ПРЕДИСЛОВИЕ

Замысел этой монографии возник в связи с докладом «Парадоксы вязких течений» одного из авторов па VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в Ташкенте в сентябре 1986 г. Проблема парадоксов привлекла неожиданно большое внимание даже тех специалистов, чья непосредственная профессиональная деятельность не связана с динамикой вязкой жидкости. Поэтому есть основания ожидать, что монография заинтересует достаточно большой круг читателей.

Парадоксы занимают важное место в научном познании. Они составляют существенный элемент при формировании научного мировоззрения, акцентируя внимание на нетривиальном характере научных теорий и фактов. С другой стороны, возбуждая воображение исследователей, они служат мощным импульсом для дальнейшего развития науки. Гидродинамика не составляет в этом отношении исключения, что было показано в курсе Г. Биркгофа. И хотя гидромеханика — классическая область знаний, в ее современном развитии парадоксы играют по-прежнему немаловажную роль. И, пожалуй, наиболее богата парадоксами, число которых, по-види- мому, далеко от насыщения, динамика вязкой жидкости.

Структура книги такова. В первой главе обсуждаются общие вопросы и уже известные наиболее существенные парадоксы динамики вязкой жидкости. В последующих трех главах излагается новый материал. Во второй и третьей главах показаны парадоксальные свойства автомодельных решений уравнений Навье — Стокса из двух обширных классов — конических течений, в которых скорость убывает с удалением от начала координат, и течений, в которых скорость линейно растет. Последняя глава посвящена необычным свойствам неавтомодельных струй. В пределах главы принята -одинарная нумерация формул. Ссылки на формулы из другого параграфа внутри той же главы имеют двойную нумерацию, а из других глав — тройную. При ссылках на параграфы из другой главы используется двойная нумерация: первая цифра означает номер главы.

Авторы весьма признательны Г. Ю. Степанову за предварительные плодотворные обсуждения, которые стимулировали написание этой книги. В процессе оформления рукописи большую помощь оказали В. Г. Косинова и Т. Л. Криштофор, которым авторы приносят свою благодарность.

Глава 1

О ПАРАДОКСАХ

ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Согласно Большой Советской Энциклопедии парадоксом называется неожиданное суждение, резко противоречащее общепринятому мнению. Этим определением понятие «парадокс» относится к области логики. Логические парадоксы в виде разного рода «апорий» и «антиномий» известны с античных времен. Однако в современной «безумной» науке часто парадоксальными представляются не только умозаключения, но и сами физические явления. Такие неожиданные, противоречащие ортодоксальной интуиции физические ситуации, называют эффектами. Примеры парадоксальной физики общеизвестны. Достаточно упомянуть квантовую механику, мир элементарных частиц или современную космогонию, где на наших глазах так называемый «здравый смысл» терпит неизменное фиаско и торжествуют «парадоксальные» истины. Парадоксы — апофеоз нетривиальности нашего мира. Это понимал еще Пушкин, написав:

«О, сколько нам открытий чудных

Готовят просвящепья дух, И опыт, сын ошибок трудных, И гений, парадоксов друг, И случай, бог изобретатель...»

Однако со временем парадоксы перестают казаться таковыми. Они входят составной частью в основы знания и деформируют сам способ мышления. Кого ныне удивишь первым законом Ньютона? А во времена Галилея закон инерции казался парадоксальным, так как повседневный опыт в совокупности с авторитетом Аристотеля, казалось бы, говорил о том, что движущееся тело, предоставленное самому себе, обязательно тормозится. Специальная теория относительности, казавшаяся первоначально большинству физиков не более чем логическим вывертом, стала повседневным рабочим инструментом для техники ускорителей, выработала новый релятивист-, ский стиль мышления. Ныне человек, выступающий против теории относительности (а такие хоть и редко все же находятся!) кажется замшелым монстром.

Нас, однако, интересует гидродинамика — наука, в которой очень много парадоксов, имеющих для нее первостепенное значение. Первым, кто обратил внимание на роль парадоксов и дал их классификацию, был Биркгоф. Свою книгу «Гидродинамика» [12]

он начинает главой «Гидродинамические парадоксы», считая, что искусство применения гидродинамических теорий можно постигнуть, лишь изучив парадоксы. Однако под парадоксом Биркгоф понимает такой вывод из теории, который расходится с физическими наблюдениями, создавая кажущееся противоречие. Подобное понимание существенно сужает предмет, но все равно охватывает огромное число гидродинамических явлений.

Исторически первым, произведшим на современников ошеломляющее впечатление, был парадокс Эйлера — Даламбера, согласно которому при потенциальном обтекании тело не испытывает силы сопротивления. Значительно позже выяснилось, что данный парадокс связан с идеализацией схемы течения, которое в действительности, во-первых, не обязано быть потенциальным, во-вторых, стационарным, в-третьих характеризуется вязкостью, хотя и малой, по способной играть кардинальную роль. В сущности, данный парадокс сродни парадоксу Галилея: в идеальной жидкости, как и в «эфире», сила нужна для создания ускорения, а не скорости. Отметим, кстати, что попытки создания теории «эфира» па основе схемы идеальной жидкости наталкиваются на ту трудность, что в отличие от второго закона Ньютона в гидродинамике «масса» носит тензорный характер, так как она зависит от ориентации тела относительно направления движения.

Таким образом, парадокс Эйлера — Даламбера связан с п е р е- упрощением модели, и таких парадоксов много (см. [12]). Со времен Л. Прандтля, создавшего теорию пограничного слоя, всеобщее распространение получило мнение, что учет вязкости снимает все парадоксы. Как пишет О. А. Ладыженская [84], «математическая модель вязкой жидкости с ее основными уравнениями Навье — Стокса, как мальчик для битья, должна была отвечать за все несуразности в теории идеальной жидкости (выдать подъемную силу, лобовое сопротивление, турбулентный след и многое другое)». Но, по мнению Ольги Александровны, «мальчик» не справился с задачей, так как в теории вязкой жидкости появились свои парадоксы. В этой связи представляется уместным кратко обсудить вопрос о том, насколько надежными и безупречными представляются сами уравнения Навье — Стокса, которые для простоты рассмотрим в случае несжимаемой жидкости:

pdv/5< + p(v, V)у = — Vp + pAv + /; Vv = 0. (1)

Здесь р — плотность жидкости; р — коэффициент динамической вязкости; v — вектор скорости; р— давление; f — ускорение массовых сил.

Следует отметить, что уравнения Навье — Стокса появились задолго до работ Прандтля . Однако гидродинамики поначалу не

очень доверчиво отнеслись к таким уравнениям. Это заметно в классической монографии [85], и во многих других курсах, где теория вязкой жидкости представлена значительно меньшим объемом, чем теория идеальной жидкости.

Сомнения вызывали не столько сами уравнения, сколько условия прилипания на твердых стенках. Эти условия являются чисто опытными, до сих пор не имеющими твердого теоретического обоснования. Между тем не исключено, что малое скольжение, допускаемое кинетической теорией, в некоторых случаях способно вызвать, как и малая вязкость, немалые эффекты. Самое повышение порядка уравнений, учитывающих вязкое трение, могло явиться источником теоретической неудовлетворенности. Так, если исходить при выводе уравнений движения из кинетической теории газов, где уравнения Навье — Стокса получаются в качестве второго приближения, то возникает вопрос о постановке граничных условий, например для третьего приближения — уравнений Барнета. Что же, кроме скорости, надо еще задавать и трение на стенке? Сама постановка подобного вопроса говорит о неблагополучии ситуации.

Видимо, поэтому в основных курсах гидродинамики предпочтение отдается феноменологическому выводу уравнений Навье — Стокса. Последний имеет простую логическую структуру и опирается главным образом на две аксиомы: о короткодействии внутренних сил, которые, следовательно, сводятся к силам поверхностным, и о тензорном законе вязкого трения, обобщающем закон Ньютона. При этом линейная связь между касательными напряжениями и скоростями деформаций может рассматриваться как имеющая источник в термодинамике необратимых процессов. В такой постановке, по сути дела, отсутствует модельный элемент, за исключением того, что жидкость есть подвижная сплошная среда, в которой касательные напряжения возникают лишь при наличии скоростей деформаций, т. е. течения.

Что касается условий прилипания, то в феноменологической постановке они могут быть заменены некоторыми условиями проскальзывания. Однако эксперимент, относящийся к обычным условиям течения, определенно говорит в пользу условий прилипания. Исключение составляют лишь весьма разреженные газы. Но и в кинетической теории в пределе малой длины свободного пробега молекул в качестве граничного условия вырабатывается условие прилипания.

Приведенные соображения говорят в пользу уравнений Навье — Стокса с условиями прилипания, как фундаментального закона природы. Весь имеющийся опыт физического и численного экспериментов убеждает в правильности такого вывода. Даже неоднократно высказанные сомнения по поводу применимости уравнений Навье — Стокса к проблеме турбулентности теперь, по-видимому, полностью отпали под влиянием прямых численных экспериментов последнего времени [111, 218]. Но если это так, то как же быть с

парадоксами вязкой жидкости? Для ответа па этот вопрос необходимо рассмотреть строго доказанные утверждения, относящиеся к постановке задач гидродинамики вязкой жидкости, и тем самым выявить роль ограничивающих условий, содержащихся в формулировках теорем, нарушение которых и приводит к возникновению разного рода парадокса. Однако прежде чем переходить к этому вопросу, приведем необходимые для дальнейшего известные гидродинамические соотношения, вывод которых содержится во многих курсах механики жидкости, например в [18].

В случае переменной кинематической вязкости х = ц/р удобно использовать уравнения Навье — Стокса (1) в тензорных обозначениях:

dt Vi Эх. p Эх. Эхj Ox. " '

Данные соотношения непосредственно пригодны для декартовой системы координат с i, 7 = 1, 2, 3. После применения оператора rot и введения завихренности ® уравнения (1) приобретают форму Гельмгольца

cW<?7 + (v, V)<o=((o, V)v + vA®; ® = rotv. (3) В случае плоского движения введение функции тока ф позволяет добиться тождественного выполнения уравнения неразрывности

vx = d^Jdy; vy = — 9ф/дж. (4)

Вектор о в этом случае имеет единственную ненулевую компоненту

^■у^■у(5)(5)

^■у

^■у

(5)

(5)

Уравнение (3) приобретает форму уравнения теплопроводности и выражает процесс конвективной диффузии завихренности

dtodtdtodtdco , <9<и "эТ + Ux Эхdco , <9<и "эТ + Ux Эх+ ^^ =VAto-+ ^^ =VAto-(6)(6)

dto

dt

dto

dt

dco , <9<и "эТ + Ux Эх

dco , <9<и "эТ + Ux Эх

+ ^^ =VAto-

+ ^^ =VAto-

(6)

(6)

Тензор напряжений oti связан с тензором скоростей деформаций Dy=l/2(9vi/8xi+9vj/9xi') обобщенным соотношением Ньютона

(7)(7)Gti = — рбу + 2ц7)у.

(7)

(7)

В цилиндрической системе координат (г, ф, z) уравнения дви

жения имеют вид

5с,dt5с,dtЭит 9vTт"э7 +Тэф9уФ ,9уФHr+^ITЭит 9vTт"э7 +Тэф9уФ ,9уФHr+^IT9”т^dzг9уФ ,-гд<р + Uz '9”т^dzг9уФ ,-гд<р + Uz 'ЭхЭх1 Эр ,.2 9”фт + vТр Эг \ 1 г 9ф,_1 5дгр П?ф1 Эр ,.2 9”фт + vТр Эг \ 1 г 9ф,_1 5дгр П?ф

5с,dt

5с,dt

Эит 9vT

т"э7 +Тэф

9уФ ,9уФ

Hr+^IT

Эит 9vT

т"э7 +Тэф

9уФ ,9уФ

Hr+^IT

9”т^

dzг

9уФ ,-

гд<р + Uz '

9”т^

dzг

9уФ ,-

гд<р + Uz '

Эх

Эх

1 Эр ,.2 9”ф

т + vТ

р Эг \ 1 г 9ф

,_1 5д

гр П?ф

1 Эр ,.2 9”ф

т + vТ

р Эг \ 1 г 9ф

,_1 5д

гр П?ф

(8)(8)

(8)

(8)

2 8иД.

at

6uz 6vz dr + ^ rs^

j4dz

1 Эр p oz

Згу 8ru, ” + ™

,/ 1 эЭи Э2 уЭ2 v \

V drdr ' ^2^ gZ

%=0. д* d i d2 a2

5Ф ’1 dr2 rar ,2 ' T^ + 9^ •

Компоненты тензора напряжений выражаются соотношениями

, ~ 9ут „I Э / ^ \ , 9ит 1

г dr 1 V Эг \ г / г8ф JfavT ЗиЛ/8vz Su \

~+ drj; с,»г = и + -^/;(9)

/ Эу у \диг

Офф = — Р +°гг= — Р "V

В случае осесимметричного движения, когда д/5ф = 0, возможно введение функции тока, обеспечивающей выполнение уравнения неразрывности, _1 dip . - _ 1 dip,

Vr г 3z ’ Vzr Sr "

В сферической системе координат (7?, 0, ср) имеем

8vR , 8uR , „ 9UR , „ 9UR У6 + УФ at + Vr 8R + Уб КЭй + ф Лзшбдф R

1 dp

+ V А2Пд

2гд

R2

2 в (уе sin 6)2 ЭУф "

R2 sin 9 Э6л2 sin 0 dtp ’

Эи9 , 9vQ ,9и9 , УФ ди9 ,^6 - уф ctS6

St 4' Vr 3R + UeR3Q + R sin9 дф +R

1 Эр

F R№

+ V

2 9vr

A2y6 + Д2 5Q

U9

R2 sin2 0

8ич> ,

dR + 6 RdQ +

УФ

дуФ

R sin 9

дф

1

Эр , —U V 5ф 1

А2^ф +

2

9uR

pR sin 9

R2 sin 9

дф

i 8R uRi 3 (v^ sin g)

д2 dR + R sin 090 h

2 cos 0 Эи^

" Я2 sin2 0 "dF J

^(yH + ^ectg9) '

+R

2cos0 9u^ _ гф

+ R2 sin2 0 dip д2 gin2 Q

R sin 9 дф

9vr(8vft vr

grr = — P + 2ц -g^-, (Jee = — p + 2ц Ij7-q + -^-

У6 Ctg6\У6 Ctg6\/18v„ vH

У6 Ctg6\

У6 Ctg6\

°” = - Р + 2 и !7ГАо ~ + ТГ +

(12)(12)Г sine д / Уф \1

(12)

(12)

°6ф - в [ R59 ( sinQ ) + flsjn0 аф

аНф — РаНф — Р' 1 9ur , R A (Ml R sine dip dR \ R И' 1 9ur , R A (Ml R sine dip dR \ R ИCr9 I1 [ Rae + ^aRKRCr9 I1 [ Rae + ^aRKR

аНф — Р

аНф — Р

' 1 9ur , R A (Ml R sine dip dR \ R И

' 1 9ur , R A (Ml R sine dip dR \ R И

Cr9 I1 [ Rae + ^aRKR

Cr9 I1 [ Rae + ^aRKR

'Гг8 8 i 8 .5152

2 - R1 8R 8R + R* sine 50 m 50 + R; sin2 6d(p2

Для осесимметричного движения при 9/д<р = 0 можно ввести функцию тока Стокса согласно соотношениям

№sin0 50 ’ Ue Л sin0 8R*(13)

В случае стационарного движения уравнение (2) можно записать

Azd^jAzd^jв дивергентной форме

Azd^j

Azd^j

(14)

где введен тензор плотности потока импульса

(15)(15)Hij p^yj (Ту.

(15)

(15)

Поток Пу должен сохраняться при переходе через поверхности разрыва, расположенные внутри жидкости. Уравнения движения в форме (14) удобно использовать для получения интегралов сохранения при стационарных течениях. Интегрирование (14) по объему т, не содержащему особенностей и заключенному внутри контрольной поверхности 5 путем использования формулы Гаусса — Остроградского, позволяет получить теорему импульсов

nindS = 0; ^ рпЩц dS = J ain dS.(16)

sss

Аналогично (16) можно получить теорему моментов, которую удобно записать в векторной форме:

(17)(17)( (г X v) vKdS = f (г X on) dS. 88

(17)

(17)

Умножение (2) на vi и интегрирование по области дает теорему об изменении кинетической энергии:Умножение (2) на vi и интегрирование по области дает теорему об изменении кинетической энергии:(18)(18)

Умножение (2) на vi и интегрирование по области дает теорему об изменении кинетической энергии:

Умножение (2) на vi и интегрирование по области дает теорему об изменении кинетической энергии:

(18)

(18)

Здесь правая часть представляет диссипативную функцию, опреде-

ляющую переход кинетической энергии в теплоту вязкого трения. Ее можно записать в виде

(19)(19)Д = 2v j D^ dx.

(19)

(19)

Для описания явлений теплопереноса используется уравнение энергии

9а.. + 2pZ>y,9а.. + 2pZ>y,(20)(20)

9а.. + 2pZ>y,

9а.. + 2pZ>y,

(20)

(20)

где Т — температура; ср — теплоемкость; % — теплопроводность жидкости.

В случае несжимаемой жидкости приведение уравнения (1) к безразмерной форме вырабатывает единственный .критерий подобия — число Рейнольдса Re = FL/v, где V л L — характерные скорость и масштаб течения; v — коэффициент кинематической вязкости.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ

УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА

И КЛАССИФИКАЦИЯ ПАРАДОКСОВ

Постановки гидродинамических задач

Задача математической физики считается поставленной

корректно, если добавочные условия, начальные и краевые, обеспечивают: 1) существование решения, 2) его единственность, 3) непрерывную зависимость от данных задачи и параметров. С точки зрения этого определения корректные постановки в гидродинамике составляют небольшой класс задач, относящихся главным образом к течениям с малыми числами Рейнольдса, когда нелинейность уравнений (1.1) не проявляется. С ростом числа Рейнольдса включается действие нелинейности и начинают проявляться свойства, несовместимые с определением корректности. Так, для нелинейных уравнений хорошо известно свойство непродолжимости решения в области значений аргумента, превышающих некоторый предел. Поэтому для нестационарных задач решение за конечный промежуток времени может перестать существовать, потерять регуляторность или единственность. Правда, для физических задач гидродинамики такое поведение означало бы, скорее всего, выход за границы применимости модели. Для стационарных задач нелинейность может породить неединственность решения при одних числах Рейнольдса и его несуществование при других.

Разрешимость гидродинамической задачи существенным образом зависит от ее постановки, т. е. от начальных и главным обра-

зом краевых условий. В гидродинамике обычно используются следующие три типа «классических» граничных условий.

Условия прилипания для ограниченной области, связанные с заданием вектора скорости на границе, удовлетворяющего лишь условию соленоидальности.

Б. Условия в бесконечной области для задачи обтекания, когда на обтекаемой границе задаются условия прилипания, а на бесконечности постоянный вектор скорости.

Условия на свободных границах. Последние в данной работе не обсуждаются.

Заметим, что в задаче обтекания постоянство вектора v^ является обязательным [134] в отличие от постановок для вихревого движения идеальной жидкости, когда па бесконечности допустимо задание неоднородного поля скорости. Некоторый промежуточный вариант — внутренняя задача в неограниченной области, например задача о течении жидкости в бесконечной трубе. В этом случае вопрос о концевых условиях далеко не тривиален, хотя для ламинарных движений естественно считать, что на концах (имеющих разные сечения) асимптотически должны быть заданы пуазейлевы режимы. Частным случаем задачи в бесконечной области является проблема вязких струй, которая в обобщенной формулировке может быть поставлена следующим образом. На сфере единичного радиуса или па другой ограниченной поверхности дано произвольное поле вектора скорости. Требуется найти стационарное решение Вне этой сферы, сопрягающееся с покоем на бесконечности. Теории вязких струй посвящена обширная литература [7, 26, 96]. Эта проблема подробно обсуждается в настоящей монографии.

Наряду с постановками А, Б, В в принципе возможны и другие самые разнообразные постановки, из числа которых можно упомянуть задание на фиксированной границе области нормальной компоненты скорости и касательного напряжения. Однако последняя постановка может оказаться недостаточной или даже внутренне противоречивой. Примером может служить циркуляционное течение вязкой жидкости в круговой области, на границе которой даны условия непротекания и отсутствия касательных напряжений. Очевидно, что решение такой задачи неединственпо: квазитвердое вращение с произвольной угловой скоростью удовлетворяет всем условиям задачи. Строгие теоретические результаты, полученные для уравнения Навье — Стокса, в основном касаются постановок А п Б [84, 129]. В известной монографии О. А. Ладыженской [84] доказано, что стационарная задача с граничными условиями А или Б имеет, по крайней мере, одно гладкое решение при любых числах Рейнольдса. При этом граница области и граничные условия не обязательно должны быть гладкими. Однако требуется, грубо говоря, ограниченность заданных граничных значений вектора скорости и в общем случае массовых сил.

Для задачи обтекания [134] доказано, что стремление вектора.

скорости к величине у» различно по разным направлениям. Существует параболоидальная область (след), где возмущения затухают как 1/7?, а вне этой области I v — v^J ~ V7?2. Проблема единственности стационарных решений решается положительно только для случая малых чисел Рейнольдса. В противном случае имеется уверенность, что неединственность является скорее правилом, чем исключением. Классический пример такого рода представляет знаменитая задача Тейлора о возникновении конвективных ячеек для течения между двумя вращающимися цилиндрами. В данной монографии построено много других примеров неединственности.

Особый интерес в стационарной гидродинамике представляет предельный переход v ->- 0. Это связано с тем, что наиболее распространенные жидкости — вода и воздух — имеют весьма малые значения кинематической вязкости по сравнению с характерными вели-- чинами VL, где L — линейный масштаб течения. Асимптотическую постановку этой проблемы дала теория пограничного слоя Прандтля и ее современное расширение — теория сращиваемых асимптотических разложений [4, 20]. Однако классическая, схема Прантдля не всегда применима. В данной монографии будут продемонстрированы различные возможности, реализующиеся в предельном переходе v 0: а) устремление к невязкому пределу, б) стремление к другому пределу, в) отсутствие предела. Разрешимость начальнокраевых нестационарных задач доказана для всех моментов времени лишь в случае двух пространственных измерений [84]. В общем трехмерном случае разрешимость доказана для гладких начальных данных на малом интервале времени.

Вопрос об однозначной разрешимости трехмерной задачи в «целом» для любого времени, любых гладких данных задачи и любых размеров области течения до сих пор остается открытым. Известно «слабое» решение Хопфа, однако, как показано в [84], класс «слабых» решений недопустимо широк, так как в нем нарушается единственность течения, что несовместимо с принципом детерминизма в классической механике. Если допустить существование «хорошего» решения в целом, то доказывается и его единственность. Так же доказывается непрерывная зависимость нестационарных решений от начальных данных и внешних сил, но только для конечных интервалов времени. Впрочем, в классе двумерных задач с пулевыми граничными условиями это доказано для произвольного интервала, грубо говоря, в такой формулировке: если условия нулевые, а силы убывают, то и движение жидкости затухает. Для задач с неоднородными условиями непрерывной зависимости решения в целом от начальных данных, вообще говоря, нет, ибо как известно, при больших числах Рейнольдса стационарные течения могут терять устойчивость. Это, относится, например, к течению Пуазейля в плоском канале.

Вопросом устойчивости течений вязкой жидкости являются обширным предметом самостоятельного изучения. Число работ в этой

области поистине безгранично. Укажем лишь специальные монографии [11, 44, 53, 89, 100]. Такое внимание к проблемам гидродинамической устойчивости обусловлено тем, что, по-видимому, не существует реальных течений, отличающихся от поступательного движения и твердотельного вращения, которые сохраняли бы устойчивость при всех числах Рейнольдса, т. е. не происходило бы турбулизации под влиянием достаточно сильных возмущений.

Принципиально новая ситуация, касающаяся непрерывной зависимости решений от параметров, возникла в связи с развитием теории странных аттракторов [29]. Хотя теория аттракторов сравнительно далеко продвинута только для достаточно простых динамических систем [176], первоначальные сомнения в том, что опа применима в гидродинамике, были рассеяны как прямыми экспериментальными подтверждениями [93, 198, 201], так и теоретически, когда было обнаружено развитие хаотической динамики сразу после потери равновесия состояния покоя при возникновении смешанной тепловой и концентрационной конвекции [154]. В построенных примерах непрерывная зависимость решений от параметров нарушается уже не при отдельных их значениях, а на множестве значений параметров положительной меры.

Теория турбулентности, которая должна была бы составить раздел теоретической гидромеханики вязкой жидкости, все еще ожидает своего замкнутого построения, хотя этой проблеме посвящено невероятное число работ, в том числе весьма высокого уровня, например [100]. В последние годы прогресс в области турбулентности связывают с экспериментальным [23] и теоретическим изучением [126] структур.

Классификация парадоксов

Не претендуя на окончательное решение вопроса, можно предложить следующую схему классификации гидродинамических парадоксов (рис. 1) [40]. Все парадоксы разделяются на два обширных класса: эффекты — необычные, парадоксальные физические явления, наблюдаемые в эксперименте, и парадоксы моделирования, возникающие в теоретическом описании физического явления. Первые могли бы составить предмет специальной монографии. Здесь им посвящен лишь § 5, где изложены некоторые эффекты, встречавшиеся в экспериментальных исследованиях авторов. Вторые связаны с особенностями принятой теоретической модели и с постановкой соответствующей математической задачи. Они подразделяются па две группы: парадоксы физической модели и парадоксы Математической модели.

Парадоксы физической модели отражают неадекватность модели физической реальности, они выявляют неточность принятых Допущений. Некоторые из приближенных моделей входят в фундамент современной гидродинамики, хотя и обнаруживают парадоксы.

Рис. 1.

Таковы модель идеальной жидкости, модель стоксовой жидкости и модель пограничного слоя. Наиболее знаменитыми парадоксами этого вида являются упомянутый во введении парадокс Эйлера — Даламбера и парадокс Стокса, рассматриваемый ниже. В рамках этой группы, в свою очередь, можно выделить следующие семейства парадоксов: парадоксы неполноты теоретического описания, парадоксы симметрии и парадоксы скрытых инвариантов.

Парадоксы неполноты описания относятся не только к тем случаям, когда модель не описывает существенных характеристик течения реальной жидкости (например, отсутствие силы сопротивления при безотрывном обтекании тел идеальной жидкостью), по и к ситуациям, когда, казалось бы, в условиях физически «разумной постановки» не хватает данных для определения всех параметров решения. Такого рода неоднозначности возникают в теории закрученных и неавтомодельных струй. Выход из положения заключается в указании нетривиальных скрытых инвариантов, полностью определяющих главные члены асимптотики течения. Явления подобного типа можно охарактеризовать как парадоксы скрытых инвариантов.

Парадоксы симметрии связаны с нарушением непрерывной зависимости решения от данных задачи. Ввиду их большой принципиальной значимости поговорим о них подробнее в разд. 3. Парадоксы математической модели связаны в основном с некорректной

математической постановкой задачи и обусловлены нарушением условий 1)—3), сформулированных в начале данного раздела. В этой группе следует особо выделить следующие семейства парадоксов: неопределенности, переопределенности, особых точек, автомодельности, а также асимптотических парадоксов, связанных с предельными переходами. Парадоксы педоопределенности связаны с возникновением неединственности решений. Для получения однозначного ответа здесь необходима дополнительная информация, например, в виде указания предыстории процесса.

Парадоксы переопределенности связаны с несуществованием решения. Ясно, что нетрудно построить примеры задач с «лишними» условиями, которые приводят к неразрешимости. Более тонким представляется явление потери существования решения, когда параметры задачи, например число Рейнольдса, переходят некоторые границы. Причины такого поведения могут быть различными, по всегда связаны с отходом от «классической» постановки задачи.

Так, парадоксы особых точек связаны с отказом от условия ограниченности скорости жидкости. Само существование особых точек гидродинамического поля представляется парадоксальным. Ясно, что в окрестности такой точки исходная модель должна терять 'Силу и заменяться другой уточненной моделью, например, учитывающей сжимаемость. Однако, казалось бы, такое реалистичное свойство, как вязкость, должно само по себе исключить особые точки с их бесконечными градиентами скорости. Тем не менее этого почему-то не происходит. Поэтому приходится интерпретировать особые точки в смысле модели течения вдали от реальных объектов. А так пак при этом реальные граничные условия заменяются требованием, чтобы рассматриваемая особенность допускалась уравпения- .ми гидродинамики, то и возникают задачи с нестандартной постановкой, когда возможны нарушения корректности.

Очень часто с особыми точками связаны автомодельные постановки задач, в которых сокращается число независимых переменных путем их группирования в определенные комбинации. Регуляризация задачи при помощи введения некоторых фиктивных границ, например, окружающих особые точки, требует постановки на этих границах нестандартных условий, совместимых с предписанной автомодельностью, но способных породить некорректность задачи.

Асимптотические парадоксы будем условно классифицировать то величине вязкости — парадоксы большой вязкости, парадоксы средней вязкости и парадоксы малой вязкости. Парадоксы большой вязкости относятся к необычным явлениям в модели ползущих течений. Парадоксы средней вязкости возникают как нетривиальные следствия противоборства сил диффузии и инерции. Наконец, парадоксы малой вязкости касаются обстоятельств предельного перехода v-О и имеют большое число различных аспектов, чему по- • священы многие страницы этой книги.

Приведенная классификация парадоксов имеет, разумеется, условный характер. Очень часто необычные гидродинамические явления связаны не с одним, а с целым букетом парадоксов. Так обсуждаемый в § 3 знаменитый парадокс Стокса может быть интерпретирован и как парадокс неточности теоретического описания, и как парадокс бесконечности, и как парадокс большой вязкости, и даже как парадокс средней вязкости. Рассматриваемая в этой книге задача о пористом вращающемся диске на воздушной подушке также являет комплекс парадоксальных свойств. Тем не менее, на наш взгляд, классификация парадоксов полезна, так как помогает взглянуть на предмет с более общей позиции, понять корни парадоксов и, следовательно, глубже вникнуть в их смысл.

ПРИМЕРЫ ИЗВЕСТНЫХ ПАРАДОКСОВ

Парадокс Стокса

Исторически первым и наиболее известным примером вязкого парадокса является парадокс Стокса. Он касается проблемы медленного обтекания тел. Поскольку уравнения движения (1.1) содержат наряду с линейными квадратичные члены, то, казалось бы, всегда можно рассмотреть столь медленное или, как говорят, ползущее движение жидкости, что квадратичные члены допустимо отбросить и рассматривать линейную задачу

pdvM = -V^ + pAv + f; Vv = 0.(1)

Уравнения (1) применяются в гидродинамике. Благодаря их линейности удается построить решения для многочисленных задач, образующих наиболее далеко продвинутый раздел теоретической гидромеханики [136]. Однако уже задача обтекания тела однородным потоком обнаруживает такие свойства линеаризованных уравнений (1), которые свидетельствуют о незаконности предпринятой линеаризации даже при сколь угодно малых числах Рейнольдса. Оказывается, что вдали от тела отброшенные члены перестают быть малыми по сравнению с оставленными и, хотя они все исчезают на бесконечности, эта погрешность приводит к разнообразным парадоксам, например к неразрешимости плоских задач для системы (1). С этим парадоксом столкнулся еще основоположник гидродинамики вязкой жидкости Дж. Стокс, который решил задачу медленного обтекания шара единичного радиуса однородным потоком, заданным скоростью па бесконечности к», имеющей горизонтальное направление. Для стационарного осесимметричного движения систему (1) при 1 = 0 можно записать в виде одного бигармониче- ского уравнения для функции тока (1.13) в сферической системе координат

ААф = 0; А= — +

ан2 к1 59 \ sine 69 Г

Граничные условия прилипания на поверхности шара при R = 1 имеют вид

(3)(3)(4)(4)-ф = дф/дН = 0.

(3)

(3)

(4)

(4)

На бесконечности ставится условие

ф = 1/2 ■ v^R2 sin2 0.

Решение уравнения (2) с условиями (3) и (4) нетрудно отыскать в форме

(5)(5)ф = 1/4 • ую ^R2 - 3R + VR) sin2 9.

(5)

(5)

Это знаменитое решение Стокса, подробное обсуждение которого приводится во всех курсах гидродинамики.

Теперь рассмотрим плоскую задачу обтекания цилиндра. Для функции тока, введенной соотношениями (1.10), также получается бигармоническое уравнение

ААф = 0; А = дХдХ + 1/г • д/дг + 1/г2 • д2/9ф2.

Условия (3) сохраняются, а условие (4) приобретает вид

ф = v^r sin ф.(6)

Решение уравнения, удовлетворяющее условиям (3), можно записать в виде

ф = С [(1 + 26) г In г — 1/2 • г + 1/2 • (1 + 6)/г — 1/2 • 6г3] sin ф,

место при решении задачи теплопроводности.место при решении задачи теплопроводности.где 6 и 6* — произвольные постоянные. Непосредственно видно, что их выбором невозможно удовлетворить условию (6). Таким образом, задача обтекания цилиндра в стоксовском приближении решения не имеет. Это и составляет содержание парадокса Стокса. Сам Дж. Стокс [242] считал отсутствие стационарного решения признаком увлечения движущимся цилиндром всей безграничной массы жидкости. В определенном смысле близкое явление имеет

место при решении задачи теплопроводности.

место при решении задачи теплопроводности.

Пусть дан шар радиуса а с температурой поверхности То; тем

пература на бесконечности составляет Т». Найти температурное

1 d г>2 <1Т _ ^dR "dR^1 d г>2 <1Т _ ^dR "dR^поле. В рассматриваемом одномерном случае уравнение теплопро

1 d г>2 <1Т _ ^dR "dR^

1 d г>2 <1Т _ ^dR "dR^

водностиводностиимеет решение, удовлетворяющее всем

водности

водности

условиям Т = (То ~ Т^ак + Т„. Аналогичная задача для круга (или бесконечного цилиндра) описывается уравнением r~xdldrX X(rdT^dr') = 0, решение которого T = Alnr + S не ограничено при г=оо, если 4^0. Таким образом, бесконечный цилиндр в отличие

от шара (или конечного цилиндра) за бесконечное время прогревает все пространство. Этот вывод подтверждается решением нестационарной задачи. Он оправдывается тем физическим соображением, что бесконечных цилиндров не бывает.

2 М. А. Гольдштик, В. H. Штерн, Н. И. Яворский

Однако объяснение Дж. Стокса по аналогии не является вер- вым. Как теперь установлено [84, 134], плоская задача обтекания цилиндра в нелинейной постановке разрешима при любых числах Рейнольдса и это решение удовлетворяет условию (6). Дефект, как указывалось, заключается в линеаризации и проявляется при рассмотрении течений в бесконечных областях.

Любопытные разультаты получаются в плоской задаче при расположении источников движения не на бесконечности, как в задаче обтекания, а на конечном расстоянии от тела. Рассмотрим, например, обтекание круга единичного радиуса потоком от вихря интенсивности Г, расположенного в точке zq вне круга. На наш взгляд, решение этой задачи довольно поучительно. Здесь движение описывается также бигармоническим уравнением АДф = 0 с условиями прилипания. Для решения задачи воспользуемся комплексным представлением бигармонической функции [83]. Вихрь создает движение с комплексным потенциалом Ж) = (Г/2лг)Х XIn(z — zo). Поскольку Vo = dWo?dz, для комплексной скорости имеем

Fo = -(r/2Ei)/(z-zo),(7)

где чертой сверху обозначена операция комплексного сопряжения. Будем искать решение в виде У=Уо+Бь Вязкая добавка к скорости Fi соответствует функции тока фь Согласно [83] имеем

Дф Дф

Д^ = -^-+- vy + lvx = iVt = ф (z) + гФ'(z) + %(z), (8)

где ф(г) и x(z) — искомые аналитические функции комплексного переменного z = x + iy. На границе круга С, где z = £ = ei6, 7 = 0, поэтому 7Д^) = -70(Ю, а так как f(^ = iVi^, то

(9)

Поскольку на единичной окружности § = 1/^ и так как %(1/г) = = F^z)—функция комплексного переменного аналитическая внутри круга, то по теореме Коши вне круга имеет место равенство [83]

—лт- ] -== 0; Ы > 1. С учетом этого из (8) получаем

С

1 Г / (У ^g __ 1 f Ф (У d^ _ 1 С£дй = о2л/ J § — z2ni J § — z 2ni J | — z "

ССС

Пользуясь разложением в ряд Лорана ф (г) = ^С'й/г’1, сходящимся при lzl>l, нетрудно доказать, что последний интеграл равен нулю, тогда как второй интеграл по формуле Коши есть ф (z) + const.

Следовательно,

Ф (z) =Ф (z) =1 Г /(D ^2лг J Е — zС1 Г /(D ^2лг J Е — zС+ ф (о°).+ ф (о°).(10)(10)

Ф (z) =

Ф (z) =

1 Г /(D ^

2лг J Е — zС

1 Г /(D ^

2лг J Е — zС

+ ф (о°).

+ ф (о°).

(10)

(10)

С помощью (10) можно определить граничные значения функции ф(г), тогда с использованием (8) найдутся граничные значения %(£). Это позволяет восстановить функцию %(z). Соответствующие вычисления дают

%(z) = X(oo)--J.(И)

С

Теперь, используя (9), на основании (10) и (11) нетрудно найти ф(2) = ^-^ + Л; Х(2) = -^Д,(12)

1/z — ZQz

где А = const и принято %(°°) = 0, что не умаляет общности. Далее имеем

Ф (Z) =(1 - z0z)2: X (z) = - ^ ^_-^2-

Собирая полученные результаты, для скорости V находим

у = _++ Л.:и.

2ni z— z^ 2лг i/z — Zq 2ш (j — zoz)2 2m'z (1— z0z)2

Или окончательно

V = — lz I2 — 1, , I z I2 ~~ 1 „ 1/13)

^L (z _ 20) (1 - 2^)2 ( 1 - zj) 2 J ’

где принято Л = 0 в соответствии с условием У|с = 0. При |zl ->-°° из (13) получаем Уто = У (ос) =—^7 ~- Пусть, например, z0 = 2 О

— ib, тогда Ую = -Г/(2л6). Следовательно, на бесконечности вырабатывается вполне определенная скорость, направленная против потока, порожденного циркуляцией вихря.

Найденное решение позволяет определить момент вязких сил, действующих па окружность С. Соответствующие вычисления показывают, что этот момент равен нулю. Таким образом, в рамках теории ползущих движений нельзя объяснить вращение свободного цилиндра в неоднородном потоке, которое наблюдается на опыте и обсуждается в разд. 5.

Возвращаясь к классическому парадоксу Стокса, необходимо отметить, что, хотя решение (5) удовлетворяет всем условиям задачи, оно не является равномерно пригодным во всей области течения. Как показал Озеен [219], отношение отброшенных конвек-

дивных членов к вязким имеет порядок произведения Re • R и при R -> о° становится сколь угодно большим. Еще более серьезные трудности возникают при попытке уточнить решение Стокса путем его подстановки в конвективные члены и решения неоднородной задачи. Полные уравнения Навье — Стокса (1.11) с помощью определения (2) можно записать в виде

ААг|) —0+ 2 ctg 9 —— 9Q j Длр, (14)

где А — оператор, определенный формулой (2). Подстановка в правую часть (14) решения (5) приводит к уравнению Д-Д1]) = = — 9/4 • Re (2jR2 — SIR3 + 1/Д5) sin2 9 cos 9. Решение с минимальной особенностью на бесконечности, удовлетворяющее условиям прилипания (3), имеет вид

яр = -3/32 • Re (2Д2 - 3R + 1 - HR + MR^ sin2 9 cos 9.

Однако оно не удовлетворяет условию (4) и, следовательно, не является решением задачи. Несуществование решения задачи Стокса во втором приближении составляет содержание парадокса Уайтхеда [219].

Преодоление парадоксов Стокса и Уайтхеда на физическом уровне осуществлено Озееном [219] и заключается в частичном учете конвективных членов. Если положить v — v„, = Xu, то стационарные уравнения (1.1) примут вид

p(voo, V)u + Xp(u, V)u = — Vp + цАи; Vu = 0.

При X —** 0 получается линеаризация Озеепа. Решения Озеепа и их высшие приближения существуют как для пространственных задач, так и для плоских. Строгое разрешение проблем, связанных с парадоксом Стокса, получено в работах [134, 238]..

Таким образом, парадокс Стокса связан с переупрощением постановки задачи в бесконечной области. Уравнения Навье — Стокса не допускают линеаризации даже для сколь угодно медленных течений. Дело в том, что значение Re = 0 является точкой спектра уравнения (14), в котором функция ф в круглых скобках «заморожена», например, в виде стоксовского приближения. В этом случае учет сколь угодно слабой нелинейности радикально меняет ситуацию: плоская нелинейная задача обтекания становится разрешимой.

Вместе с тем проблема обтекания тел вязким потоком и в нелинейной постановке имеет одну парадоксальную особенность. Как показал Р. Финн [173], кинетическая энергия возмущенного движения Т = 1/2-р j (v— Voo)2 tZ£2 оказывается бесконечной пеза- b

висимо от размерности задачи. Физически такой вывод означает, что при наличии сопротивления за бесконечное время должна накопиться бесконечная кинетическая энергия Т. Этот вывод нетри-

виален, поскольку относится только к бесконечной области. Он связан с тем, что скорость возмущений убывает лишь как 1/7?. При более быстром затухании энергия Т может быть конечной, несмотря на бесконечно большую затраченную работу. Просто она почти вся диссипирует в тепло, которое в рамках модели (1.1) па гидродинамику не влияет. Заметим, что ситуация с 7’ = ” поразительно противоположна случаю потенциального обтекания тела, когда величина Т не только оказывается конечной, но и обладает свойством минимальности. Стоит также отметить, что учет сжимаемости снимает парадоксы Стокса и Уайтхеда [191].

Парадокс Моффата

Если парадокс Стокса следует отнести к парадоксам средней вязкости в том смысле, что учет ее конечности радикально меняет свойства разрешимости, то парадокс Моффата является парадоксом большой вязкости в «чистом виде», так как свойственное ему явление сохраняется и в допредельной ситуации. В работах [18, 207] рассмотрено плоское автомодельное течение внутри угла величиной 2а, образованного неподвижными прямолинейными стенками, на которых поставлены условия прилипания. Движение жидкости обусловлено некоторой причиной, действующей вдали от вершины угла. Решению подлежит уравнение (2) с условиями •ф = дф/дф = 0 при ф = ±а. Разыскивая автомодельное решение вида ф = Лгх/(ф) , для функции /(ф) нетрудно найти симметричное решение / = В cos Хф + С cos (X — 2) ф. Выполнение четырех однородных условий приводит к характеристическому уравнению для определения параметра X,

. sin 2 (X — 1)а = — (X — l)sin 2а. (15) Уравнение (15), как оказывается, при а < 73° имеет комплексные корни с положительными и довольно большими реальными частями. Этой ситуации отвечает картина линий тока внутри угла в 20°, изображенная на рис. 2 [207].

Рис. 2.

Неожиданным является возникновение бесконечной системы вихрей, обязанных своим происхождением лишь действию вязкости, которая в данном примере выступает в качестве организующего фактора, хотя, конечно, опа играет и свою традиционную диссипативную роль. Это выражается в быстром уменьшении интенсивности вихрей при приближении к вершине угла. Достойно удивления также исчезновение этих вихрей при а >73°. Обычно организующая роль вязкости проявляется в потоковых системах в виде образования диссипативных структур [126]. Однако, как правило, эти эффекты характерны для «средней» или даже малой вязкости. Пример Моффата парадоксален нетривиальным проявлением именно большой вязкости.

Парадокс Гейзенберга — Линя

Данный парадокс относится к области гидродинамической устойчивости. Он состоит в утверждении, что только вязкость ответственна за неустойчивость течения в плоском канале при больших числах Рейнольдса. Тем самым опрокидывается интуи

тивное представление о том, что вязкости присуща лишь диссипативная роль, как это может показаться из вида соотношения (1.18): в случае жидкого объема с непроницаемой границей энергия движения действительно монотонно затухает из-за диссипации. Плоский канал является проточной системой, и поверхностный интеграл в (1.18) в нуль не обращается.

Рассмотрим некоторое стационарное течение с полем скорости U^ па которое наложены возмущения щ. Подставляя в (1.2) вместо щ сумму 74 + v(, получим уравнения для возмущений

8игЭр^ЭИ tdpt—т-— + Ui —— 4- щ -т 4- и; ——■dt J dx- 1 dx- 1 dx^8игЭр^ЭИ tdpt—т-— + Ui —— 4- щ -т 4- и; ——■dt J dx- 1 dx- 1 dx^1 dp ,1."p" ~d^ + Re" Лу“1 dp ,1."p" ~d^ + Re" Лу“dp^ дх^dp^ дх^= 0.= 0.(16>(16>

8игЭр^ЭИ tdpt

—т-— + Ui —— 4- щ -т 4- и; ——■dt J dx- 1 dx- 1 dx^

8игЭр^ЭИ tdpt

—т-— + Ui —— 4- щ -т 4- и; ——■dt J dx- 1 dx- 1 dx^

1 dp ,1.

"p" ~d^ + Re" Лу“

1 dp ,1.

"p" ~d^ + Re" Лу“

dp^ дх^

dp^ дх^

= 0.

= 0.

(16>

(16>

(17)(17)Умножение уравнения (16) на vt и интегрирование по области течения Q в предположении, что па границе и< = 0, дают уравнение для кинетической энергии возмущений

(17)

(17)

at J 2J J dx;Re J \ dx- /

ййЙ x z

Первый член справа характеризует обмен энергии между возмущением и основным потоком, второй — вязкую диссипацию. Для неустойчивости первый член должен быть положительным. Его знак в каждой конкретной ситуации определяется детальным поведением возмущений. Если возмущения малы (по крайней мере на начальном этапе эволюции), то последний член в левой части (16) отбрасывается и решение оставшегося линейного уравнения разыскивается в виде бегущей гармонической волны

{щ, уу, щ, р} = Real ({и, v, w, q^ exp [га(ж — ci) + i^],

где а и — продольное и трансверсальное волновые числа; С — комплексная фазовая скорость рассматриваемого возмущения С = = Сг + 1С4. Возмущение нарастает, если Ct > 0. Рассматриваемое возмущение имеет форму бегущей волны, называемой волной Тол- мипа — Шлихтинга. Эта волна имеет сдвиговую природу и характеризуется одной и той же по всему сечению канала скоростью распространения Ст.

В плоском случае в силу теоремы Сквайра [44] достаточно изучение двумерных возмущений, для которых после исключения давления уравнение (16) приводит к уравнению Орра— Зом- мерфельда

uxv-2aV' + а4о = iaRe[(Z7-C) (v" -a2v)-C7"v]. (18)

Здесь штрихами обозначено дифференцирование по поперечной координате у, от которой зависит основное плоскопараллельное течение U = I/(у); и — комплекснозпачная амплитуда возмущения; С — искомое собственное значение, для определения которого необходимо найти нетривиальное решение уравнения (18) с однородными граничными условиями прилипания: у (±1) = у'(±1) = 0. Для невязкого течения при Re = оо из (18) получается уравнение Рэ лея

ф-С^у" -a2u^-U"v = 0. (19)

Известна теорема Рэлея [44], касающаяся роли точек перегиба на профиле U(у): для неустойчивости течения требуется смена знака U" в некоторой внутренней точке интервала (—1, 1). Следовательно, течение Пуазейля

U = 3/2- (1- у2) (20)

в невязком смысле должно быть устойчивым. Данное совершенно правильное утверждение, казалось бы, должно компрометировать линейную теорию устойчивости, поскольку эксперимент дает противоположный результат. Представить же наблюдаемую неустойчивость как следствие действия малой вязкости психологически довольно трудно. Тем не менее эта трудность была преодолена в работе Гейзенберга [180], который первым пришел к выводу о неустойчивости течения (20) при достаточно больших Re, но он не нашел критического значения Re, за которым начинается неустойчивость. Работа Гейзенберга вызвала много споров об основах теории, и это не способствовало ее эффективному продолжению. После некоторого уточнения общей теории Линь [89] проделал подробные вычисления нейтральной кривой. Он пользовался асимптотическими методами и получил критическое число Рейнольдса R* =3533. Современные численные методы [44] решения уравнения (18) дают 7?* = 3848.

Таким образом получаем, что именно малая вязкость ответственна за неустойчивость течения (20). Чтобы разобраться в при-

чинах этого явления, можно с помощью соотношения (17) определить область генерации энергии в потоке (20). Для нейтральных колебаний левая часть (17) обращается в нуль, поэтому можно записать

J Ф (у) Ду = 0;

О

(21)(21)Ф = Зут — Re 1 [|и'12 + ] к'12 + а2(1и.|2 + Ы2)];

(21)

(21)

Т = VxVy = U2V2 + UiVt.

При записи (21) интегрирование по ж в (17) заменено осреднением возмущений за период, что и обозначено чертой в выражении для рейпольдсовых напряжений т. Величина Ф выражает локальный избыток генерации энергии над диссипацией. Функции т(у) и Ф(у) изображены на рис. 3 [43] для критических параметров течения Пуазейля (20): Re = 3848; а = 1,02; Сг= 0,396; ус = 0,86. Здесь ус означает местоположение критического слоя, где U(yc) = CT.

Приведенные данные иллюстрируют роль вязкости в процессе генерации энергии. Только вязкость порождает напряжение Рейнольдса т, поскольку уравнение Рэлея (19) имеет чисто вещественные решения и поэтому не может дать ненулевые значения [89]. С другой стороны, согласно (21) положительные значения Ф могут получиться только при т > 0. Характер функции Ф(у) также указывает на двойственную роль вязкости. Вблизи стенки решающую роль играет вязкая диссипация и Ф < 0, но ее влияние с удалением от границы быстро убывает. Резкое поведение Ф(у) объясняется существованием на стенке вязкого пограничного слоя для возмущений, где осуществляется сток пульсационной энергии.

Другая зона, где проявляется влияние вязкости, расположена в окрестности критического слоя. Здесь вязкость обеспечивает надлежащий сдвиг фаз («зацепление») между продольной и поперечной компонентами пульсационной скорости, который и приводит к появлению ненулевых напряжений Рейнольдса. На рис. 3 видно, что т и Ф достигают своих максимальных значений как раз в окрестности критического слоя у = ус, который в данном случае расположен вблизи стенки.

Ситуация, когда диссипативные силы вызывают неустойчивость движения, не является новой в механике. В случаях, когда, например, движение системы без трения представляет собой гармонические колебания, мы

склонны думать, опираясь на анализ известных примитивных случаев, что вследствие неучтенного трения истинное движение системы будет носить характер затухающих колебаний. Однако это заключение в ряде случаев ошибочно — существуют механические системы, в которых силы трения могут оказать дестабилизирующее влияние.

Пример такого рода приведен в [105]. Другой пример продемонстрирован в [13], где показано, что под влиянием внутреннего трения вращающийся вал может потерять устойчивость. Ясно, что такой процесс сопровождается увеличением энергии ротора. Но было бы ошибочным думать, что это происходит из-за положительной работы сил трения. Работа этих сил, разумеется, отрицательна. Но именно они создают условия для перекачки энергии от привода к ротору. Наконец, известен пример, принадлежащий Капице [98]. Теоретически и экспериментально установлено, что в подшипнике под влиянием вязкого трения ротор может потерять устойчивость и приобрести сложное движение в обойме. Принципиально отличным моментом для течения в канале является чисто гидродинамический аспект явления потери устойчивости вследствие действия диссипативного фактора.

С проблемой гидродинамической устойчивости связан ряд других парадоксальных особенностей, обусловленных, например, нетривиальными чертами предельного перехода Re -*-00. Решения уравнения (18) отнюдь не всегда стремятся к решениям (19) при Re оо. Данное утверждение очевидно, например, применительно к возмущениям, для которых а -»- 0 при Re °°, но так, что произведение a Re имеет конечный предел. Для течения (20) такие возмущения не очень интересны, поскольку являются затухающими. Однако существуют примеры —■ один из них приводится в гл. 3 — когда предельный переход ведет к нейтральным возмущениям. Более неожиданные результаты получаются, когда в предельном переходе произведение a Re -* °°. Рассмотрим, например, устойчивость струи, характеризуемой профилем

C=l —th2y. (22)

Как показывает численный анализ [11, 44], диапазон неустойчивости по волновым числам при Re -*- 00 стремится к интервалу О < а < 2, так что верхняя ветвь нейтральной кривой имеет горизонтальную асимптоту а = 2. Для этих нейтральных колебаний критический слой совпадает с точкой перегиба на профиле (22).

Декременты возмущений Cj (а) при Re->-°°

нанесены на рис. 4 (кривая 1 отвечает симметричным по у возмущениям, для которых у(—у) = у (у), кривая 2— антисимметричным). Заметим, что для течения (20) неустойчивость обнаруживают лишь симметричные возмущения. Это приводит, как будет показано, к нарушению симметрии течения в канале при рассмотрении нелинейных возмущений. Кривая 1 примечательна тем, что иллюстрирует удивительное расхождение между чисто невязким и предельно невязким режимами. Если для нарастающих возмущений инкременты в обоих случаях совпадают, то при а > 2 в чисто невязком случае Ct = 0, а в предельном С, стремится к конечным отрицательным значениям. Это расхождение можно математически ликвидировать, если расширить уравнение (19) на плоскость комплексной переменной у и интегрирование производить не по вещественной оси, а обходя критическую точку ус снизу [89]. Тогда невязкая задача потеряет свойства симметрии, из-за которых уравнение (19) не может иметь собственные значения только с Ct < 0, поскольку тогда должно существовать возмущение и с Ct > 0 в силу комплексной сопряженности возможных значений С из-за вещественности коэффициентов уравнения (19).

При интегрировании по контуру, рекомендованному Линем [89], становятся возможными затухающие возмущения при отсутствии нарастающих.

Описанный парадокс сформулирован Линем в виде альтернативы: инкремент нарастающих возмущений в пределе вязкости, стремящейся к нулю, совпадает с инкрементом, получаемым для идеальной жидкости, а для затухающих возмущений такого совпадения нет. Однако есть пример, когда предел при v -^- 0 не совпадает с результатом при v = 0 и для нарастающих возмущений, т. е. альтернатива Линя неприменима [89].

Рассмотрим струю с профилем скорости не в виде гладкой функции (22), а с тангенциальными разрывами на границах, например, в виде кусочно-постоянной функции

[1,1 у I < 1;

<23>

Анализ устойчивости в рамках модели идеальной жидкости, сводится к решению уравнения Рэлея (19). В этом простом случае задача решается аналитически [11] и для нарастающих возмущений С = (th а + iVtha)/(l + th а). В случае вязкой жидкости уравнение Орра — Зоммерфельда (18) для профиля (23) также имеет аналитическое решение:

Ф = ф+ = A ch а,у + В ch ху; 0^у<1;

Ф = ф_ = De~av + Ее~п\ \<у<ао; (24)

х = Усс2 + га Re (1 — С); ^ = У а2 — га Re С.

В, D, Е, получим характеристическое уравнение [88]В, D, Е, получим характеристическое уравнение [88]a sh аa sh ах sh хх sh хаеаеа (а + i Re) ch аа (а + i Re) ch а(x2 + iaRe)chx —а2е “(x2 + iaRe)chx —а2е “

В, D, Е, получим характеристическое уравнение [88]

В, D, Е, получим характеристическое уравнение [88]

a sh а

a sh а

х sh х

х sh х

ае

ае

а (а + i Re) ch а

а (а + i Re) ch а

(x2 + iaRe)chx —а2е “

(x2 + iaRe)chx —а2е “

При у < 0 решение продолжается симметрично. На разрыве U (у) при у =■ 1 должны быть выполнены условия непрерывности возмущений скорости и потока импульса. что дает Ф+ = ф-; Ф+ = Ф—; Ф+ = Фт — ia Не ф; ф+ = ф_ + + 1аНеф'. Подставляя в эти соотношения ф+ и ф- из (24) и требуя нетривиальной разрешимости системы однородных линейных уравнений для коэффициентов А,

ch а

а2 (а — i Re) sh а х (х2 — /а Re) sh х а3е “

К сожалению, на этом аналитическая часть решения заканчивается. Корни характеристического уравнения находились при помощи ЭВМ. Результаты приведены на рис. 5 (цифры 103, 104 означают величину числа Рейнольдса; кривая, помеченная символом °°, соответствует предельной зависимости С, (а) при Re -> °°; кривая Н отражает результаты для идеальной жидкости). Как видим, в этом случае и для нарастающих возмущений (С,- > 0) предел Ct при Re оо не совпадает с рассчитанным по уравнению Рэлея. Невыполнение альтернативы Линя связано с наличием разрывов в профиле скорости основного течения.

Некоторые парадоксы симметрии

Спонтанное нарушение симметрии — одна из фундаментальных идей современной физики. В гидродинамике классическими примерами потери симметрии в первоначально симметричном потоке могут служить вихревая дорожка Кармана, течение в плоском диффузоре или возникновение вихрей Тейлора между двумя вращающимися цилиндрами. Описание этих явлений можно найти в обычном курсе гидродинамики.

В основе обычных рассуждений о симметрии, как правило, лежит лейбницевский принцип достаточного основания [12], согласно которому «симметрия причин всегда влечет за собой симметрию действий». Как указывает Биркгоф, «более глубокий подход приводит к заключению, что, хотя симметричные причины должны вызывать симметричные действия, почти симметричные

причины не необходимо вызывают почти симметричные действия». Данное заключение, как и принцип Лейбница, страдает неопределенностью понятия «симметричные причины».

Рассмотрим простой, но весьма поучительный пример. Пусть идеальная жидкость, заполняющая плоскую область внутри эллипса, совершает циркуляционное стационарное движение, симметричное относительно осей эллипса. Это течение характеризуется ненулевым моментом количества движения. В начальный момент времени в жидкости «включается» вязкость, но на непроницаемой границе области сохраняется условие скольжения, заключающееся в требовании отсутствия касательных напряжений. Естественно предположить, что начальная симметрия течения сохраняется во все моменты времени. Но тогда немедленно возникает противоречие, поскольку, с одпой стороны, полный момент сил на границе будет равен нулю — момент сил трения по определению, а момент нормальных сил вследствие симметрии. В этой ситуации момент должен сохраняться, имея начальное значение. С другой стороны, вязкая жидкость внутри эллипса совершает деформационное движение, что должно сопровождаться непрерывной диссипацией энергии и затуханием движения вплоть до полной остановки. Куда же в таком случае девается момент?

Выявленное противоречие связано с предположением о сохранении начальной симметрии течения, которая в действительности сразу же нарушается. В самом деле, согласно соотношениям (1.5) и (1.6) для плоского движения вязкой жидкости имеет место уравнение

ед »t Mt _ а» ед =

dt ду дх дх ду т ' '

Симметрия функции гр (ж, у) относительно осей эллипса предполагает выполнение равенств

гр(-ж, у)=гр(ж, у); гр(ж, -у) = -ф(жт у). (26)

Однако условия (26) не могут выполняться на решениях уравнения (25). Поскольку операция дифференцирования изменяет тип симметрии, превращая симметричную функцию в антисимметричную, нелинейные члены в (25), например при фиксированном ж, антисимметричны по у, тогда как остальные члены уравнения симметричны. Симметрия типа (26) допустима лишь в следующих двух случаях: а) для ползущего движения, когда нелинейные члены отсутствуют; б) для стационарного движения идеальной жидкости, когда d/dt = O и v = 0. В общем случае уравнение (25) допускает симметрию решений другого типа с антисимметричной функцией гр, например, гр(ж, — у) = — 1р(ж, у). Но такое решение описывает многоячеистый режим, для которого момент количества движения всегда равен пулю и противоречие отсутствует.

Приведенный пример показывает, что в понятие «симметричные причины» должна входить допустимость решений задачи с симметрией данного типа. Тем самым понятие «симметричных причин» является далеко не тривиальным. Симметрия может оказаться весьма скрытой и проявляться в обобщенном групповом смысле. Содержательные применения теории групп в гидрогазодинамике составляют предмет целой отрасли науки [104].

Пусть условие симметрии причин выполнено, т. е. симметричное решение допускается уравнениями. Тогда несимметричные решения гидродинамических уравнений при симметричных условиях могут возникать только после потери устойчивости основного режима вследствие бифуркации. Как правило, эстафета устойчивости передается именно несимметричному режиму, который в этом случае и реализуется в природе или опыте. При мягком характере потери устойчивости иногда может быть прослежен целый каскад бифуркаций, сопровождающийся последовательным уменьшением симметрии, как это наблюдается, например, в течении Куэтта — Тейлора. Угадать заранее без анализа устойчивости форму вторичного режима практически невозможно. Наиболее неожиданные и интересные физические эффекты проявляются, когда спектр линейной задачи устойчивости является кратным.

Из большого многообразия типов потери пространственной симметрии прежде всего остановимся на возникновении самовращения. Этот вопрос представляет не только принципиальный, но и, возможно, практический интерес в связи с повседневным возникновением вращательных движений в природе. Однако в природе и технике «граничные условия» никогда не бывают вполне осесимметричными, и действительной «закручивающей» причиной может служить неосесимметричная затравка, примером чему служит всем известный вихрь в ванне.

До последнего времени не было построено ни одного примера возникновения самовращения из исходного осесимметричного течения. Отметим, что в рамках классической постановки речь не может идти о непосредственном переходе к самовращению в результате развития осесимметричной неустойчивости, так как такой процесс невозможен. Действительно, из системы (1.8) можно получить следующее уравнение для циркуляции Г при осесимметричном движении:

1 агг 8г1 агг 8г

1 аг

г 8г

1 аг

г 8г

Поскольку это квазилинейное уравнение содержит только производные от Г, для него справедлив двухсторонний принцип максимума [80]: максимум и минимум Г достигаются па границе пространственно-временной области QT. Значит, если на границе Г = 0, то со временем возможно лишь затухание Г. Таким образом, далее речь пойдет о довольно тонком механизме возникновения самовра-

щения: сначала течение теряет устойчивость по отношению к нё^ осесимметричным возмущениям, а затем развивается вторичный режим, имеющий ненулевое среднее вращение. Ситуация здесь аналогична проблеме генерирования магнитного поля в так называемом МГД-динамо.

Теоретический анализ линейной устойчивости круглых струй [156] показал, что наиболее опасными возмущениями являются спиральные волны, бегущие по потоку и имеющие азимутальное волновое число т = ±1. Когда линейный анализ выделяет одно наиболее растущее возмущение, то последующий учет нелинейности позволяет определить стационарную амплитуду этой моды и ее зависимость от надкритичности. Именно такую информацию обычно получают в первую очередь, используя метод Ляпунова — Шмидта. Однако если в линейном приближении существуют два равноправных возмущения с т = +1 и т = — 1, и, более того, их суперпозиция с произвольными коэффициентами является решением, то на нелинейном этапе эволюции выявляется, какие комбинации этих мод формируют вторичные режимы, которых может быть несколько, и характер устойчивости каждого из них.

Как показано в [42], устойчивый вторичный режим параллельного течения, моделирующего начальный участок струи, включает в себя дифференциальное стационарное вращение с ненулевым моментом импульса. Представляет интерес вопрос, откуда берется этот ненулевой момент импульса? Чтобы на него ответить, необходимо рассмотреть переход от исходного режима к новому. В процессе роста спиральных возмущений из-за действия рейнольдсовых напряжений появляются вращения противоположных знаков, разделенные пространственно. При этом в каждый момент времени ■суммарный момент импульса возмущенного движения равен нулю. Но за бесконечное время часть завихренности определенного знака уносится на бесконечность, тогда в струе остается компенсирующий момент импульса.

Близкий к описанному процесс происходит при обтекании крылового профиля, когда согласно механизму Жуковского — Чаплыгина на бесконечность уносится начальный вихрь, а вокруг крыла остается компенсирующая циркуляция. Отметим, что эффект не связан принципиально с бесконечностью области течения. При наличии достаточно удаленной стенки она будет поглощать момент и притом в течение всего переходного процесса. Математически ситуация моделируется следующим примером. Пусть рассматривается задача нестационарной теплопроводности в полупространстве г/ > 0:

Tt ~ + / (#)- т I*=0 - Тй (у), - о, Т |у=оо - 0.

Для разрешимости стационарной задачи необходимо, чтобы J/ (у) dy =

О

— О, что выполняется, например, для функции /(у) = (1 — Z/)e v.

В силу условий имеем -^ J Т (//) dy = 0, так что существует инте- о

грал сохранения — полная энтальпия Я = J Т dy = J Тв (у) dy = const, оо.

Величина И, следовательно, определяется начальным распределением температуры. С другой стороны, существует стационарное со у

решение Т = j dy J j^ dy = ((1 + y)e-y), интеграл от которого оп- v о

ределяется только видом /(у) и не обязан быть равным Н, так чтот хотя во все моменты времени полная энтальпия сохраняет свое начальное значение, через бесконечное время она оказывается Другой.

Качественная перестройка из-за неустойчивости может происходить и в других течениях, для которых имеет место вырождении собственного спектра. Так, кратность собственного значения приводит к множественности вторичных режимов и в течении Куэтта между вращающимися цилиндрами. Судя по результатам работы [6], при определенных зазорах и скоростях вращения цилиндров устойчивыми оказываются тоже спиральные автоколебания. Там они должны приводить к появлению спонтанного осевого потока с ненулевым расходом.

В реальных условиях глухие торцы будут препятствовать этому эффекту, однако если торцы свободны или цилиндры «закольцованы» в виде торов, препятствия осевому движению нет. В случае струи причин, запрещающих возникновение вращения, также нет. Заметим, что теория предсказывает самовращение только для струи с достаточно резкими границами. Для автомодельной струи Шлихтинга устойчив вторичный режим без вращения. Поэтому при экспериментальной реализации явления придется позаботиться об увеличении дальнобойности струи и консервативности ее профиля.

Спонтанную потерю симметрии другого рода, но тоже связанную с потерей устойчивости, демонстрирует течение в плоском канале. В работе [43] для вычисления числа Рейнольдса перехода в плоском канале рассмотрен конечно-амплитудный симметричный триплет, ветвящийся от двумерных автоколебаний, резонирующих со своей субгармоникой, т. е. с трехмерными возмущениями половинной частоты.

Поясним сказанное. С увеличением числа Рейнольдса среди возмущений малой амплитуды выделяется наиболее растущая плоская волна Толмина — Шлихтинга, которая уже при очень небольших, но конечных амплитудах в свою очередь теряет устойчи-

вость по отношению к трехмерным волновым возмущениям половинной частоты, имеющим определенный период в трансверсальном направлении. Эти волны движутся как целое вниз по течению с определенной фазовой скоростью. Рассмотрение триплетного волнового образования оправдано тем, что оно существует при гораздо меньших числах Рейнольдса, чем двумерные автоколебания, и тем более меньших, чем критическое число линейной потери устойчивости (необходимо учесть, что в канале имеет место жесткое возбуждение). Иными словами, автоколебания, взаимодействующие с трехмерной субгармоникой, оказываются более «живучими», чем в двумерном случае.

Существует единственный «собственный» триплет бесконечной малой амплитуды, который состоит из трех нейтральных, но взаимодействующих гармоник. Ему отвечают вполне определенное число Рейнольдса и волновые параметры («тройная точка») [44]. Отметим, что волны, образующие этот триплет, как функции у, антисимметричны относительно оси канала. Автоколебания основного периода в общем случае устроены так, что амплитуды составляющих их гармоник либо симметричны, либо антисимметричны, и поэтому симметрия среднего профиля скорости сохраняется. Автоколебания удвоенного периода, ветвящиеся от тройной точки, таким свойством не обладают. Как уже было сказано, при нулевой амплитуде все три волны, будучи нейтральными, антисимметричны по продольной скорости. Легко убедиться, что нелинейные уравнения движения такой симметрии не допускают и поэтому для конечных амплитуд решения получаются асимметричными. Такого рода асимметрия наблюдалась экспериментально [73, 216]. Эти факты говорят о том, что асимметрия является типичным свойством вторичной неустойчивости.

Кроме изложенных, в гл. 2 приведены новые примеры спонтанной потери симметрии течения как посредством бифуркации самовращения, так и иным образом.

Рассмотренный симметричный триплет представляет стационарное движение в системе координат, движущейся с общей фазовой скоростью трех волн. Тем самым он демонстрирует явление потери пространственной симметрии при сохранении временной. Ясно, что это частный случай. Более общей является потеря не только пространственной, но и временной симметрии, что типично при возникновении и развитии турбулентности.

Таким образом, в гидродинамике применение правдоподобных аргументов, часто плодотворных при физических рассуждениях, может привести к неверным заключениям. В числе этих аргументов, например, такие утверждения: «незначительные причины вызывают незначительные следствия», «симметричные причины вызывают симметричные же следствия» или «природа стремится к симметрии».

Парадоксы скрытых инвариантов

Рассмотрим ситуации со скрытыми инвариантами, возникающие в теории затопленных струй. Струйные течения, в частности закрученные струи, играют не только важную практическую роль, но и в теоретическом плане имеют столь нетривиальные особенности, которые не перестают давать пищу для ума исследователей в течение более чем полувека. Задача о закрученной струе впервые была сформулирована в рамках теории пограничного слоя и приближенно решена Лойцянским в 1953 г. [90]. Решение строилось в виде асимптотического ряда по целым обратным степеням расстояния от точечного источника струи. Заданными величинами, характеризующими закрученную струю, считались интегралы сохранения: импульс 7, расход Q и момент количества движения L.

В такой постановке задача получилась неавтомодельной. Ее решение характеризовало «слабую» закрученную струю, у которой вращательная скорость убывала гораздо быстрее, чем осевая или радиальная. Это не очень соответствовало опытным данным [5], которые для достаточно сильных струй демонстрировали в приосе- вой зоне сложные возвратные течения, тогда как теория их не давала. Это обстоятельство послужило стимулом для наращивания числа приближений (вплоть до седьмого!), но без особого успеха.

Причина кроется в существовании скрытого инварианта [36], не замеченного предшествующими исследователями. Этот инвариант, о котором пойдет речь, делает задачу автомодельной, что ее упрощает. В точной постановке задачу о струе можно рассматривать как частный случай истечения из сферического источника радиуса /?о, па котором дано произвольное распределение скоростей при условии покоя на бесконечности. Понимая в соотношении импульсов (1.16) под поверхностью интегрирования S суммарную поверхность So+ S, где через S обозначена поверхность сферы произвольного радиуса /?, из (1.16) получаем интеграл сохранения

П5п^5 = j П^А? = const. (27) s s0

Постоянство 7, имеет смысл независимости от сферического радиуса R, когда векторная величина 7г, «выпущенная» из сферы 7?о, сохраняется во всем пространстве. Проекция соотношения (27) на ось струи z, единственная в осесимметричном случае, определяет поток импульса 7Z, характеризующий интенсивность струи Jz = ~ f Пд2 dS.

s

В теории затопленных вязких струй рассматривается асимптотическая ситуация далеких расстояний от источника или, что то же, реальный источник заменяется точечным /?о ^ 0 при сохранении импульса 7. Кроме того, обычно рассматривается случай осе- 2 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

вой симметрии течения относительно оси z, когда д/дф = 0. Поскольку в этих условиях из заданных параметров v и J нельзя составить масштаб длины, из соображений размерности следует необходимость автомодельного решения вида щ = х/;(9, Re)//?, где Re = V7/p/v— число Рейнольдса. Тем самым получается постановка задачи об автомодельных струях, наиболее ярким представителем которых является струя Ландау [86].

Для автомодельных решений данного класса нулевыми будут инварианты: расход Q= \vndS и момент импульса

s

еУйП,-пгк dS,(28)

s

где е;л — антисимметричный тензор Леви — Чевита, так что под знаком интеграла стоит обычное векторное произведение Пзп и rh.

Однако в случае закрученной осесимметричной струи может быть указан еще один инвариант, который получается, если «спроектировать» (27) на ось ф. Такая операция математически некорректна, но тот же результат можно получить, если в системе (1.11) уравнение для кф умножить на R2 sin 0, уравнение неразрывности умножить на R2 sin 9кф, сложить и проинтегрировать по 9 от 0 до л. Тогда получается интеграл сохранения

л

.J^, = R2 ^ ПЛ(р sin 9 с?9 = 2?о j" Пд^ sin 9 <79 = const,

оо

который с учетом (1.15) и (1.12) можно записать в виде

Л

/Ф = R2 j [зд> — v ^^ — ^-^ sin 9 d9. о

На автомодельных решениях' данного класса инвариант 7Ф имеет конечное значение и может служить характеристикой закрученной струи, у которой Lz = 0. Реальные струи, разумеется, могут иметь конечные значения Lz, как и Q, но тогда они должны рассматриваться как неавтомодельные.

В работе [36] построено автомодельное решение с конечным инвариантом 7Ф, отвечающее истечению струи из конца полубеско- нечной вихревой нити заданной циркуляции. Эта же задача рассматривалась в [222]. Следует отметить, что найденное решение, аналитическое в области 0 ^ 9 ^ л, характеризуется логарифмически бесконечной продольной скоростью vR на полуоси 9 = л, где расположена вихревая нить. Оно не получается предельным переходом от случая вращающейся трубки, из конца которой бьет струя. Тем не менее предельный объект (вихревая нить), характеризуемый теми же интегралами сохранения, что и реальный источник

сильной закрученной струи, порождает течение, свойства которого вдали от источника вполне согласуются с наблюдениями [5].

Так, при достаточно интенсивном вращении струя может «разомкнуться» с возникновением вблизи оси циркуляционной зоны с возвратным течением. При этом, как оказывается [37], в определенной области параметров возможна неединственность решений, одно из которых может соответствовать сомкнутому режиму течения, а другое — разомкнутому. Замечательно, что эти свойства согласуются с наблюдениями. Достаточно сильно закрученную струю буквально мановением руки удается переводить из одного состояния в другое и притом оба состояния относительно устойчивы! Разумеется, в опыте речь идет о турбулентных струях, но тогда это свидетельствует в пользу гипотезы турбулентной вязкости, которая хорошо работает для описания свободной турбулентности [37, 144].

Следует также отметить, что вихревая нить принципиально отличается от точечного или сферического источника тем, что кф = °° на полуоси 9 = л. Как показано в [37], уравнение для циркуляции Г = ту, допускает лишь монотонные решения, так что в рамках автомодельного описания невозможно выполнить условия регулярности Г(0) — Г(л)=0. Тем самым источник автомодельной закрученной струи не может быть точечным. Впрочем, не исключено, что введение переменной турбулентной вязкости vr = Vj(9) способно снять это ограничение. Попытка такого рода предпринята в работе [255], к сожалению, оказавшейся неверной (см. гл. 2). Тем не менее возможность выполнения условий Г(0)=Г(л)=0 за счет подбора функции vr(9) в принципе не исключается. Таким образом, хотя реальные струи вовсе не обязательно связывать с точечным или сферическим источниками, последние могут порождать лишь неавтомодельные ламинарные закрученные струи.

Первая попытка"построения теории пеавтомодельной струи без вращения с конечным расходом принадлежит Румеру [112], который предположил, что решение может быть построено в виде разложения ио целым обратным степеням сферического радиуса. Как показано в [47], такое предположение некорректно. Решение должно строиться в виде разложения ио дробным степеням Ran, причем показатели а„ должны находиться как собственные числа некоторого линейного оператора. Кроме того, и это главное, правильное разложение помимо члена ~1/7?2 должно содержать член ~ (In/?)//?2, причем оба с произвольными константами. Еще одну произвольную постоянную, определяемую импульсом струи, содержит «автомодельный» член ~\/R.

Таким образом, в задаче возникло три произвольных константы, тогда как в «классической» постановке заданы лишь два интеграла сохранения. Как тут быть? Оказывается, исходя из (28), можно построить полный аналог Lx рассмотренной величины /ф, 3*

который отличен от нуля в незакрученной струе. Несложные выкладки для произвольной осесимметричной струи дают

~ j - v + — _ —)].sin 9 dQ +

0

+ j R^dR^ + ^-2v(^ + -^^)]cos9d9.(29)

в0 о

Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, то при уФ = 0, как и в случае (27), было бы Lx=0. Именно поэтому инвариант (29) оставался незамеченным в предшествующих работах, что тем не менее не мешает ему быть полноправным интегралом сохранения.

В случае закрученной струи инвариант (28) имеет также проекцию на ось симметрии

Л

Lz = 2л/?3 J ^улуф — v (-^ — -^ )] sin 9 ^9. о

При истечении из точечного или сферического источника, когда /ф = 0, a Lz =^ 0, получается неавтомодельный случай Лойцяпского. Если, однако, отказаться от приближения теории пограничного слоя (в которой Lx перестает быть инвариантом), а рассмотреть задачу в полной постановке, то при достаточно больших значениях Lz соответствующее решение описывает неавтомодельную зону возвратных течений, имеющую конечную протяженность. Такая возможность полностью соответствует опытным данным. Подробно вопрос о неавтомодельных струях рассматривается в гл. 4.

В связи с обнаружением скрытых инвариантов /, и /, в новом свете предстают экспериментальные результаты по осесимметричным следам, полученные под руководством Васильева [17]. Как известно, автомодельный след, возникающий при обтекании тела, в рамках теории пограничного слоя определяется только одним параметром — силой гидравлического сопротивления, которая играет роль интеграла сохранения импульса. В докторской диссертации Букреева [16] тем не менее показано, что два разных тела, имеющих примерно одинаковое сопротивление, образуют автомодельные, но совершенно различные следы, что демонстрирует, так сказать, «память формы». Весьма важно, что эффект отсутствует в плоских следах. По нашему мнению, объяснение заключается в существовании скрытого инварианта (точного или «адиабатического»), различного для разных исследованных тел.

ПАРАДОКС ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВИХРЯ С плоскостью

Рассматриваемый здесь парадокс, хотя и не принадлежит к числу новых [32], для данной книги имеет особое значение, поскольку является одним из главных стимулов ее написания, поэтому опишем его подробно.

Постановка задачи

Пусть вязкая жидкость заполняет полупространство z ^ О, снизу ограниченное твердой неподвижной плоскостью z = 0. Движение индуцируется бесконечной вихревой нитью, помещенной на полуоси z ^ 0. Предполагается, что вдали от плоскости выполнены условия течения, порожденного свободной вихревой нитью

vr = vz = 0; к,, = Гр/г; р-р» — 1/2-рГр/r2; z = оо, (1) где ГР — величина, имеющая размерность кинематической вязкости v [м2/с] и с точностью до множителя 2л равная заданной циркуляции вихря 2лГр.

Взаимодействие течения типа (1) с плоскостью часто встречается в различных технических устройствах, например в вихревой камере [37]. Эта проблема имеет отношение к таким интригующим явлениям природы, как смерчи, «пыльные дьяволы», торнадо и т. п. Из-за взаимодействия вихря с плоскостью в ее окрестности возникают вторичные течения, подчас имеющие очень высокую интенсивность. Это происходит по следующим причинам. Вдали от плоскости согласно (1) Opidr = рУф/г, так что градиент давления уравновешивается центробежной силой. На самой плоскости вследствие прилипания поле центробежных сил исчезает и градиент давления компенсируется возникновением радиального течения в направлении перепада давления, т. е. к оси вращения, которое должно иметь скорость, обуславливающую появление на плоскости сил трения, компенсирующих ослабление центробежных сил. Эти явления, называемые торцевым эффектом, играют существенную роль в процессе движения частиц в вихревой камере. Они же способствуют подсосу к основанию смерча пыли и других предметов, которые делают видимым это явление природы.

Начало изучения взаимодействия вихревой нити с плоскостью положено Тейлором [247], который, исходя из обычных предположений теории пограничного слоя, допустил, что и при наличии плоскости соотношения (1) сохраняют силу всюду, за исключением узкой пристенной зоны, где образуется пограничный слой. Вообще говоря, этот пограничный слой трехмерен, так как из-за вторичных течений в потоке появляются все три компоненты скорости. Однако Тейлор предположил, что толщины пограничных слоев по радиальной 6 и окружной А скорости совпадают.

Решение той же задачи, свободное от указанного предположения, дано Куком [164], откуда следует, что обе толщины нарастают, проходят через максимум и затем постепенно убывают. Обе толщины 6 и А обратно пропорциональны Re1/2 = (Гр/v)1/2, как это обычно имеет место в теории пограничного слоя. Таким образом, решение Кука не выявило никаких специфических особенностей у данной задачи.

В более общем виде задача была рассмотрена Мюллером [212], который исходил из полных уравнений Навье — Стокса. Последние были сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и Мюллер попытался построить решение, пользуясь соображениями теории пограничного слоя. В результате было получено решение, близкое к решению Кука. Решения уравнений Навье —- Стокса того же класса были получены в работах Лонга [199, 200], по без учета сингулярности на оси и условий прилипания па плоскости.

После перечисленных работ может создаться впечатление, что в данной задаче все обстоит благополучно и решение фактически получено. Тем не менее основные математические трудности здесь остались непреодоленными. Соответствующий анализ показал, что решение задачи существует лишь при малых числах Рейнольдса и не существует при больших [32].

Для последующего анализа существенна обязательная автомодельность данной задачи, в которой отсутствует характерный масштаб длины. При помощи заданных циркуляции Гр и кинематической вязкости v можно образовать лишь безразмерный комплекс Re = Гр/v, или обратную величину /с=х/Гр, более удобную для дальнейшего использования. Значит, в задаче масштаб длины не только отсутствует, но и не может быть построен. В такой ситуации справедливо утверждение [9, 117]: если решение существует, оно обязательно должно быть автомодельным и иметь вид

Уб = -Гр ж = со80;

у - г ■ n — n -L

Уф — 1 р д sin 9’ т pi Р д2 •

Здесь использованы сферические координаты (Я, 9, <р) и соответствующие компоненты вектора скорости. Штрихом обозначено дифференцирование по переменной ж = со8 0. Соотношения (2) предполагают стационарность и осевую симметрию движения. Вид этих соотношений таков, что уравнение неразрывности в (1.11) выполняется автоматически. Функция у (ж) связана с функцией тока ф меридионального сечения: ф = TpRy. Подстановка выражений (2) в уравнения (1.11) после исключения давления приводит к системе уравнений

, -к^-^Уу^+ 4кх^-х2') у'" =--2ГГ'- 1/2 (1 - ж2) (у2)"'; (3)

к (1- ж2) Г" = уГ. (4)

Будем искать решение задачи, удовлетворяющее условиям прилипания на плоскости (ж = 0), условию отсутствия на оси (ж = 1) источников или стоков жидкости, а также условию ограниченности продольной скорости нн. Эти требования приводят к формулировке граничных условий для системы (3) — (4):

У(0) = р'(0)= Г(0)= р(1) = 0; Г(1)=1; 1/(1)1<=е.(5>

С учетом условий (5) уравнение (3) после интегрирования приводится к виду

-fc(l - х^у"' = 1 - Г2 - 1/2 • (1 - ж2) (р2) " -х(у2)' + у2.(6)

Константа интегрирования в (6) выбрана из условия обращения в нуль правой части при х = 1, так как иначе пришлось бы допустить, что (1 — х2Уу"' const. Но в таком случае у" ~(1—ж2)-1 и у' ~ 1п(1 — ж), что противоречит последнему условию (5). Для дальнейшего упрощения проинтегрируем уравнение (3) по частям, предварительно разделив его на 1 — ж2:

— 7с (1 - ж2) у'" + 2кху" - 2ку' = - 2 f ГГД! - ж2) dx - 1/2

°(7)

Новое интегрирование выражения (7) приводит к соотношению

— к^- ж2) у"~2ку = -2f dx ^ГГ7(1-ж)2с?ж-1/2Др2)' + С2ж-1/2-С3. о о

(8)

Наконец, еще одно интегрирование дает

— к (Д — ж2) у' — 2кху = — 2 § dx ^ dx § ГГ'/(1 — ж2) dx — ООО

— 1/2 -у2 + 1/2-С2ж2 — 1/2-С3ж + С4.

Полагая здесь ж = 0, в силу условий (5) получим С4 = 0. Для определения постоянной Сг сопоставим (6) и (7) при ж = 0. При этом следует иметь в виду, что у" (0)= Сз/(2к) ограничена, как это ясно из (8). Имеем

-ку"'^= 1 - 1/2 -(р2) " (0); -ку"'^= -1/2 -(р2) " (0)+ С2.

Сравнивая эти выражения, находим, что С2 = 1. Следовательно, предыдущее уравнение можно записать в виде

2к (1 — ж2) у' + 4.кху — у2 = 4 j* dx J dx J ГГ'/(1 — ж2) dx —

— ж2 + Сах = F ^xY(9)

Для определения постоянной Сз используем условие р(1) = 0, ко-

торое с учетом ограниченности у' (1) дает Р(1) = 0. Следовательно, для определения константы Сз имеем условие

С3 = 1 — 4 J dx \ dx ГГ'/(1 — х2) dx.(10)

ООО

Введем новую неизвестную функцию s(x') согласно соотношению

у = 2&(1 — x^s.(И)

Тогда уравнение (4) примет вид

r" = 2sr'.(12)

Отсюда находим

Г' = a exp J 2s dx,(13)

о

где а—постоянная интегрирования. Заметим, что а=Г'(0). Интегрируя (13) еще раз, получим

Г = a J exp f 2s dx j dx,(14)

о \ о /

причем здесь учтено условие Г(0) = 0. Постоянную а найдем, удовлетворив условию Г(1)=1:

С учетом того, что у' = 2^(1 — x2)s' — 4kxs, уравнение (9) принимает вид

«' = S2+ ^(;г)/[2Аг(1 — Я;2)]2(16)

Согласно (14) и (15) находим

Г = J exp 2s dx\ dx J I exp J 2s dx dx.(17)

0 \0/ I 0 \0/

Для пнтегродифференциальной системы (16) — (17) достаточно поставить одно условие s(0)=0, которое следует из условия р(0) = 0.

Анализ уравнений

Для дальнейшего особое значение имеет выяснение знака функции

XXX

F (ж) = 4 J dx J dx J ГГ7(1 — х2) dx — х2 + С^х. (18) ООО

По условию функция у(х) должна быть непрерывной на сегменте [О, 1]. Поэтому согласно (11) и (13) функции s'(x) и Г'(х) непрерывны на интервале [0, 1). Кроме того, Г'(х) знакопостоянна. Следовательно, функция Г(х) монотонна. Поскольку Г(0) = 0, а Г(1) = = 1, то очевидно, что

Г(ж)^1,(19)

Преобразуем соотношение (18), используя формулу преобразования многократного интеграла в однократный :

F (х) = 2 У (х — <)2ГГ'/(1 — t^dt — х2 + х — 2х J (1 — <2)ГГ'/(1 — Z2) dt. оо

Здесь для Са использовано его выражение (10). Произведя интегрирование по частям, после некоторых преобразований получим

F (х) = х — х2 — 2(1 — х)2 У <Г2/(1 — i2)2 dt — 2х J Г2/(1 + t^ dt. (20) 0х

Учитывая, что два последних члена в (20) пе положительны, подставим в (20) оценку (19). Тогда получим

F (х) ^ х — х2 — 2(1 — х)2 J i/(l — F^ dt — 2х J (1 + t) 2 dt =0. ох

В последнем равенстве убеждаемся путем прямого вычисления интегралов. Итак, установлен основной факт: jP(x)^0.

В дальнейшем нам неоднократно придется ссылаться на теорему Чаплыгина [141] о дифференциальных неравенствах, которая утверждает следующее. Пусть даны две непрерывные функции р(х) и z(x), удовлетворяющие условиям у(а) = z(a) = т и уравнениям у' = /1(х, уУ z' = fa(x, z). Тогда из неравенства Л(х, у^ ^^(х, у') следует, что у ^ z, а из неравенства /1 (ж, у)^/2(х, р), что у < z всюду, где у и z непрерывны.

Рассмотрим уравнение z' = z2 и сравним его с уравнением (16). Пользуясь неравенством JP(x)5s0 и условием s(0)=0, на основании теоремы Чаплыгина заключаем, что s ^ z, где z — решение вспомогательного уравнения, удовлетворяющее условию z(0) = = 0. Такое решение есть тождественный нуль, поэтому s ^0, а следовательно, и у 5s 0. С учетом этого неравенства и того факта, что Г'(х)>0, из уравнения (4) заключаем, что Г" (х)5з0. Значит, Г'(х) монотонно возрастает. Эти результаты позволяют установить

неравенство

Г^^х при О^ж^!.(21)

В самом деле, (21) равносильно неравенству G^ = Г (ж) — х С 0. Функция С(ж) имеет непрерывную производную и обращается в нуль в точках х = 0 и х = 1, следовательно, по теореме Ролля она должна иметь на промежутке [0, 1], по крайней мере, один экстремум. Условие Г"(ж)^:0 устанавливает, что этот экстремум может быть только один, поскольку между двумя экстремумами должны быть точки перегиба, что исключается условием Г"(ж)^:0. Далее, то же условие показывает, что G(x') может иметь лишь минимум. Итак, G^x1) на концах интервала (0,1) обращается в нуль, а внутри его имеет единственный минимум, следовательно, G^^O, что и доказывает (21).

Неравенство (21) позволяет уточнить неравенство F(х)^ 0. Если (21) подставить в (20), то нетрудно получить

7?(ж)^:(41п2 — 2) ж + 2ж2 — (1 — ж)21п(1 — ж) +

+ (1 + ж)21п(1 + ж) = F\ (ж).

Функция F\ (ж) неудобна для вычислений, поэтому введем

Fz(ж) = 1/2 -х(1 -ж2)2.(22)

Построив графики функций ЕДж) и Fa(x') (рис. 6), нетрудно убедиться, что на интервале 0 =5 х ^ 1 F{ (ж) ^ Е3(ж). Последнее неравенство можно доказать и аналитически, но это громоздко. Итак, имеем F (х) ^ Fz{x).

Рис 6.

Рассмотрим уравнение

V = т2+ ^3(ж)/[2Аг(1 — ж2)]2(23)

и найдем его решение, удовлетворяющее условию т(0)=0. Подставив (22) в (23), получим т'= т2 — ж/(8/с2). Введем функцию U согласно соотношению т = — U'Ш, тогда получим U" + (ж/8&2) U ■= = 0. Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию U' (0) = О, имеет вид

U = ^ж1/27_!/3[ж3/2/ (ЗА:21/2) ]; В = const.

Отсюда находим

т = (1/2 • *) (ж/2) 1/272/3fc3/V(3A:21/2)}/7_1/3[^^

Сопоставляя уравнения (23) и (16), в силу неравенства F (х^ ^Fs(x) па основании теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах заключаем, что

s (х) > т(х'), O^x^l.(24)

Однако неравенство (24) не может быть выполнено при произвольных значениях параметра к. В самом деле, т^ представляет собой мероморфную функцию, имеющую полюса в точках

а;п=(3*21''2ап)2^,(25)

где а„ — корни уравнения 7_i/3(a)=0. Так как по условию, з(ж)~ непрерывная функция на интервале [0, 1], то для выполнения неравенства (24) необходимо, во всяком случае, потребовать, чтобы первый полюс функции т^ лежал вне интервала [0, 1], т. е. чтобы было Ж] > 1, или

Re = к~} < 3 • 21/2а1 « 8.(26)

Если же условие (26) не выполняется, то s^ не может быть непрерывной функцией на всем интервале [0, 1]. Таким образом, получен результат: при числах Рейнольдса, превышающих 8, поставленная задача не имеет ограниченного решения.

Теорема существования

Докажем, что если Re < 5,53, то: а) при условии з(0) = = 0 система уравнений (16) — (17) однозначно разрешима; б) при х 1 функция у (ж) имеет предел, равный нулю; в) выполняются все исходные граничные условия для функций ин, щ, кФ, р. Будем решать систему (16), (17) методом последовательных приближе-

\1 / X\dx I dx J I exp j 2sn—i dx I dx; (27)/ о \ о)i\1 / X\dx I dx J I exp j 2sn—i dx I dx; (27)/ о \ о)iJ e xp J 2sn_! 0 \0J e xp J 2sn_! 0 \0ний по следующей схеме:

\1 / X\

dx I dx J I exp j 2sn—i dx I dx; (27)

/ о \ о)

i

\1 / X\

dx I dx J I exp j 2sn—i dx I dx; (27)

/ о \ о)

i

J e xp J 2sn_! 0 \0

J e xp J 2sn_! 0 \0

Fn = X - х2 - 2 (1 - xf J ;rV(l - t2)2 & - 2х J ГV(1 + Д2 ^; (28)

0

(29)(29)sn = J [sn—1 + Fn (x)^2k (1 — о

(29)

(29)

В качестве нулевого приближения для функции s(x) примем Sos 0. Тогда из (27) следует, что Г1 = х. Если в (28) подставить Г1 = х, то оно совпадет с выражением для функции Fx^, поэтому

Fx (х) = (4 In 2 — 2) х + 2х2 — (1 — х)21п(1 — х) + (1 + х)1п(1 + х).

Пользуясь этим выражением, вычислим по (29) функцию

5Дх) = (2/с)-2[х/(1 + х) + 1/2 1п(1 + х)-(1 + 2х)(1 + х)“Чп2-

— (1 — х)-1 In 1/2 ■ (1 + х) + 1/2(1 — х) (1 + х)1п(1 — х)].

Устремив х к 1, найдем st(l) = (l—1п2)/(2/с)2. Таким образом, все функции первого приближения непрерывны на сегменте [0, 1].

Допустим, что тем же свойством обладают и функции s„_j, Гп-i, F^-x. Докажем, что при этом s„(x), Гп(х), ЕДх) также будут непрерывными на замкнутом интервале [0, 1]. Непрерывность Г„(х) и ее производной непосредственно следует из (27). При этом в силу монотонности ГДх)5^ 1, а Гп(х)^Мп, где М^— максимальное значение положительной функции, достигаемое при х=1. Из (28) имеем F„(l)=0. Вычислим

Fn (х) = 1 — 2х — 4 (1 — х) J tr„/(l — F)2 dt —■ о

i

- 2 J 1^/(1 + О2 at + 2хг2 (х)/(1 + X)2;

F (1) = — 1 + 4 lim (1 — х) f <Г„/(1 — Fy dt = — 1+4 lim хГ„ (x)X

X (1 — x)2/(l — х^У = — 1 + 4 lim хГ2 (x)/(l + x)2 = — 1 + Г„ (1) = 0.

