я, fc). Чему равно критическое значение R?

Найдите другие решения, которые независимы от ж, t и укажите вилообразную бифуркацию.

Предполагая, что w имеет период 2тг по ж и выражая решение уравнения в виде комплексного ряда Фурье

ООw(x^t)= £ wn(t)einx,n=—oo

покажите, что w_n 二 w*. Найдите бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для {wn}. Проверьте устойчивость нулевого решения и определите, когда устойчивы остальные решения.

Предполагая, что

微(吃力)=(r_凡)1/2[%(6卜広+忆1(土卜門+O(R_Rc) при RtRc+,

выведите уравнение Ландау для надкритической бифуркации: 曙=*喝2叭

где Т = (R — Rc)t [Swift & Hohenberg, 1977].

Конвекция Pелея-Дарси в пористой среде. Дано, что двумерная конвекция в бесконечном слое жидкости Буссинеска в пористой среде описывается следующими безразмерными уравнениями и граничными условиями

△” =-冗學 (результат применения ротора к закону Дарси), дв д^фдв дфдв z、

而 + ——— = Аб (уравнение теплопроводности),

吵=0, 0= — 1 при z=l (твердая идеально проводящая

верхняя крышка),

吵=0, 0=0 при z=0 (твердая идеально проводящая нижняя крышка),

где R — модифицированное число Релея. Покажите, что Ф = 0, 0 = — z описывают основное состояние покоя, представляющее собой однородное распределение тепла за счет теплопроводности от дна до вершины слоя.

Линеаризуйте систему для возмущений 吵=史 +吵‘，0 =。+ 夕・ Покажите, что спектральное соотношение для нормальных мод вида 少=e"+i"'步(z),夕=e,st^kxe(z) принимает вид

S =倉2 : *开2 一 (廿 + Mi) для n = 1,2,

Докажите, что течение неустойчиво, если R > А。= 4тг2, а наиболее неустойчивая мода имеет длину волны 2 в направлении оси z [Horton & Rogers, 1945; Lapwood, 1948].

Слабонелинейная конвекция Релея-Дарси в пористой среде. (i) Покажите, что из уравнений в предыдущем упражнении 6.13

без дальнейших приближений следуют сильно нелинейные уравнения для возмущений

，_丝_2竺丝竺_批也加 一 £ дТ + dz дх дх dz '' dff2 a俨

△吵+凡灰二一e家

и

吵z =伊=0 при z = 0,1,

где € = (Я — Яс)1/2 и T = e2t.

Предполагая, что 夕,少 имеют период 2 по ж (так как по линейной теории наиболее неустойчивая мода имеет волновое число к = тг), определяя амплитуду

4T) = 2厂 /7? Jo Jo4T) = 2厂 /7? Jo Jo〃/ cos тгм sin ttz da; dz〃/ cos тгм sin ttz da; dz

4T) = 2厂 /7? Jo Jo

4T) = 2厂 /7? Jo Jo

〃/ cos тгм sin ttz da; dz

〃/ cos тгм sin ttz da; dz

(для нормировки функции тока); налагая фазовое условие (без ограничения общности рассуждений, так как оно эквивалентно просто сдвигу по ж)

〃/ sin тгж sin ttz da; dz = 0,

и полагая

伊=£& + £2^2 + • • •,吵,=£耽 + f2耽 + • • • при £ Т 0,

= 0, △耽 + ox= 0, △耽 + oxпокажите, что

= 0, △耽 + ox

= 0, △耽 + ox

=0 при 0 < ж < 2, 0 < z < 1,

耽=& = 0 при z = 0,1

4(T) = 2 /^>i cos тгж sin ttz da; dz,

Jo Jo

Я

吵1 sin тгж sin ttz da; dz = 0.

Выведите выражения: Rc 二 4тг2 и

& = ^тг^А sin тгж sin ttz, 肌= Acos тгж sinTrz,

Покажите, что если

△版+凡礬△版+凡礬ox

△版+凡礬

△版+凡礬

=Gn при 0 < ж < 2, 0 < z < 1,

и

^>п = 0П = 0 при z = 0,1

для некоторых регулярных функций 耳(м, z), Gn(®, z), то

△" +凡常= AGl凡礬.

Интегрируя повторно по частям, покажите, что

1 da;.z=01 da;.z=0Z /3一R聲耽dHdz =

1 da;.

z=0

1 da;.

z=0

J" (△*-凡需)"dz-/卜"患

Отсюда выведите условие разрешимости для существования 0九, 〃г：

/ / 3一凡礬卜m=一(卜咫L产

Покажите, что

& = — ^тг-1А2 sin 2ttz,吵 2 = 0.

Покажите, что

即з _ а&а耽 302 а”2 а&а耽а&а”2 а&

3 дх ~ дТdz 5®"^ dz дхдхdzдх dz

301

△*0з + Лс—— = —-— при 0 < ж < 2, 0 < z < 1, аж ох

и

彰=& = 0 при z = 0,1;

а также выведите уравнение Ландау

для надкритической вилообразной бифуркации [Palm et aL, 1972].

dwdwПростая линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений которая: моделирует некоторый аспект двойной диффузионной конвекции. Дано

dw

dw

=—4w — k0 — 4ew, — = 20 + kw — £仇

Покажите, что у нормальных мод w, 0 а е"

S = -「|£± ^[9(€+ 2)2 一4廿产2.

Докажите, что для к2 > 8 нулевое решение устойчиво, если е = О и £ Т оо для фиксированного fc, и неустойчиво при 8 < fc2 < 9 и (2е — I)2 < 9 — к2. (Можно увидеть, что состояние (при 8 < fc2 < 9) устойчиво при е = 0 и для больших е, но неустойчиво для некоторых положительных значений е; таким образом, так называемая “стабилизирующая сила" может дестабилизировать течение [Hinch, 1973]).

Обсудите это явление как модель двойной диффузионной конвекции —явления, когда два количества (например, тепло и раствор или два раствора) диффундируют с различными скоростями.

Неограниченная стационарнал двойная диффузионная нелинейная волна. Известно, что возмущения основного состояния покоя в жидкости Бусссинеска с постоянными градиентами температуры и концентрации раствора подчиняются уравнениям

噌+/(л ［迴产l+”“；

嘗+ №'⑺+塞=△弘

где uf = d^/dz, wz = —д^/дх, якобиан J определяется из равенства

J(”,0) = {д^/д^дф/д^)-"屮俨哈国館^)

для любых дифференцируемых функций ф и ф^ Рг = у/к — число Прандтля, 6 二 «,/« — число Шмидта, R = a^gd^/izv ——число Релея, Rs = 1д(Аб^/w —число Релея для раствора, а «Л — коэффициент диффузии в растворе концентрации с.

Проверьте, что существует точное стационарное нелинейное решение вида

^ = —W cos ж, ff = 0зтж, d = с sin ж

при —8 < ж, z < оо и условии, что R8 = S(R+1), где постоянные W, с удовлетворяют уравнениям [Stern, 1960]

诉=期一 R/, @ =-育，с = -W/S.

Неустойчив ость и конвекция под влиянием изменения поверхностного натяжения с изменением температуры. Рассмотрим линейную устойчивость слоя однородной несжимаемой теплопроводной вязкой жидкости с пренебрежимо малой плову честью, ограниченной твердой пластиной при z* = 0 и свободной поверхностью z* = d・

Предположим, что пластина является идеальным проводником тепла и имеет постоянную температуру б。, а свободная поверхность —идеальный изолятор с температурой 0】в основном состоянии и поверхностным натяжением)=)о — eg*, где с > 0 — некоторая постоянная.

Покажите, что условия на касательные напряжения на поверхности дают

ди^9)36*Oz*аж*,Eiди^9)36*Oz*аж*,Eiпри z* = d для г = 1,2,при z* = d для г = 1,2,

ди^9)36*

Oz*аж*,Ei

ди^9)36*

Oz*аж*,Ei

при z* = d для г = 1,2,

при z* = d для г = 1,2,

а остальные уравнения и граничные условия те же, что в параграфе 6.2 для 兄=0 и свободно-твердых граничных условий.

Рассматривая нормальные моды с волновым числом а и предполагая выполнение принципа обмена устойчивостей, покажите, что на границе устойчивости

W ос sh az + (a cth а — l)z sh az — az ch az

и

M = 8a2 (ch ash a — a) ch a/ (sh% — a%ha) = /(a),

где M — число Марангони, M = /?cd2/«/z. Докажите, что устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда М < < minF(a) = 79,607, который достигается при a = 1,993 (по [Drazin & Reid, 1981, Problem2.13; Pearson, 1958]).

Рис. 6・8・ Схема аппарата для простого эксперимента по термохалинной конвекции. См. упражнение 6.19 (по [Drazin & Reid, 1981, Fig 2.7])

Домашний эксперимент по тепловой неустойчивости. Налейте легкое масло (кукурузное масло хорошо подходит) в чистую глубокую сковородку, чтобы образовался слой масла имеющий глубину около 2 мм. Осторожно и равномерно прогрейте дно сковородки. Для того чтобы наблюдать неустойчивость, осторожно бросьте немного порошка (хорошо подходит порошок какао). Небольшое количество порошка, распространенное по поверхности, обнаруживает стационарные шестиугольные ячейки. Можно увидеть движение индивидуальных частиц порошка, которые восходят вблизи центра ячейки и нисходят вблизи ее границ. Слегка наклоните сковородку для того, чтобы установить критическую глубину, при которой возникает конвекция. Проверьте, что размер ячеек и критическое число Релея имеют порядок величины, предсказываемый теорией Релея (по [Drazin & Reid, 1981, Problem2.5]).

Простой эксперимент по термохалинной конвекции. Наполните наполовину большую стеклянную чашку горячим окрашенным рассолом (несколько граммов соли и очень мало голубых чернил или метилена на пол-литра воды в литровую чашку). Налейте холодной свежей воды в рассол. Для того чтобы ограничить перемешивание воды и рассола, наливайте воду медленно через трубку близко ко дну чаши как, например, показано на рис. 6.8. Поместите чашку на белую бумагу (чтобы отчетливо видеть последующую конвекцию), сохраняйте ее неподвижной (для того, чтобы избежать появления внутренних гравитационных волн) и убедитесь, что отсутствует вращение (для того, чтобы избежать закручивания конвекционных ячеек). Плотность горячего рассола долна быть меньше, чем плотность холодной воды, так что жидкости должны находиться в гидростатическом равновесии. Тем не менее, вследствие различных скоростей диффузии тепла и соли, так как диффузия соли является очень медленной, вскоре возникнет термохалинная неустойчив ость. Сделайте наблюдения роста пальцеобразных ячеек со скоростью порядка 10-1 мм/с с горизонтгшьным масштабом порядка 3 мм. Обсудите это явление в качестве примера двойной диффузионной конвекции, когда два количества (тепло и один раствор, как здесь, например, или два раствора) диффундируют с различными скоростями (по [Drazin & Reid, 1981, Problem 2.6; Stem, 1960; Baines & Gill, 1969]).

Глава 7

Центробежная неустойчивость

Идет ветер к югу, и переходит к северу, кружится на ходу своем, и возвращается ветер на круги свои.

Еккл. 1, 6

Центробежная сила, аналогичная пловучести с точки зрения создания или подавления неустойчивости течений, изучается в этой главе так же как пловучесть изучалась в предыдущей главе. В качестве модельной задачи рассматривается (но не во всех деталях) задача о неустойчивости течения Куэтта между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами.

7.1. Вращающиеся течения

Другой важный тип гидродинамической неустойчивости представляет собой неустойчивость осесимметричных вращающихся течений. Они аналогичны тепловой конвекции, и аналогом центробежной силы служит пловучесть. Под вращающимися течениями имеются в виду основные течения, скорость и давление для которых имеют вид: u = U(г), р = Р(г), где

" = 0, Ue = V(r), Uz = 0 при - оо < z < 8 (7.1)

в цилиндрических координатах (г, 0, z) (см. рис. 7.1, где представлена геометрия и обозначения). Эти выражения с произвольной функцией V являются точными решениями уравнений Эйлера движения несжимаемой идеальной жидкости. Для уравнений Навье-Стокса вязкой жидкости потребуем

V(r) = Ar + B/r. (7.2)

Рис. 7.1. Схема сечения длинного коаксиального цилиндра в течении Куэтта с обозначениями (по Drazin and Kambe, Ryutai Rikigaki — Anteisei To Ranyu (Fluid Dynamics — Stability and Turbulence), University of Tokyo Press, 1989, Fig. 6.1. Воспроизведено по разрешению University of Tokyo Press)

Для течения Куэтта возьмем твердые цилиндры г = jRi, Д2? имеющие угловые скорости Qi и 电 соответственно, и получим

_电必-电r；„ _电-电

Рассмотрим сначала физические соображения [Rayleigh (1916 b)] в применении к невязкой жидкости. Угловой момент на единицу массы кольцевого элемента жидкости г = const, z = const в основном вращающемся течении имеет вид Н = rV(г), а циркуляция этого кольца равна 27rH. Но по теореме Кельвина о циркуляции последняя сохраняется для возмущенного кольца, следовательно, сохраняется и Н. Вращение имеет место в результате наличия плотности центробежной силы 严2/丁 = pH2/г3, которая действует в радиальном направлении и ассоциируется с плотностью потенциальной энергии %рН? [т? = ^Р^2. Имея это в виду, рассмотрим эффекты обмена двух элементарных колец равной массы при г 二 丁力 z = zi и г = 丁2, z 二 z?・ Их кинетическая энергия на единицу объема равна ^(Н；т[2 十 Н^г^2) до и ^(坛丁豕2+刃丁[2)— После обмена. Увеличение кинетической энергии, требуемое на реализацию обмена, таким образом, пропорционально

(砖-蜀审一厂).

Без ограничения общности рассуждений положим 丁2 > 丁1・ Тогда обмен может освобождать энергию и, следовательно, производить неустойчивость, только если Hf > Н^ Таким образом, неустойчивость

может иметь место только если Hf > Hl для 丁1 < 丁2, т.е. только если

db2 p2)、

< 0(7.4

dr

где либо в области течения. Это неравенство называется критерием Релея неустойчивости. Наоборот, если

а(г2У2)、

> 07・5

dr'

везде в течении, то течение является устойчивым по отношению ко всем осесимметричным возмущениям. Можно показать математически строго [Synge, 1933], что это условие является необходимым и достаточным условием для устойчивости вращающегося течения несжимаемой невязкой жидкости по отношению к осесимметричным возмущениям. Тем не менее, течение может оказаться неустойчивым по отношению к неосесимметричным возмущениям (которые не рассматривались в рассуждении Релея), даже если d(r2y2)/dr > 0 везде. Можно видеть, что по отношению к коротковолновым возмущениям могла бы иметь место неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (как описано в параграфе 3.8), если V было бы разрывным, независимо от того выполняется ли критерий Релея или нет, также весьма правдоподобным выглядит заключение о возможности неустойчивости, когда V меняется очень резко, хотя и гладким образом.

7・2・ Неустойчивость течения Куэтта

В своей выдающейся в истории гидродинамики работе Тейлор [Taylor, 1923] проанализировал неустойчивость течения Куэтта между вращающимися коаксиальными цилиндрами и проверил свою теорию на эксперименте. Для начала посмотрим на рис. 7.2 (а) для визуального знакомства с неустойчивостью, а затем объясним теорию и эксперимент. Достаточно просто

выбрать основное течение Куэтта (7.2);

линеаризовать уравнения Навье-Стокса и граничные условия для малых возмущений вокруг основного течения;

выбрать безразмерные переменные и параметры;

использовать нормальные моды вида

u'(x") = 6e“+®°+kz)；

вывести задачу на собственные значения в форме обыкновенных Дифференциальных уравнений для определения s, й для данного вещественного волнового числа к и целого волнового числа п.

Рис. 7.2. (а) Фотография вихрей Тейлора, когда внешний цилиндр покоится, а внутренний цилиндр вращается, (б) Фотография волновых вихрей Тейлора, которые возникают вначале вторичной неустойчивости, когда внутренний цилиндр вращается быстрее (по [Koschmieder, 1993, Figs. Il, 12])Рис. 7.2. (а) Фотография вихрей Тейлора, когда внешний цилиндр покоится, а внутренний цилиндр вращается, (б) Фотография волновых вихрей Тейлора, которые возникают вначале вторичной неустойчивости, когда внутренний цилиндр вращается быстрее (по [Koschmieder, 1993, Figs. Il, 12])一二:二二名一二:.J:1:3*- s-3二**3*1七主 - - • - * ' - - -■ -8■*:_*」卜 Lkf r』K;*、！u，”』；』■?*♦* !_*一二:二二名一二:.J:1:3*- s-3二**3*1七主 - - • - * ' - - -■ -8■*:_*」卜 Lkf r』K;*、！u，”』；』■?*♦* !_*

Рис. 7.2. (а) Фотография вихрей Тейлора, когда внешний цилиндр покоится, а внутренний цилиндр вращается, (б) Фотография волновых вихрей Тейлора, которые возникают вначале вторичной неустойчивости, когда внутренний цилиндр вращается быстрее (по [Koschmieder, 1993, Figs. Il, 12])

Рис. 7.2. (а) Фотография вихрей Тейлора, когда внешний цилиндр покоится, а внутренний цилиндр вращается, (б) Фотография волновых вихрей Тейлора, которые возникают вначале вторичной неустойчивости, когда внутренний цилиндр вращается быстрее (по [Koschmieder, 1993, Figs. Il, 12])

一二:二二名一二:.J:1:3*- s-3二**3*1七主 - - • - * ' - - -■ -8■*:_*」卜 Lkf r』K;*、！u，”』；』■?*♦* !_*

一二:二二名一二:.J:1:3*- s-3二**3*1七主 - - • - * ' - - -■ -8■*:_*」卜 Lkf r』K;*、！u，”』；』■?*♦* !_*

Возникающая в результате численная задача была слишком трудна для решения во времена Тейлора. Поэтому он сделал ряд упрощающих предположений, основанных на экспериментальных наблюдениях:

Он предположил, что наиболее неустойчивые возмущения являются осесимметричными, и поэтому положил п = 0.

Он предположил, что справедлив принцип обмена устойчивостей, т. е. Im(s) = 0 при возникновении неустойчивости и поэтому, положив з = 0 искал параметры, соответствующие границе устойчивости.

Он предположил, что зазор между цилиндрами является узким, т.е.兄2 —兄1 «兄2・

Эти три предположения дали ему возможность выразить решение основной задачи на собственные значения в явном виде через функции Бесселя и подсчитать характеристики устойчивости численно. Впоследствии теоретики получили характеристики устойчивости общей

задачи, находя s не только при п = 0, но и при п ^4 0 и для большего диапазона значений R±^ 冗2, 口1, 。2, 〃, а также k・

Для представления результатов удобно использовать безразмерные переменные. Определим

〃=电/期 и п = R{ R?.(7・6)

В качестве меры квадрата отношения величин, характеризующих силы инерции и вязкие силы, будем использовать величину, называемую сейчас числом Тейлора:

_ ^abb^ _ 4喇(1- Q2/Qi)(1 -必留/电用) (7力

——F(1 - 硝刃)2- 丿

Можно видеть, что это не что иное, как квадрат числа Рейнольдса, построенного по вращательной линейной скорости. Иногда вместо (7.7) используются числа Рейнольдса, построенные по вращательным скоростям двух цилиндров. Критерий вращения Релея предполагает наличие устойчивости по отношению к осесимметричным возмущениям в пределе при 〃 Т 0 в том и только том случае, когда

с d(W)2 d(4M + B)2а

О <———= 44т(" + В),

т. е. тогда и только тогда, когда

(电龙-e1R；)г(7)〉0 при jRi < r < jR2

или тогда и только тогда, когда внешний цилиндр имеет большую циркуляцию, чем внутренний цилиндр, и цилиндры вращаются в одном направлении. Таким образом, неустойчивость вязкой жидкости при не очень большом значении вязкости ожидается, если внутренний цилиндр имеет большую циркуляцию, чем внешний, или цилиндры вращаются в противоположных направлениях, т.е. если Т превосходит некоторое критическое значение.

Маргинальная кривая s = 0 в плоскости (а, Т) для фиксированных значений других безразмерных параметров и для осесимметричных возмущений (п 二 0), где а = (Яг — Ri)k — безразмерное волновое число, имеет форму, сходную с кривой на рис. 6.3 для конвекции Релея-Бенара. Однако и другие параметры являются здесь важными. Свойства характеристик устойчивости, определенные численно и подтвержденные наблюдениями, наилучшим образом иллюстрируются на рис. 7・3-7・6・

Эти характеристики линейной устойчивости предполагают возникновение стационарных (потому, что Im(s) = 0, когда Re(s) = 0), осесимметричных (потому, что линейные возмущения обычно наиболее неустойчивы, когда п = 0) тороидальных вихрей с осевым волновым числом 27r (冗2—冗1)/% при переходе Т через значение Тс в сторону

3500 г 卜 3389.9

寸S,手3

30001

20

15001

1178.6

1000111i

° 7&^ "

Рис. 7・3・ Критическое число Тейлора как функция от 〃 = °2/°1 в пределе узкого зазора R2/R1 Т 1 (по [Harris & Reid, 1964, Fig. 2] и [Drazin & Reid, 1981, Fig 3.8])

увеличения. Так и происходит! Смотрите фотографии на рис. 7.2 (а), а также [Van Dyke, 1982, Figs. 127-128] и два великолепных ролика Coles (FL1963a,b). Поинтересуйтесь также Video Library в [Homsy et 加., CD2000], просмотрите видео с подзаголовком “Steady Taylor Cells” и “Taylor Instability"・ Вычисления Тейлора [Taylor, 1923] и наблюдения согласуются изумительным образом с точностью от 1 до 5 процентов, как показано на рис. 7・5・

Он наблюдал стационарные тороидальные вихри, которые развивались при возникновении неустойчивости, как и предсказывалось теоретически формой собственных функций. Эти вихри называются вихрями Тейлора. (Течение является более сложным, если знаки С2 и Ci отличаются).

Начиная с 1923 г. появились сотни, а может быть, и тысячи работ, где было изложено множество взглядов на переход к турбулентности в течении Куэтта. В частности, слабонелинейная теория [Davey, 1962] дает вилообразную бифуркацию с положительной постоянной Ландау для первичной неустойчивости. Эта бифуркация приводит к возникновению вихрей Тейлора, когда внешний цилиндр покоится. При увеличении числа Тейлора сами вихри становятся неустойчивыми и развиваются азимутальные (не осесимметричные) волны в результате вторичной неустойчивости (см. рис. 7.2 (б), где изображены волнистые

127 3.

£II)¥N

о -1 -2 -3Д =QjQ\

Рис. 7・4・ Критическое безразмерное волновое число ас = ас/(1 — м) как функция от 4 =。2/。1 в пределе узкого зазора R2/R1 Т 1 (по [Harris & Reid, 1964, Fig. 1] и [Drazin & Reid, 1981, Fig 3.9])

вихри Тейлора). Просмотрите также фотографии в [Van Dyke, 1982, Figs. 127, 128,130] и соотнесите их с результатами теории. Проделайте то же для крутящего момента, график зависимости которого от числа Тейлора показан на рис. 7.7.

При дальнейшем увеличении числа Тейлора возникает последовательность бифуркаций с хаосом при сложном переходе к турбулентности (см. [Fenstermacher et al,, 1979]). Особенно интересным является то обстоятельство, что иногда может возникнуть хаос, пропасть, а затем возникнуть опять в результате последовательности бифуркаций при увеличении числа Тейлора. Путь к турбулентности зависит от R2/R1, С2/С1 и длины цилиндров. Влияние некоторых из этих факторов можно наблюдать при различных значениях чисел Рейнольдса Яв1 =冗;Ci/〃 и Яе2 = 冗纟02/〃 в случае двух цилиндров, изображенном на рис. 7・8・ Для того чтобы познакомиться с большим числом экспериментальных результатов и их связью с теоретическими результатами как в линейной, так и в слабонелинейной теориях, читайте монографию [Koschmieder, 1993].

Бифуркации в случае коротких цилидров, который отличается от случая длинных цилиндров в идеализированной модели Тейлора, также были изучены (см. [Benjamin & Mullin, 1982]). Критические значения числа Тейлора, отвечающие возникновению бифуркаций сильнее различаются, чем для длинных цилиндров, а некоторые из этих бифуркаций проще наблюдать в эксперименте. Особенно интересным представляется то обстоятельство, что Бенджамин и Муллин [Benjamin & Mullin, 1982] наблюдали до 20 сосуществующих раз-

Рис. 7.5. Схема (по [Taylor, 1923]) маргинальной кривой в плоскости (Qi/p, 0.2/и) для его пары цилиндров, т. е. для 马 = 3,55 см и 必 =4,035 см (по [Drazin & Reid, 1981, Fig 3.13])

личных устойчивых стационарных течений (с различным числом или направлением вращения вихрей, располагающихся между концами пары цилиндров), а также констатировали существование еще 19 неустойчивых стационарных течений для одной и той же стационарной экспериментальной конфигурации. Подробности приводятся в книге [Koschmieder, 1993].

Неустойчивость Гертлера

В дополнение к неустойчивости, приводящей к образованию вихрей Тейлора существует еще один важный тип центробежной неустойчивости, открытый Гёртлером в 1940 г. Гёртлер рассматривал неустойчивость пограничного слоя на вогнутой стенке, изображенной на рис 7.9. Неустойчивость, называемая неустойчивостью Гертлера, проявляется в возникновении вихрей Гертлера. Он сделал следующие три допущения при моделировании. Толщина 6 пограничного слоя предполагалась малой по сравнению с радиусом Яо кривизны стенки. Основное течение, таким образом, считалось близким к параллельному стенке и центробежная сила не учитывалась при определении основного течения, хотя и сохранялась в линеаризованных уравнениях для возмущений. Далее, предполагалось, что основное течение зависит только от поперечной координаты у в рамках используемого квазипараллельного приближения.

Рис. 7・6・ Наблюдения и вычисления Тейлора в случае узкого зазора для воды и значений радиусов цилиндров Ri = 3,80 см и 必=4,035 см. Длина вихрей Тейлора при возникновении неустойчивости (по [Drazin & Reid, 1981, Fig 3.12]; экспериментальные данные взяты из [Taylor, 1923, Table 8])

Для обезразмеривания задачи используем 6 в качестве линейного масштаба, скорость СТоо данного однородного внешнего течения — в качестве масштаба скорости, а также ту = у/6 в качестве координаты, изменяющейся в направлении, ортогонгшьном стенке. Определим далее безразмерную скорость основного течения

U = U(*i при 0«〃

где [/(ту) т 1 при 77 T 8・ Линеаризуя уравнения Навье-Стокса для возмущенного потока u = U + u‘，р =尸 + p', выбирая нормальные моды в виде

(Е, % 仅‘,")=(微(力,05),仅(#,p(力)6"+旅‘(7.8)

и подставляя в линеаризованные уравнения, получим четыре взаимосогласованных дифференциальных уравнения. Исключая 仅 и р из зтих уравнений, выведем систему

(D2 — a2)(D2 — а2 — сг)=—川以九，(7.9)

(D2_a2—b)〃 = /,(7.10)

где

D = d/d7 а = 66, ь = зб2/〃，儿=2(%6/〃)2, U‘ = DU・ (7.11)

Рис. 7・7・ Изменение крутящего момента G при изменении числа Рейнольдса Re =。1兄1(区2 — Ri)/〃 при。2 = 0, Bi = 1,0 см,必=2,0 см, Я = 5,0 см, р = 0,1226 см2с"1, р = 0,8404г см"3. Момент G измерен в динах на сантиметр (по [Drazin & Reid, 1981, Fig 3.14] с использованием данных [Donnelly & Simon, 1960, Table 2])

Граничные условия непроницаемости и прилипания имеют вид и(п)=。①)=D&(?y) = 0 при TJ = Q и 7j —^ оо. (7.12)

Безразмерный параметр 从 является аналогом числа Тейлора в случае узкого зазора. Тем не менее, принято выражать результаты в терминах числа Гертлера

G= (%〃〃)(〃同叱(7.13)

где J — моментная толщина пограничного слоя. Легко видеть, что G2 =勃3从/伍2^).

Считается, что для этой задачи на собственные значения верен принцип обмена устойчивостей, т. е. <т вещественна для маргинально

Рис. 7・8・ Режимы течении наблюдаемых для случая двух длинных вращающихся коаксиальных твердых цилиндров с числами Рейнольдса Rei = 用Ci/〃 и Re2 =区；口2/〃 （по [Andereck et a/., 1986, Fig 1]）

устойчивых мод. Таким образом, для выявления маргинальной устойчивости, положим о = 0・ Уравнения при этом примут вид

（D2 — a2）（D2 — а?）” 二一公从U〃，（D2 — а2）二 Ufv, （7.14）

В течении 40 лет, прошедших после публикации статьи Гертлера было предпринято много исследований этой задачи на собственные значения с вычислениями для различных профилей U. Холл [Hall, 1983], однако, показал, что предположение о локально параллельном течении несправеливо, за исключением случаев невязкой жидкости （G = 0） или коротких волн （а》1）, потому что все члены линеаризованной системы должны быть сохранены во всех случаях, кроме коротковолнового предела для того, чтобы правильно учесть пространственное развитие пограничного слоя. Отсюда следует, что маргинальная кри・ Вая или скорость роста в данной точке не имеет смысла, а параболическая система уравнений в частных производных должна решаться как граничная задача. Сарик [Saric, 1994] предпринял обзор экспериментальных результатов и их связь с теорией.

Рис. 7.9. (а) Схема основного течения и некоторые обозначения.⑹ Схема вторичного течения, которое возникает в начале неустойчивости в пограничном слое вдоль вогнутой стенки (по [Gortler, 1940] и [Drazin & Reid, 1981, Fig. 3.20]). (в) Фотография неустойчивости Гертлера (по [Nakayama, 1988, Fig. 30], воспроизведено по разрешению профессора Акиры Ито (Akira R。))

Упражнения

7・1・ Задача устойчивости слоя основного вращающегося течения несжимаемой невязкой жидкости. Полагая

u = U + u‘， р = Р -^р^

где

U = (0, V(r),0), Р = Р(г), uz =(叫,吗,吗)

в цилиндрических координатах (г, 0, z) и линеаризуя уравнения Эйлера, которые описывают движение несжимаемой невязкой жидкости, покажите, что

1州 р дг1州 р дг

1州 р дг

1州 р дг

譬+。需+備+?"=一嚼，

*+嚼=一震

多嚼+謂=。，多嚼+謂=。，

多嚼+謂=。，

多嚼+謂=。，

где локальная угловая скорость основного течения определяется равенством Q = У/г.

Покажите, что если течение ограничено жесткими цилиндрами при г = Я1,冗2, то

з；=0 при г =冗1,冗2，

7・2・ Осесимметричные возмущения вращающихся течений. Покажите, что если д/дв = 0, то из линеаризованных уравнений упражнения 7.1 следует уравнение

где

Ф = r~3d(ry)2/dr

представляет собой дискриминант Релея (являющийся аналогом "2 — квадрата частоты пловучести, определенной в упражнении 8.21).

Выбирая нормальные моды в виде

(4,4，%Р‘)= (w(r), 0, w(r), w(r}} exp(st 4- ib),

покажите, что

(DD* — k2)u —与季〃 =0,

где

D = d/dr, D* = d/dr 4- 1/r.

Покажите также, что

微 =0 при t =冗力冗2・

Используя теорию задачи Штурма-Лиувилля, покажите, что все собственные значения к2/з2 — отрицательны, если Ф > 0 внутри интервала Я1 < г < Яг и положительны, если Ф < 0 внутри этого интервала; если же Ф меняет знак, то имеют место как положительные, так и отрицательные собственные значения k2/s2 с предельными точками на ±8 [Synge, 1933].

Покажите, что если Ф <. 0 где-либо, то течение неустойчиво в соответствии с вращательным критерием Релея.

Двумерные возмущения вращающегося течения. Основываясь на упражнении 7.1, покажите, что если

%, d/dz = 0, 4 = д^/гдв 吗=—д^/дг,

то линеаризованные уравнения приводятся к виду

傷+嗚)3-昭器=。，

где завихренность основного течения Z = г-1В(гУ) = D*匕 а лапласиан имеет вид

а >1 @1 а2

Зг2г дг г2 дО2

(Возможно, легче вывести это уравнение, линеаризуя уравнение завихренности (2.4) с Я = оо).

Выбирая нормальные моды в виде

沙(т, & %) = 0(т) exp(st + in0),

покажите, что

(s + inQ)(D*D — n2/r2)^ — inr-1(DZ)^ = 0,

0 = 0 при г = Ri,冗2・

Покажите, что необходимым условием неустойчивости относительно двумерных возмущений является смена знака градиента завихренности DZ основного течения где-либо внутри интервала течения [Rayleigh, 1880]. (Подсказка: Используйте доказательство из параграфа 8.2 для аналогичной задачи о неустойчивости параллельного течения).

Л ппроксимацил узкого зазора. Рассмотрев основное течение Куэтта со скоростью У (г) = Аг+В/г и угловой скоростью Q = V/r в обычных обозначениях, докажите, что

С(т) т Qi[l — (1 — м)С] при ту —> 1

для фиксированных ^ = (г —冗1)/(冗2 —冗1), где ту = R，R?、 从—1^2 / ^^ 1 •

Покажите, что дискриминант Релея

季⑺ ^ —2С；^———[1 — (1 — /х)С] при 77 Tl.

Неустойчив ость течения Куэтта невязкой жидкости. Покажите, что если

С(т) = С1[1-(1-4)и

как в упражнении 7.4, то устойчивость относительно осесимметричных возмущений (упражнение 7.2) определяется при помощи следующей задачи на собственные значения

(D2 — а2)и 二—а2сг-2[1 — (1 —从)С]%

〃 =0 при С = 0,1,

где

a = 3/(-44%)1/2 ^ s[2(1 - 力/(1 一 从)]1/2/2%, a = k(R2 - %).

Докажите, что

d?〃с

-г- = хи. 〃 = 0 при z 二 Zo, Zl, аж2

где

工=[аМ/0 _ 从)2/3{i _〔I _(1 _ 从)4/経}, ®0 = ["2/(1 —朗2/3(i _ 厂2),

Z1 = [ас/2/"—闻 2/3(i —从厂2)

и что соотношение на собственные значения имеет вид

Ai(w) = Ai(®0) Bi(s)二 Bi®。)，

где Ai, Bi — функции Эйри. (Численные расчеты подтверждают устойчивость при 从 > 1 и неустойчивость при 从 < 1, что соответствует критерию Релея [Reid, I960]; см. [Drazin & Reid, 1981, параграф 16]).

Глава 8

Устойчивость параллельных течений

Так как они сеяли ветер, то и пожнут 6урю・・・

Ос. 8, 7

В настоящей главе рассматриваются неустойчивости многих важных течений: течений в канале, таких как течение Куэтта и плоское течение Пуазейля, пограничного слоя Блазиуса на плоской пластине, двумерных струй, следов и свободых сдвиговых слоев, а также течений в трубе и осесимметричных струй. Глава начинается с обсуждения неустойчивости плоско- параллельных течений несжимаемой идеальной жидкости и продолжается рассмотрением аналогичных вопросов в вязкой жидкости. Будет видно, что для одних течений модель идеальной жидкости дает хорошее приближение для характеристик устойчивости вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса, а для других это не так. Мы также увидим, что несмотря на то, что вязкость приводит к диссипации энергии, ее наличие может дестабилизировать течение, которое устойчиво для идеальной жидкости. Итак, начнем с относительно простой теории несжимаемой идеальной жидкости.

Часть 1: Идеальная жидкость

8.1. Устойчивость плоско-параллельных течений идеальной жидкости

Для заданного плоско-параллельного течения возьмем величину V в качестве характерной скорости, а величину L — в качестве характерной длины. Для течения в канале или для струи, например,

за величину V можно было бы принять скорость в центре течения, а для свободного сдвигового слоя или пограничного слоя на пластине —взять скорость свободного потока; за величину L можно было бы принять полуширину канала, в котором течет жидкость, или ширину струи, сдвигового слоя или пограничного слоя на пластине. Определим затем безразмерные переменные х 二 х*/Е, t = VtjL、u = =и*/匕 p = p./pV?. Тогда уравнения Эйлера для идеальной жидкости могут быть записаны в безразмерной форме следующим образом:

+ и • Vu = — Vp,

уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в виде

▽ •и = 0,(8.2)

а граничные условия непроницаемости твердых стенок при z = z】,z2 в виде

w = 0 при z = zi, Z2・(8.3)

Можно взять или zi = —оо или Z2 二 8, если течение является по- луограниченным или использовать оба эти равенства, если течение неограниченно. Используем далее выражения

U = U(z)i, Р = const при zi < z < Z2(8.4)

для задания основного течения в канале (см. рис. 8.1). Можно проверить, что это течение удовлетворяет основным уравнениям и граничным условиям для любой функции U.

Для того чтобы найти характеристики линейной устойчивости линеаризуем уравнения и граничные условия относительно малых возмущений и, как обычно, используем метод нормальных мод. Так, положим,

u(x,t) = U(z) +u,(x"),р(х, t) = Р +р,(х^)»(8・5)

и линеаризуем уравнения (8.1)-(8.3), пренебрегая произведениями возмущений (обозначенных штрихами). Отсюда следует, что

(8・6)(8・6)

(8・6)

(8・6)

(8・7)(8・7)WZ(X, t) = 0 при Z = Z1, Z2・

(8・7)

(8・7)

Беря дивергенцию от обеих частей уравнения (8.6), получаем

Рис. 8・1・ Геометрия основного течения

△р‘ = —2

dU аt(/ dz дх

(8・8)

Отсюда можно вывести, что применение оператора Лапласа к уравнению (8.6) для z-й компоненты приводит к уравнению

傷+噜)△苏一学芻="(&9)

Коэффициенты в этих уравнениях не зависят от ж, y^t^ но зависят от z, следовательно, можно разделить переменные, выразив независимые нормальные моды в форме

uf^t) = 6(z)ei9，+削 Y8), ^优t)=负 2)跳^+即一ad)，岱」0)

при этом, как обычно понимается, что каждая физическая величина представляется действительной частью комплексного выражения, так что wz, например, отвечает физической величине

[Re(w) cos (аж + /?у — aqt) — Im(w) sin(aa; + /?у — acrt)] exp(aqt), где сг = Re (c), Ci = Im(c). Эта мода представляет собой бегущую в направлении (а, Д 0) волну с фазовой скоростью acr/(a2 + /52)1/2, которая затухает или растет со временем как exp(acit). Говорят, что °на будет соответственно линейно устойчивой, если aq < 0, и неустойчивой при ас】> 0. (Можно было бы записать —iac = s, так что и',р' ос е", но общепринятым является использование комплексной скорости с для тех задач, в которых обычно возникают моды типа бегущей волны).

