ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Теория гидродинамической устойчивости (и тесно связанная с ней проблема возникновения турбулентности) представляется в настоящее время наиболее интересной и бурно развивающейся областью механики жидкости и газа, областью, которой ежегодно посвящается добрая половина всех публикаций по гидродинамике. Это определяется весьма широкими приложениями результатов данной теории к исследованиям природных процессов и к различным задачам техники и технологии. Исследования в этой области сталкиваются со значительными математическими трудностями, и несмотря на то, что проблемы гидродинамической устойчивости привлекали к себе внимание крупнейших ученых, до настоящего времени даже линейная ее теория далека от завершения. Нелинейная теория, в частности теория бифуркаций, находится в стадии становления, и основные результаты относятся главным образом к решению конкретных задач. Работы, подводящие фундамент под эти конкретные результаты, пока что немногочисленны.

Может быть, именно поэтому список монографий по теории гидродинамической устойчивости весьма краток. Он включает, прежде всего, труды Линь Цзя-цзяо «Теория гидродинамической устойчивости», С. Чандрасекара (Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability), P. Бетчова и В. Криминале «Вопросы гидродинамической устойчивости» и Дж. Тернера «Эффекты плавучести в жидкостях», а также книги советских авторов Г. 3. Гер- шуни и Е. М. Жуховицкого «Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости» и М. А. Гольдштика и В. Н. Штерна «Гидродинамическая устойчивость и турбулентность». В этот список, конечно, входит и предлагаемая вниманию читателя монография известного американского ученого Д. Джозефа.

Книга Д. Джозефа уникальна по широте охвата материала. В ней излагаются математические основы общей теории гидродинамической устойчивости (энергетические методы и линейная теория), теория бифуркаций, а также некоторые аспекты теории повторных бифуркаций и перехода к турбулентности. Особенно привлекательно то, что проблемы устойчивости многих известных классов течений, включая конвекцию и движение вязкоупругих жидкостей, обсуждаются с единой точки зрения. Много внимания автор

уделяет энергетическим методам, которые, правда, могут дать только оценки значений параметров, определяющих границы устойчивости, нередко далекие от истинных значений. Однако трудности решения нелинейной задачи столь велики, что эти методы играют важную роль, тем более, что энергетические соотношения позволяют судить о механизме перехода энергии от основного течения к возмущениям. Следует отметить высокий математический уровень, систематичность и простоту изложения.

Вместе с тем книга Д. Джозефа, конечно, не является энциклопедией по гидродинамической устойчивости. В ней не рассматриваются вопросы устойчивости следа, струй, конвективных течений, численные методы исследования нелинейной устойчивости и некоторые другие направления; не обсуждаются также и многие работы советских ученых. Желающие ознакомиться с этими вопросами могут обратиться к перечисленным выше книгам, а также к обзорам В. Я. Шкадова [1973* ] и Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого [1978* I) Последние результаты по теории бифуркаций отражены в обзорах Т. Б. Бенджамена [1978* ] и Д. Джозефа [1979*].

Некоторые новые результаты по затронутым в книге вопросам указаны в примечаниях переводчиков; там, где изложение представлялось нам недостаточно полным, помимо примечаний сделаны и небольшие дополнения, как, например, в гл. VII, посвященной сферическому течению Куэтта.

Автор любезно прислал список исправлений и замеченных опечаток, и мы пользуемся случаем выразить ему свою признательность. Отдельные неточности и опечатки, обнаруженные при переводе, исправлены по согласованию с автором (без особых оговорок в тексте).

Книга рассчитана на научных работников в области механики, физики и математики, интересующихся проблемами устойчивости движений жидкости; она будет весьма полезна аспирантам и студентам старших курсов университетов. Однако в книге рассматриваются фундаментальные проблемы механики жидкости, поэтому многие внешне простые формулировки, утверждения и выводы имеют под собой солидное математическое основание. Это, разумеется, следует иметь в виду как при чтении книги, так и при работе в этой важной и крайне интересной области современной механики.

Г. Я. Петров

1) Звездочкой отмечены публикации, включенные в добавленный при переводе список дополнительной литературы.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Исследование устойчивости ставит своей целью истолкование

наблюдающихся при актуальная, далекаянаблюдающихся при актуальная, далекаярезких изменений движения жидкости, изменениях внешних параметров. Это —

наблюдающихся при актуальная, далекая

наблюдающихся при актуальная, далекая

от полного завершения область науки, наиболее интересные результаты которой получены лишь в последнее время. В книге дается подробный обзор тех направлений современной теории, которые я считаю уже сформировавшимися.

Благодарности

Я начал писать данную книгу в 1967 г. по предложению Клиффорда Трусделла. Предполагалось, что это будет небольшая работа по энергетической теории устойчивости; придерживаясь этого замысла, я закончил бы ее много лет тому назад. Однако после 1967 г. теория устойчивости развивалась столь быстро, что книга, которую я тогда мог написать, представлялась бы теперь весьма узкой по тематике. Я благодарен Трусделлу не столько за предложение потратить бесконечные часы на писание и зачеркивание, сколько за то великодушие, с которым он поощрял мои усилия и поддерживал стремление к высоким стандартам хорошей работы. По совету Трусделла я пытался писать ясно и избегать ненужных усложнений, хотя бывшему социологу было нелегко следовать такому совету. Но если я и потерпел неудачу, то отнюдь не из-за недостаточной настойчивости со стороны Трусделла или недостаточных усилий с моей стороны.

Мои исследования в Лондоне в течение 1969—1970 гг. частично субсидировались фондом Гуггенхейма. Я с удовольствием провел год в Лондоне, и я признателен Тревору Стюарту, Дереку Муру и другим моим друзьям в Империэл Колледж за их гостеприимство. Я пользуюсь случаем поблагодарить за бескорыстную помощь лучшего в мире библиотекаря — специалиста по математической литературе г-жу Дж. Пиндельски из Империэл Колледж. Летом и осенью 1973 г. субсидия Британского совета по научным исследованиям дала мне возможность снова работать в Англии, на этот раз с Л. Пелетье, Д. Эдмундсом и другими математиками в СуС・ сексе. Летом 1974 г. я прочитал краткий курс по теории устой-

чивости в Летней школе в Брео Сан Нап во Франции. Французские слушатели оказались способными и хорошо обученными дипломированными инженерами с солидной математической подготовкой. Это была сильная группа, и некоторые лучшие результаты, включенные в § 15, главы XI и XIV и в дополнение к главе X, непосредственно возникли из вопросов, заданных в этой Летней школе.

Мои исследования по теории устойчивости с самого начала финансировались отделением гидромеханики Национального научного фонда; важность этой финансовой поддержки едва ли можно переоценить. Моей работе способствовали также хорошие условия, существующие на факультете механики Университета штата Миннесота, мои хорошие друзья и блестящие коллеги, сочувствовавший мне президент П. Сесна и две приветливые и умелые секретарши Джейн Джин др а и Сьюзен Питерсон, которые печатали различные наброски этой книги.

Вклад в эту книгу различными путями внесли многие ученые. Фриц Буссе, Та Шен Чен, Стивен Дэвис, Даниел Янковски, Клаус Кирхгеснер, Саймон Розенблат, Роберт Сани, Уильям Уорнер и Ганс Вейнбергер прочитали различные части текста и сделали по ним критические замечания. Особого упоминания заслуживают вклады В. Хуна в главы V и VI, Брюса Мансона в главу VII, Веда Гупты в главу XII и приложение В и Э. Душана V в главу XIV. Глава XI основана на совместной работе с Д. Нилдом, участвовавшим также в заключительной стадии подготовки всей книги к печати. Я не нахожу слов, чтобы выразить всю глубину моей благодарности Нилду за его внимательное и эффективное участие в обременительной работе чтения корректур.

Будучи аспирантом, я находился под сильным влиянием прекрасной статьи Джеймса Серрина по гидромеханике в Handbuch der Physik. Впоследствии мне посчастливилось работать в Университете штата Миннесота, где я в результате общения с Серрином заинтересовался энергетической теорией устойчивости. Я по- настоящему обязан Сер ри ну за его помощь в те прежние времена и за то непрерывное вдохновение, которое я испытываю, когда вижу применение хорошей математики к фундаментальным проблемам механики.

Наконец, я хочу поблагодарить своих коллег Ф. X. Буссе, Т. Ш. Чена, Э. Душана V, В. Гупту, В. Хуна, Б. Мансона, Д. А. Нилда и Д. Сэттинджера, с которыми я сотрудничал в исследованиях по устойчивости, за все, чему я у них научился. Мое представление о теории устойчивости как о разделе математики сформировалось под влиянием Дэвида Сэттинджера, а как о разделе физики — под влиянием Фрица Буссе.

«Подобно большинству мыслителей, я во многом обязан беседам, которые я имел с другими за эти годы... Я не позволю себе обычного бессмысленного замечания, что они не ответственны за

ошибки, которые могут содержаться в этой книге. Очевидно, только я могу отвечать за эти ошибки, но если бы я мог осознать их, то должен был бы их исправить, а так как я не могу этого сделать, я не в состоянии судить, не восходят ли некоторые из них к мнениям тех, кто оказывал на меня влияние» 】).

Моя жена Эллен читала вместе со мной всю рукопись, и в наших совместных усилиях достичь хорошего стиля мы изучили письма Трусделла и блестящую маленькую книгу Гоуэрса «Эти совер - шенно обыкновенные слова» ). Эллен согласилась взять на себя ответственность за недостаток ясности и точности в тексте и за все математические и смысловые ошибки. Мне доставляет радость посвятить мою первую книгу этой очаровательной леди.

План книги

План этой книги, состоящей из двух частей, приведен в оглавлении. В части I излагаются общая теория устойчивости и потери устойчивости, а также теория бифуркаций и кратко обсуждаются проблемы повторяющихся бифуркаций и турбулентности. Общая теория развивается в главах I и II, а затем применяется для течений между концентрическими цилиндрами (главы III—VI) и между концентрическими сферами (глава VII). Часть I внутренне замкнута. В семи главах (VIII—XIV) части II рассматриваются специальные вопросы, представляющие общий интерес и выбранные так, чтобы обобщить теорию, ввести новые методы анализа, расширить область применимости теории и показать, насколько важна теория устойчивости для понимания механики движений жидкости.

В обеих частях книги цель, которая ставится в каждой главе, излагается во введении к главе. Ссылки даются в тексте там, где впервые описываются новые результаты, или в библиографических замечаниях в конце главы. Многие результаты или публикуются здесь впервые, или не новы, но либо мало известны, либо ранее излагались в форме, малодоступной читателям, знакомым только с классическим анализом. Все результаты, новые и старые, были переработаны так, чтобы они соответствовали общему стилю книги.

Несколько слов к читателям

Предполагается, что читатели этой книги знакомы с анализом и частично с теорией дифференциальных уравнений (чем больше вы знаете, тем лучше). Читатели с должным уровнем подготовки смогут значительно пополнить свои знания по практическим

1) Dummet М. Frege： Philosophy of language. — London: Duckworth, 1973.

методам анализа, которые необходимы при изучении различных аспектов теории гидродинамической устойчивости. Из этих методов особенно полно рассматриваются теория бифуркаций и вариационные методы для линейных и нелинейных задач на собственные значения, поставленных в классе соленоидальных полей. При изложении этих вопросов я руководствовался желанием сделать теорию доступной для широкой аудитории потенциально интересующихся читателей. Приложения даются в помощь начинающим, которые хотят изучить детали математических методов, представляющиеся мне важными для исследования устойчивости, но несколько выпадающими из основного направления изложения. Для вывода и расширения результатов, рассматриваемых в основном тексте, а также для того, чтобы помочь читателям усвоить материал, составлено около 230 упражнений.

ВВЕДЕНИЕ

Теория устойчивости является частью математической физики, которая дает возможность получить из основных принципов критические значения параметров, разделяющие различные режимы и формы движений жидкости при этих различных режимах. Теория устойчивости приводит к определенным утверждениям о решениях уравнений. Если принять, что эти уравнения описывают реальные движения, то утверждения о решениях будут также относиться и к течениям жидкости.

В данной книге мы будем изучать устойчивость течений, которые удовлетворяют уравнениям типа уравнений Навье—Стокса. Если область течения, граничные условия и внешние силы фиксированы, то решения этих уравнений будут меняться при изменении вязкости и начальных условий. Важно найти критические значения вязкости, разделяющие различные режимы течения.

Течения, удовлетворяющие уравнениям Навье—Стокса, обладают одним важным свойством: когда вязкость жидкости больше критического значения, все решения задачи с начальными условиями монотонно стремятся к единственному решению, соответствующему основному течению, и энергия любого возмущения этого течения будет затухать сразу с начального момента времени. Для жидкостей с меньшей вязкостью можно найти возмущения основного течения, которые в начальный момент возрастают; позднее в зависимости от условий они могут затухать или сохраняться. Критическое значение вязкости, отделяющее возмущения, энергия которых может первоначально возрастать, от монотонно затухающих возмущений, называется первой критической вязкостью энергетической теории.

Устойчивость основного течения зависит скорее от поведения решений за длительные интервалы времени, чем от начального поведения. В большинстве случаев существует вторая критическая вязкость, не превышающая первой. Когда вязкость жидкости больше этого значения, основное течение устойчиво, потому что нет возмущений (независимо от их величины), которые могли бы существовать достаточно долго. Однако, когда вязкость жидкости меньше второго критического значения, основное течение «передает» устойчивость некоему более сложному течению (или мно-

жеству течений). При дальнейшем уменьшении вязкости течения, которые заменили основное течение, могут в свою очередь терять устойчивость и переходить в иные, еще более сложные течения.

Принято считать, что все увеличивающаяся сложность движений жидкости, которая наблюдается при уменьшении вязкости и которую часто называют «турбулентностью», является следствием последовательных потерь устойчивости течениями менее сложной структуры и их заменой течениями более сложной структуры. Этот процесс, часто отождествляемый с гипотезой Ландау [1944 ] и Хопфа [1948], иногда трактуется как «переход к турбулентности через повторяющиеся бифуркации».

Ландау и Хопф рассматривали повторяющиеся бифуркации как процесс, заключающийся в непрерывной бифуркации множества с п частотами в подобные же множества с п + 1 частотами.

Здесь свойство притяжения устойчивого решения заменяется свойством притяжения множества. Например, если внешние условия стационарны и вязкость велика, то все решения притягиваются к стационарному основному течению. При меньших значениях вязкости установившееся течение становится неустойчивым и предполагается, что на устойчивость теперь претендует притягивающее множество периодических по времени решений, отличающихся одно от другого только величиной фазы. Произвольные решения задачи с начальными данными будут притягиваться к тому или иному члену притягивающего множества в соответствии с начальными значениями.

При еще меньшем значении вязкости множество периодических решений передает устойчивость большему множеству квазиперио- дических решений с двумя частотами и независимыми произвольными фазами. Теперь произвольные решения задачи с начальными данными притягиваются к множеству с двумя частотами. Таким же образом при дальнейшем уменьшении вязкости множество с двумя частотами передает устойчивость множеству с тремя частотами и т. д.

Идея Ландау и Хопфа о непрерывности (всегда) ветвления пространств, конечно, неправильна (см. § 16), и их гипотеза о ква- зипериодической природе ответвляющихся множеств, по-види- мому, также нуждается в пересмотре. Тем не менее некоторые основные положения об ответвляющихся множествах решений получили обоснование в последних результатах теории бифуркаций; см. замечания к гл. II (к § 16).

Из сути процесса повторяющихся бифуркаций следует, что одной из главных целей теории устойчивости должно быть правильное описание процесса, согласно которому по мере убывания вязкости одни решения теряют устойчивость и переходят в другие. К настоящему времени понята только часть этих процессов^ остальные же относятся к области гипотез. Конечно, полная математи ■

ческая теория немыслима в ситуации, когда даже качественно процессы поняты только частично.

Если учесть эту трудность, то станет ясно, что в исследованиях по гидродинамической теории устойчивости следует сосредоточить внимание на конкретных задачах, для которых можно найти решения, и сопоставить эти решения с экспериментальными данными. Именно по этой причине многие из имеющихся монографий по гидродинамической теории устойчивости и большая часть исследований ограничиваются обсуждением устойчивости установившихся ламинарных течений относительно очень малых возмущений. В этой монографии я поставил проблему устойчивости в более общем виде для того, чтобы связать различные виды устойчивости, а не продолжать ограниченный анализ несвязанных частных задач. Проблема устойчивости существенно нелинейна, и ее линейный анализ следует понимать только как аппроксимацию истинной проблемы. Когда нелинейный анализ истинной проблемы ограничивается линейными теориями для малых возмущений, мы говорим, что нелинейный анализ является локальным. В глобальном анализе размер возмущений не ограничен или ——при более свободном толковании понятия «глобальный» — менее ограничен. При изучении устойчивости решений уравнений Навье——Стокса в общем случае применяются оба типа анализа.

Энергетические методы

В глобальной теории важную роль играют энергетические методы. Эти методы приводят к вариационной задаче для первой критической вязкости энергетической теории устойчивости и к определению критерия, который является достаточным для глобальной устойчивости основного течения. Иногда оказывается возможным найти отличные от энергии положительно определенные функционалы возмущений основного течения, уменьшающиеся на решениях при значениях вязкости, больших первой критической вязкости. Такие функционалы (их можно назвать обобщенными энергетическими функционалами типа Ляпунова) представляют интерес потому, что они позволяют расширить интервал значений вязкости, для которых можно гарантировать глобальную устойчивость. Примеры построения и использования обобщенных энергетических функционалов даны в § 40, 51, 57, 69, в дополнении к гл. IX и в гл. XIV.

Весьма важен следующий физический факт, делающий возможным анализ обобщенных энергетических функционалов: отношение полного производства обобщенной энергии к полной диссипации ограничено сверху для всех полей возмущений, которые кинематически допустимы как начальные значения для возмущений. В качестве математического аппарата в первую очередь

используется вариационное исчисление применительно к определенным на соленоидальных векторных полях функционалам.

Основу моего исследования турбулентных течений составляет также вариационный анализ ограниченных функционалов. Этот тип анализа приводит, например, к ограничениям на величину градиента давления, необходимого для поддержания заданного потока массы при турбулентном режиме (гл. IV), или к ограничениям на величину потока тепла в подогреваемой снизу жидкости между двумя горизонтальными плоскостями при заданной разности температур (гл. XII). Нелинейные вариационные уравнения для турбулентной задачи проще уравнений Навье—Стокса, но тем не менее моделируют эти уравнения во многих важных отношениях. В частности, вариационные уравнения обладают свойствами неустойчивости и ветвления, которые в известной мере моделируют процесс перехода к турбулентности путем последовательных бифуркаций. Очень подробное изложение этой теории дано для задач о конвекции, изучаемых в гл. XII.

Все методы, которые приводят к вариационным задачам для ограниченных функционалов, можно считать «энергетическими» методами в обобщенном смысле. Отправной точкой для обобщенного энергетического анализа являются функционалы, выведенные из уравнений Навье—Стокса и сначала определенные на решениях этих уравнений, а затем обобщенные на более широкий класс полей, которые кинематически допустимы в качестве начальных полей скорости. Такие функционалы ограничены в этом более широком классе полей, а получающаяся в результате математическая задача состоит в нахождении оптимальной границы.

Энергетический анализ приводит к глобальным утверждениям об устойчивости, которые принимают форму критериев, достаточных для устойчивости I). Приведем два типичных примера: (1) стационарное течение устойчиво относительно произвольных возмущений при значениях вязкости, больших критического, и (2) статистически стационарная турбулентность заданной интенсивности не может существовать при величинах вязкости, больших какого-то другого критического значения, зависящего от интенсивности турбулентности.

Обычно энергетическая теория ничего не говорит о неустойчивости: она дает критическую вязкость и критическое начальное возмущение. Когда вязкость жидкости больше критической, энергия любого возмущения затухает в любой момент времени; когда вязкость меньше критической, энергия критического возмущения в течение некоторого времени будет возрастать. Но эта энергия может в конечном счете затухнуть, поэтому критерий, основанный на критической вязкости энергетической теории, не гарантирует потери устойчивости. Существуют задачи (например, задача об устойчивости поверхности раздела, обсуждаемая в гл. XIV), в которых энергетическая теория приводит к глобальному утверждению о неустойчивости, что не может быть получено из локальных (линейной и почти линейной) теорий.

Энергетический анализ, кроме того, приводит к «симметризо- ванным» математическим задачам, которые проще задач Навье— Стокса. Мы надеемся, что в таких симметризованных задачах удастся, отвлекаясь от многочисленных деталей исходной задачи, четко выделить наиболее существенные свойства течения.

За существенные преимущества, которыми обладает энергетический анализ, приходится расплачиваться потерями, сопровождающими переход от точных уравнений Навье—Стокса к выведенной задаче. В процессе «симметризации» неизбежно теряются математические следствия некоторых важных динамических процессов, например таких, которые приводят к «асимметрии» в виде несамосопряженных операторов. В частности, в такой теории неизбежно утрачивается возможность выяснить точную природу механизма потери устойчивости.

Разумеется, результаты энергетического анализа описывают истинные решения тем адекватнее, чем больше свойств истинных решений отражают функционалы и выбираемые для варьирования классы допустимых функций. Весьма интересно, может ли этот процесс усовершенствования привести обратно к точной задаче. С практической точки зрения это усовершенствование нельзя проводить неограниченно, так как введение новых ограничений быстро приводит к «симметризованным» задачам, столь же неудобным для решения, как и точная задача.

Линейные теории неустойчивости

Чтобы составить полную картину свойств устойчивости движений жидкости, мы должны располагать методами, достаточно мощными для вывода точных критериев потери устойчивости и для математического описания переходов из одного устойчивого режима движения в другой. Для этих целей иногда достаточен локальный анализ. Действительно, принцип линейной устойчивости (иногда называемый теоремой об условной устойчивости или теоремой Ляпунова) гласит, что при задании мягких условий критические значения вязкости могут быть установлены на основе анализа линеаризованных уравнений для возмущений основного установившегося или периодического по времени решений уравнений Навье——Стокса. Тогда для установления неустойчивости следует рассматривать бесконечно малые возмущения, для которых применимы линеаризованные уравнения.

Критерии линейной теории, конечно, могут дать только достаточные условия потери устойчивости, так как течение, которое по линейной теории считается устойчивым, может в действительности оказаться неустойчивым относительно возмущений конечной величины. В этом смысле линейная и энергетическая теории дополняют одна другую, причем первая приводит к достаточным условиям

для неустойчивости, в то время как вторая дает достаточные условия устойчивости.

Следует ожидать, что предсказания устойчивости, согласно линейной теории, часто будут расходиться с экспериментом, и вряд ли удивительно, что так и случается в действительности. Во многих случаях, однако, результаты анализа линеаризованных уравнений хорошо согласуются с экспериментом.

Теория бифуркаций

Этот, казалось бы, аномальный результат сопоставления линейной теории с экспериментом тесно связан со свойством решений, которые ответвляются от основного течения. Такая бифуркация по определению является процессом, который непрерывен по параметру, представляющему собой меру амплитуды 8 ответвляющегося решения. Ответвляющиеся решения могут существовать только в том случае, когда вязкость v и амплитуда 8 лежат на бифуркационной кривой v (е), где v (0) — критическое значение вязкости, полученное из линейного анализа устойчивости основного течения. Если v(8)> v (0), то ответил я ющеес я решение будет существовать при тех значениях v, для которых бесконечно малые возмущения основного течения затухают. Такая ситуация, «противоречащая» линейной теории, называется докритической бифуркацией. Альтернативная возможность соответствует закритиче- ской бифуркации.

Важным отличительным свойством, на которое я сослался в начале предыдущего абзаца, является свойство неустойчивости докритически ответвляющихся решений. Поскольку ответвляющиеся докритические решения неустойчивы, когда их амплитуда мала, наблюдать в природе непрерывную докритическую бифуркацию оказывается невозможным. Вместо этого можно ожидать, что будет происходить разрывный процесс, в котором возмущение, уходя из области притяжения решения, соответствующего основному течению, будет «проскакивать» через неустойчивое ответвляющееся решение к устойчивому решению со значительно большей нормой. Это решение не обязано во всех отношениях походить на критические собственные функции линейной теории.

При закритической бифуркации дело обстоит иначе. Поскольку закритически ответе л я ющиеся решения могут быть устойчивыми, возможна непрерывная бифуркация, и для малых амплитуд эти устойчивые ответвляющиеся решения, по существу, совпадают с теми, которые дает линейная теория устойчивости.

Для течений в трубах и каналах имеет место докритическая бифуркация и линейная теория устойчивости не описывает физи-

чески реализуемых течений. С другой стороны, в задачах о течении Куэтта, рассматриваемых в гл. V и VI, и в некоторых задачах конвекции, рассматриваемых в гл. VIII—XI, бифуркация ламинарного течения является закритической и линейная теория хорошо согласуется с экспериментом.

Среди различных (в основном эквивалентных) теорий бифуркаций, о которых идет речь в замечаниях к гл. II, я выделил для широкого обсуждения только одну. Это — теория бифуркаций, восходящая к работам Линдстедта [1882] и Пуанкаре [1892 ]; она подробно излагается в основном тексте гл. II и постоянно используется в различных задачах, изучаемых в последующих главах. Наиболее важные общие результаты теории устойчивости относятся к устойчивости закритически ответвляющихся решений и неустойчивости докритически ответвляющихся решений. Впервые они были получены Хопфом [1942 ] для решений обыкновенных дифференциальных уравнений, которые ветвятся при простых (т. е. имеющих кратность единица) собственных значениях. Эти результаты дают возможность описывать и классифицировать потерю устойчивости для целого класса движений, а не только для тех весьма частных случаев, в которых можно провести конкретные расчеты.

Хопф обобщил методы, использованные Пуанкаре для изучения консервативных систем, на диссипативные системы; он ввел зависимость частоты от амплитуды и разложил частоту, решения и дополнительный (хопфовский) параметр бифуркации в степенные ряды по амплитуде. Метод анализа Хопфа и его результаты являются локальными, поскольку они ограничены малыми амплитудами. В § 14 и 15 для обобщения локальных результатов Хопфа по устойчивости локальный анализ использован в окрестности точек бифуркации, где решение имеет конечную (не обязательно малую) амплитуду. Форму, которую должны принимать результаты Хопфа, когда ограничение на размер амплитуды ответвляющегося решения снято, при определенных условиях дает локальный анализ того же типа.

Локальное утверждение заключается в следующем： докрити- ческие решения, ответвляющиеся при простом собственном значении, неустойчивы; закритические устойчивы. Глобальное утверждение таково: решения, для которых отклик уменьшается с увеличением амплитуды, неустойчивы; решения, для которых отклик увеличивается с амплитудой, устойчивы. Сформулированное в физических терминах глобальное утверждение гласит, что течения в трубах, в которых поток массы возрастает при уменьшении градиента давления, являются неустойчивыми или (другой пример) конвекция, при которой поток тепла уменьшается с увеличением разности температур, оказывается неустойчивой.

Расположение материала в тексте

Тематический план книги следующий: классическая энергетическая теория устойчивости излагается в гл. I. В гл. II рассматриваются проблема потери устойчивости и периодические по времени или стационарные бифуркации (симметричное ветвление) стационарных решений уравнений Навье——Стокса при простом собственном значении ) Таким образом, гл. I и II содержат краткий курс теории устойчивости и теории бифуркаций. Методы и физическая сущность энергетической теории устойчивости описываются в гл. III при изучении возмущений ламинарного течения в трубах, энергия которых растет в начальный момент времени при наименьшем числе Рейнольдса. То же течение исследуется в гл. IV методами линейной теории, теории бифуркаций и вариационной теории турбулентности.

В гл. V рассматривается известная задача Тейлора об устойчивости течения Куэтта между вращающимися цилиндрами. В гл. VI речь идет об устойчивости течения Куэтта между концентрическими скользящими и вращающимися цилиндрами. В гл. VII изучается устойчивость течения между концентрическими вращающимися сферами. Течения, исследованные в гл. V и VI, допускают обобщение классического энергетического анализа; мы знакомимся с ним для того, чтобы научиться (хотя бы на одном примере) пользоваться каждым из возможных вариантов энергетического анализа.

Следующие четыре главы посвящены проблеме конвективной устойчивости жидкостей, в которых движение вызывается разностью плотности, связанной с градиентом температуры и химическим составом. Уравнения, описывающие такие движения, гидростатические решения этих уравнений и критерии их устойчивости приведены в гл. VIII. В гл. IX мы рассматриваем устойчивость некоторых гидростатических решений для неоднородной жидкости, подобной солевому раствору. Большое различие в значениях диффузионных постоянных для тепла и соли приводит к появлению нового механизма потери устойчивости, и уравнения можно изучать при помощи нового интересного типа обобщенного энергетического анализа. Аналогичное обобщение применяется в магнитогидродинамических течениях.

В гл. X—XII рассматривается проблема конвекции в пористых материалах. В гл. X ставится задача о конвекции в непроницаемом

Я не собираюсь рассматривать важную проблему бифуркации неустановив- шегося движения — эту тему навязывает нам задача о повторяющихся бифуркациях, даже когда внешние условия стационарны. В настоящее время по этому вопросу очень мало данных, кроме интересных результатов об ответвляющихся торах и квази периодической бифуркации, которые обсуждаются в замечаниях к гл. II и IV.

сосуде с теплоизолированными боковыми стенками, в которой возможно разделение переменных, приводящее к одинаково элементарному анализу как бифуркаций, так и устойчивости при собственных значениях высокой кратности. В гл. XI, в которой задача о выборе волновых чисел рассматривается при помощи анализа устойчивости, приводится много новых результатов, основанных на совместной работе автора с Д. А. Нилдом. В гл. XII весьма полно обсуждается вариационная теория турбулентности, которая применяется для описания конвекции в пористых средах. В гл. XIII излагаются новые методы исследования течений и устойчивости течений вязкоупругих жидкостей. В гл. XIV мы рассматриваем новую нелинейную динамическую теорию устойчивости поверхностей раздела, развитую Е. Душаном V.

Четыре из пяти приложений посвящены математическим методам, применяемым при анализе устойчивости. В приложении Д содержится краткий критический анализ распространенной теории устойчивости «почти параллельных течений» и обсуждение ряда вопросов, связанных с этой теорией.

Часть /

Глава I

ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬИ ЕДИНСТВЕННОСТЬ

Задача с начальными условиями

и устойчивость

Предположим, что вязкая жидкость приводится в движение внешними силами или движением границы S (f) замкнутого объема ”(f). Поле скорости U (х, f) определяется начально-краевой задачей (НКЗ) для уравнений Навье—Стокса. Скорость U в объеме ” удовлетворяет следущей системе уравнений:

-^ 4- U-VU - vV2U + Vjt - F (х, f)= 0,(1.1а)

divU=0(1.16)

(Ро冗一давление, F (х, f) —поле внешней силы, отнесенной к единице массы, р0 — постоянная плотность и v — постоянная кинематическая вязкость). Поскольку жидкость предполагается несжимаемой, движение жидкости должно быть таким, чтобы полный объем 处(f) сохранялся даже при изменении его формы. Поле внешней силы считается заданным, но в остальном произвольно.

Заданы граничные условия

U(x, f) = Us(x, f), x€S(f), />0,(1 1в)

и начальные условия

U(x, 0) = U°(x), х€”(0),(1.1г)

причем div Uo (х) = 0 для х€” (0).

Решения системы (1.1), соответствующие заданным значениям {Us(x, 0, F(x, 0,⑦⑴}(1.2)

(внешним условиям), обозначаются через U (х, /; v, Uo). Мы будем изучать устойчивость этих решений при изменении Uo (х) и v.

Обозначение U (х, /; Uo) используется для выделения семейства решений, которые получаются из множества U (х, f; v, Uo) при фиксированном значении v и меняющемся начальном условии U。(х).

Рассмотрим другое движение:

(иа,ла)=Ци(х, /; Uo + 啕，冗(х, /; Uo + u。))，(1.3)

которое также удовлетворяет уравнениям (1.1а)—(1.1в) при фиксированных значениях v и внешних условиях (1.2), но отличается от решения (U (х, f; Uo), л (х, f; Uo)) в начальный момент времени:

U@ (х, 0) = U (х, 0; Uo + u0) = Uo (х) + и0 (х).

Возникает вопрос: будут ли эти два решения «сливаться» (устойчивость) или «оставаться различными» (неустойчивость) и при каких условиях это будет происходить? Чтобы ответить на этот вопрос, сформулируем начально-краевую задачу, определяющую эволюцию возмущений

(u, p)=(U° —U,冗а-п) течения U (х, f; Uo), следующим образом:

需 + U-Vu + u・VU + u ・Vu — vV2u + Vp = 0,(1.4a)

div u = 0,昨=0, 1ф=о = ио(х)・ (1.46, в, г)

Мы хотим знать, устойчивы ли поля U (х, f; Uo) при / —* оо относительно возмущений начальных условий. Этот вопрос удобно сформулировать как задачу об устойчивости нулевого решения и (х, /) = 0 системы (1.4а) —(1.4г). Как будет ясно из дальнейшего, это единственное решение, которое развивается из начального поля и0 = 0 (данный факт следует из теоремы единственности для задачи с начальными условиями, которая будет доказана в § 5). Задача об устойчивости нулевого решения получается при возмущении нулевых начальных значений и поэтому описывается системой (1.4) с и0 ^ 0.

Чтобы придать определенный смысл слову «устойчивость», вводится понятие средней энергии возмущений

^(/) = %〈|и|2〉・(1.5)

Здесь ломаные скобки означают осреднение по объему, определяемое через интеграл

(.)=［成(。)尸卜.)，

где Л (”)——постоянная мера объема О; таким образом, (с) =с для любого постоянного с.

Мы будем называть нулевое решение (1.4) устойчивым относительно возмущений начальных условий, если

Jim 岁⑴/岁(0) = 0. (1.6)

Это определение показывает, что наше понимание устойчивости соответствует тому, что обычно называют асимптотической устойчивостью в среднем.

Если существует некоторая положительная величина 6, такая, что нулевое решение устойчиво при S (0) < 6, то говорят, что нулевое решение условно устойчиво. Число 6 определяет совокуп-

Рис. 1. Пределы устойчивости основного течения. / ——область глобальной и монотонной устойчивости; 2 ——область глобальной устойчивости; 3 ——область условной устойчивости; 4 ——область неустойчивости.

ность начальных значений, которые притягиваются к решению и = 0. Мы будем называть 6 радиусом притяжения для условно устойчивого решения и = 0.

Если 6 —> оо, то говорят, что нулевое решение безусловно (или глобально) устойчивох). Если выполняется условие (1.6) и d^ldt « 0 для всех / > 0, то нулевое решение называется монотонно устойчивым.

Имеется два типа неустойчивых решений: (1) вообще неустойчивые и (2) условно устойчивые, но глобально неустойчивые (рис. 1).

При общем исследовании устойчивости удобна более подробная классификация, но для наших целей достаточно этих простых определений.

. Критерии устойчивости; основное течение

Одна из важных задач теории устойчивости состоит в отделении устойчивых решений системы (1.1) от неустойчивых. Для этой цели можно использовать определение условной устойчивости.

В отечественной литературе для этого типа устойчивости используется также термин «устойчивость в целом>.——Прим, перев.

Перефразируя определение условной устойчивости, скажем, что решение U (х, /; Uo) устойчиво, если

(|U(x, /; U°) — U(x, /; и° + и°)『〉一0 (2.1)

при / —♦ оо, когда (I ц012) < 26.

Чтобы отделить устойчивые решения системы (1.1) от неустойчивых, мы фиксируем не только внешние условия (1.2), но и начальное поле Uo (х). Тогда решения U (х, f; v, Uo) уравнений (1.1) можно рассматривать как однопараметрическое семейство решений, зависящих от вязкости. В задаче об условной устойчивости мы ищем такие значения v и 6, при которых

и (х, f; V, u0) является устойчивым решением системы (1.4), или, что эквивалентно,

U(x, /; V, Uo) является устойчивым решением системы (1.1).

Пределом устойчивости является геометрическое место 尸(vc, 6) = 0 критических значений (vc, 6) в плоскости (v,歩(0)), представляющее границу, которая отделяет устойчивые течения от неустойчивых (см. рис. 1). Например, можно получить границу 6(V) области условной устойчивости, фиксируя V и проверяя устойчивость по неравенству 冒(0)《3 при возрастающих значениях 6. Пределы устойчивости удобно получать в виде зависимости w =义(6).

Критерий устойчивости представляет собой неравенство, связывающее значения (v, S (0)) и критические значения (vo 6) и обеспечивающее устойчивость. Например, и ~ 0 устойчиво относительно возмущений, удов летвор я ющи х критерию 歩(0) < < 6(V).

Наиболее удобные критерии устойчивости для наших целей выражаются в виде неравенства, связывающего вязкость и ее критическое значение. Действительно, существование критических значений вязкости обусловливает некую структуру, на основе которой развивается теория устойчивости. Эти критические значения таковы:

”岁(V)： если V > v^(V), то нулевое решение монотонно и глобально устойчиво; если v < v^ (v), то существуют возмущения, длнекоторых dS (t)/dt > 0 при f = 0.

v&: наименьшее критическое значение вязкости энергетической теории. Мы называем ”冒=v = ”冒(v) =v& (v&) пределом энергетической теории устойчивости (см. § 4).

vg： если V > v0, то нулевое решение глобально устойчиво; если V « vG, то нулевое решение неустойчиво, хотя может быть

условно устойчивым. Мы называем v0 пределом глобальной устойчивости (см. § 6).

vL(V): если V > vL (V), то для условной устойчивости существует некоторый радиус притяжения 6 (v).

vL: наименьшее критическое значение вязкости линейной теории. Мы называем vL =v = vL (v) = vL (vL) пределом линейной теории устойчивости (см. § 7 и 8).

Необходимо заметить, что введенные определения w& и v& замалчивают тот факт, что v& (v, t) зависит от времени, когда решение U (х, f; v, Uo) нестационарно (см. формулы (4.6) и (4.76)).

Кроме перечисленных, существуют другие критические значения вязкости; они будут определяться в дальнейшем по мере необходимости.

Течение U (х, /; v, Uo) называется абсолютно устойчивым если оно устойчиво при v > 0. Критическая вязкость для абсолютно устойчивых течений равна нулю. Многие течения абсолютно устойчивы, когда поля допустимых начальных возмущений ограничены различными дополнительными условиями. Например, течение в трубах абсолютно и глобально устойчиво относительно возмущений, которые не меняются вдоль оси трубы (§ 24). Некоторые неустойчивые течения абсолютно устойчивы относительно произвольных возмущений бесконечно малой амплитуды (§ 35 (а), 52). Движения жидкости как твердого тела абсолютно, глобально и монотонно устойчивы относительно любых возмущений (упражнение 4.4).

Задачу об устойчивости желательно было бы сформулировать через произвольные решения задачи с начальными условиями, однако такой подход может завуалировать тот факт, что условно устойчивые решения системы (1.1) в некотором смысле не зависят от начальных условий. Это следует из предположения, что критерий (2.1) при f —> ею допускает общий предел для всех решений

U(x, /; V, Uo+Uo)->U(x, /; V),

для которых (I и0|2)< 26. Мы называем U (х, f; v) предельным течением.

В глобальной теории особенно важную роль играют предельные течения, которые являются глобально устойчивыми. Мы говорим, что U (х, /; V)—основное течение, если для любого начального поля Uo (х) при v > vG выполняется условие

(I Ь (х, /; V)— U (х, /; V, Uo) |2) ~> 0 при /—>оо.

Основное течение полностью определяется внешними условиями (1.2) или точнее асимптотической (при /—> оо) формой этих условий после того, как перестанет сказываться влияние начальных условий. Например, в § 5 мы покажем, что U стационарно,

если внешние условия стационарны, U будет периодической функцией времени, если внешние условия являются периодическими по времени, и U будет почти периодической функцией, если внешние условия являются почти периодическими по времени х).

Основное течение U (х, f; v) может существовать при всех значениях v, но является глобально устойчивым только при V > vG. Например, семейство течений между цилиндрами, которое рассматривается в гл. III—VII, существует при всех значениях вязкости, однако оно устойчиво только при V > vG. В общем случае (Лерэ [1933 ]) стационарные решения системы (1.1) существуют при всех значениях v > 0, но при v > v0 имеется одно и только одно решение.

Исследование устойчивости основного течения значительно упрощается именно благодаря тому, что существует единственное течение, устойчивое при v > vG ).

Естественно начать наше обсуждение устойчивости основного течения с теории первой критической вязкости. Существование этого критического значения будет гарантировать единственность и устойчивость основного предельного течения. Однако в энергетической теории непосредственно рассматривается не основная задача (1.4), а производная от нее, связанная с уравнением, описывающим эволюцию энергии возмущений.

. Уравнение эволюции энергии возмущений

Уравнение эволюции ), которое нам нужно вывести, имеет вид -^=-(u.VU.u)-v(|Vu|2),(3.1)

где

—осредненная диссипация, а

(u-VU-u) = (ui diUjUj) =〈〃jD"[U]〃》

Краткое описание элементарных свойств почти периодических функций приводится в приложении А.

—интеграл производства энергии, который связывает основное течение U (через тензор скоростей деформаций х) D^ [U ]= =% @Uj + 8jU》с возмущением и.

Для вывода уравнения эволюции (3.1) нам нужна теорема переноса Рейнольдса. Пусть О (0) —область течения (ограниченная) и X — координаты в начальный момент времени. Преобразования

х = х(Х, 0

определяют траектории частиц при движении U = dx/dt и удовлетворяют уравнению

jF(x, /)= J/F(X, f),步⑴F(o)

где J —якобиан преобразования х = х (X). Так как U —соленоидальный вектор, dJ/dt = / div U = 0. Отсюда следует, что 备備〉=倚〉+〈U ・nF〉s,

где

2s =才¥j J (•)；

s тогда

〈u.警〉=〈u・(^ + U・Vu)〉.(3.2)

Применяя к этому уравнению теорему Гаусса—Остроградского и учитывая (1.4а)—(1.4в), получаем уравнение эволюции.

Упражнение 3.1. Показать, что

〈I VU|2) = < I VU : VU I ) = < I rot U |2) = 2 ( I D : DI),(3.3)

где (D)" = 1/2 (Э/1/； + diUi) для всех векторных полей U, для которых div U = =0 и U Is = 0.

Упражнение 3.2. Вывести уравнение (3.1). Показать, что для всех соленоидальных векторов и и U выполняется тождество

u-D [U].u= div{(u«U)u} —(u-V)u-U =

=div {(u-U) u} — U-V -Lyh U (uxrot u).

Доказать, что

(u.D[U]-u> = <U-(uxrot u)>.

Дать физическую интерпретацию интегралу производства энергии и показать, что в безвихревых возмущениях энергия не производится.

*) В оригинале используется термин «stretching tensor». — Прим, перев.

Упражнение 3.3. Вывести уравнение для возмущений, когда массовые силы в возмущенном движении отличны от нуля и заданы в виде 6 F (х, /) = F@ (х, f) — F (х, /). Показать, что

等=—(u-VU-u> - v <| Vup) + (u.6F>. (3.4)

§ 4. Теоремы энергетической теории устойчивости

В этом параграфе устанавливается существование первой критической вязкости ”冒,отделяющей те возмущения, энергия которых может сначала расти, от тех возмущений, энергия которых затухает монотонно. Первая критическая вязкость ограничена сверху, если отношение диссипации к энергии, (| Vu|)/(|u|2), ограничено снизу для всех полей и, которые допустимы в качестве начальных полей, т. е. для таких и, для которых и |s = 0 и div и = 0.

Рис. 2. Объем, занимаемый течением жидкости, полностью заключен между двумя параллельными плоскостями; кратчайшее расстояние между плоскостями составляет / (/').

Существование нижней границы для этого отношения доказывается в следующей лемме о «декременте затухания»:

Пусть 0 (х, у、z) —любая гладкая функция, обращающаяся в нуль на поверхности S. Пусть / — кратчайшее расстояние между двумя параллельными плоскостями, между которыми заключен объем ”. Тогда существует постоянная Л> 2, такая, что х)

(ZVA)(|V0p)>(|0p).(4.1)

Аналогично, если и (х, у, z)——любой гладкий соленоидальный вектор, обращающийся на границе в нуль, то существует постоянная Л> 2, такая, что

(^/A)(|Vu|2)>(|u|2).(4.2)

Доказательство. Достаточно доказать неравенство (4.1); тогда неравенство (4.2) получится автоматически. Пусть ось z направлена по нормали к границе полосы шириной / (рис. 2). Рассматриваемая

область как раз умещается внутри этой полосы. В каждой точке (х, у) нормаль к границе полосы впервые входит в объем 办 в точке %в (居 У)и окончательно его покидает в точке zr(x, у). Без потери общности можно принять, что 0 (х, у, z)三 0 во всех точках вне 抄.

Так как 0 (х, у, гв) = 0, используем неравенство Шварца и находим

\ 1/2

,(4.3)

откуда следует, что

\Q2dz<(P/2) J|V0 |Чг,(44)

*2в

где zb и zr — функции % и у Интегрирование неравенства (4.4) по проекции 办 на плоскость х, у приводит к окончательному результату:

j82d”v(/2⑵ J|V8|2d”.

В последнем предварительном замечании к основной теореме мы определим кинематически допустимые функции. Это такие скалярные 0 (х) и векторные и (х) поля, что и = 0 == 0 на границе S объема 抄 и div и == 0.

В дальнейшем для обозначения кинематически допустимых векторов и функций используются соответственно символы Н и 启.Множество допустимых начальных условий и, очевидно, совпадает со множеством кинематически допустимых векторов. Решения НКЗ (1.4) для и кинематически допустимы, но, конечно, не каждый кинематически допустимый вектор является решением.

Из неравенств (4.1) и (4.2) видно, что постоянные Л и Л могут быть определены из задач на максимум для кинематически допустимых функций; например,

^/A^maxdul^/dVul2).(4.5)

Общая вариационная теория для этих задач на максимум и значения определяемые ниже равенством (4.6), приводятся в приложении Б.

С учетом этих предварительных замечаний мы можем доказать теорему I энергетической теории устойчивости ').

Пусть D [U (х, f; V)] = D —тензор скоростей деформаций для произвольного решения НКЗ (1.1), и пусть / (f) = max / (f) для 0 < f < /, где / (，) 一 кратчайшее расстояние между параллельными плоскостями, между которыми находится О (f) (рис. 2). Тогда имеет место следующая теорема.

Существуют положительная постоянная затухания Л и конечный предел устойчивости

/ 八一〈u・D[U(x, f； v)]-u>〃 4

v& (v, 0 = max —~力备2厂亠—，(4.6)

такие, что если v > v^ (v, f) для 0 < f < /, то выполняется неравенство

否(f) V 冒(О)ехр —察 j(l -^)dtr -(4.7a)

о

Предположим далее, что для всех f

V〉”&(V)三 sup v^ (v, f).(4.76)

/>о

Тогда нулевое решение системы (1.4) глобально и монотонно устойчиво. Я обратно, если 6 начальный момент v < v^ (v, 0), то можно найти кинематически допустимые начальные условия, для которых

d冒(0)/山 > 0.(4.8)

Заметим, что монотонное затухание, определяемое (4.7а), фактически является экспоненциальным; это справедливо глобально, т. е. для всех S (0) < оо. Значение v =”冒 оказывается наименьшим значением v, для которого имеет место (4.76); v& = =”岁(”冒).Критерий V > v^ представляет собой достаточное условие устойчивости; неравенство (4.8) показывает, что он является также необходимым условием монотонной устойчивости.

Доказательство. Каждое решение и НКЗ (1.4) удовлетворяет уравнению эволюции энергии возмущений (3.1). Так как и —

1) Истоки этой модификации теоремы Серрина [19596] можно проследить в работах Рейнольдса [1895] и Орра [1907], с одной стороны, и в исследованиях Томаса [1942] и Хопфа [1941 ]—с другой. Теорема I энергетической теории устойчивости подчеркивает монотонность затухания, обусловленную критерием 7卷 <7•

решение, оно кинематически допустимо, и, учитывая выражение (4.6), можно переписать уравнение (3.1) так:

黑=〈Vu 产〉I ^ 鬪2产-vj<(|Vu |2){v&(v, о-V}. (4.9a)

Предположим, что критерий v^ (v, /) < v справедлив до момента времени f. Тогда, применяя оценку (4.5) к (4.9а), продолжим неравенство (4.9а) следующим образом:

^C-2(A/H|v-v^(v, U)}贯，(4.96)

Интегрирование (4.96) от 0 до / сразу приводит к неравенству (4.7а).

Полученный из решения задачи (4.5) декремент затухания Л дает оценку предела устойчивости. Чтобы провести эту оценку, следует заметить, что в каждой точке х объема”тензор скоростей деформаций D [U ] можно привести к главным осям. Тогда в точке х мы получим

и • D • u = UiUjDij > I u I2 min [Dn, D22, D33],(4.10)

где Dn, D22 и D33 —собственные значения D. Так как div U = =tr D = Dn + D22 + D33 = 0, одно или два из собственных значений отрицательны. Теперь умножим (4.10) на —1 и заметим, что

-(u.D.u)<|bm|(|u|2),(4.11)

где Dm < 0—наименьшее из трех значений [Dn, D22, D33] в объеме ” до момента времени /. Принимая во внимание неравенство (4.11) и оценку (4.5), находим, что

^(r /)=m沪三；察？《必J* (4.12)

Неравенства (4.2) и (4.12) показывают, что величины v^ и 1/Л ограничены сверху; следовательно, функционалы в (4.5) и (4.6) имеют наименьшие верхние границы. Пусть u = v дает максимум функционала (4.6), и пусть

V = и0 = U |f=o,

т. е. в качестве начального условия для возмущения выбрано v; тогда в момент времени f = 0

需=〈I 而步{二〈消措'〉• _ v} = (V£ (v, 0)-v)(|V；P), (4.13) откуда следует, что dS (O)/df > 0 при、岔(v, 0) > v.

Максимизирующее поле для функционала (4.6) определяет вид возмущения, наиболее опасного в следующем смысле: энергия этого возмущения будет увеличиваться в начальный момент времени во всех вязких жидкостях, коэффициент вязкости которых меньше, чем v^ (v, 0). Для очень вязких жидкостей, у которых V > v^, энергия произвольного возмущения затухает в любой момент времени.

Неравенство (4.11) для интеграла производства энергии показывает, что большие скорости деформаций (большие значения \0^ тензора скоростей деформаций D) в основном течении содействуют развитию неустойчивости.

Неравенство (4.11) и упражнение 4.3 наводят на мысль, что основное течение неустойчиво не только тогда, когда компоненты D [U ] велики, но и тогда, когда скорости основного течения U велики по сравнению со скоростями возможных движений всей области ” течения жидкости как твердого тела. Два движения, в каждый момент времени отличающиеся одно от другого лишь движениями жидкости как твердого тела, имеют один и тот же тензор D и, следовательно, характеризуются одним и тем же интегралом производства энергии —(u-D-u).

Весьма примечательно, что решения уравнений Навье—Стокса монотонно и глобально устойчивы при V > Если бы уравнение эволюции для 否(0 не было квадратично однородным относительно возмущений, то получить критерий монотонной устойчивости, не зависимый от амплитуды возмущений, оказалось бы невозможным. Независимость d^/dt от амплитуды и при f = 0 вытекает из того факта, что инерциальные нелинейные члены стремятся к нулю в среднем:

(u-(u-V) и) = 0.

Нелинейности, связанные с температурной зависимостью параметров материала (§ 76), со свойствами течений неньютоновских жидкостей (гл. XIII), с влиянием поверхностного натяжения (гл. XIV) и т. п., приводят к производству энергии в среднем. В этих случаях уравнение энергии неоднородно относительно возмущений и критерии устойчивости, которые следуют из уравнения, оказываются условными.

Дэвис и фон Керчек [1973] доказали другую теорему об устойчивости, которая приводит к улучшению критерия (4.19) глобальной асимптотической устойчивости неустановившихся основных течений в ограниченных областях. Они заметили, что для глобальной устойчивости неустановившегося основного течения нет необходимости, чтобы соотношение

贵需=-2[〈u・D[U(x, /,v)].u) + v(|Vu|2)]/(|u|2)<0

выполнялось в каждый момент времени; например, если течение U (х,力 V)периодично по времени, то S (/) может стремиться к нулю при / —♦ оо несмотря на то, что d^ldt > 0 в течение некоторого интервала времени в каждом цикле. Прежде чем сформулировать и доказать теорему II энергетической теории устойчивости, определим функционал для скорости роста энергии возмущений:

勿u, V, f,羽=—2[〈u・D[U(x, /, v)].u) + l(|Vu|2)]/(|u|2)t

где 1 —некоторая положительная постоянная. При помощи неравенства (4.11) легко показать, что 夕 < 2|D^| и что при v> 1

?[u, v, f,羽 >?[u, v, f, v].

Теперь положим

G(v, /, 1) = max ^ [u, v, f, 1].н

Эта задача на максимум имеет решение, которое является гладкой функцией параметров v, / и X, если D [U ] —гладкая функция этих параметров. Более того, при v > 1

G(V, f, X) > G (v, f, V).(4.14)

Следовательно, при v > 1

dS (f)/山 w G (v, f, X)否(0.(4.15)

Теорема II энергетической теории устойчивости. Предположим, что V > X; тогда

гг(/)<гг(о)exp Qg(v,匕入)卅•(4.16)

Основное течение глобально и асимптотически устойчиво, если

lim J G(v, Г,入)"=—оо.(4.17)

Может существовапгь самое большее одно значение 1 = 1 (v), такое, что G (v, /, X) — интегрируемая функция, /и. е. что

jG(w, f,力山 <оо.(4.18)

о

Если 入力入(V), то функция G (v, /, 1) неинтегрируема.

Доказательство. Оценка (4.16) следует из (4.15), и если справедливо (4.17), то неравенство (4.16) включает утверждение об устойчивости. Чтобы доказать оставшуюся часть теоремы, заме-

тим, что если 山 обеспечивает максимум функционала ? при 入—入j, то

夕也，V, f, X]<G(v,L%)=?[口，V, t,斯],i=l, 2, для любого и € Н. Отсюда следует, что при Хх > 12

-2 (М - Х2) $銀=? [%, V, f, М — ？ 口2, V, /,如 <

<G(“ /, 11) — G (v, f,入2)«夕 El V, t,期]—? [th, V, /,入2；=

——2 (Xi —入2)〈|；：„ « — 2 & —入2)A//*(4.19)

где последнее неравенство следует из (4.2) при Хх> 12. Переходя в (4.19) к пределу % | 12> находим, что

而(V,厶仄)_2 <|Vup> 2 Л

512 <|ир> «2(4.2U)

т. е. G (1) = G(V, f, 1) является убывающей функцией. Возвращаясь к неравенству (4.19) и используя (4.20), находим, что кривая

G (1) лежит ниже любой своей хорды, т. е.

Qi 一 х2)史噤爲上 W &一 入2)理^;'稲)(4.21)

и 2(Х2-к0J(IVu2p)/(Iu212)df <J[G(v,匕 “一GW,匕 ^]df< о0

<2(l2-X1)J(|Vu1|2)/(|u1|2)d?.

о

(4.22) Так как отношение (| Vu |2)/( | и |2) строго положительно, при 戛 > Х2 имеем

—оо = j[G (% 匕 Xi) — G (v, f, X2)] /・(4.23)

Используя неравенство (4.18), отсюда легко получить доказательство неинтегрируемости сначала для Х2 =Х, а затем для 2cl =1.

Далее мы покажем, что критерий^ (4.17) можно связать со второй критической вязкостью v =v^ энергетической теории, определяющей границу 潘=又 &存)значений v >Х (v), для которых G(V, /, X(V)) не интегрируема. Более того,

т

Дт (1/D J G (%,力嘉)dt = 0.(4.24)

Имеет место следующее утверждение.

Если V > v^, то

lim JG (v,廿,蓬)df = — oo.(4.25)

f~>8 О

Если основное течение установившееся, то

w& = ”&；(4.26)

в противоположном случае

港 А %•(4.27)

Доказательство. Выберем в выражении (4.23) Хх и кг так, что

—8 = j[G (% 匕 霧)一G (v,f, X (v))]d о

и заметим, что G (v, f, l(v)) интегрируема. Это доказывает утверждение (4.25). Доказательство утверждений (4.26) и (4.27) оставляем в качестве упражнения 4.6.

Теорема II энергетической теории устойчивости имеет некоторые практические преимущества при изучении установившихся основных течений. Для этих течений v^ =石彦 и неравенство (4.16) сводится к следующему:

^(0^^ (0) exp [G (二展)/]・(4.28)

Отсюда следует, что G (v, v&) является декрементом затухания. Более того, так как при v > v^

(4.29)(4.29)G (v,港)V — (2Л//2)(V —%>),

(4.29)

(4.29)

в случае установившегося течения теорема II об устойчивости может приводить к большей скорости затухания.

Наконец, рассмотрим случай, Когда область, занимаемая течением, а именно ” = ”8, является неограниченной и ее нельзя ограничить параллельными плоскостями. Заметим без доказательства (см., однако, упражнение 3.1 приложения Б), что

lim min (〃今8 н(%)Ilim min (〃今8 н(%)Il[VuP>〈|u|2〉l[VuP>〈|u|2〉卜。,卜。,(4.30)(4.30)

lim min (

〃今8 н(%)I

lim min (

〃今8 н(%)I

l[VuP>〈|u|2〉

l[VuP>〈|u|2〉

卜。,

卜。,

(4.30)

(4.30)

где 力八 при n —* оо образуют последовательность возрастающих ограниченных областей, стремящихся к 力8・ В этом предельном случае неравенство (4.2) перестает быть справедливым и неравенство (4.96) не следует из (4.9а).

Как мы уже отмечали, основное течение входит в формулировки теорем энергетической теории устойчивости только через тензор D [U]. Можно ожидать, что в случае неограниченной области компоненты тензора D будут такими, что для произвольных функций и, удовлетворяющих условию

J |Vu|M^<oo,

выполняется неравенство

—〈и • D • u)/( IV u I2) < оо.

Обычно будет предполагаться, что компоненты D [U ] затухают достаточно быстро, когда |х| —* оо вдоль определенных лучей. В случае струй и сдвиговых слоев с увеличением расстояния от оси компоненты D [U ] затухают экспоненциально.

Упражнение 4.1 (простой случай возмущений, возрастающих в начальный момент времени). Дана система уравнений

Показать, что х2 + у2 должно в конечном счете затухать экспоненциально со временем. Найти такие начальные значения для величин а, х (О, У (/)，что d (х2 + + y2)ldt > 0 при f= 0.

Упражнение 4.2. Использовать неравенство (В.1) приложения В, чтобы по

казать, что величины Л и Л в неравенствах (4.1) и (4.2) удовлетворяют неравенствам Л> 8 и Л> 8.

Упражнение 4.3 (Серрин [1959а]). Доказать, что

VU Vu U « %(V2 1Vli |2 + I и |2] и F), и вывести неравенства

2 警 <%KM2|U|2〉一V2〈|V11|2〉]

И

& (f) «& ⑼ exp [U^ - V2X/^2] f/v，

где Um ——максимальное значение | U |. Указание. Для любой диады А имеет место неравенство (А — uU) : (А — utl) > 0.

Упражнение 4.4. Показать, что если жидкость в совершающем произвольное движение жестком замкнутом сосуде движется как твердое тело, то движение жидкости абсолютно, монотонно и глобально устойчиво.

Упражнение 4.5. Показать, что ? С 2 \Dm I. Доказать неравенства (4.16) и (4.29).

Упражнение 4.6. Доказать справедливость равенства (4.26) и неравенства (4.27). Указание. Равенство (4.24) показывает, что имеются моменты времени f* для которых G (%, Г,京)>0・ Показать, Qto% Vv岁《&, '")«vgP君)

Единственность

Решения системы уравнений Навье—Стокса (1.1) обладают двумя фундаментальными свойствами единственности:

существует только одно решение системы (1.1), которое определяется заданным начальным полем течения;

когда V велико, все решения системы (1.1) стремятся к единственному основному течению.

Цель данного параграфа —установить существенное отличие между двумя указанными очень разными типами единственности. Эти два свойства единственности чрезвычайно важны для понимания механики жидкости.

Свойство единственности (1) можно рассматривать как теорему единственности для начально-краевой задачи (1.4):

Нулевое решение задачи (1.4) является единственным.

Доказательство. Из уравнения эволюции энергии возмущений

-^ = -<u.D.u)-v(|Vu|2)(5.1)

при помощи оценок (4.11) и (4.5) получается неравенство

存<2(自|-哈)苏=也(5.2)

где с — некоторая постоянная. Доказательство теоремы единственности следует из интегрирования этого неравенства при условии S (0) = о：

0》J (黑-^) exp (一#)必’=о '

t

=J 齐[冒 exp(— cf)]"=否(/) exp (— ct). (5.3) о

Если уравнение (5.1) справедливо для всех моментов времени Г « /, то из (5.3) следует, что 歩(f) = 0. Тогда (| и |2) = 0 и U® — U = и = 0 почти везде и для всех f « t.

Следует заметить, что теорема единственности для задачи с начальными данными не накладывает никаких ограничений на значения вязкости.

Какова дальнейшая судьба всех этих однозначно определенных решений уравнений Навье—Стокса? При малых значениях вязкости конечное множество течений, которое эволюционирует из заданной совокупности начальных условий, обычно турбулентно, и результирующие течения, по-видимому, можно описать только в статистическом смысле. Однако при v > Н彦 теорема энергетической теории устойчивости гарантирует стремление всех решений

к единственному предельному решению, которое однозначно определяется внешними условиями {и§(х, /), F (х, /),勿(/)} после того, как влияние начальных данных исчезает.

Более конкретное утверждение о единственности предельных решений при v > v^ может быть сделано после того, как точно определена окончательная форма внешних условий. Можно рассмотреть случаи, в которых внешние условия {Us, F,力} являются

стационарными,

периодическими по времени с периодом Т,

почти периодическими по f.

Так как постоянные и периодические функции являются частным случаем почти периодических, достаточно рассмотреть лишь последний случай. Поучительно, однако, рассмотреть все случаи отдельно.

Предположим, что v > 勺存.Тогда существует по крайней мере:

одно установившееся решение системы (1.1),

одно периодическое решение системы (1.1) с периодом 7\

одно почти периодическое решение системы (1.1).

Доказательство. Поскольку v > 勺甘,в силу (4.7) получаем, что

&(/)<& (0) ехр (— а» б? > °(5.4)

Для установившихся решений & (/) = ^ (0). Это согласуется с неравенством (5.4) тогда и только тогда, когда 否(f) = 0.

Для периодического решения 歩(f)=名(Z + T) для любого f > 0. Следовательно, 冒(Т)=冒(0) с S (0) ехр (—МТ) и S (0) = 0. Отсюда следует, что & (/) = 0.

Для почти периодического решения используем неравенство

(5.4)^и получим, что

т

(1/7)卜2 ⑴出《&2(°)(1 - ехр(_ 2a2「))/2а2Т； о

следовательно,

lim(l/T)［歹⑴必=0.

Так как 济(f) — почти периодическая функция, то (см. свойство 8, указанное в приложении А) находим, что 歩(0 = 0.

Соотношение

2&⑴=〈I nF〉=〈 I U — U书=0(5.5)

означает, что U = U° = 0 везде.

Мы видели, что при w > 勺君 все течения стремятся к единственному предельному течению, которое определяется внешними условиями независимо от начальных данных. Для меньших значений v,

например при турбулентном течении, предельные решения могут быть очень чувствительны к начальным данным.

Теперь возникает задача определить, что произойдет при V V v^. Чтобы развить теорию при значениях вязкости v < 勺冒， необходимо обсудить вопрос об устойчивости течений.

Упражнение 5.1. Доказать теорему единственности для предельных решений при у > %・

Упражнение 5.2. Доказать теорему единственности для начально-краевой задачи о течении невязкой жидкости, предполагая, что нормальная компонента скорости жидкости задана и равна нормальной компоненте скорости поверхности S, ограничивающей замкнутый объем У.

Замечания к главе I

Число Рейнольдса

При исследовании устойчивости в качестве характерного параметра традиционно используется (это часто оказывается удобным) не вязкость, а число Рейнольдса ——безразмерный параметр, составленный следующим образом: R = =Ш/v, где U и / — постоянные величины с размерностью соответственно скорости и длины, V — кинематическая вязкость. Это число названо в честь Осборна Рейнольдса, чьи основополагающие эксперименты 1883 г. по переходу к турбулентности в круглых трубах показали, что распад ламинарного течения на «синусоидальные движения» происходит при критическом значении числа Рейнольдса (определенном по средней скорости ламинарного течения и диаметру трубы), которое оказывается одним и тем же для труб различного диаметра, для различных скоростей течения и для жидкостей с различными вязкостями.

Наблюдения Рейнольдса до сих пор не получили адекватного теоретического объяснения. Наблюдавшаяся Рейнольдсом неустойчивость, очевидно, существенным образом отражает основные свойства нелинейности. Сам Рейнольдс [1895] заметил, что внезапность перехода от ламинарного течения к нерегулярному • вихревому «сразу же наводит на мысль о том, что это условие перехода может быть условием неустойчивости относительно возмущений определенной амплитуды, относительно же возмущений меньшей амплитуды течение оказывается устойчивым!.

Появление числа Рейнольдса является прямым следствием безразмерной формулировки НКЗ (1.1). Такая постановка задачи позволяет изучать устойчивость семейства «подобных! течений при помощи одного-единственного расчета. Для характеристики семейства подобных течений выберем постоянные Uni3 таким образом, чтобы они приблизительно представляли поле скорости Us (х, f) и объем F (0, и для упрощения положим F = 0. Теперь заменим размерные пере

менные безразмерными:

",х, U, л} f {匕 х', U', л/} = {///(/, х〃, U/U,冗/и?}・(5.6)

В новых переменных задачу (1.1) можно записать в следующем виде:

象 + IT ・VU' — ~- V4T + Vk = 0, divlT = 0,(5.7а,б)

U«，)= U&,(x\，)， X，£ S\(5.7в)

ИW(x〈 0) = %(х)*€产(0),(5.7г)

где

R = Ш/v = скорость*(линейный масштаб)/(кинематическая вязкость).

Все понятия теории устойчивости, которые мы ввели ранее, можно сформулировать в безразмерных переменных. В частности, свойства устойчивости предельного решения U' (х‘, У, R) при заданных внешних условиях {U& (х‘, У);力，(f)} и радиусе притяжения 6' теперь зависят от числа Рейнольдса.

Преимущество введения числа Рейнольдса состоит в том, что значение R = =Rc является критическим не только для одного течения, но и для целого семейства течений с различными граничными условиями UU& (х‘，f'), различными объемами /зу(/')и различными вязкостями при единственном требовании, чтобы для этих течений число Рейнольдса R = Ul/v было одним и тем же.

Библиографические замечания

Рейнольдс [1895] первый вывел уравнение энергии в форме (3.1). Он выписал это уравнение не для основного течения (с тензором скоростей деформаций D [U] и возмущениями и), а для флуктуаций относительно среднего движения D [U]. Разложение движения на основное и возмущения не одно и то же, что разложение того самого движения на среднее и флуктуации с нулевыми средними. Основные уравнения оказываются разными, хотя оба разложения приводят к уравнению энергии в форме (3.1).

Рейнольдс уже знал, что уравнение, описывающее эволюцию энергии, можно принять за основу для получения критерия устойчивости. Критерий устойчивости v> v&впервые появляется в работах Орра [1907]. Исследование Орра основывается на линеаризации уравнений Рейнольдса методом, описанным в замечаниях к гл. IV. Там объясняется, как Орр пришел к пониманию того, что его результаты приложимы к нелинейным возмущениям. Смысл критерия был правильно понят Орром, который утверждал (с. 77), что «...числа, найденные мной, являются истинными наименьшими значениями... ниже которых любое возмущение должно автоматически убывать, а выше их можно указать возмущения, которые будут возрастать со временем».

Доказательство существования устойчивости в ограниченных областях в современном виде, по-видимому, впервые было дано Томасом [1942]. Томас доказал, что, когда компоненты тензора D достаточно малы, движение жидкости монотонно устойчиво в том смысле, что 於回 V 0. Он, правда, не дал алгоритма вычисления пределов устойчивости для ограниченных областей общего вида, хотя и получил точное значение для монотонной устойчивости течения в бесконечно длинной круглой трубе (течение Гагена——Пуазейля). Томасу не удалось установить, что этот критерий предполагает экспоненциальное затухание.

Другое доказательство устойчивости дано Хопфом [1941, с. 773], показавшим, что 彦(/) экспоненциально затухает, когда максимальная скорость основного течения достаточно мала.

Современная энергетическая теория устойчивости ведет начало от работ Серрина [1959а, 19596]. Серрин первым применил вариационный метод к задаче, которая получается в результате разложения движения на основное движение и возмущение. Он доказал, что критерий

\Ьт\^у< 1/Л (5.8) является достаточной гарантией экспоненциального затухания и что критерий

v>v&

является достаточной гарантией того, что неравенство d^ldt < 0 выполняется в любой момент времени. Доказательство того, что критерий v&V v приводит

к экспоненциальному затуханию энергии возмущений (неравенство (4.7)), дано Джозефом и Серрином в работе Джозефа [1966].

Сущность теоремы II энергетической теории устойчивости была раскрыта Дэвисом и фон Керчеком [1973]. Вторая критическая вязкость j, входящая в эту теорему, впервые вводится в настоящей книге. Галди [1975] приводит примеры течений в неограниченных областях, для которых теорема энергетической теории устойчивости Дэвиса и фон Керчека оказывается несправедливой. В этих случаях энергетическая теория устойчивости дает d^ldt < 0 тогда и только тогда, когда

Критерий единственности для стационарного течения v> v^ следует из теоремы единственности, установленной Серрином [1959а, 19596]. Критерий единственности v> v^ для периодических и почти периодических решений еще не приводился нигде; основная идея для периодического случая была выдвинута Серрином [1959в].

Теорема единственности для задачи с начальными данными была сформулирована Фоа [1929]. Эта теорема гарантирует единственность регулярных решений задачи с начальными данными до тех пор, пока такие решения существуют. Решения могут стать разрывными, и тогда теорема Фоа перестает быть справедливой.

Обычно предполагается, что в вязкой жидкости разрывы развиваться не могут, однако, несмотря на большие усилия известных математиков, это положение никогда не было доказано (см. Ладыженская [1975]). Конечно, идея сглаживания течения вязкостью не может быть применена для идеальных жидкостей, а теорема Фоа справедлива также и для таких течений. Отсюда следует, что проблему единственности нельзя отделять от проблемы существования решения; необходимо по меньшей мере выделить класс решений, для которого имеет место единственность. Наиболее общий класс решений, существование которого строго установлено, составляют слабые решения Хопфа 11951]. Решения Хопфа существуют неограниченно долго, однако для них невозможно установить ту степень регулярности, которая требуется для установления единственности. Для получения однозначной разрешимости задачи необходимо добавить различного рода ограничения, но их обсуждение не входит в рамки данной книги, и интересующиеся подробностями читатели могут обратиться к работам Серрина [1963] и Ладыженской [1975].

Теоремы о единственности и устойчивости для сжимаемых жидкостей даны Серрином [1959], а также Хилзом и Кнопсом [1973]. Теория устойчивости для сжимаемых жидкостей развита недостаточно, поскольку уравнения движения сжимаемой жидкости содержат существенно нелинейные члены, описывающие динамику, термодинамику и (в уравнении сохранения массы) кинематику течения.

Глава II

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ

Существование или отсутствие возмущений, энергия которых в начальный момент времени увеличивается, определяется критерием, связанным с первым критическим значением вязкости v彦： при V >v^ существует единственное устойчивое основное течение, к которому стремятся все другие течения.

. Предел глобальной устойчивости

При V < v^ существуют возмущения, энергия которых может расти во времени. Однако неравенство v < v^> не является критерием потери устойчивости: течения при v < v^ могут быть глобально устойчивыми. Наименьшее значение v (= v0), для которого может быть гарантирована глобальная устойчивость, называется пределом глобальной устойчивости. Когда v < vG, основное течение неустойчиво относительно некоторых возмущений, хотя и может быть устойчивым (условно) относительно малых возмущений (см. рис. 1). При V « ”g может существовать более одного решения неизменной формы. Желательно узнать количество таких решений, зависимость их от параметров, их механические свойства и свойства устойчивости; частично справиться с этой исключительно трудной задачей позволяет теория бифуркаций. Эта нелинейная теория движений с малыми конечными амплитудами прослеживает поведение тех решений неизменной формы, которые ответвляются от основного течения, когда основное течение теряет устойчивость относительно бесконечно малых возмущений. В круг проблем, рассматриваемых теорией бифуркаций, входит также условная устойчивость ответвляющегося течения. Отправная точка теории бифуркаций —линейная теория устойчивости; она дает достаточные условия неустойчивости течения.

. Спектральная задача линейной теории

Рассмотрим возмущение установившегося основного течения U (х, V), удовлетворяющее системе (1.4), когда начальные значения малы. Подставив в систему (1.4) выражения г)

u = tv, р = ер, получим

К 4-纟 |U, v]v + ev-Vv +Vp = 0,

divv==0, v|s = 0, v|f=o = v.,(7.1a)

где

^[0, v] = —vV2,

纟[U, v]% 三 U・V0・ + a・ VUj — vV2az 三

三 U • Ya； + 〃jQ/j [U] + cijDji [U] — vV%/ =

= B[U, 0]4j + 纟[0, v]s；(7.16, в, r)

di UJ = Djj + Qq —разложение градиента U на тензор скоростей деформаций и тензор завихренности. Спектральную задачу линейной теории можно получить из системы (7.1), считая возмущения бесконечно малыми, т. е. полагая S (0) < 6 —* 0. При 8=0 система (7.1) является автономной линейной системой и имеет экспоненциальные решения вида

v(x,/) = е-噴(х)и р(х,/) = e-ofp(x)

при условии, что существуют такие числа о, для которых спектральная задача

-% + 2[U, vK + Vp = 0, divJ = O,匕|s = 0(7.2)

имеет нетривиальные решения. Эти особые значения о являются собственными значениями системы (7.2), а нетривиальные решения (V, р) —собственными функциями, принадлежащими о.

Мы используем один и тот же символ р для обозначения различных функций в обеих частях уравнения р = 8P. Давление в течениях несжимаемой жидкости при отсутствии свободных поверхностей является «пассивной» переменной, которую можно определить после того, как найдено поле скорости. Задачи о бифуркациях можно было бы переформулировать, исключив давление. Например, мы могли бы рассматривать основные уравнения, полученные в результате повторного применения оператора rot к системе (7.1) (такая процедура обычно применяется при численных расчетах), или спроектировать уравнения в соленоидальное подпространство разложением векторов на ортогональную сумму соленоидальных векторов и градиентов (такая процедура используется в некоторых математических исследованиях). Поэтому необязательно переименовывать давление при каждой замене переменных. Мы обычно понимаем под р в определенной системе уравнений именно то давление, которое соответствует описываемому этой системой полю и.

Система понятий теории устойчивости обычно определяется при помощи спектральной задачи. Течение называют устойчивым. если нет таких собственных значений, что ге (и) < 0; гранично или нейтрально устойчивым, если имеется одно собственное значение с ге (а) = 0, а у всех других собственных значений ге (а) > 0; неустойчивым, если хотя бы у одного собственного значения ге (о) < 0.

Нейтральные возмущения бывают двух типов. Если при ге (и) = 0 также и im (о) = 0, то нейтральное решение стационарно и справедлив принцип смены устойчивости (ПСУ). Нейтральное решение будет периодическим по времени, если im (а)中 0 при ге (а) = 0.

Для данной спектральной задачи имеется счетное множество дискретных собственных значений и полная система обобщенных собственных функций (см. замечания в конце главы). Эти собственные значения можно пронумеровать так, чтобы выполнялись неравенства re (ajcre (a2)<--； тогда величина 仃工 называется главным собственным значением, а2 — вторым собственным значением и т. д.

Кршпические вязкости спектральной задачи —это такие значения 区,для которых re (ах (位))=0, т. е. ге (о】 (v)) меняет знак при переходе v через значение vL. Наибольшая из этих критических вязкостей vL =vL называется первой критической вязкостью спектральной задачи

Спектральная задача для исследования устойчивости периодических по времени движений U (х, f; v) = U (х, t + Т; v)

-VS + # + ^[U,v]g + Vp = O,

(7.3)

div 占=0, 3(x,f) = Jx,f + T), 31s = 0, может быть получена при помощи линеаризации системы (7.1) и представления Флоке

'v(x, 0/(х, 0'v(x, 0/(х, 0e-yfe-yf■?(х, 0] _ypxJ + 7y• P(x,Z)L Lp(xJ + n.■?(х, 0] _ypxJ + 7y• P(x,Z)L Lp(xJ + n.(7.4)(7.4)

'v(x, 0

/(х, 0

'v(x, 0

/(х, 0

e-yf

e-yf

■?(х, 0] _ypxJ + 7y• P(x,Z)L Lp(xJ + n.

■?(х, 0] _ypxJ + 7y• P(x,Z)L Lp(xJ + n.

(7.4)

(7.4)

i) Наибольшая критическая вязкость соответствует наименьшему критическому числу Рейно〃ьдса£^. В некоторых задачах появляется второе критическое число Рейнольдса R =灭/.; например, в спектральной задаче об устойчивости течения Пуазейля бифуркационная диаграмма которого представлена на рис. 19, для каждого фиксированного волнового числа a < am имеется два значения R: Rl и 员厶 > 欠厶，при которых Е = ге О] (R) = 0. Течение Пуазейля перестает быть условно устойчивым, когда R, возрастая, превышает значение Rl, и снова становится условно устойчивым, когда при дальнейшем росте R превышает значение R>

Собственные значения у системы (7.3) называются показателями Флоке. Когда ге у > 0, асимптотическая устойчивость в спектральной теории гарантирована. В критической точке ге у "厶) =0 и

y"厶)三yL=而L・

Если ①厶=2пя/Т, где и — любое целое число, то ехр (——丫厶/) J (х, f) является периодическим решением с периодом Т. Если ①厶= =土п/71, то ехр (—^yLZ) J представляет собой периодическое решение с периодом 2力.Если ①丄=ал/Т, | а | ^ 1, то ехр (—yj) g — квазипериодическое решение с периодами Т и 277а.

Краткое объяснение методов Флоке для систем обыкновенных дифференциальных уравнений дано ниже. Обобщение этих методов на уравнения в частных производных можно найти в работах Юдовича [1970а, 19706] и Иосса [1972 ].

Устойчивость периодического по времени решения х (/) = х (/ + Т) системы автономных обыкновенных дифференциальных уравнений

х = F (х)(7.5)

можно определить, вычисляя показатели Флоке для линеаризованных уравнений

± = F(x)・y (勿=絹奶 詳/= 1,2,・・・，〃)・(7.6)

Для малых возмущений бу решения х (/) (6 f 0) система (7.6) может быть получена линеаризацией уравнений (7.5).

Уравнения (7.6) можно записать следующим образом:

У = А «)・У F (х) = А (/) = А (/ + Т))・(7.7)

Имеется п линейно независимых векторов-решений системы (7.7): уь у2, •.・，уп. Столбцы фундаментальной матрицы-решения размером п X п для системы (7.7) являются произвольной совокупностью линейно независимых векторов-решений

Y = [У1, • • •, У〃 ](匕 j ~ Vi/) и

Y= A(/)-Y (Kz/ = Az^/).(7・8)

Так как все у» независимы, матрица Y неособенная.

Теория Флоке основана на том факте, что если Y (/) — матрица-решение» удовлетворяющая системе (7.8), то

Y (/ + ?)= А(/ + Т)・ Y (f + 7) = А «)• Y (f + Т),

т. е. Y (/ + Г) также является матрицей-решением. Поскольку любое решение системы (7.7) можно выразить в виде линейной комбинации у；, существует постоянная неособенная матрица С (Т), не зависящая от / и такая, что

Y(f+「)= Y(f)・C(T)・(7.9)

Матрица С (Г) называется матрицей монодромии. Ее собственные значения называются мультипликаторами 卩(Г)- Матрица монодромии появляется при решении задачи с начальными условиями

ф = А(0 Ф, Ф(0)= 1.(7.10)

Чтобы доказать справедливость равенств

Ф(/) = Ф (0)・С (Т) = С (Т),(7.11)

в уравнении (7.9) заменим Y на Ф и положим / = 0. Таким образом, мультипликаторы являются собственными значениями Ф (/):

Ф (7)•屮=卩(7)屮(①“尸咻)(7.12)

и

ф"(7)•w=广(7)电(7.13)

Более того, так как Ф (/)——фундаментальная матрица-решение, можно записать уравнение (7.9) в виде

ф(/+ Т) = ф(Т).ф(1).(7.14)

Отсюда следует соотношение

ф(пТ) = Фп (Т),(7.15)

а с учетом (7.13) — и соотношение

①(订)•В = Ф" (7)呻=卩"(7)中.(7.16)

Равенство (7.16) показывает, что величины р/1 (Г)=卩(九П являются собственными значениями матрицы Ф (пТ); следовательно, можно положить

卩(П = е5.(7.17)

Величины у являются показателями Флоке.

Когда все мультипликаторы 卩(Г) являются простыми, матрицу Ф (Г) можно привести к диагональному виду. Если имеются мульти пли каторы 卩 ⑺ кратности больше единицы, то матрицу Ф можно привести к нормальной жордановой форме (см. Коддингтон и Левинсон [1955, с. 75]). Показатели Флоке не определяются мультипликаторами однозначно: один и тот же мультипликатор

卩=е-»т = е-УТ+2mm соответствует любому целому т.

Показатели можно определить из задачи с начальными условиями для системы (7.7) с у (0)= 屮；в этом случае

у«) = Ф«)•屮 и

У (f + Т) = ф « + Т)•屮=Ф ⑴ Ф (Т)呻=「М Ф (T)・W = е-"у «)•

(7.18) Тогда вектор

w (f) = Му (/)(叫=曰(7.19) удовлетворяет дифференциальному уравнению

w — yw — A(f)・w = 0(7.20)

и условию периодичности

w (/ + Г) = /«Му (f + 7) = ”Ту (0 = w «)•

Поэтому показатели Флоке для устойчивости периодических решений х (/) с периодом Т можно определить как собственные значения задачи

w — yw — A(f)・w = 0, w(f)=w(f + T).(7.21a,6)

Вектор x всегда является собственной функцией (7.21а, б), принадлежащей собственному значению у = 0. Собственные функции w (/) + 成(/) задачи (7.21а, б) имеют неопределенную фазу, зависящую от постоянной k. Условная устойчивость решения х (f) системы (7.5) (Коддингтон и Левинсон [1955, с. 352]) дает поэтому асимптотическую устойчивость не единственного решения, а множества

решений х (/ + а), зависящих от фазы а (см. ниже выражения (9.6)). Если малые возмущения притягиваются к этому множеству, то говорят, что множество периодических решений условно, асимптотически и орбитально устойчиво. Интересное приложение теории Флоке дано в упражнении 16.1.

Упражнение 7.1. Показать, что все решения функционального уравнения 卩(〃Т)=卩"(Т) могут быть представлены в виде 卩(Г) = ^Т с некоторой комплексной постоянной у. Указание. Продифференцировать функциональное уравнение по п, поупражняться с результатами, распространить определение п на комплексные числа и затем проинтегрировать.

. Спектральная задача и нелинейная устойчивость

Следует заметить, что в спектральной задаче нет метода определения радиуса притяжения. Следовательно, связь между спектральной (7.2) и нелинейной (7.1) задачами можно установить только путем их сравнения. Одно из соответствующих соотношений устанавливается теоремой сравнения критических вязкостей:

Первая критическая вязкость спектральной задачи (7.2) не превышает первой критической вязкости энергетической теории, т. е.

^>立・ (8.1)

Доказательство. Из уравнений (7.2) получаем

一。g© +(纬 0 = 0,

где Е — величина, комплексно сопряженная J. Используя свойства симметрии Иц =D“ и антисимметрии Q〃 = —Q”，находим 化・纟占+ J蒙〉=2 D [U]0 + 2v(I騎产〉，(8.2)

так что

(8.3)(8.3)re。〈图 2〉= «・D[U]© + w〈|V 肝〉.

(8.3)

(8.3)

На пределе устойчивости re a (vL) = 0; следовательно,

—(g-D[U]-g) _ —〈a・D[U]・a + b・D[U]・b〉

~<|VgP>~=〈|Va 卩+IVb |2〉

« maxн« maxн—(a-D[U]-a>〈|Va I”-—(a-D[U]-a>〈|Va I”-(8.4)(8.4)

« maxн

« maxн

—(a-D[U]-a>

〈|Va I”-

—(a-D[U]-a>

〈|Va I”-

(8.4)

(8.4)

где J = a + ib. При доказательстве неравенства (8.4) мы исполь* зовали следующее неравенство:

Пусть ап и Ьп —любые вещественные числа, и пусть Ьп > 0; тогда

Е QJE 瓦=£ (b用例)/£ bn < шах ап/Ьп.(8.5)

Вторая теорема сравнения нелинейной задачи (7.1) со спектральной задачей может быть сформулирована как теорема об

условной устойчивости. Эту теорему иногда называют принципом линейной устойчивости-.

Пусть ге (о工)> 0. Тогда существует радиус притяжения 6(V)> 0, такой, что если S (0) < 6, mo S (/)/& (0) —»0 при / —> оо. И обратно, если ге (5 (v)) < 0, /ио U (х, /) неустойчиво.

Для доказательства теоремы читателю рекомендуется обратиться к работе Сэттинджера [1970 ]. Краткое обсуждение этой теоремы и дополнительные ссылки даны в замечаниях к настоящей главе.

Принцип линейной устойчивости утверждает, что если собственные значения спектральной задачи удовлетворяют условию re (а(V)) > 0, то нулевое решение будет асимптотически устойчиво, по крайней мере относительно малых возмущений, удовлетворяющих условию 冒(0) V 3(V). Однако этот принцип не дает алгоритма непосредственного вычисления значения 6, а только гарантирует существование «достаточно малого» 6 > 0. Из него нельзя получить весьма важный вывод об устойчивости течения, поскольку принцип линейной устойчивости гарантирует устойчивость только относительно неопределенно малых возмущений. Отсюда следует, что критерии линейной теории не обеспечивают глобальной устойчивости, и необходимо обратиться к нелинейной теории или эксперименту для окончательного подтверждения критериев устойчивости линейной теории. В действительности такое подтверждение столь часто отсутствует, что полагаться на предсказание устойчивости по линейной теории нельзя.

Основная ценность принципа линейной устойчивости состоит в том, что неустойчивость гарантируется, если ге (о, < 0 г).

Линейная и энергетическая теории устойчивости дополняют одна другую, что позволяет нам вывести достаточные условия для устойчивости и неустойчивости основного установившегося течения. Интересно отметить, что первые критические значения v^ и vL можно вычислить как собственные значения линейных уравнений в частных производных.

Принцип линейной устойчивости для орбитальной асимптотической устойчивости периодических по времени течений изложен в теореме 2.2 на с. 352 книги Коддингтона и Левинсона [1955]. Этот принцип был обобщен для уравнений Навье—Стокса Юдовичем [1970а, 19706] и Йоссом [1972].

Упражнение 8.1. Показать, что v^»Avg》vl・

1)Если V =五 является критической вязкостью спектральной задачи, то нельзя сделать никакого определенного утверждения относительно устойчивости системы (7.1). В этом случае im 力(亢)=0 и рост или затухание возмущений определяется нелинейными членами системы (7.1); см. упражнение 8.2.

Упражнение 8.2 (Ла-Салль и Лефшец [1961 ]). Рассмотреть систему обыкновенных дифференциальных уравнений

dx/dt = у — xf (х, y)t dy/dt = —х — уf (х, у),

где / ——сходящийся степенной ряд и / (0, 0) = 0. Показать, что решения линеаризованных уравнений, соответствующих этой системе, «нейтрально устойчивы». Вывести уравнение эволюции для %2 + у2 H показать, что устойчивость решения % = у = 0 определяется нелинейным членом /.

Упражнение 8.3 (простой пример исследования на устойчивость). Рассмотреть устойчивость нулевого решения х (/) = 0 уравнения

х = х — vx/ (х),(8.6)

где / (х)——сходящийся степенной ряд и / (0) = /о > 。・

Показать, что спектральная задача для нулевого решения уравнения (8.6) имеет вид

一ох = (1 — v/0) %

и что в критической точке v = 1//(). Доказать, что х (/) = 0 устойчиво относительно малых возмущений при v > 1//0 и неустойчиво при v < 1//0.

Считая, что /(%)》/ (0) для всех вещественных чисел %, причем равенство выполняется лишь при % = 0, показать, что х (/) = 0 глобально и монотонно устойчиво при v> 1//0.

Упражнение 8.4 (условная устойчивость). Рассмотреть функцию / (%)= =/о ——А%? с А > 0. Показать, что х (/) = 0 условно устойчиво, если v > 1//0, а начальное возмущение % (0) удовлетворяет неравенству

х2 (0) < I (1 — vf^/Av I = 26(V),

где 6(V)——радиус притяжения. Показать, что решение % (/) = 0 неустойчиво при

炉(0) > 26(V).

Упражнение 8.5 (простой пример исследования на устойчивость, когда собственные значения спектральной задачи являются комплексными). Рассмотреть устойчивость нулевого решения х (/) = 0 и у (/) = 0 уравнений

х = (1 — V； (х, у)) х+ у,步=(1 — V； (х, у)) у — %,(8.7)

где v> 0 ——постоянная, / (%, у)——сходящийся степенной ряд, а / (0, 0)= =/оо > 0. Показать, что спектральная задача для нулевого решения уравнений (8.7) имеет вид

К+1—и。。1

L - 1 и + 1 — vfoo У \•

что ее собственные значения — комплексные числа и что на пределе устойчивости /оо = 1/v и и (/оо) = ± 厶 Доказать, что % (/) = у (/) = 0 устойчиво относительно малых возмущений при v > 1//Оо и неустойчиво при v < 1//00. Считая, что / (х, у) > Дю, причем равенство имеет место лишь при х = у = 0, показать, что нулевое решение глобально и монотонно устойчиво при v > 1/Дх).

Упражнение 8.6 (условная устойчивость). Приняв, что / (х, у) = fw —— —А (х2 + 员)，причем 4 > 0, показать, что решение % (/) = у (/) = 0 системы (8.7) является условно устойчивым, если v > \/fw и начальное возмущение удовлетворяет условию

炉(0) +6(0) <|(1- vf^/Av | = 26(V),

где 6(V)— радиус притяжения. Показать, что решение % (f) = у (/) = 0 неустойчиво, когда х2 (0) + 力(0) > 26 (v).

§ 9. Ветвление решений

Ранее об устойчивости течения судили только по критериям линейной теории. В отдельных случаях результаты анализа спектральной задачи линейной теории приводили к хорошему согласованию между теорией и экспериментом, в других согласование было хуже или практически отсутствовало.

Теперь ясно, что течение, устойчивое согласно критерию линейной устойчивости, вовсе не обязательно будет устойчивым. Для понимания основных физических особенностей неустойчивости таких течений требуется анализ нелинейной задачи. Хотя общая нелинейная теория еще не создана, мы все же можем кое-что узнать о решениях полной проблемы, рассматривая вид решений, которые могут появиться в результате потери устойчивости.

Рассмотрим установившееся основное течение U (х, v). Такие течения глобально устойчивы, когда вязкость велика, и при малых возмущениях течение U теряет устойчивость только тогда, когда вязкость оказывается ниже значения первой критической вязкости линейной теории vL.

При потере устойчивости U проявляются новые решения U + и. В теории бифуркаций рассматриваются новые решения и (х,力 V)«неизменной формы», которые ответвляются от основного течения непрерывным образом, т. е. и —> 0 при | v—vL | —♦ 0. «Неизменная» форма ответвляющихся решений связана со свойствами главного собственного значения а1 (v) на пределе устойчивости: ^ (vL) = f(oo. Предположим, что ах (vL) —изолированное простое (т. е. кратности единица) собственное значение оператора 2 [U, vL], что на пределе устойчивости нет других собственных значений 2 вида 士izuo。(九关 ±1) (см. упражнение 11.5) и что потеря устойчивости строгая, т. е. 。丫 (vL) I 0. Следствия этих предположений представлены на рис. 4 吼 Тогда существуют две возможности.

(А) Если(оо = 0, То линеаризованная задача ((7.1) с 8 = 0) имеет единственное стационарное решение неопределенной ампли-

Простое собственное значение связано с собственной функцией, единственной с точностью до постоянного множителя. Более точная формулировка нашего основного предположения сводится к следующей: геометрическая и алгебраическая кратности и】(vj совпадают и равны единице. Вполне допустимо, что на пределе устойчивости оператор £ [U, v] имеет более одного мнимого собственного значения; например, ге ах = ге а2 = 0 и im ^ =/= im а2. Для определения числа ответвляющихся решений и их аналитических свойств следует выяснить, какие возмущения вызывает 8 у различных линейных комбинаций критических собственных функций (ср. гл. X). Здесь мы не будем исследовать дальнейшие усложнения такого рода и предположим, что критическими собственными значениями оператора 纟 являются только собственные значения и^ и Qj вида ± tn coQ (几=0, 2, 3, ...) (см. упражнение 11.5),

туды. Это решение является предельным (е —» 0) для однопараметрического (по в) семейства установившихся ответвляющихся решений, аналитически зависящих от 8.

(Б) Если(оо =4： 0, то линеаризованная задача имеет периодические по времени f комплексно сопряженные решения exp (ia>Qt) х XV (х; V). В этом случае от решения U ответвляется единственное однопараметрическое семейство периодических по времени решений нелинейной задачи. Эти решения являются аналитическими функциями амплитуды 8.

Амплитуду 8 можно определить различными способами, но лучше всего, как делается в гл. IV и IX, основываться на физических предпосылках. В этой главе (А)發=& (f)=冒(0) представляет собой кинетическую энергию установившегося ответвляющегося решения и (Б) е2 = Т" J S (f) dt является средней энер- о

гией за цикл. В обоих случаях мы полагали 】)

U = £V, р = £〃.(9.1)

В случае периодичности по времени удобно ввести скалярное произведение

[a, b] = (l/7) j〈a・B〉山，(9.2)

о

где черта сверху означает комплексно сопряженную величину. Используя соотношения (9.1), можно написать.

2е2 = [u, u] = 82[v, v];(9.3)

здесь мы предположили, что u, v и 8 принимают только вещественные значения.

С учетом этих предварительных замечаний можно сформулировать краевую задачу на собственные значения для ответвляющегося решения в следующем виде:

~^- + Zv + ev・Vv +Vp = 0, divv = 0, v|s = 0. (9.4a, б, в)

Для стационарных ответвляющихся решений

1/2(|v|2)=1.(9.4г)

Для периодических по времени ответвляющихся решений

v(x, f) = v(x, f+「)，(9.4д)

%[|v『]=l・(9.4e)

Наиболее важные результаты теории бифуркаций связаны с исследованием «направления» и устойчивости ответвляющихся решений. Для вывода этих результатов необходимо дальнейшее исследование.

Упражнение 9.1 (простые примеры бифуркации).

Показать, что ответвляющиеся устойчивые решения уравнения (8.6) лежат на кривой

%=厂1(1力)，(9.5)

проходящей через начало координат плоскости (1/v — /0, %), где Г1一 функция, обратная f.

Рассмотреть периодические по времени решения, которые ответвляются от нулевого решения уравнений (8.7) при v — 1//00. Допустить, что / (х, у)= =g (炉 + 员)，и показать, что периодическое по времени решение

х = 8 sin (/ + а), у = г cos (/ + а),(9.6)

где l/v = g(f2), ответвляется от нулевого решения при ге а (1/^ (0)) = 0.

Решения в рядах задачи о бифуркации

Параметр 8 аналитически входит в коэффициенты уравнений (9.4а), и поэтому существуют аналитические решения задачи (9.4). Для установления свойств этих решений разложим их в степенные ряды по параметру 8. Здесь рационально рассмотреть более сложную, периодическую по времени задачу (Б), а стационарная задача (А) получится из (Б) при помощи простых выкладок.

Поскольку периодическое решение задачи (9.4а, б, в) является решением специального вида, не следует ожидать, что оно будет существовать при всех значениях е. Действительно, при 8=0 по предположению существует только пара сопряженных решений, принадлежащих главному собственному значению j = 土is。， и при 8=0 нет никаких других решений, соответствующих малым значениям | v —vL |. По этой причине мы ищем семейство решений с параметром е, такое, что для каждого малого значения 8 имеется хотя бы одно значение вязкости v = v(8), для которого существует периодическое решение. Мы называем график зависимости V (в) бифуркационной кривой.

Более того, из анализа других нелинейных задач известно, что период может зависеть от амплитуды решения; мы учтем эту возможность, преобразуя решения с периодом Т(8)в решения с фиксированным периодом путем подстановки

s = (О(8)/, Т(8)= 2冗/со(8),(10.1)

где s (е)—частота, зависящая от амплитуды. Удобно ввести пространство Р^ периодических векторов с периодом 2冗：

Р2兀={屮(X, s): div(p = O, <p|s = °, (p(x, s) =(p(x, s + 2n)}

(Ю.2)

и оператори операторJ = s ^~ + ①[U, v],J = s ^~ + ①[U, v],(Ю.З)(Ю.З)

и оператор

и оператор

J = s ^~ + ①[U, v],

J = s ^~ + ①[U, v],

(Ю.З)

(Ю.З)

где для простоты записи мы положили U (х, v) = U. Оператор 2 определен выражением (7.1).

Краткая формулировка задачи о бифуркации возникает после подстановки выражений (10.1)—(10.3) в (9.4а):

Jv + ev.Vv + Vp = 0, V С Ргл, [V, V] = 2.(10.4)

где

2л

[V, vj = ( 1/(2л)) J〈V・v〉ds・

о

Решение задачи о бифуркации может быть представлено в виде рядов по степеням 8：

V (x, s; e)V〃(X, s)P (x, s； e)=£ £“ 〃=0Pn(X, S)_ s⑻一V (x, s; e)V〃(X, s)P (x, s； e)=£ £“ 〃=0Pn(X, S)_ s⑻一(10.5)(10.5)

V (x, s; e)

V〃(X, s)

P (x, s； e)

=£ £“ 〃=0

Pn(X, S)

_ s⑻一

V (x, s; e)

V〃(X, s)

P (x, s； e)

=£ £“ 〃=0

Pn(X, S)

_ s⑻一

(10.5)

(10.5)

Для того чтобы быть последовательными, мы должны разложить по параметру 8 оператор J, т. е. правую часть (10.3):

J =」о + £ e’J

Л =十纟ъ 纟о = Z [Uo, v0],

ji =铀-^- + %&,

'? =包"^- + >l]+L八 / > 1,

* =纟[5, 1],

厶= Z[G/, 0], />1,

где

U (х, v)=工 Um (v-v0)m = U° + 5 £ J口十 £ е& m=0/=1/=2

И

G/= £ Um L %%•••%：，1<〃V

加=2 厶+%+…+/m=/

Подставляя разложения (10.5) в уравнение (10.4), получаем JoV。+ Vp0 = 0, Vq С Р2Я, [v0, v0] = 2 (Ю.ба) и для /и > 0

J°Vm -+ 0)mV0 + %&Vo + % 十 V% =3 匕 С Р2л，卩巾，丫小]=0,

(10.66) где・

v0 三 dvjds,

Fm = Lmv0 + }J/V/+£(V/・V)V/； m> 1,

l-\-j=m/+j=m—1

/>0 И

Fi== v0-Vv0.

В (10.6) неизвестными порядка m являются функции vm, Pm, ”m и(om. Вектор Fm содержит только члены порядка / < /и. Системы уравнений (10.6) для возмущения могут быть решены последовательно относительно функций vm и рт при условии, что числа(от и V俏 можно выбрать подходящим образом. Для того чтобы объяснить метод выбора, необходимо рассмотреть сопряженную спектральную задачу.

Упражнение 10.1. Разложить функцию е'$ = е'"(&)' в ряд по степеням 8, когда со(8)——аналитическая функция. Сходится ли этот степенной ряд? Является ли его сходимость равномерной по / ? Допустить, что разложение (10.5) имеет место, и показать, что

N (п)v〃(x, s)= У yni (x)e~l7s./=—^ (п)

Рассмотреть разложение функции vn (х, со (е) /) в ряд по степеням е. Показать, что этот степенной ряд содержит вековые члены, неограниченно возрастающие во времени. Объяснить, почему в задачах о бифуркации периодических решений лучше вводить переменную s Пуанкаре—Линдстеда.

Сопряженная задача спектральной теории

Рассмотрим произвольные соленоидальные векторные поля а и Ь, которые обращаются в нуль на границе S. Вспомним, что 〈а, Ь〉= (1/⑨ ja・6,

определим сопряженный оператор Z* [U, v ] соотношением

(а, 2Ь〉=〈В*а, Ь)(11.1)

и найдем, что

，*а)“ = — U • Va, — 噌〃・[U] + %•£)〃• [U] — 仍2厂

Сопряженная задача на собственные значения определяется следующим образом:

〈①智，0 = ©,竺〉=<Г，啕=а (Г, О； следовательно,

-或* + ①彎 + Vp* = 0,(11.2)

где J* (х) соленоидально и на границе обращается в нуль.

Теперь рассмотрим периодические по s с периодом 2冗 соленоидальные векторные поля а и Ь, обращающиеся в нуль на границе S, и будем искать оператор, сопряженный с

=—Н±о(11・3)

относительно скалярного произведения

la, bJ = -A-J(a, b)ds.(ИЛ)

о

Потребовав, чтобы

[*/оа, Ь] = [a, J；b] для всех a, b С Р2Я, получим

Jg-s。負+縊・(11・5)

Из предположения о единственности главного собственного значения о】 (vL) = is。на пределе устойчивости следует, что с точностью до постоянных множителей имеется только два решения задачи

Jou + Vp = 0, u € Pm・(1L6)

Эти решения (см. упражнение 11.5) таковы:

Zi = e-% и Z2 = ZP(11.7)

Точно так же имеется только два решения сопряженной задачи:

Zi=e—'sg* и Z2 = Zi.(11.8)

Наконец, докажем (это нам потребуется в дальнейшем), что

—%值 片)+ 也心扌*〉=0■(1L9)

Для доказательства соотношения (11.9) продифференцируем уравнения (7.2) по V в точке v = v0:

(一0+ 纟)3一。▲ + 厶3 + v入=°，divQ =0，Svls = O и заметим, что

〈(一。+ 2)氤，g*) =〈3, (—6 + ①*) Г) = о.

Упражнение 11.1. Вывести выражение для оператора (11.5),

Упражнение 11.2. Проверить, что решения (11.7) удовлетворяют задаче (11.6) и что решения (11.8) удовлетворяют сопряженной задаче.

Упражнение 11.3. Показать, что

«，F〉= o(" io)

И[Zp =(Н.Н)

Упражнение 11.4. Показать, что из условия

ге®=ге 粤У #0(11.12)

следует смена устойчивости решения U (х, v), когда v переходит через значение vL, а из условия

reav(vL)> 0(ИЛЗ)

следует потеря устойчивости U (х, v), когда v, убывая, достигает значения »厶. Показать, что если U (х) не зависит от v, то имеет место равенство

W〈G，G*〉=〈"，W*〉・(11」4)

Упражнение 11.5. Предполагая, что оператор 纟° не имеет собственных значений вида ± incoo,几=0, 2, 3, ..., показать, что Zi и Z2 — единственные решения задачи (11.6). Указание. Разложить и и р в ряды Фурье.

Условия разрешимости

Для построения решения задачи о бифуркации в рядах важна следующая лемма о разрешимости:

Пусть b (х, s) — произвольное векторное поле, периодическое по s с периодом 2л. В этом случае задача

Joii + Vp = b, и £ Ргл,(12.1)

имеет решение тогда и только тогда, когда

[b, Z?] = 0, i=l,2.(12.2)

Доказательство. Условия (12.2) следуют из соотношений

[J°u, Z*] = [u, JjZ；] = 0

и уравнения (12.1). Доказательство того, что условия (12.2) являются также и достаточными для разрешимости, приводится в работе Джозефа и Сэттинджера [1972 ].

Лемму о разрешимости можно упростить, если, как в задаче о возмущениях (10.4), неоднородные члены b вещественны. Тогда вместо двух условий (12.2) можно использовать одно комплексное условие

[Ь]三[b, Z；] = [Ь,方]=[Щ] = 0.(12.3)

Заметим, что выражением (12.3) вводится краткое обозначение скалярного произведения [b, Z； ]•

Теперь мы можем дать окончательный алгоритм вычисления рядов в задаче о возмущениях. Сначала рассмотрим уравнение (10.6а). Общее решение этой задачи представляет собой линейную комбинацию Z] н Z2 H без потери общности (см. упражнение 12.1) может быть записано в виде

v° = 2reZi・(12.4)

Амплитуда Z】определяется условием [v0, v0] = 2 (см. упражнение 12.2).

Лемма о разрешимости в форме (12.3) гарантирует возможность решения уравнения (10.66) при условии, что

^ [粤][厶义]+f加]=0.(12.5)

Вещественная и мнимая части условия (12.5) определяют значения ®п И Vm.

При m = 1, используя (12.10). и (12.11) (см. упражнение 12.4), находим, что

铀[芻]+ "必V。] + [F1] =(一电 + %%) & 片〉+ [vo-Vv0] = 0.

Зависимость v0 и Z* от времени такова, что

[vo.Vvo] = O;

следовательно, считая, что re av =4： 0, получаем

仰=% = 0*(12.6)

Действительно, методом индукции (упражнение 12.6) можно показать, что

S2/+1== ”2/+工==。при / = 1, 2, ....(12.7)

Следовательно, (о = со (в2) 〃 w = w (в2) являются четными функциями е.

Упражнение 12.1. Показать, что любую вещественную линейную комбинацию Z] и Z2 можно привести к виду (12.4) сдвигом начала отсчета времени s.

Упражнение 12.2. Показать, что условие [v0, v0] = 2 определяет амплитуду функции J (х), которая иначе определена с точностью до постоянного множителя. Показать, что решение (10.5) задачи (9.4) не зависит от амплитуды g* (х); можно выбрать g* так, чтобы (g, g*) = 1.

Упражнение 12.3. Показать, что решение задачи (10.66) для некоторого фиксированного /п> 0 всегда можно представить в виде

vm + av0(12.8)

с произвольной постоянной а. Показать, что условие [vm, vm] = 0 фиксирует значение а однозначно.

Упражнение 12.4. Исследовать следствия замены определения (9.3) величины 8 следующим:

[и] = 8 = 8[vJ, [vm] = О (/П> 1).

Показать, что из такого выбора нормы следует равенство нулю постоянной а в уравнении (12.8). Показать, что решение задачи (9.4) с заданным условием нормировки

[u] = еа (е) = е [v] можно всегда получить в виде суммы ортогональных членов v(x, s; е) = a(e)v0 +V (х, s; 8),(12.9)

где [v] = 0.

Упражнение 12.5. Показать справедливость равенств

[需]=—"V。]=_i(& г〉(12.10)

и, используя соотношение (11.9), показать, что

^т (^*i^ol = ^m^v (S» ?*)•(12.11)

Упражнение 12.6. Доказать равенство (12.7). Указание. Допустить, что v2/ является полиномом четной степени, a v2/+1 ——полиномом нечетной степени от e‘s и e~'s и что 入？/+i = S2/+1 = 0 при / < m. Доказать, что эти допущения справедливы при /п > /.

Упражнение 12.7. Показать, что выполняются равенства 丄)

F? = V]・ Vv()+ v°・ VV] + L2Vo(12.12)

心2一 △w=因]/〈& U)■(12.13)

Докритическая и закритическая бифуркации

Один из наиболее важных результатов теории бифуркаций связан с вопросом о направлении бифуркации. Чтобы в этом разобраться, вспомним, что, согласно критерию линейной теории, U (х, V)устойчиво, если v > vL. Следовательно, в соответствии с этим критерием энергия всех достаточно малых возмущений стремится к нулю. Однако если v (&) > vL, то имеется решение неизменной формы U (х, v) + u (х, f; s), энергия которого не уменьшается даже при условии выполнения критерия линейной теории устойчивости.

Ответвляющиеся решения, существующие при тех значениях V, для которых линейная теория гарантирует устойчивость, называются докритическими. Ответвляющиеся решения, сущест-

Удобно выбрать g* так, чтобы выполнялось равенство

〈& 中〉=1；(12.14)

тогда [尸/他，Е*) =[f2].

вующие при значениях v, для которых, согласно линейной теории, имеется неустойчивость, называются закритичеекими ')•

Основное течение U (х, v) неустойчиво вблизи первого критического значения линейной теории, если v —vL < 0. Так как % = 0, находим, что

V(8)— vL = v2e2 + О (е4), (13.1) где

—1 d2V (0)_ re{[F2]/<g, g*)}”2 — T — re%(,)~

При малом 8 периодические по времени ответвляющиеся решения являются докритическими, если v2 > 0, и закритичеекими, если V2 V 0.

Понятие докритической и закритической бифуркации может быть обобщено на случай, когда 8 не мало. При таком обобщении основным, как мы считаем, является направление бифуркации. Могут быть три направления бифуркации: v* (в) > 0, vz (в) = 0 и ”' (в) < 0. Мы считаем исключительным случай, при котором "(8)= 0 на конечном интервале; в общем случае "⑻=0 в критических точках е = % бифуркационной кривой, причем 8* = 0 является критической точкой.

Когда v' (в) < 0, амплитуда ответвляющегося решения растет с увеличением 1/v (е), т. е. «числа Рейнольдса». В другом, менее обычном случае амплитуда ответвляющегося решения уменьшается с увеличением «числа Рейнольдса». Бифуркационную кривую в физических задачах естественно рассматривать как кривую отклика, которая порождается определяемым на множестве решений функционалом отклика. Например, кривая отклика для течения в трубе, рассматриваемого в гл. IV, связывает градиент давления Р‘(8)и разность потоков массы 8. Здесь 8 является разностью между потоком массы, переносимым периодическим по времени ответе л я ющи мся решением, и потоком массы при ламинарном течении под действием такого же градиента давления. Ответвляющиеся решения, для которых разница потоков массы уменьшается

В формулировках этих определений часто используется критическое число Рейнольдса линейной теории Rc (см. замечания к гл. I). Поскольку для устойчивости необходимо выполнение неравенства R< &= Ul/vL, в случае R (е) < < R。бифуркация происходит ниже критического значения линейной теории и, следовательно, является докритической. Это определение не точно из-за существования более чем одной критической вязкости. Например, в течении Пуазейля, рассматриваемом в гл. IV, потеря устойчивости определяется критерием R < V Rc = UlRu me vL ——вторая критическая вязкость, и, согласно нашему определению, бифуркация будет закритической. (Вторая вязкость для течения Пуазейля связана с параметрами на верхней ветви (СЕ') кривой на рис. 19, определяющей зависимость между значениями волновых чисел и вязкости для пространственно периодических решений задачи о бифуркациях при е = 0. Эта кривая называется кривой нейтральной устойчивости.)

с увеличением градиента давления, оказываются физически нереализуемыми. В гл. IV мы увидим, что физически нереализуемыми решениями являются только те, которые ответвляются (докритически) при малых 8. Естественно ожидать, что эти ответвляющиеся решения неустойчивы не только при малых 8, но и при всех значениях 8, ДЛЯ которых Р，(8)< 0.

Упражнение 13.1. Показать, что вблизи критической вязкости #厶 линейной теории всегда происходит докритическая бифуркация, если

”е (%(%))> 0, (13.3)

и закритическая бифуркация, если выражение, входящее в неравенство (13.3), отрицательно.

Упражнение 13.2. Определить, каким условиям должны удовлетворять функция / (%) в уравнении (8.6) и функция / (х, у) в уравнениях (8.7) для того, чтобы бифуркации решений были докритически ми.

Устойчивость ответвляющегося периодического решения

Теперь мы собираемся построить математическую теорию бифуркаций, в которой интуитивной идее о неустойчивости нереализуемых ответвляющихся решений может быть дана точная формулировка I).

При попытке определить устойчивость периодического по времени ответвляющегося решения U (х; v (в)) + u (х, s; 8)мы приходим к рассмотрению линеаризованных уравнений

芻 + 蛋q + VP = 0, div q = 0, q|s = 0 (14.1)

относительно малых возмущений q (X, f) решения U + u. Здесь 纟q = ^ [U + u; vj q = (U + u) • Vq + q • V (U + u) — v(8)V2q,

(14.2)

где U (x; v (e)), u (x, s; 8)и v (в) вычисляются на ответвляющемся решении для фиксированного значения 8. Коэффициенты уравнения (14.1) —периодические по f функции с периодом 2л/(о(8), а и (х, s; в) — периодическая по s функция с периодом 2л. Следовательно, можно применить теорию Флоке и без потери общности искать решения задачи (14.1) в виде

q = LT (х, s), р = Ер (х, s), (14.3) где у — показатель Флоке, а Г и р являются периодическими по s =(о/ функциями с периодом 立冗.

Главную цель нашего исследования устойчивости, по-видимому, легче всего понять, разобравшись в простом примере, приводящем к показанным на рис. 3 и 4 бифуркационным диаграммам.

Подстановка выражений (14.3) в уравнения (14.1) приводит к уравнению

一竹 + УТ + Vp = О, ГСР2Я,(14.4)

где_

7(・)= s 马？■ +方

При 8 = 0 мы имеем (о =(о0, v = vL, и 三 0,扌=纟o, Z = /0 и_Yr + Jor + Vp = O, Г”2n.

Отсюда следует, что Г (х, s) можно разложить в ряды Фурье с членами eiks〕左(х), где коэффициенты Фурье Г力(х) солено- идальны, обращаются в нуль на границе S и удовлетворяют уравнению

(_Y + 伽 °)乙 + 2。几 + Vp左=0.(14.5)

Собственными значениями оператора 2。на пределе устойчивости являются о,. Тогда для всех решений уравнения (14.5)

(—Y + 施 *>о) I\ + ^j^k + Vp 左=。・

Мы предполагаем, что на пределе устойчивости 。工=土is。； для всех других значений, кроме этих двух 但=±1),

геу = гео. / = 2, 3,..., и все собственные значения имеют положительные вещественные части, приводящие к устойчивости. Поэтому мы можем ограничиться только показателями Флоке у = i (k + I) <оо, fe = 0, ±1, ±2, .... Каждый из этих показателей соответствует одному и тому же мультипликатору 卩 =级 仅 ± i) 2，= i Без потери общности мы можем ограничиться показателем у, равным нулю при 8=0. Если, например, у = i (々 + 1)①工 для некоторого определенного k при 8=0, то

F = r"+Dsi и р =

где Г и р являются 2л-периодическими функциями s и удовлетворяют задаче на собственные значения

yf + zf+ Vp = 0,『”2几，

где у = Y — i (々 + 1)①。обращается в нуль при 8=0. Заметим далее, что

Г = i (三du/ds), 丫 = 0(14.6)

всегда является решением уравнения (14.4) даже при s =4： 0. Чтобы это проверить, заменим в уравнении (7.1а) sv на и и / на s и сравним полученное уравнение с (14.1).

Напомним, что. 土® суть простые собственные значения оператора 2°. Оба эти собственные значения соответствуют нулевому собственному значению оператора J。，определенного в пространстве Р2Я. Базисом для двумерного нуль-пространства оператора JQ является множество векторов Zj и Z2 = Z「 Мы собираемся показать, что это двойное собственное значение на пределе устойчивости разделяется на две ветви. На одной ветви у = О является собственным значением / (с собственной функцией и) и 7 —> J。при е — О. На другой ветви у = у (s); этой ветвью определяется устойчивость решения U + и.

Мы ищем решения на второй ветви в виде

Г(х, s; в) == а (в) и + ф (х> s; 8),(14.7)

где а(8)еще нужно найти. Разложение (14.7) делит Г на две части, причем часть а ⑻ u (х, s; 8)лежит в нуль-пространстве оператора 夕 и зависит от е.

Подставляя (14.7) в уравнение (14.4), получаем

/ф — УФ + та + Vp = 0,g)€P2m(14.8)

где т = ―уа (в), а функцию 屮 можно нормировать произвольно.

На этом этапе можно построить решения 屮(х, /; в), у(е) и т (в) в виде рядов Тейлора по степеням 8. Однако значительно лучше ввести фундаментальную факторизацию'):

ф(х, s； 8)= U8(X, S； 8)+V8(8)<P(X, S； 6),

Т ⑻=厶焦)+ ”е(8)；®，(14.9)

Y(8)= Ve(8)Y(8).

(Нижний индекс 8 означает дифференцирование по 8.) Подставляя выражения (14.9) в уравнение (14.8), находим, что

夕融 + 找夕屮 + ® + veT)и —气丫 (ue + ve(p) + Vp = 0. (14.10)

Возвращаясь к уравнению (9.4a), записанному в переменных u = ev, р = ер, после дифференцирования по е получаем

7%+(о』十％2[厶，l]u + Vpe=0, (14.11)

где Uv = dU/dv. Если e = 0, то Uv = Uj и 2 [Ui， 1 ]=厶. Если вычесть уравнение (14.11) из (14.10), то члены /ие +(о£и

Эта факторизация и следующие из нее теоремы получены Джозефом (см. Джозеф и Нилд [1975]).

взаимно уничтожаются и ve можно вынести за скобку в качестве общего множителя, откуда следует, что

7ф-Н TU-//U- у(ие+ ¥еф)+ Vp-= 0, ф С Ргл, (14.12) где

(14.12)(14.12)и р является новым «давлением».

(14.12)

(14.12)

Теперь остается показать, что решения уравнений можно представить с помощью аналитических функций:

叫х, S； 8）3/(x, s)Р（Х, S； 8）=1 /总(х, s)Т(8)— Т0/=1_ Y(e) _叫х, S； 8）3/(x, s)Р（Х, S； 8）=1 /总(х, s)Т(8)— Т0/=1_ Y(e) _(14.13)(14.13)

叫х, S； 8）

3/(x, s)

Р（Х, S； 8）

=1 /

总(х, s)

Т(8)— Т0

/=1

_ Y(e) _

叫х, S； 8）

3/(x, s)

Р（Х, S； 8）

=1 /

总(х, s)

Т(8)— Т0

/=1

_ Y(e) _

(14.13)

(14.13)

Чтобы получить уравнения для величин, стоящих в правых частях уравнений (14.13), необходимо разложить также операторы / и Я и функцию и (х, s; 8). Таким образом,

U(x, s; е) = X U/J = £ V/」J, 叫=V/一丄； /=i

" = %+£%"〃/, % =厶； /=1

%=纟[/，0];

К/ = £ (加 + 1) U/nr S V/V/ . . . Vi 1 « 4・ V Z

(в последней формуле второе суммирование производится по целым 厶，удовлетворяющим условию 厶 + 勾 + … + 丄团 =')и

Z = Л + » /夕/,/=iгде力(・)= 〃(•)+(•).Vu/ + ti/・V(・)

При подстановке этих рядов в уравнение (14.12) коэффициенты при различных степенях 8 обращаются в нуль, если

Лф1 + Toui — ^iui — 丫貝丄 + Vp] = 0,屮丄 € Ргл, (14.14а)

Jоф/ + 飞叫一厶口 一 ум + 工 Rm —£ Tntnr + Vp/ = 0,

"+："=/"+m+/=/

明 /п>0п, т, г>0

八(14.146)

3/еPm, />2,

гдес

R〃/n = —НnUm + %% —(加 + 1) Um+17rt + Zпфт

И

Tnmr = (n+ l)vn+1Y^r (7仙，=0 при / = 2).

При любой удобной нормировке функции 屮 уравнения (14.14) однозначно разрешимы и имеют ограниченные обратные, если неоднородные члены удовлетворяют условию (12.2).

Используя условие (12.3) и замечая, что в силу (12.11) и (12.14) ILjU^ = av, находим, что

% + % + 力=0，(14.15а)

七」+ En + [Emi = 0, т>1,(14.156)

где 己团 является комбинацией членов, включающей 屮八 у, и 切」, / < т. Отсюда следует, что уравнения (14.14) и (14.15) могут быть последовательно разрешены относительно величин

3/ (х, s),亢(х, s), Ww %,

определяемых правыми частями разложения (14.13).

Мы оставим доказательство утверждения

T2/-1 = ?2/ =。，Z>l,(14. 16)

в качестве упражнения (14.2); метод доказательства повторяет метод индукции, использованный при выводе (12.7).

Смысл полученных до сих пор результатов можно резюмировать одной теоремой, касающейся фундаментальной факторизации (см. рис. 4).

Пусть и (х, s; 8), (о (в) и V (в) —вещественные аналитические функции на некотором открытом интервале 厶,содержащем точку 8=0. Тогда

屮(х. s; е) = ие (х, s; 8)+V8(8)ф(Х, S； 8), т(8)=(ое (8)4-ve(e) т(е) и

Y® =找(疥®，

где ф (х, s; 8), т(8)и у(8)—вещественные аналитические функции на некотором интервале /2 и 厶，содержащем точку 8=0. Более того, т (в) и у (е)/е — четные функции 8, такие, что

Yi = —ге Оу, т0 = —im %・

Известно (Джозеф и Нилд 11975]), что упомянутые в теореме функции являются аналитическими в окрестности 8=0 на комплексной плоскости. Допустим, как и в предположениях теоремы, что ответвляющееся решение можно аналитически продолжить на интервал 厶.Таким же образом функции «с крышками» могут быть продолжены как вещественные аналитические функции. Интервал /2 и 厶，так как, согласно предположению, каждый член равенств (14.9), определяющий функцию с крышкой, теряет аналитичность в точках замыкания интервала 厶.

