ПРЕДИСЛОВИЕ

В неравномерно нагретой жидкости, находящейся в ^лоле тяжести, при определенных условиях возможно механическое равновесие. Если неоднородность температуры достаточно велика, то равновесие становится неустойчивым и в результате развития возмущений сменяется конвективным движением. В тех же условиях, когда равновесие невозможно, конвекция возникает при сколь угодно малой неоднородности температуры. Однако и в этом случае увеличение разности температур приводит к кризису, связанному с неустойчивостью самого конвективного движения. Обе указанные ситуации представляют, собой специфические частные случаи одного из наиболее интересных явлений, изучаемых современной гидродинамикой, — явления гидродинамической неустойчивости.

Началом систематического изучения конвективной неустойчивости можно считать эксперименты Бенара (1900 г.), наблюдавшего возникновение регулярной пространственно-периодической конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости (ячейки Бенара). Рэлей (1916 г.) теоретически исследовал устойчивость равновесия в горизонтальном слое и определил порог конвекции для модельного случая слоя с обеими свободными границами. Дальнейшее развитие теории продвигалось весьма медленно из-за значительных вычислительных трудностей. В ряде работ рассматривались лишь некоторые усложнения задачи о горизонтальном слое, связанные с различными условиями на ограничивающих плоскостях. В 1946 г. Г. А. Остроумов теоретически и экспериментально исследовал условия возникновения конвекции в вертикальном круговом канале. Вскоре после этого рядом авторов была изучена конвективная неустойчивость равновесия в полостях разной формы, а также были исследованы некоторые общие свойства спектра характеристических возмущений.

Начиная с пятидесятых годов, исследования развивались бурными темпами под влиянием необычайно возросшего интереса к проблемам гидродинамической неустойчивости, а также в связи с многочисленными приложениями в области учения о теплообмене, геофизике и астрофизике. Было подробно изучено влияние на конвективную устойчивость различных осложняющих факторов — магнитного поля, вращения, диффузии.

модуляции параметров системы, внутренних источников тепла, просачивания через проницаемые границы, капиллярных эффектов и др. Известные успехи достигнуты в последнее время и в нелинейном анализе конечных возмущений и структуры конечно-амплитудных движений, возникающих в результате кризиса равновесия. Существенные результаты получены в исследовании устойчивости стационарных конвективных движений. Успехи последних лет в значительной мере связаны с резко возросшими вычислительными возможностями в связи с прйменением ЭВМ. Значительный прогресс имеется также в экспериментальном изучении различных аспектов конвективной устойчивости.

К настоящему времени библиография по конвективной устойчивости насчитывает многие сотни названий. Оригинальные работы рассеяны по большому числу журналов различных профилей, что сильно осложняет ознакомление с проблемой. В вышедшей в 1961 г. книге С. Чандрасекара) излагаются только некоторые результаты, относящиеся к задаче о горизонтальном слое и ее обобщениям на случай магнитного поля и вращения.

В данной книге делается попытка систематического изложения современного состояния вопроса о конвективной устойчивости. Предметом книги является устойчивость равновесия и стационарного конвективного движения в лабораторных масштабах, когда эффекты сжимаемости несущественны и ими можно пренебречь. Основное внимание уделяется изложению теоретических результатов, хотя везде, где это возможно, проводится сравнение с экспериментом. Мы не ставили перед собой цель составить полный обзор всей имеющейся литературы. В приводимой библиографии отражены лишь работы, вышедшие до 1971 г., которые, с нашей точки зрения, являются наиболее существенными для понимания вопроса. В книгу, естественно, включены результаты исследований самих авторов.

Эта книга написана совместно обоими авторами. Наш интерес к обсуждаемым вопросам возник под влиянием наших учителей Г. А. Остроумова, В. С. Сорокина и И. Г. Шапошникова, которым мы выражаем искреннюю благодарность. Мы глубоко признательны Л. Г. Лойцянскому, выдвинувшему идею написания книги. Мы благодарим наших товарищей по работе Р. В. Бири- ха, В. А. Брискмана, Г. И. Бурдэ, В. М. Зайцева, Р. Н. Рудакова, Е. Л. Тарунина, Г. Ф. Шайдурова, Д. Л. Шварцблата и М. И. Шлиомиса за неоценимую помощь и многочисленные полезные дискуссии. Мы благодарны С. А. Региреру за критические замечания, которые помогли нам в работе над рукописью.

Авторы

ГЛАВА 1

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В этой главе излагаются общие положения теории конвективной устойчивости, на основе которых в последующих главах проводится решение конкретных задач. Сначала приводятся общие уравнения, описывающие тепловую конвекцию несжимаемой жидкости, и обсуждаются приближения Буссинеска, лежащие в основе этих уравнений. Далее формулируются условия механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. В третьем параграфе содержится постановка задачи об устойчивости равновесия подогреваемой жидкости относительно малых нормальных возмущений, формулируется краевая задача для амплитуд и выясняются некоторые общие свойства спектра возмущений. В последнем параграфе этой главы речь идет о нахождении критических (нейтральных) возмущений и критических значений числа Рэлея, определяющих границы устойчивости равновесия. Здесь же обсуждаются варианты метода Бубнова — Галеркина, позволяющего эффективно решать краевые задачи для характеристических возмущений:

§ 1. Уравнения тепловой конвекции

Макроскопические движения жидкости или газа описываются общей системой уравнений гидродинамики. Эта система включает в себя уравнение движения Навье — Стокса, общее уравнение переноса тепла и уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения массы. Для реальной сжимаемой жидкости, находящейся в поле тяжести, общая система уравнений гидродинамики имеет вид р]:

P^ + ^^j^ — ^ + ^A® H-^ + ^Vdiw + p^, (1.1) pr(-^ + vVs) = %AT + Z),(1.2)

-^ + div(pv) = 0.(1.3)

Здесь и— скорость, р— давление, р — плотность, Т— абсолютная температура, s— энтропия единицы массы жидкости;

g— ускорение силы тяжести; т] и £— коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости, х— коэффициент теплопроводности (уравнения (1.1), (1.2) записаны в предположении постоянства коэффициентов т], £ и х); D— диссипативная функция:

-п /ди. dvb 2\2«

° = Т^ + ^-з6-№") + ^”)!

(61й — символ Кронекера; по индексам I, к предполагается суммирование).

К уравнениям (1.1)—(1.3) необходимо добавить уравнение состояния среды:

Р = р(Г,р).(1.4)

С помощью уравнения состояния и термодинамических соотношений энтропию s можно выразить через какие-либо две термодинамические переменные, например, Т и р.

Уравнения (1.1) —(1.4) обладают большой общностью и описывают широкий класс движений жидкости. В частности, эти уравнения можно применить и для описания свободной тепловой конвекции, т. е. такого движения жидкости, которое возникает в поле тяжести при наличии пространственной неоднородности плотности, вызванной неоднородностью температуры.

Во многих случаях представляет интерес исследование конвекции, протекающей в условиях, когда сжимаемость среды несущественна. В этих случаях исходная система уравнений может быть значительно упрощена. Соответствующие приближенные уравнения обычно называют уравнениями конвекции в приближении Буссинеска Р]1). Анализ приближения Буссинеска проведен в работах [4~6].•

Приступая к выводу уравнений свободной конвекции, начнем с упрощения уравнения состояния (1.4). Примем в качестве термодинамических переменных температуру и давление и представим Т и р в виде Т = 7’ + Р, р = рДгР', где Т и Р— ■ некоторые постоянные средние значения, принимаемые в качестве начала отсчета. Добавки Р и Р' буа^л предполагать малыми в том смысле, что обуславливаемые^ ими отклонения плотности р' от среднего значения ро = р(7\ Р) малы по сравнению с ро- Ограничиваясь линейными по Р и Р' членами, запишем уравнение состояния в виде

₽-₽. + (#)/' + ^, Р' = Р.( 1 - РГ' + «И.(1.5)

9 Еще раньше, впрочем, упрощенная система уравнений конвекции ис* пользовалась Обербеком [3].

где р и а — соответственно коэффициенты теплового расширения и изотермической сжимаемости:

₽ = -—, а=—.(1.6)

м Ро \ дТ )р*р0 \др )тv 7

Требование малости р' по сравнению с ро означает:

1РГ |< 1,1.(1.7)

Будем, далее, предполагать, что изменения плотности из-за неоднородности давления малы по сравнению с изменениями, обусловленными неоднородностью температуры, т. е.

(L8)(L8)(1.9)(1.9)|aP'|<|pr |.

(L8)

(L8)

(1.9)

(1.9)

Уравнение состояния (1.5) тогда можно записать в виде

Р = РО(1~РГ).

Таким образом, пренебрегается зависимостью плотности от давления; зависимостью же плотности от температуры, разумеется, пренебрегать нельзя, так как именно эта зависимость и приводит к возникновению конвекции.

Условие (1.8) означает, что давление вдоль жидкости не должно существенно изменяться. Отсюда, в частности, следует, что вертикальный масштаб области, в которой происходит конвекция, не должен быть слишком велик. Если обозначить характерный размер по вертикали /, то гидростатический перепад давлений, очевидно, имеет порядок pog/. Условия (1.7), (1.8) тогда можно переписать в виде

(1.Ю)(1.Ю)Pog/a«p0< 1,

(1.Ю)

(1.Ю)

где 0 — характерная разность температур.

Условие малости относительных изменений плотности позволяет приближенно записать уравнение непрерывности (1.3) в такой форме, как оно записывается для несжимаемой жидкости:

(1.11)(1.11)div v =0.

(1.11)

(1.11)

Переходя к уравнению переноса тепла, запишем энтропию в виде разложения по степеням малых отклонений Т' и Р'. С точностью до линейных членов будем иметь

Учитывая термодинамические соотношения (см. [7])

Р2ГCp — cv = -^— apoР2ГCp — cv = -^— apods \ср/ ds\р

Р2Г

Cp — cv = -^— apo

Р2Г

Cp — cv = -^— apo

дТ )рГ\др)тРо *

(Ср и Cd — удельные теплоемкости), легко убедиться в том, что отношение третьего слагаемого в правой части (1.12) ко второму равно

Р' \ Ср /

(1.8) это отношение изменением энтропии(1.8) это отношение изменением энтропии(1.13)(1.13)Поскольку 0<(1—^-j<l, то в силу мало. Таким образом, можно пренебречь за счет давления и записать (1.12) в виде

(1.8) это отношение изменением энтропии

(1.8) это отношение изменением энтропии

(1.13)

(1.13)

С п

s = s0 + ^r.

Подставляя (1.13) в (1.2) и пренебрегая выделяющимся в жидкости вследствие внутреннего трения диссипативным теплом D, которое в обычных условиях играет незначительную роль, придем (в первом порядке по Т') к обычному уравнению теплопроводности в движущейся жидкости:

"+vVF = %AF (1.14)

(здесь х = х/Роср — коэффициент температуропроводности; все параметры среды считаются постоянными). В случае, если в жидкости имеются источники тепла, к правой части (1.14) должен быть добавлен член Q/po^p, где Q — мощность этих источников.

Приступим теперь к преобразованию уравнения Навье — Стокса (1.1). Подставляя (1.9), получим с учетом (1.11)

ро(1-0Г)-^= — vp -hav + poO -РПг. (1.15) где -^— полное (субстанциальное) ускорение. Представим давление в виде p = p-Vp', выделив гидростатическое давление р, соответствующее равновесию при средней (постоянной) плотности ро. Давление р определяется уравнением Vp = pog. Правая часть (1.15) примет тогда вид

— Vp' + г] Av — роРГ'я.

В левой же части пренебрежем членом, содержащим pF. Поскольку в правой части член с pF удерживается, такое приближение будет оправдано, если только вертикальное ускорение dvjdt (ось г направлена вертикально вверх) будет мало по сравнению с ускорением силы тяжести g. При свободной конвекции это условие, как правило, выполняется.

Поделив на среднюю плотность ро, запишем уравнение движения в виде

^ + (vV)v = -^-Vp' + vAv + ^ry. (1.16) VbРо

Здесь v = г)/ро — коэффициент кинематической вязкости, а у — единичный вектор, направленный по вертикали вверх.

Собирая (1.11), (1.14) и (1.16), получим систему уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска:

^- + (^0 = -J-Vp + vAv+gpry, (1.17)

^ + vVT = XAT,(1.18)

div v = 0.(1-19)

Для краткости мы опустили штрихи у F и р'. Будем помнить, однако, что в уравнениях (1.17), (1.18) температура Т отсчитывается от среднего постоянного значения Т, а давление р есть отклонение от гидростатического давления р, соответствующего постоянной температуре Т (и, следовательно, плотности ро).

Возвращаясь к допущениям, сделанным при выводе уравнений (1.17) — (1.19), отметим, что основным моментом в приближении Буссинеска является предположение о том, что рассматривается в некотором смысле «слабая» конвекция: вызванные неоднородностью температуры отклонения плотности от среднего значения предполагаются настолько малыми, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения, где это отклонение учитывается лишь в члене с подъемной силой. Разумеется, учет неоднородности плотности лишь в уравнении движения означает некоторую непоследовательность приближения Буссинеска. Однако сравнение результатов решё- ния уравнений конвекции (1.17) — (1.19) с обширным экспериментальным материалом с определенностью свидетельствует о том, что эти уравнения достаточно хорошо отражают все важнейшие особенности тепловой конвекции в лабораторных масштабах.4

Система уравнений (1.17) — (1.19) определяет поля скорости, температуры и давления в жидкости, совершающей конвективное движение. Если жидкость заполняет полость, окруженную твердым однородным теплопроводным массивом, то к системе (1.17) — (1.19) необходимо добавить уравнение теплопроводности, определяющее- поле температуры в массиве:

где Тт — температура массива, а Хт— его температуропроводность.

Сформулируем теперь граничные условия. На границе 3 жидкости с твердым массивом скорость обращается в нуль:

v = 0, (1.21) а температура и нормальная составляющая теплового потока непрерывны:

Т = Тт, ^^г^^т-^- • (1-22)

Здесь п — нормаль к границе, хт — коэффициент теплопроводности массива. Кроме (1.21) и (1.22), следует еще поставить условие для Тт на внешней границе массива, определяемое условиями подогрева. '

В частных случаях температура или тепловой поток могут быть заданы непосредственно на границах полости. При этом уравнения и граничные условия будут содержать следующие параметры: характерную длину полости L, характерную разность температур 0, время т, характеризующее нестационарность внешних условий, и параметры жидкости v, х и £0. Из этих величин можно построить три независимые безразмерные комбинации:

G = ^i, Р = -, Р = ^ (1.23)

— так называемые числа Грасхофа, Прандтля и Фурье. Эти числа служат критериями подобия свободного конвективного движения.

Если движение происходит в полости, окруженной массивом, то к (1.23) добавляются новые критерии: отношения коэффициентов теплопроводности и температуропроводности х = u]zm и X = х/Xm, а также геометрический параметр L = L]Lm {Lm — характерный линейный размер массива).

Конвективное движение может быть нестационарным даже в том случае, когда внешние условия подогрева не изменяются со временем (различные процессы установления, самопроизвольные колебания жидкости и пр.). При этом характерное время t (время релаксации или период колебаний), естественно, не является «свободным» параметром, а число Фурье есть функция остальных параметров подобия.

Механическое равновесие

В неравномерно нагретой жидкости, как правило, возникает конвективное движение. Существуют, однако, такие весьма специальные условия подогрева жидкости, при которых она может находиться в состоянии механического равновесия, т. е. оста-

§ 21 ваться неподвижной. Термодинамического равновесия при этом, конечно, не будет: пространственная неоднородность температуры неизбежно приведет к возникновению теплового потока.

Для выяснения условий, при которых возможно механическое равновесие, обратимся к уравнениям конвекции (1.17) — (1.19). Положим в этих уравнениях скорость равной нулю и будем искать стационарные распределения температуры и давления в равновесии. Обозначая равновесные распределения температуры и давления через То и ро, получим из (1.17), (1.18) уравнения для этих величин:

"Vpo + g0roy=O,(2.1)

Ро

А7о = О.(2.2)

Применим к уравнению (2.1) операцию rot. Пользуясь соотношением rot Vp0 = 0, а также учитывая постоянство у, будем иметь

. V7oXV = O.(2.3)

Если отбросить тривиальный случай V70 = 0, соответствующий однородному по пространству распределению температуры, то из (2.3) следует, что VT0 параллелен вектору у, т. е. имеет вертикальное направление. Таким образом, горизонтальные компоненты градиента температуры равны нулю:

дт» — дт» — о(2 4)

дх ду и

(оси х и у расположены горизонтально), и температура в равновесии зависит только от вертикальной координаты z;

T»=T^z\.(2.5)

Обращаясь теперь к уравнению теплопроводности (2.2), получим d2T0/dz2 = 0, откуда следует, что температура меняется с высотой линейно:

T0 = -Az-VB.(2.6)

Здесь А и В — постоянные величины. Если ось г направлена вверх, то Л > 0 соответствует линейному убыванию, а А <0 — линейному возрастанию температуры с высотой.

Итак, в состоянии механического равновесия температура жидкости зависит лишь от вертикальной координаты, и притом линейно. Равновесный градиент температуры, таким образом, во всех точках жидкости вертикален и имеет постоянное значение:

\Т0 = -Ач.(2.7)

Это условие равновесия в общем виде было сформулировано В. С. Сорокиным [8].

Соотношение (2.7) является необходимым, условием механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. Если это условие не выполнено, т. е. температура зависит не только от z, но и от горизонтальных координат х и у, либо если зависимость от 2 не является линейной, то механическое равновесие невозможно1); в этом случае неизбежно будет происходить конвекция. При выполнении условия (2.7) равновесие возможно. При этом, однако, оно может оказаться устойчивым или неустойчивым. Если равновесие устойчиво относительно всех допустимых возмущений, то конвекция отсутствует. Если же равновесие неустойчиво по отношению* к каким-либо возмущениям, то в результате развития этих возмущений возникает конвекция.

Необходимое для равновесия линейное распределение температуры (2.6) легко, например, осуществить в плоском горизонтальном слое жидкости. Для этого параллельные горизонтальные плоскости, ограничивающие слой, должны поддерживаться при постоянных, не меняющихся вдоль этих плоскостей температурах. Градиент температуры в жидком слое будет тогда вертикальным, постоянным и равным по величине 0//z, где 0 — разность температур границ, a h — толщина слоя.

Если жидкость заполняет полость произвольной формы, то равновесное распределение температуры в жидкости (2.6) можно создать, расположив специальным образом источники тепла вдоль границ полости. Хотя, в принципе, это можно сделать всегда, при сложной форме полости подбор надлежащего распределения источников тепла может оказаться непростой задачей.

Остановимся теперь на случае, когда полость с жидкостью окружена однородным твердым массивом, и условия подогрева задаются не на границе полости, а в массиве на достаточно большом удалении от полости. Пусть, например, в массиве на бесконечно большом расстоянии от полости задан постоянный вертикальный градиент температуры

(V^Om)oo= ^mV* (2.8)

Температура в массиве удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности

^om = O. (2.9)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее на бесконечности условию (2.8), должно на границе полости S сшиваться

с решением уравнения (2.2) с помощью условий непрерывности температуры и теплового потока:

Тй = Тйт, = (2.10)

Решение этой задачи не будет, вообще говоря, давать линейного распределения температуры в жидкости (2.6), и, стало быть, необходимое условие равновесия не будет выполнено. Поскольку, однако, нас интересует именно выяснение условий равновесия, то нужно указать такие случаи, когда краевая задача (2.2), (2.8) —(2.10) приводит к линейному по вертикали распределению температуры в жидкости (2.6).

Прежде всего, должен быть назван тривиальный случай, когда теплопроводности жидкости и массива одинаковы: х=хт. В этом случае излома изотерм на границе жидкости с массивом не происходит. И в жидкости, и в массиве температура описывается единой функцией, линейно зависящей от вертикальной координаты; градиенты А и Ат совпадают.

Если теплопроводности жидкости и массива различны, то равновесное распределение температуры в жидкости (2.6) при условии задания постоянного вертикального градиента в массиве на бесконечности возможно лишь при специальных формах полости. Так, если полость представляет собой бесконечный вертикальный цилиндр произвольного сечения, то краевая задача, очевидно, имеет решение вида (2.6), описывающее распределение температуры во всем пространстве. Условие непрерывности тепловых потоков выполняется тривиальным образом при произвольных х и хт, поскольку температура не зависит от нормальной к границе координаты.

Переходя к замкнутым полостям в массиве с постоянным градиентом температуры на бесконечности, отметим, прежде всего, что задача об определении температурного поля в покоящейся жидкости математически эквивалентна известной задаче электростатики об определении поля в диэлектрическом образце, помещенном в первоначально однородное электрическое поле. Нас интересует случай, когда получающееся распределение температуры в жидкости оказывается равновесным (т. е. когда градиент температуры в жидкости постоянен и вертикален). На языке электростатики это означает, что поле в образце, помещенном в первоначально однородное поле, также должно быть однородным. Как известно [], это возможно лишь в случае достаточно высокой симметрии образца. Такой симметрией обладает трехосный эллипсоид. Если эллипсоидальный образец помещается в однородное поле, то поле внутри образца также будет однородным, хотя его направление при произвольной ориентации эллипсоида не совпадает с направлением внешнего поля.

Возвращаясь к тепловой задаче, будем иметь в виду случай, когда градиент температуры на бесконечности вертикален, а оси эллипсоида совпадают по направлению с координатными осями х, у, г. По аналогии с решением задачи для электростатического потенциала [9], можно написать формулы для распределения температуры в массиве на бесконечности (Г0т)оо и в жидкости То (за начало отсчета принято значение температуры в центре эллипсоида):

То =^^.(2.11)

I +yabc (х — 1)С

Здесь а, Ь, с — полуоси эллипсоида соответственно вдоль координатных осей х, у, г; х = х/хт — отношение теплопроводностей жидкости и массива; С — функция параметров а, Ь, с:

С = I ($ + с2) /(7+ а2) (« + б2) (» +РГ ’ О

Из (2.11) видно, что при заданном градиенте в массиве Ат равновесный градиент в жидкости равен

А =—^1.(2.12)

I + уа6с (х- 1)С

Приведем для справок некоторые важные частные случаи формулы (2.12).

Эллипсоид вращения (с ф е р о и д). Если ось симметрии вертикальна, то в формуле (2.12) следует положить а = Ь. Эллиптический интеграл С в этом случае выражается через элементарные функции. Для вытянутого вдоль оси г сфероида (с > а) и для сплюснутого сфероида (с < а) найдем

. (2.13)

Ш а р. В этом случае а=Ь=с=г {г — радиус шара); С="з^з- И

Л = ^.(2.14)

Горизонтальный эллиптический цилиндр. В общей формуле (2.12) нужно сделать предельный переход а —> оо (ось цилиндра совпадает с осью х). В пределе получаем аС^ с(Ь + с} ’''

д^^Цс^^(2.15)

с 4- Ьхх '

В частности, для кругового горизонтального цилиндра (Ь = с):

Вертикальный эллиптический цилиндр. Полагая с ->оо, находим сС->0,

А = Ат(2.17)

(как уже отмечалось выше, этот результат справедлив для вертикального цилиндра произвольного сечения).

Плоский горизонтальный слой (а-* оо, b —► оо, abcC~>2). Связь равновесных градиентов такова:

А =(2.18)

В заключение заметим, что в полости, имеющей форму трехосного эллипсоида, произвольно ориентированного в пространстве, также возможно равновесие. При этом, однако, градиент температуры на бесконечности должен иметь определенное (невертикальное) направление, зависящее от ориентации полости.

Нормальные возмущения

Как уже указывалось, механическое равновесие неравномерно нагретой жидкости может оказаться устойчивым или неустойчивым. Равновесие устойчиво, если все возмущения со временем затухают. Если же одно или несколько возмущений со временем нарастают, то равновесие неустойчиво относительно этих возмущений. Их развитие со временем приведет к тому, что равновесие будет нарушено, и возникнет конвекция.

В реальных условиях неизбежно возникают самые различ,- ные возмущения. Поэтому равновесие жидкости можно практически наблюдать лишь в том. случае, когда оно устойчиво. Неустойчивое же1 равновесие быстро сменяется конвекцией, если, разумеется, не приняты специальные меры, исключающие возникновение «опасных» возмущений.

Для суждения об устойчивости равновесия необходимо, таким образом, исследовать поведение во времени всевозможных

возмущений. С этой целью рассмотрим поля температуры и давления, отличающиеся от равновесных: Г0 + Гь ро + Рь где Тх и pi — возмущения. Отклонения температуры и давления от равновесных распределений То и р0 приводят к конвективному движению со скоростью Уь Возмущенные поля (vi, То + Гь Po + Pi) должны удовлетворять уравнениям конвекции (1.17) — (1.19). Отсюда можно получить уравнения для возмущений.

Будем рассматривать малые нестационарные возмущения равновесия (линейная теория устойчивости). В уравнениях, которые получаются подстановкой (иь 70 + ТХ) р0 + pi) в (1.17) — (1.19), тогда можно пренебречь квадратичными по возмущениям членами, что приводит, с учетом (2.1), (2.2), к линейным уравнениям:

= --Lv^ + vA^ + ^pr^,

^. + у^Г0 = ХДГь|(ЗЛ)

div»i = 0.)

Если полость окружена теплопроводным массивом, то к этой системе нужно добавить уравнение для возмущения температуры массива ГтЬ которое следует из (1.20):

(3.2)(3.2)57*™gi Xm ^^mi

(3.2)

(3.2)

На границе жидкости и массива должны выполняться обычные условия исчезновения скорости и непрерывности температуры и теплового потока (см. (1.22)). Кроме того, необходимо потребовать затухания возмущений температуры в массиве вдали от полости.

Запишем систему уравнений для возмущений (3.1), (3.2) в безразмерном виде. Для этого выберем следующие единицы измерения: расстояния — характерный линейный размер полости L, времени — L2/v, скорости — %/L, давления — p0v%/L2, температуры— AL (Л— равновесный градиент температуры, определяемый соотношением (2.7)). Переходя при помощи указанных единиц к безразмерным переменным, получим систему уравнений для безразмерных возмущений:

(3.3)(3.3)^---Vp + Ac + RTv,

(3.3)

(3.3)

div® = 0,

r'- at ^‘ nr

Здесь теперь у, р, Т, Тт — безразмерные возмущения, а все производные берутся по безразмерным времени и координатам.

В систему (3.3) входят три безразмерных параметра: число Прандтля Р = v/x, отношение температуропроводностей жидкости и массива х = х/Xm и число Рэлея R = 8^^~, связанное с числами Грасхофа и Прандтля: R = G P (см. (1.23)).

Таким образом, малые возмущения -равновесия удовлетворяют системе линейных однородных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Эта система имеет частные решения, зависящие от времени по экспоненциальному закону (так называемые «нормальные» возмущения):

(у, р, Т, T^J ~ ехр(—X/),(3.4)

где X — декремент, определяющий временной ход возмущения. Подставляя (3.4) в (3.3), получим систему амплитудных уравнений

— Ху = — Vp + Av + R7v,(3.5)

- ХРТ = AT + (W),(3.6)

divv = 0,(3.7)

-XPxTm = ATm.(3.8)

Здесь теперь v, p, T и Tm — зависящие от координат амплитуды.

Запишем граничные условия для безразмерных амплитуд. На границе S жидкости'с массивом

„ = 0, T-Т.,(3.9)

(х = х/хт— отношение теплопроводностей жидкости и массива). Вдали от полости возмущения температуры исчезают:

^Тт^о. '(3.10)

Линейная однородная краевая задача (3.5) —(3.10) есть задача о собственных значениях. Собственными числами являются декременты нормальных возмущений X (характеристические декременты), а собственными функциями — соответствующие амплитуды. Таким образом, сформулированная краевая задача определяет спектр нормальных возмущений равновесия жидкости в полости определенной геометрии.

При данной форме полости спектр зависит от четырех параметров, входящих в уравнения и граничные условия: чисел Рэлея и Прандтля R и Р, а также отношений теплопроводностей и температуропроводностей х и х- Эти параметры определяют подобие задачи о нормальных возмущениях равновесия подогреваемой снизу жидкости.

Зависимость нормальных возмущений от времени заключена в экспоненциальном множителе ехр(—Kt). Если декремент X является вещественным, то возмущение изменяется со временем монотонно: при X > 0 возмущение затухает, а при X < 0 — нарастает. Если декремент оказывается комплексным, то его можно представить в виде X = Xr + iX^ В этом* случае возмущения осциллируют с частотой, равной мнимой части декремента Хг*. Затухание или нарастание этих осциллирующих возмущений определяется знаком вещественной части Хг. Для устойчивости равновесия необходимо, чтобы вещественные части декрементов всех нормальных возмущений были положительными. Если же в спектре найдется хотя бы одно возмущение с отрицательным Хг, то это будет означать неустойчивость равновесия по отношению к данному возмущению.

В случае замкнутой полости спектр нормальных возмущений оказывается дискретным, т. е. имеется счетная последовательность характеристических декрементов и соответствующих возмущений 9- Нахождение этого спектра для полости определенной формы сводится к решению краевой задачи (3.5) —(3.10). Можно, однако, следуя В. С. Сорокину [8], установить некоторые важные общие свойства спектра, не зависящие от конкретной формы полости.

При рассмотрении общих свойств спектра мы для простоты будем иметь в виду случай, когда теплопроводность массива гораздо больше теплопроводности жидкости (%—>0). В этом случае можно считать, что на стенках полости поддерживается неизменное равновесное распределение температуры, а ее возмущение исчезает. Таким образом, вместо общих граничных условий (3.9), на границе полости будем иметь

v = 0, 7 = 0, (3,11)

и нужно следить лишь за поведением возмущений в жидкости.

Обратимся к амплитудным уравнениям (3.5) — (3.7) Наряду с решением (X; v, Г, р) будем рассматривать комплексносопряженное решение (X*; v'*, Т*, р*) (звездочками далее обозначаются комплексно-сопряженные величины). Умножим уравнения (3.5) и (3.6) соответственно на и* и 7* и проинтегрируем по объему жидкости. Заменяя в нужных местах интегрирование

’) Дискретность спектра представляется физически очевидной в случае, когда массив, окружающий полость, обладает бесконечной теплопроводностью, и на границе полости возмущение температуры исчезает (граничные условия (3.11)). В случае же массива конечной теплопроводности дискретность связана с достаточно быстрым затуханием проникающим в массив температурных возмущений.

по объему интегрированием по поверхности и пользуясь граничными условиями (3.11), получим

(3.12)(3.12)-X J|yptZK = - jlrotvpd^ + R J Tv^dV, -XP ||Гр^ = - JlVTfdV + j Tv^dV.

(3.12)

(3.12)

Вычитая из этих равенств соответственно комплексно-сопряженные, будем иметь

(X* - X) j | v VdV = R j (TVy - Tvy) dV,Р (X* - X) J | Т VdV = - j (TVN - Tv^dV.

Умножая второе из этих равенств на R и складывая с первым, получим

(Х’-Х) J[|yp + RP|Tp]dK = O.(3.13)

Обращаясь снова к (3.12), сложим каждое из равенств соответственно с комплексно-сопряженным

(X* 4- X) j | v pdK = 2 J | rot v ?dV - R J (ZVy + T^dV, p(x*+x) Ji T^dv =2 Ji\i^dv- J (м+г^)^.

Отсюда находим’

(X* + X) J [|»p-RP|Tp]dV = 2 J [|rot»p-R| VTpldK. (3.14)

Соотношения (3.13), (3.14) позволяют сделать определенные заключения о вещественной и мнимой частях декрементов.

Пусть жидкость подогревается снизу. В этом случае число Рэлея R положительно, поскольку равновесный градиент температуры Л >0 (см. (2.6)). При этом входящий в (3.13) интеграл существенно положителен. Отсюда следует X* — X = 0, т. е. X* = X. Таким образом, при подогреве снизу декременты нормальных возмущений вещественны, и следовательно, все нормальные возмущения изменяются со временем — затухают или нарастают — монотонно («принцип монотонности возмущений») ’)._

Рассмотрим теперь случай подогрева сверху (Л < 0 и R < б). В этом случае следует обратиться к формуле (3.14), определяющей вещественную часть декремента

Интегралы, входящие в левую и правую части (3.14), при R <0 существенно положительны, и потому Хт > 0. Таким образом, все нормальные возмущения при подогреве сверху затухают, и равновесие устойчиво.

При отсутствии градиента температуры (R = 0) из (3.13), (3.14). легко получается

•f | rot у |2 dV

Ь=—г(3.15)

J |t,|W

— все декременты вещественны и положительны, т. е. возмущения монотонно затухают. Собственные числа X в этом случае можно занумеровать в порядке их возрастания: Xi < Хг < < Хз < ... . Соответствующие возмущения характеризуются «временами жизни» 1ДП; «нижняя» мода с декрементом Xi имеет наибольшее время жизни, т. е. наименьшую скорость затухания.

При R #= 0 декременты зависят от R как от параметра. В области положительных R все декременты Xn(R), как уже указывалось, вещественны, причем, очевидно, некоторые из них при увеличении R становятся отрицательными, порождая неустойчивость. При R < 0 всегда имеет место устойчивость (Хг > 0), но в этом случае нельзя с определенностью утверждать, что затухание возмущений происходит монотонно. В самом деле, интеграл, входящий в (3.13), при R < 0 уже не является знакоопределенным, и потому сделать общий вывод о вещественности декрементов нельзя. Необходимым условием появления комплексных декрементов (т. е. колебательных возмущений) является обращение в нуль интеграла в (3.13). Расчеты, проведенные для плоского горизонтального слоя (см. гл. II) и шаровой полости [н], показывают, что при подогреве сверху (R < 0) по мере увеличения |R| в спектре действительно появляются колебательные возмущения. Это связано со «слиянием» вещественных уровней спектра и порождением пар комплексно-сопряженных декрементов..

Типичная ситуация представлена на рис. 1, где изображены два уровня спектра. Один из них — нижний —приводит к неустойчивости при некотором критическом значении числа Рэлея. Слияние уровней при R < 0 и возникновение комплексно-со-

пряженной пары означает появление, затухающих колебательных возмущений.

Различие в характере поведения возмущений при подогреве

снизу и сверху можно пояснить следующими наглядными рассуждениями. Представим себе, что элемент жидкости, подогреваемой снизу, в результате случайного возмущения сместился

вверх. Охлаждаясь путем теплопроводности, он все-таки будет иметь в новом положении более высокую температуру, чем ок

ружающая жидкость. Поэтому действующая на него конвективная сила будет направлена вверх, и элемент будет продолжать всплывать, преодолевая вязкое сопротивление. Будет ли это движение затухать или развиваться— зависит от соотношения между градиентом температуры и параметрами диссипации. Во всяком случае, это возмущение имеет монотонный характер из- за , отсутствия «возвращающей» силы.

Иначе обстоит дело при подогреве сверху. В этом случае сместившийся вверх элемент будет холоднее окружающей жидкости, и на него будет действовать конвективная «возвращающая» сила, направленная вниз; Это приведет к тому, что всплывание элемента прекратится и он начнет тонуть. Если градиент температуры достаточно велик, то на-

Рис. 1. Вещественная и мнимая части декрементов в зависимости от числа Рэлея. Rf — критическое чило Рэлея, соответствующее неустойчивости при подогреве снизу; R* — точка появления колебательных возмущений при подогреве сверху..Рис. 1. Вещественная и мнимая части декрементов в зависимости от числа Рэлея. Rf — критическое чило Рэлея, соответствующее неустойчивости при подогреве снизу; R* — точка появления колебательных возмущений при подогреве сверху..личие «возвращающей» силы мо

Рис. 1. Вещественная и мнимая части декрементов в зависимости от числа Рэлея. Rf — критическое чило Рэлея, соответствующее неустойчивости при подогреве снизу; R* — точка появления колебательных возмущений при подогреве сверху..

Рис. 1. Вещественная и мнимая части декрементов в зависимости от числа Рэлея. Rf — критическое чило Рэлея, соответствующее неустойчивости при подогреве снизу; R* — точка появления колебательных возмущений при подогреве сверху..

жет привести к появлению колебаний. Напомним, однако, что при подогреве сверху и монотонные и колебательные возмуще

ния затухают.

Вещественность декрементов при подогреве снизу и появление (при определенных условиях) комплексных декрементов при подогреве сверху связаны со свойствами краевой задачи для амплитуд возмущений. При R > 0 задача является самосопряженной, и потому собственные числа и собственные функции вещественны. В случае же R < О задача становится несамосопряженной, и собственные числа могут быть комплексными.

Покажем теперь, что декременты и амплитуды возмущений при подогреве снизу могут быть найдены из решения некоторой

вариационной задачи р]. Рассмотрим функционалы

7 = j [(rot v)2 + R (Vr)2 - 2RT (vy)] dV,

K = / (v2 + RP^dV,

где x) и T удовлетворяют граничным условиям (3.11). Сформулируем задачу об отыскании стационарного значения функционала J

j = extr(3.16)

при дополнительных условиях нормировки и соленоидальности ^=l,(3.17)

divv = 0.(3.18)

Нетрудно показать, что уравнения Эйлера для этой вариационной задачи совпадают с амплитудными уравнениями (3.5), (3.6). В самом деле, вводя для дополнительных условий (3.17) и (3.18) множители Лагранжа—X и —2р, составим вариационное условие

67 - А67< - j 2р6 (div у) dV = 0.

Вычисляя все входящие сюда вариации, интегрируя по частям с учетом граничных условий (3.11) и приравнивая нулю выражения при независимых вариациях 6у и 67”, придем к амплитудным уравнениям (3.5), (3.6).

Функции v и Т, являющиеся решением вариационной задачи, позволяют вычислить декременты по формуле

А = у.(3.19)

причем нижний уровень спектра декрементов Xi соответствует минимуму ЦК.*

Собственные функции, принадлежащие разным уровням спектра (Xm; *от, Тт) и (Xn; vn, Тп), удовлетворяют условиям ортогональности, которые можно получить непосредственно из краевой задачи. Записывая уравнения (3.5), (3.6) для т-го и ц-го уровней, умножая соответственно на (уп, Тп) и (vm, Гт) и интегрируя, получим после простых преобразований

Um - М J (Vmy„ + RPTmT^ dV = 0.

При m ф п отсюда следует условие ортогональности — равенство нулю входящего в это соотношение интеграла. С учетом

запишем условие ортогональности и нормировки в виде

J к-От-Оп + RP7V„) dV = 6m„(3.20)

(dmn — символ Кронекера).

Условия ортогональности позволяют применить вариационный метод для отыскания более высоких уровней спектра. Для этого необходимо при нахождении собственного решения некоторого уровня использовать пробные функции, не только удовлетворяющие дополнительным условиям (3.17), (3.18), но и ортогональные ко всем собственным функциям более низких уровней.

Б заключение заметим, что все результаты, изложенные в этом параграфе, можно распространить на случай более общих граничных условий (3.9), (3.10), учитывающих проникновение температурных возмущений в массив.

Критические градиенты температуры ' и критические движения

Физически совершенно ясно, что прц достаточно большой разности температур равновесие подогреваемой снизу жидкости становится неустойчивым. Это значит, что декременты X некоторых характеристических возмущений с увеличением числа Рэлея становятся отрицательными, а сами эти возмущения, затухая со временем при малых R, начинают нарастать при больших R. Обращение в нуль декремента выделяет условия, при которых возмущение «нейтрально» — не затухает и не нарастает. Очевидно, эти условия как раз и определяют границу устойчивости равновесия относительно данного возмущения.

(3.8) при X = 0:— Vp + Av + R^v = 0,(4.1)АГ + (w) = 0,(4.2)divv = 0,(4.3)kTm = 0.-(4.4)(3.8) при X = 0:— Vp + Av + R^v = 0,(4.1)АГ + (w) = 0,(4.2)divv = 0,(4.3)kTm = 0.-(4.4)Уравнения нейтральных возмущений получаются из (3.5) —

(3.8) при X = 0:

— Vp + Av + R^v = 0,(4.1)

АГ + (w) = 0,(4.2)

divv = 0,(4.3)

kTm = 0.-(4.4)

(3.8) при X = 0:

— Vp + Av + R^v = 0,(4.1)

АГ + (w) = 0,(4.2)

divv = 0,(4.3)

kTm = 0.-(4.4)

Граничные условия остаются прежними: (3.9), (3.10).

Мы снова получили задачу о собственных значениях. Собственными числами теперь являются критические значения числа Рэлея R, а собственными функциями — соответствующие критические (нейтральные) движения (v, Г).

С чисто математической точки зрения доказательство не* устойчивости равновесия сводится к доказательству существования решений краевой задачи для нейтоальных возмущений.

Существование собственных значений строго показано в работе М. Р. Уховского и В. И. Юдовича []. Критические числа Рэлея образуют счетную последовательность

О С Ri С R2 < • • •,а соответствующие собственные функции(^ь ТJ, (v2, Т2), •..

составляют полную систему. Последнее обстоятельство позволяет использовать критические движения в качестве естественного базиса, по которому разлагается любое конвективное движение в полости.

Итак, при подогреве снизу существует последовательность критических чисел Рэлея (критических градиентов температуры) и критических движений. При достижении критического числа Rf равновесие становится неустойчивым относительно соответствующего критического возмущения (^ТгУ Наибольший интерес, разумеется, представляет «нижний» уровень спектра неустойчивости — наименьшее критическое число Рэлея Ri и связанное с ним критическое движение (vi,Ti). Именно значение Ri определяет порог конвекции. Отыскание верхних уровней, однако, также представляет значительный интерес: если каким-либо образом удастся «запереть» основное критическое движение1), то порог будет определяться вторым уровнем неустойчивости и т. д. Кроме того, как уже говорилось, все критические движения образуют полный базис, удобный для изображения произвольного движения в полости.

Заметим, что краевая задача для нейтральных возмущений содержит только два безразмерных параметра: критическое число Рэлея R • и отношение теплопроводностей й (при X = О число Прандтля Р и отношение температуропроводностей % выпадают из числа определяющих параметров; см. (3.6), (3.8)). Таким образом, критические числа Рэлея зависят от единственного параметра — отношения теплопроводностей. В тех же случаях, когда условия для температуры задаются непосредственно на границе полости (обращение в нуль возмущения температуры T|s = 0, либо условие тепловой изоляции ^ |$ = о), критические числа Рэлея являются постоянными числами, значения которых -определяются только формой полости.

Критические движения удовлетворяют некоторым соотношениям ортогональности и могут быть найдены из вариационного

принципа [8]. Для простоты, как и в предыдущем параграфе, мы не будем рассматривать проникновение тепловых возмущений в массив (граничные условия (3.11)). Для получения условий ортогональности следует записать уравнения (4.1) и (4.2) для /-го и ^-го критических движений, умножить соответственно на (ик, Тк) и (®{, Т^ и проинтегрировать по объему. Из четырех получающихся таким образом соотношений можно найти

^MTkdV- ^Vk^TtdV=O ЦФк\ (4.5)

т. е. вертикальная составляющая скорости одного критического движения ортогональна температуре другого.

Если нормировать критические движения следующим образом1):.•

^x>^TidV=\,(4.6)

то условия ортогональности и нормировки можно записать так:

^YTkdV =Ь1к.(4.7)

Отсюда с помощью уравнений (4.1) и (4.2) легко получить еще два условия:

. ^Tr\TkdV = blk, Jrotvz.roty)idr = ^blk, (4.8)

т. е. градиенты температуры разных критических движений, так же как и вихри скорости, ортогональны друг другу.

Сформулируем теперь вариационный принцип. С этой целью запишем уравнения нейтральных возмущений в более симметричной форме, выбрав новую единицу температуры. Положим

Г = СТ, C=/R.(4.9)

Уравнения (4.1), (4.2) тогда перепишутся в виде

- Vp + Av + Cfy = О, ДТ + С (уу) = 0.(4.10)

Здесь теперь С — новое собственное число, связанное с критическим числом Рэлея соотношением R = С2. Легко убедиться в том, что эти уравнения являются уравнениями Эйлера для следующей вариационной задачи:

F (у, Л = 4 J Krot v)2 + (^)21dV = extr (4-11)

при дополнительных условиях

(4.12)(4.12)K(v, b= J ИЙ^ = 1,div v = 0.

(4.12)

(4.12)

Действительно, вводя множители Лагранжа —С и —р и составляя условие экстремума

6F-C6K-/ p&^div^dV = 0,

получим, после варьирования функционалов, уравнения (4.10). Нижнее критическое значение Ci равно минимуму функционала

C^min-—.(4.13)

Все другие критические числа следует искать из условия экстремума FJK, требуя ортогональности пробных движений ко всем критическим движениям, соответствующим более низким уровням спектра.

Для отыскания критических чисел Рэлея и критических движений можно использовать прямые методы математической физики, в частности, методы Ритца и Бубнова — Галеркина. Особенно широкое распространение в задачах конвективной устойчивости получил метод Бубнова — Галеркина ввиду его простоты и универсальности (см. работы [13~16], а также ряд последующих параграфов этой книги). Важное преимущество этого метода состоит в том, что он может быть эффективно использован для решения задач, не связанных с вариационными проблемами. К их числу относится, например, задача об устойчивости конвективных движений, рассматриваемая в гл. X.

Основная идея метода Бубнова — Галеркина [17] состоит в том, что приближенное решение однородной краевой задачи ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех в применении метода определяется выбором базисных функций и числом этих функций, входящих в разложение. При удачном выборе базиса достаточно точные результаты получаются уже при аппроксимации решения сравнительно небольшим числом функций.

Мы изложим здесь два варианта метода применительно к задаче о критических движениях. Оба варианта широко используются в дальнейшем изложении. *

Первый вариант основан на разложении скорости и температуры по независимым базисам. Пусть tti,a2, ... — некоторая полная система векторных функций, удовлетворяющих условию соленоидальности 4wui = 6 и обращающихся в нуль на границе полости. Пусть, далее, 91, 02, ... — полная систем^ скалярных функций, удовлетворяющих, например, граничному условию (3.11) для возмущений температуры. Будем искать приближенное решение уравнений (4.1) — (4.3) в виде разложений

ч) = ахих-V а2и2-V ... +aNuN, (4.14)

Т = М1 + М2+ ... -VbM9M. (4.15)

Эти выражения, очевидно, удовлетворяют граничным условиям (3.11), а распределение скорости (4.14)—уравнению непрерывности (4.3). Для определения коэффициентов разложений, следуя методу Бубнова — Галеркина, поступаем следующим образом. Подставим (4.14) и (4.15) в уравнения (4.1) и (4.2), умножим первое из этих уравнений скалярно на и^ а второе — на Oh и проинтегрируем по объему. При этом все члены, содержащие градиент давления, исчезают в силу граничных условий для скорости и уравнения непрерывности:

J utMp dV = ^ div kutp^ dV = ^ put dS = 0. V V s

После интегрирования получим систему N + М линейных однородных уравнений для коэффициентов ап и Ьт:

NМ-

2 Alrtan + R 2 С1тьт = 0 (Z = 1, 2N),

п=\т=1•

NМ'

2 спкап + 2 ВктЬт = 0 (k = 1, 2М\ п=1т=\'

Здесь для краткости введены обозначения:

Ain — J ^i * kun dV, Вкт — J 9^ • A9m dV, Cim — J (u^v) 9m dV,

(4.17)

причем., как легко убедиться, Ain = Ani и Вкт = Втк.

Система

(4.16)

имеет

нетривиальное

решение

лишь

В том

случае, когда ее определитель равен нулю:

Ai

л12 ..

Л^

RCn

RC12 ..

• RCim

^21

^22. .

• ^2N

RC2i

rc22 ..

• RC2m

^Afl Сц

Л^2 . .

C2i ..

• ^NN

. CN\

RC^i Bn

rc^2 ..

512• •

• ^cNM

= 0.

(4.18)

С12

С22 . .

• cN2

S21

622• •

С2М ..

• Cnm

^Afl

В М2• •

• bmm

Мы получили характеристическое уравнение для нахождения критических чисел Рэлея. Степень уравнения равна К — наименьшему из чисел N и М. Все корни характеристического уравнения вещественны и положительны. Они дают приближенные значения критических чисел Рэлея для К нижних уровней спектра. Найдя критические R и определяя затем из системы (4.16) коэффициенты разложений, получим приближенно соответствующие критические движения. Разумеется, наиболее точно определяется нижний уровень неустойчивости; с увеличением номера уровня погрешность, вообще говоря, возрастает.

Перейдем теперь ко второму варианту метода. В этом варианте, как и в предыдущем, скорость представляется в виде линейной комбинации (4.14). Эта аппроксимация подставляется в уравнение теплопроводности (4.2), которое затем решается точно с надлежащими граничными условиями. Таким образом находится распределение температуры, соответствующее принятой аппроксимации скорости.

Решение уравнения теплопроводности можно представить в виде

Т = П101 + а202 + ... + а^0^,(4.19)

где а^ — те же коэффициенты, что и в (4.14), а 0г-, в отличие от первого варианта метода, не являются независимыми от Пг базисными функциями, а находятся из уравнения теплопроводности

А0< = -(М).(4.20)

Подставляя (4.14) и (4.19) в (4.1), умножая на и< и интегрируя, получим алгебраическую систему

N'

S (Л16 + КС<<М = 0(/=1, 2, .... /V).(4.21)

6=1

Матричные элементы Aih и С№ определяются формулами (4.17); с помощью (4.20) легко показать, что С^ = См-'

§ 4)

Условие разрешимости системы (4.21) имеет вид

= 0. (4.22)= 0. (4.22)Лп + RCn Л12 + КС12 ... Л^ + РС^ Л2ь+ RC2i Л22 + RC22 ... Л2Л^ + R^2^

= 0. (4.22)

= 0. (4.22)

^i + RCni Л^2 + RC„2 ... Ann + RCnn

Характеристическое уравнение (4.22) представляет собой уравнение А^-й степени относительно R; его корни дают приближение к N нижним уровням спектра.

Поскольку во втором варианте метода распределение температуры не аппроксимируется, а находится путем точного решения уравнения теплопроводности, ясно, что при одной и той же аппроксимации скорости второй вариант обеспечивает большую по сравнению с первым вариантом точность.

Преимущество второго метода особенно отчетливо проявляется в том случае, когда необходимо определить уровни неустойчивости в полости, окруженной массивом конечной теплопроводности. В этом случае трудно построить базис для представления возмущения температуры во всей области — в жидкости и массиве. Второй метод при этом исключает всякий дополнительный произвол: функции 0^ теперь следует искать во всей области, сшивая решение уравнения (4.20) с решением уравнения теплопроводности в массиве А0^ = О.

Эффективность метода может быть проиллюстрирована путем сравнения приближенного решения с точным на примере тех немногих задач, для которых точное решение удается найти. Так, в случае вертикального кругового цилиндра (см. §11) второе приближение метода (две базисные функции в аппроксимации скорости) позволяет найти нижнее критическое число Рэлея с точностью до долей процента во всем интервале изменения отношения теплопроводностей жидкости и массива. В случае же плоского горизонтального слоя еще более высокую точность дает первое приближение (см. § 7).

Как уже говорилось, успех метода во многом зависит от выбора базиса. Поэтому в конкретных задачах при построении базиса полезно в целях повышения точности учитывать дополнительные соображения, связанные с симметрией полости, добавочными граничными условиями, которые в ряде случаев могут быть установлены с помощью уравнений, и пр.

Метод Бубнова — Галеркина может быть применен не только для определения критических чисел Рэлея и критических движений, но и для решения полной задачи о характеристических возмущениях (краевая задача (3.5) —(3.10)).

ГЛАВА II

ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ

Систематическое исследование проблемы конвективной устойчивости было начато известными опытами Бенара Р’2], наблюдавшего возникновение ячеистой конвекции в подогреваемом снизу тонком слое спермацета. Спустя некоторое время Рэлей [3] решил задачу об устойчивости равновесия слоя со свободными границами, что послужило началом развития теории конвективной устойчивости. С тех пор горизонтальный слой жидкости был и остается излюбленным объектом изучения конвективной устойчивости. Это связано, главным образом, с тем, что область такой геометрии сравнительно легко реализуется в эксперименте и дает известные удобства в проведении тепловых и оптических измерений. Плоский горизонтальный слой представляет также большой интерес в связи с приложениями теории конвективной устойчивости в метеорологии, геофизике и астрофизике (см. об этом обзюры Р2-34]).

Мы начинаем с рассмотрения спектра возмущений и устойчивости слоя со свободными плоскими изотермическими границами. Хотя эти граничные условия, предложенные Рэлеем, являются в известном смысле искусственными, они позволяют получить простое точное решение спектральной краевой задачи, из которого отчетливо видны наиболее важные особенности проблемы. Далее рассматривается физически более интересный случай твердых границ. В последующих параграфах этой главы разбираются некоторые обобщения классической задачи Бенара— Рэлея.

Свободные границы (задача Рэлея)

Рассмотрим горизонтальный бесконечный слой жидкости, ограниченный параллельными плоскостями z = 0 и z = h. Температура на границах слоя фиксирована, и в состоянии равновесия градиент температуры в жидкости равен

7Т0 = -Лу,

где А = 0/й, а 0 — разность температур между плоскостями.

Поведение малых возмущений равновесия описывается уравнениями (3.3):

-^-=-Vp+Av + RTv,(5.1)

Р^-М-АТ,(6.2)

div® = 0.(5.3)

Единицы измерения всех величин указаныранее (§ 3); за еди

ницу расстояния выбрана толщина слоя h, входящая в качестве характерной длины в число Рэлея R.

Из уравнений (5.1) — (5.3) можно исключить давление р и горизонтальные компоненты скорости их и vv. Для этого следует к уравнению (5.1) применить операцию rot rot и спроектировать получившееся векторное уравнение на ось z. Тогда получим систему двух уравнений для вертикальной компоненты скорости их и возмущения температуры Т: .

-^-АУг = ААУг + КА1Г,(5.4)

Р-^ = А7’ + о2.(5.5)

Здесь Ai = д21дх2 + д2/ду2 —плоский лапласиан.

Сформулируем теперь граничные условия. Следуя Рэлею Я, будем считать, что границы слоя свободные; на этих границах исчезают касательные напряжения. Эти границы предполагаются, далее, плоскими, т. е. считается, что возникающие конвективные возмущения не приводят к искривлениям границы. Что касается температуры, то, как уже указывалось, ее значения на границах фиксированы, и, следовательно, возмущения температуры на границах исчезают. Таким образом, получаем систему граничных условий:

-дх)х ди»■

при z = 0 и 2 = 1 oz = 0, —g5" = ^7 — ^> Т = 0. (5.6)

Граничные условия для их и иу, вытекающие из требования отсутствия касательных напряжений на границах, могут быть с помощью уравнения непрерывности заменены условиями для у2. Дифференцируя (5.3) по 2 и пользуясь граничными условиями для скорости, найдем d^vjdz2 = 0 при 2=0; 1. Таким образом, граничные условия к уравнениям (5.4), (5.5) для слоя со свободными плоскими границами имеют вид:

при 2 = 0 и 2 = 1 у2 = 0, "5£Г~^' 7 = 0.(5.7)

Поскольку коэффициенты уравнений (5.4), (5.5) и граничные условия (5.7) не зависят от времени и горизонтальных координат,

2 Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

существуют частные решения, описывающие так называемые «нормальные» возмущения, экспоненциально зависящие от времени и периодические в плоскости (х,у):

vz(x, у, 2, t) = v (z)exp[— Xt-\-i<.k\x+ ^2</)1. 1_ .

Т(х, у, z, f) = 0(z)exp[— Xt + Цкхх + k^Y J '

Здесь X— декремент возмущений, кх и к2— вещественные волновые числа, характеризующие периодичность возмущений вдоль направлений х и у, a u(z) и 0(z)— амплитуды возмущений. Подставляя (5.8) в (5.4), (5.5), получим систему обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений для амплитуд:

- X (о" - fe2y) = (oIV - Ч^о" + ^о) - R^20,(5.9)

- APO = (0" - /г20) + и.(5.10)

Здесь штрих означает дифференцирование по г, и введено обозначение

к2 = к2 + к2. ■

Граничные условия вытекают из (5.7):*

при 2 = 0 и г = 1 о = 0, о" = 0, 0 = 0.(5.11)

Нетривиальное решение задачи (5.9) — (5.11) существует лишь при определенных значениях X, являющихся собственными числами этой задачи; соответствующими собственными функциями являются амплитуды возмущений и (г) и 0(z). Таким образом, краевая задача (5.9) — (5.11) определяет спектр характеристических возмущений равновесия.

Для граничных условий Рэлея (5.11) решение задачи оказывается элементарным. Собственные функции задачи имеют вид простых гармоник

' o = asinnnz, 0 = 6sinnnz (n=l, 2, 3, ...).(5.12)

Коэффициенты а и b находятся из однородной системы

(п2л2 + к^ [X - (п2л2 + /г2)] а + Rfe26 = 0, 1

а + [ХР-(п2л2 + 62)]6 = 0. J ^5Л3^

Число п определяет характерный масштаб возмущений по вертикали и их четность. Значениям и = 1, 3, 5, ... соответствуют собственные возмущения, у которых вертикальная составляющая скорости и температура — четные функции относительно середины слоя г = '/г! при п = 2, 4, 6, ... получаются соответственно нечетные возмущения.

Собственные числа X находятся из условия существования нетривиального решения системы (5.13). Приравнивая нулю оп-

ределитель этой системы, получим квадратное уравнение отно- дительно X. Его корни дают значения декрементов в зависимости от параметров — чисел Рэлея и Прандтля и волнового числа:

А»=t"2"2 + к^ -

Из этой формулы хорошо видны основные особенности спектра декрементов. При R > О (подогрев снизу) выражение под корнем всегда положительно, и, следовательно, определяемые формулой значения X вещественны. Таким образом, в соответствии с общими результатами § 3, возмущения в слое, подогреваемом снизу, изменяются со временем монотонно. Из двух корней, соответствующих данному п, один — Х„+> —- всегда положителен и растет с ростом R. Другой корень—Х^4 — убы- вает^с ростом R и при достаточно большом R становится отрицательным, порождая неустойчивость.

При R < 0 (подогрев сверху) монотонность возмущений (вещественность декрементов) имеет место лишь при малых R. При увеличении |R| подкоренное выражение становится отрицательным, и формула (5.14) дает в этом случае пару комплексно-сопряженных декрементов, соответствующих колебательным возмущениям. Значение числа Рэлея R*, при котором появляются комплексные корни, находится из условия обращения в нуль подкоренного выражения

(5,15)

Таким образом, в случае подогрева сверху при R = R* возникают колебательные возмущения (в этой точке происходит слияние вещественных ветвей Х<+) и XW). При |R|>|R*| возмущения осциллируют. Частота колебаний равна мнимой части X

и растет по мере удаления от точки R* по корневому закону.

Из (5.15) видно, что если коэффициенты кинематической вязкости v и температуропроводности % равны (т. е. число Прандтля Р равно единице; близкая ситуация имеет место во многих га- зак), то R* = 0, и следовательно, колебания при подогреве сверху возникают при сколь угодно малой разности температур..

Вещественные части всех декрементов при R < 0, как можно видеть из формулы (5.14), положительны, т. е. при подогреве сверху все возмущения затухают.

Рис. 2. Декременты возмущений в слое со свободными границами для ^=2 и трех значений числа Прандтля: а) Р=7з; б) Р=1; в) Р=3. Сплошные линии соответствуют гидродинамическим возмущениям, штриховые — тепловым; штрихпунктирные линии изображают вещественную часть пары комплексных декрементов,Рис. 2. Декременты возмущений в слое со свободными границами для ^=2 и трех значений числа Прандтля: а) Р=7з; б) Р=1; в) Р=3. Сплошные линии соответствуют гидродинамическим возмущениям, штриховые — тепловым; штрихпунктирные линии изображают вещественную часть пары комплексных декрементов,

Рис. 2. Декременты возмущений в слое со свободными границами для ^=2 и трех значений числа Прандтля: а) Р=7з; б) Р=1; в) Р=3. Сплошные линии соответствуют гидродинамическим возмущениям, штриховые — тепловым; штрихпунктирные линии изображают вещественную часть пары комплексных декрементов,

Рис. 2. Декременты возмущений в слое со свободными границами для ^=2 и трех значений числа Прандтля: а) Р=7з; б) Р=1; в) Р=3. Сплошные линии соответствуют гидродинамическим возмущениям, штриховые — тепловым; штрихпунктирные линии изображают вещественную часть пары комплексных декрементов,

Нижние уровни спектра декрементов для фиксированного значения волнового числа и трех значений числа Прандтля изображены на рис. 2. На рисунках видны критические точки появления неустойчивости при пересечении оси R ветвями Х^\ а также точки слияния ветвей Х(+) и А/~\ в которых возникают колебания.

Полезная классификация уровней спектра получается из рассмотрения декрементов при R = 0. Из системы (5.13) видно, что при R = 0 и фиксированном п возможны два возмущения. Одно из них соответствует решению а = 0, b ¥= 0; декремент этого возмущения будем обозначать vn:

v« = ^ (л2л2 + А2).

Это — чисто тепловое возмущение, не сопровождающееся движением жидкости; его декремент пропорционален 1/Р, т. е. возрастает вместе с температуропроводностью жидкости. Другое' возмущение соответствует ре* шению а #= 0, & #= 0 с декрементом рп = =№т?-Д- №. Это воз му-

щение можно назвать гидродинамическим; скорость его затухания определяется вязкостью1).

Хотя деление возмущений на тепловые и гидродинамические, строго говоря, имеет смысл лишь при R = О, можно сохранить эту классификацию и в случае RV=0. Так, мы будем условно называть возмущения тепловыми или гидродинамическими в зависимости от того, в какое из двух значений (vn или рп) переходит декремент Хп при R —> 0. Из общей формулы для декрементов (5.14) следует, что гидродинамические возмущения при Р < 1 соответствуют корню Х^~\ а при Р > 1 — корню XW Тепловые возмущения, наоборот, соответствуют Х<+> при Р < 1 и Х(~} при Р > 1.

Из сказанного вытекает, что неустойчивость при Р < 1 обусловлена возмущениями гидродинамического типа, а при Р > 1 — возмущениями теплового типа (при Р = 1 тип возмущения не выражен).

w Критическое число Рэлея, при котором возникает неустойчивость по отношению к возмущению с заданными пик, определяется из условия Х^ = 0* С помощью формулы (5.14) находим

(5.17)

Формула (5.17) дает нейтральную кривую в плоскости (R, &), разграничивающую области устойчивости и неустойчивости. При любом п нейтральная кривая R(/e) имеет минимум. В области коротковолновых возмущений (k » 1; длина волны возмущения много меньше толщины слоя) критическое число Рэлея растет с ростом к по закону R « к4. В противоположном предельном м® Л® случае к < 1 имеем R «

При всех к наименьшее значение имеет число Рэлея для основной моды п = 1. Возмущения более мелкой структуры по вертикали (м > 1) соответствуют более высоким значениям числа Рэлея.

Минимальное значение числа Рэлея Rm легко найти из (5.17):

Чт=^пЧ4.(5.18)

9 Напомним, что здесь речь идет о безразмерных декрементах. Если возвратиться к размерной записи, то, учитывая, что в качестве единицы вре-- мени принята величина /i2/v, получим следующие выражения для размерных декрементов v- и р-возмущений:

"in = -^ VW + к2), ^=-^- ^п1 + Ь1),

Оно достигается при значении волнового числа

кт = ^. (5.19)

Для основного возмущения (п=1) имеем Rm = 657,511; кт =2,221. С увеличением п критические числа быстро растут, и минимум на нейтральных кривых смещается в сторону коротковолновых возмущений.

Возвратимся теперь к системе (5.13) и найдем соотношение между амплитудами скорости и температуры. Пользуясь (5.14), получим

^2-L W + к^ ± /(^у1)2 W + к2)2 +

Отсюда видно, что при подогреве снизу (R > 0) вдоль ветвей Хп^ коэффициенты а и b имеют одинаковые знаки, и следовательно, произведение иО положительно. Вдоль ветвей Х^ знаки а и b различны, и иб < 0. Произведение иб есть, в сущности, локальная плотность вертикального конвективного теплового потока, обусловленного возмущениями. Поскольку равновесный (теплопроводный) поток тепла положителен, а неустойчивость, как уже указывалось, связана с ветвями xV\ ясно, что неустойчивость порождается именно теми возмущениями, которые способны увеличивать вертикальный перенос тепла в слое.

Отметим важную особенность разобранной задачи. Она состоит в том, что в амплитудную краевую задачу (5.9) — (5.11) не входят отдельно волновые числа к\ и к^ определяющие периодизм возмущения вдоль горизонтальных осей х и у. Параметром является квадрат модуля волнового вектора к? = =fei+^2. По этой причине декременты возмущений, критические числа Рэлея и, в частности, минимальное число Rm также определяются параметром к2; соотношение же между кх и к2 остается произвольным. Таким образом, имеется вырождение: одному и тому же критическому числу Рэлея соответствует бесконечное множество возмущений, для которых вертикальная составляющая скорости, например, может быть (в вещественной форме) записана так:

uz Ui У1 2) = и (г) cos кхх • cos к^у {k} + ^2 = k2\ (5.20) Это решение описывает конвективные ячейки прямоугольной формы со сторонами 1\=^ и 12 = ^. Из (5.20), в частности, получаются двумерные (плоские) движения в виде конвективных валов с осями, параллельными оси х Ui = 0, к2 = к) или

оси у

(^ = к, &2 = 0). При

к\ ^2 рг^

получается

конвек

тивная ячейка квадратной формы.

Нормальные возмущения вида (5.8) или (5.20) представляют собой простейший вид периодических в горизонтальной плоскости решений, допускающих разделение переменных в уравнениях (5.4), (5.5). Для разделения переменных необходимо выполнение условия Д^ == —k2ft где Д1 — плоский лапласиан, a f— скорость или температура. Этому условию удовлетворяет широкий класс возмущений, частным случаем которых являются прямоугольные ячейки (5.20). Возможны структуры и более сложного вида. Среди них наиболее интересны пространственные периодические структуры, при которых ячейки в виде правильных многоугольников целиком заполняют слой. Кроме

уже названных квадратных ячеек, к ним относятся также треугольные и гексагональные структуры. Решение, описывающее гексагональную ячейку, построено Кристоферсоном [4]. В этом случае вертикальная компонента скорости имеет вид

Г УЗ 11

vz(x, у, z) = o(z) I2cos-y-/zx • cos у ку + cos ку I (5.21)

(сторона шестиугольника / = 4л/3&, расстояние между центрами соседних ячеек d = 4n/]/3fe). Ячейка треугольной формы может быть получена из гексагональной. Более общие периодические структуры обсуждались Бишопом р].

Таким образом, линейная теория устойчивости позволяет найти периодичность возникающих на границе устойчивости движений (она определяется критическим волновым числом &т), но не позволяет определить их форму. Это обстоятельство не связано с конкретным видом условий на границах слоя. Решение проблемы отбора упорядоченных конвективных структур, возникающих в результате неустойчивости, может быть получено лишь средствами нелинейной теории (см. об этом § 22).

§ 6. Твердые границы

Рассмотренная в предыдущем параграфе задача Рэлея об устойчивости слоя со свободными границами имеет простое точное решение, позволяющее понять характерные особенности проблемы. С экспериментальной точки зрения, однако, значительно больший интерес представляет слой жидкости с двумя твердыми границами, либо слой, одна из границ которого (нижняя) твердая, а другая (верхняя) — свободная.

В случае слоя с твердыми границами задача исследования конвективной устойчивости сводится по-прежнему к решению

системы уравнений (5.9), (5.10) для амплитуд возмущений с другими, однако, граничными условиями.

На твердой границе исчезают все компоненты скорости: vx = vv = vz = 0. С учетом уравнения непрерывности отсюда следует, что на твердой границе Д^- = 0. Переходя к амплитудам нормальных возмущений и считая по-прежнему, что возмущение температуры на границах обращается в нуль, получаем следующие граничные условия:

при 2 = 0 и 2=1 о = и' = 0, 0 = 0.(6.1)

Эти граничные условия не позволяют найти решение в столь элементарной форме, как в случае свободных границ. В частности, не удается получить явную зависимость характеристических декрементов X от параметров задачи. Нетрудно видеть, однако, что общие свойства спектра декрементов, установленные в § 3 применительно к замкнутой полости, остаются в силе и для плоского слоя. Так, например, обращаясь к уравнениям (5.9), (5.10) с граничными условиями (6.1) и повторяя рассуждения § 3, придем ' к интегральному соотношению (аналог (3.13)) 1).

{11X

J (| v'H A2#yf)d2 + W> J|9pd2| = 0, (6.2) оо J

из которого видно, что при подогреве снизу (R > 0) декременты вещественны (возмущения меняются со временем монотонно), а при подогреве сверху (R < 0) возможны колебания.

Перейдем теперь к решению уравнений (5.9), (5.10) с граничными условиями (6.1). Исключая неизвестную функцию 0, получим уравнение шестого порядка для амплитуды и:

(ХР + А)(Х + Д)Аи = -№>,’(6.3)

где через А обозначен оператор А = d2ldz2 — к2.

Теперь необходимо поставить шесть граничных условий. К четырем условиям для и, содержащимся в (6.1) , добавим еще два, вытекающих из граничных условий для 0 и уравнения (5.9). Та- ким образом, на твердых границах имеем:

при 2 = 0 и 2=1 о = о' = (X + А) Ао = 0.(6.4)

Ввиду симметрии уравнения (6.3) и граничных условий (6.4) относительно середины слоя, ясно, что решения краевой

задачи обладают определенной четностью, т. е., как и в случае слоя со свободными границами, возможны возмущения, четные и нечетные относительно z = 1/2.

Четные решения можно искать в виде

и = Л] cht^z — у) +Д2сЬ<72(г — у) +Л3сЬ^3(г — у), (6.5) где qt — корни характеристического уравнения

(ЛР + q2 - /г2) (X + q2 - /г2) ^ -k2) = - k2R. (6.6)

Граничные условия (6.4) приводят к линейной однородной системе уравнений для коэффициентов Ai, А2, Дз. Условие существования нетривиального решения этой системы можно записать в виде

111?2th^1?2th^1<Mh^1<Mh^= 0.= 0.

1

1

1

?2th^

1

?2th^

1

<Mh^

1

<Mh^

= 0.

= 0.

(6.7)(6.7)^^-^-^-^ {K + q2_k2^q2_k2}

(6.7)

(6.7)

Нечетные решения можно записать так:

v = Btshqv^z — y) + B2sh^2(z — у) + Bssh^^z — у), (6.8)

где Qt по-прежнему определяются из (6.6), а условие существования нетривиального решения получается из (6.7) заменой

th -у на cth у-.

Условия существования нетривиальных решений определяют спектр характеристических декрементов для четных и нечетных возмущений. Зависимость декрементов X от параметров G, Р, к из этих трансцендентных соотношений может быть получена численными методами. Расчет спектра декрементов на ЭВМ был проведен в работе [7].

На рис. 3 изображены нижние уровни спектра по данным работы [7]. Многие свойства спектра, отмеченные в предыдущем параграфе, — вещественность в области R > 0, слияние вещественных ветвей с порождением колебательных возмущений при R < 0, деление уровней на «гидродинамические» и «тепловые»,— сохраняются и в случае слоя с твердыми границами1).

(О" - £20) + о = О(О" - £20) + о = О(6.10)(6.10)

(О" - £20) + о = О

(О" - £20) + о = О

(6.10)

(6.10)

Детальная структура спектра, однако, оказывается более сложной. В частности, отсутствует вырождение тепловых и гидродинамических уровней в точке R = 0 при Р = 1. Далее, в отличие от слоя со свободными границами, теперь возможно образование колебательных возмущений в результате слияния вещественных уровней, соответствующих различным модам (гидродинамические ц,-уровни и тепловые v-уровни с разными п; такие слияния отмечены в [7] для Р>1). Подчеркнем еще

одно существенное отличие: в случае слоя с твердыми границами при одном и том же значении параметра Р возможно порождение неустойчивости как гидродинамическими, так и тепловыми возмущениями. На рис. 3 видно, например, что два нижних уровня неустойчивости обусловлены v-возмущениями, а

третий — ц-возмущением.

Рис. 3. Декременты возмущений в слое с твер- Упявириир Г6 с гпя- дыми границами для р=1 и /?=2.«уравнение ^о.о^ с гра-

яичными условиями (6.4) дает спектр характеристических возмущений при произвольных R. Поскольку при подогреве снизу декременты X вещественны, положив X = 0, мы получим краевую задачу для нейтральных возмущений. Из амплитудных уравнений (5.9), (5.10) при X = 0 находим

(oiv _ 2kV' + ^о) - £2R0 = 0,(6.9)

с условиями на твердых границах

при 2 = 0 и 2=1 о = У'= 0, 0 = 0.(6.11)

Исключая 0 или непосредственно полагая Х=0 в (6.3), (6.4), получим

Д3у = —^2Ry;(6.12)

при 2 = 0 И 2=1 У = У' = А2У = 0.(6.13)

Собственными числами этой краевой задачи являются критические числа Рэлея R, а собственными функциями — амплитуды критических возмущений. Полагая в (6.6), (6.7) Х=0, получим после преобразований трансцендентное уравнение, из ко-

торого находятся критические числа Рэлея для четных возму* щений:

2//3 <?, th ^-- (3 + Z/3)<72 th^ + (3 - Z/3)^^^- = О, *(6.14)

где теперь

' qx = /^-(W3, <72,3 = ]А2 + у (1 ± < /З) (£2R)I/3.

Для нечетных возмущений имеем:

2// 3 <7, cth ^-- (3 + / К 3) <72 cth-^-+ (3 - / V 3) <73 cth ^ = 0.

-(6.15)

Определение критических чисел из трансцендентных уравнений (6.14), (6.15) требует громоздких вычислений, поэтому в первых исследованиях устойчивости равновесия слоя с твердыми границами использовались приближенные методы решения краевой задачи для нейтральных возмущений. Впервые значения минимального критического числа Рэлея были найдены Джефрисом , с помощью метода конечных разностей [8], а затем, более точно, — методом Фурье []. Исследование границы устойчивости на основе точных характеристических уравнений было проведено Лоу [] и особенно обстоятельно — в известной работе Пеллью и Саутвелла [6]!). В последней работе был также предложен вариационный метод нахождения критических чисел Рэлея для плоского слоя. Дальнейшее развитие вариационный метод получил в работах Чандрасекара (см. [12]). Весьма эффективным оказался также метод Галеркина (см. §§7 и 8).

Наиболее точное решение проблемы собственных значений было получено с помощью машинной техники в работах Рейда и Гарриса [13* 14] и Каттона [15]. Найденные в работе [13] критические числа Рэлея в зависимости от волнового числа для нижнего четного и нижнего нечетного уровней неустойчивости приведены в табл. 1.

Минимальное критическое число Рэлея на основном уровне неустойчивости,оказывается равным Rw= 1707,762 и достигается при значении волнового числа /гт=3,117. В работе [и] можно найти также табулированные собственные функции — амплитуды критических возмущений.

Минимальные критические числа Рэлея Rm и соответствующие значения волнового числа кт для нижних 10 уровней неустойчивости, полученные в работе [15], представлены в табл. 2.

Там же для сравнения приведены значения Rm и кт для слоя со свободными границами, вычисленные по формулам (5.18), (5.19). Как видно, с возрастанием номера уровня различие в критических числах уменьшается. Это и естественно: высоким уровням неустойчивости соответствуют мелкомасштабные возмущения, а в этом случае, как известно, спектр краевой задачи перестает зависеть от характера граничных условий.

Таблица 1

Критические числа Рэлея для двух нижних уровней неустойчивости горизонтального слоя с твердыми границами

к

R

к

R

п = 1

п = 1

я — 2

0,0

ОО

ОО

50

2439,32

17731,5

1,0

5854,48

163127,6

5,365

17610,39

2,0

2177,41

47005,6

6,0

3417,98

17933,0

3,0

1711,28

26146,6

7,0

4918,54

19575,8

3,117

1707,762

8,0

7084,51

22461,5

4.0

1879,26

19684,6

ОО

ОО

■ ОО

С увеличением п растет критическое волновое число ктэ т. е. уменьшается длина волны критического возмущения. Таким образом, при уменьшении линейного масштаба возмущений в направлении оси г соответственно уменьшается и характерный горизонтальный масштаб критических возмущений.

Таблица 2

Минимальные критические числа Рэлея горизонтального слоя

п

Твердые границы

Свободные границы

кт

^т

кт

^т

1

3,116

1707,762

2,221

657,511

2

5,36

17,6104-103

4,44

10,5202 • 103

3

7,58

75,7098 • 103

6,66

53,2584 • 103

4

9,80

219,885- 103

8.89

168,323-103

. 5

12,02

509,658 • 103

И,И

410,945- 103

6

14,24

1202,51 • 103 *)

13,33

852,135-103

7

16,46

1843,58 -103

15,55

1578,68 - 103

8

18,69

3085,83-103

17,77

2693,17-103

9

21,00

4870,12- 103

19,99

4313,93- 103

10

23,24

7334,78 -103

22,21

6575,11 • 103

*) По-видимому, в

вычисления вкралась ошибка. Из сопоставления

таб личных

разностей видно, что значение

Кт ДЛЯ п =

6 завышено.

Обратимся теперь к горизонтальному слою жидкости с несимметричными граничными условиями. Пусть одна из границ (нижняя) — твердая, а другая (верхняя) — свободная. Этот случай, как и разобранный выше, представляет значительный интерес с точки зрения эксперимента: именно такие граничные условия были осуществлены в первых опытах Бенара и в некоторых последующих экспериментах.

Для рассматриваемого случая имеем граничные условия:

при 2 = 0 у = у' = А2у = 0, 1

„ Л2 а(6-16)

при 2=1 и = и” = Д2у = 0. j

Решение уравнения (6.12) с этими граничными условиями определяет критические числа Рэлея и возмущения.

Как было замечено в работе [6], нет необходимости решать эту задачу отдельно: вся нужная информация может быть

получена из рассмотрения нечетного решения для случая обеих твердых границ. В самом деле, структура нечетных возмущений в слое с симметричными граничными условиями такова, что в центре слоя обращаются в нуль амплитуды возмущений вертикальной скорости и температуры, а также касательное напряжение, т. е. в центре слоя имеют место как раз такие условия, какие должны выполняться на свободной поверхности. На нижней же (твердой) границе сохраняются условия (6.13). Таким образом, критические числа Рэлея для слоя с одной твердой и одной свободной границей можно по-

RRккРис. 4. Нейтральные кривые, / — обе свободные границы, 2—твердая и свободная, 3 —обе твердые.Рис. 4. Нейтральные кривые, / — обе свободные границы, 2—твердая и свободная, 3 —обе твердые.лучить из критических чисел

R

R

к

к

Рис. 4. Нейтральные кривые, / — обе свободные границы, 2—твердая и свободная, 3 —обе твердые.

Рис. 4. Нейтральные кривые, / — обе свободные границы, 2—твердая и свободная, 3 —обе твердые.

нечетных возмущений для слоя с обеими твердыми гра» ницами (таблица 1, п = 2). Необходимо только сделать пересчет, связанный с тем, что в качестве единицы длины выбрана полная толщина слоя жидкости. Для этого числа Рэлея из таблицы необходимо разделить на 16, а соответствующие волновые числа — на 2. Минимальное критическое число Рэлея в случае несимметричных граничных условий равно Rm= = 1100,657 и достигается при критическом волновом числе кт=2,682.

На рис. 4 для- сравнения приведены нейтральные кривые нижних уровней неустойчивости для трех рассмотренных

46 Плоский ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ (ГЛ. It случаев граничных условий. Повышение критических чисел Рэлея при переходе от слоя со свободными границами к слою с твердыми границами связано со стабилизирующим действием вязких сил у твердой границы. Критические числа для коротковолновых возмущений (fe>> 1) перестают зависеть от характера граничных условий, и потому нейтральные кривые при к —► оо сближаются.

Экспериментальному изучению возникновения конвекции в горизонтальном слое посвящено большое количество работ. Первые опыты Бенара Р*2], в которых наблюдалось появление ячеистой конвекции в тонких слоях вязких жидкостей (спермацет, парафин) со свободной верхней границей, не предназначались для точного определения границы устойчивости. На свободной границе, как правило, трудно контролировать тепловые граничные условия, что делает обстановку опыта не вполне определенной. К тому же, как выяснилось позднее, в опытах Бенара существенную роль играл термокапиллярный эффект (см. §41). •

Для поддержания условий, соответствующих плоским* изотермическим границам, необходимо проводить эксперименты со слоями жидкости, находящимися между хорошо проводящими (металлическими) пластинами. В этом случае, правда, затрудняется визуальное наблюдение структуры возникающих движений, но зато значительно облегчаются тепловые измерения, с помощью которых удается весьма четко фиксировать момент появления неустойчивости. Идея такого метода определения границы неустойчивости была предложена в работе Шмидта и Мильвертона [16]. Она основана на том, что кризис равновесия подогреваемого снизу слоя жидкости сопровождается кризисом теплопередачи через слой. При возникновении неустойчивости чисто теплопроводный режим переноса тепла нарушается, появляется конвективная составляющая теплового потока, в результате чего зависимость теплового потока от разности температур испытывает излом. Положение этого излома дает возможность с достаточной точностью определить критическую разность температур и критическое число Рэлея.

Эта методика с успехом применялась в большом числе исследований. Особенно обстоятельные эксперименты с различными жидкостями были выполнены Сильвестоном р7]. Некоторые из его результатов, относящиеся к области чисел Рэлея, близких к критическому, воспроизведены на рис. 5. Хорошо виден излом на графике зависимости безразмерного теплового потока (числа Нуссельта N) от числа Рэлея. Критической число Рэлея по данным эксперимента оказывается равным R = = 1700 ±51, что хорошо согласуется с теоретическим значением 1708 для твердых изотермических границ. Аналогичные

эксперименты проводились в ряде работ с другими жидкостями и газами (см., например, поздние работы [18>19]). Их результаты также находятся в хорошем согласии с теорией.

Для наблюдения структуры движения применяются различные варианты оптических методов. В этом случае верхняя граница слоя жидкости оставляется свободной или накрывается пластиной из стекла или какого-либо другого прозрачного материала (при этом необходимо учитывать, что эта граница уже

Рис. 5. Кризис теплового потока в горизонтальном слое [,7]. Число Нуссельта N определено как отношение полного потока тепла к потоку, обусловленному чистой теплопроводностью.

не является строго изотермической, в результате чего устойчивость несколько понижается — см. об этом следующий параграф). Для визуализации течения используются светорассеивающие частицы, а распределение температуры может быть прослежено с помощью шлирен-метода [16]. Примеры фотографий конвективных структур приведены на рис. 6 и 7. -

Укажем также на интересный эксперимент [20], в котором определено начало конвекции жидкого слоя с обеими свободными границами, т. е. для случая граничных условий Рэлея, долгое время считавшихся нереализуемыми в лабораторных условиях. Наблюдалась неустойчивость слоя силиконового масла, налитого на слой ртути и граничащего сверху со слоем гелия. Поскольку вязкость силиконового масла гораздо больше вязкости ртути и гелия, можно считать, что на обеих границах слоя практически отсутствуют вязкие напряжения. Найденное в эксперименте критическое число Рэлея хорошо согласуется с теоретическим (с учетом конечной теплопроводности верхней границы слоя).

В заключение этого параграфа остановимся на вопросе о влиянии температурной зависимости вязкости на конвективную

устойчивость' горизонтального слоя.. Усложнение, связанное с этим эффектом, состоит в более общем написании вязкой

R=W.

Рис. 6. Фотографии из работы Сильвестона [,7J. Слой силиконового масла АК 350 толщиной 7 мм. R= 1500— конвекция отсутствует; R= 1800 — видны конвективные ячейки.Рис. 6. Фотографии из работы Сильвестона [,7J. Слой силиконового масла АК 350 толщиной 7 мм. R= 1500— конвекция отсутствует; R= 1800 — видны конвективные ячейки.

