ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ТЕПЛООБМЕНАПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

Общие соображения. Эта книга написана в эпоху чрезвычайно ускоренного приложения плодов научных исследований к решению технических проблем. Не последним свидетельством этого являются успехи, связанные с созданием аппаратов для исследований космического пространства и ракет большого радиуса действия. Проблемы, возникшие на заре создания таких устройств, могли быть решены только путем применения наиболее передовых исследований в газовой динамике, а в отдельных случаях путем дополнительных исследований в этой освященной временем области знаний. Но прежде чем инженеры смогут сконструировать надежные устройства для полета сквозь атмосферу или внутри нее с гиперзвуковыми скоростями, они должны будут каким-то образом решить проблему устранения или уменьшения притока к аппарату огромных количеств тепла, порождаемых такими скоростями полета. В этой книге подробно излагаются некоторые теории, созданные для решения этой проблемы.

В частности, изучаются некоторые вопросы теории вязких течений реагирующих газовых смесей, выводятся общие уравнения теории пограничного слоя, причем рассматриваются как ламинарный, так и турбулентный случаи. Результаты, относящиеся к расчету теплопередачи для двумерных и трехмерных форм, получены с учетом диссоциации газа в пограничном слое, химических реакций, отличных от диссоциации, эффекта переноса массы, оплавления поверхности, взаимодействия между газом в пограничном слое и поверхностью. Главное усилие было направлено на то, чтобы дать основные идеи исследователям, стремящимся вырваться за пределы

современного состояния этой области знаний, а также привести некоторые результаты, полезные при конструировании гиперзвуковых летательных аппаратов. Намерением автора было изложить полностью теорию гиперзвукового реагирующего пограничного слоя. Вопросы гиперзвуковых невязких течений, а также вопросы экспериментальной техники не излагаются здесь полностью. Однако проблемы, связанные с течением в нагретом реагирующем сжимаемом пограничном слое, рассмотрены достаточно подробно.

Проблема гиперзвукового нагрева. За исключением настоящей главы, эта книга посвящена подробному изучению теории гиперзвукового реагирующего пограничного слоя. Цель данной главы — дать менее детальное широкое описание «проблемы гиперзвукового нагрева» и связанных с ней вопросов.

Если тело проходит сквозь атмосферу или движется в ней с гиперзвуковым числом Маха '), то оно совершает над окружающей средой значительную работу, связанную с преодолением сопротивления. Таким телом может быть баллистический снаряд большого радиуса действия или самолет-снаряд, спутник, входящий в атмосферу, метеорит или любой другой объект внеземного происхождения, встретившийся с земной атмосферой. Работа, затраченная телом на преодоление сопротивления, в конечном счете проявляется в виде тепла. Это повышает температуру в следе за телом и увеличивает приток тепла к телу. Интервал времени, в течение которого тело совершает большую работу сопротивления, может быть достаточно большим, как, например, у самолетов-снарядов, или очень коротким, как у конусов головок баллистических ракет, спутников, возвращающихся на Землю, или метеоритов.

*) В этой книге под «гиперзвуковым числом Маха» мы понимаем число Маха, достаточно большое для того, чтобы в высокотемпературных областях газа около тела начало диссоциировать заметное количество молекул. Для главной составляющей земной атмосферы О2 это число Маха приблизительно равно 6. Для предполагаемого главного компонента атмосферы Венеры СО2— около 10. Для предполагаемого главного компонента атмосферы Юпитера СН»— около 5,5.

Подсчитаем в первом приближении количество тепла, которое получает тело, движущееся с гиперзвуковой скоростью за счет вязкого нагрева пограничного слоя воздуха около него.

Предположив, что сила тяги отсутствует, из первого закона Ньютона для тела, замедляющегося в атмосфере, получим соотношение

(LI)(LI)W dV g dt

(LI)

(LI)

где W—вес тела, который в рассматриваемом приближении считается постоянным,

V — скорость полета,

g— ускорение силы тяжести,

D — сопротивление атмосферы.

Здесь мы пренебрегли силой тяжести, так как при интересующих нас условиях она много меньше сопро- тавления. Определим далее коэффициент теплопередачи Сн при помощи соотношения

^L = CHpVSM,(1.2)

где Q — количество получаемого телом тепла, р — плотность атмосферы,

S— площадь поверхности тела, находящейся под действием высокотемпературного газа,

А/— потенциал энтальпии, характеризующий разность между температурой нагретого газа и холодного тела.

Величину А/ можно определить, например, следующим образом:■

A/ = /0-/w,(1.3)

где 70 — энтальпия торможения

/0 = СрТсо+^-.(1.4)

а 1Ш— энтальпия газовой смеси при температуре, равной температуре поверхности тела, т. е.

о

здесь Ср — коэффициент теплоемкости газовой смеси в пограничном слое при постоянном давлении и Тс» —статическая температура в набегающем потоке.

Уравнение (1.2) показывает, что приток тепла к телу непосредственно зависит от геометрии тела, плотности газа на высоте полета и от скорости полета.

В этой книге мы займемся главным образом проблемами, связанными с большими тепловыми потоками, которые, как правило, возникают при движении в относительно плотных слоях атмосферы. Таким образом, мы будем иметь дело исключительно с течениями в сплошных средах.

Далее, так как из нашего определения гиперзвуковых скоростей следует, что нас интересуют числа Маха, превосходящие 6, то для воздуха имеем

2^—=М2 > 7,2 при у =1,4, где

Ср-С. = ^, а М— число Маха,

Так как Тю и Тт — величины одного порядка, то равенство (1.3) с учетом порядка слагаемых в правой части можно представить в виде

(1.6)

Расчеты, аналогичные описанным в последующих главах, показывают, что коэффициент теплопередачи Сн пропорционален коэффициенту поверхностного трения Cq^, который определяется равенством

D^Co^S, (1.7)

где Dj — сила сопротивления вязкого трения газа о поверхность тела, таким образом,

Сн — ^Df(1-8)

Для гладкой плоской пластины коэффициент пропорциональности равен */2. Для удобства примем его и в нашем случае равным ’/2- Тогда равенства (1.1), (1.2) и (1.6) дают

где D— полное сопротивление

— 172

О ~ Dp-\- Dj — CDp -ту- «S’,

a Dp — сопротивление, обусловленное силами нормального давления на взаимодействующей поверхности. Предположим, что в первом приближении отношение Со^ к CD не зависит от скорости. Интегрируя (1.9), получаем

_ 1 Cd/ 1 И22 2 °

где индекс f относится к конечному количеству тепла, полученному телом к тому моменту, когда оно израсходует свою кинетическую энергию, а индекс I — к начальному моменту времени. Мы предполагаем, что в первом приближении ^ = 0 и Qi = 0.

Таким образом, мы видим, что количество тепла, полученное телом при торможении в атмосфере от начальной гиперзвуковой скорости, прямо пропорционально произведению начальной кинетической энергии на отношение коэффициента вязкого трения к коэффициенту полного сопротивления. Отметим, что телу передается количество тепла, равное половине этого произведения. Другая половина расходуется на нагрев окружающего холодного газа1). Из уравнения (1.10) очевидно, что,

’) В этих рассуждениях автор не учитывает излучения нагретого тела, которое при высоких температурах может составить существенную часть общего притока тепла Qp — Прим. ред.

если мы хотим минимизировать Q/, мы должны уменьшить отношение Cd^Cd, т. е. уменьшить долю вязкого трения в общем сопротивлении.

Начальная скорость, 1000 фут/сек ~ Vt

Рис. 1.1. Тепло, переданное к тормозящемуся в атмосфере телу при гиперзвуковой скорости.

С помощью уравнения (1.10) можно вычислить общее количество переданного тепла в виде функции начальной скорости. На рис. 1.1 представлены результаты таких расчетов. В табл. 1.1 приведены некоторые характерные значения отношения СDf,Со-

Из рис. 1.1 видно, что, даже если тело имеет обтекаемую форму и достаточно большую начальную скорость, то количество тепла, получаемое им при торможении, может превысить теплостойкость большинства из известных огнеупорных материалов. В табл. 1.2 даны теплостойкости нескольких огнеупорных материалов, включая теплоту плавления и испарения, -

Таблица 1.1

отношения CD ]Cdотношения CD ]CdНекоторые характерные значения

отношения CD ]Cd

отношения CD ]Cd

CD#I CD0,010,331,0CD#I CD0,010,331,0Тело

CD#I CD0,010,331,0

CD#I CD0,010,331,0

Сфера

Обтекаемый самолет

Плоская пластина

Даже без учета неблагоприятных характеристик производства некоторых из перечисленных материалов, ясно, что лишь немногие из них допустимы в качестве конструктивных материалов для обтекаемых тормозящихся объектов без дополнительных мер для отвода или рассеивания тепла. Необходимо заметить, что достичь теоретического максимума теплостойкости в практически интересных приложениях не удается из-за того, что в материале с конечной теплопроводностью распределение тепла не может быть достаточно однородным. Конечно,

Таблица 1.2

Теплостойкость некоторых огнеупорных материалов

Материал

Общая теплостойкость от 312° К, включая испарение, кал/г

Общая теплостойкость *) от 560° R, включая испарение, Btu/^jwra

Графит

15 950 (вплоть до

28 700 (вплоть до

3980° К)

7160° R)

Окись бериллия

7 450

13 400

Окись магния

5 600

10 090

Карбид кремния

3 920

7 050

Титан

2145

3 865

Молибден

1 990

3 580

Цирконий

1 522

2 740

Тантал

1 232

2220

Вольфрам

1040

1 870

’) Теплостойкости для материалов, исключая графит, получены Лабораторией исследований и развития AVCO, Вилмингтон, Массачусетс.

2 У. X. Дорренс

можно принять некоторые меры для смягчения этой проблемы. В этой книге подробно излагаются некоторые из этих мер, поскольку они имеют отношение к реагирующему пограничному слою, окружающему тело.

Проблема теплозащиты при конструировании гиперзвуковых летательных аппаратов. Подробное описание взаимодействия нагретого газа в пограничном слое с материалом поверхности тела дается в следующих главах. Однако уже сейчас можно сделать некоторые замечания, облегчающие решение задачи о гиперзвуковом нагревании при конструировании летательных аппаратов. Из уравнения (1.10) и рис. 1.1 видно, что использование тел затупленной, плохо обтекаемой формы позволяет уменьшить нагревание аппарата. Таким телом может быть, например, сфера. Однако сильно затупленные формы не всегда удобны с точки зрения их назначения. Так, сфера имеет большое сопротивление и перед ней возникает сильный дугообразный скачок уплотнения, при прохождении через который нагревается большой объем газа. Это нагревание сопровождается ионизацией и свечением газа в следе за телом, из-за чего ухудшается связь с объектом1). Кроме того, такой объект трудно замаскировать в том случае, когда он является целью.

С другой стороны, торможение хорошо обтекаемого объекта происходит лишь тогда, когда он достигнет сравнительно плотных слоев атмосферы, благодаря чему приток тепла к такого рода объектам чрезвычайно значителен. Задача конструктора состоит в том, чтобы найти наиболее удачный компромисс между формой объекта и средствами тепловой защиты. Для решения этой задачи нет никаких твердо определенных правил, и оптимальный компромисс находится в результате личного мастерства конструктора.

На рис. 1.2 приведена теневая фотография модели в области баллистического полета, имеющей форму, типичную для конических головок баллистических ракет.

’) См., например, Dorrance W. Н., Aerospace Eng., 17 (5), 40—43 (1958).

Затупление носовой части позволяет уменьшить тепловые потоки в этой области. Коническая форма хвостовой части снаряда повышает его аэродинамическую устойчивость1). Обращает на себя внимание турбулентный характер следа. По мере того как из-за вязкости уменьшаются размеры вихрей в следе за телом, температура

Рис. 1.2.

Модель характерной для головок баллистических снарядов формы на баллистическом участке полета. Снимок сделан с помощью теневой фотографии через долю секунды после выстрела из газовой пушки (Лаборатория исследований и развития AVCO, Вилмингтон, Массачусетс).

газа в следе и его окрестности растет. Большая часть тепла при вязком нагреве газа выделяется в сравнительно тонком слое вблизи тела. Только после подробного анализа процессов, протекающих в этом пограничном слое, можно точно рассчитать теплопередачу к телу.

С точки зрения конструирования важную роль играет не только общая теплопередача к телу, но и скорость

’) См., например, D о г г а п с е W. Н., J. Aeronaut. Sei., 18 (8), 502—512 (1951),

теплового потока. Выбранный материал может обладать достаточной теплостойкостью для поглощения всего тепла, передающегося к телу, но, например, из-за его недостаточной теплопроводности отвод тепла внутрь тела будет задерживаться, что приведет к перегреву поверхности конструкции.

Для конструктивного решения проблемы теплозащиты были предложены различные схемы, включая такие, в которых используются реагирующие или сублимирующие материалы, т. е. материалы, разрушение которых заранее предполагается и происходит упорядоченным и предусмотренным образом. При разрушении таких веществ тепло может поглощаться вследствие возникновения химических реакций или вследствие изменения фазового состояния вещества. Защитное действие таких веществ может состоять в «блокирующем эффекте», т. е. в появлении конвективных потоков газа, направленных от тела и уменьшающих приток тепла к поверхности. И снова, для того чтобы в этих условиях определить теплопередачу внутрь тела, необходим подробный анализ течения газа в пограничном слое. Одна из задач этой книги — изложить методы, позволяющие провести такой анализ.

Тематика книги. Предлагаемые в данной книге методы применимы для решения задач нагрева или охлаждения поверхностей потоком вязкого газа независимо от назначения самих конструкций. Такой поверхностью может быть поверхность сопла ракеты, стенки аэродинамической трубы, а также поверхность, разрушающаяся в результате изменения фазового состояния вещества или обгорания. Мы рассмотрим многие типы взаимодействия материала поверхности с газом в ламинарном и турбулентном пограничных слоях. .В последующих главах рассматривается влияние на характеристики как ламинарного, так и турбулентного пограничного слоя сгорания поверхности, горения в пограничном слое, переноса массы на поверхности, диссоциации, изменения свойств газовых смесей с изменением температуры и состава. Ввиду того что для решения поставленной задачи необходимо знание термодинамических и переносных

свойств газовых смесей, каждому из этих вопросов посвящена отдельная глава. Автор надеется, что материал, касающийся уравнений движения и свойств газовых смесей, изложен достаточно полно для того, чтобы на его основе можно было рассчитать теплопередачу в пограничном слое при различных условиях на поверхности тела, включая те случаи, когда материал поверхности вступает в химическую реакцию.

В процессе работы над книгой автор столкнулся с досадной проблемой совпадения символов и наименований в тех научных дисциплинах, на которые опирается изложение: газовой динамике, термохимии, термодинамике, молекулярной физике, квантовой физике, статистической механике. Автор старался по возможности сохранить общепринятые обозначения; можно надеяться, что в тех местах, где избежать дублирования не удалось, смысл того или иного обозначения будет ясен из текста. Большинство символов объясняется в приложении.

Особое внимание было уделено ссылкам на те работы, которые до сих пор не были освещены в открытой литературе. В качестве источников использовалась почти исключительно открытая литература. Некоторые ссылки сделаны на ограниченные издания, которые, однако, имеются в большинстве технических библиотек. В отдельных случаях эти издания можно получить, написав в агентства, которые их опубликовали. Достойно сожаления, что некоторые безусловно полезные работы до сих пор не появились в открытой литературе, и надеемся, что упоминание о них в книге послужит стимулом к их опубликованию.

ГЛАВА

2

УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Введение. Понятие о тонком вязком слое вблизи тела, около которого течет жидкость, было введено Прандтлем). Согласно Прандтлю, внутри узкой области, называемой пограничным слоем, скорость жидкости относительно поверхности возрастает от нуля на самой поверхности до некоторого максимального значения. В настоящее время такая концепция общепринята и является одним из основных постулатов динамики жидкости. Она проверена путем тщательных измерений распределения скорости поперек пограничного слоя. Косвенным подтверждением этой концепции служит также отличное совпадение экспериментальных данных с результатами, полученными путем решения уравнений пограничного слоя. Последние представляют собой систему дифференциальных уравнений движения жидкости, полученную из более общих уравнений движения, в которых на основании предположений теории пограничного слоя отброшены некоторые члены.

В этой главе мы постулируем существование пограничного слоя и выведем дифференциальные уравнения движения в слое реагирующей газовой смеси. Обычный вывод уравнений пограничного слоя сделан в предположении отсутствия химических реакций. Чтобы выявить изменения в уравнениях, появляющиеся в результате учета их вклада, нужно прежде всего исследовать исходные основные уравнения газовой динамики. Затем будет изложен метод отыскания автомодельных решений. Этот метод используется для сведения уравнений в частных

производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Кроме того, приводятся некоторые частные интегралы уравнений пограничного слоя, обсуждаются появляющиеся безразмерные коэффициенты переноса и определяются некоторые важные параметры. Выведенные в этой главе уравнения будут служить основой для изложения материала в главах с третьей по восьмую.

Уравнения газовой динамики. Фундаментальная система уравнений газовой динамики состоит из уравнений сохранения массы для отдельных компонентов газовой смеси, уравнения неразрывности, уравнений импульса, энергии и уравнения состояния газовой смеси. В самом общем виде эта система представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в которой искомые функции зависят от четырех независимых переменных: трех координат и времени. Уравнения фундаментальной системы представляют собой результат применения законов классической механики и термодинамики к течению жидкости или газа. Эти уравнения с граничными условиями, соответствующими физически разумным задачам, интегрируются в конечном виде лишь в нескольких случаях. С физической точки зрения эти случаи обычно соответствуют довольно простым задачам, обладающим естественной симметрией и позволяющим исключить из исходной системы многие члены. ■

Исторически сложились два подхода к выводу уравнений газовой динамики. Феноменологический метод состоит в том, что постулируются определенные соотношения между деформациями и напряжениями, потоком тепла и градиентом температуры, скоростью диффузии и градиентом концентрации, а затем на основе законов классической механики и термодинамики выводятся уравнения. Недостаток этого метода состоит в том, что коэффициенты переноса, т. е. коэффициенты пропорциональности между градиентом скорости и касательным напряжением, потоком тепла и градиентом температуры, скоростью диффузии и градиентом концентрации, не определяются непосредственно из самого метода. Для их определения нужны прямые измерения. В этой книге

мы будем обозначать указанные коэффициенты переноса символами ц, к, Вц, а именно

т

Ц =— коэффициент вязкости,

я " дТ/ду — коэффициент теплопроводности

и Ви= ас т'а,коэффициент бинарной диффузии. О^^иу

Здесь т9Д- — проекция на направление х напряжения трения, действующего на площадку, перпендикулярную оси у декартовой системы координат,

— qu — поток тепла в направлении оси у той же системы координат,

Vig — составляющая скорости диффузии, возникающей вследствие наличия градиента концентрации /-го компонента в направлении оси у декартовой системы координат в газовой смеси /-го и /-го компонентов,

Сг = pt/p— концентрация /-го компонента,

Т и р — температура и плотность газовой смеси соответственно.

Читателям, интересующимся феноменологической теорией, мы рекомендуем книгу Шлихтинга1), где эта теория изложена подробно.

Другой метод основан на использовании математической теории неоднородных газов. При использовании этого метода коэффициенты переноса в уравнениях газовой динамики определяются в виде интегральных соотношений, полученных при помощи динамики сталкивающихся частиц. Некоторый эмпиризм вносится при определении сил взаимодействия, необходимых для вычисления интегралов столкновений. Но даже здесь в принципе можно значительно уменьшить долю эмпириз-

S с h 1 i с h t i n g H., Boundary Layer Theory, 4th ed., p. 42—54 and 288—292, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1960; русский перевод: Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, ИЛ, М., 1956.

ма, обратившись к некоторым специальным теориям. Этот вопрос рассматривается в гл. 10.

Математическая теория газов, в частности кинетическая теория, подробно изложена в книгах Чепмена и Каулинга), Гиршфельдера, Кертисса и Берда). В гл. 10 будет показано, что коэффициенты переноса ц, к и IX, являются функциями температуры газовой смеси, молекулярного веса компонентов и некоторых параметров, характеризующих поле межмолекулярных сил. Ввиду того что соотношения, определяющие коэффициенты переноса и уравнения газовой динамики для смеси газов выводятся на основе этой теории, некоторые ее аспекты будут освещены в данной главе.

Молекулярная теория течения газов. Молекулярная теория течения газов описывает макроскопические свойства газовых смесей, не находящихся в термодинамическом или химическом равновесии, исходя из некоторых предположений относительно поведения микроскопических частиц, составляющих данный газ. Введем функцию распределения скоростей молекул /Дх, у, г, vx, иу, vz, /), которая дает в момент времени / вероятное число молекул г-го компонента смеси в объеме dxdydz в точке пространства с координатами х, у, z, составляющие скоростей которых заключены между их и vx-\-dux, vv и Цу + dUy, иг и u2 + du2. Пространство х, у, г, vx, vy, uz называется фазовым пространством, а координаты и скорости являются в нем независимыми переменными. Общее число частиц в объеме dxdydz, отнесенное к величине этого объема в момент времени t, определяется, очевидно, как

Мп 0= / / J fidvxdvydvz, (2.2)

а плотность частиц i-vo компонента газовой смеси в виде

Р/ = "^ = mt ^dv^Р/ = "^ = mt ^dv^(2.3)(2.3)

Р/ = "^ = mt ^dv^

Р/ = "^ = mt ^dv^

(2.3)

(2.3)

Здесь mt — масса одной частицы i-ro компонента смеси, гц— число таких частиц в объеме dxdydz. В дальнейшем нам потребуются обозначения’)

r = .d + yj+zk,(2.4)

v^^i + ^j + ^k(2.5)

и

dv = dvх dvу dvz.(2.6)

Если не указаны пределы, то в интегралах вида (2.3) интегрирование производится в пределах от — оо до + оо. Другие кинематические и термодинамические величины выражаются также интегралами вида (2.3). Так, например, среднее значение любой зависимой переменной, связанной с частицами i-ro компонента газовой смеси, выражается формулой

ёдг, /) = ^ / hMvb(2.7)

откуда следует, что

Vz(r, ^)=^-piV^(2.8)

есть средняя скорость частиц i-ro компонента. Газодинамическая, или средняя массовая, скорость выразится соотношением

2 "^гй

V0(r, /) = Ц-(2.9)

i

ИЛИ, ВВИДУ ТОГО ЧТО 2ftzmt=p,

Vo (Г, О = j ^т, j hvt dv,. (2.10)

’) В этой книге везде используется декартова система координат, а векторы выделены полужирным шрифтом. Так, например, в равенстве (2.4) i, j, k — единичные векторы, параллельные осям х, у, г соответственно,

В случае однородного газа vo=vt. Введем обозначение для скорости частиц i-ro компонента относительно системы координат, движущейся со средней массовой скоростью v0,

Vz = vz — v0.(2.11)

Скорость диффузии частиц z-ro компонента определяется как

Vz (г, ^ = -^Jf^^ = ^ J^^-Vo)^- №

Эта скорость равна нулю только для однокомпонентного газа.

Из кинетической теории следует, что температура связана со средней скоростью соотношением

(2.13)

где й— постоянная Больцмана. Используя равенство (2.7), получаем

(2.U)

где п — 2 nt-Теперь мы имеем уравнения, связывающие все макроскопические величины с функцией распределения микроскопических величин. Это уравнения (2.2), (2.10), (2.14) и уравнения состояния для совершенного газа

р(г,Smi J М^ь

I

(2.15)

(2-14)

Vo(r, 0 = -^^т1 $ h^idv^

(2.10)

Pi = Pi~T, pz = raz/nz,

(2-16)

Р — ^Рь

(2-17)

Очевидно, что далее проблема сводится к нахождению функции распределения /;. Функция распределения определяется из уравнения Больцмана, которое описывает изменение /, в фазовом пространстве. Это уравнение в предположении, что на частицы не действуют никакие внешние силы, имеет вид1)

^fi | „, ^ft | „. dfl । dfl ^1 r /о 1 Q\ dt + дх~ И'

j

где fi — функция распределения для i-ro компонента, или однокомпонентная функция распределения, а

Jtj = ^ J J Vitj — fif^gijbdbdvj2).(2.19)

6дес|> fjfy—функции распределения сталкивающихся частиц i-ro и /-го компонентов смеси после столкновения, ftfj — те же функции до столкновения,

gq — абсолютное значение скорости частицы i-ro компонента относительно частицы /-го компонента до столкновения,

b — наименьшее расстояние, на котором прекращается взаимодействие между частица. ми i-ro и /-го компонентов смеси.

Интеграл в равенстве (2.19) представляет изменение плотности частиц i-ro компонента в контрольном объеме, происходящее в результате их столкновений с частицами /-го компонента и отклонения вследствие этого частиц i-ro компонента внутрь или за пределы этого объема. Произведение функций распределения частиц i-ro и /‘-го компонентов, вычисленное в точке с радиусом- вектором г, дает наиболее вероятное число.таких частиц в контрольном объеме фазового пространства. Таким образом, постановка задачи завершена. Однако при этом возникла сложная проблема решения уравнения (2.18) для функции распределения /,.

’) См., например, Гиршфельдер, Кертисс и Берд, op. сП., стр. 444—449.

В п. 10.2 указаны условия, при которых поле газодинамических переменных определяется с помощью однокомпонеитиой функции распределения.

У равнения переноса. Ясно, что если удастся решить уравнение Больцмана (2.18) и получить функции распределения fj для всех компонентов смеси, то с помощью (2.10), (2.14)— (2.17) можно определить все переменные, характеризующие поле течения. Однако решение уравнения Больцмана далеко не простая задача, и в книгах-Чепмена и Каулинга и Гиршфельдера, Кертисса и Берда, на которые мы ссылались ранее, этот вопрос занимает большое место. Мы тоже рассмотрим этот вопрос, так как его понимание необходимо при выводе уравнений газовой динамики и изучении переносных свойств газовых смесей.

Сначала из уравнения Больцмана получим уравнения переноса Максвелла — Энскога. Для этого выведем дифференциальные уравнения, описывающие изменение средних величин 0;, характеризующих поле течения для частиц i-ro компонента. Такие уравнения можно получить путем умножения уравнения (2.18) на 0< и последующего интегрирования по всем скоростям V/, т. е.

f(2-2°)

\i /

где

4- = ^-i + ^-j + 4-k.(2.21)

dt дх ' ду 1 ' dzх '

Но

или, имея в виду (2.7),

J Ф^ = |ЙН<Т' (2.22)

аналогично

/ °* V1 ' Ip) ^ = ^ ’ (J ^0‘v' dN^ " J ^Vi ' %"dVi’

так как Vj и г — независимые переменные в фазовом пространстве. Используя снова (2.7), получаем

J ei (v- ' "3F") dNi = ^ ‘ ^V/) “ ni (v‘ 1 "S') ’ (2-23>

и равенство (2.20) превращается в уравнение переноса Энскога

^+4 ■ W(^ +7~?) = Ц J «Л; dvb

(2.24)

где /ij определяются равенством (2.19).

Проиллюстрируем использование уравнений переноса, положив 9г = Шг. Тогда ввиду постоянства т, dmt __л— л

dt ' dr" — и

и уравнение (2.24) переходит в

^р + ^ ' laim^ ^mi^i JU dvf (2‘25) i

Если в рассматриваемой газовой смеси протекают химические реакции с участием частиц i-го компонента, то ясно, что изменение общего числа частиц i-го компонента зависит от числа столкновений этих частиц с частицами других компонентов смеси. То есть

^J^dv^Kt,(2.26)

i

где Kt есть общая скорость изменения числа частиц /-го компонента в рассматриваемом объеме за счет их химического соединения с частицами /-го компонента. Далее, ввиду сохранения массы при химических реакциях ^Кр^О.(2.27)

i

Следовательно, используя (2.26), уравнение (2.25) можно записать так:

(2.28)

или, учитывая (2.3) и (2.11), получаем другие уравнения до. д —.

-^ + ^-[Рг(^ + У0)]-®;,(2.29)

"Т + ^ ' [РС< ^ + Vo)] - ®z.(2.30)

Так как ^Кртц^О и '21fnini = p и ^дгтцп,^ t = 0, то из уравнения (2.29) путем суммирования по всем i можно получить уравнение сохранения массы

^ + ^-(pvo) = O. (2.31)

Кроме того, из (2.30) и (2.31) получаем уравнение

Р Sr + Н) • ^ = ^ - £ ' <РС^-)- (2-32)

Такая форма записи удобна для дальнейшего анализа. Выше через wt = Kim.i была обозначена скорость возникновения частиц Тго компонента за счет химических реакций, а через Сг — концентрация этих частиц. Уравнение (2.32) является уравнением неразрывности газовой динамики, включающим скорость диффузии V,-, определенную через функцию молекулярного распределения при помощи равенства (2.12).

Уравнения сохранения количества движения и энергии можно вывести аналогично, используя уравнения переноса. Эти уравнения здесь не выводятся1), так как учет химических реакций незначительно влияет на их вид. Ниже будет показано, что уравнения переноса могут быть полезными при решении уравнений Больцмана.

Решение уравнения Больцмана. Опишем в общих чертах метод Энскога решения уравнений Больцмана. Известно, что когда газовая смесь находится в термодинамическом и химическом равновесии, функция распределения задается классическим законом распределения Максвелла — Больцмана

№ = п. ( 2^7) ехР(—2^^'")' (2’33)

Выражение для функции распределения можно получить при помощи методов статистической механики. Этот вывод фактически делается так же, как выводится комбинация уравнений (9.11) и (9.16).

’) Они выведены в книге Гиршфельдера, Кертисса и Берда, op. cit., стр. 459—464 и 496—498.

Предположим, что функция распределения для газовой смеси, не находящейся в равновесии, задана бесконечным сходящимся рядом

fz_f(0) + efm + £2f(2)+(2.34)

и уравнения Больцмана имеют вид

(2.35)

dt 11 dr e А* Чx '

j

Здесь 1/e есть мера частоты столкновений между частицами i-ro и /"-го компонентов смеси. Если 1/8 велико, то столкновения часты и fj в (2.34) близко к f^- В пределе при в, стремящемся к 0, получим равновесную газовую смесь. Подставив (2.34) в (2.35), получим бесконечный ряд уравнений, а именно

о=2Лу(^. f(°>)(2.36)

и

ah0) „

tt+v.t-SI-W' ЧЧ+ГЖ- 9')1 <2-37)

и т. д. Прямая подстановка показывает, что уравнение (2.36) удовлетворяется с помощью (2.33). Далее, подставив (2.33) в левую часть (2.37), найдем, что правая часть, содержащая интегралы от fy и /"Ф, равна выражению, включающему временные и пространственные производные от п,, Т и vq. Известно, что единственным решением уравнения (2.37) для функции /0\ удовлетворяющим с учетом (2.34) уравнениям (2.10), (2.14) и (2.15), является линейная комбинация членов, содержащих градиенты величин Т, v0, р и п^. Коэффициенты при этих членах определяются из системы интегральных уравнений, содержащих Vг, гц, Т. Эти уравнения для первого порядка по е были решены Чепменом и Каулин- гом ’) путем разложения части подинтегральных выра-

’) Chapman S., Cowling Т. G., The Mathematical Theory of Nonuniform Gases, 2d ed., Cambridge University Press, New York, 1958; русский перевод: Чепмен С., Каулииг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1960.

жений в бесконечные сходящиеся полиномиальные ряды. Для получения разумной точности оценки интегралов требуется лишь несколько членов ряда. Этим способом получены явные выражения интегралов для коэффициентов переноса Dij, ц и А, но он не дает других функций распределения, кроме ^0). Математические детали слишком громоздки для того, чтобы их здесь приводить. Подробное изложение можно найти в книге Чепмена и Каулинга, а также в книге Гиршфельдера, Кертисса и Берда, на которые мы ссылались выше. Одним из результатов этих вычислений является выражение для скорости диффузии V<

1 pnt J ч j пцгдед п. In, п,т,\ dlogpл . —г—U 1 1 дг п ' \ п р / дг1 pnt J ч j пцгдед п. In, п,т,\ dlogpл . —г—U 1 1 дг п ' \ п р / дгdrdr"ч-"ч-(2.38)(2.39)(2.38)(2.39)

1 pnt J ч j пц

где

д п. In, п,т,\ dlogp

л . —г—U 1

1 дг п ' \ п р / дг

1 pnt J ч j пц

где

д п. In, п,т,\ dlogp

л . —г—U 1

1 дг п ' \ п р / дг

dr

dr

"ч-

"ч-

(2.38)

(2.39)

(2.38)

(2.39)

При разумном приближении теория дает следующую формулу для коэффициента бинарной диффузии:

3 [2лй (тг + т^три^Ч Тб пла^й^

Величина DTt в формуле (2.38) является коэффициентом термической диффузии. Интегралы столкновений Ш-р* и диаметр столкновений с^ рассматриваются в гл. 10. Известно, что интегралы столкновений непосредственно зависят от динамики столкновения частиц и, следовательно, от поля молекулярных сил. Заметим, что из уравнения (2.38) следует зависимость скорости диффузии частиц некоторого компонента смеси от градиента концентрации, температуры и давления. Однако в интересующих нас приложениях уравнения (2.38) зависимость от градиентов температуры и давления имеет второстепенное значение.

Из теории Чепмена — Каулинга следуют также уравнения, определяющие теплопроводность и вязкость через интегралы столкновений О^^ . Эти уравнения приводятся в гл. 10. В настоящий момент очень важно

3 У. X. Дорренс

отметить, что уравнения газовой динамики полностью следуют из молекулярной теории. Лишь в определении поля молекулярных сил остается некоторая доля эмпиризма, которая может быть устранена при помощи квантовой теории, хотя такая задача, за исключением самых простейших случаев, чрезвычайно трудна.

Использование молекулярной теории так, как это описано здесь, является наиболее рациональным подходом при изучении течений реагирующих газов. Для такого утверждения есть два основания. Во-первых, метод позволяет должным образом ввести в уравнения течения члены, учитывающие химические реакции, и, во-вторых, члены, учитывающие межмолекулярные потенциалы и зависящие в основном от сил взаимодействия между парами одинаковых и разных частиц газовой смеси, входят явно в уравнения для коэффициентов переноса, которые следуют из этой теории. При той форме записи, какая принята в данной книге, только уравнения сохранения для отдельных компонентов являются теми газодинамическими уравнениями, которые содержат в явном виде член, учитывающий химические реакции.

Скорость диффузии. Полное уравнение для вектора скорости диффузии, которое дает молекулярная теория газов, представлено уравнением (2.38). В рассматриваемых нами случаях можно сделать предположения, позволяющие упростить эти уравнения. Во-первых, большинство интересующих нас смесей будут существенно бинарными в том смысле, что все компоненты разбиваются на два класса, состоящие из тяжелых и легких частиц. Например, диссоциированный воздух состоит из тяжелых частиц О2 и N2 и легких частиц О и N. Реакция графита с газовой смесью дает тяжелые частицы СО2 и легкие О2 и N2, а возможно, и СО. В том случае, когда для охлаждения используется гелий, тяжелыми частицами будут О2 и N2, а легкими — частицы Не. Для подсчета потока массы О или N через О2 или N2, N2 или О2 через СО2, или Не через N2 и О2 с хорошим приближением может служить один коэффициент бинарной диффузии £>12. Для смеси двух газов (2.38) дает

d2(2.41)

p^i и 2 nxmx drv 7

где Нг определяется из уравнения (2.39) при /=2. Для У2 можно написать аналогичное уравнение. Кроме того, в бинарной газовой смеси

/zii/i i V i + m^ V2 = О,(2.42)

m,xnx-V т2п2 = пт,(2.43)

/11 + /г2 = /1.(2.44)

Если di и d2 находятся из (2.39) с учетом (2.43) и (2.44), то

d1 = —d2.(2.45)

Кроме того, используя аналогичные уравнения для У2 и учитывая (2.42) и (2.45), получаем

-012 — O2i(2.46)

и

Dtx= — DX.(2.47)

Отсюда, имея в виду (2.45), найдем из (2.41) и аналогичного уравнения для У2 разность

Vi-V2 =

п1 Pt Г д П; х(плпхтх \ д log р , ^ d log Г q . ni«2 12 L <5r п \л р / dr ' Т gr ]’

(2.48) здесь

(2-49)

Комбинируя теперь (2.48) с (2.41), получаем

Vi=-

пт2 q Г d zii । /п,пхтх \ д log р пхт 12 [ dr л \ пр / dr

. , d log Г1

+ dr J'

Удобно

(2.50)

ввести массовую концентрацию

С __ п,тх

(2-51)

где

пт

— ^tniniС;\-1

2j nt/

(2.52)

так чтотак что

так что

так что

(2.53)(2.53)д _ т2 dCvdr п mvm2 dr '

(2.53)

(2.53)

Подставляя (2.51) — (2.53) в (2.50), получаем

V! = - Dn [ A (log cj+^^ с2 A (log р)+

— (log Л].(2.54)

т2^ Т dr 6 JV 1

Итак, мы видим, что поток массы зависит от градиентов концентрации, давления и температуры. При любом данном направлении отношение различных членов, входящих в выражение для потока массовой диффузии, дает пропорции

I dCx I I dp I I , dT I

где kT — порядка 10-1 для интересующих нас газовых смесей. Для большинства рассматриваемых нами случаев

I dCidp\ \ь dT |

I "сГ"Fl—р

и поэтому хорошее приближение для Vi дает формула

Vj =— £>12 -^ (log Ci) (закон Фика). (2.55)

Так, например, уравнение сохранения массы z-го компонента имеет вид

Р^ + М.^-^-Н^ДАж") (2.56)

и в таком виде будет применяться в дальнейшем. Очевидно, что при желании можно ввести в уравнение (2.54) диффузионный поток, зависящий от градиента давления и градиента температуры.

2.3. Уравнения пограничного слоя. В этом пункте мы изложим концепцию Прандтля о пограничном слое и покажем, как ее можно использовать для получения из

уравнений газовой динамики уравнений пограничного слоя. Полученными в результате уравнениями пограничного слоя мы будем пользоваться на протяжении всей книги.

Прандтлева концепция пограничного слоя. Предполагается, что все явления переноса газовой смеси происходят лишь в тонком слое вблизи поверхности обтекаемого

Рис. 2.1. Схема течения в пограничном слое.

тела. На рис. 2.1 схематически представлена геометрия течения в пограничном слое около затупленного тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью. Вообще говоря, важны по крайней мере три толщины пограничного слоя: толщина пограничного слоя 6 профиля скорости (рис. 2.1), толщина температурного пограничного слоя 6Г (см. также рис. 2.1) и толщина пограничного слоя для концентраций компонентов 6С. Когда число Прандтля и число Шмидта одновременно равны 1, эти толщины совпадают для частного случая течения возле пластины. Если, как это обычно бывает в большинстве газовых смесей, число Прандтля и число Шмидта меньше

единицы *), то толщина пограничного слоя для температуры и концентрации больше, чем для скорости. Безразмерные коэффициенты, о которых идет речь, определяются следующим образом:

Ср и

Рг=—— (число Прандтля)(2.57)

и

Sm = ^— (число Шмидта)(2.58)

и в дальнейшем будут часто появляться в уравнениях. Их значение мы выясним в п. 2.6. Для большинства рассматриваемых нами газовых смесей они достаточно близки к единице, так что в следующем ниже анализе порядков величин мы можем положить все толщины пограничного слоя равными толщине пограничного слоя скорости.

Прандтлева концепция пограничного слоя может быть выражена неравенством

6 (s) <С $•

В действительности решения уравнений пограничного слоя показывают, что

=<2-59>

и этой оценкой порядка толщины пограничного слоя мы сможем воспользоваться для вывода уравнений пограничного слоя из уравнений газовой динамики.

Для иллюстрации этого метода рассмотрим переход от уравнения для s-компоненты в системе Навье—Стокса (уравнение сохранения количества движения в проекции на направление вдоль пограничного слоя) к уравнению для s-компоненты пограничного слоя в сжимаемой смеси газов. Как показано на рис. 2.1, s и у — ортогональные координаты. Скорости в направлениях s и у обозначим соответственно через и и и. Уравнение для

') Глава 10 посвящена исследованию переносных свойств газовых смесей, в том числе и таких, для которых числа Прандтля и Шмидта отличны от единицы.

ди । диds 1 ds ( L dsди । диds 1 ds ( L dss-компоненты в системе Навье — Стокса при отсутствии внешних сил и стационарном характере течения можно написать в виде ’)

ди । ди

ds 1 ds ( L ds

ди । ди

ds 1 ds ( L ds

3 \ ds ду ) J f +

+(2.60)

Из (2.31) и (2.21) следует, что для установившихся течений уравнение сохранения массы имеет вид

^- + Ж = 0’(2’б1)

так как в двумерном случае

v0 —(2.62)

Приведем теперь эти уравнения к безразмерному виду таким образом, чтобы все входящие в них члены были одного и того же порядка. Это можно сделать, если отнести все компоненты скорости к характерной скорости, все координаты — к характерной длине, плотность и коэффициенты вязкости — к характерной плотности и вязкости соответственно. Обозначим безразмерные величины индексом (). Можно установить, что уравнение сохранения массы выполняется и для безразмерных величин. То есть

и оба члена в этом уравнении одного порядка (за исключением тех тривиальных случаев, когда поток массы в одном направлении постоянен). Обозначим характерную

длину в направлении координаты $ через Лив направлении у через 6. Безразмерные переменные определим следующим образом:

(2.64а)

s*-T-^ = f-(2.646)

p* = -L, ц* = -Ь, р* = _Р (2.64в) РеИеРеИе

где индексом «е» обозначены величины на внешней границе пограничного слоя (см. рис. 2.1). Характерную величину для поперечной скорости и (2.64а) нужно выбирать, имея в виду уравнение (2.63). Подстановка (2.64а) —(2.64в) в (2.60) дает

* * ди* . * * ди*

р и -ч-*- 4- р у =

' ds* 1 ' ду*

_ дР* I 1 д f 4О ди* , 2 (ди* ,,

ds* Re ds* ( ds* ' 3 \ ds* ду* j.J J +

( Ly 1 d ( * Г ди* / 6 \2 ду* "I)

\ 6 j Re dy* I и L ду* + L ) ds* J Г

Если теперь использовать концепцию Прандтля, то можно вычеркнуть из (2.65) часть членов в том случае, когда Re велико. Заметим, что благодаря разумному выбору характерных величин длин и скоростей все безразмерные производные в равенствах (2.64а) и (2.646) одного и того же порядка. После возвращения к размерным переменным получим следующее уравнение для s-компоненты уравнения сохранения количества движения для пограничного слоя:

du . ди др . д { ди\

(2-66)

Уравнение сохранения массы не изменится.

Аналогично можно перейти от уравнений сохранения для остальных компонент и уравнения энергии к уравнениям пограничного слоя. Повторять выкладки здесь нет необходимости.

Уравнения пограничного слоя для реагирующего газа. Здесь мы выпишем уравнения пограничного слоя для реагирующей смеси, которые получились в результате применения описанного в предыдущем пункте анализа порядка величин к уравнениям газовой динамики. При этом делаются следующие предположения:

Все компоненты смеси ведут себя как совершенные газы.

Течение установившееся.

Эффектами передачи тепла от газа к телу и обратно путем излучения можно пренебречь.

Течение является двумерным или осесимметричным.

Когда эффекты излучения приобретают существенный характер, их зачастую можно учесть при помощи аддитивной функции. Мы их рассматривать не будем.

Для совершенного газа уравнение состояния имеет вид

Р1 = е№(2.67)

Из закона Дальтона для парциальных давлений

^1pi = p=T'21piRt = pRT.(2.68а)

ii

Таким образом, газовая постоянная для смеси

R = ^ СДц Ct^.(2.686)

Уравнение сохранения количества движения для s-компоненты имеет вид

ди । ди др . д / ди \

(2'66)

а для «/-компоненты вид

0 = — -^ или р = ре.(2.69)

Уравнение неразрывности записывается в виде дригп дрогл

где й = 0 для двумерных течений и й=1 для осесимметричных, r0(s) —радиус осесимметричного тела в меридиональной плоскости.

Уравнение неразрывности для отдельных компонентов имеет вид

9Ct , дС( 9 / дС: \ . • /о

Здесь мы пренебрегли термо- и барродиффузией, поскольку они значительно меньше массовой диффузии. Таким образом,

Vty = — (закон Фика). (2.71) оу

Уравнение сохранения энергии записывается в виде

91 ,919 Г р 91 .1 \ 1 ди21

PMdr + P^^LPFir + ^l1 ~

9у \ Le9у \ Le(2.72)(2.72)

9у \ Le

9у \ Le

(2.72)

(2.72)

где энтальпия Z-го компонента А/ выражается формулой

т

(2.73а)(2.73а)h^ J Cp.dTA-^о

(2.73а)

(2.73а)

(й?—теплота образования /-го компонента), Й = 2^Д(2.736)

и

I^h^^.(2.73в)

Мы предположим еще, что газовая смесь состоит в основном из частиц только двух сортов — легких и тяжелых, так что для учета диффузионных потоков всех компонентов используется один и тот же коэффициент бинарной диффузии Dtt. Уравнения (2.67) — (2.73в) составляют систему уравнений пограничного слоя для реагирующей газовой смеси.

Сведение уравнений пограничного слоя к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Приведенные в п. 2.3 уравнения пограничного слоя являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые трудно решить. Исключение составляют некоторые специальные случаи, когда достаточное число членов можно опустить, чтобы свести уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, например течение Куэтта, течение в трубе. Имеются, к счастью, и другие случаи, когда эти уравнения можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это происходит тогда, когда существует естественная система координат s, т], связанная с декартовой системой s, у соответствующими преобразованиями, в которой производные зависимых переменных разделяются, в результате чего получаются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Найдем такие системы координат, используя наши уравнения пограничного слоя для газовой смеси. Излагаемый метод был предложен Ли Тинг-и и Нагамацу1).

Подставив уравнение (2.68а) в (2.70) и используя (2.69), получаем

д ид vи 1 d(p„rY\

ds RT 1 dy RTRT рД dsv ’

Введем функцию тока

у

^^y)=^-^dy^-^^G),(2.75)

о

тогда (2.74) примет вид

д ■ дфд у _1 d ^р^ 5ф

ду dsdy RT реГд ds dy

так как

d дф d дфds dydy ds '

.') Li T. Y., N a g a m a t s u T., J. Aeronaut. Sci., 22 (9), 607—616

(1955).

(2.77)(2.77)Интегрируя (2.76) от у = 0 до у=у, получаем уd (рего)

(2.77)

(2.77)

RT ds реГу ds "

Таким образом, (2.66) можно с помощью (2.69), (2.76), (2.77) записать в виде dip ди dip ip d ^рег^ ди dy ds _ ds ^ perg ds _ dy

=+ — 4-(2-78)

Pe ds ' pe dy V dy ) v *

Теперь будем искать автомодельные решения (2.78) в виде

T(s, Ц) = TV (s) / (ту),(2.79а)

«(«, п)= М*)Л(п)-(2-796)

Штрих у f(r]) означает дифференцирование по ту. ту является пока неопределенной автомодельной переменной ту (s, у). Мы определим ее, используя (2.75), (2.79а) и (2.796). Именно, из (2.75) и (2.79а) получим

===(2.80а)

оу RT дт| дуоу

и из (2.796)

_^_ = “e^)J44).(2.806)

RT RTv *

Следовательно, приравнивая (2.80а) и (2.806), получаем

и, таким

Х ’ dyRT

образом, У

Г] = -^МГ4^-,(2.81а)

^(s) J RT'

или с учетом (2.68а), (2.686) и (2.69)

f dy-(2-81б)

0

Используя

(2.79а),

(2.796)

и (2.81a), получаем

dф ду

рие

PeN (s)

(2.82a)

dnpev7

ди ds

с/ due

1 ds

-uef"^.(2.826)

dip ds

f dN (s)

' ds

- + W(s)r5-,(2.82b)

ди

Р = ду

PP“r PeN (s)

2

(2-82r)

где

c =

(2.83)

PePe7

Подстановка этих выражений в (2.78) дает уравнение

—о-

Mel due

L Ре

Ре J ds

dsPer0 ds J PeN^

i

Pe

^ePe^eae/9 од\

peN^ peN(s) <Cf ) ’ <2'84)

причем при

выводе

(2.84)

мы воспользовались уравне-

Осталось определить N(s). Это можно сделать, перейдя

в (2.78) от s и у к независимым переменным s и т].

нием

полученным из (2.66) переходом к пределу при г/->оо. Теперь

dN^ ( N^f d^p/^ _ f d(Nper^ ds реГд ds реГд ds ’'

и, следовательно, используя равенство (2.86), из уравнения (2.84) получаем

} pXHNp/0)/ds\ +

1 due ((ре/р) — ({'у

"е ds i (V-p^MKWo)/^] j ''

Выберем N (s) так, чтобы

Р^/рЧе

PeN^d(Nper^ds\

Тогда

откуда, имея в виду, что г® —0 при s = 0,

№Ф2 = 2 f Wtikaeds

N^ =N^ =(2.89)

N^ =

N^ =

Комбинация (2.816) и (2.89) дает искомое преобразование независимых переменных

(2.90)

S= J SW^1^8'S= J SW^1^8'(2.91)(2.91)

S= J SW^1^8'

S= J SW^1^8'

(2.91)

(2.91)

и, следовательно, из уравнений (2.89) и (2.91)

(2.92)

Таким образом, если

Ч> = ЛГ(О) = ^

P/й

f(n),

(2.93)

U = Ue (s)f' (TJ),

(2.796)

P/0

(2.92)

ъ У

(2.90)

П (2s)№ J ре

s

S= /ре^оЧ^’

0

(2-91)

то уравнение (2.87) имеет вид

(С/7)7 1 tr' 1 "~"[ ^g —

Ue ^5 L Р

■О] = о.

(2.94)

Заметим, что преобразования (2.90) и (2.91) получаются как естественное следствие при поисках автомодельных решений уравнений (2.66) и (2.70). Преобразования (2.90) и (2.91) содержат как частный случай некоторые введенные ранее преобразования. Например,

Когда ие, ре И Ре постоянны и 6=0,

5 = 9eV-eHeS и

11(2peS/Pe«e)1/2 ‘

Это преобразование Блазиуса1).

Когда ие, ре и ре постоянны и 6=1,

S = Pe«ePe J r| ds

,о

В 1 a s i u s Н., Z. Math. Physik, 56, 1 (1908).

И

1/J\ 1/2

2J r0 rfs

\PeVoo'/

Это преобразованиеМанглера1).

Когда ие, ре и ре зависят ОТ S и 6 = 0,

J peUepedS, о

Это преобразование Иллингворса — Леви).

В самом общем случае

s = j ре«ерДк ds,(2.91)

о

4 = ^^- f — dy.(2.90)

(2s)1/2 J Ре

Это преобразование Лиза — Дородницына).

Таким образом, мы имеем выражения, позволяющие преобразовать наши уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Применим их к остальным уравнениям пограничного слоя (2.56) и (2.72). После некоторых алгебраических преобразований, аналогичных тем, которые делались при выводе (2.94), получаем полезные операторы

ры-—-р^— = риЛриГп Г — — / -=■ з——1(2.95) ds ду е ‘ е ° V ds 1 ds дх\ 2s дц Г

и для любой функции Q(s, у)

д (^ д\ <*uVo 66

— IO — = —pQ — dy \ dy J 2s di] \ dp

(2.96)

Применяя операторы (2.95) (2.56), (2.72), получаем1) » дС^^,dx\_dCt f dC, ds ds dp 2s дц

и (2.96) к уравнениям

_ 1 _d_ / С dQ' 2s di] ( Sm di]

РеР«^^це

(2.97)

и

,, d/ ,, d^ di fdi

ds ds di]2s di]

1 d Г C di . c / j 1 \ 1 du21 2s di] [ P r di] X Pr / 2 di] ]

I d Г С MЛу ^ dQ- 2s di] Sm X Le / ■“ 1 di]

(2.98)

Предположим теперь, что Ct(s, т]) и /(s, л) также являются автомодельными решениями, т. е. пусть

Сг= (C^eZi^) ,I=Ieg (Г])-

(2.99)

(2.100)

Тогда уравнения (2.97) и (2.98) преобразуются в

с A' I г , _ Шк2s^

Sm 1(Щ dswA^X

(2.101)

и

-2. a'V I fp' = _2^^_ Це.

Рг ё /Ie dS

I Г С ( 1 Л yi hl Vc^e Г

Sm \Le Ч2д Ie Zl

и2 Г/ 1 X V^irVW-xWn •

(2.102)

*) Здесь С, Le, Pr, Sm — безразмерные числа, определения которых даются в п. 2.6 и далее. Le —число Льюиса, Рг — число Прандтля, Sm — число Шмидта. — Прим. ped.

Для сравнения можно показать, что уравнение сохранения количества движения должно быть

(СГГ+ Г

Граничные условия для этих уравнений имеют вид При Z/ = 0, Т) = 0При 0-ХХ), Г]—>оо

^(0) = (гХ=&,z^\,

Г(0) = 0, цо) = иf^ f->0,

g'(O) = g^,g'^o,

g(O) = gw,g^L

Уравнениям сохранения массы отдельных компонентов, энергии и количества движения соответствуют преобразованные уравнения (2.101), (2.102) и (2.94).

Если

S d(СЛе.SW:,

— = const, ■—-——— = const,

i^i)e ^^Ре^еРе^*0 (^)е

S diи2UiX (СХ

■— = const, — = const, ———— = const

Ie dsIeIe

и_

2s du,.

—b == const,ue ds

to hil(hi)e и p/pe зависят только от т]. В этом случае уравнения (2.101), (2.102) и (2.94) представляют систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной ц. Как будет видно ниже, во многих интересных случаях эти ограничения выполняются.

Некоторые частные интегралы уравнений пограничного слоя. В случае когда (zf) и gw являются постоянными, можно, используя (2.101), (2.94) и (2.102) и соответствующие граничные условия, вывести ряд важных частных интегралов уравнений пограничного слоя.

Эти интегралы приводятся ниже.

Если du ids = 0, ^т = 0 и Le = Pr = l, то ds

g=af'+b (интеграл Крокко) ’), или с использованием граничных условий для g и f

g = gw + f'(l — gw).(2.103).

Если Sm = Pr, d(Ci)elds = 0, dUds~0 и ^, = 0 (замороженный поток) и если либо Рг=1, либо ис=0, то

Zi = aig + bi(интеграл Пробстина) ),

или с использованием граничных условий для z, и g

~ Uik + У^ U - 8«\(2-104)

Если Sm=l, wt = 0 (замороженный поток) и ^^ —№)е q tq

ds ds

Zi = a2f' + Ь2 (второй интеграл Пробстина) 2), или с использованием граничных условий для z^ и V

Zi= (Zi)w + [1 — (z^wlf'-(2.105)

Если Sm = Pr=l, w< = 0 (замороженный поток) и dig due d (С^ q dsds ds

то из (2.104) и (2.105) вытекает g = a3f'4-b3,

и с использованием граничных условий для g и f' получаем

^=^» + Г(1— gw).(2.106).

*) Crocco L., Sullo strato limite laminare nei gas lungo una lamina plana, Rend mat. Univ. Roma, 2, 138 (1941).

Этот интеграл является частным случаем интеграла Крокко.

Если s = 0, ие = 0 (критическая точка), Le=l, wt = 0 (замороженный поток), то

Zi = a4g + b4 (интеграл Скала) *).

Используя граничные условия для z; и g, получаем

= (z^ + У^ (g - gw\ (2.107)

Это уравнение совпадает с уравнением (2.104) для интеграла Пробстина, но в данном случае отсутствуют ограничения)

die . Л ^ (С;)е g dsds

Пусть dfChfe]ds = O, dlefds = Q, Le=l и либо ue = 0, либо Рг=1. Положим

Сг = 2г,-,,А,(2.108)

где Гг,н — та часть массы ^-го_компонента смеси, которая вносится i-м элементом, С, — массовая концентрация t-го элемента. Умножим уравнение

дСь , дСь д ( дСь\ , дСь

рц ^ + рт, -^ = -^ ^PZ) 12+ р -^ (2.109)

на п, S, просуммируем по k, и в силу того, что масса элемента сохраняется [уравнение (2.27)]

< = 5Г-..Т = 0'<2-110>

получим

дС; , дС; д / п дС1 \/о 1 1 1 \

+(2.111)

Используя (2.95) и (2.96) уравнению (2.111) можно придать вид

/ р -А,

+ ^ = °-(2.112)

в том случае, когда d(Ct)eM? = 0 и

С<=(Сае5г(п).(2.113)

Таким образом, если в (2.102) o7e/ds = O и Le—Pr= 1, то

^i = ct5g + b5 (интеграл Лиза) *).

Используя граничные условия Zi=(Zi)to) g = gw и z<=l при g = 1, получаем

(g - gj. (2.114) 1 Sty

Пусть d(Ci)e/ds = 0, d!e]ds = Q, Le=Pr=l и ue = 0. Тогда, применяя (2.103) и (2.114), находим

z^aj' + 66, или, используя граничные условия,

^ = &+[1-(ШГ(2.115)

Уравнения (2.103), (2.105) и (2.106) дают удобные соотношения между f', g и г, для замороженного потока, а уравнения (2.103), (2.114) и (2.110) —удобные соотношения между f, g и Zi для химически реагирующего газа. У нас будет случай воспользоваться этими ценными соотношениями в дальнейшем. Очевидно,что уравнения (2.114) и (2.115) более общие, чем уравнения (2.105) и (2.106), так как последние вытекают из первых при Wi = 0.

Все эти интегралы перечислены в табл. 2.1 вместе с условиями, при которых они существуют. Нужно помнить при этом, что необходимым условием их существования служит постоянство (2,)ю и g№ вместе или по отдельности.

') Lees L., Convective Heat Transfer with Mass Addition and Chemical Reactions, in «Combustion and Propulsion Third AGARD Colloquium, p. 451—498, Pergamon Press, New York, 1958.

Таблица 2.

Частные интегралы уравнений ламинарного пограничногослоя для смеси реагирующих и нереагирующих компонентог

ааИнтеграл ')Интеграл ')РгРгSmSmLeLeww<ls<lsdIe dsdIe dsdsds*) Все a^ и b^ постоянны.3) Черточки означают, что соответствующие величины могут принимат..- любое значение.*) Все a^ и b^ постоянны.3) Черточки означают, что соответствующие величины могут принимат..- любое значение.

а

а

Интеграл ')

Интеграл ')

Рг

Рг

Sm

Sm

Le

Le

w

w

<ls

<ls

dIe ds

dIe ds

ds

ds

*) Все a^ и b^ постоянны.

3) Черточки означают, что соответствующие величины могут принимат..- любое значение.

*) Все a^ и b^ постоянны.

3) Черточки означают, что соответствующие величины могут принимат..- любое значение.

Безразмерные коэффициенты переноса. Как вид но из п. 2.4, в уравнениях пограничного слоя появляются следующие безразмерные коэффициенты переноса:

Ср

Рг =—(число Прандтля),(2.116

Sm = ^— (число Шмидта),(2.117

pDY2Cp р.

Le =^—~” 8пГ (числ0 Льюиса), (2.118

где Ср ^С(СР (замороженная удельная тепло- / i i

емкость).

В этом пункте мы выясним значение перечисленные параметров,

Рассмотрим выражение, входящее в правую часть уравнения энергии (2.72):

д Г р. д! ./.1 \ 1 ди2( 1 i\ V ь АС/ "

dy "PTdF + ^t,1Рг ) 2 "ду(Le “

(2.119)

Упростим это выражение на основе уравнений (2.73а) — (2.73в),

L z Vo/J

или

ду дуду + 2 ду 1

Подставляя (2.120) в (2.119), получаем

д /, дТ , ди .„> дСД

"d5\k"35""^U dF + P^12^^-^)"(2.12!)

Кi 1

При выводе (2.121) мы использовали определение чисел Рг, Sm и Le, данное равенствами (2.116) — (2.118). Первый член в выражении (2.121) характеризует перенос энергии за счет теРлопередачи, второй — работу сил трения, третий — перенос энергии за счет диффузии. Введем безразмерные переменные и коэффициенты, определив их следующим образом:

и* = —,

(2.122)(2.122)^е

(2.122)

(2.122)

Ь* к

е

Преобразовав (2.121) с помощью (2.122), найдем, что

к (дТ/ду)

Теплопроводность

1

(2.123)

ри (ди/ду)

Работа сил трения

РгЕк '

рР12 2 kt №ildy)

Диффузия

1

(2.124)

ри (ди/ду)

Работа сил трения

Sm Ек *

pDisS hi (^t/dy)

i ДиффузияРг

k(dT/dy)ТеплопроводностьSm

где Ек = ti^ he называется числом Эккерта.

Таким образом, при достаточно большом числе Ek профиль температуры в пограничном слое определяется в основном членами, характеризующими работу сил трения, которые доминируют над диффузией и теплопроводностью. Кроме того, при достаточно большом числе Рг и фиксированном числе Эккерта работа сил трения преобладает над теплопроводностью. Если число Sm велико, то члены, характеризующие работу сил трения, преобладают над членами, характеризующими диффузию. Обратные утверждения справедливы при достаточно малых числах Рг и Sm (для большинства газовых смесей оба эти числа меньше единицы). Если число Рг велико, а число Sm мало, то в определении профиля температуры диффузия играет преобладающую роль по сравнению с теплопроводностью. Обратное верно, если число Sm велико, а Рг мало. Если числа Рг и Sm малы и имеют один порядок, то при малом Ek влияние трения мало по сравнению с диффузией и теплопроводностью. В большинстве интересующих нас случаев числа Рг, Sm и Ее близки к 1, а число Эккерта имеет умеренные значения. Если число Эккерта велико, то влияние диффузии и теплопроводности на распределение температуры в пограничном слое несущественно. Можно показать, что

Ек = -^Ек = -^Cp^eRTgCp^eRTg= (уе-1)Л£= (уе-1)Л£

Ек = -^

Ек = -^

Cp^eRTg

Cp^eRTg

= (уе-1)Л£

= (уе-1)Л£

так как

CPe-R = C,

Вязкая диссипация будет играть основную роль при определении профиля температуры в пограничном слое при условии, что Ме = О(Ю), а числа Рг и Sm— величины порядка единицы. Параметры переноса Рг и Sm можно также интерпретировать несколько иным способом. Рассмотрим уравнение энергии (2.72). Имеем

дБ ,д ц дБ ,

' ds 1ду Рг ду 1

Все члены в этом уравнении должны быть одного порядка. Преобразуем его к безразмерным переменным, которые определены равенством (2.122) и, кроме того, равенством 1е1* = 1. Получим

* * дБ* ,1/ L \2 д { * дБ* \ ,,-

р и +~ PFR^(s^) "dir v "дЦГР ' ‘(2-126)

Таким образом, если оба члена имеют один и тот же порядок, то

(2.127)(2.59)(2.128)(2.127)(2.59)(2.128)■1

(2.127)

(2.59)

(2.128)

(2.127)

(2.59)

(2.128)

^PrRe/

Но в п. 2.3 мы установили, что /_6Д21_

\L ) Ree

и, следовательно, 6Т 1 "в(Рг)1/2 '

Таким образом, утверждение, что при числе Рг, меньшем единицы, температурный пограничный слой толще, чем динамический, подтверждается непосредственно соотношением (2.128).

Рассмотрим теперь уравнение диффузии (2.56). Имеем

Преобразуем это уравнение к безразмерным переменным. При этом вместо дг введем величину 6С — толщину диффузионного пограничного слоя. Получим

. ЭС)1/ L V д / дСТ\

<2Л29>

Таким образом, если оба члена имеют одинаковый порядок, то

Теперь из (2.59) найдем

Таким образом, подтверждается сделанный ранее вывод относительно соотношения между толщиной диффузионного и динамического пограничного слоя.

Заключение. В этой главе мы задались целью вывести уравнения пограничного слоя для реагирующей газовой смеси, которые служили бы исходной точкой для изложения в последующих главах. Мы также рассмотрели исходные уравнения газовой динамики, для того чтобы проследить, какие новые члены появляются в уравнениях благодаря учету химических реакций, и вывести уравнения, определяющие переносные свойства.

Кроме того, мы определили коэффициенты переноса и установили их значение в теории реагирующего пограничного слоя. Теперь мы можем решать уравнения пограничного слоя при различных граничных условиях, имеющих практическое значение.

ГЛАВА

3

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ГАЗОМ В ПОГРАНИЧНОМСЛОЕ И МАТЕРИАЛОМ ПОВЕРХНОСТИ

Введение. В гл. 4—8 мы будем подробно рассматривать течение реагирующей газовой смеси в пограничном слое. Прежде чем углубляться в эту сложную проблему, кажется разумным проанализировать некоторые ее аспекты, связанные с газовой динамикой, термодинамикой, химическими реакциями, пользуясь упрощенными и до некоторой степени даже иллюстративными методами, сохраняя, однако, существенные черты явлений. С этой точки зрения в настоящей главе рассматриваются явления переноса массы, оплавления и испарения поверхности и поведения твердого материала под воздействием интенсивных потоков тепла.

В настоящей главе главным образом рассматривается вопрос о взаимодействии между реагирующим вязким газовым слоем и поверхностью. После введения некоторых полезных термохимических понятий мы проведем детальный анализ теплопередачи от реагирующего газа к более холодной граничной поверхности, при котором различные факторы, влияющие на теплопередачу, будут рассматриваться раздельно. Далее анализируется процесс оплавления поверхности тела, одновременно дается хотя упрощенное, но достаточно ясное описание влияния уноса массы с поверхности тела на теплопередачу от вязкого пограничного слоя к телу. Описывается также теплопередача внутри твердого тела. Анализ всех перечисленных вопросов сопровождается численными примерами.

Автор надеется, что раздельное изучение различных явлений даст читателю лучшее понимание относительного

значения их в задачах, в которых несколько этих факторов действуют одновременно. Например, вполне возможно, что возникнет практическая задача, в которой в газовом слое протекают как экзотермические, так и эндотермические реакции (реакции горения и диссоциации), а также реакции в гетерогенной фазе, возникающие между компонентами газа и поверхностью тела (горение на поверхности). При этом происходят оплавление и испарение поверхности материала обтекаемого тела, сопровождающиеся уносом массы и передачей тепла во внутреннем слое тела. Именно с этим вопросом и сталкивается инженер при решении задачи о разрушающейся теплозащитной оболочке для тела, входящего в атмосферу с гиперзвуковой скоростью. В этой главе мы постараемся разделить проблему тепловой защиты на части для того, чтобы, рассматривая каждую из них в отдельности, уяснить ее роль и значение в решении общей задачи. Конечно, при таком разбиении приходится в некоторой мере жертвовать точностью, так как между различными эффектами в общем возникает нелинейное взаимодействие.

Некоторые термохимические концепции. По-ви- димому, читателю теперь уже нетрудно понять, что для изучения реагирующих газовых смесей, кроме обычных гидродинамических представлений, понадобятся некоторые фундаментальные знания из области термохимии и физической химии. Целью данного пункта является изложение сведений, необходимых для понимания этой главы. В гл. 9 содержится более подробное изложение термохимии, необходимое для анализа затронутых в книге проблем.

Для интересующих нас явлений общим является одновременное течение химических реакций в газовой (гомогенной) фазе и реакций между компонентами твердой или жидкой поверхности (реакций в гетерогенной фазе). В предположении отсутствия ядерных реакций масса любого элемента, вступающего в реакцию, сохраняется во все время ее течения. Таким образом, концентрация любого элемента во время реакции остается по-

стоянкой. Обозначим концентрацию i-ro элемента через С<. Имеем

л рг•

= —концентрация t-ro элемента,

СА = -у- — концентрация я-го компонента,

рА — плотность ft-го компонента, р — плотность газовой смеси, rlk—доля массы t-ro элемента в й-м компоненте.

(3.1)(3.1)Очевидно,

(3.1)

(3.1)

S ri, к^ьk

и, как отмечалось выше, масса элемента сохраняется во время химической реакции, следовательно,

dCl — 0 — 2 rI, k dCk.кdCl — 0 — 2 rI, k dCk.к(3.2)(3.2)

dCl — 0 — 2 rI, k dCk.к

dCl — 0 — 2 rI, k dCk.к

(3.2)

(3.2)

Как будет видно из дальнейшего, уравнение (3.2) является весьма полезным в ряду дифференциальных соотношений переноса для отдельных компонент.

Рассмотрим течение нагретого газа около поверхности, материал которой (жидкий или твердый) интенсивно испаряется. При этом пары материала (для простоты предположим, что это элемент с химическим символом Е) проникают в нагретый газ в пограничном слое и реагируют с компонентами газовой смеси. Предположим, что нагретый газовый слой представляет собой смесь молекул и атомов кислорода и азота приблизительно в том же соотношении, как и в воздухе, при том же давлении и температуре. В газовом слое может протекать одновременно несколько химических реакций в гомогенной фазе, в том числе следующие:

е + о^ео, е + 2О-^ео2, е+n ^± en.

2Е + 02 2E0, Е + 02 E02, 2Е + М2 2EN, 0 + 0 02, n + n^n2.

Тогда в соответствии с равенством (3.1) имеем для элементов Е, N и О

Се = Се+/"е, еоСео-+/"е, ео2Сео3+ ге, enCen> (3.3)

' Cn =Cn +Cn2 +tn, enCen,(3.4)

Co — Co -|- Co2 + ro,eoCeo + Го, ео,Сео,- (3.5)

В соответствии с равенством (3.2) с1Се = 0. Следовательно, разрешая (3.3) относительно dC^., находим

dCe = — Ге, ео ^Сео — ге, ео2 ^Сео2 — ге, en dC^. (3.6)

Аналогичные уравнения можно получить для dCN и dCo. В дальнейшем мы неоднократно будем ссылаться на равенства (3.1) — (3.6).

Все химические реакции, которые будут рассматриваться, сопровождаются либо переходом внутренней энергии в тепловую (экзотермические реакции), либо переходом энергии движения во внутреннюю энергию при образовании новых компонент (эндотермические реакции). Раздел физической химии, посвященный изучению тепловых эффектов, сопровождающих химические реакции, называется термохимией. Из термохимии мы позаимствуем основные положения, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Изменение энтальпии во время реакции, протекающей при постоянном давлении, характеризуется величиной \Н — теплотой реакции. Например, для реакции

C(s) + O2(g) —» CO2(g), А// = — 94,03 ккал.

Это означает, что когда из 12 г твердого углерода (1 гмоль С) и 32 г газообразного кислорода в результате химической реакции, происходящей при постоянном давлении, получается 44 г газообразной углекислоты (1 гмоль СОг), энтальпия уменьшается на 94,030 ккал. Это уменьшение энтальпии проявляется как 94,030 ккал тёпла, выделяющихся на каждые 44 г СО2. Не всегда удобно выражать тепловую энергию, выделяющуюся или поглощаемую во время реакции, в калориях, приходящихся на граммолекулу веществ, возникающих в результате реакции. Иногда удобнее выражать эту энер-

гию в виде удельной теплоты, в калориях на грамм реагентов или в калориях на грамм продуктов реакции (или в Btu на фунт, если предпочтение отдается английским единицам).

Пусть —А//=—теплота реакции = количество тепла, выделяющееся во время реакции. Тогда для любой химической реакции, которая описывается уравнением

mп

ii

можно написать

-^H^^cuHk.-^biHu. (3.7)

Здесь А{, В< — химические символы реагентов и продуктов реакции соответственно, оц, bi — число молей реагентов и продуктов реакции соответственно, участвующее в химической реакции, На., Ни. — молярные энтальпии реагентов и продуктов реакции.

Определим удельные энтальпии Ад. и КвА

Mk.hk. = Hv,

MtithB. = Нв,р■

где М^ и Л1вг — молекулярные веса веществ At и В,-. Тогда из (3.7) можно получить уравнение для удельного тепловыделения

/ mп\

AQ = -^- = axhKx + ^Н ^jА/д.а/А^ — ^MB.bjfiB. I.

А|Л1Л = 2i = l/

(3.8а)

где AQ — количество тепла в калориях или других принятых единицах, приходящееся на 1 г реагента А]').

Применим, например, (3.8а) к химической реакции

о2-»о+о.

’) В п. 5.7 выводится аналогичное уравнение для удельного тепловыделения на единицу массы продуктов реакции. См. равенства (5.70).

Для того чтобы молекула Ог могла диссоциировать, ей нужно сообщить некоторую энергию (например, путем столкновения с другой молекулой). Поэтому энтальпия, приходящаяся на единицу массы О при некоторой температуре, больше, чем энтальпия, приходящаяся на единицу массы Ог при той же температуре, на величину, эквивалентную энергии, необходимой для диссоциации единицы массы Ог при той же температуре. Используя принятые обозначения, из (3.8а) получаем AQo= =—(Ло—Ло2)[количество тепла/единица массы OJ, но

т

Ло = J CpodT^ho,о

где ho — удельная теплота реакции образования О и

т

Ло2 = J Ср dT.

о 2

т

Таким образом, AQ0 = — А° -Д- J (CPq — СРо) dT ж — Ло о 2

[количество тепла/единица массы Ог], ввиду того что с точностью, достаточной для практических целей, CPq « ~ CPq. Значит, количество тепла,выделяющееся при реакции Ог->О + О, выражается отрицательной величиной, равной теплоте диссоциации Ог. Это реакция эндотермическая.

Применяя теперь равенство (3.8а) к реакции О + О -> 02, находим

AQ^ = 2 (Ло — h0^ ~ 2Лд [количество тепла/единица массы О].(3.86)

Для реакции Е + 0 -» ЕО

AQfo —+;Лео [количество тепла/еди-

U U г0, ЕОг0, ЕО

ница массы О],(3.8в)

так как

^е

ГЕ-ео”

Го, Е0 = Т7.

Аналогичные соотношения можно вывести для всех упомянутых выше реакций. Выпишем их

AQn2 2 (Лм

An2)

~ 2Л°

(3.8г)

AQeN =

ГЕ, EN

rN, EN

1

Ае „Aeni

rN, EN

(3.8д)

а@ео2 — ^о +

ГЕ, ЕО2

rO, ЕО2

1

- Ле ,Лео2.

го, ео2

(3.8е)

Здесь во всех случаях удельные тепловыделения AQj2, AQej и AQEJ; выражены в единицах количества выделяющегося тепла на единицу массы реагента J1). Уравнениями (3.8) мы будем пользоваться в следующем разделе, где рассмотрены различные факторы, влияющие на теплопередачу от нагретого реагирующего газового слоя к более холодной поверхности, около которой он течет.

Различные факторы, влияющие на теплообмен в реагирующем пограничном слое. Используя основные положения, изложенные в п. 3.2, рассмотрим теплопередачу от реагирующего пограничного слоя к испаряющейся поверхности. Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 3.1. Пренебрегая излучением от поверхности тела к газу и обратно (в случае необходимости его можно учесть), напишем уравнение теплового баланса на поверхности тела. Если Л — энтальпия газовой смеси, то ■

?s= ?w (рУ)wh-ш4" (ру)ш[Ле($)]w- (3.9),

*) См. уравнение (5.70) для изменения удельного тепловыделения на единицу массы реагента.

5 У. X. Дорренс

По определению для Рг=1 (Рг — число Прандтля)

— q^PetteCH\h.e — h,.^-TA.(3.10)

и для реакции E(s)^^E(g)

(3.11)(3.11)Ле(Ь') + £у = Ле(£),

(3.11)

(3.11)

где Lv — теплота испарения материала поверхности Е. Уравнение (3.10) является уравнением для определения

Ре.(С,)е,ие

Граница пограничного слоя

Горячий газовый пограничный слойГорячий газовый пограничный слойРис. 3.1. Теплопередача от реагирующего газового слоя к испаряющейся поверхности.Рис. 3.1. Теплопередача от реагирующего газового слоя к испаряющейся поверхности.

Горячий газовый пограничный слой

Горячий газовый пограничный слой

Рис. 3.1. Теплопередача от реагирующего газового слоя к испаряющейся поверхности.

Рис. 3.1. Теплопередача от реагирующего газового слоя к испаряющейся поверхности.

коэффициента теплопередачи Сн. Далее, энтальпия газовой смеси

/г = 2СЛ,(3.12)

и если определить параметр массообмена 53 как

в.,(3.13)

»еиеСН

то из (3.9) —(3.13) можно получить уравнение для теплопередачи к поверхности. Из (3.9) и (3.10) получим

4s = Ре^Сн \ке— ^А--^) — (р-У)«, hw + (Р-у^[ЛЕ (s)]w.

или ввиду (3.11) и (3.13)

4 s ~ РеаеСн | ~ ^w + ^^3^®> + ^3 [(Ае)ф (g)L„\ |.

(3.14)

Используя (3.12), можно написать .

he - Аф = 2 [(Са, № - ^Х, [h^],

или

he - hw = 2 ^Ше - (AZ)J + 2 (AX [(Cz)e - (CZ)J.

11(3.15)

Таким образом, если (Св)е = 0, т. е. если компонент Е присутствует только в пограничном слое, то из (3.14) и (3.15) следует

4 s — РеиеСн I 5 (С^ [(Ь[)е(Az)w] + ~g~ +

+2 ^ кс^ - а+£з) (cz) j+ Z^E

+ (АЕ)„, [В3 - (1 + в^ (CE)W1 - BaLT }.(3.16)

Уравнение (3.16) можно упростить, используя граничные условия. Например, на поверхности тела для всех компонентов, кроме Е, диффузионный поток массы должен быть равен конвективному потоку, создаваемому испарением вещества Е с поверхности. То есть на поверхности

pB>12(^-)ie| = (py)IV(Cz)li„ Z^E. (3.17)

Если предположить для примера, что Sm = p/pO12=l, то

Сг = Ci (и) и дС( ,_ дС; ди ."ду" ди ~ду"'

Тогда__

<318а>

При выводе (3.18а) и (3.17) использовано соотношение

^Ц^-^Ун’(3.186)

справедливое лишь когда Рг=1.