Из представления у(8)= ve (в) у (в) следует, что показатель Флоке для ответвляющегося решения u (х, s; 8)обращается в нуль в критической точке 8 = % кривой бифуркации, где ve (%) = 0. Знак показателя Флоке тот же, что и «наклон числа Рейнольдса» (l/v)e, когда у (в) < 0. Мы увидим далее, что у(£)< 0, когда 8 мало. Ответе л я ющеес я решение, амплитуда которого растет с уменьшением числа Рейнольдса,

d (1/v(8))/血 < 0

неустойчиво, когда у(8)< 0, независимо от того, мало 8 или нет. Тем самым подразумевается, например, что периодические по времени течения в трубах неустойчивы в том случае, когда расход уменьшается с увеличением градиента давления.

К сожалению, при больших значениях 8 знак у(8)неизвестен. Для малых 8 имеет место следующая теорема об устойчивости периодических по времени ответвляющихся решений:

При малых % когда

у(8)= —%£ re av + veO (s3), докритические решения являются неустойчивыми^ а закритиче- ские — устойчивыми,

В этой теореме весьма существенно предположение, что j н 氏一простые собственные значения оператора ^0 на пределе устойчивости. Хотя такое предположение, по-видимому, справедливо почти для всех ограниченных областей, все же в некоторых областях оно может не выполняться. Тем не менее неустойчивость докритических ответвляющихся решений не может столь сильно зависеть от этого упрощающего предположения. Если главное собственное значение оператора ^0 имеет кратность, большую единицы, то большее число решений создает большие возможности для дестабилизации движения, которое может быть устойчивым в противоположном случае.

Упражнение 14.1 (устойчивость периодических решений на восходящей ветви кривой бифуркации). Показать, что периодические по времени ответвляющиеся решения (9.6) задачи (8.7) при / (х, у) = g(x* + у2) > 0 имеют постоянный радиус е = (х2 + у2)"2 Рассмотреть устойчивость ответвляющегося решения

при фиксированном значении v = 1/^ (е2). При заданном значении v показать, что для любого решения % = R cos 0, у = R sin 6 уравнений (8.7) при f = g удовлетворяется уравнение

1 d(R2) T~dT1 d(R2) T~dTg(R”— 71^丿g(R”— 71^丿R2 = 0.R2 = 0.(14.17)(14.17)Рис. 3. Пример бифуркационной кривой, который показывает неустойчивость докритического решения (9.6), ответвляющегося от нулевого решения е = 0, и восстановление устойчивости на возрастающих ветвях (g‘ (е2) > 0) бифуркационной кривой.Рис. 3. Пример бифуркационной кривой, который показывает неустойчивость докритического решения (9.6), ответвляющегося от нулевого решения е = 0, и восстановление устойчивости на возрастающих ветвях (g‘ (е2) > 0) бифуркационной кривой.

1 d(R2) T~dT

1 d(R2) T~dT

g(R”

— 71^丿

g(R”

— 71^丿

R2 = 0.

R2 = 0.

(14.17)

(14.17)

Рис. 3. Пример бифуркационной кривой, который показывает неустойчивость докритического решения (9.6), ответвляющегося от нулевого решения е = 0, и восстановление устойчивости на возрастающих ветвях (g‘ (е2) > 0) бифуркационной кривой.

Рис. 3. Пример бифуркационной кривой, который показывает неустойчивость докритического решения (9.6), ответвляющегося от нулевого решения е = 0, и восстановление устойчивости на возрастающих ветвях (g‘ (е2) > 0) бифуркационной кривой.

Показать, что решение 7?2 = е2 условно устойчиво при всех

/ (№) > 0 и неустойчиво при всех

g'崎 < 0.

Показать, что если е достаточно мало, то закритические ответвляющиеся решения устойчивы, а докритические ответвляющиеся решения неустойчивы (рис. 3).

Упражнение 14.2. Выписать в явном виде член 自加,входящий в формулу (14.156). Доказать утверждение (14.16).

§ 15. Бифуркация стационарных решений. Неустойчивость и восстановление устойчивости докритических решений

При со。= 0 (случай (А) в § 9) решение линеаризованной задачи ((7.1) при 8=0) оказывается стационарным. В этом случае мы полагаем(о (в) = 0 и ищем стационарное решение задачи (9.4а, б, в, г). Разложения возмущений в ряды для этой задачи описываются выражениями (10.5) при со〃 == 0. Заменой условия нормировки, использованного в {10.6), является соотношение

, f 2 при /и = 0,

= ПрИ …"I)

В нулевом приближении можно принять

Vo = U] = J, (1#)= 2,(15.2)

где J — главная собственная функция спектральной задачи, принадлежащая собственному значению а = 0. Сопряженная задача спектральной теории определяется соотношением (11.1) и сводится к уравнению (11.2) с а = 0. В стационарном случае выполняется уравнение (11.9).

Для решения получающихся в стационарном случае задач о возмущениях мы рассмотрим их в следующем виде:

2oii + Vp = b(x), divu = 0 u|s = 0.

Они разрешимы тогда и только тогда, когда е，⑦=о・

Следует заметить, что при(оо = 0 можно принять, что J* (х) и другие поля являются вещественными.

В первом приближении проводим вычисления, как в § 12, и находим, что

Vi(LiV0, g*) + ((Vo-V)vo,毋=0・

Затем, используя соотношение (11.9), получаем

% = -〈(％・▽)%,片〉/%«,片〉.(15.3)

Масштаб J* произволен и может быть выбран так, чтобы 倡自*) = L

В общем случае д\ отлично от нуля, хотя в некоторых специальных задачах (см. упражнение 15.2) оно может обращаться в нуль.

Основное различие между установившимся и периодическим по времени ответвляющимися решениями заложено в (15.3), которое показывает, что

(А) для стационарных ответе л яющи хс я решений v = v(8),

(15.4) тогда как

(Б) для периодических ответвляющихся решений v = v (в).

(15.5) Из (15.4) и (15.5) следует, что

(А) Возможна двусторонняя бифуркация. Так как

V(8)—vL =%8 + О (в2),(15.6)

бифуркация будет докритической, когда %е положительно, и закритической, когда v声 отрицательно 】)•

(Б) Возможна только односторонняя бифуркация

V (М)—乙 =”2轡 + О &)•(15.7)

В случае (Б) 8 =8* = 0 является критической точкой бифуркационной кривой (рис. 4).

Исследование устойчивости установившихся ответвляющихся решений подобно проведенному в § 14, только проще. Ответвляющееся решение удовлетворяет уравнениям

^u + «-Vu4-Vp = 0, divu = 0, u|s = 0, (|u|2) = 2e2. (15.8) Устойчивость решения U + и относительно малых возмущений «ре"" определяется спектральной задачей

—丫屮 +纟屮+ V“ = 0, div(p = 0, 叫s =。，(15.9)

причем ф можно нормировать произвольно.

Рис. 4. Ветвление решений при простом собственном значении. Сплошные линии представляют устойчивые ответвляющиеся решения, штриховые ——неустойчивые ответвляющиеся решения. В стационарном случае (А) может происходить двусторонняя бифуркация (см. формулу (15.6)). В периодическом по времени случае (Б) V = V (е2) и ответвляющееся решение является либо закритическим (Б1), либо докритическим (Б2).Рис. 4. Ветвление решений при простом собственном значении. Сплошные линии представляют устойчивые ответвляющиеся решения, штриховые ——неустойчивые ответвляющиеся решения. В стационарном случае (А) может происходить двусторонняя бифуркация (см. формулу (15.6)). В периодическом по времени случае (Б) V = V (е2) и ответвляющееся решение является либо закритическим (Б1), либо докритическим (Б2).

Рис. 4. Ветвление решений при простом собственном значении. Сплошные линии представляют устойчивые ответвляющиеся решения, штриховые ——неустойчивые ответвляющиеся решения. В стационарном случае (А) может происходить двусторонняя бифуркация (см. формулу (15.6)). В периодическом по времени случае (Б) V = V (е2) и ответвляющееся решение является либо закритическим (Б1), либо докритическим (Б2).

Рис. 4. Ветвление решений при простом собственном значении. Сплошные линии представляют устойчивые ответвляющиеся решения, штриховые ——неустойчивые ответвляющиеся решения. В стационарном случае (А) может происходить двусторонняя бифуркация (см. формулу (15.6)). В периодическом по времени случае (Б) V = V (е2) и ответвляющееся решение является либо закритическим (Б1), либо докритическим (Б2).

Как и при изучении периодических решений, изучение устойчивости стационарных ответе л яющихся решений сильно упрощается фундаментальной факторизацией

ф(х； е) = ие(х, 8)+ v8(p(х, 8), у® = %?(£)・(15.10)

Факторизованные уравнения (15.10), (15.9) и уравнение для и8, которое получается дифференцированием (15.8) по 8：

^Ue +Ve^[Uv, l]u + VPe = 0,

можно скомбинировать таким образом, чтобы члены ①备 взаимно уничтожались, a ve было вынесено в качестве общего множителя. После сокращения на этот множитель получим

京$—2[Uv，l]u — у(ue + ve$) + Vp, div屮=0,屮卜=°・ (15.11)

Решение задачи о бифуркации (15.11) почти такое же, как и решение уравнения (14.12), за исключением того, что функции не зависят otsht=t=0. После незначительных преобразований соотношения (14.13)—(14.15) оказываются справедливыми и для стационарных ответвляющихся решений; в частности,

Yi = f •

Следовательно, при малом 8

Y (е) = —vfcGv8 + ve0 (в2).(15.12)

Равенство (15.12) показывает, что при малых значениях е наиболее опасные малые возмущения ответвляющегося решения, имеют вид

ф(х, £)exp{evJa + C^£)]}・

Если U (х; V)теряет устойчивость точно в критической точке, то а > 0 и закритическими оказываются решения, для которых Irv(8)растет с увеличением амплитуды I е |. Для закритических решений vea < 0. Следовательно, (15.12) показывает, что при малых в докритические решения неустойчивы, а закритические устойчивы. Физическая интерпретация факторизации для ответвляющегося стационарного течения подобна уже однажды приводившейся для периодического ответвляющегося решения. Решения, для которых

d (1/v(8))/d8 < 0,

всегда неустойчивы при ву(8)> 0 независимо от того, мало в или нет. Когда эти результаты будут применяться к бифуркации в конвекцию решения уравнения теплопроводности (см. гл. X), мы проверим следующий ожидаемый результат: конвекция неустойчива, если при увеличении разности температур тепловой поток уменьшается.

К сожалению, не так уж много известно о у ⑻ при больших значениях в. Особый интерес представляет знак у (в) в критических точках е = 8*. В критической точке ve = 0, и, дифференцируя уравнение (15.8) по 8 при 8 = %, получаем

方 А + ▽& = 0.

Следовательно, нуль является собственным значением оператора ① при 8 =8*. Сопряженный оператор ^* можно определить, потребовав, чтобы для всех соленоидальных векторов а и Ь, обращающихся в нуль на границе S, выполнялось равенство

〈京а, Ь〉= (а,方*Ь〉・

Существует такой обращающийся в нуль на S соленоидальный вектор и*, что

^*u* + Vp* = 0.

Если предположить, _что нуль является простым собственным значением оператора 方 при 8 = 8*, то нуль будет простым собственным значением и сопряженного оператора ^* и неоднородные задачи вида

更<р — у(р + Vp = 0, div(p = O, (p|s=0 ограниченно обратимы тогда и только тогда, когда

(<р, и*) = 0.(15.13)

Применяя условие разрешимости (15.13) к (15.11), находим, что При 8=8*

一〈Z[Uv，l]u, u*〉= q(%)〈U£, u*).(15.14)

Уравнение (15.14) служит определением у(8*) в критических точках, которое справедливо, котт^нуль — изолированное простое собственное значение оператора 京.При том же предположении можно построить у (е),屮(х; в) и // (х; в) в виде сходящихся рядов по степеням е —в* (см. Джозеф и Нилд [1975]). Поскольку все величины, входящие в уравнение (15.14), неизвестны, из этого уравнения нельзя определить знак у(8*)・

В теории бифуркаций функция у(8)является одним из наиболее интересных объектов, подлежащих изучению.

Упражнение 15.1. Найти формулу для v2.

Упражнение 15.2. Показать, что если оператор 纟=纟* является самосопряженным, то 彳=0.

Упражнение 15.3. Перенести анализ устойчивости § 14 на ответвляющиеся стационарные решения малой амплитуды.

Упражнение 15.4. Показать, что решения, которые ответвляются при меньших критических значениях вязкости v = vn, связанных с большими собственными значениями и〃 (v%) = 0 (n> 1), являются неустойчивыми.

Переход к турбулентности путем повторяющихся закритических бифуркаций

Почти всегда при малых вязкостях жидкости, или, что то же самое, при больших числах Рейнольдса, наблюдаемые течения оказываются сложными, флуктуирующими и нерегулярными. Такие нерегулярные течения из-за отсутствия адекватного теоретического описания их динамических свойств называются турбулентными.

Приведенные в этой главе результаты по бифуркациям в какой-то мере имеют отношение к описанию перехода к турбулентности. Исследование бифуркаций позволяет отделить докрити- ческие ответвляющиеся течения от закритических. Докритические

ответвляющиеся решения оказываются неустойчивыми, тогда как закритические ответвляющиеся решения устойчивы. Это наводит на мысль, что возникновение турбулентности можно рассматривать как:

непрерывный процесс перехода от одного течения к другому, который включает повторяющиеся потери устойчивости и бифуркации закритических решений при уменьшении v;

разрывный процесс перехода от одного течения к другому, который включает неустойчивости и при котором решения «проскакивают» через докритические ответвляющиеся решения к другим, «большим» решениям.

Непрерывный процесс перехода от одного течения к другому, включающий повторяющиеся закритические бифуркации, можно описать следующим образом. Сначала при v > vL существует стационарное основное течение. При v =vL это течение теряет устойчивость и заменяется вторичным, более сложным течением, которое устойчиво при v <vL и стремится к нулю при vL —v —> 0. При дальнейшем уменьшении v вторичное течение снова теряет устойчивость. Вторичное ответвляющееся течение теряет устойчивость во второй точке ветвления v2 < vL, и закритически ответвляется третье, еще более сложное течение и т. д. Переход от одного течения к другому при закритической бифуркации оказывается непрерывным, поскольку в точке бифуркации не происходит резких изменений течения.

Докритические бифуркации не могут приводить к непрерывному переходу от одного течения к другому, так как ответвляющееся течение неустойчиво с самого начала; оно не имеет области притяжения, и произвольное начальное возмущение, которое «убегает» из области притяжения основного течения, «проскакивает» через неустойчивое ответвляющееся течение к некоторому течению или множеству течений с большей амплитудой. В этом случае будет наблюдаться резкое изменение течения, когда v достигает значения vG сверху.

Существование докритических решений и описание их неустойчивости как «скачков» типично для многих физических задач. Однако физическая важность явления «скачка»') связана со степенью до критичности. Например, при стационарной конвекции часто необходимо создать экстремальные условия, чтобы вызвать умеренную степень докритичности (см. гл. XI). С другой стороны, для течения Пуазейля в кольцевой трубе степень докритичности всегда высока (см. рис. 15, 16 и 20).

По данным эксперимента нижняя часть бифуркационной кривой (рис. 20) соответствует t/m (b —a)/w = R = RG ^ 2000. Однако

i) В отечественной литературе это явление называют также «жесткой> неустойчивостью. —— Прим, перев.

вычисления показывают, что величина RL монотонно растет по мере уменьшения радиуса внутренней трубы, начиная с минимального значения, примерно равного 11 600. В круглой трубе RL = =оо; следовательно, течение Пуазейля по линейной теории будет устойчиво для всех значений R и любые другие наблюдаемые движения являются течениями докритического типа.

Заметим, что гипотеза Ландау—Хопфа о непрерывном переходе к турбулентности путем повторяющегося ветвления решений, упоминавшаяся во введении и обсуждаемая в замечаниях к этой главе, не совместима с разрывным типом перехода, который возникает в докритическом случае.

Упражнение 16.1 (Иосс [1973—1974]; квазипериодическая бифуркация в простом случае). Рассмотреть задачу с начальными условиями для вектора U = ("，y):

黑= *%(f)U + M(U), (16.1)

加入⑴加入⑴-入一1 + cos / a + sin f ' _— (a + sin f) X — 1 + cos /-入一1 + cos / a + sin f ' _— (a + sin f) X — 1 + cos /M(U) =M(U) =—〃(〃2 + y2)—U (〃2 + l?2)—〃(〃2 + y2)—U (〃2 + l?2)

加入⑴

加入⑴

-入一1 + cos / a + sin f ' _— (a + sin f) X — 1 + cos /

-入一1 + cos / a + sin f ' _— (a + sin f) X — 1 + cos /

M(U) =

M(U) =

—〃(〃2 + y2)

—U (〃2 + l?2)

—〃(〃2 + y2)

—U (〃2 + l?2)

Нулевое решение этих уравнений соответствует основному течению, периодическому по времени с периодом Т = 2冗.

Иллюстрация концепций теории Флоке. Пусть [^ (/), ^ (/) ] и [и2 (0, 。2 (9〕——независимые решения линеаризованных уравнений (16.1), имеющие начальные значения % (0),匕(0)] = [1, 0] и [〃？(°)，% (0)] = [0, 1 ]. Показать, что фундаментальная матрица-решение уравнения (7.10) имеет вид

Ф (0 = exp (X — 1 + sin f)Ф (0 = exp (X — 1 + sin f)-cos (af — cos / + 1)sin (af — cos f + 1)一

Ф (0 = exp (X — 1 + sin f)

Ф (0 = exp (X — 1 + sin f)

—sin (af — cos f + 1)cos (aZ — cos / + 1).

Показать, что собственное значение Ф (2л) удовлетворяет уравнению для собственных значений

卩2 _ 卩[/ma _|_ 广2加丐 / (л-1) л+ / 伍-1)九=°,

а мультипликаторы равны

и=е2л(Х-1)е±2ша

Каковы значения показателей Флоке? Указание. Рассмотреть уравнение, которому удовлетворяет комплексное переменное z= 〃 (/) + iu (/).

Показать, что эволюция любого решения (“, у)三(г cos 0, г sin 0) уравнения (16.1) происходит по закону

0 = 00 — af + cos f — 1,

}=与 exp (―2 [Q — 1) f + sin f]) +

rQ

t

+ 2 j exp (—2 [(入—1) / + sin ") exp (2 [Q— 1) t + sin t]) d* о

где 瓦 н г。一 значения 0 и г при / = 0.

Показать, что нулевое решение глобально и монотонно устойчиво при А < 1. Убедиться в невозможности докритической бифуркации.

Показать, что решение неизменной формы при г (/), периодическом по / с периодом 2л, при 入＞ 1 испытывает закритическую бифуркацию. Показать, что бифуркационная кривая описывается уравнением

X = 1 + 82,

где е2 = г2 (0)=产(2冗九)，九=±1, ±2, ... . Показать, что фаза этого решения 6 (/) имеет период 2л, если а ——целое число, и период 2шг (九=±2, ±3,...), если а = kin для некоторого целого 々.Считая а иррациональным, показать, что ответвляющееся решение является квази периодическим с двумя частотами: (®i，S2)=(l, а).

Замечания к главе II

Спектральная задача в ограниченной области (или в областях, которые можно сделать ограниченными, предполагая фиксированный пространственный период возмущений) имеет два следующих важных математических свойства: собственные значения задачи (7.2) дискретны, а обобщенные собственные функции образуют полную систему в соответствующем гильбертовом пространстве (см. Крейн [1953], Браудер [1953], Шенстед [1960], Ди Прима и Хабетлер [1969], Сэттинджер [1970]).

Справедливые во всех случаях необходимые и достаточные условия того, чтобы собственные значения были вещественными, не известны. Конечно, спектр самосопряженной задачи обязательно будет вещественным. Можно показать, что для задач, которые могут быть сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на основе предположения о периодичности, иногда справедлив принцип смены устойчивости даже в том случае, когда они не являются самосопряженными (Дэвис [1969], Ди Прима и Хабетлер [1969], Йи (1972а, 19726]).

Термин «смена устойчивости» впервые появился в работе Пуанкаре [1885] о фигурах равновесия вращающихся жидких масс. В этой классической задаче рассматривается бифуркация фигур равновесия, при которой устойчивость одной фигуры равновесия «сменяется» устойчивостью другой.

Современное толкование принципа смены устойчивости, в котором подразумевается, что о=0 является главным собственным значением задачи (7.2), было введено, по-видимому, Джеффрисом [1926]. Это толкование лишь частично соответствует прежнему толкованию. Потеря устойчивости основным течением при а = 0 предвещает бифуркацию основного течения во вторичное стационарное течение, которое в зависимости от условий может быть устойчивым или неустойчивым.

Концепция Пуанкаре основывается на интуиции и не имеет никакой связи со стационарностью. Понятие «смена устойчивости! между различными фигурами равновесия может быть обобщено до понятия «передача устойчивости! в более общем смысле. Однако эти, теперь общепринятые слова Джеффрис применяет и неточно, и неправильно.

Линейная теория устойчивости применялась к интересным специальным задачам в следующих книгах и обзорах: Чандрасекар [1961 ] рассмотрел много специальных задач различных типов; Линь [1955] также занимался различными задачами, но основное внимание уделял уравнению Орра——Зоммерфельда; Синдж [1938а], Стюарт [1963], Шен [1964], а также Монин и Яглом [1965] сделали общие обзоры; Рейд [1965], а также Бетчов и Криминале в своей книге [1967], ориентированной на численные результаты, ограничились исследованием теории Орра—Зоммерфельда; Дрэзин н Хоуард [1966] рассмотрели устойчивость невязкого течения; Гринспэн [1969] привел результаты исследований по устойчивости вращающихся течений; в книге Йи [1965] рассматривается устойчивость стратифицированных течений. В монографии Дэнна [1975] указывается широкая область приложений теории устойчивости в химической технологии. В книгах Монина и Яглома[1965] и Дэнна [1975] рассматриваются и нелинейные задачи.

Заметим, наконец, что с линейной теорией устойчивости тесно связан энергетический метод Стюарта [1958]. В этом приближенном методе предполагается, что пространственная форма (вид) нелинейных возмущений такова же, как и вид возмущений на пределе устойчивости линейной теории, но их амплитуда А неизвестна (подробности и дополнительные ссылки см. в статье Сиджела [1966]). Этот энергетический метод приводит к интересным нелинейным результатам, но не дает достаточных условий для устойчивости или вида возмущения, которое возрастает в начальный момент времени при наибольшей вязкости.

Теорему об условной устойчивости для установившихся течений доказал Проди [1962]; дополняющую ее теорему о неустойчивости доказали Кирх- геснер и Зоргер [1969а]. Общие теоремы о неустойчивости и условной устойчивости были еще раньше сформулированы Юдовичем [1965], но без доказательств. Законченную формулировку и доказательство этих теорем дал Сэттинджер [1970]. Дальнейшие результаты и доскональное обсуждение принципа линейной устойчивости можно найти в статьях Иосса [1971 ], Кирхгеснера и Кильхёфера [1972], а также и в монографиях Сэттинджера [1973] и Иосса [1973——1974].

Пуанкаре в своем исследовании фигур равновесия вращающихся масс [1885] называет узловую точку, где эллипсоиды Маклорена меняются устойчивостью с эллипсоидами Якоби, точкой бифуркации.

В настоящее время теория бифуркаций представляет собой раздел анализа, который тесно связан с теорией нелинейных задач на собственные значения, возникающих в гидромеханике и других областях науки и техники. Введение в основы теории бифуркаций, ее основные приложения и обширная библиогра- Тия даны в обзоре Стэкголда [1971 ]. В монографиях Сэттинджера [1973] и Иосса 1973—1974] рассматриваются бифуркационные задачи в банаховом пространстве. В их исследования как частный случай включена задача о бифуркации для уравнений Навье—Стокса.

В теории нелинейных задач на собственные значения с аналитическими нелинейностями как «собственные значения», так и решения являются непрерывными (обычно аналитическими) по некоторой мере амплитуды решения. По этой причине в теории бифуркаций и теории нелинейных задач на собственные значения при малых амплитудах удобно пользоваться методами теории возмущений.

Метод разложения в степенные ряды по амплитуде, по-видимому, впервые был применен в астрономических работах Линдстедта 11882] и Пуанкаре [1892 ]. Работа Пуанкаре была обобщена Хопфом [1942] на случай дифференциальных уравнений, описывающих неконсервативные системы, зависящие от двух параметров (у нас v и 8). Периодические решения, полученные Хопфом, представляют собой простейший предельный случай периодических решений Пуанкаре второго рода (см. Пуанкаре, Собрание сочинений, т. III, гл. XVIII и XXX). Фундаментальные работы Хопфа стали известны совсем недавно. Им рассмотрены бифуркация с вещественными собственными значениями (стационарная бифуркация) и бифуркация с комплексными собственными значениями (периодическая по времени бифуркация). Он впервые доказал, что докритические ответвляющиеся решения неустойчивы, а закритические ответвляющиеся решения устойчивы. Хопф чувствовал, что его результаты можно обобщить на дифференциальные уравнения в частных производных, и неоднократно упоминал о задаче Тейлора и других известных задачах гидродинамической теории устойчивости.

Результаты Хопфа и его методы были обобщены Джозефом и Сэттннджером на уравнения в частных производных в работе [1972], следующей за более ранними исследованиями Джозефа [1971 ] существования и устойчивости стационарных ответвляющихся решений и Сэттинджера [1971а] существования (без изучения устойчивости) периодических по времени ответвляющихся решений. Другие авторы получили результаты Хопфа иными методами (Иосс [1972], Юдович [1971]).

Метод разложения в степенные ряды применялся в исследовании бифуркационных задач гидродинамики Горьковым [1957] и независимо от него Малкусом и Веронисом [1958]. Данные авторы рассмотрели устойчивость и задачу о бифуркации (задачу Бенара) в теории тепловой конвекции. Эта задача характеризуется двумя упрощающими особенностями: она стационарна (со (е) = 0) и линеаризованная задача при 8=0 оказывается самосопряженной. Более широко эти степенные по амплитуде ряды использовались в работах Лорца [ 1961 ], Буссе [1962] и Шлютера, Лорца и Буссе [ 1965].

Метод разложения в степенные ряды тесно связан с методом Шмидта [1908] и Ляпунова [1906] (см. обзоры Стэкголда [1971 ] и Вайнберга и Треногина [1962]). В задачах о бифуркациях в гидродинамике этот метод применяли Сорокин [1961 ], Кирхгеснер и Зоргер [19696] и Швидерски [1972]. Юдович [1971 ] использовал метод Ляпунова——Шмидта для доказательства того, что от стационарного решения ответвляется периодическое по времени решение, если собственное значение спектральной задачи и — комплексное число. Этот же метод Юдович использовал для установления устойчивости закритических бифуркаций и неустойчивости докритических.

Чтобы сравнить метод Ляпунова——Шмидта с методом разложения по степеням амплитуды, прежде всего вспомним, что в некоторых задачах (стационарная бифуркация; см. § 15)

е = (и, £♦) и V —vL = /(в),(*)

в то время как в других (периодическая по времени бифуркация; см. упражнение 12.4)

е = [и] и V — v^ = ^ (е2).(**)

В методе Ляпунова——Шмидта решение всегда разлагается по степеням разности V—v^; этот метод даст, согласно (*),

и (х) = £ un (х)(V — vL)n и, согласно (* *), и(х, /)= £ u〃(x, f)(v —咽〃/2. Комбинируя эти различные представления одного и того же решения, получаем £ = £〈и小 G*〉С — v厶尸 и v — vL = / (е)(*)

и

Е= £ [叫(V —旷厶尸/2 И V —VL = ^(82).(**)

Отсюда следует, что ряды по степеням разности обращают бифуркационные кривые /(8)и g(f2).

Заметим, что если df/ds или dg/d£? отличны от нуля, то мы можем обратить разложения по амплитуде в ряды Ляпунова——Шмидта. В случае докритической бифуркации всегда имеются критические точки, подобные точкам на носике бифуркационной кривой А (рис. 4), в которых бифуркационная кривая необратима. Функции / (е) и g(8^) являются хорошими однозначными функциями; для докритической бифуркации обратные к этим функции, представляемые рядом Ляпунова—Шмидта, в общем случае не могут быть однозначными, и одному значению V ——v^ могут соответствовать два и более значения е. По одной этой причине (не принимая во внимание остальные) метод разложения в степенные ряды лучше метода Ляпунова——Шмидта. Конечно, оба метода оказываются совершенно эквивалентными, когда бифуркационная кривая обратима, например в пределе 8 —0.

В третьем методе рассматривают рост возмущений и заменяют е на функцию времени А (/). В этом методе предполагается, что

dA/dt = а0А + агА3 + а2А5 + ... .(* * *)

Этот метод в наинизшем приближении (Л3) приводит к амплитудному уравнению типа предложенного Ландау (уравнение (****). Метод, связанный с разложением (* * *),6ыл предложен Стюартом [1960] и Уотсоном[1960], тогда как Палм [1960] одновременно развил эти идеи в задачах о тепловой конвекции. Этот метод очень тесно связан с методом Ляпунова——Шмидта (ср. работы Рейнольдса и Поттера [1967а] и Андрейчикова и Юдовича [1972]).

Четвертый метод, связанный с третьим и изложенный в монографии Экхауза [1965], основывается на рядах Фурье по биортогональным функциям с зависящими от времени коэффициентами Фурье.

Частичное обоснование третьего и четвертого методов в низшем приближении можно найти в работах Гиро и Иосса [1968] и Иосса [1971 ]. В настоящее время нет строгого обоснования для полного ряда (* * *).

В пятом методе используется то обстоятельство, что в некоторых задачах о бифуркации можно определить два различных масштаба времени: медленного и быстрого. Одним из применений метода двух времен в задачах о бифуркации является теория перехода от одного решения неизменной формы к другому. Теория двух времен является по существу теорией возмущений, которая если и справедлива, то только для малых амплитуд. Он может приводить к утверждениям об устойчивости ответвляющихся решений, но они получаются и стандартными методами.

Метод двух времен превосходит стандартный метод изучения устойчивости ответвляющегося решения, поскольку для возмущений рассматривается задача с начальными данными. Однако никакая возня с временными масштабами не может ослабить предположения о малости амплитуды возмущения. Поэтому метод двух времен не слишком сильно превосходит линейную теорию устойчивости ответвляющихся решений; он не дает глобальных областей притяжения, а только приводит к утверждениям для «достаточно малых> возмущений. Некоторая внешне большая общность метода двух времен является кажущейся, а не реальной. Подобно его двойнику в «les affaires d'amour» метод двух времен не обязательно приводит к лучшим результатам. При тщательной разработке он может быть использован при изучении задачи с начальными условиями для малых возмущений ответвляющегося решения.

Ньюэлл и Уайтхэд [1969а] провели интересный анализ ветвления режима равновесия в режим движения, а также устойчивости этого движения в слое жидкости, подогреваемом снизу. Они использовали метод многих масштабов по времени и по пространству. Их метод будет обсуждаться в § 82. Когда спектр волновых чисел предполагается дискретным, уравнение для амплитуд Ньюэлла и Уайтхэда сводится к уравнению типа предложенного Ландау

dA/dt = а^А + ajA3. (****)

То же самое уравнение получил Матковски [1970] как аппроксимацию первого порядка в асимитотическом разложении задач параболического типа с начальными условиями. Аппроксимации более высокого порядка получаются по рекуррентным формулам. Хабетлер и Матковски (1974] и Хоппенстидт и Гордон (1975] доказали равномерную по времени асимптотическую сходимость решений определенных параболических задач со стационарной односторонней закритической бифуркацией. Коглеман и Келлер [1971 ] применяли метод Матковски при изучении закритических переходных процессов устойчивых решений в неустойчивые в задачах Тейлора и Бенара. Метод многих масштабов был развит Стюартсоном и Стюартом [1971 ] для вывода уравнения, описывающего эволюцию пространственно локализованных возмущений малой амплитуды плоского течения Пуа- зейля. Исследование Стюартсона и Стюарта можно рассматривать как формальное обобщение метода многих масштабов на случаи, в которых ответвляющееся решение является периодическим по времени.

Шестой метод, использованный Йоссом, можно назвать методом вариации постоянных в функциональном пространстве. Иосс использует абстрактную теорию полугрупп, чтобы обратить уравнение эволюции в банаховом пространстве,

эквивалентное уравнениям Навье——Стокса. Окончательная форма обращенных уравнений аналогична формуле элементарной вариации постоянных, используемой для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Иосса является единственным, который позволяет обратить задачу с начальными условиями; он был использован его автором для доказательства многих важных результатов (см. Иосс [1972, 1973—1974, 1975, 1977]).

В другом подходе к задачам устойчивости и теории бифуркаций используется теория инвариантных многообразий для динамических систем. Теорию инвариантов обсуждает, например, Хейл [1971 ]. Этот подход в теории устойчивости и бифуркаций развит Рюэлем и Тэкенсом [1971а, 19716]. Подробное описание этого подхода с разбором примеров можно найти в монографии Марсдена и Мак-Кракена [1976].

Для изучения теории бифуркаций использовались и другие методы: метод последовательных приближений (Файф [1970], Рабинович [1968]) и топологический метод степеней отображений Лерэ——Шаудера. Метод степеней Лерэ—— Ш ay дер а относится к мощной абстрактной теории, которая приводит к определенным утверждениям о существовании и числе ответвляющихся решений (Ухов- ский и Юдович [1963], Вельте [1964, 1966], Юдович [19666]), глобальных свойствах ответвляющихся решений (Рабинович [1971 ]) и устойчивости ответвляющихся решений (Сэттинджер [19716], Мак-Леод и Сэттинджер [1973], Бенджамен [1976]). Пока еще неизвестно, как использовать соображения о топологических степенях в задачах с комплексными собственными значениями (периодические по времени бифуркации). Топологический метод не конструктивен — он не дает явного представления решений. Результаты, которые получаются топологическими методами, можно довольно часто получить элементарными методами возмущений (см. Джозеф [1971 ] и Кренделл и Рабинович [1973]); это пример теоремы Вейнбергера: то, что можно доказать одним способом, может быть доказано и другим путем. Обратная этой теореме также справедлива, и ее даже легче доказать.

Обзоры некоторых из этих методов и дополнительные ссылки см. в работах Сиджела [1966], Гертлера и Вельте [1967], Кирхгеснера и Кильхёфера [1972], Монина и Я гл ома [1965], Стюарта [1971 ], Сэттинджера [1973], Иосса [1973— 1974], Файфа [1974], Палма [1975] и Ладыженской [1975].

11, 12. Материал этих параграфов заимствован из работы Джозефа и Сэттинджера [1972].

13, 14. Результаты, касающиеся устойчивости ответвляющихся решений произвольной амплитуды, следуют из фундаментальной факторизации. Хотя при больших значениях 8 знак у(8), вообще говоря, неизвестен, численное исследование нелинейной устойчивости течения Пуазейля (Цан, Тоомре, Спи гл и Гаф [1974]) показывает, что у ⑻一положительная величина. В этом исследовании ответвляющееся докритически периодическое по времени решение приобретает устойчивость в критической точке бифурцирующего течения. При малом е фундаментальная факторизация показывает, что докритические решения неустойчивы, а закритические устойчивы. Этот результат был установлен ранее Джозефом и Сэттинджером [1972], а для обыкновенных дифференциальных уравнений —— Хопфом [1942]. Они предполагали, что 也# 0； как показано теперь, это предположение не является необходимым (см. Джозеф и Нилд [1975]).

15. В этом параграфе результаты по бифуркациям взяты из работы Джозефа [1971 ], которая основана на более ранних работах Файфа и Джозефа [1969] и Буссе [1962]. Результаты по устойчивости, следующие из фундаментальной факторизации, заимствованы из работы Джозефа и Нилда [1975]. Аналогичные результаты для более общих задач с неаналитическими нелинейными членами были получены Кренделлом и Рабиновичем [1973]. Подобные результаты для уравнений Навье—Стокса следуют также из теоремы Бенджамена [1976]: «Всюду, где задача о стационарном течении не имеет единственного решения, за исключе-

нием, быть может, изолированных значений 1/v, одно из ее решений является неустойчивым». Теорема Бенджамена следует из тщательного анализа топологических степеней, использующего теорию Лерэ и Шаудера.

16. И Ландау, и Хопф предполагали что переход к турбулентности может быть описан посредством повторяющейся закритической бифуркации множества квазипериодических решений в подобное множество более высокой размерности 1).

Три идеи занимают важное место в статье Ландау [1944] и повторяются в книге Ландау и Лифшица [1954].

Начальный экспоненциальный рост малых возмущений при v V 旷厶 (R > /?厶)будет в действительности ограничен нелинейным взаимодействием, которое при малых | А | описывается уравнением для амплитуд (****).

Если г немного меньше v^, то конечное состояние для возмущений установившегося течения является периодическим по времени движением.

При дальнейшем уменьшении v периодическое по времени решение «уступает» устойчивость квази периодическому решению с двумя частотами, затем это решение с двумя частотами «уступает» устойчивость решению с тремя частотами. Таким образом, вводится все больше и больше частот во все большие множества устойчивых решений.

«При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса появляются последовательно все новые и новые периоды, и движение приобретает запутанный, типичный для турбулентности характер ... таким образом, турбулентное движение обладает свойствами некоторой, как говорят, квазипериодичности» (Ландау и Лифшиц [1954, с. 132—133]).

К сожалению, попытка уточнить это очень привлекательное описание перехода к турбулентности сталкивается со следующими двумя трудностями: во-первых, ответвляющиеся закритические решения могут не быть квазипериодиче- скими и, во-вторых, переход к турбулентности может происходить разрывно, путем скачкообразной потери устойчивости.

Точные примеры, которые бы приводили к бифуркации решений на режимы с более чем одной частотой, в настоящее время неизвестны. Впрочем, Джозеф [1973а] рассмотрел задачу о бифуркации периодического по времени основного течения с фиксированной частотой в квазипериодические течения с двумя частотами. Используя метод «двух временных масштабов» и предположение Ландау, он дал для этой задачи алгоритм построения решения в рядах по степеням е. Формально из этого построения можно получить почти все результаты, которые могут быть получены строго в стационарном случае. И снова оказывается, что докритические ответвляющиеся решения неустойчивы и т. д. Однако при построении ответвляющихся решений возникает проблема малых делителей, и формальный расчет устойчивости ответвляющегося решения основывается на возмущении собственного значения, которое является неизолированным.

Рюэль и Тэкенс [1971а, 19716] исследовали гипотезу Ландау—Хопфа применительно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Они воспользовались идеями современной качественной теории дифференциальных уравнений. Помимо всего прочего, они доказали, что при определенных условиях неустойчивое периодическое по времени решение бифурцирует в инвариантный тор. В фазовом пространстве периодическое решение представляется замкнутой орбитой, и тор можно представить себе как замкнутую поверхность, содержащую

1) Квази периодической функцией м переменных является функция / (со", S2% s〃f), содержащая конечное число 九 рационально независимых частот ©I，”2，•••，^п и являющаяся периодической с периодом 2л по каждой из своих переменных. Например, функция / (со", со2О = g (Q = cos / cos л/ будет квази- периодической функцией с частотами со】=2兀 и со2 = 2. Значение g (/) = 1 достигается только при / = 0; хотя g (/) < 1 при f 片 0, всегда найдется такое / ⑹ > 0, что I g ⑴一g (0)| < е для любого наперед заданного е> 0.

орбиты периодического решения. Радиус тора связан с амплитудой ответвляющегося решения, но характер решений на торе (их «периодичность» или «квазипериодичность» и т.д ) остается неопределенным. В исследовании Рюэля и Тэкенса используется очень мощная теорема ——теорема о центральном многообразии, позволяющая свести к л = 2 исходную задачу, поставленную в n-мерном банаховом пространстве. В работе Лэнфорда [1973], в которой имеется также доказательство теоремы о центральном многообразии, изложен результат анализа этой бифуркации.

Иосс [1975] показал, что результаты Рюэля и Тэкенса по бифуркациям можно обобщить на случай, в котором тор решений ответвляется от вынужденного периодического решения уравнений Навье——Стокса с заданной частотой. Как и в работе Рюэля и Тэкенса, закритический тор оказывается устойчивым, а до- критический ——неустойчивым. Результаты Иосса, подобно результатам Рюэля и Тэкенса, неполны, поскольку аналитические свойства решений на ответвляющемся торе не установлены полностью. Никакого окончательного утверждения относительно квазипериодичности решений на торе сделать нельзя, но все же можно построить главный член разложения тора по степеням (vc — v)"?. Вычисления Иосса показывают, что главный член является квазипериодическим и фактически совпадает с главным членом формального ряда, предложенного Джозефом

Рюэль и Тэкенс [1971а] также рассмотрели последовательные закритические бифуркации в торы возрастающих размерностей. Торы более высокой размерности суть топологические объекты, которые нелегко представить себе интуитивно; например, тор в 飢мерном пространстве 伍》4) не делит пространство на внутреннюю и внешнюю области. Образ в фазовом пространстве квази периодического векторного поля

x = f (со",仰厶 …，S位)

является частным случаем ^-мерного тора Т'. Исследование Рюэля и Тэкенса по ответе ляющимся торам основано на некоторых ограничительных предположениях. Эти авторы полагают, что рассматриваемые системы дифференциальных уравнений относятся к системам общего положения в смысле остаточных множеств х), и требуют, чтобы их параметр «вязкости» был отделен от критических значений. Они доказывают, что на Tk вблизи квазипериодического решения с 々 частотами 但 А 4) имеется «странный аттрактор» (формально это один из странных аттракторов аксиомы А Смейла).

Чтобы понять важность работы Рюэля и Тэкенса в описании перехода к турбулентности, полезно заменить слово «странный» словом «непериодический»; тогда можно сказать, что на торе 月 А 4 имеется аттрактор, являющийся непериодическим ). Известны примеры непериодических аттракторов, которые не являются странными аттракторами аксиомы Л; интересный асимптотический анализ одного из них принадлежит Бейкеру, Муру и Спиглу [1971 ]. В проводимых здесь рассуждениях особенно важен непериодический аттрактор Лоренца [1963], поскольку он связан с задачей о конвекции (хотя и грубо упрощенной задачей), в которой дифференциальные уравнения в частных производных сведены к трем нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям для

фурье-компонент решения. Аналогичную систему уравнений, содержащую уравнения Лоренца как частный случай, получил Роббинс [1975] при исследовании дисковых динамо.

Важным свойством этих непериодических аттракторов является перемешивание фаз: в отличие от квазипериодических функций, которые не премешивают фазы (см. свойство 10 в приложении А), аттрактор Лоренца и странные аттракторы аксиомы Л характеризуются автокорреляционной функцией, быстро затухающей во времени. Это свойство автокорреляционной функции точно согласуется с экспериментом. Вторым характерным свойством наблюдаемой турбулентности и непериодических аттракторов является существенная зависимость от начальных условий. Хотя средние значения в турбулентных течениях со стационарными внешними условиями и являются стационарными и, таким образом, не зависят от начальных условий, детальная структура каждой реализации турбулентного течения различна, и эти различия, по-видимому, можно связать с различными начальными условиями. Такая высокая чувствительность к начальным условиям совершенно не свойственна квази периодическим аттракторам; на них условие, которое возникло однажды, будет почти точно повторяться снова и снова, если у вас хватит терпения ждать достаточно долго.

Основная идея, высказываемая в работах Лоренца [ 1963 ] и Рюэля и Тэкенса [1971а], состоит в том, что переход к турбулентности в закритическом случае происходит как вполне определенная бифуркация высшего порядка. Вместо бифуркации в последовательность квазипериодических множеств возрастающей размерности, согласно идеям Ландау и Хопфа, мы получаем несколько бифуркаций Ландау—Хопфа, за которыми следует бифуркация в непериодический аттрактор со смешением фаз. В экспериментах эта бифуркация должна наблюдаться как внезапный переход к турбулентности. Нечто подобное этому иногда наблюдается в экспериментах (см. обсуждение экспериментов Голлуба и Суинни [1975] в конце § 39 и теоретические работы Мак-Лафлина и Мартина [1974], в которых цитируется большое количество экспериментальных работ».

Представляется необходимым добавить, что многие вопросы теории Рюэля— Тэкенса требуют уточнения. Утверждение о закритической бифуркации в странный аттрактор для 论 > 4 основывается на предположении, что существуют тор Tk и квазипериодическое решение на Tk и что уравнения Навье―Стокса обладают свойствами систем общего положения в смысле остаточных множеств. Более того, каталог аттракторов для обыкновенных дифференциальных уравнений в R" еще не составлен — имеется очень много аттракторов, пока еще ускользнувших от анализа. Конечно же, не больше сведений имеется и об аттракторах решений уравнений Навье——Стокса. Несмотря на это, полученные результаты представляют собой шаг вперед в понимании роли непериодических аттракторов, перемешивающих фазы, в описании перехода к турбулентности через повторяющиеся закритические бифуркации.

Теория непериодических странных аттракторов не дает описания пространственной структуры турбулентных полей. Интересные представления о пространственной структуре турбулентных полей возникают в вариационной теории турбулентности.

Эта теория основана на обнаруженной Хоуардом [1963] возможности определить ограниченные функционалы статистически стационарной турбулентности. Буссе [19696, 1970а] предположил, что для решения вариационной задачи, поставленной Хоуардом, можно использовать решения нового типа, а именно многомодовые решения, и дал аппроксимацию галерки некого типа для этих решений в асимптотическом пределе. Некоторые необходимые предварительные

Проблеме странных аттракторов посвящен специальный сборник переводов «Странные аттракторы* под ред. А. Н. Колмогорова (М.: Мир, 1981). Обзор современного состояния проблемы странных аттракторов в гидродинамическом аспекте сделан в работах Монина [1978*] и Рабиновича [1978*]. — Прим, перев.

сведения для построения точной теории таких многомодовых решений дали Буссе и Джозеф [1972], строгую же теорию ветвления предложил Джозеф [1974а]. Эта теория ветвления рассматривает многомодовые решения как модель повторяющихся закритических ответвляющихся решенийх).

Даже если идея Ландау——Хопфа и верна для закритического случая, она все же не может быть справедливой в докритическом случае. Как мы уже видели, неустойчивость докритически ответвляющихся решений препятствует непрерывному ветвлению.

Ландау (но не Хопф) все же рассматривал возможность потери устойчивости, происходящей при докритическнх условиях, но он недооценил значения этой возможности. В приведенной ниже цитате (Ландау и Лифшиц [1954, с. 133]) Ландау говорит о двух значениях 7?кр (мы назвали эти значения Rl и Rg)：

«Мы ввели понятие о критическом числе Рейнольдса, как о том значении R, при котором возникает неустойчивость стационарного движения в описанном выше смысле. Понятие о 7?кр можно, однако, характеризовать и с несколько иной точки зрения. Именно при R < /?кр не существует устойчивых, не затухающих со временем, нестационарных решений уравнений движения. После достижения критического значения появляется устойчивое нестационарное решение, которое и осуществляется реально в движущейся жидкости.

Для исследованных экспериментально обтеканий обычных конечных тел оба определения 7?кр, по-видимому, совпадают. Логически, однако, это не обязательно, и принципиально возможны случаи, когда существуют два различных критических значения: значение, выше которого возможно существование незатухающих нестационарных движений, и значение, выше которого становится абсолютно неустойчивым стационарное движение (второе, очевидно, должно превышать первое). Поскольку, однако, в настоящее время нет никаких указаний на реальное существование таких случаев неустойчивости, мы не станем останавливаться подробнее на их исследовании*.

В примечании к последнему абзацу указывается: «Здесь не идет речь о движениях типа течения в трубе, потеря устойчивости которыми обладает специфическими особенностями!. (Возникает непреодолимое искушение сравнить это примечание с утверждением, что «нет никаких указаний на ... существование …》.) Специфические особенности потери устойчивости течениями в трубах описаны Ландау (Ландау и Лифшиц, 1954, с. 141) следующим образом (читайте R；p= Rg)：

«В то же время экспериментальные данные показывают, что существует еще одно критическое число Рейнольдса (обозначим его R；p), определяющее границу, до которой вообще не может существовать устойчивого нестационарного движения... Если в каком-либо участке вдоль трубы возникает турбулентное движение, то при R < R[p турбулентная область, «сносясь» вниз по течению, в то же время будет сужаться, пока не исчезнет совсем; напротив, при R > R；p она будет с течением времени расширяться, захватывая все больший участок потока. Если возмущения течения непрерывно происходят у входа в трубу, то при R < R[p они непременно затухнут на некотором расстоянии от входа, сколь бы сильны они ни были. Напротив, при R > R[p движение станет турбулентным на всем протяжении трубы, причем для этого достаточны тем более слабые возмущения, чем больше R. Таким образом, ламинарное течение по трубе при R > R；p метастабильно, будучи неустойчивым по отношению к возмущениям конечной интенсивности ——тем меньшей, чем больше R.

...нестационарное движение, возникающее при «срыве» метастабилыюго ламинарного течения, является уже сразу вполне турбулентным. В этом смысле характер возникновения турбулентности в трубе существенным образом отли-

Вариационная теория турбулентности подробно рассматривается в гл. IV и особенно в гл. XII. Однако обсуждение вопроса о существовании решений и развитая Джозефом [1974а] теория ветвления не включены в эту книгу.

чается от возникновения турбулентности в результате абсолютной неустойчивости стационарного обтекания конечных тел. В последнем случае возникновение нестационарного движения при прохождении через /?кр происходит, побили мому, непрерывным образом, без скачков, с постепенным увеличением «числа степеней свободы»... При течении же жидкости по трубе возникновение турбулентности происходит скачком. С этим различием связано, в частности, различие между зависимостью сопротивления от числа Рейнольдса в обоих случаях. Если, например, речь идет о движении какого-нибудь тела в жидкости, то испытываемая им сила сопротивления 尸 не претерпевает скачка при R = Ккр，когда стационарное обтекание делается абсолютно неустойчивым. В этой точке кривая 尸= =F (R) должна иметь только излом — соответственно изменению характера движения. При течении же в трубе при R > /?Кр имеется, по существу, два различных закона сопротивления: один для стационарного, а другой для турбулентного течений. При каком бы значении R ни произошел переход одного течения в другое, сила сопротивления испытывает скачок>.

Рис. 5. Схематическая сводка результатов экспериментов Шапиро [1961 ], показывающих изменение сопротивления шара при изменении скорости потока воздуха. По оси абсцисс отложена скорость, по оси ординат — сила сопротивления.

Даже если бы было гарантировано, что обтекание тел более «типично», чем течение в трубах, факты не подтверждают замечания о «непрерывном» переходе к турбулентности рассмотренным Ландау путем. В действительности эксперименты подсказывают, что сила сопротивления в некотором смысле является разрывной функцией R.

Эта разрывность силы сопротивления иллюстрируется серией очень красивых элементарных экспериментов Шапиро [1961 ]. В этих экспериментах шар диаметром в три дюйма помещался в поток воздуха.

«...Затем мы измеряли силу сопротивления в серии опытов с постоянно возрастающей скоростью воздуха. При скорости 80 миля/ч эта сила составляла около 1,5 единицы произвольной шкалы, а при 100 миля/ч она увеличилась примерно до 2,4 единицы. При скорости, чуть большей 115 миля/ч, сила сопротивления возросла до 3,0 единиц. Все это происходило вполне регулярно и точно так, как можно было ожидать. Но, как только скорость превысила 115 миля/ч, сила сопротивления, к нашему удивлению, начала падать и при 140 миля/ч составляла всего около 2,3 единицы. После этого она снова начала возрастать и при 155 миля/ч снова достигла значения 3,1 единицы. При дальнейшем увеличении скорости сила сопротивления непрерывно росла без каких-либо нерегулярностей.

Результаты этих наблюдений графически представлены на рисунке (здесь это рис. 5), на котором сила сопротивления отложена по вертикальной оси, а скорость потока воздуха ——по горизонтальной. При увеличении скорости, начиная с нуля, сила сопротивления тоже увеличивается точно так же, как сила, действующая на руку, высунутую из разгоняющегося автомобиля. Но после того, как скорость достигает определенного критического значения, дальнейшее ее увеличение вызывает уменьшение силы сопротивления. К тому же на этом этапе

стрелка указателя силы сопротивления совершает значительные колебания, что указывает на какую-то неустойчивость. Наконец мы достигаем скорости, при которой сила сопротивления снова увеличивается плавно с ростом скорости, но следует кривой, отличной от кривой для первого плавно возрастающего участка.

Таким образом, по-видимому, существует два различных типа течения с быстрым переходом от одного к другому, происходящим в определенном интервале скоростей. Сила сопротивления резко уменьшается в тот момент, когда вполне умеренное увеличение скорости вызывает изменение типа течения» (Шапиро [1961, с. 29—30]).

Во второй серии экспериментов Шапиро сравнивает сопротивление слегка шероховатого шара и гладкого шара такого же размера. При малых скоростях сопротивление шероховатого шара больше, однако при скорости свыше 125 миля/ч большим оказывается сопротивление гладкого шара.

«Хотя и удивительно, что шероховатость поверхности иногда приводит к уменьшению сопротивления, еще удивительнее, что при некоторых скоростях сопротивление шероховатого шара (согласно количественным измерениям на весах) составляет всего пятую часть сопротивления гладкого шара. Мы привыкли думать, что в мире реальных явлений малые изменения условий приводят соответственно к малым изменениям поведения. Как же может столь малая причина, как едва заметная на ощупь шероховатость, создавать столь большой эффект, как пятикратное уменьшение сопротивления?» (Шапиро [1961, с. 37]).

Внезапное уменьшение сопротивления при увеличении числа Рейнольдса и удивительный факт значительно меньшего сопротивления шероховатого шара по сравнению с гладким можно объяснить, следуя Прандтлю, следующим образом. При потенциальном обтекании шара наибольшее давление будет в передней и задней критических точках, а наименьшее ——в верхней и нижней точках шара, где достигается наибольшая скорость. Из-за вязкости эта симметрия нарушается, и на шаре развивается пограничный слой, в котором жидкость тормозится трением. Это торможение трением вместе с обратным градиентом давления на подветренной стороне шара в конце концов приводит к образованию возвратного течения, направленного против течения в пограничном слое. Такое возвратное течение приводит к отрыву пограничного слоя и образованию следа. Давление в следе почти постоянно и равно давлению в точке отрыва. Следовательно, отрыв пограничного слоя препятствует восстановлению давления, которое произошло бы в противном случае, и это увеличивает сопротивление шара.

Развитие оторвавшегося пограничного слоя ——это задача о ламинарном течении, непрерывном по числу Рейнольдса (верхняя ветвь на рис. 5). Внезапное уменьшение сопротивления (кризис сопротивления, как его иногда называют) связано с потерей устойчивости ламинарным пограничным слоем при критическом числе Рейнольдса. Это критическое число Рейнольдса меньше при больших возмущениях. Шероховатость шара будет уменьшать критическое число Рейнольдса, и:

«Можно отметить, что на явление кризиса влияет степень турбулентности набегающего на тело потока: чем она больше, тем раньше (при меньших R) наступает турбулизация пограничного слоя. В связи с этим и падение коэффициента сопротивления начинается при меньших числах Рейнольдса и растягивается по более широкому интервалу их значений» (Ландау и Лифшиц [1954, с. 212]).

Потеря устойчивости ламинарным пограничным слоем существенно влияет на сопротивление, поскольку приводит к смещению точки отрыва пограничного слоя в направлении к задней критической точке шара i) п способствует более полному восстановлению давления почти до значения в передней критической точке.

1) За счет турбулентных пульсаций в область, близкую к границе на обратной стороне шара, переносится жидкость с большим импульсом. Если бы не этот перенос импульса, то обратный градиент давления приводил бы к сильному торможению и раннему отрыву (более полное объяснение см. в книге Бэтчелора 11967, с. 422-429]).

lg(2a%/v)

Рис. 6. Измеренное сопротивление цилиндра, отнесенное к единице длины вдоль оси (А = 2а), шара (Л = ла2) и кругового диска, перпендикулярного потоку (А = ла2); все тела имеют радиус а. Штриховыми линиями показаны результаты, полученные в разных аэродинамических трубах (Бэтчелор [1967]). / — круговой цилиндр; 2 — шар; 3 — круговой диск.

Рис. 7. Положение точки отрыва пограничного слоя для гладких шаров (Ахенбах [1972]).

Более полное восстановление давления и вызывает резкое уменьшение сопротивления.

В эксперименте можно получить непрерывную кривую для сопротивления с быстрым, но непрерывным переходом (ср. приведенные выше цитаты из книги Ландау и Лифшица) между двумя очень различными значениями сопротивления (рис. 6 и 7). Уровень возмущений течения определяется условиями эксперимента. Если при фиксированном значении R вводятся большие возмущения, то величина сопротивления может быть сильно уменьшена. Поэтому переход между различными значениями сопротивления при фиксированном R можно считать «разрывным».

Проблема устойчивости отрывных пограничных слоев, являющаяся центральной в вопросе о сопротивлении шара, еще не получила окончательного решения. Пока эта проблема не будет глубже исследована, все экспериментальные данные по сопротивлению шара не могут составить надежной основы для построения общей гипотезы о «передаче* устойчивости одним решением другому.

Глава III

ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ. ВИД ВОЗМУЩЕНИЙ,ЭНЕРГИЯ КОТОРЫХ РАСТЕТ В НАЧАЛЬНЫЙМОМЕНТ ВРЕМЕНИ ПРИ НАИБОЛЬШЕМЗНАЧЕНИИ V

В этой и в следующей главах рассматривается задача о механике и устойчивости течения, возникающего в прямой трубе кольцевого поперечного сечения под действием градиента давления. Мы хотим выяснить, какие новые режимы течения возникают по мере уменьшения v.

Когда вязкость велика, существует только одно возможное течение, соответствующее заданной геометрии и заданным воздействиям. Это однозначно определенное течение является основным течением; оно называется ламинарным течением Пуазейля и описывается уравнениями (17.4) и (17.5). Течение Пуазейля в круглой трубе, в которой нет внутреннего цилиндра, называется течением Гагена——Пуазейля (формула (17.6); см. упражнение 17.1). Течение в канале с плоскими параллельными стенками называется плоским течением Пуазейля; оно может быть получено как предельный случай, когда ширина зазора в кольце мала по сравнению с радиусом внутреннего цилиндра (формула (17.7)). По мере того как V проходит через различные критические значения, оказывается возможным все большее число течений 】). В этой главе мы рассмотрим только первое критическое значение v.

Чтобы понять сущность нашей математической идеализации физической задачи, рассмотрим физическое движение, которое создается на установке, изображенной на рис. 8.

Высоты 力1 и 力2 уровней жидкости в резервуарах считаются большими по сравнению с внешним радиусом трубы Ь. Тогда давление на кольцевых входе и выходе из трубы оказывается почти постоянным по сечению. Для поддержания высоты жидкости на постоянном уровне в верхней части каждого резервуара имеются сливные отверстия; это обеспечивает постоянный перепад давления Pi — р2 на участке трубы длиной L.

Режимы течений, которые можно получить на установке, существенно зависят от значений числа Рейнольдса, определяемого как

R = Utn (b — 〃) М

Удобно сохранить название «течение Пуазейля» и для течений, которые заменяют ламинарное течение Пуазейля при уменьшении v. Мы можем, например, рассматривать периодическое по времени течение Пуазейля или турбулентное течение Пуазейля.

где Um — максимальная скорость ламинарного течения Пуазейля. Число Рейнольдса появляется при записи в безразмерном виде начально-краевой задачи, в которой длина измеряется в единицах b — а, а скорость — в единицах Um (см. замечания к гл. I).

Запись задачи в безразмерных переменных полезна при сопоставлении данных. В случае фиксированного перепада давления в данной трубе изменение R, разумеется, полностью эквивалентно изменению 1/v.

Ламинарное течение Пуазейля

Наблюдая течение в трубе при большом значении вязкости, можно заметить следующее: а) градиент давления, измеренный в различных точках вдоль оси трубы, оказывается постоянным везде, кроме входного и выходного участков; б) след окрашенной жидкости в трубе представляет собой отрезок прямой. Можно найти стационарное решение уравнений Навье—Стокса для задачи, совпадающей с только что описанной во всей области, где постоянен градиент давления. Это решение удовлетворяет уравнениям (1.1) для стационарного основного течения в бесконечно длинной трубе. Компоненты скорости в цилиндрических координатах 亿 0, %) равны (ось % совпадает с осью трубы)

(17.1)(17.2)(17.1)(17.2)取=0,丿=о, U = U (г), U (а) = U (Ь) = 0 и

(17.1)

(17.2)

(17.1)

(17.2)

一黑崇)=。■

Здесь должно выполняться условие

dn/dx * —Р = const,(17.3)

где 冗 = р/р。, а постоянная совпадает с градиентом давления, наблюдаемым в эксперименте. Если предположить, что величина

(17.4)(17.5)(17.4)(17.5)1 dn Pi —卩2v dx — vp0L

(17.4)

(17.5)

(17.4)

(17.5)

постоянна, то

U = 仆—严 + 伍2 —炉)[Е (〃а)]/Е (力/a)

Um@2 —彳 + 2吟 In (rc/a)

где

& =(丛— a2)/[2E(b/a)]

—то значение г, при котором U (г) достигает своего максимального значения: U (rj = Um.

Следует заметить, что семейство ламинарных течений (17.5) существует для всех значений v. Для малых v течение (17.5) становится неустойчивым и переходит в завихренное движение.

и (г) = Um (1 — rW),и (г) = Um (1 — rW),(17.6)(17.6)Упражнение 17.1. Рассмотреть предельный случай а—>0 при фиксированном г> а. Показать, что течение (17.1) сводится к течению Гагена——Пуазейля, т. е. что

и (г) = Um (1 — rW),

и (г) = Um (1 — rW),

(17.6)

(17.6)

где Um = P02/(4v)является скоростью на оси трубы. Показать, что сила, отнесенная к единице длины и действующая на жидкость со стороны внутреннего цилиндра, стремится к нулю вместе с а.

Рассмотреть предельный случай а—>оо при фиксированном значении Ь ——а = /. Показать, что скорость (17.5) стремится равномерно к скорости плоского течения Пуазейля

(17.7)(17.7)U= Um (\- 4/〃2),

(17.7)

(17.7)

где Um = PG/(8v)——скорость на центральной линии канала z = 0. (Для этого необходимо использовать разложение In (6/а) = In (1 + //а) = 〃а — /2/(2а2) +

+ 0伊历3).)

Упражнение 17.2. Показать, что имеет место равенство

(17.8)(17.8)и _о Ь2-，2 + 2^1п(〃6) 一

(17.8)

(17.8)

斫-2…Мy—二小

где

6

〈U〉=⑵俨—”))J rU dr

——средняя скорость. Каково отношение максимальной скорости к средней? Показать, что Um/{U) = 2 для течения Гагена—Пуазейля и УтКЩ = 34 для плоского течения Пуазейля.

Возмущенное течение

Пусть теперь на лабораторное течение накладываются возмущения в области входа, возмущения за счет вибрации установки и т. п. Тогда при очень больших v наблюдается немедленное затухание этих возмущений. Для меньших v возмущения на некотором интервале могут возрастать, а затем затухают. При еще меньших значениях v оказывается возможным поддерживать «синусоидальное и вихревое» движение, отличающееся от ламинарного течения Пуазейля.

Совершенно очевидно, что все течения, подобно лабораторному, занимают ограниченную область пространства; по этой причине ограниченная область представляется наиболее интересной с физической точки зрения. Однако математическая задача не всегда наилучшим образом ставится в ограниченной области. Если ограниченная область не замкнута материальной поверхностью, на которой можно поставить разумно заданные граничные условия, то может оказаться более удобным распространить задачу на бесконечную область и ограничиться поиском решений того класса, который, как можно надеяться, отражает наиболее важные свойства истинного решения в ограниченной области.

Точнее говоря, ламинарное течение Пуазейля является не наблюдаемым в лаборатории истинным течением, а распространением лабораторного течения на бесконечный цилиндр —оо V % V V 8. Поэтому нам нужно найти аналогичное обобщение для возмущений. Иначе говоря, перед нами встает задача продолжить возмущения на весь цилиндр таким образом, чтобы они совпадали с истинными во всей области с постоянным градиентом давления.

Пусть дано гладкое возмущение в конечной области; тогда всегда можно найти его гладкое продолжение на бесконечную область в виде или а) периодической функции, или б) почти периодической функции, или в) функции, допускающей преобразование Фурье. Естественным выбором для продолжения был бы такой, который оставляет неизменным основные структуры наблюдаемых движений.

Мы решили поставить задачи в классе почти периодических возмущений (см. приложение А). Почти периодическая функция / (х) может произвольно осциллировать при условии, что ее значение в какой-либо точке % почти точно повторяется в некоторой отдаленной точке % + т. Любая периодическая функция, очевидно, является почти периодической, однако обратное неверно; например, почти периодическая функция cos*+ cos лх определенно не является периодической, хотя и представляет собой сумму периодических функций. Ее значение равно 2 только при % = 0. Если

ось % направлена вдоль оси трубы, то можно использовать почти периодические функции х.

Уравнения для возмущений снова получаются рассмотрением разности между основным течением (U (/), dn/d%), описываемым формулами (17.4) и (17.5), и течением (Ufl (х), Vn"), которое также является почти периодическим решением НКЗ, но имеет начальную скорость и давление, отличные от задаваемых формулами (17.4) и (17.5). Дополнительно к обычным условиям мы требуем, чтобы вдоль оси трубы поддерживался одинаковый средний перепад давления (р、— p2)/Lp0 = Р.

В задаче, обобщенной на бесконечно длинную трубу, величины

п (х) = —Рх + const и

冗。(X, У、z, f) = р(X, у、2, /) + 冗(х)

не ограничены, но их разность р =冗。一л должна быть почти периодической и, следовательно, ограниченной функцией.

Назовем разность переменных р и величину

u = U" — е& ⑺

«возмущениями». Предполагается, что они являются почти периодическими по % (или периодическими с периодом L) функциями и должны удовлетворять задаче (1.4а, б, г) и условию

и = 0 при г = а,Ь.(18.1)

Разность между течением Пуазейля и любым другим почти периодическим движением в трубе кольцевого сечения, имеющим ту же самую постоянную компоненту градиента давления Р, удовлетворяет уравнению

芻 + U ・ Vu + u・ VU + и • Vu = — Vp + 业必 divu = 0(18.2)

с граничными условиями (18.1).

Эволюция энергии возмущений

Средняя энергия возмущения и течения Пуазейля в кольцевом цилиндре длины 2厶，содержащем постоянную массу, определяется выражением*

2/0) =〈|uP〉= (1/(2LJ) j〈|u%dx,(19.1)

где

^ = j^ii^dydZ-^^(m2)

2厶=x2 (/) - X]⑴.

Так как масса постоянна, то dLx/dt = 0. Вычисления показывают, что

2嘗= 2(u•济)+亡⑴明〉爲(19.3)

где [g] = g (工2)— g (%) означает скачок величины g.

Среднее любой периодической функции с периодом 2J равно нулю. Средний скачок любой почти периодической функции также равен нулю; если g — почти периодическая функция, мы усредняем по всему слою (Ах оо) и, поскольку ]g| V8, имеем Ug|] V 8 H lim (1/厶)[g] = 0. Следовательно, в выраже- 38

нии (19.3) мы получаем d^ldt = (u-du/d/); более того, для любого скаляра 屮 и любого соленоидального вектора v с нулевой нормальной компонентой при г = а, b выполняется равенство

(v-V(p) = (V.(pv) = (1/(2 厶))〈仰 v〃 = 0.(19.4)

Как и в ограниченной области, находим, что

}*〈|и『〉=〈и・令〉=—〈u・VU・u〉—-^-(u-V|u|2) —

一 (u-Vp) +v(u.V2u).(19.5)

(Здесь, как и в § 3, мы положили du/Л = du/dt + U-Vu.)

Для основного течения Пуазейля (17.1) имеем

и • D • u = uDxrw + wDrxu = uw dU/dr,

где Dxr — единственная отличная от нуля компонента тензора скоростей деформаций D, a U (г) определяется выражением (17.5).

Интегрирование по частям уравнения (19.5) дает

-《喲一-《喲一v()Vu |2)= ?也]_ v2[u],v()Vu |2)= ?也]_ v2[u],(19.6)(19.6)где\a2_r2+2r2inMгде\a2_r2+2r2inMи 〈|Vii|2〉= 2). (19.7)и 〈|Vii|2〉= 2). (19.7)

-《喲一

-《喲一

v()Vu |2)= ?也]_ v2[u],

v()Vu |2)= ?也]_ v2[u],

(19.6)

(19.6)

где

\a2_r2+2r2inM

где

\a2_r2+2r2inM

и 〈|Vii|2〉= 2). (19.7)

и 〈|Vii|2〉= 2). (19.7)

Координатная форма (| Vu |2) приводится ниже (см. § 37).

Упражнение 19.1. Показать, что уравнение (19.6) справедливо для всех течений, имеющих одинаковые потоки массы, но различные градиенты давления.

§ 20. Структура поля наиболее опасных начальных возмущений в кольцевом канале

Возмущение и0 (х) течения Пуазейля, вызывающее рост производной по времени энергии возмущения

d^/dt = ? [u0] — v 勿血]d^/dt = ? [u0] — v 勿血](20.1)(20.1)

d^/dt = ? [u0] — v 勿血]

d^/dt = ? [u0] — v 勿血]

(20.1)

(20.1)

в начальный момент времени при наибольшем значении вязкости v, представляет собой такое поле 品(х), которое максимизирует величину ?/2, т. е.

”甘=max 3fl3> =夕值о]/勿[u0], (20.2)

где

Нх= {u(r, 0, х): divu = 0, и|а,ь = 0, u £ 4Р(х)} (20.3)

(см. теорему энергетической теории устойчивости в § 4).

Здесь необходимо различать две задачи:

найти форму наиболее опасного начального возмущения (решить задачу (20.2); см. § 21—23).

по заданной 4юрме наиболее опасного начального возмущения найти закономерности его последующей эволюции (см. § 24—26).

Обе задачи можно упростить прежде всего путем разложения почти периодических функций в ряды Фурье для упрощения уравнения (20.2). Чтобы облегчить эту процедуру, введем индексные обозначения (хь х2, %з) = (х, у、г), и = (иь 如，〃з) = (〃，4 w) и U = (С/ (%2, х3), 0, 0), где U (%2, х3) — ламинарное течение Пуазейля (17.5).

Уравнение (20.2) можно переписать в виде

w甘=maxw甘=max—〈"i^gdaU〉—〈"i^gdaU〉(20.4)(20.4)

w甘=max

w甘=max

—〈"i^gdaU〉

—〈"i^gdaU〉

(20.4)

(20.4)

где подразумеваются обычные правила суммирования: повторяющиеся индексы суммируются по всей области их изменения, латинские индексы пробегают значения 1, 2 и 3, греческие — значения 2 и 3; например,

Oj〃i = “〃 1 + &〃2 + °3〃3， НО

dа〃а == %"2 +。3"3.

Последующее сведение задачи (20.4) к «нормальным модам» является следствием того, что почти периодические функции пред-

ставляются рядами Фурье со среднеквадратичной сходимостью. Мы покажем, что

”甘=max max 夕[u; a] = max v (a),(20.5a)

a “a

где

它扌[u]— —〈(〃1"B + 〃1〃B)瞅/〉456、

[J ® [u; a] - 2〈 1。网俨+叫修也，з万6) a — любое действительное число, ломаные скобки с индексом А определяются равенством (19.2) и Нл — множество комплексных векторных полей

Нл = |u = u(x2, х^\ и|&ь = 0, @в〃в + »а〃1 = 0}・

Для того чтобы доказать (20.5), заменим % в выражении (20.4) их рядами Фурье (приложение А):

и ~ £ 叫(х2, х3;固)exp (ia/0.

Так как и (尤八 х2, %з) — вещественная функция, имеем uz = и一厶 az = —a_z, где черта над буквой означает комплексно сопряженную величину. Эта подстановка приводит к неравенству

-("1"60山〉_ ?(2 [U/] ® [山，a山分[山；az]) /

(1眺亦+ 1。m・|2〉2勿山；m

《max max -?【“"—« max v(a);(20.6)

a/ UZ SD [uz; aj a

следовательно, v& « max v (a).(20.7)

a

С другой стороны, пусть поле u (%?, %з； а) реализует максимум функционала ^ [u; a ], равный v (а). Заметим, что сумма и"00*】 + + ue-'a*】 принадлежит множеству Нх и является допустимой для сравнения в задаче (20.4) на максимум v; следовательно,

max V (a) с v&.(20.8)

a

Сравнение неравенств (20.7) и (20.8) доказывает утверждение (20.5а).

При переходе к рядам Фурье задача максимизации относительно зависящих от % функций заменяется гораздо более простой задачей на максимум (20.5) для нахождения оптимизирующего значения числа а. Соотношение (20.5) справедливо для течения Пуазейля в прямой трубе произвольного поперечного сечения.

Для трубы кольцевого сечения наиболее удобными координатами являются цилиндрические. В этой системе координат азимутальную зависимость функций

u(Х-, х3; а) == ф (г, 0; а) = ^ ^п(г\ а, n)einQ (20.9)

можно снова исключить переходом к рядам Фурье; поэтому

v&= max max v(a, n).(20.10)

土八=0,1.2,…a

Из вывода, приводящего к выражению (20.10), можно сделать заключение, что наиболее опасное начальное возмущение всегда имеет вид «нормальной моды»

u = ге р 似*+咕)屮у a, и)}.(20 11)

В § 22 и 23 мы увидим, что для течения Пуазейля в трубах кольцевого сечения наиболее опасное начальное возмущение характеризуется a = 0. Течение Гагена—Пуазейля является исключением, но даже в этом случае начальное возмущение с a = 0 почти максимизирует выражение (20.2).

Нормальная мода (20.11) с a = 0 является возмущением специального вида в классе кинематически допустимых возмущений, которые, кроме того, не зависят от осевой координаты х.

Упражнение 20.1. Показать, что если v> v^t то

& (f) «彦(0) exp {,彦—v)尢/(b — a)2卜(20.12)

где

^-А_ = min b [и] и b[u] -<|Vu|2)/(|u|2).

Упражнение 20.2 (Зоргер [1966]). Найти минимум функции b [и] в классе векторов и = еоу (г), где v (а) = v (匕)=0. Показать, что b [eg (г)] = 丫彳，где у】——наименьший положительный корень уравнения

厶(Y。)％ (yb) 一 J】 (yb) % (ya) = 0. Доказать, что

Y； >A/(b — a)2.(20.13)

Упражнение 20.3. Показать, что если и не зависит от х, то среднее значение @ на любом цилиндре радиуса г равно нулю.

Упражнение 20.4. Доказать формулу, которая являлась бы аналогом (20.5) в случае, когда и ——квадратично интегрируемая функция в классе функций, допускающих преобразование Фурье.

Задача на собственные значения энергетической теории для течения Гагена — Пуазейля

Течением Гагена—Пуазейля называется ламинарное течение в круглой трубе без внутреннего цилиндра (см. формулу (17.6)). В пределе при а -> 0 мы имеем ? = 2Um (rwu)/b2 и можем записать задачу (20.2) в виде

^=号叫？名需=V/?彎点端， (21.1а)

где R = Umblv и функционал 2 {rwu)/b3 (| Vu |2) является безразмерным. Аналитическое исследование и численные расчеты приводят к следующим результатам (Джозеф и Карми [1969 ]):

(2,405)2 V А/62 V (3,83)2, где Л определяется выражением (4.5) с заменой / на 匕(см. упражнение 21.1);

(ii)v& = u//81,49;

наиболее опасным начальным возмущением является спиральная мода а 取 0 с азимутальной периодичностью, характерной для первой моды (и = 1);

если V > итЬ/82,88, то энергия не зависящего от х возмущения с азимутальной периодичностью первой моды (а = 0, и = =1) будет возрастать в начальный момент времени.

Если (i) и (ii) выполняются, то при U油К V 81,49 будет иметь место неравенство

否⑴ V 冒(0) exp {(- v/从) (2,40)2 (81,49 一 Umb/v)t\.

Доказательство (i) следует непосредственно из упражнения 21.1.

Для того чтобы установить (ii), (ii), и (iv), рассмотрим задачу Эйлера на собственные значения для (21.1а). Эту задачу на собственные значения можно получить стандартными методами вариационного исчисления (см. § Б.8 в приложении Б) в виде

—R (г/6) (eru + ех^) = 62V2u - Vp, u £ Н*・(21.16)

Уравнения (21.16) приводятся к безразмерному виду, причем в качестве характерных величин берутся Ь и Um. Затем, используя разложение по нормальным модам (20.11) и исключая давление и азимутальную компоненту скорости, получаем

Rdf = iarDLf — (и2 + 必产)Lu 一 2WrDu(21.1в)

и

R {(九2 + 川户)〃 + iarDf} = L2f + 4iaLu,(21.1г)

где D = d/dr и L = D2 + (1/r) D — /产/产—а2 Кроме того, и = f = Df = 0 при г = 1; 〃 и f ограничены при

г = 0.(21.1д)

В соотношениях (21.1в, г, д) функция и представляет собой безразмерную осевую компоненту и = <р (г; а, п) и / = wr, где w — радиальная компонента 屮(г; а, п).

Мы ищем R& как наименьшее положительное собственное значение R (а, и) задачи (21.1в, г, д), минимизированное по волновым числам а и 〃・ Наиболее опасное начальное возмущение описывается собственной функцией, принадлежащей этому наименьшему собственному значению.

Граничные условия для f, и и v могут быть найдены из кинематических условий, связанных с координатной системой (Бэтчелор и Гилл [1962 ]). Без потери общности предположим, что при г = 0 скорость u = erux + ttut имеет осевую компоненту еЛих (0, 0, х) и поперечную компоненту

*% (0, 0, х) = в，％ (0, 0, х) + е0и0 (0, 0, х).(21.2)

При г = 0 ut и их являются однозначными и поэтому не зависят от 0. Тогда из (21.2) следует, что при г = 0 выполняются равенства иг = % (х) sin (0 — 0О) и uQ = ut (%) cos (0 — 00), где 00 — произвольный угол в интервале 0 < 00 < 2冗.

Теперь рассмотрим компоненты разложения в ряды Фурье

(〃「，а)〜® (г, х), vn (г, х)) exp fn0.

Если 九 R 1, то из требований, накладываемых на вид функций иг и uQ при г = 0, следует, что wn (0, %) = 0 и % (0, х) = 0. Если и = 1, то зависимости вида 〃@ 〜cos (0 — 0О) н 〃夕 〜sin (0 ——00) оказываются возможными только тогда, когда 切工 + ^ = 0. Это последнее условие вытекает также из уравнения неразрывности divu =芻 + 窦+ ；(如 +黑)=0

при г = 0. Осевая компонента их 〜un (г, х) exp т0 будет, конечно, однозначной только при 九=0.

Итак, при г = 0

ип = 0, если 几中 0,

wn = vn = fn = Dfn = 0, если 几丰 I, (21.Ie) 侬1 +必工=/1 = 0.

Отсюда следует, что единственной модой, которая не накладывает условия un = 0 при г = 0, является первая мода (n = 1). Поскольку эта мода является единственной не ограниченной при

г = 0, она всегда будет серьезным кандидатом в наиболее неустойчивые моды.

Теперь наша задача состоит в нахождении наименьшего положительного собственного значения R (а, п) задачи (21.1в, г, д или е). Собственное значение R (а, и) является четной функцией обеих переменных, а кривые а = 0 и п = 0 определяют местоположение локальных экстремумов R. Мы ищем значение

Rl min R(a. n) = ^(a,n).(21.3)

oc>O, м^О, 1. 2,・••

Здесь мы использовали тот факт, что симметрия R (а, и) по (а, п) позволяет искать значения а, и в первом квадранте плоскости (а, и). Оценка, подобная (44.24) (см. § 44), показывает, что если а2 + и2 стремится к нулю или бесконечности, то R (а, и) неограниченно возрастает. Следовательно, min (R (а, и)) при 0 < а2 + а, %

+ п2 < оо достигается на луче arc tg (a/n) = const.

На луче п = 0 находим значения, полученные Орром '):

180,6~min/?(а, 0), а士 3,6.(21.4)

а

На луче а = 0 мы можем свести задачу (21.1в, г) к задаче

L2/ — Rn^u = 0,(21.5а)

L〃 +R/ = 0,(21.56)

где / и и удовлетворяют условиям (21.1д). Исключение и из этой системы приводит к системе шестого порядка относительно /: u/+r%2/ = 0,/=切=L2月1 = 0,(21.6)

причем / и ее производные ограничены при г = 0. Решением (21.6) является функция

/ (г) = 4」п (九汐)+ 4」〃(九咨)+ 4」n (^3/2f)>

где Jn — функция Бесселя и

绘=(必九2)1/3, x2 =九1c 一2m/3,脑=脑川叫3.

Полученное решение нормируется выбором 4工=1. Затем, фиксируя п, мы получаем из граничных условий при г = 1 три однородных уравнения для определения Л2 и 7? и находим

R(0, 1) = min R (0,九)=82,88(21.7)

м^=0> 1» 2.・• •

и при п = 1

А2 = 0,00301-/0,02455.

т) Значения, приведенные в (21.4), были получены на ЭВМ интегрированием, начиная от начальных значений, найденных методом Фробениуса. Орр [1907] использовал тот же самый метод и вручную получил значения 180 н а и 3,7.

Поскольку лучи а = 0 м 〃 = 0 являются геометрическим местом стационарных значений R (а, и), можно было бы предположить, что R (0, 1) = R (а, й) является решением задачи (21.3). Истинное положение дел оказывается несколько сложнее; в действительности, если разрешить и меняться непрерывно и поло-

Рис. 9. Главные собственные значения R (а, п) уравнения (21.1) (Джозеф и Карми [1969]).

жить и = 8 при малых 8, то легко показать, что R (а, 8)не имеет минимума при а = 0. Для очень малых 8 функция R (а, е) аппроксимируется функцией R (а, 0), которая, как показал Орр (см. (21.4)), имеет минимум при а 二 3,6.

При помощи численных расчетов находим, что при целых л R&= 81,49, (а, й) = (1,07, 1). (21.8)

Следует также заметить, что при % п 2

min R (а, п) = R (0, и). а>0

Это означает, что возмущения, соответствующие п ^ 2 и минимизирующие R (а, и), описываются функциями, не зависящими от осевой координаты % (рис. 9). На этом рисунке собраны результаты численного интегрирования уравнений (21.1). Наименьшим значением R (а, п) является 81,49. Для каждого фиксированного и при а — 8 величина R (а, п) f R (а, 0) (решение Орра); см. Джозеф и Карми [1969 ].

Упражнение 21.1. Показать, что в области между двумя концентрическими цилиндрами

〈》(矮у + (鼾+」(芻

И что

- ]、((兆/力)2〉、2

где у。——наименьший положительный корень уравнения

」о(W)У。(Y。)一人(Y。)九(Y。) = 0・

Показать, что при отсутствии внутреннего цилиндра (а = 0)

(2,405)2 « у工《 (3,83)2.(21.9)

Неравенства в (21.9) в действительности являются строгими (см. Зоргер [1966]).

Задачи на собственные значения энергетической теории для течения Пуазейля между концентрическими цилиндрами

Параболическое течение Пуазейля

Параболическое распределение скорости течения Гагена— Пуазейля не меняется при добавлении концентрического внутреннего цилиндра при условии, что осевая скорость перемещения этого цилиндра выбрана соответствующим образом:

U (г) = Um (产—产)/(^2 — а)(22.1)

Течение (22.1) называется параболическим течением Пуазейля. Энергетический анализ этого течения полностью совпадает с анализом, проведенным в § 21 для случая а = 0, за исключением того, что здесь мы требуем, чтобы выполнялись условия и ^=^6 = 0.

Уравнениями Эйлера для безразмерного варианта этой задачи (с Ь — а, выбранным за линейный масштаб, Um — за масштаб

скорости к R = Um (b — a)/v) снова являются уравнения (21.1в) и (21.1г). Граничные условия

f = Df = 〃 |а 匕==0f = Df = 〃 |а 匕==0(22.2)(22.2)

f = Df = 〃 |а 匕==0

f = Df = 〃 |а 匕==0

(22.2)

(22.2)

теперь выполняются на

5 = “/(1 — т]), б = 1/(1 — т]), т] = alb.

Точное решение задачи (21.5а, б) и (22.2) может быть представлено как линейная комбинация функций Бесселя.

Рис. 10. Собственные значения R (а,九)для параболического течения Пуазейля между концентрическими цилиндрами при 刀=0,2 (Джозеф и Мансон [1970]).Рис. 10. Собственные значения R (а,九)для параболического течения Пуазейля между концентрическими цилиндрами при 刀=0,2 (Джозеф и Мансон [1970]).

Рис. 10. Собственные значения R (а,九)для параболического течения Пуазейля между концентрическими цилиндрами при 刀=0,2 (Джозеф и Мансон [1970]).

Рис. 10. Собственные значения R (а,九)для параболического течения Пуазейля между концентрическими цилиндрами при 刀=0,2 (Джозеф и Мансон [1970]).

Результаты численного исследования, приведенные на рис. 10, указывают, что критическое энергетическое возмущение для параболического течения Пуазейля не зависит от х; для предельного случая " -> 1 это будет доказано в § 48. Для течения Гагена— Пуазейля (“ = 0) критическим энергетическим возмущением является возмущение, зависящее от %. Связь между решениями задачи об устойчивости параболического течения Пуазейля в пределе при n f 0 н решениями задачи об устойчивости течения Гагена—Пуазейл я (т) » 0) до сих пор не установлена.

Течение Пуазейля в трубе кольцевого сечения

Энергетический предел устойчивости для этой задачи определяется уравнениями (20.2) и (20.10). Дифференциальными уравнениями Эйлера для функционала R (а, и) = Um (b — a)/v (а, и) являются уравнения (21.1в, г) с заменой R на —RD UI%, где1)

力〃 2「(1 — t])2 + (1-ti)2/(厂 In н)

—* (22.3)

При a = 0 мы, как и ранее, приходим к системе 厶2f + r(QU/(2r))出〃 =0,厶〃一(DU/(2r)) Rf = 0

(22.4а, б)

Таблица /

Энергетические пределы устойчивости (Джозеф и Карми [1969]). Критические числа Рейнольдса для течения Пуазейля в трубе кольцевого сечения

Собственное значение R (0, п; н) при уменьшении 刀 стремится к значению 82,88 для круглой трубы. При 刀》10-4 наименьшее значение R (% n; ц) относительно 九 н а связано с чисто азимутальными решениями (а = 0).

п

R

a

м

0,0001

83,80

0

1,8】）

0,001

85,10

0

1,8】）

0,010

93,23

0

1,9】）

0,050

98,02

0

2

0,200

100,35

0

3

0,500

99,63

0

6

0,625

99,50

0

9

0,700

99,43

0

12

0,900

99,21

0

39

1,000

99,21

0

@2)

1)Отыскание минимума значений п.

a = lirn (〃/(1 — n))= 5

проводилось относительно 4,088 (Буссе [1969а]).

непрерывных

仪 Уравнения Эйлера для R (а, п) можно также получить из уравнений (44.12), описывающих спиральное течение (см. § 44) в случае, когда стенки труб неподвижны (V (г) s 0).

с и = f = Df = 0 на границах. Численный анализ (табл. 1) снова показывает, что критическое энергетическое возмущение не зависит от х, а минимальное собственное значение достигается при а = 0 н % = 2 (Джозеф и Мансон [1970 ]).

Собственные функции энергетической теории — приложение теории осцилляционных ядер

Главные собственные функции задач, рассмотренных в § 22, легко найти численными методами. Вспомним, что главная собственная функция энергетической теории дает форму возмущения, энергия которого увеличивается в начальный момент времени при наименьшем значении R. Основной результат состоит в том, что главные собственные функции f и 〃 не меняют знака, когда DU сохраняет знак на интервале М < г < 5; с другой стороны, для течения Пуазейля в трубе кольцевого сечения DU (формула (22.3)) меняет знак на а < г < 5, и аналогично ведет себя собственная функция и энергетической теории (рис. 11).

Интересно сравнить задачи на собственные значения (21.5а, б) для течения Гагена—Пуазейля (см. уравнение (21.1в)) и параболического течения Пуазейля (см. формулу (22.1)) с задачей (22.4а, б). Основные свойства уравнений (21.5а, б) с граничными условиями (21.1д) или (22.2) могут быть полностью описаны теорией осцилляционных ядер.

Рассмотрим задачу (21.5а, б) с граничными условиями (22.2). Описывающую ее систему уравнений можно свести к двум интегральным уравнениям:

u = R\G(r. r0; п)f (%)% 九，f = —R%2 [ н (r, r0；几)и (小)厂。丸，

(23.1а, б) где G и Н — функции Грина задач

LG = 6 (г — г。)" и RH = 5 (厂一小)亿 причем G, Н и DH обращаются в нуль при г = й, 5, а 6 (г — %) является дельта -функцией. Уравнения (23.1а, б) можно свести к одному интегральному уравнению только для 〃 или только для /, например.

/ — —R2〃2 j /(r0)|j н (г, т; 〃)G (т, г0; %) т dij Го drQ 三

三 R2 J f (%) к (г, %； и) Го drQ.(23.2)

Каждый из операторов L и L2 может быть записан в виде повторяющихся производных с положительным весом, например

L〃 == p()D {p^D(Р2〃)}, Ро === г"“， Pi = г】""，Р2 = г"・Этого факта и граничных условий оказывается достаточным длятого, чтобы установить, что G н 〃 являются осцилляционными

Рис. 11. Критические энергетические возмущения для течения Пуазейля в трубе кольцевого сечения (они являются главными собственными функциями задачи (22.4а, б)).

функциями Грина (см. приложение Г). Композиция К, составленная из осцилляционных функций Грина, является также осцилля- ционным ядром, и отсюда следует лемма о положительности:

Для каждого фиксированного целого и = 0, ±1, ±2, ... существует наименьшее положительное собственное значение R2 интегрального уравнения (23.2). Это собственное значение является простым. Соответствующая ему собственная функция сохраняет знак на (й, 5). Собственная функция и, принадлежащая R > О, имеет на этом интервале тот же знак. Для собственных значений R > 0 нет других собственных функций, сохраняющих знак на интервале (й, 5).

Данная лемма применяется к энергетической задаче на собственные значения (21.5а, б) при граничных условиях (21.1д). Эта задача описывает течение Гагена—Пуазейля и является особым случаем в теории осцилляционных ядер ')•

Из рис. 11 следует, что критическое возмущение и течения Пуазейля в трубе кольцевого сечения меняет знак на (а, 5). Это возмущение удовлетворяет интегральному уравнению формы (23.2) с ядром, составленным из осцилляционных функций Грина. Однако теория осцилляционных ядер здесь не применима, поскольку DU (г), заданное выражением (23.3), меняет знак -на указанном интервале (см. упражнение 23.1).

Упражнение 23.1. Сформулировать задачу (22.4а, б) в виде одного интегрального уравнения. Показать, что ядро этого интегрального уравнения неположительно.

Упражнение 23.2. Показать, что функции Грина G и Я, соответствующие задаче (21.5а, б) и (21.1д), задаются выражениями

G = — (2〃尸{(%尸一(％〃)"} при г > %,

Н =(8〃)层一1)尸{(〃 一 1) ("о)5 [诚—(〃 + 1)] + S — 1)(%〃尸哈 +

+ (л + 1) (r^r)n [(1 — я) r§ + я] — (л + 1) (rQlr)n г2} при r>f0 и

G (г,小)=G (%, /•), Я (г, г0) = Н (/，)•

Об абсолютной и глобальной устойчивости течения Пуазейля относительно возмущений, не зависящих от координаты вдоль оси

В первых трех параграфах этой главы было показано, что наиболее опасные начальные поля часто имеют вид не зависящих от Xi возмущений. Теперь, следуя плану, упомянутому в

Теория осцилляционных ядер еще не обобщена на случай сингулярных операторов и непосредственно к рассматриваемому случаю не применима. Чтобы все-таки применить эту теорию, заметим, что при г—>0 G 亿 r0) —> С^, Я (г, %) -> С2Гд +。2产+2. Используя эти соотношения как граничные условия при /•= 0, можно показать (так же, как в § 8 гл. III книги Гантмахера и Крейна [1941 ]) прямым интегрированием итерированных производных форм 厶 и £а, что G н 〃 являются «функциями влияния» и, следовательно, осцилляционными ядрами.

в § 20, мы будем изучать эволюцию этих специальных начальных полей 1).

Сначала мы исследуем значения, которые dS/dt может принимать в начальный момент времени, если начальное возмущение не зависит от %i：

〃i (%1，%2, %3, f = 0) = g, (%2,尤3).

Мы можем записать уравнение энергии (20.1) в виде

&零_ =宣同一%(24.1)

где^ [u] = ^[u, 0] определяется формулой (20.56). Рассмотрим интервал изменения 妄,когда область его определения ограничена возмущениями, не зависящими от хх.

Если задано любое кинематически допустимое не зависящее от 力工 возмущение g = (g19 g2t g?), то справедливы равенства

夕[gi，gz, gs】=—歹[—gl，g2, gs]=—万屈，一g2, —ЯзЬ (24.2) Более того,

w岁=maxhv8(24.3)

иg，

—淳《 决[gi] « ；&・(24.4)

Свойство симметрии (24.2) следует из того факта, что указанные изменения знака не меняют ни условия допустимости (так как в любом случае 刃取=0), ни величины ^5. Следовательно, sign — sign 3f н 3f меняет знак так, как показано в (24.2). Дальнейшее доказательство сформулированного выше положения оставлено в качестве упражнения.

Если вязкость достаточно мала, то либо энергия любого заданного не зависящего от jq возмущения (g】,g2t g?), либо энергия его шапарника^ (—g】,g2, ^з) будет первоначально возрастать со временем. Чтобы это доказать, выберем g так, что 云〉0, а затем проверим (24.1).

Не зависящее от jq возмущение, которое вызывает рост энергии в начальный момент времени 6 жидкости с наибольшей вязкостью, описывается векторным полем, являющимся решением задачи (24.3).

Теперь покажем, что не зависящее от хх возмущение представляет, по существу, переходную структуру, которая должна со временем затухать. Но на коротких интервалах времени энергия

х) Материал § 24 и 25 заимствован из статьи Джозефа и Хуна [1971].

поперечного движения может затухать с меньшей скоростью, чем увеличивается энергия движения вдоль оси.

Чтобы установить приведенный выше результат, рассмотрим НКЗ для не зависящих от %i возмущений течения Пуазейля ^1 (%2, %3)：

-^Р + 〃оЛ [〃1 + U11 =碼с〃1,(24.5а)

■^^ р 〃В兆〃а = —@а冗 + VG爺〃а,(24.56)

даиа = 0, 山=。при г = а, b(24.5в, г)

и

山(0, %2,為)=0 (%2,尤з) при f = 0.(24.5д)

Уравнение энергии для поперечных компонент скорости можно получить из (24.56) с учетом (24.5в, г). Обычным путем находим, что

g -^-〈"^ + 忌>=-" I 兆"2 12 + I 兆"3f>.(24.6)

Из обычных энергетических оценок следует, что

〈啕 + 咸〉《 3 + g》exp [(/"篇 小 (24.7) где

(l^0|2)>(^<02)

для допустимых 0, таких, что 0 = 0 при г = а, Ь.

Уравнение (24.7) доказывает, что поперечные компоненты скорости не зависящих от %工 возмущений должны затухать монотонно с самого начала (Джозеф и Тао [1963 ]).

Если поперечные компоненты возмущений должны затухать независимо от размера возмущений или вязкости, то следует ожидать идентичного поведения и осевой компоненты. Однако между ними имеются некоторые важные различия, которые мы сейчас обсудим.

Рассмотрим полную энергию не зависящего от хг возмущения. Предположение о том, что производная по хх обращается в нуль, дает

T^"〈": + "； + 吗〉=-〈"l"a%U 1) - V (I daUi (2), и, принимая во внимание (24.6) и (24.7), находим, что

+ ~^~〈〃彳〉=—〈〃1〃а%и 1) — W〈| %〃1 F〉《

W k〈歌/2〈成严一自*

w К〈歌"<g2 + g犷/2exp [ — @上朿]-@ 2Aa)2〈*〉，

где К — наибольшая из двух величин (d2Ulf 力。】)вплоть до момента /. Вводя переменные 7 = vAt/(b ——а) и 6 =〈〃今'"，приходим к оценке

db/近« & exp (一8一6, где С\ является постоянной. Это неравенство можно проинтегрировать вперед, начиная с момента / = 0:

J expQ [备+ 5]"= j 备(b exp (/))"«&?; оо

следовательно,

6 (/) с 6 (0) ехр (二)+ С,exp (—及(24.8)

Уравнения (24.7) и (24.8) показывают, что

〈“;+ 吗 + 谓〉V С??2 ехр (—2?)

при больших /, и это неравенство справедливо для всех значений вязкости и любого начального значения. Следовательно, течение Пуазейля абсолютно 〃 глобально устойчиво относительно возмущений. не зависящих от хх.

Упражнение 24.1. Доказать, что любое решение задачи (1.1), описывающее установившееся параллельное течение U (х2, х3) = (U (х2, х3), 0, 0), абсолютно и глобально устойчиво относительно возмущений, не зависящих от %丄.

§ 25. О росте энергии осевой компоненты скорости в начальный момент

времени

Теперь мы ограничимся рассмотрением класса не зависящих от %i возмущений, энергия которых возрастает. В предыдущем параграфе мы показали, что при малых v любое не зависящее от / возмущение имеет в начальный момент возрастающую энергию в том смысле, что если энергия возмущения (g】,g2, gg) уменьшается, то энергия возмущения (—^, g2, 8з) возрастает.

Относительно этих растущих возмущений следует заметить, что энергия их поперечных компонент должна всегда убывать^ следовательно, энергия осевой части возмущений должна расти

даже быстрее, чем происходит уменьшение энергии поперечной компоненты.

Эволюция〈〃；〉= 62 весьма хорошо представлена оценкой (24.8). Функция в правой части (24.8) сначала растет линейно со временем, а затем убывает.

Более важно следующее замечание: при f = 0 уравнения (24.1) и (24.6) комбинируются так:

■у 等〈吟—(参[gf] — v)〈I %gi『〉+ 庁[gfl〈I %g212 + I %g3『〉•

(25.1)

Если v V 斤 [gj (т. e. число Рейнольдса велико), то при / = 0

~5- 备〈吟 》 v 1%g212 + I ^а^з『〉=^左〈谓 + 唠。(25.2)

Затухание поперечного движения существенно стимулирует рост осевого движения в начальные моменты времени. Наибольшая скорость роста осевого движения получается при начальных условиях, которые максимизируют 斤( = ”&).

Теорема об устойчивости для не зависящих от %工 возмущений:

Параллельное течение с заданными граничными условиями глобально и абсолютно устойчиво относительно возмущений вида (24.5д). Энергия поперечных компонент таких возмущений должна затухать монотонно 〃 удовлетворяет оценке

｝〈虑 + 啕〉《扌(gl + g；〉exp [^^- f]・(25.3)

Продольная компонента этого возмущения может сначала расти и 6 момент времени f удовлетворяет оценке

｝〈〃；〉V -у- К"；〉缁 + с^ exp [ —^- f] •(25.4)

Если v^ > v, то существуют возрастающие 6 начальный момент времени возмущения. Энергия продольной компоненты таких возмущений растет быстрее, чем затухает энергия поперечных компонент.

Первая часть этой теоремы может рассматриваться как аналог нелинейной теоремы Сквайра (см. упражнение 34.2). Она исключает возможность полной замены ламинарного течения Пуазейля движением вида (24.5д).

Возмущение, не зависящее от хъ является эффективным движением для переноса возмущений импульса, но в прямолинейных сдвиговых течениях нет динамического источника для его поддержания и поэтому оно затухает.

Во вращающихся течениях имеются связанные с вращением силы, которые могут поддерживать возмущения в форме спиральных вихрей. Эти вихри не меняются вдоль определенных спиралей и являются аналогом возмущений, не зависящих от %> Наиболее известными спиральными вихрями являются вихри Тейлора, показанные на рис. 21. Спиральные вихри, связанные с вращающимся течением Пуазейля, показаны на рис. 29—31.

§ 26. Как быстро затухают устойчивые возмущения?

Мы закончим эту главу обсуждением физических свойств устойчивых возмущений, энергия которых возрастает на конечных интервалах времени)).

Суть поставленного здесь вопроса заключается в следующем: существует ли при уменьшении числа Рейнольдса резкий переход от медленного затухания к быстрому в законе затухания устойчивых возмущений? Другими словами, существуют ли умеренные значения чисел Рейнольдса (скажем, ~100 в каналах), ниже которых даже возмущения с очень большой энергией будут немедленно «подавлены»?

Этот вопрос диктуется соображениями, возникающими из наблюдений затухания больших произвольных возмущений в области входа труб и каналов ).

Рассмотрим течение Гагена—Пуазейля. Как было установлено в § 21, при R > 81,49 существуют такие начальные возмущения, что в начальный момент времени средняя энергия возмущений растет, даже если она в конечном счете затухает.

С другой стороны, при R < 81,49 затухание некоторых возмущений (возмущений с большим значением завихренности; см.

Рис. 12. Фотографии течения воды, вытекающей из узкой щели (ширина 6 мм), на входном участке круглой трубы (радиуса 13,5 мм). На снимке а (слева) показана верхняя часть установки; в нижней части этого снимка показан узел крепления трубы. Семь снимков сделаны в различных точках наблюдения потока вдоль трубы. Поток начинается в верхней части самого левого снимка. Здесь R = Umblv = 250 и на всем протяжении трубы течение спокойное (Линдгрен [1959]).

Рис. 13. То же, что на рис. 12, но R = 1020. Течение на входе сильно возмущено. Линдгрен характеризует свои наблюдения при десяти значениях R следующим образом: 130—250 — чисто ламинарное течение; 510 — предпереходная область; 1020 — возмущенное течение на входе; 1930 — затухающие турбулентные порывы (пятна) и вспышки (пробки); 2750 — область перехода; 2750—2870 — самопод- держивающееся турбулентное течение. При R = 510 течение подобно тому, какое показано здесь, только длина входного участка короче и поток возмущен несколько меньше (Линдгрен [1959]).

начало § 2.1) происходит произвольно быстро и энергия любых возмущений затухает по меньшей мере так же быстро, как

4 <1 % I2)ехр {— 黃(2,40)2(81,49 一罕)'・

То, что мы сказали, находит, по-видимому, некоторые экспериментальные подтверждения в работах Дэвиса и Уайта [1928],

Рис. 14. Длина участка канала, в котором продолжают существовать устойчивые возмущения. Экспериментальная установка представляет собой прямоугольный канал с большим отношением длины к ширине. Поток возмущается на входе вследствие поворота на прямой угол (как показано). Значение R = 210, соответствующее пересечению кривой с осью R, получено экстраполяцией данных. Теоретически следует ожидать, что кривая пройдет через начало координат или даже что R = 0 будет соответствовать L > 0. Эксперименты наводят на мысль, что существует резкое изменение в законе затухания возмущений. Природа возмущения, которое генерируется на входе, вблизи R = 200 претерпевает изменение: затухание из медленного становится быстрым (Дэвис и Уайт [1928]).

Науманна [1931 ] и Линдгрена [1957, 1959], а также в более ранних экспериментах Гриндл и и Гибсона [1907/1908] и Каро- зерса [1912]. Например, Линдгрен [1959, с. 145} в своих экспериментах в трубах замечает, что «в зависимости от уровня возмущений на входе в трубу вихревые возмущения возникают более или менее легко, но ... они не появляются в трубе, как бы ни был высок уровень возмущений на входе, пока числа Рейнольдса потока R меньше, чем... (экспериментальное) значение 200». На рис. 12 и 13 воспроизведены выполненные Линдгреном [1959 ] фотографии возмущенного участка трубы на входе при R = 250

и R = 1020 соответственно. Теоретическое значение 81,49,конечно, оказывается меньше наблюдаемых значений (превышающих примерно 200—275), при которых большие возмущения немедленно затухают.

Подобные замечания соответствуют интерпретации некоторых наблюдений, сделанных Дэвисом и Уайтом [1928] в экспериментах по устойчивости ламинарного течения в каналах. Эти наблюдения представлены на рис. 14, на котором (по существу) воспроизведен рис. 4 из статьи Дэвиса и Уайта. На этом рисунке показано изменение длины участка трубы, на котором продолжают существовать возмущения, вносимые на входе. Дэвис и Уайт делают следующее замечание [1928, с. 99 ] о кривой, которую они провели через экспериментальные точки:

«Существование положительного значения R, которое соответствует пересечению продолжения кривой в сторону уменьшающихся R с осью L/入，наводит на мысль, что даже при нулевой длине участка входа на определенном интервале скорости будут реализоваться истинно вязкие условия. Иначе говоря, отсюда следует, что, каковы бы ни были условия на входе, вихри не могут переноситься или существовать в канале, когда числа Рейнольдса меньше величины, полученной при пересечении кривой с осью L/d, т. е. 210. Это, возможно, критическое значение, связанное с вязкостью течения.

В силу важности такого заключения...»г)

Обратное продолжение кривой, упомянутое выше, совершенно неприемлемо с теоретической точки зрения. В действительности должна существовать конечная область развития возмущений на входе в трубу для R 》0. Тем не менее эксперимент показывает, что закон затухания, описывающий эволюцию устойчивых возмущений в канале Дэвиса—Уайта, претерпевает резкое изменение в интервале R < 210. Эти результаты согласуются с более позд-

Интересно отметить, что Дэвис и Уайт считали этот результат о течении на входе самым важным открытием. Они подчеркивают его больше, чем свои чаще всего цитируемые результаты по измерениям переходов. Ниже предела перехода (около 2100) «...имеется свидетельство о существенном отклонении от истинно вязкого течения, если в потоке существуют начальные возмущающие факторы и влияние таких возмущающих факторов не исчезает полностью при значениях R, меньших второго четко определенного (энергетического) предела, равного примерно одной десятой от 2100. По-видимому, ниже этого предела в любой точке трубы вихри не существуют и течение является истинно вязким,

В соответствии со сказанным делается предположение, что возможны три различных типа течений, в которых (а) вихри существовать не могут, что соответствует истинно вязкому течению; (б) вихри могут существовать из-за начальных возмущений, но не могут сохраняться в трубе, и поэтому начальные вихри в конечном счете затухают; (в) вихри, однажды возникнув, будут сохраняться во всей трубе, не затухая, что соответствует полностью турбулентному течению*.

Разделение течений на три типа, к которому Дэвис и Уайт пришли в своих экспериментах, соответствует типам течений, которые мы назвали

глобально и монотонно устойчивыми (в трубах R< 81,49),

глобально, но не монотонно устойчивыми (R < Rg) и

неустойчивыми относительно конечных возмущений (R > Rg), где Rg равно примерно 2000.

ними данными по переходу к турбулентности в трубах кругового сечения, полученными Науманном [1931 ] и Линдгреном [1957, 1959].

Необходимо проявлять осторожность при сравнении наблюдений течений на входе с критерием R < 81,49 для сильной устойчивости, поскольку этот критерий справедлив для задачи, распространенной на бесконечную область, и гарантирует затухание возмущений во времени. В реальной задаче, определенной при х > 0, основной проблемой является затухание возмущений с ростом х, хотя время тоже входит в задачу. Тем не менее некоторые основания для сравнения теории и эксперимента все же имеются. Принимая во внимание ограниченность вида реализуемых в эксперименте начальных условий (на входе) и существенную разницу между условиями эксперимента и допущениями теории, можно считать, что различие между теорией (R = 81,49) и экспериментом (R с- 210) не велико и вполне согласуется с широким пониманием критерия устойчивости. Если R > 81,49 (в бесконечной трубе), то существуют такие начальные условия, что S (/) может расти в начальный момент времени. Проследим за вихрем, движущимся вниз по течению; в конечном счете он затухает, но в начале пути его энергия может даже расти. Наличие таких вихрей могло, несомненно, приводить к значительному увеличению участка входа, много большему, чем это было бы возможно при R < 81,49, когда все возможные вихри затухают с самого начала.

Тот факт, что энергия устойчивых возмущений может увеличиваться, по-видимому, согласуется с наблюдениями «вспышек» турбулентности, которые были описаны еще Рейнольдсом [1883 ]. Линдгрен [1957, с. 33 ] так описывает появление этих вспышек:

«Несмотря на возмущающую пластинку на входе, визуальные наблюдения даже вблизи входа в трубу при числах Рейнольдса, не превышающих, примерно, 200, показывают существование чисто ламинарного течения. Выше этого предела появляется область обычно возмущенного течения, простирающаяся на некоторое расстояние от входа, в которой время от времени образуются «хлыстообразные> вспышки турбулентности, обладающие турбулентной структурой, совершенно отличной от довольно «мягких» флуктуаций возмущенного течения на входе. Рост чисел Рейнольдса вызывает увеличение частоты вспышек и расширение области возмущенного течения вниз по потоку...»

Мы заканчиваем этот параграф замечанием о сопротивлении трения труб течению жидкости при 81,49 < R < 2000. Хорошо известно, что сопротивление трения (сдвиговое напряжение на стенке) в таких устойчивых ламинарных течениях меняется пропорционально первой степени средней (по поперечному сечению) скорости с небольшой поправкой, учитывающей влияние области входа. С другой стороны, для больших значений R сопротивление меняется как средняя скорость в степени /и и обычно для /и указывается интервал изменения 1,7 < /и < 2.

Можно ожидать, что сопротивление в возмущенной области на входе изменяется пропорционально средней скорости в степени % 1 < /и < 1,7, и такое умеренное увеличение сопротивления наблюдалось в экспериментах Карозерса [1912]〉

Если не предпринимать специальных мер по сглаживанию внутренней трубы в местах соединения труб, то, очевидно, в каждом соединении должны в некотором смысле появляться новые входные участки. Для состыкованных труб Карозерс находит линейный (ламинарный) закон сопротивления при R < 200, а при R > > 200 получает увеличение сопротивления, примерно пропорциональное средней скорости в степени т = 1,2.

Рабочей жидкостью в этих экспериментах служила техасская нефть, и экспериментальная установка имела большие размеры. Самая большая труба — диаметром 10 дюймов — состояла из секций в среднем по 15 футов длиной, соединенных муфтами длиной 6 дюймов и внутренним диаметром 10,5 дюйма. Описание таких «экспериментов» вызывает ностальгию по веку изобилия, когда «нефти просто позволяли течь под действием собственного веса из больших хранилищ (емкостью 2000 галлонов) по склону горы в трюмы стоящих в гавани пароходов>.

Глава IV

КРИВЫЕ ОТКЛИКА, ОПРЕДЕЛЕННЫЕПО КОЭФФИЦИЕНТУ СОПРОТИВЛЕНИЯ,ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГОСЕЧЕНИЯ

В предыдущей главе мы изучили глобально устойчивые возмущения течения Пуазейля в трубе кольцевого сечения, энергия которых могла расти в начальный момент времени. Теперь обратимся к изучению неустойчивых возмущений и будем искать описание в общем виде решений неизменной формы, которые заменяют ламинарное течение Пуазейля, когда число Рейнольдса становится достаточно большим. Это описание удобно проводить в терминах функции отклика.

Функции отклика и функционалы отклика

Функция отклика для движения жидкости может быть определена как некоторая скалярная функция, которая измеряет реакцию системы на внешние воздействия, вызывающие движение. Например, в задачах о тепловой конвекции, которые рассматриваются в гл. VIII—XIV, в качестве функции отклика может быть принят передаваемый жидкостью поток тепла, а в качестве внешнего воздействия — приложенная на границах разность температур. Безразмерная функция отклика связывает числа Нуссельта и Рэлея. В рассматриваемом ниже примере течения через трубу кольцевого сечения внешним воздействием является градиент давления, а функцией отклика — поток массы (расход). Безразмерная функция отклика связывает коэффициенты сопротивления и числа Рейнольдса.

Функция отклика обычно получается путем вычисления функционала отклика на соответствующе определенном множестве решений. В этой главе мы будем изучать статистически стационарные решения уравнений Навье—Стокса, описывающие течение в трубах кольцевого сечения. Такие решения находятся в § 29; их основное свойство заключается в том, что пространственное осреднение решений по поверхности цилиндра не зависит от времени. Это тривиальный факт для ламинарного течения Пуазейля; в § 34 будет показано, что данное свойство справедливо и для периодического по времени течения, которое ответвляется от ламинарного течения Пуазейля. Мы предполагаем, что другие решения,

3-1()1()2

- 7 7 1010о"

5*Z〈J〉'

R = {Ux)(b-a)/2v

105

Рис. 15. Кривая отклика для течения Пуазейля (刀=1/1,01). Кружки соответствуют измеренным значениям функции отклика (Уолкер, Ван и Росфус [1957]), штриховые и сплошные линии ——неустойчивые и устойчивые решения соответственно. Читателю следует проверить, используя табл. 2, что

-1,0430 = (dIn〃dInR) |& < (dIn f/d In 期 鼠°.а)<-1

при 1,021 = а/2 <а/2《1,0964, где а — минимизирующее значение волновогочисла, определяемое соотношением

页厶=min R (0, а)=只(0, а),а

Отсюда следует, что касательные к кривым отклика последовательно ответвляющихся решений при а/2 > 1,021 пересекаются. Это означает, что для волновых чисел а (е?) > а выбирается нижняя ветвь огибающей

月(吟=min R (叫 a) = R (叫 a (e^))a

двумерных ответвляющихся решений (Джозеф и Чен [1974]). / ——устойчивая турбулентность; 2 — возмущения, которые «убегают» из области притяжения ламинарного течения; 3 ——неустойчивое периодическое по времени тете- нне, (d In f/d In R)|& = —1,0430; 4 — устойчивое ламинарное течение, d In fild In R = —1; 5 — неустойчивое ламинарное течение.

Рис. 16. Кривая отклика для течения Пуазейля. Это тот же рисунок, что ^предыдущий у но здесь показана также оценка (35.2) верхней границы. Заштрихованная область содержит много неустойчивых двумерных ответе л яющихся решений (Джозеф [19746]). / — оценка (35.2) верхней границы коэффициента сопротивления в статистически стационарном турбулентном течении Пуазейля.

которые наблюдаются как турбулентные, также являются статистически стационарными. Смысл этого предположения заключается в том, что при стационарных внешних условиях пульсирующий поток может обладать стационарными средними свойствами.

Цель этой главы лучше всего достигается при помощи графического представления различия между ламинарным течением Пуазейля и всеми прочими статистически стационарными течениями, включая ответвляющееся периодическое по времени течение. Мы будем называть все эти прочие течения турбулентными. Анализ удобно провести в терминах коэффициента сопротивления / и числа Рейнольдса R. Нижний индекс / будет использоваться для

5•10一1

3-1()1()2Ю310*10

R =〈S〉(b-a)/2V

Рис. 17. Кривая отклика для течения Пуазейля при Т)= 1/2 (Джозеф и Чен [1974]). / ——устойчивое ламинарное течение, d In 力/d In R = —1; 2 ——неустойчивое периодическое по времени течение, (d In fid In R)l& = —1,0067.

обозначения ламинарного течения. Кривая отклика определяет связь между / и R.

На рис. 15—17 представлены диаграммы бифуркации в плоскости кривой отклика для течения в трубах кольцевого сечения. Основные идеи данной главы содержатся в результатах, суммированных на этих рисунках.

На практике устойчивая турбулентность, вероятно, имеет свойство хорошей воспроизводимости по средним характеристикам течения. Это означает, что для данной трубы, по-видимому, существует кривая, которую мы называем кривой отклика и которая определяет функциональную связь между Числом Рейнольдса и коэффициентом сопротивления (между потоком массы и градиентом давления). Существование такой кривой, которое обычно считается естественным даже в элементарных книгах, на самом деле удивительно, так как эта кривая определяется на множестве пульсирующих турбулентных течений, каждое из которых отличается от соседних. В этом смысле кривая отклика может рассматриваться как кривая, описывающая стационарный средний отклик флуктуирующей системы, подчиненной стационарным внешним условиям.

Пульсационное движение и среднее движение

Течения, которые устанавливаются под действием стационарных внешних условий, можно разложить на стационарное основное ламинарное течение плюс некоторое возмущение. Можно также разложить течение на среднее движение плюс пульсации около среднего. Уравнения, описывающие среднюю и пульсационные части, называются осредненными уравнениями.

Рассмотрим течение, которое возникает в трубе кольцевого сечения под действием постоянного градиента давления Р. Когда пульсации равны нулю, течение ламинарно и задается формулой (17.5). Уравнения, описывающие течение жидкости в трубе кольцевого сечения, таковы:

空 + V ・ VV = — Vp + У + vV2V,(28.1а)

dt

divV = 0(28.16)

и

V(x, 0, a, /) = V(x, 0, b, /) = 0.(28.1b)

Здесь P > 0 — постоянная, значение которой определяется приложенным перепадом давления, а полное давление в любой точке в жидкости равно

✓X ХЧ XX 人 XXXX XX

р(х, 0, Г, 口一 Рх,

А А А А А

причем функция р (х, 0, г, 0 равномерно ограничена на

—ОО < X < ОО.

Мы будем иметь дело с задачей (28.1) в безразмерном виде. Связь между размерными

[X, 0, г, f,匕，几，匕，p, P](28.2a)

и безразмерными переменными

[х, 9, г,力兀，％，匕，P, P](28.26)

устанавливается умножением безразмерных переменных на масштабные множители соответственно

[/, 1, /, /2/v, v//, v//, v〃，v2//2, v2/P],(28.2b)

где / = b — a.

Область, которую занимает жидкость, в безразмерных переменных определяется так:

” = [х, 0, г: —оо <х< оо, 0 < 0 с 2л, a < г < Sj,

где " = а/b, а ="/(1 —“) я 5 = 1/(1 —哨.Нам также необходимо определить среднее по цилиндру

L (2Л]

%, £)=]]?击.卜 ejf(x, 8, г, /)do dx

00— Lо丿

и полное среднее

一2 J

⑺=仍=瓷尸. а

Безразмерный параметр

_ь _

亿)二中万当"J宓dr三2R (28.3)

пропорционален числу Рейнольдса, полученному по средней скорости и половине толщины слоя. Мы будем называть величину 〈匕〉безразмерным потоком массы (расходом). Формула (17.8) дает отношение % (г)/〈匕〉一скорости ламинарного течения Пуазейля к средней скорости.

Несколько отличная интерпретация среднего по цилиндру и полного среднего будет использована в пределе “ -> 1, (х, 0, г) -> (х, у, * введенном в упражнении 17.1. В этом случае

了⑵ /)=]叱]志 J〕f(Y，弘 & i)dxdy^ и —1/2 _

〈力=仍=J "z, f)dz.

—1/2

В безразмерных переменных уравнения движения жидкости записываются так:

div V = 0 в ”，(28.4)

V = 0 при г = 0,方，

Движение может быть разложено на среднюю и пульсационную части:____

匕，匕，匕,冗]=忆 + "，% + 〃吃 + 9,万 + p],(28.5)

где черта сверху означает осреднение по цилиндру. Средние значения пульсаций по определению равны нулю.

Элементарным следствием уравнения неразрывности является равенство

吃=0.

Для того чтобы это доказать, рассмотрим среднее по цилиндру от уравнения неразрывности:

Средняя радиальная компонента скорости является постоянной, и эта постоянная должна быть равна нулю, так как 匕=0 при г = % и г = 3.

Для того чтобы получить уравнения для среднего и пульсационного движений, заменим в уравнениях (28.4) (V, р) выражениями (28.5). Учитывая, что Vr = 0, находим

-^-+ ^- +V.VV +V.Vu + u.VV + u.Vu =

=-Vp-e,审+ е』+ Р (▽+<!), (28.6а)

где и = е*〃 + 岬 + e幽.Среднее по цилиндру от (28.6а) равно 象+ е,[^ + u.V@—> +ee[u・Vu + F] +

+ e*u・ V〃 + e?樂一ехР =

="什乐，喲一制+ *^(，警)• (2&66)

Разность между (28.6а) и (28.66) равна 芻 + V・Vu + u・vV + u・Vu — eJu・V® — ”/r]—

—ee [u・Vu +荻/川一e*u・ V〃 = — Vp + V2u,(28.7)

где div u = 0 и

V = u = 0 при r =S, b.(28.8)

Уравнение (28.7) описывает поведение пульсаций, уравнение (28.66) —среднее движение.

Можно рассмотреть НКЗ для среднего и пульсационного движений. Поскольку начальное поле скорости (匕,V0,匕)произвольно, мы можем задать (匕，70, 0) и (〃， и, з) также

произвольно при условии, что среднее пульсаций по цилиндру равно нулю.

С разложением движения на пульсационное и среднее связаны два энергетических уравнения: одно для среднего движения, а другое для пульсационного движения. Эти уравнения следуют из (V- (28.66)) и (и- (28.7)) соответственно. Мы используем также условие 匕=0 и тождество

u・Vf = V-(uf) = ； ^ (фу),

которое справедливо, когда V u = 0. Таким образом, ；与代|2+忆步+件4(而)+军〉+

+(学备(侬"))-p (кг)=

-〈1明警"第(2&9) И

4-4<1ц21> + <u-vVeU> = 一〈I Vu |〉(28.10a)

Уравнение (28.10a) является энергетическим уравнением того же вида, что и (3.1), так как u-VV-u = и- D u, где D = =D [V ]—тензор скоростей деформаций среднего течения. Однако уравнение (28.10а) описывает эволюцию движений, пульсирующих около среднего течения. Эволюция среднего движения описывается уравнением (28.9), в которое входят и пульсации.

Сложив уравнения (28.9) и (28.10а), получим уравнение эволюции для полной энергии. Замечая, что после интегрирования по частям второй и третий члены в левой части (28.9) можно записать следующим образом:

一〈耽禦 + 加粤一学〉= -(u.VV.u),(28.106)

находим, что

$*〈％『+GF + |u|2〉= p 亿〉-

-"uF + l明專〉•儆⑴

Источник энергии для турбулентного течения Пуазейля представляется членом Р〈匕〉,описывающим работу градиента давления на среднем движении.

Стационарные причины и стационарные следствия

Перед нами стоит задача конструктивно описать все решения уравнений Навье——Стокса, которые могут получаться при наложении таких же стационарных внешних условий, какие вызывают течение Пуазейля. В этой трудной задаче можно добиться известного успеха, приняв в качестве основного допущения, что стационарные внешние условия приводят к стационарным следствиям даже в тех случаях, когда течение является пульсационным. Такое допущение подтверждается хорошей воспроизводимостью некоторых средних характеристик турбулентного течения.