Рис. 6. Фотографии из работы Сильвестона [,7J. Слой силиконового масла АК 350 толщиной 7 мм. R= 1500— конвекция отсутствует; R= 1800 — видны конвективные ячейки.

Рис. 6. Фотографии из работы Сильвестона [,7J. Слой силиконового масла АК 350 толщиной 7 мм. R= 1500— конвекция отсутствует; R= 1800 — видны конвективные ячейки.

/ди.П hr\охк/ди.П hr\охкдиД— тензор вязкихдиД— тензор вязких

/ди.

П hr

\охк

/ди.

П hr

\охк

диД

— тензор вязких

диД

— тензор вязких

Рис. 7. Гексагональные конвективные ячейки на свободной поверхности силиконового масла (из* работы Кошмидера [2,J).

силы в уравнении движения. Вместо члена уДу в (1.17) сле-

1=

дует написать — Div or, где Ои =

напряжений, причем коэффициент вязкости т) является функ-

цией температуры, а следовательно, и координат. В связи с этим изменится уравнение (1.17), которое теперь в проекции на Z-ю ось будет иметь вид

ди,dv, 1 дрd^v.—■V»k—L=- + v—Тdtdxfeр0 дх,дхкди,dv, 1 дрd^v.—■V»k—L=- + v—Тdtdxfeр0 дх,дхкdv /dutdxk \Чdv /dutdxk \Чdu, \^ +№ь (6.17) dxt /du, \^ +№ь (6.17) dxt /

ди,dv, 1 дрd^v.

—■V»k—L=- + v—Т

dtdxfeр0 дх,дхк

ди,dv, 1 дрd^v.

—■V»k—L=- + v—Т

dtdxfeр0 дх,дхк

dv /dutdxk \Ч

dv /dutdxk \Ч

du, \

^ +№ь (6.17) dxt /

du, \

^ +№ь (6.17) dxt /

Условие равновесия (2.7), очевидно, не меняется. При линеаризации уравнения (6.17) около равновесного состояния нужно учесть, что скорость имеет первый порядок малости, и потому коэффициент кинематической вязкости v зависит лишь от равновесной температуры, т. е. является известной функцией вертикальной координаты. В работах Палма [22] и Йенсена [23] эта функция аппроксимировалась следующим образом:

(6.18)(6.18)v = v0 (1 — ycos-^-) = vof (z),

(6.18)

(6.18)

где h — толщина слоя, vo — среднее значение вязкости, а у — безразмерный параметр, характеризующий ее неоднородность; у жидкостей у > О (вязкость убывает с температурой), а у газов, вязкость которых с температурой растет, у < 0.

Уравнения для амплитуд малых нормальных возмущений получаются обычным образом. После введения безразмерных переменных вместо уравнения (6.9) будем иметь

(v,v - №" + й4и) + 2Д (к"' - fc V) + f" (v" + А2о) - £2R0 = 0.

(6.19)

Здесь штрихом обозначены производные по безразмерной вертикальной координате; число Рэлея определено по средней вязкости vo. Уравнение (6.9) получается из (6.19) при f=l (постоянная вязкость). Второе амплитудное уравнение (6.10) и граничные условия остаются без изменений.

Для решения амплитудных уравнений в работах [22- 23] применялся метод Джефриса [9], основанный на разложении амплитуд и и 0 в ряды Фурье по вертикальной координате z (именно этим и оправдывается выбор тригонометрической аппроксимации (6.18)). Минимальное критическое число Рэлея Rm и критическое волновое число кт зависят от параметра неоднородности у. При малых у (слабая неоднородность) Rm и кт можно представить в виде разложений по степеням у. При этом оказывается, что в симметричном случае (обе границы свободные или обе твердые) эффект квадратичен:

Rm = RW(l-ay2), Am = ^)(l-бу2)-(6.20)

Здесь Rm и кт — значения, соответствующий ^=0, а коэффициенты а и b имеют значения:

а = 0,193; Ь = 0,024 (обе свободные границы);

а = 0,247; Ь = 0,049 (обе твердые границы).

Таким образом, независимо от знака у, критическое число Рэлея при увеличении неоднородности вязкости убывает, а критическая длина волны растет.

В случае несимметричных условий (одна граница твердая, а другая — свободная) эффект оказывается более заметным: сдвиг критического числа Рэлея и критического волнового числа линейно зависит от у:

Rm = Rm (1 +0,362у), &m = ^o)(l+O,41y), (6.21) и следовательно, может иметь место повышение или понижение устойчивости в зависимости от знака температурного коэффициента вязкости.

Как показывают формулы (6.20), (6.21), влияние неоднородности вязкости на границу конвективной устойчивости, в общем, невелико. Однако температурная зависимость параметров жидкости, в частности, вязкости, играет существенную роль в определении формы надкритических движений (см. § 22).

Границы произвольной теплопроводности

Разобранные в предыдущих параграфах задачи о равновесии горизонтального слоя жидкости отличались граничными условиями для скорости. Граничные условия для температуры во всех случаях были одинаковыми. Именно, предполагалось, что температура на границах слоя фиксирована, и следовательно, возмущения температуры исчезают. Эти условия, строго говоря, соответствуют предельному случаю бесконечной теплопроводности границ. В эксперименте близкие условия реализуются, например, в случае слоя воды, ограниченного медными пластинами. Отношение теплопроводностей меди и воды весьма велико (порядка 5-Ю2), и поэтому можно пренебречь проникновением температурных возмущений в пластины.

Более общие граничные условия для температуры получаются в том случае, когда на границах слоя имеет место линейный закон теплоотдачи Фурье (так называемое «условие третьего рода»). Решение задачи об устойчивости с такими граничными условиями проведено в работе Спэрроу, Голдстейна и Джонсона [24], где амплитудные уравнения интегрировались методом степенных рядов, и для некоторых частных случаев определены критические числа Рэлея в зависимости от параметра теплоотдачи — числа Био.

Другое обобщение граничных условий для температуры возникает при решении задачи об устойчивости равновесия жидкости в горизонтальном слое, граничащем сверху и снизу с полу- бесконечными твердыми массивами, теплопроводность которых отличается от теплопроводности жидкости. В этом случае тем

пературные возмущения проникают в массивы, и при решении задачи нужно исходить из условий непрерывности температуры и теплового потока на границах слоя. В работе Харла, Джейк- мана и Пайка [25] был рас

смотрен симметричный случай массивов одинаковой

теплопроводности, отличной от теплопроводности жидкости. Мы рассмотрим далее, следуя работе [26], более общий случай, когда теплопроводности твердых массивов различны. '

Пусть подогреваемый снизу горизонтальный слой

жидкости ограничен плоско- _л

~ л ~1/Рис- 8* Слой жидкости, граничащий с тепло-

СТЯМИ 2 — U И 2 — 1 (ТОЛ-проводными массивами.

щина слоя h принята за еди

ницу расстояния). Снизу и сверху слой граничит с полубесконеч- ными твердыми массивами, теплопроводности которых Xi и хг различны и отдичаются от теплопроводности жидкости (рис. 8).

Легко показать (см. [26]), что в этом случае сохраняется принцип монотонности возмущений, и поэтому для нахождения границы устойчивости необходимо обратиться к краевой задаче для амплитуд стационарных возмущений. К уравнениям возмущений в жидкости (6.9), (6.10)'

(7-1)(7-1)(7.2)(7.2)olV - 2^2о" + £4о = ^2R0,

(7-1)

(7-1)

(7.2)

(7.2)

е" - ^2е = _ у

следует добавить уравнения для возмущений температуры в массивах-

е^-^2ет<=о (/=1,2)е^-^2ет<=о (/=1,2)(7.3)(7.3)

е^-^2ет<=о (/=1,2)

е^-^2ет<=о (/=1,2)

(7.3)

(7.3)

(индексы 1 и 2 относятся соответственно к нижнему и верхнему массивам).

Сформулируем теперь граничные условия. Обращение в нуль скорости на твердых границах слоя дает по-прежнему условия

(7.4)(7.4)При 2 = 0 И 2=1 У = и'= 0.

(7.4)

(7.4)

Непрерывность температуры и теплового потока на границах слоя приводит к условиям

При 2 = 0 0ml =0, Om^XiO';

При 2=10 = 0m2, Й20' = 0m2,7‘

где xi = x/xi и Й2 = х/х2 — отношения теплопроводности жидко* сти к теплопроводностям массивов. Кроме того, возмущения температуры в массивах вдали от слоя должны исчезать:

При 2 —> —- ООOml^O,]

А А(7-6)

при 2->ОО0т2”^О-)

Приближенное решение задачи будемискать при помощи

метода Бубнова — Галеркина. Имея в виду получить критическое значение числа Рэлея для основного уровня неустойчивости, примем для функции и(2) простейшую полиномиальную аппроксимацию, четную относительно середины слоя и удовлетворяющую граничным условиям (7.4):

у(2) = П22(1 ~2)2(7.7)

(амплитудный коэффициент а ввиду однородности задачи не определяется; он может быть выбран из условия нормировки и далее полагается равным единице).'

. Для нахождения температуры в соответствии со вторым вариантом метода (см. § 4) поступим следующим образом. Подставим распределение скорости (7.7) в уравнение теплопроводности (7.2) и найдем общее решение этого уравнения

0 = C1sh^2 + C2ch&2+ -^-22(1 — 2)2 +

'+-^m(Z- 1) + (12 + А:2)]. (7.8)

Решения уравнений теплопроводности в массивах (7.3), убывающие по мере удаления от слоя жидкости, можно записать в виде

$mi = Ae^ 0т2 = Ве-^-о.(7е9)

Формулы (7.8), (7.9) содержат четыре постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий (7.5). Приведем коэффициенты Ci и Сг, необходимые для вычисления критического числа Рэлея:

п _ 2 (12 + ^2) (ch ^ + х2 sh ^ -~ 1) + 126 (xi ch & + XjX2 sh А? — х2)

к6 [(1 + xtx2) sh к + (xi + х2) ch &]

р 2 (12 + &2) (sh ^ + Х2 ch ^ + Xi) + 12^Xi (sh & + х2 ch & + х2)

к^ [(1 + xix2) sh к + (X! + х2) ch &]*

(7.12)(7.12)Рис. 9. Нейтральные кривые для разных отношений теплопроводности.Рис. 9. Нейтральные кривые для разных отношений теплопроводности.

(7.12)

(7.12)

Рис. 9. Нейтральные кривые для разных отношений теплопроводности.

Рис. 9. Нейтральные кривые для разных отношений теплопроводности.

Подставляя аппроксимации скорости и температуры (7.7) и (7.8) в уравнение (7.1), умножая на y(z) и интегрируя по z от О до 1, получим формулу для критического числа Рэлея:

R = f2 + 12606 (CJ3 + C2f4) 1 (7,1

Здесь Cj и С2 определены формулами (7.10), а /\-— функции волнового числа к*.

f! = к4 (k4 + 24£2 + 504), f2 = к4 - 12£2 + 504, /з = (12 + к^ (ch к - 1) - Qk sh к, f4 = (12 + ^2)sh^-6^(ch^+ 1).

Формула (7.11) дает критическое число Рэлея основного

уровня неустойчивости в зависимости от трех параметров — волнового числа к и отношений теплопроводности Xj и х2. Легко убедиться в том, что критическое число R симметрично относительно Xj и х2:

R(xh х2) = R(x2, xj,

т. е., как и следовало ожидать, порог устойчивости не меняется при перестановке граничных массивов.

При фиксированных значениях X! и х2 нейтральная кривая R(fe) имеет минимум при к = кт. Соответствующее минимуму критическое число Rm определяет границу устойчивости при данных X! и х2.

Выделим три наиболее интересных частных случая.

Оба массива имеют одинаковую теплопроводность, т. е. их =

= х2=х. Общую формулу (7.11) для этого случая можно пе

реписать в виде

(х + cth ^ (64 + 2462 + 504) 69

(х + cth ^ (64 - 1264504) 645040 (12+62+66х) (бб ctg -|— 12—62) *

(7.13)

Нейтральные кривые для нескольких значений х приведены на рис. 9.

Один из массивов (например, первый) обладает бесконечной теплопроводностью, а теплопроводность другого — произвольная. В общей формуле нужно в этом случае положить xi = 0, х2 —х.

Один из массивов (первый) — непроводящий, а другой имеет произвольную теплопроводность: xi = oo, х2 = х.

Во всех указанных случаях с увеличением х критическое число Rm и соответствующее волновое число кт монотонно уменьшаются. Значения параметров Rm и ^ приведены в табл. 3.

В общем случае массивов произвольной теплопроводности критическое число Rm и критическое волновое число кт зависят от двух параметров xi и х2. Изолинии постоянных значений Rm и кт на плоскости (х^хг) изображены на рис. 10.

Таблица 3

Критические значения Rm и km горизонтального слоя для различных теплопроводностей массивов

Я

Я1 = Яг=Я

Я1-0, Яг-Я

Я1=оо, Яг=Я

^т

^т

^т

0

1708

3,11

1708

3,11

1304

2,56

0,1

1628

3,00

•1668

3,06

1260

2,46

0,2

1562

2,90

1636

3,01

1222

2,38

0,3

1505

2,81

1608

2,97

1191

2,31

0,4

1457

2,74

1585

2,94

1163

2,25

0,5

1415

2,66

1565

2,91

1140

2,19

0,6

1379

2,60

1547

2,89

1118

2,14

0,7

1346

• 2,54

1532

2,87

1100

2,09

0,8

1317

2,49

1518

2,85

1083

2,04

' 0,9

1291

2,44

1506

2,83

1068

2,00

1

1269

2,39

1496

2,81

1054

1,97

2

1117

2,07

1429

2,72

964,8

1,69

3

1038

1,87

1396

2,68

917,4

1,53

4

989,2

1,73

1377

2,65

887,6

1,41

5

955,3

1.63

1365

2,63

866,8

1,32

6

930,3

1,54

1356

2,62

851,4

1,25

7

911,0

1.48

1349

2,61

839,5

1,19

8

895,5

1,42

1344

2,61

829,9

1,15

9

882,8

1,37

1340

2,60

822,0

1,11

10

872,2

1,33

1337

2,60

8154

1,07

20

816,9

1,07

1321

2.58

780,9

0,84

ОО

720,0

0.00

1304

2,56

720,0

0,00

Из результатов расчета, приведенных на рис. 10 и в табл. 3, видно, что учет конечной теплопроводности массивов приводит к уменьшению критического числа Рэлея и критического волнового числа. Это обстоятельство может быть истолковано следующим образом: проникновение температурных возмущений

в массивы увеличивает эффективные размеры области существования возмущений; относительно большая «свобода» развития возмущений и приводит к понижению устойчивости и

увеличению критической длины волны.

Интересен предельный случай Xi-> оо, й«г^оо, соответствующий слою жидкости, ограниченному с обеих сторон идеально теплопроводными массивами (например, слой жидкого металла между стеклянными пластинами). В этом предельном случае критическое число Рэлея убывает до значения Rm = 720, а критическое волновое число кт до нуля. Таким образом, по мере уменьшения относительной теплопроводности массивов длина волны критических возмущений неограниченно возрастает. При этом критическое движение оказывается почти горизонтальным. Это представляется естественным: при наличии нетеплопроводных границ существование в слое жидкости вертикальных движений и связанного с ними вертикального конвективного переноса тепла становится не выгодным.

Изложенные результаты получены в первом приближении метода Га- леркина, содержавшем в

аппроксимации скорости Рис. 10. Изолинии критических значений: a) Rm, 6}km, лишь одну базисную

функцию (формула (7.7)). Точность результатов, однако, весьма высока. Об этом можно судить, сравнивая полученные значения

Rm с точными в тех частных случаях, для которых эти точные значения известны. Так, для слоя с идеально теплопроводными границами значение Rm = 1708 совпадает с точным значением вплоть до четырех значащих цифр (см. § 6). Такую же точность имеют значения Rm в симметричном случае двух одинаковых массивов (для этого случая в работе [25], исходя из точного характеристического уравнения, были найдены значения Rm для х = 0,5; 1; 2). Наибольшего расхождения можно было бы ожидать в случае, когда асимметрия массивов максимальна (%! = 0, х2=оо), поскольку четная относительно середины слоя аппроксимация (7.7) не отражает этой асимметрии. Однако и в этом случае приближенное значение Rm = 1304 отличается от точного Rm = 1296, найденного в работе [24], всего на 0,6%.

Приведем для справок критические значения Rm и кт еще для некоторых случаев граничных условий на ограничивающих плоскостях (табл. 4).

Таблица 4

Критические значения Rm и кт горизонтального слоя для некоторых вариантов граничных условий

Нижняя граница

Верхняя граница

^т

^т

Автор

свободная теплоизолированная

свободная теплоизолированная

120

0

I25]

свободная теплоизолированная

свободная изотермическая

384,7

1,76

I35]

твердая теплоизолированная

свободная изотермическая

816,4

2,21

I24]

твердая изотермическая

свободная теплоизолированная

669,0

2,09

I24]

твердая теплоизолированная

свободная теплоизолированная

320

0

Р4]

В заключение заметим, что расчет устойчивости можно провести и для случая, когда слой жидкости граничит не с полу- бесконечными массивами, а с теплопроводными пластинами конечной толщины. При этом вместо (7.6) следует поставить условия на внешних границах пластйн. Частный случай такого расчета приведен в работе [27], где рассматривался слой жидкости, ограниченный с одной стороны изотермической плоскостью, а с другой — пластиной с внешней изотермической границей. С увеличением толщины пластины критическое число Рэлея убывает, а критическая длина волны растет.

§ 8. Параллельные слои,,связанные тепловым взаимодействием [28]

В этом параграфе мы рассмотрим задачу о возникновении конвекции в системе двух плоских бесконечных горизонтальных слоев жидкости, разделенных твердой теплопроводной прослойкой. Конечная теплопроводность прослойки обеспечивает тепло

вое взаимодействие слоев

жидкости. Температурные1

возмущения, возникшие в

одном из слоев, проникают в другой, и поэтому эти слои образуют единую систему.

Будем предполагать, что оба слоя жидкости

КОСТИ В обоих СЛОЯХ ОДИ-Рис. 11. Параллельные слои,

наковы по своим физиче

ским параметрам. Предположим также, что теплопроводности внешних массивов и твердой прослойки (толщина которой 2d)

одинаковы.

В состоянии равновесия внутри жидких слоев и массивов температура меняется с высотой по линейному закону, но с разными градиентами. Из непрерывности вертикального потока

тепла следует связь между равновесными градиентами температуры в жидкости А и массивах Ат:

(8.1)(8.1)нА = х^Ди..

(8.1)

(8.1)

4 чти

где х и хт— теплопроводности жидкости и массивов.

Для амплитуд нормальных возмущений скорости и температуры сохраняют силу уравнения (7.1) — (7.3), причем уравнения (7.1) и (7.2) следует записывать для каждого из слоев жидкости, а уравнение теплопроводности (7.3) — для верхнего и нижнего внешних массивов и для разделяющей слои твердой прослойки. .

' На границах жидких слоев с массивами и прослойкой скорость жидкости равна нулю и имеет место непрерывность температуры и тепловых потоков. Таким образом, имеем граничные условия:

при 2 = 21 и 2 = 22 Х) = Х)' = О, 0 = 0m, Х0' = 0m, (8.2)

где 2! и 22 — внутренняя и внешняя границы слоев. В качестве единицы длины выбирается толщина слоя жидкости h\ поэтому для верхнего слоя, например, 22 = 2! + 1. Число Рэлея R,

входящее в уравнения возмущений, определено, таким образом, через равновесный градиент температуры в слое жидкости Л и толщину слоя h.

, К условиям на границах разделов (8.2) должно быть добавлено условие затухания температурных возмущений во внешних массивах вдали от слоев:

при z —>• ± оо 0m —> 0.(8.3)

Основному уровню неустойчивости, очевидно, соответствует четное по z возмущение вертикальной скорости и температуры. Поэтому при рассмотрении основного., уровня неустойчивости достаточно ограничиться решением задачи в области z > О, считая возмущение температуры в твердой прослойке четной функцией г.'

Для решения задачи, как и в предыдущем параграфе, аппроксимируем скорость в верхнем слое полиномом

o = (z-zi)2(z-z2)2(8.4)

(масштабный множитель принят равным единице).

Решение уравнения теплопроводности (7.3) для внешнего массива (z^z2), удовлетворяющее условию (8.3), имеет вид

®т2 = A^~kz.(8.5)

Четное решение уравнения (7.3) для прослойки (0 ^ z ^ z,) запишем в виде'

0mi = Ai ch ^z.(8.6)

Общее решение уравнения теплопроводности в слое жидкости с принятой аппроксимацией скорости (8.4):

6 = С] ch ku + С2 sh ku + -^- [£V(1 - ы)2 + 2^2(6w2 - 6ы-Н)+24].

(8.7)

Здесь обозначено u=z— zi. Постоянные интегрирования Ль Л2, Ci и С2 находятся из условий непрерывности температуры и теплового потока на внутренней z=zx и внешней z=zx + 1 границах слоя жидкости.

Критическое число Рэлея, как и в предыдущем параграфе, находится из интегрального условия метода Галеркина. После вычислений получим

р _ (gi + Xg2) th kzx + xg2 + x2gi

A(ga + xg4) th kzv + xg4 + x2ge 1

Рис. 12. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от толщины прослойки (внешние массивы конечной теплопроводности).Рис. 12. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от толщины прослойки (внешние массивы конечной теплопроводности).

Рис. 12. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от толщины прослойки (внешние массивы конечной теплопроводности).

Рис. 12. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от толщины прослойки (внешние массивы конечной теплопроводности).

Здесь gt — функции волнового числа к;

gj = (504 + 24&2 + fe4) &9,

g2 = (504 + 24Л2 + k4) к9 cth к,

g3 = (504 - 12 к2 + к4) к5 + 5040 (12 + к2) \бк - (12 + к2) th у],

g4 = (504 - 12^2 + Л4) к5 cth к + 2520 [ 126 (12 + 62) csch к -

-(144- 1262 + 64)], gs = (504- 1262 + 64) к5-V- 302406 [бб cth-^ — (12 + 62)].

Критическое число Рэлея, определяемое формулой (8.8), зависит от трех параметров: волнового числа к, отношения тепло

проводностей жидкости и массивов х и геометрического параметра Zv (полутолщина твердой прослойки в единицах толщины слоя жидкости).

Прежде всего, из общей формулы (8.8) можно получить предельный случай, соответствующий одиночному горизонтальному слою жидкости, ограниченному сверху и снизу массивами одинаковой теплопроводности. Для этого в (8.8) нужно произвести предельный переход Zi->oo. При увеличении толщины твердой прослойки тепловое взаимодействие слоев жидкости ослабевает, и при бесконечном разведении слои становятся независимыми. Легко убедиться, что при Zi-^oo формула (8.8) переходит в формулу предыдущего параграфа (7.13),дающую критическое число Рэлея для

ОДИНОЧНОГО СЛОЯ.

При произвольных фиксированных значениях параметров z\ и и формула (8.8) дает зависимость R(&) —нейтральную кривую устойчивости. Для всех zx и х получаются кривые с минимумом при некотором критическом волновом числе кт.

Зависимость минимального критического числа Рэлея Rm от zx для нескольких значений параметра х приведена на рис. 12. Все семейство кривых располагается между горизонтальными линиями Rm = 1708 и Rm = 720, соответствующими предельным случаям массива бесконечной теплопроводности (х = 0) и нетеплопроводного массива (х = оо). В каждом из этих

ном х весьма медленно растет уменьшается). Так, для х=1ном х весьма медленно растет уменьшается). Так, для х=1Рис. 13. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от толщины прослойки (идеально теплопроводные внешние массивы).Рис. 13. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от толщины прослойки (идеально теплопроводные внешние массивы).теплового потока. Вычисления для критического числа Рэлея:теплового потока. Вычисления для критического числа Рэлея:

ном х весьма медленно растет уменьшается). Так, для х=1

ном х весьма медленно растет уменьшается). Так, для х=1

Рис. 13. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от толщины прослойки (идеально теплопроводные внешние массивы).

Рис. 13. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от толщины прослойки (идеально теплопроводные внешние массивы).

теплового потока. Вычисления для критического числа Рэлея:

теплового потока. Вычисления для критического числа Рэлея:

предельных случаев минимальное критическое число Рэлея, естественно, не зависит от толщины прослойки. Для промежуточных значений х критические числа Рэлея возрастают с увеличением

zb стремясь при Z| -юо к предельным значениям, зависящим от х (критические числа Рэлея для одиночного слоя).

Итак, по мере увеличения расстояния между слоями (с ослаблением тепловой связи), устойчивость равновесия повышается. Следует отметить, что с увеличением Zj тепловое взаимодействие слоев спадает весьма быстро, и критические числа Rm достигают предельных значений, соответствующих невзаимодействующим слоям жидкости, практически уже при Zi > 0,5. Таким образом, при толщине прослойки, равной толщине слоя жидкости, тепловое взаимодействие слоев становится несущественным.•

С увеличением Zi критическое волновое число кт при дан

(горизонтальный размер ячейки при увеличении Zi от 0 до оо волновое число кт растет от 2,0 до 2,4.

Приведем также результаты, относящиеся к случаю двух параллельных слоев, разделенных прослойкой произвольной теплопроводности, а сверху и снизу ограниченных идеально теплопроводными плоскостями.. В этом случае на внешних границах слоев жидкости возмущения температуры исчезают, а на границах слоев и прослойки сохраняются условия непрерывности температуры и дают в этом случае формулу

(8.9)(8.9)р _ gith ^2i + ^2

(8.9)

(8.9)

к g3 th kzx + xg4 ’

В этой формуле й — отношение теплопроводностей жидкости и прослойки, a gt — определенные выше функции волнового числа к. ■

На рис. 13 изображена зависимость минимального критического числа Rm от z, для различных значений й. Как и в рассмотренном выше случае, наличие теплового взаимодействия слоев приводит к понижению конвективной устойчивости системы. Все кривые семейства при Zi = 0 выходят из одной точки (при нулевой толщине прослойки ее теплопроводность несу-

щественна). Предельные значения Rm при zi —► оо соответствуют одиночному слою, ограниченному с одной стороны идеально теплопроводной плоскостью, а с другой — массивом произвольной теплопроводности (см. табл. 3 в предыдущем параграфе).

* § 9. Деформируемая свободная поверхность

При решении задачи о конвективной устойчивости горизонтального слоя Рэлей предложил считать границы слоя плоскими и свободными. Получающиеся при этом граничные условия для скорости (5.11) позволяют получить простое точное решение задачи. Эти граничные условия, однако, являются в известной степени искусственными. В действительности свободная поверхность под действием возмущений деформируется. Поэтому следует, строготоворя, учитывать, что возникновение конвективных возмущений в жидкости приводит к искривлению свободной поверхности и появлению на ней гравитационно-капиллярных волн. Влияние деформаций свободной поверхности на конвективную устойчивость горизонтального слоя жидкости изучалось в работах В. X. Изаксона и В. И. Юдовича рмор

Следуя [29>30], рассмотрим горизонтальный слой со свободной верхней поверхностью, ограниченный снизу твердой изотермической плоскостью. Общие уравнения возмущений, а также амплитудные уравнения (5.9), (5.10) остаются в силе. На нижней твердой изотермической границе обращаются в нуль все компоненты скорости и возмущение температуры, что дает граничные условия:

при z = 0 у = у' = 0, 9 = 0. (9.1)

Сформулируем теперь условия на верхней свободной поверхности. При составлении граничных условий для скорости будем исходить из общего соотношения, выражающего баланс сил на границе раздела двух жидкостей [31]:

[pm _ р» _ „( ^_ + ^_)] „, _ № _ „@ „,. (9 2)

Здесь индексы 1 и 2 относятся к первой и второй средам; а^ — тензор вязких напряжений, р— давление, Ri и R2— радиусы кривизны поверхности раздела, а — коэффициент поверхностного натяжения *), п — единичный вектор по нормали к границе, направленный внутрь первой среды. Будем считать слой жидкости первой средой (индекс 1). Над жидкостью находится газ,

9 При написании условия (9.2) коэффициент поверхностного натяжения предполагается не изменяющимся вдоль поверхности. По этой причине в правой части отсутствует член, пропорциональный градиенту а. Непостоянство а вдоль границы приводит к новым эффектам, которые обсуждаются в § 41.

^плотность которого мала, и поэтому можно положить 0^=0 и р2 = 0 (постоянное давление над поверхностью принято за начало отсчета).

При малых искривлениях поверхности капиллярное давление можно записать в виде

где ^(х, у, 0—вертикальное смещение поверхности из равновесного горизонтального положения. Давление в жидкости представим в виде

Рт = — Ро^ + р', (9.4)

где —pogS— гидростатическая часть, связанная с искривлением поверхности, ар' — динамическая часть, обусловленная конвективным движением. Подставляя в (9.2) выражение для тензора (г)^, а также (9.3) и (9.4), получим

(-Po^ + / + aM)nz = n(-^- + -^)n6(9.5)

(здесь Ai — плоский оператор Лапласа в переменных х, у). С точностью до линейных по возмущениям членов условие (9.5) можно записать не на искривленной, а на горизонтальной поверхности z=h (А— равновесная толщина слоя жидкости). Проектируя на оси, будем иметь: •

■•до» дои

при z = h -^ = -^ = 0,(9.6)

- Ро^ + Р' + «А^ = 2П-^.(9.7)

К этим условиям следует добавить кинематическое соотношение

Условия (9.6) с помощью уравнения непрерывности дают

Л

ОЛ

-^г = 0.

Исключим из граничных условий давление. Из уравнения (3.1) нетрудно получить

^Р' = Р^%-^%-(9.10)

Применяя оператор Д! к (9.7) и подставляя (9.10), найдем условие, связывающее вертикальную компоненту скорости с возмущением границы:

при z = h (po^-nA- 2т1Д|)-^ = (р0^-аД1)Д1?. (9.11)

Составим теперь граничное условие для температуры. Будем при этом считать, что деформированная поверхность поддерживается при постоянной температуре. Поэтому возмущение температуры на свободной поверхности исчезает. В первом порядке по £ отсюда следует

(ти + ^? = о,

где дТ6!дг =—А— невозмущенный (равновесный), градиент. Таким образом,

при z = h Т = At,. (9.12)

Это условие позволяет исключить функцию £ из (9.8) и (9.11) и получить граничные условия для иг и Т. Переходя к безразмерной форме и вводя нормальные возмущения, запишем окончательно граничные условия для амплитуд на свободной поверхности:

при z=l о = — ХР6, и" = 0,

и[(_Х + ЗЛ2)О'-п'") = -^(1 + ^)б. (9ЛЗ)

Кроме числа Прандтля Р, эти условия, содержат еще два безразмерных параметра: W = ^^- (аналог числа Вебера для свободных колебаний поверхности; очевидно, W есть квадрат отношения толщины слоя к капиллярному радиусу) и гравитационный параметр p=vx/g'A3.

Амплитудные уравнения (5.9), (5.10) вместе с граничными условиями (9.1) и (9.13) образуют спектральную задачу, определяющую характеристические возмущения и их декременты X.

Из (9.13) видно, что граничные условия Рэлея, соответствующие свободной плоской поверхности, получаются как предельный случай при стремлении к нулю одного из параметров: W или ц. Предельный переход W -»0 соответствует бесконечно большому поверхностному натяжению, при котором искривления свободной поверхности невозможны. Случай ц —*■ 0 означает, что толщина слоя очень велика, и потому влияние деформаций поверхности пренебрежимо мало.

Входящий в динамическое условие (9.13) параметр &2/W определяет природу поверхностных возмущений. Если &2/W«:l, то деформации имеют гравитационную природу (гравитационные

волны на свободной поверхности тяжелой жидкости); случай £2/W 5> 1 соответствует капиллярным волнам.

Физически очевидно, что благодаря наличию на свободной поверхности «возйращакуцей силы» гравитационно-капиллярной природы, в спектре возмущений горизонтального слоя имеются колебательные ветви. Принцип монотонности возмущений в случае деформируемой границы заведомо не имеет места. Остается,

Рис. 14. Нейтральные кривые при отсутствии поверхностного натяжения Р9}.Рис. 14. Нейтральные кривые при отсутствии поверхностного натяжения Р9}.Рис. 15. Критическое число Rm в зависимости от параметра ц, Р9].Рис. 15. Критическое число Rm в зависимости от параметра ц, Р9].

Рис. 14. Нейтральные кривые при отсутствии поверхностного натяжения Р9}.

Рис. 14. Нейтральные кривые при отсутствии поверхностного натяжения Р9}.

Рис. 15. Критическое число Rm в зависимости от параметра ц, Р9].

Рис. 15. Критическое число Rm в зависимости от параметра ц, Р9].

однако, открытым вопрос о том, могут ли осциллирующие возмущения приводить к неустойчивости. Далее речь будет идти лишь о неустойчивости относительно монотонных возмущений, которым соответствуют вещественные декременты X. В этом случае нейтральные возмущения сопровождаются образованием стационарного волнового рельефа на свободной поверхности. Полагая Х?=0, получим следующую краевую задачу для нейтральных возмущений *):

■vlv - 2£2о" + k^t) = ^2R0,

9"-к26=-щ

'при 2 = 0 v = v'= 0, 0=0; .(9.14)

При 2=1 и = о" = 0,

-- n(3fe2uz — о'") = — &2(1 +-^-) о.

!) Подчеркнем, что речь идет о таких условиях, когда возмущение температуры на свободной поверхности отсутствует. Это соответствует предельному случаю большой теплоотдачи со свободной поверхности. Легко показать, что в противоположном предельном случае теплоизолированной поверхности ее деформация не влияет на устойчивость относительно монотонных возмущений. _'

Из этой краевой задачи определяются критические значения числа Рэлея, зависящие от волнового числа k и параметров W и р, учитывающих влияние деформации поверхности. В работах pg, зо] критические числа R в зависимости от параметров найдены численно, исходя из точного характеристического соотношения, соответствующего краевой задаче (9.14).

Как и следует ожидать, деформируемость свободной поверхности приводит к понижению устойчивости. Эффект максима

лен в случае, когда поверхностное натяжение отсутствует (W —>оо). Определяющим параметром в этом случае является р. Нейтральные кривые и минимальное значение Rm приведены на рис. 14 и 15. При р=0 получается известный случай

слоя с твердой нижней и плоской свободной границами. Увеличение р приводит к монотонному понижению критических чисел Рэлея, причем ось R не является более асимптотой нейтральных кривых. Точка £ = 0 является экстремальной; значение R при к = 0 дается формулой

R = ^. (9.15)

Наличие конечного поверхностного натяжения приводит к стабилизации (по сравнению со случаем W->-oo): при фиксированном р с уменьшением W кри-

Рис. 16. Нейтральные кривые при конечном поверхностном натяжении. ц=0,01 [8о].Рис. 16. Нейтральные кривые при конечном поверхностном натяжении. ц=0,01 [8о].тические числа растут, оставаясь, однако, меньшими, чем в случае недеформируемой границы. Значение R при к = 0 не зависит от W (это видно из того, что при к = 0 параметр W из краевой задачи (9.14) выпадает) и определяется по-прежнему формулой (9.15).

Рис. 16. Нейтральные кривые при конечном поверхностном натяжении. ц=0,01 [8о].

Рис. 16. Нейтральные кривые при конечном поверхностном натяжении. ц=0,01 [8о].

Интересна форма нейтральных кривых (рис. 16). При малых W они имеют два минимума. Один из них находится в районе минимальной точки в случае плоской (недеформируемой) поверхности, т. е. вблизи кт=2,7 и Rm= 1100 (§ 6). Другой минимум достигается при к=0. При достаточно больших р абсолютному минимуму соответствуют длинноволновые возмущения с кт=0.

Таким образом, деформируемость свободной поверхности может оказать влияние на границу устойчивости лишь при достаточно больших р. Если параметр р мал, то независимо от величины поверхностного натяжения нейтральная кривая практически не отличается от кривой, соответствующей случаю

3 Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

плоской поверхности. Так, для слоя воды толщиной в 1 см

и эффект отсутствует. Он может оказаться заметным лишь в очень тонких слоях вязких жидкостей, во всяком случае, при условии

-щ-< 1100, т.е. ц > Ю*3.

Это условие выполнено, например, в слое глицерина толщиной 1 мм.

В этом случае

ц = 7 • 10-3 и Rm = 500 при &т = 0,

следовательно, учет деформируемости свободной поверхности приводит к двукратному понижению устойчивости.

ГЛАВА HI

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ КАНАЛЫ

После работ Бенара и Рэлея в течение длительного времени изучалась теоретически и экспериментально лишь конвективная неустойчивость плоского горизонтального слоя жидкости. В 1946 г. работами Г. А. Остроумова было положено начало систематическому исследованию явлений конвективной неустойчивости в полостях других форм. Наиболее обстоятельно исследованы конвективные явления, и, в частности, условия возникновения конвекции в вертикальных круговых каналах [112]. Относящийся к этому вопросу обширный экспериментальный и теоретический материал содержится в монографии Г. А. Остроумова [3]. '

В последующие годы была исследована конвективная устойчивость в вертикальных каналах других сечений — в плоском вертикальном слое, в каналах эллиптического, кольцевого и прямоугольного сечения, а также в системе двух параллельных связанных каналов.

В этой главе будут разобраны основные задачи теории конвективной устойчивости в длинных вертикальных каналах. Основное внимание уделяется наиболее интересному случаю неустойчивости по отношению к возмущениям, не зависящим от вертикальной координаты (течения, параллельные оси канала). В двух последних параграфах рассматриваются периодические вдоль оси канала возмущения (ячеистые движения).

Основные уравнения

Рассмотрим жидкость, заполняющую бесконечный вертикальный цилиндрический канал произвольного сечения, окруженный однородным теплопроводным массивом (рис. 17). Если жидкость и массив подогреваются снизу, то при условии постоянства и вертикальности градиента температуры в жидкости А возможно равновесие:

»о = О, То = — Az + const. (10.1)

Равновесная температура в массиве удовлетворяет уравнению Лапласа (2.9). Из условий непрерывности температуры на границе канала и отсутствия (в равновесии) нормального

к стенкам теплового потока следует, что температура в массиве также является линейной функцией вертикальной координаты,к стенкам теплового потока следует, что температура в массиве также является линейной функцией вертикальной координаты,причем равновесные градиенты температуры в массиве и жидкости совпадают (см. § 2).Малые возмущения равновесия удовлетворяют общим уравнениям (3.5) — (3.8). Обсужденный в § 3 принцип монотонностипричем равновесные градиенты температуры в массиве и жидкости совпадают (см. § 2).Малые возмущения равновесия удовлетворяют общим уравнениям (3.5) — (3.8). Обсужденный в § 3 принцип монотонностиРис. 17. Вертикальный канал. Оси координат. 'Рис. 17. Вертикальный канал. Оси координат. 'возмущений для замкнутой полости элементарно распространяется и на бесконечный канал. Поэтому критические движения удовлетворяют стационарным уравнениям:возмущений для замкнутой полости элементарно распространяется и на бесконечный канал. Поэтому критические движения удовлетворяют стационарным уравнениям:Av + R7V = Vp, AT = — yz,Av + R7V = Vp, AT = — yz,div v = 0, 1ATm = 0. Jdiv v = 0, 1ATm = 0. J(10.2)(10.2)Рассмотрим критические движения, параллельные оси канала, и будем считать, что возмущение температуры не зависит от координаты z:Рассмотрим критические движения, параллельные оси канала, и будем считать, что возмущение температуры не зависит от координаты z:«х = у у = 0, Т = Пх, уУ«х = у у = 0, Т = Пх, уУуг = укх, уУ 1Тщ^Тт^Х, Z/).Jуг = укх, уУ 1Тщ^Тт^Х, Z/).J(10.3)(10.3)

к стенкам теплового потока следует, что температура в массиве также является линейной функцией вертикальной координаты,

к стенкам теплового потока следует, что температура в массиве также является линейной функцией вертикальной координаты,

причем равновесные градиенты температуры в массиве и жидкости совпадают (см. § 2).

Малые возмущения равновесия удовлетворяют общим уравнениям (3.5) — (3.8). Обсужденный в § 3 принцип монотонности

причем равновесные градиенты температуры в массиве и жидкости совпадают (см. § 2).

Малые возмущения равновесия удовлетворяют общим уравнениям (3.5) — (3.8). Обсужденный в § 3 принцип монотонности

Рис. 17. Вертикальный канал. Оси координат. '

Рис. 17. Вертикальный канал. Оси координат. '

возмущений для замкнутой полости элементарно распространяется и на бесконечный канал. Поэтому критические движения удовлетворяют стационарным уравнениям:

возмущений для замкнутой полости элементарно распространяется и на бесконечный канал. Поэтому критические движения удовлетворяют стационарным уравнениям:

Av + R7V = Vp, AT = — yz,

Av + R7V = Vp, AT = — yz,

div v = 0, 1

ATm = 0. J

div v = 0, 1

ATm = 0. J

(10.2)

(10.2)

Рассмотрим критические движения, параллельные оси канала, и будем считать, что возмущение температуры не зависит от координаты z:

Рассмотрим критические движения, параллельные оси канала, и будем считать, что возмущение температуры не зависит от координаты z:

«х = у у = 0, Т = Пх, уУ

«х = у у = 0, Т = Пх, уУ

уг = укх, уУ 1

Тщ^Тт^Х, Z/).J

уг = укх, уУ 1

Тщ^Тт^Х, Z/).J

(10.3)

(10.3)

Проектируя уравнение движения на оси х и у, находим р = = p(z); проекция на ось z тогда дает'

a0 + rt=5-=c,a0 + rt=5-=c,(Ю.4)(Ю.4)

a0 + rt=5-=c,

a0 + rt=5-=c,

(Ю.4)

(Ю.4)

где А = д21дх2 + д2/ду2 — плоский лапласиан, а С — постоянная разделения переменных, определяющая продольный градиент давления..

Таким образом, получаем систему уравнений для критических движений:

Av + RT = C,(10.5)

ДГ + У = 0,(10.6)

.. АТт = 0.(10.7)

На границе Г горизонтального сечения канала скорость обращается в нуль, и выполняются условия непрерывности температуры и нормального теплового потока

у = 0, Т = Тт, ^ = Чт*(10.3')

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ6969§ Ю]

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

69

69

В массиве вдали от канала возмущение температуры исчезает:

. Ттоо = 0.(10.8")

Будем считать канал замкнутым. Это означает, что расход жидкости через любое сечение равен нулю:■

'J о dS = 0.(10.9)

s '

Уравнения (10.5) — (10,7) вместе с граничными условиями (10.8) и условием замкнутости (10.9) позволяют найти неизвестные величины, в число которых, наряду с у, Г и Тт, входит также постоянный градиент давления С. Однородная краерая задача (10.5)—(10.9) определяет спектр критических лисел Рэлея R и стационарных критических движений. Наибольший интерес представляет, естественно, нижний критический уровень, соответствующий возникновению конвекции.'

Постоянство вертикального градиента давления дает возможность путем изменения начала отсчета температуры освободиться от постоянной С в уравнении (10.5), Для этого необходимо ввести новую температуру, равную Т — C/R. Разумеется, новая температура в массиве вдали от канала будет стремиться не к нулю, а к постоянному значению —C/R, соответствующему новому началу отсчета. В дальнейшем мы йезде будем полагать в уравнении (10.5) правую часть равной нулю, заменяя при этом (10.8") новым условием Гтоо = const,, причем эта постоянная должна быть найдена из решения краевой задачи. Как будет видно из дальнейшего, в широком классе критических движений условие замкнутости (10.9) в силу свойств симметрии потока выполняется автоматически и при этом продольный градиент давления оказывается равным нулю. .

Следует обратить внимание на важное обстоятельство, специфическое для достаточно длинных вертикальных каналов. Именно, решение задачи (10.5) — (10.9) для стационарных возмущений является в то же время и решением полной нелинейной задачи о стационарной конвекции в вертикальном канале с граничными условиями (10.8), (10.9) при условии, что скорость параллельна оси канала. В самом деле, если выполнены условия (10.3), то нелинейные члены в уравнениях Навье — Стокса и теплопроводности (®V)v и vVT тождественно обращаются в нуль, и задача сводится к линейной, совпадающей с (10.5) —(10.9).

■ Более того, можно показать (это было сделано в работе Г. А. Бугаенко [4]), что предположения (10.3) не являются независимыми: из предположения о вертикальности скорости

следует, что полная температура 0 линейно зависит от вертц* калькой координаты, т. е. имеет вид

0(х, у, z) = — Az-VT(x, у); Л = сопз1. (10.10)

Для доказательства запишем полные нелинейные уравнения стационарной конвекции (в размерном виде):

(у V) v = — -^ Vp + v Av + g₽0V>(10.11)

vV0 = %A0, divv = 0.(10.12)

Полагая в этих уравнениях vx = иу = 0, из уравнения непрерывностисразунайдем vz = и(х.у') и потому (vV)v=0. Проектируя (10.11)на оси х и у, найдем '^■ — "^" = 0,т.е. р =

= p(z). Проекция на ось z дает:

7-^^ = vAv(x, у) + &р0(х, у, z).

Отсюда следует, что

0(х, у, г) = /(г) + ф(х, у).(10.13)

Подставляя (10.13) в уравнение теплопроводности, получим после дифференцирования по г

v(x, yH"(z) = xf"'(z).(10.14)

Поскольку о (х, у) ^ const, это соотношение может выполняться лишь при f"(z) = 0, т. е. если температура линейно меняется с высотой.■■

Итак, если происходит стационарное конвективное движение в бесконечном вертикальном канале со скоростями, параллельными оси, то распределение температуры имеет вид (10.10), где первое слагаемое —Аг дает равновесное распределение, а Т(х, у) представляет собой искажение равновесного поля температуры, обусловленное конвекцией. Конвективное искажение температуры Т (х, у), как и скорость конвекции и (х, у), вообще говоря, не малы и определяются той же краевой задачей (10.5) — (10.9), что и малые возмущения. Собственные числа R этой краевой задачи являются, таким образом, не только критическими числами, определяющими порог устойчивости; они в то же время являются характеристическими значениями параметра R, при которых только и возможна стационарная конвекция в вертикальном канале со скоростями, параллельными его оси.

Ввиду однородности краевой задачи ее решения определяются с точностью до постоянного множителя. Таким образом, при характеристическом значении градиента температуры в канале возможно вертикальное движение произвольной амплитуды. Отсюда, в частности, следует, что отсутствует одно-

злачная зависимость между вертикальным градиентом температуры и вертикальным конвективным тепловым потоком, равным

Q = рср J vT dS

(у и Т— размерные скорость и температура). Иначе говоря, при характеристическом значении градиента температуры стационарная конвекция может переносить вдоль канала произвольное количество тепла, которое, в конечном счете, определяется мощностью подогрева. Эксперименты Г. А. Остроумова [3] показывают, что лишь при больших мощностях подогрева наступает отклонение градиента температуры от характеристического значения. Это отклонение связано с кризисом устойчивости самого стационарного движения; при этом параллельность течения нарушается и развивается турбулентный (сверхкритический) режим.

§11. Цилиндр кругового сечения

Исследование конвективной устойчивости жидкости в .вертикальных каналах мы начнем с рассмотрения канала кругового сечения (задача Г. А. Остроумова [*~3]). Этот случай представляет, несомненно, наибольший интерес с точки зрения разнообразных приложений. Он важен также и потому, что система уравнений нейтральных возмущений в этом случае решается точно, и определяется весь спектр критических движений и критических градиентов температуры.

Введем цилиндрические координаты (г, ф, z), направив ось г по оси цилиндра вверх. Очевидно, рассматриваемая задача имеет частные решения, при которых скорость о, температура жидкости Т и температура массива Тт зависят от угла ф по гармоническому закону: .

(ИЛ)(ИЛ)у (г, ф) = и (г) COS Пф,Т^г, ф)-= 0 (г) cos пф,Тт (Г, ф) = 0т(г) COSПф,

(ИЛ)

(ИЛ)

где п принимает целочисленные значения п = 0, 1, 2, ,..

Подставляя (11.1) в (10.5) — (10.7), получим уравнения для радиальных функций и, 0 и 0т:

1-

ы"+ Т"“ — ~т« + R9 = 0,

(И.2)

.в" + 1е'--£е + и=0,

(И.З)

о"+-01-4-9 =о.

(11.4)

Входящее в систему число Рэлея R определено через радиус цилиндра a: R = g^Aa4hx-

На границе канала и твердого массива скорость обращается в нуль, а температура и тепловой поток непрерывны:

при Г=1 Ц = 0, 0 = 0т, ЙО'= 0т.(Н-5)

К этим граничным условиям нужно добавить еще условие конечности и и 0 на оси и условие конечности возмущения температуры в массиве вдали от канала:

'при г = 0 и и 0 конечны, 1

при ГОО 0m-> const. J(11-6)

Из уравнений (11.2), (11.3) можно исключить 0 и получить уравнение, содержащее только скорость:

■(D2—R)u = 0,(Ц.7)

где D обозначает оператор

d2 । 1 dn2

dr2 ' r drг2 *

Общее решение (11.7), остающееся конечным при г г* О, имеет вид.

. ы = С1/„(уг) + С2/„(уг).

Здесь /„ и /„ — бесселевы функции 1-го рода; С1 и С2 —произвольные постоянные, а

Y = R1M.(11.8)

Подставляя общее решение для скорости в уравнение (11.2), получим'

е = ^-(С1/„(уг)-С2/„(уг)).

Из уравнения (11.4) с учетом условия (11.6) находим

Граничные условия (11.5) приводят к однородной системе для определения трех постоянных интегрирования:

С1/„(у) + С2/„(у) = 0,

С]/„(у) С^п^ у2С3 = 0, .(11.9)

с1/Ит)-С2/Иу) + -^-Сз=.о.

Условие существования нетривиального решения этой системы состоит в обращении в нуль ее определителя. Раскрывая определитель, получим характеристическое соотношение, определяющее

(11.10)(11.10)Спектр критических значений числа Рэлея: l'n (V) ■ 4 <У)2,1

(11.10)

(11.10)

In (y) + In (Y) — уй *

Определяя постоянные Сь С2, С3 из системы (11.9), найдем профили скорости и температуры, соответствующие критиче

ским движениям:

(11.11)(11.12)(11.11)(11.12)и — AIM. _ Mvzl

(11.11)

(11.12)

(11.11)

(11.12)

-InWUW ’

о 2о 2a1_ Г In (yr) I In (yr) 1v2 L inW uw г

о 2

о 2

(11.13)

' Ввиду однородности задачи формулы (11.11) —(11.13) определяют скорость и температуру с точностью до постоянного множителя. Легко видеть, что условие замкнутости потока (10.9) для п ф 0 выполняется тривиальным образом из-за гармонической зависимости скорости от угла ф, а для п = 0 — в силу характеристического соотношения (11.10)*). -

Критические числа Рэлея R = у4 находятся как корни трансцендентного уравнения (11.10). При фиксированном номере п, определяющем азимутальную структуру движения, уравнение (11.10) имеет бесконечную последовательность корней у^>, у^*, у®, ..., занумерованных в порядке возрастания. Соответствующие движения отличаются радиальной структурой: более высокому значению верхнего индекса отвечает большее число узлов скорости и температуры. Таким образом, любое критическое число Рэлея для движений рассматриваемого вида имеет два индекса: Rn^fY^]4.

Все критические значения R® являются функциями отношения теплопроводностей жидкости и массива й. Исключения составляют только критические числа с л = 0 (аксиально-симметричные движения). В этом случае правая часть (11.10) обращается в нуль, и критические значения у^’ не зависят от й. Последнее обстоятельство легко понять, если найти производную 0' при г=1, определяющую радиальный тепловой поток на границе канала. Из (11.12) с учетом характеристического соотношения (11.10) имеем:

0'(0 = у0'(0 = у4 ГОJnW4 ГОJnW<(v)lIn (v) ”<(v)lIn (v) ”2n. Y2>< *2n. Y2>< *

0'(0 = у

0'(0 = у

4 ГО

JnW

4 ГО

JnW

<(v)l

In (v) ”

<(v)l

In (v) ”

2n. Y2>< *

2n. Y2>< *

!) Заметим, что при n ф 0, как видно из (11.13), 0т->О при т-*оо, откуда следует (см. стр. 69), что продольный градиент давления равен нулю. При п = 0 возмущение температуры 0т<» конечно и равно 2/у , при этоц продольный градиент давления С = —ROmop = —^2-

Отсюда видно, что для аксиально-симметричных движений (я =0) радиальный тепловой поток на границе канала обращается в нуль, и поэтому тепловые свойства массива не влияют на устойчивость. Критические числа Рэлея для таких движений определяются из характеристического уравнения

(11-14)(11-14)/o(Y) , ^(Y) _/о (V) + /о(у) —

(11-14)

(11-14)

Для всех движений с п Ф 0 критические числа R зависят от одного параметра х. Рассмотрим прежде всего два предельных случая *): .

Теплопроводность массива гораздо больше теплопроводности жидкости: х = х/хт —► 0. В этом случае характеристическое уравнение (11.10) упрощается: '

J„(Y) = 0; «=1,2,3,... (11.15)

<<Y) , <(Y) _ In (Y) In (Y)<<Y) , <(Y) _ In (Y) In (Y)Теплопроводность массива гораздо меньше теплопроводности жидкости: х = х/хт->оо. Критические числа R теперь находятся из трансцендентного уравнения:

<<Y) , <(Y) _ In (Y) In (Y)

<<Y) , <(Y) _ In (Y) In (Y)

п

1

х»0

X —ОО

v(0

rO)

1 V(Z) п

0

1

4,611

452,0

4,611

452,0

0

2

7,799

3699

7,799

3699

' 1

1

3,832

215,6

2,871

67,95

1

2

7,016

2422

6,145

1426

1

3

10,173

10710

9,333

7586

2

1

5,136

695,6

4,259

329,1

2

2

8,417

5020

7,572

3286

3

1

6,380

1657

5,541

942,5

3

2

9,761

9078

8,932

6365

4

*1

7,588

3316

6,771

2102

(11.16)

Таблица 5

Критические значения у^ и R^ для вертикального кругового цилиндра

. 9 Критические числа для некоторых частных случаев были найдены в [31J р связи с изучением конвекции в гейзерах.

• Численные значения y(rtZ) и RW для ' предельных случаев х-*0 и х->оо даны в табл. 5. На рис. 18 приведен спектр критических значений ^ Для указанных предельных случаев и 'схематически изображены со-

Рис. 18. Критические числа ^ и схема критических движений в вертикальном круговом цилиндре. На схеме обозначены узловые линии, разделяющие, области восходящих и нисходящих потоков.Рис. 18. Критические числа ^ и схема критических движений в вертикальном круговом цилиндре. На схеме обозначены узловые линии, разделяющие, области восходящих и нисходящих потоков.ответствующие критические движения.

Рис. 18. Критические числа ^ и схема критических движений в вертикальном круговом цилиндре. На схеме обозначены узловые линии, разделяющие, области восходящих и нисходящих потоков.

Рис. 18. Критические числа ^ и схема критических движений в вертикальном круговом цилиндре. На схеме обозначены узловые линии, разделяющие, области восходящих и нисходящих потоков.

С увеличением параметра х критические числа Рэлея уменьшаются, т. е. устойчивость понижается. Этот факт может быть легко понят. В самом деле, представим себе, что в жидкости, находящейся в равновесии, возникло температурное возмущение. Очевидно, рассасывание этого возмущения будет происходить за счет передачи тепла соседним

Рис 19. Нижние уровни спектра неустойчивости для вертикального кругового цилиндра.Рис 19. Нижние уровни спектра неустойчивости для вертикального кругового цилиндра.элементам жидкости и окружающему массиву. При относительно высокой теплопроводности массива выравнивание температуры происходит более интенсивно, и для возникновения конвекции требуется более высокий градиент температуры. Таким образом,-наименьшей устойчивостью обладает жидкость, окруженная нетеплопроводными границами.

Рис 19. Нижние уровни спектра неустойчивости для вертикального кругового цилиндра.

Рис 19. Нижние уровни спектра неустойчивости для вертикального кругового цилиндра.

На рис. 19 приведены три нижних уровня спектра в зависимости от х. Как видно, при всех значениях х наиболее

«опасным» является движение с n = 1 и / — 1 (диаметрально* антисимметричное движение; цилиндр делится вертикальной плоскостью, проходящей через ось, на две части, в одной из которых жидкость поднимается, а в другой — опускается). Всем остальным критическим движениям соответствуют более высокие числа Рэлея.

Экспериментальное исследование условий возникновения конвекции в вертикальном круговом канале производилось в ряде работ (см. t1*3*5-7]). В экспериментальных установках использовались различные жидкости, а стенки каналов имели разную теплопроводность. Отношение теплопроводностей Я менялось в довольно широких пределах. Эксперименты показывают, что конвекция всегда возникает в форме основного (диаметрально-антисимметричного) движения, причем положение узловой плоскости, разделяющей встречные потоки, определяется случайными обстоятельствами. Критические значения числа Рэлея хорошо согласуются с приведенными выше теоретическими значениями. Подробное описание экспериментальных установок и методов исследования содержится в книге Г. А. Остроумова [3] и цитированных статьях.

Остановимся теперь на определении нижних уровней спектра конвективной неустойчивости с помощью метода Галеркина [8]. Сравнение приближенного решения с точным, приведенным выше, позволяет оценить эффективность метода, который далее широко используется для исследования устойчивости в каналах и областях более сложной геометрии.

Рассмотрим сначала диаметрально-антисимметричное движение (п=1), определяющее начало конвекции. Аппроксимируем скорость следующим образом:

0(г, ф) = с1о1 +с2о2+ .... где базисные функции

'Ц* = (1 — Г2) Г2*-1 COS ф

обладают нужной симметрией и удовлетворяют граничным условиям. Ограничиваясь двумя базисными функциями, получим f(r, ф) = (1 — г2) (с/ + с2г3)созф.(П-17)

Подставляя эту аппроксимацию скорости в уравнение теплопроводности (10.6) и решая его совместно с уравнением теплопроводности в массиве (10.7) при соответствующих граничных условиях, найдем распределение температуры в жидкости и -массиве:

(11.18) •7 _ (2С| + с2) Я со$ф... ...

1т— 24(1+Я) * г *цы^

Подставляя скорость (11.17) и температуру (11.18) в уравнение (10.5) и составляя интегральные соотношения Галеркина для коэффициентов Ci и с^ найдем условие разрешимости в виде - •

2(2 + 7х)3720(1 +х)13 + 13х32880 (1 +й)2(2 + 7х)3720(1 +х)13 + 13х32880 (1 +й)13 + 13х ,32880(1 +й)417 + 87Й1540320(1+й)13 + 13х ,32880(1 +й)417 + 87Й1540320(1+й)= 0. (11.20)= 0. (11.20)

2(2 + 7х)

3720(1 +х)

13 + 13х

32880 (1 +й)

2(2 + 7х)

3720(1 +х)

13 + 13х

32880 (1 +й)

13 + 13х ,

32880(1 +й)

417 + 87Й

1540320(1+й)

13 + 13х ,

32880(1 +й)

417 + 87Й

1540320(1+й)

= 0. (11.20)

= 0. (11.20)

В первом приближении, когда в аппроксимации (11.17) удерживается лишь одна базисная функция, условие разрешимости сводится к обращению в нуль левого верхнего элемента определителя. Отсюда находим критическое значение R(x) в первом приближении:

Из этой формулы получаем в предельных случаях: а) х —0; R = 240 (точное значение 215,6); б) х = оо; R = 68,57 (точное значение 67,95).

Во втором приближении следует найти корни квадратного уравнения (11.20). Нижний корень

R = 5(1^7Й) 13 (33 + ЮЗх) - V3 (2567 + 14794Й + 26927Й2)]'(11.22)

дает приближение к основному уровню R*0; отличие приближенного значения числа Рэлея от точного во всей области изменения параметра й составляет доли процента (при й=0 из V1-22) имеем R = 215,9, а при й = оо R = 67,97). "

• Верхний корень квадратного уравнения"(11.20) не представляет особого интереса; он дает грубое приближение к «возбужденному» уровню Ri2>.

Аналогичным образом можно получить приближенное решение для осесимметричного движения п = 0. В этом случае может быть выбрана такая аппроксимация скорости:

■у = С1У1 + сйо2 = (1 — г2) [с, (1 — Зг2) + с2 (^2 — 2г4)],

Уде базисные функции Vi и о2 удовлетворяют граничному условию на стенках канала и условию замкнутости потока (10.9). Соответствующее этой скорости распределение температуры:

^ = ^-(l-r2)3l8ci + c2(l+3r2)L Тт = 0.

■ Критические числа Рэлея (не зависящие в осесиммет. р'ичном случае от параметра й) теперь определяются из

характеристического соотношения:

оLD*р

24051680*

2 _ 1nJ1р

51680^58960л

Нижний корень R = 452,6 является хорошим приближением к точному значению Ro * = 452,0.

Таким образом, как и в случае плоского горизонтального слоя (§ 7), даже первые приближения метода Галеркина оказываются достаточно эффективными для нахождения нижних уровней спектра неустойчивости.

§ 12. Плоский вертикальный слой

Другим примером бесконечного вертикального канала, для которого можно найти простое точное решение задачи об устойчивости равновесия, является слой жидкости, ограниченный

Рис. 20. Плоский вертикальный слой. Оси коор- . динат.Рис. 20. Плоский вертикальный слой. Оси коор- . динат.вертикальными параллельными бесконечными плоскостями (рис. 20). Рассматриваемая область отличается особенно простой геометрией, благодаря этому точное решение задачи об устойчивости равновесия может быть получено и в тех случаях, когда имеются усложняющие факторы — магнитное поле (§ 25), диффузия (§ 32) и др.

Рис. 20. Плоский вертикальный слой. Оси коор- . динат.

Рис. 20. Плоский вертикальный слой. Оси коор- . динат.

Задача об устойчивости равновесия плоского вертикального слоя решалась в ряде работ. Плоские движения, при которых скорость вертикальна и все величины не зависят от координаты у, рассматривали Ост- рах [9- 10] и И Цзя-шунь [п]. Вертикальные движения, периодические вдоль оси у, рассмотрены в работе Вудинга [12]. Заметим, что спектр критических значений числа

Рэлея для плоских движений может быть получен из соотношений, приведенных в книге Г. А. Остроумова [3].

1. Двумерные возмущения, периодически зависящие от горизонтальной координаты у. Считаем по-прежнему, что возмущения равновесия имеют следующую структуру:

ух = оу = 0, у, = у (х, у^ Т = Т (х, у\ Ввиду неограниченной протяженности слоя в направлении оси у, возможны решения, периодически зависящие от у;

(12.1)(12.1)О (х» у) = W U) COS оу,

(12.1)

(12.1)

Т (х, у) = 0 (х) cos ay,

где а —волновое число. Подставляя (12.1) в (10.5), (10.6),получим уравнения для амплитуд и(х) и 0(х):

(12.2)Н\ исчезать:(12.3)(12.1) выпол-(12.2)Н\ исчезать:(12.3)(12.1) выпол-и" — а2и + R0 = 0,0"-а20 + и = О

(12.2)

Н\ исчезать:

(12.3)

(12.1) выпол-

(12.2)

Н\ исчезать:

(12.3)

(12.1) выпол-

(число Рэлея определено через полуширину слоя Скорость жидкости на границах слоя должна

при х = ± 1 и = 0.

Условие замкнутости потока для движений вида

няется автоматически в силу периодичности движения вдоль оси у и не приводит к дополнительному условию для амплитуды скорости. Что касается граничных условий для температуры, то они определяются тепловыми свойствами ограничивающих плоскостей. Далее будут рассмотрены два случая: а) границы бесконечной теплопроводности; б) теплоизолированные границы.

границы бесконечной теплопроводности. В этом случае полная температура в любой точке границы задана и линейно (с градиентом Л) меняется по высоте. Поэтому возмущения температуры на границах обращаются в нуль:

при х=±1 0 = 0.(12.4)

Уравнения (12.2) с граничными условиями (12.3), (12.4) решаются элементарно. При этом, как легко видеть, существуют две группы решений: четные и нечётные относительно середины слоя х=0. Четные решения имеют вид:■

«„ = cos(n+ 1)ух, г,(« = 0,2,4,...)(12.5)

0n=v=cos(n+ D-£x. г2

Для нечетных решений получаем:.

w„ = sin(n + 1)уХ, ,(п=1, 3, 5, ...)(12.6)

0* = y=sin(n+ 1)ух..

Спектр критических чисел Рэлея R для четных и нечетных решений определяется общей формулой

Rff=[(n + .l)2-f+ «2]2 (n = 0, 1, 2, 3, ...).(12.7)

Рис. 21. Движение, соответствующее нижнему четному уровню (.п=0).Рис. 21. Движение, соответствующее нижнему четному уровню (.п=0).

Рис. 21. Движение, соответствующее нижнему четному уровню (.п=0).

Рис. 21. Движение, соответствующее нижнему четному уровню (.п=0).

Структура спектра (12.7) весьма проста. Минимальное значение Rn соответствует а=0, т. е. возмущениям с бесконечной длиной волны вдоль оси у. При увеличении а все критические значения Rn монотонно возрастают. Минимальное критическое число Рэлея соответствует нижнему четному решению п = 0:

Rom = 4 = 6,088. (12.8)

Таким образом, в бесконечном плоском слое с идеально проводящими границами первой неустойчивости соответствует четное по х движение с п=0 и с бесконечной длиной волны. Поскольку зависимость Ro от а при малых а очень слабая,

конвекция в реальных условиях, оче< видно, может возникать и в виде движения с достаточно малым вол^ новым числом а (т. е. с длиной волны вдоль у, гораздо большей ширины канала). Такое движение Схематически изображено на рис. 21.

теплоизолированное границы. В. этом случае обращается в нуль нормальный к границе поток тепла:

при х=+\ 0' = 0.(12.9)

Четное решение уравнений (12.2) имеет вид

u = C1chr1x + С2 cosr2x,

— — у (Ci ch rxx — С2 cos r2x\

Здесь Ci и С2 — постоянные интегрирования, и введены обозначения

Г1 = К?2 + «2, r2 = V^ — a2; V4 = R- (12.10)

Удовлетворяя граничным условиям (12.3) и (12.9), получим систему однородных уравнений для определения Ci и С2, из условия разрешимости которой следует характеристическое соотношение

nthf] — r2tgr2 = 0. (12.11)

Собственные функции и и 0 (с точностью до произвольного множителя) имеют вид

ch их cosr2x ch fj cos r2 ’ch их cosr2x ch fj cos r2 ’cos r2x cos r2cos r2x cos r2(12.12)

ch их cosr2x ch fj cos r2 ’

ch их cosr2x ch fj cos r2 ’

cos r2x cos r2

cos r2x cos r2

Нечетное относительно х решение выражается следующим образом:

sh ri* sin r2x

(12.13)(12.13)И sh-Г] sin r2 *-

(12.13)

(12.13)

„1 / sh rxx - sin r2x \

V2 \ shf| sin r2 ) ’

где rx и r2, определенные формулой (12.10), связаны теперь характеристическим уравнением

Г] cthr, + r2ctgr2 = 0.Г] cthr, + r2ctgr2 = 0.(12.14)(12.14)

Г] cthr, + r2ctgr2 = 0.

Г] cthr, + r2ctgr2 = 0.

(12.14)

(12.14)

Таким образом, спектр критических чисел Рэлея находится из уравнений (12.11) и (12.14) соответственно для четных и нечетных решений.

Рассмотрим сначала спектр длинноволновых, возмущений' (а—>0). В этом случае fi = r2=y и критические числа для четных и нечетных решений находятся из уравнений

thy = tgy, cthy = — ctgy.(12.15)

Корни уравнений (12.15) можно найти в [13]. Для четных решений имеем

у0 = 0; у2 = 3,927; у4 = 7,069;...

и, соответственно, критические числа Рэлея:

Ro = 0; R2 = 237,6; R4 = 2497;...(12.16)

Для нечетных решений:‘

У] = 2,365; уз = 5,498; у5 = 8,639; ... и критические числа

Ri = 31,29; R3 = 913,8; Rs = 5570;...(12.17)

При а =# 0 критические числа Рэлея находятся из полных уравнений (12.11) и (12.14). С ростом а, как и в случае идеально проводящих границ, критические числа для всех уровней, возрастают. В области малых а возрастание происходит пр квадратичному закону. Для четных уровней из (12.11) можно получить:.

Ro (а) == За2 + у а4 + ...»

Rn(a)=Rn(0) + ^^l!^a2+(n = 2> 4f 6> ...)f

где yn — критические числа при a=0.

четных решений зависят от закон получается и в случаечетных решений зависят от закон получается и в случаеРис. 22. Критические числа Рэлея в зависимости от волнового числа вдоль горизонтали, а— границы бесконечной теплопроводности, б — теплоизолированные границы. хРис. 22. Критические числа Рэлея в зависимости от волнового числа вдоль горизонтали, а— границы бесконечной теплопроводности, б — теплоизолированные границы. хУ = о(х), 1 = 1^.У = о(х), 1 = 1^.(12.18)(12.18)

четных решений зависят от закон получается и в случае

четных решений зависят от закон получается и в случае

Рис. 22. Критические числа Рэлея в зависимости от волнового числа вдоль горизонтали, а— границы бесконечной теплопроводности, б — теплоизолированные границы. х

Рис. 22. Критические числа Рэлея в зависимости от волнового числа вдоль горизонтали, а— границы бесконечной теплопроводности, б — теплоизолированные границы. х

У = о(х), 1 = 1^.

У = о(х), 1 = 1^.

(12.18)

(12.18)

Для нечетных решений приближенные формулы при малых а получаются из (12.14):

R»(а) = R„(0) +«2 +(п=1, 3, 5, ...).

При больших а критические числа Рэлея для четных и не

а по закону Rn « а4. Такой же идеально проводящих границ (см.

2.7)). Это совпадение вполне понятно: спектр мелкомасштабных возмущений оказывается не зависящим от граничных условий.

На рис. 22 представлена зависимость Rn(a) для двух разобранных случаев. В обоих случаях нижними критическими движениями, определяющими возникновение конвекции, являются движения четного типа с п = 0, причем минимальному значению критического числа Ro соответ? ствуют длинноволновые возмущения а = 0. Наиболее существен-

ное отличие состоит в том, что в случае идеально проводящих гра- ниц минимальное значение R» при а->-0 оказывается конечным (12.8), хотя и невысоким. В слу-

чае же теплоизолированных границ при а->0 критическое число Ro стремится к нулю, т. е. имеет место длинноволновая неустойчивость при сколь угодно малом градиенте темпе-

ратуры.

Плоские возмущения. Рассмотрим теперь спектр плоских возмущений, не зависящих от координаты у, т. е.

Функции и и Т удовлетворяют уравнениям

о" + pr = 0, Г"+о = 0.(12.19)

Плоский случай требует отдельного рассмотрения, поскольку соответствующий спектр неустойчивости не получается, вообще говоря, из спектра двумерных возмущений путем предельного перехода а—*0. Это связано с тем обстоятельством, что в случае двумерных возмущений условие замкнутости потока, как уже указывалось, выполняется из-за периодизма вдоль у при

всех длинах волн — в том числе и для длинноволновых возмущений (а—>-0). В плоском же случае требование замкнутости потока накладывает дополнительное условие на скорость:

(12.20)(12.20)у (х) dx = 0.

(12.20)

(12.20)

Амплитуды нечетных двумерных решений как в случае идеально теплопроводных, так и в случае нетеплопроводных границ, очевидно, удовлетворяют условию (12.20) при всех а. Поэтому спектр плоских нечетных возмущений получается из спектра соответствующих двумерных возмущений при а—*0.

Амплитуды четных двумерных возмущений (12.5) и (12.12) не удовлетворяют условию замкнутости. Поэтому четные уровни плоских возмущений должны быть найдены отдельно.

Интегрируя второе из уравнений (12.19) по х в пределах от —1 до 1, получим, в силу (12.20):

1

Г (1) - Г (—1) — J у (х)Лх^-- 0.

Так как функция Г (х) — четная, то отсюда следует

F(1)==»F(—1)=™0,

т. е. в случае четных плоских возмущений условие замкнутости приводит к обращению в нуль поперечного теплового потока на границах. Поэтому тепловые свойства границ не влияют на спектр, и он оказывается одинаковым в обоих случаях рассматриваемых граничных условий для температуры.

Приведем окончательные формулы, описывающие спектр плоских возмущений.

Идеально теплопроводные границы. Нечетные

:рйвмущвния:

vn = sin у„х, Т„ = 4 sin vn^;

(12.21)(12.21)-' ' y„

(12.21)

(12.21)

R„ = Y4Ч^+Оi]4 ^n=x* 3’ 5’ •••)>

Четные возмущения:.

ch ух cos ух— 1 / ch ух ■ cos ух Л, i

ch уcosy ’у2 \ ch у *" cos у ) ’ l (12 22)

thY=?tgY; Y = 3,927; 7,069; 10,21; ...; R = y4. ‘*

Нетеплопроводные границы. Нечетные возмущения:

у sh ух sin ух^ 1 / sh ух . sin ух \ .

(12.23)(12.23)sh у sin у *~ у^ \ sh у ** sin у /

(12.23)

(12.23)

th V = — tg у; у = 2,365; 5,498; 8,639; ...; R = у4.

Спектр четных возмущений совпадает с (12.22).

Другие варианты тепловых условий на границах рассматривались в работах [10>14]..

§13. Каналы эллиптического, прямоугольного

’и кольцевого сечений

В этом параграфе будет рассмотрено возникновение конвекции в каналах с более сложной формой сечения — эллиптического, прямоугольного и кольцевого.

. Канал эллиптического сечения [15]. Рассмотрим возникновение конвекции в канале эллиптического сечения, окруженном твердым теплопроводным массивом. Направим горизонтальные оси координат по осям эллипса и выберем полуось а в качестве единицы длины. Тогда уравнение границы области будет-

х2 + 4=Ь(13.1)

где 1—Ь1а — отношение полуосей эллипса.

Заранее ясно, что основному уровню спектра соответствует антисимметричное движение, при котором жидкость в одной половине канала поднимается, а в другой опускается, так что узловая линия скорости совпадает с одной из осей эллипса (как выяснится —'с малой).

Для приближенного нахождения нижнего уровня спектра неустойчивости воспользуемся методом Бубнова — Галеркина. В первом приближении возьмем лишь одну базисную функцию, удовлетворяющую граничному условию для скорости и описывающую движение, антисимметричное относительно оси х:

у^х, у) = (1 — х2— ^у.(13.2)

Температура жидкости, соответствующая этой скорости, находится из уравнения теплопроводности ''

ДТ = -(1-х2--^)у.(13.3)

В соответствии с видом правой части решение этого уравнения будем искать в виде полинома пятой степени нужной симметрии: ’

Т = — (а, + а2х2 + азу2 + а4х4 + а^4 +.а6х2#2) у. . (13.4)

Из уравнения (13.3) следует, что шесть коэффициентов at должны быть связаны тремя соотношениями:

6а3 -|- 2о2== 1» 20я3 -|- 2а6 = — 1, 12я4 -]- 6й3 = —р- .

Распределение температуры (13.4) содержит, таким образом, три независимые постоянные, которые должны быть определены из граничных условий. '

Введем эллиптические координаты (g, т]) (см. [22]):

x = cchg • cost], у = с sh g • sinт),

где 2с— безразмерное .межфокусное расстояние. Распределение температуры (13.4) в эллиптических координатах содержит три нечетные гармоники угловой координаты тр

r = --^[(16n1Cshg + 4a2c3shg-ch2g+ 12a3c3sh3g +

- 2a4c5 sh g • ch4 g + 10a5c5 sh5 g + 2a6c5 sh3 g • ch2 g) sin r) +

+ (— 4й2С3 sh g • ch2 g + 4a3c3 sh3 g — 3a4c5 sh g • ch4 g + 5asc5 sh5 g — — a6c5 sh3 g • ch2 g) sin 3т) + (a4c5 sh g • ch4 g + a5c5 sh5 g —

— a6c5 sh3 g • ch2 g) sin 5t)]. (13.5)

Температура в массиве удовлетворяет уравнению Лапласа, общее решение которого, стремящееся к нулю на бесконечности (при g -* оо), имеет вид:

Tm=^i (bne~n^ sin лт] + спе~п^ cos пт)).(13.6)

П=1

Коэффициенты Ьп и сп, а также оставшиеся неопределенными три постоянных в выражении для температуры жидкости (13.4) должны быть найдены из условий непрерывности температуры и теплового потока на границе g=go- Эти условия в эллиптических координатах запишутся следующим образом:

при g = g0 Т = Гт, =(13.7)

где go связано с отношением полуосей I и межфокусным расстоянием 2с соотношениями

. с ch g0 =1, cshg0 = Z.

Из вида (13.5) ясно, что в разложении (13.6) все коэффициенты сп равны нулю, а из коэффициентов Ьп отличны от нуля только 6Ь 63, 65. Условия (13.7), записанные для каждой из трех гармоник, дают как раз шесть соотношений для определения шести неизвестных коэффициентов.

Имея приближенные формулы (13.2) и (13.5) для распределений скорости и температуры жидкости, можно составить интегральное условие Галеркина, из которого определяется критическое' число Рэлея, зависящее от двух параметров — отношения полуосей 1=Ь]а и отношения теплопроводностей х=х/хт;

R=W’ (,3:8) где

Q = 240 (3 + /2) [(/9 + 13/7 + 35/5 + 15/3) + й (9/8 + 69/6 + 91Z4 + + 23/2) _|_ й2 (23/7 _|_ 91/5 + 69/3 _|_ 9/) _|_ йз (15/б + 35/4 _|_ 13/2 _|_ i)], р = (17/н + 158/9 + si/?) _,_ й(18/12 + 315/ю + 788/з + 287/6) + + x2(142/n + 835/9 + 927/7 + 144/5)+х3(189/,0+472/8+217/6+18/4)

(напомним, что поскольку в качестве единицы длины выбрана полуось а, в критическое число Рэлея входит а4).

Рис. 23. Два вида антисимметричных возмущений (области восходящих потоков заштрихованы). 01=^2, &i=a2. Отношение полуосей в первом случае —^/1 = /, во втором случае —=/2=-1- (/ > 1).- °iа2/Рис. 23. Два вида антисимметричных возмущений (области восходящих потоков заштрихованы). 01=^2, &i=a2. Отношение полуосей в первом случае —^/1 = /, во втором случае —=/2=-1- (/ > 1).- °iа2/При /=1 эллипс вырождается в окружность. В этом случае из формулы (13.8) находим'

Рис. 23. Два вида антисимметричных возмущений (области восходящих потоков заштрихованы). 01=^2, &i=a2. Отношение полуосей в первом случае —^/1 = /, во втором случае —=/2=-1- (/ > 1).

- °iа2/

Рис. 23. Два вида антисимметричных возмущений (области восходящих потоков заштрихованы). 01=^2, &i=a2. Отношение полуосей в первом случае —^/1 = /, во втором случае —=/2=-1- (/ > 1).

- °iа2/

480 (1 + х) ' ■—2 + 7х ’

что, естественно, совпадает с результатом первого приближения метода Галеркина для кругового канала (11.21).

' Если / ^ 1, то прежде

всего можно показать, что нижний критический градиент температуры соответствует такому анти

Л2 = ^1 f50 ^Л2 = ^1 f50 ^Av = ^-Af^^,£0 “1Av = ^-Af^^,£0 “17’ *7’ *симметричному движению, когда узловая линия скорости совпадает с малой осью эллипса. Для этого сравним критические градиенты Ах и Л2, соответствующие движениям с узловыми линиями, изображенными на рис. 23. Критические градиенты Ai и А2 для изображенных на рисунке движений равны

Л2 = ^1 f

50 ^

Л2 = ^1 f

50 ^

Av = ^-Af^^,£0 “1

Av = ^-Af^^,£0 “1

7’ *

7’ *

где через F(/, х) обозначено отношение QJP, входящее в формулу (13.8). Сравнивая Ai и Аг, получим

После вычислений эту формулу можно привести к виду

Ах-А^^МХ-Ш!, х),

где Ц1, Я) > 0 при всех Я и /. При /=1 получаем А1=А2, что и должно быть, так как в случае, когда эллипс вырождается

в окружность, узловая линия скорости может совпадать с любым диаметром, и различие между двумя видами возмущений исчезает. Если / > 1, то Д1 < А2. Таким образом, независимо от отношения теплопроводностей жидкости и массива, конвекция возникает в виде антисимметричного течения с разбиением канала на две половины вертикальной узловой плоскостью, про

ходящей через малую ось. Этот вывод находится в согласии с экспериментальными результатами В. В. Славнова [16].

Формула (13.8) при всех значениях параметра Я описывает монотонную зависимость R от /. При / > 1 с ростом / критическое число R быстро убывает (устойчивость понижается). При /->0 критическое число R возрастает по закону R ~ уг, так что произведение RZ4 (которое при / < 1 имеет смысл числа Рэлея, определен-

Рис. 24. Зависимость критического числа Rs от отношения полуосей эллиптического сечения канала.Рис. 24. Зависимость критического числа Rs от отношения полуосей эллиптического сечения канала.ного через длину малой

Рис. 24. Зависимость критического числа Rs от отношения полуосей эллиптического сечения канала.

Рис. 24. Зависимость критического числа Rs от отношения полуосей эллиптического сечения канала.

полуоси) стремится к конечному пределу, дающему приближенное значение нижнего нечетного уровня неустойчивости в плоском бесконечном слое (см. предыдущий параграф). Формула (13.8) получена в первом приближении метода Галеркина, и вряд ли можно рассчитывать на то, что она будет давать достаточно точные результаты в предельном случае сильно вытянутой области. Действительно, при й=0 и й= оо из формулы (13.8). при / —> 0 получаем соответственно R/4-> 133,3 и R/4->40 (вме,сто точных значений 97,4 и 31,3).

Наглядное представление о влиянии эллиптичности сечения канала на устойчивость можно получить из рис. 24. На этом рисунке изображена зависимость критического числа Рэлея Rs от меры эллиптичности 1=Ь[а при нескольких значениях параметра й. В отличие от чисда Рэлея R, входящего в (13.8), чисдо

Rs определено следующим образом:

В качестве характерного размера в Rs входит V ab — среднее

геометрическое из полуосей эллипса. Если изменять отношение полуосей / при постоянной площади эллипса, то величина V ab не меняется; поэтому изменение Rs с / происходит только за „.счет зависимости От I критического градиента

температуры А. Из рис. 24 видно, что при любом х (кроме предельного случая теплоизолирован’

ного канала х=оо) кривая RS(Z) имеет мини

мум при некотором />1. При увеличении / от 1 сначала устойчивость понижается за счет

I— сокращения границы встречных потоков; затем ° z снова увеличивается — вследствие стабилизирующего влияния сближающихся границ области.

Канал прямоугольного сечения. Эта зада- ча, естественно, во многом сходна с предыдущей, о „ _ В случае, когда стенки канала являются идеаль- динат в сечении но теплопроводными (на стенках исчезают воз- каналаугополуши- мущения температуры), спектр критических дви- рина а выбрана в жений находится элементарно, качестве единицы

длины. 1=ыа. Условие замкнутости потока будет выполнено,

но х — запишутся в виде:но х — запишутся в виде:если скорость является нечетной функцией хотя бы одной из координат (рис. 25). Для определенности будем считать, что скорость (а, следовательно, и температура) — нечетная функция у. Тогда решения — четные и нечетные относитель

но х — запишутся в виде:

но х — запишутся в виде:

»тп = cos (/и + 1) у X • sin (п+ Х^у,,-.