Таким образом, из уравнений (8.6) следует

ia(U — с) 2 + 票^ + 匕/ =。，(8.11)

ia(U — с 月 + i06 = 0,

(8.12)

ia(U — c\w=

(8.13)

iau + i网 + ^^ = 0.

(8.14)

Из граничных условий (8.7) также следует

俞(х<) = 0 при Z = Z1,Z2・

(8.15)

Уравнения (8.11)-(8.14) и граничные условия (8.15) представляют собой формулировку задачи на собственные значения для определения всех собственных функций и,济 принадлежащих собственным значениям с для заданных，z> Z2, а, /?・ Течение является линейно устойчивым, если ас】< 0 для всех действительных значений а, /3. Наоборот, течение является неустойчивым, если а% > 0 для по крайней мере одной пары действительных волновых чисел а, /?・ Идея здесь состоит в том, что любое начгшьное возмущение может быть выражено в виде суперпозиции собственных функций для всех значений волновых чисел, по крайней мере, если множество собственных функций является полным, и что течение является устойчивым, если нет моды, растущей неограниченно.

Для того чтобы решить задачу на собственные значения (8.11)(8.15), полезно определить величины

а = (а2 4- /?2)1/(2,办=(а& +的)/2J,р = ар/а. (8.16)

Уравнения (8.16) являются невязким аналогом преобразования Сквайра, которое Сквайр [Squire, 1933] впервые использовал для вязкой жидкости. Возьмем далее сумму произведений а и уравнения (8.11) и /? и уравнения (8.12), и, деля эту сумму на а, получим уравнение

i@(U - с历 + ^④ + iap = 0,(8.17)

которое, по-существу, является компонентой линеаризованных уравнений Эйлера в направлении волнового вектора а = ai+例, для а = |а| и й = ^ • и, где а = а/а. Уравнения (8.13), (8.14) могут быть также записаны в виде

i@(U-c)俞 + 卓=0,(8.18)

3+需3+需=о,=о,(8.19)(8.19)

3+需

3+需

=о,

=о,

(8.19)

(8.19)

Рис. 8.2. Волновой вектор и компоненты скорости основного течения в плоскости z = const, (а) а = ai 4- Qj. (б) U = U(cos 0а + sin。衣 x k)/a

соответственно. Теперь можно увидеть, что преобразованная задача на собственные значения (8.17)-(8.19), (8.15) имеет тот же самый вид, что и первоначальная задача на собственные значения (8.11)-(8.15) в специальном случае двумерных волновых мод, когда /? = v = 0; отсюда следует, что соотношение на собственные значения для заданного основного течения имеет вид

乃(с,&) =0 (8.20)

для некоторой функции 尸,собственные значения с зависят от волновых чисел только через сумму их квадратов. Таким образом, относительная скорость роста а& является наибольшей для заданного волнового числа S, когда /? = 0, так как равенство в выражении а < S достигается только при /? = 0.

Существенный физический результат состоит в том, что трехмерная мода представляет собой волну, распространяющуюся наклонно к плоскости основного течения, и только компонента основного течения в направлении движения волны влияет на рост волны, так что скорость роста пропорциональна этой компоненте. Это означает, что каждой неустойчивой трехмерной моде соответствует более неустойчивая двумерная мода. Этот факт становится более прозрачным, если определить в как угол между волновым вектором а = (а,/?,0) и направлением скорости основного течения, именно, направлением ℃и X. Тогда 0 = arctan(/?/а) и компонента скорости основного тече- ння в направлении волнового вектора равна U cos 0, как изображено на рис. 8・2・ Уравнения показывают, что компонента вектора скорости основного течения, перпендикулярная волновому вектору, не влияет на рост волны.

Из изложенного ясно, что задача на собственные значения для трехмерной моды может быть преобразована в задачу для двумерной моды и поэтому можно ограничиться решением задачи на собственные значения только для двумерных мод. В рассмотренной выше

(8.21)(8.22)(8.23)(8.24)(8.21)(8.22)(8.23)(8.24)задаче на собственные значения удобнее начать заново, подставляя функцию тока 吵'для возмущения в линеаризованные уравнения, чем полагать /? = v = 0 в вышеприведенной задаче на собственные значения и исключать 2,倉 выделяя w. Итак, положим

(8.21)

(8.22)

(8.23)

(8.24)

(8.21)

(8.22)

(8.23)

(8.24)

и используем нормальные моды вида 沙伯,z,t) = «(z)eia(~c*)・

Следовательно,

и =w = -ia«,и уравнение (8.11) дает吟)曲.

Поставляя это выражение для р в уравнение (8.13), получаем уравнение устойчив ости Релея,

(U - с)^ -巒《) 一 и"ф = 0,(8.25)

которое вместе с граничными условиями (8.15), записанными в виде

«(z) = 0 при z =力，а,(8.26)

определяет задачу на собственные значения в простейшей форме, где штрихи теперь используются для обозначения дифференцирования по z (не следует путать со штрихами, которые ранее обозначали возмущения физических величин). Данную задачу, впервые поставленную Релеем в 1880 г., иногда называют задачей устойчивости Релея.

Заметим, что в задачу на собственные значения (8.25), (8.26) а входит только во второй степени. Таким образом, если величины «, с являются решением задачи, т.е. собственной функцией и соответствующим собственным значением, для данного значения а, то они также являются решением и для отрицательного значения —а. Это свойство связано с обратимостью задачи по времени и пространству. В связи с этим, без потери общности, будем рассматривать далее только случай а > 0. Тогда критерием для неустойчивости моды являются условия Ci > 0 и а > 0. Далее заметим, что комплексно-сопряженное собственное решение ^*, с* = cr— ici является также собственным решением для того же самого волнового числа а, потому что задача на

82 Общне свойства заааэдг устойчивость Реле仪 163 собственные значения является действительной. Поэтому для каждой затухающей устойчивой моды существует соответствующая растущая неустойчивая мода и наоборот. Этот факт объясняется обратимостью задачи по времени, которая включает периодические движения идеальной жидкости со стационарными граничными условиями. Полученный результат может казаться парадоксальным в том смысле, что если существует экспоненциально затухающая мода, также существует экспоненциально растущая мода и поэтому течение является неустойчивым. Это означает, что течение может быть устойчиво только в том случае, когда все моды являются нейтрально устойчивыми с действительными собственными значениями с; но это неудивительно для недиссипативных систем: хорошо известно, что для гамильтоновой системы с одной степенью свободы все устойчивые состояния равновесия являются центрами, а все неустойчивые равновесия являются седлами на фазовой плоскости.

Можно заметить, что уравнение устойчивости Релея (8.25) имеет сингулярность в точке или точках zc в области течения, где U(zc) = с, если Um < с < Um, где Um — минимум U(z) в интервале z± < z < Z2 течения, a Um — максимум. Плоскость, где z = zc, называется критическим слоем моды. Заметим, что критические слои могут возникнуть только, если с вещественна, т.е. только если мода нейтрально устойчива, более того, критические слои обязательно возникают для маргинально устойчивых мод. Будет показано, что критические слои важны при решении задач с начальными условиями для идеальной жидкости и для обобщения задачи устойчивости Релея на случай вязкой жидкости, т. е. для задачи Орра-Зоммерфельда.

Фактически собственные решения с, ф для заданных гладких U и zi,Z2,a могут быть двух видов (моды для кусочно-линейных профилей U несколько отличаются). Существует непрерывный спектр собственных значений с для всех с в интервале \Um, Um], каждая соответствующая собственная функция имеет разрывную производную в точке z「Также может иметь место дискретный спектр комплексносопряженных пар собственных значений; число пар больше или равно нулю и меньше или равно числу точек перегиба профиля скорости U.

8・2・ Общие свойства задачи устойчивости Релея

Содержание предыдущего параграфа главным образом следует работе [Rayleigh, 1880]. Релей также нашел некоторые общие свойства ре・ вения и несколько точных решений задач на собственные значения Для кусочно-линейных профилей скорости основного течения. Данный параграф представляет собой обзор некоторых общих результатов, полученных Релеем и другими исследователями. Некоторые детали специфических решений приводятся в следующем параграфе.

Возможно, наиболее известным и наиболее полезным общим результатом, полученым Релеем, является результат о том, что необходимым условием для неустойчивости является наличие точки перегиба в профиле основного течения. Его доказательство проводится следующим образом. Во-первых, запишем уравнение устойчивости Релея (8.25) в виде

0〃 —『0 —ф — оU — с0〃 —『0 —ф — оU — с(8.27)(8.27)

0〃 —『0 —ф — о

U — с

0〃 —『0 —ф — о

U — с

(8.27)

(8.27)

и предложим, что течение является неустойчивым для этой моды, так что Ci > 0. Теперь умножим уравнение (8.27) на 0*, комплексносопряженное к 0, проинтегрируем от zi до z? по частям и используем граничные условия (8.26). Получим

Z

Z2产2 ГТ//

(1川2 +a21肝)dz + 厶 鼻I012dz = 0.(8.28)

Мнимая часть уравнения (8.28) имеет вид

& J |U — c|2 侬『dz = 0・ (8.29)

Имеем q > 0. Поэтому U" должна изменять знак по крайней мере один раз в открытом интервале (zi,Z2)・ Это условие, будучи только необходимым условием, не может быть использовано для того, чтобы показать, что какое-либо заданное течение является неустойчивым, но может быть использовано, чтобы показать, что некоторые течения являются устойчивыми.

Тейлор [Taylor, 1915, р. 23-26] дал физическое объяснение для условия неустойчивости, рассматривая перенос ж-й компоненты импульса посредством возмущения. Он показал, что если возмущение является неустойчивым и U" > 0 всюду в жидкости, то ж-компонента импульса каждого слоя жидкости должна возрастать. Но поток импульса через стенку равен нулю, потому что идеальная жидкость там проскальзывает, что приводит к противоречию.

Тейлор заключил, что если поток является неустойчивым, то Un не является величиной, положительной всюду в жидкости, и, аналогично, U" не является величиной отрицательной, придя, таким образом, к результату Релея. Интересно, что Тейлор пророчески добавил, что наличие бесконечно малой вязкости может привести к неустойчивости, когда U" имеет один и тот же знак везде в жидкости, допустив перенос импульса вследствии трения на стенке. Лин [Lin, 1955, параграф 4.4] объяснил физический механизм неустойчивости в терминах динамики вихрей, идентифицируя точку перегиба с плоскостью, где градиент завихренности основного течения становится равным нулю;

Рис. 8・3・ Некоторые примеры течений, удовлетворяющие необходимому условию неустойчивости Релея-Фьёртофта. (а) Устойчиво, потому что везде Un < 0. (б) Устойчиво, потому что U" > 0 в каждой точке, (в) Устойчиво, потому что U"(zs) = 0, но U"(U — Ua) > 0. (г) Течение возможно неустойчиво, так как 0'(厶)=0 и U"(U — UJ < 0

Бейнс и Мицудера [Baines & Mitsudera, 1994] сделали то же в терминах линейного резонансного механизма. Мы вскоре вернемся к другому физическому объяснению условия Релея в терминах напряжений Рейнольдса. Однако этот механизм является довольно сложным и не может быть легко объясним при помощи простых физических понятий.

Более сильная форма условия Релея была получена Фьёртофтом [Fj0rtoft, 1950] семидесятью годами позднее: необходимым условием неустойчивости является условие U〃(U — Us) < 0 где-либо в поле течения, где zs является точкой, в которой U〃(zs) = Q nUs = U(zs). Применение условий Релея и Фьёртофта проиллюстрировано на рис. 8.3.

На практике, условия Релея-Фьёртофта часто являются необходимыми и достаточными для неустойчивости. Толлмин [Tollmien, 1935] правдоподобно показал, что условие Релея является необходимым и достаточным для неустойчивости симметричных течений в канале. Его

довод основан на демонстрации существования нейтрально устойчивого решения вида

с = “， а = & > О, ф = Фе(8.30)

и дальнейшем возмущении его, чтобы показать, что оно маргинально устойчиво^ т. е. имеются как устойчивые, так и неустойчивые моды, соответствующие значениям а в каждой окрестности а$・ Далее, Лин [Lin, 1955, р. 123] показал асимптотически, что

(8.31)(8.31)С U а ^^ —..

(8.31)

(8.31)

尸 £；段% dz + br sgn 必]z=z,[写货]=,

при а т а$—, где Р обозначает главное до Коши значение интеграла. Фактически, существуют неустойчивые моды этого класса для 0 < а < ав, но не для а > а$・

Пример 8Л: Контрпример достаточности условий Релея-Фьёртоф- та для неустойчив ости, Толлмин [Tollmien, 1935] рассмотрел профиль скорости основного течения в виде

U(Z)= sinz При Z1 < Z < Z2・

Имеем Un = — U, откуда U8 = 0, если целое кратное тг лежит в интервале [zi, Z2] течения, z$ кратно тг и U〃(U — 4) = — sin2 z < 0. Поэтому существует маргинально устойчивое собственное решение

с = ЕЛ = 0, а = ав = [1 — п2тг2/(2：2 — zi)2] ^2 ,

Ф= ф8= sin[n7T(Z - Z0/(Z2 — zi)]

для каждого положительного целого n <(Z2 — z]g Отсюда можно показать, что если Z2 — zi < тг, то течение яляется устойчивым, даже при условии существования точки перегиба при z = 0 в области течения и выполнении необходимого условия неустойчивости Фьёр- тофта.□

Ховард [Howard, 1961] изящно показал, что если мода является неустойчивой, т. е. > 0, то

I2 Г1]2

卜一/(Um + Um) +虚 V —t4n) ,(8.32)

где Um является минимумом функции U(z) на интервале zi < z < Z2 внутри течения, a Um — максимум, так что с лежит в полуокружности в верхней комплексной полуплоскости с центром ^(Um + Um) и

радиусом ^{Цм — Um)・ Это неравенство называется теоремой полукруга Ховарда, Оно полезно для того, чтобы легко получить оценку скоростей роста и фазовых скоростей нормальных мод, хотя формаль- н0 это не есть оценка, а только ограничение. Эта теорема также показывает, что Um < сг < Um в пределе при q т 0+ для маргинально устойчивой моды.

Было замечено, что уравнение устойчивости Релея имеет сингулярность в точке или точках zc в области течения, где U(zJ = с, т. е. в критических слоях моды. Вид линий тока около критического слоя был получен Кельвином [Kelvin, 1880]. Переходя в систему отчета, движущуюся со скоростью с, т. е. примененяя преобразование Галилея, приведем движение к установившемуся течению относительно преобразованной системы. Тогда линии тока совпадут с траекториями частиц. Физическая функция тока для этого установившегося течения имеет вид

吵(аз, z)=屮(z) + 4Re [</>(z)e^QX],

гдеz

屮⑶=/ \U(y) -

представляет собой функцию тока основного течения в преобразованной системе, а А — вещественная постоянная пропорциональная амплитуде волновой моды. моды. Около критического слоя z = Zc приближенное уравнение линий тока имеет вид

^U'(zc)(z — Zc)? + 40(zc) cos аж = const,(8.33)

где e(zj выбрана действительной при помощи нормировки. Теперь линии тока, как это можно увидеть на рис. 8.4, имеют известную форму кошачьего глаза.

Напряжения Рейнольдса в уравнении энергии Рейнольдса-Орра (5.28) представляют собой среднее по ж:

7=詐/=-詐//“7=詐/=-詐//“Re(®E)Re(&E) da;,Re(®E)Re(&E) da;,

7=詐/=-詐//“

7=詐/=-詐//“

Re(®E)Re(&E) da;,

Re(®E)Re(&E) da;,

где E = d"仲一⑴=Fexp(aqt) и F = ехрра(ж — crt)]. Поэтому

a 产 717a1

т = 一芯 J Re[(-ia0)E] Re("E)] dx =，匕的"* 一。*“) exp(2aCit),

dr 芯dr 芯так как Re("E)=乜“后 + “*E*) = l^F + “*歹一】)exp(aCit) и так ■Далее. Используя уравнение устойчивости Релея (8.25), далее получим

dr 芯

dr 芯

=}a(00〃* — ф^ф^) exp(2acit)=

Рис. 8・4・ Форма 'кошачьего глаза” Кельвина для линии тока около критического слоя с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с нейтрально устойчивой волновой модой (по [Drazin & Reid, 1981, Fig. 4.3])

=^ас"〃|и — c|-2|^|2exp(2acit). (8.34)

Рассматривая сингулярность в критическом слое, где U(z) = с, можно показать (см. упражнение 8.4), что “сканок” напряжений дается выражением

^т=^а \и11\ф^/и1}2 (8.35)

в пределе при Ci т 0+； это выражение определяет разрыв напряжений Рейнольдса для маргинально устойчивой моды. Скачок функции т на разрыве Zc определяется здесь как Дт = 7(Zc + 0) — r(zc — 0).

Эти формулы имеют некоторые важные физические следствия. Уравнение энергии Рейнольдса-Орра (5.28) показывает, что возмущение получает (или отдает) энергию из основного потока с помощью напряжений Рейнольдса, так что волновая мода забирает энергию там, где функция ^rW положительна. Уравнение (8.34) показывает, что для нейтрально устойчивой моды dr/dz = 0 везде, где U(z)次 с; поэтому напряжение Рейнольдса является постоянной величиной между критическими слоями. Заметим также, что т исчезает на каждой стенке, потому что, как следует из граничных условий, w там обращается в ноль. Этот факт показывает, что сумма скачков напряжения Рейнольдса для нейтрально устойчивой моды равна нулю. Отсюда следует, что если имеется самое большее один критический слой, как это должно быть, если профиль основной скорости представляет собой монотонную функцию, то напряжение Рейнольдса должно быть равно нулю во всем потоке. Поэтому для нейтрально устойчивой моды не только U" = 0 там, где U = с, но также и U = с, где U" = 0.

8・3・ Характеристики устойчивости некоторых течений идеальной жидкости

Для плоского течения Пуазейля и многих других течений в канале Un не обращается в ноль в области течения, поэтому эти течения идеальной жидкости являются устойчивыми по отношению к двумерным бесконечно малым возмущениям. Однако некоторые течения в канале, все неограниченные струйные течения и свободные сдвиговые слои являются неустойчивыми. Чтобы решить задачу на собственные значения и, следовательно, найти характеристики устойчивости для конкретного основного течения, в общем случае необходимо использовать численные методы. Тем не менее, известны некоторые ангшитические результаты, которые полезны с педагогической точки зрения в качестве примеров.

Большинство известных аналитических результатов получены для кусочно-линейных профилей скорости основного течения. При получении этих результатов использовались условия, выведенные и использованные Релеем [Rayleigh, 1880], которым удовлетворяет возмущение на разрыве функции U или Uf, Предположим, что U или U1 разрывна, скажем, при z = zq. Тогда, как следует из уравнения (8.24), условие непрерывности давления дает

△[(U — с)“ 一 U^] = 0 при z = zo・(8.36)

Здесь опять используется символ △ для обозначения скачка физической величины, так что условие (8.36) означает, что (U — с)“ 一 непрерывна при zo・ Также может быть показано, что условие сплошности жидкости на возмущенной поверхности z 二 zq 4- С(ж,^) дает D^/Dt = w при z =+ С и, следовательно, после линеаризации

△ — = 0 при z = z()・(8.37)

у — cj

Теперь, вооруженные условиями (8.36) и (8.37), мы уже готовы решить любую задачу с кусочно-линейным профилем скорости U, потому что в слое, где U" = 0, уравнение устойчивости Релея (8.25) имеет общее решение в явном виде

ф{г) = A^z Л-Bq~qz,(8.38)

где А и В — произвольные постоянные.

Пример 8,2: Устойчивость плоского течения Куэтта, См.

Рис. 8.5 (а). Если

U(z) = z при — 1 < z < 1,

170

Рис. 8・5・ Схематическое изображение некоторых основных профилей скорости. (а) Плоское течение Куэтта: U(z) = z. (б) Неограниченная вихревая полоса: U(z) = sgn(z). (в) Неограниченный сдвиговый слой, (г) Треугольная струя

тогда уравнение устойчивости Релея принимает вид

(z — с) (“, 一10) = 0,

ф"—『0 = оф"—『0 = ои поэтому

ф"—『0 = о

ф"—『0 = о

там, где z ^ с. Не существует решения этого уравнения, которое удовлетворяет обоим граничным условиям (8.26), так что дискретный спектр представляет собой пустое множество и плоское течение Куэтта идеальной жидкости является устойчивым. Однако условия задачи могут удовлетворяться на кусках при помощи непрерывной функции ф с разрывной производной на критическом слое z = с для всех с таких, что —1 < с < 1 и для всех а. Собственная функция, как легко можно увидеть, будет пропорциональна 0, где

для — 1 < Z < с,ДЛЯ С < Z <1.для — 1 < Z < с,ДЛЯ С < Z <1.。⑶=。⑶=

для — 1 < Z < с,

ДЛЯ С < Z <1.

для — 1 < Z < с,

ДЛЯ С < Z <1.

。⑶=

。⑶=

□□Это дает непрерывный спектр [Case, 1960].

□

□

Пример 8.3: Неустойчив ость К ель в ина-Гелъмг ольца. Гельмгольц [Helmholtz, 1868] описал физическую природу неустойчивости вихревой полосы в нескольких словах, а Кельвин [Kelvin, 1871] проанализировал полностью эту линейную неустойчивость, выбрав в качестве скорости основного течения

- I 1 皿 z > О,и"ЛЯ2<0,

как изображено на рис. 8.5 (б) и описано в главе 3. Кельвин, по- существу, нашел кусочно-гладкое решение уравнения устойчивости Релея, используя граничные условия на бесконечности, и получил

、f Ae~QZ для z > О,弧2)=储产 длЯ^<О

и некоторых постоянных А, В. (Вспомним, что по соглашению, а > 0). Условие (8.36) в точке z = 0 дает

В/(—1 — с) = —а(1 — с)А, а из условия (8.37) получаем

—а(—1 — с) В = —а(1 — с)4

Исключая А, В из этих двух линейных однородных уравнений, получаем, что.

с2 = — 1

в соответствии с уравнением (3.28). Поэтому с = ±i и относительная скорость роста aq = 士а дает одну экспоненциально затухающую и одну возрастающую моду для каждого значения волнового числа. Следовательно, течение является неустойчивым для волн с любой длиной волны.

Заметим, что скорость роста стремится к бесконечности при стремлении к нулю длины волны, так что тонкая структура начального возмущения быстро растет. Для того чтобы рассмотреть эффекты быстрого роста коротких волн, в качестве примера предположим (см. [SafFman, 1992, Chap. 8]), что начальные условия таковы, что профиль поверхности раздела，имеет период 2тг/а и возбуждаются только растущие моды, так что

ОО

《吃力) =Е Ап (t) sin паж,п=1

где Ап(t) = An(0)enat. Предположим далее, что

4(0) = ехр(—тг〃2 一 nato)

для некоторого 力о > 0・ Отсюда следует, что 彳 является гладкой функцией для 0 < t < to? но не для t > t0- Таким образом, сингулярность кривизны вихревой полосы может развиться за конечное время, по крайней мере, согласно линейной теории. □

Пример 8./: Неограниченный непрерывный кусочно-линейный сдвиговый слой. Возьмем

и и ш пр叩叩и и ш пр叩叩9 9 ・■ 一1 IX ->-<-<-z z Z<-9 9 ・■ 一1 IX ->-<-<-z z Z<-9 3 (8.9 3 (8.

и и ш пр叩叩

и и ш пр叩叩

9 9 ・■ 一1 IX ->-<-<-z z Z

<-

9 9 ・■ 一1 IX ->-<-<-z z Z

<-

9 3 (8.

9 3 (8.

как показано на рис. 8.5 (в). Решая уравнение устойчивости Релея на кусках и используя граничные условия на бесконечности, получаем

'Ae~Q^z~^приz > 1,

«(z) = Be-a(z-D + Ce^z+i) при - 1 < z < 1,(8.40)

、De“(z+i)приz < —1

для некоторых постоянных А, В, С, D, Выберем множитель еа произвольным, а также, как и прежде, а > 0, чтобы немного упростить вычисления. Тогда условия (8.36), (8.37) при z = ±1 дают

А = В + Се?”，-(1 - c)aA = (1 - с)а (-В + Се2а) -(В + С^а),

Be2a + С = D, (-1- с)а (—Be2a + С)- (Be2a + С)二 а(-1 - c)D соответственно. Исключим далее 4,В,С, D из этих четырех линейных однородных уравнений, находя, что

11е2а0

п _ —(1—с)а (1—с)а(—1)—1[(1—с)а—1]е2а0

° =0е2a11

0—[(—1—с)а+1]е2a(—1—с)а—1 а(—1—с)

откуда получаем соотношение на собственные значения

с2 =(4。2尸[(1- 2a)2 一 е-* .(8.41)

Это соотношение описывает пару нейтрально устойчивых волн, распространяющихся в противоположных направлениях, если с2 > 0, и пару стационарных мод, одну растущую и одну затухающую, если с2 < 0. Единственный положительный ноль выражения 1 — 2а + е~2a а§ * 0,64, откуда делаем вывод, что мода неустойчива, в том и только в том случае, когда 0 < а < а,. Отсюда следует, что сдвиговый слой является неустойчивым. 口.

Рис. 8・6・ Символическое изображение мод неустойчивости симметричной струи. Они представляют собой линии тока в движущейся системе отсчета в данный момент времени. (Вспомним, что моды движутся с постоянной скоростью, по мере того как они растут экспоненциально, являются произвольно нормированными и развивгоотся на фоне основного течения), (а) Синусоидгшьная мода, (б) Варикозная мода

Пример 8.5: Треугольная струя. Возьмем профиль скорости основного течения в виде

{

Оприz > 1,

1 -|z|при-1 < z < 1,(8.42)

Оприz < —1,

как изображено на рис. 8.5 (г). Вновь будем решать уравнение устойчивости Релея на кусках, используя граничные условия на бесконечности. Можно показать, что если U является четной функцией и граничные условия симметричны в точках ±z, как в этой задаче, то каждая собственная функция ф является либо четной, либо нечетной, так что достаточно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных функций (см. упражнение 8.13). Возмущение с четной функцией ф называется синусоидальной модой или антисимметричной модой, потому что струя колеблется синусоидально и линии тока являются антисимметричными относительно линии z = 0, возмущение с нечетной функцией ф называется варикозной модой или симметрической модой, потому что струя выглядит вздувшейся и линии тока симметричны относительно z = 0 (см. рис. 8.6). Рассматривая сначала случай четной собственной функции, положим, что

,、_ / 4e-a(|z|-i)при\z\ > 1,

+приИ<1

Для некоторых постоянных Л, В, D, Условия (8.36), (8.37) при z = ±1 дают

А = В + D, саА = —са (В tha + D ctha) + (В + D),

а при z = 0 имеем

(1 — c)aD cosech а + В sech а = —(1 — c)aD cosech а — В sech а.

Исключая А, В, D из этих трех линейных однородных уравнений, окончательно получаем соотношение на собственные значения

2a2c2 + 仪(1 _ 2а — е~2а) с — [1 — а — (1 + а)е-2а] = 0. (8.43)

Решая это квадратное относительно с уравнение с целью установить, когда существует пара комплексно-сопряженных корней, легко пока^ зать, что а, = 1,833 и £7$ = 0,367. Таким образом, струя является неустойчивой по отношению к распространяющимся растущим синусоидальным волнам, которые не являются короткими.

Аналогично, для варикозных мод можно показать, что

с = (2а)-1 (1 — е—2а) ,(8.44)

предполагая, что собственная функция является нечетной. Отсюда следует, что варикозная мода является устойчивой для всех волновых чисел а. Заметим, что синусоидальная мода является более неустойчивой, чем варикозная мода, для данного симметрического течения. Фактически этот результат имеет гораздо большую общность. □

8・4・ Нелинейные возмущения параллельного течения идеальной жидкости

Слабо нелинейная теория неустойчивости параллельного течения идеальной жидкости все еще нуждается в солидном обосновании в силу того обстоятельства, что заданное основное течение является или устойчивым или неустойчивым и не является слабо неустойчивым, когда параметр, аналогичный разности между значением числа Рейнольдса и его критическим значением, мал・ Кроме того, следует сказать еще о многом.

Задача о нелинейной неустойчивости Кельвина-Гельмгольца представляет собой задачу о свертывании вихревой полосы между полу-пространствами безвихревых течений, которая является классической проблемой гидродинамики. Сингулярность кривизны поверхности раздела на конечном отрезке времени, предсказанная линейной теорией двумерного движения, фактически не имеет места в сильно нелинейной теории (см. [Saffman, 1992, Chap. 8]). Бил с соавторами [Beale et aL, 1984] доказали для двухмерного движения идеальной несжимаемой жидкости, что если начальные условия являются гладкими, то поле скоростей яляется также гладким для любого момента времени.

Хорошо известно, что для двумерного движения несжимаемой идеальной жидкости вихрь движется вместе с частицами жидкости, так что интеграл по области течения от любой заданной гладкой функции вихря является постоянной величиной, если вихри не входят в данную область и не покидают ее. Кинетическая энергия движения является также постоянной величиной. Отсюда следует, что, неустойчивости двумерного течения, в общем случае, порождают все меньшие и меньшие масштабы движения.

При помощи преобразования Сквайра линейная задача была сведена к двумерной задаче динамики вихрей. Хорошо известно [Herivel, 1955], что такие течения могут быть описаны бесконечномерной гамильтоновой системой, а также что гамильтонова система не имеет притягивающего множества (аттрактора). (Эта система отличается от гамильтоновой системы, которая описывает двумерное движение жидкой частицы вдоль линиии тока). Также, с точки зрения теории динамических систем, любое стационарное течение может рассматриваться либо как обобщенный центр в случае устойчивости, либо как обобщенное седло в случае неустойчивости. С этой точки зрения является естественным тот факт, что стационарное течение имеет как растущие, так и затухающие возмущения в случае неустойчивости и только нейтргшьно устойчивые возмущения для устойчивого случая. Такое рассмотрение позволяет нам глубже понять на качественном уровне аспекты, связанные с сильно нелинейным распространением возмущений для параллельного течения идеальной жидкости. Если существует единственная неустойчивая мода, тогда малое начальное возмущение общего вида будет расти вблизи от неустойчивого одномерного многообразия основного течения; для периодических граничных условий обычно находится единственная неустойчивая мода неустойчивого параллельного течения, но для неограниченной области существует волновая полоса неустойчивых мод.

Однако следует помнить, что модель идельной жидкости не является структурно устойчивой, так что ожидается слабое затухание с устойчивыми фокусами, а не центрами, когда жидкость слегка вязкая, или даже когда имеется слабая диссипация из-за ошибок приближения в вычислительной гидродинамике; тогда устойчивые течения являются аттракторами. Для реальной жидкости малые масштабы движения в конце концов будут диффундировать под влиянием вязкости, так что будет происходить некоторым образом локальное осреднение этих малых масштабов.

Из лабораторных и численных экспериментов видно, что двумерные неустойчивости некоторых параллельных течений развиваются таким образом, что данное течение в конце-концов превращается в другое двумерное стационарное течение, периодичное по горизонтальной координате ж. Также были найдены некоторые вихри (см. упражнение 8.17), описываемые простым точным решением двумер-

ного уравнения завихренности, которое представляет собой сильно нелинейное обобщение линейно устойчивого неограниченного сдвигового слоя, однако смысл этих вихрей еще предстоит осознать.

Как видно из лабораторных и численных экспериментов, начальное возмущение основного параллельного течения в маловязкой жидкости растет в соответствии с теорией идеальной жидкости, так что по прошествии некоторого времени формируется течение, почти периодичное по пространству с характерной длиной, равной длине наиболее неустойчивой моды. Затем, через большой промежуток времени, вязкость “размазывает” правильную структуру возмущения так, что стационарное двумерное течение данной периодичности формируется только приближенно. Это стационарное волновое течение оказывается существенно независимым от того, каким было начальное возмущение параллельного течения. Оно является устойчивым к двумерным возмущениям и определяется при помощи максимизации некоторой общей формы энтропии методами статистической механики, предложенными Онзагером [Onsager, 1949]. После прошествия еще большего времени трехмерные неустойчивости разрушают это равновесное волновое течение, и в конце концов возникает турбулентность.

Часть 2: Вязкая жидкость

Устойчивость плоско-параллельных течений вязкой жидкости

Возьмем снова

U = U(z)i, Р = ро — Gx при zi < z < Z2,(8.45)

для основного течения в канале с некоторым постоянным градиентом давления с обратным знаком G. Для вязкой жидкости можно проверить (как в примере 2.4), что это течение удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса только при d3U/dz3 = 0, т.е. только если оно является плоским течением Куэтта-Пуазейля с параболическим профилем скоростей.

Как и прежде, выберем безразмерные переменные, определим число Рейнольдса R = VL/v при помощи некоторых масштабов длины L и скорости V основного течения, рассмотрим малые возмущения (8.5) основного течения, линеаризуем уравнения Навье-Стокса, возьмем нормальные моды (8.10) и поставим задачу на собственные значения, определяющую с через U, z】,Z2, (а2 4- Р2)1^2, аЯ. Все это снова приводит к преобразованию Сквайра с модифицированным числом Рейнольдса R = aR/a < R, где равенство достигается только для

ТРтоскоггараллелЕные теаеннл BJJ3KO近 жидкости 177 двумерной волны. В результате получим важный результат, носящий название теоремы Сквайра^ о том, что для получения минимального критического значения числа Рейнольдса достаточно рассмотреть только двумерные возмущения.

На этом основании рассмотрим только двумерные возмущения и используем существование функции тока для двумерного течения, а также возможность записать уравнение для завихренности в терминах функции тока. Следует помнить, однако, что трехмерные возмущения необходимо рассматривать при решении некоторых задач, так как они являются физически важными для некоторых задач с начальными значениями и при некоторых нелинейных взаимодействиях.

Рассмотрим далее уравнения завихренности в форме

(8.46)(8.46)@（△吵）а（△叽吵）=1 2也di a（M,z） — R

(8.46)

(8.46)

и граничные условия непроникания и непроскальзывания на твердых стенках при z = zi, Z2：

吵(工,z") = const,吵(工,z") = const,— (x^z^t) = 0 при z uz— (x^z^t) = 0 при z uz—Zj., Z2 •—Zj., Z2 •(8・47)(8・47)

吵(工,z") = const,

吵(工,z") = const,

— (x^z^t) = 0 при z uz

— (x^z^t) = 0 при z uz

—Zj., Z2 •

—Zj., Z2 •

(8・47)

(8・47)

Представим далее функцию тока в виде 吵=屮 + 少，где Ф = / U(z) dz —функция тока основного течения, а 吵'一возмущение функции тока, и, линеаризовав уравнение завихренности, получим

=拉“=拉“(8.48)(8.48)8(△吵z) &(△“) сРиа 少

=拉“

=拉“

(8.48)

(8.48)

出 + дх dz2 Зж

Подставив сюда нормальные моды (8.22), получим

产-2a20〃 +。40 = iaR[Q - c)3〃 一 巒回 一 U〃仙(8.49)

где штрих снова используется для обозначения дифференцирования по z・ Это уравнение называется уравнением Орра-Зоммерфельда. Граничные условия (8.47) дают

0(z) = “(z) = 0 при z = zi, Z2・ (8.50)

Задачка на собственные значения (8.49), (8.50) называется задачей Орра-Зоммерфельда. Ее решение для собственных значений может быть записано в форме

尸(с,МаА)=0.(8.51)

Зта задача рассматривалась независимо Орром [Огг, 1907 b, Art. 25] и Зоммерфельдом [Sommerfeld, 1908], хотя фактически эти авторы сфор

мулировали ее для плоского течения Куэтта.

Несмотря на то, что уравнение Орра-Зоммерфельда имеет особенность на каждом критическом слое в пределе R т 8, оно несингулярно при каждом заданном R, так что 尸一целая функция своих аргументов, если течение происходит на ограниченном интервале и U аналитична; Шенстед [Schensted, 1960] доказал, что тогда имеет место счетное множество собственных значений и соответствующее множество собственных функций полно, так что начальное возмущение может быть выражено как линейная комбинация дискретных нормальных мод. Если течение происходит на неограниченом интервале, то в дополнение к дискретному спектру имеет место непрерывный спектр с нейтрально устойчивыми собственными модами (см. [Herron, 1987]).

Для заданных U, a, R обычно оказывается, что либо не существует неустойчивых собственных мод, либо существуют только одна или две. Полезно строить кривые маргинальной устойчивости неустойчивых мод в плоскости (а, Я), т. е. решать соотношение на собственные значения и находить функции с(а, R) для каждой неустойчивой моды и строить графики зависимости 仃(％ R) = 0. Минимальным значением R вдоль кривых является критическое значение Rc числа Рейнольдса, такое, что если R < Rc то все моды устойчивы, а если R > % то по крайней мере одна мода неустойчива.

Заметим, что уравнение Орра-Зоммерфельда было выведено в предположении, что основное течение представляет собой как плоско параллельное течение, так и точное решение уравнений Навье- Стокса, так что строго говоря, задача Орра-Зоммерфельда имеет приложение только к неустойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля. Тем не менее, Толлмин [Tollmien, 1929] рассмотрел задачу Орра- Зоммерфельда для zi = 0, Z2 = оо, где U — скорость в пограничном слое Блазиуса на плоской пластине. Это рассмотрение было в конечном счете оправдано подтверждением полученных результатов аккуратными лабораторными экспериментами Шубауером и Скрамшта- дом [Schubauer & Skramstad, 1947], а также может быть обосновано следующим образом.

Отвлечемся на некоторое время и рассмотрим автомодельное решение Блазиуса уравнений пограничного слоя, описывающее течение в однородном потоке, набегающем на плоскую полубесконечную пластину под нулевым углом. Как сообщается во многих учебниках (например [Batchelor, 1967, параграф 5.8]), функция тока для решение Блазиуса имеет вид

Ф* = (2〃Ра)1/2 貝 Q, где V — скорость окружающего однородного потока, параллельного плоской пластине z* = 0, / — решение нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями, отвечающими задаче Блазиуса, и С = {y/2vx^/2z* — автомодельная перемен-

Ная, которая в окрестности пластины имеет смысл расстояния в направлении нормали к пластине. Таким образом, толщина пограничного слоя 6 = (2〃м*/У)1/2 увеличивается по параболическому закону с увеличением расстояния м* вниз по потоку. Скорость основного течения имеет вид

^ = Vf^,匕=0,忆=(心/2工产2(尸⑹-f(0].

Это решение представляет собой хорошую аппроксимацию далеко от передней кромки ж* = 0 пластины, где глобальное число Рейнольдса 卩工*/〃 велико. Вдалеке от передней кромки линии тока почти параллельны, немного расходясь при увеличении м* на толщину 6 пограничного слоя. Вблизи передней кромки вязкие эффекты существенны и линии тока расходятся существенно при увеличении ж* на 6・ Очевидно, что это течение почти параллельно далеко вниз по потоку, но не вблизи передней кромки, и что толщина слоя безгранично увеличивается при ж* оо. Там, где пограничный слой почти параллелен, можно использовать 6 как масштаб поперечного расстояния, V — как масштаб скорости, а также определить локальное число Рейнольдса R = У6/〃 = (2旷工*/〃)1/2, которое пропорционально квадратному корню глобального числа Рейнольдса и расстоянию ж* вниз по потоку.