Аналогичное соотношение для баланса массы вещества Е на поверхности имеет вид

I дС=\_

(P^L + pDto = (pvj (Се)ю. (3.19)

Используя (3.186), получим отсюда

—L,3 20\

\ ди3 ие ие'’

Выпишем теперь уравнение сохранения массы для 1-го элемента, полученное в п. 2.5,

dCt , dCt д / дС£ \

ри-^ + рт, —(2.111)

и, кроме того, уравнение сохранения количества движения в проекции на направление s для случая dp!ds = O

ди . ди д ( ди \ (2.66)

Если Sm = p/pDi2 — 1, то из (2.111) и (2.66) следует

Cz = (Cz)w+4(Qe-(Cz)J^,

или

(дС[\ (Cz)g (Cz)w/ч о 1А

Сравнивая это равенство с (3.18а), получаем

(Cae = (l + 53)(CZ)W, Z^E.(3.22)

Аналогично из (3.21) и (3.20) найдем

(^^(l+Ba^-^.(3.23)

Выразив далее в уравнениях (3.22) концентрации элементов через концентрации компонентов при помощи уже выведенных соотношений (3.3)—(3.5), подставим их в уравнение (3.16), для того чтобы выразить в последних члены с суммами в терминах удельных тепловыделений (3.8). Другими словами, выражения

(^^[(Cz^-tl+^tCJJ

в (3.16) преобразуются при помощи (3.22), (3.23) и (3.3) — (3.5). После преобразования члены, входящие в суммы в (3.16), будут содержать концентрации веществ и величины AQ, определенные равенством (3.8а). Мы опускаем алгебраические преобразования, так как они аналогичны тем, при помощи которых выводится (5.86). Окончательно равенство (3.16) запишется таким образом:

2

.

9s = РеИеСн / 5 (^Ое [(^z)e ~ (^z)®] + "у — B3LO +

I Z

+ 2 ^[R.-e’+^tCj-r,.,,^,).]*

JeO, N

5

+ 2 A0=J, 1(СД, - о + в,) (С, - г,-

J = O 6

- 2 ЛОл[(^Л—(1 +se)(CjXJ )■ (3.24) J = O, N)

где все удельные тепловыделения имеют размерность, соответствующую количеству тепла, отнесенному к единице массы реагента, как и в равенствах (3.8г)— (3.8е). Кроме того, мы предположили здесь, что (CEj)e = = (CEj2)e=0 для J = O, N, т. е. все продукты реакций остаются внутри пограничного слоя. Уравнение (3.24) является обобщением уравнения, впервые полученного

Коэном, и др.) и Бромбергом и Липкисом) для частного случая элемента Е (углерод) и затем обобщенного Лизом). Это исключительно полезное и замечательное уравнение можно использовать для того, чтобы выделить и идентифицировать различные факторы, влияющие на теплопередачу от реагирующего пограничного слоя к холодной поверхности твердого тела. То обстоятельство, что уравнение (3.24) выведено в предположении, что числа Прантля и Шмидта (а следовательно, и число Льюиса) равны единице, не умаляет его роли в определении источников энергии, получаемой телом. Например:

Первый член описывает обычную теплопроводность.

Второй член возник благодаря вязкой диссипации внутри пограничного слоя.

Третий член учитывает поглощение тепла при испарении материала обшивки.

Четвертый и пятый члены учитывают тепло, выделяющееся при образовании компонентов EJ и EJ2, причем в первом из них J означает О или N, а во втором — О.

Шестой член учитывает энергию диссоциации компонента J2, где J означает О или N. Ввиду того что AQj, является теплотой диссоциации, этот член учитывает поглощение тепла.

Из (3.24) видно, что уменьшение скорости образования соединения EJ и EJ2 (предполагается, что этот процесс протекает экзотермически), как и увеличение теплоты испарения L$, и увеличение количества диссоциированных молекул газа (экзотермическая реакция) приводят к уменьшению теплопередачи к твердой поверхности. Однако прежде чем делать окончательные выводы, следует учесть, что происходящие реакции влияют на величину Сн, так как они влияют на коэффициенты переноса и вид профилей скорости и плотности в погра-

ничном слое, хотя, как будет показано в гл. 4, сами по себе эти эффекты являются вторичными.

В качестве примера рассмотрим обтекание поверхности из твердого углерода и предположим, что происходит единственная реакция С + Оч-СО. Для этого случая Лиз) показал, что количество тепла, поглощаемого углеродом при испарении, превышает то количество тепла, которое выделяется при его горении и образовании СО. Если при этом учесть и уменьшение Сн, происходящее благодаря уносу массы с поверхности, то становится ясно, что эти факторы могут привести к уменьшению потока тепла, направленного к поверхности твердого углерода. Очевидно, что относительное влияние различных факторов на тепловой поток от реагирующей газовой смеси к холодной поверхности тела удобно учесть при помощи уравнения (3.24).

3.4. Расплавленный поверхностный слой. Как уже отмечалось выше, легкой и надежной тепловой защитой для управляемых гиперзвуковых объектов может служить плавящийся и испаряющийся материал). Эффективная теплоемкость такого материала складывается из его теплоемкости в твердой и жидкой фазах плюс теплота плавления и испарения или то и другое вместе. Косвенная выгода от испарения состоит еще и в том, что боковой поток испаряющегося с поверхности вещества оказывает благоприятное воздействие на градиенты скорости, диффузии и температуры на поверхности тела. В п. 3.5 мы подробно рассмотрим это влияние.

Для того чтобы изучить взаимодействие материала поверхности с реагирующим пограничным слоем, нужно описать поведение плавящегося слоя. На рис. 3.2 и 3.3 изображена ожидаемая картина течения газового и жидкого слоя, а также приведена система координат. Мы рассмотрим случай турбулентного пограничного слоя около пластины или кругового цилиндра. Трехмерное

течение в окрестности критической точки на теле, несимметричном относительно набегающего потока, рассматривалось Саттоном), Бете и Адамсом) и Лизом).

Следующий ниже анализ является приближенным, однако полученное в результате решение сохраняет существенные черты точного решения. Нашей главной

Граница пограничного слон

Горячий газовый пограничный слой

Поверхность раздела^PVK

жидкость-газ4 4 * 4 4и=ия

Рис. 3.2. Схема взаимодействия жидкого слоя с реагирующим газовым слоем.

целью будет приближенное определение количества тепла, поглощаемого оплавленным слоем, толщины и скорости течения этого слоя.

Предположим, что физические свойства жидкого слоя постоянны. Это означает, что плотность р^, теплопроводность ^г, теплоемкость Ср и вязкость pL можно считать постоянными внутри всего жидкого слоя с той точностью, которой требует приближенный метод.

В дальнейшем мы будем пользоваться уравнением сохранения массы

-Й- + < = °> (3'25)

а вместо уравнения сохранения количества движения рассмотрим приближенное выражение для касательного напряжения на поверхности вязкого жидкого слоя, течение в котором считается похожим на течение Куэтта

т(0) = -Ц£-^, Lт(0) = -Ц£-^, L(3.26)(3.26)

т(0) = -Ц£-^, L

т(0) = -Ц£-^, L

(3.26)

(3.26)

где иго и dL — соответственно скорость движения поверхности жидкого слоя и его толщина. Система координат и принятые обозначения показаны на рис. 3.3. Если

Рис. 3.3. Типичные распределения температуры, скорости и поперечной скорости для ситуации, изображенной на рис. 3.2.Рис. 3.3. Типичные распределения температуры, скорости и поперечной скорости для ситуации, изображенной на рис. 3.2.

Рис. 3.3. Типичные распределения температуры, скорости и поперечной скорости для ситуации, изображенной на рис. 3.2.

Рис. 3.3. Типичные распределения температуры, скорости и поперечной скорости для ситуации, изображенной на рис. 3.2.

предположить, что течение в жидком слое аналогично течению Куэтта, то распределение скоростей поперек слоя имеет вид

" =1-Г- (3-27)

Кроме того, с точностью, которой требует метод, поток тепла к поверхности жидкого слоя можно записать следующим образом:

^(0) = ^^=^. (3.28)

Количество тепла, которое получает в единицу времени твердое тело, меньше того, что получает расплавленный

слой от газа, на величину, равную количеству тепла, поглощаемого расплавленным слоем. Если расплавленный слой не течет назад вдоль поверхности, то, учитывая наше предположение о постоянстве его физических свойств, количество тепла, поглощаемое в единицу времени пленкой, можно записать в виде

^CpmL<Tw-Tm),

где Tw-—температура поверхности расплавленной пленки на границе с газом, Тт— температура плавления, которая устанавливается на границе между жидкой и твердой фазами (рис. 3.3). Но расплавленный материал течет в направлении потока газа и поэтому поглощает больше тепла, чем он поглощал бы, находясь в покое относительно поверхности. Чтобы не усложнять анализ точным подсчетом количества тепла, поглощаемого расплавом в единицу времени, предположим, что оно равно

0,65CP[mL(Tw — Тт)

и, следовательно, тепловой поток к твердой фазе приближенно равен

^ = ^(0) — 0№Српг^Тта — Тт). (3.29)

Теперь необходимо связать величины т(0) и д(0) с касательным напряжением и теплопередачей в газовом слое. Принимая во внимание выбранную систему координат, изображенную на рис. 3.3, можно написать

тю + т(0) =0

или

т(0)=—тю,(3.30)

где tw — касательное напряжение, действующее на поверхности расплава со стороны газового слоя. Кроме того,

g(O)=-g„,(3.31)

где qto— поток тепла от газового слоя к расплаву.

В дальнейшем нам понадобится соотношение, аналогичное соотношению Рейнольдса

Ся = -^-Рг-2А\(3.32)

где Рг — число Прандтля, а величина Сн определена соотношением

?w= СиРе^е Qе ^w) j(3.33)

здесь ре, ие и /е — плотность, скорость и полная энтальпия газа на внешней границе пограничного слоя, hTO — энтальпия газа при температуре внешней границы расплавленного слоя. Cj определено соотношением

Tw = -^-PeMe-(3‘34)

Нам нужно определить dL — толщину слоя расплава, разность температур Тю — Тт поперек этого слоя, скорость и№ поверхности расплава и скорость оплавления твердой поверхности mL-

Сначала определим скорость поверхности расплава. Уравнение (3.25) даст

у/^Ч \

®(у)— ^(0) = — f dy — — 4 I bLti Г —4^-1,v ' J osds \и 6,

0\оw L ;

подставляя сюда uw из (3.27), получаем

(У) - (0) = - ^ { М™ [^ -1 ^У]).

Будем считать, что испарения и возгонки с поверхности расплава не происходит. Тогда п(0)=0. Положим теперь y = 6L

т, d /1\

^(^)=—^ = -^(2^).(3.35).

Из (3.26) и (3.30) найдем '

^=-^ = ^4(3.36)

и далее из (3.32) — (3.34)

iе^w

Tw иеРг2/3 qw '

Комбинируя (3.36) и (3.37), получаем

61 = — 14

^w ^е ^w ие Рг3 qw

Теперь подставим (3.38) в (3.35)

а

ds

U \2 1 1

и ае / v-

ТУ J

— 2тд Рг2/3Р^А^е-У

(3.37)

(3.38)

(3.39)

Определим эффективную теплоемкость Н расплавленного слоя следующим образом:

tf = A = const.(3.40)

mL

Величина Н, определенная равенством (3.40), не является в прямом смысле этого слова характеристикой расплавленного материала. Она зависит от характеристик газового слоя. Так как мы рассматриваем случай турбулентного пограничного слоя, текущего около расплавленной поверхности плоской пластины или кругового цилиндра, то

-qw = q^-Ns-№,(3.41)

где N — функция, зависящая от характеристик газового слоя. Мы предположим, что эта функция не зависит от s. Из (3.40) и (3.41) найдем

• TVs""1/5

(3.42)

Подставляя (3.42) в (3.39), получаем дифференциальное уравнение

Г/ V I1 \ и I о 1 \ е / 4 w JГ/ V I1 \ и I о 1 \ е / 4 w J2N Pr2/3s",/5 dsй,Н\к,и (/ — h- \х L L е V е w/

Г/ V I

1 \ и I о 1 \ е / 4 w J

Г/ V I

1 \ и I о 1 \ е / 4 w J

Интегрируя это уравнение Цта = оо при s = 0) и исключая затем N и —q№ при помощи (3.41) и (3.42), находим ■

. = 5 Рг2/3 [^ (0)]2s

\ ие ) 2 р ц —h ) и Н ‘ ' ' ' е ' 'LL \ e е

Уравнение (3.43) связывает скорость поверхности расплава ито с потоком тепла к жидкому слою q (0). Мы будем пользоваться этим уравнением для определения других необходимых нам величин.

Выведем теперь уравнение для эффективной теплоемкости Н расплавленного материала. Условие теплового баланса при y = dL, т. е. на границе между расплавом и твердым телом, дает

q, = q^d = mL\Lm-VCps(Tm — Го)], (3.44)

где Lm — теплота плавления,

Ср$ — теплоемкость твердой фазы,

То — начальная температура твердой фазы.

Из (3.44) и (3.29) найдем выражение для д(0) и, подставляя это выражение в (3.40) и решая (3.40) относительно Н, получим необходимое уравнение для эффективной теплоемкости расплавленного материала

н=£т + С^(Тт- Т^Щ^Т, - Tm\ (3.45) Величина Н полностью определена, если известно изменение температуры при переходе от внутренней к внешней границе расплава. Уравнение, определяющее это изменение, можно привести к более удобному виду. Из (3.28)

Т —Т»(0)6,

Т ~ ktT 'mL m

или ввиду (3.26), (3.30) и (3.31)

Т — Т а ги

Т “ т Тmw тп L

Используя (3.37), находим

Т — Т (I — А ) и и

Т ~ Рг2/37 к"" и '

mm L 6

£^М|^Й_(0)Р_ 11/2Рг^Г^// J£^М|^Й_(0)Р_ 11/2Рг^Г^// Jт —тwmт mт —тwmт mС помощью (3.43) исключим отсюда и№1ие

£^М|^Й_(0)Р_ 11/2

Рг^Г^// J

£^М|^Й_(0)Р_ 11/2

Рг^Г^// J

т —т

wm

т m

т —т

wm

т m

Пользуясь теперь соотношением между д(0) и С/, выте- текающим из (3.31) — (3.33), т. е.

Cf г q^u^

— рХ = -п^-.

окончательно получаем следующее выражение для изменения температуры между внутренней и внешней поверхностями расплава:

т т

w 1 m

/ и I 'IDII « w 1 e w VX"W ~

(3.46)

где pe и це— соответственно плотность и вязкость газового слоя на внешней поверхности пограничного слоя, а

Пр pcucsе— Рг

— местное число Рейнольдса газового слоя.

Уравнение (3.46) связывает разность температур поперек слоя расплава с теплопередачей от газового слоя. Очевидно, например, что эта разность пропорциональна корню квадратному из коэффициента вязкости расплава.

Используя выведенные соотношения, можно получить простые выражения для &L и числа Рейнольдса расплава ReL. Эти выражения имеют вид

<3A7^(3.48)<3A7^(3.48)_ Pl^^L _ 5 9^8

<3A7^

(3.48)

<3A7^

(3.48)

ииL (^Jw 2 (^l)®^

и

и

. _ 5 q^S

— 2 Hp a "v L w

Уравнения, похожие на (3.29), (3.43) и (3.46), вывел Лиз1) для ламинарного пограничного слоя, возни

’) Lees, op. cit.

кающего при обтекании осесимметричного тела. Наш пример аналогичен задаче Лиза, но относится к турбулентному пограничному слою около пластины или кругового цилиндра.

Для того чтобы подсчитать поток тепла к твердой поверхности, нужно сначала из (3.45) и (3.46) определить Н и Tw— Tm. Зная величину Н, можно из (3.40) найти скорость оплавления. После этого поток тепла к твердой фазе определяется из равенства (3.29).

Таблица 3.1

Свойства стекла Corning № 7740

Tm = 3000° R

CpL = 1/3 Btu/дбуят °F

Lm + Ср^Тт— Ta) * 750Btu/дбуят

p£ = 131 фунт/фут3

kL = 1,71 ХЮ"3 Btu/56ym°R ■ сек

uL = 0,0672 exp, Tw в °R

Сказанное выше полезно проиллюстрировать примером. В качестве материала поверхности возьмем стекло Corning № 7740*), свойства которого приводятся в табл. 3.1. Типичные условия в газовом слое, определяемые по высоте и скорости полета и геометрии тела, приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Типичные параметры турбулентного газового пограничногослоя иа разрушающейся поверхности

(ие = 20 000 фут/сек, высота = 60 000 футов,плоская пластина)

иг = 20 000 фут/секРг = 0,72Ре = 0,00722 фунт/фут3Те = 392° Rиг = 20 000 фут/секРг = 0,72Ре = 0,00722 фунт/фут3Те = 392° R9

иг = 20 000 фут/сек

Рг = 0,72

Ре = 0,00722 фунт/фут3

Те = 392° R

иг = 20 000 фут/сек

Рг = 0,72

Ре = 0,00722 фунт/фут3

Те = 392° R

Ree= у X Ю7

С,

у =2ДХ 10 4

— Я™ = Я (0) = 280 Btu/^ym2 ■ сек Р(,= 9,52 X Ю"6 фунт!фут • сек 1е — hw — 6500 Btu/дбуят

1) S u 11 о n, op. cit.

Если данные табл. 3.1 и 3.2 использовать в равенствах (3.40), (3.43) и (3.45) — (3.48), то получатся результаты, приведенные в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Результаты, полученные путем подстановки данных таблиц 3.1 и 3.2 в уравнения (3.40), (3.43) и (3.45) - (3.48)

Н = 876 Btu/^yHwi

ReL = 0,159

Tw = 3550° R

-^ = 4,61 X 10'5

mL = 0,319 фунт1фут2-сек bL = 6,61 X Ю"3 фут

uw = 0,922 фут!сек

На основании результатов, приведенных в табл. 3.3, можно сделать некоторые выводы.

Число Рейнольдса расплавленного слоя очень мало, что указывает на ламинарный характер течения в этом слое.

Скорость движения поверхности расплава очень мала. Это обстоятельство оправдывает применение для теплопередачи уравнения, справедливого при обтекании газом твердой поверхности.

Расплавленный слой тонок.

Увеличение теплоемкости системы расплав — твердое тело равно количеству тепла, поглощаемого расплавленным слоем. Эта величина сравнительно невелика и в рассмотренном примере составляет приблизительно 13,7% общего количества поглощенного тепла.

При тех исходных данных, которые приводятся в табл. 3.2, теплопередача невелика и разность температур поперек слоя расплава не очень значительна (550°R). Увеличение теплового потока приведет к увеличению разности температур поперек жидкого слоя и его теплоемкости. При этом выводы 1, 2, 3 остаются в силе.

Применение оплавляющихся материалов дает незначительное увеличение эффективной теплоемкости (около 126 Ыи/фунт в приведенном примере) и их выгодно использовать лишь в тех случаях, когда возникают большие тепловые потоки. Использование таких

материалов не дает заметного уменьшения веса тепловой защиты. В п. 3.5 и 3.6 будет показано, что их эффективная теплоемкость ниже теплоемкости материалов, оплавляющихся и испаряющихся одновременно.

В соответствии с (3.45) эффективная теплоемкость зависит от величины Тгс— Тт. Так как желательно достичь наиболее высокой теплоемкости Н, а это можно сделать за счет высокой температуры на границе между жидкостью и газом, то из равенства (3.46) следует, что эффективная теплоемкость при прочих равных условиях тем выше, чем больше вязкость расплава или чем ниже его теплопроводность и плотность.

Кроме того, величина Тю — Тт, а следовательно, и эффективная теплоемкость прямо зависят от теплового потока. Эта зависимость выражается через величину потенциала энтальпии 1е — Ню газового слоя.

Следует также заметить, что дополнительный выигрыш в поглощении потока тепла от горячего газового слоя к твердому телу получается в том случае, когда расплавленный слой испаряется или каким-нибудь другим способом переходит в газообразное состояние. Этот эффект рассматривается в следующем пункте.

.5. Эффект уноса массы. В п. 3.3. мы выяснили, как экзотермические и эндотермические реакции в газовом пограничном слое влияют на теплопередачу к телу. В п. 3.4 рассматривался вопрос о взаимодействии нагретого газового слоя с поверхностью расплава. Мы высказали предположение, что испарение расплава может привести к дополнительному уменьшению тепловых потоков к телу. В настоящем пункте мы рассмотрим в первом приближении этот эффект уменьшения теплового потока, который для общности назовем «эффектом уноса массы».

Конечно, поток массы на поверхности между газовым пограничным слоем и слоем жидкости (или твердым телом) можно создать многими способами. Ранние работы в этой области касались возможности вдува газа или жидкости в нагретый пограничный слой через пористые стенки. В более поздних работах по проблем'е тепловой защиты объектов изучалось испарение расплава, возгонка или сублимация, т. е. испарение

У. X. Доррене

материалов без перехода в жидкую фазу (например, графит). Влияние всех этих трех процессов на газовый пограничный слой можно учесть, используя единый математический аппарат.

Изменение фазового состояния вещества, происходящее при испарении жидкости или твердого материала с поверхности тела, создает поток массы на границе газового слоя. При этом некоторые испаряющиеся вещества (например, инертные газы) могут не вступать в реакцию с веществами газового слоя, а другие (например, углерод) могут реагировать с ними. Влияние таких реакций было уже кратко рассмотрено в п. 3.3, а в гл. 4—8 будет изложено более подробно. Здесь мы коснемся влияния потока массы с жидкой или твердой поверхности на коэффициент трения и теплопередачу при условии отсутствия химических реакций в газовой фазе.

Интуитивно можно предсказать, какие получатся результаты. Например, вдув газа в пограничный слой приведет к увеличению его толщины. Вследствие этого при прочих равных условиях трение и теплопередача на поверхности тела будут уменьшаться. Более того, даже если предположить, что толщина пограничного слоя не возрастает, ясно, что поперечный поток массы (вдув) должен переносить газ из области низких скоростей в область более высоких, так же как это происходит при турбулентных флуктуациях. Следовательно, градиент скорости вблизи поверхности тела, а значит, и касательное напряжение на этой поверхности будут уменьшаться. Легко понять, что аналогичным образом этот процесс влияет и на теплопередачу. Эти эффекты схематически представлены на рис. 3.4.

Приведенные интуитивные соображения подтверждаются теорией и экспериментом. Далее будет показано, что, используя теорию пограничного слоя, можно вывести количественные выражения для уменьшения поверхностного трения и потока тепла при вдувании газа в пограничный слой и их увеличения при отсасывании. Некоторые из этих теорий излагаются подробно в гл. 5 и 8. В настоящей главе мы рассмотрим эффект переноса массы в первом приближении, а более детальное изучение этого вопроса отнесем к последующим главам.

Для того чтобы оценить порядок величин, учитывающих влияние уноса массы с поверхности тела на поверхностное трение и теплопередачу, рассмотрим следующую приближенную схему. Будем считать, что вся масса вещества, вводимого в пограничный слой, сосредоточена в тонкой пленке. Предположим, что течение внутри этой пленки близко к течению Куэтта, т. е. [d/dsl -С \djdy\,

Рис. 3.4. Влияние уноса массы (вдува) на характеристики пограничного слоя.Рис. 3.4. Влияние уноса массы (вдува) на характеристики пограничного слоя./ — с вдувом; 2—без вдува.Замечание:/—толщина пограничного слоя увеличивается с увеличением интенсивности вдува: 6 > 6о- 6г > (6г)0;2—dufdy н dT!dy уменьшаются с увеличением интенсивности вдува;3—так как гг < 1, то б/* > б, как это показано на рисунке./ — с вдувом; 2—без вдува.Замечание:/—толщина пограничного слоя увеличивается с увеличением интенсивности вдува: 6 > 6о- 6г > (6г)0;2—dufdy н dT!dy уменьшаются с увеличением интенсивности вдува;3—так как гг < 1, то б/* > б, как это показано на рисунке.

Рис. 3.4. Влияние уноса массы (вдува) на характеристики пограничного слоя.

Рис. 3.4. Влияние уноса массы (вдува) на характеристики пограничного слоя.

/ — с вдувом; 2—без вдува.

Замечание:

/—толщина пограничного слоя увеличивается с увеличением интенсивности вдува: 6 > 6о- 6г > (6г)0;

2—dufdy н dT!dy уменьшаются с увеличением интенсивности вдува;

3—так как гг < 1, то б/* > б, как это показано на рисунке.

/ — с вдувом; 2—без вдува.

Замечание:

/—толщина пограничного слоя увеличивается с увеличением интенсивности вдува: 6 > 6о- 6г > (6г)0;

2—dufdy н dT!dy уменьшаются с увеличением интенсивности вдува;

3—так как гг < 1, то б/* > б, как это показано на рисунке.

и ее толщина не зависит от величины вводимой массы. Будем также считать, что поперечный поток массы в пленке ри постоянен и его величина равна потоку массы на поверхности пленки.

Это предположение описывается равенством

pv=(pv)w,(3.49)

ции на ось s имеет видции на ось s имеет види уравнение сохранения количества движения в проек

ции на ось s имеет вид

ции на ось s имеет вид

(3.50)(3.50), . da d I da X

(3.50)

(3.50)

^р-у^ "а5""—-Зу\у,'ауУ

Сделаем преобразование координат

Y=^dy.(3.51)

0

Тогда (3.50) запишется

(3-52)

Выпишем граничные условия для уравнения (3.52)

и = 0, -^y = Tw при У=0, и = ие при У=У6.

Решив уравнение (3.52) при этих граничных условиях, получим связь между У6, тгс, ие и (рк)ю

у =in T.w+Jpy)w«<(3.53)

(P^WTw

Если (ро)ю = 0, то решение будет

r6o -.(3.54)

где индексом 0 обозначены величины, соответствующие

отсутствию жения при чаем

уноса массы. В силу сделанного предполо- Уб = Уб0, приравнивая (3.53) и (3.54), полу-

вх

/0 ехр•

где

В^-2-^-.(3.56)

Совершенно аналогично Лиз') показал, что

с„в„

(3-57)

где

В =(3.58)

2 РАсн0v ’

*) Lees L., Combustion and Propulsion, Third AGARD Colloquium, p. 451—498, Pergamon Press, New York, 1959.

В частном случае, когда 0^2 = Сн (Рг=1), выполняются равенства В] = В2 и ,ф1='ф2=Ч’- Равенства (3.55) и (3.57) показывают, что увеличение вдува (Bi > 0) вызывает заметное уменьшение Сн и Си

Некоторое представление о точности формулы (3.57) можно получить, сравнивая результаты расчетов по этой

Рис. 3.5. Влияние уноса массы (вдува) на коэффициент теплопередачи.

1 — М = 3,2, измерения на плоской пластине в турбулентном слое (Бартл н Лндон); 2 —ф2 =—- * — у уравнение (3.57); 3—измерения на плоской пластине

в ламинарном слое (Лоу).

формуле с экспериментальными данными и с результатами, полученными при помощи более точных теорий. Рис. 3.5 позволяет сравнить результаты расчетов по формуле (3.57) с экспериментальными измерениями потока тепла на плоской пластине, обтекаемой турбулентным пограничным слоем, полученными Бартлом и Лидоном ), а также с теоретическими результатами Лоу2) для плоской пластины в ламинарном пограничном слое. Можно утверждать, что теория ламинарного пограничного слоя

*) В а г 11 е Е. R., L е a d о п В. М., J. Aerospace ScL, 27, 78—80 (1960).

с учетом переноса массы дает результаты, близкие к экспериментальным, так же как и при отсутствии уноса массы. Видно, что при использовании уравнения (3.57), которое не зависит от числа Маха, влияние уноса массы на теплопередачу к телу в турбулентном пограничном слое получается несколько выше, а в ламинарном — несколько ниже истинного, но порядок величины этого влияния учитывается правильно. Кроме того, уравнение (3.57) не учитывает реакций, происходящих между испаряющимся веществом материала и веществами в пограничном слое. В следующих главах мы получим решения, позволяющие более точно учесть влияние уноса массы на теплопередачу.

Результаты, приведенные в этом и предыдущем пунктах, можно использовать для вывода выражения для эффективной теплоемкости оплавляющегося и испаряющегося материала с учетом влияния уноса массы, рассмотренного в данном пункте. Из (3.40) и (3.45) имеем q (0) = mL [Lm + CPs (Tm-To) + 0,650Pl (Tw - Гт)], (3.59) но если испарение происходит только с поверхности расплава или твердого тела [(Се)ю=1, (Сг)ю=0 для i^E], то из (3.10) и (3.16)

^5 = ^(0)= qw ■ 7,„(ру)ю,(3.60)

где L„— теплота испарения расплавленного материала. Комбинируя (3.59) и (3.60), получаем

— (^w^Фг = mL \Lm-VCPs (Tm— Го)-|- 0,65 (7 m— 7'm)-|- L„f^, (3.61) где ф2 определено равенством (3.57) и

. (РУ)ш

таким образом,

Hett = ~ ^t* = ^±/^2-.(3.62)

mL Ф2

Здесь Hett — эффективная теплоемкость рассматриваемого оплавляющегося и испаряющегося материала. За-

метим, что если f=0, то ф2=1 и Hett = H. Для материала, испаряющегося с поверхности, />0 и ф2 < 1. Это значит, что Hett может быть значительно больше Н за счет поглощения тепла при испарении, а также благодаря влиянию уноса массы, которое выражается в том, что ф2 становится меньше единицы. Число 0,65 в уравнении (3.61) учитывает геометрию слоя расплава. Лиз), в частности, показал, что в критической точке осесимметричного тела это число следует заменить на 0,6.

Уравнение (3.57) можно записать в форме

Ф2=1--^ + -^-(Д2)-..., 52<2,(3.63)

где

(pf)w9еиеСИ6(pf)w9еиеСИ6(pf)w( ?w)o(pf)w( ?w)oUe ^w^Ue ^w^(3.64)(3.64)так как по определению при Рг=1 1т=1е и, кроме того, из (3.10) следуеттак как по определению при Рг=1 1т=1е и, кроме того, из (3.10) следуетсн.сн.(^Д 0Ре^е Ue ^zy)o(^Д 0Ре^е Ue ^zy)o(3.10)(3.10)Отсюда следует, что для малых S2 получим с точностью до величин первого порядка по S2Отсюда следует, что для малых S2 получим с точностью до величин первого порядка по S2ф2«ф2«Р (рДт Ue hg^o.( 7w)oР (рДт Ue hg^o.( 7w)o(3.65)(3.65)

(pf)w9еиеСИ6

(pf)w9еиеСИ6

(pf)w

( ?w)o

(pf)w

( ?w)o

Ue ^w^

Ue ^w^

(3.64)

(3.64)

так как по определению при Рг=1 1т=1е и, кроме того, из (3.10) следует

так как по определению при Рг=1 1т=1е и, кроме того, из (3.10) следует

сн.

сн.

(^Д 0

Ре^е Ue ^zy)o

(^Д 0

Ре^е Ue ^zy)o

(3.10)

(3.10)

Отсюда следует, что для малых S2 получим с точностью до величин первого порядка по S2

Отсюда следует, что для малых S2 получим с точностью до величин первого порядка по S2

ф2«

ф2«

Р (рДт Ue hg^o

.( 7w)o

Р (рДт Ue hg^o

.( 7w)o

(3.65)

(3.65)

Как явствует из экспериментов для турбулентного пограничного слоя и точных расчетов для ламинарного слоя, р может принимать значения от ‘Д до 2/3 и зависит только от состава испаряющегося газа2). Теперь, подставляя ф2 из (3.65) в (3.62), получаем

Не«= Н +f [Le+p(/e—/tw)oL(3.66)

где, как и раньше,

/7 = £m + CpJ7m - Го)+ 0,65 (Г,,-Гт). (3.45)

Из (3.66) видно, что Дегг явно зависит от разности энтальпий поперек газового пограничного слоя при от

сутствии разрушения поверхности, от теплоты испарения и массы испаряющегося расплава, а также от теплоемкости твердого материала и расплава. Параметр 3 также влияет на величину Не« и зависит от состава ма териала, испаряющегося с поверхности, и от того, яг ляется ли газовый пограничный слой турбулентным илг

L, Ю^ Btu/фунт

Рис. 3.6. Эффективная теплоемкость защитного материала в критической точке для сложного материала, состоящего из 30% Фроловой пластмассы и 70% стекловолокна (Adams Мас С., ARSL, 29, 625—632 (1959).

Г ▲ опыты в соплах ракет (Саттон);

I А круглая труба (Георгиев, Гидалго и Адамс);

1 —из уравнения (3.66), где

' 0 — 0,49, /=0,3, 750 Btu/^yw/n,

ламинарным. При больших скоростях полета (щ,^ > 15 000 фут/сек) главным в уравнении (3.66) является второй член, а это подтверждает предположение, что испарение значительно увеличивает эффективную теплоемкость.

Доля f расплавленного материала, который затем испаряется, зависит от температуры Тт на поверхности расплава и парциального давления испаряющегося

материала. Теоретическое определение величины / является довольно утомительным занятием. К счастью, на практике часто применяются «составные» материалы, такие, например, как пластик со стеклотканью. Эти материалы испаряются в определенной пропорции. Именно, пластик испаряется полностью, а стекло плавится, но не испаряется. В этом случае значение / есть просто доля массы пластика в исходном «составном» материале. Температуру поверхности Тю можно подсчитать, используя метод, изложенный в п. 3.4, если известны физические свойства стекла и пластика. (При этом необходим некоторый процесс осреднения величин.) Адамс) проделал вычисления и измерения величины Нен Для таких составных веществ вблизи критической точки для нескольких значений (1е— h^g. На рис. 3.6 сравниваются его экспериментальные и теоретические результаты. [Равенство (3.66), где [3 = 0,49; f=0,30; L„ = 750 Btu/^yMT и число 0,65 заменено на 0,6.] Очевидно, что при испарении расплава эффективная теплоемкость больше эффективной теплоемкости при чистом плавлении.

Теплопроводность в твердом материале. Осталась нерассмотренной еще способность самого твердого материала поглощать и запасать тепло. Даже в том случае, когда происходит изменение фазы материала и имеют место все сопровождающие этот процесс эффекты, тепловые потоки к твердому материалу могут оставаться весьма значительными. Уравнение (3.29) фактически определяет величину теплового потока к твердому материалу от жидкого слоя. Однако, если тепловой поток сравнительно мал, никакого изменения фазы не происходит и количество тепла, передающегося к телу, равно потоку тепла от пограничного слоя газа.

Теория распространения тепла в твердом теле изложена в целом ряде специальных работ. Сошлемся на работы таких авторов, как Мак-Адамс), Якоб), Карслоу

и Егер1), где эта тема рассмотрена достаточно подробно. Цель настоящего пункта состоит в том, чтобы сравнительно простым способом показать, как неоплавляю- щийся и неиспаряющийся материал гиперзвукового объекта реагирует на тепловые потоки от тгретого газа в пограничном слое. Зависимость от времени тепловых потоков, действию которых подвергается гиперзвуковой объект, определяется траекторией движения объекта в атмосфере. Из равенства (МО) следует, что общая теплопередача к объектам, имеющим равные начальные и ■конечные скорости и эквивалентным по размерам, форме и весу, будет одинаковой. Однако распределение потока тепла по времени будет различным. Объекты, круто входящие в атмосферу, будут подвергаться действию короткого, но интенсивного теплового импульса. На объекты, которые входят в атмосферу под малым углом атаки и, таким образом, теряют свою кинетическую энергию относительно медленно, будет действовать не очень интенсивный, но достаточно продолжительный тепловой импульс. Хотя общее тепловое воздействие на такие объекты будет одного порядка, поведение материала поверхности будет различно, так как скорость теплопередачи внутрь объекта ограничена физическими свойствами материала. Если скорость передачи тепла к поверхности объекта превышает скорость, с которой оно отводится в более холодные его части, поверхность объекта будет подвергаться таким же фазовым превращениям, какие мы рассмотрели в п. 3.4 и 3.5. Современная техника показывает, что такие фазовые превращения не только не являются опасными, но, как мы уже видели, они сами и вызываемые ими явления могут служить конструкторам гиперзвуковых объектов в качестве средства уменьшения веса тепловой защиты.

Распространение тепла внутри тела при отсутствии каких-либо источников или стоков тепла описывается следующим дифференциальным уравнением:

д /дТ \ д /дТ\ д /дТ\ д(СпТ\

++ а~ =Р—(3.67)

дх \дх)' ду \ду / ' az \дг)1 dt х ’

*) Карел оу Г., Егер Д., Теплопроводность твердых тел, «Наука», М., 1964.

где к, р и Ср — соответственно коэффициент теплопроводности, плотность и теплоемкость твердого материала при постоянном давлении. Для рассматриваемых гиперзвуковых объектов граничные условия можно записать в виде

Т^х, у, z, t) = T0 при / = О,

^~ ^™ (^W’ У TV’ ^™>’ ^)’^^0,

где п — направление нормали к поверхности, Т^х, у, z, t) — искомая температура. Соответствующие разделы литературы, на которую мы выше ссылались, содержат примеры численного решения этой краевой задачи и подробное описание методики их получения.

Рассмотрим задачу, которая возникает, например, когда объект, подобный баллистическому снаряду большого радиуса действия, входит в атмосферу под малым углом. Известно, что тепловой импульс, действующий на такой объект, имеет форму кривой, изображенной на рис. 3.7'). В дальнейшем мы будем аппроксимировать этот импульс ломаной, также изображенной на рис. 3.7.

Рассмотрим действие теплового импульса на плоскую полубесконечную плиту с постоянными к и Ср, В этом случае уравнение (3.67) примет вид

ь д2Т _ дта

k ду2 РСр •(3.68),

Граничные условия выглядят так:

7'(л;)=7'0 при t = 0,

-^(wL^^ при />0-'(3-69)

Для нашего аппроксимирующего теплового импульса, имеющего форму треугольника,

qsW = qmaxr- 0<t<tv(3.70а)

qsW = qm«-^;.Л</</2.(3.706).

*) См., например, 8 t е g L., Am. Rocket Soc Reprint, 836—859, 1959.'’

Решение задачи (3.68), (3.69) известно1). Оно имеет вид

Т^(3.71

о

где a = klCpQ — тепловое сопротивление.

Учитывая, что оплавление начинается с поверхности рассмотрим температуру Т(0, /) для различных матери?

Рис. 3.7. Типичный тепловой импульс для объектов, входящие в атмосферу с гиперзвуковой скоростью.

лов, используя равенства (3.71), (3.70а) и (3.706). Иг (3-71)

t

Т^)-?^!^ р-^-ОЖ (3.72о

где функция qs((—0) в силу (3.70а) и (3.706) опреде лена следующим образом:

^^-б)^^-^-, 0</<^(3.73

и

Чз U - 6) - ^maxЛ < ^ < ^(3.74

') С а г s 1 a w, J а е g е г, op. cit.

где ^тах — то значение теплового потока, которое нельзя превысить, если мы хотим, чтобы материал поверх

ности не расплавился,

9max (а)'^233<2 tx

Теперь для простоты и большей наглядности нашего примера предположим, что

Тогда (3.75) можно записать в виде

./ CDpk V/2

qmM = 0,97 Um - То), (3.76)

где gmax — то значение теплового потока, которое нельзя превысить, если мы хотим, чтобы материал поверхности не расплавился.

Из уравнения (3.76) можно почерпнуть существенную информацию относительно свойств, которыми должен обладать неоплавляющийся теплопоглощающий материал. Пусть имеется объект, материал которого не должен плавиться. Требуется, чтобы объект выдерживал как можно более высокие тепловые потоки. Как видно из равенства (3.67), для этого нужно:

чтобы произведение (Сррй)'^™ было велико;

А/— длительность теплового импульса была малой.

Таблица 3.4 содержит характерные значения величины (СрркуЦТта — То) для некоторых материалов.

Использовать эти материалы как неоплавляющиеся поглотители тепла тем выгоднее, чем выше для них значение приведенного в таблице параметра, если, конечно, не принимать во внимание их механические свойства и технологию производства. В этом смысле медь благодаря своей высокой теплопроводности лучше, чем огнеупорные материалы. Графит и карбид титана еще лучше меди, но они хуже меди поддаются обработке.

Конечно, если допустимы оплавление или испарение или оба эти явления вместе, то, как указано в п. 3.3. и 3.5, выбор материала для теплозащитной . системы определяется другими соображениями. В частности, некоторые свойства защитных разрушающихся материалов должны быть прямо противоположны свойствам материалов, которые могут служить хорошими твердыми поглотителями тепла. Например, защитные разрушающиеся материалы при прочих одинаковых свойствах должны иметь меньшую теплопроводность и температуру испарения.

Таблица 3,4

Характерные значения параметра (СррА)72 (Тт — То) для некоторых теплопоглощающих материалов

Материал

Приближенное значение величины ^р^к (Гт~^ В1и/д5ут2»час'/з

Приблизительная величина теплоемкости, Btu/фунт1)

Медь

1,68-105

150—200

Сталь

2 -104

90

Графит

1,88-10*

1600

Карбид титана

1,86 ■ 105

1100

Окись магния

2,47- 104

1650

Карбид кремния

3,52 - 104

350

Окись бериллия

4,16 -10*

2750

*) Получена исходя из осредненных физических свойств веществ при температуре от Го до Тт- •

Приведенное здесь простое решение, конечно, не является исчерпывающим, когда речь идет о конструировании конкретных объектов. В этом случае нужно учитывать и геометрию объекта и изменение физических свойств с температурой, т. е. необходимо решаты уравнение (3.67). Мы же в этом пункте стремились указать общие принципы, которыми нужно руководствоваться при выборе теплопоглощающего материала, если изве* стен тепловой импульс, действующий на объект.

Заключение. В настоящей главе мы описали взаимодействие горячего газа в пограничном слое с твердой поверхностью и жидким подслоем на этой поверхности и показали, как можно подойти к анализу сложных одновременно протекающих при этом явлений. Влияние химических реакций в газовом слое на теплопередачу к твердой или жидкой поверхности обсуждалось в п. 3.3. Поведение оплавляющейся поверхности при больших тепловых потоках от газового слоя рассматривалось в п. 3.4. В п. 3.5 изучено обратное влияние испарения с поверхности тела на теплопередачу от газового слоя и поверхностное трение. В п. 3.6 указывается, как рассматривать задачу о распространении тепла, которое проникает через оплавляющийся и испаряющийся слой или непосредственно передается в твердое тело.

Все это излагалось так, чтобы почти любое из рассматриваемых явлений можно было описать, по крайней мере приближенно, с помощью того или другого из данных здесь методов. Теперь мы готовы к тому, чтобы в последующих главах более подробно изучить затронутые здесь вопросы.

Сейчас естественно сделать некоторые ценные выводы:

Из результатов, полученных в п. 3.3, следует, что для уменьшения потока тепла к поверхности следует исключить возможность протекания в пограничном слое экзотермических реакций. Таким образом, желательно (если это, конечно, возможно) в тех случаях, когда для тепловой защиты предусмотрено разрушение поверхности, выбирать негорючие испаряющиеся материалы. Такие материалы, по-видимому, должны быть неорганическими.

В п. 3.4 мы выяснили, что защитные материалы, разрушающиеся путем плавления и испарения, должны иметь большую теплоту испарения и большую вязкость, что способствует поглощению тепла в жидкой фазе, и малую теплопроводность, что способствует повышению теплосодержания слоя расплава и препятствует проникновению потока тепла к находящейся под ним твердой поверхности, а также ускоряет испарение.

Как показано в п. 3.5, на теплопередачу от газового слоя заметно влияет унос массы с поверхности тела.

Это обстоятельство увеличивает преимущества тепловой защиты, основанной на применении защитных разрушающихся материалов.

Проведенный в п. 3.6 анализ позволяет сделать вывод, что система тепловой защиты, основанная на применении твердого неоплавляющегося поглотителя тепла, не может конкурировать в смысле веса с защитными разрушающимися системами. Как видно из табл. 3.4, теплоемкость лучшего из неразрушающихся поглотителей тепла — меди — приблизительно 150—200 Ыи!фунт, в то время как у разрушающихся поглотителей тепла эффективная теплоемкость более 1000 Btu/^z/нт.

Простые приближенные выражения, полученные в п. 3.4, позволяют сделать вывод, что многие параметры системы тепловой защиты, основанной на применении оплавляющихся материалов, нужно выбирать путем лабораторных испытаний. Уравнение (3.46) иллюстрирует это обстоятельство.

В заключение этой главы уместно напомнить читателю, что вывод многих соотношений был основан на ряде предположений. Это делалось для того, чтобы выяснить основные факторы, определяющие данное явление. Некоторые из предположений будут сняты в следующих главах, естественно, ценой значительных усложнений. Автор надеется, что изложенные здесь сведения помогут понять суть тех методов, которые применяются для решения различных проблем в этой сложной науке.

ГЛАВА

4ДИССОЦИИРОВАННЫЙ ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙСЛОЙ

Введение. В гл. 3 были изложены некоторые упрощенные методы исследований, большинство из которых одинаково хорошо применимы как для ламинарного, так и турбулентного реагирующих пограничных слоев. Для того чтобы повысить точность подобных упрощенных методов исследований, мы должны учесть особенности пограничного слоя, которые связаны с его физическим состоянием, а именно является ли он ламинарным или турбулентным. В гл. 4 и 5 будут рассмотрены некоторые из более точных теорий реагирующего ламинарного пограничного слоя. Главы 7 и 8 целиком посвящены изложению теории реагирующего турбулентного пограничного слоя.

В настоящей главе мы детально рассмотрим диссоциирующий ламинарный пограничный слой, включив в исследование влияние формы тела и градиента давления. Мы начнем изложение с того, что выведем уравнения диссоциированного пограничного слоя. Наряду с упрощенными решениями полученных уравнений, там где это возможно, мы будем приводить результаты наиболее точных расчетов. В нашем изложении мы отдельно рассмотрим влияние диссоциации на теплопередачу из диссоциированного пограничного слоя к охлажденной стенке и постараемся дать объяснение этому влиянию и оценить его.

По мере развития теории вязких гиперзвуковых течений стало очевидным, что следует различать два класса течений пограничного слоя у поверхности обтекаемых тел: обтекание затупленных тел и обтекание тел, имеющих относительно «острый» передний край. Течение ламинарного пограничного слоя у заостренных тел

7 У. X. Дорренс

подверглось более раннему и интенсивному изучению, поскольку представляло интерес явление взаимодействия, возникающее благодаря самоиндуцированному градиенту давления, наложенному на пограничный слой из-за вытеснения внешнего газового потока, особенно в окрестности острой кромки или носика тела. Эффекты взаимодействия рассматриваются в гл. 6 нашей книги.

Рис. 4.1. Система координат, используемая для описания течений в пограничном слое тела, движущегося с гиперзвуковой скоростью

Хотя проблема взаимодействия в окрестности острой кромки тела и остается важной проблемой в теории гиперзвукового пограничного слоя, в частности при конструировании тел, предназначенных для полета с гиперзвуковыми скоростями и малыми числами Рейнольдса, однако все более очевидным становится тот факт, что гиперзвуковой полет в условиях высокой плотности и больших чисел Рейнольдса исключает по практическим соображениям возможность использования острых кромок или носиков. Эти практические соображения включают требование минимизации тепловых потоков в точке торможения и, более того, требование обеспечения каким- либо способом достаточной тепловой емкости в точке торможения, поскольку в этой точке возникают наиболь-

шие тепловые потоки. Обтекание затупленного тела приводит к появлению высоконагретых газов, прошедших через сильную головную ударную волну, и в этих условиях наиболее сильно проявляются эффекты диссоциации, рассматриваемые в данной главе.

Уравнения пограничного слоя. Уравнения пограничного слоя в химически реагирующей смеси газов были получены в гл. 2. Они будут приведены здесь в качестве отправной точки для исследований настоящей главы. Используемая нами система координат представлена на рис. 4.1.

Из уравнения (2.67) получаем уравнение состояния

Pi^Pi-^T,(4.1а)

где к— постоянная Больцмана и т, — масса молекулы 1-го компонента. Кроме этого, из уравнения (2.68а) следует, что

p^^p^vRT,(4.1б)

где, согласно уравнению (2.686),

R = ^CtRb Ct = ^-.(4.1в)

Уравнение сохранения массы компонентов следует из уравнения (2.56) и имеет вид

дС1 , дС, д ( п дСА , •.. „.

рм^ + рг, —j +(4.2)

Уравнение неразрывности следует из уравнения (2.70) и имеет вид

дриг? дрУГп

—+ —=(4.3)

ds 1 dy\/

где r0(s) — радиус тела вращения в меридианальной. плоскости (рис. 4.1), к = 0 в случае плоского тела и к=\ в случае тела вращения.

Уравнения сохранения импульса даются ми (2.66) и (2.69) и имеют вид

уравнения-

ди ,ди

ду"'

И

др । д ds 1 ду

|(4.4а)

ду

. Р = Ре-

(4.46)

Уравнение сохранения энергии дается уравнением (2.72) и может быть записано в виде

д! . д! Р^+Р^

а Г Ц dl , Л 1 \ 1 диП

— ду [Рг дуРг/ 2 ду J

где

ду \Le/" 12* ду

. (4-5)

/ = А4-_,

(4.6)

и

й=5сл

т

(4.7)

hi = / CPldT+ hl.

0

(4-8)

Из уравнения (4.6) следует, что

д! . di dh . dh . I ди , ди\ р^+р^-р^+р^+Др^+р^)

или с использованием уравнения (4.4а)

di ।didh

ds +Py dy =PM ds

Кроме того,

,dh

+а,

। д / ди\

'OS

(4.9)

д / ди \

д / 1

ди2\(ди'

~ ду Г 2

ду ) Р(ду ,

) .(4.10’

Аналогично из уравнения (4.6) следует

Рг ду

ц dh ,

Рг ду 1

Н / 1 ди2 \ Рг U" ду )*

(4.И)

а, согласно уравнению (4.7),

У dh и /у , дСД , СрД дТРг ду — Рг I z ду р рг ду ’

где

СР/ = ^С^ = ^СЕСРг(4.13)

it

Если выражение (4.10) подставить в уравнение (4.9), выражение (4.12) подставить в уравнение (4.11) и результирующие выражения подставить в уравнение (4.5), мы получим другую форму уравнения энергии

dh । dhрм-аг+р^ =

=+++(4.14)

ds 1 ду ( ду | ; и ^ 1 ду j '\ ду ) v ’

где используются числа Прандтля Рг и Льюиса Le, определения которых приведены ниже:

чч(4.15)(4.16)(4.15)(4.16)^=-4-

ч

ч

(4.15)

(4.16)

(4.15)

(4.16)

pD12Cp,Le = -^

Граничные условия для полученных выше уравнений

р =

Рф>

т=

т

h =

h^

/ =

I

а =

0,

и =

0,

Cz =

(Сг),

При у->со:При у->со:При у = 0:При у = 0:следующие.

При у->со:

При у->со:

При у = 0:

При у = 0:

1 —г 1 в' h^he, 1^1. и^>ие, -у ->0, С^^С^,

где

P = H(CZ, Т), к = ЦСИ Г), D^D^T) и р = рД8\

При выводе уравнений пограничного сдоя в химически реагирующей газовой смеси предполагалось, что мы имеем дело со стационарными течениями.

Уравнения пограничного слоя для идеально диссоциирующего газа. При исследовании диссоциирующих газовых смесей Лайтхиллом1) было впервые введено понятие идеально диссоциирующего газа. Лайтхилл упростил задачу, заменив изучение диссоциирующей газовой смеси, подобной воздуху, изучением простой идеально диссоциирующей газовой смеси, в которой протекают лишь реакции, описываемые уравнением

А2^2А.(4.17)

То есть мы предполагаем, что газовая смесь состоит лишь из двух компонентов: А2— молекул и А — атомов. Термодинамические и химические свойства атомов и молекул модели выбираются тогда равными некоторым приемлемым средним значениям этих величин для атомов и молекул реальной смеси газов. Эта концепция была широко использована при изучении невязких течений с химическими реакциями и, как мы покажем, окажется приемлемой в случае диссоциирующего пограничного слоя.

Используя приближение идеально диссоциирующего газа, мы можем написать

Ра

— = а—массовая концентрация атомов, (4.18)

Рм

— =1—а — массовая концентрация молекул. (4.19)

Мы воспользуемся теперь уравнениями (4.18) и (4.19) для того, чтобы получить уравнения пограничного слоя в случае идеально диссоциирующего газа. Уравнение состояния (4.1а) запишется в виде

=(4.20)

И

=(4-21)

') Light hi 11 М. J., L Fluid. Meeh., 2, part 1, 1—32 (1957).

Тогда с использованием соотношений (4.20) и (4.21) уравнение (4.16) примет вид

p = $RT,(4.16)

где в соответствии с уравнением (4.1в)

/? = (!+«)(4-22)

Далее, используя соотношение (4.18), мы запишем уравнение (4.2) в виде

Уравнения (4.3) и (4.4а) и (4.46), являющиеся соответственно уравнениями неразрывности и сохранения импульса, остаются без изменений. Уравнения сохранения энергии, т. е. уравнения (4.5) и (4.14) с учетом уравнений (4.18) и (4.19) примут вид

61 .61 д Г ц д! ./.1X1 ди2 1

+ "ду ~ "ду [Рг "ду + И~"Рг) 2"d7J_

-4[(тт“1)₽О1г<*А-''»)1Н <424)

др । 6 Г, 6Т .„ .,, . dal ,( ди\1 ,.

+• (4-25>

где

h — aZtA + (l — a) Ам,(4.26)

т

hx= ^ C^dT-H^(4-27)

о и т

Ам= Jc^rfT,(4.28)

о

так как Лм=0, Ад—D/2mA, где D— энергия диссоциации одной молекулы для молекул идеально диссоциирующего газа.

Граничные условия следующие.

При у = 0:

При у->схэ:

Р = Р™- т — 'Г 1 1 W'

и = 0, у — 0,

как и прежде, ц = ц(а, Г), р = pe(s). Этих упрощенных

р

Т->Т, h-^-he, 1-^1, и -> ие, •и —> 0,.

а —> аг;

к=к(а, Г), D12 = Dtt(T') и уравнений, как мы пока-

жем, достаточно для описания диссоциированного пограничного слоя.

Эффект диссоциации. Влияние химических реакций на теплопроводность. Попытаемся теперь определить, каково будет влияние диссоциации газа в пограничном слое на тепловой поток к поверхности тела. Уравнение энергии (4.14) для плоской пластины при отсутствии диссоциации газа принимает следующий вид:

(4.29)(4.29)dh , dhР“-^+р^ =

(4.29)

(4.29)

Решение уравнения (4.29) и уравнения сохранения импульса (4.4а) для нереагирующего газа с постоянными свойствами (р, щ к, Ср — постоянны) дает ’)

Чщ> ^Н^е^е^г ^ш)>(4.30)

где

I, = heA-r^. г = (Рг)1/2

и

Ся = %Рг)-2/3;(4.31)

*) См., например, S с h 1 i с h t i n g H., Boundary Layer Theory, 4th ed., для C//2 уравнение (7.35a), стр. 120, а для qw уравнения (14.68), стр. 318; русский перевод; Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, ИЛ, М., 1956,

Рг — число Прандтля для нереагирующей смеси газов с постоянными свойствами, и очевидно, что в этом случае

=(4.32)

В том случае, когда учитывается диссоциация и в смеси присутствуют атомы и молекулы, выражение для потока тепла содержит член, обусловленный диффузией атомов и молекул поперек пограничного слоя. Например, если поверхность тела холоднее, чем внешний поток, атомы будут диффундировать к поверхности, рекомбинируя на поверхности или вблизи нее, тогда как молекулы будут диффундировать от поверхности во внешний поток, где они затем будут диссоциировать. Для идеально диссоциирующего газа выражение для потока тепла имеет тогда следующий вид:

-q^^-VpDu(hx-M^. (4.33)

и уравнение энергии дается уравнением (4.25)

dh . dh д Г, дТ , n. д«Т .(ди\р

Р“^ + р^ = ^|^+р£12(Аа-М^] + ц(^) .

(4.34)

Далее, из уравнений (4.27) и (4.28) следует т

Ла - Ам = Ад + J (С„д - С„м) dT,

О

однако

т

А^ ^ I (СрА — Срм) dТ;

о

таким образом, выражение для потока тепла (4.33) окончательно принимает вид

+(4.35)

Если идеально диссоциирующий газ находится в состоянии локального химического равновесия, тогда

а — а(Т, р).

Откуда, поскольку в нашем примере плоской пластины р = const=р₽, следует

да da дТ

дуdT ду ’

(4.36)= рО12/г^(4.37)(4.36)= рО12/г^(4.37)и мы находим, что

(4.36)

= рО12/г^(4.37)

(4.36)

= рО12/г^(4.37)

— <7

где величина .

к,

называется «химической проводимостью», или коэффициентом теплопроводности, обусловленным химическими реакциями. Сумма к и kr будет кажущимся коэффициентом теплопроводности равновесной газовой смеси. Можно высказать несколько замечаний, касающихся относительной величины кг, если рассмотреть в качестве идеально диссоциирующего газа, например, кислород. Тогда для реакции

О2ц=±2О

(4.38)(4.39)(4.38)(4.39)мы имеем в состоянии равновесия 4a =^(7') 1 — a2 р ’

(4.38)

(4.39)

(4.38)

(4.39)

где1)

К(Л~ехр (-^

где D — энергия диссоциации молекулы кислорода Ог. Воспользовавшись уравнениями (4.38), (4.39) вместе с уравнениями (4.16), (4.22) и (4.37), мы получим

(4.40)

Очевидно, что кт достигает своего максимального значения в окрестности значения а, равного a —Vz- Значение кт было вычислено Батлером и Брокау2) и Гиршфель-

•) См., например, уравнение (9.128).

дером1) для О2, и было найдено, что кт в 10 раз превышает максимальное значение к.

Если таким образом ввести химическую проводимость, тогда из уравнения энергии могут быть исключены члены, связанные с переносом энергии за счет диффузии. Однако при изложении материала настоящего пункта мы не будем пользоваться понятием химической проводимости, во-первых, потому, что для этого необходимо, чтобы поток находился в состоянии химического равновесия, и, во-вторых, потому, что это не уменьшит сложности расчета, поскольку кт зависит от концентрации и температуры в каждой точке потока. Этим понятием мы сможем воспользоваться, однако, для выяснения влияния диссоциации.

Из уравнения (4.26) мы найдем, что dh da ,о । "dT ~ "dT

а в случае идеально диссоциирующего газа

„- dh. dh.dh..

CPj=^Ct= a -^" + (1 — °) dT .

так что

da W^"Cp,da W^"Cp,(4.41)(4.41)

da W^"Cp,

da W^"Cp,

(4.41)

(4.41)

Комбинируя уравнения (4.37) и (4.41), получаем к^О^Ср-Ср^.(4.42)

В результате уравнение (4.36) приобретает следующий вид:

— q = k 1 + Le— q = k 1 + Le1С 11С 1дт~ду ’дт~ду ’

— q = k 1 + Le

— q = k 1 + Le

1

С 1

1

С 1

дт

~ду ’

дт

~ду ’

где

pDxlCp

Le =т—-

к

') Hirschfelder J. О., I. Chem. Phys., 26 (2), 271—273 (1957).

Удобно ввести два числа Прандтля. Одно из них зависит от поля течения и газовой смеси и определяется как

РГе9 =’(4-43)

а второе, ранее введенное нами число Прандтля, которое зависит только от газовой смеси и выражается как

Рг =Рг =Ср у цкСр у цк(4.44)(4.44)

Рг =

Рг =

Ср у цк

Ср у цк

(4.44)

(4.44)

Заметим, что равенство Рге? = Рг справедливо для нереагирующей газовой смеси. Из сказанного выше следует, что

Рг Ср k-VkT \ср^^ ср)

поскольку, согласно уравнению (4.42),

кк -|- кткк -|- кт1 + Le-^ pf)1 + Le-^ pf)

к

к -|- кт

к

к -|- кт

1 + Le-^ pf)

1 + Le-^ pf)

Теперь по аналогии с (4.30) тепловой поток от пограничного слоя к поверхности в случае равновесного идеально диссоциирующего газа будем записывать в виде

-Ята=^2 PeUe PV7qP Qr ~ М

или с использованием соотношения (4.45)

• С,ЦС\I2/3

-qm = -^PeuePr-^^r-M ^4^41-Le) + Le ,

(4.46) где (Ср ) , (СДао—некоторые средние значения этих величин. Пусть

p)av Т Т* г * w

И

( Ppav^Тг-тш •

Подставляя полученные выражения для (Ср)аг и (Ср Xв соотношение (4.46), получаем

J' и-и

-q™ = 4^Ue^4I-h^ l+(Le-l) 4-^4- •

(4.47)

Последний член в выражении, полученном для теплового потока (4.47), появился из-за диссоциации в пограничном слое. Заметим, чго если Le=l или ае = аш, тогда диссоциация не будет влиять на тепловой поток к поверхности. Если Le=l, тогда в соответствии с п. 2.6 тепло переносится к поверхности за счет диффузии со скоростью, равной скорости, с которой оно переносится за счет теплопроводности и конвекции, и нет никакой разницы в том, как происходит перенос тепла, при условии, что поверхность является каталитической для реакции рекомбинации. Если ае=аю, пограничный слой представляет собой существенно однородную смесь атомов и молекул, так что будут отсутствовать диффузионные потоки к поверхности. Скрытое влияние диссоциации будет проявляться в первую очередь в энтальпийном потенциале 1Г — hro, который мы с использованием соотношений (4.6) и (4.26) можем выразить как

1г—hw = (Лд—Лм)8«8 -|- (Лм)8 ~Ь г-^—(Ад—Ам)ш о™Ч~(Ам)ш> но выше мы показали, что

(Ад — Лм)8 ~ А а ~ (Ад — Лм)щр

откуда следует, что

1г — Aw ~ Ад (а8 — a^) (Лм)е — (Ам)т Н- г —^; (4.48)

диссоциация находит свое выражение только в первом члене уравнения. В условиях пограничного слоя, когда Лд(а8— «™) порядка 50% Цт—Аю), влияние диссоциации является принципиально существенным, поскольку Ее обычно близко к единице для газовых смесей, подобных воздуху. Коэффициент восстановления оказывается относительно малозависящим от диссоциации.

Другим скрытым эффектом диссоциации является изменение переносных свойств газовой смеси в зависимости от степени диссоциации. Однако, как будет показано в дальнейшем, этот эффект является эффектом второго порядка малости по сравнению с энтальпийным.

Уравнение, аналогичное (4.47) для теплопередачи в критической точке, было получено впервые Рознером1), который показал, что последний член уравнения (4.47) отличается от результатов точных расчетов менее чем на 3% при широком изменении величины

' (Де — %) ЛА

/ е Лш

для числа Льюиса, равного 1,4, что соответствует диссоциирующему воздуху.

Приближение «замороженного» пограничного слоя. Предыдущий пункт содержал анализ влияния диссоциации на теплопередачу в пограничном слое плоской пластины. Последующие пункты этой главы будут посвящены более точному изучению диссоциирующего ламинарного пограничного слоя у затупленных осесимметричных тел. Применимость этих решений к случаю плоской пластины будет обсуждаться в п. 5.11. Мы уделяем больше внимания проблеме обтекания затупленного тела, потому что эта модель точнее аппроксимирует задачу о теплопередаче при гиперзвуковой скорости полета.

Когда в газовой динамике мы сталкиваемся с проблемой точного определения теплопередачи от диссоциирующего пограничного слоя, нам нужно решать уравнения пограничного слоя для концентрации атомов наряду с уравнениями относительно переменных состояния и скорости потока. В случае идеально диссоциирующего газа необходимо решить шесть уравнений (4.16), (4.3), (4.4а), (4.46), (4.23) и (4.24) или (4.25) относительно шести неизвестных и, v, р, Т, р и а. Давление р обычно задано и равно pe(s). Последняя величина находится из условий внешнего невязкого обтекания. Этим обеспечи-

*) Rosner D. Е., 4RS /., 30 (1), 114—115 (1960).

вается сопряжение внешнего течения и течения в пограничном слое.

Воспользуемся преобразованием переменных, рассмотренным в п. 2.4, с тем чтобы, если это возможно, свести наши нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным. В п. 2.4 было показано, что уравнения (4.3), (4.4а), (4.46), (4.23) и (4.24) можно свести с помощью преобразований и подстановок, которые будут указаны ниже, к обыкновенным дифференциальным уравнениям со стандартными условиями. То есть если принять, что

и$ = / P^Zo6"^5'(4-50)0и$ = / P^Zo6"^5'(4-50)0

и

$ = / P^Zo6"^5'(4-50)

0

и

$ = / P^Zo6"^5'(4-50)

0

2s® АРРе^еРе^О^г "2s® АРРе^еРе^О^г "(4.51)(4.51)Уравнение в видеУравнение в видесохранения импульсов (4.4а)сохранения импульсов (4.4а)запишется(4.52)запишется(4.52)

2s® А

РРе^еРе^О^г "

2s® А

РРе^еРе^О^г "

(4.51)

(4.51)

Уравнение в виде

Уравнение в виде

сохранения импульсов (4.4а)

сохранения импульсов (4.4а)

запишется

(4.52)

запишется

(4.52)

то уравнение (4.3) удовлетворяется автоматически; уравнение сохранения компонента (4.23) запишется в виде

С Y^ГгА

z' +fz', =Sm А/ А ае ds

и уравнение энергии (4.24) в виде

' С ,Y ,^'g А' С ,Y ,^'g А4 /1 \ , 1

' С ,Y ,^'g А

' С ,Y ,^'g А

— 1СП" 4- iA Pr/

^ , (4.53)^ , (4.53). C / 1 Л (ЛА ~ ^m) “e

^ , (4.53)

^ , (4.53)

' . Sm \ Le / Ie

где

г» (4)-=-^.(4.54)

^м(П)=^^-(4-55)

(4.56)

g (л) = т(4-57)

и

(4-58)

Некоторые члены в уравнениях (4.51) — (4.53), зависящие от координаты s, снижают эффективность рассмотренных выше преобразований координат и функций. К счастью, имеется целый ряд решений уравнений (4.51) — (4.53), которые удовлетворяют требованиям независимости всех членов от s и которые могут быть использованы для иллюстрации влияния диссоциации на сопротивление и тепловой поток в пограничном слое.

Решение задачи о теплопередаче в точке торможения является одним из таких решений. В этом случае в уравнении (4.51) da.elds = Q, в уравнении (4.52) --^- = const и в уравнении (4.53) /e=const и ме=0. Ug ds

При условии, что последний член уравнения (4.53) может быть представлен как функция только ц, система уравнений, описывающих течение в окрестности точки торможения, приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с ц в качестве независимой переменной. Граничные условия в этом случае будут следующие:

=к^ = ^*zAM = l,

f(O) = f(O) = O,/'Н = 1,(459)

g'(0) = g^,g'(oo) = 0,

gW^g®»g(oo)=l.

Решение уравнений (4.51) — (4.53) ищется при различных предположениях относительно неявной зависимости величин С, Рг и Sm от т] и для различных значений констант скоростей реакций, которые определяют величину wa.

Весьма поучительным является исследование одного из простейших частных случаев задачи о теплопередаче в точке торможения, а именно случая «замороженного» течения в газовом слое, когда в уравнении (4.51) za = 0. Рассмотрим выражение (4.35)

<4-35>

где мы ввели обоснованное упрощение, положив, что Ла— Лм ~ йд-Теперь, используя уравнение (4.35) и определяя «парциальную энтальпию» следующим образом:

7/ = 7 —2СХ(4.60)

можно показать, что для бинарной смеси

Z/ = Z — а<;(4.61)

тогда, используя соотношение (4.11) и записывая в уравнении (4.35) член, описывающий теплопроводность, в виде

/ дТ\ 1 dlf .

< 'dyL = c7J-8? = —^w^(4-62)

а диффузионный член в уравнении (4.30) в виде

=(4.63)

суммарный поток тепла к поверхности можно записать в виде —дю =— (ум)т—(д^д. Это разделение теплового потока на два члена: одного, обусловленного теплопроводностью, и другого, обусловленного диффузией, как будет показано, приводит для «замороженного» бинарного

пограничного слоя к очень полезному упрощению. Введем следующие определения:

(4-64а) и

2, = ^ ;(4.646)

ggaehKIeaehKIeтогда, из уравнений (4.57), (4.61) и (4.64а) следует, что

g

g

aehK

Ie

aehK

Ie

(4.65)

(СГУ+^Г-о, (к ^)'+^-0,(СГУ+^Г-о, (к ^)'+^-0,Подставим сначала соотношение (4.65) в уравнение (4.53), а соотношение (4.646) в уравнения (4.51) и (4.52), затем вычтем уравнения, получившиеся после этих подстановок, из предыдущих. В результате, помня, что wa = 0, получим следующие уравнения для «замороженного» течения:

(СГУ+^Г-о, (к ^)'+^-0,

(СГУ+^Г-о, (к ^)'+^-0,

(4.66)

(4.67)

(4.68)

где для уравнения (4.67) предполагается, что член, характеризующий влияние градиента давления на уравнение импульса, пренебрежимо мал по сравнению с оставленными членами. Это предположение эквивалентно условию, что

что достаточно хорошо выполняется для большинства пограничных слоев и холодной стенки1). Граничными ус-

') Уравнение (4.67) строго справедливо только в случае обтекания плоской пластины. Мы пренебрегаем членом в правой части уравнения (4.52), учитывающим градиент давления, только ради удобства, так как мы здесь рассматриваем решение в критической точке.

ловиями уравнений (4.66) — (4.68) будут следующие:z(0) = zro,z(oo)=l,

Г(О) = ИО) = О,ГМ=1,(4.69)

g/(0) = <g/V

Кроме того, используя соотношения (4.35), (4.49), (4.50), (4.62), (4.63), (4.64а) и (4.64 6), можно показать, что ла“^а (0)1.М J ’ (4.70)Кроме того, используя соотношения (4.35), (4.49), (4.50), (4.62), (4.63), (4.64а) и (4.64 6), можно показать, что ла“^а (0)1.М J ’ (4.70)ЧтиЧтиV/^e Pw4wV/^e Pw4wРгРг^,2^,2

Кроме того, используя соотношения (4.35), (4.49), (4.50), (4.62), (4.63), (4.64а) и (4.64 6), можно показать, что ла“^а (0)1.

М J ’ (4.70)

Кроме того, используя соотношения (4.35), (4.49), (4.50), (4.62), (4.63), (4.64а) и (4.64 6), можно показать, что ла“^а (0)1.

М J ’ (4.70)

Чти

Чти

V/^e Pw4w

V/^e Pw4w

Рг

Рг

^,2

^,2

где вблизи точки торможения

r0 = s,

и й = 0 для двумерного тела, к = 1 для тела вращения. Выражая тепловой поток через число Нуссельта, где

ииNuNuqwsCp^ kw V е ^ту)qwsCp^ kw V е ^ту)(4.71)(4.71)ReraRera

и

и

Nu

Nu

qwsCp^ kw V е ^ту)

qwsCp^ kw V е ^ту)

(4.71)

(4.71)

Rera

Rera

можно показать, что

[^ g'/(0)+Le №^ (°Ч’ (4J2) ^C^Ig fl^y

где значения величин g^W и гд (0) Должны быть найдены из решения уравнений (4.66) —(4.68) с граничными условиями (4.69). В литературе имеются решения уравнений (4.66) — (4.68), удовлетворяющие граничным условиям (4.69) для некоторых специальных случаев. Ли Тинг-и и Нагамацу *) получили решение уравнения (4.67), связанного с уравнениями (4.68) и (4.66), для С = 1 и Рг или Sm=l; Леви) получил решение для

*) L i Т. Y., N a g a m a t s u Н Т., I. Aeronaut. Set., 22, 607—616 (1955).

С = 1 и Рг или Sm = l или 0,7; Коэн и Решотко1) получили решение для С=1 и Рг или Sm=l. Допуская, что эти решения являются специальным случаем (Рг и Sm мало меняются в пограничном слое, а С меняется достаточно сильно в пределах от 1 до 0,2), тем не менее следует согласиться с тем, что они соответствуют реальному случаю и могут быть использованы нами здесь для отыскания и построения точного решения, полученного с использованием полных уравнений без каких- либо упрощений. Из точных решений следует, что

г; (0)« 0,47 Sm1/3 [1 — гА (0)](4.73)

и

g; (0) ~ 0,47 Pr^ [1 - g, (0)](4.74)

с точностью до 5%. То, что выражения для г'(0) и g'(0) имеют этот вид, можно заключить из решений уравнений (4.66), (4.67) и (4.68), которые выражаются в квадратурах,

t ( Sm 1 — zK (0)

2а (°) = (ДГ/т G (co; Sm) ’

Х '\ С )w О (оо; 1)

и

l-g/W) G (со; Рг) ’l-g/W) G (со; Рг) ’

l-g/W) G (со; Рг) ’

l-g/W) G (со; Рг) ’

если предположить, что С = const — Cw; здесь

оо г Т)'"

(4.75)(4.75)О (со; Z)— ^- J ехр — J ^fd^' ^ч'

(4.75)

(4.75)

ооо

о

о

при Z = Sm, 1 или Рг. Кроме того, из граничных условий для уравнения сохранения импульса, следует, что /(0) —(х(0) =0. Отсюда с использованием разложения в ряд Тейлора следует, что

/(п) = Г(0)^+

') Cohen С. В., R е s h о t к о Е., NACA Rept. 1293, 1956.,

где, как можно показать из решения для f"(0),

Тогда уравнение (4.75) перепишется в виде

■ен■ен^ (0,0783)п3]^.^ (0,0783)п3]^.(4.76)(4.76)

■ен

■ен

^ (0,0783)п3]^.

^ (0,0783)п3]^.

(4.76)

(4.76)

Обозначим теперь '^ = 0,0783л3-^5 ;Обозначим теперь '^ = 0,0783л3-^5 ;тогдатогда. _ 0,785С1/221/3^2/3и, таким образом, используя (4.77) в уравнении мы получаем/2/3 -G (оо; Z) ~ 0,785/ ехр (- У ,. _ 0,785С1/221/3^2/3и, таким образом, используя (4.77) в уравнении мы получаем/2/3 -G (оо; Z) ~ 0,785/ ехр (- У ,(4.77)(4.77)(4.76),(4.76),илиили

Обозначим теперь '

^ = 0,0783л3-^5 ;

Обозначим теперь '

^ = 0,0783л3-^5 ;

тогда

тогда

. _ 0,785С1/221/3^2/3

и, таким образом, используя (4.77) в уравнении мы получаем

/2/3 -

G (оо; Z) ~ 0,785/ ехр (- У ,

. _ 0,785С1/221/3^2/3

и, таким образом, используя (4.77) в уравнении мы получаем

/2/3 -

G (оо; Z) ~ 0,785/ ехр (- У ,

(4.77)

(4.77)

(4.76),

(4.76),

или

или

Q (оо; Z)« 0,785Q (оо; Z)« 0,785= 0,785= 0,785а оценивая гамма-функцию, мы получим в первом приближенииа оценивая гамма-функцию, мы получим в первом приближении/2/3G(oo; Z)«2,ll^./2/3G(oo; Z)«2,ll^.(4.78)(4.78)Отсюда, например, следуетОтсюда, например, следует0,470,47ии/w А1,0,47 Sm1/2гА(О)«—^72—/w А1,0,47 Sm1/2гА(О)«—^72—[1—^а(О)][1—^а(О)],0,47Рг1/3Г1£/(0)~—3172-11” £/(°)b,0,47Рг1/3Г1£/(0)~—3172-11” £/(°)b

Q (оо; Z)« 0,785

Q (оо; Z)« 0,785

= 0,785

= 0,785

а оценивая гамма-функцию, мы получим в первом приближении

а оценивая гамма-функцию, мы получим в первом приближении

/2/3

G(oo; Z)«2,ll^.

/2/3

G(oo; Z)«2,ll^.

(4.78)

(4.78)

Отсюда, например, следует

Отсюда, например, следует

0,47

0,47

и

и

/w А1

,0,47 Sm1/2

гА(О)«—^72—

/w А1

,0,47 Sm1/2

гА(О)«—^72—

[1—^а(О)]

[1—^а(О)]

,0,47Рг1/3Г1

£/(0)~—3172-11” £/(°)b

,0,47Рг1/3Г1

£/(0)~—3172-11” £/(°)b

и появление соотношений (4.73) и (4.74), таким образом, оправдано, поскольку для большинства случаев С»1. Решение уравнений (4.66) и (4.68) связано с решением уравнения (4.67), так как решение уравнения (4.67), /'(р), представимо явно через функцию G(oo; Z). Процесс нахождения различных необходимых решений включает ряд итераций.

Подставляя выражения (4.73) и (4.74) в уравнения (4.70) и (4.72) и используя уравнение (4.65), получаем -qw = 0,66 Рг"2/3 (РЛ)1/2 [(^)Qp X

(4.79) и

■ Nu.-2 = 0,66 PrV3 Г1 + (Le2/3 — 1) hc -1, (4.80) (Re,,)1'2L' Ie-hw\

где k = \ (осесимметричный поток),

С -1

PtoV'W

И

tic ■— hx (^e ' " Ctw)-

Хотя уравнения (4.79) и (4.80), как было показано, строго применимы к течению в «замороженном» пограничном слое при С = 1, тем не менее, и это будет подтверждено в дальнейшем, они с достаточной точностью аппроксимируют решение общего случая; впервые это утверждение было высказано Лизом1) и будет нами обосновано ниже.

Отметим сходство уравнения (4.79) с приближенным уравнением (4.47), выведенным в п. 4.4.

Решение в критической точке. Теперь, когда мы рассмотрели и получили некоторое представление о природе результатов для теплопередачи в точке торможения в специальном случае замороженного течения диссоциирующей бинарной смеси с постоянными значениями Pr, Sm и С, мы вернемся к точному решению этой за

*) Lees L., Jet Propulsion, 26 (4), 259—269 (1956).

дачи без каких-либо ограничений относительно изменения величин Pr, Sm и С по ц и при произвольных значениях скоростей химических реакций. В качестве исходных уравнений мы рассмотрим уравнения (4.51) — (4.53); в качестве граничных условий — условия (4.59). Поскольку мы рассматриваем течение в окрестности точки торможения, s=0 и в окрестности этой точки выполняются следующие равенства:

Г0 = 5,

откуда

^ = —— = 2 ,6 = 0 или 1. ие dsА —j— 1

Последний член в уравнении (4.51) с учетом сделанных замечаний запишется тогда так:

2^ А_ А

We№^er0k°-e ^ + О k.duelds>Q ’

Фэй и Ридделл1), используя правдоподобные предположения относительно кинетики химических реакций

( А 1( А 1

А2+ А}^а + а+ А .