7'nw=^7==-,cos(/n+ 1) i х • sin (n + l)-^f/; \n = b 3, 5, ... / (13.9)

vm„ = sin (m + 1)‘ sin(n + !)-§-y, (m = X 3 5\

T^-p^sintm+l^x.sintn + l^z/. U=l. 3, 5, ..J (13.10)

Критические числа Рэлея для обоих классов решений определяются общей формулой

л4 Г п (п 4- IP 12/^ = 0, 1, 2, 3, ... Д

Rmn = -J6 [(т+О Н р ](п=1,3,5,.,,)• (13.11)

Минимальное критическое число соответствует движению с т=0 и п= 1 и равно

Roi=^(l + ^У‘(13.12)

Для канала жвидратпого сечения 1= 1 и

Р01 = ^-л4=152,2>).

При /=1, очевидно, имеет место вырождение: двум видам антисимметричного движения с узлами скорости по осям х и у отвечают одинаковые критические градиенты температуры. Поэтому при том же критическом градиенте возможны и другие движения, являющиеся суперпозицией этих двух, например, движения с узлами скорости на диагоналях квадрата.

При /-> оо и /—>-0 прямоугольный канал переходит в бесконечный плоский слой, вытянутый соответственно вдоль осей у и х. При этом критическое число Roi в пределе переходит в критические числа для плоского слоя (§ 12). Так, при / —► оо имеем Roi -»-^ (основной уровень плоского слоя с узлом скорости по оси х). При /-*0 получается Roi/4 —*л4 (основнойуровень плоского слод. с узлом скорости вдоль слоя; R/4 есть критическое число, определенное через полуширину слоя). Аналогичным образом из общей формулы (13.11) в пределе получаются все более высокие уровни спектра для бесконечного плоского слоя.

Более сложным образом обстоит дело в случае прямоугольного канала с теплоизолированными границами. В этом случае можно искать решение задачи в виде двойных рядов Фурье. Такой путь приводит к характеристическому соотношению, содержащему бесконечный определитель. Численный анализ этого уравнения при произвольном отношении сторон / связан с большими трудностями. Для I ^ 1 Вудингом [*] получена асимптотическая формула критического числа Рэлея основного уровня неустойчивости

R—^l +-^- ++ ...) (/>1).(13.13)

Из этой формулы видно, что при / -»оо устойчивость понижается. Экспериментальное значение R для /—21,1, полученное Вудингом в цитированной работе, хорошо согласуется с формулой (13.13). Для канала с I ~ 1 формула (13.13) непригодна из-за медленной сходимости ряда.

Нижнее критическое число Рэлея для канала с теплоизолированными границами при конечном отношении сторон можно получить приближенно. Аппроксимируем распределение скорости для основного движения с узлом вдоль оси х в виде •

у = cos -у х • sin у- у.(13.14)

Далее следует найти соответствующее распределение температуры. Точное решение уравнения теплопроводности для прямоугольной области с теплоизолированными границами в замкнутом виде получить не удается. Однако нетрудно решить уравнение теплопроводности приближенно с помощью метода Канторовича [18]. Температура, как и скорость, является нечет-* ной функцией у и удовлетворяет граничным условиям

при у= + 1=

Эти требования выполняются, если положить

r^fMsinfz/.(13.15)

Подставляя (13.14) и (13.15) в уравнение теплопроводности (10.6), умножая на sin у с/ и интегрируя по у в пределах (—I, I), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции f(x):

f — f — COSyX.

с ,-Аоаг' w~ Зл3(/2 + 1)с ,-Аоаг' w~ Зл3(/2 + 1)Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям ^(±1) = =0, таково:

с ,-Аоаг

' w~ Зл3(/2 + 1)

с ,-Аоаг

' w~ Зл3(/2 + 1)

. л ch2/ Х •-

sh2T

Составляя теперь интегральное соотношение для уравнения движения, найдем критическое число Рэлея:

р _ 9л««=+!)(/« +4) Г.4/з.. л.]'* Л о 161

R —1024Z4 L1 + л(/2+1) th 2/J ‘ (ld-lb)

Зависимость R(/) представлена на рис. 26. При /-*0 из (13.16) следует R/4 —»33,8 (точное значение для нечетного уровня в бесконечном плоском слое с теплоизолированными границами равно 31,3). При / -> оо R стремится к нулю по закону I//2.

Решение задачи о возникновении конвекции в прямоугольном канале с более общими граничными условиями, соответ

ствующими произвольной теплоотдаче на границе, получено в работе К. С. Болотиной [17] на основе асимптотического метода [19]. Приближенная формула, определяющая спектр критических чисел Рэлея, по виду совпадает с (13.11), куда, однако, вместо целых чисел т и п входят модифицированные т* и п*, сами являющиеся функциями параметра / и коэффициента теплоотдачи. Эти значения т* и п* и критические числа Рэлея в зависимости от / для нескольких значений параметра теплоотдачи приведены В Р7].

Канал кольцевого сечения. По аналогии с рассмотренной в §11 задачей об устойчивости равновесия в вертикальном круговом канале можно получить точное решение и для кольцевого канала,

Рис. 26. Критическое число Рэлея в зависимости от отношения сторон сечения прямоугольного канала, а —идеально теплопроводные границы (формула (13.12)), б — теплоизолированные границы (формула (13.16)).Рис. 26. Критическое число Рэлея в зависимости от отношения сторон сечения прямоугольного канала, а —идеально теплопроводные границы (формула (13.12)), б — теплоизолированные границы (формула (13.16)).образованного двумя вертикальными круговыми коаксиальными цилиндрами. Для случая теплоизолированных границ решение этой задачи найдено в работе А. И. Сорокиной и А. А. Чудинова I20]. .

Рис. 26. Критическое число Рэлея в зависимости от отношения сторон сечения прямоугольного канала, а —идеально теплопроводные границы (формула (13.12)), б — теплоизолированные границы (формула (13.16)).

Рис. 26. Критическое число Рэлея в зависимости от отношения сторон сечения прямоугольного канала, а —идеально теплопроводные границы (формула (13.12)), б — теплоизолированные границы (формула (13.16)).

. Как и в случае кругового канала, имеет место разделение переменных (11.1), причем для радиальных функций и^ и 9 (г) сохраняются уравнения (11.2), (11.3). За масштаб длины примем внутренний радиус канала аг, тогда число Рэлея R= = g0Aai/vx, а граничные условия на внутренней и внешней границах запишутся следующим образом:

при г=1 и г — р о = 0, 0'= 0.■(13.17)

Здесь p=az/ai—отношение радиусов цилиндров.

Рис. 27. Критическое число у в зависимости от отношения радиусов цилиндров кольцевого канала.Рис. 27. Критическое число у в зависимости от отношения радиусов цилиндров кольцевого канала.

Рис. 27. Критическое число у в зависимости от отношения радиусов цилиндров кольцевого канала.

Рис. 27. Критическое число у в зависимости от отношения радиусов цилиндров кольцевого канала.

Так как точка г=0 теперь не принадлежит рассматриваемой области, скорость и температура будут содержать бесселевы функции 1-го и 2-го рода:

и = CJn (yr) + С2/„ (yr) + C3Y„ (yr) 4- C4Kn (yr),)

е = -^[С,/„(уг)-С2/„(уг) + С3Г„МI (13Л8)

где y=R,/4.

Граничные условия (13.17) приводят к характеристическому соотношению:

/„(V)WWK„(Y)

^(y)— ^(y)%(y)—^(y)

•MYP)Myp)Myp)Kn(Yp)

•fn(YP)~ 7n(YP)%(YP)—^(YP)

Это соотношение определяет критические значения у в зависи

мости от отношения радиусов р.

Как и в случае кругового цилиндра, минимальному критическому числу Рэлея всегда соответствует диаметрально-антисимметричное движение с п = 1. За ним, в порядке возрастания критических чисел, следуют движения с п = 2, п = О, ... На рис. 27 представлена зависимость у(р) для нижних уровней.

В предельном случае широкого кольцевого зазора а2 5* ai(p 3> 1) уравнение (13.19) может быть упрощено с помощью асимптотических разложений бесселевых функций. При этом критические числа у стремятся к нулю, а произведения ур остаются конечными. Характеристическое со

отношение (13.19) в предельном случае р->оо записывается в

виде:

(13.20)(13.20)^(УР>/^(УР)

(13.20)

(13.20)

/«(VP) "*" ^n (УР)

Это соотношение совпадает с характеристическим уравнением (11.10) задачи Остроумова для кругового цилиндра с теплоизолированными границами. Это и естественно: при р -* оо

СВЯЗАННЫЕ КАНАЛЫСВЯЗАННЫЕ КАНАЛЫ93935 141

СВЯЗАННЫЕ КАНАЛЫ

СВЯЗАННЫЕ КАНАЛЫ

93

93

влияние внутреннего цилиндра становится пренебрежимо малым, и спектр критических чисел переходит в соответствующий спектр для кругового цилиндра с радиусом а2 (входящее в (13.20) произведение ур как раз связано с числом Рэлея,

I gM<4 YZ1 определенным через внешний радиус: ур = (—^—/ /. Таким образом, при больших р критические числа R убывают по закону.

Другой предельный случай получается при а2-* at, р -* 1 (тонкий зазор между цилиндрами). Кривизна в этом случае несущественна, и область практически не отличается от вертикального плоского слоя толщины б=а2— ai и длины /=2лаь Для основного движения (п=1) критическое число Рэлея, определенное по ширине слоя 6, стремится к нулю с уменьшением б по закону Re~(6/ai)2 (ср. (12.16)). Поэтому критическое число Рэлея R при р -> 1 возрастает по закону

К (Р-1)2’

Связанные каналы [21]

В этом параграфе мы рассмотрим условия возникновения конвекции в системе вертикальных каналов. Как и в случае связанных горизонтальных слоев, разобранном в § 8, тепловые возмущения, возникающие в одном из каналов, проникают в другой. К этому добавляется новый эффект гидравлической связи каналов, которые предполагаются сообщающимися. Наличие гидравлической и тепловой связи каналов существенно влияет на устойчивость. Вначале рассматривается простейший случай.двух плоских каналов одинаковой толщины, разделенных твердой теплопроводной прослойкой. В этом случае удается получить точное решение и найти весь спектр конвективной неустойчивости. Далее разбирается более сложный случай двух каналов кругового сечения в теплопроводном массиве. С помощью метода Галеркина находится основной уровень неустойчивости, определяющий начало конвекции.

Плоские каналы. Два плоских вертикальных параллельных слоя жидкости разделены однородной теплопроводной прослойкой (рис. 28). Рассмотрим плоские возмущения равновесия:

их = Оу = 0, oz = o(x), Т = Т (х), Тт = Т^ (х). (14.1) Здесь о — скорость, Т и Тт — возмущения температуры жидкости и прослойки. Возмущения удовлетворяют уравнениям (см. (12.19)).

o" + RT = O, Т" 4-о = 0, 7^ = 0.(14.2)

(14.3)(14.3)Рис. 28, Связанные плоские каналы. Оси координат.Рис. 28, Связанные плоские каналы. Оси координат.

(14.3)

(14.3)

Рис. 28, Связанные плоские каналы. Оси координат.

Рис. 28, Связанные плоские каналы. Оси координат.

Число Рэлея определим через полуширину канала А, которая теперь выбрана за единицу расстояния.

На границах жидкости с теплопроводной прослойкой должна обращаться в нуль скорость и должны быть выполнены условия непрерывности температуры и теплового потока. Внешние границы каналов будем для определенности считать нетеплопроводными. Таким образом, получаем граничные условия:

при x = xv о = 0, Т = Тт, йТ'= Т'т\ при х = х2 о = 0, Т' = 0,

где й=х/хт — отношение теплопроводностей жидкости и про- иd hd И

слоики; Xi = ± —^— и х2 = ± —^внутренняя и внеш-

няя границы правого (знак «плюс») и левого (знак «минус») каналов. Кроме того, в системе двух каналов должно выполняться условие замкнутости потока:

J o_dx + J v+ dx = 0, (14.4) (-) (+)

где i>+ и и_ — скорости в правом и левом каналах, а интегрирование производится по соответствующим сечениям. При этом предполагается, что каналы гидравлически связаны: их .удаленные концы сообщаются сверху и снизу, и поэтому возможно такое

движение, при котором жидкость в одном канале поднимается, а в другом — опускается («конвективная петля»). В этом случае, в отличие от одиночного канала, восходящий и нисходящий потоки оказываются разделенными (взаимодействуя, однако, тепловым путем через теплопроводную прослойку). Условие замкнутости (14.4) при этом выполняется «в целом», а в каждом из каналов расход отличен от нуля. Как выяснится, именно такое движение соответствует основному уровню неустойчивости.

Общее решение уравнений (14.2) имеет вид

о = 4 sin ух + В cos ух + Cshyx + Doh ух,

Т = 4, (A sin ух + В cos ух — С sh ух — D ch ух), Тщ = Ао + ВдХ.

Здесь у = ^*.

Задача (14.2) — (14.4) имеет четные и нечетные относительно х решения. Рассмотрим сначала решения нечетного типа. В этом случае Ло=О, и граничные условия (14.3) приводят к однородной системе для определения постоянных Л, В, С, D и Во (замкнутость потока (14.4) обеспечивается автоматически нечетностью решения). Условие разрешимости этой системы дает соотношение, из которого находятся критические значения числа Рэлея:

tg 2у + th 2у _..,,, -.

у (sec 2у-sech 2у — 1) — Х(14'5)

Определяя постоянные интегрирования, найдем скорость и температуру:

0_ | Г cos у (х2 — х) — ch у (х2 — х)sin у (х2 — х) + sh у (х2 — х) 1 ~ [ cos у (х2 — xj — ch у (х2 — xj sin у (х2 — xj + sh у (х2 — xj J'

(14.6)

- _ + 1 Г cos у (х2 — х) + ch у (х2 — х)sin у (х2 — х) — sh у (х2 — х) ~1

“ у2 L cos у (х2 — xj — ch у (х2 — хОsin у (х2 — х() + sh у (х2—xj ] ’

(14.7)

т 2х(1 — cos2y.ch2у) хП4Я^

m у (cos 2у — ch 2у) (sin 2у + sh 2у) '‘' '

Знаки «плюс» и «минус» относятся соответственно к правому и левому каналам.

В случае четного решения температура в прослойке постоянна: Во=О. Постоянные интегрирования определяются из граничных условий и условия замкнутости потока (14.4), которое теперь ввиду четности скорости должно выполняться в каждом канале отдельно. Определив постоянные интегрирования, убеждаемся в том, что скорость и температура в жидкости описываются формулами (14.6), (14.7) со знаком «плюс», общим для обоих каналов, но с другими значениями критического числа у. Они теперь находятся из характеристического уравнения

tg2 У — th2 у = 0.(14.9)

Температура в прослойке равна

Т 2 (ch 2у ■ sin 2у + sh 2у • cos 2у)П4

m у2 (cos.2y —clr2y) (sin йу-HshSy) *\• )

Итак, уравнения (14.5) и (14.9) определяют спектр критических чисел Рэлея для движений четного и нечетного относительно х типа. Как видно из (14.5), критические числа у, соответствующие нечетным уровням, зависят от одного параметра й|Х1|, характеризующего тепловую связь каналов. Большие значения этого параметра соответствуют слабой тепловой связи

Рис. 29. Спектр критических чисел VПЯ«|г. IКакпилилппидля связанных плоских каналов.Р“Х1ЛН-^КВИДНО,Прих|Х1|—*оо «нечетные» критические значения уменьшаются (понижается устойчивость). При й|Х|| —► оо, т. е. по мере ослабления связи между каналами, нижнее критическое число уь определяющее порог конвекции, стремится к нулю, и равновесие становится абсолютно неустойчивым. Заметим, что при ослаблении связи (Я|Х1|-*оо) движения нечетного типа также становятся практически «автономными» и поэтому сближаются четные и нечетные уровни, соответствующие движениям с одинаковым числом узлов скорости (уз ~* У2, У5—*У4 и т. д.). При сближении каналов в пределе x|xi|-*0 получается одиночный канал ширины 4й. Поэтому критические числа нечетных уровней стремятся к соответствующим значениям для одиночного канала (см. формулу (12.23); при сопоставлении необходимо, разумеется, изменять вдвое масштаб расстояния).Таким образом, ответственным за возникновение конвекции в системе двух связанных каналов является нижний нечетныйРис. 29. Спектр критических чисел VПЯ«|г. IКакпилилппидля связанных плоских каналов.Р“Х1ЛН-^КВИДНО,Прих|Х1|—*оо «нечетные» критические значения уменьшаются (понижается устойчивость). При й|Х|| —► оо, т. е. по мере ослабления связи между каналами, нижнее критическое число уь определяющее порог конвекции, стремится к нулю, и равновесие становится абсолютно неустойчивым. Заметим, что при ослаблении связи (Я|Х1|-*оо) движения нечетного типа также становятся практически «автономными» и поэтому сближаются четные и нечетные уровни, соответствующие движениям с одинаковым числом узлов скорости (уз ~* У2, У5—*У4 и т. д.). При сближении каналов в пределе x|xi|-*0 получается одиночный канал ширины 4й. Поэтому критические числа нечетных уровней стремятся к соответствующим значениям для одиночного канала (см. формулу (12.23); при сопоставлении необходимо, разумеется, изменять вдвое масштаб расстояния).Таким образом, ответственным за возникновение конвекции в системе двух связанных каналов является нижний нечетный

Рис. 29. Спектр критических чисел VПЯ«|г. IКакпилилппи

для связанных плоских каналов.Р“Х1ЛН-^КВИДНО,При

х|Х1|—*оо «нечетные» критические значения уменьшаются (понижается устойчивость). При й|Х|| —► оо, т. е. по мере ослабления связи между каналами, нижнее критическое число уь определяющее порог конвекции, стремится к нулю, и равновесие становится абсолютно неустойчивым. Заметим, что при ослаблении связи (Я|Х1|-*оо) движения нечетного типа также становятся практически «автономными» и поэтому сближаются четные и нечетные уровни, соответствующие движениям с одинаковым числом узлов скорости (уз ~* У2, У5—*У4 и т. д.). При сближении каналов в пределе x|xi|-*0 получается одиночный канал ширины 4й. Поэтому критические числа нечетных уровней стремятся к соответствующим значениям для одиночного канала (см. формулу (12.23); при сопоставлении необходимо, разумеется, изменять вдвое масштаб расстояния).

Таким образом, ответственным за возникновение конвекции в системе двух связанных каналов является нижний нечетный

Рис. 29. Спектр критических чисел VПЯ«|г. IКакпилилппи

для связанных плоских каналов.Р“Х1ЛН-^КВИДНО,При

х|Х1|—*оо «нечетные» критические значения уменьшаются (понижается устойчивость). При й|Х|| —► оо, т. е. по мере ослабления связи между каналами, нижнее критическое число уь определяющее порог конвекции, стремится к нулю, и равновесие становится абсолютно неустойчивым. Заметим, что при ослаблении связи (Я|Х1|-*оо) движения нечетного типа также становятся практически «автономными» и поэтому сближаются четные и нечетные уровни, соответствующие движениям с одинаковым числом узлов скорости (уз ~* У2, У5—*У4 и т. д.). При сближении каналов в пределе x|xi|-*0 получается одиночный канал ширины 4й. Поэтому критические числа нечетных уровней стремятся к соответствующим значениям для одиночного канала (см. формулу (12.23); при сопоставлении необходимо, разумеется, изменять вдвое масштаб расстояния).

Таким образом, ответственным за возникновение конвекции в системе двух связанных каналов является нижний нечетный

(большая толщина прослойки или малая ее теплопроводность). Противоположный слуйай малых значений параметра x|xi| соответствует сильной связи.

Критические числа в случае четного решения, как видно из (14.9), не зависят от параметров прослойки. Это объясняется тем, что температура в прослойке в этом случае постоянна и в ней нет горизонтального потока тепла, т. е. отсутствует тепловое взаимодействие каналов. Гидравлическая связь также отсутствует: в каждом из каналов возникает «автономная» циркуляция с нулевым расходом по сечению. Критические значения числа Рэлея, естественно, совпадают со значениями, определяющими границу устойчивости равновесия в одиночном плоском канале с теплоизолированными границами. При этом "двум классам решений уравнения (14.9) tgy = ±thy отвечают движения четного и нечетного типа относительно середины канала (см. § 12; плоские возмущения).

На рис. 29 изображены нижние уровни спектра критических чисел в зависимости от парамет-

уровень неустойчивости. Соответствующее движение схематически изображено на рис. 28.'

Цилиндрические каналы. Рассмотрим теперь два вертикальных цилиндрических канала кругового сечения одинако

Рис. 30. Круговые каналы. Оси координат.Рис. 30. Круговые каналы. Оси координат.вых радиусов р с расстоянием между осями 2d, окруженных - теплопроводным массивом (рис. 30). Скорость и температура теперь зависят от координат (х, у\ в плоскости сечений и удовлетворяют уравнениям (10.5) — (10.7); за единицу

Рис. 30. Круговые каналы. Оси координат.

Рис. 30. Круговые каналы. Оси координат.

расстояния принят радиус цилиндра р; через р определено и число Рэлея.х

Введем биполярные координаты (а, 0) следующими соотно

шениями (см. Р2]):

а sh а a sin 0

ch а + cos р * ^ ch а + cos р

(2а — расстояние между полюсами). На границе жидкости с массивом выполняются обычные условия:

приа=±«0 О = 0, Т = Тт, х^ = ^(14.11)

(считаем ао > 0; знаки «плюс» и «минус» соответствуют правому и левому каналам). Величина ао связана с геометрическими параметрами а и d соотношениями: а = sh ао, d = ch ао. " Предполагаются также выполненными условия конечности возмущения температуры вдали от каналов и замкнутости потока.

Ограничимся нахождением приближенного решения, определяющего нижний уровень неустойчивости. С этой целью аппроксимируем скорость' простейшим полиномом, удовлетворяющим граничным условиям

х)=«й\\-^х^-уЛ.(14.12)

Здесь По — произвольная (ввиду однородности задачи) амплитуда движения, имеющая разные знаки для правого и левого каналов.

Температура в массиве Тт является гармонической функ, цией, нечетной относительно х (т. е. и а), исчезающей на бесконечности (при а-+0) и периодической по 0:

Тт = соа + С! sho • cos0 + c2sh 2а • cos20 + ... (14.13)

Температуру жидкости также аппроксимируем полиномом вида ' T^A-VBU-d^-VC^x-d^-VCy2. (14.14)

4 Г, 34 Гершуни, Е. М. Жуховицкий

Входящие в (14.14) постоянные будут определены из граничных условий и требования, чтобы температура приближенно (в смысле метода Галеркина) удовлетворяла уравнению тепло- йроводности: "

J (АТ+ 0)7^5 = 0 (14.15)

(интегрирование производится по сечению каналов). Разлагая Т в ряд Фурье по переменной 0 и ограничиваясь в этом разложении, а также в (14.13), двумя первыми гармониками, получим из граничных условий (14.11) для температуры и интегрального условия (14.15) пять соотношений для определения постоянных А, В, С, с0 и Сь Таким путем находятся приближенные выражения для температуры жидкости Т и массива Тт,

Рис. 31. Критическое число Рэлея для связанных круговых каналов в зависимости от расстояния между осями каналов.Рис. 31. Критическое число Рэлея для связанных круговых каналов в зависимости от расстояния между осями каналов.соответствующие аппроксимации скорости (14.12).

Рис. 31. Критическое число Рэлея для связанных круговых каналов в зависимости от расстояния между осями каналов.

Рис. 31. Критическое число Рэлея для связанных круговых каналов в зависимости от расстояния между осями каналов.

Критическое число Рэлея найдем обычным образом, составив интегральное условие Галеркина для уравнения (10.5). После вычислений получим:

где f — известная функция ао и й

f = % (а0 +f = % (а0 +е а°е а°ch а0 + х sh а0 /ch а0 + х sh а0 /Формула (14.16) определяет критическое число Рэлея R как функцию отношения теплопроводностей жидкости и массива х и расстояния между осями каналов (в единицах радиуса) 2d = = 2ch «о. Зависимость R от без

f = % (а0 +

f = % (а0 +

е а°

е а°

ch а0 + х sh а0 /

ch а0 + х sh а0 /

размерного расстояния d для нескольких значений х указана на рис. 31. Наиболее устойчи-

вым оказывается равновесие при х = О (бесконечная теплопроводность массива). В этом случае критическое число Рэлея

максимально и не зависит от расстояния между каналами; его значение получается из формулы (14.16) при f = 0 и равно 36. (Напомним, что в случае одиночного канала, окруженного идеально теплопроводным массивом, R = 215,6). С увеличением й и d (т. е. с ослаблением тепловой связи между каналами) критическое число R убывает.

Из формулы (14.16) видно, что в рассмотренном приближении критическое число Рэлея определяется, в сущности, одним

параметром /. Этому параметру можно придать наглядный смысл, связав его с эффективным значением безразмерного числа Био Ь, которое определим через усредненные по границе канала тепловой поток и температуру:

Здесь знак ( ) означает усреднение по границе. Подставляя Т, получим b = 2/f. Таким образом, параметр f убывает с увеличением теплопередачи между жидкостью и массивом, т. е. с увеличением связи между каналами. Эта величина является аналогом параметра связи x|%i| в случае плоских каналов. Для больших (по сравнению с радиусом) расстояний между каналами (d>?> 1, ао ^ 1)

f = 2ха0 = 2х In 2d.

Приведенное решение относится к случаю каналов, взаимодействующих через твердый массив. Возможна также ситуация, когда теплопроводный массив отсутствует, а на боковых границах связанных каналов выполняется линейный закон теплоотдачи. Расчет устойчивости для этого случая проведен в работе Г. Ф. Шайдурова р3]. Там же обсуждаются результаты проведенных экспериментов. Отметим также работу А. Ф. Пшеничникова и Г. Ф. Шайдурова р4], в которой изучалась конвективная устойчивость в связанных концентрических каналах.

§15. Возмущения, периодические вдоль вертикали

В предыдущих параграфах рассматривалась конвективная устойчивость в каналах по отношению к осевым возмущениям, не зависящим от вертикальной координаты. В уравнения для возмущений координата г не входит, и потому возможны также возмущения ячеистой структуры, периодически меняющиеся вдоль вертикали. В бесконечно длинном канале возмущения образуют непрерывный спектр по продольному волновому числу к, а рассмотренные выше движения, при которых скорости вертикальны, соответствуют предельному случаю к-* О (бесконечная длина волны).

Для выяснения влияния продольного периодизма возмущений на границу устойчивости обратимся к случаю плоского канала. Будем рассматривать плоские возмущения, в которых вектор скорости имеет компоненты иж и их. Введем функцию тока для возмущений скорости ф(х, z) следующими соотношениями:

оДх, z) = -^-, oz(x, z) = — ^--. (15.1)

Исключая давление и вводя в (10.2) функцию тока, получим

(15.2)(15.2)0,

(15.2)

(15.2)

АТ--^-^О.

Здесь А = d2/dx2 + d2/dz2— оператор Лапласа в плоскости (х, 2).

Рассмотрим нормальные возмущения, периодически зависящие от z:

ф(х, г) = ф(х)е'^, Цх, г) = 0(х)е'*г.(15.3)

Здесь к — вещественное волновое число, связанное с длиной волны соотношением к = 2л/Х. Для амплитуд ф(х) и 0(х) из (15.2) получаем систему линейных однородных уравнений

Ф1У - 2&2ф" + к^ = R0', 1

0" —£20 = ф'. ](15,4)

Особенно просто находится спектр критических чисел в модельной задаче о слое со свободными теплоизолированными границами. В самом деле, граничные условия

при х=±1 ф = ф" = 0, 0' = 0(15.5)

позволяют получить простые точные решения нечетного и четного типов:

0„ = sin (-у-я),0„ = sin (-у-я),п = 1, 3, 5, ...,п = 1, 3, 5, ...,Фп =Фп =п = 2, 4, 6, ...п = 2, 4, 6, ...

0„ = sin (-у-я),

0„ = sin (-у-я),

п = 1, 3, 5, ...,

п = 1, 3, 5, ...,

Фп =

Фп =

п = 2, 4, 6, ...

п = 2, 4, 6, ...

Критические числа Рэлея определяются для обоих типов решений общей формулой

кЧ-Т-Н'+ШТ1 " = 1.2.3,(15.6)

Из этой формулы видно, что критические числа R для всех уровней спектра монотонно возрастают с ростом волнового числа возмущений, причем при малых к имеет место квадра-

Рис. 32. Критическое число Рэлея в зависимости от вертикального волнового числа (четыре нижних уровня спектра).Рис. 32. Критическое число Рэлея в зависимости от вертикального волнового числа (четыре нижних уровня спектра).

Рис. 32. Критическое число Рэлея в зависимости от вертикального волнового числа (четыре нижних уровня спектра).

Рис. 32. Критическое число Рэлея в зависимости от вертикального волнового числа (четыре нижних уровня спектра).

тичный рост R с к, а в предельном случае коротковолновых возмущений (^.>>1) закон возрастания R ~ к6. Интересно заметить, что формула (15.6) дает пересечение уровней, соответствующих модам с разными п. Так, при к = 3,2 происходит пересечение первого и второго уровней спектра. Поэтому при к -< 3,2 наиболее опасно нечетное возмущение (п=1), а при к "> 3,2 — четное возмущение (п = 2).

В случае слоя с твердыми идеально теплопроводными границами вместо граничных условий (15.5) будем иметь•

при х—+1 ф = ф' = 0, 0 = 0.(15.7)

Краевая задача (15.4), (15.7) также может быть решена точно. Однако получающееся при этом характеристическое уравнение

оказывается довольно сложным. Поэтому для нахождения нижних уровней спектра критических чисел целесообразно в этом случае воспользоваться приближенным методом Галеркина. В более общей постановке — для слоя произвольной ориентации по отношению к вертикали — эта задача рассмотрена в работе I25] и будет подробно разобрана в следующем параграфе. Здесь приведем лишь результаты расчета нижних уровней спектра (рис. 32). При к = 0 получается спектр плоской задачи (формулы (12.21), (12.22)). С увеличением к все критические числа монотонно возрастают. Таким образом, как и в разобранном выше модельном примере (15.6), наиболее опасными являются

осевые возмущения с к = 0.

Дробление потока по вертикали приводит к повышению критического числа Рэлея. Этот результат сохраняется и для других типов граничных условий [11,12, uj

Рассмотрению аналогичной задачи об устойчивости равно

весия в вертикальном круговом канале по отношению к ячеистым возмущениям посвящены работы Э. И. Славновой [26] и В. И. Чернатынского, А. Н. Паршакова [27]. В [26] в первом приближении метода Галеркина найдено критическое число Рэлея для нижнего уровня спектра, соответствующего диаметральной

Рис. 33. Плоский наклонный слой. Оси координат.Рис. 33. Плоский наклонный слой. Оси координат.

Рис. 33. Плоский наклонный слой. Оси координат.

Рис. 33. Плоский наклонный слой. Оси координат.

антисимметрии движения в каждой ячейке. Критическое число оказывается функцией двух параметров: волнового числа к и отношения теплопроводностей жидкости и массива й. В [27] точно найдены две осесимметричные моды для теплоизолированных границ канала. Для всех мод критическое число R, как и в обсужденном выше случае плоского канала, возрастает монотонно с увеличением к.

В работе [2в] сообщается также о наблюдавшихся в эксперименте диаметрально-антисимметричных ячеистых структурах в вертикальном канале. Измеренные критические градиенты температуры и размеры ячеек соответствуют теоретическим результатам.

§ 16. Периодические возмущения в наклонном канале [25]

Из результатов предыдущего параграфа следует, что минимальное критическое число Рэлея в случае вертикального ка-

нала соответствует бесконечной длине волны возмущения; разбиение на ячейки вдоль оси приводит к повышению устойчивости. В случае горизонтальных каналов ситуация иная: в плоском слое, например, минимум критического числа Рэлея соответствует возмущениям определенной конечной длины волны (гл. II), вследствие чего возникающая конвекция имеет ячеистую структуру. Аналогичным образом обстоит дело и в горизонтальном круговом канале, где, как будет показано в § 18, также предпочтительным является ячеистое возмущение с конечной длиной волны.

Естественно, возникает вопрос о том, как происходит смена формы неу

стойчивости при изменении угла наклона канала к вертикали. При этом, конечно, предполагается, что и в случае наклонного канала возможно равновесие, т. е. условия подогрева обеспечи

вают вертикальность и постоянство градиента температуры в жидкости. Проще всего выяснить этот вопрос на при

мере плоского слоя с идеально теплопроводными грани

цами.

Рассмотрим плоский слой жидкости между двумя параллельными плоскостями, наклоненными под углом а к вертикали (рис. 33). Рассматривая, как и в предыдущем параграфе, плоские нормальные возмущения, периодические вдоль оси г

(см. формулы (15.1), (15.3)), получим для амплитуд функции тока ф(х) и температуры 9(х) вместо (15.4) более сложную систему

ф!У — 2/?2ф" + А4ф = R Цк sin а • 9 + cos а • 9'), 1

9" — к29 = ik sina • ф 4- cosa • ф' / (16.1) с граничными условиями

при х=±1 ф = ф' = 0, 9 = 9.(16.2)

Здесь, как и прежде, число Рэлея определено через полуширину слоя и равновесный вертикальный градиент температуры. Решение краевой задачи (16.1), (16.2), а следовательно, и критические числа R теперь зависят от двух параметров — волнового числа к и угла наклона а.

Критический угол. Прежде всего можно показать, что смена формы неустойчивости — переход от плоскопараллельных движений к ячеистым — происходит при некотором критическом значении угла наклона. Для этого нужно рассмотреть решение задачи в предельном случае длинноволновых возмущений, для которых длина волны много больше ширины канала, а безразмерное волновое число к мало и может быть принято в качестве малого параметра.

Следуя методу малого параметра, будем искать амплитуды возмущений ф и 9 и критическое число R в виде разложений по малому параметру ik:

ф=ф(о)+w ф(п+w ф(2) + ... а

9 = 9(0) 4- № 0О) + (^)2 0(2) 4-('

r = r(0)4-^2r(2>4-^4r(4)4-(16-4)

(разложение вещественной величины R содержит, естественно, лишь четные степени ik). '

• Подставляя разложения (16.3), (16.4) в (16.1), можно получить уравнения последовательных приближений. Нулевое приближение определяет критические числа R<°> и амплитуды ф(°) и 9<°> плоскопараллельных возмущений с к = 9. Для амплитуд более высоких приближений ф!*), 9<’> получаются неоднородные уравнения, из условий разрешимости которых находятся поправки R<2>, R<4), ...

Отсылая за подробностями вычислений к работе р5], приведем здесь лишь результаты, касающиеся спектра критических чисел R.

" Собственные числа R<0> плоскопараллельных возмущений, как оказывается, растут с увеличением угла наклона по закону

где значения у определяются разными формулами для уровней разной четности. Для нечетных уровней

Y = (n+1)^-; п=1, 3, 5,

Для четных уровней значения у определяются как корни трансцендентного уравнения

tgY = thy; Y = 3,927; 7,069; 10,21;...

Нечетные и четные уровни чередуются в порядке возрастания: Yi = я; Y2 = 3,927; Y3 = 2л; Yi =7,069; ... (см. (12.21), (12.22)).

Из условия разрешимости неоднородной системы уравнений для амплитуд второго порядка ф(2>, 0<2> находится квадратичная поправка R<2>. Для нечетных уровней

R(2) ” тХ f1 - 4 ^ ° (6т cth Y - 5)],(16.4')

где Y = л, 2л, Зя, ....

Поведение нейтральных кривых R(&) при малых к зависит от знака R<2>. Если R<2> > 0, то в точке к = 0 на кривой устойчивости имеется минимум, и это означает, что наиболее опасными являются плоскопараллельные возмущения. Если R<2> < 0, то точке к = 0 соответствует максимум на нейтральной кривой, а минимум следует искать в области к 4 0 (ячеистые возмущения). Таким образом, смене формы неустойчивости соответствует изменение знака R(2). Из формулы (16.4') видно, что при малых а квадратичная поправка R<2> положительна. С увеличением а поправка монотонно убывает и меняет знак при некотором значении угла наклона «о. Из условия R<2> = 0 получим критический угол

6v.cthv-5)) <16-6)

Для нижнего нечетного уровня, который определяет порог конвекции, у = л и, следовательно, ао = 2О°46/. Таким образом, в интервале углов 0 < а < ао минимальное число Рэлея соответствует плоскопараллельным возмущениям с кт = 0 и равно (см. (16.3')),

(16.6)

При а > «о минимум достигается при ^т^О1). Аналогично Поведение кривых устойчивости R(^) при малых к для более Высоких нечетных уровней спектра. Критические углы опреде*

ляются формулой (16.5) с соответствующими значениями у* Для следующего нечетного уровня критический угол «о = = 13° 53'.

Для определения волнового числа кт, соответствующего минимуму на кривой R(&) вблизи критического угла ао, заметим, что при а ~ ао из (16.4'), (165) следует

R(2> = а (а0 — а) (а > 0).

Разложение (16.4) с точностью до членов порядка к* имеет вблизи критического угла ао вид

■R = R<0) - а (а - а0) к2 + R(4^4,

где а >0 и RW > 0. Минимизация R по к дает

кт = У -^ (« - «о) .(16.7)

Таким образом, при а ^ а0 критическое волновое число кт растет по корневому закону.

Квадратичная поправка R(2) для всех четных уровней спектра оказывается положительной при всех а. Кривые R(^) для четных уровней всегда имеют минимум при к = 0, и критические углы отсутствуют. Смена формы неустойчивости происходит и на четных уровнях, однако, как будет видно при обсуждении численных результатов, этот переход имеет другой характер *).

Численное решение для произвольных к. Для получения спектра .неустойчивости при конечных значениях волнового числа к следует обратиться к полной системе (16.1). Можно написать общее решение этой линейной системы с постоянными коэффициентами. Однако получающееся характеристическое соотношение, из которого следует находить критические числа Рэлея, оказывается очень сложным. Поэтому целесообразно воспользоваться методом Галеркина.

Представим амплитуды ф(х) и 0(х) в виде разложениймN

Ф = 2 а/Фь 6=2 Ь^.(16.8)

‘1=01=0

В качестве базисных функций ф, и 0; примем собственные функции следующих краевых задач:’

(16.9(16.9ф1У—2£2ф"+/?4ф,=—^ (ф" — к2^); ф, (± 1) = ф; (± 1) = 0; | 6/ - к^ = - vz6z; 6, (± 1) = 0. |

(16.9

(16.9

Эти базисные функции представляют собой амплитуды нор^ мальных возмущений скорости и температуры в плоском слое покоящейся жидкости при R = 0, а ^ и V/— соответствующие декременты этих возмущений. Явный вид базисных функций и соотношения для определения собственных чисел р,г и V/ приведены в [29]; см. также гл. X.

Рис. 34. Нейтральные кривые основного уровня неустойчивости для разных углов наклона.Рис. 34. Нейтральные кривые основного уровня неустойчивости для разных углов наклона.Рис. 35. Критические параметры основного уровня неустойчивости в зависимости от угла наклона.Рис. 35. Критические параметры основного уровня неустойчивости в зависимости от угла наклона.

Рис. 34. Нейтральные кривые основного уровня неустойчивости для разных углов наклона.

Рис. 34. Нейтральные кривые основного уровня неустойчивости для разных углов наклона.

Рис. 35. Критические параметры основного уровня неустойчивости в зависимости от угла наклона.

Рис. 35. Критические параметры основного уровня неустойчивости в зависимости от угла наклона.

Интегральные соотношения метода Галеркина приводят к линейной однородной системе для коэффициентов а^ Ьь Задача определения спектра критических чисел Рэлея сводится к нахождению собственных значений соответствующей вещественной матрицы. Для диагонализации этой матрицы использовался ортогонально-степенной метод [30]. Расчеты были проведены на ЭВМ в приближении М = N = 7. В этом приближении матрица имеет 16-й порядок, и в результате ее диагонализации получаются восемь уровней спектра критических чисел R. Достаточной точностью, естественно, обладают лишь нижние из них.

На рис. 34 представлены нейтральные кривые Ri(&) нижнего уровня неустойчивости для разных углов. При 0 < а < 21° критическое число Ri монотонно возрастает с увеличением волнового числа 6; минимум соответствует кт = 0. При а > 2Г минимум смещается в область кт У= 0. Минимальное значение Rim, определяющее границу устойчивости, изображено р зрщр

симости от а на рис. 35, а. Устойчивость максимальна в области углов, близких к 35°. При а->90° Rim~* 106,8 (первое критическое число задачи об устойчивости горизонтального слоя с твердыми границами; это число нужно умножить на 16, чтобы получить число Рэлея, определенное через полную ширину слоя и разность температур границ; тогда получим значение 1709).

Рис. 36. мНейтралыши жривые Евтареп» уровня " неустойчивости.

Величина Rim довольно слабо зависит от угла наклона. Однако при изменении а происходит смена формы неустойчивости. При а < ао кризис равновесия обусловлен плоскопараллельными движениями (/?т = 0), а при а > ао неустойчивость имеет форму ячеек Бенара, волновое число которых кт монотонно возрастает с ростом угла (рис. 35,6).

Нейтральные кривые R2(&) второго уровня спектра представлены на рис. 36. Как уже указывалось выше, в этом случае при всех а имеется минимум при к = 0. Соответствующее минимальное значение R2m меняется с углом а по формуле (16.3'), где у = 3,927 (кривая / на рис. 37). При увеличении а на кривых устойчивости сначала появляется точка перегиба, а при а = 43° возникает второй минимум при кт = 2,0. С ростом а этот минимум смещается в сторону больших к. Зависимость

минимального критического числа Ram (а) изображена на рис. 37, кривая II. При а—>90° получается Ram =1102—второй уровень спектра рэлеевской неустойчивости в горизонтальном слое; Переход от плоскопараллельных движений к ячеистым проис-

Pic 37. Жритичекжав чигло Р2т в зависимости ют угла наклона.

ходит при а = 63°, где пересекаются кривые 7 и //. В этой точке km скачком изменяется от нуля до конечного значения.

Поведение верхних уровней неустойчивости более сложно. Нейтральные кривые R(^) имеют несколько экстремумов; число их Зависит от угла и возрастает с ростом номера уровня.

В заключение заметим, что описанная смена формы неустойчивости при изменении угла наклона, по-видимому, типична для длинных каналов произвольного сечения.

ГЛАВА IV

ЗАМКНУТЫЕ ПОЛОСТИ

В этой главе мы рассмотрим различные задачи линейной теории конвективной устойчивости для ограниченных объемов. Критические движения в этих случаях имеют существенно трехмерную структуру, и точное решение получить не удается. Для приближенного решения задачи применяется метод Бубнова— Галеркина, позволяющий с достаточной точностью определить несколько нижних уровней спектра неустойчивости.

Шаровая полость р]

Базисные функции. Рассмотрим, прежде всего, задачу о конвективной устойчивости жидкости в шаровой полости, окруженной однородным твердым массивом. Условия подогрева таковы, что на большом расстоянии от полости в массиве задан постоянный вертикальный градиент температуры —Лту (при подогреве снизу Лт>0). В этих условиях (см. § 2) возможно равновесие жидкости, причем равновесный градиент температуры в ней А связан с градиентом в массиве Ат соотношением

а 2 + х

где х = х/хт — отношение теплопроводностей.

Для решения задачи об устойчивости равновесия с помощью метода Галеркина необходимо выбрать систему базисных функций. Векторные базисные функции для аппроксимации скорости удобно искать в виде полиномов, обращающихся в нуль на границе полости:

«х = (1— Г2) 5 amnpxmyRzp,т, п, р

(17.1)(17.1)Uy = <\-r^ 5 bmnpXVz’’,т, п, р

(17.1)

(17.1)

MZ = (1—г2) S СтпрХтуП2Р.т, п, р

Здесь г2 = х2 + У2 + 22; х, у, z — декартовы координаты (рис. 38); радиус шаровой полости а принят за единицу длины.

Потребуем, чтобы базисные функции для скорости удовлетворяли уравнению непрерывности. Подставляя (1.7.1) в

уравнение непрерывности div и = О, получим систему соотношений, связывающих коэффициенты

(1 +m)[am-l,„,p — am+1,„,р + am + l, п-2, р + am + l, п, р-2] +

“Ь (1 Н-^) [^т, п—1, р ^т, п+1, р 4" Ьт, п+1, р—2 + Ьт— 2, п+1, р] 4“

4~ (1 4* Р) l^m, п, р—1 Ст_ п, р+1 4" Ст—2, п, р+1 4“ Ст, п—2. р+1] = 0*

'(17.2)

Ограничимся вначале полиномами четвертой степени (т + + п + р^2). В этом случае формулы (17.1) содержат 30 коэффициентов, а уравнения (17.2) связывают их 19 соотношениями. Имеется, таким образом,- 11 независимых коэффициентов, что позволяет построить 11 независимых базисных векторов «,. удовлетворяющих уравнению непрерывности и обращающихся в нуль на границе полости. Удобно выбрать базисные векторы следующим образом:

00«1 = ] — г(1— г2), «2 =У(1-г2)«1 = ] — г(1— г2), «2 =У(1-г2)(у2_г2)(1_г2)— ху(1 — г2), и8 =XX (1 — Г2)(у2_г2)(1_г2)— ху(1 — г2), и8 =XX (1 — Г2)г(1-г2)0, «3 =— х(1 — г2)уг(1 — г2)0, и6 =-хук\-г^ху(1-г2)(г2 — х2) (1 — г2), — ух(1—г2)г(1-г2)0, «3 =— х(1 — г2)уг(1 — г2)0, и6 =-хук\-г^ху(1-г2)(г2 — х2) (1 — г2), — ух(1—г2)-у(1-г2) х(1—г2), 0— XX (1 — г2) ух(1—г2), (х2-у2)(1-г2)-у(1-г2) х(1—г2), 0— XX (1 — г2) ух(1—г2), (х2-у2)(1-г2)

0

0

«1 = ] — г(1— г2), «2 =У(1-г2)

«1 = ] — г(1— г2), «2 =У(1-г2)

(у2_г2)(1_г2)

— ху(1 — г2), и8 =

XX (1 — Г2)

(у2_г2)(1_г2)

— ху(1 — г2), и8 =

XX (1 — Г2)

г(1-г2)

0, «3 =

— х(1 — г2)

уг(1 — г2)

0, и6 =

-хук\-г^

ху(1-г2)

(г2 — х2) (1 — г2), — ух(1—г2)

г(1-г2)

0, «3 =

— х(1 — г2)

уг(1 — г2)

0, и6 =

-хук\-г^

ху(1-г2)

(г2 — х2) (1 — г2), — ух(1—г2)

-у(1-г2) х(1—г2), 0

— XX (1 — г2) ух(1—г2), (х2-у2)(1-г2)

-у(1-г2) х(1—г2), 0

— XX (1 — г2) ух(1—г2), (х2-у2)(1-г2)

2хх(1 — г2)2ух(1 — г2), (1-3^2 + 2г2)(1 - г2)2хх(1 — г2)2ух(1 — г2), (1-3^2 + 2г2)(1 - г2)“10 =“10 =(1 — Зг2 + 2х2) (1 — г2) 2ху(1-г2) , 2хх (1 — г2)(1 — Зг2 + 2х2) (1 — г2) 2ху(1-г2) , 2хх (1 — г2)

2хх(1 — г2)

2ух(1 — г2), (1-3^2 + 2г2)(1 - г2)

2хх(1 — г2)

2ух(1 — г2), (1-3^2 + 2г2)(1 - г2)

“10 =

“10 =

(1 — Зг2 + 2х2) (1 — г2) 2ху(1-г2) , 2хх (1 — г2)

(1 — Зг2 + 2х2) (1 — г2) 2ху(1-г2) , 2хх (1 — г2)

2ху(1 — г2)

«п =«п =(17.3)(17.3)(1 — Зг2 + 2у2) (1 — г2).

«п =

«п =

(17.3)

(17.3)

2ух(1 — г2)

Эти базисные функции распадаются на четыре группы разной симметрии: («ь «2, «з); («4, «з); (“е, «7, «з); (“э, «ю, «и). Функции, входящие в каждую группу, получаются одна из другой преобразованием симметрии.

Критические движения можно представить в виде суперпозиции базисных движений (17.3):

(17.4)(17.4)V= ^ CtUi.

(17.4)

(17.4)

Коэффициенты Ct будут определены далее с помощью метода

Галеркина. .

В соответствии с процедурой, описанной в § 4 (второй вариант метода), нужно решить уравнение теплопроводности и найти распределение температуры2

в жидкости и массиве, соответст-11

вующее аппроксимации скорости (17.4)/ Безразмерные уравнения теплопроводности в жидкости и массиве имеют вид

АГ = — у2, Мт = 0.

Подставляя в первое из этих уравнений аппроксимацию скорости (17.4) и решая уравнения с условиями непрерывности температуры и теплового потока на границе жидкость — массив, найдем 9

T = ^ctTb Tm = '2i ctTmb (17.5) Рис- 38- Шар^яннпаотлость- Оси*ко-

Приведем лишь нужные для дальнейшего функции Ть дающие распределение температуры в жидкости:

r^fJH^/’sinv, r2 = -fl(r)P(1l,cosV, Т3 = 0,

T4 = -75 = f2(r)P*2)sin2v, Г6 = 2/2(г)Р22)со8 2ф,1

^7 = 4 7io = ^ ^ Р^* cos Ф, Г8 = - ± Г„ = - 2f2(r) P(2n sin ф,

Т9 = ^- (1-г2)3 + 8/2 (г) Р^.

Здесь введены обозначения для радиальных функций:

мг)—^(Ч-:^'-|4"+5н.

ьи=-йЫ5Й$^-18',+74

9 При решении уравнений теплопроводности оказывается полезным выражение для гармонической функции в сферических координатах:

f —(д/тг “1“ /4-1 I cos ^Ф I clmr /4-1 у sin Мф Рд (coSy)?

z?x*=O l=m L

ГД6 Р^ (cos 0) — присоединенное подиноцы Дежацдрд.

Нижние уровни спектра неустойчивости. Аппроксимация скорости (17.4) и соответствующее распределение температуры (17.5) позволяют составить систему уравнений метода Галер- кина для нахождения коэффициентов с<. Условие разрешимости этой системы записывается в виде

det(a^ = O.(17.6)

Отличные от нуля элементы определителя таковы:

„ 137 + 68%п„ _ 1

ан _а22 — 11?325 (2 +к, а33— R ,

44— #55 = 1 cR, а45 = а54 =2* 4” CR>

4

66 = 1з" ^R> #77 = ^88 = 3 — CR,

#7, Ю — #10, 7 — — ^8, И — — #11, 8 — — 2CR, .2 (425 + 331%) оп

«991315 315(3 + 2х) ^’ О|оао аи. 1120 4cR,

где

'_47 + 79х

С — 42 042 (3 + 2х) *

Из уравнения (17.6) определяются критические числа Рэлея, а из системы однородных уравнений метода Галеркина — соответствующие коэффициенты с,. Уравнение (17.6) имеет семь конечных вещественных корней R — три двукратных и один простой. Кроме того, имеются четыре бесконечных корня. Таким образом, определяются четыре различных критических числа.

Рассмотрим критические числа Рэлея и соответствующие им критические движения в порядке возрастания R при й=оо. ’

Первый двукратный корень равен

_ 17 325 (2 + х)Ка —37 + 68х*

Этому корню соответствуют две собственные функции va = в, и »' = «2. Они изображают движение жидкости по круговым траекториям, лежащим в вертикальных плоскостях (рис. 39, а). Траектории движения va лежат в плоскостях, параллельнйх координатной плоскости (z/, z); траектории v' параллельны плоскости (х, z) и получаются из va поворотом на 90° вокруг вертикальной оси.

Далее рассмотрим корень

р _ 63 063(3 + 2х)..

Кб— 2 (47 + 79х) '(171^

Этот корень также является двукратным. Одно из соответствующих критических движений »с=««; другое движение

»5 = и4— и5 отличается от v6 лишь поворотом вокруг вертикали на 45°. Это движение схематически изображено на рис. 39, б.

Затем следует простой корень

. 315 315(3 + 2%)n7Q.

Кв 2 (425 + 331%)'

Соответствующее критическое движение vB = «9 аксиально-симметрично (рис. 39,в).

Еще один двукратный корень равен

315 315(3 + 2%)Л71т

Кг 4 (47 + 79%) *(U.1U)

Критические движения иг= 10и7 4-3ul0 и v' = — 10а8 + 3«п отличаются поворотом относительно оси г на 90°. Одно из них изображено на рис. 39, г.

г)д)

Рис 39. Критические движения в шаровой полости.

Наконец, укажем движения, соответствующие четырем бесконечным корням характеристического уравнения:

..«з, а4 + «5, «10 —2а7, Иц 4-208.

Во всех этих случаях о2=0— жидкость движется в горизонтальных плоскостях.

Найденные критические числа Рэлея в зависимости от отношения теплопроводностей Я приведены на рис. 40. Как видно, все критические числа с ростом Я убывают. Во всем интервале изменения Я наиболее опасным является движение типа а — ему соответствует наименьшее критическое число Рэлея. В более высоких уровнях спектра возможны пересечения, связанны?

Рис, 40. Критилеские числа Рэлея для шаровой полости в зависимости от отношения теплопроводностей.Рис, 40. Критилеские числа Рэлея для шаровой полости в зависимости от отношения теплопроводностей.

Рис, 40. Критилеские числа Рэлея для шаровой полости в зависимости от отношения теплопроводностей.

Рис, 40. Критилеские числа Рэлея для шаровой полости в зависимости от отношения теплопроводностей.

с изменением формы неустойчивости. Так, уровни Кб и RB пере^ секаются при % « 3.

Заметим, что структура трех нижних уровней спектра не

устойчивости вполне аналогична структуре спектра в верти

кальном круговом цилиндре (см. рис. 19). Движения типа а, б и в по своей симметрии являются аналогами движений с индексами (п=1, / = 1); (п = 2, /= 1); (п = 0, / = = 1) в случае вертикального цилиндра. Движения типа гид (последнее будет рассмотрено ниже) не имеют аналогов в спектре движений бесконечного цилиндра.

Обсужденные уровни неустойчивости получены с использованием базисных функций, построенных из полиномов не выше четвертой степени. Включение в (17.1) полиномов более высокого порядка приводит к значительному расширению базиса. Таким путем можно уточнить найденные нижние уровни

спектра и получить критические числа и движения для более высоких уровней. Среди движений, описываемых полиномами пятой степе

ни, наиболее интересна аксиально-симметричная мода (рис. 39,д). Распределение скорости аппроксимируется базисной функцией

x[4z2 —(1 — ^1(1 — г2)

« = { ^ [4z2 — (1 — г2)] (1 — г2).

2z [2г2 + (1 — Зг2)] (1 - г2)

а критическое число Рэлея оказывается равным

(17.11)(17.11), _ 135 135(4 + 3%)

(17.11)

(17.11)

■д 8 (17 + 16%)"

При х=0,5 уровни Rr и Рд пересекаются (рис. 40).

3. Уточнение основного уровня неустойчивости. Основной интерес представляет нижний уровень спектра неустойчивости, определяющий начало конвекции в полости. Найденное выше значение критического числа Ra соответствует первому приближению метода Галеркина, поскольку оно получено при помощи единственной базисной функции «1 или и2. Остальные использованные базисные функции обладают ИНОЙ симметрией и ро-

этому не приводят к уточнению нижнего уровня. Для уточнения критического числа Ra необходимо использовать суперпозицию нескольких базисных функций одинаковой симметрии, соответствующей основному уровню.

Аппроксимация, с помощью которой был найден основной уровень неустойчивости в первом приближении, описывает плоские движения с круговыми траекториями. Добавление новых функций той же симметрии искажает круговую форму траекторий и делает их неплоскими. Можно думать, однако, что траектории основного критического движения в шаровой полости близки к плоским. Поэтому при уточнении основного уровня [2] мы будем считать, что отличны от нуля лишь компоненты скорости иж и vz, которые можно выразить через функцию тока Ф(х, у, z): .

’»=#• ". = °. (I7-12)

Исходя из трех базисных функций при аппроксимации ф(х, у, z)

(1 — г2)2, (1 — г2)2 г2 sin2 6, (1 — г2)2 г2 cos2 О, получим подформулам (17.12) три базисных вектора

«<о =

z (1 - г2 + 2z2) (1 - г2)

О.

2xz2(l - г2).

Базисные векторы «О, и<2\ и<3> описывают движения в плоскостях, параллельных координатной плоскости (х, z). В первом приближении использовалась только одна функция «(•>.

Решая уравнение теплопроводности, получим распределение температуры в жидкости, соответствующее этому базису:

Tw = — -^ (с/ — 14r3 + 5r5) Р^ cos ф,

Г(2) — (с2г - 189г3 + 243г5 - 91r7) P’i0 cos ф -

'~~ 7^5 ^ ~~ 22f5 + 9г^ ^” cos ф»

Т(3) — -^ (c4r - 27г5 + 14r7) Р^ cos ф +

+ 7^5 ta*-3 - 22f 5 + 9г^ Р^ cos ф’

где•

_18+17х_74—Их _ 52 + 47х_ 26 + 37х

2 + й ’ С2 2 + х ’ Сз 4 + Зх ’ С4~2 + х

Характеристическое соотношение можно записать в виде deUbu-Rclk) = 0.(17.13)

Элементы определителя равны:

6ц = 9, 612 = ^21 = 5, Ьхз=Ьз\ = \,

А __ 123 к — к — ^ а — 63 ^22 — "ур 1°23 — У32 — уу ,^33 — "55",

_ 37 + 68х„ _ „ _1 + 6х

Сп 1925 (2 + х) ’ С12 ~ С21 — 385 (2 + х) ’ __ 123 + 276х_ 13 396 + 61 205х + 39 051х2

С13С3175 075 (2 + х) ’ С22— 1 486 485 (2 + х) (4 + Зх) ’

17 428 + 74 435х + 44 658S2 й23 —^32 — 7 432 425 (2 (-ж) (4 + 3%) ’

,6980 + 20 347х + Ю 788$?

С33:=::Е 1 486 485 (2 + х) (4.+ 3х) *

Раскрывая определитель в (17.13), получим кубическое уравнение, наименьший корень которого дает уточненное значение

Я

R

0

775,1

0,2

670,1

0,5

560,1

1

467,7

2

385,8

5

314,2

ОО

251,0

Таблица 6Таблица 6Критические числа Рэлея для шаровой полостиКритические числа Рэлея для шаровой полостинижнего критического числа Ra1). Критические числа Ra для некоторых значений отношения теплопроводностей жидкости и массива приведены в табл. 6.

Таблица 6

Таблица 6

Критические числа Рэлея для шаровой полости

Критические числа Рэлея для шаровой полости

. Как и следовало ожидать, уточненные значения Ra ниже значений, определяемых первым приближением (формула (17.7)). При х = оо (теплоизолированные границы) поправка мала и составляет 1,6%. С уменьшением х поправка монотонно возрастает, достигая 21 % при х = 0 (идеально теплопроводные границы).

Дальнейшее утрчнение результатов требует включения в расчет большего числа базисных функций, построенных, например, на основе полиномов более высокой степени.

Расширение базиса позволяет, в частности, учесть то обстоятельство, что основное критическое движение не является, строго говоря, плоским. Весьма аккуратный расчет Шермана [3], проведенный для частного случая полости с идеально проводящей

границей (Я = 0), привел к значению критического числа Ra = = 745,9 (отличие от значения 775,1, приведенного в табл. 6, менее 4%).

Экспериментальное исследование конвективной устойчивости равновесия жидкости в шаровой полости было проведено в работе А. П. Овчинникова и Г. Ф. Шайдурова [4]. Они наблюдали кризис теплового потока и форму критического движения в шаровой полости, заполненной водой и окруженной массивом из плексигласа. Эксперимент показал, что кризис равновесия связан с движением типа а (см. рис. 39); определенное в эксперименте критическое число Рэлея оказалось равным 350 ± 30 для отношения теплопроводностей воды и плексигласа Я=3,26. Соответствующее теоретическое значение, определяемое уравнением (17.13), составляет Ra=340.

Заканчивая обсуждение вопроса об устойчивости равновесия в шаровой полости, укажем на работу [5], в которой проведен расчет спектра декрементов нестационарных возмущений. Рассматривались возмущения специального вида, для которых радиальная компонента скорости ит мала и траектории частиц жидкости расположены на соответствующих сферических поверхностях (к числу таких движений принадлежит, в частности, основное критическое) ^ В работе [6] возмущения такого же вида рассматривались в связи с определением границы устойчивости равновесия в шаровом слое.

Более сложный случай устойчивости равновесия в системе двух несмешивающихся жйдкостей, заполняющих шаровую полость, изучался теоретически в работах [7>8] и экспериментально в работе [9].

. Кубическая полость [10]

Кубическая полость интересна по той причине, что она оказалась весьма удобной для экспериментального исследования конвективной неустойчивости [п>12]. Из-за наличия углов снимается цилиндрическая симметрия и основной уровень неустойчивости оказывается менее вырожденным: плоскости траекторий основного критического движения теперь могут располагаться лишь параллельно боковым граням куба, тогда как в случае шара, например, все вертикальные плоскости, проходящие через вертикальный диаметр, равноправны. По этой же причине оказалось-возможным наблюдать в кубической полости не только основное движение, но и движения, соответствующие более высоким уровням спектра неустойчивости. Следует

*) Можно показать, что решения, полученные в предположении иг = О, являются приближенными; см. по этому поводу [2].

отметить также, что плоские границы полости облегчают визуальное наблюдение и фотографирование движений.

На основании результатов исследования спектров неустойчивости в бесконечном вертикальном цилиндре и, в особенности,

Рис. 41. Схема критических движений в кубической полости.Рис. 41. Схема критических движений в кубической полости.

Рис. 41. Схема критических движений в кубической полости.

Рис. 41. Схема критических движений в кубической полости.

в шаровой полости можно заключить, что и в кубической полости наиболее интересными являются уровни спектра, соот

ветствующие движениям, изображенным схематически на

рис. 41. Эти движения совершенно аналогичны движениям типа

а, б, в в случае шаровой полости (рис. 39).

Приведем результаты приближенного расчета критических движений типа а, б и в для двух предельных случаев — бесконечно про- водящих и теплоизолированных гра- У ниц. Расчет проводится методом Га- леркина. Форма области не позволяет получить точное элементарное решение уравнения теплопроводности; поэтому оно также будет ре-

Рис. 42. Кубическая полость. Оси коор-динат.Рис. 42. Кубическая полость. Оси коор-динат.шаться приближенно.

Рис. 42. Кубическая полость. Оси коор-динат.

Рис. 42. Кубическая полость. Оси коор-динат.

Движение- типа а). Простей

шая базисная функция, удовлетво

ряющая уравнению непрерывности и условиям на твердых границах куба, описывающая движение рассматриваемого типа, имеет вид (оси координат указаны на рис. 42; в качестве единицы длины принята половина длины ребра куба)

v* = z(l — х2)2(1 — у2)(1 -z2),

(18.1)(18.1)уу = 0,

(18.1)

(18.1)

oz = — х(1 — х2)(1 — z/2)(l- г2)2.

Возмущение температуры в случае идеально теплопроводных границ обращается в нуль на поверхности полости. Симметрия распределения температуры определяется видом компо-

ненты скорости vz. Простейшая аппроксимация, удовлетворяющая этим требованиям, такова:

Т = ахТ<, Тх = х(\-х2ИХ-У2Н\-22\(18.2)

Коэффициент 01 находится из приближенного решения уравнения теплопроводности по методу Галеркина и оказывается равным 01 =—12/217. Интегральное условие ортогональности, составленное для уравнения движения, позволяет найти критическое число

Ra ===514.

В случае теплоизолированных границ на поверхности полости исчезает нормальная к границе составляющая градиента температуры дТ/дп. При таких граничных условиях требуется более сложная аппроксимация температуры: .

Т = й\Т 1 + О2У2 + ^Уз!

Тх = х (3 — х2),

У2 = х«/2(3 — х2) (2 —- г/2),(1813)

У3 = хг2 (3 — х2) (2 — 22).

Вычисления дают значения коэффициентов ах =—1093/33 390, а2= 1/159, аз=1/106, и критическое число Рэлея

Ra = 152.

Движение типа б). Это движение описывается базисной функцией

(18.4)(18.4)ox = yz(l — х2)2(1 -z/2)(l -г2),'

(18.4)

(18.4)

Уу = Х2(1 — Х2)(1 — Z/2)2(l — Z2), oz = — 2х</ (1 — X2) (1 — Z/2) (1 — 22)2.

Температура аппроксимируется выражениями: в случае идеально теплопроводных границ

У = а,У,; У1 = (1-х2)(1-у2)(1-22)ху; а1 = --^; (18.5) в случае теплоизолированных границ

У = а1У1 + о2У2;

У1 = х«/(3-х2)(З^У), У2 = хУ22(3-х2)(3-у2)(2-22); ,._ _.

_131_ 9°816)

01 —15 113’ °22159 ’

Соответствующие критические числа Рэлея:

R6 = 877 (идеально теплопроводные границы),

R6 = 353 (теплоизолированные границы),

Движение типа в). Это движение аналогично осесимметричным движениям в вертикальном цилиндре и шаре. Аппроксимация скорости такова:

ух = 4xz (1 — х2)2 (1 — у2) (1 — 22),

(18.7)(18.7)Оу = ^уг (1 — х2) (1 — у2)2 (1 — г2),

(18.7)

(18.7)

Уг = [2 - 5 (х2 + у2)] (1 - х2) (1 - у2) (1 - г2)2.

Для температуры имеем: в случае идеально теплопроводных границ

Т = й\Т 1 + а^Т^

(18.8)(18.8)(18.9)(18.9)Г] =(1 — х2)(1 — у2)(1 — z2),

(18.8)

(18.8)

(18.9)

(18.9)

Т2 = (х2 + у2) (1 - х2) (1 - у2) (1 - z2);

_ 568108 .

а1 — 4949’°2707 ’

в случае теплоизолированных границ

Т = tiiTi + а^Т 2 + а^Тз + а4Т 4;

Г, = х2 (2 - х2) + у2 (2 - у2), Г2 = z2 (2 — 22),

Г3 = х4(3-2х2) + у4(3-2у2),

Т. = гЧ2- г2) [х2 (2 - х2) + у2 (2 - у2)];

_31_7_ 41

Я| ~270’ °2135’ йз 135’ °4- 18 *

Числа Рэлея после вычислений оказываются равными:

RB = 574 (идеально теплопроводные границы), RB = 549 (теплоизолированные границы).

Схема нижних уровней спектра дляч двух рассмотренных предельных случаев температурных граничных условий изображена на рис. 43. Из сопоставления с рис. 18 и 40 видна общность структуры нижней части спектра для вертикального цилиндра, шара и кубической полости. В самом деле, движение типа а является во всех случаях наиболее опасным; критические числа движений типа бив пересекаются по параметру х, причем RB слабо зависит от х (в случае вертикального цилиндра эта зависимость вообще отсутствует).

Экспериментальное определение критических чисел Рэлея проводилось А. П. Овчинниковым [н]. Наблюдался кризис теплового потока через кубическую полость, заполненную водой р окруженную массивом из плексигласа (отношение теплопро-

R.R1000-1000R.R1000-100003Идеально _ теплопродоаныр границы03Идеально _ теплопродоаныр границы10 Тепло- изолированные границы10 Тепло- изолированные границыРис. 43. Критические числа Рэлеядля кубической полости.Рис. 43. Критические числа Рэлеядля кубической полости.

R.R

1000-1000

R.R

1000-1000

03

Идеально _ теплопродоаныр границы

03

Идеально _ теплопродоаныр границы

10 Тепло- изолированные границы

10 Тепло- изолированные границы

Рис. 43. Критические числа Рэлеядля кубической полости.

Рис. 43. Критические числа Рэлеядля кубической полости.

водностей й=3,26). Эксперименты говорят о том, что если не принимать специальных мер, то всегда возникает движение типа а. Найденное в опытах критическое число Ra=228 ±6 заключено между предельными расчетными значениями 514 и 152. При определенных условиях эксперимента удавалось возбудить также стационарное движение типа б. Соответствующее экспериментальное значение критического числа Кб = 375 ± 12,

что также находится внутри вычисленного интервала для движения этого типа (877 и 353). В некоторых опытах наблюда

лось и движение типа в. Получить критическое число Рэлея для этого движения не удалось, так как оно неустойчиво и обычно быстро перестраивается в движения типа а или б.

В заключение этого параграфа остановимся кратко на результатах работы Дэвиса [13], в которой исследовалась устойчивость равновесия в полости в виде прямоугольного параллелепипеда. Границы области предполагались твердыми и идеально теплопроводными. Длина вертикального ребра принята за единицу длины, а безразмерные длины горизонтальных ребер вдоль осей х и у равны hi и А2. В работе рассмотрены возмущения в виде «одноэтажной» системы конечного числа конвективных валов, оси которых па-

раллельны одному из горизонталь-

ных ребер. Для определения границы устойчивости применяется метод Галеркина с аппроксимирующими функциями, построен' ными из полиномов. Критическое число Рэлея зависит от пара' метров Ai и кг, а также от числа конвективных валов и ориен* тации их осей. Расчет показывает, что во всех случаях наиболее

опасными являются возмущения в виде системы валов с осями, параллельными короткому ребру основания параллелепипеда; число этих валов зависит от соотношения между hi и Аг и, в общем, возрастает с увеличением этих параметров. Результаты расчетов позволяют построить сводную карту (рис. 44), на которой изображены изолинии постоянных зна- чений минимального критического числа Рэлея на плоскости (Ai, Аг), а также указаны границы зон, соответствующих критическим возмущениям определенной структуры. Карта симметрична относительно диагонали Ai=A2; точкам плоскости.

расположенным ниже диагонали, соответствуют наиболее опасные возмущения в виде системы валов, параллельных оси у;

Рис. 44. Диаграмма устойчивости для прямоугольного параллелепипеда I18]. Сплошные линии — изолинии постоянных значений минимального критического числа Рэлея (числа Рэлея определены по полной высоте полости). Штриховые линии — границы зон, соответствующих критическим возмущениям в виде системы конечного числа валов, параллельных короткому ребру основания (число валов указано цифрами).

в точках выше диагонали валы ориентированы параллельно оси х. При увеличении hi и hi критические числа стремятся к значению 1708, соответствующему бесконечному горизонтальному слою.

. Вертикальный цилиндр конечной высоты [14]

Рассмотрим теперь задачу об устойчивости равновесия в вертикальном круговом цилиндре конечной высоты 2/ (рис. 45). Силы вязкости вблизи дна и крышки, естественно, должны приводить к повышению устойчивости по сравнению со случаем бесконечного цилиндра. Геометрическим параметром, определяющим устойчивость, является отношение h=l/a (а — радиус цилиндра). При h-*-oo рассматриваемая задача переходит в задачу Остроумова для бесконечного вертикального цилиндра (§ 11). В противоположном предельном случае й->0 получается

задача Рэлея об устойчивости плоского горизонтального слоя с твердыми границами (§6).

В цилиндре конечной высоты существенны трехмерные движения. Поэтому при аппроксимации скорости следует считать все компоненты вектора у отличными от нуля. Рассматривая периодические по ф движения и удовлетворяя условиям на твердых границах z = ±й, можно записать аппроксимацию скорости в виде:

у г — у (^ ~ z2)2 “ (r)cos пФ> vr = z (ft2 — z2) v (г) cos «ф, оф = z (ft2 — z2) w (г) sin пф

(n = 0, 1, 2, ...).

(19.1)(19.1)Радиальные функции и, v, w должны обращаться в нуль на твердой боковой поверхности цилиндра (при r= 1). Из уравне

(19.1)

(19.1)

ния непрерывности вытекает соотношение, связывающее эти функции:

—(го) + —- w — и = 0.

г dr ' ' 1 г

Этим требованиям удается удовлетворить, полагая

W = кЧп (6) [~1п ^ ~ in (^ r"+1]»

причем параметр к должен удовлетворять уравнению

(19.2)(19.2)Рис. 45. Цилиндр конечной высоты. Оси координат.Рис. 45. Цилиндр конечной высоты. Оси координат.кГЦк^п^ГДкУ(19.3)

(19.2)

(19.2)

Рис. 45. Цилиндр конечной высоты. Оси координат.

Рис. 45. Цилиндр конечной высоты. Оси координат.

Здесь и далее /п — функция Бесселя n-го порядка от вещественного аргумента; штрих обозначает дифференцирование по аргументу. '

Аппроксимация скорости (19.1), (19.2) с учетом (19.3) точно удовлетворяет уравнению непрерывности и граничным условиям. В зависимости от значения п приведенные формулы описывают движения разного вида. Значение п=0 соответствует осесимметричным движениям; при л=1 получается антисимметричное движение с границей раздела по вертикальной плоскости, проходящей' через ось цилиндра, и т. д. Каждому значению п соответствует спектр значений параметра А из

уравнения (19.3). Эти различные значения отвечают движениям разной радиальной структуры: с ростом к увеличивается число радиальных узлов скорости. Как видно, классификация движений оказывается точно такой же, как и в случае бесконечного, цилиндра..

Для нахождения температуры необходимо решить уравнение теплопроводности АТ = —иг. Полагая Т = f (г, z)cos »ф, получим для f уравнение

dV _L 2_.££ Д1 f _1_ ^t1_Г_£п_(^£)_ -nl /Д2 -2\2 zig 41

dr2 г dr г2 dz2 ” 4 L 7» (А) Г И"(1УЛ>

Будем считать, что торцевые поверхности — идеально теплопроводные, т. е. на них исчезают возмущения температуры. Учтем также дополнительные условия, вытекающие из (19.4) — обращение в нуль второй производной d2f/dz2 на торцах. Таким образом, имеем условия

при z=±h f = 0, -^-=0.(19.5)

Эти условия позволяют выбрать следующую аппроксимацию:

f (г, z) = (А2 - z2) (5А2 - г2) 9 (г).(19.6)

Для определения 9 (г) применим метод Канторовича. Подставляя (19.6) в (19.4), умножая на зависящую от z часть функции f(r, z) и интегрируя по z в пределах от —А до А, получим уравнение

9 + 7 -^г + а)9=- 248"[т^)rb <19') где■

2_ 153°62Л2 *

Рассмотрим сначала цилиндр с идеально теплопроводной боковой границей. В этом случае нужно найти конечное при г=0 решение уравнения (19.7), удовлетворяющее условию 9(1) =0. Это решение имеет вид

Общая формула для R выглядит весьма громоздко и здесь не приводится. Приведем только критические числа для движений с n-=0, 1, 2:

п = 0

р 31 а2 (^2 4- а2)2№h4h XMW -I 189

4&2- • а2^2 4- а4 -—-г а /0(:а)

П™"= 1

_124п4(^ 4 а2)2 v

121/№ А

^ 2/W (к4 4- £2 — 20) 4- ЗА2 (4£6 - ^ - 112£2 4- 64) 4- 21 (W 4- 62 - 104) .

72fe6 + 9а2А" + 2а4й2 (А4 - 2&2 - 44) + а6 (2fe4 - к1 - 64) - Збй’а 444 ’ .'* 1 w

п = 2

R = ^^г^" [86464 (64 - 80) + 4862 (66 - 2/fe4 - 9662 + 96) +

' + 63 (564 - № - 496)] {16^4 (62 - 24) + а262 (364 - 1662 - 432) + + а4 (364 - 862 - 336)—^44 1^2 + а2) h (а)-а2Л (а)] Г*. (19.10)

Значения параметра к, входящего в формулы (19.10), как указывалось, определяются из уравнения (19.3). Это уравнение может быть решено численно; наименьшие корни таковы:

п = 0, 6 = 5,1356; п=1, 6 = 2,8064; п = 2, 6 = 4,0863.

Формулы (19.10) определяют критические числа Рэлея в зависимости от параметра к. Графически эта зависимость представлена на рис. 46. Как видно, при 6 —»оо (практически уже при h > 5) критические числа Рэлея не зависят от h и переходят в предельные значения, соответствующие бесконечному цилиндру. С уменьшением высоты цилиндра критические числа монотонно возрастают (устойчивость повышается за счет стабилизирующего влияния торцов). При h » 1 можно получить приближенную зависимость

R^RM(1+^).‘

где Roo — значение критического числа для бесконечного цилиндра. Коэффициент с > 0 й для п = 1, например, равен 0,96.

При К* = 0,74 происходит пересечение кривых R(6) для п = О и п=1. Это означает, что при h > h„ неустойчивость в цилиндре конечной высоты связана с антисимметричным движением, а при уменьшении-А (в точке 6=6,) происходит смена формы

неустойчивости: наиболее опасным оказывается осесимметричное движение.

Такие смены форм неустойчивости, связанные с пересечением уровней, надо полагать, происходят и при дальнейшем уменьшении й, причем наиболее опасными становятся возмущения все более мелкого масштаба (с более высокими п и более высокими значениями параметров й). В пределе, когда высота цилиндра становится гораздо меньше радиуса (й-*0), наступает

переход ж рэлеевскому случаю. При этом горизонтальные размеры области (радиус цилиндра) перестают играть определяющую роль, а линейные размеры наиболее опасных возмущений определяются высотой слоя. Этот предельный случай, в сущности, также содержится в общей формуле (19.9). Для перехода к рэлеевскому спектру следует устремить h к нулю, считая одновременно большими п и радиальное волновое число А: ^^Т (Те е* РассматРивать возмущения, радиальная длина волны которых порядка высоты слоя). При этих предположениях из (19.9) получается

R = -k- (62fe2 + 153) (2fe4 + 12fe2 + 63). (19.11) 121fe2

Здесь R = R/i4, к = kh — число Рэлея и безразмерное волновое число, определенные теперь через полувысоту слоя (а не через радиус цилиндра, как ранее).

Поскольку при h —*0 и к-* со влияние боковых границ исчезает, можно считать спектр волновых чисел к непрерывным. Поэтому для нахождения минимального критического числа Рэлея следует выражение R минимизировать по к. При этом получаются критические параметры для плоского слоя с твердыми границами: Rm = 107,3; кт = 1,55. Переходя к параметрам, определенным по полной высоте слоя, получим более привычные значения: Rm=1717; кт = 3,10 (ср. § 6).

(^2+а2)гл .(19.12)(^2+а2)гл .(19.12)Приведенные результаты относятся к случаю конечного ци* линдра с идеально теплопроводной боковой границей. Если боковая граница теплоизолирована, то для нахождения температуры следует решить уравнение (19.7) с граничным условием 0'(1)=О. Конечное в центре решение есть

(^2+а2)гл .

(19.12)

(^2+а2)гл .

(19.12)

248а2(А2+а2)/„ (6) "^ п + 1' а/' (а)

Критическое число Рэлея определяется по-прежнему формулой (19.9) с новым распределением температуры. Для п=0; Г, 2

RRРис. 47. Критические числа Рэлея в зависимости от параметра h=Ua '(теплоизолированная боковая поверхность).Рис. 47. Критические числа Рэлея в зависимости от параметра h=Ua '(теплоизолированная боковая поверхность).

R

R

Рис. 47. Критические числа Рэлея в зависимости от параметра h=Ua '(теплоизолированная боковая поверхность).

Рис. 47. Критические числа Рэлея в зависимости от параметра h=Ua '(теплоизолированная боковая поверхность).

получаются формулы, аналогичные (19.10), которые'здесь для краткости не • приводятся. Графически зависимость R(/i) представлена на рис. 47. Как и в случае идеально теплопроводных границ, при уменьшении h устойчивость повышается, и при h=h* наступает первая смена формы неустойчивости: вместо антисимметричного движения предпочтительным становится осесимметричное. Согласно результатам расчета смена неустойчивости. для теплоизолированной боковой границы происходит при /г.=0,55. Предельный переход h —► 0 дает, как и прежде, рэлеевский спектр (19.11). Это и естественно: при h-*0 граничные условия на боковой поверхности становятся несущественными.

§ 20. Бесконечный горизонтальный цилиндр

К рассмотренным в этой главе задачам об устойчивости равновесия в шаровой и кубической полостях и в вертикальном цилиндре конечной высоты непосредственно примыкает также задача об устойчивости в бесконечном горизонтальном

158

ЗАмкНуТые ЙоЛосТЙ

(Гл. iv

цилиндре. Хотя эта полость и не является замкнутой, ее раз

меры ограничены по вертикали, и поэтому картина возникновения неустойчивости во многих чертах сходна с той, которая имеет место в замкнутых полостях.

Бесконечная протяженность области в горизонтальном направлении приводит к возможности существования возмущений

двух видов — плоских (однородных вдоль горизонтальной координаты) и пространственных (периодических вдоль горизонтали). Рассмотрим эти случаи отдельно, имея в виду цилиндр кругового сечения, окруженный однородным теплопроводным мас-

Рис. 48. Горизонтальный цилиндр. Оси СИВОМ.

координат.1. Плоские возмущения [,Б].

Направим ось г вдоль горизонтальной оси цилиндра и выберем оси х, у в плоскости сечения, как указано на рис. 48. Вектор скорости плоских возмущений расположен в плоскости (х, у); возмущения скорости, температуры и давления не зависят от продольной координаты г. Введем безразмерную функцию тока ф соотношениями

«X«Xдф~3у*дф~3у*VV дфU 17* дфU 17*

«X

«X

дф

~3у*

дф

~3у*

V

V

дфU 17*

дфU 17*

С помощью функции тока уравнения плоских возмущений равновесия можно записать в виде

(20.1)(20.2)(20.1)(20.2)ДДф + К-^ = 0,

(20.1)

(20.2)

(20.1)

(20.2)

ДГ + 4^ =0,1 5у

Здесь Д=д2/дх2 +' д^ду1} число Рэлея определено через радиус цилиндра а и равновесный градиент температуры в жидкости Л, который связан с равновесным градиентом в массиве Лт соотношением (2.16)

+ X *

На границе области, как обычно, должны быть непрерывны Температура и тепловой поток, а условие исчезновения скорости приводит к следующим граничным условиям для функции тока

при г=1 ф=-^=0.

(20.3)

' В качестве системы базисных функций' для аппроксимации функции тока выберем удовлетворяющие граничным условиям (20.3) полиномы вида хтуп (1 — г2)2. Ограничиваясь полиномами не выше шестой степени (от + п ^ 2), будем иметь

6

Ф = 5 с* = (1 — г^сх + с2х + с^у + с4х2 + с5ху + c6t/2). (20.4) i=i

Соответствующее распределение температуры жидкости находится путем точного решения уравнения теплопроводности (20.2) совместно с уравнением для температуры в массиве &Тт=0 и имеет вид

6

(20.5)(20.5)Т =2 CiTt; Tx=fxsin<p, Т2 = ^з1п2ф, i=i

(20.5)

(20.5)

^ — -^(l — г2)3 —/2С05 2ф, 74 = ^51пф + /381пЗф,

^s = "^(1 ~r2f r cos ф—Л cos 3Ф> Te—fs sin Ф—f4sinЗф,

^«-т^'—l2r, + l4r5-5r1-

Здесь г, ф — полярные координаты в плоскости сечения (угол ф отсчитывается от оси х).

Для нахождения коэффициентов с< составим систему интегральных условий метода Галеркина. Умножая (20.1) на ф4 и интегрируя по сечению цилиндра, получим

|дф- A^tZS + R /^Ф^5 = 0.(20.6)

Подставляя аппроксимацию функции тока (20.4) и соответствующее распределение температуры (20.5), получим систему шести однородных линейных уравнений для с*. Условие

5 Г, Зг Герш)ни, Е. М, Жуховицкий

“11

“12

“13

0

0

0

“21

“22

“23

0

0

0

“31

“32

“зз

0

0

0

0

0

0

°44

0

0

= 0,(20.7)

0

0

0

0

а55

0

0

0

0

0

0

“бб

разрешимости этой системы дает уравнение для нахождения критических чисел Рэлея:

on 2 + 7Я.3 + 13Я ~

а, 1 — 32 — 30(1 +й) R. а12 — а21 — 4 — 480(1 + й) R, „. л I 1 - 9х г> „ _ 2831 + 129х „ .