В соответствии с [Tollmien, 1929], традиционный метод рассмотрения устойчивости пограничного слоя состоит в фиксации данного значения ж*, нахождении локальной продольной скорости £7*(ж*, z*) в этой точке, представлением скорости U*(C) = VU(z), где z = z*/6, пренебрежением поперечной скоростью W^, так как она меньше U* в RT/2 раз? а затем решением задачи Орра-Зоммерфельда для профиля скорости U. Эта процедура является правдоподобной при условии, что (i) результирующее решение задачи Орра-Зоммерфельда дает большое критическое значение Яс числа Рейнольдса Я, что свидетельствует о том, что основное течение и в самом деле почти параллельно и что поперечным течением можно пренебречь в момент возникновении неустойчивости и (ii) наиболее неустойчивые волны не являются слишком длинными, что свидетельствует о том, что профиль скорости не изменяется достаточно сильно на расстояниях порядка одной длины каждой из этих мод. (Далее увидим, что эти условия фактически удовлетворяются в теории пограничного слоя Блазиуса на пластине). Тем не менее, данная процедура подверглась критике Тэйлором в 1938 г., несмотря на то, что данные экспериментов по неустойчивости, сделанных со времени критики Тейлора, в основном подтвердили теоретические реультаты Толлмина. Может быть, следовало бы констатировать, что метод Толлмина приводит к определению того, где неустойчивость пограничного слоя начинается, а не того, начинается ли она или нет, так как равенство R = Rc определяет положение a =r»/2匕где начинается неустойчивость, и пограничный слой

неустойчив вниз по потоку, где R > %・ Тгжже приближение пограничного слоя для больших для которого давление не зависит от поперечной координаты z, радикально отличается от линеаризации, которая приводит к уравнению Орра-Зоммерфельда. Могло бы показаться, что линеаризованные уравнения в частных производных являются параболическими с коэффициентами, зависящими от и, таким образом, переменная ж* не может быть отделена, что позволило бы использовать нормальные моды вида （8.22）. Эта идея была использована при выводе параболизированных уравнений устойчивости^ которые учитывают слабый непараллелизм и кривизну в основном течении наряду с влиянием области вверх по потоку [Bertolotti et aL, 1992]; эти уравнения представляют собой параболическую систему, которая может быть легко проинтегрирована вниз по потоку, хотя уравнения Навье-Стокса, которые эта система уравнений приближает, являются эллиптическими.

*На основании вышеприведенных соображений, развитие пространственной моды данной размерной частоты з* по пространству может быть найдено при помощи ВКБ-приблйжения [Bouthier, 1973; Gaster, 1974]. Пусть 4*（工*） — комплексная амплитуда моды, например, возбужденная в аэродинамической трубе вибрирующей мембраной или громкоговорителем:

也伯 *,打,九）=Re[4（M*）e®*, R（：B*）,3*）exp（i3*h）]

в размерной форме, и приближенно выполняется уравнение

= ia*（M*,3*）4,

где а* — размерное комплексное волновое число и ф — собственная функция, отвечающая наиболее неустойчивой （или наименее устойчивой） моде локально параллельного течения в положении ж*, которая находится из решения задачи Орра-Зоммерфельда в этом положении. Такая мода называется локальной модой, так как она определяется приближением почти параллельного течения локально в данном положении.

Гораздо больше может быть сказано и написано по вопросу о не- параллелизме, тем не менее, этот вопрос является сложным и не до конца разрешенным и не будет далее рассматриваться здесь; будем использовать задачу Орра-Зоммерфельда для множества почти параллельных течений и решать ее, памятуя об ограниченности этого приближения.

8・6・ Некоторые общие свойства задачи Орра— Зоммерфельд а

Сейчас возможно при помощи современных компьютеров и численных методов довольно просто подсчитать собственные решения для любого заданного значения волнового числа и, следовательно, построить маргинальную кривую для любого заданного основного течения. В следующем параграфе будут представлены некоторые численные результаты для некоторых типичных основных течений. Тем не менее, в первую очередь следует обратить больше внимания на физические механизмы неустойчивости, различные аналитические результаты, тонкую асимптотическую структуру решений при больших числах Рейнольдса, а также на трудности численного решения задачи.

Общеизвестно, что явление неустойчивости параллельных течений вязкой жидкости представляет собой весьма сложное явление, физические механизмы которого, тем не менее, возможно удовлетворительным образом описать довольно грубо. Если скорость основного течения имеет точки перегиба и профиль неустойчив для идеальной жидкости, то действие вязкости является в основном стабилизирующим. Сдвиговая неустойчивость, проявляющаяся в задаче Релея, подавляется при достаточно малых числах Рейнольдса 冗,когда действие вязких эффектов, рассеивающих энергию, преобладает над действием напряжений Рейнольдса, генерирующего ее. Тем не менее, при больших значениях R вязкость может дестабилизировать узкую полосу волн, которая устойчива, когда R бесконечно. Конечно, часто основное течение неустойчиво при больших и умеренных значениях Я, хотя и устойчиво для невязкой жидкости; тогда каждая волна данной длины устойчива при достаточно больших R, потому что только исчезающая полоса длинных волн неустойчива, когда R увеличивается до бесконечности (это можно более ясно видеть, если посмотреть на верхний рис. 8.8 (а)). Таким образом, вязкость играет двоякую роль: стабилизирующую вследствие рассеяния энергии и более тонкую — дестабилизирующую. Тейлор [Taylor, 1915], как указано в параграфе 8.2, предположил, что противодействие вязкости проскальзыванию на стенках может вызвать появление момента возмущения в направлении оси ж и, тем самым, привести к неустойчивости. Прандтль [Prandtl, 1921; 1935, параграф 28] предположил, что вязкость может приводить к передаче энергии от основного течения к возмущению вблизи критического слоя при помощи напряжения Рейнольдса, потому что оно может менять фазу компонент скорости и^ wz и тем самым среднее значение их произведения на длине волны. Таким образом, наличие вязкости изменяет результаты параграфа 8.2, касающиеся напряжения Рейнольдса маргинально устойчивых или неустойчивых мод, сглаживая скачки напряжения Рейнольдса вблизи критических

слоев и делая напряжение Рейнольдса ненулевым, когда имеет место только один критический слой. Знак результирующего напряжения Рейнольдса обычно такой, чтобы обеспечить передачу энергии от основного течения к возмущению, что часто приводит к возникновению неустойчивости, но иногда — от возмущения к основному течению. Достаточно недавно Линдзен и Рамбальди [Lindzen & Rambaldi, 1986] объяснили механизм неустойчивости физически при помощи явления, которое называется сеерхотражением^ а Бейнс [Baines ei aL, 1996]— при помощи линейного резонанса (см. упражнение 2.18).

Исследуем далее балланс энергии и структуру критического слоя более подробно, с целью освещения механизма Прандтля и других вопросов.

8.6.1. Энергия

Для нахождения уравнения энергии для возмущений умножим сначала уравнение Орра-Зоммерфельда (8.49) на комплексно сопряженное 0* величины 0, затем, проинтегрировав по частям от zi до Z2 с использованием граничных условий (8.50), получим

—iaRc^ll + 巒砲=—⑶ + 2a2/； + a4lQ^—iaR / 岡"『+

+ (U〃 + 巒)|肝 + uyg dz,(8.52)

где

彳=/ M(n)『dz при n = 0,1,2.(8.53)

Беря вещественную часть уравнения (8.52), получим уравнение

a*i①+m喲=_«+2a2比+d陶一mar/ 为"夕一戸0)(!z,

(8.54)

которое и является уравнением энергии (5.28) для возмущений основного параллельного течения. Члены в левой части представляют собой скорость увеличения кинетической энергии возмущения, первая группа членов в правой части уравнения представляет собой скорость диссипации возмущений вследствие вязкости, а последний член —энергию передачи от основного течения к возмущению посредством напряжения Рейнольдса (см. упражнение 8.26).

Далее оставим на время уравнение Орра-Зоммерфельда и рассмотрим множество S гладких функций 0, которые удовлетворяют граничным условиям (8.50) и уравнению энергии (8.54). Множество S вклю-

чает в себя собственные функции уравнения Орра-Зоммерфельда среди бесконечного множества других функций. Это обстоятельство позволяет доказать достаточные условия для устойчивости при помощи демонстрации, что aq < 0 для всех функций множества S при достаточно малых значениях числа Рейнольдса R. Физическим основанием этого метода является то, что если R достаточно мало, то вязкость рассеивает энергию быстрее, чем энергия создается напряжением Рейнольдса для любого геометрически возможного течения, в котором сохраняется масса и которое удовлетворяет граничным условиям и, таким образом, течение является устойчивым. Это пример энергетического метода, который является естественным приложением прямого метода устойчивости Ляпунова с функционалом, а не функцией Ляпунова.

Для доказательства потребуем

О > aRci (/； + q2Zq) = — (if + 2a2比 + a*^)-

1/*Z2

для всех « е S・ Определим q 二 max|U'| и заметим, что

广 и'(“0* — О*'。) dz < 2g 广 |"||如 dz < 2д!0Л(8.55)

J Z\J Z\

вследствие неравенства Коши-Шварца. Таким образом, остается доказать, что

写 + 2a2比 + d吟 > aRqIoI1

для всех 0 е S.

Синг [Synge, 1938] получил и использовал этот результат для вывода специфических достаточных условий для устойчивости ограниченных течений (с zi = —1, z? = 1). Он показал, что одно из достаточных условий имеет вид

(7/2qaR)2 < 4(2a2^2+打—?+2力但您+6_ 0

для любой вещественной пары £, ту, таких что

2a2楫 + 切-§2 + 2q > о, 仪疗 + f - 1 > °.

(Для неограниченных течений необходимо брать £ = 0, в результате чего условия сильно ослабляются). Полагая £ = / = 1/а, получим

(qR)2 < 8 (1 - а2 + а3 4- а4),

% полагая £ = 0, ту = 3/а2, получим

(qR)2 < 256a4/27.

Эти условия устойчивости являются довольно слабыми. Джозеф [Joseph, 1968; 1969] усилил неравенство, но даже после этого условия оказались недостаточно полезными, потому что энергетический метод не принимает в расчет механизм неустойчивости, обусловленный наличием критического слоя, вследствие чего этот метод не может привести к точным ограничениям на значение Яс.

8・6・2・ Неустойчивость в невязком пределе

Асимптотики сыграли важную роль в историческом развитии теории задачи Орра-Зоммерфельда; с их помощью была сформулирована сложная математическая задача и их использование оказалось существенным для правильного понимания различных физических механизмах в задаче Орра-Зоммерфельда и сходных задачах даже, несмотря на то, что задача Орра-Зоммерфельда может быть сегодня решена численно без существенных трудностей. В настоящей книге, однако, не совсем уместно приводить асимтотическую теорию в деталях и строго, так что ограничимся только ее схематическим изложением.

Для того чтобы соотнести задачу Орра-Зоммерфельда с задачей Релея, естественно перейти к пределу R т 8 в уравнениии Орра- Зоммерфельда и получить уравнение Релея. Сразу заметим, что уравнение Орра-Зоммерфельда является уравнением четвертого порядка и несингулярно для всех значений Я, в то время как уравнение Релея представляет собой уравнение второго порядка и имеет сингулярность, когда U(z) = с в комплексной плоскости z. Переходя к пределу при R т 8, можно найти два независимых асимптотических решения 01 м 02 уравнения Орра-Зоммерфельда, называемых невязкими решениями, которые удовлетворяют уравнению Релея (8.25) везде, кроме может быть, критического слоя.

Уравнение же Орра-Зоммерфельда имеет не два, а четыре независимых решения, так что его общее решение имеет вид

ф = Ai^i + А2Ф2 + Лзфз + А4Ф4(8.56)

для некоторых постоянных 4> Аг, Аз,从击 Гейзенберг работал над этой задачей перед тем, как его внимание было привлечено к более важным проблемам физики; в статье 1924 г., основанной на его докторской диссертации, он нашел два других решения асимптотически. Он нашел при помощи метода, который впоследствии был назван методом ВКБ, вязкие решения, такие, что

03(z),九⑶ ~ [U(z) — с]-»4ехр[干(qR)i/2q(z)] при aR T оо (8.57) для фиксированных z ^ zc, где

Q(z) = е"〃4 /'[ОЗ) — с]1/2d/・(8.58)

Вязкие решения представляют собой возмущения пограничного слоя на стенках толщины порядка R~^2. Гейзенберг использовал эти приближенные решения для того, чтобы показать эвристически, что наличие вязкости может дестабилизировать данное основное течение при больших значениях Я, так же как и стабилизировать его при малых значениях Я, рассеивая энергию; более точно, он показал, что если основное течение ограничено при а = а5 > 0, то существует неустойчивая мода с этим волновым числом для достаточно больших значений R. Тем не менее, по-крайней мере одно из невязких решений и оба вязких решения сингулярны на критическом слое и, таким образом, не могут быть использованы там в качестве правильного приближения точных решений несингулярного уравнения Орра-Зоммерфельда.

Толлмин [Tollmien, 1929] осознал эти ограничения на решения Гейзенберга и исследовал другое приближение решений уравнения Орра-Зоммерфельда, где и z близко к z° и R велико. Заметим, что U(z) — с ~ U^z^^z — Zc) при z т Zc・ Два члена ”，｛aR[U — с)0〃 в уравнении Орра-Зоммерфельда могут доминировать над остальными и баллансировать друг друга вблизи критического слоя при 冗 т оо・ Интуитивные соображения наводят на мысль, что решение обрезанного уравнения

0iv = iaR(U — c)0〃

хорошо аппроксимирует решение уравнения Орра-Зоммерфельда около критического слоя при больших значениях aR. Можно показать формально, что уравнение Орра-Зоммерфельда принимает вид

d” d20

в пределе при aR т оо для фиксированных £, определяя

£ = (z 一 Zc)/e, е = \iaRU\zc)]~1/3,

подставляя переменную £ вместо z и параметр е вместо aR в уравнение Орра-Зоммерфельда и затем переходя к пределу. Можете проверить, что это действительно так. Следовательно, d2^/d^2 — функция Эйри (см. упражнение 8.36). Это дает четыре независимых решения, которые могут быть выражены в простой явной форме через Функции Эйри и их интегралы. Решения локально осциллируют как Функция Эйри. Толлмин использовал эти асимптотики решений совместно с численными методами, для первого успешного решения задачи Орра-Зоммерфельда, хотя его методы и представляются доволь- но грубыми с точки зрения современных стандартов. Можно легко усмотреть, что толщина критического слоя, имеющая порядок е, т.е.

А~1/з, гораздо больше, чем толщина пограничного слоя на стенке, которая имеет порядок Я'1/2. Толлмин также показал, что правильная ветвь сингулярного невязкого решения в пределе aR т оо может быть найдена при помощи неустойчивого решения уравнения устойчивости Релея в пределе q т 0+-

Таким образом, из этих асимптотических теорий выясняется, что для больших значений числа Рейнольдса поведение волнового возмущения сильно различается в четырех разных областях, каждая из которых может присутствовать или отсутствовать в соответствии с видом данного основного течения:

Если основное течение однородно на бесконечности, то возмущение является там невращательным, т.е. если U(z) Т Ug при z оо, то

0(z) ~ 4ie~az upnzT8.

Возмущение является вращательным, как в невязкой жидкости, везде, кроме бесконечности, критического слоя, или пограничного слоя вблизи стенки, т. е.

0(z) = 4i0i(z) + 4202(Z)・

В критическом слое толщины。[(仪冗尸勻 около %, где U(zc) = с, возмущения подвержены существенному влиянию вязкости, тем не менее, aR велико.

В пограничном слое толщины。[(仪冗尸勻 около zi или Z2 возмущения подвержены существенному влиянию вязкости, тем не менее, R велико.

Возникновение этих областей дает примеры того, что называется палубами в трехпалубной теории и зависит от основного течения и значений числа Рейнольдса и волнового числа. Для пограничного слоя Блазиуса, например, на верхней ветви маргинальной кривой возмущение имеет пять палуб (невращательное “невязкое” течение на бесконечности, критический слой, две области вращательного “невяз・ кого” течения на каждой стороне и пограничный слой около стенки. На нижней ветви маргинальной кривой возмущение имеет три палубы, потому что там с настолько мало, что критический слой достигает стенки при z = 0 и поглощает более тонкую область пограничного слоя; см. схему палуб на рис. 8.7 и рис. 8.8 (а), где изображены ветви маргинальной кривой. В настоящем контексте трехпалубная теория обеспечивает только другой способ вывода классических асимптотических результатов для задачи Орра-Зоммерфельда, но кроме этого, она также обеспечивает и способ нахождения асимптотических свойств медленно меняющегося основного течения и слабонелинейных возмущений для больших значений R [Smith, 1979а,Ь].

Рис. 8.7. Схема областей для волновых возмущений пограничного слоя Блазиуса. Слой невращательного течения на бесконечности не изображен, (а) Пятикратная палуба для верхней ветви маргинальной кривой при aR оо・(б) Тройная палуба для нижней ветви маргинальной кривой (по [Drazin & Reid, 1981, Fig. 4.5])

Из написанного следует, что главные эффекты вязкости для больших значений R обуславливаются критическим слоем, если он есть, а не пограничным слоем на стенке. Внутри критического слоя решение Орра-Зоммерфельда сильно отличается от любого решения уравнения Релея, и именно вблизи критического слоя фазы v! и 仅‘ настолько изменяются, что напряжение Рейнольдса может передавать энергию от основного течения к возмущению. В некоторых случаях значение с таково, что критический слой достигает стенки и “поглощает” более тонкий пограничный слой, а в других случаях критический слой находится внутри почти невязкой области течения, отделяющей его от каждого из пограничных слоев.

Гораздо в большей степени, чем эвристические идеи этого параграфа, должны быть осознаны тонкости асимптотической теории решения уравнения Орра-Зоммерфельда и соотвествующей ему задачи на собственные значения при больших числах Рейнольдса. Вышеприведенные результаты об асимптотических решениях уравнения Орра- Зоммерфельда для фиксированных с становятся более сложными, когда граничные условия, которые также определяют с, рассматриваются вместе с асимптотическими решениями. Для этого рекомендуем читателю читать главы 4 и 5 книги [Drazin & Reid, 1981].

8・7・ Характеристики устойчивости некоторых течений вязкой жидкости

Сложные свойства задачи на собственные значения, изложение которых находится за рамками материала данной книги, с некоторым риском чрезмерного упрощения могут быть просуммированы следующим образом. Если для данного профиля скоростей основного течения, (1) некоторая мода неустойчива и собственное значение равно Соо для идеальной жидкости (R = оо), то собственное значение с для вязкой жидкости стремится к Соо при R т 8, но (2) если эта мода устойчива для идеальной жидкости, то Соо может не быть пределом какого-либо собственного значения для маловязкой жидкости. Если данное течение устойчиво при Я = оо (т. е. устойчиво для всех мод, когда жидкость является идеальной), то оно может оказаться неустойчивым, имея по крайней мере одну моду с 仃=О(Я~1/3) при 冗 т 8・ Таким образом, наличие вязкости может привести к неустойчивости течения, которое было устойчиво в идеальной жидкости; также вязкость может сделать более неустойчивым течение, которое неустойчиво и в идеальной жидкости. Тем не менее, любое течение, кроме неограниченного сдвигового слоя, устойчиво, когда число Рейнольдса достаточно мало. Заметим, что при больших значениях числа Рейнольдса, скорость роста при неустойчивости Толлмина-Шлихтинга, обусловленная механизмом критического слоя, много меньше чем скорость роста неустойчивости Релея, обусловленной вихревой динамикой в идеальной жидкости. Некоторые детали, обосновывающие это заключение, будут объяснены в следующем параграфе.

Задача Орра-Зоммерфельда не является легко решаемой, поэтому лишь немногие решения удается найти аналитически. Могло бы показаться, что для вязкой жидкости скорость основного течения должна быть непрерывной и соответствующие ей напряжения должны быть также непрерывны (т. е. непрерывны градиенты скорости в жидкости однородной вязкости)・ Это так, тем не менее, имеет некоторый смысл рассмотреть задачу Орра-Зоммерфельда, когда U или U' разрывны, в качестве приближения решения для длинных волн (малых а). Это сделано в упражнении 8.39, а ниже разберем простейший пример, относящийся ко всему изложенному здесь.

Пример 8.6: Построенная скорость основного течения. Предположим, что U постоянна в канале. Тогда без ограничения общности можно положить

U(z) = 0 при — 1 < z < 1.

Уравнение Орра-Зоммерфельда (8.49) в этом случае приобретает вид

"V — 2a2。〃 + а4^ = —iajRc(0〃 — а2^).

Общее решение этого уравнения может быть записано в виде

< ch az с shaz . cospz „ sinpz0⑶“的+b^ +4詣+以謠

с произвольными постоянными А】，В】，<2, В2, где р = (iaRc — a2)1 2. И снова синусоидальная и варикозная моды могут быть разделены. Так для синусоидальной моды (четное ф) имеем

▲ ch az /。⑶=4石^ +人▲ ch az /。⑶=4石^ +人cos pzcospcos pzcosp

▲ ch az /

。⑶=4石^ +人

▲ ch az /

。⑶=4石^ +人

cos pzcosp

cos pzcosp

Граничные условия (8.50) дают

0(z) = 4i0(z) = 4icos pz cospcos pz cosp

0(z) = 4i

0(z) = 4i

cos pz cosp

cos pz cosp

где

atha + ptgp = 0.

Можно показать [Rayleigh, 1892], что это уравнение на собственные значения имеет счетное число вещественных корней р и ас = =—i(a2 +p2)/R имеет отрицательную вещественную часть, а, значит, все синусоидальные моды устойчивы. Аналогично можно показать (см. упражнение 8.31), что все варикозные моды (с нечетными собственными функциями) также устойчивы, так что данное основное состояние покоя устойчиво. Это едва ли удивительно, потому что в уравнении Орра-Зоммерфельда (8.54) отсутствуют напряжения Рейнольдса, генерирующие неустойчивость. □

В шестидесятых годах 20 века, результаты численных расчетов для плоского течения Куэтта позволили предположить, что оно устойчиво по отношению к волнам любой длины и при всех значениях числа Рейнольдса. Это было доказано Романовым [Romanov, 1973]. Первые решения задачи Орра-Зоммерфельда, описывающие неустойчивость, были численно найдены Толлмином [Tollmien, 1929] и Шлихтингом [Schlichting, 1933], фактически для неустойчивости пограничного слоя Блазиуса на плоской пластине. Они использовали метод, комбинирующий некоторые асимптотические и численные приемы, который в настоящее время представляет чисто исторический интерес. Тем не менее, неустойчивые моды, возникающие в результате механизма критического слоя (в отличие от невязкого механизма Релея) до сих ПоР называются волнами Толлмина-Шлихтпинга в их честь. Уравне- нле Орра-Зоммерфельда является трудно исследуемым при больших значениях чисел Рейнольдса (а такие значения обычно и представляют физический интерес), поэтому его нелегко решать численно в атом случае, трудности такого решения были преодолены только при

Рис. 8.8. Изображения некоторых типичных маргинальных кривых неустойчивости Ci = 0 в плоскости (В, а) для различных классов основных течений, (а) Основное течение устойчиво, когда жидкость идеальна, (б) Ограниченное течение с точкой перегиба, (в) Неограниченный сдвиговый слой, (г) Неограниченная струя или след. (Одна мода является синусоидгизь- ной, а другая — варикозной тогда и только тогда, когда струя симметрична)Рис. 8.8. Изображения некоторых типичных маргинальных кривых неустойчивости Ci = 0 в плоскости (В, а) для различных классов основных течений, (а) Основное течение устойчиво, когда жидкость идеальна, (б) Ограниченное течение с точкой перегиба, (в) Неограниченный сдвиговый слой, (г) Неограниченная струя или след. (Одна мода является синусоидгизь- ной, а другая — варикозной тогда и только тогда, когда струя симметрична)

Рис. 8.8. Изображения некоторых типичных маргинальных кривых неустойчивости Ci = 0 в плоскости (В, а) для различных классов основных течений, (а) Основное течение устойчиво, когда жидкость идеальна, (б) Ограниченное течение с точкой перегиба, (в) Неограниченный сдвиговый слой, (г) Неограниченная струя или след. (Одна мода является синусоидгизь- ной, а другая — варикозной тогда и только тогда, когда струя симметрична)

Рис. 8.8. Изображения некоторых типичных маргинальных кривых неустойчивости Ci = 0 в плоскости (В, а) для различных классов основных течений, (а) Основное течение устойчиво, когда жидкость идеальна, (б) Ограниченное течение с точкой перегиба, (в) Неограниченный сдвиговый слой, (г) Неограниченная струя или след. (Одна мода является синусоидгизь- ной, а другая — варикозной тогда и только тогда, когда струя симметрична)

помощи использования электронных компьютеров. Первое решение задачи Орра-Зоммерфельда при помощи электронного компьютера было предпринято в 1953 г., когда Томас (Thomas) по предложению фон Неймана решил задачу для плоского течения Пуазейля прямым численным интегрированием и нашел неустойчивость при нескольких значениях пар a, R. Теперь уже стало рутинным решать задачу Орра-Зоммерфельда одним из множества надежных численных методов (см. [Drazin & Reid, 1981, параграф 30]), хотя и сложность уравнения по прежнему требует некоторого внимания при решении.

Приведем некоторые детали результатов для частных основных течений, суммируя главные свойства многих численных решений известных в настоящее время. Маргинальные кривые, изображенные на рис. 8.8 и численные результаты в таблице 8.1 делают это весьма эффективно, хотя и кратко. Сначала посмотрите на рис. 8.8 (а), где изображена маргинальная кривая, типичная для основного течения, которое устойчиво в идеальной жидкости, такого как плоское течение Пуазейля и пограничный слой Блазиуса (но не плоское течение Куэтта, потому что оно называется устойчивым для всех значений числа Рейнольдса Я). Для этих течений существует единственная неустойчивая мода (синусоидальная мода для плоского течения Пуазейля). Можно видеть, что неустойчивость не имеет места для любого задан-

Таблица 8.1. Сводка численных результатов для четырех важных первообразов основных параллельных течений

Основное течение

Профиль

Устойчивый?

Rc

Маргинальная кривая на рис.

Однородное

U = const

Да

ОО

—

—

Плоское

Куэтта

U = z :

-1 <Z < 1

Да

ОО

Плоское

Пуазейля

(7=1—z2:

-1 <Z < 1

Нет

5772

1,02

8.8 (а)

Погранслой

Блазиуса

u=f(z): z > 0

Нет

520

0,30

8.8 (а)

Сдвиговый слой

U = thz： —oo<z<oo

Нет

0

0

8.8 (в)

Струя или след

U=sech2 z: —oo<z<oo

Нет

4,02

0,17

8.8 (г)

ного волнового числа а при Я —> оо. Тем не менее, неустойчивость имеет место для по крайней мере одного значения а при все R больших Лс, потому что вязкость дестабилизирует течение. Тем не менее, когда R достаточно мало, вязкое рассеяние энергии преобладает над дестабилизирующим эффектом и течение остается устойчивым для всех инфинитезимальных возмущений, если Я < Rc, Рис. 8.8 (б) относится к основному течению в канале, которое имеет одну маргинально устойчивую моду и§, 0$ в идеальной жидкости, а, значит, имеет одну точку перегиба. Можно видеть, что результаты для идеальной жидкости получаются при R Т 8 и достаточно большая вязкость стабилизирует течение.

Рис. 8.8 (в) относится к основному неограниченному сдвиговому слою, U(z) = th z, который имеет одну маргинально устойчивую моду q, 0s в идеальной жидкости, а значит также имеет одну точку перегиба. Читателя может удивить, что критическое число Рейнольдса равно нулю, так что как бы ни велика была вязкость, всегда имеются неустойчивые моды, что очевидно противоречит теореме Серрина; тем не менее этот парадоксальный результат не имеет физического смысла, потому что сдвиговые слои далеки от параллельных течений, когда число Рейнольдса мало. Рис. 8.8 (г) отвечает неограниченной струе или следу, например струе Бикли (Bickley) с U(z) = sech2 z;

такое основное течение имеет две точки перегиба и две маргинально устойчивые моды G, 0$ в идеальной жидкости. И снова, собственные числа для малых чисел Рейнольдса не отвечает действительности количественно, потому что тогда струя или след не являются почти параллельными.

Асимптотическая теория соотношения на собственные значения, когда Я стремится к бесконечности является математически интригующей и находится вне рамок начального курса настоящего предмета, так что перечислим только некоторые результаты. Для симметричных течений в каналах, таких как течение Пуазейля, а ~ const X 冗-1/7, с const X 冗-2/7 при 冗 Т оо вдоль нижней ветви маргинальной кривой и а ~ const х Я"1/11, с const х Я"2/11 при 兄 Т оо вдоль верхней ветви маргинальной кривой. Для полуограни- ченных течений типа пограничного слоя, однако, а ~ const х А-”, С ~ const X 冗-1/4 при Д т оо вдоль нижней ветви. Нормировка на верхней ветви зависит от градиента давления. При наличии градиента давления а const х Я-1/6, с const х Я"1/6, в то время как для пограничного слоя Блазиуса с нулевым градиентом давления а const х Я"1/10, с const х 冗一〃】。при 冗 т оо・

Образец расположения всех собственных значений изображен на рис. 8.9. Различаются пристеночные моды, которые иногда называют модами Эйри {Airy) или А-модами^ для которых q Т 1,仃= 二 0[3冗)-1/3] (критические слои которых расположены около стенок) и центральные моды, иногда называемые модами Пекериса (Pekeris) или Р-модамщ для которых сг т 0, q = О[(аЯ)~1/2] при аЯ Т оо. В дополнение, имеют место моды Шенстеда (Shensted) или S-моды, для которых cr Т ¥，G ~ —i[7r(n + 2)]2а/4Я при aR/n т 0; они возникают для всех значений числа Рейнольдса, даже для больших, если номер п моды достаточно велик, потому что тогда скорость моды изменяется настолько быстро с изменением z, что локальное число Рейнольдса моды мало (см. пример 8.6).

Интересно также знать вид собственных функций и, следовательно, характер возмущений для различных профилей скорости при различных значениях пары числа Рейнольдса и волнового числа. Собственная функция для маргинально устойчивой моды пограничного слоя Блазиуса показана на рис. 8.10. Обратите внимание на структуру моды и на то, где располагается критический слой.

8・8・ *Численные методы решения задачи Орра- Зоммерфельда

Уже отмечалось, что вопрос о численном решении уравнения Орра- Зоммерфельда любым из множества существующих надежных численных методов является рутинным, хотя сложности этого уравнения

Рис. 8・9・ Расположение нескольких первых собственных значении с = сг + ici для синусоидальных мод плоского течения Пуазейля при а = 1, R = 10 000 в плоскости (cr,ci) (по [Маск, 1976, Fig. 5]). Отмечены семейства мод Эйри о, Пекериса V и Шенстеда 口.

требуют некоторого внимания при решении. Главными целями численного решения при заданном основном течении являются: (1) найти кривую маргинальной устойчивости (& = 0) и кривые постоянной скорости роста (aq = const), (2) найти собственные значения для данной пары положительных значений а и Я и (3) подсчитать соответствующие собственные функции и напряжения Рейнольдса. Аналогичые цели преследуются для пространственных мод при заданной вещественной частоте з = ас.

Главные методы решения принадлежат двум классам: (1) спектральное разложение, т.е. разложение ф по полной системе ортогональных функций, как, например, полиномы Чебышева, и (2) использование конечных разностей для интегрирования уравнения Орра- Зоммерфельда, как задачи с начальными значениями, от одной границы до другой. Были придуманы разные разностные схемы для того, чтобы справиться с трудностями, возникающими при больших значениях R. Применение методов спектрального разложения является наилучшим при отыскании всех собственных значений. Применение

Рис. 8.10. Формы собственной функций ф =弘+汕 для пограничного слоя Блазиуса на верхней ветви, А = 1000, а = 0,23, сг = 0,25, zc = 0,40. (а) Зависимость фт от z. (б) Зависимость |#(z)| и S(z) = ,r(z)0l(z) — ,；(z),i(z) от z. Отметим, что напряжение Рейнольдса пропорционально S

конечно-разностных методов с использованием предиктора и корректора является наилучшим для эффективного нахождения маргинальной кривой (которая включает только наиболее неустойчивое собственное значение).

Дразин и Рид [Drazin & Reid, 1981, параграф 20] суммируют технические детали многих из этих численных методов и отсылают читателя к многим оригинальным статьям. Шмид и Хенингсон [Schmid & Henningson, 2001, Appendix] не только дают современный обзор, но и приводят программы MATLAB для простого подсчета характеристик устойчивости течения Куэтта и плоского течения Пуазейля. Это программы обеспечивают полезный задел, на основе которого студенты могут начинать проектную работу.

8・9・ Экспериментальные результаты и нелинейная неустойчивость

Перед второй мировой войной численные решения уравнения Орра- Зоммерфельда для пограничного слоя Блазиуса, предпринятые Тол- лмином [Tollmien, 1929; 1935] и [Schlichting, 1933], Шлихтингом повсеместно не вызвали доверия. Основное течение не было парарал- лельным, их асимптотика носила эвристических характер, вычисления были трудоемкими и сложными, а результаты не согласовались с экспериментами (и даже между собой с высокой степенью точности). Тем не менее, во время войны Шубауэр (Schubauer) и Скрамш- тад (Skramstad), спроектировав аэродинамическую трубу с беспре- цендентно низким уровнем турбулентности вверх по потоку для плас-

8.9. Зксперименталвные результаты 195 тины, введя контролируемые колебания вибрирующей мембраны с заданными частотами и амплитудами и разработав чувствительные проволочные анемометры для измерения роста и убывания вынужденных колебаний, смогли подтвердить теоретические результаты о who- сике” маргинальной кривой вполне убедительно. Они опубликовгши свои результаты после войны [Schubauer & Skramstad, 1947].

Клебанов с соавторами [KlebanofF et aln 1962] повысили качество этих экспериментов и усовершенствовали их. Они нашли, что первые двумерные волны Толлмина-Шлихтинга растут по амплитуде вниз по потоку, но когда их. амплитуда достигает конкретного критического значения, они подвергаются трехмерным возмущениям и в результате явно случайных вспышек возникают турбулентные пятна. Пространственная эволюция схематично проиллюстрирована на рис. 8.11 и приведена на фотографии на рис. 8.12. Эти авторы также использовали контролируемые колебания, которые изменялись поперек течения, для изучения трехмерных эффектов и интерпретировали их рост как вторичную неустойчивость исходной волны Толлмина- Шлихтинга. Мгновенное поле скоростей демонстрирует наличие больших градиентов в профиле средней скорости в поперечных положениях (называемых пиками}, где вторичное течение направлено от пластины и малых градиентов в промежуточных поперечных положениях (долинах); такое поле скоростей отвечает структурам, показанным на рис. 8.13, которые называются ^вихрями.

Было бы полезным посмотреть соответствующие картинки в книгах [Van Dyke, 1982, Figs. 29, 30, 104-106, 109-111] и [Nakayama, 1988, Figs. 20, 21, 23, 34, 27]. Фильмы [Brown, FL1964] и [Lippisch, FL 1964] показывают волны Толлмина-Шлихтинга, развивающиеся в пространстве и во времени. Также и фильмы из Video Library [Homsy et 必 CD2000] с подзаголовками “Transition of Boundary Layersw и “Visualization of Flow on a Flat Plate" и из их же Boundary Layers с подзаголовками wInstabiliy, Transition, and Turbulence” имеют много кадров о неустойчивости и переходу к турбулентности.

Пограничный слой Блазиуса на пластине был здесь использован в качестве первообраза неустойчивости параллельных течений, но имеется также множество экспериментов по неустойчивости других параллельных течений. Было установлено обнадеживающее соответствие между линейной теорией и наблюдениями тщательно контрол- лируемых возмущений в в аэро и гидродинамических трубах с низким уровнем турбулентности вверх по потоку, наблюдения докритических неустойчивостей и неустойчивостей, вызванных турбулентностью 6о- лее высокого уровня, однако, труднее интерпретировать. И снова экспериментальное соответствие с результатами линейной и слабо нелинейной теорий неустойчивости плоского течения Пуазейля [Nishioka е± а，, 1980] не оставляет никаких сомнений по поводу применимостии

Рис. 8.11. Схема, в общих чертах описывающая области развития неустойчивости в пограничном слое Блазиуса на пластине при нулевом угле падения набегающего слабо-турбулентного потока, вид сверху. А — ламинарное течение; Б — волны (двумерные, малоамплитудные) Толлмина- Шлихтинга; В — трехмерно развившиеся волны; Г — нелинейное развитие типа пик-долина с вихрями вдоль по потоку; Д — опрокидывание с формированием и ростом турбулентных пятен; Е — полное развитие турбулентности (по [Young, 1989, Fig. 5.13]; воспроизведено по разрешению Blackwell Science Ltd.)

этих теоретических моделей для описания аккуратных экспериментов в низко-турбулентных аэродинамических трубах и водных каналах.

Переход к турбулентности до сих пор не очень хорошо понят. Двумерная неустойчивость по линейной теории с последующим применением преобразования Сквайра контрастирует с наблюдаемой трехмерностью турбулентности, а также с локальной природой турбулентных пятен. Имеется фактически два класса теорий для объяснения турбулентных пятен. В теориях первого класса слабонелинейные волны Толлмина-Шлихтинга дают развития вторичным неустойчивостям, которые уже трехмерны. Происходит короткая последовательность бифуркаций с последовательностью режимов течения вниз по потоку, которая быстро ведет к трехмерности, хаосу и турбулентности. В теориях второго класса имеет место некий “иобоннм逐'механизм, посредством которого докритическое возмущение конечной амплитуды вызывает турбулентность непосредственно.