Найдем F„ (x). Для этого заметим, что соотношение (28) может быть представлено в форме, аналогичной (18), где Г(х) заменено на Г„(х), поэтому (х) = 4 С ГпГп/(1 — х2) dx — 2. Подста-

о

вив сюда полученные оценки для Г„(х) и Гп(х), приходим к неравенству

Р"г (х) ^ 4Мп j (1 — х2)^1 dx = 2Мп In [(1 + х)/(1 — х)] — 2. о

Проинтегрируем это неравенство в пределах от х до 1с учетом Е'(1) = 0.

- К(^Х-2МП[(1 +х) In (1 +х) + (1-х) In (1-х) - 2 In 2] - 2 (1-х).

Интегрируя еще раз в тех же пределах, получим

^„(х)-^п(1)<2^п{1/4-(1 + х)2[2 1п(1 + х)-1] +

+ 1/4(1 — х)2 [1 — 21п(1 — х) — 2х In 2 + 1) — (1 — х)2.

Разложим функцию /(х) = 1/4 ■ (1 + х)2 [21н(1 + х) — 1] + 1 — 2х In 2 в ряд Тейлора в окрестности точки х=1, которая для этой функции не является особой. Имеем /(х) = /(1) + /'(1) (х—1)+...; /' (х) = (1 + х)1п(1 + х) — 2 In 2, следовательно,

/'(1) = 0; f" (x) = ln(l + x) + 1; /" (1) = 1 + In2;

Г'(х)=1/(1+х); /"'(1)=1/2; fv(х) = -(1 + х)-2; fv(l)=-l/4.

Очевидно, что все нечетные производные будут отрицательными, а все нечетные положительными. Поэтому

/(х)=1/2 ■ (1 + In 2) (1 — х)2 — 1/2 ■ (1 — х)3 — 1/4 ■ (1 — х)4 — . ...

Здесь все невыписанные члены отрицательны. Ясно, что /(х)=£ 1/2 • (1 + In2) (1 — х)2, следовательно,

— х)2[1/4 •(! - 21п(1 -х)) +

+ 1/2 • (1 + In 2)] — (1 — х)2.

Если к правой части прибавить положительное количество (1 — х)2 и результат умножить па (1+х)2^1, то неравенство не нарушится, поэтому

Р^х^МДг — х2)2[1/2 -(3 + 21п2)-1п(1 -х)].(30)

В силу того, что Г„(х)^1, из (28) следует, что 7г„(х)^:0 (доказательство совпадает с выводом (21)). Следовательно, функция +„(х) ограничена всюду на сегменте [0, 1]. С учетом непрерывности Г„(х) это означает (см. (28)), что F^F) непрерывна при всех O^x^l.

Подставив (30) в (29), получим

sn (х) ^ j [s2-, + 1;4-Мпк™2 [1/2 (3 + 2 In 2) — In (1 — х)]) dx.

о.

Поскольку подынтегральная функция суммируется на сегменте

[О, 1], то из данной оценки, а также из очевидного неравенства 8п(ж)^0 следует, что всюду на [0, 1] $п(ж) ограничена и вместе с тем непрерывна.

Итак, методом полной индукции доказана непрерывность всех последовательных приближений. Докажем их сходимость при условии Не < 4,8096. В силу того, что s0 = 0 и ^^rJ^O, из (29) следует, что

Si (ж) 5? so = 0. (31)

Покажем, что если s„ (х) S= s„-i (х), то Г„+1 (х) < Г„ (х). Согласно (12) и (27) функции Г„+1 и Гп удовлетворяют уравнениям Гп+1 = 25тгГгг-}-1, Г?г — 2Sn— 1Гп И УСЛОВИЯМ Гп г 1 (0) = Гп (0) 0 Гп+1 (1) = Гп (1) = 1. Имеем

(1 п+1 Гп)' — 2бп (Гп+1 — Гп)' = 2 (sn — Зп—1) Гп ^ 0.

Умножая это неравенство на интегрирующий множитель, получаем

(Гп+i Гп) ехр(Гп+i Гп) ехр

(Гп+i Гп) ехр

(Гп+i Гп) ехр

Требуется доказать, что Г„+1 =£ ГУ Допустим противное: Г«+1 — Г„ ^ 0. Тогда эта разность в некоторой точке +oG(O, 1) имеет положительный максимум. Интегрируя неравенство (32) от х0 до х > жо, находим (Гп+1 — Г„)' > 0 при х > xq. Интегрируя еще раз от х > хо до 1, получаем Гп+1 — Г„ ^ 0, что противоречит допущению. Продолжая анализ, рассмотрим разность

У„+1 — Уп = 2 (1 — ж)2 J t (Гп — Г„+1)/(1 — О2 & +

О

1

+ 2х J (Гп — Гп—i)/(l + ty dt.

Применяя к этому соотношению неравенство Гп+1 С Г„, получим

Уп+1^У„.(33)

Наконец, рассмотрим разность

8п + 1Sn = J [ 8.8п— 1 + (Уп+1^п)/(2А (1^' J))2] dx.

О

Отправляясь от (31), последовательно находим Г2СГ1, F2>Fi и, следовательно, $2^3ь

Допустим, что справедливо неравенство s„ 5s sn-i, тогда верно соотношение (33) и, следовательно, разность s„+i — з„ положительна, т. е. s„+i ^ sn. Таким образом, методом полной индукции дока-

зано, что все приближения образуют последовательности

Г1^Г2>...>Гп^...^0;(34)

0^Л^Е2^...^Е„^...;(35)

О С 81 С S2 < . . . ^ S„ С . . ..(36)

Соотношение (34) показывает, что невозрастающая последовательность ограничена снизу. Поэтому существует предел

Г (х) = Иш Гп (х).(37)

Поскольку Г„ > 0, из (28) заключаем, что

Fn s£ г — х2 ^ 1/4 ■ (1 + х) (1 — х2).(38)

Ограничение (38) означает, что неубывающая последовательность Fn также имеет предел

F (х) = lim Fu (х).(39)

Подставив (38) в (29), получим

sn^ ^ {s„_i + [16Zc2 (1 — х)]'1) dx.'(40)

о

Рассмотрим уравнение

о'= о2 + [16А2(1— х)]-1; о(0) = 0.(41)

Будем решать его методом последовательных приближений,

<7о = О; оп = j {(Tn-i + [Ю/г2 (1 — х)]-1) dx.(42)

о

Очевидно, что при 0=£х^1; Oi^0 = o0; о2 ^ О[ . .. о„ ^ o„-i, так что 0 < 01 С о2 ^ ■ • ■ On ^ •... Вычтем из неравенства (40) равенство (42):

Sn оп 5^ У (s^-1o^„i) dx.(43)

о

Имеем 8о = Оо = 0, поэтому 8] — Oi С 0, так что З] < Оь Далее, 32 — О2 ^ j ( 81 — 01) dx ^ 0; S2 ^ О2 И T. Д. Если допустить, ЧТО 8п-1 =5 о

^о„-1, то, учитывая неотрицательность Зп-Дх) и о„-Дх), с помощью (43) получаем, что sn < о„.

2t -f^Y^-J^Y^t) ’ Ж2t -f^Y^-J^Y^t) ’ Ж(44)(44)

2t -f^Y^-J^Y^t) ’ Ж

2t -f^Y^-J^Y^t) ’ Ж

(44)

(44)

Согласно теореме Пикара [125] последовательность функций ап(ж) на некотором интервале / сходится к функции п(х), удовлетворяющей уравнению (41). Поэтому на том же интервале сходится и последовательность функций s„, как это следует из неравенств 0 ^ < 8„ С о„. Для того чтобы определить величину интервала I, решим уравнение (41). Введем, как и выше, вспомогательную функцию U согласно соотношению o = —U'(U, тогда (41)

примет вид U" + 77/[16/с2(1— х)] = 0. Условие о(0) = 0 дает 77'(О)=О.

Решение полученного уравнения имеет вид U = t[AJi(t) + + УУ1(<)], где t = (l—ж)1/2/(2А1). Отсюда нетрудно найти, что

Заметив, что при изменении х в промежутке 0 ^ х ^ Ь, найдем корни знаменателя (44), т. е. решим уравнение

(45)(45)

(45)

(45)

Проще всего уравнение (45) решать графически. На рис. 7 представлены графики функций /о(<)/Уо(О и Л (£)/У1 (t). Для определения первого корня уравнения (45) поступаем следующим образом. Берем точку t=b и находим значение /о(6)/Уо(Ь). Затем проводим горизонталь, соответствующую этому значению, до пересечения с кривой /1(<)/У1(<). Абсцисса точки пересечения и даст искомый корень t\.

Из рассмотрения рис. 7 нетрудно убедиться в том, что если 5 < Zi, где Л]—первый корень уравнения /о(Х)=О, то корень t] лежит вне интервала (0, 5). Следовательно, при

b = 1/(2/с)<М = 2,4048 (46)

уравнение (45) не имеет корней в промежутке 0 =£ ж =£ 1. Это означает, что при условии (46) функция о не имеет никаких особенностей на полуоткрытом интервале [0, 1). Исследуем поведение этой функции в окрестности точки х = 1 (1 = 0). Используя для функций Уо(О и УД<) представления Уо(1) ~ 2л-11п(1/2) и У1 ~

~ —2/(л#) при малых t, найдем, что

о(Ь2/2)-1н(Д2).(47)

Таким образом, при условии (46) функция о (ж) непрерывна на интервале 0 ж < 1 — е, а в точке ж = 1 она имеет логарифмическую особенность.

Этот результат позволяет утверждать, что интервал I сходимости последовательных приближений о„ может быть расширен вплоть до точки ж = 1 — е, где е — сколь угодно малое положительное число. В силу того, что

0<s„^o„^o; О Сх С 1 — е,(48)

можно утверждать, что существует предел Ит8п = 8(ж); 0 ^ж^1— е.

Рассмотрим вопрос о поведении функции s(x') в окрестности точки х = 1. Из (47) находим, что отношение о(ж)/[1— 1п(1— ж)] должно быть ограниченным всюду на сегменте [0, 1], т. е. существует такое положительное число Л, что о(ж)5£Л[1—1н(1—ж)]. Учитывая (48), можно написать

s,,-i Л [1 — In (1 —- ж) ],(49)

причем Л не зависит от номера п. Теперь можно оцепить функцию з(ж), подставив (49) и (30) в (29) и перейдя к пределу, устремив п о°. Прежде, однако, необходимо изучить последовательность чисел Мп, входящих в (30).

Как указывалось, Мп = max Гп (ж) = Гп (1), поэтому из (27) получаем

11 /X\

Мп = exp I 2sn-i dx I exp 2sn-i dx dx.(50)

00 \0/

Если в знаменатель этого выражения вместо sn-i подставить ее нижнюю грань, то правая часть не уменьшится, поэтому

1

Ми ^ exp ^ 2sn-i dx.(51)

о

Подставив в (51) оценку (49) найдем

М„8=ехр(4Л).(52)

Итак, последовательность чисел М„ ограничена. Докажем, что она сходится к пределу. Для этого установим неравенство M„+i > Мп. Поскольку на интервале [0, 1] разность Гп+1 — Г„ С 0, а на концах обращается в нуль, то в точке ж = жо она имеет отрицательный минимум, где (Г„+1— Г„)' = 0. Интегрируя (32) от ж до 1, получаем Гп+Д!)^ Г„(1), что и нужно.

4 м. А. Гольдштик, В. И. Штерн, Н. И. Яворский

Таким образом, числа Мп образуют монотонно возрастающую ограниченную последовательность, следовательно, существует М = Иш Ми. Подставив в (29) оценки (30) и (49), получим

sn^ J {А2 [1 — In (1 — ж)]2 + lj4-Мп№- [1/2 (3 + 2 In 2) — 1п(1—ж)]}йж. о

Переходя к пределу при п-* °°, найдем

J {И2 [1 — In (1 — ж)]2 + Ij4-Mk-2 [1/2 (3 + 2 In 2) — In (1 —ж)]} dx. о

Согласно признаку Коши интеграл сходится при всех х, поэтому s(x') остается ограниченной и при х=1. Итак, доказано, что процесс итераций сходится, если Re 4,8096. Наличие оценки (52) позволяет утверждать, что установленная сходимость равномерная. Это означает, что s(x), F^, Г (ж) суть непрерывные функции на всем сегменте [0, 1J.

Если в системе (27) — (29) перейти к пределу при п (предельный переход под знаком интеграла оправдывается равномерной сходимостью), то для предельных функций получаются соотношения, совпадающие с системой (16) — (18), так что предельные функции действительно дают решение этой системы. Кроме того, в силу условий 8„(0)=0 при всех п, очевидно, что s(0)= 0.

Предыдущими рассуждениями показано, что критическое число Рейнольдса Re* лежит в промежутке 4,8096 < Re*< 8. Для его уточнения заметим, что кризис связан с проникновением полюса функции 8 (ж) в область х 1. Однако в момент кризиса согласно (17) имеем Г(х)=0 при х < 1, а Г(1)=1. С учетом этого в соответствии с (20) в предельной ситуации имеем F* (х) = х — ж2. Теперь уравнение (16) сводится к следующему:

4 = 4 + xlW (1 — ж) (1 + ж)2]; s* (0) = 0.(53)

К сожалению, это уравнение, в отличие от (41), не поддается аналитическому решению, но численный анализ, предпринятый Серрином [236], показал, что решение задачи продолжимо до х=1, если Re < 5,7. Под влиянием работы [177], где в качестве критического указано значение 5,53, мы провели проверочный численный анализ уравнения (53). Оно оказалось непрерывно разрешимым на интервале [0, 1], если

Re = /с"1 < 5,53.(54)

Единственность

Перейдем к доказательству единственности найденного решения. Для этого вернемся к исходной системе дифференциальных уравнений (6), (4) и поставим для нее задачу Коши

у=5у' = Г = 0; Г' = «>0; у"=С3/(2/с); ж = 0. (55)

В этом случае система уравнений (6), (4) также приводится к виду (12), (16), причем функция F^ определяется выражением (18), которое может быть записано в форме

F (ж) = С3х - ж2 + 2 [ (ж - t) [(1 - to) Г2/(1 - t2)2 dt. (56) b

При этомПри этомв(0) = Г(0)=0; Г'(0) = «.в(0) = Г(0)=0; Г'(0) = «.(57)(57)

При этом

При этом

в(0) = Г(0)=0; Г'(0) = «.

в(0) = Г(0)=0; Г'(0) = «.

(57)

(57)

г; = г'г; = г'expexp(60)(60)

г; = г'

г; = г'

exp

exp

(60)

(60)

Для произвольного значения С3 условие Е(1)=0, естественно, не выполняется, даже если решение продолжимо на весь интервал [0, 1]. Рассмотрим систему уравнений (12), (16), (56) с условиями (57) и докажем, что при фиксированном значении к равенство Р(1)=0 выполняется не более чем для одного значения Сз-

Решение задачи Коши (6), (4), (55) единственно. Следовательно, наше утверждение будет справедливо, если функция F (ж) монотонно возрастает с ростом Сз. Пусть Г, s, F — решение, соответствующее значению Сз = С. Тогда Г 3s 0, Г' 3s 0, как это следует из (13) и (14). Положим С3 = С + Ci; F = F + F\, Г = Г + Pi; s = s + Si, причем Ci > 0. Тогда

F, > Схх + 4 f (х - t) (1 - to) PP^l - Р)2 dt; (58) о

(59)(59)4 — 25.-?! ^ 7?1/[4/f2 (1 — х2)'2];

(59)

(59)

Из неравенства (58) следует существование значения хо такого, что Р1(ж)>0 для же(0, Жо). Умножение (59) на интегрирующий множитель и последующее интегрирование с учетом условия 8, (0) = 0 дает

dt.dt.X

dt.

dt.

si>J^ (Ж^Ц! - Р)]2- о

Отсюда следует, что 8, > 0 па отрезке (0, Жо). Тогда из равенства (60) и неравенства Г' ^ 0 следует, что на этом же интервале

4 *

Г15s 0. Последнее неравенство позволяет последовательными шагами расширить интервал, где F\ > 0, на всю область существования решения. Заметим, что если существует Сз, при котором Е(1)=0, то оно выражается формулой (10), а функция F^ имеет вид (20).

Доказанная монотонность зависимости функции F ^ от Сз позволяет утверждать, что если решение системы (12), (16), (20) с граничными условиями (57) при фиксированных значениях к и а существует, то оно единственно. Действительно, предположим, что существуют два решения Г: и Г2, причем Г1 * Гг и СД1) = = С2(1)=0. В силу единственности решения задачи Коши (6), (4), (55) им соответствуют различные значения Сз = С1 и Сз = С2. Пусть Ci>C2, тогда в силу монотонности УС (1) > ,С2(1), что противоречит предположению.

Доказательство полной теоремы единственности будет завершено, если мы установим монотонное возрастание величины ^(a)=Г(l) с ростом параметра а, так как в этом случае значение N = 1 может достигаться только при единственном значении а. Речь все время идет, разумеется, о таком множестве значений параметра а, при которых решение задачи Коши (6), (4), (55) продо лжимо вплоть до ж = 1. Если временно считать параметр N данным и выбрать Сз в соответствии с (10), то для системы (12), (16), (20) получится краевая задача со следующими условиями: «(0)=Г(0)=0, Г(1) = Д\ При этом параметр а —Г'(0) определится соотношением

а = ТуД exp ^ 2s йж dx. . (61) / о \ о / .

Данная краевая задача разрешима при всех N ^0, если выполнено условие (54). В самом деле, при N = 1 она разрешима при условии (54). Пусть N > 1, тогда задачу можно решить методом итераций по схеме (27)—(29), приняв за начальное приближение функцию so (ж) = s (ж), соответствующую значению ^=1. В таком случае согласно (12) функция ГДж) возрастет пропорционально N, a Fx (ж) уменьшится в соответствии с (20). Это приведет к уменьшению функции 51(ж), что по доказанному выше вызовет увеличение Гг(ж). Следовательно, функции 5„(ж)^0 образуют монотонно убывающую, а значит, и сходящуюся последовательность. Если же N < 1, то последовательность s„ будет возрастать, оставаясь, однако, ограниченной сверху, если Re < 5,53.

Итак, установлено, что решение существует при всех 0 ^ N < < оо и согласно (61) величина а пробегает все значения при изменении N от нуля до бесконечности. Покажем далее, что зависимость aCN) является монотонной и непрерывной. Что касается монотонности, то она фактически доказана только что приведенными рассуждениями. Поскольку при увеличении N функция к(ж)

убывает, то согласно (61) величина а возрастает, так что функция а^№) является монотонно возрастающей. Для доказательства непрерывности a(N') рассмотрим два решения задачи, соответствующие значениям N и Ni> N, причем решение Si получим методом итераций, отправляясь от функции s. Для доказательства непрерывности a (FT) достаточно показать, что для любого е>0 найдется 6 > О такое, что

1

| | ^ — s| dx < е,(62)

о

как только l/Vi—/Vl<6. Поскольку последовательные приближения si „ равномерно сходятся к si на любом замкнутом отрезке, содержащемся в [0, 1], а при ж -* 1 имеют не более чем логарифмическую особенность, то существует число m такое, что 1

f | — s1-m | dx < е/2.

о

Так как число m конечно, то найдется 6 > 0 такое, что

| Si,m — sm | dx <; е/2,как только |2Vi—/VI < 6. Это видно из того, о

что при близких значениях /V) и N последовательные приближения будут изменяться мало. В таком случае из двух последних неравенств следует (62).

Таким образом, функция a(N) является непрерывной и монотонно возрастающей. В силу теоремы об обратных функциях такими же свойствами локально обладает и зависимость /V(a). Поскольку каждому значению а отвечает одно значение /V, двум разным а в силу монотонности соответствуют различные /V и наличие нескольких ветвей у функции «(/V) исключено непрерывной продолжимостью этой функции от 0 до ”, то зависимость /V(a) является однозначной, непрерывной и монотонной в целом. Следовательно, значение /V = 1 достигается при единственном значении я, что и завершает доказательство единственности решения исходной задачи.

Итак, доказано, что при числах Рейнольдса, меньших, чем 5,53, поставленная задача имеет решение, единственное и непрерывное всюду, кроме начала координат; при числах Рейнольдса, превышающих указанное значение, задача решения не имеет.

Медленное движение

Представляет интерес найти приближенное решение задачи при малых числах Рейнольдса. Если к ->- °°, то в соответствии с (15) сг ^ 1 и согласно (14) Г^^х. Таким образом, при весьма больших значениях к функция Г^^х; при этом F(x‘)~

Пусть к оо, но настолько вели-Рис. 9.

ко, что членом у2 в уравнении

(9) можно пренебречь. Тогда (9) принимает вид

2А:(1 — ж2)у' + 4кху = (4 In 2 — 2) ж + 2ж2 — (1 — ж)21п(1 — ж) —

— (1 + Ж)2 In (1 + ж) .

Решение этого уравнения при условии у(0)=0 нетрудно получить в виде

у=(2/с)-] • [ж + (21п2-1)ж2+1/2 ■(! -ж2)1п(1+ ж)/(1 -ж) +

+ (1 — ж)1п(1 — ж) + (1 + ж)1п(1 + ж)].(63)

Таким образом, у ~ к-1 и в левой части уравнения (9) мы пренебрегли членом О (к-2*) по сравнению с членами 0(1).

Используя (63), нетрудно получить, что при ж<1 цилиндрические компоненты вектора скорости имеют вид

vT = -(F2/v) (2 In 2-1) z/r2; vz = (F2/v) (2 In 2 - 1) ^r3. (64)

Из этих соотношений видно, что вблизи плоскости на некотором удалении от оси вихря имеет место течение по направлению к плоскости и к оси, причем радиальная компонента превышает осевую (nr ~ z, иг~ь2у Интенсивность вторичных течений пропорциональна квадрату циркуляции Гр, так что с ростом последней вторичные течения быстро нарастают.

Вычислим функцию тока меридионального сечения

ф = (^7Гр) j гиг dr = к ^ + г^ш у = kRy, О

ф = 1/27? [ж + (2 In 2 — 1) ж2 + 1/2 (1 — ж2)In(1 + ж) /(1 — ж) +

+ (1 — ж) In (1 — ж) + (1 + ж) In (1 + ж).

Имея в виду, что ж = cos 6, где 9 — угол, отсчитанный в меридиональной плоскости от положительного направления оси z, нетрудно построить линии тока, показанные па рис. 8 для равноотстоящих значений ф = 0,1; 0,2; ...1. Пространственная картина течения [177] схематически изображена на рис. 9. Как видим, характер вторичных течений соответствует представлениям," изложенным в начале параграфа.

Обсуждение

Как уже упоминалось, при стремлении числа Рейнольдса к критическому значению функция Г (ж) убывает всюду, за исключением ближайшей окрестности точки ж = 1. Иными словами, вращательное движение жидкости прекращается почти во всем полупространстве, исключая лишь очень узкий конус, содержащий ось вихря. В остальной области остаются лишь вторичные течения, наличие которых обусловлено перепадом давления на плоскости. Подобная картина течения в корне противоречит представлениям теории пограничного слоя.

По-видимому, она может быть объяснена следующим образом. При малых числах Рейнольдса циркуляция вследствие вязкой диффузии от вихревой нити занимает всю область течения. При этом генерируются вторичные течения, стремящиеся осуществить конвекцию циркуляции обратно к вихревой нити. Вторичные течения черпают свою энергию из энергии вращательного движения жидкости. С ростом числа Рейнольдса «перекачка» энергии прогрессивно нарастает. Поступление энергии из бесконечности и от вихревой нити происходит медленнее, чем ее трансформация в энергию вторичных течений. Эти соображения в известной мере подтверждаются результатами решения задачи при малых Re. В конце концов возникает ситуация, когда энергия вращения вовсе иссякает. При Re = 5,53 происходит коллапс вращения, в то время как во внешней части остаются вторичные течения, поддерживаемые неисчезающим градиентом давления. Как видим, в данной проблеме условия прилипания на плоскости оказывают более сильное влияние на течение жидкости, чем условия движения на

бесконечности, так что пограничный слой, в котором локализовано все влияние вязкости, не возникает.

Поскольку из физических соображений величина циркуляции вихря Гр может быть задана произвольно, то естественно возникает вопрос, что произойдет с течением, если Не = Гр/v превысит Не*. После выхода работы [32] возможные пути преодоления парадокса неоднократно обсуждались в литературе [14, 15, 31, 51, 65, 68, 74, 84, 94, 102, 107, 123, 142, 143, 157, 161-163, 177, 181, 188, 213, 222, 223, 225, 236, 255, 258]. В работах [68, 142, 177] предпринята численная проверка теоретических результатов. Эта проверка вполне подтвердила выводы теории. Так, в [68] численное решение удалось получить лишь до чисел Рейнольдса, не превышающих 4,75. В [142] предельное значение поднято до 5,5 и сделано предположение о том, что критическое число Рейнольдса лежит между 5,5 и 5,6. В работе [177] численно найдено, что при Не = 5,53 производная становится очень большой. Семейство кривых Г(9), показанное на рис. 10 [177], подтверждает вывод о том, что при Re->Re* вращение прекращается всюду, кроме оси вихря.

Значительное число работ посвящено попыткам преодоления парадокса. В [15] это сделано за счет замены уравнений Навье — Стокса другими уравнениями. Вопросы потери существования решений в электровихревых течениях обсуждаются в монографиях [14, 145]. В обширной работе Серрина [236] разрешимость' при всех числах Рейнольдса достигается за счет отказа от условия ограниченности осевой скорости на оси вихря. При этом, однако, в задаче появляется свободный параметр р, который нельзя определить по данным задачи. Более того, при наличии на оси у продольной скорости логарифмической особенности движение не затухает даже при отсутствии циркуляции. Следовательно, включен в действие некоторый неявный дополнительный источник движения, т. е. по существу рассмотрена другая задача, требующая своей физической интерпретации. За счет выбора параметра р можно управлять возникновением кризиса. Значение р = 1 отвечает рассмотренному здесь случаю ограниченной скорости.

Рис. 10.Рис. 10.Рис. 11.Рис. 11.

Рис. 10.

Рис. 10.

Рис. 11.

Рис. 11.

На рис. 11 [236] к = Re/2. Область существования подразделяется на три подобласти. В зоне А течение имеет опускной характер. В зоне В происходит отрыв течения вблизи стенки и возникает двухъячеистая структура. Жидкость подтекает к началу координат вдоль оси и стенки, а затем растекается вблизи некоторой конической поверхности. С приближением к линии 1 угол раствора этого конуса стремится к нулю и в зоне С течение чисто подъемное. Как будет показано в гл. 2, граница потери существования решения имеет более сложный вид, чем это принято в [236]. В заштрихованной области каждому набору (к, р) отвечают два решения. Штриховая кривая, указанная Серрином, отвечает слиянию этих решений. Прямая со штриховкой соответствует потере существования из-за появления сингулярности. При р^ 1 она ограничивает область существования снизу, а при р < 1 — сверху.

Приведенные результаты объясняют трудности, с которыми столкнулся Серрин [236], пытаясь доказать теорему единственности: при р < 1 единственности просто нет. В то же время для случая р = 1 эта теорема доказана в разд. 4.4, что позволяет предположить наличие единственности и при всех р > 1. Интересные результаты получены в работе [31]. Здесь рассмотрено автомодельное решение уравнений Навье — Стокса, описывающее течение, вызванное линией источников или стоков в присутствии плоскости, перпендикулярной этой линии. Численным анализом установлено, что задача о стоках однозначно разрешима при всех числах Рейнольдса. В случае источников решение существует лишь при малых числах Рейнольдса (Не <0,848) и, что самое интересное, в окрестности критического числа Рейнольдса найдено два реше

ния, различающихся топологической структурой линий тока, как это видно из рис. 12 [31]. Подробное обсуждение этой задачи будет дано в гл. 2.

Как видим, задача о взаимодействии вихря с плоскостью демонстрирует необычные парадоксальные свойства, которые, правда, могут существенно измениться за счет модификаций постановки. Однако эти модификации не снимают главного вопроса о том, что же ‘ происходит с исходным течением от вихревой нити в за- критической ситуации? Этот вопрос, длительное время интриговавший исследователей, решается в гл. 2.

Отметим, что если заранее предположить существование решения при больших Re и использовать теорию пограничного слоя, как это сделано Тейлором, то в такой постановке задача разрешима и демонстрирует вполне обычные свойства пограничного слоя [37]. Данная коллизия призывает к осторожности в части использования приближенных методов.

§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПАРАДОКСЫ

В заключение этой главы обсудим некоторые экспериментальные наблюдения, которые носят неожиданный, парадоксальный характер. Подобные явления, как упоминалось во введении, обычно называют эффектами. В гидродинамике эффектам нет числа и их познавательная роль необычайно велика. Достаточно вспомнить эффект Жуковского, касающийся самовращения свободной или закрепленной па оси плоской пластинки под действием потока с достаточно большой скоростью. Эти наблюдения навели Жуковского на мысль объяснить подъемную силу за счет возникновения циркуляции вокруг обтекаемого крыла.

Удивительное явление демонстрирует эффект Коанда, заключающийся в том, что тонкая струя, натекающая на цилиндр, по отрывается от поверхности и при надлежащих условиях может сделать вокруг цилиндра более одного оборота. Это явление находит применение в технике. Неожиданный феномен связан с эффектом Томса. Оказывается, что малые добавки растворимых высокополимеров способны в несколько раз снизить гидравлическое сопротивление в турбулентном потоке. Со снижением сопротивления связан эффект Грея, расчеты которого показали, что дельфин, будь он твердым макетом, был бы неспособен развить наблюдаемую скорость — не хватило бы мощности!

Однако мы не будем вдаваться в подробное описание известных эффектов. Остановимся лишь па некоторых новых эффектах, связанных с научными интересами авторов. Заметим, что эти эффекты еще пе имеют исчерпывающего объяснения, так что здесь открывается поле деятельности для теоретиков.

«Аномальное» вращение цилиндра на границе струи

Пусть круглый цилиндр, способный свободно вращаться на своей оси, вносится в струю воды или в область границы воздушного потока. В некотором интервале погружений, в противоположность упомянутому эффекту Коанда, цилиндр выталкивается из потока и при этом вращается в направлении, обратном ожидаемому,— против «мельничного колеса»! Такой эффект наблюдается только при условии двухстороннего обтекания цилиндра. Если цилиндр заглублен настолько мало, что обтекает лишь с одной стороны, он вращается «правильно». Но величина этого порогового заглубления весьма мала. При продолжении заглубления направление вращения становится «встречным», затем достигается максимум скорости, ее падение и, наконец, полная остановка, когда цилиндр полностью погружается в поток.

Если речь идет о топкой струе, сравнимой по толщине с диаметром цилиндра, то при аномальном вращении струя сильно отклоняется от цилиндра, который может быть далеко заглублен за геометрическую ось невозмущенпой струи. Однако в некоторый момент струя скачком перебрасывается по другую сторону цилиндра, и он начинает вращаться в обратном направлении, так что явление носит гистерезисный характер. Как выяснилось, эффект наблюдается не только для цилиндра, но и для шара и на границе плоских и осесимметричных струй, как водяных, так и воздушных [37].

Рассматриваемое явление, благодаря сочетанию вращения и выталкивающей силы, внешне напоминает эффект Магнуса, однако имеет совершенно иную природу. Эффект Магнуса состоит в том, что принудительно вращающийся цилиндр или шар испытывает со стороны набегающего потока действие поперечной силы, связанной с принудительной циркуляцией. Если поток однороден, то при нулевой скорости вращения поперечная сила отсутствует. Рассматриваемые здесь эффекты аномального вращения и силового взаимодействия возникают спонтанно, под действием механизма, обусловленного неоднородностью потока. При этом сила действует и на неподвижное обтекаемое тело. Угловая скорость вращения свободного цилиндра оказывается точно пропорциональной скорости натекающего потока. Это позволяет считать обтекание приближенно невязким, но с некоторой циркуляцией, для определения которой необходимо обобщить постулат Жуковского — Чаплыгина о конечности скорости на острой кромке крыла па случай гладкого контура. Такое обобщение [37] предполагает, что вырабатываемая циркуляция минимизирует максимум скорости на контуре обтекаемого тела. Данный минимаксный принцип позволяет качественно и отчасти количественно верно предсказывать направление и величину циркуляции в различных условиях обтекания.

Струйное обтекание шара

Задача о струйном обтекании шара демонстрирует многие разнообразные эффекты и еще ждет своего детального экспериментального и теоретического исследования. Факты же таковы. При центральном обтекании широкой струей картина мало отличается от безграничного обтекания шара как плохообтекаемого тела. Однако тонкой струей шар обтекается безотрывно. Переход между этими крайними случаями довольно резок и напоминает скачок; вполне вероятны гистерезисные явления.

При нецентральном обтекании малый шар отталкивает струю, а большой притягивает, демонстрируя эффект Коанда, когда тонкая струя отклоняется шаром очень сильно. Таким образом, если шар имеет размер, превышающий диаметр струи, он ею втягивается в центр. На этом основало известное явление устойчивого подвешивания пингпонговского шарика в вертикальной или наклонной воздушной струе.

Менее известно поведение шара, лежащего на плоскости под падающей вертикальной струей воды. Проще всего этого сделать,

положив пингпонговский шарик на перевернутый стакан и поместив все это в раковине под водопроводным краном. Если струйка слабая п тонкая, шар располагается па ее оси и покоится. При увеличении интенсивности струи в некоторый момент шар теряет устойчивость и начинает периодически колебаться в некоторой плоскости. Дальнейший рост силы струи приводит к вращению этой плоскости вокруг оси струи. Далее колебания теряют регулярность и получается нечто вроде странного аттрактора: шар бе- шенно колеблется со случайными сбоями фазы и направления вращения плоскости колебаний, но, несмотря на большую силу струи, не выскакивает из нее!

Необычными свойствами обладает шар, подвешенный в воздушной струе, сформированной своеобразным «соплом» в виде отверстия между тремя другими касающимися между собой шарами. Вдали от такого «сопла» пробный шар висит, как и в струе из цилиндрической трубки (рис. 13, а). Но у пего есть, как это демонстрирует рис. 13, б, и второе устойчивое состояние в непосредственной близости от «сопла»! Если струя из этого «сопла» вытекает не в атмосферу, а в цилиндрическую трубу диаметра, несколько превышающего размер шара, то шар может занять равновесное положение у выходного конца трубы внутри или вне ее. Если шар толкнуть вниз, он достигает «сопла» и занимает второе устойчивое состояние. Эти явления играют немаловажную роль для понимания процессов в концентрированном зернистом слое [38].

Скоростные неоднородности за зернистым слоем

В ряде работ (см. обзор в [38]) было обращено внимание на парадоксальное явление возникновения за однородным зернистым слоем крупномасштабных скоростных неоднородностей — так называемых «ушей», которые действительно похожи на заячьи уши, так как характеризуются протяженным провалом эпюры скоростей в центральной части канала и интенсивными всплесками вблйзи его стенок. При этом масштаб области, где наблюдаются всплески, определяется размером канала, а не диаметром зерна, что было установлено специальными опытами.

Большинство исследователей появление макроскопических неоднородностей объясняют неоднородностью самого слоя, связанной с неупорядоченностью его укладки, повышенной пристенной «прозрачностью» и деформациями слоя под действием силы тяжести и гидравлического сопротивления. Только в одной экспериментальной работе [70] эффект связывается с прогибом поддерживающей сетки. Однако, учитывая, что в обычных условиях величина прогиба весьма мала, на первый взгляд такое заключение не кажется убедительным. Тем не менее оно оказывается верным. Об этом

свидетельствуют целенаправленные опыты и расчеты, основанные на модели квазиидеальной жидкости [19].

Эта модель весьма проста: к правым частям уравнений Эйлера добавляются фильтрационные члены, линейные по скорости жидкости. В отличие от классической модели фильтрации здесь учтены инерционные члены, и это оказывается принципиально важным, однако не столько для движения внутри зернистой среды, сколько для условий перехода через ее границу. Если инерцию не учитывать, и сопрягать поток только по нормальной скорости, считая течение потенциальным, как вне, так и внутри зернистой среды, то возникают парадоксы типа неединственности решения даже при условии однородности набегающего потока [101].

Детальное рассмотрение показало, что при неортогопальном протекании через границу инерционный поток приобретает завихренность, и притом тем более интенсивную, чем ниже проницаемость среды и чем больше угол падения потока на границу. Физическая причина генерации завихренности, например на выходе из слоя, заключается в том, что при высоком гидравлическом сопротивлении среды даже небольшие скорости вызывают значительные градиенты давления, которые, «просачиваясь» па границу, вызывают в свободном пространстве интенсивное поперечное движение, что эквивалентно появлению вихря.

Расчет показывает, что уже при небольших прогибах границы зернистого слоя этот процесс приводит к возникновению «ушей», имеющих масштаб размера капала. С ростом сопротивления среды эффект поначалу усиливается, а затем происходит насыщение, поскольку поток в среде низкой проницаемости стремится развернуться перпендикулярно поверхности слоя. Тем самым «уши», связанные с прогибом поддерживающей сетки, представляют собой в значительной степени «эфемерное» явление, возникающее лишь на выходе и, следовательно, неопасное для аппаратов с зернистым слоем. Рассмотренный эффект относится к ситуации, когда небольшие воздействия, хотя и не связанные непосредственно с вязкостью, вызывают серьезную перестройку течения.

Некоторые свойства закрученных потоков

Вращающиеся потоки — это большая область гидродинамики, в которой нередко проявляются удивительные эффекты. Прежде всего следует упомянуть «столбик» Тейлора — Праудмена [50]. Эффект состоит в следующем. Пусть быстро вращающийся, как целое, поток медленно обтекает диск, ось которого параллельна оси вращения z. Тогда за диском возникает резкая «тень» огромной длины, где щ = 0, тогда как вне «столбика» щ = const ¥=0.

Другое неожиданное явление — эффект Ранка — наблюдается при сильном вращательном движении сжимаемого газа. Если в вихревую камеру подводить воздух под достаточно высоким дав-

лением (порядка 5—10 атм), то в выходной диафрагме камеры температура воздуха оказывается сильно переменной по радиусу, причем приосевая зона охлаждается, а периферийная нагревается против начальной температуры воздуха перед камерой. Это относится не только к термодинамической, но и к температуре торможения, что говорит о перераспределении полной энергии потока. В лучших конструкциях, предназначенных для получения холода, температура на оси достигает ~—200 °C при исходной комнатной температуре. Исследованию эффекта Ранка посвящено множество работ, например монография [99]. По этому вопросу регулярно созываются специальные конференции. Тем не менее природа эффекта Ранка до сих пор представляется довольно загадочной. Во всяком случае, пока не создано адекватной бесспорной теории явления.

Другим кругом эффектов, связанных с вращением потока, являются . наблюдаемые неоднозначности режимов и гистерезис. Явления такого рода издавна привлекали внимание исследователей и служили весьма чувствительным пробным камнем для соответствующих теоретических построений. Таковы метастабильные состояния при отрывном течении в диффузоре, вихревой клапан [202] и, вообще, вневмоника. Приведем новые примеры, связанные с неоднозначностью режима течения.

Если к выходному центральному отверстию вихревой камеры поднести плоский экран, способный отверстие полностью закрыть, то это и происходит, т. е. па короткое время экран «прилипает» к отверстию под действием разрежения в приосевой зоне камеры. Однако тотчас давление в камере возрастает и экран отталкивается. В итоге он около некоторого положения вблизи выходного отверстия совершает правильные колебания, издавая сильный звук.

Отметим, что мощные автоколебания в вихревых камерах возникают и без экрана, причем природа этого явления выяснена не до конца. Если, прилагая некоторое усилие, экран оттянуть от выходного отверстия камеры, то при определенных условиях за ним формируется струя и после удаления экрана сохраняется прямоточный режим истечения из камеры. Но если в том же режиме экран просто сдвинуть вбок, освобождая выход потоку, то вместо прямоточной струи возникает разомкнутый режим истечения, сопровождающийся сильным подсосом в приосевой области.

Еще одним неожиданным эффектом является «противовращение» тонкого стержня, соосно вставленного в центральное выходное отверстие вихревого охладителя [135].

Глава 2

КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ

Конически симметричные течения вязкой жидкости составляют обширный и весьма содержательный класс решений уравнений Навье — Стокса. В этом классе скорость обратно пропорциональна расстоянию от начала координат у = х/7Ш(ф, 6), где R, <р, 8 — сферические координаты. Уравнения Навье — Стокса допускают такое представление. Уравнения для U, получаемые в результате подстановки, содержат по-прежнему как линейные, так и нелинейные члены, поскольку как Av, так и (v V)v пропорциональны I//?3. Это означает, в частности, что хотя на больших расстояниях скорость убывает до нуля, вязкий и конвективный переносы импульса остаются, вообще говоря, одного порядка. С этим связан ряд весьма нетривиальных свойств конических течений.

Одно из них — потеря существования решения при конечных значениях числа Рейнольдса — уже обсуждалось в гл. 1 в связи с задачей о взаимодействии вихревой нити с плоскостью. Его анализ будет продолжен и в этой главе с основным упором на индуцирование предельно сильных струйных течений, предшествующее потере существования.

Другое необычное свойство — неприменимость для ряда конических течений классической схемы Прандтля, которая предполагает, что при больших скоростях влияние вязкости существенно лишь в тонких пограничных слоях вблизи обтекаемых твердых поверхностей. И, как будет показано, напротив, внутренние пограничные слои могут возникать при отсутствии каких бы то ни было стенок.

Наконец, весьма нестандартно в конических течениях проявляется такое свойство вязких потоков, как отрыв. Когда он происходит, то в силу принятой симметрии имеет автомодельный характер — точка отрыва размещается в начале координат, а разделяющая поверхность является конической. Однако возможна ситуация, когда замедляющееся в целом течение не только не отрывается от стенки, но, напротив ускоряется в пристенной области под действием трения. Рассматриваемый класс конических течений допускает обобщение па нестационарный случай вида у = х/7?и(ф, 0, vt/R2). Такое решение допускается уравнениями движения и является автомодельным, так как число независимых переменных сокращено от четырех в общем случае до трех.

В классе обобщенных конических течений сохраняются такие свойства уравнений Навье — Стокса, как неединственность и потеря устойчивости стационарных решений, сложные бифуркации новых режимов, существование автоколебательных и солитоноподобных решений. Собственно первый пример неединственности стационарных решений уравнений Навье — Стокса был построен Гамелем [178] для течения в диффузоре, которое принадлежит к подклассу плоских конических течений.

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

Предварительные замечания

Пусть вектор скорости параллелей некоторой фиксированной плоскости и допускает представление

У = Ту, и^УЩТу

pv21(1)

Р-Ро= = ^-Р^,Ту Т = ~\нЩЩу

где г, ф — полярные координаты; р„ — давление па бесконечности. Такая структура решения является обязательной, если постановка задачи не содержит характерного масштаба длины. При выборе переменной Т, играющей роль безразмерного времени, предполагалось, что физическое время t меняется от пуля до бесконечности. Из-за того, что в определение Т входит г, фиксация Т не означает одновременности для всего течения и, напротив, при фиксированном t комплекс Т пробегает значения от — оо до +оо При изменении г от оо до 0. После подстановки представления (1) в (1.1.8) получаем систему

^e~2TU-ЩИ + U) + V(U'-V) = 2Р + Р + U + U";

^e~2TV-UV+ W = -РЩУ+ V"+ 2V+ 2U'; V' = U. (2)

Здесь точка означает дифференцирование по Т, а штрих — по ф.

При стационарном течении V' = 0, V = Vq = const. Тогда из второго уравнения (2) следует Р' = 2U' или

P = 2U^CX,(3)

и в случае То = 0 уравнение для U принимает вид

U" = C — 4U — U2,(4)

где С = — 2Сь Константа С, таким образом, определяет величину давления там, где U = 0, например, на стенке. Этот класс решений для течений вязкой жидкости был впервые указан Джеффри [186] 5 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, н. И. Яворский

уравнение (4) приводится куравнение (4) приводится ки детально изучен Гамелем [178]. Анализ решений (4) облегчается тем, что они выражаются через эллиптическую функцию Вейерштрасса [49]. Он изложен подробно в курсе [78].

уравнение (4) приводится к

уравнение (4) приводится к

Здесь, однако, будем использовать как более наглядный метод фазовой плоскости. Подстановками

Z7 = ТС+^( (у — 1) — 2;

% = У2 (С + 4) 1/4ф

виду, не содержащему параметров

у" = у-у72,

а умножение на у' и интегрирование дает

(6)(6)у'2 ==У2- У3/^ + В,

(6)

(6)

где В — константа интегрирования.

Вместо того чтобы анализировать отдельные решения, изучим характер векторного поля на фазовой плоскости [3]. Фазовый портрет рассматриваемого движения изображен на рис. 14. Параметром служит величина В. Две стационарные точки — седло (О, 0) и центр (2, 0) — соответствуют равномерному по углу ф стоку и источнику жидкости в начале координат. Случай медленных движений, когда 1?7|«1, |С| С 1, у « 2 + С/8 + П/2, соответствует окрестности стационарной точки (2, 0). В случае, когда ограничивающие стенки отсутствуют, физический смысл имеют только периодические решения, отвечающие замкнутым траекториям на рис. 14. Они расположены между стационарной точкой (2, 0) и сепаратрисой.

ус = 3/ch2(%/2).(7)

При этом величина В меняется от —4/3 при у = 2 до пуля при У = У=-

Течение в диффузоре

Обозначим величину угла между стенками диффузора через а. Следуя [87], определим Re как отношение расхода к вязкости:

0-/2

Re = QM = f U <7ф = а<П>.

—а/2

Угловыми скобками обозначено среднее по углу значение U. Для.

анализа некоторых свойств решения удобнее пользоваться безразмерным комплексом, в котором в качестве масштаба скорости используется ее максимальное значение iy max [18]. Поэтому определим критерий Ва = а2Щ max^/ (4v) = а2?7тах/4.

Введем еще одну безразмерную характеристику течения ср = а^тЧр — p„>j (pv2) = а4<Р> = а4(2<?7> — С/2), которая определяет зависимость от г среднего по углу давления. При малых углах раствора комплексы a Re, Ва, ср являются «универсальными», т. е. любой из них может служить единственным безразмерным параметром, от которого зависят свойства решения. Действительно, заменой переменных ц = 2ф/а, t=U!Umax уравнение (4) после умножения на /' и однократного интегрирования приводится к виду

/'2 = (1-/){Ва(/2 + /)/3 + а2/+ «}, где константа а должна быть определена из граничных условий, например, при интегрировании от р = 0 с начальным значением /(0)=1 из условия /(1) = 0. При а <1 вторым членом в фигурной скобке можно пренебречь. Если комплекс Ва остается не малой величиной (это значит, что число Рейнольдса стремится к бесконечности), то он остается единственным параметром.

Напротив, при малых числах Рейнольдса / = [cos (2ф) — cos а] / /(1 — cos а) и при |ф!<а/2«1 имеем /=1 —ц2, т. е. профиль скорости переходит в параболический, как при течении Пуазейля в плоском канале.

Зависимость /(р) для а =10° при различных значениях Ва приведена (согласно [206], кроме Ва = 100) на рис. 15. Отрицательному значению Ва соответствует сходящееся течение в диффузоре. При больших I Ва I в ядре течения / « 1, что соответствует потенциальному течению типа стока. Вблизи стенок развиваются пограничные слои толщиной ~1ВаМ/2. Таким образом, сходящееся течение существует при всех Re < 0, и при iRel > 1 реализуется классическая схема Прандтля: возникают потенциальное ядро и пристенные пограничные слои.

Напротив, расходящееся течение существует только до определенного значения Ва = Ва*. Если решение непрерывно продолжить, сохраняя симметрию, в область Ва>Ва*, то вблизи стенок возникает возвратное течение. Когда Ва -* °°, в этом течении развиваются два пристенных пограничных слоя и один внутренний (см. рис. 15, Ва = 100). При фиксированном а и Ва > 1 имеем ym„ ~ 3; Umm ~ 2VC + 4; YC + 4 = 2Ba/a2; х = 1'Ват]. Следовательно, вблизи оси / ~ 3/[2 ch2(VBa т])] — 1/2, и профиль имеет солитоноподобный вид. Интервал между ц = — 1 и первым положительным корнем тр функции /(ц) составляет полный период эллиптической функции, поэтому профиль скорости в пограничном слое около Ц = — 1 повторяет профиль правее щ. Между погранич- 5*

Рис. 15.

Рис. 16.

ними слоями / « —1/2, т. е. возникает потенциальное течение типа стока. Максимальное и минимальное значения скорости асимптотически удовлетворяют соотношению Umax = — 2Umin.

Если при некотором значении Вао существует симметричное решение с обратными течениями, то при меньшем значении Bai существует такое же асимметричное течение. Действительно, если «переместить» стенку в положение ближайшего корня /(р) (рис. 16), то получим течение в диффузоре с углом «1 и тем же значением UmaT. Раздвинем теперь этот угол до а. Полагая углы достаточно малыми, чтобы было справедливо a?Umax = const, получим, что асимметричное течение в диффузоре с углом раствора а существует при значении Ba = Bai, причем

Bai = Bao(ai/a)2 < Вао. (8)

Описанные свойства течения в диффузоре хорошо известны [18], однако некоторые детали до сих пор оставались невыясненными. Так, в курсе [87] содержатся неточности, касающиеся последовательности возникновения симметричных и несимметричных течений с обратными токами. Бэтчелор, указав на возрастание числа решений с увеличением Ва, отметил трудность количественного определения этой закономерности. Приведем результаты анализа и расчетов, проливающие свет на эти и некоторые другие аспекты задачи. Прежде всего отметим, что значение Ва = Ва* является бифуркационным.

Действительно, как было показано, при Ва>Ва* существует симметричное решение с обратным течением и два асимметричных, совпадающих с точностью до отражения от срединной плоскости диффузора. С приближением Ва к Ва* «1а и, согласно (8), при Ва = Ва* асимметричные решения сливаются с симметричным. При Ва «< Ва* решений с обратными токами не существует. Таким образом, при Ва = Ва* происходит прямая бифуркация асимметричных режимов от симметричного. Это подтверждают и численные расчеты для а =10°, результаты которых представлены на рис. 17 и отражают зависимость расхода от максимальной скорости.

Целочисленный параметр т на рис. 17 сначала примем равным единице. При Ва < Ва* существует единственное решение, соответствующее течению в одном направлении,— втекающему (/) при Ва < 0 и вытекающему (6*) при 0<Ва^Ва*. Точка В на рис. 17, для которой Ва = Ва*, является бифуркационной. Поскольку угол достаточно мал, ее параметры близки к известным предельным величинам aRe* « 18,8 [87], Ва* = 10,8 [18]. При переходе через точку В слева направо, во-первых, исходное симметричное течение перестает быть однонаправленным и переходит в режим с возвратными течениями у обеих стенок {ЮЦ. Во-вторых, происходит ветвление двух асимметричных режимов с возвратным течением у одной из стенок (70 и 01). Поскольку и расход, и максимальные скорости у них совпадают, оба режима соответствуют одной и той же штриховой линии на рис. 17.

Покажем, что бифуркационных точек типа В счетное множество: 7?(1), 7?(2), ..., В(т), ..., где т— число участков вытекания.

Итак, имеется диффузор с углом а. Пусть угол а достаточно мал, чтобы считать свойства решения зависящими только от комплекса Ва или а Не. Рассмотрим решение при критическом значении Ва = Ва*. Построим диффузор с углом alm. Поскольку Ва* не зависит от угла, то в критическом режиме течения в уменьшенном диффузоре максимальная скорость будет в т2, а расход в т раз больше, чем в исходном. Теперь соединим т уменьшенных диффузоров вместе и уберем промежуточные стенки. Это можно сделать, поскольку в критической ситуации не только скорость, но и ее производная по углу и, следовательно, трение па стенках равны нулю. В результате соединения вновь получаем диффузор с углом раствора а. Максимальная скорость при соединении остается неизменной, а расход возрастает в т раз. Таким образом,

Re* (m) = т2 Re* (1); Ва* (m) = m2Ba*.(1)

Рис. 17.Рис. 17.Описанное построение при т = 2 воспроизведено на рис. 18. Аналогичное построение можно выполнить для асимметричных ре-

Рис. 17.

Рис. 17.

Рис. 18.

жимов. Поскольку профиль скорости течения типа ТО соответствует полному периоду эллиптической функции, наличие или отсутствие промежуточных стенок несущественно. Поэтому штриховая линия на рис. 17 отвечает не только режиму ТО, но и (1О)т, где индекс означает повторение ТО т раз. При этом, конечно, следует иметь в виду, что по осям отложены величины Ва/m2 и aRe/m2. На плоскости (Ba, Re) линии ТО и (ТО)т будут геометрически подобны, но (10)т расположена в т? раз дальше от начала координат.

Для симметричных режимов такого подобия нет, поскольку им не соответствует полный перид эллиптической функции. На рис. 17 штрихпунктирными кривыми показаны результаты численного расчета при m = 2 соответствующих зависимостей для режимов ОТО (слева) и IOIOI (справа). При т>2 характер зависимостей Re(Ba) сохраняется качественно таким же, но с ростом т расстояние между ветвями на рис. 17 убывает пропорционально 1/т и все они в пределе приближаются к линии ТО.

Таким образом, карта решений па плоскости параметров {Re, Ва} достаточно проста. Решения расположены изолированными группами по четыре в каждой. Решения, принадлежащие одной группе, переходят друг в друга в бифуркационной точке В (т). Число решений с увеличением Ва растет асимптотически по закону

N = 4m- = int {[Ва/Ва* (1)]1/21 -4,

где int — целая часть. С ростом Re число решений «уменьшается», но при любом значении Re, в том числе при Re = 0, существует счетное их число. На каждой группе связанных решений величина расхода ограничена сверху и достигает максимума па решении с наибольшим числом участков втекания (точка М на рис. 17 при т = 1).

При монотонном увеличении расхода через диффузор в момент прохождения точки М (и аналогичных при m^l) поле скорости испытывает скачок, в результате которого меняется как амплитуда, так и число колебаний профиля радиальной скорости.

Свойства устойчивости решений существенно зависят от того, какую характеристику течения считать заданной. Ситуация наиболее проста, если заданной величиной считать Ва. В этом случае в силу структуры кривых на рис. 17 и общих теорем [3, 62] в каждой группе из четырех решений устойчивыми (относительно возмущений из специального автомодельного класса) являются решения с минимальным числом колебаний профиля скорости. В первой четверте это совокупность режимов I. О и ТО, ОТ. В следующей четверке — верхняя ветвь решений типа ОТО и решения IOTO, OIOI и т. д.

Однако задание величины максимальной скорости с физической точки зрения кажется искусственным. Представляется более естественным задавать расход или градиент давления, подразумевая, что диффузор является идеализацией части канала, соеди-

пяющего емкость большого давления с емкостью малого давления. В подобной конструкции с гидравлической точки зрения наибольшее значение имеет зависимость расхода от перепада давлений.

Для течений в диффузоре с углом раскрытия 10° зависимость расхода от градиента давления показана па рис. 19, 20. Она имеет на первый взгляд парадоксальный характер. Величина ср ограничена сверху значением «11,3, достигаемым при a Re «3,65. При дальнейшем увеличении расхода перепад давления уменьшается, обращается в нуль при <z Re = 8,4, а затем становится отрицательным. Другими словами, для обеспечения достаточно большого расхода вытекающей жидкости около вершины диффузора должно быть создано разрежение.

Здесь проявляется коренное различие между ползущими течениями вязкой жидкости, в которых для преодоления трения давление вниз по потоку должно падать, и течением идеальной жидкости, в котором в соответствии с теоремой Бернулли уменьшение скорости вниз по течению должно сопровождаться повышением давления. Ситуация становится особенно наглядной, если вновь рассмотреть диффузор как переходной участок между двумя большими емкостями. Такой переходник в некотором сечении имеет Пережим и при больших скоростях давление вниз по течению сначала падает, достигает минимального значения в горле сопла, а затем возрастает до величины давления в приемном резервуаре.

Автомодельное решение аппроксимирует течение на участке возрастания давления. ■

Из сказанного следует, что критерий ср характеризует лишь величину перепада давления на диффузорной части канала, соединяющего резервуары, в то время как расход является единой характеристикой течения как в его автомодельной части, так и па других участках. Поэтому задаваемой извне величиной целесообразно считать именно расход. В этом случае свойства устойчивости решений будут другими. На рис. 17 устойчивым решениям для первой четверки соответствуют сплошные линии, а неустойчивым — штриховая.

Скачкообразное изменение поля скорости при увеличении расхода может быть связано с явлением отрыва. В переходном канале отрыв происходит вблизи горла сопла в пеавтомодельпой области. Если предположить, что течение и при отрыве остается ламинарным или становится таковым вниз по потоку, то достаточно далеко отрывное течение должно соответствовать автомодельному решению со знакопеременным профилем радиальной скорости. Например, 101 отвечает симметричному отрывз^ у обеих стенок. Предположение ламипариости, конечно, весьма сильное, и необходим анализ устойчивости автомодельных решений к возмущениям более общего характера.

Когда угол раствора диффузора не мал, качественно картина сохраняется, хотя геометрическое подобие, использованное на рис. 17, 20, достигается асимптотически при Re » 1 и m» 1. Зависимость критических значений Re* (m) от угла а приведена на рис. 21. Однонаправленное течение существует в области, лежащей левее кривой для т=1, и при числах Рейнольдса, отвечающих кривым т = 2, 3, .... При а 2л решения, соответствующие кривым па рис. 21, переходят в решения для точечного источника па безграничной плоскости. Стенки диффузора, сливающиеся при угле раскрытия 2л, для критических режимов можно безболезненно убрать. Таким образом, задача о течении в диффузоре непрерывным образом переходит в задачу о течении от точечного источника на плоскости.

Бифуркация решений в задаче об источнике

Существование счетного числа зависящих от угла решений в задаче об источнике было обнаружено еще Гамелем [178]. Здесь будет показано, что все они бифурцируют от классического потенциального решения для точечного источника (рг = ^/(2лг), которому соответствует решение уравнения (4) U = Uo = const, С = Со = 4П0 + (7g. Зафиксируем число Рейнольдса Re = 2лПо и, следовательно константу Со, и линеаризуем уравнение (4) вбли-

зи U = Uo: U=U0 + u, Ы«1. Линеаризованное уравнение имеет вид и" + (4 + 2Uo) и = 0.

Функция и(ф) должна удовлетворять условиям периодичности по ф. Нетривиальное решение существует, когда выполнено 4 + + 2U0 = m2; m=l, 2, .... При этом с учетом произвола выбора начала отсчета угла ф собственная функция может быть записана в виде и = А sin/тф), а критические значения числа Рейнольдса определяются формулой Re*m = 4(m2—4), m = 1, 2, .... Существование нетривиального решения у линеаризованного оператора является лишь необходимым условием бифуркации, поэтому чтобы выяснить, происходит ли действительно бифуркация и каков ее характер, воспользуемся методом разложения по амплитуде А как по малому параметру [62].

Используя для удобства выкладок вместо числа Рейнольдса величину С в качестве вспомогательного параметра, будем разыскивать решение вблизи значений U = U д*, С = Со* в виде

U = U0* + AUх (ф) + A2U2 (ф) + ...; С = Со* + ЛС1 + АгС2 + ...,

(9)

где Uo* = Ве*/(2л); Со* = W д* + Ug* = (m2 — 16)/4. Подставляя ряды (9) в уравнение (4) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях А, получим систему рекуррентных уравнений

и; + тЧА = h (Сд*, . . ., C^v, Ug„ Пх-Д; i = 1, 2, . . ..

Как показано выше, /i = О, U\ = sin(map). Поскольку оператор левой части вырожден, для существования решения необходима ортогональность правой части к собственной функции U\. Эти условия используются для определения коэффициентов С<. В силу присущей задаче симметрии относительно поворота и отражения коэффициенты С; с нечетными индексами оказываются равными нулю. Уравнение для Ua имеет вид

Uа + тЧ1а = С^ — 1/2 + 1/2 cos (2тф), откуда Иц = [Сг — 1/2 — 1/6 cos (2тф)] 1т2. Из уравнения для Us Ид + m?U3 = — 2иги2 = — 2/т2 [(С2 — 5/12) sin (тф) — sin (Зтф)/12] следует, что условие ортогональности, которое в данном случае эквивалентно равенству пулю коэффициента при sin(mф), дает £2 = 5/12. Таким образом, П2 = —[1 + 2 соз(2тф)]/(12m2), и в силу 2Л

того, что Re = ^ U dtp = 2 л (U), имеем о

Re = Re*m - лЛ2/(6т2) + О (Л4).

Тем самым установлено, что пеосесимметричные решения би- фурцируют в сторону уменьшения числа Рейнольдса. Для колеба-

иий конечной амплитуды величину А удобно переопределить как (^тах— E7min)/2. Характер изменения решения с увеличением А можно проследить, обратившись к рис. 14. Осесимметричное решение отвечает у = 2, у' = 0. При Re = = Re* из точки у = 2 рождается цикл, т. е. замкнутая кривая на

рис. 14, причем решению с данной величиной т соответствуют т обходов замкнутой кривой по часовой стрелке. С ростом А размер цикла возрастает и при А -*■ °о

цикл «влипает» в петлю сепаратрисы.

Асимптотическая зависимость между А и <U> определяется соотношениями

Ф> = /С + 4«У>- 1)-2; А = З^С+

<У> = 4 J + d^ = 12/А; Л = 2л /2 (С + 4)1/4т,

где А — период по /. В итоге имеем при А з> 1

< Ш = —2/ЗА (1 - ЗУ3 тЛ^Ал) +0(1).

Асимптотические зависимости при малых и больших амплитудах сопрягаются на основе численных расчетов (рис. 22). При больших амплитудах профиль радиальной скорости по углу имеет форму цветка, число лепестков которого равно т, ширина лепестка пропорциональна А^1/2, а максимальная скорость вытекания в два раза превосходит максимальную скорость втекания. О характере распределения скорости па одном периоде можно судить по рис. 15 (кривая для Ва = 100, на интервале — 1 ^ г] ^ цД. На фоне практически равномерного стока из особой точки истекают узкие сильные струи.

Таким образом, анализ, казалось бы, простейшей задачи об источнике вскрывает удивительный факт — существование счетного числа стационарных решений при всех значениях числа Рейнольдса и ветвление этих решений от осесимметричного режима. Это — новое, можно сказать, парадоксальное свойство уравнений Навье —- Стокса. Первая бифуркация происходит в режиме стока при Re*, = — Зл, бифуркации с т^ 3 происходят в режиме источника. Наиболее поразительно, что и значение Re = 0 (m = 2) является бифуркационным.

Однако тот факт, что при Re = 0 существует счетное число решений, хотя сам по себе интересен, при более детальном рассмотрении не кажется таким уж необычным. Дело в том, что решения с т^З отвечают не малым значениям U. Хотя <U>=0,

скорости на участках втекания и вытекания конечны и при т » 1 сколь угодно велики. Поэтому условие |Не|<1 отнюдь не означает медленности течений и малости нормы ПНИ. Однако поскольку значение Re = 0 является бифуркационным, в любой окрестности ИП11<е существуют два решения, отвечающие т = 0 и m = 2. Следует, конечно, иметь в виду, что малость ПНИ не означает равномерной малости всех скоростей из-за наличия особой точки в начале координат, где при любой II t/И =^ 0 скорость бесконечна.

Описанное множество стационарных решений уравнений Навье — Стокса, связанное с особой точкой г = 0, принципиально отличается от мультиполей, являющихся решением уравнения Лапласа, для которых угловая и радиальная зависимости согласованы одинаковым индексом т. Для всех пеосесимметричных решений уравнений Навье — Стокса, о которых речь шла выше, радиальная зависимость одна и та же, ~1/г. Кроме того, мультиполи могут иметь произвольные интенсивности, в то время как для рассмотренного семейства при каждом фиксированном числе Рейнольдса амплитуды могут принимать значения только из определенного дискретного множества (см. рис. 22). Таким образом, для выделения определенного стационарного течения от источника необходимо задать не только расход, но и дискретный параметр т. Ввиду множественности решений принципиальное значение приобретает изучение их устойчивости.

Автомодельный анализ устойчивости

Прежде чем приступить к исследованию устойчивости, рассмотрим один класс нестационарных решений уравнений Навье — Стокса. Как легко убедиться, поле

щ = v/r • (}M/r)m cos (тер);

уф = v/r ■ (УхТ/г)™ ■ sign m • sin (тф); m = ±1 ±2, ..., является потенциальным. Его суперпозиция с течением от вихре- источника Vt = Qi(2лг), щ = Г/(2лг) также представляет потенциальное решение уравнений Эйлера, а при отсутствии границ и уравнений Навье — Стокса. Это решения типа мультиполей, о которых речь шла в разд. 1.3. При т>0 они имеют сильную особенность в начале координат, а при т < 0 не убывают на бесконечности. Очевидно, что переходные траектории между найденными стационарными решениями не содержатся в этом потенциальном классе. Около точек бифуркаций осесимметричное и неосесимметричные стационарньщ решения близки. Поэтому естественно предположить, что переходные траектории, т. е. возмущения, перебрасывающие течение из одного режима в другой, будут в определенном смысле малы.

Для компактности выкладок введем функцию тока T: U = ЧГ', V = Т. Тогда система (2) сводится к уравнению

1/2 ■ е~2тФ + ТФ' - Т'Ф - 2Т'Ф = Ф" + Ф + 4Ф + 4Ф, (10)

где Ф = W " + ЯП Рассмотрим более общий, чем течение от источника, случай вихреисточника, которому соответствует осесимметричное решение (10) Т = То = О'0ф + V0T с расходом Q = 2n,vUo и циркуляцией Г = 2nvVo. Исследуем устойчивость этого решения. Представляя решение (10) в виде Т = Чго + ^, получим уравнение для возмущений:

1/2 ■ е“2тФ + ^Ф' — а|/Ф — 2т|/Ф = Ф + Ф" ++ 4Ф + 4Ф +П0(Ф + 2Ф)-И0Ф'; Ф = ^"+^.

Поскольку Фо = 0, для возмущений Ф сохранено то же обозначение. Уравнение для малых возмущений получим, пренебрегая в (11) нелинейными членами в левой части,

1/2 • е'2тФ = Ф" +Ф + (4+ По)Ф + (4+2По)Ф- У0Ф'. (12)

К сожалению, коэффициенты уравнения (12) зависят от Т, что не позволяет искать возмущения в нормальной форме и сильно затрудняет анализ устойчивости. Поэтому ограничимся анализом поведения возмущений на начальном этапе эволюции, когда Т « —1, и на заключительном этапе, когда Т » 1.

Сначала рассмотрим начальный этап. В этом случае удобно ввести переменную T = vf/r2. Поскольку Z^l/2-lnr, 8jdT = = 2т9/дт, из (12) получим

Ф^Ф" - РоФ' -(4+2П0)Ф + 2т[2тФг + (4+2П0)Ф]т, где индексом т обозначено дифференцирование по т. При Т «. — 1 т = ехр(27’)< 1. Пренебрегая членами, имеющими т множителем, находим Фт = Ф" — РоФ' + (4 + 2По)Ф, откуда, принимая для возмущений нормальную форму Ф = ехр(цт — ?тф), получаем характеристическое уравнение и = 2Uq + 4 — m2 + imV0.

При Vq = 0 нейтральному случаю, когда ц = 0, отвечает Uo* = (т2 — 4)/2, что согласуется с формулой для Re*m, полученной в разд. 1.3. При U0>U0* возмущения нарастают, а при Uo < Uo* затухают. Однако для анализа устойчивости решающее значение имеет не поведение возмущений на начальном этапе, а их асимптотическое развитие при больших временах. Полагая Т’»\, пренебрежем членом в левой части (12). Тогда допустимо представление возмущений в нормальной форме Ф = ехр (КТ — imtp^ и из уравнения (12) следует дисперсионное соотношение (Х + 2)2 + + (Х + 2) Uo — m2 + imVo = 0 илиХ=—2—170/2±(Уд/4 + т2—imVo)1/2.

У корпя, отвечающего знаку минус перед радикалом, вещественная часть Хг всегда отрицательна. У другого корня X, меняет знак при mF0 =± (По + 4) (2[70+ + 4—т2)1/2. Это соотношение определяет нейтральные кривые на плоскости Шо, Fo), характер которых показан на рис. 23 (линия Fo = О является осью симметрии) . В критической ситуации Х« = = — т¥о/фо + 4). Если Fo = O, то воз

мущения стационарны, а и№ = (т2 — 4)/2, что согласуется как с результатами предыдущего раздела, так и с анализом при Т«-1.

Чтобы выяснить, каково поведение возмущений вблизи нейтральных кривых, зафиксируем величину Fo и вычислим производную от X по Uo при U = U0*;

^0^0(^W + ^o(^W + ^oак _2[^о* + 4)3+^Х]^^^оИ^о* + 4)

^0

^0

(^W + ^o

(^W + ^o

Так как Uo*^— 3/2, производная d^dUo отрицательна. Следовательно, при U0<.U0* (левее соответствующих кривых на рис. 23) возмущения нарастают, а при U0>U0*— затухают. Таким образом, при Fo = 0 поведение возмущений на начальном этапе (при Т1) противоположно поведению на заключительном (при Т » 1). При каждом фиксированном значении г амплитуда зависит от времени немонотонно. При Fo А 0 поведение возмущений качественно другое и зависит от величины Uo.

Нейтральные возмущения в случае вихреисточника имеют колебательный характер. Возмущенное течение приобретает форму спиральных волн, положение гребня которых описывается уравнением 1

а число рукавов равно т. Колебательный характер нейтральных возмущений свидетельствует в пользу того, что на нейтральных кривых происходит бифуркация автоколебательных установившихся режимов.

Спиральные волны и солитоны

Чтобы выяснить характер ветвления и структуру автоколебательных решений, будем, учитывая результаты линейного анализа, искать функцию тока возмущений ф в форме, свойственной бегущей волне. А именно предположим, что ф зависит не от Ф и Т раздельно, а от единого комплекса % = ф — иТ. Обратившись

к системе (11), получим

Ф = (1 + со2) х|^",(13)

где штрихом обозначается дифференцирование по %. Поскольку рассматриваются установившиеся колебания, будем полагать Т 2> 1 и пренебрежем в (11) членом с ехр(—2Т). Тогда после подстановки (13) в первое уравнение (11) и деления на общий множитель 1 + со2 находим

(1 + со2)ф1¥ - [По + со (4 + По)] + (4 + 2П0) ф" = -2ф'ф".

Интегрируя и учитывая, что должно допускаться тривиальное решение ф = 0, получим для и = ф'

(1 + со2)и” —[Ио + ю(4 + ИД] и' + (2П0 + 4)и = — и2.(14)

Будем разыскивать решение (14) в виде ряда по амплитуде

и = Аиу + А2и^ +...;

Uo = U0* + A-U2 + . . .; со = ю0 + Л2<о3 4_ ■ ■ ■ ■

В уравнении (14) содержатся три параметра: По, Uo и со. Один из них (Ио) считается фиксированным, второй выполняет роль числа Рейнольдса, а третий — собственного значения. Коэффициенты при нечетных степенях А в разложении для По и со, согласно общей теории бифуркации автоколебаний, равны нулю. Подставляя разложения в уравнение (14) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях амплитуды, получим (2U0 + 4) = (1 + (<4) m2; coo = — — И0/(П0 + 4); u\~ sin(mx) в полном соответствии с линейным анализом устойчивости. Далее,

(1 + (оД (wj + т/и^ = — и2 = [cos (2m^) — 1]/2, откуда иг = —[3 + ccs (2т%)]/[бт2 (1 + (Од)]. Уравнение для и3 имеет вид

(1 ц too) (ug + mhi^ = — 2u2tt2 — 2ЫдЫ2н1 — 2U^ux +

+ [со2 (По* + 4) + ы0П2] их = ах sin (mx) + + cos (m-x) + а3 sin (Зтх),где «1 = [2 (йосогт2 — П2) + 5а3];+ ~ m [®а (По* + 4) + ®0U2]; | а3 =

= [бпг2 (1 + ссц) ]' ■

Требование ортогональности правой части к собственным функциям оператора левой части сводится к тому, что должно быть щ = 0 и а2 = 0, откуда определяются со2 и П2,

<о2 = —<о0П2/(П0 + 4);

П2 = 5/{ 12те2(1 + и2) [1<о^7(П0* + 4)]].

В результате имеем <U> = По* 4- А2 (П2 4- <и2» 4- О (Л4) = U6* — ГБ1

——,— 6 + О (Л4). Как и следовало

12™ (1 + О 1 + Ю2™7(Р0# + 4) J V 7

ожидать, при Ро = соо = 0 это совпадает с результатами, полученными в разд. 1.3. Поскольку Uo*> — 3/2, выражение в квадратных скобках положительно при любых значениях т/0 и тп. Таким образом, бифуркация автоколебательных режимов тоже происходит в сторону уменьшения числа Рейнольдса Re = 2n<U>.

Заметим, что если положить со = — По/

/(С/0 + 4) в уравнении (14), то получится уравнение для нелинейного консервативного осциллятора, которое

заменами

H = (t70 + 2)p; % = [(2г7о + 4)/(1 + со2)Г%

приводится к уравнению (5). Поэтому колебательные неосиммет- ричные решения качественно ведут себя так же, как и стационарные. При больших амплитудах формируется волновой солитонопо- добпый режим в виде спиральной структуры, имеющей тп рукавов. Положение вершины солитона (максимума радиальной скорости) определяется уравнением

ср = — „, /- in — или -т= = ехр ,(1а)

2(Lo + 4) с Vvi

как и в случае малых колебаний. Для случая со = 2, m = 2 эта структура показана на рис. 24 в некоторый момент времени t. С течением времени структура поворачивается вокруг начала координат, а ее линейные размеры увеличиваются пропорционально Ух/. Это волновое движение происходит на фоне стационарного вихрестока, причем направления азимутальных скоростей вихре- стока и волны противоположны. Вблизи линий на рис. 24 жидкость узкими струями истекает из начала координат, а в промежутках между рукавами почти равномерно стекает с половинным значением радиальной скорости.

Следует подчеркнуть необычность найденных автоколебаний, периодических по переменной Т, но не по физическому времени t. В соответствии с (15) время одного оборота линейно возрастает со временем, так что движение асимптотически становится квазиста- циопарным. Однако если ехр(4л/и)— 1 < 1, то изменение периода за один оборот мало и волна бежит с почти постоянной угловой скоростью.

Подытоживая изложенные в этом разделе результаты, отметим, что наиболее неожиданный из них — обнаружение неустойчивости классических потенциальных течений типа вихреисточника к автомодельным возмущениям с любым азимутальным числом тп, и связанное с этой неустойчивостью ветвление неосесимметричных режимов.

Обсудим, насколько эти результаты применимы к реальному источнику жидкости, имеющему конечные размеры. Автомодельное решение естественно интерпретировать как асимптотическое для реального источника па расстояниях, много больших размера источника. Можно ожидать, что в этой ситуации детальная структура потока, порожденного реальным источником, «забывается» и движение определяется лишь величинами, сохраняющимися вниз по течению, т. е. интегралами сохранения. Именно такой подход принят в теории струй вязкой жидкости [26, 96]. Для вязкой жидкости интегралами сохранения служат потоки массы, импульса и момента импульса. Как известно, для плоского течения с заданным потоком импульса скорость убывает медленнее, чем г”1, например, в случае сильных струй, ~г-1/3 [144]. Когда поток импульса равен нулю, например, в силу исходной симметрии источника, главными становятся потоки массы и момента импульса. В этом случае скорость убывает как 1/г, что и реализуется в течение от стационарного точечного вихреисточника.

Приведенные соображения показывают, что величиной, характеризующей интенсивность источника, должен быть взят именно расход, несмотря на то, что определение числа Рейнольдса по максимуму модуля скорости, Rem = ДгтахИ/х дает более «естественную» картину неустойчивости, поскольку при каждом фиксированном Rem растущими являются возмущения с азимутальным числом, не превышающим определенное значение.

Для выяснения вопроса, какие из найденных пеосесимметрич- ных решений асимптотически реализуются вдали от конечного источника, следовало бы рассмотреть проблему устойчивости по отношению к пространственному росту возмущений вниз по течению. Однако это представляет собой неавтомодельную задачу, выходящую за рамки настоящей работы. Впрочем, исследование автомодельной нестационарной нелинейной эволюции па основе системы (2) или (10) не исчерпывается построением найденных здесь специальных решений и представляет собой нерешенную задачу, результаты которой трудно предвидеть.

Заметим, что даже при отсутствии пространственного роста возмущений причиной несимметрии течения может быть устройство самого источника. Например, при стоке воды в отверстие обычно наблюдаются осцилляции по углу, имеющие при наличии свободной поверхности, вероятнее всего, капиллярное происхождение. Они порождают спиральные волны на периферии течения, асимптотическое поведение которых может соответствовать полученным здесь автомодельным решениям.

Среди других гипотетических приложений упомянем такие известные феномены, как «пальцевую» неустойчивость расходящихся течений и спиральную структуру галактик. При закачке воды в пласт для более полного извлечения нефти наблюдается нежелательный эффект. Пместо того чтобы вытеснять нефть, вода

прорывается сквозь нее струями. Сама неустойчивость фронта вода — нефть может быть связана с различием их свойств. Но дальний след подобной неустойчивости имеет характер, напоминающий полученные здесь решения для стока с выбросами жидкости узкими струями.

Что касается астрофизических приложений, то схематично представим себе галактику в виде материальной плоскости с центральным вихрестоком. Сток моделирует гравитационный захват вещества ядром галактики, а вихрь— наличие исходного момента движения в протооблаке. Развитие описанной здесь автомодельной неустойчивости вихрестока приводит к возникновению спиральных полос, вдоль которых вещество движется от центра и стекает к центру в промежутках между полосами. Со временем вещество будет концентрироваться в спиральных рукавах. В этом смысле решение с азимутальным числом m = 2, ветвящееся при малых обильностях стока, моделирует в рамках рассмотренной схемы развитие двухрукавной структуры галактики.

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Общие свойства

Весьма необычным и даже, можно сказать, отличительным свойством пространственных конических течений вязкой жидкости является возможная потеря существования решения при конечных числах Рейнольдса и связанное с этим формирование предельно сильных струй.

Затопленную струю в теории движения вязкой жидкости связывают с наличием источника импульса. Вязкие струи эжектируют окружающую жидкость, порождая во внешней области вторичные течения. Интенсивность этих течений может оставаться конечной даже при бесконечном усилении струи, когда скорость на оси и импульс становятся сколь угодно большими. Теперь представим себе, что внешнее течение создается независимо соответствующими специальными источниками движения. Тогда струя окажется вынужденной, индуцированной, и должна характеризоваться интенсивностью этих специальных источников. Однако если в такой ситуации интенсивность источников будет приближаться к определенному конечному пределу, импульс индуцированной струи может обратиться в бесконечность.

Так возникает кризис, или «гидродинамический взрыв». При конечном числе Рейнольдса, построенном по интенсивности упомянутого специального источника, решение теряет существование. Потере существования предшествует возникновение струйных пограничных слоев. Учет этого обстоятельства и использование приближения пограничного слоя позволяют в ряде случаев проапализи- 6 М. А. Гольдштии, В. II. Штерн, II. И. Яворский

ровать околокритические и критические ситуации аналитически. Следует отметить, что струйные пограничные слои, описывающие необычные гидродинамические явления, сами обладают необычными свойствами, существенно отличаясь от пограничных слоев, развивающихся вблизи поверхностей обтекаемых тел.

Классическая теория Прандтля [227, 144] для пограничного слоя вблизи поверхности тела содержит следующие положения:

внешнее течение описывается в рамках модели идеальной жидкости (и, как правило, потенциально);

внешнее решение удовлетворяет условию непротекания через границу;

в пограничном слое продольная компонента скорости уменьшается до нуля, что обеспечивает выполнение условия прилипания на поверхности;

толщина пограничного слоя стремится к пулю, когда число Рейнольдса стремится к бесконечности.

Струйные пограничные слои отличаются по всем перечисленным пунктам:

внешнее течение описывается в рамках уравнений Навье — Стокса; учет конечности вязкости, как правило, является существенным;

внешнее решение не удовлетворяет условию непротекания: струи эжектируют окружающую жидкость;

в пограничном слое поперечная компонента скорости уменьшается до нуля, чтобы обеспечить отсутствие особенности типа стока, продольная компонента при этом резко возрастает, а ее значение асимптотически стремится к бесконечности;

толщина пограничного слоя может обращаться в нуль, когда число Рейнольдса, определяющее движение, стремится к конечному значению.

Именно такой пограничный слой возникает в задаче о взаимодействии вихревой нити со стенкой, изложенной в гл. 1. Эта задача моделирует течение жидкости, создаваемое вращающейся иглой, перпендикулярной плоскости. Когда число Рейнольдса, определяемое отношением циркуляции к вязкости, приближается к конечному критическому значению, вращение жидкости локализуется вблизи оси и индуцируется сильная струя, бьющая вдоль оси от плоскости. Толщина возникающего при этом пограничного слоя обращается в пуль при критическом значении числа Рейнольдса.

Аналогичное явление возникает в задаче Сквайра [240], которую автор интерпретировал как модель струи, бьющей из отверстия на плоскости. Решение, полученное Сквайром, не удовлетворяет условию прилипания на плоскости, и в связи с этим выражались сомнения [233—235] в том, что оно моделирует реальную струю. Но возможна и другая интерпретация. Если вещество плоскости стягивается в материальный сток, то вследствие увлечения этим движением окружающей жидкости в ней развивается струйное

течение, описываемое решением Сквайра. В таком истолковании задача Сквайра может служить моделью для определенных астрофизических процессов. Когда обильность стока на плоскости, возрастая, приближается к конечному критическому значению, формируется пограничный слой вблизи оси струи. При критическом значении числа Рейнольдса, построенного как отношение обильности стока к вязкости, толщина пограничного слоя обращается в- нуль, а индуцированный импульс обращается в бесконечность [37].

Эта задача обобщена на случай закрученных течений в работах [37, 258]. На конической поверхности задается движение типа вих- рестока (или вихреисточника). При полуугле раствора конуса, равном л/2, и нулевой циркуляции задача сводится к описанной выше.. При заданных значениях угла раствора и циркуляции (в частности,, рассмотрены полууглы л/4, л/2, Зл/4) существуют конечные значения обильности стока, при которых формируется предельная при- осевая струя с упомянутыми свойствами.

Аналогичные эффекты возникают еще в ряде задач, физическая интерпретация которых более затруднительна. Отметим, что, выявление физического смысла автомодельных решений непростая проблема. Здесь дается новая интерпретация известных и получаемых автомодельных решений на основе детального анализа их свойств. Голубинский и Сычев [31] рассмотрели течение, вызываемое источниками, равномерно распределенными на полуоси z > О,, в присутствии стенки z = 0. Ниже будет показано, что их решение можно истолковать как предельное для случая, когда источники бьют из конуса малого угла раствора, причем так, что трение на. конусе обращается в пуль. В такой задаче предельная струя развивается, когда число Рейнольдса, построенное по обильности источников, стремится к нулю (!). Впрочем, эта постановка допускает более естественную интерпретацию, которая будет дана ниже.

Другой парадоксальной особенностью задачи о взаимодействии линейного источника с плоскостью является то, что плоскость ускоряет жидкость! Хотя на самой плоскости в силу условий прилипания жидкость, конечно, покоится, но вблизи стенки продольная скорость имеет максимум, величина которого при определенных обстоятельствах неограниченно растет при стремлении вязкости к нулю. Эта индуцированная пристенная струя, как и струи, растекающиеся вдоль конических поверхностей, усиливается с увеличением числа Рейнольдса асимптотически в отличие от приосевых струй, которые могут стать бесконечно сильными при конечных числах Рейнольдса.

Поскольку предельные струйные течения реализуются на границе существования решений определенного класса, а эта граница отвечает конечным числам Рейнольдса, естественно возникает вопрос: что происходит, когда число Рейнольдса превосходит критическое значение. Представляется разумным предположение, что еще при докритических числах Рейнольдса стационарное осесиммет-

ричное течение теряет устойчивость, происходит бифуркация решений, не обладающих такой симметрией, которые наследуют свойство устойчивости.

Прямой анализ устойчивости и ветвления весьма труден, поскольку исходное течение двумерно и осуществляется в бесконечной области, а возмущения не допускают автомодельного представления. Однако ценой определенной схематизации можно попытаться обойти эту трудность. Эксперименты свидетельствуют о том, что в сильных струях область турбулентного движения охватывает узкую приосевую зону и наблюдается достаточно резкая граница между турбулентной струей и внешним медленным и практически стационарным движением. В задаче о внешнем течении толщиной турбулентной части струи можно в первом приближении пренебречь. В этом случае па оси допустимы (если они неизбежны) особенности. Из этого, собственно, исходил в своей постановке Серрин [236] (см. также гл. 1). Но тогда остается открытым вопрос о величине коэффициента при особенности. Серрин решает его путем дополнительной гипотезы физического характера.

В нашей работе избран другой путь. Та или иная особенность, помещаемая на оси, фактически призвана моделировать определенные интегральные характеристики некоторого реального объекта, имеющего ненулевые размеры, например, турбулентного ядра струи. Поэтому для разрешения ряда парадоксов здесь используется в каком-то смысле обратный прием. Ядро струи помещается в конус малого угла раствора, на поверхности которого ставятся подходящие граничные условия. Затем осуществляется предельный переход, когда угол уменьшается до пуля. Результаты предельного перехода оказываются далеко не тривиальными и, вообще говоря, не согласуются ни с предположением Серрина, ни с постановкой Голубинского и Сычева [31].

Итак, рассматривается класс пространственных конических автомодельных решений уравнений Навье — Стокса, имеющий представление

v , , .муу

Кв =5 У (и;=- —аX = COS 6;

2(!)

_ уГ И .ру_ , ,

y(p"7?sine’ р-р=^

Здесь R, 9, ф — сферические координаты. Поля скорости и давления не зависят от азимутального угла ф и стационарны. Этот класс для случая кФ = 0 был указан Слезкиным [120], который обнаружил, что задача может быть сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. Позднее аналогичный вывод сделали независимо Яцеев [151] и Сквайр [240]. Для закрученных течений (Уф^О) порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений также может быть понижен [212, 199, 32].

К классу (1) принадлежит ряд течений с обязательной автомодельностью, когда характерный размер отсутствует, а движение задается величинами, имеющими размерность кинематической вязкости (м2/с). Таковыми могут служить, например, циркуляция ГР, обильность Q линейного или плоского источника или стока. Сюда же относится задача об осесимметричной струе, характеризуемая импульсом J, поскольку 1//р как раз имеет размерность вязкости. Для подобных движений справедливо утверждение [117]: если решение существует, то оно автомодельно в смысле представления (1). После подстановки представления (1) в уравнения Навье — Стокса, записанные в сферической системе координат, получим (см., например, [37])

(1 — ^2)2t/IV — 4ж(1 -х2)у"' = 2ГГ, + (1 -ж2) (г/2) "72;(2)

^-^Г"=уГ;(3)

^ = (1-^2)/'72-^" -(у2)'74-(у2 + Г2)/[2(1-ж2)].(4)

Таким образом, все разнообразие задач из этого автомодельного класса сводится к решению системы (2), (3) при соответствующих граничных условиях.

Функция тока Стокса 1|) для движения в меридиональной плоскости связана с функцией у соотношением

^ = xRy.(5)

Движение в меридиональной плоскости не зависит от вращательной скорости, если Г = const. Полезно ввести функцию F, определив ее уравнением

F'" = 2ГГ7(1-ж2).(6)

В этом случае уравнение (2) можно трижды проинтегрировать:

^_^у-_2ху"+ 2у'-уу"-у'2 = F"-2Cv, ■(7)

(1 — ж2) у" + 2у — уу' = F' + C-г — 2С1Ж;(8)

(1 — х^у' + 2ху — у2/2 = F + С3 + С2х — С^х2.(9)

Уравнение (3) также может быть проинтегрировано:

Г = Jexp{j2S&}&; S = уД2 (1 - ж2)],(10)

причем S(x') в силу (9) удовлетворяет уравнению

5' _ S2 = (F + С3 + Сгх - С^2) / [2 (1 - ж2)2] Ф (ж)(11)'

Парадоксальные свойства, встречающиеся у решений данного класса, математически обусловлены тем, что (11) при заданной функции Ф(ж) является каноническим уравнением типа Рикатти и, следовательно, функция S (х) может иметь полюса даже в области непрерывной правой части [97]. Когда при изменении параметров

полюс попадает в интервал допустимых значений ж, решение рассматриваемой краевой задачи перестает существовать. Приближение полюса к интервалу порождает пограничные слои.

В данной работе внимание сосредоточено на критических явлениях, когда полюс проходит через границу интервала при конечных значениях числа Рейнольдса. Точнее говоря, имеется в виду ситуация, когда все величины, входящие в постановку краевой задачи, остаются ограниченными, а решение становится неограниченным. Покажем, что такой кризис возможен только при условии, что ось la?I = 1 содержится в области интегрирования. Сначала рассмотрим случай, когда на границе ж = Ж1 поставлено условие непротекания, и убедимся, что полюс не может пройти через эту границу при ^il^M. Подстановкой 5 = —Т'IT получим из уравнения (11)

Т" ФФ^^-О.

Если функция Ф (ж) ограничена, то по теореме Штурма корпи Т (ж) и Т' (ж) чередуются и являются простыми. Действительно, если Т и Т' обращаются в нуль при одном и том же значении ж, то 7(ж)=0. Следовательно, нули и полюса функции у (ж) обладают теми же свойствами. Прохождение полюса через границу ж = Ж;, т. е. слияние полюса и корня, возможно только в том случае, если Ф(ж) обращается в бесконечность при ж=жь Поскольку |ж11 Ф 1, в бесконечность должен обращаться числитель Ф(ж) (см. (И)), который характеризует источники движения. Случай, когда задана величина у(ж1), сводится к рассмотренному заменой переменных. Отметим, что полюс функции 5 (ж) не может появиться внутри интервала, например, попав туда из комплексной области. В последнем случае вновь родившийся корень функции Т (ж) должен быть кратным и снова следует 7(ж)=0. Таким образом, если источники движения, определяемые краевыми условиями, ограничены, то ограничено и решение.

Иначе обстоит дело, если ось принадлежит области течения. В этом случае кризис возможен при конечном числе Рейнольдса, как это показано в гл. 1. и в чем можно убедиться па примере известных точных аналитических решений (см. разд. 2.2). Физически это связано с кумуляцией импульса при сходящемся к оси течении жидкости, и в этом отношении осесимметричный случай радикально отличается от плоского.

Возникающие в околокритической ситуации сильные струи не бьют из внешнего источника, а порождаются самим течением, т. е. индуцированы. Чтобы обосновать и пояснить это утверждение, рассмотрим типичные постановки краевых задач. Наиболее общей краевой задачей является задание граничных условий на конических поверхностях ж = Ж1 и ж = жг, — 1^Ж2<Ж1^1. Например, на конусах ж;, Ж2^±1 может быть задан вектор скорости в рамках ограничений (1). В этом случае коэффициенты уравнений (2), (3)

не имеют особенностей па интервале интегрирования. И хотя для автомодельного класса (1) общие теоремы о существовании стационарных решений [84, 129] неприменимы, разрешимость такой задачи, по крайней мере при малых числах Рейнольдса, не вызывает сомнений. Когда одна из полуосей принадлежит области течения, коэффициенты при старших производных обращаются в нуль при Ы = 1. Как будет показано на примерах, это обстоятельство может радикально повлиять на свойства краевой задачи и ее разрешимость.

В обсуждаемой ситуации существует альтернатива: либо ось рассматривается как внутренность области течения и тогда на ней формулируются условия аналитичности, либо ось остается границей течения, на которой расположен источник движения, и тогда па оси помещается вполне определенная особенность.

Для дальнейшего полезно классифицировать возможные особенности па оси, придав им ясный физический смысл. Попытка классификации была предпринята в работах [225, 222, 223]. Здесь предпочтение отдается подходу Ландау [86, 87], основанному на рассмотрении потока импульса

Пу = рущ, + р — ту; ту = v {dvjdxj + ди^Эх^ •

Для конических течений можно ввести безразмерный тензор л, связанный с П соотношением П=лрт2/Й2. Полезно выписать компоненты л в сферической системе координат:

лдд = у'2 + g — 2/; яде = [у/ — (1 — ж2) у" — 2y]/sin 9;

Лее = g + (y2 — 2жу)/(1 — х^ ; яДф = Г (2 - у')/sin 9;

nw = g + 2y’ + (Г2 + 2жу)/(1 — ж2); лвф = Г + (2ж - у) Г/(1 - ж2).

Физический интерес представляют такие особенности па оси, которые являются идеализацией некоторого реального источника движения, имеющего ненулевые размеры. Например, это может быть топкая вращающаяся игла или турбулентная приосевая струя, которая служит (благодаря эжекции) стоком для окружающей среды и источником импульса. Поэтому поместим полуось 9 = 0 в конус 9 < 9о малого угла раствора, рассмотрим граничные условия на конусе как источник движения окружающей среды, а затем осуществим предельный переход 9о 0.

В силу автомодельности и осевой симметрии достаточно рассмотреть часть поверхности конуса в виде кольцевой области, расположенной между сечениями R = Ro и R = Rq + dR, имеющей площадь 2яй sin MR. Если нормальная компонента скорости и9 на конусе отлична от нуля, то расход на единицу длины образующей составляет Q = 2лйЕ9 sin 9о = — 2nvy (жо) . Сохраняя Q неизменным при предельном переходе 9о0 (жо^-1), получим линейный сток с равномерно распределенной обильностью на единицу длины Q = = -2nvy(l).

Пусть теперь конус непроницаем для жидкости. Источником ее движения могут служить касательные напряжения тД9 и т0ф. Первое из них порождает силу трения или, что то же самое, поперечный поток осевой компоненты импульса на единицу длины:

Рг = пн6л/? sin (20о) = \уу' — (1 — Жо) у" — 2у] ж02лрх2//?.

Переходя к пределу ж,:гЛ и полагая, что Q = y^xo) = O, получим Рг = ^uAp^jR, где А = lim[(жо — 1)у" (жо)] при ж0 ^-1. Конечность этого предела означает, что вблизи оси у'(ж) имеет представление у' = А 1п(1 — х) + О (1).