“13“з1 —480(1 + Я) к, “22533600 (1 + х) К>

гдегде__ 4 .17 - 137х D _ 2851 + 149х D

где

где

“23“325 Т 67200(1 +х) К’ °зз— 533600(1 +х)

„ _47 + 17х31 + 41х

44*5760 (1+ х) К’ °55 —45760(1 +х) К’

, .33 4- 47х р

“66 — 4 — 26880(1 +х) К‘

Характеристическое уравнение (20.7) определяет шесть критических чисел Рэлея в зависимости от параметра Я.

Нижнее критическое число Рэлея Ra находится как наи-

меньший корень кубического уравнения, получающегося в результате приравнивания нулю минора третьего порядка в (20.7). Численные значения Ra в зависимости от Я приведены в табл. 7. Соответствующее критическое движение описывается четной по х и у функцией

токатокаЯR0408,20,2311,30,5248,81206,22175,75152,9ОО135,2ЯR0408,20,2311,30,5248,81206,22175,75152,9ОО135,2Таблица 7Таблица 7Критические числа Рэлея для горизонтального цилиндра(плоские возмущения)Критические числа Рэлея для горизонтального цилиндра(плоские возмущения)Фа = (1 — Г2)2 (с, + С4Х2 + с6г/2)

тока

тока

Я

R

0

408,2

0,2

311,3

0,5

248,8

1

206,2

2

175,7

5

152,9

ОО

135,2

Я

R

0

408,2

0,2

311,3

0,5

248,8

1

206,2

2

175,7

5

152,9

ОО

135,2

Таблица 7

Таблица 7

Критические числа Рэлея для горизонтального цилиндра(плоские возмущения)

Критические числа Рэлея для горизонтального цилиндра(плоские возмущения)

и изображено на рис. 49, а. Весовые коэффициенты с4 и Се зависят от х. Для х = 0, например, получается с4 = —0,6; с6 = —0,8 (для нормировки положено с4 = 1). Во всем интервале значений х траектории частиц жидкости близки к окружностям, точнее, они представляют собой овалы, слегка вытянутые вдоль вертикали. Заметим, что если использовать лишь одну базисную функцию (первое при

ближение; с4 = Св = 0), то получается простая формула для критического числа Ra- Эта формула следует из условия

011 = 0:011 = 0:Рис. 49. Плоские критические движения Рис. 50. Критические числа Рэлея в зав круговом горизонтальном цилиндре.висимости от отношения теплопроводностей (горизонтальный цилиндр; плоские возмущения).Рис. 49. Плоские критические движения Рис. 50. Критические числа Рэлея в зав круговом горизонтальном цилиндре.висимости от отношения теплопроводностей (горизонтальный цилиндр; плоские возмущения).

011 = 0:

011 = 0:

Рис. 49. Плоские критические движения Рис. 50. Критические числа Рэлея в зав круговом горизонтальном цилиндре.висимости от отношения теплопровод

ностей (горизонтальный цилиндр; плоские возмущения).

Рис. 49. Плоские критические движения Рис. 50. Критические числа Рэлея в зав круговом горизонтальном цилиндре.висимости от отношения теплопровод

ностей (горизонтальный цилиндр; плоские возмущения).

(20.8)(20.8)_ _ 960(1 + *)

(20.8)

(20.8)

Ка 2 + 7х

Получающиеся из этой формулы значения Ra несколько выше приведенных в таблице. Вносимая учетом базисных функций ф4

и фе поправка существенна при малых х; так, при х = 0 она составляет 14%, убывая при х —>оо до 1,4%.

Следующий в порядке возрастания корень уравнения (20.7) получается из условия Две = 0 и равен

Соответствующее критическое движение описывается единственной базисной функцией фо = сз(/ — г2)гу и изображено на рис. 49, б.

Далее следуют критические числа RB и Rr, получающиеся соответственно как корни уравнений ац = 0 и авв = 0:

_ 23040(1 +х)

—7 + 17%’

_ 107520 (1 +х)

(20.10)(20.11)(20.10)(20.11)33 + 47х•

(20.10)

(20.11)

(20.10)

(20.11)

Этим критическим числам соответствуют собственные функции (рис. 49, в, г)

Фв = с2(1 — г2)2х, фг = с5(1 — г^ху.

Зависимость четырех нижних критических чисел Рэлея от параметра х изображена на рис. 50. Как и в полостях других форм, устойчивость понижается при увеличении относительной теплопроводности жидкости. •

Плоские возмущения в горизонтальном цилиндре исследовались также в работах [16>17]. В обеих работах рассматривался лишь нижний уровень неустойчивости. В [16] не были учтены

Рис. 51. Плоские критические движения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения (число Рэлея определено по стороне квадрата).Рис. 51. Плоские критические движения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения (число Рэлея определено по стороне квадрата).граничные условия для температуры, и поэтому полученное значение критического числа Ra = 576 очень сильно завышено. В работе [17] приведены результаты расчетов Ra для частного случая цилиндра с идеально проводящими границами (х = 0). Вариационный метод привел автора к значению Ra = = 406,9, что весьма близко к результату приведенного выше расчета (см. табл. 7)).

Рис. 51. Плоские критические движения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения (число Рэлея определено по стороне квадрата).

Рис. 51. Плоские критические движения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения (число Рэлея определено по стороне квадрата).

Заканчивая обсуждение вопроса о плоских возмущениях, заметим, что аналогичная методика может быть применена для определения спектра не-

устойчивости в горизонтальных каналах некругового сечения. В работе [18] проведен расчет для канала квадратного сече

ния с идеально проводящими стенками. За основу принята следующая аппроксимация функции тока (аналог (20.4); начало координат выбрано в центре квадрата):

ф = (1 + cos2nx)(l 4- соз2л#)[с1 + c2sin лх + c3sin лу +

. + с4 cos 2лх + с5 sin лх • sin лу + с6 cos 2лу]. Уравнение теплопроводности (20.2) решалось точно, а критические числа Рэлея определялись из интегральных условий (20.6). Нижние критические числа Рэлея и схемы соответствующих критических движений представлены на рис. 51. Значение

Ra согласуется с результатом расчета Велте [19]; найденное им значение Ra = 5030. Приведем также для справок нижнее критическое число Рэлея для квадратного сечения с идеально теплопроводными горизонтальными и теплоизолированными вертикальными границами [20]: Ra = 2586.

Пространственные возмущения Р1]. В бесконечном горизонтальном цилиндре с однородными условиями на границе наряду с разобранными выше плоскими возмущениями возможны также и пространственные возмущения, периодические вдоль оси г. Движения такого вида были обнаружены экспериментально Г. Ф. Шайдуровым [22].

Для исследования устойчивости равновесия по отношению к пространственным возмущениям построим прежде всего базис для аппроксимации скорости. Положим

v* = fi (х, у) к cos kz, vy = f2 (х, у) A cos Az, vz = f3(x, y)sin kz.

■ (20.12)

Здесь к — волновое число возмущений; длина волны, характеризующая периодизм в направлении оси z, равна 2л/А. Функции fi(x,y) будем искать в виде полиномов, обращающихся в нуль на поверхности цилиндра:

т, п .

Из уравнения непрерывности вытекает соотношение, связывающее коэффициенты полиномов с1^,. Если ограничиться полиномами не выше 4-й степени (т + и ^ 2) и воспользоваться методом, описанным в § 17, то можно построить систему пяти независимых базисных функций: '

у(1 — г2) A cos Az

( (1 — х2—5у2) (1 — г2) A cos Az

«,={ — х(1 — г2) A cos Az, «2 = 1'4ху(1 — r2)AcosAz

I 0| 0

(1 — г2)2 A cos Az «з= 0,

4х(1 — r2)sin Az •

| 4ху(1 —r2)AcosAz u4 = < (1 — 5x2—у2) (1 — r2) A cos Az,

|o

1 о

«5 = I (1 — г2)2 к cos Az .(20.13)

{ 4^(1 — r2) sin Az•

Базисные движения «, схематически изображены на рис. 52.

Критические движения будем искать в виде суперпозиции

5

V = 2 CtUt.i=l

Соответствующее распределение температуры массиве находится интегрированием уравнения

в жидкости и теплопроводно

«4

и.

“г

«е

«з

Рис. 52. Пространственные базисные движения в горизонтальном цилиндре.

сти. Отсылая за деталями к работе р1], приведем характеристическое со-

отношение,

ские

числа

определяющее критиче Рэлея *)

«п00оо

О

«22 «32

0 0

о

«гз«зз0

0

0

0 0

«44 «54

0

0 о

«45 «55

= 0. (20.14)

Элементы

определителя а,-ь выра-

жаются весьма громоздко через волновое число к и отношение теплопроводностей X.

Из уравнения (20.14) определяются пять критических чисел Рэлея как функции параметров к и х (формулы можно найти в [21]). Один из корней (его удобно обозначить Кг) определяется уравнением а» =' = 0. Соответствующее критическое движение описывается единственной базисной функцией: у2 = CiUi. Эта функция изображает движение с круговыми траекториями, лежащими в плоскостях, перпендикулярных к оси цилиндра. При смещении вдоль оси г на расстояние полуволны л//? направление движения сменяется на обратное (рис. 52).

В предельном случае бесконечной длины волны (fe->-0) это движение переходит в плоское, рассмотренное в п. 1, а для критического числа получается в пределе формула (20.8). С ростом

') В качестве области интегрирования при составлении условий Галер- кина выбран объем одной ячейки, т. е. интегрирование проводится по сечению цилиндра и по z в пределах от 0 до 2л/й.

к устойчивость монотонно повышается; при больших к R2~ rs 2k1. Таким образом, для критических движений этого типа минимальное число Рэлея соответствует плоским возмуще

ниям.

Следующие два критических числа Ri и Rs находятся как

корни квадратного уравнения а2гбзз — а2збз2 = 0. Нижний из

этих корней Ri имеет при к = 0 конечное значение, совпадающее с Re (формула (20.9)). С ростом к Ri проходит через минимум и при больших к растет по закону Ri = 0,75&4. Критическое число R3 также имеет минимум при конечном к и при больших к изменяется по закону Rs rs 2,35/г4, но, в отличие от Ri, стремится к бесконечности при ^->-0. Критические движения V] и v3 представляют собой суперпозиции базисных движений и2 и «3:

V] = С2«2 + «3«3. «3 = С2«2 + Сз«3.

Весовые отношения с3/с2 и с'^с^ зависят от волнового числа. В области к ~ I критическое движение »i содержит в основном базисную функцию и3 с небольшой примесью «2. При к-»-0

весовое соотношение резко меняется и

V1->C2U2. Критическое ДВИЖеНИе ®3, вРзайисймо^^ напротив, состоит в основном из «2 с(я—з).

небольшой примесью и3, но при ^->0 переходит в чистое движение и3 (в этом предельном случае базисному движению и3 соответствуют горизонтальные траектории и потому R3->oo).

Наконец, еще два критических числа R4 и Rs находятся из уравнения 644055 — 645654 = 0. Нижний из них R4, как и уровень R2, зависит от к монотонно: при к—>-0 критическое число R4 переходит в соответствующий уровень спектра плоских возмущений RB (формула (20.10)). При увеличении к корень R4 монотонно растет. Критическое движение »4 есть смесь и4 и «5. При к->0 »4 -> C4U4. Критическое движение У5 содержит только базисную функцию «5 с горизонтальными траекториями движения. По* этому критическое число Rs бесконечно велико.

На рис. 53 приведен спектр неустойчивости для отношения теплопроводностей х = 3. Видно, что наиболее опасными для срыва равновесия являются движения Vj и ®з, которым

соответствуют два нижних уровня спектра Ri и Rz. Минимальные значения Rim и Rzm весьма близки. Эта близость имеет ме

сто и при других значениях параметра й (табл. 8). Следует, однако, подчеркнуть, что с этими близкими Таблица 8 значениями критического числа связаны

Минимальныекритические числаРэлея длягоризонтальногоцилиндра(пространственныевозмущения)Минимальныекритические числаРэлея длягоризонтальногоцилиндра(пространственныевозмущения)ЯRim^2m0260480121021310134147100102138ОО96137ЯRim^2m0260480121021310134147100102138ОО96137разные по форме движения: значению Rzm соответствуют плоские возмущения, тогда как числу Rim — периодические вдоль оси z движения с конечной длиной волны, аналогичные ячейкам Бенара в плоском горизонтальном слое.

Минимальныекритические числаРэлея длягоризонтальногоцилиндра(пространственныевозмущения)

Минимальныекритические числаРэлея длягоризонтальногоцилиндра(пространственныевозмущения)

Я

Rim

^2m

0

260

480

1

210

213

10

134

147

100

102

138

ОО

96

137

Я

Rim

^2m

0

260

480

1

210

213

10

134

147

100

102

138

ОО

96

137

Экспериментально устойчивость равновесия в горизонтальном цилиндре исследовалась Г. Ф. Шайдуровым Р2]. Он наблюдал как плоские, так и пространственные критические движения. В случае плоских движений экспериментальное значение R=160±19 (для й = 3,26) хорошо согласуется с вычислениями п. 1. Фотография пространственных движений приведена на рис. 54. Критическое

число Рэлея для пространственных возмущений в эксперименте

определить не удалось.■

Рис. 54. Пространственные конвективные ячейки в горизонтальном цилиндре ?®КРис. 54. Пространственные конвективные ячейки в горизонтальном цилиндре ?®КВ заключение этой главы укажем на работы I23’24], в которых на основе результатов решения задач для горизонталь-

Рис. 54. Пространственные конвективные ячейки в горизонтальном цилиндре ?®К

Рис. 54. Пространственные конвективные ячейки в горизонтальном цилиндре ?®К

кого слоя и вертикального цилиндра предлагаются экстремальные оценки границы устойчивости для полостей более сложной формы. Эти оценки, как показывает сопоставление с рассмотренными выше случаями, оказываются весьма грубыми (см., например, [13]).

ГЛАВА V

ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ

Линейная теория устойчивости исходит из предположения о том, что возникающие возмущения основного состояния малы. Эта теория позволяет определить границу устойчивости и про' следить за судьбой малых возмущений. В линейном приближении возмущения равновесия в области неустойчивости нарастают со временем по экспоненциальному закону. Ясно, однако, что в действительности неограниченного возрастания возмущений нет. Экспоненциальный рост имеет место лишь на начальном этапе; очень скоро возмущения перестают быть малыми и не подчиняются более линейным уравнениям движения. Эволюция конечных возмущений, а также форма и амплитуда установившегося движения (если оно существует) могут быть определены лишь на основе полных нелинейных уравнений. Нелинейная теория устойчивости находится в стадии интенсивного развития и привлекает к себе внимание все более широкого круга исследователей. Возникающие в этой области проблемы связаны со значительными математическими трудностями. Хотя до цх полного решения еще далеко, значительный прогресс, достигнутый в последние годы, представляется несомненным.

В этой главе мы останавливаемся на некоторых вопросах нелинейной теории. Прежде всего, рассматривается метод малого параметра, позволяющий исследовать стационарные надкритические движения вблизи критического числа Рэлея. Этот метод, предложенный В. С. Сорокиным [*], получил в настоящее время широкое распространение в нелинейной теории гидродинамической устойчивости.

Далее излагаются основные результаты исследования конечно-амплитудной конвекции в плоском горизонтальном слое. Наличие непрерывного спектра движений, а также возможность существования движений разной симметрии выдвигает здесь важнейшую задачу нелинейной теории — определение «наиболее предпочтительной» моды. Решение этой задачи связано, в частности, с необходимостью исследования устойчивости конечно-амплитудных движений разной структуры, развивающихся в надкритической области.'

Аналитический подход к рассмотрению конвекции конечной амплитуды по существу применяемых методов ограничен

областью малой надкритичности. Эффективное исследование развитой конвекции вдали от критической точки может быть осуществлено в настоящее время, по-видимому, лишь на основе численных методов, из которых наиболее результативным оказался метод конечных разностей. В последнем параграфе этой главы излагаются некоторые полученные таким путем результаты.

■§21. Метод малого параметра

. Если отсутствуют осложняющие обстоятельства (магнитное поле, вращение, диффузия), то неустойчивость равновесия подогреваемой снизу жидкости связана с монотонными возмущениями. Можно думать поэтому, что в результате развития этих возмущений устанавливается стационарная конвекция определенной амплитуды. Вблизи порога амплитуда мала, и для определения стационарного движения можно применить асимптотические методы нелинейной механики.

В работе В. С. Сорокина Р] был развит метод нахождения стационарных нелинейных движений, возникающих в результате неустойчивости равновесия, основанный на разложении решения по степеням малого параметра. Сущность метода наиболее отчетливо видна в случае замкнутой полости, когда спектр критических чисел Рэлея и 'критических движений является дискретным. В этом параграфе мы изложим основные результаты работы Р].'

Запишем уравнения конечных (немалых) возмущений равновесия подогреваемой снизу жидкости. Эти уравнения, очевидно, отличаются от соответствующих уравнений малых возмущений (3.3) тем, что в них сохранены нелинейные по возмущениям члены (vV)v и *и\Т (напомним, что Т и р отсчитываются от равновесных значений). Если сохранить единицы измерения всех величин, введенные в § 3, то безразмерные уравнения конечных возмущений имеют вид 9

^- + ±(vV)y = -Vp + Ay + R7’Y,(21.1)

Р-^-^ + ^Т^АГ,(21.2)

d i v v = 0.(21.3) 9 Говоря о конечных возмущениях, мы по-прежнему имеем в виду такие условия, при которых остаются справедливыми уравнения конвекции в приближении Буссинеска (см. § 1). Возмущения предполагаются немалыми в том смысле, что для их описания необходим учет нелинейных членов. В то же время возмущение температуры предполагается достаточно малым в другом смысле, а именно, считается, что обуславливаемая им неоднородность плотности мала по сравнению со средней плотностью.

Чтобы избежать громоздких формул, мы будем иметь в виду простейший случай граничных условий, когда на границе полости S исчезают скорость и возмущение температуры'

v = 0, Т = 0.(21.4)

Покажем, прежде всего, что в подкритической области равновесие устойчиво не только относительно малых возмущений, но и относительно возмущений произвольной амплитуды. Для этого умножим (21.1) скалярно на V, а (21.2) — на Т и проинтегрируем по объему полости. Учитывая, что при интегрировании (с учетом (21.4)) нелинейные члены выпадают:

J v(»V)»dy = Jdiv^-y-wjdV = ^-y-o„dS = 0,■

ууs■

Jt(»V7W = Jdiv(^- v^ dV = ^ ^-ondS = 0, ' VVs

получим два интегральных соотношения:

Aj AdV = — J (rot v)2 dV + R Jr(vy)dy, ' Р-^/-7-^ = -У^Л^Ц-/ T (jo^dV.

Складывая эти соотношения, умножив предварительно второе из них на R, найдем

1A J (V2 + rp^) dV = _ J Krot v)2 + R (vr)2 _ 2Rr (oV)] dV.

(21.5)

■ Соотношение (21.5) можно записать короче, воспользовавшись введенными в § 3 функционалами J и К:

—(21.6)

В силу сформулированного в § 3 вариационного принципа ' у>Ль-(21.7)

где X] — наименьший декремент малых нормальных возмущений. Из (21.6) и (21.7) тогда следует

или, после интегрирования,•

К^^К^е"^4.(21.8)

Поскольку в подкритической области (R < Ri) декремент Xi положителен, из (21.8) получим

К^= J (у2-|- RPrW-frO при t->oo, (21.9)

и, следовательно, (v, Г)—>0 при /~>оо. Таким образом, произвольные возмущения при R < Ri затухают. Иначе говоря, в подкритической области не существует никаких других стационарных решений нелинейных уравнений, кроме равновесного.

Обратимся теперь к рассмотрению поведения возмущений в области их нарастания. Вблизи порога, где амплитуда возмущений А мала, ее зависимость от времени определяется, согласно линейной теории, экспоненциальным законом А (/) ~ ~ е^1. Это значит, что амплитуда удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

•2^1 Д|2.(21.10)

Согласно феноменологической теории Л. Д. Ландау [2-3], правую часть (21.10) следует рассматривать как первый член

«1|Л|2.

разложения —^- в ряд по степеням квадрата малой амплитуды. Если амплитуда растет," то в (21.10) необходимо учесть следующие члены разложения1):

-^11 = -2Ч ДР + «ЧГЧ-... ,(21.11)

где знаки а и коэффициентов старших членов определяются конкретными свойствами системы.

В надкритической области ^ < 0, т. е. имеет место нарастание линейного возмущения. Если ограничиться двумя членами в правой части (21.11), то при а < 0 со временем достигается стационарное значение амплитуды, определяемое условием ~^— = 0:.

14=4--(21Л2)

В критической точке R = Ri декремент ^ меняет знак, и вблизи Ri имеем

A.1 = _a(R-R,) (a>0).(21.13)

’) В более общем случае гидродинамической неустойчивости, рассмотренном Л. Д. Ландау, уравнение (21.11) записывается для квадрата амплитуды, усредненного по временам, большим по сравнению с периодом осцилляции возмущения. •

Из (21.12) тогда находим

(21.14)(21.14)ML-]/-^ (R — RD.

(21.14)

(21.14)

Таким образом, стационарная амплитуда непрерывно растет от нуля с увеличением надкритичности («мягкая» неустойчивость,, рис. 55,а). В подкритической области, как видно из (21.12) и (21.13), | у4 |^ < 0, т. е. стационарных движений нет. .

Если система такова, что а > 0, то ситуация меняется. Приближение с двумя членами в правой части (21.11) теперь недостаточно для определения предельной амплитуды. Необходимо

Рис. 55. Стационарная амплитуда в зависимости от R в случаях «мягкой» (а) и «жесткой» (б) неустойчивости.Рис. 55. Стационарная амплитуда в зависимости от R в случаях «мягкой» (а) и «жесткой» (б) неустойчивости.

Рис. 55. Стационарная амплитуда в зависимости от R в случаях «мягкой» (а) и «жесткой» (б) неустойчивости.

Рис. 55. Стационарная амплитуда в зависимости от R в случаях «мягкой» (а) и «жесткой» (б) неустойчивости.

добавить следующий член —6|Д|6 (Ь>0). Тогда, считая справедливым приближение (21.13), получим

Him—£±/^ + £(r-Ri).(21л5)

Зависимость стационарной амплитуды от R изображена на рис. 55, б. При достижении критического числа Rt равновесие становится неустойчивым, и скачком возникает конвекция конечной амплитуды («жесткая» неустойчивость). В подкритйче-

~ О?"

ской области R < R < Ri, где R = R( — -^, имеются два стационарных значения амплитуды, нижнее из которых, согласно уравнению (21.11), неустойчиво. При уменьшении числа R амплитуда изменяется вдоль верхней ветви, и в точке R скачком обращается в нуль. Таким образом, имеет место гистерезис, связанный с возможностью возбуждения конечно-амплитудного движения в подкритической области.

Как показано выше (см. (21.9)), в «чистом» случае конвекции подкритические движения невозможны, что соответствует отрицательному значению феноменологического параметра а. Другой случай (а>0), однако, тоже представляв! интерес с точки зрения теории возникновения конвекции; подкритические

движения возможны при наличии некоторых осложняющих факторов — магнитного поля, вращения, диффузии, температурной зависимости параметров.

Итак, в «чистом» случае при критическом значении числа Рэлея возникает «мягкая» неустойчивость; от равновесного решения ответвляется стационарное надкритическое решение, амплитуда которого вблизи порога с увеличением R растет по корневому закону (21.14). Это дает основания искать стационарное решение нелинейных уравнений в виде разложения по степеням малого параметра надкритичности е, определяемого соотношением

e2 = R —Rh ' (21.16)

В стационарном случае уравнения (21.1) — (21.3) принимают

вид

'— Vp 4- Av + RTy = ^- (vV) v,

AT4-(vy) = vVT,'(2U?)

divv = 0..

Будем искать решение этих уравнений в виде рядов

(21.18)(21.18)у = еи^ 4- е2у® + еМ3' 4- ... , Т = eTw + в2?1® + е3Г(3) + ... , р = epw -j- е^р® + е3р(3) + ...

(21.18)

(21.18)

Подставляя эти разложения в (21.17), получим уравнения последовательных приближений:

(21.19)(21.19)(21.20)(21.20)(21.21)(21.21)- Vp(» + Av<‘» + Ri^Dy = О,Д7’(1)_|_р(1)у = 0,div®(1) = 0;

(21.19)

(21.19)

(21.20)

(21.20)

(21.21)

(21.21)

- Vp<2> + Av<2> + R^t^y = -p (v(1)V) v“\ Д7<2) _|_ p(2)y _ ptnvfd), div v(2> = 0;

- Vp<3) + Av(3> + RiT^v = - Twt +

+ -^[(v(1)V)v<2> + (»(2)V) »<')], ATO) _[_ yO)Y = [ytDVTW + y^vr*0], div v(3) = 0;

Уравнения 1-го приближения (21.19) совпадают с уравнениями, определяющими первое критическое движение. Ввиду однородности, решение (21.19) можно записать в виде

v<1)=p1Wb Г(0 =Р1ть р<')=р1Р1,(21.22)

где (fb^bPi) — основное критическое движение, удовлетворяющее условию нормировки

/ (»1Y) TxdV = \,

a Pi — амплитудный множитель, подлежащий определению.

Для нахождения более высоких приближений приходится решать неоднородные системы (21.20), (21.21), ... Общий вид системы д-го приближения (уравнение непрерывности для краткости не выписывается):

(21.23)(21.23)'-Vp<"> + А»<") + RiT(">Y = F,„

(21.23)

(21.23)

.' д^») +v(")y = G„.

Правые части Fn и Gn выражаются через предыдущие приближения. Условие разрешимости системы (21.23) можно получить, умножая первое из уравнений на Vi, а второе — на RiTi, интегрируя по объему полости и складывая. Учитывая, что г>1 и Т\ удовлетворяют соответствующей однородной системе, найдем ''

J(F„yi + R1G„T1)dy = O (п = 2, 3,...).(21.24)

Решение неоднородной системы (21.23) можно искать в виде vw=P„»i + t7n, TW=№ + Stt, pW=^px-VQn, (21.25) где амплитудные множители рп должны определяться из условий (21.24).

Легко убедиться в том, что условие разрешимости системы второго приближения (21.20) выполняется автоматически, и поэтому амплитуда Pi остается пока неопределенной. Из вида правых частей (21.20) ясно, что

Ua = Pi«2, S2 = Pi$2,

где «2 и s2 уже не содержат рь Амплитуда Pi находится из условия разрешимости системы 3-го приближения (21.21). Это условие (формула (21.24), п = 3) дает

Р? -{ / [4 V1 (V1V)«2 + Ri^ №2)]dr}. *(21.26)

Продвигаясь далее по системам последовательных приближений, можно определить последовательно амплитудные

факторы; причем амплитуда Рп находится из условия разрешимости порядка п + 2.

Явный вид решения неоднородной системы (21.23) можно получить, разлагая это решение в ряд по критическим движениям:-,

■ V = 2^^к ^к»1=2^Ьк Ik, Р = 2^Ск Pkt

ккк

где (v^T^ph)— критическое движение, соответствующее критическому числу Рэлея Кд, а коэффициенты а^\ Ь^ и с^ находятся стандартным путем. В частности, для определения, амплитуды Pi достаточно найти решение системы второго приближения (функции аг и 5г)- После вычислений получим:

S'-ii-KrTlfc + W + '-iR.tR.-R,)]! • <2|-27>

U=2J

Здесь

gk=4- J vi (®^) ^ dV> hk=Vx №к^dV-

Поскольку Rk > Ri, из формулы (21.27) видно, что 0^ > О, т. е. амплитуда 01 вещественна. Аналогичным путем могут быть найдены более высокие приближения..

Таким образом, описанный метод позволяет построить стационарное решение нелинейных уравнений, описывающее надкритическое движение вблизи порога. Это решение представляется в виде ряда по степеням параметра надкритичности е, и амплитуда соответствующего надкритического движения возрастает с увеличением R вблизи порога по корневому закону. Экспериментальные исследования надкритической конвекции, проведенные А. П. Овчинниковым [4-5] (кубическая полость) и А. П. Овчинниковым и Г. Ф. Шайдуровым [6] (шаровая полость), подтверждают этот результат. Эксперименты показывают, что корневой закон справедлив в весьма широкой области— вплоть до R = 3Ri в кубической полости и до 5R1— в шаровой.

Согласно (21.16) параметр е имеет два знака: e=±VR~ Ri- Поэтому метод, в сущности, определяет два стационарных решения:

v = ± 01 /R —Ri »i + ..., 1/П1 ппх

т .о т/5 5“ т I1(21.28)

/ = ± Pi У R — Ri /1 + ... J ■

Отсюда видно, что при малой надкритичности стационарные движения по форме близки к первому критическому движению

(что также подтверждается упомянутыми выше эксперимент тами).

Наличие двух надкритических движений физически понятно, Если возмущение мало и описывается линейными уравнениями, то имеет место естественное вырождение: наряду с некоторым возмущением возможно и другое, отличающееся от непт знаком. Нелинейность приводит к тому, что это вырождение снимается; оба стационарных движения при увеличении надкритичности начинают отличаться не только знаком (направлением движения), но и формой, что описывается старшими членами в разложениях (21.28). Если полость имеет достаточно высокую симметрию, то оба стационарных движения получаются одно из другого некоторым преобразованием симметрии. Поэтому оба движения обладают одинаковой интенсивностью и приводят к одинаковому тепловому потоку через полость (соответствующий пример будет обсужден в § 23). Если же полость несимметрична, то стационарные движения могут существенно различаться по своим характеристикам.

Математические аспекты затронутых в этом параграфе вопросов рассматривались в работах [7~п1 В этих работах, в частности, доказано существование стационарных надкритических решений'и исследован характер ветвления. В. И. Юдович [10] установил, что в надкритической области возникают лишь два стационарных решения (21.28); других нетривиальных решений нет. Им же [н] доказана устойчивость этих решений относительно малых возмущений.

Конвекция конечной амплитуды в горизонтальном слое

Конвективные движения в бесконечном горизонтальном слое обладают характерными особенностями, связанными с высокой симметрией области. Бесконечная протяженность слоя в горизонтальных направлениях и однородные условия подогрева на ограничивающих плоскостях приводят к трансляционной симметрии; поэтому оказываются возможными периодические структуры, волновые числа которых образуют непрерывный спектр. Другая особенность, связанная с поворотной симметрией, состоит в том, что при одном и том же горизонтальном масштабе периодической конвекции возможны движения разной формы — валы, прямоугольные и гексагональные ячейки и пр.

Указанные особенности в значительной мере проявляются уже в линейной теории устойчивости равновесия (см. гл. II). При числе Рэлея, превосходящем критическое значение Rm, соответствующее минимуму нейтральной кривой, имеется непрерывный интервал волновых чисел возмущений, амплитуды

которых экспоненциально нарастают со временем. Кроме того, существует еще и вырождение по форме возмущений: амплитудная краевая задача для малых нормальных возмущений содержит лишь квадрат горизонтального волнового числа к\ и потому из решения линейной задачи симметрия возмущения не может быть определена. ,

Возникает сложная проблема определения реализующегося в действительности горизонтального масштаба периодических движений, а также их структуры. Эта проблема (упорядоченные структуры, возникающие в результате неустойчивости основного состояния) не составляет специфики только конвекции в горизонтальном слое, подогреваемом снизу. Аналогичная задача отбора надкритических движений возникает при исследовании других ситуаций, среди которых назовем: устойчивость плоскопараллельных потоков и кругового течения Куэтта между вращающимися цилиндрами; устойчивость поверхности раздела, в частности, поляризующихся жидкостей во внешних полях; устойчивость фронта пламени; различные виды поверхностной турбулентности и т. д.

Ясно, что эта проблема находится вне компетенции линейной теории устойчивости. Действительно, в надкритической области линейная теория позволяет сопоставить возмущения лишь по скорости их нарастания; отсюда возникает возможность выбрать возмущение, скорость роста которого максимальна. Однако нет никаких оснований, вообще говоря, ожидать, что именно эта мода неустойчивости определит форму и масштаб конечного состояния. В надкритической области, наряду с этим возмущением, нарастают также и возмущения, принадлежащие целому интервалу волновых чисел; их нелинейное взаимодействие существенно определяет как эволюцию начального возмущения, так, следовательно, и предельное состояние. Таким образом, проблема отбора является существенно нелинейной.

Исследованию нелинейной конвекции в горизонтальном слое посвящена обширная литература. Мы не ставим здесь задачу составления полного обзора этой литературы. Ограничимся лишь кратким очерком современного состояния одного из наиболее интересных вопросов — о форме надкритических движений.

В первых исследованиях нелинейной конвекции в слое ставилась цель отыскания стационарных движений определенного вида. В работе Л. П. Горькова [12] рассматривались стационарные периодические движения гексагональной симметрии в слое со свободными границами. Малкус и Веронис [13] изучали конвективные структуры различной формы — двумерные валы, прямоугольные и гексагональные ячейки — при разных условиях

на границах слоя. В обеих работах использовались варианты метода малого параметра, основанного на предположении о малости амплитуды конвективного движения вблизи порога; эти варианты лишь в деталях отличаются от изложенного в предыдущем параграфе метода В. С. Сорокина. Дальнейшее развитие метода малого параметра (применительно к движениям в виде двумерных конвективных валов), содержавшееся в работах [14* 15’48], показало, что с помощью высоких приближений метода удается получить стационарные решения для достаточно высоких значений надкритичности. Иной подход к описанию двумерных надкритических движений развивался К}. П. Ива- ниловым [16]. В этой работе использовались асимптотические разложения для отыскания стационарных решений при больших значениях числа Прандтля.

Работы этого направления позволяют найти стационарное решение нелинейной задачи в более или менее широкой области изменения числа Рэлея и других параметров. С помощью этого решения можно определить важные нелинейные характеристики — интенсивность движения, тепловой поток и др. Однако расчет стационарного надкритического движения сам по себе не дает ответа на вопрос о том, какое именно движение реализуется в действительности. Во всех указанных, а также и других работах этого направления структура вторичного движения предполагается заданной: нелинейный расчет проводится для определенного горизонтального масштаба ячейки и ее формы. Таким образом, выявившееся в линейной теории вырождение не снимается: любое линейное решение методом малого параметра или каким-либо другим методом может быть «продолжено» в надкритическую область. Проблема «отбора» истинного движения остается открытой.

Для решения этой проблемы необходимо, очевидно, рассматривать задачу о надкритических движениях в нестационарной постановке. При этом возможны и развиваются в литературе два близких по идее подхода. Один из них связан с рассмотрев нием эволюции начального возмущения и требует решения нелинейных нестационарных уравнений с начальными условиями. Другой подход основан на исследовании устойчивости стацио* парных надкритических движений. •

Первый подход развивался в работах [17-21]. В этом подходе предполагается, что нестационарное движение в надкритической области может быть представлено, в основном, в виде суперпозиции некоторых первичных мод с амплитудами, зависящими от времени. В процессе нелинейного взаимодействия появляются вторичные и т. д. моды, так что нелинейный механизм, в принципе, может привести к определенной «селекции» — усилению какой-либо одной моды и подавлению остальных. В ряде

148 Движения с конечной амплитудой [гл. v

упрощающих предположений относительно порядка амплитуд и выбора совокупности мод, взаимное влияние которых наиболее существенно в смысле эволюции, удается получить систему связанных уравнений для амплитуд конечных возмущений (обобщение амплитудного уравнения Ландау (21.11) на случай нескольких взаимодействующих возмущений). Интегрирование этой системы позволяет исследовать эволюцию конечных возмущений и определить предельные состояния и их устойчивость. Таким путем были проведены расчеты для ряда случаев и была непосредственно продемонстрирована возможность отбора конечного состояния в результате нелинейного взаимодействия. В частности, была установлена замеченная ранее в эксперименте связь между направлением циркуляции в конвективной ячейке и знаком температурного коэффициента вязкости [18]. Обстоятельный обзор результатов, полученных на таком пути, содержится в книге А. С. Монина и А. М. Яглома [23]; подробную библиографию можно найти в обзоре Сиджела [22].

Метод взаимодействующих мод привел, в целом, к известному прогрессу в понимании эволюции конечных возмущений. В то же время нужно сказать, что и при выборе самих первичных мод и при отборе наиболее эффективных взаимодействий широко применяются интуитивные модельные представления, справедливость которых далеко не всегда очевидна. В ряде случаев оказывается, что более полный учет взаимодействий приводит к появлению новых стационарных состояний и меняет выводы, касающиеся устойчивости. По этой причине многие результаты теории взаимодействующих мод подвергаются сомнению (см. [24]). Дальнейшее развитие метода требует рассмотрения всего континуума первичных возмущений и более полного учета существенных взаимодействий. В этом плане представляют интерес работы [25] и [26]. В [26] рассмотрение ведется на основе весьма общих феноменологических амплитудных уравнений, а в [26] задача об эволюции возмущений трактуется с позиций теории случайных процессов.

Более результативным нам представляется второй подход, связанный с исследованием устойчивости стационарных надкритических движений. Этот подход был начат и существенно продвинут работами Шлютера, Лорца и Буссэ [27~29]. В основе этого подхода лежит рассмотрение малых возмущений вторичных стационарных движений в линейном приближении. При этом, разумеется, теряется возможность проследить за эволюцией конечного возмущения. Однако решение наиболее интересного вопроса об устойчивости ячеистых движений удается провести гораздо более последовательно, чем в методе взаимодействующих мод: рассмотрение ведется на основе полных уравнений конвекции, тогда как в методе взаимодействующих

мод и сами стационарные движения и их устойчивость изучаются при помощи амплитудных уравнений, получаемых нередко из модельных представлений.

Остановимся подробнее на основных результатах исследований Шлютера, Лорца и Буссэ.

Математическая трудность задачи очевидна: речь идет об исследовании устойчивости вторичного стационарного движения весьма сложной формы, которое, к тому же, само может быть найдено лишь приближенно. Эта трудность обходится благодаря тому, что и стационарное движение и его устойчивость исследуются методом разложения по амплитуде. Таким образом, метод Шлютера, Лорца и Буссэ следует рассматривать как дальнейшее развитие метода малого параметра, изложенного в предыдущем параграфе.

При отыскании стационарного надкритического движения будем исходить из системы (21.17) (далее уравнение непрерывности для краткости не выписывается):

— Vp +Ат> +RTY — ^tvV)®,

ДТ 4- (try) = vVT.'

Решение этой системы будем искать в виде разложений по малому параметру

о = ev**) 4-e2v<2> + .1

Г = еГ(|) 4-е27’(2) 4* • • • J(22.2)

В отличие от § 21, число Рэлея R, для которого ищется стационарное решение, также представим в виде разложения

R = r(o) 4. eR(D 4, 62r(2) 4. ...(22.3)

Sto разложение является, в сущности, определением параметра 8, поскольку число Рэлея задано.

Подставляя (22.2) и (22.3) в (22.1), получим системы последовательных приближений. Первое приближение находится из уравнений

— Vp(l>4-Av(1)4-R(o)T(1)v = O, 1

дГ<1)4-у(1)у==0 J(22,4>

с соответствующими граничными условиями. Как легко видеть, (22.4) совпадает с системой, определяющей малые нейтральные возмущения равновесия. Собственными функциями задачи являются нейтральные амплитуды, а собственными числами — критические числа Рэлея R<°). Для периодического в горизонтальной плоскости решения, очевидно, Д = d2/dz2 — /г2, где к — волновое число. Собственное число R(°> в этом случае зависит

от параметра к («нейтральная кривая»). Вид зависимости R(°)(&) определяется граничными условиями (в работе [29] рассматривались симметричные случаи обеих свободных и обеих твердых границ слоя). При фиксированном k2 возможны решения разной формы — валы, прямоугольные и гексагональные ячейки и пр. Все эти структуры можно представить в виде суперпозиции двумерных гармоник, так что, например, вертикальная составляющая скорости равна

N

V(^ = f(z) 2 Спех^1кпг\(22.5)

п=—N

М

где &2 = № и, кроме того, для вещественности необходимо С_п = Сп и к-п = — кп- Простейший случай двумерных валов соответствует М=1. Амплитуда движения в первом порядке не определяется.

Второе и более высокие приближения приводят к неоднородным системам для нахождения v(n\ Рп\ Условия разрешимости этих систем позволяют найти RW, R<2\ ... . Отсылая за подробностями вычислений к работе [29], приведем основной результат: линейная поправка RW оказывается равной нулю, а квадратичная R<2>— положительной, причем для нахождения ее требуется знать решение системы второго приближения (функции v<2\ Т^. Таким образом, с точностью до е2 разложение (22.3) имеет вид ,

.R = R(0) + 82R(2) (R(2)>0),

/ R - R^ VA откуда следует, что в этом порядке е =— , т. е. ам

плитудный параметр есть квадратный корень из надкритичности (ср. (21.16)).'-

В результате установления стационарной конвекции появляется дополнительный (к теплопроводному) тепловой поток через слой жидкости. Безразмерный вертикальный конвективный поток тепла равен Н = (vzT) (черта сверху означает усреднение по всему слою). Подставляя в эту формулу и2 и Г, получим тепловой поток в виде разложения по параметру е, причем, очевидно, разложение начинается с квадратичного члена:

Я = в2 (у^Т0^ ... =a(R-R(0))+ ....(22.6)

т. е. добавочный тепловой поток в горизонтальном слое вблизи порога растет линейно с увеличением надкритичности. Коэффициент а есть функция числа Прандтля, зависящая от формы ячеек и граничных условий.

Итак, стационарное ячеистое движение может быть найдено в форме разложений (22.2), (22.3).

Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости стационарного движения. Добавляя к стационарному движению (v, Т, р) малое возмущение (v, Т, р) и полагая это возмущение экспоненциально зависящим от времени по закону ехр(—XI), получим из исходной нестационарной системы (21.1) — (21.3) линейные однородные уравнения спектральной задачи для амплитуд

(22.7)(22.7)— Xv + -р- [(vV) v 4- (vV) v] = — Vp + Av + RTy.

(22.7)

(22.7)

- XPT - (vv) + WT + »vr = AT.

Если известно стационарное движение (v, Т), то, решая (22.7) с соответствующими граничными условиями, можно определить характеристические декременты X и получить всю информацию об устойчивости конечно-амплитудного движения относительно малых возмущений. То обстоятельство, что стационарное движение представлено в виде разложений (22.2), (22.3), дает основание искать решение линейных уравнений (22.7) также в виде разложений по степеням амплитудного па

раметра в:

(22.8)(22.8)(22.9)(22.9)V = уС) 4- ev*2* 4- 82V*3) 4“ • • • > Т = Т^-у еТ^ 4-82Т(3) 4- ..., Х=Х<°> + еХ<,)4-82Х<2>4- ...

(22.8)

(22.8)

(22.9)

(22.9)

Уравнения первого приближения имеют вид: — x(o)v(l) = — Vp(l) 4- Av*0 4- R^f^y, — X^PTO — v(1)v = AT0*.

Эти уравнения по форме совпадают с амплитудными уравнениями возмущений покоящейся жидкости, с той, однако, разницей, что вместо свободного параметра — числа Рэлея — в уравнения входит теперь критическое число R<°>, зависящее от волнового числа стационарного движения к. Линейные уравнения (22.9) не содержат коэффициентов, зависящих от горизонтальных координат х и у, и потому можно искать решения, зависящие периодически от этих координат. Для таких возмущений оператор Лапласа А = d2ldz2—к2, где волновое число возмущения к, вообще говоря, отлично от волнового числа стационарного движения к. Собственное число краевой задачи Х<°* зависит от двух параметров: Х<°* = Х<°*(^, ^). Выводы об устойчивости, получаемые в этом приближении, зависят от знака функции Xm(k, ку Этот знак определяется соотношением

152' ДВИЖЕНИЯ С КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДОЙ [ГЛ. V между k, к и волновым числом кт, соответствующим минимуму нейтральной кривой. Анализ показывает, что в первом порядке стационарные движения с любым к неустойчивы, причем в области к > кт опасны возмущения с к < к (им соответствует Х(0) < 0), а в области к < кт — возмущения с к > к.

Теперь необходимо найти поправки к декременту Х(1), №\ ..., позволяющие сделать выводы об устойчивости стационарных движений малой, но конечной амплитуды. Эти поправки определяются из условий разрешимости неоднородных уравнений последовательных приближений. В работе [29] проведен анализ до квадратичного по е приближения. Поправка первого порядка ХО оказывается равной нулю; следующая поправка Л<2> отлична от нуля и вещественна. Таким образом, с точностью до членов порядка в2 имеем

А, = Х<°> + е2Л<2>. (22.10)

Для суждения об устойчивости важен знак поправки Х(2).

Один из наиболее интересных результатов состоит в том, что в случае пространственных движений (^> 1 в формуле (22.5)) всегда находится возмущение, для которого Х<2> < 0 (так, в частности, ведут себя возмущения ск = к). Таким образом, стационарные движения в виде прямоугольных, гексагональных и других пространственных ячеек неустойчивы относительно малых возмущений.

Иначе обстоит дело в случае плоских стационарных движений (конвективные валы; N= 1 в формуле (22.5)). В этом случае в зависимости от соотношения между к, к и кт знак квадратичной поправки № может быть различным. Так, в области к > km для возмущений с волновыми числами к < к, как указывалось, № < 0; квадратичная же поправка в этом случае положительна: Х<2) > 0. Поэтому полный декремент X (разумеется, в рамках применимости формулы (22.10)) с ростом амплитуды е меняет знак. Условие X = 0 определяет значение амплитуды в, выше которого возмущения затухают, и следовательно, валы устойчивы. Для возмущений же с к > к в области к > кт Х<°> и Х(2) — положительны. В области к < кт, как показывает анализ, сохраняются выводы, полученные в первом приближении, а именно, всегда находятся нарастающие возмущения, приводящие к неустойчивости конвективных валов.

Итак, анализ устойчивости надкритических движений, проведенный методом малого параметра, показывает, что все трехмерные ячеистые движения неустойчивы. Что же касается двумерных структур (валов), то для них существует интервал волновых чисел вблизи кт, внутри которого эти структуры устойчивы. Разумеется, интересно получить границу области устой-

Конвенция в горизонтальном словКонвенция в горизонтальном слов153153$2Я

Конвенция в горизонтальном слов

Конвенция в горизонтальном слов

153

153

чивости конвективных валов на плоскости число Рэлея — волновое число. Метод малого параметра позволяет найти эту границу лишь вблизи нейтральной кривой равновесия.

Дополнительную информацию дает работа Буссэ [30], в которой для исследования стационарных движений и их устойчивости применялся метод Галеркина, применимость которого не ограничена малой надкритичностью. В этой работе рассматривался случай обеих твердых границ слоя. Исследовалась устойчивость лишь двумерных конвективных структур. Для простоты автор ограничился предельным случаем достаточно больших значений числа Прандтля, когда можно пренебречь инерционными членами в уравнении Навье — Стокса (сохраняя, однако, нелинейные члены в уравнении теплопроводности). Принимались следующие аппроксимации температуры стационарного движения Т и возмущения Т;

Г = 2 bnmetnkx sin mnz, п, m

Г = ( S bnmeinkx sin mnz\ exp [— X/ + Z (Z?]X + £2#)L \ n, m /

' Соответствующие распределения скорости находятся из уравнения Навье — Стокса, которое в принятых предположениях оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Интегральные условия метода Галеркина, составленные для уравнения теплопроводности, позволяют определить коэффициенты bnm и БПт, а также декременты малых нормальных возмущений X=X(R, &,\&ь Л2). Граница монотонной устойчивости находится из условия Х=0. Наиболее опасными оказываются возмущения с ^=0 и &2 ^ 0 (это означает, что стационарные валы неустойчивы относительно трехмерных возмущений). На рис. 56 изображена нейтральная кривая устойчивости равновесия вместе с границей области устойчивости конвективных валов (две ветви, ограничивающие область устойчивости валов, соответствуют критическим модам разной симметрии). Как видно из рисунка, зарождающаяся при критическом числе Рэлея Rm область устойчивости валов оказывается закрытой сверху.

Сформулируем теперь еще раз основные выводы, вытекающие из исследования устойчивости стационарных надкритических движений. Прежде всего, прямоугольные, гексагональные и другие пространственные структуры оказываются неустойчивыми. Далее, двумерные структуры (конвективные валы) имеют интервал значений волнового числа, внутри которого они устойчивы. Ширина этого интервала зависит от числа Рэлея (рис. 56). Наконец, область устойчивости ограничена со стороны больших значений числа Рэлея некоторым предельным R»: при R > R»

Рис. 56. Диаграмма устойчивости конвективных валов, / — нейтральная кривая устойчивости равновесия; II и /// — нейтральные кривые, ограничивающие область устойчивости конвективных валов [80] (область устойчивости заштрихована); IV — надкритические движения, наблюдавшиеся в эксперименте I39]: сплошная линия — валы, штриховая — пространственные ячейки (вода, Р=6,7; толщина слояРис. 56. Диаграмма устойчивости конвективных валов, / — нейтральная кривая устойчивости равновесия; II и /// — нейтральные кривые, ограничивающие область устойчивости конвективных валов [80] (область устойчивости заштрихована); IV — надкритические движения, наблюдавшиеся в эксперименте I39]: сплошная линия — валы, штриховая — пространственные ячейки (вода, Р=6,7; толщина слоя

Рис. 56. Диаграмма устойчивости конвективных валов, / — нейтральная кривая устойчивости равновесия; II и /// — нейтральные кривые, ограничивающие область устойчивости конвективных валов [80] (область устойчивости заштрихована); IV — надкритические движения, наблюдавшиеся в эксперименте I39]: сплошная линия — валы, штриховая — пространственные ячейки (вода, Р=6,7; толщина слоя

Рис. 56. Диаграмма устойчивости конвективных валов, / — нейтральная кривая устойчивости равновесия; II и /// — нейтральные кривые, ограничивающие область устойчивости конвективных валов [80] (область устойчивости заштрихована); IV — надкритические движения, наблюдавшиеся в эксперименте I39]: сплошная линия — валы, штриховая — пространственные ячейки (вода, Р=6,7; толщина слоя

никаких устойчивых стационарных движений нет (согласно расчетам [30], R*=22 600 ± 100).

Таким образом, соображения устойчивости отчасти снимают «вырождение», о котором говорилось в начале этого параграфа: по соображениям устойчивости отбраковываются пространственные ячейки и более или менее значительно сужается воз-

можныи интервал волновых чисел для конвективных валов1). Вопрос о существовании и механизме дальнейшего отбора сложен и в настоящее время едва ли может быть однознач? но решен. В этой связи необхо^ димо в первую очередь упомянуть так называемый принцип Малкуса [32]. Согласно этому принципу, среди множества возможных стационарных режимов реализуется именно тот, который обеспечивает максимальный тепловой поток. Хотя этот принцип кажется физически довольно естественным, конкретные расчеты говорят о том, что он выполняется далеко не всегда [33]. Не исключено, что механизм отбора единственного предельного режима является стохастическим и

проявляется в ходе эволюции случайного начального состояния (см. [26]). С другой стороны, есть основания думать, что в зависимости от выбора начальных условий могут реально устанавливаться различные устойчивые стационарные движения (в пользу этого свидетельствуют эксперименты [34]).

Вероятно, один из наиболее удивительных результатов нелинейной теории состоит в том, что все пространственные ячейки, в том числе и гексагональные, оказываются неустойчивыми. Между тем, начиная с первых опытов Бенара, в течение многих лет в большом числе экспериментальных работ в подогреваемом снизу плоском слое наблюдались гексагональные ячейки. В результате сложилось убеждение, что гексагональная

9 Наличие подынтервала волновых чисел, соответствующих устойчивым вторичным режимам, характерно и для других проблем гидродинамической устойчивости (тороидальные вихри Тэйлора и др.). В работе [31] показано, что это „обстоятельство связано с квадратичным характером нелинейности уравнений гидродинамики. •

форма ячеек является если не единственно возможной, то, во всяком случае, наиболее предпочтительной. Объяснение этого кажущегося противоречия состоит в том, что в теории, основанной на уравнениях конвекции в приближениях Буссинеска, не учитывается влияние целого ряда осложняющих факторов, неизбежно присутствующих в любом реальном эксперименте. К ним относится, в частности, зависимость параметров жидкости, в первую очередь, вязкости от температуры. Неоднородность параметров, обусловленная их температурной зависимостью, в общем, слабо влияет на устойчивость равновесия, приводя лишь к сдвигу критического числа Рэлея (см. § 6). Влияние же на устойчивость возникающих в надкритической области движений оказывается гораздо более значительным и в некоторых случаях качественно меняет ситуацию.

Существенное влияние температурной зависимости вязкости на бенаровскую конвекцию замечено давно. В экспериментах было установлено [35], что направление конвективной циркуляции внутри ячейки Бенара различно в жидкостях и газах. В жидкостях в центре ячейки имеется восходящий поток, а в газах — нисходящий. В работе [35] было предположено, что это отличие связано с различным характером температурной зависимости вязкости у жидкостей и газов. Как известно, у жидкостей вязкость с ростом температуры убывает, а у газов — растет. Обстоятельное исследование этого эффекта было проведено в экспериментах Типпельскирха [36>37]. В работе [36] опыты проводились с жидкой серой, интересной в том отношении, что при температуре 153 °C имеется инверсия температурной зависимости вязкости: dx\/dT < 0 при Т < 153 °C и dx\ldT">0 при Г >153 °C. Эксперименты показали, что при переходе через точку инверсии действительно происходит смена направления конвективной циркуляции. Аналогичный эффект замечен в работе (37], где в качестве рабочей среды использовалась смесь паров воды и табачного дыма.

Первый успех теоретического описания надкритической конвекции с учетом температурной зависимости вязкости был достигнут в работе Палма [18]. В этой работе была исследована эволюция начального возмущения специального вида и показано, что в пределе устанавливается движение в форме гексагональной ячейки с надлежащим направлением циркуляции. Позднее результаты Палма были уточнены в работах' [19>21].

Систематическое исследование влияния температурной зависимости параметров жидкости на устойчивость надкритических движений произведено в работе Буссэ [33]. В этой работе учитывалась зависимость от температуры коэффициентов кинематической вязкости, теплопроводности и теплоемкости (в разложениях этих параметров по отклонению температуры от

среднего значения удерживались линейные члены); кроме того, в зависимости плотности от температуры, кроме линейного члена, учитывался также и квадратичный. С каждым из этих эффектов связан соответствующий безразмерный параметр ^. Для нахождения стационарного надкритического движения и исследования его устойчивости применялся метод малого параметра; в отличие от «чистого» случая [29], обсужденного выше, решения представлялись в виде разложений не только по амплитуде е, но и по всем параметрам температурной неоднородности уг, которые предполагались малыми. Как и в [30], для простоты расчетов пренебрегалось инерционными членами в уравнении движения. Расчет, проведенный в квадратичном по малым параметрам приближении, приводит к следующим формулам для разложений числа Рэлея и декремента малых возмущений стационарного движения:-

R = R<00) + e2R(20) + 6 S Y<R(/°,(22.11)

^ГЧ^ЦеЦ^.’/11,(22.12)

I'

где коэффициенты разложений R™, R(ZH), Х(20\ х(/° определяют

ся из условий разрешимости неоднородных систем последова-

Рис. 57. Зависимость амлитуды стационарного движения от числа Рэлея для валов (У) и гексагональных ячеек (//). Сплошные линии —устойчивые состояния, штриховые — неустойчивые состояния.Рис. 57. Зависимость амлитуды стационарного движения от числа Рэлея для валов (У) и гексагональных ячеек (//). Сплошные линии —устойчивые состояния, штриховые — неустойчивые состояния.тельных приближений (в этих формулах не выписаны квадратичные по у* члены, описывающие сдвиг критического числа, обусловленный температурной зависимостью Параметров). Коэффициенты разложений вычислены в [33] для трех типов граничных условий: обе границы твердые или свободные, а также смешанный случай; волновое число стационарного

Рис. 57. Зависимость амлитуды стационарного движения от числа Рэлея для валов (У) и гексагональных ячеек (//). Сплошные линии —устойчивые состояния, штриховые — неустойчивые состояния.

Рис. 57. Зависимость амлитуды стационарного движения от числа Рэлея для валов (У) и гексагональных ячеек (//). Сплошные линии —устойчивые состояния, штриховые — неустойчивые состояния.

движения принималось равным кт (значение, соответствующее минимуму на нейтральной кривой).

Как видно из формул (22.11), (22.12), эффекты температурной зависимости параметров являются аддитивными. Поэтому далее для определенности мы будем говорить лишь о температурной зависимости вязкости.

При отсутствии температурной зависимости вязкости, как указывалось выше, в надкритической области устойчивы лишь валы, а гексагональные ячейки неустойчивы. Учет температурной зависимости коренным образом меняет ситуацию. На рис. 57 представлен основной результат работы [33]. На этом

рисунке качественно изображена зависимость амплитуды стационарного движения от числа Рэлея (формула (22.11)) и указаны границы устойчивости движения (определяемые знаком Л из (22.12)) для двумерных валов и гексагональных ячеек (речь идет о гексагональных ячейках с «правильной» циркуляцией, при которой направление движения на оси ячейки совпадает с направлением возрастания вязкости; ячейки с «неправильной» циркуляцией оказываются неустойчивыми). Как видно из рисунка, область устойчивости валов начинается с некоторого значения Rc > R(00); на линии гексагональных ячеек участок устойчивых режимов заключен между точками Д и В. В области Rc < R < Rb устойчивы, таким образом, обе формы конвективного движения, и реализуемое движение определяется начальными условиями. Если постепенно увеличивать число Рэлея, то при критическом значении R(°°) «жестко» возбуждается конвекция гексагональной структуры; при дальнейшем увеличении R гексагональные ячейки устойчивы вплоть до R=RB. При этом значении числа Рэлея происходит перестройка гексагональных ячеек в валы, которые устойчивы при R > RB (верхняя граница области устойчивости валов методом малого параметра не определяется) *). Если теперь уменьшать число Рэлея, то валы сохраняются до значения Rc! в точке Rc наступает переход к гексагональной форме, которая далее при уменьшении R срывается в точке Ra (цикл гистерезиса указан на рисунке .стрелками). Интересно, что, согласно результатам расчета, невозможна стационарная конвекция с амплитудой, меньшей 6а (при е < 6а, по-видимому, конвекция имеет характер стационарных колебаний, см. [41]). Если безразмерный параметр неоднородности у стремится к нулю, то при этом пропорционально у2 стремятся к нулю разности R<00> — RA, RB — R<00) и Rc — R(00). В пределе область устойчивости гексагональных ячеек исчезает, а линия устойчивых валов начинается сразу в критической точке.

Обсужденные результаты качественно согласуются с полученными ранее методом взаимодействующих мод в работе Сид- жела Р2].

Итак, в образовании гексагональных конвективных структур существенную роль играет такой, на первый взгляд, второстепенный фактор, как температурная зависимость параметров жидкости. В этом плане значительный интерес представляет эксперимент Чена и Уайтхеда Е34], в котором принимались

’) Переход гексагональных структур в валы наблюдался в ряде экспериментов, см. р*-89]. Интервал чисел Рэлея Rb — Ra, внутри которого устойчивы гексагональные ячейки, резко возрастает с уменьшением толщины слоя жидкости [40].

специальные меры для того, чтобы по возможности устранить температурную зависимость вязкости. С этой целью в качестве рабочей жидкости подбиралась смесь силиконовых масел с достаточно малым температурным коэффициентом вязкости (изменение кинематической вязкости в пределах слоя не превышало 5%). Для создания возмущений контролируемой формы в опытах использовались решетки, состоящие из параллельных полос. Эти решетки накладывались на верхнюю границу слоя и освещались источником инфракрасного излучения. Таким образом, удавалось индуцировать возмущения в виде валов, волновое число которых можно было менять, варьируя.постоянную решетки. Опыты показали, что при надкритичностях, достигавших 2,5Rm, валы устойчивы, если их волновые числа близки к значению кт, соответствующему минимуму нейтральной кривой. Если волновое число задаваемых возмущений сильно отличалось от кт (в сторону больших или меньших значений), то валы оказывались неустойчивыми: сначала возникала неустойчивая промежуточная структура в виде трехмерных ячеек, затем формировалась новая (устойчивая) система валов с волновым числом, попадавшим в некоторый интервал вблизи кт. Эти эксперименты, как и некоторые другие Р9'43], говорят о том, что если температурная зависимость вязкости мала, то устойчивой формой надкритического движения являются конвективные валы. Обсуждаемые эксперименты представляют интерес также и в другом отношении: они могут служить качественным подтверждением вывода работы Шлютера, Лорца и Буссэ о существовании (при фиксированном R) подынтервала волновых чисел, соответствующих устойчивым конвективным валам.

Показательны также эксперименты Кришнамурти [39], в которых, как и в Р4], исследовались стационарные надкритические движения в условиях, когда температурная зависимость параметров несущественна. В этих экспериментах, однако, не навязывалась определенная структура надкритического движения, а наблюдались движения, естественно возникающие при увеличении числа Рэлея. Как оказалось, в надкритической области возникают устойчивые двумерные валы, длина волны которых изменяется с увеличением R; одна из экспериментальных кривых представлена на рис. 56 вместе с диаграммой устойчивости валов по Буссэ. При увеличении R наступает перестройка валов в устойчивые пространственные ячейки, причем значение R, при котором происходит перестройка, удовлетворительно согласуется с границей устойчивости валов, найденной теоретически. Существование устойчивых пространственных движений, на первый взгляд, противоречит результатам Шлютера, Лорца и Буссэ, согласно которым устойчивых пространственных движений нет. Следует, однако, иметь в виду, что эти результаты

получены методом малого параметра и потому ограничены малой надкритичностью; появление же в эксперименте устойчивых ячеек происходит при достаточно больших R. К тому же, переход от валов к ячейкам, как показывает эксперимент, характеризуется гистерезисом. Это, по-видимому, свидетельствует о том, что переход связан с конечными возмущениями; в теории же рассматривалась устойчивость валов относительно малых возмущений.

Заканчивая обсуждение этого вопроса, подчеркнем снова, что структура надкритической конвекции в горизонтальном слое весьма чувствительна к разного рода «малым параметрам». Выше обсуждался эффект пространственной неоднородности физических параметров жидкости. Можно указать и другие факторы, качественно влияющие на форму движения. К их числу следует отнести слабую нестационарность условий подогрева [44'45], наличие удаленных боковых границ слоя [46> 47]; не исключена также важная роль характера тепловых граничных условий, наличия капиллярных эффектов на свободной поверхности и т. п.

Численные расчеты надкритических движений

В двух предыдущих параграфах обсуждались результаты, полученные, в основном, методом малого параметра. При всех очевидных преимуществах аналитического подхода к проблеме этот метод, однако, применим лишь в ограниченной области — при малой надкритичности. Так, квадратичное по амплитуде приближение, согласно оценке [33], дает хорошую точность при значениях числа Рэлея, в 2—3 раза превосходящих критическое значение Rm. Даже расчет стационарного движения в восьмом порядке по е, проведенный в работе [43] для двумерных валов в слое со свободными границами, дает результаты, справедливые лишь до R « 8Rm. -

Развитие вычислительной техники открыло новые перспективы решения нелинейных проблем гидродинамики и, в частности, задач нелинейной теории конвективной устойчивости. Эти перспективы связаны с применением метода конечных разностей. Одно из достоинств этого метода состоит в том, что он, в принципе, не имеет ограничений по числу Рэлея и поэтому может быть с успехом применен для исследования .стационарных и нестационарных надкритических движений вдали от критической точки. Даже сравнительно грубые сетки, применяемые в настоящее время, позволяют продвинуться в расчетах до значений числа Рэлея, в десятки раз превосходящих критическое. Другое достоинство метода состоит в том, что с его помощью можно реализовать- интересные с принципиальной точки

зрения численные эксперименты, в частности, проследить за эволюцией определенных возмущений в «чистых» условиях, когда исключены влияния многочисленных осложняющих факторов, неизбежно присутствующих в реальном физическом эксперименте.

Далее мы приведем некоторые результаты исследования надкритической конвекции, полученные методом конечных раз-* ностей. .

В качестве первой задачи рассмотрим плоское конвективное

ООРис. 58. Квадратная область. Оси координат.Рис. 58. Квадратная область. Оси координат.движение в квадратной области, по* - догреваемой снизу [49~81]. Напомним (см. § 20), что согласно линейной теории устойчивости, спектр критических движений в этом случае дискретен, причем двум нижним уровням этого спектра соответствуют критические числа Рэлея Ri = 5099 и R2 = 8495 и движения, схематически изображенные на рис. 51 а, б, .

О

О

Рис. 58. Квадратная область. Оси координат.

Рис. 58. Квадратная область. Оси координат.

Для исследования надкритических движений обратимся к нелинейным уравнениям нестационарной конвекции. В отличие от (21.1) — (21.3), эти

уравнения удобно записать, не выделяя из температуры и давления равновесные части:

(23.1)(23.1)-^-+ у(^)у = - Vp + Д» + R7V,

(23.1)

(23.1)

Р-^+»?7’ = ДГ,'

at 1

div v = 0

(число Рэлея определено через сторону квадрата и разность температур горизонтальных границ).

д-ф х ду ’д-ф х ду ’дф °*—^дф °*—^Выберем оси координат, как указано на рис. 58, и введем функцию тока, описывающую плоское движение, при помощи соотношений ■

д-ф х ду ’

д-ф х ду ’

дф °*—^

дф °*—^

В переменных (ф, Т) система (23.1) запишется в виде

Аф , 1 7 дф д Афдф д Дф \ _ . ■р дТ

(23.2)(23.2)dt + Р \ ду дхдх ду ) —дд* К дх '

(23.2)

(23.2)

р дГ ■ / дф дГдФ дТ\ АТ

r dt ^Хду дхдх дy) — al•

На границах квадратной области обращаются в нуль обе компоненты скорости; температура на горизонтальных границах постоянна, а вдоль вертикальных — меняется по линейному закону. Таким образом, имеем;

при у = 0 при у = \

ф = -^ = 0, 7 = 1;

ф = # = о, 7 = 0;

т ду’*

' (23.3)

при х = 0 и

х = \ ^ = ^ = °- Т = \—у.

Задав некоторое начальное распределение функции тока и температуры, при помощи уравнений (23.2) и краевых условий (23.3) можно проследить за эволюцией этого начального распределения, и, в частности, получить предельный стационарный режим, если он существует.

Для численного решения задачи применим метод конечных разностей. Введем пространственно-временную сетку

аа /Д = 0, 1, 2,..., N; h = ±'yk = kh }’ • ’’N

'/„ = пт, п = 0, 1, 2, ...■

и обозначим.

Составим конечно-разностный аналог уравнений (23.2),предварительно введя новую переменную ф=—Дф (ф имеет смысл проекции вихря скорости на направление, перпендикулярное плоскости движения). Заменяя производные по времени односторонними разностями, а производные по координатам — центральными, получим

ф""й* = Ф" 6 + { Аф" к + ^h ^' к ~ ^-х- ft) —

4РЙ2 К^" 6+1^" А—1) (ф"+1, А — Ф"—1, fc)—

~ (Ф”+1, к б)(ф" б+i ~ Ф" 6-1)] }т*(23.4)

•м*1*к = — ф""»1»(23-5)

т*Д[(ф;^,-<L№h., -т*-^-

.-(C~C)tt.w-r;..-1)lk w

Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

Оператор Лапласа аппроксимируется следующим образом:

Ml.k = '^‘Vl + l, к + fi-l. к + fl. 6+1 + Л, 6-1 — Ml.kY

Граничные условия в конечно-разностной форме имеют вид (при составлении условия для вихря записывается разложение в ряд функции тока в приграничной точке с точностью до квадратичных членов, см. [52])

Фо.б = Фу.б = Ф1,о = Фг.№О; 2 ,2 ,

(23.7)(23.7)Фо, 6 —y"Wl,k>4>N,k —^"WN-bk»

(23.7)

(23.7)

22

Ф1, 0= дГФ<, b Ф1, N= ^гФь N-b

Тi, 0=1. Тt, N = 0, То,к = Тм,к = ^—kh.

Приведенная схема имеет погрешность аппроксимации порядка О (т + й2). ■

При проведении расчетов шаг по времени выбирался ИЗ соображений устойчивости счета. Уравнение Пуассона (23.6) решалось методом итераций Либмана. Основные вычисления проведены на сетке 16 X 16; проверочные расчеты на более мелкой сетке 26 X 26 показали достаточную точность численного решения.

Для исследования основного стационарного движения, возникающего в первой критической точке, начальное возмущение задавалось обычно в виде локального вихря в центре области. Далее (при фиксированном значении числа Рэлея) наблюдалась эволюция этого начального возмущения. Как и следовало ожидать, в подкритической области все начальные возмущения затухают, и предельным' режимом является равновесие с линейным по вертикали распределением температуры. В надкритической области начальное возмущение развивается, и после переходного процесса, продолжительность которого зависит от надкритичности, устанавливается предельное стационарное состояние. На рис. 59 изображены линии тока и изотермы стационарных движений для трех значений числа Рэлея (число Прандтля в расчетах было фиксированным: Р = 1).При R=5300, т. е. вблизи порога, имеется медленное движение, слабо искажающее равновесное распределение температуры (изотермы почти горизонтальны). По форме движение близко к первому критическому. С увеличением числа Рэлея движение становится более интенсивным, а форма его меняется: овальные линии тока вытягиваются,, их большая ось наклоняет-

^=60-Ю8

Рис, 59, Надкритические движения в квадратной области;слева —линии тока, справа — изотермы,

части гра- один знак.тепловойчасти гра- один знак.тепловойРис. 60. Зависимость числа Нуссельта от числа Рэлея. Сплошная линия— основное надкритическое движение; штриховая линия — метастабильное движение.Рис. 60. Зависимость числа Нуссельта от числа Рэлея. Сплошная линия— основное надкритическое движение; штриховая линия — метастабильное движение.

части гра- один знак.

тепловой

части гра- один знак.

тепловой

Рис. 60. Зависимость числа Нуссельта от числа Рэлея. Сплошная линия— основное надкритическое движение; штриховая линия — метастабильное движение.

Рис. 60. Зависимость числа Нуссельта от числа Рэлея. Сплошная линия— основное надкритическое движение; штриховая линия — метастабильное движение.

ся к вертикали1). Можно заметить также тенденцию к образованию температурного пограничного слоя вблизи горизонтальных границ и почти изотермического ядра. '

Интенсивность стационарного надкритического движения удобно характеризовать величиной полного теплового потока через полость, который определяется (в размерной форме) следующим образом:

г

Здесь дТ]дп — нормальная составляющая размерного градиен-

та температуры, а интегрирование ведется по той ницы, на которой плотность теплового потока имеет Безразмерный

поток (число Нуссельта) определим следующим образом: N = Q/x0. В подкритической области, где тепловой поток вертикален и связан лишь с теплопроводным механизмом, N = 1. В надкритической области, помимо теплопроводного, имеется- еще и конвективный перенос тепла, интенсивность которого растет с увеличением надкритичности. Величина N — 1 поэтому

служит мерой интенсивности стационарного движения. Зависимость N(R) изображена на рис. 60. Экстраполяция этой зависимости на N = 1 позволяет определить критическое число, которое оказывается равным R1=5090±20, что хорошо согласуется со значением, найденным по линейной теории. Вблизи порога зависимость N(R) следует закону

N = 1+0,0179/R-R,.'(23.8)

*) Изображенные на рисунках стационарные движения соответствуют начальному вихрю с вращением против часовой стрелки. Если задать начальный вихрь другого знака, то в процессе установления возникает стационарное движение с противоположным направлением циркуляции и с наклоном оси овала в другую сторону. Таким образом, меняя знак начального вихря, удается получить два стационарных решения, рождающиеся в критической точке (см. § 21). '

С точностью до 1% эта формула справедлива вплоть до R « a? l,5Ri.

Описанное стационарное движение удается получить лишь до некоторого предельного значения числа Рэлея R»=64-103: При R > R, переходный процесс развития начального возмущения приводит к режиму установившихся стационарных колебаний. При фиксированном R в этом режиме функция тока, вихрь и температура в узлах сетки, а также интегральные характеристики— тепловой поток, максимальное значение функции тока и т. д. осциллируют со временем около средних значений с частотой, возрастающей с увеличением R — R*. Вопрос о природе этих колебаний в настоящее время не может считаться решенным. Возможно, что их происхождение связано со счетными эффектами. В то же время обстоятельные проверочные вычисления Е. Л. Тарунина [5|], проведенные на разных

Рис. 61. Линии тока и изотермы метастабильного движения.

сетках и при помощи нескольких конечно-разностных схем, показали, что колебания неизбежно возникают при увеличении числа Рэлея, причем их параметры слабо зависят от шага сетки, шага по времени, числа итераций уравнения Пуассона и т. п. С другой стороны, имеются указания о том, что колебания в надкритической области наблюдаются и в эксперит менте [53]. Поэтому не исключено, что наблюдавшиеся в числен-: ном эксперименте колебания имеют физическую природу.

Была предпринята попытка получить также движение, рот ждающееся во второй критической точке Rj. С этой целью задаг валось возмущение в виде пары симметричных вихрей, по форме напоминающих второе критическое движение (см. рис. 51,6). Как правило, в результате развития этого начального возмущения устанавливалось основное стационарное

движение. В интервале 14 • 103 < R < 28* 103, однако, переходный процесс приводил к нелинейному движению нужной симметрии (рис. 61). В этом интервале чисел Рэлея такое движение существует достаточно долго, — во всяком случае, в течение промежутков времени, значительно больших времени переходного процесса. С течением времени, однако, один из вихрей становится более интенсивным, и это движение постепенно распадается, переходя в основное (одновихревое). Таким образом, движение, рождающееся во второй, критической точке, можно трактовать как метастабильное. Интересно, что, как показал Е. Л. Тарунин [50], это движение удается искусственно стабилизировать, исключив возможность возникновения возмущений, переводящих его в основное. Для этого можно задать условие зеркальной симметрии численного решения относительно вертикальной оси области. Такой прием позволяет стабилизировать второе надкритическое движение в области R2 < R < 7R2 (штриховая линия на рис. 60). Численное определение критической точки дает значение R2 = 8400 ± 200 (согласно линейной теории, R2 = 8495).

Заметим, что в уже упоминавшихся экспериментах А. П. Овчинникова р»5], исследовавшего надкритические движения в кубической полости, наряду с основным движением наблюдалось также и второе, выходящее из второй критической точки. Это движение оказалось относительно менее устойчивым и часто под действием возмущений переходило в первое.

Остановимся теперь на результатах решения другой задачи, рассмотренной Д. Л. Шварцблатом [54-55]. По постановке и методу решения она не' отличается от разобранной выше. Отличие заключается в условиях на вертикальных границах: теперь они предполагаются свободными и теплоизолированными. Кроме того, решение ищется не в квадратной, а в прямоугольной области с отношением горизонтальной стороны к вертикальной, равным /. Вместо последней строки (23.3) теперь имеем:

при х = 0 и х = 1 ф= У = 0, -^- = 0. (23.9)

Рассматриваемое движение, по существу, моделирует плоскую конвективную ячейку Бенара с длиной волны 2Z1).

Как и в случае квадратной области с твердыми границами, выше критического числа Рэлея (зависящего теперь от волно-

9 Строго говоря, боковые границы ячейки Бенара не являются вертикальными, и при численном решении следовало бы поставить вместо (23.9) условие периодичности по горизонтали. Однако, как показывают результаты [46], невертикальность боковых границ даже при значительной надкритичности весьма мала.

вого числа &=л//) из начальных возмущений развивается стационарное движение, интенсивность которого растет с увеличением надкритичности. Безразмерный вертикальный тепловой поток, как показывают расчеты, линейно зависит от надкритйч- ности (см. (22.6)). Интересно заметить, что при новых условиях на боковых границах колебания не наблюдались, и надкритическое движение оставалось стационарным во воем исследованном интервале чисел Рэлея вплоть до значений, в 50 раз превосходящих критическое (при /=1). В связи с образованием пограничного слоя продвижение в область еще больших R ограничено шагом применявшейся сетки (21 X 21 при /=1 и 33X17 при I > 1).

Параллельно с формированием пограничного слоя образуется ядро течения в центральной части области. С увеличением надкритичности безразмерный градиент температуры в ядре (в единицах 0/а; а — высота слоя) стремится к нулю (рис. 62). Распределение же вихря скорости в ядре становится почти однородным. Таким образом, возникающий при больших числах Рэлея конвективный пограничный слой охватывает изотермическое ядро, вращающееся с однородным вихрем скорости, что согласуется с известной гипотезой Батчелора [56] (в отличие от случая подогрева

Рис. 63. Зависимость числа Нуссельта от волнового числа в надкритической области. Штрихами на оси к отмечены границы устойчивости, определяемые линейной теорией.Рис. 63. Зависимость числа Нуссельта от волнового числа в надкритической области. Штрихами на оси к отмечены границы устойчивости, определяемые линейной теорией.Рис. 62. Безразмерный градиент температуры в центре конвективной ячейки в зависимости от числа Рэлея.Рис. 62. Безразмерный градиент температуры в центре конвективной ячейки в зависимости от числа Рэлея.сбоку, когда ядро неподвижно, а градиент температуры в нем однороден, см. [57]).

Рис. 63. Зависимость числа Нуссельта от волнового числа в надкритической области. Штрихами на оси к отмечены границы устойчивости, определяемые линейной теорией.

Рис. 63. Зависимость числа Нуссельта от волнового числа в надкритической области. Штрихами на оси к отмечены границы устойчивости, определяемые линейной теорией.

Рис. 62. Безразмерный градиент температуры в центре конвективной ячейки в зависимости от числа Рэлея.

Рис. 62. Безразмерный градиент температуры в центре конвективной ячейки в зависимости от числа Рэлея.

При фиксированном R, превосходящем критическое значение Rm, согласно линейной теории существует интервал

волновых чисел нарастающих возмущений. Границы этого интервала определяются нейтральной кривой. Меняя / (а следовательно, и волновое число к = л//) при заданном надкритическом R, можно численно получить соответствующие нелинейные движения. На рис. 63 представлена полученная в [54] зависимость безразмерного теплового потока от волнового числа N(£) для трех надкритических значений R. Как видно, для фиксированного R существует движение с максимальным теплопотоком, причем соответствующее волновое число медленно растет с увеличением R. Интересно отметить, что длинноволновая ветвь кривой N(R) в численном эксперименте не может быть получена полностью: если задать начальное одновихревое возмущение с достаточно большим / (малое А), то это возмущение в процессе развития перестраивается и приводит к двухвихревому стационарному режиму (аналогичное дробление длинноволновых ячеек наблюдалось также в работах р8’59] и особенно отчетливо в [46]). Этот факт, очевидно, свидетельствует о неустойчивости длинноволновых надкритических движений и согласуется с результатами эксперимента I34], обсуждавшегося в предыдущем параграфе.

В заключение укажем еще на некоторые работы, в которых численно исследовались надкритические движения [б°—eaj п0. пытка расчета методом сеток трехмерной конвективной ячейки сделана в р1-64].

ГЛАВА VI

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ВРАЩЕНИЯНА конвективную устойчивость

Движение жидкой или газообразной проводящей среды (жидкий металл, электролит, плазма) в магнитном поле в значительной мере определяется взаимодействием между полем' и токами, индуцируемыми в движущейся среде. Это магнитогидродинамическое взаимодействие оказывает существенное влияние и на конвективное движение проводящей среды, в частности, на устойчивость равновесия среды, подогреваемой снизу.

Поскольку магнитное поле тормозит движение проводящей среды, ясно, что его влияние на устойчивость равновесия должно быть, вообще говоря, стабилизирующим. Однако только одной стабилизацией влияние поля не исчерпывается. При наличии поля спектр возможных возмущений становится богаче. В частности, при подогреве снизу оказываются возможными осциллирующие возмущения. Более того, при определенных соотношениях -между параметрами осциллирующие возмущения нарастают, порождая неустойчивость колебательного типа. .

Впервые конвективная устойчивость равновесия проводящей среды была исследована Томпсоном [*] и Чандрасекаром р-3], рассмотревшими магнитогидродинамический аналог задачи Рэлея • о равновесии горизонтального слоя. Позднее были получены решения для других областей, а также построена общая теория спектров возмущений и конвективной устойчивости равновесия в магнитном поле. Эта теория излагается в § 26. Предварительно рассматривается простой пример (§ 25), позволяющий увидеть основные особенности задачи, связанные с наличием магнитного поля. Конкретные задачи разобраны в §§ 27 и 28.

В настоящей главе рассматривается также конвективная устойчивость вращающейся жидкости (§ 29). Влияние вращения оказывается во многом сходным с влиянием магнитного поля.

. § 24. Уравнения возмущений

Начнем с вывода уравнений, описывающих конвекцию проводящей среды в магнитном поле. Будем предполагать, что сохраняют силу все предположения, сделанные в § 1, т. е. будем оставаться в пределах приближения Буссинеска. Б этом случае

уравнение непрерывности имеет вид divv = 0, а в уравнении Навье —Стокса должна быть учтена сила, действующая со стороны магнитного поля на индуцированный в жидкости ток. В расчете на единицу массы эта сила равна) -~УХНУ где /— плотность тока,. Н— напряженность магнитного поля, с — скорость света. Плотность тока связана с напряженностями электрического и магнитного поля Е и Я законом Ома)

/ = о(е + 7»ХЯ), (24.1)

где о — электропроводность жидкости.

Поля и токи в жидкости подчиняются уравнениям Максвелла. Запишем эти уравнения, пренебрегая током смещения и полагая ц = 1:

(24.2)(24.2)div# = 0,

(24.2)

(24.2)

rot Я = —/,С

div (еЕ) = 4лре.

ВОЗНИ- Ре МО-ВОЗНИ- Ре МО-Здесь е — диэлектрическая постоянная, а ре — плотность кающего в жидкости объемного заряда; для определения жет быть использовано последнее из уравнений (24.2).

ВОЗНИ- Ре МО-

ВОЗНИ- Ре МО-

Применяя к обеим частям (24.1) операцию rot и пользуясь уравнениями Максвелла, получим уравнение для магнитного поля в движущейся проводящей среде:

^ + (t,V) я - (Я?) » АЯ.(24.3)

Входящий в правую часть этого уравнения коэффициент Vх = 4^ характеризует диффузию магнитного поля в проводящей среде; его иногда называют коэффициентом магнитной вязкости.

Система уравнений магнитной гидродинамики конвективного движения состоит из уравнений Навье — Стокса, теплопровод-

ности, непрерывности и уравнения для магнитного поля (24.3). Эта система может быть записана в виде, содержащем, кроме гидродинамических величин, лишь магнитную напряженность Я:

£ + (^ = -И'+£) +

(24.4)(24.4)4-УА» + 5РТу+4^(ЯУ)Я, ^ + vVT = XA7’,

(24.4)

(24.4)

^ + (vV) Н - (ЯУ) р = АЯ,

div г> = 0, йгчН = 0.

При получении уравнения движения мы преобразовали электромагнитную силу, заменив плотность тока в соответствии с законом Био —Савара:

^«XH) = ^rotHXe-T^[-|v^ + (ffV)H].

Уравнение теплопроводности записано в такой же форме, как и в случае конвекции при отсутствии поля. Тем самым мы пренебрегли, наряду с вязкой диссипацией, также и джоулевым нагревом среды. '

Если конвекция происходит в полости, окруженной твердым массивом с конечными значениями коэффициентов температуропроводности %ш и электропроводности от, то к уравнениям (24.4) следует добавить уравнения для температуры и поля в массиве:

(24.5)(24.5)51т. ду. ^Ят_ . с2 ддdt Im aim. dt^Пт-

(24.5)

(24.5)

На границе жидкости и массива скорость обращается в нуль, а температура и тепловой поток непрерывны:

(24.6)(24.6)п т т ®Т дТт

(24.6)

(24.6)

у — О- Т — Тт, и -^ %т дп .