показали, что

г д-3,5 (* + l)(rf«e/rfs)0

где

е = 9 (л) = (л).

1 е

а* = равновесное значение а = а*(т])

и

^Х^ЛЙ^Г'.«81)

') F а у J. A., R 1 d d е 11 F. R., У. Aeronaut. Set., 25 (2), 73—85 (1958).

а ро и То—равны соответственно значениям давления и температуры торможения набегающего потока. Kt непосредственно связано с кн*).

Параметр Ci можно рассматривать как отношение характерного времени течения к характерному времени реакции (диссоциации). Если значение Ci велико, течение близко к равновесному. Если значение Ct мало, то преимущественно диффузия определяет профили концентрации атомов в пограничном слое. Наша система уравнений имеет следующий вид:

кггл) +^+с1е-3Ч^я^=о, (4.82)

№ + Н" + т^т [^ - (Г)] = 0,(4.83)

(

Г \'1 Г Г1

^g') +/g' + ^[£(Le-l)(/zA-AM)^(4.84)

необходимо добавить еще дополнительные соотношения, связывающие величины Г, g, f' и Za- Из уравнений (4.6), (4.18), (4.19), (4.26), включая (4.27) и (4.45), следует, что в случае бинарной смеси справедливо соотношение

g(4) к — «-А (я)[^ (n)]2

Т (п) =мгТи "•(4.85)

и %гк (я) С + 1 — aezK (я) Сv ’

которое является недостающим соотношением между Т ' и g, f' и z. Ср^ и Срм — соответственно удельные теплоемкости атомов и молекул. Уравнение (4.85) может быть использовано вместе с уравнениями (4.82) — (4.84) для нахождения явного дифференциального уравнения относительно Т(я) 2).

*) Приведенные выше соотношения детально рассматриваются в п. 5.9.

Граничные условия задачи имеют вид z(0) = zw,z(oo)=l,

f(0)-r(0)=0,ЛМ=1,

g^ = gw>gM=',g'(oo) = 0.

Фэй и Ридделл нашли решение этих уравнений для значений параметра Ci, изменяющегося в пределах от О до оо, при постоянных значениях чисел Рг = 0,71 и Le = 1,0; 1,4 и 2,0 (Pr = SmLe). Скала и Болкнайт1) получили решения тех же уравнений для значений параметра Ci = 0 и оо (соответственно для случаев «замороженного» и равновесного течений) и для заданных значений чисел Sm, Рг и Ее, которые изменяются в пограничном слое согласно локальным значениям термодинамических функций и концентраций компонентов. Скала и Болкнайт включили еще в уравнения (4.82) и (4.84) члены, связанные с термодиффузией, эффект которых имеет второй порядок малости для большинства, но не для всех, случаев течений в пограничном слое. И те и другие авторы предполагали, что величина С зависит от т] и определяется отношением плотностей пограничного слоя, исходя из уравнения

Pw = PwU+^jrTw = p = p(l-\-a.) ^-Т, АА

так что

Рш (1+«)Г(1 + а/к) Т '' ' '

Н Тта -|- 216Ито216Н Тта -|- 216Ито216В упомянутых работах использовались различные формы зависимостей коэффициента вязкости от температуры. Фэй и Ридделл использовали формулу Сазерленда

Н Тта -|- 216

Ито216

Н Тта -|- 216

Ито216

(4.87)

*) Scala S. М., Baulk night Ch. W., 4/?S J., 30 (4), 329—336 (1960). Скала и Болкнайт также использовали р«Ц« вместо реЦе в формулах преобразований переменных и соответственно C = pp/ptopim вместо С = рц/реце, как принимается в настоящем изложении. Система уравнений была решена при идентичных с принятыми нами граничных условиях. ’

Скала и Болкнайт) рассчитывали коэффициент вязкости для равновесной бинарной смеси при различных степенях диссоциации и различных температурах. Таким образом, их результаты в случае заданной скорости полета зависят от давления и, следовательно, от высоты полета.

Результаты численного решения уравнений (4.82)— (4.84) могут быть обобщены с помощью корреляционной формулы Фэя и Ридделла для случаев каталитической стенки; каталитичность стенки рассматривается здесь по отношению к рекомбинации атомов. Эта корреляционная формула имеет следующий вид:

Для «замороженного» пограничного слоя (С4=0), когда hw <С Л-

(Nu),Гhc 1

= 0,763 Pr^ 1 + (Le°-63 — 1)(4.88)

(ReK,)/2L 1 v! v ’

или

(- q^ = 0,763 Рг^ (РЛГ [Г x

JL\ /oJ \ Pere /

X (4 - AJ [ 1 + (Le0-63 - 1) 1. (4.89)

L1 e J

В результате мы получили подтверждение предсказанного нами сходства между уравнениями (4.88) и (4.89) и полученными ранее уравнениями (4.80) и (4.79). Соотношение (4.88) совпадает с аналогичной формулой, полученной Сибулкиным ) при Le=l И рЦ = рю|Тю = РеЦе.

Для равновесного пограничного слоя (С^оо), когда

^- = 0,763 Рг°'4 -^{1 + [Le°’52 — 1] — I (4.90)

(Rcw)\PwHw/ I^e I

И

(-^= 0,763 Рг-^Ш^

4L\/оJ \/

X Ve - AJ [1 + (LeO-52 - 1) -^1. (4.91)

Изменение величины Nu/(Rew)'/2 в зависимости от значений параметра Ci показано на рис. 4.2 для типичных условий гиперзвукового полета. Из данных рис. 4.2 можно сделать следующие два вывода:

В случае стенки, каталитической по отношению к рекомбинации, не наблюдается значительного изменения

Рис. 4.2. Изменение параметра теплопередачи в критической точке в зависимости от параметра скорости диссоциации. [По Фэю и Ридделлу, Fay J. A., R i d d е 11 F. R., J. Aeronaut. Set., 25 (2), 73—85 (1958).]

величины теплопередачи с изменением параметра Ct, характеризующего скорость химической реакции.

Если стенка некаталитическая (например, некоторые стекловидные материалы), т. е. стенка препятствует рекомбинации атомов, тогда может быть достигнуто значительное снижение величины теплопередачи, если обеспечить малые значения скорости химической реакции в газе. Мы еще вернемся к этому вопросу в п. 4.7.

Из анализа уравнений (4.79), (4.89) и (4.91) легко обнаружить, что —дю пропорционально (це) ”, где га = 0,5 или 0,4. Так как мы рассматриваем случай высоких температур, при которых коэффициент вязкости определяется менее точно, неточность в определении ре, вероятно,

порядка общей неточности расчета теплового потока из пограничного слоя в точке торможения, если использу ются уравнения, полученные здесь. Некоторые сведения относительно неточности наших знаний о це при больши: значениях Те можно получить из рис. 4.3, на kotodon

Рис. 4.3. Сравнение результатов различных вычисл- при высоких температурах.

(1) ——потенциал Леннарда —Джонса;

(2)— по Хансену, Н а и s е п TN 4150; rg ?,£?•' ••

(3) —по формуле Сазерленда;

(4) — ц^ —модель твердых сфер;

(5)-цсмесь-по Будденбергу н Уилки, , ^

представлены результаты различных расчел ния коэффициента вязкости при больших з... температуры. Методы расчета приведены б

Кривая / (рис. 4.3) изображает зависимости фициента вязкости чистого О2 от температуры, ленного в предположении применимости для расе ваемого диапазона температур потенциала взаимо^.

вия Леннарда — Джонса. Кривая 2 дает представление о поведении коэффициента вязкости равновесной бинарной смеси газов, вычисленного по методу Хансена ) при давлении ре=0,034 атм. Кривая 3 изображает поведение коэффициента вязкости, вычисленного по формуле Сазерленда (4.87). Кривая 4 взята из расчетов коэффициента вязкости чистого О, выполненных Скала и Болк- найтом в предположении, что атомы взаимодействуют как твердые сферы. Кривая 5 заимствована из тех же расчетов и изображает зависимость коэффициента вязкости равновесной смеси О, N, О2 и М2, вычисленного с помощью метода, описанного в гл. 10, при давлении />е=0,034 атм. Имеющееся расхождение кривых 2, 3 и 5 при высоких температурах указывает на неточность наших знаний о р.е. Неточность в определении тепловых потоков порядка 10—20% является результатом неточности определения щ при высоких температурах.

Скала и Болкнайт сравнили результаты своих расчетов с результатами, полученными при использовании формул (4.79) и (4.91), и с результатами экспериментов Витейли, Каэги, Диакониса и Уоррена). Измерения проводились в сверхзвуковой трубе в диапазоне чисел Маха от 7 до 12 и температурах торможения от 1500 до 5300° К- Условия эксперимента соответствуют условиям полета на высоте 200 000—240 000 футов со скоростью 10 000—20 000 фут/сёк. При этих условиях влияние диссоциации воздуха на течение в окрестности точки торможения становится существенным. На рис. 4.4 приведены результаты сравнений различных методов расчета с экспериментом. Основываясь на этих результатах, для данных условий можно сделать следующее заключение:

Как и можно было ожидать из приближенного характера теории, уравнение (4.79) наименее точно.

Разброс экспериментальных данных таков, что непосредственное определение коэффициента вязкости на

основе этих данных практически невозможно до тех пор, пока техника эксперимента не усовершенствуется настолько, чтобы уменьшить этот разброс.

Рис. 4.4. Сравнение различных теоретических расчетов скорости теплопередачи в критической точке с экспериментальными данными. Вычисления проводились в предположении, что поверхность является каталитической по отношению к рекомбинации.

/ — по формуле (4.91) при Le = l,4 (по Фэю и Ридделлу);

3 — по Скала н Болкнайту;

3 —по формуле (4.79) при Le = l,0 (по Лизу);

I — экспериментальные данные по Витейли, Каэги, Диаконису и Уоррену.

Экспериментальные измерения теплового потока в точке торможения, выполненные в ударной трубе Роузом и Старком1), подтверждают приведенные заключения.

7. Влияние рекомбинации на поверхности. Рис. 4.2 служит хорошей иллюстрацией той выгоды, которая получается при отсутствии или снижении процесса рекомбинации атомов на холодной стенке. При этом может быть достигнуто уменьшение теплового потока в точке

торможения порядка 50% при больших скоростях полета (Ыоо> 16 000 фут/сек). Естественно возникает вопрос, можно ли достигнуть состояния некаталитичности стенки по отношению к реакциям рекомбинации атомов кислорода и азота? Расчеты, которые мы обсуждали выше, показали, что скорости реакции в пограничном слое, по существу, мало влияют на тепловой поток к поверхности при условии, что скорости рекомбинации на поверхности достаточно велики (см. рис. 4.2). Если скорости рекомбинации и в газе и на поверхности «малы», тогда вблизи поверхности может образоваться слой нерекомби- нированиых атомов, препятствующих диффузии, который поэтому уменьшает перенос тепла к стенке за счет диффузии и, таким образом, может уменьшить общий тепловой поток к поверхности.

Так как возможное положительное влияние некаталитической стенки ограничено случаями относительно малых скоростей реакций в пограничном слое, кажется, что вполне приемлемым для оценки влияния некаталитичности стенки может служить предельный и наиболее простой случай замороженного пограничного слоя. Действительно, расчеты, выполненные для замороженного пограничного слоя, представляют самые лучшие результаты, которые только могут быть достигнуты при использовании некаталитических стенок. В качестве исходных уравнений в этом случае рассматриваются уравнения (4.66)— (4.68) с граничными условиями для уравнений (4.66), которые модифицированы с учетом конечности скорости рекомбинации на стенке. Эти граничные условия имеют следующий смысл. В стационарном состоянии диффузионный поток атомов к поверхности должен быть равен скорости исчезновения атомов на стенке вследствие рекомбинации. При низких температурах поверхности было показано, что скорость рекомбинации на стенке описывает простой процесс реакции первого порядка, и мы можем написать

РкАгГжП = (Ma)w\/ wРкАгГжП = (Ma)w\/ w(4.92)(4.92)

РкАгГжП = (Ma)w\/ w

РкАгГжП = (Ma)w\/ w

(4.92)

(4.92)

Используя формулы преобразования координат (4.49) и (4.50) и определение г, данное формулой (4.646), мы

получим следующую преобразованную форму записи уравнения (4.92):

z' (°) =*a(0);(4.93)

А' ’[ 2 (due/ds)a J рюО12 ''

но, согласно уравнению (4.73),

zK (0) = 0,47 Sm1'3 [ 1 - zk (0)].(4,73)

11(4.94)(4.94)£а(0) =1 +£а(0) =1 +Комбинируя тогда уравнения (4.93) и (4.73), мы придем к новому граничному условию для уравнения (4.66):

1

1

(4.94)

(4.94)

£а(0) =

1 +

£а(0) =

1 +

2 (due!ds)n .0,47 Sm1,3pm DX1

Очевидно, что когда (Ад)ю = 0, тогда аю = ае, или

гА(0) = 1 при (^)w = 0;

когда кп бесконечно велико, тогда для холодной стенки aw = 0, или

гА(0) = 0 при <kR^ = oo.

Таким образом, используя уравнение (4.94) вместе с уравнением (4.73), мы получаем

X(0) = 0,47SmW,(4.95)

где

ф , 0,47 Sm-2/3 [2 kduelds)» p^eV'2 Г' м

и рюрю=реМе, как было принято ранее. Используя уравнение (4.95) вместе с уравнением (4.72), получаем

= 0,66 Рг^ Г1 + (Ее^Ф- 1) —1, (4.97)

ИЛИ

- ^ю = 0,66 Рг-2'3Ш)1/2 [(^)ГX

X (4 -[1 + (Lew - 1). (4.98)

и* е-1

Гулард1) вывел уравнения (4.97) и (4.98) и численно рассчитал изменение теплового потока в зависимости от скорости «со для разных значений Ф(Ад). Было показано, что с уменьшением величины (&д)ю, как и ожидалось, уменьшается тепловой поток в точке торможения. Из структуры формулы (4.96) следует, что уменьшение плотности (увеличение высоты полета) или уменьшение

Рис. 4.5. Влияние коэффициента скорости поверхностной рекомбинации на теплопередачу в критической точке от замороженного диссоциированного пограничного слоя. [По Гуларду, Goulard R., Jet Propulsion, 28 (И) 737—745 (1958).)

/ — металлы; 2 — окнслы; 3 — стекло.

радиуса затупления [увеличение'величины (duefds)^ будет иметь аналогичное влияние на тепловой поток из пограничного слоя к поверхности.

На рис. 4.5 представлены некоторые результаты расчетов с использованием уравнения (4.98). Отношение величины (—дю) при Ф<1 к величине (—q^ при Ф=1 нанесено в виде зависимости от значений коэффициента скорости реакции рекомбинации на поверхности (Ад)ш для различных гиперзвуковых скоростей. В этих расче-

') Goulard R., Jet Propulsion, 28 (11), 737—745 (1958),

9 У. X. Дорренс

тах предполагалось, что Le=l,4, Sm=0,485, Рг = 0,71 и С=1, т. е. предполагалось, что газ на границе пограничного слоя находится в термодинамическом и химическом равновесии. Как можно было заметить, уменьшение коэффициента скорости реакции (Ьн)№ приводит действительно к уменьшению теплового потока от гиперзвукового «замороженного» пограничного слоя. На рис. 4.5 представлены характерные для целого ряда материалов значения коэффициента (#л)ю. Оказывается, что стекла и керамики являются наиболее желательными с точки зрения препятствия рекомбинации на поверхности в точке торможения гиперзвукового тела1).

Эти результаты должны быть тщательно оценены в зависимости от приложений, которые имеет в виду читатель. Например, в течение периода наиболее интенсивного нагрева объекта, относительно круто входящего в атмосферу, газ в пограничном слое вероятнее всего находится в состоянии химического равновесия из-за большой плотности, и полученные нами результаты дадут малый вклад при разработке системы тепловой защиты. Для объектов, входящих в атмосферу под малым углом или планирующих на большой высоте с гиперзвуковой скоростью, полученные результаты имеют определенное значение.

Таким образом, мы завершили анализ влияния диссоциации на тепловой поток из ламинарного пограничного слоя в точке торможения затупленного тела. В следующем пункте мы рассмотрим задачу расчета теплопередачи в ламинарном пограничном слое вдоль поверхности затупленного тела.

8. Влияние градиента давления и кривизны. В п. 4.6 и 4.7 мы рассмотрели решение уравнений ламинарного пограничного слоя для бинарной диссоциирующей смеси

■) Чанг выполнил анализ влияния инжекции воздуха в точке торможения на рекомбинацию на поверхности и на тепловой поток к затупленному телу с конечной каталитической активностью поверхности (Chung Р М., NASA TN D-27, 1959). Как и можно было ожидать, инжекция воздуха приводит к уменьшению теплового потока.

вблизи точки торможения. Данный пункт касается распространения этих решений на области течения вне окрестности точки торможения затупленного тела. Подобные решения, состоящие в нахождении теплового потока к объектам при полете с гиперзвуковыми скоростями в режиме течения вдали от точки торможения, имеют смысл только тогда, когда предполагается, что пограничный слой остается ламинарным. Как и в предыдущих пунктах, мы будем стремиться к наиболее точному изложению этой проблемы, последовательно переходя от приближенных решений к более точным решениям.

Мы начнем наше исследование с решения задачи о теплопередаче в ламинарном пограничном слое у тела вращения в предположении, что Le=l, а нагретый слой находится в термодинамическом равновесии и, наконец, что температура поверхности много ниже, чем температура внешнего потока. Для большинства нагретых газовых смесей, представляющих интерес для специалиста в области гиперзвуковой газовой динамики, Ее — 1,0, и приближенный подход, основанный на допущении, что Le = l, является вполне оправданным. В случае Le=l и /e=const уравнения (4.52) и (4.53) имеют вид

2s dae ие ds2s dae ие ds(4.99)(4.99)

2s dae ие ds

2s dae ие ds

(4.99)

(4.99)

и

/ с Vzz2 Г /1 \ V

2С1=0 (4-10°)

\g \* г у

с граничными условиями

f(O)=r(o) = o,f(O)=r(o) = o,Г(оо) = 1,Г(оо) = 1,

f(O)=r(o) = o,

f(O)=r(o) = o,

Г(оо) = 1,

Г(оо) = 1,

g(0) = gw(s) или g'(0) = 0, g(oo)=l. (4.101)

Для того, чтобы уравнения (4.99) и (4.100) были обык-новенными дифференциальными уравнениями относи-

2s due ре “е ^S Р2s due ре “е ^S Ртельно независимой переменной я, необходимо, чтобы С = С(я) или const,

2s due ре “е ^S Р

2s due ре “е ^S Р

— ^'У = функции Я ИЛИ const,

и2

Рг = 1 ИЛИ "2j-= const и Рг = Рг(я),= const.

Если вышеприведенные условия не выполняются, полезность уравнений (4.99) и (4.100) снижается, так как тогда точные уравнения не приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Вообще маловероятно, что эти условия удовлетворяются вдали от точки торможения. Однако посмотрим, нельзя ли построить приемлемые приближенные решения для этого случая. Исследуем сначала решение уравнений (4.99) и (4.100) в том случае, когда они переходят в обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим, к примеру, специальный случай, когда Рг=1 и С=1. Тогда, поскольку ре/р = 777'е, интеграл Крокко [уравнение (2.106)] дает

V = ^ + ^ М' ^ - (f У!(4. Ю2)

и уравнения (4.99) и (4.100) запишутся в виде

г+^+№-01=о,(4.ЮЗ)

и■

g" + ^ = 0,(4.104)

где уравнение (4.104) является обыкновенным дифференциальным уравнением, если

р —— const,(4.105)

■р Ме dsv 1

ИЛИ

Ме—const (s)^2.(4.106)

Коэн и Решотко), Леви), Ли Тинг-и и Нагамацу) получили решение уравнений (4.103) и (4.104) с граничными условиями (4.101). Их результаты показывают, что если ^(0) положить достаточно малым, решения для g'(0) и Г(0) оказываются нечувствительными к изменениям параметра р, характеризующего градиент давления, и в первом приближении эти величины могут быть приняты постоянными. Смысл этого упрощения, применительно к рассматриваемому случаю, состоит в следующем: при гиперзвуковой скорости полета g(0) «Тю/Те и значительно меньше 1 вблизи точки торможения затупленного тела. Кроме того, рр = рере или С = 1 для большой части пограничного слоя. К тому же для диссоциированного воздуха в интересующем нас здесь диапазоне температур Рг~1. Кажется разумным предположить, что решение уравнений (4.103) и (4.104), полученное для случая 0 = const, может быть использовано и в случае, когда 0 слабо меняется вдоль тела; а если это так,

то мы располагаем методом расчета теплового потока в точках тела, удаленных от точки торможения. Было показано), что решение уравнения (4.103) при условии Р = Рместн=Р(5) действительно приближенно совпадает с результатами измерений величин тепловых потоков, так что гипотеза «локального подобия» оказывается экспериментально подтвержденной. Используя концепцию «локального подобия», мы ниже разовьем метод расчета теплового потока.

№ (4.108)№ (4.108)

№ (4.108)

№ (4.108)

Для равновесного течения с Le=l при использовании уравнения (4.56) и ранее рассмотренного преобразования координат, имеющего вид уравнений (4.49) и (4.50),

мы имеем.

Oli

о u,

(4.107)

В качестве начального приближения воспользуемся значениями /"(0) и ^'(0), полученными в случае 0 = 0.

В п. 4.5 показано, что если 0 = 0, то

f(0)«0,47f(0)«0,47^'(0)0,47 PrV3[i _g.(O)J,^'(0)0,47 PrV3[i _g.(O)J,Введем следующие определения:Введем следующие определения:е ” Re Тее ” Re Теии(4.109)(4.110)(4.111)(4.112)(4.109)(4.110)(4.111)(4.112)

f(0)«0,47

f(0)«0,47

^'(0)0,47 PrV3[i _g.(O)J,

^'(0)0,47 PrV3[i _g.(O)J,

Введем следующие определения:

Введем следующие определения:

е ” Re Те

е ” Re Те

и

и

(4.109)

(4.110)

(4.111)

(4.112)

(4.109)

(4.110)

(4.111)

(4.112)

где ро—давление в точке торможения, и» — скорость полета рассматриваемого затупленного тела, а индексом 0 обозначены величины в точке торможения. Можно показать тогда, подставляя выражения (4.110) и (4.112) в (4.108), что

- qw (s) = 0,47 Рг-2/з (4 - h^ [(№)0 Moo]i/2F (s). (4.113)

Кроме этого, в точке торможения

F(0) = 2/2[—11/2

v ; L \ ds )oJ

и toe — (®J0; так что

- q^ (0)2 6/2[(1/Ыио) (dUg/ds^ ’ V ’

где F(s) задается соотношением (4.112). Уравнение (4.114) было получено впервые Лизом1). При этом неявно предполагается, что 0 = 0, g(0) = gw<C 1 (холодная стенка), реце=рюцю, Le= 1 и Рг«1 и что диссоциирующая бинарная смесь находится в химическом равновесии

в каждой точке пограничного слоя. Практическая ценность этого уравнения будет продемонстрирована позже, при сравнении с точными решениями и с экспериментом.

Кемп, Роуз и Детра *) с целью уточнения уравнения (4.113) использовали концепцию локального подобия и приняли во внимание изменение р по s и изменение Спо ц, а также предположили, что Рг = 0,71 внутри пограничного слоя. По существу, они решили уравнения (4.99) и (4.100) с граничными условиями (4.101) в предположе-

2s duP-

нии, что локальные значения ие и — —4-«слабо»

ие ds

меняются с изменением s. Они установили далее, что для описания течения в критической точке уравнения (4.89) или (4.91) более предпочтительны, нежели уравнение (4.79), так как первые два уравнения получены из точного решения уравнений движения в точке торможения, в то время как уравнение (4.79) было выведено при ограничивающих предположениях С=1 и р = 0. Результаты работы названных авторов можно суммировать в следующем корреляционном уравнении:

Г g'(0) 1 Г l-g(0)l _ 1 +0,096 [P(s)J1/2_

Li-^(O)LL + (0) Jo i,068’

где

p =(4.105)

а индексы s и 0 относятся соответственно к величинам

в точках с координатой s вдоль образующей тела и в точке торможения. Если температура стенки постоянна, тогда [g'(O)]s = [^(O)]o и уравнение (4.115) запишется так:

(4.116)(4.116)[^(0+1 +0,096 №(5)]'/°

(4.116)

(4.116)

[^ (0)Ь1,068

Можно показать, что эти результаты позволяют уточнить уравнение (4.114) с помощью множителя, такого,

что уравнение принимает вид

- 9™ (s) =| 1 +0,096 [P(s)]1/2 | ,4 11?

-9w(0)2ft/2[(l/«co) (rf«e/rfs)0]1/2 11,068 J 1 ‘;

') Kemp N. H., Rose P. H., D e t r a R. W., /. Aerospace Set, 26 (7), 421—430 (1959),

при условии, что —(д^о определено уравнением (4.89) или (4.91), но не уравнением (4.79), и когда предполагается, что С(0, 0) = С(s, 0). Если это последнее предположение является слишком ограничивающим, мы выпишем уравнение, аналогичное уравнению (4.117) и отличающееся от рассматриваемого использованием рещ вместо рюрю в формулах преобразования координат (4.49) и (4.50). Так как в ряде случаев изменение С(0) вдоль тела незначительно, это отличие может быть исключено с помощью простого предположения, что С(0, 0) =С (s, 0). При этом мы должны согласиться с необходимостью изменений уравнения (4.117), если последнее предположение окажется слишком ограничивающим. В качестве подтверждения важности множителя в уравнении (4.117), который зависит от р, может служить тот факт, что р может меняться в пределах 0,174 < р <1 3,27, а множитель в скобках будет меняться в пределах ±10%. Поскольку для большинства тел, представляющих практический интерес, р хорошо укладывается в указанный диапазон, можно ожидать, что уравнения (4.117) и (4.114) дадут близкие результаты.

Результаты измерений тепловых потоков на полусфере и теле вращения с плоским торцом, полученные в ударной трубе Кемпом, Роузом и Детра, сравнивались с результатами расчетов, выполненных с использованием уравнений (4.114) и (4.117). На рис. 4.6 представлены результаты этих сравнений для полусферы, а на рис. 4.7 для тела вращения с плоским торцом. Как видно из рисунков, имеется хорошее совпадение теории с экспериментом, и различия при использовании обоих теоретических уравнений, как и предполагалось, лежат в пределах допустимой погрешности. Когда р велико или мало (это соответствует значениям |3->3 или р>0), обе теории заметно различаются, что следовало из ранее проведенного сравнения.

В работе Заккая1) приводятся некоторые данные измерений тепловых потоков на затупленных конусах с углом полураствора 20°, которые хорошо согласуются с уравнением (4.114), скомбинированным с уравнением

*} Zakkay V., J. Aerospace Sci., 25.(12), 794—795 (1958).

(4.91). Эти измерения, проведенные в аэродинамической трубе при М=6, примечательны, поскольку они указывают, что уравнение (4.114) справедливо даже тогда, когда величина ^(0) отлична от нуля и сравнительно велика (в этом случае равна приблизительно 0,43), и

Рис. 4.6. Распределение теплопередачи по полусфере. (Данные для ударной трубы по Кемпу, Роузу и Детра.)

/ — по формуле (4.117); 2 — по формуле (4.114).

показывают, что допущения, приводящие к уравнению (4.114), приемлемы даже тогда, когда ^(0) отлична от нуля.

В настоящем пункте мы обсудили приближенный метод решения задачи о теплопередаче от ламинарного диссоциирующего пограничного слоя к холодной стенке, основываясь на понятии «локального подобия». Законность этого метода подтверждается сравнением с экспериментом, но не следует из строгой математической

проверки используемых предположений. Прол^ следнее—-значит решить полную систему vna- граничного слоя при соответствующих гранр- виях, что в свою очередь, к несчастью, явля^ чайно сложной задачей, даже при исг современных вычислительных машин.

Рис. 4.7. Распределение теплопередачи на теле с плоски. ' < частью. (Данные для ударной трубы по Кемпу, Роузу i '

7—по формуле (4,114); 2 — по формуле (4,117).

4.9. Заключение. В этой главе был рассмотрев из простейших случаев химически реагирующего . ничного слоя, а именно случай диссоциирующего . : нарного пограничного слоя. Влияние диссоциацк. теплопередачу от тела или к телу для случая ламп- : ного пограничного слоя, было исследовано на пример; простых и сложных решений уравнений ламинарного по граничного слоя. На основе изложенного в настоящей

главе можно сформулировать следующие общие положения:

Хотя экспериментальные данные являются немногочисленными, тем не менее имеющиеся данные подтверждают законность теории в пределах точности измерений.

По-видимому, точность приближенных выражений для тепловых потоков, приведенных в настоящей главе, более высокая по сравнению с точностью, с которой определяются коэффициенты переноса высокотемпературной газовой смеси.

Эффекты диссоциации в ламинарном пограничном слое в случае отсутствия массообмена и химических реакций, кроме реакций диссоциации, мало ощутимы при условии, что поверхность холодного тела является каталитической для реакций рекомбинации атомов на ней и если определяющий энтальпийный потенциал правильно найден. Результаты, представленные на рис. 4.2 и 4.5, подтверждают сказанное, так как показывают, что если поверхность каталитична к рекомбинации, то тепловой поток к холодному телу не зависит от скоростей реакций в гомогенной фазе. В тех случаях, когда скорости реакций в гомогенной фазе достаточно велики (Ci>102 по отношению к условиям, изображенным на рис. 4.2), тепловой поток к холодному телу совершенно не зависит от скорости поверхностной рекомбинации. Большинство практически интересных случаев удовлетворяют последнему условию.

На некотором расстоянии от носика или острой кромки тела, если тело достаточно длинное, будет происходить неизбежный переход ламинарного течения в пограничном слое в течение турбулентное. Представленный в этой главе анализ ламинарного пограничного слоя полностью удовлетворит специалиста по газовой динамике, но в большинстве случаев, важных для конструкторов, этот анализ будет малопригоден при турбулентном режиме пограничного слоя. Гл. 7 целиком будет посвящена эффектам диссоциации в турбулентном пограничном слое.

ГЛАВА

5МАССООБМЕН И ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ В ЛАМИНАРНОМПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Введение. В этой главе рассматривается влияние массообмена и химических реакций на характеристики ламинарного пограничного слоя. Полученные здесь уравнения могут быть использованы для определения влияния на теплопередачу в сжимаемом ламинарном пограничном слое любого числа одновременно протекающих реакций. Для иллюстрации использования этих уравнений приводится пример расчета.

Как было показано в гл. 3, массообмен может осуществляться различными путями, в частности это может быть вдув газа в пограничный слой через пористую стенку, сублимация твердого тела или испарение жидкой пленки, которая представляет собой расплавленный материал поверхности, или жидкость, впрыскиваемую в пограничный слой через отверстия в теле, расположенные вдоль по потоку.

Нас будет интересовать, однако, только результирующее влияние подвода массы газа на характеристики ламинарного пограничного слоя; нам безразлично, каким образом попадает газ на поверхность раздела между газообразной и жидкой или твердой фазами. На рис. 5.1 приведены примеры различных механизмов подвода массы. Граничные условия и методы решения уравнений газового пограничного слоя в каждом конкретном примере остаются одними и теми же.

Оценка влияния- химических реакций получена способом, аналогичным изложенному в п. 3.3. Однако в методах этой главы устраняется ряд упрощающих предположений, принятых в гл. 3. В частности, на параметры переноса Le, Рг и Sm не наложено требования равенства их 1, а также принято во внимание влияние газо-

вой смеси, получающейся в результате химических реакций, на произведение рц, которое имеет важное значение в рассматриваемых задачах. Так, в этой главе будет показано изменение Сн в зависимости от Рг и состава,

Горячий газовый пограничный слой

зй6666666666666666666^^

Резервуар охладителя

Горячий газовый слойГорячий газовый слойСублимируют, ий материалСублимируют, ий материала

Горячий газовый слой

Горячий газовый слой

Сублимируют, ий материал

Сублимируют, ий материал

Горячий газовый слой

Плавящийсяматериал

Горячий газовый пограничный слой

mhrain™fciiiiim

Резервуар жидкого, охладителя

Рис. 5.1. Различные условия влияния массообмена на газовыйпограничный слой.

о —вдув газа .через пористую стенку;, б—-разрушение теплозащитной поверх-ности; в — охлаждение с помощью жидкой пленки.

а также изменение —ую от Ее и массообмена, чем мы пренебрегли при упрощенном подходе п. 3.3.

Очевидно, когда мы столкнемся с химическими реакциями, нам потребуются некоторые сведения из термохимии. Чтобы не загружать эту главу изложением всех необходимых термохимических понятий, они излагаются в гл. 9, которая полностью посвящена термохимии и термодинамическим функциям. В данной главе время от

времени будут встречаться ссылки на некоторые уравнения гл. 9. Она написана как самостоятельное, несвязанное с остальной книгой изложение основных сведений из термохимии, используемых в этой книге.

Применимость уравнений пограничного слоя. Настоящая глава посвящена влиянию одновременно протекающих процессов массообмена и химических реакций на теплообмен между поверхностью обтекаемого тела и реагирующим газовым потоком. Полученные здесь уравнения могут быть использованы для большинства газовых смесей, когда числа Рг и Ее отличны от 1 и когда наряду с массообменом происходят химические реакции, включающие горение компонентов, попадающих в газовый поток в результате массообмена, и диссоциацию нагретых компонентов газового потока. Результаты этой главы с добавлением результатов, полученных в п. 4.8, применимы к окрестности критической точки затупленного тела, а результаты п. 5.11 с учетом всего, что содержится в гл. 5, применимы к случаю плоской пластины. Достоверность этих результатов, однако, зависит от того, насколько применимы уравнения пограничного слоя к рассматриваемым проблемам.

Рассмотрим, например, задачу о поведении реагирующего газового потока. Предположим, что горючий материал испаряется с поверхности тела и попадает в нагретый газовый поток. При этих обстоятельствах естественно допустить, что горючий материал будет реагировать с нагретыми газовыми компонентами внутри потока. Примером реагентов могут служить кислород и графит. Мы предполагаем, что уравнения пограничного слоя, полученные в п. 2.4, применимы к этой проблеме. Однако при переходе к непосредственному использованию этих уравнений мы сразу столкнемся с трудностями. Например, даже для простейших реакций между О2, О, С и СО, которые могут быть представлены в виде

с + о^со,

2С + 02^2С0,

О2^2О,

мы вынуждены учитывать четыре отдельных компонента и использовать по крайней мере три различные скорости химических реакций в уравнениях для концентраций компонентов. Более того, наблюдение структуры пламени и тот факт, что скорости реакций конечны, приводит Нас к заключению о том, что химические реакции происходят в тонкой, но конечной зоне реакции или фронте пламени. Концентрации компонентов и температура претерпевают резкие изменения внутри этой зоны, в результате чего могут стать заметными в пределах зоны реакции те члены, которые были отброшены при выводе уравнений пограничного слоя в п. 2.4. Таким образом, очевидно, что имеется целый ряд проблем, включающих химические реакции в газовом потоке, которые не могут быть изучены только с помощью теории пограничного слоя.

Дули ), используя сравнительно простую модель реагирующей смеси (термически разлагающийся полимер), обтекающей нагретую пластинку, смог проиллюстрировать ограниченность в применении уравнений пограничного слоя для описания течения реагирующей газовой смеси. Для выбранного специального случая им было показано, что уравнения пограничного слоя применимы только до той точки, где фронт пламени или зона реакции касается пластинки. Как только фронт пламени касается пластинки, производные в направлении s, которые опускались при выводе уравнений пограничного слоя, становятся значительными по порядку величины, так что теория пограничного слоя оказывается неприменимой. ■

В качестве модели реагирующей газовой смеси мы рассмотрим такую, которая бы исключала появление зоны реакции или фронта пламени, касающейся поверхности, нормальной к стенке. Прежде всего мы будем предполагать, что химические реакции происходят на стенке или в непосредственной близости от нее и что остальная часть нагретой газовой смеси «заморожена». Затем мы изложим теорию ламинарного «заморожен-

ного» пограничного слоя у реагирующей поверхности. Вслед за этим будет описан метод, который позволял бы учитывать гомогенные реакции в тех случаях, когда приближение «замороженного» слоя не соответствует действительности.

Приближение «замороженного» пограничного слоя. Можно показать, что в первом приближении тепловой поток в пограничном слое в смеси диссоциирующих газов не зависит от расположения зоны реакции внутри пограничного слоя, поскольку для большинства газов число Льюиса близко к единице. При этом предполагается, что переносные свойства не зависят от состава газовой смеси в пограничном слое или по крайней мере что изменения этих свойств в зависимости от изменения состава смеси являются величиной второго порядка малости по сравнению с изменением тех же величин в зависимости от температуры. Мы воспользуемся этим удобным обстоятельством, предполагая, что химические реакции, протекающие в пограничном слое, протекают только на поверхности и что реакции в гомогенной фазе «заморожены». Тогда состав газовой смеси всюду в пограничном слое будет определяться конвекцией и диффузией продуктов химических реакций и реагирующих веществ через пограничный слой. В состав газовой смеси входят компоненты, составляющие внешний поток, и компоненты, присутствующие на поверхности, включая и те, которые не принимают участия в химических реакциях на поверхности. Рассмотрим сначала приближение «замороженного» пограничного слоя.

Определим следующим образом парциальную энтальпию //:

/ ту

//=2CJ J cPidT +4-(5Л)

I Vo/

т. е,

I-Ij^C^,(5.2)

откуда следует, что

■'=ср-Д—Vu+ У I Cp.dT , (5.3а)

ду р/ ду ' ду ' W \ j pi I ду ''

i \o/

где

Ср/^С^.(5.36)

Далее, для смеси одно-, двух- и трехатомных молекул будем предполагать, что

Ср. ^ Ср = CPf = const, пренебрегая в первом приближении различиями в распределениях колебательных,, вращательных и электронных уровней молекул.

Тогда

З/С-УТ^^С./^^-О.(5.4)

I ОI

а так как из закона сохранения массы следует, что

Ж = 1,(5.5)

i

то с неплохой точностью имеем

■“Л ^ ^DfA"Ь ^ "А-(5-6)ду 1дуv ’иdidlfл дС^+(5.7)■“Л ^ ^DfA"Ь ^ "А-(5-6)ду 1дуv ’иdidlfл дС^+(5.7)dif. дТ ди

■“Л ^ ^DfA"Ь ^ "А-(5-6)

ду 1дуv ’

и

didlfл дС^

+(5.7)

■“Л ^ ^DfA"Ь ^ "А-(5-6)

ду 1дуv ’

и

didlfл дС^

+(5.7)

В силу того что химические реакции, протекают на стенке, тепло переносится к поверхности двумя способами: за счет теплопроводности и диффузии, т. е.

дТ дудТ дуI/ wI/ w

дТ ду

дТ ду

I/ w

I/ w

./ 6 dlf./ 6 dlfоткуда, используя уравнения (5.6) и (5.8), получаем

./ 6 dlf

./ 6 dlf

| .(5-9)

W

10 у. X. Дорренс

так как на поверхности ы=0. Итак, используя уравнение (5.7) вместе с уравнением (5.9) и принимая во внимание уравнение (5.4), мы можем написать

Отсюда, если Le = CF^pZ)12/^= 1, тепловой поток к поверхности — qw не зависит от того, где протекают химические реакции, при условии, что величина k/Cp не зависит от состава смеси, и решение уравнения энергии для Цт,) не связано с решением уравнения сохранения компонента смеси. Так как для большинства газовых смесей значение Le близко к единице и к тому же переносные свойства и параметр С = рц/рере и, следовательно, /(■q) относительно слабо зависят от состава смеси, наше заключение о том, что тепловой поток не зависит от расположения зоны химической реакции в пограничном слое, является правдоподобным, а приближение «замо

роженного» пограничного слоя оказывается допустимым.

Теплообмен в пограничном слое. У равнения «замороженного» пограничного слоя. Для того чтобы использовать уравнение (5.9) для определения теплового потока к поверхности, мы должны знать изменение Ij и Ci внутри пограничного слоя. В связи с этим нам потребуется уравнение для нахождения //. Искомое уравнение мы получим, используя уравнения пограничного слоя, приведенные в п. 2.4.

Напомним, что если обозначить

«^«Zh).(5.11)

С1 = (С1)вх1(ч),(5.12)

/ =(5.13)

то, как было показано, в переменных

JpZZoX^(5.14)

И° у

PZZo f Р ._

( 5)

наши уравнения пограничного слоя приводятся к уравнению сохранения компонентов смеси

d<C^e dsd<C^e ds2s wL2s wLPP^ZoU^L 'PP^ZoU^L '(5.16)(5.16)

d<C^e ds

d<C^e ds

2s wL

2s wL

PP^ZoU^L '

PP^ZoU^L '

(5.16)

(5.16)

уравнению сохранения энергии

(^8'У + '8' =(^8'У + '8' =2s/'g dieIe ds2s/'g dieIe dsSm Ue / ^ Ie 1Sm Ue / ^ Ie 1

(^8'У + '8' =

(^8'У + '8' =

2s/'g die

Ie ds

2s/'g die

Ie ds

Sm Ue / ^ Ie 1

Sm Ue / ^ Ie 1

м2 г/ 1\ T

н-тИк-1)^"] (5J7)

и уравнению движения

(СП'Д-Н" = — “e(СП'Д-Н" = — “e|2 РеP .|2 РеP .(5.18)(5.18)

(СП'Д-Н" = — “e

(СП'Д-Н" = — “e

|2 Ре

P .

|2 Ре

P .

(5.18)

(5.18)

Граничными условиями для этих уравнений служат следующие условия на поверхности тела и на внешней границе пограничного слоя:

При у = 0, ц = О ^(0) = (^)m = -^, Г(0) = 0, f(0Ww, g' (о)=g;,При у = 0, ц = О ^(0) = (^)m = -^, Г(0) = 0, f(0Ww, g' (о)=g;,При у->ОО, Т]—>ОЭzt->\,Г->1, У->0g'~>0,При у->ОО, Т]—>ОЭzt->\,Г->1, У->0g'~>0,

При у = 0, ц = О ^(0) = (^)m = -^, Г(0) = 0, f(0Ww, g' (о)=g;,

При у = 0, ц = О ^(0) = (^)m = -^, Г(0) = 0, f(0Ww, g' (о)=g;,

При у->ОО, Т]—>ОЭzt->\,

Г->1, У->0g'~>0,

При у->ОО, Т]—>ОЭzt->\,

Г->1, У->0g'~>0,

g(0) = gwg(0) = gwg->1-g->1-

g(0) = gw

g(0) = gw

g->1-

g->1-

Далее, продолжая наши лим gj какДалее, продолжая наши лим gj какрассуждения, мы опреде-рассуждения, мы опреде-

Далее, продолжая наши лим gj как

Далее, продолжая наши лим gj как

рассуждения, мы опреде-

рассуждения, мы опреде-

(5.19)(5.19)Тогда из уравнений (5.2), (5.12), (5.13) и (5.19) мы поТогда из уравнений (5.2), (5.12), (5.13) и (5.19) мы получимлучим(5.20)(5.20)

(5.19)

(5.19)

Тогда из уравнений (5.2), (5.12), (5.13) и (5.19) мы по

Тогда из уравнений (5.2), (5.12), (5.13) и (5.19) мы по

лучим

лучим

(5.20)

(5.20)

Подставляя выражение (5.20) в уравнение (5.17) и комбинируя результат подстановки с уравнением (5.16), имеем

( Рг #/) +( рг

—| 5 ^‘'^^^ [("Sin г0 + ^]|’ (5-21)

при этом в уравнении (5.17) мы полагали, что dIelds = 0 (изоэнергетическое течение), а в уравнении (5.16), что d^C^Jds^O («замороженный» состав внешнего потока) и Wi = 0 («замороженный» пограничный слой). В этих предположениях уравнение (5.16) примет вид

(^гг0'+« = °- <Ы2>

Отсюда и уравнение (5.21) будет иметь более простой ВИД

/ С V Д Г 1\ , Г

(5.23)

Упростим полученные уравнения, полагая, что Рг^1 (но не всегда точно единице), ДДД = (Д—1)М^«0, и что или due/ds = Q (обтекание плоской пластины или конуса), или

-^->0, или О — — ~0.ds Р

Тогда членами в правых частях уравнений (5.18) и (5.23) можно пренебречь по сравнению с членами в левых частях этих уравнений, и уравнения (5.18), (5.22) и (5.23) могут быть записаны в следующей форме:

(Дгу + fV^O, (5.24)

где Z=l, Sm или Рг в зависимости от того, какое из уравнений (5.18), (5.22) или (5.23) представляет урав-

нение (5.24). Стандартными являются и граничные условия:

При ц = 0 При ц->оо

X = X (0),% -> 1

V (0) = const.

Влияние массообмена. Решение уравнения (5.24) можно записать в квадратурах

^^П-МО)]^^—Х(°),(5.25)

где

<7(ц; Z)= J -^ exp 1 — j^-frfn"p4' (5.26) 0Vo/

и где

(ы7>

Подставляя вместо V последовательно zpgf и f' и

используя граничные условия для уравнений (5.18), (5.22) и (5.23) вместе с условием (5.27), получаем

(5.28)(5.29)(5.30)(5.28)(5.29)(5.30)/ Sm V 1 — (г^щ

(5.28)

(5.29)

(5.30)

(5.28)

(5.29)

(5.30)

\ С /^ Q (со; Sm) ’

/Рг\ 1 — (gf}w

\ С G (со; Рг) ’

\ С Jw G (со; 1) ’

где G(oo; Z) определяется из уравнения (5.26) при т] = оо. Для того чтобы оценить интеграл (5.26), при произвольном значении Z нам необходимо иметь выражение для функции f^, содержащее значение f(0). Связь между /(0) и потоком массы на поверхности можно получить, используя уравнения (5.14) и (5.15). В результате находим

<”=- W,< [2 (tiff ^+-^и]

в силу того, что и определяется соотношением

f _^4> d ^РеГ^

RT ds рег’ц ds ’

а

.(2s)1/2,, .

Рег0

Тогда, поскольку fz (0) =0,

K = ~W/^ •

или_

(5.31)(5.31)f /А\ (2s)

(5.31)

(5.31)

Pe«ePZo ’

Величина Z (2/C)I/2 [О (co; Z)J * = 21/2Х'(0) подсчитывалась для разных значений параметра массообмена -(2/С)'^(0). При этом использовались затабулирован- ные результаты расчетов пограничного слоя с постоянными свойствами, выполненные Микли и Др.). Результаты этих расчетов представлены на рис. 5.2. Параметр С = рц/реце полагался постоянным поперек пограничного слоя, поскольку, как показали Юнг и Янсен), если С = С(7'/), то при Ме < 5,6

£ = о,42 + 0,032М2 + 0,58 bi (5.32) ' е1 е

и результирующие решения для поверхностного трения и теплового потока оказываются эквивалентными решениям, полученным при значениях С, меняющихся в пограничном слое. При таком подходе мы сохраняем влияние на решение изменения в пограничном слое величины рр и в то же время значительно упрощаем процесс получения результата, поскольку рис. 5.2 и соотношения (5.28)— (5.30) дают искомое решение уравнений

09

Рис. 5.2. Влияние массообмена на поверхностное трение и параметр теплопередачи G (оо; Z).

Замечание: С = const, Z = const.

сжимаемого ламинарного пограничного слоя с массо- обменом при условии, что

с = И!7^ ^-').,(5.33)

где Т'1Те определяется из уравнения (5.32). Наше основное предположение при получении искомого решения указанным выше путем состоит в том, что параметры Sm и Рг постоянны всюду в пограничном слое (но не обязательно равны единице). В п. 5.10 мы вернемся к исследованию принятых здесь предположений, связанных с так введенной характерной температурой.

Из уравнения (5.15) следует, что

д ри.Гп д

— =—,(5.34)

ду (2s)1'2 dr)

_— р (2-Л/2 | Q/)<£/ + Le ^ ^ (^ l\ Zl_— р (2-Л/2 | Q/)<£/ + Le ^ ^ (^ l\ Zlи принимая во внимание соотношения (5.12), (5.19) и (5.34), уравнение (5.9) можно представить в виде

_— р (2-Л/2 | Q/)<£/ + Le ^ ^ (^ l\ Zl

_— р (2-Л/2 | Q/)<£/ + Le ^ ^ (^ l\ Zl

(5.35)

где

РЛ1® = ^" Ре^ = Ср^;

комбинируя уравнения (5.28) и (5.29) с уравнением (5.35), получаем в результате

(2s)1'2 G (со; Pr) V

+ 07)7 G (co; Sm) ^J -A'^® ^e ^ “ ^^ | ’ (5-36)

где Le = Pr/Sm— число Льюиса. Из уравнений (5.2), (5.12) и (5.19) и граничных условий (g,)e=l и (г<)е=1 следует, что

^-^ = ^-^+^^1^ ~UU (5.37)

Таким образом, комбинация уравнений (5.36) и (5.37) дает в результате

ЧипЦ е 1щ) 1ЧипЦ е 1щ) 1, Г о (со; ?г)[ О (со; Sm), Г о (со; ?г)[ О (со; Sm)гдегде2(Q*?[i-«]2(Q*?[i-«]G (со; Рг)G (со; Sm)G (со; Рг)G (со; Sm)WVo__ У^О (со; Рг)WVo__ У^О (со; Рг)СнРА —СнРА —(5.38)(5.39)(5.38)(5.39)

ЧипЦ е 1щ) 1

ЧипЦ е 1щ) 1

, Г о (со; ?г)

[ О (со; Sm)

, Г о (со; ?г)

[ О (со; Sm)

где

где

2(Q*?[i-«]

2(Q*?[i-«]

G (со; Рг)

G (со; Sm)

G (со; Рг)

G (со; Sm)

WVo__ У^О (со; Рг)

WVo__ У^О (со; Рг)

СнРА —

СнРА —

(5.38)

(5.39)

(5.38)

(5.39)

Уравнение (5.38) в приближении «замороженного» пограничного слоя позволяет определять” тепловой поток на поверхности в случае сжимаемого многокомпонентного, химически реагирующего пограничного слоя с учетом массообмена. Эффекты массообмена проявляются посредством функции G(oo; Z), которая, как следует из рис. 5.2, является функцией скорости уноса массы на поверхности. Последняя величина в свою очередь зависит от химических реакций, которые, как мы предположили, протекают на поверхности.

Когда f (0) — О, т. е. (ро)ш = 0, что означает, что реакции в гетерогенной фазе на поверхности заморожены, тогда, как было показано [см. (4.78)],

Z) «2,11 (5.40)

Таким образом, если (ро)№ = 0, уравнение (5.38) принимает вид

-?w = С^еие {Ie-Iw} 11 + (Le2/3-1) -y^

i*e 1 w

(5.41)

так как

/ т '

S (саа J cPidT [i —

i\0'

«Ср^^С^-^Си-О(5.42)

в соответствии с уравнением (5.4) и (5.5) и предположениями, принятыми ранее, при выводе уравнения (5.4).

Уравнение (5.41) является общим выражением для теплового потока в диссоциированном сжимаемом пограничном слое, так как его можно использовать для случая любого числа реакций, протекающих одновременно в гомогенной фазе. [См., например, уравнения (4.89) и (4.91).]

В следующем пункте при выводе соотношения, определяющего величину теплового потока внутри тела, поверхность которого сублимирует или разрушается благодаря реакциям в гетерогенной фазе, мы воспользуемся уравнением (5.38). Иными словами, мы рассмотрим процессы, которые сопровождаются фазовыми превращениями материала поверхности из твердого состояния в газообразное.

5.5. Тепловой поток к твердой поверхности. В этом пункте мы получим уравнение для теплового потока внутрь твердого тела, на поверхности которого протекают химические реакции между твердым телом и газом. Схема рассматриваемого явления представлена на приведенном ниже рисунке.

(P»)w(P»)wТвердый материал с химическим символом ЕТвердый материал с химическим символом Е"(pu^h^s)"(pu^h^s)

(P»)w

(P»)w

Твердый материал с химическим символом Е

Твердый материал с химическим символом Е

"(pu^h^s)

"(pu^h^s)

u+yry

Используя систему координат, определенную, как показано на рисунке, мы можем написать уравнение для потока тепла через границу раздела y(g) = Q=y(s). Уравнение баланса тепла, если отбросить радиационные потоки с поверхности и из пограничного слоя к поверхности как аддитивные факторы, запишется в следующем виде:

(^)ш — (Рг% Me М)]ю = — qw — (Р'у)шАЩ|, (5.43) где индекс Е мы используем как химический символ твердого материала.

Если поверхность твердого тела сублимирует, мы можем написать

PE(s)]№ + ^E = pE(g)L, (5.44)

где ZPE— теплота испарения материала Е. Комбинируя уравнения (5.43) и (5.44), получаем

tisL = — Qw — (P^Vw + (P^)w Me (g)]w — (HwUe- (5-45)

Далее, можно скомбинировать уравнения (5.38) и (5.45) и получить

5,-C^l-l.-^k» [(С,), - (С,).] +

+-щёгёу 2 <hl^ Кс^ - (с')-1 - 5зЛ-+

+5зМе^)Ь-5з^|, (5.46)

где мы для удобства ввели параметр массообмена В3

г==7^-<5'471

Используя теперь уравнение (5.2) совместно с уравнением (5.46), получаем

4s~ Снреае ^f)e (//)ш + Тщгзт^у X

X { 2 М КС^ “ (Ш - B^w + в№ (g)L } - B3^E),

(5.48)

где параметр S4 связан с параметром S3 соотношением

(5.49)(5.49)о Gfoo^Sm) п

(5.49)

(5.49)

4 G (со; Рг) 3‘

Член hc, называемый энтальпией химической реакции, определим теперь следующим образом:

hc = ^ (h^ ^ - (COW1 - в К 4- В4 [АЕ (g)U =

- S (AJW [(Сг)е - (Ш -В. 2 (С^ (AJW + В4 [АЕ (g)]w =

= SE(Az)ra [(cz)e—(1 +54)(cz)j+

1 Е + IMg)LP4-(l+S4)(CE)J, (5.50)

где (Св)г=0, так как все количество вещества, покинувшего твердую поверхность, заключено в пограничном слое. В таком случае уравнение (5.48) упрощается

Аз - Сн9еие [(/Д - (/z)w + ^Ц^ tie - №е] ,(5.51)

а величины Сн и Ас определяются соответственно из уравнений (5.39) и (5.50). Вводя переносную разность энтальпий как

А/^^-^ + А.,(5.52)

уравнение (5.51) можно привести к виду

Аз = СнРАЛЦ 1 +Аз = СнРАЛЦ 1 +(5.53)(5.53)G (оо; Pr) J/zc В^G (оо; Sm) ~ 1J А/ АГ"

Аз = СнРАЛЦ 1 +

Аз = СнРАЛЦ 1 +

(5.53)

(5.53)

если 5з=0, #4 = 0 и Св=0, тогда уравнение (5.53) с учетом уравнения (5.42) переходит в (5.41), так как при В3=0 М = 1е—U. '

Уравнение (5.53) выражает тепловой поток к твердой поверхности при наличии массообмена, который возникает из-за реакций в гетерогенной фазе на поверхности и содержит член Ас, который представляет собой тепло, освобождаемое или абсорбируемое благодаря химическим реакциям в газе вблизи поверхности. Прежде чем мы окончательно решим поставленную задачу, нам потребуется знание массовых концентраций компонентов смеси на поверхности и на внешней границе пограничного слоя,-которые в свою очередь вместе с уравнением (5.50) используются для определения энтальпии хи-

мической реакции Лс. Нам потребуется также метод расчета массовой скорости уноса с поверхности (ро)ю как функции химической кинетики на поверхности. Этим последним двум аспектам нашей проблемы будет посвящен следующий пункт.

Поверхностные реакции, определяемые диффузией. Имеются два возможных фактора, контролирующих скорость уноса массы с реагирующей поверхности, обтекаемой газом. Одним из факторов является химическая кинетика поверхностных реакций в гетерогенной фазе, другим фактором служит скорость, с которой реагирующие компоненты могут переноситься за счет конвекции и диффузии через пограничный слой к реагирующей поверхности, и скорость, с которой продукты реакций могут диффундировать и переноситься конвекцией от поверхности. Мы будем здесь предполагать, что процессы диффузии и конвекции лимитируют процесс уноса массы, и вернемся к проверке этого предположения в следующем пункте.

Теперь предположим, что диффузия и конвекция определяют распределение компонентов смеси в пограничном слое и что химические реакции, приходящие к равновесию на поверхности, будут определять скорость уноса массы. Вещество тела, покинувшее поверхность, является одним из реагирующих компонентов и будет расходоваться, по нашему предположению, со скоростью, достаточной для достижения равновесной концентрации при максимальной концентрации реагирующих компонентов, которые могут диффундировать и переноситься за счет конвекции из внешнего потока через пограничный слой к поверхности. Тогда, используя уравнение сохранения компонента, можно параметр уноса массы 54 выразить через концентрации компонентов на поверхности и во внешнем потоке. Проделаем это следующим образом.

Рассмотрим преобразованное уравнение сохранения компонентов для случая «замороженного» пограничного слоя, т. е. уравнение (5.22):

(■яИ' + ^О, (5.22)

или, меняя индекс i на к и принимая во внимание, что, согласно уравнению (5.12) г,(Сг)е=С,-, уравнение

+=(5.54)

\ Sm kj * ‘ к''

Теперь умножим уравнение (5.54) на г» и просуммируем по всем к. В результате с учетом соотношения ^г1кСк — Ct получим

С;У + /С: = О,(5.55)

где Ct — массовая концентрация элемента i, присутствующего в нашей газовой смеси.

Интегрирование уравнения (5.55) по г] дает

и, выполняя во втором члене интегрирование по частям, получаем

^c;+fc,-/c,f^=c.

Полагая в этом выражении т] = 0, имеем

Далее, [(C/Sm)С^] = 0, когда /(0)—О, так как в этом случае (Ci) !С = Сг = const. Если выбрать константу интегрирования равной нулю, тогда для любого компонента смеси, исключая Е, получим соотношение

Z*E. (5.56)

Далее, из уравнений (3.1), (5.12) и (5.28) следует

(Ct)(5.57)

\ и™ \ С и ^оо; Sm). ''

так что решение уравнений (5.56) и (5.57) относительно (Ci)ю в результате дает

(^ = у^.^Е,(5.58)

при этом для определения В^ были использованы уравнения (5.31), (5.39), (5.49), a ^G^e должны быть заданными в каждой задаче. Значение S4 связано с f(0) следующим соотношением:

В, = G (со; Sm) g (ру)ю (2s)1/2 G (00; Sm)==_ ,Q. Q , g , 4 G (co; Pr) 3W/o \)

Кроме того, для компонента вещества твердого тела « = Е, который является одним из реагирующих компонентов, мы можем написать уравнение (5.55) в виде

(■fe^y + fC^O,(5.59)

откуда, интегрируя по т) и рассматривая интеграл на поверхности тела т| = 0, по аналогии (5.56) получаем

(та^)„+И°)(СЕ)„ = Н0).(5.60)

так как

("^^ = 0, когда СЕ = 1.

Далее, из уравнений (3.1), (5.12) и (5.28) мы можем заключить, что

G (со; Sm) -

Отсюда, _разрешая уравнения (5.60) и (5.61) относительно (Се)ю, получаем.

(CeL^-W^ ,(5.62)

где В4, как и прежде, определяется из уравнения (5.49).

Уравнения (5.58) и (5.62) связывают параметр мас- сообмена В4 с концентрациями химических элементов на поверхности и во внешнем потоке. Констант равновесия поверхностных химических реакций вместе с законом Дальтона о парциальном давлении и условием постоянства давления поперек пограничного слоя вполне достаточно для определения величин (C,)to. Таким образом, полностью указано решение рассматриваемой задачи.

Хотя здесь указаны все относящиеся к задаче уравнения, остается невыясненным вопрос, как эти уравнения могут быть использованы. Пример решения, иллюстрирующий применение этих уравнений, будет приведен в следующем пункте.

Пример расчета. Рассмотрим эксперимент, в котором холодный сверхзвуковой поток, состоящий из смеси СО2 и N2, обтекает нагретый графитовый прямой круговой конус '). При условии, что температура поверхности достаточно высокая, СО2 в пограничном слое будет реагировать с графитом поверхности с образованием СО в заметном количестве. В свою очередь эта реакция оказывает влияние на тепловой поток от конуса к потоку и на унос массы с поверхности конуса. Схема эксперимента представлена на приведенном ниже рисунке;

ТС=157Х

на этой схеме нанесены некоторые экспериментальные параметры, используемые в этом примере. Предполагается, что местный тепловой поток от конуса к потоку может быть измерен при разных значениях температуры стенки и различных пропорциях СО2 и N3. С целью иллюстрации теория, изложенная в настоящей главе, будет излагаться применительно к конкретным течениям, наблюдаемым в этом эксперименте.

*) Этот эксперимент был предложен автору Бредфилдом и Шеппардом (Научно-исследовательская лаборатория фирмы «Конвэр»).

В предполагаемом интервале температур, который представляет здесь интерес (1000° К^Т^2500° К), эксперименты Торна и Винслоу *) показали, что существенными компонентами газообразного углерода, который сублимирует с графитовой поверхности, являются С, С2 и Сз и что Сз превалирует в этой смеси. С тем чтобы упростить наше исследование, будем предполагать, что С3 является единственным газообразным компонентом углерода, который отрывается от кристалла твердого графита и вступает в химические реакции с газообразным СО2. Поскольку парциальные давления С, С2 и С3 достаточно малы по сравнению с принятым в эксперименте суммарным давлением, то оказывается, что полученный результат не зависит от того, предполагаем ли мы, что С, С2 или С3, или все они вместе, представляют газообразные компоненты углерода, которые вступают в химическую реакцию с СО2 при условии только, что концентрации С, С2 и Сз удовлетворяют соотношениям равновесия. Поступая таким образом, предположим, что наша реакция имеет вид)

4c3(s) + CO2(g)-^2CO(g). (5.63)

Мы можем эту одну реакцию заменить следующими четырьмя эквивалентными реакциями:

±C3(s)^lc3(g),(5.64)

|c3(g)->C(g),(5.65)

2C(g) + 2O(g)^2CO(g),(5.66)

CO2(g)->C(g) + 2O (g).(5.67)

Уравнение (5.64) описывает эндотермическую реакцию в гетерогенной фазе. Тепло абсорбции является скрытой теплотой испарения С3. Поскольку реакция сублимации описывается отдельным членом в нашем

*) Thorne R. J., Winslow G. Н., J. Chem. Phys., 26 (1), 186—197 (1957).

уравнении теплопередачи (5.53), мы в дальнейшем не будем рассматривать ее здесь. Уравнения (5.65) — (5.67) описывают реакцию в гомогенной фазе

4 C3(g) + CO2(g)-> 200(g),(5.68)

которая, как мы в дальнейшем убедимся, является экзотермической. Причиной замены одной химической реакции тремя, описываемыми уравнениями (5.65) — (5.67), является возможность пользования табулированными значениями теплот образования и энтальпий рассматриваемых реагирующих компонентов и продуктов реакций.

При температурах, представляющих здесь интерес (1000° К^7'^2500° К), практически не будут образовываться вещества, включающие С и N, так что нет оснований рассматривать реакции вида

C2(g) + N2(g)->C2N2(g).

Энтальпия химической реакции йс. Попытаемся упростить уравнение (5.50), служащее для определения hc. Рассмотрим реакцию

mп

где a,, bi — стехиометрические коэффициенты, а А,-, В^ суть химические символы реагентов и продуктов реакции. Тогда мы можем написать

№ = i1b1HB. — ^atHx.,(5.69)

t 1 i 1

где Нк^ Нв. — молярные энтальпии A{ и ВцОпределим затем удельные энтальпии

^А~лГ" (энтальпия/ед. массы AJ,

йв. = тт2 (энтальпия/ед. массы В;), ‘ в/

где /ИА., Л4В< = -——- = Молекулярный вес.

Тогда уравнение (5.69) может быть записано в виде

Мв ti AL А Мв 61Ав-'(5-

который определяет изменение удельной теплоты на единицу массы продукта реакции Вь Заметим, что уравнение (5.70) отличается от уравнения (3.8), из которого определяется прирост удельной теплоты на единицу массы реагента Ai. Уравнение (5.70) более подходит для определения hc согласно уравнению (5.50) и его различным вариациям.

Например, в случае обратимой реакции, описываемой уравнением (5.67),-

С (g) + 20 (g)-> СО2 (g),(5.67а)

уравнение (5.70) дает

24fn Мг

<5-)

,, Теплота

I ЧСо2|2д, массы со2 •

Аналогичным образом для реакции (5.66) имеем

AQco = ^«c + ^/io-«co,(5.72)

, Теплота

I Осо, g^ массы СО ’

а для обратимой реакции (5.65), ЗС—>С3, имеем

AQc3 = Ac-Ac„(5.73)

, * л , Теплота

I ЧС,| £д_ массы Сз •

Используя таблицы термодинамических функций *) для определения величин AQc3, AQco, AQCo„ находим

AQcs= 14 950 Btu/дбун/и С3,(5.74)

AQC0 = 16 430 Btu/дбун/и СО,(5.75)

AQco2= 15 430 Btu/дбун/и СО2,(5.76)

где AQ, являются существенно отрицательными удельными теплотами образования при нулевой температуре. При этом мы пренебрегаем небольшим различием в удельных теплотах образования компонентов. Подставим теперь AQj в наше уравнение для hc.

Выпишем уравнение (5.50) для hc для нашего конкретного примера (Е = С3)

he = (An2)w [(Cn2\> — (Cn2)w (1 + ^0] +

+ (Aco)w [(Cco)e — (Cco)w(l + S4)] +.

+ (^CO2)W [(Cco2)e — (Ссо2)ю (1 + £4)] +

+ (^c3)w [#4 (1 + B^ (Cc,)w] + (Ao)w |(Co)e —

- (Co)w (1 + S4)] + (Ac)w [(Cc)e -(1 + B^ (CcU. (5.77)

Далее, выразим массовые концентрации химических элементов Сс, Со и Cn через массовые концентрации компонентов смеси. В результате имеем

Со = с°+т<^с«> + 2^Ссо,.(5.78)

-„_ МгМп

Сс = Сс + Сс3 + -т7—Ссо + уй—Ссо,,(5.79)

^сом со,

Cn = Cn2,(5.80)

где, если мы имеем молекулу С„От, то

нМп

^o^M^h(5-81)

С помощью уравнений (5.58) и (5.80) мы можем написать

(Cn1-(1+54)(Cn2)w=.O,(5.82)

тогда первый член в уравнении (5.77) тождественно равен нулю, как и можно было предполагать, поскольку в нашем примере N2 не вступает в химические реакции

в газовой фазе. Кроме того, используя уравнения (5.58) и (5.78), мы можем написать

-1(Со)е-(1 + В4)(СоМ = ^- [(Ссо)е-

- (1 + 54) (Cco)w] + ^ [(Ссо2)е - (1 + В^ (Ссо2)т], 2(5.83)

с учетом (5.62) и (5.79) при Е = С получаем

- [(Сс)е - (1 + В^ (Cc)J - (Cc,)e+S4 - (1 + В4) (СсХ +

мг

+ 14^"[(Cco^~ (! + 5с) (Cco)w] +

+ ^ [(Сс°Л ~ (1 + ^ ^^ (5'84)

Подставляя уравнения (5.82)— (5.84) в уравнение (5.77), получаем

hc =hc =•м0мс

hc =

hc =

(Асо)®,Л1СО ^^™ ^со ^^^w [^^q)®

— (1 + &0 (Cco)w] + (Aco2)w — 2 -^ °j (Ао)ш —'

- ^ (AcH KCco2)e - (1 + 54) (Cco2)w| +

+[(Ac,)ro-(AcM [S4-(l+B4)(Cc,U-(Cc,)e(Mw (5-85)

Теперь мы можем ввести наши AQ,. Обращаясь к уравнениям (5.71) — (5.73)и вспоминая, что (Сс3)е = 0, переписываем уравнение (5.85) в виде

he — — AQco [(Сео)» — (1 + S4) (Cco)J — AQco2 [(CCo2)e —

- (1 + 54) (Cco2)J - AQc, [54 - (1 + B^ (Cc3)J. (5.86)

Первый член в уравнении (5.86) выражает тепло, расходуемое на образование СО, второй член представляет собой тепловой сток, возникающий за счет превращения СО2, и последний член суть тепловой сток, возникающий за счет диссоциации С3. Остается теперь определить

величины (Ccs)w, (Cco2)m и (Cco)m. Полезно заметить, что (Сс,)е = (Ссо)е = 0 и (CcoX + (Cn2V= 1. Численные значения величин AQC3, AQco, AQCo2 определяются из уравнений (5.74) — (5.76).

Концентрации компонентов. Рассмотрим реакцию|c3(g) + CO2(g)^2CO(g).

Мы имеем следующие уравнения, вполне подходящие в данном случае. Эти уравнения могут быть использованы для нахождения концентраций (СДю различных компонентов на поверхности. Согласно закону Дальтона, поскольку в пограничном слое p = pe=Pw,

Ре = (^Сз^ + (Pco)w + (/^СО2)№ + ^РН^-(5.87)

Уравнение химического равновесия дает)

кх (Г) =•(5-88)

Рсо

где Ki(T) определяется через соответствующие константы равновесия эквивалентного набора реакций, описываемых уравнениями (5.65) — (5.67) с использованием констант равновесия, имеющихся в термодинамических таблицах.

Кроме того, согласно Торну и Винслоу),

К^Т^рс..(5.89)

Связь между парциальным давлением и массовой концентрацией компонента имеет вид

(5-90)

где

^ = ^РДь(5.91)

a Mt — молекулярный вес вещества L Уравнение (5.90), скомбинированное с уравнением (5.82), дает

(5.92)

Zw 1 Т ^4

54 может быть исключено из уравнения (5.92), если воспользоваться уравнениями (5.83) и (5.90). Мы получим тогда, принимая во внимание, что (/?о)е= (Po)w= = Ро=0,

(5.93)(5.93)Хе 1 __ (^со^т+^С^ОгЬь

(5.93)

(5.93)

Ха Н^2 (РсоХ

Откуда, комбинируя уравнения (5.92) и (5.93), получаем

(IN,/ = Т^со^) 1^CO^W + ^ (РСО;,)®].(5.94)

а с использованием уравнений (5.88) и (5.89) вместе с (5.94)'

(М-у/щ^со+З^!2) ■(5-95)

2 ИСО2)е \^2 /w

Таким образом, используя уравнения (5.88) и (5.89) в уравнении (5.94) для исключения (Рсо)^, получаем

1) "(Pcc.VpK^61

^^- + 2(^СОг) . (5.96)

2 ИСО2)г L Л1

Решая уравнения (5.95) и (5.96), получаем следующее выражение для рсо:

гдегдеМ. = т(Ь +^[А;о, + 7("Рсо,)^1). (5.97)

где

где

(5.98)(5.98)^/со ,

(5.98)

(5.98)

^1Рс.01 ‘

Мы можем теперь выразить (/^о^ и ^pNi) через значение (/?С0Х’ а (Рс3)та через Т и подставить их в уравнение (5.87). В результате получим

^2 + "2 (/7CoJe f 2^С°2 (^СО2) ^ ] +

+ Т ( { 1 + "7 [2^СО2 + (^СО,)'72] } ^ “ ^ + ^С02 — Ре"

(5.99)

Очевидно, что в уравнении (5.99) К^ и а берутся при значении Т=Тта, рЮ1 берется равным значению pGOi при температуре Т = Tw и давлении р = ре.

После того как уравнение (5.99) разрешено относительно (^соХ’ и3 Уравнений (5.96) и (5.97) мы находим соответственно (pNX и G°co)w- Из уравнения (5.89) мы находим затем значение (gcX- После того как найдены значения всех парциальных давлений, с помощью уравнения (5.90) мы сможем найти значения (C2)w и из уравнения (5.92)—значение параметра В4.

Константы равновесия. Необходимые константы химического равновесия могут быть получены с использованием экспериментальных и табличных данных. Торн и Винслоу *) дают следующую формулу:

lg/<2 1g ^Сз= 9,811-^-, (5.100)

где рС1 выражается в атмосферах, а Т — в градусах Кельвина. Уравнение (5.100) было использовано в наших расчетах.

Мы не располагали сведениями относительно константы равновесия реакции

ic3(g) + CO2(g)^2CO(g) К»

9 Т h о г n е and W i п s 1 о w, op. cit.

гак что мы определяли ее через известные константы равновесия следующих реакций, эквивалентных написанной выше реакции,

C(g) + O(g) CO(g)К3,

C(g) + 2O(g)^CO2(g)Kv

C3(g)^3C(g)/<5;

константы равновесия этих реакций имеются в литературе1). Легко показать, что

Р^РйОг ^б^З

^СОК4'

в интересующем нас диапазоне температур ту же формулу можно представить в виде, более отвечающем характеру поведения константы равновесия

1g К^- 5,03--^-,(5.101)

где Kv измеряется в атмосферах, а Т— в градусах Кельвина.

Важный параметр а, используемый в уравнении (5.99), находится из следующего соотношения:

FCO, К]

или с использованием уравнений (5.100) и (5.101)

1g а = 8,30 — -^,(5.102)

где а измеряется в атмосферах, a Т— в градусах Кельвина.

Результаты расчетов. Концентрации компонентов на поверхности определялись из уравнений (5.89), (5.90) и (5.97) как функции Тта и (РиХКРсо^' Затем из уравнения (5.92) находилось значение параметра В4. Далее, из уравнений (5.74), (5.76) и (5.86) вычислялись значения hc. С помощью уравнений (5.1), (5.39), (5.52) и

*) Gordon, op. cit.; Feigenbutz, Stiehl, Katz, op. cit.

(5.53) определялся тепловой поток внутрь твердого тела qs. При этом для вычисления G(oo; Рг) мы воспользовались результатами, представленными на рис. 5.2.

Результаты расчетов для выбранной нами смеси показали, что

Рг « PfN2 =0,70, Sm да SmN2 =0,965,Le = Pr/Sm да Lcn2 = 0,725,

при этом были использованы методы расчета переносных свойств смеси, изложенные в гл. 10. Значения ре, ие и ре рассчитывались для заданных значений Ме, Те и с использованием табличных значений параметров течения при сверхзвуковом обтекании кругового конуса с углом полураствора, равным 10°, под нулевым углом атаки. Согласно методу, изложенному в п. 10.3, коэффициент вязкости, по существу, не зависит от состава смеси во внешнем потоке, и в расчетах принималось, что ц^яз^ц^. Плотность ре зависит от отношения (Си2)е к (Ссо2)е. После того как найдена величина теплового потока qs, с помощью уравнения (5.53) и уравнения (5.49), определяющего параметр В4, может быть найдена величина скорости уноса массы

^ЧН™-(5ГРеИеСНВ4. (5-103)

Результаты этих расчетов представлены на рис. 5.3— 5.5. На рис. 5.3 и 5.4 нанесены равновесные значения парциального давления СО2 на поверхности как функции отношения СМДВсоХ- Результаты, которые были получены, можно было заранее предсказать; а именно, что с увеличением Т™ (Всо2)о, убывает, а с уменьшением (Всог)е уменьшается и (Bco2)w- Иными словами, количество углекислого газа СО2, находящегося на поверхности, уменьшается с увеличением температуры поверхности или с уменьшением парциального давления СО2, которое вызывается уменьшением давления СО2 во внешнем потоке.

На рис. 5.5 нанесены графики зависимостей величины теплового потока на поверхности и скорости уноса массы от температуры поверхности и отношения (РыХ/СВсоХ- Исходя из анализа полученных результатов, можно сформулировать следующие положения;

Существенным в рассмотренном примере является передача тепла от конуса к потоку; это направление теплового потока объясняется тем, что температура

Рис. 5.3. Влияние температуры поверхности и парциального давления СО2 на границе пограничного слоя на парциальное давление СО2 на нагретой графитовой поверхности при ре — 1,224 ашм.

поверхности конуса значительно больше локальной температуры свободного (внешнего) потока, и тем, что реакция в гетерогенной фазе C3(s) ->C3(g) является эндотермической,

Увеличение доли N2 во внешнем потоке за "' уменьшения количества СО2 приводит к увелич

Р и с. 5.4. Влияние температуры поверхности и парциального давления СО2 на границе пограничного слоя на парциальное давление СО2 на нагретой графитовой поверхности при ре = 1,224 атм.

теплоотдачи конуса, сохраняя при этом температуру поверхности постоянной, поскольку реакция д- С3($) + + CO2(g) ^-2СО(^) является эндотермической и должна

приводить к выделению тепла, достаточного для того, чтобы поддерживать температуру поверхности постоянной.

Рис. 5.5. Скорости поверхностной теплопередачи и уноса массы для случая смеси N2 и СО2 при обтекании графитового конуса с углом полураствора 10°.

Mg = 2,2, Г8 = 157°К, ре —1,224 атм.

Увеличение доли N2 во внешнем потоке за счет уменьшения количества СО2, как и следовало ожидать, приводит к увеличению уноса массы.

С увеличением температуры поверхности уменьшается тепловой поток, но при этом скорость уноса массы при постоянных значениях возрастающего отношения (^nJc/^cOzX уменьшается. Последнее происходит из-за того, что параметр массообмена в4 не изменяется в процессе диффузии и постоянен при увеличении температуры поверхности, в то время как член реиеСн с уменьшением температуры уменьшается как (С)1''2, поскольку средняя плотность в пограничном слое уменьшается с уменьшением температуры.

Изменение теплового потока и скорости уноса массы с изменением концентрации СО2 оказывается достаточно заметным и может быть измерено при любой температуре поверхности, если скорость уноса массы лимитируется диффузией. В следующем пункте мы займемся обсуждением законности предположения о скоростях реакций, контролируемых диффузией.