Слабонелинейные теории волн Толлмина-Шлихтинга могут быть далее разделены на два класса, в первом из них рассматриваются развитие и неустойчивость единственной волны, а во втором — взаимодействие двух или более волн. Следуя пионерским работам

Е?ис. 8.12. Фотографии развития неустойчивости пограничного слоя на пластине при нулевом угле набегания слабо-турбулентного потока: течение [фоисходит слева направо. На верхней фотографии представлено ламинарное течение при низких числах Рейнольдса; волны Толлмина-Шлихтинга 但а нижней фотографиии) появляются при в пять раз больших значениях числа Рейнольдса (по [Van Dyke, 1982, Fig. 104]; воспроизведено по разрешению ONERA)

[Heisenberg, 1924], [Landau, 1944] и [Meksyn & Stuart, 1951], Стюарт [Stuart, 1960] и Ватсон [Watson, 1960 b] поставили слабонелинейную теорию на количественную основу, когда они показали, как найти уравнение Ландау, описывающее эволюцию слабо-неустойчивого возмущения параллельного течения для малых положительных значений R — Rc. Постоянная Ландау в общем случае является комплексным числом, так что параллельные течения подвергаются бифуркации Хопфа. Течения в каналах в общем случае подвержены докри- тической неустойчивости, а струи и неограниченные сдвиговые слои 1~ надкритической неустойчивости. Было установлено, однако, что вещественная часть постоянной Ландау для многих течений меняет знак на маргинальной кривой в линейной теории. Это обстоятельство было подтверждено аккуратными экспериментами Нишиока с соавторами [Nishioka et aL, 1975] с плоским течением Пуазейля. Вторичная неустойчивость волн Толлмина-Шлихтинга приводит к трехмерности в различных слабонелинейных теориях, часто с точками перегиба в профилях средних скоростей в некоторых точках поперек течения, так что последующая неустойчивость (при пренебрежимом влиянии вязкости) развивается очень быстро. Орзаг и Патера [Orzag & Patera, 1983] установили при помощи численных расчетов, что двумерная волна Толлмина-Шлихтинга, наложенная на пограничный слой Бла-

Рис. 8.13. Фотография Л-вихрей в неустойчивости в пограничном слое на пластине при нулевом угле набегания слабо-турбулентного потока: вид сверху, обтекание происходит слева направо (по Сарику (Saric); см. [Herbert, 1988, Fig. 3])

зиуса на пластине, сама неустойчива. Эта вторичная неустойчивость трехмерна с областями, занятыми вращающимися течениями, имеющими форму, похожую на эллипс. Считается [Bayly et а，, 1988], что эта эллиптическая неустойчивость является важным механизмом перехода к турбулентности для многих течений.

Рац [Raetz, 1959] рассмотрел резонансное взаимодействие трех нейтрально устойчивых двумерных волновых возмущений пограничного слоя. Келли [Kelly, 1967J изучал субгармоническую параметрическую неустойчивость сдвигового слоя. Крейк [Craik, 1971] рассмотрел общий случай слабонелинейного резонансного взаимодействия трехволновых возмущений, двух- или трехмерных, параллельного основного течения. Он показал, как эти возмущения могут привести к субгармонической неустойчивости пограничных слоев. Его теория не

описывала экспериментальных результатов Клебанова с соавторами JKlebanofF et al., 1962], которые возбуждали сильные возмущения выбранной частоты. Сарик и Томас [Saric & Thomas, 1984], а также Казанов и Левченко с сотрудниками (см. [Kachanov, 1994]) обнаружили предсказанный субгармонический резонанс, возбуждая очень маленькие возмущения в пограничном слое.

С 1980 г. существенно возросло количество прямых численных расчетов нелинейной эволюции неустойчивостей параллельных течений. Некоторая часть этой работы и ее достижения описаны Дразином и Ридом [Drazin & Reid, 1981], гораздо в большей степени — Шмидом и Хенингсоном [Schmid & Hennigson, 2001].

Обзор взаимоотношения современных экспериментальных результатов и слабонелинейной теории дан Качановым [Kachanov, 1994]; можно сказать, что имеется хорошее согласие теории с аккуратно произведенными экспериментами при низком уровне турбулентности вверх по потоку, но природа перехода на практике ясна меньше.

Решающим фактором является то, что на практике переход в параллельном или почти параллельном течении происходит в результате значительных возмущений вверх по потоку и нерегулярностей поверхности канала и т.д., а не в результате аккуратно контролируемых вынужденных синусоидальных возмущений течения с очень низким уровнем турбулентности. Одной из попыток осознать это явление явилось недавнее предложение Батлером и Фареллом [Butler

Farrell, 1992] и Редди и Хенингсоном [Reddy & Henningson, 1993] побочного механизма сильного мгновенного роста (возможно, в 105 раз или более при больших числах Рейнольдса) слабо неустойчивого или даже устойчивого возмущения по причине несамосопряженнос- ти задачи Орра-Зоммерфельда в соответствии с линейной теорией. Упражнение 8.44 дает намек на этот механизм при помощи некоторой аналогии, однако чтобы правильно его понять, необходимо обратиться к цитированной литературе. Этому механизму внутренне присущ унет трехмерных эффектов, а также возможность возникновения нелинейности после периода сильного роста в соответствии с линейной теорией.

Многие инженеры, работающие в области аэродинамики, оставляют в стороне эти сложные вопросы нелинейной неустойчивости, предпочитая eN -метод, предложенный независимо ван Ингеном (Van Ingen) и Смитом и Гамберони (Smith & Gamberoni) в 1956 г. Этот эмпирический метод состоит в предсказании возникновения турбулент- н℃ти в пограничном слое там, где возмущение, распростаняющееся вниз по потоку, выросло по линейной теории в раз, где ^ = 9 или около того. Ясно, что этот метод имеет концептуальный изъян, так как величина возмущения в данном месте пропорциональна, по край- не宜 мере по линейной теории, начальной величине этого возмущения и,, следовательно, величина N должна зависеть от уровня турбулент-

ности далеко вверх по потоку в атмосфере или в аэродинамической трубе. Также не учитывается и нелинейное взаимодействие и резонансы. Тем не менее, в качестве подходящего правила этот метод широко и успешно используется.

Данное обсуждение касгшось неустойчивости и перехода к турбулентности в пограничном слое на плоской пластине при нулевом угле набегания однородного потока. Однако эти явления для других параллельных и почти параллельных течений без точки перегиба, например, течений в каналах и пограничном слое на поверхности, расположенной под углом к однородному потоку, качественно одинаковы.

Течения, подобные течению Куэтта, которое устойчиво по отношению ко всем инфинитезимальным возмущениям при всех значениях числа Рейнольдса, радикальным образом отличаются от рассмотренных. Однако и для них переход к турбулентности под действием малых, хотя и конечноамплитудных возмущений, в чем-то похож на это явление в пограничном слое Блазиуса, по-крайней мере в некотором конкретном смысле, который еще до конца не осознан.

Течения с точкой перегиба или скорее течения, которые неустойчивы при всех больших значениях числа Рейнольдса, например, пограничный слой с обратным течением, струи, спутные следы и свободные сдвиговые слои, также радикгшьно отличаются от рассмотренных в данном параграфе. Механизмом их неустойчивости является не механизм Толлмина-Шлихтинга, а невязкий механизм Релея при больших значениях чисел Рейнольдса и иногда вязкий механизм при меньших значениях, соответствующих возникновению неустойчивости.

Шмид и Хеннигсон [Schmid & Henningson, 2001] подробно описали множество тонкостей перехода к турбулентности в параллельных течениях и процитировали большое количество современной литературы.

8・10・ Устойчивость осесимметричных параллельных течений

В настоящем параграфе будет сделан краткий обзор устойчивости осесимметричных параллельных течений, в значительной мере это касается течения Пуазейля в трубе и неограниченных струй как для идеальной, так и для вязкой жидкостей. Как будет видно, теория и результаты являются до некоторой степени похожими на теорию и результаты для плоско-параллельных течений.

*Будет уместно заметить вначале, что задача Орра-Зоммерфельда имеет очень специальный вид, потому что основное течение является не только стационарным и инвариантным по отношению к продольным сдвигам, но также и двумерным. Инвариантность параллельного течения по отношению к продольному сдвигу приводит как

к отделению продольной переменнной ж в задаче об устойчивости, так л к независимости основного течения от числа Рейнольдса. Тем не менее? задача линейной устойчивости данного основного стационарного течения в однородной вязкой жидкости в общем случае представляет собой систему уравнений в частных производных, в которой переменные не разделяются, а если и разделяются — то систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая обычно имеет шестой порядок (в специальном случае плоско- параллельного течения система уравнений шестого порядка распадается на две независимых системы —задачу Орра-Зоммерфельда четвертого порядка и задачу Сквайра второго порядка — см. упражнение 8.43). Эти идеи иллюстрируются ниже на примере задачи для осесимметричного паргшлельного течения.

Предположим, что имеется стационарное основное течение вида

U(x) = U(T)i, 尸(x)=po-Gm, для ri < г < r2?(8.59)

между твердыми цилиндрами при г = 丁1,丁2 в цилиндрических координатах (ж, г, 0), где G — градиент давления вдоль оси. Цилиндры могут находиться в состоянии покоя или равномерного движения с осью симметрии, и при ri = 0 внутренний цилиндр отсутствует, а при & = 8 имеем неограничные течения такие, как струи. Можно проверить, что это решение удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса, только если

U(t) = 4 + В1пт-晒，(8.60)

где постоянные А и В определяются из условий непроскальзывания на обоих цилиндрах. Можно, однако, использовать другие функции U для приближения характеристик устойчивости почти параллельных течений вязкой жидкости и любые функции U для того, чтобы получить точное решения уравнений Эйлера идеальной жидкости.

Сформулируем далее задачу об устойчивости в соответствии с [Sexi, 1927 a,b] и [Batchelor & Gill, 1962]. Рассмотрим возмущения основного течения:

u = U + и\ р = Р + р*(8.61)

и линеаризуем уравнения Навье-Стокса. Переменные разделяются, есЛи взять нормальные моды в виде

"(X, %) = (&/), &々)，诵(т))3(ас+^-а叫 p/(x")=/(T)ei3+^f") (8.62)

с постоянными вещественным аксиальным волновым числом а и це- “ьхм азимутальным волновым числом п. Зметим, что характеристики

устойчивости остаются теми же, если поменять знак п на противоположный, так как задача обладает осевой симметрией, поэтому можно рассматривать случай п > 0 без ограничения общности. Определяя безразмерные переменные обычным образом, получим

% + ；吸-注 +『+ iaRQ - с) &, 一 RU^r 一 hR/= 0,(8.63)

% + ^我一 1 ^九 + 巒 + i(^R(U — c) &r — ^^介6 —兄6'= 0, (8.64)

&2 + ；電— 工W +a2+iaR(U —с) uq + ^^^r — ~~P = 0? (8.65)

必 + ^ur + i {aux + ?G)= 0,(8.66)

где R = VL/v — число Рейнольдса и штрих обозначает дифференцирование по г. Граничные условия непроникновения и непроскальзы- вания для возмущений на поверхности цилиндров дают

备(т) = &г(т) = &6(Т)= 0 при Т = 7*1, 7*2(8.67)

если ri ф 0; если же ri = 0, то условие при г = ri заменяется условиями

&±(т)二 &г(т) = &е(т) = р(г) = 0 при т = 0 для 九 # 1,(8.68)

их(т) = »(т) = 0, &г(т) + 脸(丁)= 0 при г = 0 для n = 1. (8.69)

Определяя пременные

fc2 = а2 4- п2/г2, ф = —irur? Я = (ат&е —九&^/経户 (8.70)

и линейные операторы

S=^(^)-^ T =廿*(叁召-廿，(氏71)

исключив ux^ur^ue^ получим

SC +(2an/k4r2) Т0 = iaR [(U 一 с)С - {riU^a^^} ф], (8.72)

(8.73)(8.73)Т20 - 2anTQ = ia [(U 一 c)T0 -炉丁 (и'/Мт)'。],

(8.73)

(8.73)

где

0(т) = "(т) = С(т) = 0 при Г = 7*1, 7*2, (8.74) или, если ri = 0 и п / 0,

ф(т｝二 Mf ①—Q(r)二 0 при г = 0. (8.75)

Легко видеть, что если п = 0, то уравнения (8.72), (8.73) распадаются на систему второго порядка для Q и систему четвертого порядка для «, но если тг ? 0, то они представляют согласованную систему шестого порядка. Для невязкой жидкости аналогично находим

(U - с)Т0 - к2г (иук2^ 0 = 0, (8.76) или, если п = 0,

(U - c)L0 — г^/тУф = 0, (8.77) где L = d2/dr2 — r^d/dr — а2. Граничные условия в этом случае принимают вид

ф(г) = 0 при Т = 7*1, 丁2・ (8.78)

Теория в этом случае вполне аналогична теории для задач Релея и Орра-Зоммерфельда для случае плоско-параллельных течений; начало этих теорий для идеальной жидкости восходит, вне всяких сомнений, к работе Релея [Rayleigh, 1880]. Среди осесимметричных течений основной физический интерес представляют течение Пуазейля в трубе и неограниченная струя.

Результаты численных расчетов [Salwen et al, 1980] указывают на то обстоятельство, что течение Пуазейля в трубе с U(t) = 1 — г2 при 0 < г < 1 является устойчивым по отношению ко всем инфинитезимальным возмущениям при всех числах Рейнольдса. Спектр осесимметричных мод в некоторой степени аналогичен спектру плоского течения Пуазейля (см. рис. 8.9), хотя и нет ни одной неустойчивой моДЫ- Не осесимметричные моды отличаются в большей степени (см. рис. 8.14 и 8.15). Фактически, переход к турбулентности экспериментально наблюдается при значениях числа Рейнольдса порядка 2000 ПРИ уменьшении амлитуды возмущений на входе трубы [Reynolds, 1883].

Автомодельное решение Ландау-Сквайра уравнений Навье- Стокса для круглой струи локально имеет вид U(r) = 1/(1 + г2)2 при 。W т (см. например [Batchelor, 1967, р. 206]). Рассматривая струю как неограниченное параллельное течение, Барридж [Burridge, 1970] нашел численно, что оно неустойчиво для мод при n = 1 и Я > Яс»

Рис. 8.14. Центральная мода (наимение устойчивая мода) течения Пуазейля при R = 3000, n = l, к = 1.(а) Сечения функции тока при постоянном z. (б) Векторное поле возмущении скорости (по [Meseguer & Trefethen, 2000, Fig. 4])

где Rc ^ 37,5 и a。a 0,43. Этот и другие расчеты указывают на то, что моды с n = 1 обычно являются наиболее неустойчивыми возмущениями осесимметричных параллельных течений.

Имеется множество расчетов характеристик неустойчивости осесимметричных течений идеальной жидкости, от [Rayleigh, 1880] до [Batchelor & Gill, 1962] и настоящего времени. В частности, удобно использовать разрывные профили скорости с условиями на “скалке" в местах разрывов, аналогичные таким профилям для случая плоско- паргшлельных течений.

У пражнения

Вывод уравнения устойчив ости Релея, Пусть скорость основного течения несжимаемой идеальной жидкости имеет вид U (z)= =U(z)i・ Используя безразмерные переменные, линеаризуйте уравнение завихренности двумерного течения

招+洋+噜=0,at ox dz

где ту = at〃@z — dw/dx. Покажите, что

где т/ = △少.Полагая 少(m,z") =。(2"必(~“)，выведите уравнение устойчивости Релея.

Рис. 8・15・ Пристеночная мода течения Пуазейля при R = 3000, n = 1, к = 1. (а) Сечения функции тока при постоянном z. (б) Векторное поле возмущений скорости (по [Meseguer & Trefethen, 2000, Fig. 8])

8・2・ Возвышение материальной поверхности. Покажите, что если С — возвышение жидкой частицы над своим основным положением, скажем, (м(),Уо, z()) при возмущении основного течения U(z)i идеальной несжимаемой жидкости, то w = D〃Dt при ® — ®о? У = 2/о , z = z()+，•

Выведите из задачи устойчивости Релея, что моды имеют вид 《/z,t)=歹⑶祖仪付一⑴，Где F = _«/(U — с) и

[(U ^c^F^ - с?。- c)2歹=°.(E8.1)

8・3・ Некоторые свойства собственных решений задачи устойчивости Релея. Определим скалярное произведение

的,》= / ф(z)^(z)dz

в пространстве C2[zi?Z2]? а также линейный оператор 工:C2[zi,z2] Т С®#?]

L0 = (U - с)3〃 一。2«) - и〃0.

Покажите, что уравнение (Е8.1), поделенное на L7 — с, представляет собой уравнение, сопряженное уравнению устойчивости Релея в форме (8.25), где F также удовлетворяет граничным условиям (8.26).

Умножая уравнение (Е8.1) на F*, комплексно сопряженное к F, интегрируя от z】до z? и используя граничные условия, покажите, что

广(U - с)2 (|Р|2 + 巒図2) dz = 0.

Беря мнимую часть последнего уравнения, покажите, что если течение неустойчиво по отношению к моде сг, то сг лежит внутри области значений U (т.е. Um < сг < Um, где Um = =maxZ1<z<Z2 U(z), a Um = minZ1<z<Z2 U(z)) [Rayleigh, 1880].

Скачок сдвигового напряжения на критическом слое идеальной жидкости. Покажите, что

при Z T Zc, Ci —> 0+,при Z T Zc, Ci —> 0+,(E8.2)(E8.2)qu〃ie|2仃[叫Uc

при Z T Zc, Ci —> 0+,

при Z T Zc, Ci —> 0+,

(E8.2)

(E8.2)

|U-C|2a2(2-2,)2+寸

если U(zc) = cr, U； / °，[U"ie『]z-z ? °' Правдоподобно покажите, чтоc

Выведите отсюда, что уравнение (8.35) следует из (8.34).

а?/ а"didxа?/ а"didxаПодъемный^ механизм Орра. Рассмотрите плоское течение Куэтта с основной скоростью U = zi・ Покажите, что линеаризованное уравнение завихренности для двумерных возмущений имеет вид

а?/ а"didx

а?/ а"didx

=0

в обычных обозначениях, где rf = △”'・ Покажите, что

△”'二 F(x 一 zt^z)

для произвольной дифференцируемой функции F,

Обсудите отношение задачи устойчивости Релея для плоского течений Куэтта к вышеприведенному подходу к решению задачи с начальными значениями.

Обсудите вышеприведенное представление переноса завихренности возмущения основным течением, которая иногда называется подъемным механизмом, а иногда механизмом жалюзи [On, 1907а, Art. 13].

Упражнения^

8・6・ Устойчивость или неустойчивость плоского течения Куэтта. Рассмотрите упражнение 8.5 как задачу с начальными значениями для определения ?/ в полосе

V = {(ж, Z)： —ОО < Ж < ОО, —1 < Z < 1}

плоскости (ж, z) следующим образом (считайте, что F и dF/dz ограничены и непрерывны в V).

Определив норму 旧|| = supxeV 切估广儿 покажите, что нулевое решение ?/ = 0 устойчиво.

Покажите, однако, что нулевое решение ?/ = 0 неустойчиво по норме 旧II = supx口{(a?/(M,z)/az)2 + 历(m,z)『}1/2 [Yudovich, 1989, р.101].

*3адача на собственные значения для двумерных возмущений плоского течения Куэтта идеальной жидкости. Рассмотрим основное течение идеальной несжимаемой жидкости со скоростью U = zi между твердыми плоскостями, при z ± 1 движущимися с вместе течением. Проверьте, что точное решение, нелинейных уравнений Эйлера дается следующим выражением для возмущения функции тока:

*0 (工,Z, t)=*0 (工,Z, t)=a cos (аж +)z — atz)а2 4-(7 — at)2

*0 (工,Z, t)=

*0 (工,Z, t)=

при —оо < ж < оо, — 1 < z < 1 и всех вещественных а, а, 7.

Покажите, что плотность кинетической энергии на единицу массы и длины волны имеет вид

Покажите, что если волновые фронты в начальный момент были наклонены так же, как и профиль скорости (т. е. 7 имеет тот же знак, что и а), то К монотонно убывает до нуля при возрастании %. Покажите, что в противном случае (7 имеет противоположный знак) К возрастает до момента 力=)/а, а затем убывает до нуля; покажите, что ее максимум велик для короткой волны, распространяющейся в направлении основного течения.

Покажите далее, что если

"1].

”'(工，z, 0) = bsin /шг(2 + 1) elax,

где п — положительное целое, то линеаризованная задача имеет решение вида

W(x,z,t) = — $6 (仪2 + ^7227r2)eiax x

^nK(z+l)/2-iatze-in7r(z+l)/2-iatz

a2 + ((1/2)птг — at)? a2 + ((1/2)птг + at)2 鹄+ BG)霜，

где 4 В могут выбраны так, что 少 удовлетворяет граничным и начальным условиям. Покажите, что

“(m,z, шг/2а)=—扌(a? + ^ММ) be'9'+'7r/2) х

I—e-EWz+i)—仕 az M1\1

X [a2 a2 + п2тг2 ch a \a2 a2 + п2тг2/J

и, следовательно,

沙(工,z, wr/2a) ^ — ^i?22MbeMa'+"7r/2)(1 — z2) при a T 8

при фиксированных z, n. Покажите далее, что в рамках линейной теории для идеальной жидкости начальное возмущение может стать произвольно большим по прошествии большого времени, хотя и в конечном итоге убывает как f2 при t —> оо. Устойчиво ли течение в смысле Ляпунова? Как вы думаете, что произойдет при учете нелинейности? [Kelvin, 1887, параграфы 32-34; Огг, 1907а; Craik & Criminale, 1986, р. 18].

Алгебраическая неустойчив ость плоско-параллельного течения Куэтта идеальной жидкости относительно двумерных возмущений. Покажите, что двумерные возмущения основного течения несжимаемой идеальной жидкости, имеющего скорость U = C7(z)i, удовлетворяют линеаризованным уравнениям

где предполагается, что u「 p‘ не зависят от ж, а ^ = = dwf/ду — dd[Hz. Покажите, что и^у, z, t) = t?(y, z, 0)— -tu^z^iy.z^}, Vf(y,z,t) = o'®,z,0),仅’®,z") = w\y, z, 0) [Ellingsen & Palm, 1975], (см. упражнение 8.25).

Упражнения

Неустойчив ость параллельных течений идеальной жидкости. Проверьте, что

u = U®)i+ W(x — tU(y))k, р = const,

удовлетворяет уравнениям Эйлера движения и уравнению неразрывности несжимаемой идеальной жидкости. Покажите, что вектор вихря имеет вид

Е = ▽ х u = -tU'^W^x - tU(y))i - W\x - %U®))j - U'®)k・

Рассмотрите устойчивость основного течения U = U(y)i при —8 < т/ < оо по отношению к возмущениям с периодом 2тг по ж и z・ Определяя норму возмущения и', р‘ с периодом 2тг по ж и z как

11^I| =11^I| =• л2тглоо/2тгл 1/2

11^I| =

11^I| =

dx I dy / dz (J + u,2)

Jo 丿-8 丿0J

покажите, что существуют начально малые возмущения основного решения такие, что ||u'|| ~ const х t при t т оо при условии, что U1 квадратично интегрируема и U не равна постоянной. Таким образом, основное течение неустойчиво вне зависимости от того, имеет ли оно точку перегиба или нет.

Что это говорит о нашем выборе определения устойчивости, о нелинейных возмущениях и течении? [Yudovich, 1989, р. 101].

Неустойчивость ломаной плоской струи невязкой жидкости. Рассмотрим ломаную струю из несжимаемой идеальной жидкости в неограниченном параллельном течении с профилем скорости

'0, еслиz > 1,

U(z) =1, если — 1 < z < 1,

0, еслиz < —1.

(Иногда это течение называют струей “цилиндр” (шляпа) по форме графика U)・ Покажите, что волновой моде отвечает следующее соотношение на собственные величины:

(с + l)2th |а| 4- с2 = 0.

Докажите, что струя неустойчива по отношению к волнам всех длин.

Найдите соотношение на собственные числа для варикозных мод [Rayleigh, 1894, р. 380-381].

Неустойчив ости плоского течения Куэтта между двух свободных поверхностей. Рассмотрим основное течение несжимаемой идеальной жидкости со скоростью U(z) = z при —1 < z < 1, где поверхности с основными положениями при z = ±1 являются свободными.

Покажите, что ф удовлетворяет уравнению устойчивости Релея при —1 < z < 1 и (U — с) “ 一 и'ф = 0 при z = ±1. Докажите, что

(a th а — 1) (а — th а)

сЛЬа

откуда следует, что течение неустойчиво при а < ас, где ас а 1,2 определяется как положительный корень уравнения a tha = 1.

Неустойчив ость свободного сдвигового слоя. Покажите, что если U(z) = thz при —8 < z < оо, то С7Л = 0. Проверьте, что соответствующее маргинально устойчивое решение задачи устойчивости Релея имеет вид

с = 0, а = 1, 0 = sech z・

Покажите, что

LdaJa=1_ тг

Выведите, что нормальная мода неустойчива, когда 0 < а < 1.

Симметрия: синусоидальная .и варикозная моды^ Пусть S : С?]—Е, Е] Т С[—Е, 〃 таким образом, что S/e — четная функция для всех четных /е е С2[—Z, Е], a S/o — нечетная для всех нечетных функций fo е С2[—Z, Е]・ Покажите, что если

(S/)(z) = 0 V z е [-Е, Е] и 貝士Е) = 0,

то

(S£)(z) = 0 V Z е [-Е/],£(士Е) = о

и

(S/O)(z) = 0 V Z е [-Е/],/о(±Ь) = о,

где

川z) = #f(z)+〃-z)], fo^ = ^z^f^z}\ Vze[-E/]・

(Заметим, что /е или fo могут быть тождественными нулями).

Упражнения

Покажите, что если действие оператора Т определено как Т/ = =d2//dz2+A/ для всех / 6 С2[—тг, тг], то Т сохраняет указанные выше свойства симметрии. Покажите далее, что задача

一需=入"。(士开)=0,

имеет собственные решения Л = Ап, ф = фп для п = 0,1,..., где

Лп =輔+1)2,02m(Z)= cos(m+》z, 02m+i(z) = sin(m+l)z・

Неустойчивость струи Бикли (Bickley), Покажите, что если U(z) = sech2z при —оо < z < оо, то Us = ^. Проверьте, что соответствующие маргинально устойчивые решения задачи устойчивости Релея представляют собой синусоидальные моды

2о

с = а = 2, ф = sech z,

и варикозные моды

2

с = а = 1,0 = sechzthz・

Выведите, что струя устойчива по отношению ко всем коротким волнам с а > 2 и неустойчива по отношению к некоторым длинным волнам с а < 2.

Стабилизирующий эффект наличия границ в сдвиговом слое и струе идеальной жидкости. Рассмотрим имеющее скорость U(z) основное параллельное течение несжимаемой идеальной жидкости между твердыми границами z = 士Е・ Дано, что это течение неустойчиво по отношению к некоторым растущим по времени инфинитезимальным возмущениям, если Z = оо, и устойчиво в пределе Е т 0・ Покажите, что для того чтобы подсчитать значение Lc такое, что течение неустойчиво при L > Lc и устойчиво при L < Lq достаточно положить а§ = 0 и решить следующую задачу с граничными условиями:

抄一万7九=0，

0S = 0 при Z = 士&.

Проверьте, что ф3 = U — Us представляет собой одно из решений уравнения.

Сначала положите U(z) = thz・ В каком диапазоне волновых чисел неустойчив сдвиговый слой, когда L = оо? Почему течение устойчиво в пределе Е т 0? (Подсказки: упражнение 8.12, упражнение 8.37, пример 8.2).

Далее, подсчитайте Lc. (Замечание: Lc — корень простого трансцендентного уравнения, которое не требуется решать точно, достаточно построить чертеж, показывающий, что существует единственный положительный корень, и оценить Zc, ограничиваясь одной значащей цифрой после запятой).

Подсчитайте соответствующее значение Zc, когда U(z)= =sech2z при —Е < z < Z. Укажите, почему при вычислении можно предположить, что。§ — четная функция. Покажите, что симметричная струя с симметричными граничными условиями остается неустойчивой до тех пор, пока точки перегиба остаются внутри области течения (Н. Е. Hupert — частное сообщение, [Howard, 1964]; подсказка: упражнение 8.14).

Маргинально устойчивые моды неограниченной струи. Численно исследуйте задачу устойчивости Релея для струи с U(z)= 二 sech z при —8 < z < 8・

Покажите, что

0(z) ^ const x e“z при z T —oo.

Правдоподобно покажите, что граничное условие 0(z) т 0 при z т — 8 хорошо приближается, если вместо него использовать условие “ 一 а。= 0 при z = —Е, где L — велико; приближение будет тем лучше, чем больше L,

Покажите, что U" = (1 — 2U2)U, Us = 2-1/2 и, отсюда, ф^\^^и(2и^^'^ф9 = ^ 0s(z)tO при Z Т ±8.

Покажите, что 0；(О) = 0 для синусоидальной моды и 0§(О) = О для варикозной моды.

Маргинальная синусоидальная мода может быть посчитана при помощи метода пристрелки. Ваш расчет, от начала до конца, займет менее часа, если вы уже знакомы с компьютерной системой, имеющей пакет для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для определения as укажите какое-нибудь начальное значение as, возьмите систему уравнений

"=о, J =皆-U(2U + 21/2)]厶

с начальными условиями

九(一e)=^qL, 。(一e)=a九(一e)，

и проинтегрируйте ее от z = — Е до z = 0 для того, чтобы оценить 〃(0)・ Затем, методом проб и ошибок или коррекцией (с линейной экстраполяцией, например) повторите процесс до тех пор, пока будет найдено значение а§, для которого 0；(О) будет достаточно малым. Покажите, что as = 1,465 при “больших" значениях L,

Аналогично покажите, что для варикозной моды as = 0,646.

Нелинейное решение для икошачьего глаза^. Проверьте, что

V>(®, z) = In [(1 + А2)1^2 chz + a cos 工]

является решением уравнения Лиувилля

для всех А. Выведите, что это решение описывает функцию тока, соответствующую точному решению уравнения завихренности стационарного двумерного течения неограниченной несжимаемой идеальной жидкости.

Изобразите линии тока для “тииинного" значения А, например, для А = 1. Докажите, что

耽m,z) = In(chz) + AsechzcosM + 0(4?) при 4To.

Соотнесите вышеприведенное решение с нейтральной устойчивостью параллельного течения с U(z) = th z при — 8 < z < 8・

Докажите также, что в пределе 4 T 8 решение представляет собой течение, генерируемое бесконечным множеством равных линейных вихрей, имеющих циркуляцию —4тг, расположенных на расстоянии 2тг от оси ж и параллельных оси у [Schmid-Burgk, 1965; Stuart, 1967, параграф 6; Lamb, 1932, р. 224].

8・18・ Нелинейные волновые моды для параллельных течений несжимаемой идеальной жидкости. Дано уравнение завихренности для двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости:

区+迫9 = 0dt HQ, у)'

где 吵 —— функция тока, С = △“ —— завихренность и компоненты скорости есть и = —д^/ду^ о = д^/дх.

Показать, что если решение имеет вид

吵(工,y,力)=万(X, y), X — х - ct,

где c ——некоторая постоянная, то F удовлетворяет нелинейному уравнению Пуассона

^F = Q(F + cy),(Е8.3)

Q — некоторая функция интегрирования.

Покажите, что если F = 屮®) — одно из решений уравнения (Е8.3) и Q дифференцируема, то

Q\F^cy)=-K,(Е8.4)

где К определяется из равенства К(у) = —U〃(y)/ [U(y) — с]. Покажите далее, что если Q ——однозначная функция, то справедливо одно из следующих свойств.

(a) U постоянна;

(b)U строго монотонна и

c = U(y8l(Е8.5)

где у8 — единственная точка, такая что U^^ys) = 0 внутри области, занятой течением;

уравнение (Е8.5) удовлетворяется во всех точках у$, где и"®$) в области течения; или

с лежит вне области значений U внутри области течения.

Проверьте, что:

если U (у)二 siny при —^тг <у < |тг, то с = 0;

если U (?/) = 1—у? при —1 < ?/ < 1, то не существует волновых решений;

если U®) = sech2y при —оо < ?/ < оо, то с = |; и

если U(у) = thy при —оо < ?/ < оо, то с = 0, если только с не лежит вне области значений U.

Найдите функцию Q в явном виде в каждом из вышеприведенных случаев, для которых существует волновое решение с заданным с.

Рассмотрите далее периодичные по X волновые решения F уравнения (Е8.3) с функцией Q для данного параллельного течения U [Barcilon & Drazin, 2001].

Неустойчивость поперечного течения или неустойчив ость спирального течения. Рассмотрим основное течение несжимаемой идеальной жидкости, ограниченное твердыми плоскостями при z = zi, Z2, имеющее скорость U(z) = U(z)i + V(z)j, где U, V —заданные функции. Линеаризуя уравнения движения Эйлера и полагая нормальные моды пропорциональными e^ax+^~act\ покажите, что устойчивость течения определяется из задачи на собственные значения

(U - J(D2w - a2w) - Unw = О,

仿=0 при Z = Z1,Z2,

где D = d/dz, U=(aU + pV)/a, c = ac/区 a = (a2 + 严尸父次 °. Докажите, что устойчивость течения определяется бесконечным числом задач устойчивости Релея для всех вещественных значений а и /?, так что некоторое трехмерное возмущение может быть неустойчивым, когда все двумерные возмущения устойчивы (см. [Gregory et al,, 1955]).

Неустойчив ость Релея-Тейлора стратифициров анной жидкости и внутренние гравитационные волны. Дано, что движение несжимаемой идеальной жидкости переменной плотности под действием силы тяжести подчиняется уравнениям Эйлера, уравнению состояния и уравнению неразрывности, а именно:

РР+ u ・ Vu)二—Vp 一 gpk,+ u ・ Vu)二—Vp 一 gpk,

Р

Р

+ u ・ Vu)二—Vp 一 gpk,

+ u ・ Vu)二—Vp 一 gpk,

др

言+ и・▽/>=() и V • и = О,

где g — ускорение свободного падения, к — единичный вектор в вертикальном направлении; диффузией жидкости пренебрега- ется.

Покажите, что основное состояние покоя, заданное функциями

Р(х<) =P(z), p(x,t) =Q(z)

для р непрерывно дифференцируемой представляет собой решение уравнений движения, если Q(z) = ро — д /' p(Q d《,где ро — произвольная постоянная.

Полагая и = (〃',°',仅')，р = р+//, Р = / + Р’，линеаризуя уравнения движения для малых возмущений и выбирая нормальные моды с 仅‘ =w[z)^kx+ly^ut^ и т.д., покажите, что

D(pDw)-出 + 户)/俞 一 9^^—^ = 0，(E8.6)

где D = d/dz・

Покажите далее, что если течение ограничено твердыми горизонтальными пластинами при z = zi, а, то

®(z) = 0 при z 二 zi,Z2・(Е8.7)

Осознав, что (Е8.6), (Е8.7) представляют собой регулярную задачу Штурма-Лиувилля, покажите, что имеет место неустойчивость тогда и только тогда, когда dp/dz > 0 где-либо в области, занятой течением. (Релей [Rayleigh, 1883] открыл результаты этого упражнения, вследствие чего его имя было присвоено неустойчивости Релея-Тейлора после появления работы [Taylor, 1950], описанной в параграфе 3.7).

Покажите, что если плотность приближается постоянной, кроме члена, описывающего пловучесть, в соответствии с аппроксимацией Буссинеска, то

Dw - (М + 戶)® - д(：^1 卷=0.(Е8.8)

Покажите, что если р =例©一卽 При 例,夕 > 0 и zi = —оо, z? = 8, то собственные решения имеют вид

w(z) = const X e°z/2+imz 2 _"

'N +户+ m2 +制2

для всех вещественных k, Z, тп, представляющих собой спектр внутренних гравитационных волн. Получите, что в аппроксимации Буссинеска

W = const X eimz, 3 = ±[g/?(62 + 户)/(廿 + 户 + 7722)]1/2.

(Релей [Rayleigh, 1883, p. 174] заметил, что “в противоположность тому, что мы встречаем в большинстве колебательных систем, имеет место предел (в случае устойчивости) со стороны быстроты колебаний и нет его со стороны медленности”).

Неустойчивость параллельного течения стратифицированной жидкости. Покажите, что основное течение

u(M,t) = U(z),р(х") = p(z), p(x,t) =/(z)

является решением уравнений движения несжимаемой идеальной жидкости переменной недиффузионной плотности при наличии гравитации, если

5z) = U(z)i, 双z) =po-g / 第)d《

при произвольных ПОСТОЯННОЙ ро и гладких функциях U, р・ Рассматривая только двумерное движение, заданное функциями

u(x, t) = U(z)i + u'(M,z,t),u = t?i + w^

p(x, t) = p(z) + /(ж, z, t), p(x, t)=双 z) + "(吗 z, t), линеаризуя уравнения движения для малых возмущений и выбирая нормальные моды в виде

毋(吃z,t) = 6(z)产9-叫

покажите, что

(U- c)2 [D(pDw) - k2pw] -(U-c)[D(pDU)]w + pN2w = О, (E8.9) где D = d/dz, а частота пловучести N (иногда называемая частотой Брямпа-Вяйсял^ основного течения определяется равенством N2(z) = —gp，(z)/p(z).

Покажите далее, что если течение ограничено жесткими горизонтальными пластинами при z = z】,Z2, то

w = 0 при z = zi, Z2・(Е8.10)

Докажите, что если плотность приближается постоянной за исключением члена, описывающего пловучесть в соответствии с аппроксимацией Буссинеска, то

(U - с)(仍 _ 炉砌 一 те+ -—W 二 0.(E8.ll)

U — с

Это уравнение называется уравнением Тейлора-Голдстейна. (Название уравнения (E8.ll) не учитывает того обстоятельства, что оно было получено независимо от Тейлора [Taylor, 1931] и Голдстейна [Goldstein, 1931] также и Гурвицем [Haurwitz, 1931]).

H = w/(U-c)^2H = w/(U-c)^2Достаточные условия устойчивости Майлса-Ховарда. Полагая, что имеется задача Тейлора-Голдстейна (E8.ll), (Е8.10), определите

H = w/(U-c)^2

H = w/(U-c)^2

и покажите, что

[(U-с) (\вн\2 + к2\н\2) +

+ go"|H|2+ U/4吃;N2 1Hl2 dz = 0.

Беря мнимую часть этого уравнения, получите, что если с^ / О, то

/"КМ - ^"'2) + 廿卩-'У 冋2/|U-c|2 dz = 0, и что условие

N?(z) > ^U'2(z) при Z± < Z < Z2

является достаточным для устойчивости основного течения [Miles, 1961; Howard, 1961; Drazin & Reid, 1981, параграф 44.3].

Уравнение Тейлора-Голдстейна для трехмерного основного течения. Покажите, что если основное течение стратифицированной идеальной несжимаемой жидкости имеет скорость U(z) = U(z)i + V(z)j и плотность p(z), то нормальные моды, пропорциональные 壮("'+例-"“)，в приближении Буссинеска подчиняются уравнению

(kU+lV-kc) \B2w-(k2+l2)w] - (6U〃+W〃)俞+!^：；„；俞=°， (E8.12) где используется обычное обозначение D = d/dz・

Покажите, что обобщением достаточного условия Майлса- Ховарда является следующее: если

(к2 + Z2) N2 > ^(kUf + lVf)2

при zi < z < Z2, то течение устойчиво по отношению к данной моде.