Условия для Я вытекают из обычных электродинамических условий на границе раздела сред (см. [4]). Напряженность поля на границе раздела непрерывна (касательная составляющая Ht непрерывна всегда, а непрерывность нормальной составляющей Нп при отсутствии поверхностного тока связана с принятым допущением ц=1). Непрерывность касательной составляющей электрической напряженности Et вместе с уравнением (24.1) приводит к непрерывности величины it/o, т. е. (го!Я)#/о.

Итак, на границе раздела имеем:

Н = Нт, lrot(H = 4-rottHm.(24.7)

Легко видеть, что из условия непрерывности Ht вытекает непрерывность нормальной составляющей тока /п, т. е.

го^Я-го!»#»,.(24.8)

Рассмотрим равновесие проводящей жидкости, находящейся во внешнем постоянном однородном магнитном поле Яо = Яоа, где а —единичный вектор в направлении внешнего поля.

Из (24.4) следует, что давление и температура в равнове* сии удовлетворяют уравнениям

Vpo = PgP7’oV, АТ^О,совпадающим с соответствующими уравнениями § 2. Таким об-разом, как и при отсутствии поля, равновесие возможно лишьв случае постоянного и вертикального градиента температуры'V7’o = -Лv.

Рассмотрим теперь малое возмущение равновесия, характеризуемое скоростью v и возмущениями температуры, давления и поля Т, р, Н. Подставляя возмущенные величины То 4- Т, рй + р, Н6 4- Н и v в исходную систему (24.4), получим линеаризованную систему уравнений для малых возмущений:

ТГ = -^(р + тг) + '’4" + № + ^(аУ)Я,

(249)

ot4ла >

divv = 0, divfl = 0.

Запишем эту систему в безразмерном виде, выбрав в качестве единиц расстояния, времени, скорости, температуры, давления и поля соответственно величины: L (характерный размер полости), —, -7-, AL,и -^-^pvo:

^ = - v (p 4- МаЯ) 4- Av 4- RTy 4- M (aV) Я,

Р-$--И) = АГ,

■ (24.10) Pm^-M(aV)v = Afl,

div v = 0, div Я —- 0.

■ В эти уравнения наряду с обычными безразмерными параметрами — числами Рэлея R и Прандтля Р — входят два новых параметра, характеризующих влияние магнитного поля на движение проводящей вязкой жидкости:

м=^-|/^, рш=^

С Г pv т С2

Параметр Рт = ^ («магнитное число Прандтля») определяется только физическими свойствами жидкости, а М (так называемое число Гартмана) пропорционально внешнему полю и характеризует соотношение между магнитной и вязкой силами. Число Гартмана играет роль параметра магнитогидродинамического взаимодействия.

' Полагая все возмущения пропорциональными ехр (—%/), получим систему амплитудных уравнений.

-%р = _?(р4-МаЯ) + Д» + РГу + М(а?)Я, •

-XPT = M-V^,

-%РтЯ = ДЯ + М(а?)у,v ‘ '

div у = 0, div Я = 0.

Для амплитуд безразмерных возмущений .во внешнем массиве имеем уравнения

-ХРТт = ^-Мт, -XPmHm = ^-LHm.(24.12)

краевым(24.13)краевым(24.13)На границе полости амплитуды удовлетворяют

краевым

(24.13)

краевым

(24.13)

условиям:

р = 0 Т = Т х —= ^^- v и, / im, х дп дп

Н = Нт, rot/ Я = 5 rot/ Нт.

Кроме того, возмущения температуры и поля во внешнем массиве должны стремиться к нулю на больших расстояниях от полости.

Мы получили, таким образом, краевую задачу, определяющую спектр возможных возмущений (у, Т, р, Н) и их декрементов X. Существенная особенность этой краевой задачи, обусловленная проводимостью жидкости и наличием магнитного Поля, состоит в ее несамосопряженности. Это означает, в частности, что собственные числа краевой задачи — декременты X— не обязательно являются вещественными, и не исключено появление в спектре колебательных возмущений. Из системы

амплитудных уравнений можно получить1) интегральное соотношение (см. § 26)

(X* - X) / (уу* 4- PR77* - РтЯЯ*) dV = 0(24.14)

V

(звездочкой отмечены комплексно-сопряженные величины). Входящий в это соотношение интеграл не является знакоопределенным; его знак зависит от соотношения между амплитудами возмущений скорости, температуры и поля. Поэтому из (24.14) нельзя сделать каких-либо определенных заключений относительно вещественности декрементов при подогреве снизу (R>0). Как будет видно из дальнейшего изложения, возмущения (при R > 0) монотонны лишь при слабых полях. При конечных полях в спектре появляются колебательные возмущения. Таким образом, принцип монотонности возмущений при наличии магнитного поля, вообще говоря, не имеет места.

§ 25. Монотонная и колебательная неустойчивость (пример)

Прежде чем приступать к общему исследованию конвективных возмущений проводящей жидкости в магнитном поле, мы рассмотрим простой пример — задачу о конвективной устойчивости жидкости в плоском вертикальном слое при наличии поперечного магнитного поля [7] (магнитогидродинамическое обобщение задачи, рассмотренной в § 12). Благодаря предельно простой геометрии в этом случае находится элементарное точное решение уравнений возмущений. Анализ этого решения позволяет отчетливо увидеть те новые черты явления, которые связаны с действием магнитного поля.

Плоский вертикальный слой вязкой проводящей жидкости, ограниченный плоскостями х = ±1 (х — безразмерная поперечная координата; расположение осей указано на рис. 20), находится в равновесии при наличии постоянного однородного поля Яо, направленного перпендикулярно плоскостям: Яо (Яо, 0,0). Будем рассматривать плоскопараллельные возмущения, в которых отлична от нуля только вертикальная составляющая скорости vz = v(x), а возмущение температуры зависит только от поперечной координаты: Т = Т^ху Относительно возмущения поля Я предполагаем, что отлична от нуля лишь компонента Нх^Н^ху, при этом индуцированный ток параллелен оси у. В сделанных предположениях из (24.11) получим урав- нения: - Ху = у" + R7 + МЯ',

(25.1)(25.1)- №Т = Т" + у, - XPmH = Н" + Му'.

(25.1)

(25.1)

9 Соотношение (24.14) впервые было получено в [6].

На границах слоя поставим следующие граничные условия: при х=±1 о = 0, Г = 0, Я' = 0.(25.2)

Обращение в нуль возмущения температуры соответствует идеально теплопроводным границам. Условие Н' = 0 означает, что на границах исчезает тангенциальная компонента тока. Это соответствует бесконечной электропроводности границ (так называемое условие Ферми).

Поставленная задача имеет простое решение, описывающее «нечетные» возмущения:

v = atsinnnx, T = a2sinnnx, H = a3cosn3ix. (25.3)

Подставляя (25.3) в (25.1), получим линейную однородную алгебраическую систему для определения амплитуд. Приравнивая нулю определитель этой системы

X — п2л2

1

R

ХР — п2л2

— галМ 0

= 0,

(25.4)

ппМ

0

ХРт — п2л2

получим кубическое уравнение относительно X, определяющее (для каждого п) три характеристических декремента в зависимости от параметров — чисел Рэлея и Гартмана R и М (определенных через полуширину слоя й) и чисел Прандтля Р и Рт. Раскрывая (25.4), найдем для п = 1 (основная мода):

рХ3 + ^Х2 + rX + s = 0,(25.5)

где обозначено"

Р ~ РРт>

<7 — — л2(Р + Рт + РРт),

Г = Л4 (1 + Р + Рт) + Л2РМ2 - PmR,

.5 = -л2(л4 + л2М2 —R).

В зависимости от значений параметров уравнение (25.5) дает либо три вещественных корня (монотонные возмущения), либо один вещественный и два комплексно-сопряженных корня (последние описывают колебательные возмущения). Полагая X = б + to, получим из (25.5) систему уравнений . для вещественной и мнимой частей декремента б и <в:

р (б3 - Зби2) + q (б2 - со2) + rd + s = 0,(25.6)

<й [р (Зб2 •—о2) + 2 б^ + г] = 0.(25.7)

Определим, прежде всего, границы устойчивости для монотонных и колебательных возмущений. На границе устойчивости

6 = 0, и из (25.6), (25.7) следует

(25.8)(25.9)(25.8)(25.9)— qe? + s = О,©(— р©2 + г) = 0.

(25.8)

(25.9)

(25.8)

(25.9)

Эти два уравнения определяют критическое значение числа Рэлея и частоту возмущений © на границе устойчивости.

В случае монотонного возмущения © = О (нейтральное возмущение стационарно). Уравнение (25.9) при этом удовлетворяется, а из (25.8) следует s = О, откуда находим критическое число Рэлея для монотонной неустойчивости:

(25.10)(25.10)Р!=л4 + л2М2.

(25.10)

(25.10)

При М = 0 критическое значение Ri = л4 (основной «нечетный» уровень неустойчивости, см. § 12). С увеличением поля критическое число Рэлея возрастает квадратично с М. Повышение устойчивости при наличии поля весьма значительно. Для ртути, например, при комнатной температуре о = 0.945Х X Ю^се/г1, т] = 1,55-10-2 пуаз; при толщине слоя 1 см и напряженности поля 1000 гс получаем М=13. При этих условиях критическое число Рэлея в 18 раз больше соответствующего значения при отсутствии поля. .

В случае колебательного возмущения © ^ 0 (возмущение на границе устойчивости осциллирует с частотой ©). В (25.9) нужно приравнять нулю скобку —р©2 + г = 0. Тогда из (25.8) следует qr— ps = 0 (условие Орландо для уравнения (25.5)). Отсюда находим критическое число Рэлея для колебательной неустойчивости .

р2т +Я(1+Р)Р21М (25Л1)

и частоту нейтральных колебаний

(25.12)(25.12)2 Я* / Р/иВ

(25.12)

(25.12)

Из (25.12) сразу следует, что колебательная неустойчивость возможна лишь при таком соотношении, между параметрами жидкости, когда Pm > Р. В самом деле, при Рт < Р получается ©2 < 0, тогда как, по смыслу частота нейтральных колебаний— вещественная величина. Таким образом, при Pm < Р значение R2, определяемое (25.11), не имеет смысла критического числа Рэлея, и возможна лишь монотонная неустойчивость, граница которой дается формулой (25.10).

Если Pm > Р, то колебательная неустойчивость возможна при значениях М, превосходящих некоторое критическое М*.

Значение М* определяется из условия со2 = 0:

(25.13)(25.13)м! = я!р^r т г

(25.13)

(25.13)

Нейтральные линии монотонных и колебательных возмущений Ri(M2) и R$(M2) на плоскости (М2, R) изображаются прямыми (рис. 64). Пересечение этих прямых происходит как раз в точке, абсцисса которой естьМ2. Таким образом, при М2 > М2

Рис. 64. Нейтральные линии и области существования колебательных возмущений. На рис. б цифрами отмечены: /—область устойчивости (все возмущения монотонно затухают), 2 —область устойчивости (одно монотонное и два колебательных затухающих возмущения), 3 — область колебательной неустойчивости (одно монотонно затухающее и два растущих колебательных возмущения), 4 — область монотонной неустойчивости (одно затухающее и два растущих монотонных возмущения), 5 —область монотонной неустойчивости (одно - растущее и два затухающих монотонных возмущения). •Рис. 64. Нейтральные линии и области существования колебательных возмущений. На рис. б цифрами отмечены: /—область устойчивости (все возмущения монотонно затухают), 2 —область устойчивости (одно монотонное и два колебательных затухающих возмущения), 3 — область колебательной неустойчивости (одно монотонно затухающее и два растущих колебательных возмущения), 4 — область монотонной неустойчивости (одно затухающее и два растущих монотонных возмущения), 5 —область монотонной неустойчивости (одно - растущее и два затухающих монотонных возмущения). •

Рис. 64. Нейтральные линии и области существования колебательных возмущений. На рис. б цифрами отмечены: /—область устойчивости (все возмущения монотонно затухают), 2 —область устойчивости (одно монотонное и два колебательных затухающих возмущения), 3 — область колебательной неустойчивости (одно монотонно затухающее и два растущих колебательных возмущения), 4 — область монотонной неустойчивости (одно затухающее и два растущих монотонных возмущения), 5 —область монотонной неустойчивости (одно - растущее и два затухающих монотонных возмущения). •

Рис. 64. Нейтральные линии и области существования колебательных возмущений. На рис. б цифрами отмечены: /—область устойчивости (все возмущения монотонно затухают), 2 —область устойчивости (одно монотонное и два колебательных затухающих возмущения), 3 — область колебательной неустойчивости (одно монотонно затухающее и два растущих колебательных возмущения), 4 — область монотонной неустойчивости (одно затухающее и два растущих монотонных возмущения), 5 —область монотонной неустойчивости (одно - растущее и два затухающих монотонных возмущения). •

уравнение (25.11) определяет нейтральную линию колебательных возмущений.

Итак, при Р« < Р возможна лишь монотонная неустойчивость, граница которой есть Ri (линия Ri на рис. 64, а). При Рт > Р. возможна неустойчивость монотонного и колебательного вида (нейтральные линии Ri и R2 на рис. 64,6). В слабых полях (М -^ М») неустойчивость наступает на линии Ri и носит монотонный характер. Если поле превосходит критическое значение (М*>М#), то кризис равновесия наступает на линии R2, и он связан с колебательными возмущениями. Частота нейтральных колебаний на линии R2 дается формулой (25.12), которая с учетом (25.13) может быть переписана в виде

.2 = Т^Рт-Ц (М2 _ М2)(25 j 4)

P^(l + P) хv '

Таким образом, при увеличении поля в области М > М, частота нейтральных колебаний монотонно возрастает.

Уравнение (25.5) позволяет не только найти нейтральную линию колебательной неустойчивости, но и установить, в какой области параметров вообще возможны колебательные возмущения. Для определения границы этой области следует приравнять нулю дискриминант Д уравнения (25.5). Условие Д = 0 дает

27 p2s2 — VSpqrs + ^s + 4pr3 — q2r2 = 0.

На плоскости (M2, R) это уравнение описывает кривую третьего порядка, расположение которой зависит от параметров Р и Рт. На рис.'64 дискриминантная кривая обозначена штриховой линией. В области левее кривой все три корня уравнения (25.5) — вещественные; правее кривой имеется один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. Таким образом, если при фиксированном R (R > 0, подогрев снизу) увеличивать поле, то сначала (при слабых полях) возможны лишь монотонные возмущения, а затем — по достижении критического поля, определяемого линией Д = 0, возникают колебательные возмущения.

Укажем положение некоторых характерных точек дискриминантной кривой. Она пересекает оси М2 и R соответственно в точках

М2__2(1-Рт)2 р—4 (I"?)2

Значение М2 дает напряженность поля, при котором появляются колебательные (затухающие) возмущения при отсутствии подогрева (R = 0). Значение R дает границу колебательных возмущений при отсутствии поля и при подогреве сверху (очевидно, R < 0). Касание осей М2 и R происходит в точках

М2О (Pm-P)d-P) р _ . (P-Pm)d-Pm) л2’Лр2е

Координаты точки возврата

м2 = - л2 27Рт (Рт _ р) [2 -(1 + Р)] ,

.R = л4 27р (р^ Рт) [2 — -р^- (1 4- Pj] .

В случае Pm > Р дискриминантная кривая касается нейтральной прямой Ri в критической точке

По указанным элементам легко представить себе положение границы колебательных возмущений при произвольных значениях параметров Р и Рт.

На рис. 65 для иллюстрации изображены спектры декрементов X для фиксированных значений поля (соответствующие разрезы на рис. 64 показаны вертикальными штриховыми линиями). В спектре хорошо видны характерные точки — границы монотонной и колебательной неустойчивости, а также границы областей существования колебательных возмущений.

Итак, рассмотренный пример свидетельствует о значительном влиянии магнитного поля на конвективную устойчивость проводящей жидкости. Наиболее существенные черты этого влияния таковы: 1) Магнитное поле повышает устойчивость равновесия; критические числа Рэлея, определяющие границу устойчивости, возрастают с увеличением поля. 2) При наличии

Рис. 65. Спектры декрементов при фиксированных значениях поля. Сплошные линии — вещественные декременты, штриховые линии —общая вещественная часть комплексно-сопряженной пары.Рис. 65. Спектры декрементов при фиксированных значениях поля. Сплошные линии — вещественные декременты, штриховые линии —общая вещественная часть комплексно-сопряженной пары.

Рис. 65. Спектры декрементов при фиксированных значениях поля. Сплошные линии — вещественные декременты, штриховые линии —общая вещественная часть комплексно-сопряженной пары.

Рис. 65. Спектры декрементов при фиксированных значениях поля. Сплошные линии — вещественные декременты, штриховые линии —общая вещественная часть комплексно-сопряженной пары.

магнитного поля в спектре возмущений равновесия подогреваемой снизу жидкости существуют колебательные возмущения. Эти возмущения возникают при конечном значении напряженности магнитного поля. 3) Если свойства проводящей среды таковы, что Pm > Р, то в полях, превосходящих некоторое значение (М>М#), колебательные возмущения оказываются критическими: порогуконвекции в этих условиях связан с развитием колебательных возмущений. .

Остановимся несколько подробнее на условии Pm > Р, которое необходимо для существования колебательной неустойчивости. Оно может быть записано в виде V < %, где v'=— коэффициент магнитной вязкости. Это условие не содержит обычной вязкости и физически означает, что неоднородности температуры в среде выравниваются быстрее, чем неоднородности поля. В лабораторных условиях это, по-видимому, неосуществимо из-за малой электропроводности жидкостей, в том числе и жидких металлов. Для ртути, например, при

нормальных условиях V = 7,6-103 смНсек, а % = 4,5- Ю-2 см^сек, т. е. -у=-^ = 6'10"6< 1, и колебательная неустойчивость невозможна. Однако неравенство Pm > Р может оказаться выполненным в астрофизических условиях. Так, в конвективной зоне солнечной фотосферы по оценке [8] -^ « 2 • 105, т. е. в этих условиях вполне возможна колебательная неустойчивость.

В заключение этого параграфа укажем на работы Р-"11], в которых изучалась монотонная неустойчивость плоского вертикального слоя в поперечном поле для некоторых других граничных условий и других видов возмущений.

Общие свойства спектра возмущений

Разобранная в предыдущем параграфе задача с простой геометрией позволяет понять некоторые характерные свойства возмущений в магнитном поле. Можно провести и общее исследование некоторых свойств спектра, не делая специальных предположений о форме полости. Такое исследование было проделано в работах [12-14]. В. С. Сорокин и И. В. Сушкин [12] рассмотрели поведение декрементов при слабых полях и сформулировали вариационный принцип для монотонных возмущений. М. И. Шлиомис Р3’ и] в общем виде исследовал вопрос о возникновении колебательных возмущений в магнитном поле и установил, что их появление связано со слиянием (при конечных значениях напряженности поля) вещественных уровней спектра. Мы изложим далее основные результаты этих исследований.

• 1. Основная и сопряженная задачи. Далее для простоты будем иметь в виду граничные условия, менее общие, чем (24.13). Именно, будем считать, что возмущения скорости, температуры и поля на границах полости исчезают. Это дает возможность рассматривать возмущения лишь внутри жидкости. Все поверхностные интегралы, которые будут появляться при интегрировании по частям, обращаются в нуль, что значительно упрощает анализ. Если возмущения температуры и поля проникают в окружающий массив, то это, как оказывается, не приводит к появлению качественно новых результатов. В этом случае следует, исходя из условий для температуры и поля на границе раздела, «сшить» внутреннее решение с внешним, и тогда все встречающиеся ниже объемные интегралы от возмущений следует распространить на всю область — жидкость и окружающий массив. .

Итак, основная краевая задача для нормальных исчезающих на границе возмущений записывается следующим образом

(П=р + МаН — полное давление):

(26.1)(26.2)(26.1)(26.2)- Лу = - VO + Av + RTV + М (eV) Н,

(26.1)

(26.2)

(26.1)

(26.2)

-ХРТ = АГ + (»¥), ■

— ХРтЯ = ДЯ + M(aV)v, div v = 0,div Я = 0, 1

v Is = Г Is = Я |s = 0. j

Каждому решению основной задачи ^Х; и, Т, Н) соответствует решение сопряженной задачи (X*; и, 0, Л). Для получения сопряженной задачи следует уравнения, комплексно-сопряженные к (26.1), умножить соответственно на и, R0 д h, удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и решение основной задачи, а также условиям соленоидальности для и и h, проинтегрировать по объему жидкости и сложить. Приравнивая нулю коэффициенты в подынтегральном выражении при v*, Т* и Я*, получим:

(26.3)(26.3)— Л‘« = — VQ-f-Au + R6y — М (aV) Л, -Х*Ре = Д6 + (иу).

(26.3)

(26.3)

- XTmft = ДЛ - М (aV) и.

К этим уравнениям нужно добавить условия соленоидальности и граничные условия:.

(26.4)(26.4)divu = 0, div Л = 0; 1

(26.4)

(26.4)

и Is — 6 Is = к Is = 0- 1

Как видно, уравнения сопряженной задачи (26.3) отличаются от соответствующих уравнений основной задачи (26.1) лишь знаком при членах, содержащих М. Это дает возможность просто связать решения основной и сопряженной задач, соответствующих одному и тому же собственному числу X. В самом деле, написав уравнения, комплексно-сопряженные к (26.3) и сопоставив их с (26.1), получим .

u=v, е* = Т, h‘ = — H. (26.5)

Итак, краевая задача для нормальных возмущений равновесия проводящей жидкости в магнитном поле не является самосопряженной. Поэтому определяемые ею собственные числа — декременты возмущений X — могут быть комплексными, а сами возмущения, вообще говоря, не являются монотонными.

Можно получить необходимое условие появления в спектре комплексных декрементов (и, следовательно, колебательных возмущений). Для получения этого условия умножим (26.1) соответственно на v*, Т*, Н* и проинтегрируем по полости.

182

Вычитая из получающихся таким путем интегральных соотноше* ний соответственно комплексно-сопряженные, получим

(Г - Л) J w* dV = R J [Т (v’y) - Г* (VV)] dV -

- М j [Я (aV) Vе - Я* (aV) v] dV,

(Л* - Л) Р J TV dV = J [Г (try) - Т (v*y)] dV,

(Л* - Л) Pm / ЯЯ* dV = М J [Я* (aV) v - Я (aV) v‘] dV.

Отсюда следует:

(Л* - X) J [то* 4- PR7T - РтЯЯ‘] dV = 0.(26.6)

Входящий в это соотношение интеграл

7 = j [we -j. рргГ - РтЯЯ*] dV(26.7)

не является знакоопределенным. Как видно из (26.6), необходимым условием появления колебательных возмущений (V=#X) является обращение в нуль интеграла L

Получим теперь условие ортогональности, которому удовлетворяют решения краевой задачи, принадлежащие разным собственным значениям Х( и Ха. Написав уравнения основной задачи для уровня i и уравнения сопряженной задачи для уров? ня к, умножая уравнения этих задач соответственно на (^, 0*, h*^ и (vp Тр Н^ и интегрируя по объему, получим с учетом (26.5):

^i - ^ / ^^ + PRT^ -PmH.H^ dV = 0.(26.8)

Если i ^ к, то отсюда следует условие ортогональности

/ ^tvk 4- PRT^ - PmHiH^ dV = 0.(26.9)

• Нормировка характеристических возмущений определяется интегралом-

/ = J (02 4- PR?2 - Pm№) dy = const (26.10)

Заметим, что если решение (v, Т, Н) является вещественным, то нормировочный интеграл I совпадает с интегралом 7, определенным выше (26.7).

Возмущения в слабых полях. Исследование возмущений удобно начать с рассмотрения предельного случая слабых полей. Прежде всего, из исходных уравнений (26.1), (26.2) видно, что при отсутствии поля (М=0)' задача распадается на две

независимые задачи:

— Л» = — Vp + Av + RTv,

(26.11)(26.12)(26.11)(26.12)-ЛРГ = АТ + (уу),div v = 0; v |$ = Г Is = 0;

(26.11)

(26.12)

(26.11)

(26.12)

-XVmH = LH, |divЯ = 0; Я|$ = 0. /

Первая задача определяет спектр возмущений скорости и температуры жидкости в отсутствие магнитного поля; эти возмущения (при подогреве снизу) монотонно затухают или нарастают в зависимости от значения параметра — числа Рэлея. Вторая задача дает спектр нормальных возмущений магнитного поля в неподвижной проводящей жидкости; легко убедиться в том, что все эти возмущения монотонно затухают. При отсутствии внешнего поля оба типа возмущений совершенно независимы. Будем называть первые из этих возмущений «конвективными», а вторые — «магнитными». Обе задачи являются самосопряженными, и поэтому их решения могут быть выбраны вещественными.

Для решения задачи при отличном от нуля, но достаточно слабом внешнем поле применим метод малого параметра, основанный на разложении возмущений и декрементов в ряды по степеням М. Можно построить разложения двух типов, переходящие при М —* 0 соответственно в решения краевых задач (26.11) и (26.12). При этом ясно, что в обойх случаях декременты будут разлагаться по четным степеням М, поскольку изменение направления внешнего поля на обратное не должно влиять на скорость затухания возмущений. Очевидно также, что в разложениях первого типа при М -» 0 возмущение поля должно исчезать, тогда как (v, Т, р) должны оставаться конечными. В решениях же второго типа, напротив, при М —* 0 должны обращаться в нуль возмущения (v, Т, р^, а возмущение поля должно оставаться конечным. Нетрудно также видеть, что разложения v, Т, р и И содержат степени М определенной четности. После этих предварительных замечаний запишем два типа разложений следующим образом:

X = v(0) + M2v<2) 4- M4v(4) + ...,

(26.13)(26.14)(26.13)(26.14)(v, T, p) = (v^, T^, p<°>) + M2(v(2>, T<2>, p(2)) + + M4(v<4>, T<4>, p<4»)+ ....

(26.13)

(26.14)

(26.13)

(26.14)

H = NVHW 4-,М3Я(3) + ...;

X = ц<°> + М2ц(2> + M4p(4) + ..., (v, T, p) = M(v<n, Tw, ^-\-№4^\ T<3>, p^H .... я = hw + м2я<2> + м4я<4> 4- ...

При М ^ О, как это видно из общих уравнений (26.1), (26.2), имеет место магнитогидродинамическое взаимодействие между возмущениями. Поэтому в сколь угодно слабом внешнем поле вместе с возмущением равновесия возникает соответствующее возмущение поля, и наоборот. По этой причине деление возмущений на «конвективные» и «магнитные» становится, строго говоря, невозможным. Полезно, однако, сохранить эту удобную классификацию, называя возмущения, описывающиеся разложением (26.13), «конвективными», а возмущения (26.14)—«магнитными». '

Подставляя разложения (26.13) и (26.14) в исходную систему (26.1), можно получить уравнения последовательных приближений для коэффициентов разложений. Мы не будем приводить здесь детали вычислений. Укажем лишь, что эти разложения могут быть построены, и они оказываются вещественными •).

Вопрос о сходимости рядов по степеням числа Гартмана остается открытым. Ясно, ’ однако, что до тех пор, пока эти ряды сходятся, описываемые ими возмущения — как конвективные, так и магнитные — меняются со временем монотонно. Появление в спектре осциллирующих возмущений возможно, таким образом, лишь при конечном значении М.

Вещественность декрементов и возмущений при слабых полях дает возможность сформулировать признак, с помощью которого можно различать возмущения двух типов. Этот признак связан со знаком нормировочного интеграла I (или совпадающего с ним в области вещественности интеграла /). Из определения нормировочного интеграла (26.10) и вида разложений для конвективных возмущений (26.13) ясно, что при малых М

J (у2 + PR?2) dV > Pm J №dV,

т. e. / > 0. Для магнитных возмущений имеет место обратное неравенство / < 0. Таким образом, нормировочный интеграл имеет разные знаки для возмущений разных типов. Если (по мере увеличения М) возникают колебательные возмущения, то нормировочный интеграл при этом обращается в нуль, и деление возмущений на конвективные и магнитные утрачивает смысл. - ■

Пересечение декрементов. Итак, при малых М декременты вещественны, и возмущения монотонны. Колебательные возмущения могут появиться лишь при некотором критическом значении М». При этом из вещественности уравнений ясно, что ко-

*) Разложения (26.13) исследованы в работе [|2]; «магнитные» возмущения были введены в рассмотрение в [,3].

5 26) ОБЩИЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА ВОЗМУЩЕНИЙ 185 лебательные возмущения должны появляться в спектре парами: вместе с возмущением (X; у, Т, Н) непременно появляется и возмущение (X*; у*, Р, И*). Можно думать, что рождение пары комплексно-сопряженных уровней происходит в результате пересечения двух вещественных уровней.

М. И. Шлиомис [и] исследовал пересечение уровней спектра декрементов с помощью метода Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [16], применяемого в теории электронных термов молекул.

Пусть в некоторой точке Мо имеются два вещественных решения краевой задачи (26.1), (26.2) с близкими декрементами Xi и Х2: '

(Х1; Уь Т1, Нх), (Х2; у2, Т2, Н2\ .

Рассмотрим решение в близкой точке Мо + ДМ (число Рэлея R предполагается фиксированным). Решение в смещенной точке можно построить в виде линейной комбинации:

(у, Т, Н) = с, (уь Тх, Я,) + с2(у2, Т2, Н2\ (26.15)

Для определения коэффициентов разложения сх и с2 следует подставить (26.15) в исходную систему уравнений для возмущений, умножить на (У], Тх, Нх) и (у2, Т2, Н^ и проинтегрировать. Пользуясь уравнениями для первого и второго решений, а также условием ортогональности этих решений (26.9), получим линейную однородную систему двух уравнений для сх и с2. Равенство нулю определителя этой системы дает квадратное уравнение для декремента в точке Мо + ДМ. Решение этого уравнения можно записать в виде

Х = 1(Х1+Х2)-1ДМ(Г|1 + Г22)± . .

± ]/т K^i - М - ДМ (Г„ - Г^Р 4- ^12^21 (АМ)2. (26.16)

Здесь введены обозначения

Wu = ^-\ Vu = J [у, (aV) Нк + уА (aV) Я,] dV Ц, 6 = 1,2), а 7] и 72— нормировочные интегралы 1-го и 2-го решений.

' Рассмотрим сначала случай, когда, оба решения, декре- мейты которых близки в точке Мо, принадлежат одному типу (оба конвективные или оба магнитные). В этом случае нормировочные интегралы 7] и 72 имеют одинаковый знак. Из очевидного свойства симметрии V12 = V21 тогда следует

Подкоренное выражение в (26.16) в этом случае есть сумма квадратов, и потому оба декремента Х+ и X- вещественны. Таким образом, два уровня одинакового типа не могут породить пару колебательных уровней. Что же касается «простого пересечения», при котором оба декремента совпадают в некоторой точке М* и вновь расходятся, оставаясь вещественными и правее этой точки, то для такого пересечения, очевидно, необходимо выполнение двух условий:

(X, - Х2) - АМ (Гп - 1Г22) = 0; Ц712Ц721 - 0.

В принципе эти условия могут быть удовлетворены за счет надлежащего выбора R и АМ.

Перейдем теперь к случаю, когда оба решения в точке Мо принадлежат к разным типам (одно из них конвективное, другое — магнитное). В этом случае l\h < 0 и, следовательно, 1^12^21 ^ 0. Если К12^0 (это может случиться, если оба решения обладают разной пространственной симметрией), то в формуле (26.16) под корнем стоит полный квадрат, и возможно лишь простое пересечение вещественных уровней. Наиболее интересен случай, когда К12 ¥= 0 (разная симметрия). При этом под корнем стоит разность квадратов, и подкоренное выражение с ростом АМ меняет знак, становясь отрицательным в некоторой точке М* = Мо + АМ„ где АМ, определяется из условия обращения в нуль подкоренного выражения. В этом случае в точке М, наступает слияние двух вещественных уровней и рождается пара осциллирующих возмущений с комплексно-сопряженными декрементами. Нетрудно показать, что частоты этих возмущений (мнимые части X и X*) при М^М, растут как ]/М — М,.

Таким образом, становится понятным появление в спектре колебательных возмущений: они возникают в результате слияния двух вещественных уровней разного типа, обладающих одинаковой симметрией.

Монотонная неустойчивость. Как указывалось в предыдущем параграфе, с точки зрения возникновения неустойчивости в лабораторных условиях наиболее интересны монотонные возмущения. Этим возмущениям соответствуют вещественные декременты, а граница устойчивости получается из условия X = = 0. Краевая задача для критических возмущений в этом случае может быть получена из (26.1), (26.2). Запишем уравнения, введя в целях симметризации новую единицу температуры:

f = CT, C = /R.

В переменных (у, Т, Н) уравнения для критических возмущений запишутся следующим образом:

— VO + Ду + СТу + М (aV) Я = О, .

47 +СМ-О,]

ДИ + М (a V) с = О,

divv = 0, div# = O.

Вместе с однородными граничными условиями эти уравнения составляют краевую задачу на собственные значения. Собственные числа С и соответствующие им решения определяют спектр критических чисел Рэлея и критических движений1).

В работе В. С. Сорокина и И. В. Сушкина [|2] показано, что задача о критических возмущениях эквивалентна вариационному принципу

F (у, 7, Я) = 1J [(rot у)2 + (V7 )2 - (rot Я)2 -

. - 2Mv (aV) Я] dV = extr (26.18)

при дополнительных условиях

(26.19)(26.19)К (v, Г)— f f^YdV = const,div » = div Я = 0.

(26.19)

(26.19)

В самом деле, легко убедиться в том, что, варьируя функционал (26.18) при дополнительных условиях (26.19), мы придем к уравнениям (26.17). Если функции (у, f. Я) реализуют экстремум, то с их помощью определяется критическое значение

с=ЛяДД1(26.20)

.К (», Г)'’

■ Из этой формулы можно сделать определенные выводы о зависимости критического числа Рэлея от поля. С этой целью найдем производную-^-. В правой части (26.20) следует дифференцировать лишь по М, явно входящему в функционал F (дифференцирование по параметру М, входящему неявно через (у, Г, Я), не дает вклада в силу уравнений (26.17)). После интегрирования Ио частям найдем

^- = ^Jfl(aV)T^.

!) Мы не останавливаемся здесь на строгом доказательстве существования собственных чисел поставленной задачи. Такое доказательство проведено р работе Ю. П. Иванилова и Г. Н. Яковлева [16]. .

Пользуясь уравнениями (26.17), можно записать

м _ UrotHVdVhrot H^dV

C dM J ^fydV J ](rot»)2 + (rot#)2] dV ’ откуда следует

л^-Л dC 1

u^ c dM'

Возвращаясь к числу Рэлея R = С2, будем иметь•

О <-^^-<2.С26-21)

Отсюда видно, что критическое число Рэлея монотонно растет с ростом М; магнитное поле приводит к стабилизации равновесия. Знак равенства в (26.21) соответствует случаю rot Н = 0, т. е. таким критическим возмущениям, при которых не возникает индуцированный ток. Ясно, что этот вырожденный случай, при котором критическое число Рэлея не зависит от поля, возможен лишь при весьма специальной форме полости и ориентации внешнего Поля.■■

Зависимость R(M) при слабых полях может быть определена методом возмущений. Полагая при малых М

(ц, f, p) = (v(0), f(0), p<°>)4-M2(v<2>, Т<2>, р<2>)+

Я = МЯ(|) 4-М3Я(3) + ....

g=c0 + ac,

подставляя эти разложения в исходные уравнения и ограничиваясь членами не старше М2, получим после умножения на (у(°), fw( Д(1>) и интегрирования поправку к критическому числу

ас=^ас=^j (rot tfWp dVJ TW (v<°?Y)dV

ас=^

ас=^

Отсюда можно найти

f (rot H^y dV

^ = M2 -^,(26.22)

" Ko J (roteC»)2^’ '

где Ro = Co— критическое число Рэлея в отсутствие поля. Из (26.22) следует, что в слабых полях критическое число растет с полем по квадратичному закону R = Ro + яМ2. Величина AR, как видно из (26.22), пропорциональна джоулевой диссипации.

Что же касается области сильных полей, то из (26.21) следует, что при М 3> 1 критическое число Рэлея растет не быстрее, чем М2..

Общие выводы о зависимости критического числа Рэлея от поля в случае монотонных возмущений подтверждаются результатами решения конкретных задач (см. формулу (25.10), а также задачи, рассмотренные в двух следующих параграфах).

§ 27. Плоский горизонтальный слой

В этом параграфе мы рассмотрим конвективную устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя проводящей жидкости, помещенной в однородное магнитное поле. Как уже указывалось, с^той задачи началось исследование влияния поля на конвективную устойчивость. Первой была работа Томпсона [*], в которой рассматривался слой со свободными" границами. Томпсон исследовал монотонную неустойчивость, а также показал (на примере невязкой жидкости), что в присутствии магнитного поля возможна и колебательная неустойчивость. Вскоре Чандрасекар [2> 3] независимо рассмотрел задачу о монотонной неустойчивости для случаев твердых и свободных границ слоя, а также получил решение задачи о колебательной неустойчивости слоя вязкой жидкости^со свободными границами. Подробное изложение вопроса содержится в книге Чандрасекара [п]. Мы приведем здесь лишь основные результаты.

Амплитудные уравнения. Выберем начало координат на нижней границе слоя и направим ось г вертикально вверх, а оси х и у — горизонтально. Пусть внешнее поле Но = Нйа направлено под углом а к вертикали, а единичный вектор а лежит в плоскости (х, z) и имеет компоненты a (sin а, 0, cos а). Как и в случае задачи без поля, удобно из системы уравнений для возмущений исключить давление и горизонтальные компоненты скорости. С этой цел’ью, как обычно, применим к первому из уравнений (24.11) операцию rot rot и спроектируем полученное уравнение на ось г. Проектируя также на ось z уравнение для возмущения поля, получим из (24.11) систему уравнений для vz, ТиН,. ■

- X Ду2 = ДДу2 + R Д^ + М (aV) ДЯ2,

— ХРТ = АТ + у2,-■

-ЛРтЯ2 = ДЯ2 + М(аУ)о2..

Здесь числа Рэлея R и Гартмана М определены через толщину слоя /г( Д1 — плоский оператор Лапласа в переменных (х, у).

Переходя к нормальным возмущениям, пропорциональным ехр[—М+. i(kix + к^уН. получим для амплитуд скорости v(z),

возмущений температуры 9(z) и вертикального поля й(г) уравнения

- Л (о" - к2о) = (olv - 2k2v" + Л4о) - ^2R9 + '

(27.1)(27.1)+ М [Z^! sin а • (ft" — к2Н) + cos а • (h"' — к2^,

(27.1)

(27.1)

-XP9 = (9"-ft29)+о, .

— XPmh = (ft" — k2h) 4- M Цкх sin а • v + cos а • v')-

Здесь к2 = ft? + ft!

Амплитудные уравнения (27.1) вместе с соответствующими граничными условиями, которые будут обсуждены позже, определяют спектр характеристических возмущений.

Монотонная неустойчивость. Рассмотрим сначала монотонные возмущения. В этом случае на границе устойчивости Х=0. Амплитудные уравнения для нейтральных возмущений получаются из (27.1) (для краткости введен оператор \=d2ldz2— к2 и оператор дифференцирования в направлении поля д/д/ = — iki sin а + cos a d/dz):

A2o-ft2R9 + M-^-Aft = 0,

А9 + о = 0, Aft + M-^ = 9.

Исключая h^, получим систему

(27.2)(27.2)A2v-ft2R9-M2-^- = 0

(27.2)

(27.2)

А9 + о = 0

Эта система обобщает на случай проводящей жидкости в магнитном поле соответствующую систему амплитудных уравнений (6.9), (6.19).

Как видно, уравнения нейтральных стационарных возмущений (27.2) не содержат параметров Р и Рт. Поэтому критическое число Рэлея для монотонной неустойчивости зависит только от трех параметров: волнового числа к, числа Гартмана М и угла а, характеризующего направление поля. Заметим также, что исключение возмущения поля ft(z) не привело к повышению порядка системы (27.2) по сравнению с системой (6.9), (6.10). Это значит, что граница устойчивости (критическое число Рэлея), а также форма нейтральных возмущений скорости и температуры определяются независимо от граничных условий для возмущений поля (эти граничные условия, разумеется, будут необходимы для определения самого возмущения ft(z)).

Итак, определение границы монотонной устойчивости сводится к решению уравнений (27.2) с соответствующими гранич-

ными условиями для v и 0, зависящими от свойств ограничи- Ьающих плоскостей.

Если внешнее поле вертикально, то оператор д]д1 упрощается: д]д1 = d]dz. Уравнения (27.2) принимают в этом слу

чае вид

(27.3)(27.3)(oiv — 2^2о" + л4^) — ^2R0 — М2о" = о, 1(0" — fe20) + v = 0. J

(27.3)

(27.3)

Элементарное точное решение задачи легко найти в случае сво-

бодных изотермических границ слоя, когда

при 2 = 0 иу = о" = 0,при 2 = 0 иу = о" = 0,2 = 10 = 0.(27.4)2 = 10 = 0.(27.4)Как и в случае вующей задачи амплитуды и и

при 2 = 0 иу = о" = 0,

при 2 = 0 иу = о" = 0,

2 = 1

0 = 0.

(27.4)

2 = 1

0 = 0.

(27.4)

соответст-без поля,0 пропор-соответст-без поля,0 пропор-циональны sin плз, где п = 1, 2, 3, ... — номер уровня. Критическое число Рэлея Ri легко находится и равно

соответст-без поля,0 пропор-

соответст-без поля,0 пропор-

R,-^±^IW +

+ б2)2 + ЙЖ2!. (27.5)

При заданном п и фиксированном значении числа

6633—а—а2 О 0,51,01,52,02 О 0,51,01,52,0LgMLgMРис. 66. Критические значения Rm в зависимости от числа Гартмана М для основного уровня монотонной неустойчивости, а —обе свободные границы; б— одна свободная граница, другая — твердая; в —обе твердые границы.Рис. 66. Критические значения Rm в зависимости от числа Гартмана М для основного уровня монотонной неустойчивости, а —обе свободные границы; б— одна свободная граница, другая — твердая; в —обе твердые границы.IgR/T?6IgR/T?6Гартмана М нейтральная кривая Ri(&) имеет минимум при некотором значении кт. Критическое волновое число кт находится из условия 4^| =0, что приводит к уравнению

6

6

3

3

—а

—а

2 О 0,51,01,52,0

2 О 0,51,01,52,0

LgM

LgM

Рис. 66. Критические значения Rm в зависимости от числа Гартмана М для основного уровня монотонной неустойчивости, а —обе свободные границы; б— одна свободная граница, другая — твердая; в —обе твердые границы.

Рис. 66. Критические значения Rm в зависимости от числа Гартмана М для основного уровня монотонной неустойчивости, а —обе свободные границы; б— одна свободная граница, другая — твердая; в —обе твердые границы.

IgR/T?

6

IgR/T?

6

(п2Л2 + ^)2(2/^ - ^Л2) - П4Л4М2 = 0.

Подставляя корень этого уравнения в (27.5), получим минимальное критическое число Рэлея Rm. С увеличением поля критические значения кт и Rm монотонно возрастают (рис. 66, 67). В предельном случае сильных полей (М 1) будем иметь следующие асимптотические зависимости

Rm-nVM2,(27.6)

Если слой ограничен не свободными, а твердыми плоскостями, то граничное условие и" = 0 следует заменить условием

у' = 0. Точное решение в этом случае приводит к громоздким характеристическим соотношениям для определения критического числа. Более целесообразно поэтому искать приближенное решение. Такое решение было найдено Чандрасекаром [2] с помощью вариационного метода. Как и в случае свободных границ, с увеличением поля критическое число Рэлея и критическое волновое число монотонно возрастают. Численные результаты Чандрасекара приведены на рис. 66 и 67. В сильных полях

Рис. 67. Критическое волновое число кт в зависимости от числа Гартмана М для тех же случаев, что и на рис. 66.

(М^> 1) критические значения Rm и кт перестают зависеть от типа границ. Это связано с тем, что в сильных полях движения проводящей жидкости поперек поля затруднены; более выгодными становятся ячеистые возмущения, горизонтальный масштаб которых мал (^т монотонно растет с М). Такие мелкомасштабные возмущения, очевидно, мало чувствительны к характеру граничных условий на горизонтальных плоскостях.

Вернемся теперь к системе (27.2), описывающей нейтральные стационарные возмущения в случае произвольно ориентированного внешнего поля. Легко указать важный частный случай, для которого задача сводится,к уже разобранной задаче об устойчивости в вертикальном поле. Рассмотрим плоские возмущения, зависящие только от координат у и г. Таким возмущениям соответствует к\ = 0, т. е. бесконечно большая длина волны в направлении х (напомним, что вектор поля Но расположен в плоскости (х, z)). Для таких возмущений, очевидно, d/dl = cos a-d/dz. В этом случае система (27.2) сводится- к (27.3) с заменой 'к2 -> ка и М2 -» М2 cos2 а. Все выводы отно-

§ гп ПЛОСКИЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ СЛОЙ 193 сительно устойчивости сохраняют силу; следует лишь везде заменить внешнее поле Яо на его вертикальную составляющую Яо cos а. Что же касается пространственных возмущений, для которых кх Ф 0 и к2 ф 0, то расчет, проведенный Чандрасекаром, показал, что они приводят к более высоким критическим числам Рэлея. Двумерные возмущения, следовательно, более опасны.

Итак, если внешнее поле произвольно ориентировано относительно слоя, то критическое значение числа Рэлея определяется лишь поперечной к слою (вертикальной) составляющей внешнего поля. Отличие от случая чисто поперечного поля заключено в форме критических возмущений. При поперечном поле (как и в случае отсутствия поля) на границе устойчивости определено значение кт= кх -V к2, а не отдельно кх и к2. Таким образом, при критическом значении числа Рэлея возможны пространственные возмущения с различным соотношением кх и к2. Наличие продольной (горизонтальной) составляющей магнитного поля снимает это вырождение: наиболее опасные критические возмущения имеют форму конвективных валов, оси которых параллельны продольной составляющей поля.

Колебательная неустойчивость. Для выяснения условий колебательной неустойчивости следует обратиться к полной системе амплитудных уравнений (27.1) (далее мы будем иметь в виду только случай вертикального поля а = 0). Если X ф 0, то исключить из этой системы возмущение поля й, не повышая порядка остальных уравнений, нельзя. Поэтому для решения задачи о нестационарных возмущениях нужно поставить граничные условия для Н, которые, естественно, зависят от электромагнитных свойств массива. В частности, если слой жидкости ограничен идеально проводящими плоскостями, то на границе должна исчезать нормальная составляющая напряженности магнитного поля, т. е. в этом случае _

при z = 0 и z = l h = 0. (27.7) В другом предельном случае, когда слой проводящей жидкости CBiepxy и снизу граничит с идеальным диэлектриком, следует рассмотреть проникновение возмущений магнитного поля в массив. Пользуясь уравнением для поля в диэлектрическом массиве h'm — к2Нт = 0, а также условиями соленоидальности и непрерывности полей, легко получить на границе с идеальным диэлектриком условия

при 2 = 0 и г = 1 Н' = + кН. (27.8)

Уравнения для амплитуд (27.1) образуют линейную систему с постоянными коэффициентами. Поэтому можно было бы пытаться найти точное решение задачи с граничными условиями

7 Г. 3. Гершуни, Е. М, Жуховицкий

для'поля (27.7) или (27.8). При этом получаются весьма громоздкие характеристические соотношения для определения декрементов •). Для выяснения качественной стороны дела можно рассмотреть решение, предложенное Чандрасекаром. Оно соответствует граничным условиям (27.4) для скорости и температуры (свободные изотермические границы), а возмущение поля удовлетворяет условию: '

при z = 0 и 2 = 1 h' = 0.(27.9)

Хотя граничные условия (27.4) и (27.9) весьма искусственны, полученное с ик помощью частное решение полезно в том отношении, что оно позволяет элементарно исследовать основные закономерности колебательной неустойчивости. Что же касается количественных результатов, то в наиболее интересном случае сильных полей они, как оказывается, слабо зависят от граничных условий.

С условиями (27.4) и (27.9) система (27.1) при а = 0 имеет решение вида

о = а! sin яг, 9 = a2sinn2, /1 = а3со8Л2. (27.10) Для декрементов получим уравнение третьей степени

pX3 + <7X2 + rX + s = 0(27.11)

с коэффициентами

р = РРт, р = -(л2 + Л2)(Р + Рт + РРт),

г = («2 + к2? (1 + Р + Рт) + Л2РМ2 - ^^ PmR,

S = - (л2 + к2? - л2 (л2 4- к2) М2 + A2R.

Уравнение (27.11) лишь значением коэффициентов отличается от соответствующего уравнения (25.5) для случая вертикального слоя. Поэтому нет необходимости повторять анализ, проведенный в § 25. Как и в случае вертикального слоя, возможны, вообще говоря, два вида неустойчивости — относительно монотонных и колебательных возмущений. Границы устойчивости определяются соответственно из условий s=0 и ps — qr=O. Отсюда находятся критические числа Рэлея для монотонной и колебательной неустойчивости:

Ri = ^^^ 1(л2 4- к2)2 4- л2М2],(27.12)

'r2 = "2t^ [0 (л2 4- к2У 4- 6л2М2];(27.13)

9 Предельный случай сильных полей рассматривался в работе Гибсона [18j.

здесь обозначено

(Р + Pm) (1 * Pm) ^Р2 (1 + Pm)

Pm ’ Pm(l + P)'

На границе колебательной неустойчивости А = tar, частота нейтральных колебаний со может быть представлена следующим образом:

to2= pV^"^- М2),(27.14)

где

Из формул (27.14), (27.15) видно, что, как и в случае вертикального слоя, необходимым условием колебательной неустойчивости является Р m > Р. При этом колебательная неустойчивость имеет место лишь в достаточно сильном поле: М > М*, где М, определяет критическое (в смысле появления колебательной неустойчивости) поле при данном значении волнового числа к. Только при Pm > Р и М > М» определяемое формулой (27.13) значение R2 имеет смысл границы колебательной неустойчивости.

При определении границы устойчивости следует учитывать то обстоятельство, что формулы (27.12), (27.13) дают критические числа при фиксированном значении волнового числа. Наибольший интерес представляют минимальные значения Rim и R2m и соответствующие критические волновые числа, которые находятся из условий минимума Ri(^) и R2(&). Значения RXm обсуждены выше; при определении Ram по формуле (27.13) нужно помнить о дополнительном условии ©2 > 0, которое, вообще говоря, выполняется лишь на части нейтральной кривой R2(/?). .

Взаимное расположение нейтральных кривых Ri(&) и R2(/?) определяется значениями параметров М2, Р и Рт. Если Pm > Р, то, как уже говорилось, при достаточно сильных полях возможна колебательная неустойчивость. В этом случае нейтральные кривые Ri(&) и R2(^) пересекаются при значении волнового числа к», определяемом из условия Ri ^= R2:

(л2 + ^)2=л2-^£м2.

С учетом этого соотношения можно переписать (27.14) в виде

<о2=-^[(л2 + ^)2-(л2 + ед

Отсюда ясно, что линия R2W имеет смысл нейтральной кривой лишь в области левее точки пересечения &#, так как правее этой точки со2 < 0. Если при фиксированных параметрах Рт и Р (Pm > Р) увеличивать поле, то при определенном его значении на кривой R2W появляется минимум левее точки пересечения. Это характерное значение числа Гартмана Мо находится из условий

'^ = 0, са2 = 0

и оказывается равным

02(P + Pm) V (Рт-Р)з '

соответствующее значение Кгт

° 4 ‘ Рт(Р + Рт)2(Рт-Р)3 '

минимальные значения некотором характерномминимальные значения некотором характерномРис. 68. Взаимное расположение нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости Rj (/г) и R2 (fe) в зависимости от поля; о) М < Мо, б) MQ < М < М*т, в) М > м,т.Рис. 68. Взаимное расположение нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости Rj (/г) и R2 (fe) в зависимости от поля; о) М < Мо, б) MQ < М < М*т, в) М > м,т.При дальнейшем увеличении поля Rim и R2m становятся одинаковыми при

минимальные значения некотором характерном

минимальные значения некотором характерном

Рис. 68. Взаимное расположение нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости Rj (/г) и R2 (fe) в зависимости от поля; о) М < Мо, б) MQ < М < М*т, в) М > м,т.

Рис. 68. Взаимное расположение нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости Rj (/г) и R2 (fe) в зависимости от поля; о) М < Мо, б) MQ < М < М*т, в) М > м,т.

значении М#т, которое может быть легко определено численно для заданных Рт и Р. В области М > М#т неустойчивость обусловлена колебательными возмущениями, так как в этой области R2m < Rim (рис. 68). При достаточно сильных ПОЛЯХ (М5>М*т), минимизируя (27.13), получим следующий закон возрастания минимального критического числа Рэлея и соответствующего волнового числа с полем:

R2m 0=5 ^R2m 0=5 ^Р2(1+Рт) дд2.Pmd + P) ’Р2(1+Рт) дд2.Pmd + P) ’ктктР2 М2]У«. 2 (1 + Р)(р + рт)Р2 М2]У«. 2 (1 + Р)(р + рт)(27.16)(27.16)

R2m 0=5 ^

R2m 0=5 ^

Р2(1+Рт) дд2.Pmd + P) ’

Р2(1+Рт) дд2.Pmd + P) ’

кт

кт

Р2 М2]У«

. 2 (1 + Р)(р + рт)

Р2 М2]У«

. 2 (1 + Р)(р + рт)

(27.16)

(27.16)

Зависимость Rim и R2m от поля изображена на рис. 69.

Таким образом, при Pm > Р и при достаточно сильных полях неустойчивость горизонтального слоя жидкости имеет колебательный характер. Напомним, что полученные результаты от

Рис. 69. Минимальные критические числа Рэлея для монотонных и колебательных возмущений в зависимости от поля. Линия R2m соответствует значениям параметров Р = 1, Рт=2.Рис. 69. Минимальные критические числа Рэлея для монотонных и колебательных возмущений в зависимости от поля. Линия R2m соответствует значениям параметров Р = 1, Рт=2.мул (27.16), дающая границу колебательной неустой- тличия касаются лишь второй формулы, определяющей асимптотику критической длины волны. Так, в частности,мул (27.16), дающая границу колебательной неустой- тличия касаются лишь второй формулы, определяющей асимптотику критической длины волны. Так, в частности,носятся ‘к весьма искусственным граничным условиям (27.4), (27.9). Гибсон [18] исследовал колебательную неустойчивость в сильных полях для других граничных условий. Им были рассмотрены свободные и твердые границы, а также идеально проводящий и диэлектрический массивы (граничные условия (27.7) и (27.8)). Анализ точных характеристических соотношений показал, что для достаточно сильных полей независимо от граничных условий сохраняется первая из фор чивости. О

Рис. 69. Минимальные критические числа Рэлея для монотонных и колебательных возмущений в зависимости от поля. Линия R2m соответствует значениям параметров Р = 1, Рт=2.

Рис. 69. Минимальные критические числа Рэлея для монотонных и колебательных возмущений в зависимости от поля. Линия R2m соответствует значениям параметров Р = 1, Рт=2.

мул (27.16), дающая границу колебательной неустой- тличия касаются лишь второй формулы, определяющей асимптотику критической длины волны. Так, в частности,

мул (27.16), дающая границу колебательной неустой- тличия касаются лишь второй формулы, определяющей асимптотику критической длины волны. Так, в частности,

для случая твердого непроводящего массива

. -Г 4лЧРт-Р)2 М21У.т~ L(l + Р)2(2 + Р)2 J ’

Сравнение с экспериментом. Как уже указывалось, проводящие жидкости, которые могут стать объектом лабораторного эксперимента, имеют такие параметры, что Pm < Р. Поэтому речь может идти об экспериментальной проверке выводов, касающихся лишь монотонной неустойчивости. Такая проверка предпринята в серии работ Накагавы (основные работы [19-20]). В этих работах изучалась граница конвективной устойчивости горизонтального слоя ртути в поперечном магнитном поле. Критическая разность температур фиксировалась по кризису теплопередачи. Напряженность поля изменялась в пределах Но = = 250 4-8000 гс при значениях толщины слоя h = 3, 4, 5 и 6 см. Таким образом, числа Гартмана были заключены в пределах 6,3 4-410. Экспериментальные значения критических чисел Рэлея в зависимости от поля приведены на рис. 70 вместе с теоретической кривой Чандрасекара для случая обеих твердых границ (в опытах практически имел место именно этот случай, так как на свободной поверхности из-за загрязнений возникала неподвижная пленка).

Экспериментально изучалась также зависимость критической длины волны конвективных ячеек от поля. В опытах [20] наблюдались преимущественно ячейки гексагональной формы. В качестве характеристики горизонтального масштаба этих ячеек можно принять расстояние между центрами соседних ячеек d.

Рис. 70. Критическое число Рэлея в зависимости от поля. Экспериментальные точки Накагавы (△ — h=3 см; О — А=4 см; П — h=5 см; ^~А=6 ему Штриховая линия—теория Чандрасекара.Рис. 70. Критическое число Рэлея в зависимости от поля. Экспериментальные точки Накагавы (△ — h=3 см; О — А=4 см; П — h=5 см; ^~А=6 ему Штриховая линия—теория Чандрасекара.Рис. 71. Горизонтальный размер конвективных ячеек в зависимости от поля (эксперимент Накагавы, штриховая линия —теория Чандрасекара).

Рис. 70. Критическое число Рэлея в зависимости от поля. Экспериментальные точки Накагавы (△ — h=3 см; О — А=4 см; П — h=5 см; ^~А=6 ему Штриховая линия—теория Чандрасекара.

Рис. 70. Критическое число Рэлея в зависимости от поля. Экспериментальные точки Накагавы (△ — h=3 см; О — А=4 см; П — h=5 см; ^~А=6 ему Штриховая линия—теория Чандрасекара.

Критическое значение dm связано с волновым числом кт формулой

dd4л h

d

d

ть

г <> Rm

(h — толщина слоя, см. § 5). Экспериментальные значения dw для разных полей вместе с теоретической кривой dm(M) представлены на рис. 71.

Данные, приведенные на рис. 70 и 71, свидетельствуют о том, что выводы теории о повышении устойчивости под действием магнитного поля и о сокращении горизонтальных масштабов конвективных ячеек находятся в хорошем согласии с экспериментом. Находит свое экспериментальное подтверждение также и теоретический результат, согласно которому в случае наклонного поля повышение устойчивости связано лишь с вертикальной составляющей напряженности. Так, в работе Ленерта и Литла I21] показано, что даже значительное горизонтальное поле (-~4500 гс) не влияет на устойчивость, но влияет на форму критических возмущений: конвекция в горизонтальном поле возникает в виде валов, вытянутых вдоль поля.

Другие задачи,

Перейдем теперь к рассмотрению задач конвективной устойчивости в магнитном поле для полостей более сложной геометрии. Поскольку, как уже неоднократно указывалось выше, в лабораторных условиях возможна только неустойчивость относительно монотонных возмущений, далее будем иметь в виду этот случай. Кроме того, будем интересоваться лишь границей устойчивости, полагая вещественный декремент X равным нулю.

Вертикальный цилиндр в поперечном поле [6]. Эта задача является обобщением рассмотренной в § 11 задачи Остроумова на случай проводящей жидкости.-

Будем считать, что стенки кругового цилиндра теплоизолированы и изготовлены из диэлектрического материала. Внешнее однородное поле горизонтально и направлено вдоль оси х, а возмущения скорости и поля предполагаем параллельными оси цилиндра *)

а(1, 0,0); v(0, 0, о); Я (О, О, Я).

Из уравнений (24.11) получим тогда для критических возмущений:•

28.128.1^. = A„ + R7 + M^-,

28.1

28.1

А7’= —о, АЯ = —М-^-

(о, Т, Н зависят от координат в сечении цилиндра). На границе г = 1 поставим условия )

и = 0, ^ = 0, Я = 0.(28.2)

При отсутствии поля (§ 11) основной уровень неустойчивости связан с диаметрально-антисимметричным движением, при котором возникают два встречных потока с границей раздела по диаметру сечения цилиндра; положение этого диаметра произвольно. При наличии поперечного поля возникает выделенное направление в горизонтальной плоскости — направление внешнего поля (ось х). По этой причине вырождение снимается. Уравнения (28.1) не имеют (при М ^ 0) частных решений вида (11.1), и потому классификация критических движений, описанная в§ 11, теряет смысл. Однако из уравнений (28.1) и граничных

условий (28.2) видно, что существуют решения двух типов — нечетные и четные относительно полярного угла ф. Нечетные решения соответствуют встречным движениям с границей раздела по плоскости ф = 0 (т. е. у = 0), параллельной внешнему полю. Основной уровень неустойчивости можно получить, аппроксимируя скорость в первом приближении метода Галер- кина следующим образом:

о (^ ф) = и (r) sin ф,(28.3)

где радиальная функция и (г) должна удовлетворять граничному условию для скорости. Поскольку при больших значениях числа Гартмана ожидается образование пограничного слоя, целесообразно выбрать аппроксимацию

■ - .' <284)

Здесь С — постоянная, определяемая нормировкой, а к — вариационный параметр (при больших к формула (28.4) описывает распределение скорости с пограничным слоем у стенки; толщина слоя d ~ 1п кЩ.

Подставляя аппроксимацию (28.3), (28.4) в уравнения теплопроводности и индуцированного поля, легко найти соответствующие распределения температуры и поля. Далее, составляя условие ортогональности, найдем критическое число Рэлея для нечетных по ф возмущений:

R = JlW±HW,(28.б)

где а, Ь, с — функции вариационного параметра к:

aW = 4^L4^-(^2 + 4)],

b (k) = — k2 (k2-\-8) ^^2k(kHX^-^_L-Hk4-32),

c(^) = -L[144^4^--48^(fe2 + 4)^L + (7^- 192) .

12 L 3\W/1(6)J

Значение параметра к, входящего в формулу (28.5), находится из условия минимума R(&) при фиксированном значении М. Определяемое таким образом значение кт есть функция М. Подставляя кт в (28.5), получим критическое число Рэлея Rm в зависимости от числа Гартмана. Эта зависимость представлена на рис. 72. С увеличением магнитного поля устойчивость монотонно повышается. При слабых полях (М< 1), как

можно видеть из (28.5), km—>0, и критическое число Рэлея растет с увеличением поля квадратично:

R^-^t^ + M2)R^-^t^ + M2)(28.6)(28.6)

R^-^t^ + M2)

R^-^t^ + M2)

(28.6)

(28.6)

(при М = 0 из этой формулы получается Rm = 68,57— хорошее приближение к точному значению 67,95). В противоположном

Рис. 72. Критическое число Рэлея в зависимости от поля для вертикального кругового цилиндра.Рис. 72. Критическое число Рэлея в зависимости от поля для вертикального кругового цилиндра.

Рис. 72. Критическое число Рэлея в зависимости от поля для вертикального кругового цилиндра.

Рис. 72. Критическое число Рэлея в зависимости от поля для вертикального кругового цилиндра.

предельном случае сильных полей (М » 1; практически уже при М>25)

Rm = ^-M+19, ^=А_!. До)

Таким образом, в сильном поле критическое число Рэлея растет с полем линейно, а в критическом движении образуется гарт- мановский пограничный слой, толщина которого б ~ 1пМ/М.

' В работе [6] рассмотрены также четные по <р возмущения, Им соответствуют более высокие числа Рэлея. В предельном случае сильных полей (М^1), в отличие от (28.7), рост Rm квадратичен:

Rm = -^M2. '

Устойчивость в вертикальном цилиндре прямоугольного сечения рассмотрена в работе [22]. Для случая большой теплопроводности стенок, как и при отсутствии поля (см. § 13), удается получить точное решение и определить критическое число в зависимости от поля и отношения сторон прямоугольного сечения. Зависимость R(M) для цилиндра квадратного сечения представлена на рис. 73. Для основного критического движения, при котором граница раздела потоков параллельна полю, критическое число Рэлея при слабых полях возрастает квадратично;

при больших полях зависимость становится линейной. Таким образом, результаты вполне аналогичны приведенным выше для кругового цилиндра.

Повышение устойчивости проводящей жидкости в вертикальном круговом цилиндре в поперечном магнитном поле наблю-

Рис. 73. Критическое число Рэлея в зависимости от поля для вертикального цилиндра квадратного сечения. Указано положение границы раздела восходящего и нисходящего потоков по отношению к направлению поля. Числа R и М определены через половину стороны квадрата.Рис. 73. Критическое число Рэлея в зависимости от поля для вертикального цилиндра квадратного сечения. Указано положение границы раздела восходящего и нисходящего потоков по отношению к направлению поля. Числа R и М определены через половину стороны квадрата.далось экспериментально в работе А. Г. Смирнова [23].

Рис. 73. Критическое число Рэлея в зависимости от поля для вертикального цилиндра квадратного сечения. Указано положение границы раздела восходящего и нисходящего потоков по отношению к направлению поля. Числа R и М определены через половину стороны квадрата.

Рис. 73. Критическое число Рэлея в зависимости от поля для вертикального цилиндра квадратного сечения. Указано положение границы раздела восходящего и нисходящего потоков по отношению к направлению поля. Числа R и М определены через половину стороны квадрата.

Вертикальный цилиндр в азимутальном поле [24]. Другое магнитогидродинамическое обобщение задачи Остроумова было получено в работе С. А. Регирера [24], рассмотревшего устойчивость проводящей жидкости в азимутальном магнитном поле. Это поле создается однородным по сечению продольным электрическим током. Если не учитывать джоулев разогрев жидкости, то получается задача о конвективной устойчивости равновесия, отличающаяся от рассмотренной в предыдущем пункте структурой внешнего магнитного поля. В такой постановке

задача решалась в работе [25]. Более полная постановка [24] учитывает джоулев разогрев и возникающее в результате этого разогрева осесимметричное движение.

Н^Н^и 2л/о= Но = ——ги 2л/о= Но = ——гОпределим сначала структуру основного движения. Однородный в сечении осевой ток с плотностью /0 создает азимутальное магнитное поле _

Н^

Н^

и 2л/о

= Но = ——г

и 2л/о

= Но = ——г

(здесь пока все величины размерные). Плотность джоулева тепла равна /2/а; таким образом, в жидкости имеются внутренние источники тепла, приводящие к неоднородности температуры по сечению, а следовательно, и к возникновению замкнутого осесимметричного движения. Считая скорость Уо вертикальной и полагая Го = — Аг + 90(г), получим из уравнений Навье — Стокса и теплопроводности безразмерные уравнения

А^о 4- R%— Cq, A90+v0— — N. .(28.8)

Здесь Со — постоянная разделения переменных, R — число Рэлея, связанное с вертикальным градиентом температуры Л,

a N — новый безразмерный параметр, определяющий интенсивность джоулева разогрева (а— радиус цилиндра):

;2„

N=-SахА

Заметим, что между азимутальным полем и продольной скоростью нет магнитогидродинамического взаимодействия; поэтому в уравнении движения отсутствует магнитная сила.

Функции v0 и 0о подчиним следующим условиям:

уо(1) = О, ео(1) = О, Jyo(r)rdr = O. (28.9) о

Обращение в нуль температуры на границе соответствует случаю идеально теплопроводных стенок канала *).

Решение поставленной задачи имеет вид

/о W , Y /0 M) |.My) + 2 J /o(y) J'/о W , Y /0 M) |.My) + 2 J /o(y) J'N /^ , 4Wv] JoW ,

/о W , Y /0 M) |.My) + 2 J /o(y) J'

/о W , Y /0 M) |.My) + 2 J /o(y) J'

Vo— 6 [°Ч/0(у)2] /o(y) +

_ N If , Z®(Y) °0 — 6y2 iLY + My)_ N If , Z®(Y) °0 — 6y2 iLY + My)^(y) 1 . [^(y) y1 MyO

_ N If , Z®(Y) °0 — 6y2 iLY + My)

_ N If , Z®(Y) °0 — 6y2 iLY + My)

МуМММу) 2] My)

' "^(Y) vl Mvr) 1 \28.mL /0 (Y) + 2] /0 (Y) Г (28, 0)

Здесь введены обозначения:

Y = RV*; бY = RV*; б^(Y)^(y)My) "*■ My) *^(Y)^(y)My) "*■ My) *

Y = RV*; б

Y = RV*; б

^(Y)^(y)

My) "*■ My) *

^(Y)^(y)

My) "*■ My) *

Формулы (28.10) определяют скорость и температуру при заданных значениях параметров R и N (т. е. при заданных значениях продольного градиента температуры и плотности тока). Как и следовало ожидать, интенсивность движения пропорциональна N.

Интересно отметить, что амплитуда движения неограниченно возрастает, если параметр -у приближается к одному из значений, определяемых уравнением 6 = 0. Корни этого уравнения как раз дают критические числа Рэлея, определяющие неустойчивость равновесия при подогреве снизу относительно осесимметричных возмущений (см. § 11; нижнее из этих критических значений R = 452). В этих критических точках стационарное течение (28.10) разрушается, а вблизи этих точек его амплитуда велика, и оно, по-видимому, становится гидродинамически неустойчивым.

9 В работе [24] рассматривается более общий случай массива произвольной теплопроводности.

Рассмотрим теперь конвективные возмущения основного движения. Ограничиваясь возмущениями следующей структуры:

vr = a<p = 0,уг = у(г, ф); Т = Т(г, ф); p = p^zY

НГ = Н^ = О, Нг = Н(г,^,'

получим однородную систему

и граничные условия

при г=1 у = Т = Н = 0.при г=1 у = Т = Н = 0.(28.12)(28.12)

при г=1 у = Т = Н = 0.

при г=1 у = Т = Н = 0.

(28.12)

(28.12)

Здесь С — постоянная разделения переменных, а число Гартмана М определено теперь через азимутальное поле, создаваемое продольным током:

М _ 2л/оа2 -i/ jlс2 ГТ]'

Исключая из (28.11) возмущение поля,, получим систему уравнений для у и Т: ■

(28.13)(28.13)AAu-Rv-M244 = 0,

(28.13)

(28.13)

АТ = — V.

Для осесимметричных возмущений член с электромагнитной силой выпадает, и система не отличается от соответствующей системы задачи Остроумова: Характеристические числа Рэлея находятся из уравнения

Это условие совпадает с условием 6 = 0, т. е. осесимметричные критические движения существуют как раз при тех значениях числа Рэлея, при которых разрушается основное осесимметричное движение. .

Обращаясь к движениям, не обладающим осевой симметрией, положим (у, Г) ~ cos Иф (и = 1, 2, ...). Тогда для радиальных функций получается система (11.2), (11.3) с заменой R на R — п2М2. Характеристические числа Рэлея находятся из уравнения

4(у) = о, MR-^'

Таким образом, критические значения R возрастают квадратично с полем:

(28.15)(28.15)R = y< + n2M2.

(28.15)

(28.15)

Для нижнего критического значения, соответствующего п = 1 (антисимметричное движение), имеем R = 215,6 + М2.

Итак, если при фиксированном продольном токе изменять вертикальный градиент температуры, то в точках, определяемых (28.14), разрушается основное движение и возникает осесимметричное возмущение. В точках же спектра R, определяемых (28.15), на основное осесимметричное движение накладываются неосесимметричные нейтральные возмущения.

Интересно отметить, что однородная задача для конвективных (продольных) возмущений не содержит параметров основного движения. По этой причине спектр критических чисел Рэлея формально может быть найден из рассмотрения задачи об устойчивости равновесия в пренебрежении джоулевым нагревом и вызываемым этим нагревом осесимметричным движением *).

Связанные вертикальные каналы []. Рассмотренная в § 14 задача о конвективной устойчивости в системе двух параллельных плоских вертикальных каналов, разделенных теплопроводной прослойкой, может быть также обобщена на случай проводящей жидкости в поперечном однородном магнитном поле.

Предполагая, что возмущение поля, как и скорости, имеет лишь вертикальную составляющую, придем к системе уравнений (25.1), в которых для отыскания границы монотонной неустойчивости следует положить декремент равным нулю. К ним нужно добавить уравнения для возмущений поля и температуры в твердой прослойке: Т" = 0; Я" = 0. На границе твердой прослойки и жидкости (x = xi) скорость обращается в нуль и имеет место непрерывность температуры, теплового потока и поля:

при X = XV v = 0, Т = Tm йТ'= 1™, Н = Нт.

На внешней границе каналов полагаем

при х = х2 v = 0, Т' = 0, Н = 0.

Как и в случае отсутствия поля, задача имеет.решения двух типов — «нечетные» и «четные». Решения 1-го типа описываются нечетными относительно х скоростью и температурой и четной функцией Н; решениям 2-го типа соответствуют четные v и Т и нечетное Н,

«Нечетные» решения имеют вид

Г cos д (х2 — х) — ch р (х2 — *) Я sin д (х2—х) + р sh р (х2 — х) 1 $”L cos д (х2 — Xi) — ch р (х2 — х^ д sin д (х2 — х^ + р sh р (х2—x^J ’

у _ +Г д-2 cos д (х2 — х) + Р~2 ch р (х2 — х) __

—L cos р (х2 — xj — ch р (х2 — xj

р-1 sinp(x2 — х) — р-1 sh р (х2 — х)1

д sin д (х2 — xj + р sh р (х2 — xj J ’

^ _ + м Г tf""1 sin Я (^2 — х) — р-1 sh р (х2 — х) .

' L cos р (х2 — xj — ch р (х2 — xj

'| COS Я (^2 — х) — ch р (х2 — х) ]

р sin р (х2 — Xi) + р sh р (х2 — х0 J ’

Тт = Сих; Нт = СМ.

Здесь введены обозначения:

I / М2 VTA , М2 ГА '. / М2 V1V2 М2 ГА

^={lr+(—)j +—} ’ 'HMhr)1;

^ 2рр (1 — cos 2р • ch 2р) + (р2 — р2) sin 2р • sh 2р pg (cos 2р — ch 2р) (р sin 2р + р sh 2р)*

В этих формулах знаки + и — относятся соответственно к правому и левому каналам. Числа Рэлея и Гартмана включают в качестве характерного размера полуширину канала.

Критические числа Рэлея для ’«нечетных»* возмущений находятся из характеристического соотношения

Р2 + Я2 р sh 2р • cos 2р + р sin 2р • ch 2р . . ,^о

рд* (р2 - р2) sin 2р • sh 2р + 2рр (1 - cos 2р • ch 2р)Ml Ь 1и/

В случае «четных» решений поле в неэлектропроводной прослойке отсутствует, а температура постоянна:

нт = 0;нт = 0;Т _ p2 + q4 1 т — ргдгТ _ p2 + q4 1 т — ргдгд sin 2р • ch 2р + р cos 2р • sh 2р(cos 2р — ch 2р) (р sin 2р + р sh 2р) *

нт = 0;

нт = 0;

Т _ p2 + q4 1 т — ргдг

Т _ p2 + q4 1 т — ргдг

"Скорость, температура и поле в жидкости описываются теми же формулами, что и в случае «нечетных» решений со знаком +, общим для обоих каналов. Спектр критических чисел Рэлея определяется из уравнений

pthp + ^tg^ = O, ^thp —ptg^ = O. (28.17)

Эти уравнения отвечают возмущениям, в которых скорость и температура — соответственно нечетные и четные функции относительно середины каждого канала.

Критические числа Рэлея в случае «нечетных» решений (формула (28.16)) зависят от двух параметров — числа Гартмана и параметра теплового взаимодействия каналов x]xf|. В случае «четных» решений, как видно из (28.17), критические числа за-

висят только от числа Гартмана; зависимость от x|xi| отсутствует, поскольку в этом случае нет теплового взаимодействия между конвективными потоками в каналах; в каждом из каналов происходит автономная циркуляция.

Нижнему уровню неустойчивости отвечает первое из решений нечетного типа; ему соответствует такое движение, при котором в одном из каналов возникает восходящий конвективный поток,

а в другом — нисходящий. Для этого основного уровня на рис. 74 приведена зависимость R от параметра Я|%1| для разных значений М. Как и при отсутствии поля, с увеличением Я |%1| ^по мере ослабления тепловой связи каналов) критическое число Рэлея уменьшается и при Я|%1|->оо стремится к нулю. Магнитное поле оказывает стабилизирующее действие: при фиксированном Я |%1| критические числа растут с увеличением поля.

Л. Г. Поддубная и Г. Ф. Шайдуров [28] рассмотрели вопрос о конвективной устойчивости в проводящей жидкости в связанных вертикаль-

Рис. 74. Критическое число Рэлея для связанных плоских каналов в зависимости от параметра теплового взаимодействия и магнитного поля.Рис. 74. Критическое число Рэлея для связанных плоских каналов в зависимости от параметра теплового взаимодействия и магнитного поля.ных каналах кругового сече

Рис. 74. Критическое число Рэлея для связанных плоских каналов в зависимости от параметра теплового взаимодействия и магнитного поля.

Рис. 74. Критическое число Рэлея для связанных плоских каналов в зависимости от параметра теплового взаимодействия и магнитного поля.

ния, находящихся в поперечном магнитном поле. Пользуясь приближенным методом, описанным в п. 1, они нашли критическое число Рэлея в зависимости от поля и коэффициента теплоотдачи на границах каналов со средой.

* *

В заключение этого параграфа отметим еще работу Курц- вега [29], в которой исследовалась устойчивость равновесия в бесконечном горизонтальном цилиндре прямоугольного сечения. Рассматривались плоские возмущения для случая, когда горизонтальные границы полости поддерживаются при постоянной температуре,- а вертикальные — теплоизолированы; внешнее поле направлено вертикально. В работе определены критические числа Рэлея в зависимости от поля для нескольких нижних мод неустойчивости,

Устойчивость вращающейся жидкости

В этом параграфе мы рассмотрим возникновение конвекции в жидкости, равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси. Влияние такого вращения на устойчивость во многих чертах оказывается сходным с обсуждавшимся в предыдущих параграфах влиянием магнитного поля. Причина этого сходства заключается в следующем. Прежде всего, возникающая во вращающейся жидкости кориолисова сила по своей структуое близка к магнитной силе, действующей на движущуюся в поле проводящую среду. Далее, имеется хорошо известная аналогия между поведением вихря скорости и магнитного поля в проводящей среде. Если отсутствуют диссипативные процессы (бесконечная электропроводность в магнитном случае или невязкая жидкость — в случае вращения), то имеет место полная «вмо- роженность» силовых линий магнитного поля или, соответственно, вихревых линий. Если проводимость конечна или вязкость отлична от нуля, то имеет место лишь частичная «вморожен- ность»; в этом случае происходит диффузия магнитного поля (вихря). Указанное сходство ситуаций находит свое отражение в том, что по математической постановке задачи об устойчивости равновесия в магнитном поле и при вращении оказываются весьма близкими. Во многом сходны также и результаты: и в том и в другом случае имеет место повышение устойчивости, и при определенных условиях появляется неустойчивость колебательного типа.

Пусть жидкость равномерно вращается с однородной угловой скоростью £2 = Qy (у —единичный вектор по вертикали). Уравнение движения запишем во вращающейся системе отсчета. В этом случае, как известно, следует в это уравнение включить силы инерции — кориолисову и центробежную. Обозначая через v скорость жидкости относительно вращающейся системы, будем иметь

^_ + (vV)p = -lvp + vAV + s-2(fiX»)-fiX(«Xr)

(здесь г — радиус-вектор элемента жидкости). В равновесии с однородной плотностью ро и температурой Тй давление рй определяется уравнением

Vpo = Роб - PoQ X (Q X г).

Полагая р = р0(1 — рГ), где Г — температура, отсчитываемая от Го, считая неоднородность плотности малой (ср. § 1), получим

+ (vV) v = — -^ Vp' + v Av + g^Tx — 2(Й X v) +

• +РТЙХ(ЙХг). (29.1)

Последний член в правой части дает конвективную силу, возникающую за счет неоднородности плотности в центробежном поле. Отношение этой силы к конвективной силе в поле тяжести определяется параметром Q?l,g, где / — горизонтальный масштаб. Если этот параметр велик, то влияние поля тяжести несущественно и все определяется центробежной силой (центробежная конвекция !)). Мы далее ограничиваемся рассмотрением противоположного предельного случая Q/ С g, когда центробежной конвективной силой можно пренебречь. В этом случае, как легко убедиться, сохраняется прежнее условие равновесия подогреваемой жидкости: постоянство и вертикальность градиента температуры.

Уравнения возмущений получаются обычным образом. Для возмущений скорости, температуры и давления из (29.1) получим

__LVp + vAV + g0Tv-2(QXv). (29.2)

Уравнения теплопроводности и непрерывности остаются без изменений.

Выберем единицы длины, времени, скорости, температуры и давления так же, как в § 3. Тогда уравнение (29.2) в безразмерной форме примет вид

^-=-Vp + Av + Rry-D(vXv). (29.3)

Здесь D = 2QL2/v — новый параметр, характеризующий вращение (в сущности, D есть число Рейнольдса). Из (29.3) можно получить систему двух уравнений, содержащих вертикальные составляющие скорости uz и вихря Ft = rotz v. Для этого нужно применить к (29.3) операции rot и rot rot и спроектировать получающиеся равенства на ось г. Тогда получим

(29.4)(29.4)-^-Av^AA^ + RAJ-D^,

(29.4)

(29.4)

-^ = AFZ + D-^-.

dt z 1 dz

Далее будем рассматривать плоский горизонтальный слой жидкости2) и введем нормальные возмущения, пропорциональные exp [—М + i^к\Х + кзу^. Из (29.4) и уравнения теплопро-

Теоретическому и экспериментальному изучению конвективной неустойчивости в центробежном поле посвящена работа [30].

водности получим систему амплитудных уравнений — аналог системы (27.1):

- Л (о" - к^ = (»>v - 2k*V + к*^ - та - Df',

(29.5)(29.5)-лре = (е"-/?29) + и, -XF = (F" -k2FH Du'.

(29.5)

(29.5)

Граничные условия для у и 9 уже обсуждались ранее. Что касается условий для F, то поскольку

дуи дух

Рг =< (^iVy — к2Ух'),

ясно, что на свободной границе, где исчезают касательные на- дух дуу

пряжения, -^—= -^—= 0 и, следовательно, F' = 0. На твердой

границе ух = vy = 0, т. е. F = 0. Итак, на свободной границе

у = ^ = 0, ^ = 0, 0=0,(29.6)

а на твердой границе

(29.7)(29.7)v = и' = 0, F = 0, 0 = 0

(29.7)

(29.7)

(во всех случаях граница предполагается изотермической).

Решение задачи было найдено Чандрасекаром [31> 32>17] для трех случаев: обе границы свободные; обе твердые; одна свободная, другая твердая. Как и в аналогичной задаче с магнитным полем, проще всего исследуется случай обеих свободных границ. В этом случае (и, 0) ~ sin nnz, a F ~ cos плз. Для собственных чисел X получается кубическое уравнение вида (27.11) с коэффициентами (для основной моды п = 1)

р = Р, <7=-(л2 + ^)(1+2Р),

г = (л2 + к^ (2 + Р) - ^rl^- (A2R - л2РТ),

s = - (л2 + £2)3 + £2R - л2Т.

Здесь введено безразмерное число Тейлора

T=^1 = D2.

Ситуация, таким образом, вполне аналогична описанной в §§ 25 и 27 !)« Граница монотонной неустойчивости получается из условия s = 0:

К1 = -^[(л2 + ^2)3 + л2Т]. (29.8)

0 Подробное исследование спектра декрементов см. в [33].