Стационарные следствия стационарных внешних условий не обязательно предполагают единственность стационарных решений. Только при 灭 V 页g все течения стремятся к единственному стационарному течению. При R > Rg существует по меньшей мере два возможных решения: неустойчивое ламинарное течение и любое из движений, которое заменяет ламинарное течение. Предельными течениями, возникающими в реальных условиях при R > 瓦, являются те течения, которые в некотором смысле устойчивы. Эти устойчивые решения при R > Rg не обязательно единственны; на самом деле мы рассматриваем устойчивое множество решений. Хотя такие решения не обладают свойством единственности в обычном смысле, в соответствии с наблюдениями можно постулировать существование устойчивого множества решений, обладающих в среднем общими* свойствами.

Основное свойство, существование которого мы здесь предположим, заключается в том, что (1) все средние по цилиндру не зависят от времени. Это предположение утверждает, что следствием стационарных внешних условий (граничных условий и перепада давления) является стационарность средних по цилиндру характеристик течения. Сами пульсационные поля могут быть существенно нестационарными. Мы будем также предполагать, что (2) компоненты скорости имеют нулевые средние значения, если ненулевые средние значения не предписываются внешними условиями. Свойство (2) означает, что У0 = 0. Следуя Хоуарду [1963 ], мы говорим, что течения, обладающие свойствами (1) и (2), являются статистически стационарными ').

Принятое выше предположение «следует ожидать, что стационарные внешние условия приводят к стационарной турбулентности* нуждается в пояснении. Очевидно, что стационарная турбулентность не может существовать в течении Гагена——Пуазейля и в плоском течении Куэтта при бесконечно малых пульсациях (линейная теория показывает, что все бесконечно малые возмущения затухают). Проведенные здесь рассуждения применимы к стационарной турбулентности в том случае, когда она существует.

Следует также заметить, что движения, названные здесь статистически стационарными, не обязательно являются турбулентными; например, установившиеся ламинарные течения удовлетворяют нашим определениям.

Необходимо добавить, что значительный шаг в развитии удовлетворительной вариационной теории турбулентности может быть сделан и без любого из отличительных предположений, определяющих стационарную турбулентность. Чтобы ослабить эти предположения, введем осреднение по времени и цилиндру:

亍三 Jm(l/T)卜必. (29.1)

Ниже будет доказано, что уравнения (28.5)——(30.9) остаются в силе и при замене средних по цилиндру средними по времени и цилиндру (упражнение 30.1).

§ 30. Теоремы сравнения ламинарного и турбулентного течений

Предполагая, что имеют место свойства статистической стационарности (1) и (2), уравнения (28.66) и (28.10а) можно записать в следующем виде:

警一尸忆]名]=0,

d [r2wv]/dr = 0,(30.2)

；^ (诵一；弱+窑=。，(зо.з)

(wudVx/dr) = -(|Vu I2),(30.4)

где P [Vx] —давление P, связанное с потоком массы〈匕〉.Уравнение (30.2) показывает, что wv — постоянная, значение которой равно нулю на границе и во всем течении (см. упражнение 30.1). Основное и важнейшее следствие статистической стационарности состоит в том, что уравнение (30.1) имеет первый интеграл:

编+ ^〈；〉-喚卜+ ^]=，攀・（3。・5）

Если пульсации равны нулю, то VK = Ux и

吗Ч 产爷， (3。・6)

где Р/ [Ux] —давление Р в ламинарном течении с потоком массы {Ux). Комбинируя (30.5) и (30.4), получаем

哗 6 ⑺м i| Vu |2)+(屏 + ^-〈聆]),(30.7)

где п (г) = л + (庐-彦)/(2r In т]). Из соотношения (30.7) следует, что

{h (г) wu) а 0.(30.8)

Соотношения (30.5), (30.6) и (30.8) приводят к теоремам сравнения ламинарного 〃 турбулентного течений (рис. 18):

(1) Статистически стационарное турбулентное течение Пуа- зейля имеет меньший поток массы (К) <〈“〉，毋儿 ламинарное течение Пуазейля с тем же самым приложенным градиентом давления Р [匕]=Pt [Ux].

Статистически стационарное турбулентное течение Пуазейля имеет больший приложенный градиент давления Р [Vx] > > Р, [UJ, чем ламинарное течение с тем же самым потоком массы (〈匕〉=〈〃*〉)•

Рис. 18. Теорема сравнения ламинарного и турбулентного течений для плоского течения Пуазейля. Ламинарное и турбулентное течения с одним и тем же градиентом давления имеют одинаковые касательные напряжения на границе. Безразмерный поток|массы в ламинарном течении больше, чем в турбулентном, на величину 〈〃一匕〉=(zwu), где {zwu} — положительная величина, определенная соотношением (30.13); см. упражнение 30.2. Для того чтобы поток массы в турбулентном течении в канале был таким же, как в ламинарном течении, необходим больший перепад давления. / ——турбулентное течение; 2 — ламинарное течение.

Первая из этих теорем была доказана Томасом [1942]; доказательство, приведенное здесь, является модификацией доказательства Буссе [1969а ]. Заметим, что интеграл от г* [(30.5) + + (30.6) ] можно записать как

{h ⑺ wu) ^2(P-Pl)b^-2^X^UX),(30.9)

где

场[諳+"+好]=$[冷+7T

b ⑼=% > b (n) > b ⑴=%2・

Соотношение (30.9) вместе с неравенством (30.8) доказывает теорему.

Упражнение 30.1. Предполагая, что имеет место только свойство (1) (но не свойство (2)) статистической стационарности, показать, что

"皈_产^(乌)=前浜〈賢)(30.10)

и

4-<Л (Г)加)=〈| Vu 卩〉+〈 йй + ^^〈个〉])+

+〈辰-萼㈢])•儆U)

Предполагая, что ни одно из свойств стационарной турбулентности не имеет места, показать, что все уравнения (28.5)—(30.9) справедливы, если средние по цилиндру заменены средними по времени и цилиндру. Доказать теоремы сравнения ламинарного и турбулентного течений для средних по времени и цилиндру характеристик течения.

Упражнение 30.2 (Джозеф [19746]). Повторить выводы, приведенные выше в этой главе, для течения Пуазейля между двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии / одна от другой. Показать, что все статистически стационарные решения удовлетворяют соотношениям

wu —〈3〃〉= Pz + dVx/dzt

灰一(iw) = dVy/dzt

d一〈吟=—万 + ⑺，(30.12)

〈z 侬"〉=〈4 -%〉，

P {2WU)= <[^— (wu}y)+ {{wv— <ttw)]2> +〈|Vu 户〉.(30.13)

Доказать теорему о равенстве сдвиговых напряжений:

Пусть средняя скорость Vx (z) является некоторой четной функцией z. Тогда для любого заданного перепада давления сдвиговое напряжение на стенке 6 турбулентном течении равно сдвиговому напряжению в ламинарном течении.

Иллюстрация теоремы о равенстве сдвиговых напряжений дана на рис. 18.

Упражнение 30.3 (Буссе [1969а]). Показать, что в турбулентном плоском течении Куэтта среднее на стенке сдвиговое напряжение больше, чем в ламинарном плоском течении Куэтта.

Упражнение 30.4 (Никерсон [1969], Буссе [1971а]). Сравнить значения момента сопротивления для ламинарного и турбулентного течений Куэтта между вращающимися цилиндрами в случае, когда заданы угловые скорости внешнего и внутреннего цилиндров.

Упражнение 30.5 (Томас [1942], Серрин [1959а]). Показать, что стационарное ламинарное течение несжимаемой вязкой жидкости в прямой трубе произвольного поперечного сечения характеризуется тем свойством, что диссипация энергии в нем является наименьшей среди всех ламинарных (или пространственно периодических) течений в трубах с одинаковым полным расходом массы. Показать, что пространственно периодическое течение в прямой трубе с заданным перепадом давления неустойчиво, если его расход превышает расход в ламинарном течении с тем же перепадом давления. Показать, что перепад давления, необходимый для возникновения в трубе течения с заданным расходом, для турбулентного течения больше, чем для ламинарного.

Вариационная задача на минимум градиента давления в статистически стационарном турбулентном течении при заданной разности расхода массы

Рассмотрим статистически стационарное течение с расходом массы {Vx) и градиентом давления Р [匕L предполагая, что 〈[/，一 массовый расход для ламинарного течения с градиентом давления Р/ Wx] = Р [匕]• Положительную разность расходов N для этих течений с равным градиентом давления можно определить следующим образом:

〈力一Vx) =、％ 也(г) wu) = ц > 0.(31.1)

Кривая отклика для течения Vx может быть параметризована с помощью к； таким образом, полагая Р Wx] = Р (卩)，мы можем записать (30.7) в виде

p @)二+ 4卩〈麻+(伊烹)((2，？))〈*〉羚三夕[], (h (H wu) 1 广(h (f) wu)2I 产

(31.2)

где функционал 夕 первоначально определяется для статистически стационарных решений. Функционал ^ [и; и] является однородным функционалом степени нуль по и:夕 仿и; р,] = ^ [и; ц] для любой постоянной а.

Соотношение (31.2) можно использовать для того, чтобы показать, что все градиенты давления Р (|х) лежат выше некоторой положительной нижней границы Р (ц), которая возрастает до бесконечности с увеличением 卩・ Эту нижнюю границу можно исследовать вариационными методами. Основная идея заключается в рассмотрении значений, которые принимает 夕 в классе Н кинематически допустимых пульсационных полей

Н = {и (г, 0, г): div и = 0, и |5, ь = 0,

汇=可=初=0, и^АР (х) П Р2Я (0)}, где и £ АР (х) П Рал (0) означает, что и является почти периодической функцией % и периодической функцией 0 с периодом 2л. Мы предполагаем, что статистически стационарные решения существуют и являются элементами Н ')•

х) Поскольку для почти периодических функций существуют все необходимые средние по цилиндру, вариационная задача на этом множестве функций представляется корректно поставленной. Мы не собираемся обсуждать вопрос о том, в какой мере «истинная турбулентность» может быть почти периодической. Возможны другие постановки вариационной задачи, которые приводят к тому же самому анализу; альтернативная общепринятая процедура состоит в неполном определении функционального пространства (постулируется только равномерная ограниченность поля и, а дальнейшие предположения вводятся на более поздней стадии).

Далее введем

4 = {и: к = %〈用(г)切〃〉> 0}

—множество решений и с разностью расходов р, > 0. Тогда, если и —статистически стационарное решение, то, согласно (31.2), 夕［и;闻一Р (卩) = 0.(31.3)

Несомненно, и является также элементом большего множества допустимых пульсаций Н f| " ； следовательно,

рт«тах 夕т［и;同.(31.4)

Н П ^

Более того, max 乡т ［и;卩］« max 夕т ［и;卩］=Р~\(31.5)

н п”н

так как все функции из пересечения Ни" принадлежат Н.

Считая, что к участию в сравнении допускаются только те и, для которых n > 0, вариационную задачу можно было бы поставить так:

Р= min伊［и;闻.(31.6)

н

Очевидно, что

Статистически стационарное турбулентное течение Пуазейля с разностью потоков массы 卩 не может существовать в том случае, когда

Р<Р.(31.7

Доказательство. Предположим, что и является элементом, реализующим минимум (31.6). Вследствие однородности функционала существует постоянная с, такая, что cd € Н Q- Л* также максимизирует (31.4); тогда (31.7) следует из (31.4) и (31.5).

Минимизируемый функционал

a(卩)=夕而；同

обладает следующими свойствами монотонности и выпуклости:

A(n)> 户(0)三 7>,(31.8)

где Р彦一первый критический градиент давления энергетической теории;

㈣ 生=4(3 + ((由7:器'*))@"/»2)； (sig

dQ/dp является убывающей функцией 卩.(31.10)

Доказательство, Первый критический градиент давления энергетической теории дается выражением

Р^ = шах нР^ = шах н〈力(г) wu}2〈| Vu 卩〉〈力(г) wu}2〈| Vu 卩〉(31.11)(31.11)

Р^ = шах н

Р^ = шах н

〈力(г) wu}

2〈| Vu 卩〉

〈力(г) wu}

2〈| Vu 卩〉

(31.11)

(31.11)

Замечая теперь, что Н и Н (поскольку в Н не требуется равенство нулю средних значений), имеем

尸耳= тах 歹〔[и, 0] < max ^-1 [u, 0]=户一】(0),(31.12)

Нн

что доказывает (31.8). В действительности в (31.12) выполняется точное равенство; чтобы доказать это, необходимо показать, что среднее по цилиндру максимизирующего элемента в Н равно нулю (упражнение 31.1).

Для доказательства (31.9) предположим, что и】и и2 —минимизирующие векторы выражения (31.6), соответствующие 卩工 и |л2; тогда

0[Ui；n2]一9[Ui； Hi] > P (卩2)- P (ni)=

=口也2；同一9[lh；因] >0[1!2；闻一9[112；闻=

4([/7 + ((而 一 圆)/(2r In T))) 3""〉产)(力(厂)з")2

Разделим (31.13) на 卩纟 ——Hi и перейдем к пределу при |л2 -> 卩寸 тем самым мы докажем (31.9). Возвращаясь к (31.13) и используя (31.9), получаем

(n2 -闻亚器 > 他-卩0闻了；(31.14)

это доказывает (31.10).

Вариационную задачу для Р (卩)рассматривали Буссе [1970а, 1972а ] и Хоуард [1972] для течения в круглой трубе и Буссе [1969а, 1970а ] для течения в канале. Полезно заметить, что структура вариационной задачи для турбулентного течения имеет много общего с наблюдаемыми свойствами реальной турбулентности. Мы здесь не останавливались особо на этой наиболее интересной стороне вариационной теории как модельной теории турбулентности. Этот аспект подчеркивается Буссе и Хоуардом, в замечаниях к этой главе и в нашем обсуждении проблемы турбулентности для конвекции в пористых средах, которая рассматривается в гл. XII.

Упражнение 31.1. Показать, что максимизирующее поле для функционала (31.11) имеет нулевое горизонтальное среднее. Указание. Доказать, что этот максимизирующий Элемент в классе почти периодических функций имеет отличное от нуля волновое число (упражнение 44.1).

Упражнение 31.2 (Буссе [1969а, 1970а]). Рассмотреть однородную несжимаемую жидкость между двумя параллельными твердыми пластинами, находя-

щимися на расстоянии d и движущимися одна относительно другой со скоростью 匕.Показать, что для любого статистически стационарного решения уравнений Навье—Стокса перенос пульсационного количества движения (wu) положителен. Показать, что для любого статистически стационарного решения с 卩= =(wu) > 0

R = М/¥>^(р«),

R (n)=пип 卜犧)2 + ^уT〈(荻一他"))2 + 砸一〈询)2)].(31.15)

Доказать теорему о монотонности и выпуклости для R (卩).

Упражнение 31,3. Составить уравнения Эйлера для нахождения минимальной величины 戸(卩)，определяемой вариационной задачей (31.6).

Упражнение 31.4 (Хаякава [1970]). Сформулировать вариационную задачу для функции отклика, связывающей разность расходов массы с гравитационной тягой в течении в открытом канале, ось которого составляет угол а с горизонтальной плоскостью.

§ 32. Турбулентное плоское течение Пуазейля; нижняя граница функции отклика

辰 В предыдущем параграфе мы сформулировали вариационную задачу, которая приводит к нижней границе для градиента давления, когда разность потоков массы задана. Желательно дать явную оценку для этой границы. Ограничимся анализом случая “ 一> 1, т. е. плоским течением Пуазейля. Основной результат, который нам необходимо получить, сначала формулируется, а уже затем доказывается.

Функция отклика для статистически стационарного течения

P(N),卩=〈" — ％〉， удовлетворяет неравенствуp(卩)>戸(卩)>另(n)，где方/、/ 戸(0) + 576財(戸(0) + 48) при(48/n一48приh* = (p (0) + 48)2/576,P(N),卩=〈" — ％〉， удовлетворяет неравенствуp(卩)>戸(卩)>另(n)，где方/、/ 戸(0) + 576財(戸(0) + 48) при(48/n一48приh* = (p (0) + 48)2/576,(32.1а, б)(32.1а, б)卩《 Н*>卩《 Н*>(32.2)(32.2)(32.3)(32.3)

P(N),卩=〈" — ％〉， удовлетворяет неравенству

p(卩)>戸(卩)>另(n)，

где

方/、/ 戸(0) + 576財(戸(0) + 48) при

(48/n一48при

h* = (p (0) + 48)2/576,

P(N),卩=〈" — ％〉， удовлетворяет неравенству

p(卩)>戸(卩)>另(n)，

где

方/、/ 戸(0) + 576財(戸(0) + 48) при

(48/n一48при

h* = (p (0) + 48)2/576,

(32.1а, б)

(32.1а, б)

卩《 Н*>

卩《 Н*>

(32.2)

(32.2)

(32.3)

(32.3)

P (0) = P^=min ^jp- - 793,6.(32.4)

Прежде чем перейти к выводу оценки (32.2), заметим, что Р = =8(/mv//2 (см. (17.7)); следовательно, Р = 8Uml/v4 Поэтому Р& = =8R&, где R彦(п = 1) = 99,21 приведено в табл. 1.

Для данной жидкости градиент давления Р является возрастающей функцией разности потоков массы {Ux —匕〉на предельной

кривой Р (к). Предельную кривую легче всего интерпретировать в координатах кривой отклика (рис. 16); эта интерпретация будет приведена в § 35.

Доказательство (32.2) и (32.3) начнем с соотношения (30.13):

p_ ((Vup) .(砸一〈叽))" +((灰•- ®〉)2) где

-% V z V %.

Неравенство

pТ2心密 +卩傾一券工产32(32 6) получается из (32.5) следующим образом: во-первых, имеем

12心W+卩12心W+卩(［荻一〈5"〉产〉(zwu)2(［荻一〈5"〉产〉(zwu)212卩;12卩;

12心W+卩

12心W+卩

(［荻一〈5"〉产〉(zwu)2

(［荻一〈5"〉产〉(zwu)2

12卩;

12卩;

во-вторых, учитывая равенство ⑺〉=i/® замечаем, что (血7-3")—12z〈2W")F)=〈荻?)-3")2 - 12(如")2 = =([荻—@")f〉一 12(2WU)2.

Это доказывает (32.6). В силу неравенства (В.11), которое доказывается в приложении В,

([荻-〈5"〉—12z〈z@"〉]2〉、576

> D + 48)

где

D = (|Vu|2)/(2Wu).

Отсюда следует, что

P - 12卩》D + 576財(D + 48) > min [D + 576ja/(D + 48)]. (32.7)

Этот минимум достигается при D + 48 = К576(1 = 24ц1/2 и равен 2 j/576fl — 48 = 48 /正一48. Но в силу (32.4) D >Р (0); поэтому D + 48 никогда не может равняться 24卩1枕,если 24卩口2 < V 戸⑼ + 48, т. е. если ц < (Р (0) + 48)2/576 = рЛ Поэтому D + 5彳6卩/(£> + 48) при р, < |л* является возрастающей функцией D, которая должна быть минимальной, когда D принимает наименьшее значение D = Р (0).

Следовательно, можно продолжить (32.7) так:

f Р (0) + 576卩/(戸(0) + 48) при 卩 < |Л

[48 |/口 一 48при 卩 > |х*,

что завершает доказательство (32.2) и (32.3)

Более точные, чем (32.3), оценки минимизируемой функции Р (卩)можно получить из асимптотического анализа выражения (30.13) при больших значениях р (см. упражнение 32.2) и при определенных предположениях о виде минимизирующих полей. Однако в данный момент для нашей цели вполне достаточна оценка (32.3); она показывает, что кривая отклика для турбулентного течения со стационарными средними лежит в ограниченной области пространства параметров (см. рис. 16 и формулы (35.2) и (35.3)).

Упражнение 32.1. Доказать, что функция。(卩)непрерывно дифференцируема в точке 卩=卩*.

Упражнение 32.2 (Буссе [1969а]). Рассмотреть вариационную задачу для функции Р (卩)при больших |ы. Отменить требование V*u = 0. Показать, что в решении появляются пограничные слои, толщина которых при больших 卩 пропорциональна М 卩.Показать, что при больших 卩

Р (卩)> 12卩 + 96 似/3)1/2 + О (卩т/2)・

Упражнение 32.3 (Хоуард [1972]). Рассмотреть вариационную задачу (31.15). Показать, что предположение (2) статистической стационарности означает, что wv = 0. Показать, что минимизация R при фиксированном значении 卩 соответствует максимизации 卩 при фиксированном значении R. Показать, что минимизация 卩 эквивалентна максимизации полной скорости диссипации энергии. Показать далее, что для всех турбулентных течений Куэтта со стационарными средними

卩《 9必/32. (32.8)

Показать, что на решениях (31.15) в действительности достигается оценка (32.8), если к сравнению на минимум допускаются функции, для которых V-u может быть отличным от нуля.

Упражнение 32.4. Получить оценку, аналогичную (32.3), для течения в кольцевом канале между двумя концентрическими цилиндрами при произвольном значении отношения радиусов 刀(0 < т] С 1).

§33. Функция отклика вблизи точки бифуркации

Теперь отвлечемся от энергетических оценок и рассмотрим линейную теорию неустойчивости и периодическое по времени решение, которое появляется вблизи точки бифуркации в результате этой неустойчивости. Сначала нам нужно показать, как углубить физическое содержание теории возмущений соответствующим выбором амплитудного параметра. Эта операция сопровождается определением амплитуды как разности коэффициентов сопротивления (см. уравнение (31.136)). Чтобы получить выражение, при помощи которого можно связать разность коэффициентов сопротивления с ответвляющимся решением, полезно сравнить два различных разложения одного и того же движения V:

V = K0ex + u(x, 0, г, f) = U*(r)e* + tT (х, 0, г, f), (33.1)

где Ux (г) описывает течение Пуазейля в кольцевой трубе (формула (17.8) с ［/ = ^ 〃〃). Равенства (33.1) означают, что

з = % и = и‘ и % +〃 = “ + 〃'.(33.2)

Соотношение

Vx(r)-Ux(^ + uf(33.3)

следует непосредственно из осреднения по цилиндру выражения (33.1). Заметим, что для того, чтобы выполнялось (33.3), требуется независимость 〃‘ от времени; в самом деле (33.2) означает, что if является статистически стационарной (эти условия проверяются в замечаниях, следующих за (34.35)).

Далее нам будет полезно соотношение

uw =优” •(33.4)

Чтобы его доказать, используем (33.3) и (33.2) и напишем

痴=灰=(u* - Vx + "') 9' =(“ 一%)逐 + 〃'" = u'w'.

В силу (33.4) перепишем (30.9) в следующем виде:

小⑺ wfur) = 2 (Р 忆］一 ? 亿］)b ⑺一2 亿一 "). (33.5) Это основное соотношение будет использовано для установления связи периодических по времени ответе л яющихся решений с кривыми отклика, полученными в экспериментах.

В § 34 мы построим статистически стационарные периодические по времени течения, которые ответвляются от ламинарного течения Пуазейля в критической точке линейной теории устойчивости .Ограничим наш анализ осесимметричными решениями. Для любого осесимметричного движения можно ввести функцию тока 4f. Разложение движения на течение Пуазейля Т плюс возмущение 4r может быть представлено следующим образом:

声=屯 + 屮\ (d屮，/力，дt/дx) = (W,-侬')，(33.6)

где〜

；= a =("〉а ⑺,

a Uo (г) определяется формулой (17.8). Чтобы сформулировать задачу для функции приведем (18.2) к безразмерному виду, используя масштабные множители (28.2в), и положим и'= =V4rxe鼠几 Теперь рассмотрим выражение e0*rot (18.2):

4a，+⑺{u。(Г) i区，一中［4•警］寥}+

+ J fT,a1)一入2中，=0 b。，(33.7a)

中 5 = (GP/力)|6 = 9▼7")к=0(33.76)

屮'15 = %〈"'〉(52—衿，(33.7в)

где

JW)=;等^，-警韶吟十与罂区， и

Полный поток массы〈兀〉для любого осесимметричного статистически стационарного решения (33.7) может быть записан в виде

〈%)=(力〉+ 2屮廿/(52一 Й2),(33.8)

где 〈U%〉一 поток массы для выбранного надлежащим образом ламинарного течения с градиентом давления Pz Wx]. Ответвляющееся течение и ламинарное течение имеют один и тот же поток массы〈(/*〉= (Vx) тогда 〃 только тогда, когда 4f[в = 0.

При построении ответвляющегося решения представляется удобным без потери общности ограничить внимание специальным случаем 4r% = 0. Чтобы полностью определить задачу о бифуркации, необходимо постулировать пространственную периодичность решения. Тогда периодическое по времени течение, ответвляющееся от ламинарного, определяется однозначно с точностью до произвольной фазы. Это единственное течение может быть рассчитано разложением относительно ламинарного течения, для которого〈UJ =〈％〉• Чтобы это доказать, сведем задачу (33.7) к изучению бифуркации ламинарного течения с〈U}=〈匕)•

Функцию тока для этого ответвляющегося решения можно записать в виде

樓=屯⑺ + 屮，Т = Ф(г)4-屮〃，(33.9а)

где Ф (г) —функция только от г, которая может быть выбрана так, что

Ф 伍)=(d^ldr^a - (d^ldr)\b = 0, Ф (5)=屮[в, (33.96) а 中"(х, г, f) описывает течение, которое удовлетворяет (33.7а, б,, в) и имеет равный нулю поток массы:

屮"|в = 0.

Функция Ф (г) описывает течение Пуазейля. Поток массы для течения Пуазейля 屯(г) + ①(г) равен〈匕〉，и в силу (30.6) для любого ламинарного течения мы имеем

(%一 "〉=〈奩〉^((1")d①/")=?同]匕⑴；(33.10) более того,

仅(г) ”优〉=@6“〃"〉= 2(Р忆]-ЛОb(т])・ (33.11)

Доказательство (33.11) оставляется в качестве упражнения 33.2. Задача о бифуркации для переменных, отмеченных двумя штрихами, может быть получена из уравнений (33.7) при помощи (33.9а, б) и соотношения

У〃 = 8〈吸〉屮=2е 戸F,(33.12)

где R определяется соотношением (28.3) и

82(吸)2(九⑺叽)=2 (p [%]-匕忆])b (r)).

Выбирая условие нормировки в виде

(Л (f)叽)=b (外)/2,(33.13а)

мы находим, что

* = h(33.136)

является разностью коэффициентов сопротивления, причем

/ = г一20【R f =竺眼1，(33.14)

Г X I2〈厶〉2'>

где Dh = 2 (b — a) = 2/ — гидравлический диаметр (отношение учетверенной площади поперечного сечения кольцевого сосуда к смачиваемому периметру), а Р = P/3/v2. Мы вводим новый масштаб времени: f 〃〈匕〉•

Введя эти определения, мы можем теперь сформулировать задачу о бифуркации в терминах разности коэффициентов сопротивления. Таким образом, 修需+

+ £j (屮，AT)——L 小屮=о в "， (33.13b)

(33.13г)(33.13г)屮=д^/дг = 0 при г = а, 5,

(33.13г)

(33.13г)

4f — периодическая по ах и st функция с периодом 2л. (33.13д)

Все течения (33.13) имеют один и тот же поток массы〈U) =亿， Уравнения (33.13) полностью описывают постановку математической задачи об ответвляющемся течении. При заданном а мы ищем решения

[V(x, г; е, а,喻 ^(82, а,叫，(о(е2, а, Т))]

системы (33.13). Ответвляющееся решение будет обязательно периодическим по времени, если решение спектральной задачи

(задачи Орра—Зоммерфельда; см. § 34 (а)) является единственным и периодическим по времени.

Существуют единственный безразмерный поток массы {У^ = =2R = 2R(82, а, т]) и соответствующие частоты (о(82, а, “), для которых имеются периодические по времени решения системы (33.13). Зависимость R(82, а, п) представляет собой функцию отклика для течения Пуазейля вблизи точки бифуркации и устанавливает связь между числом Рейнольдса и коэффициентом сопротивления.

Упражнение 33.1. Показать, что при〈〃〉=〈厶〉

R = Uml/V = 2UmR/(Vx)

и что R = 4瓦 если т] = 0, н R = 3R, если т] = 1.

Упражнение 33.2. Доказать, что Ф (г) соответствует течению Пуазейля с потоком массы 〈〃'〉. Доказать равенства (33.10) и (33.11). Указание. Принять во внимание, что (/ (г) wz) = 0 для любой функции^ / (г) одного переменного г и что Pi [Ux] + Р/ [*] = 口 [Ux + 奩]=& 忆].

§ 34. Построение ответвляющегося решения

Ответвляющееся решение может быть построено прямым применением метода возмущений, описанного в гл. II. При проведении выкладок поучительно и полезно непосредственно перейти к формулировке задачи через функцию тока.

Спектральная задача

Спектральная задача для неустойчивости течения (17.8) в трубе кольцевого сечения получится из (33.13 в, г), если в (33.1 Зв) положить 8=0. Тогда уравнения (33.13в, г) можно записать в виде

位屮欣+堂屮=0,(34.1а)

屮=d屮/»・ = 0 при г = й,瓦(34.16)

屮一периодическая по х функция с периодом 2冗/а, (34.1 в) где

金nN (34.2)

и X = 1/R.

Для того чтобы получить спектральную задачу, решения уравнений (34.1) следует искать в виде

屮(х, г, f;入)=⑴ ％ (х, г;九).(34.3)

Это приводит к задаче

—оХ 屮 + 攵屮=0,(34.4а)

屮=9屮/力=0 при r = а, 5,(34.46)

屮 —периодическая по % функция с периодом 2л/а,(34.4в) где а (X) = t (X) + 甫(九)суть собственные значения спектральной задачи. Если 官(入)< 0, то течение Uo (г) неустойчиво. При больших значениях 入(малых R)自(九)> 0 для всех собственных значений а (入).Граница между областями устойчивости и неустойчивости решений относительно малых возмущений определяется критическими значениями 入=筛=1/R, где g (Хо) = 0 (см. выражение (34.7)). На пределе устойчивости о 仇°) = ix\ (Хо) = ш0 и ^ [UOi KQ] =2°. Если Аа (X) —простое собственное значение задачи (34.4), то d (X)=官(X) — ifj (X) — величина, комплексно сопряженная о (九) 一также является собственным значением. Функции 2 (х, г;九)и 皆(х, г;入)суть собственные функции задачи (34.4), принадлежащие собственным значениям а и а этой задачи. Все решения задачи (34.4) представляются суперпозицией решений, имеющих вид

屮(х, г; "(а)) = с»。飞&； х(а)).(34.5)

Подстановка выражения (34.5) в уравнение (34.4) приводит к задаче Орра—Зоммерфельда для течения в трубе кольцевого сечения:

2iaR {(〃 — o/ia) 2(р — £ (；參)屮}=纟2屮，(34.6а) где

ср = dcp/dr = 0 при г = * 5(34.66)

и

Заметим, что собственные функции, пропорциональные exp \ i[ax — —im (о)/]}, для наблюдателя, движущегося вдоль оси трубы со скоростью dx/dt = im (а)/а, представляются постоянными.

Значения

R (0, а, п). Для которых re [o (R)] = 0, (34.7)

являются критическими числами Рейнольдса для возмущений, периодических по % с периодом 2л/а. Геометрическое место значений R (0, а, т]), соответствующих изменениям а при фиксированном ”， называется нейтральной кривой. Нейтральная кривая

R(0, а, 1), обозначенная | = 0 на рис. 19, относится к плоской задаче Орра—Зоммерфельда (D = d/dz)

L (aR, a2, ^)9三

三謔(D2 — * 屮 _ (〃 一 备)(D — а2)屮 +。2么屮=о, (34.8a, 6)

Ф = D^ = 0 при z = ±1/2,

Рис. 19. Схематическое изображение поверхности периодических решений, которые ответвляются от плоского течения Пуазейля, R = R (&2, а)——поверхность периодических решений; штриховые линии соответствуют докритической бифуркации (Чен и Джозеф [1973]).

описывающей линейную устойчивость плоского течения Пуа- зейля Uo = % (1―4好).Минимальное критическое значение

瓦(叫=min页(0, a,叫=R(0, a,切(34.9)

а > О

определяет линейный размер 2л/а наиболее неустойчивой осесимметричной волны. Значениям 及厶(п) соответствует верхняя кривая рис. 20.

Ряды возмущений

Как и в общей теории, развитой в гл. II, при построении ответвляющегося решения требуется, чтобы условие разрешимости для задачи о возмущениях было выражено через условие ортогональ-

ности решения и собственных функций сопряженной задачи. Для определения этих собственных функций введем скалярное произведение

(/, g) =(Л i),(34.10)

которое определяется для периодических по % с периодом 2л/а функций / ng, таких, что g = / = dg/dr = df/dr = 0 при г = =й, 5. Оператор —bd* + 殳*, сопряженный оператору —а Д + + 攵,определяется требованием

亿[―石 + 殳]g) = ([—G” + 6] f, g)・(34.11)

Из (34.2) и (34.11) получаем

М = -№ 0。祭)+，G警居一等f厶 где

A =丽"+不石+寿

Тогда собственные функции сопряженной задачи определяются следующим образом:

—GA*2* + 登*屮* = 0,中* = d屮*/"=0 при г = 3, 5, 屮* — периодическая функция no % с периодом 2n/a.(34/2)

Из анализа ветвления получаем решения неизменной формы задачи (33.13а, б, в), которые являются периодическими функциями по % с периодом 2л/а и непрерывными функциями по 8 в точке е=0. Такие решения оказываются периодическими по времени, если на пределе устойчивости частота не равна нулю, т. е. fj (R (0, а, “))=(оо (а,哨 / 0. Мы ищем периодические по времени решения с частотами (о (в2, а, “)，которые непрерывно сходятся к периодическому по времени решению линейной теории с частотой со。. Такое решение неизменной формы возможно только при определенных «критических значениях» R (發，а, т))・ При е = 0 это решение является нейтральным решением; оно может существовать только при R = R (0, а, т]). Нейтральное решение теряет устойчивость с ростом R, если на пределе устойчивости

На，П)= < = ^-4>0.

Чтобы получить формулу для производной а' от а (%), продифференцируем (34.4) no R и используем условие разрешимости, что дает

0'=W + iff = 一% (承屮，中*)/(区也屮*).

Как и в гл. II, положим (о/ = s и переформулируем задачу (33.13) следующим образом:

73 + £J (屮，氐屮)=0,(34.13a)

屮=@屮/力=0 при r=a, 5,(34.136)

屮(x, r, s) — периодическая по а% и s функция с периодом 2冗, 豊〈警雾雾〉，(34」3В)

где

夕 W,入]=s 备区 + 必[U。，X].(34.14)

Решение задачи (34.13) может быть построено в виде рядов Тейлора

У (х, г, s; е, а,叫s偌2, a,叫儿(炉，a,叫У (х, г, s; е, а,叫s偌2, a,叫儿(炉，a,叫(34.15)(34.15)卩(х, г, s; а, т]) =£ /8/ (а,")

У (х, г, s; е, а,叫s偌2, a,叫儿(炉，a,叫

У (х, г, s; е, а,叫s偌2, a,叫儿(炉，a,叫

(34.15)

(34.15)

/=° L 儿(а，哨

Как и в гл. II, подстановка рядов (34.15) в задачу (34.13) дает последовательность задач для коэффициентов разложения в ряды Тейлора. Выпишем первые три задачи:

(34.16)(34.16)九屮 0 = 0,屮0 =醬=0 при Г=0 5;

(34.16)

(34.16)

6⑺=/力⑺叫施。\.

2 —\ г2 dr дх Г

九阴+九屮。 + 4 = 0,屮 1 =等=0 при / = Й, 5,

『〈嘿（字醬+争誓）》网⑺

九屮2 +夕浬1 +為%+人=0,中2 =争при r=a, 5,

(34.18a)

гдегдеn _ /九6( 0w。d匕 丄 理1d匕 丄d中2啊。\\

где

где

九=夕[g,九o]' 7i = ®i%' -学仆，(34 186) 4=J (叫，A%),厶=J (屮1,不%) + J (%,不%).

Если о=о (入°) (Zo = RT (а)) является единственным и простым собственным значением оператора 铝，то возможны только два решения задачи (34.16). Это решения Z^ и Z2 = Z】,где

Zi =「Vo(x, г; М(а,叫，叫・

Вещественное решение

4fo =2「eZi(34.18b)

единственно с точностью до произвольного сдвига начала отсчета s. Амплитуда решения определяется последним из условий (34.16). Задачей, сопряженной (34.16) относительно скалярного произведения

2Л

［・，・］ = (l/(2n)) J (•,・)ds,

о

является задача

夕;％ = (_(00 0A/% +気)屮； = 0,屮;= d%/力=0 при г = a, 5.

(34.19)

Предположим, что 土is。— простые собственные значения оператора В。, и рассмотрим уравнения (и = 1, 2,...)

九七=九，匕=0屮"勿=опри r=a, 5,(34.20)

где fn — периодические по ax и s функции с периодом 2冗 и Чгп имеют ту же периодичность. Как и в гл. II, неоднородные задачи (34.20) разрешимы тогда и только тогда, когда

［3Z；］ = ［/〃，ZSj = 0,(34.21)

где Z； = е。"%, z； = Z；, а 屮;一собственная функция задачи (34.12) на пределе устойчивости. Решения 屮〃 (х, г, s) не единственны, поскольку 立〃 + Л^о также является решением задачи. Однако значения Ап однозначно определяются условием нормировки

鎖(嘗寥(34.22)

Применение первого из условий разрешимости (34.21) (с ［九，Z；］三［/„］) к задаче (34.17) дает

［夕浬о 1+ ［Л1 = 0,［扑屮J + ［夕2K ］ + ［厶］=0. (34.23) Поскольку JQ не содержит членов, пропорциональных множителю е~" функции Z；, получаем, как и в § 12, что ［Jo 1 = 0- Это означает, что 0)! = к =% = 0; в самом деле, в силу (12.6) и (12.7) S2/+1 =入2/+1 — О И

;•(34.24)

Первая нелинейная поправка определяется соотношениями (34.23):

—而3 + 入2。' + [Jj/(AVo, 4o) =。(34.25)

и может быть найдена из решения задач (34.16) и (34.17).

(34.26)(34.26)Чтобы вычислить (34.25), мы должны найти решения систем нулевого и первого порядка. На пределе устойчивости о — icoo и

(34.26)

(34.26)

W；(%’ г) J [ф0 ("J

Система Орра—Зоммерфельда (34.276) и сопряженная ей система (34.27а) представляются в виде

(%一号)(唁 + ^ 哈一叫)+ 2， (唁 + 4^0)= 一盜卜尸+ V喑+ (月一 2a2)唁一 4•借一 6е?)唁+ 6同.

(34.27a)

("。-T)(中;Г 中;-a2中о) - (0；7 〃)中0 =

=負"卜I' ~Т ф0 + (耳 一 2а) ($[ — ~^(р0 + a4cp0J , (34.276)

(P。—屮0 —屮。—ср。—— 0 при г — a, 5.(34・27в)

Здесь штрихи означают дифференцирование и функция(р0 нормирована согласно (34.16):в5

5^^ jm(中0祐)办+ 番j旧(屮0©；) ^ = 粤.(34.27r) aa

Далее обратимся к системе первого порядка. При Zi = 0 задачу (34.17) можно записать в виде

九屮工+厶=0,(34.28a)

% = d%/力=0 при r=at 瓦(34.286)

*（醬譬+誉喇）=。■*（醬譬+誉喇）=。■(34.28в)(34.28в)

*（醬譬+誉喇）=。■

*（醬譬+誉喇）=。■

(34.28в)

(34.28в)

Теперь из представления (34.26) находим

几=J (%, &о)=力為(*т)+ je2i(ax-s)+ в + 瓦 (34.29) где

4=?［（%+ -7Фо）（就一4•中:一a2%）-

一屮0 （就一；而+』中;一叫；）］ и

В =子[(% —券 @о) (% — ~^中;一06細о) +

+ @o (%^% +J%-%；)] .

В силу линейности задачи можно написать

▽1 = Фи ⑺ с?； 9as) + ф11 ⑺ e-2i (а*т)+ 屮]金 + ф12 + a0Y0,

где Оо^о — величина, кратная решению систем (34.27). Учитывая получаем 的=0, откуда следует, что

(34.28b),

% = Фи ⑺ e2i(ахт)+@“⑺ e-2i (ахт) + 物％ 十 «?・

(34.30)

Подстановка (34.30) и (34.29) в (34.28а, б) дает

九(屮口為 Ух)) _|_ 4? (а*т)= °,

(34.31a)

ср” =屮；=0 при f = а, 5

(34.316)

и

70%2 +8=0,

(34.32a)

屮 12 =屮彳2 = 0 при r=* 5.

(34.326)

Из (34.31а) и (34.32а) получаем

一号)(中；17-Ф11 —4а2фц) 一 (°； — ； 〃) Фп —

—尧[ф^ ~ Т фн + (^ - ^) (фн Гфи) + 16a4(р“]= 一更

и

в.в.Хо / ту 2 «3 *3，\

в.

в.

■у ^12 — 7 屮12 + 7Т 中12—7§■屮12)

Чтобы найти Х2 и(о2 из (34.25), преобразуем сначала [JJ. Используя (34.18в), (34.26) и (34.30), имеем

[JJ =(2/俨一冲))J H^rdr.(34.33)

где

Я = ~ {(中；2 + Ф12)(Ф07 中;- a2中0)- фц (@；^-Фо — а冤)-

一2屮и卜；^"+；+ ("^a2)%]+； Ф11 (品^碣-a統)+

+ 2©0 卜 11~Ф11 — 4a2(Р[[]—中0 [%2 + @127"(Ф12 + ©12)+

+』(屮；2 +南)]++0 卜；^冠1 + (% -4a2)(p；J +

+ 4■中0 [中；2 + 而27 (中；2 + 丸)]-4" G (冠1^ 屮11 - 4a2中1[)} •

Выражение (34.33) можно упростить при помощи интегрирования по частям:

[厶]=ё^а ]j ФГ [-Wu - @；“1 + 2©詢и + Фо (中;2 + 昴)-

5

一中0(①12+中12)] dГ+ J 0: ^-(Ф12 + Ф12)(；% + 予中0 -a%) ++ "^$0(屮；2 + 而2)+ 屮11 (?中;一"^■中;一6a 也+ ；a2小0)-

(34.34)(34.34)一 屮11 (； ©0一今 小0 + 3%>0)- -y- Фо^и] " .

(34.34)

(34.34)

Используя этот результат, из (34.25) можно найти значения 入2 и с^. Выделяя в (34.25) вещественную и мнимую части, получаем

入2 = те ([/J/®%，喲)/ге/,

®2 =入2 而 / + 加([A]/(A%> ”；))‘

где o' = —V2(A2%» “；)/(细)，喲 на пределе устойчивости.

Воспользуемся (34.10) и (34.26) для нахождения

(晶0,心)=-#:潑J (赭祐'+ 4 T同+公%而)r dr

а й~

(*%，%)=京% J 卜篦"+ 4 就唁 一 (± - 2a2)中譌'+

+ -у 公脸 + а4(р0ф*] r dr.

Читатель без труда сформулирует задачи, описывающие производные по е высших порядков периодического по времени ответвляющегося решения. Построения, проведенные в этом разделе, показывают, что члены ряда Тейлора (34.15) для функции тока зависят от переменных х и s только через комбинацию ах — s = =0. Отсюда следует, что

4f (х, г, s; е) = V 亿 0; е). (34.35)

Функции от % и s, имеющие вид (34.35), являются статистически стационарными.

Значения параметров движения выше второго порядка по 8 были найдены Джозефом и Ченом [1974 ] для т] = 1/1,01, V2 и Vg. В табл. 2 приведены результаты расчетов для Т) = 1/1,01. Масштабные множители, использованные Джозефом и Ченом, несколько отличаются от использованных в этой книге; их переменные 匕 х, Ф, о, а, 8, к] соответствуют нашим [2/, 2х, 4屮，а/2, a/2, 8,入].

Некоторые свойства ответвляющегося решения

Некоторые важные свойства ответвляющихся решений можно понять, обратившись к рис. 19, на котором изображена поверхность R(82, а, 1) = R (в2, а) периодических решений. След этой

Таблица 2

Значения параметров на пределе устойчивости для п = 1/1,01 (Джозеф и Чен [1974])

а/2

反卜，

『/2

入2

(о2/2

2 ［厶］

瓦，崎）

0,650

14 923

0,2483

200,63

—0,3821

339,89

76,66

0,700

10 889

0,2733

162,89

—0,3726

286,26

60,70

0,750

8 299

0,2974

135,55

—0,3448

257,55

46,73

0,800

6 583

0,3203

114,91

—0,2886

248,50

33,16

0,850

5 424

0,3417

98,72

—0,1911

257,50

18,86

0,900

4 641

0,3612

85,46

—0,0314

287,17

2,68

0,950

4 136

0,3782

73,94

0,2290

347,27

—16,93

1,000

3 875

0,3918

62,92

0,6815

467,35

—42,88

1,020。)

3 846。)

0,3959。)

58,22")

0,9696。)

551,На)

—56,44。)

1,025

3 848

0,3967

56,97

1,0580

577,77

—60,28

1,050

3 924

0,3996

49,96

1,6718

773,16

—83,53

1,075

4 206

0,3987

40,03

3,0007

1 238,91

—120,13

1,090

4 676

0,3935

29,08

5,6075

2 234,54

—163,08

1,095

5 064

0,3886

21,46

9,0251

3 602,77

—193,69

1,09707

6 000

0,3771

4,88

53,4886

22 073,0

—261,13

1,09094

7 333

0,3626

—16,78

—20,8865

—9 156,86

—350,42

1,07654

9 333

0,3450

—47,18

—10,1464

—4 835,26

—478,69

1,05163

12 667

0,3229

—94,31

—7,2881

—3 877,26

—687,36

1,02528

16 667

0,3036

—147,24

—6,3231

—3 696,57

—931,01

вычисленные

°) Значения параметров, обозначены тильдой.

в этой минимальной критической точке,

поверхности на плоскости 8=0 представляет собой нейтральную кривую. Ламинарное течение Пуазейля неустойчиво в точках (R, а), которые лежат внутри нейтральной кривой; точки вне нейтральной кривой, согласно линейной теории устойчивости, соответствуют устойчивому состоянию движения. Из рис. 19 следует, что вблизи дуги ОСЕГ имеются точки (R, а), которые лежат на поверхности периодических решений, а их проекции на плоскость е ；- 0 лежат вне нейтральной кривой. На плоскости (R, а) такие точки имеются в области Е > 0 линейной устойчивости лами-

нарного течения. Движения с параметрами, лежащими в этой области значений (R, а), называются докритическими. С другой стороны, точки на поверхности периодических решений вблизи дуги OF расположены в области неустойчивости ламинарного течения и соответствуют закритическим движениям.

Свойства решений, установленные при помощи этой диаграммы, можно проверить, используя значения параметров, приведенные в табл. 2, а также соотношения dR (0, a)/de = 0 и

dR(0,a) 1 ⑦灭(о,а) _ 1 石

В точке С имеем 田 =0, и поверхность периодических решений удобно представить в виде / (a, R, в2) = 0. Последнее уравнение можно разрешить относительно a (R, 82); при этом da/dR = 0 и da/d&2 > 0 в точке С. Отсюда следует, что существуют нелинейные периодические решения с волновыми числами a (R, 82) > a俏, превышающими наибольшее волновое число a =。加 на нейтральной кривой.

В теории бифуркаций предполагается, что на пределе устойчивости собственные значения о являются простыми. Это предположение о простоте пока что не оправдано теоретически1). Вычисления для осесимметричных бифуркаций согласуются с предположением о простоте собственных значений, и всегда оказывается возможным найти одно и только одно нормированное решение задачи Орра—Зоммерфельда для каждой пары значений (R, а). При отсутствии кратных собственных значений теория гарантирует ответвление на пределе устойчивости только одного (с точностью до фазы) осесимметричного решения (с фиксированным а).

Анализ Флоке устойчивости ответвляющихся решений, развитый в § 14, применим и здесь. В силу теоремы о факторизации докритические решения неустойчивы до тех пор, пока разность коэффициентов сопротивления 82 является убывающей функцией

х) Ограничение исследования устойчивости и бифуркации осесимметричными возмущениями искусственно и нежелательно. При трехмерных возмущениях даже в случае пространственной периодичности в уравнения войдет еще одно волновое число и на пределе устойчивости при определенных значениях параметров и может утратить простоту. Ограничение двумерными возмущениями в задаче о плоском течении Пуазейля не столь серьезно, как могло бы показаться сначала. Это следует из теоремы Сквайра (упражнение 34.2), которая гарантирует, что значения R (а), лежащие на нижней ветви нейтральной кривой (дуге CF), являются наименьшими критическими значениями R для трехмерных возмущений. Отсюда следует, что при наименьших значениях R (а) первыми будут ответвляться двумерные возмущения; в частности, решение, которое ответвляется при минимальном критическом значении 员厶(в точке В), является двумерным.

числа Рейнольдса. Предполагается, что при больших значениях в2 кривая бифуркации для коэффициента сопротивления поворачивает назад (см. рис. 15 и 17) и устойчивость восстанавливается. Речь идет об устойчивости в смысле линейной теории; более того, устойчивость здесь рассматривается только относительно малых двумерных возмущений, периодических по а% с периодом 2冗. Поэтому суждение о восстановлении устойчивости докритическнх решений с большими амплитудами (см. рис. 4) относится только к ограниченному классу возмущений.

Численные результаты, приведенные в табл. 2, показывают, что для большей части значений а на нейтральной кривой рис. 19 ответвляющееся решение является докритическим, неустойчивым и не будет наблюдаться в экспериментах. Возможно, что неустойчивое периодическое по времени ответвляющееся решение может наблюдаться как переходное, когда значения параметров течения лежат на поверхности периодических решений или вблизи нее.

Упражнение 34.1. Сформулировать линейную задачу об устойчивости течения Пуазейля в трубах кольцевого сечения относительно трехмерных возмущений. Показать, что из предположения о независимости компонент скорости от 0 следует, что азимутальная (0) компонента возмущения должна обращаться в нуль.

Упражнение 34.2 (Сквайр [1933]). Рассмотреть линейную задачу об устойчивости плоского течения Пуазейля. Показать, что для возмущений, пропорциональных exp [i (ах + ₽«/)],

L (ccR, а2 + Р2, а/а) g = 0, з = Dw = 0 при z = 士％.

Доказать, что R (0, а) на нижней ветви нейтральной кривой для двумерных (Р = 0) возмущений (дуга CF на рис. 19) является также геометрическим местом наименьших критических значений для трехмерных возмущений (Р =# 0). Доказательства этой теоремы имеются у Линя [1955], Стюарта [1963] и Бетчова и Криминале [1967].

Упражнение 34.3 (Йи [1973]). Доказать, что для всех решений задачи

(34.8а, б) при Е « 0

min [Ux] < im (а/а) < max [UJ

Упражнение 34.4. Считая, что и на пределе устойчивости является простым собственным значением, доказать, что докритические ответвляющиеся решения являются неустойчивыми.

Упражнение 34.5. Показать, что ответвляющееся периодическое по времени течение Пуазейля имеет не зависящие от времени средние по горизонтали. Является ли это течение статистически стационарным?

§ 35. Сравнение теории и эксперимента

Этот параграф включает три раздела; в разд, «а» мы проводим сравнение результатов теории устойчивости с экспериментами. Основной вывод состоит в том, что хотя ламинарное течение является условно устойчивым для докритическнх значений чисел Рейнольдса, радиус притяжения 6 ламинарного течения очень мал;

поэтому большая часть естественных возмущений притягивается к другим решениям, и в разд, «б» мы обсуждаем эти другие решения. Как показано, ответвляющиеся периодические по времени решения неустойчивы и поэтому не могут притягивать возмущенные решения. Эксперименты св и детел ьств уют, что большие возмущения притягиваются к устойчивому множеству решений, которое мы назвали устойчивой гурбулентностью. Решения из этого притягивающего множества, по-видимому, имеют общую кривую отклика.

Неустойчивость ламинарного течения Пуазейля

Точки в заштрихованной на рис. 20 области соответствуют экспериментально определенным пределам устойчивости (результаты собраны Хенксом [1963 ]). Поскольку в этих экспериментах возмущения не контролировались, будем предполагать, что экспериментальные пределы в заштрихованной области аппроксимируют глобальные пределы устойчивости. При этом подразумевается, что все возмущения, которые могли бы дестабилизировать течение, действительно имеют место в экспериментах.

Кривые R& (п) и Rl ()]) показывают численно найденные критические значения энергетической и линейной теории устойчивости. Значения R^ (rj) были получены методами, описанными в § 21 и 22. Когда R > R君(?]), энергия некоторых возмущений будет первоначально возрастать со временем. Азимутальная периодичность наиболее опасных начальных возмущений задается целыми числами %, соответствующими возмущениям, пропорциональным cos п0. Критические значения п отмечены на кривой R& S)・

Критические значения RL (я) представляют собой минимальные критические значения Um (b —a)/v, определенные по формуле (34.9); см. также упражнение 33.1. Вычисление этих значений (Мотт и Джозеф [1968]) проведено в предположении об осесимме- тричности возмущений. Справедливость этого предположения может быть доказана для случая i] = 1 (упражнение 34.2). При П = 0 (внутренний цилиндр отсутствует) численные исследования Дэви и Дрэзина [1969 ] и Салвена и Гроша [1972 ] показывают, что течение Гагена—Пуазейля устойчиво относительно любых возмущений. Предполагая, что та же самая абсолютная устойчивость сохраняется в предельном случае (R^ (q) -> оо при q +0), видим, что независимо от предположения о симметрии кривая Rl (л) на рис. 20 правильно проведена в конечных точкахх).

Критические значения Rl(П), приведенные на рис. 20, могут не являться истинными критическими значениями. Чтобы получить истинные критические значения, необходимо исследовать спектральную задачу в общем виде, не ограничиваясь осесимметричными возмущениями.

Рис. 20. Пределы устойчивости для течения Пуазейля; R =〈〃〉/(2у),〈〃〉= =〈U〉 определяется формулой (17.8). Л ——область неустойчивости; Б ——область условной устойчивости; В ——область глобальной, но не монотонной устойчивости; Г ——область глобальной и монотонной устойчивости.

Экспериментально определенные значения предела устойчивости для течения Гагена —Пуазейля равны примерно U俏(b — a) /v 2000. Ссылки на более ранние эксперименты имеются в работе Бейтмена с соавторами [1956]. Форма неустойчивого возмущения, которое не затухает при наименьшем значе-

нии R, неизвестна. С одной стороны, в экспериментах Лейта [1959 ] возмущения, которые вводились в поток, не обладая в начальный момент никакой симметрией, при движении вниз по потоку становились близкими к осесимметричным. С другой стороны, Фокс, Лессен и Бат [1968] полагают, что наиболее неустойчивые возмущения имеют в своем разложении Фурье cos 0 в качестве доминирующего члена. Критическим возмущением энергетической теории (см. § 21) также является спиральная мода с азимутальной периодичностью, соответствующей и — 1. Длина волны в осевом направлении критического возмущения энергетической теории в пять раз меньше, чем наблюдавшаяся Фоксом, Лессеном и Батом.

Единственными достаточно полными экспериментальными исследованиями, относящимися к устойчивости течения в трубах кольцевого сечения с 0 < т] < 1, являются эксперименты Уолкера, Вана и Росфуса [1957 ]. Многие экспериментальные точки на рис. 20 взяты из их работы.

Предел устойчивости R 〜2100 для течения Пуазейля в канале (т] -> 1) был экспериментально получен Дэвисом и Уайтом [1928] и широко известен в литературе. Биверс, Спэрроу и Магнусон [1970] заметили, что экспериментально наблюдаемый предел устойчивости зависит от степени возмущения течения на входе в канал. Найденные ими пределы устойчивости лежат в интервале 1650 < Um (б —a)/v < 2500. Верхнее значение соответствует гладкому входу в канал, нижнее — входу с острыми выступами. В экспериментах Дэвиса и Уайта возмущения на входном участке были очень велики, поскольку перед входом в канал течение поворачивалось на 90° (рис. 14). Наблюдения Као и Парка [1970 ] в известной степени согласовывались с пространственно затухающими собственными функциями линейной теории. Затухающие возмущения должны в конечном счете стать достаточно малыми, чтобы была применима линейная теория.

Из рис. 20 следует, что неустойчивость наблюдается при до- критических значениях R, которые, согласно критерию линейной теории, соответствуют устойчивому движению. Это не означает, что линейная теория не согласуется с экспериментами. Линейная теория предсказывает неустойчивость при R > /?厶，и эта неустойчивость наблюдается. Линейная теория гарантирует устойчивость ламинарного течения при R < RL только в условном смысле, т. е. для малых возмущений. Эта условная устойчивость ламинарного течения Пуазейля при R < Rl может наблюдаться в тех экспериментах, в которых приняты специальные меры для подавления конечных возмущений. В круглых трубах ламинарное течение наблюдалось даже при 7? > 40 000 (подробное описание и ссылки приводятся в книге Шлихтинга [1960, гл. XVI.1J). Эксперименты показывают, что естественные возмущения не притягиваются ла-

минарным течением при R < RL. Вот почему так трудно получить ламинарное течение в экспериментах при R, превышающем, скажем, 2400.

Описание диаграмм

Рисунки 15—17 можно рассматривать как диаграммы бифуркации в плоскости (R, /) кривой отклика. Экспериментально наблюдаемые значения взяты из работы Уолкера, Вана и Росфуса [1957 ]. Координаты Re2 и %, использованные этими авторами, связаны с R и / соотношениями

R = R&/(4吊⑺)，/=%/&("), где

1 + (1一哂/(2g⑴

Кривая отклика для ламинарного течения // = 2/(Rb (“)) в логарифмических координатах представляет собой прямую

d In ftld In 页=—1.(35.1)

Эта прямая, проходящая под углом 45°, является нижней границей для коэффициентов сопротивления во всех возможных течениях со стационарными средними характеристиками.

На рис. 16 построена также верхняя граница для коэффициентов сопротивления в турбулентных течениях со стационарными средними. Чтобы перевести границу (32.3) в координаты 很，/), заметим, что выражения (32.3) справедливы для всех течений с равными градиентами давления:

Р [V.] = PZ [[/.]= 12 (t/x).

Тогда, учитывая (33.14) и равенство (7Л) = 2反，получаем

/ = P/R2 = 12伕2 и

卩=(力)一亿〉=沃2/12 - 2R > 0.

Используя эти два соотношения для замены переменных (卩,Р) -> (R, /) в (32.3), находим

io 一一 一一 一

f《f三f《f三专 + 普(R& + 2)(R-R&) при r&<rvy，

f《f三

f《f三

3 + * +養при

(35.2)

где у = 2 (R& + 1), a R^± 793,6/24 является пределом устойчивости энергетической теории.

Подведем итог: статистически стационарное течение в канале может существовать только в том случае, когда

力=24伕《 / (R)《f 灰).(35.3)

Неравенство (35.3) соответствует заштрихованной области на рис. 16.

Значения наклонов кривой отклика (в двойном логарифмическом масштабе) для периодического по времени ответвляющегося решения при минимальном значении критического числа Рейнольдса даны в табл. 3, а сами кривые нанесены штриховыми линиями (докритическая неустойчивая бифуркация) на рис. 15 и 17.

Таблица 3

Значения наклонов кривых отклика при минимальном критическом значении числа Рейнольдса (Джозеф и Чен [1974])

1]

1/1,01

%

ЬШ2к2(^ П))

0,0430

0,0067

0,0035

(d In f/d In 页)]R=%

—1,0430

—1,0067

—1,0035

Значения наклонов, приведенные в табл. 3, вычислены следующим образом: замечаем, что

£2 = / —fi =(九-九0)/九2 +。停)，

仆)Л _无停,a,叫1 2九2他，用 \R(0,a, n)) J仆)Л _无停,a,叫1 2九2他，用 \R(0,a, n)) Jгде fi = 2/{R(82, a, “)b (т])) и 九=1/R. Следовательно, с точностью до членов порядка О(84)

仆)Л _无停,a,叫1 2九2他，用 \R(0,a, n)) J

仆)Л _无停,a,叫1 2九2他，用 \R(0,a, n)) J

Inf = In 力 + In 1 T

Дифференцирование no In R(82, a,刀)при постоянных а и R (0, a, I]) дает

din丄 I = _ ] _ 6⑺dlnR |e=o— 2^(a，П)

Отметим, что бифуркация всегда происходит выше прямой, проходящей под углом 45c на рис. 15—17. Существует континуум решений (зависящих от а), которые ответвляются при каждом

значении R (0, а, т]) a min R (О, а, i])三 RL. Фактически каждому а соответствуют два различных значения R (см. рис. 19), и при каждом R > Rl ответвляются два различных решения с разными наклонами (35.4). Для определения положения точек бифуркации и наклонов (35.4) ответвляющихся решений на пределе устойчивости (см. упражнение 35.1) полезно использовать табл. 2.

Дальнейшее исследование ответвляющихся решений в двух измерениях (R, а) требует вычисления огибающей 九(82, а(82)) бифуркационных кривых 入(82, а), зависящих от параметра а. Уравнение огибающей

dA/da = 0(35.5)

должно тождественно выполняться по 82. Точки на огибающей дают наименьшие значения R(82, а(82)) = V(82, а (в2)), для которых могут быть найдены двумерные ответвляющиеся решения. Во втором порядке по степеням 82 получаем

X (е2, а(82)) = X (0, а) + Х2 (用产十 & (й)十 х2,а (а) а2) 84 +

+ О (е6),(35.6)

где производные

入2 = aw(82),九4 = % d2九/况22)2,

九2,а = % @2A/dad(g2), а2 = da/d(82)(35.7)

вычислены в точке минимума на нейтральной кривой 8=0, а = й (см. табл. 2). Все эти производные можно рассчитать при помощи аналитических методов теории возмущений; в частности, значение а2 получается дифференцированием тождества (35.5) по 82 при 82 = 0:

^,ааа2 + %а =。，

где 入,аа = @2 九/9а2.

Выводы и предположения

Теперь мы подытожим результаты, которые дают теория и эксперимент для течений в трубах кольцевого сечения. Основные предположения наиболее наглядно объяснены при интерпретации результатов, представленных на рис. 15 и 16.

Во-первых, при R V 灭& ~ 33,3 (или / >/&~24/7?&) все возмущения плоского течения Пуазейля затухают с самого начала; если R& V R V Rg, то все возмущения в конечном счете затухают, но затухание не обязательно является монотонным. При R > Rg

плоское течение Пуазейля может быть неустойчивым. Эксперименты подсказывают, что 瓦—650. При RG <R <RL ламинарное течение Пуазейля устойчиво относительно малых возмущений; из экспериментов следует, что эти устойчивые возмущения должны быть очень малы. Однако, если естественные возмущения подавлены,_можно получить ламинарное течение при RG < R < < R「・ При R > Rl ламинарное течение неустойчиво. При R = Rl от ламинарного течения ответвляется периодическое по времени решение, которое является докритическим и неустойчивым. Неустойчивые ответвляющиеся решения не могут притягивать возмущенные решения, и решения, которые не притягиваются к ламинарному течению Пуазейля, «проскакивают» через ответвляющиеся решения и притягиваются к устойчивому множеству решений со значительно большей разностью коэффициентов сопротивления 1).

Эксперименты наводят на мысль, что при R > R@ существует устойчивое множество решений, которые объединяются названием устойчивой турбулентности и, по-видимому, имеют общую кривую отклика. Заслуживает внимания удивительный наблюдаемый результат: при заданном R〉Rg удается воспроизводить одни и те же значения (насколько «одинаковость» может быть установлена из экспериментов) разности коэффициентов сопротивления. Это удивительно потому, что наблюдаемые течения турбулентны и совершенно различны, и, несмотря на это, каждое из бесконечного множества турбулентных течений приводит к общему значению коэффициента сопротивления.

Из предположения о статистической стационарности устойчивой турбулентности следует, что функция отклика ограничена сверху кривой (35.4), которая может быть найдена из вариационной теории турбулентности. Функция отклика статистически стационарных решений ограничена снизу функцией отклика для ламинарного течения (прямой, проходящей под углом 45° на рис. 15— 17). В области между линией ламинарного отклика и верхней границей, несомненно, имеется очень много статистически стационарных решений. Ответвл я ющееся решение, показанное толстой штри-

ховой линией на рис. 15 и 17, является лишь одним примером; существует по крайней мере еще континуум докритически ответвляющихся решений, зависящих от а с R (0, а) < RL. Все эти решения могут быть неустойчивыми, причем неустойчивость многих из них совершенно очевидна.

Решение, ответвляющееся от течения Пуазейля при наименьшем критическом значении 欠厶，играет важную роль потому, что оно ответвляется первым и является единственным из ответвляющихся решений с е — 0, которое может быть устойчиво относительно возмущений с другими волновыми числами (упражнение 35.2). Толстая штриховая линия на рис. 15 и 17 дает наклон кривой отклика двумерного ответвляющегося решения в точке ветвления.

Кажется, что физическая значимость анализа ветвления в случае докритической бифуркации ограничена тем, что докритические ответвляющиеся решения неустойчивы при малых 8. Однако это ограничение может быть скорее кажущимся, чем реальным; почти очевидно, что поправки высшего порядка (скажем, до членов порядка О(£‘) в разложении (35.6)) для бифуркационных кривых на рис. 15 и 17 заставят штриховые линии, описывающие бифуркацию, повернуть назад. Тогда, считая выполненными условия, определяющие устойчивость в силу теоремы о факторизации (§ 14), получаем, что на верхней ветви бифуркационной кривой ответвляется устойчивое периодическое по времени решение (см. рис. 4). Численные расчеты Цана, Тоомре, Спигла и Гафа [1974 ] ответвляющегося течения Пуазейля дают результаты, согласующиеся с картиной, получающейся из теоремы факторизации 】).Эти авторы нашли, что бифуркационная кривая поворачивает назад и что верхняя ветвь является устойчивой, а нижняя —неустойчивой.

Заключение об устойчивости на верхней ветви бифуркационной кривой имеет ограниченное значение, поскольку неизвестны пределы его применимости. Это заключение основано на исследовании ограниченного типа возмущений, как было указано в конце § 34.

Если предположить, что верхняя ветвь бифуркационной кривой является устойчивой, то связанную с ней физику явления можно описать как «жесткую неустойчивость» (snap-through insta-

Эти авторы раскладывают решения в ряды Фурье по координате вдоль оси. Такая процедура приводит к бесконечной системе нелинейных уравнений, которые затем существенно обрезаются. Укороченные уравнения решаются численно. Устойчивость периодических по времени решений проверяется Численным интегрированием задачи с начальными условиями. Цан с соавторами обнаружил, что решения на нижней ветви бифуркационной кривой неустойчивы, а на верхней устойчивы. Необходимо добавить, что, хотя их вычисления проводились для укороченных уравнений, теорема о факторизации в равной мере применима Н к полным, и к укороченным уравнениям.

bility). Условно устойчивое ламинарное течение устойчиво не всегда; когда число Рейнольдса лежит в условно устойчивой области рис. 20, трудно найти возмущения, которые притягиваются к ламинарному течению. Возмущения не могут также притягиваться к периодическому по времени решению на нижней ветви бифуркационной кривой; вместо этого они притягиваются к устойчивым решениям на верхней ветви.

Эта картина была бы совершенной, если бы в докритическом случае наблюдались двумерные периодические по времени решения с большой амплитудой. Хотя такие периодические по времени решения не наблюдаются, реальная физика явления допускает интерпретацию, основанную на гипотезе, что в действительности при заданном R < RL существует нечто вроде двух устойчивых решений. Конечно, эта гипотеза применима к пространственно периодическим возмущениям в бесконечно длинных трубах, и сравнение с экспериментами в трубах конечной длины не слишком убедительно. При Rg < R V Rl в трубах конечной длины, по- видимому, тоже должны существовать два «устойчивых» решения, одно из которых ламинарное (Вигнански и Шампань [1973]; Виг- нански, Соколов и Фридман [1975]). Реализуемое в экспериментах течение разделено на отдельные «пятна» перемещающихся пакетов ламинарного и турбулентного течений (турбулентные «порывы» при R, близких к Rg，и «пробки» при больших значениях R). Переход от ламинарного течения к турбулентному в фиксированной области пространства происходит внезапно, когда порыв или пробка проносится через эту область; обратный переход происходит также внезапно, когда турбулентное пятно покидает данную область. Результаты наблюдений наводят на мысль о существовании в «фазовом пространстве» некоторого рода цикличности чередования двух относительно устойчивых, но слабо притягивающих решений.

Чтобы высказаться более определенно о переходе к турбулентности при докритических условиях, нужно больше знать об огибающей решений на верхней ветви бифуркационной кривой и о возможных докритических бифуркациях периодических по времени решений. Без таких результатов мы вынуждены почти полностью возвратиться к принципу равноправия предположений', если вы совершенно ничего не знаете, то все предположения равновероятны.

Упражнение 35.1. Использовать формулу (35.4) и табл. 2, чтобы показать, что выше прямой, проходящей под углом 45° на рис. 15, при каждом значении R (0, а) >"₽£ ответвляются два решения. Идентифицировать докритические и закритические решения. Найти положение точек на нейтральной кривой рис. 19, для которых бифуркация является закритической. Показать, что наклоны кривых отклика (35.4) —

(dlnf/dlnR) k(o,a)

решений, ответвляющихся при значениях R (0, а) > Rl на дуге ВС нейтральной кривой рис. 19, ближе к —1, чем значение, приведенное на рис. 15.

Упражнение 35.2. Показать, что все ответвляющиеся решения с длиной волны 2л/а неустойчивы по отношению к возмущениям с длиной волны 2л/р, где Р таково, что R (О, В) V R (0, а). Указание. См. гл. XI.

Замечания к главе IV

Теория, приводящая к уравнениям для среднего и пульсационного движений, является одним из многих научных достижений Рейнольдса [1895].

Гейзенберг понял значение нелинейных уравнений Рейнольдса и использовал их в своей важной работе (Гейзенберг [1924]), выявившей наиболее существенные особенности асимптотических решений уравнений Орра——Зоммерфельда. Первая нелинейная теория устойчивости, основанная на нелинейных уравнениях Рейнольдса, строится на предложенных Мексином и Стюартом [1951 ] аппроксимациях.

Рейнольдс [1895] исследовал устойчивость течения Пуазейля. Он искал наименьшее значение v (наибольшее R), для которого можно найти такие кинематически допустимые и, что для них справедливо «определяющее уравнение»:

V〈|V『F〉= 一〈硒•％%]〉・(*)

Фактически Рейнольдс рассматривал не эту задачу, но в конце концов нашел наименьшее значение v из уравнения

v〈|VW|2〉= —〈叫 4/"』〉，(**)

где D \UX]——тензор скоростей деформаций основного параболического течения Пуазейля, а не среднего движения.

Чтобы получить уравнение (* ♦) из уравнения (*), следует прежде всего заметить, что если возмущения бесконечно малы, то членом с пульсациями можно пренебречь по сравнению с квадратичными членами и тогда D；j [Vx] = D^ [UJ Для бесконечно малых пульсаций среднее движение совпадает с основным движением. Рейнольдс сделал вывод, что интегралы диссипации от пульсационного движения (например, последний член в формуле (30.7)), которыми пренебрегали при переходе от уравнения (*) к (* *), имеют одинаковый знак и всегда вносят вклад в убывание (| и |2} (см. уравнения (28.10)). Поэтому он заключил, что полученный им из уравнения (* *) критерий будет достаточным для устойчивости нелинейной задачи.

Рейнольдс не владел строгим математическим методом отыскания критерия из определяющего уравнения, он скорее угадывал правильную форму пульсаций, строгий же (вариационный) метод был предложен Орром [1907], который указывал (с. 123), что «При использовании метода Рейнольдса, Шарпа и X. Лоренца характер возмущений в известной степени является предположительным и, по-видимому, в какой-то мере произвольным; я продолжаю ... вести подобные исследования, в то же время пытаясь избежать любого такого произвольного выбора».

Хотя общий вид определяющего уравнения в ограниченной области был известен Рейнольдсу, Орр все же рассматривает только параллельные течения (прямолинейное движение). Шарп [1905], X. Лоренц [1907], Карман [1924], Харрисон [1921 ] и Хейвлок [1921 ], большей частью следуя указанию Орра, исследовали параллельное течение. Исключение составляет работа Тамаки и Харрисона [1920], которые рассматривали устойчивость течения Куэтта между двумя ци-

линдрами и привели (неправильно) общие дифференциальные уравнения (Эйлера) в частных производных для энергетической задачи. Правильные уравнения приведены в работе Харрисона [1921 ] (обзор ранних работ можно найти у Бейтмена с соавторами [1956]).

Орр вполне понимал, что его подход к «линеаризованным» уравнениям Рейнольдса пригоден и для рассмотрения полной задачи, связанной с уравнением (*). Уверенность, что его числа «являются истинными наименьшими значениями», основывалась на том, что они гарантировали убывание (I <Р |) даже тогда, когда не учитывались «стабилизирующие» члены диссипации за счет пульсаций. Фактически Орр все-таки не вычислил истинные наименьшие значения ни в одном из рассмотренных им случаев, но это уже вопрос техники вычислений и нисколько не умаляет превосходного понимания Орром широкого значения его критерия или вариационных методов, которыми он пользовался для получения этого критерия.

§ 31, 35. Анализ Хоуарда был стимулирован ранними идеями Мал- куса [1954], который, как и Рейнольдс, сформулировал задачу о турбулентности в терминах пространственно осредненного среднего движения и пульсаций около этого среднего. Мал кус заметил также, что можно получить первый интеграл этих уравнений, определяющий среднюю температуру. Он формулировал задачу о турбулентности в духе ранней формулировки Рейнольдса турбулентной задачи для сдвигового течения. Никто из них не показал, что введенные ими интегралы являются ограниченными функционалами в определенном надлежащим образом пространстве кинематически допустимых функций.

Малкус предполагал, что турбулентными решениями, фактически реализуемыми в конвекции, когда приложенная разность температур фиксирована, являются такие, которые максимизируют поток тепла. Этот принцип строгого отбора турбулентных решений сейчас, вообще говоря, считается неверным; в действительности реализуются устойчивые течения с некоторым конечным радиусом притяжения. Решения, максимизирующие поток тепла, могут быть неустойчивыми, а если они и устойчивы, то не обязательно являются единственными устойчивыми решениями. ”

Например, в задачах об обобщенной конвекции в подогреваемых снизу замкнутых сосудах (см. гл. X) возможны два устойчивых решения (соответствующие восходящим и нисходящим течениям в сосуде); при одинаковой заданной температуре на границе эти два решения обычно соответствуют различным потокам тепла. Решения для восходящего и нисходящего течений в подогреваемом снизу круговом цилиндре конечной высоты, изученные Лянгом, Видалом и Акри- восом [1969], дают превосходные примеры устойчивости решений с различными характеристиками переноса (см. рис. 61).

Несмотря на то что принцип отбора, предложенный Мал кусом, не является строгим, он важен хотя бы исторически: непосредственно от него через идеи Хоуарда идет путь к вариационной теории турбулентности. Этот принцип может все же строго реализоваться при вполне определенных ситуациях, которые обобщают идею Мал кус а на другие функционалы отклика. Хоуард [1972], например, считает возможным некоторый асимптотический принцип отбора при больших числах Рейнольдса: по крайней мере, можно исследовать справедливость такого упрощенного принципа отбора при помощи математической теории, в которой принимаются во внимание определенные и, возможно, отрицательные выводы.

Одна такая вполне определенная возможность обсуждается в этой главе. Гипотеза о выборе заключается здесь в том, что нет устойчивых или неустойчивых статистически стационарных решений, которые при заданном расходе приводят к более высоким значениям коэффициента сопротивления, чем решения, соответствующие экспериментальным данным, показанным кружками на рис. 15—17. Эта гипотеза является четкой и в целом нетривиальной, поскольку существует по крайней мере континуум (ответвляющихся) статистически стационарных решений, которые не максимизируют коэффициент сопротивления. Эги решения неустойчивы и поэтому не отбираются. Чтобы обосновать только что сформулиро-

ванную гипотезу, необходимо показать, что не существует статистически стационарных решений с коэффициентами сопротивления, большими, чем в экспериментах, но доказать это мы не в состоянии.

Одним из способов проверки гипотезы, что реализуемые движения стремятся к состояниям, в которых удачно подобранные функционалы отклика максимальны, в известной мере является исследование функционалов отклика методами Хоуарда и при помощи обобщения Буссе [1969а, 1970а] этих методов на сдвиговые течения. Такие исследования по крайней мере приводят к строгим верхним границам, которые представляют физический интерес. Вряд ли нужно говорить, что турбулентность является столь трудной и важной проблемой, что математически строгие формулировки даже небольшой ее части весьма ценны.

В самом деле, представляется, что вариационная теория даже без принципа отбора физически гораздо более содержательна, чем могло бьГпоказаться на первый взгляд. Эта содержательность в значительной мере обусловлена тем, что решения вариационных уравнений уже обладают свойствами, которые до некоторой степени воспроизводят запутанные механизмы турбулентного движения. Буссе неоднократно подчеркивал эту способность вариационной теории служить «модельной теорией* для турбулентности, существенным образом связанную со структурой найденных им «многомодовых» решений. Преждевременно обсуждать здесь*эти решения; довольно полное их описание приводится в гл. XII. Читателю, интересующемуся этими решениями, будет полезно, помимо работы, о которой пойдет речь в гл. XII, ознакомиться с работой Буссе [1970а] и обзором Хоуарда [1972] по основанному им направлению исследований.

Наиболее поразительный результат применения многомодовых решений Буссе [1970а] к турбулентному течению Куэтта заключается в том, что профиль средней скорости для максимизирующего решения в середине слоя не оказывается плоским, как обычно предполагалось, а имеет наклон, в точности равный четверти наклона профиля для ламинарного течения Куэтта. Как замечает Хоуард: «Хотя этот результат расходится со всеми распространенными представлениями о том, на что должны быть похожи турбулентные течения, он, по-видимому, удивительно хорошо согласуется с экспериментами Рейхардта».

§ 33, 34. Основные результаты этих параграфов заимствованы из работы Джозефа и Сэттинджера [1972], Джозефа и Чена [1974] и Джозефа [19746]. Формулировка теории бифуркаций через параметры кривой отклика является полезной и, по-видимому, решающей при апробации эффективности теории возмущений в исследовании течений.

Некоторые качественные результаты по бифуркации плоского течения Пуазейля, выраженные через величину произвольной амплитуды А, были получены Рейнольдсом и Поттером [1967а] при помощи их формального обобщения метода разложения по амплитуде Стюарта—Уотсона. Более полные численные результаты для этой задачи получили Мак-Интайр и Линь [1972], которые к тому же рассмотрели устойчивость течения Пуазейля неньютоновских (второго порядка) жидкостей. Пекерис и Школлер [1967, 1969] изучали периодические по времени решения, ответвляющиеся от плоского течения Пуазейля.

С этими работами связаны интересные (но пока еще пробные) исследования методами теории возмущений плоского течения Пуазейля, проведенные Эллингсе- ном, Гьевиком и Палмом [1970], и течения Гагена——Пуазейля, проведенные Дэви и Нгуеном [1971 ]. Оба эти течения абсолютно устойчивы относительно бесконечно малых возмущений, так что приложение к ним методов теории возмущений связано с известными трудностями. Андрейчиков и Юдович [1972] использовали для решения задачи о бифуркации течения Пуазейля строгий вариант теории Ляпунова——Шмидта, который применяется при исследовании периодических по времени бифуркаций (см. замечания к § 10 гл. II).

Глава V

ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯКУЭТТА

МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯЦИЛИНДРАМИ

В этой главе мы рассмотрим устойчивость течения между двумя вращающимися цилиндрами. В идеализированной постановке задачи цилиндры считаются бесконечно длинными и вращаются вокруг общей оси с постоянными угловыми скоростями Qi при г = =а и Q2 при г = b (Ь > а}. Движение жидкости удовлетворяет уравнениям Навье—Стокса в пространстве между цилиндрами и условию прилипания на стенках цилиндров.

§ 36. Течение Куэтта, вихри Тейлора, волнистые вихри и другие движения между цилиндрами

Существует единственное стационарное решение уравнений Навье—Стокса, которое зависит только от г и принимает заданные значения на стенках цилиндров:

и = ее(Дг4-В/г) = е0У(г),(36.1)

где

—62Q2 - Q2Q]— -a訪2 (Q2 一 &)

n — -b2_@2—0#-Q2 ，

a 亿 0, x) —цилиндрические координаты. Течение (36.1) называется течением Куэтта между вращающимися цилиндрами. Когда

Rb =Rb =|В I = @2加 I & — % IV _ V (川—a2)|В I = @2加 I & — % IV _ V (川—a2)мало,мало,(36.2)(36.2)

Rb =

Rb =

|В I = @2加 I & — % I

V _ V (川—a2)

|В I = @2加 I & — % I

V _ V (川—a2)

мало,

мало,

(36.2)

(36.2)

это идеализированное течение действительно хорошо представляет течение между цилиндрами конечной длины, наблюдаемое вдали от их концов.

При больших значениях RB течение Куэтта становится неустойчивым; тогда возможны многие другие устойчивые течения, необязательно однозначно определяемые внешними условиями. Два таких устойчивых течения показаны на рис. 21, а, 6. На рис. 21, а показаны вихри Тейлора; это красивое регулярное установившееся осесимметричное движение имеет вид стопки наложенных друг на друга торов примерно квадратного поперечного сечения.

Рис. 21. а — вихри Тейлора (Блок [1973]). Ламинарное течение Куэтта между вращающимися цилиндрами потеряло устойчивость, и его сменило вторичное течение, показанное на фотографии. Внутренний цилиндр вращается, внешний неподвижен. 6 — волнистые вихри Тейлора (Блок [1973]). Вторичное течение в()юрме вихрей Тейлора потеряло устойчивость, и его сменило периодическое по времени движение, в котором волнистая структура вихрей распространяется вокруг цилиндров. Внутренний цилиндр вращается, внешний неподвижен. 8 — переходное движение, которое проявляется как неустойчивость, сопровождающая старт- стоп ное движение внешнего цилиндра (Коулз [1965])

На рис. 21,6 можно видеть волнистые вихри; они ответвляются от вихрей Тейлора при определенных условиях, когда вихри Тейлора теряют устойчивость. Вихри Тейлора возникают как стационарная бифуркация течения Куэтта, волнистые вихри — как периодическая по времени бифуркация вихрей Тейлора.

Ветвление течения Куэтта в вихри Тейлора происходит не при любых обстоятельствах. Если абсолютная величина

|л = %/%(36.3)

велика, то течение Куэтта может терять устойчивость более сложным образом и могут возникать нестационарные и неосесимметричные движения различного типа (см. работы Тейлора [1923 ], Коулза [1965 ], Крюгера, Гросса и Ди Примы [1966], Ди Примы и Гран- ника [1971 ], Снайдера [1968а, 1970 ]). Кроме различных стационарных и нестационарных устойчивых движений, которые можно наблюдать при потере устойчивости течением Куэтта, существует ще много типов движений, удов летвор я ющи х уравнениям движе- ия, но неустойчивых и ненаблюдаемых.

§ 37. Глобальная устойчивость течений Куэтта, почти подобных движению твёрдого тела

Энергетический анализ устойчивости (см. гл. I) показывает, что течение Куэтта монотонно и глобально устойчиво, если

V >max -尚請,(37.1)

где U определяется выражением (36.1),

D[Uj = — (“е「+ егее) В/г(37.2)

и максимум отыскивается в классе соленоидальных векторов и (г, 0, х) = (з, V,- 〃), которые обращаются в нуль при г = а, Ь, являются периодическими по 0 и почти периодическими по х. Ломаные скобки означают осреднение по объему (определяемое формулой (19.1) с L* 8).

Если Qj = Q2, то В = 0 и жидкость между цилиндрами вращается подобно твердому телу. Для движений жидкости, подобных движению твердого тела, v^ = 0. Вращение жидкости между цилиндрами, подобное движению твердого тела, абсолютно, монотонно и глобально устойчиво. Когда В мало, течение Куэтта почти подобно вращению твердого тела. Это вращение также монотонно и глобально устойчиво. Для доказательства этого заметим, что

〈1汕2)=(険|2+巾。12+e"户+^ + ^一瞽黑+辱粉》 》〈(嚟)2 + 缁 У + 5 (芻一У + * 傷 + * А 《雾y +(黑)〉

Отсюда следует, что

—(u-D u> _ 2В (ttw/r> I D| 3力2〉+〈吗严〉

(|VU|2) =〈|VU|2〉〈(М/力产+(加/力)2〉•

Поскольку при 匕〃 > 0 £q/£ b〃《max ап/Ьп, это неравенство п

можно продолжить так:

< |В I max V2[(p];(37.3)

ф

здесь ф = 0 при г = а, Ь,

〈叫户〉《1пp户)

и D^ = d(p/dr.

Задача Эйлера на собственные значения для (37.3) имеет вид

；D(rD(p) +入2屮/产=о, ф = 0 при г = а, Ь. (37.4)

Эта задача имеет собственные функции sin {九 In (〃b)} и собственные значения

九2=_^_・—(Е(а/6))2 '

наименьшее собственное значение равно

入2 =入2 =л2л2(1П ((@/6))2 ・(1П ((@/6))2 ・(37.5)(37.5)

入2 =

入2 =

л2

л2

(1П ((@/6))2 ・

(1П ((@/6))2 ・

(37.5)

(37.5)

Из уравнений (37.1), (37.3) и соотношения (37.5) следует, что течение Куэтта монотонно и глобально устойчиво, когда т)

(37.6)(37.6)|В|a2b2|R2-qj / Я2

(37.6)

(37.6)

—^ -V 传2 —叫—V (in (〃а))2

Течения Куэтта, почти подобные движению твердого тела, —это течения, для которых разность | Q2 — £2】| мала; такие течения глобально устойчивы.

Вариационную задачу (37.1) для v& впервые рассмотрели Тамаки и Харрисон [1920] и Харрисон [1921 ]. Харрисон [1921 ] исправил основную ошибку в уравнениях, выведенных Тамаки и Харрисоном [1920 ]. Однако Харрисон, как и Орр (см. замечания к гл. IV, § 30), при решении вариационной задачи неправильно выбрал форму возмущений. Он рассматривал возмущения в виде валов с осью, параллельной оси цилиндра. Такие валы не являются критическими возмущениями в классе трехмерных возмущений и не приводят к наименьшему значению критической вязкости энергетической теории устойчивости.

Энергетическую устойчивость течения Куэтта относительно осесимметричных возмущений и (г, 0, %) = (ш (г, х), и (г, х), 〃 (г, х)) впервые рассмотрел Серрин [19596]. Осесимметричные «конкурирующие» функции в задаче на максимум (37.1) удовлетворяют следующим уравнениям:

divu =學=0,г dr ' дх '

-= _е,筝一е* 需 + vaWu, (37.7) u (a, 0, x) = u (b, 0, x) = 0,

u —периодическая функция %，).

Исключая р и 〃，получаем

V& ±2。=-丝野,W& 2и =—粤， (37.8) где

и

w = dw!dr = и = 0 при /• = а, Ь.

Уравнения (37.8) линейны, и их коэффициенты не зависят от %; следовательно, фурье-компоненты решения должны по отдельности удовлетворять (37.8). Каждая из компонент имеет вид

®, и)=血(г), V (г)) cos (ах + В),(37.9)

где постоянная р произвольна. Функции ^ (г) и и (г) удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Анализ Серрина развит для периодических по % функций. Такой же анализ можно обосновать и для почти периодических функций (см. метод, приводящий к оценке (20.7), и упражнение 44.1).

Серрин решает обыкновенные дифференциальные уравнения для случая близких по размеру цилиндров, т. е. при alb -^ \\ тогда

В 4В В2°

и функции (⑥,й) удовлетворяют уравнениям

v^Uw = a^Bv/ab, v^Lw = —Bw/ab, (37.10)

где w, Dw и v обращаются в нуль при 厂=а, Ь. Задача на собственные значения (37.10) получается при изучении бенаровской конвекции (см. § 62); ее свойства хорошо известны, и ее можно решать методом разделения переменных (см. книгу Чандрасекара [1961 ]) или численным интегрированием (см. табл. 5). Минимальное собственное значение задачи (37.10) определяется соотношением

/ В ¥ _ 1708a2旅=(1尸，

где минимум берется сначала по всем собственным значениям при фиксированном а, а затем по всем а R. Минимизирующее значение а = а^ дается соотношением

喝= (3,117/(Ь-а))2.

Учитывая, что b + а ^ 2а, Серрин находит, что

1% —% I = 2 丿而v& а (b — а)

дает предельное значение v^ (при а + Ь) для глобальной устойчивости с монотонным затуханием.

Серрин заметил, что нельзя делать предположения об осевой симметрии решения общей задачи (37.1). Такая общая задача чрезвычайно сложна, и наилучший, .совершенно строгий результат, известный для нее, —это оценка (44.25), которая вытекает из более ранней и более простой оценки (37.6). Однако возможен численный анализ задачи (Хун [1968 ]). Хун нашел, что из всех возможных решений наименьший энергетический предел дают тейлоровские вихри.

В табл. 4 приведены значения параметров, соответствующие главному собственному значению R& = 3/”& задачи (37.8). При R < R& все возмущения течения Куэтта затухают.

Приведенные в этой таблице пределы устойчивости образуют полосу в плоскости (%, %)• Эти энергетические полосы показаны на рис. 22 и 23.

Рис. 22. Области устойчивости для течения Куэтта между вращающимися цилиндрами. Кружками и треугольниками представлены данные о потере устойчивости, полученные в экспериментах Коулза [1965] (Джозеф и Хун [1971 ]). / — область неустойчивости; 2 — граница устойчивости линейной теории (осесимметричные возмущения); 3 ——граница устойчивости энергетической теории для осесимметричных возмущений.

Таблица 4

Критические параметры энергетической теории(Хун [1968])

п

а& (Ь — а)

0,10

3,66

187,84

0,30

3,28

105,28

0,50

3,22

89,72

0,70

3,15

84,48

0,90

3,12

82,80

Интегрируя по поверхности цилиндра касательные напряжения в течении Куэтта, находим линейную зависимость между вязкостью и вращающим моментом. Эта простая зависимость непосредственно используется в вискозиметре Куэтта. Однако линейная зависимость справедлива лишь до тех пор, пока течение устойчиво. Первоначально, по-видимому, считали, основываясь на

Рис. 23. Области устойчивости для течения Куэтта между вращающимися цилиндрами (Джозеф и Хун [1971 ]). / ——область неустойчивости; 2 ——граница устойчивости линейной теории; 3 — граница устойчивости энергетической теории для осесимметричных возмущений; 4 — границы и область устойчивости относитель* но любых возмущений.Рис. 23. Области устойчивости для течения Куэтта между вращающимися цилиндрами (Джозеф и Хун [1971 ]). / ——область неустойчивости; 2 ——граница устойчивости линейной теории; 3 — граница устойчивости энергетической теории для осесимметричных возмущений; 4 — границы и область устойчивости относитель* но любых возмущений.

Рис. 23. Области устойчивости для течения Куэтта между вращающимися цилиндрами (Джозеф и Хун [1971 ]). / ——область неустойчивости; 2 ——граница устойчивости линейной теории; 3 — граница устойчивости энергетической теории для осесимметричных возмущений; 4 — границы и область устойчивости относитель* но любых возмущений.

Рис. 23. Области устойчивости для течения Куэтта между вращающимися цилиндрами (Джозеф и Хун [1971 ]). / ——область неустойчивости; 2 ——граница устойчивости линейной теории; 3 — граница устойчивости энергетической теории для осесимметричных возмущений; 4 — границы и область устойчивости относитель* но любых возмущений.

ошибочных наблюдениях Мэллока [1888], что течение Куэтта при вращении только внутреннего цилиндра всегда турбулентно. По этой причине в вискозиметрах Куэтта вращается только внешний цилиндр, а внутренний покоится. Все же сохранить ламинарное течение при слишком быстром вращении внешнего цилиндра оказалось невозможным: Куэтт [1890 ], например, обнаружил, турбулентность при Q2^ (b —")/” > 1925 в воде и Q2b (匕一")/” > 1907 в воздухе. Однако в случае вращения только внешнего цилиндра вполне возможно поддерживать ламинарное течение при больших скоростях, чем в случае вращения только внутреннего цилиндра. Таким образом, в отличие от критерия классической энергетической теории устойчивость цилиндрического течения Куэтта несимметрична относительно замены Q〕на Q2. Энергетическая теория показывает, однако, что независимо от возмущений течение Куэтта,

почти подобное движению твердого тела (при достаточно малых значениях B/v), устойчиво.

В современной формулировке вариационной задачи для вращающего момента при статистически стационарном турбулентном течении Куэтта (Никерсон [1969 ], Буссе [1971а ]) момент зависит только от величины относительной угловой скорости |£2]——Q2|- Как и в энергетической теории, к которой задача сводится после линеаризации, в современной формулировке вариационной теории не делается различия между случаем, когда вращается внутренний цилиндр, а внешний покоится, и случаем, когда, наоборот, вращается внешний цилиндр, а внутренний покоится.

§ 38・ Топография функции отклика; дискриминант Рэлея

Полезно рассмотреть результат о глобальной устойчивости течения Куэтта, почти подобного движению твердого тела, на основе понятия о функции отклика, изображенной на рис. 24. Функция отклика дает отношение действительного момента, необходимого для вращения цилиндров, к моменту, который был бы необходим для их вращения с той же скоростью, если бы между цилиндрами было течение Куэтта. На рис. 24 видны плоская «долина», где устойчиво течение Куэтта, и ответвляющиеся «горы», где устойчивы другие решения, с большим значением момента. В § 37 мы показали, что если двигаться по пути, близкому к линии, соответствующей вращению, подобному движению твердого тела, то можно избежать гор. Ясно, однако, что топографическая картина несимметрична относительно этой линии, и именно на эту асимметрию мы теперь обратим внимание.

Можно заметить, что существует другая линия, проходящая через долину течения Куэтта, линия Л = 0, или Ь?^? = а?。】. Эта линия называется линией Рэлея, и она граничит с подножием ответвляющихся гор. Если А = 0, то U = е0В/г является потенциальным течением, момент количества движения которого постоянен н равен В во всем течении. Линия 4=0 называется линией Рэлея потому, что он первым выдвинул физические соображения об устойчивости течения. Доказательство Рэлея требует осевой симметрии: симметрия существенна как для доказательства, так и для физики явления.

В первой части доказательства не учитывается влияние вязкости. Следуя Рэлею [1916а ] и Карману 11934 ], рассмотрим невязкие возмущения осесимметричного течения, имеющего круговые линии тока. Вращающееся течение находится в механическом равновесии, когда центробежная сила ри2(г)/г уравновешивается радиальным градиентом давления; при невязких осесимметрии-

ных возмущениях этого равновесного движения должен сохраняться момент количества движения (см. упражнение 38.1), так что возмущение, перемещающееся от гх к 分，приобретает новую скорость и =厂1^(/\)/厂2・ Связанная с этим возмущением центробежная сила"р02/「2 будет превышать равновесный градиент давления

Рис. 24. Наглядное представление результатов большого числа экспериментов, относящихся к устойчивости ламинарного течения Куэтта между вращающимися цилиндрами (Вендт [1933]). По вертикали отложено отношение величины вращающего момента к величине этого момента при ламинарном течении. Этот рисунок представляет собой небольшую модификацию рисунка, вычерченного Коулзом [1965]. Картина должна быть симметричной относительно отражения в начале координат, т. е. течение не меняется при изменении знаков R] и Q2- Тогда энергетическая полоса должна появиться как почти самая широкая полоса, которую можно провести через «долину» вдоль линии, соответствующей вращению, подобному движению твердого тела. Этот рисунок следует сравнить с рис. 22 и 23. Далеко слева и справа от линии Q2 = ^ неустойчивость, по-видимому, является строго докритической. / ——внешний цилиндр неподвижен; 2 ——вращение, подобное движению твердого тела; 3 — внутренний цилиндр неподвижен.

ри2 (厂2)/厂2, и возмущение будет продолжать ускоряться, если рг”2 (厶)左 > ри2 (厂2)仇，т. е. если rju2 (rj > r;v2 (r2), или если d (rV)/dr =2W <0,(38.1)

где Q = vlr—угловая скорость, a g = (\Ir) d (yr)/dr — локальная завихренность 丄).Критерий Рэлея (38.1) показывает, что осе-

х) Критерий Рэлея в виде Qg < 0 впервые приведен в большой и важной работе Коулза [ 1965] по неединственности, по гистерезисам и по переходам в течении между вращающимися цилиндрами. Коулз [1967] привел дополнительные физические соображения, объяснил образование вихрей Тейлора и показал, как эти соображения можно использовать для вывода законов подобия, позволяющих свести тейлоровские кривые для различных значений a/b в одну кривую.

симметричные вращающиеся течения неустойчивы, если момент количества движения является убывающей функцией расстояния от оси вращения. Перефразируя критерий, можно сказать, что вращающиеся течения устойчивы, если угловая скорость С и завихренность С имеют одинаковый знак.

Применяя критерий к задаче о цилиндрах, можно установить, что потенциальное течение нейтрально устойчиво, течение с покоящимся внутренним цилиндром устойчиво и что класс неустойчивых течений включает все течения, которые возникают при вращении цилиндров в противоположные стороны. Этот критерий утверждает слишком многое, поскольку при вращении цилиндров в противоположные стороны движение все же может быть устойчивым, но даже в этом случае критерий (38.1) не бесполезен. По словам Коулза [1965]:

«В блестящей статье по гидродинамике Тейлор [1923] улучшил этот критерий устойчивости для течения Куэтта, приняв во внимание влияние вязкости, проверил свои вычисления экспериментально и описал вторичное течение, которое возникает после наступления первой неустойчивости. Это вторичное течение состоит из регулярных ячеистых вихревых структур, в которых замкнутые кольцевые вихри меняющихся знаков опоясывают ось вращения. С хорошей степенью точности вторичная завихренность ограничена областью жидкости, где в соответствии с невязким критерием имеется неустойчивость. Если цилиндры вращаются в одном направлении — это вся жидкость, но если они вращаются в разных направлениях — это только область между внутренним цилиндром и поверхностью нулевой тангенциальной скорости».

Чтобы возвратиться к учету вязкости при описании физического механизма потери устойчивости, прежде всего заметим, что (а) если имеется дисбаланс радиальных сил, то начнется радиальное движение и этому движению будут препятствовать силы вязкости, и (б) если радиальное смещение происходит достаточно долго, то момент количества движения не будет сохраняться, однако вязкие силы будут стремиться восстановить равновесное распределение этого момента.

Предположим, что кольцо жидкости толщины d смещается к периферии на расстояние d за время /, значительно меньшее диффузионного времени d2/v, которое необходимо для приведения угловой скорости вращающегося кольца к ее равновесному значению на радиусе г + Тогда в центральной части на расстоянии г + d кольцо будет иметь скорость

? = и (г) г!{г + d) (38.2)

в соответствии с законом сохранения момента количества движения; кроме того, справедливо неравенство f《d2/v. Вязкое сопротивление можно оценить величиной pvw/d^t где w — dlt — средняя радиальная скорость. Избыток центробежной силы в кольце

на расстоянии г + d оценивается, таким же образом, величиной

=7&)2 YQ2 (г) - (Г + d)4 8 (г + d)],(38.3)

где ри/г — центробежная сила, вычисленная в соответствии с законом сохранения момента количества движения, a dpi dr оценивается для невозмущенного вращающегося течения. Если f < d2/v, то вязкое сопротивление будет превышать избыток центробежной силы для поля Q (г), так что

,举阵，，(г) — (г 十 d)4 Q2 (г + d)] V 嘗 V 贵〜* • (38.4)

Если равновесное распределение момента количества движения увеличивается к периферии (Rg > 0), то левая часть неравенства (38.4) отрицательна и это неравенство должно быть справедливо. Это означает, что равновесные поля с Qg > 0 должны быть устойчивы относительно осесимметричных возмущений. С другой стороны, доказательство также показывает, почему течения с обратным распределением момента количества движения (Q^ < 0) могут быть устойчивы, когда «число Тейлора»

7(£)2V2，Q2 (Г)-(Г+ ⑶答(「+ 閒

достаточно мало.

Физическое описание потери устойчивости, которое только что было приведено, имеет очень важное, но ограниченное применение 1). Оно не объясняет полностью топографию гор, показан-

ных на рис. 24. Согласно критерию (38.1), течение Куэтта, для которого

◎С = 24 (4 + B/产)，

при % = 0 всегда устойчиво, однако при достаточно больших значениях I Q21 течение Куэтта оказывается неустойчивым. В этих и во всех других случаях, в которых 卩一большая отрицательная величина, рэлеевский механизм не имеет места, а наблюдаются более сложные докритические движения, зависящие от времени. Более того, соображения, выдвинутые Рэлеем, не объясняют, почему при |х > 0 неосесимметричные возмущения подавляются, но при (X, меньшем некоторого определенного отрицательного значения, приводят к периодической по времени бифуркации (этот вопрос детально обсуждается в следующем параграфе).

Упражнение 38.1. Показать, что в осесимметричном течении момент количества движения частицы несжимаемой невязкой жидкости сохраняется.

Упражнение 38.2. Предполагая, что давление постоянно на спиральных линиях пересечения цилиндров и спиральных полос, характеризуемых постоянным отношением 0/х = tg Wr, показать, что для частицы несжимаемой невязкой жидкости величина «е tg Y + 〃％ сохраняется.

Замечания о бифуркациях и устойчивости

Спектральная задача для периодических возмущений течения Куэтта имеет следующий вид:

—ои + ~^^ 寨一％ + ee^D7 = —Vp + vV2 u, divu = 0, u|a" = 0,(39.1)

u — периодическая функция с периодом 2л/а по х и 2n по 0. В общем случае собственные значения о =自 十，而 являются комплексными и условием устойчивости будет | (v, Д, В) > Q для всех собственных значений о. На пределе устойчивости | (vL, Л, В) = 0 и задачу на собственные значения (39.1) можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений путем разложения в ряд Фурье по нормальным модам, пропорциональным ехр [/(ах + п0 + sf)]. Исключение давления и осевой компоненты скорости возмущений и при помощи соотношения —iaru = D/ + inv, где / = wr, приводит к следующей системе уравнений:

V {l¥ - 4厶(包:叱)I =配"-2)少一学(Df + inv)- 一2血芈+也产(A叶力，

V { "(紋 + aM)用-inL (4) + ^^ _罕 D (叫;(39⑵

=+(冶 + a2产)少”‘初 一 a2r + 0/ + 2аМД где и = п^А +昌)一亩，L = -у- D (rD) — ~— а2 и / =Df =и = =0 при г = а, Ь.

Уравнениями (39.2) определяются собственные значения

V (а, п) =v (—а, п).(39.3)

Предполагая, что v (а, и) ——простое собственное значение задачи (39.2), получаем вещественные собственные функции задачи (39.1) в виде, например,

rw 亿 0, х) = f (厂)exp U (ax + 几8 + 谕/)] + к. с.十

+ 炉(厂)exp [i (― ax -}- п0 + ш/)] + к. с., (39.4)

где с—произвольная комплексная постоянная, а запись к. с. означает комплексно сопряженную величину. В общем случае

V (а, и) — кратное (двойное) собственное значение, соответствующее суперпозиции двух волн.

Без потери общности уравнения (39.2) можно рассматривать только для случая Qx > 0; граница устойчивости для случая % V 0 получается отражением в начале координат плоскости (Q2, ◎])• В § 37 мы показали, что уравнения (39.2) не имеют решений, если I О?——^i I < vc (а, b), где с (а, Ь) —постоянная, зависящая только от а и 6 и определяемая вариационной задачей (37.1), (37.2). В § 40 мы покажем, что при А > 0, ц > 0 уравнения (39.2) не имеют никаких нейтральных или растущих (盲 < 0) осесимметричных (п =0) решений (это область между линиями, определяющими вращение, подобное движению твердого тела, и потенциальное течение).

Тейлор нашел осесимметричные стационарные решения (и = = 6=0)для А < 0, |Л > 0 и для Л < 0, |Л < 0, включая большие значения —卩・ Рейд [1960] рассматривал течение Куэтта невязкой жидкости(V = 0) в предельном случае Т)1 и показал, что при 0 < р, < 1 существует единственный набор стационарных вихрей Тейлора (6 = 0). Однако если цилиндры вращаются в противоположных направлениях (卩 < 0), то существует двойной набор собственных значении: для одного из них 6 = 0, а для другого 6 力 0. Появление в этой задаче нестационарных мод привело Рейда к утверждению, что моды, которые не являются вихрями Тейлора, можно найти также решением задачи при р, < 0 в полной постановке с учетом вязкости. Йи [19726], по его словам, показал, что при А < 0 и |л > 0 все осесимметричные собственные функции задачи (39.2) характеризуются 6=0.

Крюгер, Гросс и Ди Прима [1966], показали, что критические собственные функции задачи (39.2) неосесимметричны и нестационарны при 卩 < —0,73. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными данными Снайдера [1968а, 19686], который показал, что ответвляющееся решение для отрицательных значений к не является вихрями Тейлора и нестационарно. Не все экспериментальные данные Коулза [1965 ], укладывающиеся на тейлоровскую границу рис. 22, соответствуют вихрям Тейлора. В примечании к работе Крюгера, Гросса и Ди Примы Коулз указывает, что наблюдается переход от замкнутых колец к слабой спиралевидной структуре, по-видимому, нестационарной, при значениях —к в интервале от 0,75 до 0,80. Это показывает, как точки, ложащиеся на кривые, полученные по теории Тейлора, могут привести к заблуждению о значительно лучшем, чем на самом деле, согласовании линейной теории, построенной в приближении осевой симметрии, и эксперимента. Для очень больших отрицательных значений 卩 ответвляющиеся решения (отмечены треугольниками на рис. 22) нестационарны и, как кажется, являются существенно докритическими.

Ответвляющиеся вихри Тейлора представляют собой некоторую реализацию результатов теории бифуркаций в случае простого собственного значения, на пределе устойчивости проходящего через нуль. Эта проблема обсуждалась в § 15. Для идеализированной задачи Тейлора vx = 0, v2 ^= 0 и решение ответвляется закритически. Большинство результатов по применению теории бифуркаций ограничено случаем 卩 > 0, Аг + В!г > О, А < 0.

Для отрицательных значений 卩 теория бифуркаций в случае течения Куэтта разработана мало 】);проблема осложняется из-за наличия кратных собственных значений. В исследовании ветвления при кратных собственных значениях необходимо определить число ответвляющихся решений (см. гл. X) и рассчитать различные ветви решений. Постоянные с в решениях (39.4) линейной теорией не определяются, а выбираются таким образом, чтобы удовлетворять условиям ветвления. Свойства устойчивости ответвляющихся решений (спиральных вихрей) заранее установить невозможно; при собственном значении высокой кратности могут ответвляться устойчивые докритические решения и неустойчивые закритические (Мак-Леод и Сэттинджер [1973 ]). Некоторые результаты по бифуркациям в задаче с кратным собственным значением при |л < 0 получены Ди Примой и Гранником [1971 ]. Один из интересных результатов заключается в том, что при —0,73 < < ц < ——0,70 и 1] = 0,95 вихри Тейлора ответвляются докритически. При 卩 < ——0,73 бифуркационная диаграмма оказывается очень сложной.

При |х > 0 теория бифуркаций для течения Куэтта достаточно разработана, и ее результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Эту задачу о бифуркации можно назвать нелинейной задачей Тейлора, поскольку она приводит к стационарным за критическим вихрям Тейлора. Раньше всех нелинейную задачу Тейлора изучал Стюарт [1958], рассматривавший уравнение энергии Рейнольдса для пульсаций. Стюарт полагал, что вблизи предела устойчивости возмущения близки к собственным функциям спектральной задачи, но имеют неизвестные амплитуды 4 (/). (Аппроксимация такого рода называется предположением о сохранении формы.) Эта аппроксимация приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению для амплитуды А. Результаты оказались хорошо согласующимися с экспериментальными данными. Дэви [1962] работал с разложением вида предложенного Стюартом—Уотсоном и включил в амплитудное уравнение члены порядка А3 (см. уравнение (***) в замечаниях к гл. II). Рейнольдс и Поттер [19676] рассчитали разложение по амплитуде вплоть до членов порядка А7. Результаты хорошо согласуются как

1) В работе Барковского и Юдовича [1978* ] показано, что результаты работы Юдовича [1966а] для р, > 0 переносятся на случай р, < 0.——Прим, перев.

друг с другом, так и с экспериментальными данными (полное обсуждение этого вопроса см. в обзоре Стюарта [1971 ]).

Математически строгие теории бифуркаций течения Тейлора развиты Вельте [1966], Юдовичем [1966а], Иваниловым и Яковлевым [1966 ], а также Кирхгеснером и Зоргером [1969а, 19696 ]). Анализ, проведенный последними из упомянутых авторов, является наиболее полным и включает сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными и утверждениями теорем. Названные исследования показывают, что бифуркация в тейлоровские вихри является закритической: B/v = R (е, а) > RL = =BlvL для каждого наперед заданного размера ячейки высоты л/а. Здесь е можно рассматривать как меру амплитуды ответвляющегося решения и RL (а) = R (0, а).

Чтобы узнать, какое движение возникает при потере устойчивости основным ламинарным течением, необходимо изучить устойчивость ответвляющегося решения. Решения, ответвляющиеся при простом собственном значении закритически, всегда устойчивы. Хотя закритические ответвляющиеся решения при простом собственном значении устойчивы относительно малых возмущений определенного вида, возмущения другого вида все же могут вызвать дестабилизацию за критического решения. Дестабилизация такого типа возможна, когда для того, чтобы сделать собственное значение простым, на решение накладывается какое-либо искусственное математическое ограничение, которому необязательно удовлетворяет течение. Этого, например, можно добиться, фиксируя пространственную периодичность ответвляющегося решения. Такое течение может оказаться устойчивым относительно возмущений с той же периодичностью, но неустойчивым по отношению к другим физически возможным возмущениям с иной периодичностью; этот процесс можно назвать отбором волновых чисел по устойчивости.

Кирхгеснер и Зоргер [1969а] и Коглеман и Ди Прима [1970 ], следуя более ранней работе Экхауза [1965], изучили проблему отбора волновых чисел по устойчивости Решение, характеризуемое размером ячейки, равным л/а, ответвляется закритически для любого а € R+・ Но в этом континууме возможных ячеек существует только одна ячейка, устойчивая при е + 0, а именно ячейка высоты л/аь, где критический размер。厶 определяется из уравнения

Rl (咽=min Rl (a),a

Математический анализ, приводящий к этому результату, можно обобщить, и обобщение имеет широкую применимость (см. гл. XI). В данный момент достаточно лишь указать, что при е = 0 на поверхности ответвляющихся решений R(£, а) существует кривая R (е, a(£)), включающая точку RL (。厶),которая отделяет устой-

чивые ответвляющиеся решения от неустойчивых. По соображениям устойчивости отбираются ячейки дозволенного размера, но этот отбор, вообще говоря, не приводит к одному-единственному размеру ячейки. Такой же отбор волновых чисел по неустойчивости за критически ответвляющихся решений имеет место в задачах тепловой конвекции, в которых возможны усложнения из-за того, что возмущения, приводящие к бифуркациям, не обязательно являются двумерными. Подобное усложнение может оказаться существенным при отборе волновых чисел в случае вихрей Тейлора.

Проблему бифуркаций вихрей Тейлора в волнистые вихри — вторичной бифуркации, результат которой показан на рис. 21, 6,— рассматривали Дэви, Ди Прима и Стюарт [1968], а также Иглз [1974 ]. Полученные результаты хорошо согласуются с данными эксперимента, однако многие допущения, сделанные в их анализе, еще требуют обоснования.

Различные аспекты вторичных и повторяющихся бифуркаций течения между вращающимися цилиндрами исследованы в экспериментах Коулза [1965] и Голлуба и Суинни [1975]. В исследовании Коулза в значительной степени внимание обращалось на неединственность и гистерезис, которые характеризуют пространственную структуру этих течений. При закритических скоростях вращения внутреннего цилиндра (вплоть до десятикратной величины критической скорости) Коулз на одной и той же установке обнаружил, что число вихрей и число волн, проходящих по этим вихрям, не определяются скоростью однозначно. Количество ячеек Тейлора варьировалось на этой установке от 18 до 32, а количество волн, которые распространяются вдоль оси этих ячеек, менялось от 3 до 7. Более того, «при данной скорости наблюдалось от 20 до 25 различных состояний (каждое состояние определяется количеством ячеек Тейлора и количеством азимутальных волн)».

Голлуб и Суинни не сообщали о результатах наблюдений пространственной структуры течения. Вместо этого они проследили за радиальной компонентой скорости в фиксированной точке с помощью метода оптического гетеродина. Голлуб и Суинни отметили пять различных закритических переходов (см. рис. 2 в их статье).

Бифуркация течения Куэтта в вихри Тейлора (бифуркация стационарных решений в стационарные решения).

Бифуркация вихрей Тейлора в волнистые вихри (бифуркация стационарного решения в периодическое по времени решение).

Бифуркация волнистых вихрей в волнистые вихри с двумя рационально независимыми частотами (бифуркация периодического решения в квазипериодическое решение).

При дальнейшем увеличении угловой скорости вторая частота исчезала. После этого они обнаружили следующие явления.

Бифуркация волнистых вихрей в волнистые вихри с двумя частотами, связанными рациональным отношением (бифуркация периодического решения в периодическое решение).

Бифуркация периодического решения с двумя частотами, связанными рациональным отношением, в не пер иодичес ки й аттрактор с перемешиванием фаз (см. замечания к гл. II, § 16).

Голлуб и Суинни утверждают, что при этих переходах не было гистерезиса, хотя первые четыре бифуркации зависят от высоты слоя жидкости между цилиндрами. Пятый переход, как сообщалось, «является резким, обратимым и безгистерезисным» и не зависит от высоты слоя жидкости между цилиндрами.

Голлуб и Суинни интерпретировали результаты своих наблюдений как качественное подтверждение идеи Рюэля и Тэкенса о повторяющихся закритических ветвлениях. Характер пятого перехода подтверждает некоторые (но не все) из этих идей. Однако второй переход от тора Т1 к тору Т2, как кажется, противоречит понятию «общего положения», основанному на остаточных множествах. Не входя в подробности, достаточно заметить, что в системах общего положения не следует ожидать существования квази- периодического аттрактора на торе Т2.

Другой интересной особенностью, которая может оказаться трудно объяснимой, является исчезновение в эксперименте второй частоты. После исчезновения этой частоты мы снова (после третьего перехода) имеем периодическое решение TL Конечно, по данным эксперимента невозможно судить, являются ли две частоты рационально независимыми, однако в любом случае пятая бифуркация — из 7n или「2 в непериодический аттрактор — не согласуется с моделью Рюэля и Тэкенса 】)・ Многие наиболее интересные свойства устойчивости течения между вращающимися цилиндрами пока еще не поддаются анализу.

Новые идеи Рюэля и Тэкенса о возникновении турбулентности вызвали многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, посвященные их проверке. Отметим лишь некоторые из появившихся в последние годы работ. В работах Суинни, Фенстермахера и Голлуба [1977*] и Фенстермахера, Суинни и Голлуба [1979*] продолжены исследования перехода к турбулентности в цилиндрическом течении Куэтта; влияние концевых эффектов на возникновение турбулентности в цилиндрическом течении Куэтта изучено в работе Уолдена и Доннелли (1979*]. Возникновение турбулентности в течении более общего типа, чем цилиндрическое течение Куэтта и плоский конвективный слой, а именно в сферическом течении Куэтта изучалось в работе Беляева, Монахова, Щербакова и Яворской [1979*]. Переход к турбулентности в плоском конвективном слое рассматривался в работах Алерса и Беринджера [1978*] и Голлуба и Бенсона [1979*]. Экспериментальное и численное исследование перехода к непериодическому режиму в конвективной ячейке Хеле-Шоу проведено в работе Любимова, Путина и Чернатынского [1977* ]. Аналогичные численные исследования в плоском горизонтальном конвективном слое вращающейся жидкости проведены в работе Герценштейна и Шмидта [1977* ], а в вертикальном конвективном слое — в работе Дайковского, Полежаева и Федосеева [1978*]. — Прим, перев.

Далее до конца главы мы ограничимся исследованием одной из простейших задач на устойчивость, которые можно поставить для течения между цилиндрами, а именно исследованием устойчивости течения Куэтта относительно осесимметричных возмущений. Развиваемая здесь обобщенная энергетическая теория, в отличие от теории, изложенной в § 37, несимметрична относительно замены С】и Q2, и нелинейные критерии устойчивости, которые получаются при ее помощи, согласуются с данными наблюдений по неустойчивости почти потенциального течения Куэтта и с теорией Тейлора.

§ 40. Обобщенный энергетический анализ течения Куэтта; обобщение теоремы Синджа на нелинейный случай

В оставшейся части этой главы изучаются следствия из сделанного с самого начала предположения, что возмущенное движение, заменяющее течение Куэтта, имеет вид вихрей Тейлора. Имеется важная область значений параметров, в которой осесимметричное возмущенное течение оказывается именно таким течением, которое наблюдается экспериментально; в этой области параметров возмущения в виде вихрей Тейлора оказываются теоретически «правильными» в том смысле, что (насколько известны результаты энергетического и линейного анализа) для осесимметричных возмущений успешно вычисляется как предел (энергетической теории) устойчивости, так и предел (линейной теории) потери устойчивости.

Данный энергетический анализ отличается от проведенного в § 37 тем, что форма возмущений с самого начала предполагается осесимметричной. В анализе § 37 с самого начала не делалось никаких предположений о форме возмущений, но векторное поле решения для энергетической задачи являлось неким осесимметричным полем.

В ограниченном классе осесимметричных возмущений можно существенно улучшить энергетический критерий устойчивости для нелинейных возмущений.

Основные уравнения для осесимметричных (вихри Тейлора) возмущений течения Куэтта имеют вид

體 + (и・％)侬—у— 2и ［厶 + 昌］=__ 鴇 + v(V： — 3)

(40.1а)

黑 + (u •马)U + ^^ + 24切=V ^vi —^) 4(40.16)

將 + (u・％) 〃 =患+ W^〃，(40.1b)

где

(u, и)^ Hn[u, и： 11 =号侬 + %〃， V2<u = 0, u|a, d = у|а, 6 = 0, u, v — периодические функции по х с периодом 2л/а],

V2 = е//力 + eN/既 V2 = (1〃)。(rd/dr)/dt + д2/дх2.

Особенностью этих уравнений, составляющих основу нашего анализа, является отсутствие в уравнении (40.16) члена с градиентом давления. Из-за отсутствия градиента давления в азимутальном направлении получаются два энергетических уравнения:

｝备(眇+炉〉-〈乎)-2〈("+D 吟=

=—v(1%3产 + |%"|2 + ]廿)(40.2)

+ 2力〈叫=7〈1 VW 卩 + I R〉(40.3)

Здесь ломаные скобки означают объемный интеграл по периодической ячейке.

Удобнее работать с линейной комбинацией этих уравнений

0.2) + 九(40.3), где % — положительный параметр связи. Подставляя в это уравнение новое переменное

Ф =У к V, мы приходим к одному уравнению

•^- + (1^7)〈"^-〉=-非!% Ф» m-v勿"，(40.4)

где

冒=%32 + 〃2+屮)2"=(№吁+尼"+ |哥+ №叫2 + 1子『)

一第=";” 4(叫〉+ TГ〈翳〉.

Теорему I энергетической теории об условной устойчивости для течения Куэтта, которую мы докажем исходя из уравнения (40.4), лучше всего сформулировать в двух частях. Вначале мы сформулируем часть теоремы о критерии устойчивости.

Пусть задано 九 > 0, 〃 пусть v > v^> (Л), где

v& = max (—箔/^)u)(40.5)

нп

и Нп —множество кинематически допустимых осесимметричных векторов. Тогда для любого осесимметричного возмущения течения Куэтта выполняется неравенство

■^ + 入[1V —(V — Vj)勿".(40.6)

Поскольку осесимметричные решения НКЗ для уравнения (40.4) принадлежат Нп, мы должны иметь —彌 w 1vz⑦口，где 彌 и ⑦и вычисляются на решениях. Комбинируя это неравенство с уравнением (40.4), мы приходим к (40.6).

В последней части теоремы об устойчивости вводится понятие «критическая амплитуда». Мы получаем нелинейную устойчивость, когда размер осесимметричных возмущений в начальный момент меньше некоторой определенной конечной величины.

Постоянная затухания Л, которая появится в формулировке последней части теоремы, определяется условием

〈Г" = шах 否例"・(40.7)

Л нп

Постоянная % определяется из условия "Y" = max (ф2)/(| V2(p |2),

где максимум берется по функциям ф, периодическим по х с периодом 2п/а и обращающимся в нуль при г = а и г = Ь. Постоянные Л и X являются нулями некоторых функций Бесселя при положительных значениях аргумента.

Пусть

V >v^ (九)(40.8)

и

S (0) < (尸/G)2,(40.9)

где

F = (v- v^)云BQ - a) и

G =丨入一 1 I / «(б —a) I 1 ・

Тогда & (f) монотонно затухает по закону

[f_G&U2⑴f[f_G&U2⑴f《 [尸_%(2(0)]2 exp{ }/卜(40.10)

[f_G&U2⑴f

[f_G&U2⑴f

Для доказательства теоремы нам необходимо、сначала доказать неравенство вложения:

Пусть ф (г,无) 一некоторая гладкая функция, периодическая

по х с периодом 2п/а и обращающаяся 6 нуль при г = тогдапо х с периодом 2п/а и обращающаяся 6 нуль при г = тогдаа и га и г=厶;=厶;Ь 2л/а(Ф4) н j J (р4г dr dx <а ОЬ 2л/а(Ф4) н j J (р4г dr dx <а О。〈@严。〈@严2 ла2 ла++

по х с периодом 2п/а и обращающаяся 6 нуль при г = тогда

по х с периодом 2п/а и обращающаяся 6 нуль при г = тогда

а и г

а и г

=厶;

=厶;

Ь 2л/а

(Ф4) н j J (р4г dr dx <а О

Ь 2л/а

(Ф4) н j J (р4г dr dx <а О

。〈@严

。〈@严

2 ла

2 ла

+

+

+孰制义图)工5叫*+"・

(40.11)

Доказательство неравенства (40.11) приводится в приложении В.