Неустойчив ость вращающихся и стратифициров анных сдвиговых течений. Рассмотрим устойчивость осесимметричной вращающейся струи идеальной несжимаемой жидкости с компонентами скорости основного течения

U(t) = (0,叭t),W(t))

Упражнения

в цилиндрических координатах (г, 8, z) и давлением и плотностью Р(г) и р(г). Течение ограничено твердыми цилиндрами при г = г1? г2- Линеаризуйте уравнения движения для осесимметричных возмущений, выберите нормальные моды пропорциональными произведению 寸*々-")и векторной функции от г и покажите, что

D 同W - c)2“F] - pk2(W - c)2歹 + 季歹=О, (Е8.13)

где D=d/dr•, d*=T-5T，查=7-3D(两2y2), p = u/ik(W-c) и 後；=&(T)e*(z_d) —возмущение радиальной компоненты скорости.

* Прокомментируйте аналогию между уравнением (Е8.13) и уравнением Тейлора-Голдстейна (Е8.9). Докажите, что вращающееся течение устойчиво, если

查/①w产> 1

везде в области занятой течением [Leibovich, 1969; 1979].

Трехмерная устойчивость неограниченного течения Куэтта вязкой жидкости. Предположим, что 微(х<) = 4(力)z — —С(%)У, о(х")= —款(力)z, w(x,^)= 就(力)у для некоторых функций 3 ту, С・ Покажите, что ▽ • и = 0 и вектор вихря Е = (3 ту, Q. Докажите, что вихревое поле является точным решением уравнения завихренности для вязкой несжимаемой жидкости при условии, что

X，X，I=納・I=納・

X，

X，

I=納・

I=納・

Почему вязкость не влияет на динамику?

Определяя возмущения £' = £, г/ = П — 5 С，= С 〃ля некоторого постоянного сдвига <т основного течения и линеаризуя, покажи

те, что

Докажите, что ^(^) = 8(0),叭力)=叭0), U(力)=0(0) + 豺8(0居 так что возмущения растут линейно ио 力 и основное течение U = azi оказывается неустойчивым (хотя начгшьные возмущения скорости не ограничены по пространству).

Покажите далее без линеаризации, что

貿力)=貿0),

+ <(0)sin+ <(0)sin*（。）力*（。）力《力)=<(0)cos《力)=<(0)cos^£(0)力一q(0)sin ^貿0)力^£(0)力一q(0)sin ^貿0)力7/(力)=7/(0) COS ^£(0)力

+ <(0)sin

+ <(0)sin

*（。）力

*（。）力

《力)=<(0)cos

《力)=<(0)cos

^£(0)力一q(0)sin ^貿0)力

^£(0)力一q(0)sin ^貿0)力

и, следовательно, основное состояние £ = 0, ту = <т, С = 0 несомненно неустойчиво, хотя возмущение и ограничено для всех времен [Waleffe, 1995]. (См. упражнение 8.8).

Уравнение энергии. Покажите, что если U = U(z)i при zi < z < < Z2, то уравнение Рейнольдса-Орра (5.28) для двумерного возмущения, имеющего период 2тг/а по ж, в безразмерных переменных принимает вид

где

П

2к/а 1

-(У + w,2) d® dz,

Отсюда выведите уравнение (8.54). Интерпретируйте физический смысл К^ М и N.

Задача устойчивости для асимптотически подсасываемого пограничного слоя. Проверьте, что уравнение завихренности для двумерного течения несжимаемой вязкой жидкости

dt a(工,z)

удовлетворяется функцией 吵=史 при z > 0, где

亚(z, z) = Wqx + Uq[z + (〃/死)exp(-Wbz/〃)]

для произвольных 庆,死,〃・ Покажите, что соответствующая скорость основного течения имеет вид U = (U,匕 W), где

U(z)=庆[1 - exp(%z/〃)], V = 0, W(z)二-死・

Полагая 吵=屮 + 少，линеаризуя и выбирая нормальную моду в виде 少(叫 z") = 0(z) exp[ia(M — ")], покажите, что

〃 (*_2a2“+鼠0)=g [(U-c) (^-a2^) -U”]-昧("〃-『")

где

0(z) = “(z)二 0 при z = 0, 0(z), “(z) т 0 при z T 8

[Hughes & Reid, 1965] (фактически, c = 0,150 при Rc = 54 370, ac = 0,1555, если выбрать масштаб длины L = 〃/%, так что число Рейнольдса определяется как Я = Uq/Wq [Hocking, 1975]).

Преобразование Сквайра. Обратите внимание, что для данного неустойчивосго параллельного течения преобразование Сквайра показывает, что относительная скорость роста моды с волновыми числами (а,/?) есть сг(а,Д Е) = ас^а, аЯ/S), где S = = 92+0)1/2.

Определяя

сг2(Л) = тахсг(а, 0, Д), сгз(й) = max сг(а,/?, R)

а>0а,^>0

И

咖〈就能O°QQR)

и полагая, что

шахсг2(Я) = o"(Rm)^

покажите, что ам =。2(冗“)и максимум достигается для некоторой двумерной моды с волновым числом ам при числе Рейнольдса Rm > Rc・ Предполагая, что。2(冗)возрастает монотонно от нуля до a Mi когда R возрастает от Яс до Rm, покажите, что если Rc < R < Rm, то。2(冗)> сг3(Я), т.е. наиболее быстро растущая мода является двумерной, но если R > Rm, то наиболее быстро растущая мода могла бы быть трехмерной [Watson, 1960 а]. (Все проведенные расчеты не указывают на то, что имеется значение R и основное течение, для которых наиболее быстро растущая мода является трехмерной. В любом случае значение RM является настолько большим, что течение уже является турбулентным и теоретическая возможность того, что наиболее быстро растущая мода может оказаться трехмерной, не имеет никакого практического значения. Фактически, для плоского течения Пуазейля ам * 0,6 при ам а 0,8, Rm * 50 000).

Простое точное решение уравнения Орра-Зоммерфельда. Покажите, что уравнения Навье-Стокса инвариантны относительно непрерывной группы сдвигов z 1 z + 6 для всех вещественных 6. Покажите, что непрерывно дифференцируемая скорость основного течения U(z)i 1 U(z 4- 6)i = U(z)i + SU^z)! 4-。(卢) при 6 т 0・ Отсюда выведите, что решение уравнения Орра- Зоммерфельда дается значениями a = /? = O,0 = U при всех с, R при условии, что основное течение описывается точным решением уравнений Навье-Стокса. Дает ли это собственное решение?

Другое простое решение уравнений Орра-Зоммерфельда для однородного течения. Покажите, что если U = const, то общим решением уравнения Орра-Зоммерфельда является

0(z) = У % + A2^az + Азе" + Л4е-^,

где Ai, Аг, Аз, А4 — произвольные постоянные и 72 = а2 4- +iaR(U — с). (Фактически, решение 少=e±iz-iact^ когда & = о, ас ф 0, отвечает волнам Стокса, генерируемым колеблющейся плоской стенкой (см., например, [Batchelor, 1967, параграф 4.3]).

Устойчивость однородного течения несжимаемой вязкой жидкости. Предположим, что несжимаемая жидкость с кинематической вязкостью 〃 имеет скорость U* = Vi и ограничена твердыми стенками (двигающимися со скоростью основного течения Vi при z* = 士Е・ Покажите, что двумерные нормальные моды, пропорциональные 壮“仲一”),подчиняются безразмерным уравнениям на собственные значения:

с = 1 - i (М + 成)/仪冗,1 ~ i (а2 + 尚 /аА,

где Я = VL/v и рп(«) — положительные корни уравнения

ptgP = —a th а,

при п = 0,2,4,..., а дп(а) — уравнения

qctgq = actha,

при n = 1,3,5,... . Докажите, что течение устойчиво [Rayleigh, 1892].

2<пражненн夕

Моды Шенстеда (Schensted). Полагая, что собственные решения задачи Орра-Зоммерфельда при —1 < z < 1 могут быть выражены как

8ОО

0(z) = £ (込冗)‘ 0(')(z), с = (ia«R)T ^2 (iaR)' c“)

J=0j=0

для достаточно малых aR и фиксированных а, и что почленное дифференцирование допустимо, покажите, что

@2-а2+с(о)) (d2_『) 0(0) = о и

0(S(z) = D0⑼(z) = 0 при z = ±1.

Используя результат упражнения 8.6 для волновых мод, положите

с(。)=/+党 0 ⑼(z) =用一2^

ch a cos%

для n = 0,2,4,..., где pn(a) — положительный корень уравнения

ав a +ptgp = О

с номером |(п +，2). Покажите, что рп(0)= 今(九 + 2)тг и отсюда найдите с(°)и 0(°), когда a = 0.

Покажите, что

6巒 +с(。))(D2 -巒)*)= [(и-с(1))(D2_『)—叫 0(。)，

*)(z) = D*)(z) = 0 при z ± 1.

Не решая эту задачу для 0°), выведите условие разрешимости

/1。⑼(z) [(U - с^ (D2 - a2) - U^ 0(。)dz = О

для определения с^\

Покажите, что если U(z) = 1 — z2 и a = 0, то

при п = 0,2,4,…[Pekeris, 1936]. (Подсказка: f^cospnzdz = = 0, J^i co^pnzdz = 1, f^±z2 cospnzdz = 4cospn/p2, f^z2 cos2pnzdz = I + l/2*)・

Маргинальная кривая. Предположим, что дисперсионное уравнение для нормальной моды, пропорциональной 炉“’+“, имеет вид 尸(а, % R) = 0 в некоторой вспомогательной задаче, где Я > 0 —~- “нисло Рейнольдса” и

尸(а, % R) = Rs + (I# —仪3冗 + 1) + iaR.

Постройте маргинальную кривую в плоскости (Я, а) и покажите, что Rc = ^―僖)/2 * 14.1.

Преобразование Гастпера (Gaster). Предположим, что дисперсионное соотношение для нормальной моды, пропорциональной 壮"‘+"，имеет вид

乃(а, % Я) = О,

где R — число Рейнольдса, а 乃—комплексная функция. Покажите, что для временной моды нейтральная кривая в плоскости (R, а) определяется корнями пары вещественных уравнений

Re /(а,—山,R)] = 0,Im [乃(а,—山,R)] = О,

считая з = is вещественным параметром вдоль кривой. Покажите, что для пространственной моды нейтральная кривая в плоскости (R, з) определяется той же парой уравнений, где параметром вдоль кривой является а.

Полагая з = сг — iw, а = аг + ic% и считая s аналитической функцией от а, используйте условия Коши-Римана, и для пространственной моды выведите уравнение

黑=f(Е8」4)

где cg = дзIда^ — групповая скорость. (Эта формула полезна, после нахожения да/На】 при а】=0, для определения относительной скорости Qi роста пространственных мод через временную относительную скорость роста <т около маргинальной кривой путем оценки групповой (не фазовой) скорости и, следовательно, для определения, с какой стороны от кривой находится область неустойчивости)・

Предположим, что для частной модельной задачи

ди ди 53и _ ха2г4

где а > 0. Покажите, что дисперсионная функция имеет вид

乃(a, s, R) = s — 1 + а2/R + iaU — iad.

Изобразите нейтргшьную кривую в плоскостях (R, а) и (А,з) и проверьте преобразование Гастера (Е8.14) [Gaster, 1962].

8・35・ Убывание пространственных мод. Покажите, что рост или убывание по пространству стационарных возмущений основного параллельного течения вязкой несжимаемой жидкости со скоростью U(z)i при —1 < z < 1 описывается задачей на собственный значения

0" 一 2a2仪 +a40=ьr[и (у 一а0)一 u〃如,

где « = " = 0 при z = ±1.

Покажите, что если R = 0, то либо

sin 2a = —2a,sin 2a = —2a,cos az z sin azcos a sin a

sin 2a = —2a,

sin 2a = —2a,

либо

、 sin az z cos az ^)=sina ■ cosa，

sin 2a = 2a

Докажите, что a = an, a* при n = 0,1, 2,..., где

an ~ ^(2n + 3)tt + |iln[(2n + 3)тг] при n —> oo.

[Wilson,

1969]. (Фактически a。x 2,10620 + l,12536i, ai а 3,74884+ + l,38434i,色 * 5,35627 + l,55158i).

*Менее простое точное решение уравнения Орра-Зоммерфель- да для плоского течения Куэтта. Покажите, что если U(z)= =z, то общее решение уравнения Орра-Зоммерфельда имеет вид

0(z) = A^z + A2e^QZ + ^У sinh[k® - z)]C®) dy, где

С®) = 4зА1(仅)+ 4Bi®),

Л1,Л2,Лз, Л4 — произвольные постоянные, Ai, Bi — функции Эйри и w = е^/бдАу/з® _ , — ia/R).

Стабилизирующий эффект наличия границ. Является ли плоское течение Куэтта несжимаемой вязкой жидкости устойчивым или неустойчивым? Для каких чисел Рейнольдса?

Рассмотрим некоторое заданное гладкое параллельное течение U вязкой несжимаемой жидкости между твердыми плоскостями при z = z>Z2 и предел z2 Т z± при фиксированных U и числе Рейнольдса; как называется хорошо известное течение, которое приближает U асимптотически внутри области течения? Докажите эвристически, что все гладкие течения устойчивы в указанном пределе (ср. упражнение 8.15).

Усточивостъ по отношению к коротким волнам. Рассмотрите следующий довод. “Малое локализованное возмущение основного сдвигового слоя, составленное из коротковолновых компонент, восприимчиво только к локальным свойствам основного течения, так как влияние этого возмущения убывает экспоненциально быстро с увеличением расстояния от места его локализации. Следовательно, возмущение локально устойчиво, так же как и плоское течение Куэтта, которое локально приближается основным течением". Если вы верите этому грубому доводу, обоснуйте его как можете, если же нет — опровергните его.

*Граничные условия в задаче Орра-Зоммерфелъда^ когда профиль скорости основного течения является разрывным. Покажите, что если U или U' разрывны при z = zo, то решение ф уравнения Орра-Зоммерфельда удовлетворяет граничным условиям на “сканке"

△[如=О, △[D0] = 0,△ \В2ф + iaR{U - с)ф\ = 0,

△ рз。- laR{(U - c)D0 -。0}]二 0

при z = zo, где D = d/dz (здесь △ обозначает скачок величины, заключенной в скобки, а не оператор Лапласа).

(Подсказка: проинтегрируйте уравнение Орра-Зоммерфельда поперек разрыва четыре раза. Можно показать, что несмотря на то, что разрывный профиль скоростей несовместим с уравнениями движения вязкой жидкости, использование разрывного профиля при решении уравнения Орра-Зоммерфельда может быть оправдано тем обстоятельством, что он дает приближенное решение для длинноволновых мод струи или сдвигового слоя [Drazin, 1961]).

Отсюда выведите, что если взять основное течение в виде вихревой полосы (слоя) при

' 丿при z < О,

то

△侬]=0, △[D0]=O, △ [(D2+/?2) Ф\ =0, △ [(D2-/?2) D0] =0

при z = 0, где © = &2 + iaRQ —，). Докажите, что

сг = 0,R(1 - 31/2Ci)2 = 4a(3】/2 - с。，

откуда сразу следует, что маргинальная кривая задается уравнением

R = 4 х 31/2а,

а также, что

с ~ —4ia/3R при R/a т 0

[Tatsumi & Gotoh, 1960].

Сопряженная задача Орра-Зоммерфельда, Определим оператор Lc следующим образом:

Lc。二(D2 -^ф-iaR [(U - c)(D2 - М” _ 叫广

для комплексных с, всех ф Е S и данных U, Я > 0, z】< Z2, а > 0, где, как обычно, D = d/dz и S — множество комплекснозначных функций на интервале [zi, z^\ с непрерывной четвертой производной. Покажите при помощи интегрирования по частям, что

「飞帥№ dz =广 Ф (m“)dz + 他* "" - *0" + “,,"-

—ф*"飞—2』W*"-“*‘e)-iaR{(U-c)("“一师*/) -U^^^

для всех 0,屮 R S、где сопряженный оператор L? определяется следующим образом:

14“ =(D2 -/)2 "* + ьr[(D2 -a2) Q _ e*)吵* 一 u"“]・

Предположим далее, что

九。=0 и 0(z)二 D0(z) = 0 при z = zi, Z2

определяет собственное решение с, ф задачи Орра-Зоммерфельда и

L誣* = 0 и 吵* (z) = D吵* (z) = 0 при z = zi, Z2

определяет собственное решение d,吵 сопряженной задачи Орра- Зоммерфельда. Покажите, что либо d= с*, либо

/ ф(D2 - a2) “dz = 0.

(Заметьте, что

(D2 - М)吵=匕冗[(D2 - a) (U - d)吵-U"恥,

吵(z) = D吵(z) = 0при Z = Z1, Z2,

и что

/ ф(D2 — а2) ^*dz = — / [(D0)(D“)+ 統0“] dz

после интегрирования по частям и использования граничных условий. Было обнаружено, что множество {d} собственных значений 14 комплексно сопряжено множеству {с} собственных значений Lc? хотя собственные функции связаны не просто. Подсказка: Как это упражнение соотносится с упражнением 5・9?)・

Численный метод решения задачи Орра-Зоммерфельда для пространственных мод. Рассмотрим задачу Орра-Зоммерфельда для пространственной моды, а именно,

户-2a20〃 + 仪40 = 1K [gu - 3)(0〃 - I。)- аипф^,

0(z) = “(z) = 0 при Z = Z1,Z2,

где з = ас — вещественная частота моды.

五五Покажите, что уравнение Орра-Зоммерфельда эквивгшентно системе

五

五

乜2

q2〃] + U3

乜4

—iaRU"ui + iR(aU — з)〃з + а2из

(Подсказка: положите 网=0, из = фп — с^ф).

Дано, что при помощи специального разложения собственной функции эта задача приближенно приводится к алге браической задаче на собственные значения

Ах = аВх + а2Сх,

где А, В, С — некоторые n х п матрицы (зависящие от U, U〃, з и Я), а х — столбец размерности п (представляющий собой собственную функцию 〃"・ Определяя

у = ах

и 2п-столбец

покажите, что алгебраическая задача приводится к блочно-матричным уравнениям

А ОО IА ОО IВ С

А ОО I

А ОО I

I о

А -ВО IА -ВО Iz = аz = аО С I ОО С I О

А -В

О I

А -В

О I

z = а

z = а

О С I О

О С I О

Задача Орра-Зоммерфельда с поперечным течением. Рассмотрев основное течение со скоростью U = C7(z)i, представив нормальные моды в виде

w/^t) = w(z)^x-^t

и т.д., где а = ai + /У, покажите, что уравнение Орра- Зоммерфельда может быть переписано как

(D2 _ &2)2 由=近［@ . и - з)(D? - &2) & _ & ・(d2u/dz2)甸.

Покажите, что если скорость основного течения имеет вид U = =U(z)i + V(z)j, то линеаризованное уравнение не изменяется.

8・43・ Вывод задач Сквайра и Орра-Зоммерфельда, Рассмотрим основное течение вязкой несжимаемой жидкости со скоростью U = U(z)i между фиксированными твердыми плоскостями при z = zi,Z2・ Полагая, как обычно, u = U + и', р =尸 + р‘, линеаризуйте уравнения Навье-Стокса и покажите, что

(Е8.15)

饗 + и祭и警’(Е8.16)

где U" = d2CT/dz2 и z-компонента возмущения вектора вихря имеет вид，'二 а^/Зж — диг/ду.

Покажите, что решение является суперпозицией

мод, которые пропорциональны ^(^+Py-QCt)^ для которых с = c@2,aR) — собственное значение задачи Орра- Зоммерфельда

(D2 - а2)仅,一iaR [(U - с)(D - а2) - U〃]仅,二 0,

W^^t) = Dwz(x,t) = 0 при Z = Z1,Z2,

где D = d/dz; и для которых

[D2 -炉 _ 匕冗。-с)] С = iQU'M,

，(х, t) = 0 при Z = Z1, Z2； а также

мод, которые пропорциональны ^(QX^y-adt) и для которых d = d(a2, aR)——собственное значение однородной задачи Сквайра

[D2 - @2 - [aR^u - d)] U = о,

C'(x,t) = o при Z = Z1,Z2・

Покажите, что если 0 = ^^z)^axJr^y^adt^ для моды Сквайра, то

+ (a2 + aRd{) KI[ dz = 0.

Докажите, что все моды Сквайра устойчивы.

Устойчивое равновесие, несмотря на большие возмущения. Найдите общее решение системы уравнений

^ 二-с4,^ 二 A-dB, 4(0)二 Ao, B(0) = Bo / 0.

Положив далее с = 2冗一* d =冗一】при 冗 > 0, покажите, что г^с|Ве)| = (ЕАо + Во)2/4Я|Ао| ~ |я|А0| R Т оо

и при фиксированных 4。, В。. Изобразите фазовый портрет.

(Эта система грубо моделирует линейное взаимодействие моды Орра-Зоммерфельда амплитуды А и моды Сквайра амплитуды В. Обратите внимание, как начальное возмущение асимптотически устойчивой точки равновесия может очень значительно усиливаться, когда R велико; см. упражнение 2.8 и [Trefethen et at, 1993]).

Решите далее задачу с начальными значениями для системы дифференциальных уравнений в специальном случае, когда d = =с. Как выглядит maxt>o |B(t)|, когда с =： Я-1 и R — велико.

(Это — модель исключительного случая резонанса между устойчивыми модами Сквайра и Орра-Зоммерфельда).

Матери и дочери. Рассмотрите следующую простую линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в качестве вспомогательной модели эволюции двух мод с амплитудами 41, А2：

dA

俞二 LA,

где

ат ш — а — с in

[013 — ст

для заданных вещественных постоянных(т>0, е>0,з, тг・ Покажите, что общее решение этой системы может быть записано в виде

A(t)м a [:卜("+时山"+?江% ei+i3)t

для некоторых комплексных постоянных а и /?・

Определим векторы

[11_ [О'

d - m -

и условно назовем их матерью и дочерью соответственно. Далее рассмотрим задачи с начальными значениями А(0) = d и А(0)= =т. Покажите, что соответствующие решения этих двух задач имеют вид

A(t) = dei+e+i3)f и

A(t) = ine-1d(e6< _ 1卜(一。+山)力 + me(-0+i3)£T

f i也de(-°+w" + me(-°+w)‘ при e T 0 и фиксированных 九

Основываясь на этих результатах, объясните заключение Бобер- га и Броза:

) дочь-сирота увядает; (2) мать должна родить дочь; (3) дочь растет, пока ее мать жива.

*Примените эту аналогию к быстрому росту мод в устойчивом течении, таком, например, как течение Куэтта или течение Пуазейля в трубе [Boberg & Brosa, 1988].

Глава 9

Пути к хаосу и турбулентность

Снова наступает хаос.

Отелло, III, 3

В этой главе будут сведены воедино некоторые общие свойства возникновения хаоса и турбулентности. Теория динамических систем и, в частности, теория бифуркаций и хаоса дает математическое описание, при помощи которого можно качественно интерпретировать переход к турбулентности, не загромождая свой ум множеством подробностей. Это описание вместе с физическими соображениями, относящимися к механике перехода, могут быть использованы для понимания сущности неустойчивости течений, геометрия которых может быть настолько сложна, что соответствующее решение нельзя найти иначе, как численными методами. Динамика жидкостей, однако, сильно различается и детали перехода к турбулентности зависят от свойств предыдущих переходов, которым подвергалось течение и, поэтому, подобные детали могут быть определены только при помощи аккуратных экспериментов и методов вычислительной гидродинамики отдельно в каждом случае.

9・1・ Эволюция течений при увеличении числа Рейнольдса

Детали перехода к неустойчивости являются не только очень сложны- ми，но и сильно меняются от течения к течению, так что нет никакой возможности представить краткую сводку всех возможных переходов. Тем не менее, имеется ряд единообразных фактов в теории, а некоторые пути к турбулентности естественным образом характерны для

234 Fn. 9・ Цутн к хаосу н тур®лентностЕ многих течений, даже если физические механизмы одного и того же пути могут различаться от течения к течению.

Одним из главных фактов является то, что при увеличении числа Рейнольдса (числа Релея, числа Тейлора или любого другого параметра, измеряющего скорость класса динамически подобных течений данной стационарной конфигурации), временная и пространственная сложность наблюдаемых течений часто увеличивается в результате последовательности бифуркаций вплоть до возникновения турбулентности. Каждая бифуркация знаменуется возникновением неустойчивости одного течения и приводит к формированию другого устойчивого течения, стационарного или нестационарного. Эта идея, восходящая к теории Ландау [Landau, 1944] и экспериментам Малкуса [Malkus, 1954], который интерпретировал таким образом свои измерения для нелинейной конвекции Релея-Бенара при увеличении числа Релея, впоследствии развивалась и совершенствовалась многими другими авторами.

Проследим эволюцию устойчивых течений данной стационарной ограниченной конфигурации, когда число Рейнольдса R увеличивается квазистатически. При 兄=0 имеем течение Стокса, которое стационарно и единственно. Теорема Серрин^ утверждает, что когда R достаточно мало, стационарное течение устойчиво и единственно. При увеличении й могут возникнуть другие устойчивые течения. Бенджамин [Benjamin, 1976] показал (при помощи теории степени отображения Лере-Шаудера (Leray-Shauder)), что в случае общего положения (по-крайней мере для тех значений Я, где не происходит бифуркации) имеет место нечетное количество стационарных течений. Таким образом, могут возникать точки поворота, транскритические бифуркации и вилообразные бифуркации, в результате которых рождаются множества стационарных течений при некоторых значениях R. Некоторые, все или никакие из этих стационарных течений являются устойчивыми. Бенджамин и Муллин [Benjamin & Mullin, 1982], например, наблюдали 20 различных устойчивых стационарных множеств вихрей Тейлора в различных экспериментах при вращении пары цилиндров с довольно малым зазором и одинаковыми угловыми скоростями, а также выявили 19 сосуществующих неустойчивых стационарных решений. Множество устойчивых вихрей Тейлора, наблюдаемых в данном эксперименте, зависит от того, как эксперимент поставлен, т. е. от того, каковы начальные условия и каким образом достигаются предписанные значения угловых скоростей цилиндров.

Если при увеличении R стационарное решение становится неустойчивым и Re(s) = 0 и Im(s)二 0, то ожидается точка поворота в случае общего положения. В исключительном случае может оказаться транскритическая или вилообразная бифуркации; если течение обладает отражательной симметрией, то следует ожидать вилообразную бифуркацию. Если, однако, там, где стационарное решение теряет

g.I. Звлкщт теаенн近 лрн увелнаендгн 皿ела Рейнольдса 235 устойчивость Re(s) = 0 и Im(s) / 0, то ожидается бифуркация Хоп- фа и ответвление либо надкритического устойчивого периодичного п0 времени решения при R > %, либо докритического неустойчивого периодического по времени решения при R < Rc. Например, надкритическая бифуркация Хопфа возникает, когда спутный след за тупым телом становится неустойчивым и образуется вихревая дорожка; другая бифуркация возникает, когда вихри Тейлора становятся волнистыми. Это показывает практическую важность справедливости или нарушения принципа обмена устойчивостей, несмотря на то, что этот принцип может казаться не важным в контексте только линейной теории. Исчезновение или наличие Im(s) при маргинальной устойчивости определяет факт происхождения бифуркации к стационарному или периодичному по времени течению; вид слабой нелинейности на границе устойчивости далее определяет тип бифуркации, является ли эта бифуркация надкритической или докритической и т. д.

После надкритической бифуркации Хопфа развивается устойчивое периодическое по времени течение, когда R возрастает далее, и это течение может в конце концов стать также неустойчивым. Неустойчивость может быть определена математически при помощи линеаризации для малых возмущений периодического по времени решения с использованием теории Флоке (Floquet), которая играет такую же роль для неустойчивости периодических решений дифференциальных уравнений, какую играет метод нормальных мод для устойчивости стационарных течений. Периодические решения дифференциальных уравнений подвергаются параметрической неустойчив ости, так же как в методе нормальных мод, параметрически неустойчивые моды могут иметь новый период любой величины. Но общий тип параметрической неустойчивости возникает в результате субгармонического резонанса, который ведет к возникновению неустойчивых мод, имеющих удвоенный период периодического по времени течения. Если эта неустойчивость приводит к надкритической бифуркации, то при дальнейшем увеличении R развивается устойчивое квазипериодичес- 州ое течение (у которого имеются два или более главных периодов). Такое происходит, например, когда волнистые вихри Тейлора становятся неустойчивыми. (Иногда в результате субгармонического резонанса может развиваться устойчивое течение с периодом, равным Удвоенному периоду исходного периодического течения. Такое может произойти в случае конвекции Релея-Бенара в высоких ячейках). При дальнейшем увеличении R могут возникнуть неустойчивости и бифуркации, в результате которых появляется устойчивое течение с тремя главными частотами. В качестве альтернативы или при дальней- тем увеличении R может развиваться хаотическое течение; в спектре ①Урве хаотического течения отсутствуют острые пики при фундаментальных частотах, вместо этого имеет место широкая полоса частот, а корреляция между скоростями в данной точке в разные моменты вре-

мени быстро убывает при увеличении разности времен. (Для спектра Фурье берется временной ряд данной характеристики течения, например, компоненты скорости в данной точке при больших временах, и далее производится преобразование Фурье для нахождения величины компоненты каждой частоты).

Устойчивое течение, образующееся в результате первой бифуркации основного течения при увеличении числа Рейнольдса в физической литературе часто называется вторичным течением^ а его неустойчивость при второй бифуркации с увеличением числа Рейнольдса —вторичной неустойчив остью. Тогда основное течение до первой бифуркации следовало бы называть первичным течением^ а образовавшееся после первичной неустойчивости течение — вторичным течением. Например, если первая неустойчивость ведет к возникновению стоячей или бегущей волны, а сама эта волна становится неустойчивой к краеполосным (side band) или каким-либо другим резонансным волновым взаимодействиям, то это — вторичная неустойчивость. Часто первичная неустойчивость двумерного течения приводит к возникновению стационарной устойчивой двумерной волны (на практике чаще квазистационарной), а трехмерность возникает в результате вторичной неустойчивости, когда нарушается двумерная симметрия. Возникновение квазипериодического течения, следующего за периодическим течением, возникшим в качестве вторичного течения в результате бифуркации Хопфа основного течения, есть другая общая форма вторичной неустойчивости, снова дающей пример образования вихрей Тейлора.

Последовательные бифуркации обычно следуют одна за другой при уменьшающихся приращениях числа Рейнольдса, так что на практике эти бифуркации уже не удается различить. Нелинейные самовоздей- ствия неустойчивых мод генерируют гармоники, а нелинейные взаимодействия мод — субгармоники. Таким образом, при увеличении временной сложности течения при этой последовательности бифуркаций с увеличением R пространственная сложность обычно увеличивается также. Возникают движения на меньших масштабах длины и на более широких диапазонах этих масштабов. Представляется правдоподобным, что для любых данных динамически подобных течений, характеризуемых числом Рейнольдса, при достаточно больших R существует единственное статистически стационарное турбулентное течение, независимое от начальных условий; это было бы так, если бы существовал единственный аттрактор для больших значений R.

Если течение обладает некоторыми симметриями, то обычно они сначала нарушаются одна за другой при бифуркациях с увеличением Я, а в конце концов “восстанавливаются" в момент возникновения

2. Цутн к хаосу н тур^улентностЕ 237 турбулентности, так что среднее турбулентное течение имеет все эти симметрии [King & Stewart, 1991]; примером сужит нарушение симметрий вращения и сдвига в течении Куэтта между длинными коаксиальными цилиндрами. В действительности течение Куэтта является прекрасным прототипом течений с последовательностями бифуркаций в направлении перехода к турбулентности при увеличении числа Рейнольдса; Коулс [Coles, 1965] и Фенстермахер и др. [Fenstermacher et aZ., 1979] предприняли классическое экспериментальное исследование этого явления.

Описание перехода с точки зрения теории динамических систем дает полезное представление, но и доставляет риск чрезмерного упрощения, поэтому дополнительное описание перехода с физической точки зрения чрезвычайно важно. Однако физические механизмы сильно меняются от класса к классу основных течений. Механизмы перехода для некоторых основных течений, особенно параллельных и почти параллельных течений, также являются тонкими, а практическая реализация течения часто гораздо более сложна, чем его модель, идеализированная теоретиками. Так что переход необходимо описывать физически для каждого из различных классов основных течений, и у всех этих переходов совсем немного общего.

Переход, особенно для параллельных и почти параллельных течений, происходящий при помощи отличного от экспоненциального роста нормальных мод, называется “побочным переходом", его концепция и название были придуманы Морковиным [Morkovin, 1969]. Побочный переход может возникать вследствие докритической неустойчивости, когда отсутствует устойчивое течение, смежное основному течению в фазовом пространстве в окрестности пограничного значения числа Рейнольдса. Этот переход может иметь место в результате неустойчивости по отношению к возмущениям конечной амплитуды, когда основное течение устойчиво по отношению ко всем возмущениям бесконечно малой амплитуды; например, когда сильный мгновенный рост малых возмущений пограничного слоя ведет к полосатому возмущению, удлиняющемуся вниз по потоку, которое вызывает сильное нелинейное усиление.

9・2・ Пути к хаосу и турбулентность

Выше было упомянуто о том, что переход к турбулентности происходит вначале как последовательность бифуркаций. При завершающих стадиях гидродинамической неустойчивости имеет место возникновение хаотического течения с малым числом степеней свободы как, например, в явлении тепловой конвекции в ящике, нагретом снизу. Представляется возможным грубо охарактеризовать различные типы турбулентности. ^Фазовая турбулентность" с большим числом степеней

свободы, содержащая целый диапазон пространственных масштабов и являющаяся хаотичной по времени, имеет место, например, в явлении тепловой конвекции в сильно подогретом снизу тонком слое. Классическая ^турбулентность сдвигового течения^ (shear-flow turbulence), включающая широкий спектр волновых чисел, но содержащая когерентные пространственные структуры, имеет место, например, в канале или в трубе при довольно больших числах Рейнольдса. И наконец, приходится сталкиваться с турбулентностью при очень больших числах Рейнольдса, которая хаотична по времени и пространству с очень широким спектром волновых чисел, таким, что на малых масштабах течение изотропно с инерционной областью и вязким обрезанием, как, например, турбулентность вниз по потоку для быстрого обтекания решетки в большой аэродинамической трубе. Гидродинамическая устойчивость, однако, представляет собой явление, относящееся к развитию неустойчивости вплоть до возникновения фазовой турбулентности, так что не мы будем рассматривать далее последние стадии перехода.

Итак, мы обсудили некоторые пути к турбулентности при увеличении числа Рейнольдса R. Можно усмотреть некоторый порядок в беспорядочном наборе бифуркаций, и, по всей видимости, имеют место только несколько главных типов путей к турбулентности или, по крайней мере, к хаотическому течению. Представляется полезным привести краткое резюме, дополненное некотороми деталями.

Докритическая неустойчив ость. На этом пути устойчивое течение, стационарное, периодическое или квазипериодическое, становится неустойчивым при медленном увеличении и переходе R через критическое значение. Течение при этом быстро wnepe- скакивает" в турбулентное, которое не является непрерывным продолжением устойчивого течения для меньших значений Я. Подобное происходит, например, при вилообразной бифуркации с отрицательной постоянной Ландау; при этом течению некуда перейти в малой окрестности самого себя, так что оно должно измениться существенно и может быстро развиться в турбулентное течение (либо может перепрыгнуть в другое устойчивое стационарное течение с гистерезисом, если Я увеличивается, а затем уменьшается). Такое развитие турбулентности было по-другому названо “внезапным”, “быстрым” и “диким”. Для течения Пуазейля в трубе, плоского течения Пуазейля, плоского течения Куэтта и других течений в канале оказывается характерным такое внезапное возникновение турбулентности. Для таких течений это явление часто называется побочным переходом.

Путь Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Этот путь сначала был обозначен Рюэлем и Таккенсом [Ruelle & Takens, 1971], а затем пе-

ресмотрен Ньюхаузом и др. [Newhouse et аЦ 1978] при помощи использования теории динамических систем. Вдоль этого пути происходит последовательность бифуркаций при увеличени R, в результате которых некоторое стационарное течение может непосредственно или через другие стационарные течения стать периодическим по времени, затем квазипериодичным с двумя, а затем, может быть, тремя или даже четырьмя частотами, вплоть до появления хаотического течения, которое можно рассматривать как упорядоченное, если не как полностью развитое турбулентное. По-видимому, квазипериодические решения с пятью или большим числом главных частот неустойчивы, и поэтому подобные течения не наблюдаются. При увеличении R главные частоты, скажем, з】,32, могут изменяться и становиться рационально зависимыми, так что w2/^i есть отношение двух целых чисел; в этом случае частоты “запираются" и течение обращается в периодическое и остается периодическим при увеличении R до тех пор пока оно не станет неустойчивым и возникнет новое квазипериодическое течение. Таким образом З2/З1 может увеличиваться вместе с R “урывками” до тех пор, пока, в конце концов, не возникнет хаос.

Этот путь является достаточно общим для течений с положительной постоянной Ландау, например, для течения Куэтта между вращающихся цилиндров и конвекции Релея-Бенара. Переход является “медленным" по эволюции спектра: одна бифуркации следует за другой до тех пор, пока, в конце концов, не возникает турбулентность или, по крайней мере, хаос. Иногда при увеличении числа Тейлора возникает хаос, который затем заменяется квазипериодическим течением перед тем как, окончательно устанавливается турбулентность.

Удвоение периода. Иногда турбулентность или скорее хаос возникают после последовательности бифуркаций удвоения периода при увеличени R. Здесь в результате бифуркаций возникает последовательность периодичных по времени течений, когда период течения равен удвоенному периоду предыдущего течения. Подобное наблюдалось Либхабером и Маурером [Libhaber & Maurer, 1978] при конвекции Релея-Бенара в высоком ящике и было теоретически предсказано Фейгенбаумом [Feigenbaum, 1980] в достаточно общем случае.

Скачкообразный переход. На этом пути, который впервые был намечен математически Помо и Маневиллем [Pomeau & Manneville, 1980], периодическое течение становится неустойчивым при переходе R через критическое значение в сторону роста, при этом устойчивое периодическое течение сначала стано-

вится неустойчивым по отношению к возмущениям все меньшей и меньшей конечной амплитуды. При критическом значении Rc величины R устойчивое периодическое течение объединяется с неустойчивым периодическим движением (конечно, не наблюдаемым). Для малых положительных значений R — Rc это периодическое решение оказывается сохраняющимся большую часть времени (хотя оно более не является точным решением основных уравнений), но изредка прерывается “вспышками”, интенсивность которых не мала. При дальнейшем увеличении R — Rc вспышки возникают чаще, но сильно не изменяются по величине. Среднее время между вспышками стремится к бесконечности как (Я — Rc)"I/? при Я т Rc+・ Эта теоретическая идея, по-видимому, объясняет турбулентные пятна и нарушение ламинарности.