Поверхностные реакции, определяемые кинетикой. В приближении «замороженного» пограничного слоя скорость уноса массы с поверхности определяется скоростью, с которой продукты и реагенты могут транспортироваться через пограничный слой посредством диффузии и конвекции к реагирующей поверхности, где они находятся в химическом равновесии. Вполне возможно, что скорости реакций, необходимые при этих предположениях, потребуют скоростей уноса массы с поверхности, превышающих те, которые допускаются кинетикой поверхностных реакций. Чтобы продемонстрировать это обстоятельство, мы проанализируем химическую кинетику поверхностных реакций, рассмотренных в п. 5.7.

Одной из неопределенностей, которые возникают при любом критическом анализе кинетики углеродо-графитовых поверхностных реакций, является множество различных твердых структур употребляемого технического графита. Графит встречается в различных видах, имеющих всевозможные кристаллические ориентации, зависящие от способа его приготовления. Очевидно, что структура твердого тела имеет прямую связь со скоростью реакции на поверхности тела с реагирующим газом. Принимая во внимание эту неопределенность, мы

воспользуемся измерениями скорости некоторых реакций, опубликованными Блайхоулдером и Эйрингом1), для расчета скоростей уноса массы в предположении, что на поверхности протекает следующая реакция в гетерогенной фазе:

|c3(s) + CO2(g) -> 2СО (g),

которая определяет скорость процесса разрушения поверхности. Мы можем написать выражение для скорости поверхностного уноса, базируясь на экспериментальных результатах Блайхоулдера и Эйринга; оно имеет вид

(P^)w =

- 4,9. Ю"10^/ _ 1006X Г(£соХ11/2

-1000rwJ[(CCO2)w + l,57(CNi + Cco)J ’

(5.104)

где Т^ измеряется в градусах Кельвина, a (pu)w в фунт!фут2 • сек. Если воспользоваться уравнением (5.104) вместе с уравнениями (5.5), (5.39), (5.47), (5.49), (5.82) и (5.83), то получается следующее уравнение для В4:

G (оо, Pr) „1006 . ,

1/2. (5.105)1/2. (5.105)2,04ре«еСя G Sm) В4 exp -у— X Ю —

1/2

. (5.105)

1/2

. (5.105)

(^Coje-^б6^1,57-0,57(ССОа)е + 2,52В4

Далее, даже не решая уравнения (5.105) относительно В4, а используя только характерные значения для величин (CcoJe и Тш, можно видеть, что В4 будет иметь порядок IO-8. Если решить уравнение (5.105) для одного типичного случая 7\,= 1000°K и (^2)е/(всо2)е — 0 (на рис. 5.5 ему соответствует случай максимальной из рассчитанных скоростей уноса массы), то В4 определится в виде

В4=2,99-10-9(s)4

') Blyholder G., Eyring Н., J. Phys. Chem., 61 (5), 682—688 (1957); 63 (6), 1004—1008 (1959),

где s измеряется в дюймах. Значение S4, лимитируемое диффузией, в этом случае равно

54—0,273.

Кроме того, когда унос массы лимитируется кинетикой и (s)1^!,

(Ссо^^О,^^,

8

если же процесс лимитируется диффузией, то (Ссо2)ю = 0,0246.

Мы вынуждены констатировать, что кинетика химических реакций на поверхности в гетерогенной фазе должна определять скорость уноса массы, а если это так, то в принятых экспериментах не будет ощутимо проявляться влияние химических реакций. Однако значительные неясности в кинетике делают эксперименты особенно необходимыми. Действительно, эксперименты должны пролить некоторый свет на этот вопрос.

Кинетика реакций в гомогенной фазе. В п. 5.3 было показано, что тепловой поток из реагирующего пограничного слоя относительно слабо зависит от расположения зоны реакции при условии, что переносные свойства относительно мало зависят от состава смеси и что Le^l. При этих условиях оказывается выгодным предположение, что химические реакции протекают только на поверхности и что реакции в гомогенной фазе в пограничном слое отсутствуют. В п. 5.4—5.6 изложена теория, применимая к реагирующему пограничному слою, базирующаяся на предположении, что все реакции можно рассматривать протекающими на поверхности и что реакции в гомогенной фазе отсутствуют.

Однако возможно, что в некоторых случаях предположение о «замороженном» пограничном слое окажется неудовлетворительным, в то время как уравнения реагирующего пограничного слоя все еще остаются в силе. Тогда возникает необходимость включить в расчеты кинетику всех тех химических реакций, которые могут протекать в газовой фазе. Мы продемонстрируем, как

это можно сделать посредством выбора отдельных реакций в гомогенной фазе. Этим методом мы пользовались в п. 4.6 при изучении идеально диссоциирующего газа. Там же были приведены результаты расчетов теплового потока в точке торможения затупленного тела для различных значений параметров скоростей реакций в гомогенной фазе1). В частности, мы рассмотрим реакцию диссоциации вида

^ № + Р (?) =2 A(g) +A (g)Р (g), (5.106)

kR

где Р есть или А, или А2. Соответствующее уравнение относительно концентраций компонентов задается в виде (5.16) при / = А и (СА) е= const, и в этом случае имеет вид_

/С V2sw.

■k-^ +/4 =Ат-- (5'10?)

\ Sm А/ А рреу.еиеГдае

где ае= (рл/р)е- Кроме того, в п. 4.6 было показано, что для течения в точке торможения

рр^н^а,, (Л ф-1) ^dujds^

и в точке торможения справедливы следующие соотношения:

r0 = s.

2s due1

ие ds k + 1

a чв k связана c zK уравнением

®A = P“ = P“A.

’) В том анализе параметры скоростей реакций были только введены, но точно не определены.

12 У, X. Дорренд

Таким образом, уравнение (5.107) примет вид

/ С V , ,z.

+ ^а+тг^ншм^дГ ^ °’ (5-109)

где zA = a/ae, и мы потребуем, чтобы уравнение для ZA = a/ae описывало реакцию вида (5.106). Мы можем написать следующее уравнение для скорости образования атомов реакции вида (5.106):

/ ^А \«р”а2

No \ dt )D" ° N^

— реакция второго порядка. Для скорости образования молекул можно написать

/ dnx \, ”р”а

— реакция третьего порядка. Но для любого процесса перехода атомов в молекулы также можно написать

dnx _9 dn^

dt£ dt ’

откуда

/ dn,. \

I ОЬ' Р А Ь Р А

No \ dt )RR NgR Nq

а суммарная скорость изменения числовой плотности . атомов запишется тогда как

dnx ( dnx \ , /dnхк ^х. к пРпХ

dt \ dt )D \ dt Jr No K N20

Пт>п\ ГNJi_ '

=.(5.110)

R N^ L *д («a)2J V 1

Далее,

Ра Раa = — =:,

Р Ра + Ра2 а

pA = raAmA>(5-1И)

Pa, = 2Va>(5-112)

так чтотак чтоа =г^—.ЛА + 2ла2а =г^—.ЛА + 2ла2(5.113)(5.113)

так что

так что

а =г^—.

ЛА + 2ла2

а =г^—.

ЛА + 2ла2

(5.113)

(5.113)

Кроме этого, из условия сохранения массы следует

(5.114)(5.114)рА I рА= = !

(5.114)

(5.114)

р р ■

Следовательно, используя уравнения (5.111)—(5.114), можно показать, что

(5.115)(5.115)ра

(5.115)

(5.115)

И А = т^г-

и

(5.116)(5.116)

(5.116)

(5.116)

В том случае, когда dnK]dt = 0, т. е. система находится в состоянии химического равновесия, из уравнения (5.110) при условии, что dnkjdt~(), следует

NQkD = kR^-,(5.117)

па2

где «д и пк обозначают соответственно равновесные значения пк и пк. Комбинация уравнений (5.110) и (5.117) дает

где

nv = nk + п.

Учитывая для уравнения (5.118) соотношения (5.115) и (5.116), получаем в результате

dnK ^ рз(1+а) а= (1 - а*)-^(1-«)(«*)=

dt - ^R 2NM1 —а”

Пусть теперь

Р = Р*.

и поскольку мы рассчитываем скорости приближения параметров к их химически равновесным значениям, вычисленным при локальной температуре, равной равновесной, т. е.

(5.120)(5.120)то из уравнения состояния следует р* 1 -|- а

(5.120)

(5.120)

Принимая во внимание соотношение (5.120) в уравнении (5.119), получим в результате

dnK _ р3 (1 + а) [а2 — (а*)2]

^ dt R 2^1 [1—(а*)2]

но, согласно уравнению (5.115),

»■. dnk .

Тогда из уравнения (5.121) имеем

У2(1+«) а2-(а*)22аХт1 ' 1—(а*)2

или, поскольку ро=р = р(1+а)^Т и Nok = R,

(5.122)(5.122).26^7 2ае 4~(4)2

(5.122)

(5.122)

АЯ2[1-(а*)2] 1 1+аегА •

Тогда если, как мы предполагали в п. 4.6,

и если ввести следующее определение:

1 е 2 о

то уравнение (5.109) при £+1=2 приведется к виду

' Г \,2/ * \2

(5.123)(5.123)) + К + С.0~3'5а -Л- ^А< = 0,

(5.123)

(5.123)

Sm А/ 1 ' А ।1 е 1 _|_ aezK ’

гдегдеCl=tir«,'5[Ш]",.

где

где

А г-1,5

Кх ^ ц(и*)2] ’ ^ ~ const

(5.124)(5.125)(5.124)(5.125)и, согласно принятому ранее предположению, feflT'-'^ — const.

(5.124)

(5.125)

(5.124)

(5.125)

Уравнение (5.123) совпадает с уравнением (4.82), использованным в п. 4.6, а уравнение (5.124) —с уравнением (4.81), приведенным в том же пункте без подробных выкладок. Значение а* определяется константой равновесия реакции (5.106). Действительно,

р Рх2 Рх2’

(5.126)

но

P-Px^Px-^PU^T,

(5.127)

где

д.= 2С^, = (1+о-)2«

1А

(5.128)

W _КР(Т)1 — (а*)2 4ра ’W _КР(Т)1 — (а*)2 4ра ’(5.129)(5.129)откуда, используя уравнения (5.127) и (5.128) вместе с (5.126), получаем

W _КР(Т)

1 — (а*)2 4ра ’

W _КР(Т)

1 — (а*)2 4ра ’

(5.129)

(5.129)

где величина /Ср(Т') может быть определена с помощью метода, изложенного в п. 9.8. Наша система уравнений, описывающая поведение химически неравновесного пограничного слоя в простейшем случае диссоциирующего газа, таким образом, замкнута. Уравнения (5.125) и (5.127) — (5.129) вместе с уравнениями (4.82) — (4.85) служат для определения а, Т, р, и и v внутри диссоциирующего пограничного слоя.

Следует заметить, что любую реакцию в гомогенной фазе можно рассматривать подобным образом при условии, что химическая кинетика описывается так же,

как это было выше для реакции, заданной уравнением (5.106). Задача оказывается значительно сложнее, если рассматриваются больше чем одна реакция, но при этом число имеющихся уравнений всегда соответствует числу искомых неизвестных, и задача в принципе остается подобной той, которая рассмотрена здесь. Однако подобие решений полностью пропадает для всех реакций в газовой фазе, за исключением тех, которые протекают вдоль критической линии тока. Это означает, что в режиме течения вдали от критической точки член в правой части уравнения (5.107) не будет только функцией ц.

Следует также напомнить, что использованная здесь химическая кинетика такова, что она в состоянии описать лишь простейшую реакцию. Например, частица Р, которая вступает в реакцию вида (5.106), по нашему предположению, является или частицей А, или Л2 без указания на то, какая из частиц, А или А2, находится в возбужденном состоянии, а какая нет. Если частица А2, когда она сталкивается с другими частицами, имеет полностью возбужденную колебательную степень свободы, этот случай более благоприятен для диссоциации в отличие от случая, когда эта степень свободы не возбуждена. Оба типа столкновений являются возможными. Кроме этого, и А, и А2 имеют различные диаметры столкновений, зависящие от того, обладают они или не обладают возбужденными электронными уровнями. В общем чем большим количеством возбужденных электронных уровней обладает молекула, тем крупнее молекула и тем чаще она претерпевает столкновения в течение любого промежутка времени. К тому же возбужденная молекула обладает большей внутренней энергией, пригодной для обмена между уровнями при столкновениях. Число констант скоростей реакций кн, которые могут быть использованы, зависит, естественно, от числа молекулярных компонентов, участвующих в реакции. Однако мы будем придерживаться той точки зрения, что простая кинетическая теория, подобная используемой здесь, адекватно описывает химическую реакцию при условии, что константы скоростей реакций Дд и kD определяются экспериментально в условиях, аналогичных тем, которые имеются в пограничном слое.

Дорренс1) привел пример течения простейшей реагирующей системы, а именно течение двухатомного газа через сильный прямой скачок в условиях, когда приближение к химическому равновесию происходило одновременно с приближением к равновесию колебательных степеней свободы молекул вниз по течению за ударной волной. Было найдено, что эти конкурирующие процессы приводят к некоторым интересным изменениям плотности, состава и температуры, зависящим от относительных временных констант обоих процессов.

.10. Приведенная температура. В п. 5.4 мы получили решение уравнений реагирующего пограничного слоя в предположении, что

С == ДШДЮ.

где Т— приведенная температура, определенная из уравнения (5.32),

-^ = 0,42+0,032М^ + 0,58Т^.(5.32)

1* е

Мы покажем здесь, что оба эти предположения, 1 и 2, связаны с решением уравнений пограничного слоя, которые получены без каких-либо предположений относительно С(ц).

Связь между Сср и С(Т'). Так называемый метод «приведенной температуры» или «приведенной энтальпии» был первоначально развит как полуэмпирический метод корреляции расчетов поверхностного трения и теплового потока для случая ламинарного пограничного слоя на плоской пластине. По существу, этот метод основан на предположении, что имеется некоторая приведенная температура (или приведенная энтальпия), которая, если ее использовать при расчете характеристик пограничного слоя, входящих в уравнения для поверхностного трения и теплового потока в случае течения

’) Dorrance W. Н-, L Aerospace Set, 28 (1), 43—50 (1961)'.

вдоль плоской пластины с постоянными свойствами, позволяет получить напряжение трения и тепловой поток для сжимаемого ламинарного пограничного слоя. Очевидно, эта приведенная температура должна зависеть от двух факторов: числа Маха и отношения температуры поверхности к температуре во внешнем потоке. Это означает, что имеется функция 7'(7м,/7е,Ме), такая, что

( Т \и2

tJm.,-^Uc/(5.130)

\1е /о

где С/ (7') совпадает с С/, вычисленным при ме=о '1

р = const = р(7х) и p = p(T'). Было предложено несколько найденных эмпирическим путем функциональных зависимостей для Т'(Ме, 7„/7е), которые мало отличаются одна от другой и дают удовлетворительные результаты для инженерных расчетов. Этот метод рассматривался прежде скорее как удачный эмпирический метод и как таковой принимался с осторожностью.

В этом пункте мы покажем, что метод приведенной температуры, есть нечто большее, чем случайный эмпиризм, и что в действительности он базируется на численном решении уравнений пограничного слоя. Первое, что мы сделаем, это установим связь приведенной температуры (или, если угодно, приведенной энтальпии) с константой пограничного слоя С = рц/реце, появляющейся в решении, полученном нами в п. 5.4.

Если воспользоваться уравнением (5.10), то

(0),

или, согласно уравнению (5.15),

^Л \ . РчхДе

аУ /го(2рАИе$)1/2 ’

где в соответствии с уравнением (5.14) для пограничного слоя плоской пластины

= ре^ер^З,

Тогда, ПОСКОЛЬКУ pwPw/pePe—^*w,

гдегде_ г о^'' (°)" (2Re)1/2 ’е_ г о^'' (°)" (2Re)1/2 ’е(5.131)(5.131)

где

где

_ г о^'' (°)

" (2Re)1/2 ’

е

_ г о^'' (°)

" (2Re)1/2 ’

е

(5.131)

(5.131)

и на основании результата, полученного в п. 4.5 для случая (py)w = 0, имеем

Г(0)=-^.(5.132)

Далее, из уравнения (5.131) и определения С/

г _ 2tw _ (2)1/2 f (0) С„

f(Ree)1/2

или, принимая во внимание уравнение (5.132),

(5.133)(5.133)(5.134)(5.134)О,666С^27(Ree)1/2 '

(5.133)

(5.133)

(5.134)

(5.134)

Тогда для Ме=0, Tw[Te= \ и Сш=1 мы получаем

С — 0,6667М£=о ~ (ReJ1^ '

Далее, обращаясь к уравнениям (5.130), (5.131), (5.133) и (5.134), замечаем, что

_(0,666) <=< = м! д22У 12.

2 ''(Re,)1'2 р, (р(Г')м/р(Г)]м

Таким образом, из полученного выше следует, что

СюСю= рСПмтдРеРе= рСПмтдРеРе

Сю

Сю

= рСПмтд

РеРе

= рСПмтд

РеРе

а это есть соотношение, использованное нами раньше в п. 5.4. Так как для решений, полученных в п. 5.4, считалось, что С постоянна в пограничном слое,

с = с№с = с№_ P(?W)Ре.ие_ P(?W)Ре.ие(5.135)(5.135)

с = с№

с = с№

_ P(?W)

Ре.ие

_ P(?W)

Ре.ие

(5.135)

(5.135)

В таком случае мы могли бы использовать в нашем решении любые из рекомендованных видов функциональной зависимости ТДМе, Тш1Теу Однако нужно еще показать, что использование в таком виде приведенной температуры имеет некоторую связь с точным решением уравнений пограничного слоя. Сейчас мы это сделаем.

Значение приведенной температуры. Мы установим сейчас связь приведенной температуры со средней температурой, заимствованной из численных расчетов уравнений пограничного слоя, полученных в предположении, что С — переменная и равна С(ц). Для того чтобы проделать это, введем некоторые упрощающие предположения, которые, однако, не лишают законности последующих рассуждений. Предположим, что

Le=Pr=l, Cp = const,

и рассмотрим решение для плоской пластины. Тогда, как было показано в гл. 2, уравнения движения и энергии отождествляются, и наше уравнение, которое необходимо решить, примет вид

(5.136)

решением уравнения энергии является интеграл Крокко (2.103), а именно

g^gw+f'O— guY(5.137)

где

Ig=~r-

Так как Cp = const и 1 = СРТ + и2/2, уравнение (5.137) принимает вид

^-^ = axA-bx^A-cx^\\ (5Л38) 1 е\ие!

где для у = Ср/С1,= 1,4 т

е

ь =1+0,2М2 —

сх = — 0,2М^.

Решение уравнения (5.136) записывается в квадратурах

V(0) =I5-139)

где

G(oo; 1)—J-Г-expf— J --yf dx\' j dt\ (5.140) о Vo / и X

(5Л41) о /

и где использовались граничные условия

Г(0)=0 И Г(со) = 1.

Далее, мы ищем постоянное значение С, скажем ССр, такое, что

^)сср = ^ СП) ’ или, используя уравнения (5.131) и (5.132), мы будем искать ССр, такое, что

ССрГ[0; Ccp] = CJ"[0; ОД] или 1 Г [0; сср] СОД ОД [0; ОД] •(5Л42)

Принимая во внимание уравнения (5.139), (5.140), перепишем (5.142) в виде

или, учитывая уравнения (5.140) и (5.141), получаем о

а так как. , „ .< .

/10 dri \ ие j ие dx\ ’

ТО1

1 _ С 1 du Сер J С ие 0

(5.143)

Далее, если мы предположим, что ц~Тп,

Р^Не\ ^ /

(5.144)

Таким образом, мы нашли, что значение

Сер должно

быть вычислено при температуре ТСр, такой

, что

/ 7ср у ” ■ f Г 7 (и) "I1du

\ Те /J L Те Jи€

0

(5.145)

Если мы рассматриваем пограничный слой с постоянной вязкостью (но не с постоянной плотностью), тогда п = 0, и, используя уравнение (5.138), из уравнения (5.145) при п = 0 найдем, что

= 0,5 + 0,033М^ + 0,5(5.146)

' е' е

Если принять, что ц-^ТЧ тогда, используя уравнение (5.145) с n = V2, получаем

-IОJ

а если предположить, что (ТД/Те) 1 или 0,2 Me, как это происходит в нашем примере, п. 5.7, тогда можно показать, что

[^(^у/з^/^у/зг1 &! ц 1 с, / м \2 л

L Те ]\ Те / L ' 2 ах ие ' 2 ах \ ие) ' ' 1 ' J

и уравнение (5.147) запишется как

^Я«0,5 + 0,033Ме+0,5^+ ...

• • ■ L 7260 J

и его можно сравнить с уравнением (5.146).

Эккерт*) вводит приведенную температуру по формуле

Z- = 0,5 + 0,038Ме + 0,50 ^-,

а Юнг и Янссен) — по формуле

= 0,42 + 0,032Ме + 0,58,

.1 е1 е

и оба эти уравнения очень близки к уравнению (5.146), полученному выше и остающемуся точным для сжимаемого ламинарного пограничного слоя в том случае, когда Le = Pr=l, p = const, Cp = const, и близким к точному при Le=l, Рг=1, Ср = const, р^Г1/2 или р~7'п для любых значений п при условии, что Т„/Те^1 или 0,2M^. Если мы ослабим ограничение таким образом, что не будем требовать, чтобы Le = Pr=l, a Cp = const, то, очевидно, это приведет к усложнению предлагаемого здесь анализа. Однако в принципе величина отношения Тср/Ге может быть найдена при любых условиях, допустимых в рамках сжимаемого ламинарного пограничного слоя. Косвенный метод корреляции численного решения в соответствии с уравнением (5.130) эквивалентен проведению анализа, аналогичного тому, который был описан здесь и который связан с применением относительной температуры («средней» температуры, найденной с помощью этого метода) к численному решению уравнений пограничного слоя, и поэтому устраняет некоторую долю входящего сюда эмпиризма.

Ромиг) и Коэн) показали, что величина С(т]) может быть представлена как функция/г(т]) для равновесной воздушной смеси, включающей продукты диссоциации воздуха. Это делается следующим образом: уравнение сохранения импульса оказывается не связанным с уравнением диффузии при условии, что уравнение для /г(т]) может рассматриваться отдельно от уравнения

*) Eckert Е. R. G., 7. Aeronaut Set., 22 (8), 585—587 (1955).

диффузии, как это происходит, когда Le = Pr= 1 и когда используется интеграл Крокко (5.137). В случае воздуха это требование всегда выполняется, так что с полным основанием можно использовать уравнение (5.137). В этом случае мы получим

гдегдеР (Аср) и (АСр) Р^ц^Р (Аср) и (АСр) Р^ц^

где

где

Р (Аср) и (АСр) Р^ц^

Р (Аср) и (АСр) Р^ц^

Легко показать, например, что при п = 0 ^--^H-AJ + O.OSSS^,

а это выражение замечательно согласуется с уравнением, полученным Эккертом1) для приведенной энтальпии при Рг = 0,70,

1 о

^-=j(Ae + Aa,) +0,0924

Этот результат не является неожиданным с точки зрения нашего анализа рассматриваемого явления. Таким образом, мы видим, что использование приведенной температуры или приведенной энтальпии тесным образом связано с численным решением уравнений пограничного слоя для переменной С(р).

Понятие приведенной температуры оказалось ценным потому, что на его основе получены выражения для теплового потока в пограничном слое, используемые в инженерных расчетах. Так, например, Ромиг2) смогла получить распространенное выражение для теплового потока в точке торможения ламинарного пограничного слоя, которое воспроизводит результаты экспериментальных измерений, показанных на рис. 4.4, так же хо-

*) Е с k е г t, op. сП.

s) Romig, op. cit., с дополнением, 27 (12), 1255 (1957),

рошо, или даже лучше, чем результаты численного интегрирования уравнений пограничного слоя.

Коэффициент восстановления. Уравнения для теплового потока в реагирующем пограничном слое, полученные в п. 4.5 и 5.4, базируются на целом ряде предположений, включающих в свое число предположение о том, что член вязкой диссипации энергии в преобразованном уравнении энергии пренебрежимо мал или равен нулю. В этом случае уравнение энергии (5.32) принимает вид

/С \Г 2 /1\

(w £;) +fg;[^ (pf -1) err],(5.23)

а решения этого уравнения, полученные в п. 4.5 и 5.5, содержат предположение о том, что член в правой части уравнения (5.23) равен нулю. Действительно, это строго выполняется, когда Рг = 1 или ие = 0. Последнее условие справедливо для решения в точке торможения. В обоих из этих случаев коэффициент восстановления г равен единице. Коэффициент восстановления определяется из уравнения

2Г2]2

V^r = I//L + (Г - 1) ^ = Ie - [X (СЛ ^ + У + Г^ ,

ИЛИ

r=yw^w+li (6148)

где (Д), есть значение парциальной энтальпии на поверхности в том случае, когда тепловой поток равен нулю. Если ие = 0 или Рг=1, тогда Uf^r=Ude и г=1. Найдем теперь величину коэффициента восстановления, когда Рг=#1 и ие#=0, как, например, в случае плоской пластины.

Пусть оба числа Рг и С — постоянные в уравнении (5.23). Тогда мы получаем

Рги2

+ "С ^/ = -^0-РгИГГ + О!- (5.149)

Решение уравнения (5.149) имеет вид1)

,Рг Г , , , 1

^ = ^Г = ехР—С J ^^ X \ о /

/ exp £ jfdn" МН1-Рг)[ГГ + О] d^a о \ о / 1 е

(5.150) и

gf = / g'jWWHоgf = / g'jWWHо(5.151)(5.151)

gf = / g'jWWHо

gf = / g'jWWHо

(5.151)

(5.151)

где gy (л') определяется из уравнения (5.150), а а и b—постоянные интегрирования. Если g'j = g'j^ и gj = gf^V) при л = 0, тогда

« = £/(0)(5.152)

Иb-gf^^g^..(5.153)

Ранее мы предполагали, что

/~по)4+

так как f (0) = f'(0) — 0. Тогда из этого следует, что

(Г)2+ fr« [Г (О)]2.(5.154)

Если вспомнить, что л / я' \

О(п; Z) = 4 j exp — 4 J td^\dx^, (5.26) 0\0/

так что

4^ = -|ехр(--|р^ .(5.155)

\ о /

J) См.» например, уравнение (8.9) и его решение.

и если ввести функцию У(т|; Рг),

PO=/^f / ЧтШг" (6156) о L оJ

то, подставляя уравнения (5.26) и (5.152) — (5.156) в уравнения (5.150) и (5.151), в результате получаем

^=(s/L+^(°) w0^ Pr)+

+ ^d - Pr) 4 ^ Дч, Pr). (5.157) Далее,

(^w)c9e^e^ Hc [d/)r d/)wl ^w ( dy ^^ ’

ИЛИ

^•^c — Pr ^g/ (0) (dy .

Но для пограничного слоя на плоской пластине г о = 1 и/ dr) \pwue •

\dy)wРе (2Ree)1/2 ’

где Ree = peu6.s/pe, а так как (рюЦю/р^е) =С, мы имеем

- (ЬМ =. (5.168)

кее)г г

Мы можем подставить в уравнение (5.157) значение Т] = оо и, поскольку g/(oo) = l, в результате получим ^(0)~-О(«э; РгГ^!-^-

u2(Oil2 г)

Pr)][ (5-159)

(5.160)(5.160)откуда, комбинируя уравнения (5.158) и (5.159), находим, что

(5.160)

(5.160)

е Нс (2Ree)1/2 G (со; Рг)

— результат, который получается, если воспользоваться уравнением (5.39), полученным ранее для пограничного

13 У. X. Дорренс

слоя на плоской пластине. Принимая во внимание уравнение (5.148), получаем

(5.161)(5.161)г=:1 + (Рг-1)2-^/(»о; Рг).

(5.161)

(5.161)

Ранее было показано, что

ч (0,47)2 /(со; Рг) = ■ -^ ’ -ч (0,47)2 /(со; Рг) = ■ -^ ’ -ооооdx\' dx\, (5.162)dx\' dx\, (5.162)Поэтому из уравнений (5.154) и (5.156) следует, что 00 Г ч1

ч (0,47)2 /(со; Рг) = ■ -^ ’ -

ч (0,47)2 /(со; Рг) = ■ -^ ’ -

о

о

о

о

dx\' dx\, (5.162)

dx\' dx\, (5.162)

а так как интеграл, входящий в уравнение (5.162), как можно' показать посредством численного интегрирования), оказывается равным единице, то

r^l+(Pr-l)№«[(Pr)vf^(5.163)

При Рг~1, что выполняется для большинства газовых смесей,

г^Рг1/,(5.164)

а это в точности равно значению г, которое обычно используется для расчета обтекания плоской пластины 2). Если, например, Рг = 0,72, то значение г, определяемое из уравнения (5.164), отличается от значения г, определенного из уравнения (5.163) меньше чем на 3%. Таким образом, первоначальное выражение для коэффициента восстановления, соответствующего решению задачи пограничного слоя на плоской пластине и определяемого уравнением (5.164), оказывается справедливым и основывается на численном решении уравнений пограничного слоя.

Теперь нам совершенно ясно, каким образом могут быть использованы уравнения, полученные в п. 4.4 и 5.4, в случае пограничного слоя на плоской пластине при отсутствии массообмена. Уравнение (5.160) используется для определения Снс> если определяющая разность энталь-

пий записывается как ^1^г—Цй™ вместо (//)е—Мй^ а г=(Рг)'/= записывается вместо г=1 в уравнении (5.148). Иными словами, результаты п. 4.4 и 5.4 остаются без изменения. Если же происходит массообмен, то результаты этого пункта не применимы.

Заключение. В этой главе мы рассмотрели реагирующий ламинарный пограничный слой. Пункт 5.2 вскрыл природу тех задач, для которых применимы уравнения пограничного слоя. Затем в п. 5.3 были изложены обоснования возможности использования уравнений «замороженного» пограничного слоя при определенных условиях, при которых можно предположить, что химические реакции протекают в непосредственной близости к поверхности. В п. 5.5 и 5.6 был изложен метод исследования влияния химических реакций на ламинарный пограничный слой в приближении «замороженного» пограничного слоя. Результаты расчетов представлены в п. 5.7.

В п. 5.8 и 5.9 выяснялась роль химической кинетики. В п. 5.8 показано, что химическая кинетика поверхностных реакций должна хорошо определять скорость уноса массы и тепловой поток на поверхности в приближении «замороженного» пограничного слоя, так же как она определяла тепловой поток в случае диссоциирующего ламинарного пограничного слоя в п. 4.7. В п. 5.9 получены уравнения, удобные для использования тогда, когда предполагается, что происходят реакции в гомогенной фазе, и когда нельзя использовать приближения «замороженного» пограничного слоя.

Пункт 5.10 был посвящен исследованию сущности (природы) так называемой приведенной температуры или приведенной энтальпии. Было найдено, что приведенные температура или энтальпия прямо связаны со средней температурой или энтальпией, определяемыми из численных решений уравнений пограничного слоя.

В п. 5.11 показано, откуда появились выражения, обычно используемые для определения коэффициента восстановления при расчете теплового потока для сжимаемого ламинарного пограничного слоя на плоской пластине без массообмена.

ГЛАВА

6

ВЛИЯНИЕ ЗАТУПЛЕНИЯ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ.ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ.ВЛИЯНИЕ ЗАВИХРЕННОСТИ

Введение. Во введении к гл. 4 упоминалось, что имеется два класса задач, касающихся течения в гиперзвуковом пограничном слое: задачи, связанные с телами с затупленной и зоостренной передней кромкой. Первый класс задач рассматривался в гл. 4. В данной главе мы рассмотрим задачи, связанные главным образом с гиперзвуковыми движениями двумерных тел со сравнительно острой передней кромкой.

Первая задача, которой мы займемся, будет задачей взаимодействия головной ударной волны и пограничного слоя. Мы получим уравнения, учитывающие влияние взаимодействия головной ударной волны и пограничного слоя на поверхностное трение и теплопередачу. Будут также определены режимы течения, когда эти эффекты значительны.

Другая, исследуемая нами задача, касается влияния затупления передней кромки на поведение пограничного слоя сравнительно далеко вниз по потоку от передней кромки. Выражение «сравнительно далеко вниз по потоку» мы понимаем в том смысле, что эффекты, которых мы будем касаться в этой главе, существенны в области, которая лежит за пределами окрестности критической точки, с которой связаны задачи и методы гл. 4. В частности, мы рассмотрим влияние, которое оказывает завихренность во внешнем по отношению к пограничному слою течении на пограничный слой. Завихренность тесно связана с искривлением головной ударной волны, которое становится заметным, когда значительно затуплена передняя кромка. Будут указаны значения газодинамических параметров, ограничивающих области течения, в •которых проявляются указанные эффекты.

Взаимодействие головной ударной волны и пограничного слоя. С тех пор как Прандтль впервые выдвинул свою концепцию тонкого пограничного слоя, внутри которого сосредоточено главным образом влияние вязкости при течении газа около тела, возникло представление о том, что пограничный слой обладает эффектом вытеснения, который заключается в изменении, именно в увеличении эффективной формы тела, из-за уменьшения потока массы внутри пограничного слоя. В большинстве случаев, интересующих аэромехаников, этим эффектом вытеснения можно пренебречь, поскольку «толщина вытеснения» 6*, определенная ниже равенством (6.1), составляет обычно весьма малую часть линейного размера тела, например местного радиуса тела вращения, и поэтому не может оказать заметного влияния на внешнее «невязкое течение». Толщина вытеснения 6* может быть определена как расстояние, на которое смещается внешний по отношению к пограничному слою поток из-за уменьшения потока массы внутри пограничного слоя. Именно,

Л

0eUe (6 — ^~ f РМ ^У’ 6 -* ОО,О

или-

<6Л)

О

Далее, внутри гиперзвукового пограничного слоя температура обычно бывает высокой; это означает, что плотность там мала и, как это видно из уравнения (6.1), толщина вытеснения велика и фактически при Тю^Т^ почти достигает толщины самого пограничного слоя. Другой способ описания этого явления заключается в установлении того факта, что расход через единичную площадку, нормальную к направлению течения в горячем гиперзвуковом слое, близок к нулю и, конечно, много меньше, чем расход через единичную площадку в невозмущенном потоке. Обычно это не приводит нигде к каким-либо особым последствиям, за исключением

окрестности передней кромки заостренного тела. В окрестности передней кромки заостренного тела, где толщина вытеснения увеличивается от нуля в критической точке, поворот внешнего по отношению к пограничному слою потока вызывает начальное сжатие, сопровождающееся появлением ударной волны, которая становится очень сильной при больших числах Маха. Это сжатие и последующее течение разрежения в свою очередь воздействуют на структуру пограничного слоя, и,

Рис. 6.1. Иллюстрация задачи взаимодействия между головной ударной волной и пограничным слоем на плоской пластине.

таким образом, мы имеем главные факторы, составляющие сущность задачи взаимодействия между внешним течением и пограничным слоем. Именно эту задачу, особенно важную при гиперзвуковых числах Маха, мы будем рассматривать в данном пункте.

Рассмотрим рис. 6.1, где схематически изображено гиперзвуковое течение около плоской заостренной пластины и приведена система координат, которой мы будем пользоваться в дальнейшем. Благодаря повороту потока газа в области между границей пограничного слоя и ударной волной давление и число Маха на границе пограничного слоя будут зависеть от s так, как если бы мы в невязкий гиперзвуковой поток газа поместили вместо плоской пластины тело, форма которого определена границей пограничного слоя (более точно, форма этого тела должна определяться толщиной вытеснения). Познакомимся теперь с задачей приближенного определения давления на внешней границе пограничного слоя.

Можно показать, что если М:„>>1 и Moo(d6*/ds) ^ 1, то в плоском случае "(аналогичный результат можно получить и для осесимметричного случая) ')

=— + У(¥ + П(М^ ^Г +(6.2)

р^' ds 4\ ds ); '

Если же М^»! и M^dS'Vds) 5> 1, то можно показать, используя соотношения на косам скачке уплотнения, что)'

Роо 2’ \ ds )v 7

Но, как мы увидим, величина 6* сама зависит от ре!р<», что и составляет суть проблемы. Из теории сжимаемого ламинарного пограничного слоя при отсутствии взаимодействия между головной ударной волной и пограничным слоем известно, что [см., например, (2.59)]

— (614)

где р и р — некоторые средние значения величин р и р внутри рассматриваемого горячего пограничного слоя. Далее, если Л!^^!, то Ue—a^, и, кроме того, р = ре в соответствии с концепцией пограничного слоя, которая, как показал Шен), справедлива и для рассматриваемого случая. Следовательно, уравнение (6.4) может быть записано в виде

(67 -см4^-^ (6.5)

г е ^со

и, таким образом,

(6-6)(6-6)db* __, 6* .ds s ’

(6-6)

(6-6)

здесь мы использовали соотношения

м с т

М-СО

-—— = "р— ~ Мео при М»^!

ии^ООр* ОО

и

и

Теперь из уравнений (6.2) и (6.3) видно, что можно рассмотреть два крайних случая: случай слабого взаимодействия и случаи сильного взаимодействия, причем для обоих случаев Моо>>1, но М» (d6*/ds) <S 1 для первого случая и МоДс^/Дз) 3> 1 для второго случая. Для слабого взаимодействия, используя соотношение ре/роо~1, вытекающее из (6.2), получим из (6.2), (6.5) и (6.6)

1~Х, Х< 1, M^^l,1~Х, Х< 1, M^^l,(6.7)(6.7)

1~Х, Х< 1, M^^l,

1~Х, Х< 1, M^^l,

(6.7)

(6.7)

где х определено следующим образом:

(6.8)(6.8)_С1/2М3

(6.8)

(6.8)

у —

(^=)1/2'

В случае сильного взаимодействия ре!рх пропорционально Мда^д*/^)2 и из (6.3), (6.5) и (6.6) следует

-у-~Ъ X2>L M^l.-у-~Ъ X2>L M^l.(6.9)(6.9)

-у-~Ъ X2>L M^l.

-у-~Ъ X2>L M^l.

(6.9)

(6.9)

Найденная здесь асимптотика вытекает также из более точного анализа проблемы.

Соотношения (6.7) и (6.9) позволяют сделать по крайней мере три ценных вывода, относящихся к этой проблеме:

1. х = C,/2ML/(ReM)12 является параметром подобия в теории взаимодействия головной ударной волны и ламинарного пограничного слоя.

. 2. Для сильного взаимодействия из (6.5) и (6.9) сле^ Дует, что 6* ~ s3/*.

Для сильного взаимодействия из (6.9) следует, что

Ре 5-1/2.

К этим весьма важным сильного взаимодействияК этим весьма важным сильного взаимодействиядля развития строгой теории выводам пришли независимо

К этим весьма важным сильного взаимодействия

К этим весьма важным сильного взаимодействия

Ли Тинг-и и Нагамацу ') и Лиз). Позже Стюартсон ) показал, что эти соображения подобия применимы не только внутри вязкого слоя в области сильного взаимодействия, но что, очевидно, те же соображения справедливы и для области невязкого течения между ударной волной и пограничным слоем, так что y(s)~s3/* и y(s)~6*(s), если М^»! и /^1. Величина У (s) показана на рис. 6.1. Значит, все поле течения между скачком и телом можно рассматривать, используя те же приближения, что и в теории, относящейся к области сильного взаимодействия, т. е. там, где %5>1.

Уравнения теории сильного взаимодействия. После этих предварительных сведений приступим к изложению теории взаимодействия головной ударной волны и пограничного слоя, считая пограничный слой ламинарным. Здесь мы ограничимся изучением только сильного взаимодействия по следующим причинам: 1) теория слабого взаимодействия уже хорошо описана), 2) результаты теории слабого взаимодействия показывают, что слабое взаимодействие мало влияет на тепловой поток, 3) можно развить строгую теорию сильного взаимодействия в пределе при М-—»оо вблизи передней кромки для гиперзвукового течения около плоской пластины.

Здесь мы изложим теорию сильного взаимодействия, используя обозначения и форму записи уравнений, которые соответствуют принятым в этой главе. В табл. 6.1 дается перечень предположений, необходимых нам в дальнейшем.

*) Li Т. У., Nagamatsu Н. Т., 7. Aeronaut. Sci., 20 (5)', 345—355 (1953).

Таблица 6.1

Предположения, принятые

в теории сильного взаимодействия

Предположение

Обоснование

k—Q в уравнении неразрывности

Рассматривается случай плоской пластины

Ср = const, Су = const

Не учитываются колебательная релаксация и диссоциация как эффекты, второстепенные в этой области

Pr = Le =-- Sm = 1

В реальном газе Pr ^ 1, Le ^ 1, Sm « 1, и влияние отклонения этих чисел от единицы имеет в данной задаче второстепенное значение

и = и , Т = Тт е-- е03

Это выполняется точно, когда Мл->оо, а % остается конечным. Не учитывается завихренность, возникающая из-за искривления скачка уплотнения (см. п. 6.4)

Ре = Ро=

Предположение вытекает из равенства т е = Т^

С = 1

Предположение упрощает вычисления, оставаясь в остальном слабым

М2; М2

есо]

Это предположение упрощает выражение для ре (Ме) и согласуется с условием М.о ^>1

Это следует из М2;

«Y— 1

М^>1

а = const

Не учитывается влияние диссоциации как несущественное в области взаимодействия

Уравнения пограничного слоя для рассматриваемого случая получаются из (2.94) и (2.102), если положить там Ze = const и Pr = Le=l, и имеют вид

T + F+ —= 0(6.10)

ие is [ рJ

и

g" + ^ = 0.(6.11)

Граничные условия имеют следующий вид:

ИО)-Г(О) = о, ГМ=1,

Дальнейшие упрощения уравнения (6.10) вытекают из равенства Ze=Zoo = const. В этом случае можно показать, что

Р7

По определению г и \ и2

И

U — ^е +

и, таким образом,

o-^ig-cm+g^^+cn2 25^-.

Кроме того, Ie h — / 1е и2 и2 ° he hehe 2121ге

И е ^е ц2 1е ~ 2he

и, следовательно, = к-О](б-13)

и уравнение (6.10) приводится к виду

(614)

Отсюда видна явная связь уравнения энергии (6.11) и уравнения движения (6.14). В уравнении (6.14)

. 2s du, I, 2s. r-x

P=-Д-—=(6.15)

ue ds he M^ ds

так как I, = IX, Cp = const и Рг=1. Для изэнтропического течения Me связано с давлением на внешней границе пограничного слоя следующим образом:

РеРсоРеРсо' [1 + (Y— 1)/2] Mt 1 Y/(Y”‘) _ / М Х2?^"1»

Ре

Рсо

Ре

Рсо

. [1 +(Y— 1)/2] М2 ]~ \"М7/

а в соответствии с проведенным ранее анализом предполагается, что в области сильного взаимодействия

(6.17)

Кроме того, в силу наших предположений, Тсо = Тс, и0о = ие и Цоо = Це и, следовательно, по определению,

S = J Penile ds = -^ J ре ds.(6.18)

ое о

Из (6.15), (6.16), (6.18) и (6.17) получим уравнение, определяющее р. Именно, из (6.15)

2s dM, 2^ 4s d (In Mc)Me ds ds dsкроме того, из (6.16)

4 In M, _ у—1 d [In^/pj]ds2y ds

и из (6.17)

4 [In1

ds2s *

Полагая В (6.18) tie tlco^ Tg Too^ JAe=:JAoo, Pe/Poo" = (PeiP=c) ~s-'11, получаем

и окончательно

p =(6.19)

В нашем выводе существенной была связь между ре и s, выраженная соотношением (6.17), полученным в результате упрощенного анализа. Уравнения (6.14), (6.11) с граничными условиями (6.12) были решены Ли Тинг-и и Нагамацу) и Коэном и Решотко) для различных значений постоянной р. Результаты их расчетов представлены в виде функций Дц), f'Wh /"(л)» ^(л) и ^(л) для различных начальных значений ^(0) = gu- Ли Тинг-и и Нагамацу применяли при своих вычислениях аналоговую машину, в то время как Коэн и Решотко использовали численный метод интегрирования применительно к цифровой машине. Ли Тинг-и и Нагамацу подробно остановились на значениях р, относящихся к сильным взаимодействиям. Они принимали р = 0,286 (у=1,4) и р = 0,400 (у = 1,667), соответствующие воздуху и гелию.

Результаты теории сильного взаимодействия. Выразим некоторые величины, связанные с теплопередачей, трением, толщиной пограничного слоя и распределением давления через значения Дт]) и производных f'(т]), ^"(т]) и т. д. Начнем с толщины вытеснения 6*. Из уравнения (6.1) и определения независимой переменной ц найдем оэ

Г

pa J \ р 1”о

поскольку

_ Р“еdy (2s)1/2

Далее, так как р = ре, то ре1р = Т1Те, тогда

Ре,,_т.

РТе1 "^№e^’

где, по определению, I

Таким образом,

Из предположений, указанных в табл. 6.1, следует

1 Для М^^1, а значит,

Рг,е

Кроме того, так как Ug^a^, Те — Т^, К6 = Р'0о и

Ре!^^ Ре!Роа~8-У\ ТО

Р\k U

pevieaeds = 2-^- pesоw =

и

(2s)1/2 2s / p^R

PeUe^^ V ^ / '

Используя эти выражения.в полученном выше уравнении для 6*, найдем

(tT^^-I)^,(6.20)

X ^03 /оэ

где % определено равенством (6.8), в котором нужно положить С=1, и где

^-(m^n,(6.21)

о

’| = 7Й>,И‘У’(6'22)

И

<6-23)

При выводе подинтегрального выражения (6.21) использовано приближенное равенство he]le~^> вытекающее из предположения Moo^l. Далее, из предположения о том, что p~sv!1, следует

(6.24)

и аналогично, поскольку б*— s3/4,

Из (6.20), (6.24) и (6.25) получаем

(Д)1/25 = (у-1)70.(6.26)

Далее уравнения (6.3), (6.24), (6.25) дают

Д = -^у(у+1)Д2.(6.27)

Разрешая (6.26), (6.27) относительно А и В, получаем

H = |^---l)p^4^]^(6.28)

S = 2 [2у (у + 1)]~1/4 [4 (у - 1) Z0]V2,(6.29)

где /о определяется равенством_(6.21). Уравнения (6.24) и (6.28) выражают ре1р=о через % и /0; уравнения (6.25) и (6.29) выражают б* через % и /0. Нам осталось связать X и /о с коэффициентом трения и теплопередачей. Имеем

при выводе (6.30) мы пользовались (6.22), (6.18) и равенством

pus

(6.31)

Так как С = рюЦи7реЦе = 1, рс = Цоо и ре1ро= = ре!р=о, уравнение (6.30) можно записать в следующем виде:

C/(ReJ1/2^C2(x)'/2.(6.32)

где

С2 = (Л)1/2Г(О),

(6.33)

9т _ е

По определению,

(6.34)

р 4w

(6.35)

исучетом (6.22) и (6.18) при условии, чтоРг = Ье = С = 1, находим

./ дТ\ р и и I g' (0) / р

- Iта е, ( Доо, р р

— \ ду ~ 2р и s \ р ■

Из (6.24), (6.35), (6.36) вытекает равенство

где

^(ReJ^Z^zF,(6.37)

й = Т(14^(5)ТМ)И-<6.38)

При выводе мы воспользовались условиями С = 1, рeip=o = Ре!Рос, р.е = Цоо. Теперь из (6.35), (6.37), (6.38) можно получить следующее равенство:

(— 4н;)ре-/Рсо=1(— 4н;)ре-/Рсо=1= (Лх)1/2> х»1.= (Лх)1/2> х»1.(6.39)(6.39)

(— 4н;)ре-/Рсо=1

(— 4н;)ре-/Рсо=1

= (Лх)1/2> х»1.

= (Лх)1/2> х»1.

(6.39)

(6.39)

Если х=Ю, Л = 0,514, это отношение в том случае, когда TJTO=\, равно 2,25. Из результатов, приведенных в табл. 6.2, видно, что для этого случая (Л = 0,514) взаимодействие ударной волны и пограничного слоя оказывает заметное влияние на теплопередачу. Это влияние будет меньше при Тю/Т0<1, так как при этом Л <0,514.

Из (6.32) и (6.37) получаем следующее полезное соотношение:

(6.40)(6.40)2СН 2D

(6.40)

(6.40)

Ср Сг

Этим завершается описание метода.

Численные результаты. Ли Тинг-и и Нагамацу1) за- табулировали функции А, В, С^ 2D и I при 0 = 0,286 и 0,40 для различных значений g(0) =7’и,/7’о(7'о— температура торможения). Эти полезные таблицы приведены ниже.

Таблица 6.2

Значения А, В, С2, D и I в зависимости

от величины g (0) =

1 о

rw

A

В

c2

D ')

/

0

= 0,286

(Y=M)

0

0,148

0,397

0,208

0,095

0,382

0,20

0,232

0,495

0,279

. . -

0,596

0,60

0,377

0,632

0,412

0,155

0,970

1,00

0,514

0,738

0,549

0,187

1,322

0 = 0,400 (у = 1,667)

0

0,261

0,457

0,287

0,125

0,350

0,20

0,403

0,568

0,395

. . .

0,540

0,60

0,660

0,726

0,602

0,210

0,885

1,00

0,921

0,858

0,820

0,252

1,235

2,00

1,506

1,097

1,361

0,342

2,020

!) Значения

D, приведенные

в таблицах Ли

Тинг-и и Нагамацу, в действительности равны 2D.

На рис. 6.2 приведена зависимость коэффициента теплопередачи от температуры стенки, полученная с помощью табличных данных для D. Видно, что уменьшение температуры стенки уменьшает эффект взаимодействия, что можно было предвидеть, так как уменьшение температуры стенки увеличивает плотность на поверхности тела и, следовательно, уменьшает толщину

*) L i Т. Y., Nagamatsu Н. Т, Proc. Fourth Midwestern Conf. Fluid Meeh., p. 273—287, Purdue University, 1955,

14 У. X. Дорренс

вытеснения, а это и ведет к характерному виду кривых изображенных на рис. 6.2.

На рис. 6.3 представлена зависимость величинь 2Сн!С} от температуры стенки, полученная из (6.40) пот

Рис. 6.2. Изменение коэффициента теплопередачи в зависимости от температуры поверхности в области сильного взаимодействия [По Ли Тинг-и и Нагамацу. Li Т. Y., Nagamatsu Н. Т., J. Aeronaut. Set., 20 (5), 345—355 (1953).]

помощи табличных значений С2 и D. Видно, что 2СН/С- возрастает с уменьшением температуры стенки. Нг рис. 6.3 приводятся также результаты, полученные Баь Ши-и и Шеном1), которые .предложили теорию, приме нимую при всех значениях %, основанную на интеграле-

*) Pai S. 1., Shen S. F., Proc. Fourth Midwestern Conf, or Fluid Meeh., p. 259—272, Purdue University, 1955.

ном соотношении Кармана и использовании подходящим образом выбранного трехчленного соотношения между Ре/р^ и M0C(cfd*/cfs). Кривая, изображенная на рис. 6.3, получается, если в указанном соотношении сохранить лишь главный член, соответствующий случаю сильного

Рис. 6.3. Влияние температуры поверхности на отношение 2СД/Су в области сильного взаимодействия. [По Ли Тинг-и, Нагамацу, Бай Ши-и и Шену, L i Т. Y., Nagamatsu Н. Т., J. Aeronaut. Set., 20 (5), 345-355 (1953); Pai S. I., Shen S. F., Proc. Fourth Midwestern Conf, on Fluid Meeh., p. 259—272, Purdue University, 1955.] По Ли Тинг-и н Нагамацу;по Бай Ши-и и Шену.

взаимодействия. Как можно видеть, результаты двух расчетов совпадают вполне удовлетворительно.

Многие другие авторы получили решения, применимые в области сильного взаимодействия, которые можно сравнить с полученным здесь решением для плоской пластины. Перечислим их в хронологическом порядке. Бертрам ’) предложил приближенный метод, который, однако, не дает явных асимптотических соотношений для

') В е г t г a m М. Н„ NACA TN 2773, 1952,

больших значений /. Ли Тинг-и и Нагамацу ’) предлс- жили приближенный метод, использующий интегрально? соотношение Кармана для всей области между пласт? ной и ударной волной, причем скорость аппроксимируется квадратичным полиномом по у. Никакого различия между положением ударной волны и границе? пограничного слоя не делается. Лиз2) провел анализ при котором учитывается различие в положении ударной волны и границы пограничного слоя; его анализ, по существу, эквивалентен изложенной здесь теории. Стюартсон3) предложил теорию, которая показывает, чтс автомодельно не только течение в пограничном слое г области сильного взаимодействия, но также и течение между границей пограничного слоя и ударной волной Решение Стюартсона дает более точные результать для больших, но конечных значений /, чем изложенная здесь теория, так как Стюартсон не использует уравнение (6.3), точное только при / = оо. Результаты все: этих теорий (кроме теории Бертрама) сравниваются г табл. 6.3.

Таблица 6.:

Сравнение результатов различных теорий сильного взаимодействия в случае отсутствия теплопередачи

рЛ- со $со sл

Источник

А

В

Ли Тинг-и и Нагамацу

0,573

Лиз

0,52

Стюартсон

0,555

0,704

Ли Тинг-и и Нагамацу (эта

0,514

0,738

книга)

!) Li Т. Y., Nagamatsu Н. Т., I. Aeronaut. Set., 20 (5Z 345—355 (1953).

2) Lees L„ J. Aeronaut Set., 20 (2), 143 (1953).

3) Stewartson К, L Aeronaut. Set., 22 (5), 303—309 (1955)

Исходя из предположения, что решение Стюардсона представляет самые точные результаты, изложенная здесь теория дает точность для параметра Л в пределах —7,4% и для параметра В в пределах +4,7%. Однако теория, изложенная в этой книге (по существу, эквивалентная теории Лиза), является единственной из приведенных в табл. 6.3, учитывающей изменение температуры стенки, и в этом заключается ее ценность.

Прежде чем принять теорию сильного взаимодействия, необходимо выяснить, какую точность она дает при сравнении с соответствующими экспериментами, а также точность исходных предположений, на которых она основана. Одним из предположений было то, что p~s~'12. Это предположение можно проверить прямыми измерениями поверхностного давления на пластине с заостренной кромкой при условии, что Моо очень велико и измерения ведутся достаточно близко к кромке (т. е., что X^l). Нагамацу и Шир1) сообщили о таких измерениях, сделанных на плоской пластине, которая помещалась в гиперзвуковой поток, возникающий в ударной трубе. На рис. 6.4, где приведены их результаты, показана ожидаемая линейная зависимость р от s-'!2 на части пластины.

На рис. 6.5 проводится прямое сравнение результатов, полученных с помощью равенства (6.24), с измерениями Нагамацу и Шира. Видно, что совпадение не очень хорошее, хотя ожидаемая линейная зависимость р от % получена за пределами области, непосредственно примыкающей к передней кромке (%->оо).

Из рис. 6.5 хорошо видно, что теория сильного взаимодействия совершенно не верна в непосредственной близости от передней кромки (%->оо), где кривые рис. 6.5 отклоняются от линейной зависимости по х-

Вполне разумно предположить, что вблизи передней кромки имеется область, где внешнее невязкое течение и вязкий пограничный слой становятся неразличимыми, т. е. фактически сливаются. Еще ближе к передней кром-

') Nagamatsu Н. Т., Sheer R. Е., Jr., ARS L, 30 (5), 454—■ 462 (1960).

ке мы попадаем в область, где длина свободного пробега молекул сравнима с расстоянием до передней кромки и механика сплошной среды становится совершение неприменимой. Течение в области, где вязкий погранич

Рис. 6.4. Экспериментальные зависимости давления на плоской пластине от расстояния до передней кромки. [По Нагамацу и Ширу, N a g a m a t s u Н. Т„ S h е е г R. Е„ Jr., ARS J., 30 (5), 454—462 (I960).]

ный слой и невязкое течение неразличимы, рассмотрел Огути ') и нашел, что здесь имеется такая же автомодельность Y~s^, как в области сильного взаимодейст-

') Oguchi Н., The Sharp Leading Edge Problem in Hypersonic Flow, статья, представленная на Втором международном симпозиуме по динамике разреженного газа, Беркли, Калифорния, 3—6 августа 1960 г. ■ ■

вия, но в отличие от области сильного взаимодействия, где p~s~!'-, р = const (p-^-s0).

Таким образом, мы видим, что теория сильного взаимодействия дает правильные результаты в области, где

Рис. 6.5. Сравнение экспериментальных измерений давления на поверхности плоской пластины с теоретическими результатами. Измерения сделаны Нагамацу и Широм.

1 <%<О (20). Тот факт, что результаты теории совпадают с экспериментом не во всей области, можно объяснить рядом причин, в числе которых отметим следующие:

Предположение о линейной зависимости вязкости от температуры с коэффициентом пропорциональности C=h

Пренебрежение эффектом диссоциации.

Использование уравнения (6.3), дающего точную связь между ре и db*/ds только при % = со.

Предположение о том, что Те = Тю и Ые bt<x. на границе пограничного слоя. Тем самым не учтена завихренность во внешнем по отношению к пограничному слою потоке, которая возникает из-за искривления скачка уплотнения.

Практическая невозможность получить абсолютно острую кромку на плоской пластине или, что то же самое, исключение влияния затупления передней кромки.

Последние два вопроса рассматриваются в следующем пункте.

Влияние массообмена в теории сильного взаимодействия. Возможные эффекты переноса массы (вдува или отсоса) в теории сильного взаимодействия были исследованы Ли Тинг-и). Он определил влияние переноса массы на поверхностное давление и пограничный слон, а также на толщину ударного слоя в том; случае, когда плоская изолированная пластина мгновенно приводится в движение с постоянной гиперзвуковой скоростью. Результаты Ли Тинг-и при отсутствии переноса массы идентичны результатам, полученным Стюартсо- ном), с которыми и можно провести полезные сравнения. Имея в виду, что результаты Ли Тинг-и получены для случая отсутствия теплообмена с плоской пластиной, было найдено, что отсос или вдув влияют на давление на плоской пластине сравнительно мало (±8%) в диапазоне значений скорости вдува и отсоса, рассмотренном Ли Тинг-и. Этот до некоторой степени удивительный результат для случая отсутствия теплообмена с пластиной получается из-за того, что перенос массы воздействует на толщину пограничного слоя и равновесную температуру на пластине так, что индуцируемое на пластине давление получается в результате действия двух противоположных эффектов. Например, вдув при-

водит к увеличению толщины пограничного слоя, что вызывает увеличение поверхностного давления, в то же время вдув приводит к уменьшению температуры на поверхности, что вызывает увеличение плотности в пограничном слое, а следовательно, уменьшение толщины пограничного слоя и уменьшение давления на поверхности. Если на поверхности поддерживать постоянную температуру, меньшую, чем температура восстановления, то обнаруживается, что вдув увеличивает давление в области сильного взаимодействия монотонным образом по мере увеличения параметра вдува1).

Влияние затупления передней кромки. Мы видели, что совпадение результатов изложенной в п. 6.2 теории сильного взаимодействия с результатами экспериментов, показанных на рис. 6.5, не настолько хорошее, как этого следовало бы ожидать от надежной теории. Может быть, некоторые допущения, принятые в теории, и эффекты, не учтенные при ее построении, привели к столь значительной разнице между экспериментальными и теоретическими результатами. Как будет выяснено в этом и следующем пунктах, имеется несколько факторов, которые порождают неточность теории.

В теории сильного взаимодействия мы исключили два принципиальных эффекта, причем порядок их таков, что они должны быть приняты в расчет:

Влияние затупления передней кромки на невязкое поле течения. Такое влияние имеется даже при отсутствии пограничного слоя и его-то мы и обсудим в настоящем пункте.

Влияние на пограничный слой искривления головной ударной волны, которое рассматривается в следующем пункте. Это искривление вызывает градиенты энтропии во внешнем по отношению к пограничному слою потоке между пограничным слоем и ударной волной. Существование градиента энтропии приводит к существованию завихренности на внешней границе пограничного

*) Li Т. Y., Gross J. F., Proc. Heat Transfer and Fluid Meeh. Inst., p. 146—160, Stanford University Press, Stanford, Calif., 1961.

слоя. Эта завихренность, не учтенная при решении уравнений пограничного слоя, приведенного в п. 6.2, косвенно вызывает зависимость скорости и температуры на внешней границе пограничного слоя от расстояния до передней кромки. Этой зависимостью мы пренебрегли при решении уравнений пограничного слоя в области сильного взаимодействия, рассмотренного в п. 6.2, где предполагалось что ие = и0О и 7е=7оо.

Уже давно известно, что расширение течения от окрестности критической точки затупленного двумерного тела вокруг угла до направления, параллельного скорости в невозмущенном потоке, не вызывает немедленно падения давления до давления в невозмущенном потоке, когда число Маха в невозмущенном потоке существенно больше единицы. Все поле течения между головной ударной волной и поверхностью тела, параллельной вектору скорости в набегающем потоке, будет наполнять серия волн разрежения, проходя через которые течение ускоряется до тех пор, пока давление на поверхности не упадет до давления в набегающем потоке. Бертрам и Гендерсон) опубликовали результаты расчетов распределения давления вдоль поверхности затупленной пластины, установленной параллельно набегающему потоку, выполненные разработанным Ферри ) методом характеристик для завихренного течения. Расчеты были сделаны для нескольких пластин, .имеющих переднюю кромку в форме клина, угол при вершине которого выбирался для каждого гиперзвукового числа Маха так, чтобы скорость на поверхности клина была звуковой. Тогда вокруг угла, вершина которого лежит в точке сопряжения поверхности пластины и грани клина, устанавливается течение Прандтля — Майера. Метод характеристик для завихренных течений используется для расчета изменения давления вниз за угловой точкой. Волны разрежения Прандтля — Майера отражаются от головной ударной волны (при этом интенсивность ударной волны уменьшается) и от поверхности пластины снова в виде

волн разрежения, вызывая ускорение течения на поверхности и уменьшение поверхностного давления. Результаты этих расчетов приведены на рис. 6.6, откуда

Рис. 6.6. Влияние затупления передней кромки на распределение давления невязкого течения по плоской пластине. [По Бертраму и Гендерсону, Bertram М. Н., Henderson A., Jr., NACA TN 4301, July, 1958.]

, Носовое сопротивление.

/—первое приближение теории сильного взрыва.

видно, что при фиксированных значениях Мх и толщины носика t значение р/р» уменьшается с увеличением расстояния s от передней кромки. Видно, кроме того, что величина р/р^, велика в окрестности передней кромки.

Параметр (s//) М^Сд1, использованный на рис. 6.6 для представления результатов расчетов, является автомодельной переменной в теории взрывной волны,

предложенной Ченгом и Паллоне) и Лизом и Куботой). Для сравнения с точными (при отсутствии вязкости) расчетами, выполненными методом характеристик, на рис. 6.6 приводится кривая, рассчитанная без использования теории взрывной волны. Видно хорошее совпадение результатов этих двух расчетов.

Необходимо иметь в виду, что все реальные модели имеют конечное затупление носика, которое можно, как в только что рассмотренном примере, охарактеризовать некоторым параметром t, и потому эффект, показанный на рис. 6.6, будет наблюдаться всегда. Однако в равной мере очевидно, что если эффективный параметр затупления достаточно мал, то и избыточное давление, показанное на рис. 6.6, будет заметно только в малой области, пропорциональной t.

Расчеты для затупленного цилиндра, подобные в существенных чертах расчетам Бертрама и Гендерсона, опубликованы Фельдманом). Результаты Фельдмана, касающиеся распределения поверхностного давления на затупленном цилиндре, сделанные методом характеристик, сравнивались с результатами для поверхностного давления, полученными из второго приближения в методе взрывной волны. Было показано, что совпадение результатов вполне удовлетворительное. Это позволяет сделать вывод, что для плоских и трехмерных тел имеется область, где влияние затупления на распределение давления сравнимо и даже превосходит изменение давления вследствие взаимодействия между пограничным слоем и ударной волной. Эти эффекты возникают в области, близкой к передней кромке, длина которой пропорциональна толщине или радиусу носика. Границы этой области, оставаясь в рамках гиперзвуковых течений (Моо»1), можно определить следующим образом. Из результатов п. 6.2 следует, что влияние взаимодействия для плоских тел существенно в области, где

Кривые, изображенные на рис. 6.6, показывают, что в плоском случае влияние затупления существенно, когда

или, когдаили, когдаS/м^S/м^(6.42)(6.42)

или, когда

или, когда

S/м^

S/м^

(6.42)

(6.42)

где

RezRez

Rez

Rez

Таким образом, для плоских тел имеется область значений %, когда существенно только влияние сильного взаимодействия. Эта область определяется неравенством, вытекающим из (6.41) и (6.42),

,<х<№> <6'43>

Из неравенства (6.43) видно, что если Ref достаточно велико, то неравенство (6.43) не может быть удовлетворено, и влияние затупления, описанное в настоящем пункте, будет преобладать над влиянием сильного взаимодействия, которое описано в п. 6.2. В этом случае применимы методы, изложенные в гл. 4.

Влияние завихренности во внешнем потоке на пограничный слой. Перейдем теперь к изучению влияния завихренности в невязком течении между головной ударной волной и границей пограничного слоя. Рассмотрим идеально острую (Rez = 0) плоскую пластину, изображенную на рис. 6.7. Мы видим, что даже при отсутствии затупления передней кромки ударная волна будет искривленной, что можно было ожидать, так как невязкое поле течения похоже на то, которое возникло бы при гиперзвуковом обтекании (воображаемом) невязким газом тела, форма которого представлена границей пограничного слоя (толщина вытеснения почти равна толщине пограничного слоя, если Tw~ То, так как плотность в пограничном слое очень мала). Вследствие того что

головная ударная волна искривлена, в невязком течении между волной и пограничным слоем возникает градиент энтропии и, кроме того, линии тока, входящие в пограничный слой, будут иметь разные значения ие, Те и ре в точках входа в пограничный слой, так как разные линии тока пересекают ударную волну в точках, где из-за

„llm^e (х) = и. ; ие 4 и» M^Je№ = Te $ Т^Т»

Рис. 6.7. Влияние искривления головной ударной волны на параметры течения на внешней границе пограничного слоя.

Замечание: толщина передней кромки равна нулю.

наличия кривизны она имеет разную интенсивность. Градиент энтропии в той точке, где линия тока входит в пограничный слой, будет равен градиенту энтропии в точке, где эта линия пересекает ударную волну. Из-за наличия градиента энтропии производная ди/ду на внешней границе пограничного слоя будет отличной от нуля. Это дает дополнительное граничное условие, которое мы не учитывали при решении уравнений пограничного слоя в п. 6.2.

Некоторое представление о влиянии завихренности можно по.лучить, если считать результаты теории сильного взаимодействия первым приближением и учесть затем возмущения, вызванные рассматриваемыми эффек-

тами. Это было сделано Лизом и в основных чертах будет повторено нами. Как и в большинстве задач газовой динамики, для того чтобы получить какие-то результаты, мы вынуждены сделать некоторые предположения. Эти предположения перечислены в табл. 6.4. Они вносят погрешности, меньшие, чем те, которые возникают от пренебрежения влиянием завихренности.

. Нашей целью будет определение скорости Не^Си,», температуры 7’е>7оо и завихренности (ди!ду)е в точках, где линии тока входят в пограничный слой, в виде функций координаты точки входа s2 (см. рис. 6.7) и параметров Reoo и Mx,. Как только эти функции будут определены, можно будет определить влияние на результаты теории сильного взаимодействия, изложенные в п. 6.2, того, что tte+uco, Те+Т^ и (ди/ду)е=#0, так как в этой теории предполагалось, что Те=Т<х> и (ди1ду)е ^ 0. Далее нужно будет определить, соотношение между точками входа s2 линий тока в пограничный слой и точками Si их пересечения с ударной волной. В дальнейшем индексом оо будем обозначать величины в набегающем потоке, индексом 1—величины сразу за ударной волной, индексом 2 или е — величины в тех точках, где они входят в пограничный слой.

(6.44)(6.44)Можно написать следующее соотношение, которое выполняется вдоль линий тока:

(6.44)

(6.44)

Используя далее соотношения на косом скачке совме? стно с предположениями табл. 6.4, находим

(6.45)(6.46)(6.45)(6.46)Pi 2VM« I dY Р

(6.45)

(6.46)

(6.45)

(6.46)

Y + 1

Тх ^^—^y^^dYlds^

Из (6.44) й (6.46) получаем

2у(у-1)Г 2 /ДГ \21Vy 1_Ре_\«-х^

(yW I 2у J

(6-47)

Таблица 6.4

Предположения, сделанные при определении влияниязавихренности, обусловленной кривизной ударной волны,на теорию сильного взаимодействия

ОбоснованиеОбоснованиеПредположение

Обоснование

Обоснование

Результаты теории сильного взаимодействия в п. 6.2 можно использовать в качестве первого приближенияРезультаты теории сильного взаимодействия в п. 6.2 можно использовать в качестве первого приближенияКак будет показано, эти результаты точны, когда МЛ -»со, а % остается конечнымКак будет показано, эти результаты точны, когда МЛ -»со, а % остается конечным

Результаты теории сильного взаимодействия в п. 6.2 можно использовать в качестве первого приближения

Результаты теории сильного взаимодействия в п. 6.2 можно использовать в качестве первого приближения

Как будет показано, эти результаты точны, когда МЛ -»со, а % остается конечным

Как будет показано, эти результаты точны, когда МЛ -»со, а % остается конечным

21Y-l М2 Т21Y-l М2 Т(6.49)(6.49)

21

Y-l М2 Т

21

Y-l М2 Т

(6.49)

(6.49)

<^Г 1 особенно при М „ —> оо d s1-"

Предположение верно, когда % остается конечным при М^^оо

Как будет показано, это верно для конечных % и значений М^, больших, но не бесконечных

Y (s) = G5 (s) О = const

Равенства вытекают из автомодельного решения Стюартсона') для области сильного взаимодействия

С = 1

Предположение необходимо только для того, чтобы воспользоваться результатами п. 6.2, в остальном не нужное

■) S t е w а г t s о п К., J. Aeronaut. Sei., 22 (5), 303—309 (1955).

Уравнение (6.47) связывает отношение температур Т^Т^ с Ре!Роа и с наклоном скачка в той точке, где линия тока, входящая в пограничный слой, пересекает головную ударную волну. От этого уравнения мало пользы до тех пор, пока мы не определим координату этой точки. Вдоль линии тока выполняется также соотношение й2я2

СрТе + ^ = Срт_ 4- -^,(6.48)

или в соответствии с допущениями табл. 6.4

ИЛИИЛИие 111 ТеY—1 М^ 'ие 111 ТеY—1 М^ '(6.50)(6.50)

ИЛИ

ИЛИ

ие 111 Те

Y—1 М^ '

ие 111 Те

Y—1 М^ '

(6.50)

(6.50)

Таким образом, уравнения (6.47) и (6.50) связывают величину иг:!и^ с ре!р<» и с углом наклона ударной волны в той точке, где рассматриваемая линия тока пересекает ее. Определим координату этой точки. Из условия сохранения массы следует

V (Si) р^ = ф (s2,d),V (Si) р^ = ф (s2,d),(6.51)(6.51)но в соответствии с допущениями, перечисленными в табл. 6.4, и результатами п. 6.4но в соответствии с допущениями, перечисленными в табл. 6.4, и результатами п. 6.4Y = Gb« Gb*,6* = ™Z1/2s-s3/4.Таким образом, поскольку из (6.52) и (6.53) _ И/3(р.аДкл)1/3*’• ^GB^N^ ’Y = Gb« Gb*,6* = ™Z1/2s-s3/4.Таким образом, поскольку из (6.52) и (6.53) _ И/3(р.аДкл)1/3*’• ^GB^N^ ’ТОТОds кds к3 Yx4 s.3 Yx4 s.ЗГ(СВ)< Mf4 |.Р<ЛЛ.ЗГ(СВ)< Mf4 |.Р<ЛЛ.i/зГГ1/3.i/зГГ1/3.(6.52)(6.53)(6.54)(6.55)(6.52)(6.53)(6.54)(6.55)Правую часть уравнения (6.51) можно записать в видеipfe d) = J pady^n, (6.56)оПравую часть уравнения (6.51) можно записать в видеipfe d) = J pady^n, (6.56)огдеf6 = fb(6)Lгдеf6 = fb(6)LДалее для первого приближения из (6.18)Далее для первого приближения из (6.18)(2s)1/2 —2(2s)1/2 —2Mt(Re^Mt(Re^PcoMooMcoS2PcoMooMcoS2(6.57)(6.57)

V (Si) р^ = ф (s2,d),

V (Si) р^ = ф (s2,d),

(6.51)

(6.51)

но в соответствии с допущениями, перечисленными в табл. 6.4, и результатами п. 6.4

но в соответствии с допущениями, перечисленными в табл. 6.4, и результатами п. 6.4

Y = Gb« Gb*,6* = ™Z1/2s-s3/4.

Таким образом, поскольку из (6.52) и (6.53) _ И/3(р.аДкл)1/3

*’• ^GB^N^ ’

Y = Gb« Gb*,6* = ™Z1/2s-s3/4.

Таким образом, поскольку из (6.52) и (6.53) _ И/3(р.аДкл)1/3

*’• ^GB^N^ ’

ТО

ТО

ds к

ds к

3 Yx

4 s.

3 Yx

4 s.

ЗГ(СВ)< Mf

4 |.Р<ЛЛ.

ЗГ(СВ)< Mf

4 |.Р<ЛЛ.

i/з

ГГ1/3.

i/з

ГГ1/3.

(6.52)

(6.53)

(6.54)

(6.55)

(6.52)

(6.53)

(6.54)

(6.55)

Правую часть уравнения (6.51) можно записать в виде

ipfe d) = J pady^n, (6.56)

о

Правую часть уравнения (6.51) можно записать в виде

ipfe d) = J pady^n, (6.56)

о

где

f6 = fb(6)L

где

f6 = fb(6)L

Далее для первого приближения из (6.18)

Далее для первого приближения из (6.18)

(2s)1/2 —2

(2s)1/2 —2

Mt(Re^

Mt(Re^

PcoMooMcoS2

PcoMooMcoS2

(6.57)

(6.57)

15 У. X. Дорренс

ии-Р^-Д^ = ДХ.Рю р^-Р^-Д^ = ДХ.Рю р^(6.24)(6.24)

и

и

-Р^-Д^ = ДХ.

Рю р^

-Р^-Д^ = ДХ.

Рю р^

(6.24)

(6.24)

так как в первом приближении

«е = «со

Из (6.51), (6.55), (6.56) и (6.57) получаем выражение, связывающее (dY/dsy с х2 и М«

илиилиdY\ з Г (вву 11/3 г М^ |I/S^“[гд1^ I [(Re^f72 j *dY\ з Г (вву 11/3 г М^ |I/S^“[гд1^ I [(Re^f72 j *dY\ _ 3ds /1 4dY\ _ 3ds /1 4" (GBy 11/3 / %2 \1/6" (GBy 11/3 / %2 \1/6(6.58)(6.59)(6.58)(6.59)

или

или

dY\ з Г (вву 11/3 г М^ |I/S^“[гд1^ I [(Re^f72 j *

dY\ з Г (вву 11/3 г М^ |I/S^“[гд1^ I [(Re^f72 j *

dY\ _ 3

ds /1 4

dY\ _ 3

ds /1 4

" (GBy 11/3 / %2 \1/6

" (GBy 11/3 / %2 \1/6

(6.58)

(6.59)

(6.58)

(6.59)

Из уравнений (6.58) или (6.59), комбинируя их с уравнениями (6.47) и (6.50), находим

3(6.60)

Ясо\ Мсо )

И

Ь- = (у - I) ML F № (-^Д '3 \(6.61)

где

f2/3v(Y + D(Y+1)/v’

(6.62)

Таким образом, для конечных %2 в пределе при Моо->оо ие = Иос. Кроме того, из (6.60) и (6.48) в пределе при Моо->оо следует, что Те = Тоо. Уравнение (6.61) применимо для больших, но конечных значений Мх и показывает, что для больших Мсо и конечных %2 Те>Тоо. Таким образом, когда Моо^8>1, Т^>Т^ для всех M^, включая Мое = оо. Отсюда следует, что с точностью, принятой в данном случае, результаты, полученные в п. 6.2, наиболее точны в пределе при Мсо->оо. Данные, приведенные на рис. 6.5, подтверждают это заключение. Из рис. 6.5

видно, что, за исключением окрестности передней кромки, теоретические результаты, полученные в п. 6.2, лучше всего совпадают с экспериментальными результатами для самых больших чисел Маха, достигнутых в опытах, в соответствии с вышеприведенным анализом.

Подставляя в (6.54) уравнение (6.55), дающее величину У1, и сравнивая с (6.59), получаем связь между (Reoo)i и (Reoo)2

^'’-^«^[^р1^ <мз>

или для фиксированных значений Моо и Tm/To=gr(O) s2~(*i)3.(6.64)

Уравнение (6.63) показывает, что линии тока, входящие в пограничный слой, пересекают ударную волну значительно ближе к передней кромке в соответствии с соотношением (6.64). Этот вывод согласуется с тем, что расход через пограничный слой очень мал и, следовательно, толщина вытеснения б* почти равна толщине пограничного слоя б.

При построении теории сильного взаимодействия в п. 6.2 было получено решение уравнений пограничного слоя при граничном условии (du/dz/)e=O. В рассматриваемом случае (ди1ду)е отлично от нуля, и это нужно учесть в решении. Из рис. 6.7 ясно, что завихренность в некоторой точке на внешней границе пограничного слоя равна завихренности на линии тока, входящей в пограничный слой в этой точке. Кроме того, завихренность связана с градиентом энтропии в точке, где линии тока пересекают головную ударную волну. В соответствии с теоремой Крокко *) эта связь дается формулой (S'— удельная энтропия)

2V Хй = - ТУ S',(6.65

где в декартовой системе координат в нашем случае

V=ni + yj~uei,(6.66

1 ( до ди\. 1 ди ..„

<6-67

’) Crocco L„ ZAMM, 17, 1—7 (1937).