Другими словами, продольная скорость на оси имеет логарифмическую особенность. При этом у = — А (1 — ж)1п(1 — ж) + о(1 — ж), т. е. поперечная скорость на оси обращается в пуль, п9 ~ ~ (1 — ж)1/21п(1 — ж). Источники импульса распределены на оси неравномерно, обильность потока импульса па единицу длины оси пропорциональна 1JR. Как следует из уравнения (8), две рассмотренные особенности несовместимы: либо есть источник массы и тогда у(1)¥=0, а у' (1) ограничена, либо у' (ж) имеет логарифмическую особенность, но тогда у = 0, т. е. источник массы отсутствует.

Рассмотрим теперь источник движения, порождаемый ненулевым значением т9ф на конусе. В силу осевой симметрии такое напряжение не порождает силы, действующей на выделенную область конуса, но создает осевой момент силы или, что то же самое, поток осевой компоненты момента импульса на единицу длины оси,

Mi = Пе(р2л (R sin Оо)2 = 2лрт2 [(1 — Жд) Г' + (2ж0 — у) Г],

или в пределе Мг = 2npv2T(l)[2 — у(1)]. В частности, при у(1)=0 Мг = 4лрх2Г(1). Таким образом, сохраняя поток осевой компоненты момента импульса при предельном переходе 0о 0, получим вихревую пить с постоянной циркуляцией. Вихревая нить совместима с источником массы па оси, но не любой обильности. Как следует из уравнения (3), если у(1)^0, то Г' ~ [(1 + ж)/(1 — ж)]у (1)/2. Требование ограниченности циркуляции может быть выполнено только при у(1)<2. При у(1)>2 ограниченным является лишь тривиальное решение (3) Г' = 0. Вихревая нить вполне совместима и с более слабой логарифмической особенностью, т. е. с источником осевого импульса. Такая задача рассмотрена Серрином [236].

Струя Ландау и ее обобщения

Выделенный случай в классе конических течений — струя Ландау [86]. Задача рассматривается в безграничной области и требуется выполнение условий регулярности всюду, кроме начала координат. Формально число однородных граничных условий па по-

луосях ж = ± 1 соответствует порядку системы уравнений. В этой ситуации всегда существует тривиальное решение. Однако существует и нетривиальное решение, найденное Ландау, зависящее от свободного параметра, который однозначно связан с величиной потока импульса из начала координат.

Таким образом, движение может определяться либо граничными условиями, либо точечным источником. Заметим, что эти два случая являются взаимоисключающими. При задании того и другого задача с очевидностью будет переопределенной, что находится в некотором противоречии с интуитивными представлениями о независимости и совместимости этих источников движения в реальных струях. Действительно для струи, бьющей из отверстия в стенке, можно независимо задать и поток импульса из отверстия и поле скоростей на стенке, например условия прилипания. Однако оказывается, что этого нельзя сделать в пределе бесконечно малого отверстия, потому что, согласно теореме Седова, решение должно быть автомодельным и принадлежать классу (1), что из-за переопреде- ленности задачи невозможно. Сказанное не означает, что кроме решения Ландау не существует автомодельных течений струйного типа. Но такие струи, вызванные движением границ, естественно считать индуцированными.

При равной нулю вращательной компоненте скорости уравнение (9) принимает вид

(1 — ж2) у' + 2жу — у2/2 = С3 + С2ж — С1Ж2. (12)

Требование регулярности поля скорости на оси приводит к условию у(1)= 0. Тогда из требования ограниченности производных получим из (12) и(8) С3 + Са — С\ = 0; Са — 2С1 = 0. Таким образом, уравнение (12) можно переписать в виде

(13)(13)(1 - ж2) у' + 2жу = у2/2 - С1(1 - ж)2.

(13)

(13)

Решение последнего уравнения выписывается в аналитической форме [151, 240]. Подстановка у = — 2(1 — ж2)Т'}Т приводит к уравнению Эйлера (1 + ж)2Л" — С1/27'= 0, решения которого имеют вид

7 = Л(1 + ж)\ V-^-Cl/2 = 0. Если Ci=0, T = A2x + Ai. Отсюда Т7Т = 1/(ж — А), где А=— А\!А^ и приходим к классическому решению Ландау у = 2 ■ [(1 — ж2)/(А — ж)].

Чтобы па интервале — 1<ж<1 не было особенности в виде полюса, необходимо, чтобы |Л| > 1. Случай А > 0 соответствует струе, бьющей вдоль полуоси 0 = 0, случай А < 0 — в противоположном направлении.

Картина линий тока при А = 1,1 приведена на рис. 25 [18]. Источник импульса находится в начале координат. Штриховая линия — геометрическое место точек, в которых линии

тока максимально сближаются с осью симметрии, г = R cos 9, л

r=R sin 9. Импульс струи J = 2л J (Пдн cos 9 — Пде sin 9) R2 sin 9 dO, о

т. е. полный поток осевой компоненты импульса через сферу, окружающую начало координат, связан с константой А соотношением J = 16npv24 [ 1 Нф In ~ П.

1|3(Д2 —1)4 Л — 1J

Импульс У монотонно возрастает от 0 до ® при изменении А от °° до 1. При значениях А, близких к единице, А = 1 + 6, 0 < 6 < < 1, скорость на оси становится большой—z/'(l)»l. Введем малый параметр е = — Yjy' (1) = 46 и внутреннюю переменную ц = = (1 — ж)/е, тогда после подстановки ж = 1 + ец в решение Ландау и устремления е к нулю получим у* = 4ц/(4 + ц), что совпадает с решением Шлихтинга [144] для осесимметричной струи в приближении пограничного слоя. Внешнее решение соответствует А = 1, у* = 2(1 + ж). Поскольку у* (1) = 4, на оси формируется сток с обильностью па единицу длины Q — Q* — 8nv. Величина Q* определяет предельную эжекцию жидкости ламинарной струей.

Естественно ожидать, что достаточно сильная струя турбули- зируется. Эжекция турбулентной струи в отличие от ламинарной неограниченно возрастает с увеличением импульса. Поэтому для моделирования внешнего течения может быть рассмотрена задача, когда на положительной полуоси равномерно размещены стоки некоторой обильности Q. Такая задача рассмотрена в работе [222]. Ее решение имеет вид у = (1 + ж) ()/(2nv). Если Ct ^ 0, то точное решение, указанное Яцеевым [151], а затем Сквайром [240] имеет вид

у = 2Х(1 — ж) [(1 + ж)7 —(1 + ж2)7]/ [а — (1 + ж)7]; Ct > — 1/2;

(14а) у =(1 — ж)/{2/1п[(1 + ж)/(1 + ж2)] — 1); Ct = 1/2;(146)

у = 2^1(1 — ж)/{1 — со ctg(ln [(1 +ж)/(1 + ж2)]со/2}; Ci < — 1/2.

(14в)

Здесь X = Цр; у = 1^1 + 2^; а = (1 + ж2)? j^; со = су. При этом у (ж2) = 0; у' (ж2) = — Су (1 — ж2)/(1 + ж2).

Яцеев пришел к заключению, что это решение не имеет физического смысла, поскольку у (ж) при ж— 1 быстро осциллирует. Можно, однако, ограничить область течения интервалом ж2 $£ ж ^ 1. Так поступил Сквайр, который интерпретировал решение, в частности при ж2 = 0, как струю, бьющую из отверстия на плоскости. По этот подход, как будет показано, не выдерживает критики. Описанный класс точных решений уравнений Навье — Стокса допускает следующую интерпретацию. На конусе ж = ж2 течение задано источником с обильностью Q = — 2nvz/' (ж2) |Л 1 — ж21 которое порождает в окружающей жидкости струйное движение.

В случае Q > 0 жидкость подтекает извне к вершине конуса, а затем движется вдоль его образующей. Никаких ограничений сверху на обильность нет, но с ее увеличением вблизи поверхности конуса развивается пограничный слой. Он обладает рядом свойств классического пристенного пограничного слоя, однако есть и существенное отличие. Нетрудно убедиться, что для любого х > х2 отношение квадратных скобок формулы (14а) при у -> оо стремится к — 1, а 2Л У2Сь Следовательно, в пределе во внешней области получаем потенциальное течение уп = — У2С1 (1 — ж). Однако это внешнее решение не удовлетворяет ни только условию прилипания, по и условию непроницаемости. Поверхность конуса служит стоком для внешнего течения, что связано с эжекцией жидкости пристен

ной струей. Толщина вытеснения 6* = (1 — yiy^ dx при у

как нетрудно показать, выражается асимптотической формулой

6* = [2 (1 + х^ In 2 + х, - 1]/у + О^.

Естественно определить число Рейнольдса как Re = <2/v. Тогда 6* ~ 1//Нё, как и в классическом пограничном слое. Распределение скорости внутри пограничного слоя имеет вид

у!уп = 1Ьц + - th2T] + О ( -); ц =+ /

В случае стока ((? < 0) струя стекает с вершины конуса и движется вдоль полуоси х = 1. С увеличением обильности стока импульс струи и скорость на оси возрастают и при некотором значении Q или Re = — Q/v обращаются в бесконечность. Это происходит, когда знаменатели в формулах (14) обращаются в нуль при х = 1. Критические значения параметров определяются уравнениями

Ci = - 1/2; х2 = хк = 2/е2 -10,73;

[(1 + ж2)/2Г=(1-7)/(1 + 7); х2<хк;tg (In [2/(1 + ж2) ]®/2} = м; х2> хк.

Если обильность стока превышает критическое значение, внутри интервала интегрирования функция у (ж) имеет полюс, который с увеличением обильности движется от границы ж = 1. С другой стороны, в силу граничных условий точка ж = 1 является нулем функции "у (£)• Когда обильность равна критической, корень и^по- люс сливаются в точке ж = 1. В этом случае у (ж) не имеет особенностей на интервале интегрирования, но принимает отличное от ну-

ля значение при ж = 1. В силу уравнения (13) имеем у* (1) = 4. Таким образом, получается, что в пределе на оси ж = 1 располагается индуцированный сток обильности Q* = — 8nv, который и порождает внешнее течение у* (ж).

Отметим существенную разницу в поведении внешних течений для случаев Q > 0 и Q < 0. Если в первом из них с ростом а эжекционная способность пристенной струи неограниченно возрастает ~ NQ, то во втором случае эжекционная способность приосе- вой струи с ростом импульса до бесконечности имеет конечный предел Q*. Соответственно ведут себя и сами внешние течения. При обильностях, близких к критической, около оси формируется узкая область больших скоростей — зона сильной струи. Величина у уменьшается от значения, близкого к 4 на границе этой зоны, до 0 на оси, а величина i/z (1) принимает большие отрицательные значения.

Введем, как и ранее, малый параметр е = — 1/у'(1) и новую независимую переменную ц=(1—ж)/е. С учетом соотношения ух = —у^б из уравнения (13) находим

— т) (2 — ер) у'^ + 2 (1 — ец) у = у2/2 — e?v^Cv

Устремляя е0, получим уравнение для главного члена разложения приосевого пограничного слоя

Чу*' = у*1Д — у*1^\ у*^ = 0,(15

откуда у* = 4т]/(4 + ц), т. е. опять приходим к решению Шлихтип- га. Этот результат при жг = 0 был получен в монографии [37]. Отметим, что погранслойное решение (15) не зависит от Ci и, следовательно, от угла раствора конуса жг. Поскольку для решения Шлихтинга существенны лишь условие регулярности на оси и наличие пограничного слоя, оно аппроксимирует вблизи оси широкий класс течений струйного типа. Возвращаясь к исходным переменным, перепишем его в виде

у*(ж)= —4у'(1) (1—ж)/ /[4-/(1)(1-ж)]. (16)

В соответствии с теорией сращиваемых асимптотических разложений внутреннее у*^ и внешнее у* (ж) решения удовлетворяют условию у*(°°) = — у*(1). Однако по производным непрерывность не достигается. Действительно, у* = 16/(4 + г,)2, в силу чего у*' ->-0 при ц оо. С другой стороны, продифференцировав один раз уравнение (13) и подставив в него ж=1, у— 4, получим у* (1) = 2. В случае струи Ландау

у* =2. Таким образом, радиальные скорости для внутреннего и внешнего решений не только не сращиваются, но и имеют противоположные знаки: в струе пд > О, а во внешнем течении vR < 0.

На рис. 26 показано распределение радиальной скорости по углу при у'(1) = — 460,5. Сплошная линия соответствует решению Ландау, штриховая — решению Шлихтинга, штрихпунктирная — предельному внешнему течению для струи Ландау. Различие знаков радиальной скорости для внешнего и внутреннего решений сохраняется, в частности, для течения над плоскостью при ж г = 0.

Струя, бьющая из отверстия на плоскости

Поскольку разрыв радиальной скорости неизбежен, то можно попытаться распорядиться его величиной так, чтобы внешнее решение удовлетворяло условию прилипания при ж = жз- Это сделано Шнайдером [233]. Наибольший интерес представляет струйное течение над плоскостью, когда жз = 0. Уравнение (12) с учетом условий прилипания у* (0) = у* (0) = 0 и требования ограниченности у* (1) при выполнении у* (1) = 4 принимает вид

(1 — ж2) у* + 2ху* — у*/2 = (1 — ж). (17)

Рис. 27.Рис. 27.

Рис. 27.

Рис. 27.

Величина Ci = 15,2894 находится, от оси из условия, что у* (0) = 0. стаита Ci определяет трение настенке тш = —Cipv2/.R2. Величина радиальной скорости на оси связана с Ci соотношением

= 2 + C]z/4. Сопоставление на рис. 27 предельных решений —у* (ж), полученного Шнайдером (7), предельного решения Сквайра (3) и потенциального решения у* = 4ж (2) — показывает, что они существенно различаются по характеру распределения радиальной скорости. Более того, влияние стенки на течение качественно различно. В решении Сквайра плоскость является источником движения, ускоряет жидкость, а в решении Шнайдера тормозит. Потенциальное решение соответствует нулевому трению.

например, при интегрированииВ силу того, что у* = Cv кон-

Существенно различается и характер линий тока. Для решения Сквайра вблизи плоскости у ~ ж = cos 6, поэтому линия гр = = vRy = const эквивалентна R cos 0 = z = const, т. e. линии тока параллельны плоскости. В случае условия прилипания у ~ ж2, z = = R cos 6 ~ 1/ж, г = Д sin 6 ~ 1/ж2, следовательно, z ~ Ут, т. е. линии тока с увеличением г удаляются от стенки. Другими словами, из-за трения жидкость тормозится и происходит оттеснение линий тока от плоскости. Решение Шнайдера может быть хорошо аппроксимировано полиномом третьей степени у* « ж2 [4-^(6— CV4) (1—ж)], коэффициенты которого определяются по известным граничным условиям па стенке и на оси. Этот полипом с графической точностью ■сливается с кривой 1 на рис. 27, построенной на основе численного интегрирования уравнения (17).

Если задаться целью описать распределение скорости для струи, бьющей из конечного отверстия в стенке, на расстояниях, много больше размера отверстия, то решение Яцеева — Сквайра в силу указанных свойств представляется малоподходящим. Модель Шнайдера более адекватно отражает влияние стенки. Он построил равномерное асимптотическое представление укх^ = У* + У*— 4 = = У*(ж) “ 16/[4 — у' (1) (1 — ж)], которое призвано аппроксимировать реальное течение при всех углах с точностью ~1/|г/'(1) I. Но возникает вопрос: какое течение при этом аппроксимируется? Известно [210, 226], что автомодельного решения, удовлетворяющего условиям прилипания и регулярности на оси, не существует. В этом легко убедиться непосредственно. Требование у'(жг)=О приводит к Ci = 0, т. е. к решению Ландау, но тогда у(жг)^ 0, каково бы ни ■было жг, за исключением ж2 = — 1.

Кроме этих формальных аргументов с целью физической интерпретации полезно рассмотреть баланс потока импульса J =Jnn2 dS, где Пу — тензор полного потока импульса. Выберем контрольный объем в жидкости, ограниченный двумя полусферами радиуса R\ и Ri и соответствующей кольцевой областью па плоскости z = 0. Пусть Ri > Д1 и направление нормали к поверхности п выбрано так, чтобы ее. проекция на ось z была положительна. Тогда /г = = Ji + 7„, где индексы 1 и 2 соответствуют полусферам, a w — стенке. В книге [37] показано, что для решений из класса (1), регулярных на оси z, поток импульса 7 через любой участок конической поверхности ж = const равен нулю. Следовательно, 7„ = 0 и поток импульса через любую полусферу один и тот же. Иначе обстоит дело с решением Шнайдера. В условиях прилипания поток импульса через плоскость полностью определяется давлением. Из (4) и (7) следует, что g(0)= — С\, откуда

7W = —2npv2Ci In(R2/7?i).

Таким образом, поток импульса I через полусферу R = const, z > 0 не является инвариантом. С другой стороны, как уже упоми-

налось, решение уравнений Навье — Стокса для струи, вытекающей из отверстия конечных размеров, не является автомодельным. Однако если скорость истечения достаточно велика, то па определенном интервале изменения R возможно квазиавтомодельпое приближение. Поскольку поток импульса 71 может быть сколь угодно большим, тогда как величина С\ ограничена сверху значением 15,3, а логарифм — медленно растущая функция своего аргумента, то в широком интервале значений /?2 может быть выполнено условие I7J < /1.

Другими словами, поток импульса 7 через полусферу будет почти инвариантом. Тогда решение Шлихтинга хорошо приближает приосевую часть течения. В результате эжекции струя формирует практически равномерный сток на оси симметрии для внешнего течения, поэтому решение Шнайдера также может служить его удовлетворительной аппроксимацией. С ростом /?2 импульс постепенно уменьшается. Оценим величину потери импульса. Пусть а — радиус отверстия, а Дт — радиус, на котором импульс 7 = у7„, где 7а — импульс на срезе сопла. Величина R4 с точностью до множителя порядка единицы оценивается соотношением R-, ~ а ехр [(1 — Y) 7а/ / (2npv2Ci)].

Для сильных струй 7/(2npv2) « 4/Зпд(1) • 7?/v. Такие струи на практике турбулентны, причем комплекс 7?nH(l)v, вычисленный по турбулентной вязкости, является постоянной величиной « 460,5 [144]. Если воспользоваться верхней оценкой для С\, получим R^a ~ ехр [40(1 — у)]. Импульс уменьшается на 10 % на расстоянии «27 калибров, на 20 %—на расстоянии «1500 калибров, в то время как автомодельность по профилю скорости в опытах достигается уже на 20 калибрах [256}. Это и служит основным аргументом в пользу того, что в широком диапазоне масштабов допустимо квазиавтомодельное приближение и существует как бы промежуточная асимптотика. Это подтверждает прямое сопоставление теории [235] и эксперимента па рис. 28 [263]. Справа линии тока, рассчитанные для равномерного приближения Шнайдера при Re = V//(pv2) = 30, а слева визуализация течения в глицерине при Re = 32,6 . Струя истекает из отверстия диаметром 1,1 мм в стенке, расположенной в верхней части рисунка.

Б приведенных оценках величина импульса, воспринимаемого4 стенкой, рассчитывалась на основе решения Шнайдера. Для больших расстояний такой подход не пригоден. Если следовать ему, то импульс меняет знак и стремится к бесконечности при Т?2 °°. Достоверность полученных оценок ограничена условием I/J < 72. Каково же действительное поведение импульса при Т?2 -> °°? Если бы импульс имел пределом конечную величину, то в силу теоремы Седова решение было бы автомодельным из класса (1). Но такого

Рис. 28.

решения, удовлетворяющего условиям прилипания, не существует. Отсюда с необходимостью следует, что /2 ^ О при Rs °°. Тогда главный член разложения определяется расходом жидкости через -отверстие Qa и имеет вид ve ~ i/R3, р ~ MR\ ^ = 3^„ cos2 0/(2л7?2) [47]. В силу этого J асимптотически убывает пропорционально 1/7?. Суммарный импульс, воспринимаемый стенкой, конечен и равен по величине импульсу струи. В опытах Вигиапского и Фидлера [256] струя била из стенки, размеры которой па два порядка превосходили диаметр сопла, и хотя скорость па оси струи убывала несколько быстрее 1/7?, это отличие на интервале в 100 калибров бы-

ло невелико.

На рис. 29 приведено сопоставление опытных данных [256] с зависимостями 7 = 7а — 0,025 1п(7?/а) (линия 7) и 7 =/о ajR (кривая 2). На срезе сопла полагается, что г равен радиусу сопла а. Таким образом, экспериментальные данные свидетельствуют

в пользув пользутого, что в определенном интервале расстоянии от сопла квазиавтомодельное приближение вполне приемлемо.

в пользу

в пользу

Заметим, что эксперимент [256], относится к турбулентным струям. Визуализация течения в ламинарном режиме выполнена Заунером [263]. Его результаты для Йе = 7 приведены на рис. 30. Струя порождает систему кольцевых вихрей. Положение центра ближайшего к отверстию и самого интенсивного вихря 7?о

Рис. 30.

совпадает с 7?т при некотором значении ч и при малых числах Рейнольдса (Re -С 8) растет экспоненциально с увеличением импульса,

Итак, за исключением струи Ландау, точные решения уравнений Павье — Стокса класса (1) описывают индуцированные струи, порождаемые распределенными на граничной поверхности источниками движения. Струп, бьющие из отверстий па поверхности, не являются автомодельными. Весь импульс такой струи поглощается стенкой. Сохраняющейся величиной, определяющей асимптотическое поведение поля скорости на больших расстояниях от отверстия, является расход. При этом скорость асимптотически убывает как 1/R2 и применимо приближение Стокса. Однако если поток импульса из отверстия достаточно велик, то существует интервал расстояний, где импульс изменяется слабо н струя может рассматриваться в квазпавтомоделыюм приближении. Ширина квазиавтомоделытого интервала, измеряемая в калибрах, возрастает с увеличением импульса. Но и в этом интервале течение не описывается автомодельными решениями в целом, а лишь по отдельности в приосевоп и внешней областях с неизбежным разрывом между ними прежде всего ио потоку импульса.

7 М. А. Гольдшти!;, В. И, Штерн, II. И. Яворский

Проблема потери существования решений

Результаты анализа Шнайдера п Заупера убедительно свидетельствуют о том, что точные решения Навье — Стокса, полученные Яцеевым и Сквайром, не описывают струю, вытекающую из малого отверстия на твердой поверхности. Их критика Шнайдером заходит настолько далеко, что при упоминании этих решений слово «точные» заключается в кавычки [234], Это, конечно, полемическое преувеличение. Решения Яцеева — Сквайра не только без всяких кавычек являются точными, но и, как будет показано в дальнейшем, могут иметь важные гео- и астрофизические приложения. В качестве простейшей ситуации, для которой возможно применение этих решений, рассмотрим течение типа стока в ванной. Вода, стекающая в центральное отверстие, вовлекает в движение окружающий воздух. Сходящееся радиальное течение воздуха вблизи отверстия порождает струю, бьющую вертикально вверх. Для описания движения воздуха вдали от отверстия должно быть пригодно точное решение Яцеева—Сквайра. Но решения (14) перестают существовать, когда обильность стока превышает некоторое критическое значение. Причем это справедливо и в более общем случае, рассмотрим его.

Решения Яцеева (14) могут быть интерпретированы следующим образом. На пористой поверхности жг — 0 дапы касательная и нормальная компоненты скорости или у(О)=уо и у' (0) = Уо, т. е. осуществляется вдув или отсос жидкости под определенным углом наклона. В этом случае С, = Уо/2— Уо и решение имеет вид

в =в =2\+.о2^ + V2\+.о2^ + V

в =

в =

2\+.о

2^ + V

2\+.о

2^ + V

(1 + Hv - х2в, В — (14-H ’

если 1 + 2Ci > 0, т. е.УоС (1 + Уо)/2, и

„ - И - Ю (1 ~ ю5) ctg [<0/2 In (1 + «•)]- 5 - 0) . „ = 1 + ^0 '' В — ctg [со/2 In (1 Д-.г)]’(о ’

если уо> (1 "I" Уо)/2.

Кризис происходит, когда знаменатель при ж = 1 обращается в пуль, откуда 1 + у0 + у» + (1 + Уо) V + Уо ” 2у0 = Go + Уо) X X exp [/1 + у о — Зуд или 1 + Уо = ® ctg(® In 2/2), со = V 2yi)—1 —Уо1 Эта зависимость между уо и у0, при которой решение теряет существование, показана па рис. 31 сплошной линией, штриховая линия соответствует у0 = (1 + Уо)/2, она разделяет области применимости приведенных выше формул. Решение существует левее и ниже критической кривой. При уо ^ 1 опа имеет асимптоту у0 = — у0, а при у о» 1 ® -> 2л/1п 2, а уд « (1 + уо)/2 + (2л/1п 2)2. Случай у^ = 0 со-

ответствует вертикальному вдуву у0* ~ 2,9, а при г/о = 0 получаем решение Сквайра. Для него критическая величина обильности стока на плоскости, q* = ^/(2nv) = — у' (0) = — 7,6727 [37].

При критических значениях параметров на оси возникает особенность в виде индуцированного стока. Поэтому естественно предположить, что если допускать на оси определенного типа особенности, призванные моделировать, например, турбулентную приосе- вую зону, то решение может быть продолжено в закритическую область. Совместимыми с уравнениями особепостями являются источники жидкости, импульса и момента импульса. В первом и третьем случаях скорость стремится к бесконечности обратно пропорционально расстоянию до оси, а во втором — пропорционально логарифму расстояния. Поскольку особенность, связанная с источником осевого импульса, более слабая, сначала рассмотрим именно этот случай.

Первым источник импульса на оси ввел Серрин [236] в задаче о взаимодействии вихря с плоскостью, допустив логарифмическую особенность на оси для продольной скорости. Закрученные течения рассмотрены в § 3, а здесь обсудим эту модель применительно к обобщению задачи Сквайра. Исходя из уравнений движения (12) и учитывая граничные условия #(1) = 0; у'(0)= — q, приходим к уравнению

(1 — ж2) у' + Чту — z/2/2 = (1 — ж) (С1Ж — q). (18)

Присутствие логарифмической особенности па оси означает, что существует конечный, не равный нулю предел Ит(1—ж)у"(ж)= —А.

Дифференцируя уравнение (18) и подставляя ж = 1, получим Ci = = qA-‘4A. Неопределенной остается величина В, входящая в разложение у'^ вблизи ж = 1, у' (ж) = А 1п(1 — ж) + В + 0(1 — ж). Значение В подбирается так, чтобы в результате интегрирования от ж = 1 до ж = 0 было удовлетворено условие у (0) = 0.

Как показано в разд. 2.1, величина А определяет вертикальную силу, действующую на единицу длины оси Ег = 4лЛрм2/В. Эта сила может моделировать скорее не влияние на внешний поток турбулентного приосевого ядра, а локализованные вблизи оси эффекты плавучести, если температура ядра иная, чем у окружающей среды. При Л > 0 сила действует вдоль оси вверх, а при Л < 0 — вниз.

Результаты анализа поставленной выше задачи отражены па рис. 32. На плоскости параметров Vq, Л) каждому квадранту отвечает различная структура течения и, в частности, если q и Л имеют одинаковые знаки, то реализуется двухъячеистый режим. Случай Л = 0 отвечает решению Сквайра. Если q = 0, то на плоскости выполнены условия прилипания и движение создается только осевой силой. Такая постановка может служить, например, гидродинамической моделью тепловой конвекции, если архимедовы силы практически отличны от пуля только в узкой приосевой области. 7*

Подобная ситуация возникает при конвекции, вызванной костром или пожаром. Штрпхпунктирная линия па рис. 32 соответствует симметричному относительно плоскости ж = 0 решению, рассмотренному в работе [222]. Такие решения могут представлять интерес как модели внешнего течения, вызванного двумя узкими приосевы- мп струями, бьющими пз начала координат в противоположных направлениях. Похожая картина течения наблюдается вблизи определенных астрофизических объектов. Продолжение штрихпунктнр- ной липин выше границы существования (кривая 2) соответствует линейному стоку в безграничном пространстве у = qx, А = <?2/4. Логарифмическая особенность в решении при этом пропадает и сменяется стоком.

Задача с логарифмической особенностью, следовательно, имеет решение не при всех значениях q п А, Определим границу существования. Три точки, принадлежащие этой границе на плоскости {q, А), соответствуют решению Сквайра <у = — 7,6727; А = 0, решению Шнайдера q = 0; А = Ci/2 = 7,6447 п решению [222] при А = — q = 4. Выведем уравнение для границы в общем случае. Заменой у = — 2(1 — ж2) 777 уравнение (18) приводится к виду

С х — а(1 — х\ Т" + -i7 т = 0.

2(1-4

Пусть Т1 п Г9 — лппейпо независимые решения этого уравнения. Их можно выбрать так, чтобы в окрестности ж = 1, функция Т\ была аналитической, первые члены разложения в ряд которой имеют вид Т\ = 1] — т|2Л/8 + О (гр); ц = 1 — х, тогда функция Тг имеет представление

72=1 + т](1— In ц) Л/4 + О (ц2 In ц).

Общее решение имеет вид Т = В\Т\ + ВТ^, причем поскольку функция Т определена с точностью до постоянного множителя, не теряя

общности, можно положить В^ = 1. Тогда вблизи ж = 1 функция у (ж) имеет представление

_ 2 / ^ , .ж Л7?"4 In ц - 1 - т|Л/4 + О (ц In ц)

В + Д + Ц (1 — In ц) ABJ4 О (ф In ц)

Если В * 0, то у = — А/2 (1 — ж2)1п(1 — ж) + . ..; у' = Лх1п( t — ж) + + ... . Кризис потери существования соответствует обращению В в нуль, когда корень 7 (ж) попадает на границу интервала (0, 1), а именно 7(1) = 0.

Если В = 0, то у = 2( 1 + ж) — (1 — х2)А/4 + О ((1 — ж)2); у'= = 2 + хА!2 + О (1 — ж). Существенно, что у(1)=4, т. е. на оси формируется сток. Главный член внешнего разложения у^ по В по- прежнему удовлетворяет уравнению (18), но граничные условия теперь другие: у* (1) = 4; у* (1) = 2 + А/2. Интегрируя (18) с этими условиями от ж = 1 до х = 0 и требуя, чтобы у(0)=0, найдем связь между параметрами А и q (см. кривую 2 па рис. 32). При q Э> 1 получаем lyl > 1, тогда в левой части уравнения (18) линейными членами можно пренебречь и в ядре потока у (х) приближенно равно у„ (х) где у™ = — [2^(1 — х) (1 — х — х • 2А/(?)],/2.

Выражение в квадратных скобках должно быть положительным. Поэтому приближение справедливо не слишком близко к оси. Во избежание противоречия следует предположить, что 2A]q -* 0 при q-> оо. Вблизи оси возникает пограничный слой, внутри которого приближенно у* ~ 4 — (2 + А/2) (1 — ж). Приравнивая положение нулей у„(ж) и у*(ж), получим А ~ qv2. Вблизи плоскости также возникает пограничный слой толщины ~q-V2 из-за того, что уДя) не удовлетворяет условию у(0)=0. Структура течения достаточно сложна. Вблизи плоскости от начала координат распространяется веерная струя со скоростями порядка q. В ядре течения формируется опускной режим со скоростями ~qx!2, а в окрестности оси существует узкая коническая область с углом раствора ~д~1/2, в которой жидкость стекает к оси. Таким образом, и па самой границе существования структура течения остается двухъячеистой. При любом значении q > 0 есть коническая поверхность, разделяющая бассейны стока жидкости на ось и вдоль плоскости па бесконечность. С ростом q угол раствора этой сепаратрисы стремится к нулю пропорционально д~1/2. Если q-*—00, то в ядре течения

у„ = ( 2А (1 - х)[х - (1 - х) q/(2A)])1/2.

Теперь во избежание противоречия необходимо, чтобы А — °щ a q]A -* 0. Однако на самой плоскости подкоренное выражение отрицательно. Следовательно, вблизи плоскости существует пограничный слой, где у ~ yh = — qx. Сопрягая зависимости //„(ж) и z/ь(ж), получим Л~ C/i372. Таким образом, вблизи плоскости в области шириной ~|д|-|/2, формируется сходящееся течение со скоростями ~ q. В ядре восходящий режим имеет скорости ~ Igl374.

Вблизи оси решение у„ также должно быть модифицировано, поскольку уп не удовлетворяет условию у(1)=4, а продольная скорость обращается в бесконечность. Ширина золы модификации ~ !gh3/2. Вблизи оси продольная скорость сохраняет порядок |д|3/4. При А < 0 бассейн стока жидкости на ось в критическом режиме охватывает всю область течения, т. е. на границе существования в нижней полуплоскости Kq, Л) двухъячеистый режим вырождается в одноячеистый. .

Во всех случаях логарифмическая особенность в распределении радиальной скорости в пределе (извне) исчезает и вместо нее образуется сток на оси. Это свойство является общим для широкого класса задач. Действительно, рассмотрим уравнение

(1 — х2^у' + 2ху — у2/2 = 2Л (1 — хЩх), (19) где /(х) непрерывна, /^1)=1, а (1 — x)f (х)—ограниченная функция, обращающаяся в пуль при х = 1. Требуется найти решение, удовлетворяющее условию у(1)=0. Дифференцируя уравнение, имеем

(1 - г2)/' + -У - уу' = - 2Л/(х) + Ь(1 -x)f (х).

В силу принятых условий lim (1 — х) у" (х) = — А. Замена у = = —2(1 —х2)Т7Т приводит уравнение (19) к виду (1 — х}Т" + + Л/(х)Г/(1 + х)2 = 0. Его независимые решения имеют представления

71 = ц — т|2Л/8 + о(т]2); Та = 1 + ц (1 — In ц) Aj4 + о(ц). Не теряя общности, можно положить Т = Т\ А В Та, откуда

у = — 2ц (1 + х)у = — 2ц (1 + х)АВА In ц — 1 + о (1)

у = — 2ц (1 + х)

у = — 2ц (1 + х)

В + Ц + Ц (1 — In Ц) АВА + о (ц)"

Кризис возникает, когда корень 7(х) попадает в точку х = 1. В этом случае В = 0 и у = 2(1 + х)+о(1).

В задаче Серрина, обобщающей задачу о взаимодействии вихря с плоскостью, правая часть (19) удовлетворяет перечисленным требованиям. Поэтому на границе существования решений (см. рпс. 11) логарифмическая особенность уступает место стоку на оси. При этом в критической ситуации циркуляция обращается в нуль всюду внутри области течения. Тогда в правой части (19) остается лишь квадратичный трехчлен, а с учетом граничных условий прилипания /(х) = х. Уравнение границы существования имеет вид 1/2-p-Re2 = 2А = 15,2894, где Re = Г(1), ар — параметр Серрина, связанный с логарифмической особенностью.

Это соотношение определяет часть границы существования (прямая линия со штриховкой на рис. 11). Ниже этой линии при р < 1 есть область (заштрихована), где кроме решений, непрерывно продолжаемых из верхней области, существуют решения, отве-

чающие двухъячеистым режимам. Штриховая кривая па рис. 11 соответствует слиянию этих решений и не связана с появлением сингулярности, которая возникает только на луче р = 7,645 к^2 (/с=1/2Не), ограничивающем область существования при р ^ 1 снизу, а при р < 1 сверху (для второй ветви решений). Подчеркнем, что всей прямолинейной границе существования па плоскости кк, р} отвечает одно и то же течение, описываемое внешним разложением Шнайдера [233].

Вернемся к обобщенной задаче Сквайра и попытаемся проникнуть в закритическую область другим путем, по вводя априори логарифмическую особенность па осп. Окружим ось конусом х ^ хк и рассмотрим течение в области 0 < х < хк. Уравнение движения имеет вид

(1 — х2)у' + 2ху — 1/2 ■ у2 =Сч.х — С\Х2 — q.(20)

Сначала поставим па конусе условия прилипания у(хк') = 0, у'(хк) = = 0. Подставляя в уравнение х = хк, находим соотношение между константами: Ci = С\хк + q(xk. При малых q решение уравнения (20) выписывается в явном виде:

у = С\хк(2^\ — ж2) In ф (ж) /1п ф (хк) — С]ж( 1 — ххк) /2 —

— qx(l — xlx^^; ф(ж) — (1 + ж)/(1 — х);

Сх = q In ф (жЦ /[In ф (^) — 2хк].

При немалых значениях q решение находится численным интегрированием от х = хк до х = 0, а константа С\ определяется из условия у(0) = 0. Результаты численного решения для различных значений хк представлены па рис. 32. Кривые 4—6 соответствуют 1 —хк= 10 2, 10 4, 10~7. Если q^ q*, то в пределе хк~* 1 получается решение Сквайра, а при q < q* предел совпадает с решением,

отвечающим границе существования логарифмически особых режимов. Характер перехода к пределу функции у (х) при q = — J0 по

казан на рис. 33. Цифры на кривых 2, 7 соответствуют числу девяток после запятой в значении хк. Пределу хк=1 отвечает кривая L. Стремление к пределу очень медленное и при численном расчете из-за малости 1 — хк приходилось прибегать к удвоенному числу разрядов.

Однако если нашей целью является моделирование турбулентного ядра течения, то условия у(хк^ = = У' (xt) = 0 и, главным образом, равенство пулю на поверхности конуса продольной составляющей скорости нельзя признать удачными. Поэтому

рассмотрим еще один вариант задачи, сохранив условия непроницаемости конуса, но заменив условие прилипания на условие скольжения: у(хй) = 0; у"(ж6)=0. Дифференцируя (20) и подставляя ж = жк, получим С2 = 2С\хк. Обратимся сразу к предельному переходу xh~* 1. В пределе имеем Ci = *ZC-x. Условие у(,хк)=0 «стирается» и у(1)=ут становится конечной, отличной от нуля величиной. Уравнение для внешнего разложения принимает вид

(1 — ж2) У* + Злу* — у2/2 = 2Ах (2 — х) — q (1 — xf, (21) где Л = ут — у/„/4.

Интегрируя (21) от х = 1 с начальными условиями у* (1) = ут, У* (1) = 2 и подбирая ут так, чтобы в результате интегрирования У* (0) = 0, получим решение и, в частности, зависимость Л(<?), нанесенную на рис. 32 штриховой линией 3. Результаты численных расчетов, иллюстрирующие характер предельного перехода у (.г) при q = — 10, представлены на рис. 33. Кривые 3, 5 отвечают 1 — хк = К) 3. !0 3. а 5 — пределу хк=1. Приближение к пределу в случае условия скольжения происходит значительно быстрее, чем для условия прилипания.

При ig! 3> 1 членами в левой части уравнения (21) в. ядре потока можно пренебречь и приближенно принять у « у,^ где

Уи = {~ 44 [ж (2 — х) — е (1 — ж)2]}1/2; 8 = ^.

Во избежание противоречия необходимо, чтобы 8 < 1. С другой стороны, поскольку q < 0 и А < 0, то 8 > 0. При х = 0 подкоренное выражение отрицательно, следовательно, вблизи плоскости формируется пограничный слой. Примем для у (ж) в пограничном слое аппроксимацию у = уь, где Уь = Ч1^ — 4.,х3 + 44ж4.

Потребовав, чтобы в некоторой точке xw совпадали у„ и уь, а также их первые три производные, найдем хю = (12/1 q\)1/2, А = = — |gl3/2/V12, ут = (4|д|3/3)|/4. Таким образом, как и в случае прилипания, около плоскости развивается пограничный слой толщиной ~ l</l”v4 гДе жидкость течет к началу координат со скоростями ~ lyl. В ядре течения реализуется восходящий режим со скоростями ~lgl3/4. Однако около оси, поскольку уп(1)«у™, дополнительный пограничный слой не развивается. Это свидетельствует о хорошем сопряжении внешнего течения уп с условием па оси, которое моделирует эжекцию турбулентной струи. Еще одним важным свойством является зависимость обильности эжекцпи ут от числа Рейнольдса, роль которого выполняет q. В предыдущих моделях обильность стока па оси, когда такой сток формировался, не зависела от q п составляла (1* = 8лт, что соответствует ламинарной струе Шлихтинга.

Таким образом, из анализа можно заключить, что допущение логарифмической особенности продольной скорости па оси может

моделировать действие подъемной или опускной силы, сосредоточенной в приосевой области. Однако эта модель малопригодна для приближенного описания влияния турбулентного ядра струи па внешнее течение. В последнем случае более адекватной моделью в рамках рассматриваемого автомодельного класса течений является допущение на оси стока жидкости, обильность которого определяется из условия отсутствия приосевого пограничного слоя во внешнем течении. Такой подход качественно согласуется с другой моделью турбулентного течения, связанной с введением эффективной вязкости, зависящей от угла, которая рассматривается в § 4.

Взаимодействие распределенного источника жидкости с плоскостью

Будем считать плоскость твердой стенкой, т. е. на пей выполняются условия прилипания.

Как уже упоминалось, в результате эффекта эжекции для внешнего течения можно сформулировать задачу, когда на оси струи размещен линейный сток жидкости. Тем самым естественно возникает класс задач с источниками движения, расположенными на оси. В этом случае также формируются течения струйного типа с весьма петривальпыми свойствами.

Задача о течении вязкой жидкости, вызванном линейным нс ■ точником (стоком) в присутствии поперечной стенки, представляет интерес в нескольких аспектах. Во-первых, опа служит полезной моделью для изучения свойств практически важных, более сложны : течений. В случае струи, бьющей из отверстия в стенке, задача о стоке моделирует внешнее течение, порожденное эжекцией струи [233, 234]. Задача об источнике служит простейшей автомодельной схемой входного участка течения в каналах, и позволяет выяснить причины появления немонотонности в профиле скорости [145]. В случае конического источника эта задача — простейшая одномерная иллюстрация явления оттеснения потока от поверхности посредством вдува [82]. Во-вторых, этот простой пример весьма содержателен в познавательном отношении, поскольку позволяет вскрыть новые нетривиальные свойства динамики вязкой жидкости. Они проявляются в принципиальном отличии как по постановке, так и по результатам случаев отсоса и вдува.

Такой физический парадокс связан с необычными математическими свойствами. Последние создавали определенный технический и психологический барьер, который затруднял адекватное решение задачи о взаимодействии линейного источника с поперечной плоскостью. Эта задача первоначально была рассмотрена в постановке, когда продольная компонента скорости на линии источников принималась равной нулю [145]. Но, оказывается, в случае стока ограниченных решений при этом не существует. Затем (по-видимому, с;.- вершепно независимо) была сформулирована постановка, когда.

требовалась лишь ограниченность продольной скорости на оси симметрии [31]. По этого недостаточно для выделения локально единственного решения в случае вдува. Об этом в определенной степени свидетельствуют расчеты [14], но неудачный выбор координат и численного метода не позволил решить задачу до конца.

Далее будет показано, что задача требует различной постановки для случаев отсоса п вдува. При вдуве существуют и имеют физический смысл ограниченные, но не аналитические решения. Можно сказать, что эта ситуация не подпадает под действие принципа минимальной особенности [20]. Но опа вполне согласуется с теорией вихревого движения идеальной жидкости.

Итак, рассмотрим осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости около линейного источника или стока заданной обильности (расход па единицу длины оси) в присутствии неподвижной ортогональной плоскости. Основной результат, полученный в работе [31] численными методами, по утверждению авторов, аналогичен парадоксу с вихревой нитью [32]. Задача разрешима лишь в определенном диапазоне чисел Рейнольдса Re = (7/(2nv), а именно — °° < Re < 0,847, причем в области положительных чисел Рейнольдса (т. е. в случае источника) имеются два топологически различных режима. Математически задача сводится к уравнению (12), но в силу условий прилипания па плоскости у(0)=0; у'(0)=0, константа Сз = 0, и уравнение можно переписать в виде (1 — ж2) у' + 2ху — у2/2 = С2х — (Дж2.(22)

На оси задается обильность источника г/(1) = —Re и требуется ограниченность у'(1). Тогда, полагая в (22) х = 1, получим Cv = = Сг + 2Re + Re2/2.

Дифференцирование уравнения (22) дает

(1 - х^у" + 2у - уу' = С2 - 2(Дж.

При х 1 следует положить (1 — х^у" -> 0, иначе не будет выполнено требование ограниченности у' (1). С учетом этого находим у'(1)= — С — 2 — Re; С = C2/Re.(23)

Полученные соотношения для констант, казалось бы, позволяют выделить локально единственное решение уравнения (22), удовлетворяющее всем граничным условиям. При этом использование (23) позволяет осуществить численное интегрирование непосредственно от точки х = 1, например, методом Рунге — Кутта.

В работе [14] интегрирование проводилось от значения х = 0,99, а величина у (0.99) определялась на основе разложения в ряд Тейлора. Естественно, таким путем находится аналитическое решение. Параметр С должен быть подобран так, чтобы удовлетворить одному из условий на конце пути интегрирования, например у(0) = 0. Тогда второе условие (у'(0)=0) выполнится автоматически в силу уравнения (22), и решение задачи тем самым будет построено.

Однако дело осложняется тем, что, поскольку на плоскости (ж, у) точка (ж = 1, у = — Re) особая, через нее может проходить не одна, а целый пучок траекторий, имеющих ограниченную производную, удовлетворяющую соотношению (23), Требование аналитичности решения выделяет, вообще говоря, единственную траекторию, по в данном случае требуется лишь ограниченность производной. Этому условию могут удовлетворять не только аналитические, но и особые решения, если особенность проявляется лишь в более высоких производных. Покажем, что в рассматриваемой задаче реализуется именно такая ситуация.

Сделаем замену переменных: ц = 1 — х; и = у + Re, ^ = — ух. По построению вблизи оси ц « 1, и < 1, а ич остается немалой величиной. После подстановки в уравнение (22), сохраняя лишь линейные по т] и и члены, получим ци^ = ки + ар, где к = 1 + Re/2; а = — Re (С + 2 + Re)/2 = Re у' (1)/2. Требуется построить решение, удовлетворяющее условию п(0)=0 и имеющее ограниченную производную пп (0). Дифференцируя уравнение, находим ип (0) = = а/(1 — к). С другой стороны, общее решение имеет вид и = = ат]/(1 — к) + Hri6. Условия и(0)=0 и | ^л (0) | < оо выполняются для всех к > 1 при произвольных значениях Л, поэтому поставленными требованиями решение однозначно не определено. Более сильное условие — аналитичность решения — произвол устраняет (для всех к, кроме целых), поскольку в этом случае должно быть Л = 0.

При отсосе Re < 0 и, следовательно, к < 1. Тогда условие ограниченности ^(0), т. е. у'(1) дает А = 0. Однако при вдуве к > 1 и производная у'(1) ограничена при любых значениях А, |Л| < оо. При этом в диапазоне 0 < Re < 2 особенность при х = I имеет у" ^. При Re > 2 величина у" (1) становится ограниченной, а сингулярность перемещается последовательно на все более высокие производные у (ж).

То, что в задаче остается произвольный параметр А, означает, что в случае вдува недостаточно поставить условие ограниченности г/'(1). Для определенности решения нужно, например, задать саму величину г/Д!) или, что то же самое, продольную скорость на оси симметрии. В случае отсоса условия ограниченности достаточно, а величина продольной скорости вырабатывается автоматически. В этой ситуации для значений Re > 0 выражение (23) следует трактовать как условие для определения постоянной С по заданным значениям Re и у' (1). При этом получаем разрешимость поставленной задачи при всех Re > 0.

Пусть, например, г/Д1) = 0, тогда С = — 2 — Re, С2 = — 2Re - — Re2, С\ = — Re2/2, а уравнение (22) принимает вид

(1 — х2) у' + 2ху = [у2 — Re2a:(2 — ж)] /2 — 2 Re х. (24) Любая интегральная кривая этого уравнения, в том числе выпущенная из начала координат па плоскости (х, у), т. е. удовлетво-

ряющая условиям прилипания, проходит через точку (1, —Re) и при этом г/'(1)=0. При Re °° имеем асимптотическое представление решения

у„ = —Rel^(2 — ж), (25) которое, удовлетворяя условию у(0)=0, имеет неограниченную производную z/'(0), т. е. возникает необычный пограничный слой: условие прилипания стирается, при сохранении условия непроницаемости скорость на стенке обращается в бесконечность. Численные расчеты показали, что решение уравнения (24) действительно стремится к (25) с ростом Re.

Кроме того, была воспроизведена построенная Голубинским и Сычевым [31] кривая аналитичности (рис. 34,7). Линией 4 показана зависимость С = — Re — 2, соответствующая решениям задачи с у'(1) = 0. Решения задачи с ограниченной величиной г/'(Л отвечают каждой точке в полуплоскости Re > 0, в то время как при Re < 0 ограниченность у' (1) достигается только па кривой сущест

вования аналитического решения.

При малых числах Рейнольдса можно убедиться в существовании решения, отличного от решения Голубинского и Сычева, не прибегая к численному анализу. Полагая у'(1) = b • Re, получим С = = — (1 + b) Re — 2, и уравнение (22) примет вид

(1 — х2) у' + 2ху — у2/2 = Re2 [(1/2 + b)x2 — (1 + 5) ж] — 2Re х.

Используя подстановку у = и — Re ж2, приходим к уравнению для и; (1 — ж2) и' + (2ж + Re ж2) и — и212 =

= Re2(ж2 — 1)ж2/2 + (1 + 5)Re ж(ж — 1).

Если |Rel < 1, то и W < 1, поэтому можно пренебречь квадратичным членом м2/2. Линеаризованное уравнение имеет при Ъ = — 1 решение и = Re/2{ж2 — 1 + (1 — х) 1+Re/2(1 + х) 1~Re/2 exp (Re ж)}, удовлетворяющее всем граничным условиям и имеющее в случае Re > 0 ограниченную производную при х = 1. Если Re < 0, это решение непригодно из-за неограниченности производной. В общем случае, когда 5=^—1, решение линеаризованного уравнения выписывается в квадратурах

Н(ж) = (1 — ж) 1+1!е/2^ 4- ^ l-Re/2 Re2 exp(Re #)Л (#) ;

Л (ж) = — (' (1 — i)-1'^ (1 + 0Re/2“2[(l + i)f2/2 +(1 4- b)f)exp(Rei)^.

О

При Re > 0 вблизи ж = 1 справедливо представление А = = Ж (1 — ж)-Ке/2 + Ло + о(1) и решение у (ж) с ограниченной у' (1) существует при всех значениях Ь. При Re < 0 функция А (ж) ограничена в интервале [0, 1]. Однако для того чтобы и имела ограниченную производную, необходимо потребовать, чтобы Л(1)=0. Из этого условия однозначно определяется величина Ь.

Случай Re = 0 особый, он сводится к задаче, рассмотренной в разд. 2.4, если величина в b • Re2 конечна. На оси производная имеет логарифмическую особенность, кроме случая b • Re2 « 15,29 (см. уравнение (17) и ниже). В силу этого кривая 1 (см. рис. 34) асимптотически следует зависимости С = 15,29/Re — 2. При движении вдоль кривой 1 в сторону увеличения С вблизи оси возникает пограничный слой с внутренним решением (16), поскольку условие у(1) = —Re при Re — 0 переходит в у(1) = 0, и с внешним решением у* (ж), совпадающим с решением Шнайдера. Толщина вытес- 1

лепия для радиальной компоненты скорости 6Н = ^ ун (ж)/пн (0) dx « о

~ 0,262 Re + О (Re2) стремится к нулю при Re 0. Величина продольной скорости па оси асимптотически растет согласно формуле у'(1)—— 15,29/Re, поэтому уменьшение расхода Q отнюдь не означает уменьшение интенсивности движения.

Таким образом, постановка задачи различается принципиально для отсоса и вдува. При отсосе условие ограниченности продольной компоненты скорости однозначно определяет ее величину, а при вдуве значение продольной скорости па оси может быть задано по произволу. Но, возможно, существующие в случае вдува ограниченные, но не аналитические решения следует отбросить, исходя из физических соображений? В некоторых случаях, когда постановка не обеспечивает единственности решения, пользуются так называемым принципом минимальной особенности [20]. Примерами его весьма успешных реализаций являются постулат Жуковского — Чаплыгина', принцип Бриллюена — Билля, он находит широкое применение в технике сращивания асимптотических разложений. Часто этот принцип интерпретируют как внешнее следствие скрытых предельных переходов. Например, в моделях идеальной жидкости таким скрытым переходом может быть устремление вязкости к нулю. Проверка корректности применения принципа в этих условиях может состоять в том, что скрытый переход заменяется реальным.

В рассматриваемой задаче идеализацией является задание источников па оси. Поэтому рассмотрим более «реальную» постановку, когда жидкость вытекает из конуса с конечным полууглом раствора 61, а затем исследуем, что происходит, когда 610.

Итак, область течения заключена между конусом и плоскостью, проходящей через вершину перпендикулярно его осп. Если па каждой из границ скорость задана в согласии с (1), то существует решение из конически симметричного класса. Задача при условии

прилипания на плоскости сводится к уравнению (22) с краевыми условиями р(0)=0; у(ж1)= — Re; у' (ж3) = у^ Условие у,(0) = 0 будет выполнено автоматически. Полагая в уравнении ж = жц получаем соотношение (С2 = С - Re)

Ci = [Re2/2 + Re (С + 2) х1 — (1 — ж3) y'lV^i- (26)

Решая задачу Коши для уравнения (22) с начальным условием у(0) = 0, распорядимся величиной параметра С так, чтобы у(ж1) = = — Re. Тогда в силу (26) условие у' (ж3) = ух будет выполнено автоматически. Таким образом, имеется двухпараметрический класс решений, определенный параметрами Re, у± или согласно (26) Re, С. В силу того, что у" (0) = Re • С, при С < 0 и Re > 0 жидкость растекается от оси во всей области течения, а при С > 0, Re > О около стенки существует зона возвратного движения, в которой жидкость течет около плоскости к началу координат. С ростом С эта зона расширяется и в пределе охватывает всю область течения. Вблизи конуса формируется сильная струя, которая, несмотря на наличие источников на поверхности конуса, служит стоком для внешнего течения.

Если па конусе поставить условие прилипания, т. е. равенства нулю продольной компоненты скорости у' (Ж1) = О, то получим одпо- параметрическое семейство решений. Результаты расчета такого семейства для Ж1 = 0,99 и ж; = 0,999 представлены на рис. 34 кривыми 2 и 3. Как видим, если Re < 0, то пределом при ац 1 является аналитическое решение Голубинского и Сычева, а если Re > 0 в пределе Ж1 1, получаем пеаналитическое решение, отвечающее линии 4. В обоих случаях предельный переход является неравномерным. При Re < 0 граничное условие у'(ж1) = 0 в пределе «стирается», и производная на оси принимает конечные значения, равные соответствующим величинам на кривой 1. При Re > 0 по у'(х^ сходимость равномерна, но у" (ж^)—о° при Ху 1, Re <2.

Следовательно, можно заключить, что принцип минимальной особенности работает в случае отсоса, но не работает в случае вду- ва. Спрашивается, существуют ли такие граничные условия на конусе, при которых в пределе 01 -+ 0 получится аналитическое решение и при отсосе, и при вдуве? Проведенный численный эксперимент показал, что ответ на этот вопрос положителен. Если на конусе потребовать равенства нулю касательных напряжений, другими словами, положить у" (ж1) = 0, то получим другое однопараметрическое семейство решений и связанное с ним семейство функций Re(C). Результаты расчетов при Ж1 = 0,99; Ж1 = 0,9 представлены на рис. 34 кривыми 5 и 6. В пределе х\ 1 получаем при всех значениях С аналитическое решение Голубинского и Сычева. Предельный переход и тут неравномерный, но уже, начиная со второй производной, как для вдува, так и для отсоса. В пределе условие

скольжения стирается и у" на оси принимает конечные значения.

Эти результаты допускают неоднозначную физическую интерпретацию. Во-первых, обобщая постановку Голубинского — Сычева, можно считать, что на конусе задана скорость вдува и именно по ней определяется число Рейнольдса, а касательная компонента скорости подбирается такой, чтобы отсутствовало трение. В рамках данной интерпретации решение задачи существует лишь при числах Рейнольдса вдува, не превышающих некоторый предел Re* (ж1), причем в области 0 < Re << Re* решений два. На рис. 34 прямая Re — const пересекает зависимость Re (С) в двух точках; одна из них (при большем значении С) соответствует двухъячеистому режиму, а другая — двух- или одноячеистому режиму в зависимости от знака С. При Re = Re* эти решения, как и в задаче [3'1], смыкаются в области двухъячеистых режимов. Это классическая бифуркация рождения — уничтожения пары стационарных решений [3]. Согласно теории, устойчивым может быть лишь одно из возникающих решений. Анализ устойчивости достаточно сложен, но наиболее вероятным кандидатом в устойчивые являются решения, отвечающие нижней ветви и переходящие в медленные течения при Re 0. На верхней ветви с уменьшением С касательная компонента возрастает до бесконечности, что свидетельствует о физической неестественности такой постановки.

Во-вторых, задачу можно формулировать совсем по-иному, считая заданной касательную скорость на конусе, а нормальную подбирать из условия отсутствия трения. Такая постановка близка к известной проблеме оттеснения потока от поверхности за счет вдува [82]. В этой интерпретации кривая Re (С) на рис. 34 определяет критическую скорость вдува, решение существует при всех значениях величины С, которая наряду с у'(ад) может служить новым числом Рейнольдса, и никаких бифуркаций и потери устойчивости не происходит. Этот пример показывает, к каким радикальным изменениям математических свойств приводит, казалось бы, небольшое изменение физической постановки задачи. То, что с ростом касательной скорости критическая скорость вдува стремится к пулю, объясняется тем, что имеется диффузорное течение с неблагоприятным градиентом давления. Результаты свидетельствуют о том, что максимальная критическая скорость вдува возрастает вместе с углом раствора конуса, например, при ад = 0,5, Re* » 7,3.

Еще один удивительный феномен в задаче о взаимодействии линейного источника с плоскостью —это парадоксальный торцевой эффект. В отсутствие плоскости линейный источник вызывает чисто расходящееся плоское течение щ = ()/(2лг), Казалось бы, наличие плоскости должно приводить к тому, что в пограничном слое у стенки жидкость тормозится, а скорость монотонно убывает до нуля. Более того, поскольку скорость вниз по течению падает, можно было ожидать отрыва. В действительности происходит прямо противоположное явление. Около плоскости при больших числах

Рейнольдса формируется сильная струя. Другими словами, присутствие стенки приводит к ускорению внешнего потока.

Рассмотрим этот эффект подробней, для чего обратимся к уравнению (24), описывающему ситуацию, когда на осп симметрии vR = у' (1) = 0. После двукратного дифференцирования и подстановки ж = 0 получим y'"(0) = Re2. Тогда в силу уравнения (4) g(0) = = Re2/2.

Следовательно, давление на стенке распределено в соответствии с формулой р = р„ + <22/(8л2г2), в то время как вдали от плоскости в силу потенциального характера движения р = р„ — <22/(8л2г2). Сопоставление этих зависимостей показывает, что, во-первых, давление в перпендикулярном к стенке направлении существенно меняется, причем разница между давлением на стенке и вдали от нее не зависит от величины вязкости. Во-вторых, если вдали от стенки давление вниз по течению растет в соответствии с теоремой Бернулли, то вдоль стенки давление с удалением от начала координат падает. Здесь опять проявляется кардинальное отличие распределения давления для замедляющихся потенциальных и ползущих течений, нетривиальное следствие которого уже отмечалось в задаче о диффузоре (см. § 1).

Начало координат является сложной особой точкой для поля давления — на оси симметрии давление обращается в минус бесконечность, а с приближением к началу координат вдоль стенки растет до плюс бесконечности. Наличие на стенке благоприятного градиента давления предотвращает отрыв. Производимая в силу условий прилипания завихренность накапливается у стенки и ускоряет внешнее течение. В результате развивается пристенная струя. Изучим ее структуру подробнее.

В силу асимптотического соотношения (25) продольная скорость во внешнем течении с приближением к стенке растет по закону Уп = — Re/(2 Т/ж). С другой стороны, из уравнения (24) следует, что у" (0) =— Re2 — 2 Re. Поэтому в силу условий прилипания вблизи стенки у' (ж)Re2 ж; Re > 1. Эти две зависимости пересекаются в точке жю = (2 Re)~2/3, где продольная скорость достигает максимальной величины (—у')^ ~ Re2/3. После этих наводящих оценок выведем уравнение пристенного пограничного слоя. Определив новые переменные ж = Пе-2/3т]; у = —Re2/3/, подставив эти выражения в уравнение (24), поделив все члены на Re4/3 и устремив Re — оо, получим

f = i]-/2/2; /(0) = 0.(27)

Подстановка /=—2U'/U дает U”— у U = 0; П(0) = 1; U' (0)=0. Решение этой задачи Коши выражается через функцию Эйри [49]:

U = 32/3 Г(2/3) [Ai(2-1/3ц) + Bi (2-1/3ц)/73].

Непосредственно из (27) следует, что при -q > 1 / « 72т], /' ® 1/V2q

и при т] -> оо f 0. Это, казалось бы, противоречит тому, что вне пограничного слоя vr = ^/(2лг), т. е. ух = — Re. Однако поскольку ух = — Ке4/3Лн то /я вне пограничного слоя имеет порядок Re"1/3 и, значит, в первом приближении при lie = °с равна нулю.

Зависимость/'(р) приведена на рис. 35, где для сравнения нанесены также /' = 1/V2p (штрихпунктирная линия) и решение (24) при Re = 125 (штриховая). Величина f достигает максимального значения 1,03 при р = рт = 1,5. Следовательно, горизонтальная скорость достигает максимума vtIvt« = 1,03 Re1/3 на луче z = = l,5Re-2/3r. На рис. 35 показано также распределение давления в пристенной области при Re = 125, р=(р(р) — р„)/(р(О)—Р~^ = = (р — Роо)8лг2/(р<22) = (1 — 2у' (x)/Re2) (1 — х2) — ^у(Кеу. В пределе Re ^- °° с учетом асимптотического выражения (25) получим, что вдали от стенки р = 1 — 2х. Поскольку р(1/2) = 0, на поверхности конуса 9 = 60° давление совпадает со своим значением вдали от источника, внутри конуса существует разрежение, а вне р > р^. Максимальное значение давления достигается не на самой стенке, а в ее окрестности ~ Рщ2/3, но относительная разница между максимальной величиной и давлением на стенке стремится к нулю как Re"2/3.

Ситуация радикально отличается от случая стока, где при больших числах Рейнольдса развивается классический пограничный слой. Действительно, уравнение (22) можно переписать в виде

(1 — х2) у’ + 2ху = (у2 — Re2 ж2)/2 + Re Сх(1 — х) — 2Re х2. (28)

Выясним асимптотическую зависимость C(Re) при Re — — °°, Предположим, что при |Rel»l величина |С|>1, как это подсказывает рис. 34. Тогда, пренебрегая левой частью и последним членом в уравнении (28), получим

уп = I Re I {х [х — (1 — х) 2C/Re])I/2. (29)

Во избежание противоречия необходимо, чтобы 2O/Re <С 1. Вблизи стенки подкоренное выражение становится отрицательным, что говорит о необходимости пристенного пограничного слоя. Поскольку у" (0)=ReC, положим уъ = Re С х2/2 и сопряжем зависимости у„ и уь в некоторой точке х = х„.

В результате получим х„ ~ lRel"1/2, |С| ~ lRei1/2. После замен y=lRel1/2/, q=lRel1/2x, С =— I Re!1/2 d получим из уравнения (28) при |Rel ^ 0е /'=(/2 —-q2)/2 + dp; /(0)=0. Величина d определяется из условия /'(°°)=1. Результаты расчета приведены на рис. 36,2. Величина f (ц) стремится к своему предельному значению сравнительно медленно /'(т])=1— 1/(2р2)+О(р-3). Значение d близко к единице, d= 1,08641. В ядре течения согласно (29) уи « |Rel х — (1 — х) |С|.

Вертикальная скорость и, вдали от стенки (г = 0(1), z > 1)’ определяется зависимостью yzz=v(p— ху'^ =—d[vQ/2n)]1/2.

8 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

Рис. 36.Рис. 36.

Рис. 36.

Рис. 36.

Таким образом, и в случае стока жидкость подтекает к плоскости, но это не вызывает образования пристенной струи. Из уравнения (28) следует у'" (0) = — Не2 — 2Re С, откуда

Р = р„ -(1 + 2d lReM/2)()2p/(8n2r2).

Следовательно, при I Re I -- оо давление в перпендикулярном к стенке направлении постоянно в соответствии с классической теорией пограничного слоя. При конечных Re на стенке давление меньше, чем вдали от нее. Можно сказать, что стенка подсасывает жидкость.

До сих пор исследовался торцевой эффект для случая, являющегося предельным к задаче с конечным конусом, па границе которого касательная скорость равна нулю. Но при вдуве, как было показано, касательная, скорость может быть задана на оси по произволу. Поскольку щ(1) = v [у(1)— y'(l)Vz, условие пя(1) = у' (1) = = 0 еще не означает, что продольная скорость на оси равна пулю.

Рассмотрим, следуя [14], задачу, когда щ(1)=0. Тогда </(!) = = p(l) = —Re и, согласно (23), С = — 2, Ci = — 2Re, Ci = Re2/2 Уравнение (22) принимает вид

(1 — ж2) у' + 2 ху = у212 — 2 Re х — a:2Re2/2.

При Re > 1 вдали от стенки у = — Re х + О (1), откуда vT = = — v [(1 — х^у' + ху^ /г « <2/(2лг), yz ~ v/z, т. е. горизонтальная скорость соответствует потенциальному источнику, а наличие вертикальной скорости вызвано вязким взаимодействием со стенкой.

Вблизи плоскости развивается пограничный слой, описываемый уравнением /'= (ц2 — /2) /2 при /(0) = 0, где т] = Ре1/2ж; / = — Re-1/2 у. Его решение соответствует рис. 36,2. Штриховой линией показана асимптота f = 1. С приближением к стенке горизонтальная скорость сначала возрастает, достигая при z = 2,4Re~1/2r максимального значения, в 1,45 раза превосходящего значение на бесконечности, а затем убывает до нуля. Поскольку /" (0)= 0, трение на стенке равно нулю и течение находится на грани отрыва. Но у" ^ =

= — 2 Re, поэтому при конечных значениях числа Рейнольдса отрыва не происходит. Распределение давление на стенке в силу того,, что у'" (0) =— Re2, совпадает с распределением вдали от поверхности. Описанный торцевой эффект согласуется с наблюдаемой немонотонностью профиля скорости в диффузорных переходных участках между трубами разного сечения [427].

В случае безграничной области Сквайр [119] получил класс решений с распределенными по всей оси источниками массы, который он интерпретировал как радиальные струп, т. е. струи распространяющиеся от начала координат вдоль определенной конической поверхности. Решение в этом случае имеет вид

у = 2 ж — 2Ьу = 2 ж — 2Ь(1 +ж)Ь — с(1 — т)ь ,(1 +ж)Ь — с(1 — т)ь ,(1+ж)Ь+с(1_ж)Ь ’(1+ж)Ь+с(1_ж)Ь ’С =С =

у = 2 ж — 2Ь

у = 2 ж — 2Ь

(1 +ж)Ь — с(1 — т)ь ,

(1 +ж)Ь — с(1 — т)ь ,

(1+ж)Ь+с(1_ж)Ь ’

(1+ж)Ь+с(1_ж)Ь ’

С =

С =

и содержит два параметра, один из которых (жо) характеризует угол раствора конуса ж = ж0, вдоль которого бьет струя, а второй (6) определяет интенсивность струи. Решение существует при всех значениях — 1 < Ж0 < 1 И 6.

В работе [222] приведено решение задачи о течении в безграничном пространстве, вызванном источниками жидкости, равномерно распределенными на полуоси. Пусть, например, у(—1)=9. Задача сводится к интегрированию уравнения (13) и описывается, решением из класса Яцеева:

9 + Л(4+9)(1 + т)1 + "/2

2 1 — А (1 + x)1+9/2 '

Если q < 0, то из требования ограниченности у'(ж) при х =—1 следует Л = О, что соответствует решению y = q^\ — x\ указанному в [222]. Однако в случае вдува, когда у > 0, константа А остается свободным параметром. За исключением случая q = 2п решение неаналитично, но имеет ограниченную производную у' (—1) = = —q, не зависящую от величины А и, следовательно, такую же, как и при аналитическом решении, когда А = 0. При q = 0 указанное решение переходит в решение Ландау для точечного источника импульса. В общем случае, когда А Ф 0, q =А 0, течение порождается источником импульса в начале координат и распределенным на полуоси х = — 1 источником массы. Решение существует в диапазоне — оо <<Л<Л*, где А* = 2~1-9/2. При А, близких к Л*,вблизи полуоси х = 1 возникает сильная восходящая струя, а при А = А* на полуоси х = 1 формируется сток: у(1) = 4. При Л<— Л*/(1 + + 4/q^ течение становится двухъячеистым. Я^идкость вдоль обеих полуосей подтекает к началу координат и растекается на бесконечность вдоль определенной конической поверхности. При А -*• — °° область восходящих движений все более локализуется около отрицательной полуоси и в пределе на месте исходного источника формируется сток у* (1) = —4—q. Поскольку у' (1)= — q!2— Л (4 + + д') /(2—9/2 — 2Л), параметр А характеризует интенсивность струи, 8*

бьющей из начала координат. При А > 0 скорость на полуоси ж = = 1 возрастает, т. е. струя бьет вверх, а при А < 0 соответственно вниз.

Принципиальная разница между случаями отсоса и вдува, выявленная для линейного источника, сохраняется и для конуса конечного угла раствора. Теперь это различие проявляется при предельном переходе Re ^ °°. При вдуве предельный переход равномерен для вектора скорости на конусе — и касательная, и нормальная компоненты сохраняются. При отсосе, напротив, переход неравномерен, одно из условий «стирается»— касательная компонента скорости в пределе принимает вполне определенное значение, вообще говоря, не совпадающее с допредельной величиной. Это находится в полном согласии с различной постановкой краевых условий па участках втекания и вытекания в теории идеальной жидкости и, более того, может служить обоснованием таких постановок.

Известно, что решения уравнений Эйлера обладают свойством обратимости. Смена направления скорости на противоположное (вообще говоря, и знака времени, но здесь рассматриваются стационарные течения) не выводит пас из класса решений. Однако граничные условия в случае вихревых течений уже не обладают такой симметрией. Для однозначной разрешимости обычно па участках втекания требуется дополнительно к нормальной компоненте скорости задать завихренность [147] или касательные компоненты скорости [63]. Для обращения движения в такой постановке уже необходимо не только изменить знак скорости, но и переформулировать краевую задачу. С формально математической точки зрения дополнительные граничные условия могут быть поставлены па участках как втекания, так и вытекания. Предпочтение первых основывается па соображениях физического характера и является по сути дополнительным постулатом в рамках теории идеальной жидкости. Приведенный пример показывает, что этот постулат может рассматриваться как следствие предельного перехода в течении вязкой жидкости. Хотя в пределе вязкость равна пулю ее воздействие проявляется в различии краевых условий на участках втекания и вытекания.

В задаче о линейном источнике это различие проявляется и при конечных числах Рейнольдса. Это связано с тем, что локальное число Рейнольдса Ящ/v на оси обращается в бесконечность.

ЗАКРУЧЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Разрешение парадокса в задаче о смерче

Вернемся к рассмотренной в гл. 1 задаче о взаимодействии вихревой нити с плоскостью. В этой книге опа играет особую роль. Будучи первым строго доказанным и четко осознанным примером потери существования решения уравнений Навье — Стокса,

задача о смерче, а также ее истолкование и обобщение неизменно притягивали внимание авторов и послужили одним из побудительных мотивов написания данной книги.

Здесь при помощи специальных предельных переходов будет сделана попытка «проникнуть» в закритическую область. Напомним, что при заданном значении циркуляции на оси Гр и условии прилипания на плоскости решение перестает существовать, когда число Рейнольдса Re = Гр/(2л v) превышает критическое значение Re* п = 5, 53. Далее будет изучена структура решений в окрестности Re = Re* — е1? 0 < ei < 1, затем рассмотрена задача, когда циркуляция задана на конусе с конечным углом раствора. Для нулевого угла раствора задача сводится к уравнениям

(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1-х2)Г" =г/Г'; Г(0) = 0; P(l) = Re;

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

(1 — х2) у' + 2ху — у2/2 = х (1 — х) Re2/2 — F * (х);

X1

F* (х) = (1 — х)2 j 1Г2/(1 — I2)2 dt + х J Г2/(1 + t)2 dV,ох

у(0) = у'^ " У (1) = 0.

В главе 1 показано, что при Re—>Re* циркуляция стремится к нулю всюду, кроме самой оси. Тогда непосредственно из (3) следует, что при х ¥= 1 функция ^^(х)—>0 при Re—-Re*. Поэтому для главного члена внешнего разложения по 8i в правой части (2) величиной F * ^ можно пренебречь, и уравнение (2) сводится к (2.17) с переобозначением С, = Re2/2. Отсюда следует связь между критическим числом Рейнольдса и значением константы С\ в (2.17): Re* = 1^2^ « 5,53. Таким образом, внешнее разложение сводится к меридиональному течению, вызванному стоком на оси, и совпадает с решением Шнайдера у* (х), которое в данном случае является приближением заведомо существующего автомодельного течения, а не автомодельной аппроксимацией неавтомоделыгой струи.

Что касается внутреннего разложения, то, как показано в гл. 1, правая часть (2) имеет при х = 1 нуль выше первого порядка, поэтому и здесь при получении главных членов уравнение для меридионального движения отщепляется. Главный член оказывается решением (2.16) (струя Шлихтинга). Для получения погран- слойного решения для циркуляции удобно использовать малый параметр е = —1/у'(1) и переменную т] —(1—х)/е. Тогда из (2.16) п (1) следует Г^ = — 2Г^/(4 + ц), Г^ = А (4 + т])-2, Г = = В — Л/(4 + ц) или с учетом граничных условий Г (°°) = 0; Г(0) = = Re

Г = 4 Re/(4 + ц) = 4 Re/[4 — у' (1) (1 — х)];

Г'=-4Re/(l)/[4-/(!)(!-х)]2.(4)

Это решение было получено Зубцовым [61]. Поскольку внешнее раз-

ложение для циркуляции тривиально Г*==0, то внутреннее можно продолжить вплоть до стенки ж = 0, удовлетворяя уточненному граничному условию Г(0) = 0. Тогда Г = 4 Re ж/[4 — у'(1) (1 — ж)].

Малый параметр е обращается в пуль вместе с величиной е, = Re* — Re. Действительно, при Re = Re* полюс функции у (ж) проходит точку х = 1, поэтому при малых 61 положение полюса жР приближенно определяется зависимостью жр = 1 + Лб1; А > О, откуда е = 4Леь

На рис. 37,38 приведены результаты интегрирования уравнений (1) —(3) при Re — 5,4727, близком к критическому значению, и таком, что у'(1)= — 460,5. Дано сравнение численных результатов с аналитическими (штриховые линии). На рис. 37, кривая 1 соответствует решению Шлихтинга, 2— решению Шнайдера у*, а аналитическое решение 3 построено в соответствии с методом сращиваемых асимптотических разложений у“ = у* (ж) +4 (ж2 — 1) + + (6—671/4)ж2(1 — ху, Сг = Re*/2. Циркуляция с удалением от оси убывает слабее, чем в погранслойном приближении (4). Это связано с различием между у* и у вдали от оси.

Характеристикой интенсивности вращательного движения вблизи плоскости может служить величина а ^ Г' (0). Зависимость a(Re) (рис. 39,1) немонотонна. С увеличением циркуляции вихревой нити вращение вблизи плоскости сначала усиливается, а затем затухает, обращаясь в нуль при Re = Re* (расчеты свидетельствуют, что производная cZt/cZRe при Re = Re* конечна и приблизительно равна — 6,2). Отмеченная немонотонность связана с конкуренцией двух механизмов переноса завихренности — вязкой диффузией и конвекцией. При малых Re диффузия преобладает и поэтому увеличение циркуляции (Re) на оси приводит к возрастанию циркуляции во всей области течения. С увеличением Re усиливаются подтекание жидкости к оси и связанный с этим обратный перепое

.завихренности за счет конвекции. При значениях Re, близких к Re*, конвективный механизм превалирует, циркуляция концентрируется вблизи оси, а вдали от оси падает. Наконец, при Re = Re* происходит катастрофа: несмотря па наличие циркуляции на оси жидкость вне оси не вращается. Таким образом, имеет место «коллапс» циркуляции, но это не относится к полю давления, порожденному вихревой нитью. Разрежение на оси вызывает сток, взаимодействие которого с плоскостью формирует предельно сильную струю.

Парадоксальная ситуация, когда при конечном числе Рейнольдса перестает существовать решение уравнений Навье — Сток- юа, реализуется при наличии особенности на оси в виде вихревой нити. С другой стороны, если ось не прпадлежит области течения, то кризис невозможен. Возникает интригующий вопрос, к чему будет стремиться течение при закритических числах Рейнольдса, если поставить задачу для конуса конечного угла раствора при соответствующих граничных условиях, а затем устремить этот угол к нулю? Задача сводится к решению системы уравнений (2.3), (2.6), (2,9) с граничными условиями прилипания на плоскости у (0) = у' (0) = Г (0) = 0. На конусе х = хх ставится условие непро- текания г/(^1) = 0 и задается циркуляция Г(Ж]) = Нс. Еще одно краевое условие было поставлено в двух вариантах: прилипание у' (ад) = 0 и скольжение у " (ац) = 0.

При численных расчетах интегрирование проводилось от стенки к оси, причем для функции F ставились условия F(0) = F/(0) = = R"(0) = 0. Тогда в силу (2.9) и условий прилипания на стенке С3 = 0. Для интегрирования необходимо также задаться значениями Ci, Сг и а = Г'(0). Два из этих трех параметров должны быть подобраны так, чтобы выполнить два условия на конусе. Одно из них — условие у(хх) = 0, а второе в случае прилипания в силу (2.9) имеет вид F (жД + С2хг — С^ = 0, а в случае скольжения в силу (2.8) — вид F' (ад) + С2 — 20^1 = 0.

Оставшийся параметр служит мерой интенсивности движения, выполняя роль, обычно присущую числу Рейнольдса. Число Рейнольдса при этом находится после решения задачи Re = Г (ад). Удобно свободным оставить такой параметр, зависимость которого от Re монотонна. Как ясно из рис. 39, параметр а не является в этом смысле подходящим. Годится любой из параметров С\, С 2.

Выбор пал на параметр С^, который отражает величину трения на плоскости: т = — C^x^lR2. На рис. 39, 40 кривые 2. 3 соответствуют результатам расчетов с условиями прилипания на конусе х\ = 0,99 и 0,999; S2, S3 — то же, при условии скольжения, кривые 1 — ад = 1. Расчеты, во-первых, свидетельствуют о том, что если угол раствора конуса конечен, то решение существует при всех числах Рейнольдса, независимо от того, ставится ли на конусе условие прилипания или условие скольжения. (Напомним, что в задаче о линейном источнике различие в граничных условиях при-

водило к принципиальному различию в результатах.) Во-вторых, и в случае конуса конкуренция диффузионного и конвективного переноса завихренности приводит к тому, что интенсивность вращательного движения вблизи плоскости зависит от величины циркуляции на конусе немонотонно. До определенного числа Рейнольдса вращение усиливается, а при дальнейшем увеличении Re падает. Однако в отличие от случая вихревой нити вращение не исчезает при конечном числе Рейнольдса, а асимптотически стремится к нулю при увеличении числа Рейнольдса до бесконечности.

Если фиксировать число Рейнольдса и уменьшить угол раствора конуса, то при Re ■< Re* = 5,53 в пределе получится решение, отвечающее вихревой нити. В силу (2) для вихревой нити Ci = = С2 = Re2/2 (см. рис. 40,1). Когда Re^Re*, при ад-*! имеем а0; Ci, C2->Re*/2. Ене пограничного слоя вращательное движение исчезает, а меридиональное течение становится независящим от числа Рейнольдса, т. е. таким же, как при Re = Re*. Как видно из рис. 41 (Re = 20, обозначения те же, что и на рис. 40), при закритических числах Рейнольдса у(х^ стремится к у* (ж) немонотонно. Установление предельного решения при Xj 1 происходит довольно медленно. Это касается и циркуляции (рис. 42, Re = 20). Имея в виду результаты этого предельного перехода, можно считать, что решение задачи о вихревой нити продолжимо в область Re>Re* и для этого следует положить а = 0, Сх = = С2 = Re*/2. Однако граничное условие р(1) = 0 «стирается» и заменяется условием г/(1) = 4. На вихревой нити, таким образом, формируется сток, обильность которого не зависит от величины циркуляции и равна Q* = — 8лж.

Рассмотрим, как полученные результаты соотносятся с принципом минимальной особенности и с классом решений, полученных Серрином [236]. Серрин, как уже указывалось, обобщил задачу о- вихревой нити, допустив логифмическую особенность у' на оси..

В этом случае решение существует при всех Не, ио появляется новый параметр — коэффициент при логарифме. Можно было бы ожидать, что при стремлении угла раствора конуса к нулю в пределе получится решение из класса Серрина, причем коэффициент при логарифме определится в процессе предельного перехода. Но происходит иное — в результате неравномерности предельного перехода стирается граничное условие у(1) = 0, но предельная функция у (ж) = у* (ж) имеет ограниченную производную. Это можно интерпретировать так, что «сработал» принцип минимальной особенности в отношении функции у (ж). Однако в силу соотношений (1) для поля скорости наличие стока на оси означает особенность для компоненты щ, более сильную, чем логарифмическая осдбеиность по ит, характерная для класса Серрина.

Как было показано, наличие логарифмической особенности означает, что на оси приложена сила Е2 = 4лЛрх2/Д, где А = = Иш [(хо — 1)у" (^о)] при ж0 1. В отличие от задачи от вихревой нити в классе решений Серрина существуют двухъячеистые режимы с опускным движением па оси (см. гл. 1, рис. 12). Из сказанного следует, что за «размыкание» струи и возникновение обратного движения здесь ответственна не циркуляция (как в закрученных струях), а именно дополнительно приложенная сила, действующая вдоль оси вниз. Для одпоячеистого восходящего режима Серрина сила действует вверх. Случай вихревой нити, разделяющий эти режимы, отвечает пулевой силе.

Применительно к моделированию геофизических явлений, таких как смерчи и тайфуны, осевые источники можно рассматривать как идеализацию узкой приосевой зоны — ядра смерча, где вращательное движение близко к твердотельному. Силу в модели Серрина можно интерпретировать как силу тяжести или плавучести, действующую па это ядро. Если вещество ядра тяжелее окружающей среды, например состоит из более холодного воздуха или

водяной струи, бьющей из облака, то это соответствует в модели Серрина осевой силе, направленной вниз. На фотографии, где запечатлен такой водяной смерч, отчетливо видна двухъячеистая структура [236]. Если же ядро служит как бы вытяжной трубой для приповерхностного прогретого слоя воздуха, то осевая сила, действующая вверх, моделирует архимедову силу. Соответствующие этой ситуации торнадо одпоячеистые.

Физическая интерпретация разрешения парадокса в случае вихревой нити представляется следующей. Если вращать перпендикулярно плоскости тонкую иглу, то на расстояниях, больших по сравнению с радиусом иглы движение будет происходить согласноавтомодельному решению. С увеличением скорости вращения иглы выше величины, соответствующей критическому числу Рейнольдса, вращательное и струйное движение жидкости сосредоточится в зоне неавтомоделыюсти. В автомодельной же области движение перестанет зависеть от скорости вращения иглы и будет таким, как если бы оно порождалось равномерно распределенным вдоль оси' стоком обильности Q*.

В задаче о вихревой нити, рассматриваемой как простейшая модель таких атмосферных явлений, как смерчи, меридиональное- движение и, в частности приосевая струя, является следствием вращения. В реальных смерчах имеется ядро, где вращательная скорость возрастает от нуля до своего максимального значения. Наличие этого ядра в задаче о вихревой нити игнорируется, она претендует па описание поля скорости лишь вне ядра. Если использовать решение задачи о вихревой нити как начальное поле скорости и рассмотреть эволюцию в рамках нестационарных уравнений Навье — Стокса, производная от скорости по времени будет в начальный момент равна нулю всюду кроме оси, где она будет бесконечно большой. Ситуация здесь такая же, как в задаче о распространении тепла после мгновенного его выделения на оси. Далее формируется вязкое ядро, которое в отличие от задачи о диффузии вихря будет иметь не цилиндрическую, а коническую форму. Последняя связана с эжекционным действием струи, порождаемой взаимодействием вихревой нити с плоскостью. Подтекание жидкости к оси замедляет диффузию, причем максимальной величины этот эффект достигает вблизи плоскости.

Хотя процесс разрушения вихря, естественно, нестационарен, ускорение как функция 6 на начальном этапе заметно отлично от нуля только в малой окрестности оси. Вне этой области поле скорости будет хорошо аппроксимироваться решением для вихревой нити. Мы видим, что вихрь и линейный источник весьма нетривиальным образом взаимодействует с плоскостью. Естественно ожидать, что суперпозиция этих видов движения обладает новыми неожиданными свойствами.

Особенность на оси в виде стока, возникающая при достаточно большой циркуляции, физически связана с эжекцией жидкости

приосевой струей. Еестественно ожидать, что достаточно сильная струя должна турбулизироваться. В этом случае ее эжекционная способность, т. е. эффективная обильность стока на единицу длины оси, не будет фиксированной, как для ламинарного решения Шлихтинга, а растет вместе с импульсом струи. Таким образом, приходим к задаче, когда на оси струи независимо задаются циркуляция и обильность источника.

Взаимодействие вихреисточника с плоскостью

Ось симметрии считается источником жидкости (с расходом на единицу длины оси Q) и осевого момента импульса. Это соответствует граничным условиям у(1) =—q, Г(1)=Го, где q = C/(2nv), а Го — переобозначение числа Рейнольдса из разд. 3.1. В данном случае эти обозначения удобнее, так как оба безразмерных параметра q и Го могут претендовать на роль числа Рейнольдса. На плоскости ставятся условия прилипания, что замыкает краевую задачу для уравнений (2.3), (2.6), (2.9) в случае вихрестока. В случае вихреисточника, как показано в § 2, необходимо еще задать величину г/'(1), например г/'(1)= —9(у2(1) = 0).

Эта задача была ранее рассмотрена в работе Чема [163] для частного случая q = Го. Чем решал задачу в цилиндрических координатах. Используемый численный алгоритм не позволил получить решение при Го ^ 19. Одной из возможных причин Чем считал потерю существования решения, как в задаче о смерче. Однако, как будет показано далее, это не так.

Уравнение (2.9) с учетом того, что Сз = 0 можно переписать в виде

(1 — Г2) у' 2ху — y2j2 = С2х — Сха:2 — F* (ж),(5)

где Р* (ж) определена выражением (3). Заметим, что F* (1) = 0. Действительно поскольку Г (а?)—монотонная функция (см. гл. 1),

то j (Г2/(1 — pydt^Vg i/(l — t2y dt. = Го/[2 (1 — ж2)]; осталь- оо

ное следует из (3). Дифференцируя (3), имеем

F* = I Г2/(1 + ty dt + (1 - ж) f (Г2)'/(1 - t2) dt - Г2/(1 + ху (6) хо

Поскольку

J (Г2)' ./(1 - f2) dt. I I Г2' Uax i' I Г2 |max 1 In оо

второй член (6) стремится к нулю при х 1. Следовательно,

Е* (1) =— Гу/2. Полагая в (5) х = 1 имеем Сх = С2 + 2q + g2/2, а дифференцируя (5) и требуя ограниченности г/'(1), получаем

qVy'W-2A = C.2~2C1 + П/2. (7) Отсюда следует

С г = (^ - 4^12 - qy' (1); С.2 = Гд/2 - 2q - г - ЧУ (1). (8> Тем самым константы явно выражены через параметры задачи. Поскольку х= 1 — особая точка системы уравнений, при численном решении задачи можно интегрировать от оси к стенке, предварительно выяснив характер поведения решения вблизи х = 1. Как отмечалось в § 2, из уравнения для циркуляции следует Г' = Л + 0(1).

При д<—2 функция Г'(ж) имеет в точке х = 1 пепитегри- руемую особенность, поэтому вне оси Г — 0. Физически это означает, что циркуляция «отсасывается» достаточно сильным стоком на оси и не проникает в жидкость. В интервале — 2 < q < 0 при интегрировании от т = т0=1 — е следует задаться величиной А и положить Г(^о)= Го; Г'(^о) = vl[(1 — rr0)/(l + 3C»W2- Аналогично из уравнения F* = 2ГГ'/(1 — ж2) следует, что F * = 5(1 — т0)+а + 0(1). Задаваясь пробными значениями А, В, надо проинтегрировать систему до х — 0 и подобрать А, В и г/'(1) так, чтобы г/(0) = 0, Г (0) = 0, Т\ (0) = 0. Недостатком такого алгоритма является многомерная пристрелка.

Есть более экономный путь. Система (2.3), (2.6), (2.9) интегрируется от стенки с условиями 1/(0) = Г(0) = F(0) = F' (0) = = F" (0) = 0; Сз = 0; Г'(0)=а. Один из параметров Clt С^ а должен быть подобран так, чтобы после интегрирования от х = 0 до х = 1 выполнить условие (7), где q = — 1/(1), Го = Г(1). Остальные две константы служат параметрами, определяющими значения q и Го.

Чтобы проводить расчеты «с открытыми глазами», выясним область несуществования решения. Обозначив правую часть уравнения (5) через Ф(ж) и сделав подстановку у = — 2(1 — ж2)ТЧТ, приходим к линейному уравнению (1 — х^Т” + Ф(ж)/[2(1 + + ж)2]Г = 0. Введя / = 1 — х и представив Ф(ж) в виде ряда по t Ф = Фо — Ф+ + ... , получим

ВТ" +(Фо+ Ф1/ + • • •)/ [8(1 -/+...)] Т = 0.

Разыскивая решение Т^ в виде Т = В + dtx+v + ..., находим Х2-Х + Фо/8 = О; %i =(1 + VI - Ф0/2)/2; %2 = 1-М; й=(Ф1- — Фо)/(16Х). Общее решение имеет представление T = CyTx-V + С2Т2 и, следовательно,

У ~ .■•)+ ^(1 + +^+...) ’

где у = М — ^2 = V1 — Фо/2. Потеря существования решения связана с прохождением нуля знаменателя в выражении (9) через точку ж = 1, т. е. с обращением С2 в пуль. В докрити- ческой ситуации С20 и у (1) = 4Л2 = — q. Поскольку Фо = — 2q — q2j2, величина Фо < -< 2 и Фо > 0 при q < 0. В момент кризиса С2=0,граничное условие У^=—Ч «стирается» 11 У* W = z^i = “ Ч*- Как обычно, у* (л) — главный член внешнего разложения у (ж) по

малому параметру е, характеризующему близость к кризису. В результате кризиса на оси по-прежнему формируется сток жидкости, но другой обильности: q* = — 4 — q. Как и в ранее рассмотренных случаях, в критической ситуации функция у (ж) испытывает скачок при ж = 1. Но величина его не равна 4, а зависит от значения q. В частности, при q = — 2 скачок отсутствует.

С приближением к кризису 1у'(1)| возрастает до бесконечности. Поскольку у(1) (у'(1)—2)+Ф1=0, возможны следующие варианты: а) Ф1 ограничена, у(1)-*0; б) у(1)¥=0, ограничена, Ф1оо; с) у(1) = 0. В последнем случае у'(1) не определена априори, но при q = 0 задача о вихреисточпике вырождается в задачу о вихре, где Фх = Г„/2, и решение существует при Го-<5,53 = Г*.

Карта режимов на плоскости Vq, Го} изображена на рис. 43. Левее штриховой линии q = —2 вращение отсутствует. На полуоси q = 0; Г ^ Г* решение не существует. С приближением к полуоси формируется сильная восходящая струя. Между осью q = = 0 и кривой Si (или So) лежит область существования двухъячеистых режимов. Кривая Si отвечает случаю, когда на оси пл = 0, a So — vz = 0. Правее кривой Si(S0)—область опускных режимов с пристенной струей. Если зафиксировать величину Го и увеличивать q, то в пределе q^ 1 картина меридионального течения совпадает с полученной в § 2 при отсутствии вращения. Если, напротив фиксировать величину q и устремить Го к бесконечности, то получим сильную приосевую струю, вне которой формируется предельное, не зависящее от Го течение без вращения, соответствующее эффективному стоку на осп обильности q* = — 4—q.

Отрыв происходит, когда у" (0) меняет знак. Дифференцируя уравнение (а) и полагая х = 0, получаем у" (0) = С2—Ь\ (0), откуда в силу (6), (8) находим условие отрыва

Гц/2 — 2q — q2 — qy’ (1) — j* Г2/(1 + xf dx = 0.(10)

о

Если g <К 1, Го < 1 уравнение для циркуляции имеет решение

Г = Ге х, F* (0) = Гц J ж2 (1 + ж)-2 dx = Гц (3/2 — 2 In 2), откуда q = о

= (In 2 — 1/2) Г2 ж 0,19 Г2. Этот результат не зависит от значения ^/(1), поскольку величина qy'(1) в уравнении (10) пренебрежи- 1

мо мала по сравнению с 2g. Поскольку J^(l + ж)-2 Аг = 1/2, чле- о

ны в уравнении (10), зависящие от циркуляции, можно записать в виде

11

г2/2 - f Г2 (1 + ж)-2 dx = Г2 J [1 - (Г/Го)2] (1 + ж)-2 dx. оО

При q > 1 уравнение для циркуляции вне пограничных слоев приобретает вид Г' = 0. В предотрывной ситуации Г = Го всюду, кроме малой пристенной области. Введем переменные ц = aq^x, у = = —aq^F, G = Г/Го. Уравнение для циркуляции в пределе g ” принимает вид G" = — FG', а из уравнения (5) следует F' = = С\т]2 + (72т| — E2/2, где

С^д-^Г^-д^-ду^!)];

С2 = g~3va~3 [2g + g2 + qy' (1) — ад-7Гц]; a = a-1 [ (1 — G2) di\.

0

В случае отрыва Ci = 0. При этом, если 1у'(1)1<д, то Го = ■= д1+7/2/Уа. Требуя, чтобы коэффициент Ci был порядка единицы, получаем 7 = 2/3, Го = д4/3/Уа. Выбирая a = а~1/4, приходим к уравнениям пограничного слоя:

F'= (q2-F2')!2; G"=-FG'; E(0)=G(0) = 0.