При помощи неравенства (40.11) получаем оценку

《(；冒/痂，(40.12)

и поэтому энергетическое неравенство можно переписать следующим образом:

d^/dt « [―(V — 陶 J/笏? + G^ 力玄I

Если справедливо (40.8), то это неравенство можно записать так:d^/dt < [-F/¥ + G/] /处^

причем при выводе используется условие (40.7). Тогда, если, кроме неравенства (40.8), выполняется неравенство

^(°)<(4)2 = ^w1^[1+t К)

то искомое неравенство можно продолжить следующим образом:

d^/dt « [—尸否 + G赞/2]小/2他 一 a).(40.14)

Теперь после интегрирования (40.14) получаем неравенство (40.10).

Теорема энергетической теории устойчивости для осесимметричных возмущений приводит к формулировке критерия устойчивости V > v^ и дополнительного условия (40.13) для начальных условий, при которых можно гарантировать устойчивость. Заметим, что условием (40.13) допускаются большие начальные значения & (0), если V > ”冒 фиксировано н a/b f 1 или 九 f 1. При X = 1 уравнение эволюции (40.4) совпадает с уравнением, рассмотренным Серрином [19596]. При 入=1 осевой симметрии не требуется и получающийся в результате критерий устойчивости оказывается глобальным; он применим для всех значений S (0) и

для всех возможных возмущений. С другой стороны, при % # 1 теорема обеспечивает определенную устойчивость относительно осесимметричных возмущений, начальная энергия которых стремится к нулю при V —*冒 f 0.

Используя «наилучшее» 入,мы вычислим в следующем параграфе границу условной устойчивости энергетической теории (см. рис. 22 и 23), которая, в сущности, неотличима от границы устойчивости линейной теории в области

Л<0 (标 7>片q2>0).

При А = 0 мн имеем

и поскольку —]/ 又施/勿и ограничено сверху, можно убедиться в том, что

(/九一* 8)-> 0.

Следовательно, при 4=0 имеет место абсолютная условная устойчивость относительно осесимметричных возмущений.

Перефразируя критерий Рэлея для невязкой жидкости в случае осесимметричных возмущений, имеем

А >0(产。2 > Md，% > %)・

При А > 0 и Qx > Q2 справедлива следующая теорема II энергетической теории об условной устойчивости для течения Куэтта: Пусть

无(f) = 4(力炉+4〃2 + (4 +与">

耽=〈川й⑵|2 +41%〃|2 + 4|子『+04产+3)卜2+»

「— В f а & — а - <р/2 l宀5/屮2&寸声

Цилиндрическое течение Куэтта устойчиво относительно периодических (по %) осесимметричных возмущений при

ииЛ > 0 〃 。1>乌(40.15)

и

и

^(0)С"®)2.^(0)С"®)2.(40.16)

^(0)С"®)2.

^(0)С"®)2.

吊/ (0) 卜一g力产⑼产吊/ (0) 卜一g力产⑼产・(40.17)・(40.17)При выполнении этих условий справедливо неравенство

吊/ (0) 卜一g力产⑼产

吊/ (0) 卜一g力产⑼产

・(40.17)

・(40.17)

[v — GQj/2(力2

Критерий устойчивости А > 0, Йх > Q2 был установлен Син- джем [1938а, 19386] для осесимметричных решений линеаризованных уравнений задачи об устойчивости. Приведенные здесь выводы (Джозеф и Хун [1971 ]) представляют собой обобщение результата, полученного Син джем, на нелинейный случай.

Доказательство. Чтобы доказать теорему II об условной устойчивости течения Куэтта, необходимо вывести следующее уравнение эволюции:

争=—2В〈*〉- ”勿р・(40.18)

Это уравнение является суммой выписанных ниже уравнения (40.19) и уравнения (40.2), умноженного на А. Уравнение (40.19) получается интегрированием ((V/r) и- (40.16)) по периодической ячейке; в процессе интегрирования при помощи условия V2 ^и =0 получаются следующие соотношения:

〈与 и (и • Va) и〉= В〈宁’

〈А(V； -」)〃〉=_〈； I V2u F〉+ 2В〈粉—〈；$〉

И28传)=2修^需).

Комбинируя два последних уравнения, мы получаем

~。(vi-4)v)=-(x 傷))—〈=(「堂)》

4■备〈X〉+〈(} + 与)毕)+ 2"〈；吟=

一V<員需—員，幣)>(40.19)

Выкладки можно упростить, если ввести новые переменные vlr = <р,= W， |/ /〃 = Y，

в которых уравнение (40.18) принимает вид ｝分代+Y2+("吟+咅①a

=-V〈| %屮 |2 + I %Y |2 + 产『+ ⑺ M叫).

Так как

d (”/dr = d (Ar2 + B)/dr = 24r > 0,

мы получаем (поскольку A > 0), что

闽2 > rV > “2%.

Следовательно, неравенство (40.11) можно продолжить так:

-〈*炉〉〈w1%9 户〉fa b-a I

и остальная часть доказательства неравенства (40.17) логически следует методу, приводящему от (40.11) к (40.14).

Упражнение 40.1. В теоремах I и II об условной устойчивости были использованы два из трех энергетических уравнений (40.2), (40.3) и (40.18). Рассмотреть функционал, составленный в виде линейной комбинации этих трех уравнений. Доказать теорему об условной устойчивости для этого функционала. Сформулировать вариационную задачу на «оптимальный» предел устойчивости для суммы трех названных энергетических уравнений. Сформулировать задачу отыскания значений постоянных связи, которые обеспечивают наибольшую область условной устойчивости с монотонным затуханием.

Упражнение 40.2 (принцип максимума для полного момента количества движения; Рабинович [1973]). Оператор

厶三N 0/a，/)而急+2勿a，£)舀一3

называется однородно параболическим в четырехмерной области (х, /) (х € F, 0< У Т), если для фиксированного f существует одно такое число р, > 0, что

33

i, /=14=1

для всех троек действительных чисел (£,蟲，Ы-

Частный случай принципа максимума для параболических операторов (Ниренберг [1953]; можно сослаться также на работу Проттера и Вейнбергера [1967]) состоит в следующем: Пусть 〃 удовлетворяет уравнению (L + А) и = 0 для х g F и 0< /< Т, 〃 пусть коэффициенты оператора L ограничены “ А (х, 0 « 0. Пусть, далее,——m « 〃 « М при t = Q и на границе дТ объема У. Тогда —m v 〃《 М для х £ F(J 6 V f« Т.

Используя только что сформулированный результат, показать, что полный момент количества движения

产 Q = Аг2 + В

течения Куэтта плюс возмущения (а, где и (г, %, /) — периодическая по % функция) ограничен максимальным и минимальным значением величин

@2Q(% х, f),02q е,尤，о, rQ (г, х, 0).

Другие применения этого принципа максимума можно найти в упражнениях 40.3, 51.2 и в § 71.

Упражнение 40.3. Показать, что завихренность плоского течения и взвешенная завихренность g/r осесимметричного течения подчиняются принципу максимума для параболических операторов.

§ 41. Оптимальная граница энергетической устойчивости для осесимметричных возмущений течения Куэтта

Теперь наша задача —найти пределы устойчивости v^ (%). Здесь X > 0 —свободный параметр, и его можно выбрать так, чтобы получить наибольшую область гарантированной устойчивости относительно осесимметричных возмущений. Мы назовем значение v^ (X) = v^, которое максимизирует область устойчивости

v^ = min v^ (X),(41.1)

«оптимальной границей устойчивости». Оказывается, что значение Л можно выбрать таким образом, что 勺皆 и линейный предел vL для тейлоровских вихрей окажутся практически неразличимыми при b2c2 < МО] и Q2/Q1 > 0.

Для характеристики оптимизирующего значения % = Л будет полезен следующий результат.

Лемма:

几 1=・(41.2а)

При b2a2 < “2Qi 〃 Q2/Qj > 0 существует г, а < г < 6, такое, что3屮7产)=@9)/产.Тогда

炉(1 —Q2/%)、1炉(1 —Q2/%)、1(41.26)(41.26)

炉(1 —Q2/%)、1

炉(1 —Q2/%)、1

(41.26)

(41.26)

Формула (41.26) выражает требование, чтобы % равнялось X

при dv^/dK = 0. Здесь предельное значение ”甘(九)，которое яв

ляется решением задачи на максимум (40.5), удобнее всего найти как главное собственное значение уравнений Эйлера для задачи (40.5)

｛显一("浸"｝① + ”君27"=黑，(“3a)

t^T - 0彳严｝9+ "m%一%)①=0，(41.36)

w&W〃 = др/дх,(41.3в)

д (rw)/dr + д (「〃)/&% = 0(41.3г)

и

з =屮=〃 =0 при г = а, Ь.(41.3д)

Уравнения (41.3) можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье 验(г) н © (г)； положим

w (г, %)=验(厂)cos (ах), 屮=ф (г) cos (а%),〃=«(『)sin (а%), р = р (г) cos (а%)

и исключим й (г) и р (厂)из полученной системы. Тогда отношение в правой части условия (41.2а) сведется к

в j (吩(г) Ф (，)/#)，dr

—-У・(41.4)

A J(^ (/•) ф (г) г dr

Чтобы установить наличие среднего значения 7, достаточно показать, что 验(г) и @ (г) имеют одинаковые знаки при X = X.

Рассмотрим совокупность 入=九 &)

(41.5)(41.5)X + 1= —B/(4f2),〃《f《氏

(41.5)

(41.5)

Для этих значений % имеем

与-(—[%+%]=名假(1一今)一

—唄(1 _±)}no，

где 表=-^-{* + %} и " « p « 1. Из этого неравенства и уравнений (41.3) ясно, что обыкновенные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты Фурье 冲(г) и ф (г), можно преобразовать в интегральные уравнения с осцилля- ционными ядрами. Отсюда следует, что при а < г с b и ◎(『)，и ф (г) имеют одинаковые знаки (см. приложение Г). Следовательно, для этих функций выражение (41.4) равно

~Л?ЧО^ a<f<b-

Тогда, поскольку при а с г < b выполняется неравенство

11 丄

должно существовать хотя бы одно значение 九 для которого 1/部=1/尸.Для такого А = Л.

§ 42. Сравнение пределов линейной и энергетической теорий

Наиболее интересный аспект результатов этого параграфа вытекает из сравнения границ устойчивости, найденных по линейной и энергетической теориям. Первые вычисления Тейлора предела устойчивости по линейной теории и последующие вычисления предполагали наличие смены устойчивости, а также осевую симметрию. Предел линейной теории тогда определяется как главное собственное значение vL задачи

+"硃+"厶(需-%)"爲(421 а)

vL 吸=др/дх,(42・ 1 б)

-24/jie + ”厶(V2 一 l/乃 Ф = 0(42・ 1 в)

при условиях (41.3 г, д).

На основании этих уравнений легко доказать, что в рамках приближения среднего радиуса ^)

w厶=港，

Доказательство. В приближении среднего радиуса мы заменяем г его среднеарифметическим значением в члене

В 48

(a+ 刀2

и нигде больше. Тогда каждую из систем уравнений (41.3) и (42.1) можно преобразовать к уравнению шестого порядка вида

一尸2d2 w/dx2 + ”2(吗 一 1 "2)3 ⑪=0,(42.2a)

где

w = dw/dr = (V| — 1/r)2 w = 0 при r = a, b. (42.26)

Для энергетической задачи

尸出 =（丽%^尸出 =（丽%^（九一！）4VГГ >（九一！）4VГГ >”历(42.3а)”历(42.3а)

尸出 =（丽%^

尸出 =（丽%^

（九一！）4VГГ >

（九一！）4VГГ >

”历(42.3а)

”历(42.3а)

Для линейной задачи

户=_44(4+и v = vL. (42.36)

Обозначим наименьшее собственное значение задачи (42.2) следующим образом:

产/v2 = Л2.

это — некоторое фиксированное число.

Рассмотрим энергетическую задачу (42.3а) и найдем оптимизирующее значение 九=几 для следующего выражения:

（/）匕А2齡歹=（/）匕А2齡歹=V& (力V& (力

（/）匕А2齡歹=

（/）匕А2齡歹=

V& (力

V& (力

Чтобы найти это значение, положим dF^ldK =0. Это снова приводит нас к соотношению (41.26):

48/(@ + ь)2 + 力48/(@ + ь)2 + 力АА>0,>0,

48/(@ + ь)2 + 力

48/(@ + ь)2 + 力

А

А

>0,

>0,

подстановка которого в выражение для 尸 дает равенство

А2—44 (4 + 4В/(а 十 Ь)2)А2—44 (4 + 4В/(а 十 Ь)2)(42.4)(42.4)

А2

—44 (4 + 4В/(а 十 Ь)2)

А2

—44 (4 + 4В/(а 十 Ь)2)

(42.4)

(42.4)

что и утверждалось. Равенство (42.4) является точным результатом в пределе вращающегося плоского течения Куэтта (Qv = =a (Qjl —^2)/(力一а) фиксировано, “ f 1).

Совпадение, которое доказывается выражением (42.4), когда справедливо приближение среднего радиуса, не имеет места, если ◎2/^1 — слишком большая отрицательная величина. Однако в выражении (42.4) уже проявляются главные особенности численных результатов. Эти численные результаты приведены в виде графиков на рис. 22 и 23 для даких значений параметров, которые обычно реализуются в лабораторных условиях. Для этих значений параметров реализуется только та ветвь оптимальной границы устойчивости, которая характеризуется условиями Л < 0 и В > 0. Численные результаты получены путем решения задачи на собственные значения (41.3) методом Рунге—Кутта. В первом квадранте полученная численно оптимальная граница устойчивости почти совпадает с тейлоровской границей. Найденные численно значения X с хорошей точностью можно найти из выражения (41.26), если при Q2^i > 1 взять г близким по величине к радиусу

rib = (1 + т])/2 (численные результаты см. в работе Джозефа и Хуна [1971]).

На рис. 22 и 23 эти численные результаты сравниваются также с результатами Серрина. Энергия каждого возмущения течения Куэтта & = V2〈〃2 + М + 吟 должна затухать монотонно, если значения (Qx, Й2) попадают в полосу Серрина. Вне этой полосы можно найти осесимметричные возмущения, энергия которых будет возрастать в начальный момент. Теорема об условной устойчивости течения Куэтта гарантирует монотонное затухание энергии 1% 〈〃2 + Хи2 + w2) осесимметричных возмущений ограниченного размера.

Этим завершается энергетический анализ осесимметричных возмущений течения Куэтта. Однако для цилиндрического течения Куэтта можно развить несколько иной интересный энергетический анализ. В этом анализе снова с самого начала предполагается двумерность возмущений, но не предполагается наличие осевой симметрии. Задачу тогда можно облечь в следующую форму: найти спиральный угол возмущения, которое приводит к росту взвешенной энергии при наименьшем значении R. Эта задача ставится несколько шире в связи со спиральным течением Куэтта. Для течения Куэтта при т] -> 1 ответ состоит в том, что обеспечивающее экстремум возмущение является тейлоровским вихрем при таких С】и Q2, что R < 177,2. Для других значений (Q2, QJ возмущениями, обеспечивающими экстремум, являются двумерные волны (типа волн Харрисона—Орра с и = 0), энергия которых при R > 177,2 увеличивается в начальный момент. Эти волны, не имеющие завихренности в азимутальном направлении, иногда видны в течениях между цилиндрами, соответствуя переходному режиму (см. рис. 21, в).

Глава VI

ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СПИРАЛЬНОГОТЕЧЕНИЯ КУЭТТА—ПУАЗЕЙЛЯ

В этой главе мы рассмотрим устойчивость спирального течения Куэтта—Пуазейля, которое вызывается сдвигом, возникающим в результате вращения и скольжения цилиндров относительно друг друга, и постоянным вдоль оси трубы градиентом давления.

В этом исследовании мы будем заниматься задачами о спиральном течении, в которых спиральное течение Куэтта—Пуазейля бифурцирует во вторичные ячеистые течения типа тейлоровских вихрей. Эти «вихри Тейлора» являются скорее спиралями, чем тороидальными кольцами, а при определенных условиях такие спирали могут развиться в желобковые вихри, маленькие цилиндрические вихри с осями, почти параллельными образующим цилиндра (см. рис. 29—31). Ответвляющиеся спиральные вихри появляются не при всех значениях параметров; как и в классическом случае вихрей Тейлора, эти спиральные вихри определяются силами вращения, связанными с дискриминантом Рэлея.

План этой главы следующий. Поле скорости спиральных течений, безразмерные переменные и параметры устойчивости спирального течения описываются в § 43. В § 44 обсуждаются спектральная задача и энергетическая вариационная задача для спирального течения в общем виде; определяются границы характерного спирального направления 丄)для критического собственного вектора энергетической теории; в ряде целенаправленных упражнений дается обзор методов получения предельных собственных значений для параметров, связанных со спектральной задачей. В § 45 выводятся условия отсутствия докритических неустойчивостей. Эти условия применяются в § 46 к задаче о вращающемся течении Пуазейля. Вращение понижает порог потери устойчивости до значений, близких к энергетическим, а наблюдаемые неустойчивости имеют двойную спиральную структуру с одной системой

1) Здесь и далее речь идет о спиралях различного типа, характеризующих течение в цилиндрической трубе кольцевого сечения; оси этих спиралей совпадают с осью трубы. Под спиральным направлением понимается направление касательной к спирали, а под спиральным углом ——угол между спиральным направлением и образующей цилиндра.——Прим, перев.

вихрей, наматывающейся на внутренний цилиндр, и другой системой, сматывающейся с внешнего цилиндра.

Задача об устойчивости спирального течения Куэтта рассматривается в § 47—52. Многие основные свойства устойчивости спирального течения уже проявляются в течениях, для которых отношение радиуса внутреннего цилиндра к внешнему (alb = i]) близко к единице. Течение, получающееся в пределе при Т)-> 1, мы будем называть вращающимся плоским течением Куэтта (ВПТК), и его следует рассматривать как предел при т] f 1 течения Куэтта между вращающимися и скользящими цилиндрами.

В пределе тонкого слоя построена «модифицированная» энергетическая теория. В этой теории используются следствия предположения о существовании предпочтительного спирального направления, вдоль которого возмущения не меняются. Это течение анализируется и с точки зрения линейной теории. Обе задачи существенно зависят от знака дискриминанта Рэлея —2Q^ (здесь Q — компонента угловой скорости, а 工一компонента полной завихренности основного течения в направлении, перпендикулярном спиральным лентам, на которых возмущение постоянно).

Когда дискриминант отрицателен, неустойчивости относительно малых возмущений, разумеется, нет, а спиральное возмущение, энергия которого растет при наименьшем значении R, представляет собой валик с осью, перпендикулярной течению. Это реабилитирует и обобщает результаты Орра [1907 ] в классе возмущений с предпочтительным спиральным направлением. Когда дискриминант положителен, критическими возмущениями линейной теории и модифицированной энергетической теории являются спиральные вихри. Разность между энергетическим и линейным пределами устойчивости можно уменьшить в ограниченном классе возмущений вплоть до совпадения, достигаемого для осесимметричных возмущений в задаче с вращающимися цилиндрами в приближении тонкого слоя. Для случая вращения и скольжения цилиндров критическое возмущение линейной теории появляется в виде периодической волны в системе координат, связанной с внешним цилиндром. Эта волна имеет безразмерную частоту, равную —%а sin (X —W), где а —волновое число, % —угол между осью трубы и направлением движения внутреннего цилиндра относительно внешнего и ф—спиральный угол возмущения.

§ 43. Основное спиральное течение.

Углы спирального течения

Два концентрических цилиндра радиусов а н b (Ь > а) вращаются вокруг общей оси с угловыми скоростями Qx и Q2 соответ ственно. Цилиндры двигаются в осевом направлении таким обра-

зом, что разность осевых скоростей равна UCi а система координат выбрана так, что внутренний и внешний цилиндры имеют скорости, равные Uc и нулю соответственно. Градиент давления Р

Рис. 25. Спиральное течение между вращающимися и скользящими относительно друг друга вдоль оси цилиндрами, представляющееся наблюдателю, связанному с вращающейся системой координат.Рис. 25. Спиральное течение между вращающимися и скользящими относительно друг друга вдоль оси цилиндрами, представляющееся наблюдателю, связанному с вращающейся системой координат.

Рис. 25. Спиральное течение между вращающимися и скользящими относительно друг друга вдоль оси цилиндрами, представляющееся наблюдателю, связанному с вращающейся системой координат.

Рис. 25. Спиральное течение между вращающимися и скользящими относительно друг друга вдоль оси цилиндрами, представляющееся наблюдателю, связанному с вращающейся системой координат.

вдоль оси поддерживается таким, чтобы максимальное превышение осевой скорости над скоростью, индуцируемой скольжением цилиндров, равнялось Up. Постановка физической задачи и координаты представлены на рис. 25.

Основное течение

Пусть (г, 0, %) —цилиндрические координаты и а《г « Ь, т] = а/b. Основное решение уравнений Навье—Стокса

^ех + vV2U = О, V・U = 0 с граничными условиями

Ux (а) = и。、力 ® = Ur (а) = Ur (ft) = О, UQ (а) = а%,

&0 (Ь) = /А имеет вид

U =(〃,處,")=(о, 4 + g “》^Ь +

[1一(〃6)2]mn2+"2一1)g(〃6)2、

(43.1)(43.2)(43.1)(43.2)十 Uр In 尸 + (# — 1) { 1 + 1П (炉—I)/® T)2}；, где i)

(43.1)

(43.2)

(43.1)

(43.2)

д 加02 — @2Rl a — @2加(Qg — R])

Здесь Up — та же величина, что и Um в формуле (17.5).

Иногда будет удобно пользоваться представлением компонент скорости в системе координат, вращающейся с угловой скоростью Q. Во вращающейся системе координат Ux остается неизменной, а тангенциальная компонента скорости UQ заменяется выражением

(43.3) При Q2 = Q? В = 0 и тангенциальное движение представляет собой вращение жидкости, подобное движению твердого тела, UQ = ^2厂・ Величина UQ равна нулю, если система координат вращается с угловой скоростью Q2 = Qx.

Легко проверить, что А равна половине осевой компоненты завихренности тангенциальной скорости eot/e(r). При 4=0 течение UQ (г) потенциально. Момент количества движения для этого течения постоянен, (г) = В = const.

Течение, описываемое выражением (43.1), будем называть спиральным течением Куэтта—Пуазейля. Нас будут интересовать главным образом специальные случаи:

(43.1а) Спиральное течение Куэтта: Up =0

Вращающееся течение Куэтта: Up = Q2—Q^ = 0, %我0

(43.1b) Параллельное течение Куэтта между цилиндрами: Up =

=Q2 = & = о

(43.1г) Цилиндрическое течение Куэтта: Up = 厶 = 0

(43.1д) Спиральное течение Пуазейля: Uc —0

(43.1е) Вращающееся течение Пуазейля: Uc = Q2 —Ci = 0, Qt =^ 0

(43.1 ж) Течение Пуазейля в трубе кольцевого сечения: 厶 = Q? = =% = 0

Спиральное параболическое течение Пуазейля: Up и Uc связаны так, что (Un UQi “) = (0, Аг + В/г, Um (62 — 一产)/(b2 -a2))

(43.1 и) Вращающееся параболическое течение Пуазейля: спиральное параболическое течение Пуазейля при Q± = =Q2 力 о

(43.1к) Параболическое течение Пуазейля: спиральное параболическое течение Пуазейля при R^ = Q? = 0

(43.1л) Течение Гагена—Пуазейля: параболическое течение Пуазейля без внутреннего цилиндра

(43.1м) Вращающееся течение Гагена—Пуазейля: течение (43.1л) в случае, когда труба вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью R

(43.1н)

Плоское течение Пуазейля (см. упражнение 17.1): предел

(43.10)

при т] f 1 течения Пуазейля в трубе кольцевого сечения (43.1ж)

Вращающееся плоское течение Куэтта (см. § 53): предел

(43.1п)

при т] т 1 спирального течения Куэтта (43.1а)

Плоское течение Куэтта: предел при т] — 1 параллель

ного течения Куэтта.

Теперь удобно перейти к безразмерным переменным. За единицы длины, времени, скорости и угловой скорости принимаются соответственно [Ь —а, (6 —а)/6, (7, Ul(b — а)], где

& =/從+ 4 +叫02一置2,(43・4)

Для размерных и безразмерных переменных используются одни и те же обозначения и, 〃, и, w, г, 0, х, а,卩.Безразмерные компоненты скорости основного течения обозначаются следующим образом:

(О, V (г), U ⑺)=(О, U© Ux/U)(43.5)

и

С = Q (Ь — а)/и.

Число Рейнольдса для спирального течения определяется выражением

R = 0 (b — a)/v.

Исследование устойчивости спирального течения упрощается вследствие того, что безразмерное описание поля скорости спирального течения не зависит от числа Рейнольдса.

Мы уже рассматривали (в гл. III—V) задачи об устойчивости и бифуркации для некоторых частных случаев спирального течения, в которых основное течение было либо чисто осевым, либо чисто азимутальным. В этой главе мы изучим задачи для спирального течения, в которых сочетаются азимутальное и осевое движения. Линейные теории устойчивости для спиральных течений были развиты Чандрасекаром [1961 ], Датта [1965], Хоуардом и Гуптой [1962], Хьюзом и Рейдом [1968] и Крюгером и Ди Примой [1964]. Эти авторы ограничились исследованием устойчивости относительно осесимметричных возмущений. Основные спиральные свойства неустойчивости были впервые обнаружены Людвигом [1961] при линейном анализе устойчивости невязкого течения и ——решающим образом — в простом эксперименте (Людвиг [1964]; см. § 52). Эксперимент Людвига положил конец принятому тогда убеждению, что вращение жидкости как твердого тела всегда стабилизирует течение. Никаких строгих или формальных исследований бифуркации спирального течения пока не проводилось.

Характерные направления спирального течения

Наиболее удивительным явлением во вторичных спиральных течениях, ответвляющихся от основного спирального течения, являются спиральные вихри. Чтобы их описать, важно ввести неко-

торые характерные направления, определяемые углами, отсчитываемыми от образующих цилиндра в плоскости, касательной к цилиндру радиуса г. Единичные векторы (ег, ее, ех) образуют ортогональный триэдр с ех, направленным вдоль движения внутреннего цилиндра (рис. 25).

Спиральный угол % (г) основного течения:

/(「) = (* +%)" 2 sm 儿(43.6)

4(r)/"(r) = V(r)/U(r) = tg%・

Угол возмущения спирального течения^ (г). Пусть р —возмущение давления, и пусть %’ 一 спиральная координата на цилиндре в точке г, составляющая постоянный угол 加 с направлением оси % (ех»ех^ = cos W)・ Угол \Ц/ является углом возмущения спирального течения, если в точке г

〃‘，vf,wnp не зависят от %'.(43.7а)

Здесь 〃‘ и и' являются компонентами скорости в ортогональных направлениях х' и у\ Из наблюдений следует, что критические возмущения линейной и энергетической теорий обычно имеют предпочтительное спиральное направление. Это направление определяется выбором критических волновых чисел в осевом (а) и азимутальном (и) направлениях. Таким образом, мы имеем

о = -?%7)' = cos 也登+sin 叫需=而(a cos 叩+品 sin 也)

для р =夕(г) ехр (/ах + m0), откуда следует, что

а cos W + (山г) sin W = 0・(43.76)

Критические возмущения энергетической и линейной теорий представляют собой спиральные ячеистые возмущения, которые иногда называются спиральными вихрями;

W& (厂)—угол критического возмущения энергетической теории в спиральном течении,

Wl (г)——угол критического возмущения линейной теории в спиральном течении.

Энергетический спиральный угол 0& (г). Заметим, что

用(力厂)= 20е，DU = 2Dg(43.8)

где Dr0 и Drx — единственные отличные от нуля компоненты тензора скоростей деформаций D [U ] основного спирального течения. Определим величины р§ ⑺ и 隈(г) следующим образом:

2Q，e = Рр sin 卩炉 2gx = рр cos 0 岁.(43.9)

§ 44. Задачи на собственные значения энергетической и линейной теорий

Анализ начинается с нелинейного уравнения Навье—Стокса для относительного движения в системе координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью 免=%С：

備+ 2nxu + u・vu + (u・V)U + (U・V)u = —Vp + ^, (44.1а)

V・u = 0(44.16)

в цилиндрическом кольцевом сосуде и и = 0 при г = 五，瓦 где й = т]/(1 — Т)),5 = 1/(1 —“)，

(44.1в) и и (г, 0, %) является периодической функцией по 0 с периодом 2冗 и почти периодической hq %. Под U мы понимаем скорость в задаче о спиральном течении U = U (г) из § 43. Нелинейная задача (44.1) определяет границу устойчивости и неустойчивости спирального течения. Она устанавливает критическое значение числа Рейнольдса Rg，ниже которого все возмущения в конечном счете затухают.

Задача на собственные значения энергетической теории

Критическое значение Rg для глобальной устойчивости неизвестно, за исключением некоторых частных случаев, когда R& = = Rl, где R彦 и RL — первые критические значения энергетической и линейной теорий соответственно. Обычно R& V Rg V Rl・ Первое критическое значение энергетической теории определяется так:

-^- = тахД[и],(44.2)

где Н* —множество векторов, определенное в § 20, и

A[u] = ^[u]/S)[u]= - (u.VU.u)/(|Vu|2).(44.3)

Энергетический предел устойчивости может быть получен как максимальное собственное значение уравнения Эйлера u-D[U]= - Vp -Ь AV2u, и С Нл,(44.4)

где D [U ] —тензор скоростей деформаций для U и u*D[U] = 1/2[er (vrD (У") + uDU) + е評)D (V/r) + exwDU], причем V (г) и U (г) являются компонентами спирального течения, описанного в § 43. Собственная функция и, принадлежащая соб-

ственному значению Д = 1/R&, определяет вид возмущения, энергия которого возрастает при наименьшем значении R. Мы сейчас покажем, что это возмущение должно лишь незначительно меняться вдоль энергетических спиральных линий.

Используя спиральный угол 卩&, определенный формулами (43.9), можно записать (44.2) в виде

靑=max [— @w〃〉/〈 I vu I2)],(44.5a)

где

〃“ =〃 cos §冒 + и sin §矍(44.56)

а максимум определяется на соленоидальных векторах и = =(и, и,叫 которые обращаются в нуль при г = ", 6.

В общем случае функционал (44.5а) будет иметь наибольшее значение в классе функций, которые допускают возрастание величины |з〃"| на каждом цилиндре г = const без слишком быстрого увеличения значения диссипации | Vu|2 в знаменателе. Нелегко следить за изменением величины диссипации в классе функций 叫 поскольку nw, и dwldr обращаются в нуль на стенках. Для максимизации (44.5) нужно предоставить ип максимальную свободу принимать значения, которые увеличивают | з〃" | при наименьших затратах на диссипацию. Разумеется, функция 〃” не является произвольной при заданной w, поскольку вектор и, который принимает участие в соревновании на максимум, удовлетворяет уравнению div и = 0. Если

~ = sinp^e0 + cos 限％ е“” = cos p^eg - sin 卩岁e* (44.6)

—ортогональные энергетические спиральные направления на цилиндре радиуса г, то ди"Юх"——единственная производная 〃“, которая входит в уравнение неразрывности. Если на некотором цилиндре г = г

w 岁(а=^(а,(44.7)

то &〃"/&%" = 0 и I wu№ I может сохранять наибольшее значение на каждой энергетической спиральной линии у" = у' = const на цилиндре г. Это означает, что критическое возмущение энергетической теории должно меняться вдоль энергетических спиралей лишь незначительно. При “ = 〃/匕一＞ 1 (см. § 51) можно доказать равенство (44.7), и это доказательство подтверждается численными исследованиями для произвольных значений alb (Джозеф и Мансон [1970]).

Упражнение 44.1 (почти периодические решения (44.2)). Все векторы и € Нх могут быть представлены в виде

u(r,6,%)~ 它 £%•户⑺ exp 口(〃8+ %•%)]，(44.8)

где в силу вещественности и

«/ = а-/ и иЛп = u_z> _п.

Здесь черта сверху оаначает комплексно сопряженную величину, а 2л £

и/，〃 = Т?Нт 物 j 曲 j u(r, 0, x)・xp [—i (〃8 + a产)]dx

—коэффициенты Фурье. Показать, что

■^— = max Л (а/, n) = max Л (а, 〃)= А(а&,九岁)，(44.9)

где ниже u = u；,rt (г) и

А(а, п) = — (u-D [U]-u)/5>rt [и, а],а поскольку осредняются функции, зависящие только от г, то3=睜储，〃,

纟=(1/r) D (fD)—(九2 + 1)〃2 _а2, D = d/公，L =纟 + 1 俨(44.10)

и

Фп [и; а] = — (w^w) 一〈о纟力—(uLu) — 2in ((vw/r2)—— < 而。/"〉)= =([Dw \^+\Dv^ + \Du 户 + 启(I 叫2 + ]0|2 + 1"卩))+ +《|*〉+〈|У+『〉…)

Указание. Следовать доказательству неравенства (20.7).

Упражнение 44.2 (уравнения Эйлера для коэффициентов Фурье). Показать, что уравнения Эйлера для функционала (44.9) могут быть сведены к двум уравнениям для неизвестных коэффициентов 〃 (г) и / = в (г), где u；, п (/•) = и (г)= = ("(Г)，。①，5⑺)：

九2f (DU)“ = —2A {iarDLf — (№ + 心严)纟〃 —2aVDa) + anfrD (У〃)，(44.12a)

—CDU {(严 + a58戸)и + iarDf} — 20arfD—CDU {(严 + a58戸)и + iarDf} — 20arfD（；叫（；叫++

—CDU {(严 + a58戸)и + iarDf} — 20arfD

—CDU {(严 + a58戸)и + iarDf} — 20arfD

（；叫

（；叫

+

+

(44.126)(44.12b)(44.126)(44.12b)На границах r = &, 5 выполняются условия 〃 =f = D/ = 0.На границах r = &, 5 выполняются условия 〃 =f = D/ = 0.+ {募(n^+^)ufD (У〃)—牛 fD (rD (У〃))一—'(2小 + a2「2)DfrD ”〃)} = 2Л (LV + 4taLu).

(44.126)

(44.12b)

(44.126)

(44.12b)

На границах r = &, 5 выполняются условия 〃 =f = D/ = 0.

На границах r = &, 5 выполняются условия 〃 =f = D/ = 0.

Спектральная задача

Спектральная задача может быть получена из (44.1) подстановкой решений, пропорциональных е—°', а = ^ + ш, в уравнение, которое получается из (44.1) путем линеаризации:

—аи + 2^ хи + и・VU 十 U・Vu = —Vp + XV2u,(44.13)

где и € Нл. Критическими значениями 入=入厶 являются те, для которых I (1) = 0. Согласно критерию спектральной задачи, спиральное течение Куэтта устойчиво, когда g (1) > 0 для всех собственных значений о (X). Спиральное течение теряет устойчивость, когда R превышает значение Rl =九工* где 犬公一первое критическое число Рейнольдса спектральной задачи.

Уравнения для коэффициентов Фурье и и р в спектральной задаче (44.13) та ковы:

—飭 + 歹з — 2 ； и + Dp — 入{z® -警и} = о,(44.14a)

—@ + 汐卩 + £ ° (Vr) + 芈 一 M±u + 警и;} = 0, (44.146)

—& + i^u + wDU + iap — XLu = 0,(44.14в)

；D (/砌)+ — и + ia〃 = 0,(44.14г)

切=и = 〃 = 0 при г = S,瓦(44.14д)

где ^ и L определяются согласно (44.10) и

口=(%/Г)v + a[/一&, V(r)三 V(/) + Qr. (44.15) Первое критическое значение линейной теории устойчивости может быть получено из главного собственного значения задачи (44.14)

= max 1 (a, n) = X (а£,九厶).(44.16)

KL а, м

Некоторые любопытные свойства (44.14) проще всего обнаружить на основании исследования интегралов энергии для уравнений (44.14). Они получаются следующим образом:

0 = (^.(44.14а)) + (у.(44.146))十伍・(44.14в)〉=

i 夕 I u I? — 2〈；如〉+〈亭 D (А/)〉+ (DUuw) +

+ ^nla; u]-i(|u|2).(44.17)

Вещественная и мнимая части (44.17) представляются соответственно так:

(44.18)(44.19)(44.18)(44.19)-^[u] + l^[a; u]-g(|u|2) = 0, и

(44.18)

(44.19)

(44.18)

(44.19)

〈(〃е — uw) DU} +〈(啦一观)力,：")〉+ 2i g I u |2) = 0.

Из выражения (44.15) для 夕 ясно, что частоту(о можно связать с распространением волны по спирали 9 = const.

Уравнение (44.18) может служить основой для оценок декремента затухания Е при заданных а, и и X; при Е = 0

Х = М［и］/吗［а; u］《1/R&.

Уравнение (44.19) может быть использовано для оценки скорости волны (упражнение (44.10)).

Задача (44.14) значительно упрощается, если течение прямолинейно и параллельно (V 三 0). Тогда, предполагая осевую симметрию возмущений (п = 0), мы можем свести задачу (44.14) к цилиндрической задаче Орра—Зоммерфельда (34.4). При исследовании задачи Орра—Зоммерфельда для большей общности представляется разумным рассмотреть произвольные параллельные течения U (г)). Некоторые положения теории Орра—Зоммерфельда могут быть строго развиты на этом уровне общности; в частности, оценки критического значения числа Рейнольдса и волновых скоростей следуют из применения изопериметрических неравенств к интегралам энергии в задаче Орра—Зоммерфельда (упражнения 44.4—44.10).

Упражнение 44.3. Исключить р и и из уравнений (44.14) и показать, что

X^f^ 4厶［也产］｝ = i^Lf + iD^Df 一卓(少 + inv) 一

一詈 0 (A) Df - iaDU (少一学)+ 2.(号吋).V0(44.20)

и

厶[("+ a2Г2)为 =inL (华)一笔工+学• 0 (m)+

+ ^- {^~ (n2 + 办尸)(Df + ifiv)—心田3 —

一曹匕+如学L]/},…) где

Df = f—v = 0 при г = 5, 5.(44.22)

Упражнение 44.4. (Джозеф и Мансон [1970]). (а) Показать, что решение задачи на минимум

1

j /• (d〃/dr/ dr

42a，%=min %,/-2,

J rMt? dr

среди функций и (г), которые обращаются в нуль при г = 刀，1, равно

炉仏哨=(卡)Х(о, т+/)/2),

где 九(0, т])——первый положительный корень уравнения, составленного из комбинации бесселевых функций

0 = Jo (М)九色)一厶(R 儿(如)(44.23)

(см. рис. 26 ниже) и

X2 (—2,刀)=л2/(1п n)2.

(б) Показать, что

~^п V min [^1 + а? + @з，(厶％ + b2a2 + 为西)(必 + (1 — т))2 n2)^2], (44.24) где R — любое положительное критическое значение задачи (44.14) при ге (о)= =0. Найти 〃, н 勿(i = 1, 2, 3); показать, что 勿 не зависит от а или п и что 勺—> 0, когда а2 + п2—> оо и а^ конечно при а2 + л2= 0. Рассмотреть течение Куэтта между вращающимися цилиндрами (U 壬 0) н показать, что (44.24) сводится к следующему неравенству:

[电]/[2!V^+M+a-仍—】Н х

Xmin [扌,号F•[端* + }『*""噌"?叫• 心25) Показать, что Rf 8 для малых и больших а2 + л2.

Упражнение 44.5 (Синдж [1938а]). Рассмотреть задачу (44.14) для параллельного течения (V = 0) и осесимметричных возмущений (п — 0). Положив £ = = —а% & = асГ1 показать, что

с. (?； + а2^2) = а/2)〈OU (wDw - wDw))-⑦/&R(44.26a)

сг (^1 + а2^) =(U(I Dw\2+\ е" У + а2 1g |2) + %А | 侬卩〉，(44,266) где

Л= PD^IrWU},

為=《叫2〉= j \w^rdrt^=(\Dw\2+\w/r\2)f覺=《必卩)+3《；甸一倍,)и

2 = ?； + 2а2?；+а4%・

Упражнение 44.6 (Джозеф [1968], Карми [1970]). Показать, что отношения 匿/%外/吟冕/%,

определенные в упражнении (44.5), ограничены снизу для функций @, которые удовлетворяют условиям w = Dw = 0 при г =行，方.

Найти минимальные значения 九;,Ц, Х| этих функционалов (рис. 26). Показать, что 入 1，Х2, Х3 являются главными собственными значениями уравнений Эйлера 〜

必@ + 4加=0, e% +九終⑪=0,殳2з-х!^ = 0,

где~~~

^ = (l/f)D(rD)-l/r2, с граничными условиями з = 0 (для %) н з = Dw = 0 (для Х2 и Х3). Упражнение 44.7 (Рэлей [1894]). Рассмотреть предел тонкого слоя т)—> 1 и показать, что

Xf = Я2, 多=4几2, 考=(4,73)支(44.27)

Здесь~一一

% = min [J I d%/dz? F dz I j w2dz^

для w таких, что з (г) = dw/dz = 0 при z = 0, 1; аналогичное справедливо и для 4； и ^2-

Упражнение 44.8 (Джозеф [1968]). Пусть U (г) описывает параллельное движение в трубе кольцевого сечения, и пусть

q = max | DU |, a < г < 5.

Это движение монотонно и глобально устойчиво относительно осесимметричных двумерных возмущений при условии, что

aRg < f (a;刀)=max [М】，М?】，(44.28)

где

Ml = bb + 2*2a3, m2 =乙342 + 2a2A.

Указание. Рассмотреть (44.26) при cr = 0. Найти минимальное значение R среди кинематически допустимых функций w. Как оно связано с исходной нелинейной задачей для осесимметричных возмущений?

Упражнение 44.9 (Георгеску [1970]). Для плоского параллельного течения применимы оценки (44.27) и (44.28). Показать, что

a Rg V max [Л4 (а),где АГ】=2л (4,73)2 + ^2а^ и М (а) является огибающей семейства

п

Рис. 26. Результаты решений задач на минимум, поставленных в упражнении 44.6.

Пользуясь понятием огибающей, показать, что

min Rq = 74,28а

уточняет более ранний результат (Джозеф [1968])

min Rg = 72,26, а = 2.а

Другой метод для уточнения этих значений дан Йи [1969].

Упражнение 44.10 (Джозеф [1969]). Пусть и= ia (〃 + iq) — любое собственное значение задачи (44.14) в случае, когда основное течение параллельно, а возмущения двумерны и осесимметричны. Тогда

9М (遍 + 2a2) + d

R但+专

и

守⑺=rD (； DU)•(44.29а)

(a) ?min А 0，Umm « * « %ах + 令ma J 2 (片 + a2),(44.296)

⑹&min《0«"max， ^min + ^min |2(^：1 + a?) « % W Umax +

+ 审 max/2(A； + a2),(44.29b)

(B) ^max « °， UmE+ ^min / 2 (^ + 公)《 &《U^x，(44・29r)

где максимальные и минимальные значения лежат в интервале а《，V Ь.

Уравнения (44.29) ограничивают комплексные значения волновой скорости параболой в комплексной плоскости с. По этим оценкам значения волновой скорости могут лежать вне интервала значений U. Такая возможность осуществляется для некоторых членов рассматриваемого семейства течений в расходящихся клиновидных каналах ——течения Джеффри—Гамеля (Иглз [1966]).

Упражнение 44.11. Рассмотреть статистически стационарное турбулентное течение Куэтта между вращающимися и скользящими цилиндрами. Найти уравнения, которые определяют среднее движение и пульсации. Найти первый интеграл уравнений среднего движения. Исключить среднее движение из энергетического функционала и получить функционал отклика для системы спиральных течений.

§ 45. Условия отсутствия докритической неустойчивости

Задача о спиральном течении характеризуется осевой скоростью, разностью угловых скоростей, угловой скоростью и отношением радиусов. Можно априори установить между этими четырьмя параметрами явную связь, которая приведет к полному или почти полному совпадению пределов неустойчивости и устойчивости.

Оптимальную подгонку параметров можно осуществить при помощи следующего критерия сравнения энергетической и линейной теорий.

Пусть и —векторное поле, которое является решением задачи (44.4), и пусть существует вектор &, такой, что

rot {(U ・V) и + 2覓 xu — % (u x rot U)} = 0.(45.1)

Тогда u является собственным решением задачи (44.13) с собственным значением о (Д) = 0.

Доказательство. Поскольку и и U соленоидальны, имеем rot {u-(VU — D [U])} = —% rot (u x rot U).

Тогда, если справедливо уравнение (45.1), то

(U・V)u + 2範 х u + u・(VU— D[U]) = —V(p

и (44.4) можно записать в виде

2@〉u + u-VU + U・Vu = —V(р + ср) + AV2u. (45.2) Сравнение (45.2) с (44.13) показывает, что и является собственной функцией последнего уравнения с собственным значением о (А) = =0.

Уравнение (45.1) дает метод для нахождения параметров наиболее «глубокой» неустойчивости. Пусть U —скорость спираль- ног。течения и 覓=e*Q. В цилиндрических координатах (г, 0, %) уравнение (45.1) можно записать следующим образом:

° = rot {е，(и 芻 + 2 將)} + е，{*DU"-

-因+号+ *0(咧霊} +

+ g {-eQwrD (； DU) + ewD (%「)},(45.3)

где

裁〃 i =当侬+ e0y + e%〃・

Для вывода (45.3) воспользуемся тем, что V (г) является тангенциальной компонентой скорости спирального течения

D[±D(rV)]=0t

и уравнением неразрывности

д (rw) I ди I ди с

Уравнение (45.3) может быть удовлетворено точно в следующих двух случаях: (а) для вращающегося плоского течения Куэтта (43.1 о) с соответствующим образом выбранными параметрами (см. упражнение 49.1) и (б) для вращающегося параболического течения Пуазейля (43.1 и) при большом значении угловой скорости (см. упражнение 46.1). Обычно (45,3) не может быть выполнено для всех а « г « Ь. Но если переменные коэффициенты при ег, е0 и ех являются медленно меняющимися функциями, то (45.3) может быть использовано для аппроксимации значений параметров, при которых линейный и энергетический пределы максимально сближаются.

Упражнение 45.1 (Джозеф и Мансон [1970]). Предполагая, что равенство

справедливо, показать, что из (45.3) вытекает следующее утверждение.

Критическое энергетическое возмущение является постоянным или медленно меняющимся вдоль энергетических спиралей. Линейный и энергетический пределы оказываются наиболее близкими для течений, у которых спираль возмущений, энергетическая спираль и спираль основного потока совпадают. Параметры течения могут быть подобраны таким образом, чтобы они приводили к максималь-

ному сближению углов этих спиралей. Для таких параметров критические возмущения линейной теории стационарны или почти стационарны во вращающейся системе, выбранной надлежащим образом.

Упражнение 45.2 (Джозеф и Мансон [1970]; применение уравнения (45.3) к течению Куэтта между вращающимися цилиндрами). Показать, что энергетическая полоса, представленная на рис. 22 и 23, наиболее близка к тейлоровской границе при

% 1+2т)-п2石一 112a『 + 2т)-1)•

§ 46. Глобальная устойчивость течения Пуазейля между цилиндрами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью

Рассмотрим влияние вращения цилиндров вокруг оси симметрии с постоянной угловой скоростью С на устойчивость течения Пуазейля. Большие скорости вращения сильно дестабилизируют течение. При больших Q кориолисова сила их範,действующая на возмущение, сообщает жидкости скорость в направлении, перпендикулярном и и ^; таким образом возмущение может приобрести продольную составляющую завихренности.

Заметим, что при вращении трубы как целого форма тензора скоростей деформаций D для течения Пуазейля измениться не может, и поэтому остаются неизменными результаты энергетического анализа. Отсюда следует, что энергетический анализ, проведенный в § 21 и 22, одинаково применим ко всем случаям независимо от вращения. Вращение оказывает большое влияние на неустойчивость вращающегося течения Пуазейля, но энергетический предел устойчивости и наиболее опасные начальные возмущения не зависят от скорости вращения.

Вращающееся параболическое течение Пуазейля

Можно совершенно точно сказать, как влияет вращение на параболическое течение Пуазейля. В безразмерных переменных с 0 = Um осевая скорость равна U (г) ={1 —(1 —т])2г2}/(1 —т)2). Вычисления показывают, что при Q = 6 параболическое течение Пуазейля абсолютно устойчиво (穴厶-> оо) относительно бесконечно малых возмущений при всех значениях 外《1. Эксперименты показывают, что неустойчивость возникает при Um (b — —a)/v > &, где RG равно примерно 2000. Независимо от Q R& м 100.

Предположим, что наиболее опасное начальное возмущение параболического течения Пуазейля. вращающегося как твердое

(46.1)(46.1)тело вокруг своей оси симметрии х, не зависит от х. Тогда 6 пределе при П + 8 неравенство

(46.1)

(46.1)

R < R言⑴)

является как необходимым, так и достаточным условием глобальной устойчивости.

Предположение о независимости критического энергетического возмущения от % подтверждается численными результатами (см. рис. 10). Очевидно, что критерий (46.1) достаточен для устойчивости; нам нужно доказать, что он является и необходимым. Для этого мы могли бы показать, что

lim/Ш Q) = R&(3・(46.2)

ОО

Соотношение (46.2) следует из критерия сравнения (45.3). Непосредственное доказательство соотношения (46.2) мы предоставляем читателю в качестве упражнения 46.1х).

Вращающееся течение Пуазейля

Теперь перейдем от специальной задачи о параболическом течении Пуазейля к задаче об устойчивости ламинарного течения Пуазейля (17.5) между цилиндрами, которые вращаются вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью. Для этого течения критерий сравнения не дает необходимого и достаточного условия устойчивости, как это было в случае параболического течения Пуазейля. Тем не менее в пределе при Q + 8 H конечном а энергетический и линейный пределы устойчивости близки. В этом пределе линеаризованные уравнения задачи на устойчивость получаются из уравнений (44.20)—(44.22). Поскольку основное течение происходит в трубе, вращающейся как целое, мы имеем V (г) = 0, V = rQ и & = aU (г) — © = —© (а + 0, если С+ оо и а。конечно). Используя равенство iaru = —(D/ + + inv) для исключения и, перейдем к пределу и получим, что

，L2f = — i&Lf-2n(aQu,谕"一(智и毕"()

и Df = / = 〃 =0 при 厂=а, 5.

Пэдли [1969], следуя более ранней работе Людвига [1961 ] о вращающемся течении Куэтта, обнаружил неустойчивость вращающегося течения Гагена——Пуазейля при Q—>оои R >82,88. Его решение соответствует тому, которое было приведено в § 21, и также приводит к не зависящим от % валикам с осями, параллельными оси трубы. Однако это возмущение не является наиболее опасным начальным возмущением течения Гагена ——Пуазейля, и, следовательно, К&#К^ в пределе 0f 8.

Рассчитанные значения линейного и энергетического пределов представлены графически на рис. 27 и 28. Результаты линейной теории устойчивости взяты из работы Джозефа и Мансона [1970]; результаты энергетической теории — из вычислений, описанных в § 22. Экспериментальные результаты получены Нагибом [1972 ]. Обозначения, использованные на рис. 27 и 28, будут пояснены ниже.

Рис. 27. Пределы устойчивости для течения Пуазейля в быстро вращающейся трубе кольцевого сечения. Экспериментальные данные принадлежат Нагибу [1972]. /—линейная теория, ("rz)l，Г = оо; 2 — эксперимент, Г > 10;

3 — энергетическая теория, (Nrz)&，Г = оо.

Устойчивость вращающегося течения Пуазейля в кольцевых трубах изучалась в экспериментах, начатых Нагибом, Лаваном, Фейером и Вольфом [1971 ] и законченных Нагибом [1972].

В этих экспериментах использовались следующие параметры устойчивости:

Nr§ = 2С (b — a) b/v и Nrz = 2 (b — a) U/v9

где U = {U)—осевая скорость (17.8) осредненного течения. Для течения Гагена—Пуазейля а = 0 и U = %Um\ для плоского

течения Пуазейля а/b -> 1 и [/ = 2!3Um. Параметры устойчивости связаны с (Q, R) следующим образом:

葡 2CR 葡 2UR

Относительная закрутка Г определяется так:

一Nrz -亍-万(l-n)・

Рис. 28. Азимутальная периодичность критических собственных функций линейной теории и энергетической теории. Здесь светлыми кружками показано число пар ячеек, наблюдавшихся экспериментально при критическом числе Рейнольдса для Г > 10, (Нагиб [1972]), темными кружками — результаты расчета. / ——линейная теория, п^ Г = оо; 2 ——энергетическая теория, 〃彦,Г = оо.

Сравнение нашего анализа с экспериментом оказывается возможным потому, что

асимптотическое (Г -> оо) значение Nrz почти достигается в экспериментах при Г > 5;

когда относительная закрутка велика, энергетический и линейный пределы устойчивости оказываются близкими.

Заслуживает внимания согласование теории с экспериментом по следующим пунктам:

наблюдаемые пределы устойчивости при больших значениях Г (>10) очень близки к теоретическим значениям при Г = оо, предсказываемым линейной теорией (см. рис. 27);

Рис. 29. Спиральные вихри во вращающемся течении Пуазейля в трубе кольцевого сечения с 刀=0,625. Течение направлено справа налево; параметры течения: Nr6= 3120, Nrz= 220 и Г = 14,18 (Нагиб [1972]).

критическим собственным функциям энергетической и линейной (Г = оо) теории соответствуют бесконечно протяженные валики, не зависящие от х. Медленное изменение по х вторичного течения при большом (но не бесконечном) Г хорошо видно на рис. 29 (Г = 14,18) и рис. 30 (Г =5,88).

Заметим также, что, в то время как наблюдаемое в эксперименте число ячеек 2п при т) = 0,47 хорошо согласуется с результатом линейной теории, при п = 0,625 и т] = 0,78 согласование теоретически предсказанных значений п с экспериментальными наблюдениями далеко от идеального (см. рис. 28). Следует заметить, что при R > Rl линейная теория показывает, что спиральное течение Пуазейля неустойчиво относительно все большего числа возмущений, имеющих значения п, близкие к критическому. Следовательно, наблюдаемые вторичные течения при R > Rl не обязательно имеют единственное значение п; по- видимому, анализ устойчивости вторичного течения определит целый ряд значений п, для которых вторичное течение устойчиво.

Наиболее интересным результатом экспериментов по вращающемуся течению Пуазейля является существование двух спиралей, показанных на рис. 30. Нагиб отмечает, что в системе координат, вращающейся вместе с цилиндрами, эти спирали стационарны (см. упражнение 46.2). Существование двух спиралей, вероятно, связано с тем, что DU меняет знак в кольцевом сечении; это изменение знака означает (см. § 38), что дискрими-

Рис. 30. Спиральные вихри во вращающемся течении Пуазейля в трубе кольцевого сечения. На фотографии видно два ряда вихрей: внешний и внутренний. Внешний ряд расположен вблизи внешнего цилиндра и виден более отчетливо, хотя и слабее, чем на рис. 29; видны также спиральные вихри около внутреннего цилиндра. Вихри каждого ряда составляют с осью равные, но сдвинутые на 180° углы. Течение направлено справа налево; параметры течения: ". = 2000, Nrz = 340, Г= 5,88 (Нагиб [1972]).

нант Рэлея Q^ может иметь необходимый для неустойчивости знак на обеих стенках только в том случае, когда угол спирального возмущения имеет разные знаки на стенках. Это же изменение знака в DU в конечном счете обусловливает изменение знака в продольной компоненте скорости возмущения (рис. 11).

Устойчивость вращающегося плоского течения Пуазейля с % = & исследовали Лезиус и Джонстон [1976]. Они привели спектральную задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению шестого порядка. Задача, определяемая этим уравнением вместе с граничными условиями, является сопряженной к задаче, определяющей устойчивость течения Куэтта относительно тейлоровских вихрей и изученной Чандрасекаром [1961, с. 299]. Вращающиеся в разные стороны вихри показаны на диаграммах функции тока, построенных Лезиусом и Джонстоном.

Можно дополнительно усилить двойную спиральную структуру, вращая цилиндры с различными скоростями (рис. 31). При таком вращении ответвляющиеся спирали, по-видимому, нестационарны в любой системе координат. Похоже на то, что при быстром вращении трубы течения, наблюдаемые в экспериментах, подобны решениям, вычисленным по уравнениям (46.3) линейной теории устойчивости. Это наводит на мысль, что спи-

ральное вихревое течение закритически ответвляется от спирального течения Пуазейля; спиральное течение Пуазейля теряет устойчивость, а спиральное вихревое течение приобретает устойчивость при R > Rl. Никаких результатов по линейной устойчивости спирального течения для конечных значений й и вращения цилиндрических стенок с различными скоростями до сих пор не получено. Истинная роль дискриминанта Рэлея в механике структуры двойных спиралей также нуждается в дальнейшем выяснении. Было бы интересно проследить, каким образом при анализе устойчивости и бифуркации вращающегося течения Пуазейля появляется эта структура.

Упражнение 46.1. Предполагая, что критическое энергетическое возмущение для параболического течения Пуазейля не зависит от %, при помощи (45.3) показать, что при соответствующем выборе параметра вращения это возмущение является также решением спектральной задачи линейной теории. Указание. Положив %♦!> = 0 и заменив 0/08 и д/дх через in и ia, показать, что

° = rot { 1-:二)2产 оси} - U 卜若^ + 2叫，(46.4)

а затем рассмотреть предел при а — 0,。-> 8, причем а。конечно и отлично от нуля.

Упражнение 46.2. Доказать, что для каждого решения задачи (46.3) должно выполняться равенство

с./八2-^——im〈〃f〉+ im〃f)

s =(a0)不历5 =<|Тр>* (46・5)

Показать, что со = 0, когда U (г) является скоростью параболического течения Пуазейля и справедливо соотношение (46.4).

Рис. 31. Вторичное течение, наблюдаемое при вращении цилиндров в одну сторону; (Nr())o= 1795, (NRe)j= 1670, Nrz= 240 и т] = 0,77 (Нагиб [1972]).

§ 47. Уравнения для возмущений вращающегося плоского течения Пуазейля

Положим для определенности Q = —Q2ex, где Q2 > 0 — угловая скорость внешнего цилиндра (мы изменили здесь знак Q). Тогда система координат будет вращаться вместе с внешним цилиндром. Во вращающейся системе координат внешний цилиндр покоится, а внутренний вращается с линейной скоростью 0(% —圆)и скользит вперед со скоростью Uc (рис. 32).

Рис. 32. Вращающиеся и скользящие цилиндры в системе координат, вращающейся вместе с внешним цилиндром, в пределе тонкого слоя (вращающееся плоское течение Куэтта).

В пределе при п + 1 н фиксированном b —а из (43.3) следует, что

и产 向%(；)；1s窮一1】—а(2»)[Ь — а — 2], (47.1а)

а из (43.1) (при Up = 0), что

Ux = Ucln (/7Ь)/1п " — ^^ [b — a — &];(47.16)

здесь мы положили t = а + ^ (0 < 5 < 6 — а).

Поскольку мы рассматриваем предел при Т)-> 1, необходимо допустить возможность того, что при фиксированном сдвиговом напряжении

b — а -> 0.

Затем нам желательно, чтобы величины

“缥^%=&(47.2)

были ограничены. Ограниченность Q^ и Q〃 при п 1 означает, что % — % — 0. Следовательно, кроме тривиального случая

С】一> 0 и й2 -> О, мы ограничены здесь задачей, в которой Q2 и Q] имеют одинаковые значения.

В безразмерных переменных z =夕/(匕——G мы имеем

V = UQ/U = (1 — z) sin 儿(47.3a)

U = (1 — z) cos 儿(47.36)

где

и = y〃2(Q] —%)2 +d = (Ь _ 〃) /飭 +絲,sin % = Qp(b — a)/0 = Qy/j/"Qy + Q^z, cos % = Qu/^~Q% + Q?/и

Q. = %/]/" Q% + Q^, Й = — jQ.

Возмущения вращающегося плоского течения Куэтта должны удовлетворять следующим уравнениям:

穿 + (u + U)・ V〃一侬 cos % =-票 + XV2u,(47.4a)

备 + (u + U)・ Vu + (2Q - sin %)。= 一第 + XV^, (47.46)

票 + (u 十 U)・ V。一 2Qu = — 碧 + 1V2^,(47.4b)

где

U =仇。+ e/, R =入-i = U(b — a)/v и

u e H 三{u: divu = 0, u ]z=o, i = 0, u € 4P (% 9)}・ (47.4г)

§ 48. Вид возмущения, энергия которого растет при наименьшем значении R

Энергетическую задачу для вращающегося плоского течения Куэтта можно получить непосредственно из задачи (47.4) или как предел задачи (44.2) при т] -> 1. В любом случае

+ = max^<^^药.(48.1)

(b — a)2 /繇 + %《R屏(b — a)2 /繇 + %《R屏Здесь устойчивость имеет место при

(b — a)2 /繇 + %

《R屏

(b — a)2 /繇 + %

《R屏

(b— а) VUj. + а^ (Qj — Q2)2 k =

При т] = 1 в силу (43.9) и (47.3) получаем, что

tg 昵=嘲丄 т tg 儿 PB = — 1.(48.2)

Затем мы заменим оси координат так, чтобы ось 炉 была направлена вдоль течения под углом 现 к оси %:

〃‘ =u cos X + ^ sin X， и' = —usinX + ^cos X， и положим wf =叫 что даст

志=ту 綺1r(48.3)

Гипотеза, принятая в § 44, состояла в том, что максимизирующая функция для функционала (48.3) не меняется вдоль направления Орр [1907 ] использовал другую гипотезу: он считал, что максимизирующая функция для функционала (48.3) принадлежит такому полю и', у которого и' = 0 н duf/dyf = 0, и нашел, что монотонная устойчивость относительно возмущений этого типа имеет место тогда, когда

R < 177,2.

Предположение Орра о виде возмущения, которое возрастает при наименьшем значении R, неправильно, поскольку мы увидим, что энергия возмущения, не зависящего от %', может расти при

R〉2/17况.

Энергетическая задача (48.3) не зависит от вращения жидкости как целого (Q2). Точно такая же задача порождается плоским течением Куэтта при Q2 = Qx = 0. В этом случае течение возникает вследствие движения нижней пластины со скоростью U『 Учитывая все это, мы можем использовать для рассматриваемого случая уравнения § 44.

Теперь будет удобно предположить, что за систему координат с самого начала выбрана система со штрихами, а затем штрихи были опущены. Мы изменим также начало отсчета координаты z так, чтобы областью течения был интервал —% Vz V %•

Уравнения Эйлера для функционала (48.3) имеют вид

2AV2u + ем + е?〃 = Vp.

Исключим отсюда и и р при помощи уравнения неразрывности и применим преобразование Фурье; это даст

2AL2® —出〃 —iaDw = 0,(48.4а)

2Д {a2Lu — iaDLw\ + 俨⑪=0,(48.46)

где L =D^ — * D = d/dz, a = d + p2 H

〃 =5 = Dw = 0 при z = ±〃2・

Задача, описываемая уравнением шестого порядка

4A2£з® — ^^aixLDw + М(i 一 书切=°,(48.5)

где

т = а/〃 и при z = ±г/2 ^ = Dw = Uw = 0, (48.6) получается исключением одной переменной из (48.4) и эквивалентна (48.4).

В общем случае задача (48.5), (48.6) чрезвычайно сложна. Но при т = 0 она сводится к задаче Бенара, причем Д-1 = R = =R冒=2 H708 и а = 3,117. Ясно, что предел Орра R = 177,2 больше чем вдвое превышает значение R = 82,6, которое является энергетическим пределом устойчивости при т = а = 0. Для этого более низкого предела возмущение не зависит от £.

Результаты численного интегрирования (48.5) и (48.6) приведены в табл. 5. Сначала находится поле минимальных собствен-

Таблица 5

Главные собственные значения 友(т) и минимизирующие волновые числа а (т) для (48.5) — (48.7)

т

0 （工）

(負/2)£

*

0,0

3,1155

1707,76

82,65

0,05

3,1161

1711,22

82,73

0,10

3,1170

1721,69

82,99

0,15

3,1187

1739,42

83,41

0,20

3,1206

1764,86

84,02

0,25

3,1229

1798,68

84,82

0,30

3,1265

1841,80

85,82

0,35

3,1308

1895,48

87,07

0,40

3,1373

1961,40

88,57

0,45

3,1440

2041,81

90,37

0,50

3,1533

2139,77

92,51

0,55

3,1654

2259,44

95,07

0,60

3,1773

2406,60

98,11

0,65

3,1915

2589,54

101,77

0,70

3,2182

2820,41

106,21

0,75

3,2436

3117,65

111,67

0,80

3,2842

3510,71

118,50

0,85

3,3305

4048,71

127,26

0,90

3,4100

4818,49

138,83

0,95

3,4294

5982,70

144,70

1,00

3,7800

7851,42

177,22

ных значений Д"1 (а, т), а затем наименьшее из них для фиксированного значения т, т. е.

R (т) = А^(Q «), т) = min A~i (〃, т)・(48.7)

а>0

Вспомним, что t = а/а — нормированный волновой вектор в направлении течения (%')・ Если т = 1, то а = а и р = 0, т. е. возмущение меняется вдоль потока и не меняется в перпендикулярном ему направлении. Это то самое возмущение, которое по предположению Орра решает задачу

R^= min R(t).

Но из только что приведенных результатов ясно, что значение t = 0, соответствующее не зависящему от %' возмущению, решает задачу (48.7) и определяет вид возмущения, которое первоначально возрастает при наименьшем значении R.

Буссе [19726] показал, что численные расчеты, необходимые для нахождения возмущения, энергия которого растет при наименьшем R, можно свести к вычислению только трех экстремальных значений. Доказательство этого результата представляет самостоятельный интерес 〉

Задача. Найти

，一max〈他叫⑵)伍8

где В (z) = U (—z) (для течения Куэтта ^ = 1). Здесь область интегрирования представляет собой слой жидкости, ограниченный плоскостями z = ±'/2・ Разложение в ряд Фурье, подобное описанному в § 20, приводит к результату

丄 -max max⑴®①切 伍8

R& -肾1 н^(I 加’卩 +1 dи屮 + 1 q“ 户 + "(小+产 + “2))' где

% 三｛u = u(z): u(±%) = 0, i (риЛ + auz) -^Dw = Q\

и a = a2 + p2.

Решение задачи (48.9) необходимо включает нахождение двух волновых чисел аир, которые определяют единственное направление е^ = е〃，cos $ — е%，sin 屮，вдоль которого производные

д/ду = i (а дхЧду — ^дуЧду) = i (a sin 屮 + р cos 屮)=0.

Параметры в системах координат со штрихами и без штрихов связаны следующим образом:

(48.10)(48.11)(48.12)(48.10)(48.11)(48.12)wr =叫 〃‘ =〃 cos 屮 + и sin 屮，U = —и sin 屮 +u cos 屮 0=-a sin w， a = a cos 中.

(48.10)

(48.11)

(48.12)

(48.10)

(48.11)

(48.12)

Мы собираемся показать, что 屮=л/2 и е^ = —е*，.

Перепишем задачу (48.9) в переменных (48.10):

11

0《2令 где

]cos W〈U re (@〃)〉+ sin 屮 #「e 侬u)〉

^7^ ™ нs №p + I^^^

и Нв определяется, как и прежде, только теперь уравнение неразрывности принимает вид

Dw + iau = 0.(48.13)

Предположим теперь, что (и, и, з) являются максимизирующими функциями функционала (48.12). Мы можем разложить эти функции на четную и нечетную части, положив, например, w =wg + “，где 2也=w (z) + w (—z) и 2网=5 ⑵—w (—z). Исключение и из (48.12) при помощи (48.13) и следующее за этим разложение функции на четную и нечетную части дает

(R (& 屮)尸={—cos 屮(％ ®, D%] + % % D%J) +

+ Sin W (% [叫，U0 + ^2 K，%])} X

x {cos2 屮⑰[叫 + cos2 к勿2 MJ + sin2 屮勿2【％ +

+勿1间+ Sin2陷2阿+勿1阿尸，(48.14) где 0 v n《л/2 и

% [% Dw] = a〈5 re (iwDw^. Sf^ [w9 v] = a2« re (叫 и)),勿 U5 = a2 (I Dy I2) + a2 (I и I2), 勿2园1 =〈|。叫 * + 2c?\Dw^ + d WF〉・

Лемма. Рассмотрим задачу на максимум (48.12) при а > 0, 0 < 屮 < л/2, считая Ь (z) симметричной функцией.

Тогда

1, 一 「11sin ф 11

R(a, W) 《响[cos mз, 0)，r(q,窮/2)' liFjT &(a,兀/2)「

(48.15) где

]_max !%[叫。1)

& (а, л/2) ^^1^[^ + ^1МГ

a wQ и v0 — нечетные функции, удовлетворяющие граничным условиям.

Теорема. Пусть для некоторого р,, 0 < |л < л/2,

R (a,л/2)

—наибольшее из трех значений, входящих 6 (48.15); тогда

~〜~ 三 max =—」.(48.16)

R苏 R (a，W) *0 R (% W) R (а,冗/2) °0《w&冗/2

В предположении этой теоремы $ = л/2 и возмущение, энергия которого растет в начальный момент времени при наименьшем R, не зависит от %'. Для плоского течения Куэтта U = 1 и это предположение теоремы выполняется:

^^^^TIfW(П*озеф[1966]),

^ 凤｛ 0) = л?% (Opp【1907])

И

max ! = —3(Чандрасекар [1961, с. 38, табл. 1 ]).

а》0 凡(。…/2) 2Ml7610,4 ' 7 У ，，丿

Доказательство. Допустим, что лемма справедлива и ^ = ф, где

Ц^т- = шах 方J・(48.17)

R (а,州)04屮&л/2 R(a，屮)

Тогда в силу (48.17) и (48.15) соответственно

R (а, л/2) ' R (a, $) ' R (a,皆)、R (a, л/2)

Эти два неравенства могут быть справедливы одновременно только тогда, когда они превращаются в равенства, что и доказывает теорему. Чтобы доказать лемму, заметим, что применение неравенства

апапС 厶 с

< шах —, 〃q0, bn^o

%％

к выражению (48.14) дает

1Г A D sin гр I

к~~« max , В, о. С ,

R (а, гр)L cos м '， sin р, J ?

где

J —COS 屮，。侬о COS у] + ?1 図0 COS M，Dg COS 叫

‘一22 [g COS 叨 + 22 [% COS 中]、

« max %®嚼产RI,(48.18a)

sin 屮]-j-[ve] 7 max 耽[叫 + 耽[V]

и

J 一勿2 Esin 闻+2] [%] у max ^ ^ + ^ [Vo] .

Важно заметить, что максимизирующие функции для (48.12) должны быть такими, чтобы все числители в (48.18а)—(48.18в) были неотрицательными. Чтобы это показать, предположим обратное: пусть, скажем, (48.18а) отрицательно, а (48.186) и (48.18в) положительны. Теперь изменим знаки уди %. Эта операция оставляет абсолютные значения трех отношений неизменными, но делает их всех неотрицательными. Тогда при нашем предположении (одно отрицательно, два положительны) (48.12) может не достигать максимальной величины. Таким же образом, меняя знаки двух функций, можно проверить, что только неотрицательные числители максимизируют (48.12). Поскольку эти числители не отрицательны, они допустимы как неотрицательные числа в (48.16). Это доказывает теорему.

§ 49. Необходимое и достаточное условия глобальной устойчивости вращающегося плоского течения Куэтта

Уравнения, которые следуют из линеаризации (47.4), можно скомбинировать в систему двух уравнений

(4 —入屮)V2^_2Q(p = 0,(49.1а)

(4 -入屮)屮 + cos % 羲 + (2П—sin %)鲁=0,(49.16)

где

Ф = (@2/@%2 + д2/ду2) v + д231dz ду и

d/dt = d/dt + (1 — z) sin ^д/ду + (1 — z) cos ^dldx.

причем на границе

屮=з = dw/dz = 0.(49.1 в)

Предполагая, что возмущения представлены в виде рядов Фурье с членами, пропорциональными exp (of + fax + i§y), получаем для коэффициентов Фурье t& (z) и <р ⑵ следующие уравнения:

(ге (о) + © — 入厶)£庁一2c而=0,(49.2а)

(ге (о) + 步一入L) G — a (P cos % + a (2Q — sin %))齿=0, (49.26)

© =⑥=Dt& = 0 при z = 0, 1.(49.2в)

Здесь

L = D8 — aT,夕=c—az sin (%—W),c = im (a) + a sin (2^—W)

и

Sin (% - W)=晶 sin % + £ cos 儿(49.3)

где

a = —a sin \||r,卩=acosW・(49.4)

Здесь W —угол между x и x\ где ось % параллельна Q = =—Qse^, а xz — направление, вдоль которого возмущения постоянны (рис. 33).

Рис. 33. Углы в спиральном течении Куэтта.

Уравнения (49.2а) и (49.26) можно объединить в одно уравнение

(ге (а) + 成一XL)2 Lw + 犀f/ = 0,(49.5)

которое должно быть решено при условиях

w =或=(ге (а) + 诊一XL) L输=0 при 2 = 0, 1. (49.6)

Здесь

F (W, %，6 = 2c sin W (cos (现 一 W) - 2c sin W) (49.7) и

—8 « F« 1/4 cos2 (% —W)・

Линейный предел устойчивости R^ является наименьшим критическим значением R (для которых ге (о) = 0), минимизированным по волновому числу а и спиральному углу W・

При ^ = 0 можно найти частное решение уравнения (49.5). Обычно нельзя положить 伞(z) = 0; это оказывается возможным лишь тогда, когда %=W・ Тогда спиральный угол 21c который всегда равен энергетическому спиральному углу р彦(см. уравнение (48.2)), равен также спиральному углу ф^, определяющему направление, вдоль которого возмущения не меняются. В этом случае уравнение L^w + Ir^Tw = 0 и условия (49.6) определяют задачу Бенара:

入中(儿儿 C) = g(a2)，ming(a2) = g((3,12)2)= 1708・ (49.8)

Уравнения (49.8) были впервые получены Кислингом [1963]. Из них следует, что

Х-2= 1708/Г(Х,儿 С)・

Разумеется, частное решение (49.8) существует только тогда, когда С (—8 VQ V 8)задано таким образом, что

F(儿儿 Q) = 2Qsin 现(1 - 2Qsin%) > 0.

Значения % н Q, которые приводят к значению F = %, представляют особый интерес:

Предположим, что & = 1/(4 sin %); тогда F = % и критерий

К = 一(二呪纥 + 踝 < 2/1708(49.9)

является одновременно необходимым и достаточным для монотонного затухания всех периодических возмущений.

Доказательство этой теоремы следует из сравнения линейного решения с немодифицированной энергетической задачей (Буссе [19706 ]). Отсюда следует, что критерий R V 2 ]/1708 является как необходимым, так и достаточным для устойчивости и что наи* более «живучим» бесконечно малым возмущением является как раз такое, энергия которого возрастает в начальный момент при наименьшем

Упражнение 49.1 (Джозеф и Мансон [1970]). Показать, что критерий (49.9) следует непосредственно из уравнения (45.1). Показать, что (45.1) можно записать в безразмерных переменных, введенных в этом параграфе, в следующем виде:

rot(au/az)— {20/ d/M +(20* + %)WJ u = о, (49 ⑹ U = u (z) exp 口 (a" + PV)],

где 丫"——направление движения нижней пластины относительно верхней. Энер гетическая собственная функция и не зависит от %" (см. § 48), и

Показать, что (49.10) справедливо в приближении «быстрого вращения», когда Сх，,-> 8 и

а"。*” = const,

независимо от значения С,,,. Каково значение В" н постоянной в этом предельном случае?

§ 50・ Критерий Рэлея для неустойчивости вращающегося плоского течения Куэтта; волновые скорости

В общем случае энергетический спиральный угол 现 и спиральный угол возмущения ф не совпадают. Тогда 5 не может обращаться в нуль везде.

Для случая 伞三 0 Мак-Интайр и Пэдли (Пэдли [1969]) показали, что необходимым и достаточным условием существования невязкого (R оо) решения задачи (49.2а), (49.26) является F > 0. К тому же они показали, что — [р равняется произведению общей угловой скорости и полной завихренности, т. е. F оказывается дискриминантом Рэлея.

В общем случае, когда 现声 W，F по-прежнему остается дискриминантом Рэлея, т. е.

F(M%，6 = -2fbQ，，(50.1)

где

e,=包，.範и Q，=з.(2記+ rot U)

——компоненты общей угловой скорости Q и полной завихренности 2Q + rot U в направлении /, нормальном к направлению х\ вдоль которого возмущения не меняются. Для того чтобы проверить (50.1), заметим, что

覓=— С", U = (excosX + 匕 sin %) (1 — z),

и используем геометрические соображения (см. рис. 33).

Численный анализ дает решения задачи (49.5), (49.6) каждый раз, когда F > 0, и не дает решений в противном случае (см. табл. 6). Задача (49.5), (49.6) включает плоское течение Куэтта (F = 0), как специальный случай.

Особенно проста решается задача о скорости волны im (о) наиболее «живучего» малого возмущения. Ответ таков:

im (о) = - (а/2) sin (X 一 W)・(50.2)

При доказательстве (50.2) заметим сначала, что для каждого решения задачи (49.5), (49.6) или эквивалентной задачи (49.2а) — (49.2в)

伶 II 2(1而 |2 + a2F (I。庁 |2 + 出 I & |2力=о. (50.3)

Чтобы доказать (50.3), положим / = —2n@/(“F"2) и подставим в (49.2а, б) F, определенное формулой (49.7). Это приводит к уравнениям

(ге (о) + i 例 L 血 + 口尸/2f = £2 面(50.4a)

и

[re(a) + i^]f- аР/2⑥=ILf.(50.46)

Составив выражение〈函(50.4а)) — (f (50.46)), получим

〈(re (о) + i。)健厶⑥一I f I2))=

П入〈IL 例2 + I 切 12 + a2 1H2)—曲1/2 0函 + f ⑥)，(50.5)

где черта сверху означает комплексно сопряженную величину. Вычитание из (50.5) комплексно сопряженного ему выражения приводит к результату

0 =<$(血^ + 似^ — 21*2))0 — 2〈夕(11>也 |2 + 出|例2 + 1h2»

где член—

(D$ (歩D ⑥+ ЙЮ ⑥)=0, который получается при интегрировании по частям, обращается в нуль, поскольку D* постоянно.

Уравнение (50.3) показывает, что 夕(z) должно менять знак на интервале (0, 1). В самом деле,夕(％) = 0. Чтобы установить это, выберем с = im (и) + a sin (现一ф) = (a⑵ sin (现一W) так, чтобы 6 (%) = 0. Затем используем переменное z' ~ z — %, —% v z，« % и перепишем (50.3) и (50.4), Вид (50.3) и (50.4) не меняется при замене переменного, но

0 ⑺=—zZ sin(X - W)・(50.6)

Далее разобьем / н ⑥ на четную и нечетную части, подставим эти выражения в (50.4) и выделим четные и нечетные части полученного уравнения; например, из (50.46) и (50.6) найдем

ге(а)力一况sin(X 一 W)叱=入l〃 + "产/2电。.

Это уравнение и три других показывают, что мы можем принять ⑥=叫(/) + iw0 (/), f =厶(吟 + if0(zfY (50.7) где 仙，％ % н /о — вещественные функции. Теперь в силу (50.5) и (50.7) условие (50.3) удовлетворяется тождественно.

Упражнение 50.1. Показать, что

2入〈I 厶例2 + I 勿|2 + a2 1H2)= 2a / 庐〈他 + f 而〉一 a sin (X 一 W)⑴，

(50.8)

где т=——i(而D© ——wDw). Это уравнение определяет 入(а,屮)для собственных решений уравнений (50.4) и граничных условий. Найти собственное значение задачи, сопряженной к (50.4), и показать, что то же самое собственное значение X (〃, W) определяется соотношением

入{Lw^Lw + DfWf + @屮『〉=

=а МF〈而*f + f*S + a sin (X — W) {iw*Dw), (50.9) где w * и / * ——сопряженные собственные функции. Используя результат упражнения Б.4.6 (или каким-либо иным способом), показать, что угол возмущения, которое приводит к наименьшему критическому значению R, является корнем уравнения

@〈而W + 产纺 端三=a cos (X - W)*而*0@〉.(50.10)

Показать, что при X ——W = n/2 угол возмущения, который минимизирует R, одновременно максимизирует дискриминант Рэлея. Следует ли из (50.8) формула, подобная (50.10)?

§ 51. Энергетическая задача для вращающегося плоского течения Куэтта, когда спиральная форма возмущения предполагается с самого начала

В результате решения линейной задачи на устойчивость было найдено характерное спиральное направление е%，・ Это направление определяется волновым числом, которое обеспечивает наибольшее критическое значение 入 для нейтрального решения (ге (а)== =0) спектральной задачи. Спиральные возмущения наблюдаются также в экспериментах. Поэтому разумно предположить с самого начала существование предпочтительного направления и изучить следствия этого предположения. Целью этого параграфа является нелинейный анализ устойчивости, в котором используется преимущество задания возмущения в спиральной форме.

Представляется удобным разложить движение по осям, направленным по оси л/, по которой 〃, и, з н р не меняются, и по нормали к ней; например, и = и (/, z, f):

U ⑵=(1 — z) [(cos % cos W + sin X sin » % +

+ (sin % cos W — sin W cos %)©，] =

(51.1a)(51.1 6)(51.1a)(51.1 6)=(1 - z) [cos (现一W) % + sm (X 一 W)同，]

(51.1a)

(51.1 6)

(51.1a)

(51.1 6)

—範=C COS W% - c Sin WeJ = Qe*・

Не зависящие от %' возмущения описываются уравнениями 备 + (u + U) • V〃 + (2Q sin W — cos(X 一 W))。= XVlu, (51.2а) 患 + (u + U)・V。+ QCcosW - sin(X - W))。= 一令 + 入昧 (51.26) 需 + (u + U)・ V® - 2C e cos W + 〃 Sin W)= —警 + 入区叫 (51.2в) где

и盜 + 票(5L2r)

Граничные условия имеют вид и = 0 при z = 0, 1,(51.2д)

и и—почти периодический по уг вектор.

Компонента скорости возмущения и не может быть вызвана возмущением градиента давления, поскольку предположение ди/дхг = 0 означает, что d^pldf? =0. Тогда др/дх' = К (/Д * и поскольку р — почти периодическая по х' функция, она ограничена при х，2 оо, а отсюда следует, что /三 0.

Из независимости р от %' вытекает несколько следствий. Одним из них является существование двух энергетических уравнений; одно определяет эволюцию энергии продольной компоненты скорости:

4 备〈必〉+(2С sm W - cos(X - »)W = -X(|V2u I2), (51.3a) а другое —эволюцию энергии поперечных компонент скорости:

4"与〈92 + ")- sin (现-W)(叫-2c sin W ®")=

=一儿(m512+1%吓).(51.36)

Предметом исследования данного параграфа являются именно уравнения (51.3). Образуем сумму

+九・(51.3а)

с Л > 0 и положим 屮=，九〃；это даст

4■备("+ °* + 喂)-sin (现 一 W)(吻〉-/我 COS (% -曲)〈纵p〉-

-20sin W (会一以)〈叫〉=-M %5 卩 + I 即 I2 +1 %① I2) •

(51.4)

Это уравнение определяет эволюцию энергии возмущения, когда спиральная форма возмущения выбрана с самого начала; оно может быть записано в виде

-#1=-箔* —入勿=-勿(X --#1=-箔* —入勿=-勿(X -

-#1=-箔* —入勿=-勿(X -

-#1=-箔* —入勿=-勿(X -

гдегде(51.5)

где

где

2 =（1%叫2 +卜却『+ 1%叫） 森卜叫〉+ /又cos（X 一 W）〈叫〉+2 =（1%叫2 +卜却『+ 1%叫） 森卜叫〉+ /又cos（X 一 W）〈叫〉+冒=〈炉 + 統 +(p2)/2,

2 =（1%叫2 +卜却『+ 1%叫） 森卜叫〉+ /又cos（X 一 W）〈叫〉+

2 =（1%叫2 +卜却『+ 1%叫） 森卜叫〉+ /又cos（X 一 W）〈叫〉+

—捲*=—2CsinW(yi-

+ sm(%-W)〈w〉， и

Ax = max (-做/勿)； (51.6)

здесь Н2 —множество не зависящих от / кинематически допустимых векторов, т. е. векторов и, удовлетворяющих уравнению div и = 0, граничным условиям и условиям периодичности.

Проинтегрируем энергетическое неравенство (51.5):

&(/)«/ (0) ехр {-2Л (入一A%) f}, (51.7) где 勿 > 2入& для всех и ^ Н2 и для R < R% 三 Лх1. Здесь энергетический критерий не зависит от величины начального возмущения и применяется глобально. Ясно, что вектор и £ Н2, являющийся решением (5.16), также имеет вид не зависящего от %’ возмущения, энергия которого растет в начальный момент времени при наименьшем R.

Снова % > 0 является свободным параметром, выбираемым так, чтобы максимизировать интервал 0 V R 之 R%, на котором может быть гарантирована глобальная и монотонная устойчивость. Таким образом,

X(%，W，C) = maxR乂 (51.8) 〜 х>о

Если R < R, то вращающееся течение Куэтта монотонно 〃 глобально устойчиво относительно не зависящих omf возмущений, составляющих угол W с осью х (е% = — й/|й|).

Разумеется, никто заранее не может знать, выберет ли природа единственное направление £, вдоль которого возмущения постоянны. Более того, даже если такое направление выбрано, невозможно будет заранее установить угол 加，который оно образует с осью х. Однако можно искать угол W = ф^, для которого

^(X，Q) = ^(X，^(X，Q)，Q)= min 电 (51.9)

Если R < R^, то вращающееся плоское течение Куэтта монотонно и глобально устойчиво относительно всех возмущений^ не зависящих от

Особый интерес представляют два типа возмущений:

Возмущения типа рассмотренного Орром. Это те возмущения, которые рассматриваются в теории Орра—Зоммерфельда, а именно двумерные возмущения, не меняющиеся в направлении, перпендикулярном плоскости движения,

%-W=±W2・

Возмущения тейлоровского типа. Эти возмущения постоянны на прямой, по которой пересекаются плоскость движения и плоскость z = const:

* %一W = 0 или %一业=冗

Значения R и R существенно зависят от знака дискриминанта Рэлея. Сначала рассмотрим случай F < 0, соответствующий вращающемуся цилиндрическому течению, в котором момент количества движения возрастает наружу. Этот случай включает плоское течение Куэтта (F = 0), и для него имеет место следующая теорема:

Пусть Г < 0. Тогда не зависящее от %' возмущение, энергия которого растет при наименьшем значении R (>衣&), является возмущением типа рассмотренного Орром. Более того,

R&= 177,22

равно значению, вычисленному Орром [1907 ].

Доказательство. При F < 0 можно найти значение % = X = =—4fV sin2\|lr/F > 0, при котором коэффициент при〈屮〉в уравнении (51.6) будет обращаться в нуль. Любой другой выбор X приводит к большим значениям Ах- Максимум функционала (51.6) не меньше, чем максимум (51.6) на меньшем классе векторов, для которых ф = 0. Этот же самый максимум (с 屮三 0) достигается на большем классе, в котором (р не равно нулю с самого начала и % = X. При X = X мы имеем

丄-Y疝(M-W)〈耽〉

员н, <1 v^P+lv^ P + l V<P 12У

где Н2 определено выше (после формулы (51.6)). Максимизирующий вектор для функционала (51.10) имеет 屮 三 0. Максимальное значение (wv)'{\\7w\2 + |Vy|2) в Н2 равно 1/177,22 (Орр [1907 ]). Следовательно,

局=177,22/sin (Х-Ф), и

R = min^= 177,22

достигается при

% — W = п/2・

Это возмущение не меняется на прямых, перпендикулярных плоскости движения.

При F > 0 мы не можем выбрать положительное значение X, при котором коэффициент при 〈охр〉 в (51.6) обращается в нуль. Тогда оптимизирующее значение X = X для функционала (51.8) отыскивается как корень уравнения

° =备а尸$負(一做).

Поскольку и — максимизирующий вектор, мы имеем

备(一能九)=忌^^ =』{-2CsinW(l +v) +

+ cos (X - W)}3屮〉.

Следовательно,

CsinW一 4c2siMW耳 in

—7 cos (%-W)-CsinW - F

一爲父三一%=2)/T®屮)+ sin (X - W) 3»(51.12)

и

}= max (—徹/2)三 max A[u;儿 ф, Q].(51.13)

R н?h2

Задачу (51.13) удобно переформулировать как задачу на собственные значения Д (X* W，О：

и

Кр ф 4- sin (X — Ф) у 2 + AV麵=dp/dz, sin(X — W)电'2 + AV飴=dpidy，

M Fe + A V 細=0・

Используем уравнение неразрывности (51.2г) и при помощи представления в нормальных модах сведем задачу к обыкновенным дифференциальным уравнениям; это даст

4Д£ш ——4/Да sin (现一W)七侬 + 口炉⑪=0,(51.14a)

где L = D2 — а2 и

w = Dw = E^w = 0 при z = 0, 1.(51.146)

Искомый предел устойчивости находится как собственное значение задачи (51.14)

员=min ат (儿 W，С，а)・(51.15)

Критерий R V R обеспечивает устойчивость относительно всех возмущений, составляющих угол ф с осью х. Критерий

RVmin亮三 R&(51.16)

достаточен для устойчивости относительно возмущений, составляющих любой угол с осью 尤.Значения R& и минимизирующие углы ф^ представлены в табл. 6.

Когда скорость скольжения цилиндров равна нулю (现=90°), а возмущения осесимметричны (W = 90е), из критерия устойчивости R < R вытекает интересное следствие. В этом случае, обращаясь сначала к линейным уравнениям (49.5) и (49.6), находим, что 夕=im (о), а тогда из (49.7) следует, что im (а) = 0. Это условие сводит (49.5) и (49.6) к задаче Бенара (см. § 62) с минимальным собственным значением R力 =1708, а = 3,12. С другой стороны, при % = W уравнения (51.14а, б) приводят к ^2F = =1708, а = 3,12. Следовательно, R = Rl и критерий R < R является одновременно необходимым 〃 достаточным для глобальной устойчивости течения Куэтта между вращающимися цилиндрами относительно осесимметричных возмущений 6 пределе (47.1) 〃 (47⑵ i)・

Предыдущий результат относится к вращающемуся плоскому течению Куэтта — предельному случаю спирального течения Куэтта, когда поступательная скорость цилиндров равна нулю (% =90°) и возмущения осесимметричны. Если осесимметричности

Таблица 6

Значения критических параметров линейной и энергетической теорий устойчивости для ВПТК (Хун, Джозеф и Мансон [1972])

с

*

入

贝皆

F&

aL

屮L

im (a)

吐

0,30

3,12

34,80°

0,6057

91,95

0,1936

2,925

20,915°

0,27693

111,19

0,1644

0,50

3,12

25.85

0,8290

85,68

0,2293

3,009

19,55

0,24961

92,97

0,2180

R = 1,。 义=10。

0,70

3,12

19,77

0,9250

83,74

0,2424

3,061

17,10

0,18917

86,62

0,2390

0,90

3,12

15,75

0,9649

83,01

0,2474

3,10

14,50

0,12161

84,08

0,2462

1,44

3,12

10,00

1,000

82,66

0,2500

3,12

10,00

0

82,66

0,2500

1,80

3,12

8,25

1,0696

82,73

0,2495

3,114

8,10

—0,05162

82,84

0,2497

2,20

3,12

6,75

1,0747

82,83

0,2489

3,101

6,63

—0,091144

83,24

0,2491

2,40

3,12

6,15

1,0635

82,86

0,2486

3,097

6,20

—0,10264

83,44

0,2485

0,20

3,12

51,01°

0,4993

92,84

0,1936

3,07

35,70°

0,152456

100,11

0,1778

0,30

3,12

43,02

0,7246

85,48

0,2325

3,093

34,75

0,12806

88,36

0,2239

0,40

3,12

35,90

0,8925

83,15

0,2466

3,108

32,60

0,070494

83,79

0,2448

0,50

3,12

30,00

1,000

82,66

0,2500

3,12

30,00

0

82,66

0,2500

X = зо°

0,60

3,12

25,40

1,0678

82,92

0,2481

3,11

27,15

—0,077317

83,46

0,2471

0,70

3,12

21,73

1,0998

83,43

0,2443

3,086

24,38

—0,151106

85,43

0,2412

0,80

3,12

18,90

1,1193

84,06

0,2400

3,042

21,77

—0,21773

88,13

0,2352

0,90

3,12

16,65

1,1280

84,65

0,2358

3,00

19,48

—0,27392

91,23

0,2299

1,00

3,12

14,81

1,1265

85,20

0,2320

2,935

17,51

—0,317375

94,55

0,2254

0,10

3,12

75,87°

0,2526

105,83

0,1489

3,106

62,13°

0,05772

108,76

0,1454

0,15

3,12

71,61

0,4097

92,48

0,1978

3,105

62,21

0,059868

93,91

0,1948

л = 1,0

X = 60°

0,20 0,28868

3,12

3,12

67,89 60,00

0,5978 1,000

86,06 82,66

0,2297 0,2500

3,110 3,12

61,50 60,00

0,040705 0

86,67

82,66

0,2278 0,2500

0,40

3,12

47,35

1,5192

86,14

0,2279

3,10

56,10

—0,105424

88,49

0,2216

0,50

3,12

35,54

1,7669

92,52

0,1912

2,98

50,86

—0,23668

108,33

0,1642

0,60

3,12

26,40

1,7823

98,95

0,1597

2,404

42,82

—0,35504

176,31

0,1137

не предполагается, то необходимо решать задачу (51.9). Тогда численные результаты Хуна, Джозефа и Мансона [1972] показывают, что критическое возмущение для (51.9) с % = 90° является либо возмущением типа рассмотренного Орром (W& = =л/2), либо возмущением тейлоровского типа (曲冒=0).

Значения W& (Q) таковы:

(a)Q*<Q<Q**, %(С) = 90。，82,66 с^(Q)< 177,2;

Q< Q*, Q>Q**, W&(C) = 0，^=177,2,

где С* = 0,028 и Q** =0,472.

Упражнение 51.1. Показать, что максимальное значение F(M，W，C)，рассматриваемое как функция 0, равняется

%COS2(% — W) и

g V max 貿(％ w，С)=斤(sin (X 一 W))， где зависимость 兔(т), т = sin (% — W)，задана в виде табл. 5.

Упражнение 51.2. Найти параболическое уравнение для функции q (У，z, f)= 〃(旷，z, f) + {2。sin W — cos (X — W)} z, где и — любое решение уравнения (51.2а), удовлетворяющее граничным условиям (см. упражнение 40.2).

Показать, что q (yft z, 0 лежит между максимальным и минимальным значениями из

卜(У，0, 0> 0(/ L 9, 0(“ z, 0)].

Численные и экспериментальные результаты

В предыдущих параграфах этой главы мы исследовали вращающееся плоское течение Куэтта (ВПТК). Это течение интерпретировалось как предельный случай “ -> 1 спирального течения Куэтта между вращающимися и скользящими цилиндрами. Основные качественные свойства спирального течения Куэтта почти не зависят от относительной величины зазора. В этом параграфе приводится краткий обзор некоторых результатов, которые справедливы, когда “ произвольно.

Сначала мы займемся энергетическим анализом устойчивости относительно трехмерных возмущений. Некоторые из этих результатов приведены на рис. 34, Энергетический предел устойчивости R (% X) почти не зависит от Хи л- Численные результаты, полученные Джозефом и Мансоном [1970],^но не приведенные здесь, показывают, что существует средний радиус, на котором 曲甘=0彦，как предполагалось в (44.7). Энергетическая теория устойчивости для не зависящих от %’ возмущений и произвольных значений т] еще не разработана.

Рис. 34. Зависимость энергетического предела устойчивости для течения Куэтта между вращающимися и скользящими цилиндрами от отцршения радиусов т] и угла %. Плоскому течению Куэтта во вращающейся системе координат соответствует т| = 1, течению Куэтта в трубе кольцевого сечения с равными скоростями вращения стенок %= 0°, а течению Тейлора % =90°. Поскольку азимутальное волновое число п должно быть целым, изображенные на рисунке плавные поверхности являются аппроксимацией поверхностей с разрывами первой производной. Этот сглаженный вариант мало отличается от истинной поверхности (Джозеф и Мансон [1970]).

Линейные пределы устойчивости для “ =0,5 и п =0,8 найдены в работе Хуна, Джозефа и Мансона [1972]. Важными экспериментально наблюдаемыми характеристиками являются предел неустойчивости Rl, волновая скорость im (о) и азимутальная периодичность л спирального возмущения. Число вихрей, регистрируемых в каждом определенном эксперименте, должно соответствовать числу нулей (2п) множителя cos п0, входящего в собственную функцию, принадлежащую

Теперь рассмотрим экспериментальные результаты для спирального течения между двумя близко расположенными цилин-

драми. Мы сравниваем эти эксперименты с теорией для вращающегося плоского течения Куэтта. В этом случае линейная теория предсказывает неустойчивость при F > 0 и устойчивость при F w 0. Можно полагать, что равенство соответствует ситуации, в которой либо момент количества движения основного спирального течения постоянен в плоскостях, параллельных плоскости возмущения, либо рассматривается плоское течение Куэтта в не- вращающейся системе координат Q = F 不 0. Условие F < 0 удовлетворяется при вращающихся цилиндрах, когда внешний цилиндр вращается много быстрее внутреннего.

Линейная теория устойчивости плоского течения Куэтта без вращения никогда не указывает на что-либо, кроме абсолютной устойчивости этого течения (см. Хопф [1914 ], Моравец [1952 ], Вазов [1953 ], Гроне [1954 ], Дикий [1960 ], Галлагер и Мерсер [1962], Риис [1962], Дирдорф [1963], Дэви [1973]).

Эксперименты Шульца-Грунова [1958] по близкой задаче вращающихся цилиндров с покоящимся внутренним цилиндром, по-видимому, также показывают, что при ограниченности амплитуды возмущений течение Куэтта устойчиво даже при очень больших числах Рейнольдса. С другой стороны, для того же течения в естественных условиях Куэтт [1890 ], Мэллок [1888 ] и Тейлор [1923 ] (а также другие авторы) обнаружили естественный переход к турбулентности. По словам Рейхардта [1956], плоское течение Куэтта, полученное в его экспериментах, было устойчиво при Uc (Ь — a)/v < 1500.

При F < 0 наблюдаемая неустойчивость не может быть объяснена линейной теорией неустойчивости, поскольку линейная теория утверждает, что ВПТК абсолютно устойчиво. Энергетическая теория определяет достаточные условия для устойчивости и вид начального возмущения, энергия которого возрастает при наименьшем R. Для трехмерных возмущений ВПТК R =2 М1708, что соответствует 1/20 от 1500 —значения, полученного в эксперименте Рейхардта. Для не зависящих от х' возмущений R равно 177,2, т. е. почти 1/lQ вышеупомянутого значения 1500. Как линейная, так и энергетическая теории хорошо согласуются с экспериментом независимо от знака F. Неустойчивость всегда обнаруживается при R, большем значения, определяемого как критическое согласно линейной теории, и ВПТК всегда устойчиво при R, меньшем критического значения энергетической теории. К сожалению, столь хорошее согласование не обязательно дает какие- либо сведения относительно наблюдаемой неустойчивости; при F « 0 теоретический результат (устойчивость при R < 2 |/ 1708) или даже результат Орра (устойчивость при R < 177,2) мало что могут сказать об эксперименте Рейхардта; и линейная теория, которая, вероятно, предсказывает неустойчивость только при

R — оо, хотя и не расходится с экспериментом, но и ничего не дает для его объяснения.

Ситуация существенно меняется при IF > 0. Теперь имеется динамический источник для превращения энергии вращения в энергию возмущений. Граница неустойчивости понижается до значений, близких к энергетическим, и при оптимальном выборе параметров вращения имеет место совершенное или почти совершенное согласование энергетической и линейной теорий.

Сравнение теоретических результатов с экспериментами Людвига [1964] приводится ниже. Установка Людвига подобна длинному подшипнику скольжения, который вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью и связан с валом в подшипнике таким образом, что вал можно заставить вращаться и скользить относительно вращающегося подшипника. Поскольку зазор мал (т] = 0,8), течение возникает почти мгновенно и очень близко к линейному сдвигу.

В экспериментах Людвига параметр Q2 (b —a)2/v = 150 поддерживался постоянным, а все результаты выражались через параметры 〃,& и с(р, которые связаны с параметрами этой главы (см. стр. 195) следующим образом:

2=(1 — ")/(1 +П)，R=150/Qz，

С = (1 + 族ф)/р(2+1)啰+(1 —盯 и

现=arcsin {1 -侖 у (% + 1 у逐 + (1 一 侖2}・

Поскольку данные Людвига имеют значительный разброс, для вычисления теоретического линейного предела, показанного на рис. 35, использовано «среднее» значение Q. Кривая 1 на рис. 35, а и кривая 3 на рис. 35, 6 получены численным интегрированием при Т)= 0,8 (Хун с соавторами [1972, табл. 2]). В табл. 7 мы привели значения параметров в экспериментах Людвига.

Хорошее согласование между линейной теорией и экспериментом Людвига означает, что наблюдаемая здесь неустойчивость может начинаться с бесконечно малого возмущения. В эксперименте, подобном эксперименту Людвига, имеются четыре важные наблюдаемые характеристики:

предел неустойчивости,

спиральный угол,

волновая скорость возмущения,

периодичность спиральных вихрей.

На рис. 35, а видно хорошее согласование между пределом неустойчивости и спиральным углом 现.Волновая скорость im (а) и значения и (данные в табл. 2 статьи Хуна с соавторами [1972 ]),

Таблица 7

Параметры спирального течения в экспериментахЛюдвига

Рис. 35. Сравнение теории (Хун, Джозеф и Мансон [1972]) с экспериментом (Людвиг [1964]) при т] = 0,8, (Ь—а)2 Q8/v = 150. Черные кружки соответствуют неустойчивости, светлые — устойчивости, а: / ——линейная теория; 2 — эксперимент (Людвиг); 3 — энергетическая теория II; 4 — энергетическая теория I. б: по оси ординат отложен спиральный угол arctg [(1 + т])(х/(2(1—т]) л)]; / ——спиральный угол по энергетической теории I; 2 ——экспериментальный спиральный угол (Людвиг); 3 ——спиральный угол по линейной теории; 4 ——спиральный угол по энергетической теории II.

которые определяют периодичность вихрей, в эксперименте Людвига не указаны.

Кривая 4 на рис. 35, а и кривая / на рис. 35, 6 определяют значения параметров, связанных с возмущением, энергия которого растет при наименьшем R. Кривая 3 на рис. 35, а и кривая 4 на рис. 35, б построены по расчетам § 51 для вращающегося плоского течения Куэтта. Спиральный угол W в этом случае имеет предельное (т| -> 1) значение.

При объяснении двух энергетических исследований следует обратить внимание на точки Л, В и С на рис. 35, а. Точка Л соответствует критическому эне р гети чес кому возмущению, представляющему собой спиральный вихрь с осью вдоль энергетической спирали I.

Точка В соответствует оптимизирующему решению задачи (51.16). Это тоже спиральный вихрь, ось которого лежит вдоль энергетической спирали II. В точке С энергия возмущения Л в начальный момент растет, а взвешенная энергия возмущения В убывает. Та же самая взвешенная энергия, но возмущения Л, а не В убывает еще быстрее, чем В. Следовательно, разность между скоростью изменения энергии возмущения Л, которая положительна, и скоростью изменения взвешенной энергии, которая отрицательна, является строго положительной.

Для проверки теоретических предсказаний энергетической теории необходимо определить, являются ли начальные возмущения, энергия которых будет расти при значениях R > R宕、достаточно характерными физически реализуемыми начальными условиями. Из экспериментов может выясниться, что при реализации даже таких наиболее опасных энергетических возмущений последние могут в конечном счете затухать, поскольку течение может оказаться глобально устойчивым.

Упражнение 52.1. Определить систему ортогональных спиральных координат 亿 I, Л), в которой поверхность Е = const описывается радиальным вектором ег (/), вращающимся и поступательно перемещающимся с постоянной скоростью. Записать НКЗ для возмущений спирального течения в этих координатах. Предполагая, что вдоль одного спирального направления возмущение не меняется, вывести два энергетических уравнения для таких спиоальных возмущений.

Глава VII

ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯМЕЖДУ КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИВРАЩАЮЩИМИСЯ СФЕРАМИ

В этой главе мы рассмотрим стационарное ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между двумя концентрическими сферами, которые вращаются вокруг общей

Рис. 36. Параметры, характеризующие течение между концентрическими сферами; Л = а/瓦卩=coa/cdi.

оси с постоянными, но различными угловыми скоростями (рис. 36). Некоторые результаты приведены для течения между эксцентрическими сферами (внутренняя сфера смещена вдоль оси вращения).

Течение между сферами и его устойчивость

Основное течение

Основное течение в сферическом случае зависит от двух пространственных переменных (г и 0) и в безразмерном представлении существенно зависит от числа Рейнольдса. Эта зависимость от числа Рейнольдса делает исследование течения в сферическом слое отличным от задач, подобных спиральному течению между цилиндрами, в которых нет зависимости от числа Рейнольдса, и, по-видимому, более типичным.

Поскольку простого аналитического решения задачи о течении между сферами нет, получены различные приближенные решения, справедливые в разных областях значений параметров. Они включают: (1) аналитические решения, полученные методом возмущений для малых чисел Рейнольдса (Хаберман [1962], Овсеенко [1963], Мансон и Джозеф [1971а ]); (2) решения галеркинского типа для средних чисел Рейнольдса (Мансон и Джозеф [1971а]); (3) численные решения нелинейных уравнений в частных производных, полученные конечно-разностными методами (Пирсон [1967 ], Грин- спэн [1975 ]); (4) решения, полученные методом сингулярных возмущений (пограничный слой, невязкое ядро), для больших чисел Рейнольдса (Праудмен [1956]). Мы обратим основное внимание на два первых метода, так как они позволяют обнаружить большинство явлений, присущих течению в сферическом слое, и по форме наиболее удобны для анализа устойчивости.

Основное течение получается из уравнений Навье―Стокса, которые можно записать через функцию тока в меридиональной плоскости 屮 и функцию угловой скорости Q следующим образом (Розенхед [1963, с. 131 ]):

IQ J cos 0 一 Q。 sin 8]-不击片[打①纳)8 -必@2%] +

+ 离鳥 IV 8S 8 - 恥 sin 出=$ "屮，(53.1)

где

力=* + %备-*海8备'

()，=д/дг,(厶=d/08.

Безразмерные скорости связаны с 屮 н Q соотношениями

力―戸sme，/• Sine， °屮一 r Sine •(Ь3・2а)

Мы рассматриваем объем жидкости

"=匕仇 <Р： ”《г«1, 0 < 0 < л, 0 < ср < 2л|,

где Т)= alb — отношение радиусов сфер (а и & — радиусы внутренней и внешней сфер соответственно). Число Рейнольдса R определяется выражением R = дЬТ”, где v — кинематическая вязкость, а 0)! и(о2 —угловые скорости внутренней и внешней сфер.

Граничные условия, которыми завершается постановка задачи, имеют вид 屮=д^/дп = 0 на границах, причем и означает направление единичного вектора внешней нормали, и Q задается

на г = т] и г = 1. Определяющими безразмерными параметрами являются отношение радиусов т], отношение угловых скоростей 卩=^l^i и число Рейнольдса R.

Движение жидкости состоит из «первичного движения» вокруг оси вращения, описываемого компонентой (/ф (выраженной через Q (г, 0)), и «вторичного движения» в меридиональной плоскости, описываемого Ur и (/0 (выраженными через 屮(г, 0)). Хотя при малых числах Рейнольдса вторичное течение мало по сравнению с движением вокруг оси вращения, при больших числах Рейнольдса оно может стать сравнимым с этим первичным движением.

Для малых значений R решение уравнений (53.1) можно получить в виде сходящегося ряда по степеням R (Мансон и Джозеф [1971а]):

^(г, 0; R) = RS(r, 9)十审屮3&, e)+ R5*&, е)+ …，

(53.26)

Q(г,0; R) = Q°亿 9) + R2%亿 0) + R&Q4(г, 0) +，...

Последовательные члены рядов 1|^ (г, 0) и Qz (г, 0) можно получить прямым, но трудоемким методом. Он состоит в применении полиномов Лежандра для выделения зависимости от г и 0 и решения получающихся в результате этого обыкновенных дифференциальных уравнений. Хаберман [1962] вычислил первый член ряда («стоксово течение»; см. упражнение 53.2), Овсеенко [1963] вычислил члены ряда вплоть до R* а Мансон и Джозеф [1971а ] рассчитали члены до R? включительно. Частичная сумма с семью членами дает точное решение для R < 80, если т] = 0,5 и р, = оо.

Чтобы определить основное течение при числах Рейнольдса, превышающих значения, для которых целесообразно находить решения методом возмущений, можно воспользоваться методом Галеркина. Для этого (Мансон и Джозеф [1971а]) функция тока и функция угловой скорости (屮 и Q) аппроксимируются урезанным рядом, состоящим из полиномов Лежандра с неизвестными амплитудами, зависящими от радиальной координаты г. Эти неизвестные амплитуды описываются системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, которые получаются из уравнений (53.1) и интегрируются численными методами.

На рис. 37 представлены линии равных угловых скоростей и линии тока вторичного течения при т] = 0,5,卩=0 и R = 100. Для малых чисел Рейнольдса угловая скорость первичного вращательного движения приблизительно постоянна на каждой сферической поверхности, тогда как вторичное течение состоит из вихря с вращением против часовой стрелки, вызываемым центробежным ускорением, которое вблизи экватора отталкивает жидкость от внутренней сферы. Последовательность фотографий,

отчетливо показывающих это движение, представлена в работе Мансона и Менгатурка [1975].

При малых числах Рейнольдса течение, возникающее в случае, когда внешняя сфера вращается, а внутренняя покоится, анало-

Рис. 37. Линии равных угловых скоростей (слева) и линии тока вторичного течения (справа) при 刀=0,5,卩=0, R = 100 (Мансон и Джозеф [1971а]).

Рис. 38. Линии равных угловых скоростей (слева) и линии тока вторичного течения (справа) при 刀=0,5, р, = 0, R= 400 (Мансон и Джозеф [1971а]).

гично описанному выше, но направление вторичного течения заменяется на обратное. Если сферы вращаются в противоположных направлениях, то вторичное течение может состоять из двух вихрей с противоположным направлением вращения.

Типичное решение при средних числах Рейнольдса показано на рис. 38. При сравнении рис. 37 и 38 видно, что в результате изменения числа Рейнольдса произошло следующее: (1) измени-

Рис. 39. Основное течение для эксцентрических вращающихся сфер при т) = 0,44, “ =0, 6 = 0,3, R = 20 (Мансон и Менгатурк [1975]).

лось отношение скоростей первичного и вторичного течений, (2) изменился вид линий постоянной угловой скорости и (3) изменилась форма линий тока вторичного течения.

При больших числах Рейнольдса существенными становятся различные явления, связанные с образованием пограничных и сдвиговых слоев,и другие специфические эффекты (Пирсон [19671, Праудмен [1956 ]).

Течение в эксцентрическом сферическом слое, полученном смещением внутренней сферы вдоль оси вращения, можно построить в виде степенного ряда по двум малым параметрам: числу Рейнольдса R и эксцентриситету 6 (Мансон [1974 ]). Здесь 6 = =е/Ь, где е—расстояние между центрами сфер. Результаты показывают, что в этом случае вихри вторичного течения расщепляются около экватора внутренней сферы и что в случае

Рис. 40. Турбулентное течение в широкой части (внизу) эксцентрического сферического слоя и ламинарное течение в узкой (вверху) его части; i = 0,44,卩=0, Т)= 0,3, R = 2200 (Мансон и Менгатурк [1975]).

неконцентрических сфер требуется прикладывать больший, чем в случае концентрических сфер, вращающий момент. На рис. 39 показано течение при Г)= 0,44,卩=G, 5 = 0,3 н R = 20. Интересно заметить, что с увеличением R течение постепенно становится Турбулентным, причем турбулентное течение ограничивается областью, где локальное число Рейнольдса, пропорциональное локальному размеру слоя, превышает некоторое критическое значение ). На рис. 40 представлен случай, в котором течение в нижней части является турбулентным, тогда как в верхней оно остается ламинарным.

Исследование устойчивости

Приступим теперь к исследованию устойчивости основного ламинарного течения между вращающимися сферами. Эта задача отличается от задачи для спирального течения, рассмотренного в гл. V и VI, тем, что течение полностью замкнуто и зависит от двух пространственных переменных и числа Рейнольдса R. По этим причинам исследование устойчивости оказывается сложнее, чем в случае более простых спиральных течений.

Мы рассматриваем глобальную устойчивость течения между вращающимися сферами. Линейная теория устойчивости используется для нахождения критического значения R = R“ такого, что при R > Rl основное ламинарное течение становится неустойчивым. Энергетическая теория устойчивости используется для нахождения критического значения R = R君,такого, что при R < R& основное ламинарное течение заведомо устойчиво. Критическое значение R^ определяется как первый нуль главного собственного значения и (R J = 0 спектральной задачи линейной теории устойчивости:

-au + u-VU + U• Vu + Vp - (1//?) V2u = V-u = 0 в S (53.3) и u|a^ = 0. Собственные значения и (R) получаются при подстановке в уравнения Навье—Стокса, линеаризованные относительно основного ламинарного течения между вращающимися сферами

U = U 亿 0; % к，R), возмущений, пропорциональных е^. Собственные значения и (R) зависят от числа Рейнольдса, поскольку в уравнения (53.3) R входит как явно, так и неявно (через U))

Критическое значение энергетической теории устойчивости R& определяется функционалом

R* = max(-(u.VU.u)/( |Vu |2)),(53.4а)

где Н —совокупность гладких соленоидальных векторов и, которые обращаются в нуль на сферах, VU — градиент скорости основного течения и ( ) — интеграл осреднения по объему

х) Мансон и Менгатурк [1975] предполагали, что и (R) на пределе устойчивости является вещественным числом, т. е. a (Ra) = 0. Это предположение подкрепляется их экспериментальными наблюдениями, которые указывают на то, что ответвляющееся течение оказывается стационарным, когда R лишь немного превышает значение Rl・ Они отмечают, что это предположение может оправдываться не всегда.

сферического слоя; 〈с〉= с для любой постоянной с. Уравнение Эйлера для (53.4а) имеет вид

D[U(R)]・u - ZV2u - Vp, (53.46) где и—соленоидальный вектор, обращающийся в нуль на сферах, а V1 (/?) является критической точкой функционала (53.4а) и собственным значением (53.46).

Основное течение U (х; R) устойчиво в том случае, когда минимальное собственное значение уравнения (53.46) V1 превышает число Рейнольдса рассматриваемого основного течения; таким образом, условие V1 = R^ определяет энергетический

Рис. 41. Критические значения R для основных течений, зависящих от числа Рейнольдса.

предел устойчивости (рис. 41). С другой стороны, основное течение неустойчиво, если собственное значение о 依)задачи (53.3) меньше нуля.

Для решения задач на устойчивость энергетической и линейной теорий Мансон и Джозеф [19716] и Мансон и Менгатурк [1975] применяли метод Галеркина. В этом методе используется точное решение для основного течения, обсуждавшееся в предшествующем разделе, и разложение возмущений на тороидальную (u2 = Т) и полоидальную (如=S) составляющие, описанное в приложении Б (см. § Б.6). Тороидальное и полоидальное векторные поля соответствуют тороидальному и полоидальному потенциалам

Т = rot (ri|)), S = rot2 (rx)；

подробности такого представления можно найти в книге Чандрасекара [1961 ]. Производящие скаляры 厂屮 и г% можно разложить по сферическим гармоникам Р『(0, ф). Это разложение приводит к следующему выражению для возмущения и:

u = ；s；吋7 + 77y7,

7^-S”y『一 ；TTYT^ (53.5)

где штрих означает дифференцирование по 厂,а точка —дифференцирование по 0. Искомые тороидальные и полоидальные коэффициенты разложения 7『(厂)и S『(г) должны быть такими, чтобы возмущение, представленное разложением (53.5), удовлетворяло соответствующей задаче на собственные значения ((53.3) для линейной теории и (53.4) для энергетической теории).

Якушин [1969, 1970] провел приближенный линейный анализ устойчивости для тонкого слоя (т] а 1), когда сферы вращаются в одном направлении с различными угловыми скоростями. Он использовал для основного течения приближение низшего порядка (2 = Ripi，Q = Qo) и метод Бубнова—Галеркина для решения уравнений линейной теории устойчивости. Его результаты показывают, что в тонком слое жидкости (узком зазоре) характеристики устойчивости течения в сферическом слое и течения между вращающимися цилиндрами подобны (и качественно, и количественно). Эта аналогия неудивительна, поскольку часть сферического слоя вблизи экватора очень похожа на слой между вращающимися цилиндрами (см. упражнение 53.3).

Если зазор не мал, то течение в сферическом слое не подобно локально течению в цилиндрическом слое, и при сравнительно больших числах Рейнольдса, необходимых при анализе устойчивости, аппроксимация низшего порядка для основного течения непригодна. Братухин рассмотрел [1961 ] линейную теорию для толстого слоя (т] = 0,5) в случае неподвижной внешней сферы (ц = 0). Чтобы найти собственное значение о = о (R), он использовал аппроксимацию низшего порядка для представления основного течения и возмущенного решения рядами по степеням R. Этот приближенный метод дает RL = со】挟/v а 400. Мансон и Менгатурк [1975] показали, что если при расчете на устойчивость использовать более точное представление основного течения, то Rl окажется значительно больше 400.

Поскольку основное течение не зависит от <р, можно рассматривать возмущения с различными значениями m (волнового числа в азимутальном направлении) и искать минимум по целым значениям т.

Хотя физически интерпретация и исходные положения линейной и энергетической теорий совершенно различны, структуры задач на собственные значения в каждой из теорий чрезвычайно сходны. Это сходство особенно очевидно для собственных значений о (R) рассматривавшихся Мансоном и Менгатурком [1975]. При о (R)= 0 методы решения, применяемые для нахождения критических значений R& и R。почти совпадают. Тороидально- полоидальное представление (53.5) подставляется в уравнения (53.3) и (53.4) и коэффициенты при независимых сферических гар-

мониках приравниваются нулю 1). Это приводит к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами для тороидальных и полоидаль- ных коэффициентов разложения Т^ ⑺ и s? (г). Обыкновенные дифференциальные уравнения затем решаются численными методами.

Некоторые типичные результаты применения этого метода исследования задачи об устойчивости течения в сферическом слое при " = 0,5 приведены на рис. 42 и в широком интервале значений п — на рис. 43. Собственная функция, соответствующая собственному значению 3о (“厶)=0 линейной теории,

\является осесимметричной (/и =

= 0), но критическая собствен- 5。° ная функция энергетической

32 b2Рис. 42. Критические значения параметров по энергетической и линейной теориям для течения в сферическом слое при п = 0,5. Эти значения следует сравнить с экспериментальными данными, приведенными на рис. 43 (Мансон и Менгатурк [1975]). / —линейная теория, точное основное течение (Мансон и Менгатурк [1975]); 2 ——линейная теория, стоксово течение (Мансон и Менгатурк [1975]); 3 — энергетическая теория (Мансон и Джозеф [19716]).32 b2Рис. 42. Критические значения параметров по энергетической и линейной теориям для течения в сферическом слое при п = 0,5. Эти значения следует сравнить с экспериментальными данными, приведенными на рис. 43 (Мансон и Менгатурк [1975]). / —линейная теория, точное основное течение (Мансон и Менгатурк [1975]); 2 ——линейная теория, стоксово течение (Мансон и Менгатурк [1975]); 3 — энергетическая теория (Мансон и Джозеф [19716]).теории неосесимметрична (/и = =1). Мансон и Менгатурк [1975] отмечают, что в случае тонкого слоя в урезанном разложении, описывающем возмущенное течение, нужно учитывать много членов. Например, при Т)= 0,5 для разумной сходимости ряда необходимо использовать только семь функций (Мансон и Джозеф [19716]), тогда как при т] r 1 необходимо брать гораздо больше функций. При решении уравнения линей

32 b2

Рис. 42. Критические значения параметров по энергетической и линейной теориям для течения в сферическом слое при п = 0,5. Эти значения следует сравнить с экспериментальными данными, приведенными на рис. 43 (Мансон и Менгатурк [1975]). / —линейная теория, точное основное течение (Мансон и Менгатурк [1975]); 2 ——линейная теория, стоксово течение (Мансон и Менгатурк [1975]); 3 — энергетическая теория (Мансон и Джозеф [19716]).

32 b2

Рис. 42. Критические значения параметров по энергетической и линейной теориям для течения в сферическом слое при п = 0,5. Эти значения следует сравнить с экспериментальными данными, приведенными на рис. 43 (Мансон и Менгатурк [1975]). / —линейная теория, точное основное течение (Мансон и Менгатурк [1975]); 2 ——линейная теория, стоксово течение (Мансон и Менгатурк [1975]); 3 — энергетическая теория (Мансон и Джозеф [19716]).