(6.68)(6.68)а для градиента удельной энтропии S'

(6.68)

(6.68)

ду 4

Из уравнений (6.65) — (6.68) находим

i ди\ Тр / dS' \( 9S' \ рР / dS' \ РГ1Х

=~ = —/ . (6.69)

\ду)е «е X ду )е R\d^/e R\ дф Л

Далее, так как удельная энтропия S' постоянна вдоль

линии тока, то

дфр дф ’

и из (6.45)

/ dY\i

Кроме того, из (6.55)

/ dY \ Yv

\ ds /1Sj ’

из (6.54)

и из (6.57)

Фб (ss) ~ ^1-

Эти промежуточные соотношения могут быть использованы в равенстве (6.70), что в результате дает

(6.71)(6.71)(6.72)(6.73)(6.72)(6.73)1 / др \ 2

(6.71)

(6.71)

(6.72)

(6.73)

(6.72)

(6.73)

Pi \ ^ А ~ Зф6 (s2) *

Из (6.24), (6.57), (6.69) —(6.71) находим

/ du\ 1 р Т С А112 /\3/2

(1 , гсо оо у /$ — 3/4

'\dy)e 3^

или для f" получим

л _ 2_1

■ь 3 y^-d^m^ •

Таким образом, градиент скорости фи]ду^е отличен от нуля для конечных значений М^ и изменяется с расстоянием от передней кромки в соответствии с уравнением (6.72). Однако функция градиента скорости fe, выраженная через приведенную функцию тока Д постоян-

на при любом числе Маха и обращается в нуль в пределе при Моо-*сю. Ясно, что для больших значений М«, граничные условия п. 6.2, т. е. ие = исо, Те=Тх, и f"=0, являются обоснованными и становятся точными в пределе при Моо->оо. Когда Мео имеет конечное значение, величина /е является конечной, и нам осталось выяснить влияние этого обстоятельства.

Решения двумерных уравнений пограничного слоя, соответствующие приближениям постоянной плотности и постоянной температуры с учетом завихренности на внешней границе пограничного слоя, были получены рядом авторов, в том числе Ли Тинг-и) и Тингом). Эти авторы показали, что при прочих равных условиях положительная завихренность увеличивает поверхностное трение.

Работы Ли Тинг-и и Тинга ясно показали, что определяющим параметром в эффекте завихренности является

6.74)6.74)р 2а>6 6 ди"*и^ и^ ду

6.74)

6.74)

Так, например, для пластины в плоском несжимаемом потоке величина C/(Reoo)1/2 монотонно возрастает с возрастанием й. Для рассматриваемого случая из (6.74) с учетом (6.53), (6.67), (6.72) через приведенную функцию тока получим

о . 1 ^ вe~3f6Y(V—1) *

Таким образом выяснилось, что в области сильного взаимодействия параметр завихренности йе не зависит от s. Значение параметра Qe для воздуха в случае теплоизолированной пластины приближенно равно 0,11. В соответствии с результатами Тинга такие значения параметров завихренности могут вызвать в случае пограничного слоя постоянной плотности увеличение поверхностного трения на 250% по сравнению с величиной трения на плоской пластине при отсутствии завихренности.

Заключение. В п. 6.2 изучались течения в тех областях, где пограничный слой и головная ударная волна сильно взаимодействуют. При этом было обнаружено, что параметром подобия для этой области является х = C1"ML/(Reco)V2 и что эффект взаимодействия значителен, когда х^1. Влияние взаимодействия при любом % уменьшается, если имеется приток тепла к поверхности тела, потому что приток тепла к поверхности тела возникает при охлажденном газовом слое и, следовательно, увеличенной его плотности. Влияние сильного взаимодействия на теплопередачу пропорционально xv’ и может быть существенно при х^>1 при прочих равных условиях. В п. 6.3 и 6.4 исследовалось влияние затупления передней кромки и влияние завихренности на внешней границе пограничного слоя. Ниже формулируются некоторые выводы, которые можно сделать из результатов, полученных в этих пунктах:

Затупленность передней кромки создает возле нее область высокого давления, где эффект затупленности преобладает над эффектом взаимодействия. Эта область ограничивается неравенством

Д>>

Х^(Кеа1/2‘

Таким образом, на область, где преобладает эффект сильного взаимодействия, налагаются ограничения, которые характеризуются неравенствами

(Rez)1/2

Следовательно, для любого фиксированного числа Маха Мео набегающего потока при достаточно большом значении Re< не существуют области, где преобладает эффект сильного взаимодействия. Другими словами, влияние затупления преобладает над влиянием сильного взаимодействия, рассмотренного в п. 6.2.

Из-за того что головная ударная волна искривлена даже при отсутствии затупления передней кромки, во внешнем течении между скачком и пограничным слоем в области сильного взаимодействия возникает завихрен-

ность. Кроме того, при конечных Моо в отличие от предположений, принятых в теории сильного взаимодействия, Wg < Woo и Те>Тоо, вследствие чего ре1р^ будет больше, чем предсказывает теория сильного взаимодействия п. 6.2. При Моо^-oo значение Pelp™ приближается сверху к значению, полученному из теории сильного взаимодействия. Этот вывод подтверждается экспериментальными результатами, приведенными на рис. 6.5. К такому же заключению можно прийти из соотношения

Р») UW^Р») UW^

Р») UW^

Р») UW^

если предположить, что

Тсо '

Иг Те

и воспользоваться результатами п. 6.4

Тогда

р oa Роо '

где индекс 0 относится к результатам теории сильного взаимодействия, индекс 1 — к результатам, полученным с учетом влияния завихренности в первом приближении.

Линии тока, входящие в пограничный слой в области сильного взаимодействия, пересекают ударную волну много ближе к передней кромке тела, т. е. в тех точках, где искривление ударной волны таково, что оно вызывает значительную завихренность потока между внешней границей пограничного слоя и ударной волной.

Все отмеченные здесь эффекты изменяют решение, полученное в п. 6.2, так что результаты теории лучше согласуются с экспериментом. Уже после окончания работы над этой главой автор познакомился со статьей Огути1), в которой дается подробный анализ рассматриваемой проблемы и подтверждаются все сделанные здесь выводы.

') Oguchi Н., First Order Approach to a Strong Interaction Problem in Hypersonic Flow Over an Insulated Flat Plate, Aeronaut. Research. Inst., Univ. Tokyo, Rept, 330, 1958. ■

ГЛАВА

7

ДИССОЦИИРОВАННЫЙ ТУРБУЛЕНТНЫЙПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

Введение. Эта глава посвящена диссоциирующему сжимаемому турбулентному слою. Здесь мы намереваемся изложить некоторые методы, используемые при расчете теплового потока и поверхностного трения в случае диссоциирующего сжимаемого турбулентного пограничного слоя у поверхности в условиях гиперзвукового полета. Как часть нашего анализа будут получены уравнения реагирующего турбулентного пограничного слоя.

Большинство специалистов в газовой динамике придерживаются того мнения, что существующие теории не в состоянии полностью описать детали структуры турбулентного пограничного слоя. Действительно, подобные теории, включая и те, которые содержатся в этой книге, неизменно включают в себя эмпирические данные еще до того, как их развитие и изложение дойдет до той точки, когда могут быть вычислены значения теплового потока и поверхностного трения. Это означает, что нельзя в замкнутой форме построить теорию, целиком вытекающую из начальных принципов, без привлечения где- нибудь по пути экспериментально определяемых постоянных. Однако это не означает, что нельзя построить практически полезных и достаточно точных полуэмпири- ческих теорий. Приближенный подход, изложенный в этой главе, представляет собой полуэмпирическую теорию, которая достаточно хорошо совпадает с экспериментом в широком диапазоне изменения условий течения. Недостатком подобных теорий является, очевидно, их неопределенная точность в тех случаях, когда они применяются в условиях, для которых отсутствуют предварительные экспериментальные подтверждения. Эта

критика до некоторой степени относится и к теории ламинарного пограничного слоя, если не считать того факта, что здесь не привлекается ни одна эмпирическая постоянная (исключая то, что используемые при вычислении интегралов соударений в коэффициентах переноса потенциалы взаимодействия зависят от эмпирических постоянных). Неопределенность в теории ламинарного пограничного слоя лежит главным образом в вопросе о том, в какой мере уравнения ламинарного пограничного слоя справедливы при различных условиях течения, а не в том, справедливы ли решения указанных уравнений, так как в тех случаях, когда известно, что рассматриваемое течение описывается уравнениями ламинарного пограничного слоя, эти решения превосходно согласуются с экспериментом. Полученные здесь решения уравнений турбулентного пограничного слоя разделяют вместе с теорией ламинарного пограничного слоя указанную неопределенность наряду с дополнительной неопределенностью, состоящей в том, что некоторые постоянные, используемые в теории, могут быть найдены только при соответствующем сравнении с экспериментом. Однако в силу того, что в области гиперзвуковой газовой динамики нельзя игнорировать возможность существования турбулентного пограничного слоя, есть определенная заслуга в построении полуэмпирической теории турбулентного пограничного слоя при условии, что она. выдерживает сравнение с результатами измерений величин поверхностного трения и теплопередачи, конечно, с учетом возникающей неточности.

О том, насколько важен для конструктора подобный метод определения поверхностного трения и теплового потока в случае гиперзвукового турбулентного пограничного слоя, можно заключить из анализа данных, представленных на рис. 7.1 и 7.2. На рис. 7.1, заимствованном из работы Масона и Гезли *), указывается область, где возможен длительный полет в условиях земной атмосферы при различных скоростях, вплоть до скоростей спутников. Коридор режимов длительного

■) Masson D. J., G a z 1 е у С., Jr., Aeronaut. Eng. Reo., 15, 46-55 (1956).

полета, изображенный на рис. 7.1, имеет отношение к тем аппаратам, движение которых зависит от соотношения аэродинамической и центробежных сил, с одной стороны, и веса аппарата — с другой, в условиях горизонтального установившегося полета в атмосфере. Аппараты, движение которых подчиняется полностью законам баллистики, не представлены на рис. 7.1. Верхняя об-

Р и с. 7.1. Возможный режим полета в земной атмосфере. [По Массону и Гезли, Masson D. J. and G a z 1 е у С., Jr., Aeronaut

Eng. Rev., 15, 46—55 (1956).]

ласть на рис. 7.1 не является приемлемой с точки зрения возможности длительного полета аппарата с приемлемым значением коэффициента подъемной силы, так как сила веса аппарата превосходит сумму подъемной и центробежных сил. Режимы полета, изображенные в правом нижнем углу рис. 7.1, также не представляют интереса с той точки зрения, что значения равновесных температур поверхности1) при этих режимах оказываются, по-видимому, чрезмерно большими.

’) Равновесная температура поверхности, подобная той, которая используется здесь, есть температура, при которой конвективный поток тепла к поверхности равен радиационному потоку тепла от поверхности,

Рис. 7.2.Рис. 7.2.ЧислоЧислоРейнольдса на фут при возможном режиме в земной атмосфере.Рейнольдса на фут при возможном режиме в земной атмосфере.

Рис. 7.2.

Рис. 7.2.

Число

Число

Рейнольдса на фут при возможном режиме в земной атмосфере.

Рейнольдса на фут при возможном режиме в земной атмосфере.

На рис. 7.2 в другой форме приведены данные рис. 7.1, представляющие зависимость отношения числа Рейнольдса (невозмущенного потока) к геометрическому размеру в футах от высоты полета. Заметим, что приведенные числа Рейнольдса Яе^фут, превосходящие величину 105, лежат выше значительной части области, соответствующей коридору установившегося полета. При

полета

сопоставлении с рис. 7.1 оказывается, что эти числа Рейнольдса соответствуют числам Маха полета, превышающим 19. Поскольку турбулентное течение следует ожидать при числах Рейнольдса, превышающих 105 (последнее число зависит от многих факторов, которые мы не рассматриваем в этой книге), совершенно очевидно, что аэромеханики должны уметь исследовать турбулентный пограничный слой при различных условиях и на различных объектах практически интересных размеров.

Мы не будем заниматься исследованием или предсказанием возникновения перехода пограничного слоя от ламинарного к турбулентному режиму течения. В конечном счете, переход ламинарного пограничного слоя

в турбулентный будет происходить в том месте гиперзвукового тела, где число Рейнольдса течения становится «достаточно большим». Предсказание того, когда и где произойдет этот переход, по мнению автора, не является еще точной наукой и лучше оставить этот вопрос за пределами такого рода книги. Подобные прогнозы, как это обычно и делается, должны были бы базироваться на непрерывно пополняющихся экспериментальных данных. Автор не в состоянии сделать ничего лучшего, кроме как отослать интересующегося читателя к существующей по этому вопросу технической литературе, включающей большое и все возрастающее число научных сообщений, выпускаемых научными учреждениями во всем мире. Проблема прогноза момента перехода пограничного слоя остается первоочередной из нерешенных проблем газовой динамики.

Великолепный обзор ранних работ по теории турбулентного пограничного слоя содержится у Прандтля1). Следуя представлению о том, что течение в турбулентном пограничном слое в противоположность макроскопически упорядоченному движению жидкости в ламинарном пограничном слое в значительной мере представляет собой чрезвычайно хаотическое случайное движение жидких частиц, Прандтль подходит к описанию ранней работы Рейнольдса по турбулентному течению, к понятию турбулентной вязкости, длины перемешивания и теории подобия и к эмпирическим формулам коэффициента сопротивления для течений в трубах и около плоских пластин. Поскольку представленное здесь исследование гиперзвукового реагирующего или нереагирующего турбулентного пограничного слоя является развитием многих концепций, сформулированных Прандтлем, мы рекомендуем серьезному читателю ознакомиться с исследованиями Прандтля, с тем чтобы глубже понять все изложенное в этой главе.

Уравнения реагирующего турбулентного пограничного слоя. Вначале мы выведем уравнения переноса

*) Prandtl L., The Mechanics of Viscous Fluids, Aerodynamic Theory, vol. Ill, div. G., p. 119—155, Durand Reprinting Commitee, California Institute of Technology, Pasadena, 1943.

и состояния для случая течения в реагирующем сжимаемом турбулентном пограничном слое у плоской пластины. Этот частный случай плоской пластины выбран, во-первых, из-за его геометрической простоты, во-вторых, из-за наличия большого количества экспериментальных данных, необходимых для сравнения, и, наконец, из-за хорошего приближения к тем поверхностям,

Mg = Мт

Рис. 7.3. Схема турбулентного пограничного слоя' на плоской пластине и используемая система координат.

на которых наблюдается течение турбулентного пограничного слоя (поверхность крыльев; поверхности, близкие к цилиндрическим). Все последующие выводы базируются на следующих предположениях:

Рассматриваемое течение геометрически представляется двумерным течением у плоской пластины. На рис. 7.3 изображены схема течения и используемая система координат.

Применяются уравнения движения пограничного слоя и осредненное течение предполагается стационарным.

Реагирующий газ представляет собой смесь совершенных газов. Для простоты воздух рассматривается как двухкомпонентная смесь атомов и молекул.

Эффектами взаимодействия пограничного слоя и присоединенного скачка уплотнения в носике можно пренебречь.

Температура поверхности постоянна.

Предположения 1 и 2 являются общепринятыми.

Предположение 3 было уже успешно использовано в

гл. 4, когда рассматривался ламинарный пограничный слой. Предположение 4 вполне логично с точки зрения того факта, что турбулентные пограничные слои появляются вдали от носика пластины, когда влияние взаимодействия становится пренебрежимо малым. Предположение 5 необходимо при решении уравнений пограничного слоя, которые мы получим ниже. Остальные предположения, возникающие в ходе изложения, по возможности будут объясняться в процессе изложения.

Уравнения рассматриваемой здесь задачи могут быть получены из уравнений, выведенных ранее в гл. 2 для ламинарного пограничного слоя.

Эти уравнения в слегка измененной форме послужат нам теперь в качестве отправной точки.

Уравнение состояния

Pi = PiRiT,(7.1а)

где, в соответствии с предположением 3 и согласно закону Дальтона,

Р='21Ри(7.16)

Уравнение неразрывности

Тг+^ = 0'С-2)

что соответствует случаю к = 0 в общем уравнении неразрывности для двумерного течения.

Для получения уравнения сохранения компонентов смеси мы воспользуемся уравнением (7.2) совместно с уравнением (2.56), с тем чтобы внести все зависимые переменные под знак производных. Это сделано для того, чтобы упростить вывод уравнений турбулентного пограничного слоя. Мы получаем в результате dpuCiдмС. _ dpC^ty

ds +dy “ dy(7,3а)

где, как и прежде,

Ct = ^(7.36)

и

Комбинируя уравнения (7.2) и (2.66) (при условии, что d^/ds = 0), с тем чтобы внести все зависимые переменные под знак производных, мы получим уравнение сохранения количества движения в направлении s,

дрии , дрии д ( ди \, ,

+ =(7'4а>

а из уравнения (2.69) при условии dp/ds = 0,

dp = ^ds^^dy = 0.(7.46)

Аналогично, комбинируя уравнения (7.2) и (2.72), получаем уравнение сохранения энергии

дри! . дри! г) Г и д! . Л1_)А д»2 1 t ds ду ду [ Рг ду ^ \ Рг ) 2 ду J i~

1 ду

( Le 0 ^ ^^ы

-(7.5)

где

Г1 и2

(7-6)

(7.7)

h

i = j Cp.dT-Vhl;

0

(7-8)

при написании уравнения сохранения энергии в форме (7.5) неявно предполагалось, что

рУ1я=-рОх^.(7.9)

Это объясняется тем, что все газовые смеси, представляющие интерес, могут быть достаточно эффективно представлены как бинарные смеси легких частиц (атомов) и тяжелых частиц (молекул). В случае диссоциирующего воздуха или реагирующей газовой смеси, состоящей из компонентов воздуха и посторонних веществ, содержащих двух- или трехатомные молекулы, это предположение также является оправданным, однако почти

всегда оно должно подвергаться строгой проверке в висимости от аспектов его использования.

Уравнения (7.1) —(7.8) и представляют нашу правную точку при выводе уравнений реагиомюш сжимаемого турбулентного пограничного слоя, воде этих уравнений мы воспользуемся концепцией булентных флуктуаций относительно средних зна1

Рис. 7.4. Средние значения н флуктуации в турбул< пограничном слое.

величин в пограничном слое, аналогично тому каг делается при получении уравнений нереагирующегс- булентного пограничного слоя1). Мы не будем ь^ а слишком подробно описывать этот способ, но все - изложим все основные предположения и выкладки, обходимые при выводе уравнений, используемых здил-

Мы предположим, что каждая зависимая переменная в вышеприведенных уравнениях может быть представ-

*) См., например, S с h u b а и е г G. М., Т с h е n С. М., Turbt- lent Flow, в сб. под ред. Линь Цзя-цзяо (Lin С. С.), Turbulen Flows and Heat Transfer, разд. В, стр. 80—90, Princeton Universio Press, Princeton, N. J., 1959; русский перевод: Линь Цзя-цзяс (ред.)’, Турбулентные течения и теплопередача, ИЛ, М., 1963,

лена в виде суммы среднего значения и значения флуктуации этой величины в любой точке в турбулентном пограничном слое (рис. 7.4), т. е.

Qi (s. У, О = Qi (s. У) + Qi (S, у, i),(7.10)

где

/+6

QAs, у) — Hm6->соQAs, у) — Hm6->со(7.11)(7.11)(7.12)(7.12)1 J QAs, у, Qdtt

QAs, у) — Hm

6->со

QAs, у) — Hm

6->со

(7.11)

(7.11)

(7.12)

(7.12)

тогда, согласно уравнениям (7.10) и (7.11) ’),

Q^s, у, /) = 0.

Впредь черта над переменной будет отмечать среднюю величину, определенную в соответствии с уравнением (7.11), а штрих — флуктуацию соответствующей переменной. Далее, используя соотношения (7.11) и (7.12), можно получить полезные правила для средних значений произведений зависимых переменных

QiQj-QiQj-VQiQ'j(7.13)

и

QiQjQii =QiQjQn4-QiQjQp-V" Q)QiQs-V-.

+^<М+о!оЖ. (7.14)

В общем случае из анализа порядка величин и физических соображений следует, что

IQ/Q/OlQ/'Qjl^lQ/Wd- (7.15)

Далее подставим формально в уравнения (7.2), (7.3), (7.4а) и уравнение (7.5) совместно с уравнениями (7.6)

’) В силу уравнения (7.12) и ввиду стационарного режима осредненного течения производные по времени в первоначальной форме записи уравнений движения опущены.

16 У, X. Дорреис

и (7.7) следующие выражения: и = u-Vu', ри = (р«) + (ри)', ру = (ру) + (Р^)'» Л = й + А',

hi = ht + А/,

P^ = (pMZ) + (P/^)/-(7.16)

Затем в соответствии с уравнением (7.11) применим процесс осреднения к каждому члену полученных уравнений с учетом общих правил вычисления средних значений величин и их произведений по формулам (7.12) — (7.14). Мы при этом предполагаем, что у коэффициентов переноса ц, A, Le, Рг и т. д. значения флуктуаций пренебрежимо малы по сравнению с их средними значениями. В результате мы получим следующие дифференциальные уравнения течения сжимаемого турбулентного пограничного слоя в реагирующей смеси:

^ + ^ = °.(7.17)

pZZ__L + pT_A_„^pZ)12^-L_(pT)+(7.18)

— ди , — ди д Г ди -,—

+«J(7.19)

и

— dh . — dh ( ди-.—ту—I ди\ .

-(р^) и +

+i!‘<-Sc,(p^;-

-^^[(^) + И'сШ, (7.20)

где при выводе уравнения (7.20) были использованы уравнения (7.6) — (7.9) с учетом уравнения для удельной теплоемкости

Cpf = ^1ClCPf (7.21)

Малые члены в приведенных ниже неравенствах отбрасываются тогда, когда они встречаются в уравнениях вместе с членами первого порядка, в соответствии с понятием тонкого пограничного слоя и неравенствами (7.15), |pzzzzD>|(pzz)' и'\, | ди I ди |

I "ду" I I "дГ I ’

|pZZ А|^>|(РМУ ^|>|Р«С;|:>|(ри)'Сг|,

I ^iViMi 1I kd^iLj^ I’

IG(pt/')7?;|^1C;(pt/0^I-(7.22)

Рейнольдсовы члены переноса появляются явно в уравнениях (7.18) — (7.20). Эти члены характеризуют перенос массы, количества движения и тепла, обусловленный турбулентными флуктуациями, и могут быть идентифицированы следующим образом:

— (рц) Ci — турбулентный перенос массы, — (рц)'м'— турбулентный перенос импульса, — (ру)' h’i — турбулентный перенос тепла.

Будет удобным определить турбулентную диффузию Dr, вязкость е и коэффициент теплопроводности х в соответствии со следующими уравнениями:

(р«)'С)

=<7'25)

«($.(7 24)

ди]ду

(pvV h';

<7-25'

Кроме того, используя введенные выше коэффициенты,

можно определить Прандтля как

турбулентные числа Льюиса и

^т = ~^~(7126)

и

Ср 8

Ргг = -^-.(7.27)

При таком определении Dt, 8 и х мы нисколько не теряем в общности, поскольку все эти коэффициенты предполагаются зависящими от s и у. Однако, полагая числа Ler и Ргг или только Ргт постоянными, мы тем самым в какой-то мере ограничиваем это определение. Комбинация уравнений (7.24), (7.25) и (7.27) при условии, что Ргг = const, приводит, например, к связи между — (ри)'и', ди/ду, кр^' Ц и дТ/ду, которая является аналогией Рейнольдса, когда Ргт=1.

Если воспользоваться уравнениями (7.23) — (7.27) вместе с уравнениями (7.18)— (7.20), то в результате получатся следующие уравнения (черта над средними значениями опущена, поскольку теперь значения всех зависимых переменных и их комбинаций являются средними значениями):

дС[ . дС{ д / п дС: . дСА , • Р«-ЗГ + р^-дГ-=^-(р^12-^ + Р^г^-) + ^-(7.28)

ди . ди д ( ди . ди\

(7129)

и

dh , dh , , , , / ди \2 д Г / и , е \ dh 1 , r ds дуdy/ 1 ду Рг 1 Ргг у dy ] 1

+17 ( [-4 <L= -1)+4 (Ler - 1)1 S Л< ^ | • Р-ЗО)

или с учетом уравнений (7.6), (7.30) и (7.29)д! .д! д Г / ц . е \ д! ] .Ри ds 'ду — ду Црг ' Prr / ду ] +. д Г Г k .11 \ I1 и dCi 1 ।+ ^7|["с^Ь1) + "с^^т — ^^^“ЭТ} +или с учетом уравнений (7.6), (7.30) и (7.29)д! .д! д Г / ц . е \ д! ] .Ри ds 'ду — ду Црг ' Prr / ду ] +. д Г Г k .11 \ I1 и dCi 1 ।+ ^7|["с^Ь1) + "с^^т — ^^^“ЭТ} +

или с учетом уравнений (7.6), (7.30) и (7.29)

д! .д! д Г / ц . е \ д! ] .

Ри ds 'ду — ду Црг ' Prr / ду ] +

. д Г Г k .11 \ I1 и dCi 1 ।

+ ^7|["с^Ь1) + "с^^т — ^^^“ЭТ} +

или с учетом уравнений (7.6), (7.30) и (7.29)

д! .д! д Г / ц . е \ д! ] .

Ри ds 'ду — ду Црг ' Prr / ду ] +

. д Г Г k .11 \ I1 и dCi 1 ।

+ ^7|["с^Ь1) + "с^^т — ^^^“ЭТ} +

Из уравнений (7.29) и (7.31) непосредственно следует, что, если Le = LeT = Pr = PrT=l, решение уравнения (7.31) имеет вид

(7.32)(7.32)1=аи + Ь,

(7.32)

(7.32)

где а и b — константы интегрирования. Уравнение (7.32) идентично интегралу Крокко, полученному в п. 2.5 для случая ламинарного пограничного слоя, когда Le = Pr = 1.

На этом мы заканчиваем вывод уравнений реагирующего сжимаемого турбулентного пограничного слоя. Решение этих уравнений при любых заданных граничных условиях относительно р, и, и, I и С^ представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу. Заметим, что встречающиеся в уравнениях (7.23) — (7.27) коэффициенты турбулентного переноса зависят как от средних величин, так и величин флуктуаций связанных с ними кинематических переменных или переменных состояния, что затрудняло исследование этой проблемы в течение многих лет. Исключение составляют специальные случаи, включающие ограничивающие предположения, такие, как, например, предположение о том, что Ргт и Ley постоянны. Ниже мы рассмотрим приложения этих предполо^ жений в некоторых специальных случаях, представляющих для нас интерес.

Уравнения диссоциированного турбулентного пограничного слоя. Одной из проблем, представляющих огромный интерес для специалистов в области гиперзвуковой аэродинамики, является проблема расчета поверхностного трения и теплового потока в турбулентном пограничном слое при условиях, когда воздух в пограничном слое диссоциирует. В гл. 4 мы показали, что для

ламинарного пограничного слоя влияние диссоциации может быть заметным, но не подавляющим, главным образом, в расчетах тепловых потоков. Исходя из результатов, полученных в гл. 4 для ламинарного пограничного слоя, можно предположить, что диссоциация может оказать влияние на тепловой поток из турбулентного пограничного слоя к холодной поверхности обтекаемого тела, хотя ничего нельзя сказать о количественном изменении теплового потока по сравнению с тем случаем, когда диссоциация отсутствует. Целью настоящего и последующих пунктов является получение количественных оценок влияния диссоциации на поверхностное трение и тепловой поток в сжимаемом турбулентном пограничном слое.

Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, мы сделаем предположение, использованное ранее в гл. 4, когда рассматривался диссоциирующий ламинарный пограничный слой, а именно что диссоциирующий газ представляет собой бинарную смесь атомов (главным образом О и N) и молекул (главным образом О2 и N2) и что разница между переносными свойствами для различных атомов и различных молекул несущественна и значительно меньше, чем разница между переносными свойствами атомов и молекул. Тем самым число компонентов задачи уменьшается до двух, что существенно облегчает ее решение. В соответствии с указанными предположениями мы можем написать

Ра

а = Сд = — (массовая концентрация атомов), (7.33)

— а = См = -^- (массовая концентрация молекул). (7.34).

Кроме того, из уравнений (7.7) и (7.8) следует

А = 2 Ctht = aCpJA- << + (!-«) СР1ЛТ,

или

h = V^^A-M^^^

Используя в (7.35) соотношение (7.21),

Cp/ = SC^ = aC,A + (l-a)C,M.(7.36)

получаем

h = CP/T + ah°x,(7.37)

,0

где Пх — теплота диссоциации молекулы на единицу массы, а индексы А и М обозначают здесь и в дальнейшем соответственно атомы и молекулы. Ранее мы предположили, что удельные теплоемкости атомов и молекул являются постоянными, т. е. в последующем изменение удельных теплоемкостей обоих веществ смеси в зависимости от температуры считается второстепенным фактором. Уравнения (7.28) — (7.30) с использованием уравнений (7.33) и (7.34) могут быть записаны в следующем виде:

да . да д Г,п х да 1 , да

Р« аГ +[(Р^ы + pDT^ + р —, (7.38)

ди , ди д V, . х ди-Д

Р“ +Ру аГ =+е) ^J (7'39)

и

dh , dh ,. х / ди \2 д Г / р , е \ аЛ 1 ,

+4" {[т$7 <Le—о+^ <ад - ч] ^ - ад ^) • (7.40)

Уравнение (7.40) с учетом (7.31) может быть записано в другой форме

д! . д! а Г / р , е \ д! 1 .

рм - дГ РТ' т- — - д— Т5~ + "5—+

ds ' ду ду Ц Рг 1 Ргг / Ру J

+41b^<Le-i>+^(Ler-,*](6i-6«)^

, д (Г Л 1 X , Л11 ди1 1

+ дуРг)+8(1Ргг2 ду J’ (7141)

где СPf определяется соотношением (7.36), Уравнения (7.2), (7.17), (7.38), (7.39) и (7.40) или (7.41) представляют собой систему 5 уравнений с восемью неизвестными;

8, х (или Ргт), DT (или LeT), р, и, v, a, h или /. Точное решение этих уравнений никогда не может быть получено вследствие неизвестных функциональных зависимостей параметров турбулентного переноса 8, х или Ргг и DT или Ler от средних значений параметров потока и турбулентных флуктуаций, аналогичных зависимостям, представленным уравнениями (7.23) — (7.27). Однако если предположить, что эти параметры постоянны или являются простыми функциями средних значений параметров в турбулентном пограничном слое, можно получить некоторые полезные соотношения.

Связь между Сн и С/. В настоящем пункте мы попытаемся получить выражение, связывающее коэффициент теплопередачи Сн с коэффициентом поверхностного трения С/, используя для этого уравнения (7.39) и (7.41).

Уравнение (7.41) можно записать в виде д/ . д/ дО

где G — суммарное выражение членов правой части уравнения (7.41), стоящих под знаком производной по У, и

°та = — 4^(7.43)

так как из уравнения (7.41) следует, что

= [^-57 + Р°12(Аа-М^]ш-(7.44)

а е = х = 0 на стенке, поскольку скорость и флуктуации скорости равны нулю на поверхности тела. Разделив затем уравнение (7.42) на уравнение (7.39), получим

p«(d//ds) + pv (д!/ду) _ дО / Зт....

ри (dtyds) -|- pv (ди/ду) ду / ду ’' ' '

где

т = (ц + 8)^1.(7.46)

Ранее было показано, что если LeT = Le = PrT = Pr=l,To

(7.32)(7.32)/ = аи^ Ь.

(7.32)

(7.32)

Мы будем предполагать, что LeT, Le, Рг-г и Рг — постоянные и что значения их достаточно близки к единице, и, следовательно, в данном случае применимо уравнение (7.32). (Расчеты, выполненные с использованием измеренных профилей температуры и скорости турбулентного пограничного слоя, показывают, что это предположение оправдывается.) Это предположение равносильно предположению о том, что температурный и скоростной пограничные слои имеют одинаковую толщину. Тогда из уравнений (7.32) и (7.45) следует, что

■д~(ат — G) = 0, или О = ал^с, (7.47)

где а и с — константы интегрирования, определяемые из граничных условий для Сит. Условия эти имеют следующий вид:

G = OW = — qw когда т = т№ (7.48)

0 = 0,когда т = 0,

и теперь, по определению,

— q«, = CHpeue(.Ir — h.w)(7.49)

и

т^-^РЛ2-(7.50)

где /г — энтальпия восстановления, определяемая соотношением

и2

+(7.51)

где г — коэффициент восстановления, который будет определен позднее. Принимая во внимание граничные условия (7.48) в уравнении (7.47) и используя уравнения (7.49) и (7.50), в результате получаем

О О —а С„ I — h wг wО О —а С„ I — h wг w(7.52)(7.52)

О О —а С„ I — h wг w

О О —а С„ I — h wг w

(7.52)

(7.52)

откуда, полагая в О « = «(«) и й==й(и), имеем

2С и Г и/Рг + e/Pr dh

С^ 1Т — Aw [ н + е du ''

уС > (Le -1) + у С) (Le — 1)d.

+- Ам> ■ <7-53*

Теперь, для того чтобы получить соотношение для ^Сп!Су мы должны проинтегрировать уравнение (7.53) поперек пограничного слоя. С этой целью мы рассмотрим двухслойную модель турбулентного пограничного слоя, которая отлично зарекомендовала себя при дозвуковых скоростях) и является приемлемой при гиперзвуковых скоростях). Согласно этой модели, существует ламинарный подслой, где

е<^|1 и х^^ при 0<,u<,uL, и внешняя турбулентная часть турбулентного пограничного слоя, где

8^>Ц И Х^>^ при UL^U^Ue.

Узкая переходная область вблизи u = uL, называемая иногда буферным слоем, где р~е и х~А, в дальнейшем не рассматривается. Это сделано ради простоты и не меняет значительно результаты. В соответствии с нашей моделью пограничного слоя для ламинарного подслоя справедливо следующее соотношение:

2С„и ,Г 1 dh 1da 1

"^Г= lT — hw [р70(aa —+

(7-54) а для турбулентной части пограничного слоя

2С и Г 1 dh

+ pL(Ler-l)(AA-M"£+«]. (7.55)

Далее мы поступим следующим образом: проинтегрируем уравнение (7.54) от поверхности (п = 0) до границы раздела обоих слоев (u=hl). Затем проинтегрируем уравнение (7.55) от границы раздела (u = Ul) до внешней границы пограничного слоя (u = UeV Исключая hL из обоих уравнений и разрешая полученное уравнение относительно 2CH]Cf, в результате получаем

2С„ Г\

Prr + (Pr-Prr)^ П+^ДГТ' (7-5ба) где Ft определяется соотношением

Л — (Le — 1) (аЛ — aj + (Ler — 1)(ае — aL\ (7.566) Дополнительным результатом этого преобразования является соотношение

r = Prr + (Pr-Prr)(-^-)2,(7.56b)

а в уравнении (7.56а) мы использовали аппроксимацию вида

А а—Лм = (СрА —Срм) ГД-Ад» AA = const. (7.56г)

Уравнение (7.56г) используется на том основании, что при рассматриваемых нами здесь температурах теплота образования атомов намного превосходит разность удельных теплоемкостей атомов и молекул. Подстановка соответствующих численных значений в точные выражения для энтальпий смеси атомов и молекул подтверждает последнее заключение.

Интересно отметить, что если положить uL = ue (т. е. внешняя турбулентная область отсутствует), то

.г = Рг(7.57)

и

С/ — Pr L1-r Ir — h„ J-

Последние соотношения совпадают с результатами, полученными Кларком Д для ламинарного течения Куэтта

*) Clarke J. F., Л Fluid Meeh., 4, part 5, 441—466 (1958).

в диссоциирующей смеси. Очевидно, что использование уравнения (7.32) соответствует представлению пограничного слоя как некоего квазитечения Куэтта. Соответ-' ствующие результаты для турбулентного течения Куэтта можно ожидать при условии, что в уравнениях (7.57) и (7.58) Рг заменено на Ргг, а Ее на Ler. В действительности полностью турбулентные течения Куэтта невозможно построить по той причине, что и верхняя и нижняя стенки в течении Куэтта гасят турбулентные флуктуации, так что на обеих стенках возникают ламинарные подслои, аналогично тому, что мы постулировали здесь для течения у пластины.

Уравнение (7.56) можно разумно упростить, не жертвуя при этом точностью рассматриваемой теории. Действительно, измерения профилей температуры и скоростей в нагретых воздушных струях ’) показали, что

Срл

Prr = -^-«0,70±10%(7.59)

и

и, по существу, не зависят от значений коэффициентов ламинарного переноса, так как во время экспериментов последние могли меняться в широких пределах. Геометрия течения во время этих экспериментов не менялась, так что остается открытым вопрос о применимости уравнений (7.59) и (7.60) в случае произвольной геометрии течения в турбулентном пограничном слое. Однако заметим при этом, что полуэмпирические теории,. касающиеся турбулентного течения у плоской пластины и включающие предположение о постоянстве турбулентного числа Прандтля Ргг, оказываются успешными при сравнении с экспериментом. Сказанное сейчас и полученные выше соотношения приводят нас к заключению, что предположение

Prr = Ler = l (7.61)

*) Forst all W., Jr., Shapiro A. H., J. Appl. Meeh., 17 (4), 399—408 (1950).

в дальнейшем будет достаточно оправданным приближением.

Кроме того, можно показать, что для большинства представляющих интерес значений чисел Pr, Le и uLlue

1 ДДРг — 1)Pr('z^(7.62)

(Le — 1)-^- ~ Le(“^> — 1 ~ Le2/3 — 1(7.63)

и

r= 1 —(1 — Рг)(-М «Рг'/з.(7.64)

Если Рг = 0,72, уравнение (7.62) справедливо с точностью до ±10% для значений отношения uLlue, меняющегося в интервале от 0,40 до 0,90, а уравнение (7.64) выполняется с той же точностью для значений uLlue, меняющихся в интервале от 0,22 до 0,83. Если Le=l,4, уравнение (7.63) справедливо с точностью до ±10% при значениях Uijue, меняющихся в пределах от 0,56 до 0,69. Если значения отношения uLlue выходят за эти границы, показатели степеней в уравнениях (7.62) — (7.64) должны быть отличными от 2/3 и 1/3 и выбираться исходя из той же степени аппроксимации. Значения показателей степеней, приведенные в настоящем пункте, являются характерными и наиболее часто встречаются в литературе. Из приведенного только что анализа особенно отчетливо следует важность знания скорости на границе ламинарного подслоя при определении показателей степеней. Заметим, к примеру, что из уравнения (7.62) следует, что, когда wL/ue=l,0 (полностью ламинарный слой), г = Рг, а, когда uJue = Q (полностью турбулентный слой), г=1 (так как Ргт = 1). Заметим также сходство уравнения (7.62) с уравнением (5.161) для коэффициента восстановления в ламинарном пограничном слое, приведенном в п. 5.11.

Можно провести дальнейшие упрощения. Действительно, можно показать, что

аЛ —аю^(ае —а„)-^.(7.65)

Уравнение (7.65) точно выполняется в случае замороженного пограничного слоя при условии Pr —Le = l. Мы предположим a priori, что использование уравнения (7.65) в рассматриваемом нами случае является законным, и вернемся к его обоснованию в этой главе несколько позднее. Если воспользоваться уравнениями (7.61) — (7.65), уравнение (7.56) приводится к виду

2С„Г1

// = рг-2/з ! _|_ (Ее2/з_ ц =(7 66а)

СуL* г——'

и.

r=PrV3,(7.666)

где

hc («е — %) Аа-(7.66в)

Уравнение (7.66а) было получено независимо Лизом), Роузом, Пробстином и Адамсом) и Дорренсом). Лиз и Дорренс пришли к уравнению в тех же переменных, что и в настоящем пункте. Роуз, Пробстин и Адамс получили уравнение (7.66а) в несколько обобщенной форме по аналогии с уравнениями (4.89) или (4.91), приведенными в гл. 4 для случая ламинарного пограничного слоя. Дорренс впервые обратил внимание на существенное влияние скорости uL на границе ламинарного подслоя при определении показателя степени Ее в уравнении (7.66а).

Уравнение (7.66а) связывает коэффициент теплопередачи с коэффициентом поверхностного трения в случае диссоциирующего сжимаемого турбулентного пограничного слоя на плоской пластине. Следующим этапом нашего исследования будет вывод уравнения для определения коэффициента поверхностного трения, который в свою очередь позволит сосчитать коэффициент теплопередачи, а значит, и тепловой поток к пластине.

Коэффициент турбулентного поверхностного трения. При выводе соотношения для коэффициента поверхностного трения мы воспользуемся методом, разработанным Дорренсом). Подставляя профили плотности и скорости в известное интегральное соотношение Кармана (приводится ниже), Дорренс получил выражение для локального коэффициента трения

(7.67а) где

о

и

Очевидно, что в дальнейшем нам понадобятся выражения для dz/dy и р(г)/рю. Эти выражения могут быть получены из решения уравнений состояния (7.38), сохранения массы компонентов (7.39) импульса и уравнения энергии (7.40).

Можно показать, что из уравнений (7.17) и (7.39) в случае постоянной температуры поверхности и отсутствия переноса массы следует, что

X ду \ ду )w ’

так как и, у, du]ds и ди]ду = 0 при у = 0; отсюда

т = т

и равенство т=тю является вполне хорошим первым приближением для большой области пограничного слоя2). Поэтому, следуя введенному Прандтлем понятию дли-

ны перемешивания, мы можем для внешнего турбулентного слоя написать

(7.68)

К в уравнении (7.68) представляет собой так называемую константу длины перемешивания. Если обозначить

е=к^Г- <7-б9>

уравнение (7.68) можно проинтегрировать и получить ^'"[^^'^J+vm-^7-<7J0a)

где, если £ — переменная, изменяющаяся вдоль оси г,

I^e\ U-Td^(7.706)

0

а константа интегрирования ф(0) может быть определена из того факта, что уравнение (7.706) выражает функцию корреляции) распределения скорости при постоянной плотности в низкоскоростном турбулентном пограничном слое, который описывается уравнением (7.70в), приведенным ниже, когда Ме = 0 и T = Tw = Te; а именно

/т1 Го \1/2 1

" Я = »(°)+1№г У • (7J0b) \Л L Рту \ Рту / J

Далее, так как

то из уравнений (7.70а) и (7.71) следует, что

= Е^ехр [—Кд>(0)]и /Mi/г ,

dz К (.PwUelV-w) Р^4ДРт/ '‘

Таким образом, мы получили соотношение для dy/dz, которое необходимо нам для подстановки в уравнение (7.676).

Для того чтобы найти выражение для р/р№ мы должны получить уравнения для концентраций и температуры как функций скорости в пограничном слое. С этой целью мы воспользуемся уравнениями (7.38) и (7.39) следующим образом.

Предположим, что а = а(ы, /), и найдем условия, при которых а (и, 0 удовлетворяет уравнениям (7.38) и (7.39). Подставим а = а(ы, /) в уравнение (7.38), в результате получим

( ди . ди\ да д Г m i \ ди 1 да .

Г "97 + = -5? +

1 \ (ди V д^а , да

+ + + (7-73)

Комбинируя уравнение (7.39) с уравнением /7.73), мы найдем, что при условии pPi2 = p, a pDT = e уравнение для a = a(u, f) примет вид

д2а । Р(й + е) ^«

так как в общем случае да.1ди^°о. Очевидно, таким образом, что связь между концентрацией атомов а и скоростью в пограничном слое и зависит от распределения напряжения трения т, ламинарного и турбулентного коэффициентов вязкости ц и е и скорости образования атомов в результате процесса диссоциации. Если знаменатель во втором члене в уравнении (7.74) значительно больше, чем числитель этого члена, то это означает, что диффузия является превалирующим процессом при определении профиля концентрации атомов в пограничном слое. Если daJdt = O, тогда, действительно, диффузия полностью определяет профиль концентрации атомов (случай так называемого «замороженного» течения). Если второй член в уравнении (7.74) значительно больше первого, тогда течение, естественно, находится в состоянии равновесия и уравнение (7.74) оказывается ненужным для определения атомной концентрации, которая теперь целиком определяется внешним

статическим давлением и распределением температуры в пограничном слое через посредство константы равновесия реакции диссоциации.

Мы предположим, что течение «замороженное», так что профиль концентрации в пограничном слое, целиком определяемый диффузией, обеспечивает равновесную концентрацию на поверхности тела; к обоснованию этого предположения мы вернемся несколько позднее. Тогда из уравнения (7.74) следует

d2a р

"du2

откуда, так как a = aw, когда ы=0, и а = ае, когда и = ие, мы получаем

« = «w + (“e —“w)^-(7.75)

что является подтверждением справедливости ранее использованного уравнения (7.65).

Распределение температуры как функции скорости получается следующим образом: из уравнений (7.39) и (7.40), в предположении, что Le = Ler = Рг = Ргг = 1 и h = h(u'), и аналогично тому, как мы поступали с уравнениями (7.38) и (7.39), при выводе (7.74) для а (и, /) мы получим

при условии, что dhldu+oo, что в общем является справедливым. Так как h = hw, когда и = 0, и h = he, когда и = ие, ТО ’)

A+^^^ + ^-^ + ^JL, (7.77) или

’) Spence, op. cit. Спенс показал, что уравнение (7.77), являющееся точным при Ргт = Рг=1, может быть использовано с хорошей точностью в широких пределах изменения Ргт, когда Рг=1. Это служит подтверждением того, что уравнение (7.77) является обоснованным приближением, если оно используется в ситуации, аналогичной рассматриваемой. .

где с учетом уравнений (7.7), (7.8), (7.33) и (7.34).

А - «[ J (СЧ - ССч) dT + ^1 + / С^м dK ^

Теперь предположим, что у атомов возбуждены только поступательные, а у молекул поступательные и вращательные степени свободы; мы пренебрегаем при этом колебательной энергией как вторичным эффектом при интересующих нас температурах. (При желании ее можно было бы включить в более полное исследование.) Тогда

Ср = 2,5—,

(7.79a)

Ср = 3,5—,

(7.796)

,оD

hx = ——

(7.79в)

И

'2тк = /Им,

(7.79г)

и с учетом уравнения (7.79) уравнение (7.78) примет вид

^(3,5+1,5а)^77' + «2^.(7-80)

Аналогично из уравнений (7.1а), (7.16), (7.46), (7.33) и (7.79г) мы получим

р=л=р2^(1+«).(7-)

откуда

Р (1 + aw) Тта (1 ф- аф) /-1_

Р™ (1+«)Т — Те (1-фа) (Tj ’

Связь между Т и и следует из уравнений (7.75)., (7.77) и (7.80) и имеет вид

7 ф- Зае 7 —|— Заю 7ф \ и , 7 ф- За 7 ф- За Те ) ие7 ф- Зае 7 —|— Заю 7ф \ и , 7 ф- За 7 ф- За Те ) ие(7.83)(7.83)Т 7 ф- 3aw Т w

7 ф- Зае 7 —|— Заю 7ф \ и , 7 ф- За 7 ф- За Те ) ие

7 ф- Зае 7 —|— Заю 7ф \ и , 7 ф- За 7 ф- За Те ) ие

(7.83)

(7.83)

где, по определению, для рассматриваемого случая

Если а. = а.е = ссш = 0, уравнение (7.83) становится хорошо знакомым интегралом Крокко для уравнения энергииЕсли а. = а.е = ссш = 0, уравнение (7.83) становится хорошо знакомым интегралом Крокко для уравнения энергии

Если а. = а.е = ссш = 0, уравнение (7.83) становится хорошо знакомым интегралом Крокко для уравнения энергии

Если а. = а.е = ссш = 0, уравнение (7.83) становится хорошо знакомым интегралом Крокко для уравнения энергии

как это и должно быть, когда у = 1,4 (двухатомные молекулы) .

Искомое соотношение для коэффициента поверхностного трения может быть получено теперь из уравнений (7.67), (7.706), (7.72), (7.75), (7.82) и (7.83). Это

соотношение имеет вид

Ree Cf = 0,389 (-^)°’76 /5,(7.85)

где Ree = peues/|ie и

-И^<7-70б>

о

Е = 0,55?(Ь-С,(7.86)

U = Е1 / (^)3/2 (г - z2) ехр (/4) dz, (7.87)

о

Отношение Т(и)/Те определяется из уравнения (7.83), а функция а (и)—из уравнения (7.75), Константы ф(0) и К были выбраны равными соответственно 6,53 и 0,393, исходя из требования, чтобы результаты расчета по формуле (7.85) согласовывались с измеренными экспериментально значениями локального коэффициента поверхностного трения при

Ме = 0, Tw = Te=T, а = ае = аю = 0.

При выводе уравнения (7.85) предполагалось, что при больших s в левой части уравнения (7.85)

5

^Cfds = Cfs. Это предположение оказывается разум- о

ным при больших s, в особенности применительно к величинам в турбулентном течении, так как оно предшествует определению эмпирических констант путем подгонки измеренных значений Cj при Ме = 0, 1^ = 1 е = Т и а = аш=ае=0.

При выводе уравнения (7.85) была использована следующая зависимость для коэффициента ламинарной вязкости: ц~7°'76. Эта зависимость вязкости от температуры находится в хорошем согласии с результатами Бауэра и Злотника) по расчету вязкости высокотемпературной воздушной смеси и результатами Скала и Болкнайта) по расчету вязкости смеси Ог, О, N2 и N. Это подробно обсуждается в п. 10.7 для случая диссоциированного воздуха. Уравнение (7.85) приводится к уравнению (37), полученному в работе Дорренса и Дора), когда отсутствуют диссоциация и массообмен, и к уравнению (66) работы Ван Дриста), когда диссоциация отсутствует, а интеграл /5 (7.87) заменен степенным рядом. Однако уравнение (7.85), поскольку в нем оставлены члены, отброшенные Ван Дристом, является более точным при сверхзвуковых скоростях и умеренных значениях отношения Т^Тд. Сравнение с экспериментом в довольно широком интервале значений М8 и TwjTe показывает, что соотношение (7.85) лучше согласуется с экспериментом, чем уравнение Ван Дриста, возможно, в результате применения в данном случае численного интегрирования. .

Расчет коэффициента поверхностного трения. Уравнение (7.85) было решено численно относительно Cj при различных комбинациях значений Ree, Ме, TwfTe и аю с использованием электронно-вычислительной

машины IBM-704 для. выполнения многочисленных утомительных интегрирований и итераций. Для представления результатов в силу того, что С/ зависит от пяти параметров, казалось очевидным, что любой метод, приводящий к уменьшению числа необходимых графиков, был бы приемлем. Такое упрощение было подсказано разложением в ряды по степеням ccw и ае всех выражений в интегралах /4 и /5, входящих в выражение для С/. Если ограничиться только первыми членами разложения, то

С/о \ 1 4- /

где f и g— слабо меняющиеся функции Ree, TJTe и Ме, принимающие значения соответственно вблизи 2,0 и 1,0, a Cf равно значению С/, вычисленному при соответствующих значениях Ме, TwITe и Ree, но при отсутствии диссоциации, т. е. когда в уравнениях (7.82) и (7.83) аю = ае = а = 0. Для всех рассматриваемых случаев графики результатов показывают, что

(7.88)(7.88)

(7.88)

(7.88)

На рис. 7.5 представлены результаты корреляции расчетов в соответствии с уравнением (7.88).

Соотношение (7.88), или график рис. 7.5, указывает на целый ряд интересных обстоятельств, связанных с влиянием диссоциации на значение локального коэффициента поверхностного трения. Во-первых, оказывается, что во всех случаях диссоциация вызывает изменения значений Cf, не превышающие ±22%. Это означает, что вместо Cf можно брать С/о, значение, вычисленное при соответствующем числе Маха и температуре, но без диссоциации и отличающееся от истинного значения С/ в пределах 22% от значения С/о. Во-вторых, соотношение (7.88), или рис. 7.5, указывает на то, что эффект использования некаталитичности стенки (аю=#0) приводит к уменьшению коэффициента поверхностного трения по сравнению с тем значением, которое он имел бы при аш = 0. Максимальная величина этого уменьшения со-

ставляет 22% в случае, когда ае=1 и а№=1, по сравнению со случаем, когда ае=1 и аи>=0.

Рис. 7.5. Корреляционная кривая (7.88) для С^С^ в сравнении с результатами численного интегрирования (7.85) для С^ и С^.

Графики зависимостей С^ от Ree, Ме и Tw[Te представлены на рис. 7.6—7.9. Результаты расчетов приведены только для значений местных чисел Маха, меньших 4,0, так как только при таких малых местных числах Маха достаточно высоки местные статические тем-

пературы во внешнем потоке, а значит, и велики весные степени диссоциации ае. В тех случаях, ко велико, Те оказывается малым для земных

ме

Рис. 7.6. Зависимость коэффициента поверхностного трения с местного числа Маха №е при отсутствии теплопередачг диссоциации в локально турбулентном пограиичиом c."^0

социация на стенке отсутствует, аи. = 0, и в соответстви - с настоящей теорией влияние диссоциации в пограни-- ном слое на коэффициент трения будет отсутствовать Если поверхность препятствует рекомбинации, то, кат показывает уравнение (7.88), коэффициент трения ока

зывается меньше своего значения в случае каталитической стенки.

Все результаты выполненных расчетов можно объединить теперь в окончательное уравнение для величины

Рис. 7.7. Зависимость коэффициента поверхностного трения Суо от местного числа Рейнольдса Re для турбулентных пограничных слоев при различных отношениях температур при отсутствии диссоциации и при местном числе Маха Мг = 0.

местного теплового потока. Из уравнений (7.49), (7.66) и (7.88) имеем

— = РАРг*2'3 Цг — h^ ^- [2 (44^) — 1 ] X

Х^ + ^-Пд^-]. (7.89)

где

и2

Ir = h.eA-r-f(7.90)

и

г = Рг1/3,(7.666)

N = ^e-<^.(7-91)

значение hc, определенное из уравнения (7.91), является точным в случае смеси атомов и двухатомных молекул одного вещества. Для смеси двух веществ, такой, как N3, N, О2 и О, или смеси, подобной, например, воздуху,

h =^е-а )г=°_^ L, (7.92)

i = O, N

где а, как и прежде, массовая концентрация газа в атомарном состоянии.

Ree .

Рис. 7.8. Зависимость коэффициента поверхностного трения С^ от местного числа Рейнольдса Ке^для турбулентных пограничных слоев при различных отношениях температур при отсутствии диссоциации и при местном числе Маха Ме = 2.

В отношении предположения о возможности использования распределения концентраций атомов в пограничном слое, соответствующего замороженному течению, можно сделать некоторые выводы из результатов, представленных на рис. 7.10. На рис. 7.10 показано распределение концентраций атомов поперек пограничного

слоя, когда это распределение целиком определяется диффузией, для типичного набора граничных условий на внешней границе пограничного слоя и на поверхности тела: ре=1 атм, ае=0,3, 7’е=Зб00°К, «w=0, 7^ = 500° К.. На рисунке изображено также равновесное распределение атомов, найденное в предположении, что

Рис. 7.9. Зависимость коэффициента поверхностного трения Сд от местного числа Рейнольдса йег для турбулентных пограничных слоев при различных отношениях температур при отсутствии диссоциации и при местном числе Маха Мг = 4.

пограничный слой всюду находится в состоянии локального равновесия. В обоих расчетах ради простоты рассматривался чистый кислород при одних и тех же условиях во внешнем потоке и на поверхности тела. При этом для определения равновесных концентраций атомов в пограничном слое использовалось уравнение (7.83) вместе с выражением для константы равновесия реакции диссоциации кислорода. Промежуточный случай конечных скоростей реакций соответствует области вблизи двух кривых, изображенных на рис. 7.10. Таким образом, использование уравнения (7.75) для определения

атомной концентрации можно считать вполне опрат данным, так как это является значительным продвн жением вперед по сравнению с тем предположением

Рис. 7.10. Распределение атомной концентрации в диссоциированном турбулентном пограничном слое при равновесной диссоциации и для замороженного пограничного слоя.

когда а принимается равной некоторой постоянной величине всюду в пограничном слое. Метод расчета в равновесном случае включает решение уравнения (7.83), из которого находится Т= Т (a, u/ue), совместно с решением уравнения для константы равновесия, из которого определяется а = а(7) для каждого значения отношения ujue._

Уравнение для константы равновесия имеет вид ^(ЛГ1-—'(7.93)

где в случае диссоциации кислорода КР дается соотношением (9.128). Указанные выше расчеты были выполнены для случая каталитической в отношении рекомбинации стенки.

Профили концентраций, представленные на рис. 7.10, могут быть использованы вместе с уравнением (7.82) для определения значений р/рю в пограничном слое. Это отношение входит непосредственно в интеграл импульса (7.676). На рис. 7.11 приведены четыре графика зависимостей р/рю от и(ие. Верхняя кривая получена из решения уравнений (7.82) и (7.83) в предположении, что а=аш = ае=0. Следовательно, она соответствует С/о. Следующая кривая, расположенная ниже, отвечает случаю замороженного течения; она была получена с помощью уравнений (7.75), (7.82) и (7.83). Следующая, расположенная еще ниже кривая, рассчитана для равновесного случая с использованием уравнений (7.82), (7.83) и (7.93). Самая нижняя соответствует расчету специального случая, когда энтальпия и скорость на стенке и на внешней границе пограничного слоя принимались равными их значениям с учетом диссоциации, однако в предположении, что диссоциация отсутствует. Этот последний случай соответствует кривой, полученной в предположении, что Cf заменен на С/„, но скорость и энтальпия на внешней границе пограничного слоя и на стенке предполагаются такими же, как если бы происходила диссоциация. Ясно, что большинство случаев, представляющих интерес, будут соответствовать кривым, лежащим между кривыми для случая замороженного и равновесного течений; следовательно, использование ради простоты случая замороженного течения, вероятно, является оправданным при условии, что стенка является каталитической. Это служит дополнительным подтверждением того, что тепловой поток к холодной стенке из диссоциированного пограничного слоя относительно слабо зависит от скоростей реакций в гомогенной фазе до тех пор, пока скорость поверхностной

рекомбинации достаточно высока, так что степень дис-

z =и/ие

Рис. 7.11. Графики изменения плотности в диссоциированномтурбулентном пограничном слое. (Замечание: для всех случаевО2 ^ О + О, ре = 1 атм.)

Интересно отметить, что Костерин и Кошмаров1) предложили метод расчета напряжения трения в диссо-

*) Kos ter in S. I., Koshmarov Yur A., Intern. J. Heat and Mass Transfer, 1 (1), 46—50 (1960).

циированном турбулентном пограничном слое, который эквивалентен использованию профилей равновесных концентраций, вычисляемых с помощью (7.83) и (7.93) для использования в интегральном соотношении (7.676). В соответствии с только что изложенным анализом их результаты не будут заметно отличаться от результатов, полученных здесь, за исключением того, что эти авторы могут воспользоваться другими значениями эмпирических констант <р(0) и К. В остальном метод Костерина и Кошмарова согласуется с изложенным здесь анализом. В работе Костерина и Кошмарова отсутствуют результаты расчетов.

Как и для любой теории, доказательство ее справедливости основывается на сравнении с экспериментальными результатами, а также и на ее внутренней непротиворечивости. Предложенный здесь метод дает результаты, которые, как будет видно из дальнейшего, достаточно хорошо согласуются с экспериментом.

На рис. 7.12 показано сравнение значений Сд, рассчитанных с использованием настоящей теории, с измерениями Шульца-Грунова ’), Кемпфа), Коулза) и Мэттинга и др.) для случая отсутствия теплопередачи и диссоциации. Обращает на себя внимание отличное совпадение для этих случаев эксперимента и теории.

При наличии теплопередачи согласие между экспериментом и теорией оказывается менее точным, но остается приемлемым, если принять во внимание неточности выполненных измерений при наличии теплопередачи. На рис. 7.13 представлено сравнение с измерениями Винклер), где согласие между теорией и экспериментом ухудшается с увеличением теплового потока

') Schultz-Grunow F., NACA ТМ, 986, 1941.

{TwITe уменьшается), но во всех случаях ошибка остается в пределах +20% и —5%.

Имеется небольшое количество данных, касающихся теплопередачи в турбулентном пограничном слое при больших значениях энтальпии торможения, когда

Ree

Рис. 7.12. Сравнение теоретических значений местного коэффициента трения Суо(7.85) при отсутствии диссоциаци i и теплопередачи с измеренными значениями.

необходимо принимать во внимание диссоциацию. Результаты измерений, выполненных в ударной трубе, были изложены в работе Роуза и др.1) и используются здесь для сравнения с уравнением (7.89), которое после небольшого преобразования приводится к виду

NuС, Г / 14- а„ уП 1

-^Re^Re^Pr-^-^ - Х (7.94)

L1 г J

*) Rose Р. Н., Prob stein R. F., Adams Mac C., J. Aerospace Sci., 25 (12), 751—760 (1958).

где С/о вычисляется путем интерполяции с использованием рис. 7.7—7.9. Значения ае, аю, /гс, 1Т и hw были рассчитаны на основании экспериментальных значений или оценок, приведенных Роузом и др. Число Прандтля Рг предполагалось равным 0,72, а число Льюиса Ее

Рис. 7.13. Сравнение теоретических значений коэффициента поверхностного трения Спри отсутствии диссоциации с измеренными местными значениями.

равным 1,40, что, как показали расчеты для высокотемпературного воздуха, соответствует вполне реальным величинам (см., например, рис. 10.11). На рис. 7.14 сопоставляются результаты расчетов по формуле (7.94) с данными измерений Роуза и др. Хотя данные разбросаны около линии, полученной из расчетов по формуле (7.94), совпадение вполне удовлетворительно. Заметим, что во всех случаях происходила значительная теплопередача, а в некоторых случаях присутствовала и некоторая диссоциация (0,14^7^/76^0,04, О^сх.6^0,27),

}8 У. X. Доррене

Заключение. Результаты этой главы, по-види мому, приводят к следующим выводам:

С помощью приведенной в данной главе теориг вычисляются коэффициенты поверхностного трения длг случая диссоциированного сжимаемого турбулентного

R%-P«ues/^e

Рис. 7.14. Сравнение теоретических значении пары передачи (7.94) с измеренными значениями при уели,., (или отсутствия) диссоциации и больших тепловых потоках

Роуза, Пробстина и Адамса.)

Q —без захвата; △ — с захватом.

пограничного слоя на плоской пластине. Они хот- гласуются с измеренными величинами при услиг,... сутствия теплопередачи и диссоциации; совпади уменьшается с увеличением теплопередачи, однако э; периментальные данные в последнем случае очень разбросаны.

Получено уравнение для локальной теплопередачг в диссоциирующем сжимаемом турбулентном погранщ цом слое, которое хорошо согласуется с измерениям/

в случае больших тепловых потоков и слабо или совсем недиссоциированного пограничного слоя.

Метод вывода уравнений для определения коэффициентов трения и теплопередачи является внутренне непротиворечивым и построен на решении приближенных уравнений турбулентного пограничного слоя с использованием обоснованных аппроксимаций.

В следующей главе мы рассмотрим влияние массо- обмена, градиента давления, геометрии тела и химических реакций, отличных от реакции диссоциации, на поверхностное трение и теплопередачу в сжимаемом турбулентном пограничном слое.

18*

ГЛАВА

МАССООБМЕН И ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИВ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Введение. В гл. 7 был дан вывод уравнений турбулентного пограничного слоя химически реагирующего газа. Эти уравнения были использованы при получении выражений для теплопередачи от турбулентного пограничного слоя диссоциирующего газа. Осталось рассмотреть более сложный случай — турбулентный пограничный слой химически реагирующего газа при наличии переноса массы. Этот более сложный случай рассматривается в настоящей главе.

В п. 8.2 и 8.3 рассматривается только влияние переноса массы на поверхностное трение и теплопередачу химически не реагирующего сжимаемого газа в турбулентном пограничном слое. Затем мы усложняем теорию, принимая во внимание наряду с эффектами переноса массы эффекты химических реакций. В число химических реакций, рассматриваемых в теории, включаются как реакции, происходящие только между компонентами внешнего потока, так и между ними и компонентами, входящими в пограничный слой в результате передачи массы на поверхности тела, вне зависимости от механизма передачи массы. Полученные результаты будут соответствовать течению на плоской пластине при отсутствии градиента давления.

Результаты теории турбулентного пограничного слоя, полученные в гл. 7 и в настоящей главе, серьезно пострадали бы с точки зрения практической применимости, если бы они ограничивались приложением к течению в пограничном слое только на плоских пластинах. Ввиду этого обстоятельства был написан п. 8.7. В п. 8.7 проводится исследование влияния градиента давления и формы тела на характеристики турбулент-

ного пограничного слоя и выводятся соотношения, которые вместе с уравнениями для плоской пластины гл. 7 и настоящей главы могут быть использованы для того, чтобы применить эти уравнения для прямых круговых конусов и других осесимметричных тел.

Теория турбулентного пограничного слоя в том виде, как она представлена здесь, является в лучшем случае предварительной, поскольку она ограничена некоторыми полуэмпирическими аспектами. Однако эта теория дает выражения для поверхностного трения и теплопередачи, хорошо совпадающие с результатами измерений, и, таким образом, вселяет надежду в тех, кто желает применять ее к задачам, экспериментальные данные для которых еще не получены. Как всегда, такие применения должны делаться с осторожностью, так как теория не может быть полностью выведена из основных законов и зависит от экспериментально определяемых постоянных. Однако в этом отношении предлагаемая теория не отличается от любой другой теории турбулентного пограничного слоя. Построение теории турбулентного пограничного слоя, исходящей из основных законов, остается одной из важных нерешенных задач газовой динамики.

Влияние массообмена на 2Сн1С/ и г. В этом и следующем пунктах рассматривается влияние массы, вводимой в турбулентный пограничный слой на поверхности раздела газового слоя и жидкого или твердого вещества, на поверхностное трение и теплопередачу. Мы предположим, что вводимая масса является газом того же состава, что и газ в пограничном слое, так что диффузионный перенос массы является несущественным. Диффузионный перенос массы будет учитываться в п. 8.4, в котором рассматривается самый общий случай. Кроме того, мы предположим, что не происходят никакие химические реакции. Так же как и в случае ламинарного пограничного слоя, рассмотренного в гл. 5, можно ожидать, что вдув будет уменьшать теплопередачу и поверхностное трение, а отсос даст противоположный эффект. Как и в случае ламинарного пограничного слоя, наши результаты подтвердят интуитивные соображения.

Наш анализ эффектов переноса массы разделяется на две части. В данном пункте мы определим связь между теплопередачей и коэффициентом поверхностного трения, которая зависит от параметра переноса массы В5, а в следующем — влияние переноса массы на коэффициент поверхностного трения. Результаты этих двух пунктов могут быть затем объединены для определения влияния переноса массы на теплопередачу внутрь тела.

Влияние передачи массы на 2CH/Cf и г. Уравнения (7.29) и (7.31) являются в данном случае исходными. Из уравнения (7.29) имеем

ди. ди д Г, , х ди 1 дт.„ , х

ри^к РУ -^— = -д- Ш 4- е) -5- = -г—,(8.1)

" ds* " dy ду L' ' dy J dy''

а из уравнения (7.31) при dC^dy^Q и при условии, что введенная масса имеет тот же состав, что и газ в пограничном слое, имеем

(8.2)(8.2)

(8.2)

(8.2)

и, таким образом, G определяется уравнением (8.2).

Граничные условия для вышеприведенных уравнений суть при «/ = 0: м = 0, pu=(pu)w, t=tw, 1г = !г№ е=0; при у = оо; и = ие, ри = 0, т=0, h — he. Мы не будем пытаться решать эти уравнения в том виде, как они написаны. Лучше, в согласии с предварительным характером теории вообще, мы постараемся получить приближенные решения, полезность которых будет зависеть от их точности по сравнению с точностью экспериментальных результатов. Итак, в нашей теории тонкого пограничного слоя мы предполагаем, что для любой переменной Q

I dQ I I dQ 1

и

p-и = const = (р-п)^.

Делая последнее предположение, мы игнорируем граничное условие для ру при у = оо. Тогда уравнения (8.1) и (8.2) примут вид

-^ [(Р^)» И — т] = 0,

^[(p</-G] = 0,

откуда, используя граничные условия при у=0, мы получаем

(рт^ и — т = — rw(8.3)

и

(p-y)m I — G = (p-n)w /w — Ow.(8.4)

Далее, / определяется как

(8.5)

и на стенке м = 0 и е = 0, следовательно, мы можем написать

и поэтому

(8-6)(8-6)

(8-6)

(8-6)

Таким образом, используя соотношение (8.6) в уравнении (8.4) и разделив уравнение (8.4) на уравнение (8.3), где соотношение (8.5) используется при определении G, чтобы выразить / через h и и, мы получаем дифференциальное уравнение, связывающее h и и

dh du

(8.7)(8.7)(pf)w (^® "~2~/"т^ “H (Pf)w ^

(8.7)

(8.7)

Уравнение (8.7) в соответствии с нашей двухслойной моделью, введенной в гл. 7, может быть записано в двух

видах: в виде, применимом для ламинарного подслоя, когда е<Сц, и в виде, применимом для турбулентного слоя при г^р. В результате имеем

dh _ Prz (ру)^, _р

du (ру^иД-Тц, 1тФ + (ру)фыТ‘а’

(8-8)

где индекс I при Рг отсутствует в ламинарном подслое и равен Т в турбулентном слое. Для получения Л(«) з замкнутой форме уравнение (8.8) может быть проинтегрировано следующим образом. Пусть

h = k

Р^Р^— Pr, (py)w (pa)w ^ + ^w ( и2 \•

Р^

Р^

Рг/ (рк)®— hw — Рр qw

Тщ/ И- (P^)w ы*

тогда уравнение (8.8) примет вид

-^ + ^(k)^=Q(«).(8.9)

Его решением будет

^- = ^( J^Q^+Сз).(8.Ю)

где

R = exp ( | Pdu^(8.11)

и

С3— постоянная интегрирования.

Используя соотношение (8.10), в котором С3 исключается в результате интегрирования в заданных пределах м = 0 и u = uL, получаем решение уравнения (8.8) в ламинарном подслое. Используя соотношение (8.10), в котором Сз исключается в результате интегрирования в заданных пределах u = uL и м = ме, получаем решение уравнения (8.8) в турбулентном слое. Исключим Hl из

получившихся двух уравнений и разрешим их относительно 2CH/Cf. В результате для Ргт = 1 получим

(8-12)

и

где

_(Р<0ю

и

°5

т®

реие (С//2)

\О1 V

2

Г=="^(7г —^).(8Д5)

Когда S5 —>0, соотношения (8.12) и (8.13) сводятся к следующим:

2С„1

п>(8-16)

СЛ 1+(Рг-1)м£/меV ’

г0=1 + (Рг-1)(^) ,(8.17)

что находится в полном согласии с соотношениями (7.56а) и (7.56в) для нулевого массообмена, так как Ргг = 1 и а = 0 соответствуют случаю, когда нет массообмена или диссоциации. В этом пункте индексом 0 отмечаются величины при нулевом массообмене.

Соотношение (8.12) дает явную связь между Сн и С/, которая зависит от параметра массообмена В5 и от отношения uL/ue. Соотношение (8.13) дает зависимость коэффициента восстановления от параметра массообмена В5 и отношения uLlue. Становится очевидным значение скорости uL на границе ламинарного подслоя. Эти соотношения впервые были получены Рубезиным1).

') См. R u b е s i n М. W., NACA TN 3341, 1954.

На рис. 8.1 представлена зависимость 2CHjCf от S5 для различных значений ujue. На рис. 8.2 дается зависимость г от S5 для различных значений uL]ue. Будет показано, что эти графики могут быть также использованы в связи с уравнениями, которые вводятся в следующем пункте.

Рис. 8.1.Рис. 8.1.для Рг = 0,70 идля Рг = 0,70 ивычисленная с помощью соотношения* (8.12), Ргг = 1,0.вычисленная с помощью соотношения* (8.12), Ргг = 1,0.Зависимость отношения ЧС^С^ от параметра вдува В5,Зависимость отношения ЧС^С^ от параметра вдува В5,

Рис. 8.1.

Рис. 8.1.

для Рг = 0,70 и

для Рг = 0,70 и

вычисленная с помощью соотношения* (8.12), Ргг = 1,0.

вычисленная с помощью соотношения* (8.12), Ргг = 1,0.

Зависимость отношения ЧС^С^ от параметра вдува В5,

Зависимость отношения ЧС^С^ от параметра вдува В5,

Отношение скоростей иь!ие. Остается некоторая неясность, какое значение отношения ujue брать при использовании соотношений (8.12) и (8.13). Вообще говоря, мы можем принять, что отношение uL]ue ограничено неравенствами

а результаты экспериментов показывают, что при отсутствии массообмена оно сравнительно нечувствительно к изменению чисел Рейнольдса и Маха, Это последнее '

утверждение проверяется исходя из того, что в широком диапазоне изменения чисел Маха и Рейнольдса коэффициент восстановления турбулентного пограничного слоя Го остается сравнительно постоянным и равным прибли-

Р и с. 8.2. Зависимость коэффициента восстановления г от параметра вдува Bs, вычисленная с помощью соотношения (8.13), для Рг = 0,70 и Ргг= 1,0.

женно 0,88. Таким образом, из соотношения (8.17) для Рг = 0,72 имеем

0,28 — =1—0,88 = 0,12, \ /

ИЛИ

-^ = 0,65,(8.18)

что, согласно результатам измерений профилей скорости турбулентного пограничного слоя, является подходящим значением. Однако ввиду принятой здесь идеализированной двухслойной модели и ввиду того, что, как кажется, отношение uL)ue должно меняться с теплопере-

дачей (а возможно, и с массообменом), мы воздержимся от использования соотношения (8.18) в качестве определения отношения uL/ue и оставим это отношение в качестве параметра теории.

Влияние массообмена на коэффициент С/. Теперь мы переходим к определению влияния массообмена на коэффициент поверхностного трения для турбулентного пограничного слоя. Было сделано несколько интересных попыток получить теоретические выражения для влияния массообмена на поверхностное трение в турбулентном пограничном слое. Простейший подход, называемый иногда «теорией пленок»), был описан подробно в п. 3.5 и признается неудовлетворительным, так как при этом не делается различия между ламинарным и турбулентным пограничным слоем и пренебрегается утолщением пограничного слоя с добавлением массы.

Дорренс и Дор) использовали гипотезу Прандтля о длине смешения и вырожденное уравнение движения в виде (8.19) для получения закона распределения скорости, который затем использовался вместе с интегральным соотношением Кармана в соответствующем виде для получения закона локального изменения поверхностного трения, зависящего от Ме, TJTe, Ree и (ру)ю. Этот метод состоит в использовании выражений

/ du\2

и

для получения зависимости ы = ы(у), которая затем подставляется в соотношение

С =2—(8.20)

/ ds реиех '

для получения C/[Ree, TwfTe, Ме, (ру)ю/реые]. Величина 9 дается формулой (7.676), а для получения нужной связи

между р и и может быть использовано соотношение (7.32). Две произвольные постоянные (выше встречавшаяся постоянная К и постоянная интегрирования, получающаяся при интегрировании уравнения (8.19)) определялись из предположения, что окончательное выражение для С/, формула (8.20), должно совпадать с экспериментом, когда Ме = 0, Tw = Te и (ру)ю=О. По существу, в этой теории предполагается, что профиль турбулентной скорости остается применимым поперек всего пограничного слоя и что любая ошибка, получающаяся в результате пренебрежения точным распределением скорости в ламинарном подслое при вычислении интеграла для 9, скомпенсируется, если произвольные постоянные будут определены из условия согласования формулы (8.20) с экспериментом. Было показано, что теория Дорренса и Дора не согласуется количественно с экспериментом, за исключением случая Ме = 0, где разумно ожидать согласия, так как именно при Ме = 0 определялись произвольные постоянные).

Рубезин) дал теорию, которая согласуется с теорией Дорренса и Дора во многих деталях, за исключением метода вычисления произвольных постоянных. Рубезин использовал выражение для распределения скорости в ламинарном подслое, в котором одна из произвольных постоянных идентифицируется с толщиной ламинарного подслоя. Затем он рассмотрел три возможных значения для yL, выбирая окончательно то, которое лучше всего согласуется с результатами Микли и др.) при Ме=0. Он выбрал uL= 13,1[(С//2) (Г,,,/^)]1^ и определил yL, интегрируя уравнение (8.1) поперек ламинарного подслоя в предположении, что характеристики газа в подслое постоянны. Теория Рубезина, как можно было снова ожидать, хорошо согласуется с экспериментом2) при Ме = 0, так как именно при Ме = 0 в ней определялись эмпирические постоянные. Результаты теории Дорренса и Дора и теории Рубезина не отличаются заметно

при произвольном числе Маха и согласуются с экспериментом лучше всего при Ме = 0, что можно было предвидеть при детальном сравнении основных предположений этих теорий. Можно заключить, что эти теории могли бы быть улучшены при сверхзвуковых числах Маха, если бы были возможны измерения распределений скоростей в турбулентном пограничном слое при сверхзвуковых числах Маха внешнего потока и различном тепло- и массообмене. Численные расчеты, использующие эти теории, весьма громоздки, и затраченная на это работа не оправдывается точностью, которая получается. "

Влияние массообмена на коэффициент Cf. В этом пункте мы будем считать, что довольно сложные теории, описанные выше, дают хорошие результаты только при согласовании с экспериментом, и поэтому будет оправдано искать более прямой подход к задаче определения влияния массообмена на поверхностное трение в турбулентном пограничном слое. Далее, мы обратим внимание на наблюдаемый факт, что во внешней турбулентной части турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости наклон кривой и в зависимости от log у нечувствителен к скорости вдува. Чтобы получить этот вывод, Лидон), используя данные Микли и Девиса) для Ме = 0, построил график зависимости и от log у. Мы используем этот наблюдаемый факт, чтобы показать, что касательное напряжение в турбулентной части пограничного слоя равно касательному напряжению при отсутствии массообмена, если никакая масса, входящая в пограничный слой на поверхности тела, не достигает той части турбулентного ядра пограничного слоя, которая обладает вышеуказанным свойством. Эти выводы, кроме того, могут быть использованы для получения влияния массообмена на поверхностное трение в турбулентном пограничном слое при малых скоростях массообмена.