Критическое число Рэлея колебательной неустойчивости находим из условия ps — qr = 0:

R2 = -^ [(л2 + А2)3 + (Г^т].(29.9)

Для частоты нейтральных колебаний имеем

л2 0 ”" Р) /уу \. (л2 + ^2)3 , 1 + Р /од in\ ®(л2 + *2)(1 +Р) t1 *^’ £* Л2 1-Р'(2У-1и)

Из (29.10) ясно, что если Р > 1, то колебательная неустойчивость невозможна. В этом случае кризис равновесия связан с монотонными возмущениями, и порог конвекции определяется в зависимости от числа Тейлора формулой (29.8); критическое число Рэлея при этом не зависит от числа Прандтля Р. Если Р-< 1, то, как видно, из формул,-для заданного волнового числа колебательная неустойчивость будет существовать при достаточно большой скорости вращения, определяемой условием го2 >- 0, т. е. при Т > Т„ причем в этом случае Нг < Ri. Однако для выяснения характера конвективного движения, приходящего на смену равновесию при увеличении'градиента температуры, необходимо еще рассмотреть соотношение между минимальными (по А) значениями критических чисел Рэлея Rim и Ргт-

Из формулы (29.8) легко получить закон возрастания минимального критического числа Rim и соответствующего волнового числа him с увеличением скорости вращения в области Т » 1:

Rirn ~ 3Т'., кХт ~ ^Т^ Т-/..(29.11)

Минимизируя (29.9), получим для достаточно больших Т и не очень малых Р (так, что Р2Т ^ 1) предельные формулы для характеристик колебательной неустойчивости:

Rzm^y^)^2?2?)2'-, k2m«^^Y* (29J2)

Условие ю2>0 определяет на линии Ргт(Т) те участки, -которые имеют реальный смысл порога колебательной неустойчивости. Из этого условия, как и в случае магнитного поля, определяется концевая (со стороны малых Т) точка с координатами

т _ 27л4 (1 + Р)4 (1 - Р)2 р _ 54л4 (1 + Р)3 (1 - Р)2

(2 — ЗР2)3’ R° (2 — ЗР2)2'

/2"

-д = 0,817, как видно из этих формул, является в некотором смысле предельным: если Р< )/*у> то нейтральная кривая Рг(&) имеет минимум при ю2 > 0.■

Как и в случае магнитного поля (см. § 27, рис. 69), концевая точка лежит выше кривой Rim. Поэтому для определения условия колебательной неустойчивости следует найти пересечение линий Rim(T) и R2m(T). Точка пересечения Т*т легко находится численно (рис. 75). Величина Т*т монотонно растет с Р, и Т»щ^*оо при некотором Р. Это предельное значение Р нахо-

Рис. 75. Число Тейлора Т*^ при котором появляется колебательная неустойчивость (слой со свободными границами).Рис. 75. Число Тейлора Т*^ при котором появляется колебательная неустойчивость (слой со свободными границами).ДИТСЯ ИЗ УСЛОВИЯ Rim = R2m При Т -> ОО. Из сравнения асимптотических формул (29.11) и (29.12) следует, что Р есть корень уравнения 8Р4 = 1 + Р, откуда находим Р = 0,677. Если Р > Р, то R2m > Rim при всех значениях Т, и в этом случае наиболее опасна монотонная неустойчивость. Если Р < Р, то при Т > > Т*т наступает колебательная неустойчивость. ,

Рис. 75. Число Тейлора Т*^ при котором появляется колебательная неустойчивость (слой со свободными границами).

Рис. 75. Число Тейлора Т*^ при котором появляется колебательная неустойчивость (слой со свободными границами).

Итак, если Р *> 1, т’о растущие колебательные возмущения невозможны ни при каких значениях параметров Р, Т и к. В этом случае имеется лишь монотонная неустойчивость, порог которой определяется значением Rim(T). Если у у <Р< 1, то возможны растущие

колебательные возмущения лишь для значений волнового числа, удовлетворяющих условию о2 > 0; нейтральная кривая R2(&) в этом случае не имеет минимума; При Р < Р < д/*у на кривой R2(&) имеется минимум, но R2m > Rim при всех Т и потому кризис равновесия связан с монотонной неустойчивостью. Наконец, при Р < Р в зависимости от скорости вращения возможны как монотонная, так и колебательная неустойчивость. При малых скоростях вращения (Т < Т*т) неустойчивость обусловлена монотонными возмущениями, и на пороге неустойчивости возникает стационарная конвекция. При достаточно больших скоростях вращения (Т > Т*т) за неустойчивость ответственны колебательные возмущения; при увеличении разности температур на смену равновесию приходит конвекция в виде стационарных колебаний.

Проведенный анализ относится к случаю слоя со свободными границами. Для других граничных условий найти точное решение краевой задачи для амплитуд возмущений не удается. Чандрасекар с помощью вариационного метода нашел приближенное решение для случаев, когда одна граница свободная, а другая твердая, и для обеих твердых границ. Им были най-

дены критические числа монотонной неустойчивости Rim(T), которые, очевидно, не зависят от Р. Расчет критических значений числа Рэлея для колебательной неустойчивости произведен для числа Прандтля Р = 0,025 (ртуть). Критические параметры в зависимости от поля приведены на рис. 76 и 77. Как видно, результаты для разных граничных условий качественно сходны. В частности, при всех типах граничных условий для монотонной

Рис. 76. Критические числа Рэлея RI/n и ^2/п для Разных граничных условий. Немонотонная неустойчивость; К2/п~ колебательная неустойчивость (Р=0,025); а —обе свободные границы, в —свободная и твердая, с —обе твердые.Рис. 76. Критические числа Рэлея RI/n и ^2/п для Разных граничных условий. Немонотонная неустойчивость; К2/п~ колебательная неустойчивость (Р=0,025); а —обе свободные границы, в —свободная и твердая, с —обе твердые.Рис.* 77. Критические волновые числа для монотонной и колебательной неустойчивости. Обозначения те же, что и на рис. 76.Рис.* 77. Критические волновые числа для монотонной и колебательной неустойчивости. Обозначения те же, что и на рис. 76.

Рис. 76. Критические числа Рэлея RI/n и ^2/п для Разных граничных условий. Немонотонная неустойчивость; К2/п~ колебательная неустойчивость (Р=0,025); а —обе свободные границы, в —свободная и твердая, с —обе твердые.

Рис. 76. Критические числа Рэлея RI/n и ^2/п для Разных граничных условий. Немонотонная неустойчивость; К2/п~ колебательная неустойчивость (Р=0,025); а —обе свободные границы, в —свободная и твердая, с —обе твердые.

Рис.* 77. Критические волновые числа для монотонной и колебательной неустойчивости. Обозначения те же, что и на рис. 76.

Рис.* 77. Критические волновые числа для монотонной и колебательной неустойчивости. Обозначения те же, что и на рис. 76.

и колебательной ' неустойчивости сохраняется асимптотика Rm ^ Т^, кт ~ Т/д при больших Т; отличие от формул (29.11), (29.12) заключается лишь в численных факторах1). Для ртути колебательная неустойчивость наступает при значениях числа Тейлора T#m ~ 103-?- 104 (в зависимости от характера границ). В слое ртути толщиной 1 см значению Т = 104 соответствует скорость вращения около 0,6 об]мин\ таким образом,

’) Асимптотические зависимости Rm и кт для слоя с твердыми границами получены в Р4'35]. Формула Rm ~ Т ,3 в области больших Т приводит к следующей зависимости критического градиента температуры от параметров:

у / Q \4/з

gM - const -^ -7- .v\ h /Таким образом, критический градиент возрастает с уменьшением кинемати-ческой вязкости v, и в пределе наступает полная стабилизация равновесия.Этот результат, который может показаться неожиданным, на самом деле естьпрямое следствие «вмороженности» вихревых линий при v~>0.

колебательная неустойчивость наступает уже при сравнительно медленном вращении.

Остановимся теперь кратко на результатах экспериментальных исследований конвективной неустойчивости вращающегося горизонтального слоя жидкости.

Как уже говорилось выше, в случае проводящей жидкости в магнитном поле в лабораторных условиях наблюдать колебательную неустойчивость нельзя. В отличие от этого, в случае вращения можно наблюдать как монотонную, так и колебательную неустойчивость; последняя требует для своей реализации условия Р < Р, где Р ~ 1. Этому условию удовлетворяют жидкие металлы, у которых числа Прандтля, как правило, малы (у ртути, например, при комнатных температурах Р = 0,025).

Для экспериментальной проверки выводов относительно монотонной неустойчивости Накагава и Френзен [36] использовали воду (Р = 7 и потому колебательная неустойчивость невозможна). Толщина слоя воды со свободной верхней границей менялась от 2 до 18 см, а скорость вращения достигала 50 об/мин'^ числа Тейлора изменялись в пределах 106-т-1010. Наступление конвекции регистрировалось визуально и тепловыми измерениями. Результаты говорят о согласии эксперимента и теории. .

Исследование колебательной неустойчивости проводилось в опытах Фульца и Накагавы [37] на слоях ртути. Из-за возникающей на поверхности пленки верхняя граница слоя была практически неподвижной. Толщина слоя достигала 8 см при скорости вращения до 30 об]мин\ числа Тейлора занимали интервал 108 4- 10й. При этих условиях, согласно теории, должна наблюдаться колебательная неустойчивость. Эксперимент подтверждает это предсказание: в момент возникновения неустойчивости на температурных записях появляются регулярные колебания, частоты которых удовлетворительно согласуются с теоретическими значениями частот нейтральных колебаний на линии R2m. Критические числа Рэлея также согласуются с теоретическими значениями. .

Согласно результатам линейной теории, в области больших значений Т (Т > Т*т) при увеличении числа Рэлея сначала наступает колебательная, а затем и монотонная неустойчивость (подчеркнем, что переход к монотонной неустойчивости должен пройсходить не на линии Rim, а при меньших значениях R — на линии, где пара растущих колебательных возмущений превращается в пару растущих монотонных — см. § 25, рис. 64, линия А = 0). Практически наблюдение перехода от колебательной неустойчивости к монотонной осложняется тем, что этот переход происходит на фоне развитого колебательного движения. Однако переход от колебаний к стационарной конвекции сопро-

Рис. 78. Критические числа Рэлея для монотонной неустойчивости в слоях воды. Сплошная линия —теоРис. 78. Критические числа Рэлея для монотонной неустойчивости в слоях воды. Сплошная линия —теория Чандрасекара, штриховая линия — эксперимент Россби.рия Чандрасекара, штриховая линия — эксперимент Россби.Рис. 79. Критические числа Рэлея для монотонной и колебательной неустойчивости в слоях ртути. Сплошные линии —теория Чандрасекара, штриховая линия- эксперимент Россби.Рис. 79. Критические числа Рэлея для монотонной и колебательной неустойчивости в слоях ртути. Сплошные линии —теория Чандрасекара, штриховая линия- эксперимент Россби.

Рис. 78. Критические числа Рэлея для монотонной неустойчивости в слоях воды. Сплошная линия —тео

Рис. 78. Критические числа Рэлея для монотонной неустойчивости в слоях воды. Сплошная линия —тео

рия Чандрасекара, штриховая линия — эксперимент Россби.

рия Чандрасекара, штриховая линия — эксперимент Россби.

Рис. 79. Критические числа Рэлея для монотонной и колебательной неустойчивости в слоях ртути. Сплошные линии —теория Чандрасекара, штриховая линия- эксперимент Россби.

Рис. 79. Критические числа Рэлея для монотонной и колебательной неустойчивости в слоях ртути. Сплошные линии —теория Чандрасекара, штриховая линия- эксперимент Россби.

вождается повышением теплового потока и благодаря этому может быть зарегистрирован. В опытах [38] и [39] действительно наблюдалось изменение теплопередачи как раз при тех значе

ниях параметров, при которых ожидается переход к стационарной конвекции.

Обстоятельное исследование неустойчивости и надкритических движений во вращающемся слое проведено в недавних экспериментах Россби [40]. Как и в обсуждавшихся выше работах, для наблюдения монотонной и колебательной неустойчивости использовались

слои воды и ртути разной толщины. Границы устойчивости в зависимости от числа Тейлора представлены на рис. 78 и 79. Имеется очень хорошее согласие с теорией в случае монотонной неустойчивости в слоях во* ды при Т < 5 -104 и в случае колебательной неустойчивости в слоях ртути при Т>105. За

пределами указанных границ эксперимент дал заниженные по сравнению с теорией критические числа Рэлея. Это обстоятельство, по мнению автора, в случае слоев ртути может быть связано с конечно-амплитудными подкритическими движениями, предсказываемыми нелинейной теорией. В случае монотонной неустойчивости в слоях воды не исключена (при больших скоростях вращения) роль центробежных эффектов.

В заключение этого параграфа отметим еще исследования конвективной устойчивости равновесия вращающейся жидкости в полостях другой формы. Устойчивость в бесконечном вертикальном цилиндре, равномерно вращающемся вокруг оси, рассматривал И Цзя-шунь [41]. Если иметь в виду наиболее опасные возмущения со скоростями, параллельными оси цилиндра, то,

как легко видеть из (29.2), кориолисова сила отсутствует, и критическое число Рэлея не зависит от вращения; стабилизация в этом случае не достигается, поскольку возможны возмущения, при которых жидкость движется вдоль «вмороженных» вихревых линий. Если же возмущения имеют периодическую структуру в направлении оси цилиндра, то на них, как и в случае горизонтального слоя, действует кориолисова' сила. При этом устойчивость равновесия повышается.

Стабилизация монотонной неустойчивости при вращении воды в кубической полости наблюдалась экспериментально А. П. Овчинниковым и Г. Ф. Шайдуровым [42].

Мы не останавливаемся здесь вовсе на рассмотрении устой’ чивости равновесия при наличии одновременно двух факторов — магнитного поля и вращения. Изложение этого вопроса содер’ жится в книге Чандрасекара [17]; см. также более поздние работы [43>44], '

*

В этой главе мы рассмотрели влияние магнитного поля и вращения на возникновение конвекции в рамках линейной теории устойчивости. Нелинейные расчеты проводились в работах [45~50]; относительно более подробно исследован случай вращения, которому посвящены работы Верониса [47-49] и Кюпперса и Лорца [50]. ■

Наиболее интересный результат нелинейных исследований заключается в том, что при малых числах Прандтля (где, согласно линейной теории, имеет место колебательная неустойчивость) возможно «жесткое» возбуждение стационарного движения конечной амплитуды (см. рис. 55, б). Вывод о «жесткой» неустойчивости и наличии стационарных подкритических движений был сделан уже в первой работе Верониса [47] на основе метода малого параметра; далее [48- 49] этот вывод был подтвержден численными расчетами методом Фурье для плоской кон-, векции во вращающемся горизонтальном слое со свободными границами. Эти расчеты позволили определить нижнее критическое число Рэлея R, и при этом оказалось, что для Р = 0,2 в определенном интервале значений числа Тейлора стационарные подкритические движения возникают раньше, чем неустойчивость колебательного типа. В численном расчете [49] исследуются также колебательные возмущения конечной амплитуды; подкритические колебательные движения, которые наблюдал в эксперименте Россби [40], в расчете, однако, не получались.

Устойчивость стационарных движений конечной амплитуды при наличии магнитного поля и вращения рассматривалась в работах [46’ 50].

ГЛАВА VII

БИНАРНАЯ СМЕСЬ

В этой главе мы рассмотрим конвективную устойчивость бинарной смеси, состоящей из нереагирующих компонент.

Если температура вдоль смеси не меняется, то единственной причиной, вызывающей конвекцию, является неоднородность концентрации. Этот случай не требует особого рассмотрения, так как он полностью аналогичен обычной тепловой конвекции однородной среды (роль теплопроводности играет диффузия).

Гораздо более интересен случай неизотермической смеси. При этом имеются две причины появления конвективной силы — неоднородности температуры и концентрации, а также два диссипативных механизма — теплопроводность и диффузия. Это приводит к появлению качественно новых эффектов. В отличие от чистой среды, равновесие смеси может оказаться неустойчивым относительно колебательных возмущений. Конкуренция диффузии и теплопроводности приводит к неожиданному результату: при определенных условиях оказываются конвективно неустойчивыми такие состояния равновесия, при которых градиент плотности направлен вниз (внизу среда более плотная). Явления сильно осложняются перекрестными кинетическими эффектами — термодиффузией и диффузионной теплопроводностью.

Сначала мы рассматриваем относительно простой случай монотонной неустойчивости в полости, границы которой непроницаемы для вещества (градиент концентрации при этом определяется градиентом температуры). Далее разбирается монотонная и колебательная неустойчивость в более общем случае, когда в равновесии отличны от нуля и независимы потоки тепла и вещества.

Уравнения возмущений

Состояние жидкой двухкомпонентной смеси можно описать, задавая гидродинамическую скорость о, давление р и температуру Т смеси, а также концентрацию С одной из компонент (далее для определенности мы будем обозначать через С концентрацию легкой компоненты).

218218БИНАРНАЯ СМЕСЬБИНАРНАЯ СМЕСЬ(ГЛ. Vti(ГЛ. Vti

218

218

БИНАРНАЯ СМЕСЬ

БИНАРНАЯ СМЕСЬ

(ГЛ. Vti

(ГЛ. Vti

Запишем уравнения гидродинамики смеси [']. Будем рассматривать смесь как несжимаемую жидкость; уравнения Навье — Стокса и непрерывности тогда будут иметь обычный вид

(30.1)(30.1)— + (t»V)® = — -^Vp + vAv + g, divv = 0.

(30.1)

(30.1)

Здесь p и v — плотность и кинематическая вязкость смеси. К (30.1) необходимо добавить еще два уравнения для определения концентрации и температуры. Они получаются из законов сохранения массы рассматриваемой компоненты и энергии. Уравнение сохранения легкой компоненты имеет вид

p(^ + vVC) = -div/,(30.2)

где / — плотность диффузионного потока вещества легкой компоненты. Уравнение энергии для смеси в пренебрежении вязкой диссипацией можно записать так:

рТ (4r + vVs)= ~ div^ + ndiv/. (30.3)

Здесь s — энтропия единицы массы смеси, Т — абсолютная температура, q— плотность молекулярного потока тепла, а ц— эффективный химический потенциал, связанный с химическими потенциалами компонент pi и ц2 соотношением

тх т2

где тх и т2— массы молекул соответственно легкой и тяжелой компонент.

- Входящие в уравнения (30.2), (30.3) плотности потоков / и q выражаются в общем случае через градиенты температуры, концентрации и давления. Если в жидкости отсутствуют значительные градиенты давления, то можно записать

У = —рО (vc + 4-vr),\1'(30.4)

В эти формулы входят три кинетических коэффициента: коэффициенты теплопроводности х и диффузии D и термодиффузионное отношение кТ- Формулы (30.4) удобно переписать в несколько иной форме: •

(30.6)(30.6)j = -pD (VC + «Vr),• q = - (х + aDN'^ V? - DN'VC.

(30.6)

(30.6)

Здесь обозначено

ктГ / дц \< / ^н \ 1

—Г.+

Таким образом, диффузионный поток вещества возникает в смеси не только при наличии градиента концентрации (диффузия), но и при наличии градиента температуры (термодиффузия). В свою очередь, тепловой поток обусловлен как градиентом температуры (теплопроводность), так и градиентом концентрации (так называемая диффузионная теплопроводность) !).•

Уравнения (30.1) — (30.3) вместе с формулами для потоков (30.5) дают полную систему уравнений гидродинамики бинарной несжимаемой смеси.

Получим теперь, следуя И. Г. Шапошникову р], уравнения свободной конвекции смеси. В неоднородной жидкости конвекция вызывается пространственными неоднородностями температуры и концентрации. Будем считать, что температура и концентрация мало отличаются от. некоторых средних значений, а плотность зависит от температуры и концентрации линейно:

Р = Ро(1-₽1Г-р2С).(30.6)

Здесь ро — плотность смеси, соответствующая средним значениям температуры и концентрации, а через ТиС теперь обозначаются отклонения от этих средних значений. Коэффициент 01 есть обычный коэффициент теплового расширения смеси, а р2 = = —рг{4с )г определяет зависимость плотности от концентрации. Напомним, что через С обозначена концентрация легкой компоненты, и потому р2 > 0.

Подставляя (30.6) в уравнение Навье — Стокса, линеаризуя по конвективным добавкам и считая, что неоднородность плотности существенна лишь в подъемной силе (приближение Буссинеска, см. § 1), получим уравнение движения

4г + (vV) v = - J- Vp + v Av + g (р,Т + рзС) у. (30.7)

Здесь р — конвективное давление, отсчитываемое от гидростатического, соответствующего средней плотности ро.

Преобразуем теперь уравнения диффузии и теплопроводности. Подставим потоки (30.5) в уравнения (30.2), (30.3). При этом ввиду малого изменения температуры и концентрации вдоль жидкости можно считать коэффициенты при VT и VC

*) В силу принципа симметрии Онзагера выражения для потоков содержат не четыре, а лишь три независимых коэффициента.

в (30.5) постоянными. Пользуясь термодинамической формулой изменения энтропии смеси'

/ ds \/ ds \I диД

ds = dr+ dC = ^dT- dC,\дТ )с>р \дС)т>р Т \dT/c,p

получим

(30.8)(30.8)^- + vVC = DAC+aDAT.■

(30.8)

(30.8)

^ + vVT = (x + a2D^)Ar + aDNbC.

Здесь x = nlpoCp — коэффициент температуропроводности смеси, а МШИ

— термодинамический параметр (величины в квадратных скобках берутся при средних"значениях температуры и концентрации). Заметим, что поскольку (дц/дС)Г| р > 0 (см. [3]), параметр N всегда положителен.

■ Уравнения (30.7), (30.8) и уравнение непрерывности описывают конвекцию двухкомпонентной смеси.

Выясним условия равновесия смеси. Полагая в (30.7). скорость и равной нулю, и беря rot от обеих частей уравнения, найдем ■

(PiV7’o + P2VCo)XV = O, (30.9)

или, в силу (30.6), Vp X у = 0. Переходя к уравнениям (30.8), полагая в них v = 0, а также dT0/dt = dC^dt = 0 (стационарное равновесие), получим

АТ0 = 0, АС0 = 0, (30.10) т. е. равновесные температура То и концентрация Со являются гармоническими функциями. Из (30.9), (30.10) следует, что р1Г0 + р2С0 есть линейная функция вертикальной координаты г. Таким образом, необходимым условием равновесия, как и в случае чистой среды, является вертикальность и постоянство градиента плотности.

Необходимо заметить, что для равновесия смеси, вообще говоря, не требуется постоянство и вертикальность отдельно градиентов температуры и концентрации. Легко представить себе, в частности, такую равновесную конфигурацию, при которой градиенты VTQ и VCo постоянны, но наклонены к вертикали, а вектор PiVTo + P2VC0, как и требуется условием равновесия (30.9), вертикален. Далее мы ограничимся рассмотрением наиболее типичного случая, когда не только градиент плотности,

но и градиенты температуры и концентрации по отдельности постоянны и вертикальны:,

VT0=-^V, VC0= —By.VT0=-^V, VC0= —By.(30.11)(30.11)

VT0=-^V, VC0= —By.

VT0=-^V, VC0= —By.

(30.11)

(30.11)

Равновесные значения градиентов А и В, вообще говоря, независимы и определяются граничными условиями для температуры и концентрации !).

Рассмотрим теперь малые возмущения равновесия (30.11). Подставляя возмущенные величины То + Р, Со + С', Ро +/Л а также малую скорость и в исходные уравнения, получим после линеаризации .

-^ = - -^ V/ + v Av + ^(^Г 4- mV,

(30.12)(30.12)-^ - Л (w) = (х + a2 DN) М' + а DAT АС',- В (vy) = О АС' + aD АТ',div v = 0.

(30.12)

(30.12)

Введем следующие единицы: расстояния — характерный размер полости L, времени L2/v, скорости ^L, температуры AL, концентрации BLyJD, давления i poM^L2. Считая, как обычно, возмущения пропорциональными ехр(—X/), получим систему уравнений для безразмерных амплитуд возмущений (штрихи далее опущены):

(30.13)(30.13)ЗдесьЗдесь- Xv = - \р + Av + (RT + RdC)y, — ХРТ —(vy) = (l + а)АТ +уАС, - XPdC - (vy) = AC + b AT, divv = 0.

(30.13)

(30.13)

Здесь

Здесь

p g^i-'^4 p g$2^L4

K — v% , Kd — vD

— обычное число Рэлея и его концентрационный аналог. В систему входят, кроме того, обычное и диффузионное числа Прандтля: Р = v/x и Pd = v/D (параметр Pd обычно называют числом Шмидта), а также еще два параметра, характеризующие термодиффузию и диффузионную теплопроводность:

a2ND , a DAа — b =

XХ^

0 Влияние горизонтальных составляющих градиентов на устойчивость рассматривалось в работе [15].

Всего, таким образом, система (30.13) содержит шесть безразмерных параметров. ,

Вместе с граничными условиями, которые будут обсуждаться далее при решении конкретных задач, система уравнений (30.13) определяет спектр нормальных возмущений равновесия бинарной смеси..

Полость с непроницаемыми границами

Механическое равновесие смеси (30.11) характеризуется Двумя параметрами — равновесными вертикальными градиентами температуры А и концентрации В. Эти параметры, вообще говоря, независимы; они определяют равновесные значения потоков тепла и вещества через полость. Если полость, заполненная смесью, имеет непроницаемые для вещества границы, то равновесный поток вещества, очевидно, равен нулю: /о = 0; при этом диффузионный и термодиффузионный потоки взаимно компенсируются. В силу первого из равенств (30.4) имеем

.VC0 + aVTo = O.(31.1)

С учетом (30.11) отсюда следует -

В + аЛ = 0,(31.2)

т. е. в рассматриваемом случае вертикальные градиенты температуры и концентрации оказываются связанными. Если, например, в полости поддерживается постоянный градиент температуры, то (при отсутствии переноса вещества) в силу эффекта термодиффузии возникает соответствующий градиент концентрации.•

Мы начнем с рассмотрения устойчивости равновесия смеси в этом относительно простом случае. Будем пока рассматривать лишь монотонные возмущения, для которых декременты вещественны, и следовательно, на границе устойчивости Х=0*). Из общих уравнений (30.13) при этом получается

— Vp + Av + (RT + RdC)y = 0,

(1 + а)АГ + 4АС = -И),

6■(31.3)

AC + 6 АГ = — (vy),.

divv = 0.

Следует иметь в виду, что диффузионное число Рэлея Rd теперь не является независимым; оно связано с обычным числом

’) В полости с непроницаемыми границами возможна также и колебательная неустойчивость; см. об этом в следующем параграфе.

Рэлея R. Эта связь может быть получена, если в (31.2) перейти к безразмерным величинам:

(31.4)(31.4)R^^-eR-

(31.4)

(31.4)

Здесь г — — a|WPi (в случае нормаЛьйоЙ Термодиффузйй е>0). Кроме того, в силу (31.2) получаем также следующие формулы для параметров а и Ь, входящих в (3L3):

Ь = - — , 4=-а2Л(.-

Если полость окружена теплопроводным массивом, то к (31.3) нужно добавить уравнение теплопроводности для возмущений температуры в массиве:

АГт = 0.(31.5)

На границе полости S выполняются обычные условия для скорости и температуры:

v = 0; Т-Т„,(31.6)

Условие для концентрации получается из требования обращения в нуль нормальной составляющей потока вещества на границе, т. е. (в размерной форме) адТ/дп + дС/дп = 0. Переходя к безразмерным величинам, получим с учетом (31.2)

(31.7)(31.7)дС Р дт

(31.7)

(31.7)

дп Р<< дп '

Задача (31.3)—(31.7) определяет критические числа Рэлея и критические возмущения для данной полости.

В работе Б. А. Вертгейма [4] получено решение этой задачи для вертикального кругового цилиндра. В предположении, что скорость параллельна оси цилиндра, а возмущения температуры и концентрации зависят лишь от координат в сечении, из (31.3) и (31.5) следуют уравнения'

A^ + Rr + RdC^O,

(31.8)(31.8)(1 + a) Aj7 + yAjC + о = 0,

(31.8)

(31.8)

Д^ + b^T + о = 0, Ai7m = 0,

где Ai — плоский лапласиан. Функции и, Г и С ограничены на оси цилиндра (при г->-0) и удовлетворяют условиям (31.6), (31.7) на боковой границе (при г = 1). Возмущение температуры в массиве Тт стремится к нулю при г —> оо.

Легко получить решение, описывающее основной уровень неустойчивости (диаметрально-антисимметричная конвекция):

(31.9)(31.9)= ^(1+ Л) [-^ ++ Ar] cos ф,

(31.9)

(31.9)

c-^[i+£(i+«W)][Z^+^

Лп = ^г(1 H-aW)^005^

где обозначенол- *1 й + (1+х)К’д ■2х(К+1) .3 х-КИ-хЖ’где обозначенол- *1 й + (1+х)К’д ■2х(К+1) .3 х-КИ-хЖ’Л2 —Л2 —К =К =XX(1 + «Ш(1 + «Ше(1 +a^^ + ^.) ’е(1 +a^^ + ^.) ’88D ‘ (1 + е) (1 + aW) *D ‘ (1 + е) (1 + aW) *

где обозначено

л- *

1 й + (1+х)К’

д ■2х(К+1) .

3 х-КИ-хЖ’

где обозначено

л- *

1 й + (1+х)К’

д ■2х(К+1) .

3 х-КИ-хЖ’

Л2 —

Л2 —

К =

К =

X

X

(1 + «Ш

(1 + «Ш

е(1 +a^^ + ^.) ’

е(1 +a^^ + ^.) ’

8

8

D ‘ (1 + е) (1 + aW) *

D ‘ (1 + е) (1 + aW) *

Входящий в формулы параметр у связан с числом Рэлея:

(31.10)(31.10)Y4 = r[1 4-a^4-e(l+aW + -^)].

(31.10)

(31.10)

Критическое значение параметра у, а следовательно, и критическое число Рэлея, находится из характеристического уравнения -

VV< (V>. /1 (V)< (V>. /1 (V)Л (у).Л (у).2 .х + (1 +х)К2 .х + (1 +х)К(31.11)(31.11)

V

V

< (V>

. /1 (V)

< (V>

. /1 (V)

Л (у).

Л (у).

2 .

х + (1 +х)К

2 .

х + (1 +х)К

(31.11)

(31.11)

Как видно из (31.10), (31.11), параметром, определяющим границу устойчивости, является модифицированное число Рэлея R = у4. Уравнение (31.11) дает зависимость R от двух параметров — отношения теплопроводностей х и параметра К» связанного с коэффициентом термодиффузии. Зависимость R от й и К представлена на рис. 80. Если эффект термодиффузии отсутствует, то коэффициент а, а вместе с ним е и К равны нулю. При этом квадратная скобка в (31.10) обращается в единицу, у4 совпадает с обычным числом Рэлея R, а (31.11) переходит в характеристическое соотношение задачи Остроумова для случая однородной среды ((11.10); п = 1). При нормальной термодиффузии К > 0 и, как видно из рисунка, при любом фиксированном отношении теплопроводностей R < Ro, где Ro — соответствующее критическое число для однородной среды с теми же параметрами, что и у смеси. Поскольку в этом случае квадратная скобка в (31.10) больше единицы, тем более имеет место неравенство R < Ro. Следовательно, наличие нормальной тер-

модйффузии приводит к уменьшению критического числа Рэлея. Это понижение устойчивости физически понятно: нормальный термодиффузионный эффект вызывает увеличение концентрации легкой компоненты в нагретой нижней части канала; тем са

мым создается дополнительная неустойчивая стратификация по плотности. Аномальная термодиффузия, напротив, приводит к стабилизации равновесия.

' Заканчивая обсуждение устойчивости равновесия в вертикальном цилиндре, заметим, что зависимость критического числа Рэлея от параметров становится простой в предельном случае теплоизолированных границ, В самом деле, при Я^> оо правая часть (31.11) стре-

Рис. 80. Модифицированное число Рэлея в зависимости от параметров Я и К.Рис. 80. Модифицированное число Рэлея в зависимости от параметров Я и К.мится к нулю, И В ЭТОМ

Рис. 80. Модифицированное число Рэлея в зависимости от параметров Я и К.

Рис. 80. Модифицированное число Рэлея в зависимости от параметров Я и К.

предельном случае критическое значение R не зависит от К (все кривые на рис. 80 при х-*оо имеют общую асимптоту);. При этом R = Ro или (см. (31.10))

(31.12)(31.12)Ro

(31.12)

(31.12)

1 +а2У + е(1 + aW +-£-’

где теперь Ro — предельное (при х-*оо) значение числа Рэлея для однородной среды; для кругового цилиндра R0=67,95 (§ Н).

' Можно показать (это сделано С. Б. Накоряковой [5]), что формула (31.12) сохраняется и в случае полости произвольной формы с теплоизолированными непроницаемыми границами. С этой целью обратимся к уравнениям для стационарных возмущений (31.3). Введем новую переменную Н, являющуюся линейной комбинацией возмущений температуры и концентрации:

Н =:ГТ\кТ"^С

1+а^ + еН +а2У + -|-1 х

Комбинируя уравнения теплопроводности и диффузии, получим

Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

226

вйнарная смесь

[ГЛ. vn

из (31.3) с учетом (31.4) систему трех уравнений для о, р, Н:

(31.13)(31.13)-V/> + Av + № = 0,ДЯ = — (оу),divo = О,

(31.13)

(31.13)

где

R = r[1 +а2Я + е(1 +а2Я+-|-)] (31.14)

— модифицированное число Рэлея.

Скорость v на стенках полости исчезает, а граничное условие для Н вытекает из требования обращения в нуль нормальных составляющих потоков тепла и вещества. Из формул (30.5) следует, что в этом случае должны исчезать нормальные составляющие градиентов дЦдп и дС]дп. Итак, на стенках полости

»=°, 4г=°- (ЗМ5>

Краевая задача (31.13), (31.15) по виду совпадает с задачей об устойчивости однородной жидкости в произвольной полости с теплоизолированной границей. Отличие составляет лишь замена R на R. Если из решения задачи для чистой жидкости известно критическое число R, то критическое число R для смеси находится простым пересчетом по формуле (31.14). Мы снова приходим, таким образом, к формуле (31.12), но теперь уже не для частного случая кругового вертикального цилиндра, а для полости произвольной формы.

В заключение заметим, что понижение устойчивости вслед-, ствие эффекта термодиффузии может оказаться весьма заметным. Так, для водородо-азотной газовой смеси при средней равновесной концентрации водорода 0,05 (42% водорода по объему), согласно оценке I6], a2Af=0,18; е = 0,60; %/D=l,l. При этих значениях параметров из (31.12) следует R = R0/2,55, т. е. критическое число Рэлея понижается в два с половиной раза по сравнению с тем значением, которое было бы в случае однородной среды.

. Влияние концентрационных и термодиффузионных явлений на возникновение конвекции в вертикальном канале наблюдалось в опытах Э. И. Славновой [6].

§ 32. Общий случай. Монотонная и колебательнаянеустойчивость

Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости смеси в более общем случае, когда в состоянии механического равновесия отличны от нуля молекулярный поток тепла q и диффузионный поток вещества /. Оба потока вертикальны и в зависимости от

условий на границах могут быть направлены как вверх, так и вниз. Равновесные градиенты температуры и концентрации А и В, а вместе с ними и оба числа Рэлея R и Rd, входящие в систему уравнений для возмущений (30.13), являются теперь независимыми параметрами, которые могут иметь и положительные и отрицательные значения. Так, например, R >0 и Rd > 0 соответствуют (устойчивому или неустойчивому) равновесию, при котором градиенты VTo и VC0 направлены вниз, т. е. внизу выше температура и выше концентрация легкой компоненты; при R > 0 и Rd < 0 внизу выше температура и ниже концентрация легкой компоненты, и т. д. Таким образом, возникает задача исследования устойчивости равновесий при произвольных R и Rd.

Как и в случае проводящей среды в магнитном поле (§ 25), характерные особенности явления отчетливо видны из рассмотрения задачи об устойчивости плоского вертикального слоя смеси [7]. Пусть слой ограничен параллельными плоскостями х=±1 (х — безразмерная поперечная координата в единицах полуширины слоя й; ось г направлена вертикально вверх). Рассмотрим плоскопараллельные нормальные возмущения с амплитудами:

v* = »у = 0, и2 = и (х); Т = Т (х); С = С(х).

Полагая градиент давления равным нулю, получим из (30.13) амплитудные уравнения

-Ao = o" + RT + RdC,

(32.1)(32.1)-XPT-t) = (lA-a)T"-V^C", - XPdC - и = ЬТ" + С".

(32.1)

(32.1)

Эта система имеет простое решение при следующих граничных условиях: на границах слоя исчезают скорость и возмущения температуры и концентрации (на плоскостях, ограничивающих слой, поддерживаются равновесные значения температуры и концентрации):

при х=±1при х=±1у = Т = С = 0.у = Т = С = 0.(32.2)(32.2)

при х=±1

при х=±1

у = Т = С = 0.

у = Т = С = 0.

(32.2)

(32.2)

Решение задачи (32.1), (32.2), соответствующее основному уровню неустойчивости, имеет вид: (о, Г, С) ~ sin лх. Для декрементов получается кубическое уравнение (ср. (25.5))

pA3-HA2 + rA + s = 0

(32.3)

с коэффициентами

P=ppd, <7=-лЧР+рр,+(1+«)р<а.

г = ^ [1 + Р + (1 + a) PJ - (PRd + PdR),

$ = _л2[я4_(1+б)к_(1+а + ^к</]

(здесь е=—ар2/Р1).

Предельный случай отсутствия «перекрестных» эффектов. Если «перекрестные» эффекты — термодиффузия и диффузионная теплопроводность — несущественны, то характеристическое уравнение (32.3) упрощается, поскольку в этом случае а=0 и, следовательно, обращаются в нуль безразмерные параметры а, е и а/е. Коэффициенты уравнения теперь будут

p = PPd) q = -n2(P + Pd + PPd), r=„4(1+p + pd)_(pR(z + p(/R)i s = -n2(n4-R-Rd).

Из сопоставления с формулами § 25 видно, что в рассматриваемом предельном случае задача полностью аналогична магнитной задаче; характеристическое уравнение получается из соответствующего уравнения для проводящей жидкости формальной заменой

n2M2-*-Pd, Pm->Pd. •(32.4)

В отличие от магнитного случая, где М2 > 0, теперь Ra может быть как положительным, так и отрицательным.

Для определения условий устойчивости можно воспользоваться результатами анализа характеристического уравнения, полученными в § 25.

Как и в магнитном случае, возможны два вида неустойчивости — относительно монотонных и колебательных возмущений. Граница монотонной неустойчивости находится из условия s=0, что Дает

R + Ra = n4.(32.5)

Это..уравнение описывает на плоскости (R, Ra.) прямую, разделяющую области затухающих и нарастающих монотонных возмущений. Если Ra=0 (однородная среда, градиент концентрации отсутствует), то критическое число Рэлея R=n4. Если Rd > 0 (в нижней части полости концентрация легкой компоненты выше), то с увеличением Rd критическое число R умень- ща|втся; понижение устойчивости связано с тем, что градиент концентрации создает дополнительную неустойчивую стратифи-. кацию по плотности. В случае R=0 (изотермическая смесь) кризис равновесия наступает, при .Ra=m4, и обусловлен чисто

концентрационной стратификацией. При Rd > л4 изотермическая смесь неустойчива; для ее стабилизации требуется подогрев сверху (R < 0).

Граница колебательной неустойчивости находится из условия qr— ps=0:

р2р2

T+^R + t+T ^ = «4(P + Pd). (32.6)

Это уравнение также описывает прямую на плоскости (R, Rd). Прямые (32.5) и (32.6) пересекаются в точке с координатами

=R^ = «4k^-(32J)

Частота нейтральных колебаний определяется формулой

(32.8)

откуда видно, что ю обращается в нуль при Rd=Rd»> т.е. в точке пересечения прямых (32.5) и (32.6), и вещественна на линии

Рис. 81. Области устойчивости и неустойчивости плоского вертикального слоя смеси. Указаны нейтральные линии монотонных (/) и колебательных (2) возмущений, а также! линия нулевого градиента плотности (VP=O) и дискриминантная кривая (А=0).

(32.6) лишь по одну сторону от этой точки. Разумеется, прямая (32.6) имеет смысл нейтральной линии для колебательных воз-, мущений лишь на том участке, где ю2 > 0.

Взаимное расположение линий устойчивости на плоскости (R, Rd) определяется отношением PJPd=Dlx, т. е. отношением коэффициентов диффузии и температуропроводности смеси ). На рис. 81 изображены линии устойчивости для случаев Р •< Р^ P=Pd, Р > Pd. Область устойчивости расположена под прямы-- ми / и 2.

- При Р < Pd, как видно из (32.7), R# > 0 и Rd* < 0, и согласно (32.8), со2 > 0 при Rd < Rd*, т. е. линия 2 имеет смысл нейтральной линии колебательного возмущения левее точки пересечения. В этой области колебательная неустойчивость возникает при меньших значениях R, чем монотонная. При Р > Pd, очевидно, R* < 0, Rd# > 0, и линия 2 есть нейтральная линия колебательных возмущений правее точки пересечения. В пограничном случае P=Pd (т. е. х=^) точка пересечения линий 1 и 2 уходит в бесконечность. В этом случае колебательные возмущения всегда затухают, и имеет место лишь монотонная неустойчивость — в области выше линии 1.

На рис. 81 изображена также дискриминантная кривая А=0 уравнения (32.3) !). В области ниже этой кривой уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, описывающих колебательные возмущения. На линии 2 декремент колебательных возмущений обращается в нуль; в области между линией 2 и кривой А=0 колебательные возмущения нарастают.

. Наличие в спектре колебательных возмущений само по себе не является неожиданным: колебательные возмущения существуют (при подогреве сверху) и в однородной среде. Отличие от чистой среды состоит в том, что в смеси возможны нарастающие колебательные возмущения, т. е. колебательная неустойчивость. Как показывает расчет, такая неустойчивость возникает при условии, что градиенты температуры и концентрации имеют противоположное направление и достаточны по величине (соответствующие критические значения определяются формулами (32.7)).

Парадокс устойчивости. В чистой среде причиной возникновения конвекции является неустойчивая стратификация по плотности: конвекция возникает, если градиент плотности направлен вверх (вверху расположены более плотные слои жидкости) и по величине превосходит определенное критическое значение. Можно было бы думать, что в смеси все усложнения связаны лишь с тем, что теперь имеются две. причины, обуславливающие стратификацию, — неоднородность температуры и неоднородность концентрации. Оказывается, однако, что это не так. Значение градиента плотности само по себе еще не определяет условий возникновения конвективной неустойчивости смеси. Неустойчивость при определенных условиях может возникнуть, если плотность смеси везде одинакова и даже если градиент плотности направлен вниз.

ля выяснения этого вопроса воспользуемся полученным выше решением задачи о конвективной устойчивости смеси

’) Характерные точки дискриминантной кривой — точка возврата и точки касания осей R и Rd — могут быть получены из формул § 25 заменой (32.4).

32]

в вертикальном слое. Каждому состоянию равновесия смеси, изображаемому точкой на плоскости (R, Rd), соответствует определенное значение градиента плотности. Размерный градиент плотности в равновесии согласно (30.6) и (30.11) равен

Vp-PotM + IW-

Вводя вместо градиентов температуры и концентрации соответствующие числа Рэлея R и Rd, получим'

Vp=-^-(PdR + PRd)V(32.9)

(А— полуширина слоя). Отсюда легко найти уравнение линии на плоскости (R, Rd), все точки которой изображают состояния равновесия с равным нулю градиентом плотности:

PdR + PR^ = 0.(32.10)

Прямая (32.10) изображена пунктиром на рис. 81. Точкам плоскости, расположенным ниже этой прямой, соответствуют состояния равновесия смеси с градиентом плотности, направленным вниз; в области выше прямой градиент плотности направлен вверх. Прямая (32.10) при всех соотношениях между Р и Pd (кроме случая точного равенства P=Pd) пересекает нейтральные линии монотонных и колебательных возмущений. При заданных Р и Pd имеются, таким образом, две области на плоскости (R, Rd), где линия устойчивости расположена ниже линии Vp = 0 (одна из таких областей на рис. 81, а заштрихована). Состояния равновесия, изображаемые точками внутри этих областей, неустойчивы, хотя при этом внизу среда тяжелее.

Этот результат, кажущийся парадоксальным, объясняется конкуренцией процессов диффузии и теплопроводности. Его можно пояснить -следующим образом. Рассмотрим, например, заштрихованную на рис. 81, а область, где, согласно расчету, имеет место неустойчивость монотонного вида при наличии градиента плотности, направленного вниз. Этой области соответствует градиент температуры, направленный вверх (R < 0, подогрев сверху) и градиент концентрации, направленный вниз (Rd > 0, внизу концентрация легкой компоненты выше). Параметры смеси- удовлетворяют неравенству Р < Pd, т. е. % > D — неоднородности температуры выравниваются быстрее, чем неоднородности концентрации. В этих условиях элемент среды, случайно сместившийся вверх, будет быстро нагреваться, но. относительно медленно терять избыточную концентрацию легкой компоненты. В новом месте температура элемента будет, конечно, ниже температуры окружающей среды, зато он будет богаче легкой компонентой. При подходящих значениях градиентов температуры и концентрации плотность сместившегося

элемента может оказаться меньше плотности Окружающей среды, и элемент будет продолжать всплывать; следовательно, возможна монотонная неустойчивость.

Описанная ситуация имеет место в стратифицированном Океане при наличии градиентов температуры и солености, направленных вверх (в наших обозначениях R < 0, Rd > 0). В работах [®*9] отмечалось, что в таких условиях возможно возникновение конвекции несмотря на то, что градиент плотности направлен вдоль силы тяжести; это позволяет объяснить некоторые океанографичёские эффекты.

Влияние термодиффузии и диффузионной теплопровод-* ности. Учет этих эффектов не меняет качественно полученных результатов. Нейтральные линии монотонной и колебательной неустойчивости определяются теперь из общего уравнения (32.3). Вместо (32.5) и (32.6) имеем для границ устойчивости

(H-e)R + (l+a + |)Rd««<(32.11)

{монотонная неустойчивость) и

Pd№ + (1 + а) Р, - еР] R + Р [Р + PPd -1 Pj Rd =

= л4 [P + (1 + a) Pd1 [(1 + Р) (1+ Pd) + aPdl (32.12)

(колебательная неустойчивость). Прямые (32.11) и (32.12) на плоскости (R, Rd) пересекаются в точке с координатами

^ [1 + Р + (1 + a) Pdl + [(1 + а) (1 + Pd + aPd) + аР]

R _ _ „4 ^_

P(l + e)-Pd(l+a+-2-)

р -—4 [l + P+aPd] + 8[l+P + (I + a)Pdl Rd. —Л /и

Р О + е) — Prf ^1+а+-^-)

Частота нейтральных колебаний

Р (1 + е) — Pd (1 + <* +—)■ю8 “ Pd [PPd + (1 + a) Pd - eP] ~

Очевидно, о8 > 0 лишь по одну сторону от точки пересечения (R», Rd») •

Взаимное расположение нейтральных линий теперь определяется четырьмя параметрами среды: Р, Pd, а и е. В зависи* мости от соотношений между ними могут представиться различные случаи; некоторые из них приведены на рис. 82 (начало координат. R=0, Rd=0 всегда принадлежит области устойчи-

вости). Из рис. 82, а, например, видно, что при достаточно боль* шом термодиффузионном эффекте и при Rd=0 можно возбу» дить стационарную конвекцию подогревом снизу и колебатель* ную — подогревом сверху.

Если канал закрыт сверху и снизу пробками, непроницае* мыми для вещества, то в равновесии поток вещества вдоль канала отсутствует (см. предыдущий параграф). Числа Rd и R

Рис. 82. Нейтральные линии монотонной (/) и колебательной (2) неустой- Р л

чивости с учетом «перекрестных» эффектов: а) а=0, е > ~- (1 +Р); б) а=0, х _-1 + Р х »

-1 <е <- 1+р + р^ ; в) -1+о <е<о.

в этом случае связаны соотношением (31.4): PRd — ePdR=0. Формулы (32.11) и (32.12) тогда определяют критические числа Рэлея в зависимости от параметров среды. Для монотонной не* устойчивости '

1X1 (P + aPd) + e(P + Pd + aPd)

(эта формула вполне аналогична (31.12)). Разбираемый пример показывает, что при отсутствии равновесного потока веще» ства, как и в общем случае, возможна также и колебательная неустойчивость (в предыдущем параграфе она не рассматривалась вовсе). Для колебательной неустойчивости

в _ л4 [Р + (1+ a) Pdl [(1 + Р) (1 + Pd) + aPd]

2Pd[l+(1+8)P]*

В частном случае, когда эффектом диффузионной теплопроводности (обычно малым) можно пренебречь, т. е. когда а=0, имеем

D __ яФО _ «4(P + Pd)(l+P)(l+Prf) .

K1 p + e(p + pd)’ К2р2[1 + (1+е)Р]*

Зависимость Ri и Rz от термодиффузионного параметра е изображена на рис. 83. Как видно, при нормальной термодиффузии

(ё > 0) возможна только монотонная неустойчивость, причем с ростом е критическое число Рэлея падает (правая ветвь Ri). При значительной аномальной термодиффузии возможна колебательная неустойчивость (ветвь R2) с частотой нейтральных колебаний

"4 (P + Pd)^ +P) + PL хP(l + P)

со2 = л4 о—'(е — е); е =— /

РР^(1 + Р + еР) V‘ ’* (p + ptf) (1+ р) + р2

Область значений параметра е, где существует колебательная неустойчивость, находится из требования со2 > 0, т. е.

1 Р

Рис. 83. Критические числа Рэлея монотонных и колебательных возмущений в зависимости от параметра термодиффузии (замкнутый канал).Рис. 83. Критические числа Рэлея монотонных и колебательных возмущений в зависимости от параметра термодиффузии (замкнутый канал).< е < ее. При значительной аномальной термодиффузии (е < р j^Pv существует также монотонная неустойчивость Jпри подогреве сверху (ле

Рис. 83. Критические числа Рэлея монотонных и колебательных возмущений в зависимости от параметра термодиффузии (замкнутый канал).

Рис. 83. Критические числа Рэлея монотонных и колебательных возмущений в зависимости от параметра термодиффузии (замкнутый канал).

вая ветвь Ri) .

ждается результатами исследованияждается результатами исследованияДругие задачи. Хотя общего исследования конвективной устойчивости смеси в полости произвольной формы не производилось, можно думать, однако, что полученные в этом параграфе выводы для плоского вертикального слоя качественно справедливы и в общем случае. Это подтвер- устойчивости в горизонтальном плоском слое [9-12] и шаровой полости [13]. В указанных работах не учитывались эффекты термодиффузии и диффузионной теплопроводности1).

ждается результатами исследования

ждается результатами исследования

Наиболее полное исследование устойчивости смеси в плоском горизонтальном слое проведено в работе Нилда [и]. Решение для слоя со свободными плоскими границами, на которых исчезают возмущения температуры и концентрации, получается элементарно. -Границы устойчивости относительно монотонных и колебательных возмущений на плоскости (R, Rd) с учетом минимизации по волновому числу определяются двумя прямыми (числа R и Rd определены через толщину слоя)

27 , Р^Р2 27 , х

r + R4= —«4; p^-R+ р+т^=ч-я4(р + рД

!) Учет термодиффузионных эффектов в задаче о горизонтальном слое проведен недавно в работе [м]; там же учтена зависимость коэффициента термодиффузии от концентрации.

Эти соотношения отличаются от (32.5) и (32.6) лишь численным фактором 27/4. Более сложно обстоит дело, когда границы слоя твердые и заданы другие граничные условия для температуры и концентрации. Для некоторых случаев в работе [и] построены решения методом Фурье и численно определены границы монотонной неустойчивости (рис. 84).

Устойчивость смеси в шаровой полости исследовали Ю. К. Братухин и М. И. Шлиомис [13]. Для основного уровня

Рис. 84. Нейтральная линия монотонной неустойчивости смеси в горизонтальном слое. Верхняя граница — свободная, идеально теплопроводная, непроницаемая; нижняя граница — твердая, идеально теплопроводная, непроницаемая (а) или на ней поддерживается постоянная концентрация (б).Рис. 84. Нейтральная линия монотонной неустойчивости смеси в горизонтальном слое. Верхняя граница — свободная, идеально теплопроводная, непроницаемая; нижняя граница — твердая, идеально теплопроводная, непроницаемая (а) или на ней поддерживается постоянная концентрация (б).Рис. 85. Нейтральная линия монотонной неустойчивости смеси в шаровой полости. Идеально теплопроводная граница; о—на границе поддерживается постоянная концентрация, б —непроницаемая граница.Рис. 85. Нейтральная линия монотонной неустойчивости смеси в шаровой полости. Идеально теплопроводная граница; о—на границе поддерживается постоянная концентрация, б —непроницаемая граница.

Рис. 84. Нейтральная линия монотонной неустойчивости смеси в горизонтальном слое. Верхняя граница — свободная, идеально теплопроводная, непроницаемая; нижняя граница — твердая, идеально теплопроводная, непроницаемая (а) или на ней поддерживается постоянная концентрация (б).

Рис. 84. Нейтральная линия монотонной неустойчивости смеси в горизонтальном слое. Верхняя граница — свободная, идеально теплопроводная, непроницаемая; нижняя граница — твердая, идеально теплопроводная, непроницаемая (а) или на ней поддерживается постоянная концентрация (б).

Рис. 85. Нейтральная линия монотонной неустойчивости смеси в шаровой полости. Идеально теплопроводная граница; о—на границе поддерживается постоянная концентрация, б —непроницаемая граница.

Рис. 85. Нейтральная линия монотонной неустойчивости смеси в шаровой полости. Идеально теплопроводная граница; о—на границе поддерживается постоянная концентрация, б —непроницаемая граница.

неустойчивости, которому соответствуют траектории движения частиц, близкие к круговым, найдено приближенное решение, получающееся в предположении иг=0 (см. § 17). Границы монотонной неустойчивости приведены на рис. 85. В работе рассмотрена также колебательная неустойчивость; выводы вполне аналогичны полученным выше для вертикального слоя.

Укажем в заключение на экспериментальную работу Шерт- клифа [16], в которой исследовалось возникновение конвекции в плоском горизонтальном слое водного раствора сахара (Pd > Р). Слой подогревался снизу (R > 0), а концентрация сахара уменьшалась с высотой (Rd<0). В опытах наблюдалось довольно сложное нелинейное распределение концентрации по высоте. Однако в нижней части слоя устанавливался приблизительно постоянный градиент концентрации, и именно в этой

области при постепенном увеличении градиента температуры возникала ячеистая колебательная конвекция. Экспериментально найденная граница устойчивости на плоскости (R, Rd) качественно согласуется с теоретической. Количественное же сравнение затруднено из-за отличия равновесного распределения концентрации от линейного и весьма неопределенных условий на верхней границе конвективного слоя.

* * '

Исследование конечно-амплитудных возмущений в смеси проведено в работах Верониса [17>18] и Сани [19]. В обеих работах рассматривались плоские возмущения в горизонтальном слое со свободными границами, на которых заданы температура и концентрация. Как и при наличии вращения или магнитного поля, нелинейный анализ приводит к выводу о существовании (при определенных значениях параметров) подкритических движений.

*ГЛ *А BA УНГ

МОДУЛЯЦИЯ ПАРАМЕТРА

В этой главе мы рассмотрим вопрос о возникновении конвекции в условиях, когда один из параметров, характеризующих равновесие, зависит от времени. Такая ситуация возникает, например, если равновесная разность температур изменяется со временем или если полость, заполненная жидкостью, совершает движение по вертикали с переменным ускорением.

Наиболее интересен случай периодической модуляции параметра—равновесного градиента температуры или ускорения поля тяжести. Наличие модулируемого параметра, вообще говоря, значительно влияет на устойчивость. Кроме того, при определенных соотношениях между амплитудой и частотой модуляции появляются резонансные области динамической неустойчивости, связанные с параметрическим возбуждением.

Модуляция равновесного градиента температуры или ускорения силы тяжести не исчерпывает всех возможностей параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Однако эти два способа наиболее естественны с точки зрения реализации в эксперименте. Основное их различие состоит в том, что при вертикальных колебаниях полости с жидкостью модулируемый параметр — ускорение поля тяжести — остается однородным по объему. При колебаниях же температуры на границах равновесный градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат; модуляции градиента в основном сосредоточены, в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эффект). При низких частотах модуляции градиента это отличие пропадает, и в этом случае оба способа параметрического'возх действия оказываются, в сущности, эквивалентными. Определение границ устойчивости при этом сводится к нахождению периодических решений некоторой стандартной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами (§ 33). Для «прямоугольного» закона модуляции решение этих уравнений может быть получено точно; для синусоидального закона области устойчивости и неустойчивости определяются численно (§ 34). В предельном случае вертикальных вибраций высокой частоты простые результаты получаются с помощью метода усреднения (§ 35). В § 36 рассмотрена

задача об устойчивости для случая, когда существенную роль играет пространственная неоднородность градиента температуры. В последнем параграфе приводятся некоторые результаты нелинейных расчетов установившихся надкритических колебаний.

§ 33. Амплитудные уравнения

В этом параграфе будет сформулирована задача об устойчивости при периодической модуляции одного из параметров — равновесного градиента температуры или ускорения силы тяжести Р» 2].

Рассмотрим сначала случай модуляции равновесного вертикального градиента температуры. Предположим, что условия подогрева не являются стационарными, но допускают существование равновесия. При таком «нестационарном» равновесии скорость равна нулю, а температура зависит от времени и вертикальной координаты г и удовлетворяет уравнению теплопроводности

(33.1)(33.1)дГр _ д2Т0д/ ~ * dz2 ‘

(33.1)

(33.1)

Нас далее будет интересовать случай, когда температура на границах, а вместе с ней и ее равновесный градиент гармонически модулируются со временем с частотой соо. Ограничимся рассмотрением низких частот модуляции, удовлетворяющих условию

(33.2)(33.2)®о<^--

(33.2)

(33.2)

Здесь й — характерный размер по вертикали. Условие (33.2) можно переписать в виде

/Кд, 6 = 1/"—»

V to

где 6 — толщина температурного скин-слоя. При выполнении этого условия можно пренебречь пространственной неоднородностью градиента температуры и считать, что равновесный градиент модулируется около постоянного среднего значения Ло с частотой соо и амплитудой а0:

УТо = -(Ло + ао8т<»оОУ = - 4(1 + nsinaV)V.

где т] = аоМо — относительная амплитуда модуляции.

Введем единицы: расстояния — характерный размер .L, времени — L2IV^X' скорости — х/^* температуры — Ло£, давле-

ния — pvx/L2. В этих единицах безразмерные уравнения возмущений нестационарного равновесия имеют вид

(33.3)(33.3)^^--Vp + A^ + R/v.

(33.3)

(33.3)

/р 4г - (1 + n sin Й/) (уу) = АГ, div о = 0.

Здесь й = .— (оо — безразмерная частота модуляции, R/ —

число Рэлея, определенное через средний градиент До.

Переходя к рассмотрению плоского горизонтального слоя, исключим из (33.3) горизонтальные компоненты скорости и давление и введем нормальные возмущения uz и Т:

vz = u (z, /) exp I {k\X + к2у), T = 6 (z, /) exp i (ktx + k2y\

Для y(z, t) и 0(z, /) получается система уравнений (штрихом обозначены производные по z):

(33.4)(33.4)■^U- л. (и" _ ^) = (yiv _ 2Fy" + fc4v) - fc2Rf6,/Р-Л - (1 + TjsinQO у = 6" - ^26

(33.4)

(33.4)

Как и при отсутствии модуляции, наиболее прост для анализа случай свободных изотермических границ. В этом случае переменные разделяются, и решение, соответствующее основному уровню неустойчивости, имеет вид

у (z, /) = а (/) sin лг, 6 (z, /) = b (/) sin nz. (33.5)

Амплитуды a^t) и b(t) удовлетворяют системе обыкновенных уравнений'

(33.6)(33.6)-^у^- а + № + л2)2 а = A2Rf6,/Р 6 + (й2 + л2)6 = (14-ч81пй/)а.

(33.6)

(33.6)

С помощью замены

гдегдеа = !ъ b — lf2, t = m%.а = !ъ b — lf2, t = m%.(fc2 + л2)/Р *(fc2 + л2)/Р *mm11^ -f- л2 ’^ -f- л2 ’(33.7)(33.8)(33.7)(33.8)

где

где

а = !ъ b — lf2, t = m%.

а = !ъ b — lf2, t = m%.

(fc2 + л2)/Р *

(fc2 + л2)/Р *

m

m

1

1

^ -f- л2 ’

^ -f- л2 ’

(33.7)

(33.8)

(33.7)

(33.8)

система (33.6) приводится к «каноническому» виду:

'/I + «/1 = Rf2, ’|

1 ,, ((33.9)

/2 4"/2 = (1 +П81П®Т)А. )

Здесь точкой обозначена производная по новому безразмерному времени т; о — новая безразмерная частота:

•.® =’ (33.10)

V

- Кроме амплитуды и частоты модуляции т] и и, система содержит еще два безразмерных параметра п и R. Параметр «играет роль коэффициента трения, a R — «приведенное» число Рэлея:

■„ |У R ^. Ro=^.(33.11)

Здесь Ro — критическое число Рэлея при отсутствии модуляции.

В случае слоя с твердыми границами простое разделение переменных Оказывается невозможным. Для сведения задачи к системе обыкновенных уравнений можно в этом случае применить метод Канторовича, представив у и 0 в виде разложений

; v (z, 0 = 2 ai (О Fi (z), е (z, о = S 6/ (О Ф/ (z), (33.12) iI

где Fi(z) и Ф,(г) —системы базисных координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Подставляя (33.12) в систему (33.4) и составляя условия ортогональности, получим систему уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами для амплитуд at^ и b^ty Ограничиваясь первым приближением, положим'

у (z, 0 = « (О F (z), 0 (z, О = b (ОФ (z);1

Ffz^z^l-z)2, Ф(г) = г(1-z)(l+z-z2). J (-3’И)

При выборе аппроксимации функции Ф(г) мы воспользовались дополнительным гранитным условием 0"(О) =0"(1) =0, вытекающим из (33.4). Получающаяся по методу Канторовича система уравнений для амплитуд о(/) и ЬЦ) может быть сведена р каноническому виду (33.9) заменой (33.7), где теперь

31 (12 +А2) / = — . —— (504 +.24Л2 + А4) (306 -f- 31 А:2) ’62 fF *

Входящие в систему (33.9) параметры в случае слоя с твердыми границами равны

(33.15)(33.15)31 (504 + 24&2 + &4) ре(12 + &2) (306 + 31&2) К’

(33.15)

(33.15)

R=^ . Ro = -^ <504 + 24*2 + ЙЧ <306 + 31 ^

Здесь Ro — приближенное значение критического числа Рэлея для слоя с твердыми границами при отсутствии модуляции (минимум на кривой устойчивости достигается при &т=3,12; минимальное значение Rm=1719).

Перейдем теперь к рассмотрению другого способа параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Пусть полость, заполненная жидкостью, совершает вертикальные гармонические колебания с частотой соо и амплитудой смещения Ьо- В уравнениях движения, записанных в системе отсчета, связанной с полостью, необходимо ускорение силы тяжести g заменить на g(l + т] sin (Оо0, где теперь 1] = ti)2b0/g — безразмерный параметр модуляции.

Сохраняя выбранные выше единицы, запишем безразмерные уравнения возмущений в виде

Vp + Av + Rf(l +-nsinQ/)rv,

(33.16)(33.16)/Р-^-М) = АЛ

(33.16)

(33.16)

div» = 0.

Отличие этой системы от (33.3) состоит в том, что периодический множитель теперь входит не в уравнение теплопроводности, а в уравнение движения в виде коэффициента при подъемной силе.

В случае горизонтального слоя со свободными границами, как и при модуляции градиента температуры, решение имеет вид (33.5). Амплитуды а(/) и 6(0 теперь удовлетворяют системе, отличающейся от (33.6) лишь тем, что множитель (1 + т] sin £20 входит в виде коэффициента при R/.

Замена '

. » = g\. b = lg2, t = mx (33.17)

• сводит эту систему к «каноническому» виду:

(33.18)(33.18)£i + rtgi = R(l +nsin©T)g2, gl"V — g2 = g\«

(33.18)

(33.18)

Все входящие в эту систему параметры, а именно: /, т, п, со, R определены, как и при модуляции градиента температуры, формулами (33.8) и (33.10), (33.11).

В случае слоя с твердыми границами можно снова воспользоваться методом Канторовича, сохранив аппроксимации (33.13). Система уравнений для а(/) и 6(/) тогда сводится к виду (33.18) заменой (33.17) с параметрами, определенными формулами (33.15). .

Нетрудно видеть, что системы (33.9) и (33.18), в сущности, эквивалентны. В самом деле, исключая из (33.9) /г или из (33.18) gi, придем к одному и тому же уравнению второго порядка с периодическими коэффициентами:

f + 2ef + [l-R(l+T]sin®T)]f = 0 (2е = п+-^). (33.19) Таким образом, задачи об устойчивости при модуляции поля тяжести и при низкочастотной модуляции вертикального градиента температуры оказываются математически эквивалентными. Если известно решение одной из этих задач, то решение другой получается простым пересчетом параметров.

Выше речь шла об устойчивости равновесия жидкости в горизонтальном слое. Если жидкость заполняет полость произвольной формы, то задача с помощью метода Канторовича также может быть сведена к интегрированию системы обыкновенных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами для амплитуд. В качестве базисных координатных функций можно выбирать, например, точные или приближенные собственные функции задачи об устойчивости при отсутствии модуляции. При этом в первом приближении мы приходим к канонической системе вида (33.18) (пример вертикального кругового цилиндра, совершающего гармонические колебания вдоль оси, рассмотрен в [2]). ■

Области устойчивости и неустойчивости

В предыдущем параграфе было показано, что поведение конвективных возмущений при периодической модуляции параметра определяется системами уравнений (33.9) или (33.18), либо эквивалентным им уравнением второго порядка (33.19). Эти уравнения содержат четыре независимых параметра: R, шит]. •

При произвольных значениях этих параметров решение системы будет либо затухать, либо нарастать со временем. Периодическое (нейтральное) поведение возмущений возможно лишь при определенном соотношении между параметрами, которое и определяет границу устойчивости. Таким образом, нахождение границ конвективной устойчивости сводится к оты-

§34]

ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ

248

сканию условий существования периодических решений уравнения (33.19).

Одна из особенностей динамической системы, описываемой уравнением (33.19), состоит в большом затухании: параметр затухания е имеет минимум при п=1, причем emin=l- Для параметрического возбуждения при этом требуются, вообще говоря, конечные амплитуды модуляции. По этой причине методы малого параметра, основанные на разложениях по амплитуде,

оказываются мало пригодными для решения задачи.

С помощью ЭВМ можно получить эффективное численное решение задачи о поведении возмущений при произвольных значениях параметров, и в частности, отыскать границы устойчивости. Далее мы приведем результаты,

полученные численным

методом. Предварительно, однако, полезно рассмотреть случай, когда модуляция происходит не по гармоническому, а по ступенчатому закону р]. В этом случае удается найти точное аналитическое решение задачи и получить общий обзор условий устойчивости. Качественные же выводы об устойчивости, как

оказывается, мало чувствительны к закону модуляции. Будем искать периодические решения уравнения

f+ 2е/ + [1-К-гф(т)]/ = 0.(34.1)

Это уравнение отличается от (33.19) заменой sin сот на «прямоугольную» ступенчатую периодическую функцию ф(т), изображенную на рис. 86. Кроме того, вместо относительной амплитуды модуляции г] в уравнение введена абсолютная амплитуда г=Кт].

На каждом из полупериодов функция ф(т) имеет постоянное значение ф=±1. На участках / и 2, отмеченных на рисунке, общее решение уравнения (34.1) имеет вид

/(1) = е~8Т (С, sin ат + С2 cos ат), 1

f(2) = е-ет (С3 sjn рт _]_ С4 cos pT), j(34.2)

где

a=/l-R + r-e2, p=/l-R-r-e2.

Условия непрерывности на границе участков / и 2 /(П(0) = р)(0), /о (0) =/(2) (0)

вместе с условиями существования «нормального» решения

дают систему четырех линейных однородных уравнений для постоянных Ci, С2, С3, С4. Приравнивая нулю определитель этой системы, получим квадратное уравнение для фактора р:

2 л Г ~ ла лВ а2 + В2 . ла . лв 1.

p2_2^os—.cos-^.-^sin—-sin^je “ -р+.

4 ле

+ е “ =0. (34.3)

Периодические решения получаются при р=±1. Значение р=1 соответствует «целым» решениям, имеющим период, равный периоду модуляции. При р= — 1 получаются «полуцелые» решения; их период вдвое больше периода модуляции. Подставляя р=±1 в (34.3), находим уравнение границ устойчивости

cos—cos «—sm~sm m =±ch— (34i4)

(знаки + и — соответствуют «целым» и «полуцелым» решениям). '

Это соотношение дает связь между числом Рэлея R, коэффициентом трения е, а также частотой и амплитудой модуляции со и г. При фиксированных е и R на плоскости амплитуда — частота можно построить границы областей устойчивости. ’•

Как показывает .решение уравнения (34.4), целесообразно выделить три области изменения «приведенного» числа Рэлея: J) -со < R < 1, 2) 1 < R < 1 + е2, 3) R > 1 + е2 9- Карты

9 Полезно подчеркнуть различие в определении R и г для случаев модуляции градиента температуры и поля тяжести. По определению R = R//Ro, где Ro — статическое пороговое значение числа Рэлея, а R/ — число Рэлея при наличии модуляции. Равенство R = 0 в случае модуляции градиента означает такую ситуацию, когда средний градиент температуры отсутствует (До = 0), и вся неоднородность температуры связана лишь с ее колебаниями на границах. В случае модуляции поля тяжести значение R = 0 означает отсутствие ускорения статического поля тяжести (5 = 0); имеется лишь вибрационное ускорение ®^0-

Что касается амплитуды модуляции г, то ее можно записать следующим образом: г = V)R = f//R0. В случае модуляции градиента температуры г у = 5pao^4/vx, т. е. г/ есть число Рэлея, определенное через амплитуду модуляции градиента (оно не зависит от среднего градиента). В случае же модуляции поля тяжести rf = co26o^/i4/vx — число Рэлея, определенное через вибрационное ускорение (не зависит от «среднего» ускорения g).

Рис. 87. Карты устойчивости на плоскости (г, 1/©). Области неустойчивости заштрихованы; сплошные линии — прямоугольная модуляция, штриховые линии —синусоидальная модуля ция. а) -оо < R < 1; б) 1 < R < 1 + е2: в) R > 1 + е\Рис. 87. Карты устойчивости на плоскости (г, 1/©). Области неустойчивости заштрихованы; сплошные линии — прямоугольная модуляция, штриховые линии —синусоидальная модуля ция. а) -оо < R < 1; б) 1 < R < 1 + е2: в) R > 1 + е\

Рис. 87. Карты устойчивости на плоскости (г, 1/©). Области неустойчивости заштрихованы; сплошные линии — прямоугольная модуляция, штриховые линии —синусоидальная модуля ция. а) -оо < R < 1; б) 1 < R < 1 + е2: в) R > 1 + е\

Рис. 87. Карты устойчивости на плоскости (г, 1/©). Области неустойчивости заштрихованы; сплошные линии — прямоугольная модуляция, штриховые линии —синусоидальная модуля ция. а) -оо < R < 1; б) 1 < R < 1 + е2: в) R > 1 + е\

устойчивости на плоскости амплитуда — период для этих трех областей изображены на рис. 87, а — в.

В области —оо < R < 1 при отсутствии модуляции (г=0) равновесие устойчиво; эти значения R соответствуют произвольному подогреву сверху или подогреву снизу с докритическим градиентом. При наличии модуляции (г =# 0) появляются области параметрической неустойчивости, изображенные на рис. 87, а. При малых г равновесие устойчиво при любых частотах. Неустойчивость появляется при конечном пороговом значении параметра возбуждения г = Г1 = Зе2—(R—1). При г > ri имеются интервалы частот, соответствующие устойчивости и неустойчивости.

В области R > 1 в статических условиях равновесие неустойчиво (градиент температуры превосходит критический). При наличии модуляции появляются области стабилизации равновесия.

При 1 < R < 1 + е2 (рис. 87, б) кроме областей резонансного возбуждения появляется основная полоса неустойчивости, прилегающая к оси г=0 (сама линия г=0 принадлежит области неустойчивости). Верхняя граница этой области при 1/со —► оо определяется значением параметра г = г2 = 2в y^R — 1. Над этой областью расположена полоса устойчивости, ширина которой (при больших 1/со) равна п — г2. С ростом R полоса устойчивости сужается, так как п уменьшается, а г2 растет. При R -И + е2 ширина полосы п — г2 стремится к нулю.

Форма областей неустойчивости для R > 1 + е2 видна из рис. 87, в. В этом случае практически при всех амплитудах и частотах возбуждения равновесие неустойчиво. Лишь при г>г3 имеются узкие резонансные интервалы частот параметрической стабилизации системы. Значение г3 определяется формулой г3= = e2+(R-l).

Как видно, имеется аналогия между рассматриваемой конвективной системой и маятником, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания. Как известно, устойчивое нижнее положение маятника может быть сделано неустойчивым, и наоборот, неустойчивое обращенное положение маятника может быть стабилизировано при подходящих значениях параметров модуляции. В нашем случае модуляция параметра также приводит к появлению областей неустойчивости при R < 1 и стабилизации равновесия при R > 1.

Перейдем теперь к рассмотрению условий устойчивости при синусоидальном законе модуляции параметра. Как уже указывалось, в этом случае система амплитудных уравнений может быть решена численно [2*3]. Для определенности мы будем иметь в виду систему второго порядка (33.18). '

Рассмотрим два частных решения этой системы (gV^ ^Р) и (g(2), ^2)), удовлетворяющие начальным условиям

g^ = 6lk.(34.5)

Эти решения, очевидно, образуют фундаментальную систему: определитель

_ gW ^)(т)

^^ ^(т) ^(т).

отличен от нуля и удовлетворяет соотношениям:

Щ0)=1; Р(т) = Р(0)е-” = е-8Т

'(2е = п + ^).(34.6)

Общее решение системы (33.18) запишем в виде

81 = 6^ + ^, g2 = c^-]-c2^.(34.7)

Здесь сь с2 — произвольный постоянные.

Согласно общей теории (см., например, [4]), для построения периодических решений следует сначала найти «нормальные» решения, удовлетворяющие условиям

£i (7) = pgi (0), g2(n = pg2W(34.8)

(Т — период модуляции). Подставляя (34.7) в (34.8), придем к однородной системе для Ci и с2. Приравнивая нулю ее определитель, получим характеристическое уравнение для фактора р, которое с учетом (34.6) можно записать в виде

Р2 - Р [^ <П + ^2> (Г)] + е-еТ = 0.(34.9)

Полагая р = ±1, найдем условия существования периодических решений, или, что то же самое, уравнения границ областей устойчивости (знаки + и — соответствуют «целым» и «полу- целым» решениям):

± [^п (П + g^ (Г)] = 1 + е-еГ.(34.10)

Это уравнение является аналогом уравнения (34.4) в случае прямоугольной модуляции.

Таким образом, для построения границ устойчивости нужно знать фундаментальную систему, удовлетворяющую начальным условиям (34.5), в точке т=7. Сложность состоит в том, что аналитически найти фундаментальную систему не удается. Однако для фиксированных значений параметров ее можно получить численно, интегрируя (33.18) с начальными условиями (34.5) методом Рунге — Кутта. Варьируя параметры, входящие

в (33_Д8), можно добиться выполнения (с заданной точностью) равенства (34.10) и определить «нейтральные» значения пара* метров. Перебор параметров и численное интегрирование производятся на ЭВМ.

Очевидно, такой численный метод может быть применен и для отыскания периодических решений систем более высокого порядка. -

Как показывают расчеты, качественные особенности структуры областей устойчивости, отмеченные выше при обсуждении

прямоугольной модуляции, сохраняются и в случае гармонического закона модуляции. На рис. 87, а и б границы областей неустойчивости для гармонической модуляции изображены штриховыми линиями. Как и в случае прямоугольной модуляции, при R < 1 имеются лишь области резонансного возбуждения, а при R > 1 появляется также основная полоса неустойчивости. Из рисунков видно в то же время, что имеются заметные количественные отличия в положении резонансных областей.

Численный метод позволяет определить зависимость критического числа Рэлея от параметров модуляции. На рис. 88 представлен пример расчета, дающий зависимость критического значения приведенного числа Рэлея R от безразмерной амплитуды модуляции т] при фиксированных шип (®=1, п=3,67). В пределах основной полосы неустойчивости критическое число R возрастает с увеличением ц, т. е. имеет место стабилизация. При достаточно больших т] (для указанных значений ® и п при ^ > 2,7) неустойчивость связана с резонансным параметрическим возбуждением.

Рис. 89, а и б относятся к горизонтальному слою с твердыми границами, В этом случае при заданных параметрах слоя и

6 3416 3416ЁЛАСТИ УсФОЙЧЙВОСТЙ Й ЙЁУСЁОЙЧЙВОСТЙ6ЁЛАСТИ УсФОЙЧЙВОСТЙ Й ЙЁУСЁОЙЧЙВОСТЙ549549

6 341

6 341

6ЁЛАСТИ УсФОЙЧЙВОСТЙ Й ЙЁУСЁОЙЧЙВОСТЙ

6ЁЛАСТИ УсФОЙЧЙВОСТЙ Й ЙЁУСЁОЙЧЙВОСТЙ

549

549

жидкбсти й при заданных частоте и амплитуде модуляции число Рэлея R/ зависит от волнового числа к. Критическое значение Rm должно определяться минимизацией R/ по к. Если фиксированы частота модуляции ®0 и безразмерная амплитуда т], то

Рис. 89. Критическое число Рэлея Ят и критическое волновое число кт в зависимости от амплитуды модуляции для горизонтального слоя с твердыми границами (Р»7).Рис. 89. Критическое число Рэлея Ят и критическое волновое число кт в зависимости от амплитуды модуляции для горизонтального слоя с твердыми границами (Р»7).

Рис. 89. Критическое число Рэлея Ят и критическое волновое число кт в зависимости от амплитуды модуляции для горизонтального слоя с твердыми границами (Р»7).

Рис. 89. Критическое число Рэлея Ят и критическое волновое число кт в зависимости от амплитуды модуляции для горизонтального слоя с твердыми границами (Р»7).

число Рэлея R/ зависит от к через Ro, т и п (см. формулы (33.14), (33.15)). Заметим, что при фиксированной частоте too безразмерная частота ю, входящая в «каноническую» систему (33.18), также зависит от волнового числа к (формула (33.10); m=m(A)).

Кривые на рис. 89 изображают минимальное критическое число Rm и критическое волновое число кт в зависимости от амплитуды т] для Р=7 (вода). Вдоль каждой кривой постояв

И2

ное значение имеет безразмерная частота Q= 7^- <оо. Как У vx

видно из рисунков, критическое значение Rm в основной полосе неустойчивости увеличивается с ростом ц и уменьшается с ростом Q 9- Для каждого Q имеется предельное значение т]*, определяющее край основной полосы неустойчивости. При ц ц* критическое число Rm стремится к бесконечности. Критическая длина волны с увеличением г] в пределах основной полосы растет и кт —► 0 при т] —* т]*.

За пределами основной полосы (ц > ц*) минимальное критическое число Rm сложным образом зависит от т]. Эта зависимость определяется минимизацией по к пороговых значений R/ на границах резонансных полос неустойчивости. Расчеты показывают, что в области резонансных полос устойчивость с ростом т], в общем, понижается.

Вибрации высокой частоты

Системы (33.9) и (33.18) или эквивалентное им уравнение второго порядка (33.19) позволяют численно определить границы устойчивости при произвольных значениях параметров. В предельном случае высоких частот с помощью метода усреднения удается получить простые аналитические формулы, выра; жающие зависимость критического числа Рэлея от параметров модуляции. Заметим сразу, что здесь мы имеем в виду случай параметрического воздействия посредством вертикальных колебаний высокой частоты; высокочастотная модуляция равновесного градиента температуры приводит к образованию температурного скин-слоя, который необходимо учитывать при рассмотрении устойчивости (см. следующий параграф).

Влияние вибраций высокой частоты на конвективную устойчивость выяснялось в работах р»5»6]. Далее в изложении мы следуем работе р].

Обратимся к уравнению (33.19):

■ f + 2е/ + [1 — R(1 + nsin<0T)]f = 0.(35.1)

В отсутствие модуляции (я=0) имеем

f + 2e/ + (l-R)f = 0.(35.2)

’) Нужно помнить, что в случае вертикальных колебаний слоя амплитуда определена так: 4 = ti^bjg, т. е. безразмерная амплитуда сама зависит от частоты.

Это уравнение описывает возмущения, которые при подогреве снизу изменяются со временем монотонно. Как легко видеть, характерное время то моды, дающей неустойчивость, равно

т0 = [/е2+ R — 1 — е]

Если период вибрации гораздо меньше то, т. е. частота вибрации велика:

со » Ve2 + R - 1 - е,

то для нахождения границ устойчивости можно воспользоваться методом усреднения [7].'

Следуя этому методу, представим решение уравнения (35.1) в виде суммы медленно изменяющейся со временем части f0 и быстро осциллирующей малой добавки £:

Цт) = /о(т) + £(т).. (35.3)

Подставляя (35.3) в (35.1) и сохраняя главную часть в группе быстро осциллирующих членов, получим уравнение для

.t = R itfo sin ют.

Интегрируя (в предположении f0=const), получим

'£(т) = — -^-/о W sin шт.(35.4)

Возвращаясь теперь к исходному уравнению (35.1), подставим в него (35.4) и усредним по периоду модуляции t=2nla>. Мы придем тогда к уравнению для /0:

.Fo + 2efo + (l-R + ^-)fo = O.(35.5)

• Это уравнение отличается от соответствующего уравнения при отсутствии модуляции (35.2) наличием последнего слагаемого в скобке. Таким образом, можно сказать, что высокочастотная вибрация, в сущности, приводит к перенормировке статического поля тяжести.

Граница устойчивости находится из условия обращения в нуль коэффициента при f0 в (35.5)•

-3--R + l=0.(35.6)

Отсюда видно, что в предельном случае высоких частот критическое значение числа Рэлея определяется единственным параметром — отношением ц/со !).

На рис. 90 изображены границы устойчивости на плоскости (R, т]/(о). Сплошная кривая соответствует асимптотической формуле (35.6). Штриховыми линиями изображены границы устойчивости, найденные путем численного решения общей системы (33.18) для различных значений со (напомним, что при

конечных со положение нейтральных линий определяется не только отношением т]/(о, но и отдельно параметрами со и п). Как видно, при увеличении частоты граница основной области неустойчивости довольно быстро сходится к предельной линии. (35.6). .Практически случай высоких частот реализуется уже при co > 10. Отметим, однако, что кроме основной области неустойчивости при конечных со имеются еще резонансные области.

На рис. 90 изображена нижняя граница первой' резонансной области («полуцелые» решения) для со = 5, 10, 20. С увеличением частоты эта граница повышается, вытесняясь на бесконечность, и в высокочастотном пределе остается лишь основная область неустойчивости.

9 В случае прямоугольной модуляции высокочастотный предел может быть получен из общего характеристического соотношения (34.4). При малых

■ Л2г2

1/(0 и г из (34.4) следует 12~2- — R + 1 = 0. Вводя относительную амплитуду.

ix2n2R2

модуляции ч = r/R, получим соотношение ~[2(о2R + 1 = 0, отличающееся от (35.6) лишь численным фактором.

Обращаясь к случаю, горизонтального плоского слоя, подставим в (35.6) R = R//R0 и (o = -^L-(oc, где too — размерная

У VX

частота вибрации, а статическое пороговое число Ro и параметр т определены формулами (33.8), (33.11) в случае свободных границ, либо формулами (33.14), (33.15)—в случае твердых границ. После подстановки получим

п ^2Ro (1 + -I1 2а2 \ Rf—1

(35.7) Здесь а — безразмерный параметр, определяющий влияние вибраций высокой частоты на конвективную неустойчивость:

®оЬо / V%/ок о\

° — gh?(ои.о)

(то — частота, Ьо — амплитуда смещения, ft— толщина слоя). Из формулы (35.7) видно, что существует предельное значение параметра вибрации а, = т1У 2, при достижении которого наступает абсолютная стабилизация.