Первое уравнение интегрируется независимо, его решение найдено в предыдущем пункте. Назначив G'(0), например, G' (0)=1, проинтегрируем уравнение G" = — FG' от т] = 0 с условием G(0) = 0:

в/ч\

G = ) exp I — J Г dq I А]. Функция G о\ о/

= G(r])/G(°o) после чего вычисляется a =

определяется как G =

(1 —G2) dp

4/3

. Расчет

о

дает а ~ 1,05.

Если на оси симметрии nz = 0, то g'(l)=— q. В этом случае из Ci = 0 следует Го = У2/а д(1+г/2, в выражении для С\ главным «становится член, содержащий д2. Из требования /71=0(1) вытекает 7 = 1/2, Г0 = У2/а д3/4. Таким образом, показатель степени в

асимптотической зависимости Го(д) «обращается» и становится: равным 3/4. Выбирая а = 1, приходим к тем же уравнениям пограничного слоя, но коэффициент а = ао теперь определяйся по-дру

гому: а0 = J (1 — G^ dp « 1,03.

На рис. 43 кривая Si соответствует отрыву в случае У a So — у' (1) = — q. На границе рисунка обе зависимости Го(у) уже графически неотличимы от асимптотических Го — ^S 94/ (^1)

и Го = 1,4 q3M(SQ). Расчеты Чема [163] были вый*лнепы па биссектрисе Го = q и возникшие у него тру,Т1ости ПРИ q — 20 связаны с техникой вычисления и незамеченном отрывом

течения.

В области отрыва при q> 1; Г » 1 линейными членами в левой части уравнения (5) можно пренебречь. Пу<ть ^(l) — = 0, /(1) = - q, тогда Су = (Г2 + q^2, С, = Г2 - 2q « Го. В при- осевой области у ~ уп, где

Уп = (fx— [ж(1 — х)Г2/2 — ^(ж)].(11>

Выражение в фигурных скобках, как показано в гл. 1, голожитель ио и имеет нуль первого при х = 0. При малых х лева! часть выражения (11) отрицательна, а при ж, близких к единице, Уп~ух , уп ~ — qx, что соответствует источнику.

Определим угол раствора разделяющего конуса в двухъячеистом режиме по положению нуля х = хо правой час^ (И)- Поскольку вне малой окрестности ж = х0 Г' = 0, примем Гр)^ Го ПРИ х0 < х С 1 и Г(ж)=0 при 0 С х < xQ. Физически это соответствует тому, что к конусу х = Хо снаружи подтекает из бе<копечиос™ незакручепная жидкость, в то время как внутри кону'а сильным конвективный поток от источника обеспечивает постояЯство циркуляции. Тогда согласно (3) F* (ж0) = Г^о (1 — ж0) [2 (1 4 жо)1 ’ откуда х0 = 1 — 2<72/Го. Эта формула не пригодна для малых значений хо, когда предположение Г(а:)=О при 0 ж < ю перестает быть справедливым.

Результаты этого раздела показывают, что размещение на оси источника или стока жидкости радикальным образом устраняет кризис потери существования решения. При сколь угодно малой обильности источника решение существует при всех значениях циркуляции на оси. В этом задача о вихрестоке существенно отличается от случая, рассмотренного Серрином [263], когда па оси допускается логарифмическая особенность продольно? скорости. Если коэффициент при логарифмической особенности мал, то и критическая циркуляция меняется незначительно. Размещение на оси стока жидкости может быть интерпретировано с физической точки зрения как внешнее следствие существования узНои приосе- вой струи, эжектирующей окружающую жидкость.

Разделенные источники массы и момента импульса

Если источник жидкости размещать вдали от оси, например па пористой плоскости, перпендикулярной к вихревой линии, то кризис может, напротив, ужесточиться. Уравнение для функции тока в этом случае может быть записано в виде

(1 — У2) у' + 2ху — y^Z = х (1 — хх) (Гд/2) — (1 — xf (q^/z) — F* (ж)

(12)

и дополнено уравнениями (1) и (3). Здесь y(O')=qo1 qo— безразмерная обильность потока жидкости через кольцевую область на плоскости радиуса R и единичной ширины. Продольная скорость на плоскости полагается равной нулю у'(0) = 0; Г(0) = 0. На оси ставятся условия у (1) = 0; I у' (1)! < °°; Г (1) = Го.

Априори естественно предположить, что вдув жидкости через плоскость (7°>0) усиливает конвекцию циркуляции к оси, и поэтому характерный для кризиса коллапс вращения будет происходить при меньших значениях Го*. Чтобы решить вопрос, будет ли Го* убывать до нуля при увеличении qo до некоторого конечного значения qQ*, рассмотрим сначала задачу при Го = 0. В этом случае уравнение (12) допускает аналитическое решение, аналогичное решению Яцеева — Сквайра:

(1 % + ]/Т+7^(1 н 1/1+93 + % + ]/ГТ^-1

у = ч0(1 -

+ go + l^1 + f/o (! V Ю т Ч^ (* +‘И°

(13)

Функция, стоящая в числителе, положительна и ограничена при конечных qo. Знаменатель при qo -С 1 также положителен на интервале 0 С х С 1, но при достаточно большом значении х меняет знак. С ростом q0 корень знаменателя приближается к ж=1. Величина q0*, при которой он достигает х = 1, определяется уравнением f (q) = q^1^ — (1 + q — ga) — (1 + q) уЧ + q- = 0. Оно получено приравниванием знаменателя в (13) нулю при х = 1 и простыми тождественными преобразованиями. Функция /(g) имеет единственный нуль q0* = 2,8965. При qZ>q0* У^ имеет полюс па интервале (0,1) и регулярного решения не существует. В до- критической ситуации около оси возникает сильная струя, и уУЧ имеет приосевой пограничный слой. В критическом случае условие ;/(!)= 0 «стирается» и у(1)=4; у'(1)=2. Функция у* (х) хорошо приближается полиномом у* (х) « q0* + (10 — 3g0*) х2— (6 — — 2g0*) х3. .

Поскольку в критической ситуации происходит коллапс циркуляции, внешнее решение у* (ж) удовлетворяет уравнению, следующему из (12) при F* (х) = 0:

(1 — ^У* + 2ху* — У*!^ = (1 — ж)[жГ2/2 — (1 — ж)^/]. (14)

Полагая у* (1) = 4, у* (1) = 2 + //8, интегрируя (14) от х = 1 до х = 0 и определяя Го из условия y(O)—Qo, получаем зависимость Г о* (Уо) (рис. 44, 7).

При больших отрицательных значениях до из уравнения (14), пренебрегая линейными членами, получим

Уп = q0 {(1 — ж) [(1 — ж) — аж]}1/2; а = Г2/до. (15)

Это решение удовлетворяет условию у«(0) = до, но оно непродолжи- мо в область ж >1/(1 +а), поскольку подкоренное выражение становится отрицательным. Это свидетельствует об отрыве, или, точнее, возникновении, восходящего течения у оси. Оно появляется при а < 1. Рассмотрим пограничный слой вблизи оси. Введем новую переменную ц = уо(ж—1) и обозначим Го/(2уо) = d. После подстановки в (14) и устремления lyol-* °°, получим

ЧУ' = (/ — У2М^ + У + dvJZ; у(0)=4; y'(0)=d74.

При т]оо согласно (15) у — ц + 0(1). В отличие от асимптотического решения у = т] + 0(1) оно неустойчиво, поэтому найдется единственное значение d такое, что у ^ — ц при ц -> оо. Задача имеет аналитическое решение у = 4 — ц, d = — 4, д0 = = —Го*/8. С учетом следующего члена разложения асимптотическая зависимость при Го*^>1 для критической циркуляции имеет вид Го* = /32 - 8д (см. рис. 44, штриховая линия). Ширина приосе- вой рециркуляционной зоны определяется корнем у (ж). В критической ситуации асимптотическая зависимость имеет вид ц8 = 4 9 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

или ж, = 1 + 4/д0. Рециркуляционная зона у оси существует при Г0>Г0$(д) (см. рис. 44,2). При go < 1 Го3 = [ (1/2 — In 2) до]1/2, а при д » 1 Го$ ~ У —до.

Рассмотренная в данном разделе задача решалась Наибу [213] в приближении пограничного слоя вблизи плоскости. Он обнаружил, что при достаточно сильном отсосе решение существует, но оценка Наибу области существования — до>«УГо пе согласуется с полученным здесь результатом — д0> Гд/8 + 4.

Весьма своеобразный кризис происходит в задаче, где постановка, так сказать противоположна рассмотренной. Пусть на оси расположен источник жидкости, а на плоскости задана циркуляция. Граничные условия имеют вид

у(1)=-д; Г(1)=0; Г(0)= Го; у(0)=/(0) = 0.

В случае стока (д < 0) величина у' (1) определяется из требования ее ограниченности, а в случае источника у'(1) является дополнительным свободным параметром. Систему уравнений (2.3), (2.6) т (2.9), где Сз = 0, удобно интегрировать от х == 0, полагая Г(0) = = F' (0) = F" (0) = 0; Г'(0)=а, и определять константы С\ и а из условий Г(1)=0, г/(1)[2 — у' (1)] = Сг — 2Ci — ^ (1). При этом С г и Го остаются свободными параметрами, а в результате интегрирования определяется q =— ?/(1). Карта режимов приведена на рис. 45. Сплошная линия отвечает отрыву (С12 = 0), в области, лежащей между этой кривой и осью Го, режим течения двухъячеистый.

При q = — 2 (штриховая линия) происходит кризис. Решение, удовлетворяющее указанным граничным условиям, перестает существовать. Причины этого кризиса уже обсуждались в § 2. 2. Рассмотрим их более подробно. Уравнение для циркуляции можно переписать в виде

Г"/Г' = жу(1)/(1 -ж2) + /(ж); /(ж)= [у(ж)-лг/(1)]/(1 - ж2),

откуда Г' = а (1 — ж2)^2 expl [ ^dx . При —2 < g < 0 функция Г' (ж) \ о /

имеет интегрируемую особенность в точке ж = 1, поскольку /(ж) ог- раничепа. Поэтому, определяя Г(ж) = — Г' (ж) dx, можно удовлетворить условию Г(1)=0. С приближением величины g к значению ■—2 вблизи оси возникает пограничный слой в распределении циркуляции, толщина которого при q = — 2 обращается в нуль, условие Г(1)=0 «стирается» и Г(ж) = Го.

Если смириться с тем, что условие Г(1)=0 не выполняется,, то решение продолжается в область g < — 2 и с учетом Г (ж) = Го. уравнение для у принимает вид (2.22). Характер меридионального» движения пе зависит от Го и таков же, как в задаче о взаимодействии линейного стока с плоскостью без учета вращения.

Течение, вызванное циркуляцией на плоскости

В задаче о вихреисточнике, расположенном па оси, удается построить автомодельные решения, удовлетворяющие условиям прилипания па плоскости. В то же время при отсутствии особенностей на оси выполнить условия прилипания не удается. Таким образом, платой за выполнение условий прилипания в этих задачах является допущение особенностей на оси. Но, оказывается, можно построить регулярное автомодельное решение, если циркуляцию задать не на оси, а на плоскости, потребовав при этом выполнения условия прилипания для меридионального поля скорости. Пусть вещество плоскости совершает движение, соответствующее потенциальному вихрю. Тогда в окружающей жидкости формируется движение, описываемое в рамках автомодельного класса (2.1). Уравнения (2.3), (2.6), (2.9) с учетом требования регулярности на оси и подходящих граничных условий для F можно переписать в виде

(1-ж2)Г" =уГ; F'" = 2ГГ7(1-^2);

(1 - ж2) у' + 2ху - у2/2 = F - Сх (1 - ж)2;

y(0)=/(0) = F(l) = r(l) = ^"(l)=r(l)=0;

Г(0) = йе; у(1)=0.

Система имеет шестой порядок, а условий восемь. Два «лишних» условия выполняются за счет подбора константы С] и у'(ДУ Последняя величина является свободным параметром, поскольку х =

= 1 — особая точка. При численном решении удобно использовать метод стрельбы, решая задачу Коши. На оси задаются величины у, Г, F, F', F" равными нулю, а также пробные значения г/ (1), ГД1) и С\. Два из этих трех параметров (например, у' (1) и Ci) подбираются так, чтобы выполнить условия гДО) = z/ДО) = О, третий параметр (ГД1)) определяет число Рейнольдса Ве = Г(0). На решении F(0) = C1. Результаты расчетов иллюстрируют рис. 46—48.

Зависимость интенсивности вращения вблизи оси от величины циркуляции на

плоскости имеет немонотонный характер. Величина ГД1) пропорциональна значению угловой скорости <о на оси симметрии ГД 1) = —2(or2/v. С ростом числа Рейнольдса угловая скорость сначала пропорционально растет, пока перенос завихренности имеет преимущественно диффузионный характер. При дальнейшем увеличении Re, когда основным становится конвективный

перенос, угловая скорость на оси уменьшается. Как и в предыдущих задачах, источник циркуляции вызывает поток «на себя», что приводит к самофокусировке вращательного движения. Поэтому зависимость ГД!) от Re имеет такой же характер, что и a (Re) на рис. 39 для случая конечных углов раствора конуса.

При больших числах Рейнольдса область течения подразделяется на три зоны: внешняя потенциальная область, внешний и внутренний пристенные пограничные слои. В потенциальной зоне вращательное Движение практически отсутствует, а для меридионального движения с хорошей точностью выполняется соотношение (см. § 2) у « у„ = — 1 (1 + у) (1—ж). Интегрируя уравнение для циркуляции от оси с граничным условием Г (1) = 0, получим рас- йределёние циркуляции в потенциальной области: Г„ = 6[(1-Ь + .г) — 2'Д При Re = 50 эти зависимости хорошо согласуются с результатами численного расчета в интервале 0 С 0 ^ 60° (см. рис. 47).

Во внешнем пограничном слое аналитическое представление можно получить, пренебрегая влиянием вращения на меридиональное движение и условием у'(0)=0. Тогда применима формула (2.14а) и в силу изложенного в § 2 у ~ — (1 + у) (1 — :r)th щ ц = ^/2.

Интегрируя уравнение циркуляции от плоскости с граничным условием T(0) = Re, приходим к зависимости

Г"/Г'= — (1 + y) th ц/(1 + ж) « — (1 + y)th ц; Ж 1;

Г' = Gi [ch ц]'1-171 « GJch ц;

Fi = Re (2 — 4/л arctg exp ц];Г[ (0) = — Re у/л = Gv

Вторая константа интегрирования выбрана из условия Г1^0 при

ц -> о°. Сращивая зависимости Г„(ж) и Г1 (ж) при т] = 1, определим константу G:

Г1~4Ве/(ле); rn = G/e2; G = 4Ree/n.

Так как на плоскости у (0) = у' (0) = 0, имеем в силу уравнения для циркуляции Г" (0) = Г'" (0) = 0, т. е. вблизи стенки циркуляция меняется с большой точностью линейно. Поэтому примем аппроксимацию

Г (ж) = 4 Re е/л [(1 + ж) — 2”1]; 2/'у<ж<1;

Г (ж) = Re(l — ж/ж0); ж0 = 2/(7 [1 — 4/(ле)]}; 0«£ж«£2/^.

Интегрируя уравнение для F, получим

F (ж) = J Г2 (/) (t — ж) (1 — <ж)/(1 — Ffdt.

В силу условия Г(1) = 0 интеграл собственный, и так как Г (ж) заметно отличается от нуля только при ж<1, в окрестности стенки можно использовать приближение

1

F (ж) « [ (t — ж) Г2 (1) dt.

Подставляя в качестве Г (ж) зависимости (16), получим У(0)« « 1,14Re2/^2. Поскольку Су « Т2/2, из равенства F(0) = Ci следует

у « l,23VRe.(17)

Зависимость г/,(1) = ,х+1 от числа Рейнольдса с использованием (17) нанесена па рис. 46 штриховой линией. Эмпирическое значение константы в (17) приблизительно равно 1,27. Дифференцируя ГДж) при ж = 1 и подставляя полученные выражения для G п Y, приходим к асимптотической оценке Г'(1) ^ — 2,12 Re3/2X X exp(—0,85VRe). Эта зависимость нанесена штрихпунктирпой линией на рис. 46. Полученное аналитическим путем приближенное решение для Г(ж), выражаемое соотношениями (16) при Re = 50, с графической точностью не отличается от результатов численного расчета, представленных на рис. 47.

Во внутреннем пристенном пограничном слое изменяется распределение у(ж) так, чтобы выполнялось условие прилипания у' (0) = 0. Его толщину можно оцепить из условия, чтобы в уравнении для у величина Г(ж) была много меньше СД! —ж)2. Положим, например, Е(ж) = eCi (1 — ж)2 и найдем ж. Учитывая, что ж С <1 и разлагая F(ж) в ряд, Е(ж) = Су + F' (0)ж + О(ж2); F' (0)» ~ l,24Re2/'Y, получим ж « 0,93(1 — еДу. Таким образом, толщина внешнего пограничного слоя ~l/VRe и внутреннего ~l/VRe. Их толщины могут быть соотнесены по положению нуля и максимума Иг(9) (см. рис. 45).

Линии тока меридионального течения гр = vry = const, изображенные па рис. 48, показывают, что частицы жидкости приближаются на первом этапе к началу координат (при этом вращение практически отсутствует), затем после пересечения штриховой линии, разделяющей области положительных и отрицательных значений радиальной скорости, начинают удаляться от начала координат, по-прежнему сближаясь с плоскостью. На штрихпупктирной линии расстояние до плоскости достигает минимума, а затем возрастает асимптотически по корневому закону. В этом проявляется качественное отличие приведенного решения от решения Сквайра, для которого линии тока асимптотически параллельны плоскости.

Струя, индуцированная движением вещества плоскости типа вихрестока

Как уже говорилось, в отличие от традиционной интерпретации здесь принята точка зрения, что решение Сквайра описывает движение окружающей среды, вызванное течением вещества плоскости тина стока, а не источником импульса в начале координат. При этом концентрация импульса вблизи начала координат трактуется как следствие, а не причина течения. Проблема выпол- пеипя условий прилипания на плоскости в такой интерпретации снимается: скорость внешней среды на плоскости совпадает со скоростью вещества плоскости. Рассмотренная в предыдущем разделе задача отличается в этом смысле от решения Сквайра только в том отношении, что вещество плоскости совершает движение не типа стока, а типа потенциального вихря. Естественным обобщением обеих задач является постановка, когда движение окружающей среды порождается течением вещества плоскости типа вихрестока, являющегося сочетанием этих частных течений. Решения такого класса были рассмотрены в работах [36, 37], а затем И Цзя- шунем с соавторами [258] и в статье [223].

Рассчитаем границу па плоскости параметров, соответствующую «гидродинамическому взрыву»—потере существования решения, и дадим аналитическое представление решений в пограничных слоях. Решения удовлетворяют тем же уравнением, что и в предшествующем разделе, но граничные условия должны быть несколько модифицированы. На оси по-прежнему ;/(!)= Г(1) = = ^(1) = F' (1) = F" (1) = 0, а на плоскости i/(0) = 0, г/'(0) = —?, Г(О)=Го. Здесь 7 = rrr(0)/v — обильность стока на плоскости, а Го =/"^(0)/^’ пропорциональна циркуляции движения вещества плоскости. Эти параметры являются независимыми п характеризуют источник, порождающий движение в среде, окружаюгцей плоскость. При Го = О получаем решение Сквайра, а при д = 0 — случай, рассмотренный в разд. 3.4. Число Рейнольдса может быть определено так: Re = У^г + Гд •

же режим остается и при q > 0.же режим остается и при q > 0.

же режим остается и при q > 0.

же режим остается и при q > 0.

При численном решении задачи удобно ввести промежуточную параметризацию и считать данными величинами у'^ и Г'(1). Тем самым краевая задача сводится к задаче Коши. Входящая в уравнение константа Сх находится из условия z/(0) = 0, a q и Го определяются в результате интегрирования от оси до плоскости. Алгоритм получается проще, чем в разд. 3.4, где «пристреливались» два условия на плоскости.

Карта режимов течения изо- бражена па рис. 49. При q = О имеем опускное течение, описанное в разд. 3.4. Качественно таки:

Если q мало и отрицательно, вблизи плоскости возникает узкая зона возвратного течения. Далее с ростом 1^1 опа расширяется (штриховая линия отвечает разделяющему конусу с 9о = 45°) и при пересечении кривой 2 охватывает всю область течения. С приближением точки (q, Го) на плоскости параметров к кривой 1 струя резко усиливается, а на самой кривой радиальная скорость и импульс струи обращаются в бесконечность. Координатная линия Го = О является осью симметрии. При q > 0 с увеличением числа Рейнольдса развивается пристенный пограничный слой, вполне аналогичный рассмотреному в разд. 3.4. И возрастание q, и увеличение Го приводит к тому, что момент импульса концентрируется вблизи плоскости. Поэтому вне малой окрестности стенки для у при Re > 1 применимо приближение

у = _(7-М)(1-ж)[(1 + жр-1]/[(1 + ж)Ж7+1)/(7- 1)].

Хотя Г"'(0) уже не пуль, но Г"(0) = 0, поэтому хорошим приближением будет модификация (16)

Г (ж) = Го(1 — ж/жо); 0 ^ж<2/у;

Г (ж) = 4Гое/л [(1 + ж)”т — 2 ~т]; 2/^ < ж С 1;

Жо = Жч. [1 — 4/(ле)]}.

Значение параметра у определяется из условия F^ = C\ — q, откуда 1,14 Г„/72 « ^[2 — q.

Более интересен и с точки зрения приложений и по своим свойствам случай q < 0. Сходящееся течение вещества плоскости вызывает кумуляцию импульса вблизи оси, и при конечных значениях q происходит «гидродинамический взрыв» — скорость на оси и импульс струи обращаются в бесконечность. При Го = 0 критическое значение q* = — 7,6727 (см. разд. 2.4). Если Го<!<?1, то циркуля-

ция может рассматриваться как пассивная «примесь», переносимая жидкостью. Поскольку источником циркуляции является плоскость, «стоком»—ось, то в силу того, что диффузия и конвекция переносят циркуляцию от стенки к оси, при значениях параметров, близких к критическим, циркуляция будет почти постоянна во всей области (заметим, что Г = const удовлетворяет уравнению для циркуляции), кроме малой окрестности оси. Вблизи оси из-за условия Г(1) = 0 формируется пограничный слой, в котором циркуляция меняется от нуля на оси до Го па внешней границе.

Циркуляция влияет па меридиональное течение только через функцию F. В силу граничных условий F =F' =F" =0 при ж = 1, разложение в ряд по степеням (1 —ж) для функции F начинается с кубического члена, причем F'" (1) = — [Г7 (1) ]2. Поэтому предположим, что циркуляция ле влияет па меридиональное течение в пограничном слое, а затем проверим справедливость этого предположения. Так как F(l) = 0, для внешнего разложения в пределе бесконечно сильной струи по-прежнему у 4 при ж 1. Поэтому остается в силе подход, изложенный в § 2. Меридиональное течение в приосевом пограничном слое удовлетворяет уравнению (2.15), решением которого является струя Шлихтинга у* = 4 ц/(4 + ц); П = у'^ (ж - 1).

Уравнение для циркуляции в приосевом слое получено в разд. 2, п. 3.1: Г'^/Г^ = — 2/(4 + ц), по его решение из-за отличия граничных условий будет теперь другим:

Г* = Г0ц/(4 + ц); Г*'= 4ГД4 + ц)2.(18)

Уравнение для F в переменных пограничного слоя имеет вид Гц = = ~ 4Г20/[р'(1) (4 + ц)2]. Поскольку !/(1) I °° при конечных значениях Го, то Fn-»-0 при 8 = —1/р'(1)-> 0. В силу граничных условий и F(ц) имеет в пограничном слое порядок 8, следователь- по, влиянием циркуляции па меридиональное течение в пограничном слое действительно можно пренебречь.

Поскольку внешнее разложение для циркуляции тривиально Г* (ж) = Го, применим погранслойное решение (18) для всей области при отыскании распределения F (ж) в ядре течения. Интегрируя уравнение для F при условиях F(l) = F' (1) = F" (1) = 0, получим F^ = —2Го//(1)-1п(4 + ц) + Г2ц/[2р'(1)] + 2Г2//(1)-1п4— - ГДУЦбу'СЦ], или F^ = - ГД/Ц/И ]у' (1). In [4 - у' (1) (1 - ж)] + 2Г2 In 4/у' (1).

Отсюда следует, что в ядре потока и вблизи стенки F ^х^ стремится к бесконечности при \у' (1) I °°. Однако на плоскости имеется соотношение — q = F^ — Ci, откуда C^q— Г„у'(1)/16 — Г„/2 + + о(1), где о(1)— члены, стремящиеся к нулю при |у' (1) I °°. Удобно ввести функцию /(ж) = F(ж) — Ci (1 — ж)2. В пределе, когда I / (1) I оо, /(ж) = (Го/2 — 7)(1 — ж)2 — Г2/2 (1 — ж).

Главный член внешнего разложения у* (ж) для функции у (ж) таким образом удовлетворяет уравнению

(1 — ху у'» + ^у* — у2/2 = / (.г) (19)

и граничным условиям у* (0) = 0, у* (1) = 4. Второе условие налагает связь на параметры Го и q, определяющие границу существования решений. Поскольку х=1— точка особая, удобно интегрировать именно от х = 1, определив производную из требования аналитичности. Для этого достаточно продифференцировать уравнение (19) и подставить х=1, у* = 4. В результате получим у» (1) = = 2—Гд/8. При больших значениях правой части (19) главным становится нелинейный член в левой части уравнения. Отбросив линейные члены, находим потенциальное решение уп = Го( (1 — ж) X X [(1 + а)х — а]}1/2; а =—2у/Гд. Это решение не удовлетворяет граничному условию на оси и непродолжимо вплоть до стенки, поскольку при х <а/(1+ а) подкоренное выражение отрицательно. Поэтому в распределении у* ^ при Го>1 можно выделить три участка: а) приосевой пограничный слой; б) потенциальное ядро; а) пристенный пограничный слой.

Для оценки толщины приосевого слоя 61 найдем точку максимального сближения линейной зависимости у = 4 —(2 — Гд/8) (1 — ж) с потенциальным решением. Это дает 61 ^ 4/Го- В пристенном слое сопряжем линейную зависимость у = —qx с у„. Связь между q и Го найдем пз условия, чтобы в точке сопряжения хш уп = Ч- Отсюда q=—То/3/2; х№ = 2Г0~2/3; а = Г-"2/3. Эти оценки получены с точностью до числовых коэффициентов порядка единицы.

На рис. 50, где в логарифмических масштабах нанесена функция Го(q), определяющая соотношение параметров па кривой потери существования решений, видно, что зависимость асимптотически выходит на степенную. Штрихпупктирная линия отвечает закону Го = 1,15(—5)3/4. С ростом циркуляции на линии потери су-

ществования сначала вырождается приосевой слой, а затем пристенный. Сопоставление решения уравнения (19) при Re = 20 (рис. 51) н потенциального решения уп показывает, что приосевой и пристенный пограничные слои еще перекрываются. При 9 = л/4 отличие в у и уп составляет ~10 %.

Сравним результаты численного решения полной системы уравнений для Г и у (рис. 52, Го = 14,4; q = — 34,8) с аналитическими зависимостями (18) для Г и решением Шлихтинга для у (штриховые линии). По участку совпадения получаем представление о толщине пограничного слоя при этих значениях параметров. По- гранслойпое приближение для Г (ж) качественно верно отражает распределение циркуляции во всей области течения, хотя выход па асимптотическое значение Г = Го с ростом 9 на точном решении происходит быстрее в противоположность со случаем вихревой нити (см. рис. 38).

Для меридионального течения область можно подразделить па четыре зоны. Внутренний приосевой пограничный слой (струя Шлихтинга) появляется с приближением к границе существования решений и его толщина обращается в пуль при конечных значениях Го и q. Внешний приосевой и пристенные пограничные слои развиваются при больших значениях числа Рейнольдса и связаны с тем, что потенциальное решение, асимптотически приближающее течение в ядре, не удовлетворяет граничным условиям на стенке и па оси.

Помимо приосевых и пристенных пограничных слоев в случае двухъячеистого режима при больших числах Рейнольдса развивается внутренний пограничный слой па поверхности раздела (см. схему течения на рис. 49 выше кривой 2). На этой конической

поверхности 9 = 0О нормальная компонента скорости равна нулю (у(жо) = О) и реализуется течение типа вихреисточника. На плоскости параметров {Го, д) кривые, отвечающие 9о = const для всех О < 9о < л/2, с ростом числа Рейнольдса приближаются к такой же асимптоте, что и кривая потери существования (на рис. 50 штриховая линия отражает результаты расчета для 9о = 45°).

Из характера распределения скорости при Го = 40,7, q = —103,2 (рис. 53) ясна структура возникающего внутреннего пограничного слоя. С ростом числа Рейнольдса циркуляция в области 9 < 9о стремится к пулю, а при 9 < 9о — к постоянному значению, равному циркуляции па плоскости Го. На конусе 9 = 9о асимптотически при Re 00 формируется скачок циркуляции. Внутри конуса течение описывается зависимостью (2.14а) (графически неотличимо от результатов расчета на рис. 53) и подразделяется на потенциальное ядро и пограничный слой вблизи 9 = 9о.

В окрестности 9 = 9о, где сосредоточено изменение циркуляции, зависимость у (ж) можно аппроксимировать линейной:

у(ж) = у/(ж0) (ж-жо); у' (жо) = -6'1(1-Жо)/(1 + жо).

Используя это представление в уравнении (1) и интегрируя его с учетом граничных условий, получим

Г = (1 + erf q Го/2; t = (ж0 - ж){-у' (ж„)/[2 (1 - ж2)])1/2.

Эта зависимость также с графической точностью совпадает с распределением циркуляции на рис. 53. Чтобы вычислить 7^(0), сохраняя лишь главный член асимптотического разложения, достаточно принять Г(ж) = 0 при ж>ж0 и Г(ж)=Г0 при ж<ж0. Тогда Т^И = го/2(ж—ж0)7(1 — Жд); Cj = g + ГоЖо/[2 (1 — ж2)], и уравнение для главного члена разложения у (ж) = у* (ж) + О (1/д) получим в виде

(1 — ж2) У» + 2жу* — у2/2 = Гд/2 (ж2 — 2жж0 + ж2ж2)/(1 — ^ — 9 (1 — 72!

У* (°) = У* (жо) = °-(20)

Это уравнение, хотя и является аналогом уравнения (19), не переходит в пего непосредственно при жо = 1, поскольку ж = 1 —особая точка. При больших числах Рейнольдса в решении (20) можно выделить потенциальное ядро и два пограничных слоя — при ж = Жо и вблизи плоскости. Сопрягая, как и ранее, решение в пристенном пограничном слое с потенциальным, получим

Го g)3/4 [(1-Ж2)Ао].(21)

Таким образом, асимптота отвечает той же степенной зависимости Го от q, что и для одноячеистого режима. Формула (21) правильно отражает увеличение коэффициента пропорциональности при уменьшении жо, но требует корректировки для жо, близких к единице, поскольку реальный коэффициент не равен пулю, а остается конечным и при жо = 1.

Космические струи и их простейшая гидродинамическая модель

С начала восьмидесятых годов в астрофизических изданиях стали появляться во все более возрастающем числе публикации об обнаружении па основе измерений в широком диапазоне спектра электромагнитных волн космических течений струйного типа. Итог наблюдений за пять лет проанализировал в своем обзоре «Холодные истечения, интенсивные ветры, и загадочные струи около молодых звездных объектов» американский астрофизик Лада [193]. Еще более масштабную картину разнообразных струйных течении вблизи формирующихся массивных объектов дают труды конференции по струям от звезд и галактик, состоявшейся в Торонто в июне 1985 г. [228]. Большинство специалистов склоняются к заключению, что струйные течения являются типичным явлением на ранней стадии образования компактных массивных тел внутри гигантских облаков молекулярного газа в результате гравитационной неустойчивости. В свою очередь, эти струи служат источниками импульса, поддерживающими крупномасштабное турбулентное движение молекулярного галактического и межгалактического газа.

Одним из первых свидетельств существования мощных двусторонних струй, бьющих от звезд, приближающихся к главной последовательности, было обнаружение допплеровского смещения как красного, так и фиолетового, спектральных линий излучения СО. Масштаб звездных струй иллюстрирует рис. 54 [193]. В верхней части изображены линии равного спектрального смещения излучения СО, причем сплошные кривые соответствуют красному, а штриховые — фиолетовому смещению. В центре виден диск, в котором окружающий газ имеет повышенную плотность. Ниже показаны последовательно увеличенные изображения центральной области. На самом нижнем рисунке изображены изолинии оптически наблюдаемого излучения со сплошным спектром. Струйное течение регистрируется в диапазоне более чем трех порядков масштабов. Скорости в струях достигают сотен километров в секунду, числа Маха превышают 10. Температура вещества струй составляет десятки градусов Кельвина и ниже, чем в окружающем газе (максимальное снижение примерно в два раза). Лада [193] отмечает следующие достоверно выявленные наблюдениями свойства звездных струй:

струпное течение происходит внутри облака молекулярного газа;

градиенты скоростей в поперечном направлении весьма велики;

струи имеют малый угол раскрытия и почти параллельны.

Схема типичной двусторонней космической струи изображена на рис. 55. Черное пятно 1 обозначает формирующееся массивное

тело; 2 — диск аккреции, вещество которого под действием гравитации движется к телу; 3 — область больших скоростей, напоминающая так называемую «бочку Маха», образующуюся при истечении сверхзвуковой струи в разреженный газ; 4— окружающее облако молекулярного газа. Малость угла раскрытия струй свидетельствует о том, что вращательная компонента скорости не может быть слишком большой. Масса вещества в

рдиске аккреции порядка немс' ' 'скольких солнечных, а общая

масса облака, содержащего струю, составляет сотни солнечных масс. Струи чаще наблюдаются не в оптически видимых, а в инфракрасных звездах. Это свидетельствует о том, что струйные течения происходят на ранней стадии .звездной эволюции, имеющей протяженность порядка 105 лет. Характерное динамическое время Liv ~ 2000 лет, поэтому струйные

течения можно рассматривать как квазистациопарные.

Аналогичные струи, но имеющие в миллион раз большие размеры, наблюдаются вблизи ядер галактик. Как отмечает Кенигл 1189], и в этом случае струи, как правило, двусторонние, почти параллельные, дальнобойные и связаны с дисками аккреции. Скорости в них достигают одной десятой от скорости света, а масса содержащей струю области ^108 звездных.

Примечательная информация о струях, наблюдаемых вблизи нейтронных звезд, содержится в работе Фейгельзопа [172]. Изолированные нейтронные звезды не сопровождаются струями, но вырожденные звезды в двойных аккреционных системах имеют •струйные течения. Это наводит на мысль о том, что наличие аккреционного диска является обязательным условием существования струй.

Наиболее трудный и пока открытый вопрос, из-за которого Лада называет звездные струи загадочными, каков источник движения струйных течений молекулярного газа? Характерная величина импульса струй на несколько порядков превосходит импульс, который может породить световое давление или звездный ветер, не говоря об изотропном характере последних. По масштабам величин только гравитационное поле может служить достаточным источником струйного движения. Это мнение разделяет Хенриксон [228], который делает предположение о том, что струйные истечения являются парадоксальным, но, видимо, неизбежным следствием гравитационного захвата вещества массивным объектом. Однако и он вынужден констатировать, что природа возникновения крупномасштабных газовых течений вблизи массивных объектов остается неясной.

В обсуждавшихся моделях формирования космических струй в качестве источника движения и параллельности струй назывались вращение вещества диска аккреции и магнитное поле. Но существующие данные не находятся в согласии с предположением о быстро вращающихся дисках. Оценки магнитного поля в галактических струях дают величину порядка 10-5—10"6 Гс [158]. Такое поле не может заметно влиять на импульс струи, хотя может, напротив, порождаться течением за счет турбулентного МГД-дина- моэффекта [27]. Влияние магнитного поля на течение сказывается посредством другого механизма. В отсутствие магнитного поля длина свободного пробега в галактических струях оценивается величиной порядка и больше радиуса струи, по благодаря наличию магнитного поля длина свободного пробега из-за ларморовского эффекта уменьшается и применимо гидродинамическое приближение [158]. Характерные числа Рейнольдса для галактических струй имеют порядок 103—104.

Сосредоточимся па основном открытом вопросе — причине формирования струйных течений — и покажем, что ответ на него может быть получен в рамках классической теории вязкой несжимаемой жидкости. Для этой цели предельно схематизируем астрофизические струи, сохранив лишь ключевые свойства. Основным, пожалуй, наиболее грубым моментом в предлагаемой идеализации является предположение о несжимаемости среды. Как уже упоминалось, космические струи — гиперзвуковые с числом Маха порядка десяти и более. Но это характерно лишь для наиболее легко наблюдаемого участка струи. Очевидно, что на больших расстояниях скорость струи уменьшается до нуля, в то время как скорость звука в окружающем облаке молекулярного газа остается конечной величиной. Таким образом, модель несжимаемой жидкости вполне приемлема для, так сказать, наиболее крупномасштабного анализа струйных течений. Однако исходя из свойств реальных струй в рамках этой модели скорости должны принимать бесконечно большие значения в малой области, которая представляется источником струи.

Итак, принимается следующая идеализация. Массивное тело считается точечным и помещается в начало координат. Диск аккреции заменяется материальной плоскостью, вещество которой совершает движение к началу координат типа вихрестока, моделирующее гравитационный захват вещества массивным телом. В остальном силы тяготения могут быть в рамках модели несжимаемой жидкости заменены эффективной добавкой к давлению и тем самым исключены из задачи, которая становится чисто кинематической. Вещество плоскости посредством вязкого трения вовлекает в дви- женпе менее плотную окружающую среду. Тем самым задача свелась к рассмотренной в предыдущем разделе. Из полученного решения непосредственно следует, что сходящееся течение в аккреционном диске с неизбежностью порождает бьющие в поперечном направлении струи, причем при конечной обильности стока вещества плоскости струя может стать сколь угодно сильной.

Струйные течения в веществе, окружающем диск аккреции, являются не только следствием, по и необходимым условием образования массивных объектов. Они уносят «лишний» момент импульса аккреционного диска, препятствующий гравитационному захвату вещества тяготеющим центром. На основе карты режимов течения (см. рис. 49) можно получить представление не только о крупномасштабной структуре течения, но и об эволюции космических струй. Наблюдаемые струи согласно оценкам являются слабо закрученными, поэтому в рамках модели следует принять |gl > Го. На квазистационарной стадии струя соответствует точке па рис. 49 вблизи кривой 1. Когда захват вещества прекращается, Igl убывает и импульс струи падает. При пересечении изображающей точкой кривой 2 циркуляция начинает преобладать, и струя раскрывается. Наконец, когда </ обращается в нуль, струя «ложится» на плоскость и течение обращается, унося остаточную массу и момент импульса па периферию плоскости аккреции. Может быть, с этим связан необычный характер распределения момента импульса в нашей галактике [128].

Если не ограничиваться объяснением самого феномена возникновения астрофизических струй, а попытаться дать их более реалистическое описание пусть даже в наиболее крупномасштабном аспекте, то прежде всего необходимо учесть турбулентность. Конечно, решенную задачу можно попытаться трактовать как соответствующую турбулентным струям в рамках гипотезы Буссинеска об эффективной вихревой вязкости. Однако в этом случае неудовлетворительным приближением является постоянство вязкости.

Эксперименты свидетельствуют о том [239], что, хотя вязкость практически постоянна в ядре струи, с удалением от оси она существенно уменьшается. Течения в среде с переменной вязкостью рассматриваются в § 4, где, в частности, описан парадоксальный эффект спонтанного возникновения вращения, который возможен и в астрофизических течениях. Другой существенный вопрос относит-

ся к причинам возникновения диска аккреции. Они могут быть связаны с термоконвективной неустойчивостью равновесия облаков молекулярного газа в присутствии горячего тяготеющего центра. Эта проблема рассматривается в § 5.

ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ

Постановка задачи

Вязкость может быть переменной в ламинарных течениях, например в поле температур, задаваемом независимо от движения жидкости. При этом легко представить себе ситуацию, когда вязкость заметно меняется при изменении температуры, а изменением плотности можно пренебречь, как это характерно для вынужденной конвекции воды. Именно такой подход будет принят в этом разделе, однако основная цель — моделирование турбулентных течений.

Модель турбулентной вязкости, введенная Буссинеском, хорошо себя зарекомендовала для описания свободных турбулентных течений, например осесимметричных струй [144]. Однако если для турбулентной струи Шлихтинга предположение о постоянстве турбулентной вязкости представляется естественным из-за узости области струи, то для течения, порожденного взаимодействием вихревой нити с плоскостью, вихревую вязкость более реально считать переменной — нулевой на плоскости и максимальной на оси. То же самое можно сказать, например, о течении, порожденном затопленной струей, вытекающей из отверстия в плоской стенке. Опытные данные [21, 256] свидетельствуют о том, что турбулентной является лишь узкая приосевая коническая зона, тогда как во внешней области турбулентность практически отсутствует.

Постановка задачи о конических вихревых течениях с переменной турбулентной вязкостью vT, зависящей только от сферического угла 9, содержится в работах Серрипа [236] и By [255]. В последней рассматривается автомодельный турбулентный вихрь с условиями прилипания на плоскости и регулярности на оси. В случае постоянной вязкости подобное движение невозможно. Для данного конического класса циркуляция Q(9) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, допускающему лишь монотонно изменяющиеся решения, и является монотонной функций угла 9, так что удовлетворить краевым условиям Q(0) = Q(n/2) = О нельзя. Помимо того, хорошо известно [210], что для струи, вытекающей из точечного источника на плоскости, автомодельного решения, удовлетворяющего условиям прилипания на плоскости и регулярности на оси, не существует. Так, решение Сквайра [240]

условиям прилипания не удовлетворяет, хотя условие непроте'кавия па плоскости выполнено.

Математически задача с условиями прилипания и аналиттишо- сти сводится к однородной системе обыкновенных дифференщшль- ных уравнений с однородными краевыми условиями, число которых соответствует порядку системы. Тем самым требуется найти нетривиальное решение, да еще зависящее от произвольных парашетров, характеризующих интенсивность источника движения, такич, как импульс струи, и тому подобных. By [255] пришел к выводу о том, что в случае переменной вязкости эта задача разрешима для широкого класса функций, представляющих турбулентную вязкост ь. Доказательство By относится к случаю, когда взаимодействие втхря с плоскостью вызывает нисходящий поток жидкости вдоль оси к плоскости и ее последующее радиальное растекание. Такое решение могло бы быть проинтерпретировано как турбулентная .закрученная веерная струя, бьющая радиально вдоль неподвижной: ткер- дой плоскости из точечного источника, расположенного на пой плоскости.

Однако в выкладки By вкралась ошибка, и он оперировал с неверными уравнениями. Если исходить из правильных уравнений, то результаты By не подтверждаются. Более того, удается доказать, что при условиях, принятых By, соответствующая однородная задача не имеет нетривиального решения. Вместе с тем здеесь показано, что введение переменной вязкости позволяет нетривиально разрешить несколько иную однородную краевую задачу, возможно, моделирующую некоторые астрофизические явления, о кооторых шла речь в § 3.

Возвращаясь к струе Сквайра, напомним, что опа становится предельно сильной при весьма умеренном значении обильности стока Q = 7,67 v [37]. Физически перед кризисом естественно ожидать турбулизации струи с образованием конического ядра с пов.ышен- пой турбулентной вязкостью. Исследование данной модели с кусочно-постоянной вязкостью обнаруживает неожиданное явление: бифуркацию самовращения струи, по только вместе с плоскостью, когда вращательные касательные напряжения на плоскости отсутствуют. В математическом плане нетривиально разрешимым «оказывается однородное уравнение для циркуляции с переменной вязкостью, когда поставлены однородные условия «слабого» самовращения: Q(0) = Q'(n/2) = 0.

Пусть рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости, принадлежащее классу с обязательной автомодельностью. Иными словами, источник движения характеризуется величиной Q, имеющей размерность кинематической вязкости v (м2/с), и задача не содержит какого-либо характерного размера. Тогда число Рейнольдса определяется отношением Re = <2/v, а поле течения имеет представление

v = v/7?f(9, ф, т, Re); T = vt/R2, (1) Ю м. А. Гольдштик, В. И. Штерн, Н. И. Яворский

тде R, 6. ф — сферические координаты; 9 —угол между положительной полуосью z и радиусом-вектором; ф— азимутальный угол, от которого в осесимметричном случае течение не зависит; t — время; v — вектор скорости; f — безразмерная векторная функция безразмерных аргументов.

Полные уравнения Навье — Стокса допускают решение вида (1), которое тем самым пригодно и для описания турбулентного режима в задачах с обязательной автомодельностью. Запишем уравнения Рейнольдса в виде

Ujdujdxj = l/pdcry/o1^; dujdxi = О,

где <т;, = — рбц + pDij — рк;^; Dti = ди^дх, + Эи^Эх^ м; — вектор скорости осредпеппого турбулентного движения; ц— динамическая вязкость; — pUiVj — тензор пульсационных напряжений Рейнольдса. Турбулентная вязкость цт вводится соотношением Буссинеска:

(2)(2)— pv-v'- = \1ТВц.

(2)

(2)

Положим v =(р +рт)/р, тогда уравнение движения может быть записано в векторной форме

(3)(3)(u, V)u = — Vp/p + vAu + Vv • D.

(3)

(3)

В случае стационарного осесимметричного движения представление (1) может быть записано в форме, обеспечивающей автоматическое выполнение уравнения неразрывности:

(4)(4)uR = F' ^[R; ие = F(х)ЦН sin 9);

(4)

(4)

мф = Q(t)/(7? sin 0); p = pc» + pq^x\/R\

тде x = cos 9. Симметричный тензор D имеет компоненты

(5)

Oee =

Предполагая, что осреднение в (2) устраняет зависимость рейнольд- совых напряжений от ф и т, согласно (1) и (5) можно записать Цг = Цт(ж) и, значит, v = v(t). В таком случае вектор Vg имеет «единственную ненулевую компоненту: (Ve)6 = — VI — x\'{x)IR.

Подстановка выписанных соотношений в (3) дает следующие1 уравнения:

2g = - FF" - F'^ -- v [(1 - ж2) F'" - 2xF"\ -

- v' [(1 - х^ F" + 2F];(6>

(1 - ж2) q = -FF' - х ^F2 + Й2)/ (1 - ж2) + v (1 - ж2) F” - WF; (7) у(1-ж2)й" + ТЛУ + v7 [(1 — ж2) Й'+ 2жй] = 0.(8)

Дальнейшие преобразования связаны с исключением величины q из уравнений (6) и (7). Это удобно сделать не дифференцированием, а вычислением выражения [(1 — ж2) q\' = (1 — ж2) q' — 2xq, правая часть которого, как выясняется, представляет полную производную. После соответствующих преобразований и интегрирования имеем

(A-x^q^xFF' ---F2A-^xA^^

Заметим, что это соотношение может быть непосредственно получено из рассмотрения баланса осевой компоненты импульса для конического элементарного объема.

Для определения константы интегрирования С достаточно предположить, что ось ж = 1 принадлежит внутренности области течения. Тогда решение должно быть регулярным при ж = 1 и притом F(l) = 0, что следует непосредственно из (4). В таком случае сразу получается С = 0. Исключение q с использованием соотношения (6) дает уравнение

V (1 - ж2) 2F"' + V (1 - ж2) [(1 - х2^" + 2Л + ж (F2)7 - F2 + Й2 = 0.

(9)

Для уравнений (8) и (9) можно ставить различные краевые условия, задавая, например, поле скорости типа вихреисточника на плоскости ж = 0 и условия аналитичности на оси ж = 1:

^(0) = 0; F'^ = Q; 72(1) = Й(1) = 0; Й(О) = Йо. (10)

В такой постановке источником движения служат неоднородные граничные условия при ж = 0. Однако существует один выделенный случай, когда задача ставится в безграничной области, а движение вызывается источником импульса в начале координат. Это струя Ландау, для которой в случае v = const и й = 0 решение, регулярное при ж = ±1, выписывается аналитически и имеет вид F = = —2v (1 — ж2) / (А о — ж). Здесь Ао — постоянная интегрирования, которую можно связать с заданным импульсом струи. Таким образом, случай струи Ландау спектральный, когда существует нетривиальное решение с однородными условиями при ж = ±1. Если аналогичную однородную задачу поставить в полупространстве г ^ 0, то, 10*

как уже отмечалось, при условиях прилипания на плоскости нетривиального решения не существует.

Казалось бы, можно предположить, что в случае переменной вязкости при однородных условиях (10), когда Q = Йо = 0, найдется такое распределение х(ж), для которого нетривиальное решение существует. Функция ч^х) ограничена и удовлетворяет следующим условиям:

х(ж)>0; <(ж)>0; v'(l) = 0.(11)

Заметим, что достаточно доказать нетривиальную разрешимость уравнения (8) при однородных условиях Й(0) = Й(1)=0. Тогда при Й^О уравнение (9) становится неоднородным и вопрос о его тривиальном решении отпадает. В случае v = const из (8) следует

Й' й0 expЙ' й0 exp— F/[v (1о— F/[v (1о— ж2)] dx,— ж2)] dx,

Й' й0 exp

Й' й0 exp

— F/[v (1о

— F/[v (1о

— ж2)] dx,

— ж2)] dx,

откуда сразу же вытекает монотонность функции Й(ж) и невозможность нетривиального решения. Но при v'^ 0 уравнение (8) содержит й не под знаком производной и, следовательно, имеет «спектральный» вид. Однако это обстоятельство, оказывается, не меняет дела.

Несуществование решений при условии прилипания

Ситуацию, когда уравнение (8) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, для краткости будем называть самовращением. Докажем, что если Р^х^^О, то при любом регулярном х(ж)>0 уравнение (8) при условиях й(0) = = й(1) =0 имеет лишь пулевое решение, т. е. самовращение невозможно.

Преобразуем (8) тождественно к виду

[v (1 - ж2) Й'У + 2 (х^' = 2хй - РЙ'.(12)

Функция Й(ж), удовлетворяющая нулевым условиям, имеет одну или несколько экстремальных точек, где й' = 0. Рассмотрим ближайшую к правому концу точку х = xq, такую что Й' (жо) = 0. Без потери общности можно считать, что Й(жо)>О. В противном случае следует заменить всюду й на — й, поскольку уравнения (12) и (9) инвариантны относительно такой замены. Ясно, что в рассматриваемых условиях на интервале жо=Сж<1 функция й(ж) монотонно убывает, оставаясь положительной. Проинтегрировав соотношение (12) в пределах от жо до ж, получим

v (1 — ж2) й' + 2хжй = 2жох (ж0) й (ж0) + ^ (2хй — Рй') dx.

Исходя из условия аналитичности й(ж), при ж = 1 имеем

1

Q (1) = ж0Й (ж0) v (х> (1)[2v (I)]-1 J (2vQ - №') &.(13)

Поскольку на интервале жо < ж < 1 по предположению F ^> О, й'(ж)<0, й(ж)>0, то правая часть (13) существенно положительна, поэтому выполнение условия Q(l) = 0 невозможно. Ясно, что данный вывод сохраняет силу и для достаточно малых по модулю F (ж)^ 0, в частности, для движений при малых числах Рейнольдса, когда последний член в правой части (12), представляющий инерционные силы, отбрасывается.

По смыслу доказательства фактически установлено, что при опускном режиме течения функция й(ж) не может иметь максимума, что исключает не только сильное (Q(0) = 0), по и «слабое» (Q'(0) = 0) самовращение. Поэтому естественно попытаться обнаружить самовращение в подъемном режиме, порожденном струей, бьющей из отверстия в стенке, для которой F^^O. При этом задачу о сильном самовращении физически целесообразно ставить лишь при условиях прилипания на плоскости Р(0) = Р'(0) = 0. Так как самовращение можно ожидать только при достаточно большой интенсивности струи, то прежде всего необходимо выяснить, возможна ли в случае переменной вязкости автомодельная невращаю- щаяся струя, удовлетворяющая условиям прилипания па плоскости.

Казалось бы, исходя из уравнения (9), при 0^0 всегда можно найти функцию х(ж), задав произвольное распределение F(ж), удовлетворяющее всем необходимым условиям. Здесь, однако, есть затруднение, состоящее в том, что коэффициент при v' в уравнении (9) обязательно обращается в нуль в некоторой внутренней точке интервала (0,1). В самом деле, квадратная скобка представляет собой полную производную:

(1 _ ^ р" + 2Р = [(1 - ж2) F' + 2жР]' = р'г.

Поскольку функция Р2(ж) в силу условий прилипания и аналитичности обращается в пуль на концах, то F^ обращается в нуль внутри интервала.

Докажем, что при условиях 7^(ж)^0, х(ж)>0, v'^)5=0, v'(0) = = 0 уравнение (9) при Q = 0 не имеет нетривиального решения, удовлетворяющего условиям 7^(0) — F' (0) = F(l) = 0. Равенство v'(0) = 0 навеяно физическими соображениями и принято лишь для упрощения доказательства. Введем переменную z = —(1 — x2)F' — ~2xF. Тогда уравнение (9) можно записать в форме

(1 - ж2) (vz')' + 2ужз' - 2vz = (1 - ж2) (Р2) "/2 + ж (7^2)' - Р2 + Й2. (14)

Проще всего в правильности соотношения (14) убедиться прямой проверкой. Дифференцирование (14) по ж и деление на (1—ж2)

дает соотношение

-^V^W^Y' ^^г + йй'У^-х^.(15)

Заметим, что уравнение (15) можно непосредственно получить из (6) и (7) путем исключения q после дифференцирования (6). Поскольку уравнение (9) все равно необходимо для дальнейшего, избранный путь является более простым. Для последующих рассуждений положим в (15) Q = 0. Проинтегрировав (15) в пределах от 0 до х, получим

(vz)" = (f2)"/2 + (v'z)' + 2 J v'z/(l — ж2) dx -ф Cv о

Для определения постоянной Ci следует учесть, что в силу условий прилипания z(0) = 0; z' (0) = — F" (0); z" (0) = — F'" (0). Однако согласно (9) F"' (0) = 0, поскольку v'(0) = 0, так что z" (0) = 0. Отсюда следует Ci = 0. Дальнейшее интегрирование приводит к равенству

(vz)' = (F2)'/2 + v'z ф 2 J dx J v'z/(l — ж2) dx C2. о о

Величина C2 определяется согласно условиям для z:

C2 = -v(0)7’"(0).(16)

Наконец, последнее интегрирование дает

SCXXх

xz = FY2 ф- 2 J dx J dx J v'z/(l — ж2) dx + J C zdx -ф С2ж»

000о

Воспользовавшись формулой

J dx dx J / (ж) dx = 1/2 f (ж — I)2/ (i) di, ООО0

окончательно получим

vz — ф2/2 + С2ж ф J [(ж — ()2/ (1 — I2) + 1] M'zdt. (17) о

Поскольку 7Д0) = F' (0) = 0, для выполнения неравенства Ф(ж)<0 необходимо, чтобы 7?’"(0)<0, причем недопустимо 7^" (0) = 0, так как тогда согласно (9) 7',(ж) = 0. В соответствии с (16) Ci > 0. Последнее неравенство позволяет утверждать, что всюду г(ж)>0. В самом деле, при 0 < ж « 1, vz ~ С2х > 0. Предположение о том, что найдется жо, для которого з(жо) = О, противоречит равенству (17), так как его правая часть при ж = жо существенно положительна. Следовательно, z(l)>0, а это несовместимо с условием

F(l) = 0 и требованием ограниченности Н'(1), согласно которым должно быть z(l) = 0.

Таким образом, и в случае переменной вязкости незакрученная струя, вытекающая из отверстия в стенке, не может удовлетворить условиям прилипания, оставаясь автомодельной. Тем самым возникновение сильного самовращения в результате бифуркации от незакрученного режима исключено для восходящего течения. Отказ от условий прилипания на плоскости, точнее от условия неподвижности плоскости, позволяет поставить задачу о слабом самовращении автомодельной турбулентной струи.

Модель турбулентной автомодельной струи

Рассмотрим обобщение струи Сквайра на случай струйного турбулентного течения, порожденного материальным стоком на плоскости обильности Q. Вязкость v (ж) будем считать кусочнопостоянной:

— Ь'1’(область 1);

|v2, жй<ж^1 (область 2).

Полагая течение вблизи плоскости ламинарным, примем vi=vq, тогда как V2 = Pvo, ^^1. В этом случае, за исключением точки хм во всех уравнениях движения можно положить v'=0.

Поскольку далее будут произведены конкретные расчеты, удобно ввести наши стандартные безразмерные переменные у и Г согласно соотношениям F = —vy; Q=vP. В этих обозначениях имеем .2 = v[(l — ж2)у' + 2жу]. Если ввести функцию G^ согласно соотношению

G'" = ГГ7(1-ж2),(18)

то уравнение (15) можно трижды проинтегрировать. В результате получаем

(1 — х^у' + 2жу = у2/2 + 2G + Иж — Л1Ж2 + И2.(19)

Уравнение (8) можно переписать в форме ^-х2)Г"=уГ.(20)

Помимо (19) нам потребуется вытекающее из него уравнение (l-x^y" + 2у = уу'-У 2G'-У Л-2Л,ж.(21)

На границе турбулентного ядра ж = ж6 должны быть поставлены условия непрерывности скоростей uR, ив, и, и компонент тензора потока импульса Пд0, П00, П0ф, где

Пу = Рид, + р5у — p^D,,

С использованием соотношений (5), (6), (19), (21) получаем

Пве = -(2G' + 4 - 2Axx^pv4\im - ж2];(22)

Пее = ~ -^^Z^ t2G - (1 ~ ж2) G" + Н2 Аг + 4, (1 - 2ж2) + AJ;

Х(23)

ПеФ = [(1 — ж2) Г' + 2жГ — рГ]рх2/[7?2(1 — ж2)].(24)

Перейдем к граничным условиям, начав с ж = 1. Имеем р(1) = = О, Г(1) = 0. Для функции G из (18) по произволу назначим

G(1) = G'(1) = G"(1) = O.(25)

Положив в (19) и (21) ж = 1, с учетом равенства у(1)=0 и ограниченности у' (1) найдем 4=24i; 4g = — 4ь Следовательно, в области 2 (жй<ж^1) уравнение (19) принимает вид

(1 - ^ Чг + ^y,z = у=/2 + 2G - А, (1 - xf.(26)

Отметим, что при условии уг(1) = О величина Уз (1) из соотношения (21) принципиально неопределима. Она наряду с 4] должна быть задана в качестве произвольного параметра, необходимого для интегрирования уравнения (26) из точки ж=1. При ж = 0 положим у(0) = 0; у'(0) = QN = Re; ГДО) = О. Последнее условие согласно (20) приводит к тому, что всюду в области 1 (0<ж<Ж1,) Гх = 0 и Г] = const. Отсюда в соответствии с (18) можно принять G] = 0, так что для области 1 запишем

(1 — ж2) у’х + 2хуг = i/i/2 + Вх — B^ + Bz.(27)

Для определения В, Bi, В2 воспользуемся условиями сопряжения. В точке х =хк имеем

41 = ^ г1 = рг2.(28)

Используя (22) — (24), с учетом (28) соответственно получаем

В-2^В1 = 2^[41(1-жк) + С,];(29)

Bxh + 5, (1 - 2ж2) + В, = 2p24^,t (1 - х,) - Р2 [(1 - х^ G" - 2G];

(30)

Зж^Г, = р2 [(1 - х^ Г; + 2жйГ2].(31)

Кроме того, согласно (27) имеем

Вхк — Вгх1 + У2 = (1 — ж£) у' + 2xhyy — У1/2в То. (32)

Разрешая уравнения (29), (30) и (32), получим

By = ^xhT2+ Tt-TXi-4Y, B = 2xhB1 + T,; В^Т^В^ где Т1 = ^\2О-^-х1)О"-2xkG'A; Т2 = 2^ [G' + 4i (1 - ж,)].

С помощью данных соотношений можно решить несколько различных задач. Однако во всех случаях для интегрирования системы

уравнений (26), (20) и (18) от точки ж = 1 необходимо задать параметры Л1, у' (1) и Г'(1). В точке ос = хк из условия слабого самовращения (31) с учетом (28) найдем параметр ^:

Р = 2хк1?Л2хкГг + (1 - 4) г;1. (33)

На основе этой формулы можно сделать заключение о том, что слабое самовращение с В > 1 возможно лишь при достаточно высокой интенсивности струи. В самом деле, рассмотрим знаменатель (33), А (ж) = (1 — ж2) Г'+ 2жГ. Для того чтобы было Р > 1, необходимо иметь А > 0. Находим А'= (1 — ж2)Г" + 2Г = уГ'+ 2Г, следовательно, А (1) = А' (1) = 0. Вычислим А" = (у' + 2)Г' + уГ", откуда А" (1) = [у'(1) + 2]Г'(1). Поскольку при Г(ж)>0 величина Г'(1)<0, для того чтобы в окрестности точки ж=1 было А(ж)>0, необходимо иметь А" (1)>0, а значит, у'(1)<—2.

После вычисления величин Вх, В, В^ можно проинтегрировать уравнение (27) от х = хк до х = 0, используя первое из условий (28). Пусть параметр Ai определяется из требования, чтобы у(0) = = 0. Тогда по данным у' (1), Г'(1), хк можно определить величины: Не = В^ р и Гь Вопрос о назначении параметров у'^, хк и р для турбулентной струи требует обращения к опытным данным и физическим моделям.

Известно, что турбулентное ядро осесимметричной струи визуально располагается в довольно узком конусе с полууглом раствора 64« 12,5°, чему соответствует значение хк = 0,976. Течение в ядре автомодельио и практически не зависит от способа создания струи. По данным [144], продольная скорость на оси турбулентной струи определяется выражением uR = ЗК/(&wB), где К = = (х/0,0161)2 — импульс струи. Из этих соотношений находим йпяА> = —у'(1) = 3/[8л (0,0161)2] = 460,5. Приведенные данные у' (1) = —460,5 и хк = 0,976 относятся к незакрученной струе. К тому же значение хк1 по-видимому, завышено, так как за счет поперечных турбулентных выбросов реальная турбулентная зона заметно шире видимой.

От параметра хк можно избавиться, приняв подходящую гипотезу о локализации турбулентного ядра. В качестве такой гипотезы довольно естественно допустить, что граница хк совпадает с точкой максимума функции у (ж), характеризующей эжекционную способность струи. Во внешней области при х < хк имеет место нарастающая эжекция окружающей жидкости, тогда как внутри конуса х > хк поток резко разворачивается вдоль оси, что, скорее всего, и является причиной его турбулизации. Итак, в качестве пробной гипотезы примем у' (vxk) = Q. Что касается параметра p=V2/vi, то он может в турбулентной струе изменяться в широких пределах, начиная от единицы в момент турбулизации. Для прямоточной струи естественно допустить, что величина р вырабатывается из условия автомодельности у' (1) = —460,5 независимо от Re. При наличии вращения величины 3 и р'(1) могут существенно изменяться.

Граница существования турбулентной струи

Рассмотрим сначала незакрученную турбулентную струю,, индуцированную сходящимся движением на плоскости. При р = 1 имеется аналитическое решение Сквайра (см. § 2)

у = 2 Re(1 — ж)/{у ctg [у/21п(1 + ж)] — 1); у = V2 Re — 1, где предполагается Re > 1/2. Решение без особенностей внутри интервала [0, 1] существует при Re-<Re* =7,672753. С приближением числа Рейнольдса к критическому значению в приосевой зоне формируется сильная струя, соответствующая решению Шлихтинга.. При Re=Re* импульс струи и скорость на оси обращаются в бесконечность. Аналогичный кризис имеет место и при р > 1, но он происходит при больших значениях числа Рейнольдса.

При Re—> Re* ширина струи стремится к нулю, по эжекцион- ная способность остается конечной. Для струи Шлихтинга шах У2 = 4. В пределе ось становится стоком для окружающей жидкости. Внешнее асимптотическое разложение у* (ж), являющееся пределом уДж) при Re->Re* и описывающее эжектируемое струей течение, должно удовлетворять условию у* (1) = 4р. Из соотношений (29), (30) при G = 0 следует 6^ = — В\. Полагая в уравнении (27) х = 0, получим В^ = Re, а требование ограниченности У1 (1) дает В = 2В\ — 8р(р — 1). Подставляя эти значения констант в (27),. придем к уравнению для внешнего разложения

(1 - ^ у; + 2ху* = № + Re* (1 - ж)2 - 8р (Р - 1) ж (34) с условиями у* (1) = 4р; у* (0) = 0. «Лишнее» условие определяет связь между р и Re*. Например, при интегрировании от ж = 0, считая р данной величиной, необходимо Re* подобрать так, чтобы у* (1) = 4р. Удобнее начинать интегрирование с особой точки уравнения ж = 1. Величина у* (1) находится при этом специальным образом. Продифференцировав уравнение (34) и подставив г=1,. У* = 4р, получим у* = 2 р. Интегрируя до ж = 0 и требуя z/*(0) = 0, определим Re*.

Асимптотический характер зависимости р (Re*) можно определить аналитически. При р » 1 членами в левой части (34) можно пренебречь. В результате имеем потенциальное решение

ук = {2Re* [Хж — (1 — ж)2]}1/2; л = 8p2/Re*...

Оно удовлетворяет условию на оси уп(1) = 4р, но непродолжимо- вплоть до плоскости, поскольку подкоренное выражение при ж = О отрицательно. Поэтому вблизи плоскости развивается пограничный слой. Для его расчета воспользуемся приближенным методом Поль- гаузепа [144]. Аппроксимируем распределение у = Уъ^ в пограничном слое в виде уъ = Re* ж2 — Вх3 и потребуем, чтобы в не-

которой точке х = хш были выполнены условия у« = Уь; (z/n) = (г/ь) ; Ш' = «• В результате получим

р = 2-7/4Ве3Л х„ = /2/R^.(35)

Асимптотическая зависимость (35) согласуется с результатами численных расчетов, причем при ^ > 30 различие не более 1 %. Сравним этот поверхностный пограничный слой с пограничным слоем, развивающимся на поверхности движущихся тел. Толщина пограничного слоя х„ зависит от числа Рейнольдса согласно классической теории Прандтля. Однако если па движущейся пластине скорость вне пограничного слоя падает до нуля или в общем случае не зависит от числа Рейнольдса, то здесь скорость вне пограничного слоя пропорциональна Re3/4.

Поскольку в турбулентной струе Шлихтинга величина г/л(1) достаточно велика, то турбулентный режим рассмотренного индуцированного струйного течения должен соответствовать окрестности кривой существования и тем самым первое соотношение (35) дает -асимптотическое приближение для зависимости турбулентной вязкости от числа Рейнольдса.

Задача о незакрученной турбулентной струе решалась численно с использованием следующего алгоритма. Назначались пробные значения величин у' (1) и Ль Уравнение (26) интегрировалось методом Рунге — Кутта с начальным условием р(1) = 0 от ж — 1 до того значения х = хк, при котором величина у' обращалась в нуль. Далее определялись константы 5, By, В2, и уравнение (27) с начальным условием (28) интегрировалось от х = хк до х = 0.

Значение константы Ау пристреливалось так, чтобы у(0) = 0. По результатам интегрирования определялось число Рейнольдса Re = y'(0). Параметр р оставался свободным. Результаты расчетов для малой окрестности ^ = 1 представлены на рис. 56. Линия 7 соответствует границе существования решений, линия 3 — турбулентной струе с у'(1)= —460,5. Можно наметить следующую по

следовательность событий, развивающихся при увеличении числа

Рейнольдса. При Re •< Re* = 7,56 (до точки Т на рис. 56) течение всюду ламинарное. При Re = Re*, немного не доходя до границы существования, течение турбули- зируется, причем турбулентная вязкость в струе вырабатывается такой, что у' (1) = —460,5, согласно Шлихтингу. При этом с ростом Re величина ^ возрастает и изображающая точка движется вдоль линии 3.

Спонтанная закрутка турбулентной струи

Если граничные условия на плоскости не допускают вращения, то такой режим продолжим до сколь угодно больших чисел Рейнольдса. При этом асимптотически xk = 0,905, Ay =—34 и с точностью до числового множителя «1,04 выполняется зависимость (35). Такое течение может быть реализовано в воздухе над горизонтальной поверхностью, на которой находится слой воды, стекающей в центральное отверстие. Увлекаемый движением воды воздух образует струю, бьющую от отверстия вверх. Аналогичный эффект будет иметь место при конвергентном течении приповерхностного прогретого слоя воздуха. При этом отношение скорости на оси к скорости на плоскости па одинаковом расстоянии от начала координат будет убывающей функцией числа Рейнольдса: 1кл(1)/кв(0) I = 460,5p/Re ~ 143 Re"174.

Если же трение вращения отсутствует, то эволюция режима с ростом числа Рейнольдса будет иной. При числах Рейнольдса,, слегка превышающих критическое значение Re*, турбулентная струя спонтанно закручивается. Чтобы численно рассчитать бифуркацию вращения, надо вместе с (26) интегрировать уравнения (18),. (20) с начальными условиями (25) и Г(1) = 0, Г,(1)=е, lei « 1 от точки х = 1 до х = xh, после чего величину р найти из условия (33). В остальном алгоритм остается прежним. Рассчитанной зависимости бифуркационного значения Р от числа Рейнольдса отвечает кривая 2 (см. рис. 56). Опа начинается из точки ^ = 1Г Re = Re* и в точке S при ^ = 1,08, Re = 8,2 пересекает линию 3. При этих параметрах и происходит рождение турбулентного закрученного режима. Заметим, что вдоль кривой 2 значение у' (1) не фиксировало, а растет от — °°, хотя это и не имеет физического смысла.

Более полная картина, отражающая и результаты расчетов при немалых значениях циркуляции, представлена на рис. 57, где Re = = Re/Re*, Го = Гг^)^ Pi (0)/|3. Линии 1 и 2 имеют тот же- смысл, что и на рис. 56. Незакрученным течением отвечает область в плоскости Го = 0, расположенная левее кривой 1. На линии 2 происходит бифуркация закрученных режимов, которым отвечает симметричная относительно плоскости Го = 0 поверхность, изображенная на рисунке семейством кривых ^ = const (^ = 1, 3, 10, 30) и Го = const (Го = О, 1, 2, 3). Эта поверхность ограничена кривой 4" (,5 = 1), которая отвечает кризису потери существования как само- закрученных турбулентных режимов, так и закрученных ламинарных струй, индуцированных заданным течением типа вихрестока на поверхности. Последним режимам отвечает область в плоскостш ^ = 1 левее кривой 4.

Как зависит турбулентная вязкость от числа Рейнольдса в са- мовращающемся режиме, неизвестно. Здесь для иллюстрации принято простейшее предположение о том, что эта зависимость оста-

ется такой же, как и в незакрученном случае. Данной гипотезе отвечает кривая 3 (см. рис. 57) и результаты, представленные на рис. 58. С увеличением числа Рейнольдса величина Го возрастает, стремясь к асимптотическому значению Го ~ 3,8. Область, занятая турбулентным движением, уширяется, но не достигает стенки. Величина хк уменьшается до асимптотического значения xh ~ 0,33.

Распределение величины у и циркуляции Г по углу для ряда типичных режимов приведено па рис. 59. Здесь и у и Г обезраз- мерены по турбулентной вязкости во всей области течения. Сплошная линия отвечает ламинарной (у7 (1) = —460,5), а штриховая — турбулентной (у7 (1) =—460,5, ^ = 20, Re = 268) незакрученным струям; штрихпунктирные линии — режиму самовращения (Re = = 140, ^ = 12). Как следует из рисунка, даже значительная турбулизация слабо меняет поле скорости. Закрутка, напротив, резко деформирует картину течения. Струя становится шире и слабее. Характер распределения по цилиндрической радиальной координате вертикальной скорости щ, вращательной и^ и угловой м показан па рис. 60 для параметров Re = 12,5; = 1,6.

Поскольку бифуркация вращения является закритическоп, то новый закрученный режим течения устойчив, а исходный незакру- ченный теряет устойчивость [3]. Чтобы отразить это свойство, на рис. 58 незакрученный турбулентный режим изображен штриховой линией. Приосевого возвратного движения в турбулентных само-

ООте/2 вте/2 вРис. 59.Рис. 59.0 50 5О 102Чс,О 102Чс,2^/4"2^/4"20 А20 А10-10-0022Рис. 60.Рис. 60.1010шг2/^шг2/^закрученных струйных течениях не возникает, что находится в соответствии с результатами анализа разд. 4.2. Обратный ток может возникнуть лишь как следствие принудительного вращения [37], а не самовращения.

О

О

те/2 в

те/2 в

Рис. 59.

Рис. 59.

0 5

0 5

О 102Чс,

О 102Чс,

2^/4"

2^/4"

20 А

20 А

10-

10-

0

0

2

2

Рис. 60.

Рис. 60.

10

10

шг2/^

шг2/^

Полученные результаты показывают, что известный феномен

несуществования автомодельного решения для струи (закрученной или нет), вытекающей из точечного отверстия в плоской стенке

с условиями прилипания на плоскости и регулярности на оси, не может быть преодолен за счет введения переменной турбулентной вязкости, удовлетворяющей естественным физическим требованиям.

Отказ от условий прилипания и принятие такой точки зрения, что причиной течения жидкости является движение вещества плоскости, позволяет дать проблеме новую интерпретацию. В безграничном пространстве, заполненном вязкой жидкостью, рассматривается материальная плоскость, вещество которой стремится к центру, например, под влиянием силы тяготения. Вязкая жидкость, увлекаемая этим стоком, образует приосевую струю, интенсивность которой становится неограниченной при конечной обильности стока. Ясно, что, не доходя до этой критической ситуации, струя турбу- лизируется. При этом вблизи оси образуется турбулентное коническое ядро высокой эффективной вязкости, тогда как внешнее течение, связанное с медленным движением вещества плоскости,

остается ламинарным. Подобные струйные течения действительно- существуют и служат довольно загадочными объектами многочисленных астрономических наблюдений.

Установлено, что введение турбулентного ядра не только устраняет кризис несуществования, допуская произвольные значения Q, но и порождает бифуркацию слабого самовращения струи при условиях регулярности на оси и отсутствия касательных напряжений на плоскости. Построенная бифуркационная поверхность, т. е. зависимость циркуляции Г от Re и турбулентной вязкости ^,. демонстрирует мягкий характер возбуждения вращения, что свидетельствует об устойчивости нового режима с вращением и неустойчивости исходного.

Пробное предположение о зависимости турбулентной вязкости от интенсивности стока Q позволяет перейти от поверхности к бифуркационной кривой Г (Re) и вычислить в зависимости от числа Рейнольдса все основные характеристики течения, такие как турбулентная вязкость, угол раствора струи и скорость па ее осп. Но исключено, что обнаруженное явление самовращения возможна наблюдать па опыте. Для этого необходимо создать сток па свободной поверхности жидкости и изучить вызванное им движение- воздуха.

На основании сказанного нельзя заключить, что «сильное» самовращение жидкости с условиями прилипания на плоскости в рамках рассматриваемого класса принципиально невозможно. Однако для этого необходимы иные условия. В частности, движение может создаваться не импульсивным источником, а некоторыми силами, например, плавучести. Кроме того, течение может лишиться осевой симметрии вследствие потери устойчивости. При определенных условиях в результате может возникнуть спонтанное вращение в среднем, как это имеет место в одномерной круглой струе с достаточно резким профилем скорости [42]. Подобные возможности отнюдь не противоречат наблюдательным [103] и опытным [249] данным, но эта трудная проблема пока еще совершенно не разработана.

АВТОМОДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ

Конические свободноконвективные течения

Для уравнений Буссинеска, описывающих термогравита- циопную конвекцию, точных решений практически нет. Исключение составляет течение между параллельными вертикальными поверхностями, имеющими различные температуры [28]. В этом случае уравнение теплопроводности отщепляется от общей системы Буссинеска, а уравнения движения линейны, поэтому решение, будучи

•слишком элементарным, не отражает нетривиальных эффектов взаимодействия вязких, инерционных и тепловых механизмов переноса, потенциально заложенных в уравнениях конвекции.

Довольно большое число задач естественной конвекции допускают полу аналитические решения, когда они сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям в рамках теории пограничного слоя [52] и теории сращиваемых асимптотических разложений [95]. Здесь приводятся автомодельные решения полных уравнении Буссинеска в классе конически симметричных полей скорости и температуры. Такие распределения имеют особенность в начале координат, которая может моделировать источник импульса, как, например, в классической задаче Ландау о струе вязкой жидкости [86], и тепла [ИЗ].

В реальных условиях, когда источники имеют конечные размеры, автомодельные решения могут претендовать па асимптотическое представление полей скорости и температуры на расстояниях, больших по сравнению с размерами источников. При этом ключевую роль играют интегралы сохранения импульса и тепла. Если тепловые процессы не сказываются на движении жидкости, как это предполагается при решении тепловой задачи для затопленной струи в гл. 4, то определяющими асимптотическое поведение величинами являются потоки как импульса, так и тепла. В случае естественной конвекции архимедовы силы создают распределенный источник импульса. В этих условиях импульс, вытекающий из особой точки, не сохраняется и единственной величиной, определяющей поведение решения вдали от источника, остается поток тепла.

В связи с этим, как будет показано далее, автомодельного решения полных уравнений Буссинеска, когда особая точка является источником как импульса, так и тепла, не существует. В противовес этому в приближении пограничного слоя иногда строятся решения, когда даны оба интеграла сохранения [234]. Задача о конвекции вблизи точечного источника тепла («факел») рассматривалась рядом исследователей [257, 175, 208]. Условие сохранения потока тепла приводит к обратно пропорциональной зависимости температуры от расстояния до источника. Скорость на оси факела в приближении пограничного слоя не зависит от расстояния. Задача, когда струя порождается точечным источником импульса и имеет температуру, отличную от температуры окружающей среды, не имеет автомодельного решения и в приближении пограничного слоя. Приближенное решение находят методом возмущений, когда эффекты плавучести считаются малыми [234].

Для существования конически симметричного решения уравнений Буссинеска необходимо, чтобы архимедова сила была обратно пропорциональна кубу расстояния. Здесь описаны три задачи, когда реализуется требуемая зависимость.

В первой рассматривается особенность поля температур в на-

чале координат типа квадруполя, а не источника. Это приводит к тому, что на любой сферической поверхности поле температур имеет знакопеременный характер. Ситуация, когда температура вершины выше, а основания ниже температуры окружающей среды, условно называется «вулкан», а противоположная—«ледник». Эти названия подразумевают, что соответствующие автомодельные решения могут служить простейшими моделями конвекции вблизи подобных объектов. Обнаружено, что в случае вулкана при больших числах Грасгофа конвекция имеет двухъячеистую структуру, а с уменьшением числа Прандтля до нуля образуется сильная приосевая струя, и решение перестает существовать.

Во второй задаче рассматривается тепловой источник, но предполагается, что зависимость плотности от температуры имеет аномальный характер. Тепловая аномалия характерна, в частности, для воды, и такая задача моделирует конвекцию вблизи горячих источников на дне океана, иногда называемых «черными курильщиками».,

Наконец, в третьем случае автомодельность решения достигается за счет того, что ускорение силы тяжести принимается обратно пропорциональным квадрату расстояния. Такая ситуация возникает вблизи горячего массивного объекта, условно называемого «звездой», погруженного в вязкую несжимаемую среду. Здесь возможен копдуктивный режим теплообмена, когда среда покоится, но он неустойчив, если число Рэлея превышает критическое значение. Критическая величина, характер бифуркации и асимптотическое поведение определяются аналитически. Возникающие конвективные движения конечной интенсивности рассчитаны численно. В закритической области существуют два устойчивых в малом режиме, в одном жидкость подтекает к центру вблизи экваториальной плоскости и удаляется вблизи полюса, в другом реяшме движение носит обратный характер.

Во всех трех задачах проявляется типичный для конически симметричных течений вязкой жидкости эффект: когда число Грасгофа превышает определенное критическое значение, решение перестает существовать. Кризису предшествует формирование сильной приосевой струи, а в критической ситуации скорость на оси обращается в бесконечность. Однако это происходит лишь при нулевом значении числа Прандтля, когда поле температур не зависит от движения среды. Если Рг ^ 0, то конвекция приводит к концентрации тепла и, следовательно, архимедовых сил в приосевой области, что ослабляет действие последних и предотвращает кризис.. Если в первых двух задачах случай Рг = 0 мало интересен с физической точки зрения, то вблизи звезды может преобладать лучистый теплообмен, т. е. эффективное число Прандтля достаточно мало. В этих условиях термическая конвекция может приводить к интенсивным восходящим течениям в полярной области и формировать дальнобойные струйные потоки.

11 м. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

Структура дальнейшего изложения такова. Сначала для класса конически симметричных течений проведем редукцию уравнений Буссинеска к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем сообщим результаты аналитического и численного исследования трех перечисленных задач.

Рассматривается простейшая система уравнений, описывающая термогравитациопную конвекцию. Коэффициенты переноса принимаются независящими от температуры, а изменение плотности за счет теплового расширения учитывается только через архимедову силу F = Ар • g, где g — ускорение силы тяжести. В сферической системе координат (R, 9, ср) эта система состоит из уравнений (1.1.11) с добавлением в правую часть силы (Fn, Fe, 0) и уравнения теплопроводности:

дТ . ЭТ , гбду

57 + уяуд+яао +

(1)(1)1 д [т8Т\18 ( . й8Т\ ,1 д2Т

(1)

(1)

7 —5М 5 sm ° Н 5 59

' ^дну 8R я2 sine 59 \96 Я2 sin2 0 дер2

Здесь Т — температура; % — коэффициент температуропроводности. Предполагается, что азимутальная компонента архимедовой силы равна нулю.

В конически симметричном классе стационарных автомодельных решений поля скорости, давления и архимедовых сил имеют следующее представление:

vR = — vu(x, ср)//?; уе=—ху(ж, ср)/(К sin6);

(2)(2)Цр = тГ(ж, ср)/К; р = р„ + pv2g(ж, ср)/К2;

(2)

(2)

F = PooV2f (х, ф)/К3; х = cos 9

(индекс оо соответствует значениям на бесконечности). Уравнение теплопроводности при этом допускает решения вида

7 = 7=0 + ^^, ^!R\7 = 7=0 + ^^, ^!R\(3)(3)

7 = 7=0 + ^^, ^!R\

7 = 7=0 + ^^, ^!R\

(3)

(3)

где и — любое целое число. Здесь используются два значения: п = 3 для теплового квадруполя и п = 1 для источника. Подставляя выражения (2), (3) в систему (1), (1.1.11), обозначая штрихом дифференцирование по х, а индексом ср — дифференцирование по ср, получим

2</ = (1 — ж2) и" — 2жп'+ 2у' — 2и — и2 — уи +

+ (к,„ + 2Г ф - Гм Ф - у2 + Г2)/ (1 - ж2) + jR;

(1 -x^q =(1 -х^ (у" - 2м')-/е +

+ {у,та + 2жГ,Ф — у [ (1 — ж2) у' + ху] — Г (у,ф + жГ)}/ (1 — ж2); (4)

</„ = (1 — ж2) Г" — у Г' — 2и-ф + (Г,от — ГГ.ф — 2ху.^(Д — ж2);

г/'-и + Г,ф/(1-^2) = 0;

(1 — х2^" — 2жО' + и(и+ 1)0 — Рг^О' + пмй) +

+ (О.та-РгГО.,)/(1-ж2) = 0.

Здесь Pr = v/%— число Прандтля. В осесимметричном случае из последнего уравнения (4), являющегося автомодельной формой уравнения неразрывности, следует и = у', а у (ж) связана с функцией тока Стокса ф соотношением тр = vRy. Тогда система (4) принимает более простую форму:

2д = (1 -х2)у"' -2ху" — (уу'/ — z/2/(l -ж2) - /в;

(1 - ж2) у + (1 - ж2) у " + уу' + ху2!^ - ж2) + /6 (1 - ж2)1/2 = 0; (5)

(1 — х2^" — 2жО' + п(п — 1)0 = Рт(г/О' + nOi/').

После исключения давления из первых двух уравнений получим (1 _ ^ /V _ 4ж^ _ (у2/2Г _ ^ _ 2/q (1 _ жТ1/2 = F,„ ,(6)

Последнее равенство, определяющее скалярную функцию F(x), введено, чтобы, следуя методике [37], трижды проинтегрировать уравнение (6). Принимая для F граничные условия F^^F^l^ = F" (1) = 0 и учитывая, что в силу отсутствия особенностей на оси у(1)=0, имеем

(1 — ж2)у'+ 2жг/— г/2/2 = Е(ж) — С(1 — ж)2,(7)

где С — константа интегрирования. Если архимедова сила направлена по вертикали (вдоль оси z), то /в = ж/2, /6 = — (1 — ж2) Х,2У и, следовательно,

F"' = ж/: + 3/z.(8)

Полезно представить решение уравнения (8) в форме квадратуры:

F (ж) = — 1/2 • J (ж — tf [f/z (/) + 3/z (()] dt.(9)

Теперь рассмотрим конкретные задачи.

Задача о вулкане

Из определения архимедовой силы F = (p —p„)g и приближения Обербека — Буссинеска

р/р=о = 1 — ^(Т — Too)р/р=о = 1 — ^(Т — Too)(10)(10)

р/р=о = 1 — ^(Т — Too)

р/р=о = 1 — ^(Т — Too)

(10)

(10)

следует, что для существования автомодельного решения из конически симметричного класса поле температур должно иметь представление (3) с и = 3. В этом случае уравнение теплопроводности (5) при Рг = О имеет решение

й0(ж)=Зж2-1; -1^ж^1,(11)

отвечающее знакопеременному распределению температуры по углу 9. Суммарный поток тепла через сферу любого радиуса при этом равен нулю. Распределение симметрично относительно плоскости ж = 0.

Рассмотрим полупространство ж ^ 0. На поверхности х = 0 потребуем выполнения условий прилипания:

у(0) = ^(0) = 0.(12)

Тепловой квадруполь можно представить в виде бесконечно малой полусферы, вершина которой имеет температуру выше, чем у окружающей среды, а основание — ниже. Такая ситуация условно будет называться «вулкан». В какой-то степени близкий случай был экспериментально изучен Торрансом [249], когда на дне цилиндрической банки помещался в центре источник тепла, а по высоте создавалась устойчивая стратификация.

В задаче о вулкане температура на плоскости х = 0 отрицательна. Полагая для определенности 9(0) = —1 (см. (И)), интенсивность квадруполя будем задавать величиной уз в представлении (3) или величиной критерия Грасгофа Gr = pVagYv2. При этом в ситуации «вулкан» уз и Gr -положительны, а в противоположной ситуации («ледник») отрицательные. Для данного случая величина Д, входящая в формулы (8), (9), равна Gr9.

В силу граничных условий на плоскости из уравнения (7) следует C = F(0). Полагая в выражении (9) х = 0, имеем

г1

F (0) = — Gr/2 • J F (t& + 39) dt = - Gr/2 • J (F9)' dt= — Gr 9 (l)/2. о0

Поэтому задача приводится к системе уравнений

(1 — х^у' + 2ху — у2/2 = F ^ + Gr 9(1) (1 — л:2)/2;

Г'^Ог^й' + Зй);(13)

(1 — х2)9" — 2^9' + 69 = Рг(у9' + 39г/')

с граничными условиями на оси y(l) = F(l) = F'(l) = F" (1) = 0; l^'(l) I < оо; 9' (1) = 39(1)[1 — Рг у’ (1)]. Последние два условия вытекают из требования регулярности решения. На плоскости необходимо выполнить два условия: у(0) = 0, 9(0)=—1. При этом второе условие (12) будет удовлетворено автоматически.

Поскольку х = 1 — особая точка системы уравнений (13), величины у' (1) и 9" (1) не могут быть определены непосредственно из уравнений без дополнительных выкладок. Дифференцируя уравнение теплопроводности и полагая х = 1, получим

9" (1) = 9'(1)[1-Рг/(1)]-3/4Pr9(l)y" (1),

а в результате двукратного дифференцирования первого из уравнений (13), имеем у" (1) = у'(1)[1 — у'(1)/2] — Gr 9(1)/2, откуда 9" (1) выражается через у' (1) и 9(1). Величина £/'(1) остается свободным параметром.

При численном расчете целесообразно интегрировать систему (13) от х = 1 до х = 0, чтобы регулярно выйти из особой точки и использовать преобладание числа граничных условий при ж=1. Задание пробных значений $(1) й у' (1) сводит исходную краевую задачу к задаче Коши. Величина у' (1) подбирается так, чтобы в результате интегрирования у(0) = 0. После этого проводится перенормировка 'О'(ж) —»- ^(а;)/(—'О’(0)) и получается решение исходной задачи.

Некоторые свойства решения могут быть изучены аналитически. Рассмотрим случай, когда Рг = 0. Подставляя решение (11) во второе уравнение (13), находим F'" = Gr(15a;2 — 3), откуда после трехкратного интегрирования с учетом граничных условий F = = Gr [ж(1 — ж2) 2/4 — (1 — ж)2]. Подстановка полученного выражения в первое уравнение (13) дает

(1 — ж2) у' + 2ху — у2/2 = Grx(l — ж2)2/4, (14) или после замены переменной у = — 2 (1 — ж2) (77(7

U"+Grx/8U = 0. (15)

Функция U(ж) определена с точностью до постоянного множителя. Примем (7(0) = 1, кроме того, в силу условия у(0) = 0 имеем (7'(0) = 0. Решение уравнения (15) при этих граничных условиях является функцией Эйри [124], имеющей представление в виде- всюду сходящегося ряда:

(7=2 ^^'i t = — Сгж3/48; а0 = 1; ап= 2a„_1/[n(3n — 1)]; п=о

п = 1, 2, ... (16)

Для регулярности у (х} функция U ^ не должна иметь нулей на интервале 0^ж<1. При Gr = 0 функция U(х^ положительна при всех х > 0, поэтому задача о леднике разрешима при любой интенсивности квадруполя. Поскольку и U' (ж) > 0 при х > 0, то во всей области течения у^х^с^О и, как следует из представления (2), ие ^ 0. Это означает, что поток направлен вблизи оси вниз и далее растекается на плоскости от начала координат (рис. 61, ниже штриховой линии).

Выясним асимптотические свойства решения при 1 Grl »1. Пренебрегая в уравнении (14) линейными членами в левой части, получим внешнее решение у* = — (1 — ж2) (—Сгж/2)1/2. Величина у* (х) обращается в бесконечность при х = 0, что соответствует бесконечной продольной скорости на плоскости. С учетом влияния вязкости вблизи плоскости развивается пограничный слой.

Линеаризованное относительно у уравнение (14) имеет решение ул = (1 — х^х2 Gr /8, которое применимо при малых числах Грасгофа во всей области течения, а при больших — в малой окрестности стенки. Функции у* (ж) и ул (ж) совпадают на стенке

ж = 0 и в точке х = хт в окрестности стенки. Величина х« ~ |Grl-,/3 дает представление о толщине пограничного слоя, а величина Ул (^w) ~ I Gr |2/3 характеризует оценку сверху для максимального значения продольной скорости. Отсюда следует, что с ростом модуля числа Грасгофа около плоскости формируется мощная струя. Однако и внешнее течение, порожденное архимедовыми силами и асимптотически не зависящее от вязкости, увеличивает свою интенсивность пропорционально корню квадратному из квадрупольного момента.

При Рг > 0 и больших по модулю значениях числа Грасгофа преобладание конвективного механизма переноса тепла приводит к тому, что область, где температура положительна, уменьшается до тонкого пристенного слоя ширины ~l/(Pr|Grl). Результаты расчетов на рис. 62 для большей наглядности представлены в цилиндрических координатах (z, г, ср):

vT — — v/r [(1 — ж2) у' + xyY r = /?sin0; z = .Rcos9.

Сплошные линии соответствуют распределению по высоте горизонтальной скорости щ, штриховые — распределению температуры Й, кривые 1 отвечают значениям Рг = 0, Gr = —200, 2— Рг = 0,7, Gr = -35.

Подытоживая анализ случая Gr $5 0, можно сказать, что от «ледника» дует сильный холодный ветер вдоль поверхности. Это вполне соответствует интуитивно ожидаемому результату на основе физических соображений.

Задача о вулкане богаче неожиданностями. Сначала вновь рассмотрим случай Рг = 0. Поскольку теперь Gr > 0, решения уравнения (15) при положительных ж знакопеременны. Если корень U^ находится внутри интервала 0<ж<1, то у^ имеет полюс. В соответствии с видом уравнения (15) и теоремой Штурма нули

U ^ и U'^ чередуются; в силу условий (7(0)= 1, V (0) = 0 первым с увеличением ж расположен нуль U(х), и поскольку функция U (х) убывает от 1 до 0, производная отрицательна. Положение первого нуля U можно определить, используя ряд (16): (7=1 + + 7 + (2/5 + (3/60 + ... .

Оборвем разложение на первых двух членах. В этом случае положение корня tb = — 1. Если сохранить три первых члена, то ближайший к нулю корень (н = — (5 — У5)/2 = —1,382. Поскольку при t < 0 знаки членов ряда чередуются, то полученные значения являются нижней и верхней оценками корня (ь —1,382 < (i <—1.

Возвращаясь к переменной х, находим, что положение первого корня ж1 = (—48i[/Gr)1/3 при достаточно малых числах Грасгофа находится вне интервала (0, 1), но достигает значения 1 при Gr* = = — 48^. Из полученной оценки для (i следует 48 < Gr* <7 66,4. Таким образом, при Gr < 48 решение заведомо существует, а при Gr > 66,4 решения без особенностей заведомо пет. Численные расчеты дают более точное значение (i = —1,306, что соответствует Gr* = 62,7.

Выясним, что происходит с течением при приближении Gr к своему критическому значению. Поскольку в докритической ситуации (7(ж)>0, a U' (ж)<0 на всем интервале (0,1), находим, что у(ж)>0. Это означает, что поток направлен вдоль плоскости к началу координат и далее вдоль оси вверх (см. рис. 61, между штриховой и штрихпунктирной линиями).

С приближением значения Gr к Gr* корень у (ж) в точке х = 1 и полюс х\ сближаются. При этом величина у'(1) ^ —°°, следовательно, растет до бесконечности продольная скорость на оси. Таким образом, вблизи оси развивается сильная струя. В критической ситуации импульс струи обращается в бесконечность.