Мы поступим следующим образом: предположим, что в уравнении (8.1) при применении его к ламинарному подслою

I dQ II dQ

I ds || dy

и во всем подслое

Ц = Цш

И

■(py)~(py)w.

Тогда уравнение (8.1) примет вид

(8.21)

Интегрируя (8.21) и учитывая, что T = pw(du/t/z/)w=Tto при ы = 0, получаем

^(py^a^-g-.(8.22)

Предположим, что во внешнем пограничном слое (p-у) « (р-п)Л,

8 ^> Ц,

Тогда уравнение (8.1) для турбулентного пограничного слоя примет вид

-^ [(ру)Л и - pKV (^-)2] = 0.(8.23)

Используя условия на границе ламинарного подслоя

и — llL, p = pL = const,

У = Уь

и дополнительное условие, получающееся из уравнения (8.22),

уравнение (8.23) можно проинтегрировать и с помощью (8.24) получить

.,Гт + (рУ) и, 12/ du \2■

ИЛИ

(8.25а)

^(logy) К 1х ’

где

Ах = Р"1 {(Р^ (« - »J + ^LKX [2з£±£^П • (8.256)

Теперь, если du!d (log z/) = const и не зависит от ы л (py)w, то мы заключаем в соответствии с соотношениями (8.25а) и (8.256), что возможными объяснениями этого будут следующие:

(рУ)ь = 0, (8.26)

е. никакая масса, вводимая на стенке, не попадает в область, где dufd (log z/) = const.

2.2.Tw+ (рУ) w^L— (Tw) 0Tw+ (рУ) w^L— (Tw) 0(8.27)(8.27)

2.

2.

Tw+ (рУ) w^L— (Tw) 0

Tw+ (рУ) w^L— (Tw) 0

(8.27)

(8.27)

является постоянной, не зависящей от (py)w, где Tw= (тю)о, когда (ру)ю = О. Соотношение (8.27) является тем выражением, которое мы хотели получить для описания влияния массообмена на поверхностное трение. Его можно записать так:

(8.28)(8.14)(8.28)(8.14)^^ _С/ — 1

(8.28)

(8.14)

(8.28)

(8.14)

(т®)ос/„1 + в5 (“Д“е) ’

где, как и раньше,

у (рД w ие __ 2 (pv)w ,

Другой вид соотношения (8.28) может быть получен из (8.27) при Bi -> О

где, как было определено в гл. 3 [см. формулу (3.56)],

(8.30)(8.30)у _ (рУ)®Пе _ 2(ру)ю

(8.30)

(8.30)

1 (Tw)o ^Cfi 1

Параметр uLlue снова появляется и остается неизвестным за исключением того, что 0^uLlue^\ и uL/ue~0,65 при (py)w = 0.

Отношение скоростей uL/ue. Заранее не ясно, что используемое выше в соотношениях (8.28) и (8.29) отношение uL/ue совпадает с отношением скоростей в ламинарном подслое. Скорее, как показывает предшествующее рассуждение, ujue есть отношение скоростей для скорости в той точке пограничного слоя, выше которой массообмен не оказывает влияния на наклон кривой, дающей зависимость и от log у. Ясно, что при больших скоростях вдува некоторые жидкости, вводимые на стенке, могут проникать в турбулентное ядро пограничного слоя, и, таким образом, вышеприведенный анализ будет сомнителен. В действительности было бы счастливой случайностью, если бы и в случае больших скоростей вдува отношение иь(ие оказалось равным отношению скоростей на границе ламинарного подслоя.

Отношение скоростей иь(ие можно определить путем экспериментальных измерений скорости внутри турбулентного пограничного слоя при различных условиях вдува. В момент написания этой книги в распоряжении имелись такие данные только для Ме=О— данные Микли и Девиса. Эти данные могут быть использованы для определения uL{ue в случае Ме = 0, Тта]Те=\. Далее, мы обратим внимание на работу Туркотта '), который указал, что среди безразмерных отношений скоростей, которые могут быть использованы для установления связи между такими данными о скоростях, есть

и,,

(8.31)

w Ux

(8.32)

где

(8.33)

При этом уравнение (8.29) примет вид

(8-34)

Jo

и наклон результирующей кривой, которая, как можно надеяться, является прямой линией, дающей зависимость CflCfll от -uw, будет Ul- Используя данные Микли и Девиса для Ме=0 и рю = ре=р, можно построить зависимость С//С/о от -uw и подправить результаты с помощью соотношения (8.34) при

«2 = 12,4(8.35)

и при условии, что значения чз^ ограничиваются интервалом

0<< <0,031.

Для значений ^^ превышающих 0,031, данные Микли и Девиса отходят от простой линейной зависимости (8.34) для CflCfa, что, по-видимому, происходит в результате проникновения массы, вводимой на поверхности, в турбулентное ядро пограничного слоя и, следовательно, разрушается модель, использованная в этом анализе.

Величина Ul (8.35) довольно близка к величине и* на границе ламинарного подслоя при отсутствии массо- обмена. Большая часть специалистов считает это последнее значение и* лежащим между 11,5 и 13,5. Из формул (8.31), (8.33) и (8.35) получаем соотношение

иIс f V/2

=,(8.36)

справедливое по крайней мере при Ме=0. Кажется, что для скоростей вдува, таких, что т^, < 0,031, величина ujue, используемая в построенной здесь модели, близка к отношению скоростей на границе ламинарного подслоя при отсутствии вдува по крайней мере при Ме = 0. Заметим, что ожидаемая слабая зависимость отношения иь/ие от числа Рейнольдса подтверждается формулой (8.36), из которой следует, что отношение иь/ие пропорционально (Reg,)-1/™, Так как коэффициент С/, приблизительно пропорционален (Ree)-V=.

Сравнение с экспериментом. В момент написания данной книги не было набора экспериментальных данных, в которых все коэффициенты Сн, С) и г были бы измерены в процессе одного и того же эксперимента при сверхзвуковых числах Маха для течения в турбулентном пограничном слое при наличии массообмена. Однако были известны два различных эксперимента при одном и том же числе Маха внешнего потока, равном 3,20, которые дают такие данные. Паппас и Окуно) сообщали об измерениях CF на конусе для внешнего конического потока с числом Маха, равным 3,20. Бартл и Лидон) сообщали об измерениях величин г и Сн для течения на плоской пластинке при числе Маха внешнего потока, равном 3,20. Принимая предположение, что CflCj0 = CplCF, и что эти отношения для конуса при заданном числе Маха такие же, как для пластинки при том же числе Маха, мы получаем, таким образом, что. имеется полный набор экспериментальных данных при одном сверхзвуковом числе Маха Ме = 3,20 для сравнения с нашей теорией в том виде, как она изложена здесь.

Так как в лучшем случае анализ, приведенный в

этом пункте, должен рассматриваться как предварительный, то следует рассмотреть поведение асимптотических значений отношений СН!СН1) и г/г0 для малых значений параметров вдува. Для малых значений В^ имеем

С fи

(8.29) /ое

и, используя соотношения (8.12), (8.16) и (8.28) для Ss-> 0, получаем

С„1

~ 1 г , V-(8-37)

СН„ X + B5^LUe)

Однако из соотношений (8.14), (8.16) и (8.28) и определения для В2, данного ниже, имеем

Д5 = Д2 Н[(Рг-1)-52]^-(8.38)

гдегдеВ.В.Из соотношений (8.37) и (8.38) для малых получитьСН ~ 1В2 ^L^e)сн,1 + (Рг — 1) “£/“е ‘Из соотношений (8.13), (8.17) и (8.38) для находимИз соотношений (8.37) и (8.38) для малых получитьСН ~ 1В2 ^L^e)сн,1 + (Рг — 1) “£/“е ‘Из соотношений (8.13), (8.17) и (8.38) для находимВг можемВг можем(8.39)(8.39)малых Baмалых Ba(pv)wр и Сн "ve е н»

где

где

В.

В.

Из соотношений (8.37) и (8.38) для малых получить

СН ~ 1В2 ^L^e)

сн,1 + (Рг — 1) “£/“е ‘

Из соотношений (8.13), (8.17) и (8.38) для находим

Из соотношений (8.37) и (8.38) для малых получить

СН ~ 1В2 ^L^e)

сн,1 + (Рг — 1) “£/“е ‘

Из соотношений (8.13), (8.17) и (8.38) для находим

Вг можем

Вг можем

(8.39)

(8.39)

малых Ba

малых Ba

о~ ^1-(1_Рг)(м^2И1_(1_рг^(6-™)

Вычисление величин по формулам (8.29), (8.39) и (8.40) для сравнения с данными Паппаса, Окуно, Барт- ла и Лидона можно начать, предполагая Рг=0,72, что является приемлемым для воздуха, и для определения величины отношения uL/ue использовать формулу (8.36). Сделав это, мы тотчас же увидим плохое согласие с экспериментальными результатами. Другой подход заключается в согласовании формулы (8.39) с данными Бартла и Лидона для определения величины отношения uLfue и использования ее затем в соотношениях (8.29) и (8.40). Этот последний метод дает проверку взаимной непротиворечивости этих трех соотношений, но, по-види- мому, подсказывает, что формула (8.36) дает неправильные значения отношения u.Jue при сверхзвуковых числах Маха. Если в формулах (8.29), (8.39) и (8.40) положить uL/ue = 0,305, то мы найдем, что эти формулы дают результаты, хорошо совпадающие с измерениями, как показано на рис. 8.3, 8.4 и 8.5. Эти формулы строго выполняются при Bt->0 и В2->0, и действительно, вблизи Bt = 0 и S2 = 0 достигается согласие с экспериментом, которое мы предвидели. Можно сделать вывод, что формулы (8.24), (8.39) и (8.40) не противоречат одна другой, потому что есть два набора данных, но формула (8.36) не дает правильного значения отношения uLlue для использования в этих уравнениях.

Некоторое улучшение использования формулы (8.36) для предсказания величины отношения и^и-е получается,

^Ир^/РА^о.

Рис. 8.3. Сравнение результатов расчетов по формуле (8.29) с результатами измерений среднего поверхностного трения на конусе при Ме = 3,20.

6г = ^Рик/Реиесно

Рис. 8.4. Сравнение результатов расчетов по формуле (8.40)с коэффициентами восстановления, измеренными на плоскойпластине, при Мг = 3,20.

(8.41(8.41Тогда из формул (8.31), (8.35) и (8.41), используя е (8.35) константу, равную 11,5, получаемТогда из формул (8.31), (8.35) и (8.41), используя е (8.35) константу, равную 11,5, получаем

(8.41

(8.41

Тогда из формул (8.31), (8.35) и (8.41), используя е (8.35) константу, равную 11,5, получаем

Тогда из формул (8.31), (8.35) и (8.41), используя е (8.35) константу, равную 11,5, получаем

если при определении Ux в формуле (8.33) используется неопределенная приведенная плотность pz(p'>Pw), т. е

и величина Т' может быть идентифицирована, например с «приведенной температурой» Эккерта '). Она равна £ = 1 +0,038М; 4-0,50 & — 1).(8.43

Если для определения величины отношения uL!ue пог Ме = 3,20, 74/Те = 2,85 и Rex~6-106 мы используем (Ьог-Если для определения величины отношения uL!ue пог Ме = 3,20, 74/Те = 2,85 и Rex~6-106 мы используем (Ьог-Р и с. 8.5. Сравнение результатов расчетов по ф> с местными коэффициентами теплопередачи. измг плоской пластине, гР и с. 8.5. Сравнение результатов расчетов по ф> с местными коэффициентами теплопередачи. измг плоской пластине, г

Если для определения величины отношения uL!ue пог Ме = 3,20, 74/Те = 2,85 и Rex~6-106 мы используем (Ьог-

Если для определения величины отношения uL!ue пог Ме = 3,20, 74/Те = 2,85 и Rex~6-106 мы используем (Ьог-

Р и с. 8.5. Сравнение результатов расчетов по ф> с местными коэффициентами теплопередачи. измг плоской пластине, г

Р и с. 8.5. Сравнение результатов расчетов по ф> с местными коэффициентами теплопередачи. измг плоской пластине, г

мулу (8.42) вместо (8.36), то получим, что Этот результат является более удовлетвооЕ

’) См. Eckert Е. R. G., /, Aeronaut. ScL, — (1955),

подтверждает использованное здесь понятие приведенной температуры.

В заключение можно предложить для вычисления связи между Сц и Cj в турбулентном пограничном слое при наличии массообмена использовать формулу (8.12) (или рис. 8.1), а для вычисления коэффициента восстановления г использовать формулу (8.13) (или рис. 8.2); значение отношения иь1ие вычисляется с помощью формул (8.42) и (8.43). Нужно помнить, что результаты, полученные путем использования формул (8.12), (8.13) и (8.29), чувствительны к выбору величины отношения udue, и сомнительно, чтобы формула (8.42) давала точные значения отношения uLfue, за исключением значения при Ме=0.

8.4. Влияние химических реакций при наличии массообмена. В этом пункте мы рассмотрим случай, когда в сжимаемом турбулентном пограничном слое происходят массообмен, диффузия и химические реакции. Влияние как экзотермических, так и эндотермических химических реакций может быть рассмотрено в рамках методов, представленных в этом пункте. Для иллюстрации использования полученных соотношений будет дан пример численного расчета.

Напомним, что результаты гл. 7, в которой рассматривалось влияние диссоциации на сжимаемый турбулентный пограничный слой, указывают, что при условии, что стенка является каталитической для процесса рекомбинации, теплопередача к стенке остается сравнительно нечувствительной к тому, происходит ли рекомбинация внутри пограничного слоя (химическое равновесие в пограничном слое в этом отношении является экстремальным) или на поверхности (замороженный пограничный слой с равновесной диссоциацией на стенке— второй предельный случай для скоростей химических реакций газов). Аналогичный результат был получен для случая ламинарного пограничного слоя, рассмотренного в гл. 4. Эти результаты означают, что по крайней мере для одной химической реакции в газовой фазе, — процесса диссоциации, — теплопередача к стенке

является сравнительно нечувствительной к тому, где происходит химическая реакция, при условии, что на поверхности раздела и во внешнем потоке выполняются условия равновесия. Мы примем, здесь, что этот вывод применим для любой химической реакции в газовой фазе — экзотермической или эндотермической — при условиях, для которых применимы уравнения пограничного слоя. Это последнее ограничение исключает процесс горения, включающий зону пламени, нормальную или почти нормальную к направлению потока внутри пограничного слоя. Однако несколько важных явлений химических реакций в газовой фазе, происходящих на поверхности, вдоль которой течет газ, или вблизи нее, включаются в рамки представленной теории и совместимы с предположениями, сделанными при ее построении.

Имея в виду результаты предшествующего обсуждения, мы построим теорию реагирующего сжимаемого турбулентного пограничного слоя, включающую предположения о том, что все химические реакции происходят на поверхности или границе раздела между газовым слоем и твердой или жидкой фазой и что никакие реакции не происходят внутри самого газового слоя. В соответствии с этими предположениями продукты химических реакций и исходные вещества будут распространяться по газовому слою только путем диффузии. Будет показано, что эти предположения приводят к исчезновению члена йн из уравнения диффузии, что в значительной степени упрощает получение решения уравнений пограничного слоя. Приступая к этому, мы начнем с предположений о тонком пограничном слое, которые использовались в предыдущем пункте, т. е. относительно любой зависимой переменной Q внутри пограничного слоя выполняется неравенство

I dQ I I dQ I

I ду | I ds |

ру = (py)w.

Наши уравнения пограничного слоя переходят в уравнение сохранения компонентов')

^ИЛ-^ = 0,

(8.44а)

уравнение сохранения количества движения

^[(р<«-Ч = о,

(8.45а)

и уравнение сохранения энергии

^IW- G] = 0,

(8.46а)

где

Л = рР12 + ^)^.

(8.446)

(8.456)

и

р’+рЛ+Н1 Л'(' PrJ

1 du , и-д—Н

J duj

+

' с„^е ,)+C,/Ler ^ЕЛ-

(8.466)

с граничными условиями ci==k.C^ I = IW, ^2 = Лк,. t = tw,

■ G = — qw при « = О,

и = Uc.и = Uc.' Cz = (Ce)e, I — Ie, F2~Q, t = 0, 0 = 0 при

и = Uc.

и = Uc.

Воспользуемся теперь понятием парциальной энтальпии /у, введенным в гл. 5, т. е. пусть

If = I-^Ct№p(8.47)

*) Упрощенные уравнения турбулентного пограничного слоя (8.44а) — (8.466) и упрощенные уравнения ламинарного пограничного слоя (5.24), приведенные в п. 5.4, являются примерами обобщения уравнений для установившегося конвективного массообмена, полученных Сполдингом. (См. S р а 1 d i n g D. B„ Intern. I. Heat and. Mass Transfer, 1 (2, 3), 192—207 (I960).) Важно отметить, что обобщение возможно только в тех случаях, когда параметры переноса постоянны, Le=Lej = l, а диссипацией за счет вязкости и градиентом давления можно пренебречь. -

далее определим величину

g/ = T"(8-48)

и безразмерную химическую энтальпию

Тогда можно показать, что

—— (9^ — kq^V(8-50)

где скорость конвективной теплопередачи есть

-(».). = и,х (w<8-51)

а скорость диффузионной теплопередачи

•(8-52)

\ 1/ е

Теперь объединим соотношения (8.47), (8.48) и (8.44а) — (8.52) для получения соотношений между — (<7^, kq^d и тю при условии, что массообмен и химические реакции происходят на поверхности.

Уравнения для 2CHJCf и г. Умножим уравнение (8.44а) на h°t и просуммируем по всем компонентам I. Вычтем получившееся дифференциальное уравнение из уравнения (8.46а), в которое подставлены выражения (8.47) и (8.48). В результате получим d Г/ р е \ dgf

"dy ((P^w^/+ pr?.) "dy

-К'-^+^’-тетЯг^^}”0' <8-и>

где при выводе (8.53) было принято, что

5>< 4g - 2 ^4g = S ( К "Ш = °- <8^ iIZ Xq/

Этот последний результат, полученный для большей части атомных и молекулярных компонентов, вероятно, будет интересным для нас, потому что Ср. « const — Ср, откуда

2 (7с-dT W=(fс- - °.

z Хо /Хо / Z

так как 2 Ct = 1.

Кроме того, из уравнений (8.44а) и (8.45а) имеем

^ [(p-n)m z - р(О12 + Ог) ^ = 0.(8.55)

Проинтегрируем уравнения (8.45а), (8.53) и (8.55) один раз и воспользуемся граничными условиями для исключения постоянных интегрирования. В результате получим

(р^и +-Tw = T = (p + e)-^-, (8.56)

/ Ц е \ dg, Г /1 \

(P^w g/ —+ "piyJ

+ «ф ~чУ^^^^Ита^^(8-57)

и

(p^Lz — р (D12 + DT^ =(p-u)w zw + 7^7-ог- (9w)tf-(8.58)

Деля уравнение (8.57) на (8.56), получаем дифференциальное уравнение вида (8.9), .полученное ранее. В уравнении (8.9) мы полагаем

X = gr(8.59)

(8.60)

'(рУ)а,« + тф'’

О /Рг‘" (рУ)™ Vg^ + [Pfi/Ml Prz - 1 I W" |(р^« + тш— + "(7Д 11 / ' (8'6!)

где в формулах (8.60)и (8.61) для ламинарного подслоя O^u^Ul, е = х = 0 и Рг4 = Рг

и для турбулентного внешнего слоя UiXll4lle, р = Й = О И РГг=1.

Используя соотношения (8.59) — (8.61) совместно с уравнениями (8.9) — (8.11), мы получаем два уравнения для gf(u), применимые в ламинарном подслое и турбулентном ядре. Постоянная интегрирования С3 определяется из уравнения для gp(u) в ламинарном подслое путем использования граничного условия gf=(gf)re при и = 0 и из уравнения для g/(u) в турбулентном слое путем использования граничного условия gj=Vg^e ПРИ U = Ue. Исключим ^g^L = gikui^ из Двух уравнений и получившееся уравнение разрешим относительно 2Сн ICf. В результате получим

''Нс ^

С/ (l + B5)[l + S5(M^J]pr-i_i '

где, как и раньше,

5 Ь^9e^e^f

г = 4 [(/z)r - (/Д] + 1 = 4 (Л - he\ (8.62)

.иеUe

а величина Снс определяется равенством

— tic = Снсреие [(^/)г — V/М-(8.63)

Эти результаты полностью совпадают с результатами, полученными в п. 8.2 для влияния массообмена на турбулентный пограничный слой химически не реагирующего сжимаемого газа, и в действительности равносильны независимому выводу соотношений (8.12) и (8.13).

Соотношение для 2CHd/Cf. Рассмотрим теперь вывод соотношения для 2ChJC;. Деля уравнения (8.58) на (8.56), получаем дифференциальное уравнение вида (8.9), причем в этом случае

X = z,(8.64)

(8-65)

Smz (^Vw + [ Smi/Clh<i) l(4w)d

Q (и) =, \ , V—■ (8-66)

(P«)w» ~b ^w

а в формулах (8.65) и (8.66) в ламинарном подслое

О^п-^Ыь, е=х = 0 и Sm, = Sm,

в турбулентном ядре

uL^u^.ue, p = k = 0 и 5т<=1.

Воспользуемся соотношениями (8.64) — (8.66) и (8.9) — (8.12) для получения двух уравнений для г(и): одного, применимого в ламинарном подслое (О-^u^Ul), и другого, применимого в турбулентном ядре ^Ul^-u^u^ . Исключим постоянную С3 в первом путем использования граничного условия г = г„ при и = 0 и во втором путем использования граничного условия z = ze при и = ие. Исключим затем zl = 2^Ul) из двух этих уравнений и разрешим получившееся уравнение относительно 2CHd/Cf. В результате получим

^ =^г—i,(8.67) с/ (i + ^Il + ^^Jl -1

Sm — число Шмидта =

Р^12

Здесь Снй определяется уравнением

- Юи = CHd9eue { s №l [(С,), - (С,Ц .(8.68)

Теплопередача в пограничном слое. Из соотношения (8.50)

Чщ^^ (^w)e kq^d’(8.50)

используя (8.12), (8.63), (8.67) и (8.68), получаем

9«>2 Ре^е

(8.69)(8.69)

(8.69)

(8.69)

или, так какили, так как(8.47)(8.47)то соотношение зом:то соотношение зом:(8.69) можно записать следующим обра-(8.69) можно записать следующим обра-2С2СЧто 2 Ре^е С^Что 2 Ре^е С^

или, так как

или, так как

(8.47)

(8.47)

то соотношение зом:

то соотношение зом:

(8.69) можно записать следующим обра-

(8.69) можно записать следующим обра-

2С

2С

Что 2 Ре^е С^

Что 2 Ре^е С^

ссM(co,-(caj IM(co,-(caj I/г h^/г h^|, (8.70)|, (8.70)

с

с

M(co,-(caj I

M(co,-(caj I

/г h^

/г h^

|, (8.70)

|, (8.70)

где

с/ (i + b5)[1 + b5(W)]p--1 ’ Ч0 + 85)11+ 55№)]Рг-'-1СНс 0 + 55)[1 + 55(“+“JlSm~1-1 ’с/ (i + b5)[1 + b5(W)]p--1 ’ Ч0 + 85)11+ 55№)]Рг-'-1СНс 0 + 55)[1 + 55(“+“JlSm~1-1 ’и из соотношения (8.13) имееми из соотношения (8.13) имеем

с/ (i + b5)[1 + b5(W)]p--1 ’ Ч0 + 85)11+ 55№)]Рг-'-1

СНс 0 + 55)[1 + 55(“+“JlSm~1-1 ’

с/ (i + b5)[1 + b5(W)]p--1 ’ Ч0 + 85)11+ 55№)]Рг-'-1

СНс 0 + 55)[1 + 55(“+“JlSm~1-1 ’

и из соотношения (8.13) имеем

и из соотношения (8.13) имеем

Проверим непротиворечивость соотношений (8.70) и (7.89) для химически не реагирующего пограничного

слоя без массообмена. Можно показать, что в пределе (если uL/ue=2/3), когда В5—>0

1

Су1 + (Рг-1)№)•

GHd1+(Рг— l)(u^/ue) ~ рг2/3

Снс 1 +(Sm— Щи 1.1%) ~ Sm’/з ~ г->1+(1 — Рг)^ «Рг1/3,(8.74)

и, таким образом, получается соотношение -qw^ РА Pr -2/3 Щ - М [ 14- (Le?/3-1) т^Д . (8.75) точно совпадающее с (7.89), в котором использованы (7.88) и (7.92).

На рис. 8.1 и 8.2 изображены графики зависимости г и 2Ch /Щ от В5 для характерных значений uLlue и Рг = 0,70. На рис. 8.6 изображено отношение Сн^С» в зависимости от параметра В6, который равен

Переменное В6 выбрано потому, что оно встречается в полезном выражении для qs, которое еще будет выведено. При подготовке рис. 8.6 предполагалось, что Рг = 0,70 и Sm = 0,50, что является приемлемым для газовой смеси, состоящей из молекул и атомов, молекулярные и атомные веса которых близки к весам компонентов воздуха или простых молекул, таких, как СОг, СО, ВО2. Когда используются легкие газы, такие, как гелий или водород, выбор значений Рг и Sm будет зависеть от фракционной пропорции легкого газа к остальным компонентам в пограничном слое, и эти величины становятся переменными в пограничном слое. Рубезин и Паппас1) рассмотрели влияние инжекции легкого газа, такого, как Не или Н2, в изотермический пограничный слой воздуха, что ясно продемонстрировало зависимость величин Рг и Sm от фракционного

') Rub esin М. W., Pappas С., NACA TN 4149, 195g.

содержания Не или Н2 в пограничном слое. Этот случай не будет здесь рассматриваться, мы только укажем, что он может быть обработан аналогично тому, как это де лается в настоящем пункте, с дополнительным требова нием, что используемые значения чисел Прандтля г

Рис. 8.6. Зависимость отношения СИ^СН отРис. 8.6. Зависимость отношения СИ^СН отпараметра вдува В6,параметра вдува В6,вычисленная с помощью соотношения (8.71). Параметр В6 связан с В5 формулой (8.113). Вычисления проводились для Рг = 0,70, Sm=0,5, Рг = 1,0 и Smr=l,0.вычисленная с помощью соотношения (8.71). Параметр В6 связан с В5 формулой (8.113). Вычисления проводились для Рг = 0,70, Sm=0,5, Рг = 1,0 и Smr=l,0.

Рис. 8.6. Зависимость отношения СИ^СН от

Рис. 8.6. Зависимость отношения СИ^СН от

параметра вдува В6,

параметра вдува В6,

вычисленная с помощью соотношения (8.71). Параметр В6 связан с В5 формулой (8.113). Вычисления проводились для Рг = 0,70, Sm=0,5, Рг = 1,0 и Smr=l,0.

вычисленная с помощью соотношения (8.71). Параметр В6 связан с В5 формулой (8.113). Вычисления проводились для Рг = 0,70, Sm=0,5, Рг = 1,0 и Smr=l,0.

Шмидта зависят от массовых концентраций компонентов легких газов, присутствующих в пограничном слое.

Прежде чем приступить к выводу выражения для qs — скорости полной теплопередачи к жидкой или твердой поверхности, укажем здесь, что, как и раньше, неизвестным параметром в соотношении (8.69) является отношение uLlue. Отношение иь!ие является весовым множителем, который входит как определение той части пограничного слоя, в которой преобладают переносные свойства ламинарного течения. Если иь1и-е=Х, то пограничный слой полностью ламинарный, и вышеприведенные уравнения для utJue=\ сводятся к уравнениям, они-

сывающим ламинарное течение Куэтта с массообменом и химическими реакциями на границе потока.

Лапин1) рассмотрел влияние химических реакций на поверхностное трение и теплообмен в сжимаемом турбулентном пограничном слое методом, до некоторой степени подобным описанному в п. 8.3 и настоящем пункте. Влияние массообмена на коэффициент поверхностного трения рассмотрено аналогично тому, как это сделано в теории Дорренса и Дора, описанной в п. 8.3. Предполагалось, что химические реакции происходят на бесконечно тонкой реагирующей поверхности внутри пограничного слоя, так что реагирующие вещества поступают на эту поверхность в стехиометрической пропорции и одно из реагирующих веществ полностью расходуется там. Это предположение аппроксимирует предположение о химическом равновесии на реагирующей поверхности. Так как влияние химических реакций на поверхностное трение и теплообмен не зависит от положения реагирующей поверхности в первом приближении, то метод Лапина и метод, приведенный в этой книге, при Le=Pr = 1 должны давать одинаковые результаты. Лапин не приводит никаких численных результатов.

8.5. Полный тепловой поток через поверхность. Рассмотрим теперь полный тепловой поток из пограничного слоя внутрь тела с испаряющейся или сублимирующей жидкой или твердой поверхностью. Можно показать, что на поверхности раздела при отсутствии излучения

Ъ = — 4W + (P^L [Ае (s)L — (P-у Vw. (8.76)

Первый член в правой части (8.76) представляет теплопередачу за счет диффузии, конвекции и теплопроводности от реагирующего пограничного слоя к границе раздела. Второй член выражает обратный поток тепла, приходящий к границе раздела и обусловленный плавлением, химическими реакциями или испарением. Последний член представляет тепло, переносимое от границы раздела внутрь пограничного слоя за счет потока массы

’) См. Лапин Ю. В., Журнал техн, физики, 30 (10), 1227— 1237 (1960).

20 У. X. Дорренс

от поверхности раздела. Если рассматривается перенос массы через твердый неплавящийся пористый материал, второй член представляет тепло, переносимое к границе раздела жидкостью, которая используется как охладитель.

Уравнение теплообмена. Если на границе раздела происходит испарение или сублимация, то для нашего испаряющегося материала с химическим символом Е

(Ле )№ - [Ле (g)]w = [ЛЕ (s)]w + U(8.77)

где Lo — теплота испарения. Объединяя соотношения (8.69), (8.76) и (8.77), получаем

Ч. - МЛ», (('А +(/,). + ^ { SI-1 [(С,), - (СХ | - -В6ЛЮ + В6(ЛЕЦ-В3^), (8.78)

где величина В6 связана с В3 соотношением

Далее, так как Ср~ const, то в соответствии с использованным ранее соотношением (8.54) имеем

2 Л? {(G)e - (CJJ~ 2 (AJW UC^ - (CZ)J, (8.80)

и формулу (8.78) можно записать следующим образом:

(8.81)(8.82)(8.81)(8.82)= ».«.Сн. М [1 + (-^ - 1) -^ - В. где

(8.81)

(8.82)

(8.81)

(8.82)

A/ = (/z)r-(/z)№ + Ac>

а потенциал химической энтальпии hc определяется формулой

hc = .2 (h^ ^ ~ 0 + В6) (С,)»,] +

+(Ae)w[B6-(1+56)(CeU (8.83)

Выражение (8.81) аналогично во всех деталях вы

ражению (5.53), определяющему влияние переноса мае-

сы с поверхности и химических реакций на полный поток тепла из ламинарного пограничного слоя к твердой или жидкой поверхности. Используя результаты п. 3.3, можно показать, что

^ AQEj[(C.0eHl + £6)(Cj-rj,Ej^

J = O, N

+ ^ AQej2 [(Cj)e - (1 + S6) (Cj - rj, fj2CEj2)w] - J = O

- 2 |AQ^Cj2)eHl+S6)(QU (8.84) J = O, N

где для большей части интересных случаев концентрация вещества Е и продуктов химической реакции равна нулю на границе пограничного слоя, и где величина AQ получается из соотношения (3.8).'

Влияние массообмена неподобных газов на величину Ср Прежде чем проиллюстрировать использование соотношения (8.81) для численного расчета, рассмотрим вопрос об изменении С/ с массообменом при инжекции в пограничный слой одного газа других, неподобных ему газов. Напомним, что результаты предыдущего пункта относились исключительно к изучению влияния массообмена на Ср когда некоторый газ инжектируется в пограничный слой того же или подобного ему газа. Для таких условий было найдено, что приближенно при В, —0

С,и.

f^X-B,^.(8.29)

/ое

где основной неизвестной величиной является отношение скоростей uLfue. Так как анализ, на котором основывается (8.29), является в лучшем случае предварительным, то маловероятно, что выражение, аналогичное по форме (8.29) и учитывающее тот факт, что в пограничный слой вводится неподобный газ, будет сколько-нибудь более точным, чем соотношение (8.29) при условиях, при которых разумно ожидать, что (8.29) применимо. Возможно, самое лучшее положиться на корреляцию, основанную на экспериментальных измерениях и на нескольких

теоретических расчетах, которые были сделаны для турбулентного пограничного слоя, когда в пограничный слой инжектируется неподобный газ. Такая корреляция была дана Хартнеттом, Масоном, Гроссом и Гезли) и может быть представлена следующим соотношением. Если отношение С//С/о является одним и тем же для двух случаев: 1) один газ вдувается в другой, подобный ему, 2) один газ вдувается в другой, неподобный ему газ, тогда корреляция экспериментальных и расчетных данных при

2<МЬ М2<120 дает

Si (Mi) M

где Mi — молекулярный вес газа, образующего пограничный слой, и Мз — молекулярный вес инжектируемого газа. Подставляя (8.85) в (8.29), получаем

С. IMAWu,

= \ — B^MA НгА — • (8.86) СЛ а ие v '

Когда М2 = МЬ соотношение (8.86) превращается в (8.29). Ясно, что для очень легких газов, инжектируемых в газ, подобный воздуху (M2<Mi), величина С/ для заданного значения параметра вдува В^ будет несколько меньше, чем та, которая получилась бы, если бы воздух вдувался в воздух. Это можно объяснить тем, что легкие газы обычно имеют более низкую вязкость, чем воздух, и вдувание легкого газа в пограничный слой приводит к скоплению большей части легкого газа около поверхности, что, таким образом, уменьшает поверхностное трение, а следовательно, и С/. Совершенно противоположный результат получается, когда тяжелый газ вдувается в воздух (M2>Mi).

Простой пример расчета. Теперь мы проиллюстрируем использование соотношения (8.81) на примере. Рассмотрим случай течения (горячего) атомарного кис-

’) См. Hartnett J. Р., М a ss о n D. J., Gross J. F., G a z-

лорода вдоль сублимирующей графитовой поверхности. Предположим, что присутствуют только три компонента: С, О и СО. Такой случай является гипотетическим, но тем не менее полезным для иллюстрации использования выведенных соотношений. Наша цель при выборе гипотетического случая заключается просто в сохранении постоянного числа введенных компонентов, так как увеличение числа компонентов не изменит существенно метод, используемый для решения таких задач. Нам нужно вычислить влияние экзотермической реакции

С (g) + О (g)-> СО (g) + AQC0 (8.87)

на полную теплопередачу к графитовой поверхности. Мы хотим получить значение отношения qslk.qs^o, используя соотношение (8.81), где (^s)0—полная теплопередача к графиту при отсутствии реакции, описываемой формулой (8.87). Это отношение будет

где индексом 0 отмечены величины, получающиеся при отсутствии химических реакций и массообмена.

Теперь мы приступим к вычислению различных членов в этом соотношении, используя исходные данные, приведенные в табл. 8.1. 'Таблица 8.1

Физико-химические константы и параметры, используемые в примере числового расчета (Предположим: Ц^е — (//)w = 6500 Btu/^унт, К3 и Кв в атмосферах, Т в градусах Рэнкина)

ре=1 атм,AQCO = 28 800 Btu/gOyz^zra О,

Тта = 6000° R, Ly = 25 500 Btu/g6yHm С, Le=l,4,Мс =12,

Рг = 0,70,Л10 = 16,'

Sm = 0,50, Мсо = 28,,

, /Кз\2,37607 ■ 105 РсРо

\ 3.0172 • 107 J ~ Т— Рсо’

/Ке\1,55372.10s

" ( 1,3596 • 10s / ~ Т ' Рс-

Из соотношения (8.84), где Е = С, J = O и J2 отсутствует, мы имеем

hc = AQco [(^oL O + ^XCo ro, coCco)J- (8.89a) и, чтобы приступить к вычислениям, очевидно, мы должны получить В3, В6, (Со)ю и (Ссо)щ. Величины Ссо и Со связаны с Go формулами

(Со)е = (Со)е + го, со(Ссо)е>(8.896)

(Co)w = (Co)w + го, со (Cco)w (8.89в) Массовая концентрация компонентов. В нижеследующем мы предположим, что реакция идет до конца на поверхности и что равновесные концентрации определяют параметры массообмена В3 и В6. Как будет показано ниже, мы можем использовать равновесные концентрации на поверхности для определения массовой концентрации компонентов.

Как было определено в п. 5.7 для химической реакции, заданной уравнением (8.87), константой равновесия будет

^ = Кз(П(8.90)

Кроме того, для сублимации графита

Рс = К6 (Г)(8.91)

и по закону Дальтона

^Р1 = Р0А-ртоА-рс = Ре,(8.92)

так как давление остается постоянным поперек пограничного слоя. А также, поскольку мы предполагаем, что все газовые компоненты ведут себя как совершенный газ, то

Pi=^T-(8‘93)

Кроме того, для сохранения массы необходимо, чтобы

S Ct~ — 1 — Со + Ссо + Cq ,(8.94)

где

С^.(8.95)

Объединяя соотношения (8.90) — (8.95), можно показать, что массовая концентрация компонентов

Ct = ptMtx,(8.96)

и, если Na— число Авогадро и Мг = пцМа, то

X^^^V1,(8.97)

и необходимые парциальные давления определяются путем решения соотношений (8.90) — (8.92). Они равны

Ас ~ К6,

п ^бРе ~~ ^6■ -о по\

^со~ Кз + ^б ’<8’98)

п КзРе — К3К6

к3 + к6 ■

Вышеприведенные формулы определяют Со, Сс и Сс0 на поверхности, если давление ре и температура на поверхности заданы и если предположить, что реакция идет до конца на поверхности.

В результате вычислений для ре=1 атм и Tw = 6000°R получаем

(Ссо)го~1, (Ссо)е = 0,

(CO)w~0,(Со)е=1,

(Сс)ю«0, (Сс)е = о.

Параметр массообмена Вв. Для определения параметра вдува В6 мы должны использовать уравнение сохранения компонентов на поверхности раздела. То есть из уравнения (3.19), которое применяется в данном случае, для сохранения массы на границе раздела должно выполняться равенство

Для получения Вв уравнение (8.99) может быть объединено с соотношением между z и Сс- Из уравнений (8.44а) и (8.446), изменяя индекс i на к, имеем

^[(pf).C1-p(D„ + Dr)^] = 0,

или интегрируя по у и определяя постоянную интегрирования при у = 0, получаем

(P^L Си - Р фп + DT^ = (р-и)ю - (р/?12 ^m,

(8.100) "но

Сг = 2гг,А-(8.101)

следовательно, объединяя (8.100) и (8.101), мы находим

И№ С, -Р фИ фОт^ = (P^)w ф^ - U124g-) .

(8.102)

Из уравнений (8.52) и (8.58) имеем

(p^)w z - р фп + DT) ^ = фи^- ^-^, (8.103)

отсюда следует, что интегралом уравнения (8.102) будет

(£ ) __ 2(С/)е (Q)w । (CQ^gg (Q)egw (g 104)

что может быть проверено подстановкой в (8.102). Таким образом, дифференцируя (8.104) и вычисляя результат при у = 0 для j = C, мы получаем

/ dCc \(Сс).— (Сс) / dz \

z -z W- (8-105)

а используя соотношения (8.52) и (8.68) в (8.105), имеем

(р^12-^-]ю = [(Сс)е—' (Cc)w] Сн^реИе-(8.106)

Объединяя (8.99) и (8.106), мы получаем искомое выражение для В6 через концентрации компонент на стенке

о(^c)ty(Сс+гС, СО^Ср)^ /о 1074

6’ !-(Cc)w ~ 1-(Сс + гс, coCco)w '‘

Используя ранее определенные концентрации и значения Мс и Мео, приведенные в табл. 8.1, мы получаем для нашего примера

12

.=(8.108)

128

Интересно отметить, что соотношение (8.104) может быть получено непосредственно из (2.107) и (2.114) и применено, вообще говоря, к уравнениям ламинарного и турбулентного пограничного слоя только с одним ограничением, что wt = 0 (замороженный поток).

Потенциал химической энтальпии hc. Используя результаты, полученные для (ССо)ю, (Сс)ю, (Со)№ и 56 вместе с величинами AQco, Мо и Мео, приведенными в табл. 8.1, и соотношение (8.89а), а также то, что для нашего примера (Со)ш»0, мы получаем

Лс=28 800 ВЫ1фунт,(8.109)

а так как табл. 8.1 дает разность (Д)е—(Д)ю как исходную величину, то

А/= 6500+ 28 800 = 35 300 Btu/фунг,(8.110)

А/о=65ОО Btu/^унл(8.111)

Далее, мы покажем, как вычисляется параметр массо- обмена В3. Величина В$ необходима для того, чтобы применить соотношение (8.88) в нашем примере.

Параметр массообмена В3. Параметр В3 находится путем использования соотношений для В3, В5 и В6. Из уравнения (8.79) имеем

B3 = ^LB6,.(8.112)

а из (8.14) и (8.79)

В^=-С> в«=^в«-<8Л13>

Чтобы получить выражения для В3 и В=, через известное

В6) можно преобразовать алгебраически уравнения (8.12), (8.71), (8.112) и (8.113). В результате получим

S6 =Ba=S6 =Ba=сс3 СД23 СД2р\ Sm — 1иДСД ие )г \Pr-lр\ Sm — 1иДСД ие )г \Pr-l— 1— 1С//2,С//2,'3 СД2 и,'3 СД2 и,— 1— 1(8.114)(8.115)(8.114)(8.115)

S6 =

Ba=

S6 =

Ba=

с

с

3 СД2

3 СД2

р\ Sm — 1

иД

СД ие )

г \Pr-l

р\ Sm — 1

иД

СД ие )

г \Pr-l

— 1

— 1

С//2,

С//2,

'3 СД2 и,

'3 СД2 и,

— 1

— 1

(8.114)

(8.115)

(8.114)

(8.115)

При заданной величине В6 уравнение (8.114) разрешается относительно 2.В3Снс]Сf = В5. Это значение ^ВаСнс!Ср используется в уравнении (8.115) для получения В3. На рис. 8.6 для Pr = 0,70, Sm = 0,50 и для различных значений uL]ue изображено отношение

5з

ВВ66С"=С"=

В

В

6

6

С"=

С"=

Этот график может быть использован вместо формул (8.114) и (8.115), когда рассматриваемой задаче соответствуют указанные значения Рг и Sm. Для нашего примера значения Рг = 0,70 и Sm = 0,50 являются вполне подходящими, и если предположить, что UlM = 0,60 и воспользоваться 56 = 0,75, то

(8.116)(8.116)53=0,98.

(8.116)

(8.116)

Отношение СуДСнД. Нам нужно вычислить отношение СнДСцД с учетом соотношения (8.29), и так как MG»Mo, оно будет равно

(Ч)о(Ч)оеснс/с4 (8J17)еснс/с4 (8J17)

(Ч)о

(Ч)о

еснс/с4 (8J17)

еснс/с4 (8J17)

Как только величина В5 становится известной, отношение 2CH!Cf дается соотношением (8.12). Вх = В5^Ср)Срй\

Следовательно, из уравнения (8.29) определяется и CjjCf^ когда Вз определено,

C#С» и,

(8J18)

Величина В5 связана с В3 соотношением (8.113) и определяется уравнением (8.114), как только В6 будет найдено. В приведенном примере при В6=0,75, Мь/ме = 0,6 и Sm = 0,5 находим по формуле (8.113)

2С„

В5 = -Т^ В3 = 1,38.

Далее, при В5=1,38 и uL/ue = 0,6 формула (8.118) дает

3^ = 0,547.(8.119)

Соотношение (8.12), или рис. 8.1, дает величину ^Сн’С) для В5=1,38, Рг = 0,7 и uL/ue = 0,6 и (2Сн/СД0 для Вз = 0, Рг = 0,7 и ujue — 0,6. Для этого случая мы находим

^Н141,

^cj[С^ = Т2Т — 1 -163-(8.120)

Следовательно, из формул (8.117), (8.119) и (8.120) для данного примера имеем

77^ = 1,163-0,547 = 0,635,(8.121)

VH=X

и это значение следует подставить в (8.88).

Результаты всех вычислений. Используя (8.108), (8.110) — (8.112), (8.116) и (8.121) и значение Lm данное в табл. 8.1, из соотношения (8.88) получаем

U-= {0,635) {5,43} (0,545) = 1,87.(8.122)

(4s)o

Скобки в соотношении (8.122) соответствуют последовательно скобкам в (8.88). Мы видим, что член массооб- мена действует в направлении уменьшения теплопередачи, член, содержащий hc, действует в направлении увеличения теплопередачи из-за экзотермической реак-

ции (8.87) и последний член уменьшает теплопередачу, так как реакция C(s)->C(g) является эндотермической. Ясно, что средний член преобладает и что в данном примере в результате экзотермической реакции

C(g) + O(g)->CO(g), происходящей в газовом слое, выделяется достаточное количество тепла, чтобы возместить уменьшение теплопередачи из-за массообмена и поглощение тепла при реакции C(s) —>C(g).

Метод, развитый в этой главе, полностью зависит от предположения, что все встречающиеся химические реакции идут до конца на стенке и не зависят от скорости реакции на стенке. Если стенка некоторым образом препятствует или замедляет химические реакции, то должны быть приняты во внимание члены, дающие зависимость от скоростей реакций, и представленный метод не применим.

Денисон*) дал метод для изучения влияния химических реакций на теплопередачу и поверхностное трение в сжимаемом пограничном слое, когда Pr = PrT = Le = = LeT=l. Метод Денисона может быть получен из анализа, развитого в п. 8.4 и 8.5, если числа Рг и Ее берутся равными 1 и связи между величинами 2CHJCp ^„JC, и г и параметрами вдува, определяемые формулами (8.12), (8.67) и (8.13) соответственно, берутся при нулевом вдуве и Pr = Prr = Le = Ler= 1 (т. е. если 2Снс/С/ = 1, 2Сца1Ср~\ и r= 1). Денисон использовал также приближение по методу Дорренса и Дора) для определения влияния массообмена на поверхностное трение. Если сравнить результаты вычислений Денисона с его экспериментальными данными, то отличие экспериментальных и теоретических данных по величине будет таким же, какое ожидается, если рассматривается отличие, получающееся при проведении вычислений по формулам (8.12), (8.67) и (8.13) для значений Рг= 1,0

’) См. Denison М. R., L Aerospace Sci., 28 (26) 471—479 (1961).

и Le=l,0 вместо более точных значений Рг=0,70 и Le = l,4 и для параметров вдува, равных нулю, вместо определенных конечных значений. Экспериментальные результаты, описанные Денисоном, наводят на мысль, что анализ, развитый в п. 8.4 и 8.5, дает результаты, хорошо согласующиеся с измерениями, хотя, прежде чем могут быть сделаны более общие выводы, желательны дополнительные экспериментальные данные. Указанные эксперименты Денисона заключались в продувании различных смесей О2 и N2 через индуктивно нагретый графитовый цилиндр и измерении температуры на графитовой поверхности и количества массы, потерянной в различные моменты времени в процессе экспериментов. Эксперименты проводились на модели, подобной гипотетической модели, выбранной для числового примера, приведенного в настоящем пункте.

Влияние формы тела и градиента давления. Все предыдущие пункты этой главы были посвящены изучению турбулентного пограничного слоя при различных условиях течения вдоль плоской пластины. Но естественно спросить, какие изменения в выведенных соотношениях должны быть сделаны, чтобы приспособить их к использованию в случае трехмерных поверхностей. Цель настоящего пункта заключается в изучении этого вопроса.

Кажется, что нет необходимости рассматривать турбулентный пограничный слой в критической точке тупого тела. Экспериментальные результаты указывают, что турбулентным пограничным слоям около тупых тел предшествуют области ламинарного течения, расположенные до точки перехода к турбулентному режиму, при условии, что рассматриваются течения в пограничном 'слое около достаточно гладких аэродинамических поверхностей. Данные Стетсона 1) указывают, что на затупленном теле точка перехода находится в звуковой точке или немного впереди нее, даже при наиболее неблагоприятных условиях для ламинарного пограничного слоя на гладкой поверхности. Ввиду этого кажется необходимым рассматривать влияние формы тела игра-

*) Stetson К. F-, 7. Aerospace Sci., 27 (2), 81—91 (1960).

диента давления на характеристики турбулентного пограничного слоя только в области, расположенной вниз по потоку от критической точки затупленного тела. Ниже мы построим теорию для исследования таких случаев.

Полезный приближенный метод расчета теплопередачи в турбулентном пограничном слое в точке наибольшей теплопередачи, — звуковой точке, — был развит Сибулкиным’). Метод Сибулкина основывается на использовании формулы для поверхностного трения и теплопередачи в несжимаемом турбулентном пограничном слое на осесимметричных телах, причем характеристики жидкости вычисляются при значении приведенной энтальпии Эккерта, взятом в звуковой точке. Используемый метод аналогичен методу вычисления теплопередачи и поверхностного трения в сжимаемом ламинарном пограничном слое на плоской пластинке, который описан в п. 5.10.

Наша теория вычисления влияния градиента давления и формы тела в звуковой точке и за ней начинается с выписывания интеграла количества движения для установившегося течения в пограничном слое на осесимметричном теле, например, в виде, который был дан Юнгом 2), т. е.

тGtd9[2-[-Hf du1 dp1 dr \

PeUe2ds\ ue dsPe dsrU ds /

(8.123) где

(8.124)

Мф-^Ь- <8J2S> 0 6

<8-'26> 0

') Cm. Sibulkin M., Jet Propulsion, 28 (8), 548—554 (1958).

Cm. Y о u n g A. D., Modern developments in Fluid Dynamics: High speed flow (ed. L. Howarth), sec. X, Boundary Layers, p. 395, Oxford University Press, New York, 1953; русский перевод: Современное состояние аэродинамики больших скоростей (ред. Л. Хоу- арт), т. I, стр. 386—484, ИЛ, М„ 1955.

Соотношение (8.123) может быть преобразовано для наших целей к виду

Cf_2Cf_21Р^о1Р^оd[Hf du '» (мЗД+е К^d[Hf du '» (мЗД+е К^(8.127)(8.127)

Cf_

2

Cf_

2

1

Р^о

1

Р^о

d[Hf du '

» (мЗД+е К^

d[Hf du '

» (мЗД+е К^

(8.127)

(8.127)

Далее, большая часть гиперзвуковых тел, которые мы будем рассматривать, вероятно, будут характеризоваться одной или обоими из следующих особенностей:

Температура стенки меньше или того же порядка по величине, что и местная температура набегающего потока Те.

Благоприятные градиенты давления преобладают, если вообще имеется заметный градиент давления.

Оба вышеприведенных условия влияют таким образом, что приводят к относительно большим значениям толщины вытеснения импульса 0 и малым значениям толщины вытеснения 6* и, таким образом, могут привести к малым значениям формпараметра Hf. Если величина Н5 остается малой, то ее влияние на решение дифференциального уравнения (8.127) пренебрежимо мало, и последним членом в уравнении (8.127) при Н{^0 можно вполне пренебречь. Мы предположим, что для интересующих нас здесь случаев Hf^O. [Использование значений 6* и 0 для плоской пластины при вычислении Hf для Tw<CTe и Ме<Д приводит к тому, что Hf — О по сравнению со значениями Н} в интервале 1<Д/<5 в случае наличия неблагоприятного градиента давления и Tw>Te. Конечно, при последних условиях членом, содержащим Hf (из разумных соображений), ^-нельзя пренебречь при решении уравнения (8.127).]

Учитывая вышеизложенное, приведем уравнение (8.127) к виду

pXro (Реи>о^-(8-128)

Используя соотношения (7.676) и (7.72), находим

0 = ^7exp[-^ф(O)]/5,(8.129)

где, как и раньше, из соотношений (7.676), (7.706) и (7.87) имеем

(8.130)(8.130)1

(8.130)

(8.130)

—г2)ехр(/4^г’

0

г /,=Е/ ог /,=Е/ о-^У/2^, . Pw /-^У/2^, . Pw /только на этот разтолько на этот раз(8.131)(8.132)(8.131)(8.132)

г /,=Е/ о

г /,=Е/ о

-^У/2^, . Pw /

-^У/2^, . Pw /

только на этот раз

только на этот раз

(8.131)

(8.132)

(8.131)

(8.132)

Подставляя (8.129) в (8.128) в случае постоянного рю, получаем

С/рХ^ ^5 = 4 ^ ехр * ~ ^ф ^ d ^^ъ)- (8.133)

Откуда, интегрируя левую и правую части от s=0 до S —S и ОТ UerJ5 = 0 ДО Uero/5 = Ue(s)ro(s)/5(s) И ИСПОЛЬЗуЯ, как и раньше, ц~7'0’76, К=0,393 и ф(0)=6,53, мы приходим к соотношению

гдегдес'Ке.^о.звэ^Т^У'76^,7\ * е )/ рХ^5Re, = -.с'Ке.^о.звэ^Т^У'76^,7\ * е )/ рХ^5Re, = -.(8.134)(8.134)(8.135)(8.135)

где

где

с'Ке.^о.звэ^Т^У'76^,7\ * е )

/ рХ^5

Re, = -.

с'Ке.^о.звэ^Т^У'76^,7\ * е )

/ рХ^5

Re, = -.

(8.134)

(8.134)

(8.135)

(8.135)

и, как и раньше, мы предположим, как это делалось уж^ при выводе (7.85), что изменение С/ по s при вычислении интеграла в левой части соотношения (8.133) играет второстепенную роль.

Заметим, что если величины ре, ие и го все постоянные (плоская пластина или круговой цилиндр), то

Re, = Re, =

и уравнение (8.134) переходит в (7.85), выведенное для случая плоской пластины.

Для прямого кругового конуса ие и ре постоянны и r=s sin to, где ю — угол полураствора конуса. В этом случае уравнение (8.135) дает

2

— результат, полученный ранее Ван Дристом1).

Соотношения (8.134) и (8.135) очень полезны, так как они позволяют использовать ранее выведенные и вычисленные значения коэффициента поверхностного трения, показанные на рис. 7.5—7.9, для любого осесимметричного тела вращения при условии, что предположения, использованные при выводе соотношений (8.134) и (8.135), выполняются. Ясно, что эти соотношения могут быть использованы вместе с соотношением (7.88) для определения влияния диссоциации в пограничном слое на осесимметричном теле способом, полностью аналогичным способу для случая плоской пластины, ранее описанному в гл 7, т. е. если задана точка на осесимметричном теле, то для вычисления величины Re в этой точке используется соотношение (8.135). Затем для получения С/о в этой точке используется соответствующий рисунок из рис. 7.6—7.9. Если заданы равновесные значения диссоциации на границе пограничного слоя и на поверхности тела ае и аю соответственно, то для получения отношения С//С/о может быть использовано соотношение (7.88) или рис. 7.5. Тогда С/ есть произведение величины С/„, определенной ранее, и найденного затем отношения С//С/о.

Прежде чем перейти к вычислению местных коэффициентов теплопередачи, изменим соответствующим образом предположения, принятые при выводе соотношений (8.134) и (8.135). Они будут следующими:

///->0. Это будет подходящим, когда имеется благоприятный градиент давления и (или) холодная стенка (Tto<Te).

Выражение (8.129) для 6(s), полученное для плоской пластины при отсутствии градиента давления,

*) См. Van Driest Е. R., Z. Aeronaut. Sci., 19 (1), 55—57 (1952).

21 У. X. Дорренс

применимо при наличии градиента давления. По существу, это предположение подразумевает, что корреляция распределения скоростей, соотношение (7.7в), соответствует также данным по распределению скоростей при наличии градиента давления с неменяющимися эмпирическими постоянными. Экспериментальные данные при этом режиме, кажется, подтверждают это предположение ).

Если условия течения таковы, что Ht^0 и (или) имеется сильный градиент давления, то нет основания надеяться, что соотношения (8.134) и (8.135) применимы или что они могут быть сделаны такими.

Связь между Сн и С/ в гл. 7 была выведена при условии нулевого градиента давления и нулевого массо- обмена. Эта связь дается формулой (7.66а) и будет

^=P'-”[l+(L«”-07^]. (8.136)

где из соотношений (7.49), (7.51) и (7.666)

-q^C^uAh-h^,(8.137)

.Ir = he^r^, ■'(8.138)

'г = Рг*/з ’(8.139)

и из соотношения (7.66в) для реакции диссоциации имеем

hc = ^-%W *(8.140)

Мы будем предполагать, что это выражение является адекватным, когда имеются благоприятные градиенты давления, и будем полагаться на сравнение с экспериментом, чтобы оправдать его использование. Соотношение (8.136) верно только в пределе, когда dpe/ds->0.

8. Выводы. В этой главе мы получили несколько полезных выражений для вычисления поверхностного трения и теплопередачи в сжимаемом турбулентном по

граничном слое для ряда условий. В качестве исходных использовались уравнения для химически реагирующего сжимаемого турбулентного пограничного слоя, которые были выведены в п. 7.2. Было найдено, что если имеется г химических компонентов, то будет г + 7 неизвестных и только г+ 4 уравнений для определения неизвестных. Оставшиеся три уравнения должны быть получены путем введения правдоподобных и эмпирически подтверждающих предположений, что Ler=l, PrT = l и e = p/<2z/2(du/dy).

Вопросу о влиянии массообмена на недиссоциирующий сжимаемый турбулентный пограничный слой посвящены п. 8.2 и 8.3. Было найдено, что довольно просто могут быть выведены полезные выражения для 2CHICf, г и С/, включающие параметр массообмена, но содержащие также и параметр udue. Было указано, что данные по распределению скорости в турбулентном пограничном слое при наличии массообмена и при сверхзвуковых числах Маха могут внести некоторую ясность в параметр uLlue.

В п. 8.4, 8.5 и 8.6 рассматривается влияние химических экзотермических и эндотермических реакций на теплопередачу в сжимаемом турбулентном пограничном слое. Для иллюстрации использования уравнений, выведенных в этих пунктах, приводится пример решения для турбулентной теплопередачи к сублимирующей поверхности с экзотермическими реакциями, происходящими вблизи поверхности. Для задачи, рассмотренной в качестве примера, было найдено, что тепло, выделяющееся в результате предположенной экзотермической реакции, преобладает над теплом, уносимым в результате массообмена и испарения.

Все вышеперечисленные пункты были посвящены изучению течения в сжимаемом турбулентном пограничном слое на плоской пластине. В п. 8.7 приведены методы, которые позволяют при определенных условиях использовать для осесимметричных тел результаты, полученные для плоской пластины.

В заключение данной главы автор считает уместным сказать, что хотя он и не удовлетворен полностью предположениями, которые должны быть сделаны при

выводе полезных выражений для вычисления поверхностного трения и теплопередачи для химически реагирующего сжимаемого турбулентного слоя, тем не менее, приятно заметить, что полученные выражения дают результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом в широком диапазоне условий. Нам кажется, что эта глава содержит кое-что полезное для специалистов в области газовой динамики, желающих вычислять инженерные величины с некоторой уверенностью, а также для исследователей, так как здесь представлены основные принципы, из которых можно исходить в никогда не кончающейся борьбе по улучшению теории турбулентного пограничного слоя.

ГЛАВА

9

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СМЕСЕЙРАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ

Введение. Настоящая глава касается гиперзвуковой газовой динамики, имеющей дело с газовыми смесями при высоких температурах. При некоторых условиях такой смесью является высокотемпературный воздух. При более сложных условиях, которые существуют в большом числе случаев, описанных в предыдущих главах настоящей книги, газовая смесь состоит из продуктов реакций и реагирующих веществ, включающих компоненты воздуха и компоненты, инжектируемые в пограничный слой при различных обстоятельствах. Внутри этой смеси могут происходить химические реакции, и определение термодинамических свойств для равновесной смеси становится затруднительным. Требуется разработать метод для определения функций состояния: внутренней энергии, энтальпии, энтропии и равновесного состава высокотемпературных газовых смесей.

Когда температура газа становится намного выше комнатной температуры, частицы газа разреженной газовой смеси начинают проявлять свою индивидуальность. В зависимости от элементов, входящих в состав газовых молекул, начинают вступать в действие различные формы внутренней энергии. Например, атомы в молекулах кислорода и азота начинают колебаться вдоль оси, проходящей через атомы, образующие эти двухатомные молекулы. Увеличение температуры приводит также к возмущению движения орбитальных электронов, до тех пор пока температура не достигнет такого значения, при котором электроны вынуждены покинуть молекулы совсем, т. е. происходит ионизация. Нетрудно представить себе, что для многоатомных молекул существуют другие более сложные формы внутренней энергии.

Ранее указывалось, что методы классической физики не описывают правильно поведение термодинамических свойств газовых смесей при только что описанных условиях. Кинетическая теория, рассматривающая все молекулы как простые точечные массы, отличающиеся только своей величиной, адекватно описывает термодинамические свойства газовых смесей вблизи комнатной температуры. Описание газовых смесей при температурах, достаточно высоких для того, чтобы у значительной части молекул были возбужденными их различные формы внутренней энергии, не может адекватно даваться только кинетической теорией. Описание поведения газовых смесей при интересных для нас здесь температурах остается на долю квантовой теории и статистической механики.

В этой главе будет показано, как термодинамические свойства и константы равновесия могут быть получены для равновесных газовых смесей путем использования методов статистической механики и квантовой теории. При написании этой главы мы не стремились к тому, чтобы дать исчерпывающее изложение этого раздела науки. Скорее, цель заключалась в иллюстрации того, как применяются методы статистической механики там, где к расчетам привлекается квантовая теория, и в приведении выражений для термодинамических свойств и констант равновесия, которые могут быть использованы в задачах, описанных в предыдущих главах этой книги.

Статистика Больцмана. Воздух при стандартных значениях температуры и давления имеет молекулярную плотность около 2,7-1019 молекул в кубическом сантиметре. Несмотря на такое огромное количество молекул в малом объеме, в любом конкретном случае отдельные частицы относительно далеко отстоят друг от друга из- За чудовищной концентрации вещества в месте расположения любой конкретной молекулы. Ввиду того что в среднем путь пробега частиц между столкновениями намного превосходит эффективный радиус потенциалов взаимодействия частиц, эти потенциалы взаимодействия оказывают малое влияние на движение частиц, и ими можно пренебречь. Конечно, это не будет справедливо

для плотных жидкостей или ионизованных газов, для которых радиус потенциалов взаимодействия частиц составляет существенную часть от среднего пути свободного пробега. Хотя в принципе можно проследить движение любой конкретной молекулы в таком свободном от сил поле и описать ее поведение в соответствии с законами классической механики, описание таким же образом совокупности молекул в макроскопическом масштабе было бы неразумной задачей даже при использовании современных вычислительных машин. Ситуация кажется специально подобранной для использования статистического метода.

Правильный статистический подход к задаче описания макроскопического поведения такого большого количества частиц в замкнутой системе заключается в том, чтобы рассматривать каждую частицу неотличимой от других. В последующем мы намеренно будем использовать до некоторой степени упрощенный статистический подход, который включает предположение о том, что частицы каждого из компонентов, образующих замкнутую систему, различимы, т. е. что мы можем некоторым образом «пометить» каждую частицу и получить траекторию ее движения и ее поведение. Насколько мы знаем, по квантовомеханическим причинам это допущение приводит к серьезным ошибкам при очень низких температурах и при более высоких температурах для частиц с малой массой (протон, электрон и иногда водород), тем не менее можно показать, что описанный здесь статистический метод, статистика Больцмана, соответствует формально корректному статистическому подходу для интересующих нас здесь частиц при больших температурах.

Предположим, что мы имеем дело с замкнутой системой No частиц, таких, что

(9.1)

где в качестве произвольно выбираемого полного числа частиц No взято число Авогадро и где частицы гц имеют энергию g;. Тогда полная энергия 1 моля газа будет

Е = У (9.2)

где, ввиду того что полное число частиц есть No, энергия Е будет энергией 1 глюль газовой смеси.

Теперь вероятность W того, что система имеет лк- бую заданную конфигурацию или состояние, пропорции нальна числу различных возможностей, которыми ^i различимых частиц могут быть приведены в заданное состояние, т. е. такое состояние, при котором гц частит имели бы энергию ei, п-Л частиц — энергию е2, п3 частиц— энергию е3 и т, д. Это равно той вероятности

Рис. 9.1. Число способов, которыми четыре . могут быть размещены в трех ящиках таким ои- вом ящике была одна частица, во втором—две т,

с которой No объектов могут быть пясти бор ящиков, так что в первом ящике оуде, во втором — п2 и т. д. Таким образом, пакость равна

W = (const) •г,

'' щ! п2! Из' ... щ!

где постоянная в соотношении (9.3) определи ным полным числом возможных распределении и те, которые не удовлетворяют требованию, ~ дет в первом ящике, п2—во втором и т. д.

Предположим, например, что N0=4 и что nt — и п3=1. Тогда число различных возможностей, кс может быть достигнуто это распределение, дается мулой

NJ = 1-2-3-4 _ «1!п2!п3!1-1-2-1

и возможные распределения показаны на рис. 9.1,

Теперь формула (9.3) может быть записана в виде In W = In Nq ! — 2 ln ^Ч 0 + const, i

но по формуле Стирлинга ') для больших чисел п In п\~п Inn — п, следовательно, так как У п( = No,

In W = Nq In No — 2 nt In nt + const. (9.4) i

Действительное состояние системы будет близко к тому состоянию, которое имеет максимальную вероятность. Когда система находится в состоянии максимальной вероятности, вариация' 6(In IK) должна быть нулем, т. е.

б (In U7) =— 2б(я/ In л,) —— 2^rti( + ln/tz) = 0. (9.5)

Но не все бп,- допустимы, так как из (9.1) и (9.2)

6A7o = ^d^z = O,(9.6)

6Д = 2 ez би, = 0.(9.7)

Уравнения (9.6) и (9.7) налагают ограничения на допустимые вариации bnt. Таким образом, используя метод множителей Лагранжа, получаем для dnz

2^(1 + In nz + X! + X2ez) = 0,(9-8)

где Xi и ‘Хг— множители Лагранжа. Так как теперь dnz не зависят друг от друга, то мы находим решение уравнения (9.8)

nz = aexp(—pez),(9.9а)

где

а — ехр[— (Х1 + 1)],(9.96)

Р = Х2.(9.9в)

Соотношение (9.9а) дает классический закон распределения, или закон распределения Максвелла — Больц

мана. В следующем пункте будет показано, что множитель р непосредственно связан с кинетической температурой.

Множитель 0. Применим соотношение (9.9а), которое является совершенно общим, к системе частиц, обладающих только кинетической энергией. Такая система могла бы, например, представлять одноатомный газ при комнатной температуре. Тогда, если предположить, что каждая частица газа имеет массу пг, то

+(9Л°)

и соотношение (9.9а) примет вид

/г^аехр^—-^-(^4-^ + ^)],(9.11)

где сделано предположение классической теории, что энергии частиц ej образуют континуум, т. е. величина ej может принимать любое значение от 0 до со. При этих условиях соотношение (9.11) представляет классический закон распределения, который дает число частиц гц, компоненты скоростей которых иж, иу и uz находятся в интервале их и ux + dux, иу и uy + duy, иг и uz-Vdvz соответственно. Таким образом, формула (9.1) в этом случае заменяется интегралом

Wo= J j J nid'vxdvydvz, '(9.12)

— СО —ОО —со

а формула (9.2) —интегралом

£= J / ^ П1г^х' ^ ^^х^я^г-(9-13)

— СО —СО — ОО

Затем, используя (9.11) и (9.12), получаем

^0 = а(ЛЛ(9.14)

где

Л= J ехр(’<9'15)

или, объединяя (9.14) и (9.15), получаем

<9Л6>

Таким образом, из уравнений (9.11) и (9.16) имеем nled'VxdDsd-oz — No^^^ ' е exp^—^d-u^dDyd-u^ (9.17) где б(иж, иу, uz) дается сотношением (9.10). Подставляя (9.17) в (9.13), получаем

Е = 1щ^2,■ (9.18)

где'

Следовательно, из (9.18) и (9.19) имеем

Е =(9.20)

Кинетическая же теория дает1)

E^N^T.(9.21)

Сравнивая выражения (9.20) и (9.21), находим, что множитель Лагранжа р связан с температурой соотношением

₽=^.(9.22)

и, таким образом, формула (9.9а) примет вид

я,= аехр(— -^У(9.23)

Теперь предположим, что имеется п0 частиц, обладающих минимальной энергией во- Тогда по формуле (9.23)

а = /гоехр^,(9.24)

См., например, книгу Present R. D., Kinetic Theory of Gases, p. 12—20, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1958.

откуда, объединяя (9.23) и (9.24), получаем

щ = иоехр—^Д^-.(9.25)

Формула (9.25) дает выражение числа частиц щ, которые обладают энергией еъ через число частиц п0, обладающих нулевым уровнем энергии е0 при произвольной температуре Т.

Функции распределения. До сих пор квантовая теория не использовалась. Теперь мы оставим в стороне классическую теорию и введем постулат квантовой теории о том, что уровни энергии е, не образуют континуум, а принимают в действительности дискретные значения, определяемые специальным образом путем формального применения квантовой механики. Это означает, что имеются дискретные квантовые состояния с энергией е;, заполняемые в соответствии с законом распределения Максвелла — Больцмана (9.25). На каждом энергетическом уровне возможно одно или более квантовых состояний, т. е. энергетические уровни могут быть вырожденными. Число квантовых состояний на энергетическом уровне е; равно gt. Таким образом, сумма по всем квантовым состояниям, имеющим энергию е; относительно нулевого значения энергии ро, дает

Q = 2g.-exp™-(^(9.26)

i

и Q называется функцией распределения. Суммирование в соотношении (9.26) иногда записывается так:

Q = 2exp^7^,(9.27)

где предполагается, что суммирование производится по BQeM квантовым состояниям молекул.

Интересующие нас здесь квантовые состояния включают состояния с энергией поступательного и вращательного движений, энергией колебаний и энергией электронных уровней. Эти энергетические уровни перечислены в порядке уменьшения значения энергии, которую

они несут при обычной температуре. Ниже будет показано, что состояния энергии поступательного движения определяются набором квантовых чисел I, состояния энергии вращения — квантовыми числами /, состояния энергии колебаний — квантовыми числами и и состояния энергии электронных уровней — квантовыми числами, которые мы обозначим буквой s. Если различные формы движения незначительно взаимодействуют одна с другой, что обычно так и есть, то можно написать

8,- = 6 (/) + 8 (у) + 8 (Ф) + 8 ($),

или через нулевой уровень энергии

е, — е0 = [е (/) — е0 (/)] + [е (у) — е0 (у)] +

+ [е (-и) — е0 (-и)] + [е (s) — е0 (s)]. (9.28)

Соотношение (9.28) не учитывает, например, такие эффекты, как влияние колебания на вращение. В результате этого предположения мы можем рассматривать энергию различных форм движения двухатомной молекулы отдельно, то есть энергии поступательного движения, вращений, колебаний и электронных уровней двухатомной молекулы представляют собой кинетическую энергию точечной массы, кинетическую и потенциальную энергии гармонического осциллятора, энергию жесткого ротатора и энергию распределения орбитальных электронов неподвижной молекулы, причем все частицы имеют массы, связанные, конечно, с массой двухатомной молекулы. Как будет показано ниже, каждая из этих форм энергии при использовании квантовой теории может рассматриваться отдельно для получения функций распределения. Подставляя (9.28) в (9.26), получаем

ww^(-[8(П-8о(О]-Н/)-8о(7)] ,

Ч —Z Si, j, $ exP Iи1•"

Z / p »

, — [e(v) —sop)] —[e(s) —e0(s)])

'kT)•

Однако, если воспользоваться в этом соотношении тож« деством ехр (х+у) =ехрхехру, то мы получим

Q^QiQjQA*(9.29)

где

Q» = 2 8» ехР ^^^^У-,« = /, у, ф, s (9.30)

и индексы /, /, и и s относятся к состояниям поступательного, вращательного, колебательного движений и состоянию электронных уровней соответственно. В следующем пункте мы выведем соотношения для термодинамических функций через функции распределения. После этого мы покажем, как функции распределения выводятся с помощью методов квантовой механики.

Термодинамические функции. Выведем через функции распределения термодинамические соотношения для 1 моля молекул, находящихся в газообразном состоянии. Из соотношений (9.1) и (9.25) для 1 моля молекул, имеющих вырожденные квантово-энергетические уровни, имеем

No^/t^g^xp™^^(9.31)

i

или, принимая во внимание (9.26),.

п0 = ^-(9.32)

Далее, 1 моль молекул по отношению к энергии 1 моля молекул на нулевом уровне обладает энергией Е— Ео, определяемой формулой

Е — Е0 = пцУ. g^ exp ^^"^ — N^°’<9133)

i

где суммирование производится по всем квантово-энергетическим уровням. С учетом (9.26), (9.31) и (9.32) соотношение (9.33) приводится к виду

(9.34)

или

£-£0^МЛЛ[4(1п(ф

где индекс V указывает, что дифференцирование производится при постоянном объеме. Таким образом, ввиду того что Nok = R, получаем

т=г[4('”<-т=г[4('”<-(9.35)(9.35)

т=г[4('”<-

т=г[4('”<-

(9.35)

(9.35)

Формула (9.35) дает связь между энергией 1 моля молекул и функцией распределения Q. Другие соотношения получаются в виде

^“(^“{^К^С"®]},’ <9'36)

или

(9.37)

а также из термодинамики

Cp = Cv-VR.(9.38)

Формулы (9.37) и (9.38) дают связи между молярными теплоемкостями и функцией распределения.

Далее, из термодинамики

(9.39)(9.39)Н=E+pV

(9.39)

(9.39)

и для совершенного газа, который мы здесь рассматриваем, из кинетической теории

pV=RT.(9.40)

Следовательно, используя (9.35), (9.39) и (9.40), получаем

H — H0=E — E0+RT

или

^i^^ + ^OnQ)]^(9.41)

Формула (9.41) связывает энтальпию с функцией распределения Q.

Энтропия S дается соотношением из термодинамики

г

S — \ Cy d (\п Г)

о

или, используя (9.36), о

откуда получаем

Оiv

или, интегрируя по частям,

т'

5 =5 =RT4т (In Q)+/^On Q^dT ■ .

5 =

5 =

0

Таким образом,

S-SoRS-SoR{r^dnQjj + mQ^{r^dnQjj + mQ^

S-SoR

S-SoR

{r^dnQjj + mQ^

{r^dnQjj + mQ^

и, следовательно,

гдегде^ = lnQ„.^ = lnQ„.(9.42)

где

где

^ = lnQ„.

^ = lnQ„.

(9.43)

формула (9.42) определяет энтропию через функцию распределения. Индекс 0 при всех термодинамических переменных указывает, что берутся значения величин при абсолютной температуре, равной нулю.

Еще одной полезной термодинамической функцией является функция свободной энергии F, определяемая соотношением

F=E + RT— TS,F=E + RT— TS,(9.44)(9.44)

F=E + RT— TS,

F=E + RT— TS,

(9.44)

(9.44)

где F0=E0. Использование (9.35) и (9.42) в (9.44) дает

-^ = 1 — In Q. (9.45)

Формулы (9.35), (9^37),_ (9.38), (9.41), (9.42) и (9.45) связывают Е— Ео, Ст, Ср, Н — Но, S— So и F— Но с функцией распределения Q. Остается определить функции распределения для различных форм энергии, используя методы квантовой механики.

Вывод функций распределения с помощью квантовой механики. В п. 9.5 мы нашли, как связаны термодинамические функции с функциями распределения, которые еще не были определены. В этом пункте мы покажем, как функции распределения получаются для простого газа с помощью методов квантовой механики.

Определим функцию XF, называемую волновой функцией, таким образом, чтобы произведение комплексно сопряженной функции V* на V давало вероятность того, что частица находится в точке фазового пространства, в которой вычисляются V и V*). Тогда для отдельной частицы интеграл от Ф*^ по всему пространству (х, У, 2) должен равняться единице, т. е.

J J J хрхр ^х rfy ^z _ i _ (9.46)

Мы говорили об интеграле (9.46) при условии, что функция является функцией с интегрируемым квадратом. Более того, в квантовой механике динамические переменные, приписываемые частице, идентифицируются с операторами, так что соответствие между динамическими переменными и операторами является следующим):

Динамические переменные

Операторы

х—>

X

У-*

У

г—>

г

h

д

2ni дх

h

д

*2ш ду

h

д

тч)г- >

2ni дг

ср(х)->

Ч1^

ф(у)-*

Ч(у)

ф(г)->

ф(г)

та (полная энергия)*

п

д

2л1 dt ’

где h— постоянная Планка.

Среднее значение любой динамической переменной, которая соответствует оператору q, при этом определяется формулой

q = J J J VTqVdxdydz,q = J J J VTqVdxdydz,^АТ^^АТ^

q = J J J VTqVdxdydz,

q = J J J VTqVdxdydz,

^АТ^

^АТ^

где под средней величиной мы понимаем среднее из большого числа наблюдений. Более того, если полная энергия частицы есть сумма кинетической и потенциальной энергии и дается соотношением

■zy = -lm(^+^+ ^) + ф(лг, у, г),

где ф представляет потенциальную энергию частицы, то подстановка операторов в это соотношение в соответствии с описанными выше правилами дает

h д( д2 д2 д2 \

" 2л7 ^ " ® = -" 8m^ \дЗД + 'ду2 + "дД) ^ Ф^’ ^’ ^

Применяя этот оператор к функции У, мы получаем волновое уравнение Шредингера для нашей отдельной частицы

д2^ ; ы2Чг дх2 + ду2 лд2^ ; ы2Чг дх2 + ду2 лЫ2Ф , №тдг2 Л2Ы2Ф , №тдг2 Л2(w — ф)Чг = 0,(w — ф)Чг = 0,(9.48)(9.48)

д2^ ; ы2Чг дх2 + ду2 л

д2^ ; ы2Чг дх2 + ду2 л

Ы2Ф , №т

дг2 Л2

Ы2Ф , №т

дг2 Л2

(w — ф)Чг = 0,

(w — ф)Чг = 0,

(9.48)

(9.48)

где требуется, чтобы функция Т была однозначной, непрерывной и конечной во всем пространстве конфигураций (х, у, г).