ной теории методом Бубнова——Галеркина при 刀 =0,91 и Т)= =0,935 Якушин [1970] использовал тридцать функций. Если

1) Разделение независимых сферических гармоник осложняется тем, что основное течение также зависит от углов и нужно преобразовывать различные произведения сферических гармоник. Здесь лучше всего использовать свойства ортогональности тороидальных и полоидальных векторов. Алгебраические выкладки просты, но достаточно трудоемки (см. Мансон [1970], Мансон и Джозеф [19716], Мансон и Менгатурк [1975]).

10000

Аф

А

厶

0

△ △

▲

Н 1000

о

□

□

iooL

0,3

0,4

0,6

0,7

0,8

0,9

to

7

Рис. 43. Расчетные и экспериментальные значения критических^ чисел Рейнольдса для течения в сферическом слое при 卩=0 (Мансон^и^Менгатурк [1975]). Результаты вычислений показаны светлыми значками: квадратики соответствуют энергетической теории (Мансон и Джозеф [1971 ]); треугольники с точкой —линейной теории, точному основному течению (Мансон и Менгатурк [1975]); кружки с точкой — линейной теории, стоксову течению (Мансон и Менгатурк [1975]); треугольники ——линейной теории, стоксову течению (Якушин [19691). Экспериментальные результаты показаны темными значками: треугольники соответствуют различным переходам в течении (Мансон и Менгатурк [1975]); перечеркнутые квадратики — данным Цирепа и Завацки [1970]; квадратики — данным Хлебутина [1968]; криволинейные треугольники — данным Мансона и Менга- турка [1975].

слой тонок, то ответвляющееся решение вблизи экватора имеет вид вихрей Тейлора, и структуру этого течения, по-видимому, более естественно исследовать в цилиндрической системе координат (см. упражнение 53.3). В следующем разделе полученные численные результаты будут сравниваться с экспериментальными данными.

Экспериментальные и численные результаты

Экспериментальные исследования течения в сферическом слое проводились различными учеными, причем полученные результаты существенно зависели от величины отношения радиусов т]. Циреп и Завацки [1970], Хлебутин [1968], Мансон и Менгатурк [1975] и Моралес-Гомес [1974 ] обнаружили, что в случае тонкого слоя характеристики устойчивости подобны соответствующим характеристикам течения Тейлора с тем же отношением радиусов. С другой стороны, Сорокин, Хлебутин и Шайдуров [1966] и Хлебутин [1968] не наблюдали каких-либо переходов при течении в толстом сферическом слое (т] < 0,7). Тщательно проведенные эксперименты Мансона и Менгатурка [1975] выявили различного рода неустойчивости в толстом слое, но в этом случае ответвляющиеся течения как будто имеют структуру, отличающуюся от наблюдаемой в тонком слое.

Установка, использованная Мансоном и Менгатурком [1975] для экспериментального исследования течения в сферическом слое, схематически изображена на рис. 44. Она включает: (а) прозрачную внешнюю сферическую оболочку диаметра 12,95 см; (б) внутреннюю сферу, приводимую во вращение электромотором с переменной скоростью вращения; (в) торсионный проволочный подвес, на котором крепится плексигласовый бокс, содержащий внешнюю сферу; (г) термопару для измерения температуры жидкости в слое; (д) приспособления для измерения поворотов внешней сферы (для определения прикладываемого вращающего момента). В качестве жидкости использовались силиконовые масла различной вязкости. Визуализация течения достигалась взвешенными в жидкости алюминиевыми чешуйками и путем впрыскивания в нее красителя.

Визуальное исследование течения (Мансон и Менгатурк [1975 ], Менгатурк [1974 ]) подтверждает, что основное течение является таким, какое описывается теоретическими результатами предыдущего раздела.

Если известно поле скорости, то, проинтегрировав касательные напряжения по сфере, можно получить теоретическое значение вращающего момента М, необходимое для вращения сферы. Безразмерный вращающий момент

沦(R, 9)= 3Al/(8jxvp(o163)

зависит от числа Рейнольдса; для малых и средних значений этого числа он был вычислен Мансоном и Джозефом [1971а ]. Степень согласования результатов теории и эксперимента при 貝 =0,44 можно видеть на рис. 45. При малых R, когда вторичным течением можно пренебречь, /й оказывается постоянным. При боль-

Рис. 44. Схема экспериментальной установки для изучения течения в сферическом слое (Мансон и Менгатурк [1975]). / ——торсионный подвес внешней сферы; 2 —— вывод термопары; 3 ——защитный кожух; 4 ——опорная рама внешней сферы; 5 — опора двигателя; 6 ——неподвижная внешняя сфера; 7 — вращающаяся внутренняя сфера; 8 ——стрелка указателя угла поворота; 9 ——плексигласовый бокс; 10 ——вязкий демпфер.

ших R течение имеет структуру пограничного слоя, н /й 〜 R" с л = 0,406 для " = 0,44. Такая зависимость /и от 7? не является неожиданной: она подсказывается исследованиями пограничного слоя аналогичных течений (Хоуарт [1951 ], Сорокин, Хлебутин и Шайдуров [1966]).

Различные критические значения параметров течения в сферическом слое можно определить по визуальным наблюдениям течения и по моментным характеристикам. В случае тонкого слоя хороши оба этих метода, но в случае толстого слоя эффекты перестроек течения могут легко маскироваться погрешностями эксперимента или другими особенностями, свойственными течению. Типичные экспериментальные результаты по устойчивости будут описаны ниже.

Первая неустойчивость в тонком сферическом слое проявляется в виде вихрей Тейлора в области вблизи экватора (см. рис. 47

Рис. 45. Зависимость вращающего момента от числа^Рейнольдса. Кривая отклика для течения между концентрическими вращающимися сферами при т) = 0,44 н 卩 = 0 (Мансон и Менгатурк [1975]). Сплошная кривая соответствует теоретическому значению вращающего момента для основного ламинарного течения, точки — экспериментальным данным.

и 48). Неустойчивость развивается при числах Рейнольдса, очень близких к критическому значению &, вычисленному Якушиным [1969]. Физический размер вихрей зависит от толщины слоя (как и в течении с вихрями Тейлора), и часть слоя, занимаемая ими (т. е. насколько они приближаются к полюсу), также зависит от отношения rj. Заметим, что неустойчивость типа вихрей Тейлора наблюдается только тогда, когда толщина слоя достаточно мала (П > 0,7 или около этого). Согласно Мансону и Менгатурку [1975], ответвляющееся течение, которое сменяет основное течение, по-видимому, стационарно при значении R, несколько превышающем первое критическое значение, обнаруженное в эксперименте.

При числах Рейнольдса, превышающих первое критическое значение, в случае тонкого слоя наблюдаются различные другие моды течений. Циреп и Завацки [1970] составили каталог этих конфигураций течения для двух различных тонких слоев (“ = =0,95 ит] = 0,848) и представили фотографии течений. В какой-то мере аналогичная этому ситуация для течения между вращающимися цилиндрами хорошо документирована Коулзом [1965].

Мансон и Менгатурк [1975] отмечают, что различные переходы в течении легко наблюдаются не только при помощи методов визуализации, но также и вследствие того факта, что в тонком слое при этом довольно заметно меняются моментные характеристики. В случае толстого слоя эти переходы совсем другие и их трудно наблюдать.

Было замечено, что течение в толстом слое существенно отличается от течения в тонком слое. В самом деле, некоторые из исследователей, изучавших течение в толстом слое эксперимен-

тально, не смогли обнаружить никаких переходов ни по измерениям вращающего момента, ни методами визуализации. Кажущееся отсутствие переходов является следствием того, что с увеличением толщины слоя изменения течения, происходящие в результате переходов, существенно уменьшаются. Тщательные эксперименты (Мансон и Менгатурк [1975 ]) наводят на мысль, что и при течении в толстых слоях с ростом числа Рейнольдса переходы происходят, но их эффекты не столь велики.

Рис. 46. Увеличенная часть кривой отклика, показанной на рис. 45, вблизи второй точки перехода;刀=0,44,卩=0.

В серии экспериментов на установке, изображенной на рис. 44, при т| = 0,44 было обнаружено, что в интервале между числами Рейнольдса, соответствующими ламинарному течению, и теми, для которых получается полная турбулентность, происходят четыре излома (или перехода в течении). Было установлено, что течение в толстом слое оказывается неустойчивым докритически и что наблюдаемая неустойчивость возникает при числе Рейнольдса, близком к критическому значению энергетической теории R&.

Экспериментальные результаты для вращающего момента (/и = m (R)) при " = 0,44 в том виде, как они приведены на рис. 45, носят все признаки «бескризисного» (без переходов) случая, поскольку кривая кажется гладкой. Однако при ближайшем рассмотрении результатов для вращающего момента, все же обнаруживается несколько переходов. На рис. 46 представлена сильно увеличенная часть кривой вращающего момента вблизи значения R = 540 — второй точки перехода в этом течении. Хотя изменение кривой момента не столь велико, как в случае течения в тонком слое, тщательные измерения показывают, что данные воспроизводятся и не имеется гистерезиса. Первый и третий изломы, происходящие для слоя с этим отношением радиусов

(П = 0,44), при R = 290 я R = 900, приводят к аналогичным небольшим изменениям моментных характеристик. Четвертый, более заметный излом происходит при R = 2100, при котором течение внезапно становится турбулентным.

Согласно энергетической теории (Мансон и Джозеф [19716]), течение в сферическом слое при п = 0,44 и 卩=0 устойчиво относительно любых возмущений (больших или малых), если R < R^ а 310. (Это значение получено экстраполяцией известных результатов для “ = 0,5). Заслуживает внимания близость этого критического значения R彦 ~310 энергетической теории и первой точки излома R = 290. Так как линейная теория указывает, что & ^ 1300 (если предполагается принцип смены устойчивости), мы можем на основании опытных данных сделать вывод, что переход из основного ламинарного течения является докритическим и, таким образом, вызывается возмущениями конечной амплитуды в условиях, когда бесконечно малые возмущения затухают г).

Чтобы выявить природу различных переходов в течении, были предприняты тщательные наблюдения поля течения при помощи взвешенных в жидкости алюминиевых чешуек. Вблизи первой точки излома (R = 290) кривой вращающего момента никаких неустойчивостей не наблюдалось. Возможно, что течение, сопровождающее эту неустойчивость, осуществляется в форме, похожей на вторичное движение основного течения, и, таким образом, не отличимо от основного течения, хотя и может приводить к излому на моментной кривой.

При числах Рейнольдса, соответствующих второй точке излома (R = 540), неустойчивость проявляется в форме малых пятен или порывов турбулентности. Эти турбулентные пятна возникают в центре вторичного вихря основного течения и перемещаются вокруг оси вращения со скоростью, соответствующей угловой скорости основного течения в этом месте. При числах Рейнольдса, соответствующих третьей точке излома (R = 900), вблизи экватора наблюдается небольшая волнистость или нестационарность. Эта нестационарность при возрастании числа Рейнольдса увеличивается и распространяется по направлению к полюсам. Наконец, при числах Рейнольдса, соответствующих четвертой точке излома (R = 2100), течение полностью становится турбулентным 2).

В первых трех точках излома изменения безразмерного вращательного момента происходят с уменьшением гп, тогда как четвертый излом (переход к турбулентности) происходит с увеличением т. Мансон и Менгатурк отмечают, что при т] = 0,44 ве-

1) См. дополнение к настоящей главе. — Прим, перее.

?) См. примечание на стр. 255. — Прим, перев.

личина этих изломов моментной кривой значительно меньше происходящих при больших значениях т)・

Таким образом, переходы в толстом слое, по-видимому, носят иной характер, чем в тонких слоях (в частности, вблизи экватора нет никаких тейлоровских вихрей), а неустойчивости являются докритическими и развиваются вблизи критического значения энергетической теории. Сводка различных теоретических и экспериментальных результатов представлена на рис. 43 х).

Мансон и Менгатурк [1976] получили интересные результаты по устойчивости течения между эксцентрическими вращающимися сферами, кратко описанного в разд. «а». Экспериментальные данные Мансона и Менгатурка показывают, что устойчивость течения в случае эксцентрических сфер зависит от величины эксцентриситета и отношения радиусов. В тонком слое значение числа Рейнольдса первого перехода основного течения (от исходного ламинарного течения к вихрям тейлоровского типа) слабо зависит от величины эксцентриситета. Этот результат не является неожиданным, поскольку течение вблизи экватора (где оно раньше всего становится неустойчивым) подобно течению между вращающимися цилиндрами независимо от того, являются сферы концентрическими или эксцентрическими (рис. 47 и 48).

В толстом слое различные переходы сильно зависят от эксцентриситета. Такая зависимость наглядно иллюстрируется рис. 40. На этой фотографии видно, что течение в области, где слой тонок, является ламинарным, тогда как течение в области, где слой толст, оказывается турбулентным. Эти два режима течения разделены непроницаемой ламинарно-турбулентной поверхностью раздела.

Упражнение 53.1. Рассмотреть возможное нестационарное осесимметричное движение вязкой несжимаемой жидкости между двумя концентрическими сферами, которые вращаются вокруг общей оси с различными угловыми скоростями. Использовать сферические координаты (г, 0, (р) и принять, что компоненты скорости и давление не зависят от ф, но в остальном произвольны. Показать, что полный момент количества движения「％)sin 0 ограничен сверху и снизу максимальным и минимальным значениями, которые эта величина принимает в слое при f = 0 и на сферах при f > 0.

Упражнение 53.2 (Мансон и Джозеф [1971а]). Рассмотреть решение в виде ряда (53.26). Показать, что с точностью до первого порядка по R

% 〜Q° (г, 0)/f sin 9 = sin 0/ (r)/f, (53.6) где

"Г)=『历2,

Исследования последних лет показали, что в толстых слоях первая неустойчивость оказывается переходом к сложному трехмерному регулярному волновому режиму, а не к турбулентности и соответствует четвертому переходу, наблюдавшемуся Мансоном и Менгатурком [ 1975] (см. Беляев, Монахов и Яворская [1978*], а также Беляев, Монахов, Щербаков и Яворская [1979 * ]).——Прим. ред.

Рис. 47. Вихри Тейлора между вращающимися сферами. Внутренняя сфера (из^алюминия, а= 4,118 дюйма) вращается, внешняя сфера (из плексигласа, Ь = 4,634 дюйма) неподвижна; a^ojv = 1078 (Моралес-Гомес [1974]).

Рис. 48. Волнистые вихри Тейлора между вращающимися сферами. Осесимме* тричные вихри Тейлора потеряли устойчивость относительно волнистых вихрей при 小8〕、〜1400. На этой фотографии 炉3丿『=2696 (Моралес-Гомес [1974]).

причем

Л _ 勿@3 ®] 一 32)„О _ 仰勿一sd

& = Ьз—з н 仃=勿―@з — •

Сформулировать и решить задачу о возмущениях для 屮i (г, 0).

Упражнение 53.3 (дискриминант Рэлея). Ввести цилиндрические координаты (£ z, ф)

f = г sin 6, г = г cos 0, ф = ф

в сферическом слое. Показать, что, согласно критерию рэлеевского дискриминанта, неустойчивость определяется неравенством

d (尸 ％)/" < О

ИЛИ

Q《Z < 0,(53.7)

где Ог = [/屮〃 一полная угловая скорость, a J= Lr cos 0 ——g® sin 0 ——завихренность. Применить критерий (53.7) к стоксову течению (53.6) и показать, что

RzCz = ' "3)” sin 6 [2 cos® 0 —^—|- sin? 0 ‘ /…].(53.8)

Показать, что дискриминант Рэлея всегда положителен вблизи полюсов 0 = 0, л и отрицателен на экваторе, когда А и В таковы, что

df^ldr < 0.

Основываясь на понятии дискриминанта Рэлея, доказать, что течение (53.6) неустойчиво в области пересечения сферического слоя и сектора 6。V 0 V 几 ——0О- Показать, что 0О =冗/4 при 8=0.

Дополнение к главе VII °

В последние годы наблюдаются значительные успехи как в экспериментальных, так и в теоретических исследованиях течения между вращающимися сферами (сферического течения Куэтта, СТ К), существенно продвинувшие наши представления об этом важном классе течений. Данный класс течений является естественным обобщением своих более простых аналогов — плоского и цилиндрического течений Куэтта, которым посвящена обширная литература. В этом дополнении сделана попытка отразить результаты исследований последних лет.

Сферическое течение Куэтта представляет интерес и с точки зрения исследования неустойчивостей вращающихся жидкостей, поскольку при различных значениях определяющих параметров в СТК, по-видимому, можно наблюдать все типы неустойчивостей, характерные для течений вращающейся несжимаемой жидкости

Настоящее дополнение написано переводчиками. — Прим, ред.

(Яворская, Беляев и Монахов [19776* ]). Существенная (качественная) зависимость основного течения от параметров подобия приводит к целой гамме особенностей, проявляющихся при потере устойчивости.

Известно, что в отличие от цилиндрического течения Куэтта (ЦТК) течение между сферами всегда состоит из дифференциального вращения вокруг оси («первичного движения») и циркуляции в меридиональной плоскости («вторичного движения»). При одних и тех же числе Рейнольдса и отношении угловых скоростей |л интенсивность меридиональной циркуляции существенно зависит от толщины слоя 6 = (6 —а)/а = (1 —“)/“• Асимптотическая зависимость для функции тока в пределе тонкого слоя (6《1) имеет вид 屮〜Rb^ (卩一1) (Яворская [1975* ]), т. е. чем толще слой, тем при тех же R и 卩 интенсивней циркуляция. Меридиональная циркуляция вызывает перераспределение момента количества движения жидкости. В случае вращения только внутренней сферы перераспределение приводит к тому, что центробежная неустойчивость либо проявляется при больших, чем для ЦТ К, значениях числа Рейнольдса, либо совсем отсутствует. В отличие от цилиндрического течения Куэтта принцип смены устойчивости при вращении только внутренней сферы справедлив лишь для тонких слоев (Петров, Яворская, Беляев и др. [1975* 1, Виммер [1976* ], Хлебутин [1968* ], Циреп и Завацки [1970 ]), и в этом случае вторичное течение имеет вид кольцевых вихрей Тейлора вблизи экватора.

Однако при вращении обеих сфер с различными угловыми скоростями, как показано в работе Яворской, Беляева и Монахова [19776* ], принцип смены устойчивости на пределе устойчивости и в тонких слоях имеет место в ограниченном интервале значений параметра 卩：р,* (5) « 卩《 卩** (8), т. е. при не слишком больших скоростях вращения внешней сферы. Когда 卩 оказывается вне этого интервала, на пределе устойчивости образуются различные (в зависимости от значений 卩)типы трехмерных периодических течений, соответствующие проявлениям разных механизмов неустойчивости.

В толстых слоях (6> 6*) на пределе устойчивости при числах Рейнольдса Rc, значительно превышающих ожидаемые при экстраполяции критических значений для тонких слоев, возникает сложное периодическое трехмерное вторичное течение (см. статьи Яворской, Беляева и Монахова [1975* ], Беляева, Монахова и Яворской [1978* ]). Тщательные экспериментальные исследования течения в толстых слоях (6 > 6*) (визуальные, измерения вращающего момента и исследования пульсаций скорости) не подтвердили существования первых трех изломов кривой вращающих моментов (см. § 53, в частности рис. 46) и возникновения в этих точках докритических неустойчивостей, полученных Мансоном

и Менгатурком [1975]. Четвертый излом соответствовал потере устойчивости основным течением и приводил к возникновению не турбулентного, а сложного трехмерного периодического ламинарного течения с одной-единственной частотой пульсаций скорости (см. Беляев, Монахов и Яворская [1978* ], а также Беляев, Монахов, Щербаков и Яворская [1979* ]).

Теоретически возникновение неустойчивости в тонких слоях в случае вращения только внутренней сферы исследовалось в последние годы методом разложения решения по степеням 6 (Уолтон [1978* ]) и путем численного решения полной нелинейной задачи (Яворская, Астафьева и Введенская [1978*]). В последней работе получена кривая устойчивости течения в плоскости (R, 6), согласующаяся с экспериментальной с точностью до 2—3%. Экспериментальное исследование устойчивости течения в тонких слоях при вращении обеих сфер проведено в работах Яворской, Беляева и Монаховэ [19776* ] и Виммера [1977* ], где получены кривые устойчивости в плоскости (Ri, К? = Ri (1 + б2) N). Численно кривая устойчивости в осесимметричном приближении в плоскости (R】，R2) для 6 =0,11 получена в работе Астафьевой, Введенской и Яворской [1978* 1; согласование с экспериментом также хорошее (расхождение 2—3%).

Во всех экспериментальных работах отмечается неединственность стационарных и периодических течений при закритических значениях числа R как в тонких (Виммер [1976* ], Накабаяси [1978*], Боне и Рокфор [1976* ], Петров, Яворская, Беляев и др. [1975* ]), так и в толстых слоях (Яворская, Беляев и Монахов [1975* ], Беляев, Монахов и Яворская [1978* ]). Аналогичная ситуация наблюдается и при численных расчетах стационарных осесимметричных течений (Боне и Рокфор [1976* ], Бартелс [1977* ], Яворская, Астафьева и Введенская [1978* ], Рознер [1978* ], Деннис и Синг [1978* ], Херберт [1978* ]). И в физическом, и в численном экспериментах выход на тот или иной режим течения определяется всей предысторией процесса (начальными условиями и законом изменения скорости).

Как уже было отмечено в гл. V, переход к турбулентности в сферическом течении Куэтта имеет свои особенности (Беляев, Монахов, Щербаков и Яворская [1979* ]). В изученном случае (6=1, |л = 0) переход осуществлялся через шесть бифуркаций Хопфа, причем смена одного режима течения другим иногда сопровождалась не только возникновением новых частот, но и исчезновением ранее существовавших. После первого появления затухания автокорреляционной функции (R q 2RJ в спектре одновременно с непрерывной компонентой еще долго сохраняются пики, соответствующие колебаниям на основной частоте.

В сферическом течении Куэтта при турбулентном режиме наблюдаются так называемые когерентные структуры. При очень

больших закритических числах Рейнольдса как в толстых, так и в тонких слоях на фоне мелкомасштабных хаотических пульсаций визуально заметно сохранение крупномасштабных упорядоченных структур. В тонких слоях (6 =0,11,卩 = 0) при q 400 000 勺 330Rc в полностью развитом турбулентном течении замечено образование в приэкваториальной зоне упорядоченных структур, подобных кольцевым вихрям Тейлора. Таким образом, возникает ситуация, когда полностью развитое турбулентное течение (так же как и основное течение при критических числах RJ становится неустойчивым относительно почти осесимметричных кольцевых вихрей Тейлора (Яворская, Беляев и Монахов [1977а*, 19776* ]).

Часть //

Глава VIII

УРАВНЕНИЯ ОБЕРБЕКА-БУССИНЕСКА.УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙОБЕРБЕКА-БУССИНЕСКА ПРИ ПОСТОЯННОМГРАДИЕНТЕ

Наличие в жидкости градиентов плотности означает, что потенциальная энергия гравитации может превращаться в энергию движения под действием сил плавучести. Разности плотности могут вызываться как нагревом жидкости, так и существующей разностью концентраций в смесях, подобных солевому раствору. В уравнениях Обербека—Буссинеска (ОБ) предполагается, что жидкость однородна; разности плотности учитываются только в тех членах, которые отражают причины движения. Уравнения ОБ приводятся в § 54. В § 55 обсуждаются граничные условия различных типов и завершается формулировка начально-краевой задачи (НКЗ) для уравнений ОБ.

В § 56—58 дается энергетическая теория устойчивости для основных решений НКЗ уравнений ОБ. Эта проблема похожа на рассмотренную в гл. I, но теперь у нас больше уравнений и более сложные граничные условия. В этом контексте энергетический функционал обычно является линейной комбинацией кинетической энергии и других интегралов, подобных энергии. Для изучения задачи устойчивости мы сначала фиксируем константы связи в линейной комбинации и находим некое критическое число для глобальной устойчивости. Затем это критическое значение энергетической теории устойчивости снова определяется при помощи вариационной задачи. При каждом выборе констант связи получается различная «энергия», что приводит к разным критическим числам. Константы связи, которые приводят к наибольшему значению критического числа, называются оптимальными.

При обычных обстоятельствах разности температур, приложенные на границе области пространства, занятой жидкостью,

вызывают конвективные течения. Важность таких течений вряд ли можно переоценить; достаточно только вспомнить, что циркуляцию в атмосфере Земли нельзя объяснить без учета конвективных движений, вызываемых солнечным нагревом. Решения уравнений ОБ, которые соответствуют передаче тепла в неподвижной жидкости, также возможны, но при определенных ограничениях. Решения, соответствующие механическому равновесию, являются самыми простыми в теоретическом отношении и позволяют рассматривать механизмы, приводящие к конвективной неустойчивости, без осложнений, связанных с движением жидкости.

Решения уравнений ОБ, соответствующие равновесию жидкости, приводятся в § 59. В § 60 дается физическое описание механизмов, которые вызывают потерю устойчивости. В состоянии равновесия жидкость вверху может стать тяжелее, и если подогрев снизу будет слишком велик } то возможно, что равновесие станет неустойчивым и начнется движение. Необходимые и достаточные условия устойчивости определенных решений, соответствующих состоянию покоя неоднородной жидкости, указываются в § 61. (Некоторые интересные задачи для неоднородных жидкостей будут рассматриваться в гл. IX.) В § 62 подробно исследуется устойчивость состояния покоя однородной жидкости, подогреваемой снизу (задача Бенара).

Основные механизмы, вызывающие потерю устойчивости равновесия, часто оказываются доминирующими и тогда, когда существует основное движение. Примеры основных движений, которые также имеют постоянные градиенты температуры, рассматриваются в § 63 и 64.

Уравнения Обербека—Буссинеска для основного течения

Если граница сосуда с водой, которая находится в покое, подогревается, скажем, с одной стороны, то вода придет в движение. Это движение вызывается силами плавучести, которые возникают, когда в поле тяжести один из элементов жидкости оказывается менее плотным (более горячим), чем окружающая среда. Под влиянием такого нагрева движение может даже стать турбулентным. Интенсивные движения могут вызываться вариациями плотности порядка одного процента.

Движение может начаться также в том случае, когда слой жидкости со свободной границей теряет способность сопротивляться тангенциальным растяжениям, возникающим из-за градиентов поверхностного натяжения, связанных сдфлуктуациями температуры.

Во многих важных случаях вариации плотности возникают вследствие разностей температур и концентраций, а не разностей давлений. Например, плотность воды в сосуде значительно легче изменить подогревом, чем сжатием. Для воды при температуре 25° С и давлении 1,02 атм имеет место уравнение состояния

Р = Ро [ 1 +（4■备）о（7 _ 7。）+ （"Г 患）о（Р _ Р。）]， где

а「三•薔）° = 2,64・10"Ст号患）。= 5，11・3 бар-】.

Чтобы вызвать то же самое изменение плотности, какое возникает при разности температуры 1° С, необходимо изменить давление примерно на пять атмосфер. Отсюда следует, что даже интенсивные движения воды не приводят к появлению других значительных сил плавучести, кроме связанных с изменением температуры. Вызываемые нагреванием изменения плотности в таких движениях могут быть очень малы, но они являются движущей силой для конвективной части движений.

Газы в высокой степени сжимаемы, и если непрерывно деформировать стенки сосуда, то при изменении давления можно вызвать очень большие изменения плотности. Но при изохорических движениях, скажем при плоском течении Куэтта, или в состоянии покоя изменения давления не происходит. В газах （Джеффрис [1930 ], Спигл и Веронис [1966]） можно индуцировать по существу изохорические движения, в которых к возникновению конвекции приводят малые изменения плотности, вызываемые изменением температуры, а не давления. Движения с малыми числами Маха в земной атмосфере почти изохоричны.

При объяснении конвективных движений практически изохорического типа можно обойти неразрешимые проблемы, связанные с точными уравнениями Навье―Стокса для сжимаемой среды, учитывая упрощающие предположения, а именно учитывая, что

движение подобно движению несжимаемой жидкости, однако в членах с массовыми силами в уравнениях количества движения учитываются изменения плотности;

изменения плотности вызываются изменениями температуры Т и концентрации С, но не давления Р;

градиенты скорости достаточно малы для того, чтобы можно было не учитывать влияние на температуру перехода работы в тепло.

Уравнения, которые получаются с учетом этих упрощений, называются уравнениями Обербека—Буссинеска.

Будем называть уравнения ОБ упрощенными, если помимо допущений (1), (2) и (3) предполагается также, что

коэффициент динамической вязкости 卩，коэффициент теплопроводности k и удельные теплоемкости являются постоянными параметрами;

уравнение состояния р (Т, С) линеаризовано (см. уравнение (54.1)).

Имеется много случаев, в которых все эти пять предположений выполняются достаточно строго. Например, они выполняются в задаче Бенара о распаде режима теплопроводности в подогреваемом снизу тонком слое воздуха или воды.

Однако чаще предположения (4) и (5) не выполняются. Например, нельзя обойтись без нелинейного уравнения состояния р (71), когда рассматривается конвекция вблизи критической точки 4° С, в которой плотность воды имеет относительный максимум (Ве- ронис [1963]). В крупномасштабных системах (типичных для астро- и геофизических приложений) нельзя пренебрегать изменениями свойств среды.

Для течений, в которых число Маха велико, соленоидальность поля скорости и независимость плотности от давления утрачиваются, и поэтому для таких течений уравнения ОБ не имеют места»

Когда все упрощающие предположения выполняются, уравнения Навье—Стокса для течения сжимаемой теплопроводной вязкой неоднородной жидкости при наличии диффузии могут быть аппроксимированы следующей системой уравнений (ОБ):

Уравнение состояния в модели жидкости ОБ

Р =Ро(1 -^т(Т-Т^+ас (С-Со)),(54.1)

где р0, Г。и Со —характерные значения плотности, температуры и концентрации соответственно, а аг и ас выбраны так, чтобы уравнение состояния ОБ (54.1) было согласовано с уравнением состояния р = р (Т, С, Р).

Уравнение изменения количества движения

Ро (曽+(U・V)U)= -VP + Po{l—ат(Т — Т°) +

+ % (С — &)} g + ▽• S;(54⑵

при этом Т = —Pl + S —тензор напряжений, S = 2|xD [U ]— тензор вязких напряжений, U ——соленоидальный вектор скорости и g—массовая сила (обычно сила тяжести).

Уравнение теплопроводности в движущейся жидкости

箒 + и • VT =巧守丁 + Qt(X, /),(54.3)

где 匕・=йг/(р0Ср) —коэффициент температуропроводности, kT — коэффициент теплопроводности, Ср — удельная теплоем-

кость при постоянном давлении и Qr —заданное поле источников тепла.

Уравнение диффузии в движущейся жидкости

詁+U・VC = XcWc + Qc(x,f),詁+U・VC = XcWc + Qc(x,f),(54.4)(54.4)

詁+U・VC = XcWc + Qc(x,f),

詁+U・VC = XcWc + Qc(x,f),

(54.4)

(54.4)

где хс — коэффициент диффузии, a Qc (х, /) — заданное поле, устанавливающее распределение источников вещества в растворе.

Под уравнениями ОБ мы подразумеваем упрощенные уравнения (54.1)— (54.4), обычно приписываемые Буссинеску [1903], который «вывел» их волевым образом на основании перечисленных выше предположений (1) — (5).

Слова «могут быть аппроксимированы» означают, что решения точных уравнений Навье——Стокса для сжимаемой жидкости непрерывны по некоторым параметрам, скажем (%, е2), вблизи (0, 0) и предельные решения Uo, Со, То, Р° (где, например, Т (ех, е2)—> Т (0, 0) = 7。) удовлетворяют предельным уравнениям (54.2) — (54.4) и уравнению div U = 0. Чтобы это показать, необходимо сделать два следующих шага: (1) установить параметры и некоторую определенную формальную схему метода возмущений, (2) показать, что метод возмущений может быть проведен до конца и в некотором смысле сходится к нелинейному решению (Т (“，е2) и т. д.).

Шаг (1) был впервые сделан Обербеком [1879] и недавно более полно Миха- ляном [1962].

Аппроксимации, обычно приписываемые Буссинеску, имеют более раннее происхождение и были использованы Обербеком [1891 ] при изучении режима Хэдли в метеорологии. Но первое использование этих уравнений Обербеком в 1879 г. более важно, чем более позднее их применение в 1891 г., и уравнения, полученные им в этой первой работе (1879 г.), точно такие же, как приписываются Буссинеску. В некотором смысле трактовка Обербека [1879] этих уравнений глубже трактовки Буссинеска; так, Буссинеск получил упрощенные уравнения как следствие перечисленных выше предположений, а в работе Обербека эти уравнения получаются как приближения низшего порядка при разложении решения в степенные ряды по коэффициенту расширения а. В основополагающую работу Обербека включено применение как уравнений конвекции, так и рядов, упорядочением которых они получены, к задаче о конвекции, вызываемой неравномерным нагревом неподвижных концентрических сфер.

Нельзя сказать, что труды Обербека прошли незамеченными, так как в 1881 г. Лоренц опубликовал знаменитое исследование свободной конвекции на подогреваемой плоской пластине (Лоренц [1881 ]), в котором использовал уравнение Обербека для вывода формулы, впервые связавшей число Нуссельта с заданными характеристиками течения. Джекоб [1949, с. 443] назвал эту формулу «триумфом классической теории, впервые обнаружившей сложную природу коэффициента теплопередачи при свободной конвекции ... в форме, справедливость которой с хорошей точностью была доказана более чем полстолетия спустя». В исследовании Лоренца впервые появилось и число Рэлея (там оно обозначается через а, а здесь — через ^2).

Приписыванием уравнений Буссинеску мы, по-видимому, обязаны Рэлею [19166], который, возможно, не знал ранних работ, хотя нельзя сказать, что эти работы были в каком-то смысле малодоступны. Престиж Рэлея (особенно в Англии) был таков, что это приписывание прижилось, несмотря на тот факт, что в технической литературе по теплопередаче используются «уравнения Буссинеска», как если бы они возникли при сотворении мира (без ссылки на Буссинеска, но с должным*глубоким почтением к важным результатам Лоренца).

Уравнения Обербека—Буссинеска все еще полностью не обоснованы. Сходимость разложений метода возмущений, в которых уравнения ОБ появляются как приближение нулевого порядка, все еще не установлена. Однако Файф [1970] до-

казал сходимость для случая стационарных течений жидкости, которая необязательно является ньютоновской и плотность которой описывается соотношением р = Ро (1 — а (Г — То)) + Р* (7)，где член р* (Т) нелинеен и «достаточно мал>. Сходимость итераций доказана в работе Файфа только для достаточно малых, но не нулевых норм нелинейных членов.

Эти результаты полностью распространяются на смеси жидкостей, если постулированы уравнения (54.1) и (54.4). При выводе уравнений ОБ из точных уравнений для двухкомпонентной жидкости не завершен еще шаг (1), хотя в работе Вертгейма [1955] имеются некоторые частные доказательства〔).

По-видимому, уместно заметить, что нет особых причин, за исключением отсутствия доказательств, сомневаться в справедливости нелинейных уравнений ОБ в некотором пределе малых значений параметров. Однако было бы неплохо иметь доказательство сходимости решений уравнений Обербека——Буссинеска с большими нормами к решениям уравнений Навье——Стокса для сжимаемой жидкости в пределе при малых значениях параметров.

Упражнение 54.1 (Михалян [1962]). (а) Плотность однородной жидкости зависит от температуры Т и давления Р. Показать, что энтальпия 力，внутренняя энергия е и удельная теплоемкость при постоянном давлении Ср всех особых жидкостей, плотность р которых зависит только от Т, даются формулами

九=匕(7) +^[1+*Р'}6 =九一-^Ср = С(Т)-РТ(1/рГ，

где штрихи означают дифференцирование, а (Л и ^ (Л являются функциями только от Т. Указание. Показать, что

/ ЕР)、( ℃р、/ /(i/р)、

(患)? =十十春(备) где 夕一удельная энтропия.

б) Показать, что для всех особых жидкостей, плотность которых зависит только от Т, выполняется уравнение

РСр 卷 + Т 号署=v・(g + 2D:S,(54.5)

где 2D : S — удельная вязкая диссипация.

Привести нестрогие аргументы, основанные на предположении о малости вариаций плотности р7р и градиентов скорости, для вывода уравнения

РоС ⑺署=V・伍VT),(54.6)

где Ро = р (То)- Если k (Г) и С (Т) считать постоянными k0, &, равными их значениям при характерной температуре То, то уравнение (54.6) можно записать в классической форме: dT/dt = х0 V2T, где х0 =鳥/(р°Со).

Замечание. Михалян вводит четыре основных безразмерных параметра:

%= аАТ, г2= ^/(С01^Т), ” 伊缪，

где АТ ——разность температур поперек горизонтального слоя жидкости толщины /, 夕一число Прандтля,先2 — число Рэлея, а все параметры среды вычислены при характерной температуре Т。. Он показывает, что упрощенные уравнения ОБ получаются в пределе при 0, ^2f 0. По его оценкам в слое воды при Z = 1 см и АТ= 1° Q

_矍j〜10"4 и £2〜10一】1，

I) См. также работу Шапошникова [1953* ]. — Прим, ред.

Михалян замечает, что главный член разности между уравнениями (54.5) и (54.6) пропорционален е2. Разность между уравнениями количества движения и между уравнениями неразрывности для сжимаемой жидкости и соответствующими уравнениями ОБ пропорциональна ₽!，(Аналогичный анализ, но с другими масштабами проводится в работе Кордона и Велара [1975]).

§ 55. Граничные условия

Здесь мы хотим рассмотреть ситуацию, которая возникает на границе S, отделяющей занятую жидкостью область от окружающего пространства (рис. 49). Пусть х € S означает точку на граничной поверхности. Символы, обозначающие поверхность и объем в области, заполненной жидкостью, отметим индексом /, а символы, обозначающие поверхность, объем и поле переменных

Рис. 49. Схематические предельные условия на материальной поверхности S.

Поверхность S = Ff^S фиксирована, тогда как У =>& U ^f -> О

на внешней стороне S и относящиеся к области вне жидкости,— индексом е. Поля переменных, относящихся к самой жидкости, описываются символами без индексов.

Граница жидкости является материальной поверхностью, при переходе через которую температура, скорость, нормальная компонента вектора теплового потока и механические напряжения меняются непрерывно. Эти условия связи аппроксимируются заранее заданными условиями.

В действительности граничные условия являются условиями связи между соприкасающимися физическими системами. Обычный же метод математической физики состоит в аппроксимации условий связи некими априорными условиями, которые позволяют обойти трудности, обусловленные необходимостью совместного решения систем связанных уравнений для полей. Эта программа реализуется ниже.

Условия для температуры

Условия связи для температуры можно аппроксимировать, задавая граничные условия. Мы предполагаем, что при переходе через границу раздела двух физических сред температура меняется непрерывно; тогда непрерывность нормальной компоненты вектора теплового потока q「следует из соотношений баланса энергии. Для жидкости и внешней среды соотношения баланса энергии имеют вид

J о + J oqr n = О, J о + J о qr-n = О, Tf dTfТе дТе

соответственно. Подынтегральные выражения в интегралах по объему непрерывны, а сами интегралы обращаются в нуль при ” =^(J^f -^0. Вычитая одно выражение из другого и переходя к пределу 0fo при условии, что У = ”f| S фиксировано, находим, что

J [Чг].п = 0,(55.1)

где п — нормаль к произвольному элементу § поверхности S, направленная от жидкости. Так как элемент S произволен, из соотношения (55.1) следует, что

п •旧丁] = п • q^ — и • (q^ = 0.

При выводе уравнений для поля (54.3) мы уже использовали линейное соотношение для вектора теплового потока

—qr = kT^T (закон Фурье).

Из этого соотношения и требований непрерывности можно получить условия связи в виде‘

Т = М и时黑=(初6醬・(55.2а)

Чтобы из этих условий связи получить внешние заданные условия, предположим, что решение во внешней области на границе можно выразить эмпирической функцией 0丁 (х, t) при помощи соотношения

(初，4?=一力r乙一7>),(55.26)

где Tr (х, 0 для х С S —точка отсчета температуры, за которую в случае неограниченной внешней области 叭 принимается значение Те на бесконечности г).

Прямая комбинация соотношений (55.2а) и (55.26) приводит к формулировке заранее заданного условия на границе в следующем виде:

kT-^- 4~ ^Т = Заранее заданная функция. (55.3) Мы допускаем, чтобы функция 力 была кусочно непрерывной, так что на различных частях всей границы можно задавать различные условия. Предел 匕丁 + оо соответствует заданию температуры, а 力=0 — заданию теплового потока. Символ ST используется для обозначения той части границы S, на которой задана температура Т.

Граничные условия для концентрации

Мы будем рассматривать системы, для которых процесс диффузии раствора можно аппроксимировать простой аналогией с рассеиванием тепла. Тогда на границе S

^с 4^* + Зе。= Заранее заданная функция. (55.4)

Здесь 5c (х, 0 — коэффициент массообмена (число Шервуда). Символ Sc аналогичен символу S「・

Граничные условия для скорости

Условия связи для скорости формулируются исходя из условия баланса массы, условия прилипания для вязкой жидкости 2) и принципа напряжений Коши. Условия прилипания предполагают непрерывность скорости при переходе через S:

U(x) = U/x).(55.5)

Коэффициенты теплообмена 竹 иногда называют числами Био. Определение этих коэффициентов является важной проблемой исследований в области теплопередачи. Достаточно полное обсуждение этих проблем и много ссылок можно найти в книге Берда, Стюарта и Лайтфута [1960]. Для большого числа достаточно общих геометрий и типов течений функции ^г считаются «известными*. Но, конечно, величины ^т и Tr подменяют истинное решение в области Fe, которое нужно вычислить на границе У. Эта условная процедура решения внешней задачи является, очевидно, уступкой неразрешимому характеру полной связанной задачи.

Вязкие жидкости удовлетворяют условиям отсутствия скольжения, но они не обязательно прилипают. Одна жидкость может заменять другую вдоль линии контакта на твердой стенке. Жидкость на стенке при этом вытесняется без скольжения (дальнейшее обсуждение этого вопроса можно найти в тексте, следующем за формулой (96.14)).

При выполнении равенства (55.5) условие баланса массы U п = = U^- п удовлетворяется автоматически. Если граничная поверхность твердая и ее будущее движение известно заранее, то правую часть условия (55.5) можно задать заранее. Однако точно задать заранее правую часть во всех ситуациях невозможно. С меньшими ограничениями, но не совсем удовлетворительно можно заранее задать нормальную компоненту Ue- п правой части (55.5), так что

U n |s = Заранее заданная функция.(55.6)

Даже при условии, что U&・ п задано, еще остается найти два других заданных граничных условия для остальных компонент скорости U. Имеется много возможных способов задания условий, и все они в какой-то мере являются приближенными; обычно заранее задается тангенциальная компонента тензора напряжений t = =Т п = —Pn + S n. Это приводит к уравнению вида

S• n ——n (п• S • п) = Заранее заданный тангенциальный вектор

(55.7)

на S—Su, где S〃 一 совокупность тех точек границы, в которых задана тангенциальная компонента скорости.

Если к поверхности приложены силы, то напряжение может не оставаться непрерывным при переходе через S・ Более того, натяжение о (Т, С), действующее на единицу длины, может меняться и вследствие этого вызывать движение жидкости в объеме ”尸 Предполагая, что силы поверхностного натяжения вызывают только напряжения мембранного типа х), мы должны заменить условие (55.7) условием

S-n — n (n-S - п) — VHa = Заранее заданный тангенциальный вектор,(55.8)

где

Mi = V — п (п • V) = (xg х п& — х匕 х ndg)/[n • (xg х х0]

—проекция оператора градиента (см. упражнение 55.2).

Для доказательства условия (55.8) рассмотрим баланс сил в объеме ” =0eU”尸 Здесь

(55.9)(55.9)J A + jT・n + jT・n + ,个о = 0, # s© Sf 点

(55.9)

(55.9)

где А является однородным ограниченным силовым полем (отнесенным к единице объема) и может включать вклад ускорений,

1) Мембранные напряжения на поверхности подобны силам давления в жидкости, и теория мембранных напряжений может рассматриваться как теория «невязких» поверхностей. Мембранные напряжения эластичны ——они не препятствуют сдвигу и расширению поверхности. «Ньютоновская» теория поверхностей, развитая Л. Э. Скривеном, обсуждается в книге Ариса [1962].

Se = д% ——S и S, = О”,——S, т — внешняя нормаль к кривой dS на поверхности S, Т п——вектор напряжений, Т—тензор напряжений, а п ——внешняя нормаль к S^ или S『.В пределе ^ -^ 0 при фиксированной dS находим, что

j(L-T)・n +$ 紀=0.

SdS

Это последнее выражение можно преобразовать, используя теорему Стокса (Везерборн [1927, с. 240]):

^ та = J [Vna + 2Яап],

где 2"—сумма главных кривизн (Н—средняя кривизна), в интеграл только по S:

j [(Те — T)・n + VhU + 2"оп] = 0.

Так как § и S произвольно, имеем

(L — Т)・п + VHa + 2"оп = 0(55.10)

на поверхности S. Уравнение (55.8) является проекцией (55.10) на касательную плоскость.

Ниже в упражнениях 55.2—55.4 приводятся геометрические уравнения, которые будут использоваться при изучении устойчивости границ раздела в гл. XIV.

Упражнение 55.1. Отношение динамической вязкости воды к динамической вязкости воздуха составляет примерно сто. Описать некоторые конфигурации течения, в которых деформация сдвига в воде на границе воздух ——вода мала. Как нужно задать правую часть условия (55.7) для таких конфигураций течения? Расписать условие (55.7) по компонентам. Получить (55.8) из (55.10). Показать, что если трением воздуха можно пренебречь, то

—(Ре —Р) —mS・n + 2(y〃 = 0(55.11)

и

S・n — n (п -S-n) — Vna = 0(55.12)

на поверхности S. Сформулировать задачу об устойчивости и бифуркации состояния покоя жидкости, подогреваемой снизу, когда верхняя поверхность может изгибаться и двигаться под действием тангенциальных градиентов поверхностного натяжения (см. § 94).

Упражнение 55.2. Пусть J§ = п • (х& X х(), где Е и 之——не зависящие от времени координаты, жестко Связанные с V 】)，х (自，С, /) — радиус-вектор точек на S

х) Здесь J§ = Mg, причем g= det g^p — первая квадратичная форма поверхности.

н п/§ =空 X х『Для любой скалярной величины ф (х (g, g, /), f), определенной на S,

d(p = dx& 第 f)・V(p =(PgdE +(pgdC， где

中g = хg，V中，出=x^-Vcp.

Показать, что

^ = x”i 严，屮с = хд・％[(р， где

Vn = J? [n X Xg% —n x Xg"] = V — n (n V)

—проекция градиента. Показать, что

三方分=备'§ |х + "%1 弋=% %[・V,(55.13)

где V = dx 怎 白.f)/d/ ——скорость точки 怎 匕)，которая движется вместе с S.

Упражнение 55.3. Показать, что

专 J dM = j J必飞若弱=J Vn-VdS = ^ т-Vd/ —2 j HV-ndS.

s(o6(f)dS6(f)

(55.14)

Пусть 怎 0 и(T),卩)一координаты на поверхности S, которые связаны между собой обратимым преобразованием, и пусть

х (Е，С.，f) = х (Е (н，р», f), G (口，№ /), f) = х (小卩，f)

—радиус-вектор точек поверхности S и

V = Эх (Е, С, f)/dtt V = Эх (% 卩，f)/df.

Пусть, далее,

Ф (% 卩，0= Ф (Е (% 卩，0, £ (П,闷 9, 0 = Ф & С，0-

Показать, что

侬攀 D-V.Vncp =吟也—V.VHT

и что

-^- ^dS= j [丄吗卢包 _V・Vh@_2"4)V.ii]疗+ $87由.

§ ads

(55.15)

Упражнение 55.4. Две поверхности S】(/) и S? (/) совпадают в области внутри замкнутой кривой dS (/) и на самой этой кривой. Нормальные скорости поверхностей в точках, где они соприкасаются, одинаковы, но их тангенциальные скорости не совпадают. Показать, что

^— J qdSi = ~^- j 屮dS? + $ qrr・(V】一V2) dl. (55.16)

SMf)Sg(f) dS

Упражнение 55.5. Отношение коэффициентов теплопроводности воды и воздуха около тридцати. Выдвинуть аргументы в пользу утверждения, что возмущение 0 температуры Т на границе раздела воздух — вода можно считать удовлетворяющим уравнению вида

дВ!дп + АО = О,

где постоянная А ——численно малая величина, которую в первом приближении можно принять равной нулю.

§ 56. Уравнения, описывающие возмущения решений уравнений ОБ

Основной интерес для нас представляет устойчивость решения уравнений ОБ при отсутствии движения. Однако мы начнем с исследования более общего случая и выделим решение, удовлетворяющее уравнениям (54.2)—(54.4) и граничным условиям (55.3)—(55.7). Назовем это решение основным движением. Безразмерные параметры основного движения

[U, D [U], Пт，Пс，П，х, £, %, hc](56.1)

получаются из параметров в размерной форме

[U, D[U], VT, VC, g, х,厶阮屁]делением размерных переменных на масштабные множители:

Масштабные множители Т\ С', U‘ h g' представляют собой характерные значения (будут выбраны позже) температуры, концентрации, скорости и ускорения силы тяжести для основного движения.

Возмущение основного движения — это разность между основным движением и другим движением, отличающимся в начальный момент времени, но удовлетворяющим тем же самым уравнениям и заранее заданным внешним условиям. Безразмерные скорость, скорость деформаций, температура, концентрация и давление определяются следующим образом:

[u, D[u],0, у, р].(56.2)

Возмущения в размерном виде можно выписать, умножив безразмерные переменные на масштабные множители:

Г V V -1 / WT' j /p0v2 1

RVU 现％ 皆n。RVU 现％ 皆n。Уравнения, описывающие эволюцию возмущений основного движения, имеют вид

RVU 现％ 皆n。

RVU 现％ 皆n。

U

(0/df + RU・V + u・V)俨为 +u-

(56.3a)(56.36)(56.3a)(56.36)divu = 0, u n = 0 на S,divu = 0, u n = 0 на S,-Vp —(例8 —皆Y)" 十 2V • D

(56.3a)

(56.36)

(56.3a)

(56.36)

divu = 0, u n = 0 на S,

divu = 0, u n = 0 на S,

u = 0 на S5 D [u] • n — n (n • D [u] • n) = 0 на S — S〃

(56.3b)

0 = 0 на S7, dO/dn -\- hTQ = O на S — S^,(56.3r)

丫 = 0 на Sc, dy/dn + 厶丫 = 0 на S — Sc.(56.Зд)

В уравнениях (56.3a) параметрами, характеризующими устойчивость, являются число Рэлея и его аналог для раствора (соответственно 例2 и 皆2), @ также число Рейнольдса R, определяемые соотношениями

="g/杉2 亠 acC'g'/з r = W

Число Прандтля 夕丁 = v/xr и число Шмидта 乡с = ”/%с входят в наши рассуждения, но не как критические параметры задач на устойчивость.

В безразмерных переменных энергетические уравнения имеют ВИД

%造<山力= -R<u.VU，u)一例〈四・и〉+

+ ^(YT].u) — 2(D[u]: D[u]),(56.4)

%约等 <02)= 一现〈加・哈—〈IV812) - (hTQ^s, (56.5)

4■稣^ ⑴〉=_ 皆 <vu・吟—〈I Vy I2)-也心s(56.6)

и

-A (0T) = _ ^_ (yu-Ht)—養〈8u・nc〉—(玄十*) (V0-Vy) —

-《智■ +餐№〉s，(567)

Здесь, как и выше,

⑴=/⑺j f

и, кроме того,

⑴s = / :#)J厶S

Уравнения (56.4)—(56.7) несколько нестрого называются энергетическими уравнениями. Хотя (| и |2)/2 пропорционально кинетической энергии, другие квадратичные интегралы (02) и (у2) нельзя назвать какими-либо энергиями в строгом смысле слова. Несомненно, интеграл от перекрестного произведения (Оу) нелегко отождествить с энергией. В этих уравнениях величины R,现 н 皆一параметры, характеризующие устойчивость, а интегралы, на которые они умножаются, являются интегралами производства соответствующих величин. Эти интегралы могут иметь нужный знак, чтобы происходило производство энергии возмущений из энергии основного движения. Другие интегралы приводят к диссипации энергии.

Упражнение 56.1. Предполагая, что и ——соленоидальное поле и u・n = 0 на S, показать, что-

2(D[uj:D [u]) = (I Vu I2) + <(u.Vu).n)s, где интеграл по границе обращается в нуль на свободных плоских элементах поверхности S. Вывести уравнения (56.4) — (56.7).

семейство энергетических уравнений

Линейную комбинацию уравнений (56.4)—(56.6) с параметрами связи 九丁 и 九с можно привести к виду

等=1??-②，(57.1)

где

R = MR2+%2十穹 2

—параметр, характеризующий устойчивость,

否 U /好仇 /Ц?] = ｝〈1 u f + KT^ + 入次戸〉(57.2) —«энергия» возмущений,

勿[и, Г^0, /Ml -2｛D[u]:D[u]) + 入7 (I V012) +

+ 入т〈次2% + К (|VY I2) + 屍｛hc^)s(57.3)

—«диссипация», а

—?[u, 0, % 入7, K1 = 6r〈u・VU・u〉+

+ 26现(u.Рг0) + 23皆(и-Pcy)(57.4)

—производство энергии. Здесь принято

必к = R/R, 3先=例/R, 垓皆=穹/R,

Рт = % (入тПт 十 П)， Pc = % (九сПс — П)・

Если соотношения (57.2)—(57.4) записать в переменных

&=丿好8, y，= MKy，(57.5)

то получится

& [и, е; /] = % (|и|2 + 夕戸 2 + 夕d，2〉，勿[u,心 f] = 2(D[u]:D [u]) + (I V0Z p) +

+ <1 hTQ^s + (I W 户〉+ &d〉s(57・6)

и

一 ？ [u, e7M亏 W/K； M 屍]=阮式U・vu .u) +

+ 23现九/2〈u・P№'〉+ 2a^K (u.pc/).(57.7)

В этих переменных явно от Хг и 九匸 зависит только функционал ?.

Как и в предыдущих главах, мы можем использовать уравнение эволюции возмущений для отыскания достаточных условий устойчивости. Нам снова необходимо определить класс допустимых начальных условий.

§ 58・ Кинематическая допустимость; достаточные условия устойчивости

Обратим внимание читателя на граничные условия (58.16, в), выписанные ниже. Заметим, что в каждой точке границы устанавливается некоторое условие, которому должно удовлетворять решение. Например, условие (58.16) выделяет часть границы, где возмущения должны обращаться в нуль. На других частях границы, где справедливо условие (58.1в), величина коэффициента обмена hT определяет связь решения со значением его нормальной производной.

Условия (58.16) называются нулевыми граничными условиями, а условия (58.1b) —естественными граничными условиями. Имеется различие в том, как эти два вида граничных условий входят в наше обобщенное определение кинематически допусти-

мых векторов. Для того чтобы описать это различие, полезно вспомнить следующую задачу на собственные значения:

V2e + A0 = O; 0|Sr = O,黑 + %® Is-St = 0.(58. la, б, в)

Хорошо известно, что собственные значения этой задачи можно описать с помощью задачи на максимум следующего вида '):

Аt=嘴X〈1叫2〉，/7〈82*Т，(58.2)

где для удобства принято hT = const. Здесь под Н подразумевается пространство функций, которые удовлетворяют условию (58.16), но не обязательно удовлетворяют условию (58.1 в). В известном смысле граничное условие (58.1 в) уже поставлено в виде части задачи (58.2). Идея состоит в том, что задать граничное значение на поверхности S—S^ по существу, значит задать значение 九尸 Однако эта информация о границе уже включена в форму функционала, и поэтому нет никакой необходимости устанавливать какие-либо отдельные условия допустимости. Фактически граничное условие (58.1 в) должно с необходимостью удовлетворяться функциями, которые «выигрывают» в процессе соревнования на максимум выражения (58.2). В этом смысле граничные условия (58.1 в) вытекают «естественно» из задачи на максимум, и их не нужно формулировать, подобно (58.16), как отдельное условие (см. разд. Б.З).

Назовем функцию кинематически допустимой, если она удовлетворяет нулевым граничным условиям (но не обязательно удовлетворяет естественным граничным условиям). Векторные поля кинематически допустимы, если они удовлетворяют нулевым граничным условиям и соленоидальны.

В задачах конвекции нам необходимо рассмотреть объединение кинематически допустимых векторов Н и функций ". Мы рассматриваем величину (и, 0, у) как пятимерный вектор и вводим так называемое комбинированное пространство Н. Кинематически допустимыми функциями являются такие, для которых величина

砂/2 = «2D [u]:D[u] + |V0^ I2 + I VYF〉+〈生 W F + % I 田产〉#/2

ограничена. Тогда

H = {(u,&"):divu = 0,u|su = 0, 8]st =。，Y'lsc =。}.(58.3)

Удобно (и с достаточной степенью общности возможно) считать, что множество допустимых начальных условий для возмущений совпадает с множеством Н кинематически допустимых векторов.

Эти задачи детально обсуждаются в разд. Б.З приложения Б.

Мы теперь ищем форму возмущения, для которого энергия 歹(/, Хс) удовлетворяет уравнению (57.1) и увеличивается в начальный момент при наименьшем значении R (Шир и Джозеф [1968])х).

Предположим, что %г > 0 и 九匸 > ° заданы произвольно 〃

R = /必 + 例2 + 皆2V R岁, где

R^ = max ^ и,;^，■^g ；九7，九c /2U % y‘].(58.4)

Тогда существует постоянная а2 > 0, такая, что

旨 «； М М «& (0;小屁)exp { 一 ”f(1 一 R&/R)}.(58.5)

Начальное условие, которое максимизирует R*, обеспечивает возрастание энергии 否(0;九丁, Хс) в начальный момент при наименьшем значении R.

Параметры 九丁 и %с являются свободными, и их можно выбрать так, чтобы оптимизировать предел монотонной глобальной устойчивости. Величина

% = R需応,几с) = sup R& %,九J(58.6)

называется оптимальной границей устойчивости.

Чтобы упростить исследование задачи (58.6), рассмотрим однородную жидкость, для которой у'三 0, Ас = 6,九т =九 н R^r (九丁， 0) = R%. Тогда R& = max &・ Мы покажем, что 母—0 при %>。

больших и малых значениях X. Следовательно,

r存П也，me 鲁k=°・(58.7)

Чтобы показать, что R^ + 0, перепишем (58.4) следующим образом:

靑=唄(典 + MX% + %/^/勿；(58.8)

здесь принято

% =加欠〈и • D • и〉，％ = %〈时 u&〉，％ = %〈П • u8) •

Так как 勿=2〈D [u] : D [u] + | V0Z |2) + (/ir0，2)s квадратично no 0', отсюда следует, что при преобразовании 仅 + —8' меняется знак (но не величина) и

1) Аналогичный результат получен Рионеро [1971а].

Поскольку 夕丿勿，Sfj3) и %/勿一ограниченные функционалы в Н, имеем

при 九一> оо. Следовательно, при % -> оо 合= утm：X鲁+。(1)-8.

Аналогично при 九 + О

Поскольку Rx, f 0 при больших и малых % и положительно на внутренних интервалах, оно должно иметь максимум при конечном ненулевом значении 九.При достижении этого максимума должно выполняться соотношение (58.7).

Для вывода основных следствий из соотношения (58.7) продифференцируем соотношение

咫 g = % + /彩 2 + 331Vl

по 1/% и найдем, что

■^力=?2 - %爪.(58.9)

Используя (Б4.16), заметим, что уравнение Эйлера для (58.8) в слабой форме можно записать так:

=(58.10)

Главным следствием соотношений (58.9) и (58.10) является формула

% — ％/А =〈(巾一П/外•%『〉=0，(58.11)

где переменные с тильдой удовлетворяют соотношениям (58.8), (58.9) и (58.11).

Уравнению (58.11) можно удовлетворить несколькими способами.

Формула X (т]г110') =〈"%『〉 является основной для получения приближенных значений параметра связи X. Когда т) (х) = т)т (х), как в задаче Бенара, получается точный результат 兀=1. Имеются и редкие случаи, подобные плоскому течению Куэтта с подогревом снизу, в которых % = —", когда по формуле (58.11) не получается положительных значений 九.В этих случаях (58.11) удовлетворяется потому, что 6' = 0.

Упражнение 58.1. Доказать (58.5). Определить а2. Сформулировать все «технические» условия, при которых (58.5) справедливо.

Упражнение 58.2. Доказать теорему II энергетической теории устойчивости Дэвиса и фон Керчека [1973] (см. § 4) для основных решений уравнений ОБ.

Упражнение 58.3. Доказать, что два почти периодических решения уравнений ОБ совпадают почти везде, когда R < R&.

Упражнение 58.4. Доказать, что два решения НКЗ для уравнений ОБ, имеющие одни и те же начальные значения и удовлетворяющие уравнению (57.1), являются одинаковыми почти везде.

Упражнение 58.5. Предположить, что Л^ > 0 и Лс > 0 на всей границе S объема 夕 и что имеются части S (с положительной площадью), на которых справедливы неравенства. Далее предположить, что и = 0 на части S (с положительной площадью). Показать, что ограничено.

Упражнение 58.6. Рассмотреть задачу на максимум (58.8) при п「= —т). Показать, что можно всегда найти допустимые значения 0х, такие, что (丿入？2 + + ЗзМВ® неотрицательно. Показать, что наименьшим значением 1/R% является то значение, для которого 九= 1. Доказать, что 6' = 0 при 九= 1.

Упражнение 58.7 (Шир и Джозеф [1968]). Показать, что R% монотонно и выпукло по Ь・

Упражнение 58.8. Показать, что оптимальное значение 九с для максимума величины ?/勿 удовлетворяет уравнению

<(nc-riAc)-UY)= 0.(58.12)

Решения уравнений Обербека—Буссинеска, соответствующие состоянию механического равновесия

В состоянии покоя U = 0 и поддерживаются такие распределения температуры и массы, которые определяются условиями наличия только диффузии вещества и теплопроводности. В реальной действительности имеются конфигурации, для которых область и граничные условия таковы, что возможны решения, соответствующие состоянию механического равновесия; такие решения наблюдаются, когда параметры имеют какие-то вполне определенные значения. Например, в сосуде с жидкостью, подогреваемой снизу, теоретически может поддерживаться линейное уменьшение температуры при любом перепаде температур, но когда перепад температур превысит вполне определенное значение, в действительности начинается конвективное движение.

Допустим, что поле вектора ускорения силы тяжести g (х) является потенциальным. Тогда равновесное решение уравнений Обербека—Буссинеска существует только тогда, когда градиент

плотности и сила тяжести образуют параллельные векторные поля 1).

Для того чтобы доказать это, заметим, что при U 三 0 уравнения (54.2а), (54.3) и (54.4) принимают вид

V (Р/ро) = (1 —。7 (Г — То) + «с (С — Со)) g, (59.1) ^ = yN27 + Qt,(59.2)

^ = y〃2c + Qc.(59.3)

Применяя оператор rot к уравнению (59.1), находим, что rot g [а^ (Т — То) — а。(С — &)]=

=—g X (arVT — а〃С) = g X V (p/p0) = 0.(59.4)

Критерий g X Vp = 0 для существования состояний покоя Четко установлен и, по-видимому, впервые сформулирован Эйлером в его работе 1764 г, «О движении жидкости, возникающем при различной степени нагрева». (Ниже приводится подборка цитат из введения К. Трусделла к тому 11.12 трудов Эйлера.) При обсуждении физических причин конвекции Эйлер пишет, что

«Предмет ... не только совершенно новый, так как никто до сих пор не пытался геометрически определить движение жидкости, возникающее в результате нагревания, но и относится к той части анализа, к которой до настоящего времени не обращались ... Несколько лет тому назад автор показал, что... для поддержания воздуха в равновесии необходимо, чтобы на равных высотах были равные плотности, а также равные степени нагрева. Также справедливо, что когда равновесие нарушается из-за различной степени нагрева, то будет возникать движение, и автор посредством этого нового анализа развитого им более подробно, теперь начал исследовать (материю), и в настоящей диссертации он очень ясно показывает, каким образом могут быть найдены силы, вызывающие такое движение, и каково должно быть вызываемое ими движение, и в результате простых рассуждений он приходит к выводу, что если в сосуде, достаточно заполненном, вода в одной части становится более нагретой... то вода в нижней части будет непрерывно подниматься от более холодной части к горячей и, наоборот, в верхней части будет происходить опускание жидкости от горячей части в направлении холодной...

Когда я впервые более точно исследовал теорию равновесия жидкости, я показал, что ни атмосфера, ни какая-либо жидкость не может быть в равновесии до тех пор, пока степень нагрева не будет одинаковой всюду на равных высотах. В то время я не отважился определить природу движения, возникающего в результате различия в степени нагрева, поскольку такое исследование, как кажется, требует обширных знаний. Но, рассмотрев существо дела снова, я пришел к выводу, что это замечательное свойство всегда справедливо: если жидкость теплее в одном месте, чем в другом на одной и той же высоте, то в нижней области жидкость будет течь от более холодной части к более теплой. Так как этот вывод прекрасно подтверждается опытом, когда мы наблюдаем такие движения в дымовых трубах и парилках, мне представляется очень полезным разработать эту проблему более строго и объяснить возникновение этого движения настолько полно, насколько это воампжил»

При заданном необходимом условии (59.4) каждое равновесное решение должно также удовлетворять уравнениям (59.2) и (59.3). Мы не будем рассматривать уравнения (59.2) и (59.3) в общем виде, а вместо этого исследуем стационарные решения с Qc = 0. Потребуем, чтобы VT, VC, Vp и g были параллельными векторами. Большей частью будет достаточно считать g постоянным полем тяжести, направленным «вниз». Здесь «вверх» — направление в сторону увеличения %з, а ег —единичный вектор в этом направлении. В результате интегрирования уравнений (59.2) и (59.3) определяются функции Т (х3) и С (融),а через них и Р (%з). Обычно рассматривают устойчивость состояний покоя в слоях жидкости типа только что упомянутых. Но для существования равновесных решений Т (х3) и С (%§) не требуется, чтобы рассматривались области, подобные слоям; область может быть произвольной.

Чтобы представить поля температуры и концентрации в безразмерном виде, в каком они фигурируют в энергетических уравнениях (56.4)—(56.7), нам необходимо выбрать масштабные параметры Т\ С' н g', которые входят в определения параметров 例 и характеризующих устойчивость, и векторы основного состояния ”п т]с и "• Теперь мы будем рассматривать ситуации, для которых g' = |g| — постоянное ускорение силы тяжести и т| = —ег.

Стационарные распределения тепла и соли без источников удовлетворяют уравнениям (59.2)—(59.4) и должны иметь вид

Т (%з) = 4* + 7(。)，冃

С(х3) = Лсх3 + С(0).

Масштабные множители для уравнений (56.4)—(56.7) теперь можно выбрать следующим образом:

7 = |/rl и -y- = Mcl；

тогда

J —е2 (нагревание снизу),"т — [ ег (нагревание сверху)

и

J —ег (засоление снизу),"с — [ е2 (засоление сверху).

Если коэффициент теплопроводности kT (Т) зависит от температуры, то решение, соответствующее режиму теплопроводности, удовлетворяет уравнению kT (Т) dT/dx3 = const.

При изучении устойчивости режима теплопроводности в случае распределенных источников мы рассмотрим только химически однородные жидкости и положим Q^ (х3) = Q (融)и хг = х.

Решение, соответствующее режиму теплопроводности, тогда имеет вид

о

Это можно переписать следующим образом:

^ (令)+(】+淦⑵)=。，(59.6)

где z = %з〃，T7Z = —dT (0)/dx3 (>0 для наших задач),

z

±^z)= f^jQ®)dyои

力=% (d (77T')/dz) = -% (1 + 时(z))・(59.7)

Здесь E —параметр, характеризующий источники тепла.

Уравнение (59.7) описывает также мгновенные поля градиентов температуры в жидкости без источников тепла, но таких, что

^^ = -Q(X3)・^^ = -Q(X3)・(59.8)(59.8)

^^ = -Q(X3)・

^^ = -Q(X3)・

(59.8)

(59.8)

При определенных обстоятельствах медленные изменения Т (%§, f) во времени можно приближенно представить уравнением (59.7) и надлежащим выбором величины^ (/)•

Упражнение 59.1 (решение уравнений ОБ при наличии движения). Рассмо- треть^слой жидкости, ограниченный параллельными твердыми теплопроводными пластинами, простирающимися до бесконечности в двух направлениях. Нижняя пластина горячее верхней. Допустим, что пластины не горизонтальны, и обозначим нормаль к пластинам через Пусть скорость составляет U = е^ U (х3), где е#] лежит на линии пересечения плоскости, параллельной пластинам, и вертикальной плоскости, перпендикулярной пластинам. Найти поле скорости U (х8) и соответствующее поле температуры в виде Т (%j = С】+ С2х3, где Сх и Са — постоянные.

Упражнение 59.2. Вывести выражение, представляющее в наиболее общем виде решения уравнений ОБ в состоянии механического равновесия.

Упражнение 59.3 (Чандрасекар [1961]). Рассмотреть задачу о равновесном распределении температуры в самогравитирующих сфере или сферическом слое. Пусть гравитационный потенциал имеет вид Ф (г) (g = —V①)и распределение источников тепла Q (г)——произвольная функция, зависящая только от г (где г — радиус в сферической системе координат). Выразить распределение температуры в сферическом слое через заданное распределение источников тепла и заданные температуры на границах.

Физические механизмы неустойчивости состояния механического равновесия

Если жидкость вверху тяжелее, то имеется тенденция к гравитационной неустойчивости. Жидкость вверху может быть более плотной, если она солонее или холоднее. Элемент более легкой жидкости, смещенный вверх, будет испытывать действие подъемной силы (закон Архимеда), которая будет стремиться сдвинуть смещенный элемент жидкости вверх еще дальше. В процессе перемещения вверх разница в плотности между элементом жидкости и окружающей его средой уменьшается за счет диффузии и теплопроводности. Если скорость движения вверх велика по сравнению со скоростью диффузии и скоростью распространения тепла, то движущая сила плавучести (разница плотностей) не будет уменьшаться и движение станет неустойчивым.

Естественным параметром, характеризующим устойчивость, является число Рэлея, как показывают следующие соображения. Для простоты рассмотрим элемент жидкости радиуса а, находящийся в температурном поле с градиентом ДТ/а. Пусть центр элемента на АТ °C горячее окружающей его среды в горизонтальной плоскости, проходящей через центр. Предположим, что элемент поднимается достаточно быстро, так что на расстоянии а он охлаждается не более чем на АТ °C. Так будет, если в течение времени f NT It ^ хДТ/а2, т. е. если элемент поднимается со скоростью порядка 乂/a. Движение будет сохраняться, если подъемная сила плавучести 4/3pna3ag АТ, действующая на эту частицу, превышает силу вязкого сопротивления. Эту силу сопротивления для малых скоростей конвективного движения можно приближенно описать формулой Стокса

6jt(iaU = 6бna乂/a.

Следовательно, для потери устойчивости нужно предполагать, что ag ATaV(vx) > 1. (60.1)

Эта комбинация параметров определяет некоторое число Рэлея, но не является количественной оценкой критерия потери устойчивости, поскольку нет никакого способа оценить величину а. Наиболее известный пример потери устойчивости, вызванной силами плавучести, представляет изученная Бенаром [1900, 1901 ] задача о слое жидкости, подогреваемой снизу.

Ячеистое конвективное движение бенаровского типа может быть вызвано как силами плавучести, так и силами поверхностного натяжения. Когда слой жидкости подогревается снизу (или сверху), малые изменения температуры поверхности могут вызвать стягивание поверхности, которое вынудит жидкость под ней двигаться, и при определенных обстоятельствах это индуци-

рованное движение будет сохраняться, приводя к переносу тепла за счет конвекции, так же как и за счет теплопроводности. Такую конвекцию, конечно, нельзя вызвать в слое с твердыми границами без свободной поверхности.

В тонких слоях жидкости потеря устойчивости за счет поверхностного натяжения может возникать при значительно меньших градиентах температуры, чем те, которыми вызывается конвекция за счет сил плавучести. Действительно, первые наблюдения Бенаром упорядоченного гексагонального движения (см. рис. 1 в книге Чандрасекара [1961 ]) в открытом сверху слое спермацета (0,5 — 1,0 мм толщиной) не согласуются с механизмом плавучести; градиенты температуры в экспериментах Бенара были слишком малы, чтобы создать конвекцию за счет сил плавучести, а наблюдаемые искажения поверхности не соответствовали ожидаемым для такого рода конвекции. Согласование между оценками отношения размера ячеек к глубине слоя (безразмерное волновое число равно 3,26), проведенными Рэлеем [19166], и данными Бенара [1900, 1901 ] произвело на Бенара и других первых исследователей теории конвективной неустойчивости такое впечатление, что в течении полувека пригодность рэлеевской теории, учитывающей только плавучесть, для объяснения результатов Бенара не подвергалась сомнению. Наблюдения Кузена (цитируется в работах Пирсона [1958] и Блока [1956]) и исследования Пирсона [1958], Стернлинга и Скривена [1959 ], Скривена и Стернлинга [1964 ], Нилда [1964 ] и Смита [1966] убедительно показывают, что в экспериментах Бенара гексагональные ячейки появились под действием сил поверхностного натяжения.

Основной механизм, за счет которого потеря устойчивости может вызываться поверхностным натяжением, состоит, очевидно, в балансе сил, выраженном соотношением (55.12)，). Это соотношение, если его применить к возмущениям S', o' величин S и а, приводит к соотношению

S'・n — n (nS・n) — Vo' + n (n*V) o' = 0.

У жидкостей натяжение поверхности раздела (сила/длина) и, как правило, уменьшается с ростом температуры. Тогда выраже-

Задачи с поверхностным натяжением относятся к таким задачам, для которых положение границы раздела невозможно задать заранее. Некоторые авторы (см. Смит [1966]) задают плоскую поверхность, но допускают наличие градиентов поверхностного натяжения. Используя такое приближение, Дэвис [19696] провел анализ устойчивости состояния покоя на основе энергетической теории, а Гумерман и Хомси [1975] исследовали устойчивость плоского течения Куэтта слоистых жидкостей, подогреваемых снизу, на основе линейной и энергетической теории устойчивости. Гумерман и Хомси [1975] разработали энергетическую теорию для задач, в которых температура границ и скорости на границе изменяются импульсивно. Они использовали эту теорию в задаче с импульсивно охлаждаемым слоем жидкости, восприимчивым к вызываемой градиентами поверхностного натяжения неустойчивости.

ние 0=0。一 s (Т — 7欠)，где 7\ —точка отсчета температуры и s > 0, дает линейную аппроксимацию уравнения состояния для поверхностного натяжения; при этом о'=——s8‘, 8'——возмущение 7*—Tr.

Обзор литературы по неустойчивости, вызываемой силами поверхностного натяжения, имеется в работе Берга, Акривоса и Будара [1966].

§ 61. Необходимые и достаточные условия устойчивости

Если пределы линейной и энергетической теорий устойчивости совпадают, то в области устойчивости все возмущения независимо от их размера будут затухать экспоненциально после начального момента времени. В этой ситуации не может возникнуть докрити- ческой потери устойчивости. Пределы линейной и энергетической теорий устойчивости совпадают для целого класса задач, включая случай постоянного градиента (задача Бенара). Легко сформулировать априорные условия, которые являются достаточными для гарантии такого совпадения.

Если основным является состояние механического равновесия, то U = 0. Спектральную задачу линейной теории можно сформулировать на основе уравнений (56.3) методом линеаризации, используя экспоненциальный временной множитель е-。'. Это дает

-du = 一Vp — R" (96例一y3皆)+ V2u, (61.1a)

—00 7e=—R3 现 u • "7 + W8(61.16)

и

—о夕cY = _r%&u ・毗 + V2y,(61.1b)

где

|5 =(缪+從尸/2.

Энергетические уравнения для функционала (58.4) получаются так же, как и в § 56, и имеют вид

加先(/入Мт + п/ /九7)0 +加皆(V九с"с — "/ /入c) Y

导，加现(/入m7 +П//九7)7(=

(61.2а, б, в)(61.3)(61.2а, б, в)(61.3)必皆(/%С — "//K)・u

(61.2а, б, в)

(61.3)

(61.2а, б, в)

(61.3)

Здесь величины 九丁 и Хс удовлетворяют требованиям ? 一 〈力呻 а „ -<П-ит>

обусловленным достижением оптимальной границы устойчивости энергетической теории. Граничные условия оказываются такими же, как и в (56.3).

Теперь легко установить необходимые и достаточные условия глобальной устойчивости решения, соответствующего состоянию покоя. Пусть пространственные вариации векторного поля тяжести и полей градиентов температуры и концентрации в состоянии покоя пропорциональны, так что п = Пт = —Пс・ Тогда RL =R&・ Более того, каждое решение уравнений (61.1) имеет im (и) = 0 (справедлив принцип смены устойчивости).

При

(缪+皆2)1/2V历 не могут существовать докритические неустойчивости этого состояния покоя.

В этой теореме не подразумевается, что смена устойчивости и отсутствие докритических неустойчивостей эквивалентны.

Доказательство. Пусть f означает величину, комплексно сопряженную /. Так как о —комплексное число, члены уравнения (61.1) могут иметь комплексные значения. Из (61.1) находим, что—

—а (I и | + ^r 1012 + ^с I у |2) = —Rl^ (u.t)0 + u.40) +

+ 母加皆〈u ・ nY + u ・ r)Y〉+ (u ・ V2u + eV?® 十 丫山丫〉.(61.4)

В этом соотношении правая часть вещественна при любых граничных условиях (56.3); следовательно, im (а) = 0.

Задавая ц = т)г = —”^ из (61.3) можно найти, что 九「= =^с = L Тогда, сравнивая уравнения (61.1) при а = 0 и (61.2) при 入г =%с = 1, можно видеть, что R& = Rl； это и доказывает теорему.

§ 62. Задача Бенара

Наиболее известным и наиболее изученным примером термоконвективной неустойчивости является задача Бенара. В этой задаче “丁 = п = —е2 (нагревание снизу) и жидкость однородна. При таких условиях справедлива теорема об устойчивости, доказанная в предыдущем параграфе ')・

Поскольку докритических решений в задаче Бенара нет, можно сделать вывод, что первое критическое значение числа Рэлея 31 = ^в (т・ е. наименьшее 笈〉0, для которого а = 0) спектральной задачи (62.1) для конвекции Бенара оказывается глобальным пределом устойчивости 5?в = %• Мы наблюдаем глобальную устойчивость при 现 < 例卫 и потерю устойчивости при例 > 例8・

Спектральная задача для конвекции Бенара имеет вид

—аи - —Vp + ^z + V2u,(62.1а)

—о9 = ^?ш + V20, div и = 0,(62.16, в)

u，n1s = 0, 81"=0, ^ + 佃匝"= 0, (62.1г, д,е>

ills。= о, D[u]-n - n(n.D[u].n) \s_Su = 0. (62.1ж, з)

Хотя задача Бенара не может быть «проинтегрирована в общем виде», можно всегда «проинтегрировать» уравнение div и = О, вводя полоидальный % и тороидальный 中 потенциалы. Тогда вместо трех неизвестных компонент и нам необходимо найти только два поля % и V. Сославшись на разложение, обсуждающееся в приложении Б (см. разд. Б.6), мы заметим, что для любого соленоидального векторного поля имеет место равенство

u = rot2 ед + rot е2Т = щ + и2,

где и】 не содержит вертикальной компоненты завихренности, а и2—вертикальной компоненты скорости.

Задачу Бенара можно значительно упростить в том случае, когда вертикальная компонента завихренности J = e2 rot и равна нулю. Тогда и = и】, поле скорости чисто полоидальное и уравнения (62.1а, б) можно свести к следующим:

W% + V4x 一烫0 = 0, о0-例V証十 V20 = 0. (62.2a, 6)

Вертикальная компонента завихренности двумерного движения в ячейках в виде валов всегда равна нулю. Трехмерные движения могут иметь равную нулю вертикальную компоненту завихренности только в весьма частных случаях.

Спектральная задача для конвекции Бенара обладает таким особым свойством равенства нулю вертикальной компоненты завихренности в том случае, когда область, занятая жидкостью, представляет собой бесконечно протяженный горизонтальный слой. Эта задача весьма подробно рассматривалась в работах

Пелью и Саусвелла [1940 ] и Рейда и Харриса [1958]. Результаты этих авторов собраны в книге Чандрасекара [1961 ]').

Рассмотрим задачу (62.1), когда областью является слой жидкости, а и и р считаются почти периодическими функциями % и у. Граничные условия (62.1г—з) предполагаются однородными, но могут быть различными на плоскостях z 丁 0, 1. Таким образом, при z = 0, 1

и = 0 или (ш, du/dz, dv/dz) = 0(62.1 и, к)

и

dBldz + 九8 -0,(62.1л)

где 九 постоянно на плоскостях z = 0 н z = 1.

Для каждого собственного решения задачи (62.1а, б, в, и, к, л) с собственным значением а < min (| V^|)/(^2) имеет место равенство

白三G.rotu =而一而=0.

Для доказательства этого заметим, что —аС = V2C и при z = 0, 1 или £ = 0, или d^ldz = 0; следовательно,

0©〉=《代卩〉.(62.3)

Так как в слое жидкости С = 0, уравнения (62.1а, б, в, и, к, л) можно без потери общности свести к (62.26), где

X = d*ldz = 0 на твердой стенке(62.2в)

и

X =效/dd = 0 на свободной поверхности. (62.2г)

Уравнения (62.2а, б) можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям при помощи гипотезы Пелью и Саусвелла [1940] о разделении переменных:

扑 （624а，6）

Здесь функция ф (х, у), которая называется функцией горизонтальной структуры, удовлетворяет уравнению V^(p = —“2 屮 Каждая почти периодическая функция горизонтальной структуры с необходимостью является равномерным пределом экспоненциальных полиномов с членами вида

exp U (ах + pz/)],

где а2 + р2 = “2. Не каждая функция горизонтальной структуры является почти периодической. Например, функция Бесселя Jo (V) удовлетворяет уравнению V^o + 九^Jo = 0, но не является почти периодической. Действительно, любая квадратично интегрируемая функция должна иметь равную нулю почти периодическую норму (приложение А, свойство 8) и может не быть почти периодической.

Предположение, что решения задачи (62.2а, б) можно записать в виде ряда с членами типа (62.4), в силу свойства ортогональности 〈屮〃屮» = ^ni приводит к следующей задаче:

。圍 + [削"-二J- (62.5a,6)

где L =D2 — а2 и

D6+h6 = % = 0 и D% или D2x =0 при z=0, 1. (62.5в, г)

Теперь предел устойчивости 例=31Б для линеаризованной задачи Бенара отыскивается как минимальное собственное значение 例(а2) при а = 0, т. е. как

烫в = min 例(а2)=例(а2).

В нашем примере мы отдадим предпочтение следующему граничному условию для теплопередачи: 0=0 при z = 0, 1. Это соответствует заданию на границе постоянной температуры; его можно получить как предельный случай, в котором h f 8 (см. упражнение 62.1).

Упражнение 62.1. Показать, что

d现(a2, h)/dh > 0 н №先(* 五)/@〃20.

Указание. См. приложение Б, разд. Б.4.

Упражнение 62.2. (а) Показать, что линеаризованная задача Бенара (62.1) является самосопряженной, (б) Доказать, что и ——вещественное число, (в) Найти верхнюю границу для и (乱).(г) Найти вариационную оценку критических значений а2, (д) Конечно ли число собственных значений и (配)？ Что можно сказать о кратности собственных значений о 便)(см. приложение Б, разд. Б.9)?

Упражнение 62.3. Рассмотреть собственные значения и на пределе устойчивости и (先(а2)) = 0. Показать, что для каждого критического значения 现 >0 существует также собственное значение —乱 V 0. Показать, что существует наименьшее критическое значение 先в и что интервал (—先в,现в) не содержит никаких критических значений 优

Упражнение 62.4. Рассмотреть линеаризованную задачу Бенара в прямом вертикальном цилиндре произвольного поперечного сечения, ограниченном при 2 = 0 и 2 = 1 свободными теплопроводными поверхностями, на которых

6=5= duldz = dv/dz = 0.6=5= duldz = dv/dz = 0.(62.6)(62.6)

6=5= duldz = dv/dz = 0.

6=5= duldz = dv/dz = 0.

(62.6)

(62.6)

Показать, что решения этой задачи с необходимостью разделяются:

'〃(％,玖 z)‘'〃(％,玖 z)‘=cos (九疵)=cos (九疵)г（%,弘к丿г（%,弘к丿'〃％ (%,力 5(%, у) Рп (%，У).'〃％ (%,力 5(%, у) Рп (%，У).

'〃(％,玖 z)‘

'〃(％,玖 z)‘

=cos (九疵)

=cos (九疵)

г（%,弘к丿

г（%,弘к丿

'〃％ (%,力 5(%, у) Рп (%，У).

'〃％ (%,力 5(%, у) Рп (%，У).

Сформулировать краевую задачу, которой удовлетворяют функции wni ип, %, % и Рп-

Упражнение 62.5. Рассмотреть линеаризованную задачу Бенара для слоя жидкости с граничными условиями (62.6). Показать, что эту задачу можно привести к виду

[■(〃2冗2+a2)貝〃][■(〃2冗2+a2)貝〃]—（犷力+炉）匕］-［一@2%儿—（犷力+炉）匕］-［一@2%儿

[■(〃2冗2+a2)貝〃]

[■(〃2冗2+a2)貝〃]

—（犷力+炉）匕］-［一@2%儿

—（犷力+炉）匕］-［一@2%儿

где хп и 0П — постоянные, a n = 1,2, ... Показать, что 乱6 = (27^4/4)1/2.

Упражнение 62.6 (Хейлз [1937]). Рассмотреть задачу, сформулированную в упражнении 62.4, для цилиндра кругового поперечного сечения. Разложить функции &% (г, 0), 0rt, ип и т. д. в ряды Фурье по периодической переменной 0 < 0 < 2л и найти обыкновенные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты Фурье.

Упражнение 62.7 (Рабинович [1968]). Предполагая, что а = 0 и что 0=0 при z=0, 1, привести задачу (62.5) к одному интегральному уравнению, ядро которого является композицией функций Грина для L и L2. Используя результат, приведенный в приложении Г, показать, что это ядро является «осцилляционным ядром». Что можно сказать о собственных значениях 现(а2)? Сформулировать задачу, обратную (62.5), при и R 0 н рассмотреть условия, при которых ядро получающегося в результате интегрального уравнения является осцилляционным ядром.

§ 63・ Плоское течение Куэтта, подогреваемое снизу

Жидкость, описываемая уравнениями в приближении ОБ, заключена между двумя бесконечными горизонтальными пластинами, каждая из которых перемещается с постоянной скоростью в собственной плоскости. Разность скоростей пластин равна U, расстояние между ними /, и нижняя пластина на АТ ℃ теплее верхней. Основное течение является плоским течением Куэтта

П = Пт = —е2, U = 2exz.(63.1)

Мы рассматриваем заданные граничные условия: и = 8 = 0 при z = 土1/2・ Возмущения течения (63.1) удовлетворяют уравнению эволюции (57.1) с условиями у =九丁 = Яс =0.

Основное течение (63.1) глобально и монотонно устойчиво, когда

R2 三 R2 + 现2 V 唸=1708.(63.2)

Доказательство утверждения (63.2) следует из решения задачи 1®〃一 ％ 笈((i + x)/Kx) eq)

斥7 = тнХ<i vup + i ve'i2) *(63・3)

(Эта задача предлагается читателю в качестве упражнения 63.1.) Максимизирующее поле для функционала (63.3) не зависит от координаты х в направлении основного течения. Различие между этой задачей и близкой к ней задачей Бенара состоит в наличии сдвигового течения, из-за которого в рассматриваемой задаче появляется выделенное направление. Движения, не зависящие от координаты х, наблюдаются в экспериментах по устойчивости сдвиговых течений, подогреваемых снизу, когда величина сдвига не слишком велика 】).

Задача на устойчивость основного течения (63.1) значительно упрощается, если считать, что в начальный момент возмущения не зависят от %. Тогда можно положить(V2 =吼 + 殖)

f+# = °(б%)

и

(d/df + vd/dy + wd/dz)

и и W

+

2Rw 0 一侬

V2v — дР/ду 山侬-dP/dz

• (63.5)

夕舟

—Slw

V20

i) Грэм [1933] и другие исследователи при малых скоростях сдвига наблюдали конвективные валы с осями, пер пен ди ку л я р ны ми направлению сдвига. Нилд [1975] доказал, что появление поперечных валов является следствием градиента температуры в направлении сдвига.

Уравнения возмущений для v, w, 0 можно отождествить с уравнениями, которые описывают возмущения типа валиковых ячеек в покоящейся жидкости, подогреваемой снизу (задача Бенара); 〃 можно вычислить, если известны и и w. Исходя из этих сопоставлений и вводя энергию

&(7) = %(* + 逆 + 乡府)，

мы можем доказать следующее утверждение:

Не зависящие от % возмущения плоского течения Куэтта, подогреваемого снизу, всегда затухают согласно неравенству

冒(f)V冒⑼ exp {-2a(1 -例/|/市§) /} при

5?< И1708(63.6)

независимо от значения R. Более того, критерий (63.6) оказывается необходимым и достаточным условием устойчивости относительно возмущений, не зависящих от х.

Декремент затухания Л определяется выражением (58.2) при 九7 = 0.

Гумерман и Хомси [1975] обобщили только что проведенный анализ на двухфазные течения с плоской границей раздела фаз, которая может перемещаться под действием градиентов поверхностного натяжения. При тех же самых предположениях о границе раздела они исследовали и спектральную задачу.

Упражнение 63.1 (Джозеф [1966]). Доказать справедливость соотношений (63.2) и (63.3). Указание. Свести задачу к задаче, рассмотренной в § 48, и показать, что максимизирующие функции не зависят от %. Затем привести задачу к рассмотренной в § 62.

Упражнение 63.2. Рассмотреть не зависящие от % возмущения параллельного течения между наклонными параллельными пластинами, описанного в упражнении 59.1, и найти

энергетическое уравнение для возмущений температуры,

энергетическое уравнение для продольной компоненты возмущения скорости,

энергетическое уравнение для двух других компонент скорости,

перекрестное уравнение для произведения температуры и продольной компоненты скорости. *

Задачу о глобальной устойчивости течения между подогреваемыми наклонными плоскостями рассматривал Айясвами [ 1974]. Спектральную задачу для устойчивости этого течения изучали Гершуни и Жуховицкий [1969], а также Харт [1971].

Конвективный пограничный слой

Рассмотрим движение жидкости, описываемой уравнениями ОБ, в полупространстве х > 0, ограниченном бесконечной вертикальной стенкой % = 0. В каждой точке на высоте z эта стенка нагрета на АТ ℃ горячее, чем жидкость на бесконечности; вер-

тикальная температурная стратификация при % = 0 и % = 8 оказывается стабилизирующей: дТ/дг = с > 0, где с —постоянная. При такой конфигурации силы плавучести вызывают вдоль стенки течение типа пограничного слоя. Нас интересует устойчивость этого течения, и особенно те аспекты энергетической теории устойчивости, которые необходимо учитывать, поскольку эта неограниченная область не может быть заключена в полосу. Наш анализ представляет собой модификацию анализа, развитого Дадисом и Дэвисом [1971а ].

Конвективный пограничный слой соответствует точному решению уравнений ОБ (54.2) и (54.3) для однородной жидкости (ас = 0) без источников тепла (Q^ = 0), которое удовлетворяет следующим граничным условиям:

U = 0, Т = АТ + cz |%=0

и

U—> 0, Т—> cz |х->оо.

Решение (Гилл [1966]) имеет вид

U - (U,匕 Г) = (0, 0, Г (х)),(64.1а)

Г = roe-^L sin (%/L)(64.16)

и

Т = (АТ) е-х/厶 cos (%/L) + %(64.1в)

где

L = (4vx/(agc))i/4 и % = (agx/"c))i/2 AT.

«Горные и долинные ветры в стратифицированном воздухе» Прандтля [1949] содержат это решение как частный случай, когда рассматриваемая поверхность вертикальна, а не наклонна. Частное решение, использованное здесь, приведено в работе Гилла [1966] в связи с решением задачи о тепловой конвекции в прямоугольной полости (см. также Бэтчелор [1954 ]). Оно является аппроксимацией решения в средней по вертикали точке полости вдали от верхней и нижней горизонтальных стенок. Решения аналогичного вида найдены также Барсилоном и Педлоски [1967 ] для вертикального пограничного слоя во вращающейся, сильно стратифицированной жидкости. Конвективный пограничный слой обнаруживается и в стратифицированных жидкостях с горизонтальными градиентами температуры.

Уравнения ОБ, описывающие возмущения (64.1), представляются первыми двумя уравнениями (56.3а) (с у = 0). Возмущения должны также принимать заданные значения на стенке (х = =0) и вдали от стенки:

u I# ■ о = 91 а0 = 0 и и I т0, 6|н8To.

Предполагается, что возмущения являются абсолютно интегрируемыми на полуоси 0 < х < оо и почти периодическими по у и z функциями.

Энергетические уравнения для конвективного пограничного слоя в безразмерном виде таковы:

}^《u|2〉= _ [r〃®罂+2t)・u8 + Vu:Vu]]' (64.2а)

}夕伞(02) = -pR8u ・ VT + V0.V0]],(64.26)

где T)= (0, 0, —1), число Рейнольдса R определяется выражением

R = WqLZ = AT (4agx3/"5c3))i/4

и число Прандтля 夕=v/x. Скобки [ ] означают следующее:叵尸jidx,

о где

+L

о = lim -jjj- J J odydz.

Физические переменные получаются умножением безразмерных переменных на масштабные множители [L, WQi АТ, /?/”]= =[длина, скорость, температура, время ]. Основное состояние в безразмерных переменных описывается соотношениями

W = е~х sin х,

Т = cos х + 2z/(乡R)侬・3)

и определяется в области

⑦=[(х, у, z): %》0, — оо < у, г < оо ].

Рассмотрим энергетическое уравнение, полученное сложением уравнений (64.2а) и (64.26):

等= R" +勿，(64.4)

где

勿=[[丨 V" |2 + I Vu |2 + IV侬 F + I V9|2] и

? = _『〃侬 dW/dx + 乡〃 8 дТ/дх^

Заметим, что в выражение для ? не входят члены с перекрестным произведением ш0. Далее определим

=sup ?/殴(64.5)

где верхняя грань оценивается на функциях (w, и, w, 0), которые удовлетворяют уравнению div и = 0, равны нулю при % = О, абсолютно интегрируемы в области 0 «尤《8 и являются почти периодическими по у и z.

Необходимо доказать существование конечного значения R露 являющегося решением задачи (64.5). Этого достаточно для нахождения верхней границы отношения ?/勿；тогда 夕/勿 будет иметь по крайней мере верхнюю границу. Прежде всего, используя неравенство Шварца и неравенство 2аЬ «а? + Ь2, заметим, что

? « % [/@Ш评(〃2 + 眇)+ 夕 I/硕而(〃2 + 02)] С

《％ [/(dIF/dx)2+ 夕2 077 力f (〃2 + 睥 + 眇 + 炉力.(64.6)

Так как dW/dx《V2е~х и дНдх « И 2 е~х, мы имеем

誓《学/匸p止善si三m生竺M(q),(64.7)

где q = (〃，и,明 0).

Пусть Al：——точная верхняя грань М на всех допустимых функциях, которые удовлетворяют условию divu = 0 и равны нулю при х = 0 и х=8. Пусть М2 — точная верхняя грань М в расширенном классе допустимых функций, которые включают и такие, что divuRO и и< оо и 0<оо при х = оо, но для которых сохраняются условия ц = 0 = 0 при х = 0. Очевидно, что

№ « 財2 = [с-* |q 叩勿 < [L |q |2]/[| dq/дх |2].(64.8)

Тогда, полагая(p2 = | q『，получаем

и, возводя в квадрат, имеем

I d^/dx |2《I dq/dx 户;

следовательно,следовательно,

следовательно,

следовательно,

(64.9)(64.9)J ф2е-х dx小^——-[I d(p/d% 12 dx6

(64.9)

(64.9)

С другой стороны, для вектора qx (<р, <р, ф, <р) имеем q〔 = 0 при х = 0 и I qx I < оо при % = 8, поскольку это свойства функции 屮=屮(х). Таким образом, q〔——вполне допустимый для сравнения вектор при отыскании верхней границы М?； поэтому мы находим, что

J L(p2 dx

业警^ = ^《也 (64.10)

j I d^/dx I2 d*

6

Из сравнения выражений (64.9) и (64.10) видно, что верхнюю грань М2 можно найти среди функций <р (х), зависящих только от х, равных нулю при % = 0 и ограниченных при х = оо.

Для того чтобы найти М^ удобно преобразовать полубесконеч- ный интервал 0 с х с оо в единичную полосу 1 > £》0:

£ = с-х/2.

Это приводит к следующей вариационной задаче:

J е~х^ dx“2 = sup -^ J I d^/dx^ dx оJ е~х^ dx“2 = sup -^ J I d^/dx^ dx оj £(p2d£4 sup •y—^ [£ I d(p/d£ |2 df6j £(p2d£4 sup •y—^ [£ I d(p/d£ |2 df6

J е~х^ dx

“2 = sup -^ J I d^/dx^ dx о

J е~х^ dx

“2 = sup -^ J I d^/dx^ dx о

j £(p2d£

4 sup •y—^ [£ I d(p/d£ |2 df

6

j £(p2d£

4 sup •y—^ [£ I d(p/d£ |2 df

6

где верхняя грань определяется на функциях <р (£), для которых Ф (0) < оо и ф (1) = 0. Эта верхняя грань достигается при помощи допустимой функции, удовлетворяющей уравнению Эйлера

需+ 3需+去屮=°，叭。)<8,①(1)=0・

Следовательно,屮=J。(2£/，此)и 2/j/Af2 — первый положительный нуль JQ (х), т. е. 2/|/〃2 = 2,405. Возвращаясь теперь к (64.5) и (64.7), находим

11! +然 4! +然 42(2,405)2 ・2(2,405)2 ・

1

1

! +然 4

! +然 4

2(2,405)2 ・

2(2,405)2 ・

Отсюда следует, что конвективный пограничный слой устойчив при условии

R « (2,405)2/(2 |/ 2(1工尹))« R^

Значения R& (乡)для задачи (64.5) были найдены численно Дадисом и Дэвисом [1971а ] и сопоставлялись со значениями RLi вычисленными Гиллом и Дэви [1969 ] при исследовании устойчивости конвективного пограничного слоя на основе линейной теории устойчивости. В сравнительной работе Дадиса и Дэвиса [19716] на основе энергетической теории исследована также устойчивость экмановского пограничного слоя.

Глава IX

ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙпокоя НЕОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙПРИ ПОСТОЯННЫХ ГРАДИЕНТАХТЕМПЕРАТУРЫ И КОНЦЕНТРАЦИИ

Состояния покоя неоднородных жидкостей оказываются более сложными, чем однородных. Потеря устойчивости может быть обусловлена различием диффузионных свойств жидкости в различных полях; например, в океане диффузия тепла может происходить в сотни раз быстрее, чем диффузия соли. В отличие от покоящейся однородной жидкости покоящаяся неоднородная жидкость может терять устойчивость, переходя в периодические по времени движения, которые возможны даже тогда, когда внизу находится более тяжелая жидкость.

Проблема устойчивости состояний покоя неоднородных жидкостей выявляет весьма интересные и неожиданные физические свойства. Более того, эта проблема занимает важное место в нашей глобальной теории устойчивости, поскольку здесь удается провести обобщенный энергетический анализ с самого начала и до полного завершения.

Механика потери устойчивости решений при наличии теплопроводности и диффузии в покоящихся неоднородных жидкостях

Довольно часто случается, что разница плотностей, вызывающая движение за счет сил плавучести, возникает как из-за различия массовых концентраций (соленая вода, разнородные газы и т. д.), так и из-за различия температур. Решения при наличии теплопроводности и диффузии здесь рассматриваются как обобщение решений уравнений Буссинеска, соответствующих состоянию покоя, когда поле плотности одновременно зависит от полей температуры и концентрации двухкомпонентной смеси.

В § 59 мы показали, что условия существования равновесных решений достаточно ограничительны. Если внешние условия стационарны и нет никаких источников тепла и массы, то поля температуры и концентрации имеют постоянные градиенты, параллельные силе тяжести. Тогда остается четыре варианта условий, соответствующих различным комбинациям нагревания и засоле-

ния. (Здесь и далее мы везде говорим о соли, но подразумеваем любое растворимое вещество.) Мы будем исследовать проблему глобальной устойчивости этих решений с постоянными градиентами.

Поля температуры и солености называются стабилизирующими, если они создают стабилизирующие градиенты плотности. Нагревание сверху и засоление снизу являются стабилизирующими и, как легко показать (упражнение 65.1), приводят к абсолютной, монотонной и глобальной устойчивости. В § 66 мы покажем, что при нагревании снизу и засолении сверху критические параметры энергетической и линейной теорий устойчивости совпадают, как и в задаче Бенара. Получающийся в результате критерий является необходимым и достаточным условием глобальной устойчивости.

Два решения задачи на устойчивость состояния покоя, в которых градиенты температуры и солености «конкурируют», представляют интерес потому, что в них возможны эффекты, не похожие на наблюдавшиеся в задаче Бенара. В задаче с «конкурирующими» полями в отличие от задачи Бенара конвекция может возникать и в том случае, когда распределение плотности в состоянии механического равновесия гравитационно устойчиво; конвекция может происходить в виде незатухающих колебаний, а не в виде монотонного роста (принцип смены устойчивости несправедлив), и вся конфигурация может оказаться неустойчивой в докритической области.

Здесь мы рассмотрим задачи, связанные с нагреванием и засолением снизу. Другую интересную задачу ——нагревание и засоление сверху (океан) —можно получить простой перестановкой в окончательном результате параметров, характеризующих нагревание и засоление.

Нагревание и засоление снизу, по-видимому, лучше всего описывать на языке физических понятий в контексте «соленого бассейна» (Табор [1963 ], Табор и Матц [1965 ], Вейнбергер [1964]).

«Бассейн» —это весь слой жидкости, который и нагревается, и засоляется снизу, так что верхние слои жидкости являются тепловой изоляцией для нижних. Подобно Мертвому морю, бассейн залит пресной водой на свободной границе и засолен на дне, что гарантирует существование устойчивого градиента солености по вертикали. Темное дно бассейна является эффективным поглотителем энергии солнечного излучения, что обеспечивает эффект нагревания бассейна снизу. При отсутствии устойчивого градиента солености предельный нагрев, который может достигаться этим путем, определяется условием устойчивости относительно возникновения конвективного движения. Устойчивый градиент солености способствует поддержанию значительно большей разности температур перед тем, как произойдет опрокидывание. Такая конфигурация и теплоизолирующее свойство, вызванное

устойчивым градиентом солености, по-видимому, также объясняют особенности наблюдаемого распределения температуры в Красном море (Свеллоу и Криз [1965 ]) и в некоторых венгерских (Вейнбергер [1964 ]) и антарктических соленых озерах (Ширтклифф [1964 ], Хоар [1966]).

Надеясь на снисхождение читателя, мы уподобим океан соленому озеру, перевернутому «вверх дном». Нет никаких сомнений, что для типичных конфигураций в глубине моря находится пресная холодная вода, а над ней теплая и соленая 】).Стоммел, Ароне и Бланшар [1956 ] описали «океанографический курьез», заметив, что если длинную вертикальную трубу опустить в океан таким образом, чтобы ее нижний конец оказался в холодной пресной воде, а верхний — в теплой и соленой, то после запуска фонтана в ней можно поддерживать непрерывное движение. Они объясняют это тем, что поднимающаяся (или опускающаяся) вода в трубе должна обмениваться теплом, но не соленостью с окружающим океаном и движение должно вызываться меньшей соленостью и плотностью жидкости в трубе, чем на том же уровне вне трубы. Этот фонтан является примером конвекции в гравитационно устойчивом поле (средняя плотность соленой воды вне трубы уменьшается снизу вверх).

Явление, известное под названием «солевые пальцы», оказывается естественным моделированием «солевого фонтана» посредством механизма, который связан с большой разницей молекулярных коэффициентов диффузии соли и распространения тепла:

乡с хг 1,5-Ю~3 смз-с-

для солености 3,5% при 20° С. Этот механизм впервые описан Стерном [1960]. Рассмотрим случай, когда теплая соленая вода находится над более холодной пресной водой, но средняя плотность уменьшается снизу вверх (гравитационная устойчивость). Теперь сместим вниз частицу теплой соленой воды малого размера. В более пресной и более холодной окружающей среде эта частица будет терять и соль, и тепло, но потеря тепла будет происходить примерно в сто раз быстрее потери соли. Таким образом, в зависимости от скорости перемещения смещенная частица может оказаться тяжелее соседних, и тем самым может обеспечиваться самоподдерживающееся движение ).

Аналогичный механизм образования «тепловых пальцев», что возможно в задачах с солеными бассейнами (если можно найти сорт соли, для которой т ^ 0,01), не требует особого объяснения. При анализе можно допустить, что параметры принимают все возможные значения. Чтобы получить результаты для нагревания и засоления сверху, необходимо только поменять местами St m皆，乡Т ивe，九7 и Яе.

Основой при исследовании устойчивости являются выражение для возмущений (56.3) и энергетические уравнения (56.4)— (56.7) при R = 0.

Упражнение 65.1. Рассмотреть слой соленой жидкости, нагреваемой сверху при подводе соли снизу (т)=——厶，=т)с=——ej. Найти положительно определенный функционал для возмущения, которое затухает монотонно независимо от значений 现 и 皆 или от величины начальных возмущений.

Энергетическая теория устойчивости при нагревании снизу и засолении сверху

В такой постановке задачи "=巾=―ег = —%• Рассмотрим энергетическое уравнение (57.1). Мы можем прямо, не решая задачи, определить значения 九丁 и А。，входящие в уравнение (57.1), из (58.11) (при 又 =九丁) и (58.12); в результате получится, что %т=Ас = 1. Затем, используя уравнение (57.1) (при U = 0), можно найти, что

d^/dt《一2 [1 -例/例&] (66.1)

при условии

现& (а)现& (а)=max=max2〈碗〉一2a〈⑪y〉2〈碗〉一2a〈⑪y〉(66.2)(66.2)

现& (а)

现& (а)

=max

=max

2〈碗〉一2a〈⑪y〉

2〈碗〉一2a〈⑪y〉

(66.2)

(66.2)

где а =皆/例,a 勿 определяется выражением (57.3). Уравнениями Эйлера и граничными условиями для задачи (66.2) оказываются точно уравнения (56.3), когда в (56.3а) R ^ d/dt = 0,现=烫冒 и уравнения линеаризованы. Так как для нейтральных возмущений предел энергетической теории 现& (а) совпадает с пределом линейной теории 现厶(а), их общее геометрическое место точек оказывается глобальной границей между устойчивыми и неустойчивыми состояниями. Следуя доказательству теоремы энергетической теории устойчивости (§ 4), мы можем доказать следующую теорему.

Теорема IX.1. Равновесие теплопроводной жидкости с диффузией при постоянных градиентах при нагревании снизу и засолении сверху оказывается безусловно и монотонно устойчивым, если

现V现冒（а）, a = 皆/例,

и неустойчивым, если

例＞现岁 (a).

Не может существовать никакой стационарной докритической конвекции, если

例V庞岁 (a).

Здесь сильное утверждение об устойчивости одновременно подкрепляется оценкой затухания в форме (4.7).

Нагревание и засоление снизу;

линейная теория

Здесь Т)= "т = % = —%，причем удобно выделить три класса задач.

Задача А. Область произвольна, и имеет место любая подходящая комбинация условий (56.Зв, г, д).

Задача Б. Область произвольна, и S = S^ = = Sc (0 = Y = 0 на всей границе). Граница может включать как свободные от напряжений элементы, так и жесткие элементы.

Задача В. Область представляет собой слой, ограниченный свободными от напряжений поверхностями, на которых 0 и у по определению равны нулю. Возмущения двумерные.

Спектральные уравнения для каждой из этих задач имеют вид

—аи = —Vp + %例(0 — ау) + V2u, div и = 0,(67.1 a)

—о 夕卅=例⑪ + V20(67.1 б)

и

—o”Y =傲ze + Ру.(67.1 в)

Здесь мы выбрали а =皆/例 и в качестве критических значений линейной теории устойчивости ищем значения 例=例厶(а), соответствующие ге (а) =0.

Заметим, что величина

怨飞磊%例2)

является наименьшим критическим значением задачи Бенара.

Ниже собраны воедино результаты линейной теории устойчивости, которые используются в последующем анализе.

Задача А. В пределе 乡° + 8

例厶(а) т 取(0)=现6・(67.3)

Задача Б. Решение с постоянными градиентами при нагревании и засолении снизу неустойчиво всюду, если

现2一诊2>现^.(67.4)

Задача В. Решение с постоянными градиентами %р〃 нагревании и засолении снизу неустойчиво всюду, если

现份2(TV1)，

驼> 磁 + "(。1,&他*<1),(67.5)

喲h%廿叫)+佈察(г>1.^>1).

где 喉=657 " ^*2 予例^(夕Т + 1)/[乡7 G - 1)]■

Критерий (67.5) следует из подробных расчетов Сани [1963] и Верониса [1964 ]. Сравнительно полная линейная теория задачи А для случая, когда исследуемой областью является слой, сформулирована Нилдом [1967 ]. Соотношения (67.3) и (67.4) взяты из работы Шира и Джозефа [1968].

Доказательство (67.3). Пусть черта сверху означает комплексно сопряженную величину. Тогда из уравнений (67.1) можно найти, что

I仆I —勿a]im〈Y初一汕〉1勿 2<|丫з|〉现а

II —例a〈152+ 乡Т|6户 +俨ciYg〈1@产 + дd/2〉《J死 (здесь мы воспользовались неравенством 2，％〈|丫叫《 < (I t^|2 + ^с| Y |2))- Предположим, что на пределе устойчивости 0 (%)=i im 0 设)，где

im(o)=^^, — 11, &R0,(67.6)

и re (а) =0; тогда уравнения (67.1) можно переписать в виде V2u + 5?0е2 — Vp =例 ауе? + ^^^1 i,

▽唱+如「整‘

и

C^ayi = p余｛例a9 + wy｝；

в пределе 呢 + 8

y—о, v2u + 现决 z - vp->o,we + 茨g—о.

Эти уравнения справедливы для любой формы области и любых естественных граничных условий и определяют критическое значение линейной теории устойчивости для задачи Бенара 例=例^.

Доказательство (67.4). Рассмотрим задачу Б. Мы ищем решение задачи для о = 0. Из уравнений (67.16, в) мы видим,что 8/例一丫/a现一гармоническая функция, и, так как она равна нулю на границе, должно выполняться равенство

аб = у.(67.7)

Заменяя в уравнениях (67.1а, б) у на а0, находим, что

一 Vp + е/例(1 一 a2) + V2u = 0 и

例侬 + V20 = 0.

Эти уравнения имеют собственные решения при граничных условиях задачи Б. Наименьшее собственное значение равно

喉=砂(1 - a2) = / 一皆2.

Доказательство (67.5). Рассмотрим задачу В. Здесь 8 = у = =w=或拙 |z=±i/2 = 0. Анализ начинается с уравнений (67.16, в) и уравнения четвертого порядка для з, которое получится, если взять вертикальную компоненту результата применения операции rot2 к уравнению (67.1а). Из этих уравнений видно, что все производные 0, % 侬 четного порядка равны нулю при z = 士％, так что допустимые решения представляют собой ряды с членами вида

ехр {/ (ах + Ry)} cos илг, а2 + Р2 = а2.

Уравнения для ег - rot2 и, 0 и ^ можно тогда записать в виде

(п2л2 + *(几2歩 + 炉 _ °)侬и — @2例в。+ “2例《у。= 0, (67.8а)

现 g 一(几2n2 + @2 - 0?7)询=0(67.86)

и

现 — (/г2л2 + a2 — о 夕 c) Yu =。・(67.8в)

Линейные однородные уравнения (67.8) имеют решения относительно постоянных ш0, 0О и у。тогда и только тогда,когда значения 例 и а2 выбраны таким образом, что детерминант, составленный из коэффициентов при этих постоянных, равен нулю. Это условие можно записать в следующем виде:

0 -缪乐 Q2 一 1) + (出n2 + *3 _

一。(缪"抹嗡0 a +(及%2 +标产(1 +俨，+乡。)}+

+ a2 (几2h2 + a2)^T^c + 乡Т + 乡С)-炉夕T然.(67.9)

Чтобы найти предел устойчивости, рассмотрим граничный случай ге (о) = 0 и найдем вещественную и мнимую части (67.9):

0 =例2a2 02 — 1) + (九2岂2 + "2)3 -

一 (im (。))2 (9e9T + 0c + ^r)^ + 炉)(67.10)

и

0 = im (。){竺啸若烈1 + (/Ai? + ”)2 (1 +乡Г + JR 一

—(im(o))2 夕丁夕J.(67.11)

Подставляя в (67.10) im (a) = 0, находим

现2(1 一a2) = (M絞 _|_ 喲3/a2 = 27的4,(67.12)

где минимизирующие значения равны и = 1 и a2 = л2/2.

Если im (a) R 0, то исключение im (а) из соотношений (67.10) и (67.11) дает

缪=」*彖等+(；+】)(臺+1)堡*，(67」3) где т =乡с/夕7, так что значения и = 1 и а2 =冗？/2 снова оказываются минимизирующими. Уравнение

夕с・(67.10) - (67.11).(п2л2 + a2)/im (a) приводит к соотношению

^c(nV + a2)(^r+l)(im(a))2 =

=出缪公(1 — }) 一(必冗2 + 犀)3 (贵+ }).

Так как (im (a))2 > 0 по определению, необходимо, чтобы было т>1, 缪心> 皆*2 =27唄片产.(67.14)

Если эти сотношения выполняются, то неустойчивость для малых возмущений впервые возникает в виде колебания при Я2 =例工, определяемом выражением (67.13), ге о (例厶)=0 и im о (例厶)R 0. Когда одно из неравенств (67.14) (или оба эти неравенства) не выполняется, то im о (例厶)=0 и потеря устойчивости по линейной теории происходит при

例2 —皆2 = 27冗2/4, определяемом выражением (67.12),

в виде экспоненциально растущего возмущения без колебаний.

Заметим здесь, что неравенства (67.14) можно всегда удовлетворить, если зафиксировать 夕丁 > 0 и % + 8 (t + оо). Тогда из (67.13) находим, что

现工=27打4/4 =%^.

Мы уже показали, что когда параметры принимают значения, определенные в третьем неравенстве (67.5), состояние покоя жидкости, подогреваемой снизу и засоляемой снизу, будет заменяться колебаниями.

Те же самые формулы показывают, что конвекция может существовать и в том случае, когда жидкость гравитационно устойчива. В этом случае градиент плотности для теплопроводного решения с диффузией отрицателен:

0>e2.Vp = Pt) {—аг 备 + 左聲} = Р。％ | 爸 | {賽-1} •

Так как из соотношения (67.13) видно, что при больших значениях 皆 при условии

现2工 _ 1 4- т^т )]= t(l + 乡т)《1

могут возникать колебания, система может быть неустойчивой, даже будучи гравитационно устойчивой.

Нагревание и засоление снизу; энергетическая теория устойчивости

Для общей задачи А можно доказать следующую ниже теорему, однако утверждение этой теоремы о неустойчивости предполагает выполнение (67.3).

Теорема IX.2. Решение с постоянными градиентами при нагревании и засолении снизу монотонно и глобально устойчиво, если 例 < 例в, и неустойчиво, если 乡с + 8 〃 例〉Яв.

Доказательство. Эта теорема является следствием уравнения для эволюции энергии возмущений (57.1) при U = 0," = =Пт = Пс = 一 ez и

」一=min max {[(1 + 九「)+ 现& 什，生 н

+ a(M — 1)@Y〉]/勿 Е, j/時仇 J/%y】}・ (68.1)

При заданном Хс максимальное значение (68.1) в Н должно достигаться при (Хс — 1)〈9丫〉> 0. Следовательно, мы должны иметь 入с = 1 в минимуме (68.1) по Хс. При Хс = 1 максимум (68.1) достигается для у = 0, но при у 三 0, согласно формуле (58.11), 九 т = 1 и

现岁 =现厶(0)=现8.

Это означает, что величина S (/) = V2 (| и |2 + ^г02+ Хс^су2), определенная для любого решения НКЗ для возмущений, зату-

хает по меньшей мере с той же скоростью, что и предельная экспонента вида

S(0) ехр {—А(1—例/例8)} при ^< SlB.

Когда 现 > 例в, можно найти возмущение, для которого 否(/) какое-то время будет возрастать. Обычно, если 现一例в > 0 не слишком велико, это мгновенное возрастание будет затухать. Однако, когда 呢 — оо, это возмущение в силу (67.3) будет не затухать, а сохраняться.

Обратим внимание читателя на то, что функционал (68.1) не зависит от числа Прандтля для нагревания (乡丁) или засоления (乡»• Отсюда следует, что критерий теоремы IX.2, который достигается при 夕° + 8, является оптимальным возможным критерием глобальной устойчивости, не зависящим от 夕с и ^т- В то же время этот критерий обеспечивает необходимое и достаточное условия глобальной и монотонной устойчивости.

Для получения более сильных результатов относительно глобальной устойчивости необходимо ввести в глобальный анализ зависимость от числа Прандтля.

Нагревание и засоление снизу; обобщенная энергетическая теория

Здесь анализ начинается с рассмотрения энергетических уравнений (56.4)—(56.7). Уравнение для перекрестных произведений является тем новым элементом, который позволяет ввести в энергетический анализ числа Прандтля. Мы рассмотрим задачу Б; для этой задачи все определяемые на поверхности члены в уравнениях (56.4)—(56.7) равны нулю.

Первый шаг —это составление уравнения эволюции возмущений

*{舍 + /I- (I Vu I2 + I V(p I2) + *(1 + 九务一2：，工)(叫〉•

(69.1)

Это уравнение является линейной комбинацией энергетических уравнений (56.4)—(56.7):

+ 好(56.5) + Хс (56.6) 一 2九“с (56.7)夕力(1 + т) (69.2) с вещественными постоянными связи Zr и 九个 н в нем принято 序(/)=J〈|U『 + 供屮2、，

Ф(X, /)=九舟一九cY，

2 (x, /)=九丁8 — т入cY，

где мы выбираем только такие значения 九丁 и Хс, для которых

* + аТ一^^ = a(击_ 屁)+(69.3)

При выводе линейной комбинации уравнений (56.4)——(56.7) можно выбрать три независимые постоянные связи. Два из этих трех параметров были выбраны таким образом, чтобы поля возмущений у и 0 появлялись только в комбинации ф в правой части (69.1).

Для задачи Б можно доказать следующую теорему.

Теорема IX.3. Пусть

А2^^-^<9^(69.4)

при 皆/例 < 1 < 1/т, и пусть

4 =(T2 一 1)-1/2 (T 现一份)v 例8(69.5)

при 皆/例 > 1/т, где т > 1; тогда

方｛舍 + 冇 < -F (1 — 4/%)舍⑴(69.6)

и 舍(f) стремится к нулю 6 том смысле, что t

lim ［畲(/)df<8.(69.7)

0

Критерий (69.4) —необходимое и достаточное условие устойчивости в смысле утверждения (69.7).

Доказательство. Пусть

24 三例(；+ 九7— \ 入7 11 + Т /

Тогда уравнение (69.1) можно переписать в виде

备｛畲 + 万=_〈I VU |2 + I -〈I Yй ::f 猊再｝；

в силу оценки (67.2) правая часть этого уравнения не превышает величины

-《Vu|2 + |V(p|2〉(i — 4%),

и, поскольку существует такое 守 > о, что (| Vu |2 + | V(p |2) > > 占2, получающееся неравенство для эволюции энергии возмущений можно продолжить следующим образом:

《一 3(1-4/现8)舍.

Положим б?=守(1 —А/例в) и проинтегрируем последнее неравенство:

t

舍(0 -序(0) +歹⑴一歹(0) 4 一产J舍⑺ *.(69.8)

о

Так как 舍(0) и 交(0) ограничены, а 序(/) и 彳(/) не могут быть отрицательными, из (69.8) следует, что и 舍(/), и 歹(f) равномерно ограничены по /. Если это так, то и интеграл j 舍(f) df должен быть о

равномерно ограничен по /・ Поскольку 含(/) — интегрируемая функция, утверждение (69.7) справедливо при А < %.

Далее мы покажем, что Хг и 入с можно выбрать так, что Л будет принимать значения, выписанные в правых частях (69.4) и (69.5). Мы ищем значения 九丁 и Хс, удов летвор я ющие соотношению (69.3) и дающие наибольшее возможное значение (предел устойчивости) величины в правой части критерия

例 < 2% (士 + 储一器)'(69.9)

Эта задача отыскания «оптимальной» границы устойчивости оказывается обычной задачей на максимум. Чтобы ее решить, рассмотрим соотношение (69.3) для определения зависимости Хс (Хг) и приравняем нулю полную производную правой части (69.9) по 入т・ Тогда, помимо (69.3), мы будем иметь

(人务一1) (1 + 九甘(1 + T") - 4T九弟速=0.(69.10)

Затем мы найдем непрерывные решения (69.3), (69.10) на двух ветвях. На первой ветви а < 1 < 1/т и

九7 = (/1 -心炉-T |/1 - a2 )/(1 - T),

儿・=(|/1 — a2T2 __ ]/1 — а2)/[а (1 — т)].