Упражнения

. Что определяет критическое значение безразмерного параметра для возникновения неустойчив ости ? Рассмотрим следующий физический довод, который можно бы было использовать перед подсчетом характеристик устойчивости. ^Безразмерный параметр, такой как число Рейнольдса или Релея, выделяющий класс динамически подобных течений, обычно предсталяет собой характеристическое отношение дестабилизирующих и стабилизирующих сил. Поэтому критическое значение параметра при возникновении неустойчивости основного течения, которое этот параметр определяет, могло бы предполагаться имеющим порядок величины 1”. Конечно, нет причин ожидать, что критическое значение параметра в точности равно единице, потому что определение безразмерного параметра обычно в некоторой степени произвольно. Тем не менее, в задачах, обсуждаемых в данной книге, критические значения изменяются от нуля до бесконечности, и многие из них имеют порядок величины тысяча. Почему так часто возникают такие большие критические значения?

(Этот вопрос задан скорее с целью вызвать размышления по данному поводу, чем для того, чтобы получить конкретный правильный ответ. Может оказаться полезным рассмотреть изменение критических значений числа Релея при перемещении горизонтальных плоскостей из положений z* = 0, d в положения z* = 0, 7rd в главе 6 о конвекции Релея-Бенара).

Глава 10

Случаи перехода к турбулентности

Ибо Я дал вам пример, чтобы и вы делали то же, что Я сделал вам.

Ин. 13, 15

Синтез

Введение

В данной книге планировалось описать важные общие понятия и методы теории гидродинамической устойчивости в первых главах, а в последних —применить эти понятия и методы к некоторым конкретным течениям. Рассматриваемые течения выбирались отчасти из-за простоты их математического описания, а отчасти — из-за их важности с точки зрения истории предмета (эти две причины связаны между собой) и их физической значимости. Многие из рассматриваемых задач являются сильно идеализированными; тем не менее, все эти задали имеют гораздо более широкую область применения, чем на первый взгляд можно было бы допустить, исходя из их точной формулировки. Теория конвекции Релея-Бенара, например, может быть использована не только для интерпретации неустойчивости бесконечно тонкого горизонтального слоя нагреваемой снизу жидкости, но и многих конвективных неустойчивостей течений, которые имеют локальное сходство с тонким слоем нагретой снизу жидкости. Теория вихрей Тейлора может быть использована для интерпретации неустойчивостей течений с кривыми линиями тока, как будто под действием локальной центробежной силы. Теория вихрей Гёртлера может использоваться при интерпретации локгшьных неустойчивостей течений с выпуклыми вихревыми линиями, так что этот механизм является дополнительным к механизму вихрей Тейлора и может быть применен, когда линии тока

или стенка “искривлены по-другому”. Теория неустойчивости параллельных течений с теоремой Релея о точке перегиба и задачей Орра- Зоммерфельда может быть использована для интерпретации неустойчивостей течений, которые являются близкими к параллельным, по крайней мере, локально; в действительности эта теория уже была использована для интерпретации неустойчивых пограничных слоев, струй и свободных сдвиговых слоев. Использование перечисленных идеализированных задач для интерпретации неустойчивостей более сложных течений является важным, но нелегким делом, до тех пор пока не будет накоплен опыт в изучении гидродинамической неустойчивости.

Классические задачи теории гидродинамической устойчивости были поставлены и решены частично в силу их простоты, и частично из-за их физической важности. Простота этих задач была обусловлена временной и пространственной симметриями, которые приводят к возможности рассматривать задачи линейной устойчивости, сводящиеся к задачам на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений, а не для уравнений в частных производных. Без этого сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям задачи гидродинамической устойчивости не могли бы быть решены до появления суперкомпьютеров в восьмидесятых годах прошлого века. Простота этих линейных задач, в свою очередь, позволяет предпринимать слабонелинейный анализ неустойчивости. Тем не менее, на пути перехода к турбулентности при возрастании от нулевого значения числа Рейнольдса, числа Релея, или какого-либо другого параметра, возникающие задачи могут быть решены только при помощи методов вычислительной гидродинамики. Таким образом, компьютер был “двигателем" многих недавних продвижений в этой области. В то же самое время, понимание многих механических концепций и более простых задач является весьма полезным для интерпретации результатов лабораторных и вычислительных экспериментов.

Без умения использовать простые задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям в качестве моделей, волей- неволей приходится полагаться на лабораторные и вычислительные эксперименты вместе с качественной теорией динамических систем и разнообразными физическими аргументами. Эти аргументы могут быть основаны на более простых задачах гидродинамической устойчивости, для которых в качестве локальных приближений допустимо использование обыкновенных дифференциальных уравнений.

Изложив эти общие замечания, адресуемся к неустойчивостям двух важных течений, для которых задачи линейной устойчивости могут быть легко поставлены, но допускают решения только методами вычислительной гидродинамики. Соответствующий анализ будет предпринят с использованием всех доступных методов исследований, для лучшего понимания неустойчивостей и пути к турбулентности.

Неустойчивость течения за плоской пластиной при нулевом угле атаки

Использование физических аргументов и общих соображений трудно переоценить, тем не менее оно может привести к неправильным выводам при рассмотрении достаточно глубоких вопросов. Для иллюстрации вернемся к неустойчивости пограничного слоя Блазиуса на плоской пластине, рассматривая пограничный слой в потоке как единое целое (см. рис. 10.1). Заглянем для начала в [Van Dyke, 1982, Figs. 29-30] и [Homsy et al., CD2000, Video Library, “Flow Past a Flat Platew].

Рассмотрим далее идеализированный мысленный эксперимент по неустойчивости стационарного двумерного течения бесконечного однородного потока несжимаемой жидкости, имеющей кинематическую вязкость 〃 и скорость V за длинной тонкой пластиной длины L с нулевым углом атаки. Из динамического подобия следует, что такие течения характеризуются единственным безразмерным параметром, например, глобальным числом Рейнольдса Re = VL/v, Разумеется, могут быть скрытые переменные в реальном эксперименте вследствие дефектов, таких как ненулевая толщина пластины, форма передней и задней кромки, ее кривизна, легкий наклон пластины к набегающему потоку, входные и выходные условия в аэродинамической трубе конечной длины, сжимаемость воздуха, уровень турбулентности в набегающем потоке или даже нарушение справедливости уравнений Навье-Стокса на масштабе- длины, соизмеримом с размером молекул. Однако из обсуждений, приведенных в этой книге, ясно, что в идеальном эксперименте будет возникать последовательность бифуркаций при возрастании числа Рейнольдса Re от нулевого значения до бесконечности, начинающаяся с симметричного двумерного течения как глобально устойчивого аттрактора, ведущая к начальной неустойчивости (как в главе 2) и заканчивающаяся хаотической завихренностью и существенно трехмерной турбулентностью. Представляется очевидным, что первая бифуркация является надкритической бифуркацией Хопфа. Возмущения в спутном следе и в пограничном слое на пластине, как было обнаружено, распространяются вниз по течению, так что кажется вполне правдоподобным рассматривать неустойчивости в следе и в пограничном слое независимо во многих случаях, по крайней мере как хорошее приближение. Указанная глобальная точка зрения, противоречит точке зрения, представленной в главе 8 и опирающейся на построение теории неустойчивости параллельных и близких к параллельным течений. Локальные аргументы, основанные на теории пограничного слоя (справедливой, конечно, только если глобальное число Рейнольдса Re велико) использовались там для того, чтобы обосновать применение задачи Орра-Зоммерфельда, не принимая во внимание длину пластины вообще.

Рис. 10.1. Вид сбоку течения в постоянном потоке за плоской пластиной при нулевом угле атаки, когда Ке = 10 000: пограничный слой и спутный след (по [Van & Dyke, 1982, Fig. 29]; воспроизведено по разрешению ONERA)

В параграфе 8.5 было использовано локальное число Рейнольдса 冗二(2Vz*/〃)i/2, построенное по толщине 6 = (2i/z*/V)i/2 пограничного слоя для выбранного положения z*, и было найдено критическое число Яс * 520. Каким образом это значение определяет критическое значение глобального числа Рейнольдса Яе? Следует предположить, что неустойчивость возникает, когда локальное число Рейнольдса на задней кромке z* = Е приблизительно равно 520 и, таким образом, критическое значение Яе имеет порядок величины 5202/2 2 135 000. Для скорости потока V = 1 м/с при комнатной температуре и давлении это дает маргинальную устойчивость для пластины длины L 2 * 0.14 м, если пластина обтекается водой, и Е 2 2 м, если пластина обтекается воздухом. Все это подробно изложено во многих учебниках по теории пограничного слоя (см., например, [Batchelor, 1967, параграф 5.8]).

Общепризнано, что такая аргументация является грубой и ее следует использовать для получения оценок по порядку величины и для анализа качественных механизмов. Такое рассмотрение не принимает во внимание ни сложной стуктуры пограничного слоя на задней кромке, ни, что более важно, следа за пластиной. Полутолщина следа может быть отождествлена с толщиной пограничного слоя на задней кромке и, таким образом, имеет порядок величины (uL/2V)1^21 а критическое значение числа Рейнольдса спутного следа приблизительно равно 4 и наиболее неустойчивые моды являются длинными

I0・L Синтез 245 синусоидальными волнами (см. параграф 8・7)・ Тогда след становится неустойчивым по отношению к синусоидальным возмущениям, когда У(2〃Е/Р)"2/〃 Q 4, I * Re « 8, что значительно меньше, чем 135 000. Это наводит на мысль о том, что неустойчивость течения рколо пластины возникает из-за локальной неустойчивости течения в следе с критическим числом Re * 8, а не в результате появления ^олн Толлмина-Шлихтинга на пластине, и что волны Толлмина- Шлихтинга возникают при гораздо больших значениях 冗。как чисто локальная неустойчивость. Визуальные наблюдения неустойчивости течения около пластины [Taneda, 1959] дают синусоидальные возмущения в кормовой части пластины при критических значениях Re на три или четыре порядка меньших, чем 135 000, что позволяет предположить, что неустойчивость спутной струи является механизмом первой бифуркации Хопфа течения при увеличении Re от значения, равного нулю. Этот факт согласуется с интуитивными доводами главы 8, состоящими во том, что невязкий механизм неустойчивости течений с точками перегиба оказывается существенно более сильным, чем вязкий механизм неустойчивости Толлмина-Шлихтинга без них. Однако эксперимент, приближенный к идеализированному, нелегко реализовать в лабораторных условиях, и, кажется, окончательное критическое число Рейнольдса Re еще не найдено до сих пор. Из экспериментов в аэродинамической трубе [Schubauer & Skramstad, 1947; KlebanofF et 叫 1962]; Kachanov et 叫 1975] и многих других, становится ясным, что локальное приближение задачи Орра-Зоммерфельда действительно хорошо представляет возникновение неустойчивости течения для потока с низким уровнем турбулентности за пластиной. Для большинства этих экспериментов R》Re, а теория Орра-Зоммерфельда используется не столько для того, чтобы найти, устойчиво течение или нет, сколько для того, чтобы определить, где, почему и как течение стало локально неустойчивым. Около передней кромки течение близко к установившемуся (вследствие условий прилипания на пластине) ,так что локальное число Рейнольдса мало и локально течение хорошо аппроксимируется течением Стокса; отсюда следует, что течение является локально устойчивым (хотя не является близким к параллельному) на некотором расстоянии вниз по течению от передней кромки. Но по мере того, как пограничный слой становится толще вниз по потоку, течение приближается к почти параллельному и в некотором положении локальное число Рейнольдса согласно теории Орра-Зоммерфельда достигает своего критического значения, и следует ожидать, что неустойчивость будет расти вниз по потоку от этого положения или в его окрестности. Частично этот вопрос обсуждался в параграфе 8.5, но детали сложны и до сих пор являются предметом исследования.

* Явный парадокс, состоящий в том, каким образом существование континуума локальных неустойчивых мод, например, в спутном

следе или пограничном слое, соотносится с дискретными глобальными модами течения как целого был объяснен в работах [Stone, 1969] и [Drazin, 1974] для некоторых простых задач. Авторы этих работ связали локальные моды медленно меняющегося течения с глобальной задачей, используя приближение ВКБ. Гент и Лич [Gent & Leach, 1976] удачно применили эту идею к бароклинной неустойчивости течения в различным образом нагреваемых вращающихся кольцах, предполагая, что течение почти параллельно. Впоследствии, Хуэрр и Мон- кевитц [Huerre & Monkewitz, 1990] развили этот подход и успешно применили его ко многим почти параллельным течениям.

Переход течения с однородным потоком за телом плохо обтекаемой формы

Неустойчивость течения с однородным потоком за плохо обтекаемым телом в чем-то качественно подобна неустойчивости за тонким телом, но разделение течения грубым телом ведет к развитию “правильно- row спутного следа, поперечное сечение которого подобно поперечному сечению тела перпендикулярно потоку. В аэродинамике пограничный слой на плохо обтекаемом теле и его неустойчивость особенно важны, потому что положение точки разделения влияет на размер спутного следа и, следовательно, на сопротивление тела. В действительности неустойчивость часто инициируется, скажем, при проходе проволоки, когда создаются возмущения значительных амплитуд, для того чтобы сделать пограничный слой турбулентным как можно дальше вверх по потоку и, тем самым, уменьшить не благоприятный градиент давления в пограничном слое, задерживая разделение, и, следовательно, уменьшая лобовое сопротивление. Рассмотрим два примера однородного установившегося течения несжимаемой вязкой жидкости за телами плохо обтекаемой формы.

Течение за круглым цилиндром

Сначала изучим неустойчивость течения с однородным потоком несжимаемой вязкой жидкости около круглого цилиндра. Нет лучшего способа начать исследование, нежели взглянуть на последовательность картинок течения при возрастании числа Рейнольдса от нулевого значения. Вы могли бы начать с рассмотрения картинок в вашем любимом учебнике (например, в книге [Batchelor, 1967, Figs. 4.12.1, 4.12.6, 5.11.4] и рис. 10.2 в настоящей книге. См. также [Van Dyke, 1982, рр. 4-5, Figs. 6, 24, 40-48, 94-98; Nakayama, 1988, р. iii, х в цвете, Figs. 1-9] и [Homsy et al,, CD2000, Video Library^ “Flow Past a Cylinder*

Рис. 10・2・ Течение с однородным потоком за круглым цилиндром при R = 140. Течение направлено справа налево; показана вихревая дорожка в спутном следе цилиндра (по [Van Dyke, 1982, Fig. 94]; воспроизведено с разрешения профессора Садатоши Танеда (Sadatoshi Taneda))

Можно заметить, что для очень маленьких значений числа Рейнольдса течение является симметричным в носовой и кормовой частях цилиндра, также как вверх и вниз в перпендикулярном направлениях. Картина течения выглядит не только стационарной, но и очень устойчивой. Когда число Рейнольдса, например, R = VD]v、где V — скорость свободного потока, a D — диаметр цилиндра, увеличивается до приблизительно 1, симметрия перед носом и за кормой цилиндра визуально нарушается. Когда Я возрастает до приблизительно 10, течение визуально разделяется на пару рециркуляционых вихрей с подветренной стороны цилиндра. При дальнейшем росте R линии раздела движутся вверх по течению и растут в длину как спутный след, но течение остается стационарным и сохраняет свою симметрию между верхней и нижней частями. Однако когда Я возрастает до Яс, где Яс 45, течение становится нестационарным и вихри начинают осциллировать. Для потока со скоростью У = 1 м/с при комнатных температуре и давлении реализуется маргинальная устойчивость для цилиндра диаметром длины Е * 0, 045 мм, если в качестве жидкости берется вода, и длины Е * 0, 7 мм, если в качестве жидкости берется воздух. Возникновение периодического по времени течения свидетельствует о надкритической бифуркации Хопфа. По мере того, как Я растет, вихри срываются попеременно с разделяющих линий тока, расположенных выше и ниже цилиндра, формируя в спутном следе то, ато фон Карман [Karman, 1911] назвал вихревой дорожкой. Вихревая Дорожка обладает симметрией бегущей синусоидальной моды. Все это

подробно описано во многих учебниках по теории пограничного слоя (см. например, [Batchelor, 1967, параграфы 4.12, 5.11], и рис. 10.3). Когда R возрастает до приблизительно 200, развивается вторичная неустойчивость, по мере того как нарушается двумерность течения и вихревая дорожка начинает распадаться. Когда R становится приблизительно равной 1000, течение на цилиндре и вверх по потоку от передней части цилиндра выглядит ламинарным, являясь гладким и вполне установившимся с различаемым пограничным слоем на цилиндре, но течение в спутной струе является турбулентным, будучи хаотическим, существенно трехмерным и сильно диффузионным. Можно видеть, что на больших масштабах течение все еще сохраняет характер вихревой дорожки, не становясь полностью нерегулярным, представляя собой еще один пример когерентной структуры. По мере дальнейшего увеличения R структура турбулентного течения становится более мелкой.

Конечно, свойства такого сложного пространственного течения не могут быть описаны просто несколькими обыкновенными дифференциальными уравнениями и для получения количественных результатов необходимо проводить лабораторные и численные эксперименты. Тем не менее, можно использовать расчеты неустойчивости пограничного слоя на цилиндре и аппарат качественной теории бифуркаций, чтобы получить некоторое - представление об экспериментальных результатах. Следует понимать, что не существует лабораторных экспериментов, которые являются точно двумерными и даже численный эксперимент не может быть предпринят для бесконечной области течения, так что результаты аккуратных экспериментов могут немного отклоняться от идеала и немного изменяться от эксперимента к эксперименту в зависимости от соотношения масштабов канала, условий вдали от цилиндра и т.д. Имея все это в виду, вернемся снова к сценарию, когда число Рейнольдса возрастает от нулевого значения, и дадим более детальное его описание.

При Я = 0 реализуется течение Стокса, которое единственно, и поэтому имеет все типы симметрий — стационарность, двумерность и симметрию верх-низ; это течение также обратимо по времени и таким образом имеет симметрию нос-корма. Теорема Серрина показывает, что это течение устойчиво (хотя теорема строго применима только к ограниченным течениям) для малых значений Рейнольдса R > 0. Для 0 < Я < jRc имеется устойчивое ламинарное двумерное течение с симметрией верх-низ. Симметрия между носовой и кормовой частями разрушается при Я, отличном от нуля, и формируется спутный след, который удлиняется по мере увеличения R. При R = Rc начальное течение становится неустойчивым при бифуркации Хопфа, когда теряется стационарность. Симметрия верх-низ в любой данный момент нарушена, но течение в некоторый момент времени является зеркальным отражением течения на пол-периода раньше в централь-

Рис. 10.3. Схемы режимов течения с однородным потоком за круглым цилиндром. (a) R《1: неразделенное течение, обладающее симметрией верх- низ, и не совсем — симметрией нос-киль, (б) 6 < R < Rc = 46: разделенное течение, обладающее симметрией верх-низ. (б) К а 50: периодическая по времени вихревая дорожка, (а) R а 100: распространение вихрей в двумерном нестационарном течении. (8) К》100: турбулентное трехмерное течение (по [Jackson, 1987, Fig. 1])

ной плоскости. Численный расчет Джексона [Jackson, 1987] линейных характеристик устойчивости дает R « 46, в .то время как лабораторные эксперименты [Provansal et 瓜.,1987] дали диапазон значений Rc от 47 до 123 в зависимости от соотношения масштабов цилиндра; оба исследования подтвердили количественно некоторые детали бифуркации Хопфа для комплексного уравнения Ландау. Вычисления линий тока в различные моменты времени в течение одного периода течения для малых Я — jRc > 0 [Jakson, 1987] показаны на рис. 10.4. Для Rc < R < Яг» например, существует устойчивое ламинарное периодическое по времени течение с распространяющимися вихрями, присоединенные вихри формируют вихревую дорожку в спутном следе за цилиндром. Период течения может быть вычислен с помощью числа Струхаля (Strouhal), St = fD/V, где / — частота вихревой дорожки. По мере того, как R растет, S力 растет медленно от примерно 0,13. При R= R2 вторичное течение само становится неустойчивым, с возникновением третьего измерения в вихревой дорожки. Эксперименты показывают, что 冗2 * 200. Вильямсон [Williamson, 1996] установил последующие режимы в диапазоне больших чисел Рейнольдса.

При R * 260 возникает другая трехмерная мода неустойчивости в спутном следе. По мере роста R трехмерное течение в следе становится все больше неупорядоченным и развивается мелкомасштабная структура. При R ^ 1000 отдельные сдвиговые слои за цилиндром, где течение отделяется от цилиндра, порождают неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, которая принципиально двумерна. Спутный след цилиндра остается турбулентным, но когерентная структура вихревой дорожки продолжает существовать. Вильямсон также обнаружил начало локальной неустойчивости пограничных слоев на цилиндре, когда R * 200 000. Можно видеть, что даже для такого казалось бы простого течения имеет место очень сложный сценарий неустойчивостей и перехода к турбулентности при возрастании числа Рейнольдса. Результаты численных и лабораторных экспериментов не описываются какой-либо теорией настолько хорошо, как этого хотелось бы математику, но путь к турбулентности, по-видимому, описывается моделью Рюэля-Такенса-Ньюхауза.

Возмущения распространяются главным образом вниз по потоку, так что имеет смысл говорить о неустойчивости пограничного слоя на цилиндре отдельно от неустойчивости спутного следа. Действительно, в целом проблема неустойчивостей течений около плохо обтекаемого тела не может быть изучена методами, отличными от численных и лабораторных экспериментов, поэтому очень хотелось бы рассогласовать неустойчивости в спутном следе и пограничных слоях, чтобы получить некоторое понимание процесса перехода. Пограничный слой на искривленном теле, таком как цилиндр, является более сложным, чем пограничный слой Блазиуса на плоской пластине, потому что градиент давления изменяется вниз по течению, но при

помощи наблюдений и теоретически было найдено, что при больших значениях числа Рейнольдса сход линий тока на цилиндре происходит при углах ±0 от передней точки торможения, где 0 а 80°. Согласно теории безвихревого течения около цилиндра внешнее течение по отношению к пограничному слою на цилиндре имеет скорость 2V sin 0 при угле 仇 отсчитываемом от передней точки торможения. Отсюда получаем грубую оценку для порядка толщины пограничного слоя 6 = (〃Z>e/V)i/2. Поэтому локальное число Рейнольдса достигает критического значения 520 в двух точках схода, когда R * 135 000, что опять грубо согласуется с наблюдениями.

10・2・2・ Течение за сферой

Далее изучим неустойчивости течения с однородным потоком за сферой. Можно было бы начать изучение с рассмотрения картинок в вашем любимом учебнике по гидродинамике (например, [Batchelor, 1967, Figs.4.12.8, 5.11.7]). Затем взглянуть на картинки в [Van Dyke, 1982, Figs. 7, 8, 26-28, 49-58] и [Homsy et 風，CD2000, Video Library, “Flow Past a Sphere” и Boundary Layers^ “Instability, Transition, and Turbulencew с подзаголовками “Flow over spheres: effect of Re” и “Tripping the boundary layerw]. Сценарий развития неустойчивостей при возрастании числа Рейнольдса от нулевого значения напоминает сценарий для течения за цилиндром. Но при интерпретации этих картинок следует помнить, что конфигурация течения за сферой является осесимметрической, а не двумерной. Таким образом, имеется установившееся вторичное течение, и не вихревая дорожка, а периодически распространяющиеся кольцевые вихри являются третичным течением.

Определим снова Я 二 VL/u, где L — диаметр сферы. При Я =： 0 существует единственное устойчивое стационарное течение Стокса, с симметрией нос-корма, а также осевой симметрией. Для 0 < Я<С 1 снова имеет место единственное устойчивое стационарное осесимметрическое течение, но без симметрии нос-корма. Визуальные наблюдения Накамуры [Nakamura, 1976] наводят на мысль, что реализуется разделение с обратным течением за сферой, которое возникает при R а 7, и надкритическая устойчивость при возникновении первичной неустойчивости при Re * 190, выше которого формируется вторичное нестационарное течение. Ким и Перлстайн [Kim & Pearlstem, 1990] посчитали основное стационарное течение, линеаризовали уравнения Навье-Стокса и определили характеристики устойчивости; они нашли первичную неустойчивость при Re * 175 с наиболее неустойчивой колебательной модой, которая имеет азимутальное волновое число n = 1. Однако Натарьян и Акривос [Natarajan & Acrivos, 1993], аналогичным образом вычислив характеристики устойчивости, нашли первичную неустойчивость, удовлетворяющую принципу обмена

устойчивостей, при Re ^ 210, с наиболее неустойчивой стационарной модой, сосредоточеной в тороидальной области разделенного течения непосредственно за сферой, и имеющей азимутальное волновое число n = 1. Следующая наиболее неустойчивая мода имеет колебательный характер и становится неустойчивой, когда Re * 277, что, как предположили Натарьян и Акривос, может быть связано с началом отделения вихрей при вторичной неустойчивости. Танеда [Taneda, 1978] представил визуальные наблюдения течения при больших числах Рейнольдса.

Переход течений в расходящемся канале

Введение

Течение несжимаемой вязкой жидкости, движущейся стационарно в канале, представляет собой классическую задачу гидромеханики, изучение которой восходит к работе Леонардо да Винчи в пятнадцатом веке. Мы рассмотрим задачу или скорее круг задач и их приложений, используя результаты современных лабораторных экспериментов, численного моделирования и математических методов. Для понимания явления неустойчивости всех течений в расходящихся каналах важно иметь общий подход, а не только детальные и лабораторные и численные результаты для нескольких частных течений, которые говорят только о свойствах этих частных течений. Математические и физические идеи формируют этот подход для интерпретации лабораторных и численных экспериментов, а также для мотивации постановки новых экспериментов. Соби [Sobey, 2000, гл. 10] описал основные стационарные течения в расходящихся каналах, используя интерактивную теорию пограничного слоя и численное моделирование, а также дал описание бифуркаций этих течений; нарушение их симметрий дает пример того, что называется эффектом Коанда (Coanda).

Теория динамических систем наводит на мысль, что полезно рассмотреть ансамбль динамически подобных течений при возрастании числа Рейнольдса от нуля до бесконечности. Теорема Серрина [Senin, 1959] показывает, что имеет место единственное стационарное решение, когда R существенно мало и это решение представляет собой глобальный аттрактор. С возрастанием числа Рейнольдса происходит последовательность бифуркаций, ведущих к хаосу. Не идентифицируя хаос с турбулентностью, ожидаем, что хаотический аттрактор будет представлять собой турбулентность, когда R существенно велико.

Если канал имеет зеркальную симметрию (а, значит, инвариантен относительно группы преобразований Z?) в одной или двух плоскостях, то можно будет наблюдать сначала нарушение симметрии, а затем ее востановление при бифуркациях с ростом Я. Из теоремы Серрина следует, что течение при малых значениях числа R обладает всеми симметриями канала и вполне правдоподобно, что среднее турбулентное течение для любого достаточно большого значения Я также обладает всеми этими симметриями.

Качественные методы являются действенными для интерпретации лабораторных и численных экспериментов (см. рис. 10.5, 10.6 и 10.7). Зтн эксперименты ясно показывают возникновение надкритической вилообразной бифуркации и нарушение симметрии. В лабораторных экспериментах Соби и Дразина [Sobey & Drazin, 1986, Fig. 12] имеется очевидность последующей вилообразной бифуркации с нарушени-

ем симметрии в поперечном направлении и возникновения развитого трехмерного течения.

Асимптотические методы

Асимптотические методы можно использовать, если канал имеет либо почти параллельные стенки, либо почти плоские стенки (т. е. стенки малой кривизны), хотя ни один из этих случаев не покрывает практически важного резкого расширения канала с плоскопараллельными стенками. В первом случае течение локально подобно плоскому течению Пуазейля и при помощи задачи Орра-Зоммерфельда могут быть найдены характеристики устойчивости относительно малых возмущений с точностью до членов ведущего порядка асимптотики. Это есть классическая аппроксимация устойчивости почти параллельных течений, таких как пограничный слой Блазиуса, который был рассмотрен в параграфе 8.5. В последнем случае течение локально подобно течению Джеффри-Гамеля (см. пример 2.5) и аналогичный асимптотический подход может быть применен к исследованию течения в расходящимся или сходящимся канале [Fraenkel, 1962, 1963] и его устойчивости [Sobey & Drazin, 1986]. Использование предположения о том, что кривизна стенок канала мала, могло бы казаться очень ограничительным. Тем не менее, качественные результаты асимптотической теории применимы даже когда кривизна стенок не очень мала, таким образом теория течений Джеффри-Гамеля является более важной, чем представляется на первый взгляд.

Напомним (см. пример 2.5) классическую теорию Джеффри- Гамеля точных решений уравнений Навье-Стокса, которые описывают стационарное двумерное радиальное течение несжимаемой вязкой жидкости между твердыми плоскими стенками. Существует бесконечное количество таких течений для каждой пары значений основных безразмерных параметров — половинного угла а между двумя наклонными стенками и числа Рейнольдса

R = Q/2〃，

где Q — величина потока на единицу длины от линейного источника, расположенного в точке пересечения стенок. Было показано, что первичное течение Джеффри-Гамеля, которое симметрично и переходит в плоское течение Пуазейля при а = 0, для фиксированного а / 0 обладает докритической вилообразной бифуркацией с нарушением симметрии при увеличении R, когда R переходит через критическое значение, обозначаемое 兄2(а)・

Существуют серьезные технические трудности в задаче устойчивости течений Джеффри-Гамеля, так как оказывается невозможным разделить время и все пространственные переменные и, тем самым,

Рис. 10・5・ Результаты численного моделирования трех стационарных двумерных течений через резкое расширение слева направо при большом значении числа Рейнольдса (настолько большом, что следовало бы ожидать неустойчивость как асимметричных так и симметричных течений), (а) Симметричное течение (неустойчивое). (б) Асимметричное течение, (в) Другое асимметричное течение (по [Alleborn et at, 1997, Fig 8])Рис. 10・5・ Результаты численного моделирования трех стационарных двумерных течений через резкое расширение слева направо при большом значении числа Рейнольдса (настолько большом, что следовало бы ожидать неустойчивость как асимметричных так и симметричных течений), (а) Симметричное течение (неустойчивое). (б) Асимметричное течение, (в) Другое асимметричное течение (по [Alleborn et at, 1997, Fig 8])

Рис. 10・5・ Результаты численного моделирования трех стационарных двумерных течений через резкое расширение слева направо при большом значении числа Рейнольдса (настолько большом, что следовало бы ожидать неустойчивость как асимметричных так и симметричных течений), (а) Симметричное течение (неустойчивое). (б) Асимметричное течение, (в) Другое асимметричное течение (по [Alleborn et at, 1997, Fig 8])

Рис. 10・5・ Результаты численного моделирования трех стационарных двумерных течений через резкое расширение слева направо при большом значении числа Рейнольдса (настолько большом, что следовало бы ожидать неустойчивость как асимметричных так и симметричных течений), (а) Симметричное течение (неустойчивое). (б) Асимметричное течение, (в) Другое асимметричное течение (по [Alleborn et at, 1997, Fig 8])

свести задачу о линейной устойчивости к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Игле [Eagles, 1966] использовал приближение (упомянутое в начале этого параграфа) для почти параллельного течения, чтобы исследовать устойчивость течения Джеффри- Гамеля по отношению к временным нормальным модам в пределе при а —> 0. Предполагая течение локально-параллельным в любом данном положении, он нашел, решая задачу Орра-Зоммерфельда, что рост а от нуля (когда течения Джеффри-Гамеля является просто плоским течением Пуазейля) до малого положительного значения является сильным дестабилизирующим фактором. Эта дестабилизация целиком обусловлена изменением профиля скорости основного течения, потому что Игле пренебрег расходимостью линий тока. Однако Бенке с соавторами [Banks et aL, 1988, параграф 5] подвергли сомнению концептуальную основу использования стандартного метода нормальных мод в секторе без исключения областей, соответствующих г = 0,8.

Дин [Dean, 1934] обнаружил, что существует также расщепляемая задача на собственные значения в виде линейных обыкновенных уравнений для стационарных двумерных пространственных мод, взяв моДУ возмущения функции тока в виде

^(Л^) = Ке \гхф(в)].

(Ю.1)

Рис. 10.6. Течение в расходящимся канале. У становившееся течение воды, преимущественно слева направо, визуализировано с помощью маленьких частиц, (а) Низкое значение А. (б) Число R увеличено в пять раз (по [Nakayama, 1988, Fig. 112, 113]; воспроизведено с разрешения профессора Масанобу Ямамушу (Masanobu Yamamusu))

Здесь г, 0 являются полярными координатами, а Л, 0 должны быть определены как собственные решения. Отсюда следует, что мода растет или затухает в пространстве как exp [Re(Л) 1пг], осциллируя как exp [i 1ш(Л) 1пг]. Задача на собственные значения, как можно теперь показать, полагая 吵=田 + “' и линеаризуя вихревое уравнение (2.4) для малых возмущений 少，имеет вид

『V + [Л2 + (Л — 2)2] 0〃 + Д2(Л — 2产0 =

=А [(Л - 2)W (0〃 + Л?。) - 2财0 - AW"。] ,(10.2)

0(6) = "(6)二 0 при в = 土а,(10.3)

где Ф — функция тока основного течения, а штрих здесь обозначает дифференцирование по 仇 Назовем эту задачу задачей Дина (Pean). Имеют место два счетных семейства собственных значений Л с соответствующими собственными функциями 0・ Действительная часть Л дает алгебраическую скорость роста или затухания моды как функции г. Представляется, что условием пространственной устойчивости [Banks et 山・，1988] будет отсутствие роста возмущений вниз и вверх по потоку, так что Re (Л) < 0 для всех мод одного семейства и Re(A) > 2 для всех мод другого семейства для данных Ф, Я, а. (Хотя устойчивость и была определена в терминах временного роста малых возмущений, иногда говорят, что течение является пространственно устойчивым, если все стационарные малые возмущения затухают по пространству). Это дает критерий для неустойчивости по отношению к стационарным двумерным возмущениям, но, конечно, ничего не говорит об осциллирующих по времени возмущениях, т.е. о нормальных модах, которые не подчиняются принципу обмена устойчивостями, а также и о трехмерных возмущениях. Бэнкс с соавторами [Banks

Рис. 10.7. Течение в расходящимся канале с плоскими стенками и полууглом а = 10° при R = 300. У становившееся течение воды преимущественно слева направо, главным образом, визуализируете仪 с помощью линии пузырьков кислорода, которые производились через восемь секундных интервалов в каждом из четырех положений (по [Nakayama, 1988, Fig. 105]; воспроизведено с разрешения профессора Ясуки (Yasuki) Накаяма)

et а/・, 1988] нашел таким способом, что расходимость течения является сильным дестабилизирующим фактором, а сходимость — сильно стабилизирующим. Сравните две фотографии на рис. 10.8.

МакАльпин и Дразин [McAlpine & Drazin, 1998] удовлетворили линеаризованному уравнению завихренности нестационарного двумерного течения асимптотически при больших г, выбрав моды в виде

“(т, 0,力)=Re {exp [ik (a"1 Inr — ct/a2r2)] f®)} ,(10.4)

где у = 0/а. Мотивом для их предположения послужило то обстоятельство, что экспонента, обратно пропорциональная квадрату г и пропорциональная 力 нужна для баланса членов d^/dt и △《'в возмущенном вихревом уравнении (где 彳‘ 一возмущение завихренности). Заметим, что удобна нормировка с на а2, для того чтобы впоследствии получить уравнение Орра-Зоммерфельда, гладким образом переходя к пределу при а Т 0. Это решение с разделенными переменными не удовлетворяет точно линеаризованному вихревому уравнению, но Удовлетворяет ему асимптотически при т Т оо и фиксированных 力 у. Отсюда следует, что

严—快2 +(6 + 2ia)2]尸 + k2(k + 2ia)2/ =

=LR {[(6 + 2ia)U- h](产一 Mf) - 6U〃f+

+2iaUff + 4iakc(k + ia)f} ,(10.5)

Рис. 10.8. (а) Течение цри резком сжатии. (6) Течение при резком расширении (по [Nakayama, 1988, Figs. 114, 115]; воспроизведено с разрешения профессора Масанобу Ямамушу)

где штрих обозначает дифференцирование ио у и U определена как U (у) = adW(0)/dg. Граничные условия дают

/®) = /'®) = 0 при У = ±1・(Ю.6)

Заметим, что при с = 0 и обозначении Л = ik/a уравнение (10.5) становится эквивалентным уравнению Дина (10.2), а когда а = 0 оно сводится уравнению Орра-Зоммерфельда:

产-2M尸 + 64f = ikR [(U - c)(尸-А2/) - U〃円.(10.7)

Заметим далее, что уравнение (10.4) дает классическую моду Орра- Зоммерфельда в виде

^(r,e,t)= Re p"(Jc*)f®)]

в пределе при а т 0 для фиксированных безразмерного расстояния вниз по потоку z = (г — го)/ато и локальной полуширины ат。канала в положении г = го. Таким образом, получено обобщение задач устойчивости Орра-Зоммерфельда и Дина для каналов с почти плоскими стенками.

МакАльпин и Дразин [McAlpine & Drazin, 1998] численно решили задачу на собственные значения (10.5), (10.6) для нескольких случаев и подтвердили сделанные ранее выводы о сильном стабилизирующем влиянии сходимости и сильном дестабилизирующем влиянии расходимости в канале. В этой задаче волны Толлмина-Шлихтинга задачи О рра-Зоммерфельда преобразуются непрерывно в моды Дина с уменьшением волнового числа возмущения и являются, таким образом, связанными с вилообразной бифуркацией течений Джеффри- Гамеля. Эти результаты также проливают свет на значительное изменение механизма неустойчивости вследствии даже легкого отклонения от параллельности стенок канала.

工0・3・3・ Некоторые парадоксы

Применяя теорию течений Джеффри-Гамеля к каналу с почти параллельными плоскими стенками, Соби и Дразин [Sobey & Drazin, 1986] предположили, что первая бифуркация с потерей симметрии происходит когда R = Rc, где

Ас * 冗2 шах[а(ж) + /?(ж)]

Параметры а, /? определяются как углы между касательными плоскостями к стенкам канала и плоскостью (ж, z) в положении ж; ось х направлена вдоль канала, вниз по течению, а ось г — в поперечном направлении. (Напомним, что Яг представляет собой значение R, где симметричное течение впервые становится неустойчивым, при вилообразной бифуркации течений Джеффри-Гамеля). Представляется, что этот критерий находит подтверждение в некоторых численных экспериментам, хотя и не было специально предпринято эксперимента для проверки этого критерия, когда он должен был бы выполняться (для каналов со стенками очень малой кривизны). Теория пространственной устойчивости [Banks et а，, 1988] показывает, что, когда R > Яс? нарушается принцип Сен-Венана и малые стационарные возмущения течения на входе или на выходе могут существенно влиять на течение во всем канале. Этот вывод подтверждается численными результатами [Dennis et aL, 1997]. Отсюда следует, что экспериментаторы должны жестко контролировать условия на входе и выходе, так как эти условия могут существенно влиять на их наблюдения и поэтому должны быть известны для того, чтобы повторить эксперименты.