Рис. 91. Нейтральные кривые для горизонтального слоя с/ твердыми границами для нескольких значений вибрационного параметра.Рис. 91. Нейтральные кривые для горизонтального слоя с/ твердыми границами для нескольких значений вибрационного параметра.Зная зависимость иг и Ro от волнового числа к, по формуле (35.7) можно построить нейтральные кривые Ry(^) для разных значений вибрационного параметра а. На рис. 91 представлено семейство нейтральных кривых для слоя с твердыми границами. С увеличением а минимальное критическое число Rm увеличивается (стабилизация), а критическое волновое число кт уменьшаетсяJ).

Рис. 91. Нейтральные кривые для горизонтального слоя с/ твердыми границами для нескольких значений вибрационного параметра.

Рис. 91. Нейтральные кривые для горизонтального слоя с/ твердыми границами для нескольких значений вибрационного параметра.

9 Влияние вибраций высокой частоты на устойчивость горизонтального слоя также исследовалось в работах [5-6]. Операция усреднения была произведена в исходных полных уравнениях конвекции. Для характеристики

л р А Oq^O

влияния вибрации был введен параметр ц =г (Д — равновесный градиент).

Из (35.6) можно найти зависимость критического числа Рэлея от пара-

метра ц: Rf = Ro + —^метра ц: Rf = Ro + —^Минимальные критические числа Rm, получаю

метра ц: Rf = Ro + —^

метра ц: Rf = Ro + —^

щиеся из этой формулы, согласуются с приведенными в [6]. Однако, как нам представляется, более целесообразно характеризовать влияние вибрации параметром а (формула (35.8)), так как, в отличие от ц, этот параметр не зависит от градиента, а определяется лишь свойствами жидкости и параметрами вибоации. - . - - - . ♦

Зависимость Rm (а) и £т(а) представлена на рис. 92, а и б. При а*=0,0347 наступает полная стабилизация: если а > а#, равновесие устойчиво при любых значениях вертикального градиента. Подчеркнем, однако, что речь идет о предельном слу

чае высоких частот; при конечных частотах имеются резонанс

Рис. 92. Минимальное критическое число Rm и .критическое волновое число кт в зависимости от вибрационного параметра.Рис. 92. Минимальное критическое число Rm и .критическое волновое число кт в зависимости от вибрационного параметра.ные области неустойчивости и при а > а* (см. рис. 90).

Рис. 92. Минимальное критическое число Rm и .критическое волновое число кт в зависимости от вибрационного параметра.

Рис. 92. Минимальное критическое число Rm и .критическое волновое число кт в зависимости от вибрационного параметра.

Приведем численную оценку вибрационного эффекта. Для полной стабилизации требуется предельное значение

Рис. 93. Критическое число R^ в зависимости от а для вертикального кругового ЦИЛИН дра при разных значениях числа Био Ь=Ка/х (К — коэффициент теплоотдачи, х — теплопроводность жидкости, а —радиус цилиндра).Рис. 93. Критическое число R^ в зависимости от а для вертикального кругового ЦИЛИН дра при разных значениях числа Био Ь=Ка/х (К — коэффициент теплоотдачи, х — теплопроводность жидкости, а —радиус цилиндра).вибрационной скорости <ййЬй = а,-^=-. Таким образом, для получения заметного эффекта при разумных с точки зрения эксперимента значениях вибрационной скорости следует работать с тонкими слоями жидкости, имеющей возможно большее значение V^vx. Так, для слоя воды (}А>х = 0,0038 см21сек) толщиной 2 мм получается предельное значение toobo = 360 см/сек. Это значит, что при амплитуде Ьо = 2 мм стабилизация наступит при частоте 250 гц. Эффект выражен значительно сильнее в жидкостях с большим значением параметра Vvx (глицерин, оливковое масло, некоторые силиконовые жидкости).

Рис. 93. Критическое число R^ в зависимости от а для вертикального кругового ЦИЛИН дра при разных значениях числа Био Ь=Ка/х (К — коэффициент теплоотдачи, х — теплопроводность жидкости, а —радиус цилиндра).

Рис. 93. Критическое число R^ в зависимости от а для вертикального кругового ЦИЛИН дра при разных значениях числа Био Ь=Ка/х (К — коэффициент теплоотдачи, х — теплопроводность жидкости, а —радиус цилиндра).

В заключение заметим, что формулы (35.6), (35.7) имеют универсальный характер. С их помощью определяется граница основной полосы неустойчивости в предельном случае высоких частот для полости произвольной формы (разумеется, лишь в рамках приближений, приводящих к уравнению (35.1)). Для перехода к конкретному случаю следует лишь специализировать параметры Ro и т, зависящие от формы полости и условий подогрева.

Отсылая за деталями вычислений к работе [2], приведем результат для случая вертикального кругового цилиндра. На рис. 93 изображена зависимость R/(a) (вибрационный параметр определен через радиус цилиндра) для разных значений числа Био Ь, характеризующего теплоотдачу от цилиндра к внешней среде. Как и в случае горизонтального слоя, с ростом а наступает стабилизация, причем эффект значительнее при большой теплопроводности границ. "

§ 36. Температурный скин-слой

При рассмотрении устойчивости равновесия в §§ 33 и 34 предполагалось, что частота модуляции равновесного градиента температуры мала, и скин-эффектом можно пренебречь (неравенство (33.2)). Если же частота настолько велика, что толщина скин-слоя соизмерима или меньше характерного размера, то становится существенной пространственная неоднородность градиента температуры. При решении задачи об устойчивости в этом случае необходимо учитывать тепловую волну, распространяющуюся вглубь жидкости от границы, на которой периодически меняется температура.

Рассмотрим бесконечно глубокий бассейн, на горизонтальной поверхности которого температура гармонически меняется со временем:

То = 0 cos tot (2 = 0). (36.1) Температуру на достаточно большой глубине примем за начало отсчета:

То-* 0 (г —* оо) (36.2) (ось 2 направлена вниз). Уравнение теплопроводности (33.1) с граничными условиями (36.1), (36.2) дает невозмущенное распределение температуры в виде тепловой волны, экспоненциально затухающей с глубиной:

То (г, t) = бе-”2 cos (tot - xz); х = 1/"^. (36.3)

При надлежащей фазе tot — xz градиент температуры направлен вниз (дТ^дг > 0), и если этот градиент достаточно велик

566566мойулйцйя параметрамойулйцйя параметра(Гл. vht(Гл. vht

566

566

мойулйцйя параметра

мойулйцйя параметра

(Гл. vht

(Гл. vht

(а его величина определяется амплитудой и частотой колебаний температуры поверхности), то нестационарное равновесие с ■ профилем температуры (36.3) может оказаться неустойчивым [8- 9]. '

Для исследования устойчивости [9] поступаем точно так же; как в случае слоя конечной толщины, т. е. из общих уравнений для возмущений исключаем горизонтальные компоненты скорости и давление и вводим нормальные возмущения. Введем единицы: расстояния — 1/х (эта величина характеризует глубину проникновения тепловой волны), времени —1/х2 VvX» температуры — 0, скорости — %х. Определим число Рэлея через глубину проникновения: R=gp0/vxx3 и запишем амплитудные уравнения в безразмерной форме (аналог системы (33.4))

Ыг/7~ЛР = ,!2рв'Ыг/7~ЛР = ,!2рв'(36.4)(36.4)

Ыг/7~ЛР = ,!2рв'

Ыг/7~ЛР = ,!2рв'

(36.4)

(36.4)

Здесь f(z,t)— безразмерный невозмущенный градиент температуры, определяемый профилем (36.3):

f(z, /) = e"z [sin^-j^-f(z, /) = e"z [sin^-j^-

f(z, /) = e"z [sin^-j^-

f(z, /) = e"z [sin^-j^-

При z —* оо возмущения о и 6 стремятся к нулю. На поверхности z=0 задана температура, и ее возмущение исчезает; нормальная составляющая скорости исчезает вместе со своей второй производной, по г в случае свободной границы или с первой производной — в случае твердой границы.

Рассмотрим сначала случай свободной (плоской) поверхности. Удобно исключить из системы (36.4) возмущение температуры -и получить уравнение шестого порядка для о:

^^- - a) Av = - fe2Rf (z, 0 и. (36.6)

Из условия 0(0) = 0 можно получить дополнительное граничное условие d^vjdz* = 0 при г = 0.

Периодическое решение уравнения (36.6) будем искать по методу Фурье. Основной области параметрического резонанса соответствует, как известно, движение с частотой, равной половине частоты возбуждения. Поэтому «полуцелое» периодическое решение можно представить в виде разложения Фурье

(36.7)(36.7)v = U! (z) cos -pU + v2 (z) sin -pL

(36.7)

(36.7)

Здесь У] и Ог — амплитуды основной гармоники частоты l/VP. Старшие гармоники имеют частоты З/р^Р» б/}^Р, ... Подставляя (36.7) в (36.6) и сохраняя лишь основную гармонику, получим систему уравнений для фурье-амплитуд о1 и у2:

РА3^, — (1 + Р)А2о2 —Ао, = ^2РР(ф+О!—Ф_и2)> ' PA3v2 + (1 + Р) A2Vj — Av2 = —/^RP^v, + ф+у2), (36.8)

где

Ф± = ^- e~z (cos г ± sin z).

Амплитуды удовлетворяют однородным условиям:

I»! 2 = i»j'2 = ojy2 = 0 (z = 0); «^ 2->0 (z->oo).(36.9)

Для приближенного решения амплитудной краевой задачи можно применить интегральный метод, аналогичный методу Кармана — Польгаузена в теории пограничного слоя (см. [10]). Согласно этому методу, решение аппроксимируется с учетом граничных условий и с последующим определением параметров аппроксимаций из интегральных соотношений. В нашем случае Ui и у2 удовлетворяют одинаковым граничным условиям, поэтому в первом приближении, содержащем минимальное число параметров, можно положить:

(36.10)(36.10)y1(z) = c1F(z), o2(z) = C2F(z); 1

(36.10)

(36.10)

Р (z) = (3z + 3az2 + a2z3) e-az. J

Параметр a, связанный с глубиной проникновения возмущений, остается пока не определенным. -

Интегрируя (36.8) по z от 0 до оо и подставляя в получающиеся интегральные соотношения аппроксимации (36.10), придем к системе линейных однородных уравнений для Ci, с2. Из условия совместности этой системы вытекает соотношение между параметрами задачи на границе устойчивости. Это соотношение можно разрешить относительно R:

(36.11)(36.11)pz-^i-PV + d + P)2^ к• а*№К?

(36.11)

(36.11)

Здесь 7Ь /г, 73, К — функции волнового числа и параметра а: lx = a^-V^, 72 = а4 + 2А2а2 + 5й4, 73 = 5а6 + 3^2а4 + З^4^ + 5fe6, ^2 _аЧ5а + 4)Ч-4^2а + П^'

A2[(a+l)2 + lJ< ‘

9 Г, 3S Гершуни, Е. М. Жуховицкий

Аналогичное соотношение можно получить и в случае твердой верхней границы бассейна. В этом случае удобнее пользоваться системой (36.4). Фурье-разложение периодического «по- луцелого» решения начинается с гармоник

(36.12)(36.12)v = V] (z) cos yU + о2 (z) sin y= e = 6, (z) cos yL- + 62 (z) sin y=

(36.12)

(36.12)

Входящие сюда амплитуды удовлетворяют граничным условиям

(36.13)(36.13)При Z = 0 Vh 2 = о' 2 — °’ ®1, 2 ^ °* при z —> оо о112->-0,61>2-»-0.

(36.13)

(36.13)

Простейшие аппроксимации таковы:

(36.14)(36.14)yi,2 —ci.2^(z), 0112 = ^112Ф(г);

(36.14)

(36.14)

" F (z) — z2e~az, Ф (z) = (z + az2) e-oz

(учтено добавочное граничное условие 0"(0)=0, вытекающее из (36.4)).

(36.15)(36.15)Соотношение, аналогичное (36.11), имеет вид к2= -'^^1)3 № - з*2)2 + (3/ (Р + 1№, /1 = 3а4 + ^4, /2 = а2 + 3^2.

(36.15)

(36.15)

Формулы (36.11) и (36.15) дают связь между параметрами, при выполнении которой существует «полуцелое» периодическое решение. Иными словами, эти формулы определяют границу устойчивости равновесия. Критические числа Рэлея, согласно этим формулам, зависят от Р, к и а. Следует, однако, подчеркнуть, что параметр а, в отличие от волнового числа к, не является свободным; он, в сущности, сам должен быть определен всеми остальными параметрами задачи. Для определения а можно было бы составить еще одно интегральное соотношение, например, уравнение моментов. Такой путь приводит к весьма громоздким соотношениям. Поэтому ограничимся нахождением нижней границы области неустойчивости. С этой целью будем рассматривать параметр а как свободный и найдем минимум R(&, а) по к и а при фиксированном Р. Минимальное критическое число Rm определяет нижнюю границу амплитуды 0, которая необходима для параметрического возбуждения неустойчивости при данной частоте. Значения же кт и am, соответствующие минимуму, вряд ли можно рассматривать как истинные значения критического волнового числа и параметра проникновения.

Результаты расчетов представлены на рис. 94. Как и следовало ожидать, критические числа Rm в случае твердой границы выше соответствующих значений для свободной границы.

Для воды при 20 °C (Р = 7) при свободной границе Rw=20, и условие возникновения конвекции:

<3616)

Так, при периоде колебаний 1 мин для возбуждения неустойчивости требуется амплитуда 0 > 0,4 °C.

Разобранная задача обладает характерной особенностью, связанной с бесконечной глубиной бассейна. Она состоит в том,

Рис. 94. Минимальное критическое число Rm и критическое волновое число кт в зависимости от числа Прандтля; / — свободная поверхность, // — твердая верхняя граница.

что средний по времени невозмущенный градиент температуры в любой точке равен нулю, т. е. отсутствует «средняя» стратификация. Конвекция возникает, таким образом, благодаря тому, что неустойчиво стратифицированные слои образуются при распространении тепловой волны.

В слое конечной толщины возможен, разумеется, случай, когда средний градиент отличен от нуля и создается средней разностью температур между ограничивающими плоскостями. Колебания температуры на этих плоскостях модулируют градиент, и можно исследовать влияние этих модуляций на устойчивость. Низкочастотный случай был рассмотрен в §§ 33, 34. Влияние модуляций произвольной (немалой) частоты изучалось в работе Венециана [п]. При этом, однако, амплитуда модуляций предполагалась достаточно малой, что позволяло применить метод возмущений.

В работе [и] задача решалась в следующей постановке. Рассматривается плоский горизонтальный слой со свободными границами. Температура на границах гармонически меняется со

временем» причем возможны, например, такие существенно отличающиеся друг от друга случаи:

колебания в противофазе:

при 2 = 0 Т = ©1 + 02 cos (о/,

при z = h Т = — 02 cos со/;

колебания в фазе:

при 2 = 0 Т = ©1 + 02 cos со/, при z = h Г = 02 cos (о/.

Здесь ©1 — статическая разность температур (она обеспечивает средний градиент 0i/A); ©2 — амплитуда колебаний на границах.

В случае а), очевидно, разность температур (и градиент) со временем осциллируют около среднего значения. В случае б) разность температур не меняется со временем, но градиент температуры внутри жидкости в силу скин-эффекта зависит от времени и вертикальной координаты.

Для решения задачи об устойчивости применяется метод малого параметра, основанный на разложении амплитуд нормальных возмущений и критического числа Рэлея в ряды по степеням безразмерной амплитуды модуляции е = 202/0ь Из симметрии ясно, что разложение критического числа Рэлея будет содержать лишь четные степени е:

R = R(o) + e2R(2)+ еее

Здесь R<°> — статическое значение, a R<2>— квадратичная поправка, которая (при малых е) описывает влияние модуляции на устойчивость. Поправка R^) определяется стандартным методом возмущений. При этом оказывается, что с точностью до членов порядка е2 модуляция не влияет на критическое волновое число. Поэтому для определения минимального критического числа Rm нужно знать R<2) в точке к = кт, соответствующей минимуму на нейтральной кривой в статическом случае.

Результаты расчетов представлены на рис. 95. Как видно, в случае а) (колебания в противофазе) при всех частотах R(2) > 0, т. е. модуляция приводит к повышению устойчивости 9- В случае б) (колебания в фазе) поправка R<2> как функция частоты меняет знак; при низких частотах имеется дестабилизация, а при высоких — стабилизация.

9 Следует подчеркнуть, что расчет справедлив при малых амплитудах модуляции; поэтому речь идет лишь об основной полосе неустойчивости. Возбуждение резонансных полос требует конечных амплитуд (§ 34).

При высоких частотах - влияние модуляции сосредоточено в тонком скин-слое, толщина которого стремится к нулю при со оо. Эффект становится весьма слабым; поправка R<2) убывает как 1/со2. Кроме того, при высоких частотах пропадает различие между случаями а) и 6): в пределе образуются два

Рис. 95. Квадратичная поправка к критическому числу Рэлея в зависимости от частоты; а) —колебания в противофазе, б) —колебания в фазе. Число Рэлея определено через среднюю разность температур и толщину слоя; безразмерная частота to —в единицах А2/х.Рис. 95. Квадратичная поправка к критическому числу Рэлея в зависимости от частоты; а) —колебания в противофазе, б) —колебания в фазе. Число Рэлея определено через среднюю разность температур и толщину слоя; безразмерная частота to —в единицах А2/х.

Рис. 95. Квадратичная поправка к критическому числу Рэлея в зависимости от частоты; а) —колебания в противофазе, б) —колебания в фазе. Число Рэлея определено через среднюю разность температур и толщину слоя; безразмерная частота to —в единицах А2/х.

Рис. 95. Квадратичная поправка к критическому числу Рэлея в зависимости от частоты; а) —колебания в противофазе, б) —колебания в фазе. Число Рэлея определено через среднюю разность температур и толщину слоя; безразмерная частота to —в единицах А2/х.

тонких неперекрывающихся скин-слоя вблизи верхней и нижней плоскостей, и фазовые соотношения между температурными волнами в этом случае несущественны.

Надкритические колебания.

Если конвективная система подвергается параметрическому воздействию, то в области неустойчивости в результате развития возмущений устанавливается периодическое во времени конвективное движение конечной амплитуды. Исследование надкритических колебаний возможно лишь на основе полных нелинейных уравнений конвекции. Как и в статическом случае (§ 23), здесь весьма эффективным оказывается численный метод сеток. В работах Г. И. Бурдэ [|2~14] стационарные надкритические колебания изучались этим методом на примере области квадратной формы. Решалась плоская нестационарная задача конвекции в квадратной области с теплоизолированными вертикальными границами. Рассмотрены оба вида параметрического воздействия, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах,— модуляции поля тяжести и периодические колебания температуры на горизонтальных границах.

В случае модуляции поля тяжести возникающее плоское конвективное движение описывается системой уравнений для функции тока и температуры. Эта система получается из (23.2) а2'

заменой R на R/(l + т] sin й/), где Q= — ©0 — безразмерная

частота, а т] = (^b^g — относительная амплитуда модуляции (а —,сторона квадрата, Ьо — амплитуда смещения); число Рэлея

Рис. 96. Карта устойчивости на плоскости (т), 1/Q) для квадратной области.Рис. 96. Карта устойчивости на плоскости (т), 1/Q) для квадратной области.Ry определено через равновесный градиент температуры и сторону квадрата. Отличие граничных условий от (23.3) состоит в том, что вместо линейного изменения, температуры по высоте на боковых границах теперь ставится условие тепловой изоляции: дТ]дх = 0 при х = 0 и х = 1.

Рис. 96. Карта устойчивости на плоскости (т), 1/Q) для квадратной области.

Рис. 96. Карта устойчивости на плоскости (т), 1/Q) для квадратной области.

Для решения задачи использовалась конечно-разностная схема, описанная в § 23. Расчеты проводились на сетках 11 X II и 16 X 16 при фиксированном значении числа Прандтля Р = 1.

Метод позволяет численно найти границы устойчивости и определить формуй характеристики надкритического движения.

На рис. 96 в качестве примера приведена карта устойчивости в координатах (т), 1/Q) для значения R/ = = 3000 (напомним, что при отсутствии модуляции критическое число Рэлея для квадратной области с теплоизолированными боковыми границами Ro « 2600; см. § 20). Структура областей неустойчивости оказывается качественно такой же, как

Рис. 97. Критическое число Рэлея в зависи- В В Случае ГОрИЗОНТаЛЬНОГО мости от амплитуды модуляции при разных СЛОЯ (ср. РИС. 87, б) — ИМв- частотах.«

ется основная полоса неустойчивости и области резонансного параметрического возбуждения. Стабилизирующее действие вибраций видно из рис. 97, где изображена зависимость критического числа Рэлея от амплитуды модуляции для разных частот (основная полоса неустойчивости) .*

В режиме установившихся надкритических колебаний все локальные и интегральные характеристики течения осциллируют со временем, причем' форма колебаний, средние значения и амплитуды определяются параметрами возбуждения. В работе [12] в качестве интегральной характеристики движения принято среднее по полости значение функции тока *фо = -у- ^ ф(6 (ф<к — значения функции тока в узлах сетки, N — полное число

Рис. 98, Форма надкритических колебаний,

узлов). При отсутствии конвективного движения, очевидно, фо=0; если движение имеет одновихревую структуру, то величина фо отлична от нуля и может служить мерой интенсивности этого движения. Зависимость фо от времени представлена на рис. 98 для трёх точек в областях неустойчивости. В основной полосе колебания близки по форме к синусоидальным и имеют период, равный периоду модуляции. В резонансных областях спектральный состав колебаний более сложен. В первой резонансной области (как и в других полуцелых областях) период колебаний вдвое больше периода модуляции, причем колебания в этих областях симметричны — среднее по периоду значение ф функции. фа(0 равно нулю. Во второй, как и в других целых областях, период совпадает с периодом модуляции. Форма

колебаний в этих областях несимметрична, и^О (знак -ф определяется направлением вращения начального возмущения).

Если изменять параметры, оставаясь внутри данной области неустойчивости, то форма колебаний остается неизменной, но

Рис. 99, Характеристики надкритических колебаний в основной полосе неустойчивости в зависимости от амплитуды модуляции (£2=20); а) —среднее значение функции тока ф, б) —амплитуда колебаний дф.

меняется среднее значениеф и амплитуда колебаний дф, опре

деляемая как полуразность максимального и минимального значений функции фа(0-

Изменение характеристик стационарных колебаний внутри основной полосы неустойчивости изображено на рис. 99 (ча-

Рис. 100. Характеристики надкритических колебаний в первой и второй резонансных областях.Рис. 100. Характеристики надкритических колебаний в первой и второй резонансных областях.стота модуляции фиксирована). При т)->0 колебания непрерывно переходят в движения постоянной интенсивности; амплитуда дф обращается в нуль, а средняя интенсивность ф стремится к стационарному значению, соответствующему постоянной внешней силе. По мере приближения к границе области неустойчивости обе характеристики обращаются в нуль по

Рис. 100. Характеристики надкритических колебаний в первой и второй резонансных областях.

Рис. 100. Характеристики надкритических колебаний в первой и второй резонансных областях.

корневому закону.

Аналогичным образом можно проследить за нелинейными характеристиками параметрических колебаний и в резонансных областях неустойчивости. На рис. 100 представлены зависимости ф и дф от частоты при фиксированных значениях R/ и т), соответствующих горизонтальному штриховому разрезу на рис. 96 (две первые резонансные области).

Приведем теперь некоторые результаты расчетов, относящихся к периодическому изменению температуры на горизонтальных границах. В работе [] расчеты проведены для случая, когда температура на нижней и верхней границах квадратной области меняется со временем по гармоническому закону около одного и того же среднего значения. Таким образом, средняя по времени стратификация отсутствует, и неустойчивость обусловлена лишь резонансным параметрическим возбуждением.

Положение областей неустойчивости и структура надкрити-

Рнс. 101. Карта устойчивости для случая модуляции темпе- • ратуры в фазе.

между колебаниями температуры на верхней и нижней границах. Рассмотрены случаи колебаний в противофазе (закон изменения температуры на границах ±-у sin о/) и в фазе (темпе

ратура обеих границ меняется по закону -^ sin сом

В случае колебаний в противофазе структура областей неустойчивости в общих чертах повторяет картину, соответствующую низкочастотным модуляциям градиента температуры (рис. 87, а). Наличие скин-слоя сказывается лишь в повышении границ высокочастотных областей.

Существенно иначе обстоит дело в случае, когда колебания температуры на границах происходят в фазе. При этом

разность температур границ в любой момент времени равна нулю, и неустойчивость связана лишь со стратификацией, возникающей у границ области вследствие скин-эффекта. Карта устойчивости для этого случая приведена на рис. 101 в координатах

(г, 1/Q), где г — число Рэлея, определенное через амплитуду модуляции 0, a Q— безразмерная частота. Имеется главная широкая область неустойчивости, в которой частота движения совпадает с частотой модуляции, а также узкие высокочастотные области, которые на рисунке не показаны. Главная область по структуре установившихся движений неоднородна. Она состоит из двух зон, в нижней из которых (/) движение одновихревое, а в верхней (2) — в зависимости от значения

г — двух- • или многовихре- Рис. 102. Характеристики надкритических коле-*

баний в главной области неустойчивости для ВОС.

случая модуляции температуры в фазе.На рИС. 102 ПрСДСТаВЛе-

ны нелинейные характеристики стационарных колебаний ф и 6ф в главной области неустойчивости. Значения г соответствуют горизонтальным штриховым разрезам на рис. 101. Разрыв на линии г = 45-103 связан с выходом за пределы одновихревой зоны.

* *

Мы рассмотрели вопрос о влиянии периодической модуляции на конвективную устойчивость. Имеет смысл постановка задачи об устойчивости и в случае апериодического изменения параметра. Типичный пример такой ситуации — задача о «включении». Пусть, например, верхняя граница горизонтального слоя жидкости поддерживается при фиксированной температуре, а температура нижней границы монотонно растет со временем по некоторому закону. Возникающее при этом нестационарное распределение температуры (разумеется, при условии, что То зависит лишь от вертикальной координаты) соответствует равновесию, которое может оказаться неустойчивым. Аналогичные ситуации возникают и при других условиях подогрева: заданный внезапно в начальный момент времени и поддерживаемый

далее постоянным тепловой поток на нижней границе; параллельное изменение (возрастание или убывание) температуры на обеих границах слоя по линейному закону; внезапно начинающееся охлаждение верхней свободной поверхности глубокого бассейна, вызванное, например, включением механизма испарения, и т. д.

Устойчивость нестационарных равновесий такого рода рассматривалась в ряде работ. В исследованиях были применены два подхода. Первый из них можно назвать квазистатическим. Он основан на предположении, что мгновенное распределение температуры можно мысленно «заморозить» и исследовать обычным образом устойчивость имеющейся в данный момент стратификации, как если бы она была стационарной. При этом удается определить критическое число Рэлея, характеризующее неустойчивость данного мгновенного распределения температуры. Очевидно, такой подход оправдан лишь в случае, когда скорость изменения возмущений гораздо больше скорости изменения нестационарного профиля. При другом подходе задача считается существенно нестационарной. В этом случае численно решается задача с начальными условиями и определяется эволюция возмущений. Нарастание или затухание возмущений, скорость их роста и другие характеристики этой эволюции зависят, разумеется, от момента внесения возмущений, их формы и т. д.

Не останавливаясь на изложении этих исследований, отошлем читателя к работам [15“18], в которых наиболее полно представлены результаты, полученные с помощью обоих подходов, дано их сопоставление и содержится подробная библиография.

ГЛАВА IX

РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ

В предыдущих трех главах мы рассмотрели влияние на конвективную устойчивость жидкости магнитного поля, вращения, неоднородности состава и модуляции параметра. В последние годы появляется большое число работ, в которых исследуется устойчивость при наличии целого ряда других осложняющих факторов. Некоторые из относящихся к этому кругу вопросов обсуждаются в данной главе. Мы оставляем в стороне немногочисленные исследования конвективной устойчивости неньютоновских сред [55-58], а также поляризующихся жидкостей (жидкий диэлектрик в электрическом поле [59] и ферромагнитная жидкость в магнитном поле [60]), отсылая читателя к цитированным статьям. Мы не останавливаемся также на рассмотрении эффектов сжимаемости pi—вз]. эти эффекты в лабораторных условиях оказываются существенными вблизи критической точки- жидкость — пар [64].

Продольное течение в горизонтальном слое

В этом и следующем параграфах мы обсудим влияние движения, обусловленного какой-либо посторонней (неконвективной) причиной, на возникновение конвекции.

Обратимся сначала к случаю продольного течения жидкости в горизонтальном слое. Такое течение может быть создано, например, движением границ слоя, либо продольным градиентом давления.

Пусть жидкость стационарно движется в направлении горизонтальной оси х со скоростью

v0=Uf^l,

где U — характерная скорость, i — единичный вектор вдоль оси х, a f(z)—безразмерная функция вертикальной координаты, описывающая профиль течения. Легко видеть, что при наличии горизонтального течения невозмущенное состояние, как и в покоящейся жидкости, характеризуется линейным по вертикали 0 распределением температуры с градиентом VT0 = —^-у, где 6 — разность температур границ слоя толщины к.

ПРОДОЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕПРОДОЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ269269§ 38]

ПРОДОЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

ПРОДОЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

269

269

Уравнения возмущений получаются обычным образом. При их выводе следует учесть, что в невозмущенном состоянии жидкость не покоится, а стационарно движется со скоростью v0. Вводя безразмерные переменные на основе обычных единиц измерения (расстояния — А, времени — A2/v, скорости — х/^> температуры— 0 и давления — pvx/A2), получим вместо (5.1) — (5.3) уравнения возмущений:

4г + Re ^i + f ^ =— Vp + Av + RTV, P^+RePf-^-y^AT,|(38Л)

divv = 0.)

В эти уравнения, кроме чисел Рэлея R и Прандтля Р, входит новый безразмерный параметр — число Рейнольдса Re = Uhlv, пропорциональное характерной скорости горизонтального течения.

Вводя периодические в плоскости слоя нормальные возмущения скорости и температуры, зависящие от времени и горизонтальных координат по закону ехр [—М + i^kxx + к2у^\ получим амплитудные уравнения (у и 0 — амплитуды вертикальной компоненты скорости и температуры; k2 = к2 + кг):

- Л (у" - k2v) + ikx Relf (у" - к^ - f"^ =

= (yiv - 2k2v" + k4u) - R£29, (38.2)

- XP9 + ikx Re Pf9 = (0" - k2^ + v.

Эти уравнения отличаются от (5.9), (5.10) наличием дополнительных членов, содержащих скорость невозмущенного продольного движения.

В случае твердых идеально проводящих границ сохраняются обычные граничные условия для амплитуд возмущений:

при 2 = 0 и 2=1 у = у' = 0, 0 = 0.(38.3)

При наличии продольного движения жидкости направления х и у перестают быть равноправными. Поэтому уравнения возмущений (38.2) несимметричны относительно волновых чисел кх и кг, характеризующих периодичность возмущений вдоль осей х и у (напомним, что уравнения возмущений покоящегося слоя содержали в качестве параметра лишь к2 = к2 + к2). Декременты возмущений и критические числа Рэлея, определяемые краевой задачей (38.2), (38.3), зависят не только от

параметра А2, но и отдельно от волнового числа кх вдоль выделенного направления горизонтального течения.

Из уравнений (38.2) нетрудно видеть, что при кх = 0 члены, содержащие невозмущенную скорость, выпадают, и получается обычная краевая задача для неподвижного слоя с твердыми границами-. Случай кх = 0 означает, что нормальные возмущения не зависят от координаты х, вдоль которой движется жидкость, и представляют собой бесконечные валы, вытянутые вдоль направления скорости v0 («х-валы»); период этих возмущений вдоль направления оси у, перпендикулярного невозмущенному движению, характеризуется волновым числом к^. Из того факта, что при kx = 0 невозмущенное движение выпадает из уравнений для возмущений, следует, что критическое число Рэлея, определяющее границу устойчивости по отношению к возмущениям типа «х-валов», не зависит от скорости продольного течения и совпадает с критическим числом для неподвижного слоя. Следует подчеркнуть, что этот вывод справедлив для любого профиля продольного течения.

Если кх =# 0, то амплитудные уравнения содержат члены, зависящие от профиля течения. Декременты возмущений и критические числа Рэлея в этом случае зависят от числа Рейнольдса Re, а также от параметров к, кх и Р. При определении границы устойчивости, разумеется, важную роль играет форма профиля продольного течения, характеризуемая функцией f(z). Наиболее интересны профили Куэтта (линейное распределение скорости, создаваемое движением верхней границы слоя; f(z) = z) и Пуазейля (параболическое распределение, создаваемое продольным градиентом давления; f(z)=z(l—z)). Расчеты для этих случаев проведены в работах Галлахера и Мерсера [*], Дирдорфа [2] и Гейджа и Рэйда [3].

. В работах [*] и [2], в которых изучалось влияние течения Куэтта на конвективную устойчивость, для решения амплитудной краевой задачи использовались разные приближенные методы. В [Ч амплитуды скорости и температуры разлагались по полным системам базисных функций; в [2] уравнения решались численно методом конечных разностей. Результаты обеих работ полностью согласуются. Поскольку случай кх = 0, как указывалось выше, не приводит к изменению критического числа Рэлея, основное внимание было уделено случаю кх =Ь 0, &2 = 0 (плоские возмущения, периодические в направлении невозмущенного движения — ««/-валы»), В этом случае нейтральное значение числа Рэлея зависит от кх: R = R(&i). Минимизация этой зависимости дает критическое число Rm как функцию остальных параметров — чисел Рейнольдса и Прандтля. Основные результаты представлены на рис. 103. Как видно, для всех видов возмущений, кроме «х-валов» (кх = 0), движение с профилем

Куэтта приводит к стабилизации. Эффект резко увеличивается с возрастанием числа Прандтля. Как показывают расчеты,

с увеличением скорости течения минимальное волновое число кт (в случае возмущений в виде «у-валов») уменьшается. Нейтральные возмущения имеют фазовую скорость, равную половине скорости верхней границы.

Следует подчеркнуть, что основным (нижним) является уровень неустойчивости, связанный с возмущениями типа «х-ва- лов». Для этих возмущений Rm не зависит от Re (горизонтальная прямая на рис. 103). Таким образом, если размеры слоя

в направлении движения достаточно велики, то конвекция возникает при критическом числе Rm= 1708, не зависящем от скорости границы, в виде системы «х-валов». Именно это и наблюдалось в опытах Чандра [4].

Более сложно обстоит дело в случае течения Пуазейля. Существенное отличие от течения Куэтта состоит в следующем. Изотермическое течение Куэтта, как известно, устойчиво относительно малых возмущений при любых скоростях потока. Неустойчивость может наступить лишь при подогреве снизу и имеет конвективную природу. В случае же течения Пуазейля кроме конвективной неустойчивости, обусловленной подогревом снизу, при достаточно большой скорости по-

Рис. 103. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса (продольное течение Куэтта).Рис. 103. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса (продольное течение Куэтта).тока наступает неустойчивость гидродинамической природы. При произвольных значениях чисел Рэлея и Рейнольдса (т. е. при (

Рис. 103. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса (продольное течение Куэтта).

Рис. 103. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса (продольное течение Куэтта).

произвольных значениях вертикального градиента температуры и скорости продольного течения) имеет место взаимодействие обоих механизмов неустойчивости—конвективного и гидроди

намического.

Исследование устойчивости подогреваемого слоя, в котором имеется течение с параболическим профилем, проведено в работе [3]. При нахождении критических чисел авторы использовали аналогию рассматриваемой задачи с задачей об устойчивости спирального течения между вращающимися цилиндрами, которая была решена ранее асимптотическим методом [5].

- Основные результаты расчета представлены на рис. 104, где изображена зависимость минимального критического числа Рэлея Rm от числа Рейнольдса для Р = 1. Кривые семейства

соответствуют различным значениям параметра а

^i^iРис. 104. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса (продольное течение Пуазейля; число Рейнольдса определено по максимальной скорости течения и полной ширине канала).Рис. 104. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса (продольное течение Пуазейля; число Рейнольдса определено по максимальной скорости течения и полной ширине канала).Кривая а = 0 (т. е. &i = 0) соответствует возмущениям в виде валов, оси которых параллельны стационарному потоку («х-ва- лы»), Минимальное критическое число Рэлея для таких возмущений, как уже указывалось, не зависит от числа Рейнольдса и равно 1708. Другая предельная кривая а = 1 (k2 = 0) соответствует плоским возмущениям в виде «у-валов», оси которых перпендикулярны потоку. Точка пересечения этой кривой

^i

^i

Рис. 104. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса (продольное течение Пуазейля; число Рейнольдса определено по максимальной скорости течения и полной ширине канала).

Рис. 104. Минимальное критическое число Рэлея в зависимости от числа Рейнольдса (продольное течение Пуазейля; число Рейнольдса определено по максимальной скорости течения и полной ширине канала).

с осью Re дает значение Re = 5400 — критическое число Рейнольдса, соответствующее неустойчивости изотермического течения Пуазейля относительно плоских возмущений. Кривые семейства, отвечающие значениям параметра а в интервале 0 < а < 1, дают кривые устойчивости относительно трехмерных возмущений с разным соотношением волновых чисел кх и к^. Все эти кривые начинаются в точке Rm = 1708 (при Re = 0 имеется известное вырождение критического числа Рэлея по волновым числам) и пересекают ось Re при значениях Re > > 5400. Последнее обстоятельство согласуется с известной теоремой Сквайра, согласно которой пространственные возмущения изотермического течения Пуазейля приводят к более высоким критическим числам Рейнольдса, чем плоские.

Кривые семейства ведут себя подобным образом: с ростом скорости стационарного потока (при фиксированном значении а) критическое число Рэлея вначале повышается (стабилизирующее влияние движения жидкости на тепловую неустойчивость), а затем резко падает до нуля, когда на смену тепловому механизму неустойчивости приходит гидродинамический-

§ 39. Слой с проницаемыми границами

Существенное влияние на конвективную устойчивость оказывает поперечное движение жидкости в слое, возникающее в результате просачивания через проницаемые границы. Далее будут рассмотрены два наиболее интересных случая — горизонтальной и вертикальной ориентации слоя [6-10].

Пусть подогреваемый снизу горизонтальный слой жидкости ограничен твердыми проницаемыми плоскостями. Через нижнюю границу происходит однородное вдувание жидкости со скоростью v0, а через верхнюю — однородное отсасывание с такой же скоростью. Таким образом, в невозмущенном состоянии в слое имеется поперечное течение с однородной вертикальной СКОрОСТЬЮ L'q.

Рис. 105. Невозмущенные профили темлературы при наличии однородного поперечного просачивания.Рис. 105. Невозмущенные профили темлературы при наличии однородного поперечного просачивания.Распределение температуры при наличии такого поперечного течения отличается от линейного. Оно может быть найдено из уравнения теплопроводности, которое в стационарном случае запишется так:

Рис. 105. Невозмущенные профили темлературы при наличии однородного поперечного просачивания.

Рис. 105. Невозмущенные профили темлературы при наличии однородного поперечного просачивания.

dTo_ d^To.

”° аг —Х аг2 •

Его решение, удовлетворяющее граничным условиям То(О) =0, ToW = О, дает невозмущенный профиль температуры v az

То = ®♦(39.1)

Здесь a = v0A/x — число Пекле, связанное с чис

лом Рейнольдса соотношением a = Re/P. При а-^0 из (39.1) получается линейное распределение, соответствующее неподвижной жидкости. При увеличении а распределение температуры все более отличается от линейного (рис. 105). При больших a у верхней границы образуется пограничный слой, внутри которого сосредоточено основное изменение температуры. Толщина пограничного слоя по порядку величины равна h/a.

Уравнения для безразмерных амплитуд возмущений вертикальной скорости и температуры запишутся в виде (единицы выбраны так же, как в предыдущем параграфе)

(39.2)(39.2)- Л(у" - /г2у) + •£ ^"'-к?^ = ^-№" + &4у) - R^29,

(39.2)

(39.2)

- ЛР6 + q8'=(е" - £29) - Tov.

Здесь То — безразмерный градиент стационарного распределения температуры, равный

Для v и 6 сохраняются однородные граничные условия (38.3).

Заметим, что уравнения (39.2), как и при отсутствии поперечного движения, симметричны относительно волновых чисел &i и к2; в уравнения входит лишь Л2 = ^ + ^2.

Краевая задача для амплитуд v и 0 в работе Д. Л. Шварц- блата [6] решалась методом Бубнова — Галеркина: в качестве базисных функций использовались системы нормальных возмущений скорости и температуры в неподвижном слое жидкости. В результате расчета найдены характеристические значения декрементов X в зависимости от параметров задачи — чисел Рэлея R, Прандтля Р, Пекле а и волнового числа к.

Основное отличие спектров возмущений при наличии просачивания от спектров неподвижного слоя, обсужденных в § 6, состоит в том, что при подогреве снизу и а У= 0 появляются колебательные возмущения; они возникают в результате слияния (с увеличением R) вещественных уровней X. Неустойчивость, тем не менее, как и в случае неподвижного слоя, обусловлена вещественными ветвями спектра, т. е. имеет монотонный характер. Спектры декрементов и, в частности, критические значения числа Рэлея, не изменяются при замене знака а на обратный, т. е. при изменении направления вдувания.

Влияние вдувания на устойчивость иллюстрируется рис. 106, на котором представлены зависимости минимального критического числа Рэлея Rm основного уровня неустойчивости и критического волнового числа кт от числа Пекле. Видно, что увеличение скорости вдувания приводит к значительной стабилизации: критическое число Rm быстро растет с увеличением а1). Длина волны наиболее опасных возмущений при этом уменьшается. Представление о величине эффекта стабилизации дает следующая оценка: в слое воды толщиной 1 см вдувание со скоростью 0,01 см/сек повышает устойчивость в четыре раза.

Повышение конвективной устойчивости и уменьшение длины волны критических возмущений можно понять из следующих соображений. С увеличением скорости вдувания образуется, как указывалось выше, температурный пограничный слой у одной из границ. В связи с этим уменьшается эффективная толщина стратифицированного слоя жидкости, которая имеет (при до-

9 Как показано в [и], изотермический поперечный поток абсолютно устойчив.'

статочно больших а) порядок АЭфф ~ h/a. Характерная же разность температур 0 при этом остается фиксированной. Критическая разность температур находится, очевидно, из условия £р@Аэфф^%=const. Поэтому критическое число Рэлея, определенное обычным образом по полной толщине слоя, имеет порядок Rm~(А/АЭфф)3, т. е. растет с числом Пекле по закону Rm ~ а3. Критическая длина волны, в свою очередь, по порядку величины равна АЭфф; поэтому при больших числах Пекле кт ~ а. Численные результаты подтверждают эти оценки.

Рис. 106. Критическое число Рэлея Rm и волновое число кт в зависимости ‘ от числа Пекле.

Исследование стационарных надкритических движений в горизонтальном слое с проницаемыми границами проведено в работах Д. Л. Шварцблата* [7>8] методом конечных разностей, описанным в § 23. На рис. 107 представлен пример структуры надкритического движения для достаточно большого значения числа Пекле и малой надкритичности. Хорошо видна асимметрия течения, связанная со «сдуванием» конвективного возмущения поперечным потоком. С увеличением надкритичности конвективное движение становится преобладающим и асимметрия уменьшается.

Перейдем теперь к случаю плоского слоя, ориентированного вертикально [9»10]. Пусть слой ограничен параллельными вертикальными плоскостями х = ± А, причем через левую плоскость происходит однородное вдувание, а через правую — однородное отсасывание. В этом случае в слое имеется горизонтальный

поперечный поток. При подогреве снизу с постоянным вертикальным градиентом температуры этот поток параллелен равновесным изотермам. По этой причине поперечное движение не искажает равновесного распределения температуры. В этом состоит качественное отличие от случая горизонтальной ориентации слоя, когда поперечный поток направлен перпендикулярно равновесным изотермам, в результате чего невозмущенное температурное поле искажается (формула (39.1)). Это отличие,

100,60100,60Рис. 107. Линии тока (а), изотермы (б) и изолинии вихря (в) надкритического движения (R=3200, а=4, Р —1, к=л; критическое значение числа Рэлея Rc=3020). Функция тока и вихрь соответствуют конвективной части движения.Рис. 107. Линии тока (а), изотермы (б) и изолинии вихря (в) надкритического движения (R=3200, а=4, Р —1, к=л; критическое значение числа Рэлея Rc=3020). Функция тока и вихрь соответствуют конвективной части движения.

100,60

100,60

Рис. 107. Линии тока (а), изотермы (б) и изолинии вихря (в) надкритического движения (R=3200, а=4, Р —1, к=л; критическое значение числа Рэлея Rc=3020). Функция тока и вихрь соответствуют конвективной части движения.

Рис. 107. Линии тока (а), изотермы (б) и изолинии вихря (в) надкритического движения (R=3200, а=4, Р —1, к=л; критическое значение числа Рэлея Rc=3020). Функция тока и вихрь соответствуют конвективной части движения.

естественно, существенно отражается на характеристиках устойчивости.

Переходя к исследованию устойчивости, рассмотрим возмущенное движение следующей структуры:

(39.3)(39.3)их = уо> иу~^ uz = u (х> 0? 1

(39.3)

(39.3)

Т = — Ах + 0(х, /); р = р(х, /). J

Таким образом, на однородный поперечный поток накладывается плоскопараллельное вертикальное конвективное возмущение (г— вертикальная ось). Для нормальных возмущений, зависящих от времени по закону ехр(—М), получим амплитудные уравнения

(39.4)(39.4)-Ху + £у' - у" - R6 - С = 0,- ХРв - у + аУ - 0" = 0.

(39.4)

(39.4)

Здесь С — постоянная разделения переменных. Числа Рэлея и

Пекле определены через полуширину канала h. Функции у и 0

удовлетворяют однородным граничным условиям и условию замкнутости

1

о(±1) = 0, е(±1) = 0, Jvd* = O. (39.5)

— 1

Для определения характеристических декрементов в работе [10] применялся метод Бубнова — Галеркина. В качестве базиса использовались критические движения, соответствующие задаче об устойчивости равновесия вертикального плоского слоя с непроницаемыми границами (собственные функции задачи, получающейся из (39.4) при X = О и а = 0; явный вид базисных

Рис. 108. Декременты двух нижних мод спектра возмущений в вертикальном слое (Р = 1).

функций приведен в § 12, формулы (12.21), (12.22)): Поскольку при а #= 0 решение краевой задачи не обладает определенной четностью, необходимо использовать для аппроксимации скорости и температуры как четные, так и нечетные собственные функции.

На рис. 108 приведен пример расчета спектра декрементов двух нижних мод возмущений. Из рисунка видно, что в зависимости от значения числа Пекле возможны два вида неустойчивости — монотонная и колебательная. При малых значениях числа Рэлея оба декремента вещественны и положительны, а со-1 ответствующие возмущения монотонно затухают. При увеличении числа Рэлея (точки а и е) происходит слияние вещественных уровней с порождением пары колебательных возмущений с комплексно-сопряженными декрементами. При дальнейшем увеличении R (точки 6 и g) пара комплексно-сопряженных

ввРис. 109. Карта устойчивости. Линии / и /// — граница неустойчивости; пунктир — граница области колебательных возмущений. Цифрами обозначены области: / — оба возмущения монотонно затухают; 2 —оба затухают, осциллируя; 3 — монотонно нарастает одно из возмущений; 4 — монотонно нарастают оба возмущения; 5 —оба возмущения нарастают, осциллируя. Вертикальные штриховые линии соответствуют разрезам, для которых построены спектры на рис. 108.Рис. 109. Карта устойчивости. Линии / и /// — граница неустойчивости; пунктир — граница области колебательных возмущений. Цифрами обозначены области: / — оба возмущения монотонно затухают; 2 —оба затухают, осциллируя; 3 — монотонно нарастает одно из возмущений; 4 — монотонно нарастают оба возмущения; 5 —оба возмущения нарастают, осциллируя. Вертикальные штриховые линии соответствуют разрезам, для которых построены спектры на рис. 108.

в

в

Рис. 109. Карта устойчивости. Линии / и /// — граница неустойчивости; пунктир — граница области колебательных возмущений. Цифрами обозначены области: / — оба возмущения монотонно затухают; 2 —оба затухают, осциллируя; 3 — монотонно нарастает одно из возмущений; 4 — монотонно нарастают оба возмущения; 5 —оба возмущения нарастают, осциллируя. Вертикальные штриховые линии соответствуют разрезам, для которых построены спектры на рис. 108.

Рис. 109. Карта устойчивости. Линии / и /// — граница неустойчивости; пунктир — граница области колебательных возмущений. Цифрами обозначены области: / — оба возмущения монотонно затухают; 2 —оба затухают, осциллируя; 3 — монотонно нарастает одно из возмущений; 4 — монотонно нарастают оба возмущения; 5 —оба возмущения нарастают, осциллируя. Вертикальные штриховые линии соответствуют разрезам, для которых построены спектры на рис. 108.

декрементов вновь распадается на два вещественных уровня. Если число Пекле невелико (рис. 108, а), то колебательные возмущения во всем интервале своего существования (а — Ь) затухают, и неустойчивость связана с монотонными возмущениями (критические точки с, d). При достаточно больших значениях числа Пекле (рис. 108, б) колебательные возмущения затухают лишь на участке (е — f). В точке f вещественная часть декрементов обращается в нуль, и эта точка является нейтральной для колебательных возмущений. При соответствующем значении числа Рэлея на основное поперечное движение, вызванное просачиванием через проницаемые границы, накладывается плоскопараллельная конвекция в виде стационарных колебаний, частота которых определяется мнимой частью декремента Хг. В интервале (f — g) колебательные возмущения нарастают, и в точке g появляются два монотонно растущих возмущения.

Обработка спектров декрементов, построенных для разных значений числа Пекле, приводит к карте устойчивости (рис. 109). Точки на оси R соответствуют критическим значениям числа Рэлея при отсутствии просачивания (а = 0).

При увеличении а уровни монотонной неустойчивости изменяются (линии / и //), причем происходит их замыкание1). В точке замыкания начинается область растущих колебательных возмущений. Нижняя граница области неустойчивости описывается линиями I и III. До точки замыкания (линия /) неустойчивость имеет монотонный характер; правее точки замыкания (линия ///) неустойчивость связана с колебательными возмущениями.

Попарное замыкание соседних ветвей спектра неустойчивости происходит также на верхних уровнях. В работе [9] показано, что с увеличением числа Пекле происходит замыкание уровней 3 и 4, 5 и 6 и т. д.

‘) Положение нейтральных' линий монотонных возмущений может быть найдено путем точного решения краевой задачи (39.4), (39.5) при X = 0 [9]. Значения критических чисел Рэлея, найденные приближенно методом Бубнова — Галеркина, практически совпадают с точными.

Замыкание соседних уровней монотонной неустойчивости является типичной особенностью, проявляющейся в случаях, когда конвективная неустойчивость возникает на фоне движения жидкости, вызванного той или иной причиной. Такое замыкание, как правило, сопровождается появлением колебательной неустойчивости. С аналогичной особенностью спектра неустойчивости мы встретимся далее в §§ 46 и 48.

Описанное замыкание монотонных уровней, разумеется, не означает, что при больших значениях числа Пекле единственно возможным режимом является колебательная конвекция. Подчеркнем, что речь шла только о плоских вертикальных движениях. Возможны, вообще говоря, также и другие моды неустойчивости. Так, в § 12, при обсуждении устойчивости равновесия в слое с непроницаемыми границами, были рассмотрены, наряду с плоскими, пространственные вертикальные движения, периодические вдоль горизонтальной координаты у. Обобщение на случай просачивания, проведенное в работе [9], показало, что критические числа Рэлея для таких возмущений монотонно возрастают с увеличением числа Пекле, причем замыкание соседних стационарных уровней отсутствует.

Некоторые особенности спектра нестационарных возмущений при наличии просачивания через проницаемые границы обсуждались в работе [12].

40. Внутренние источники тепла

Причиной возникновения конвекции может служить неоднородность температуры, созданная не только внешними (по отношению к жидкости), но и внутренними источниками тепла, распределенными в самой жидкости. Природа этих внутренних источников может быть различной, — тепло может выделяться в результате протекающих в жидкости химических реакций, радиоактивного распада, омического разогрева током проводящей жидкости и т. п. В этом параграфе мы рассмотрим влияние внутренних источников тепла на конвективную устойчивость.

Остановимся прежде всего на условиях равновесия жидкости при наличии внутренних источников тепла. Легко видеть, что в этом случае сохраняется сделанный ранее (§ 2) вывод о том, что в равновесии температура должна быть функцией только вертикальной координаты: То = T^zy Для выяснения этой зависимости обратимся к уравнению теплопроводности. При наличии источников тепла будем иметь •

VCp^-^^T^xLT^q, (40.1)

(40.2)(40.2)где q — количество тепла, выделяемое внутренними источниками в единице объема жидкости за единицу времени. В стационарном равновесии Vo = 0; Г0=Г0(2). Поэтому из (40.1) получаем

(40.2)

(40.2)

Отсюда ясно, что равновесие возможно лишь при условии, что мощность источников тепла q Зависит только от вертикальной координаты. Далее мы будем иметь в виду случай однородного внутреннего разогрева: q = const. При этом, как видно из (40.2), невозмущенная температура зависит от вертикальной координаты по закону

T0=-^z2 + C1z + C2. (40.3)

Обратимся теперь к исследованию устойчивости равновесия. Характерные черты явления можно понять на примере задачи

наличии внутренних источников тепла.наличии внутренних источников тепла.об устойчивости плоского горизонтального слоя жидкости, рассмотренной в работе Спэрроу, Голд- стейна и Джонсона [13].

наличии внутренних источников тепла.

наличии внутренних источников тепла.

Будем считать, что горизонтальный слой жидкости ограничен твердыми изотермическими плоскостями 2 = 0 и z = к. Температуру верхней границы выберем за начало отсчета; температуру нижней границы обозна

чим 0. С учетом этих граничных условий из (40.3) получим

равновесное распределение температуры:

Т0 = е(1-|) + ^--у(1-|).(40.4)

Здесь первый член дает линейное распределение, обусловленное перепадом температуры 0 на границах слоя; второй член описывает симметричное относительно середины слоя распределение, связанное с внутренним разогревом. Невозмущенные температурные профили для различных значений безразмерного параметра Ng = qk2l'2v& приведены на рис. ПО. Видно, что внутренний разогрев приводит к увеличению эффективного градиента температуры. При Ng 3> 1 (т. е. при большой мощности источников) происходит сильный разогрев средней части слоя, и в верхней половине возникает значительная неустойчивая

стратификация. Отсюда ясно, что наличие внутренних источников тепла должно приводить к понижению устойчивости.

Поскольку условия подогрева и равновесное распределение температуры (40.4) характеризуются двумя независимыми параметрами 0 и q, целесообразно ввести два безразмерных критерия подобия. Один из них — обычное число Рэлея R, определяемое через разность температур 0; другой — число Рэлея Rg, пропорциональное мощности внутренних источников:

р = g£<№ е = srP^A5 = ^Р^А5 vx * 2xv% 2срт\х2 *

Уравнения малых возмущений равновесия получаются обычным образом. Их отличие от соответствующих уравнений § 5 состоит в том, что равновесный градиент теперь не является постоянным, а в соответствии с (40.4) линейно зависит от вертикальной координаты.

Будем считать, что, как и в более простом случае, когда отсутствуют внутренние источники тепла, кризис равновесия обусловлен монотонными возмущениями. Тогда для безразмерных амплитуд нормальных возмущений на границе устойчивости получим систему уравнений}

uiv - №„ + к*и = - A2R0, 1

е" - &2е = То» J<40,5>

с условиями на твердых изотермических границах ’):

при 2 = 0 и 2=1 и = и' = 0, 0 = 0.(40.6)

В уравнения входит равновесный вертикальный градиент тем* пературы

Го = — 1 + N,(l — 2г), .

где

2x0 R *

Решение краевой задачи (40.5), (40.6) получено в работе [13] методом степенных рядов по вертикальной координате; численные расчеты проводились на ЭВМ. В результате вычислений найдено характеристическое соотношение между параметрами R, Rg, к. Нейтральные кривые R(&) минимизировались при различных значениях Rg. Результаты представлены на рис. 111. Кривая Rm(Rg) определяет границу устойчивости; область неустойчивости расположена выше кривой.

’) Решение для случая свободных изотермических границ можно найти в работе [н].

Рис. 111. Граница устойчивости и критическое волновое число для горизонтального слоя с внутренними источниками тепла.Рис. 111. Граница устойчивости и критическое волновое число для горизонтального слоя с внутренними источниками тепла.

Рис. 111. Граница устойчивости и критическое волновое число для горизонтального слоя с внутренними источниками тепла.

Рис. 111. Граница устойчивости и критическое волновое число для горизонтального слоя с внутренними источниками тепла.

При Rg = 0 получается критическое число Рэлея, определяющее границу устойчивости при отсутствии внутренних источников тепла: Rm = 1708. При увеличении Rg, как и следовало ожидать, устойчивость понижается — критическое число Рэлея уменьшается. При значении Rg = 18,66-103 число Рэлея Rm об

ращается в нуль; это значение Rg определяет порог устойчивости в случае, когда верхняя и нижняя границы слоя имеют одинаковую температуру, а неустойчивая стратификация обусловлена только внутренним выделением тепла.

Если мощность внутренних источников достаточно велика (Rg > > 18,66-103; участок кривой, лежащий в области Rm < 0), то неустойчивыми оказываются состояния, при которых верхняя граница слоя имеет более высокую температуру, чем нижняя (при этом, разумеется, в верхней части слоя все-таки имеет место неустойчивое распределение температуры).

Критическое значение волнового числа кт с ростом Rg увеличивается. Это обстоятельство связано с тем, что при увеличении мощно-

сти внутренних источников уменьшается толщина слоя неустойчивой стратификации, а следовательно, и характерный горизонтальный раз

мер возникающих на границе устойчивости конвективных ячеек1).

Другой случай граничных условий разобран в работе Робертса [15]. Рассматривался плоский горизонтальный слой с од-

породно , распределенными внутренними источниками тепла. Верхняя твердая граница предполагалась изотермической (То = 0), а нижняя — теплоизолированной (dT^dz = 0). При таких граничных условиях из (40.3) получается равновесное распределение температуры

В отличие от рассмотренной выше задачи, условия подогрева теперь определяются только одним параметром — мощностью источников q. Соответственно этому имеется лишь один безразмерный параметр подобия — число Рэлея Rg, определенное через мощность источников. При составлении безразмерных уравнений' для амплитуд возмущений теперь удобно выбрать в качестве единицы температуры величину qh?l2n. Оставляя все другие единицы прежними, получим уравнения нейтральных возмущений, совпадающие с (40.5), с той, однако, разницей, что вместо R теперь в систему войдет параметр Rg, а безразмерный равновесный градиент То на основании (40.7) и с учетом нового выбора единицы температуры равен’ То= — 22. Граничные условия для амплитуд возмущений отличаются от (40.6) только в одном пункте — на нижней границе отсутствует тепловой поток: 0' = 0 при 2 = 0. Решение краевой задачи дает нейтральную кривую Rg(&) с минимумом, определяемым значениями

R^ — 1386,14; £m = 2,63. (40.8)

Экспериментальное исследование конвекции, вызванной внутренними источниками тепла, проводилось в работе Триттона и Заррага [16]. Условия опыта были близки к принятым в расчете Робертса []. В качестве рабочей жидкости использовался электролит — пятипроцентный водный раствор сульфата цинка. Через раствор пропускался электрический ток, что приводило к джоулеву разогреву жидкости. Эксперимент носил качественный характер; критическое число Рэлея Rqm опытным путем не было определено. Основная цель экспериментов — путем визуализации течения проследить за изменением формы конвективных структур по мере увеличения числа Рэлея в надкритической области.

Согласно наблюдениям, при Rq(Rqm > 3 (при меньших значениях Ry визуальное исследование провести не удалось) движение имеет ячеистую структуру с преобладанием гексагональной формы ячеек. Отмечены два существенных отличия от ячеистых структур, возникающих в слое воды, подогреваемом снизу: 1) в центре ячеек жидкость опускается, а на периферии — поднимается (в обычном случае имеет место противоположное направление циркуляции, связанное с тем, что вязкость воды уменьшается с температурой; см. § 22); 2) с увеличением числа Рэлея происходит аномальное «растяжение» ячеек. Их горизонтальные размеры значительно увеличиваются: при RqJRqm ^ 15 характерная длина волны достигает величины 10А (А — толщина слоя), тогда как в обычном случае горизонтальные размеры ячеек при всех числах Рэлея сопоставимы с толщиной слоя. При дальнейшем увеличении Ry происходит перестройка структуры течения: гексагональные ячейки сливаются, образуя «сегментированные валы».

Теоретическое рассмотрение конвекции в надкритической области было проведено в цитированной выше работе [15]. С помощью вариационного метода исследовалась относительная устойчивость разных конвективных мод — валов и гексагональных ячеек с различным направлением циркуляции. Согласно результатам этой работы, при всех Ry > Rym двумерные валы устойчивы. При Ry/Rym > 3 (в случае воды) устойчивыми- становятся также гексагональные ячейки определенных длин волн с нисходящим движением по центру (ячейки с противоположным направлением движения всегда неустойчивы). Эти выводы, в,общем, не согласуются с экспериментальными данными [16]. Расхождение, возможно, обусловлено тем, что в нелинейном расчете не учитывалась температурная зависимость параметров жидкости, играющая существенную роль в определении предпочтительной формы движения (см. § 22).

К рассмотренной в этом параграфе задаче примыкает задача об устойчивости подогреваемого снизу плоского слоя с учетом происходящего в нагретой среде лучистого теплообмена. Теплопередача излучением приводит к изменению невозмущенного температурного профиля, который при достаточных оптических толщинах слоя приобретает характер пограничного слоя. Кроме того, излучение увеличивает эффективную теплопередачу, приводя к более быстрому выравниванию возмущений. Оба указанных- фактора оказывают стабилизирующее действие.

Начало изучения эффекта лучистого теплопереноса было положено работой Гуди [23]; наиболее полный расчет неустойчивости плоского слоя с твердыми границами проведен недавно Христофоридисом и Дэвисом [24].

Если внутренний лучистый теплообмен является фактором, влияющим на устойчивость, то излучение, падающее извне, может само по себе привести к конвективной неустойчивости. Поглощение плоской световой волны приводит к внутреннему разогреву и может создать неустойчивую стратификацию. При этом возникающие возмущения оказывают обратное влияние на распространение света. Этот интересный фотоабсорбционный механизм неустойчивости был рассмотрен Б. М. Берковским и Е. Ф. Ноготовым [25].

. Термокапиллярный эффект

В 1958 г. Пирсон [26] исследовал интересный механизм неустойчивости подогреваемой снизу жидкости со свободной поверхностью. Этот механизм качественно отличается от обычного механизма конвективной неустойчивости, обусловленного подъемной силой, и связан с температурной зависимостью поверхностного натяжения !).

Сущность термокапиллярного механизма неустойчивости может быть понята из следующих рассуждений. Пусть подогреваемая снизу жидкость имеет свободную верхнюю поверхность, причем коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры (почти у всех жидкостей этот коэффициент с ростом температуры уменьшается). Если по какой-либо причине вдоль свободной границы меняется температура, а вместе с ней и поверхностное натяжение, то в этом случае, как известно [28>29], возникает тангенциальная сила, направленная вдоль градиента поверхностного натяжения, т. е. в сторону убывания температуры.

Представим себе теперь возмущение равновесия жидкости, при котором ее нагретый элемент всплывает на свободную поверхность. Возникающие при этом термокапиллярные силы будут направлены от всплывшего элемента и.вызовут радиальное растекание нагретой жидкости. Это приведет (в силу неразрывности) к подъему из глубины новых — тоже нагретых — элементов жидкости. Таким образом, термокапиллярные силы (при подогреве снизу) приводят к развитию начального возмущения. Разумеется, диссипативные эффекты (вязкость и теплопроводность) препятствуют развитию движения, и поэтому для возникновения термокапиллярного движения требуется достаточный градиент поверхностного натяжения, т. е. должно существовать пороговое значение вертикального градиента температуры. "

9 Следует заметить, что еще ранее Блок [27], анализируя собственные наблюдения над неустойчивостью тонких слоев жидкости со свободной поверхностью, а также известные опыты Бенара, пришел к заключению, что в этих случаях существенную роль играет термокапиллярный механизм.

Совершенно аналогичный эффект может иметь место в жидкости с вертикальным градиентом концентрации примеси при условии, что коэффициент поверхностного натяжения зависит от концентрации. Концентрационная неустойчивость на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей рассмотрена в работе [30].

Для количественного описания эффекта рассмотрим, следуя [26], бесконечный горизонтальный слой жидкости со свободной плоской поверхностью. Для простоты будем сначала пренебрегать объемной конвективной силой (как будет видно из дальнейшего, такое допущение справедливо в случае достаточно тонких слоев жидкости). , '

Повторяя рассуждения § 5, придем к следующим уравнениям для амплитуд нормальных периодических в плоскости слоя возмущений вертикальной скорости и температуры:

(41.1)(41.1)- % (о" - к2у) = uIV - 2к2у" + к4у, -лре = (е"-/?2е) + и.

(41.1)

(41.1)

Эта система отличается от (5.9), (5.10) лишь тем, что в уравнении Навье — Стокса отсутствует член с подъемной конвективной силой. В уравнениях (41.1) все величины безразмерные.

Сформулируем теперь граничные условия. Нижняя граница слоя z = 0 предполагается твердой; поэтому для амплитуды вертикальной скорости имеем:

при 2 = 0 у = у' = 0. (41.2)

Что касается условий для температуры, то далее будут рассматриваться два случая: а) нижняя плоскость — идеально проводящая и б) на нижней плоскости задан постоянный тепловой поток. В случае а) на границе исчезает возмущение температуры, а в случае б) — тепловой поток, связанный с возмущением. Таким образом:

при 2 = 0 а) 0 = 0; б) 6' = 0. (41.3)

Перейдем к рассмотрению условий на верхней свободной границе. Связанная с неоднородностью коэффициента поверхностного натяжения а тангенциальная сила на единицу площади плоской поверхности равна f = Va. Граничное условие на свободной поверхности с учетом термокапиллярной силы запишется следующим образом [28’29]:

= (41.4)

где о», — тензор вязких напряжений на границе, а п(0, 0, 1) — единичный вектор вдоль внешней нормали к свободной границе.

Подставляя в (41.4) значение тензора

проектируя на горизонтальные оси к и у, получим с учетом того обстоятельства, что на свободной границе vz = 0:

дуда диида

^ dzдх ’ ^ dzду *

Дифференцируя первое из этих соотношений по х, а второе — по у, и складывая, получим, пользуясь уравнением непрерывности:

(41.5)(41.5)d2yz / д2а . д2а \dz2\ дх2 ду2 / *

(41.5)

(41.5)

Для простоты будем считать, что коэффициент поверхност- - ного натяжендя линейно зависит от температуры:

(41.6)(41.6)а(Т) = а0 —аТ,

(41.6)

(41.6)

где а — температурный коэффициент поверхностного натяжения; в подавляющем большинстве случаев о > 0. С учетом (41.6) граничное условие (41.5) перепишем в виде

(41.7)(41.7)d2y2 _ (дЧ^ , д2Т \dz2 ° \ дх2 ду2 /

(41.7)

(41.7)

Переходя к нормальным возмущениям и вводя безразмерные переменные, получим условие на свободной границе для безразмерных амплитуд возмущений

при 2=1=(41.8)

Здесь В = -^ так называемое число Марангони — новый безразмерный параметр, имеющий смысл отношения термокапиллярной силы к вязкой (Д— градиент температуры).

Еще одно граничное условие вытекает из закона теплоотдачи на свободной поверхности. Предполагается, что плотность теплового потока со свободной поверхности пропорциональна возмущению температуры, т. е.

дТ т

-^=ат’

где а — коэффициент теплоотдачи. В безразмерной форме это условие после перехода к амплитуде возмущения температуры запишется в виде

при 2=1 e' = -be,(41.9)

где b = аЛ/к — безразмерный коэффициент теплоотдачи (число Био)..

Итак, на свободной поверхности имеем граничные условия: при 2=1 v = 0, v" = -£2B0, 0' = -b0.(41.10)

Предполагая, что, как и в случае обычной конвекции, неустойчивость связана лишь с монотонными возмущениями, положим в уравнениях (41.1) Х = 01). Тогда определение нейтральных возмущений сводится к решению уравнений•

yiv _ ^yrr + к^ = 0> е,7 _ Л29 = _ у (41.11)

с граничными условиями (41.2), (41.3), (41.10). В работе [26] найдено точное решение этой задачи. Приведем здесь лишь критические числа Марангони, определяющие границу термокапиллярной неустойчивости в случаях заданной температуры (а) и заданного теплового потока (б) на нижней границе: '

х о 8/? (£ ch к + b sh £) (sh к • ch к — к^ ’

а)sh3fe_fe3Chfe;

8£ (£ sh & + b ch &) (sh & • ch & - fc)

'sh2 к • ch к — 2k sh к + k2 ch к — к3 sh к ' _

Определяемые формулами (41.12) критические числа В положительны при всех значениях к и Ь. Это означает (в соответствии с качественными соображениями, приведенными в начале этого параграфа), что термокапиллярная неустойчивость в «нормальной» жидкости (а > 0) возможна лишь при А > 0, т. е. когда равновесная температура жидкости убывает в направлении к свободной поверхности.

Формулы (41.12) дают зависимость критического числа Марангони от волнового числа к для различных значений коэффициента теплоотдачи b на свободной границе. Нейтральные кривые для случаев а) и б) приведены на рис. 112 для нескольких значений b (напомним, что случай b = 0 соответствует теплоизолированной свободной поверхности, а b = оо — изотермической поверхности). • -

Кривые В (к) имеют минимум при некотором критическом значении кт. С увеличением теплоотдачи минимальное критическое число Марангони Вт возрастает, а минимум смещается в сторону коротких волн. Возрастание Bm с b легко понять. Предельный случай b —► оо означает переход к изотермической свободной границе. В этом случае отсутствует градиент поверхностного натяжения на границе, и следовательно, термокапиллярная неустойчивость невозможна; критическое число Вт стремится к бесконечности при b —> оо.

х) Доказать строго принцип монотонности возмущений для рассматриваемой задачи не удается. Численное исследование колебательных возмущений было проведено в работе Р1]; показано, что в широком интервале изменения параметров задачи колебательной неустойчивости нет.

Таким образом, термокапиллярный механизм наряду с обычным механизмом, связанным с конвективной подъемной силой, может служить причиной неустойчивости равновесия подогреваемой жидкости. Для выяснения относительной роли обоих механизмов в возникновении конвекции Нилдом [32] было предпринято исследование устойчивости равновесия плоского горизонтального слоя с учетом как термокапиллярных, так и подъемных сил. В предположении монотонности (X = 0) дело сводится к решению амплитудных уравнений для нейтральных возмущений при _ наличии конвективной силы (§ 6, уравнения (6.9),

Рис. 112. Нейтральные кривые термокапиллярной неустойчивости.

но с граничными условиями (41.2), (41.3), (41.10), учитывающими существование на свободной поверхности термокапиллярных сил. Хотя задача допускает точное решение, получающееся характеристическое соотношение для определения границы устойчивости оказывается очень сложным. Поэтому в работе [32] было получено приближенное решение задачи по методу Фурье. В результате расчетов была численно найдена связь между тремя параметрами — числами Рэлея R, Маран- гони В и волновым числом к на границе устойчивости ’). Минимизация нейтральных кривых позволяет получить связь минимальных критических значений Rm и Вт, т. е. определить границу устойчивости равновесия при одновременном действии обоих механизмов неустойчивости.

На рис. 113 представлена граница устойчивости в координатах (Rm, Bm) для случая горизонтального слоя с идеально

*) Форма нейтральных возмущений исследовалась в работе [33].

Ю Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

проводящей твердой нижней границей. Горизонтальная прямая соответствует случаю b = оо (изотермическая свободная граница). В этом случае, естественно, термокапиллярный эффект отсутствует, и неустойчивость связана лишь с конвективным механизмом; соответствующее критическое число Рэлея не зависит от В и равно Rw = 1101 (см. § 6).

границы.границы.Кривая b = 0 относится к случаю теплоизолированной сво- неустойчивости расположена выше кривой. Точки пересечения кривой с осями координат дают значения критических чисел Rw=669 и Вт= =79,6 соответственно для случаев, когда неустойчивость обусловлена только гравитационным или только термокапиллярным механизмом. Критическое значение кт вдоль кривой почти не меняется, оставаясь практически равным кт ~ 2.

границы.

границы.

Первый квадрант плоскости (R > 0, В > 0) соответствует «нор* мальной» жидкости (а > 0, р>0), подогреваемой снизу. Как и следо-

Рис. из. Граница устойчивости го- вало ожидать, в этом случае термо- ризонтального слоя при наличии КаПИЛЛЯрНЫИ Эффект ПРИВОДИТ К ПО* термокапиллярного и термогравита- ционного механизмов неустойчи- НИЖеНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ.

вости-С помощью кривой устойчивости

можно найти критический градиент температуры А, при котором наступает неустойчивость. Поскольку числа Рэлея и Марангони рропорциональны А, то при фиксированных значениях физических параметров жидкости и толщины слоя связь между безразмерными числами R и В-линейна:

Р=-2^В.(41.13)

Проведя на плоскости (R, В) прямую (41.13), проходящую через начало координат, и определив точку пересечения этой прямой с нейтральной линией, найдем критические значения чисел Рэлея Rm и Марангони Вт» а следовательно, и критический градиент температуры, определяющий начало конвекции.

Из (41.13) видно, что если толщина слоя жидкости мала ^<1, т.е.

h <С hc, hc = J/ -^р- ,

то прямая (41.13) почти горизонтальна, и граница устойчивости, в сущности, определяется критическим значением числа Маран*

гони Вт, найденным Пирсоном без учета конвективного механизма. В противоположном предельном случае h 3> йс- прямая (41.13) почти вертикальна и начало конвекции определяется критическим числом Рэлея Rm при В = 0.

Таким образом, природа неустойчивости подогреваемого слоя жидкости со свободной границей зависит от толщины слоя. В тонком слое (й С й6) кризис вызывается термокапиллярным механизмом. В толстом слое (й >> йс) определяющую роль в возникновении .конвекции играет подъемная сила. В промежуточной области конкурируют оба механизма неустойчивости1).

После того, как был указан термокапиллярный механизм неустойчивости, стало ясно, что во многих случаях, когда наблюдались ячеистые движения в тонких слоях жидкости со свободной границей, этот механизм играл существенную роль или даже был основным фактором возникновения конвекции. Переоценка проведенных ранее экспериментов коснулась даже известных опытов Бенара, которые в свое время послужили начальным толчком для создания теории конвективной устойчивости. В опытах Бенара наблюдалась ячеистая структура течения в подогреваемых снизу тонких слоях (й ~ 1 мм^ расплавленного спермацета. Численные оценки (см. [26> 32>37]) показывают, что в части этих опытов наблюдалось развитое движение при настолько малых разностях температур, что подъемная сила в этих условиях не смогла бы привести к неустойчивости. Это обстоятельство определенно свидетельствует о термокапиллярной природе этих движений.

Следует подчеркнуть, что поскольку термокапиллярный эффект никак не связан с направлением силы тяжести, он может служить причиной возникновения ячеистых движений в тонких пленках, покрывающих произвольно ориентированные по отношению к силе тяжести поверхности; разность температур в таких пленках может возникнуть, например, в результате испарения жидкости. Термокапиллярная неустойчивость в слое жидкости на сферической поверхности изучалась в работе [34].

Остановимся теперь коротко на некоторых усложнениях задачи Пирсона. Поскольку термокапиллярная неустойчивость обусловлена действием поверхностных сил, этот эффект оказывается весьма чувствительным к различным изменениям свойств свободной поверхности. Наиболее существенное влияние на термокапиллярную неустойчивость оказывает наличие на свободной поверхности адсорбированной пленки поверхностно-активного вещества. .

’) Для многих жидкостей при нормальных условиях h^ порядка нескольких миллиметров.1

Как известно, с увеличением концентрации адсорбированного вещества коэффициент поверхностного натяжения уменьшается (см. Р5]). Нетрудно представить себе поэтому влияние поверхностно-активных добавок на термокапиллярный механизм неустойчивости. В самом деле, если под влиянием возмущения элемент жидкости всплывает на поверхность, то в данном месте поверхности образуется участок с относительно меньшей концентрацией поверхностно-активной примеси, и, следовательно, с большим поверхностным натяжением. Поэтому возникают тангенциальные силы, направленные радиально к этому участку поверхности. Эти силы, таким образом, направлены противоположно термокапиллярным силам, обусловленным неоднородностью температуры поверхности. Следовательно, наличие адсорбированной пленки должно оказывать стабилизирующее действие на возникновение термокапиллярной конвекции.

В расчете, проведенном в работе Берга и Акривоса [36], при формулировке граничных условий на поверхности учтена допол,- нительная тангенциальная сила, обусловленная неоднородностью концентрации вещества в адсорбированной пленке. Как оказывается, стабилизирующее действие поверхностно-активной пленки очень велико. Так, для горизонтального слоя воды толщиной в 1 мм, покрытого газовым монослоем стеариновой кислоты с концентрацией, составляющей 0,01 от плотной упаковки, критическое число Марангони увеличивается на три порядка. В случае, когда концентрация в поверхностном монослое соответствует плотной упаковке, критическое число возрастает на семь порядков, т. е. конвекция оказывается практически невозможной.

Во всех цитированных работах свободная поверхность жидкости считалась плоской. Это ограничение было снято в работах [37-38]. В первой из этих работ учитывались капиллярные волны на границе раздела двух жидкостей, а во второй — также и гравитационные; в обеих работах принимался во внимание лишь термокапиллярный механизм неустойчивости. Рассмотрение показывает, что, как и в случае термогравитационной конвекции (§ 9), учет деформируемости свободной поверхности приводит, в общем, к понижению устойчивости, причем эффект оказывается существенным в случае очень тонких слоев высоковязких жидкостей.

Вопрос о влиянии магнитного поля на возникновение термокапиллярной конвекции в плоском горизонтальном слое проводящей жидкости рассматривался в работе Нилда [39]. Как и в случае обычной гравитационной конвекции (см. § 27), влияние поперечного магнитного поля оказывается стабилизирующим. В работе получена зависимость критического числа Марангони Вт от числа Гартмана М. При больших значениях М

ПОРИСТАЯ СРЕДАПОРИСТАЯ СРЕДА293293§ 42)

ПОРИСТАЯ СРЕДА

ПОРИСТАЯ СРЕДА

293

293

критическое число Вт для случая теплоизолированной свободной границы возрастает по закону Вт ~ л21М2; критическая длина волны с ростом М уменьшается. Магнитное поле стабилизирует устойчивость равновесия и в том случае, когда одновременно действуют оба механизма конвекции — термогравитационный и термокапиллярный.-

Стабилизирующее действие оказывает и вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости слоя. Как показано в работе [40], критическое число Марангони увеличивается с ростом числа Тейлора, а критическая длина волны уменьшается. При быстрых вращениях (Т S> 1) в случае теплоизолированной свободной поверхности Вт « 4,42Т,/2, кт « 0£ТК Зависимость кт ~ Т1/* хорошо подтверждается результатами экспериментов [40]. При малых числах Прандтля в области Т >> 1 возможна неустойчивость колебательного типа [41]; Влияние вращения в условиях, когда существенны оба механизма неустойчивости— термогравитационный и термокапиллярный, — рассмотрено в работе [42].

Нелинейное исследование термокапиллярной неустойчивости проводилось в работе [43].

§ 42. Пористая среда

Если пористая среда насыщена жидкостью или газом, то * при наличии разности температур возникает конвективное дви- * жение (конвективная фильтрация). Как и в случае обычной конвекции, при подогреве снизу возможно равновесие. Задача исследования устойчивости этого равновесия представляет интерес, например, в связи с выяснением условий возникновения конвекции в пластах пористых пород под действием геотермического градиента.

Запишем уравнения тепловой конвекции жидкости в пористой среде. В качестве характеристик движения примем, как это обычно делается (см. [44]), макроскопическую скорость фильтрации и, определяемую как объемный расход жидкости через единицу площади в пористой среде. Скорость фильтрации связана со средней скоростью частиц жидкости в порах v соотношением и = ev, где е — пористость среды (отношение объема пор ко всему объему выделенного элемента среды).•

Предполагая жидкость несжимаемой, запишем уравнение непрерывности

divu = 0.‘(42.1)

Уравнение движения получается путем усреднения уравнения Навье — Стокса, описывающего истинное движение жидкости в порах [44]. Поскольку скорость фильтрации обычно мала.

можно пренебречь нелинейными членами в ускорении, и тогда уравнение движения запишется в виде

^ = -Vp+pg + f.(42.2)

Здесь р — плотность жидкости, a f — плотность силы сопротивления, связанная со скоростью фильтрации формулой Дарси:

t=-)«,(42.3)

где т) — динамическая вязкость жидкости, а К — коэффициент проницаемости. Полагая, что плотность зависит от температуры линейно р = р0(1—рТ), получим из (42.2), (42.3) в обычных предположениях Буссинеска уравнение движения для конвек-. тивной фильтрации

т5 = -^^-Т“ + ^;(42.4)

здесь р'— конвективная добавка к гидростатическому давлению.1

Для получения уравнения переноса тепла приравняем количество тепла, поглощенного в единице объема среды за единицу времени, потоку тепла через границы этого объема:

(42.5)

Здесь (рсР) с — теплоемкость единицы объема насыщенной жидкостью среды, a q — плотность теплового потока. Очевидно, вектор q слагается из теплопроводного потока в среде и конвективного потока, обусловленного фильтрацией жидкости

q = — хсУГ+ (рср)жаТ.(42.6)

Здесь хс — эффективная теплопроводность среды, насыщенной жидкостью, а (рср) ж —теплоемкость единицы объема жидко сти. Из (42.5) и (42.6) с учетом постоянства всех параметров получим

(рСр)с*^ Ь (рСр)ж и^Т = хс АТ*.(42.7)

Уравнения (42.1), (42.4), (42.7) описывают конвективную.' фильтрацию несжимаемой жидкости в пористой среде. Основное отличие от обычных уравнений конвекции состоит в том, что вместо ньютоновской силы вязкого трения теперь входит сила сопротивления Дарси, пропорциональная скорости. Замена вязкой силы силой Дарси приводит, в частности, к понижению порядка системы дифференциальных уравнений. По этой причине сокращается число необходимых граничных условий для скоро-.

сти. Так, на границе раздела пористой среды с твердым непроницаемым массивом должна обращаться в нуль лишь нормальная компонента скорости фильтрации. Касательная же компонента, вообще говоря, отлична от нуля — вдоль границы может происходить фильтрация.

Из уравнений движения видно, что при подогреве снизу возможно равновесие, при котором температура линейно меняется с высотой: VTo = —Ду. Уравнения малых возмущений равновесия получаются обычным образом. Запишем сразу уравнения критических возмущений )

(42.8)(42.8)-^^'-т“ + ®^=°>X АТ + Я («у) = О,div « = 0.