Из неравенства (69.9) следует неравенство

例 < 31 в! V 1 - а2,

доказывающее (69.4). На второй ветви а а 1/т, т > 1,

и тогдаи тогда九7 =屍=

и тогда

и тогда

现V号（」「）

1 — а/т

что доказывает (69.5).

Последняя часть утверждения теоремы следует из условий (69.4) и (67.4). Теорема доказана.

Мы хотим обратить внимание на частное значение 皆 2 =铸=契 ^/(т2 — 1),

при котором пределы устойчивости (69.4) и (69.6) совпадают. Слева от точки 穹I не может быть никакой докритической неустойчивости. Здесь глобальный вопрос о возникновении конвекции решен полностью и окончательно.

Насколько хорошо выполняется критерий (67.5) для 皆 > 穹， Конечно, на этот вопрос ответить нельзя, не располагая подробными сведениями о решениях нелинейной НКЗ, а это находится за пределами наших возможностей. Но для частной задачи В мы, помимо (67.5), имеем результат Сани [1965], рассматривавшего эту нелинейную задачу методом возмущений, и Верониса [1964, 1968], рассматривавшего нелинейную задачу В прямым методом на основе численного решения (см. рис. 50 ниже). Оба эти автора обнаружили докритические неустойчивости в области 穹>皆1 и t ； 1. В этом отношении особый интерес представляет результат Сани, поскольку метод возмущений для движений с малыми амплитудами позволяет охватить весь набор параметров. Можно ожидать, что эти результаты, подобно критерию (67.5), будут зависеть как от 结，так и от 乡Однако Сани методом возмущений нашел то же самое критическое значение 皆力 и его приближенный метод указывает на существование двумерных конвективных решений для всех &>&「 Этот результат вообще представляет большой интерес, поскольку данный частный результат метода возмущений в отличие от других зависит не от каждого из значений 夕丁 и 乡с в отдельности, а только от их отношения.

Следует назвать результат энергетической теории, указанный в теореме IX.3, оптимальным, если можно показать, что отрицание в критерии (69.5) подразумевает неустойчивость не для всех значений (夕丁，乡。)，таких, что т > 1, а для всех значений т > 1 и любого из значений, скажем, 芻.Причина этого состоит в том, что уравнение (69.1) уже показывает, что энергетический критерий может зависеть от ^Т и ^с только через отношение т . Несомненно, что этот предел, обеспеченный корректностью вычислений Сани для частной задачи В, достигается при &=密^ в задаче В, а возможно, и во всех задачах класса Б.

Однако даже без учета нелинейного результата метода возмущений имеются соображения, согласно которым можно показать, что (69.5) является оптимальным результатом. Рассмотрим критерий (67.5) при больших значениях 皆 при т -> 1 и фиксированном и малом 乡т・ Тогда решение задачи В неустойчиво при 缪 >皆2/T2.

Однако условие (69.5) гарантирует устойчивость в том же самом пределе при

缪 V 皆2/#

Невозможно назвать условие (69.5) глобальным пределом, за исключением вышеупомянутого случая, и при 皆《皆> Но не исключена возможность, что оно является истинным глобальным пределом устойчивости & или близко к нему.

Наконец, укажем на то обстоятельство, что критерии (69.4), (69.5) подразумевают глобальную, а не монотонную устойчивость

Рис. 50. Пределы устойчивости и неустойчивости в случае нагревания и засоления снизу (Джозеф [1970]).

по 舍(/)• С другой стороны, эти критерии гарантируют монотонную устойчивость по 京(/) +夕(/), но пока еще не показано, что при этой монотонной устойчивости будет иметь место экспоненциальное затухание.

На рис. 50 схематически изображены предел (69.5) устойчивости по энергетической теории и предел потери устойчивости по линейной теории для слоя жидкости между свободными поверхностями при т > 1. Верхняя линия —предел потери устойчивости, сплошная линия —предел устойчивости. Оба предела характеризуются изломами; в случае предела потери устойчивости положение изломов и наклон линии при&>皆* зависят как от 夕т, так и от 乡с， но предел устойчивости зависит только от отношения 乡с/乡т・ Эти пределы совпадают для 皆？ < 皆；=噸 1G — —1). Для больших значений 皆 самое большее, что можно ожидать от однопараметрического семейства (по т) энергетических пределов (69.5), —это совпадение, скажем, в случае, когда т фиксируется при некотором Для фиксированного т и 乡丁 + 0 пределы устойчивости и потери устойчивости совпадают и при 皆= и при больших 皆.

Для докритических режимов конвекции открыта только область, заключенная между верхними частями двух кривых на

рис. 50. Расчет Сани методом возмущений [1965] показывает, что двумерные решения с малыми амплитудами заполняют область вблизи предела линейной теории при 皆 > 皆丄,где 皆】—упоминавшееся выше значение энергетической теории.

В области устойчивости, согласно энергетической теории (例 < 例в), возмущения затухают экспоненциально.

Упражнение 69.1. Соленая вода заключена в слое толщиной /, ограниченном, сверху и снизу твердыми плоскостями, на которых заданы температура и концентрация соли. Скорость, температура и концентрация соли описываются уравнениями (54.2)——(54.4), причем Qt = Qc = 0. Вывести следующие энергетические уравнения, описывающие пульсации (и, 6, у) при статистически стационарной турбулентной конвекции в слое:

arg 36)一 acg〈约〉="(1 Vu 户)，

〈画一〈约〉]2)+ ^pL [ё(/)-c(0)] + 唱 <I Vy |2) = 0, 〈[确一3力f〉+ х7 俨〉｛T (/) 一 T (0)] + 吟 <1 ve |2) = 0 и 吨1〈6@ [诃—〈Y纺]〉+乂亍1〈诃 I前-〈8@〉])+ [e (0 — c (0)]〈碗〉〃 + + [?(/)—т(0)]〈丫侬〉〃 + (хс + хт) <ve-voy)= о. Сформулировать вариационную задачу, связывающую перенос тепла и соли через слой в соответствии с заданными граничными условиями.

Дополнение к главе IX

Обобщенная энергетическая теория устойчивости для магнитогидродинамических течений

Другая интересная задача, в которой играют роль корреляционные интегралы, возникает при исследовании течений в магнитной гидродинамике.

Уравнения, описывающие движение вязкой жидкости с постоянной плотностью р и конечной проводимостью о в магнитном поле (см. Чандрасекар [1961 ]), имеют вид

謂+U・VU =^B・VB — *V(p +号 |В|2)+”2и, (IX.la) 票+ U・VB = B・VU+击 Ub (IX.16)

и

V・u = V・B = 0, (IX.1в) где В — вектор магнитной индукции, 卩—магнитная проницаемость и, как прежде, v, U и р — вязкость, скорость и давле-

ние соответственно. Из уравнения (IX.16) находим, что “ B/df = =(1/fxa) V2 V В. Условие div В = 0 автоматически гарантировано для решений уравнения (IX.16), для которых div В =0 в нулевой момент времени, а на границе S объема ” в любой момент времени. Возмущения и и b полей U и В удовлетворяют уравнениям

-~- + U.Vu4-uVU + u.Vu = -^-(b.VB + bVb + B.Vb)-

_十 V 觇 + 号(I В*|2 — I В21)] + vV2u, (IX.2a) где В* = В + b,

-U-4-U.Vb4-u VB+u Vb = B.Vu+ b.Vu + b.VU +-^J-V2b,

(IX.26)

V • u = V • b = 0(IX.2b)

и

u = b = 0 на поверхности S.(IX.2г)

Следуя Рионеро [1967, 1968а ], а также Карми и Леласу [1970 ], выведем энергетические уравнения:

4■备(|u|2) = —(u-D-u + vVu: Vu) +

+ -^{(B Vb u + b Vb u4-b«VB u)} (IX.3a) и

4■訂制2〉=〈b・ D・b〉—〈靑 Vb ”b〉+

+〈B・Vu・b + b・Vu・b-u・VB b〉，(IX.36) где ломаные скобки обозначают интегралы усреднения по объему и, как прежде, D = D [U ] —тензор скоростей деформаций для U. При интегрировании интеграл (V- Аг), который добавляется к правой части уравнения (IX.За), и интеграл (V • А2), который добавляется к правой части (IX.36), по теореме Гаусса—Остроградского должны быть сведены к интегралам по поверхности. Нормальные компоненты векторных полей

N=W；|u2| —u[}|u『 +事+ *(|В*|2-|В|2)] и

A2 = *V 等 |b|2-u}|b|2

на границе S равны нулю. Поэтому <^.Ai> =(V*А2) =0.

Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что некоторые кубичные нелинейности в возмущениях, которые возникают из-за квадратичных членов по и и b в уравнениях (IX.2), при интегрировании не сводятся к нулю, т. е., хотя

(u-(u.V)u) = (b-(u-V)b) = O,

члены

(b-Vbu) и (b-Vub)

не обязательно равны нулю; они входят в уравнения баланса энергии (IX.За) и (IX.36).

Существует всего одна линейная комбинация уравнений (IX.За) и (IX.36), в которой кубичные члены взаимно уничтожаются при вычитании:

｝4/^u|2 + |b|2〉= -^〈u・D・u〉+ e・D・b〉+ 2e・％・u〉一

_v_£_(Vu：vu)--A-(Vb:Vb), (IX.4)

где

% — антисимметричная часть VB.

Это энергетическое уравнение рассматривали Рионеро [1967, 1968а ] и Карми и Лелас [1970].

Имеется четыре фундаментальные меры основного течения: тензор скоростей деформаций D, тензор завихренности Q^, симметричная часть диадного градиента вектора магнитной индукции Db и антисимметричная часть Q^ того же тензора, т. е.

VU = D + Qu и VB=Db + %

Из этих четырех мер в уравнение (IX.4) входят только D и Йв. Безразмерная форма уравнений энергии получается после деления

[х, /, и, Ь, В] на [/, 〃Uo, 4, Uq j/pji, UQ /洞，

где UQ и Bq ——характерные скорость и вектор магнитной индукции. При замене переменных появляются следующие безразмерные параметры: R = UQl/v — число Рейнольдса, 夕加 = 卩＜rv — магнитное число Прандтля и А =凡/仏(「卩产)—число Альвена. Мы будем теперь работать только с безразмерными переменными, которые обозначаются теми же буквами u, b, D, В. В безразмерных переменных получаем

= — ｛〈и • D • и〉一〈b • D • b〉｝ + 2〈Ь • Qb • и〉一

_ %〈Vu : Vu) - J- (Vb : Vb),(IX.5)

где

М = %〈|и『 + ]Ь|2〉И Rm = R9m.

Здесь магнитное число Рейнольдса Rm характеризует отношение конвективной скорости к скорости диффузии магнитного поля. Большие значения R^ означают наличие тонкого пограничного слоя, в котором происходит диссипация. Вне этой области магнитное поле и течение «вморожены» друг в друга. Малые Rm, с другой стороны, предполагают, что полное магнитное поле течения, по существу, равно наложенному внешнему, т. е. индуцированное поле мало. Магнитное число Прандтля Фт является мерой отношения скорости диффузии завихренности к скорости диффузии магнитного поля.

Уравнение (IX.5) является однородным уравнением второй степени по и и Ь. Таким образом, результаты решения (IX.5), несомненно, не будут зависеть от амплитуды возмущений. Рио- неро [1967, 1968а ], а также Карми и Лелас [1970 ] использовали уравнение (IX.5), чтобы доказать теорему о безусловной устойчивости.

Помимо (IX.3), имеются энергетические уравнения, которые играют важную роль при исследовании устойчивости течений в магнитной гидродинамике. Например, каждое из трех уравнений (IX.26) для компонент Ь приводит к уравнению энергии. Уравнения энергии для компонент b аналогичны уравнениям (IX.За) и (IX.36) в том отношении, что они содержат кубичные нелинейности.

Одно из уравнений, а именно перекрестное уравнение, заслуживает особого внимания. Это уравнение получается в результате сложения (b-(IX.2а)) + (u-(IX.26)) и после интегрирования по частям дает

j (u *b) = — 2 (и • Й(у • b) — (и • Db • u) +

+ ±_ (b- DB-b) - (v + -1-) (Vb : Vu). (IX.6)

Это перекрестное уравнение удивительно, поскольку оно зависит от основного течения только через меры DB и йа —«скорости деформаций» магнитного потока и завихренности основного движения; эти меры совершенно отсутствуют в энергетическом уравнении (IX.4).

Линейная комбинация энергетического уравнения (IX.4) и перекрестного уравнения (IX.6) является основой для обобщенной энергетической теории типа рассмотренной в § 69.

После приведения к безразмерному виду уравнений (IX.1) мы можем выписать линейную комбинацию

噜"Rh-队, (IX.7)

где

芻=(9+九)冒+ 2(U，b)，

ф = ^^ + 1,九 > °,

4 = (ф + М Л + 2/2,

厶= —〈u・D・u〉+乡加〈b・D・b〉+ 2俨加〈b・％・u〉，

/2 = — 2 (u • Q。• b〉— (u • % • u〉+ 乡加〈b • %*b),

5 = MlVu|2 + |Vb|2〉+(p〈|V(u + b)盼.

Отметим, что для всех фиксированных значений <р > 1 и % > О существуют величины

и *- = тах-^・ (1Х.8а, б)

R% н 瓜 Ах н 瓜 '/

Эти величины определяют предел устойчивости и декремент затухания в теореме энергетической теории устойчивости, которая доказывается ниже. Однако сначала необходимо получить некоторые предварительные результаты.

Лемма.典 > 0 для всех X > 0.

Чтобы доказать это утверждение, заметим, что

72(ф + Х)(|u|24-^m|b|2) + 2u.b>1/2 (ф + Х)2^2|и.ЬН

—21 u-b I =乡肾{(1 — "^W『+ 九} I u・b I а 0.

Имея этот предварительный результат, можно теперь сформулировать следующую теорему.

Теорема энергетической теории устойчивости для магнитогидродинамических течений'. Пусть для любого X > 0

R < &；(IX.9)

тогда

岁九«) <芻(0)exp {-A^[l- R/RR}.(1X.10)

Доказательство. Мы можем записать (IX.7) в виде

噜= _Dk{-R食+卜 一仪1 一 备);

здесь при записи последнего неравенства мы использовали оценку (IX.8а). Если R < R%, то в силу (IX.86) имеем

*V 一 aВК{1 一备},

и утверждение (IX.10) получается интегрированием этого неравенства.

Наибольшая область устойчивости определяется ^энергией» X > 0, где X ——значение X, для которого

Легко доказать, что начальное условие, обеспечивающее решение задачи на максимум (IX.8а), является также таким, которое приводит 长冒%, возрастающим в начальный момент при наименьшем R.

Оценки критерия R CR% для течений частного вида пока еще не проводились.

Теоремы энергетической теории устойчивости Рионеро [1967, 1968а ] и Карми и Леласа [1970 ] были повторно доказаны Бхат- тачария и Джейном [1972]. Рионеро [19716] доказал теоремы энергетической теории для магнитной гидродинамики при наличии эффекта Холла. Магнитогидродинамическая устойчивость относительно взвешенных метрик, граничных возмущений и начальных возмущений обсуждалась Галди [1973]. Рионеро [19686] и Лелас и Карми [1972 ] исследовали глобальную устойчивость магнитогидродинамических течений при наличии тепловой конвекции, а Патил и Рудраях [1973] рассмотрели ту же задачу для жидкости, заполняющей пористый материал. Перекрестные уравнения и оценка (IX.10) получены Джозефом [1972].

Глава X

ДВУХСТОРОННЯЯ БИФУРКАЦИЯВ КОНВЕКЦИЮ

Пусть 例(в) — бифуркационная кривая для стационарной конвекции, 现一квадратный корень из числа Рэлея, 8 — амплитуда и 31^ = SI (0) = — критическое значение числа Рэлея для устойчивости теплопроводного режима. Возможны два случая: 例 1 = 0, где 例 1 三 例'(0), как в задаче Бенара, и 5?! #= 0, как в задачах обобщенной конвекции, рассматриваемых в этой главе. Поскольку £ может принимать как положительные, так и отрицательные значения и 例一例厶=е例i + О (s2), бифуркация при 例工 R 0 оказывается двухсторонней. При двухсторонней бифуркации предполагается, что одна ветвь является докритической, а другая ——закритической. Следовательно, докритическую бифуркацию мы получим при 现工力 0. В этой главе рассматривается случай 例 1 力 0.

Двухсторонняя бифуркация в конвекцию может возникать во многих задачах, являющихся обобщением задачи Бенара. Например, обобщенная конвекция начинается в результате докритической бифуркации состояния покоя, когда свойства среды (вязкость, удельная теплоемкость, температуропроводность) меняются (Палм [1960 ], Сиджел и Стюарт [1962 ], Буссе [1962, 1967]), когда уравнение состояния Буссинеска р (Т) нелинейно (Буссе [1962, 1967 ], Веронис [1963 ]), когда имеется свободная поверхность и допускаются ее деформации (Дэвис и Сиджел [1968]), когда конвекция вызывается поверхностным натяжением (Скэнлон и Сиджел [1967 ]) и когда имеются источники тепла (Кришнамурти [1968а, 19686], Швидерски и Ярнагин [1972 ]).

В этой главе будут рассматриваться жидкости, вязкость которых меняется с температурой. Изменения температуры вызываются внутренним разогревом и подогревом извне снизу. Глава начинается с обсуждения в § 70 уравнений Дарси—Обербека — Буссинеска (ДОБ). Эти уравнения, по-видимому, являются математически простейшими нелинейными уравнениями механики жидкости, которые, как представляется, точно описывают наблюдаемые течения. Энергетическая и линейная теории устойчивости применяются к решениям уравнений ДОБ для теплопроводного режима в § 71, а некоторые предварительные результаты по двухсторонней бифуркации приводятся в § 72. Задача о бифуркации

и устойчивости при кратных собственных значениях рассматривается в § 72 и снова, более детально, в § 73, 74 и в дополнении к настоящей главе.

Применение уравнений ДОБ упрощает вычисления; это позволяет изучить конвекцию в ограниченных объемах с теплоизолированными боковыми стенками путем элементарного разделения переменных. В § 73 такое разделение переменных позволяет получить критериальные соотношения для двухсторонней бифуркации при простых и кратных собственных значениях; в том же параграфе эти критерии применяются к различным объемам простой формы. В § 74 мы рассмотрим задачу о двухсторонней бифуркации состояния покоя в конвекцию в сферических слоях, а в § 75 —задачу об устойчивости и бифуркации в объеме жидкости, подогреваемой изнутри и снизу.

Общеизвестная ячеистая конвекция в слоях жидкости рассматривается в § 77, но очень кратко и с некоторой специальной точки зрения. Мы сталкиваемся здесь со связью конвекции в бесконечно протяженных слоях с конвекцией в мелких сосудах, с анализом способов определения ячеистой конвекции различными авторами и с объяснением важного различия в однозначном определении знака направления движения, возникающего при исследовании устойчивости закритических ветвей двухсторонней конвекции.

Обозначения, В этой главе используются несколько различных чисел Рэлея:

缪='噥俨, 例=/淞 для уравнений ОБ и

R = ”3"， 现=|/页 для уравнений ДОБ.

Бифуркационные кривые задаются функциями R = R（£）и 例 = =灰（8）. Значения этих функций в точке ветвления являются критическими значениями: R （0）三 R。= R—现（0）三例° =例厶. Собственные значения спектральной задачи для теплопроводного режима обозначаются через о, а для конвекции — через у. При критическом значении выполняется равенство о （现°） = 0.

§ 70. Уравнения ДОБ для конвекции жидкости в объеме пористого материала

Ламинарное течение жидкости в пористых материалах и турбулентность, вообще говоря, подобны в том смысле, что полное детальное описание их движения и превышает требования, предъявляемые к задаче, и выходит за пределы возможностей анализа.

Источником трудности в случае течения в пористых материалах является сложность геометрии. Целью исследования как турбулентных течений, так и течений в пористых материалах является математическое их описание при помощи надлежащим образом осредненных переменных.

«Теория» течения в пористых материалах, по существу, основана на обобщении эмпирических наблюдений Дарси [1856]. «Закон» Дарси —это эмпирическое уравнение, которое связывает поток массы т через пористый материал и перепад давления АР на нем. Для прямого цилиндра радиуса 4 и длины / это соотношение имеет вид

(70.1)(70.1)ДР —卩/n

(70.1)

(70.1)

=斤р4、

где 论'一проницаемость, выраженная в единицах квадрата длины. Это соотношение обобщается на стационарные медленные течения в однородных изотропных материалах следующим векторным дифференциальным уравнением:

一 pg + VP = -甘 IU V-Um = 0.(70.2a,6)

Здесь —pg—массовая сила (сила тяжести), отнесенная к единице объема, и Um—вектор скорости просачивания ^.

Уравнения (70.2) следует сравнить с уравнениями Навье—— Стокса, линеаризованными для медленного движения,

一 pg + Vp =卩 ^и, v・ и = 0・(70.3а,б)

Отсюда видно, что закон Дарси заменяет член

卩 vU = div (Вязкая часть тензора напряжений) (70.4) членом

-词加/h'.

Этот член иногда рассматривается как представление силы, действующей на жидкость со стороны пористого материала. Уравне« ние (70.4) не меняется при добавлении к U поля скорости, соответствующего движению жидкости как твердого тела. Оно зависит только от относительных скоростей. Аналогично мы интерпретируем Um как скорость, измеренную относительно системы координат, связанной с пористым твердым телом.

Точно так же, как можно сказать, что уравнение (70.2) представляет собой уравнение (70.3) для медленного установившегося движения, полезно, хотя и не строго, предположить, что

Р-^ = - VP + Pg — 备IV (70.5)

Для задач тепловой конвекции предположения о форме левой части уравнения (70.5) не имеют значения, поскольку эффекты ускорения в общем случае очень малы. Предполагается, что осредненная скорость движения в порах U и скорость просачивания определяются в каждой точке объема ” и связаны уравнением

%=加， (70.6)

где порозность ф определяется выражением

0<ф< 1.0<ф< 1.а — Объем пустот 屮—Полный объем'

0<ф< 1.

0<ф< 1.

В однородном изотропном материале ф —точно постоянная, но в неоднородном материале ф может зависеть от положения рассматриваемой точки. Для очень сильно взбитых пенистых металлических материалов ф близко к единице, а для насыпей из плотно упакованных сфер © меняется от 0,25 до 0,50.

Для течений, вызываемых силами плавучести, мы будем использовать приближение Буссинеска (§ 59) и заменять плотность постоянной величиной р0 в левой части уравнения (70.5) и величиной р = р0 [1 —а (Т — То)] в правой его части. Уравнение

Ро"^~ — — Vp — Poag(T — To)3 Um (70.7)

получается после вычитания гидростатического давления (мы снова используем символ р для приведенного давления).

Уравнение энергии в проницаемых материалах получается из соотношения баланса энтальпии в жидкости (см. упражнение 54.1):

J (PC。)/ (嘗 + U・VT)d”f = J V・(岛 V7)d"f 片乃

и в твердом теле:

J(pC/^d”s=J V・(包VQdSs・ rsTs

При распространении интегрирования на общий объем ” = ”『U ”s используются якобианы

dTf~dT"dTf~dT"=Ф=Ф=1 — ф .=1 — ф .

dTf~dT"

dTf~dT"

=Ф

=Ф

=1 — ф .

=1 — ф .

Складывая соотношения баланса энтальпии, находим, что

J {(pQo)zn粤 + (Ро&)加и NT-5 但酒7)卜力=О,

где индекс /и относится к смеси жидкость—твердое тело, т. е.

^ = @財 + (1-@)电.(70.8)

Этим способом мы получаем уравнение энергии

Мт 笄 + (р£。)/ ®U ・ VT = V •匾 V7)(70.9)

и тем самым завершаем наш эвристический вывод уравнений ДОБ.

Динамическое уравнение (70.7) можно еще более упростить. Пусть / — масштаб длины, Z2/x — масштаб времени (где 乂 = =km/(pQCo)f), АТ —масштаб температуры и кН —масштаб скорости. В безразмерных переменных уравнение (70.7) можно записать в виде

В [曽 + (U ・ V)и] = — VP _ 加 + &2(Т — 咅)，(70.10а)

где 3一1 = l^vlk'n—число Дарси —Прандтля и R = =ag ATZfe7(vx)——число Рэлея—Дарси. Мы отметим, что в пористых песчаниках коэффициент проницаемости Дарси Н является величиной порядка 10-8 см2 или еще меньше. Даже для очень пористых волокнистых металлов значения / не превышают 10-4 см2. Отсюда следует, что значение В обычно настолько мало, что разумно с самого начала положить его равным нулю. Тогда, объединяя результаты, получаем

_ VP — Um + &z(Т — 各)=0,(70.106)

等 + %・叮=М,(70.10b)

где т = (CoPo)“/(CoP)m, и для однородных материалов

(70.10г)(70.10г)V・Um = 0・

(70.10г)

(70.10г)

На границах жидкости, насыщающей пористый материал, мы будем считать заданными нормальную компоненту скорости и температуру. Наложение более сильных условий на скорость нельзя согласовать с понижением порядка уравнений при переходе от (70.4) к (70.10) (ср. Бек [1972 ]); в частности, порядок уравнений, вообще говоря, не позволяет согласовать решения с заранее заданными на границе условиями для трех компонент скорости. В реальных пористых материалах жидкость будет прилипать к твердой стенке, но влияние стенки ограничивается областью пограничного слоя размером порядка диаметра пор. Так как внутренние движения не чувствительны к величине трения на стенке, разумно заменить реальную стенку стенкой без трения.

Если в жидкости имеются внутренние источники тепла Q и отношение вязкости к проницаемости 卩/6' зависит от температуры, то уравнения (70.10) принимают вид

-Rq (т -鲁)+ f (Т) Um = _ VP,(70.11a)

芸+〃・我=屮7+ 2,(70.116)

где

n(7)勿6)炉(T)N(To)

и TQ —точка отсчета температуры.

Мы приходим к изучению следующей задачи: непроницаемый сосуд Q заполнен пористым материалом, насыщенным жидкостью, удовлетворяющей уравнениям (70.11а, б) и (70.10г). Сосуд нагревается снизу, а жидкость —изнутри. Сосуд Q схематически изображен на рис. 51. Граница GQ сосуда Q образуется областью пересечения горизонтальных плоскостей z = 0 и z = 1 и боковой поверхности вертикального цилиндра произвольного поперечного сечения 加.Боковая стенка цилиндра обозначается через S, а внешняя нормаль к ОС — через N, причем N = п на S. Температура над верхней стенкой равна TjNT、а под нижней 1 -|- ТJАТ.

Конфигурация, описанная в предыдущем абзаце, позволяет реализовать единственное решение, соответствующее состоянию покоя: Т = —G (z; Е) = —G (z) — решение для режима теплопроводности, описываемое выражением (59.7) при Т‘ = А7\ где

G' = l+Eg ⑵(70.12)

G" = Eg' = @

Предполагается, что условия на боковой стенке совместимы с решением для режима теплопроводности. Эти условия совместимы в наиболее интересном случае теплоизолированной боковой стенки.

g

Рис. 51. Цилиндрический сосуд R с непроницаемыми стенками и постоянным поперечным сечением 加 наполнен пористым материалом, насыщенным жидкостью, и подогревается снизу и изнутри. Отношение коэффициента вязкости к коэффициенту проницаемости зависит от температуры.

Возмущения решения для режима теплопроводности равны U, Р (снова) и ^Гг&, где 例=，R U^ = U с компонентами (U, 匕 W) в декартовой системе координат (х, у, z) и Т = —G (z; Е) + + 现-1®. Уравнения, описывающие возмущения, имеют вид

一 q%® +f(-G + 现 т®) U = — VP, (70.13а) 絹十 и ・ V6 —现GW - V20 = 0,(70.136)

(U,®)€W,(70.13b)

где 毋一множество соленоидальных векторов U и возмущений температуры ®, которые удовлетворяют граничным условиям. Конечно, U N =0 на поверхности 0Q, однако для 0 можно задать множество различных граничных условий, зависящих от теплового сопротивления границы dQ. В данный момент мы откажемся от широкого взгляда на граничные условия и положим, что N- V0 + h (х)0 = 0 на 5Q, где h(x) —заданная функция, которая описывает тепловое сопротивление границы в точке х£ € 3Q; следовательно,

◎ = [Ue：divU=0, U・N = N・V6 + /i(x)® = 0 на GQJ.

В дальнейших приложениях мы будем рассматривать частный случай

0/= [U,6: div U = О, U・N = 0 на OQ, n・V® = 0 на S,

© = 0 при z = 0, 1].

Индекс / у 0/ должен напоминать, что боковая стенка теплоизолирована.

Краевая задача (70.13) может быть записана в виде

备 M・Q + L・Q + N(Q)・Q = — dP, QC@, (70.14)

где

Q — четырехмерный вектор с компонентами (U,匕 W, 0), d — четырехмерный градиент с компонентами (“， ％ а, о),

М —диагональная (4х4)-матрица с компонентами (0, 0,

0, 1),

N (Q) —нелинейный диагональный (4х4)-матричный оператор с компонентами (尸，尸，尸，U-V), причем

尸⑼=『(一G + 例一吩)一厶尸(0) = 0, f(-G) = f(z)=f

(70.15) и

fооо

о/оо

L=О0/—例•”16)

о о—例е— V2

Общим свойством конвективных движений в замкнутом объеме является равенство нулю осредненной по поверхности вертикальной компоненты скорости 旣

\\wdx dy = Q.(70.17)

Чтобы доказать (70.17), заметим, что V- U = V2- U + d2W, где V2 = ех дЛ + еу ду. Тогда, согласно теореме Гаусса—Остроградского,

\\^-^xdy= ^ ^2.vdxdy+-^^ Wdxdy= Jn・U +

2N加d加

+ £JJ Wdx 心=含仃 Wdx ^=° ・(70.18)

Поскольку W = 0 при z = 0 н z = 1, равенство (70.18) доказы* вает равенство (70.17).

Конвекция в сосудах с теплоизолированными боковыми стенками обладает некоторыми интересными свойствами.

Пусть S —непроницаемая теплоизолированная вертикальная боковая стенка, окружающая Q; тогда

⑴(河7力i)s = 0；(70.19)

вертикальная компонента сдвигового напряжения на поверхности S равна нулю;(70.20)

пусть S целиком составлена из вертикальных плоских граней, и пусть / —длина дуги линии пересечения какой-либо плоскости z = const и плоской грани; тогда горизонтальная компонента сдвигового напряжения на поверхности S равна нулю. /и. е.

S〃/= 2fxn・D・t = 0,(70.21)

где t —единичный вектор касательной к линии /.

Доказательство. Три компоненты результата применения оператора rot к уравнению (70.13а) можно записать в виде

e2.rot fU = er(V0xU)尸例 + f%・rot U = 0,(70.22)

d^W —例®) - дг (2) = 0(70.23)

и

dy(fW^ 现6) — дг(U) = 0.(70.24)

Можно скомбинировать уравнения (70.23) и (70.24) и получить

V2 (FF 一 520) - a (fexU + 瓦吩=0;(70.25)

аналогично

%лГ = 〃2听+例『取V2@

Поскольку n не зависит от z, n U = п - (ех(/ + e^V) = 0 на поверхности S и n V2® I s = 0; скалярно умножая уравнение (70.25) на п, получаем, что

п・％ 取=dW/dn = 0

на S, что и доказывает утверждение (70.19).

Вертикальная компонента сдвигового напряжения пропорциональна

2n・Ds =屯(岩 + 欝)5/3’(70.26)

где (勺，心，％з)=(招 沙，z). Вычислив (70.26), мы найдем, что на поверхности Si

吟⑪ ^ = 2n・D・e『0.

dz 1 dn“

Если S состоит из плоских граней, то без потери общности можно рассмотреть типичную грань с нормалью х. На этой грани U = дЛдх = 0 для всех у и z и

" (器十黑)=2黑.

Вычисляя величину (70.22) на плоской грани, мы находим 叫噜需］+r(黑一器) = $ 。。，

что и доказывает (70.21).

Если S не составлена из плоских граней и на линии пересечения S и плоскости z = const имеются дуги ненулевой длины с кривизной X, то

Sni = 2 卩yU( на S,(70.27)

где Ut — компонента скорости, касательная к дуге с кривизной х. Если U/ R 0, то горизонтальная компонента сдвигового напряжения не равна нулю на искривленной поверхности S. Для доказательства этого мы разложим векторы на поверхности S на ортогональные компоненты (n, t, е2); тогда

2% = t ・哭 + п ・碧=争 一 (J ・ g« + 名％ — U •雰，(70.28)

nl дп 1 dld九On I dldl ' ' 丿

где l —длина дуги кривой пересечения S и плоскости z = const. Уравнение (70.22) можно записать в виде

/设е?・{(п票+ t*) X ”, +叫)} +邑・{(n备+ t亲)X

x(tU/ + nU〃)} = 0.(70.29)

На плоской кривой пересечения Un = 0, д@/дп = 0, dt/dn пропорционально n, dildl = хп и dn^dl = —xt. Следовательно, соотношение (70.28) принимает вид

2Dnt = ди© + 乂〃,(70.30)

а соотношение (70.29) сводится к следующему:

dUJdn —nUi =0.(70.31)

Комбинируя (70.30) и (70.31), мы доказываем утверждение (70.27).

В уравнениях ДОБ, как и в гидродинамических уравнениях Эйлера, нельзя задать условия на сдвиговые напряжения или на

нормальные производные скорости, если задано, что U n|s=0・ Свойство (i) никогда не может иметь места для решений уравнений Эйлера. Более того, решения уравнений ДОБ вообще не обладают этим свойством; оно вводится в динамику как эффект плавучести на теплоизолированной боковой стенке. Равенство нулю напряжения сдвига Snz легко выводится как следствие утверждения (i). В общем случае, если поверхность S искривлена, другое напряжение сдвига Sni отлично оз нуля, но в случае плоских стенок, т. е. в сосуде-многограннике, Sn/ равно нулю и на боковой поверхности S отсутствуют напряжения сдвига. В этом случае сосуд совершенно изолирован по боковой стенке: боковые стенки представляют собой барьер для переноса массы, тепла и импульса Естественно возникает вопрос: будут ли ячейки при ячеистой конвекции совершенно изолированными подобно сосудам с плоскими боковыми стенками S?

Упражнение 70.1. Показать, что в сосуде кругового поперечного сечения на боковой стенке

S，e = —2卩 Uq/г.

Упражнение 70.2. Доказать, что на непроницаемой вертикальной боковой стенке

n・VP = 0.

Спектральная задача, сопряженная спектральная задача и энергетическая теория устойчивости

Чтобы сформулировать спектральную задачу об устойчивости решения для теплопроводного режима (Q, Р) = (0, 0), мы линеаризуем уравнение (70.14) и положим (Q, Р) = e_QT(q, р); тогда

—oM・q + L・q = — d〃，q € 毋・(71.1)

Если G‘ = 1 (Е = 0), то L —симметричный оператор. Тогда каждое собственное значение о оператора L—вещественная величина. Мы предполагаем, что о вещественно, когда &力 0. В этом случае каждое собственное значение о уравнения (71.1) является также собственным значением сопряженной задачи

-aM.q* + LT.q* = —dp*, q* € 吼(71.2)

где LT —транспонированная матрица L.

Когда 应 достаточно мало, все собственные значения и == =о (例)положительны. По мере возрастания 例 одно из собственных значений становится отрицательным, и решение для режима теплопроводности теряет устойчивость. Значение 现=例厶，при котором о (勿)впервые обращается в нуль, является критическим значением, и о'(饱厶)< 0. Если a < 0, то решение для режима

теплопроводности неустойчиво. Если а > 0, то решение для режима теплопроводности устойчиво относительно малых возмущений, но может оказаться неустойчивым относительно возмущений большой амплитуды. Для отыскания условий устойчивости относительно возмущений с большой амплитудой используется энергетическая теория устойчивости.

Из уравнений (70.13) следуют энергетические уравнения

—^(F6) + (f(-G + 现-В) I U |2〉= 0(71.3а)

и

3 嚏 ©〉-例〈GW®〉+〈 I v° 12〉+〈的2〉源=о,(71.36)

где〈・〉亚=(1/Q) j (•) и (•)=[(・)dQ/j dQ — интеграл осреднения oq6 Q

по объему.

Можно переписать (71.3) в виде одного уравнения, причем параметр связи X > 0 выбрать так, чтобы оптимизировать критерий устойчивости

% ^^ =例《е + Х)Г0)-( I V® 12 + 疗(-G + %T®)|U|2〉-

一(的2油. (71.4)

Очевидно, (02) уменьшается при 例 <52^, где

= inf sup +入)步 8〉

況&一 九 >O[U,8]C 例 (I V012 + V ( — G + ^в) I U I 2) + (Л02>ай.

(71.5)

Поучительно рассмотреть выражение (71.5) для следующих трех частных случаев.

Задача Бенара для конвекции в пористой среде (Уэстбрук [1969 ]). В этом случае С = f = 1 и 现& =现厶・ Докритические режимы невозможны.

Свойства материала постоянны,『=1, но имеются источники тепла, Е R 0・ Тогда можно показать, что верхняя и нижняя грани (71.5) достигаются и

1.((G' +入)步6>g

而=九个\[5^七用〈e812 +"1112〉+〈九82〉汨(7L6)

и что

现冒V现l，(71.7)

причем равенство возможно только при Е = 0. Эти хорошие свойства появляются вследствие того, что энергетическое уравнение

при f = 1 является однородным второй степени и интегралы производства и диссипации энергии оказываются квадратичными по компонентам Q. Многие результаты можно получить, не решая задачи явно, а только сравнивая 现否 и 例厶(см. упражнения в § 76).

Источников тепла нет, но свойства материала зависят от температуры. В этом случае G' = 1 и уравнение (71.4) можно переписать в виде

扌备&〉=例(1十九)〈碗〉-〈|v8|2 + 九f(一G + 期т8)|u|2〉- 一〈岭ъ(71.8)

где мы положили U = ell и © = е0. Наличие е в выражении для f показывает, что уравнение (71.8) неоднородно; поэтому вывести из уравнения (71.8) независимый от амплитуды е глобальный критерий устойчивости без дополнительных условий невозможно. Эта трудность энергетического анализа возникает вследствие нелинейности свойств среды, и от нее в отличие от инерциальных нелинейностей нельзя избавиться в общем балансе энергии.

Дополнительное условие, необходимое для вывода условия глобальной устойчивости из уравнения (71.8), будет обеспечено, если f будет ограничена снизу некоторой положительной постоянной. Существование этой постоянной, как можно полагать, является естественным; однако, хотя вязкость ——положительная величина, выражения, используемые для 厶 обычно не ограничены, если допускается, что 8 может принимать любые значения в интервале —оо <8 < оо. Тем не менее интересно, что температура —G + 现т®, от которой зависит f, может оказаться ограниченной и сверху, и снизу вследствие принципа максимума для параболических уравнений, если начальные и граничные значения Т заданы надлежащим образом (см. упражнение 71.2).

Упражнение 71.1. Доказать неравенство (71.7).

Упражнение 71.2 (Рабинович [1973]). Выразить верхнюю и нижнюю грани величины обобщенной температуры Т =——G (z; 0) + ^-10 через значения Т, заданные на параболической границе. Указание. См. упражнение 40.2.

§ 72. Двухсторонняя бифуркация

Общая теория бифуркаций при простом собственном значении о была изложена в § 15. Теперь мы применим эту теорию к частным задачам стационарной конвекции. В конце данного параграфа мы разработаем элементы теории бифуркаций при собственном значении более высокой кратности. Рассматриваемые бифуркационные задачи определяются уравнением

L・q + N(£q)・q = —dp, q С 0, e =〈Q・q»,(72.1)

где Р =叩，Q = £q (x, у, z; e), q0 = q (%, y, z; 0) и q — четырехмерный вектор с компонентами (и, и, w, 0).

При обсуждении знака направления движения полезно определяющее условие для амплитуды решения £. В этом условии предполагается, что (I q012) =1. Чтобы зафиксировать знак q0, выберем внутри Q некоторую точку (х0, %, %), в которой g = q X X q()唉 6; поскольку знак q0 (х0, у* z。) не определяется при нормировке, можно принять wQ (%о, у0, Z。)> 0. Тогда член нулевого приближения £®о (х。, у0, z。) определяет знак вертикальной компоненты скорости, которая направлена вверх при 8 > 0 и вниз при 8 < 0. Так как в силу равенства (70.17) осреднение w по поверхности дает нуль, жидкость в одних частях сосуда должна подниматься, а в других опускаться.

Простое собственное значение

Теперь мы допустим, что о 设厶)=0 — простое изолированное собственное значение Lo, где Lo — оператор, определенный выражением (70.16) при 现=% 三组.Эквивалентно этому мы можем положить о = 0 я рассматривать параметр 例厶 как собственное значение. Будем использовать развитую в § 15 теорию бифуркаций. Существует единственное аналитическое по £ решение уравнения (72.1)

q(x,劣 z; 8), р(х,弘 z; 8),例(唸 ответвляющееся от теплопроводного режима при 例=现(0)= = 例 °. Это ответил яющееся решение будет докритическим, если разность

现(8)-例。 = £现1 + e2现2 +…

отрицательна, и закритическим, если 现(8)—然 一положительная величина. Поскольку 8 может принимать любой знак, бифуркация при 例 1 R 0 оказывается двухсторонней.

Чтобы получить формулу для 网，прежде всего заметим, что при 8=0 уравнение (72.1) сводится к следующему:

Lo・qo = — dp, qo € 级 (I Яо 12) = 1 •(72⑵

Дифференцируя уравнение (72.1) no £ и полагая 8=0, находим, что

Lo • qi + J • q()+ № (q°) • q。= — dplt q € 吼Lo • qi + J • q()+ № (q°) • q。= — dplt q € 吼гдегде-оLi = —L = ° _0-оLi = —L = ° _00 00 00 00 G'0 00 00 00 G'(Яо* 41) = о,0-о1 ,0一(Яо* 41) = о,0-о1 ,0一(72.3)(72.3)

Lo • qi + J • q()+ № (q°) • q。= — dplt q € 吼

Lo • qi + J • q()+ № (q°) • q。= — dplt q € 吼

где

где

-о

Li = —L = ° _0

-о

Li = —L = ° _0

0 0

0 0

0 0

0 G'

0 0

0 0

0 0

0 G'

(Яо* 41) = о,

0-

о

1 ,

0一

(Яо* 41) = о,

0-

о

1 ,

0一

(72.3)

(72.3)

а М (q0) —диагональная (4х4)-матрица с компонентами (^о7 0о, 5?о7 0о,例”A, u0 V),

причем 产一производная от 『(г]), вычисленная при г] = —G. Уравнение (72.3) можно решить тогда и только тогда, когда 例 1(Чо) определяется соотношением

—网〈q* • 2 ・ Чо) + ⑷・ М (Чо)-Чо) = 0,(72.4)

где q* 三 q* (для простоты обозначений) является сопряженной собственной функцией задачи (71.2) при о (现())=0. Из соотношения (72.4) следует, что

时(*=&〈q*二m")小)= 〈q*・L・q。〉

=-e "*•№ (二助。)"0).,=T瑞(一叫) (72.5) 〈q*・L・q"

Значение 纵 определяет направление движения. Вспомним, что без потери общности можно положить wQ (/, %, %) > 0. Допустим теперь, что 例工 вычислено по (72.4). Тогда 应】определяется единственным образом, поскольку знак q0 задан выбранным нами направлением конвективного движения д. Допустим далее, что 例 1 > 0. Тогда для докритической ветви 8^ < 0 имеем 8 < 0 и W (%, %, %) ~ £® (%,丸，％) < 0. Жидкость в точке (х0, %, %) на докритической ветви опускается, и оценка (72.5) показывает, что в той же точке на закритической ветви жидкость поднимается.

Соотношение (72.4) можно записать в виде

—阳 ®Е + gdG'〉+ 匐I <f 0ou*.uo> + <0*uo.V0)= 0. (72.6)

Если E = 0, то G' = 1, q* = q0, (0O (u-V) 0O) = 0 и

园=%1〈fa I u0『〉/(2 3。仇)).(72.7)

Далее, q0 не зависит явно от f' и значения 0О не зависят существенно от того, является ли f возрастающей или убывающей функцией. Следовательно, соотношение (72.7) указывает, что знак 庞 1 будет однозначно связан со знаком Г， Это означает, что 例 1 будет иметь один знак для жидкости, вязкость которой возрастает с температурой,产 > 0, и другой знак в противоположном случае. Этот факт имеет интересные физические следствия которые будут обсуждаться в § 77. Если 5=0и| = 1,тоЙ1=0 и бифуркация закритическая (см. упражнение 76.1). Если Йх известно, то можно решить (72.3) относительно q】и последовательно продолжить вычисления до приближений более высокого порядка.

Кратные собственные значения

Для простоты рассмотрим случай, когда Lo имеет две собственные функции для одного собственного значения у (例°) = 0. Обозначим эти собственные функции через 屮 и 中，так что rot L0-(p = =rot Lo呻=0・ Тогда существуют две сопряженные собственные функции ф* и 屮*, такие, что rot LJ(p* = rot L^•屮* = 0. Говорят, что вектор

qo = 4(p + 42W (72.8) покрывает нуль-пространство оператора L0) но постоянные Аг и Л2 в нулевом приближении не определяются. Векторы 屮 и 屮 линейно независимы и могут быть выбраны так, чтобы удовле* творить условиям ортонормированности

〈屮•屮〉=0，(I 叫2)=(1 中产)=L

Тогда (I q012) = 1 = 4； + 个=4； (1 + ц2), где 卩=A2IA^ С решениями уравнения (72.3) совместимы только вполне определенные значения 卩.Эти значения можно определить при помощи условий разрешимости уравнений (72.3) и (72.4). Мы получаем

Lo*4i —例I (&L • <p + Л2Ь •屮)+ N丄(4屮 + 4屮)(4屮 + A屮)=—dpi, 41 € 纲(Яо* 41) = 0-(72.9)

Уравнение (72.9) можно разрешить только в том случае, когда неоднородные члены ортогональны <р* и 屮*. Тогда получаются два следующих уравнения:

例式1 +n2产{紡.2.屮)+n(屮*£.屮)}=(屮*・№(屮).屮)+

+卩〈屮* • № (中)•9〉+卩〈屮* • m (屮)呻〉+炉(ф*.m仲)呻〉(72.10а)

и

Такое же уравнение для 屮* вместо <р*.(72.106)

Эти уравнения можно решить при

/2 _ а + М + 卩2c _ f + |xg + 典.

一 d+ |ле — 々 + m '

Из последнего равенства следует, что

他 + 財)(а + 卩匕 + 卩 2。= (d + “) (f + 阳 + 陷0.(72.11)

Уравнение (72.11) является кубическим относительно 卩==X2/^i и имеет один вещественный корень и два комплексно сопряженных или три вещественных корня. Когда корни 卩 известны, можно найти 4] = (1 + 卩2)-1/2 н 力？=卩(1 + *)т/2. В случае трех раз-

личных вещественных корней имеется три инициирующих вектора

4oiЯо2 q()3_4oiЯо2 q()3_（1 +咸尸/2 （屮+卩1屮） （1 + Н2）'1/2 （屮 + 卩2屮）,

4oi

Яо2 q()3_

4oi

Яо2 q()3_

（1 +阅У2（屮+网屮）

три значения 例ш 例 12 и 例 13 и три ветви решений, ответвляющихся от собственного значения о (匆°) = 0 кратности два. В другом случае ответвляется только одно решение. Когда ни один из корней (72.11) не повторяется, из двойного собственного значения или ответвляется одно решение, или ответвляются сразу три решения.

При 例1 = 0 число ответвляющихся ветвей и допустимые значения 41 и Л2 должны определяться во втором приближении. Более полно эти вопросы обсуждаются в дополнении к данной главе.

в. Устойчивость ответвляющихся решений при собственном значении высокой кратности

Чтобы сформулировать спектральную задачу для ответвляющегося решения, подставим в уравнение (70.14) выражение

Q = £q +=6出

и в результате получим уравнение

—уМ q-j- L q -}-N(eq).q + N(q)-eq = —dir, (72.12)

где q€0・ При e = 0 уравнение (72.12) сводится к следующему:

—YoM・q()+ Lo- Чо = —djto.(72.13)

Допустим, что 级 настолько мало, насколько это возможно. Тогда Yo А 0. Наиболее опасный случай будет при у。 = 0. Тогда q0 оказывается линейной комбинацией собственных функций в нуль- пространстве оператора Lo. В общем случае ответвляющееся течение также является линейной комбинацией собственных функций в нуль-пространстве оператора Lo. Таким образом,

N с 〜 N 八

q° = £ Ал：，Яо = S В*.”.(72.14)

П=1П=1

Имеется также ^ независимых собственных функций q； оператора LJ.

Обозначения. Индексы у q% q^ и qn имеют различный смысл: qi, q? …，q? —независимые собственные функции Lo, qi, q；, ..., q} —независимые собственные функции LJ,

q； = (* 8；) (/=1,2, ・・・，М，

тогда кактогда как

тогда как

тогда как

(九 >0).(九 >0).1加q

(九 >0).

(九 >0).

пТ дгпе=Ю

Предположим, что задано некоторое решение бифуркационной задачи, т. е. совокупность коэффициентов {(}, значение 餌 и функция q0 уже определены. Коэффициенты Ап и соответствующие «наклоны» 例 1 получаются из уравнений

现 1〈q； • L • qj =〈q； • № (q°) • q。〉， zi = 1, 2, . .., M

и некоторого условия нормировки для Ап.

Если заданы 乂 + 1 величин \Ап, 应J, то задачу определения % и Г можно сформулировать следующим образом:

—YiM・q()—圈L・q()+ L・q】+ Nx(q0)• q0 + N, (q0)• q0 = —d®

(72.15)

Уравнение (72.15) разрешимо относительно q】€ 風 если

—Yi〈q： • М • qj —现1〈q； • 2 • q0) +〈q； • № (qj ♦ q。〉+

+〈q；N (qo)・q()〉= 0(72.16)

для n = 1, 2, ..., N. Если мы дополним уравнение (72.16) условием нормировки, то получим ^ + 1 уравнений для ^ + 1 значений {瓦，у/. Поскольку задача (72.15) линейна, от собственного значения кратности ^ обычно будут ответвляться ^ решений.

Уравнение (72.16) можно записать следующим образом:

Yi8期+网侬汴+ G0^〉=

=击〈尸(喩•時 + 丽。•吟〉+〈呪(Uo-V0 + 5-V0o)),(72.17)

где и； и 0^ — компоненты q；. Задачу на устойчивость можно сформулировать на множестве функций, для которых N =2. Мы применим уравнение (72.17) для исследования гексагональной конвекции в гексагональных сосудах (§ 73 (в)) и в бесконечных горизонтальных слоях жидкости (§ 77).

Упражнение 72.1. Выразить 乱2 через величины, входящие в приближения более низкого порядка.

Упражнение 72.2. Определить 先冒(е) по (71.5) и наложить ограничение 〈оЮ〉= е2. Показать, что

例&(°)= % и (设冒 /d%=Q =先「

Упражнение 72.3. Считая и (现°) = 0 простым собственным значением оператора L。，показать, что

(do/d先)现=现0 = 一〈q*・L・qo〉/〈q*・M*q()〉・

§ 73. Условия существования двухсторонней бифуркации

Вернемся теперь к бифуркационной задаче для сосуда с теплоизолированными боковыми стенками. Это физически интересное, но математически частное граничное условие на стенке сосуда. Условия, которые мы выведем для этой частной задачи, находят более широкое применение, поскольку условия

nV0 = nU = O на S, (73.1) выполняющиеся на боковой стенке теплоизолированного сосуда, совпадают с условиями на границе некоторых ячеек в ячеистой конвекции.

Для простоты мы будем предполагать здесь, что верхняя и нижняя границы сосуда сделаны из идеально теплопроводного материала. Тогда 0 и IT равны нулю при z = 0, 1.

Вспоминая, что / (z) = f(—G), можно переписать уравнения

(72.2) так:

/и。一例()е£)= 一V%,(73.2а)

例 oG'g + V20o = 0,(73.26)

g=询=0 при z = 0, 1,(73.2в)

u0 n = n • V0O = 0 на S.(73.2г)

Сопряженная задача на собственные значения имеет вид

/и* 一 e^oGz0* = —Vp*,(73.3а)

例(Х + ие* = о,(73.36)

^* == 0* = 0 при z = 0, 1,(73.Зв)

u*.n = nV0* = O на S.(73.3г)

Необходимо добавить, что и %, и ш* имеют нулевые средние по поверхности.

Учитывая, что G (z; Е) не зависит от х и у, мы можем удостовериться в справедливости соотношений ег rot u0 = e2 rot u* = 0. Так как u0 и и* — соленоидальные векторы, можно ввести поло- идальные потенциалы (см. приложение Б)

Uo =仇 о, и* = 6%*,

где

S = V -^ezV- = V2~^е〃5 = rot'ez.

Применяя операцию ez rot2 к (73.2а) и (73.3а), получаем уравнения

—№®0 — f “®о + ^0^200 = 0 и

一〃2加-尸"9* +爲G'v紡=0,

где f = df/dz. Поскольку g = —V2X0 н 涼 = —V靓*, мы имеем/V2x0 + ff d加 + 例(Д = "i (x, У、z)

И〃2行 产姒* + %/* =也(X,*

причем V^"i = V；〃2 = 0. Чтобы найти граничные значения "1 и "2， мы применим операцию n V2 и используем граничные условия (73.2в), (73.2г), (73.Зв), (73.3г); это даст

eHJdQs = (dHJdn)s = 0.

Отсюда следует, что функции Н* и 〃2 зависят только от z・ Такие зависящие только от z функции можно включить в %, не изменив скоростей. Следовательно, без потери общности можно положить "1 = 〃2 = 0. Тогда и0) и*, 0О и 0* можно найти как решения сле

дующих задач на собственные значения:

1^Ъ + Гд^ + ^% = ^(73.4а)

一爲G'V証° + V20o = 0,(73.46)

%о = 0о = 0 при z = 0, 1,(73.4в)

п * ^5гХо = и • V0O = 0 на S(73.4г)

W + /' “严 + 例。ее* = о, (73.5а)

-爲磁c* + v汨* = о, (73.56) ^* = 0* = 0 при z = 0, 1, (73.5в) п • V52x* == п • V0* = 0 на S. (73.5г)

(73.4) и (73.5) можно решить(73.4) и (73.5) можно решить一方⑵ g⑵ 乃⑵ 一呼⑵一方⑵ g⑵ 乃⑵ 一呼⑵(73.6)(73.6)Задачи на собственные значения методом разделения переменных:

(73.4) и (73.5) можно решить

(73.4) и (73.5) можно решить

一方⑵ g⑵ 乃⑵ 一呼⑵

一方⑵ g⑵ 乃⑵ 一呼⑵

(73.6)

(73.6)

"Хо"

Во、

х* =Ф (К У) 一 е*_

где ф называется функцией горизонтальной структуры. Функция 屮 является собственной функцией двумерного оператора Лапласа с собственным значением а2:

呢р + а2ф = 0,(73.7а)

п-V2(p = 0,(73.76)

^^ dxdy =(73.7в)

Условие равенства нулю среднего по поверхности (73.7в)гаран

тирует, что 叫 и w* будут равны нулю при осреднении по поверхности. Фактически (73.7в) уже содержится в (73.7а) и (73.76) для всех решений <р, не равных постоянной. Разделение переменных (73.6) получается при решении уравнений (73.4) и (73.5) разложением решений в ряд Фурье по собственным функциям (73.7) с зависящими от z коэффициентами Фурье. Такое разделение переменных не работает в случае сосудов, заполненных жидкостями, которые удовлетворяют модели ОБ; в этом случае условие и = 0 на границе S и представления (73.6) оказываются недостаточно общими. Разделение переменных (73.6) не работает в случае теплопроводных боковых стенок и 0 = 0 на границе S. Такое граничное условие приводит к более сложной задаче (см. упражнения 76.4 и 76.5). Однако разделение переменных имеет место в случае условия д20 + 九8 = 0 с разными, но постоянными значениями 九 на горизонтальных стенках z = 0 и z = 1.

«Надчеркнутые» функции от z удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям

/ (О 一 齊歹 + 广反 + %百=0,(73.8а)

例°GZ2彳 +(02 一 炉)音=о,(73.86)

X = 0 = 0 при z = 0, 1(73.8в)

f (D2 一 齊=* + 厂再* + ^G^ = о,(73.9a)

例о。讶* + (О? — ”)守=0,(73.96)

犬=百* = 0 при z = 0, 1,(73.9в)

где D2 =(Pld扌.Уравнения (73.9) являются сопряженными с уравнениями (73.8). Эти две системы определяют одни и те же собственные значения 瑞(а2).

Здесь 现о (а2) > 0 является непрерывной (аналитической) функцией от а2 > 0, стремящейся к бесконечности при а2 T 8 или “2 — о.

Вообще говоря, существует бесконечное счетное множество собственных значений а2 = а? задачи (73.7) и бесконечное счетное множество собственных значений 现° (а? для каждого собственного значения а；・ В типичной задаче / (z) и G，(z; Е) при 0 < z с 1 положительны. Тогда каждое собственное значение 5?0 (а?) является простым собственным значением задачи (73.8). Доказательство этого утверждения излагается в приложении Г. Нестрого говоря, мы считаем, что 例о (出)для каждого данного значения а / является наименьшим положительным собственным значением задачи (73.8). Основной интерес представляет минимальное из этих наименьших значений

例 o(a；) = min 例 о(成). (73.10)

Уравнение (73.10) выделяет критическое собственное значение и собственную функцию 屮/ горизонтальной структуры и определяет узловые линии для конвекции с малыми амплитудами.

Обратимся теперь к бифуркационной задаче и допустим, что а2 —простое собственное значение задачи (73.7). Чтобы оценить, как разделение переменных влияет на 例】,прежде всего вычислим следующие величины:

加。.r = 9。［矗爲+含需十吸。唸.卜

=0£>Х£>Х*(р| % 叫 2 + ^40ХХ*Ф3 =

%5Ъ也产"屮. %屮2 +a4文/豆р3

л* VA a* I" /笈 a。。I °坟。a。。

0 uo-V0o —0+ ду

=1/評应无К屮• V2q)2 +炉音玩D衣рз

Затем мы заметим, что

fjv2(p-v2(p2 = JJ %•仲2%叫一 JJq)W =

+ j(p2n - Vcp = a2 j J qH+ j(p2n - Vcp = a2 j J qH

+ j(p2n - Vcp = a2 j J qH

+ j(p2n - Vcp = a2 j J qH

И наконец, оценим величину 招 по формуле (72.6):

例 1 = М (a2)\\^3dxdyl\\ф2 dx dy,(73.11)

где

1

[[歯喻'(%石灰* +炉週*)+靜因2立W+ xb5)1 dzм(标)=ij•

f ^ + Gf^]dz 6

(73.12)

Необходимые и достаточные условия существования двухсторонней бифуркации при простом собственном значении определяются следующей теоремой.

Пусть а2 ——простое собственное значение задачи (73.7), М ◎)长 о 〃

J j <р3 dx dy/ JJ 屮 2 dx dy*O.(73.13)

Тогда 现工长 0 〃 бифуркация является двухсторонней. Если 例i у= ^0 и бифуркация двухсторонняя, то справедливо условие (73.13).

Мы уже отмечали, что такая же теорема справедлива для задач ячеистой конвекции и конвекции в пористых материалах. В условие (73.13) включены все известные из предыдущего анализа результаты; например, из него следует ранее известный результат о двухсторонней бифуркации в ячеистой конвекции с горизонтальной структурой, обладающей гексагональной симметрией. Величина Л1 (а2) зависит от особенностей задачи более сложным образом. В рассчитанных до сих пор случаях М (о?) =д 0 и 5?2 > О (см. упражнения 73.1 и 76.1). Критерий (73.13) можно модифицировать, чтобы рассмотреть случай высокой кратности собственного значения а2 (см. упражнение 73.2).

Поскольку функция <р имеет нулевое среднее по поверхности, она принимает положительные и отрицательные значения на ^, и может случиться, что среднее по поверхности от ф3 будет равно нулю. Для равенства нулю среднего от ф3 требуется, чтобы <р обладала высокой степенью симметрии. Такую симметрию можно ожидать, только если сама 垓 имеет довольно значительную степень симметрии. Представляет интерес рассчитать величину Jf 嗽厶 dy в частных случаях.

Осесимметричная конвекция в сосудах с круговым поперечным сечением1)

Единственное решение уравнения

；£(「*)+ 出屮=°，増=°，(73・14)

(73.15)(73.15)ограниченное при г = 0, имеет вид

(73.15)

(73.15)

屮=Jo(ar),

где djb = Ay — положительные нули J，(Л): ^ (X；) = 0, / = 1, 2, .... Развитие конвекции при заданном значении b впервые начинается при минимальном по всем нулям 2J функции /г значении 例° (а；)=例° (两/产).Для задач, не слишком отличающихся от задачи Бенара для уравнений ДОБ, минимальное значение 例2 почти равно 4冗2 и достигается тогда, когда а； приближается к л2 (здесь а；—простое собственное значение уравнений (73.14)). Функция Jo (а*) имеет / узловых линий (окружностей) внутри круга радиуса Ь. Например, JQ (aj) положительна при г<г < Ь, где ^ а 2,4^/3,8, и отрицательна при г < г《Ь.

Осесимметричная конвекция удовлетворяет условию (73.13) двухсторонней бифуркации (см. табл. 8).

Таблица 8

Значения первых пяти корней уравнения

1

厶(为)=0 и интеграла // = | г/^ (%*) dr о

/

Х/

1

3,832

2,857.10-2

2

7,016

7,001-10-3

3

10,173

3,682-10-3

4

13,324

2,019-10-3

5

16,470

1,379.10-3

1) Теоретический анализ бифуркаций в состояние осесимметричного конвективного движения для жидкости, описываемой уравнениями ОБ, был проведен Лянгом, Видалом и Акривосом [1969], а также Чарлсоном и Сани [1975]. Конвекция жидкости, описываемой уравнениями ОБ, в круговых цилиндрах изучена в экспериментальных работах Лянга, Видала и Акривоса [1969], Кошмидера [1974] н Сторка и Мюллера [1975].

Неосесимметричная конвекция в сосудах с круговым

поперечным сечением

Все ограниченные решения задачи.

；与（Г岩）+ （犀一普）屮=°，^ = ° （73/6）

представляются в виде

(73.17)(73.17)[cos mQ\

(73.17)

(73.17)

4 ("Г)Lin 加0 j，

причем atb — положительные корни производных от функций Бесселя

(73.18)(73.18)Jm (〃/Ь) = °・

(73.18)

(73.18)

Если zn * 0, то 疋(团)一двукратное собственное значение. Для изучения бифуркаций при m =4： 0 необходимо рассматривать дву

Рис. 52. Сосуд с гексагональным поперечным сечением; вид сверху.Рис. 52. Сосуд с гексагональным поперечным сечением; вид сверху.кратное собственное значение (см. упражнения 73.2 и 73.5). Такое рассмотрение проводится по методу, изложенному в § 72 (б) и в примере, приведенном в следующем разделе.

Рис. 52. Сосуд с гексагональным поперечным сечением; вид сверху.

Рис. 52. Сосуд с гексагональным поперечным сечением; вид сверху.

Конвекция в сосуде с гексагональным поперечным сечением

Мы приступаем к обсуждению частных решений уравнений (73.7) для сосуда с гексагональным поперечным сечением (изображенным на рис. 52),

которые можно включить в класс

функций с неполной гексагональной симметрией. Функции с гексагональной симметрией играют важную роль в задаче о двухсторонней бифуркации при ячеистой конвекции.

Прежде всего нам нужно изучить эти функции, а затем решения. Функции ^(х, у), которые, как мы будем говорить, обладают неполной гексагональной симметрией, являются двояко периодическими с периодом 3d по % и с периодом /3 d по у, инвариантными относительно поворота на угол 2п/3. Мы будем говорить, что Т (%, у) обладает полной гексагональной симметрией, если она является функцией с неполной гексагональной симметрией и удовлетворяет

условию ^ (х, —у) = ^ (—х, у) = Т (х, у)】). Наш анализ функций с гексагональной симметрией следует изложению Юдовича [19666].

Каждая функция с неполной гексагональной симметрией представляется рядом Фурье

8(& У)= S S %/(х, У)=

I——GO *V=—8

S £ % kxp [(ia/2) (vx + /範)]+

+ exp [(h/4) (-" + 3/) x + /3 (v - /) у)] +

+ exp [(ta/4) ((3/ 一 v) x 一 /§ W + /)力]},(73.19)

где d = 4冗/(За) и суммирование производится по всем целым v и /, таким, что V + / четно. Коэффициенты ряда Фурье (73.19) однозначно определяются функцией 0 (х, у) с условием ортогональности, определенным интегрированием по шестиугольнику. Формулу (73.19) можно вывести из соотношения

0(х, У) = % {9(х, У) + 9 (/,力 + 0 (犬,夕)},(73.20)

где каждый штрих соответствует повороту на угол 2л/3. Ряд Фурье с экспоненциальными членами требуемой периодичности (период 3d по х и период /3d пор) н коэффициенты Фурье CvZ теперь будут использованы для представления функций 0, входящих в выражение (73.12).

Коэффициенты ряда (73.19) не произвольны, но должны выбираться с учетом требования инвариантности 0 (х, у) = 0 (х\ /)= =0 (%",，)・ В силу условий ортогональности

4=2 S Слт6 (2v + л 4- 3/и) 6 (2Z - и 4- т)= rt=—ОО /У1=—8

= L S Спт8 (2v - 3m + /г) 6 (2Z + m + и), (73.21) П=一 оо Щ——оо

Это определение полной гексагональной симметрии приводит к корректной функциональной форме 屮 (х,切.Однако Шваб [1974] указывал автору, что математически строгое определение функции с гексагональной точечной симметрией требует, чтобы W (%, у) была инвариантной относительно группы преобразований Gv・(Группа Cev имеет симметрию относительно шести поворотов и зеркальных отражений в шести плоскостях.) Такое определение имеет преимущество по сравнению с определением, требующим инвариантности относительно особых вращений вместе с четностью по х и по у. Определение последнего типа приводит к неопределенности в выборе элементов группы, необходимых для образования Cev, поскольку четность и инвариантность относительно зеркальных отражений в двух пер пен ди куля р ны х плоскостях (оба элементы группы Cev) являются тождественными ограничениями К тому же априори не ясно, что функции с гексагональной симметрией должны быть четными по координатам. Это можно установить только при исследовании элементов группы Cev.

где 6 (0) = 1 и 6 (ги) = 0 при m 长 0. Тем самым обеспечивается инвариантность относительно поворотов на углы 2冗/3 и завершается обоснование представления (73.19).

Теперь мы хотим найти собственные решения уравнений (73.7), обладающие неполной гексагональной симметрией. Оказывается, что соотношение

vie а, у) = -(明4)£ £ 紡 + 3/2)evZ (х, у)= -成)(х, у) справедливо тогда и только тогда, когда

v2 +3/^ = 4.

Следовательно,

(V, /) =(±2, 0), (±1, ±1),

и, согласно разложению (73.21),

&, 1 = &, -1 = С-2, о； С_1, 1 = С」,_i = G, о；

все остальные С、【=0.(73.22)

Используя (73.22), находим, что собственные функции задачи (73.7), обладающие неполной гексагональной симметрией, должны иметь вид

з

屮(%, у) = 8(х, у)= £ Gexp{ikv・H + &exp{—iky•叩， v=i

(73.23) где г = e*% + 跟/ и

к】=(a, 0), k? = (—a/2, /3a/2), k3 = (—a/2, —，3a/2).

Теперь необходимо проверить, что на стенках сосуда гексагонального поперечного сечения производные по нормали к стенке функции (73.23) равны нулю. Функцию (73.23) можно записать так:

ф (х, у) = А^ + Л2(р2,(73.24)

% = cos ах + 2 cos (ax/2) cos (，3ay/2),(p2 = —sin a% + 2 sin (a%/2) cos (，％y/2).

Достаточно показать, что n-V2(p равно нулю на стенках у = =士 /立/2 = 士2冗/(|/弘)・ Тогда в силу инвариантности относительно поворота на угол 120° равенство n V2q)=0 будет выполняться на всех стенках сосуда. Мы оставляем доказательство в качестве упражнения 73.3.

Из представления (73.24) следует, что а2 имеет кратность, равную двум, для функций с неполной гексагональной симметрией.

Функции <Pi с полной гексагональной симметрией являются четными функциями х и у. Следовательно, собственные решения задачи (73.7), имеющие полную гексагональную симметрию, представляются выражениями (73.24) при Д2 = 0. Собственные функции с полной гексагональной симметрией являются единственными для каждого значения а. Их можно также представить в виде

з

屮(X,力=4 工 exp{ikv・r}・(73.25)

V=—3

Из выражения (73.11) следует, что

例 1 = А.М (а2),(73.26)

и бифуркация в конвективное движение с полной гексагональной симметрией оказывается двухсторонней. Теорема о факторизации в случае стационарной бифуркации показывает, что закритиче- ская ветвь будет устойчивой, а докритическая —неустойчивой. Конечно, было бы неестественно ограничиться рассмотрением только шестиугольных ячеек с полной симметрией. Для функций с неполной гексагональной симметрией а? имеет кратность два и справедлив результат, приведенный в упражнении 73.2. Следовательно,

4现丄=М (М) j J % (4% + 4屮2户 dx d" J J 哨 dx dy

м

4隔=M(”) J j 屮2(4% + 4б)2dxdyl ^q)ldxdy,*/ *

и после ряда интегрирований, выписанных в формуле (73.31) (см. также упражнение 73.6), мы получаем

А^ = М (с^)(А1 一 尚)，(73.27)

42 %丄==—m (犀)ZAi?!2.

Уравнения (73.27) имеют три решения; эти три решения ответвляются при собственном значении кратности два:

I: 42 = 0, <р = ^1Ф1, ^н = А^М (с^\

II:儿=『34],屮=4 [屮1 +，392]，例i2 = —24丄md)，

III： Д? = / 34], ф = 4].[①1 - /3屮2]，现 13 ==现 12.

Решение I соответствует бифуркации при простом собственном значении. Постоянная 4工 вычисляется из условия нормировки, которое определяется заданием амплитуды 8.

Представляет интерес рассмотреть устойчивость этих трех решений неполной гексагональной симметрии, ответвляющихся

при собственном значении кратности два. Мы будем следовать методу, изложенному в § 72 (в). Если / и G' положительны, то 例о (а?) будет простым собственным значением обыкновенных дифференциальных уравнений (73.8) и /73.9), получающихся при решении уравнения (72.13) разделением переменных (73.6). При этом функции % (z) н 百(z) определяются единственным образом.

г. Устойчивость решений, ответвляющихся при собственном значении кратности ^

На этом этапе мы можем не выходить за рамки общего анализа. Сначала допустим, что 屮 н 例】получаются в результате исследования бифуркаций; например, можно изучить устойчивость каждого из решений I, II, III уравнений (73.27). Допустим, что <р и 现工 представляют одно из этих решений, но в общем случае 屮=

N"

=ё4〃生， где N — кратность М. Тогда возмущения х0 и 0 1

также будут линейными комбинациями собственных функций (р〃

Хо = Х(2)工舔必=G(z)而(X, у)1

и

〜_ N

§0 =豆(z) $ 8脚〃=吕⑵3(X,护，

1

где в нашем частном случае

@ = &屮工 + В2(р2.

Сопряженные собственные функции также допускают разделение переменных и пропорциональны ср丄 и q)2-

Используя эти проставления, можно привести уравнение (72.16) к виду

也<0*0ф/ф) +阳出位崎+ e/%屮而=

=击 # [百D7D彳*严m•%0+ «40x%*TT/T)) +

+ 击⑺[扔初7%%Р/ • V2(p + ^х^фф/ф!) +

+ ©砺E%屮•啮+ "^而/而D +

+(0* [Рх0ф/?2ф • %ф + a2D3x(p(p^]),

где / = 1, 2. После повторного интегрирования по частям произведений функций горизонтальной структуры с учетом граничного условия (3(рг dri)s = 0 и ди4)ференциального уравнения ?2ф/ + + а?屮/ = о мы можем привести выражение для у〔 к виду

[?Л + ”風厶]J [ ф(Р/ = 2〃2M (〃2)厶 J J ффф/,(73.28)

где / = 1, 2, M 厶=J(X*0 + G，e *%] dz и 厶=j 8*8 歩・ о о

В процессе вывода (73.28) мы интегрировали по частям члены, содержащие оператор V2» используя тождества, подобные приведенным выше в выражении (73.11), и соотношения

2 JJ [屮%72屮/72屮/ -2 JJ [屮%72屮/72屮/ -%附陋％] dx dy =%附陋％] dx dy =

2 JJ [屮%72屮/72屮/ -

2 JJ [屮%72屮/72屮/ -

%附陋％] dx dy =

%附陋％] dx dy =

=j ][必%<Р/ -屮n2屮"• % 屮/ dx dy =

=一J ]①1 {屮川細/ -屮用9/dxdy = 0,

которые справедливы для всех собственных функций горизонтальной структуры с собственным значением а2.

Уравнения (73.28) —это N линейных однородных уравнений с N неизвестными коэффициентами В/, где

Полагая теперь, что множество функций |(pz} было выбрано с тем условием, чтобы образовывать ортогональный базис:

U Ф/Фп = С*〃，

где С — постоянная, мы можем привести (73.28) к виду

旧厶 + 炉死/1 的=2a2M(废)/5 X BnSnh (7329)

п=1

где

Sni = S/〃 = j J ФФпФ/

является симметричной (Ух^-матрицей. Уравнение (73.29) может быть решено относительно Bt тогда и только тогда, когда

det 仇％-5" = 0,(73.30)

гдегде

где

где

入=(力/6 + @2%"5)e~2a2M ®2)厶—

представляет собой собственное значение S”，т. е. является корнем многочлена (73.30). Существует ^ вещественных корней 九1，入2，•••,九n многочлена (73.30). Каждый определенный корень %/ связан с определенным значением уп. Если одно из значений у” отрицательно, то ответвляющееся течение будет неустойчивым.

д. Устойчивость ответвляющихся решений для гексагональной конвекции

Теперь мы применим (73.30) к задаче на устойчивость трех ветвей гексагонального конвективного движения, соответствующего решению уравнений (73.27). В этом случае ^ = 2 и, согласно вычислениям,

等=多=3/1 朮= 3JJE = 3JI 就EJJ 的磁(73.31 a)

**加加

где 加 一площадь шестиугольника, а

(73.316)(73.316)J J Ф1Ф2 = J J 屮2 = J j Ф1Ф2 =。・

(73.316)

(73.316)

С учетом равенства <p = Л^ + 42屮2 находим

S〃i =S〃i =ФФ1Ф2ФФ1Ф2u屮恥用u屮恥用=等*=等*• 4_—4• 4_—4-4-4.-4-4.

S〃i =

S〃i =

ФФ1Ф2

ФФ1Ф2

u屮恥用

u屮恥用

=等*

=等*

• 4

_—4

• 4

_—4

-4

-4.

-4

-4.

и

det [X6rt/ — Srt/] = det ^^ 1 九+；% =* —C?(4； +屬)=0.

(73.32)

Уравнение (73.32) приводит к следующим значениям у“(i = 1, 2, 3):

Ти/б + а?现i〃5 = ±2с^М (а?) /| (Л? + А1)^29

соответствующим трем ответвляющимся решениям с гексагональной симметрией; например, в случае I

4 = 0,现1 =例口 = 4 Л! 0)(73.33а)

Возмущения ф = В^ + В2(р2 определяются условиями В2 = 0, 5工 R 0 для первого варианта (73.336) и В2 ^= 0, Вг = 0 для второго варианта. Существует два значения уп разных знаков. Отсюда следует, что при малых 8 мы всегда имеем отрицательные значения у = еуи + О(82), и шестиугольные ячейки с полной симметрией неустойчивы по обе стороны предела устойчивости. Если бы мы искусственно ограничились возмущениями с полной гексагональной симметрией, то были бы обязаны взять ф = В^. В этом случае задача на устойчивость должна стать частным случаем задачи на устойчивость решений, ответвляющихся при простом собственном значении. Тогда бы мы нашли, что закритическая ветвь конвекции устойчива, а докритическая ветвь неустойчива. Этим примером подчеркивается, что при исследовании устойчивости необходимо принимать во внимание все допустимые возмущения.

Аналогичный расчет, основанный на уравнении (73.22), показывает, что ответе л я ющиеся решения II и III с полной гексагональной симметрией оказываются также неустойчивыми по обе стороны предела устойчивости (упражнение 73.4). Было бы интересно оценить устойчивость ответе л я юще гос я конвективного движения вплоть до членов порядка О(82). Для этого необходимо вычислить интегралы, подобные /ь которые можно получить при помощи двухпараметрических разложений, рассматриваемых в § 76.

е. Односторонняя конвекция в сосудах прямоугольного поперечного сечения

Теперь мы изучим уравнение (73.7) для случая, когда поперечное сечение А сосуда Q прямоугольно. Пусть (х, у) — координаты, отсчитываемые от левого нижнего угла сечения. Собственные функции уравнений (73.7) имеют вид

Ф = cos (тпх/1) cos (ziny/d), m2 + и2 =/= 0,(73.34)

а собственные значения равны

а2 = а2 (т,九)=л2 (m2//2 + n2/d^).(73.35)

Собственное значение а2 (т, 〃) является простым, если нет другой пары целых чисел (т\ %'), удовлетворяющей условию

m2 九2 一九‘2

~十厅=~十

Каждое собственное значение а?(团,九)будет простым, если отношение Hd сторон прямоугольника — иррациональное число, и минимальное значение 〃2(团,九)для всех 加,〃,удовлетворяющих условию /и? + %2 # о, всегда простое.

Соотношения (73.34) не удовлетворяют условию существования двухсторонней бифуркации (73.13); вместо этого мы получаем

j J Ф3 dx dy= 0.

Это показывает, что 餌=0, и означает, что обобщенная конвекция в ящике из пористого материала с теплоизолированными боковыми стенками всегда является закритической.

Мораль. Естественно возникает искушение делать общие выводы из рассмотрения задач, для которых известны численные результаты, но этому искушению не следует поддаваться. Точные вычисления, подобные проведенным выше, могут навести на мысль, что для большинства сосудов и большинства 屮 справедливо равенство

JJ <р8 dx dy = 0.

*

Однако точные расчеты возможны только тогда, когда 加 имеет высокую степень симметрии. Когда у 垓 нет такой симметрии, нельзя получить точные аналитические выражения для собственных функций ср. А для таких асимметричных сосудов

\\^dxdy=bQ

и бифуркация оказывается двухсторонней.

ж. Задача Бенара для уравнений ДОБ в случае произвольного сосуда

_ При Е = 0 и / = 1 задача (73.8) является самосопряженной (% = %*), характеризуется постоянными коэффициентами и включает только производные четного порядка по z, обладающие свойством 小2”)(1)= о. Отсюда следует, что все решения %, 0 пропорциональны sin nnz, а минимальное значение 现° достигается для каждого собственного значения а； задачи (73.7) при 九=1, т. е.

例。⑷)=(冗2+圖2/*

Критическое собственное значение функции горизонтальной струк- 2-2”

туры а, = а/ удовлетворяет соотношению

")0)=min (Я2 + 成户/山 > 4л2.

Обычно Ь/ —ближайшее к л2 собственное значение.

Свойства узлов в случае конвекции малой амплитуды определяются собственной функцией горизонтальной структуры. При осесимметричной конвекции в сосуде с круговым поперечным сечением собственная функция горизонтальной структуры <р,(厂) = =J° (〃У) имеет / внутренних узлов. Линии узлов для осесимметричной конвекции оказываются окружностями радиуса rz = = 儲/包 < b, где 儿 一нули функции 厶(％), а b — отношение внешнего радиуса сосуда к его высоте. Для неосесимметричной конвекции критическая собственная функция горизонтальной структуры определяется уравнением

然(密(加))=min (л2 + a； (tri)y/al (/и).

Если ближайшее к л2 собственное значение а；(加)имеет /и R О, то линии узлов критической собственной функции будут состоять из окружностей и радиальных прямых.

Упражнение 73.1. Показать, что М (а2) = 0 н 现2 > 0 при Е = 0 и /= 1.

Упражнение 73.2. Считая, что ^0 ⑺ 一 простое собственное значение задачи (73.8) и а2 — собственное значение задачи (73.7) кратности два, показать, что

где ф = А^ + 力2中2, a (Pi и <р2 — ортогональные собственные функции в нуль- пространстве оператора Vq + a2.

Упражнение 73.3. Показать, что если функция ф задана выражением (73.24), то n*V2(p = 0 на боковой стенке S сосуда с гексагональным поперечным сечением (см. рис. 52).

Упражнение 73.4. Считая, что ответвляющиеся решения нормированы заданием амплитуды 8 = 〈Q・q(), найти величину постоянной Лг для трех ответвляющихся решений I, II и III с гексагональной симметрией. Показать, что ответвляющиеся решения II и III неустойчивы по обе стороны предела устойчивости.

Упражнение 73.5. Рассмотреть задачу о бифуркации и устойчивости в сосуде кольцевой формы, допустив сначала, что наименьшее собственное значение 乱о(@2) связано с осесимметричной собственной функцией. Показать, что бифуркация является двухсторонней и что докритическая бифуркация неустойчива, а закритическая устойчива. Провести анализ ветвления, когда критические соб

ственные функции неосесимметричны. В последнем случае рассмотреть задачу о бифуркации и устойчивости при двойном собственном значении. Показать, что бифуркация в неосесимметричное конвективное движение является закритической.

Упражнение 73.6. Показать, что функции с гексагональной симметрией покрывают плоскость мозаикой из одинаковых шестиугольников. Указание. Показать, что функции (73.24) являются периодическими с периодом рЗ d вдоль трех направлений, разделенных углами 120°. Упростить интегрирование, приводящее к (73.31), учитывая, например, что

=Дш -^\\^\^dxdy.

Упражнение 73.7. Считая, что и (乱°) = 0 является простым собственным значением оператора Lo и что потеря устойчивости в сосуде R с теплоизолированными боковыми стенками S происходит строго, о'便°) < 0, показать, что

у =(/ (组)现卢 + О (е2), (73.37) где

『(现0)=-壮厶/4.

При каких условиях справедливо (73.37), если о 便о) = 0 — собственное значение высокой кратности?

§ 74. Двухсторонняя бифуркация в случае сферического слоя

В этом и в следующем параграфах мы рассмотрим конвекцию в жидкостях с постоянными физическими свойствами при наличии источников тепла. В данном параграфе мы обсудим метод и результаты анализа Буссе нелинейной конвекции между сферическими оболочками в жидкости, описываемой уравнениями ОБ. С математической точки зрения эта задача интересна потому, что область между сферами замкнута и, несмотря на вырождение, кратность собственных значений двумерного лапласиана V； на сферах конечна. В будущем такая геометрия должна обеспечить хороший объект для применения теоретико-групповых идей к проблемам нелинейной конвекции. Некоторые авторы считают, что теория конвекции между сферами интересна и с физической точки зрения, но я не знаю, оправданы ли такие заявления.

Теория конвекции в приближении ДОБ в сферическом сосуде с коническими теплоизолированными боковыми стенками (см. рис. 55) полностью подобна теории, развитой в § 72 и 73. Эта теория характеризуется результатами, собранными в упражнениях к настоящему параграфу.

Обозначения. В этом параграфе через 0 и <р обозначаются углы в сферической системе координат. Мы используем символ Ф для собственной функции двумерной структуры и 0 для температуры.

В следующем ниже анализе нас будет интересовать устойчивость режима теплопроводности в сфере или сферическом слое (внутреннего радиуса d и внешнего радиуса 5). Допущения, которые делают эту задачу моделью для гео- и астрофизических приложений, обсуждались Чандрасекаром [1961 ] и Буссе [1975]. Решение, соответствующее состоянию механического равновесия, может существовать тогда и только тогда, когда изменения силы тяжести и температуры в слое чисто радиальны (см. § 59 и упражнение 59.3). Анализ устойчивости этого равновесного состояния проведен в книге Чандрасекара [1961 ] на основе линейной теории устойчивости и в статье Джозефа и Карми [1966 ] на основе энергетической теории, а бифуркационный анализ выполнен Буссе [1975 ]. Многие свойства неустойчивости и бифуркаций довольно слабо зависят от деталей распределения в слое полей силы тяжести и температуры и от точного вида граничных условий.

Без потери общности в качестве масштабных множителей можно выбрать величины g, 7", / = 5, введенные в условии (56.1):

" = g/g' = —гд(「)，Пг = —гЬ(г), г = е/,(74.1)

где г — радиус в сферической системе координат с началом отсчета в центре сферы. Функции д (г) н b (г) произвольны; они описывают сферически симметричные решения уравнений для гравитационного потенциала и распределения температуры (упражнение 59.3). Возмущения величин (74.1) описываются соответствующим образом преобразованными уравнениями задачи (56.3), а именно уравнениями

(%+eu.V)-и•[例计⑺卜[ v20 ](74.2)

и граничными условиями (56.36, в, г).

Уравнения линейной и энергетической теории устойчивости получаются из (61.1) и (61.2) соответственно при R = 丫 = ц。 = О, R =例 н 垓现=1. Оптимизирующее значение % энергетической теории дается выражением (61.3)

(74.3)(74.3)<П-и©> _ <9 (0 /в>〈巾・и®〉=〈Ь ⑺/6〉，

(74.3)

(74.3)

где

/(г, 0, ф) = rw (г, 0, ф) = r-u

(0 и ф — углы в сферической системе координат). Из теоремы, доказанной в § 61, сразу же следует, что при д (г) = b (г) 例厶= =St卷、im о (例厶)=0. В этом исключительном случае докритические бифуркации невозможны.

Удобно избавиться от уравнения div и = 0, выразив скорость через полоидальный и тороидальный потенциалы (см. приложение Б, разд. Б.6):

(74.4)(74.4)u = grad 包察——“2% + г X grad Т.

(74.4)

(74.4)

Далее заметим, что

「・屮金=х. ^|^ =屮(г 而 一 2 div ф,

z"4с宀宀八ХЧ

r-rot rot(p = —r-V2(p+г・ Vdiv屮=—V2(r*(p) +2divq)+ r-Vdiv(p =

=-W (r ・ Q) + ； “ (产 div i) = — 3 H (r • i) + ； dr(r divs &, где

m — _L_ d(sin 脸e)疯

由弘屮_sine dO十丽HI丁

и

В результате применения оператора г rot rot к первому уравнению (74.2) получаем

“V2f — ег. rot2 (u - Vu)=例 g (г) V 沿 + V?,扮

夕(" + £U・ V) ® =现b (厂)f + V2 e.' •

Выпишем далее уравнения, описывающие спектральную задачу линейной теории устойчивости:

Г V4 ^wvqrfi_

L^b (Г) Vs V2Vs J L©J ~'

где предполагается, что на пределе устойчивости о (现厶)=0.

Уравнения энергетической теории устойчивости имеют вид

V4扌现嚴+ ]/又/

4 例{將 + Р 又 ь (г)} V；v2v；®」一 °'

(74.7)

Теперь разложим переменные f = и г и 0 по полной системе сферических гармоник:

гдегде[Ж疆][Ж疆]出仇ф),出仇ф),(74.8)(74.8)向р (sin zn(p,УТ(0,ф) =尸7(COSe)(cos0<т</, / = 1, 2,・・.，(74.9)向р (sin zn(p,УТ(0,ф) =尸7(COSe)(cos0<т</, / = 1, 2,・・.，(74.9)—сферические гармоники, а Р『一присоединенные функции Лежандра и—сферические гармоники, а Р『一присоединенные функции Лежандра и▽紋7(" ф) = -/(/+1)кГ(0,ф),^Т(г)УГ^ Ф)= УГ(0, Ф)勿汇▽紋7(" ф) = -/(/+1)кГ(0,ф),^Т(г)УГ^ Ф)= УГ(0, Ф)勿汇(74.10)(74.10)причемпричем勿。备+言^一"Ц抖勿。备+言^一"Ц抖Подставляя (74.8) в (74.6) и (74.7) и учитывая (74.9) и (74.10), находим, чтоПодставляя (74.8) в (74.6) и (74.7) и учитывая (74.9) и (74.10), находим, что2；2；-^ (г) l(l+l) I■斤⑺-^ (г) l(l+l) I■斤⑺—5?Ь(г)/(/+ 1)-“/ + 1)勿彳 J L^ ⑺—5?Ь(г)/(/+ 1)-“/ + 1)勿彳 J L^ ⑺]=0 (74.11)]=0 (74.11)для задачи линейной теории устойчивости идля задачи линейной теории устойчивости и

где

где

[Ж疆]

[Ж疆]

出仇ф),

出仇ф),

(74.8)

(74.8)

向р (sin zn(p,

УТ(0,ф) =尸7(COSe)(cos0<т</, / = 1, 2,・・.，(74.9)

向р (sin zn(p,

УТ(0,ф) =尸7(COSe)(cos0<т</, / = 1, 2,・・.，(74.9)

—сферические гармоники, а Р『一присоединенные функции Лежандра и

—сферические гармоники, а Р『一присоединенные функции Лежандра и

▽紋7(" ф) = -/(/+1)кГ(0,ф),^Т(г)УГ^ Ф)= УГ(0, Ф)勿汇

▽紋7(" ф) = -/(/+1)кГ(0,ф),^Т(г)УГ^ Ф)= УГ(0, Ф)勿汇

(74.10)

(74.10)

причем

причем

勿。备+言^一"Ц抖

勿。备+言^一"Ц抖

Подставляя (74.8) в (74.6) и (74.7) и учитывая (74.9) и (74.10), находим, что

Подставляя (74.8) в (74.6) и (74.7) и учитывая (74.9) и (74.10), находим, что

2；

2；

-^ (г) l(l+l) I■斤⑺

-^ (г) l(l+l) I■斤⑺

—5?Ь(г)/(/+ 1)-“/ + 1)勿彳 J L^ ⑺

—5?Ь(г)/(/+ 1)-“/ + 1)勿彳 J L^ ⑺

]=0 (74.11)

]=0 (74.11)

для задачи линейной теории устойчивости и

для задачи линейной теории устойчивости и

勿;勿;一%+1)訂舞+/^(4一%+1)訂舞+/^(4Т(/+1)等開+“b(r)}-/(/+1)^1Т(/+1)等開+“b(r)}-/(/+1)^1хх

勿;

勿;

一%+1)訂舞+/^(4

一%+1)訂舞+/^(4

Т(/+1)等開+“b(r)}

-/(/+1)^1

Т(/+1)等開+“b(r)}

-/(/+1)^1

х

х

хх致)⑨0致)⑨000(74.12)(74.12)

х

х

致)

⑨0

致)

⑨0

0

0

(74.12)

(74.12)

для задачи энергетической теории устойчивости. Постановка этих задач заканчивается заданием граничных условий для / и 6; например,

Г(1) =Т(П)=7 (1)=广⑺=百⑴=百⑺=。(74.13)

на твердых теплопроводных поверхностях.

Собственные значения задачи (74.11) обозначаются через

现= %£(/, п).

Существует 2/ + 1 собственных функций, принадлежащих каждому собственному значению 现厶(/, “)・ Эти собственные функции представляются выражениями (74.9) с т =0, ±1, ..., ±/. Наименьшее критическое значение линейной теории определяется задачей

现厶(т))= min现l(厶叫.7=1, 2, • •・

Собственные значения задачи (74.12) обозначаются через

现=现九(厶n).

Энергетический предел устойчивости определяется из задачи

做г(П)= max min 例九(/, “)•1>0 /=1, 2,…

1“)2〉川…g⑺1“)2〉川…g⑺(74.14)(74.14)Главные собственные функции 7 (И и 8 (г) уравнений (74.11) и (74.12), соответствующие (74.13) (или другим граничным условиям; см. приложение Г), оказываются в сферическом слое (П < г < 1) знакоопределенными только при условии, что функции, описывающие распределения силы тяжести g(r) и источников тепла b (г), являются знакоопределенными. В этом случае систему (74.12), (74.13) можно свести к интегральному уравнению с осцил- ляционным ядром, а X, обеспечивающее максимум 例九(/, т]), можно вычислить с помощью (74.3) и теоремы о среднем следующим образом:

1

“)2〉川…g⑺

1

“)2〉川…g⑺

(74.14)

(74.14)

〈b ⑺/б〉—；== 一6向

J b(r) F§ dr

где r nF — некие средние значения 厂 в интервале (“, 1). В ^задачах, рассмотренных Джозефом и Карми [1966], оценка г =尸=(1 + + “)/2 дает довольно точную оценку величины 九.Некоторые весьма показательные сравнения энергетического и линейного пределов устойчивости в случае, когда граничные условия взяты в виде (74.13), представлены в табл. 9.

Задача о бифуркации в состояние конвективного движения в сфере изучена Буссе [1975]. Эта задача связана с возмущениями собственного значения кратности 2/ + 1, соответствующего 2Z + 1 собственным функциям (74.8), (74.9), и ее можно изучать методами, развитыми в этой главе. Количество ответе л яющи хс я нелинейных решений и формы движений, допускаемые нелинейными уравне-

Таблица 9

Критические числа Рэлея энергетической и линейной теорий устойчивости (см. Джозеф и Карми [1966], Чандрасекар [1961, с. 250])

n

Минимизирующее /

入，вычисленное по (74.14) при

=(7+ Л)/2

Оптимизирующее А,

现 ^». 107

綬"(г*

b = 1

0,2

2

1,67

1,69

7,52

7,57

g —广1

0,3

2

1,54

1,52

11,67

11,71

0,4

3

1,43

1,42

19,35

19,31

0,5

4

1,33

1,34

37,07

37,12

0,6

6

1,25

1,25

84,37

84,44

0,8

12

1,И

1,11

1129,0

1129,0

0,2

2

4,63

6,57

2,125

2,270

0,3

2

3,65

4,60

4,174

4,320

b = 1

0,4

3

2,92

3,34

8,605

8,786

g =广з

0,5

4

2,37

2,55

19,69

19,93

0,6

6

1,95

2,00

52,38

52,74

0,8

12

1,36

1,38

908,4

909,8

0,2

2

1,52

1,71

7,586

7,707

b = 1

0,3

2

1,38

1,48

12,49

12,57

0,4

3

1,27

1,31

21,26

21,31

g=(6+f3)/7

0,5

4

1,20

1,22

40,93

40,98

0,6

6

1,14

1,14

92,42

92,46

0,8

12

1,05

1,05

"91,00

"91,00

ниями, нельзя получить на основе линейной теории. Для исследования этих вопросов мы разлагаем решение в ряд по степеням 8：

L^J 绪」L例]」

где у,屮 н О — функции координат, fn = — VsXn и 现о =死厶(厶 刀).Параметр е можно определить любым из нескольких эквивалент-

ных способов. Далее разложения (74.15) подставляются в (74.5), и это приводит к цепочке задач для возмущений:

% £ 0, ф；叫，仇亿 0, <Р；叫 и 现о(/,叫 удовлетворяют(74.6),

V?1 + 倣 g ⑺ V沿 1 = -r. rot2 (u0 • Vuo) — 例1 g (r) V?0O '

и(74.16)

V20i +例亦⑺片=夕Но・ve0 一例加(г) /о,

где

u。= g^d ^> - №笈=一子 vixo + v 加。・(74.17)

Все решения уравнений (74.16) и граничные условия можно составить из линейных комбинаций 2/ + 1 собственных функций (74.9), принадлежащих 现厶(/, т|)=例°:

赢(И.赢(И.L [«m exp (i/n Ф)] Pf (cos 0), m=—/L [«m exp (i/n Ф)] Pf (cos 0), m=—/(74.18)(74.18)

赢(И.

赢(И.

L [«m exp (i/n Ф)] Pf (cos 0), m=—/

L [«m exp (i/n Ф)] Pf (cos 0), m=—/

(74.18)

(74.18)

где /о, (г) и 0О/ (г) — по предположению единственное решение задачи (74.11). Коэффициенты а^ в (74.18) в рамках линейной теории не определяются.

Далее мы покажем, что условия разрешимости для уравнений (74.16) определяют некое число ЛГ (/) (количество решений) из совокупности 2/ + 2 чисел (amv, 勿“；v = 1, 2, ЛГ). Таким образом, из 2/ + 1 линейно независимых собственных решений уравнений (74.6) мы получаем М' (/) ответвляющихся ветвей. Обычно ЛГ 唉 2/ + 1 н в зависимости от условий ЛГ или меньше 2/ + 1, или больше этой величины. (Вспомним, что в (74.9) мы нашли, что Мг (2) обычно 1 или 3 и ЛГ ⑵ =2 в случае вырождения.) Для конвекции в сфере Буссе нашел, что МЛ < 2/ + 1.

Для определения условий разрешимости (74.17) рассмотрим уравнения для сопряженной спектральной задачи

-W 5?ob(r)Vsl ГГ1 с 小

[如(Г№ 门；]同П。， (74」9) которые вместе с самосопряженными граничными условиями образуют сопряженную спектральную задачу. Решения этой задачи имеют вид

上關…）三国

Существует, таким образом, 2/ + 1 собственных решений сопряженной спектральной задачи. Уравнения (74.16) вместе с граничными условиями разрешимы тогда и только тогда, когда правая

часть (74.16) ортогональна каждой из 2/ + 1 собственных функций (74.20):

〈加Г ・ rot2 (uo -Vu0)) + 例1〈g (г) fmVs©0 + Ь ⑺闕讶о〉=

= ^<0mUo-V©o)(加= 0,±1,・• •，±/)・ (74.21)

Уравнения (74.21) —это 2/ + 1 нелинейных (билинейных) уравнений относительно 2/ + 2 значений (ат,应J. Коэффициенты ат входят в (74.21) в результате подстановки представлений (74.18). Эти 2/ + 1 уравнений для 2/ * 2 неизвестных постоянных позволяют определить все эти постоянные, кроме одной. Оставшейся постоянной можно придать фиксированное значение посредством любой удобной нормировки: (2/ + 1 уравнений) + (условие нормировки) = (2/ + 2 уравнений). Поскольку эти 2/ + 2 уравнений нелинейны, они могут иметь М' (/) вещественных решений [а_/, ...» а^, а0, о^,...,电,例J, т. е. может быть М (/) наборов постоянных

[a_/v, . . . ,a_lv, aov, alv, . . ., a/v,例工丫], v= 1, 2, . . ., M\ (74.22)

В этом случае от 2/ + 1 решений ответвляются ЛГ (/) решений и Мг (/) не обязательно равно 2/ + 1.

Буссе [1975] изучал уравнение (74.21) для значений / < оо. Он вычислил ту часть интегралов в (74.21), которые зависят от сферических гармоник; интегралы по г не вычисляются (см. упражнение 74.5). Результаты анализа Буссе являются общими, поскольку для их получения не требуется сначала решать уравнения (74.11). Он показал (упражнение 74.8), что

餌=0, если / нечетно.

Буссе предположил, что для нечетных / конвективное движение является закритическим. Это позволило ему получить решение относительно коэффициентов (74.22) для четных /, меньших семи. В этих случаях 应】 唉 0 н бифуркация двухсторонняя. В рассчитанных им случаях Буссе нашел, что ЛГ (/) < 2/ + 1. Когда / = 4 и / = 6, ЛГ (/) > 1. Следовательно, для ответвляющегося конвективного движения в сферах в случае двухсторонней бифуркации может существовать более .одной функции двумерной структуры с собственным значением а2 = / (/ + 1). Согласно Буссе, формы конвективных движений, которые могут существовать при / = 4 и / = 6, исчерпываются симметриями правильных многогранников, исключая тетраэдр (рис. 53 и 54).

Относительно устойчивости Буссе не привел никаких результатов. Результаты по устойчивости с точностью до О(8)включительно можно получить расчетным путем без учета деталей сферически- симметричных вариаций собственных функций, как сделано в § 73, но результаты приближения с точностью до 0 (谑)включительно

Рис. 53. Конвекция в сферическом слое для / = 4 (Буссе [1975]).

Рис. 54. Конвекция в сферическом слое для / = 6 (Буссе [1975]).

уже зависят от этих деталей. Буссе предполагал, что среди ЛГ решений, соответствующих данному значению а2 = / (/ + 1), с бифуркационными кривыми Я(8, V), V = 1, 2, ..., М\ устойчивой оказывается ветвь, для которой min 例(е, w) =应(в*, v) является наименьшим, т. е. устойчивая ветвь распознается как

Рис. 55. Сосуд Q, имеющий форму области пересечения сферического слоя и некоторого конуса, наполнен пористым материалом, насыщенным жидкостью; граница dQ непроницаема; боковая стенка S теплоизолирована.

ветвь, для которой v = v, где

例(8 v) = min 例(％, V).

V=l. 2, ..,M'

Он указывает, что этой характерной ветвью является та, для которой

£例1 (О, V)= min. е例丄(О, V).

V=1» 2,..

Конечно, такая ветвь должна быть неустойчивой при 8 < е*; если она и устойчива, то устойчива только при е > е* (см. рис. 59).

В упражнениях 74.1—74.6 мы развиваем теорию бифуркаций для конвекции в пористых материалах в замкнутых сосудах, ограниченных сферическими крышками и теплоизолированными боковыми стенками. Эта теория аналогична теории, развитой в § 73. В обеих теориях обобщаются решения уравнений ДОБ и ОБ, полученные для областей без боковых стенок. Рассматриваемые здесь замкнутые сосуды образуются в результате пересечения сферического слоя (внутренний радиус q и внешний радиус г?) и конуса, образующими которого являются радиусы-

векторы, проведенные из центра сферы. Объем сосуда обозначается О, a HQ = S U 加(厂2)U 加(^i), где S —боковая стенка и 垓(г) — поперечное сечение (пересечение сферы радиуса г и конуса). Форма сосуда такова, что 9加(г) принадлежит S и описывается не зависящей от г функцией / (0, <р) (рис. 55).

Мы рассмотрим ветвление в состояние конвективного движения решения (74.1), соответствующего режиму теплопроводности. Поскольку граница сосуда ОС непроницаема, нормальная компонента и обращается в нуль на dQ. Так как поверхность S теплоизолирована, (dQ/dn)s = 0. Приведенные в упражнениях результаты справедливы для многих различных типов внешних условий, заданных на поверхностях % (rj и 3 (г2) для 0. В общем случае нас будет устраивать любое линейное однородное условие 2® =0, такое, что Z не зависит от 0 и ср. Для определенности мы будем считать, что крышки теплопроводны и что 0=0 при г = гг и г = г2.

Упражнение 74.1. Показать, что уравнения ДОБ (70.10) для ветвления режима теплопроводности в состояние конвективного движения в сосуде R, изображенном на рис. 55, можно записать в виде

f 喟一叫焉Н»窩)j]・S

Показать, что радиальная компонента завихренности для решений уравнений (74.23) равна нулю. Обосновать утверждения, что скорость и является полои- дальным вектором

и = дх = — ег -—- VjX + ~-Vs，肾(74.24)

и что (74.23) можно переписать следующим образом:

V2X + ^9 (И 0 = 0,(74.25а)

需 + 6* V。= 一 现b ⑺ V叙 + V20,(74.256)

где на боковых стенках S сосуда

普"二雰二。(74.25b)

И

X = 0 = 0 при а и у.(74.25г)

Упражнение 74.2. Разложить в ряд стационарные ответвляющиеся решения

一 X ] ГХо!"

6= 0О e + е £2 +0他3).

一现—现0」L现1」一现2-

Показать, что

噴]+见Sa)

密=学=0 на S,(74.266)

дпдп'

加=Е = 0 при а и q(74.26в)

% <Ь ⑺ 6飞統〉+〈8* (u0.V)В。〉= 0，(74.26г)

где 0 * и х * — решения сопряженной задачи

嘘现。I ° ^Ъ(Г)?И И =0,(74.27)

а х * и 0 * удовлетворяют тем же граничным условиям, что % н 6.

Упражнение 74.3. Показать, что решения задачи (74.26) и сопряженной ей допускают разделение переменных в виде

(0*(uo-V)0>(0*(uo-V)0>= а2〈4"[%@ + 3(^)е ①〉= а2〈4"[%@ + 3(^)е ①〉(74.30)(74.30)

(0*(uo-V)0>

(0*(uo-V)0>

= а2〈4"[%@ + 3(^)е ①〉

= а2〈4"[%@ + 3(^)е ①〉

(74.30)

(74.30)

Хо~ во X* _0*_

=

一7⑺一 §⑺ 产（0 _守"）_

ф(е, ф),

(74.28)

где

V；① + а2Ф 二

0 и (ЭФ/d% = 0.

(74.29)

Показать, что

причем

叫m+研詣）那囑="S）叫m+研詣）那囑="S）

叫m+研詣）那囑="S）

叫m+研詣）那囑="S）

Упражнение 74.4. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условия двухсторонней бифуркации, которые включают интеграл

J j Ф3 sin 0 dO d(p,(74.32)

*

где Ф удовлетворяет уравнению (74.29). Кроме учета простого различия в геометрии, в остальном эти условия должны совпадать с сформулированными в тексте, относящемся к соотношению (73.13).

Упражнение 74.5. Считая, что а? 一 простое собственное значение задачи (74.29), показать, что

<u*(u0-V)u0> = <F(r)O3).

Выразить 尸(г) через Y (г), "% * (г) и а2.

Упражнение 74.6. Показать, что условия для двухсторонней бифуркации, установленные в упражнении 74.4, справедливы для уравнений ДОБ (70.10а) при В В 0.

Упражнение 74.7 (Буссе [1975]). Рассмотреть задачу о бифуркации в состояние конвективного движения, когда Q — вся сфера. Показать, что Ф (0, ф)= =У? (" ф) н @2 = /(/ -|- 1)для 2》1; линейная комбинация

ф (9» ф)= 工[am cos /п ф + fm sin m(p] P^ (cos 0)(74.33)

m=0

образует ортогональный базис для нуль-пространства оператора V； + I (I + 1). Постоянные ат и 0加 должны быть выбраны согласно условиям разрешимости. Считая, что 现° (@2j =配—простое собственное значение задачи (74.11), показать, что задача о возмущениях для %】и 0j разрешима, когда для каждого т = =0, 1,…，/

现〈守伉6'+%?/百]片(仇中)①2〉

"〈b⑺诵*①Vf (仇中)〉=

Л 2л

J J у『①2 sm e de d(p

-M ")謁，(74.34)

j J г^ф sin e ae d(p о 0

где Ф — линейная комбинация (74.33), У『(0, ф) — это sin т^ Pf^ (cos 0) или cos туР? (cos 0), и

J 百* R5'±%(员'百]r^dr

M (/) = ^

J Ь (г) %6*fa dr

зависит от /, но не от т. Условия разрешимости (74.34) можно записать в виде л 2лj //

勿尸加储加=財(/) [ [ cos m^ (cos 0) 1 У У [av cosv(p + Pv sinv(p] x

0 0”lv=o u=o

X P； (cos 8)[① cos p(p 十近 sin |up] P^ (cos 0) sin 0 d8 d(p (74.35a)

^iPm^/m = M (2) X (такой же интеграл c sin m(pвместо cos m(p),(74.356’

где

л

$т = л J (Pf (cos 0)j2 sin 0 d8.

о

Уравнения (74.35)——это 2/ + 1 билинейных алгебраических уравнений для 2/ + 2 неизвестных постоянных am (т = 0, 1, ..., /), pm (т — 1, 2 /) и 应「

Поскольку Ф ——решение линейной задачи, (2Z + 2)-е уравнение получается из условия нормировки.

Упражнение 74.8 (Буссе [1975]). Р『(cos 8) — это sinm 0, умноженный на полином степени / — т по cos 0. Показать что

1

P『(cos 0) cos m叫

=(—I"电(冗一仇屮 + л).(74.36)

P『(cos 0) sin m(p

Если / нечетно, то *ф/ (0, ф) = —-ф/ (л — 0, ф + л) и Ф2 (8, ф) = Ф2 (л — 0, Ф + л)——четная функция (здесь Ф определяется выражением (74.33) с нечетными /). Используя (74.36), показать, что

现I = 0, если I нечетно.

Упражнение 74.9. Собственные значения, которые вырождены в широком классе решений, иногда можно сделать простыми за счет удачного ограничения класса решений. Показать, что а2 = / (Z + 1) — простое собственное значение задачи (74.29) в классе решений, которые не меняются при поворотах вокруг полярной оси (осесимметричные решения). Пусть а2 ——простое собственное значение для некоторого подмножества решений, порождаемого инвариантностью относительно группы преобразований на сфере. Что можно сказать об устойчивости решений, обладающих таким же свойством инвариантности?

§ 75. Устойчивость решения для режима теплопроводности в случае сосуда, подогреваемого снизу и изнутри

Решение для режима теплопроводности, устойчивость которого будет теперь изучаться, представлено в выражении (59.6) через безразмерный градиент температуры 巾=—G (1 + Eg ⑵)， —I%《z《〃2・ Функция g (г) описывает производную от той части распределения основной температуры, которая вызывается источниками тепла.

Однородное распределение источников тепла Q приводит к параболическому распределению температуры, которое складывается с линейным изменением температуры, вызванным подогревом снизу. Для однородного распределения источников тепла g (z) = z и Цт ^z = —(1 + 左)；источники тепла увеличивают обратный градиент температуры, если 臣 > 0. Когда | Е | велико, имеется большой эффективный обратный градиент температуры во всей области 左 > 0. Следовательно, мощные источники (или стоки) | 占 | являются физически дестабилизирующими факторами, и конвекция становится возможной, когда эффективное число Рэлея превышает некоторое критическое значение, скажем R*:

ag|&|/4

Тем самым подразумевается неустойчивость при условии

ag|dT(0)/小 II 屮4 —第侮 I

—vx|dT (0)/dx3| — - |dT(0)/d%| У

Следовательно, можно ожидать, что при фиксированном I dT (0)/也 I и при больших | Е | критическое значение 缪 будет убывать как 1/| 11 (см. упражнение 75.4 (в) и рис. 57).

При нечетной функции распределения источников тепла Q (х3)= =—Q (—%з) вызываемый ими градиент температуры будет четной функцией g (z) = g (—z). Пусть g (z) — положительный полином по четным степеням z. Тогда случай g > 0 является дестабилизирующим для всех z, а случай g < 0 — стабилизирующим. В этих условиях влияние источников тепла на устойчивость противоположно влиянию стоков тепла (рис. 56).

Уравнения, описывающие возмущение режима теплопроводности (59.7), имеют вид

(与+ u7)M・Q+ L・Q +憑F・Q= —dP (75.1)

c div u = 0 и подчиняются обычным граничным условиям, которые в данный момент мы берем в виде и = 0 = 0 на поверхности S. Здесь Q = (U,匕呪 ®) н d =(出,％ 办 0) — четырехмерные векторы, М — диагональная (4 х4)-матрица с элементами [1, 1, 1,夕],F есть (4 х4)-матрица, единственный ненулевой элемент которой ——g (г) принадлежит третьей строке и четвертому столбцу, и

ООО

о о оо о оV2 о о

о о о

о о о

О V2 52

0 现 W

Спектральная задача для возмущений, пропорциональных е~а/, имеет вид

—оМ • q + L • q + 例 EF • q = —dp.(75.2)

Мы предполагаем, что о (R, Е) — вещественная функция и a (R, 0) вещественно. Сопряженная задача имеет вид

-оМ-q* + L.q* + 现肝丁 .q* = —dp*,(75.3)

где FT —транспонированная матрица F.

Рис. 56. Область устойчивости в случае g (z) = 2纟,когда одна половина слоя содержит источники тепла, а другая — стоки. Здесь приведены результаты расчетов для твердых теплопроводных стенок. Картина течения оказывается такой же и в случае свободных поверхностей, но численные значения будут иными. Протяженность области неустойчивости в центре увеличивается eg. / ——область неустойчивости; // ——область Глобальной устойчивости; III ——уравнение (75.7).

Решение, соответствующее режиму теплопроводности (59.7), неустойчиво, если

现 ＞现丄，(75.4)

где 例乙 —— первое критическое значение числа Рэлея, т. е. существует собственное значение с (例)«Он равенство выполняется только при 例=现厶.

Решение для режима теплопроводности (59.7) монотонно и глобально устойчиво согласно оценке энергии 冒九(/) =，2〈| и|2 + + Х5?02) для любого 九〉0? если

丄、丄_max⑴+九+曜金⑶]/〉 ，75丛

现〉做-m? (I Vua j + XI ve p) , (/3

Наибольший предел устойчивости, для которого энергия возмущений затухает, называется оптималыюй границей устойчивости. Эта граница связана с функцией X = X (&), которая получается как решение следующей задачи г):

现& (Е) = max 徵⑥=敞 R)(§• (75.6) %>0

На рис. 56—58 представлены кривые 例乞(&) и 例储(&), которые показывают пределы потери устойчивости и глобальной устойчивости для частных распределений источников тепла в жидкостях,

Рис. 57. Критические значения и бифуркационные кривые для подогреваемого снизу и изнутри (равномерно распределенными источниками тепла с g ⑵=z)) слоя жидкости, расположенного между плоскостями, на которых сдвиговые напряжения равны нулю. Когда точка (g,死» находится на бифуркационной кривой, от решения, соответствующего состоянию покоя, будет ответвляться решение, соответствующее стационарному конвективному движению. Две такие. кривые, определяемые уравнениями (76.5), (76.7) и (76.8) с точностью до О (&з), показаны на рисунке штриховыми линиями. Все кривые симметричны относительно оси g=0./ ——область неустойчивости; // ——область глобальной устойчивости.

заключенных между плоскими параллельными пластинами. Рабочие уравнения для численных расчетов, на основе которых построены графики, приведены в упражнении 75.9. Эти расчеты по-

х) Задача (75.6) впервые была рассмотрена Джозефом и Широм [1966]. Хомси [1973, 1974] развил аналогичную энергетическую теорию с целью обсуждения глобальной устойчивости зависящих от времени течений.

называют, что на плоскости （Е,缪）имеется область между кривыми 现詞（Е） и 缎（Е）, в которой существуют стационарные докрити- ческие движения.

Кришнамурти [1968а, 19686 ] изучала бифуркацию решения для режима теплопроводности, индуцированного источниками

Рис. 58. Критические значения и бифуркационные кривые для подогреваемого снизу и изнутри слоя жидкости, расположенного между твердыми стенками （условия те же, что и на рис. 57）. Бифуркационные кривые （штриховые линии） построены Кришнамурти [1968а]. Критические значения 先厶 линейной теории устойчивости даны Спэрроу, Го л детей ном и Джонсоном [1964]. / ——область неустойчивости; 11 ——область глобальной устойчивости.Рис. 58. Критические значения и бифуркационные кривые для подогреваемого снизу и изнутри слоя жидкости, расположенного между твердыми стенками （условия те же, что и на рис. 57）. Бифуркационные кривые （штриховые линии） построены Кришнамурти [1968а]. Критические значения 先厶 линейной теории устойчивости даны Спэрроу, Го л детей ном и Джонсоном [1964]. / ——область неустойчивости; 11 ——область глобальной устойчивости.

Рис. 58. Критические значения и бифуркационные кривые для подогреваемого снизу и изнутри слоя жидкости, расположенного между твердыми стенками （условия те же, что и на рис. 57）. Бифуркационные кривые （штриховые линии） построены Кришнамурти [1968а]. Критические значения 先厶 линейной теории устойчивости даны Спэрроу, Го л детей ном и Джонсоном [1964]. / ——область неустойчивости; 11 ——область глобальной устойчивости.

Рис. 58. Критические значения и бифуркационные кривые для подогреваемого снизу и изнутри слоя жидкости, расположенного между твердыми стенками （условия те же, что и на рис. 57）. Бифуркационные кривые （штриховые линии） построены Кришнамурти [1968а]. Критические значения 先厶 линейной теории устойчивости даны Спэрроу, Го л детей ном и Джонсоном [1964]. / ——область неустойчивости; 11 ——область глобальной устойчивости.

тепла, методом разложения по двум параметрам （е и 三）и экспериментально. Этот анализ обсуждается в § 76, и типичный пример используемых при вычислениях выкладок приводится в длинном упражнении 76.2. В экспериментах Кришнамурти источники тепла создавались медленным изменением средней температуры. Величина л в ее работе равна нашему 2g. При отсутствии источников тепла наблюдалась конвекция в виде валов, что согласуется с предсказаниями анализа устойчивости, проведенного Шлютером, Лор- цем и Буссе [1965], но при " R 0 наблюдалась устойчивая докри- тическая конвекция в виде гексагональных ячеек: «Критическое

число Рэлея, вычисленное для случая 外 = 0, равно 1465, что на 14% меньше критического числа для т] = 0. Этот факт истолковывается как конечно-амплитудная неустойчивость, возникающая при числе Рэлея, меньшем предсказанного линейной теорией».

Другие эксперименты по конвективной неустойчивости в слоях жидкости с подогревом изнутри были описаны Триттоном и Зар- рагой [1967 ], Швидерски и Швабом [1971 ], а также Кулацки и Голдстейном [1972, 1975 ]. Эти авторы не сообщают о возникновении докритической конвекции.

Замечания относительно упражнений. Упражнения 75.1—75.5 относятся к энергетической теории устойчивости решения для режима теплопроводности, упражнения 75.6 и 75.7 — к спектральной задаче. Эти теории сравниваются в упражнениях 75.8 и 75.9.

Упражнение 75.1. Доказать теорему энергетической теории устойчивости д/я режима теплопроводности в сосуде с подогревом изнутри и снизу. Показать, что при 乱 V 乱苏(&) затухание энергии &入 любых возмущений Q является глобальным, монотонным и экспо ненци а ль ны м.

Упражнение 75.2. Показать, что решение % =又(Е) задачи (75.6) удовлетворяет соотношению

%=久售)=〈强〉/2 +里⑶]强〉，(75.7

причем if и 0 — решение задачи (75.5) (см. приложение Б, разд. Б.10).

Упражнение 75.3. При помощи результата, полученного в упражнении Б.4.6, или каким-либо иным способом доказать, что

d现序

= 一 l^ <^0>/(| vJp + XI ve 「〉=

=d - 1)现岁 (9/2g = 一或自)现(出[2 (1 + 段⑶)],

(75.8) где

F(E) =〈g (z) ^0>/(w0)

Упражнение 75.4. (а) Доказать, что

dfGё {(含y 杀+ 2备 1^T +这} a + " + 人？⑶ 目〉> 0-

Указание. Следовать методу, использованному для доказательства неравенства (Б.4.3) в приложении Б.

Показать, что

"现苏1 - X跟& 现苏(1一入)d九 哲一十 ЛdT + ~щsr<°・

Пусть五(0) = 0. Показать, что тогда функция g7(В) меняет знак при & = 0, положительна при всех положительных & и отрицательна при всех отрицательных J. Показать также, что функция 先冒(Е) возрастает при EVO, имеет максимум при J = 0, убывает при 5 > 0 и такова, что | Е | % (&) = const при больших | 己 |.

Упражнение 75.5. Показать, что уравнения Эйлера для задачи (75.5) можно записать в виде

""十今a +入+入①⑶)e国 = Vp(75.9a)

v哈+ iW( 1 +九+入取⑶)⑪不 °，v哈+ iW( 1 +九+入取⑶)⑪不 °，(75.96)(75.96)

v哈+ iW( 1 +九+入取⑶)⑪不 °，

v哈+ iW( 1 +九+入取⑶)⑪不 °，

(75.96)

(75.96)

где 0 заменено на МКб.

Упражнение 75.6 (смена устойчивости). Предположение, что собственные значения ст (@厶)=i im о (先厶)=0 являются вещественными на пределе устойчивости, трудно доказать даже в том случае, когда за ограниченную область принимается периодическая ячейка между плоскими параллельными пластинами (для ознакомления с доказательством принципа смены устойчивости в этом случае см. работы Дэвиса [1969а], Ди Примы и Хабетлера [1969] и Йи [1972а, 19726]). Однако возможно более простое доказательство (см. ссылку на Спигла в работе Верониса [1963]), когда предполагается, что границы не могут прогибаться, но и не могут противостоять тангенциальным натяжениям.

Рассмотреть задачу (75.2) в случае плоского слоя жидкости, ограниченного свободными непрогибающимися поверхностями, на которых 0=0. Считая все возмущения почти периодическими функциями переменных в горизонтальной плоскости, доказать, что для всех собственных решений задачи (75.2), для которых ге а < 0, выполняется равенство im (о) = 0. Указание. Учесть, что (Vp*V2 и)= =0, где и ——вектор, комплексно сопряженный и.

Рассмотреть задачу об устойчивости состояния покоя в случае самогра- витирующего сферического слоя с внутренним подогревом (упражнение 59.3). Составить уравнения для возмущений. Показать, что условия

и• г = ^2 (и• г)/Эг2 = 0 (75.10)

справедливы на свободных сферических поверхностях постоянного радиуса (здесь u・r ——радиальная скорость в сферической системе координат). Показать, что результат, приведенный в пункте (а), справедлив для сферического слоя, ограниченного свободными непрогибающимися поверхностями, на которых выполняется условие (75.10) и условие 6 |s= 0.

Предполагая, что сферические поверхности могут прогибаться под действием движений и что для этих поверхностей выполняются законы поверхностного натяжения, описанные в § 55, составить уравнения для возмущений (подобные выведенным в § 93 и 94), которые описывают устойчивость и бифуркацию состояния покоя. При каких обстоятельствах справедливы результаты, указанные в пункте (б)?

Упражнение 75.7. При помощи спектральной задачи (75.2) и сопряженной ей задачи (75.3) показать, что

гдегде—aM q* + dp* = ^gFT q* + S q*, d q* = O, q* Is = 0, (75.11)

где

где

т°)т)т°)т)夕 _ 佃*8 +碰* + ^з8*〉 (丿—<vu ： vu* + ve-ve*>

т°)т)

т°)т)

—стационарный функционал в смысле, указанном в упражнении Б.4.6; и и и * —— соленоидальные векторы, равные нулю на границе S объема F; 0 и 0 * равны нулю на S и

и — u0 = e-q, и* — u* = Е1]*,0 — 0О = еср, 0* — 0J = е(р*

(функции с нулевым индексом являются решением спектральной задачи при 现 = =飼L).