Тем не менее при R〉兄 не существует симметричного или асимметричного течения Джеффри-Гамеля, представляющего наблюдаемые установившиеся течения в канале (см. рис. 10.5 (б)). Далее, течения Джеффри-Гамеля демонстрируют первую неустойчивость и нарушение симметрии при докритической вилообразной бифуркации, тогда как лабораторные и численные эксперименты дают первую неустойчивость и нарушение симметрии для надкритической вилообразной бифуркации, хотя эти эксперименты и не производились для малых полууглов а между стенками канала. Хамадиш с соавторами [Hamadiche et aZ., 1994] провел специальные численные исследования этой неустойчивости течения Джеффри-Гамеля в канале, который являлся сектором, ограниченным дугами малого и большого радиусов, и нашел неустойчивость при сверхкритической бифуркации Хопфа для некоторого диапазона значений угла а. Эти замечания указывают на то, что течения Джеффри-Гамеля не описывают течение в канале, если R〉&

Плоское течение Пуазейля, как хорошо известно из решения задачи Орра-Зоммерфельда, обладает докритической бифуркацией Хопфа при числе Рейнольдса Яс а 3848. (Заметим, что определенное здесь число Рейнольдса составляет две третях от числа Рейнольдса, определенного в параграфе 8.7: | х 5772 = 3848). Однако соответствующее приближающее течение Джеффри-Гамеля, как было показано в результате решения задачи Дина, обладает докритической вилообразной бифуркацией, когда R = 3848, если полуугол а составляет 0,07 градусов. Это очень маленький угол, который мало отличается от отклонения, которое допускается в промышленности при изготовлении каналов с параллельными стенками. МакАльпин и Дразин [McAlpine & Drazin, 1998] воспроизвели две различные моды неустойчивости, связанные с задачами Орра-Зоммерфельда и Дина, но не объяснили, почему докритическая вилообразная бифуркация происходит в расходящимся канале. Можно было бы добавить, что весьма правдоподобно, что если стенки канала приблизительно параллельны, т.е. если шахр[а(ж) + /?(ж)]《1, то реализуется бифуркация Хопфа, а не вилообразная бифуркация, но в настоящее время не существует ни теории, ни эксперимента, чтобы описать это качественное изменение в поведении системы, когда шаха?[а(ж) + /?(ж)] стремится к нулю.

Нелинейные волны

Татти [Tutty, 1996] при численном изучении установившихся двумерных течений в канале обнаружил некоторые замечательные волны, сочетающиеся в основной части с плоскими стенками (как в течении Джеффри-Гамеля), но более сложные на входе и выходе. Для нескольких пар значений полуугла а между плоскими стенками и числа Рейнольдса R он нашел течения, которые, по-видимому, приближенно периодичны по In г для больших значений г расстояния вниз по течению [Tatty, 1996, Figs. 7-10]. Такая стационарная волна описывается функцией тока, которая зависит как от г, так и от 0, и сосуществует с некоторыми течениями Джеффри-Гамеля, функции ток2 которых зависят только от 仇 Можно было бы предположить, опираясь на результаты численных экспериментов Татти, что эти волны являются устойчивыми, по крайней мере по отношению к двумерным стационарным возмущениям при соответствующих значениях a, R.

Керсуэлл с соавторами [Kerswell et al., 2002] пролили свет на свойства этих стационарных сильно нелинейных двумерных волновых возмущений течений Джеффри-Гамеля при помощи численных расчетов. Эти авторы обнаружили сложную структуру бифуркаций этих возмущений, используя метод интегрирования вдоль траекторий. Заметим, что в соответствии с наблюдениями, при увеличении числа Рейнольдса за критическое значение после первой бифуркации, нарушающей симметрию, короткий пакет подобных волн (см. рис. 10.5 (б)) развива-

ется вниз по течению в расширяющихся частях каналов, и в других упомянутых здесь экспериментах. Таким образом, волны Татти представляют собой интересное продвижение по сравнению с течениями Джеффри-Гамеля и их неустойчивостями на пути к хаосу и переходу к турбулентности в теории течения в расходящимся канале.

Выводы

Суммируя, можно сказать, что был описан существенный прогресс в понимании ранних стадий перехода к турбулентности для течений в каналах, сделанный за последние два десятилетия, однако понимание последующих стадий перехода еще слабое. Упомянутый прогресс дает практическую возможность качественно интерпретировать основные свойства течения в большом множестве каналов, при условии, что число Рейнольдса невелико. Изложенные идеи иллюстрируют более общо необходимость понимания устойчивости непараллельных течений. Представляется несомненным, что данные задачи о бифуркации и неустойчивости течений в каналах заключают в себе поучительный случай изучения гидродинамической устойчивости.

Упражнения

Неустойчив ость спутного следа и образование вихревой дорожки. Дано, что установившееся двумерное течение вокруг тела плохо обтекаемой формы с однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости формирует спутный след, который становится неустойчивым при бифуркации Хопфа и возрастании числа Рейнольдса выше критического значения. Течение, образовавшееся в результате бифуркации, выглядит при умеренных значениях числа Рейнольдса как вихревая дорожка, распространяющаяся от задней части тела в виде зигзагообразных рядов вихрей (с одинаковым и противоположным направлениями вращения, когда тело симметрично относительно плоскости, параллельной однородному потоку), которая стационарно распространяется вниз по течению.

Фон Карман [Karman, 1911] моделировал вихревую дорожку в спутном следе от симметричного тела как безвихревое течение невязкой жидкости около линии вихрей с циркуляцией « в точках (та + V力 |Ь) и —« — в точках ((п + ра + Vt, — ^b) в плоскости (z, у) при т, тг = 0,±1,±2,…и заданных постоянных расстояних а, Ь > 0 и некоторой постоянной скорости У.

Используя теорию плоского безвихревого течения, покажите, что скорость вихревой дорожки Кармана определяется выражением

V =(7r«/a)th(7r6/a).

Докажите,чтонестационарноетечение

имеет период a2/7r«th(7r5/a) по времени, а также период а по х. Изобразите линии тока при t = 0 [Lamb, 1932, параграф 156].

*Неустойчивость вихревой дорожки. Выбирая вихревую полосу из упражнения 10.1 в качестве основного течения, сместим вихри следующим образом: (ma + Vt + жш? |^> + 2/т)? ((п+ |)а + +卜力 + 吸,—^6+風).Покажите (используя теорию Флоке для неустойчивостей периодических решений, если вы ее знаете), что выглядит вполне правдоподобным, если каждое линейное возмущение является суперпозицией мод

Мт = aм0，ут =例 im6,%=ad叱風=/?*叫

где 0 < ^ < 2тг без ограничения общности, и а, а', /3, /?'— некоторые функции t. (Если « = 0, то мода обладает той же самой длиной волны а по ж как и основное течение; если ^ = тг, мода является субгармонической, но изменение фазы ф моды на длине волны а может составлять любой угол).

Предполагая, что имеется двумерное безвихревое течение около линии вихрей и линеаризуя бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают координаты каждого вихря в двух рядах вихрей по отношению к малым смещениям, покажите, что

a2 da.. a2 dZ?,~

—^- = —А/3 — Ва — С/3 , —■^- = —Act — Ca + B/3 ,

a2 do/ ,a2,

—TT^Aff-Ba^C^—与二 Aa^Ca^ B0,

/€ Qo/€

где

Л = i^(2?r — «) — 7r2sech2(fc7r),

В = i [m^sh fc(7r — «) sech (бтг) + Tr2sh(fc^)sech2(fcTr)],

С = 7r2ch(fc(^) sech2(fc?r) — тг^сЬ fc(7r — ^)sech(fcTr) и k = b/a.

Докажите, что приведенная выше мода может быть выражена в виде суммы двух типов независимых мод: симметричной моды с а' = а,夕=—/? и антисимметричной моды с а' = —а, /?' = /?. Полагая а, /? а е", покажите, что

^8/^ = 3±^-02)1/2

для антисимметричной моды и что подобная формула (с заменой В на —В) описывает симметричную моду. Докажите, что

вихревая дорожка является экспоненциально неустойчивой, если только равенство Ь = kca не выполняетя в точности, где кс = ?r-1ch-1(2-1/2) = 0,2806 [Lamb, 1932, параграф 156].

*Эволюция малых возмущений течения Джеффри-Гамеля во времени и по пространству. Уравнение завихренности для двумерного движения вязкой несжимаемой жидкости имет вид

@С I ia《次 dt т а(т, е)@С I ia《次 dt т а(т, е)="А&="А&

@С I ia《次 dt т а(т, е)

@С I ia《次 dt т а(т, е)

="А&

="А&

где 吵—функция тока, С = — △吵一завихренность, а лапласиан имеет вид △ = "/^戸 十 Q/rQr 十 "/户^严 в полярных координатах (г, 0). Взяв малые двумерные возмущения радиального течения, положите

吵= ^?" +少)， (ЕЮ.1)

где Ф(0) — решение задачи Джеффри-Гамеля (см. пример 2.5), линеаризуйте уравнение завихренности и граничные условия на фиксированных твердых стенках в = 士а и покажите, что

△' -R 出 + т de dr + № da @t + 丁4 d> 切 ‘ (E。⑵

吵z(t, 4%)=^^(T,4%)=0 при 0 = ±a,(E10.3)

где U = — △少一возмущение завихренности, число Рейнольдса определяется как R = Q/2〃 и используются безразмерные переменные (см. упражнение 2.13).

Положив для мод

吵(т,4%) = Re {exp [ifc (a-1lnr — ct/a2r2)] f®)} ,(E10.4)

где у = 0/a, к — действительное волновое число, а с — комплексная скорость, покажите, что

产-侥2 +(廿+ 2ь产]尸+廿岱+ 2ia)2/ =

=iR {[(fc + 2ia)U -砌(尸-炉『)-би〃/+

+2iaUf + 4iakc(k + ia)/}(E10.5)

в пределе при т т 8 для фиксированного t и, что

f ®)二尸®) = 0 при у = ±1,(ЕЮ.6)

где U(у) = ad屮(0)/d£ и штрих обозначает дифференцирование по у. Проверьте, что отсюда следует уравнение Орра- Зоммерфельда, если a = 0 и уравнение Дина (Е2.4), если с = О [McAlpine & Drazin, 1998].

Список литературы

Abramowitz, М. & Stegun, LA. (Editors) (1964) Handbook of Mathematical Functions, Appl. Math. Ser. No. 55 (Govt. Printing Office, Washington, D.C.; also Dover, New York, 1965). Рус. пер.: Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими табли- цами/Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. - М.: Наука, 1979.

Alleborn, N., Nandakumar, К., Raszillier, & Durst, F. (1997) Further contributions on the two-dimensional flow in a sudden expansion, J. Fluid Meeh. 330, 169-188.

Andereck, C. D., Liu, S. & Swinney, H. (1986) Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders, J. Fluid Meeh, 164, 155-183.

Baines, P.G. & Gill, A. E. (1969) On thermohaline convection with Бпеаг gradients, J. Fluid Meeh. 37, 289-306.

Baines, P.G., & Mitsudera, H. (1994) On the mechanism of shear flow instabilities, J. Fluid Meeh, 276, 327-342.

Baines, P.G., Majumdar, S. & Mitsudera, H. (1996) The mechanics of the Toll- mien-Schlichting wave, J. Fluid Meeh, 312, 107-124.

Banks, W.H.H., Drazin, P.G. & Zaturska, M.B. (1988) On perturbation of Jeffrey-Hamel flow, J. Fluid Meeh, 186, 559-581.

Barcilon, A. & Drazin, P.G. (2001) Nonlinear waves of vorticity, Studies Appl, Math, 106, 437-479.

Batchelor, G.K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics (Cambridge University press). Рус. пер.: Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. -М.: Мир, 1970.

Batchelor, G.K. & Gill, A.E. (1962) Analysis of the stability of axisymmetric jets, J. Fluid mech. 14, 529-551.

Bayly, В .J., Orszag, S.A. & Herbert, T. (1988) Instability mechanisms in shear-flow transition, Ann, Rev, Fluid Mech. 20, 359-391.

Beale, J.T., Kato, T. & Majda, A. (1984) Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-dimensional Euler equations, Commun, Math, Phys. 94, 61-66..

Bellman, R. & Pennington, R.H. (1954) Effects of surface tension and viscosity on Taylor instability, Quart. Appl. Math. 12, 151-162.

Benard, H. (1900) Les tourbillons cellulaires dans une nappe Hquide, Revue Gdn・ Sci. Pure Appl. 11, 1261-1271, 1309-1328.

Benjamin, T.B. (1976) Application of Leray-Schauder degree theory to problems of hydrodynamic stability, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 79, 373392.

Benjamin, T.B. & Mullin, T. (1982) Notes on the multiplicity of flows in the Taylor experiment, J. Fluid Meeh. 121, 219-230.

Bertolotti, F.P., Herbert, T. & Spalart, P.R. (1992) Linear and nonlinear stability of the Blasius boundary layer, J. Fluid Meeh. 242, 441-474.

Betchov, R. & Criminale, W.O. (1967) Stability of Parallel Flows (Academic Press, New York). Рус. пер.: Бетчов 尸.Вопросы гидродинамической устойчивости. - М.: Мир, 1971.

Boberg, L. & Brosa, U. (1988) Onset of turbulence in a pipe, Z, Naturforsch. 439, 697-726.

Bohr, N. (1909) Determination of the surface-tension of water by the method of jet vibration, Phil, Trans. Roy. Soc. bond. A 209, 281-317. Also in Collected Works 1, 29-65. Рус. пер.: Бор H. Определение коэффициента поверхностного натяжения методом колебания струи// В кн.: Бор Н. Избранные научные труды: Т. 1: Статьи (1909-1925). - М.: Наука, 1970.

Boussinesq, J. (1903) Theorie Analytique de la Chaleur (Gautheir-Villars, Paris).

Bouthier, M. (1973) Stabihte Бпёыге des ecoulements presque paralleles. Partie II. La couche limite de Blasius, J. Mec. 12, 75-95.

Briggs, R. J. (1964) Electron-Stream Interactions in Plasmas (M.I.T. Press, Cambridge, MA).

Brown, S. N. & Stewartson, K. (1979) On the secular stability of a regular Rossby neutral mode, Geophys. Astrophys, Fluid Dyn, 14, 1-18.

Burridge, D. M. (1970) The instability of round jets, Tech, Rep,, No. 29, Geophys. Fluid Dynamics Inst., Florida State University.

Busse, F. H. & Clever, R. M. (1979) Instability of convection rolls in a fluid of moderate Prandtl number, J. Fluid Meeh. 91, 319-335.

Busse, F. H. & Whitehead, J. A. (1971) Instabilities of convection rolls in a high Prandtl number fluid, J. Fluid Meeh, 47, 305-320.

Butler, К. M. & Farrell, B. F. (1992) Three-dimensional optimal perturbations in viscous shear flow, Phys. Fluids A 4, 1637-1650.

Campbell, L. & Garnett, W. (1882) Life of James Clerk Maxwell (Macmillan, London).

Carlson, D. E., Widnall, S. E. & Peeters, M. F. (1982) A flow-visualization study of transition in plane Poiseuille flow, J. Fluid Meeh. 121, 487-505.

Case, К. М. (I960) Stability of inviscid plane Coutte flow, Phys, Fluids 3, 143148.

Cesari, L. (1959) Asymptotic Behaviour and Stability Problems in Ordinary Differential Equations (Springer, ВегБп). Рус. пер.: Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивосить решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1964.

Chandrasekhar, S. (1961) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability (Oxford University Press).

Christopherson, D. G. (1940) Note on the vibration of membranes, Quart. J. Math. 11, 63-65.

Coles, D. (1965) Transition in circular Couette flow, J. Fluid Meeh, 21, 385425.

Colson, D. (1954) Wave-cloud formation at Denver, Weatherwise 7, 34-35.

Craik, A. D. D. (1971) Non-Бпеаг resonant instability in boundary layers, J. Fluid Meeh. 50, 393-413.

Craik, A. D. D. (1985) Wave Interactions and Fluid Flows (Cambridge University Press).

Craik, A. D. D. & Criminale, W. O. (1986) Evolution of wavehke disturbances in shear flows: a class of exact solutions of the Navier-Stokes equations, Proc, Roy. Soc. bond. A 406, 13-26.

Davey, A. (1962) The growth of Taylor vortices in flow between rotating cy- Hnders, J. Fluid Meeh. 1% 336-368.

Dean,W. R. (1934) Note on the divergent flow of fluid, Phil. Mag. 18(7), 759777.

Dennis, S. C. R・，Banks, W. H. H., Drazin, P. G. & Zaturska, M. B. (1997) Flow along a diverging channel, J. Fluid Meeh. 336, 183-202.

Donnelly, R. J. & Glaberson, W. (1966) Experiments on the capillary instabi- Hty of a liquid jet, Proc. Roy, Soc. bond. A 290, 547-556.

Donnelly, R. J. & Simon, N. J. (I960) An empirical torque relation for supercritical flow between rotating cylinders, J. Fluid Meeh, 7, 401-418.

Drazin, P. G. (1961) Discontinuous velocity profiles for the Orr-Sommerfeld equation, J. Fluid Meeh. 10, 571-583.

Drazin, P. G. (1974) On instability of slowly-varying flow, Quart, J. Meeh. Appl. Math, 27, 69-86.

Drazin, P. G. (1975) On the effect of side walls on Benard convection, Zeit, angew. Math. Phys. 26, 239-243.

Drazin, P. G. (1989) Internal gravity waves and shear instability, pp. 61-73 of Waves and Stability in Continuous Media, eds. A. Donato & S. Giambd (Editel, Italy).

Drazin, P. G. (1992) Nonlinear Systems (Cambridge University Press).

Drazin. P. G. & Reid, W. H. (1981) Hydrodynamic Stability (Cambridge University Press).

Eagles, Р. М. (1966) The stability of a family of Jeffery-Hamel solutions for divergent channel flow, J. Fluid Meeh. 24, 191-207.

Eliahou, S., Tomin, A. & Wygnanski, I. (1998) Laminar-turbulent transition in Poiseuille pipe flow subjected to periodic perturbation emanating from the wall, J. Fluid Meeh. 3 61, 333-349.

Ellingsen, T& Palm, E. (1975) Stability of linear flow, Phys. Fluids 18, 487488.

fbigenbaum, M. J. (1980) The transition to aperiodic behaviour in turbulent systems, Commun, Math, Phys, 77, 65-86.

Fenstermacher, P.R., Swinney, H. L. & Gollub, J. P. (1979)Dynamical instabilities and the transition to chaotic Taylor vortex flow, J. Fluid Meeh. 94, 103-123.

I^0rtoft, R. (1950) Apphcation of integral theorems in deriving criteria of instability for laminar flows and for the barochnic circular vortex, Geofys, Publ.f oslo 17(6), 1-52.

Fraenkel, L • E. (1962) Laminar flow in symmetrical channels with slightly curved walls. I. On the Jeffrey-Hamel solutions for flow between plane walls, Proc. Roy, Soc, bond, A 267, 119-138.

Fraenkel, L .E. (1963) Laminar flow in symmetrical channels with slightly curves walls. II. An asymptotic series for the stream function, Proc, Roy, Soc. bond. A 272, 406-428.

Gaster, M. (1962) A note on the relation between temporally-increasing and spatially-increeising disturbances in hydrodynamic stability, J, Fluid Mec五・14, 222-224.

Gaster, M. (1974) On the effects of boundary-layer growth on flow stability, J. Fluid Meeh. 66, 465-480.

Gent, P.R. & Leach, H. (1976) Baroclinic instability in an eccentric annulus, J. Fluid Meeh. 77, 769-788.

Goldstein, R. J. & Graham, D. L. (1969) Stability of a horizontal fluid layer with zero shear boundaries, Phys. Fluids 12, 1133-1137.

Goldstein, S. (1931) On the stability of superposed streams of fluids of different densities, Proc, Roy, Soc, Lond. A 132, 524-548.

GoJkov, L.P. (1957) Stationary convection in a plane liquid layer near the critical heat transfer point, Sov, Phys, JETP 6, 311-315; пер. на англ, ст.: Горьков Л. П, Стационарная конвекция в плоском слое жидкости вблизи критического режима теплопередачи, ЖЭТФ, - 1957, 33, 402-407.

Gortler, Н. (1940) Uber eine dreidimensionale Instabilitat laminarer Grenz- schichten an konkaven Wanden, Nachr. Ges. Wiss, Gottingen N.F. 1, No. 1, 1-26. Translated as “On the three-dimensional instabihty of laminar boundary layers on concave walls", Tech. Memor, Nat, Adv, Comm, Aero.t Wash. No. 1375 (1954).

Gregory, N., Stuart, J. T. & Walker, W. S. (1955) On the stability of threedimensional boundary layers with appheation to the flow due to a rotating disc, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond, A 248, 155-199.

Gull, S. F. (1975) The X-ray, optical and radio properties of young supernova remnants, Mon. Not. Roy. Astr. Soc. 171, 263-278.

Hall, P. (1983) The linear development of Gortler vortices in growing boundary layers, J. Fluid Meeh. 130, 41-58.

Hamadiche, M., Scott, J. & Jeandel, D. (1994) Temporal stability of Jeffery- Hamel flow, J. Fluid Meeh. 268, 71-88.

Hamel, G. (1916) Spiralformige Bewegungen zaher Flussigkeiten, Jber. dtsch. Math： Ver. 25, 34-60.

Harris, D. L. & Reid, W. H. (1964) On the stability of flow between rotating cyhnders. Part 2. Numerical'analysis. J. Fluid Meeh. 20, 95-101.

Harrison, W. J. (1908) The influence of viscosity on the oscillations of superposed fluids, Proc. bond. Math. Soc. 6(2), 396-405.

Haurwitz, B. (1931) Zur Theorie der Wellenbewegungen in Luft und Wasser, Veroff, Geofys. Inst. Univ, Leipzig 6, No. 1.

Heisenberg, W. (1924) Uber Stabilitat und Turbulenz von Flussigkeitsstromen, Ann. Phys,, Leipzig 74(4), 577-627. Translated as wOn stability and turbulence of fluid flowsw, Tech, Memor, Nat, Adv, Comm. Aero., Wash, No. 1291 (1951).

Helmholtz, H. von (1868) Uber discontinuirhche Flussigkeitsbewegungen, Monats. Konigl. Preuss, Akad. Wise,, Berlin 23, 215-228. Also in Wissenschaftliche Abhandlungen 1 (1882), 146-157. Translated as “On discontinuous movements of fluidsw, Phil. Mag, 3 6(4)(1868), 337-346. Рус. пер.: Гельмгольц Г. О прерывном движении жидкости// В кн.: Гельмгольц Г. Основы вихревой теории. - Москва-Ижевск: ИКИ, 2002, 41-51.

Helmholtz, Н. von (1890) Die Energie der Wogen und des Windes, Ann. Phys. 41, 641-662. Also in Sitz. Akad. Wiss,t Berlin 23, 853-872, and Wissenschaftliche Abhandlungen 3 (1895), 333-355. Translated as “The energy of the billows and the wind” by Cleveland Abbe, pp. 112-129 of The Mechanics of the Earthfs Atmosphere (Smithsonian Institute, Washington, D.C., 1891).

Herbert, T. (1988) Secondary instabihty of boundary layers, Ann. Rev. Fluid Meeh. 20, 487-526.

Herivel, J. W. (1955) The derivation of the equations of motion of an ideal fluid by Hamilton's principle, Proc, Camb. Phil, Soc, 51, 344-349.

Herron, I.H. (1987) The Orr-Sommerfeld equation of infinite intervals, SIAM Rev. 29, 597-620.

Hinch, E.J. (1973) Instabilities due to dissipation, Eureka 36, 17-18.

Hocking, L. M. (1975) Non-Бпеаг instability of the asymptotic suction velocity profile, Quart. J. Meeh. Appl. Math. 28, 341-353.

Horton, C. W. & Rogers, F. T. (1945) Convection currents in a porous medium, J. Appl. Phys. 16, 367-370.

Howard, L. N. (1961) Note on a paper of John W. Miles, J. Fluid Meeh, 10, 509-512.

Howard, L. N. (1964) The number of unstable modes in hydrodynamic stability problems, J. Mec. 3, 433-443.

Huerre, P. & Monkewitz, P. A. (1990) Local and global instabilities in spatially developing flows, Ann. Rev. Fluid Meeh, 22, 473-537.

Huerre, P. & Rossi, M. (1998) Hydrodynamic instabilities: open flows, Chapter 2, pp. 81-294, of Hydrodynamics and Nonlinear Instabilities, eds. C. Godreche & P. Mzunieville (Oxford University Press).

Hughes, T. H. & Reid, W. H. (1965) On the stability of asymptotic suction boundary-layer profile, J. Fluid Meeh, 23, 715-735.

Jakson, С. P. (1987) A finite-element study of the onset of vortex shedding in flow past variously shaped bodies, J. Fluid Meeh. 182, 23-45.

Jeans, J H. (1902) Stability of a spherical nebula, Phil Trans. Roy. Soc. Lond. A 199, 1-53.

Jeffery, G. B. (1915) The two-dimensional steady motion of a viscous fluid, Phil. Mag. 29(6), 455-465.

Joseph, D. D. (1965) On the stability of the Boussinesq equations, Arch, Rat. Meeh. Anal. 20, 59-71.

Joseph, D. D. (1968) Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation, J. Fluid Meeh. 33, 617-621.

Joseph, D. D. (1969) Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation. Part 2, J. Fluid Meeh. 36, 721-734.

Joseph, D. D. (1976) Stability of Fluid Motions (Springer-Verlag, ВегБп). Рус. пер.: Джозеф ”. Устойчивость движений жидкости. - М.: Мир, 1981.

Kachanov, Y. S. (1994) Physical mechanisms of laminar-boundary-layer transition, Ann, Rev, Fluid Meeh, 26, 411-482.

Kachanov, Y. S・，Kozlov, V. V. & Levchenko, V. Y. (1975) The development of small-amplitude oscillations in a laminar boundary layer, Fluid Meeh. Sov, Res. 8 (1979), 152-256. Рус.: Качанов Ю, С” Козлов В. B.f Левченко В. Я, Развитие колебаний малой амплитуды в ламинарном пограничном слое, Учен. зап. ЦАГИ, - 1975, 6(5), 137-140.

Karman, Т. von (1911) Uber den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Korper in einer Fliissigkeit erfahrt, Nachr. Ges. Wise. Gottingen, Math,-phys, Khsse, 509-517. Also in Collected Works 1 (1956), 324-330.

Kelly, R. E. (1967) On the stability of an inviscid shear layer which is periodic in space and time, J. Fluid Meeh. 27, 657-689.

Kelvin, W・(1871) Hydrokinetic solutions and observations, Phil. Mag. 42(4), 362-377. Also in Math. Phys. Papers^ IV (1910), 69-85.

Kelvin, W. (1880) On a disturbing infinity in Lord Rayleigh's solution for waves in a plane vortex stratum, Nature 23, 45-46. Also in Math, Phys, Papers^ IV (1910), 186-187.

Kelvin, W. (1887) Stability of fluid motion - rectilineal motion of viscous fluid between two parallel planes, Phil. Mag. 24(5), 188-196. Also in Math. Phys. Papers^ IV (1910), 321-330.

Kerswell, R. R・，Tatty, О. R. & Drazin, P. G. (2002) Spatially periodic steady flows of a viscous fluid between two inclined planes (to be pubished).

Kim, I. & Pearlstein, A. J. (1990) Linear stability of the flow past a sphere, J. Fluid Meeh. 211, 73-93.

King, G. P. & Stewart, I. N. (1991) Symmetric and chaos, pp. 257-315 in Nonlinear Equations in the Applied Science, eds. W. F. Ames & C. F. Rogers (Academic Press, New York).

Klaasen, G. P. & Peltier, W. R. (1985) The onset of turbulence in fiiiite-ampH- tude Kelvin-Helmholtz billows, J. Fluid Meeh, 155, 1-35.

Klebanoff, P. S・,Tidstrom, K. D. & Sargent, L. M. (1962) The three-dimensional nature of boundary-layer transition, J. Fluid Meeh, 12, 1-34.

Koschmieder, E. L. (1993) Benard Cells and Taylor Vortices (Cambridge University press).

Krasny, R. (1986) Desingularization of periodic vortex sheet roll-up, J. Com- putat, Phys. 65, 292-313.

Krishnamurti, R. (1973)Some further studies on the transition to turbulent convection, J. Fluid Meeh, 60, 285-303.

Krishnamurti, R. (1975) On cellular cloud pattern. Part 3.: Apphcability of the mathematical and laboratory models. J. Atmos, Set. 32, 1373-1383.

Lamb, H. (1932) Hydrodynamics^ 6th edn. (Cambridge University Press). Pyc. пер.: Ламб X, Гидродинамика. - М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

Landau, L. D. (1944) On the problem of turbulence, Dokl, Akad, Nauk SSSR 44, 311-314. Also in Collected Papers, ed. D. ter Haar (Pergamon, Oxford), 387-391; пер. на англ, ст.: Ландау Л. К проблеме турбулентности, ДАН СССР, -1944, 44, 339-342.

Landau, L. D. (1946) On the vibrations of the electronic plasma, J. Phys, USSR 10, 23-34. Also in Collected Papers, ed. D. ter Haar (Pergamon, Oxford), 445-460; пер. на англ, ст.: Ландау Л. О колебаниях электронной плазмы, ЖЭТФ. РАН.- 1946, 16, 574-586.

Landau, L. D. & Lifshitz, Е. М. (1987) Fluid Mechanics, 2nd edn. (Addison- Wesley, New York); пер. на англ.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М, Гидродинамика. -М.: Наука. Физматлит, 1986.

Lapwood, Е. R. (1948) Convection of a fluid in a porous medium, Proc. Camb. Phil. Soc 44, 508-521.

Leibovich, S. (1969) Stability of density stratified rotating flow, AIAA J, 7, 177-178.

Leibovich. S. (1979) Waves in parallel or swirhng stratified shear flows, J. Fluid Meeh. 93, 401-412.

Lewis, D. J. (1950) The instability of liquid surface when accelerated in a direction perpendicular to their planes, II, Proc. Roy. Soc. bond. A 202, 81-96.

Libchaber, A. & Maurer, L. (1978) Local probe in a Rayleigh-Вёnard experiment in liquid helium, J, Physique Lett, 3 9, L369-372.

Lin, С.С. (1955) The Theory of Hydrodynamic Stability (СатпЬпд^е University Press). Рус. пер.: Линь Цзя-цзяо Теория гидродинамической устойчивости. -М.: Изд-во иностр, лит., 1958.

Lin, S. Р. & Reitz, R. D. (1998) Drop and spray formation from a liquid jet, Ann, Rev. Fluid Meeh, 30, 85-105.

Lindzen, R. S. & Rambaldi, J. S. (1986) A study of over-reflection in viscous Poisetdle flow, J. Fluid Meeh, 165, 355-372.

Lorenz, E. N. (1963) Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos, Sci, 20, ISO- 141.

Lundgren, T. S. (1982) Strained spiral vortex model for turbulent fine structure, Phys, Fluids 25, 2193-2241.

Mack, L. M. (1976) A numerical study of the eigenvalue spectrum of the Blasius boundary layer, J. Fluid Meeh, 73, 497-570.

Malkus, W. V. R. (1954) Discrete transitions in turbulent convection, Proc. Roy, Soc. Lond, A 225, 185-195.

Malkus, W. V. R. & Veronis, G. (1958) Finite amplitude cellular convection, J. Fluid Meeh. 4, 225-260.

Matkowsky, B. J. (1970) A simple nonlinear dynamic stability problem, Bull, Amer, Math, Soc, 76, 620-625.

Maxwell, J. C. (1876) Capillary action, Encyclopedia Britannica^ 9th edn, 5, 59. Also in Sci. Papers 2 (1890), 587.

McAlpine, A. & Drazin, P. G. (1998) On the spatio-temporal development of small perturbations of Jeffery-Hamel flows, Fluid Dyn. Res, 22, 123-138.

Meksyn, D. & Stuart, J. T. (1951) Stability of viscous motion between parallel planes for finite disturbances, Proc, Roy, Soc, bond. A 208, 517-526.

Meseguer, A. & Trefethen, L. N. (2000) A spectral Petrov-Galerkin formulation for pipe flow. I. Linear stability and transient growth. Technical Report NA 00/18, Oxford University Computing Laboratiry.

Miles, J. W. (1961) On the stability of heterogeneous shear flows, Part 2, J. Fluid Meeh. 16, 209-227.

Morkovin, M. V. (1969)The many faces of transition, in Viscous Drag, ed. C. S. Wells (Plemun Press, New York).

Nakamura, I. (1976) Steady wake behind a sphere, Phys, Fluids 19, 5-8.

Nakayama, Y. (ed.) (1988) Visualized Flow (Pergamon, Oxford).

Natarajan, R. & Acrivos, A. (1993) The instability of the steady flow past spheres and disks, J. Fluid Meeh, 15% 323-344.

Neu, J. C. (1984) The dynamics of stretched vortices, J. Fluid Meeh, 143, 253276.

Newhouse, S・，Ruelle, D. & Takens, F. (1978) Occurence of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm,m > 3, Commun. Math, Phys, 64, 35-40.-

Nishioka, М., Iida, S. & Ichikawa, Y. (1975) An experimental study of the stability of plane Poiseuille flow, J. Fluid Meeh. 72, 731-751.

Nishioka, M” Asai, M. & Iida, S. (1980) An experimental investigation of secondary instability, pp. 37-46 in Laminar- Turbulent Transition^ eds. R. Eppler & H. Fasel (Springer-Verlag, Berlin).

Noether, F. (1921) Das Turbulenz problem, Z. angew. Math. Meeh. 1,125-138, 218-219.

Oberbeck, A. (1879) Ueber die Warmleitung der Flussigkeiten bei Berucksich- tigung der Stromungen infblge von Temperaturdifferenzen, Ann. Phys. Chem, 7, 271-292.

Oertel, H. & Kirchartz, K. R. (1979) pp. 355-366 In Recent Developments in Theoretical and Experimental Fluid Mechanics, eds. U. Midler, K. G. Roesnet & В. Schmidt (Springer-Verlag, Berlin).

Onsager, L. (1949) Statistical hydrodynamics, Nuovo Cimento 6(2), 279-287, suppl. ser. IX.

Orr, W. M'F. (1907a) Stability or instability of the steady motions of a perfect liquid, Proc, Roy, Irish Acad. A 27, 9-69.

Orr, W. M'F. (1907b) The stability or instability of the steady motions of a liquid, Proc, Roy, Irish Acad, A 27, 69-138.

Orszag, S. A. & Patera, A. T. (1983) Secondary instability of wall-bounded shear flows, J. Fluid Meeh, 128, 347-385.

Palm, E・，Weber, J. E. & Kvernold, O. (1972) On steady convection in a porous medium, J. Fluid Meeh. 54, 153-161.

Pearson, J. R. A. (1958) On convection cells induced by surface tension, J. Fluid Meeh. 4, 489-500.

Pekeris, C. L. (1936) On the stability problem in hydrodynamics, Proc. Camb, Phil. Soc. 32, 55-66.

Pellew, A. & Southwell, R. V. (1940) On maintained convective motion in a fluid heated from below, Proc. Roy, Soc, Lond, A 176, 312-343.

Pomeau, Y. & Manneville, P. (1980) Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems, Commun, Math. Phys. 74, 189-197.

Prandtl, L. (1921) Bemerkungen uber die Enstehung der Turbulenz, Z. angew. Math. Meeh. 1, 431-436. Also in Phys. Z・ 23 (1922), 19-25, and Gesammelte Abhandlungen 2, 687-696.

Prandtl, L. (1935) The mechanics of viscous fluids, in Aerodynamic Theory、 ed. W. F. Durand (Springer, ВегБп) 3, Division G, 34-208. Рус. пер. c нем.: Прандтль Л. Движение вязких жидкостей// В кн. Прандтль Л, Гидроаэромеханика. - М. - Ижевск: РХД, 2000, 142-347.

Provansal, М・，Mathis, С. & Boyer, L. (1987) Benard-Karman instability: transient and forced regimes, J. Fluid Meeh, 182, 1-22.

Raetz, G. S. (1959) A new theory of the cause of transition in fluid flows, Norair Rep. NOR-59-383, Hawthorne, CA.

Rayleigh, J. W. S. (1879) On the instability of jets, Proc. Lond, Math, Soc. 10, 4-13. Also in Sci, Papers 1, 361-371.

Rayleigh, J. W. S. (1880) On the stability, or instability, of certain fluid motions, Proc, bond. Math. Soc. 11, 57-70. Also in Sci. Papers 1, 474-487.

Rayleigh, J. W. S. (1883) Investigation of the character of the equihbrium of an incompressible heavy fluid of variable debsity, Proc, bond. Math. Soc, 14, 170-177. Also in Sci. Papers 2, 200-207.

Rayleigh, J. W. S. (1892) On the question of the stability of the flow fluids, PhiL Mag. 34(5), 59-70. Also in Sci. Papers 3, 575-584.

Rayleigh, J. W. S. (1894) The Theory of Sound, 2nd edn. (Macmillan, London). Рус. пер.: Стрэтт Дж, В. (лорд Рэлей) Теория звука, т. 1-2. - М.-Л.: Гостехиздат, 1944.

Rayleigh, J. W. S. (1916а) On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side, Phil. Mag. 32(6), 529- 546. Also in Sci. Papers 6, 432-446.

Rayleigh, J. W. S. (1916b) On the dynamics of revolving fluids, Proc, Roy, Soc, bond. A 93, 148-154. Also in Sci. Papers 6, 447-453.

Reddy, S. C. & Heimingson, D. S. (1993) Energy growth in viscous channel flows, J. Fluid Meeh, 252, 209-238.

Reid, W. H. (I960) Inviscid modes of instability in Couette flow, J. Math. Anal, Applies. 1, 411-422.

Reynolds, O. (1883)An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistence in parallel channels, Phil. Trans, Roy. Soc. bond. A 174, 935-982. Also in Sci. Papers 2 (1901), 51-105.

Reynolds, O. (1895) On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion, Phil, Trans, Roy, Soc. bond, A 186, 123-164. Also in Sci. Papers 2 (1901), 535-577.

Romanov, V. A. (1973)Stability of plane-parallel Couette flow, Func, Anal. Appl. 7, 137-146; пер. на англ, ст.: Романов В. А, Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта, Функц. анал. и его прил.. - 1973, 7, 62-73.

Rossby, Н. Т. (1969) A study of Benard convection with and without rotation, J. Fluid Meeh. 36, 309-335.

Ruelle, D. & Takens, F. (1971) On the nature of turbulence, Commun, Math, Phys. 20, 167-192.

Saffman, P. G. (1992) Vortex Dynamics (Cambridge University Press). Pyc. пер.: Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. - М.: Науч, мир, 2000.

Saffman, Р. G. & Taylor, G. I. (1958) The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid, Proc. Roy, Soc. Lond. A 245, 312—329.