Поскольку вблизи ж = Ж] имеет место представление у(ж) = = —2(1 — ж2) [(7' (Ж]) +...]/ [(7' (Ж]) (ж — Ж]) + . . .], то, когда Ж1 достигает единицы, у (ж) = 2(1 + ж) + 0(1— ж). Следовательно, в критической ситуации величина у(1) становится отличной от пуля, но конечной: у(1) = 4. Это означает, что, хотя струя становится бесконечно сильной, ее эжектирующая способность остается конечной и па оси формируется сток с объемным расходом на единицу длины, равным 8лу-

В околокритической ситуации можно ввести малый параметр е = —1/у'(1) и новую переменную ц=(1—ж)/е. Тогда главным членом внутреннего асимптотического разложения по е является решение у* = 4ц/(4 + ц), описывающее приосевую струю н совпадающее с решением Шлихтинга для круглой струи в приближении пограничного слоя [144].

При Gr>Gr* решение поставленной задачи формально перестает существовать. Чтобы восстановить существование решения, необходимо так или иначе ослабить идеализацию. В данном случае для этого достаточно отказаться от схемы идеально теплопро-

водной среды, т. е. считать Рг ^ 0. Если Рг > 0, решение существует при Gr^Gr*. как свидетельствуют численные расчеты, которые проводились вплоть до значений Gr ~ 103.

Возникает вопрос, что происходит при Рг ^ 0. Когда Gr<Gr*, решение непрерывным образом переходит в полученное при Рг = 0. Чтобы выяснить характер предельного перехода при Gr^Gr*, рассмотрим семейство решений, у которых величина у' (1) = const. Такому семейству отвечает некоторая кривая на плоскости (Gr, Рг} (см. рис. 61; 1 — у' (1) = —460,5; 2— у' (1) = —3000). С увеличением 1у'(1)| аналогичные кривые располагаются все ближе к оси Рг = 0, а при г/'(1)^—оо имеют пределом полуось Gr^Gr*, Рг = 0. При этом максимальное значение у (ж) стремится к 4, положение максимума к ж=1, что иллюстрирует последовательность профилей у (ж) па рис. 63 (Gr=150; 1 — Рг = 0; 2— Рг = 0,04; 3 — Рг = 0,063). Физически это означает, что с уменьшением числа Прандтля вблизи оси снова формируется струя 'Шлихтинга, которая интенсифицируется и вырождается в сток, как и при Рг = 0, Gr->-Gr*. Однако предельное распределение г/(ж) имеет совсем другой характер, чем при Рг = 0, Gr = Gr*. В последнем случае р(ж)^=0, а на рис. 61 предельная функция у (х) знакопеременна.

Еще более неожиданными являются результаты предельного перехода Рг 0 для профиля температуры (рис. 64). С уменьшением Рг распределение температуры отнюдь не стремится к ^(ж)^ = 3ж2 — 1, т. е. к аналитическому решению уравнения теплопроводности при Рг = 0 (кривая 7). С уменьшением Рг величина l^l) значительно превышает 2 и возрастает, судя по данным расчета, неограниченно.

Чтобы попять, почему так происходит, обратимся к уравнению теплопроводности (13). Его правая часть для любого значения х ^ 1 стремится к нулю при Рг -> 0. Случай х = 1 является особым, поскольку р'(1)^—«ц причем у'(х^ в пределе приобретает особенность типа дельта-функции, коэффициент при которой равен 4. Величина у' (ж) имеет в уравнении (13) множитель Зй • Рг. Если бы 0(1) в пределе оставалась ограниченной, то коэффициент при

0. $(ж) если0. $(ж) еслидельта-функции обращался бы в нуль, и она не приводила бы к отличию предельного решения от 'йо(ж), но это противоречит чис-

0. $(ж) если

0. $(ж) если

лепным результатам. Остается допустить, что й(1)^-°° при Рг Выясним теперь, принадлежит ли предельное распределение к классу решений уравнения теплопроводности при Рг = 0, спять требование аналитичности. Общее решение имеет вид

17)17)й = Лх (Зж2 — 1) + Л |"(3ж2 — 1) In^^ _ бж].

17)

17)

Из условия й(0) = — 1 следует 4j = 1.

Коэффициент Л при решении с логарифмической особенностью подлежит определению. В результате подстановки (17) во второе уравнение (13) и интегрирования находим

F (ж) = х — Л (2 — ж InF (ж) = х — Л (2 — ж Inж2)2/4.ж2)2/4.

F (ж) = х — Л (2 — ж In

F (ж) = х — Л (2 — ж In

ж2)2/4.

ж2)2/4.

От условия 7?//(1)=0 приходится отказаться, сохранив его для аналитической части ^(ж). Для неаналитической части /Дж) вместо этого выполняется условие симметрии относительно точки ж = 0. Учитывая, что С =/ДО) = —Л Gr/2 и подставляя полученные выражения в первое уравнение (13), имеем

(1 — ^2) У* + 2жу* — у2/2 = Сгж (1 — ж2)2/4 +

+ ЛСг+ ЛСгInIn222\22\2(1 — Q22(1 — Q22(18)(18)

+ ЛСг

+ ЛСг

In

In

2

2

2\2

2\2

(1 — Q2

2

(1 — Q2

2

(18)

(18)

100 GrРис. 65.100 GrРис. 65.

100 Gr

Рис. 65.

100 Gr

Рис. 65.

Это уравнение нужно интегрировать при граничных условиях У*(1) = 4, у* (0)=0. После однократного дифференцирования (18) и подстановки ж=1 находим, что у* (1) = 2. Интегрируя (18) от ж = = 1 до ж = 0, определяем уД-Y Величину Л следует подобрать так, чтобы у* (0) = 0. Рассчитанная таким образом зависимость Л(Ог) представлена на рис. 65. Нижняя ветвь соответствует предельным решениям при Рг 0. Сопоставление решения (17), в котором величина Л выбрана по указанному алгоритму, и допредельного решения при Рг=0,04, проведенного при Gr=150, показывает, что на рис. 64 они графически неразличимы.

На рис. 65 видно, что при достаточно больших числах Грас

гофа (Gr>202) не существует и решения с логарифмической особенностью. По-видимому, предельный переход при Рг -* 0, Gr > 202 приводит к особенности в распределении температуры более сильной, чем логарифмическая. Кривая, отвечающая зависимости Л (Gr) на рис. 65, ограничивает область существования решений при Рг = 0 другой задачи, в которой наряду с квадруполем в начале координат априори дана логарифмическая особенность Для поля температур на оси симметрии. Ре-

шения, удовлетворяющие условиям у(1) = 0, 1г/'(1)1<°°, существуют в области левее кривой на рис. 65.

Каковы физические причины возникновения в задаче о квадруполе особенности в распределении температуры при стремлении числа Прандтля к пулю? Казалось бы, с уменьшением Рг падает относительное значение конвекции тепла и должен преобладать кондуктивный теплообмен, обычно сглаживающий все особенности. Парадоксальность ситуации в данном случае состоит в том, что с уменьшением Рг скорости вблизи оси возрастают, и в пределе формируется сток. Поэтому в малой окрестности оси конвекция преобладает даже при сколь угодно малом значении Рг. Развитие особенности обеспечивается положительной обратной связью между переносом импульса и тепла. Увеличение скорости струи повышает эжекцию и связанный с ней конвективный перенос тепла к оси. Накопление тепла у оси приводит к возрастанию там архимедовой силы п, следовательно, скорости струи.

Еще одно интересное явление, возникающее в задаче о квадруполе,— отрыв течения в пристенной области при достаточно больших числах Грасгофа. Величина трения на поверхности тю = = — у" (О)рх2ЛЯ2 может быть определена посредством дифференцирования первого уравнения (13) и подстановки ж = 0. В результате у" (0) = Е'(0).

Распределение давления па поверхности, как следует из (2) и (5), выражается через третью производную: р = р» "Vy™ (0)pv2/(2Й2), которая определяется так же, как из (13), у"' (0) = F" (0)+Сгбф!). При Рг = 0 в случае аналитического поля температур у'" (0)=0, г/" (0) = Gr/4. Другими словами, давление на плоскости постоянно и равно давлению па бесконечности, трение, естественно, меняет знак вместе с числом Грасгофа, но в каждой из областей Gr < 0 n0<Gr^Gi’* знакоопределенпо.

В случае логарифмически особого распределения температуры, обратившись к уравнению (18), найдем у" (0) = Gr(1/4 — Л), у'" (0) = 4А Gr. При Gr>Gr* коэффициент А положителен (см. рис. 63), поэтому давление па плоскости превышает давление на бесконечности и возрастает с приближением к началу координат. Это тормозит текущий вдоль стенки к началу координат поток и приводит к отрыву при А > 1/4, в результате которого трение и скорость вблизи поверхности меняют знак. Отрыв происходит при числе Грасгофа Grs « 88.

Когда Рг =А 0, условие для трыва еще благоприятнее. Простыми, но громоздкими вычислениями можно показать, что у'" (0)== = 3 Рг Gr2/32 + о(Рг • Gr2) в окрестности осей Gr = 0, Рг = 0. Следовательно, неблагоприятный градиент давления для восходящего одноячеистого решения возникает уже при сколь угодно малых Gr > 0, причем при фиксированном значении Gr его величина растет с увеличением Рг. Поэтому следует ожидать, что число Грасгофа Gr, при котором происходит отрыв, будет убывать с ростом

Рг, что п подтверждают численные расчеты (см. штрихпунктирную линию на рис. 61). При Рг > 1 Gr,«l, но величина Ra, = Рг • Gr, в пределе Рг ->• °° остается ограниченной. Для ее определения достаточно рассмотреть ползущие движения, линеаризовав по у первое уравнение (13), но сохранив конвективные члены в уравнении теплопроводности. После подстановки у = Grу становится очевидным, что решение существенно зависит только от одного критерия Рэлея Ra. Численные расчеты свидетельствуют, что Ra, «16.

При Gr > Gr, конвективное течение становится двухъячеистым. Поток направлен к началу координат вдоль определенной конической поверхности, а затем разделяется па два рукава, один из которых формирует приосевую струю, а другой пристенную (см. схему выше штрихпунктирной линии на рис. 61). Интерпретируя структуру решения при больших Gr, можно сказать, что тепло вершины вулкана уносится вверх струей, а вдоль поверхности, как и в случае ледника, дует прохладный ветер.

Конвекция в среде с тепловой аномалией

Несмотря на предложенную физическую интерпретацию рассмотренной задачи, определенную неудовлетворенность вызывает присущее квадруполю свойство равенства нулю теплового потока. Более общей является ситуация, когда объекты, моделируемые точечной особенностью, являются источниками тепла. Здесь мы исследуем именно такой случай, а требуемый для автомодельности закон убывания архимедовой силы выполним за счет введения специальной зависимости плотности от температуры. Вообще говоря, эту зависимость можно представить рядом

р/р„ = 1 + ^(^ - 7)+ м^ - ту + №„ - ту + ... .

Обычное приближение состоит в обрыве этого ряда при сохранении первых двух членов, что приводит к зависимости (10). Однако некоторые вещества обладают так называемой тепловой аномалией, когда функция р(7) имеет локальный максимум. В частности, так ведет себя вода при атмосферном давлении. Ее плотность имеет максимум при Т = 4 °C [110]. В точке максимума ^ = 0, и зависимость плотности от температуры в ее окрестности квадратична. Тепловая аномалия наблюдается в определенном интервале значений давления. С ростом давления температура максимума понижается, но при этом падает и температура замерзания, и поэтому аномалия проявляется по-прежнему в жидкой фазе. Интервал температур, в котором р(Т) имеет аномальный характер, т. е. плотность растет с увеличением температуры, невелик. Он ограничен положениями минимума и максимума функции р(Т).

При некотором давлении максимум и минимум совпадают. Для воды это происходит при р = 220 МПа, Т = 269 К [8, 146].

В этом случае ^1 = ^2 = 0, и перепад плотности в окрестности такой точки пропорционален кубу разности температур,

р/р„ = 1-^(7’-У»)3.(19)

Далее будет использоваться именно эта зависимость для моделирования конвекции вблизи горячих источников на дне водоемов [184]. Такие источники наблюдаются в районах рифтовых трещин в океанах. Температура окружающей воды в придонных областях мала и близка к области тепловой аномалии.

Однако формулу (19) можно в рамках определенных ограничений использовать и в том случае, когда зависимость плотности от температуры имеет обычный характер. Соотношение (19) по сравнению с (10) обеспечивает более быстрое приближение плотности к своему значению на бесконечности с удалением от источника. Обе зависимости, как и приближение Буссинеска в целом, непригодны и для непосредственной окрестности начала координат, поскольку там перепады температуры становятся сколь угодно большими. Тем не менее может существовать довольно протяженная область, где температуры не слишком велики, так что приемлемо приближение Буссинеска, но еще заметно отличаются от температуры окружающей среды.

Например, в термоконвективпых струях от горячих источников на дне океана, называемых иногда «черными курильщиками», температура достигает нескольких сотен градусов Цельсия [92]. В этом промежуточном диапазоне температур зависимость (19) может быть использована для аппроксимации р(Т) с не меньшим успехом, чем (10). Поэтому можно рассчитывать на то, что применение соотношения (19) для получения автомодельного решения не приведет к качественному искажению свойств течения и, более того, может обеспечить приемлемое количественное приближение.

Используя представление для поля температуры

T-IY + ^И/Н(20)

и соотношение (19), находим, что f = —Рз73§/7?3- Тогда из уравнения (6) следует

(1 -ж2) 1/^-4^"' -(у2/2)'" = ЗGroй2(й + a^&,),(21)

где введено вспомогательное число Грасгофа Gro = ^"f3^^2.

Уравнение теплопроводности (см. (5), п = 1) для данного случая может быть записано в виде [(1 — ж2)й/]'— Рг(рй)' и один раз проинтегрировано: (1 — ж2) А' = Рг уй. Константа интегрирования равна нулю в силу требования регулярности полей скорости и температуры на оси р(1) = 0; ЦЦ1)|, |й'(1)|, Ii/'r(1) I < <». На плоскости ставятся условия прилипания и задается температура: у(0) = = /(0) = 0; й(0)=1.

Правую часть уравнения (21) удобно представить в виде Gro [жФ(ж)]'", в результате чего приходим к системе уравнений

(1-ж2)у'+ 2жу - у2/2 = СгожФ(ж);™

(1-х2)«'= Ргу^; Ф"=й3.

Для регулярности у на оси следует принять Ф(1) = Ф'(1) = 0. Вообще говоря, правую часть первого уравнения (22) следовало бы дополнить членом С(1 — ж)2 (см. (7)), но в силу условий прилипания С = 0. Тепловой поток через стенку в силу уравнения теплопроводности и условия непротекания у(0) = 0 равен нулю. Поэтому тепловой поток через любую полусферу с центром в начале координат один и тот же:

Л/21

Q = 2л7?2Х f V^vrT — dT/dR) dQ = 2лХу J й(1 — Pry') dx.

00

Здесь X — коэффициент теплопроводности.

Gr =Gr =Определим число Грасгофа через величину теплового потока: з g-

Gr =

Gr =

-^-. Оно связано с Gro соотношением Gr = Gr0(2ng)3;

V

1

q = ^(l — Pry') dx. При численном решении задавались пробные о

значения у'(1) и й(1) и система (22) интегрировалась как задача Коши, при этом $'(1) = —Ргу'(1)И(1). Далее, как и в предыдущей задаче, величина у' (1) подбиралась так, чтобы у(0) = 0. При этом у'(0) будет равно нулю в силу первого уравнения (22). Далее проводится перенормировка, й(ж) й(ж)/й(0); GroGro • й(0), вычисляется q и определяется величина Gr.

Поскольку система (22) в отличие от (13) четвертого, а не шестого порядка, она допускает более детальное исследование аналитическими средствами, которое излагается дальше, предваряя результаты численных расчетов. Используя подстановку у = —2(1 — — x2}U' IU, преобразуем первое уравнение (22) к виду

77" + [СщжФ(ж)]/[2(1 — ж2)2] 77 = 0.(23)'

С другой стороны, й(ж) выражается через у посредством квадратуры

Отсюда следует, что й(ж)>0, Ф(ж)>0. Не теряя общности, в силу граничных условий для у, можно положить 77(0) = 1, 77'(О) = О. Если Gro<0 (что соответствует не источнику, а стоку тепла), то в силу уравнения и граничных условий 77(ж)>0, U' (ж) >0 при ж>0. Следовательно, у(ж)<0 при 0<ж<1. Это означает, что

жидкость вблизи оси течет вниз, а затем растекается по плоскости. Такое решение существует при всех Gr0< 0, Рг>0.

Действительно, из неравенства у^О вытекает й(ж)С1, Ф(ж)5=(1-ж)2/2; U" =С-Сгож(7/[4(1 + xp]^-Gr0 (7/16; Щх^ С ch [жУ—Gro/4] С ехр(жУ—Gro/4); In U С жУ—Gro/4: U'/U< У—Gro/4; 1^1 =С(1-ж2) y-Gro/2.

Из общих теорем и ограниченности решения следует его существование. Продолжив оценки еще на один шаг, получим й(ж) < ^ ехр(—ж Рг У—Gro/2). Таким образом, с ростом Рг и IGrol вблизи стенки возникает пограничный слой, вне которого температура практически совпадает с температурой па бесконечности. Физически это объясняется тем, что преобладает конвективный перенос и все тепло источника уносит пристенная веерная струя. При IGrol ^ 1, пренебрегая линейными членами в левой части первого уравнения (1), получим внешнее решение у* = V — 2ПгожФ (ж). Поскольку Ф (0) > > 0, у» (ж) имеет корневую особенность при ж = 0. Это означает, что радиальная скорость стремится к бесконечности с приближением к плоскости.

В результате влияния вязкости и условий прилипания возникает пограничный слой. При Рг = 0, поскольку й = 1, Ф = = (1 — ж2)/2; у* = (1 — ж) / — Пгож, а линеаризованное относительно у уравнение имеет решение ул = Сго/2(1—ж2)[1п(1 + ж) — — ж/(1 + ж)], пригодное при малых lGrol во всей области, а при больших — в окрестности стенки. Из сопряжения решений ул и у^ вытекает, что толщина пограничного слоя ~ IGrol-173, а максимальная скорость ~ IGrol273.

Вычислив у'" (0) = — 2Gr0, найдем в соответствии с (5) д(0) = = —Gro. Таким образом, деление па стенке падает с удалением от начала координат. Поскольку действует благоприятный градиент давления, отрыва при увеличении IGrol не происходит. Потеря импульса за счет трения о поверхность компенсируется конвективным потоком импульса, создаваемого нисходящим течением холодной жидкости. При Рг ~ 1 ситуация качественно не меняется. Физический итог этого анализа весьма просто и может быть сформулирован так: вдоль поверхности дует сильный холодный ветер. Однако результаты, как и в предыдущей задаче, менее тривиальны для источника тепла.

При Gro > 0 по-прежнему й>0; Ф/ж/^О, по теперь решения (23), вообще говоря, осциллируют при ж > 0, причем нули U (ж) и U' (ж) простые и чередуются. Для того чтобы решение у (ж) было неособым, (7(ж) не должна иметь нулей на интервале (0,1). Пусть ж = Ж] — первый нуль U(ж). Тогда в силу уравнения и граничных условий (7(ж)>0; U' (ж)<0 при 0 < ж < Ж] и, значит, у(ж)5г0. Таким образом, если решение существует, то оно соответствует сходящемуся течению около плоскости и восходящей приосевой струе. .

Поскольку у (ж) ^ О, из соотношения (24) следует й(ж)^1 и, следовательно, Ф (ж) ^ (1 — ж2)/2. Равенство отвечает случаю Рг = = 0. При этом уравнение (23) принимает вид

П; + ОЮ/[4(1 + ^]По = 0; По(О) = 1; 1^(0) = 0. (25)

Согласно теоремам сравнения U ^ ^ Uo(x), поэтому Gr0* (Pr) ^ Gr0* (0) = Grm. Оценим величину Gr™. Уравнение (25) приводится к интегральному:

Uo (ж) = 1 — 1/4 j" <х — /) Grot[/ (0/(1 + О2 *• (26) О

В критической ситуации 17(1)= 0, кроме того, поскольку U (х)— функция убывающая и выпуклая, 1 — х X И X 1. Подставляя в уравнение (26) ж=1 и используя перечисленные свойства, получим после вычисления соответствующих интегралов

50,3 ~ 4/(ln8 - 2)< Grm < 8/(16 In 2 - И) ~ 88,5.

Таким образом, при Gr0 < 50,3 и Рг = 0 решение задачи заведомо существует, а при Gr0 > 88,5 и любом Рг регулярное решение поставленной краевой задачи заведомо отсутствует. Численный расчет дает Grm = 63,56.

Выясним, что происходит с решением при приближении к границе существования. Поскольку уЛ(1)= 4(7/(1)/(7(1), (7'(1)<—1 и (/(!)-* 0 при Gr0-^-Gr0*, величина у'(1)^—°°. С другой стороны, величина у(1) в пределе остается конечной. В критической ситуации в силу U (х) =—(7'(1)(1—ж)+О((1—ж2)) имеем у(1)=4. Условие у(1)=0, таким образом, в пределе «стирается», а в докритической ситуации возникает приосевой пограничный слой. Введем малый параметр е = —1/у'(1) и внутреннюю переменную пограничного слоя ц=(1—ж)/е. Из уравнений (22) после простых преобразований получим главные члены внутреннего асимптотического разложения по е:

у* = 4т]/(4 + ц); й* = й*(0)[4/(4 + т|)]2Рг.

Гидродинамическая часть системы в приближении пограничного слоя отщепляется. Ее решение — не что иное, как классическая струя Шлихтинга. Распределение температуры в струе при Рг = 1 совпадает с распределением продольной скорости, т. е. имеет место аналогия Рейнольдса.

Поставим задачу об определении главных членов внешнего асимптотического разложения по е. Подставляя найденное погран- слойное решение й* в уравнение для Ф и интегрируя, получим

Ф = [ (4 + п) 2-6Рг - 2ц(1 - ЗРг) 4'-6Рг - 42"6Pr] X

Х46Рге2[й* (О)]3/[2(1 -6Рг) (1-ЗРг)]. (27).

Внешнее разложение для у (ж) существует, если функция СгоФ(ж) при е -* 0 остается ограниченной. Если Рг>1/6, то главным в квадратной скобке является второй член. Для существования конечного предела необходимо, чтобы выражение 4eGro [А* (0)]3/(6Рг—1) при е ->- 0 стремилось к конечной величине С. Тогда задача для у* принимает вид

(1 — х^у'* + 2жу* — у*/2 = Сж(1 — ж);

У*(1) = 4; у* (1) = 2 + С/4; у*(0) = 0.

При интегрировании от ж = 1 до ж = О последнее условие может быть выполнено лишь при вполне определенном значении С = 15,289. Распределение у* (ж) совпадает с распределением, полученным Шнайдером [233] для предельно сильной струи, вытекающей из отверстия в стенке. Из вида функции й* и требования конечности внешнего предела при е ^ 0, вытекающего из условия нормировки й(0)=1, следует И*(0)~ е-2Рг. Тогда в силу ограниченности С необходимо, чтобы Groe1-6Pr было конечной величиной, следовательно, переходя к пределу е 0, имеем Gr0* = 0. Однако это не означает, что при Рг>1/6 восходящих конвективных течений не существует, а является следствием несовместимости свойств решений и принятой нормировки.

Действительно, оценим число Грасгофа Gr, определенное по тепловому потоку Q. В условиях сильной струи

у = Pr j й* (ц) у*' (ц) ар = й* (0) 41-2РгРг/(1 + 2Рг), о

откуда Gr ~ 1/е, т. е. при е 0 G r -^ °°. Таким образом, решении существует при всех значениях теплового потока, но с увеличением Q асимптотически формируется сильная приосевая струя, которая уносит все тепло источника, а температура стенки и текущей вблизи нее жидкости стремится к температуре на бесконечности. Импульс струи 1 =—8nv2y'(l)/3 растет пропорционально кубу теплового потока: J = ^з^/(48л2С) {<2(1 + 2Рг)42Рг/(ХРг) }3, если Рг> 1/6.

Если Рг<1/6, то главным является первый член в квадратной скобке выражения (27). Для ограниченности Ф(ж) теперь необходимо, чтобы величина А = Ит[й* (0) (4е)2Рг) была конеч- 8->0 ной. Тогда

»*(ж) = Л(1 — ж)-2Ргй0 (ж); й0(1)=1;

Ф* (ж) = С, (1 - ж)2-6Рг Фо (ж); фо (1) = 1;

CY = Л3/{2 (1 - 6Pr) (1 - ЗРг)},и для функций у* (ж), й0(ж), Фч(ж) из (22) следует система

уравнений

(1 —ж2)У* + 2жу* —z/2/2 = 5ж(1 — жШбРгФ0(ж);

(1 — ж2) »' = Рп)0 \.У* — 2 (1 + ж)]; В = Gro^Cj

(1 - ж3) ф" - 4(1 - ж) (1 - ЗРг) ф' + 2 (1 - 6Рг) (1-ЗРг)(фо-»3)=О

Интегрируя эту систему от оси с условиями t/^ (1) = 4; у* (1) =2; Фо(1) = 1; ф'(1) = 0; й0(1)=1; il^ (1) = 0 и определяя В(Рг) из условия Z/*(0) = 0, получим, принимая А (Рг) = 1/Ио(О), зависимость Gr0* (Рг). ■

Результаты расчета представлены на рис. 66. Область существования решений расположена ниже сплошной кривой, Gr0* обращается в нуль при Рг = 1/6. Функции Ф0(ж) и йо(ж) мало отличаются от единицы. Наибольшее отличие при Рг = 1/6 не превышает 0,3.

Предельное внешнее течение слабо зависит от числа Прандтля (рис. 67). Переход от решения при Рг = 0 к решению Шнайдера при Рг > 1/6 равномерен по у* (ж), но производная у* (1) меняется скачком от 2 при Рг < 1/6 до «5,82 при Рг > 1/6.

Если перейти к параметрам {Gr, Рг}, то решение существует при всех их значениях. Кривая Gr0* (Рг) соответствует бесконечным значениям Gr при Рг>0, а точка {Gr0*, 0} переходит в полуось (Gr^Gr0*, 0}. Это значит, что если при фиксированном значении Gr > Gr0* число Прандтля устремить к нулю, то в пределе возникает бесконечно сильная струя, при этом внешнее течение, порожденное эжекцией струи, соответствует у* (ж), приведенной на рис. 67 для случая Рг = 0. Асимптотическая зависимость импульса струи J (Gr) при Gr > 1 имеет вид

^p^ Grl/(6PD^p^ Grl/(6PDИ + ЗРГ)®?2^^^И + ЗРГ)®?2^^^* !/№)’;* !/№)’;_л3(1 —6Pr) (1 — ЗРг) Рг3]]_л3(1 —6Pr) (1 — ЗРг) Рг3]]

^p^ Grl/(6PD

^p^ Grl/(6PD

И + ЗРГ)®?2^^^

И + ЗРГ)®?2^^^

* !/№)’;

* !/№)’;

_л3(1 —6Pr) (1 — ЗРг) Рг3]]

_л3(1 —6Pr) (1 — ЗРг) Рг3]]

т. е. / ~ (^i/(2Pr) ПрИ о < рг < 1/6.

^2 м. А. Гол-дштик, В Н. Штерн, II. И. Яво с нЙ

Суммируем полученные результаты. Конвективное течение, порожденное тепловой особенностью, расположенной на плоскости, качественно различно для стока п источника тепла. В случае стока возникает опускное течение и при больших обильностях вдоль плоскости распространяется веерная струя. С увеличением обильности скорость неограниченно возрастает во всей области течения. В случае источника движение подъемное, при больших обильностях вблизи оси возникает сильная струя, импульс которой растет с Q по-разному при Рг < 1/6 и Рг > 1/6. В пределе, ось играет роль линейного стока, вне оси скорость течения имеет конечный предел при Q оо.

Возникновение конвекции вблизи горячего центра гравитации

Еще одна возможность существования конически симметричных решений системы уравнений Буссинеска реализуется, когда ускорение силы тяжести обратно пропорционально квадрату расстояния g ~ аШ2. Это означает, что источник тяготения, помещенный в начало координат, имеет точечный характер, т. е. его размеры по сравнению с масштабом конвективных движений пренебрежимо малы. Подобная ситуация может возникать в астрофизике. Массивные компактные объекты, такие как звезды, ядра галактик, черные дыры и т. п., зарождаются в силу гравитационной неустойчивости внутри гигантских облаков молекулярного газа. Их формирование сопровождается крупномасштабными движениями, природа которых до конца не выяснена и широко обсуждается специалистами [193, 228]. Как показано в § 3, 4, течения в виде сильных струй имеют чисто гидродинамическое объяснение в рамках, модели вязкой несжимаемой жидкости [45]. Здесь же будет исследована возможность развития крупномасштабных движений за счет естественной конвекции, вызываемой тепловыделением в центре тяготения.

Итак, принимается, что окружающая горячий центр притяжения среда является вязкой несжимаемой жидкостью и при этом р/р» = 1-^(7 -Т^; g = a[R2\ T-L=WR.

Архимедова сила направлена радиально, fR = G^ (ж), где G = = a^y/v2 — вспомогательное число Грасгофа. Тепловой поток Q через сферу радиуса R равен

Q = 2лЛ2Л 4 (-/TvRT — dT/dR) sin 0 d0 = 4ixX^q,— Л/2

1

q = 1/2 J $ (1 — Pr/) dx.

—i

Определим число Грасгофа через тепловой поток: Gr = a^>Q] /(4nXv2). Оно связано со вспомогательным числом Грасгофа соотношением Gr = qG, и в режиме теплопроводности, когда •0(ж)=1,. q = 1, имеем Gr = G.

Уравнение движения, как это следует из (6), для данной задачи имеет вид

(t-^yxv-4xy"' -№У” = С^(28)

а уравнение теплопроводности сохраняет форму, приведенную в уравнении (22) разд. 5.3,

(1 — ж2)!!'= Ргуй.(29)

Чтобы разрешить систему (28), (29) относительно старших производных, исключим И' из первого уравнения

(1 - ж2) yTN - 4ху"' - (у 2/2)"' = Ra у®/(1 - ж2).(30)

Систему (29), (30) необходимо дополнить условиями регулярности решения при ж = ±1: у(±1) = 0, \у' (±1) I < °° и нормировки: 1

j И (1 — Pry') йх = 2. При численном решении удобно использовать —1

промежуточную нормировку для температуры, например •0(1) = 1.

Некоторые результаты можно получить аналитически. Система (29), (30) допускает тривиальное решение у = 0, 0 = 1, соответствующее режиму теплопроводности, когда гравитационные силы гидростатически уравновешиваются соответствующим градиентом давления. Чтобы исследовать устойчивость состояния покоя, линеаризуем систему около тривиального решения. Для этого достаточно положить в уравнении (30) О = 1 и отбросить последний член в левой части:

(1 — ж2) y1N — 4ху"' = Ra у/(1 — ж2).(31)

Очевидно, что для регулярности необходимо, чтобы решение у (х) имело представление у(ж) = (1—ж2) и (ж), где и^—ограниченная па интервале — 1^ж^1 функция. Будем разыскивать и (ж) в виде полинома

и (ж) = 21(32)

к=0

Б силу линейности уравнения (31) без ограничения общности можно положить а„=1. Подставив (32) в (31) и приравняв нулю коэффициент при ж", получим спектральные значения числа Рэлея, когда существуют нетривиальные решения.

. Ra»n = и (re + 1) (м + 2) (м + 3); п = 1, 2, ... .(33)

Остальные коэффициенты в представлении (32) определяются из 12*

условия равенства нулю коэффициентов при ж6, где к = 0, 1, ... ..., п—1. Первое критическое число Рэлея Re*j= 24. Ему соответствует собственная функция у\= х — х1.

Линеаризуя уравнение теплопроводности, получим (1 — хй) йу = = Рг ух = Рг х (1 — x^Y откуда 6ч = Ргж2/2 + С. Подбирая константу С из условия q = 1, что в первом приближении дает J (©! — Pryi) dx = j dx = 0, найдем 6ч = Рг/2 (ж2 — 1/3). Решение, естественно, определено с точностью до произвольного множителя, играющего роль амплитуды конвективного движения.

Чтобы выяснить характер бифуркации, будем искать решение в виде ряда по амплитуде

у = Ayv + А^уч + ...; 6 = 1 + Л-61 + Л2^ + ...

Ra = Ra*x 4- А Ra^ 4- Л2 Rag + ... .

Подставляя это представление в систему (29), (30), получим, в частности, уравнение для у^, приравнивая в (30) сумму членов при Л2 нулю:

(1 — ж2) yV — 4жг/Г — Ra*iy2/(1 — ж2) = <.yX)2Y +

+ (Ra*^ + Raj yJ^Y — x^.(34)

Оператор в левой части (34) вырожденный, поскольку Ra*j— спектральное значение. Чтобы решение (34) существовало, необходима ортогональность правой части (34) собственной функции сопряженного оператора. Нетрудно убедиться, что линейный оператор левой части (34) самосопряженный. Действительно, первые два члена (34) могут быть представлены в виде второй производной

(1 _ ж2)у1У _ 4ху'" = [(1 _+ ^уу.

Имея в виду граничные условия у(±1)=0, z(±l)=0, получим 11

J [(1 - ^У" + 2уА "zdx = J [(1 - ж2) у" + 2yY/dx =

—1—1

11

= j [(1 — ж2) z" + 2z] y"dx = J [(1 — ж2) z" + 2zY'ydx,

—i— i

откуда следует самосопряженность. Таким образом, правая часть (34) должна быть ортогональна уДж), т. е.

111

Rai J Ух/(1 — x^dx = — j У1 ^у\!2У dx — Ra*j J 1/164/(1 — ж2) dx.

—i—i—i

Подставляя значения Ва#1, у((ж), О^ж), после несложных вычислений находим

Rai =-4/7(3 +2Рг) (35) или Ra = 24 — 4/7Л (3 + 2Рг) + О (Л2).

Таким образом, конвекция существует как при Ra>Ra*r (при этом Л<0), так и при Ra<Ra*r (Л>0), т. е. имеет двусторонний характер (рис. 68). Как утверждает теория [3], такая бифуркация вырожденная, негрубая. Она реализуется по причине присущей задаче симметрии. Двусторонний характер бифуркации сохраняется при всех значениях числа Прандтля.

Закритический режим устойчив в малом. Структура конвективного движения в этом случае такова. В полярной области жидкость движется к началу координат и растекается вдоль экваториальной плоскости. Примечательно, что положение оси конвекции произвольно, и, по-видимому, определяется характером начального возмущения.

В докритической ситуации ответвляющееся решение соответствует сходящемуся течению вблизи экваториальной плоскости и восходящей струе в приполярной области. Но это решение неустойчиво и принадлежит сепаратрисе, отделяющей область притяжения исходного решения — покоя от области притяжения конвективного движения большой амплитуды. Оба ответвляющихся режима конвекции симметричны относительно экваториальной плоскости. Такая симметрия' допускается системой уравнений (29), (30) и в случае не малых амплитуд, при этом у (ж)—антисимметричная, а О’ (ж) — симметричная функции. Свойство симметрии, как нетрудно убедиться, сохраняется для всех решений, ветвящихся при Ва*и для нечетных п.

Однако при четных п симметрии нет, поскольку в силу (32) выражение для у содержит четную степень ж, а уравнения не допускают решения с симметричной функцией у (ж). Однако поскольку предпочтительного направления в исходной задаче пет, бифурцируют одновременно два асимметричных режима, различающиеся с точностью до отражения от экваториальной плоскости.

Рис. 68.

Рис. 69.

Поэтому бифуркация при четных п имеет вилочный характер.. В качестве примера рассмотрим п = 2. Имеем

Ra*3 = 120; уг = (1 — 5ж2) (1 — ж2); й1 = Рг (Зж — 5ж3)/3.

Характер конвективных течений (справа) и поля температуры (слева) показаны на рис. 69.

Разыскивая решения в виде ряда по амплитуде

у = Ау^д А2у2 + ... ; 0=1 + ^, + А^2 + ...;

Ra = Ra*2 + A Rat + A2 Ra2 + ... , обнаружим, что из уравнения (34) в силу симметрии с необходимостью следует Rai = 0. Это и есть условие ортогональности. Функция у2(ж) оказывается антисимметричной. Коэффициент Ra2 можно найти из условия разрешимости уравнения для уз. Простые, иодовольно громоздкие выкладки дают

р2 = (1 - ж2)[(873ж - 740ж3 - 70ж5)/26 - Рг(10ж + 5ж3 - 25ж5)/39];

О2 = Рг (873ж2/2 - 185ж4 - 35ж6/3 - 64)/6)/26 +

+ Рг2(29ж2/2 - 265ж4/4 + 175ж6/3 + 7/12)/39;

Ra2 = 34970 - 4441Рг - ЗРг2.

Таким образом, при малых и умеренных числах Прандтля происходит прямая бифуркация, а при Рг ^ 8 — обратная. Впрочем, это не имеет большого значения, поскольку при таких величинах Ra исходный режим неустойчив, и поэтому ветвящиеся решения также неустойчивы из-за того, что ветвление связано со следующим спектральным номером.

Гораздо больший интерес представляет вопрос, какой режим конвекции развивается в результате жесткой потери устойчивости при Ra</Ra»le Чтобы получить па него ответ, определим в разложении Ra (Л) коэффициент Ra2. Учитывая выражение (35) для Rai, найдем, подставляя в (34) выражения для pi и th,

(1 - ж2) уГ — ^Уз - 24у2/(1 - ж2) = 12/7 (5 + Рг) (7ж3 - Зж).

Это уравнение имеет решение у г = (5 + Рг)ж3 (1—ж2) /28 + Су^. Константа С определяется из условия нормировки. Конкретизируем смысл амплитудного множителя, положив, например, Л = р/(0). Тогда из того, что У1(0) = 1, следует С = 0. Из уравнения (1 — ж2) й1 з = Рг (у3 + у^^ находим Иг = Рг [5ж4 — 1 + Рг (135ж4 — — 84ж2 + 1)/9]/112. Уравнение для уз имеет вид

(1 — ^) Уз — 4жу7 — 24р3/(1 — ж2) = ^ХУ^' ++ [Ra^ + 24(рг»1 + у^-^ + Ra2pJ/(l — ж2).

Требуя ортогональности правой части функции pi, найдем в ре-

зультате простых, ио громоздких выкладок

Ra2 = (560 + 57Рг + 244Рг2)/1176.(36)

Таким образом, в разложении Ra = 24 + Rai Л + Ка2Л2 + О (Л3) величина Rai < 0, a Ra2 > 0. Если ограничиться первыми тремя членами, то число Рэлея достигает минимума при Лт1п = = 336(3 + 2Рг)/[560 + 57Рг + 224Рг2], а затем увеличивается с ростом А (см. рис. 68). Ветвь Ra(Л), где Ра'(Л)>0, соответствует устойчивым режимам конвекции. Величина ЛШ1П и диапазон гистерезиса Ramin<; Ra< Ra41 с увеличением Рг уменьшаются. Проведенный анализ касается свойств решения при малых значениях А.

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение при Л >1. Для этого удобно ввести функцию Ф(ж):

ф"' = Сг»'; Ф(1) = Ф'(1) = 0; Ф'(0) = 0,(37)

а уравнение (28) после трехкратного интегрирования переписать в виде

(1—ж2') у'+ 2ху — у2/2 = Ф(ж).(38)

Поскольку О’(ж) выражается через квадратуру ( 1)

О (ж) = О (1) exp ! — J Рг у/(1 — ж2) dxV

опа является знакоопределенпой и, так как звезда является источником тепла, положительной функцией.

Когда в полярной области возникает восходящий поток, то за счет конвективного переноса температура вблизи полюса возрастает, что увеличивает там подъемную силу. Эта положительная обратная связь приводит к развитию сильных струй в полярной области.

Введем малый параметр е = —1/у'(1) и дриосевую переменную ц =(1 — ж)/е. Как и в предыдущей задаче, функция тока и температура в пограничном слое имеют распределения у = = 4ц/(4+ц); О = ОЦ)[4/(4 + ц)]2Рг. Из условия нормировки для симметричной конвекции

1

q = J О (1 — Pry ) dx = 1о

с учетом Рг ¥= 0 и — ук 1> 1 имеем в предположении, что весь поток чепла уносится полярными струями, ^(l) = (1 + 2Рг)/(4Рг). Уравнение (37) в новых переменных принимает вид Фп = e2GrKn. Интегрирование его с учетом Ф (0) = Фч (0) = 0 дает

ф^Д(4 + г[)2~2Гг — 2т](1 -Рг^1”2^

X 42Рге20(1)Gr/[2Pr(1 — 2Pr) (1 — Рг)] — 64 (1 — ж)2..

Рассмотрим сначала случай Рг > 1/2. Тогда при р -»- °° главным является второй член. Переходя к пределу е О, получим,, полагая [(1 + 2Pr)Gr]/[(l — 2Pr)Pry,(l)] ->■ 2С2,

Ф = 2С2(1 — ж) — Ci (1 — ж)2 = С(1 - ж2).(39)

Второе равенство следует из требования симметрии Ф(ж). Выражение (39) определяет распределение Ф(ж) вне пограничного слоя. Подставляя его в (38), придем к уравнению для главного члена внешнего асимптотического разложения у по параметру е:

(1 - ж2) у', + 2ху* - ^/2 = С (1 - х^.(40)

Функция у* (ж) должна удовлетворять условиям у* (1) = 4, у* (0) = 0. Производная при ж = 1 получается посредством дифференцирования (40): у*(1) = 2 + С/2.

Интегрируя (40) от х = 1 до х = 0, находим у* (0). Константу С определим из условия у*(0) = 0. Эта задача имеет аналитическое решение у* = 4ж, С = 4. Асимптотическая зависимость между величиной скорости на оси и числом Грасгофа имеет вид

~/(l) = Gr(2Pr+l)/[8Pr(2Pr- 1)]; Рг > 1/2.(41)

Асимптотическая структура конвекции при этом такова. Вдоль оси от звезды бьют сильные горячие струи, а вне малых приполярных областей среда равномерно подтекает к оси, которая для внешнего течения служит стоком, с обильностью на единицу длины 8лх.

В случае Рг < 1/2 главным в выражении для Ф является первый член в квадратных скобках, при этом в пределе е 0 Ф* ~ (1 — X) , поэтому при выводе уравнении для главного члена внешнего асимптотического разложения по е сделаем замену переменных

Ф* = (1 — ж2)2-2Рг Фо (ж); й = ^ (1 — ж2)-2Рг й0 (ж).

После подстановки этих выражений в уравнения (29), (37), (38) имеем

(1 - ж2)3 Ф" - 12 (1 - Рг) х (1 - ж2)2 Ф„ - 12 (1 - Рг) (1 - ж2) X

X [1 + (4 Рг — 3) ж2] Фо + 8 (1 — Рг) (1 — 2Рг) х [3 + (4Рг — 3) ж2] Фо=

= Ra^Mj(42)

(1 — ^2) У* + 2ху* — у\(2 = (1 — ж2)2“2Рг Фо (ж);

(1 — ж2) д' = Ргд0 (у* — 4ж); d0 (1) = 1;

д;(1) = Рг(2-У; (1)/2) д0(1).

При ж = 1 у* = 4; у* =2. Последнее условие получается дифференцированием третьего уравнения (42) и подстановкой ж = 1. Подставляя ж = 1 в первое уравнение (42), находим AiGr =

= 8(1 — Pr) (1 — 2Рг)Фо(1). Значение Фо(1) остается искомым параметром, который определяется из условия у* (0) = 0. Значение Фо(1) определяется из требования ограниченности Фо(1), исходя из уравнений (42). Функция Фо (ж) имеет неограниченную вторую производную Ф" (ж) ~ 5(1—ж)-2Рг, но коэффициент В также может быть выражен через Фо(1). Интегрируя систему (42) как задачу Коши от х = 1 — 6, где б < 1, находим у* (0) и подбираем Фо(1) так, чтобы у* (0) = 0.

Из выражения для Ф следует, что асимптотическая зависимость, аналогичная (41), в интервале 0 < Рг < 1/2 имеет вид

Gr = Ф0(1)/4(1 - 2Pr) (1 - Pr) (—у,(1)/2)2Рг.(43)

Случай Рг = 1/2 требует особого анализа, по не представляет большого интереса, и поэтому здесь не рассматривается. Специального разбора заслуживает случай Рг = 0.

Уравнения конвекции при Рг = 0 принимают вид

(1 — ж2) у' + 2жу — у2/2 = Ф;

Ф"'= Ra у/(1 — ж2);(44)

у(0)=у(1) = 0; Ф(1) = Ф'(1) = 0; Ф'(0)=0.

Главные члены внутреннего разложения имеют представление

у = 4т|/(4 + т]); Ф = е2 Ra {(4 + ц)2 [In (4 + ц) — 3/2] —

— 4(1п4 — 1) л — 16(1п4 —3/2)+ Зц72).

При г) » 1 у = 4+О(е); Ф = Ra(l — ж)2 In [(1 — х^[&\ + О (1). Для главных членов внешнего разложения у* (х), Ф* (ж) уравнения (44) и граничные условия для Ф сохраняют свой вид, но для у* (ж) краевая задача меняется: у* (1) = 4; у* (1) = 2; у* (0) =0. Введем вспомогательную функцию Фс = Ва{21п2 — 1+(21п2+1)ж2 — — (1 + ж)21п(1 + ж) — (1 — ж)21п(1 — ж)}, удовлетворяющую уравнению Фс = 4Каж/(1 — ж2) и граничным условиям Фс(1) = Фс (1) = 0. Симметрия относительно смены знака ж также выполнена.

Будем искать решение для Ф* в виде Ф* (ж) = Фс (ж) + Фо (ж). Тогда для Фо (ж) получаем задачу

ФГ = Ка(у*-4ж)/(1-ж2); Фо (1) = ф] (1) = ф^ (0) = 0. (45)

Функция Фо (ж) имеет ограниченную третью производную ф" (1) = = Ra. Задача для у* (ж) примет вид

(1 — ж2) у' + 2жу* — у*/2 = Фс (ж) + Фо (ж)

У*(1) = 4; уЛП = 2; у* (0) = 0.V 7

Задавшись пробным значением Фо' (1), приходим к задаче Коши. В результате интегрирования (45), (46) от ж = 1 до ж = 0 находим

Фо(О) и у*(0). Затем Фо(1) и Ra должны быть выбраны так, чтобы Фо (0) = у* (0) — 0. Приближенные значения Ra и Фо(1) можно получить аналитически. Аппроксимируем у* (х) минимальным полиномом, удовлетворяющим краевым условиям у*~эх— х3. Тогда ФоА:Ва(1—х2У(24, и полагая в уравнении (46) х — 0, находим Ra « 5/(2 In 2 — 1 — 1/24) ~ 11,71 и Фо (1) ~ Ra/З « 3,9.. Численный расчет краевой задачи (45), (46) дает Ra = Ra„ = = 11,12; Фд(1) = 2,89.

Таким образом, при Рг = 0 конвективный режим с восходящим движением у полюса, который ответвляется от состояния покоя при Ra = 24, с уменьшением числа Рэлея приобретает струйный характер. Когда Ra достигает значения Ra», импульс струи обращается в бесконечность и решение перестает существовать.

Случай малых значений числа Прандтля важен с физической точки зрения. Вблизи звезды теплообмен имеет в основном лучистый характер и слабо зависит от движения среды. В рамках рассмотренной модели это означает, что эффективные значения числа- Прандтля весьма малы. В такой ситуации наряду с покоем при Ra < 24 существует устойчивый конвективный режим с сильной восходящей полярной струей. При Ra > 24, кроме пего, существует другой устойчивый конвективный режим с нисходящим полярным течением, по скорости движения при этом существешю меньше.

Выясним характер поведения поля скорости при больших тепловых потоках для нисходящего полярного течения. Сначала рассмотрим случай Рг = 0. Предположим, что функция у (ж) не имеет пограничного слоя. Тогда при Ra > 1 внутри интервала lz/(a?)l > 1. В этих условиях из уравнения (38) следует Ф « —у2[2. После замены Ф = —2Ва2ф из второго уравнения (44) получим

' ф'" = Тф/(1 — ж2); ф(1) = ф'(1) = 0; ф'(0)=0.

Поскольку необходимо, чтобы ф>0, ф" (1) должна быть положительной. Но тогда в силу уравнения ф(а:) монотонно возрастает при изменении х от 1 до 0, и выполнить условие ф' (0) = 0 можно только для тривиального решения ф = 0.

Таким образом, получено противоречие. Остается допустить, что существует пограничный слой вблизи экватора. Положим у = = Ьу^ху, Ф = сФ (ух). Тогда, требуя, чтобы линейные и нелинейные члены, а также правая часть имели одинаковый порядок величины, из уравнений (44) находим ^ ~ Ъ ~ Ra1/4, с ~ Ra1/2. В пограничном слое система (44) преобразуется к виду Ф1У — (Ф"')2/2 = = Ф; у = Ф"', где производные берутся по ц = RaI/4ax Функции Ф(ц) и у(т1) асимптотически при ц->-оо убывают пропорционально ехр( — ц). Таким образом, течение сосредоточено в экваториаль-

ной области шириной ~Ra 1/4, а скорость па оси струи растет как Ra1/2.

При Рг ^ О следует обратиться к системе уравнений

(1 — х2^у' + 2жу — у2/2 = Ф;

Ф" = Ra t/й/(1 — ж2); (1 — х2^' = Рг уд.

Дополняя зависимость у и Ф в пограничном слое представ- 1

ленпем й = ай (Рг уж) и условием нормировки q= j й (1 — Рг у') dx « о 1

« — Рг J ду* dx = 1, получим у ~ Ъ ~ Gr1/5, с ~ Gr2/5, а ~ Gr-1/5 Рг-1. о

В этом случае толщина пограничного слоя ~Gr-1/5, а скорость на оси струи ~Gr2/5.

При промежуточных значениях интенсивности конвекции необходимо прибегнуть к численному расчету уравнений (47). Эта •система интегрировалась от ж = 1 с начальными условиями t/(l) = = 0; у'^=¥т; Ф(1) = Ф'(1) = 0; Ф" (1) = Ф2, й(1) = й0, причем Ф"'(1)= Ra Урйо/2; й'(1)=РгУР. В результате интегрирования находились у(0) и Ф'(0). Параметры Ф2 и Ra подбирались так, чтобы г/(0)=0, Ф'(0)=0, после чего из условия q = l проводилась перенормировка О (ж) и Ra. Рассчитанные таким образом зависимости Kp(Ra) представлены на рис. 70. Они вполне согласуются с проведенным анализом при малых и больших интенсивностях конвекции. Примеры распределения радиальной скорости и температуры приведены на рис. 71 (Pr = l; Ra = 1621), 72 (Рг = = 0,1; Ra = 14).

Рассмотренные автомодельные решения уравнений Буссинеска описывают ряд нетривиальных свойств термогравитациоппоп конвекции. Хотя все три задачи сводятся к системе обыкновенных уравнений, они сохраняют черты, присущие нелинейным уравне-

замкнута. Далее, отрывзамкнута. Далее, отрыв

замкнута. Далее, отрыв

замкнута. Далее, отрыв

ниям движения вязкой жидкости в целом. К ним относятся отрыв, потеря устойчивости и неединственность стационарных течений и, наконец, потеря существования решения при конечных значениях безразмерных комплексов, характеризующих силы плавучести.

Отрыв пристенного течения и возникновение двухъячеистого режима конвекции, имеющие место в задаче о тепловом квадруполе, не совсем обычны. Прежде- всего это, так сказать, автомодельный отрыв, и поэтому зона рециркуляции не происходит непривычным образом — в те

чении вдоль плоскости к началу координат.

Во второй задаче в случае точечного источника холода, напротив, казалось бы, ожидаемый отрыв не происходит. Хотя в этом

случае поток жидкости растекается вдоль плоскости от начала координат и, следовательно, замедляется как поток в диффузоре, тем не менее отрыв блокируется подтоком жидкости к стенке в условиях устойчивой стратификации. В результате происходит ускорение внешнего течения и формируется сильная пристенная струя.

В задаче о конвекции вблизи звезды обнаружено счетное число стационарных решений, ветвящихся от состояния покоя. При первом же ветвлении возникает так называемая бистабильность — одновременное существование двух устойчивых в малом режимов конвекции. В режиме, когда жидкость подтекает к центру вдоль плоскости, может происходить накопление вещества вблизи этой плоскости и образование, подобное диску аккреции, обнаруживаемому вблизи молодых звезд и других массивных космических объектов.

Наконец, во всех трех задачах в противовес бытующему представлению о вялости термоконвективных движений показана возможность формирования сильных восходящих струйных течений прогретой жидкости, импульс которых может обращаться в бесконечность при конечных числах Грасгофа или Рэлея.

Глава 3

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ, УСКОРЕНИЕМ

Рассмотрим два класса осесимметричных решений уравнений Навье — Стокса, обладающих рядом необычных свойств. Один класс касается движений с пространственным ускорением вдоль оси симметрии г и применяется для изучения течения в пористой вращающейся трубе. Другой относится к движениям с пространственным ускорением по г и используется для описания течения жидкости между пористым вращающимся диском и неподвижной плоскостью. Отметим, что обе постановки имеют плоские аналоги, которые сливаются в одну задачу о плоском течении, между двумя пористыми параллельными пластинами.

Плоская задача здесь не рассматривается, поскольку имеет значительно меньше парадоксальных свойств. Обзор исследований плоских течений с пространственным ускорением содержится в монографии [58].

СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПОРИСТОЙ ТРУБЕ

Постановка задачи

Объектом исследования в данном параграфе являются решения уравнений движения в цилиндрической системе координат (1.1.8), которые имеют вид

Щ = Гг(г); Hz = ZW(r); нф= Гф(г). (1)

Тем самым рассматривается осесимметричное движение с постоянным пространственным ускорением вдоль оси симметрии z. Решения класса (1) допускаются уравнениями Навье — Стокса и могут иметь различные приложения. Сюда относятся проблемы моделирования потоков в тепловых трубах и пороховых шашках. В первом случае интерес представляют задачи как вдува, так и отсоса; они моделируют процессы испарения и конденсации. Задача о вду- ве в пористую вращающуюся трубу моделирует сложные течения в приосевой зоне вихревой камеры [37]. Поэтому в математическом плане здесь изучается задача о течении во вращающейся пористой трубе радиуса а при наличии па боковой поверхности равномерного вдува или отсоса со скоростью Уа, направленной радиально.

Данной постановке отвечают граничные условия

yr(a)=y«; W(a)=0; УФ(а)=Уфа;(2)

УД0) = УД0) = W"(0)=0.(3)

Условия (3) выражают требование отсутствия особенностей на ■оси, т. е. принадлежности оси г = 0 внутренности области течения, что согласно [84] равносильно условию аналитичности решения в окрестности оси. Условия на бесконечности, равно как и условия прилипания па торце z = 0, не ставятся. Таким Образом, изучается случай, когда можно не учитывать торцевой пограничный слой либо когда рассматривается симметричная конструкция с двумя выходами z = ±L, в которой срединная плоскость является непроницаемой, но «абсолютно гладкой», и условия прилипания заменяются условиями симметрии

уг(г, Z)=yr(r, —Z); yv(r, z)=vv(r, —z); иг(г, z) = —yz(r, —z).

Подстановка (1) в уравнения (1.1.8) дает

(4)(5)(6)(4)(5)(6)d.VTУф1 ЗРd 1 drV

(4)

(5)

(6)

(4)

(5)

(6)

drгр drdr г dr ’

Уг йгУфd 1 йгУф ,

r drdr r dr ’

TZ dW , TTZ2\ 6Pd dW

Г r — b W2 =-4 — r -T—;

drp z8z r dr dr

drV

~ + rW = 0. ■dr

Из этих уравнений следует, что дР/дг = pF(r), a dP/dz = pzf(r). Отсюда с необходимостью вытекает

dP)dz = —4p6a2z,(8)

где а — произвольная постоянная; 6 = ±1. Подстановка (8) в (6) дает уравнение

Ут ——- W2 = 4оог 4(9) drг dr drх

Уравнения (7) и (9) образуют замкнутую систему, которая .может быть решена независимо от уравнений (4) и (5). Последние будут служить для определения функций Р и УФ=УФ(г) после определения Уг^г). Для функций V, и W согласно (2), (3) ставятся четыре краевых условия. Это позволяет в системе третьего порядка (7), (9) определить неизвестную константу а или исключить ее посредством дифференцирования (9). Принимая за масштаб длины радиус трубы а, за масштаб скорости величину У» и вводя Re = Уап/х, систему (9), (7) можно записать в стандартной

безразмерной форме

(Ю)(И)(Ю)(И)УЖ + W2 = X + (Rer)-1(rVn,; (rK)' + rW = О, где X = 46а2а2/Уа. Исключение X и W позволяет записать

(Ю)

(И)

(Ю)

(И)

Уравнения (10) или (11) должны решаться при условиях

У,(0) = 0; W,(0) = 0; Vr(l)=l; W(l) = 0.(12)

Вдув отвечает значениям Re < 0.

Уравнение (11) удобно для рассмотрения предельных случаев |Rel < 1 и iRel » 1. В первом из них

Уг = 2г — г3; W= — 4(1 —г2); I Re I « 1.(13)

Во втором

VT = у sin у г2; W = —л cos-^ г2; |Re|>-l.(14)

Выражения (13) и (14), очевидно, удовлетворяют условиям (12). При этом соотношение (14) описывает вихревое движение идеальной жидкости. Согласно [2, 147], для такого движения все условия (12) могут быть выполнены лишь на участках втекания, т. е. при вдуве. В случае сильного отсоса выражения (14) должны быть заменены следующими:

VT = r- W = —2, Re» 1.(15)

Потенциальное решение (15) не удовлетворяет условию прилипания П7(1) = 0 и, следовательно, относится к ядру течения.

Для анализа п численного решения задачи удобно исходную систему уравнений (7) и (9) преобразовать с помощью замены переменных

ж = ar2/ (2v): и = —ryr/v.(16)

Тогда уравнение (7) примет вид

W = au\(17)

где штрихом обозначено дифференцирование по ж. Уравнение (9) с учетом (17) после несложных преобразований сводится к уравнению третьего порядка, не содержащему параметров,

2 (хи"У = и/2 — ии — 46.(18)

Уравнение (5) после введения безразмерной функции Г = rVvlv приводится к виду

(19),(19),2жГ" + иГ =0.

(19),

(19),

Будем искать однопараметрическое свойство решений уравнения (18), зависящее от параметра п и удовлетворяющее условиям м(0)=0; н,(0)=-п; м" (0) = (и2 — 46)/2.(20)

Величина и согласно (17) и (20) пропорциональна осевой скорости па оси ТУ(О). Выполнение последнего соотношения (20) обеспечивают ограниченность и" (0) и аналитичность решения уравнения (18) в некоторой окрестности точки х = 0 [60]. Если отказаться от этого условия, как сделано в работе [71], то свойство аналитичности нарушится и решение будет иметь на оси некоторую особенность, которая вызовет течение и при отсутствии других источников движения. Следовательно, она сама является источником движения и должна в этом качестве фигурировать в постановке задачи. В этой связи решение, приведенное в [71], нуждается в дополнительной физической интерпретации.

Впервые автомодельные решения рассматриваемого класса, по-видимому, изучались в работе [259], где получено уравнение (11) и найдены его решения при малых и больших Re. Предельные решения для вдува вида (14) при Re —оо приведены также в работе [209]. В работе [244] найдены точные решения уравнения (18) для 6 = 1 при и = ±2 и и = ±4. Значению п = 4 соответствует двухъячеистый вихрь с возвратным течением у оси. Однако возможное вращение, определяемое уравнением (19), на картину меридионального течения не влияет. Поэтому наличие возвратных течений не может быть связано с вращением, как это предполагается в [244].

В работе Левеллена [197] также предполагается, что меридиональное течение формируется под влиянием сильного вращения, хотя, подчеркнем это еще раз, исследование меридионального течения может быть осуществлено независимо от вращения. В работе Уайта [132] получен ряд частных решений задачи с помощью разложений в степенные ряды. Здесь в случае отсоса обнаружена неединственность решений при одних числах Рейнольдса и несуществование при других. Детальное теоретическое и численное исследование задачи (19), (20) предпринято в [34, 35, 37], результаты которых излагаются в последующих разделах. Численные данные, вполне согласные с этим анализом, приведены в работе [248]. Теоретический анализ проблемы для случая отсоса содержится в статье [130]. В дополнение к этому следует указать [67, 237], где строгими математическими методами вновь получены результаты, изложенные в [34, 35].

Анализ задачи Коши

Однопараметрическое семейство решений задачи (18)\ (20), зависящее от параметра п, поддается полному математиче- •скому анализу [34]. Запишем вытекающие из (18) следующие

соотношения:

2хи" + 2и" = и'2 — ии" — 46;(21а)

2хи1У + 4и"' = и'и" — ии'";(216)

2xuv + 6«IV = и"2 — ии^ \(21в)

2xuvl + 8uv = 2и" и'" — u'utv — uuv;(21г)

2га VI1 + 10uVI = 2W" 2 + и"и1У - 2и'и^ - ш?1.(21д)

Можно легко доказать, что при выполнении условий (20) решение уравнения (18) аналитично в окрестности точки х = 0. Такое доказательство приведено в [60].

Ключом дальнейшего анализа является неравенство иР (х')^ 5s 0, причем если достигается равенство, то и' = 4. Докажем это неравенство. Если при 6 = 1 и2 = 4, то, очевидно, и’2 = 4. Пусть п2 ^ 4, тогда м"(0)¥=0 и согласно соотношению (21в) wIV(0)>0. В силу непрерывности функции и1Л (ж) она положительна и на некотором интервале 0 < х <; х*. Допустим, что uIV (ж*) = 0. Поскольку и1л >0 при 0 <; х < ж*, то на этом интервале и'" (ж) возрастает и в точке ж* имеет либо максимум, либо точку перегиба. Согласно соотношению (21в) uN (х*) = и"2 (х^К^х^) ^ 0, что исключает возможность максимума и'" в точке х*.

Пусть х*— точка перегиба функции и'" (ж), тогда и1 (ж*) = 0, так что в соответствии с (21в) и" (х*) = 0. В таком случае согласно (216) имеем либо и'" (х*) = 0, либо и(х*) = —4. Если и'" (х*) = 0, легко видеть, что в точке х* все высшие производные равны пулю, так что возможно лишь и'2 (х) = 4. Если же tT" (ж*)^ 0, то, используя равенства (21), получаем в точке ж = ж* и" = u1N = и* = = uVI = 0; ыУИ = и'" ^ж* > 0.

Поскольку mVI1 есть четвертая (четная) производная от и'", то последнее неравенство показывает, что функция и'" (х) имеет минимум, а это противоречит факту монотонного возрастания и'" ^ па интервале (0, ж*). Полученное противоречие доказывает неравенство uIV(ж)> 0, которое позволяет детально проанализировать свойства решений задачи (18), (20) в различных случаях. Общим свойством этих решений является то, что в соответствии с неравенством м1¥(ж)>0 график и" (х) есть выпуклая кривая, которая не может иметь более двух нулей. Отсюда вытекает, что функция и' (х) имеет не более двух стационарных точек и, следовательно, не более трех корней. Функция и(х^ имеет не более трех экстремумов и не более четырех корней.

Покажем, что функции и^ и и' (х) ограничены снизу. Пусть это не так и и -> —°°. Тогда найдется точка ж*, где ы(ж*)<;— 6. В таком случае согласно (21в) при х^х* будет uv(x)>0 и игх (ж) возрастает, так что и1У (х) ^ и1^ (х*). Интегрируя последнее неравен- ТЗ м. Л. Гольдштпк, В. II. Штерн, Н. И. Яворский

ство трижды от х^ до х, находим

и' (ж) > и' {х^ + и" (ж*) (ж — х^ + 1/2 • и” (ж*) (ж — ж*)2 +

4- \]в-и1Х ^х^х — х^.

Отсюда следует, что, поскольку uIV > О, функция и (ж) ограничена снизу. Еще одно интегрирование дает

и (ж) ^ а (ж*) + и' (ж*) (ж — ж*) + 1/2- и" (ж*) (ж — х^ +

+ 1Тч//ДжД(ж —жД3 л_ ^(22)

Неравенство (22) показывает, что и функция и (ж) ограничена снизу, если nIV (ж*) > 0. Исключение составляет случай, когда uIV (ж*) = 0. Как было установлено, в этом случае и,г = 4 и возможно решение и = —2ж, не ограниченное снизу.

Продолжая анализ, положим, что и <—2, так что и'(0)>2 и согласно (20) и" (0)>0. В соответствии с (216) имеем м'"(0)>0. Интегрируя неравенство и1Л(ж)>0 трижды от 0 до х, находим

и (ж)5= и (0)+ и" (0)ж + l/2aw (0)ж2. (23)

Отсюда вытекает, что и ^> 0 при всех ж, и для значений п < < —2 нельзя построить решений исходной краевой задачи, которые при некотором хт должны удовлетворять условию и'(хт^=0.

Пусть —2 < п < 2. Тогда при 6 = 1 согласно (20) м"(0)<0, и на некотором интервале 0</ж</ж^ производная и'(ж) убывает. Поскольку опа ограничена снизу, пусть в точке ж* функция и'(х) имеет минимум. Тогда и" (ж*) = 0 и и'" (ж*) = 0. В таком случае из (21а) следует неравенство и'г (ж*) > 4. Значит, либо и' (ж*) >2, либо и' (ж*) </—2. Очевидно, возможен лишь второй случай, поскольку согласно предыдущему и (0)< 2 и убывает.

Таким образом, в рассматриваемом случае функция и'^ имеет отрицательный минимум в точке х*. Интегрируя неравенство miv > 0 трижды в пределах от ж* до х, получаем и' (х) > и' (ж*) -р + 1/2-и"' (х*) (х— ж*)2. Так как и'" (ж*) >0, то функции и'(х) и и^ с ростом х стремятся к +°°. Из данного анализа непосредственно следует, что если 0<и'(0)<2, то функция и'(ж) имеет два корня, равно как и и(х). В случае —2<м'(0)<0 обе функции и/(х) и и(х) имеют по одному корню. Для значения 6 = —1 величина и" (0)> 0, поэтому при и < 0 согласно неравенству (23) мДж) корней не имеет. При всех п > 0 и 6 = —1 функции и^ и и/^х) имеют по одному корню.

Анализ ситуации при 6 = 1 и п > 2 сложнее предыдущего. Граничному значению п = 2 соответствует решение задачи ио = — 2ж. Пусть и = 2 + е, где |е| < 1. Положим и = и0 — еип

Тогда, линеаризуя по е уравнение (21а), получим

хи'у + их = хиу — 2хих; ut (0) = 0. (24)

Без ограничения общности можно принять tz1(O)=l, тогда как требование аналитичности решений (24) приводит к условию Ui(0) = 0. Решение уравнения (24), удовлетворяющее всем этим условиям, имеет вид и\=х—1/6 • ха. Следовательно, и =—2х— — (п — 2) (ж — ж2 + 1/6 ■ ж3).

Это решение в области п, близких к 2, имеет единственный положительнный корень: ж = 3 + V9 — 6и/(и— 2), являющийся вещественным лишь при п < 2. При п > 2 полученное решение лежит ниже прямой но = —2х, но согласно предыдущему оно не может идти в —°°, а после достижения отрицательного минимума уходит в +°о (эти эволюции первым приближением не описываются). Следовательно, при п > 2, но близких к 2, зависимость п(ж) имеет единственный корень. Если п = 4, то задача (18), (20) также допускает аналитическое решение

Ио = 2х - 6(1 - е^)- (25)

Полагая п = 4 — е; и = ио — ещ; uj(O)=O; tz1(O)=l, для функции mi (ж) получаем уравнение

хи" + и.у = (2 — 6е—х) Uy — (ж — 3 + Зе^ж) их — Зе xuv

Поведение И1 при больших х определяется уравнением хих + Uy — = 2их—(х— 3) Uy, решение которого имеет вид щ = х — 1/2 ■ ж2 + + 1/6 • ж3. Несложный анализ показывает, что при п > 4 функция и (ж) имеет единственный корень, а при п<4 появляется еще пара вещественных корней. Следовательно, при изменении и от 2 до 4 изменяется структура решений: при 2 < п < Пу функция и (ж) имеет один корень, а и'(ж)—один или два; при Пу < п < 4 м(ж) и и' (ж) имеют по три корня.

Численный расчет дал значение щ = 3,782. При п= п\ в точке жт = 4,65 функция и^ имеет двукратный нуль: и(хт) = = и' (жт) = 0. При п> 4 функции и (ж) и и'(ж) имеют по одному корню. Интегральные кривые, отвечающие значениям п = ±2 и п = 4, являются в некотором смысле особыми: при стремлении к этим значениям соответствующие кривые, хотя и приближаются к предельным, но неравномерно. Например, каково бы ни было е > 0, при п = 2 ± g и(ж)>0, начиная с некоторого ж, хотя и = —2х при п = 2.

Отметим, что для критических значений п решение уравнения (18) удается выписать явно в элементарных функциях [237, 244]: и = +2х при п = +2; и = ±2ж — 6(1 — еТХ) при п = ±4. Если ввести замену ц = пж, то (18) примет вид 2(г)и")' = и'2 — ии" — 4[п2; 13*

и(0)=0; м'(0) =—1; ы" (0) = 1/2 - (1— 4/п2). Для га = °° получается решение

“(п) = п + 2 2~\7/!; Ь = 1/4- [6/ — 1 + (-1/1.

Зависимость м(т|) представляет выпуклую кривую, которая имеет минимум и (2,65) = —1,206 и корень при ц — 5,7.

Численные результаты и комментарии

Установленные свойства решений вполне согласуются с численными расчетами, результаты которых представлены на рис. 73 и 74. Рис. 73 отвечает значению 6 = 1, рис. 74 — 6 = —1. Расчеты выполнялись методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага. Тем самым разыскивалось аналитическое решение, удовлетворяющее условиям (20). Значение и" (0), необходимое для первого шага, вычислялось с помощью (216): и'" (0)= 1/4 • • и' (0) • и" (0).

Для решения исходной краевой задачи необходимо выполнить условия (12). Поскольку из-за введения в (16) неизвестной величины а интервал изменения переменной х сделался неопределенным, этим можно воспользоваться для выполнения па его конце х = хт последнего условия (12), записанного с учетом (17)

в форме

и'(жт)= 0.

(26)

Итак, при заданном га необходимо интегрировать уравнение (18) с условиями (20) до точки ж„, где выполняется условие (26). Тогда согласно (16) имеем

(27)(27)и(хт)=ит =—Re; а = 2хжт/а2.

(27)

(27)

Для определения скорости вращения К, или циркуляции Г следует найти решение уравнения (19) при известной функции и(х). В силу его линейности для уравнения (19) достаточно построить решение задачи Коши: Г(0)=0; Г'(0)=1. Определив значение Г(ж„)=Гт, можно перенормировать решение Г (ж), разделив его па Гт. Построенное таким образом решение будет удовлетворять краевым условиям по переменной г: Г(0) = 0; Г(1)=1. При этом размерная циркуляция Гр(г) будет определяться выражением ГР (г) = хДрГ (г), где 7?ф = F^a/v — вращательное число Рейнольдса.

Результаты проведенных численных расчетов представлены па рис. 75 в виде зависимости Re (га). Как видим, эта зависимость носит сложный неоднозначный характер и состоит из семи ветвей. Соответствующие данные приведены в табл. 1, где приняты следующие обозначения: NB — номер ветви; NK — номер корпя; NH — число ячеек по радиусу; XT — характер течения, например, О_+_ означает, что имеет место отсос с течением вблизи стенки в направлении к торцу z = 0, кольцевым прямотоком и возвратным приосевым потоком; Ага — интервал изменения параметра га; rai =

Таблица 1

1

2

3

4

5

6

7

6

1

1

1

1

— 1

1

1

1

1

1

Хк

1

2

2

1

1

2

1

1

2

3

Мя

1

2

1

1

1

2

1

1

1

3

XT

в^

О*.

0__

О__

0-^

О__

О__

О_+_

О-+-

Хп

—2; 0

ш; 4

п=^ ^1

П2\ ОО

0; оо

—2; 0

0; 2

2; »2

Иг; «1

ид 4

= 3,783; щ = 3,438. Значения п = ±2 и п = 4, являющиеся, как было указано, особыми, представляют собой возможные асимптоты, при стремлении к которым Re ±°°.

Рис. 75 демонстрирует основное свойство полученных решений — их неединственность. Число решений может достигать четырех. Наиболее удивительной является четность числа решений при любых значениях критерия Рейнольдса Re. Как видим (см. рис. 75 и табл. 1), в случае вдува при всех Re < 0 существуют два типа решений — прямоточные, их мы будем называть решениями первого типа, и с приосевым возвратным течением — это решения второго типа. Неединственность сохраняется даже при Re = 0. Наряду с покоем значению Re = 0 отвечает движение в непроницаемом «стакане», вызванное приосевой струей, бьющей в дно со стороны «открытого» конца. Этому течению соответствуют значения и = 3,78265; жт = 4,65. Минимальное значение и, которое может быть принято за характерное число Рейнольдса, составляет ит1п = = —1,927, а максимальное значение осевой скорости пропорционально величине итаХ = 0,8553.

Таким образом, при Re = 0 мы имеем вполне определенное движение второго типа, сосуществующее с покоем. Это движение действительно можно получить в стакане конечной длины L, если при 2 = L поставить определенные граничные условия, диктуемые автомодельностью. Заметим, что для автомодельности при z = L должна быть задана не только форма профилей скорости щ(г) и щ(г), но и их определенная численная величина. С этой точки зрения существование решений второго типа представляется фактом случайным и негрубым, разрушающимся при малом изменении граничных условий. Заметим, что в опытах [160} оказалось невозможным получить решения второго типа при вдуве в пористую трубу. Это свидетельствует о неустойчивости подобных решений.

На первый взгляд решение второго типа весьма похоже па движение во вращающемся стакане, где возникает циркуляционная зона. Однако ясно, что интенсивность меридионального тече-

ния должна зависеть от скорости вращения стакана. Между тем, как уже отмечалось, уравнения (9) или (18) не содержат величины Г, и тем самым вращение не может влиять на меридиональную циркуляцию. Поэтому использование решений второго типа, отвечающих второй ветви на рис. 75, неприемлемо и для описания ламинарного течения во вращающемся стакане. Иное дело — турбулентное течение, в котором турбулентная вязкость зависит от скорости вращения. Соответствующая модель обсуждается в § 3.

С точки зрения задачи о пористом вдуве в невращающуюся трубу решения второго тина представляются лишними. Наличие таких решений следовало бы отнести к парадоксам автомодельности, связанным с недостаточно жестким заданием краевых условий: если условия автомодельности при z = L (dzy/dz = О, d(iVz)/dz —0) считать однородными, то наличие решений второго типа свидетельствует о нетривиальной разрешимости такой однородной задачи. Ясно, что обычная постановка задачи путем назначения вектора скорости па границе эту «спектральную» ситуацию устраняет. Приведенный пример недостаточной жесткости требования автомодельности, используемого вместо обычных граничных условий, не является исключительным, в § 4 мы снова столкнемся с подобным явлением.

В случае отсоса Не > 0 задача имеет переменное число решений. Наряду с ветвью 5, отвечающей значению 6 = — 1, т. е. разрежению вблизи торца z = 0, что при отсосе естественно, на рис. 75 представлены также ветви 3 и 4, для которых 6 = 1. Ветвь 5 имеет при га -^ °о горизонтальную асимптотику, которой отвечает конечное значение Не = 1,206. Отметим, что поскольку при га -^ °о хт = 2,65/га, то параметр а, определяемый соотношением (16), находится в виде а = 5,3 v/(a2ra). Тогда величина Ж(0) = = —ап оказывается конечной. Этому случаю отвечает безгради- еитное течение с dP/dz = 0 (см. (8)), которое непрерывно переходит в течение с 6 = 1, соответствующее ветви 4. Последняя сливается с ветвью 3, обнаруживающей необычное поведение: вблизи стенки, несмотря на отсос, жидкость движется в положительном направлении оси z. В самой точке слияния (га = 3,438, Не = 2,3) касательное напряжение на стенке обращается в пуль, т. е. наступает явление отрыва, что вполне объяснимо, так как течение, соответствующее ветви 4, происходит с неблагоприятным градиентом давления.

Процесс рождения пары решений при увеличении п можно проследить на рис. 73 при переходе от крпвой с га = 3 к кривой с п = 3,8. В точке перегиба при га = 3,438 касательная становится горизонтальной, т. е. в этой точке и'= и" = 0, после чего от этой точки расходятся минимум — влево (ветвь 4) и максимум — вправо (ветвь 3), так что рождается пара решений краевой задачи. Физически течения, соответствующие ветвям 2 и 3, определяются

двумя причинами: вдувом или отсосом и приосевой возвратной струей весьма специального вида. Эту струю можно было бы исключить из рассмотрения, «выключив» лишний источник движения, по именно опа делает возможным рождение вполне нормальных решений на ветви 4, соответствующих отсосу. Правда, на ветви 4 число Рейнольдса не может превышать значения 2, 3, но это факт того же порядка, что и ограничение Re ^ 1,206 на ветви 5.

Весьма удивительным является отсутствие автомодельных решений на интервале 2,3 < Re < 9,1. Физически в этом интервале отсосов решение, несомненно, существует, но оно не может быть автомодельным. Возможно, это связано с тем, что при промежуточных числах Не следует ожидать изменения знака градиента давления dPIdz при некотором z > 0. В самом деле, в области малых z имеет место медленное течение, и для отсоса необходимо создавать разрежение, так что в этой области должно быть dPjdz > 0. С другой стороны, при больших z скорости велики и по теореме Бернулли торможение потока при уменьшении г должно приводить к росту Р, что соответствует неравенству dPjdz < 0. Однако согласно (8) для каждого данного течения величина dPjdz должна быть знакопостоянна.

В литературе имеются указания [66], что так и происходит в эксперименте. Кроме того, при отсосах, соответствующих значениям Re > 6, наблюдается потеря стационарности движения с возникновением автоколебательных режимов. Существенно, что потеря существования автомодельного решения при Re > 2,3 связана с условием прилипания 1К(1)=0, которое выражает условие ортогональности поверхности пор, через которые осуществляется отсос или вдув. Задачу можно обобщить, задав произвольный угол наклона а этих пор, или, что то же, вектора скорости Va. В частности, если вместо условия прилипания потребовать выполнение условия скольжения И>(1)=0, например, за счет подбора угла а, то, очевидно, при всех числах Рейнольдса будет существовать решение (1.15), отвечающее осевому потоку со скоростью, не зависящей от г. Эту ситуацию можно отнести к турбулентному потоку с постоянной турбулентной вязкостью, удовлетворяющему па границе условию скольжения (см. разд. 3).

Возвращаясь к рис. 75, заметим, что при Re >9,1 вновь появляется пара решений, а при Re > 20,6 — еще пара, чем полное число решений и исчерпывается. О характере этих решений можно судить по табл. 1 и рис. 73.

Автомодельные решения, несмотря па некоторые их необычные свойства, имеют большую познавательную, а иногда и практическую ценность, разумеется, при условии их устойчивости. К исследованию этого вопроса для течений со вдувом мы и переходим.

§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ

В СЛУЧАЕ ВДУВА

Работ по исследованию устойчивости течений вида (1.1) крайне мало, видимо, в силу большой сложности этой проблемы. Поскольку задача о пористом вдуве имеет важные приложения, так как имитирует процессы испарения или горения на внутренней поверхности трубы, именно ей посвящена наша работа [41], а также новые данные, излагаемые ниже. Исследование случаев отсоса и вращения в настоящее время еще не завершено.

Об устойчивости

в смысле автомодельной эволюции

Проблема устойчивости в целом равносильна решению задачи для полных уравнений Навье — Стокса. Однако существует класс возмущений, в рамках которого возможно полное изучение нелинейного процесса. Это возмущения вида (1.1), но зависящие еще и от времени t. Соответствующая безразмерная система урав^ нений движения имеет вид

, 821УФ „1 dp1 У 1 8rvr ,

St Vr drгр 8rRo dr г dr ’*

^ ж Y8^ = 1 д 1/2)

dt + г dr Re 8г г 8т ’

8w . 8w„ ,118 8w

^ + ^^- + ^=-^ + ^7-^-/-—;(3)

(4)

Здесь, как и выше, за масштаб длины принят радиус трубы а, за масштаб скорости величина Уо. При этом A=A(t).

Уравнения (3), (4) автономны и служат для определения vr и w, после чего функции уФ и р находятся из уравнений (2) и (1) при условиях рф(0) = 0; пФ(1) = 7?ф, где R4— вращательное число Рейнольдса, при этом давление находится с точностью до произвольной функции времени. Исследованию на устойчивость подлежат стационарные решения системы (3), (4), удовлетворяющие уравнениям (1.10) с условиями (1.12). Решение задачи может быть осуществлено путем введения вспомогательного условия If(O)=lPo. Тогда для системы (1.10) ставится задача Коши. Параметры Wo и А могут быть найдены, например, методом двумерных секущих путем удовлетворения двух последних условий (1.12). Зависимости 1Т0(Не) и Х(Не) представлены па рис. 76. При Не*

—оо опи выходят на асимптоты Wo = —л, X = л2, соответствующие невязкому решению (1.14). Значение 1Ро(О) = —4 отвечает решению (1.13). ■

Первоначальное исследование устойчивости {41] полученных таким путем решений для возмущений вида (1.1), ио зависящих от времени, может быть проведено в рамках линейного анализа.

и

Положив в системе (3), (4) w = W+wieM; vr = Vr + "eht;X = ko + + Xie6i, после линеаризации получаем систему уравнений для малых амплитуд:

(2П7 + к) и\ + Fr w^ + W'u^r = — Xi + (r Re)-1 (г«4У; wi + ru\ = 0.

(5)

Заметим, что собственный параметр к не является инкрементом рассматриваемых возмущений, хотя ему и пропорционален. Дело в том, что в уравнениях (1) — (4) безразмерное время t связано с физическим временем ts соотношением t = Vat9la = Re vtja2, где Re = Foa/v. Следовательно, инкрементом служит величина kike via2. Опуская положительный множитель via2, можно считать, что характеристикой устойчивости является произведение к Re: движение неустойчиво, если к Re > 0.

Для исключения константы Xi проще всего продифференцировать (5), после чего получается задача на определение собственных значений параметра к, для которых существует нетривиальное решение задачи, удовлетворяющее однородным условиям и\ (0) = = w1 (0) =их (1) = и^ (1) = 0. Подробное численное исследование показало, что решения первого типа устойчивы при всех числах Рейнольдса Re < 0. Напротив, решения второго типа оказались абсолютно неустойчивыми при любых Re. Это лишний раз свидетельствует о нефизичности ламинарных решений второго типа. Достоин удивления факт потери устойчивости решением (1.15). В этом случае система (5) несколько упрощается и сводится к уравнениям

а\ + г-1 w'x = Re [(X — 4) шх + rwx + Хх]; и^ = — rwlt

вид которых позволяет искать решение в форме w\=Cw — Xj /(к — 4); щ = Си + 1/2 ■ X\r2j {к — 4).

Для функций w и и получается задача Коши:

w" 4- r~xw' — Re [(А — 4) w + г и/] = 0; и' = —rw;

ю(0) = 1; щ'(0) = 0; и(0) = 0.

Граничные условия Ю1(1) = н(1) = 0 приводят к характеристическому уравнению для определения параметра к = к(Не): 2и(1)+, И-, ю(1) = 0. Зависимость величины к Re от Re представлена на рис. 77. Как видим, при Re = 6 режим (1.1а) теряет устойчивость (кривая 7). В случае вдува этот режим устойчив при всех Re < 0. Если на стенке вместо прилипания поставить условие скольжения wY (1) = 0, то картина качественно не изменяется. Лишь критическое число Рейнольдса уменьшается до Re = 4 (кривая 2). Эти результаты показывают, что если стационарный турбулентный режим отсоса моделировать при помощи постоянной турбулентной вязкости vT и условий скольжения на стенке, то должно быть ReT < 4, поскольку турбулентное движение заведомо устойчиво к малым возмущениям [44].

Возникает вопрос, к чему эволюционируют нестационарные решения в условиях неустойчивости или несуществования стационарных? Чтобы выяснить это, Н. М. Ерш численно решала систему (3) — (4) по явной схеме методом Рунге — Кутта с использованием пространственной разностной аппроксимации второго порядка при граничных условиях (1.12). Эти четыре условия для системы третьего порядка по г позволяют определить и параметр X(t').

Начальные возмущения заключались в отклонении от стационарного решения в ту или иную сторону. Здесь мы ограничимся лишь качественным описанием полученных результатов. Установлено, что при вдуве решения первого типа устойчивы при любых числах Рейнольдса по отношению к произвольным 10 %-м вариациям. Напротив, решения второго типа абсолютно неустойчивы к таким вариациям. При этом возмущения, ослабляющие обратный ток, эволюционируют так, что в результате получается стационарное решение первого типа. Возмущения противоположного знака обнаруживают быстрый неограниченный рост. Безусловный рост наблюдается для всех режимов отсоса при Re > 2,3.

Такое удивительное поведение возмущений связано только с предписанной автомодельностью, заменяющей граничное условие на правом конце трубы. Требование автомодельности в отличие, например, от более жесткого граничного условия прилипания не ограничивает приток энергии возмущений со стороны правого конца, чем и обусловлена возможность неограниченного роста энергии течения при наличии возвратного движения. Так или иначе данными расчетами проблема устойчивости решений второго типа полностью исчерпана, так что дальнейшему изучению подлежат лишь вопросы устойчивости прямоточных решений при вдуве.

Две постановки задачи линейной устойчивости.

Стационарные решения вида (1.1) не являются одномерными, поэтому даже линеаризованная задача гидродинамической устойчивости не допускает в качестве решений синусоидальных по z возмущений вида e,az, где а — волновое число. Чтобы все-таки свести проблему к задаче Орра — Зоммерфельда, приходится игнорировать зависимость УДг), «замораживая» переменную z и рассматривая ее в качестве параметра. Такой подход, принятый в работах [58, 59], является приближенным и дает тем более точные результаты, чем больше значение параметра а, т. е. для коротковолновых возмущений, на длине волны которых можно пренебречь зависимостью от z основного течения.

Указанную зависимость можно и вовсе замаскировать, если для каждой из компонент скорости основного течения ввести свои характерные масштабы, а именно: VT(ay, Уф(а) и УД0) = гИД0), которым соответствуют три числа Рейнольдса: Re, Яф и Rz. В этих масштабах безразмерные компоненты вектора скорости основного течения (Уг, Уф, УД, определяемые как стационарные решения системы (1) — (4), будут зависеть лишь от переменной г, причем Vz = W(r)/Wo, где ТУо определяется в процессе решения задачи (1.10) — (1.12).

Поле возмущенных скоростей и давления можно представить в виде

Vr = vr + у 9; Уф = Уф + У 9; иг = У2 + »9; р = Р + д9, (6) где 9 = exp [i(az + тф — mt)]; а, т — осевое и азимутальное волновые числа; м = мг + 1©д юг— частота, он— инкремент возмущений, которые нарастают при Ю{>0; и, v, w, q— малые комплекснозначные амплитуды возмущений, зависящие только от г, для которых путем линеаризации уравнений Навье — Стокса получается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений (штрихом обозначено дифференцирование по г):

и' = — Цти?г + arw); и'= w, w'= up;

q = -r"4[Q - Re (1У + 2УДД]u - (im Re Уг + 2йФУФ) y/r - (7) — ia Re Vrrw + imvjr + iarupl;

= [т?ф (Уф + Уф/r) — 2im/r2] u + Qy + imq + (Re VT + r-1) i^;

up = Rz Vz tpr + (Q + Re W) w + iaq + (Re VT — г~Д up.

Здесь Q = m^lr1 + a2 + i ^mR^V^r + aRzVz — to); Re = аУДа)/v; R^ = = аУДа)Лц Rz = аУДО)/v = Re W(0)z. Как уже отмечалось, «за- морожепная» координата z входит лишь в продольное число Рейнольдса Rz, которое тем самым характеризует расстояние от глу-

хого торца до рассматриваемого сечения. Числа Не и R, характеризуют интенсивность вдува и скорость вращения трубы.

Отметим, что в работах [58, 59], где рассматривался лишь случай осесимметричных возмущений, т. е. т = 0, у = 0, использована иная методика получения амплитудных уравнений. А именно, «замораживание» проведено после исключения давления в двумерных уравнениях для малых возмущений, что приводит к обобщенному уравнению Орра — Зоммерфельда. Если в двумерной системе (7) при т = 0 исключить q, то получится аналогичное уравнение, но не совпадающее с упомянутым. В случае т Ф 0 задача не сводится к одному уравнению 4-го порядка, поэтому исключение давления нецелесообразно. Результаты расчетов при т = 0 для этих двух подходов оказываются близкими.

Основным недостатком системы (7) является то обстоятельство, что при m = 0 и а = 0 она не переходит в линеаризованную систему (5). Более того, при а 0 величина Rz остается в системе. Это и говорит о непригодности системы (7) при малых а. Данный недостаток может быть преодолен альтернативным подходом к проблеме устойчивости течения (1.1), при котором возмущения задаются в форме, отличной от (6):

vr = Vr + -у- еы + у- 9; уф = Уф + у- ем + -у 9;

''Г Г(8)

щ = Vz + w\eM + ZW2O; р = Р + 1/2 • Xiz2eM + g9.

Возмущения вида (8) будем условно называть «автомодельными», а вида (6)—«классическими». Подставляя (8) в уравнения для малых возмущений и приравнивая порознь члены, пропорциональные ем и 9, получим две системы амплитудных уравнений. Одна из них совпадает с (5), а вторая имеет вид (индекс 2 опущен)

и = — imvlr — (1 + iaz^riy; у'= w, w'= W\;(9)

q’ = — r-1{ [Q + Re (V'T — Vr/r)] и — (jm Re Vr + 2/?фЕф) y/r —

— Re 1/ (1 -f- zaz) rw + imvjr + (1 + zaz) rw\;

y^ = [Рф (Еф + V^r) — 2im/r2] u + Qy + imq + (Re Vr + r^1)

w^ = Re W'uR + (Q + 2 Re W — 2 ia/z) w + iag/z.

Здесь параметр Q имеет тот же смысл, что и выше (см. (7)). Если в системе (9) сделать предельный переход a 0, то при конечном z (и, следовательно, Rz) зависимость коэффициентов и решения от z пропадает. При желании величина z, входящая в (9), может быть выражена через параметры Re, Rz и Ио по формуле z = = Pz/(Re По). В дальнейшем (см. разд. 2.5) изложим результаты численных расчетов по обеим системам (7) и (9).

Анализ предельных ситуаций

В полной постановке линейная задача гидродипамиче- спой устойчивости содержит пять внешних параметров: Не, Rz, R,, а, т. Кроме того, неявным параметром служит спектральный номер / собственного значения <щ. Вследствие обилия параметров общий анализ чрезвычайно трудоемок, поэтому целесообразно исследовать наиболее простые ситуации. Прежде всего, в данной работе рассматривается случай невращающейся трубы, когда R^ = 0. Далее, изучаются лишь нейтральные возмущения, для которых ю, = = 0. Это позволяет ограничиться расчетом единственной спектральной моды. В классе оставшихся параметров можно построить семейство нейтральных кривых для различных Не и т = 0, 1, .... Если ограничиться лишь исследованием критических условий возникновения неустойчивости, то параметры а = а* и Rz = Rz, соответствующие носикам нейтральных кривых, становятся внутренними. Их можно определить в зависимости от Не при различных т. Наконец, можно поставить вопрос о том, при каком наименьшем значении Не впервые возникает неустойчивость. Естественно предположить, и это для т = 0 подтверждают расчеты [59], что первоначальное развитие неустойчивости начинается с больших Rz. Таким образом, должна быть рассмотрена предельная ситуация Rz -*■ °о. Здесь возможны два варианта: а) величина а остается ограниченной, но не равной нулю и б) остается ограниченным произведение Rz = a,Rz. В случае варианта а) после введения замены переменных о = aRzC, q-+Rzq, iu-^a система уравнений (7) сводится к невязкой задаче второго порядка:

иит ,\mq

и

и

— у + arw ; у =—;

(10)(10)гjа (V — С

(10)

(10)

aq т V zu/rq' = a (Vz- С) air; w=- ———.

Аналогично преобразуется и система (9), однако в отличие от (10) в ней остается параметр Не. Как показали специальные расчеты, вариант а) характеризуется отсутствием нарастающих возмущений. Это находится в противоречии с утверждением работ [58, 59], согласно которым, начиная с Не ~ 1000, нейтральные кривые «размыкаются», что и означает певязкую неустойчивость. Если Не достаточно велико, например Re 5s 100, то функция У2(г) с хорошим приближением задается асимптотическим выражением Vz = = cos(nr2/2), отвечающим вихревому движению идеальной жидкости (1.14) п не содержащим Не. Тем самым при Не > 100 решения системы (10) практически перестают зависеть от Не, и поэтому размыкание нейтральных кривых при Не ~ 1000 невозможно.

В случае варианта б) для системы (7) вводится замена переменных Rz = aRz и w = air, после чего система (7) приобретает

вид

и’ = — ijmvlr + rw); v' = иг, и/=®г(11)

q' = —r~4[Q — Re (1У + 2Rr/r)]u — (im Re VT + 27?ФЕФ) y/r —

— i Re VTrw + imu Jr + irw\^;

^i = [Дф (^ф + Vjr) — 2im/r2] u 4- Qy + imq 4- (Re VT 4- г-1) yRw^ = RzV'zu/r 4- (Q 4- Re W) w 4- ioJq 4- (Re Fr — r-1) wvгде Q = nijr2 + a2 + i JitiIJVJt 4- RZVZ — co). Система (11) по срав-нению c (7) обладает удивительной особенностью. Если при ко-нечном Rz в системе (11) положить a = 0, так что Rz = 0, то, каки в системе (9), зависимость от z пропадает. Это, разумеется, не даетоснований считать систему (11) пригодной для малых а, но все же...