Показать, что

"含〈侬訂0 + 5)况〉+外整丄)〈g%)优〉=。

森丄=一？阳现L (5)/[2 (1 + Eg 阳)],(75.12)

где

2(Е)=@倜〉/〈叫电〉.

Упражнение 75.8 (сравнение пределов устойчивости и потери устойчивости). Показать, что при Е = 0 现厶低)=现岁(Е) н

设厶(0)d^& (0)

Сравнить формулы (75.8) и (75.12) для тангенсов углов наклона. При каких условиях можно было бы ожидать, что кривые 现岁(&) и 先厶(&) имеют подобную форму? (См. рис. 56—58.)

Упражнение 75.9. Показать, что вертикальная компонента завихренности поля скорости и, удовлетворяющего уравнениям (75.9) или (75.2), должна равняться нулю, если жидкость заключена между бесконечными горизонтальными пластинами, на которых скорость или тангенциальные компоненты напряжений равны нулю. Обосновать введение полоидального потенциала %, удовлетворяющего условиям (62.2в) или (62.2г). Показать, что задачи на собственные значения для энергетической и линейной теорий при помощи гипотезы о разделении переменных и использовании функции двумерной структуры (62.4а, б) можно свести к задачам

[墻]-岑(TГ +履+底£⑶计_} = 0, (75.13)

厶笈]一取 IJ = 0(75.14)

и

6 = % = D% = 0 или 6 = % = D2^ = 0(75.15)

соотяетственно на твердых пли на свободных границах. Собственные значения 例入(炉，三)н 乱，(废，I) можно получить численным интегрированием,

(75.16)(75.16)^ер -- max min 现入(а2, Е)

(75.16)

(75.16)

° л и а2>0"

畋售)二£产,(*出畋售)二£产,(*出(75.17)(75.17)

畋售)二£产,(*出

畋售)二£产,(*出

(75.17)

(75.17)

§ 76. Разложение в ряд Тейлора по двум параметрам

Буссе [1962, 1967 ] использовал двойной степенной ряд для изучения задач о бифуркации теплопроводного режима в состояние ячеистой конвекции. Его метод использовали Кришнамурти [1968а] для исследования конвекции при наличии источников тепла и Лянг, Видал и Акривос [1969 ] для исследования конвекции в жидкостях с зависящими от температуры коэффициентами вязкости (см. упражнение 76.3 и рис. 59). Для задачи с источниками тепла выписывается ряд Тейлора по степеням е и |:

qm〃 (х) Pmn(X) %n 〃/£qm〃 (х) Pmn(X) %n 〃/£(76.1)(76.1)-Q(x,%?-

qm〃 (х) Pmn(X) %n 〃/£

qm〃 (х) Pmn(X) %n 〃/£

(76.1)

(76.1)

Р(X,Е,е) =E工工

现(е,Е) m= о 〃=f

Если 例о。一 простое изолированное собственное значение в классе решений, выбранном надлежащим образом, то ряд сходится (Файф и Джозеф [1969 ]). Этот метод имеет нежелательное свойство ограничения анализа малыми значениями | £ | наряду с малыми значениями I Е |. Преимущество разложения по двум параметрам состоит в том, что в низшем порядке (т, /г) = (0, 0) задача сводится к задаче Бенара. В задаче Бенара коэффициенты постоянны, и в частных случаях можно найти решения в элементарных функциях.

Для исследования бифуркации в состояние конвективного движения при помощи разложения по двум параметрам подставим ряды (76.1) в уравнение

(u・V)M・Q十 L Q +憑F・Q= —dR 8 = {Q.q00), Q^B,

(76.2)

где В — множество векторов Q, удовлетворяющих условию

L = 0

и соответствующим граничным условиям.

Тогда

(%%) (0,0)

Loo・q()o=--d%o, 1 = (1 Чоо |2), qoo€B,

(76.3a)

(0,1)

Loo • 4oi + Loi • Чоо + 例 ooF • Чоо = —^Роъ

(76.36)

(1,0)

L(w • Чю + Lo *Чоо + uoo • VM«q00 = —■dp10,

(76.3b)

(76.3г)(76.3г)(2, 0) Loo • Чго + L»l0 • Чю + L»2o • Чоо + u10*VM«q00 + +и。。• VM • qio = —d/72o,

(76.3г)

(76.3г)

(1,1) LOo* Ян + Lio • 4oi + Loi • 4io + Ln«qo9 +

+Uoi • VM • q00 + Uqo* VM • q01 + 现 o()F • Цю = —dpn, (76. Зд)

Ч/nn € В иЧ/nn € В игде(Чтп-Чоо) = 0,加2 + %2 H о,

Ч/nn € В и

Ч/nn € В и

Lm〃 = ^тпLm〃 = ^тп~0 о о о~0 о о оО о о оО о о оо о о1о о о1001о001о三一^тп^-三一^тп^-(76.4)(76.4)

Lm〃 = ^тп

Lm〃 = ^тп

~0 о о о

~0 о о о

О о о о

О о о о

о о о

1

о о о

1

0

0

1

о

0

0

1

о

三一^тп^-

三一^тп^-

(76.4)

(76.4)

Задача в низшем порядке является самосопряженной, LOo = =Loo — IV2 —缄)0匚 Следовательно, разрешимость в случае разложения по двум параметрам делает не обязательным расчет отдельной сопряженной задачи.

Уравнение (76.Зв) разрешимо, если

—例 io(Чоо • L • Чоо) + (Чоо • (uoo *V) M«qOo) = О-

Второй член в этом уравнении равен нулю, откуда следует, что 例io = 0. Уравнение (76.3г) разрешимо, если

—例 20(Чоо • L *Чоо) +(Чоо • (Uio • V) М • q00) + (qoo *(иоо • V)M • qQ = 0.

На этом уровне общности можно доказать, что 络о〉0 (см. упражнение 76.1). Отсюда следует, что в низшем порядке

勿(e,自)一网(自)〜例，每+纭声2(76.5)

и бифуркация оказывается двухсторонней, если 例“ W 0.

В случае разложения по двум параметрам за счет потери общности можно упростить многие сложные задачи. Применения этого метода даны в «инструктивных» упражнениях 76.2 и 76.3.

Упражнение 76.1. Показать, что 现ю = 0,

^и(Яоо*L*4oo)=组о〈g (^ю^оо — ^io^oo) + %i (6ю^оп 十限叫。〉 и

现20(Яоо*Ь*Чоо) — (floo* (uoo' V) M«q10) — — (floo'^oo'floo)-

Доказать, что〈q・L°o・q〉= 0 есть некий максимум при q = q。。，и вывести, что 现20 > 0. [Указание. Учесть неравенство (Б.4.3). ] Показать, что и00 = d/оо» что вертикальная компонента rot (u00* VuOo) равна нулю и что и10 = 6хю・

Упражнение 76.2. Рассмотреть бифуркационную задачу, поставленную уравнениями (76.3). Сделать допущение, что в низшем порядке решение представляется

в виде суперпозиции собственных функций уравнения V食屮 + @?屮=。，имеющих одно и то же собственное значение | ку |2 = *

ф(X, у) = V cvexp(ikv-r), Cv= c_v, £ | Cv |2= 1,(76.6)

V—-N,v=- N

、'嗜0V^o

где г = e%% + еуу.

Вывести результаты, выписанные ниже. Наименьшее значение %о дается выражением 乱之小=f3/^2, где f = л2 + а2. Собственные функции уравнения (76.3а) определяются выражениями

闿=4/；」屮(，у) COS Л2 ( — % WZ « %),

где Л2 = 2/[а2/ (1 + ^)]. Решения уравнения (76.36) выражаются в виде

H

N N「у；、

="£ £G& exp [i (% + %•「] sin 2戒，

n=-n i=-n I

где一

圍屮向

к"к/= a2 cosv/,pvZ = 2а2 (1 + cos avZ),

△v/ = B” 绛о —唸，Yvz = 4几 2 + By/.

Справедливы следующие утверждения:

(010^00 一 900ah_и〉= °，

自"2% = %/ (g)线о £ £ £ C、C[ C^ (a?喘—产酬汐％)) 6 (% + к/ + kJ 7. V, 〃=-N

где

1/2

叫;=Pv/Хю н / (g) = J g (z) COS nz sin 2nzdz.

-i/2

Член 與u = 0 всегда при kv + к/ + krt =/= 0 для всех возможных комбинаций допустимых векторов к. Член 现“ =0 при ^ = 2 и ^ = 4. Для функций с гексагональной симметрией при N = 3, v # /, С、= С? = Сз= 1/М6 н %/ = 2л/3

Двухсторонняя бифуркация невозможна, если источники тепла заданы нечетной функцией z.

必 Л2n2/1/203 /2^2 , 3[(几2+a2)(4# + 叫 + 2(傅+a2)2夕+ 乡2(4几2+d)2] I

20 = 一Г6 一[京十(4旅+遊尸一価+a2)8十

Когда а2 = #/2,

现2Q = -^ лМ2 {0,2835 + 0,1826乡 + 2,757俨2}(76 7)

(76.8)(76.8)

(76.8)

(76.8)

На докритической ветви двухсторонней бифуркации жидкость в центре гексагональной ячейки будет подниматься при 俨 > 1/4 и опускаться при 乡 < ^厶.

Упражнение 76.3 (Лянг, Видал, Акривос [1969]). Круговой цилиндр наполнен жидкостью, которая описывается уравнениями ОБ и вязкость которой меняется с температурой. Вся поверхность цилиндра свободна от сдвиговых напряжений. На верхнем и нижнем основаниях цилиндра температура 0 = 0, а на вертикальных боковых стенках дб/дг = 0. Показать, что существует осесимметричное ответвляющееся решение, которое ответвляется по обе стороны от предела устойчивости. Указание. Показать, что 况“ / 0・

Упражнение 76.4. Цель этого и следующего упражнений состоит в том, чтобы показать, как на основе двухпараметрического метода изучать бифуркации в случае сосуда, наполненного насыщающей пористый материал жидкостью. Этот метод позволяет ослабить использованное в § 73 условие теплоизолированности боковых стенок. Теперь мы потребуем, чтобы боковые стенки были из идеально теплопроводного материала, так что 6 |s = 0. Показать, что в низшем порядке разложения по двум параметрам

V4Xoo + ^ooVbo = O>(76.9а)

Хоо = dWoo/dz55 = 0 при z= 0, 1,(76.96)

Хоо =女 00/。〃 = 0 на S・(76.9в)

Показать, что в задаче (76.9) использование собственных функций двумерной структуры не приводит к разделению переменных. Показать, что видом уравнений (76.9) можно объяснить некое другое разделение переменных в ряде Фурье только по синусам:—

Хоо = 工不(％, У) sin九乜 причем

(VI 一 炉叫2 亡 + %0迷君=0,(76.10а)

Х« = д^/дп = 0 на S・(76.106)

Упражнение 76.5. Рассмотреть задачу (76.10) для бесконечно длинного сосуда, когда ответвляющиеся решения не зависят от у, ^ =森(％) и

运=0 н W = 0

на двух параллельных боковых стенках % = 0 н % = Z сосуда. Показать, что

%п (%) = [а4 sin %/ — а3 sin aj] [sin a# sin а2х — sin а2/ sin а/]—— [а2 sin а/ — ах sin a2Z] [sin %/ sin a4x — sin a4/ sin a/],где (i= 1, 2, 3, 4)

%• = 土 [%/2 — 阳2 土( 一 线0A2 + 端/4)1/2р/2

И_

х； а) = о.

Найти наименьшее собственное значение %)• Вычислить %.

§ 77. Двухсторонняя бифуркация в неограниченном горизонтальном слое

Все эксперименты по конвекции проводятся в ограниченных областях, но большинство теоретических исследований конвекции выполнено для неограниченных областей. Каково тогда соответствие между математически сформулированной задачей для неограниченного слоя и физической задачей? Здесь представляют интерес два следующих ответа на этот вопрос: (1) различие между конвекцией в мелком сосуде и в бесконечном слое стремится к нулю по мере того, как слой делается все менее толстым; (2) неопределенности в граничных условиях в случае конечных границ приводят к тому, что неограниченный горизонтальный слой оказывается несколько лучшей моделью задачи о конвекции в ограниченных областях. Интересно уточнить ответ (1) путем объяснения сгущения спектра по мере уменьшения глубины сосуда. Вырождение спектра в случае неограниченных слоев означает, что задача, по существу, оказывается более сложной в неограниченных областях, чем в ограниченных, где собственные значения дискретны и имеют (самое большее) конечную кратность. Эта математическая сложность означает, что можно изучать более сложную физику явлений. Данное обстоятельство составляет основу ответа (2).

При размышлениях об ответе (2) полезно иметь в виду различие между житейским и математическим определениями ограниченной области. Последнее определение требует, чтобы на границах некоторой точно выделенной области пространства были заданы определенные граничные условия. Наш анализ конвекции в сосудах является хорошим примером анализа задач в объемах, ограниченных в математическом смысле. Слои жидкости конечной протяженности с нестрого определенными краями ограничены в житейском смысле, причем условия на краях хаотичны и неизвестны. При цнализе должно учитываться то обстоятельство, что некоторые условия неизвестны; одним из путей в этом направлении является распространение физической задачи на неограниченную область, где имеется много разнообразных возмущений, которые не подавляют искусственно возможные хаотические движения на краях.

В задаче об устойчивости двухсторонней бифуркации режима теплопроводности в конвективное движение может проявиться существенное различие между замкнутыми сосудами и бесконечными горизонтальными слоями жидкости. Математически это различие возникает в результате вырождения спектра в случае неограниченной области. Аналогичные различия существуют между теми сосудами, для которых 例° (й2)——простое собственное значение соответствующих дифференциальных уравнений в частных

Рис. 59. (i) Бифуркационная диаграмма для обобщенной конвекции, когда % (3) — простое собственное значение. Эта картина имеет место в случае осесимметричной конвекции в круговых сосудах с теплоизолированными боковыми стенками. Решение для теплопроводного режима 8=0 теряет устойчивость при 现 > 现°. При каждом значении 现 S 先(е*) существует два устойчивых решения. Направление движения определяется однозначно и различно на каждой из ветвей (а) и (Ь) ответвляющегося конвективного движения.

Ожидаемый вид бифуркационной диаграммы в сосуде гексагонального поперечного сечения.现° (а2)——двойное собственное значение, и закритическая ветвь (Ь) конвекции неустойчива.

Бифуркационная диаграмма в случае обобщенной ячеистой конвекции в слоях жидкости (качественная схема, взятая из работы Буссе [1967]).现° (а2) имеет бесконечное вырождение мощности континуума. Анализ справедлив в классе решений, инвариантных относительно группы ортогональных вращений плоскости, соответствующих делению 360° на равные части. Бифуркационная кривая 况(е) для валов оказывается четной функцией 8. В задаче Бегнара 我】=0 для всех решений, поэтому точки % Ро н "2 f Ро- В задаче Бенара гексагональные ячейки неустойчивы, а валы устойчивы. / ——валы; 2 ——гексагональные ячейки;

3 — решение для режима теплопроводности.

производных, и теми, для которых 例° (й2) — кратное собственное значение. Если ^0 (й2) простое собственное значение, то закрити- ческая ветвь двухсторонней бифуркации устойчива относительно малых возмущений. Эта же ветвь может быть неустойчивой в областях с кратными собственными значениями и оказывается неустойчивой в сосудах гексагонального поперечного сечения и в слоях жидкости. Указанные различия легче всего понять при тщательном изучении рис. 59.

Сгущение спектра

Мы обсудим сгущение спектра в связи с задачами о конвекции в сосудах из пористых материалов с теплоизолированными боковыми стенками, которые изучались в § 73. В этой задаче в низшем порядке переменные разделяются, и мы можем ограничить наше рассмотрение исследованием свойств собственной функции горизонтальной структуры 屮，удовлетворяющей уравнениям (73.7) Эта собственная функция является единственной, и а2 — простое собственное значение почти для всех ограниченных сосудов. В сосудах, в которых решение описывается симметричными горизонтальными структурами, возможны собственные значения а2 высокой кратности. В этом случае собственные функции Хо = =元(z)屮(х, у) и 00 = 0 (z)屮(х, у) не определяются единственным образом собственным значением Йо задачи (73.4) и 然 можно рассматривать как собственное значение задачи (73.2) высокой кратности. Возможно также, что собственное значение 例о задачи (73.4) будет иметь более одной пары собственных функций (х，®), когда “2一 простое собственное значение задачи (73.7). Этот случай, однако, как кажется, в ячеистой конвекции не имеет большого значения, поскольку область изменения функций @ и 又 всегда ограничена (0 с z < 1).

При исследовании устойчивости основной интерес представляет наименьшее собственное значение

min 组(a2)=爲(證)•а2

При этом собственном значении ответвляются только те решения, которые могут ответвляться от устойчивого режима теплопроводности, решение же для режима теплопроводности неустойчиво, если 现〉％ (й2).

Если стать на точку зрения, связанную со спектральными задачами (71.1) и (71.2), то 现о (а2) оказывается критическим значением, а и (%) = 0 — наименьшим собственным значением задач (71.1) и (71.2). Рассмотрим значения о в случае прямоугольного сосуда с изолированными боковыми стенками; для них а2 =

=冗2 （加2/卩 + 九2团2）Если к тому же ^ -= 0 и f « 1, то легко показать, что

^Лтп （例）=--^Лтп （例）=--现（m2"2 + "用2）（犷门2 +m2"2 +川饵2）现（m2"2 + "用2）（犷门2 +m2"2 +川饵2）卜加炉+等+糸.卜加炉+等+糸.

^Лтп （例）=--

^Лтп （例）=--

现（m2"2 + "用2）（犷门2 +m2"2 +川饵2）

现（m2"2 + "用2）（犷门2 +m2"2 +川饵2）

卜加炉+等+糸.

卜加炉+等+糸.

При наименьшем из этих собственных значений /2=1. Наименьшее критическое значение 阕о,。加〃（现о） = 0, определяется выражением

死 о = minт, м死 о = minт, м（л2 + m2//2 + 〃2何2）2 — 加 2//2 + 叫tP一（л2 + m2//2 + 〃2何2）2 — 加 2//2 + 叫tP一（炉 + m2//2 +"2/步户用2/彈+衣2必2（炉 + m2//2 +"2/步户用2/彈+衣2必2А 4冗2.А 4冗2.

死 о = min

т, м

死 о = min

т, м

（л2 + m2//2 + 〃2何2）2 — 加 2//2 + 叫tP一

（л2 + m2//2 + 〃2何2）2 — 加 2//2 + 叫tP一

（炉 + m2//2 +"2/步户用2/彈+衣2必2

（炉 + m2//2 +"2/步户用2/彈+衣2必2

А 4冗2.

А 4冗2.

изолированным простым соб- Однако в случае мелких со- d собственные значения сгуизолированным простым соб- Однако в случае мелких со- d собственные значения сгуТеперь Qimn （9?о） = 0 является ственным значением задачи （71.1）. судов с большими значениями I и щаются и в пределе

изолированным простым соб- Однако в случае мелких со- d собственные значения сгу

изолированным простым соб- Однако в случае мелких со- d собственные значения сгу

lim [Gimn 设）一O\mn 便0）] 一。・

/今00

d今8

Следовательно, при увеличении горизонтальных размеров в любую окрестность （не имеет значения сколь малую） главного собственного значения а^д （例°） = 0 можно вводить произвольно большое число собственных значений <J\mn （例）• Возмущений спектра следует, конечно, ожидать, поскольку идеальная математическая система всего лишь моделирует спектр реальной физической системы. Если собственные значения идеальной математической задачи расположены достаточно плотно вблизи главного собственного значения, такие отклонения будут причиной слияния собственных значений и изменения их порядка. В этом смысле сгущение спектра может приводить к эффективной «потере простоты» даже тогда, когда с （应°） = 0 идеально простое. Следовательно, в случае мелких сосудов, по-видимому, лучше всего отказаться от концепции ограниченной области и моделировать физическую систему бесконечным горизонтальным слоем. В самом деле, для данного о? существует по меньшей мере столько решений, сколько имеется мод колебаний с частотой ©2 = а2 у мембраны, плотно натянутой на всю плоскость （х, у）.

Ячеистая конвекция

Обычно считается, что конвекция в слоях жидкости является ячеистой конвекцией, однако не существует никакого общепринятого определения ячеистой конвекции. Некоторые математики рассматривают ячеистую конвекцию как проявление пространственно периодических решений уравнений ОБ или уравнений^ДОБ.

Кирхгеснер и Кильхёфер [1972] определяют стационарные решения нелинейной задачи Бенара как дважды периодические (по х и у) решения, которые оставляют нелинейные уравнения инвариантными относительно группы ортогональных вращений на плоскости (решения, не зависящие от системы отсчета). Они показывают, что горизонтальные структуры допустимых решений являются только валами, шестиугольниками, прямоугольниками или треугольниками. Эти структуры обсуждались Чандрасекаром [1961 ] и (с иной точки зрения) Стюартом [1964 ]. В некоторых математических исследованиях рассматриваются только те подклассы этих инвариантных структур, которые допускают изучение бифуркаций при простом собственном значении. Например, можно доказать простоту в случае дважды периодических решений, соответствующих прямоугольным ячейкам для почти всех периодов (Юдович [19666], Рабинович [1968]), и в случае решений, обладающих полной гексагональной симметрией (Юдович [19666 ]). Доказательство простоты в этих случаях очень похоже на то, которое используется при изучении спектра для конвекции в сосудах, рассмотренных в § 73.

Вид горизонтальной структуры ограничивается требованиями симметрии; прежде всего необходимо показать, что при заданном а2 горизонтальная структура определяется однозначным образом. Например, а? является двойным собственным значением в классе решений с неполной гексагональной симметрией и простым собственным значением для решений с полной гексагональной симметрией. Затем необходимо показать, что при заданном а?例。(口？) является простым собственным значением соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных. Это будет справедливо, если 然(а2) будет простым собственным значением обыкновенных дифференциальных уравнений, подобннх (73.8), которые получаются в результате разделения переменных. Частные случаи дважды периодических решений можно изучать на основе теории бифуркаций при простом собственном значении путем ограничения решений функциями горизонтальной структуры в группе преобразований, которые оставляют инвариантными нелинейные уравнения и к тому же обеспечивают единственность горизонтальной структуры.

Можно изучать устойчивость ответвляющихся решений, искусственно ограничивая допустимые возмущения теми, при которых 络(а2) — простое собственное значение. Но в § 73 [в] мы видели, что ограничение такого сорта не удачно; оно приводит к заключению, что закритическая ветвь решений устойчива; это заключение справедливо в ограниченном классе возмущений, но оказывается ложным, когда рассматриваются другие.допустимые возмущения, не удовлетворяющие искусственному требованию симметрии.

Если на допустимые собственные функции в случае дважды периодического конвективного движения не накладываются ограничения, то спектр вырождается и анализ бифуркаций и устойчивости становится значительно сложнее. Задача о дважды периодической бифуркации в конвективное движение без введения ограничений была изучена Швидерски [1972 ]. Устойчивость конвективного движения в этой работе не рассматривалась.

Наиболее исчерпывающие результаты по устойчивости и бифуркациям в конвективное движение до сих пор принадлежат Буссе [1962, 1967 ] и Шлютеру, Лор цу и Буссе [1965]. Эти авторы не накладывали требования периодичности и сначала не требовали инвариантности нелинейных уравнений относительно какой-либо группы преобразований. Они брали за исходные все решения вида (76.6), которые являются также собственными функциями двумерного лапласиана с собственным значением а2. Выражения в форме (76.6) определяют квазипериодические функции, а число собственных функций, относящихся к данному значению а2, может быть бесконечным; различные системы собственных функций с |kv|2 = = а2 соответствуют различным М % и kv. Шлютер, Лорц и Буссе пытались найти линейные комбинации собственных функций, которые допускаются нелинейными уравнениями по условиям разрешимости приближений высших порядков. Им не удалось провести полный анализ в общем виде, и они были вынуждены ограничиться рассмотрением подкласса «регулярных» решений.

Эти решения можно описать как решения, инвариантные относительно поворотов на углы а, которые делят круг на равные секторы (а = 45° соответствует восьмиугольникам и т. д.). Поскольку регулярные решения определяются ортогональными вращениями в плоскости и поскольку нелинейные уравнения конвекции инвариантны относительно ортогональных вращений, регулярные решения оказываются «индифферентными» к выбору системы координат. Регулярные решения можно представить при помощи волновых векторов kv, равномерно распределенных на окружности радиуса а = |к/ Шлютер, Лорц и Буссе показали, что в этом классе требованиями разрешимости в качестве возмущений будут допускаться только вполне определенные линейные комбинации. Анализ выше второго порядка по 8 ими не проводился, доказательства сходимости до сих пор нет, и пока еще не показано, что в классе «регулярных» решений удается обойти проблему малых делителей, которая часто возникает при использовании квази- периодических представлений. Шлютер, Лорц и Буссе нашли, что в задаче Бенара валы оказываются единственно возможной устойчивой формой «регулярной» конвекции. Все трехмерные формы «регулярной» конвекции неустойчивы.

Буссе [1962, 1967 ] исследовал задачу о двухсторонней бифуркации в состояние обобщенной конвекции, пользуясь методом

разложения в ряд Тейлора по двум параметрам. Среди многих результатов, полученных в этих исследованиях, мы хотим здесь выделить один. Из всех разнообразных форм двухсторонней конвекции, которые могут ответвляться, единственно возможными устойчивыми формами вблизи предела устойчивости являются те, для которых три вектора kv составляют равносторонний треугольник, kt + + k2 + k3 = 0. Единственную возможность в этом классе, изученном Буссе, представляют шестиугольники (73.23), и из них единственной устойчивой формой являются шестиугольные ячейки (73.25) с полной гексагональной симметрией. Более того, закритические шестиугольные ячейки также неустойчивы, а докритические шестиугольные ячейки неустойчивы вблизи точки бифуркации. Используя методы теории групп, можно показать следующее. Докритические гексагональные ячейки полной симметрии устойчивы относительно малых возмущений, но не вблизи предела устойчивости. Неустойчивые докритические гексагональные ячейки восстанавливают устойчивость, когда бифуркационная кривая поворачивает назад после изгиба (см. рис. 59) х).

Первая попытка объяснить тенденцию образования гексагональных ячеек в нелинейной ячеистой конвекции под влиянием изменений вязкости принадлежит Палму [1960]. Аналогичные, но более полные результаты были даны Сиджелом и Стюартом [1962], Палмом и Эйаном [1964] и Сиджелом [1966]. Эти авторы рассматривали задачу об устойчивости для более ограниченного класса возмущений, чем Буссе [1962]. Все эти авторы, кажется, соглашаются в том, что устойчива только одна ветвь гексагональной конвекции и что для больших значений ^ > > 现l устойчивы как гексагональные ячейки, так и валы, а затем только валы. Буссе [1962, 1967] вывел интересный вариационный принцип для функционала факторгрупп Cv, появляющихся в том случае, когда а2 является собственным значением высокой кратности. Его вариационный принцип дает формы конвективного движения, допустимые согласно нелинейному уравнению (вплоть до порядка 0(^2)), и критерий устойчивости допустимых форм. Палму [1975] принадлежит интересная и четкая альтернативная формулировка вариационного принципа Буссе. Работа Палма [1975] и обзор Сиджела [1966] — хорошие источники ссылок на литературу по прикладной математике для этой задачи.

В оригинальном объяснении гексагональной конвекции Грэм [1933] использует свойство упаковки шестиугольников. Он пишет: «В коробку из-под сигарет была налита горячая вода слоем толщиной около 1 см.; когда возмущения затухли, в воду осторожно влили немного холодного молока. Холодное молоко опустилось на дно, образовав внизу белый слой и оставив выше чистую воду. Если теперь охладить свободную поверхность воды, подув на нее, то в слое молока появится несколько круглых дырок ... ясно демонстрируя опускающиеся столбики воды.

Увеличение количества центров приводит к образованию шестиугольных ячеек. При совершенно однородном слое из соображений симметрии ячейки сначала будут кружками равного диаметра и будут распределены равномерно. По мере роста числа центров будет достигнуто состояние, когда кружки будут соприкасаться и каждый кружок будет окружен шестью таким же кружками, расположенными вокруг него. Более плотная упаковка может получиться только в результате исчезновения свободного пространства между кружками; будет происходить дальнейшее уплотнение ячеек, и образуется однородный узор из шестиугольных ячеек».

Стюарт [1964 ] рассматривает проблему ячеистой конвекции с другой точки зрения. Он подчеркивает, что определенные ячеистые решения, подобные некоторым из приведенных в работе Чандрасекара [1961 ] и в других ранних работах, не соответствуют наблюдающимся в эксперименте ячеистым движениям. Он отмечает, что в ячейках, наблюдавшихся в экспериментах, стенки ячеек

з/

FT

Рис. 60. Конвекция в форме шестиугольных ячеек; d = 4л/(3а)——сторона шестиугольной ячейки с общим волновым числом а. Функции с неполной гексагональной симметрией инвариантны относительно переносов на d 丿3 по g н 3d по х и поворотов на углы 2л/3. Как сплошные, так и штриховые прямые разбивают плоскость на шестиугольники. Кружками отмечены области стекания жидкости; сплошные шестиугольники представляют ячейки, характеризуемые в соответствии с экспериментом (Стюарт [1964, рис. 3], Сиджел [1966, рис. 7]) скоростью на стенках одного направления. Оба набора ячеек имеют неполную гексагональную симметрию. Центр сплошной шестиугольной ячейки расположен на пересечении штриховых прямых; центр^штриховой ячейки —— на пересечении сплошных прямых. Сплошной шестиугольник является четной функцией по х и ^ и имеет полную гексагональную симметрию.

являются непроницаемыми и вертикальная скорость имеет здесь одно и то же направление; Стюарт предполагает, что эти два свойства определяют ячейку в экспериментальном смысле.

На рис. 60 сплошными и штриховыми линиями построены две системы ячеек. Центром ячейки, изображенной сплошными линиями, является точка тройного пересечения штриховых прямых; центром же ячейки, изображенной штриховыми линиями, является точка пересечения трех сплошных прямых. Следовательно, существует два набора центров (на сплошных и на штриховых прямых), но только один из них, соответствующий сплошным ячейкам, представляет ячейки в понимании Стюарта, основанном на наблюде-

ниях. И сплошные ячейки, и штриховые ячейки соответствуют собственным функциям с неполной гексагональной симметрией, но только сплошные ячейки соответствуют собственным функциям с полной гексагональной симметрией. Теоретически неправильно отбрасывать решения, которые представляются нефизичными. Следует ожидать, что все ячейки, которые существуют и являются устойчивыми, могут наблюдаться.

Устойчивость и направление движения в ячеистой конвекции

Одно из наиболее интересных различий между ограниченными и неограниченными областями можно сформулировать в виде критерия выбора направления движения в ячеистой конвекции. Этот критерий оказывается следствием того факта, что в задачах о двухсторонней бифуркации в состояние ячеистой конвекции только часть одной из ветвей конвекции устойчива. Критерий неприменим в случае ограниченных областей, где могут быть устойчивы две ветви конвекции, связанные с различными направлениями движения. Этот вопрос удобнее всего обсуждать в терминах влияния на ответвляющееся движение зависящей от температуры вязкости.

Еще Грэм [1933] предполагал, что направление движения при ячеистой конвекции определяется изменением вязкости с температурой и таково, что движение в центре ячейки происходит в направлении уменьшения кинематической вязкости. В жидкостях вязкость уменьшается с температурой, /' < 0; в газах f〉0. Это предположение было подкреплено экспериментами Типпель- скирха [1956], в которых использовалась жидкая сера (ее вязкость в интервале 153 — 190° С резко возрастает с температурой, а при других значениях температуры уменьшается) и в которых направление течения менялось на обратное, когда температура превышала 153° С.

Теперь мы покажем, что такое обращение течения следует ожидать и в ограниченных областях, но направление течения не обязательно однозначно определяется устойчивостью.

Рассмотрим задачу о двухсторонней бифуркации в конвективное движение режима теплопроводности в случае жидкости, описываемой уравнениями ДОБ, когда насыщенный жидкостью пористый материал заключен в сосуд с теплоизолированными боковыми стенками. Пусть % (а2) = min % (出)— простое собствен- а2

ное значение задачи (73.2), если й2 — простое собственное значение задачи (73.7). Мы ожидаем, что обычно й2 будет простым, если поперечное сечение А сосуда недостаточно симметрично. В случае симметричных сосудов, таких, как шестигранные, или круговые, или прямоугольные сосуды, й2 может иметь кратность, бдль-

шую единицы. _Считая а2 простым и полагая в (73.11) G' = 1, 0^* = 0^ %* = X? получаем

j 标(％ (成)2 + аф) dz j J 瞰 〃 dy 现工=i—，(77.1)

2%j 禎 dzJJ ^dxdy

от

где

尸=f (ДТ/Т0 + 1 - z).

Функции"% н~В нормированы при помощи последнего из условий (72.2):__ =

〈|q о |2)=〈(瓦УI %叫 2 + (成2 +硒吟=1.(77.2)

Из уравнения (73.86) следует, что

11

J通^ = 备卜(丽户 +炉国)加.(77.3)

о0 о

Нормировка (77.2) и дифференциальные уравнения (73.7) и (73.8) не определяют направления двршения. Если (% (z) (р (х, у), 3s ⑵ Ф (х, у)) — решения, то (—х (z)屮(％,力一帝(z)屮(х, у)) также будут решениями. Выбор знака не влияет на окончательный результат, поскольку_направление движения в низшем порядке определяется(8%<р, е®(р), а направление бифуркации — знаком е歯.Без потери общности мы можем выбрать знак, исходя из требования 现】% 0 (при условии что 例工 R 6). Тогда решения (%Ф， 8屮)определяются единственным образом и направление движения в точке (%о, у。，％) при малых s дается функцией W (х0, %, Z。； 8)^ ед (х0, %, г0).

В качестве примера рассмотрим осесимметричное конвективное движение. В цилиндрических сосудах с различными величинами отношения b радиуса к высоте может происходить множество различных видов осесимметричной конвекции. Задавая а, мы получаем осесимметричную конвекцию для каждого значения отношения bj (радиус/высота), для которого Л (аЬ^) = 0. Мы нормируем 屮(г) = J。(аг) так, что ф (0) = 1, и отсюда следует, что JJ 联/ JJ 屮2 >0(см・ табл. 8) н 例1 > 0, если знак (0"(z),元⑵) выбран так, что

j Г?[% (D》2 + а2х2] dz jx0dz>O. оI о

Для удобства обсуждения будем считать, что 兄(z) н 6 (z)— функции почти всюду одного знака. Когда f = 0, наша задача сводится к задаче Бенара для жидкости, описываемой уравнениями ДОБ с постоянной вязкостью, % (г) и ff (z) пропорциональны sin 冗z, и из уравнения (73.86) jG' = 1 следует, что 现о%% (z)= =(冗2 + а2) 0 (z)・ Поскольку W ⑵=@2元(z), функции W ⑵ и 0 (г) имеют одинаковьш знаки. Для жидкостей f < 0; следовательно, 现 1 > 0, если 0 (г) отрицательно. Тогда w (z) отрицательно, ®о 亿 z) = 6 ⑵ <p (г) отрицательно при г = 0 и

W (0, z; е) а £% (0, z) V 0 при е 园 > 0(закритическая бифуркация)

и

W (0, z; е) q 8^о (0, z) > 0 при е解 V 0(докритическая бифуркация).

Отсюда следует, что в центре ячейки жидкость поднимается при докритических решениях и опускается при закритических решениях. В газах движения происходят в обратном направлении, поскольку f 〉 0.

Мы теперь скомбинируем эти выводы с результатами анализа устойчивости. Ссылаясь на рис. 59, мы видим, что докритическое осесимметричное движение неустойчиво при 8 V %, но это движение восстанавливает устойчивость, когда бифуркационная кривая поворачивает назад после изгиба при 8 = е*. Единственно устойчивыми при 现 V 関о (@2) являются осесимметричные движения, при которых жидкость в центре ячейки поднимается. При 例> >5?о (й2) существуют две устойчивые формы движения: только что рассмотренное движение с е > %, при котором жидкость в центре ячейки поднимается, и движение, которое соответствует докритической ветви бифуркации и при котором жидкость в центре ячейки опускается. Оба движения устойчивы, и оба они наблюдаются в эксперименте (рис. 61).

Следовало бы предполагать, что такая же ситуация имеет место и в случае сосудов с гексагональной симметрией, но этого, очевидно, не происходит. Гексагональная конвекция возникает как бифуркация из собственного значения высокой кратности и, как показано в § 73(в), является неустойчивой по обе стороны предела устойчивости; единственно возможная устойчивая форма гексагональной конвекции появляется на верхней ветви конвекции с 8 > 8* и соответствует подъему жидкости в центре ячейки. Задача о ячеистой конвекции очень похожа на задачу о конвекции в случае гексагонального сосуда. В центре гексагональной ячейки жидкость поднимается, а газ опускается.

Аналогичный подход применим и в других задачах обобщенной конвекции, упоминавшихся во введении к этой главе (Джозеф [1971]).

Упражнение 77.1. Рассмотреть множество функций горизонтальной структуры в дважды периодической гексагональной решетке (периоды 3d по х и M3d по у) и предположить, что допустимые функции горизонтальной структуры ин-

Рис. 61. Конвекция прозрачного масла с вязкостью, зависящей от температуры, в круговом цилиндре (диаметром 5,7 см и высотой 3 см) с теплоизолированными боковыми стенками и изотермичной верхней поверхностью (Лянг, Видал и Ак- ривос [1969]). а — нисходящее течение в центре, Л2 = 8000 (=2我乏);6 — восходящее течение в центре,笫=8200.

вариантны относительно отражений в плоскостях % = 0 и у = 0. Показать, что при малых е конвективное движение с полной гексагональной симметрией в произвольном сосуде устойчиво на закритической ветви н неустойчиво на докритиче- ской ветви. Показать далее, что конвективное движение с полной гексагональной симметрией в неограниченном горизонтальном слое неустойчиво по обе стороны от предела устойчивости даже в том случае, когда собственные функции с неполной гексагональной симметрией не допускаются.

Дополнение к главе X

Теория бифуркаций в случае кратных собственных значений

В этом дополнении в качестве простого примера излагается общая теория бифуркаций в случае собственного значения крат* ности два. Я думаю, что в этом примере содержатся все основные принципы и что в типичных задачах, возникающих при анализе бифуркаций, большинство необходимых обобщений является очевидным 1). Бифуркационные задачи в гидродинамике обычно можно сформулировать в виде операторных уравнений

L・U + N[U] = 0, E =〈U・q)o〉，

где L — линейный оператор, N [U ] — аналитический оператор, начинающийся с квадратичных членов, N [0] = 0 и 屮。一функция U/e в пределе 8 —* 0. Задача

L•屮+ N® е]==0, (<р-Ч)о)= 1

получается в результате подстановки 叩 вместо U. Если N [U ]— квадратичный оператор, то N [<р, е] = N [<р] не зависит явно от 8； в общем случае зависимость N [u, s] от 8 не играет роли и не входит в бифуркационную задачу в приближении низшего нетривиального порядка.

Собственные значения для задачи о мембране, возмущенные нелинейными членами

Изучим, как меняются с изменением 8 собственные функции 屮(х, у; е) и собственные значения X (е) задачи

屮屮 + 九屮 + £乂[叫=о, (р|ат = 0, <ФФо) = 1-(АХ.1)

Мы предполагаем, что алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений равны. Если они не равны, то необходимо ввести обобщенные собственные векторы, как это делается в случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений, у которых матрица Якоби сводится к блочно-диагональной матрице жорданова типа. Если алгебраическая и геометрическая кратности различны, то анализ, развитый в этом дополнении, не пригоден.

Имеются ситуации, при которых появление кратных собственных значений может коррелировать с появлением вторичных бифуркаций (см. Бауэр, Келлер и Рейсс [1975]). Проблема вторичной и повторяющихся бифуркаций — важный раздел современных исследований в гидродинамике.

Здесь 加一квадрат со стороной 冗，а 屮。——принадлежащая Хо собственная функция задачи

Y咕 + %中0 =。，①o1d* = °，〈喘>=1(AX.2)

и N [ф]——аналитический оператор, который можно разложить около функции фо (х, у) в степенной ряд, и к тому же N [0] = 0. Во многих приложениях ^ [ф] будет степенным рядом по ф, 5<р/5х и dq>/dy, главные члены которого имеют второй, третий или еще более высокий порядок. В разд, (е) мы будем изучать возмущение задачи (АХ.2) линейным оператором L^ = N [ф]. В разд. (Ж)мы изучим задачу (АХ.1), когда

^ [ф] = (a sin 2% + 0 sin 2y + у)联. (АХ.З)

Собственные значения и собственные функции задачи (АХ.2) определяются выражениями

Фо = с sin их sin ту, Хо = л2 + т2.

Первые пары собственных значений и собственных функций имеют вид

九о ==九и == 2, фо == фц == 土 (2/эт) sin % sin у

и

九 о =九工 2 =九 21 = 5, фо = 4 о 九工 + В。/!?,(АХ.4)

где

瓦=(2/冗)sin х sin 2y, Л2 = (2/л) sin 2% sin у.

Любая линейная комбинация AQhr + 3也 является собственной функцией, принадлежащей Хо = 5, и собственные функции 力1 и й2 называются базисом для нуль-пространства оператора V2 + 5. Условия нормировки задачи (АХ.2) требуют, чтобы выполнялось равенство

/题+ 就=土L(AХ.5)

Без потери общности в (АХ.5) можно взять знак плюс (см. упражнение АХ.1).

Собственное значение 九° = 2 простое. Собственное значение %0 = 5 двойное. Мы приступаем к сравнению бифуркационных задач, получающихся из задачи (АХ.1) при %0 = 2 и %0 = 5. Число решений, ответвляющихся от решения 屮=0 при 九=Хо, зависит от кратности М собственного значения 九° и свойств оператора ^. Когда 九о простое, ответвляется единственное однопараметрическое (по 8)семейство решений. Число ответвляющихся решений от простого собственного значения слабо зависит от N [<р]. Бифуркация в случае собственного значения кратности М > 1 значительно сложнее даже в том случае, когда ^ [<р]— линейный оператор (см. разд, (е) и упражнение АХ.З).

Мы строим ответвляющееся решение задачи (АХ.1) в виде степенного ряда

L Це)曰叫机 J' (AXS)

Если от решения ф == 0 и %0 = 5 ответвляется Mf ветвей 九(е) и ф (х, у; 8), то будет существовать ЛГ различных рядов решений (АХ.6) с одним и тем же значением Хо = 5.

Уравнения для коэффициентов рядов (АХ.6) получаются подстановкой (АХ.6) в (АХ.1) и приравниванием нулю коэффициентов при различных степенях 8. Независимо от кратности 九q мы получаем

(V2 + М) % + kw + ^ [ф0] = О(АХ.7)

И ДЛЯ Л〉1

“2 + М фП + 入評0 + & + "<₽ [фо]) Фп-1 + Р〃 + £ 入/屮V =。，

i^n (АХ.8)

где ^ф [<р0] — производная Фреше от ^ [<р], вычисленная при <р = фо, и РЛ — полином относительно производных ф, который, исключая факториалы, получается в результате многократного дифференцирования оператора ^[(p] по 8. Полином Рп не зависит от % при V > 九一2:

尸办=Р [фо> Ф1> • • •»Фп-21*(АХ.9)

При 九 > 0 мы должны также потребовать, чтобы

屮九 IdM =。и (фоФл) = О*(АХ. 10)

Бифуркация при простом собственном значении

Если 九о простое, то задачи (АХ.8) разрешимы тогда и только тогда, когда

入1 + «<Л®]〉= 0(АХ. 11)

и при п > 1

%1 + <фЛф 咕]91〉+ 仲 оР0 = о.

Отсюда следует, что <рп (х, у) и ЛЛ можно определить последовательно и однозначно и ряд (АХ.6) сходится.

Бифуркация при кратном собственном значении

В случае, когда 九о — кратное собственное значение, мы не можем ожидать, что ответвляющиеся ветви 九(е), <р (х, у\ 8)будут с изменением 8 меняться непрерывно, если мы не выберем надлежащим образом систему невозмущенных собственных функций для кратного собственного значения. Для двойного собственного

значения Хо = 5 мы имеем двумерное нуль-пространство, которое натягивается на ортогональные векторы 力1 и Л2 (〈力i力2〉= 0). Для того чтобы существовало решение (АХ.8) при 入° = 5, неоднородные члены должны быть ортогональны как 力工，так и Л2. В общем случае для гарантии разрешимости нам необходимо выбрать в приближении каждого порядка два параметра (не обязательно ")• К тому же мы должны определить число М' аналитических ветвей 屮(峭(х, у; в), М*(8); v = 1, 2,М‘，ответвляющихся от

двойного собственного значения %0 = 5. Число ЛГ определяется уравнением разветвления, которое получается из условий разрешимости в приближении низшего нетривиального порядка. Уравнение (АХ.7) имеет решения тогда и только тогда, когда 儿 «Л〉+ 色山 ®]〉= 0,(АХ. 12)

儿 <ФоЛ2) + 他乂 [Фо]) = 0.(АХ. 13)

Если 九1 声 0, то (АХ. 12) и (АХ. 13) дают алгебраические уравнения относительно Ло и В。； ими и определяется число М' ветвей, которые могут начинаться от инициирующих значений

/产，国？ v=l, 2,..・，М'・(АХ. 14)

Если %] = 0, то уравнение разветвления для определения ЛГ получается при 九=2; если, например, N [ф] дается выражением (АХ.З) и а = Р = 0, то Хг = 0, но %2 =^= 0 на двух ветвях (см. разд. (з)). Если %!,=九2 = 0, то* уравнение разветвления получается при п = 3 и т. д.

г. Ортогональное разложение

Мы рассматриваем две задачи: определить М' и удовлетворить одновременно двум условиям разрешимости, используя ортогональное разложение •

屮(х, У\ е) = Л(8)Ai + В(8)й2 + ^ (х, у; 8), (АХ. 15) где Л(8)и В(8)— аналитические функции, дающие проекции <р (х, у; в) на двумерное нуль-пространство оператора v^ + 5：

А(8)= (М(X, у； 8)), В(8)= (М(X,劣 8)) (АХ. 16) и л (0) = ло, В (0) = Во. Из выражений (АХ. 15) и (АХ. 16) следует, что〈力抄〉==〈也心=0，) н что

Ф«(X, у) = ^Л + ВЛ + 必(х, у)(АХ. 17)

Если % — квадрат со стороной л, то

屮(х, у; в) = ? £ Cv/ (f) sin vx sin ly,v=i /=1

где Ci2 = C21 = 0. Тот же метод анализа справедлив, когда * произвольно, но тогда 屮(х, у; е) следует выразить в виде ряда по собственным функциям оператора V2 в J^. В более общих задачах, когда невозмущенный оператор не является самосопряженным, необходимо дополнительно ввести сопряженный оператор.

с 屮° (х, у) = О, а при п > 1

(Мп) = <Mrt) = О.(АХ. 18)

Более того, из (АХ.1), (АХ.5) и (АХ. 15)—(АХ. 17) мы получаем (фТо) = 4(£)4 + 3 (е) Во = Ло + Во == 1

и при п а 1

44 + 当区=0.(AХ. 19)

Теперь определим

卩=Bq/Aq (卩—* оо соответствует Ло—*0)(АХ.20)

и из (АХ. 19) найдем, что

Ап = —fxBn.(АХ.21)

Используя (АХ.20) и (АХ.21), мы можем свести (АХ. 17) к равенствам

屮о = (1 + d 尸/2 (瓦 _|_ 血)，(АХ.22а)

Ф« = Вп (厄一血)+ 砲(х, g),(AX .226)

где 屮〃 (х, у) удовлетворяет условиям ортогональности (АХ. 18), граничным условиям ^п |^ = 0,

(V2 + 九°)屮工十加Ро + N [<p(j] = 0(АХ.22в)

и при и〉1

(V2 + 入о)必 + 入%屮о + 筑-i & + % [q)o]) (^2 —卩厄)+ G九=0, (АХ.22г) где

G〃 = Gni + %2,

Gni = (Xi + ^Ф[фо1)屮…

G%2 =匕 + X ^i [^v (九2 — I也)+ Wvl 三 G [фо» Ф1> • • •, Фм-г], v4-Z=n, /嗜о, 1, 〃

и, таким образом, G/倡 не зависит от Bv и 屮丫 (х, у) при v > и — 2.

Условия разрешимости

Теперь мы в состоянии показать, как число ЛГ ветвей 屮(明(х, у\ 8),九⑵(8), V = 1, 2, ..., ЛГ, ответвляющихся от двойного собственного значения Хо, определяется выражениями (АХ.22). Мы покажем это, построив для каждой из ветвей ЛГ решение в рядах (АХ.6). Для нашего построения требуется, чтобы мы определили М' из инициирующего уравнения разветвления, дающего ЛГ вещественных корней 卩(峭，которыми определяются

ЛГ начальных функций 中陳)(х, у). Тогда, задавая 屮辞)，мы должны определить неизвестные функции х|『(х, у) и параметры разрешимости 入離)и 3"

Основу этого построения составляют условия разрешимости (АХ. 12) и (АХ.13), которые получаются из соотношения

他(V2 + 筛)必)=(色(V2 + 儿)必)=0.(AX.23)

При 九=1 эти условия можно выписать в виде

^1(1+м2)-12 + (^1ф0]) = 0,(АХ.24а)

入串(1 + 卩2)72 + ®n 仲必=0,(AX.246)

где(Ро = (1 + 炉尸/2 (九1 + 卩儿).При и〉1 соотношение (АХ.23) можно записать в виде

儿(1 +产尸/2 +舔」к/1M ®](厄一 I电))-也｝ +(历G» = 0,

(АХ.25а)

入小(1 +卢尸公 +旦」｛他N屮[<pol (h2 一血))+句+他①)=0.

(AX.256)

Инициирующее уравнение получается исключением Хх из (АХ.24а) и (АХ.246):

№N [(1 +卢尸/2 (瓦+世坛)])=他N [(1 +必尸/2 (历+血)»

(AX.26)

Каждому корню 卩(”)этого уравнения соответствует значение Mv)> дающее угол наклона ветви Nv)(£)собственных значений при е = 0・ Если N [ф] = const •(pfe, то выражение (АХ.26) оказывается полиномом степени 论 + 1 относительно 卩，имеющим М'《々 + 1 вещественных корней.

Если интегралы в правой и левой частях (АХ.26) равны нулю, т0 Al = 0 и (АХ.26) не определяет корней 卩(丫). Тогда, как и в примере разд, (з), мы должны рассмотреть (АХ.25а) и (АХ.256) при первом целом значении / > 1, для которого существуют отличные от нуля производные 儿〒 0.,

Допустим, что инициирующее уравнение разветвления получается в приближении порядка Z〉1, что % Xv, Bv_x и 屮丫(芻 У) заданы при / < v < % 〃 что

《九2 -卩瓦)% [ф0] (^2 -卩九1))*4■入1(1 +卩2) ¥=。.(АХ.27)

Тогда Кп и 8〃」определяются единственным образом соотношением (АХ.26) 〃 屮〃 (х, у), ортогональные 瓦 〃 Л2, определяются единственным образом уравнением (АХ.22г).

При заданном (АХ.27) утверждения относительно величин Хд и 瓦一工 очевидны. Утверждение об обратимости (АХ.22г) следует

из теоремы Фредгольма об альтернативе для обратного оператора V2 + Хо в гильбертовом пространстве

{"： " Id* =。，(|V"|2〉V8,〈九1"〉=(九2〃)= 0} .

Если 加一квадрат со стороной л и Хо = 5, то

“(х, 9)= £ £ 脑 _^'+附 sin vx sin/у,(AX.28)

V=1 /=1

где Ki2 = К玄=0, а для других v, Z

(л2/4)К：/ +

+〈sin vx sin ly [Anq?0 + Bx & + % [询)电—血)+ бя]) = 0.

Возмущение линейной задачи при двойном собственном значении

Если N [^] = £оф ——линейный оператор, то соответствующее / = 1 инициирующее уравнение, которое получается из условия разрешимости, имеет вид

卢{hrL^ + 卩 К%厶也〉一气厶闯 1 = (Wo/ii).(AX.29)

Если L° — такой самосопряженный оператор, что

他£%〉=〈坛ЛА〉¥=0,(АХ .30)

то (АХ.29) имеет два вещественных корня и при помощи (АХ.24) и (АХ.29) можно показать, что (АХ.27) выполняется. Следовательно, при условии (АХ.30) можно вычислить все члены ряда для возмущений. Если & — оператор вида

а (尤加 ^ + b 3, У)击+ с (х,;р),(АХ.31)

где а9 b нс — вещественные аналитические функции, то применима теория аналитических операторов класса А (Като [1966, гл. 7]) и представления в рядах для двух ветвей сходятся. В общем случае для линейных операторов типа Л от собственного значения кратности Мг отщепляется М' вещественных аналитических ветвей (Курант и Гильберт [1953, т. 1,гл. V, § 13.2]). При возмущении вещественных собственных значений и собственных векторов кратности М' 〉 1 не всегда получаются вещественные ветви (см. упражнение АХ.З). Возмущающие линейные операторы должны удовлетворять определенным условиям (подобным условиям для операторов типа Л).

ж. Бифуркация при двойном собственном значении; пример, где инициирующее условие разрешимости получается в приближении порядка /= 1 (% # 0)

Если

N ［叫=g (х, у) Ф2, где

g(K у) = а sin 2х + р sin 2у + у, причем а, р и у — вещественные постоянные, то условия разрешимости (АХ.24) принимают вид

% ］Л + 1 +〈g九;〉+ 2И〈g 居九 2〉+ 1 (g^ = 0,(AX.32a)

Мн J1 + 1 +〈g届用2〉+ 2|x〈g/i就〉+ 卩2〈g磅=0, (AX.326)

уравнение разветвления (АХ.26) — вид 卩3(g4］磅+ ц2(2〈g居生〉—〈g磅)+

+ 卩(〈g/〉一 2〈g瓦磅)一〈g九孤2〉= 0, (АХ.32в)

а условия разрешимости (АХ.27) приближений более высокого порядка — вид

р2〈g"；〉+ (1 — 2 卩)〈g欣九2〉+ (1 — 2圓 3h 欣〉+

+ 卩Ш + %A1 (1 + 卩2)"2 R 0, (AХ.32Г) где

〈g无也2)=。，〈g欣〉=〈g彊〉=%〈g外〉=4p/冗2,(gh^ = 4а/л2,〈凋坛〉=32а/(15л2),〈g 欣九)=32р/(15л2).

Используя эти значения, мы можем переписать (АХ.32а)—(АХ.32г) в виде

15 加г?/匸PR + 60В + 64afx + 32 闻 2 = о, (АХ.ЗЗа)

15k冗2卩 j/Г+р + 32a + 64 卽 + 6Caj? = 0, (АХ.ЗЗб)

8卽з + a(.i2 —卽一8a = 0(AX .ЗЗв)

и

(АХ.ЗЗг)(АХ.ЗЗг)卽2 +臂吋一 2n)+轡(1 - 2阅+ ай ++ 4-^i(l+ Н2)3/2*О.

(АХ.ЗЗг)

(АХ.ЗЗг)

Чтобы определить число вещественных ответвляющихся решений, мы должны определить число вещественных корней уравнения (АХ.ЗЗв). Дискриминант этого кубического уравнения равен

А =96#— 109439т2 4-96.

При Д >0 имеется три вещественных корня, соответствующих трем ответвляющимся решениям, возникающим при двойном собственном значении Хо = 5. При А V 0 ответвляется только одно решение. Например, если у = а = Р = 1, то Д = —109 247 и уравнение (АХ.ЗЗв) принимает вид

3 - 1) (8卩2 + 9卩 + 8) = 0;

следовательно,

26 /②

|л = 1, 九i =g^g— и (AX.33г) удовлетворяется.

Если А = 0, то все корни вещественны и по меньшей мере два из них одинаковы. Во всех случаях, кроме этого исключительного, ответвляются или одно (А < 0), или три (А〉0) решения. Отсюда следует, что нелинейные члены не уменьшают степень вырождения линейной теории и могут даже увеличивать эту степень; из двух существующих при Хо = 5 решений мы можем получить три ответвляющихся решения нелинейной задачи.

з. Бифуркация при двойном собственном значении; пример, где инициирующее условие разрешимости

получается в приближении порядка Z = 2 (^ = 0, 12 + 0)

Если а = Р = 0, то Xj = 0, и мы должны рассматривать условия разрешимости, которые возникают в приближении следующего порядка (второго). Уравнение (АХ.22в) теперь принимает вид

(В + %о) “1 + Y届=0,(АХ.34)

а (АХ.22г) с и = 2 — вид

(V2 + Хо) Wz + 入 2屮 。 + 2Y81屮0 (用2 -卩用 1) + 2Y中0屮丄=0. (АХ.35)

Так как〈瓦嗎〉=〈九2嗝〉=0, условия разрешимости (АХ.24) для (АХ.34) удовлетворяются автоматически. Условия разрешимости (АХ.25) с % = 2 для (АХ.35) можно записать в виде

九2 + 2Y〈屮1 (定+卩%九2)>= 0,入2n+ 2?(瓦用2 +n九2)〉=。.

Решением уравнения (АХ.34) является

5 = £ £ 屮2v+i, 2/+1 sin (2/ + 1)х sin (2v + 1)// + /=0 v=0

+ £ ?屮2、，, 2/ sin 2/x sin 2vy,(AX.37)

/=1 V=1

где

一Л4 (1 + 炉)[入0 — v2 — /2]也,//(16Y)=

=((sin2 x sin? 2y + 卩2 sin2 z/sin2 2x) sin lx sin vy)十

+ 2卩(sin x sin 2g sin у sin 2x sin lx sin vy)=

(4 —円(16 —5)+(4—後)；16—/2)，/ и v—нечетные целые,

/ и V разной четности./ и V разной четности.№ 呼: 1)(评—力(9-声)(9一2," и v-четные целые,

/ и V разной четности.

/ и V разной четности.

2

Подстановка (АХ.37) в (АХ.36) дает

入2T - 也2 + 卩2(№ 一 炉)]=0,(АХ.38)

九2n7 一[卩 ®2 - 0)2) + 卩3〃2] = 0, где 脑=5,

7 =吗1 + n2)/(2(64)3的，

"2=££{&一V2一用/2V2(4-/2)206 —衿2尸，

/==1, 3, • • • W^=l, 3. • • •

炉П- S e2网2{% 一 V2 _ 阳(户 一 1)2 X

/•^2. 4,«• • V==24, • • •

X(V2-I)2 (9-/2)2(9—V2)2}-1,

* = 工 $I [X0—v2—/2] / V (4—Z2) (16—V2) (4—V2) (16—Z2)}-1.

/==1, 3一 • • v^b 3,・• •

Поскольку 〃2,卩2 и о)2 положительны, уравнения (АХ.38) дают три корня:

N = °, L —1,

соответствующие трем ответвляющимся решениям с 入2「= 〃2, 〃2 + 卩2 一 d, 〃2 + 卩2 — ю2

Упражнение АХ.1. Показать, что ①(е,(р0) = —Ф (—е,(р0), где Ф (е,(р0)三 =Ф (х, у; е) — ответвляющееся решение (АХ.6) и(р0 = Ф (%, У\ 0). Указание. Использовать разложение Ф = ①s + Фл, где ①s — четная функция 8, а ①力一 нечетная функция. Доказать методом индукции, что①s является нечетной функцией (р0> а ①纟 —— четной функцией(р0.

Упражнение АХ.2. Рассмотреть задачу об устойчивости ответвляющегося решения уравнения (АХ.6), когда ф (х, у; 8)— стационарное решение параболп-

ческой задачической задачи

ческой задачи

ческой задачи

^~ =и中 + !-ф -i- e^ [叨，w匕* = 0.

Показать, что докритические решения, которые ответвляются от простых собственных значений, неустойчивы. Мак-Леод и Сэттинджер [1973] рассмотрели задачу об устойчивости и бифуркации при двойном собственном значении. В их задаче докритические решения, ответвляющиеся при двойном собственном значении, не обязательно были неустойчивы.

Упражнение АХ.З (ветвление при двойном собственном значении (2X2)- матрицы). Система

имеет два собственных значения 九(〔)и Х(2\ соответствующих корням

"中士 J/中-*

Два линейно независимых собственных вектора имеют вид

m=[：卜口% = T/(*)_Ь),

х(2)=[:卜2),«2 = *%⑵一а),

где %£1) и %£) произвольны. Мы можем нормировать эти собственные векторы следующим образом: x(i)・x(i)= х(2)・х(2)= 1. Это определяет собственные векторы единственным образом, за исключением знака.

Построить собственные значения %(8)и нормированные собственные векторы х (е) в виде рядов по степеням 8 при b # а. Показать, что если в = 0 и 6 = =а, то л = а — двойное собственное значение с нормированными собственными векторами

ГО'ГО'

ГО'

ГО'

и что не существует никаких вещественных ветвей 九(8), х (е).

Глава XI

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАКРИТИЧЕСКОЙКОНВЕКЦИИ. ВЫБОР волновогоЧИСЛА ПО СООБРАЖЕНИЯМ

УСТОЙЧИВОСТИ

В этой главе мы собираемся изучать устойчивость ячеистой конвекции в подогреваемом снизу слое пористого материала, насыщенного жидкостью. Этот тип ячеистой конвекции может быть описан как бенаровская конвекция в модели жидкости, удовлетворяющей уравнениям Дарси—Обербека—Буссинеска (ДОБ). Как и в задаче Бенара,例工=0,例2〉0 н ветвление режима теплопроводности в конвекцию является закритическим, а не двухсторонним. Анализ Шлютера, Лорца и Буссе [1965] устойчивости бенаровской конвекции в жидкости, описываемой уравнениями ОБ, применим к конвекции в жидкости, описываемой уравнениями ДОБ. Этот анализ показывает, что все трехмерные структуры общего типа, которые содержатся в решении (76.6), неустойчивы, и только двумерные структуры могут быть устойчивыми. Такой результат согласуется с картиной устойчивости для двухсторонней бифуркации состояния равновесия в ячеистую конвекцию, которая показана на рис. 59 (iii), в пределе 〃 一＞ %, Ра —* Ро, % 0・

Мы собираемся изучать устойчивость валиковой конвекции с двумерной структурой. Задача заключается t нахождении значений параметрова, 8)= (число Рэлея, волновое число ответвляющегося решения, амплитуда ответвляющегося решения), для которых ответвляющееся решение неустойчиво. В общем случае значения параметров, для которых существуют ответвляющиеся валики, лежат на поверхности /? = ^ (а, 8)в трехмерном пространстве параметров. Пересечение RQ (а) = R (а, 0) этой поверхности и плоскости е = 6 называется нейтральной кривой для основного течения. Решение, соответствующее режиму теплопроводности, является единственным решением уравнений ДОБ, существующим при малых R. Применение к этому режиму линейной теории устойчивости приводит к задаче на собственные значения о (R), где и входит в уравнения через возмущения, пропорциональные с-。，. С ростом R режим теплопроводности теряет устойчивость, когда А проходит через значение RQ (а), и заменяется ответвляющимся решением, периодическим по х с периодом 2л/〃・ Кривая R。(а) называется нейтральной кривой потому, что она определяет значения R, для которых a (R) = 0.

Таким же образом можно искать выражения для нелинейной нейтральной кривой. Эта кривая также связана с собственным значением у, которое появляется в линейной теории устойчивости периодического ответвляющегося решения с периодом 2л/а относительно возмущений, пропорциональных е” Если существует собственное значение у (а, р, 8)< 0, то ответвляющееся решение с амплитудой е и волновым числом а будет неустойчивым относительно возмущений с волновым числом Р，Нелинейная нейтральная кривая определяется неявной функцией

min у (а, 0, е) = 丫 (а, 0 (а, в), в) = 0.

Эта кривая имеет три проекции: а = a (s), R = R (е), R = R (а). Можно найти явные математические выражения, локально определяющие эти проекции вблизи критической точки (R, а, 8)= =(Rc，区 0), где 及=min R。(а2) = RQ (52); критическая точка 仆

является единственной общей точкой нейтральной кривой для основного течения и нелинейной нейтральной кривой.

Анализ, проведенный в § 79 и 80, основан на совместной работе Д. Д. Джозефа и Д. А. Нилда. Эта работа была выполнена за время очередного годичного отпуска Нилда — профессора отделения математики Оклендского университета (Новая Зеландия)——и нигде не будет опубликована. Подобный анализ аналогичной задачи осуществил Буссе [19716]. При исследовании, проведенном в § 82, применяется метод, предложенный Ньюэллом и Уайтхэдом [1969].

Обозначения. Приведенное время, обозначенное через т в гл. X, соответствует f в этой главе; а, Р, т2 и ^ = (л2 + а2)1/2 — волновые числа н R =缪. Критическое число Рэлея 凡=R。(а2)= =min R。(а2). Для минимизирующего волнового числа иногда а2

используется символ а。= а. Для рассматриваемой в этой главе конвекции, описываемой уравнениями ДОБ, R. = 4л2, а2 = =缢=я2.

Статистически стационарная конвекция и установившаяся конвекция

Рассмотрим конфигурацию, представляющую собой заполненный жидкостью пористый слой, подогреваемый снизу. Слой имеет толщину /, и температура нижней поверхности на АТ ℃ выше температуры верхней поверхности (рис. 62). В безразмерных переменных разность температур и толщина слоя равны единице. Будем предполагать, что сверху и снизу слой ограничен теплопроводными жесткими пластинами. Тогда на верхней и нижней пластинах нормальная компонента скорости обращается в нуль, а температура принимает значения температуры окружающей среды.

Основная задача заключается в исследовании конвективного движения, которое вызывается силами плавучести при достаточно большой безразмерной разности температур R.

Сначала мы предположим, что конвекция описывается уравнениями ДОБ (70.10а), (70.10в), (70.10г) при В =4： 0 х), и разложим движение на среднюю и пульсационную части:

U〃,(х, 2)=伉(z, 0 4-й(х, 0, Т(х, 0 =不® 0 + 0(х, 0, (78.1) Р(х, f) = Q(z, /) + р(х, 0,

где черта сверху означает осреднение по горизонтальной плоскости. С = С для любой функции С (z, /), не зависящей от х и у (см. формулы, следующие за (28.3)).

Т^Т

Рис. 62. Пористый слой, насыщенный жидкостью и подогреваемый снизу. / — профиль температуры при конвекции; 2 — профиль температуры при режиме теплопроводности •

Средние значения статистически стационарных решений не зависят от времени. В соответствии с изотропией внешне заданных условий мы предполагаем также, что вынужденной конвекции нет:

Щ = 0.(78.2)

Начиная с этого момента, под статистической стационарностью будем понимать независимость от времени средних величин и выполнение равенства (78.2).

Используя (78.1) и (78.2), можно вывести уравнения для среднего движения

D {(В/®2)而+ 诞 J = R (戸—几/AT) q, где D = d/dz, и

£to0 = DT,(78.3a)

а также уравнения, определяющие пульсации:

V・и = 0, ^ ［芻 + *u・Vu —春 血］=—u + jR® - Vp (78.36) и

C 覇 + V ・{u (8 + 幻一丽} = V20,(78.3b)

где С = (Copo)^/(Cpo)m.

На границах имеем

Т = TJ\T -|- 1, 8 = з = 0 при z = 0;(78.3г)

Т = TQ/ДТ,8 = 5 = 0 при z=l.

Интегрируя (78.3а), находим, что

D戸—诵=(Df) — @8〉= —1 - (^0),(78.4)

где ломаные скобки означают осреднение по объему, которое в безразмерных переменных записывается в виде

(Д) = J Adz.

о

Уравнение (78.4) показывает, что при z = 0 н z = 1

DT = —1 - (^0).(78.5)

Это значение DT на стенке является мерой потока тепла, проходящего через слой .^Поскольку на стенке ^ = 0, тепло не передается через стенку за счет конвекции. Тепло, которое проникает в слой на нижней границе за счет теплопроводности, переносится через слой жидкости теплопроводностью и конвекцией, и то же самое количество тепла покидает систему на верхней границе за счет теплопроводности.

Основной физической зависимостью для процесса, который только что был описан, является связь между вызывающей конвекцию разностью температур и потоком тепла. В безразмерных переменных это кривая зависимости между числами Рэлея и Нуссельта.

Число Нуссельта .Nu представляет собой отношение потока тепла, проходящего через слой, к потоку тепла, обусловленному только теплопроводностью. Нам удобно записать это отношение при z = 0 в виде

Nu = DT/(—1) = (― 1 一 (^0))/(—1) = 1 +〈碱〉・

Следовательно,

(78.6)(78.6)侬 8〉= Nu — 1

(78.6)

(78.6)

является удобной мерой разности между переносимым теплом и тем теплом, которое переносится за счет одной теплопроводност и при заданной разности температур.

При заданной разности температур количество тепла, переносимое статистически стационарной конвекцией, превышает количество тепла, которое могло быть передано за счет механизма теплопроводности, т. е.

Nu - 1 =(98)》 0, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда и = 0. Доказательство является прямым следствием энергетического уравнения

〈|uE〉= R®»,(78.7)

которое следует из (78.36).—

Поток тепла, передаваемый одной теплопроводностью (DT = =—1), определяется по (78.5) при равных нулю пульсациях; тогда

T = Tc(z)二П/АТ + 1 — z.(78.8)

Стратификация давления, соответствующая определяемой теплопроводностью температуре Тс (z), задается уравнением

dpjdz = R (1 — z)・(78.9)

Представляется удобным исследовать устойчивость и бифуркацию состояния покоя разложением движения на состояние покоя и возмущения:

U. (х, /) = и (х, 0, Т (х, 0 =兀 Q) + ё (х, о,р(х, /) = &⑵十冗(х, /).

Мы рассматриваем эту операцию как второе разложение движения (78.1). Пульсации и возмущения связаны соотношениями

不⑵ + 8 (х, /)=几(z)十 0 (х, О,(7&10)

初⑵十"(X, f)= 〃⑵+ n(x, 0,•

где

戸⑵= Tc(z) + @(z) и万⑵=厶⑵+ ^z)・ Из (78.6) и (78.10) находим, что

Nu — \ = 3» {w(Tc — T-Y 0))=〈侬@〉.(78.11)

Теперь обратимся к изучению бифуркации режима теплопроводности в валиковую конвекцию. Эта конвекция описывается уравнениями ДОБ (70.106)—(70.10г). Из уравнения (70.106)

следует, что е2 • rot U^ = 0. Следовательно, скорость может быть представлена через полоидальный потенциал

Um =rot2x = 6x.(78.12)

Применяя к уравнению (70.106) оператор ег -6, получаем уравнение

需{V2x + R (7 - To/AT)}=0，区三 02/及2 + d2/務.

Мы предполагаем, что U^ н 7 являются периодическими или почти периодическими по х и I/ и Um имеет нулевое среднее по горизонтальной плоскости; отсюда следует, что

屮戈+ R(T—To/AT) = ^z),

где f (z) — произвольная функция только от z. Поскольку % определяет Um с точностью до аддитивной функции р (z), выберем Р так, чтобы

V2^ = R(7；(z) — T),(78.13)

где

兀⑵=l—z + To/A7(78•⑷

—распределение температуры в соответствующем режиму теплопроводности решении задачи (70.106)—(70.10г) и

Um = 0, Т = Тс ⑵，р =厶⑵.(78.15)

Комбинируя (70.106, в), (78.12) и (78.13), находим, что

(V2 -船 V2x + RV統=佻-VV?x, (78.16)

где при z = 0 и z = 1

戈= \^ = о.(78.17)

Легко проверить, что решение 戈=0 задачи (78.16), (78.17), описывающее режим теплопроводности, неустойчиво при R〉4л2 и глобально устойчиво при R V 4л2. Спектр линеаризованных уравнений, описывающих х，является вещественным, и решения, которые ответвляются от режима теплопроводности, соответствуют стационарной конвекции.

Рассмотрим установившиеся двумерные решения уравнений (78.16), (78.17), которые являются периодическими по х функциями с периодом 2л/а. Решения этой задачи можно построить в виде степенных рядов

Х=ех (% z)=咏о (х, z) + 82Х1(х, z) + 评也(尤,z) Н,

/?(e)=%+ 82a + 84尺+...(9"

по разности чисел Нуссельта конвективного режима и режима теплопроводности

82 = Nu - 1 =(56)=〈V敛 VM〉/R,

(78.19)(78.20)(78.21)(78.22)(78.19)(78.20)(78.21)(78.22)где ( ) означает осреднение по всему слою жидкости — 8 V <х<8,0<2<1 и (с) = с для любой постоянной с. Коэффициенты степенных рядов удовлетворяют следующим уравнениям:

(78.19)

(78.20)

(78.21)

(78.22)

(78.19)

(78.20)

(78.21)

(78.22)

2 о%о =。，

<VixoV2Xo) = Ro,

S %左=S6器・vw左,

k-\-l=n无+/+1=Л

£ (V2X^V2%/) = Rs %》1,

где

孰=厘+%⑷成 Zk - Rk (a) Vi,论A L

Кроме того,

X/ = V2%/ = 0 при z = 0, 1,(78.23)

и

X/ (х, z)=左(％ + 2冗/a, z)(78.24)

для Z a 0. Мы находим, что

Ro = (炉+犀)2/出，

Xo = 2(" + a?尸/2 cos ax sin nz,

Лa2

Xi=爲"sin 2冗z,

(78.25)(78.25)R2 = Ro/2,

(78.25)

(78.25)

vI S + 叫1/2 R

履—T + 16л2 (5л2 + a2) C0S "X Sin 3吗

加=争 + 發擲"• (sin 2nz - 4 sm 4nz) +

I л (л2 + a2) R。「2 sin 2几zsin 4nz

n-24 (5л2 + a2)[(兀2 + 叫2 一(3# + 叫(7# 十叫

R4 = ； Ro {1 —R4 = ； Ro {1 —絞+谑11# + 3叫 16 л2~ 5л2 + “2 j絞+谑11# + 3叫 16 л2~ 5л2 + “2 j

R4 = ； Ro {1 —

R4 = ； Ro {1 —

絞+谑11# + 3叫 16 л2~ 5л2 + “2 j

絞+谑11# + 3叫 16 л2~ 5л2 + “2 j

Упражнение78.1 (Хортон и Роджерс [1945], Лэпвуд [1948], Уэстбрук [1969]). Показать, что режим теплопроводности неустойчив относительно почти_ периодических по двум направлениям возмущений при R > 4л2 и что этот режим гло-

бально и монотонно устойчив относительно почти периодических по двум направлениям возмущений при R < 4л2. Замечание. Обобщение анализа линейной устойчивости режима теплопроводности на другие граничные условия и смеси жидкостей дано Нилдом [1968].

Упражнение 78.2. Вывести выражения (78.25) до второго порядка.

Устойчивость валиковой конвекции относительно невзаимодействующих трехмерных возмущений

В этом параграфе мы изучаем устойчивость установившихся пространственно периодических двумерных решений (78.25) задачи (78.16), (78.17) относительно малых возмущений. Подставляя в уравнение (78.16)

% =映+ ©①(х,弘z) e-叫 проводим линеаризацию (ё —♦ 0) и находим, что

(V2 + у) У2Ф + RV冷=8 [6х-VV2O + 6O.VV2X],(79.1)

где Ф и V2① обращаются в нуль при z = 0 н z = 1. Коэффициенты этого линейного дифференциального уравнения не зависят от г/ и являются периодическими по х функциями с периодом 2л/а. Если

?。==-黯轉+芻患•+炉+产П

где 卩2 = ”2 + 卩2, то ПрИ 8 = 0 решение уравнения (79.1) может быть получено в виде

exp [i (wx + ру)] sin илг.(79.2)

Наименьшее значение у。достигается при и = 1; более того, у。 отрицательно при R。(Р2) < /?(/(”). Поскольку А (а2) > 4冗？ при а2 =/= л2, отсюда следует, что если а2 声 л2, то существует такое Р2 (близкое к л2), что 丫。V 0・

Единственными устойчивыми валиковыми ячейками при 8To могут быть ячейки с пространственным периодом 2л/а = 2; иначе говоря, все точки R (а, 0)=凡(炉)на бифуркационной поверхности Rl(a, s) являются неустойчивыми, за исключением, быть может, точки R (л, 0) = 4紋.

Точка (R, а, е) = (4л2, л, 0) принадлежит одновременно нейтральной кривой、R。для режима теплспроводности и нелинейной нейтральной кривой min у (а, е) = 0 для конвекции. Мы обираемся найти нелинейную нейтральную кривую относительно

двоякопериодических невзаимодействующих возмущений Ф (х, у, 2)= Ф (х + 2л/а, у + 2л/|л, z). Представляет интерес рассмотреть возмущения, которые являются квазипериодическими по х и по у. В самом деле, поскольку коэффициенты уравнения (79.1) не зависят от у, различие между квазипериодическими и периодическими функциями от у не играет существенной роли: в любом случае можно допустить, что решение пропорционально е^. Квази- периодические решения, которые мы собираемся рассматривать, в известной степени аналогичны форме Флоке

①(х,协 z) = 3修(х, у. z),(79.3)

где f (x, у, z) = / (% + 2冗/〃, у, z); функция (79.2) является функцией такого типа. В этом параграфе мы пренебрежем возможностью суперпозиции решений с различными значениями v2. В действительности суперпозиция решений этого типа возможна даже при 8 = 0 и у0 < 0, потому что при заданном Yo V 0 существуют два корня pi и 优 уравнения (冗?+俨)强/俨=R)(俨)一Ro (Y) и четыре различных решения вида

ехр [士 i "产 + 卩曲]sin 位，Р/ = и/ + vz (/= 1, 2).

Из анализа, проведенного до членов О (в2), мы знаем, что эти решения не взаимодействуют, если 2а + vm + vz =/= 0. По-види- мому, задача с учетом взаимодействия не приводит к наиболее опасным возмущениям.

Построение кв аз и пер иодических решений невзаимодействующего типа (79.3) в виде рядов по степеням е является формальным и, более того, не только формальным, но в некоторых случаях и некорректным (см. § 81). Наиболее интересные неустойчивости, возникающие при невзаимодействующих возмущениях (поперечная и синусоидальная неустойчивости), к счастью, описываются строго периодическими функциями, и трудная проблема малых делителей (см. § 81) не возникает.

Теперь мы изучим устойчивость валиковых ячеек относительно трехмерных возмущений

①(х, у, г) = exp [iy /刁屮(х, z), т>0.(79.4)

Краевую задачу для функции р можно получить подстановкой выражения (79.4) в уравнение (79.1). Это дает

^ = е [%, хг(V2 — * 屯 ％ — % %*(V2 - т)也 2 +

+ V2X,排,我 一 V2x，z (翦 一 T)w，(79.5)

где

2 = «2 - т + 丫) «2 - D + R (V2 一 丁2)

и ip и v^w обращаются в нуль при z = 0 н z = 1.

Исследование уравнений (79.5) проводится обычным путем. R (а, е) и % (х, z; е) являются заданными аналитическими функциями; мы ищем решения уравнения (79.5) в рядах

屮(х, z; 8)=屮° (х, z) + б (х, z) & + 必(匕 z) e2 + …，

T = To + 也谑 + y4認 + ...

При 8 = 0 находим, что

LqWo =。，厶0 = (V2 — t + Yo)(V? — t) + Ro(V2 — т)・(79.6) Уравнение (79.6) вместе с граничными условиями удовлетворяется выражениями вида

с'”％ sin илг,

если у。определяется уравнением

(九％2 + ”2 + Т)2 — У。(紋冗2 + у + t) — R。(V2 + T)= 0.

Величина 丫。минимальна при 九=1; тогда

Yo = "2 + v2 + t-令讎*•(79・7)

Невзаимодействующие собственные решения уравнения Lo^o = 0 делятся на два независимых семейства, пропорциональных соответственно

cos vx sin яг и sin vx sin лг.

Эти две возможности представляются выражением

1

屮о = S di exp [fvzx] sin 冗z,(79.8a)

где v_z =——vz и d」=d/・ Для четных решений (cos vx) полагаем di = dh а для нечетных (sin vx) полагаем dz = —d/. Величина di фиксируется нормировкой решения. В дальнейшем будет удобно нормировать 2，удовлетворяющее уравнению (79.5), требованием, чтобы

3 (8)业)=2& = 2々/a2,炉=几2 + *(79.86)

Возвращаясь теперь к решениям уравнений (79.5) в рядах, находим, что 1Pzi (х, z) и уп при 九〉1 удовлетворяют уравнениям

S ^z= S hm. х2 (V2 - т) ^ х - Хтэ хх (V2 - т) l|)z, 2 +

+ V%,*2/n, *z — V2%^, z(V2 — т)屯],(79.9а)

办=屮必=。при z = 0, 1,〈必 Wo〉= O,(79.96)

где £()определяется по (79.6) и

Ьт = 丫加(V2 — t) + &(V2 — т)・

Если задача (79.9) имеет решения, то эти решения содержатся в дополнении нуль-пространства оператора Lo, т. е. уравнение

Мн + Л = 0(79.10)

можно решить только тогда, когда

仇 sinjize” = O.(79.11)

Продолжая решение обычным образом, получаем

S=2 S m2 c图靠丁 sm 2 兀z exp 卩⑷ + 浦珞(79.12) /=—1 ?n=—I

где

口1 = —а— = a, Ci = C_i =论/”， 胪=л? + “2,

Я(р, V, т) К (p2# + ”2 + Т)2 — Yo ("2冗2 + ”2 + 力—R。(”2 十 T)

D/加=(冗/2) {(a/ — vm)2 (aivm — d) — t (冗? + 2a；—研力}•

Для решений второго порядка мы находим (с учетом выражений .(79.8) и (79.12)), что

£о屮2 = Г dm {丫2 (冗2 + * 十 t) Sin JTZ + m=—1

+ %弋(* +1) sin 3m} exp (fvmx) +

+ S X L CkCidm {Ptim sin 兀z + P&m Sin 3nz} exp [i (的 + 〃也 + vm) x], k l m

гдеГ PkimгдеГ Pkim(79.13)

где

Г Pkim

где

Г Pkim

^Dlm {ak [4冗2 + (〃/ + Vm)2 + r](± 2訣 + 〃/ + %)-

—(d + 喲 1("/ + ”加)(士 2〃女 + 4 + %) + т]}/(2Д (2, 〃/ + vm, т)).

Используя для уравнения (79.13) условие разрешимости, находим, что

力丫2 (# + N + т) + £ £ 】CkCidmPkim 3 (〃/ + 口左 + V/n — ”)=。， him

(79.14)

где 6 (x) —дельта-функция Дирака.

Рассмотрим три отдельных случая:

W #。，也=一吗ДМ?г),(79.15)

ае:(p； Т 1+p：1，1，1 + (吗/4)Р1, -1)

(79.16)

(Па) -у1 = 1 (возмущения являются четными функциями х), 1(79.16а)

(116)"^ = —1(возмущения являются нечетными

функциями х).(79.166)

Из выражений (79.15) и (79.16) ясно, что имеется существенное различие между случаями w#a, ”т〃н”=а. Это различие появляется в приближении второго порядка; в приближениях нулевого и первого порядка нет различия между случаями v —> а и V = а.

В любом случае

Vo = ?标津* ,中。='2］山 exp S/ sin nz

1 i

办=£ S mt^^ /=—1 zn=—1

При 必=& мы находим, что

^о = Хо и 5 = 2%1, если d_i = &, и

Wo = -к0,х/а М 21 = %1,% = 0, если d」=一&•

С другой стороны, V — а н V = а приводят во втором порядке к различным результатам. Из выражения (79.15) при v —* а получаем

Y2=而匿可@ 一预)，(79.17)

где

r{8#谑—T(Л2 - a》} {4a2 依 + t(# + зa2))

5 =(4М + т)2 一 у。(4几2 + т) _ R0T

(4斯 + т)а — % (4也а +1) — Rq (4q2 + т)

Но при V = а условие (79.16а) означает, что

△ = 1^ЙГ(2& - 32G2),(79.18)

а условие (79.166) —что

几2也九％2丫2 = — 4аПт) *

Суммируя полученные к данному моменту результаты, замечаем, что мы нашли представления с точностью до второго порядка по 8 для собственных значений 丫 = 丫。+ е2у2 + ...» принадлежащих трем различным возмущениям:

Y⑴@V, t, e)=冗2+^ +T一，*津一

一叭% ^爆葡"逹+ 0 (吟(79.19)

для возмущений c v ^= а,

у⑵(а, т, в)у⑵(а, т, в)т (а4 —兀4 + та2)-谑(央+ T)—т (а4 —兀4 + та2)-谑(央+ T)—++Jl2"(2Gi-R"—4a4出+t)Jl2"(2Gi-R"—4a4出+t)82+0(84)(79.20)82+0(84)(79.20)

у⑵(а, т, в)

у⑵(а, т, в)

т (а4 —兀4 + та2)-谑(央+ T)—

т (а4 —兀4 + та2)-谑(央+ T)—

+

+

Jl2"(2Gi-R"

—4a4出+t)

Jl2"(2Gi-R"

—4a4出+t)

82+0(84)

(79.20)

82+0(84)

(79.20)

для возмущений с v = а, являющихся четными функциями % (и приводящих к варикозным валикам; см. рис. 63), и

伙3)(% 7 6)=伙3)(% 7 6)=т (а4 — л4 + та2)-谑但2 +t)т (а4 — л4 + та2)-谑但2 +t)辞爆戸2 + 0公）（79.21）辞爆戸2 + 0公）（79.21）

伙3)(% 7 6)=

伙3)(% 7 6)=

т (а4 — л4 + та2)

-谑但2 +t)

т (а4 — л4 + та2)

-谑但2 +t)

辞爆戸2 + 0公）（79.21）

辞爆戸2 + 0公）（79.21）

для возмущений c v = а, являющихся нечетными функциями % (и приводящих к синусоидальным валикам; см. рис. 63). Чтобы рассчитать нелинейную нейтральную кривую для синусоидальной неустойчивости в выражении (79.21), необходимо найти член 丫庐4 Вычисление 已 не сложно, но утомительно. Легче всего вычислить функцию F (х, у, z)=—尸(—х, у, z) и приведенное собственное значение у, где 尸 н у определяются соотношениями

2 = %" + ", Y =城(79.22)

(Заметим, что х.* всегда является собственной функцией задачи (79.1) при у = 0.) Чтобы получить уравнение для определения 尸, сначала подставим в уравнение (79.1) выражение (79.22), а затем разложим 尸 н % в ряды Фурье и приравняем коэффициенты (см. § 81). После этого полученные для коэффициентов Фурье уравнения разлагаются в степенные ряды по 8. Утомительные, но вполне очевидные вычисления приводят к равенству

丫仔 + r《=—^aAfijAy + (22冗汨 + бла3) A3B2lA1 —

-4лМ6 + %冗依4 + ^А^А^(79,23)

где Ai —коэффициенты, связанные с %, а 以 一коэффициенты, связанные с 户：

4 = 2勿犀，4 = 一%/(8П3),4 =力凡/n6炉(5# +徜],

4 = R。(a2 一 7冗2)/(128n5), 4 = n居/[12炉(5冗2 十犀江

反=冗/(12炉)，旦=一必优 + 40 门 2q2 + 55a4)/[96歩(5n2 + a2)3].

Следовательно, выражение (79.21) можно переписать в виде

Y(з)=石⑶(a, t； e) = Yo(a,少 + 谓似"，T)+ £4?4("，T) +。(吗

где

c a4 — л4 + та2几2工靜g- 4 1 с /

Y(3)'炉(胪+ 工)4a& 传2 + E)£ + № + °(£ )=

=% + 丁也逑 + 丫6 + 0(8е).(79.24)

При т = 0 мы имеем 禽=丫卅 + О (ев). Если т = 0 и а =л, то & = %•

§ 80. Нелинейные нейтральные кривые для трехмерных возмущений валиковой конвекции

Нам необходимы критерии, позволяющие определить критическую длину волны, отделяющую устойчивые ячейки от неустойчивых. Эти критерии представляются пространственной кривой у (а, 8)= 0 на поверхности R (а, 8)установившейся ответвляющейся валиковой конвекции. Мы назовем пространственную кривую

min y(a, v, т, в) = -у (а, в) = 0(80.1)

нелинейной нейтральной кривой. Кривая а (е) является проекцией кривой (80.1) на плоскость (а, е). Наиболее опасными возмущениями являются те, для которых полоса aL (&) < a (s) < a2(8) устойчивых волновых чисел оказывается самой узкой. Чтобы найти нелинейную нейтральную кривую для валиковой конвекции, нам необходимо сопоставить полосы устойчивости, которые порождаются тремя уравнениями yz = 0, / = 1, 2, 3. Нелинейные нейтральные кривые для различных возмущений показаны на рис. 63 D.

1)Помимо типов неустойчивости, представленных на рис. 63 и рассматриваемых ниже, в последнее время при умеренных значениях чисел Прандтля обнаружены два новых типа: узелковая неустойчивость, приводящая к конвекции в виде ступенчатых валиков, и асимметричная варикозная неустойчивость, приводящая к увеличению горизонтального размера конвективных валиков (см. работу Буссе н Клевера [1979 *]). — Прим, перев.

Рис. 63. Схема аппроксимаций параболами проекций нелинейных нейтральных кривых для валиковой конвекции на плоскость (a, R). Аппроксимации справедливы вблизи точки (a。, RJ. Кривая I является нейтральной кривой для состояния покоя с постоянным градиентом температуры, а кривые II —V ——нелинейными нейтральными кривыми для различных возмущений конвективного течения. Синусоидальная и варикозная неустойчивости возникают только при а < а。. Кривые I—IV задаются уравнением

где 九=1 соответствует нейтральной кривой для режима теплопроводности, а 〃 = (3/2, 3, 10/3 или 673/200)——неустойчивостям конвекции относительно возмущений в форме: варикозных валиков, II; параллельных валиков, III; поперечных валиков в пористом слое или в жидкости с бесконечным числом Прандтля, IV. Кривая V задается уравнением

где

Qo, Rc，卩)=(л, 4兀2, 12/1^19) (в случае пористой среды)

или

(%), &с，卩)=(я//2, 27 J%, /58 345 280/5 264 739) (в случае Р = оо).

/ ——область устойчивости; 2 ——варикозная неустойчивость; 3 ——параллельная неустойчивость; 4 ——поперечная неустойчивость; 5 ——синусоидальная неустой

чивость.

а. Неустойчивость в форме наклонных и поперечных валиков

Неустойчивость в форме наклонных валиков возникает при возмущениях с w 唉 а. Для неустойчивости относительно таких возмущений достаточно, чтобы у⑴(a, v, т, 8)< 0. При изучении этих собственных значений удобно ввести полярные координаты

V% =Psin(p, V = р cos ф,

где 0 w 屮《л. Тогда

Y(i)= Yo (。，В) + Y2 (〃，Р, cos 屮)炉，(80.2)

где

Yo (а, В)=产 + 产一々曙:.,(80.3)

依(а, В, cosy)=—匕(〃読^罪;’“ '•，(80.4)

Pt-1, 1=尸依 К cos(p) = n2NQ 支 cosq))/(4D(а, р, cos(p)),

N (а, р, cos ф) = [(4冗2 + “2 + §2 — 2aB cos 屮)(出 + а§ cos 屮)+

+ 依 0 -阳]@2 + 2# + 阳 “в cos 屮 + nV + 歩§2 + 2a2陷，

D(a, P, cos(p) = (4л2 + а2 + P2 ^- 2aPcos(p)2 — а0(4л2 -И a2 + P2 —

——2aB cos ф)——R。(q2 + В?——2硝 cos 屮)， 乃=尸(а, В, —cos屮).

Чтобы минимизировать у⑴，сначала зафиксируем 卩 и на йдем угол ср, для которого y(i)минимально:

■^" = "^^да ｛尸з(а, В, cosq))-F3(a, рь—cos(p)| sin(p, (80.5) где 尸§ — производная от F по аргументу, стоящему на третьем месте. Уравнение (80.5) имеет две стационарные точки:

Ф = 0,w = B,т = 0(параллельные валики);

屮=冗/2, т = В* v= 0 (поперечные валики).

Решение, соответствующее параллельным валикам (продольная неустойчивость), чисто формальное; оно включает малые делители и в пределе при р —> а перестает быть решением даже в асимптотическом смысле (см. § 81). Неустойчивость, соответствующая поперечным валикам (поперечная неустойчивость), является двоякопериодической, и сходимость представляющих решение рядов легко устанавливается.

Для поперечной неустойчивости

Y⑴=Yo Q t) + Ya Q 叫 0) ^ + ….(30.6)

Это выражение теперь минимизируется по т. Мы находим, чтот (а, 6)— ,0 -|- 82с2 ~Ь •••,

где

г0 =(冗/а)(炉—ла),(80.7)

и

Yo (а, %)=—炉(冗—а?)"

Теперь разложим y(i)(а, т (а, 8), е) по степеням 8. Используя тот факт, что 5y(i)/dp = 0 в каждом порядке по 82, находим, что в низшем порядке

Y(i)=—居(л — а)2/“2 + 82у2(а, т0, 0) = 0,(80.8)

где 也(4 %, 0) равна

Л2^2 {(4# + @2 + % @2 _|_ 卧(@2 — %)} {几2@2 _|_ 兀2% _|_ 2а%}

2a4 S + %) [(4価 + @2 + %2 一 Yq (4兀2 + @2 + %)- % s + %)]・

Уравнение (80.8) определяет неявную функцию y(i)(а, в2) = 0, такую, что y(i)(л, 0) == 0 и

^- = ?2(几，歩，0)= %冗2

Поэтому мы можем разрешить уравнение (80.8) относительно а (в). Осуществим это методом последовательных приближений: “о =冗，и тогда

-2 m — “)2 + %卢冗 2 = 0 R —凡=4% g —冗)2,

R-Rc = 2°/*2 冗2.(80.9)

Нейтральная кривая для режима теплопроводности в аппроксимации низшего порядка определяется уравнением

Ro-R, = 4(a-冗)2,(80.10)

и тогда отношение кривизн нелинейной и линейной нейтральной кривых составляет

R (а, е) — Rc — 10Ro (a) — 凡 3

Продольная неустойчивость соответствует максимальному значению 丫⑴,а поперечная -- минимальному. Поперечная неустойчивость наиболее опасна при a > л. При п < л мы цолжны рассматривать варикозную (у(2)) и синусоидальную (丫⑶)неустойчивости. Как будет показано ниже, при a > 冗 эти виды неустойчивости невозможны.

б. Варикозная неустойчивость

Запишем у⑵，согласно (79.20), в виде у⑵ =Yo + ^2Ъ + …， где

W(“，t)="；瑟二:叫，т>0.(80.12)

Нелинейная нейтральная кривая определяется как

min у⑵(а, т； е) = 0.(80.13)

При е = 0 и а =冗 находим, что т = 0 — решение уравнения (80.13), т. е.

Y(2)(П，0; 0) = Y08 0) = 0.

Поскольку 丫2 > 0 при малых т, величина у⑵ не может быть отрицательной при малых 8, если у0 не меньше нуля, а у。< 0 только при а < л.

Рассмотрим минимум 丫⑵ при а < л:

Отсюда получим минимизирующую функцию

т(а, е) = т0 + т282 +，.., где

T0 =(冗/a - 1)炉.

Теперь разложим у⑵(а, т (а, е), 8)по степеням 8：

O = Yo(4, T0 + Т282 -|) + g2?2(a, ％ + T222H)+.・・ =

=то (a，% + 逑圣("，")必 + 评也(d %) 4

=—论2 (冗一*便 + £2也(а,工о (а)) + ・・・•(80.14)

Уравнение (80.14) определяет функцию а (е) с а (0) = л. В следующем приближении

(80.15)(80.16)(80.17)(80.18)(80.15)(80.16)(80.17)(80.18)2 (л — а)® =發у? (л, 0) = 2n2&2 и

(80.15)

(80.16)

(80.17)

(80.18)

(80.15)

(80.16)

(80.17)

(80.18)

R -&=6(0一几)2,

R — R, = 6л282,

где Rc = 4л2. Отношение кривизн определяется так

R (а, е) — & — 3R。⑷ 一 &2

в. Синусоидальная неустойчивость

Синусоидальная неустойчивость определяется собственным значением у⑶，заданным выражением (79.24). Мы уже заметили, что Yo = ту0 (а, т) отрицательно только при а < л; тогда ее минимальное значение —(л — а)21^1 с? достигается при

% = (n/a— 1)依>0(80.19)

и

Yo(@, “)=1 —冗/a V0・(80.20)

Поскольку 72 =七2丫2 отрицательна, нелинейная нейтральная кривая

min у(з)(а, т; 8)=0(80.21)

может быть получена в аппроксимации низшего порядка только при включении в рассмотрение членов порядка О (隨).

Мы начнем с минимизации у(з) при а < л. Тогда функция т (а; 8), которая минимизирует у(з), оказывается корнем уравнения

=+(80.22)

九 at ' ах от''

Уравнение (80.22) приводит к следующему выражению для минимизирующего т:

т (а, 8)= % (а) + 82т2 (а) + £統⑷十...(80.23)

Здесь г。определяется выражением (80.19), а т2 и т4 получаются из расчетов, приведенных ниже. Сначала мы разлагаем (80.22) по степеням т —т0, где т задается выражением (80.23), и получаем о = То, тт(82т3 + 屋北 Т) + %Yo, w(82t2 + е4т4 Т)2 +

+ 丫2, ТЕ? + у% TV&2 (g2T2 ^|)^у^^^=

=(T2y0, TT + Y2, T) 82 + (口y0, TT + %T办0, E +

+ T2Y2, W + Y击Т)* + ・・・，(80.24)

где нижний индекс после запятой означает дифференцирование по t при т = т0. Коэффициенты при различных степенях е2 в выражении (80.24) можно приравнять нулю. После выражения производных через функции «с крышками», определенными согласно (79.24), находим, что

S (2土о, т + тоуо,тт) + % (2% + %% т) = 0(80.25)

и

94(2加 т + ToYo, тт) + %丁弘3布,у + ТоУо.ттт) +

+ тота (2у2, т + ^о?2,тт) + (п + %Y& т) = 0;(80.26)

следовательно,

电(〃)=—T0Y2/T0, х+О (то)(80.27)

и

% ⑷=—G/(2* т) + О (т0).(80.28)

Выражения (80.19), (80.20) и (80.28) определяют минимизирующую функцию t = к @ в), представленную разложением (80.23).

Для нахождения нелинейной нейтральной кривой нам следует изучить функцию

у(з)=т(а, 8)у(з)(а； е)==0.

Поскольку т > 0 при(8, а)力(0, л), мы имеем

0 = у(з)= Yo (% т0 + е2т2 + £七)+ е2 [т0 + 82т2 + 84т4]也(а, У +

+ £2r + g%4)+ 产打(а, % + 82Т2 + 84Т4) Н

= То(л, т0) + б4у4(а, т0(а))/2 + О(т082).(80.29)

Уравнение (80.29) определяет функцию а (е) = % + а£ 十 … где а。=冗.Используя выражение (79.23), находим, что

。一冗=一靄&4+・・・.(80.30)

Разумеется, т0 =((冗一а)/а) ^2 = О (&&); следовательно, все опущенные в (80.29) члены имеют порядок О(86).

Уравнение (80.30) определяет проекцию нелинейной нейтральной кривой на плоскость (а, 8). Проекция этой кривой на плоскость (a, R) определяется следующим образом:

R = Ro + R2&2 + • • • = Ro(1 + ®2/2 + ・・•)=

=Ro (1 +等 J ~^~ (〃о — а)) + ・・•=

=凡「 + 善(1-*)"]н，(80.31)

где (а。, Rj =(冗，4л2). Наиболее опасными возмущениями при а < л являются синусоидальные валики.

Функция т (а (в), 8), заданная выражениями (80.23) и (80.24), определяет период 2л/1/ т стоячей волны неустойчивости на нейтрально устойчивом ответвляющемся валике. Длина этой стоячей волны очень велика и стремится к бесконечности как g-з. Чтобы это показать, заметим, что т0 (а ®) = О (е“)，и, использовав выражения (80.23), (80.27) и (80.28), найдем

t (а(8), е) = т0 (а (е))[1 -碎J%, и]-不6/(2% J +。(吟，

где, например, члены О (е°) входят в тв через ув. Мы не вычисляем эти члены О(8е). Поскольку

•^ =+ Yo = 0 при 1； = %胪т^|- &4

(80.32) и

То, Т == —Yo/% =论-2 一 ％ 冗 f,

мы находим, используя выражение (79.23), что члены О (е&) сокращаются и остается

т(а(е), £)= О(&6)・(80.33)

Упражнение 80.1. Показать, что

0 = min 丫⑴(a, v; 8),v

где

Ya)= Yo(a，旷)+匕(@，v, l)8a + O(84)

задается выражением

0 = 一乂"2 J~ ^!(兀一"尸 + 3七(a, [g(Я2 + a2 _ mi)]") + 0(84).

Показать, что продольная неустойчивость формально приводит к отношению кривизн нелинейной и линейной нейтральных кривых, равному двум, но что уравнения (79.9) не могут быть разрешены относительно 也 при 九=2, т=0ну=а.

Упражнение 80.2. Рассмотреть задачу Бенара для конвекции, описываемой уравнениями ОБ с бесконечным числом Прандтля, между теплопроводными и свободными от сдвиговых напряжений горизонтальными плоскостями. Показать, что отношение кривизн для варикозной неустойчивости равно 3/2, а для поперечной неустойчивости 673/200 и что нелинейная нейтральная кривая для синусоидальной неустойчивости определяется уравнением

伞=1 + }£2= 1 +/58 345 280/5 264 739 (1 一券)"？・

§ 81. Нахождение границ устойчивости численными методами

Результаты, полученные в § 80, справедливы только для малых значений амплитуды 8. Буссе [1967 ] ввел численные методы для исследования бифуркации и устойчивости решений, не ограниченные малыми значениями амплитуд. В этой работе он использовал метод Галер кина для исследования бифуркации и устойчивости валиковых решений уравнений ОБ для жидкостей с бесконечным числом Прандтля. Он доказал, что валики устойчивы относительно неколебательных возмущений типа рассмотренного в § 79 примерно до значений R * 23 000.

Результаты вычислений Буссе представлены на рис. 64. Он нашел, что валики неустойчивы вне замкнутой нелинейной нейтральной кривой, построенной на этом рисунке. Эксперименты показывают, что при числах Рэлея свыше 23 000 от валиковой конвекции могут ответвляться устойчивые установившиеся трехмерные решения в форме поперечных валиков (бимодальная конвек・

Рис. 64. Устойчивость описываемой уравнениями ОБ валиковой конвекции между горизонтальными бесконечными жесткими теплопроводными пластинами при бесконечном числе Прандтля. / ——область устойчивости, 2 ——область неустойчивости; А ——поперечная неустойчивость, 6 — синусоидальная неустойчивость, В — нейтральная кривая для режима теплопроводности (Буссе [1967]).

ция). При еще больших числах Рэлея движение становится нестационарным и еще более сложным.

Метод Буссе был применен к задаче о конвекции в пористой среде в работе Страуса [1974 ] и к более сложным задачам в работе Клевера и Буссе [1974 ]. В этих работах ответвляющиеся решения разлагаются в ряды Фурье с периодом 2л/а по х и рассматриваемые возмущения ограничиваются возмущениями невзаимодействую• щего типа, где

①(х, У，г) = exp (ivx) exp {iy ^J-f (х, z),(81.1)

а

/ (х, z) = / (% + 2冗/а, z) представляется рядом Фурье. В численном анализе не предполагается, что у вещественно, и некоторые случаи комплексно го у были обнаружены Клевером и Буссе [1974 ] для конвекции при

малом числе Прандтля. Мы рассмотрим применение численных методов к задаче о конвекции в пористой среде.

Для изучения устойчивости ответвляющиеся валики и возмущения представляются рядами Фурье, которые удовлетворяют всем требуемым граничным условиям:

X = S%zr sin /т exp [irax).(81.2)

Ф = exp (iVry) ^i|)n/n sin nnz exp (fvmr), vm = ma + v, (81.3)

n, / =1, 2, ..., r, m = 0, ±1, ±2, ... и 屮仙—комплексная величина. Коэффициенты %〃 находятся из решения алгебраических уравнений, которые получаются при подстановке представления (81.2) в уравнение (78.16). Некоторые из этих коэффициентов могут быть получены из решений, определяемых равенствами (78.25). Затем представления (81.2) и (81.3) подставляются в уравнение (79.1), и после выделения общего для всех членов множителя eivx получается уравнение

£ ApqXppgsin(pnz\exp(iqax) = (ле/2) £ 工 Xir^nm^PlK^ +厂)財 X P, g1» rntm

X [^nmir sin S + Z) nz + Hnmlr sin(П — /) лг], где

= (p2冗2 + T + 喲2 — Y S%2 + t + 喲—R (t + 硝’

Knmlr = /Q (氏m — rna) (nV +1 + *) + (/V + rV) x

X [vmrna — Z (* + T)],

Hnmtr = ra (/vm + rna} (n2^ + т + 唸)一(f^ + z2a2) x

X [vmrna + / (v^ + t)].

В численном методе система алгебраических уравнений (и, Z, Р > 1)

"g%g = (en/2) X [ X Xlr^nm^nmlr 4* £ %!г2шп"%/п!г ], (81 ・4) m-{-r=q [ п+1=рп-1=р丿

которая получается приравниванием коэффициентов Фурье, обрезается и решается численно. Уравнения (81.4) получаются из линейной задачи и поэтому линейны относительно коэффициентов 2g. Масштабы этих функций могут быть выбраны произвольно. Решениями укороченной системы являются решения 屮以",обладающие свойством 喷м = 0 при I р I > ^ или I q | > М. Поэтому эти решения удовлетворяют конечному числу линейных уравнений, получающихся из (81.4). Сходимость решений укороченной системы проверяется требованием, чтобы некоторая мера разности

решений, вычисляемых для возрастающих значений (^, М), стремилась к нулю.

Решения системы (81.4) имеют некое свойство замкнутости. Без потери общности % можно считать четной функцией х, для которой %)= 0 при нечетном / + г. Тогда сумма р + q = щ + + п + / + г является четной или нечетной в зависимости от четности или нечетности т + п. Следовательно, решения системы (81.4) разделяются на два семейства: семейство, для которого р + q нечетное, и семейство, для которого р + g четное.

И анализ возмущений, проведенный в § 79 и 80, и обсуждаемый здесь численный анализ начинаются с представления решения в форме (81.1). Чтобы выделить из (81.4) результаты, относящиеся к возмущениям, необходимо все, что находится в нашем поле зрения, разложить по степеням 8：

[R, Y，Apq、%pg, Wpg] = £ [Rb Y/, Apq , %露並2】/•/=0

Подставляя эти выражения в систему (81.4), получаем

禺久標)=0(81.5)

и для ^ > 0

+ (冗/2)工 X ( X x\r^nmKnmlr + £ %\г^птНпГп1г 1 /п+г«7 夕+从=月一1 [ n+/=p〃一Z=pI

(81.6) где

^ = [ A2 + T + 圖2 - Y° 疗冗2 + t + 喲 一 R。(崂 + т)

4窝)=-W["2d + t +圖一%(%+ D・2 •)

Заметим, что v входит в выражения (81.5) и (81.6) только в комбинации v^ = V + qa. Вид выражений (81.5) и (81.6) инвариантен относительно одновременного изменения индекса q и определения V. Чтобы пояснить это, положим g = д' + М /и = " + N и 2Pg =屮〃 с—% с произвольно заданным целым N. Тогда (81.5) и (81.6) будут справедливы при замене (g, т, v) на (/, ", vz = =V—Nd). Без потери общности можно рассматривать v как малую величину, а возмущение (81.1)——как малое отклонение от периодического решения с периодом 2л/а.

Чтобы приступить к вычислению возмущений, мы должны сначала решить систему (81.5) для всех р > 1 и q = 0, ±1, ±2,....

Эти уравнения выполняются для заданных значений a, v, т, если при определенных значениях р и д, скажем Р и Q,

小%三3*4 [R。(公)_8終- % (薄州j = 0>

c)2= ,1±嘴.土型(81.8)

а при других значениях р и g 屮)# = 0. Каждое уравнение 4黑=0 должно давать одно и то же значение у0. Наименьшее значение у。 соответствует р = 1 и принимает значение у0 = 0 при а2 = л2. В этом случае р2 = I и R^ (о2) = 4冗2, где

(о2 == л2 == т + (士 Qu + v)2.(81.9)

Два уравнения (81.9) выполняются одновременно тогда и только тогда, когда Qv = 0. Тогда имеются два набора инициирующих значений для (Р, Q):

(Р, Q) = (l, 0); 珊=0, % =。，когда (р, 9)^(1, 0), (81.10)

и

(Е Q) = (l, ±1), V = 0; Д?1 = Д?, -1 ^ 0,

^ = 0, когда (р, д)#(1, ±1).(81.11)

Случай (81.10) соответствует неустойчивости в форме наклонных валиков, которая обсуждалась в § 79 и 80. Случай (81.11) соответствует синусоидальным и варикозным валикам. Попереч« ная неустойчивость подпадает под случай (81.10) при v = 0. Периодические по х возмущения имеют v = 0. При v = 0 мы можем положить А^ = A^q и ограничить свое внимание значениями g 》0. При заданных инициирующих значениях в виде (81.10) или (81.11) задачи более высокого порядка (81.6) могут быть решены последовательно для 屮^)при условии, что нет значений (р, д), принадлежащих особому множеству. Это множество определяется следующим образом: запишем (81.6) в виде

破破+破啮=喈(81.12)

и будем говорить, что пара (р, q) W (Р, Q) принадлежит особому множеству, если для некоторых значений 论 > 0 尸^)R 0 и Л^ = =0. Если (р, q)力(Р, Q), то 並"=0 и систему (81.12) нельзя разрешить относительно 喏).

Если особое множество пусто, то все уравнения (81.6) разрешимы. Чтобы это проиллюстрировать, рассмотрим (81.10). Поскольку “£；)R 0, мы можем использовать свойство разделения

индексов (см. абзац перед формулой (81.5)) и заключить, что 屮^ = 0 при tn + п четном. Условие разрешимости

4盥硼)=尸钾(81.13)

однозначно определяет значение у论.Оставшиеся уравнения (81.12) дают

嚼=喈/破，(81.14)

определяя 並取 для (р, q) R (1, 0). Необходимо заметить, что коэффициенты 屮勺? не определяются возмущениями и могут быть выбраны так, чтобы удовлетворить любому условию нормировки, наложенному на Ф (%, у, z).

Особый интерес представляют значения параметров (a, v, т), для которых особое множество не пусто. Для этих параметров 力^)= 0 и (81.14) не могут быть разрешены. Когда (a, v, т) близки к значениям, для которых А^ (a, v, т) = 0, тогда А^ мало и 屮^)=尸北'/(малое число) велико. Эта сложная проблема называется проблемой малых делителей или почти резонанса.

Уравнение (81.8) показывает, что Д^ > 0 отлично от нуля при Р2 > 1, То не слишком превышает нуль, а а2 не слишком отличается от л2. Следовательно, вблизи носика нелинейной нейтральной кривой значения (р, д), для которых р 丰 1, не могут принадлежать особому множеству. При р = 1 мы находим

4毋"2 = (Q — 加){a?(Q + 加)+ 2va} {2 (冗? + т) +

+ 師 + ”)2 + @ + ”)2 一(Y° + &)}.(81 ・ 15)

Рассмотрим (81.15) для случая, соответствующего (81.10). Для этого случая (81.15) можно записать в виде

小片)—4?加=—加{加 + 2v/a} {—л? + а2 [2т + (/ш + v)2 +

+ ”2—犀一Yo]}.(81.16)

Метод возмущений оказывается несостоятельным, если А^ — —%吃=0 для любого четного значения /и =/= 0. При v = 0 (поперечные валики) разность

4陳一Л 1m =一病{(m2 — 1) "4 一冗4 + 2a2T ——Y0"2},加=±2, ±4,...,

не равна нулю и не близка к нулю в окрестности носика нелинейной нейтральной кривой. В этом случае задачи о возмущениях разрешимы и имеют ограниченные обратные. Другим крайним случаем являются параллельные валики; для них т = 0 и при a =冗 мы имеем 丫。= 0 и

4华一4fM =—加{m + 2v/ji} {v2 — 2л2 + (яш + v)2} л2.

Метод возмущений оказывается несостоятельным при v = л; тогда

4也=硼=0.(81.17)

Величина 力；?_2 мала, когда v близко к л, и поэтому решения системы (81.6) не имеют равномерно ограниченных обратных.

Упражнение 81.1. Исследовать особое множество, соответствующее (81.11). При каких условиях уравнения (81.12) имеют ограниченные обратные?

Упражнение 81.2. Вывести выражения (79.23) и (79.24) методом Фурье, использованным в этом параграфе. Указание. Следовать способу, указанному в (79.22).

§ 82. Амплитудное уравнение Ньюэлла и Уайтхэда

Другой подход к задаче о закритической бифуркации и устойчивости принят Ньюэллом и Уайтхэдом [1969]. Они изучают конвекцию жидкости, описываемую уравнениями ОБ, между плоскими теплопроводными границами, свободными от напряжений, и выводят уравнения в частных производных для амплитуды решений, которые возмущают рассматриваемое решение вблизи носика нейтральной кривой. В рассматриваемой здесь задаче о конвекции в жидкости, описываемой уравнениями ДОБ, нейтральными решениями на носике нейтральной кривой являются решения % —♦ %:

^% ==e%*VV2X， % = д\1д^ = 0 при z = 0, 1, (82.1) где

纟=W - 4]炉 + R翦 и 熊 £，Rl =(亡0，4冗2).(82.2)

Амплитудное уравнение может быть использовано для изучения задачи Коши для конвекции при небольшой закритичности R > > 4冗2. На рис. 65 показано, что для каждого а? в интервале [а：, а：] на плоскости R = const, А > 4л2, существует полоса возможных ответвляющихся решений.

На пределе устойчивости (82.1) сводится к уравнению

炉%0 + 4n2V效о =。，Хо = 52%0/5г2 = 0 при z = 0, 1. (82.3)

Имеется бесконечное множество квазипериодических решений задачи (82.3) вида

Хо= Хх/ехр^.г), %/=%_；, |ку.|2 = л2, г = е*х + %，(82.4)

Когда R —4л2 > 0 мало, решения задачи (82.1) могут рассматриваться как возмущения (82.4). Эти возмущения обусловлены нелинейностью, связанной с ё (ё2 пропорционально разности R —4n2 и точнее будет определено формулой (82.19)), и малыми пространственными и временнйми отклонениями %, от постоянных. Эти пространственные и временные отклонения можно учесть, позволяя X； (X, У, Г) зависеть от «медленных масштабов» X, У, Т. Связь этих масштабов с разностью ё2 определяется основанной на

Рис. 65. Схематическое изображение поверхности R (а, 8)значений (R, а, е), для которых существует валиковая конвекция. R。(а» — нейтральная кривая для режима теплопроводности. Ньюэлл и Уайтхэд исследовали возмущения решения вблизи носика нейтральной кривой. Их параметр разложения в можно интерпретировать как разность чисел Нуссельта е® = 82 в плоскости g = 0. Если в и ё малы, то

R (а, 8)〜R。(а2) (1 + 8a/2), R (л, ё)〜4#(1 + §a/2).

Для фиксированного значения R (а, е) = R (л, е) и малых значений е, е, £ н R—— —4几2 кривая на плоскости R = const и поверхности R (а, 8)задается уравнением

& =炉 + 2f.

опыте интуицией и проверяется апостериори, исходя из условия непротиворечивости.

Ньюэлл и Уайтхэд начинают со случая, в котором медленные масштабы задаются равенствами

X =欧，У =防，Т = 82/.(82.5)

В конце этого параграфа мы сделаем несколько замечаний о выборе медленных пространственных масштабов. В настоящий момент мы можем рассматривать (82.5) как гипотезу и считать X, У н Т независимыми переменными. При этом производные по х, у, и t преобразуются следующим образом:

д Э , -о э дд д . - д

秆一衣+ £ 1T， 肃一否+ £衣，而T石+ £1f.(82•6)

Затем мы разложим функции % = ©Хо + 孑%1 + 承Х2 + … и операторы в (82.1) в ряды по 8, используя выражения (82.6) и сохраняя члены О (ё3):

%成。+ ё2Ъ +或2)+ ®纟](或。+严办+可%吼=

=s26xo-VV2Xo + s3[6Xo-VV22i + 血・VV^ + M 邑,ь)], (82.7) где

% =屮一 寡审+ Ro^, 刍=2蚤马，a,

% =攵律 + RzV^ + [4(V2*V2)2 — -^r V2J ,

@ = 一鳥■ + 2守+凡，

в д 、 d G d

% = £ 1r 十 ％ 而，^^^-дх+^У^у-

Типичным членом выражения М (%0, %0) является 八為 屮-^. Каждый член М (%0, %0) дифференцируется по медленному переменному. При z = 0, 1

储=严储碰2 = о а?о).(82.8)

Приравнивая коэффициенты при различных степенях ё в (82.7), получаем

^оХо = О,(82.9)

2。軌 + ^iXo = SXo-VV2Xo(82.10)

и

^о%2 + ^1X1 + ^2X0 = бхо• VV2Xi + 6X1 • VV2Xo + Al (Хо, Хо). (82.11)

В нулевом приближении возможна суперпозиция нейтральных решений (82.4). Для решений в форме валиков

攵。=[Х (X,匕 Т) e，kr + 戈(X, У, Т) е』・г] sm 映 (82.12) где к = ехл и черта сверху означает комплексно сопряженную величину. Разумеется, ^оХо = 0; кроме того,叁锯=0 и

8xo*VV2Xo = —4лбхх sin 2лг.(82.13)

Мы находим, что

% = — (л/4) %х sin 2nz.(82.14)

Используя (82.12) и (82.14), получаем, что правая часть уравнения (82.11) сводится к

—vixo ^Г +(Хо, Хо)==

=—Ах (%/"「+ /Tkr) (sin 位-sin 3 冗z)= M 仇，Хо).

Более того, М (%0, Хо) и 纟】储 не содержат членов, пропорциональных sin nz; следовательно,

纟。飽+纟2脑=一吸戈(川hr +财ik.r)sm位+

(Члены, пропорциональные sin 〃nz) (〃 R 1),(82.15a)

где при z = 0, 1

觞=/%/火2 = 0(82.156)

Задача (82.15) разрешима только тогда, когда неоднородные члены ортогональны собственным функциям оператора 纟°; следовательно,

〈e-ik・r sin 冗 z22%o〉= — лб%2х.(82.16)

Вспоминая теперь определение %, находим, что

祭一糸化 ©К % = $ (% -叫効 %.(82.17)

Уравнение (82.17) представляет собой амплитудное уравнение Ньюэлла и Уайтхэда, выведенное здесь для задачи о конвекции в слое пористого материала. Когда диффузией можно пренебречь, уравнение (82.17) сводится к амплитудному уравнению типа изученного Сиджелом [1966]

等=扌便2一几气効%.(82.18)

Имеются два стационарных решения уравнения (82.18): % = 0 и % = %е, где I %е 产 = R?/冗久 Поскольку R2 > 0, ответвляющаяся валиковая конвекция с периодом 2 в х-направлении является закритической. Решение % = 0 является неустойчивым при R > > 4л2 (К? > 0), а решение * =汽—устойчивым и притягивающим для возмущений, начальные амплитуды которых удовлетворяют неравенству | % [г=о< RJJ Значение R2 зависит от выбора ё. Мы можем рассматривать ё2 как разность чисел Нуссельта Nu —1; тогда справедливо (78.20):

^^t 寸心=2冗戈=R。= 4 冗2(82.19)

и凡=2冗2.

Член

(к巾炉% = @~^ +瓦备^ X

уравнения (82.17) учитывает влияние диффузии. Без потери общности мы можем считать, что X направлено вдоль к. Тогда уравнение (82.17) можно записать в виде

杳-2爲"=扌(2歩-畋打X-(82.20)

Соответствующее время диффузии определяется временным масштабом теплопроводности в насыщенной жидкостью пористой среде; пространственные неоднородности распространяются по закону

у d「瓦# "/2

где индекс /и означает среднее для смеси, определяемое согласно (70.8). В более общей задаче, рассмотренной Ньюэллом и Уайтхэ- дом, время диффузии зависит от числа Прандтля, причем при малых числах Прандтля доминирует временной масштаб вязкой диффузии. Ньюэлл и Увйтхэд красочно объяснили эту разницу, указав, что «информация» о том, что валик вращается, передается соседним валикам «тепловым вращающим моментом» в жидкостях с большим числом Прандтля (и в конвекции, описываемой уравнениями ДОБ) и вязким вращающим моментом в жидкостях с малым числом Прандтля.

Уравнение (82.20) имеет решения, соответствующие переходным режимам,

X=f ⑺宀 Rv*/2,

и все они выходят на конечно-амплитудное стационарное решение

%2 8Kx.(82.21)

Возвращаясь к решению (82.12) с к = е*冗 и учитывая (82.21) и равенство X = ёх, мы находим, что в низшем порядке

戈 ~ 碗0 =— -^-]1/2 {exp и (л + ^8)X] +

+ ехр [—i(n + К°)х]} sin 位.(82.22)

Выражение (82.22) содержит медленно меняющуюся амплитуду % (X) = ехр 0К0%)・ Чтобы сравнить (82.22) с нейтральными решениями, ДЛЯ которых 8 -> 0 И @2 力冗2, положим 冗十长。=〃 и заметим (см. рис. 65), что

82 = 82 - 2F = 02 — 2g/冗一 1)2 = 02(1 一 2K2/冗2).