Salwen, H., Cotton, F. W. & Grosch, С. E. (1980) Linear stability of Poiseuille flow in a circular pipe, J. Fluid Meeh. 98, 273-284.

Saric, W. S. (1994) Gortler vortices, Ann. Rev, Fluid Meeh, 26, 379-409.

Saric, W. S. & Thomas, A. S. W. (1984) Experiments on the subharmonic route to turbulence in boundary layers, pp. 117-22 of Turbulenve and Chaotic Phenomena in Fluids^ ed. T. Tatsumi (North-Holland, Amsterdam).

Schensted, I. V. (I960) Contributions to the theory of hydrodynamic stability, Ph.D. thesis, University of Michigan.

Schlichting, H. (1933) Zur Entstehung der Turbulenz bei der Plattenstromung, Nachr, Ges, Wise, Gottingen, Math.-phys. Klasse 181-208.

Schmid, P. J. & Heimingson, D. S. (2001) Stability and Transition in Shear Flows (Springer, New York).

Schmid-Burgk, J. (1965) Zweidimensionale selbstkonsisten Losungen stationa- ren Wlassovgleichung fur Zweikomponentenpleismeri, Diplomarbeit, Ludwig-Maximilians-Universitat, Munchen.

Schubauer, G. B. & Skramstad, H. (1947) Laminar boundary-layer oscillations and transition on a flat, plate, J. Nat, Bur. Standards 38, 251-292. Also in Rep. Nat. Adv, Comm. Aero., Wash. No. 909 (1948).

Serrin, J. (1959)On the stability of viscous fluid motions, Arch, Rat, Meeh. Anal, 3, 1-13.

Sexi, T. (1927a) Zur Stabilitatsfrage der Poiseuilleschen und Couetteschen Stromung Ann. Phys., Leipzig 83(4), 835-848.

Sexi, T. (1927b) Uber dreidimensionale Stoning der Poiseuilleschen Stromung, Ann. Phys.t Leipzig 84(4), 807-822.

Silverston, P. L. (1958) Warmedurchgang in waagerechten Flussigkeitsschich- ten, Forsch, Gebiete Ingenieurwes, 24, 29-32.

Smith, A. M. O. & Gamberoni, N. (1956) Transition, pressure gradient, and stability theory, Douglas Aircraft Co., Inc., Rep. No. ES 26388.

Smith, F. T. (1979a) On the non-parallel flow stability of the Blasius boundary layer, Proc. Roy, Soc, Lond, A 366, 91-109.

Smith, F. T. (1979b) Nonlinear stability of boundary layers for disturbances of various sizes, Proc. Roy. Soc, Lond. A 368, 573-589.

Sobey, I. J. (2000) Introduction to Interacting Boundary Layer Theory (Oxford University Press).

Sobey, I. J. & Drazin, P. G. (1986) Bifurcation of two-dimensional channel flows, J. Fluid Meeh, 17, 263-287.

Sommerfeld, A. (1908) Ein Beit rag zur hydrodynamische Erklaerung der tur- bulenten Fluessigkeitsbewegungen, Proc, 4抗 Inti Congr, Math,, Rome, vol. Ill, pp. 116-124.

Sorokin, V. S. (1961) Nonlinear phenomena in closed flows near critical Reynolds number, J. Appl, Math, Meeh, 25, 366-381; пер. на англ, ст.: Сорокин В. С. Нелинейные явления в замкнутых потоках вблизи критических чисел Рейнольдса, ПММ, - 1961, 25, 248-258.

Squire, Н. В. (1933) On the stability of three-dimensional disturbances of viscous flow between parallel walls, Proc, Roy, Soc. Lond, A 142, 621-628.

Srulijes, J. A. (1979) Zellularkonvektion in Behalten mit horizontalen Tem- peraturgradienten, Dissertation, Universitat Karlsruhe.

Stern, M. E. (I960) The “salt fountainw and thermohaline convection, Tellus 12, 172-175.

Stokes, G. G. (1880) Supplement to a paper on the theory of oscillatory waves, Math. Phys. Papers I (1880), 314-326.

Stone, P. H. (1969) The meridional structure of barochnic waves, J. Atmos. Sci・，26, 376-389.

Straughan, B. (1982) Instabilityf Nonexistence and Weighted Energy Methods in Fluid Dynamics and Related Theories (Pitman, London).

Stuart, J.T. (I960) On the поп-Бпеаг mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part 1. The basic behaviour in plane Poiseuille flow, J. Fluid Meeh, 9, 353-370.

Stuart, J. T. (1967) On finite amplitude oscillations in laminar mixing layers, J. Fluid Meeh. 29, 417-440.

Swift, J. & Hohenberg, P. C. (1977) Hydrodynamic fluctuations at the convective instability, Phys. Rev. A 15, 319-328.

Synge, J. L. (1933) The stability of heterogeneous fluids, Trans, Roy. Soc； Canada 27(3), 1-18.

Synge, J. L. (1938) Hydrodynamic stability, Semi-centenn, Publ, Amer, Math, Soc. 2, 227-269.

Taneda, S. (1959) Downstream development of wakes behind cyhnders, J. Phys. Soc. Japan 14, 843-848.

Taneda, S. (1978) Visual observations of the flow past a sphere at Reynolds numbers between 104 and 106, J. Fluid Meeh. 85, 187-192.

Tatsumi, T. & Gotoh, K. (I960) The stability of free boundary layers between two uniform streams, J. Fluid Meeh. 7, 433-441.

Taylor, G. I. (1915) Eddy motion in the atmosphere, Phil. Trans. Roy, Soc, bond. A 215, 1-26. Also in Sci, Papers 2, 1-23.

Taylor, G. I. (1923) Stability of a viscous liquid contained between two rotating cyhnders, Phil. Trans, Roy. Soc, bond. A 223, 289-343. Also in Sci, Papers 4, 34-85.

Taylor, G. I. (1931) Effect of variation of density on the stability of superposed streams of fluid, Proc, Roy. Soc. Lond. A 132, 499-523. Also in Set. Papers 4, 34-85.

Taylor, G. I. (1938) Some recent development in the study of turbulence, Proc. 5th Intern. Congr. Appl. Meeh,, 294-310. (Wiley, New York).

Taylor, G. I. (1950) The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes, I, Proc. Roy, Soc. Lond. A 201, 192-196. Also in Sci, Papers 3, 532-536.

Thomas, L. Н. (1953) The stability of plane Poiseuille flow, Phys. Rev, 91(2), 780-783.

Thorpe, S. A. (1968) A method of producing a shear flow in a stratified fluid, Fluid Meeh, 32, 693-704.

Thorpe, S. A. (1969) Experiments on the instability stratified shear flows: immiscible fluids, J. Fluid Meeh. 39, 25-48.

Thorpe, S. A. (1985) Laboratory observations of secondary structures in Kelvin-Helmholtz billows and consequences for ocean mixing, Geophys, Astrophys. Fluid Dyn. 3% 175-190.

Threlfall, D. C. (1975) Free convection in low-temperature gaseous helium, Fluid Meeh., 67, 17-28.

Tollmien, W. (1929) Uber die Entstehung der Turbulenz, Nachr, Ges, Wise, Gottingen, Math.-phys. Klasse, 21-44. Translated as “The production of turbulence55, Tech, Memor, Nat. Adv, Comm, Aero,, Wash. No. 609 (1931).

Tollmien, W. (1935) Ein allgemeines Kriterium der Instabihtat laminarer Ge- schwindigkeitsverteilungen, Nachr, Wise. Fachgruppe, Gottingen, Math,- phys, Klasse 1, 79-114. Translated as uGeneral instability criterion of laminar velocity distributions55, Tech. Memor, Nat, Adv, Comm, Aero,, Wash. No. 792 (1936).

Trefethen, L. N., Trefethen, A. N., Reddy, S. C. & Driscoll, T. A. (1993) Hydrodynamic stability without eigenvalues, Science, 261, 578-584.

Tatty, O. R. (1996) Nonlinear development of flow in channels with non-parallel walls, J. Fluid Meeh. 326, 265-284.

Van Dyke, M. (1982) An Album of Fluid Motion (РагаЬоБс Press, Stanford). Рус. пер.: Ван-Дайк M. Альбом течений жидкости и газа. - М.: Мир, 1986.

van Ingen, J. L. (1956) A suggested semi-empirical method for the calculation of the boundary layer transition region, Dept Aeronaut. Engng, Tech. Univ., Delft, Reps. Nos. VTH 71, 74.

Waleffe, F. (1995) Hydrodynamic stability and turbulence: beyond transients to a self-sustaining process, Studies Appl, Math, 95, 319-343.

Warn, T. & Warn, H. (1978) The evolution of a nonlinear critical level, Studies Appl, Math. 59, 37—71.

Watson, J. (1960a) Three-dimensional disturbances in flow between parallel planes, Proc, Roy. Soc, Lond. A 254, 562-569.

Watson, J. (1960b) On the поп-Бпеаг mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part 2. The development of a solution for plane Poiseuille flow and for plane Coutte flow, J. Fluid Meeh. 9, 353370.

Williamson, С. H. K. (1996) Vortex dynamics in the cyhnder wake, Ann, Rev, Fluid Meeh. 28, 477-539.

Willis, G. E. & DeardorfF, J. W. (1967) Development of short-period temperature fluctuations in thermal convection, Phys, Fluids 10, 931-937.

Wilson, S. (1969) The development of plane Poiseuille flow, J. Fluid Meeh, 38, 793-806.

Young, A. D. (1989) Boundary Layers (BSP Professional Books, Oxford).

Yudovich, V. I. (1989) The Linearization Method in Hydrodynamic Stability Theory, Translation Math. Monographs, vol. 74 (American Mathematical Society, Providence, RI); пер. на англ.: Юдович В, Я. Метод линеаризации в гидравлической теории устойчивости. - Ростов: Изд-во Ростовск. ун-та, 1984.

Указатель фильмов

В шестидесятых годах XX века Центр развития образования (Education Development Center) выпустил несколько фильмов для Национального комитета по фильмам о гидромеханике (National Committee for Fluid Mechanics Films). Были произведены 16 миллиметровые звуковые пленки, каждая длительностью 30 минут, а также 8 миллимитровые ролики фильмов, каждый длительностью примерно 4 минуты. Большинство роликов содержит извлечения из длинных фильмов. Многие из фильмов посвящены демонстрации экспериментов по гидромеханической неустойчивости и большинство из них по-прежнему остаются превосходными. Эти фильмы впоследствии были конвертированы в видео-фильмы, которые все еще находятся в продаже. Они распространяются в Соединенных Штатах Америки и во многих других странах Образовательной корпорацией Энциклопедии Брита- ника (Encyclopaedia Britannica Educational Corporation), расположенной по адресу: 310 South Michigan Avenue, Chicago, Illinois 60604, а также по всему миру некоторыми другими специальными распространителями.

Первый компакт диск с движущимися картинками из механики жидкости был издан в 2000 г. издательством Cambridge University Press. Он воспроизводит некоторые короткие извлечения из фильмов Центра развития образования (Education Development Center) и из многих других фильмов и видео-фильмов о лабораторных экспериментах и природных явлениях. Большинство из этих видео-фильмов высокого качества и многие из них посвящены гидродинамической неустойчивости.

Многие из этих движущихся картинок были цитированы в тексте и их указатель приведен ниже. Обозначения CD используются для компакт дисков, F — для фильмов, a FL — для роликов фильмов.

Brown, F. N. М. (FL1964) Stages of boundary-layer instabiity and transition, B/W-No. S-FM092.

Bryson, A. E. (F1967) Waves in fluids. B/W-No. 21611.

Bryson, A. E. (FL1967) Small-amplitude gravity waves in an open channel, B/W-No. S-FM139.

Coles, D. (FL1963a) Instabilities in circular Couette flow. B/W-No. S-FM031.

Coles, D. (FL1963b) Examples of turbulent flow between concentric rotating cylinders, B/W-No. S-FM032.

Homsy, G. M., Aref, H., Breuer, K. S・，Hochgreb, S., Koseff, J. R・，Munson, B. R., Powell, K. G., Robertson, C. R. & Thoroddsen, S. T. (CD2000) Multimedia Fluid Mechanics (Cambridge University Press).

Lippisch, A. M. (FL1964) Tollmien-Schlichting waves. B/W-No. S-FM023.

Long, R. R. (F1968) Stratified flow. Color-No. 21618.

Mollo-Christensen, E. L. (F1968) Flow instabilities, Color-No. 21619.

Mollo-Christensen, E. L. & Wille, R. (FL1968) Experimental study of a flow instability. B/W-No. S-FM147.

Stewart, R. W. (F1968) Turbulence, Color-No. 21626.

Stewart, R. W. (FL1968) Laminar and turbulent pipe flow, Color-No. S-FM134.

Trefethen, L. M. (F1965) Surface tension in fluid mechanics, Color-No. 21610.

Trefethen, L. M. (FL1965) Breakup of liquid into drops. Color-No. S-FM076.

Указатели

1868 Helmholtz, 60, 171

1871 Kelvin, 60, 69, 72

1876 Maxwell, 74

1879 Oberbeck, 111

1879 Rayleigh, 77

1880 Kelvin, 167

1880 Rayleigh, 155, 163, 169, 203,

204, 206

1880 Stokes, 90

1882 Campbell & Garnett, 11

1883 Rayleigh, 67, 75, 216

1883 Reynolds, 12-14, 40, 47, 69,

90, 203

1887 Kelvin, 208

1890 Helmholtz, 69

1892 Rayleigh, 189, 222

1894 Rayleigh, 209

1895 Reynolds, 98

1900 Benard, 110

1902 Jeans, 58

1903 Boussinesq, 111

1907 a Orr, 206, 208

1907 b Orr, 98, 177

1908 Harrison, 75

1908 Sommerfeld, 177

1909 Bohr, 90

1911 Karman, 247, 261

1915 Jeffrey, 52

1915 Taylor, 164, 181

1916 Hamel, 52

1916 a Rayleigh, 114

1916 b Rayleigh, 142

1921 Noether, 90

1921 Prandtl, 181

1923 Taylor, 143, 146, 148, 149

1924 Heisenberg, 90, 197

1927 a Sexi, 201

1927 b Sexi, 201

1929 Tollmien, 178, 179, 185, 189, 194

1931 Goldstein, 217

1931 Haurwitz, 217

1931 Taylor, 217

1932 Lamb, 56, 57, 62, 213, 262, 263

1933 Schlichting, 189, 194

1933 Squire, 160

1933 Synge, 143, 154

1934 Dean, 53, 255

1935 Prandtl, 181

1935 Tollmien, 166, 194

1936 Pekeris, 223

1938 Synge, 183

1938 Taylor, 179

1940 Christopherson, 129

1940 Gortler, 152

1940 Pellew & Southwell, 123

1944 Landau, 90, 197, 234

1944 Landay, 33

1945 Horton & Rogers, 134

1946 Landau, 87

1947 Schubauer & Skramstad, 178, 195, 245

1948 Lapwood, 134

1949 Onsager, 176

1950 Fj0rtoft, 165

1950 Lewis et aL, 67

1950 Taylor, 67, 216

1951 Meksyn & Stuart, 197

1953 Thomas, 190

1954 Bellman & Pennington, 75

1954 Colson, 70

1954 Malkus, 234

1955 Gregory et al； 215

1955 Herivel, 175

1955 Lin, 20, 164, 166

1956 Smith & Gamberoni, 199

1956 van Ingen, 199

1957 Gor5kov, 90

1958 Malkus & Veronis, 90

1958 Pearson, 138

1958 Saffman & Taylor, 76

1958 Silverston, 117, 120

1959 Cesari, 49

1959 Raetz, 198

1959 Serrin, 100, 253

1959 Taneda, 245

1960 Case, 170

1960 Donnelly & Simon, 150

1960 Reid, 156

1960 Schensted, 178

1960 Stern, 138, 140

1960 Stuart, 90, 197

1960 Tatsumi & Gotoh, 227

1960 a Watson, 221

1960 b Watson, 90, 197

1961 Chandrasekhar, 19, 75

1961 Drazin, 226

1961 Howard, 166, 218

1961 Miles, 218

1961 Sorokin, 107

1962 Batchelor & Gill, 201, 204

1962 Davey, 146

1962 Fraenkel, 29, 52, 254

1962 Gaster, 225

1962 Klebanoff et aL, 195, 199, 245

1963 Fraenkel, 254

1963 Lorenz, 132

1963 a FL Coles, 146

1963 b FL Coles, 146

1964 Abramowitz & Sbegun, 52

1964 Briggs, 87

1964 FL Brown, 195

1964 FL Lippich, 195

1964 Harris & Reid, 146, 147

1964 Howard, 212

1965 Coles, 237

1965 F Trefethen, 80

1965 FL Trefethen, 80

1965 Hughes & Reid, 221

1965 Joseph, 131

1965 Schmid-Burgk, 213

1966 Donnely & Glaberson, 81

1966 Eagles, 255

1967 Batchelor, 27, 52, 60, 61, 107,

178, 203, 222, 244, 246, 248, 251

1967 Betchov & Criminale, 19

1967 F Bryson, 70

1967 FL Bryson, 70

1967 КеПу, 198

1967 Stuart, 213

1967 Willis & Deadorf, 120

1968 F Long, 70

1968 F Mollo-Christensen, 74

1968 F Stewart, 16

1968 FL Stewart, 16

1968 FL Mollo-Christensen& Wille, 70

1968 Joseph, 184

1968 Thorpe, 71

1969 Baines & Gill, 140

1969 Goldstein & Graham, 114

1969 Joseph, 184

1969 Leibovich, 219

1969 Morkovin, 237

1969 Rossby, 117, 120

1969 Stone, 246

1969 Thorpe, 69

1969 Wilson, 225

1970 Burridge, 203

1970 Matkowsky, 91

1971 Busse & Whitehead, 123-125

1971 Craik, 198

1971 Ruelle & Takkens, 238

1972 Palm et al,, 136

1973 Bouthier, 180

1973 Hinch, 137

1973 Krishnamurti, 120

1973 Romanov, 189

1974 Drazin, 246

1974 Gaster, 180

1975 Drazin, 130

1975 Ellingsen & Palm, 208

1975 Gull, 67

1975 Hocking, 221

1975 Kachanov et aL, 245

1975 Krishnamurti, 128

1975 Nishioka et al., 197

1975 ThrelfaU, 119

1976 Benjamin, 234

1976 Gent & Leach, 246

1976 Joseph, 20, 99

1976 Mack, 193

1976 Nakamura, 251

1977 Swift & Hohenberg, 134

1978 Libhaber & Maurer, 119, 239

1978 Newhouse et aL, 239

1978 Taneda, 252

1978 Warn & Warn, 45

1979 Brown & Stewarson, 45

1979 Busse & Clever, 126, 127

1979 Fenstermacher et al,, 147, 237

1979 Leibovich, 219

1979 Oertel & Kirchartz, 122

1979 Srulijes, 121

1979 a Smith, 186

1979 b Smith, 186

1980 Feigenbaum, 119, 239

1980 Nishioka et al” 1980, 195

1980 Pomeau & Manneville, 239

1980 Salwen et al., 47, 203

1981 Drazin & Reid, 20, 33, 55, 57, 72-74, 76, 81, 82,106, 107, 115, 117, 131, 138- 140, 146-150, 152, 156, 168, 187, 190, 194, 199, 218

1982 BeHamin 也 Mullin, 147, 234

1982 Carlson et al., 17

1982 Lundgren, 67

1982 Straughan, 99

1982 Van Dyke, 14, 16, 20, 78, 116, 117, 122, 146, 147, 195, 197, 243, 244, 246, 247, 251

1983 Hall, 151

1983 Orzag & Patera, 197

1984 Beale et aL, 174

1984 Neu, 69

1984 Saric & Thomas, 199

1985 Craik, 97

1985 Klaasen & Peltier, 70

1985 Thorpe, 70

1986 Andereck et a2・，151

1986 Craik & Criminale, 55, 208

1986 Krasny, 68

1986 Lindzen & Rambaldi, 182

1986 Sobey & Drazin, 30, 253, 254, 259

1987 Herron, 178

1987 Jakson, 249, 250, 252

1987 Landau & Lifshitz, 20

1987 Provansal et al., 250

1988 Banks et al., 53, 255-257, 259

1988 Bayly et al； 198

1988 Boberg & Brosa, 232

1988 Herbert, 198

1988 Nakayama, 20, 152, 195, 246, 256-258

1989 Drazin, 54

1989 Young, 196

1989 Yudovich, 50, 207, 209

1990 Huerre & Monkewitz, 87, 246

1990 Kim &; Pearlstein, 251

1991 King & Stewart, 237

1992 Bertolotti et al., 180

1992 Buttler & FareU, 199

1992 Drazin, 133

1992 Saffman, 171, 174

1993 Koschmieder, 120, 121, 144,

147, 148

1993 Natarajan & Acrivos, 251

1993 Reddy & Henningson, 199

1993 Trefethen et al,, 51, 231

1994 Baines & Mitsudera, 165

1994 Hamadiche et al., 259

1994 Kachanov, 199

1994 Saric, 151

1995 Waleffe, 51, 220

1996 Baines et al., 182

1996 Tatty, 260

1996 Williamson, 250

1997 Alleborn et al,, 255

1997 Dennis et al； 259

1998 EHahou et al., 15

1998 Huerre & Rossi, 20

1998 Lin & Reitz, 81

1998 McAlpine & Drazin, 257, 258, 260, 263

2000 CD Homsy, 16, 20, 146, 195,

243, 246, 251

2000 Meseguer & Trefethen, 204, 205

2000 Sobey, 2 53

2001 Barcilon & Drazin, 214

2001 Schmid & Henningson, 20, 85,

194, 199, 200

2002 Kerswell et al,, 260

Адиабатическая скорость падения температуры, 75 альтернатива Фредгольма, 95, 104

ангшогия между вращающимися и стратифицированными течениями, 141, 153, 218

аппроксимация

Буссинеска, 111, 216

ВКБ, 180, 184, 246

узкого зазора, 144, 146, 147, 149, 155

аттрактор, 41

Биортогонгшьность, 105 бифуркационная диаграмма, 24 бифуркация, 18, 21, 22

Хопфа, 37, 236, 248, 260 вилообразная, 24, 30, 33, 118, 133, 136, 234 из бесконечности, 48 седло-узел, 24 складка, 24 точка поворота, 24, 32, 47 транскритическая, 24, 32, 47, 234

Вариационное исчисление, 131 вихревая дорожка, 247, 250, 261, 262

Кармана, 261

вихри

Гертлера, 148

Тейлора, 146 возмущение, 14, 35, 39 волн ветровых генерация, 72 волна

Толлмина-Шлихтинга, 189, 195, 196

внутренняя гравитационная, 66, 215

двойная диффузионная нелинейная, 137

поверхностная гравитационная, 65

волновой пакет, 90, 102

Гармоника, 236

вторая, 91

первая, 91

Дискриминант Релея, 153, 155 диффузия, 126

Жидкость Буссинеска, 111, 134

Задача

Дина, 53, 256

Орра-Зоммерфельда, 53, 226

Сквайра, 229

Штурма-Лиувилля, 154, 216 вспомогательная, 23 линеаризованная, 41 устойчивости Релея, 162, 205 закон

Дарси, 76, 134

Лапласа поверхностного натяжения, 71, 78

Конвекция

Лапвуда, 134

Марангони, 138

Релея-Бенара, 116

Р елея-Дарси, 134 в пористой среде, 134 двойная дифузионная, 137, 140 нелинейная тепловая, 133 при изменении поверхностного натяжения с изменением температуры, 138 кривая

маргинальная, 114, 224 для плоского течения Пуа- зейля, 190 для плоской струи, 192 для спутного следа, 191 для струи, 191 для струи Бик ли, 192 для пограничного слоя

Блазиуса, 190 неограниченного сдвигового слоя, 191 нейтральная, 224

критерии

Шварцшильда, 75 неустойчивости вращающегося течения Релея, 143, 154, 156 критическое число

Рейнольдса, 14, 42, 174, 240 течения Пуазейля в трубе, 14

Релея, 115, 240

Ламбда-вихри, 195

Маргинальной кривой верхняя ветвь, 187, 192 нижняя ветвь, 187, 192 мембрана вибрирующая, 180, 195 метод eN, 199

Ляпунова прямой, 19, 99, 183 нормальных мод, 15, 36, 38, 44 пристрелки, 212 численный, 192, 194, 228 энергетический, 99, 130, 183 механизм

ясалюзи, 206

неустойчивости Орра подъемный, 206 мод взаимодействие нелинейное, 91, 101 мода

Орра-Зоммерфельда, 231

Пекериса (Р-мода), 192

Сквайра, 230

Шенстеда (S-мода), 192

Эйри (А-мода), 192 антисимметричная, 173, 212 варикозная, 81, 173, 189, 209212 временная, 224 глобальная, 246 локальная, 180, 246 нелинейная, 105 нормальная, 15, 35, 38, 41, 44, 101

точное решение нелинейных уравнений, 55 основная, 91

мода пристеночная, 192, 205 пространственная, 86, 87, 101, 180, 193, 224, 225, 228, 255

для уравнения Бюргерса, 101

симметрическая, 173, 212 синусоидальная, 173, 189, 190, 193, 210, 245, 247 центральная, 192, 204 модель Свифта-Хоэнберга, 133 моды нелинейные уравнения

Бюргерса, 105

Напряжения Рейнольдса, 98, 165, 168, 181 небо макрели, 69 неустойчивость, 11

Гертлера, 148

Джинса, 57

Кельвина-Г ельмгольца, 60, 71, 73, 75, 143, 171, 250

Релея-Бенара, 115 Релея-Тейлора, 66, 67, 70, 74-76, 215, 216

Саффмгьна-Тейлора, 76 абсолютная, 84, 101 асимптотически отсасываемого пограничного слоя, 220 вихревого слоя, 61, 171 вследствие линейного резонанса, 54 вторичная, 38, 49, 236 двойная диффузионная, 140 докритическая, 238 конвективная, 84, 101, 115 ломаной струи, 209 параллельного течения стратифицированной жидкости, 216 параметрическая, 235 первичная, 38, 236 плоского течения Куэтта, 190, 207, 210

плоского течения Пуазейля, 12, 191, 192 пограничного слоя, 189, 245

неустойчивость

пограничного слоя Блазиуса, 178, 187, 189, 190

пограничного слоя на пластине, 178, 187, 189

поперечного течения, 215, 229

самогравитирующего газа, 57

сдвигового слоя, 67, 210 th, 191 неограниченного, 191 следа, 190, 246 струи, 190, 203 sech, 211 sech2, 192, 211 Бик ли, 211 Ландау-Сквайра, 203 в форме цилиндра, 209 газа капиллярная, 81 плоской капиллярная, 82 термохалинная, 140 течения за плоской пластиной, 243

течения за сферой, 251 течения за цилиндром, 246 треугольной струи, 173 эллиптическая, 55, 198 эллиптического течения, 55 нормальная форма, 97 нормальных мод неполнота, 50 полнота, 43, 50

Облака, 121 оператор Фредгольма, 105 сопряженный, 103, 104, 227 для задачи Орра-Зоммерфельда, 227

Переход к турбулентности, 146, 200, 233, 237

побочный, 16, 196, 199, 237, 238

скачкообразный, 239 пики и долины, 195 пловучесть, 54

поверхности отклонение, 62, 205 поверхностное натяжение, 71, 74, 78

зависящее от температуры, 138

постоянная

Ландау, 33, 93

Ландау комплексная, 102

предел замечательный, 93 преобразование

Галилея, 68, 89, 102, 167

Гастера, 224

Сквайра, 160, 175, 221

принцип

Кельвина минимума энергии, 56

вариационный, 107, 131

обмена устойчивостей, 38, 114, 122, 138, 144, 150, 235

эквивалентности, 66 проницаемость пористой среды, 76

путь

к турбулентности, 18, 22, 238

к хаосу, 18, 238

Рюэля-Такенса, 238, 250

Решение

вторичное, 49

нелинейное для структуры в форме кошачьего глаза, 213

первичное, 49

уравнения Орра-Зоммерфельда, 222, 225, 228

вязкое, 185

невязкое, 186

решения

Гейзенберга уравнения Орра-Зоммерфельда, 185

Толлмина уравнения Орра- Зоммерфельда, 185

рост кристаллов, 120

Сверхновая, 67

сверхотражение, 182

симметрии нарушение, 24, 33, 67, 236, 237, 247, 253, 259

система Лоренца, 131, 133 скорость

групповая, 86, 87, 89, 101, 102, 224

падения температуры, 75 фазовая, 65 слабонелинейная теория вихрей

Тейлора, 146 слой вихревой, 227 критический, 163, 167, 168, 178, 181, 182, 184-187, 189, 192, 206 свободный сдвиговый, 69, 84, 210 смешения, 69 совершенный газ, 75 солевые пальцы, 140 солнечная грануляция, 121 соотношение дисперсионное, 85, 88, 100, 224 структур образование, 121 структура в форме кошачьего глаза, 167, 213 когерентная, 248 струя sech, 211 sech2, 192, 211 Бик ли, 192, 211 Ландау-Сквайра, 203 субгармоника, 236

Теорема

Серрина, 19, 100, 106, 234, 248, 253

Сквайра, 177 полукруга Ховарда, 167 теория

Флоке, 235, 262

степени отображения Лере- Шаудера, 234 течение

Джеффри-Гамеля, 27, 51, 254, 263

Куэтта, 155

Куэтта плоское, 25, 207, 208 Куэтта-Пуазейля плоское, 25

течение

Пуазейля в трубе, 14, 40, 46

Пуазейля плоское, 16, 26, 52 Стокса, 52, 100, 234, 245, 248, 251

в пористой среде, 76 вторичное, 38 закрытое, 84

квазипериодическое, 235 ламинарное, 13

однородное, 106

осесимметричное параллельное, 200

основное, 22 открытое, 84 первичное, 38 равномерно вращающееся, 107

тождество Лагранжа, 103 точка

бифуркации, 24

поворота, 23, 32, 47, 234 трехпалубная теория, 186 турбулентность, 11, 12, 119

сдвигового течения, 238 фазовая, 237 чистого воздуха, 69 турбулентные вспышки, 14 турбулентные пятна, 14

Удвоение периода, 119, 235, 239

в случае конвекции Релея- Еенара, 239

уравнение (я)

Буссинеска, 111, 131 Бюргерса, 101, 105 Гельмгольца, 113, 115, 129 Гинзбурга-Ландау, 96 Дина, 53

Ландау, 33, 47, 48, 90, 93, 9597, 130, 134, 136

комплексное, 48 Лиувилля, 213 Навье-Стокса, 17, 21, 22, 40, 54, 55, 222

Орра-Зоммерфельда, 177, 222, 225

Пуассона, 57

уравнение (я)

Тейлора-Голдстейна, 217, 218

Шрёдингера нелинейное, 103

Эйлера, 57,141,153, 158, 201, 207, 215

Эйлера-Лагранжа, 107, 131

диффузии, 126

нелинейное, 91

нелинейное Пуассона, 214 сопряженное

Орра-Зоммерфельда, 227

Релея, 205

устойчивости Релея, 162 вывод, 204 сопряженное, 205

энергии, 107, 182, 220 Рейнольдса-Орра, 98, 107, 167, 168, 220 условие

Мгжлса-Ховарда устойчивости, 217, 218

неустойчивости Релея необходимое, 164, 165

неустойчивости Фьёртофта необходимое, 165, 166 разрешимости, 95, 103, 136, 223

фазовое, 135 условия

граничные, 22, 111

свободно-свободные, 114, 116

свободно-твердые, 116 твердо-твердые, 116 на разрыве основного течения, 169 на скачке, 169, 204, 226 устойчивости

уравнения параболизировгкн- ные, 180

характеристики, 45 устойчивость, 11, 40

абсолютная, 84

асимптотическая, 41

атмосферы, 75

безвихревого течения, 56

в смысле Ляпунова, 40

в среднем, 41, 99, 106

устойчивость глобальная асимптотичес*

кая, 47, 108 докритическая, 33 конвективная, 84 маргинальная, 42, 43 надкритическая, 33 нейтральная, 42 нелинейная, 90 непараллельных течений, 261

однородного течения, 106, 222

в канале, 188 плоского течения Куэтта,

170, 190, 207, 226

по отношению к коротким волнам, 226

потенциального течения, 56 почти параллельных течении, 148, 179, 242, 246, 254, 255

пространственная, 100, 256 равномерно вращающейся

жидкости, 107 слабонелинейная, 90 статическая атмосферы, 75 структурная, 45

течения Пуазейля в трубе, 15, 46, 54

Функционал Ляпунова, 99, 183 функция Эйри, 156, 185, 225

Хаос, 18, 38, 119, 147, 239

Цикл предельный, 37

Частота

Брянта-Вяйсяля, 217 пловучести, 122, 153, 217 число

Гертлера, 150

Марангони, 138 Нуссельта, 117, 130 Прандтля, 112, 132, 137 Рейнольдса, 13, 22, 25, 28 Релея, 112, 132, 137 Струхаля, 250

число

Тейлора, 145

Шмидта, 137

Эксперимент Рейнольдса, 12, 15 энергии балланс, 97 диссипация, 98 конвекция, 98 перенос, 98 энергия возмущения, 98 кинетическая, 57, 98 эффект

Гиббса-Томсона, 120

Марангони, 120, 138

Сорета, 120

Ячейки конвекционные прямоугольные, 129 роликовые, 118, 129, 132 шестиугольные, 129

Научное издание

ДРАЗИН Филипп

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИ

Редактор И.Л. ЛегостаеваОригинал-макет: А.Т, ИльичевОформление переплета: А.Ю. Алехина

ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 23.06.05.

Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 18. Уч.-изд. л. 19,8. Тираж 300 экз. Заказ № 3332.

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАЙК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;

http:〃 www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Ивановская областная типография»153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru

1 а

0 = det(J — si) = (а — s)? + 1.

Отсюда

s = а 土 i = k(R — jRc) 士 i.

Следовательно,

叫)=扌4产 + 4*「辽)尸，y(t) = -}(4『-A*e-k)eat,

где А — некоторая комплексная постоянная, которая определяется из начальных условий, а знак * означает комплексное сопряжение. В результате имеем устойчивость с экспоненциальным затуханием возмущений, если Re(s) < 0 для обоих собственных значений, т. е. при R < Rc и, аналогично, — неустойчивость при R > Rc-

Удобно перейти к полярным координатам т, 0, т 2 0,工=tcosJ, у = rsin0, в которых система распадается на два независимых уравнения:

=1.

Точное решение уравнений имеет асимптотику т($) Т 0 при t т оо для всех т(0), если R < Дс, и т($) Т а1/2 = [k(R —瓦)]〃？ При t -> оо

Ф. ДРАЗИН

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ устойчивое®!

Introduction to Hydrodynamic Stability

P.Q. DRAZIN

Ф. ДРАЗНН

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИ

МОСКВАФИЗМАГЛИТ2005

УДК 532.59ББК 22.253Д72УДК 532.59ББК 22.253Д72三毋三三毋三Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 04-01-14057д

УДК 532.59

ББК 22.253

Д72

УДК 532.59

ББК 22.253

Д72

三毋三

三毋三

Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Пер. с англ. Г.Г. Цыпкина; Под ред. А.Т. Ильичева. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 288 с. - ISBN 5-9221-0629-5.

Данная книга посвящена неустойчивости течений и их переходу к турбулентности, которые являются распространенными явлениями в природе и технике. Задачи об устойчивости течений часто возникают в таких областях естественных наук, как прикладная математика, астрофизика, биология, геофизика, метеорология, океанография и физика. В книге приводятся математические модели движения жидкости, в которых проявляется гидродинамическая неустойчивость, дается их теоретический анализ и описываются лабораторные эксперименты. Примеры неустойчивости представлены при помощи многочисленных рисунков. Обсуждается взаимоотношенйе понятий хаоса и перехода к турбулентности. Идеи, изложенные в книге, иллюстрируются большим числом примеров и упражнений.

Для выпускников и аспирантов механико-математических и физических факультетов университетов, ученых других специальностей.

ISBN 5-9221-0629-5 (русск.)

ISBN 0-521-80427-2 (англ.)

© Cambridge University Press, 2002 © ФИЗМАТЛИТ, 2005 (русск.)

Содержание

Предисловие редактора перевода 7

Предисловие автора 9

Общее введение 11

Вступление 11

Методы теории гидродинамической устойчивости 17

Что читать и смотреть далее 19

Введение в теорию стационарных течений, их бифуркации и неустойчивость 21

Бифуркация 21

Неустойчивость 30

Устойчивость и линеаризованная задача 39

Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца 59

Основное течение 59

Физическое описание неустойчивости 60

Основные уравнения для возмущений 61

Линеаризованная задача 63

Поверхностные гравитационные волны 65

Внутренние гравитационные волны 65

Неустойчивость Релея-Тейлора 66

Сдвиговая неустойчивость 67

Капиллярная неустойчивость струи 77

Теория Релея капиллярной неустойчивости струи жидкости • 77

Развитие неустойчивости во времени и в пространстве .・ 83

* Эволюция возмущений в пространстве и во времени 83

Слабонелинейная теория 90

Уравнение для возмущении энергии97

6・Конвекция Релея-Бенара109

6・1・Тепловая кстт^ктн ■…〕 109

6•九({Ьшвгп^ирорашшш задача112

•机加ЬриктериЕикл устойчивости 113

117117414143481 1 1 1414143481 1 1 1.4. Нелинейная конвекция

117

117

41414348

1 1 1 1

41414348

1 1 1 1

Центробежная неустойчивость •

Вращающиеся течения

Неустойчивость течения Куэтта

Неустойчивость Гертлера . •.

Устойчивость параллельных течений157

Устойчивость плоско-параллельных течений идегшьной жидкости 157

Общие свойства задачи устойчивости Релея163

Характеристики устойчивости некоторых течений идеальной жидкости169

Нелинейные возмущения параллельного течения идегизьной жидкости174

Устойчивость плоско-параллельных течений вязкой жидкости 176

Некоторые общие свойства задачи Орра-Зоммерфельда • • • • 181

Энергия182

Неустойчивость в невязком пределе 184

Характеристики устойчивости некоторых течений вязкой жидкости188

* Численные методы решения задачи Орра-Зоммерфельда • • 192

Экспериментальные результаты и нелинейная неустойчивость 194

Устойчивость осесимметричных параллельных течений • • • • 200

Пути к хаосу и турбулентность233

Эволюция течений при увеличении числа Рейнольдса233

Пути к хаосу и турбулентность237

Случаи перехода к турбулентности241

Синтез 241

Введение241

Неустойчивость течения за плоской пластиной при нулевом угле атаки243

Переход течения с однородным потоком за телом плохо обтекаемой формы246

Течение за круглым цилиндром246

Течение за сферой251

Переход течений в расходящемся канале253

Введение253

Асимптотические методы254

Некоторые парадоксы259

Нелинейные волны 260

Выводы261

Список литературы264

279279Указатели

279

279