Другая особенность системы (И) проявляется при т = 0 и a -> 0. Если в таком предельном переходе величина q остается ограниченной, то возникает переопределенная задача, поскольку первое, третье и шестое уравнения в этом случае отщепляются и получается однородная система третьего порядка, тогда как число однородных граничных условий — четыре. Поэтому необходимо в пределе положить ia2q = const. Эта константа исключается дифференцированием последнего уравнения (И). В случае т Ф 0 неограниченный рост q при a ->- 0 недопустим, что видно из пятого уравнения системы (11). В этом случае в последнем уравнении системы нужно положить а2^ -> 0. Тогда вырождения системы (11) не происходит. Те же особенности имеет и система (9), для которой, однако, введение величины гн ле требуется, достаточно ввести лишь Rz.

В пределе а-^ 0 системы (11) и (9) не сводятся к невязким, и задача заключается в определении зависимостей Rz(Re) при различных т.

О методах решения линейных задач

Не вдаваясь в детали, отметим, что наиболее эффективным нам представляется алгоритм несимметричной разностной прогонки с прямоугольными матрицами. Пусть m Ф 0, тогда уравнения (7) или (9) необходимо решать при условии п(0) = у(0) = w(0) = = 0; ы(1) = у (1) = ю(1) = 0. Кроме того, можно считать, что поставлено нормировочное условие па д(0). В соответствии с этими условиями запишем любую из систем в матричном виде:

X' = А X 4- В К; У' = С X 4- D У,4X44X22X42X2

(и \

I; У = | V1 |. При этом матрицы А, В, С, D легко zy J

q J

выписываются, исходя из вида системы.

Запишем уравнения (12) в разностной форме, используя аппроксимацию второго порядка по шагу Л:

Х„+1 — Хп = уй (Лп+1Хп+1 + АпХп + Bn+iУ п+1 + ВпУ п);

,z , z (13)

У п + 1 Хп (С„ + 1Х„ + 1 СпХп Г ^П + 1Хп + 1 I ^пУп )•

Прогоночные соотношения введем формулами

(14)

Подстановка (14) в (13) приводит к рекуррентным соотношениям для величин Fn, G^ Х„, р„. Преимущество данной прогонки по сравнению, например, с прогонкой 3X3 заключается в том, что не приходится обращать комплексные матрицы 3X3, а матрицы 2X2 обращаются «вручную». Использование двухточечной аппроксимации позволяет работать с переменным шагом и полностью снимает проблемы интерполяции, характерные для трехточечного шаблона.

Известные затруднения связаны с особенностью в системах (7) и (9) при г = 0, что делает невозможными вычисления непосредственно в этой точке. Поэтому решение в малой окрестности г = 0 строится аналитически при помощи разложений в ряды. В случае т Ф 0 тройка линейно независимых решений, удовлетворяющих условиям и(0) = v (0) = w (0) = 0, имеет вид

L r|m| mL r|m| m0000n|m| + 2

L r|m| m

L r|m| m

0

0

0

0

4 |m|4-l

L (I ml + 2) Im| |+,

4 (| m | + 1) m

™гИ+2

4 | m 14-1 r|m|

ZctrH + 2'

зз21m|(M + l)arlm| + 22m ( |m | 4- 1)r ml

з

з

0

Эти соотношения позволяют отойти от г = 0 и начать прогонку с г = г0 < 1- Например, если удерживать лишь главные члены, для

Fo и Go имеемFo и Go имеем

Fo и Go имеем

Fo и Go имеем

Удовлетворение нулевых условий па стенке достигается за счет подбора методом комплексных секущих собственного параметра со путем зануления определителя:

А — gz (/и/зг — /12/31) + ga (/12/21 — /11/22) + g\ (/22/31 — /21/32) •

Здесь через /у и g; обозначены элементы матрицы F и вектора G. В случае т = 0 системы (7) и (9) вырождаются. Кроме того, изменяются граничные условия при г = 0: ы(0) = w' (0) = 0. В связи с этим достаточно осуществить прогонку 2X2. Фундаментальные решения при т = 0 также можно модифицировать:

В остальном алгоритм не изменяется.

Результаты численных расчетов

На рис. 78 показаны зависимости критических параметров Rz и а* от Re для системы уравнений (7) при т = 0 и т=1. Для классических возмущений, определенных соотношениями (6), самыми опасными являются неосесимметричные с м = 1 при всех интенсивностях вдува. Влияние вдува небольшой интенсивности на устойчивость течения качественно аналогично при т = 0 и т = = 1. С увеличением I Re I значение Rz падает, достигает минимума и затем начинает расти. Зависимость Rz (Re) становится близкой к линейной для осесимметричных возмущений при I ReI >250; для неосесимметричных — при I Re I > 300. Критическое волновое число ос* с увеличением интенсивности вдува |Re| монотонно возрастает. Как видно из рис. 78, уменьшение величины I Re I до значения Remln сопровождается неограниченным ростом Rz и падением ос* до нуля, т. е. реализуется предельная ситуация, характерная для варианта б). Произведение П, = aRz остается ограниченной величиной и определяет наименьшее значение Re = Remln, при котором впервые наступает неустойчивость. Отметим, что при приближении Н М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

Re к Remin возникают расчетные трудности. Поэтому само критическое значение Remin получено путем решения системы (11). Для классических возмущений (6) найдены следующие минимальные числа Рейнольдса вдува:

тп — 1, Remm = —23,94; т = 0, Rcmm =—50,52. (15)

На рис. 78 приведена также зависимость от Re критического числа Струхаля Sh* = и7?2/2л Re. Для системы (7) Sh* становится почти постоянным и равным приблизительно 7,05 при |Rel>350 в случае осесимметричных возмущений. Для возмущений с т = 1 Sh* « 6,6 при I Rei > 160.

Следует отметить, что несмотря на различие постановок, данные работ [58, 59], полученные для т = 0, практически совпадают с приведенными на рис. 78. На рис. 79 показаны зависимости критических параметров R п ос*, а также числа Струхаля Sh* от Re для системы уравнений (9).

Для автомодельных возмущений (8) при интенсивностях вдува |Re| < 175 наиболее опасными являются неосесимметричные (т. = 1), а при I ReI > 175, напротив, осесимметричные. Зависимость R* (Re), как и в случае классических возмущений, становится близкой к линейной для осесимметричных при |Rel>250,

а для неосесимметричных при |Re| >200. Минимальные числа Рейнольдса вдува, при которых впервые наступает неустойчивость, для этих возмущений следующие:

т = 1, Remm =—24,17; т = 0, Remin = —58,48.(16)

Все эти кривые па рис. 78 и 79 построены по непрерывности. Известно, что основная трудность заключается в отыскании начальной точки. В этой связи считаем полезным привести несколько характерных собственных значений для рассмотренных возмущений (табл. 2).

Таблица 2

Вид возмущения

т

а*

*

Hz

*

Классические

0

3,955

3344,417

9026,537

1

3,634

3200,546

8071,559

Автомодельные

0

3,748

4101,641

9693,611

1

3,569

4031,133

9230,206

Примечание. Все значения критических параметров рассчитаны для Re = —200.

Сравнение рис. 78 и 79, а также данных (15) и (16) показывает, что исследование устойчивости по отношению к классическим и автомодельным возмущениям дает близкие результаты, что априори было бы трудно ожидать. Это служит оправданием классического подхода в области малых а и делает его практически пригодным во всем диапазоне волновых чисел. Таким образом, дальнейшие исследования целесообразно проводить только в рамках классического подхода.

Наиболее важным результатом исследования является тот факт, что в качестве самых опасных выступают неосесимметричные возмущения с т = 1. Применительно к возмущениям с т = 0 это следует из рис. 78 и данных (15). Для т = 2 вывод подтверждается специальными расчетами, согласно которым Remm — —55,88. Установленный факт не только позволяет уточнить выводы осесимметричного анализа, по и содержит в себе потенциальную возможность спонтанной закрутки потока. Этот удивительный феномен был установлен в статье [42], которой предшествовала работа [156], где показано, что в случае круглой струи наиболее опасными являются также возмущения с т = 1.

Выявленная неустойчивость при весьма умеренных Re свидетельствует о том, что эти течения легко турбулизируются, что и подтверждается опытом. Тем не менее найденные стационарные решения могут оказаться полезными и для анализа осреднепных развитых турбулентных движений, если использовать гипотезу Буссинеска о постоянной турбулентной вязкости.

МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ПОТОКА

Вращающиеся турбулентные потоки, имеющие все возрастающее техническое значение, характеризуются сложной внутренней структурой. Для примера па рис. 80 показана схема осред- непного течения воздуха в вихревой камере, сообщающейся с атмосферой. Камера имеет глухой торец z = 0, а подвод воздуха осуществляется по всей боковой поверхности длины L через тангенциальные щели. Воздух истекает в атмосферу через диафрагму радиуса а. Как показывают наблюдения [37], в области г > а поток близок к одномерному вихревому стоку, во внутренней области г < я течение значительно сложнее.

В случае истечения капельной жидкости в приосевой зоне возникает кавитационная воронка радиуса £, определение которого является основной задачей теории центробежной форсунки, которая в одномерной приближенной постановке дана в [1]. В рамках схемы потенциального движения идеальной жидкости решена и осесимметричная задача, не требующая привлечения дополнительных гипотез [37].

Рис. 80.

При затопленном истечении в случае достаточно интенсивного вращения па месте воронки размещается циркуляционная зона. Течение в этой зоне оказывается сильно турбулизировапным из-за наличия в профиле осевой скорости точек, перегиба, генетически связанных с тангенциальным разрывом, который имел бы место в идеальной жидкости. Развитие такого рода неустойчивости обычно порождает свободную турбулентность, как, например, в струях, следах, слоях смешения, которые допускают неплохое описание с помощью модели турбулентной вязкости vT, определяемой эмпирически [144]. Целью дальнейшего является использование решений второго типа, рассмотренных в § 1 для описания вращающегося потока, наделенного турбулентной вязкостью, зависящей от состояния движения. Турбулентная вязкость не задается, а определяется феноменологически из некоторого вариационного принципа.

Модели эффективно вязких турбулентных течений

Модель турбулентной вязкости, предложенная более ста лет назад Буссинеском, является простейшей и на фоне современных полуэмпирических теорий турбулентного переноса кажется примитивной. Тем не менее известно [37, 139, 144], что для теоретического описания некоторых свободнотурбулентпых течений модель постоянной турбулентной вязкости, являющейся эмпирическим параметром, работает очень хорошо. Известны также [22, 64] успешные применения этой модели к турбулентным отрывным течениям, в которых, несмотря на наличие стенок, турбулентность в основном носит характер свободной, так как порождается вихревыми слоями, сходящимися в свободное пространство из точек отрыва. Применительно к вращающимся потокам положительный вывод о пригодности модели постоянной турбулентной вязкости получен в [69] па основе анализа экспериментальных данных.

Модель турбулентной вязкости обычно вводится для аппроксимации в уравнениях Рейнольдса

9U-J Эх-9U-J Эх-1 ЭР .р Эх.. 121 ЭР .р Эх.. 129»^ 9U iЭх- ’ Эх-9»^ 9U iЭх- ’ Эх-= О= О

9U-

J Эх-

9U-

J Эх-

1 ЭР .

р Эх.. 12

1 ЭР .

р Эх.. 12

9»^ 9U iЭх- ’ Эх-

9»^ 9U iЭх- ’ Эх-

= О

= О

рейнольдсовых напряжений с помощью выражения 1 —f9U. 9U ■\,

- PiPj + -3 V-Ьг) = Vr —.(1)

Здесь Vt — пульсационные, Ui — средние компоненты вектора скорости; чертой обозначено осреднение по времени. Второе слагаемое слева в тензорном равенстве (1) введено, чтобы уравнять первые инварианты (следы). В случае двумерной турбулентности коэффициент 1/3 должен быть заменен па 1/2. Равенство (1) подробно проанализировано в [144], где указано, что строго непротиворечивым оно может быть лишь при условии, что vT — тензор четвертого ранга. Отметим главный формальный недостаток равенства (1): его двукратное дифференцирование по сг, и xt ведет к противоречию. Этот недостаток может быть преодолен, если принять другую модель турбулентной вязкости, взяв за основу уравнения Рейнольдса для средней завихренности:

9U.g . .

— = vAQi ~ ~>’ 61 = rot V'

Поток вихря, связанный с турбулентным переносом, моделируется антисимметричным выражением

—В(2)

Отметим, что соотношением (1) постулируются 6 равенств, тогда как соотношением (2) — только 3, а в плоском случае лишь 2:

(3)(3)—эй

(3)

(3)

Vito = — Vf -— .

JЭх-

Таким образом, хотя соотношения (1) и (2) приводят к эквивалентным уравнениям (Навье — Стокса и Гельмгольца), они имеют разное физическое содержание.

Соотношения (1) и (2) налагают на поля пульсаций скорости некоторые ограничения. Рассмотрим, например, одномерное среднее течение, характеризуемое простым сдвигом с градиентом скорости U' = dU/dy. Согласно (1) имеем

1/3-у2; uxuti; vxvz \/0; U'; 0\

у|—1/3-у2;0| = -vr И'; 0;0 . (4)

0^-1/3-уЧ. ^0; 0:0/

Компоненты иуиг и и^ нулевые в силу уравнений Рейнольдса. Ясно, что равенство (4) возможно лишь при изотропности пульсаций, когда vxv. = 0, vi = Vy = vl = 1/3- у2. Наличие изотропности следует ожидать в условиях, когда пульсационные масштабы малы по сравнению с масштабами всего течения. Условия свободной турбулентности в наибольшей степени отвечают этому требованию. По- видимому, именно этим обстоятельством объясняется успех применения гипотезы Буссинеска в теории свободной турбулентности, в отличие от пристенной турбулентности, которая существенно пе- изотроппа. Б простейшем случае принимается условие мт = const, причем константа зависит от характерного размера L и скорости течения U, так что не зависящим от режима оказывается турбулентное число Рейнольдса RT = ULlvT.

Таким образом, гипотеза постоянной турбулентной вязкости приводит к безразмерным уравнениям Навье — Стокса, в которых число Рейнольдса зафиксировано для всех режимов. Следовательно, течение, описываемое решением этой задачи, будет обладать свойством автомодельности, т. е. при изменении расхода и размеров системы (при сохранении геометрического подобия) относительные поля скоростей и давления не изменяются. Таким важным свойством действительно обладают практически все развитые турбулентные потоки, резко отличаясь в этом отношении от потоков ламинарных и приближаясь к потокам невязким. Сюда относятся не только свободпотурбулентпые течения, но и гораздо более широкий класс турбулентных движений, характеризующийся наличием макроскопических вихрей, например отрывные течения, а также закрученные потоки. Правда, присутствие твердых стенок делает отмеченную автомодельность лишь приближенной, по тем более точной, чем выше скорость течения, так как тем меньшую роль играют пристенные пограничные слои, связанные с действием молекулярной вязкости.

Модель эффективно вязких турбулентных течений представляет предельную ситуацию, когда молекулярная вязкость v может быть отброшена. Движение удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса

эи.J Эх,эи.J Эх,LA9Ui - Л

эи.

J Эх,

эи.

J Эх,

р Э$г Эх. т 8$j ’ 8х.'

а на твердых стенках вместо условия прилипания, связанного с действием молекулярной вязкости, ставится другое условие. Казалось бы, это условие можно получить из соотношений (1) или (2). Но последние неприменимы вплоть до стенки. Поэтому условие следует сформулировать на внешней границе турбулентного пограничного слоя. Если в пограничном слое принять логарифмическое распределение скоростей

(6)(6)us = ^*1^ In у + Cs

(6)

(6)

где их — продольная скорость, у — расстояние от стенки, у* — динамическая скорость, х и С — константы, и допустить на внешней границе слоя при у = 6 гладкое сопряжение с внешним потоком, так что llx=U; их = U'; их = U”, то из (6) для плоского течения легко выводится равенство

№ = - u'Y дп, о '

В силу малости 6 условие (7) может быть заменено на условие скольжения 12 = 0 (непосредственно следующее из (1), если его применить для стенки). Однако если на границе имеются точечные источники завихренности, то член Э^!Эп становится главным и (7) в непосредственной окрестности источника сводится к условию «адиабатичности» стенки dfi/dn = О, вытекающему из (1.3). Источники завихренности на стенке должны фигурировать в модели осредпенных отрывных течений, иначе движение будет потенциальным! Речь идет, разумеется, не о вязких источниках, которые всегда есть, но слабы, а об источниках завихренности в точках отрыва, интенсивность которых должна быть определена из условия самосогласования задачи: разветвление потока в каждой точке отрыва. ’

В интересующем пас случае турбулентного вращающегося потока отрыв является внутренним, и поэтому на стенке ставится условие скольжения.

Вариационный принцип

Для описания осредпенных характеристик турбулентных течений обычно составляются модельные уравнения, включающие эмпирические постоянные [137, 138]. В то же время весьма плодотворным является метод получения уравнений на основе вариационных принципов [10, 116]. Последние могут иметь то преимущество, что. по идее способны дать не только сами уравнения, но и вышеупомянутые постоянные путем их последующего варьирования до достижения минимизируемым функционалом наименьшего возможного значения.

Проблема заключается в выборе функционала. В точной постановке эта задача чрезвычайно трудна и пока не решена. К сожалению, не существует такого голопомного функционала, варьирование которого давало бы уравнения Навье — Стокса [10]. По смыслу дела искомый вариационный принцип должен вытекать из общей термодинамики необратимых процессов, по эта наука сейчас находится лишь в стадии становления. Однако к поставленному вопросу для специального частного случая эффективно вязкой модели турбулентности можно попытаться подойти приближенно. Точный вариационный принцип должен был бы дать уравнения и для осредненпого движения, и для определения турбулентной

вязкости, которая является функционалом от этого движения и, вообще говоря, от внутренних переменных турбулентного потока, таких как, например, кинетическая энергия турбулентности.

Согласно сказанному в разд. 3.1, будем считать, что для эффективно вязких турбулентных течений справедливы уравнения движения (5). Остается найти турбулентную вязкость. Для слабо неравновесных процессов известен [30] принцип минимума производства энтропии. В условиях изотермической свободной турбулентности при моделировании турбулентных напряжений эффективно вязкими производство энтропии приближенно сводится к скорости диссипации энергии

Поскольку величина D функционально выражается через хг и тензор осредпенпых скоростей деформаций, в такой приближенной постановке внутренние степени свободы можно не учитывать, а искать сразу среднее движение, подобно тому как для несжимаемой жидкости динамическая задача может изучаться независимо от тепловой. Остается, однако, неясным вопрос, насколько развитое турбулентное течение может считаться слабо неравновесным процессом. Поэтому следует непосредственно посмотреть, к чему приводит минимизация функционала (8).

Как известно, при фиксированном vT минимизация (8) путем варьирования Ui в классе соленоидальных векторных полей приводит к уравнению Стокса, которое соответствует первому уравнению (5) с нулевой левой частью. Уравнения Стокса не так уж плохи для описания осредиепной турбулентности, во-первых, потому, что турбулентная вязкость обычно довольно велика, во-вторых, при отсутствии условий прилипания уравнениям Стокса удовлетворяет даже потенциальное движение идеальной жидкости. Вместе с тем нельзя утверждать, что в турбулентных течениях конвекция завихренности не играет роли. Поэтому функционал (8) надо рассматривать как приближенный и использовать не для получения уравнений, в качестве которых следует принять полные уравнения Павье — Стокса, а лишь для определения хт путем вторичной минимизации функционала.

Полная реализация поставленной задачи па минимум-минимо- рум заключается в минимизации по хг функционала (8) при использовании (5) в качестве добавочных функциональных условий. Однако для случая vT = const проще ограничиться прямой минимизацией (8), используя в качестве Ut решения системы (5).

Рассмотрим вопрос, для каких течений следует ожидать существование минимума О(хт). Поскольку D > 0, минимум заведомо будет существовать, если D =° при Хт 00 и хг ->■ 0. Конечно, это

требование может оказаться слишком жестким, но начать анализ естественно с пего.

Для выполнения условия О(о°)=о° достаточно задать какую- либо кинематическую характеристику потока, например скорость, обеспечивающую поддержание деформационного ползущего движения при vr°°. Требование D(0) = oo может быть выполнено, если только предельное движение при \т 0 будет разрывным. Но этого еще недостаточно. Рассмотрим, например, плоский пограничный слой, для которого

о о

Поскольку 6 ~ Ll^ULIv, то при фиксированных U и L Ds ~ ^ и, следовательно, Ds 0 при v О, несмотря па возникновение разрыва скорости на стенке. Поскольку пограничный слой асимптотически не дает вклада в диссипацию энергии, этот результат показывает, что функционал (8) неприменим для описания пристенной турбулентности.

Иначе обстоит дело в случае отрывных течений, например при обтекании ступеньки высотой h. Пусть в качестве виртуального при v = 0 рассматривается разрывное течение Гельмгольца — Кирхгофа с бесконечной застойной зоной. При v О диссипация будет сосредоточена в тонком пограничном слое вблизи линии разрыва, и соотношение (9) сохранит силу, если под L понимать длину зоны отрыва. Оценку для L можно получить, положив 6 = h при x = L. Это дает L~v4, так что согласно (9) D6 ~ 6""1. Для величины 6 получается оценка 6 const при v 0, и тогда Ds const. Но ясно, что эта оценка весьма груба. Если все же допустить, что 6^0 при v 0, то Ds оо при v 0. В этом случае в данной модели отрывных течений найдется вязкость v = vr, при которой диссипация энергии будет минимальной. Интенсивность точечных источников завихренности должна быть выбрана из условия конечности скорости в точках отрыва. Очевидно, что такой выбор обеспечит минимум D и по интенсивности источников.

Реализация данной модели требует назначения величины 6, входящей в условие (7). Но этот вопрос нуждается в самостоятельном изучении.

Отметим, что в |[37] принцип минимума диссипации энергии был использован для вычисления турбулентного числа Рейнольдса круглой струи. Однако для подобных течений с особыми точками результат зависит от способа регуляризации функционала D, поэтому предпочтительнее рассматривать исходные неавтомодельные отрывные течения. В случае вращающегося потока D °° при vr 0 из-за разрыва тангенциальной скорости (7Ф па оси вращения z, что предопределяет существование минимума D.

Турбулентное течение в пористой вращающейся трубе

Если движение в цилиндрической области радиуса а (см. рис. 80, штриховая линия) схематизировать как течение во вращающейся трубе с глухим торцом при z = 0 и проницаемой боковой поверхностью, сквозь которую осуществляется равномерный вдув с радиальной скоростью Уо, то при vT = const уравнения Навье — Стокса (5) допускают автомодельное решение вида (1.1)

иг = иДтУ и, = иДгУ Uz = zWyy(10)

Осредненное движение (10) относится к бесконечной трубе с пористым вдувом, в которой при z оо разрешен не более чем линейный рост Uz при ограниченности Ur и U,. Однако опытные данные и для конечных, но не слишком коротких вихревых камер вполне соответствуют этой картине потока [37],. поэтому автомодельное решение (10) будем использовать для камер конечной длины L, не ставя граничного условия при z = L.

Подстановка соотношений (10) в систему (5) дает уравнения, по форме совпадающие с (1.4) — (1.7) с той лишь разницей, что произведена замена обозначений Vtтг. В соответствии с

рекомендациями разд. 3.1 поставим следующие граничные условия:

Пг(0) = 17ф(0) = 0; UT^ = Va; Uya^V^; РП«) = 0.(И)

Последнее соотношение представляет условие скольжения, связанное с требованием отсутствия осевого касательного напряжения Trz на цилиндрической стенке т,2 = pvT(9Uj8r + dHr/dz) = pvTzdWI idr. Согласно этому выражению условие скольжения на торце z = 0 выполняется автоматически. Вводя, как и в разд. 1.1, обозначения ж = аг2/(2ут); и =—гигДт:, W = аи/,(12)

вновь приходим к уравнению (1.18). Однако для наших целей достаточно рассмотреть случай 6 = +1, которому согласно (1.8) соответствует падение давления с ростом z. Тогда (1.18) можно переписать в виде

2{хи")' = и'2 — ии" — 4.(13)

Уравнение (1.19) не изменяется,

2жГ"+иГ' = 0.(14)

В этих обозначениях граничные условия (11) принимают вид u(xm) = RT; Г(жт)=1; п(0) = Г(0) = и" (жт) = 0,(15)

где RT = aVah’T — радиальное турбулентное число Рейнольдса, a xm = aa2iyi\y—искомый параметр. При использовании условий (1.20)

и(0) = 0; и/(0) = -щ и" (0) = 0,5(п2 - 4); Г(0) = 0; Г(0)=1 (16)

получается, как и в разд. 1.1, вспомогательная задача Коши. Ее нужно интегрировать до такого значения х = хт, при котором выполняется последнее из условий (15). Тогда первое из этих условий определяет значение RT.

Разница в сравнении с постановкой разд. 1.1 заключается в том, что там было использовано условие прилипания м/(ж,„) = 0, так как рассмотрено ламинарное течение. В случае граничных условий (15) задача, как и в разд. 1.1, имеет два решения, одно из которых находится аналитически и соответствует потенциальному течению со вдувом первого типа и = 2х. Это решение удовлетворяет условиям (15), если положить Xm=l(2-RT. Решение второго типа аналитически не выражается, но при RT °° стремится к функции (1.25),

и = 2х — 6(1 — е~Д.(17)

Решение (17) отвечает значению п = 4, а хт °° по закону

хт = 3 + 1/2 ■ Rt.(18)

Это асимптотическое решение дает картину меридионального течения, качественно близкую к изображенной на рис. 80, в частности,- оно содержит описание циркуляционной зоны в приосевой области. Для конечных значений RT уравнений (13) легко решается численно. Как показывают вычисления, значение RT = 0 соответствует ге = 3,901. Таким образом, когда п пробегает значения от 3,901 до 4, величина RT изменяется от 0 до °°. Узость интервала изменения п позволяет получить приближенное аналитическое решение задачи. Обозначим, как и раньше, решение (17) через Мо и будем искать решение вида м = мо + ем1, где е = 4 — «<1. Для определения Mi получается задача

хи" = 2 (1 — Зет) их + (2 — х — Зе—ж) их — Зе—жм1;

м1 (0) = 0; их (0) = 1; их (0) = 4; их (0) = 5,5.

Наибольший интерес представляет поведение решения при больших х. Дело в том, что согласно (17) м0 = 6е—ж и последнее из условий (15) выполняется лишь при жт=°°; поправка и нужна, чтобы сделать хт конечным. Пренебрегая экспоненциальными членами, нетрудно получить приближенное решение, близкое к (17), в виде

и = 2х — 6(1 — е~Д — 81(1/3 ■ ж3 — ж2 + 2х),

где 61 — новый малый параметр. Он может быть связан с RT посредством соотношений

— ^-хт।.

При RT > 5 и ж™ > 5,5 и Ei < 3 -10—3, так что можно пользоваться асимптотической зависимостью (18), а для вычисления и^ использовать (17). Отметим, что соотношение (18) неплохо работает даже при RT = 0, которому согласно вычислениям соответствует точное значение хт = 3,075.

Как и в ламинарном случае, существенной чертой рассматриваемого класса решений является независимость меридионального течения от вращения. С этой точки зрения решения, близкие к (17) (решения второго типа), не могут считаться физически реальными для ламинарного режима. В случае вращающегося непроницаемого стакана, для которого RT = 0 и п = 3,901, на опыте возникает меридиональная циркуляция с возвратным течением в при- осевой зоне и прямотоком на периферии. Но ясно, что интенсивность этих движений должна зависеть от скорости вращения стакана, тогда как рассматриваемое автомодельное решение при фиксированной вязкости дает вполне определенную картину и интенсивность течения, не зависящую от наличия вращения, что представляется парадоксальным. Иначе обстоит дело в турбулентном режиме, когда вращение может влиять на турбулентную вязкость, а через нее на картину и интенсивность течения.

Течение с минимальной диссипацией энергии

Для рассматриваемого течения в цилиндре с радиусом а и длиной L скорость диссипации энергии имеет выражение

(20)(20)

(20)

(20)

При решении краевой задачи гидродинамики естественным является задание вектора скорости на границе области. Именно так были сформулированы условия (11), которыми задается величина Va. Однако с физической точки зрения задание поля U, при г = а в реальной вихревой камере представляется не таким уж естественным, да и не легким делом. Более естественно при данной геометрии камеры задать перепад давлений на ней или расход, т. е. некоторую интегральную характеристику. В данной частной задаче удобнее всего считать постоянным динамический параметр а, определенный соотношением (1.8). Имеет место связь

(21)(21)Va = aaRT( (2xm).

(21)

(21)

В переменных задачи (12) выражение (20) может быть записано в виде (неварьируемый множитель опущен)

D =Л(/?г) + /с2[5(Яг)+1/4 - vVC(Z?T)J;(22)

хтхт

А = — I и dx—; В = — I I Г') dx; С = 5] хи"" dx,

(23) где к = V^W^; K—^LI^ka^. Поскольку неизвестная турбулентная вязкость vT входит в (22) и (23) только через ВТ, то минимизацию (22) будем осуществлять по Вт.

Параметр Л—основной в теории центробежной форсунки [37], а в теории Г. Н. Абрамовича [1] он единственный (Л-1 — «геометрическая характеристика форсунки»). Величины к и Л легко могут быть выражены только через геометрические характеристики вихревой камеры. В случае тангенциальных вводов к равно отношению площадей боковой поверхности камеры и вводов.

Графики зависимостей (23) для решений обоих типов представлены на рис. 81 (Ci = 0). Величины А, В, С имеют ясный физический смысл. Они характеризуют диссипацию энергии соответственно в радиальном, вращательном и осевом движении. Отсюда вытекает, что если |ПГ1 Пф, то для режимов второго типа параметр к несущественен для определения минимального Вт = В2, которое тем самым зависит лишь от Л. Это целиком соответствует тому, что для реальных вихревых камер с большой степенью закрутки к вместо двух независимых безразмерных параметров к и Ца играет роль только их комбинация Л.

Из рис. 81 можно заключить, что имеют место неравенства Л1>Л2 и Si>S2. Тогда из (22) следует, что при Л -^ 0 DX>D2. Значит, при сильных вращениях (малые Л) режим второго типа обладает меньшей диссипацией, чем первого. Данные на рис. 81 позволяют проанализировать все возможности. Однако наличие в (22) двух параметров затрудняет анализ. Поэтому при рассмотрении режимов второго типа ограничимся случаем больших к, что и представляет наибольший практический интерес. В этом случае минимальные значения В2, определенные из условия dDldBT = Q1 и величина d2 = ЬМ)Ак2, определенная по минимальному значению ГВ, зависят только от Л, тогда как соответствующие величины В\ и d\ являются функциями только к2. Эти зависимости представлены на рис. 82.

Ri = 25Л.Ri = 25Л.Если зафиксировать Ыа и увеличивать к2, то 2?i —>-0, а так как при этом Л 0, то и В2 -> 0. Таким образом, для каждого из решений увеличение степени закрутки приводит к увеличению vr и снижению Вт, отвечающему минимуму диссипации энергии. В области малых Л

Ri = 25Л.

Ri = 25Л.

Пусть к оо за счет того, что Уа -> 0. Тогда Л^О, и из последнего равенства и определения RT найдем

vT = a2yU(50L).(25)

Таким образом, в примере с вращающимся стаканом, рассмотренном в разд. 1.1, турбулентная вязкость пропорциональна скорости вращения. Если, например, УфФ = 0, то vr = 0 и согласно (12) Ur = 0, следовательно, меридиональное движение отсутствует, так что в турбулентном режиме парадокс снимается. При Уфа ^ 0 движение в стакане будет автомодельным относительно скорости вращения, поскольку функция м(ж) при RT = 0 вполне определена и не зависит от Уфа. С увеличением длины стакана L итенсивность меридиональных движений при каждом фиксированном z будет уменьшаться. Все эти выводы, очень похожие на правду, как и формулу (24), следовало бы проверить специальным экспериментом, реализация которого не представляется сложной.

В связи с изложенным создается впечатление, что решения второго типа «специально» предназначены для описания турбулентных вращающихся потоков, тем более, что в плоской задаче о вдуве в канал с пористыми стенками существуют лишь решения первого типа, характеризующиеся чисто прямоточным режимом.

Вернемся к рис. 82. Для решения вопроса, какой из минимумов d; или da при заданных параметрах к и Л лежит ниже, можно по заданному к2 найти di, а затем по значению da = di определить величину Л*. Указанная процедура проиллюстрирована на рис. 82 стрелками. Так как с ростом Л величина da возрастает, a di не меняется, то в случае Л>Л* будет dz> dx, и наоборот. Иными словами, если с глубиной минимума связать вероятность

появления того или иного режима, то можно сказать, что при Л < Л* более вероятным является режим 2 с циркуляционной зоной, а при Л>Л*— прямоточный режим 1. При Л = Л* оба режима равновероятны. Как показывают наблюдения, эти свойства действительно присущи реальным течениям.

При небольших степенях закрутки действительно сосуществуют оба режима, причем переход от одного из них к другому осуществляется буквально «мановением руки». С ростом Л вероятность спонтанной реализации режима 1 возрастает.

Перейдем к количественному сопоставлению. Сначала рассмотрим конкретное течение в вихревой камере [24], имеющей радиус 8 см, высоту L = 20 см, радиус выходного отверстия а = 6 см и направляющий аппарат, выполненный в виде 12 щелей общей площадью 16,38 см2, наклоненных под углом 45°. Величина к, определенная по параметрам потока при г = а, составляет к = 36,1, тогда Л = 0,185. По графику рис. 82 определяем — Rt = 4,3 (формула (24) дает —/?1 = 4,6). Согласно (19) находим жт = 5,2 (формула (18) дает жт = 5,15). Далее, согласно (21) вычисляем параметр а = (2xmIRT) I И„|/а. В соответствии с (1.8) имеем перепад давления вдоль оси камеры Ар = 2pa2z2 = 11,52 pB^z/a)2. Эта величина весьма невелика. Так, при р = 1 кг/м3, — К=1 м/с для i = a имеем Ар = 11,52 Па ~ 1 мм НгО. Таким образом, можно считать давление на оси практически постоянным, что вполне согласуется с данными, представленными в [24].

Согласно (10) и (12) при использовании (17) получаем

Uz = 2az(l — Зе~Д. (26)

В препринте [24] значения Uz отнесены к средней расходной скорости UQ при z = L,

rUzdr =rUzdr == 2aL 1 - 3= 2aL 1 - 3= 0,86<хЛ= 0,86<хЛ

rUzdr =

rUzdr =

= 2aL 1 - 3

= 2aL 1 - 3

= 0,86<хЛ

= 0,86<хЛ

оо

При z/L = 0,5

Uг = UJUq = 1,17(1 — Зе^); ж = ж„, (г/«)2.(27)

Для расчета относительной окружной скорости Us = Пф/Уфа достаточно проинтегрировать уравнение (14) с использованием (17) при условиях Г(0)=0; ГД0) = 1 до значения х = хт. После этого U, вычисляется по формуле

U(f = (Г/Гт)«/г; Гт = Г(жт); r = a1xlxm.(28)

Зависимость (27) и (28) изображены на рис. 83. Крестиками (для £/Д и кружками (для U^ нанесены опытные данные из [24]. Учитывая разницу между реальной вихревой камерой и пористой вращающейся трубой, а также неизбежную погрешность эксперимента, согласие теории с измерениями следует признать хорошим.

Отметим, что в разобранном примере турбулентная вязкость достаточно велика, поэтому окружная скорость монотонно падает в направлении к оси камеры. При больших числах Рейнольдса расчетная зависимость (7Ф(г) имеет максимум, который наблюдается и в эксперименте.

К сожалению, поля скоростей в вихревых камерах не поддаются универсальному обобщению. Поэтому приходится довольствоваться отдельными сопоставлениями. Однако для режимов второго типа существует универсальная характеристика — относительный радиус циркуляционной зоны £, которая определяет всю гидродинамику вращающегося потока. От § зависит положение максимума и значение максимальной окружной скорости, проходное сечение для основного потока, гидравлическое сопротивление камеры, наконец, ее акустические свойства. Зависимость ^(Л) для случая Кт > 5 может быть легко построена следующим образом. По данному Л определим значение /?2 (см. рис. 82), по формуле (18) найдем хт, тогда ^=xolxm, где хо = 2,821439— ненулевой корень функции (17). Хотя хо — это фиксированное число, величина § убывает до нуля с ростом RT до бесконечности, что физически совершенно естественно. При RT < 5 £ (Л) строится численно.

Зависимость § (Л), найденная из условия минимума диссипации энергии, показана на рис. 84 в виде кривой 1. Здесь же кривой 2 нанесены значения радиуса воронки, вычисленные для идеальной жидкости [37]. Как видим, для режимов сильного вращения (малые Л) значения § в затопленном и кавитационном режимах совпадают. С ростом Л появляется отличие, которое при Л =1,54 приобретает катастрофический характер, ибо § обращается в нуль! Это означает, что циркуляционная зона схлопывается и при Л >1,54 может существовать лишь прямоточный режим истечения.

15 м. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

Заметим, что кавитационная полость в невязком потоке схлопнуться не может из-за появления бесконечных скоростей, так что расхождение кривых 1 и 2 при больших Л закономерно (удивительным скорее является их согласие при малых Л). Отметим также, что если кривая 2 подтверждена многочисленными измерениями, то для затопленных режимов данных почти нет. По-видимому, это связано с трудностями измерения, как правило, малой радиальной скорости, по нулевому значению которой определяется величина £. Тем не менее кое-какие опытные данные имеются и они качественно и даже количественно подтверждают вывод о неизбежности схлопывания циркуляционной зоны.

Практически увеличение параметра Л проще всего осуществить путем уменьшения а за счет диафрагмирования выхода из камеры. Указание на то, что при малых а в камере возможен только прямоточный режим, содержалось еще в [33]. В работах [24, 25] указано, что при относительном радиусе диафрагмы 0,05 зона разрежения в камере отсутствует. По имеющимся там данным (£/а = = 50; к = 43,3) нетрудно найти, что в этой камере было Л =2,3. В диссертации [122] приведена эмпирическая формула для определения радиуса зоны разрежения: RPki = 0,67 — 0,27/[(ПФа/По)0'8 — — 0,1]. Согласно этой формуле 7?Р = 0 при Л = 1,6. Отметим, однако, что условие /?Р = 0 является косвенным признаком схлопывания циркуляционной зоны и зависимость В (Л) нуждается в прямой экспериментальной проверке. Отметим также, что подобный эксперимент требует достаточной осторожности из-за слабой устойчивости метастабильного режима второго типа при больших Л.

Таким образом, предлагаемая вариационная модель, не использующая каких-либо эмпирических констант, вполне адекватно отражает особенности турбулентного вращающегося потока во всех его нетривиальных проявлениях.

ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПОРИСТЫМ ВРАЩАЮЩИМСЯ диском и плоскостью

К истории вопроса

Начиная с основополагающей работы Кармана [187], где рассмотрено автомодельное решение полных уравнений Навье — Стокса над вращающимся диском, исследованию решений этого класса посвящено огромное количество работ. Бэтчелор [155] указал, что автомодельному классу Кармана принадлежат течения над вращающимся проницаемым диском с заданным вращением жидкости на бесконечности и течения между бесконечными вращающимися дисками, на которых задан равномерный вдув или отсос. На основе качественного анализа он сделал вывод о том, что при больших числах Рейнольдса течение между непроницаемыми

дисками представляет собой твердотельное вращение с тонкими пограничными слоями на дисках при условии, что диски вращаются в одну сторону; если же диски вращаются в противоположные стороны, то возникает внутренний пограничный слой, отделяющий области с твердотельным вращением разного знака.

Стюартсон [241] при анализе этой задачи пришел к другому выводу: вне пристенных пограничных слоев жидкость вообще не вращается. Таким образом, практически с самого начала исследований проявились недостаточность и противоречивость существовавших представлений. Последующие работы показали, насколько богата гидродинамика вязкой несжимаемой жидкости необычными свойствами на примере этой очень простой автомодельной задачи. Многие полученные результаты трудно было предвидеть заранее. В частности, были найдены оба типа решения, предсказанных Бэтчелором и Стюартсоном [194, 224, 205, 215]. В прекрасных обзорах [221, 262] можно найти изложение истории вопроса и характеристику современного состояния исследований задачи о кармановском автомодельном течении между двумя непроницаемыми дисками.

Одним из наиболее важных результатов анализа является растущая с числом Рейнольдса множественность автомодельных решений уравнений Навье — Стокса. Вновь рождающиеся решения изолированы от уже существующих и, как правило, характеризуются многоячеистой структурой [205], хотя неединственность обнаружена и для одноячеистых режимов. Множественность режимов течения между непроницаемыми дисками подтверждена экспериментами [205, 215, 166, 246], которые показали, что, хотя для определенной экспериментальной установки существует только один режим течения, тип его может быть разным на разных установках.

Эксперименты свидетельствуют о существенном влиянии краевых эффектов, простирающихся почти до половины радиуса дисков. В связи с этим были рассмотрены некоторые автомодельные задачи для течения между дисками конечного размера [152, 166, 159]. Численные решения показали, что в неавтомодельной постановке наблюдается только одно решение, причем оно неплохо согласуется с результатами эксперимента [166], применительно к условиям которого и был произведен расчет. Отсюда можно сделать вывод о том, что краевые условия на цилиндрической поверхности, ограничивающей диски, являются определяющими при выборе одного из возможных автомодельных решений. Однако вопрос о том, существуют ли такие внешние краевые условия, при которых реализуются устойчивые многоячеистые режимы, остается открытым. Вопросы устойчивости рассматриваемых течений обсуждаются в обзоре [262], укажем также работу [245].

Значительное число работ (см. [221, 262, 182, 183] и библиографию в них) посвящено численному исследованию задачи, при этом найдено большое количество решений. Определение всего множества решений при произвольно заданных угловых скоростях 15*

вращения дисков встречает заметные вычислительные трудности. Они обусловлены тем, что все многоячеистые решения не возникают вследствие бифуркаций одноячеистого решения [230], а являются изолированными, что для гидродинамики, вообще говоря, нетипично.

Наличие дополнительных параметров вдува или отсоса значительно усложняет задачу. Это привело к тому, что более сложные течения между вращающимися дисками, на которых задан равномерный вдув или отсос, анализировались в основном вне связи с проблемой неединственности решений уравнений Навье — Стокса [243, 56, 169, 171, 170, 192, 185, 217, 214, 252, 254, 253, 168, 72, 106]. Однако наличие достаточно большого отсоса в задаче с неподвижными дисками приводит к неединственности нового типа, а именно, к бифуркации вращения, которая имеет нетривиальную физическую интерпретацию в виде спонтанной закрутки течения [48].

Возникает проблема описания всего множества решений для автомодельных течений кармановского типа в зависимости от величины угловых скоростей дисков и скорости равномерного вдува или отсоса. В определенной степени ее удается решить сведением краевой задачи о течении между вращающимся пористым диском и плоскостью к задаче Коши с двухпараметрическим семейством решений [48]. Это делает проблему вполне обозримой и позволяет с помощью несложного алгоритма в принципе определить все семейство решений. Поскольку численные расчеты указывают на то, что существует множество изолированных решений, были предприняты многочисленные попытки строго доказать (или опровергнуть) существование таких решений. Для задачи с непроницаемыми дисками достаточно полное изложение соответствующих результатов можно найти в упоминавшихся ранее обзорах.

В случае задачи со вдувом или отсосом известны лишь отдельные частные результаты. Так, Элькрат [167] доказал теорему существования и единственности для невращательного движения жидкости между неподвижными пористыми дисками при произвольных равномерных вдувах или отсосах. Каких-либо точных результатов, касающихся автомодельного течения между вращающимися дисками с равномерным вдувом или отсосом, нет. Тем не менее невязкий анализ позволяет установить некоторые закономерности поведения решений и в этом случае.

В разд. 4.3 рассматривается общий вид невязкого вихревого решения, позволяющий установить в пределе исчезающе малой вязкости v 0 существование не более чем конечного числа решений при наличии вдува или отсоса, тогда как в случае непроницаемых дисков число решений не менее, чем счетно [221]. При v > 0 невязкий анализ дополняется численным исследованием, при помощи которого определено существование решений различных типов на основе специально разработанного алгоритма.

Здесь, чтобы сделать решение автомодельной задачи о течении между двумя бесконечными пористыми дисками обозримым и доступным для анализа в целом, рассмотрим только задачу о течении жидкости между вращающимся пористым диском и неподвижной плоскостью. Эта задача качественно моделирует течение под телом на воздушной подушке и поэтому может быть интересна с практической точки зрения. Течение определяется двумя параметрами: числом Рейнольдса Re = Vhjv, построенным по скорости вдува или отсоса, и параметром крутки К = йк!¥, где К ■— расстояние между дисками, Q — угловая скорость пористого диска. Выбор параметра К, вместо традиционно используемого вращательного числа Рейнольдса Неш = Qh^fv или числа Экмана Ek = 1/Rem применительно к диску на воздушной подушке с вращением, более удобен, поскольку К характеризует только геометрию устройства, закручивающего поток [37]. В общем случае необходимы еще два параметра: отношение угловых скоростей дисков и отношение скоростей вдува или отсоса.

Постановка задачи

Пусть координата z = О соответствует неподвижной непроницаемой плоскости, a z = h — вращающемуся пористому диску, через который осуществляется равномерный вдув или отсос жидкости. Уравнения Навье — Стокса для осесимметричного движения несжимаемой жидкости запишем в форме (обозначения стандартные)

"01 + ^э?^"01 + ^э?^1_0р_/ Э 1 0™т_ d\

"01 + ^э?^

"01 + ^э?^

р dr ' V dr г 0г §^

(2)(2)(3)(3)(4)(4)8'"% , 9гич, , д,ТФ / 9 1 9гиЧ> , ^фУdt + Уг 0г + Vz 9z — V V dr г 0т + у22

(2)

(2)

(3)

(3)

(4)

(4)

£ 0р^ш^У

р 0Z V \ Г 0г Г 0Т 01" )

0rv_0TV.

—L -1:

0Т0Z

Автомодельное решение кармановского типа будем искать в виде и2 = иДг, 1); уф — гы (z, £). (5)

В соответствии с (2.4) имеем ит =— 1/2 -rvz, где штрихом обозначено дифференцирование по z. Согласно (1) dpjdr = prF (z, t), тогда как согласно (3) dp/dz = p/(z, t), так что д2р] (dr dz) = 0. Следовательно, F' = 0 и F = F(t^. Для дальнейшего удобно положить F = —1/2 • а2б, где а —а(£)—искомая величина, б = ±1. Та-

ким образом, имеем

(6)

Подстановка полученных результатов в (1) дает уравнение

= vy" + А к'2 — vzvz — 2и2 — а?6.(7)

Дифференцирование этого уравнения по z позволяет исключить неизвестную величину а:

^- = vAv — иги" — 4(0(0'.(8)

Аналогичным путем, исходя из (2), получаем уравнение

Al = УО)" — uzm' + щсо.(9)

Для системы уравнений (8), (9), кроме начальных, ставятся краевые условия прилипания:

Vz (0) = 0; иг (0) = 0; <о (0) = 0;

уг (h) = V; vz (К) = 0; <о (/г.) = Q.(10)

Количество условий (10) соответствует порядку системы (8), (9). Далее в основном изучается стационарная задача, в которой dvjdt = 0, dmldt = 0. После обезразмеривания в стационарном случае появляются два независимых физических параметра: число Рейнольдса Re = VHh и степень закрутки потока К = йЫУ.

Даже в стационарном случае нелинейная краевая задача (8) — (10) трудна как для аналитического исследования, так и для численного решения. Для изучения всего множества возможных решений стационарную краевую задачу целесообразно свести к задаче Коши. Введем новые переменные, положив

иг= V^av W(z); vr =— A arW' (ж); цф=ссгу(ж); х = г^о^м.

(И)

В этом случае стационарные уравнения (7), (9) можно записать в форме, не содержащей параметров:

W” = WW" - A W'2 + 2у2 + 6;(12)

4"=^'-^',(13)

где штрихом уже обозначено дифференцирование по х. Заметим, что согласно (6) величина а имеет размерность с-1, так что переменные х, W и у безразмерны. Начальные условия ставятся при х = 0:

1В = 0; W' = 0; W" = Р; ч = 0; ^ = Q.(14)

Задача содержит всего два параметра: Р и Q, что и позволяет провести полное исследование отдельно для б = +1 и б = — 1. Перебирая параметры — °° < Р < оо, О =S Q < °°, можно получить все семейство решений исходной краевой задачи со всеми допустимыми значениями Re и К.

Связь задачи Коши (12) — (14) с исходной краевой осуществляется путем интегрирования системы уравнений до такого значения ж = ж„, где выполнено предпоследнее условие (10), т. е. W' (хт) = 0. Величины Wm = ТУ (хт) и у™ = у (я™) при этом определяются. С помощью (11) их можно без труда связать с исходными параметрами задачи Re и К. Предварительно определив величину а = Хт\!№, имеем

Re H^m^m, К === Ут^т/И^т. (15)

Задача Коши (12) — (14) для каждого набора Р, Q, б имеет единственное аналитическое решение, которому может соответствовать одно, несколько или ни одного значения жт> 0, где И"=0.

Нетрудно вычислить силу взаимодействия потока со стенками, если воспользоваться выражением для тензора плотности потока импульса:

Пу — рПу — р+ P^ij-+ P^ij-/9ю Эи-'

Пу — р

Пу — р

+ P^ij-

+ P^ij-

ViVj — V д|-

1 J1 дхг

Исходя из (3), для стационарного случая нетрудно получить

Р Р0 , 0VZ VZ «26 2„

— =+ v ——■г • Тогда с учетом (11) и равенства

,2,2хт = находим

,2

,2

ГТ п ру2г2 4 е I РУ „2чКА

При расчете силы, действующей на диск большого радиуса R, последнее слагаемое можно не учитывать. Поэтому, выбирая константу р0 из условия p^R) = 0, получаем выражение для подъемной силы:

кF = 2л J IYMrdr = ^ ^б окF = 2л J IYMrdr = ^ ^б о1 + 01 + 0/^у/^у(16)(16)

к

F = 2л J IYMrdr = ^ ^б о

к

F = 2л J IYMrdr = ^ ^б о

1 + 0

1 + 0

/^у

/^у

(16)

(16)

Для момента сил на любой из стенок имеем

R

(17)(17)М = 2л J TLVW = ^ Я (У" (ТИу - у') |ж=0,х,0■

(17)

(17)

Намеченную программу проще всего реализовать численно, оставив аналитическое исследование лишь для предельных случаев.

Физический анализ задачи

Прежде всего заметим, что величина б согласно (6) однозначно определяет знак радиального градиента давления. Значению 6 = 1 соответствует зона повышенного давления вблизи оси симметрии течения, значению 6 = — 1 — зона разрежения.

Строгий асимптотический анализ задачи представляет большие трудности и едва ли оправдан. Тем не менее для предварительного исследования качественного поведения решения полезно рассмотреть на физическом уровне предельные случаи » и v 0, исходя непосредственно из постановки стационарной задачи (8) — (Ю). В случае v-* °о после отбрасывания нелинейных членов получаем wz = а26, т" = 0. Решение, удовлетворяющее условиям (10), имеет вид

t

/\ 2/ \ЗП2 о

(18) \ h /\ 7г. / JЛ.12vv '

Последнее соотношение показывает, что вдуву (И<0) отвечает 6 = 1, отсосу 6 = — 1. Связь между параметрами Re, К и Р, Q имеет вид

Re = - -| Р^- К = 6Q/P.(19)

Без ограничения общности можно считать, что й > 0 и Q > 0. Тогда знак Р совпадает со знаком скорости V, так что в случае отсоса Р > 0, а вдува Р < 0. Все эти свойства вполне согласуются со здравым смыслом: при вдуве под диском формируется зона повышенного давления, при отсосе, наоборот,— зона разрежения.

Рассмотрим теперь стационарное «невязкое» решение, положив в (7) и (9) v = 0. В этом случае уравнение (9) легко интегрируется [165]:

со = 4 nz; А = const.(20)

С учетом (20) уравнение (7) принимает вид

+ у^ + а26 = 0(21)

и имеет общее решение

В ,/д2 + 2а2д . л ,,99Х

= д +sin A (z + z0),(22)

где В, zo — произвольные постоянные. Из (21) и (22) следует, что для обращения и, в нуль необходимо иметь 6 =+1. При 6=—1, как это непосредственно видно из (21), существует особое решение vz = const, соответствующее твердотельному вращению со2 = а2/2.

Выражения (20) и (22) описывают четырехпараметрический

класс вихревых движений идеальной жидкости. Выбором параметров А, В, zo, а в принципе можно удовлетворить четырем из шести условий (10). Какие именно условия следует взять для получения содержательного результата, выясняется из конкретной физической постановки задачи. Одним из важных физических требований в этом случае является отсутствие пограничных слоев на участках втекания жидкости [147]. Однако следует иметь в виду, что в процессе предельного перехода v^ 0 в результате образования пограничных слоев физические граничные условия (10) могут «стираться». Анализ и численные расчеты показывают, что так и происходит, при этом могут «стираться» не только условия прилипания, но и непроницаемости! В таком случае параметры решения должны определяться путем детального рассмотрения предельного перехода v^ 0 в полном вязком решении.

Достаточно полный анализ задачи в случае непроницаемых дисков изложен в упомянутых обзорах [221, 262]. В случае вращающихся пористых дисков с равномерным вдувом или отсосом ситуация качественно меняется. Прежде всего заметим, что невязкое решение (20), (22) способно удовлетворить пяти условиям из шести в (10). В случае вдува такое решение единственно и имеет вид

щ = FsinA^sinA^--^sin2^ (23)

К „ Ah Q.hю = K=-2=-V-

Решение (23) из всех условий (10) не удовлетворяет лишь условию прилипания vz (0) = 0, поэтому естественно допустить, что при v 0 в вязком решении на непроницаемой стенке z = 0 возникает классический пограничный слой. На проницаемом диске, поскольку рассматривается случай втекания, пограничный слой должен отсутствовать, что обеспечивается выполнением условия ^z(^) = 0 для решения (23).

Решение (23) является знакопостоянным лишь при К =С л/2. Замечательно, что при К = л/2 условие прилипания иг (0) = 0 также выполняется, так что решение (23) в этом случае заведомо является точным пределом вязкого решения при v 0. Отметим, что на этом решении параметр а = 0, т. е. согласно (6) др]дг = О. Это видно из соотношения

а26 = 2 ^j2 К^й^К, (25)

которое получается подстановкой решения (23), (24) в уравнение (21). Если К > л/2, то решение (23) знакопеременно и описывает многоячеистый режим. Однако аналитическое решение (23) в окрестности точки zo, такой что щ(зо) = О, не является пригодным.

Это непосредственно следует из стационарного уравнения (9)

vco" = игю' — ргю. (26)

На аналитическом решении (23) оба слагаемых правой части (26) имеют нуль первого порядка, тогда как со" (zo)^0. Следовательно, в окрестности точки Zo вязкий член отбрасывать нельзя. Сказанное означает, что предельное решение при v -> 0 следует строить как составное из невязких решений, различных по разные стороны точки Zq, где возникает внутренний пограничный слой. Ситуация здесь такая же, как и в теории гидродинамической устойчивости, когда в результате вырождения дифференциального уравнения (kz(zo) = O в (21)) возникает критический слой [89]. Наиболее естественно искомое составное решение строится из физических соображений, если допустить, что при К > л/2 величина а = 0.

Согласно (25) увеличение К от нуля до значения л/2 приводит к падению градиента давления а2б до нуля. Дальнейшее увеличение вращения согласно (25) должно вызвать повышение давления вблизи оси, что физически представляется неприемлемым. Однако если а = 0 при К > л/2, то в зоне zo < z < h решение имеет вид

pz = Psin2^—^, ю = ^-иг, z0 = h^--^. (27)

Решение (27) характеризуется тем, что при z = zo не только иг = — (о = 0, но и vz = 0, т. е. в этой точке жидкость покоится. В таком случае и во всей зоне 0 ^ z ^ zq допустим покой. Такая возможность составного решения не является единственной. Например, в зоне O^z^zq допустимо «собственное» движение с полем скорости

vz = С sin3 (nz/z0); <о = — vz, . (28) zo

где С — произвольная постоянная.

Следует отметить, что собственное решение (28) не является единственно возможным нетривиальным решением в области 0 =5 ^ z < z0. Эту область можно разбить на сколь угодно большое количество подобластей так, что в каждой полученной зоне осуществляется «собственное» движение типа (28).

Согласно Партеру [221], решения вида (27), (28) являются предельными для вязкого решения при v ->■ 0. Величина С в (28) может быть получена методом сращиваемых асимптотических разложений [165], который в данном случае сводится к следующему. В уравнении (26) принимается vx = A (z — zo)2, где в рассматриваемом случае вдува А < 0. Решение линейного уравнения (26) получается аналитически в виде функции Куммера U\—2/3, 2/3, A (z — zo)3/(3v)], имеющей различное асимптотическое поведение

при z +°° иг- — оо, так что

= - 2*.(29)

О) (— оо)'’

Разумеется, соотношение (29) справедливо лишь при условии, что движение имеется по обе стороны границы z = zq. Из (29) видно, что при переходе через границу zo вращение жидкости изменяется на противоположное. Этот анализ показывает, что у сращиваемых решений при z = z0 непрерывны щ, р2, vZl со и со', а более высокие производные имеют разрыв. Разрывность функции ю" в точке zo при условии непрерывности иг предопределяет скачок константы к в соотношении со = kvjh.

Пусть в области z < zq к = кь тогда в соответствии с (29) имеем кх,к = — 1/2. Записывая условия непрерывности в терминах составного невязкого решения (27) и определенного в некоторой области zi =С z =С Zo собственного решения вида

получим соотношения

к, = - 1/2 • К, k[V1 = №7,(31)

которые ограничивают произвол в выборе подобластей с собственными решениями. В частности, сопоставляя (30) и (31), с учетом (27) имеем zi = fe(l — 5л/2Х). Следовательно, поскольку должно быть zi > 0, собственная циркуляционная зона может возникнуть лишь при К > л/2. Если л/2 < К < 5л/2, то в области z<z0 жидкость покоится. Заметим, что и при К > 5л/2 допустимо решение с щ = 0 при z ^ zo, так что имеет место неединственность предельных режимов. Число подобных решений возрастает с ростом К. Обобщая соотношения (31), можно записать

кй = К; ki = - 1/2^_15 к^ = k^V^v,(32)

Во = V < 0,

где i = 1, 2, ...— порядковый номер внутреннего пограничного слоя, отсчитываемый от вращающегося пористого диска. Нетрудно видеть, что местоположение i + 1-го внутреннего пограничного слоя определяется выражением

Zi = Zi-i — КтЦХкД.(33)

В силу ограничения Zj 3$ 0 получаем, что количество дополнительных зон с собственным движением определяется величиной К. Так, в соответствии с (32), (33) в интервале 2л (2n+1 — 1) Ж — л/2 5®2л(2п— 1), и = 1, 2, 3, ..., возможно существование п дополни-

тельных зон. При этом зоной покоя может быть лишь непосредственно прилегающая к плоскости z = 0. Поэтому числа возможных решений составляет п+, 1. Заметим, что при переходе к непроницаемым дискам, когда К-^со, число решений неограниченно возрастает.

В случае отсоса (V > 0) решения (27), (30) также являются допустимыми. Однако метод сращиваемых асимптотических разложений, примененный в окрестности вращающегося пористого диска z = h, при условии непрерывности нормальной скорости дает /со = 0. Действительно, пусть в малой окрестности z = h скорость имеет компоненты: vz = V + О( (h — z)2); vr = O{h — z). Из уравнения (26) найдем

to = fiev<z-,l,/41 + O(z-/i)].

Это соотношение характеризует равновесие между диффузией вращения от торца z = h в глубь жидкости и конвекцией за счет отсоса.

В пределе при v 0 величина со 0 для всех z < h. В этом случае решение во внутренней области течения имеет вид

.2

vz=V-v, (о = О; 0^z</i,(34)

h

а при z = К существует тонкий пограничный слой. Однако при наличии отсоса (6 = — 1), как уже упоминалось, существует особое невязкое решение vz = const. Оно не может удовлетворить условию непротекания на плоскости, но уравнения Навье — Стокса (1) — (4) допускают существование неклассического пограничного слоя, на внешней границе которого дана нормальная скорость vz ~ 1. Для такого пограничного слоя стандартным образом можно получить оценки

6„~v; pr~l/v; ыФ ~ 1/v; а ~ 1/v,(35)

где 6„ — толщина пограничного слоя. Оценки (35) обусловливают существование интенсивных приграничных течений с большими касательными скоростями. В частности, весь радиальный поток сосредоточен вблизи стенок z = 0 и z = h. Эти пограничные слои совместимы с особым решением vz = const, поэтому допустим невязкий предел

vz = const; (о2 = —а2б/2 = const,(36)

и наряду с решением (34) существуют решения вида a>i = a/72; юг = — а/72; а ~ 1/v. (37)

Решение (36), (37) необычно в двух отношениях. Во-первых, оно характеризуется разрывами нормальной скорости vz на границах z = 0 и z = h. Во-вторых, внутреннее вращение становится сколь угодно большим при v ~* 0 независимо от заданного значения о (h) = £2, что свидетельствует о генерации вращения внутри обла-

сти течения. Но тогда можно ожидать такой генерации и при Q = 0. Если это так, то должно найтись Re, при котором подобное самовращение возникает впервые, поскольку при малых Re решение (18) единственно. Как известно, явление прямой бифуркации сопровождается потерей устойчивости исходного режима [3]. Поэтому для нахождения предполагаемой точки бифуркации применим энергетический метод.

Рассмотрим задачу об отсосе через верхний покоящийся диск при произвольных Re. Эта задача имеет единственное решение в предположении п<р = О [167]. Умножая нестационарное уравнение (9) для ф-компоненты скорости на ю и интегрируя по z от 0 до к, приходим к энергетическому равенству

(38)(38)

(38)

(38)

где произведено интегрирование по частям с учетом граничных условий прилипания со (i, 0)=®(£, /г.) = 0. Если при уменьшении v правая часть (38) становится положительной, исходное движение теряет устойчивость по отношению к вращению. Это заведомо произойдет, если второе слагаемое положительно, а первое обращается в нуль при v 0. Для оценки потери устойчивости достаточно ограничиться случаем малых (о, когда основное течение описывается решением без вращения, которое при v ^ 0 на верхней стенке переходит в (34) с образованием обычного пограничного слоя. Поэтому при малых вязкостях первый член в правой части (38) можно оценить, используя подход теории пограничного слоя

где бш ~ (v/coo)1/2 — толщина пограничного слоя по скорости рф, a coo — некоторая характерная угловая скорость вращения. Таким образом, при v 0 вклад этого интеграла пренебрежимо мал.

Используя результаты работы [167], можно показать, что решение задачи без вращения (со = 0) монотонно: для отсоса дщ/dz > 0, а для вдува dvjdz < 0 при 0 < z < h для всех значений вязкости v. В частности, в случае отсоса невязкий предел имеет вид (34). Поэтому второе слагаемое в правой части (38) положительно. Итак, решение с отсосом без вращения при достаточно больших числах Рейнольдса неустойчиво относительно вращательного движения. В случае вдува из (38) следует затухание вращения при всех v.

Как уже указывалось, возникновение вращательной неустойчивости с ростом числа Рейнольдса, которая имеет место при отсосе через верхний диск, является признаком бифуркации стационарного решения. Исходя из уравнения (38), можно оценить число Рей-

нольдса, при котором происходит такая бифуркация. Для этого используем известное неравенство Куранта [109]

hh

J dz ^ j0)2 dz (°)= и = °) o'0

в виде оценки, где знак больше или равно заменен на знак равенства по порядку величины. Второй интеграл в правой части уравнения (38) оценим, учитывая, что величина dvjdz не меняет знака, в следующем виде: hh

С dyz 2 Л V C 2 ,— co2 az ~ — co2 dz,J dzh J ’

о0

где V — скорость отсоса через верхний диск. Отсюда найдем, что критическое число Рейнольдса, при котором правая часть (38) обращается в нуль, имеет значение

Re* ~« 6,5.(40)

Оказывается, что, несмотря на грубость приведенной оценки, точный расчет значения числа Рейнольдса, при котором наблюдается бифуркация вращения, приводит к величине, очень близкой к значению (40).

Помимо полученных результатов соотношение (38) может быть использовано для оправдания существования особых стационарных решений (36), (37) с неклассическими пограничными слоями. Действительно, для таких решений оба члена в правой части (38) имеют одинаковый порядок при v 0, hh

v Ы dz ~ \ dz ~ 1/v2, о0

что и является необходимым условием существования стационарного режима. Численное исследование эволюции автомодельных решений подтверждает существование устойчивых особых стационарных решений (см. разд. 4.5).

Результаты численных расчетов

В соответствии с программой, намеченной в разд. 4.2, решению подлежит задача Коши (12) — (14). Рассмотрим характерный пример поведения интегральных кривых W'(ж) при фиксированных значениях Р = 0,5, 6 = - 1 и различных Q. Данные расчета представлены па рис. 85, где приведены четыре интегральные кривые. Для решения краевых задач необходимо искать значения хт

такие, что W' (жт) = 0. Рис. 85 свидетельствует в пользу того, что в конечном счете все кривые уходят в +°°, причем это происходит при конечных х„, как это типично для нелинейных уравнений. Судя по результатам многочисленных расчетов, данное свойство «притяжения» решений к + °° имеет место при всех значениях Р, Q и 6, за исключением некоторых специальных случаев, например при Q* = 0, 6 = 1, Р*=—1,5603 функция W (ж) ограничена при всех ж > 0. Если 6 и Р положительны, то функция W' (ж)

при ж>0 нулей не имеет. То же имеет место при 6 = — 1, Р>0 и достаточно больших <2, как об этом свидетельствует кривая 7, построенная для <2 = 0,75 на рис. 85.

Уменьшение Q приводит к появлению двукратного нуля у функции W'(ж) (см. рис. 85,2; Q = 0,677). С дальнейшим уменьшением Q нули разделяются (см. кривую 3; Q = 0,32), а затем происходит рождение новой пары корней (кривая 4; (2 = 0,277). Мы видим, что одной и той же задаче Коши с фиксированными Р и Q может соответствовать несколько решений краевых задач с различными значениями хт = хта^ и соответственно физическими параметрами Rej и Kt. В случае Р > 0 и 6 = — 1 число таких «родственных» решений четно, а при Р < 0 нечетно независимо от 6. С уменьшением <2 до нуля число родственных решений неограниченно возрастает. В то же время при <2 = 0 и всех значениях Р из множества {для 6 = 1 —1,5603 < Р < 0; для 6 = —1 Р>0) решение единственно и не осциллирует.

Этот неравномерный предельный переход Q -> 0 имеет место и при других допустимых значениях Р*. Р <.Р* = — 1,5603 для 6 = 1, Р < 0 для 6 = — 1, при которых, если <2 = 0, нет ни одного решения. Следует подчеркнуть, что описанный процесс рождения пар родственных решений, хотя непосредственно и не означает неединственности решений исходной краевой задачи, тем не менее имеет к этому определенпое отношение, как. будет видно из дальнейшего.

Все расчеты проводились методом Рунге — Кутта — Мерсона с автоматическим выбором шага при относительной погрешности Ю~4 — Ю-5. Для определения числа родственных решений или, что то же самое, числа нулей функции W'(х) для данных Р, Q расчет проводился до тех пор, пока значение функций W (ж) не превышало 1010, что рассматривалось как свидетельство их обращения в бесконечность.

Практически для всех рассмотренных случаев соответствующее значение х„ не превышало 100. В процессе каждого расчета по формулам (15) определялись физические параметры Re и К. Отметим, что в силу определения числа Re = V/i/v Re > 0 соответствует отсосу через верхний пористый диск, a Re < 0 — вдуву, при этом при Q > 0 приходится рассматривать все значения К от — °° до + °°, поскольку из-за возможной знакопеременности со, отмеченной в разд. 4.3, может выработаться значение К < 0. Для описания всех решений краевых задач необходимо найти все родственные решения каждой задачи Коши.

Области существования родственных решений на плоскости Р, Q для случая 6 = —1 показаны на рис. 86, а для 6 = +1—на рис. 87. В области выше кривых 0 и 0' (см. рис. 86) решений, удовлетворяющих граничным условиям (10), нет. Ниже этих кривых появляется пара родственных решений. Ниже кривых 2 и 2', вплоть до кривых 4 и 4', имеются четыре родственных решения и т. д. Все кривые рождения пар родственных решений пересекаются в особой точке (Р* = 1,119, Q* = 0,459), являющейся фокусом, на который они наматываются. При стремлении к этой точке все жт.->оо. Кроме того, вблизи штриховой линии и оси Q = 0 также все хтг^- —>-оо, кроме хт . Штриховая линия разделяет область существования решения на две подобласти, свойства решений для которых существенно отличаются. На этой кривой так же, как и на оси <2 = 0, все Rei-*- — 00, кроме значения Rei, которое остается конечным и изменяется непрерывно. Значения Кг, кроме К\, на штриховой линии испытывают скачок от К4 до — К4. Тем самым правее штриховой линии располагаются режимы со знакопеременным вращением.

При (J -> 0 величина К; 0, что соответствует решению задачи о равномерном отсосе без вращения. Величина К\ на некоторой кривой (7^1 = 0) непрерывным образом изменяет знак. В режимах, отвечающих этой кривой, жидкость вращается, хотя диски неподвижны. Бифуркация такого самовращения, которое обсуждалось в разд. 4.3, происходит в точке пересечения линий Q = 0 и К\ = 0. За меру интенсивности вращения в этом случае удобно принять величину Q (величина К = 0, следовательно, не может служить характеристикой вращения).

На рис. 88 представлены изолинии К = const для одноячеистых режимов на плоскости параметров Re, <2. Изолинии с К > 0 исходят из точки (0, 0), а с К < 0 из («з, 0). С ростом Re все изолинии стремятся к асимптоте Q = Q*. Кривая К = 0 есть кривая самовращения. Самовращение возникает при критическом значении Не* = 6,5, что вполне согласуется с оценкой разд. 4.3. Как видно из рис. 88, возбуждение мягкое, что свидетельствует об устойчивости нового режима и неустойчивости исходного [3].

Решения с 6 = 1 могут быть получены из решений для 6 = — 1 непрерывным образом. Для этого достаточно склеить плоскости рис. 86 и 87 вдоль оси Q и соединить полуплоскости Р < 0 на бесконечности. При этом кривая 2 на рис. 86 будет непрерывно переходить (на бесконечности) в кривую 1 на рис. 87, кривая 4 — в кривую 3 и т. д. При пересечении оси <2 справа налево одно из решений с плоскости 6 = — 1 переходит на плоскость 6 = 1, где решения существуют только при Р < 0. На плоскости 6 = 1 существует особая точка Р* =—1,5603; Q* = 0, в которой сходятся все кривые 1, 3, 5, ..., но в отличие от аналогичной точки на плоскости 6 = — 1 она имеет структуру не фокуса, а узла.

В области I на плоскости 6 = 1 режим одноячеистый. Бифуркации вращения на линии <2 = 0 в отличие от случая отсоса не происходит. На отрезке 0> Р > Р*, Q = 0 число Рейнольдса конечно, на 16 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

луче Р <.Р* бесконечно. Карта режимов в физических переменных Re и К представлена на рис. 89. В областях I, III, V и т. д. существуют соответственно одно, три, пять и т. д. решений. Эти решения отличаются топологически как по числу ячеек, так и по наличию противовращения. На рисунках представлены схемы с характерным поведением скоростей щ (сплошные линии) и кф ~ со (штриховые линии). Сплошной рамкой обозначены решения устойчивые, а штриховой — неустойчивые относительно автомодельных возмущений.

В области I решение устойчиво и имеет знакопостоянное вращение. Ниже штриховой кривой I это решение имеет одну ячейку (а), выше ее—две ячейки (а'). Кривая 2 есть граница области III, в которой кроме указанного устойчивого решения имеется еще два неустойчивых решения &i и Ьа. Оба имеют знакопеременное вращение, но первое — одноячеистое, а второе — двухъячеистое. Дополнительные вращения не связаны бифуркационной кривой с исходным устойчивым решением. В области V (выше кривой 3) добавляются еще два решения, причем оба характеризуются знакопеременным вращением и являются неустойчивыми.

Представляет интерес сравнение результатов невязкого анализа (см. разд. 4.3) с численными расчетами при больших числах Рейнольдса. Следует отметить, что практически в рамках предлагаемого метода расчета имеется возможность получать решения при больших числах Рейнольдса ~ 104 — 105 только в случае вдува. В случае отсоса с ростом Re при данном К величины (И, 0-> —^Р*, Q*) асимптотически, навиваясь на предельную точку, что значительно увеличивает требования к точности расчета и при до-

ступной машинной точности не позволяет получать решения с большими значениями Re. С другой стороны, как было указано в разд. 4.3, при отсосе возникают неклассические пограничные слои, что отражается в указанных трудностях численного расчета.

Возможная качественная картина поведения решений при Re оо (у -> оо) в случае вдува представлена в разд. 4.3, где было отмечено, что дополнительные решения возможны лишь при К > 5л/2. Этому факту на первый взгляд противоречит наличие решений типа Ъ\ в области III (см. рис. 89), которые имеют максимум скорости vz внутри области течения, чего не может быть для решения (27). Численные расчеты показывают, что при увеличении числа Re внутреннее движение усиливается в гораздо большей степени, чем течение вблизи границы z = h, так что в пределе решение становится близко к «собственному», соответствующему решению (23) при К -*■ л.

Следовательно, решения типа b конечного предела не имеют. Возможно, именно этим объясняются затруднения при численных расчетах таких решений. Удается достигнуть значений чисел Рейнольдса, не превышающих 50, тогда как число Рейнольдса, построенное по максимуму скорости, составляет в этих случаях ~ 105. Изложенные характерные особенности течения ставят вопрос о строгом математическом анализе предельного перехода у 0 при К, больших или меньших л. Впрочем, как будет показано, все такие решения неустойчивы и физического интереса не представляют.

Решения, возникающие в области F, имеют конечные невязкие пределы, соответствующие составным решениям (27), (30), (31). Это подтверждается свойствами численных решений при больших значениях Re. Так, величина /с = щ (z)/(7mo (z)) является в случае малых вязкостей адиабатическим инвариантом, изменяющимся скачком при переходе через внутренний пограничный слой по закону кг = —^кг_г (У<0), совпадающему с (32). Таким бразом, результат (29), полученный методом сращиваемых асимптотических разложений, получил численное подтверждение на полном вязком решении.

Карта режимов для течения с отсосом представлена на рис. 90. В области I имеется одно стационарное решение, в областях III, ПГ — три, в областях У, V' — пять и т. д. решений. В рамках представлено характерное поведение скоростей vz и кф (обозначения те же, что и на рис. 89). В области I решение устойчиво и имеет одну ячейку со знакопостоянным вращением. При переходе через штриховую кривую 1 характер течения, соответствующего этому решению, изменяется, А-^А'. Кривые 2 и 3 являются границами областей III и ПГ соответственно, область пересечения которых обозначена как V—V'. Граница 2 начинается в точке К = 0, ^е = Re* = 6,5, так что решения в области III своим происхождением обязаны наличию бифуркации вращения в этой точке. Одно 16*

из них неустойчивое, — Вх, другое устойчивое, В^. Оба решения являются одноячеистыми со знакопеременным вращением. При переходе через штриховую кривую 6 характер течения, отвечающего первому решению, изменяется, В1-^-В'г. В области Ill имеются два дополнительных неустойчивых решения Ci и С^ но они не связаны бифуркационной кривой с предыдущими решениями. Оба этих решения имеют знакопеременное вращение. Решение Сх— двухъячеистое, a Ci — трехъячеистое. При переходе кривой 4 в область V характер течения изменяется так, что неустойчивое решение С\ переходит в устойчивое Су. При переходе границы, составленной из верхней части кривой 4 и штриховой кривой 5 решение Сг преобразуется в С2, оставаясь неустойчивым.

Таким образом, в области левее кривой 2 существует единственное устойчивое решение А— А', а в области правее ее существуют два метастабильных решения А — А' и В а- В области правее кривой 4 имеется три метастабильных режима течения А', В^ и Cv Границы 2, 3 и 4 получены проекцией на плоскость Re, К трехмерных тел, изображенных на рис. 91 и 92, причем устойчивый режим течения Сг соответствует аномально большим подъемным силам. Как было показано в разд. 4.3, в случае отсоса асимптотически возможны только три типа решений. На рис. 90 их больше. Дело в том, что, как и в случае вдува, не все решения имеют конечный невяз-

кий предел. Таковыми на рис. 90 являются решения типа С, хотя следует отметить, что при конечных Re, К некоторые из них устойчивы.

Как уже указывалось, в случае вдува течение между дисками моделирует поток под телом, подвешенным на воздушной подушке. Интересно проследить влияние вращения пористого диска (тела) на величину подъемной силы. На первый взгляд, вращение должно уменьшать подъемную силу, действующую на пористый диск. Это действительно так для одноячеистых решений. Для многоячеистых решений ситуация резко меняется. На рис. 91 представлены семейства одноячеистых решений в виде поверхности в трехмерном пространстве F, Re, К, где F — подъемная сила, определенная согласно (16). Подъемная сила F на рис. 91 представлена в безразмерном

виде величиной Жтб (см. (16)). Поверхность решений образована изолиниями F = const и Re = const.

Эта поверхность имеет две несвязанные части и довольно сложный вид. На переднем плане, который соответствует течению с отсосом, нетрудно заметить неединственность решений, возникающую из-за бифуркации вращения. Эта бифуркация образует глубокую складку на поверхности решений и приводит к появлению решений с большими отрицательными значениями подъемной силы. Из этой фигуры видно, что на заднем плане для другой, несвязанной части поверхности решений, отвечающей вдуву, также существует область значений чисел Re и К, где решение неединственно, а именно, можно найти такие Re и К, при которых реализуются решения с разными по величине подъемными силами.

Как и следовало ожидать, положительная подъемная сила возникает лишь для течений со вдувом (Re < 0) и уменьшается с рос-

том параметра крутки К до нуля на штрихпунктирной кривой. При больших значениях К подъемная сила отрицательна. При дальнейшем увеличении К решение становится неединственным, что проявляется в неодносвязности поверхности. На плоскости Р, Q разрыву поверхности соответствует особая точка (Р*, Q^ при б = — 1 (Р<0). Следует отметить, что выбор области с положительными К не обязательно соответствует значениям (? 5= 0, а в силу инвариантности функции W(х) относительно замены Q на — Q или, что то же самое, К на — К, поверхность решений преобразуется симметрично относительно плоскости К = 0, поскольку при таких заменах Ч(ж) меняет только знак.

Поверхность в трехмерном пространстве Р, Re, К, отвечающая решениям с двумя-тремя ячейками, представлена на рис. 92 для случая отсоса (Re<0). На поверхности нанесены те же изолинии F = const, Re = const. Она имеет довольно сложный вид, причем возможны самопересечения. Интересная особенность рассматривае-

мых решений заключается в том, что положительная подъемная сила возникает теперь в задаче об отсосе, а ее величина более чем на порядок превышает значение подъемной силы в задаче о вдуве с од-, ноячеистыми решениями при тех же iRel и IAL Парадоксальным оказывается поведение дополнительных решений и при вдуве (Re<0), который приводит к очень большой топящей силе. Это проиллюстрировано на рис. 93, где представлена поверхность в F, Re, ^-пространстве, отвечающая дополнительным решениям области III (см. рис. 89). Если упомянутые решения с отсосом окажутся устойчивыми, то их было бы заманчиво использовать на практике для получения высоких значений подъемной силы для тела на воздушной подушке. Поразительно, что для этих целей необходимо организовать отсос (!), а не вдув.

Устойчивость

Ниже проблема устойчивости рассматривается в узком смысле автомодельной эволюции путем решения нелинейной начально-краевой задачи (8) — (10). Уравнения (8), (9) можно записать в безразмерной форме в виде системы

6 ■,(41)

и = 6;— = ю — uro + и ю,

8tRe

где z^zjh:, u(z) = щ/l Pl; co(z)юН]\El; Re=l7|A/v. Граничные условия (10) для функции u(z) приобретают вид

u(0) = 0, u'(0) = 0; u(l) = ±l, u'(l) = 0,(42)

где знак плюс отвечает отсосу, а минус — вдуву через пористый диск. В терминах величины 0 два последних условия (42) можно записать в интегральном виде

[ Qiz = 0;^ zQdz = + 1.(43)

оо

Для величины ю(г) имеем следующие граничные условия:

ю (0) = 0; ® (1) = X.(44)

Начальные условия для функций и, 0, со должны удовлетворять (42) — (44), а в остальном произвольны. Расчеты проводились по явной схеме конечно-разностным методом второго порядка точности, причем интегральные условия (43) выполнялись алгебраически точно с использованием формулы трапеций. Эти условия служат для вычисления граничных значений 6(0) и 6(1) по внутренним значениям функции 6(z), что позволяет для уравнения (41) на

каждом временном шаге использовать граничные условия первого рода.

Прежде всего была исследована устойчивость течения, отвечающего спонтанной закрутке жидкости между неподвижными дисками. Как и следовало ожидать, решение без вращения потеряло устойчивость при отсосе, когда число Рейнольдса превысило критическое значение Re* = 6,5, и эволюционировало к ранее найденному стационарному решению с вращением. При этом до чисел Рейнольдса Re ~ 9 эволюция носила монотон

ный характер, а при больших — осцилляционный. Профили скоростей yz(z), ®(z) для установившегося режима при Re = 10 представлены на рис. 94 (£—15, время установления ts« 10).

Исследование устойчивости решений в случае вдува показало, что устойчивыми являются только одно- и двухъячеистые режимы течения типа а (рис. 89), азимутальная скорость которых нигде в области 0 =5 z С 1 знака не меняет. Эти режимы существуют при всех значениях чисел Re и К. Все дополнительные решения, отвечающие знакопеременной функции o(z), являются неустойчивыми. Расчеты показали, что с ростом 1 Re I устойчивые решения стремятся к невязкому пределу (23), (24) или (27), если К > л/2. В последнем случае реализуются решения с внутренним пограничным слоем. Таким образом, для любых заданных Re и К в случае вдува устойчивое решение единственно.

В случае отсоса картина течения претерпевает существенные изменения. Первое, что необходимо отметить, это наличие нескольких стационарных устойчивых режимов течения (см. рис. 90). Так, кроме одноячеистых решений типа А со знакопостоянной азимутальной скоростью существуют устойчивые одноячеистые решения типа В2 и Сг со знакопеременной to(z). Наличие нескольких устойчивых стационарных решений тесно связано с упоминавшейся ранее бифуркацией вращения. Кривая 2 на рис. 90, ограничивающая область существования дополнительного устойчивого решения, начинается в точке К = 0, Re = Re*=6,5. В области правее кривой 2 решения бистабильны. В зависимости от того, является ли начальное распределение coo(z) знакопостоянным или меняет знак внутри области течения, эволюция приводит к тому или иному стационарному решению.

Отметим, что правее кривой 2 (см. рис. 90) появляются два дополнительных стационарных решения, но только одно из них устойчиво. Выше кривой 3 появляются еще два новых неустойчивых стационарных решения. Однако при переходе через кривую 4 одно из решений (Ci) становится устойчивым, причем его топологическая структура несколько меняется. Это решение имеет две ячейки и знакопеременное вращение. Оно отвечает большим подъемным силам, действующим на пористый вращающийся диск.

Таким образом, решения с большой подъемной силой, о которых шла речь в предыдущем разделе, в некотором диапазоне параметров Re, К оказываются устойчивыми, а точнее,— метастабиль- ными. Им соответствует фронтальная часть поверхности с F > 0 на рис. 90. К этим решениям, в частности, эволюционируют двух- трехъячеистые распределения скорости vz(z) со знакопеременной ®(z). Однако с ростом Re стационарное решение с большой подъемной силой все же теряет устойчивость (Recr > 20) и возникает периодическое по времени решение, т. е. рождается устойчивый предельный цикл.

На рис. 95 для случая Re = 30, К = 20 представлена зависимость от времени безразмерного трения тг2 = 0 (1, i)/Re и величины a(i) = = 0' (0, £) /Re. Как видим, решение является периодическим с безразмерным периодом Т = 0,4. При дальнейшем увеличении Re зависимость от времени усложняется. Такое поведение решения краевой задачи (41), (42) качественно напоминает поведение решений динамических систем, в частности систему Лоренца. Поэтому не исключено, что существует критическое число Рейнольдса Recr(X), при котором притягивающее множество нестационарных решений обретет черты странного аттрактора и решение станет стохастическим. К сожалению, исследование поведения решения нестационарной краевой задачи (41), (42) эволюционным путем с ростом Re становится все более затруднительным, а наличие дополнительного параметра еще больше усложняет задачу. Поэтому возникновение стохастичности для точных решений уравнений Навье — Стокса,

каковыми являются рассматриваемые автомодельные решения, требует дополнительных аналитических и численных исследований.

Другим нетривиальным свойством решений с отсосом является пеклассический невязкий предел при Re -*■ 00. Как уже указывалось в разд. 4.3, при наличии пограничного слоя на пористом диске при 2 = 1, который реализуется лишь в случае отсоса, невязкое решение может вести себя весьма нестандартным образом (см. (36), (37)). Для указанного решения не выполняются не только условия прилипания, но и непротекания (!). Численные расчеты при больших Re показали, что именно невязкий предел оказывается устойчивым в смысле автомодельной эволюции.

Характерные профили скоростей ^(г), ®(г) представлены на рис. 96 при Re = 100, К = 2 в момент времени t = 13 (время установления ts« 10). Решение получено эволюцией некоторого произвольного начального распределения скоростей, удовлетворяющего граничным условиям и ®o(z)^O. Результатом эволюции является решение с vz = const, о = const в ядре потока и с неклассическими сильными пограничными слоями вблизи твердых границ течения 2 = 0 и 2 = h. При переходе через эти пограничные слои осуществляется скачок нормальной скорости vz. К этому пределу стремятся оба устойчивых одноячеистых решения А' и В^ (см. рис. 90), причем бистабильность течения сохраняется и при Re » 1, что согласуется с (37).

Проблема устойчивости решений рассмотрена лишь в классе произвольных автомодельных возмущений. В общем случае она весьма обширна и нуждается в самостоятельном исследовании.

Обсуждение результатов

Некоторые из полученных результатов требуют дополнительного обсуждения и интерпретации. В первоначальной постановке задача об автомодельных решениях формулируется в бесконечной области с неограниченными на бесконечности скоростями vr и уф. Не этим ли обусловлены выявленные свойства полученных решений? Одним из таких свойств является неединственность. Если рассмотреть осесимметричное течение в конечной цилиндрической области радиуса R, то полная постановка краевой задачи включает в себя задание поля скоростей при r = R. При этом автомодельным решениям будут отвечать лишь специальные автомодельные граничные условия. Поскольку разным автомодельным решениям отвечают различные краевые условия, неединственность автомодельных решений не означает неединственности решений исходной краевой задачи. С этой точки зрения полученная неединственность формально является фиктивной. Однако она может иметь реальное физическое содержание, если допустить, что автомодельные решения обладают свойством асимптотической устойчивости по отношению к вариациям краевых условий при r = R.

Это означает, что при отходе от автомодельных граничных условий при r = R течение все равно стремится к автомодельному в ядре потока, а детали распределения скоростей при т = Р «забываются» в некоторой переходной неавтомодельной зоне. Такое поведение вообще характерно для диссипативных систем и не является невозможным для рассматриваемой задачи при условии устойчивости соответствующих автомодельных режимов. В данном случае пространство всевозможных краевых условий разбивается на ряд подпространств, которые стягиваются к соответствующим автомодельным решениям. Если это так, то неединственность автомодельных решений будет соответствовать действительной неоднозначности предельных режимов течения в области небольших г. При этом роль краевых условий при r = R сведется к переключению режимов. Эксперимент, по-видимому, подтверждает это. Как уже упоминалось, в разных экспериментальных установках при одинаковых числах Рейнольдса наблюдались разные автомодельные реяшмы течения.

Обсуждаемое свойство неединственности наиболее ярко проявляется при бифуркации вращения в случае отсоса. Спонтанное возникновение вращения в чисто осесимметричном случае на первый взгляд кажется невозможным. Это непосредственно следует из уравнения (2), представляющего квазилинейное уравнение для циркуляции Г = гуф. Поскольку уравнение не содержит самой величины Г, для него справедлив двухсторонний принцип максимума [80]: максимум и минимум достигаются на границе области. Значит, если на границе Г = 0, то произвольное начальное возмущение будет затухать. Но этот, безусловно, верный вывод относится лишь к течениям, «закрепленным» на границе условием Г = 0.

Следовательно, применительно к таким случаям возникновение самовращения возможно лишь вследствие действия довольно тонкого механизма: сначала течение теряет устойчивость по отношению к неосесимметричным возмущениям, а затем развивается устойчивый вторичный режим, имеющий ненулевое среднее вращение. Именно таким путем возникает при определенных условиях самовращение круглой струи [37].

Рассматриваемое в настоящей работе движение не является «закрепленным» на своей внешней цилиндрической границе. Напротив, кармановское решение (5) удовлетворяет условию отсутствия вращательного касательного напряжения

+ (45)

т. е. любая внешняя граница г = R может считаться «свободной» для вращательного движения. При граничном условии (45) запрет на возможность спонтанного возникновения вращения снимается и в принципе оно могло бы наблюдаться на опыте. Это наверняка

бы произошло в случае однородных краевых условий

= т = R, (46) 8r (г / dr '

которые совместно с условием (45) допускают существование точного автомодельного решения кармановского типа во всей области течения. Однако граничные условия (45), (46) не являются стандартными для гидродинамической задачи, и вопрос об их физической реализации на опыте остается открытым. Ясно, что одним из путей приближенной реализации условия (45) является задание надлежащего внешнего вращения при r = R. Но тогда проблема бифуркации вращения приобретает иной смысл и должна быть переформулирована.

Пусть дано распределение o)o(z) на границе r = R. Тогда при Re < Re* = 6,5 стационарное автомодельное решение тривиально: ®a(z)^0. В этих условиях следует ожидать возникновения неавтомодельной зоны, Rq<t<R, где осуществляется быстрое падение реального и (г, z) от ®o(z) до to (Ro, z) ~ 0, так что вращение в автомодельном ядре течения практически отсутствует. В случае Re>Re* соа (z) ^ 0, так что вращение должно проникать в ядро и достигать там вполне определенной величины, зависящей лишь от значения Re, но не от ®о (I). При этом, если too > юа, вновь должна возникнуть зона неавтомодельности, где ю(г, z) быстро убывает с уменьшением г. В случае же ®0 < ®а в неавтомодельной зоне должно иметь место нарастание со, что вполне совместимо со стремлением жидкости сохранять циркуляцию Г, впрочем при ®о < юа автомодельное вращение может и не достигаться.

С точки зрения приведенных рассуждений бифуркация вращения означает качественную перестройку потока при Re = Re*, что допускает экспериментальную проверку. С этой целью нами были поставлены специальные опыты. Схема экспериментальной установки представлена на рис. 97 (7 — подвод жидкости (дистиллированной воды) под давлением; 2— распределительные отверстия; 3— прозрачная крышка; 4— прозрачный неподвижный диск, 5— подвод жидкости, закручивающей основной поток; 6— неподвижный пористый диск; 7 — исследуемая область течения (RfH = 28); 8 — вывод жидкости; 9 — подвод красителя через тонкий капилляр для визуализации течения).

В качестве пористого диска была использована жесткая металлическая сетка, вследствие чего условия прилипания па пористом диске (сетке) не выполняются из-за наличия участков скольжения между соседними проволочками. Для того чтобы результаты экспериментов можно было сопоставить с теорией, была рассчитана задача с условиями скольжения на пористом диске

/dvz dvTTrz I1 177 + "a?/dvz dvTTrz I1 177 + "a?= 0;Z=A= 0;Z=A/ dvzТФ2 =+/ dvzТФ2 =+Эг /Эг /= 0,.2=Л= 0,.2=Л(47)(47)

/dvz dvT

Trz I1 177 + "a?

/dvz dvT

Trz I1 177 + "a?

= 0;

Z=A

= 0;

Z=A

/ dvz

ТФ2 =+

/ dvz

ТФ2 =+

Эг /

Эг /

= 0,.

2=Л

= 0,.

2=Л

(47)

(47)

Рис. 97.

которые в переменных (11) имеют вид

Ж,,Ы = 0; -у'^^О. (48)

В этом случае также имеет место бифуркация вращения одноячеистого решения, представленная на плоскости Re, К рис. 98. Критическое число Рейнольдса составляет Re* = 1,7.

В наших опытах для обнаружения бифуркации вращения на внешней границе дисков создавалась достаточно большая постоянно действующая закрутка течения, без которой вращение не наблюдалось. При помощи визуализации подкрашенными струйками было обнаружено, что при Re <1,7 в приосевой области течение остается незакручепным при всех доступных в опыте внешних закрутках. При Re = 1,7 ±0,1 происходит перестройка течения с возникновением вращения вблизи оси, не зависящего от величины внешнего вращения. Тем самым проведенные эксперименты подтверждают существование бифуркации вращения и говорят об устойчивости вращательного режима течения. Таким образом, утверждение об устойчивости вторичного режима с вращением относительно автомодельных возмущений, полученного численно эволюционным путем (см. разд. 4.5) оказывается верным и для любых возмущений. Это позволяет надеяться, что решения с большой подъемной силой, устойчивые относительно автомодельных возмущений, можно реализовать экспериментально, хотя следует иметь в виду, что в условиях неединственности они могут оказаться метастабильными с неизвестным «запасом» устойчивости.

Рис. 98.Рис. 98.

Рис. 98.

Рис. 98.

Следует иметь в виду, что для экспериментальной реализации двухъячеистых течений с большими подъемными силами типа Су (рис. 90) граничные условия

при r — R должны соответствовать двухъячеистой структуре тече

ния, представленной на рис. 99, где изображены линии тока (в ле

вом верхнем углу) и профили скоростей vz (кривые 7) и vr (кривые 2) для решения с отсосом. Это решение получено эволюцией при Re = 20, К = 20, £ = 8 (время установления t, « 5) и норми

ровано на скорость отсоса. Практически это означает необходимость сильного периферийного вдува с интенсивной закруткой. С этой

точки зрения представляется совершенно естественным возникновение больших подъемных сил в случае отсоса с противовращением, что, по всей вероятности, стабилизирует течение с зоной высокого давления под диском. Эти соображения было бы интересно подвергнуть экспериментальной проверке.