Введем эти подстановки в уравнение (82.20) и в соответствии с полученными ранее результатами найдем, что

%飞)sin吗

В анализе, приводящем к уравнению (82.17), мы рассмотрели амплитудное уравнение, соответствующее масштабам (82.5), описывающим влияние медленных пространственных изменений, которые возмущают ответвляющиеся валики. Теперь мы вернемся к первоначальной задаче, но в случае, когда ответвляющиеся решения имеют более сложную горизонтальную структуру, подобную шестиугольникам или прямоугольникам. Для этой задачи нужно рассмотреть суперпозицию решений, аналогичных (82.4), где ху зависят от X, У и 71, которые в данный момент предполагаются заданными соотношениями (82.5). Поэтому мы начнем с замены (82.12) суперпозицией

Xo = L【％(X/,匕，7)exp(/・「)+ 七(％,匕，T)exp(-/krr)]sin位,

где X/ —координата вдоль вектора kz, a Yt — координата, перпендикулярная этому вектору. Продолжая, как и при выводе (82.17), вычисления, которые в конечном счете совпадают с вычислениями, приводящими к выражению (79.15) для у2, находим, что

「N一

4^今(kn.V2)2 %〃 =扌 R2 —冗4 U IX/12 ^n —

L/=i-

一^工6川左1氏〃，(82.23)

/=i宀

где

_ (1—С05%/)2(3 + С8%/) I(l+COS%/)2(3—COS 瓦/)

(3 + cos 6 /J/)® — 2(1+ cos 0/iy)(3 — cos 0Лу)2 — 2 (1 — cos %/)

В качестве примера применения (82.23) рассмотрим возмущения в форме наклонных валиков для ответвляющейся валиковой конвекции (К? = 2л2):

厶=善[扌一乐]嗔r %2 = 〃2(7),%〃 = 0 для n>2,

где под 〃2 (7) мы понимаем бесконечно малое возмущение 沦・ Мы находим, что

={(2 + Р12)К?—于 Bi2卜2・(82.24)

Инкремент роста 九=(2 + р12) К2 —я2р12/2 возмущения & 〜exp (ZT) положителен для волновых чисел К?, таких, что 不 > 冗2阮/[2(2 +р12)],(82.25)

и максимален, когда правая часть (82.25) минимальна; этот минимум достигается при минимальном р12. Максимум X реализуется для поперечных валиков 012 = л2/2. Тогда 0建=% н 九= =(20R2 — 3冗2)/7. Минимум X соответствует 012 = 0.

Нелинейная нейтральная кривая для поперечных валиков задается уравнением X = 0, т. е. соотношением (82.25) с заменой знака неравенства знаком равенства. Для поперечных валиков В12 = % и К? = 3冗2/20； следовательно,

(а — 冗)2 = К202 = K2g2/(1 一 2K2/冗2) = Зл282/14.

Ньюэлл и Уайтхэд заметили, что неустойчивость в форме параллельных валиков не является истинной неустойчивостью, поскольку она приводит к неограниченному значению функции отклика. При 012 = 0 функция %2 не существует, несмотря на то что значение 丫2 существует. При малом 012 из-за малых делителей (см. § 81) %2 велико. Следовательно, только что проведенный анализ требует, чтобы 8“ было строго отлично от нуля.

Рис. 66. Невозмущенные нейтральные моды лежат на окружности | к |2 = ла. Возмущения О (в) в направлении kx моды к = еЛл связаны с возмущениями О(е"2) в направлении 同.Рис. 66. Невозмущенные нейтральные моды лежат на окружности | к |2 = ла. Возмущения О (в) в направлении kx моды к = еЛл связаны с возмущениями О(е"2) в направлении 同.

Рис. 66. Невозмущенные нейтральные моды лежат на окружности | к |2 = ла. Возмущения О (в) в направлении kx моды к = еЛл связаны с возмущениями О(е"2) в направлении 同.

Рис. 66. Невозмущенные нейтральные моды лежат на окружности | к |2 = ла. Возмущения О (в) в направлении kx моды к = еЛл связаны с возмущениями О(е"2) в направлении 同.

Ньюэлл и Уайтхэд установили, что введение масштабов (82.25) некорректно, когда 仇/ мало. Если в направлении X】вдоль к/ допускается полоса мод О(8), то в направлении Yt оказывается допустимой полоса О 停/2)； см. рис. 66. Отсюда они заключают, что (82.5) не являются правильными масштабами и должны быть заменены следующими:

Х = ех, У = /Е 协 T^t.Х = ех, У = /Е 协 T^t.(82.26)(82.26)

Х = ех, У = /Е 协 T^t.

Х = ех, У = /Е 协 T^t.

(82.26)

(82.26)

Повторяя вывод шаг за шагом, мы приходим к уравнению (82.23), но с заменой диффузионного члена -^-(吟匕产 Хл на 2 (不 —г) Хм- Эта замена медленного масштаба не меняет ре- 加 dYn /

зультатов для поперечной неустойчивости, но приводит к другому типу продольной неустойчивости —неустойчивости Экхауза [1965], которая будет рассмотрена ниже.

Устойчивость валиковой конвекции (R? = 2л2) следует изучать при помощи амплитудного уравнения

祭•一 2 [負一圭券]2 =2-号"id] X，(82.27) которое заменяет (82.17), когда масшга"ьт задаются соотношениями (82.26).

Возмущение и решения Xi = ~- (^等)""'^,

% = Xi (X) + u (X,匕 T), удовлетворяет уравнению

Аи + (л2 一 2K2"&кх = о,(82.28)

где

a = ^r- 2 [負-徐晶『-(4k?-炉).

Уравнение, комплексно сопряженное уравнению (82.28), также справедливо. Используя эти два уравнения, находим, что

А\е~^хАи\ =価一 2K2)2〃e-2iKx.(82.29)

Когда дифференцирование, входящее в комплексно сопряженный оператор А, проведено, в качестве общего множителя во всех членах появляется экспонента. Окончательное уравнение для 〃 имеет постоянные коэффициенты. Квазипериодические решения уравнения (82.29) получаются в виде экспонент

〃 =ехр ｛九Т + i也 + К) X + i /元M｝,(82.30)

где 九,卩 н М еще должны быть определены. Подстановка (82.30) в (82.29) дает

｛九 + 2 (К + 卩 + ЛР)2 —(4К2 —冗2)｝快 + 2 (К 一 卩 + М2)2 —

一(4№ 一 冗2)｝=(仆—2K2)2.(82.31)

Уравнение (82.31) не меняется при замене 卩-> —卩.Следовательно, существуют две собственные функции уравнения (82.29): это (82.30) и (82.30) с заменой 卩 на —卩.

Корни уравнения (82.31) задаются выражением

九=—戌 + 2К2 - U 士 J/尸千匹(82.32)

где

加=№ — 2K2, (7 = [К + n + М2「+ [К —卩 + ЛЯ?,

V = 4n(K + M2).

Максимальный инкремент роста соответствует знаку плюс в (82.32).

Рис. 67. Инкремент роста возмущений для трех типов неустойчивостей, определяемых формулами (82.33)——(82.35). Возмущения пропорциональны ехр {(—Y/2+。(е“))/}, где у? = —%.

Существуют два значения (卩，М), при которых % максимально:

卩=О, М2 = —К, X = 2K2(82.33)

и

М = 0,卩2 = (6(2 —冗2) (2不 + 冗2)/(16K> 入=(6№ — л2)2/(8№).(82.34)

Для сравнения вспомним, что для поперечных валиков

% = RON — 3 冗2)/7.(82.35)

Нелинейные нейтральные кривые для синусоидальной неустойчивости с учетом членов второго порядка (I) D, для неустойчивости

1)В § 80 мы показали, что нелинейная нейтральная кривая для синусоидальной неустойчивости в низшем порядке по е задается выражением 吝l =—研 2.

4 兀2/19

Эта кривая имеет вертикальную касательную в носике нейтральной кривой (рис. 63). Во втором приближении этот результат сводится к (82.33). Для получения более полных результатов необходимо продолжить вычисление возмущений до четвертого порядка.

Экхауза (II) и для поперечной неустойчивости (III) показаны на рис. 63. Инкременты роста для этих трех возмущений схематически изображены на рис. 67.

Эксперименты показывают, что область устойчивости ячеистого течения может быть более ограниченной, чем предсказывает линейная теория (см. рис. 63). Особенно наглядно это видно в случае, когда проводится исследование предпочтительного размера ячеек как функции очень медленно меняющегося числа Рэлея. Этот тип эксперимента, по-видимому, приводит к чему-то более похожему на кривую, чем на область. Для конвекции эксперименты Кошмидера [1969 ] и других исследователей показывают, что при медленном изменении числа Рэлея предпочтительное волновое число является убывающей функцией R. Эта экспериментальная кривая лежит ближе всего к нелинейной нейтральной кривой для синусоидальной неустойчивости. Следует заметить, что инкремент роста для этой неустойчивости больше, чем для других видов неустойчивости.

Ньюэлл и Уайтхэд использовали свое амплитудное уравнение для изучения устойчивости ответвляющихся решений с волновым ЧИСЛОМ I к 产 / 冗2 при эволюции из состояния покоя. Они пришли к выводу, что единственным устойчивым эволюционирующим решением может быть то, которое начинается на носике нейтральной кривой (в нашем случае | к |2 = л2). Если это так, то нелинейности высшего порядка могут дестабил из ировать все решения в заштрихованной области (рис. 63), лежащие справа от некоторой линии вблизи нелинейной нейтральной кривой для синусоидальной неустойчивости.

Мы видели, что результаты, касающиеся устойчивости и следующие из стандартной теории бифуркаций с учетом членов второго порядка по 8, могут быть получены методом многих масштабов, приводящим к амплитудному уравнению. Кроме того, это амплитудное уравнение может быть использовано для описания пространственной модуляции, которая возникает в результате неоднородного вынуждающего воздействия или из общих начальных и граничных условий.

Дополнительные результаты, следующие из амплитудного уравнения, можно найти в работе Ньюэлла и Уайтхэда [1969] и в работах, перечисленных в замечаниях к гл. II.

Глава Xll

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ТЕОРИИТУРБУЛЕНТНОСТИ К КОНВЕКЦИИ

В ПОДОГРЕВАЕМЫХ СНИЗУ ПОРИСТЫХСРЕДАХ

Данная глава посвящена вариационной теории турбулентности. Эта теория накладывает ограничения на некоторые средние свойства статистически стационарного и, возможно, турбулентного теченгут. В § 35 мы уже применяли эту теорию для нахождения ограничений на поток массы, который может переноситься турбулентным течением Пуазейля при фиксированном внешне заданном среднем градиенте давления. Теперь мы перейдем к гораздо более простой задаче: будем искать ограничение на максимально возможное значение потока тепла, которое может быть достигнуто при статистически стационарном движении жидкости в насыщенном пористом материале при подогреве снизу. Мы используем задачу о конвекции в пористой среде для того, чтобы проиллюстрировать цели, предположения и методы вариационной теории турбулентности в самой простой математической ситуации.

Основная идея вариационной теории турбулентности принадлежит Хоуарду [1963 ]. Буссе [1969а ] распространил анализ Хоуарда на сдвиговые течения. В работе [19696] Буссе предположил, что задача Хоуарда может быть решена с помощью многомодового анализа, и построил приближенное решение, которое можно рассматривать как аппроксимацию пограничного слоя для многомодовых решений (см. замечания к гл. IV, § 31, 35). Математические свойства этих многомодовых решений исследовали Буссе и Джозеф [1972 ]. Джозеф [1974а ] развил математически строгую теорию бифуркаций многомодовых решений. Эта теория здесь не рассматривается, и изложение следует работам Буссе и Джозефа [1973], а также Гупты и Джозефа [1973].

Ограничения на конвективные потоки тепла

Кривая переноса тепла определяется функциональной связью между безразмерной разностью температур R и числом Нуссельта Nu. Можно ожидать, что с каждым решением уравнений ДОБ связана единственная кривая переноса. Функционалы переноса тепла являются функционалами отклика для гидродинамических систем, приводимых в движение приложенной разностью температур.

В нелинейной теории конвекции эти функционалы представляют наибольший интерес, поскольку, будучи вычислены на решениях, они приводят к функции отклика — кривой переноса тепла.

Вариационная теория турбулентности приобретает конкретные очертания, если заметить, что функционал переноса тепла ограничен в классе функций, которые содержат все статистически стационарные решения уравнений ДОБ.

Каждое статистически стационарное решение удовлетворяет (78.4), (78.7) и энергетическому уравнению

—<^ePf) = (|V0|2).(83.1)

Это уравнение следует из (78.Зв) при умножении его на 0 и интегрировании с учетом уравнения V-u = 0 и условия w = u-n = О при z = 0, 1. Исключение DT из (83.1) при помощи (78.4) дает

(I V0|2) = (^0) 一〈凉g + 侬8〉2.(83.2)

Соотношения (78.7) и (83.2) приводят к следующему выражению

Удобно ввести в (83.3) число Нуссельта следующим образом: положить

N =〈|u|2〉(83,4)

и использовав (78.7), найти, что

Nu- 1 =fx/R.(83.5)

Мы назовем 卩 «поток тепла».

Далее определим класс кинематически допустимых векторных полей 1):

х) Требование, чтобы и и 0 были почти периодическими функциями двух переменных (% и у), позволяет формулировать вариационную задачу в гильбертовом пространстве почти периодических функций. В этом пространстве скалярное произведение определяется через среднее гго горизонтальной плоскости

а соответствующая норма является нормой Бора. С другой стороны, эта вариационная задача имеет особую структуру, так как производные по х и у входят только через оператор Vj. Эта задача нелинейна, но, поскольку нелинейные члены зависят только от z, можно, как и в (84.3), представить решение в виде суперпозиции решений, которые являются собственными функциями двумерного лапласиана. Пересечение этих собственных функций горизонтальной структуры и мно-

Н = {и, 0: div и = 0, и = 0 — 0 |2=о, i, и=0 = О, и, 0^ АР(х, у)}. (83.6а)

Среди элементов (и, 0) ^ Н имеются такие, которые удовлетворяют условиям нормировки

N = {(x = (|u |2), R 3» =〈I и |2)}.(83.66)

Каждое статистически стационарное решение является одновременно элементом Н П N.

Теперь рассмотрим вариационную задачу

尸(卩)=min 歹［и, 0;卩］,(83.7)

н

где

它 2-〈ivei"〈lu|2〉〈硒一〈呀)2〉

и |li > 0 задано. Поскольку 歹一однородный функционал нулевой степени, можно так перенормировать элементы (后 0), на которых функционал 歹 принимает минимальное значение 尸 в Н, чтобы они удовлетворяли условиям нормировки N. Следовательно, можно получить единственное 尸 на элементах Н П N. Статистически стационарные решения также являются элементами Н П N, и поэтому, используя (83.3) и (83.7), мы получаем, что R 纟尸(卩)・

Мы можем заключить, что статистически стационарная конвекция с потоком тепла 卩 не может существовать при

R《尸(|х).(83.9)

Функция 尸(|л) называется предельной кривой переноса тепла.

жества почти периодических функций (обсуждаемого после (62.4а, б)), по-видимому, будет подходящим базисом для вариационной теории.

Вероятно, полезно отметить два^момента, которые могут привести к обобщению и выяснению некоторых аспектов вариационной теории. Во-первых, для ограниченных сосудов наша задача может быть строго поставлена, и если боковые стенки теплоизолированы, как в задаче, рассмотренной в гл. X, то можно провести разделение переменных и представить решение в виде произведения функций от z и собственных функций горизонтальной структуры, которые однозначно определяются граничными условиями на боковых стенках. Во-вторых, основные］предположения статистической стационарности, необходимые для того, чтобы^сделать теорию жизнеспособной, являются чисто умозрительными; я отнюдь не "уверен, что средние значения по площади в ограниченном сосуде не зависят от времени. Может быть, удастся ослабить строгие требования статистической стационарности способом, предложенным в упражнении ЗОЛ.

Упражнение 83.1. Показать, что поток тепла, передаваемый статистически стационарной конвекцией (величина Nu ——1) при заданной безразмерной разности температур R, ограничен сверху максимальным значением функционала

〈/〉2 [ 1 - +嶋?] /〈@5 一 施〉)"(83.10)

на функциях из Н.

Упражнение 83.2 (Хоуард [1963]). Провести анализ, аналогичный проведенному выше (см. текст настоящего параграфа), для статистически стационарных решений уравнений ОБ в случае подогреваемого снизу слоя жидкости.

Упражнение 83.3 (Охмати [1973]). Выполнить предыдущее упражнение в случае, когда слой сверху и снизу ограничен теплопроводными плоскостями и

(£ е(ae/dn)ds = о,(8з.н)

где s — твердая боковая стенка. Показать, что (83.7) и (83.8) справедливы для ограниченной области, если ломаные скобки интерпретировать как интегралы осреднения по объему.

Упражнение 83.4. Рассмотреть расширенный класс Но допустимых векторов, аналогичнь1Й (83.6а), но расширенный за счет функций, для которых div u R 6 и iT=/= 0, 0 =/= 0, и положить 尸° (卩)=min 歹[u, 0; р.].

н。

Показать, что 尸q (卩)V F (卩).

Показать, что 尸о (0) = л2.

Показать, что максимизирующие поля таковы, что и = его/ ⑵ н 0 = =0 (z) являются функциями только от z.

Найти уравнения Эйлера для 尸°. Решить эти уравнения в квадратурах (через эллиптические интегралы).

Доказать, что при Fo-> оо

卩〜(е/8) (—1 + 丿？7^) exp /Г+1%.

График 尸о (ц) построен на рис. 70.

§ 84. Вид допустимого соленоидального пульсационного поля, минимизирующего 歹[% 0；闻

Нам необходимо охарактеризовать минимизирующие решения для функционала 夕[и, 0;卩].Эту задачу можно несколько упростить. Поскольку вектор u ^ Н соленоидален (и и = 0), можно разложить и на Ui + u2) где 如一полоидальное поле, а и2 — тороидальное поле (см. разд. Б.6 приложения Б). Эти два поля ортогональны в том смысле, что^^х • u2) = 0. Более того, поскольку тороидальное поле и2 не имеет вертикальной компоненты скорости, то 侬=e2*Ui и величина

尸3 —〈lu】|2 + IH2〉〈|ve|2〉〈硏-〈咐)2〉

r(同一 min 碉>n 硒戸

должна вычисляться для полей, у которых и2 = 0. Поэтому минимизирующие поля полоидальны, и = щ = 6/, з = —V飢，

〈山＞=〈仇，敢〉=〈翦/2冷

(последнее равенство получается интегрированием по частям), и для почти периодических пульсаций % и 0, которые обращаются в нуль при z = 0 и z = 1, величина 尸(卩)принимает следующий вид:_

f产畿戮+卩妲守卜"I)

Уравнения Эйлера для функционала (84.1) таковы:

<V2%Vx> v20 + {(尸 + 卩)侬8〉一 画可 9 = 0(84.2a)

и

(IV0『〉炉%% + {(尸 + 卩)(婉)-n部} v^0 = O. (84.26)

Данные уравнения нелинейны, но нелинейный член wQ имеет специальный вид: он является функцией одного z. Эта особенность в сочетании с тем фактом, что производные по х и у входят в уравнения только в комбинации V1, делают возможным суперпозицию решений с разделяющимися переменными:

%(х, У,讣一 eq,弘 К.-%(х, У,讣一 eq,弘 К.-[xwl_ v e(N)-乙L 」П=1[xwl_ v e(N)-乙L 」П=1% (z) a J?.% (z) a J?.<M*, /<M*, /(84.3a)(84.3a)

%(х, У,讣一 eq,弘 К.-

%(х, У,讣一 eq,弘 К.-

[xwl_ v e(N)-乙

L 」П=1

[xwl_ v e(N)-乙

L 」П=1

% (z) a J?.

% (z) a J?.

<M*, /

<M*, /

(84.3a)

(84.3a)

причем q)rt являются собственными функциями двумерного лапласиана,

Vs<Pn = —«пфл,(84.36)

которые включают все возможные моды колебаний натянутой мембраны, занимающей всю плоскость (х, у). Эти собственные функции можно считать ортогональными,屮九屮加=6nm, где 8пт — дельта-символ Кронекера. Заметим, что из условия обращения в нуль средних значений / = @ = 0 автоматически следует соотношение 嗎方0.

Возможность N f со в (84.3а) сначала допускается, но затем анализ показывает, что минимизирующие решения при конечном значении 卩 имеют конечное число N мод. По этой причине задача (84.2) может быть корректно поставлена на множестве (84.3) многомодовых решений, хотя это до сих пор не доказано D.

Многомодовое представление решений (84.3) можно также рассматривать как результат аппроксимации решения методом Га- леркина. Однако мы примем гипотезу, что почти периодические решения вариационной задачи в виде (84.3) все же существуют. Такая гипотеза может быть верна, и это позволяет нам более полно использовать строгую формулировку вариационной задачи для моделирования неких тонких свойств, которые существуют в «истинной» турбулентности.

Подстановка (84.2) и (84.3) в (84.1) приводит к задаче

尸(卩)=inf 尸nQ),(84.4a)

^^l, 2,…，co

Fn3) = min Fn(%,卩)，(84.46)

&(%, |x) = min 歹n(S,仇；％, к),(84.4в)

劣"=厶啥也L +卩餐，(84.4г)

где

^,N

厶[叫=2〈心& + d确、/2 = S〈5仇〉/=1/=1

后=((?」9也一(叫仇)]))，

Мы увидим, что N = 1 при 卩=0・ В настоящем доказательстве предполагается, что ^ = 1 до тех пор, пока 卩 меньше первого критического значения |л12. При этом критическом значении новое решение с ^ = 2 также минимизирует функционал 尸# (|л12)= =Fj (卩廸)^ 尸2(Mi2)・ После этого при дальнейшем увеличении 卩 полиномы с двумя волновыми числами минимизируют функционал: Fn (卩)=尸2 (卩)• Существует второе критическое значение Нгз> третье и т. д.

Поскольку N (|л) ^принимает лишь целочисленные значения, изменения в N могут*происходить только скачками. Процесс увеличения минимизирующих значений N с ростом 卩 физически соответствует последовательным неустойчивостям пограничного слоя. Каждое новое значение N допускает появление в решении《вихря» (eddy) нового размера, при помощи которого крупномасштабное движение во внутренней области течения может приспосабливаться к движениям меньшего масштаба вблизи границы. Здесь эти масштабы выбираются так, чтобы минимизировать отношение полной диссипации к теплу, передаваемому допустимыми пульсациями.

Упражнение 84.1. Вывести уравнения Эйлера для задачи на минимум (84.1).

Упражнение 84.2. Предполагая, что ф (х, у) — почти периодическая собственная функция оператора Vj с собственным значением а, показать, что

屮〜x电exp 口(力% + MJ,

где суммирование проводится по всем целым Z, таким, что У/ + Р/ = а2, а постоянные <р/ являются коэффициентами Фурье.

§ 85. Математические свойства многомодовых решений

Мы покажем, что функции, на которых функционал 歹“ принимает минимальное значение FN (az,卩)，имеют wn = 0Л; затем мы докажем, что минимизирующие функции 0Л (?) являются симметричными или антисимметричными относительно средней плоскости канала; далее мы докажем, что если ^ функций 0Л различны, то соответствующие N значений an также различны; потом мы выведем условия ортогональности (85.22) для функций 卫〃 (z), принадлежащих волновым числам аЛ; после этого мы выведем формулу (85.24), определяющую оптимизирующее значение волнового числа, и, наконец, мы получим для многомодового решения интеграл энергии (85.25).

Чтобы доказать равенство

叫=е〃，(85.1)

мы используем упрощенный Буссе и Джозефом [1972] вариант доказательства, предложенного Хоуардом [1963] в его исследовании турбулентной конвекции. Уравнения Эйлера для нахождения экстремума функционала 歹можно записать в виде

(О?—喲 wn + a脚％ = 0, (D2 一 喲 ％ + a〃(pg = 0,(85.2)

где

Ф = (^ + n)£〈叫队〉一工 ^v0v(85.3)

VV

н D 三 d/dz. Здесь и далее при суммировании индекс v принимает значения от 1 до ^ (если не оговаривается что-либо иное).

Математически удобно заменить условия нормировки (83.66) следующими условиям и:

£〈時/ay + 网磷〉=£(0v/av + 网崎〉=1.(85.4)

VV

Кроме того, без потери общности можно предположить, что e(叫①〉>0，(85.5)

V

Для доказательства того, что wn = 8〃, введем переменные 叫三(办+%)/2 и % =(叫一仇)/2 и из (85.2) получим

(D?—流)сг〃 + а〃(ро〃 = 0, (0~ —溫)хп — а〃<р% = 0, (85.6) где 屮 выражается через и〃 и хп следующим образом:

屮=广n£〈撼一尤〉+ N £〈流一琮〉一工(咸一*)• (85.7) rtnM

Умножение первого уравнения (85.6) на ая дает

■^••^г ^п = —оьмф^п + (Оо〃)? + (а〃о〃У， откуда после суммирования по всем и получается

十备"巒=—屮 £ а忌 + £ {(Do# + ЗЕ)?},(85.8)

пп

и аналогично

4■备 ^ =屮 £ 编 + S {(D" + (期%儿(85.9)

где использовано сокращение 経二 £d・ Уравнение (85.9) показывает, что т2 не может иметь максимального значения в любом интервале, где ф > 0. Поскольку т2 = 0 при г = 0иг=1ит2^0, можно заключить, что

丁2=£谣三 0, если 屮纟0 при —%《z《％・ (85.10) п

Заметим, что <р > 0 при z = 0 н z = 1. Чтобы доказать, что 屮 2 0 на всем интервале [—V2, V2 L покажем, что <р не может быть отрицательной на любом внутреннем интервале zr < z < z2 и обращаться в нуль на концах интервала (ср = 0 при 4 и %)・ Предположим обратное; тогда

■^屮 n^B — d) <° ПР" z = Zh

или

(do2/dz)z=% N (dt2/dz)z=z~(85.11а)

и аналогично

(dt2/dz)z=z, N (d(j2/dz)zF•(85.116)

Поскольку ср < 0 на открытом интервале (4, &), интегрирование (85.8) по замкнутому интервалу дает

(do?也)i. > (d<j2/dz)i"(85.12)

где неравенство выполняется строго, поскольку а2 и а〃 положительны. Из (85.11а, б) и (85.12) заключаем, что

(dd/dz)zF > (dt2/dz)z=zi・(85.13)

Следовательно, функция dx^ldz положительна и строго возрастает на любом интервале, на котором <р < 0. Из (85.9) ясно, что dt2/dz не может убывать на интервалах, где <р ^ 0, поэтому она строго возрастает на всем интервале от z = 0 до z = 1. Поскольку т = 0 при z = 0hz = 1, (р не может быть отрицательно, а отсюда следует, что т2 = 0, что и доказывает (85.1).

Используя (85.1), перепишем вариационный функционал (84.4г) для многомодовых решений в виде

夕n = (“ 卩目/嵐 где /2 = <|0|2> = (S0z),

* =〈(1012-《噌)2〉

N(85.14)

/1 [0/] = / (a, 0)=/1 [0/] = / (a, 0)=У吟侬+ a周).

/1 [0/] = / (a, 0)=

/1 [0/] = / (a, 0)=

Для сокращения записи мы ввели У-мерный вектор 0(^>, компонентами которого являются функции Qn (z). Аналогично мы объединили волновые числа а%, образовав вектор а(” (Индекс N будет как в (85.14), всюду опускаться, кроме тех мест, где нужно провести различие между разными многомодовыми решениями.) Уравнения Эйлера для функций, реализующих минимум FN (卩)функционала (85.14), имеют вид

8； 一 a0 + (出〃){(户" + 卩)〈1 0 12〉— 卩 I ё I2}仇=0 (85.15) с соответствующими граничными условиями

8/0) = %(1) = 0, %= 1, • • ., m (85.16)

Из симметрии этих уравнений следует, что решения 0rt (z) являются либо симметричными, либо антисимметричными относительно z = V2. Чтобы доказать это, мы разложим вектор 0 на симметричную и антисимметричную части:

е =仇 + ”，

где 仇=% {0 (z) +0(1 -г)} и “ 三 ％ {0 ⑵ 一8 (1 -г)}.

Функционал (85.14), очевидно, удовлетворяет соотношению

^*jv(N，仇 a) N 0"в (卩，®s> ®а> а)

с

h” 三{[/(% d) + /(a, 0a)]2 + H<(|9sl2 + |0al2~

一(I e/2+10fl 步)明(I 4 12 +1 ea |2尸，(85 •⑺

поскольку ^N отличается от выражения (85.14) только тем, что в нем опущен положительный член

4M(久•仇)2〉《£|2 + |8』〉？(85.18)

Мы рассматриваем 类 как функционал симметричного 0S и антисимметричного 0а векторов и получаем уравнения Эйлера как необходимые условия существования минимума FN (卩)функционала

6sn — an9sn + ^n^sn =。，仇〃一仪汨加 + 0Mp8azi=0,(85.19)

где

Ф = {(^+н)<10sl2+l “ I2) — M 0J2 +1 “ |2)}卩(％ 0s)+/(% ejr.

Из (85.19) получаем уравнение

^srfian — ^arfisn = °,

интегрируя которое по интервалу 0《z《V2, находим, что

Qan^dsn^-^(85.20)

поскольку и 0sn, и 0fln обращаются в нуль на границах z = 0 и z = 1. Для того чтобы соотношение (85.20) выполнялось, требуется, чтобы либо 0fln, либо 0sn вместе со своими производными обращались бы в нуль при z = V2, поскольку по определению 0ал (%) = 0srt (%) = 0. Однако ф не сингулярно, и поэтому любое решение уравнений (85.19), в некоторой точке обращающееся в нуль вместе со своей производной, должно тождественно обращаться в нуль. Следовательно, можно заключить, что векторы 0S и 0а, минимизирующие 歹，обладают свойством

0s.Ofl = O.(85.21)

Для векторов 0S и 0fl, удовлетворяющих условию (85.21), функционалы 笋# и 卞“ совпадают, и поэтому векторы 0S и 0fl, минимизирующие 尹м Должны также минимизировать и 歹у Это доказывает предположение, что минимизирующие решения 0rt уравнений Эйлера являются либо симметричными, либо антисимметричными относительно г = V2.

Стоит отметить некоторые другие свойства многомодовых решений. Без потери общности можно предположить, что все волновые числа а〃 различны. Если два волновых числа равны, то У-модовое решение может быть сведено к (^ — 1)-модовому решению, как показывают проведенные ниже рассуждения. Предположим, что 04 = а2. Как легко видеть, в этом случае соответствующие решения 9)и 02 уравнений Эйлера (85.15) удовлетворяют соотношению

0J02 — 0201 = 0,

из которого в результате интегрирования с использованием условий (85.16) следует, что 0J02—彩历=0, или (82/81)' =。на любом интервале, где 仇 не обращается в нуль. Следовательно, 0а должно быть кратно 又，скажем 02 = 丫又.Тогда можно пренебречь 02 и а2 и вектор 8("), состоящий из N функций, заменить вектором из ^ — 1 функций, а 又 заменить на 0Х (1 + у2)1/2.

Решения уравнений (85.15) характеризуются двумя свойствами ортогональности. Первое свойство получается в результате умножения уравнения для 0rt на o^Qm и уравнения для 0т на а^8〃・ Осреднение полученных уравнений, последующее вычитание одного из другого и интегрирование по частям приводят к следующему соотношению:

篝詳{<0m0；> 一 aman{QmGn)} = 0.(85.22a)

Поскольку am 扌 an, мы имеем

〈呪仇〉一aman (0mOn) = 0・(85.226)

Другое свойство получается такой же процедурой, но без использования множителей а『 и * соответственно:

({(我 + n)(I ё р)一 NI ё 12 - (外 + ^1}Q^ = 0. (85.23)

Мы называем (85.22) и (85.23) свойствами ортогональности, хотя 0т и Qn не обязательно ортогональны в обычном смысле.

Волновые числа ап могут быть найдены из минимизации функционала (85.14) как функции а. Из условия d歹(卩，0, a)/5am = 0 следует формула для волнового числа

(4 =〈8?〉/⑥〉，(85.24)

показывающая, что если для волновых чисел берутся минимизирующие значения, то свойство (85.226) имеет место и для случая т = п. Выражение (85.24) можно интерпретировать следующим образом: для каждой функции 0« диссипация (| 0„ |2), связанная с вертикальным масштабом, равна диссипации а^(8^〉, связанной с горизонтальным масштабом.

Заметим, наконец, что для многомодовых решений существует интеграл энергии, который можно записать в виде

/ £ (8『/ a" - a就)+(尸n + n)〈I e『〉(I e『一〈I e『〉)-

N

-% 出(I0!4-(|014〉)= / £ (0Ж- a 咸〉.(85.25) n=l

Когда аЛ принимают оптимизирующие значения, определяемые формулой (85.24), правая часть последнего уравнения обращается в нуль.

Упражнение 85.1. Вывести формулу (85.24) (см. упражнение Б.4.6) и уравнения (85.2). Вывести выражение (85.25).

Упражнение 85.2.Показать, что

厶(n)=「g紡〉/〈盼+ m信觴-8力］/信吩)(85.26)

§ 86. Одномодовое решение и ситуация при малых ц

При |х = 0 мы должны решать линейную задачу

0m 一 аХ + Fn (am (10『〉//) On = 0(86.1)

с 0m = 0 при z = 0 и z = L Из уравнения (86.1) видно, что все четные производные 0m (z) обращаются в нуль на границе. Следо

вательно, 8m (z) можно разложить в ряд 0m (z)= 工 Атп sin ляг, м=1

который вместе с (86.1) показывает, что

｛需 + °Ч •(86.2)

С другой стороны, умножая (86.1) на 0т, интегрируя и суммируя по всем т, находим, что

^ = /2/(|0|2)2.(86.3)

Следовательно, минимум /%? = r^^lam + ат по ат достигается при ат = ил и равен /%? (п) = 2пл. Выражение /# (п) достигает наименьшего значения /^ = 4л2 при 几=1, ат = л и 0m Q) = Ат sin nz. Поэтому минимизирующие решения 8m (z) совпадают с точностью до постоянного множителя. Число ^ различных горизонтальных масштабов а^, необходимое для минимизации Fn, при |Л = 0 в точности равно единице: 2V (卩)=1 при 卩=О и min Fn = F* = F (0).

Теперь мы будем искать минимум 尸】(卩)функционала 歹i ［0; а,卩］среди функций с одним волновым числом а. При больших 卩 для минимизации функционала 歹 требуется более чем одно волно-

вое число. При У = 1 мы можем записать (85.25) в следующем виде:

厶((D»2/a - аб2) + (兄 + н) (02) 02 一 ％卩册=Д = const, (86.4) где

厶=〈(О8)2/а + аб2)

и 0 нормировано таким образом, что максимальное значение 0 равно единице,

Л = -а厶 + 伊1 + 卩)(02) 一 ％№(86.5)

Волновое число а должно иметь значение, заданное выражением а2 = ((Z>0)2)/(02) из (85.24). Это означает, что

厶/а = 2 (б2), аА = 2 ((РО)2).(86.6)

Исключая а из (86.4) и используя постоянные, определенные формулами (86.5) и (86.6), получаем

(08)2 = А (1 — 02) (1 -论2у),(86.7)

где 胪=卩/{2 (尸I + И)(e2) — 4((Pe)2) — M и 九=卩/(4胪〈审》 Чтобы прийти к требуемому результату, используем полные эллиптические интегралы К (^2) и D (^2). (Здесь k лежит на отрезке [0, 1 ].) Интегрируя (86.7), находим, что

%1/2 = 2nK (М),(86.8)

где и —число полупериодов функции 0 в интервале 0 < z < 1, 1

<02> = 2n^W2 (dz/曲)d9 = 2 必 t”D (廖)=D (硝/к (Aj2)(86.9)

{(D9)2)= 2加 J(1 一 02)(i - л2е2)(dz/dQ)de =о

i

= 2n^2J[(l-02)(l-ft202)]1/2d0.

о

Последнее выражение стандартным преобразованием для эллиптических интегралов (Хенкок [1958, с. 63 J) можно свести к выражению

<(D0)2) = 4МК [%К — % (胪 + 1) D]・(86.10)

Используя выражения (86.8)—(86.10) для определения Л2 и 九,получаем

Л = %紋{但2 + 1)К2 + K§/D - 3胪DK}(86.11)

и

卩=16〃2 居DK.(86.12)

Соотношения (86Л1) и (86.12) определяют значение Гг (|л, %) параметрически. При и = 1 尸工(卩,и) принимает наименьшее значение, равное 尸1(卩)•

Таким образом, мы показали, что среди функций с одним волновым числом (выбранным оптимально) минимальное значение 尸 1(Н)функционала 夕工 задается параметрически выражениями (86.11) и (86.12) при 几=1. При R < F* (卩)статистически стационарная конвекция с потоком тепла 卩 и одним волновым числом существовать не может. Кривая 尸工(卩)для N = 1 приведена на рис. 70.

Если |х = 0, то Л2 = 0 и Fx = 4л2. Тангенс угла наклона кривой переноса тепла в точке 卩=0 равен

峭 ^〈(# —〈В»〉_ 1

Мы используем этот результат, чтобы показать следующее: в случае В = 0 среди всех малых статистически стационарных решений уравнений Дарси—Буссинеска то решение, которое соответствует двумерным валикам, максимизирует поток тепла. Более того, наилучшими из возможных являются значения

Л(0) = 4л2, dF^/dii = %.(86.14)

Суммируя результаты, заметим, что в § 78 мы нашли, что в случае В = 0 валиковая конвекция существует при малых 卩 со следующей зависимостью числа Рэлея от конвективного переноса тепла |л:

R (卩)=4冗2 + %n + 0 (炉).

Мы также нашли (см. (86.13)), что

尸1也)=4几2+%卩+ 0(圜.

Вспомним, что статистически стационарная конвекция не может существовать при

R V 尸(n) = min Fn (n)V 尸式n)；N

следовательно, при достаточно малом 卩

F (似=4Л2 +，/2n +。优).

Это доказывает, что при малом 卩 одномодовое предельное решение дает тот же поток тепла, что и точное установившееся решение в случае В = 0.

Только что проведенный анализ возмущений был выполнен Палмом, Вебером и Квернволдом [1972] до членов порядка 8е. Результаты Палма с соавторами сравниваются с результатами вариационного анализа Гупты и Джозефа [1973] на рис. 75. Обсуждение этого сравнения лучше отложить до § 92.

87. Пограничные слои одномодового решения

Для больших 卩 представляет интерес построить аппроксимацию пограничного слоя, как это сделано Хоуардом [1963]. Уравнение Эйлера для одномодового решения имеет вид

/(D20/a一 ае) + {(尸 1 + n)〈У〉一 ие2} 8 = 0, 0(0) = 0(1) = 0,

(87.1) Оптимизирующие значения а определяются формулой (85.24). В силу однородности можно пронормировать 0, положив (02) = 1. Если обозначить ((D0)2) = С2, то уравнение (87.1) можно переписать в следующем виде:

2DK —208 + 々б + 卩(8 — 03) = о. (87.2)

Для рассматриваемой задачи аппроксимация пограничного слоя основывается на том, что при больших 卩 первые три члена в (87.2) являются величинами более низкого порядка, чем 卩,везде, кроме тонких слоев вблизи z = 0 и z = 1. Во внутренней области приближенно справедливо 0 = 03 = 1.

В рассматриваемой аппроксимации вводится координата пограничного слоя z = ：/，(X и принимается, что 尸丿卩 f 0 при 卩 f f oo. Тогда, замечая, что при 卩 f 8

0片 0

мы найдем, что в пограничном слое

2 請+ е_ез = о(87.3а)

0 (0) = d8(8)/関=0, 9(оо)= 1.(87.36)

Умножим (87.3а) на d8/dj и используем (87.36) для получения интеграла энергии

(d8/dg)2 = % (1 _ е2)2.

Следовательно,

< =Т(1-02)» О=4ИЧ；1_02)2啓 d8=等/正

и, используя только что полученные соотношения вместе с формулой (85.24), находим, что

尸式卩)=4〈(08)2〉+ М®—1)2〉=

=Т № + q青 j ◎ —1)2 备 М =苧 И'/2.

Возвращаясь к числу Нуссельта (Nu 〜 卩/尸J, получаем

n" = (3儿)2尸1.

Упражнение 87.1 (Хоуард [1972]). Использовать неравенство (В.11) для доказательства того, что при всех р, > 0 выполняются неравенства

Л « 16/3J/2, Nu-\V (3R/64)i/2.(87.4)

Упражнение 87.2. Выразить решение уравнения (87.1) через эллиптические функции Якоби. Показать, что при р,->оо

& (卩)-叫3『/2 н Nu—\f (3R/64)i/2.

Упражнение 87.3. Из решения, которое минимизирует 歹】при |i—>оо, найти средний температурный профиль Т (z) (см. (78.4)). Построить этот профиль и сравнить его ^профилями, приведенными на рис. 62.

. Двухмодовое решение

Мы нашли при 卩 = 0, что Fn (0)= 尸 1 (0) = 4л2, и это соответствует решению с одним волновым числом ^ = 1. Мы также получили решение, которое доставляет функционалу 歹】(卩)минимальное значение 尸】(卩)для всех |л. Это решение, выраженное в предыдущем параграфе через эллиптические функции и интегралы, непрерывно (по 卩)переходит в решение, которое минимизирует 歹 при 卩=0. Тем не менее существует решение с более чем одним волновым числом, на котором 歹(fx) принимает значение, меньшее F* (卩)！ Численное исследование, проведенное методом Галеркина, показывает, что при 卩 < 318,506 = |Л12 и F < V 尸1 (卩12)= 113,115 задача (85.15), (85.16) не имеет решений с ^ > 1. Для больших значений 卩 можно построить численные решения с двумя различными значениями а, на которых функционал 夕 принимает значения

Fz(N)V&3)・(88.1)

Уравнения Эйлера для этого двухмодового решения получаются из (85.15) при и = 1 и п = 2. Свойства симметрии минимизирующих решений и численный анализ позволяют предположить, что 8] —симметричная, а 02 —антисимметричная относительно z = = % функции; тогда на границе

61(0) = * (%) = 0, 02(О)=仇(％) = 0.(88.2а, б)

Для функции с принятыми свойствами симметрии условия ортогональности (85.22) автоматически удовлетворяются, и нет необходимости рассматривать их далее.

Точные значения 卩=318,506, а = а12 и F (р,12) = 113,115, для которых оказывается возможным двухмодовое решение, могут быть получены из анализа «устойчивости», показывающего, что двухмодовое решение со свойством 02 0 при |л | |л12 ответ-

Рис. 68. а ——одномодовое решение в точке ветвления. 6 ——вторая компонента двухмодового решения в точке ветвления (здесь 02т ——максимальное значение 0а (z)). в — собственное значение a£N)уравнения (88.36) (Джозеф [1974а]).Рис. 68. а ——одномодовое решение в точке ветвления. 6 ——вторая компонента двухмодового решения в точке ветвления (здесь 02т ——максимальное значение 0а (z)). в — собственное значение a£N)уравнения (88.36) (Джозеф [1974а]).

Рис. 68. а ——одномодовое решение в точке ветвления. 6 ——вторая компонента двухмодового решения в точке ветвления (здесь 02т ——максимальное значение 0а (z)). в — собственное значение a£N)уравнения (88.36) (Джозеф [1974а]).

Рис. 68. а ——одномодовое решение в точке ветвления. 6 ——вторая компонента двухмодового решения в точке ветвления (здесь 02т ——максимальное значение 0а (z)). в — собственное значение a£N)уравнения (88.36) (Джозеф [1974а]).

вляется от одномодового. Из дальнейшего исследования (см. рис. 74) следует, что если 卩一(х12 мало, то 8 = /卩一|л12 0 (и), где 0 (同2)конечно и не равно тождественно нулю. Чтобы провести анализ устойчивости, линеаризуем задачу Эйлера для двухмодового решения при малых значениях 0 и получим

8； — а泡 + (3〃) {(尸 1 + 卩)侬〉一爾} 01 = 0,(88.3а)

建-a202 + (出"){(吊 + n)〈吩-厨} 02 = 0,(88.36)

где

/ =〈8//з+ о4唠，з=m(卩)，f1 =吊(卩)

и 0j и 02 удовлетворяют условиям (88.2). Эта система уравнений оказывается не связанной в том смысле, что уравнение для 8】не зависит явно от а2 и 02, и задача (88.2а), (88.3а) всегда имеет одно： модовое решение, которое было получено в предыдущем параграфе. Мы утверждаем, что при Н = Нп и Л = Л(Н12) существует зна-

чение а2» такое, что удовлетворяются и уравнения (88.3а, б), и граничные условия (88.2а, б).“

Линейная задача на собственные значения (88.26), (88.36) является стандартной. Коэффициенты /,尸】и 8； в (88.36) задаются на основании одномодового решения § 87, т. е. одномодового решения задачи (88.3а), (88.2а). Мы ищем наименьшие значения

尸工 3 (а2)) = F2 и卩(а2)=阿2,

для которых задача (88.36), (88.26) имеет решение. Результаты численного анализа представлены на рис, 68.

Рис. 69. а — численно найденное двух модовое решение. Предположение аппроксимации пограничного слоя 6? + 6； * 1 в граничной области (где 6J и 0^ отличны от нуля), по-видимому, здесь справедливо, хотя для значения R = 50几® асимптотика еще не пригодна, б — двухмодовое решение. Графики функций % (z) и 02 (z) для R = 50л2. Сплошной кривой показаны результаты численных расчетов, штриховой — результаты, полученные по теории пограничного слоя (Буссе и Джозеф [1972]).

Численные расчеты двухмодового решения при 卩 > р,12 показывают, что Г2 (|х) < 尸 1 (р,) (см. рис. 70). На рис. 69 численное двухмодовое решение сравнивается с аппроксимацией пограничного слоя, которая будет получена в следующем параграфе.

Упражнение 88.1. Предполагая, что имеет место свойство ветвления 62 fo при 卩 J 卩12，показать, что производная dF/d^ непрерывна в точке И = Н12-

§ 89. Пограничные слои многомодовых решений

На основании полученных результатов мы ожидаем, что минимизирующая функция 尸(n) = min Fn (и) будет приводить к дискретным бифуркациям, характеризуемым возрастающей целочисленной функцией N (卩)i). Это очень сложная задача; чтобы лучше

Для ознакомления со строгой теорией бифуркации многомо довых решений следует обратиться к работе Джозефа [1974а].

в ней разобраться, будем искать приближенное решение, которое, как и одномодовое решение, при 卩 f 8 имеет структуру пограничного слоя.

Из вида функционала 歹汽，приведенного в (85.14), уже ясно, что при 卩 f 8 величина

n《|8|2-〈|0|2〉力 пропорциональна 卩，если |0|2 не стремится к (| 012) в большей части области определения 6 (z), 0 < г < 1. Принимая для удобства нормировку

(|0|2> = 1,(89.1а)

мы видим, что |0 (z)| f 1 везде, кроме пограничных слоев, где |0 (z)| убывает до нуля при z = 0 и z = 1.

Для одномодового решения структура пограничного слоя определяется требованием, чтобы функционал ^^ был минимальным. Это требование может быть удовлетворено только тогда, когда тонкий пограничный слой, в котором 02 спадает от равного единице значения внутри области до нуля, все же настолько толст, что вклад больших производных в Z2 имеет тот же порядок (М” что и |Л ((1 — 02)2).

Те же самые рассуждения могут быть проведены в случае многомодового решения. Здесь снова должно выполняться условие

|0|2« 1(89.16)

во внутренней области. Чтобы предупредить более быстрый, чем |л((1 —1012)2), рост членов с производными в /2, решение «образует» пограничный слой для | 012 порядка 卩一勿， где rN — подлежащее определению положительное число.

Отличие многомодового решения от одномодового состоит в следующем: наличие в решении различных функций и волновых чисел допускает развитие пограничных слоев внутри пограничных слоев; в самом деле, наши формальные выкладки показывают, что в решении появляется вложенная последовательность N пограничных слоев, в которых резкий рост 0^ происходит на интервале того же порядка (относительно 卩)，что и медленный спад функции 0„+1* Общий результат этого процесса состоит в том, что оказывается возможным подойти ближе к границам области, в которой справедливо (89.16), и в то же время удерживать интегралы диссипации 尸 на уровне того же порядка 卩『”，что и член 卩《1 — 1012)2). Именно наличие различных горизонтальных масштабов * сдерживает рост диссипации F. Действительно, исследование выражения (85.14) показывает, что / (и 歹“)принимает минимальное значение, когда горизонтальный масштаб * равен вертикальному масштабу функций 0Л. Поэтому мы знаем, что функции 0„ с самыми

крутыми пограничными слоями будут иметь также наименьшие горизонтальные масштабы *•

Основываясь на проведенных выше рассуждениях, кажется разумным постулировать, что каждая функция 8^(z) имеет свой собственный пограничный слой. Пограничный слой для 0^ является ближайшим к стенке и имеет наиболее крутой подъем на интервале порядка 卩一川. Функция 8%一】 также имеет пограничный слой, но здесь рост функции 吼〔менее резок и происходит на интервале порядка О (卩芍口)，причем 厂心 < 厂丛 В отличие от решения с одной модой здесь нельзя ожидать, что 0у при ^ > 1 будет стремиться к единице во внутренней области. Если бы это было так, то оказалось бы невозможным удовлетворить условию (89.16) с ненулевым значением других функций 0Л во внутренней области. Более того, вклад а^(б^) должен быть достаточно мал из-за сравнительно большого значения а“・ Следовательно, разумно предположить, что 晓 сначала растет, а затем убывает до нуля. Из ожидаемых толщин 卩一川 и 卩一'心1 двух ближайших к стенке слоев ясно, что при р, -> оо функция 8% может очень быстро расти на интервале порядка 厂'叫 на котором 呪」 едва отлична от нуля, а затем сравнительно медленно убывать до нуля на интервале порядка 卩"“一厶 на котором функция 8“」все еще возрастает достаточно быстро по сравнению со скоростью ее последующего медленного уменьшения в слое О (厂川句.Такое же резкое возрастание с последующим более плавным уменьшением ожидается для последовательности 8%, 8%一厶...,0„, 8^_i, пока не завершится фактически быстрый, но сравнительно (с 02) медленный рост 0| до значения 0； а 1 во внутренней области.

Мы сейчас покажем, как только что приведенное описание многомодового решения для больших 卩 получается из формального анализа. Гипотеза, справедливость которой будет проверяться, состоит в том, что 0Л возрастает в n-м пограничном слое и убывает в (и — 1)-м пограничном слое. Следовательно, каждая функция отличается от нуля, по существу, только в двух последовательных пограничных слоях, и представляется удобным выделить ее возрастающую и убывающую части. Таким образом, мы полагаем

8% Q)=8% Q)=(89.2)(89.2)MU Для z = O(D， 现隽%」)Для z = O(M%t),

8% Q)=

8% Q)=

(89.2)

(89.2)

где

—координата /г-го пограничного слоя. В пределе при |х -> оо из (89.16) и (89.2) вытекают соотношения

磅 + 够+1 = 1 для z = O(厂 ％), OczivN (89.4)

и

0? = 1 для z = О(Н'г°), г0 = 0.(89.5)

Именно эти соотношения позволяют удовлетворить условию (89.16) вблизи стенки. Только в Мм слое 1 — 0^ > 0 при 卩 f 8.

Мы замечаем, что при фиксированном 爲 и jx -* 8

*- 0； следовательно,

欧(0)=。，6九(8)=1 для "=1,...，m(89.6)

0n(0) = 1, 0n(oo) = 0 для л = 2, ..., ^.

Поскольку задача симметрична относительно обеих границ, мы предполагаем, что то же самое описание (с заменой в определениях (89.2)—(89.4) z на 1 — z) справедливо для пограничного слоя на стенке z = 1.

Возвращаясь к выражению (85.24) для оптимизирующих значений а〃 и учитывая (89.2) и (89.3), находим, что

(4 =n"公呪，(89.7)

где

% = j 常盟 J j (1 一 苗)dg，肉=2 j e；2 d^ (89.8) 0/ о0

не зависят от 卩 при больших значениях 卩・ Здесь множитель 2 появляется потому, что имеется два пограничных слоя, по одному на каждой стенке. Используя соотношение (89.4), мы исключили

6п (^М-1) = 1 — 0П-1 (^м-1)*

Для определения показателей степени подставим (89.3)—(89.7) в (85.14), устремим 卩 к 8 и используем (89.4) и (89.5) для исключения 6m (^ = 1, ...» N)； это даст

夕n [0； а…]=卩J?% +A Jei2^ +

/ОО00

+ 2 У ц(гт^гт-1)/2 I -A- J 0^ d^m + ^m j (1 一 够T)或/п-1 ) } + /п=2\00丿丿

+ 2l方j(1一餘)2閣№ (89.9) о

Дифференцирование выражения (89.9) по параметрам гт показывает, что минимум может достигаться только тогда, когда все показатели степени при 卩 в членах, аддитивно входящих в правую часть (89.9), равны:

\ —「n =「n — Mi = • • • = % — & =小

Отсюда приходим к решению

rm = ml(N + 1) для /и == 1, ..., ^.(89.10)

Теперь, подставляя (89.10) в выражение (89.9), находим

夕方〜屮(N+D卜2 + 2 j(l —餘У%/三俨(N+D歹％, (89.11)о-

где

8^—1 ОО

?П瓦+ bN j %©+ 2EJ[#- + b/n+1 (1 -院)]dgm 0zn=l 0 '

причем

尸b = min夕be；娟，r(H)= infF；(H), F^^^^F^)

и 尸 + (卩)является аппроксимацией пограничного слоя для 尸(ц). Минимум функционала (89.11) достигается на функциях, удовлетворяющих уравнениям Эйлера

0m + ^m^m+l^m =。ПРИ 。W W/n « ^m,〔 ^ .

跣臨)=1 при ^纟森，/И=1,1,(

и

(W) 6} + (1 — 嵌)М = 0,(89.126)

а также условиям (89.6). Оптимизирующие значения Ьт задаются формулой (89.8).

Непрерывно дифференцируемое решение задачи (89.12а,б), (89.6) определяется следующим образом:

а — [ 士sm。也+i产以 при 。《竄《 л/[2 ibtpn^,2Y

〃=畐при п/[2(ЬЛ』у 紋…

氟=士 th{(%"H)"2K}・(89.14)

Заметим, что знаки функций бп и вп остаются неопределенными. Это соответствует тому, что функция 0rt (z) может быть либо симметричной, либо антисимметричной. Следовательно, представления 0rt (z) на двух границах могут иметь противоположные знаки.

Вопрос о симметрии решения может быть решен только при учете членов следующего порядка, которыми мы пренебрегли в этой аппроксимации.

Интересно рассчитать толщину пограничного слоя минимизирующего ^модового решения. Мы определяем характерную толщину z = 6П из условия, что аргументы функций sin и th в выраже-

Рис. 70. Предельные кривые переноса тепла в пористом слое. Пределы G^ (卩) определяются согласно (90.10). Пределы Fn (卩)определяются по (84.46). Точки (卩 12, G]2)н (卩 12,尸12)являются точками бифуркации. Функции 尸% (卩)представляют аппроксимацию пограничного слоя для Fn (卩)• Кривая Fo (卩)определяется в упражнении 83.4.

ниях (89.13) и (89.14) соответственно принимают значение, равное единице:

=u/小)(6也+产=4 (徐厂

для n= 1, У — 1,(89.15)

Формулы (89.15)—(89.17) составляют основные результаты этого параграфа и являются по меньшей мере аппроксимациями к асимптотике при |Л -> оо. На рис. 69, б и 70 эти основные результаты сравниваются с численными результатами для двухмодового решения. При таком сравнении следует иметь в виду, что самое большое значение R, для которого были проведены расчеты,

а именно R = 50л2, вряд ли можно считать представительным для асимптотических значений. Пренебрегая временно тем, что асимптотический анализ справедлив для |Л -► оо, заметим, что для малых 卩 «2496)

JV = 1 минимизирует 歹方 и

幷(卩)〜16/3广2, a2〜2/3卩弋 m〜2/n叱

а для больших 卩(>2496)

N = 2 минимизирует 歹为 и

居也)〜6川(32卩/(9向)1/3, a2 〜8M9n2),а；〜(№/4)(32卩/(9句严，

& 〜(2/冗)(9冗4/32卩)1戸，62 = (32/(3兀2)) (9冗4/(32卩))2/3.

Затем мы вычисляем 7, bn, и 尸儿.В силу (89.13) и (89.14) имеем

? = 2 £我曾尸+瓦+等(2知尸2.

n—2

Параметры bn, п = I, ..., У, могут быть определены либо из соотношения (89.8), либо путем минимизации функционала (89.11) как функции Ьп. В обоих случаях мы приходим к уравнениям вида

(霜J。，

{("^Г)1/2~(^Г)1/2}= 0 для "=1，

2 爵(1 +告(26n万/2)- у (2玩/2 疗=0

и для п = 1, ..., N находим

И

2冗2 / 64卩 \(2n-l)/(^+l)貝 I

•(89・16)

Окончательное выражение для 尸方(卩)получается в виде

尸方(卩)〜J?/("+D尸3 =『/("+1)2 (N + 1) 4对=

= ^(^+ 1)л2(64n/(9j?N))i/(n+D,尸力n)〜6П2(3卩/(9句严 ^〜8卩/(9几)(89.17)

a:〜半(32卩/(9/)1々&〜矗(瑞:)"。

Значение 卩=2496 находится приравниванием выражений для 尸f и 尸扌.При еще больших значениях 卩 функция 尸扌(卩)минимизирует функционал 歹方 и т. д. Аппроксимация пограничного слоя для

尸(卩) = тй1&@)N

представляется непрерывной кривой с изломами. Однако бифуркационный анализ многомодовой задачи показывает, что 尸(卩)一 непрерывно дифференцируемая функция с разрывными вторыми производными (см. упражнение 88.1). Заметим также, что аппроксимация пограничного слоя завышает значение параметра 卩 в первой точке бифуркации р,12 = 318,5 примерно в восемь раз (см. рис. 70).

Аппроксимация пограничного слоя, по-видимому, обладает многими из тех качественных свойств, какие ожидаются у ответвляющихся многомодовых решений; тем не менее на многие вопросы эта аппроксимация не дает ответа.

Упражнение 89.1. Повторить упражнение 87.3 для аппроксимации пограничного слоя двухмодового решения. Сравнить Т (?) для одномодового и двухмодового решений.

Упражнение 89.2. Показать, что в пределе 卩f 8, N (р,)->оо. Показать, что толщина 6^ наибольшего пограничного слоя, которая всегда стремится к нулю при фиксированном 2 н 卩-> 8, стремится к значению 61f 1/е2, когда ^ (卩)также разрешается расти.

§ 90. Усовершенствованная вариационная теория, использующая условие малости величины В

В § 81 мы заметили, что для большинства пористых материалов число ДарсК—Прандтля В"1 очень велико; значение В"1 = 108 не является исключением. Поэтому разумно положить В = 0 с самого начала, как мы это сделали в (70.106). Однако в нашем анализе мы не пользовались тем, что В = 0; в самом деле, если принять (78.36), то анализ применим в равной степени ко всем значениям В.

При В = 0 мы можем заменить вариационную задачу с дополнительным интегральным ограничением R @8〉= (| и |2) другой вариационной задачей с поточечно справедливым дополнительным ограничением в виде дифференциального уравнения

Это дифференциальное уравнение представляет собой вертикальную компоненту rot от rot уравнения (78.36) при В = 0 »

Чтобы сформулировать эту вариационную задачу, заметим, что (83.2) справедливо независимо от равенства В нулю, и, введя переменную

R0 = 0,(90.2)

из (83.2) найдем, что

"怨許+小睡證』…],(90・3)

где, как и прежде,

N = ®8〉= R(N〃— 1).(90.4)

Вариационная задача, в которой используется условие В = 0, может быть поставлена следующим образом:

G (и) = min ?[明 0; it],(90.5а)

н+

где

Н+ == {оу, 0: ▽% — V1© = 0, з = ® = 012=0.1,

加=® = 0, w, Q^AP(x, у)}.(90.56)

Среди элементов (з, 0) € Н+ имеются такие, которые удовлетворяют условию нормировки

N三{叫®:n=他6)}.

Каждое статистически стационарное решение уравнений ДОБ с В = 0 является одновременно элементом Н+ П N. Отсюда следует, что статистически стационарная конвекция с потоком тепла |л не может существовать при

R<G(h).(90.6)

Более того, поскольку пространство Н+ состоит из меньшего числа элементов, чем определенное ранее пространство Н, мы имеем

f也)《 G也).(90.7)

Вариационная задача с дополнительным дифференциальным ограничением, определенная на Н+, должна давать лучшую оценку предельной кривой переноса тепла (ср. упражнение 90.1).

Здесь так же, как и в проведенном выше анализе § 84, можно заметить, что нелинейность не запрещает суперпозиции решений

1) Упрощение такого же типа использовал Чжань [1971 ] в исследовании конвекции в жидкости с бесконечным числом Прандтля в аппроксимации пограничного слоя.

с разделяющимися переменными в виде полиномов, составленных из собственных функций уравнения для мембраны. Таким образом, подставляя (84.3) с 8 = ®* в выражения (90.3) и (90.5), находим, что

力V (叱；a"；卩)=(鼻〈(D%)2 + *确〉)/ ? 3"昵 +

+ 卩〈W ^rfin 一 где

Lnwn = (D2 — a„) wn = —а泣，溫 # 0(90.86)

и

wn = Lnayn == 0 при z = 0, 1.(90.8в)

В функционале ? функции 0П можно заменить через —丄殺"嗚 в силу (90.86).

Теперь мы можем переформулировать вариационную задачу (90.5) в следующем виде:

G([i) = mnGN(ii),(90.9)

GN(N)= min©N(№ %),(90.10)

где

合％(№ az) = min 3fN^ %,卩)合％(№ az) = min 3fN^ %,卩)(90.11)(90.11)

合％(№ az) = min 3fN^ %,卩)

合％(№ az) = min 3fN^ %,卩)

(90.11)

(90.11)

и wn —дифференцируемая функция z (z € 【0, 1】), удовлетворяющая уравнению (90.8в).

Уравнениями Эйлера для функций, реализующих минимум Gn функционала 夕являются уравнения

(o/aD L^iWn 一 (jpLn3fl + 卩尸n(1210)综=0,(90.12a)

где 0n определены соотношения (90.86),

wQ = £ wnQn = — £ wnLt^n!^ оwQ = £ wnQn = — £ wnLt^n!^ омммм〈£ wnQn^, Y =〈工 V。/〉,〈£ wnQn^, Y =〈工 V。/〉,

wQ = £ wnQn = — £ wnLt^n!^ о

wQ = £ wnQn = — £ wnLt^n!^ о

м

м

м

м

〈£ wnQn^, Y =〈工 V。/〉,

〈£ wnQn^, Y =〈工 V。/〉,

Fn (оЮ)。=厶(。砌 +wdLnc, p = 2 (Gn+ 卩)一у/о. Граничные условия

wn = D23n = D4叫=0 (90.126) следуют из (90.8в), и в выкладках, приводящих к (90.12а), D^w = =0 получается как естественное граничное условие (см. разд. Б. 3 приложения Б).

Хотя вариационная задача, сформулированная в этом параграфе, сложнее рассмотренной в § 84 и 85, эти две задачи имеют много общих математических свойств (см. упражнение 90.1).

Упражнение 90.1 (Гупта и Джозеф [1973]).

Показать, что минимизирующая функция для функционала (90.10) удовлетворяет соотношению”

〈加吗(。2勿一%鳍)〉一〈6/-。％〃 + ^Wn + W%]〉+

,<1 V0|2) (wnD2wn)(wQwnD2wn) —.如Q〈^§^ c

十 砌 W 一画-十卩硒A =5

Показать, что каждое решение уравнений (90.12) удовлетворяет следующему условию ортогональности:

(若-W) ( %『)〈0叫。%>- (a/+ 嗡〈6也"〉—〈0学叫〉+

+ Р〈叫卢/〉——^-(wQwnWi) = 0.

Доказать, что G (0) = 4л2, dG (O)/dp- = 1/2, dNuldG = #/2, и, таким образом, показать, что предельная кривая переноса тепла с точностью до членов О (卩2) задается равенством 尸(卩)=G (卩).

Доказать, что предельная кривая переноса тепла непрерывно дифференцируема в каждой точке ветвления.

Сформулировать вариационную задачу иначе, а именно так: задано R, найти верхнюю границу величины потока тепла Nu ——1 для любого статистически стационарного решения уравнений ДОБ.

§ 91. Численный расчет одномодового и двухмодового решений. Замечания об асимптотическом пределе 卩一*8

Краевая задача (90.1) численно решалась методом квазилинеаризации с использованием метода ортонормализации Конте. Эти методы и дальнейшие подробности описаны в работе Гупты и Джозефа [1973].

Одномодовое решение. Графики одномодового решения при двух значениях 卩 построены на рис. 71 и 72. Эти кривые следует сравнить с рис. 68, где приведен график 8】для более простой вариационной задачи, в которой не предполагалось, что В = 0. В рассматриваемом случае 叫 #=仇 н выброс функции 仇 позволяет 吗又 принимать минимизирующее значение (примерно равное единице) в большей части области без увеличения значения производных w вблизи стенки. Предельная кривая переноса тепла ©工(卩) показана на рис. 70, 75 и 76.

Двухмодовое решение. Анализ двухмодового решения следует методам, описанным ранее в § 88. Как и в § 88, предпола-

гается, что ш2 ⑵ и 02 ⑵一антисимметричные, а 吗(z) и 仇⑵一 симметричные функции z. Графики двухмодового решения показаны на рис. 73 (ср. с рис. 69). Предельная кривая переноса тепла

G2 (卩)показана на рис. 70 и 76.G2 (卩)показана на рис. 70 и 76.Рис. 71. Одномодовое решение 似 # q 843,4, G = 201,4, Nu = 5,07). Четко выраженная структура пограничного слоя с 酬]®] а 1 во внутренней области еще не развита (Гупта и Джозеф [1973]).Рис. 71. Одномодовое решение 似 # q 843,4, G = 201,4, Nu = 5,07). Четко выраженная структура пограничного слоя с 酬]®] а 1 во внутренней области еще не развита (Гупта и Джозеф [1973]).Рис. 72. Одномодовое решение (卩= =2706, G = 382,1, Nu = 8,08). Структура пограничного слоя с 叫瓦《s 1 во внутренней области развита лучше, чем на рис. 71. Пограничный слой функции 叫力 сдвинут ближе к стенке за счет выброса 0! (Гупта и Джозеф [1973]).Рис. 72. Одномодовое решение (卩= =2706, G = 382,1, Nu = 8,08). Структура пограничного слоя с 叫瓦《s 1 во внутренней области развита лучше, чем на рис. 71. Пограничный слой функции 叫力 сдвинут ближе к стенке за счет выброса 0! (Гупта и Джозеф [1973]).

G2 (卩)показана на рис. 70 и 76.

G2 (卩)показана на рис. 70 и 76.

Рис. 71. Одномодовое решение 似 # q 843,4, G = 201,4, Nu = 5,07). Четко выраженная структура пограничного слоя с 酬]®] а 1 во внутренней области еще не развита (Гупта и Джозеф [1973]).

Рис. 71. Одномодовое решение 似 # q 843,4, G = 201,4, Nu = 5,07). Четко выраженная структура пограничного слоя с 酬]®] а 1 во внутренней области еще не развита (Гупта и Джозеф [1973]).

Рис. 72. Одномодовое решение (卩= =2706, G = 382,1, Nu = 8,08). Структура пограничного слоя с 叫瓦《s 1 во внутренней области развита лучше, чем на рис. 71. Пограничный слой функции 叫力 сдвинут ближе к стенке за счет выброса 0! (Гупта и Джозеф [1973]).

Рис. 72. Одномодовое решение (卩= =2706, G = 382,1, Nu = 8,08). Структура пограничного слоя с 叫瓦《s 1 во внутренней области развита лучше, чем на рис. 71. Пограничный слой функции 叫力 сдвинут ближе к стенке за счет выброса 0! (Гупта и Джозеф [1973]).

Тот же тип анализа «устойчивости», что и описанный в § 88, использовался для нахождения точки ответвления двухмодового решения от одномодового. Значения параметров в точке бифуркации таковы:

R = G12« 221,5;卩 12^958; Nu = 5,33; а| = 111,7.

Свойство ветвления. На рис. 74 представлено изменение некоторых мер амплитуды w2 при малых значениях 卩 —卩彈 2 0.

Этот график показывает, что w2 (и 02) стремится к нулю таким образом, что

lim^^u + m2 b卩一代工2

ограничен.

Многоходовые решения. Чтобы изучить решения с большими значениями М необходимо рассмотреть вариационную задачу при

Рис. 73. Двухмодовое решение (卩=3680, G = 428,7, Nu = 9,58). Здесь пограничный слой таков, что оЮ = а^б】+ ш202 приближенно равно значению во внутренних точках. Структура пограничного слоя развита достаточно хорошо (Гупта и Джозеф [1973]).

больших значениях |Л. В этом случае, по-видимому, разумно исследовать задачу методами пограничного слоя. Чжань [1971 ] провел такой анализ для задачи о регулярной конвекции в жидкости с бесконечным числом Прандтля. Гупта [1972 ] применил анализ Чжаня к рассматриваемой задаче и сравнил результаты с теми, которые удалось найти численными методами. Согласование результатов оказалось лишь качественным, количественного согласия, по-ви- димому, нет. Аппроксимация пограничного слоя основывается на предположении, что при большом 卩 везде, кроме небольшой области вблизи границы,

wQ = £ 吗仇—1.

Это пограничный слой скорее для ш0, чем для отдельных множителей 侬；и 仇.Такой тип структуры пограничного слоя уже ясно виден на рис. 71—73.

В рассматриваемой задаче аппроксимация пограничного слоя согласуется с различными специальными предположениями с

Рис. 74. Изменение двухмодового решения Гупты и Джозефа [1973] с 卩 вблизи точки бифуркации ()х,乱)=(р.12, G?) а (957,5, 221,5). Точки взяты из первых четырех граф таблицы 3 работы Гупты и Джозефа. Предполагается, что I dwjdz |z=1/2 = VН—Н12 f(Н)» где / (р,) — медленно меняющаяся функция. Тогда, как показано на рисунке, в двойном логарифмическом масштабе график lg I dsjdz I = V2 lg (卩——卩 12)+ 1g f (卩)должен представляться прямой с тангенсом угла наклона, равным % (Джозеф [1974а]).

большими трудностями, чем анализ, проведенный в § 89, и по-прежнему некоторые важные вопросы остаются нерешенными. Хотя результаты применения Гуптой анализа Чжаня, по-видимому, слишком неопределенны, чтобы приводить их здесь полностью, все же следует подчеркнуть два момента.

Известные соображения анализа размерности, которые приводят к закону Nu 〜R1/3 при Rf 8 в случае регулярной конвекции, в случае конвекции в пористом слое при R f 8 приводят к Nu 〜R. Бесконечное предельное значение числа Рэлея может быть легко достигнуто увеличением расстояния между пластинами

d до бесконечности при фиксированной разности температур АТ = Т2 —7\. Но в этом случае поток тепла (К A77d) Nu не должен зависеть от d, поскольку в задаче о переносе тепла в полу- бесконечной области при подогреве на границе характерный линейный размер отсутствует. Тогда число Нуссельта должно линейно меняться по d. Но число Нуссельта зависит от d только через число Рэлея, которое также линейно меняется по d. Отсюда следует, что Nu должно линейно зависеть от R при R f 8.

Только что приведенное соображение основывается, конечно, на предположении, что Nu зависит от d лишь через число Рэлея, а не через другие параметры, также зависящие от d. Оно было бы верно, если бы уравнения ДОБ были справедливы в пределе при больших R. Однако вряд ли следует ожидать, что эти уравнения будут справедливы, когда масштаб движений будет так же мал, как типичный размер пустот в пористом слое. Несмотря на это, некоторые эксперименты, по-видимому, согласуются с требованиями анализа размерности в пределе больших R.

Более разумно, однако, сравнивать предсказания анализа размерности с результатами вариационной теории, поскольку в обоих случаях предполагается, что уравнения ДОБ справедливы при больших R. Предсказание анализа размерности о тангенсе угла наклона кривой переноса тепла подтверждается результатами асимптотического анализа вариационной задачи.

Асимптотические результаты для N = \ и N = 2 недостаточно хорошо согласуются количественно с численными расчетами, несмотря на то что соответствующие кривые в двойном логарифмическом масштабе становятся параллельными.

§ 92. Кривая переноса тепла; сравнение теории и эксперимента

Хорошо установлено следующее свойство тепловой конвекции в чистой жидкости: с ростом R поток тепла Nu (R) меняется кусочно линейно. Такие качественные изменения формы кривой переноса тепла впервые наблюдались для задачи Бенара Шмидтом и Сондерсом [1938], а их важность впервые осознал Малкус [1954а ]. Точки перехода между отрезками «прямых» естественно отождествить с точками, где меняется характер конвективного движения. Кришнамурти [1970а, 19706] заново тщательно исследовала эти переходы и, по существу, повторила и расширила более ранние наблюдения. Она нашла, что при прохождении первой точки бифуркации течение меняет форму и двумерные стационарные валики перестраиваются в другое стационарное ячеистое течение.

Подобные переходные явления наблюдались в конвекции в пористом слое Комбарну и Ле-Фуром [1969], Буреттой [1972 ]

и Буреттой и Берманом [1976 ]. В экспериментах Буретты измерялся поток тепла в различных пористых слоях, состоящих из упакованных стеклянных шариков (диаметром 3, 6 и 14,3 мм) в цилиндрическом сосуде с малым отношением размеров (отношение высоты к диаметру менялось от Vio До VJ-

На рис. 75 результаты измерений потоков тепла в четырех из пяти серий экспериментов Буретты ^) сравниваются с численно

Рис. 75. Кривые переноса тепла и экспериментальные данные из работы Буретты [1972]. Решение получено Палмом, Вебером и Квернволдом [1972] методом возмущений. / ——верхний предел; 2 ——решение, полученное методом возмущений.

найденным теоретическим верхним пределом. Согласование эксперимента и теории оказывается просто удивительным. Данные Комбарну и Ле-Фура также, по-видимому, хорошо согласуются с теорией, но опубликованные экспериментальные результаты представлены в столь малом масштабе, что детальное сравнение с теорией провести очень трудно (рис. 76 )).

Характер согласования результатов теории и эксперимента представляет особый интерес. При проведении этого сравнения

Данные в одной серии опытов отличались от данных в четырех других примерно на 10%.

становятся важными свойства непрерывности теоретической кривой переноса тепла. Заметим, что тангенс угла наклона предельной кривой переноса тепла

dG 也)=〈(J% + 叫% —〈叫% + @2%〉)2〉

—_ — (耽% + 叫%〉2

должен быть непрерывен в точках бифуркации 也《 卩^，^2 = =& = 0). С другой стороны, поскольку производные dg (г; 卩)/d|x и d02 (г;卩)/如 конечны при 卩=皿(см. Гупта и Джозеф [1973 ]), возможен скачок в значении(PG/d^ при прохождении 卩 через значение 內？ снизу

Рис. 76. Сравнение предельной кривой переноса тепла с экспериментом. Кружки соответствуют данным Комбарну и Ле-Фура [1969], квадратики — данным Элдера [1967], крестики — данным Буретты и Бермана [1976].

Возвращаясь теперь к экспериментам, заметим, что наблюдаемые изменения тангенса угла наклона кривой переноса тепла недостаточно точны для установления характера разрыва в точке бифуркации. В самом деле, переходы, связанные со вторичными бифуркациями, могут в некоторых случаях иметь те же свойства непрерывности, что и предельная кривая переноса тепла. Имеются, конечно, и неустойчивости жесткого типа (snap through), которые наблюдались при разрушении ламинарного течения в трубе (ср. Джозеф и Сэттинджер [1972 ]). Такие неустойчивости,

как правило, связаны с явлением гистерезиса и обычно приводят к реальным разрывам кривой переноса тепла, а не к разрывам касательной.

Отсюда следует, что при предположении непрерывности тангенса угла наклона бифуркация могла бы проходить незамеченной в некотором интервале R > G12 и экспериментально наблюдаемое значение параметра в точке перехода оказалось бы завышенным. С учетом этого можно считать, что значения 280— 300, полученные Комбарну и Ле-Фуром, и значение 245, полученное Буреттой и Берманом, хорошо согласуются с нашим численно найденным значением д12 = 221,5.

Рассмотрев этот случай согласования теории и эксперимента, мы должны предупредить, что совпадения «верхних пределов» с кривой переноса тепла можно ожидать только тогда, когда решения уравнений ДОБ совпадают с решениями уравнений Эйлера для вариационной задачи. Это предостережение следует иметь в виду при сравнении кривых переноса тепла друг с другом (рис. 75) и с экспериментальными данными из трех различных работ (рис. 76). Кривая переноса тепла, показанная на рис. 75 штрихпунктиром, была вычислена Палмом с соавторами [1972] при помощи разложения решения по степеням е, аналогичного (78.18), но проведенного до £匕 Это решение является точным решением уравнений ДОБ для валиковой конвекции.

Глава XIII

ЗАДАЧИ НА УСТОЙЧИВОСТЬДЛЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

Полимерные расплавы, присадки нефтяных продуктов, взбитые сливки являются примерами вязкоупругих жидкостей. В течениях таких жидкостей наблюдаются эффекты, не имеющие аналогов в течениях ньютоновских жидкостей, таких, как воздух или вода. Особенно удивительные явления возникают при наличии в жидкости свободных поверхностей, на которых визуально обнаруживаются нормальные напряжения, существующие в вязкоупругих жидкостях при сильных сдвиговых движениях. Например, вращение сравнительно тонкого стержня в воде приводит к появлению углубления на свободной поверхности около стержня; когда тот же стержень вращается в некоторых вязкоупругих жидкостях, жидкость поднимается по стержню (см. рис. 77■■■79). Если горизонтальная струя воды выдавливается из капиллярной трубки при больших числах Рейнольдса, то она сжимается; когда некоторые вязкоупругие жидкости выдавливаются при тех же числах Рейнольдса из той же трубки, струя может увеличивать свой первоначальный диаметр в несколько раз (см. рис. 82). Высокие ячейки Тейлора в вязкоупругих жидкостях могут быть в четыре раза выше, чем ячейки, существующие при тех же условиях в ньютоновских жидкостях (см. рис. 83, 84). Для каждого из трех примеров, показанных на этих рисунках, возникает задача на устойчивость (см. § 95).

Механический отклик вязкоупругих жидкостей на действие сил не только много сложнее отклика ньютоновских жидкостей, но и оказывается различным в разных жидкостях и даже в одной и той же жидкости при различных типах движений.

Хотя имеется много важных задач на устойчивость для вязкоупругих жидкостей, общая нелинейная теория устойчивости пока не разработана. Даже в формальной линейной теории устойчивости еще имеется много противоречий и не установлен вид, который должны принимать теоремы об условной устойчивости в вязкоупругих жидкостях. Трудность в формулировке теории устойчивости в вязкоупругих жидкостях та же, которая мешает и развитию механической теории течений, —сложность отклика. В этой главе мы изучим устойчивость и бифуркацию течений

вязкоупругих жидкостей, которые Нолл [1958] называет простыми несжимаемыми жидкостями.'

Обозначения. Где возможно, я следовал обозначениям Трусделла и Нолла [1965]. Некоторые материалы этой главы взяты из моей работы [1974в ]. Примерно половину этой главы занимает новый, нигде еще не опубликованный материал. Первое упоминание этого нового материала может быть найдено в моем исследовании 1976 г. (с экспериментами Д. С. Биверса) свободной поверхности простой жидкости, возникающей при крутильных колебаниях стержня малого диаметра.

Я не собираюсь перечислять все символы, использованные в этой главе; большая их часть определяется по ходу изложения, остальные включены в приведенный ниже перечень.

X, Х[ —радиус-вектор частицы в состоянии покоя, декартовы компоненты X;

自(X, т, е), ^ —радиус-вектор частицы X в момент т, декартовы компоненты 自； Xf (х, т, е) = g —относительный радиус-вектор;

X/ (х, /, в) = х, х『— радиус-вектор частицы, находящейся в данный момент в х, декартовы компоненты х;

（V文万g）一9" w）-（V文万g）一9" w）-^ — X, X/ = х — при 8 = 0；

（V文万g）一9" w）-

（V文万g）一9" w）-

градиент, декартовы компоненты;

градиент, декартовы компоненты;

градиент, декартовы компоненты;

G (s), G (s, е), G/ (s) — предыстории; см. (93.40);

G (s), С (s),p(sx, s2), у (sb s2) —материальные функции (т. е. функции, описывающие физические свойства материала).

Мы примем следующее соглашение для компонент тензоров второго порядка. Пусть {е/ ——базис декартовой системы координат. Диадное произведение е£ и е^ обычно обозначается е^е^ или, как в этой работе, *е/・ Тензоры второго порядка могут быть представлены суммой диад

В = ezemB/m (выполняется соглашение о суммировании) с компонентами 8〃 = ez-В-ву. Градиент вектора определяется как

▽и =需 е/, (Vu)/y = d 山川々，

так что du = Vu*dx. Представления того же типа могут быть введены для любого ортонормированного базиса при условии,

что dx надлежащим образом выражено в криволинейных координатах.

Чтобы охарактеризовать простую несжимаемую жидкость, необходимо задать в явном виде функционал 夕[G (s)], представляющий дополнительное напряжение S. В этой главе приводятся различные виды аппроксимации для 歹.Эти аппроксимации связаны с функциональными разложениями 歹 и могут быть названы функциональными напряжениями. Ниже помещен список различных функциональных напряжений, определенных в тексте, с указанием номера соответствующих уравнений.

夕 三夕[G(s)]三夕G (s)；

s=0.

咒(93.6);

歹(％) (94.14a, 6), (94.15)- (94.17), (94.73);

歹《〃> (94.41), (94.42), (94.75);

S〃 (94.5);

S(n) (94.6), замечания к разд. 94 (б);

W(n) (94.9а);

S「 (94.96);

S?) стр. 512—513;

S《〃>(94.9в).

Большая часть теории, изложенной в § 94, была развита после того, как эта книга была сдана в печать. Было бы лучше материал, содержащийся в § 94, разделить на четыре параграфа (соответствующие разделам (а) — (г)) и изменить последовательность некоторых выводов. Во избежание сложных перестановок в тексте я был вынужден дать отнюдь не оптимальное (но, как я все же надеюсь, ясное) изложение новой теории.

§ 93. Несжимаемые простые жидкости.

Функциональные разложения и устойчивость

Простая жидкость является простым материалом, а простой материал можно грубо охарактеризовать следующим образом. Пусть

W = W(X, т)

—радиус-вектор частицы X в момент времени т. Деформация тела полностью определена, если известны радиусы-векторы g его материальных частицX. Декартовы компоненты градиента деформации Vx обозначены следующим образом:

dti/dXj = [Vxg]“ =尸〃.

Определяющее уравнение для простых материалов основывается на том, что напряжение Т в частице X, которая в данный момент t находится в точке

Х = Е(Х, о,задается тензорнозначным функционалом

Т=Т I F (т) ,(93.1)

—соJ

отображающим предысторию F (т) на настоящий момент времени 】). Требование, чтобы форма определяющего функционала ^ была неизменной при всех собственных ортогональных вращениях (Грин и Ривлин [1957 ]) или при всех ортогональных вращениях (Нолл [1958]), приводит к более явному представлению для напряжения Т:

T = FT(f) •笋 С (т)・F(f),(93.2)

8 J

где

C(t) = Ft(t).F(t)

является тензором деформации Коши——Грина. В декартовых координатах компоненты тензора имеют вид

где

&«)=寝 醫=[FT(t)・F(也

Нолл [1958], устанавливая различие между жидкостью и твердым телом, обращает внимание на то, что напряжения в жидкости должны быть неизменными при изменении отсчетной конфигурации, в которой определены материальные точки X ); в твердом же теле состояние напряжений в данный момент зависит от выбора отсчетной конфигурации, относительно которой измеряются деформации. В теории Нолла отсчетная конфигурация

исключается из кинематического описания траекторий и в качестве системы отсчета используется текущая конфигурация i)

Х = хт(х, Z);

при этом

W = W(x-i(x, 0, т)=左(х, т)(93.3)

— положение при t《f частицы, которая в данный момент находится в точке

X = X/ (х, 0-

Мы для краткости пишем 自=自(т) и х =自(f) и вводим градиент относительной деформации

冗⑺=双八[及(t)]z/ = dl/dxh Ff (f) = 1.

Из теории Нолла следует (Трусделл и Нолл [1965 ]), что напряжения в несжимаемой простой жидкости могут быть представлены следующим образом:

T + pl = S =歹[б (s)], 夕[0] = 0,(93.4а)

где s = / —т, в р включены все скалярные множители при единичном тензоре 1 и

G© = F『⑺・F"t)-L Gij&=寥黎G(0)=0.

(93.46)

Мы называем S дополнительным напряжением,歹 функционалом отклика, a G(s) предысторией.

Хотя простая «...жидкость может иметь определенную память о всем своем прошлом опыте, ее реакция на этот опыт сводится к сравнению его с текущей конфигурацией. Подобно администратору, жидкость имеет фильтрующую память: забывая разницу между настоящим и любым фиксированным или установленным прошлым состоянием дел, она вспоминает свои ранние деформации лишь путем непрерывной их переоценки с точки зрения целесообразности в текущий момент* (Трусделл [1974]).

Функциональные разложения 歹,устойчивость и бифуркация

Приступающие к изучению гидродинамики простых жидкостей удивляются тому, что необходимо сохранять различие между определяющими уравнениями, которые применяются к одной и той же жидкости, совершающей движения различного типа, т. е. что напряжения в простой жидкости зависят от предыстории

х) Иногда используется термин «актуальная конфигурация». — Прим, перев.

деформации и могут принимать совершенно различные формы, когда эти предыстории различны. Исследование простых жидкостей затруднительно из-за необходимости предварительно охарактеризовать материал, точно определяя 歹.

Функционалы отклика для конкретных физических жидкостей, справедливые для всевозможных движений, которые эта жидкость может совершать, в общем случае неизвестны (за одним приятным исключением для ньютоновских жидкостей), и, возможно, непознаваемы. Эту трудность можно обойти, постулируя математические модели или ограничивая G (s) классом, на котором 夕[G (s)] оказывается поддающимся исследованию. Такие функционалы 6Г получаются, например, на предысториях вискозиметрических течений, медленных установившихся движений и нестационарных движений малой амплитуды.

Понятие математических моделей логически неотличимо от определяющих уравнений; в этом смысле простая жидкость является моделью. При описании физических жидкостей, однако, желательно избегать использования слишком частных моделей, приводящих к весьма специальным формам для функционала отклика 5r. При изучении устойчивости и бифуркации естественно воздерживаться от чересчур специальных моделей жидкости и рассматривать движения, которые могут быть получены как возмущения предысторий Go (s), на которых с достаточной общностью можно установить поддающиеся исследованию функционалы 歹[Go (s) ]. Эта процедура требует рассмотрения функциональных производных функционала 夕 в точке Go (s).

Предположим, что предыстория задана в следующем виде:

G (s) = Go (s) + 8内工(s) + £262 (s)十・・・ + &nGn(s)・ (93.5)

Здесь G〃 (s) можно рассматривать как предыстории, вычисленные на траекториях, соответствующих заданным, кинематически допустимым, но в остальном произвольным полям скорости U〃 (х, т), т《Рассмотрим тензорнозначную функцию

❷(61, е2, . . ., 8дг) = ^ [Go + е& + ・・・ + &М%]・

Смешанная функциональная производная от 歹 /-го порядка в точке G (s) представляет собой полилинейную форму:

西冯…°s =夕⑺[仇 + *15 + • •・ + e^G^ : Gi, G2,G/];

эта производная является полилинейной и симметричной относительно тензоров G“ следующих за двоеточием. Мы называем

歹(0 [Go + eGi: 01, Gi,..歹(0 [Go + eGi: 01, Gi,..GJ三GJ三^歹[Go + eGdd8z^歹[Go + eGdd8z

歹(0 [Go + eGi: 01, Gi,..

歹(0 [Go + eGi: 01, Gi,..

GJ三

GJ三

^歹[Go + eGdd8z

^歹[Go + eGdd8z

функциональной производной /-го порядка в точке Go (s) + + eG] (s). Затем мы рассматриваем функциональное разложение, индуцированное аналитическими предысториями i):

G (s, £)= Go (s) + eG⑴⑸+ 4 G⑵(s) +导G⑶(s)十・・・・

Тогда

歹[G (s, e)j = ST [Go] + Е歹(1)[Go : GJ + 导｛歹⑵[Go: G⑴，G⑴]+

+ 歹(1)[Go : G(2)]) + 券｛歹⑶(Go: G⑴，G(i), G(i)] +

+ 2歹(2)[Go ： Gb G(2)] + 歹⑴[Go ： G(3)]｝ + 0 (谴)・

i) Предположение об аналитичности по е удобно, но не необходимо. Мы вычисляем производные решения по е при 8=0. Если вычисления проводятся до второго порядка, то требуется существование двух производных по е. Дифференцирование напряжений требует введения функциональных производных, подобных производным Гато и Фреше. Эти производные зависят от топологии пространства предысторий на области определения функционала. Колеман и Нолл [1960, 1961] использовали гильбертово пространство 厶(0, 8)с взвешенной нормой «затухающей памяти», которая быстро затухает при s—> оо. Работы Колемана и Нолла [1960, 1961 ] важны тем, что в них дан первый пример использования функциональных разложений для аппроксимации функционала 歹 Нолла в специальных асимптотических случаях. Разумеется, для выбора топологий пространства предысторий имеется много возможностей. Однако нельзя определить, какой выбор будет математически правильным, не потрудившись сначала над нахождением решений уравнений движения. Выбрав пространство начальных предысторий и установив, что оно обладает желаемыми свойствами, необходимо показать, что в совместимом с ним пространстве существует и эволюционирует решение уравнений движения с заданными условиями на границе. Эта сложная проблема недостаточно широко изучена в механике сплошных сред.

Необходимо добавить, что физические жидкости «ничего не знают> о нормированных пространствах. Такие жидкости могут успешно характеризоваться постоянными, функциями и другими величинами, которые могут быть измерены в лаборатории. Можно ожидать, что понятие пространства появится при уточнении природы сходимости, связанной с решениями уравнений движения, но, как мы уже заметили, о таких решениях мало что известно даже для жидкостей, функционал отклика для которых определяется уравнением, гораздо менее общим, чем S =笋[G (s)].

Ввиду сказанного выше я считаю, что при попытках разработать алгоритмы для решения задач о течениях жидкости было бы неразумно с самого начала ограничиваться некоторым частным пространством предысторий (да в этом и нет никакой необходимости). Разумеется, полная математическая теория со временем будет включать каталоги пространств допустимых предысторий и их свойства.

Обозначения для функциональных производных, использованные в этой главе, подсказывают, что имеются в виду производные Гато. Вопросы непрерывности, для которых потребовалось бы отличать одни производные от других, здесь обсуждаться не будут.

Вводя обозначение (•)(〃)= и! (•)„, получаем

夕[G (s, е)]=夕[Go] + е^Юо: GJ + 82 {^2 [Go: Gx, GJ +

+ 夕JG。： GJ) + * {夕з& : G, Gb GJ +

+ 2夕2 [Go: Gl G2] + ^i[G0: G31| + O(84).

(93.6)

Порождение предыстории движения

Фактически предыстории G (s) не заданы; они получаются как решения уравнений, которые определяют движение. Разумеется, заданная предыстория может всегда рассматриваться как решение уравнений движения, вызываемого подобранным надлежащим образом внешним полем массовых сил. Тогда необходимо найти последующее движение под действием вынуждающего поля, но уже не подбираемого, а заданного априори как внешнее условие. Последующее движение удовлетворяет задаче с начальной предысторией:

Р (需+ U・VU)=-Vp + V•夕[G(s,叨+ %(x,力叫(93.7) div U = 0, U|d> = f2(x, /, 8), U (х, т, 8)задано при т < t

В настоящее время теории единственности и существования для этой задачи нет (даже для случая стационарных решений).

Параметр 8 определяется при конкретизации постановки задачи. В задачах, где движение вызывается внешними условиями, за масштаб 8 можно принять величину вынуждающего воздействия; тогда 8 = 0 соответствует состоянию покоя Go (s) = 0. В этом случае малые движения, вызываемые стационарными или нестационарными вынуждающими воздействиями, могут быть представлены в виде степенных рядов по s методами, которые будут описаны в § 94 (б). В задаче со свободной поверхностью, индуцируемой крутильными колебаниями стержня, 8 = ш0/2, где(о —частота колебаний, а 0—угол закручивания. В задачах об устойчивости и бифуркациях 8 определяется как мера амплитуды возмущения некоторого заданного движения с предысторией Go (s).

Устойчивость и бифуркация стационарного течения

Поучительно рассмотреть задачу об устойчивости и бифуркации стационарного течения. Установившееся течение U (х) со- леноидально и является решением задачи

pU.VU = —Vp0 + V• ^[Go(s)] в объеме。， U|" = f(x)・ (93.8)

Эту задачу нельзя решить, не уточнив предварительно связь между 夕 н Go (s). Точные решения задачи (93.8) в явном виде известны для специальных сдвиговых движений, которые Колеман [1962] назвал вискозиметрическими (Ривлин [19566], Колеман и Нолл [1959 ]). В установившемся течении дифференциальное уравнение для траектории допускает разделение переменных 嚟 j ⑥，g(f) = x,

так что

g (т) — х = ф (х, s), <р(х, 0) = 0(93.9)

и

V^ = 1 + V(p (х, s) = Ff (т), t = / — S・

Вид q> (x, s) задается согласно (93.12), и

Go(s) = F；(f-s)・Ff(f-s)_L

Полагая теперь, что система уравнений (93.8) решена относительно U (х) и что Go (s) вычислено, рассмотрим эволюцию возмущения ей решения U. Движение U (х) + eu (х, /, 8)порождает предысторию G (s, е). Имея в виду анализ, который будет дан в § 94, предположим, что G (s, 8)можно представить в виде ряда (93.5). Принимая во внимание тот факт, что U + ей, % + 叩 и G (s, 8)удовлетворяют задаче (93.7), a U, р0 и Go (s) удовлетворяют задаче (93.8), найдем, что соленоидальные поля u (х, t9 е), эволюционирующие из заданных начальных предысторий и (х, т, 8), т « /, удовлетворяют задаче

Р [-^+U.Vu + u.VU+ eu-Vu] =-Vp + V•歹JG。： GJ +

+ &{V・^2[Go：Gi, G1] + V.^1[Go：G2]} + 0(8), (93.10) u(x, z, e)|ay = 0・

Преимущество введения функционального разложения состоит в том, что функциональные производные являются полиномиальными формами, структура которых много проще структуры исходного функционала^*. Задача (93.10) все еще является очень трудной, а ее математические основания (теоремы существования и единственности и т. д.) до сих пор не установлены даже для рассматриваемого ниже линеаризованного случая 】).

В линейной теории устойчивости мы полагаем е = 0 и рассматриваем упрощенную задачу

Р 僚+ U・Vu + u・VU] =—Vp + V-^i[Go：GJ, (93.11) u(x,厶 0)|"=0,

u(x, т, 0) задано в ” при т < Л

Для исследования этой задачи необходимо знать форму первой функциональной производной ^ в точке Go. Общие представления для夕工[Go : (•) 1, когда Go (s) —предыстория произвольного стационарного движения, в настоящее время не известны. Общие представления для^ [Go ： (•)], когда Go (s) — предыстория виско- зиметрического течения (подобного тем, которые обсуждаются в упражнении 93.4), даны Пипкином и Оуэном [1967 ] и Пипкином [1968 ]. Эти представления могут быть использованы при изучении линейной устойчивости вис коз иметр ичес к и х течений. Согласно Пипкину и Оуэну (с. 836), «Связь между возмущениями напряжений и предысторией возмущений деформаций подобна линейной связи вязкоупругих напряжений и деформаций для анизотропного материала, обладающего такими же симметриями, как и при невозмущенном движении. Оказывается, что в наиболее общем случае для описания всех взаимодействий, допускаемых симметрией, требуется двадцать линейных функционалов. В случае несжимаемых жидкостей число нужных функционалов понижается до тринадцати».

Исследование бифуркации еще сложнее: даже в низшем нетривиальном порядке (члены О(8)в уравнениях (93.10)) необходимо получить общие представления для второй функциональной производной夕2 [Go : (•)，(•)] от функционала 声 в точке Go. Такие представления неизвестны даже в том случае, когда Go является предысторией вискозиметрического течения. Ситуация существенно проясняется, когда Go (s) = 0 является предысторией состояния покоя. Мы рассмотрим этот случай далее.

Упражнение 93.1. Предполагая, что относительный радиус-вектор 器(х, т)— аналитическая функция т, показать, что

厶(х, т) = х+(/и° (Х> т),(93」2)

/п=1

где (U)является m-й материальной производной U (х, /) по времени. Вывести заключение, что для установившегося течения %, (х, т) = % (х, s) не зависит от /.

Упражнение 93.2. Показать, что

F(t) = F,⑴・F(f),&(T)=FT «卢 C ⑴・F"(f),

И

警・FT(f) = VU 三 L, U(xJ)=祭•

Эти соотношения (как и те, которые будут приведены в упражнении 94.1) имеются, например, у Трусделла и Нолла [1965, с. 45—56] и Астариты и Маруччи [1974, гл. ПЦ.

Упражнение 93.3. Рассмотреть спиральное течение простой жидкости между концентрическими цилиндрами, используя цилиндрическую систему координат (г, 0, %). Показать, что существует осесимметричное спиральное течение U = =e*U (г) + е^У (г). Показать, что существует двумерное вращение вокруг каждого вектора ег и в тангенциальной плоскости к цилиндру г = const, такое, что единственной отличной от нуля компонентой тензора скоростей деформаций D является

20；% = 乂.

Считая, что угол, измеряемый от оси х в тангенциальной плоскости, равен а, показать, что

2О，е — х sin a, 20a = х cos а и

代=/(2%)2+(2%)2 = 2%.

Упражнение 93.4 (Ривлин [19566], Марковиц [1957], Колеман и Нолл [1961 ]). Какова форма, которую 歹 должен принимать в ньютоновской жидкости? Показать, что в случае, когда G (s) является предысторией спирального течения, напряжения 歹 могут быть вычислены, если известны три функции локальной скорости сдвига 代 ).

§ 94. Устойчивость и бифуркация состояния покоя

& Для изучения устойчивости состояния покоя рассмотрим задачу с начальными данными о возмущениях состояния покоя в замкнутом сосуде”； таким образом,

р [絹+U・VU] +Vp = V•夕，V-U=O, U|" = 0, (94.1) где U (х, /) —возмущение и 歹 вычисляется на предыстории возмущения U. которая предполагается заданной вплоть до момента I. Энергия этого возмущения удовлетворяет уравнению

号备〈|U『〉= -〈AJU]:39，&[U] = VU + VUt, (94.2)

где интеграл (Ах :歹〉называется мощностью напряжений. Для ньютоновских жидкостей этот интеграл может быть записан следующим образом (см. упражнение 3.1):

(人:歹)=卩(人: %)= 2卩〈25〉

Состояние покоя ньютоновской жидкости глобально и монотонно устойчиво (см. упражнение 4.4), поскольку мощность напряжений —положительно определенная величина.

Трусделл [1952] и Нолл (не опубликовано, см. Трусделл и Нолл [1965, с. 511 ]) показали, что мощность напряжений не может быть положительной для всех кинематически допустимых движений и для всех возможных жидкостей. Их результаты, а также результаты Колемана [1962 ] и Данна и Фосдика [1974 ] указывают, что существуют кинематически допустимые движения, которые приводят к отрицательным значениям для мощности напряжений даже в тех случаях, когда функционал отклика, по-видимому, имеет вполне реалистический вид.

Конечно, нельзя сделать какого-либо заключения об асимптотической устойчивости состояния покоя, не рассматривая «судьбу» возмущений, которые удовлетворяют уравнениям (94.1). Однако, поскольку кинематически допустимые возмущения можно принять в качестве начальных условий для (94.2), по-видимому, невозможно гарантировать монотонную устойчивость даже в классе динамически допустимых решений задачи (94.1).

Представляется неоспоримо верным, что функционалы отклика, которые приводят к неустойчивости состояния покоя, дают неправильное описание физических жидкостей. Эта точка зрения, по-видимому, была впервые ясно выражена Крейком [1968]. Крейк рассматривает устойчивость состояния покоя вязкоупругой жидкости, заключенной между горизонтальными бесконечными плоскими пластинами, относительно бесконечно малых двухмерных возмущений. Он замечает, что «на основании физических соображений мы можем утверждать, что любая физически реальная модель должна обладать следующим свойством: слой покоящейся жидкости между двумя жесткими горизонтальными плоскими пластинами находится в состоянии устойчивого равновесия». Это интуитивно правильная мысль: состояние покоя должно быть конечной формой каждого решения задачи с начальными данными для жидкости, которая заполняет сосуд с неподвижными стенками, при отсутствии массовых сил, способных вызвать движение. Я бы считал, что физические жидкости описываются только теми функционалами отклика, которые приводят к устойчивости состояния покоя.

Для изучения задачи (94.1) мы должны знать что-нибудь о напряжении 歹. Доступные исследованию функционалы 夕

получаются на медленных движениях и на неустановившихся движениях малой амплитуды. Малые амплитуды движений неизбежны при анализе устойчивости и бифуркаций, и они составляют основу для приведенного ниже исследования.

Медленное движение

Теперь мы рассмотрим часто используемую, но приводящую к недоразумениям процедуру для изучения устойчивости. Согласно этой процедуре, определяющее уравнение, правильное для медленных движений, используется для пробы на устойчивость относительно возмущений, которые могут считаться малыми, но не медленными. В теории медленных движений рассматривается возмущение состояния покоя Go (s) полем малой скорости, пропорциональными ей (х, /), и даже еще меньшим полем уско- (т)

рений высшей степени, пропорциональным gm+iu (х, /), где и (х, 0, /и > 0, суть ограниченные поля. Некоторым обоснованием для теории медленного движения является теорема о замедлении Колемана и Нолла [1960]. Функциональное разложение может быть также формально получено при помощи модели — жидкости Ривлина——Эриксена (см. замечания на стр. 501). В теории медленных движений функциональные разложения определяются через тензоры Ривлина—Эриксена (см. замечания к § 94 (б)). Эти тензоры получаются как производные относительного тензора деформаций Коши—Грина & (т) = F； (t)・F*t), вычисленные в момент t = /:'

= [备a⑺

Тензоры А〃 могут быть выражены через тензор скоростей деформаций А】=VU + VUT при помощи следующей рекуррентной формулы (см. упражнение 94.1):

A〃+i = ON/t + U-VArt + Art-VU + (А公 VU)*(94.3a)

(A〃・VU)〃 = (AJWS/0Xj.

Отсюда следует, что тензор Art можно рассматривать как отобра* жение векторов скорости на тензоры второго порядка. Мы указываем эту функциональную зависимость записью Ап = =АЛ [U (х, 0 ]. Предыстория движений, аналитическая в точке s = / — т, может быть соотнесена с Ап разложением предыстории

G ⑹=£(- 1尸斗 А/U (х,⑪(94.36)

Колеман и Нолл [1960 ] показали, что если ^ имеет затухающую память в определенном ими смысле и предыстория Ge (s) = =G (es) представляет собой замедление заданного течения G (s), a G (s) является аналитической функцией, так что

Q(s)= £ 斗俨q(s)@〃)|s=o= £ 館’/1=1m=1

где An = e"A几,a An —тензоры Ривлина—Эриксена, вычисленные на скорости U (х, 0, то S задается выражением

S =夕 G g(s)] — £ Sn [А/г, А〃一i, . . ., Aj. (94.4) s=0 J n=l

Тензорнозначную функцию S〃 от A〃 можно выписать в явном виде (см., например, Трусделл н Нолл [1965]). Первые четыре функции S〃 таковы:

SJAJ = (лАх,(94.5а)

S2 [Ai, А2] =(Х1А2 +(Х2А；,(94.56)

S3 [Ах, А2, A3] = 0]Аз + 132 1A2A丄 + А//+ Вз (tr А?) А]. (94.5в)

S4 [Ai, А2, Аз, А/ = Y1A4 + 丫2(А3А1 + А1Аз) + узА^ +

+ 丫4(А2А1 + А1А2) + 丫5 (tr А2) А2 + 丫6 (tr A2) Ai +

+ [% tr A3 + %(tr AiA2)] Ai.(94.5г)

Коэффициенты 卩，a】，a2, }, p2, рз, %, ...,也 —постоянные или в общем случае функции от температуры. Функции S〃 представляют собой линейные комбинации функциональных производных, вычисленных на предыстории состояния покоя Go (s) = 0 (см. упражнение 94.4). Тензор S" линеен относительно Ап:

S〃 = a；1A〃 + 夕〃 [А〃一1, . . Aj(94.5д)

где ап — постоянная. Частичные суммы

S(ao =工 S/A…・・，Ad(94.6)

n=l

являются тензорами напряжений для жидкостей Колемана— Нолла степени 府.На замедленных движениях

S(n)= £ Sn [Art, . . ., Aj = У； enSrt [An, . . ., Aj M=1M=1

является аппроксимацией выражения (94.4) с ошибкой порядка №+i.

Замедленные движения являются медленными движениями, для которых частные производные по времени при фиксированном I также являются малыми. Такие движения можно рассматривать как возмущения состояния покоя. Они имеют малые скорости и еще меньшие ускорения. Пусть ^ (X, тЛ) = » (х, т')— радиус-вектор частицы X в некотором медленном движении, и пусть е —параметр, характеризующий меру замедления(8 можно рассматривать как масштаб сил, вызывающих течение; при 8 = 0 жидкость находится в покое). Скорость медленного движения

где тх = т/е и g (X, т)=厚(X, т‘)，стремится к нулю вместе с е, потому что скорость

u(£ T)==dg(X, T)/dr ограничена. Отсюда следует, что m-е ускорение в медленном движении

(/п)(/п+1)(тп+1)(т)

и (R Y)= Г (X, Y) = “+1 自(X, т) = е^и 信 т)

равно gm+* умноженному на ограниченное поле. Ускорения высшего порядка в медленном движении должны быть очень малы. Мы можем рассматривать тг = т/e как масштаб времени, в котором движение не является медленным; например, задавая е = =1/3600, мы измеряем тЛ в секундах, а т в часах.

Положение частицы, находящейся в данный момент в х, в медленном движении задается так:

Мх,展07?£等6&，)=2华喟2 m=1/п=1

= %f(x, f —es),(94.7)

а его предыстория —так:

GVy^^^A^Wx,十)]Пe^^.他(玄 3 = G8(s). m=l/п=1

(94.8)

Отсюда следует, что движение, которое «замедляют» Колеман и Нолл, является ограниченным полем, связанным с и (х, /) и получающимся из медленного движения при изменении масштаба времени.

Наиболее важным применением теории медленных движений являются медленные установившиеся движения 】).В установившихся движениях нет необходимости изменять масштаб времени; (94.7) и (94.8) следуют непосредственно из изменения масштаба скорости U (х) = ей (х). Понятие медленного движения гораздо лучше подходит для обсуждения медленных установившихся движений. Важное упрощающее свойство для установившегося течения состоит в том, что для этих течений dkjdt = 0 и

АЛ, S〃 一 однородные тензорные полиномы степени 〃/w U (х).

Для медленных установившихся движений A〃【U ] = А几[ей]= =МА以[и] = Ма% и

8___ N _

S= £ enSn[u, . . ., u] = lim S(%), S(%)=工 ertSn, (94.9a) n=lAf">8n=l

где

S〃[u, . .^] == ^Л [ An [u], . . A] [u]] = S〃 [a〃，. . .，a J

Теперь предположим, что для медленного установившегося движения решение аналитично по е и что

U(X； е) = X 8/-U</>.

Тогда

W/u,.・.，uj = sJ £ 理一”，〉，・..，S &*%〈％〉= 1^1=1%=1-

=f /“S产，(94.96)

где

S「=£(”[ug, W% и""].

Здесь £U)означает суммирование при фиксированном целом / по всем "множествам целых чисел 々 А 1, таких, что

/=1 -%+工分；

4=1

например,

5产=e(运2[{“，”叩，

где E(Q означает суммирование по всем множествам целых чисел q а 1, г2 A 1, таких, что q + % = / + 1・ Из (94.9) следует, что

S =纟即S《％M=1где S《"> суть частные производные

S"〉= £ 歹=扌票，(94・9в)

q+l=n+l8=0

вычисленные на движении U = £U (х; s).

При неустановившихся возмущениях состояния покоя мы можем считать, что скорости малы:

U (х, f) = 8U (х, £) (m)(m)(m)(т)

и ускорения малы: U =£% но не столь малы U = em+1u, как в замедленных движениях. Более того, даже беглый взгляд на (94.36) показывает, что тензоры Ривлина—Эриксена не являются однородными полиномами по и, когда и нестационарно. Действительно, используя (94.36), находим, что

АЛ [8U (х, £)] = 8 ахНh(94.10)

где а】=Ai [и].

Для того чтобы линеаризовать функционал отклика, устремим е к 0; тогда, используя (94.10), найдем линеаризацию ^[G (s)]:

где G (s) — предыстория, связанная с U (х, /)・

Снова применяя (94.10), (94.5) и (94.6), находим линеаризацию

S(n+i)— peaj + е £ % (dn^/dtn)(94.12)

n=l

(N > 0) тензора напряжений

S(%+i)= £ Sn [An, Ал_1, . . ., Ai](94.13)

n=i

жидкостей степени N + 1.

Жидкости степени ^ иногда рассматриваются как модели некоторых физических жидкостей. Сторонники этой точки зрения» утверждают, что ньютоновская жидкость (жидкость Колемана — Нолла степени 1) представляет собой пример, где модель является точной. Другая точка зрения состоит в том, что ньютоновские жидкости являются исключением и что большинство неньютоновских жидкостей может быть аппроксимировано жидкостью степени ^ лишь в смысле аппроксимации замедления. В вопросах, касающихся исследования устойчивости, я предпочитаю вторую точку зрения. Дело в том, что аппроксимация замедления (94.12) может быть получена из (94.11) только в предположении, что

(т)

ускорения столь же малы, как 8m+1u (х, Л. Это предположение не вытекает из требований задач на устойчивость, и время не следует замедлять. В самом деле, в исследованиях устойчивости мы должны хотя бы допустить возможность существования произвольной частоты для колебаний малой амплитуды; это, конечно, не предполагается в аппроксимации «замедленного времени».

Нестационарные возмущения состояния покоя

Можно построить общую и вполне обозримую теорию возмущений состояния покоя на основании определяющих уравнений для жидкостей интегрального типа. Эти определяющие уравнения не ограничивают искусственно допустимые движения слишком малым классом, как это делается в аппроксимации медленных движений. Амплитуды движений, при которых считается возможным привести 歹 к интегральному виду, малы в смысле, который будет установлен ниже, но ускорения не ограничены никакими дополнительными требованиями, кроме согласованности с малыми амплитудами: допускаются произвольные частоты, если амплитуды малы. Общие асимптотические аппроксимации, приводящие к жидкостям сложности N (см. замечания к § 94 (б)) и степени М могут рассматриваться как специальные случаи жидкостей интегрального типа. В частности, жидкости степени ^ автоматически получаются из интегральных, когда внешние условия таковы, что вызывают предысторию, соответствующую медленному движению.

Грин и Ривлин [1957] заметили, что функционал отклика для простых материалов может быть равномерно аппроксимирован интегралами от полиномов, когда область определения функционала отклика является подходящим пространством функций, а ^непрерывен по некоторой мере непрерывности, соответствующей этому пространству. Мягкие условия непрерывности были установлены Шаконом и Ривлином [1964 ]. Математическим базисом для представления 歹 через кратные интегралы от полино-

мов относительно предысторий является теорема Стоуна—Вейер- штрасса. Эта теорема представляет собой обобщение на функционалы известной теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций. Ядра Ки …тп аппроксимирующих полиномов

夕器)=[Kijkl (s) Gkl (s) ds + f J Kijkltnn(Sl, S2)G^z(si) x

бо о

X Gm”(S?) dS] ds? + J …J Kj/在/ ... mti (^1> ^2> • • •> ^v) X00

X Gki(Si)* • •Gmn (Sn) cfs】…dsN (94.14a) ограничены симметриями ^ (см. Спенсер и Ривлин [1960] и Трусделл и Нолл [1965, с. 98—1001). Коэффициенты (здесь ядра) аппроксимирующих полиномов Вейерштрасса в общем случае не являются коэффициентами Тейлора, поэтому ядра К зависят от У и не являются материальными параметрами.

Теперь, следуя Колеману и Ноллу [1961 ] и Пипкину [1964 ], предположим, что

夕(N)= 夕⑺[0: G, . •・，G] (94.146)

л=1〃 раз

является функциональной производной 夕 в состоянии покоя и что 夕=lim 歹(”(94.14b)

N今8

Мы следуем терминологии Трусделла и Нолла [1965] и называем 歹(")жидкостью интегрального типа порядка ^. Основное следствие (94.146) состоит в том, что ядра в тензорах Грина—Ривлина (94.14а) должны рассматриваться как материальные функции, не зависящие от N. Полное обсуждение представления h через кратные интегралы для несжимаемых материалов до третьего порядка включительно дано Пипкином [1964 ]. Уравнение (94.14в) можно рассматривать как основную определяющую гипотезу для решения задач, которое может быть построено как возмущение состояния покоя.

Изотропные формы тензора 夕(%) легко получаются из следующего условия: каждая подынтегральная величина в тензоре 夕(") является изотропным полиномом степени т « N относительно тензоров деформаций G (sj; мы требуем, чтобы эти полиномы были изотропными тензорнозначными /n-линейными формами относительно G^, когда все т «времен» s】,s2, ..., s^ различны. Когда все «времена» равны, мы можем использовать теорию инвариантов для полиномов от одного тензора и установить, что ядра К являются изотропными тензорами четного порядка и

поэтому выражаются через произведения дельта-символов Кронекера (см. упражнение 94.7). В результате получается

夕(】)=j 2：(s)G(s) ds,(94.15)

о

夕⑵=夕⑴+ J J 伸回，s2)G(s1).G(s2) + a(s1) s2) xо 0

X [trG(s1)]G(s2)}rfs1 as2,(94.16)

夕(Л0 =夕(心1)+Мкратннй интеграл по всем iV-линейным произведениям G (s).(94.17)

Без потери общности можно принять, что коэффициенты при симметричных произведениях G (s, • G (s2) •... • G (s, симметричны. Например, можно положить 0 的，s2) = р (s2, s) потому что если В (Sj, s2) имеет антисимметричную часть, то в выражениях для 夕叫加纟2, эта часть при интегрировании даст нуль.

Различные определяющие аппроксимации, которые используются при изучении течений простых жидкостей, можно рассматривать как частные случаи определяющего уравнения (94.14в). Жидкости сложности ^ будут обсуждаться в замечаниях в конце § 94 (б). Жидкости степени N получаются из интегральных жидкостей порядка М когда движение медленно, а его предыстория выражается через степени параметра замедления 8, как в (94.8). Для жидкостей степени 2 это впервые было замечено Колеманом и Марковицем [1964]; в этом случае

夕⑵[& ⑹]=叩 A Ju (х, /)] + и {aiA2[u (х, t)] +

+ a2A彳[u(x, 2)]} +0(£3).(94.18)

Члены, которые получаются из коэффициента a (s】,s2) в (94.16), оказываются О(83) потому, что

tr G (s, 8)О(82) при trAi = O.(94.19)

Коэффициенты 卩,ax и a2 связаны с материальными функциями формулами Колемана—Марковица [19641:

卩=—j sg (s) ds,(94.20а)

о

% = j S/2)g(s)ds(94.206)

d

и

a2 = J J p 备，S2) s~2dS】 dS?.(94.20b)

о о

Если ^ (s) < 0, то |л > 0 и «i < 0. Аналогично проводится анализ жидкости третьего порядка (упражнение 94.8).

Обратим внимание на то, что, как следует из (94.19), в аппроксимации замедления второго порядка материальная функция a(S], S2) оказывается излишней. Это справедливо и в общем случае без замедления каждый раз, когда (94.16) интерпретируется как возмущение 歹[G (s, s) ] в случае малых деформаций в смысле Колемана и Нолла [1961 ] или как возмущение состояния покоя в почти произвольном смысле (Пипкин [1964 ]) и особенно в смысле теории возмущений, которая будет развита ниже.

Мы считаем, что предыстория G (s, в) задается в виде ряда G (s, 8)= eGj (s) + e2G2 (s) + О(83), где G】(s) и G2 (s) еще нужно определить. Поскольку р (sn s2) симметрична по s^ и $, ее можно записать в виде

В 回 S2)=吗磊：)，где V(Si, s2) = y(s2, Sjl).

Мы называем у (sp s2) квадратичным модулем релаксации сдвига. Линейный модуль релаксации сдвига G задается выражением

Ks) = dG/ds.

После интегрирования (94.16) по частям и использования второй формулы упражнения 94.1 находим, что

夕⑵[G (s, 8)] = j G ⑹ J (f 一 s, 8)ds + 0

+ j jy® S2)J(/-Sl £)・J(f-S2, e) ds^ + O^l (94.21) о 0

где

JQ—s, £)= F；(f-s, e)A」U& f — s,叨・Ff(f — s, £)•

Наш план состоит в том, чтобы избавиться от лишних членов О (е3) в (94.17) и (94.21). Для этого удобно разработать кинематику для возмущений относительно состояния покоя. Пусть X — радиус-вектор частицы при отсутствии движения (е = 0). Радиус-вектор частицы, которая была в X при 8 = 0, для т « f задается как * = g (X, т, 8), причем х =自(X,力 8)—радиус- вектор той же частицы в настоящий момент. Пусть g — аналитическая функция 8； тогда

夕X, т, £] = X + £ 吸山(X,矶 gW (X, 0 = xW, (94.22)

и скорость представляется как

и 6, Т, E)= ai(£ G £)= £ £唸“]仆，т)= £ 8«и^(Х, т).

М=1М=1

(94.23)

Полезно определить производные, в которых фиксировано X, и производные, в которых фиксировано х (в проводимых ниже вычислениях весьма важно, чтобы функции и их аргументы были точно определены). Пусть / (х(8), /, 8)и ^(Х, /, 8)—произвольные гладкие функции. Если 80, то х -> X (а также 官(т, s)—

f X). Введем следующие определения:

g^ (X, %) = * у^-, X считается постоянным;

/<п>(х, /) = —： , х (в) считается постоянным (94.24)

“ °£ е=о при дифференцировании; после

дифференцирования х (0) = X;

产(X, 9 ==(备 + 备%)九=0.

Отображения X — х, X 一 自 являются взаимно однозначными.

Градиент деформации

[F(t, £)]“=а&(Х, т, SldXj также можно разложить в ряд:

[F(t,叽―门舒0,T).

2 Г死尸词U唱2]]2 Г死尸词U唱2]]+。（叫+。（叫Используя тот факт, что F (т, e)・Fr (т, е) = 1, получаем

2 Г死尸词U唱2]]

2 Г死尸词U唱2]]

+。（叫

+。（叫

(94.25)(94.25)『Т (% £)],•/=“•/• — £ 而

(94.25)

(94.25)

Теперь вычислим

Ff(q £)= F(t, e)・F7(2, e) = 1 十 e 尸皿⑴一FE ⑴]+ + e2[F[2](T)_ F[2]⑴—FE ⑴(FW (т) — FE ⑴)]+ O(83),(94.26)

где, например,

F^l (t) = Vx^21(X, т).

Наконец, составим

G(s, e) = F；“，e).F/(т, £)— 1 = £Gi(s) +『G2(s) + O(£3), (94.27) где

Gi(s) = 2 [ЕЕ (f — s) — ЕЕ (切(94.28)

—бесконечно малая деформация и

G2(s) = 2 [ЕН (f 一 s) — Е〔2]⑴]+ ft 口] (f 一 s)・ FE (f — s) +

+ Ft и】⑴.FE (0 + FE ⑴.FE (/) + FT 口] (/)・ Ft "I ⑴一

—2 尸"I (/)・ EE (/ — s) + EE (f - s)・ Flu ⑼(94.29)

—бесконечно малая деформация второго порядка, где

ES] = %[FTg + FS".

Используя (94.27)—(94.29), находим, что (94.16) принимает вид 夕[2] [G (S, £)] = /《(s) G1 ⑸ ds + £2 j《⑶ G2 (s) ds +

о0

+ 巒 j j В 回 S2)Gi (Si)・G]闯 dS] ds2 + 0 (叫 (94.30) о 6

В (94.30) мы получили неприводимое представление аппроксимации второго порядка определяющего уравнения для несжимаемой простой жидкости интегрального типа. Но выражение (94.30) еще не представлено в наиболее удобном для вычислений виде. Канонические формы (94.41), (94.42), (94.50), (94.51) получаются при отыскании наиболее удобных вычислительных алгоритмов для порождающих предысторий как решений уравнений движения. Для того чтобы мотивировать такой анализ, построим решение следующей задачи с вынуждающим воздействием в виде возмущения состояния покоя:

Р (1Г + U *VU ) = -Vp + ^-^lG (s)] + 8f (x, 0，(94.31a) где

U(x, /)€H = {U:divU = 0, U(x,川犷= 0}.(94.316)

Мы полагаем, что f (х, /) = f (х, / + Т), т. е. что движение возникает вследствие периодического воздействия, и ищем периодические по времени решения. Уравнения (94.31а) и div U = 0 в ” имеют вид

? (х,力 е) = 0, х€”， £ С /,(94.32)

где I—некоторый открытый интервал, включающий начало отсчета. Поскольку " = 0 —тождество по 8, то

夕⑺(X, t) = О, Е(Х, т, £)= Х при £ = 0 для всех т « 力

(94.33)

и поскольку ? = 0 — тождество также и по х, то

?[1](Х, /) = ?⑴(X, f) + x"]・Vx?(X, /, 0) = ?〈D(X, 0 = 0.

По индукции мы находим, что