Теперь мы в состоянии интерпретировать волновое уравнение (9.48). Если предположить, что оператор q в (9.47) определяется выражением

дг / д2 д2 д2 \

= 8тт2 \дх2 + ф/2 + Иг2 j + (^ — ф)’

тогда мы найдем, что применение (9.47) с последующим переходом назад от операторного языка к динамическим переменным дает

= У т С^ + ^ + ^ + ф’

т. е. в квантовой механике говорят, что среднее значение полной энергии равно сумме среднего значения кинетической энергии и среднего значения потенциальной энергии, но не дается явной связи между полной энергией, кинетической энергией и потенциальной энергией в произвольный момент времени в произвольной точке пространства конфигураций. Лучшее, что можно сделать, это определить, что уравнение для функции Т удовлетворяется и, будучи удовлетворенным, дает функцию Чг, которая может быть использована для получения средних значений переменных. Иными словами, положение частицы и ее скорость не могут быть заданы одновременно в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга. Таким образом, иллюстрируется статистическая природа квантовой механики.

Воспользуемся уравнением (9.48) для получения наших квантово-энергетических величин. Рассмотрим вначале простую точечную массу, движущуюся в свободном от полей пространстве. Такая идеализация подходит к описанию частицы одноатомного газа, свободно движу-

щейся внутри некоторого ящика. Ввиду того что потенциалы взаимодействия частиц имеют малый радиус действия по сравнению со средней длиной свободного пробега таких частиц, в уравнении (2.48) мы положим Ф=0 и получим

-t-т + -s-г + -д-г Ч ™^ — 0.(9.49)

ох2 1 оу2 1 oz2 'к2х '

Если предполагается, что частица находится внутри кубического ящика с размерами (а, а, а) и объемом а3, то функция W должна обращаться в нуль, как только х, у или z равны нулю или а. Предполагается, что начало системы координат находится в вершине ящика, а оси х, у и z направлены вдоль его ребер. Только то решение W уравнения (9.49) является непрерывным, конечным и однозначным внутри этого ящика и равно нулю на его стенках, которое получается для значений функции w,заданный формулой

®=-5^»Д+';+'3==(')-=о(О-(9.50)

поскольку ео(/) =е(/ = 0) =0. Выражение для W в этом случае будет*)поскольку ео(/) =е(/ = 0) =0. Выражение для W в этом случае будет*)— 2nztwt еХР~ft—— 2nztwt еХР~ft—

поскольку ео(/) =е(/ = 0) =0. Выражение для W в этом случае будет*)

поскольку ео(/) =е(/ = 0) =0. Выражение для W в этом случае будет*)

— 2nztwt еХР~ft—

— 2nztwt еХР~ft—

(9.51)

где V = a3, Р = РД-р\р и L, I, I—целые числа х у z х у Z

(квантовые числа для поступательного движения). Таким образом, мы получили, что энергетические уровни, допустимые при поступательном движении, являются дискретными и определяются соотношением (9.50). Когда числа 1Х, 1У и U становятся большими, энергетические уровни е(/) приближаются друг к другу, так что выражение (9.50) приближается к континууму, но никогда в него не переходит, как это предполагается в классической теории.

*) См., например, R i с h t m у е г F. К., К е п п а г d Е. Н., L а и- r i t s е п Т.. Introduction to Modern Physics, 5th ed., p. 199—200, McGraw-Hill Book Coflipany, Inc., New York, 1955.

Используя соотношения (9.50) и (9.30), можно получить

(9.52)

где уровни энергии поступательного движения, соответствующие каждой степени свободы, являются невырожденными (Si = l) и ео(/)=О. Так как при больших / показатель экспоненты изменяется относительно медленно с /, мы заменим суммирование интегрированием и получим

(9-53)

где

2VVi {ЧткТ)^2 J еХр (8У2/3от67’/ ^( 4 ) '‘

Окончательно, объединяя (9.53) и (9.54), получаем

(9.55)(9.55)., / ЪипкТ \3/2 RP2 / 2nmk \3/2

(9.55)

(9.55)

г = Ц 75 = —75—

1\ к2 ) Р \ к2 )

Формула (9.55) дает выражение функции распределения для энергии поступательного движения.

Для большей части интересующих нас случаев мы можем представить вращательную форму движения одноосной молекулы как вращение простого жесткого ротора, т. е.

е(/) = 1М(9.56)

(9.57)(9.57)где / — момент инерции системы относительно оси вращения и со — угловая скорость. Ось вращения для жесткой модели гантелей проходит через центр масс, расстояние до которого от массы mi равно

(9.57)

(9.57)

ГГтх -р т.г

и от массы пц

тх

Г2 = гГ,

1тпг

где г — расстояние между двумя массами т( и т2. Да-

лее, ввиду того что

/ = пгхг\ 4- m2r2.

(9.59)

подстановка (9.57)

и (9.58) в (9.59) дает

/ = mr2,

(9.60)

где

m —'

mx -|- m2

(9.61)

приведенная масса системы, которая затем действует как отдельная масса т, вращающаяся относительно центра тяжести двух масс mi и т2, отстоящих друг от друга на расстояние г. Для такого ротатора, центр масс которого находится в начале координат, уравнение Шредингера (9.48) имеет вид

д^ . d2^ . d^ . 8л2/п w п

+^ = 0,(9.62)

где х2 + z/2 + z2 = г2— константа. Функция Т конечна для всех х, у и z, таких, что x2 + y2 + z2^r2, и равна нулю для всех других значений. d4V<3r = 0, и задача обычно решается в сферических координатах, так что Т (х, у, г) -♦ЧДб, ф) не зависит от г. Однозначное, конечное и непрерывное для х2 + у2 + г2^г2 решение уравнения (9.62) имеет место только для значений w, заданных формулой *)

458 = jUii)h2 =8 ^ - 8о UY (9.63)

так как ео (/) = е (/" = 0) = 0. Можно показать, что состояния энергии вращательного движения являются вырожденными с законом вырождения

^=(2/+1). (9.64)

Кроме того, можно показать, что использование соотношений (9.63) и (9.64) в (9.30) и замена суммирования интегрированием дает

(9.65)(9.65)п _ WIkT

(9.65)

(9.65)

— ah1

’) См., например, Glasstone S., Theoretical Chemistry, р 35—47, Princeton, N. Y., 1944.

кулкулгде а — коэффициент) симметрии, который принимает целочисленные значения, зависящие от структуры многоатомных молекул. Для нелинейных многоатомных моле

кул

кул

' а' а(9.66)

' а

' а

где 1Х, /у и 1г — моменты инерции относительно трех осей многоатомной молекулы и а — снова коэффициент симметрии.

Для простого гармонического осциллятора, состоящего из двух частиц, уравнение Шредингера эквивалентно уравнению для одной частицы с приведенной массой т, колеблющейся на пружине. Уравнение будет

d^ . 8Л2М /1 ИА/А

Что — -ту ^z2 '^ = О,(9.67)

dx1 ' h? \2/v '

где k — постоянная, характеризующая пружину в колебательной системе. Однозначные, конечные и непрерывные решения этого уравнения, переходящие в нуль на бесконечности, существуют только для значений w, заданных формулой2)

, , [hl \1/2 / । Цд; = г(у)--—тН— ,

v 2л m (1 2

следовательно, так как e0(v) =e(v = 0), то

e (-у) — e0 (-у)e (-у) — e0 (-у)Л2лЛ2лк \1/2-у.m /к \1/2-у.m /(9.68)(9.68)

e (-у) — e0 (-у)

e (-у) — e0 (-у)

Л

2л

Л

2л

к \1/2

-у.

m /

к \1/2

-у.

m /

(9.68)

(9.68)

Подстановка (9.68) в разложение (9.30) и оценка получающегося ряда дают

(9.69)(9.69)/Л / 1,LV

(9.69)

(9.69)

Q ре х р "j^p

1/21/2(9.70)(9.70)где частота колебаний V, равная, как будет показано позднее, частоте излучаемого света, дается формулой

1/2

1/2

(9.70)

(9.70)

,1

V =2л

Таким образом, получены простейшие выражения функций распределения для поступательной, вращательной и колебательной степеней свободы двухатомных молекул и для поступательной и вращательной степеней свободы многоатомных молекул в предположении, что различные формы движения не взаимодействуют одна с другой. Более сложные случаи рассмотрены в цитированной литературе, к которой отсылается читатель, интересующийся этим вопросом.

Прежде чем переходить к выводу точных выражений для функций распределения двухатомных газов, мы кратко объясним, как спектроскопические измерения могут быть использованы для нахождения вращательного момента инерции / и частоты колебаний V. Эти величины необходимы прежде, чем наши уравнения (9.65) и (9.69) для вращательной и колебательной функции распределения могут быть использованы.

Использование спектроскопических данных. Моменты инерции / для жесткого ротатора, появляющиеся в функции распределения для вращательной степени свободы, определяются путем использования спектроскопических данных. В соответствии с квантовой теорией при переходе ротатора с одного допустимого энергетического уровня на другой излучается или поглощается свет с частотой V, определяемой следующим замечательным уравнением, принадлежащим Бору,

(9.71)(9.71)Av' — еы — ez,

(9.71)

(9.71)

где h— постоянная Планка, V — частота излучаемого или поглощаемого света и индексы и и I означают верхний и нижний энергетические уровни соответственно. Излучаемый свет можно распознать спектроскопически по его длине волны. Итак, для жесткого ротатора мы

имеемимееме(» =е(» =А2У (7+ 1)8л2/А2У (7+ 1)8л2/

имеем

имеем

е(» =

е(» =

А2У (7+ 1)8л2/

А2У (7+ 1)8л2/

Далее, объединяя (9.63) и (9.71), получаем

hV = W Vu UuA-1)-h ^ 1)],(9.72)

где индексы и и / при / означают верхний и нижний энергетические уровни соответственно.

Правила квантовомеханического выбора позволяют изменять энергетические уровни только так, чтобы

А/=±1.

Следовательно, полагая в соотношении (9.72) /«=/; +1, получаем

(9.73)

и спектр вращательной энергии должен равномерно разбиваться на единицы й/4л2/. Кроме того, соотношение (9.73) дает значение момента инерции /. Величина множителя, на который делится Т в уравнении (9.65) для вращательной функции распределения, выраженная через расстояние между спектральными линиями Av', будет.

(9-74)

где h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, а — коэффициент симметрии и Av' — расстояние между последовательными спектральными линиями, выраженное через частоту излучаемого света. Используя соотношения (9.56), (9.60), (9.61) и (9.74), можно также выразить круговую частоту и и расстояние между частицами г через расстояние между спектральными линиями Av'.

Соотношение (9.71) является довольно общим и применимо также к гармоническому осциллятору. Подставляя (9.68) в (9.71), мы получаем

=+,(9.75а)

_2л \ m / \22 /

где & — упругая постоянная осциллятора, а все другие переменные те же, что использовались раньше. Правила отбора квантовой теории требуют, чтобы

Ау = ± 1,

поэтому, полагая Уи = 1 + Уг в соотношении (9.75а), получаем

, Л £ \1/2

=•(9.756)

Далее, для простого гармонического осциллятора с упругими постоянными к и m частота осциллятора vo по классической теории будет

и, следовательно, частота излучаемого света равна частоте колебаний по классической теории. Член, на который умножается Т-1 в уравнении (9.69) для колебательной функции распределения, будет

— = —(9.77)

к 2лк \ m )

Он определяется путем непосредственного использования спектроскопических данных.

Частота излучаемого света связана с длиной волны излучения соотношением

V~(ceK-4,(9.78)

где с —скорость света. Спектроскописты предпочитают пользоваться волновым числом v, где v связано с V и к уравнением

V ==(9.79)

Волновые числа атомного и молекулярного спектра табулируются в справочной литературе1). Ротационный спектр для двухатомных молекул проявляется в дальней инфракрасной части (длины волн около 2-Ю-2 см, частоты около 1,5 • 1012 сек-', волновые числа около 50 слг1). Колебательный спектр проявляется в ближней

‘) См., например, Moore С. Е., Atomic Energy Levels, Natl. Bur. Standards Circ. 467, 1948; Herzberg G., Molecular Spectra and Molecular Structure, vol. I, Spectra of Diatomic Molecules, Princeton, N. J., 1950; имеется перевод с издания 1939 г.: Герцберг Дж., Спектры и строение двухатомных молекул, ИЛ, М., 1949.

инфракрасной части (длины волн около 1,2-Ю-3 см, частоты около 2,5-1013 сек-', волновые числа 835 см-1). В спектрографическом анализе используется как спектр излучения, так и спектр поглощения. Использование спектра поглощения оказалось более эффективным в инфракрасной части спектра.

Константы равновесия. Никоим образом мы не исчерпали возможностей использования соотношений статистической механики и квантовой теории. Выведем еще одно полезное соотношение для константы равновесия химической реакции. Оно может быть получено путем использования формул (9.44) и (9.45), приведенных ранее. Рассмотрим химическую реакцию

<Z]Ai —1~ <z2A2—*■ ^1В] —|— 62В2, (9.80)

где строчные буквы а, и bt означают стехиометрические коэффициенты, а прописные А, и В; — химические элементы или их соединения. Правильная дробь — частное от деления давлений при этой реакции — определяется здесь как

КР =КР =(р^р^ (р^чр^02(р^р^ (р^чр^02(9.81)(9.81)

КР =

КР =

(р^р^ (р^чр^02

(р^р^ (р^чр^02

(9.81)

(9.81)

Когда каждое парциальное давление в (9.81) равно тому значению, которое должно существовать при термодинамическом равновесии для реакции (9.80), тогда соотношение (9.81) дает константу равновесия. ■

Покажем теперь, как константа равновесия для реакции (9.80) может быть связана с изменением свободной энергии, сопровождающим реакцию, и, следовательно, с функциями распределения участвующих компонентов.

Из (9.39), (9.40) и (9.44) для совершенного газа

F — H — TS(9.82)

и, следовательно, dF = dH —TdS — SdT.

Однако для обратимых термодинамических - процессов dH=TdS + Vdp,

и если наш процесс происходит при постоянной температуре (dT=0) и

pV^RT,

то

dF = V dp — RT d (In p).

Таким образом, если процесс начался в термодинамическом состоянии с давлением ре и закончился в термодинамическом состоянии с давлением р°, то интегрирование вышеприведенного соотношения дает

F° — p^RTXn-^.(9.83)

Теперь для химической реакции (9.80) мы можем написать

^P = bxFB-Vb2PB — а^ — а/^,(9.84)

и это выражение может быть написано для любого термодинамического состояния участвующих в реакции компонентов. Выпишем уравнение для двух различных термодинамических состояний участвующих компонентов. Мы будем использовать верхний индекс 0, когда участвующие в реакции компоненты появляются в термодинамическом состоянии, соответствующем давлениям р1^ и Рв^ и использовать верхний индекс е, когда участвующие в реакции компоненты появляются в термодинамическом состоянии, соответствующем давлениям Л и r?t Т° есть из уравнения - (9.84) для состояния с верхним индексом 0 имеем

КР» = ЬХР^ + Ь2Р^ - ахРХх - агр^ (9.85)

а для состояния с верхним индексом е

\Fe = biFK4-b2FK-aiFex1-a2Fl1. (9.86)

Следовательно, объединяя (9.85) и (9.86), получаем

Д^° - KF = bi ^Fb> - Fb) + b2 И2 - F^ -

(9.87)

или, используя (9.83),

А^ —Д^ = /?Г(1П^ —!п^),(9.88)

где величина Kv определяется соотношением (9.81). Предположим теперь, что термодинамическое состояние, обозначаемое верхним индексом 0, является состоянием, при котором jPx== р^ = р^= р^= \ атм. Кроме того, определим термодинамическое состояние, обозначаемое верхним индексом е, как состояние термодинамического равновесия при заданной температуре. Тогда из соотношения (9.81)

^=1(9.89)

и в соответствии с нашим критерием равновесия )

Д/^О,(9.90)

и поэтому соотношение (9.88) примет вид

^^ — RT\x\Kp.(9.91)

где верхний индекс е при Кр опущен, так как впредь КР будет определяться по формуле (9.81) при термодинамическом равновесии.

Соотношение (9.91) вместе с формулами (9.29) и (9.30) для функций распределения, формулой (9.45) для свободной энергии каждого компонента и спектроскопически определенными атомными и молекулярными константами может быть использовано для определения константы равновесия любой химической реакции, описываемой уравнением типа (9.80). На практике константы равновесия для нескольких из большого числа возможных химических реакций затабулированы, В большей мере затабулированы более удобные и гибкие константы образования различных химических соединений из элементов. Они могут быть использованы для определения констант равновесия многих химиче-

ских реакций в соответствии со следующей схемой. Для реакции

2«Д->2бД(9.80)

i = lz = i

мы можем написать

In Кр = 2 bt In К. (Bz) — 3 a, In К. (kt),(9.92)

z=i 11 = 11

где, например, ^/(Bi) = V^(9-93)

t=i 1 соответствует реакции, описывающей образование Вг из его атомных элементов, т. е. реакции

2 Az ->ВР(9.94)

где все А,— химические элементы. Например, если мы имеем

С + О->СО,(9.95)

то

(9-96>

Продемонстрируем справедливость соотношения (9.92) на примере. Рассмотрим химическую реакцию

С2 + 2СО2-> 4СО.(9.97)

В соответствии с (9.81) константой равновесия будет

К —^со^4

рРс, (/’со,)2 ’

или

1п^ —41п/?со — 1прСз — 21п/?с0.(9.98)

Применение соотношения (9.92) дает

In Кр = 4 In К, (СО) — 2 In ^ (СО2) — In К, (С2). (9.99)

Однако из (9.93)

.<9JOO>

W = T?5(9J01)

И^№)=Т^'<9J02)

Следовательно, подставляя (9.100) — (9.102) в формулу (9.99), получаем соотношение

1п^ = 41прсо —lnpCj —21прсо, (9.103) которое, как и следовало ожидать, совпадает с (9.98). Величина Kj(Aj) определяется путем использования функций распределения участвующих газообразных компонентов.

Все элементы методов, нужных для расчета термодинамических свойств газов, теперь нами описаны. Термодинамические свойства многих газов были рассчитаны путем использования современных методов, описанных в этой главе. Результаты этих вычислений обычно табулируются как функции температуры для следующих величин):

КДТ)— константа равновесия для образования вещества из элементов;

Л^(298,16) — стандартная теплота образования вещества из элементов при давлении 1 атм и температуре 25° С;■

H° — H°Q

^функция разности энтальпий в стандартном

Р° —

^функция свободной энергии в стандартном состоянии при давлении 1 атм;

С°р— удельная теплоемкость при постоянном давлении в стандартном состоянии при давлении 1 атм.

Несколько полезных соотношений могут быть построены путем использования затабулированных выше данных. Например, объединяя (9.45), (9.85) и (9.91), можно показать, что для реакции

mп

^аД^^ЬД(9.80)

<=1i=i

мы можем написать выражение для константы равновесия через функции распределения участвующих компонентов. Оно имеет вид

— ДА0— Д£§ Л

m -^a<ln^Q(AJ],(9.104)

z=i

ввиду того что из (9.55) Q° = pQ и ввиду соотношения

пm

(9-Ю5)

Z1Z = 1

поскольку при абсолютном нуле /То —До-

Для специального случая химической реакции, заключающейся в образовании химических соединений из элементов, уравнение (9.80) записывается в виде

SA^Bj(9.106)

и формула (9.104) принимает вид

In Л/ = дТ” +1П1^ (В1)1 ~ £,п l^ М> (9Л07)

или

K^^Sl—exp^^. (9.108)

где, вообще говоря, для любого значения температуры Т, включая Т=0,

АЛ// (у) = ЛЛ/° (298,16) — А (Л/298,16 — //г)(9.109)

и

А (л/298,16 Нт) = //298,16 (В() — Нт (В1) —

- 2 [//298,16 (А/) — Нт (А/)]. (9.110)

Для случая стандартной температуры 7=298,16° К

АЛ// (298,16) = Л/298,16 (В,) 2 //298,16 (Al),(9.111)

и эта величина обычно и табулируется.

При использовании вышеприведенных соотношений важно помнить следующие правила:

Термодинамические переменные, обозначаемые прописными буквами Н, Е и S, являются молярными величинами, т. е. величинами, получающимися для 1 моля рассматриваемого газа. Они связаны с характерными величинами термодинамических переменных, обозначаемых строчными буквами, следующими соотношениями: .

H = Mh,

Е = Ме,

.S = Ms,

где h, е и s —■ энтальпия, энергия и энтропия на единицу массы и М — молекулярный вес рассматриваемого вещества.

Числовые индексы обозначают температуру, при которой вычисляются термодинамические переменные.

Верхний индекс 0 означает тот факт, что переменное дается для вещества в стандартном состоянии

при давлении, равном 1 атм, и рассматриваемой температуре.

При использовании приведенных выше соотношений вместе с затабулированными термодинамическими функциями в них обычно применяются результаты вычислений, произведенных с помощью статистической механики с использованием спектрографически определенных констант, соответствующих уточненному виду уравнений, развитых в п. 9.4, 9.5 и 9.7. В этих уточненных уравнениях принимаются во внимание негармоничность колебательных движений и прямые взаимодействия между различными формами движений, так что рассуждения, приведенные в п. 9.4—9.7, остаются в силе.

Пример расчета для высокотемпературного воздуха. Чтобы проиллюстрировать применение соотношений, полученных в п. 9.5—9.8 настоящей главы, мы выберем относительно простую смесь газов. В частности, мы выберем смесь, близкую к воздуху. Воздух — это в основном смесь О2, О, N2, N, О+, N+ и е~. Такими компонентами, как редкие газы, можно пренебречь, так как они содержатся в таких малых количествах, что их присутствие не влияет на расчеты равновесных свойств воздуха при высоких температурах. Вычисления покажут, что N почти совсем отсутствует, когда О2 диссоциирует, и то же происходит с О2, когда диссоциирует N2, благодаря значительному различию в энергии диссоциации для О2 и N2 (5,08 зв для О2 против 9,756 зв для N2). Кроме того, О2 и N2 почти совсем диссоциируют к моменту, когда ионизация становится значительной, благодаря высокому потенциалу ионизации для О и N (13,62 зв для О и 14,55 зв для N). Таким образом, никогда не будут присутствовать в значительных концентрациях более чем пять веществ. На рис. 9.2, взятом из работы Хансена *), показано, какие компоненты будут присутствовать в заметных количествах для некоторой области изменения значений давления и температуры воздуха. Из-за такого разделения на отдельные режимы вычисление равновесных свойств сухого воздуха упрощается.

Ч Hansen С., NACA TN 4150, 1958.

Рассмотрим область, когда кислород диссоциирует, но азот еще не начал диссоциировать. Присутствующими компонентами будут О2, О и N2, где О образуется

Рис. 9.2. Области изменения давления и температуры для основных химических реакций в воздухе. (По работе Хансена, Hansen С. F., NACA TN 4150, 1958.)Рис. 9.2. Области изменения давления и температуры для основных химических реакций в воздухе. (По работе Хансена, Hansen С. F., NACA TN 4150, 1958.)

Рис. 9.2. Области изменения давления и температуры для основных химических реакций в воздухе. (По работе Хансена, Hansen С. F., NACA TN 4150, 1958.)

Рис. 9.2. Области изменения давления и температуры для основных химических реакций в воздухе. (По работе Хансена, Hansen С. F., NACA TN 4150, 1958.)

путем химической реакции О2 —* 20. Используем выведенные в предыдущих пунктах соотношения для вычисления равновесной концентрации и термодинамических свойств сухого воздуха в этой области. ■

Если Xj — молярная концентрация компонента i в нашей горячей газовой смеси, то

(9.112)

гдегдеPi = xtp.Pi = xtp.(9.113)

где

где

Pi = xtp.

Pi = xtp.

а пг обозначает число частиц компонента L Если ввести

пп2(5 ^ь2(5 ^ь(9.114)(9.114)

п

п

2(5 ^ь

2(5 ^ь

(9.114)

(9.114)

где индекс b означает условия перед диссоциацией, и если предположить, что перед диссоциацией наша газо-

вая

смесь была такой, что

Ю. = (5~у=°.80‘9J15>

и

W»--^;-0'20.<9J16>

то соотношения (9.112) — (9.116) могут быть объединены и дадут

- "° О— -

"оР

2о

Ро

5"/

14-о Р-

Аналогично можно найти, что

Ро=Ч^-Р(9-118)

и

(9-119)

Далее, имеется химическая реакция

О2—>20, для которой

== V(9.120)

Таким образом, используя (9.117) и (9.118) в (9.120), мы получаем tz _ 1 _ 4о2р

К,(1 4-о) (0,2-а) 1

Разрешая относительно о, получаем

_ 0,4 4- (0,16 4- 2 [14- WKP^}1/2

°=mw1 (Л21)

Для заданных р и Т соотношение (9.121) дает о. Для заданных сир соотношения (9.117) — (9.119) дают значения р0, р0. и pN/ Теперь мы запишем соотношение для КР через функции распределения. Из (9.107) и (9.120) мы получаем

1п^ = —1п^1п^ = —1п^RTRT

1п^ = —1п^

1п^ = —1п^

RT

RT

+ 1п[^(О2)]-21п[^(О)], (9.122) где величину АН/(0) мы берем из спектроскопических данных. Значение этой величины может быть вычислено, исходя из затабулированных термодинамических данных, путем использования соотношений (9.109) и (9.110) следующим образом:

АН/ (о) = АН/ (298,16) — 1/^298,16 (Ог) — Но (Ог)] +

+ 2Н98,16(О)-Я2(О)]. (9.123)

Термодинамические таблицы1) дают

М98,1б(О2) — Но (Ог) = 2087,6 кал!моль, (9.124)

Н°98,1б(О) — Но(О) = 1617,6 кал,моль (9.125) и

АН°(г9з,16) = —117 160 кал!моль. (9.126)

Следовательно, из (9.109)

АН/ (о) = — 117 630 кал/моль. (9.127)

Это как раз теплота диссоциации на одну молекулу, которая может быть получена непосредственно из спектроскопических данных. Так как R= 1,98717 кал]моль° К, соотношение (9.122) после использования (9.127) становится"

щКр = -=^^ + In [pQ(О2)| -2 In [pQ(О)]. (9.128)

Соотношения (9.29), (9.26), (9.55), (9.65) и (9.69) дают значения функций распределения для всех интересующих

*) См., например, ранее указанную статью Feigenbutz, Steihl and Katz.

нас здесь форм движения. Используя (9.29), (9.55) и (9.26) для О при Qr=Qj=l для таких одноатомных молекул, мы получаем

— е (s) + е0 (s) 'kT— е (s) + е0 (s) 'kTln[^Q (О)] = 0,5 +-| In Г + In ^g.exp

— е (s) + е0 (s) 'kT

— е (s) + е0 (s) 'kT

(9.129)

где р выражается в атмосферах и Т в градусах Кельвина. Кроме того, используя (9.29), (9.26), (9.55), (9.65) и (9.69) для двухатомной молекулы Ог, мы получаем

In l^Q (О2)] = 0,11 + ^ In Т -1 n( 1 - ехр ^ +

+ 1п[2 + ехр(9.130)

где р, как и раньше, в атмосферах, а Т в градусах Кельвина. Соотношения (9.129) и (9.130) при объединении с (9.128) дают соотношение для искомой константы равновесия Кр при условии, что спектроскопически определяемые величины энергетических уровней известны. Табл. 9.1 дает эти величины.

Таким путем мы вычисляем парциальные давления компонентов воздуха, присутствующих при различных значениях температуры и давления. Теперь перейдем к вычислению термодинамических переменных состояния для воздуха в температурной области, где кислород диссоциирует. Для совершенного газа

Pi-2^(9-131)

и из закона Дальтона

(9.132)

или, так как Nok = R и Nftm=M, где тп и М — средняя масса частицы и средний молекулярный вес соответственно и Аф— число Авогадро, из уравнения (9.132) имеем

(9.133)(9.133)m У л/ NakT Mb pRTп — — — .

(9.133)

(9.133)

r V Nam М Мь

Далее,

Mb = N\mb = ^0 5xA = °^ ^ . (9.134) (2 п0ь

а также

У П;ТП:

M =.(9.135)

Но масса сохраняется при любой химической реакции, поэтому

S nimi = (5 n-ttn-bb-(9.136)

Следовательно, уравнения (9.134) — (9.136) могут быть объединены и дадут

МьММьМ5 niW^b5 niW^b(9.137)(9.137)

МьМ

МьМ

5 ni

W^b

5 ni

W^b

(9.137)

(9.137)

Таблица 9.1

Константы функции распределения для О и О2 ’)

Компонент

ккал!моль

=к

Электрон-

терм 5

Вырождение gs

Энергия электронов 2) EU)-e0(.s) .

к*

иК

о

58,8

0

5

0

1

3

228

2

1

326

3

5

22 800

4

1

48 600

о2

0

2270

0

3

0

1

2

И 390

2

1

18 990

Э По Хансену (Hansen С, F., NACA TN 4150), который взял эти данные из работ Герцберга и Мура (Herzberg О., см. стр. 346 этой книги; Moore С. Е., Atomic energy levels, Natl. Bur, Standards Clrc., 467, 1948.)

2) Электронные термы 5 для приведенных энергий выше 50 000° К не включены из-за их малого общего вклада в функцию распределения при рассматриваемых здесь температурах.

Из уравнений (9.133) и (9.137) имеем

рМьpRTрМьpRT= 1 + а,= 1 + а,(9.138)(9.138)

рМьpRT

рМьpRT

= 1 + а,

= 1 + а,

(9.138)

(9.138)

где 1+а-—полное число молей, отнесенное к молю исходного недиссоциироваиного воздуха. Значения величины 1+а, вычисленные Хансеном1) для всей области

Рис. 9.3. Зависимость сжимаемости воздуха от температуры. (См. работу Хансена, Hansen С. F., NACA TN 4150, 1958.)Рис. 9.3. Зависимость сжимаемости воздуха от температуры. (См. работу Хансена, Hansen С. F., NACA TN 4150, 1958.)

Рис. 9.3. Зависимость сжимаемости воздуха от температуры. (См. работу Хансена, Hansen С. F., NACA TN 4150, 1958.)

Рис. 9.3. Зависимость сжимаемости воздуха от температуры. (См. работу Хансена, Hansen С. F., NACA TN 4150, 1958.)

показанной на рис. 9.2, аналогично тому, как это было описано для области диссоциации кислорода, представлены на рис. 9.3. Обратите внимание на различные «плато» (почти горизонтальный ход) кривой зависимости 1+а от температуры, которые получаются, когда

*) Н a n s е п, op. сП.

азот становится полностью диссоциированным и, наконец, когда происходит однократная ионизация атомов азота и кислорода.

Внутренняя энергия и энтальпия вычисляются с помощью следующих соотношений:

f ==(9Л39)

H = E-VpV,(9.140)

а величина Ei—Et№ определяется соотношением (9.35)

^-^(0) = /?p{4[ln(Q)]}r.(9.141)

Значения Ец^ для О2 и О даются в табл. 9.1. Парциальные давления pt вычисляются по уравнениям (9.117) — (9.119), как только величина с определена с помощью уравнения (9.121). Хансен выбрал для построения на графике безразмерную величину (1 + a)E/RT, которая легко получается с помощью уравнений (9.139) и (9.141) и имеет вид

и

—^7— =7-7Hl-WHj^llntQ)] (9.143)

Как только величина (l-Vn)EfRT получена таким путем, соотношение (9.140) дает

(1+а)/7 =")..£ +(]Ч_а).(9Д44)

На рис. 9.4 представлены результаты вычислений Хансена для безразмерной энергии диссоциирующего воздуха.

На этом мы заканчиваем наш пример расчета, цель которого была в том, чтобы проиллюстрировать использование выведенных нами термодинамических соотношений, функций распределения и основных спектроскопических данных. Более сложные газовые смеси, включающие многоатомные молекулы, являются более слож-

ними для обработки, но в принципе рассматриваются методом, аналогичным методу вычислений, использо-

Р н с. 9.4. Зависимость энергии воздуха от температуры. (См. работу Хансена, Н а п s е n С. F., NACA TN 4150, 1958.)Р н с. 9.4. Зависимость энергии воздуха от температуры. (См. работу Хансена, Н а п s е n С. F., NACA TN 4150, 1958.)ванному в этом пункте.

Р н с. 9.4. Зависимость энергии воздуха от температуры. (См. работу Хансена, Н а п s е n С. F., NACA TN 4150, 1958.)

Р н с. 9.4. Зависимость энергии воздуха от температуры. (См. работу Хансена, Н а п s е n С. F., NACA TN 4150, 1958.)

Выводы. В этой главе представлены уравнения, применимые для расчета термодинамических свойств равновесных газовых смесей, и коротко ообъясняется, как эти уравнения выводятся из квантовой теории, волновой механики, статистической механики и некоторых физических измерений. Изложение не является исчерпывающим, и читатель, интересующийся более полным изложением1), отсылается к цитируемой литературе. Намерение автора заключалось в представлении в этой главе некоторых полезных уравнений, а также в объяснении законов, лежащих в основе их вывода.

Кажется, имеет смысл отметить еще раз ограничения, накладываемые на уравнения, представленные в этой главе. Прежде всего, большинство урав

нений для функции распределения применимы только к одноатомным и двухатомным молекулам. Кроме того, следует напомнить, что предполагалось, что

*) См., например, Mayer J. Е., Mayer М. G., Statistical Mechanics, New York, 1940.

потенциалы взаимодействия частиц имеют относительно короткий радиус действия по сравнению со средней длиной свободного пробега. Последнее предположение исключает применение выведенных функций распределения к сильно ионизованным газам и жидкостям. Наконец, используемая двухатомная модель молекулы является идеализированной в том смысле, что пренебрегается взаимодействием колебательного и вращательного движения и эффектами негармоничности колебаний. Следует отметить, что эти последние эффекты могли быть приняты во внимание без чрезмерного усложнения и не влияют на результаты, показанные на рис. 9.3 и 9.4, с погрешностью более чем ±15%.

В следующей главе мы рассмотрим свойства явления переноса, и там будет найдено, что потенциалы взаимодействия частиц играют первостепенную роль в противоположность их роли при определении термодинамических свойств равновесной газовой смеси.

ГЛАВА

10

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВЫХСМЕСЕЙ

Введение. Прежде чем применять уравнения неразрывности, количества движения и энергии, необходимо определить соответствующие выражения для коэффициентов переноса, которые появляются в членах потока массы, количества движения и энергии в этих уравнениях. Цель этой главы — дать выражения для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности разреженных1) газовых смесей и показать, как на эти коэффициенты переноса влияют различные условия, сопутствующие типичным газовым смесям. В этой главе, например, рассматривается и обсуждается изменение коэффициентов переноса диссоциирующей газовой смеси в зависимости от состава или температуры, изменение коэффициентов переноса в зависимости от концентрации компонентов бинарной смеси легкого газа (такого, как Н2) с более тяжелым газом (таким, как СО). Здесь представлены также кривые и таблицы параметров коэффициентов переноса для того, чтобы проиллюстрировать детали и дать сведения, необходимые для применения уравнений для поверхностного трения и теплопередачи, выведенных в предыдущих главах этой книги.

Как было описано в гл. 2, коэффициенты переноса, с которыми мы будем здесь иметь дело, получаются косвенным образом из решения Энскога уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения

*) Под термином «разреженный» газ автор имеет здесь в виду газ, в котором длина свободного пробега молекул много больше радиуса взаимодействия молекул. — Прим. ред.

скорости '). Использование первых двух членов разложения Энскога для одночастичной функции распределения скорости) /у в общих уравнениях, описывающих процессы в реагирующей газовой смеси, приводит к уравнениям неразрывности каждого компонента и газа в целом, к уравнениям Навье — Стокса и к уравнению энергии для газовой смеси. Это уравнение содержит векторные потоки массы, количества движения и энергии, выраженные через коэффициенты переноса и первые производные параметров потока. Эти коэффициенты переноса, строго применимые только для одноатомных газов, даются в первом приближении следующими формулами:

5 (лт;А7)1/2

^ = -4- RiV-b

q 3 2пА7 (w1 —J— m2)^21

1216 m^m^ пяо^в^' ^*

где mt — масса частицы t-го компонента,

к — постоянная Больцмана,

Т— температура 0 К,

п — число частиц в единице объема,

о—диаметр столкновений в ангстремах,

а функции fit1-1)* и fit2’2)* являются сложными интегралами, которые учитывают динамику столкновений частиц. Они определяются таким образом, что для твердых упругих сфер диаметром о они равны единице. Их

') См., например, Чепмен С. и Каулинг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1960.

численное значение для других молекулярных моделей, как будет показано, изменяется с температурой Т и некоторыми «силовыми константами», которые являются эмпирическими параметрами используемой молекулярной модели. Интегралы Q6> s>* будут описаны позднее вместе с их оценками для трех моделей молекул, главным образом используемых на практике. Вышеприведенные выражения являются первым приближением более полных выражений, и из сравнения с существующими расчетами, использующими полные выражения, известно, что расхождения не превышают 3%.

Допущения теории переноса. Ввиду того что для получения газодинамических уравнений используются только два члена в разложении Энскога для функции распределения, а также ввиду того, что решается только уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения скорости, здесь перечисляются условия, при которых можно ожидать, что будут иметь силу получающиеся газодинамические уравнения переноса. Только исследование этих условий позволяет полностью оценить ту скудную основу, на которой построена газовая динамика как наука в настоящее время, и понять, каким триумфом является то, что наука, построенная при таких ограничивающих предположениях, находится в разумном согласии с экспериментом в широком диапазоне условий. Это же помогает осознать необъятность задачи, которая возникает при распространении этой теории на области, которые в настоящее время не могут быть описаны теорией в ее теперешнем состоянии.

Допущения, которые использовались при выводе теории переноса для неоднородных разреженных газов, рассматриваемых в настоящей книге, следующие:

Градиенты физических величин, функций состояния и скорости потока являются «малыми», т. е. они достаточно малы, для того чтобы можно было пренебречь третьим и последующими членами более высокого порядка в разложении Энскога для /у по сравнению с первыми двумя. Поэтому, строго говоря, течения с большими градиентами, такие, как течение газа в об-

ласти, прилегающей к сильной ударной волне, находятся вне сферы применимости этой теории.

Только двойные столкновения являются существенными при определении функции распределения скорости fp То есть частота столкновения трех частиц и столкновений более высокого порядка пренебрежимо мала по сравнению с частотой двойных столкновений при определении изменения функции распределения скорости при переходе от одной точки к другой в поле течения. Следующие положения подразумеваются или связаны с этим предположением:

теория неприложима к жидкостям, где столкновения многих частиц начинают играть роль при определении функции распределения скорости;

эффективный радиус сил взаимодействия молекул или частиц является малым по сравнению со средней длиной свободного пробега. Таким образом, плазма, для которой существенны кулоновы силы с большим радиусом действия, лежит вне применимости используемой здесь теории Чепмена — Энскога;

масса, количество движения и энергия переносятся полностью отдельными частицами. Перенос массы, количества движения и энергии дублетами, триплетами и другими мультиплетами является незначительным.

Рассматриваются только одноатомные газы. Строго сформулированная теория имеет дело только с газами, не имеющими внутренних степеней свободы, для которых потенциал взаимодействия типа частица — частица является сферически симметричным. Так как присутствие или отсутствие внутренних степеней свободы почти не влияет на перенос массы и количества движения, теория даст сравнительно хорошие результаты при изучении потока массы и количества движения для течения многоатомных газов. Наличие или отсутствие внутренних степеней свободы влияет на перенос энергии, и, следовательно, поток энергии для многоатомных газов не будет в совершенстве описываться теорией в ее настоящем виде. На этом мы подробно остановимся в дальнейшем.

При выводе коэффициентов переноса мы будем рассматривать столкновения типа частица — частица с

помощью методов классической механики, т. е. теория является неадекватной для систем разреженных газов, где становятся важными квантовомеханические эффекты при взаимодействиях типа частица — частица. Когда де-бройлева длина волны X = hlmu (/1— постоянная Планка, пг — масса частицы и и — скорость частицы) становится порядка величины, соизмеримой с размером частицы или больше (около 1 ангстрема или больше), квантовомеханические эффекты становятся важными. При низких температурах для легких частиц (гелий при температуре порядка 100° К или меньше) эти эффекты становятся значительными. Для области гиперзвуковой аэродинамики такие эффекты являются пренебрежимо малыми для большинства, если не для всех ее задач.

Размеры поля течения и любых объектов внутри него много больше средней длины свободного пробега частицы, так что подавляющее большинство частиц сталкивается значительно чаще одна с другой, чем с частицами, образующими границы поля течения или объекты внутри него. Только при таких условиях имеет смысл концепция равновесного или приближенно равновесного состояния газа, определяемого столкновениями его частиц. Когда более вероятно, что частицы газа сталкиваются с частицами границы (контейнером) или с частицами объекта, находящегося в газе, чем друг с другом, то распределение скоростей частиц газа определяется главным образом механизмом столкновений типа газовая частица — частица объекта, а не столкновениями частиц самого газа.

Теперь могут быть лучше оценены достижения теории Чепмена — Энскога. Большинство газов, представляющих инженерный интерес, являются многоатомными. Кроме того, в течении типа пограничного слоя большие градиенты температуры, плотности, концентрации и скорости могут существовать в узких областях слоя. Тем не менее уравнения Навье — Стокса, а также полученные из них уравнения могут быть с большим успехом использованы для описания многих ситуаций в широком диапазоне давлений и температур газа для течения смесей многоатомных газов Однако мы не должны ожидать слишком многого от теории. Нет основания ожи-

дать a priori, что теория может быть применена с какой-то степенью успеха к течениям ионизированного газа или к течению жидкостей или что может быть гарантировано некритическое ее применение к течению газов с низкой плотностью или к почти свободно молекулярному течению. Мы переходим к описанию переносных свойств разреженных газов для широкого диапазона условий, для которых теория кажется применимой.

Коэффициенты переноса. В уравнениях неразрывности, количества движения и энергии появляются коэффициенты переноса ц, Д<2 и к. Выражения для этих коэффициентов будут представлены в том виде, как они выводятся в первом приближении в теории Чепмена — Энскога1). Эти выражения будут теперь записаны в практических единицах через интегралы столкновений й^®)*, молекулярные веса М(, температуру, давление и параметры молекулярной потенциальной энергии о и е, которые еще будут описаны. Обсуждение значения и происхождения этих параметров в выражениях для коэффициентов переноса будет дано после выписывания этих выражений.

Коэффициент вязкости. Для чистого газа /-го компонента ■

= 266,93 х10-7-№$, (10.1)

где Мт — вязкость /-го компонента, г/см-сек, М,—молекулярный вес /-го компонента, о — диаметр столкновения в ангстремах. Т—температура, °К

и

(Ю.2)(Ю.2)0?^^^Чтв.сф.

(Ю.2)

(Ю.2)

интегралы Q(Z’ будут описаны позднее.

') См., например, Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч. и Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, М„ 1961.

Для смеси газов, содержащих v компонентов, Уилки) дает

(10.3)

(Ю.4)(Ю.4)где щ определяется формулой (10.1) и Xt— молярная концентрация /-го компонента, т. е.

(Ю.4)

(Ю.4)

где C^pjp— массовая концентрация /-го компонента и М}— молекулярный вес /-го компонента, а

(10.5)(10.5)п [1 + (щ/^)1/2№/^)1/41

(10.5)

(10.5)

(10.6)(10.7а)(10.76)(10.6)(10.7а)(10.76)Для бинарной смеси соотношение (10.3) принимает вид

(10.6)

(10.7а)

(10.76)

(10.6)

(10.7а)

(10.76)

121 + Gig (-Г2Д1)1 + С21 (лДлД ’

где из (10.4)

12(^Ч + ДЧЖ)]1/2

и

Q [1 + (М-г/М-р1^2 (^Л/^г)1^]2

21(^[l + WMp]1'2 ’

a Pi и ц2 даются формулой (10.1) для чистого газа. Гиршфельдер, Кертисс и Берд2) показали, что формула (10.3) является логическим приближением к полному более сложному выражению для вязкости смеси, которое дается теорией Чепмена — Энскога. Уилки) свел полное уравнение к виду (10.3) и показал, как уравнение (10.3) согласуется с большим разнообразием изме-

рений вязкости вблизи комнатной температуры для бинарных и тройных смесей легких и тяжелых молекул. Амдер и Масон1) показали, что для бинарной смеси гелия и аргона формула (10.3) дает замечательное согласие с формулой Чепмена—■ Энскога для вязкости бинарной смеси в диапазоне температур от 1000 до 15 000° К-

Коэффициент бинарной диффузии. В большей части интересующих нас задач мы будем иметь дело с газовыми смесями, которые, по существу, являются бинарными в том смысле, что мы можем разделить частицы на два класса: легкие частицы и тяжелые частицы. Например, в диссоциирующей воздушной смеси будут в принципе молекулы О2 и N2 и атомы О и N. Так как поток количества движения и энергии только частично образуется за счет энергии, передаваемой диффузионными потоками массы, то некоторая ошибка, получающаяся при изучении диффузионного потока многокомпонентной смеси как действительно бинарной смеси, будет величиной много меньшей, чем полный поток количества движения и энергии. Выражение для коэффициента бинарной диффузии в практических единицах будет

Du = D21 = 262,8 X Ю"5 -К3-^.1^^^1^1/2 , (Ю.8)

где Z?2i = D12 — коэффициент диффузии, см^сек,

Oi2 — ^ (01 + 02) в ангстремах (см. п. 10.9, где приводятся дальнейшие соображения по этому вопросу), р — давление, атм,

Т — температура, ° К, а все другие члены были определены раньше. Интеграл Q(z, $)* будет рассмотрен позднее.

Теплопроводность одноатомных газов. Как отмечалось раньше, результаты теории Чепмена — Энскога для теплопроводности, строго говоря, справедливы только

>) Amdur I., Mason Е. A, Phys. Fluids, 1 (5), 370—383 (1958).

для молекул, не имеющих каких-либо форм внутренней энергии. Могут быть сделаны различные приближения, чтобы приспособить результаты теории для теплопроводности к расчету передачи внутренней энергии, которая происходит благодаря бинарным столкновениям одной или двух многоатомных молекул. Эти приспособления будут даны позднее. Для одноатомного газа i-ro компонента теория Чепмена — Энскога дает

где kt—коэффициент теплопроводности, кал!см • сек • °К, pz — коэффициент вязкости (10.1), R—универсальная газовая постоянная,

Mt— молекулярный вес i-го компонента, Ri—газовая постоянная i-ro компонента.

kkДля смеси одноатомных газов Масон и Саксена *) дают

k

k

где kt дается формулой (10.9), Gih — формулой (10.5) и Xi и хк — формулой (10.4). Амдер и Масон) показали, что для смеси гелия и аргона в диапазоне температур от 1000 до 15 000° К формула (10.10) дает результаты, отличающиеся на 8 или менее процентов от результатов точных, более сложных формул теории Чепмена — Энскога. Масон и Саксена показали, что формула (10.10) дает великолепные результаты при сравнении с несколькими измерениями теплопроводности бинарных и тройных смесей легких и тяжелых инертных газов при температуре, близкой к комнатной.

Теплопроводность многоатомных газов. Ранее указывалось, что теория Чепмена — Энскога рассматривает частицы газа, участвующие в бинарных столкновениях, приводящих к потокам массы, количества движения и

') См. Mason Е. A., Saxena S. С., Phys. Fluids, 1 (5), 361—369 (1958).

энергии в макроскопическом поле течения, как частицы, полностью лишенные каких-либо форм внутренней энергии. Это предположение не оправдывается для молекул реального газа. Даже инертные газы гелий, аргон и криптон обладают электронными состояниями, которые могут быть возбуждены при достаточно сильных столкновениях с другими частицами. Однако при низких температурах число частиц, обладающих энергией поступательного движения, достаточно высокой, чтобы возбудить при столкновении более высокие электронные энергетические состояния, будет пренебрежимо малым. Так как частицы инертных газов являются одноатомными и сферически симметричными, они не имеют вращательной и колебательной степеней свободы, и, таким образом, при интересующих нас здесь (в этой книге) температурах теория Чепмена — Энскога должна давать хорошие результаты при применении ее к инертным газам. Сравнение теории с экспериментом показывает, что так оно и есть.

В число компонентов воздуха при комнатной температуре входит большое количество двухатомных молекул, главным образом N2 и О2. Такие молекулы обладают двумя вращательными и двумя колебательными внутренними степенями свободы в дополнение к трем поступательным степеням свободы, которыми, как предполагается в теории, обладают все молекулы. Существование этих внутренних степеней свободы может привести к неадиабатическим, или неупругим, столкновениям в том смысле, что полная кинетическая энергия сталкивающихся частиц больше не будет сохраняться в процессе столкновения. Существуют механизмы перехода энергии поступательного движения во внутреннюю энергию вращения и колебания. Задача усложняется, когда рассматриваются продукты сгорания, так как могут присутствовать многоатомные молекулы, которые обладают даже большим числом внутренних степеней свободы при всех температурах.

Для теплопроводности многоатомных газов теория еще не разработана в такой степени, как теория для одноатомных газов. Однако могут быть сделаны некоторые предположения и упрощения, которые позволяют

применять теорию Чепмена — Энскога, справедливую, строго говоря, для одноатомных газов при низких температурах, к газовым смесям многоатомных молекул.

Мы начнем с замечания, что если только переход энергии поступательного движения в энергию внутренних степеней свободы или переход между различными формами энергии внутренних степеней свободы, происходящий при бинарных столкновениях, не влияет на уравнения, описывающие изменение одночастичной функции распределения скорости ft, то неупругие столкновения не будут влиять на передачу массы и количества движения. Предположение о том, что такие неупругие столкновения не влияют на распределение скорости единичной частицы, является разумным предположением для многих многоатомных молекул при интересующих нас температурах. Можно показать, что функция распределения скорости fi, определенная для частиц, не обладающих внутренней энергией, будет представлять функцию распределения скорости ft для частиц, которые обладают внутренней энергией, в двух случаях: 1) в случае, когда вероятность процесса перехода во внутреннюю энергию молекулы при столкновении много меньше, чем вероятность отсутствия такого процесса, и 2) в случае, когда внутренняя энергия отличается от равновесного значения только на величину порядка энергии, получаемой при одном столкновении.

Вычисления Герцфельда и Шварца) показали, что вероятности процесса перехода энергии между поступательными и колебательными степенями свободы в процессе столкновения двухатомных и трехатомных молекулярных пар при комнатной температуре являются малыми величинами порядка 10~5 и меньше. Их вычисления для Na и О2 были проверены с точностью до порядка (до множителя 10) Блекманом), который определял время релаксации колебаний, используя интерферометрические фотографии сдвигов краев областей релаксации за ударными волнами, которые проходят

через N2 и 02 в ударной трубе. Таким образом, мы можем предположить, что вышеуказанный случай 1 представляет процесс передачи энергии между поступательными и колебательными степенями свободы двухатомных и трехатомных газов.

Имеются сообщения *) о результатах измерений ультразвуковой дисперсии в N2 и О2 при комнатной температуре, которые показывают, что требуется не более трех столкновений, чтобы довести до равновесного значения энергию вращательного движения N2 и О2. Аналогичные заключения для СО, СО2, N2O, СН4, Cl2, NH3 и НС1 сообщаются Хорнигом2). Можно заключить, что второй из вышеприведенных случаев применим к передаче энергии между поступательными и вращательными формами движения.

Принимая предположение о том, что для интересующих нас молекул переход энергии между поступательными и внутренними степенями свободы не влияет на функцию распределения скорости, мы можем написать

q = — к grad Т + 2 ру^, (10.11) t

где индекс I относится к частицам, находящимся в квантовом состоянии i, a V< — вектор скорости диффузии, определяемый путем использования одночастичной функции распределения скорости способом, указанным в и. 2.2. [См., например, соотношение (2.12).] Далее, мы предположим, что частицы газовой смеси, имеющие один и тот же молекулярный вес, находятся, однако, в v внутренних состояниях колебания. Предположим для ясности, что градиенты существуют только в одном направлении (что приближенно верно, например, для течения в пограничном слое); уравнение (10.11) запишется в виде’

V

,z=i

*) См. Parker J. S„ Adams С. Е., Sta vseth В. Н., Л Ас- coust. Soc. Am., 25, 263 (1953).

2) См. Hornig D. F„ J. Phys. Chern., 61, 856—860 (1957).

где Viti — скорость диффузии компонентов с внутренним квантовым состоянием t,

h^— энтальпия компонентов с внутренним квантовым состоянием I,

к— обычный коэффициент теплопроводности.

Теперь при отсутствии градиентов давления и при реалистичном предположении, что термодиффузия является величиной второго порядка малости, мы можем написать

^ = -9°^,(Ю.13)

где Dt — коэффициент самодиффузии, так как предполагается, что компоненты имеют один и тот же молекулярный вес и, по существу, одни и те же потенциалы взаимодействия. Кроме того,

h=^Cthn(10.14)

где h— энтальпия на единицу массы и

т

ht = J С dT+h°.(10.15)

о

Следовательно, если мы предположим, что концентрации в каждой точке поля потока являются химически равновесными, то

— -Усс +

z = i1 = 1

или V

Ср-СР; = ^^,(10.16)

Z=I

где Ср —замороженная удельная теплоемкость, определяемая соотношением

Объединение соотношений (10.12), (10.13) и (10.16) дает

4 = "^(Ю.18)

где

А' = 4~ pDt (Ср — ^/у) или

±- = Eu=l-Le/+-|Le'^-,(10.19)

где

a Mt является одним и тем же для всех квантовых состояний и

С,, = f R..

Величина Le' может быть вычислена с помощью теории Чепмена — Энскога для одноатомных молекул. Гиршфельдер *) нашел, что для широкого диапазона температур и некоторых предполагаемых значений параметров потенциала межмолекулярных взаимодействий а и е величина Le' яа 0,885. При использовании этой величины, поправочный коэффициент Ей равен

(10.20)(10.21a) которое(10.22)(10.20)(10.21a) которое(10.22)к'фф

(10.20)

(10.21a) которое

(10.22)

(10.20)

(10.21a) которое

(10.22)

Ей == 0,115 + 0,354= 0,469+ 0,354,

так как

Ср — Cy-VRi.

Эйкен) впервые дал аналогичное выражение, может быть записано в следующем виде:

k' 14 Ср 34 Су

Eu —+= 5"+l5""R7’

который получается путем использования соотношений

(10.216)

в исходном выражении Эйкена

^^^(ду — б).(10.23)

Кажется, что выражение (10.20) является более точным, чем (10.22), которое было выведено из исходного уравнения Эйкена, потому что выбор числа Le' является более реалистическим, чем выбор Эйкена.

Соотношение (10.20) дает нам связь между теплопроводностью чистого многоатомного газа и теплопроводностью для этого газа, вычисленной в предположении, что многоатомный газ не имеет внутренних степеней свободы. Теперь мы подошли к вопросу о представлении коэффициента теплопроводности для смеси многоатомных газов.

Теплопроводность для смесей многоатомных газов. Масон и Саксена *) нашли, что формула Чепмена — Эн- скога для теплопроводности смеси одноатомных газов может быть модифицирована путем использования множителя Эйкена вида (10.20) или (10.22), чтобы получить выражение для теплопроводности многоатомных газов. Их формула будет

V /V\ ~ *

*=2 (1+1 >065 2 °'№ ^ I > <10-24) i=i \11

\к ^ i/

где

^ = &iEu,(10.25)

Ей = 0,115+ 0,354-^-,(10.20)

16 Ы^А^м^16 Ы^А^м^(10.26)(10.26)

16 Ы^А^м^

16 Ы^А^м^

(10.26)

(10.26)

’) См. Mason and S а х е п а, ор. ей.

и kt — «замороженные» коэффициенты теплопроводности (10.9) и (10.1). Масон и Саксена показали, что формула (10.24) дает замечательные результаты при сравнении с экспериментально определенными коэффициентами теплопроводности для большого разнообразия бинарных смесей многоатомных газов при температурах до 688° К. Амдер и Масон) показали, что формула (10.24) хорошо согласуется с результатами, вычисленными путем использования формулы полной теории Чепмена — Энскога для смеси гелия и аргона в диапазоне температур от 1000 до 15 000° К. Таким образом, это подтверждает мнение, что формула (10.24) может быть использована вместо более сложной формулы Чепмена— Энскога для коэффициента теплопроводности, приведенной в книге Гиршфельдера и др.).

Мы еще не закончили обсуждения переносных свойств. Прежде чем можно будет применять представленные здесь выражения, должны быть определены параметры потенциала межмолекулярных взаимодействий а и в и интегралы столкновений QC, ®1*. Цель следующего пункта — представить и описать эти величины.

Интегралы столкновений. Прежде чем с помощью представленных в предыдущем пункте формул можно будет вычислять коэффициенты переноса, нужно путем использования потенциалов межмолекулярного взаимодействия частного вида вычислить некоторые интегралы, строго выведенные в теории Чепмена ■— Энскога. Здесь мы приведем соответствующие интегралы, а в следующем пункте обсудим их вычисление для большого числа различных потенциалов межмолекулярного взаимодействия. •

В основе теории Чепмена — Энскога лежит предположение, что потоки массы, количества движения и энергии получаются в результате бинарных столкновений между отдельными частицами газа. Для описания траекторий частиц в процессе бинарных столкновений привлекаются законы классической механики. Для замыкания

системы уравнений классической механики необходимо определить вид потенциала межмолекулярных взаимодействий. Мы определим этот потенциал ф(г) следующим образом:

ф.(г)=: J F^dr.Г

Следовательно, функция

=(Ю-27)

представляет силу, действующую на частицу, находящуюся на расстоянии г от другой частицы. Мы предположим, что потенциал ср (г), а следовательно, и сила F (г), является сферически симметричным. Случай полярных молекул, обладающих несферическим полем сил, хотя и рассматривался в некоторых работах, но еще не находится в таком пригодном для использования состоянии, как случай неполярных молекул. Как только потенциал взаимодействия частиц выбран, то законов классической механики достаточно для описания траекторий движения двух частиц, пока они находятся в поле взаимодействия.

Бинарное столкновение может быть описано с помощью эквивалентной задачи о движении одного тела — частицы с приведенной массой m и начальной скоростью g в поле центральных сил, обладающем сферической симметрией. Уравнения для этой эквивалентной задачи о движении одного тела легко могут быть выведены из уравнений для задачи о движении двух тел простым переносом начала координат из центра масс двух сталкивающихся частиц с массами mt и т, в положение частицы с массой т^ (или т{). Уравнения движения могут быть выведены из законов сохранения момента количества движения и энергии. Они имеют вид mbg ~тг^(10.28)

и

Уравнения дадут

(10.28) и (10.29) могут быть объединены и ^mg1 = ^mr,2 + 1 mg2 (у)2 + <р,(10.30)

где

-(10-31)

Ь — расстояние наибольшего приближения частицы i к частице / при отсутствии потенциала (прицельное расстояние),

g — скорость частицы i относительно частицы / при от* сутствии поля межмолекулярных сил (или при Г=оо),

а координаты движения изображены на рис. 10.1. На рис. 10.1 также показан характерный вид кривой потенциала взаимодействия частиц ф(г). Видно, что для больших г на частицу i действует сила притяжения [—d(p/dr=F (г) <0], когда же г меньше ге, на частицу I действует сила отталкивания [—d^ldr=F^ >0]. Ниже мы обсудим возможные формы представления функции ф(г).

При заданных b, g и ср (г) траектория частицы i относительно частицы / полностью определяется уравнением (10.30). Непосредственно видно, что величина Гтш. расстояние наибольшего сближения, получается, когда в уравнении (10.30) г=0. Следовательно,

Т(г„,.) = 1».г1[1-(Д)!]Т(г„,.) = 1».г1[1-(Д)!](10.32)(10.32)

Т(г„,.) = 1».г1[1-(Д)!]

Т(г„,.) = 1».г1[1-(Д)!]

(10.32)

(10.32)

и rmin легко определяется из уравнения (10.32) при условии, что ср(г) известно. ■

Кроме того, как видно из рис. 10.1, угол отклонения % определяется, как только определено 9™in. соответствующее величине 0, при r = rmln. 9mm определяется путем объединения уравнений (10.28) и (10.30) следующим образом: из (10.28)

0 ==(10.28)

из (10.30)

? = — = ±gh —— 3^1№, (ю.зо)

Щ L \r J mg2 J

следовательно, drследовательно, drтКт)2тКт)22<р 11/2 m^2 J2<р 11/2 m^2 J(10.33)(10.33)

следовательно, dr

следовательно, dr

тКт)2

тКт)2

2<р 11/2 m^2 J

2<р 11/2 m^2 J

(10.33)

(10.33)

где знак минус взят потому, что г уменьшается, когда 9 увеличивается на входящей ветви траектории (r^/miri) (рис. 10.1). Таким образом, из (10.33)

.®mlnrmln

= J ® = J0со

ИЛИг ,

mln

а л f dr

mln J г2 [1 — (б/r)2 — ^ImgY^P' '

Так как из геометрических соображений х+29тш—л, то угол отклонения будет даваться формулой

Х(6, g) = n — 2b f —=тд , (10.34)

vГ2 [1 — (б/г)2 — (^wlmg^’

rmln

и когда ср(г) определено, rmin определяется путем решения уравнения (10.32). Уравнение (10.34) для угла отклонения х может быть решено, как только будут заданы относительная начальная скорость g, параметр столкновения Ь, приведенная масса m и потенциал взаимодействия частиц ф(г). В теории Чепмена — Энскога переносные свойства выражаются через эти интегралы для углов отклонения. Соответствующие соотношения Чепмена — Энскога будут

^’^(г^)12/ ^^VVgW (10.35)

где / и s появляются как показатели степени в соотношениях (10.37) и (10.35) соответственно,

Y =(10.36)

Qw(g) = 2n^ (l — cos^bdb(10.37)

О

и %(£• Ь) определяется уравнением (10.34). Выражения для коэффициентов переноса через интегралы столкновений уже были даны в и. 10.2. Интеграл Qw(g) называется эффективным сечением, а интеграл й^1 s) — интегралом столкновений. Видно, что эффективное сечение

Рис. 10.1. Движение частицы I относительно частицы j в поле сил взаимодействия частиц с потенциалом, изображенным в верхней части рисунка.

включает в себя интегрирование по интервалу изменения параметров столкновения от 6 = 0 до Ь = оо для каждого значения относительной начальной скорости g и что интеграл столкновений включает в себя интегрирование по каждой относительной начальной скорости от g = 0 до g = oo. Будет показано, что во многих интересных случаях приходится прибегать к численному интегрированию.

В задачу настоящей книги не входит вывод соотношений (10.35) и (10.37). Описание вывода этих соотношений с помощью теории Чепмена — Энскога можно найти в гл. 7 книги Гиршфельдера, Кертисса и Берда1), к которой и отсылаются интересующиеся читатели. Наша цель в этой главе заключается в представлении тех частей кинетической теории неоднородных газов, которые необходимы для понимания и вычисления коэффициентов переноса, для понимания накладываемых на них ограничений и понимания того, как условия в гиперзвуковых и (или) реагирующих газовых потоках могут влиять на переносные свойства.

Физика межмолекулярных сил. В зависимости от структуры сталкивающихся частиц возможны несколько видов потенциалов межмолекулярных сил — функции ф(г). Известно, что для электрически нейтральных молекул потенциал взаимодействия частиц обычно берется в том виде, который показан на рис. 10.1, т. е. на больших расстояниях действуют притягивающие силы, а на малых — отталкивающие. Притягивающие (дально- действующие) силы обычно уменьшаются по величине, как г-7 с увеличением г, а отталкивающие (короткодействующие) силы обычно уменьшаются по величине, как г~п с увеличением г, где п много больше 7. Дальнодей- ствующие притягивающие силы относятся к силам, получающимся, когда за счет несимметричного распределения электронного облака относительно ядра каждой частицы образуются индуцированные диполи. Большая часть компонент дальнодействующих сил электростатического происхождения и их можно объяснить путем использования законов электростатики и квантовой механики. Короткодействующие силы являются более сложными и могут быть описаны только с использованием квантовой теории. Некоторое представление о возможных составляющих дальнодействующих компонент потенциалов взаимодействия частиц может быть получено из

') См. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, М., 1961,

табл. 10.1, где перечислены различные типы межмолекулярных сил.

Таблица 10.1

Вклад некоторых возможных типов сил взаимодействияв зависимости от расстояния между частицами г.

(Только для дальнодействующих сил) *)

Тип силы

Описание

Зависимость

Электростатические (кулоновы)

Заряд — заряд (ион — ион)

1/г

Электростатические

Заряд — диполь

1/г2

Электростатические

Заряд — квадруполь

1/г3 .

Электростатические

Диполь — диполь

1/г3

Электростатические

Диполь — квадруполь

1/г4

Индукционные'

Заряд— индуцированный

1/г4

Индукционные

диполь

Диполь — индуцированный

1/г8

Дисперсионные

диполь

Индуцированный диполь —

1/г7

Дисперсионные

индуцированный диполь Индуцированный диполь —

1/г8

индуцированный квадруполь

О См. книгу Слатера (Slater J. С., Introduction to chemical physics, p. 352—376, New York, 1939), где приводится превосходиое описание сил взаимодействия частиц.

При комнатной температуре большая часть молекул в рассматриваемых здесь газовых смесях будут электрически нейтральными. При более высоких температурах начнется ионизация, но мы ограничимся температурами ниже порога, при котором происходит заметная ионизация. Величина индукционных сил, когда они присутствуют, меньше величины основной дисперсионной силы индуцированный диполь — индуцированный диполь, которая меняется пропорционально г-7 и является основной дальнодействующей притягивающей силой, представляющей для нас здесь интерес.

При тех высоких температурах, которые рассматриваются в этой книге, будет происходить диссоциация молекул и в результате возникает значительная концентрация радикалов1). На больших расстояниях сила взаимодействия радикалов в основном состоит из дисперсионных компонент, которые, как мы видели, изменяются пропорционально г-7. Когда два радикала приближаются один к другому, на них по законам квантовой механики накладываются ограничения, которые определяют, будет ли комплекс, образовавшийся в результате столкновения, в состоянии притяжения или отталкивания. В соответствии со спиновой теорией валентности в результате взаимодействия двух радикалов, непарные электроны которых при столкновении переходят парами на орбиты образовавшегося при столкновении комплекса (таким образом, что электронные пары имеют антипараллельные спины), образуется комплекс, находящийся в состоянии притяжения. В самом деле, две такие частицы, имеющие нулевую относительную скорость на больших расстояниях (г->оо), будут образовывать устойчивый комплекс, так как описываемый процесс есть процесс образования химических связей. Однако если в результате столкновения некоторые из ранее непарных электронов переходят парами на орбиты образовавшегося в результате столкновения комплекса (с антипараллельными спинами), а некоторые нет, то имеется возможность, что образовавшийся в результате столкновения комплекс не будет находиться в состоянии притяжения.

В качестве примера для вышеприведенного рассмотрим атом азота, который в нормальном или основном электронном состоянии имеет три непарных электрона, расположенных на различных орбитах и имеющих параллельные спины. При столкновении с другим таким атомом азота возможны четыре спиновых состояния объединенного комплекса. Эти четыре состояния на языке квантовой механики описываются как состояния

*) Радикал определяется здесь как атом или молекула (не обязательно, но обычно электрически нейтральные), обладающие непарным орбитальным электроном.

*2, 32, 2 и 2. Верхний индекс равен 2S+1, где S — спиновое квантовое число объединенного комплекса и 2 обозначает состояние объединенного комплекса, имеющего нулевой полный момент количества движения. Состояние *2 — основное состояние молекулы азота, имеющей спин, равный 0. Как видно из графика рис. 10.2,

Рис. 10.2. Схематическое изображение потенциалов взаимодействия для двух сталкивающихся атомов азота в основном состоянии.

его потенциал имеет глубокую яму, свойственную большому числу связанных колебательных состояний, и, таким образом, должен хорошо определяться спектроскопически. Состояние 32, или триплет, может быть, а может и не быть, устойчивым, и до сих пор оно не определено спектроскопически или как-либо по-другому. Состояния 52 и 72 являются состояниями сильного отталкивания и не определяются никаким способом1). Верхний индекс 2S+1 означает также статистический

вес (вырождение состояния S). Статистически это означает, что, если 16 таких атомов азота приближаются один к другому, то наиболее вероятно, что только 1 из 16 получающихся при столкновении комплексов будет описываться самой нижней кривой, показанной на рис. 10.2 и называемой кривой потенциала основного состояния, тогда как 7 получающихся при столкновении комплексов будут представляться неизвестной в настоящее время количественно кривой для состояния 71, показанной на рис. 10.2. В этом заключается наша дилемма. Наименее часто встречающееся столкновение среди четырех возможных типов является хорошо описанным, а наиболее часто встречающееся является неизвестным. Конечно, наиболее желательной является некоторая средняя кривая, которая представляла бы все такие столкновения. Кажется разумным предположить, что измерения рассеяния пучка атомных радикалов на радикалах может дать такую информацию.

Нормальные радикалы кислорода имеют два непарных электрона, и таким образом, потенциалы их комплексов, образующихся в результате столкновения, представляются состояниями 'S, 32 и 52 молекул Ог- Состояния *2 — синглет, и 35 — триплет, хорошо определяются спектроскопически, тогда как состояние 52 не определяется, так как оно представляет неустойчивое состояние или состояние отталкивания, и задача заключается в описании взаимодействия О—О. Аналогичные замечания могут быть сделаны относительно взаимодействий типа радикал — радикал других газообразных атомных пар, когда сложность неизвестных потенциалов взаимодействия будет определяться числом неспаренных электронов, которыми обладают сталкивающиеся радикалы (положение электронов в периодической таблице для столкновений типа атом — атом), и комбинацией законов квантовой механики.

Мы обратим внимание здесь на то, что глубина потенциальной ямы основного состояния для столкновений типа радикал — радикал равна энергии диссоциации D и много больше, чем глубина потенциальной ямы для химически нейтральных молекул и атомов. Например, для взаимодействий N—N, образующих комплекс в со-

стоянии >2, е/6=113 200° К (e = S), тогда как для взаимодействий N2—N2 8/6=79,8° К, где D и 8 — относитель ные глубины потенциальных ям (см. рис. 10.1 и 10.2) Очевидно, что при высоких температурах (500°К<7< <10 000° К), таких, как те, с которыми мы будем иметь дело позднее, будет различное влияние притягивающей части потенциала взаимодействия в зависимости от того, происходят ли взаимодействия между радикалами или химически нейтральными частицами. Для первых силы притяжения могут быть важны; для последних потенциальная яма будет оказывать малое влияние на траектории частиц в процессе столкновения.

При столкновении атомов и (или) молекул с возбужденными электронными состояниями возникают задачи, аналогичные тем, которые описаны выше для взаимодействия радикалов. В общем можно утверждать, что молекулы с возбужденными электронными состояниями обладают большими поперечными сечениями, из-за больших размеров орбит смещенных электронов по сравнению с орбитами их основных состояний. К счастью, среди двухатомных молекул, включая компоненты воздуха, при интересующих нас здесь температурах имеется незначительное число молекул или атомов с возбужденными электронными состояниями, и их влияние будет пренебрежимо малым.

Различные виды потенциалов межмолекулярных взаимодействий. В принципе потенциалы взаимодействия частиц могут быть определены с помощью методов квантовой механики, хотя задача является необъятной для всех атомов и молекул, кроме самых простых. Много проще и более практично представить потенциал взаимодействия частиц простой функциональной зависимости, которая сохраняет существенные физические детали, а также позволяет вычислить интегралы в соотношениях (10.34), (10.35) и (10.37) достаточно простым способом. Три таких потенциала описываются здесь и иллюстрируются рис. 10.3.

Потенциал твердых сфер. Этот потенциал полностью игнорирует дальнодействующие силы и дает грубое представление о сильных короткодействующих отталкивающих

силах путем запрещения обеим сталкивающимся частицам занимать один и тот же объем. Математически

ф(г) = СО при Г<Щ и

<р(г) = О при г > о.(10.38)

Используя соотношение (10.38) в (10.34), где Гтш = о при Ь<о и гтщ = b при Ь>о, в результате получаем

% (g, b) = 2 arc cos -у,& ^ а, (10.39)

и

'x(g, b) = 0, Ь>о.(ЮАО)

Подстановка соотношения (10.39) и (10.40) в (10.37) дает

Q№ = [1 - 1 ^^/^ ли2, (Ю.41) и когда соотношение (10.41) подставляется в (10.35), получаем

до, Я = (JLy^^+UL q№(10.42)

\ Hum I 2

Формула (10.41) для Z—1 дает

Q(1) = ло2(10.43)

и для Z = 2

Q® = | ли2.(10.44)

Таким образом, подставляя (10.43) и (10.44) в (10.42), получаем искомые интегралы столкновений й(1,!) и Q(2= 2)

^(1,1)Lc*. = (iY/2^2(10.45)

И

[й<2'2>L сф. =2ло2,(10.46)

где индексы тв. сф. означают, что интегралы столкновений подсчитаны для модели твердых сфер.

Поэтому, когда используется потенциал твердых сфер, то

"^'“исф.

и из соотношений (10.1), (10.8) и (10.9) видно, что

7*3/2

и

.ъ ~ (^i7")172

где Gt — свободный параметр, определяемый из условия сопоставления измеренных значений коэффициентов переноса со значениями, вычисленными с помощью соотношений (10.1), (10.8) и (10.9).

Поведение коэффициентов переноса в зависимости от температуры и давления для инертных газов при высоких температурах будет приближаться к вышеописанному, так как, когда температура увеличивается, притягивающая часть потенциала межмолекулярных взаимодействий становится меньше и оказывает меньшее влияние при определении траекторий частиц в процессе столкновения, и поведение частиц все больше и больше приближается к поведению твердых упругих сфер.

Точечные центры отталкивания. Из кинетической теории известно, что для газа, состоящего из частиц с массой т,

^т^=®.кТэ(10.47)

где и8— среднеквадратичная скорость и выражение в левой части уравнения (10.47) есть среднее значение

кинетической энергии по всем кинетическим энергиям, которыми обладают молекулы в состоянии равновесия

ф(Пк и

Рис. 10.3. Три полезных вида пст.'нциала взаимодействия, используемые в этой книге.

а —для модели твердых сфер; б — для модели точечного центра отталкивания;

6 —потенциал Леннарда —Джонса.

при температуре Т. Тогда для нашей задачи столкновения двух тел левая часть будет

jo>|mfecp)2,

следовательно, в среднем кинетическая энергия, которой обладает одна из сталкивающихся частиц в системе координат, связанной с другой частицей, будет

^m<gcvy«^kT.

"г Ucp)2 ’ 26"г Ucp)2 ’ 26Итак, большая часть потенциалов взаимодействия частиц для химически и электрически нейтральных частиц принимает вид, показанный на рис. 10.3 для потенциала Леннарда — Джонса. Кроме того, глубина энергетической ямы, е на рис. 10.3, будет порядка 100 к для химически нейтральных газов того типа, который мы рассматривали здесь. Таким образом, когда Г—10 000° К, мы находим, что кинетическая энергия сталкивающейся частицы намного превышает потенциальную энергию вблизи потенциальной ямы, т. е.

"г Ucp)2 ’ 26

"г Ucp)2 ’ 26

Ю0°К

и потенциальная яма будет иметь очень малое влияние на траектории частиц. В действительности это будет область отталкивания потенциальной кривой в окрестности |<р| = |А7'|, и она определяет динамику столкновения при высоких температурах. При этом предполагается, что простая потенциальная функция, представляющая точечные центры отталкивания, может очень хорошо соответствовать случаю, когда для газовой смеси Т^'е/й. Такой потенциал будет

(10.48)

Используя соотношение (10.48) с (10.34), (10.35) и (10.37), получаем

Wr/S ^2_ 2' , (ю49)Wr/S ^2_ 2' , (ю49)2 \кТ2 \кТ

Wr/S ^2_ 2' , (ю49)

Wr/S ^2_ 2' , (ю49)

2 \кТ

2 \кТ

где Г — гамма-функция1) с аргументом s + 2—2/6. Величина <4® получается в результате численного интегрирования, необходимого, когда соотношение (10.48) используется в (10.34), (10.35) и (10.37). В табл. 10.2 приводятся значения А^ и А^ для различных значений д.

Используя соотношения (10.42) и (10.49), мы получаем для точечных центров отталкивания

Q(z, ,)»= __W(46d/M^^_ (j0 50)

($ + 1)!ла^1--1[1+(-1/]/(1 + /) }'

Эти величины затем используются вместе с соотношениями (10.1), (10.8) и (10.9) для получения коэффициентов переноса, когда используется потенциал для точечных центров отталкивания.

Таблица 10.2

Значения величины А(,) для различных значений 6 в потенциале

вида ф(г) = dr~6, соотношение (10.48) *)

6

А О) (6)

А (2> (6)

4

0,298

0,308

6

0,306

0,283

8

0,321

0,278

10

0,333

0,279

12

0,346

0,279

14

0,356

0,280

ОО

0,500

0,333

’) Значения приводятся по книге: Чепмеи С., К а у л и н г Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1962, где Д(0(б) = 2"2^Д/ (v+1).

Величины 6 и d являются свободными параметрами, определяемыми из условия соответствия измеренных коэффициентов переноса значениям коэффициентов, вычисленных с помощью соотношения (10.50) вместе с (10.1), (10.8) и (10.9).

Потенциал Леннарда — Джонса. Для газовых смесей вблизи комнатной температуры потенциал Леннарда — Джонса, показанный на рис. 10.3, является вполне подходящим. Этот потенциал есть

где е — глубина потенциальной ямы (см. рис. 10.3) и а — значение г, для которого ф = 0.