Таким образом, установлена неединственность и сложная зависимость от параметров класса точных автомодельных решений уравнений Навье— Стокса для течения несжимаемой жидкости между вращающимся пористым диском и непроницаемой неподвижной плоскостью. Наиболее ярко эта неединственность проявляется в парадоксе нарушения симметрии — бифуркации вращения для течения

между неподвижными диском и плоскостью при достаточно интен

сивном отсосе.

Другим парадоксальным свойством течения является аномально большое возрастание подъемной силы при некоторых скоростях вращения диска и отсоса (!) жидкости, причем реализующиеся режимы течения устойчивы в смысле автомодельной эволюции. С возрастанием скорости отсоса эти режимы становятся нестационарными. При больших отсосах реализуются два устойчивых стационарных режима течения с неклассическими пограничными слоями па твердых границах течения. В случае вдува имеется единственное

устойчивое стационарное решение. Экспериментально подтверждена бифуркация вращения, что позволяет надеяться получить опытным путем режимы с отсосом и аномально большой подъемной силой.

Разумеется, все результаты получены для ламинарных течений. Однако, поскольку найденные решения характеризуются объемными градиентами и внутренними пограничными слоями, можно предположить, что турбулентность будет свободной. Тогда результаты анализа сохранят силу, если ввести постоянную турбулентную вязкость [37]. Эти соображения дают основание для более глубокого экспериментального исследования рассматриваемого движения не только для его изучения, но и для возможных практических приложений.

Глава 4

НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ

ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ

В предыдущих главах описано большое количество различных парадоксальных свойств течений вязкой жидкости, которые в основном связаны с автомодельной постановкой задачи. Однако было бы неправильно полагать, что парадоксы возникают лишь благодаря определенной идеализации в постановке гидродинамической или тепловой задачи, каковой, в частности, является автомодельность течения, а в общем же случае ничего необычного в поведении решений уравнений Навье — Стокса и теплопроводности не должно быть. Имеются ситуации, когда парадоксальные свойства обнаруживают именно «реальные» неавтомодельные решения, в то время как идеализированное автомодельное решение ведет себя вполне «пристойным» образом.

Одним из таких примеров являются неавтомодельные затопленные струи. Источником кажущегося противоречия в этом случае является груз традиционных представлений, сложившихся в результате длительного развития гидродинамики (а может быть, и всей классической физики), хотя и не имеющих под собой достаточного основания. В частности, как правило, неявно предполагается, что «физическое» решение аналитично, а если оно вдруг оказывается неаналитическим, то это патология, связанная с некорректно поставленной задачей. Однако, как это будет показано ниже, именно неаналитическое решение в случае неавтомодельных струй, истекающих в пространство затопленное той же жидкостью, обладает необходимыми с физической точки зрения свойствами. Этот и ряд других, примыкающих к нему, парадоксов, среди которых неразрешимость краевой задачи и наличие скрытых инвариантов играют наиболее значимую роль, являются предметом обсуждения в данной главе.

ТЕПЛОВАЯ ЗАДАЧА

ДЛЯ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУИ

Прежде чем перейти к собственно гидродинамической задаче, рассмотрим сначала более простую задачу о теплообмене в автомодельной струе, бьющей из точечного источника, на примере которой можно отчетливо продемонстрировать необходимость введения 17 М, А. Гольдщтик, В. Н, Штерн, Н. И. Яворский

неаналитических решений. Эта задача обладает и рядом других парадоксальных свойств, имеющих нетривиальное физическое содержание [47].

Постановка задачи

Рассмотрим осесимметричную краевую задачу для стационарного уравнения теплопроводности вне некоторой сферы радиуса Ro с учетом влияния конвективного теплопереноса и объемного источника тепла, порожденного вязкой диссипацией кинетической энергии жидкости, если поле скорости соответствует автомодельной затопленной струе Ландау

(1)(1)Уд = — v ^-^-; у8 = — v —0; уф =0; х= cos 9.

(1)

(1)

Ось z (9 = 0) направлена вдоль оси струи. Функция

у (ж) = 2у (ж) = 21-х2 А — х1-х2 А — х(2)(2)

у (ж) = 2

у (ж) = 2

1-х2 А — х

1-х2 А — х

(2)

(2)

есть решение Ландау [86], где постоянная А > 1 монотонно связана с импульсом струи

Л

2лр j | уд + — — 2v -уд j cos 0 — ^дУ8 — v+ уд —

о

уе Rуе Rsin 0 г Я2 sin 0d0 = 16npvM 1 +sin 0 г Я2 sin 0d0 = 16npvM 1 +43 (Л2 — 1)43 (Л2 — 1)А 1--^InА 1--^InЛ +1Л-1Л +1Л-1]„ (3)]„ (3)

уе R

уе R

sin 0 г Я2 sin 0d0 = 16npvM 1 +

sin 0 г Я2 sin 0d0 = 16npvM 1 +

4

3 (Л2 — 1)

4

3 (Л2 — 1)

А 1

--^In

А 1

--^In

Л +1

Л-1

Л +1

Л-1

]„ (3)

]„ (3)

причем ]г -> 0 при Л ->- оо и Jz оо при Л ->- + 1. Поле скорости (1), (2) является точным решением уравнений Навье — Стокса.

На сфере радиуса Ro задается произвольное осесимметричное поле температур 7*о(9), на бесконечности температура принимается равной нулю. Возможны и другие постановки граничных условий на сфере 7? =Ro, в частности, можно задать граничные условия второго или третьего рода. Уравнение теплопроводности с учетом диссипации энергии в осесимметричном случае имеет вид

дТ .ат, v \/(8ик\2л о У 1 8ив,8ие"б? ,

Vr8R + Ve R89+ 2с„ [4 W У + 2 \ R 59 + dRR ) +

2+ лае + ctS 6 "д) J(4)

А 1 а а ,1 а . Q а

Д =45sin 9 -к,

r2 dR 3RД2 sin 9 5959’

где % — температуропроводность; с» — удельная теплоемкость. Следуя традиции, предположим, что решение уравнения (4) является аналитическим в окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. его

можно представить в виде разложения по целым степеням 1/7?

т (R, 6) = У Тп (с~—•(5)

Лп

После подстановки (1), (2), (5) в (4) с учетом того, что диссипативная функция имеет порядок 1/7?4, приходим к системе уравнений

(1 — ж2) тп — f 2я? 4- 2 Рг л _ ^ I тп + р(п — 1) + 2 Pr п X

' Л2-1, ])„' Л2-1, ])„И =£ 2.И =£ 2.(6)(6)

' Л2-1, ])„

' Л2-1, ])„

И =£ 2.

И =£ 2.

(6)

(6)

Для случая п = 2 имеем неоднородное уравнение

(1 — х^и" — 2ж + 2Рг(1 — х^и" — 2ж + 2Рг44 \ Г^Р'+ 2 + 4РГХ44 \ Г^Р'+ 2 + 4РГХ

(1 — х^и" — 2ж + 2Рг

(1 — х^и" — 2ж + 2Рг

44 \ Г

^Р'+ 2 + 4РГХ

44 \ Г

^Р'+ 2 + 4РГХ

Л2-1

U-хУ

16 Pr V2л

т2 =и; х = cos □;с»

U2-!)3 2Ли2-!)22 (.42 — 1):

_ 5£PPl11 + л2 + л

(А — х)3 (А — х)2 А — х‘

Здесь Ф(ж)— нормированная диссипативная функция; Pr = v/% — число Прандтля.

Поскольку ось струи (ж = ±1) при 7?#= О принадлежит области течения, то от решений уравнений (6), (7) следует требовать ограниченности в точках х = ± 1, в которых поле скоростей (1) согласно (2) аналитично. Линейные уравнения (6), (7) принадлежат классу Фукса [121], а поскольку в точках х = ± 1 определяющие уравнения имеют двукратные нулевые корни, то в окрестности каждой из особых точек х = ± 1 одно из решений каждого уравнения аналитично, а другое имеет логарифмическую особенность.

Таким образом, решения ведут себя подобно функциям Лежандра. Следовательно, требование ограниченности оказывается эквивалентным требованию аналитичности, и для физически приемлемых решений в граничных точках должны выполняться следующие условия:

Т2<(±1) + [п(п-Л)±^^]т„(±1)==0; п^2;(9)

Lл Т

Т 2м' (± 1) + [2 ± ^] и (± 1) + Ф (± 1) = 0.(10)

При n = 1 решениеПри n = 1 решениеTi (ж) = Ci (А — х) 2Рг,Ti (ж) = Ci (А — х) 2Рг,(11)(11)однородная краевая задача (6), (9) имеет нетривиальное

При n = 1 решение

При n = 1 решение

Ti (ж) = Ci (А — х) 2Рг,

Ti (ж) = Ci (А — х) 2Рг,

(11)

(11)

которое легко можно получить, интегрируя уравнение (6) при п = 1. Решение (11), получено Румером [113]. Оно соответствует точному решению уравнения теплопроводности без диссипативного тепловыделения Т = тДсоз 6)/Я, описывающему распределение температуры от точечного источника тепла, помещенного в начало координат, из которого бьет струя. Величина Ci > 0 определяется полным тепловым потоком

Л

Jq = 2лрс$ I Уд Г — % ^ LR2 sin 6cZ9 = 2npc1)%C1 X О

x{(l-2Pr)(A-l)i-2P4(d±|y 2Pr_i

+ 2Рг(Л + 1)-2P^(A- 1)[[^±|Г2Рг_1

Парадокс неразрешимости

Исследуем существует ли нетривиальное решение однородной краевой задачи (6), (9) при п = 2. Если такие решения найдутся, то разрешимость неоднородной краевой задачи (7), (10) ставится под сомнение. Действительно, в этом случае по известной альтернативе Фредгольма правая часть (7) должна быть ортогональной решению краевой задачи, сопряженной задаче (6), (9) при п = 2. Следует заметить, что задача о нахождении нетривиального решения для однородной краевой задачи эквивалентна задаче на собственные значения, в которой число Прандтля Рг будет собственным, если величину Л > 1 считать данной. Вообще говоря, спектр в рассматриваемом случае п = 2 не обязательно должен быть сплошным, как это имеет место при п = 1, и можно ожидать нетривиального решения задачи (6), (9) лишь при некоторых значениях Рг* (Л). К сожалению, получить аналитические результаты для общего случая трудно. Поэтому рассмотрим сначала случай струи с бесконечно большой интенсивностью, устремив Л-* + 1. Из (2) имеем

(2(1 + ж), —1^ж-<1;

У = к х = 1г откуда у'= 2— 86(1 — ж),(13)

причем коэффициент при дельта-функции находится из условия 1о

J у' (ж) dx = 0> где учтено, что J 6 (ж) dx = -^, е > 0.

—1—е

В этом случае в области — 1 < ж < 1 уравнение (6) можно представить в виде

(1 — ж3) < - 2 [ж + Рг (1 + ж)] т„ + [n (п — 1) — 2 Рг и] тп ='0. (14)

Нетрудно найти регулярное решение (14) в виде полинома от х степени к при следующих значениях числа Рг:

pr = 'L^Z^ к = 0, 1, 2, ....(15)

В точке х = 1 уравнение (14) не справедливо, а величина т„ может испытывать скачок.

Уравнение (6) можно представить как действие несамосопряженного оператора

Мп = ^1 - х^-Ргу + Ь(п- Г) - пРту'1

на функцию тп. По общим правилам найдем, что сопряженным к уравнению (6), Мпхп = 0, будет уравнение

^(1-т3)^ + Ргг/^- + (п-1)(ге-Ргу')кп = 0(16)

при естественном условии ограниченности рп(±1). Уравнение (16) нетривиально разрешимо, если

Рг^ЦД /с = 0, 1, 2, ...(17)

а величины у, у' даются выражениями (12), (13). Собственные значения (17) отвечают собственным функциям Vnk(x') в виде полиномов степени к. В случае п = 2 имеется также непрерывный спектр 0=£Рг<°°, которому соответствует собственная функция

v (ж) = С ^с +С = const, Рг 1;

и (х) = const, Рг = 1.

Таким образом, только в случае п = 2 имеет место нетривиальная разрешимость уравнения (14) одновременно с сопряженным к нему уравнением (16), причем соответствующее собственное значение Рг= 1/2. Заметим, что при Рг = 1/2 собственная функция (18) сопряженного уравнения (16) является знакоопределенной. Для того чтобы применить известную теорему Фредгольма, достаточно рассмотреть интеграл

1

I = \ иФйх(19)

и выяснить, равен ли он нулю (условие ортогональности правой части (7) нетривиальному решению сопряженного уравнения),. Нор-

мированная диссипативная функция Ф(ж) положительно определена. Отсюда в силу знакоопределенности к (ж) имеем /#=0, и неоднородная краевая задача (7), (10) неразрешима при Рг=1/2 и А -> + 1. Вместо параметра А удобно ввести число Рейнольдса, определенное по полному импульсу

Re = [ А/(л v2p)]1/2, (20)

так что при А -*■ + 1 Re ^ °°. При произвольных значениях Re существует кривая Pr = Pr* (Re), на которой решения неоднородной задачи не существует. Эта кривая была рассчитана следующим образом.

Для однородного уравнения (6) при п = 2 ставились две задачи Коши «+» и «—»:

(21)(21)4 (1) = 1, - 24' (1) + (2 + ^р) 4 (1) = 0;

(21)

(21)

4 (- 1) = 1, 24 (- 1) + (2 -и°_ (- 1) = 0.

точкеиме-точкеиме-Решение находилось методом Рунге — Кутта — Мерсона с относительной погрешностью на шаге 10-е. Интегрирование проводилось до некоторой точки сшивки жс, лежащей в области наибольших по абсолютной величине производных. Решение 4 (ж), аналитическое в окрестности точки х = — 1, при ж = 1, вообще говоря, становится неограниченным. Однако если существует такой набор параметров Re и Рг, при котором 4 (ж) является аналитическим и при ж = 1, то с точностью до постоянных множителей функции tA*_ (ж) и 4 (я) совпадут всюду на интервале [—1, 1]. Чтобы это произошло для линейного однородного уравнения второго порядка (6), достаточно совпадения функций и первых производных в произвольной жсе(— 1Д). Эти условия в терминах функций 4 (ж) и 4(ж) ют вид линейной системы уравнений

точке

име-

точке

име-

равен(22)равен(22)с_4 (жс) = с+4 (жс); с_4 (жс) = с+4 (4, которая имеет нетривиальное решение, если ее определитель нулю:

равен

(22)

равен

(22)

и°_ (хЛ (жс)A (Re, Рг)==0.

и°_ (жс) и\ (жс)

Разрешая уравнение (22), найдем значения Pr = Pr* (Re), при которых однородная краевая задача (6), (9) при п = 2 имеет нетривиальное решение. В этом случае вопрос о разрешимости неоднородной задачи (7), (10) рассматривается следующим образом. Условия непрерывности функций и их производных в точке ж = жс

имеют вид линейной неоднородной системы уравнений

c_u*L 4- и_ = c+u+ + и+;

c_ul + u_ = c+u+ + u+; х = хс,где и± есть частные решения неоднород-ного уравнения (7), удовлетворяющиеусловиям аналитичности в точках х = ±1

соответственно:

м+ (+ 1) = 1; Н~ 2и^- (+ 1) + f 2 -4- . M± (i 1) + Ф (i 1) ~ 0.

i a + 1/

В силу сделанного выбора Re и Рг определитель неоднородной системы А = 0. Поэтому задача разрешима только в случае обращения в нуль определителя

и,-— и_

•

и_ и+ — и_ х=х

Численные расчеты показали, что на кривой Рг = Pr* (Re) рис. 100, определяемой уравнением А = 0, определитель Ai#=0. Таким образом, неоднородная задача (7), (10) для чисел Re и Рг, принадлежащих этой кривой, неразрешима. Отметим, что при Re оо согласно рис. 100 Рг*—>-1/2, что находится в полном соответствии с приведенным асимптотическим анализом.

Неразрешимость краевой задачи (7), (10) в рамках принятых предположений означает неразрешимость полного уравнения конвективной теплопроводности (4) с полем скорости (1), (2), являющимся точным решением уравнений Навье — Стокса. Отсюда можно было бы сделать выводы о том, что уравнение энергии и уравнения гидродинамики несовместимы! Однако такой вывод является преждевременным, поскольку паши рассуждения существенно опирались па представление поля температуры в виде разложения по целым обратным степеням (5). В этой связи естественным является предположение о том, что парадокс неразрешимости связан с выбором разложения в виде (5), которое следует из условия аналитичности решений при 7? = °°, тогда как для физически приемлемых решений достаточно их регулярности [46].

Общее решение однородного уравнения теплопроводности

Обратимся к уравнениям (6), в которых случай п = 2 не исключен. Устремив Рг->0 или Re0 (Л-*<»), из (6) приходим к классическим уравнениям Лежандра, имеющим нетривиальные регулярные решения только при целочисленных значениях п, отвечающих собственным значениям Хп = п(1 — п). При малых, но ко-

нечных числах Рг или Re оператор Лежандра получает малое возмущение, соответствующее конвективному переносу тепла. Согласно теории возмущений спектр оператора претерпевает изменение, пропорциональное этому возмущению. Поэтому собственные значения возмущенного оператора будут зависеть от Рг и Re. Отсюда следует, что разложение по целым обратным степеням 7? при ненулевых значениях Рг и Re не будет иметь места. Разложение поля температуры следует вести по дробным показателям степени ны = ©„(Re, Рг), определяемым как собственные параметры однородной задачи. По аналогии с уравнением Лапласа такое разложение решения уравнения конвективной теплопроводности по собственным функциям задачи можно назвать мультипольным разложением.

Итак, решение уравнения теплопроводности следует искать в виде [46]

W Ч = 2^-(23)

тг—i R

Разложение (23) справедливо для однородного уравнения теплопроводности (4). Решение неоднородного уравнения (4) помимо (23) содержит член, вид которого определяется диссипативным источником тепла. Этот источник, пропорциональный R-4, порождает в разложении, за некоторым исключением, о котором пойдет речь ниже, дополнительный член вида z^R-2, отвечающий частному решению неоднородного уравнения (4). При отсутствии конвективных членов в однородном уравнении теплопроводности разложение (23) становится классическим с ю„ = п и сферическими функциями т„. Подставляя разложение (23) в уравнение теплопроводности (4) с учетом выражения для скорости (1), в случае ©„^2 получим

(1 — ж2) т„ — 2жт„ — Рг (i/Tn + ©„уХ) + ton (ton — 1) тп = 0. (24)

Частное решение неоднородного уравнения (4) удовлетворяет уравнению (7), которое запишем в следующем виде-:

(1 — ж2) и" — 2жи'— Рг (уи' + 2y'u')Jr2u + Ф(ж)= 0;

Линейные уравнения (24) также принадлежат классу Фукса и соответственно их решения в окрестности особых точек ж = ±1 ведут себя аналогично функциям Лежандра, т. е. одно из решений каждого уравнения аналитично, а другое имеет логарифмическую особенность. Поскольку с физической точки зрения решения должны быть регулярными, а требование регулярности в данном случае совпадает с условием аналитичности решения в особых точках, то для уравнений (24), (25) необходимо потребовать выполнения следую-

щих краевых условий:

+ 2т„?(+ 1) + [юп (ton — 1) — ton Рг у' (+ 1)] тп (+ 1) = 0;(26)

Т2и'(±1) + [2-2Рг/(±1)]м(±1)+Ф(±1) = 0.(27)

Заметим, что условие ограниченности производных т„ (± 1), и'(±1) влечет за собой равенства ^т„/с/6 = dujc№\е=о,л = 0, соответствующие осевой симметрии температурного поля. Краевую задачу (24), (26) можно определить как задачу на собственные значения Юп, которые, однако, входят в задачу нелинейным образом.

К сожалению, математическая теория таких спектральных задач развита слабо. Известна, например, теория несамосопряженных операторов Лежандра [131], в которой доказывается, что спектры этих операторов состоят из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, не имеющих конечных предельных точек. Линейная оболочка множества собственных и присоединенных функций обобщенного оператора Лежандра плотна в L^ (—1, 1) [131]. Если в уравнении (24) в последнем члене положить %п = Юп(1 — ton) и считать этот множитель собственным значением, а все остальные юп в (24), (26) — данными, то такое уравнение можно записать в виде 2’тп = %пТп, где 3 — несамосопряженный обобщенный оператор Лежандра. Тогда все указанные свойства переносятся на полученное уравнение.

При таком подходе для рассматриваемого уравнения собственное значение %п не обязано равняться юп(1 — ип). Однако оператор 3 является обобщенным несамосопряженным оператором Лежандра при произвольных конечных юп, в частности для таких и„, которые удовлетворяют уравнению Х„ = ю„(1 — юп). Поэтому можно надеяться (доказать это утверждение строго пока не представляется возможным), что свойство полноты собственных функций для задачи (24), (26) также будет иметь место. Это заведомо так для частных случаев Рг = 0 и Re = 0, поскольку тогда задача превращается в задачу на собственные значения для обыкновенного оператора Лежандра. Следует отметить, что первое собственное значение ®i = l при всех значениях чисел Re и Рг, что диктуется законом сохранения теплового потока. Соответствующая собственная функция (11) отвечает решению задачи с заданным ненулевым потоком тепла на бесконечности.

Покажем, что собственные значения краевой задачи (24), (26) действительны, если Рг ^ 1/2. Для этого представим собственную функцию тп в виде Tn = Tig„. Тогда уравнение (24) принимает вид

[(1 — Т2) Т^пУ = [Рг (ю„ — 1) у' + ®п (1 — ©„)] т^п. (28)

Умножим (28) на g*, а комплексно-сопряженное уравнение (28) на gn и проинтегрируем их от — 1 до 1. Вычитая полученные интег-

ральпые соотношения, получим

[(1 — ж2) тт (g*g'n — g-ng^A |li =

= (ton — ton) J (Рг у' + 1 — ton — (On) T^ng* dx. —1

Поскольку функции т„, g„ аналитичны в точках х = ±1, то, применяя к правой части полученного равенства теорему о среднем, приходим к соотношению

1

(<0n — to*) [Рг у' {хй) + 1 — ton — to*] J T^gn I3 dx, (29)

где xo — некоторая внутренняя точка интервала [—1, 1]. Физическое требование ограниченности теплового потока на бесконечности исключает возможность появления собственных значений с Real ю„ < < 1. С другой стороны, из выражения (2) для у^х1) можно получить, что

<3°)

Отсюда следует, что при Рг<(Л + 1)/4 выражение в квадратных скобках (29) в нуль не обращается при любых жое(—1, 1). Поскольку А > 1, то при Рг ^ 1/2 из (29) следует юп = мп, т. е. собственные значения действительны. Условие теоремы можно ослабить. В частности, если выполнено неравенство

Pr^^-^[2Real<on(Re, Рг) — 1J, n>0t(31)

то Im ton (Re, Рг) = 0.

В общем случае функции ©„(Re, Рг) можно определить численно. Алгоритм, который позволяет рассчитать собственные значения юп при любых заданных числах Re и Рг, подобен изложенному алгоритму определения кривой неразрешимости для неоднородной задачи (7), (10). Ставятся две задачи Коши для тп: «+»> и «—» с краевыми условиями вида (21). В некоторой точке сшивки хй величина ®п подбирается так, чтобы определитель А вида (22), составленный из функций т„ ^х^, т„ (лс), обращался в нуль. В силу этого условия собственная функция, соответствующая полученному значению ю„, будет аналитической во всей области изменения переменной х: [—1, 1]. Некоторые найденные таким способом зависимости ton(Re, Рг) представлены на рис. 101, где для п = \, 2, 3, 4 и Рг = 0,5 даны зависимости ю„ от числа Re. При п = 2 построены зависимости ю2 от Re при различных значениях числа Рг.

Отметим, что кривые ®2(Re) для Рг = 0,5 и Рг = 0,6 лежат по разные стороны от горизонтали ю2 = 2. Для 0,5 < Рг < 0,6 кривые

®2 (Re) пересекают эту горизонталь, как это показано штрихпунк- тиром для случая Рг = 0,54. Это обстоятельство в дальнейшем играет важную роль.

Итак, однородная задача (24), (26) имеет счетное множество решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе L% ([— 1, 1]). Полагая, что система (тп) является полной системой линейно независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что решение однородного уравнения конвективной теплопроводности (4) существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса 7?о, если на его поверхности «So задана температура как функция сферического угла 9. На бесконечности температура предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить решение и в том случае, если на поверхности So задать тепловые граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные произвольные коэффициенты Сп, содержащиеся в т„, и здесь однозначно определяются. Каждый коэффициент Сп взаимно однозначно связан с интенсивностью 2п~1-полы1ого теплового источника.

Для тепловой задачи в шаровом слое ряд (23) необходимо дополнить членами с положительными степенями В. В этом случае разложение поля температуры по собственным функциям задачи имеет вид

2 (32)

П= —оо М

На основе соотношения (29) и неравенства (30) нетрудно показать, что для собственных значений ®„ с « < 0, Real ®„ < 0 имеет

место аналогичное (31) утверждение, что собственные значения действительны, если выполняется следующее неравенство:

Pr<^^[2|Real®n(Re, Pr)| + 11, п<0. (33)

Из (31), (33) следует, что (32) представляет собой разложение по действительным показателям степени R, по крайней мере, в области не очень больших значений Re и Рг. Заметим, что при Рг = О или Re = 0 система функций, отвечающая положительным показателям степени при R, {т„(п<0)} также совпадает, как и при п > О, с полной линейно независимой системой полиномов Лежандра. Можно полагать, как и в случае с п > 0, что свойства полноты и линейной независимости функций т„ (п<0) сохраняются и при Рг > О, Re > 0. Это дает основание утверждать, что решение тепловой задачи в шаровом слое также существует и единственно и представимо в виде разложения (32). Видимо, существование и единственность решения краевой задачи для однородного уравнения конвективной теплопроводности будут иметь место, как в случае уравнения Лапласа, и для областей более общего вида.

Несколько иначе обстоит дело для неоднородной задачи (25), (27), в которой учитывается диссипативное тепловыделение. Как уже было показано, эта задача, совпадающая с (7), (10) с точностью до несущественных переобозначений, неразрешима при Рг = = Pr*(Re). Следует отметить, что неразрешимость задачи (25), (27) может и не означать неразрешимости исходной краевой стационарной задачи конвективной теплопроводности с вязким нагревом (4). На кривой неразрешимости Рг = Рг* (Re) показатель степени дипольного числа в (23) a2(Re, Рг) = 2. В этом случае решение неоднородного уравнения, пропорциональное R-2, вступает во «взаимодействие» с решением однородного уравнения, так что зависимость от R для однородного уравнения может измениться, а задача (25), (27) на кривой Рг = Pr* (Re), где ®2 = 2, потеряет смысл. Поясним сказанное на более простом примере.

Тепловая задача

для плоского гидродинамического стока

Эта задача, как и тепловая задача для автомодельной затопленной струи, является одним из немногих примеров точного решения полной системы уравнений конвективного тепломассо- переноса.

Рассмотрим плоскую стационарную задачу конвективной теплопроводности с полем скорости vT = s 0, отвечающим точечному источнику жидкости обильности Q, которое одновременно является точным решением уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. Решение этой задачи, как для однородного, так и

для неоднородного уравнения теплопроводности так же, как и в случае струи Ландау, имеет степенной характер.

Уравнение теплопроводности с учетом диссипативного тепловыделения принимает вид

_Ре^__А£ дГ I 1। 9

г дг” г ЭгГ Эг г- 5ф'2г4’

где Ре = — ()/(2л%)— число Пекле, g = 4vxPe2/c„— интенсивность вязкого тепловыделения. Заметим, что в наших обозначениях Ре > О соответствует гидродинамическому стоку, а Ре < 0 — источнику.

Общее решение (34) легко найти методом разделения переменных

Т (г, ср) = Ч + 2 1°« cos П(Р + (r) sin гесРЬ I35) п=о

еп(г) = г-Ре/2 (0^"+

,.\ х (36)

ТП (г) = r-pe/2 ^cwr п + dnr "); к = /(Ре/2)2 + и2;

я„, ^п, ^п, dn — произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Поскольку гидродинамическая задача не имеет характерного размера, то было бы естественно поставить тепловую задачу в той же области, что и гидродинамическую, т. е. во всем пространстве с выколотой в начале координат точкой, в которой находится гидродинамический источник. Аксиально-симметричное решение из (35) принимает вид

^ (г) = 2-(ре'—"2) ^2 + йог РС + ^о-(37)

Здесь «о, Ъо характеризуют тепловую особенность в начале координат. Нетрудно видеть, что при Ре < 2 и г-*0 решение Т(г)<0, какими бы ни были постоянные «о, ^о- Это решение не имеет физического смысла, так как положительный источник тепла не может явиться причиной понижения температуры, это противоречило бы основным термодинамическим законам, а именно принципу температуры [114], согласно которому, если в систему поступает тепло, то температура должна повышаться.

При Ре > 2 решению легко придать физический смысл. В этом случае при г 0 температура определяется знаком ао, т. е. типом теплового источника в начале координат, вклад же диссипации кинетической энергии, как и следовало ожидать, приводит к повышению температуры. Это говорит о том, что при Ре < 2 тепловой режим течения качественно отличается от режима при Ре > 2. При Ре = 2 показатель степени при г решения однородной задачи сравнивается, как и в ситуации неразрешимости тепловой задачи для

струи Ландау, с показателем степени частного решения неоднородной задачи. В этом случае решение имеет вид

7(г)=|^ + ^ + 5, (38) г Г

т. е. в особой ситуации Ре = 2 кроме степенной зависимости решения от г возникает секулярный логарифмический член.

Заметим, что если тепловую задачу ставить вне круга радиуса го, то стационарному решению уравнения теплопроводности легко придать физический смысл при любых Ре. В частности, если на границе круга задана температура 71(го) = То, то

Г(Г)-2Т^?+[г.-:П^^](ч)"^^ (39>

Решение (38) можно получить предельным переходом Ре 2 в (39). Таким образом, парадокс отсутствия физически приемлемого стационарного решения при Ре < 2 возникает лишь в условиях некорректно поставленной краевой задачи, когда вместо традиционных граничных условий для уравнения теплопроводности приходится ставить нестандартные краевые условия, соответствующие виду тепловой особенности в начале координат. В дальнейшем рассматривается задача в области г> го, для которой постановка граничных условий носит регулярный характер. Однако и в этом случае значение Ре = 2 остается выделенным по физическому содержанию теплового режима течения.

Пусть Ре-*-о°; тогда тепловая задача становится задачей конвективного переноса тепла без тепловой диффузии. Для такой задачи граничные условия можно ставить только па границе втекания жидкости. В нашем случае это условие Т(°°) = Т„. При больших, но конечных числах Ре устанавливается тепловой режим с доминирующим конвективным переносом тепла, граничное условие при г = Го становится необходимым, хотя влияние его на участке втекания пренебрежимо мало по сравнению с влиянием нагрева жидкости от вязкой диссипации: член вида Л(г/го)~Ре в (39) приводит к появлению теплового пограничного слоя вблизи Го, о чем, в частности, говорит неаналитичность этого члена при Ре = °°. При Ре < 2 влияние граничного условия на окружности г = г0 становится определяющим при г -> °°, т. е. влияние краевых условий на одной границе оказывается существенным вблизи другой границы, независимо от того, являются ли они участками втекания или вытекания, а это характерно для кондуктивного переноса тепла.

Таким образом, при Ре >2 имеет место режим преобладающего конвективного переноса тепла, при Ре < 2 — кондуктивный режим. Если Ре < 0 (случай гидродинамического источника), то стационарное решение согласно (39) не ограничено на бесконечности. Это также область конвективного переноса тепла, но физически прием-

лемое решение должно быть уже существенно нестационарным. Методом преобразования Лапласа можно полностью решить такую нестационарную задачу [149] и показать, что стационарное решение (39) является предельным при конечных г, а область с нагретой жидкостью при больших временах t увеличивается пропорционально Vf. Для произвольной неаксиально-симметричной задачи изложенные рассуждения о режимах теплообмена сохраняют свою силу, поскольку для внешности круга в случае стока в (36) bn = dn = = 0 и, следовательно, несимметричные моды не дают заметного вклада при г -> °°.

Разрешение парадокса

Возвращаясь к тепловой задаче для струи Ландау с вязким нагревом, в соответствии с результатами, полученными в тепловой задаче для плоского гидродинамического стока, на кривой ®2(Re, Рг)=2 частное решение неоднородного уравнения теплопроводности (4) следует искать в виде

„(ж) и (ж)„

=+(40)

Вид секулярного логарифмического члена диктуется степенной зависимостью от R решения однородного уравнения теплопроводности и объемного теплового источника. Подставляя (40) в уравнение (4) с учетом выражения для поля скорости (1), получим

[(1 — ж2) Мд? + 2п0 — Рг (2у'п0 + упд) = (3 —Рг у') Сиг — Ф (ж); (41) [(1 — ж2) uj' + 2п1 + Рг (2у'ит + уи[) = 0.(42)

Граничные условия к этим уравнениям представляют собой условия аналитичности функций ио, и\ в точках ж = ±1 и имеют вид

+ 2«;(± 1) + [2 — 2 Рг у'(+1)] u0 (± 1) =

= [3-Ргу'(±1)№(±1)-Ф(±1);(43)

Т2^(±1) + [2-2Рг/(±1)]М1(±1) = 0; ^(1) = !. (44)

Постоянная С выбирается из условия разрешимости неоднородного уравнения (41). Это условие по альтернативе Фредгольма есть условие ортогональности правой части (41) к решению сопряженного однородного уравнения, поскольку решение однородного уравнения (41), которое совпадает с (42), нетривиально: ®2 = 2.

При численных расчетах величину С удобнее определять из эквивалентного условия разрешимости неоднородной задачи, а именно из условия разрешимости системы линейных уравнений, полученной как следствие непрерывности решения вместе с его первой производной в точке сшивки жс. Учитывая, что и^ (ж) есть решение

однородного уравнения (41), это условие имеет вид

^i =

^1 (^с) ^о (Жс) “о (жс)

^1 (^с) “о (Же) ^0 (®с)

(45)

где н^ (ж), н^ (ж) есть аналитические решения соответствующих «±» задач Коши, удовлетворяющие условиям: u^ (± 1) = = nj-(±l)=l. Постоянная С не зависит от точки сшивки,

Рис. 102.поскольку она однозначно оп

ределяется из указанного условия ортогональности. Характерные профили решений краевой задачи (41) — (44) Ио (ж), нДж) представлены на рис. 102, где положено ио(1)=1. Кривые 1 соответствуют Рг = 0,56, Re = 7,08; 2— Pr = 0,55, Re = 9,23;3 - Рг = 0,54, Re = 12,1; 4-Рг = 0,53,

Re = 16,3.

Таким образом, математически задача разрешима при всех Re и Рг. Заметим, что общее решение Т = То + Т\, где То есть решение (23) однородного уравнения теплопроводности, а Т\ — частное решение (40) неоднородной тепловой задачи, является полным, поскольку собственные значения ®„ не вырождены. Если бы какие- либо собственные значения ®„ имели кратность к > 1, то в (23) необходимо было бы добавить члены, являющиеся полиномами сте

пени к — 1 от In 7?, умноженными на R ".

Несмотря на то, что теперь тепловая задача поставлена корректно, наличие кривой «неразрешимости» Рг = Рг* (Re) приводит к определенным нетривиальным физическим следствиям. Предварительно укажем, что решение (40) неоднородной тепловой задачи с вязким тепловыделением всегда знакопеременпо, что непосредственно видно на рис. 102. Этот факт с физической точки зрения

представляется удивительным: нагревание жидкости за счет диссипации ее кинетической энергии приводит к возникновению отрицательных температур в некоторой области течения. Рассмотрим в связи с этим предельные случаи Рг -> 0 и Рг °°.

Можно показать, что при Рг = 0 неоднородная краевая задача (25), (27) неразрешима при всех числах Рейнольдса, так как в этом предельном случае однородное уравнение есть классическое самосопряженное уравнение Лежандра, имеющее регулярное решение, а условие ортогональности не выполнено. Действительно, решение

по непрерывности вблизи этой точкипо непрерывности вблизи этой точки

по непрерывности вблизи этой точки

по непрерывности вблизи этой точки

сопряженного однородного уравнения имеет вид и^ — х, 1

а У Ф (ж) х dx > 0 при всех числах Re > 0, в чем можно убедиться

непосредственно подстановкой Ф(ж) из (7) и явным вычислением интеграла. Таким образом, кривая неразрешимости Рг = Рг* (Re) имеет две ветви. Первая представлена на рис. 100, вторая — это Рг = 0. Поэтому в рассматриваемом предельном случае решение неоднородной тепловой задачи должно иметь вид (40). Нетривиальное регулярное решение самосопряженной при Рг = 0 краевой задачи (42), (44) есть и\^ = х. Отсюда условие разрешимости неоднородной краевой задачи (41), (43) имеет вид

11

( [Ф (ж) — ЗСх] х dx = 0, С = 4- \ 0(x)xdx.

-1-1

Для достаточно больших радиусов R логарифмический член со знакопеременной нДж) в (40) становится главным, поэтому всегда существует область течения с отрицательными температурами.

В случае Рг°о решение краевой задачи (25), (27) существует и единственно. Для того чтобы показать наличие областей, в которых решение и < 0, достаточно рассмотреть окрестность точки х=1. Положим ц = 2Рг/(Л — 1) » 1, t = l — x<l; тогда из (25) получим

tu" + (1 + pi) и + 2рм + у Ф (1) = О ^, i V и = и (t).

Решение этого уравнения с точностью до членов второго порядка малости имеет вид и (t) = с (1 — pi) e-vt ^. Отсюда при i = 1/р

имеем и < 0, следовательно, существует область значений х, где п < 0.

В случае произвольных Re и Рг решение уравнения (25) можно найти численно. Характерные профили м(ж) вблизи кривой «неразрешимости» приведены на рис. 103. Параметром служит Рг при фиксированном Re = = 15,2. Кривая 1 соответствует Рг = 0,525, 2 — Рг = = 0,529, 3 — Рг = 0,531, 4 — Рг = 0,533, 5 —Рг = 0,535, 6 — Рг = 0,539. Следует отметить характерное поведение

18 м. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

профиля температуры при переходе через кривую «неразрешимости» уравнения (25). Если увеличивать Рг со стороны малых Рг, то решение растет по абсолютной величине, оставаясь положительным и почти постоянным в большей части области изменения ж и отрицательным в небольшой окрестности точки х = 1.

При переходе через число Рг*, лежащее на кривой «неразрешимости», профиль температуры меняет знак через регуляризиро- ванную бесконечность, сохраняя свое качественное поведение. Такую трансформацию поля температуры можно интерпретировать как переворот теплового диполя. Зависимость объемного источника тепла от R такова (~7?-4), что ближайшим по показателю степени членом общего разложения температуры (23) к частному решению неоднородной задачи (~7?-2) является дипольный член с показателем степени ®2(Пе, Рг). При Рг = Рг* объемный источник тепла вступает в резонанс с тепловым диполем, со2(Ве, Рг*) = 2. При Рг, близких к Рг*, решение неоднородного уравнения имеет характер распределения температуры для теплового диполя, так что наличие .области отрицательных температур можно качественно объяснить, полагая, что источник тепла индуцирует этот диполь при Рг->Рг* вследствие указанного резонанса.

Отметим, что для постановки задачи вне шара радиуса Ro, аналогично тому, как это было в тепловой задаче для гидродинамического стока, не возникает проблемы отрицательных температур, поскольку в этом случае имеется ненулевой поток тепла на бесконечности, описывающийся первым членом разложения с соi = 1 в (23). Надо сказать, что и в этом случае при Рг = Рг* происходит качественная перестройка теплового режима течения. Действительно, если на границе R = Rq задать абсолютную температуру То, то для выполнения граничного условия при Рг>Рг* необходимо иметь достаточно большой положительный первый член с (щ = 1, чтобы компенсировать влияние значительной области отрицательных температур у решения неоднородного уравнения. Этому будет соответствовать достаточно большой тепловой поток на бесконечности.

При Рг<Рг* необходимости в такой компенсации практически нет, поэтому следует ожидать резкого увеличения полного теплового потока на бесконечности при переходе Рг* со стороны малых Рг. Таким образом, область Рг>Рг* можно охарактеризовать как область преимущественно конвективного, а Рг < Рг* — кондуктив- пого переноса тепла. С другой стороны, в случае нулевого теплового потока, Ti в 0, при Рг>-Рг* главным членом при R-*<» ((ог>2) является частное решение неоднородного уравнения (4) з(ж)7?_2, т. е. поведение температуры на бесконечности определяется объемным диссипативным нагревом, а не краевыми условиями на сфере R = Ro- Если же РгСРг*, то главным при R ^ «; становится дипольный член, и влияние граничного условия простирается на бесконечность, что характерно для кондуктивной теплопроводности.

Это также подтверждает сделанный вывод о том, что кривая «неразрешимости» Pr=Pr*(Re) есть кривая, отделяющая области с конвективным (Рг>Рг*) и кондуктивным (Рг<Рг*) режимами теплообмена. Отметим, что возможность выделения двух режимов теплопроводности критическим образом зависит от вида распределенного в объеме теплового источника, роль которого в данном случае играет вязкая диссипация кинетической энергии жидкости.

Резюмируя, можно сказать, что аналитичность решения в бесконечно удаленной точке, имеющая место для решения уравнения Лапласа, является следствием наличия целочисленного спектра у оператора Лежандра. Введение возмущающего оператора (для уравнения теплопроводности это был член (к, V)7 изменяет этот спектр, и собственные значения становятся дробными (а может быть и комплексными) величинами. Классическое мультипольное разложение решения уравнения Лапласа с введением возмущения изменяется, но физический смысл его, по существу, остается прежним. Одним из более сложных примеров применения развитых представлений является задача о неавтомодельной затопленной струе. В этом случае «возмущение» есть нелинейный дифференциальный оператор (v, V)v, но тем не менее получается картина качественно сходная с описанной. Задача о неавтомодельной затопленной струе кроме указанных обладает рядом других нетривиальных парадоксальных свойств. Ей посвящена оставшаяся часть главы.

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ

Согласно асимтотической теории затопленных струй [26, 75, 91, 96], вдали от источника поведение струи определяется точными интегралами сохранения: импульсом, моментом импульса и расходом. В приближении пограничного слоя соответствующие решения получены Шлихтингом [232], Лойцянским [90], Зубцовым [61], а для полных уравнений Навье — Стокса — Ландау [86], Румером [112], Цуккером [140], Гольдштиком [36]. Основу асимптотического представления неавтомодельной осесимметричной струи составляло разложение скорости в рамках теории пограничного слоя по целым обратным степеням продольной координаты z или, в случае полных уравнений Навье — Стокса, по целым обратным степеням сферического радиуса R, что соответствует представлению об аналитичности поля скорости в бесконечно удаленной точке. В приближении пограничного слоя было получено па основе указанного представления еще несколько членов разложения [57, 75 — 77, 96, 133]. Асимптотическому разложению решения задачи о затопленной струе на основе полных уравнений Навье — Стокса посвящено крайне мало работ [112, 140], хотя в этом случае следует ожидать, как указано в § 1, неаналитичности поля скорости при R = °°. В рамках же 18*

традиционных асимптотических разложений по целым обратным степеням R могут возникнуть парадоксы, связанные с неразрешимостью, что собственно и происходит в задаче о затопленной струе с ненулевым расходом.

Парадокс неразрешимости для затопленной струи с ненулевым расходом

Рассматривается осесимметричное стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости, покоящейся на бесконечности, вызванное заданным полем скоростей на сфере радиуса Ro с центром в начале сферической системы координат R, 0, ср. Движение описывается уравнениями Навье — Стокса:

(v, V)v =^-Vp + vAv; div v = 0.(1)

Покажем, что поставленная задача не допускает решения в виде разложения по целым степеням 1/7? [47]. Сначала рассмотрим случай незакрученной струи, когда пФ ^ 0. Введя функцию тока 1р согласно соотношениям

1dip 1dip

UR = Я2 sin 6 S9"’U9~ — 7? sin 6 OR

и независимую переменную x = cos 0, будем искать решение в предположении аналитичности поля скорости [112] в бесконечно удаленной точке в виде разложений

ip^vl?^ (ж) + vy2 (ж) + Оip^vl?^ (ж) + vy2 (ж) + ОVr =Vr =Р_ = V g, (=)у g2 (*)0 / 1 \Р Я2 Л3 \д4 /’Р_ = V g, (=)у g2 (*)0 / 1 \Р Я2 Л3 \д4 /’

ip^vl?^ (ж) + vy2 (ж) + О

ip^vl?^ (ж) + vy2 (ж) + О

Vr =

Vr =

Р_ = V g, (=)у g2 (*)0 / 1 \

Р Я2 Л3 \д4 /’

Р_ = V g, (=)у g2 (*)0 / 1 \

Р Я2 Л3 \д4 /’

Подставив (3) в систему (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях 1/7?, получим рекуррентную систему уравнений, первое из которых для pi автономное, но нелинейное, а остальные линейны. Функция уДж) совпадает с решением Ландау (1.2),

^1М = 2^, ^>1- (4)

Для функции у2 получается уравнение

Lu2 = c- L ~ — (1 — ж2)-2-^+ 62.(5)

!’dx '’ dx A — xdx ^жу

Постоянная ci связана с расходом жидкости Q через сферическую

поверхность любого радиуса

ял

Q = 2лр7?2 J Уд sin OdO = — 2лр J vy'2 sin OdO = — 2лр [y2 (1) — y2(—1)] о0

(6)

9 (^4 —* 1) ю 1 соотношением c, =—?r- О 1112J.

12лр(ЗЛ2 + 1)

Краевые условия для (5) заключаются в требовании регулярности У2 при ж = ±1. В [112] найдено нетривиальное решение однородного уравнения (5)

Z/2o = c2F0 (ж); с2 = const; Fo (ж) = 1_(7)

которое, однако, соответствует нулевому расходу: узо(1) = Z/2o( — !)• Для существования решения с ненулевым расходом необходимо, чтобы постоянная ci была ортогональна собственной функции оператора, сопряженного оператору L в (5). Умножение уравнения (5) на (Л — ж)2 приводит к самосопряженному уравнению

(1 ~ ^) (Л _ ж)2 ^ + 6 (Л2 _ 1} у; = С1 кА _ ж)2;(8)

условие разрешимости которого состоит в ортогональности (7) и правой части (8):

С1 j кА-^РоаЖ = с, [^~4Л2 + 2-1^11=1)1 In 4^1].(9)

Последнее равенство не выполняется при произвольных 1 < < А < оо и, значит, уравнение (5), вообще говоря, неразрешимо в классе регулярных у2(ж). (Можно показать, что равенство (9) выполняется при А = оо или Re = 0, так что в этом случае разложение (4) допустимо.)

Решение уравнения (5), приведенное в [112],

не является регулярным, так как интеграл по § логарифмически расходится в точке £ = — 1, не говоря уже о том, что функция Го (ж), как видно из анализа формулы (7), имеет два нуля на интервале (—1, 1) (см. разд. 2.3).

Собственные решения задачи о затопленной струе

Неразрешимость уравнения (5) не означает неразрешимости исходной задачи, а говорит лишь о непригодности разложений (4). Построим более общее разложение, полагая, что старший член, как и в (4), имеет порядок 1/7?, что диктуется законом сохранения импульса (1.3). Тогда можно написать

V = vx + W, w = о I —V = vx + W, w = о I —(10)(10)

V = vx + W, w = о I —

V = vx + W, w = о I —

(10)

(10)

Если V1 удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса (1), то для вектора w имеет систему

(w, V)w + (vx, V)w + (w, V) vT =^" Vg + vAw; divw = 0. (11)

Теория струй интересуется асимптотическим поведением решения при 7? -^ °° . В этой области согласно (10) первый член в (11) — малая величина высшего порядка, так что w удовлетворяет в первом приближении линейному уравнению, которое и рассмотрим сначала для случая без вращения, когда гФ —0. Тогда vi представляет решение Ландау.

Линеаризованная система (11) допускает разделение переменных и частные решения вида г/(ж)7?-“. Будем искать общее решение в виде суперпозиции частных:

ф = v 2(ж) 7?2 “"; wR = — v 2 У» (ж) 7?

(12)(12)71 = 271 = 2

(12)

(12)

Подстановка (12) в (11) приводит к уравнениям

— 4 (а— 4 (аУп (ctn + 1) gn = 0;Уп (ctn + 1) gn = 0;(13)(13)

— 4 (а

— 4 (а

Уп (ctn + 1) gn = 0;

Уп (ctn + 1) gn = 0;

(13)

(13)

,/'2'

gm Т О-иУн (с^п 2) <— уп +

Регулярные решения системы (13) возможны лишь при определенных значениях а„, связанных с собственными значениями оператора системы (13), который является обобщенным оператором Лежандра. Такие операторы обладают хорошими спектральны-

ми свойствами [131], однако непосредственное использование известных спектральных теорем применительно к (13), как и в случае спектральной задачи для уравнения теплопроводности (см. § 1), невозможно из-за того, что параметр а„ входит в (13) существенно нелинейным образом. Поэтому ограничимся качественными соображениями и численным анализом. Предварительно заметим, что случай п = 2 играет выделенную роль, так как «2 = 2 при всех А. Это связано с законом сохранения расхода (6), из которого непосредственно следует, что в разложении (12) для wR должен содержаться член ~1/В2. Формально значение «1 = 1 также является собственным при всех А, но оно лишнее, так как по условию (10) вектор w не должен содержать членов -~1/7?, что и нашло отражение в форме разложения (12).

При нулевом Не, когда А = °°, систему (13) можно свести к уравнению'

[(1 — ж2) y"J + [(«п — 1) («п — 2) + ап ^ + 1)] у"п +

+ «п («п — 1) («п — 2).- , = 0.(14)

1 —

Если разыскивать регулярное решение уравнения (14) в виде полинома степени п+1, то для «„ получается алгебраическое уравнение четвертой степени с решениями «„ = п; п + 2; — п + 1; —п— 1. Условие покоя на бесконечности обеспечивается, лишь когда в разложениях (12) все «„ > 0, поэтому два последних корня должны быть отброшены, но две первые ветви собственных значений остаются. В рассматриваемом частном случае Re = 0 эти ветви налагаются, так что можно считать, что (14) имеет целочисленный двукратный спектр «п = п и каждому «„ соответствуют две регулярные собственные функции

Z/n^ = (1ж2)^-!^), у(п = (1 — ж2) <2п-з М, и>3,(45)

где Рп(;г) и Qn (ж) — некоторые полиномы степени п.

Заметим, что согласно (14) J/n^l—^2) при п^З, что и нашло отражение в представлении (15). При «„ = 2 уравнение (14) наряду с решением ж(1 — ж2) допускает собственную функцию у^ = х, регулярную, но пе удовлетворяющую условиям г/„(±1) = 0, что, согласно (6) обеспечивает ненулевой расход Q. Отметим, что это не противоречит условию отсутствия особенности юв^В, ±1), поскольку в разложении (12) для wB функции у^ не содержится, так как «2 = 2. Общее решение (14) содержит две произвольные постоянные

уп = А^н } + Впуп \(16)

В рассматриваемом случае Re0 задача (11) остается линейной не только при В -^ °°, но и при любых В. Наличие двух бесконечных последовательностей MJ, {В А позволяет удовлетворить двум произвольным граничным условиям на сфере В = Во; например, мо-

гут быть произвольно заданы Vn(Ro, ж) и ре (Ro, х) из пространства непрерывных функций С([—1, 1]), что возможно в силу хорошо известной полноты множества полиномов в этом пространстве. Отметим, что необычайная ситуация, связанная с наличием в задаче двух полных наборов собственных функций (15), являющихся линейно зависимыми, и обеспечивает возможность выполнения двух условий.

При увеличении Re от нуля ветви a„(Re) расщепляются, а сами ап становятся нецелыми для и > 3 (но а2 = 2). Это щтавлены результаты численного решения

уравнений (13) в виде зависимостей a„(Re) для и = 3, 4, 5. По сути дела расщепление множества собственных значений на две ветви не должно в принципе изменить ситуации: каждой ветви должен соответствовать полный набор собственных функций (уже не являющихся полиномами). Несмотря на физическую ясность, строгое доказательство этих свойств представляет большие трудности и до сих пор не найдено. Использованный метод расчета собственных значений an(Re) идентичен методу расчета собственных значений con(Re, Рг) в спектральной задаче для уравнения теплопроводности.

По аналогии с уравнением Лапласа и тепловой задачей, рассмотренной в § 1, собственные решения линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса (11) можно назвать гидродинамическими мультиполями, а разложение решения задачи по ее собственным функциям соответственно мультипольным.

Устранение парадокса неразрешимости для неавтомодельной струи с ненулевым расходом

Линеаризованное уравнение (11) при всех числах Рейнольдса имеет двукратную точку спектра, соответствующую п = 2 в разложениях (12). В этом случае в соответствии с общей теорией для полноты системы базисных функций последняя должна быть пополнена присоединенными собственными функциями. Такой присоединенной собственной функцией является решение

WR = — V [и (ж) In 7? + Z (ж)] —2; wQ =__—^;(17)

Яд2 у 1

2

4 = ^з^М InT? + g(;r)].Г к

Логарифмический член, как показано в § 4.1, возникает и в тепловой задаче. Отличие заключается в том, что здесь он должен при-

сутствовать не при некоторых, а при всех числах Рейнольдса. Заметим, что логарифмический член в выражении для кд сразу получается из уравнения неразрывности, если в разложении (3) для ив допустить член “1/7?2. Подстановка (17) в (11) после интегрирования приводит к уравнениям

Lu' = D = const; h = — 2п' + Z)/3;(18)

Lz' — 6z' = 3g — h — y^u' + y^u + u' + 2y,tz/(l — ж2);

g' + 2z" = u" + (2u — 2y'1u — !/£«')/(! — ж2) — 2жу1н/(1 — ж2)2.

Оператор L определен в (5), a yv^ — выражением (4). Регулярное решение уравнения (18), как и (5), возможно лишь при D = 0. В этом случае имеем

и ^ = В (1 - х^ ■; и' = BF0(20)

Л (Л — х)

где величина Ро(ж) определена соотношением (7). Из (19) после интегрирования второго уравнения с учетом выражения для у\(ж) и и (ж) получается неоднородное уравнение

Lz' = f(x),

Пх^СА-ВПх^СА-Вел2 —2 з (л2 — 1) Л (Л — ж) + (Л — xfел2 —2 з (л2 — 1) Л (Л — ж) + (Л — xf8Л (Л2 — 1)6 (Л2 — 1)2'

Пх^СА-В

Пх^СА-В

ел2 —2 з (л2 — 1) Л (Л — ж) + (Л — xf

ел2 —2 з (л2 — 1) Л (Л — ж) + (Л — xf

(Л - xf (Л — Н4

(21)

Как и в случае задачи (5), однородное уравнение (21) имеет нетривиальное решение (7), но теперь правая часть (21) такова, что выбором постоянных В и С можно обеспечить разрешимость неоднородной задачи. Второе условие, связывающее В и С, состоит в задании расхода Q.

Умножая (21) на (А— ж)2, получаем

[(1-ж2) (А-ж)2г"]' + 6(А2-1)з'=(А-ж)2/(ж).(22)'

Интегрирование (22) по х от — 1 до 1 дает расход

Q =.2"р (На2 ++ 5[9А2-5-4А(А2-1)1п4-Д

3(Л2-1)(V V Л —1

(23)

Из условия разрешимости самосопряженного уравнения (22) 1

J j (х) (А — xfFQ (ж) dx = 0 получим

С[-Ы= + 5+2<^1„4У] +

+ в[—444« + У5 - А + О’- 1) (22л8 - 1S) |„щ 11 _ о (24)

и ^“АЛ ■— 1

Определитель системы (23), (24) отличен от нуля при всех Л > 1, поэтому постоянные В и С однозначно определяются.

Таким образом, общее решение уравнения (22) имеет вид

"z'^= Со^о(ж) AF^,(25)

где F^ — регулярное частное решение уравнения (22). Это решение при помощи метода вариации произвольных постоянных может быть выписано в квадратурах:

Здесь

ф ® = (л "Та" С F° ^ ^4 ~ ^ ^ ^ ^Ч’

п ф(Т2) . р Ф'(Т2)2ф(н,2)

(н-^) (л^т (н-^)

Далее из (7) следует

Fq^ = — (ж — яд) кх — х^ (ж — жз)/(Л — ж)3;

хг = А — 2 У А2 — 1 cos у, ж2,3 = Л + 2 ]/Л2 — 1 cos ^у ± у cos а = — УЛ2 — 1/Л, а?! 2 g (—1, 1), ж3 s{—1, 1].

Полученное выражение регулярно на замкнутом интервале [—1, 1]. Его форма обусловлена аддитивным выделением особенности, связанной с обращением вырожденного оператора L.

Общее решение неавтомодельной задачи

- Вернемся к рассмотрению задачи при произвольных R и Не, когда нужно учитывать нелинейность уравнения (11). В нелинейном случае разложения (12), пополненные присоединенными функциями (17), не представляют решения (И), так как при подстановке (12) в (11) нелинейность порождает нескомпенсирован- ные члены с суммарными степенями при 1/7?. Тем самым разложение (12) не обладает свойством замкнутости.

При разложении по целым степеням 1/7? линейные и нелинейные члены в (11) также будут выражаться через некоторые целые, степени, т. е. целые степени обладают групповым свойством. Для замкнутости нобходимо, чтобы таким свойством было наделе-

ио и семейство нецелых степеней, так чтобы линейные и нелинейные члены давали степени из этого семейства. Исходя из приведенных соображений, замкнутое разложение следует записать в

виде

(26)

Цп = 1 + 5 И,- (а; — 1),3 = 2

где п, — неотрицательные целые числа, выбираемые так, чтобы выполнялись неравенства ц„<цп+1. Функции и№^, hhn{x) удовлетворяют линейным неоднородным уравнениям, которые получаются из-за нелинейности (11). Если, например, (17) подставить в (11), то конвективные члены породят неоднородные линейные уравнения для функций ys, gv, П12, K\i и пгь /121, т. е. неоднородные уравнения появляются лишь для членов достаточно высокого порядка. Правые части для линейных неоднородных уравнений, которым удовлетворяют щ„, /1„п или уп, gH, отвечающие показателю степени ц„, и > 2, порождаются нелинейными членами, имеющими суммарный показатель степени ц„ + 2 при 1/7?. Эти показатели характеризуются

тем, что все они удовлетворяют условию 2 ^-^2.

3 = 2

Заметим, что (26) в качестве подпоследовательности целиком содержит разложение (12), члены которого удовлетворяют однородным уравнениям, чего не случилось бы при целых показателях а„. Это мультипольпое разложение, играющее в (26) затравочную роль, содержит двойной счетный набор произвольных постоянных Лп и Вп, которые должны определяться граничными условиями при R = Ro. Каждый мультиполь порождает целую последовательность членов разложения (26), обращающуюся в нулевую последовательность, если данный мультиполь отсутствует. В частности, дипольный член порождает в (26) последовательность целых степеней 1/7?.

Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид совокупности полного набора мультиполей с порожденными ими муль- типольными последовательностями, поэтому представление решения в виде ряда (26) естественно назвать обобщенным мультипольным разложением. При этом в двойную сумму, содержащуюся в (26), входит лишь одна произвольная постоянная В, определяемая уравнениями (23), (24) и пропорциональная расходу Q, что дает основание назвать ряд последовательностью расхода, характерный признак которой — наличие логарифмических членов. Следует также отметить, что, вообще говоря, не исключены такие случаи, когда

при некоторых числах Рейнольдса какие-нибудь собственные значения ап совпадут, т. е. станут кратными. В таких случаях собственные функции пополняются присоединенными функциями при 1пй7?-7?”, 1 $5 к ^ I — 1, где I— кратность.

Полученные результаты позволяют в явном виде выписать главные члены асимптотического разложения решения при больших R. С точностью до членов о (R A имеем

Д ., In 7? , z' \v / Д , “ I

+ n +=+(27)

Функции yi, и и z' определены соотношениями (4), (20) и (25). Они содержат три произвольные постоянные: Л, В и с0 (функция у2 = с2^о в силу произвольности со и С2 может считаться включенной в z'), которые в соответствии с традицией классической теории струй должны быть определены через заданные интегралы сохранения.

Во всех предыдущих работах учитывались только два интеграла сохранения: импульс Д и расход Q, которые, как уже указывалось, определяют постоянные А и В. Однако существует еще один точный интеграл сохранения для уравнений Навье — Стокса, который может быть задан независимо от ]г и Q и, следовательно, определяет постоянную со. Это поток ж-компоненты момента количества движения через поверхность, состоящую из полусферы радиуса R и кольца на плоскости у = 0 между окружностями радиусов R и Ro (рис. 105),

л

J VrUq — v ^ -^- + ^- —^j sin 0^0 + 0

Rл

+ 2pj7?2tZ7?j -^ + i^-2v[^+^^j]cos6ri6.(28)

Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, тоЕсли бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, тоRoо

Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, то

Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, то

в осесимметричном случаев осесимметричном случаеLx = 0. Именно поэтому интеграл сохранения (28) оставался незамеченным в литературе. Наличие этого интеграла приводит к тому, что в разложении для скорости должен присутствовать член ^((R2, по такой же член требуется законом сохранения массы (расхода). Как раз в этом кроется причина того, что спектральное значение «2 = 2 оказывается двукратно вырожденным при всех числах Рейнольдса. Следствием этого вырождения является

в осесимметричном случае

в осесимметричном случае

наличие в разложениях (26), (27) логарифмических членов, и неаналитичность решения уравнений Навье — Стокса сказывается уже во втором члене асимптотического разложения. Таким образом, парадокс неразрешимости для струи с ненулевым расходом обязан своим происхождением наличию дополнительного интеграла сохранения Lx и в соответствии с общей терминологией гл. 1 его следует называть парадоксом скрытого инварианта.

Итак, для описания струйного неавтомодельного течения при помощи главных членов асимптотического разложения (27) необходимо задать не два, а три интеграла сохранения: Л, Q и Lx. Данный вывод относится к решению полных уравнений Навье — Стокса. Между тем, большинство работ по теории струй выполнено в приближении пограничного слоя. Сначала рассмотрим, что происходит с точным решением в ситуации, когда Re-^ °°, Л->-+1 и, следовательно, согласно (1.3) Л ~* °°. Конечный результат существенно зависит от того, каким образом изменяется расход Q при этом предельном переходе, что в свою очередь зависит от способа увеличения Re.

Если струя выходит из трубки радиуса «о с характерной скоростью жидкости ко, то J,~u^a^ a Q ~ voao, так что Q~aoliJz~ ~аоПА — 1, и все зависит от закона изменения «0(Л). В частности, при «о = idem, т. е. при фиксированной геометрии трубки, произведение Q^A2 —1)-*0 и, следовательно, система (23) — (24) сводится к уравнениям С + 3S = 0 и С + 5S = О, которые имеют решение С = В = 0. Тогда согласно (20) п = 0 и логарифмические члены в разложении (26) пропадают. В этой ситуации разложение (3) непротиворечиво, и для асимптотического описания неавтомодельной струи с точностью до членов порядка 1/7?2 достаточно задание лишь двух интегралов сохранения Jz и Lx, тогда как величина Q может быть любой. Значит, если необходимо учесть, что струя имеет определенный конечный расход, то ее следует рассматривать при конечных, хотя, может быть, очень больших числах Рейнольдса. Этот факт заставляет при нахождении высших членов асимптотического разложения для затопленной струи поднять вопрос о справедливости допущений, принятых в теории пограничного слоя.

О применимости теории пограничного слоя для неавтомодельной затопленной струи

Рассмотрим подробнее приближение пограничного слоя. В цилиндрических координатах (г, ф, z) уравнения пограничного слоя для пезакрученной осесимметричной струи имеют вид

ди . ди / дги , 1 ди\ дги , дги пЛ

и— + p— = v —-н — ; —+ —= 0; V=(y, 0, и). (29) oz or Iг dr) dz дгх'

Подобно тому, как это сделано в (90], введем переменную ц = = r/(zv1/2). Аналогично (12) представим функцию тока ^(т), z) линеаризованного уравнения Прандтля (29) в виде разложения по собственным функциям

[

о— Rоfl1

а (ц) z + а0 (ц) z 0 + ...+«„ (ц) z п +...];(30)

а' 1 а0 1 1 дф .а' 1 а0 1 1 дф .(31)(31)

а' 1 а0 1 1 дф .

а' 1 а0 1 1 дф .

(31)

(31)

где показатели степени ^„ играют роль собственных значений соответствующей спектральной задачи. Первый член разложения (30) есть точное автомодельное решение полной системы уравнений (29) и соответствует функции тока задачи о затопленной струе заданного импульса Л.

Функция я(т|) получена Шлихтингом [232]:

V Si- <32'V Si- <32'2 2а (л) =а =

V Si- <32'

V Si- <32'

Подставляя (31) в уравнение (29), линеаризованное на решении Шлихтинга, приходим к следующей линейной задаче на собственные значения:

Г) \ Л /ЦТ] 4\ Л / ДГ) \ Л /ЦТ] 4\ Л / Д(33)(33)

Г) \ Л /ЦТ] 4\ Л / Д

Г) \ Л /ЦТ] 4\ Л / Д

(33)

(33)

Оп(0) = 0, Яп(0) = 0; «„/^-^-О при т^-^оо.

Отметим, что значение ^о = 2 является собственным. Соответствующая собственная функция «о(л) получена Лойцянским [90]. Следуя работе [90], введем переменную § = а/4, тогда (33) принимает вид

£(1-с)2Х + (1 — 4g)(l — В) a"+2Ml-£)«n + 4(p„-2)«n = 0;

(34)

«п(0) = 0; «„/VI — g^0 при £->1.(35)

Уравнение (34) обладает иными спектральными свойствами, чем (13): во-первых, при любом ^„ существует решение, ограниченное при g = 0 и g = 1,

+ + (36)

так что имеется непрерывный спектр. Во-вторых, при определенных значениях ^„ существуют решения в виде полиномов Sn(§) степени га. Спектральные значения Р„ удовлетворяют соотношению

(37).(37).(га — 2) [га (га + 3) — 2 (^„ — 2)] = О,

(37).

(37).

откуда видно, что кроме п = 2, отвечающего решению (36), имеется дискретный целочисленный спектр

pn=^d^ + 2; р0 - 2,= 4, р2 = 7, Р3 = И, ..., (38)

порождающий еще одно семейство ограниченных на интервале [О, 1] решений уравнения (34), которые в комбинации с решением (36), вообще говоря, позволяют выполнить условия (35). Однако при [Зп = 4 и 7 эти решения совпадают с (36) и приходится привлекать неаналитические решения, имеющие в окрестности g = 1 вид

(39)(39)ап^^Лп + .ВД! — g) In (1 — §)+....,

(39)

(39)

которые также удовлетворяют условиям (35). Таким образом, спектр задачи (34) — (35) есть (38). Собственные функции, отвечающие этому спектру, образуют систему мультиполей уравнений пограничного слоя. Как и выше, в общей нелинейной постановке задачи мультиполи порождают мультипольные последовательности, члены которых удовлетворяют линейным неоднородным уравнениям. На первый взгляд полное обобщенное мультипольное разложение должно было бы совпасть с разложением по целым обратным степеням z, но поскольку все возникающие из-за нелинейности правые части в линейных неоднородных уравнениях соответствуют целым показателям степени, то для разрешимости задачи согласно развитому выше подходу решение должно быть пополнено членами, содержащими Inz в соответствующих степенях, с коэффициентами, обеспечивающими эту разрешимость.

Сравнивая величины ^„ и а„ на рис. 104, видим, что приближение пограничного слоя несправедливо, начиная с ^„ > 2. Решение Лонцянского Ро = 2 — последний высший член разложения, совпадающий с решением уравнений Навье — Стокса при Re -> °° и больших z. Все полученные к настоящему времени высшие приближения в теории струй — члены одной и той же, а именно дипольной последовательности. Ясно, что такие приближения некорректны. Именно с этим, скорее всего, связано то парадоксальное обстоятельство, что второе приближение лучше согласуется с опытом, чем третье [5, 76].

НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАКРУЧЕННЫЕ СТРУИ.

ТЕПЛОВАЯ ЗАДАЧА

ДЛЯ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАТОПЛЕННЫХ СТРУЙ

Предложенный здесь обобщенный мультипольпый подход имеет широкую область приложения, значительно перекрывающую круг вопросов, рассмотренных в предыдущих параграфах. В частности, на его основе решается задача о возникновении при- осевых возвратных течений в закрученных струях. Подобные течения наблюдаются экспериментально [5], но, несмотря на многочисленные попытки [57, 75, 76, 133], их не удается описать в рамках теории пограничного слоя. Ключевую роль в рассматриваемой проблеме играет интеграл сохранения, который до сих пор выпадал из поля зрения исследователей, по который с необходимостью обнаруживается при последовательном применении мульти- польпого подхода.

Общее решение неавтомодельной задачи о закрученной струе

Рассмотрим неавтомодельную закрученную струю. Решение для вращательной скорости Уф будем искать в виде

ТГ2(Ж)у„

Первые два члена в (1) соответствуют известным решениям [36, 140] (см. разд. 2.3), целые степени в которых диктуются законами сохранения поперечной компоненты импульса, ответственной за вращение струи [36], и z-компоненты момента количества движения. Характерная особенность первого члена — неограниченность уФ при х = — 1 из-за невозможности одновременно удовлетворить условиям Г1(±1) = 0. Это решение соответствует истечению струи из вихревой нити. Решение для y\^xV обладающее минимальной особенностью, регулярное при ж=1, в случае наличия вращения неаналитично: уДж) ~ 1п(1 + ж).

Для таких решений источник вращения не может быть точечным. Если вернуться к постановке задачи с заданным распределением вектора скорости на сфере радиуса Ro, то для регулярности решения при х~ — 1 необходимо положить Г1(ж) = 0, в результате чего получается постановка задачи Лойцянского [90], в которой первым является дипольный член разложения, характеризуемый заданием z-компоненты потока момента количества движения

Л

Lг = 2np/i3 J |удуф — V ^^ — ^) j sin2 0 d9.(2)

О

Эта задача решена сначала в рамках теории пограничного слоя в [90], а затем и для полных уравнений Навье — Стокса в [140], где получено

(3)(3)Г2 (ж) = d ——; d = const.

(3)

(3)

Постоянная d определяется моментом импульса Ьг. Вычисляя интеграл в (2) с учетом, что кд описывается решением Ландау (1.1), (1.2), приходим к соотношению

(4)(4)Ьг = 4npv2d Г■— 2 + А In ^ + 1 .

(4)

(4)

‘[з(Л2-1)Л-1]

Если (1) подставить в уравнение Навье — Стокса (2.1), то при использовании для кд и и0 решения Ландау также можно получить систему однородных линейных уравнений, определяющих собственные функции Гп(ж):

(5)(5)(1 — ж2) Г" — у^ + ^п — 1) (у„ — у'^ Г„ = 0.

(5)

(5)

Здесь уДж) сохраняется в виде (2.4). Остальные уравнения будут неоднородными, что породит в (1) свою систему мультипольных последовательностей.

(Ы, 1]).(Ы, 1]).Собственное значение уг = 2 при всех числах Рейнольдса, поскольку это соответствует закону сохранения момента количества движения. Для п > 2 значения уп оказываются дробными и зависят от числа Рейнольдса (рис. 106). При Re-> 0 (Л -> °°) собственные значения целочисленные у„ = п, и им отвечают собственные функции вида Г„(ж) = П„(1 — х^Тп-^х} (п5=2), где Т„(х') — некоторые полиномы степени п, Du = const. Нетрудно видеть, что система {Г„} является в этом пределе полной системой функций. Это соответствует ясному физическому условию, что на сфере радиуса Ro можно задать скорость ^ любой регулярной функцией угла 0, в частности произвольной функцией из пространства Li

(Ы, 1]).

(Ы, 1]).

Доказать полноту системы {Г„} для произвольных Re традиционными методами ввиду нелинейной зависимости собственного значения у„ в (5) не представляется возможным. (Вероятно, это можно сделать аналитическим продолжением семейства (ГД по параметру А, " фигурирующему в решении Ландау.)

Однако поскольку число собственных функций с ростом Re не изменяет- j_. ся, то по непрерывности полнота долж- ' на иметь место и в некоторой окрестности Re > 0. Следует отметить, что со- г',।р— гласно проведенным расчетам не су- о 2550 Re

ществует собственных значений внутриРис. 106.

19 М. А. Гольдштик, В. И. Штерн, Н. И. Яворский

интервала (1, 2), поэтому дипольный член с га = 2 действительно является главным в разложении (1), когда Г1(ж) = 0.

Таким образом, учитывая результаты § 2, получаем, что решение задачи о закрученной струе содержит три счетных набора произвольных постоянных {В„}, {Сп}, {£>„}, с помощью которых можно всегда удовлетворить граничному условию на сфере радиуса Во в виде произвольно заданного осесимметричного вектора скорости (кд, Уд, Уф), соответствующего ненулевому источнику импульса на ней (Л^О, (1.3)). При этом главные члены асимптотического разложения при В -> °° определяются четырьмя интегралами сохранения: импульсом струи 7Z, расходом Q и двумя компонентами момента количества движения Lx и Lz.

Перейдем к построению общего решения сформулированной краевой гидродинамической задачи вне шара радиуса Во. Для этого разложения (2.26) и (1) с учетом собственных значений у, необходимо дополнить членами с такими показателями при сферическом радиусе В, чтобы при подстановке полученных разложений в уравнении Навье — Стокса линейные и нелинейные члены имели показатели степени при В из одного и того же семейства (см. §2). Следовательно, семейство дробных показателей степени должно быть замкнуто относительно этой подстановки. Искомое разложение имеет вид (ср. с (2.26))

р«=1+ 2 [гаДа;—1) + тДу;■—1)], и,;, т, = 0, 1, 2, .(7) (j = -oo)

(8)(9)(Ю)(8)(9)(Ю)

(8)

(9)

(Ю)

(8)

(9)

(Ю)

Гп (Д + Zj &кл (х) k к=1НГп (Д + Zj &кл (х) k к=1Н

Гп (Д + Zj &кл (х) k к=1Н

Гп (Д + Zj &кл (х) k к=1Н

^ = 1 + 2 [^ (а,- — 1) + т; ^ — 1)]; пь т, = 0, 1, 2(™о == 0);

где п}, т, — целые неотрицательные числа, выбираемые таким образом, чтобы множества {ц„}, {£„} были вполне упорядочены по признаку ц„ < ц„+1, ?п < £п+1 (£„ отличаются от ц„ ограничениями на суммы rij и т5; отметим также, что множество {ц„} (7) упорядочено иначе, чем в (2.26), поэтому функции у„, g^ икп, hhn не совпадают с аналогичными функциями в (2.26)).

Мультипольное разложение (6) — (10) справедливо для решения краевой гидродинамической задачи вне шара, из которого бьет струя. В этом случае собственные значения ctj > 0, yj > 0 и соответственно показатели степени ц„ > 0, £„ > 0. Можно расширить границы применимости развитого обобщенного мультипольного разложения на струйные течения в ограниченных областях, если семейство собственных значений дополнить отрицательными показателями степени ctj, у,- и соответственно ц„, ^„. Такие отрицательные собственные значения действительно существуют в некоторой области небольших чисел Рейнольдса. В случае Re 0, как было показано в разд. 4.2, спектральные значения, отвечающие собственным функциям в виде полинома степени га+1, есть ап = га, га+ 2, —га+1, —га — 1. Отсюда видно, что существует двукратный целочисленный спектр отрицательных а„, аналогичный спектру положительных собственных значений, причем множество собственных функций, соответствующих а„ < 0, есть полная система полиномов, удовлетворяющая всем необходимым условиям (у„(±1) = 0, см. § 2). При увеличении числа Рейнольдса двукратные собственные значения расщепляются на две ветви, а система собственных функций для каждой ветви остается полной по крайней мере в некоторой окрестности точки Re= 0, что позволяет удовлетворить граничным условиям для vR и ие на внешней сфере радиуса 7?ь

Нетрудно установить, что при Re = 0 отрицательные целочисленные значения показателей степени у„ для окружной скорости гаФ также являются собственными, а система собственных функций полной (при у„ = п, —и—1 имеется собственная функция в виде полинома га-й степени Г„(ж), Г„(±1) = 0). При увеличении числа Re отрицательные у„ становятся дробными, а число собственных функций не меняется, поэтому следует ожидать полноты системы собственных функций для отрицательных уп и при Re > 0.

Таким образом, с помощью мультипольного разложения можно построить решение уравнений Навье — Стокса в шаровом слое, на границах которого задано произвольное осесимметричное поле скорости из £г ([— 1, 1]). В этом случае разложения (6) — (10) имеют тот же вид, но суммирование распространяется от —00 до оо (эти пределы указаны в скобках). Отрицательные индексы у показателей степени ц„, + (га < 0) означают, что ц„, L„ < 0, причем Цп—1 Цп, ^п—1 ^71-

Общее решение уравнений Навье — Стокса (6) — (10) может быть полезным и при решении других осесимметричных краевых задач гидродинамики. В частности, граничные поверхности в виде 19*

сфер радиусов Ro и R\ можно заменить непересекающимися осесимметричными звездными поверхностями So и Si достаточной степени гладкости. Действительно, любую осесимметричную звездную поверхность можно описать, задав однозначную функцию 7?o(cos6), где Ro — расстояние от начала координат до рассматриваемой поверхности. Подставляя функции 7?о(ж), 7?1(ж) в разложения для vR, ve, v„, по заданному вектору скорости на So и Si определим весь двойной троекратный счетный набор произвольных постоянных {Вп, Си, D^, с помощью которого решение полностью определяется во всей внутренней области.

До сих пор шла речь о мультипольных разложениях (6) — (10), как об общем решении уравнений Навье — Стокса. Однако пока не доказана равномерная сходимость этих разложений, представление решения в виде (6), (10) имеет лишь формальный характер.

Сходимость обобщенных мультипольных разложений

Рассмотрим вопросы сходимости рядов (6) — (10). Ввиду того, что эти ряды носят характер степенных, в случае гидродинамической задачи для внешности шара с радиусом Ro ряды при п > 0 сходятся всюду в области R > Ro, если они сходятся при R = Ro. Таким образом, если с помощью представлений (6) — (10) оказывается возможным удовлетворить граничным условиям на сфере R = Ro, то указанные представления будут решениями уравнений Навье — Стокса везде в рассматриваемой области. Остается выяснить, существует ли ненулевой радиус сходимости рядов. Пусть 5n, С„, D„ — интенсивности соответствующих мультиполей, причем |5П|, |С„|, \D«\ $£С1па, а>1, 0<С<°°, а расход для простоты положим равным нулю. Случай с ненулевым расходом, когда присутствуют члены с In 7?, может быть рассмотрен аналогичным образом.

Необходимо оцепить вклад членов, возникающих из-за квадратичной нелинейности. Эти члены пропорциональны произведению

R; BiC} ... Пъ, .. . Dh R^1 ...

... RSR 1 ... R 3pR 1 ... R m,

причем если сумма («^ — 1) + .. . + (^кт — 1) лежит в интервале \N, N+ 1], то их вклад при N > 1 можно оценить сверху величиной Ca/(1+7V)“, С<Са<°о, Са = const. (Справедливость этого и некоторых последующих утверждений будет установлена ниже после общей характеристики проблемы сходимости.) Отсюда следует, что

интересующие нас ряды при достаточно естественных и общих предположениях сходятся при R "> Rq.

Следует отметить, что если рассматривается гидродинамическая задача в шаровом слое или какой-либо аналогичной осесимметричной области, то сходимость рядов (6) — (10) ставится под сомнение. Однако если интенсивности мультиполей, соответствующих отрицательным показателям степени ц№, ^, экспоненциально быстро, как (RoiRiV^'^N^, убывают с ростом |ЛП, то мы увидим, что полные ряды сходятся и в этом случае, но стационарные осесимметричные решения теряют устойчивость при весьма небольших числах Рейнольдса, поэтому представление решений в виде (6) — (10) уже при невысоких Re может потерять физический смысл.

Фактическое вычисление интенсивностей мультиполей из граничных условий приводит к бесконечной нелинейной алгебраической системе, разрешаемой рекуррентным способом, для чего системы функций уп, ик„, Г„, йкп необходимо последовательно ортогонализировать. Эта процедура может оказаться весьма трудоемкой, если для построения приближенного численного решения требуется большое число собственных функций. Тем не менее расчет течения по полученным решениям в ряде случаев оказывается достаточно эффективным, поскольку не содержит итераций по нелинейности, характерных для решений уравнений движения обычными сеточными методами [174, 220]. В частности, вклад членов, возникающих в результате итераций по нелинейности, асимптотически мал при N - * °0, поэтому достаточно ограничиться решением линейной задачи при больших N, что сильно упрощает алгебраическую систему для определения R„, Сп, Dn.

Следует отметить, что выбор базиса в виде собственных функций не является единственно возможным для задачи в ограниченной области. В принципе можно рассматривать произвольные га- леркинские приближения. Однако представляется, что базис из собственных мультиполей наиболее удобен, поскольку имеет ясное физическое содержание для каждого члена разложения, что немаловажно для приближенного решения задачи. В ряде случаев достаточно рассмотреть один-два члена разложения, чтобы получить физическую информацию о решении. Рассмотрим два таких примера.

Оценим вклад членов разложения (6) — (10) при показателях степени ц„, £„, лежащих в интервале [^V, ^+1) при достаточно больших N, для задачи о струйном течении во внешности шара R^Ro- Пусть для простоты показатели степени а„, уп целые (ап = = уп = и, ге>0), а расход Q равен нулю, чему соответствует отсутствие в разложениях (6) — (10) членов с 1н7?. Тогда в указанном интервале содержится только одно значение = ^ (если — дробные, то получаемая ниже оценка не претерпевает значительных изменений, о чем будет указано в соответствующем месте). В этом случае разложения для полей скорости и давления прини-

мают видV = 2 V„;п=1где членыv« = v„ + u„;v„ = fn (cos 6) R~u;Pn= gn^os 0)7?-”-1;мают видV = 2 V„;п=1где членыv« = v„ + u„;v„ = fn (cos 6) R~u;Pn= gn^os 0)7?-”-1;P = 2 Pn,(И)n = lPn = Pn + Чп, v" = f"(cos0)7T”;(12)p" =g"(cos0) К”""1P = 2 Pn,(И)n = lPn = Pn + Чп, v" = f"(cos0)7T”;(12)p" =g"(cos0) К”""1

мают вид

V = 2 V„;

п=1

где члены

v« = v„ + u„;

v„ = fn (cos 6) R~u;

Pn= gn^os 0)7?-”-1;

мают вид

V = 2 V„;

п=1

где члены

v« = v„ + u„;

v„ = fn (cos 6) R~u;

Pn= gn^os 0)7?-”-1;

P = 2 Pn,(И)

n = l

Pn = Pn + Чп, v" = f"(cos0)7T”;(12)

p" =g"(cos0) К”""1

P = 2 Pn,(И)

n = l

Pn = Pn + Чп, v" = f"(cos0)7T”;(12)

p" =g"(cos0) К”""1

удовлетворяют уравнениям (p = 1)

div v" = 0,div un = 0,div v" = 0,div un = 0,n ^ 2;(13)3.n ^ 2;(13)3.^ Av" = Vp" + (v1; V) v" + (v", v) vx;

div v" = 0,

div un = 0,

div v" = 0,

div un = 0,

n ^ 2;

(13)

3.

n ^ 2;

(13)

3.

^Aun = Vg,n+ 2 (¥д’v) v"+i-a;

й=2

Координаты скорости и давления обезразмерены по их характерным значениям на сфере R = R0. Из (12), (13) находим

3П-1

ипЛ = Уп,г + S LUh 2 ииип+1_1Л, i = 1, 2, 3, .(14)

i,k=l1 = 2

где интегральный оператор ЕУк имеет вид

г к—1 / $9 Э\

fjAib :== пе /\ I О-Н "7Ч ^ о11

7 9х^дх^ dxjdx^ I

а А-1 — обратный оператор к оператору Лапласа. Поскольку оператор Lijk интегральный, то можно показать, что он ограничен на пространстве функций v„ из (12), где /„.,, /п, е Ьг ([— 1, 1]):

||^1К-^Ке^0<°о; г, 7, &=1, 2, 3; 0<Х<оо,(15)

причем норма определяется соотношениями

||v„|| = ^n||fn||, Ип||= Ъмч-(16)

Из (14) с учетом (15), (16) следует

IlfnKlI^II + ^e "fllfJHIfn+i-zll.(17)

Полагая

KnWM, ||^||<С0М“ «>!.<18>

при га > 1 соотношению (17) можно придать интегральную форму

71—1

/ (га) ^ <?0/га“ + XRe J dxf (х) / (га + 1—ж).(19)

2

Выражение (19), записанное в виде равенства может служить уравнением для получения верхней оценки функции /(га) при больших га, которой вполне достаточно для решения вопросов о сходимости разложений. Действительно, усилим неравенство (19):

/ (ж) < /„ (ж) + н J dyf (у) / (ж + 1 — у),(20)

1

где

/о (ж) = сх~а; cq<c<°°; а>1; х >1; ц = ХВе>0, причем, по построению, /(ж)ЗаО; /(1)>0.

Пусть существует непрерывное решение g^ уравнения

g М = /0 И + и J dyg ^g^ + 1 — gY(21)

1

Нетрудно показать, что ^(ж)>0. Обозначим u^ = ^xV gk$Y(22)

Из (20) —(22) следует"

м(ж)<р J dyu(y) [/(ж + 1 — у} 4- g{x + 1 — у)],(23)

откуда гг(1)<0. Поскольку и (ж) непрерывна, существует такое число а> 1, что и(ж)<0 при 1 х < а. Пусть и(«) = 0, тогда (23) приводит к противоречию j dyu (у) [/ (ж + 1 — у) + g (х + 1 — у)] > 0 1

при условиях и(ж)< 0, /(ж+ 1 - у) + g(x + 1 — у) > 0, 1 ^ х < а. Таким образом, п(ж)<0 для всех конечных х. Итак,

i^<g^ при 1^ж<оо.(24)

Обозначим

ф(ж- 1) = ^(ж); ф0(ж- 1) = /0(ж),(25)

тогда (21) представляется в виде

ФМ = Фо И + И j dy(p (у) (р (х — у).-(26)

О

Уравнение (26) можно решить методом преобразования Лапласа

Ф(Х) = Ф0(Х) + ИФ2(Х); Ф1,2 = ^[1± /1-4иФ0],(27)

где Ф (X) = J е~Ххф (ж) dx, Фо (X) = J е~Ххф0 (ж) dx. Поскольку ф9(ж) = оо

= с/(1 + ж)“, имеем [55]

Фо(Х)=сГ(1 — а, Х^-’Л(28)

Для того чтобы определить асимптотику ф(ж) при х °°, достаточно исследовать решения (27) при X -> 0. В этом случае Фо(Х)=сГ(1—а)Ха-1 + ^(Х"-1), а два корня (27) имеют вид

Ф1 = i - Фо W + О (Ф^ (X)); Ф2 = Фо (X) + О (Ф^ (X)).

Применяя обратное преобразование Лапласа, нетрудно видеть, что при ж -^ °° первый корень определяется выражением

Ф1(ж) =— <Ро(ж) + ^(Фо^)),(29)

а второй

ф(ж)= фо(ж)+ о (фо (ж)).(30)

Из (29) следует, что для достаточно больших х величина ф1(ж)< < 0, что недопустимо для нормы. Таким образом, главный член асимптотического разложения при х-^=° дается (30) и не зависит от величины ц. Поскольку р = X Не, можно сделать вывод, что сходимость рядов (6) — (10) не зависит от значения Не. Тем не менее следует учитывать, что интенсивности собственных мультиполей зависят от Не и в оценке /0(У) = cN~a постоянные а, с могут, вообще говоря, зависеть от Не, и не исключается, следовательно, возможность существования такого Не, при котором условия а > 1 или с < 00 могут нарушиться.

С другой стороны, главный асимптотический член (30) показывает, что при больших значениях У решение определяется вкладом решения однородной задачи, вклад же части решения, полученной итерациями по нелинейности, пренебрежимо мал. Следовательно, главную роль в определении асимптотического поведения членов разложения при У ^ °° будет играть конкретный вид граничных условий. В случае рассматриваемой краевой задачи это вид профилей скорости на сфере R = Ro- Можно полагать, что для весьма широкого класса профилей скорости, близких к автомодельному, рассмотренные выше оценки будут справедливы. Указанное характерное асимптотическое поведение членов разложения может сделать предлагаемый способ построения решений уравнений Навье — Стокса удобным с практической, вычислительной, точки зрения, хотя вопрос о том, являются ли предлагаемые разложения наилуч-

шими среди других возможных, остается открытым (вероятно, это простейшие разложения, обладающие необходимыми свойствами сходимости и полноты).

Следует отметить, что в случае задачи о струйном течении в шаровом слое можно получить аналогичные утверждения о сходимости рядов (6) — (Ю). В частности, неравенство (20) для решения на сфере R = Ro преобразуется к виду

/ (^ < foX^ + Н J dyf{y)f^ + 1 — у).(31)

Нетрудно также показать, что /(ж)<^(ж), где £(ж) есть непрерывное решение уравнения

g (х) = /0 (ж) + р J dyg (z/) g (Ж + 1 — у^,

и при |ж| оо аналогичным образом можно получить /(ж)</о(ж) (Ы-*-°°), если Фурье-образ Fo(k') функции /о(ж) такой, что Fo (к) ->- 0 при к 0.

(1 + ^2)“/2(1 + ^2)“/27? \*7? \*Для того чтобы ряды (6) — (10) сходились в области Ro-CR^

(1 + ^2)“/2

(1 + ^2)“/2

7? \*

7? \*

=5 Ry, достаточно сходимости интеграла

В частности, если выполнены неравенства /0 (ж) ^

при ж^О; /о (ж) ^-^—, ^а/2 при х > 0; 0<с<°°; а>1, то необходимые требования удовлетворяются и ряды абсолютно сходятся везде в области [7?о, -Ri}- Следует отметить более жесткое условие на асимптотическое поведение собственных мультиполей при положительных степенях сферического радиуса ^N —°° или х ->- -^ '—°°), поэтому область применимости предлагаемых разложений для струйного течения в шаровом слое может быть уже (по допустимому виду профилей скорости на сфере или Re), чем в случае краевой задачи вне сферы.

Неавтомодельная струя во вращающейся трубе

Одним из характерных примеров течений в ограниченном пространстве является неавтомодельное струйное течение во вращающейся трубе большого диаметра. Эта задача демонстрирует нетривиальное физическое содержание первых членов мульти- польного разложения по положительным степеням сферического радиуса R.

Рассмотрим неавтомодельную затопленную струю, бьющую вдоль оси вращающейся трубы, предполагая, что диаметр трубы D много больше диаметра трубки d0, из которой истекает струя.

Граничные условия имеют вид vR = и9 = 0, у„о = £221/2, где при D = 2R sin 6 £2 — угловая скорость вращения трубы. Эти условия удовлетворяются с помощью разложения по положительным степеням R. Для описания полей vR, vs можно ограничиться решением Ландау (1.2) — (1.4), которое будет удовлетворять условиям прилипания с точностью до членов порядка сЦВ. Для окружной скорости уФ надо использовать ряд (2.1). Собственные значения у„(Не) могут быть рассчитаны методом, указанным в разд. 4.2. Некоторые зависимости ^„(Re) при п =—1, —2, —3 представлены на рис. 107. Интересно отметить, что учет только одного члена разложения, позволяет получить качественно верное решение, характеризуемое эжекцией циркуляции струей со стенок трубы. С помощью (6) — (10) можно построить количественное решение данной задачи с любой наперед заданной точностью, если взять необходимое число членов из указанного выше полного решения.

Для решения с конечным числом членов разложения п условие v,,AR, cos6)=yTo будет выполняться на некоторой поверхности вращения Sn, касающейся цилиндра 2R sin 6 = D при 6 = л/2. Чем больше п, тем сильнее можно приблизить S„ к цилиндру. Параметры разложения при данном п выбираются из условия наилучшего приближения исследуемой области течения областью Гп с границей 8п в нужном диапазоне изменения продольной координаты z.

Результаты численного расчета уф представлены на рис. 108 для случаев Re = 5,04 (кривые 1, 3); 17,4 (2, 4) и z/(Dj2) = = 2,0 (7, 2"); 0,5 (3, 4); штриховая линия отвечает твердотельному вращению. Здесь z — координата вдоль оси трубы, г — цилиндрический радиус. Графики показывают отчетливое увеличение эжек- ции циркуляции в приосевую область, т. е. рост угловой скорости вращения жидкости с ростом интенсивности струи.

Интересно отметить, что вращение жидкости при наличии достаточно интенсивной струи существенно отличается от твердотельного вращения (уф = ^R sin 6), а при Re »1 имеет распреде-

ление, характерное для вихря Рэнкина. Рассчитанный эффект эжекции циркуляции незакрученной струей может быть использован и в практических целях, если в каком-либо месте закрученного потока необходимо интенсифицировать вращательное движение жидкости.

Общее решение тепловой задачи для неавтомодельной затопленной струи

В § 1 было рассмотрено полное решение тепловой задачи для струи Ландау вне сферы, на которой задано произвольное непрерывное осесимметричное поле температуры (возможны постановки краевых задач второго и третьего рода). Распространим полученное в этом параграфе мультипольное разложение температуры (1.23) на случай неавтомодельной струи в ограниченном пространстве. Поле скорости в этом случае представим в виде (6) —(10). Собственные значения со,- спектральной задачи (1.24) принимают теперь как положительные, так и отрицательные значения. Используя метод построения общего решения для неавтомодельной затопленной струи, можно построить решение уравнения конвективной теплопроводности (1.4) с помощью замкнутого семейства нецелых показателей степени лп

k=lk=lт = 2 т» м + 2$ьи м1_^ R ^

k=l

k=l

К = 1 + 2 [га; (а, — 1) + от,- ^ — 1) + lj ^з — 1)1;(32)

3 = 1

2 пз 3^12 пз 3^1т-5т-50;0;2 k3*12 k3*11,1,

2 пз 3^1

2 пз 3^1

т-5

т-5

0;

0;

2 k

3*1

2 k

3*1

1,

1,

где Н), т3, 13 — целые неотрицательные числа, которые выбираются так, что множество {XJ вполне упорядочено по признаку Xn<Xn+i, причем Х„ > 0, если и > 0, и Хп < 0, если п < 0. В случае Re = 0 или Рг = 0 собственные значения со,- целые и соответствуют собст

венным функциям, являющимся полиномами Лежандра. В общем случае зависимости со,= со,(Re, Рг) могут быть рассчитаны численно указанным в § 1 методом. Зависимости отрицательных й3, как функций Re при заданном Рг = 0,5 и j = — 1, —2, — 3, представлены на рис. 109.

Что касается полноты системы собственных функций и сходимости рядов (32), то все замечания, которые были сделаны для неавтомодельной затопленной струи, почти дословно переносятся и па случай

тепловой задачи. В частности, кроме постановки задачи вне шара или в шаровом слое, можно рассматривать краевые тепловые задачи для затопленной струи в области, заключенной между другими двумя достаточно гладкими звездными поверхностями.

Тепловая задача для затопленной струи, распространяющейся в нагретой трубе

Представляет интерес рассмотреть задачу о теплообмене затопленной струи, распространяющейся в нагретой трубе большого диаметра D > d. Граничные условия имеют вид ив = = ге = гф = О, Т = То при 2R sin 6 = D, где Tq— температура трубы. Для описания поля скоростей аналогично разд. 3.3 можно ограничиться решением Ландау (1.1), (1.2). Поле температуры следует искать в виде разложения по положительным степеням R (32). Как показывают зависимости coj(Re) при Рг = 0,5 (см. рис. 109), решение должно характеризоваться инжекцией теплосодержания w = с^Т струи в область течения, причем существует число Рейнольдса Re ~ 10, при котором инжекция максимальна. Этот факт может быть использован для организации эффективного струйного охлаждения.

Характерные профили температур представлены на рис. 110, 111. На рис. НО профили температур даны на расстоянии z/ (D/2)= 1,0 от источника струи при Re = 5,04 (кривые 3, 4); 16,0 (7, 2) и Рг = 0,50 (7, 3); 1,0 (2, 4). На рис. 111 при Re = = 16,0 и Рг = 1,0 приведены профили Т/То на различных расстояниях от источника струи z/(D/2)=0 (кривая 7); 2,0 (2); 4,0 (3). При увеличении числа Прандтля, как это видно из рис. 110, эффект инжекции теплосодержания струей увеличивается. Если же зафиксировать Рг и увеличивать Re, то тепловой поток на стенке, пропорциональный dTldR, сначала увеличивается, а затем при Re оо стремится к нулю. Величины максимального теплового потока и числа Рейнольдса, при котором он достигается, существенно зависят от Рг. Таким образом, оптимальный режим охлаждения

струей существенно зависит от выбора конкретного теплоносителя.

Число членов неавтомодельного разложения по положительным степеням R при решении задачи выбиралось равным одному- двум, что, конечно, не соответствует постоянной температуре трубы на всем ее протяжении. Тем не менее на расстояниях порядка двух-трех диаметров трубы T(DI2, ф, z) зависит от продольной координаты z достаточно слабо, что вполне удовлетворительно для тех качественных выводов, которые были сделаны выше.

Мультипольное разложение и устойчивость неавтомодельной затопленной струи

Как уже отмечалось выше, полное решение (6) — (10) осесимметричной гидродинамической задачи о струе в ограниченной области с необходимостью содержит члены с показателями степени а, < 0 (/^0). На рис. 112 представлены зависимости “j (Не) Для нескольких первых отрицательных индексов. В § 2 было показано, что в случае Re = 0 показатели степени «j (/ Ф 0; 1) являются двукратными целыми собственными значениями спектральной задачи (2.13), соответствующими двойному полному набору собственных функций, как для положительных, так и для отрицательных а,-. Этот факт позволяет удовлетворить двум произвольным граничным условиям на двух поверхностях, ограничивающих область струйного движения. При увеличении числа Рейнольдса положительные показатели степени расщепляются па две непересекающиеся ветви.

Рис. 112 показывает, что в случае отрицательных показателей степени собственные значения а,- также расщепляются с увеличением Re, но при некоторых числах Re* последовательно сливаются. При Re ^ Re* пара действительных собственных значений превращается в комплексно-сопряженную пару. Характерное поведение первой такой пары представлено на рис. ИЗ.

Рис. 113.

Наличие комплексных показателей степени приводит к появлению в общем разложении (6) — (10) членов, характеризуемых осцилляциями по сферическому радиусу R. В этом случае при достаточно больших интенсивностях соответствующих мультиполей возможно выполнение необходимого условия возникновения невязкой гидродинамической неустойчивости, заключающегося в том, что величина д/дг(г-1дщ)/дг меняет знак на интервале [0, <») изменения цилиндрического радиуса г (уф = 0). Указанное условие, представляющее теорему Рэлея для осесимметричного течения, справедливо для параллельного приближения, когда течение не зависит на рассматриваемом участке от продольной координаты z. В общем случае критерий гидродинамической неустойчивости теряет рэлеевскую формулировку, но качественное изменение решения при Re > Re*, связанное с появлением осцилляций по радиусу R, имеет тесную связь с устойчивостью течения, что подтверждается экспериментальными данными.

Таким образом, можно сказать, что при Re > Re* существуют такие стационарные осесимметричные возмущения, обеспечивающие необходимую интенсивность мультиполей с комплексно-сопряженными показателями степени, при которых течение теряет устойчивость. Такие возмущения, как это следует из условия невязкой неустойчивости, могут быть совсем не малыми. Заметим, что члены, порождающие неустойчивость, отвечают граничным условиям на внешней поверхности. Поэтому устойчивость также может теряться на внешней границе течения, что согласуется с экспериментальными результатами работы [195]. В работе [250] опытным путем обнаружено, что критическое число Рейнольдса для осесимметричной затопленной струи составляет 5,2—5,9, что несколько превышает значение Be* = 3,5. Следует отметить, что возмущения, вносимые в поток, в этой работе носили кратковременный характер и не исчерпывали, таким образом, весь класс возможных возмущений. Экспериментальное значение числа Рейнольдса, при котором наблюдается неустойчивость, соответствует области, в которой комплексно-сопряженными оказываются две- три пары собственных значений (см. рис. 112), т. е. в условиях, когда интенсивности отдельных мультиполей могут быть значительно ниже. В работе [231] нарушение стационарности и осесим- метричпости течения ламинарной затопленной струи впервые наблюдалось при Re = 3,7—4,1 (в нашей работе принято определение числа Рейнольдса, соответствующее Re = иоЛо/v, где «о — радиус трубки, по — скорость жидкости в трубке, из которой бьет струя), что хорошо согласуется с результатами, полученными выше. Заметим, что рассчитанное ранее обычными методами теории гидродинамической устойчивости критическое значение числа Рейнольдса («15) [196, 211] значительно превышает его экспериментальное значение.

Приосевой обратный ток для закрученной струи

Рассмотрим неавтомодельную закрученную струю на достаточно больших расстояниях от ее источника. В этом случае главные члены разложения имеют вид

^о^о1 R 1П1 R 1П“12 - У 5 д3“12 - У 5 д3(2“31 - “12) д3(2“31 - “12) д3(33)(33)L\p —■L\p —■VVГ2Г2/1 _ ж2 Д2/1 _ ж2 Д2— = V Р— = V Р21 д221 д2, h , Д , gд4 Ro д4, h , Д , gд4 Ro д4g4 I ^21 1П2 J^д%+1+ Д41П Д(| +g4 I ^21 1П2 J^д%+1+ Д41П Д(| +

^о

^о

1 R 1П

1 R 1П

“12 - У 5 д3

“12 - У 5 д3

(2“31 - “12) д3

(2“31 - “12) д3

(33)

(33)

L\p —■

L\p —■

V

V

Г2

Г2

/1 _ ж2 Д2

/1 _ ж2 Д2

— = V Р

— = V Р

21 д2

21 д2

, h , Д , g

д4 Ro д4

, h , Д , g

д4 Ro д4

g4 I ^21 1П2 J^д%+1+ Д41П Д(| +

g4 I ^21 1П2 J^д%+1+ Д41П Д(| +

где 7?о много больше характерного размера источника «о- Максимальный порядок удержанных в (33) членов определяется необходимостью учета вклада азимутальной скорости уф “ R-2 в меридиональное течение. Согласно рис. 102 собственные значения «4, «5, отщепляющиеся от значения ct„ = 3 при Re = 0, таковы, что 2 < < «4 < 3, 3 < «5 < 4 при Re>0. Поэтому в (33) учитывается только собственное решение, отвечающее струйному квадруполю, с показателем степени а4. В пределе R °о интегральный инвариант (28) с учетом (33) принимает вид

1

Lx = — 2pv2 I —7^= Iz^ + y'iU — (1 — ж2) 2 — 3zz] 4-

2_ I _|_ 0 —2 1 — * J \ 0 /(34)2_ I _|_ 0 —2 1 — * J \ 0 /(34). p2///

2_ I _|_ 0 —2 1 — * J \ 0 /

(34)

2_ I _|_ 0 —2 1 — * J \ 0 /

(34)

+ ■=- —+ 2/i21 + 4^21 + /i12 +2zz12 + g6 + 2z/5

где функции yi, и, z, Г2 определены в (2.4), (2.20), (2.21), (3) соответственно. Функции z/4, g4 являются собственным решением

однородной системы уравнений (2.13), отвечающим спектральному значению «4. Подставляя разложение (33) в уравнения Навье — Стокса, можно найти, что оставшиеся функции u2i, • •У& удовлетворяют следующим линейным неоднородным уравнениям:

Ки21 — 4/t21 = 2zz'2; h21 + Ми21 = 0;(35)

Киг2—4h12=uu"—zz'2 + 4zz'z' + (б—2i/()zz21 + (2yi Hи21 — 2/i21;

,(36)

h'„ ++ ( 22 -- 8,;)+ 2ад

1 — X 1 — X \1 — X~/ 1 — X

Kya — 4g a = zzz" — z/z' + 2z'2 + r — 2u21 + (3 — y'^ ul2 +

— X

(37)

g'a + My5=

12,12,+ И-4-4у1

12,

12,

1 — z \1 — z

где К, M — операторы, имеющие вид

Л = (1 — .г2) —= — 2 ж + -j —2 -P

v ' dx3 \ А — х d^

(38)

В общем случае довольно сложное выражение (34) требует весьма громоздкого анализа, поэтому сделаем некоторые упрощающие предположения, соответствующие существу задачи о возникновении обратных токов за счет вращения струи.

Во-первых, необходимо поставить краевую гидродинамическую задачу так, чтобы выделить ситуацию, когда обратные токи возникают из-за вращения жидкости, а не вследствие наличия обратных токов в самой подводящей трубке. Приосевой обратный ток в трубке, безусловно, приведет к возникновению возвратного течения в струе, но это не является предметом настоящего исследования. Дифференциальный источник струи имеет квадрупольный характер, описываемый парой собственных решений (z/4, g^, «4) и ^Уб, g6, 0:5). Таким образом, для рассматриваемой задачи с одно-

родным профилем скорости на срезе сопла, в решении (33) членами с ^4, ^4 в первом приближении можно пренебречь.

Во-вторых, как показывает опыт [5], приосевой обратный ток возникает лишь при достаточно сильной закрутке потока, поэтому естественно ограничиться рассмотрением сильно закрученных струй. В нашей неавтомодельной постановке это означает, что члены асимптотического разложения (33), зависящие от вращения, в области возвратного течения будут доминировать. Так, в первом приближении на расстояниях R « Ro можно пренебречь членами последовательности с In R, поскольку расход задается независимо от вращения и, следовательно, постановка задачи с пренебрежимо малым расходом, по сильным вращением вполне правомерна. В общем же случае расход необходимо учитывать, так как при R -»- оо выброшенные члены становятся главными по сравнению с оставленными. Учет их принципиально не меняет рассуждений и может быть осуществлен, хотя значительно усложнит анализ.

Итак, выражение (34) в рассматриваемом приближении приобретает вид

1

Lx = - 2pv2c0 J Wo - (1 - я2) Fj +

+ е+ & + 2». -.(39)

где учтено, что в функцию з'(ж) (2.25) главный вклад дает решение однородного уравнения, а функция Fo(x) определена в

С принятой степенью точности функции у&, go удовлетворяют системе уравнений, вытекающей из (37), (38), (2.25), (3),

Ky5-^ = WU^A-W,

(40)

^5 + Му-О = - d2 — --(Л —

Нетрудно видеть, что решение этой системы уравнений можно представить в виде

У5 = ^о (ж) + ^Y 8» = со7о (г) + ^27i (ж).(41)

Уравнения для и?о, до и w\, д\ получаются из (40) подстановкой (41) при соответствующих коэффициентах со и cP

Г д2i (д2И2!2

00[ М-жГ Л (Л-ж)3](42)

д0 + Mw0 = 0;

20 М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский

Kw^ — 4^

^14- Мих

1 — .

кА-х^

X

" (Л - 44

(43)

(44)

так что функции ipq, ^о, Wi, q\ зависят лишь от переменной х и числа Рейнольдса, определяемого параметром А (1.3).

Подставляя (41) в (39), приходим к соотношению

L$

2pv‘

= с0 ^ (Re) + ^ k3 (Re)О

+ ^к2 (Re),О

(45)

где

ki (Re) = j -А- [(1 - ^) F'o - y^J = л ^- J4^) V 1 - х2V А2-1

1

7\ С xdx Г „ ' 2хш

к3 (Re) — I _—- q0 4- 2w0 — -:

J У 1 — х1 — ж

Функции кг (Re) показывают, что

0

(48)

(i = 1, 2, 3) могут быть затабулированы. Расчеты

*з = О

при

4-

3-

2-

1-

20

Рис. 114.

40 Re

к,-0,1-к2-0,01

всех Re. Зависимости *((Re) при I = = 1, 2 представлены на рис. 114 кривыми 1 и 2 соответственно.

Вводя безразмерные величины компонент момента количества движения лх = LK/(рм^о), = Fj(pMo®o«o), где uq, coo • «о — характерные скорости истечения и вращения жидкости вблизи источника струи радиуса «о, и производя замену с0 на безразмерную величину Colao, с учетом сделанных приближений из (45) получаем выражение

(Re) = kx Re2 - (Re) К2, X (Re)-"о

(49)

где Re = uoajx = Ш(лрх2)]

число

Рейнольдса,множителем в

X (Re) = (4). При

= 4п [з(д-^ - 2 + А111 тУ] входит

Re ^ 1 % ~ Re2/4. Величина К = юоно/но есть параметр крутки (37].

Величины Хх~ 1, Az « 1 определяются геометрией источника.

Нетрудно видеть, что при достаточно больших К величина со всегда становится положительной (/сз<0), что может послужить причиной возникновения приосевых обратных токов. Важным ре

зультатом проделанного анализа является то, что за возникновение обратных токов ответственен второй член с°1/Д2 асимптотического разложения (33) (членами с InR мы пренебрегли), хотя на первый взгляд можно было бы сделать вывод, что вращение может оказать влияние на поведение членов начиная с I//?3. Принципи

альным моментом здесь является наличие скрытого инварианта,

интеграла сохранения Lx.

Приведем некоторые оценки режима течения с обратным током. Во-первых, следует заметить, что область возвратного течения

в рассматриваемой постановке задачи всегда ограничена: при R оо решение стремится к решению Ландау (1.1), (1.2), не име

ввющему обратных токов. В нашем случае скорость па оси струи о v f 42^л ^л

в

в

имеет вид 1А = [д —I ~ А (А — 1) "И + ' " ' Таким образом,

области R>Rq обратный ток возможен лишь при условии

(50)(50)с0 > 2А -2-.

(50)

(50)

Известно [37, 144], что для турбулентных струй, имеющих наибольшее практическое значение, неплохо работает гипотеза Буссинеска о постоянной турбулентной вязкости, причем соответствующее турбулентное Re, = 35. Из (49), (50) найдем, что возвратное течение есть при условии

К"> 2АктК"> 2Акт<2,<2,Хж Re2Хж Re2%2 «о 1Re4 % XX | *2 | *%2 «о 1Re4 % XX | *2 | *(51)(51)

К"> 2Акт

К"> 2Акт

<2,

<2,

Хж Re2

Хж Re2

%2 «о 1

Re4 % XX | *2 | *

%2 «о 1

Re4 % XX | *2 | *

(51)

(51)

Рис. 116.Рис. 116.

Рис. 116.

Рис. 116.

Соотношение (50), в котором знак неравенства заменен на знак равенства по порядку величины, может служить оценкой размера

Рис. 115.

области с обратным током Rmax. На рис. 115 представлена зависимость продольного размера зоны от интенсивности вращения: Яшах (ТС) при Re = 35,4; Хх = Аг = 1; Ro = 10й0. Отметим, что в этом случае получается весьма большое значение Rmay > 30й0. Поэтому в опытах с закрученными струями течение зачастую может быть интерпретировано как разомкнутое во всем пространстве. На рис. 116 изображены линии тока для случая Re = 35,4, К = 1, Ro = Юйо, Хх = Хг = 1.

Сделанные выводы относятся в основном к закрученным струям, в которых величина собственного расхода струи не играет существенной роли. В случаях, когда влияние расхода на образование области возвратного течения необходимо учитывать, условие существования обратного тока (50) должно быть изменено. Из качественных физических соображений ясно, что наличие ненулевого расхода должно препятствовать образованию зоны с обратным током, поэтому потребуется более интенсивное вращение, большее К, чтобы эта зона возникла.

НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ

Собственные решения

неосесимметричной задачи о затопленной струе

Асимптотическое поведение неавтомодельных струй в целом определяется полученными в § 2 собственными решениями w, q уравнений Навье — Стокса, линеаризованных относительно точного автомодельного решения (1.1), (1-2), полученного Ландау,

(w, V)vi+(vi, V)w = —Vg + vAw, divw = 0,(1)

причем собственные функции (мультиполи) имеют степенную зависимость от сферического радиуса w = W(9)7?^™; q = Q^R'^1, где R, 9, ф — сферические координаты. Показатель степени определяется как собственное значение соответствующей спектральной задачи для W, Q, следующей из (1).

Нетрудно видеть, что аналогичный мультипольный подход спра

ведлив и для неосесимметричной задачи о неавтомодельных затоп

видевиде(2)(2)ленных струях. В этом случае решение (1) представляется в w =2 (Wlnm (ж) созтф + W2nm (ж) sin тф] R~anm;

виде

виде

(2)

(2)

n=l, т = 0

q = v 2 [<2inm И COS тф + Q№m ^ sin тф] 7?-“nm-l.

n=i,m=o

У (z)W (^.-- -cos mm, ,— sin тфV1-?/i-z2У (z)W (^.-- -cos mm, ,— sin тфV1-?/i-z2R-a\(3)R-a\(3)Пусть

У (z)W (^.

-- -cos mm, ,— sin тф

V1-?/i-z2

У (z)W (^.

-- -cos mm, ,— sin тф

V1-?/i-z2

R-a\

(3)

R-a\

(3)

W = (1 — Ж2)т/2 и (ж) COS тф

g = v(l — х>Т,г Q^ R-™"^; ж = cos 9.

Для простоты в (3) опущены индексы и знак суммы. Вид (3) напоминает представление присоединенных полиномов Лежандра и диктуется видом правой части (1) и требованием, чтобы функции U^, В (ж), ТУ (ж), <2 (ж) были аналитическими при соответствующем выборе а. Подставляя (3) в систему уравнений (1), записанную в сферической системе координат, и исключая величину (1 —ж) У" с помощью уравнения неразрывности, приходим к следующей системе уравнений:

(1 _ ^ и" = 2 (т + 1) U' + Vm (т + 1) — (а — 1) (а — 2)] U —

(1 — ж2) V' = (1 — ж2) (2 — а) U + тжУ + иг ТУ;

(1 — ж2) Q* = а (1 — ж2) U' — 2mxU + ^ух + тх) У' +

Действительно, разыскивая решения (4) в виде полиномов от ж; U, Q — и-й степени, У —(п+1)-й степени и W — (и + 2)-й степени, найдем следующие спектральные значения а:

«1 = п + т + 2, аг = и + m + 2, «з = и + m«4 = —п —т—1, «5 = — п — т— 1, а,в = —п — т + 1.

Собственные значения ац аг, аз соответствуют задаче о течении вне шара, причем «4, as, as — внутренней задаче. С помощью показателей ai, ..., a6 можно построить решения в шаровом слое или какой-нибудь другой двусвязпой области, ограниченной звездными поверхностями, как это было показано в § 3 для осесимметричного случая. Таким образом, при Re = О собственные значения целые, а собственные функции, им соответствующие,— полиномы. Из (5) видно, что для каждого т = 0, 1, 2,... семейство собственных функций является базисом пространства всех полиномов, чья полнота в С [—1,1] хорошо известна.

При Re > 0 исследование вопросов полноты собственных функций представляет значительные трудности, связанные с тем, что собственные значения а, входят в уравнения (4) нелинейным образом. Как было указано в § 2, строгой математической теории таких спектральных задач пока нет, поэтому ограничимся качественными соображениями, подкрепленными соответствующими численными расчетами.

Коэффициенты системы (4) и импульс /ДИ) аналитичны по 1М, если 0 < 1М < 1, отсюда по аналогии с известными теоремами о параметрической зависимости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений естественно предположить непрерывную (и кусочно дифференцируемую при 0 < Re < °°) зависимость собственных функций от Re как от параметра при 0 =5 Re < < °°. В этом случае число собственных функций и их линейная независимость будут сохранены по крайней мере в некоторой окрестности точки Re = 0, потому пет оснований полагать, что при увеличении Re полнота систем собственных функций будет потеряна в этой окрестности. Следует отметить, что собственные значения также становятся функциями числа Рейнольдса anm(Re), причем как собственные функции, так и собственные значения могут быть комплекснозначными. Численные расчеты подтверждают непрерывную (и возможно кусочно дифференцируемую) зависимость anm(Re) вместе с соответствующими им собственными функциями U^m^x, Re), У„т(ж, Re), Wnm(x, Re).

Расчеты проводились методом Рунге-Кутта-Мерсопа с относительной точностью 10-5 по следующей схеме. Интегрирование системы уравнений шестого порядка (4) ведется от особых точек- ж = ± 1. Строятся по три линейно независимых аналитических решения иЬ(ж), U2h (ж), (ж), где U = [17, U', V, W, W, Q]T, вплоть до некоторой точки сшивки жс, —1 < жс < 1, находящейся в области наибольших градиентов искомой функции. Условие ана-

литичности решения есть

ct Uf <хс) + Cs Ut (^c ) + <?з+ U^ (^c) = c^Ur (жс) + сГ U^ (жс) +

+ < U7 К )•-

Для того чтобы существовало нетривиальное решение с*, cf, Сд, с~, Сд, с^, этой системы уравнений, необходимо, чтобы определитель шестого порядка равнялся нулю,

Д (a, Re, т) = |и^и^и^иГи2~щ| = 0.(6)

Условие (6) является уравнением, определяющим спектральные значения tz„(Re, т). Нетрудно видеть, что собственные значения не зависят от ж„ поскольку в результате сшивки решения в точке хс получается аналитическое решение всюду в области —1 < =C X <1.

Следует отметить, что при Re = 0 из (5) вытекает, что для каждого т спектр' есть а. = т, т + 1, т + 2, ..., причем а = m —■ однократно, а а = т + 2, т + 3,. ...— трехкратно вырожденные собственные значения. В случае а = т + 1, т > 0 решение двухкратно вырождено, хотя из (1.9) можно было сделать вывод, что вырождения нет. «Дополнительное» решение — это решение вида U = Q = 0 (У (ж)—полипом нулевой, а ТУ (ж)—первой степени), которое не было учтено при построении решений в виде полиномов и выводе (5). Легко видеть, что в случае а>0 других решений нет. При Re > 0 вырождение снимается, причем некоторые собственные значения остаются действительными, а другие образуют комплексно-сопряженные пары. На рис. 117 представлены показатели степени для случая т = 1 как функции числа Рейнольдса. Кривые 1 (a(Re) = 2) и 2 есть действительные ветви, порожденные двукратным собственным значением а = 2 при Re = 0. Кривая 3 представляет собой единственную действительную ветвь трехкратно вырожденного собственного значения а = 3 при Re = 0, две другие ветви которого образуют комплексно-сопряженную пару

119). Кривая 1 на рис. 118 (т=1) представляет собой действительную, а кривая 2 — мнимую части собственного значения комплексно-сопряженной пары, соответствующей а = 3 при Re = 0. На рис. 119 (т = 1) продемонстрированы довольно сложные метаморфозы, происходящие с показателями степени при увеличении числа Рейнольдса. Штрихпунктиром обозначено действительное собственное значение, соответствующее кривой 4 на рис. 117. Из точки а = 4 при Re = 0 отходят одна действительная (кривая 7) и две комплексно-сопряженных ветви (на рисунке не показаны), аналогично из точки а = 5 при Re = 0 отходят одна действительная (на рисунке не показана) и две комплексно-сопряженные ветви, действительная часть которых есть кривая 2, а мнимая — кривая 3. В точке а эта комплексно-сопряженная пара сливается и рождаются два действительных показателя степени (кривые 4 и 5). В точке Ъ два действительных показателя степени (кривые 7 и 5) сливаются и рождается комплексно-сопряженная пара, действительная часть которой есть кривая 6, а мнимая — кривая 7. В точке с эта комплексная пара превращается в действительную пару показателей степени (на рисунке не показана). На рис. 120 представлены зависимости tz(Re) при более высоком азимутальном числе т = 2. Кривая 1 соответствует действительному показателю степени, выходящему из невырожденного собственного значения а = 2 при Re = 0. Кривые 2 и 3 представляют собой действительные ветви двукратного собственного значения а = 3 при Re = 0. В точке а два действительных показателя степени сливаются (кривые 7 и 2) и рождается комплексно-сопряженная пара, действитель-

нал часть которой есть кривая 4, а мнимая — кривая 5. Наличие комплексных показателей степени при сферическом радиусе R в разложении (2) важно для понимания ряда физических эффектов, о чем пойдет речь в конце этого параграфа.

Асимптотическое поведение неосесимметричной затопленной струи

В точной автомодельной постановке задачи о ламинарной затопленной струе профиль скорости должен иметь вид v = = ^" V (6, ф) [117]. Решение Ландау (1.2) относится к классу течений, когда V = V(0). Возникает вопрос о существовании асимптотически неосесимметричных затопленных струй, когда V = = V(0, ф). В линейном приближении по неосесимметричности такие решения допустимы. Действительно, в случае т = 1 из (5) следует наличие решения уравнений (4) при а = 1 и Ке = 0(и = = 0). Можно найти точное решение (4) при а = 1, т = 1 и произвольных Re, полагая, что функции U, У, ТУ, Q являются полиномами относительно переменной 1/(4— ж). Искомое решение есть

U (х) = —-—5 ; У (ж) =(7)

(Л —ж)2 V (Л-z)Л2-1 А — хх '

’ тт7 , х11 п х42Л1.

7Л2-1 А-х v ' 1 (ЛЛ2-1 (Л-z)2

т = 1; а = 1.

Можно показать, что (7) непротиворечиво в том смысле, что разрешимо следующее приближение, полученное итерацией по нелинейности. Решение Ландау (1.2) соответствует случаю, когда ось z и ось струи совпадают. Пусть ось струи по совпадает с осью z и направлена вдоль единичного вектора т = (зтОособфо, зтОовШфо, cos0o). Обозначим единичные орты сферической системы координат O^R, 0, ф), построенной относительно декартовой системы координат ж, у, z, через пл, пе, пф, а через пд, п6, п,( — единичные орты сферической системы координат О'{R, 0', ф'), построенной по декартовой системе координат х', у', z , ось z которой направлена по т, а начало координат совпадает с О. В этом случае

пд = пд, (n6, ne) = — cos ф, (п6, Пф) = зтф.(8)

Основываясь на результатах Ландау (1.2) [86], получим точное решение уравнений Навье — Стокса в системе координат О (R, 0, ф)

2vУд — R2vУд — RЛ2 — 1(Л — cos О')2Л2 — 1(Л — cos О')2Уе =Уе =2v sin 6Я А — cos б'2v sin 6Я А — cos б'созф;созф;2v sin б'4 Л — cos О'2v sin б'4 Л — cos О'sin ф.sin ф.(9)(9)

2v

Уд — R

2v

Уд — R

Л2 — 1

(Л — cos О')2

Л2 — 1

(Л — cos О')2

Уе =

Уе =

2v sin 6

Я А — cos б'

2v sin 6

Я А — cos б'

созф;

созф;

2v sin б'

4 Л — cos О'

2v sin б'

4 Л — cos О'

sin ф.

sin ф.

(9)

(9)

Нетрудно показать, что имеют место следующие соотношения:

(10)(10)cos 6' = cos 6 cos 6о + sin 9 sin 9o cos (ф — фо);cos 90 = cos 9 cos 9' + sin 9 sin 9' cos ф,

(10)

(10)

с помощью которых и определяется решение (9) в системе координат 0(R, 9, ф).

В случае 0О С 1, т. е. при малой неосесимметричиости, из (9), (10) имеем

sin • Ф

9' = 9 — 0О cos (ф — ф0); ф = 0О.■•;

sin 9 соз(ф — ф0);sin 9 соз(ф — ф0);(И)(И)4v Q А" — 1

sin 9 соз(ф — ф0);

sin 9 соз(ф — ф0);

(И)

(И)

WR = -77 0„

R (Л— cos 6)3

— 2v д sin (ср — фр)

v R °0 А - cos 0 ’

что совпадает с точностью до численного множителя 2 (Л2 — 1)0о с решением (7). Отсюда можно сделать вывод, что решение Ландау является, по существу, единственным главным членом асимптотического разложения и в неосесимметричной постановке задачи. Решение уравнений (4) при а = 2, т = 1 и всех числах Рейнольдса может быть получено аналогичным образом из асимптотического представления (2.27), записанного в системе координат 0<<R1 6, ф) при 0о^-О. Таким образом, вклад неосесимметричных добавок, как это видно из результатов расчетов показателей степени а, дается членами разложения с а > 2.

Итак, при R <» струя приобретает осесимметричный вид, причем асимптотическое представление решения в виде (2.27) остается справедливым и в пеосесимметричном случае.

Общее решение для неосесимметричной затопленной струи и ее устойчивость

Представление решения в виде (2) не удовлетворяет полным уравнениям Навье — Стокса. Основываясь па разложениях (2), подобно тому, как это было сделано в § 2, можно построить общее решение уравнений Навье —■ Стокса (при условии, что набор собственных функций (w, g} обладает полнотой в С[—1, 1] (0 < < 9 =5 л), что предполагается), если ввести разложение по более полному набору показателей степени, включающему, в частности, степени, которые возникают при подстановке (2) в нелинейные члены. Это семейство степеней должно обладать групповым свойством, так чтобы линейные и нелинейные члены давали показатели степени из того же семейства. Дополнительные члены разложения возникают как решения неоднородных линейных уравнений, правая

Решение можно записать в следующем виде:Решение можно записать в следующем виде:^ = v 2 С1 "n=l,m=o^ = v 2 С1 "n=l,m=o^6 = v^6 = v—i-)jagim4)j^—V'nm—i-)jagim4)j^—V'nmУпт (ж) + Z Vknm (ж) —— k=lRУпт (ж) + Z Vknm (ж) —— k=lR(12)(12)v^-iv 2 (1 - ^2)<m-1)/2eiwT? n = l,m — оv^-iv 2 (1 - ^2)<m-1)/2eiwT? n = l,m — оH^nm (ж) U^kTim (ж) —г— , й=1R _H^nm (ж) U^kTim (ж) —г— , й=1R _- = V2 Pгде- = V2 PгдеOO52 (l-^2)m/Vm(p7?-^m n = l,m—оOO52 (l-^2)m/Vm(p7?-^m n = l,m—оQnmQhnm (^) ь у,4к-1QnmQhnm (^) ь у,4к-1Pnm — 1 + Z ^j (ctjmj1=2Pnm — 1 + Z ^j (ctjmj1=2Л mj = ТП, 3 = 2Л mj = ТП, 3 = 2(13)(13)

Решение можно записать в следующем виде:

Решение можно записать в следующем виде:

^ = v 2 С1 "n=l,m=o

^ = v 2 С1 "n=l,m=o

^6 = v

^6 = v

—i-)jagim4)j^—V'nm

—i-)jagim4)j^—V'nm

Упт (ж) + Z Vknm (ж) —— k=lR

Упт (ж) + Z Vknm (ж) —— k=lR

(12)

(12)

v^-iv 2 (1 - ^2)<m-1)/2eiwT? n = l,m — о

v^-iv 2 (1 - ^2)<m-1)/2eiwT? n = l,m — о

H^nm (ж) U^kTim (ж) —г— , й=1R _

H^nm (ж) U^kTim (ж) —г— , й=1R _

- = V2 P

где

- = V2 P

где

OO5

2 (l-^2)m/Vm(p7?-^m n = l,m—о

OO5

2 (l-^2)m/Vm(p7?-^m n = l,m—о

QnmQhnm (^) ь у,

4к-1

QnmQhnm (^) ь у,

4к-1

Pnm — 1 + Z ^j (ctjmj

1=2

Pnm — 1 + Z ^j (ctjmj

1=2

Л mj = ТП, 3 = 2

Л mj = ТП, 3 = 2

(13)

(13)

часть которых определяется известными нелинейными членами.

L пт (^) Н- ^кпт (^)

h=lR

Kj — неотрицательные целые числа, выбираемые так, чтобы выполнялись неравенства цпт < p„+im. Полевые величины v, р компле- кснозначны, а решения уравнений Навье — Стокса представляются в виде

v = Realv + Imv; р = Rea 1 р + Imр. (14)

Фактически построение общего решения (12) — (14) ведется с помощью итераций по нелинейности. В осесимметричном случае (т = 0) вопрос о сходимости полученных таким образом разложений исследовался в § 3, где было показано, что при достаточно общих предположениях о поведении коэффициентов решения линейного уравнения (2) с ростом п, а именно с„ ~ п-0, о > 1 при п

°°, ряды абсолютно сходятся. В случае неосесимметричной задачи могут быть получены аналогичные результаты, если предположить с„т ~ (и. + т)-°, о>1 при и-^ оо, либо т °о (вывод требует значительного объема изложения, хотя, по существу, не сильно отличается от случая т = 0, приведенного в § 3).

Важной отличительной особенностью от осесимметричного случая задачи о неавтомоделыюй затопленной струе является наличие в пеосесимметричном случае (12) комплексных показателей степени (13). Это приводит к следующим физическим следствиям. Так, для сильно асимметричной струи на начальном участке главную

роль будут играть члены с m 0, в частности в задаче об истечении струи из прямоугольного отверстия, отношение прилежащих сторон которого сильно отличается от единицы, это члены с т = 1. Наличие комплексных показателей приведет в этом случае, во- первых, к возникновению осцилляций в профиле скорости и, во- вторых, с ростом продольной координаты ширина струи будет переменной с периодом 2л/1таь

На фопе общего расширения струйного течения это может быть интерпретировано как периодический поворот струи вокруг своей оси на 90°. При дальнейшем увеличении R профиль скорости будет сглаживаться и стремиться к автомодельному. Сказанное относится к ламинарным струям. Однако качественные выводы, сделанные выше, могут иметь отношение и к турбулентным струям, поскольку для них хорошо работает гипотеза Буссинеска о турбулентной вязкости [37, 144]. Для сравнения опытных данных с полученными результатами достаточно взять следующее из опыта турбулентное число Рейнольдса ReT = 35 [37]. Эксперименты [190, 79] показывают неплохое качественное согласие (z/ao ~ 20 и более) с указанными характерными особенностями течения в случае «прямоугольных» струй, причем из приведенной в [190] фотографии следует, что период разворота струи порядка ширины струи в начальном сечении, что согласуется с данными рис. 118 и 120, где Im а « 1.

Другое следствие относится к проблеме гидродинамической устойчивости струйного течения. Как уже указывалось, вклад несимметричности при достаточно больших интенсивностях несимметричных мультиполей может приводить к осцилляциям в профиле скорости. Хорошо известна теорема Рэлея о невязкой гидродинамической неустойчивости в точках перегиба профиля скорости для одномерных плоских течений. В пространственном случае имеется ее аналог для осесимметричных плоскопараллельных течений. В общем случае критерий гидродинамической неустойчивости теряет рэлеевскую формулировку, тем не менее смена знака не малой по величине производной скорости и здесь может служить источником неустойчивости.

Из рис. 118 следует, что комплексные показатели степени возникают при Re = 0, и можно сделать вывод, что сильно несимметричные струи, как и классический слой смешения, теряют устойчивость при бесконечно малых числах Рейнольдса. Если же асимметрия «умеренная», то критическое число Рейнольдса должно зависеть от ее величины. Отметим, что при Re > 3,5 даже осесимметричные ламинарные струи неустойчивы при достаточно сильных возмущениях (см. § 3), поэтому область применимости решения (12) — (14) довольно ограничена (при Re > 15 струи неустойчивы относительно бесконечно малых возмущений [211]), хотя, как уже указывалось, предлагаемый обобщенный мультипольный подход полезен и при исследовании развитых турбулентных струйных течений.

*

**

Подводя итоги, можно сделать следующие замечания общего характера. Во-первых, надо отметить то важное обстоятельство, что парадоксы, как правило, в концентрированном виде выражают основные противоречия существующих теоретических положений, разрешение которых позволяет значительно продвинуться вперед в разработке гидродинамических концепций. В этом смысле парадоксы являются движущей силой научного исследования, чем и определяется та важная роль, которую они играют в гидромеханике. На примере этой главы можно было, в частности, видеть как преодоление парадокса неразрешимости в тепловой задаче для затопленной струи (см. § 1) привело к созданию обобщенного мульти- польного подхода, который позволил построить решения гидродинамической и тепловой задач о струйном течении в общем виде (§ 2 — 4). Наличие скрытого инварианта Lx позволило объяснить возникновение приосевых обратных токов для неавтомодельных закрученных струй (§4). Во-вторых, есть основания полагать, что возможности обобщенного мультипольного подхода далеко не исчерпаны, и его можно будет применять и для решения других задач термогид- родипамики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная книга, конечно, далеко не исчерпывает тему, которой она посвящена. Авторы преследовали другую цель — подчеркнуть важность парадоксов для глубокого понимания динамики вязкой жидкости и их значения как мощного стимула для развития этой дисциплины. Осознание парадокса — это своеобразный вызов, который природа бросает исследователю и который мобилизует его любознательность и интеллект. Разрешение парадокса приводит, как правило, к решению обширного круга новых содержательных задач и созданию нового метода исследования, область приложения которого обычно значительно шире той проблемы, для разрешения которой он создается. Примеры тому содержатся и в этой монографии.

Анализ парадокса потери существования решения, который первоначально установлен был в конкретной задаче о взаимодействии вихревой нити с плоскостью, привел к пониманию ряда общих свойств конических течений вязкой жидкости и решению немалого числа далеко не тривиальных задач. Преодоление парадокса в тепловой задаче для струи Ландау привело к созданию метода обобщенных мультипольпых разложений, который позволил решить ряд трудных задач в теории вязких струй и выявить их весьма необычные свойства.

Хотя парадоксы играют ключевую роль, по-видимому, в любой области знания, складывается впечатление, что в гидродинамике и конкретно в механике вязкой жидкости их число особенно велико. Причины тому — сильно нелинейный характер уравнений п наличие малого параметра при старших производных. С этим связан, и можно сказать, самый главный неразрешенный парадокс вязкой гидродинамики — проблема турбулентности. Имея достаточно почтенный возраст и мощный глубоко разработанный аппарат, теоретическая гидромеханика пока адекватно описывает) весьма ограниченный как по числу, так и по значению круг течений жидкости. И в природе, и в технике преобладает турбулентное движение сплошной среды, а теория, опирающаяся на «первые принципы», охватывает лишь часть ламинарных течений.

Не вызывает сомнения, что существуют парадоксальные явления, обязанные именно турбулентному характеру движения. К ним, скорее всего, принадлежит известный эффект Ранка. Про-

стой модельный пример явления, которое может реализоваться только в турбулентном режиме течения, приведен в книге. Это спонтанное возникновение вращения в струйном течении с турбулентным ядром. В ламинарном режиме такое принципиально невозможно. Заметим, что аналогичный запрет в виде теоремы Кау- линга существует в теории МГД-динамо. Не исключено, что модель с турбулентным ядром, поскольку в этом случае условия теоремы не выполняются, может обнаружить возможность генерации стационарного магнитного поля. Ряд удивительных астрофизических и геофизических феноменов для своего объяснения требует существенного учета турбулентности.

На основании полученных в книге теоретических результатов возникает потребность в проведении ряда физических экспериментов.

Взаимодействие вращающейся «иголки» с перпендикулярной плоскостью. Цель эксперимента — выяснить, что происходит с течением при числах Рейнольдса порядка и больше критического значения, при котором перестает существовать автомодельное решение. Помимо этого чисто научного интереса такой эксперимент важен как простейшая модель для исследования торцевого эффекта в вихревых камерах.

Воздушная струя, образующаяся над водой, движущейся по закону вихрестока, т. е. восходящее течение воздуха над водоворотом. Цель эксперимента — подтверждение двухъячеистой структуры потока, анализ околокритических явлений и возможности нарушения осевой симметрии. Прикладное значение — моделирование атмосферных образований типа торнадо и астрофизических струй.

Взаимодействие линейного источника с плоскостью. Цель — изучение торцевого эффекта в виде пристенной струи, влияния на пего турбулентности, моделирование м-образных распределений скорости в диффузорах и переходных участках труб.

Течение в пористой вращающейся трубе. Цель — анализ потери автомодельного характера течения, перехода к турбулентности, режимов прямоточного и рециркуляционного течений, установление зависимости турбулентной вязкости от скорости вращения. Исследования могут иметь приложения для понимания и расчета течений в вихревых камерах и тепловых трубах.

Течение между пористым вращающимся диском и плоскостью. Цель эксперимента — проверка возможности спонтанного возникновения вращения при неподвижном диске и аномально высокой подъемной силы в условиях, предсказываемых теорией. Возможны приложения в области бездорожного транспорта.

Такого рода эксперименты помимо самостоятельного интереса, несомненно, стимулировали бы дальнейшее развитие теории.

ПОСЛЕСЛОВИЕ

За время подготовки книги к печати авторами получен ряд новых результатов.

Внезапное возникновение и разрушение смерча. Интенсивные атмосферные вихри типа торнадо, пыльных и огненных смерчей привлекают внимание исследователей как весьма энергонасыщенные и разрушительные явления и как природные тепловые машины, создающие локализованное высокоскоростное движение сплошной среды. Моделирование этих явлений в рамках задачи о взаимодействии вихревой линии с плоскостью имеет ограничение, связанное с парадоксальным эффектом потери существования решения (§ 1.4). Этот парадокс не разрешается и в обобщенной задаче Серрина (см. с. 56, 121), когда вдоль оси действует сила, которая, например, может быть связана с тепловой конвекцией в ядре смерча. Разрешимость при любых значениях параметров достигается при замене вихревой нити конусом малого угла раствора. Такая регуляризация физически естественна, поскольку ядро смерча имеет конечные размеры. Оказывается, при этом сохраняется неединственность решений, присущая задаче Серрина [246]. Если удельный момент импульса достаточно велик и поддерживается постоянным, то при изменении осевой силы имеет место гистерезис, и стационарный режим с диффузным вращением может скачком перейти в режим с вращением, сконцентрированным вблизи оси. При других значениях силы скачком происходит обратный переход. Эти свойства решения указывают на механизм внезапного возникновения и разрушения сильного смерча и на принципиальную возможность управления этим процессом.

Бифуркация вращения при условии прилипания. Спонтанное возникновение вращательного движения в исходном невращающем- ся потоке в результате потери устойчивости и прямой бифуркации было обнаружено (см. с. 156) в условиях, когда на границе отсутствует вращательное трение’. Оказалось, что кроме такого «слабого» самовращения возможно и «сильное», когда на границе выполняются условия прилипания. Это происходит, когда исходное течение имеет двухъячеистую структуру, как при тепловой конвек-

ции вблизи квадрупольного источника тепла’ (см. рис. 60). И в этом случае для самовращения необходимо, чтобы течение в приосевой области было турбулентным. Бифуркация вращательного движения в ламинарном режиме обнаружена в МГД-течении, порожденном сферически симметричным электрическим током, растекающимся из точки на поверхности проводящей жидкости. При определенных значениях параметров происходит бифуркация по- лоидального магнитного поля, которое, взаимодействуя с радиальным током, закручивает течение жидкости. Подобное явление наблюдалось ранее экспериментально, но объяснялось внешними причинами (магнитным полем Земли), хотя авторы [14] указывают на то, что собственное магнитное поле превосходило внешнее на три порядка.

Асимптотический след за равномерно движущимся телом. В гл. 4 было указано на возможность развития обобщенного муль- типольного подхода на другие виды гидродинамических течений. Этот подход оказывается полезен при построении асимптотического решения для задачи обтекания равномерно движущегося тела и для затопленных струп, распространяющихся в однородном потоке вязкой жидкости. В основу подхода здесь удобно положить интегральную форму уравнений Навье — Стокса’, получаемую обращением оператора Озеена для линеаризованной задачи. Совершив над этим уравнением преобразование Фурье, можно вывести интегральное уравнение в /с-пространстве, из которого получены в явном виде первые три члена асимптотического решения с помощью разложения при к 0. Решение задачи об обтекании как и в случае затопленных струй, неаналитичпо в бесконечно удаленной точке (второй член разложения содержит In R). Асимптотическое разложение можно представить в виде ряда по дробным производным от некоторых фундаментальных тензоров. Главный член асимптотического разложения полностью определяется заданием полного потока импульса и расхода. Остальные два члена разложения определяются, кроме этих интегралов движения, полным потоком момента количества движения.

Отметим, что симметрия течения изначально не предполагается. Это делает разложение универсальным и позволяет по характеристикам течения в окрестности тела определить главные члены асимптотического разложения для дальнего следа и, наоборот, по распределению скорости в следе можно получить некоторые характеристики, относящиеся к обтекаемому телу. В частности, с помощью первых трех членов разложения можно получить не только силу сопротивления тела, но и коэффициент сопротивления, что

важно для практических приложений. Получена оценка остаточного члена.

На основе полных уравнений Рейнольдса для средней скорости, записанных в соответствующей интегральной форме, исследована возможность памяти формы обтекаемого тела асимптотическим турбулентным следом, о которой шла речь в гл. 1. Получена асимптотическая оценка для дефекта средней скорости в турбулентном следе. Показано, что в области предельной асимптотики память формы отсутствует вследствие ламинаризации течения. Таким образом, наблюдаемая память формы турбулентного следа может относиться только к некоторой промежуточной области следа. Анализ экспериментальных данных для турбулентной струи в спутном потоке’ на основе полученных оценок турбулентного движения свидетельствует об отсутствии памяти формы. Таким образом возникает парадокс неэквивалентности источников и стоков импульса для автомодельного турбулентного течения, который ждет своего разрешения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика.— М.: ГИТТЛ, 1953.— 736 с.

Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983.— 319 с.

Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978.— 304 с.

Асимптотическая теория отрывных течепий/В. В. Сычев, А. И. Рубан, В. В. Сычев, Г. Л. Королев.— М.: Наука, 1987.— 255 с.

Аэродинамика закрученной струи/Р. Б. Ахмедов, Т. Б. Балагула, Ф. К. Рашидов, А. Ю. Сакаев.— М.: Энергия, 1977.— 240 с.

Бабенко К. И., Афепдиков А. М., Юрьев С. П. О бифуркации течения Куэтта между вращающимися цилиндрами в случае двукратного собственного значения / Докл. АН СССР,— 1982,— Т. 266, № 1,— С. 73—78.

Бай Ши И. Теория струй.— М.: Физматгпз, 1960.— 326 с.

Балашов Д. Б., Орлов В. П. О тепловой аномалии воды. 1. Границы области. Энтропия. Теплоемкости Н Жури. физ. химии.— 1983.— Т. 57, № 10.— С. 2465-2468.

Баренблатт Г. И. Анализ размерностей.— М.: МФТИ, 1987.— 167 с.

Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды.— М.: Наука, 1983.— 447 с.

Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости.— М.: Мир, 1971.— 350 с.

Биркгоф Г. Гидродинамика.— М.: Изд-во иностр, лит., 1954.— 183 с.

Болотин В. В. Некопсерватпвные задачи теории упругой устойчивости,— М.: Наука, 1961.— 339 с.

Бояревич В. В., Фрейберг Я. Ж., Шилова Е. И., Щербинин Э. В. Элект- ровихревые течения.— Рига: Зинатне, 1985.— 315 с.

Бубнов В. А. Об уравнениях гидродинамики для разрывных течений / Энергоперенос в каналах.— Минск: Наука и техника, 1970.— С. 161—178.

Букреев В. И. Экспериментальная проверка современных представлений о турбулентном движении несжимаемой жидкости: Автореф. дне. ... докт. фпз.-мат. паук.— Новосибирск, 1984.— 33 с.

Букреев В. И., Васильев О. Ф., Лыткин Ю. М. О влпяшш формы тела на характеристики автомодельного осесимметричного следа / Докл. АН СССР.™ 1972,- Т. 207, № 4 — С. 804—807.

Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.— М.: Мир, 1973,— 756 с.

Вайсман А. М., Гольдштик М. А. Динамическая модель движения жидкости в пористой среде / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа,— 1978,— № 6.— С. 89—95.

Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости,— М.: Мир, 1967,—310 с.

Ван Дайк М. Альбом течений жидкости и газа.— М.: Мир, 1986.— 182 с.

Васильев О. Ф., Будунов Н. Ф. К вопросу о расчете турбулентного течения при внезапном расширении канала / Турбулентные течения,— М., 1974.-С. 131-135.

Власов Е. В., Гиневский А. С. Когерентные структуры в турбулентных струях и следах / Итоги пауки и техники. Механика жидкости и газа,— М„ 1986—Т. 20,— С. 3—84.

Волчков Э. П., Смульский И. И. Аэродинамика вихревой камеры со вду- вом по боковой поверхности (экспериментальное исследование).— Новосибирск, 1979.— 30 с,— (Препрппт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ип-т теплофизики; № 38—79).

Волчков Э. II., Смульский И. И. Аэродинамика вихревой камеры с торцевым и боковым вдувом ]] Теорет. основы хим. технологии.— 1983.— Т. 17, № 2 — С. 214—219.

Вулис Л. А., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости,— М.: Наука, 1965 — 421 с.

Гварамадзе В. В., Ломипадзе Дж. Г., Рузмайкин А. А. и др. Турбулентное динамо в астрофизических струях.— М., 1987.— 20 с.— (Препринт/АН СССР. ИКИ; № 1267).

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.— М: Наука, 1972.— 392 с.

Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулептпости/Под ред. X. Л. Суппии, Дж. Голлаб,— М.: Мир, 1984,— 344 с.

Глепсдорф II., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций.— М.: Мир, 1973.— 280 с.

Голубинский А. А., Сычев В. В. Об одном автомодельном решении уравнений Навье — Стокса / Учен. зап. ЦАРИ.— 1976.— Т. 7, № 6.— С. 11—17.

Гольдштик М. А. Одно парадоксальное решение уравнений Навье — Стокса / Прпкл. математика и механика.— 1960.— Т. 24, вып. 4.—■ С. 610—621.

Гольдштик М. А. К теории эффекта Ранка (закрученный поток газа в вихревой камере) / Изв. АН СССР. Механика и машиностроение.— 1963.—№ 1,— С. 132—137.

Гольдштик М. А. Некоторые вопросы гидродинамики стационарных вихревых течений: Дис. ... докт, физ.-мат. паук.— Новосибирск, 1965.—■ 168 с.

Гольдштик М. А. Один класс точных решений уравнений Навье— Стокса Ц Журя, прикл. механики и техн, физики.— 1966.— № 2.— С. 106—109.

Гольдштик М. А. О закрученных струях / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1979.— № 1.— С. 26—36.

Гольдштик М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск; Наука. Сиб. отд-ние, 1981,— 366 с.

Гольдштик М. А. Процессы переноса в зернистом слое.— Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1984.— 163 с,

Гольдштик М. А. Вариационная модель турбулентного вращающегося потока у Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1985.— № 3,— С. 22—32.

Гольдштик М. А. Парадоксы вязких течений.— Новосибирск, 1986.— 37 с.— (Препрпнт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ип-т теплофизики; № 143).

Гольдштик М. А., Ерш II. М. Устойчивость течения в трубе со вдувом / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— В печати.

Гольдштик М. А., Жданова Е. М., Штерн В. Н. Возникновение вращательного движения в результате гидродинамической неустойчивости Ц Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1985.— № 5.— С. 50—55.

Гольдштик М. А., Лифшиц А. М., Штерн В. II. Число Рейнольдса перехода в плоском канале ]] Докл. АН СССР.— 1983.— Т. 273, № 1.— С. 75—79.

Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977,— 366 с.

Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Индуцированные струи и критические явления в вязких течениях.— Новосибирск, 1987.— 50 с.— (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-пие. Ин-т теплофизики; № 159).

Гольдштик М. А., Яворский Н. И. Тепловая задача для затопленной струп у Прикл. математика и механика.— 1984.— Т. 48, вып. 6.— С. 950— 956.

Гольдштик М. А., Яворский Н. И. О затопленных струях / Там же — 1986 — Т. 50. вып. 4 — С. 573—583.

Гольдштик М. А., Яворский И. И. Течение между пористым вращающимся диском и плоскостью.— Новосибирск. 1987.— 42 с.— (Преприпт/ АН СССР. Сиб. отд-нпе. Ип-т теплофизики; № 158).

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Фпзматгпз, 1963.— 1100 с.

Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей.— Л.: Гидрометеоиздат, 1975,— 304 с.

Гюрджиян В. М.т Шабанов С. И. Расчет процесса горения пористого материала при стоксовском режиме обтекания / Изв. СО АН СССР.— 1965.—№ 10,—Сер. техн, наук,—Вып. 3.—С. 97—104.

Джалурия Й. Естественная конвекция.— М.: Мир, 1983.— 400 с.

Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости.— М.: Мир, 1981.— 638 с.

Ди Прима Р. С., Суинни X. Л. Неустойчивости и переход в течении между концентрическими вращающимися цилиндрами / Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности.— М.: Мир, 1984.— С. 169—217.

Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению.— М.: Высш, шк., 1965.— 466 с.

Дорфман Л. А. Течение вязкой жидкости между неподвижным и обдуваемым вращающимися дисками / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа,— 1966,— № 2,— С. 86—91.

Дубов В. С. Распространение свободной закрученной струи в затопленном пространстве / Тр. ЛПИ. Энергомашиностроение.— 1955.— № 176.—■ С. 137 — 145.

Ерошенко В. М., Зайчик Л. И. Гидродинамика и тепломассообмен на проницаемых поверхностях.— М.: Наука, 1984.— 274 с.

Ерошенко В. М., Зайчик Л. И., Рабовский В. Б. Расчет устойчивости в круглой трубе со вдувом / Журн. прикл. механики и техн, физики,— 1984,—№ З"—С. 82— 86.

Зеленяк Т. И., Кислых В. И., Проворова О. Г. Об одной модели динамики газа в приосевой зоне вихревых аппаратов / Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр.— Новосибирск, 1980.— Вып. 46.— С. 33—45.

Зубцов А. В. Об одном автомодельном решении для слабо закрученных струй ]] Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1984.— № 4.— С. 45— 50.'

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций.— М.: Мир, 1983,— 302 с.

Кажихов А. В. Замечание к постановке задачи протекания для уравнений идеальной несжимаемой жидкости fl Прикл. математика и механика.— 1980.— Т. 44, вып. 5,— С. 947—950. '

Канавип В, П. К расчету течений вязкой жидкости в камерах на основе решения уравнения четвертого порядка для функции тока fl Исследо- вашгя в механике сплошных сред.— Иркутск: Изд-во Иркут, ун-та, 1983,— С. 119-160.

Катков В. Л. Течение жидкости под действием внешнего вихря fl Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.— 1973.— Т. 9, № 3.— С. 326—330.

Квэйл Д. II., Леви Е. К. Ламинарное течение в трубе с оттоком через пористую стенку fl Тр. Амер, о-ва ппж.-мех. Теплопередача.— 1975.— № 1.—■ С. 66—72.

Кейльмаи Н. Э. О некоторых свойствах уравнений, описывающих вихревое движение вязкой жидкости, нестационарные проблемы гидродинамики fl Сб. науч, трудов Ип-та гидродинамики СО АН СССР.— 1982,— Вып. 58,— С. 60—72.

Кидд Дж., Фаррис Дж. Потенциальное вихревое течение вблизи неподвижной поверхности Ц Тр. Амер, о-ва инж.-мех. Прикл. механика.— 1968,— Т. 35, № 2.— С. 1—8.

Кинни Р. Б. Универсальное подобие скоростей в полностью турбулентных вращающихся потоках / Там же,— Т. 34, № 2,— С. 199—206.

Кириллов В. А., Кузьмин В. А., Пьянов В. И., Ханаев В. М. О профиле скорости в неподвижном зернистом слое / Докл. АН СССР.— 1979.— Т. 245, № 1,—С. 159-162.

Кислых В. И., Смульский И. И. Гидродинамика вихревой камеры / Ипж- физ. жури.— 1978.— Т. 35, № 3.— С. 543—549.

Козельская И. В., Люмкис Е. Д. К расчету стационарной и нестационарной задач о движении жидкости между бесконечными вращающимися дисками / Прикладные задачи теоретической и математической физики.—■ Рига: Зинатне, 1980.— С. 11—19.

Козлов В. В., Рамазанов М. II. Образование трехмерных структур в течении Пуазейля при резонансном взаимодействии / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1983.— № 1.— С. 43—47.

Колесников А. В. Характеристики пограничного слоя па конусе во вращающейся жидкости Ц Пром, аэродинамика.— 1966.— Вып. 28.— С. 86— 97.

Коробко В. И. Теория неавтомодельпых струй вязкой жидкости.— Саратов: Сарат. ун-т, 1977.— 220 с.

Коробко В. II., Фалькович С. В. Развитие закрученной струп в безграничном пространстве / Изв. АП СССР. Механика жидкости и газа.— 1969,— № 3,— С. 56—63.

Коровкин В. Н., Соковишип Ю. А. Некоторые задачи теории вязких струй / Жури, прпкл. механики и техп. физики.— 1984.— № 2.— С. 27—34.

Кочин II. Б„ Кибсль И. А. и Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика,— М.: Физматгпз, 1963.— Ч. 2.— 727 с.

Кузов К., Меликов А., Лозанова М. Макроструктура свободной турбулентной струп с прямоугольным начальным сечением / V Национален конгресс по теоретична и прилежна механика, Варна, 23—30 септ.— Варна, 1985 —Т. 2,—С. 657—662.

Курант Р„ Гильберт Д. Методы математической физики.— М.; Л.: Гостех- издат, 1951.— Т. 2.— 544 с.

Курочкина Е. П. Смена режима в плоской струе со ступенчатым профилем скорости / Журп. прпкл. механики и техп. физики.— 1984.— № 6.— С. 43-47.''

Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Тепломассообмен и треппе в турбулентном пограничном слое.— М.: Энергия, 1972.— 342 с.

Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1973.— 736 с.

Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.— М.: Наука, 1970.— 205 с.

Ламб Г. Гидродинамика.— М.: Гостехиздат, 1947.— 928 с.

Ландау Л. Д. Об одном точном решении уравнений Навье — Стокса / Докл. АН СССР,- 1944,—Т. 43, № 7,—С. 299-301.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика.— М.: Наука, 1986.— 733 с.

Левин В. Б., Штерн В. II. Устойчивость струйных МГД-течепий между непроводящими плоскостями в поперечном поле / Магнит, гидродинамика.— 1985,— № 2,— С. 23—28.

Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости.— М.: Изд-во иностр, лит., 1958.— 194 с.

Лойцянский Л. Г. Распространение закрученной струп в безграничном пространстве, затопленном той же жидкостью / Прикл. математика и механика.— 1953.— Т. 17, вып. 1.— С. 3—16.

Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука, 1987.— 840 с.

Лосев К. История с палеографией / Знание — сила.— 1987.— № 5.— С. 38— 43.

Львов В. С„ Предтечепский А. А., Черных А. И. Бифуркации п хаос в системе вихрей Тэйлора: натурный п численный эксперимент Ц Журп. экс- нерим. и теорет. физики.— 1981.— Т. 80, № 3.— С. 1099—1121.

Лыков А. В., Берковский Б. М. Конвекция и тепловые волны.— М.: Энергия, 1974.— 335 с.

Мартыненко О. Г., Березовский А. А., Соковишин Ю. А. Асимптотические методы в теории свободно-копвективного теплообмена.— Минск: Наука и техника, 1979.— 168 с.

Мартыненко О. Г., Коровкин В. II., Соковишин Ю. А. Теория ламинарных вязких струй.— Минск: Наука и техника, 1985.— 286 с.

Матвеев II. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Высш, тк, 1967.— 409 с.

Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения,— М.: Наука, 1976,— 319 с.

Меркулов А. П. Вихревой эффект и его применение в технике.— М.: Машиностроение, 1969.— 183 с.

Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности.— М.: Наука, 1965.— Ч. 1.— 639 с.; 1967.— Ч. 2.— 720 с.

Мясников В. П., Котелкин В. Д. Гидродинамическая модель химического реактора с неподвижным слоем катализатора / Аэромеханика.— М.: Наука, 1976,—С. 307—315.

Назаров Г. И., Янко А. К. Автомодельное решение для трехкомпонентного осесимметричного движения вязкой жидкости / Гидромеханика.— 1971.—■ Вып. 19 — С. 62—65.

Наливкин Д. В. Смерчи,— М.: Наука, 1984,— ПО с.

Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1962.— 238 с.

Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела.— М.: Наука, 1985,—287 с.

Петровская И. В. Влияние поперечного вдува на стационарное течение жидкости между вращающимся и неподвижным пористым диском / Жури, прикл. механики и техн, физики.— 1982.— № 5.— С. 58—61.

Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье — Стокса, описывающие движения со свободной границей / Докл. АН СССР,— 1972,— Т. 202, № 2 — С. 302—305.

Пухначев В. В. Задачи со свободной границей для уравнений Навье — Стокса: Дис. ... докт. физ.-мат. наук.— Новосибирск, 1974.— 294 с.

Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике.— М.: Мир, 1985,— 589 с.

Ривкин С. Л., Александров А. А., Кременевская Е. А. Термодинамические производные для воды и водяного пара.— М.: Энергия, 1977.— 263 с.

Рождественский Б. II., Симакип И. II. Двумерные и трехмерные вторичные течения в плоском канале, их связь и сравнение с турбулентными течениями / Докл. АН СССР,— 1983,— Т. 233, № 3,— С. 553—558.

Румер Ю. Б. Задача о затопленной струе / Прикл. математика и механика,— 1952,— Т. 16, вып. 2 — С. 255—256.

ИЗ. Румер Ю. Б. Конвективная диффузия в затопленной струе / Там же,— 1953,— Т. 17, вып. 6,— С. 743—744.

Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика.— М.: Наука, 1977.— 552 с.

Русинов Б. В. Медленное неустаповившееся обтекание кругового цилиндра вязкой жидкостью / Докл. АН СССР.— 1953.— Т. 89, № 6.— С. 983—986.

Седов Л. И. Механика сплошной среды.— М.: Наука, 1973.— Т. 1.— 536 с.

Седов Л. И. Методы размерности и подобия в механике.— М.: Наука, 1977,—438 с.

Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости.— М.: Изд-во иностр, лит., 1963.— 256 с.

Сквайр Г. Б. Радиальные струп / Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи/Под ред. Г. Гертлера, В. Толлмина.— М.: Госэнергоиз- дат, 1960.— С. 49—56.

Слезкин Н. А. Об одном случае интегрируемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости Ц Учен. зап. МГУ.— 1934.— Вып. 2.— С. 89—90.

Смирнов В. И. Курс высшей математики.— М.; Л.: Гостехиздат, 1953.— Т. 3, ч. 2.— 676 с.

Смульский И. И. Исследование гидродинамики вихревых камер: Автореф. дисс. ... капд. техн, наук,— Новосибирск, 1979,— 20 с.

Смыслов Ю. Н., Щербинин Э. В. Нелинейная магнитогйдродинампческая модель смерча / Вопросы математической физики.— Л.: Наука, 1976,— С. 271—282.

Справочник по специальным функцпям/Под ред. М. Абрамовича, И. Сти- гана.— М.: Наука, 1979.— 830 с.

Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— М.: Фпзматгиз, 1959,— 468 с.

Структурная турбулептность/Под ред. М. А. Гольдштика.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-пие, 1982.— 166 с.

Таианаев А. В. Течения в каналах МГД-устройств.— М.: Атомпздат, 1979.— 368 с.

Тейлер Р. Дж. Галактики. Строение и эволюция.— М.: Мир, 1981.— 224 с.

Темам Р. Уравнения Навье — Стокса.— М.: Мир, 1981.— 408 с.

Темкина В. С., Щербина Г. В. Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в пористой трубе с равномерным отсосом / Вопросы гидродинамики и теплообмена в криогенных системах.— Харьков: Физико-техн, ип-т низких температур, 1970.— С. 127—138.

Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.— М.: Мир, 1980.— 664 с.

Уайт Ф. М. Ламинарный поток в трубе с однородной пористостью / Тр. Амер, о-ва пнж.-мех. Прикл. механика.— 1962.— Т. 29, № 1.— С. 225—228.

Фалькович С. В. Распространение закрученной струи в безграничном пространстве, затопленном той же жидкостью / Прикл. математика и механика.— 1967.— Т. 31, вып. 2.— С. 282—288.

Финн Р. Стационарные решения уравнений Навье — Стокса.— Новосибирск: Изд-во Новоспб. ун-та, 1967.— 53 с.

Финько В. Е. Особенности охлаждения и снижения газа в вихревом потоке Ц Жури. техн, физики.— 1983.— Т. 53, № 9.— С. 1770—1776.

Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса,— М.: Мир, 1976,— 630 с.

Харша П. Модели переноса кинетической эпергпп/Турбулентпость, принципы и применения.— М.: Мир, 1980.— С. 207—261.

Харша П. Турбулентные сдвиговые течения.— М.: Машиностроение, 1982.— 432 с..

Хинце М. О. Турбулентность.— М.: Фпзматгиз, 1963.— 680 с.

Цуккер М. С. Закрученная струя, распространяющаяся в пространстве, затопленном той же жидкостью / Прикл. математика и механика.— 1955,— Т. 19, вып. 4,— С. 500—503.

Чаплыгин С. А. Собрание сочинений.— М.: Наука, 1964.— Т. 3.— С. 66— 67.

Швидерски Е. Индуцируемое вихрем осесимметричное течение над плоской поверхностью / Тр. Амер, о-ва инж.-мех. Прикл. механика.— 1969.— Т. 36, № 3,—С. 248—253.

Шилова Е. И., Щербинин Э. В. Вихревое МГД-теченне в конусе / Магнит. гидродинамика.— 1971.— № 2.— С. 33—38.

Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука. 1974.— 711 с.

Щербинин Э. В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле,— Рига: Зппатпе, 1973.— 303 с.

Эйзенберг Д., Кауцман В. Структура и свойства воды.— Л.: Гпдрометео- издат, 1975.— 280 с.

Юдович В. И. О задаче протекания идеальной несжимаемой жидкости через заданную область / Докл. АН СССР— 1962 —Т. 146, № 3,—С. 561— 564.

Юдович В. И. Нестационарные течения идеальных несжимаемых жидкостей / Жури, вычпсл. математики и мат. физики.— 1963.— № 3.— С. 1032— 1066.

Яворский II. И. Нестационарная тепловая задача для плоского гидротермального источника с вязким нагревом Ц Тепломассообмен в одно- и двухфазных системах.— Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1983 — С. 5—10.'

Яворский Н. И. Неосеспмметрпчные затопленные струи / Прпкл. математика и механика. — 1988.—Т. 52, №5. —С. 760 — 776.

Яцеев В. И. Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости Ц Журн. эксперим. и теорет. физики.— 1950,— Т. 20, вып. И,—С. 1031—1034.

Adams М. L., Szeri A. Z. Incompressible flow between finite disks // Trans. ASME. J. Appl. Meeh.— 1982,—V. 49.— P. 1—14.

Ames W. F. Nonlinear partial differential equations in engineering.— New. York.; London: Acad. Press, 1965.— 511 p.

Arneodo A., Coullet P. H., Spiegel E. A., Tresser C. Asymptotic chaos // Phy- sica D.— 1985,— V. 14, N 3,— P. 327—347.

Batchelor G. K. Note on class of solutions of the Navier-Stokes equations representing steady rotationally-symmetric flow // Q. J. Meeh. Appl. Math.— 1951,— V. 4,— P. 29—41._

BatchelorG. K.,Gill A. E. Analysis of the stability of axisymmetric jets // J. Fluid Meeh.— 1962,— V. 14, N 4.— P. 529—551.

Belcher R. J., Burggraf O. R., Stewartson K. On generalized vortex boundary layers П Ibid.— 1972,- V. 52. N 4,— P. 753—780.

Blandford R. D., Ress M. J. Extended and compact extragalactic radio sources: interpretation and theory // Physica Scripta.— 1978.— V. 17.—■ P. 265—274.

Brady J. F., Durlofsky L. On rotating disk flow: similarity solution versus finite disks П J. Fluid Meeh.— 1986,— V. 175,— P. 363—394.

Bundy R. D., Weissberg H. L. Experimental study of fully developed laminar flow in a pipe with wall injection // Phys. Fluids.— 1970.— V. 13. N 10.— P. 2613—2615.

Burggraf O. R., Stewartson K., Belcher R. Boundary layer induced by a potential vortex // Ibid.— 1971.— V. 14, N 9.— P. 1821 —1833.

Burggraf O. R., Stewartson K., Belcher R. The ladder structure of the generalized vortex // Z. angew. Math. Phys.— 1975.— V. 26.— P. 549—559.

Cham T. S. The laminar boundary layer of a source and vortex flow.// Aeronaut. Q.— 1971,— V. 22, N 2,— P. 196—206.

Cooke J. C. On Pohlgausen’s method with application to a swirl problem of Taylor // J. Aerospace Sci.— 1952.— V. 19.— P. 486—490.

Dijkstra D. On the relation between adjacent inviscid cell type solutions to the rotating-disk equations // J. Eng. Math.— 1980.— V. 14.— P. 133 — 154.

Dijkstra D., van HeijstG. J. F. The flow between finite rotating disks enclosed by a cylinder //-J. Fluid Meeh.— 1983,— V. 128,- P. 123-154.

Elcrat A. R. On the Radial Flow of a Viscous Fluid between Porous Disks.// Arch. Ration. Meeh. Anal.— 1976.— V. 61,— P. 91.

Elcrat A. R. On the flow between a rotating disk and porous disk // Ibid.— 1980,— V. 73, N 1,— P. 63—68.

Elkouli A. F. Laminar flow between rotating porous disks // J. ASCE Eng. Meeh. Div.— 1968,— V. 94,— P. 919—929.

Elkouh A. F. Laminar flow between rotating porous disks with equal suction and injection П J. Mec.— 1970.— V. 9, N 3.— P. 429—441._

Evans D. J. The rotationally symmetric flow of a viscous fluid in the presence of an infinite rotating disk with uniform suction // Q. J. Meeh. Appl. Math.— 1969,— V. 22,— P. 467.

Feigelson E. D. Do neutron stars produce jets // Can. J. Phys.— 1986.— V. 64, N 3,— P. 474—478.

Finn R. An energy theorem for viscous fluid motions // Arch. Ration. Meeh. Anal.— i960,— N 6,— P. 371 — 381.

Fox H., Sinha R., Weinberger Z. An implicit finite difference solution for jet and wake problem /7 Astronaut. Acta.— 1972.— V. 17.— P. 265—278.

Fujii T. Theory of steady laminar natural convection above a horizontal line heat source H Intern. J. Heat Mass Transfer.— 1963.— V. 6.— P. 597—606.

Guckenheimer J., Holmes P. J. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations on vector fields.— N. Y.: Springer-Verlag. 1983.— 452 p.

Guilloud J. C., Arnault J., Dicerescenzo C. Etude d’une nouvelle famille de solutions des equations de Navler — Stokes // J. Mec.— 1973,— V. 12, N 1,— P. 47-74.

Hamel G. Spiralformige Bewegungen Zaher Flussigkeiten // Jahr. Dent. Math.— Berlin, 1916.— Bd 25, H 1/3.— S. 34—60.

Hastings S. P. On existence theorems for some problems from boundary layer theory /7 Arch. Ration. Meeh. Anal.— 1970,— V. 38,— P. 308—316.

Heisenberg W. Uber Stabilitat und Turbulenz von Fliisigkeitsstromen П Ann. Phys.— 1924,— Bd 74, N 7,— S. 577—627.

Hoffman J. A. Similarity solution for the interaction of a potential vortex with free stream sink flow and a stationary surface // Trans. ASME. Basic Engeneering.— 1974.— V. 96, N 1.— P. 49—54.

Holodniok M., Kubicek M., Hlavacek V. Computation of the flow between rotating coaxial disks // J. Fluid Meeh.— 1977.— V. 81.— P. 680—699.

Holodniok M., Kubfcek M., Hlavacek V. Computation of the flow between rotating coaxial disks: multiplicity of steady-state solutions // Ibid.— 1981.— V. 108,— P. 227—240.

Horne R. A. Marine Chemistry.— N. Y.: Wiley-Interscience, 1969.— 568 p.

Jawa M. S. A numerical study of axially symmetric flow between two rotating infinite porous disks П Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Meeh.— 1971.— V. 38, N 3,— P. 100—104.

Jeffery С. B. Two-Dimension Steady Motion of a Viscous Fluid // Phil. Mag. Ser. 6,— 1915,— V. 29, N 172,— P. 455—465.

Karman T. Uber laminate und turbulente Reibung // Z. angew. Math. Meeh.— 1921,— B. 1,— S. 232—252.

King W. S., Lewellen W. S. Boundary layer similarity solutions for rotating flows with and without magnetic interaction H Phys. Fluids.— 1964.— V. 7, N 10.— P. 1674—1680..

Konigl A. Stellar and galactic jets: theoretical issues // Can. J. Phys.— 1986,— V. 64, N 3,— P. 362—368.

Krothapalli A., Baganoff D., Karamchefi K. On the mixing of a rectangular jet H J. Fluid Meeh.— 1981,— V. 107,— P. 201 — 220.

Krzvwkki a. Sur le mouvement plan d’un liquide visqueux compressible // Stud. Math.— 1957,— V. 16,— P. 48—55.

Kuiken H. K. The effect of normal blowing on the flow near a rotating disk of infinite extent /7 J. Fluid Meeh.— 1971.— V. 47.— P. 789.

Lada C. J. Cold outflows, energetic winds, and enigmatic jets around young stellar objects П Ann. Rev. Astron. Astrophys.— 1985.— V. 13.— P. 267— 317."

Lance G. N., Rogers M. H. Axially Symmetric Flow of a Viscous Fluid between Two Infinite Rotating Disks // Proc. Roy. Soc. bond.— 1962.— V. A226.— P. 109—121.

Laufer S., Zhang J. X. Unsteady aspects of a low Mach number // Phys. Fluids.— 1983,— V. 26, N 7.— P. 1740—1750.

Lessen M., Singh P. J. The stability of symmetric free' shear layers // J. Fluid Meeh.— 1973,— V. 60, N 3,— P. 433—457.

Lewellen W. S. A Solution for three dimensional vortex flows with strong circulation П Ibid.— 1962.— V. 14, N 3.— P. 420—432.

Libchaber A., Laroche C., Fauve S. Period doubling cascade in mercury, a quantitative measurement // J. Phys. Lett.— 1982.— V. 43, N 7.— P. 211—216.

Long R. R. Vortex motion in a viscous fluid // J. Meteor.— 1958.— V. 15.— p. 108—112.

Long R. R. A vortex in an infinite viscous fluid // J. Fluid Meeh.— 1961.— V. 11, N 4,— P. 611—624.

Malraison B., Allen P., Berge P., Dubois M. Dimension of strange attractors: an experimental determination for the chaotic regime of two convective systems // J. Phys. Lett.— 1983,— V. 44,— P. L—897.

Mayer E. A. Large-signal vortex value analysis // Advances in fluidics.— ASME, 1967,— P. 233—250.

McLeod J. B. Von Karman Swirling Flow Problem // Arch. Ration. Meeh. Anal.— 1969,— V. 32, N 2,— P. 91—102.

McLeod J. B., Parter S. V. On the flow between two counterrotating infinite plane disks // Arch. Ration. Meeh. Anal.— 1974.— V. 54.— P. 301—327.

Mellor G. Z., Chapple P. J., Stokes V. K. On the flow between a rotating and stationary disk H J. Fluid Meeh.— 1968.— V. 31, N 1 — P. 95—112.

Millsaps K., Pohlhausen K. Thermal distributions in Jeffery-Hamel flows between nonparallel plane walls // J. Aero Sei.— 1953.— V. 20, N 3.— P. 187—196.

Moffatt H. K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Meeh.— 1964,— V. 18, pt. 1,— P. 1—18.

Mollendorf J. C., Gebhart B. Thermal buoyancy in round laminar vertical jets /7 Int. J. Heat Mass Transfer.— 1973.— V. 16.— P. 735—745.

Morduchow M. On laminar flow through a channel or tube with injection: Application of method of averages // Quart. Appl. Math.— 1957.— V. 14, N 4,— P. 361—368.

Morgan A. J. A. On a class of laminar viscous flows within one or two bounding cones II Aeronaut. Q.— 1956.— V. 7.— P. 225—239.

Morris P. J. The spatial viscous instability of axisymmetric jets // J. Fluid Meeh.— 1976,— V. 77, N 3,— P. 511—529.

Muller K. N. Zur Theorie des Wirbelstrahles // Z. angew. Math. Meeh.— 1958,— Rd 38, H. 5/6,— S. 170—187.

Nanbu K. Vortex flow over a flat surface with suction // AIAA J.— 1971.— V. 9, N 8,— P. 1642—1645.

Narayana C. L., Rudraiah N. On the steady flow between a rotating and stationary disk with a uniform suction at the stationary disk П Z. angew. Math. Phis.— 1972,—V. 23, N 1,— P. 98—104.

Nguyen N. D., Ribault J. P., Florent P. Multiple solutions for flow between coaxial disks П J. Fluid Meeh.— 1975.— V. 68, N 2.— P. 369—388.

Nishioka M., Iida S., Ichikawa Y. An experimental investigation of the stability of plane Poiseuille flow П Ibid.— 1975.— V. 72, N 4.— P. 731—752.

Ockendon H. An asymptotic solution for steady flow above an infinite rotating disk with suction // Q. J. Meeh. Appl. Math.— 1972,— V. 25.— P. 291—298.

Orszag S. A., Patera A. T. Secondary instability of wallbounded shear flows // J. Fluid Meeh.— 1983,— V. 128,— P. 347—385.

Oseen C. W. Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik.— Leipzig, 1927,— 462 p.

Pai S. I., Hsien T. Numerical solution of laminar jet'mixing with and without free stream// Appl. Sci. Res.— 1972.— V. 27.— P. 39—62.

Parter S. V. On the swirling flow between rotating coaxial disks: A survey // Lecture Notes in Mathematics.— Berlin: Springer-Verlag, 1982.—• V. 942,— P. 258—280.

Paull R., Pillow A. F. Conically similar viscous flows. Part 2. One parameter swirl-fr'ee flows П J. Fluid Meeh.— 1985,— V. 155,— P. 343—358.

Paull R., Pillow A. F. Conically similar viscous flows. Part 3. Characterization of axial causes in swirling flow and one-parameter flow generated by an uniform halfline source of kinematic swirl angular momentum // Ibid.—■ 1985,— V. 155,— P. 359—380.

Pearson С. Е. Numerical solutions for the time-dependent viscous flow between two rotating coaxial disks//Ibid.— 1965.— V. 21, N 4.— P. 623—633.

Pillow A. F., Paull R. Conically similar viscous flows. Part 1. Basic conservation pronciples and characterization of axial causes in swirl-free flow // J. Fluid Meeh.— 1985,— V. 155,— P. 327—342.

Potsch K. Laminare Freistrahlen in Kegelraum // Z. Flugwiss. Weltraum- forsch.— 1980,— Bd 5,— S. 44—52.

Prandtl L. Uber Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung Ц Verhandlg. Ill Intern. Math. Kongr. Heidelberg, 1904.— P. 484—491.

Proceedings of the conference on jets from stars and galaxies (Toronto, June 24—27, 1985)/Ed. by К. H. Henricsen // Can. J. Phys.— 1986.— V. 64, N 3.

Rasmussen H. Steady viscous Flow between Two Porous Disks H Z. angew. Math. Phis.— 1970,— B. 2, N 2,— S. 187.

Rasmussen H. A Note on the Nonunique Solutions for the Flow between Two Infinite Rotating Disks H Ibid.— 1973.— Bd 53.— S. 273.

Reynolds A. J. Observation of liquid-into-liquid jet // J. Fluid Meeh.— 1962,— V. 14, N 4.— P. 552—556.

Schlichting H. Laminare Strahlausbreitung // Z. angew. Math. Meeh.— 1933,— Bd 13,— S. 260—263.

Schneider W. Flow induced by jets and plumes // J. Fluid Meeh.— 1981.— V. 108,— P. 55-65.

Schneider W. Asymptotic analysis of jet flows // Fluid Dyn. Trans. War- shawa.— 1985,— V. 12,— P. 113—156.

Schneider W. Decay of momentum flux in submerged jets // J. Fluid Meeh.— 1985,— V. 154,— P. 91 — 110.

Serrin J. The swirling vortex // Philos. Trans. R. Soc. London. Ser. A.— 1972.—V. 271, № 1214,-P. 327—360.

Skalak F. M., Chang-Ji Wang. On the nonunique solutions of laminar flow through a porous tube or channel // SIAM J. Appl. Math.— 1978.— V. 34, N 3,- P. 535-544.

Smith D. R. Estimates at infinity for stationary solutions, of the Navier — Stokes equations in two dimensions П Arch. Ration. Meeh. Anal.— 1965.— V. 20.— P. 341—372.

So R. M. C. On similarity solutions for turbulent and heated round jets // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP).— 1986,—V. 37,— P. 624—631.

Squire H. B. Some viscous fluid flow problems. I. Jet emerging from a hole in a plane wall // Philos. Mag.— 1952,— V. 43, N 7.— P. 942—945.

Stewartson K. On the flow between two rotating coaxial disks // Proc. Cambridge Philos. Soc.— 1953,—V. 3,— P. 333—341.

Stokes G. G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums // Trans. Cambridge Philos. Soc.— 1851.— V. 9, pt. 2.— P. 8—106.

Stuart J. T. On the effects of uniform suction on the steady flow due to a rotating disc ii Q. J. Meeh. Appl. Math.— 1954.— V. 7.— P. 466.

Sullivan R. D. A two-cell solution of the Navier — Stokes equations H J. Aerospace Sci.— 1959.— V. 26, N 11,— P. 163—164.

Szeri A. Z., Giron A., Schneider S. J., Kaufman H. N. Flow between rotating disks. Part 2. Stability // J. Fluid Meeh.— 1983.— V. 134.— P. 133—154.

Szeri A. L., Schneider S. J., Labbe F., Kaufman H. N. Flow between rotating disks. Part 1. Basic flow H Ibid.— 1983.— V. 134.— P. 103—131.

Taylor G. I. The boundary layer in the converging nozzle of a swirl atomizer // Q. J. Meeh. Appl. Math.— 1950.— V. 3.— P. 129—130.

Terrill R. M., Thomas P. W. On laminar flow through a uniformly porous pipe // Appl. Sci. Res.— 1969.— V. 21, N 1.— P. 37—67._

Torrance К. E. Natural convection in thermally stratified enclosures with localized heating from below // J. Fluid Meeh.— 1979.— V. 95, N 3.— P. 477—495.

Viilu A. On experimental determination of the minimum Reynolds number for instability in a free jet // Trans. ASME. J. Appl. Meeh.— 1962.— V. 29.— P. 506—508.

Wang С. Y. Effect of spreading of material of the surface of a fluid // Int. J. Non-Linear Meeh.— 1971,— V. 6, N 2,— P. 255—262.

Wang C. Y. Symmetric viscous flow between rotating porous disks-moderate rotation // Q. J. Meeh. Appl. Math.— 1976.— V. 29.— P. 29—38.

Wang C. Y., Watson L. T. Viscous flow between rotating discs with injection on the porous disk // Z. angew. Math. Phys.— 1979.— V. 30, N 5.— P. 773—787.

Wilson L. O., Schryer N. L. Flow between a stationary and rotating disk with suction // J. Fluid Meeh.— 1978.— V. 85, N 3.— P. 479—496.

Wu J. Z. Conical turbulent swirling vortex with variable eddy viscosity // Proc. R. Soc. London. Ser. A.— 1986,— N 403,— P. 235—268.

Wygnanski I., Fiedler H. Some measurements in the self preserved jet // J. Fluid Meeh.— 1969,— V. 38, N 3,— P. 577—612.

Yih C.-S. Frise convection due to a point source of heat // Proc. 1-st. v. s. Nat. Congr. Appl. Meeh.— N. Y., 1951.— P. 941 — 947.

Yih С.-S., Wu F., Garg A. K., Leibovich S. Conical vortices: a class of exact solutions of the Navier — Stokes equations // Phys. Fluids.— 1982.— V. 25, N 12,— P. 2147—2158.

Yuan S. W., Finkelstein A. Laminar pipe flow with injection and suction through a porous wall // Trans. ASME. Basic Engeneering.— 1956.— V. 78.— P. 719—724.

Zandbergen P. J., Dijkstra D. Non-unique solutions of the Navier ■— Stokes equation for Karman swirling flow // J. Eng. Math.— 1977.— V. 11.—■ P. 176 — 188.

Zandbergen P. J. New Solutions of the Karman Problem for Rotating Flows li Lecture Notes in Mathematics.— Berlin, 1980.— V. 771.— P. 563—581.

Zandbergen P. J., Dijkstra D. Von Karman swirling flows // Annual Rev. Fluid Meeh.— 1987.— V. 19.— P. 465—491.

Zauner E. Visualization of the viscous flow induced by a round jet // J. Fluid Meeh.— 1985,— V. 154,— P. 111 — 120.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ...3

Глава 1. О парадоксах вязких течений 4

Введение—

Основные свойства решений уравнений Навье — Стокса и классификация парадоксов10

Постановки гидродинамическихзадач—■

Классификация парадоксов13

Примеры известных парадоксов ... 16

Парадокс Стокса .—

Парадокс Моффата21

Парадокс Гейзенберга—Линя22

Некоторые парадоксы симметрии27

Парадоксы скрытых инвариантов33

Парадокс взаимодействия вихря с плоскостью ....37

Постановка задачи—

Анализ уравнений40

Теорема существования43

Единственность51

Медленное движение53

Обсуждение55

Некоторые экспериментальные парадоксы58

«Аномальное» вращение цилиндра на границе струи 59

Струйное обтекание шара60

Скоростные неоднородности за зернистым слоем .61

Некоторые свойства закрученных потоков ...62

Глава 2.Конические течения 64

Плоская задача65

Предварительные замечания—

Течение в диффузоре66

Бифуркация решений в задаче об источнике..72

Автомодельный анализ устойчивости75

Спиральные волны и солитоны77

Осесимметричные течения81

Общие свойства—

Струя Ландау и ее обобщения88

Струя, бьющая из отверстия па плоскости...93

Проблема потери существования решений...98

Взаимодействие распределенного источника жидкости с плоскостью105

Закрученные течения116

Разрешение парадокса в задаче о смерче .. .—

Взаимодействие впхреисточппка с плоскостью .. 123

Разделенные источники массы и момента импульса 128

Течение, вызванное циркуляцией на плоскости ..131

Струя, индуцированная движением вещества плоскости типа впхрестока134

Космические струи и их простейшая гидродинамическая модель140

Течения жидкости с переменной вязкостью■144

Постановка задачи—

Несуществование решенийпри условии прилипапия 148

Модель турбулентной автомодельной струи...151

Граница существования турбулентной струи..154

Спонтанная закрутка турбулентной струи...156

Автомодельная тепловая конвекция159

Конические свободно-конвективные течения...—

Задача о вулкане16.3

Конвекция в среде с тепловой аномалией ...171

Возникновение конвекции вблизи горячего центра гравитации178

Глава 3. Автомодельные течения е пространственным ускорением.189

Стационарное движение во вращающейся пористой трубе .—

Постановказадачи—

Анализ задачи Коши192

Численныерезультаты и комментарии ....196

§ 2, Устойчивость течения в случае вдува.201

Об устойчивости в смысле автомодельной эволюции—

Две постановки задачи линейной устойчивости ..204

Анализ предельных ситуаций206

О методах решения линейных задач207

Результаты численных расчетов209

Модель турбулентного вращающегося потока212

Модели эффективно вязких турбулентных течений213

Вариационный принцип216

Турбулентное течение в пористой вращающейся трубе219

Течение с минимальной диссипацией энергии ..221

Течение между пористым вращающимся диском и плоскостью226

К истории вопроса—

Постановка задачи229

Физический анализ задачи232

Результаты численных расчетов ......238

Устойчивость248

Обсуждение результатов251

Глава 4. Неавтомодельные затопленные струи .257

Тепловая задача для автомодельной затопленной струи . .—

Постановка задачи258

Парадокс неразрешимости260

Общее решение однородного уравнения теплопроводности 263

Тепловая задача для плоского гидродинамического стока268

Разрешение парадокса271

Осесимметричные неавтомодельныезатопленныеструи..275

Парадокс неразрешимости для затопленной струп с ненулевым расходом276

Собственные решениязадачиозатопленнойструе278

Устранение парадокса неразрешимости для пеавтомодельной струи с непулевым расходом... .280

Общее решение неавтомоделыюп задачи. . ., 282

О применимости теории пограничного слоя для неавтомодельной затопленной струи

Неавтомодельиые закрученные струп. Тепловая задача для неавтомодельных затопленных струй

Общее решение пеавтомодельноп задачи о закрученной струе

Сходимость обобщенных мультппольных разложений

Неавтомодельная струя во вращающейся трубе

Общее решение тепловой задачи для неавтомодельной затопленной струи

Тепловая задача для затопленной струи, распространяющейся в нагретой трубе

Мультипольное разложение п устойчивость неавтомодельной затопленной струп

Прпосевой обратный ток для закрученной струи

Неосесимметричпые затопленные струп

Собственные решения неосеспмметрпчной задачи о затопленной струе

Асимптотическое поведение пеосесимметрпчиой затопленной струп

Общее решение для неосесимметричной затопленной струи и ее устойчивость

Заключение

Послесловие .. .

Список литературы ,.

285288292297299300301303308285288292297299300301303308313314318320323313314318320323Научное издание

285

288

292

297

299

300

301

303

308

285

288

292

297

299

300

301

303

308

313

314

318

320

323

313

314

318

320

323

Гольдштик Михаил Александрович

Штерн Владимир Николаевич

Яворский Николай Иванович

ВЯЗКИЕ ТЕЧЕНИЯ

С ПАРАДОКСАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Редакторы издательства М. X. Правдина, Л, В. Нонкина

Художник И. М. Меньшикова

Художественный редактор М. Ф, Глазырина Технический редактор Н. М. Бурлаченко Корректоры Е. Н. Зимина, В. В. Борисова

ИВ № 34442

Сдано в набор 13.10.88. Подписано в печать 27.10.89. МН-01121. Формат 60x90Vie. Бумага книжно-журнальная. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 21. Усл. кр.-отт. 21. Уч.-изд. л. 22,5. Тираж 1700 экз. Заказ М 421. Цена 3 р. 90 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099 Новосибирск, ул. Советская, 18. 4-я типография издательства «Наука». 630077 Новосибирск, ул. Станиславского, 25.

1.

Систему уравнений (4) можно представить как результат действия иесамосопряженного обобщенного дифференциального оператора Лежандра [131], поэтому в окрестности особых точек ж = ±1 существуют аналитические решения, а условия ограниченности U", У', W", Q' равносильны требованию аналитичности функций в этих точках. Условия аналитичности следуют из (4), если учесть, что уДж) задана выражением (1.2), и положить ж = 1 или ж = — 1. Выбором параметра а можно осуществить аналитическое продолжение решения из точки ж = 1 вплоть до точки ж = = —1 (или наоборот).

* Goldshtik М. A., Shtern V. N. Conical flows of fluids with variable viscosity / Proc. Roy. Soc. London.— 1988.— V. A419.— P. 91—106.

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

М. А. гольдштик

В. Н. ШТЕРН

Н. И. ЯВОРСКИЙ

ВЯЗКИЕ

ТЕЧЕНИЯ

С ПАРАДОКСАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Ответственный редактор академик В. Е. Накоряков

в

НОВОСИБИРСК

«НАУК А»

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1989

УДК 532.516

Вязкие течения с парадоксальными свойствами/Гольд- штик М. А., Штерн В. Н., Яворский Н. И.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989.—336 с.

ISBN 5-02-028637-336.

В монографии обсуждается значение парадоксов в динамике- вязкой жидкости, дается их классификация. Приводятся новые примеры парадоксов, связанных с потерей существования решений уравнений Навье — Стокса, неединственностью стационарных решений, спонтанным возникновением вращения, неравномерностью предельного перехода при устремлении к нулю вязкости, пеклассическими асимптотическими разложениями в теории вязких струй. Парадоксы выявлены в широком классе гидродинамических задач.

Издание рассчитано на специалистов в области гидромеханики.

Таол. 2. Ил. 121, Виблиогр.: 263 пазв.

Рецензенты

член-корреспондент АН СССР О. Ф. Васильев,доктор физико-математических паук С. Ф. Чекмарев

Утверждено к печати

г 1604100000-837055(02)—89г 1604100000-837055(02)—89102—89, кн. 2102—89, кн. 2Институтом теплофизики СО АН СССР

г 1604100000-837

055(02)—89

г 1604100000-837

055(02)—89

102—89, кн. 2

102—89, кн. 2

© М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн Н. И. Яворский, 1989

ISBN 5—02—028637—0