При использовании выражения (10.51) в соотношениях (10.34), (10.35) и (10.37) требуется численное интегрирование. Интегралы £2<z> s>* вычислялись для этого

Рис. 10.4. График зависимости приведенных интегралов столкновений Q(1,1'* и Q<2-2’* от приведенной температуры Т* для потенциала Леннарда — Джонса (по книге Гиршфельдера, Кертисса и Берда, гл. 8).

как функция приведенной температуры T = kT/e в таблице I—М книги Гиршфельдера, Кертисса и Берда1). График зависимости ПО-О* и Н<2- 2>* от Т показан на рис. 10.4 и может быть использован вместе с соотношениями (Ю.1), (10,8) и (10.9) для вычисления переносных свойств различных газов, как только свободные параметры е и 6 заданы.

Прежде чем переносные свойства чистых газов и газовых смесей смогут быть вычислены с помощью методов, изложенных в этой книге, нужно знать эмпирически определяемые силовые константы о и ejh. Эти константы

определялись для ряда газов в результате большого количества исследовательских работ на протяжении нескольких лет. Попытка затабулировать их лежала бы вне целей этой книги. Однако эти константы для нескольких газов, интересных для инженерного приложения, представлены в табл. 10.3. В таблице I—А книги Гиршфельдера, Кертисса и Берда) представлены силовые константы для нескольких других газов для модели потенциала Леннарда — Джонса.

В следующем пункте мы обсудим приложение уравнений для переносных свойств к вычислению переносных свойств конкретной смеси — воздуха при высокой температуре.

Переносные свойства диссоциированного воздуха. Переносные свойства воздуха при высокой температуре могут быть вычислены путем использования уравнений, представленных в п. 10.2 и 10.6. Обычно начинают с определения равновесного состава газовой смеси, переносные свойства которой интересуют. Этот равновесный состав может быть определен путем применения методов статистической термодинамики, описанных в гл. 9. Это уже сделано многими авторами, получившими информацию о составе и термодинамических свойствах воздуха при температурах, изменяющихся от комнатной температуры до 24 000° К и при различных давлениях. На рис. 10.5 представлены кривые изменения молярной концентрации компонентов воздуха в зависимости от температуры в диапазоне температур от 0 до 15 000° К и при плотности, равной 10-2 от нормальной атмосферной плотности. Графики рис. 10.5 построены Моекелом и Вестоном) на основе вычислений, выполненных Гилмором) для равновесного состояния воздуха. Из рис. 10.5 видно, что приближенно до температуры ниже 10000°К концентрация электронов (е~) и ионов (О+ и N+) будет недостаточной, чтобы оказывать влияние на вычисления переносных свойств при этой плотности.

Таблица 10.3

Эмпирические значения силовых константдля потенциала точечного центраотталкивания (10.50) и для потенциалаЛеннарда — Джонса (10.51)

Потенциал точечного центр! отталкивания (рис. 10.3)

Взаимодействующие пары

6

d, эв (A)6

Литература

He—He

5,94

4,71

1

n2-n2

7,27

595

1

He—A

7,14

63

3

A —A

8,33

848

I

Потенциал Леннарда — Джонса (6.12) (рис. 10.3)

Взаимодействующие пары

e/», “K

о, к

Литература

н2-н2

38

2,915

4

O2-O2

128

3,398

2

n2-n2

79,8

3,749

4

0 — О (состояние3 2)

59 C00

~ 1,07

5

N — N (состояние 1 2)

113 200

~ 0,97

5

NO —NO

119

3,47

6

CO —CO

110

3,59

6

co2 — co2

190

3,996

6

NO —NO

119

3,470

6

N2O — N2O

220

3,879

6

C2H6 — C2H6

230

4,418

7

С3Н§ — C3H8

254

5,061

7

c2n2 — c2n2

339

4,38

7

1. A m d ur L, М a s о n Е. A., Phys, Fluids, 1 (5), 370—383 (1958).

2. Raw С. Т. О., Ellis С. P., J. Chem. Phys., 28, 127 (1958).

3. Amdur I., Mason E. A., H а г k n e n А. С., Л Chem. Phys., 22, 1071 (1954).

4. Tr au t z M., Meister A., Zink R., Ann. Physik, 5 (7), 409-452 (1930).

5. Herzberg G., Spectra of Diatomic Molecules, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1957.

6. Johnston H. L., McCloskey К. E.. J. Chem. Phys., 44, 1038 (1940).

7. Landholt — BOrnstein, Physikansch-Chemische Ta- bellen, Springer —Verlag, Berlin.

Однако при этой же плотности и темпера 10 000° К методы, изложенные в этой главе, неадекватными: начинают появляться в за- центрации ионы и электроны с их дальнодет" кулоновыми силами. Заметим, кроме того, • кулы кислорода, так и молекулы азота поч .

Рис. 10.5. Зависимость равновесных молярных концентрации понентов воздуха от температуры при плотности р = u,v. (По работе Гилмора, Gilmore F. R., Rand. Corp. Rept.

Santa Monica, Calif., 1955.)

диссоциированы при температуре 10 000° К. Следов^ тельно, мы можем исследовать возможное влияние диссоциации молекул воздуха на переносные свойства воздушной смеси при температурах ниже температурь ионизации, но достаточно высоких, чтобы происходила диссоциация. Вначале мы рассмотрим приближенно мг- дель диссоциации идеального газа, а затем рассмотрит, диссоциирующий воздух более точным методом.

Идеальный диссоциирующий газ. Рассмотрим, на пример, простую диссоциирующую газовую смесь двух атомных молекул. Исходным газом может быть, напри мер, N2^2N или О2^2О. Мы рассмотрим

О2 20.

Исследуем изменение параметров переноса Pr, Le и Sm с температурой при постоянной плотности в диапазоне температур, в котором простой идеальный газ изменяется от состояния отсутствия диссоциации до состояния полностью диссоциированного газа. Для кислорода, например, этот температурный диапазон обычно изменяется от 2000 до 8000° К в зависимости от давления. Здесь

Рг =—^число Прандтля,(10.52)

Sm —-^число Шмидта,(10.53)

РГ ^СрР11

^""Sm"'к—'—число Льюиса. (10.54)

Уравнения (10.1), (10.8) и (10.9) могут быть использованы для того, чтобы показать, что в первом приближении эти параметры переноса будут постоянными с увеличением температуры, если не происходит диссоциация. Посмотрим, как диссоциация будет влиять на них.

Рассмотрим вначале вязкость. Из соотношения (10.1)

Выбирая характерную температуру 7=5000° К и используя данные, приведенные в табл. 10.3, и значения Q(2,2)*; изображенные на рис. 10.4 в зависимости от T* = kTI&, получаем следующее отношение:

^Оа Ио^Оа Ио^О/ \»о2/^О/ \»о2/fig-2)*fig-2)*= 0,95.= 0,95.

^Оа

Ио

^Оа

Ио

^О/ \»о2/

^О/ \»о2/

fig-2)*

fig-2)*

= 0,95.

= 0,95.

Можно показать, что это отношение близко к 1,0 также и для других температур. Следовательно, цОз « ц0.

Итак, в первом приближении, соответствующем приближенному характеру анализа в этом пункте,

где из соотношения (10.4)

Откуда, если мы положим

1—а = Сг — массовая концентрация молекул,а = С2— массовая концентрация атомов,

следует, что

со-56)

<10-б7>

Следовательно, из соотношений (10.55' -(10.57)

и — н0, ттр- + н0 14 т

или, так как Ро, —Ро> т0

Р = Но, = Ро*(10.58)

Кроме того, в первом приближении

А = ^ х^ = ^g2 1 _^_а + ^о 1 _j_a •(10.59)

Но из соотношения (10.9)

^ = -7-^0.(Ю.60)

а из соотношений (10.9), (10.20) и (10.25)

Ч = "Г ^Но, (о,115 + 0,354 ^(10.61)

^0 = ^-(10-62)

^>54^w=^°-(10-63)

Кроме того,

С,О=^-<10М)

где

^=4 + ^(Ю.65)

а

5о, ” (5o2)z + (^о2)7 + (^оХ;(10.66)

индексы /, / и и относятся к поступательной, вращательной и колебательной степеням свободы соответственно. Если произвольно предположить, что колебательная степень свободы возбуждается и достигает половины своего полного классического значения, то

*014v+V+IV(Ю-67)

Объединяя соотношения (10.64) — (10.67), мы находим, что

^- = 4.(10.68)

^о2

Объединение соотношений (10.58) — (10.63) и (10.68) дает

к = к0 = о,765£о,(Ю.69)

где

kOi = 1,53 X ^ ^oJX = 0,765Ао.(10.70)

Из уравнений (10.58) и (10.59) видно, что в то время как вязкость смеси достаточно хорошо определяется вязкостью, вычисляемой для любой температуры с помощью соотношения (10.1) с силовыми константами для О, теплопроводность для О будет меньше, чем вычисленная с помощью (10.9), на множитель, меняющийся от 0,765 при а = 0 до 1,00 при а=1, вследствие того, что коэффициент Эйкена определяется соотношением (10.20), которое применимо к молекулам, а не к ато* мам, и вследствие того, что Ro = 2/?Oj.

Рассмотрим число Прандтля Рг

Рг =Рг =СР/ “Г~СР/ “Г~

Рг =

Рг =

СР/ “Г~

СР/ “Г~

Итак, из соотношения (10.17)

CPj=^CiCP=<\-^CPOi^-aCPO, (10.71)

где, ввиду того что атомы обладают только поступательными степенями свободы,

Сро = 4т^ + V) = 4г (I RoT^RoT\ = | Ro,

или, используя соотношение (10.63), CPO = 5Ro2.(10.72

Объединяя соотношения (10.52), (10.58) и (10.68) — (10.72), мы приходим к выражению

Рг = 0,70 (1+— .(10.73)

’■1 + 1,62а''

Для а, меняющегося от 0 до 1, число Рг, как показано на рис. 10.6, изменяется от 0,70 до 0,667.

Рассмотрим число Шмидта Sm. Из соотношения (10.8) можно видеть, что pD 12 не зависит от состава. Кроме того,

2 Р1=Ро + Ро, или, так как

А) = Р0ад = Ро^о,т = ^Р^о.т и

Po^Po^oJ^U-^pRoJ,(10.74)

то

р = р(1+а)/?о7-(Ю.75)

Таким образом, из соотношений (10.53), (10.58) и (10.75)

Sm = —у—— —(1 4-a) ^T,

Р^12 Po,Vl-

НО

Ро^К (^Ог^12)о_(, — (Ро2^о2^^12)а =0»

так как pDtt не зависит от состава. Следовательно,

Sm = Sm0(l + a),(10.76)

ГД6/ Но \

Smo= ЫН *(10-77)

\ Ро2 12/a_Q

Кроме того, из соотношений (10.54), (10.69), (10.70) и (10.76)

т _ т 1 “I- 0,25«/1 п *70 \

Le — Le0 j _|_162a ,(10.78)

где в соответствии с (10.73)

На рис. 10.6 приведены кривые зависимости Le/Le0, Sm/Smo и Рг от а. Мы нашли, что число Льюиса должно уменьшаться, когда диссоциация увеличивается, число Шмидта должно увеличиваться с увеличением диссоциации и что число Прандтля изменяется очень мало. Посмотрим, подтверждают ли детальные вычисления результаты этого анализа задачи.

Вычисления для диссоциированного воздуха. Результаты вычисления коэффициентов переноса для компонентов воздуха и смесей при высокой температуре не будут лучше, чем приближения, сделанные в процессе вычислений. В вычислениях для воздуха при температурах, достаточно высоких для значительной ионизации, сделанные предположения касаются главным образом потенциала межмолекулярных взаимодействий. При комнатной температуре параметры потенциала для химически инертных молекул известны. Возможно, что их некритическое использование при высоких температурах является меньшим риском по сравнению с положением дел для взаимодействий типа радикал — радикал (О—О, N—N). Согласно рис. 10.2 и соображениям п. 10.5, потенциалы межмолекулярных взаимодействий для взаимодействий радикалов с различными спиновыми состояниями, отличными от основного состояния, являются неизвестными. При этих условиях вычисления переносных свойств для высокотемпературного воздуха должны быть тщательно оценены в отношении их возможной точности.

Некоторые расчеты были сделаны в то время, ко- писалась эта книга. Скала и Болкнайт) сообщил! вычислениях, сделанных с использованием потенп' Леннарда — Джонса для молекул и модели тве сфер для атомов. С моделью Леннарда — Джо- пользовались значения параметров е/А и о длг

Рис. 10.6. Зависимость числа Прандтля Рг,Шмидта Sm иД„ от степени диссоциации для диссоциирующего двухатомно.

температур, а зависимость вязкости от температур,. . модели твердых сфер является спорной, несмотрг то что эмпирические значения диаметров твердых сди остаются неизвестными для радикалов. Ступоченко. " ценко, Стаханов и Самойлов) приводят вычисле> для вязкости и теплопроводности диссоциирование

воздушных смесей при температурах между 2000 и 8000° К и давлениях от 10'3 до 103 атм с использованием модели твердых сфер для взаимодействий типа атом — атом и атом — молекула. Интересным результатом этой работы является предложение правила интерполяции для определения эффективных диаметров твердых сфер о для промежуточных элементов, для которых нет результатов измерения вязкости, путем использования имеющихся измерений для Н, Na и инертных газов. Однако, как отмечалось раньше, вопрос о зависимости вязкости от температуры, определяемой по модели твердых сфер, остается открытым, хотя эти авторы пытались подправить результат, учитывая изменение диаметра твердой сферы для молекулы с температурой.

Бауэр и Злотник ^ вычисляли переносные свойства для равновесного диссоциированного воздуха, используя потенциал взаимодействия частиц для модели точечного центра отталкивания (10.48), для температур, изменяющихся в пределах 3000 и 8000° К, и плотностей, изменяющихся от 10-2 до 10-кратной плотности на уровне моря при температуре 273° К. Бауэр и Злотник использовали значения d параметра потенциала, основываясь на измерении эффективного сечения рассеяния для химически инертных и электрически не возбудимых молекул. Основная заслуга их подхода, по-видимому, заключается в том, что выбранная ими модель потенциала— модель центров отталкивания—делает нужный упор на соответствующей части потенциала взаимодействия частиц при высоких температурах взаимодействий типа молекула — молекула, и, кроме того, измерения при рассеянии должны давать приемлемые значения параметра d для молекул О2 и N2. Однако, как было выяснено в п. 10.3, эта модель, возможно, не является лучшей моделью для столкновений типа радикал — радикал (О—О и N—N), которые, по крайней мере в своем основном состоянии, образуют комплекс с потенциалом, обладающим глубокой потенциальной ямой. Однако Бауэр и Злотник признают имеющиеся неопре-

*) См. Bauer Е„ Z lot nick М. Z, ЛЯ8 J., 29 (10), 721—776 (1959).

деленности и по крайней мере оценивают ошибки, содержащиеся в их вычислениях.

Бауэр и Злотник действуют следующим образом. Они полагают, что основными компонентами, присутствующими при температурах между 3000 и 8000° К, являются О2, О, N2, N и NO. Рисунок 10.5 несомненно подтверждает это предположение. Кроме того, из рис. 10.5 видно, что к тому моменту, когда N присутствует в заметной концентрации, О2 исчезает, так что имеются только три или четыре компонента, присутствующие в любом заданном интервале температуры: О2, О и N2 в то время, когда О2 диссоциирует, и О, N2, N и NO в то время, когда N2 диссоциирует. Бауэр и Злотник предположили, что параметры потенциала взаимодействия для О—О, О—N и N—N одни и те же и определяются значениями йд и бд; аналогичное предположение было сделано относительно участвующих молекул, т. е. для взаимодействий О2—О2, N2—N2 и О2—N2. После вычисления коэффициентов диффузии они использовали эмпирически подтверждаемые комбинаторные правила, приводимые ниже. Так, для модели потенциала взаимодействий

ф(г) = 7б >

(10.48)

dk-№ = (^/а^м)1/2

(10.79)

6а-м = ту (бд + бм).

(10.80)

Ввиду того что в приведенных соотношениях неизвестен точный закон изменения ф по г, они оставили б в качестве свободного параметра и использовали значения 6 = 6 и 8. Использовавшиеся значения d приведены в табл. 10.4 вместе с эмпирически определенными значениями для взаимодействий N2—N2 из табл. 10.3. Последние приводятся для сравнения.

Бауэр и Злотник проводили свои вычисления в предположении, что газ является бинарной смесью атомов с атомным весом 15 и молекул с молекулярным весом 30 с удельными теплоемкостями, равными средним значениям теплоемкостей для кислорода и азота. Для вычиС'

ления теплопроводности молекул использовался поправочный коэффициент Эйкена, определяемый соотношением (10.20).

Таблица 10.4

Значения й, использованные Бауэром и Злотником для потенциала взаимодействия в соотношении (10.48) Ф (г) = йг~^

6

dx- эвцк)^

d^, Э8-(,к)Ь

^Na —N2- эв- (А)^

6

24,8

158

8

190

1215

7,27

•♦.

...

595

Процесс вычисления проводится непосредственно. Выбирая значения 6, и, таким образом, dx или d^, вычисляют интегралы столкновения Q0J)* и Q<2>2)*, используя соотношение (10.50) со значениями ДО) и Д<2), определяемыми по табл. 10.2. Величины р< и кг для чистых компонентов определяются путем использования (10.1) и (10.9). Соотношение (10.25) используется для определения ц; для молекул. Затем вычисляются величины р и к для смеси с помощью соотношений (10.3) и (10.10) и равновесных концентраций xt, которые определяются заранее путем использования методов, описанных в гл. 9. (См., например, рис. 10.5.) Величина D12 вычисляется с помощью (10.8) и средних молекулярных весов для атомов и молекул, равных 15 и 30 соответственно.

Из соотношений (10.1), (10.8) и (10.50) следует, что модель точечного центра отталкивания для постоянной плотности и переменного давления дает

рх'Т'М^ + 2/6

р и D^—T1.

Таким образом, для приводимого расчета

ц и Z)12 ~ У^’833, если д = 6,р и D12 — Т^’75, если 6 — 8.

Результаты вычисления для р, к, Sm, Рг и Ее при p/psi.= 10-2 даются на рис. 10.7—10.11. Из этих результатов вместе с предшествующими приближенными результатами, рис. 10.6, мы заключаем, что тенденции, проявляемые величинами Sm, Рг и Ее на рис. 10.9—10.11, хорошо согласуются с ожидаемым поведением, приведенным на рис. 10.6. Кроме того, из рис. 10.7—10.11 видно, что результаты чувствительны как к используемой модели потенциала взаимодействия, так и к эмпирическим параметрам данной модели потенциала. На рис. 10.7 и 10.8 показано, как величины р и к, вычисленные для модели точечного центра отталкивания, отличаются от их значений, вычисленных для модели Леннарда-Джонса (6:12). При высоких температурах модель Леннарда — Джонса является, по существу, моделью точечного центра отталкивания при 6=12; следовательно, тенденции, показанные на рис. 10.7 и 10.8, согласуются.

На рис. 10.9—10.11 производится сравнение величин Sm, Рг и Ее, вычисленных по модели точечного центра отталкивания, с вычислениями, выполненными Хансеном ’), принявшим модель твердых сфер с параметром эффективного сечения [о2 в соотношении (10.1)], уменьшающимся с увеличением температуры. Изменения Ее и Sm с температурой качественно согласуются между собой, а число Рг, как и ожидалось, сравнительно мало изменяется с увеличением температуры.

Бауэр и Злотник оценили, что при высоких температурах точность их вычислений не превышает 25%. Причины такой неточности объясняются главным образом следующим:

Возможной неточностью в представлении взаимодействий типа радикал — радикал.

Возможной неточностью в представлении молекул и атомов с возбуждаемыми электронными состояниями при высоких температурах.

Использованием эмпирических законов смешения (10.79) и (10.80).

') См. Н а п s е п С. F., NACA TN 4150, 1958.

to

><

Рис. 10.7. Коэффициент вязкости для равновесного воздуха при отношении плотностей р/р =0,01 (по работе Бауэра и Злотника).

18

Рис. 10.8. Коэффициент теплопроводности для равновесного воздуха при p(pSL = 0,01 (по работе Бауэра и Злотника).

В этом пункте было показано, как переносные свор ства для воздуха при высокой температуре могут бьт вычислены с использованием соотношений и данных представленных в п. 10.2 и 10.3. Можно заключить. чт<

Р и с. 10.9, Зависимость числа Шмидта для равновесного воздуха от температуры для piPSL = 0,01 (по работе Бауэра и Злотиика).

необходимо большее количество экспериментальных данных для того, чтобы представленные расчеты могли быть улучшены. До тех пор пока эти данные не появятся, переносные свойства высокотемпературного воздуха будут оставаться одним из основных источников неуверенности в приложении соотношений для поверхностного трения и теплопередачи к реагирующим газовым смесям.

asasasas11a7a7модифицированная модель твердых сфер,Hansen, NACA TN 4150модифицированная модель твердых сфер,Hansen, NACA TN 4150- ;;1—)Точечные центры отталкивания с 8=6 и 8- ;;1—)Точечные центры отталкивания с 8=6 и 8§§asasifif0,5 \L_30001*0005000 60001000 80000,5 \L_30001*0005000 60001000 8000

as

as

as

as

1

1

a7

a7

модифицированная модель твердых сфер,

Hansen, NACA TN 4150

модифицированная модель твердых сфер,

Hansen, NACA TN 4150

- ;;1—)

Точечные центры отталкивания с 8=6 и 8

- ;;1—)

Точечные центры отталкивания с 8=6 и 8

§

§

as

as

if

if

0,5 \L_

30001*0005000 60001000 8000

0,5 \L_

30001*0005000 60001000 8000

Температура Т, 'К

Рис. 10.10. Зависимость числа Прандтля для равновесного воздуха от температуры для P/PSL ~ 0,01 (по работе Бауэра и Злот-Рис. 10.10. Зависимость числа Прандтля для равновесного воздуха от температуры для P/PSL ~ 0,01 (по работе Бауэра и Злот-Температура Г, °КТемпература Г, °К

Рис. 10.10. Зависимость числа Прандтля для равновесного воздуха от температуры для P/PSL ~ 0,01 (по работе Бауэра и Злот-

Рис. 10.10. Зависимость числа Прандтля для равновесного воздуха от температуры для P/PSL ~ 0,01 (по работе Бауэра и Злот-

Температура Г, °К

Температура Г, °К

Рис. 10.11. Зависимость числа Льюиса для равновесного воздухаот температуры для p/pw=0,01 (по работе Бауэра и Злотника).

Переносные свойства газовых смесей. Многие задачи, имеющие инженерные приложения, касаются течений многокомпонентных смесей вязких газов, отличных от воздуха. Одним из примеров является вычисление влияния вдува легкого газа, такого, как гелий, через пористую стенку в пограничный слой на поверхностное трение и теплопередачу к пористой стенке. Другим примером является вычисление теплопередачи от гиперзвукового пограничного слоя, состоящего из воздуха при высокой температуре и продуктов горения. Обе задачи были описаны в предыдущих главах настоящей книги.

Цель настоящего пункта заключается в показе того, как вычисления переносных свойств для различных смесей сравниваются с экспериментально определенными переносными свойствами. Из-за малого количества данных мы будем использовать бинарные смеси компонентов, которые являются маловероятными для использования в аэродинамическом анализе. Однако выбранные для сравнения смеси будут смесями легких и тяжелых газов и газов, состоящих из многоатомных молекул, и сравнение экспериментальных результатов для этих смесей с теоретическими является серьезной проверкой теории.

Рассмотрим бинарные смеси Н2 и СО. Оба компонента являются двухатомными, и их молекулярные веса различаются в 14 раз. Вязкость этой бинарной смеси вычислялась с помощью соотношения (10.6), и вязкость ее компонентов вычислялась в соответствии с (10.1) с силовыми константами для Н2 и СО из табл. 10.3. Сравнение вязкости смеси как функции молярной концентрации Н2, измеренной при температуре 273° К, со значениями, полученными по формуле (10.6), приводится на рис. 10.12. Экспериментальные значения получены Ван Иттербеком, Ван Паемелом и Ван Лирдом). Видно, что при использовании формулы (10.6) получается удовлетворительное согласие теории и эксперимента. Уилки)

показал аналогичное согласие между результатами по формуле (10.6) и экспериментом для большого числа бинарных смесей для многоатомных молекул.

Рис. 10.12. Зависимость коэффициента вязкости бинарной смеси Н2 и СО от молярной концентрации Н2 [по работе van Itterbeck A., van Paemel О., van Li er de J., Physica, 13, 88 (1947)].

Соотношение (10.24) использовалось для вычисления коэффициента теплопроводности смеси Н2—СО. Коэффициент теплопроводности kt компонента может быть вычислен путем использования соотношений (10.29), (10.20) и (10.25), где CPJ Rt = 7 )2 как для СО, так и Н2 в соотношении (10.20). Однако, поскольку мы хотим проверить именно обоснованность соотношения (10.24), использовались экспериментально определяемые значения к'с0 и к'Н1. (Вычисленные значения величин рсо, к'с0, ЦН2 и ^да очень мало отличаются от эксцери-

ментальных значений.) На рис. 10.13 проведено сравнение значений к, определяемых для смеси соотношением (10.24), с измерениями Иббса и Херста1). Снова получается удовлетворительное согласие между теорией и экспериментом.

Рис. 10.13. Зависимость коэффициента теплопроводности бинарной смеси Н2 и СО от молярной концентрации Н2 [по работе I b b s Т. L., Н i г s t A. A., Proc. Roy. Soc. (London). A123, 134 (1929)].

Имеются некоторые данные по измерениям вязкости и теплопроводности тройных смесей. Найдено, что точность формул (10.6) для р и (10.25) для к такая же или лучше, чем это показано на рис. 10.12 и 10.13 для бинарной смеси. Измерений при высоких температурах нет. Однако нет основания думать, что формулы (10.6) и (10.25) будут несколько менее точными при высоких температурах при условии, что значения рг и к^ для компонентов точно известны.

') См. Ibbs Т. L., Hirst A. A., Proc. Roy. Soc. (London), A 123, 134 (1929).

Комбинаторные правила. При вычислении коэффициента диффузии для бинарной смеси с помощью соотношения (10.8) необходим потенциал взаимодействия для неподобных частиц. Вычисление коэффициента диффузии для диссоциирующей воздушной смеси в п. 10.7 связывалось с использованием модели потенциала точечного центра отталкивания (10.48), модифицированного для неподобных частиц в соответствии с комбинаторными правилами

где

^12 = (^1^2) И

^12 = ^ (^1 + М‘

У этого комбинаторного правила не было другого оправдания, кроме того, что оно давало результаты для бинарного коэффициента диффузии Dto, которые достаточно хорошо совпадали с экспериментом.

Когда модель потенциала Леннарда—Джонса используется для нахождения взаимодействия неподобных частиц, мы имеем

Ф12(г)^4е12[(^1)12-(^-)6],(10.81)

где.

£12 = (W^(10.82)

и

012 = (®1°2),(10.83)

и опять главным оправданием для использования этих выражений служит то, что их использование в формуле (10.8) для получения коэффициента бинарной диффузии дает результаты, достаточно хорошо согласующиеся с экспериментом. Вейсман, Саксена и Масон1), например, показали, что, когда соотношения (10.81) — (10.83) используются в формуле (10.8) при вычислении D12 для

’) См. Weissman S., Saxena S. С., Mason Е. A., Phys. Fluids, 3 (4), 510—518 (1960).

смесей Не—С02 и Нг—С02, получившиеся значения находятся в хорошем согласии с измеренными в диапазоне температур от 200 до 500° К. Ввиду этих результатов можно заключить, что комбинаторные правила (10.82) и (10.83) разумно оправдываются для бинарных смесей электрически и химически нейтральных молекул.

Однако использование соотношений (10.81) — (10.83) для описания потенциалов взаимодействия для взаимодействий типа молекула — радикал или радикал — радикал не является так хорошо обоснованным. Комбинаторные правила могут быть проверены на потенциалах основного состояния путем использования спектроскопически определяемых данных.

Герцберг1) затабулировал D и ге для большого числа двухатомных молекул. Если мы предположим, что потенциал Леннарда — Джонса (10.81) является подходящим для описания потенциала основного состояния, то можно показать, что (см. рис. 10.2)

e = Z),

а, находя из соотношения (10.81) значение г при дф/5г=0, получаем

ге = 1,122о.

Следовательно, мы можем проверить комбинаторные правила путем сравнения Dtt с (01£>2)'/з и (ге)12 с "2 l(re)i + (^J- Это сделано в табл. 10.5 для ряда двухатомных молекул, для которых D и ге достаточно хорошо известны.

Как можно видеть, соотношение (10.83) дает более точные значения для о12, чем соотношение (10.82) для £12- В общем из большого числа случаев, для которых комбинаторные правила были проверены, можно заключить, что соотношения (10.81) — (10.83) являются достаточно точными для взаимодействий типа радикал —радикал, приведенных в табл. 10.5, так же как для вза-

*) См. Herzberg G., Molecular Spectra and Molecular Structure— I. Spectra of Diatomic Molecules, Table 39, p. 501—580, Princeton, N. J., 1950.

имодействий двух химически нейтральных молекул типа рассмотренных Вейсманом, Саксеной и Масоном.

Таблица 10.5

Сравнение спектроскопически полученных значений D и ге с их значениями по комбинаторным правилам (10.82) и (10.83)

Компоненты

D, эв, эксперимент.

D, эв. формула (10.82)

ге- к- эксперимент

ге- к- формула (10.83)

0 — 0

5,080

1,207

N—N

9,756

1,094

н —н

4,476

0,741

I —I

1,541

2,666

с—с

3,60

1,311

С1 — С1

2,475

1,988

0 —N

6,487

7,02

1,150

1,150

О —Н

4,35

4,77

0,970

0,974

Н —1

3,056

2,63

1,604

1,703

С—н

3,47

3,98

1,119

11026

Н —С1

4,431

3,33

1,274

1,364

I —С1

2,152

1,952

2,320

2,327 .

Остается еще вопрос о применении комбинаторного правила к взаимодействиям типа радикал — молекула. Можно сказать, что ввиду отсутствия большого количества молекул N2O, NO2, О3 и N3 в большом числе слу* чаев, важных с инженерной точки зрения, при взаимодействиях О2—О, N2—О, N—О2 и О2—N не образуются комплексы с потенциалом, имеющим относительно глубокую яму е. Скорее при этом предполагается, что такие взаимодействия являются взаимодействиями с сильным отталкиванием. Однако при использовании комбинаторного правила (10.82) обычно предполагается, что ео-о2 велико просто потому, что ео велико. Кроме того, в соотношении (10.83) предполагается, что По-о2 мало просто потому, что сто мало. Оба эти результата противоречат наблюдаемому факту, что, по-видимому, взаимодействия О—О2 являются сильно отталкивающими, так как в диссоциирующей смеси О2 не образуется О3 в значительном количестве.

Лиз *) использовал модификацию комбинаторных правил этого типа для случая взаимодействий типа радикал— двухатомная молекула. Он сделал допущение, что минимум потенциала для взаимодействий типа двухатомная молекула — атом, возможно, близок к минимуму для взаимодействий типа молекула — молекула одинаковых молекулярных компонентов, которые, конечно, имеют относительно неглубокую потенциальную яму. Это находится в согласии с тем, что такие молекулы, как О3, N3, NO2 и N2O, редко наблюдаются при интересующих нас здесь температурах. Кроме того, атом во взаимодействии типа атом — молекула приближается к молекуле в пределах расстояния, почти равного расстоянию приближения ближайшего атома молекулы в родственном взаимодействии типа молекула — молекула. То есть, например, для взаимодействия N2—N в соответствии с этим предположением

„ 3 ге°n2-n °n2 Т 2 ’

где ге — равновесное расстояние между атомами N в N2. Также, согласно этому предположению, как отмечалось выше,

£n2-n

и эти правила могут быть с достаточным основанием применены к взаимодействиям типа двухатомная молекула— одноатомный радикал. На основе анализа взаимодействий Н2—Н, проведенного Маргенау2), было найдено, что множитель 3/4 перед ге/2 является приемлемым. Можно проверить путем вычислений, что комбинаторные правила (10.81)— (10.83) являются достаточно точными для взаимодействий химически и электрически нейтральных молекул. Кроме того, по-видимому, эти правила достаточно точны для описания взаимодействий одноатомных радикалов в основном состоянии типа перечисленных в табл. 10.5. Для взаимодействий двухатомных молекул с радикалами точность правила неиз-

Ч См. Lees L., let Propulsion, 26, 4, 267—268 (1956).

См. Marge паи Н., Phys. Rev., 66 (11, 12), 303—306 (1944);.

вестна, однако была предложена разумная модификация, которая находится в согласии только с одним имеющимся в настоящее время теоретическим анализом для взаимодействия Н2 с Н. .

Выводы. В этой главе мы рассмотрели уравнения, используемые при вычислении переносных свойств для одноатомных и многоатомных газовых смесей. Уравнения для переносных свойств выводятся в первом приближении из теории Чепмена — Энскога. Ограничения, накладываемые на эту теорию, всесторонне рассмотрены в п. 10.2. Было найдено, что вычисление наиболее важных переносных свойств проводится непосредственно путем использования уравнений этой главы, и, кроме того, получающиеся результаты хорошо совпадают с экспериментом в тех случаях, когда имеются такие эксперименты.

Основная неопределенность при использовании этих уравнений в условиях, интересующих специалистов по гиперзвуковой аэродинамике, заключается в эмпирически определяемых силовых константах для выбранного потенциала взаимодействия частиц и фактически в самом виде потенциала взаимодействия. Мы видели, что потенциалы взаимодействия частиц в столкновениях типа радикал — радикал и молекула — радикал точно не известны, в частности при высоких температурах, интересующих нас в этой книге. Вследствие этого имеющиеся результаты для переносных свойств воздуха при температурах, достаточно высоких, чтобы диссоциация была заметной, но и достаточно низких, чтобы ионизация была пренебрежимо малой, имеют неточность, возможно, около ±25%.

Конечно, уравнения этой главы неприменимы, когда ионизация является заметной. Они также неприменимы для жидкостей. Однако имеется большое число газовых смесей, интересных с инженерной точки зрения, для которых уравнения этой главы являются вполне адекватными.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ

Приложение является указателем используемых в книге букв латинского и греческого алфавитов и нижних и верхних индексов. Здесь приводятся только те символы, которые используются многократно, так как символы, встречающиеся один раз, определяются в месте их использования. Условные обозначения и термины расположены в алфавитном порядке в следующей последовательности: буквы латинского алфавита, буквы греческого алфавита, нижние индексы, верхние индексы. В тех случаях, когда символом обозначено какое-то математическое выражение или он более ясно определяется математическим соотношением, приводятся номера соответствующих соотношений.

Буквы латинского алфавита

а Скорость звука; часто также постоянная интегрирования

аь Ь^ Стехиометрические коэффициенты

Л Параметр решения уравнений теории взаимодействия, см. (6.28)

Л, См. (8.256)

А;, В, Химические символы для реагентов и продуктов реакции

В Параметр решения уравнений теории взаимодействия, см. (6.29)

"1„ „ >параметр массообмена

PAL/0 r г

В2(Р^9®параметр массообмена

Сн СнCHdСн.CtCiСн СнCHdСн.CtCiР, —массовая концентрация компонентаР, —массовая концентрация компонента

Сн Сн

CHdСн.Ct

Ci

Сн Сн

CHdСн.Ct

Ci

Р, —массовая концентрация компонента

Р, —массовая концентрация компонента

Ba(Py)wпараметр массообмена

Pe“eGH

S4 -^^г~р В3—параметр массообмена

S5-^ ^^ — параметр массообмена

В6 -J£^параметр массообмена

VeuecHd

с Скорость света = 2,998 • 1010 см!сек; также постоянная интегрирования

CF s-1 J Cjds—осредненный коэффициент поверх- о

костного трения

Cj—^ местный коэффициент поверхно-

_стного трения

Сп} Среднее значение коэффициента трения, см. (1.7)

С/о Местный коэффициент поверхностного трения

В гл. 3 и 8 при отсутствии массообмена, а в гл. 7 при отсутствии диссоциации

ту- , ■ г — коэффициент теплообмена PAUr—Аю)

Среднее значение коэффициента теплообмена, см. (1.2)

-^ Г^-— коэффициент диффу-

знойного теплообмена

В гл. 3 и 8 — коэффициент теплообмена при отсутствии массообмена, в гл. 7 —при отсутствии диссоциации

см«см«5 rtkCk —массовая концентрация элемента, (2.108)

см«

см«

Ср Удельная теплоемкость при постоянном давлении

Ср MtCp — молярная теплоемкость

Сщ Удельная теплоемкость при постоянном объеме

Су МгСу — молярная теплоемкость

Сх Параметр скорости реакции, см. (4.81)

С2 Постоянная в теории взаимодействия, см. (6.33)

С3 Постоянная интегрирования, см. (8.10)

d Параметр в потенциале точечного центра отталкивания, см. (10.48)

(

du \

"ds") РаДиент скорости в точке торможения

D Энергия диссоциации на одну молекулу

D Сила сопротивления

D Постоянная в теории взаимодействия, см. (6.38)

DTi Коэффициент термодиффузии компонента i Dtj Коэффициент бинарной диффузии

DT(s, у) Коэффициент турбулентной (вихревой) диффузии, см. (7.23)

Dn Коэффициент бинарной диффузии

Е Энергия No частиц или молярная внутренняя энергия, см. (7.69)

Ek -дчисло Эккерта

Еи Поправочный коэффициент для теплопроводности с учетом внутренних степеней свободы, см. (1020)

f ■ . ——доля расплава, которая испаряется или

возгоняется

fz Функция распределения скорости для частиц i-ro компонента

/ (т|) Приведенная функция тока, см. (2.92) и (2.93) F Свободная энергия F — H— TS

F^ —^сила взаимодействия двух сталкиваю

щихся частиц, см. (10.27)

F (s^ Поправочный коэффициент формы тела, см.

(4.112)

F (у) См. (6.62)

FxСм. (7.566)

F2См. (8.446)

g Ускорение силы тяжести

S" ("П)7приведенная полная энтальпия

' е

gj приведенная парциальная энтальпия

gnВырожденность или мультиплетность квантово

энергетического состояния п

°-^Jy. см. (6.52)

QСм. (7.41) и (7.42)

О(оо; Z) См. (4.75)

Qife Параметр переносных свойств, см. (10.5)

А 2— энтальпия смеси

А Постоянная Планка

Ае Химическая энтальпия; см. (5.50) и (5.77) г

Az | CPldT-Vh?i — энтальпия компонента смеси о

А? Энтальпия образования компонента I

Н Эффективная теплоемкость плавящегося материала, см. (3.40)

Н Молярная энтальпия H=Mh

Не» Эффективная теплоемкость материала разрушающегося теплозащитного покрытия, см. (3.62)

Hj -g- —коэффициент формы тела, см. (8.124)

1, j, к Единичные векторы

I Момент инерции жесткого ротатора, см. (9.56)

I ^ + ~2полная энтальпия

If I—5 А?С; — парциальная энтальпия, см. (4.60) 1п Различные интегралы, где и = 0, 1, 2, 3, 4 и 5 в соотношениях (6.21), (9.15), (9.19), (9.54), (7.706) и (7.87) соответственно

7 Квантовое число вращательной степени свободы Jtj Интеграл столкновений, см. (2.19)

к Постоянная Больцмана

к Коэффициент теплопроводности

kt Коэффициент теплопроводности для i-ro компонента

к, Коэффициент химической теплопроводности, см. (4.36) и (4.37)

kDКонстанта скорости диссоциации

kRКонстанта скорости рекомбинации

кт См. (2.49)

К Константы длины смешения, см. (7.68)

К) Константа равновесия для образования молекулы из элементов, см. (9.93)

Kt Скорость обмена t-ro компонента на единицу объема

Kt Константа равновесия, когда 1=1, 2, 3, 4, 5 или 6

КрКонстантаравновесия,см.(9.81)

/Квантовоечислопоступательного движения

рВ12Сррг

Le т—- = -счисло Льюиса яот

Lm Теплота плавления

LT Теплота испарения

mm1m2(m1 + т2)-1— приведенная масса

tnt Масса t-ro компонента

tnL Скорость образования жидкости при плавлении на единицу площади

М Число Маха

ММолекулярный вес, г/моль

MtМолекулярный вес t-ro компонента

nt Числовая плотность i-ro компонента

и0 Число частиц, обладающих минимальной энергией во, см. (9.24)

N Коэффициент пропорциональности, см. (3.41)

АДх) Нормирующий параметр, см. (2.79а) и (2.89)

No Число Авогадро = 6,02472 • 1023 молекул]гмоль

Мп ■■—число Нуссельта

kw Mr —

р Давление

Pi Парциальное давление t-ro компонента

Рг —— число Прандтля

Preq "g^kчисло Прандтля для равновесной смеси qСкорость теплообмена

QЗависимая переменная

Q Теплота

Q Функция распределения, см. (9.26)

Q' Q — Q

Q^Vg) Сечение столкновения, см. (10.37)

QiСм. (7.10)

QtСм. (7.11)

г Длина жесткого ротатора, см. (9.57) и (9.58)

г Расстояние между двумя сталкивающимися частицами

г Коэффициент восстановления

гxi+yj + zk— пространственный вектор

ге Расстояние между частицами в положении минимума потенциальной энергии, см. рис. 10.1 г№ Массовая концентрация й-го компонента, определенная элементом i, см. (5.81)

r^s) Радиус тела вращения в меридианальной плоскости

R Nok=MtRi — универсальная газовая постоянная R Газовая постоянная для смеси, R^^CiRt

Re„ £dfs?—число Рейнольдса, вычисленное по местным значениям параметров невозмущенного потока (на границе пограничного слоя)

Re Приведенное число Рейнольдса, см. (8.135)

Ri Газовая постоянная для t-ro компонента, о к

Mt ну

Rem ^eS — числ0 Рейнольдса, вычисленное по значениям параметров на стенке

Re^ ^»_«‘s — число Рейнольдса, вычисленное позна- М"ОО

чениям параметров в невозмущенном потоке

28 У. X. Дорренс

s Электронное квантовое число

S Удельная энтропия S'

s, у Ортогональные координаты

$($) Преобразованная координата, см. (2.91)

5 SW — молярная энтропия

S Смоченная поверхность

Sm—£число Шмидта

ро,2А

/ Толщина затупления передней кромки

/ Время

Т Температура

Р Приведенная температура, см. (5.32) и (8.43)

и, v, ту Компоненты скорости

-у Квантовое число колебательной степени свободы

v-у J + yj + yzk— вектор скорости частицы

v0 Средняя массовая скорость, см. (2.9)

vt Средняя скорость, см. (2.8)

V Скорость

V -—г — молярный объем, см. (9.40)

Vai + yj + wk— вектор средней массовой скорости

V Средняя скорость диффузии i-го компонента, см. (2.12)

V;Вектор скорости диффузии для частиц типа I

40Полная энергия

Куп,— скорость массообмена i-ro компонента на единицу объема

W Вес

W Функция вероятности, см. (9.3)

х, у, г Система координат

z ~', также z = (2 h^Ci) (2 h°iCt)e 1

Pi•

xt — — молярная концентрация г-го компонента

У($) Уравнение формы головной ударной волны а

гА —приведенная массовая концентрация атомов

zL приведенная массовая концентрация элемента

Ci

zt приведенная массовая концентрация

Буквы греческого алфавита

а Параметр симметрии, см. (9.65) и (9.66)

а -g—коэффициент термодиффузии

м (Р™ \3/2

а—константа интегрирования в рас

пределении Максвелла — Больцмана, см. (9.9а)

' и (9.16)

а —массовая концентрация атомов

а* Равновесное значение величины а

р -^ — параметр распределения Максвелла — Больцмана, см. (9.96) и (9.22)

Р Параметр градиента давления, см. (4.105)

у Отношение удельных теплоемкостей

у -г^р — приведенная кинетическая энергия, см. (10.36)

Г (я) Гамма-функция

Показатель степени в потенциале точечного центра отталкивания, см. (10.48)

Толщинаскоростного пограничного слоя

6СТолщинадиффузионного пограничногослоя

6ГТолщинатемпературного пограничногослоя

д*Толщинавытеснения, см. (6.1)

— Mi Теплота реакции, см. (3.7)

AQ Тепловой эффект, см. (3.8)

е Глубина потенциальной ямы в потенциале Леннарда— Джонса, см. (10.51)

e(s, У) Турбулентная вихревая вязкость, см. (7.24)

в; Энергия частицы типа t, см. (9.2)

r](s, у) Преобразованная координата, см. (2.90)

0 Толщина вытеснения импульса

0(т])

0/

т

-=приведенная температура * е

Среднее значение зависимой переменной 0j в

X (S, у)

пространстве скоростей, см. (2.7)

Турбулентная вихревая теплопроводность, см. (7.25)

X X

У

■ Н/

Зависимая переменная, см. (5.24)

Длина волны, см. (9.78)

Коэффициент вязкости

Коэффициент вязкости z-ro компонента, см.

(Ю.1)

Pz о °t

п,/п< — парциальная плотность i-ro компонента См. (9.114)

Диаметр сечения столкновения для переносных свойств

т

ф ф

Касательное напряжение

Потенциальная энергия

Параметр скорости рекомбинации на поверхности, см. (4.96)

ф(0)

Постоянная интегрирования, см. (7.706)

X

(^му1

X

С^эдЗ■

Х(6, g) Угол отклонения, см. (10.34) и рис. 10.1

ip**

Волновая функция

Комплексно сопряженная волновая функция

ф($, у) Функция тока, см. (2.75)

С/

Фг

сн

Сн0

2

ОМ Q^1-s)*

Параметр завихренности, см. (6.74)

Интегралы столкновений, см. (10.35)

. „■.приведенный интеграл столкновении [Q * ]ТВ. сф.

(О

(О

<0

Угол полураствора конуса

Круговая частота жесткого ротатора, см. (9.56)

Завихренность, см. (6.67)

Нижние индексы

А Атом

е Значение на внешней границе пограничного слоя

eq Равновесное значение

/ Трение

f Замороженное, а иногда парциальное значение

i Компонент I

j Квантовое состояние вращательной степени свободы

/ Квантовое состояние поступательного движения; иногда значение на нижнем энергетическом уровне

L Жидкость

m Плавление

М Молекула

О Начальное значение при ^ = 0, как, например, То.

В гл. 3 и 8 значения Су и Сн при отсутствии вдува, в гл. 7 — значение Су при отсутствии диссоциации

Индекс 0 при термодинамических функциях относится к значениям при абсолютном нуле

р Давление

г Значение при температуре восстановления

тв. сф. Значение для модели твердых сфер

sЭлектронное квантовое состояние

иЗначение на верхнем энергетическом уровне '

-и Квантовое состояние вращательной степени свободы

ту На поверхности q = 0 или у = 0

оо Невозмущенный поток

Верхние индексы

о При термодинамических параметрах значения при стандартных условиях

Равновесное значение

Безразмерная величина

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адамс (Adams С. Е.) 375

Адамс (Adams М. С.) 72, 87,

254, 272, 274

Амдер (Amdur I.) 371, 372, 397

Бай Ши-и (Pai S. I.) 211

Бартл (Bartle Е. R.) 85, 291, 292

Батлер (Butler J. N.) 106

Бауэр (Bauer Е.) 261, 405—411

Берд (Bird R. В.) 25, 28, 31, 33, 369, 370, 384, 395, 396

Бертрам (Bertram М. Н.) 211, 212, 218—220

Бете (Bethe Н. А.) 72

Блайхоулдер (Blyholder G.) 175

Блекман (Blackman V.) 374

Болкнайт (Baulknight Ch. W.)

122, 125, 126, 404

Бор (Bohr N.) 344

Бредфилд (Bradfield W. S.) 160

Брокау (Brokaw R. S.) 106

Бромберг (Bromberg R.) 70

Будденберг (Buddenberg) 124

Вандерслайк (Vanderslice J. T.)

387

Ван Дрист (Van Driest E. R.) 261, 321

Ван Иттербек (Van Itterbeek A.)

412, 413

Ванласс (Wanlass K.) 133

Ван Лирд (van Lierde J.) 412, 413

Ван Паемел (van Paemel O.)

412, 413

Вейсман (Weissman S.) 415,417

Винклер (Winkler E. M.) 271,

273

Винслоу (Winslow G. H.) 161, 166, 168

Витейли (Vitale A. E.) 125, 126

Гартнетт (Hartnett J. P.) 308

Гезли (Gazley C., Jr.) 233, 234, 308

Гендерсон (Henderson A.) 218— 220

Георгиев (Georgiev) 88

Герцберг (Herzberg G.) 346,359, 397, 416

Герцфельд (Herzfeld K. F.) 374

Гидалго (Gidalgo) 88

Гилмор (Gilmore F. R.) 398

Гиршфельдер (Hirschfelder J. О.) 25, 28—33, 106, 107, 369, 370, 377, 379, 384, 395, 396

Гласстон (Glasstone S.) 342,343

Гордон (Gordon J. S.) 163, 351

Гросс (Gross J. F.) 308

Гулард (Goulard R.) 129

Девис (Davis R. S.) 286, 289,

290

Денисон (Denison M. R.) 316, 317

Детра (Detra R. W.) 135—138

Джонстон (Johnstone H. L) 397

Диаконис (Diaconis N. S.) 125, 126

Дор (Dore F. J.) 261, 284, 285, 305, 316

Дородницын A. A 6, 48

Дорренс (Dorrance W. H.) 9, 18, 19, 183. 199, 254, 255, 261, 284, 285, 305, 316

Доценко Б. В. 404

Дули (Dooley D. A.) 143

Егер (Jaeger J. С.) 90

Заккай (Zakkay V.) 136

Злотник (Zlotnick М.) 261, 405— 411

Иббс (Ibbs Т. L.) 414

Карслоу (Carslaw Н. S.) 89

Катц (Katz G. L.) 351, 357

Каулинг (Cowling Т. G.) 25, 29, 32, 33, 365, 394

Каэги (Kaegi Е. М.) 125, 126

Кемп (Kemp N. Н.) 135—138

Кемпф (Kempf G.) 271

Кеннард (Kennard Е. Н.) 340

Кертисс (Curtiss С. F.) 25,'28, 29, 31, 33, 369, 370, 384, 395, 396

Кларк (Clarke J. F.) 251

Клаузер (Clauser F. Н.) 322

Костернн (Kosterin S. 1.) 270, 271

Коулз (Coles D.) 271

Кошмаров (Koshmarov Yu. А.) 270, 271

Коэн (Cohen С. В.) 70, 116,133, 189, 205

Кроссо (Crocco L.) 227, 245, 260

Кубота (Kubota Т.) 220

Лайтхилл (Lighthill М. J.) 102

Ландау Л. Д. 337

Лапин Ю. В. 305

Лауритсен (Lauritsen Т.) 340

Леви (Levy S.) 115, 133

Лидон (Leadon В. М.) 85, 286, 291, 292

Лиз (Lees L.) 70—72, 78, 79, 84, 87, 118, 126, 134, 201, 212, 213, 220, 223, 254, 418

Линь Цзя-цзяо (Lin С. С.) 240

Липкие (Lipkis R. Р.) 70

Липпинкотт (Lippincott Е. R.) 387

Ли Тинг-и (Li Т. Y.) 8, 9, 43, 115, 133, 201, 205, 209—212, о[6 229

Лифшиц Е. М. 337

Лоу (Low G. М.) 85

Лоувен (Lowen К.) 9

Мак Адамс (Me Adams W. Н.) 89

Маклоски (Makloskey К. Е.) 397

Маргенау (Margenau Н.) 418

Масон (Masson D. J.) 233, 234, 308, 371, 372, 378, 379, 387, 415, 417

Мелстер (Meister А.) 397

Микли (Mickley Н. S.)150,

284—286, 289, 290

Мур (Moore С. Е.) 346, 359

Мэттинг (Matting F. W.) 271

Нагамацу (Nagamatsu Н. Т.) 43, 115, 133, 201, 205, 209—215

Огути (Oguchi Н.) 231

Окуно (Okuno A. F.) 285, 291, 292

Паллоне (Pallone A. J.) 220

Паппас (Pappas С.) 285, 291, 292, 303

Пейрс (Peirce В. О.) 393

Польгаузен (Pohlhausen К.) 194

Прандтль (Prandtl L.) 22, 36, 197

Презент (Present R. D.) 331

Пробстин (Probstein R. F.) 201, 254, 272, 274

Решотко (Reshotko Е.) 116, 133, 205

Ридделл (Riddell F. R.) 119— 123, 126

Рихтмайер (Richtmyer F. К.) 340

Рознер (Rosner D. Е.) ПО

Ромиг (Romig М. F.) 189, 190

Росс (Ross R. С.) 150

Роу (Raw С. Т. G.) 397

Роуз (Rose Р. Н.) 126, 135—138, 254 272, 274

Рубезии (Rubesin М. W.) 281, 285, 303

Сазерленд (Sutherland) 121, 124

Саксена (Saxena S. С.) 372, 378, 379, 415, 417

Самойлов Е. В. 404

Саттон (Sutton G.) 88

Сибулкин (Sibulkin М.) 9, 122, 318

Скала (Scala S. М.) 121, 122, 125, 126, 261, 404

Сквайерс (Squyers A. L.) 150

Слатер (Slater J. С.) 385

Спенс (Spence D. А.) 255, 258

Сполдинг (Spalding D. В.) 297

Стайн (Stine Н. А.) 133

Старк (Stark W. I.) 126

Стаханов И. П. 404

Стег (Steg L.) 71, 91

Стенл (Steihl G. L.) 351, 357

Стетсон (Stetson К. F.) 317

Стирлинг (Stirling) 329

Ступоченко Е. П. 404

Стэвсет (Stavseth В. Н.) 375

Стюарт (Stewart W. Е.) 150

Стюартсон (Stewartson К ) 201, 212, 213, 216, 224

Тинг (Ting L.) 229

Торн (Thorne R. J.) 161, 166, 168

Туркотт (Turcotte D. L.) 289

Уилки (Wilke С. R.) 124, 370, 412

Уоррен (Warren W. R.) 125, 126

Фельдман (Feldman S.) 220

Ферри (Ferry А.) 218

Форсталл (Forstall W. Jr.) 252

Фэй (Fay J. А.) 119—123, 126

Фэйгенбутц (Feigenbutz L. V.) 351, 357

Хансен (Hansen С. F.) 124. 125, 354, 355, 359—362

Харкнен (Harknen А. С.) 397

Хейз (Hayes W.) 201

Херст (Hirst А. А.) 414

Хилл (Hill F. К) 250

Хорниг (Hornig D. F.) 375

Цинк (Zink R.) 397

Чанг (Chung Р. М.) 130

Чен (Tchen С. М.) 240

Ченг (Cheng Н. К.) 220

Чепмен (Chapman D.) 365, 394

Чепмен (Chapman S.) 25, 29,32,

33

Шапиро (Shapiro А. Н.) 252

Шварц (Schwartz R. N.) 374

Шен (Shen S. F.) 199, 211

Шеппард (Sheppard J. J.) 160

Шервин (Sherwin Ch. W.) 337

Шир (Sheer R. E.) 213, 214, 215

Шлихтинг (Schlichting H.) 24, 104, 250

Шубауэр (Schubauer G. M.) 240, 256

Шульц-Грунов (Schultz-Grunow F.) 271

Эйкен (Eucken A.) 377, 378, 407

Эйринг (Eyring H.) 175

Эккерт (Eckert E. R. G.) 189, 190, 294, 318

Эллис (Ellis С. P.) 397

Энског (Enskog D.) 364—366

Юнг (Young A. D.) 318

Юнг (Young G. B. W.) 150, 189

Якоб (Jakob M.) 89

Янсен (Janssen E.) 150, 189

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Авогадро число 311

Атомов рекомбинация 122, 123

Безразмерные переменные 40, 55 Бинарные смеси 34, 102

Взаимодействие ударной волны и пограничного слоя 196—198 сильное 200—

205

— — — — — — — влияние массообмена 216

— — — ■— — — — — температуры 210, 211

— — — — — — — сравнение различных теорий 205, 212 Влияние градиента давления и кривизны на теплообмен 130 — завихренности на пограничный слой 196, 221, 224

— затупления передней кромки 196, 217, 230

на распределение давления 219

— искривления головной ударной волны на пограничный слой 222, 230

— массообмена на коэффициент восстановления 278, 292

— — — — — сравнение с экспериментом 293

— — — — поверхностного трения 151, 284, 286

— — — — — — сравнение с экспериментом 291, 293, 294 — теплопередачу 151 — трение 151

неподобных газов на величину коэффициента поверхностного трения 307

Влияние рекомбинации 127, 129 — температуры поверхности на парциальное давление 171, 172 — уноса массы па коэффициент теплопередачи 85

пограничный слой 83

— формы тела и градиента давления на теплообмен 317

— химических реакций 176

на теплопроводность 104

— — — при наличии массообмена 295, 298, 304

Вязкость газов при различных температурах 123

— турбулентная 243

Газ разреженный 364

Гармонический осциллятор 343

Гиперзвуковое число Маха 12 — — — для атмосферы Венеры 12

Земли 12

—Юпитера 12

Гипотеза локального подобия 133

Градиент энтропии 213

Диаметр сечения столкновений 365

Диссоциация газа 18

Диссоциированный пограничный слой ламинарный 97

■турбулентный 232

Зависимость от степени диссоциации чисел Рг, Le, Sm 404 ■температуры молярных концентраций компонентов воздуха 398

— сжимаемости воздуха 360

Зависимость от температуры чисел Рг, Le, Sm 410, 411

— — — энергии воздуха 362

Закон Дальтона 41

— распределения Максвелла — Больцмана 31

— Фика 36, 42

Замороженный пограничный слой 144

— поток 51

Идеальный диссоциирующий газ 398

Изменение давления и температуры для основных химических реакций в воздухе 355, 356

Интеграл Крокко 51

— Лиза 53

— Пробстина второй 51

— — первый 51

— Скала 52

Интегралы столкновений 33, 365, 379

приведенные 395

Использование спектроскопических данных для определения функции распределения 344, 345

Квантовая теория 332

Квантовые состояния 332

Кинетика реакций в гомогенной фазе 176

Константы равновесия 168, 347, 351

пример расчета 350, 351

— функции распределения 359

Концентрация компонента газовой смеси 24, 166

Коридор режимов длительного полета 234, 235

Коэффициент бинарной диффузии 24, 371

— восстановления 191

— вязкости 24, 369, 413

— — для воздуха 409

— поверхностного трения 14

— ламинарный 132

— турбулентный 255

—зависимость от числа Маха 264

Коэффициент поверхностного трения турбулентный зависимость от числа Рейнольдса 265—267

расчетные значения 261, 264

— симметрии молекул 343

— теплопроводности газов многоатомных 24, 372

одноатомных 371

— — воздуха 409

— ■— для смесей многоатомных газов 378, 414

— термической диффузии 33

Коэффициенты переноса 23

— — разреженных газовых смесей 364, 369

Массовая концентрация 35

атомов 102

компонентов смеси 310

молекул 102

Массообмен 140, 141

— и химические реакции в турбулентном пограничном слое 276 Метод вывода уравнений газовой динамики феноменологический 23

— приведенной температуры 183 — Сибулкина 318

Напряжение трения 24

Неопределенность теории пограничного слоя ламинарного 233 —— турбулентного 233

Параметр массообмена В\ 84

В2 84

■В3 66, 155

В, 155

В5 281

В6 136, 311

Переносные свойства диссоциированного воздуха 396

— — — — пример расчета 403

Плотность атмосферы 13

— газовой смеси 24

Поверхностные реакции, определяемые диффузией 157

— — — кинетикой 174

— — пример расчета 160

Пограничный слой 22

Пограничный слой диссоциированный ламинарный 97 турбулентный 232 Постоянная Больцмана 27 Потенциалы межмолекулярных сил 384, 387

модель твердых сфер 389

точечного центра отталкивания 392, 397

потенциал Леннарда —

Джонса 392—394, 397

Преобразование Блазиуса 47

Иллингворса — Леви 48

Лиза — Дородницына 48

— Манглера 48

Приближение замороженного пограничного слоя 195

Приведенная температура 183, 186, 294

— энтальпия 190

Принцип неопределенности Гейзенберга 339

Проблема гиперзвукового нагрева 12

— теплозащиты гиперзвуковых аппаратов 18

Профиль скорости в пограничном слое 37

— температуры в пограничном слое 37

Равновесная температура поверхности 234

Расплавленный слой 71

Распределение давления на плоской пластине 214, 215

— Максвелла — Больцмана 329 — теплопередачи на полусфере 137

теле с плоской носовой частью 138

Реакции в гетерогенной фазе 60

— — гомогенной фазе 60

— экзотермические 60, 62

— эндотермические 60, 62

Реакция второго порядка 178

— первого порядка 178

Рекомбинация атомов 122, 123

Решение уравнения Больцмана 31

Ротатор жесткий 342, 344

Скорость диффузии 27, 34

— теплового потока 19

— теплопередачи к поверхности 173

— уноса массы 173

Сопротивление атмосферы 13

Статистика Больцмана 326, 327

Сублимация 81

Схема взаимодействия жидкого слоя с реагирующим газовым слоем 72

— течения в пограничном слое 37

Температура газовой смеси 24 — приведенная 183, 186, 294 — равновесная 234

Теорема Крокко 227

Теория газов кинетическая 25

неоднородных математическая 24

— молекулярная 25

переноса 366

Тепловой импульс для гиперзвуковых аппаратов 92

поток к поверхности 154

полный через поверхность 305, 306

пример расчета 308

Теплоемкость газа 13, 14

твердой фазы 77

— удельная 54

Теплообмен в пограничном слое 146

Теплопередача в точке звуковой 318

критической 113, 119, 126

— к стенке каталитической 123

некаталитической 123

Теплопроводность в твердом материале 89

Теплостойкость материала 16, 17

Теплота испарения 86

— плавления 77

— реакции 63

Термодинамические свойства смесей разреженных газов 325 — — ■— пример расчета

354

Термодинамические таблицы 357

Термохимические концепции 60

Термохимия 62

Течение Куэтта 43

Толщина пограничного слоя диффузионного 58

для концентрацийкомпонентов 37

— скоростного 37

температурного 37

Турбулентный перенос импульса 243

массы 243

— — тепла 243

— пограничный слой на плоской пластинке 237, 240, 248, 268, 270, 272, 274

Турбулентного пограничного слоя типичные параметры 79

Ударная волна 37

Удельная теплоемкость 54

Уравнение Больцмана 28

■— Бора 344

— неразрывности 41, 99

■— притока тепла

— Шредингера 339

— Энскога 30

Уравнения газовой динамики 23

— для газовой смеси 23

— замороженного пограничного слоя 146

— Навье — Стокса 38, 39

— переноса 29

■— пограничного слоя 22, 36

ламинарного для идеально диссоциирующего газа 102

■реагирующего га

за 41, 99

— турбулентного диссоциирующего 245

■реагирующего 236

— состояния 99

— — для совершенного газа 27

■— сохранения импульса 100

— ■— массы компонентов 99

Физика межмолекулярных сил 384, 385

Физико-химические константы 309

Формула Сазерленда 121

Функции распределения 332

вывод из квантовой механики 337

— термодинамические 334

— — теплоемкость 335

— — энергия 334

— — — свободная 336

энтальпия 335

энтропия 335

Функция волновая 337

— распределения одночастичная 365

для пары частиц365

— — скоростей молекул25

триплетная 365

— тока 43

■приведенная 47

Характерные параметры тепло- поглощающих материалов 94

Химические реакции в пограничном слое ламинарном 140

— —— ■— турбулентном 276

Химической реакции энтальпия 162

Частные интегралы уравнений пограничного слоя 50—54

Число Льюиса 49, 54

турбулентное 244

— Маха 12, 13

— — гиперзвуковое 12

— Прандтля 37, 38, 49, 54

турбулентное 244

для струи 252

— Рейнольдса 40, 78

— — при режиме полета в атмосфере 235

— Шмидта 37, 38, 49, 54

— Эккерта 56

Энергетические уровни 332, 333

Энергия диссоциации 103

Энтальпия газовой смеси 13

— парциальная 113

— приведенная 190

— торможения 13

— химической реакции 162

Эффект диссоциации 104

Эффективная теплоемкость 76

Эффект уноса массы 81

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора' .5

Предисловие автора 7

Глава 1. Введение в теорию теплообмена при гиперзвуковых скоростях 11

Общие соображенияИ

Проблема гиперзвукового нагрева12

Проблема теплозащиты при конструировании гиперзвуковых летательных аппаратов18

Тематика книги20

Глава 2. Уравнения пограничного слоя22

Введение22

Уравнения газовой динамики23

Уравнения пограничного слоя36

Сведение уравнений пограничного слоя к обыкновенным дифференциальным уравнениям . ... 43

Некоторые частные интегралы уравнений пограничного слоя50

Безразмерные коэффициенты переноса . ... 54

Заключение58

Глава 3. Взаимодействие между газом в пограничном слое и материалом поверхности 59

Введение59

Некоторые термохимические концепции . ... 60

Различные факторы, влияющие на теплообмен в реагирующем пограничном слое65

Расплавленный поверхностный слой71

Эффект уноса массы81

Теплопроводность в твердом материале . ... 89

Заключение95

Глава 4. Диссоциированный ламинарный пограничный слой . . 97

Введение97

Уравнения пограничного слоя99

Уравнения пограничного слоя для идеально диссоциирующего газа*®2

4. Эффект диссоциации. Влияние химических реакций на теплопроводность 104

Приближение «замороженного»пограничногослояНО

Решение в критической точке**8

Влияние рекомбинации на поверхности*26

Влияние градиента давления икривизны....*30

Заключение*38

Глава 5. Массообмен и химические реакции в ламинарном пограничном слое*40

Введение*40

Применимость уравнений пограничногослоя. •*42

Приближение «замороженного» пограничногослоя144

Теплообмен в пограничном слое*46

Тепловой поток к твердой поверхности. .. •154

Поверхностные реакции, определяемые диффузией157

Пример расчета*60

Поверхностные реакции, определяемыекинетикой174

Кинетика реакций в гомогенной фазе*76

Приведенная температура183

Коэффициент восстановления191

Заключение .. . 195

Глава 6. Влияние затупления передней кромки. Взаимодействие с ударной волной. Влияние завихренности . . . 196

Введение196

Взаимодействие головной ударной волны и пограничного слоя197

Влияние затупленияпередней кромки217

Влияние завихренности во внешнем потоке на пограничный слой221

Заключение230

Глава 7. Диссоциированный турбулентныйпограничный слой . 232

Введение232

Уравнения реагирующего турбулентного пограничного слоя236

Уравнения диссоциированного турбулентного пограничного слоя245

Связь междуСниCf.. 248

Коэффициенттурбулентного поверхностного трения 255

Расчет коэффициента поверхностного трения . . 261

Заключение274

Глава 8. Массообмен и химические реакции в турбулентном пограничном слое276

Введение276

Влияние массообмена на2CHICtиг277

Влияние массообмена накоэффициентС/...284

Влияние химических реакций при наличии массообмена 295

Полный тепловой поток через поверхность...305

Простой пример расчета308

Влияние формы тела и градиентадавления...317

Выводы 322

Глава 9. Термодинамические свойства смесей разреженных газов 325

Введение325

Статистика Больцмана326

Множитель 3330

Функции распределения332

Термодинамические функции334

Вывод функций распределенияспомощью квантовой механики337

Использование спектроскопическихданных ...344

Константы равновесия347

Пример расчета для высокотемпературноговоздуха 354

Выводы362

Глава 10. Коэффициенты переноса разреженных газовых смесей 364

Введение 364

Допущения теории переноса366

Коэффициенты переноса369

Интегралы столкновений379

Физика межмолекулярных сил ....... 384

Различные виды потенциалов межмолекулярных взаимодействий389

Переносные свойства диссоциированного воздуха 396

Переносные свойства газовых смесей . . . . 412

Комбинаторные правила415

Выводы 419

Условные обозначения и терминология420

Именной указатель430

Предметный указатель433

У. X. Дорренс

ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯВЯЗКОГО ГАЗА

Редакторы /О. В. Климов, А. С. Попов

Художник В. И. Телепнев

Художественный редактор В. И. Шаповалов

Технический редактор Л. Д. Хомяков

Сдано в производство 17/111 1966 г.

Подписано к печати 15/VII 1966 г.

Бумага 84xi08V32=6,88 бум. л*

23,10 печ. л.

Уч.-изд. л4 19,50. Изд, № 1/3145

Цена 1 р. 60 к. Заказ № 88ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИPiМосква, 1-й Рижский пер., 2

Ленинградская типография № 2имени Евгении Соколовой

Главполяграфпрома

Комитета по печати при СоветеМинистров СССРИзмайловский проспект, 29

4 У. X. Дорренс

l) Scala S. М., Vid ale G. L., Intern. J. Heat and Mass Transfer, 1 (1), 4—22 (1960).

8 У. X. Дорренс

2) Vitale А. Е., К а е g i Е. М., D 1 а с о n i s N. S., Warren W. R., Proc. Heat Transfer and Fluid Meeh. Inst., p. 204—275, Stanf. Univ. Press, Stanford Calif., 1958. .

78—80 (1960).

2) Стандартное состояние — это состояние при давлении 1 атм и рассматриваемой температуре. Верхний индекс 0 указывает, что термодинамическая функция вычисляется для вещества в его стандартном состоянии.

Ч Последние данные указывают, что состояние 52 является слабо связанным. Успехи в направлении количественного определе

излагаются в статье Vanderslice J. Т., Mason Е. A., Lip

У. X. Д О Р Р Е И С

ГИПЕРЗВУКОВЫЕТЕЧЕНИЯВЯЗКОГО ГАЗА

Перевод с английскогоП. П. КОРЯВОВА, Ю. Н. ПАВЛОВСКОГОИ В. В. ЩЕННИКОВА

Под редакциейА. А. ДОРОДНИЦЫНА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва 1966

УДК 533.601.155

Книга Уильяма X. Дорренса является современным и замкнутым в себе введением в теорию пограничного слоя вязких газовых смесей. Изложение проводится от самых основ и заканчивается обзором современных результатов.

В книге рассматриваются также проблемы теплозащиты аппаратов, движущихся в атмосфере с гиперзвуковой скоростью, таких, как космические корабли, баллистические ракеты и гиперзвуковые самолеты. Специалисты, занимающиеся конструированием подобных объектов, найдут здесь полезные уравнения для определения теплообмена между средой и поверхностью.

Книга может служить основой для курса по современной теории пограничного слоя и отправным пунктом при дальнейшем изучении этого вопроса. Она представляет интерес для физиков, механиков и инженеров, работающих в новых областях техники, в частности в авиации и космонавтике. Книга будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов, инженерно-физических и авиационных институтов.

Редакция литературы по математическим наукам

Проблема гиперзвукового полета, связанная с возникновением высокотемпературных эффектов при обтекании гиперзвуковых аппаратов, привела к тесному соприкосновению двух разделов физики — аэродинамики и химической кинетики, и таким образом возникла новая область динамики — аэродинамика газа переменного состава. Методы исследования в этой области, как теоретические, так и экспериментальные весьма усложнились, так как движение газа стало определяться не только силовым и температурным полями, но и химическими процессами, в свою очередь зависящими от поля скорости и температуры. Эти эффекты взаимодействия движения с химическими процессами прежде всего возникают в пограничном слое, где картина усложняется из- за разрушения поверхности тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком, пары различных веществ, составляющих материал поверхности, попадая в пограничный слой, взаимодействуют химически с воздухом. Таким образом^ в пограничном слое происходят многочисленные химические реакции, которые определяют в конечном счете такие важные для практики величины, как аэродинамическое сопротивление тел, тепловые потоки к ним и скорость разрушения поверхности.

Именно практическая важность этой проблемы породила за последние 8—10 лет многочисленные теоретические и экспериментальные исследования высокотемпературного химически активного пограничного слоя. Эти исследования велись как в направлении выяснения главных факторов, влияющих на процессы в пограничном слое, и оценки их влияния на аэродинамические тепловые характеристики гиперзвуковых объектов, так и в направлении разработки точных численных методов расчета пограничного слоя.

Книга У. X. Дорренса «Гиперзвуковые течения вязкого газа» является первой монографией, в которой излагаются проблемы высокотемпературного пограничного слоя при наличии химических реакций. Содержание книги целиком относится к первому направлению: численные методы решения в книге не затрагиваются. Поэтому естественно, что анализ исследуемых в ней задач имеет лишь чисто качественный характер. Автор в большинстве случаев рассматривает раздельно влияние различных факторов, и полученные выводы поэтому являются обычно лишь указанием на то, в какую сторону тот или иной фактор влияет. Но из-за существенной нелинейности уравнений пограничного слоя на основании этого еще нельзя сделать заключения о количественных эффектах при совместном воздействии различных факторов. Точные количественные характеристики могут быть получены сейчас только в результате численных расчетов с помощью вычислительных машин. Однако все же понимание физической картины явлений в пограничном слое имеет важнейшее значение и для точной математической формулировки задач, и для конструкторских работ при решении практической задачи теплозащиты гиперзвуковых аппаратов, указывая пути, на которых можно найти их решения, после чего уже можно с помощью точных численных расчетов получить и некоторые количественные характеристики.

Книга Дорренса охватывает результаты исследований до 1962 г. В этой быстро развивающейся области за прошедшее время появилось уже много новых результатов, но данная монография бесспорно поможет лицам, занимающимся исследованиями гиперзвукового пограничного слоя, понять проблемы и развивать дальше эту область.

А. ДородницынА. ДородницынСледует отметить, что терминология в области гиперзвукового пограничного слоя еще не установилась. Поэтому переводчики часто вынуждены были идти на дословный перевод английских терминов, используемых автором, хотя в нашей литературе можно найти другие выражения для тех же понятий. Главы 8—10 перевел П. П. Корявов, 1—3 и 6 — Ю. Н. Павловский и 4, 5 и 7 — В. В, Щенников.

А. Дородницын

А. Дородницын

Главной целью данной книги является изложение теорий ламинарного и турбулентного пограничных слоев в реагирующих газовых смесях. Эти теории излагаются с самых основ, а все необходимые химические, термодинамические и физические понятия описываются настолько, чтобы читатель мог не обращаться к другим источникам.

Другая цель книги состоит в том, чтобы дать в руки тех, кто занимается техническими приложениями, формулы, полезные при расчете теплообмена между реагирующим газовым пограничным слоем и реагирующей плавящейся сублимирующей и другими способами разрушающейся поверхностью.

В намерение автора входило сделать книгу такой, чтобы она могла служить пособием для повышенного курса по современной теории пограничного слоя. Кроме того, автор надеется, что книга будет полезным справочником для специалистов и отправной точкой для тех, кто хочет заниматься исследованиями в этой важной области.

В книге содержится не только тщательное изложение теории ламинарного и турбулентного пограничных слоев, но описываются и положения, лежащие в основе этой теории, а также методы расчета переносных и термодинамических свойств разреженных газовых смесей. Подробно изложены также необходимые термохимические понятия. Автор стремился изложить все представленные теории, начиная с самых основ. Поэтому значительное место уделено основам физики взаимодействия одинаковых и различных частиц и роли, какую оно играет

в определении переносных свойств реагирующих газовых смесей.

Для удобства читателя теория ламинарного пограничного слоя, представленная со многими ее разветвлениями, излагается на основе единой формы записи системы дифференциальных уравнений, полученной путем преобразования общепринятых уравнений пограничного слоя. Теория турбулентного пограничного слоя излагается также на основе единой системы уравнений пограничного слоя. Это позволяет избежать утомительных преобразований уравнений пограничного слоя. При этом не происходит потери общности, так как учет влияния химических реакций, массопереноса, плавления поверхности, взаимодействия ударной волны с пограничным слоем, формы тела и градиентов давления делается без применения преобразований к различным граничным условиям.

Те элементы кинетической и молекулярной теории газов, термодинамики, физической химии, квантовой теории, волновой и статистической механики, которые имеют отношение к главной теме книги, также вкратце излагаются. Так, гл. 2 посвящена уравнениям пограничного слоя и их выводу на основе молекулярной теории газов. Глава 9 посвящена вопросам термодинамики газовых смесей и методам квантовой теории, спектроскопическому анализу и статистической механике в том их аспекте, в котором они применяются к определению термодинамических свойств и равновесных составов газовых смесей. Глава 10 посвящена переносным свойствам и роли межмолекулярных сил в их определении.

Первоначально намечалось, что книга будет частью совместного труда проф. Ли Тинг-и и автора, охватывающего как теорию течений невязкой жидкости, так и теории пограничного слоя. Однако в процессе работы изучение реагирующих газовых смесей привело к разрастанию материала, и авторы нашли, что его не следует включать в одну книгу. Другим осложнением было то, что авторов разделяли 2000 миль расстояния. Поэтому было решено написать две книги: эту, посвященную задачам вязких течений, и позднее книгу проф. Ли Тинг-и по невязким течениям реагирующих газовых

смесей. Предполагается, что обе книги будут дополнять друг друга и вместе дадут исчерпывающее и современное введение в теорию реагирующих газовых смесей.

Автору хочется выразить благодарность некоторым своим коллегам за помощь, оказанную ему при подготовке книги. Так, проф. Ли Тинг-и был неизменным источником воодушевления и конструктивной критики, м-р Роберт Лоувен сделал особенно ценные замечания при чтении гл. 9, м-р Мервин Сибулкин взял на себя труд чтения полного первоначального наброска книги и сделал полезные замечания. Не малый вклад сделала м-сс Мэксин Мэтсон, печатавшая рукопись.

Уильям X. Дорренс

VISCOUS HYPERSONIC

FLOW

THEORY OF REACTING AND

HYPERSONIC BOUNDARY LAYERS

WILLIAM H. DORRANCE

Formerly Senior Staff ScientistConvalr Scientific Research LaboratoryPresently Head, Gas Dynamics Department

Aerospace Corporation

McGRAW-HlLL BOOK COMPANY, fNC.

New York • San Francisco • Toronto • London

19 62

ГЛАВА

1