(42.8)

(42.8)

Здесь х = хс/(р^р)ж — эффективный коэффициент температуропроводности. Перейдем к безразмерным переменным. С этой целью выберем следующие единицы: расстояния — характерный размер L, скорости — ^L, температуры—AL, давления — povx/K. Тогда получим '

(42.9)(42.9)— Vp — a + RpTy = 0, '

(42.9)

(42.9)

ЗдесьЗдесьАТ + («у) = 0, ■div « = 0. .

Здесь

Здесь

p = g^KA

KP vx

— новый безразмерный параметр, определяющий кризис равновесия в пористой среде (аналог числа Рэлея).

' Рассмотрим сначала возникновение конвекции в плоском горизонтальном слое пористой среды. Эта задача впервые решалась в работе Хортона и Роджерса [46] и затем независимо в работах Лэпвуда [46] и П. П. Золотарева [47].

Исключая из (42.9) давление и горизонтальные компоненты скорости и вводя нормальные возмущения, получим уравнения для амплитуд'

(42.10)(42.10)(u"-fe2«) + fe2Rp0 = O,

(42.10)

(42.10)

■(б" — &20) + и = 0 (k2 = А2 + $.

Предполагая горизонтальные границы слоя непроницаемыми и идеально теплопроводными, получим граничные условия (толщина слоя h выбрана за единицу длины):

■ u(o) = u(i) = o, e(O) = e(i) = o. (42.11)

Решение задачи (42.10), (42.11) находится элементарно:

« = ы08>пилг, 9= 2 “°, -, j sin плз (п = 1, 2, 3, ...). (42.12)

Критический параметр R.p связан с волновым числом к соотношением

RP=(42.13)

'Минимальное значение достигается при кт = пл и равно

Rpm = 4nV.(42.14)

Вчастности, дляосновного уровня неустойчивости (п=1)

имеем:km — л; Rpm =4л2 = 39,5.

В работе [46] рассмотрен еще один случай граничных условий, который получается, если поверх насыщенного жидкостью пористого слоя налита свободная жидкость. В этом случае верхняя граница слоя проницаема для жидкости, а граничное условие получается из требования обращения в нуль горизонталь- ногб градиента давления при z = 1. Отличие от разобранного выше случая состоит лишь в том, что теперь на верхней границе исчезает нормальная производная: u'(1) = 0. Вычисления дают следующие значения критических параметров основного уровня неустойчивости: кт = 2,3; Rpm = 27,1. Как и следовало ожидать, «ослабление» краевого условия для скорости приводит к снижению критического значения Rpm и увеличению критической длины волны..

Первое экспериментальное исследование возникновения конвекции в плоском пористом слое было предпринято в работе [48]. В опытах применялись слои из песка, насыщенного различными жидкостями (вода, растворы глицерина, четыреххлористый углерод). Хотя предсказываемая теорией зависимость критического градиента температуры от параметров качественно подтвердилась, имелось значительное (на порядок) количественное расхождение. Это расхождение, по-видимому, связано с существенной зависимостью параметров от температуры (разности температур в слое были очень велики), а также с нестационарными условиями эксперимента и другими осложняющими обстоятельствами. Попытки учесть в теории некоторые из этих факторов (зависимость вязкости от температуры и нелинейность

р _ g^Ah*р _ g^Ah*А —р к/г2 ~ к * № *А —р к/г2 ~ к * № *Рис. 114. Минимальное критическое число Рэлея для горизонтального слоя пористой среды, Прямая линия - теория (формула (42.15)). Экспериментальные точки Като и Масуока [601 (О — стеклянные шарики, ф — стальные, △ — алюминиевые).Рис. 114. Минимальное критическое число Рэлея для горизонтального слоя пористой среды, Прямая линия - теория (формула (42.15)). Экспериментальные точки Като и Масуока [601 (О — стеклянные шарики, ф — стальные, △ — алюминиевые).па-па-по-по-

р _ g^Ah*

р _ g^Ah*

А —р к/г2 ~ к * № *

А —р к/г2 ~ к * № *

Рис. 114. Минимальное критическое число Рэлея для горизонтального слоя пористой среды, Прямая линия - теория (формула (42.15)). Экспериментальные точки Като и Масуока [601 (О — стеклянные шарики, ф — стальные, △ — алюминиевые).

Рис. 114. Минимальное критическое число Рэлея для горизонтального слоя пористой среды, Прямая линия - теория (формула (42.15)). Экспериментальные точки Като и Масуока [601 (О — стеклянные шарики, ф — стальные, △ — алюминиевые).

па-

па-

по-

по-

профиля температуры) лишь несколько улучшили соответствие эксперимента и теории [49«50].

Обстоятельное экспериментальное исследование устойчиво* сти равновесия в слое проведено в работе Като и Масуока [б1].

В этой работе пористой средой, служила система шариков из различных материалов - (стекло, сталь, алюминий) определенного диаметра. Поры насыщались сжатым азотом. Меняя диаметр шариков и их материал, удавалось в широких пределах изменять проницаемость и соотношение тепловых характеристик скелета и рабочей жидкости. Результаты можно обработать таким образом, чтобы наиболее отчетливо проявлялась зависимость критического градиента температуры (последний определялся по кризису теплопередачи) от всех параметров. С этой целью введем обычное

число Рэлея R, которое связано с раметром Rp следующим образом:

Если к тому же воспользоваться

луэмпирической формулой Козени (см. [52]) для коэффициента проницаемости

рЗ

А 150(1—е)2

(е — пористость, d — диаметр шариков), то формулу для критического числа Rpm можно переписать в виде

К = 4л2(4)2,(42.15)

где для краткости введено обозначение

g3R =150(1 -е)2 -

На рис. 114 представлена зависимость R от отношения d]h согласно формуле (42.15) вместе с экспериментальными данными Като и Масуока. Соответствие теории и эксперимента следует признать хорошим.

Уравнения (42.9) позволяют найти границу конвективной устойчивости в случае, когда насыщенная пористая среда

занимает область произвольной формы. Из-за простого вида силы сопротивления и, соответственно, более простых граничных условий для скорости задача оказывается проще, чем в случае обычной конвекции. В частности, можно рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия в вертикальных каналах различных сечений, и при этом легко получаются решения, аналогичные разобранным в гл. III.

В качестве примера рассмотрим наиболее интересный случай вертикального канала кругового сечения [бз]. Если считать, что скорость параллельна оси канала: их = иу = 0, и2 = и(х, у), а возмущение температуры зависит лишь от координат в сечении канала Г = Т(х, у), то из (42.9) получим

^ = _u + RpT = C, М^-и.(42.16)

Здесь Ai — плоский лапласиан в сечении канала, а С — постоянная разделения переменных, которая может быть выбрана равной нулю (ср. § 10). Исключая из (42.16) скорость, получим уравнение для возмущения температуры

A1T + RpT = 0.

Периодические по полярному углу ф решения этого уравнения, конечные в центре области, имеют вид

7’„=С„/п(аг)созпф; a=]/Rp (п = 0, 1, 2, ...).

Собственные числа задачи находятся из граничных условий для температуры. Если, например, боковая поверхность теплоизолирована, то из условия (дТ/дг)^ = 0 следует1)

/Иа) = 0.(42.17)

Это уравнение определяет спектр критических чисел Rp. Наименьшее критическое число соответствует n = 1 (диаметрально антисимметричная фильтрация) и равно Rp = 0^ = 3,390. Далее в порядке возрастания следуют: Rp = 9,33 (п = 2); Rp = 14,68 (п = 0, осесимметричная фильтрация) и Rp = 17,65 (п = 3). Таким образом, последовательность критических Rp оказывается такой же, как и в случае обычной конвекции (см. § 11, случай теплоизолированных границ).

Найденное решение элементарно обобщается на случай произвольной теплопроводности окружающего канал массива. Из

*) Граничное условие для скорости ставить не "нужно, так как уравнения (42.16) не содержат производных от и. Условие замкнутости потока выполняется автоматически для всех п ^ О ввиду периодизма решения по ф, а для л = О— в силу соотношения (42.17).

' ПОРИСТАЯ СРЕДА' ПОРИСТАЯ СРЕДА299299§ 42]

' ПОРИСТАЯ СРЕДА

' ПОРИСТАЯ СРЕДА

299

299

условий непрерывности температуры и теплового потока при этом для характеристических значений а получается уравнение

аЯ/« (а) + nJn (а) = О,

где Я = Хс/хт — отношение теплопроводностей пористой среды и окружающего массива.'

Нижнее критическое число для случая теплоизолированных границ (Rp = 3,39) было подтверждено экспериментально в работе [53].

В заключение укажем на работу Нилда [54], в которой решена задача о конвективной устойчивости бинарной смеси в пористой среде.

ГЛАВА X

УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

В этой главе речь пойдет об устойчивости стационарного конвективного движения, возникающего при подогреве сбоку, когда равновесие невозможно. Основное'внимание уделяется плоскопараллельному конвективному движению между параллельными плоскостями, нагретыми до разной температуры. Постановка задачи об устойчивости такого течения была дана в работах [*~3], где на основе простейших приближений метода Галеркина были найдены оценки критических чисел Грасхофа. Наиболее полные и интересные результаты получены позднее, после того как в результате появления ЭВМ оказалось возможным использовать высокие приближения метода для исследования спектра возмущений и надежного определения границ устой- ВОСТИ р’ ^’ ^* 2^» 28» 59]

Одна из особенностей замкнутых плоскопараллельных конвективных течений состоит в нечетности профилей скорости и температуры. Это приводит к появлению характерных свойств спектра возмущений, а также к тому обстоятельству, что неустойчивость развивается в виде системы вихрей на границе встречных конвективных потоков.

В § 44 исследуются свойства спектра возмущений и находится граница устойчивости нечетного течения в чисто гидродинамическом приближении, когда полностью пренебрегается тепловыми факторами. Как показывает сравнение с результатами § 45, где задача решается в полной постановке, такой подход оказывается достаточным для оценки критического числа Грасхофа в случае вертикальной ориентации слоя жидкости при малых и умеренных значениях числа Прандтля. Учет тепловых факторов, однако, совершенно необходим при больших числах Прандтля, а также в случае наклонного слоя (§ 46) и слоя с продольным градиентом температуры (§ 48). При больших числах Прандтля появляется новый вид неустойчивости, обусловленный нарастанием тепловых волн. В случае же наклонного слоя и слоя с продольным градиентом наряду с гидродинамическим механизмом неустойчивости действует конвективный механизм, связанный с неустойчивой стратификацией. Каждый из механизмов является преобладающим в своей области параметров. Смена механизмов неустойчивости при изменении угла наклона слоя сопровождается изменением формы наиболее опасных возмущений (§ 47).

разной температурыразной температуры

разной температуры

разной температуры

Влияние на устойчивость различных факторов, деформирующих стационарный профиль, обсуждается в § 48. В § 49 решена задача об устойчивости течения, возникающего в плоском канале при внутреннем выделении тепла в жидкости. Нелинейный расчет структуры вторичного течения, появляющегося в результате неустойчивости, приведен в § 50. Последний параграф главы содержит обзор основных результатов по устойчивости конвективного пограничного слоя.

§ 43. Стационарное движение. Уравнения возмущений

Рассмотрим стационарное конвективное движение жидкости

в плоском вертикальном слое между параллельными изотерми

ческими плоскостями, нагретыми до (рис. 115). При таких условиях подогрева равновесие, очевидно, невозможно, и при сколь угодно малой разности температур возникает движение, интенсивность которого растет с увеличением разности температур. Будем считать, что полость замкнута сверху и снизу; поэтому в стационарных условиях происходит конвективная циркуляция—жидкость поднимается у нагретой стенки и опускается у холодной. Течение, таким образом, состоит из двух ' встречных конвективных потоков.

Для случая, когда слой имеет бесконечную протяженность в вертикальном

направлении, МОЖНО получить точное ре- рис. 115. Плоский вертикаль- шение уравнений конвекции, описываю-Т

Jг’профиль стационарного дви-

щее стационарное плоскопараллельноежения. -

движение (практически это решение будет пригодно в средней части слоя, высота которого гораздо больше его толщины).

При плоскопараллельном движении отлична от нуля лишь вертикальная составляющая скорости uz. Из уравнения непрерывности тогда следует, что uz = v0(*)- Предполагая, что температура также зависит только от поперечной координаты То= = Т0(х), получим из полных уравнений конвекции (1.17), (1.18) уравнения для скорости, температуры и давления в стационарном движении

^-0, ^ = ^5 + №.-c, I

П=о'

(С — постоянная разделения переменных).

и температуры таковы:и температуры таковы:Граничные условия для скорости

и температуры таковы:

и температуры таковы:

(43.2)(43.2)при х= — h уо = О, То = 0;1

(43.2)

(43.2)

при x = h vo = O, То—— 0 /

(20 — полная разность температур между плоскостями). Следует иметь в виду также условие замкнутости потока, о котором говорилось выше. Это условие означает равенство нулю расхода жидкости через любое поперечное сечение:

j uodx = O. (43.3)

Интегрируя уравнения (43.1) с условиями (43.2), (43.3), найдем распределения температуры, скорости и давления

(43.4)(43.4)—67.

(43.4)

(43.4)

0 6v L\ А /\ А /] ’

р0 = const

(постоянная С оказывается равной нулю).

Как видно из полученных формул, температура меняется по сечению слоя линейно, т. е. так же, как в случае неподвижной жидкости. Таким образом, в рассматриваемом режиме движения поперечный перенос тепла осуществляется чисто теплопроводным путем. Распределение скорости оказывается кубическим (рис. 115). Интенсивность движения пропорциональна разности температур, обратно пропорциональна вязкости и не зависит от . теплопроводности жидкости. В рассматриваемом течении имеет место конвективный перенос тепла вдоль слоя; поток тепла направлен вверх и равен (на единицу длины вдоль оси у)

Q = pcp j* х)йТй(1х—hQ = pcp j* х)йТй(1х—h2рср§рв2А345v2рср§рв2А345v

Q = pcp j* х)йТй(1х—h

Q = pcp j* х)йТй(1х—h

2рср§рв2А3

45v

2рср§рв2А3

45v

С увеличением разности температур между плоскостями скорость возрастает, и стационарное движение становится неустойчивым. При возникновении неустойчивости, очевидно, изменяются и условия теплопередачи через жидкую прослойку, т. е. наступает кризис теплопередачи.

Для исследования устойчивости стационарного конвективного движения применим метод малых возмущений. Рассмотрим возмущенное движение v0 + ^, То + Т, ро + Р, где ^Д^Р)— малое нестационарное возмущение. Подставляя возмущенные

величины в исходную систему (1.17) — (1.19) и линеаризуя по и, Г, р, получим систему уравнений для возмущений

(43.5)(43.5)-^-HvV)v0+(v0V)v=—-^-Vp + vAv + g^Ty, -^ + v0V7’ + vVT0 = xAT, divv = 0.

(43.5)

(43.5)

Введем безразмерные переменные. Примем в качестве единиц: расстояния — Л, времени — A2/v, скорости — g$Qh2/v, температуры— 0, давления — pg^9h. Стационарные профили скорости и температуры в безразмерных переменных запишутся так:

и0 == 4 (х3 — х), ^о — — х, (43.6)

а система (43.5) примет вид:

(43.7)(43.7)4г + G [(vV) v0 + (v0V) v] = — Vp + Av + Гу,4j-+ G [vV70 + v0Vr] = 4" AT,divv = 0.

(43.7)

(43.7)

Здесь P = v/x — число Прандтля, a G = g^Qh?h2 — число Грас- хофа, определенное через полуразность температур границ слоя и его полуширину.

Будем считать возмущения плоскими, т. е. предположим, что иу = 0, а их, Vz, Т, р не зависят от координаты у1). Определим функцию тока плоских возмущений соотношениями

дф дф .

х dz 2 дх

Исключая давление и вводя функцию тока, получим из (43.7) систему для ф и Г:

J^L + g(v0^L-v^) = AA4)+^-,

dt '\ ° dz и dzт 1 dx *, „

атi'(43.8)

dz + G ^o 9z T° dz) P ^T..

Здесь A — лапласиан в переменных x, г.

На границах слоя исчезают обе компоненты возмущения скорости и возмущение температуры, т. е.

при х = ± 1 4^ = 4^ = °> 7’ = °-(43.9)

гdx dz ’х 7

9 Как оказывается, при вертикальной ориентации слоя плоские возмущения наиболее опасны (см. § 47).

Система (43.8) имеет решения в виде нормальных возмущений:

•ф (х, z, 0 = ф (х) exp (— Xt + ikz\ | '

Т (х, 2,^ = 9 (х) exp (- Xt + ikz\ J (4d- 1U)

где ф(х) и 0 (х)— амплитуды, X— декремент, к — вещественное волновое число. Подставляя (43.10) в (43.8), получим систему уравнений для амплитуд:

(ф|У — 2&2ф" + &4ф) + ik^ [УоФ — У0(ф" ~ ^2ф)] + О' =

,= — А (ф" — &2ф),(43.11)

(6" - 629) + ikG (Пф - VoO) = - хе (43.12)

с граничными условиями, вытекающими из (43.9):

прих=±1 ф = ф' = 0, 0 = 0.(43.13)

Таким образом, амплитуды возмущений ф(х) и 0(х) определяются из системы обыкновенных линейных однородных уравнений с однородными граничными условиями. Краевая задача (43.11) — (43.13) является характеристической; нетривиальное решение существует лишь при определенных значениях параметра к Декременты к находятся как собственные числа краевой задачи; соответствующие собственные функции ф и 0 определяют структуру характеристических возмущений скорости и температуры. Собственные значения X зависят от параметров — чисел Грасхофа G’h Прандтля Р, а также от волнового числа к. Поставленная краевая задача является несамосопряженной, и поэтому ее собственные числа к вообще говоря, комплексны: X = к + 1к- Вещественная часть Хг определяет скорость затухания или нарастания возмущений. Мнимая часть к дает частоту колебаний; при Хг + 0 возмущения распространяются в потоке в виде плоских волн с фазовой скоростью с ~ XJk.

Итак, исследование спектра характеристических возмущений стационарного конвективного движения сводится к нахождению собственных чисел и собственных функций краевой задачи (43.11) — (43.13). Эта задача является обобщением классической задачи теории гидродинамической устойчивости. Обобщение связано с учетом двух факторов: дополнительной (конвективной) силы в уравнении движения и неизотермичности основного потока и возмущений. Если в (43.11) положить 0 = 0, то получается известное уравнение Орра — Зоммерфельда, определяющее плоские возмущения в изотермическом плоскопараллельном потоке,

Поскольку решение сформулированной задачи связано со значительными математическими трудностями, имеет смысл вначале развить упрощенный подход к проблеме. Это можно сделать, если рассмотреть задачу об устойчивости конвективного течения с кубическим профилем в чисто гидродинамической постановке, полностью пренебрегая влиянием тепловых факторов на развитие возмущений. Такой подход оправдан, во всяком случае, при малых значениях числа Прандтля (высокая теплопроводность жидкости). В этом случае возникающие температурные возмущения быстро рассасываются со временем на фоне сравнительно медленно изменяющихся возмущений скорости. Поэтому развитие возмущений можно приближенно трактовать как изотермический процесс. При таком подходе следует пренебречь членом О' в (43.11) и не рассматривать вовсе уравнение , теплопроводности (43.12). Тогда задача сводится к решению уравнения Орра — Зоммерфельда с заданным конвективным профилем скорости с»о(х):

(ф1У _ 2^" _|_ &4ф) _[_ ^(^ |у'/ф _ У()(ф" — ^2ф^ _

= -Х^"-к^ (43.14) с граничными условиями

при х=±1 ф = ф'= 0.(43.15)

Эта краевая задача будет рассмотрена в следующем параграфе.

§ 44. Движение с нечетным профилем скорости [4-5]

Исследованию гидродинамической устойчивости изотермических плоскопараллельных стационарных течений посвящена обширная литература (см. [6-8]). Обычно интерес исследователей сосредоточен на выяснении вопроса' об устойчивости нескольких изотермических течений — Куэтта, Пуазейля и течения, в пограничном слое. Нас в дальнейшем будет интересовать задача исследования спектра нормальных возмущений и определения границы устойчивости конвективного течения. Специфическим свойством этого течения является нечетность профиля. Это обст?ятельство, как будет видно, приводит к появлению некоторых характерных особенностей спектра возмущений. Неустойчивость 'конвективного течения наступает при числах Рейнольдса, гораздо меньших, чем, например, в случае течения Пуазейля. Это связано со структурой течения — наличием двух встречных потоков, взаимодействие между которыми приводит К потере устойчивости при сравнительно малых скоростях,

Основная и сопряженная задачи. Перепишем, прежде всего, уравнение (43.14) в более удобном виде. Для этого введем вместо числа Грасдофа число Рейнольдса соотношением

- „ G ^родз '

6 — 6v2 ’

В качестве характерной скорости в число Рейнольдса входит величина g00ft2/6v, определяющая масштаб скорости конвективного течения. Введем также обозначения для операторов

где /0 = х3 —х— безразмерный профиль скорости. Тогда краевая задача Орра — Зоммерфельда может быть переписана в виде

А2ф — гН<р = — к Аф (г = i^R), 1

при х=±1 ф = ф' = 0. / (44.1)

Рассмотрим теперь сопряженную краевую задачу. Для нахождения сопряженного оператора умножим уравнение, комплексно-сопряженное с (44.1), на функцию ф, удовлетворяющую граничным условиям

при х=±1 ф = ф' = 0, (44.2) и проинтегрируем по х. После преобразований получим

1 ■

J [А2ф + гА (/оф) — rf"ф + к* Аф] ф* dx = 0 — 1

(знак * означает комплексное сопряжение; интегрирование здесь и далее ведется в пределах от — 1 до +1). Приравнивая нулю множитель при ф*, найдем

А2ф4-гД+ф =— А Аф, Я+ф = А(/оф) — /оф, (44.3) где символом Н* обозначен оператор, сопряжённый с Н. Уравнение (44.3) с граничными условиями (44.2) определяет сопряженную краевую задачу. Заметим, что при R = 0 рассматриваемая краевая задача становится самосопряженной.

Основная и сопряженная краевые задачи определяют бесконечные последовательности нормальных возмущений ф<, ф,- с декрементами кр к'ь Возмущения ф, и сопряженные возмущения фь, принадлежащие разным декрементам kt и к*к, в определенном смысле ортогональны. Для получения условия ортогональности следует уравнение (44.1), написанное для г-го уровня спектра, умножить на %’ а уравнение, комплексно-со-

пряженное с (44.3), записанное для й-го уровня, умножить на Ф< и проинтегрировать. Вычитая получившиеся равенства, найдем'

(\~Ч) / фд Аф, dx = 0.

Для Х^К^ имеем условие ортогональности

'[ ф^Аф, dx = 0.(44.4)

Спектр возмущений при малых числах Рейнольдса. Декременты нормальных возмущений, определяемые краевой задачей (44.1), зависят от двух параметров — числа Рейнольдса и волнового числа. Для выяснения структуры спектра полезно рассмотреть сначала предельный случай малых скоростей течения, т. е. область малых значений числа Рейнольдса. В этой области решение можно получить методом малого параметра, разлагая собственные функции и собственные числа в ряды по степеням г = t^R:

(44.5)(44.5)ф = ф(°) -|- Гф<0 -|- г2ф<2> -(- ..,, I

(44.5)

(44.5)

Х=Л(°) + гХ(1> + г2Х<2>+‘ J

Подставляя ряды (44.5) в (44.1) и собирая члены при одинаковых степенях г, получим уравнения последовательных приближений

А2ф<°> + Я.<°> Аф<°> = 0,

Д2ф<» _|_ ДО» Дф(1) = _ ДО) Дф(0) _]_ Яф(«),

(44.6)(44.6)Д2ф(2) _]_ ДО) Дф(2) = _ ДО) Дф(0) _ ДО) Дф(П + Дфй),

(44.6)

(44.6)

Д2ф(п) _|_ до) Дф(«) = _ До) Дф(о> — ДО-D Дф<‘> — . . .

... — Х(')Дф(п-о + Яф("-1),

Все функции последовательных приближений удовлетворяют однородным граничным условиям:

при • х = ± 1 ф(п> = ф(п)/ = 0. (44.7)

Из нулевого приближения находится спектр декрементов Х<°) и соответствующих возмущений ф<0) в неподвижном слое жидкости (этот спектр уже встречался в §§ 6 и 16 при исследовании возмущений равновесия). Возмущения ф^ образуют две

подсистемы — четных и нечетных относительно х функций. Нор* мированные четные собственные функции равны

11ch кх ch кch кх ch кА (°)Ь2 У cos у Л^ ■* К XА (°)Ь2 У cos у Л^ ■* К Xcos Ух^-к2cos Ух^-к2(/ = 0,2,4,...), (44.8)(/ = 0,2,4,...), (44.8)

1

1

ch кх ch к

ch кх ch к

А (°)Ь2 У cos у Л^ ■* К X

А (°)Ь2 У cos у Л^ ■* К X

cos Ух^-к2

cos Ух^-к2

(/ = 0,2,4,...), (44.8)

(/ = 0,2,4,...), (44.8)

»(0)

Л = ^^™у (6= + »th 6 - № 6 - V).

Декременты четных возмущений находятся из трансцендентного уравнения

Ух^ — А2 • tg Ух^ - k2 = - к th к. (44.9)

Для нечетных собственных функций и декрементов имеем

sh кх sh кsh кх sh кsin V^ — к^ хsin V^ — к^ х(/=1,3,5,...), (44.10)(/=1,3,5,...), (44.10)

sh кх sh к

sh кх sh к

sin V^ — к^ х

sin V^ — к^ х

(/=1,3,5,...), (44.10)

(/=1,3,5,...), (44.10)

h = Т^Ъ^ ^ + ^th £ - £2 cth2 к - Х^;

Vx(P - к2 • ctg УхТ-к2 = к cth к. (44.11)

Функции ф)0) составляют полную ортонормированную систему:

Jv(°>AVWdx=-dz6.(44.12)

Декременты хТ1 зависят от волнового числа и при фиксированном к образуют возрастающую последовательность АоО), м1, ^0), ...; все декременты Мо> вещественны и положительны (нормальные возмущения покоящегося слоя жидкости монотонно затухают).

Поправки к собственным функциям нулевого приближения находятся из неоднородных уравнений вида:

‘А2<р<"> + А<°> Аф<"> = /„ (х),(44.13)

/ LW Ф^о)^х = О,/ LW Ф^о)^х = О,(44.14)(44.14)где fnW — известная функция, определяемая предыдущими приближениями и содержащая XW. Умножая (44.13) на ф*о> и интегрируя, получим условие разрешимости неоднородного уравнения

/ LW Ф^о)^х = О,

/ LW Ф^о)^х = О,

(44.14)

(44.14)

§ 44]

из которого находится поправка к декременту Мп\ Решая далее неоднородное уравнение (44.13), найдем ф<4 Таким путем можно последовательно определить коэффициенты разложений (44.5).

Из условий разрешимости (44.14) находим последовательно (с учетом условия нормировки)'.

%<*) = - J ф(°>Яф<0>с?х,

Х<2> = Х<о J ф<°> Аф<*> dx - J фСЯЯфО) dx,.

Л<з) = Л<2) J Ф(о) Дф<о dx + А<1 > J ф(0) Аф<2> dx - J ф(0) 7/ф<2> dx,

(44.15)

В интересующем нас случае профиль скорости, а вместе с ним и оператор Н, являются нечетными относительно х. Отсюда следует, что интегралы вида J ф(т) Н<рм dx равны нулю, если индексы тип имеют одинаковую четность. Поэтому обращаются в нуль все поправки нечетных порядков:

'Х(1)=Х(3)=Х<5)= ... =0.

Таким образом, разложение декрементов возмущений в случае нечетного профиля скорости оказывается вещественным

X = Х<°> - A2R2X<2> + ЬЧ№ _ ...(44.16)

Отсюда следует, что при малых числах Рейнольдса (пока справедливы разложения по степеням R) возмущения потоков с нечетным профилем монотонны; фазовые скорости нормальных возмущений обращаются в нуль («стоячие» возмущения).

Переходя к обсуждению собственных функций при малых числах Рейнольдса, заметим, прежде всего, что все ф(”>, определяемые уравнениями последовательных приближений (44.6), вещественны. Поэтому, выделяя в разложении ф вещественную и мнимую части, можно записать:

ф = (ф(0) _ /г2К2ф(2) _|_ £4^(4) _ . . ,) _|_

-H6Rto(1)-&2RV3) + £4RV5)- ...)• . (44.17)

Далее, из системы (44.6) видно, что в случае нечетного оператора Н поправки четных порядков ф(2), ф<4\ ... имеют ту же четность, что и «невозмущенная» амплитуда ф<°>, а поправки нечетных порядков фб), ф<3), ... имеют четность, противоположную ф(°). Из (44.17) тогда следует, что вещественная и мнимая части амплитуды ф имеют разную четность, причем вещественная

часть имеет ту же четность, что и ф<°\ а мнимая часть — противоположную. Таким образом, амплитуды ф при R У= 0 не обладают определенной четностью. Так, например, разложение ф, выходящее из четного уровня ф^ (/ = 0, 2, 4, ...), при малом R имеет малую мнимую часть, нечетную по х. Несмотря на это обстоятельство, удобно называть уровни спектра «четными» для i = 0, 2,4, ...и «нечетными» для i = 1,3,5, ..., поскольку при R—»0 они переходят соответственно в четные и нечетные уровни невозмущенного спектра.

Нетрудно видеть, что аналогичными свойствами обладают и решения сопряженной задачи.

Последовательные приближения ф<п> и Мп> удобно находить методом возмущений, разлагая ф<п> по базисной системе собственных функций невозмущенной задачи. Соответствующие формулы для поправок 1-го и 2-го порядка получены в работе [4].

Колебательные возмущения. Из вещественности разложения декрементов по степеням числа Рейнольдса следует вывод о монотонности возмущений лишь при малых R. Ввиду несамо- сопряженности краевой задачи декременты при конечных значениях параметра R могут стать комплексными, т. е. могут возникнуть колебательные возмущения. Имеется, таким образом, полная аналогия с поведением возмущений равновесия в магнитном поле (§ 26).

Получим необходимое условие появления колебательных возмущений. Для этого разобьем решение основной и сопряженной задач на четную (индекс g) и нечетную (индекс и) ча* сти:

Ф = Ф^ + Фи. Ф = Ф, + Фи-

Умножая (44.1) поочередно на фв и фи, а (44.3) — на ф5 и фи и интегрируя, получим четыре интегральных соотношения, из которых с учетом свойств четности и определения операторов Н и Н* можно найти (аналог соотношения (26.6)):

(А* — А) j (ф„ Аф„ — фг Дфг) dx = 0. (44.18)

Входящий в это соотношение интеграл обозначим I. В случае колебательных возмущений А ф X*, и потому необходимым условием появления колебательных возмущений является обращение в нуль интеграла L

Рассмотрим сначала значение интеграла J на разных уровнях спектра при R = 0. Так как в этом предельном случае краевая задача является самосопряженной, можно выбрать амплитуды ф и ф совпадающими. Значение интеграла J при этом определяется четностью уровня. На четных уровнях фи = фи = О,

и (в силу нормировки (44.12)) имеем / = 1. На нечетных уровнях соответственно ф5 = ф5 = 0 и / = —1.,

■ Из непрерывности ясно, что при малых R интегралы на четных и нечетных уровнях отличны от нуля и сохраняют тот же знак, что и при R = 0. Обращение интеграла I на каком-либо уровне в нуль может поэтому произойти лишь при конечных R. С этим обстоятельством и связано появление комплексных декрементов (колебательных возмущений).

Для более подробного выяснения условий возникновения колебательных возмущений рассмотрим пересечение двух соседних вещественных уровней спектра (такие уровни всегда обладают разной четностью). С этой целью воспользуемся методом, уже применявшимся при исследовании возмущений равновесия в магнитном поле (§ 26).

Пусть Ro — значение числа Рейнольдса, при котором два соседних декремента Xi и Х2 вещественны и близки. Обозначим через ф1 и фг соответствующие амплитуды, а через ipi и ф2— сопряженные амплитуды. Амплитуда в близкой точке Ro + 6R находится из уравнения

Д2ф-^(Ро + бР)Яф=-ХДф(44.19)

и может быть приближенно представлена в виде

' •ф = С1Ф1 + с2ф2.(44.20)

Подставляя (44.20) в (44.19), умножая поочередно на ф, и хр* и интегрируя, пользуясь условием ортогональности (44.4), получим систему линейных однородных уравнений для Cj и с2. Приравнивая нулю определитель этой системы, получим формулу, определяющую декременты вблизи точки Ro:

X = у [(X, + Х2) + (У n + У22) 6R] ±

± "/у [(^1 - М + (Ун - У22) SRF + ^12У2) (6R)2, (44.21)

где обозначено

f ^*mH^ndx¥тп = 1Ц—.

J ^mMmdX

Приступая к анализу формулы (44.21), напомним, что в области вещественности декрементов, в которой справедливы разложения (44.5), амплитуды ф и ф «четного» уровня имеют четную вещественную и нечетную мнимую части, а на «нечетном» уровне — наоборот. Поэтому легко видеть, что матричные Элементы Уц и У22 — вещественные, a У,? и У2, — мнимые;

выражение же, стоящее под корнем в (44.21), всегда вещественное.

Формула (44.21) определяет два декремента ^. и L. Координата точки пересечения этих декрементов (если такое пересечение возможно) есть R» = Ro + 6R, где 6R находится из условия обращения в нуль подкоренного выражения. Легко видеть, прежде всего, что невозможно «простое пересечение», при котором оба декремента вещественны по обе стороны от точки пересечения. В самом деле, для такого пересечения необходимо, чтобы V12V21 равнялось нулю тождественно по Ro, что заведомо не имеет места. Если же V12V21 + 0, то ситуация определяется знаком этого произведения. При V12V21 > 0 подкоренное выражение существенно положительно при всех 6R и пересечение вообще невозможно. Необходимым условием пересечения является V12V21 < 0; при этом в точке R* происходит «слияние» вещественных декрементов (подкоренное выражение обращается в нуль), а при R > R* декременты Х+ и X- образуют комплексно-сопряженную пару (подкоренное выражение становится отрицательным).

Решая систему уравнений для коэффициентов С] и Сг, можно найти амплитуды ф+ и ф_ и показать, что в точке R» они совпадают; в этой точке обращаются в нуль оба интеграла J+ и J- (см. (44.18))..х

Итак, соседние (и, следовательно, обладающие разной четностью) вещественные декременты либо вовсе не пересекаются, либо сливаются в некоторой точке R», образуя комплексно-сопряженную пару.'

Подчеркнем, что выводы относительно структуры спектра, содержащиеся в пп. 2 и 3, не связаны с конкретным видом профиля скорости. Существенным является лишь свойство нечетности этого профиля.

Численный расчет спектра. Для конкретного расчета спектра и исследования устойчивости течения с кубическим профилем скорости удобно воспользоваться методом Галеркина. Расчет был выполнен Р. В. Бирихом [5-9].

В качестве системы базисных функций выберем амплитуды нормальных возмущений покоящейся жидкости ф^, определенные соотношениями (44.8) — (44.12) *). Решение краевой задачи (44.1) ищем в виде линейной комбинации N базисных функций N-1

п=0

Этот базис был предложен Г. И. Петровым; им же доказана сходимость метода Галеркина в применении к краевой задаче Орра — Зоммер- фельда [10*п]. Базис ф^ применялся для расчета устойчивости течения Пуазейля [12] и спектра возмущений течения Куэтта [13].

Стандартная процедура метода Галеркин'а приводит к системе линейных однородных алгебраических уравнений для коэффициентов сп

N-1

2 [(Рп X) 6mrt /feRWmn]cn = 0. (44.22) п=0

Здесь цп — декременты возмущений в покоящейся жидкости (в пп. 2 и 3 обозначались к*^, а Нтп = J Ф^Яф^0’ dx — вещественные матричные элементы. Задача нахождения спектра декрементов к сводится, таким образом, к отысканию корней характеристического уравнения, получающегося приравниванием нулю определителя однородной системы (44.22)

det [К - X) 6m„ - ihRH^ - 0, (44.23) т. е. к проблеме нахождения собственных значений матрицы

С =|| Уп^тп 1^^Нтп ||.

Ввиду нечетности профиля скорости матричные элементы Нтп отличны от нуля лишь для индексов тип разной четности. Это обстоятельство позволяет матрицу С унитарным преобразованием привести к вещественной матрице

Л = Ь„дт„ -K-ir+^R^II. (44.24)

Из вещественности матрицы Л следует, что ее собственные числа (декременты X) либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары (как было показано выше в п. 3, комплексно-сопряженные пары возникают в результате слияния вещественных уровней разной четности по мере увеличения числа Рейнольдса).

Для получения спектра декрементов в достаточно широкой области значений параметра &R требуется использовать большое число базисных функций. Это приводит к необходимости диагонализировать матрицу высокого порядка, что' может быть сделано лишь с помощью ЭВМ. В работах [5»9] применялся ортогонально-степенной метод [14]. Использовались приближения, содержащие до 36 базисных функций. Сравнение результатов, полученных с разным числом функций, показало, что этого приближения достаточно для надежного определения десяти нижних уровней спектра декрементов в области значений параметра kR 5000.

На рис. 116 приведены спектры декрементов для двух значений волнового числа к. Их вид ‘вполне соответствует общим представлениям о структуре спектров течений с нечетным

профилем. Видны попарные слияния вещественных уровней с порождением колебательных возмущений. Образующиеся в результате слияний колебательные возмущения распространяются в потоке в виде затухающих волн (Хг > 0) с фазовыми скоростями с = Xilk, также приведенными на /рисунках. (Заметим, что двум комплексно-сопряженным-декрементам соответствуют волны, бегущие в потоке в противоположные стороны с одинаковыми по величине фазовыми скоростями). При к = 1 нижний уровень спектра, оставаясь вещественным, пересекает ось

Рис. 116. Декременты и фазовые скоростиРис. 116. Декременты и фазовые скоростивозмущений течения с кубическим профилем.возмущений течения с кубическим профилем.

Рис. 116. Декременты и фазовые скорости

Рис. 116. Декременты и фазовые скорости

возмущений течения с кубическим профилем.

возмущений течения с кубическим профилем.

R. Правее точки пересечения декремент отрицателен, что соответствует монотонной неустойчивости. Критическое число Рейнольдса зависит от волнового числа к. Нейтральная кривая имеет минимум при /?т=1,3; минимальное критическое число Рейнольдса Rm = 83. Со стороны больших к нейтральная кривая ограничена асимптотой ко « 2; все мелкомасштабные возмущения с к > ко затухают (см., например, рис. 116, к = 4; для всех возмущений Хг > 0).

Таким образом, течение с кубическим профилем скорости, в отличие, например, от течения Пуазейля, становится неустойчивым при сравнительно небольших числах Рейнольдса. Это",

§ 45] КОНВЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОВ 815 несомненно, связано с нестабильностью границы раздела между встречными потоками, что подтверждается анализом формы критических возмущений (более подробно об этом пойдет речь в следующем.параграфе).

- § 45. Конвективное движение в вертикальном слое

Перейдем теперь к рассмотрению спектра возмущений и устойчивости конвективного течения между вертикальными плоскостями в полной постановке — с учетом тепловых факторов. Как уже указывалось, задача об устойчивости такого течения была поставлена в работах [|-3], где на основе первых приближений метода Галеркина получена . оценка критических чисел Грасхофа. Позднее подробное исследование спектров возмущений и устойчивости было проведено с помощью ЭВМ в работах Р. Н. Рудакова [15>16], а также в [59].

Возмущения при малых числах Грасхофа. Амплитуды возмущений скорости и температуры в конвективном потоке удовлетворяют уравнениям (43.11), (43.12) и граничным условиям (43.13). Ясно, что спектр возмущений, определяемых этой краевой задачей, богаче рассмотренного в предыдущем параграфе спектра, получающегося в пренебрежении тепловыми факторами, поскольку появляются дополнительные ветви, связанные с температурными возмущениями. . .

Номенклатура спектра может быть введена на основе рассмотрения предельного случая G = О (неподвижный слой жидкости между вертикальными плоскостями, поддерживаемыми при одинаковых температурах). Полагая в (43.11), (43.12) G = О, получим амплитудные уравнения

■ А2ф<°) 4-Л,<°> Аф<°) + е<0)'= 0, ' (45.1)

- -1-А9«» + ЛЯе«» = 0 (45.2)

с граничными условиями:

при х=±1 ф<°> = ф<°)' = 0, О(о) = О. (45.3) Здесь А = d2fdx2 — к2, а №> — декременты возмущений в неподвижном слое жидкости.

Из (45.1) — (45.3) видно, что возможны два типа возмущений. Возмущения первого типа (их можно назвать «гидродинамическими») получаются, если положить 0<°) = 0. При этом уравнение (45.2) удовлетворяется, а амплитуды скорости находятся как собственные функции задачи

А2ф*°^ + ц Аф*°* = 0; ф<°> = ф<°>'= 0 при х=±1, (45.4) где.р — декременты «гидродинамических» возмущений. .

Возмущения другого типа соответствуют 0<°) ^ 0 («тепловые» возмущения). Амплитуды тепловых возмущений 0(°> и их декременты, которые мы далее будем обозначать v, определяются как собственные функции и собственные значения задачи:

А Ае<0) + ve(0) = о, е(о) = о при х = ±1. (45.5)

Из-за наличия конвективной силы возникновение в жидкости возмущения температуры 0<°> приводит к движению, которое может быть найдено из уравнения (45.1), где теперь 0<°> и Х(°) = v — известные решения задачи (45.5).

Спектр «гидродинамических» возмущений обсужден в предыдущем параграфе; собственные функции и декременты Мо> = = ц определены формулами (44.8) — (44.12). Спектр «тепловых» возмущений легко находится из (45.5):

(45.6)(45.6)' cosp(,0)x (/ = 0, 2, 4, ...),°z — ’ sinp«»x (/=1,3,5,...)

(45.6)

(45.6)

(p<°)= VPvz - ^2);

v< = 4-[2r<Z+1)2 + ^] (Z = 0- b2---)-

Итак, в неподвижном слое жидкости возможны «гидродинамические» и «тепловые» возмущения. Их декременты вещественны и положительны (возмущения монотонно затухают). Декременты «гидродинамических» возмущении ц не зависят от теплопроводности жидкости, а определяются лишь вязкостью и масштабом возмущения. Декременты «тепловых» возмущений v пропорциональны теплопроводности жидкости и не зависят от вязкости (напомним, что за единицу времени выбрана величина №hY Положение ц-уровней не меняется с изменением числа Прандтля Р, тогда как v-уровни при увеличении Р сгущаются в нижней части спектра.

Если увеличивать разность температур между плоскостями (при этом число Грасхофа G будет увеличиваться от нуля), то уровни «гидродинамических» и «тепловых» возмущений будут смещаться. Из непрерывности ясно, что при малых G эти смещения невелики. Поэтому можно (по крайней мере, при малых G) условно говорить о ц- и v-ветвях спектра, сохраняя классификацию, справедливую, строго говоря, лишь при G = 0.

Чисто гидродинамический подход, развитый в предыдущем параграфе, позволяет следить лишь за ц-ветвями спектра. В полном же спектре присутствуют еще и v-ветви. Кроме того, конечно, взаимодействие тепловых и гидродинамических возмущений при G =5^ 0 приводит к существенному изменению гид»

родинамических ветвей (оба типа возмущений независимы лишь в предельном случае G = 0)..

Декременты возмущений и их амплитуды при малых разностях температур между плоскостями могут быть найдены в виде разложений по малому параметру. В полной аналогии с тем, как это описано в предыдущем параграфе, в рассматриваемой задаче можно искать решение в виде рядов по степеням g = ikG:'

Ф = Ф<°)-|-^(l) + g2<p<2) + ..., '

(45.7)(45.7)e = e(0) + ge(l) + g2e(2)+ ....л = л<°> + ^<,> + ^<2)+.

(45.7)

(45.7)

Нулевым приближением (ф(°\ 0<°\Х<°)) здесь является задача (45.1)— (45.3) о возмущениях при нулевой разности температур между плоскостями (g = 0); она дает «невозмущенный» спектр амплитуд и декрементов. Поправки к амплитудам и декрементам, возникающие при отличной от нуля (но достаточно малой) разности температур, получаются путем решения уравнений последовательных приближений. В каждом порядке приходится решать неоднородную задачу, условие разрешимости которой дает соответствующую поправку к декременту. Амплитуды ф<п\ 9<п) удобно искать в виде разложений по невозмущенным амплитудам. Стандартная техника теории возмущений приводит к довольно громоздким формулам, позволяющим получать поправки к амплитудам и декрементам [1б].

Важное свойство разложений (45.7) состоит в том, что, как и в случае произвольного изотермического нечетного профиля (см. предыдущий параграф), в интересующем нас случае конвективного движения обращаются в нуль все нечетные поправки: М1) = АЯ = ... = 0, и потому разложение декремента по степеням числа Грасхофа оказывается чисто вещественным:

X = ^-fe2G2^ + ...

Таким образом, возмущения, возникающие в нечетном конвективном течении между вертикальными параллельными плоскостями при малых разностях температур, монотонны. Колебательные возмущения могут возникнуть лишь при конечных значениях числа Грасхофа1). Из приводимых ниже численных результатов будет видно, что возникновение колебательных возмущений, как и в случае изотермического течения, связано со

слиянием вещественных уровней и с порождением в точке слияния пары комплексно-сопряженных декрементов.

Численный расчет спектра и устойчивости. Описанный выше метод, основанный на разложении амплитуд и декрементов в ряды по числу Грасхофа, позволяет получить удобную классификацию ветвей спектра и исследовать структуру возмущений при малых G. Для изучения спектра декрементов и амплитуд при конечных значениях числа Грасхофа можно провести расчет методом Галеркина.

В качестве базисных функций удобно выбрать амплитуды <р(о) и 0(0) возмущений в слое жидкости при g = 0, т. е. собственные функции краевых задач (45.4) и (45.5). Амплитуды ср и 6 представим в виде разложений

N-1М-1 *

_Ф = 2 ЗДп, 6=2 Ьт^т(45.8)

п =0т =0

(здесь и далее мы для краткости опустим значок <°> у базисных амплитуд). Подставляя эти разложения в исходные амплитудные уравнения (43.11), (43.12) и составляя условия ортогональности метода Галеркина, придем к следующей линейной однородной системе N + М уравнений для коэффициентов разложений ап и Ьт-.■

N-1М-1'

5 [(Ип ^) ^nr ikGHгп] ап2 ОпуЬт = о

п=0т =0

2 ikGCsnan -J- 2 [(^m ^) ^ms ~h ^GBms] bm —0 n=0m=0

(s = 0, 1, M — 1).

Матричные элементы определяются следующим образом:

Нгп— j^ j <ргНсрп йхэ Csn = J б^фп^Х,Jr = J <рг Дфг dx\н = ^-Г^Нгп— j^ j <ргНсрп йхэ Csn = J б^фп^Х,Jr = J <рг Дфг dx\н = ^-Г^Dm, /r J ®тфг dx, В ms = J ®mfo®s dx,/0=4-^3-x)-Dm, /r J ®тфг dx, В ms = J ®mfo®s dx,/0=4-^3-x)-

Нгп— j^ j <ргНсрп йхэ Csn = J б^фп^Х,

Jr = J <рг Дфг dx\

н = ^-Г^

Нгп— j^ j <ргНсрп йхэ Csn = J б^фп^Х,

Jr = J <рг Дфг dx\

н = ^-Г^

Dm, /r J ®тфг dx, В ms = J ®mfo®s dx,

/0=4-^3-x)-

Dm, /r J ®тфг dx, В ms = J ®mfo®s dx,

/0=4-^3-x)-

Учитывая нечетность профиля конвективной скорости /о, а также свойства четности базисных функций, легко показать, что Матричные элементы Н, В и D отличны от нуля лишь в случае индексов разной четности, а С — в случае одинаковой четности. •

§ 45]

Условие существования нетривиального решения системы (45.9) состоит в требовании равенства нулю ее определителя. Из этого условия определяется спектр характеристических декрементов X. Задача сводится, таким образом, к определению собственных значений соответствующей матрицы; унитарным преобразованием она может быть приведена к вещественному виду.

Определение собственных чисел и собственных векторов, как и в случае нечетного изотермического профиля, проводилось численно на ЭВМ с помощью ортогонально-степенного метода. Использовались приближения, в которых разложения (45.8) содержали одинаковое число членов N = М = 14. Путем сравнения результатов, получающихся с меньшим числом базисных функций, установлено, что указанное приближение дает достаточно точные значения декрементов нижних 9—14 уровней спектра при значениях параметра КЗ ^ 2500.

На рис. 117 приведены примеры спектров декрементов. Видно, что при малых G декременты вещественны. С увеличением G происходит попарное слияние уровней с порождением пары комплексно-сопряженных декрементов (возникновение осциллирующих возмущений). Простые пересечений уровней, как и в случае спектров изотермических течений с нечетным Профилем, отсутствуют. Интересно подчеркнуть особенность, хорошо видную на рис. 117,6. Гидродинамический уровень gi и тепловой уровень vi при некотором конечном значении G сливаются, образуя комплексно-сопряженную пару. Далее, при увеличении G снова наступает расщепление на две вещественные ветви. Такая особенность видна также и на рис. 117, в (пара уровней ц0, ve). ■

Структура спектра довольно существенно меняется при изменении числа Прандтля. При малых Р нижнюю часть спектра составляют гидродинамические уровни (при высокой теплопроводности тепловые возмущения быстро затухают и соответствующие декременты относительно велики). Спектр нижних гидродинамических уровней в предельном случае Р <С 1 получается в точности совпадающим со спектром изотермического течения с кубическим профилем. При Р ~ 1 декременты тепловых и гидродинамических возмущений одного порядка величины, и ц- и v-уровни спектра чередуются. При увеличении Р происходит «просачивание» тепловых уровней в нижнюю часть спектра. "

Изучение спектров позволяет получить информацию об устойчивости течения. На рис. 117, а видно, что нижний гидродинамический уровень цо, остающийся вещественным при всех G, пересекает ось G в некоторой точке. Положение этой точки дает критическое число Грасхофа, при котором теряется

Рис. 117. Декременты и фазовые скорости возмущений конвективного течения для трех значений числа Прандтля. Сплошные линии— гидродинамические ветви, штриховые линии — тепловые ветви; штрих-пунктиром изображены вещественные части комплексно-сопряженных пар..Рис. 117. Декременты и фазовые скорости возмущений конвективного течения для трех значений числа Прандтля. Сплошные линии— гидродинамические ветви, штриховые линии — тепловые ветви; штрих-пунктиром изображены вещественные части комплексно-сопряженных пар..

Рис. 117. Декременты и фазовые скорости возмущений конвективного течения для трех значений числа Прандтля. Сплошные линии— гидродинамические ветви, штриховые линии — тепловые ветви; штрих-пунктиром изображены вещественные части комплексно-сопряженных пар..

Рис. 117. Декременты и фазовые скорости возмущений конвективного течения для трех значений числа Прандтля. Сплошные линии— гидродинамические ветви, штриховые линии — тепловые ветви; штрих-пунктиром изображены вещественные части комплексно-сопряженных пар..

Рис. 118. Нейтральная кривая устойчивости конвективного движения между вертикальными плоскостями. Штриховыми линиями отмечены разрезы, для которых в § 50 проведен расчет надкри- • тических движений.Рис. 118. Нейтральная кривая устойчивости конвективного движения между вертикальными плоскостями. Штриховыми линиями отмечены разрезы, для которых в § 50 проведен расчет надкри- • тических движений.перестройка спектра, граница монотонперестройка спектра, граница монотонРис. 119. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Прандтля, / — монотонная неустойчивость; // — колебательная неустойчивость.Рис. 119. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Прандтля, / — монотонная неустойчивость; // — колебательная неустойчивость.

Рис. 118. Нейтральная кривая устойчивости конвективного движения между вертикальными плоскостями. Штриховыми линиями отмечены разрезы, для которых в § 50 проведен расчет надкри- • тических движений.

Рис. 118. Нейтральная кривая устойчивости конвективного движения между вертикальными плоскостями. Штриховыми линиями отмечены разрезы, для которых в § 50 проведен расчет надкри- • тических движений.

перестройка спектра, граница монотон

перестройка спектра, граница монотон

Рис. 119. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Прандтля, / — монотонная неустойчивость; // — колебательная неустойчивость.

Рис. 119. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Прандтля, / — монотонная неустойчивость; // — колебательная неустойчивость.

устойчивость стационарного течения по отношению к монотонному возмущению. С увеличением числа Прандтля в связи с

проникновением в нижнюю часть спектра v-уровней происходит перестройка спектра, и при Р = 1, например, монотонная неустойчивость порождается «смесью» уровней Ц1 и vi. При больших Р неустойчивость снова переходит к основному гидродинамическому уровню цо, к которому примешивается один из верхних тепловых уровней (ve при Р =

= 10).

Варьируя волновое число, можно определить зависимость критического числа Грасхофа от к. На рис. 118 изображена нейтральная кривая монотонной неустойчивости для Р = 1. Кривая имеет асимптоту при к0 « 2; коротковолновые возмущения с к > к0 затухают при всех значениях числа Грасхофа. -

Интересно заметить, что хотя при изменении Р происходит довольно существенная

ной неустойчивости остается мало чувствительной к этим изменениям. Критическое значение кт почти не меняется: кт « 1,4

для Р в пределах 0,01 < Р < 15. Минимальное значение Gm также слабо меняется с изменением Р в этих пределах (рис. 119). При Pel минимальное критическое число Грасхофа не зависит от Р и равно Gm = 495. Это значение, как и

следовало ожидать (см. предыдущий параграф), соответствует критическому числу Рейнольдса, полученному при исследовании устойчивости изотермического течения с кубическим профилем (напомним, что числа Грасхофа и Рейнольдса связаны соотношением R = G/6).

Тот факт, что при изменении числа Прандтля в широких пределах граница монотонной неустойчивости изменяется весьма слабо, говорит о гидродинамической природе кризиса. При всех значениях числа Прандтля описываемая неустойчивость

связана с нижними гидродинамическими возмущениями, и влияние на нее тепловых факторов незначительно.

Как показывают расчеты [59], кроме обсужденной выше монотонной неустойчивости, существует также колебательная неустойчивость стационарного движения. Эта неустойчивость возникает при достаточно больших числах Прандтля, превосходящих некоторое значение Р#. Грубая оценка этого предельного значения впервые была получена в работе [3] на основе первых приближений метода Галеркина. Проведенные позднее расчеты с большим числом базисных функций привели к значению Р*= 11,4.

В отличие от монотонной неустойчивости, колебательная неустойчивость существенно связана с неизотермичностью течения. Как видно из приводимого на рис. 120 спектра, она вызывается нижними тепловыми модами. Тепловые ветви vo и vi образуют пару колебательных возмущений, общая вещественная часть которых отрицательна в некоторой области чисел Грас-

(45.10)следует,критиче-(45.10)следует,критиче-Рис. 121. Форма монотонно растущего возмущения: а) линии тока; б) изотермы (параметры соответствуют точке А на рис. 117,6).Рис. 121. Форма монотонно растущего возмущения: а) линии тока; б) изотермы (параметры соответствуют точке А на рис. 117,6).

(45.10)

следует,критиче-

(45.10)

следует,критиче-

Рис. 121. Форма монотонно растущего возмущения: а) линии тока; б) изотермы (параметры соответствуют точке А на рис. 117,6).

Рис. 121. Форма монотонно растущего возмущения: а) линии тока; б) изотермы (параметры соответствуют точке А на рис. 117,6).

хофа. Таким- образом, колебательная неустойчивость порождается нарастающими в потоке тепловыми волнами1).

Нейтральные кривые колебательной неустойчивости представлены на рис. 120. При увеличении числа Прандтля критическое волновое число km растет, стремясь к предельному значению кт = 1,25. Минимальное значение Gm с ростом Р умень-

шается (см. рис. 119), и при больших Р имеет место асимптотическая зависимость

Из этой формулы что при больших Р ская разность температур равна 6т = 470 Уxv3 /g*PА3, т. е. растет с вязкостью по закону v3\

Поскольку колебательная неустойчивость порождается парой комплексно-сопряженных декрементов, возможны тепловые волны, распространяющиеся в потоке как вверх, так и вниз. Фазовая скорость бегущих нейтральных возмущений весьма близка к максимальной скорости невозмущенного потока.

Колебательная неустойчивость при больших Р рас-

сматривалась также в работе Гилла и Киркхэма [58], где использовался асимптотический метод, основанный на разложении решения по степеням параметра Р“‘\ Полученная в этой работе асимптотическая зависимость Gm(P) отличается от (45.10) лишь значением коэффициента (590 вместо 470).

Наряду с определением характеристических декрементов, метод Галеркина позволяет найти также и форму соответствующих возмущений. Относящиеся к этому вопросу численные результаты содержатся в статье Р. Н. Рудакова [19]. На рис. 121 приведены в качестве примера изолинии функции тока и

9 Следует подчеркнуть, что для нарастания тепловых волн важную роль играет их взаимодействие с гидродинамическими возмущениями. Чисто тепловые волны в потоке с кубическим профилем, как показано в [17], затухают

температуры монотонно растущего возмущения, с которым связан кризис основного течения при малых и умеренных числах Прандтля. Суммарное движение, образующееся в результате суперпозиции стационарного потока и возмущения, представлено на рис. 122 !)- Как видно, монотонная неустойчивость развивается в виде неподвижных вихрей на границе раздела встречных потоков. '

а)б)

Рис. 122. Линии тока и изотермы суммарного движения. Значения функции тока, указанные на рисунке, увеличены в 100 раз.

Итак, конвективное течение между вертикальными параллельными плоскостями оказывается неустойчивым относительно монотонных либо колебательных возмущений (см. рис. 119). При значениях числа Прандтля Р < 12 кризис вызывается монотонными возмущениями типа неподвижных вихрей на гра-

9 Линейная теория устойчивости, разумеется, не позволяет определить амплитуду вторичного движения. При построении суммарного движения на рис. 122 возмущение было нормировано таким образом, что амплитуда возмущения скорости составляла 0,1 средней скорости основного потока (в половине канала). Амплитуда вторичного движения может быть найдена на основе решения задачи в нелинейной постановке (см. § 50).

Рис. 123. Вторичные движения, возникающие в вертикальном слое в результате кризиса стационарного движения (фото из работы [21]; воздух, число Грасхофа превышает критическое на 9%).Рис. 123. Вторичные движения, возникающие в вертикальном слое в результате кризиса стационарного движения (фото из работы [21]; воздух, число Грасхофа превышает критическое на 9%).

Рис. 123. Вторичные движения, возникающие в вертикальном слое в результате кризиса стационарного движения (фото из работы [21]; воздух, число Грасхофа превышает критическое на 9%).

Рис. 123. Вторичные движения, возникающие в вертикальном слое в результате кризиса стационарного движения (фото из работы [21]; воздух, число Грасхофа превышает критическое на 9%).

нице встречных потоков. При Р >• 12 более, опасными становятся колебательные возмущения в виде бегущих тепловых волн.

Упомянем еще работу Гото и Сато [18], в которой с помощью асимптотического метода было показано, что конвективное течение становится неустойчивым также и относительно волн Тол- мина — Шлихтинга. Эта неустойчивость, однако, возникает при очень больших разностях температур (критическое число Gm «

«4,6- 10е). Наблюдать эту неустойчивость, по- видимому, практически невозможно, поскольку уже при гораздо меньших' G наступает кризис по отношению к монотонным или колебательным возмущениям, рассмотренным выше (эти типы неустойчивости в работе [18] не были обнаружены) .

В эксперименте неустойчивость стационарного конвективного движения может быть зарегистрирована тепловыми или оптическими измерениями [20~23]. В одной из первых экспериментальных работ Онзагера и Уатсона [20] исследовалась конвекция газов (N2 и СОг) в связи с изучением режима работы термодиффузионной колонны, и было обнаружено, что по мере увеличения давления газа наступает кризис теплопроводного режима, причем критическое число Грасхофа оказалось близким к 580. Вест и Арпаци [23] исследовали неустойчивость стационарной конвекции в воздухе, к которому для визуализации течения добавлялся табачный дым. Авторы обнаружили, что при числе Грасхофа 540 ± 10% возникают вторичные вихри в средней части слоя (рис. 123), с волновым числом кт = 1,37. Полученные в экспериментах значения критических параметров, а также найденная форма возмущений хорошо согласуются с изложенными в этом параграфе результатами.

§ 46. Конвективное движение в наклонномслое [24]

В этом параграфе мы рассмотрим задачу об устойчивости стационарного конвективного движения в плоском слое, произвольно ориен-

тированном относительно направления силы тяжести (рис. 124). Обобщение задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, на случай наклонного слоя представляет интерес по следующей

причине. В наклонном слое, границы которого поддерживаются

при различных температурах, градиент температуры при стационарном течении имеет вертикальную составляющую. Если этот вертикальный градиент направлен вниз (нижняя из плоскостей, ограничивающих слой, имеет более высокую температуру)

Рис. 124,. Наклонный слой. Оси координат.Рис. 124,. Наклонный слой. Оси координат.и достаточно велик, то неустойчивость возникает даже в неподвижной жидкости. При таком расположении плоскостей, очевидно, кроме гидродинамического механизма неустойчивости встречных конвективных потоков появляется еще один механизм неустойчивости — конвективный, связанный с подогревом жидкости снизу. Оба механизма — гидродинамический и конвективный — при определенных ориентациях слоя действуют совместно и приводят к кризису стационар-

Рис. 124,. Наклонный слой. Оси координат.

Рис. 124,. Наклонный слой. Оси координат.

ного движения.

Прежде всего, найдем стационарное движение в наклонном слое. Предпола

^. = V? + Tocosa,П = 0.^. = V? + Tocosa,П = 0.-^- = — TgSin a, dxи *-^- = — TgSin a, dxи *(46.1)(46.1)Здесь a — угол наклона слоя таковы:при х = — 1при х=1Здесь a — угол наклона слоя таковы:при х = — 1при х=1к вертикали. Граничные условияк вертикали. Граничные условияVo “ 6, Уд — 1;1vo = O, Гд--!. JVo “ 6, Уд — 1;1vo = O, Гд--!. J(46.2)(46.2)гая, как и в случае вертикального слоя, что скорость имеет только продольную составляющую, а температура зависит от поперечной координаты х, получим безразмерные уравнения:

^. = V? + Tocosa,П = 0.

^. = V? + Tocosa,П = 0.

-^- = — TgSin a, dxи *

-^- = — TgSin a, dxи *

(46.1)

(46.1)

Здесь a — угол наклона слоя таковы:

при х = — 1

при х=1

Здесь a — угол наклона слоя таковы:

при х = — 1

при х=1

к вертикали. Граничные условия

к вертикали. Граничные условия

Vo “ 6, Уд — 1;1

vo = O, Гд--!. J

Vo “ 6, Уд — 1;1

vo = O, Гд--!. J

(46.2)

(46.2)

Из (46.1), (46.2) находим распределения скорости, температуры и давления в стационарном плоскопараллельном движении:

(46.3)(46.3)Vo = у (^ ~ xt cos « — fo (я) cos a, То = — x, p0 = -y sin a + const.

(46.3)

(46.3)

Таким образом, как и в случае вертикального слоя, возникает течение с линейным распределением температуры и кубическим профилем скорости. Интенсивность движения зависит от ориентации слоя. Наибольшая скорость движения имеет место при вертикальном расположении (а = 0°). При а—>±90° скорость

стремится к нулю. Решение (46.3) в этих предельных случаях описывает равновесие горизонтального слоя, подогреваемого снизу (а = —90°) или сверху (а = 90°).

Запишем теперь уравнения малых возмущений стационарного движения. Повторяя все рассуждения § 43, получим вместо (43.11), (43.12) систему уравнений для амплитуд возмущений функции тока и температуры:

(Viv - 2£2ф" + й4ф) + ikG cos a [f"v - f0 (ф" - 62Ф)| +’

+ Z/г sin а • 0 + cos а • 6'= — А, (ф" — £2Ф); . (46,4)

(0" - fe20) + ikG (7> - f0 cos а • 0) = - Х0.

Для ф и 0 сохраняются прежние граничные условия (43.13). Параметрами задачи, определяющими спектр возмущений, по- прежнему являются числа Грасхофа G, Прандтля Р, волновое число к, и появляется новый параметр — угол наклона слоя к вертикали а.

Как и в частном случае вертикальной ориентации слоя, амплитудную краевую задачу будем решать методом Галеркина. Решение представляется в виде разложений (45.8). Система уравнений для коэффициентов ап и Ьт теперь имеет вид (сохраняются все обозначения предыдущего параграфа)

N-1

КНп — M 6„r — ikG cosa • НГД ап — п = 0

М-1

(46.5)(46.5)— У cos а • Dmr + ik sin а • -^ 6т — 0 — L'r J

(46.5)

(46.5)

т=0

(г = 0, 1,1);

N-1М-1-

^GC$nen 4~ S K^m М ^ms 4“ ^G cos а • Bms] bm = 0 fls=0/7l==0

(s = 0, 1, 2, ..., Af-l).

Эта система при a = 0 переходит в (45.9).

Вычисления проводились для значений числа Прандтля Р < 10, при которых кризис движения связан с монотонными возмущениями. Использовались приближения, содержавшие N = М = 8 4- 12 базисных функций.

На рис. 125 приведены нижние уровни спектра декрементов для различных углов наклона (параметры к и Р фиксированы). Рис. 125, а относится к горизонтальному слою, подогреваемому снизу. В этом предельном случае (см. § 6) все декременты вещественны (монотонные возмущения), и возможны лишь

простые пересечения уровней. Некоторые из декрементов с ростом G становятся отрицательными, порождая монотонную неустойчивость. Точки пересечения уровней спектра с осью G дают последовательность критических чисел, определяющих границы неустойчивости равновесия жидкости1). 4

Рис. 125. Спектр декрементов возмущений стационарного движения в наклонном слое (Р=1, А=1). Обозначения ветвей те же, что на рис. 117.

При отклонении слоя от горизонтальной ориентации структура спектра изменяется (рис. 125,6 и последующие). При сколь угодно малом наклоне к горизонтали простые пересечения в спектре исчезают. Возникают слияния вещественных уровней в комплексно-сопряженные пары (колебательные возмуще-

’) Получающиеся в расчете значения критических чисел Рэлея для четырех нижних уровней совпадают с точностью до десятых долей процента со значениями, полученными в работе [25] из точного характеристического уравнения. Это обстоятельство свидетельствует о высокой точности применяемого метода.

5 46]

ния), иногда с последующим расщеплением — при увеличении G — вновь на два вещественных уровня.

С точки зрения устойчивости наибольший интерес представляет нижний вещественный уровень, пересекающий ось G. При изменении наклона положение критической точки на оси G меняется. Кроме того, в результате «перецеплений» уровней спектра происходит смена мод, ответственных за кризис. Так, при а = —90° неустойчивость порождается нижним тепловым уровнем vo, при а = —50° — уровнем vi, а при а = 0° критическую

Рис. 126. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от угла наклона.

точку дает «смесь» теплового и гидродинамического уровней Vi и Hi-

Обработка спектров декрементов, построенных для разных значений к, позволяет найти критические числа Грасхофа и построить нейтральные кривые G(/?). Минимум на кривой G(£) дает границу устойчивости стационарного течения.

Результаты расчета показывают, что критическое значение волнового числа кт практически не зависит от Р и мало меняется с изменением наклона слоя. При изменении а от -—90° до 4-60° волновое число кт монотонно падает от значения 1,56 до 1,30, т. е. при любых ориентациях слоя ответственными за кризис являются возмущения с длинами волн порядка толщины слоя.

, Минимальные критические числа Грасхофа Gm в зависимости от угла наклона для трех значений числа Прандтля приведены на рис. 126 и в таблице 9.

Таблица 9

Минимальные критические числа Грасхофа в зависимости от угла наклона слоя

а

Р=0,2

Р=1

Р-5

Gm

кт

Gm

°т

кт

-90°

533

1,55

106,8

1,55

21,3

1,55

-80°

528

1,53

112,4

1,54

22,6

1,54

-70°

513

1,50

131

1,50

29,1

1,52

-60°

489

1,46

407

1,45

378

1,48

-50°

465

1,44

475

1,45

443

1,43

-40°

448

1,40

470

1.45

453

1,42

-30°

440

1,37

462

1,43

453

1,42

-20° •

440

1,35

462

1,43

458

1,42

-10°

450,

1,35

471

1,42

466

1,40

0°

470

1,35

497

1,42

490

1,40

10°

510

1,35

532

1,40

527

1,38

20°

565

1,35

590

1,40

583

1,37 '

30°

660

1,33

682

1.38

678

1,36

40°

860

1,30

827

1,35

830

1,35

50°'

1065

1,30

1085

1,33

1087

1,34

60°

1580

1,28

1583

1,32

1595

1,32

Можно выделить две области углов. При ориентациях слоя, близких к горизонтальной (—90° < а < —50°), критические числа Gm существенно зависят от числа Прандтля. Произведение же Gm-P практически постоянно. Таким образом, в этой области углов граница устойчивости определяется числом Рэлея Rrn = G7neP, что характерно для конвективной неустойчивости равновесия. Ясно, что кризис в этой области углов связан с механизмом конвективной неустойчивости жидкости, подогреваемой снизу. В самом деле, при а = —90° имеет место явление порога конвекции в чистом виде. При почти горизонтальном расположении слоя кризис, очевидно, также имеет конвективную природу, с той лишь разницей, что теперь неустойчивость развивается не в покоящейся жидкости, а на фоне медленного движения, обусловленного малым горизонтальным градиентом температуры.

В области углов а > —50° картина иная. Конвективный механизм неустойчивости в этой области не является основным, а при а > 0° и вовсе отсутствует, так как при таких ориентациях слоя нагретая плоскость расположена сверху, что соответствует устойчивой стратификации. Кризис стационарного течения в этих условиях имеет гидродинамическую природу и возникает в результате взаимодействия встречных конвективных потоков. Определяющим параметром теперь является число

Грасхофа, практически не зависящее от числа Прандтля,— в этом находит отражение слабое влияние тепловых факторов на устойчивость движения.

Предельный случай а-*90° соответствует равновесию гори- зонтального слоя, подогреваемого сверху. Такое равновесие устойчиво, и потому О™—юо при а—►90°.

Итак, при изменении угла наклона а от —90° до 90° в об* ласти а ~ —60° происходит смена механизма неустойчивости стационарного движения. Интересно отметить, что этот переход происходит без скачка: критическое число Грасхофа непре-

рывно меняется вдоль одной ветви неустойчивости.

Особого рассмотрения заслуживает вопрос о поведении коротковолновых возмущений при разных углах наклона.

В подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости коротковолновые возмущения со сколь угодно большими волновыми числами приводят к неустойчивости при достаточно больших значениях числа Рэлея. На нейтральной кривой при больших к критические числа Рэлея монотонно растут по закону R ~ /?4 (см. §§ 5, 6). При вертикальной же ориентации неустойчивость

Рис. 127. Карта устойчивости и неустойчивости коротковолновых возмущений, I и 77 — нейтральные линии монотонных возмущений; штриховая линия— граница области колебательных возмущений. Цифрами обозначены области 1 и 2 — устойчивости, 3 и 4 — монотонной неустойчивости. 5 — колебательной неустойчивости.Рис. 127. Карта устойчивости и неустойчивости коротковолновых возмущений, I и 77 — нейтральные линии монотонных возмущений; штриховая линия— граница области колебательных возмущений. Цифрами обозначены области 1 и 2 — устойчивости, 3 и 4 — монотонной неустойчивости. 5 — колебательной неустойчивости.достаточно большой длинойдостаточно большой длинойпорождают лишь возмущения с волны. Нейтральная кривая С(к) при к = ко, и коротковолновые возмущения с к

Рис. 127. Карта устойчивости и неустойчивости коротковолновых возмущений, I и 77 — нейтральные линии монотонных возмущений; штриховая линия— граница области колебательных возмущений. Цифрами обозначены области 1 и 2 — устойчивости, 3 и 4 — монотонной неустойчивости. 5 — колебательной неустойчивости.

Рис. 127. Карта устойчивости и неустойчивости коротковолновых возмущений, I и 77 — нейтральные линии монотонных возмущений; штриховая линия— граница области колебательных возмущений. Цифрами обозначены области 1 и 2 — устойчивости, 3 и 4 — монотонной неустойчивости. 5 — колебательной неустойчивости.

достаточно большой длиной

достаточно большой длиной

(рис. 118) имеет асимптоту к0 затухают(рис. 118) имеет асимптоту к0 затухаютпри всех G.

(рис. 118) имеет асимптоту к0 затухают

(рис. 118) имеет асимптоту к0 затухают

Рис. 127 дозволяет получить ответ на вопрос о поведении возмущений с к > к0 в переходной области углов. На этом рисунке изображена карта областей устойчивости и неустойчивости, порождаемых двумя нижними ветвями спектра (vo и до)» На вертикальном разрезе а = —81° отмечены характерные точки. В области (а—б) имеет место монотонная неустойчивость по отношению к vo-возмущению. В области (б—в) монотонно нарастают оба возмущения. В точке в происходит слияние до- и vo-ветвей с образованием пары растущих колебательных возмущений; (в—г)—область колебательной неустойчивости. В области выше точки г оба колебательных возмущения затухают.

Из рисунка видно, что с увеличением угла наклона к горизонтали происходит«замыкание»соседних уровней конвективной

неустойчивости, и выше определенного значения угла наклона коротковолновая неустойчивость исчезает. Для тех параметров, к которым относится рис. 127, предельный угол наклона составляет 15°. Расчет показывает, что чем больше к, тем быстрее исчезает неустойчивость при отклонении слоя от горизонтали. Любопытно, что в определенной области параметров (область 5 на рис. 127) существует колебательная неустойчивость по отношению к коротковолновым возмущениям.

В заключение заметим, что, как показано в р4], аналогичным образом дело обстоит и с верхними уровнями конвективной неустойчивости. При небольшом отклонении слоя от горизонтали происходит «замыкание» верхних уровней, а основной уровень конвективной неустойчивости непрерывно переходит в единственный уровень монотонной неустойчивости движения.

§ 47. Пространственные возмущения Р6]

В теории устойчивости плоскопараллельных изотермических течений существует известное преобразование Сквайра р7>6], сводящее задачу об устойчивости относительно пространственных возмущений к соответствующей задаче для плоских возмущений. Полученные Сквайром формулы преобразования числа Рейнольдса и волнового числа позволяют получить всю информацию об устойчивости из решения двумерной краевой задачи Орра—Зоммерфельда. При этом оказывается, что плоские возмущения более опасны: им соответствуют наименьшие критические числа Рейнольдса.

В этом параграфе мы рассмотрим пространственные возмущения стационарного конвективного движения в плоском наклонном слое. В этом случае, как будет видно, также существуют преобразования, аналогичные преобразованиям Сквайра, с помощью которых можно свести пространственную задачу к плоской. Благодаря этому все выводы об устойчивости относительно пространственных возмущений можно получить из результатов решения плоской задачи, изложенных в предыдущем параграфе. Как оказывается, в отличие от изотермических потоков, плоские возмущения отнюдь не всегда являются наиболее опасными.

Будем исходить из общих уравнений (43.7) и рассмотрим пространственные нормальные возмущения, в которых отличны от нуля все три компоненты скорости (ух,оу, vz) и все величины периодически меняются вдоль осей у и .z, параллельных границам слоя:

(о,. vu, t>z, Т, р) ~ exp [- Xt + / (куу + кгг^\

Здесь ку и кг — волновые числа по осям у и г. '

. Из (43.7) следуют амплитудные уравнения для пространственных возмущений:

(47.1)(47.1)Хух + ikzG cos а • fQyx = — р' + (у" — к2у^ — sin а • в, - Хуу + ikzG cos а • fQyy = - ikyp + (у" - к2уу\ — Xvz + ikzG cos а • foyz + G cos а • f'yx =

(47.1)

(47.1)

= — lkzp + ^у" — k2v^ + cos а • 6*

Кв + ikzG cos а • f06 + GT'oyx = -^ (0" - k20\

yx+ Ч^л +*a)=0-

Здесь теперь через к2 обозначено к2+ к2; все остальные обозначения — те же, что и в предыдущем параграфе.

Амплитуды возмущений удовлетворяют однородным граничным условиям

при х = ± 1 ух = уу = yz = 0; 6 = 0.(47.2)

Соответствующая краевая задача для плоских возмущений получается, если положить уу = 0, ку = 0 и'

(ух, yz, Т, р) ~ exp (— Kt + ikz)

(далее мы будем отмечать чертой сверху все неизвестные функции и параметры, относящиеся к плоской задаче). Запишем амплитудные уравнения для-плоских возмущений:

Хух + ikG cos ci • fovx = — p' + (о" — k2y^ — sin a • 0,

Ху2 + ikG cos a • /обг + G cos a • %ух =

= — ikp + (y" — k2y^ + cos a • 0, .(473)

X0 + ZAG cos a • fo04- ОТ'йУх = y-(0" - ^0),

y' + ikvz = 0.

и граничные условия при х = ± 1 ух = yz = 0, 0 = 0. (47.4)

Плоская задача (47.3), (47.4) полностью эквивалентна (46.4); отличие состоит лишь в том, что теперь мы в качестве неизвестных используем обе компоненты скорости, а не функцию тока.

Легко убедиться в том, что пространственная задача (47.1), (47.2) может быть сведена к плоской (47.3), (47.4) при

помощи следующих преобразований неизвестных функций и параметров:

Л = М их = их, куХ)у-\-кг*ог = кх)г\ р = р\

sin а • 9 = sin а • 9, kz cos а • 9 = к cos а • 9;

-(47.5)

k2G cos а = kG cos d, G sin а = G sin d,

fe2s^ + ^=й2, P = P.

Система условий (47.5) непротиворечива. Из нее, в частности, следуют формулы преобразования числа Грасхофа, волнового числа и угла йаклона слоя к вертикали:

(47.6)(47.6)G = Gz}/"sin2 а + (у") cos2 а > £ = /^+"^ tga = (-^)tga.

(47.6)

(47.6)

Таким образом, критическое число Грасхофа G трехмерных возмущений с волновыми числами ку и кг для слоя, ориентированного под углом а к вертикали, можно определить с помощью формул (47.6), если известно критическое число G для плоских возмущений с волновым числом к в слое, наклоненном под углом а (отличным от а).

Обсудим, прежде всего, два частных случая.

Если слой жидкости расположен горизонтально (а = ±90°), то скорость стационарного движения обращается в нуль (см. (46.3)), и получается задача об устойчивости равновесия. При этом, как видно из (47.6), a = ±90° и G = G, т. е. имеет место известное вырождение рэлеевской границы неустойчивости для конвективных ячеек и валов (§ 5).

В случае вертикального слоя (а = 0) из (47.6) находим

a = 0, G = G • '

Поскольку к/к2 ^ 1, то G ^ G, т. е., как и в случае изотермического течения, трехмерным возмущениям соответствуют более высокие критические числа Грасхофа, и следовательно, плоские возмущения (^ = 0) наиболее опасны.

При произвольном а критические числа для пространственных возмущений могут быть получены путем пересчета критических параметров плоских возмущений по формулам (47.6). При пересчете удобно считать фиксированным отношение а = = kjk. Этот параметр изменяется в пределах 0 ^ a ^ 1. Значение а = 1 получается при ку = 0 и соответствует плоским возмущениям (валы с горизонтальными осями). Другой пре-

Рис. 128. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от угла наклона слоя /для пространственных возмущений.Рис. 128. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от угла наклона слоя /для пространственных возмущений.

Рис. 128. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от угла наклона слоя /для пространственных возмущений.

Рис. 128. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от угла наклона слоя /для пространственных возмущений.

дельный случай а = 0, т. е. кг = 0, соответствует возмущениям,

не зависящим от z и периодически зависящим от горизонтальной координаты у (валы, оси которых параллельны скорости основного движения).

Минимальные критические числа Gm пространственных возмущений в зависимости от угла наклона слоя для различных

значений параметра а приведены на рис. 128.

Как видно из рис. 128, а, относящегося к значению числа Прандтля Р = 5, при а ^ 0 (вертикальная ориен-

тация слоя, либо наклонная ориентация при условии, что верхняя плоскость имеет более высокую температуру) наиболее опасны плоские возмущения (а=1). Если же а<0 (наклонный слой, подогреваемый снизу), то в значительной области изменения а более опасны пространственные возмущения, причем абсолютный минимум Gm достигается при а = 0. Значение критического числа Gm (а) в этом важном предельном случае можно найти непосредственно из общей задачи для пространственных возмущений (47.1), (47.2), полагая &г = 0. Для у», vv и 0 при этом получаются уравнения:

— Ху, = — р' + (у" — к2у \ — sin а • 9, Л•X лу л /

- Ху = - ik р + (у^ - к^ ^

-хе + от;цх=-1-(е"-^е),

v; + ^=°-

Эти уравнения не содержат скорости основного движения и отличаются от уравнений возмущений равновесия лишь заменой g —► — ^sin a (g —ускорение силы тяжести). Граница устойчивости находится из условия X = О минимизацией G(fey). Решение задачи известно: критическое число Рэлея для случая обеих твердых границ, равно 1708. В нашем случае в качестве единиц расстояния и температуры выбраны полуширина слоя и полуразность температур. Поэтому

- п • 1708— GmP sin а = —,

и критическое число Грасхофа для возмущений с кг = 0 есть Gm=z^. (47-8)

Эта формула дает абсолютный минимум Gm в интервале углов —90° ^ a < а, где значение а» определяется пересечением кривых, соответствующих а = 0 и а= 1. Значение а* зависит от числа Прандтля. Для Р = 5, например, а» = —2,5°. При уменьшении Р точка пересечения а* сдвигается влево. Так, при Р=1 имеем а* = —13°, а при достаточно малых значениях числа Прандтля а*-*— 90°. При Р = 0,2 (рис. 128,6) абсолютный минимум Gm для всех углов a > —90° переходит к плоским возмущениям с a = 1. Для a = —90° имеется вырождение, о котором говорилось выше.

Итак, в отличие от изотермических потоков, для конвективного течения плоские возмущения отнюдь не всегда наиболее опасны. Ситуация определяется двумя параметрами — числом Прандтля и углом наклона. При достаточно больших значениях числа Прандтля1) и a < а* наиболее опасны пространстЬенные возмущения. С изменением угла наклона происходит смена формы неустойчивости — от пространственных возмущений при a < a# к плоским при a > а* (рис. 129). Для достаточно больших Р критическое значение а* близко к нулю (в случае строго вертикальной ориентации, однако, при всех Р наиболее опасны плоские возмущения). С уменьшением Р расширяется область углов, внутри которой главную опасность представляют плоские возмущения. При малых Р (практически при Р < 0,25) плоские возмущения наиболее опасны при всех а.

В заключение заметим, что смена форм неустойчивости связана с наличием двух физически различных механизмов, о которых говорилось в предыдущем параграфе. В самом деле, в рэлеевской области ответственными за неустойчивость являются пространственные возмущения; кризис этих возмущений

связан лишь с неустойчивой температурной стратификацией и не зависит от стационарного движения жидкости (скорость этого движения при углах, близких к —90°, мала, и само по себе это движение гидродинамически устойчиво). В случае же вертикального расположения слоя и тем более при а >0° причиной кризиса служит гидродинамическая неустойчивость встречных конвективных потоков; при этом наиболее опасны, как и в изотермических потоках, плоские возмущения.

Рис. 129. Схематическое изображение критических движений, а) плоские вихри на границе встречных потоков (оси вихрей горизонтальны; а=1, а > а*); б — пространственные спиральные движения (оси валов параллельны направлению основного потока; а=0; а < а*).

Если число Прандтля мало (малая вязкость), то уже небольшое отклонение слоя от горизонтали (а ^ —90°) приводит к достаточно интенсивному конвективному движению, и в этом случае даже в рэлеевской области неустойчивость имеет гидродинамическую природу и связана с развитием плоских возмущений. '

Влияние продольного градиента температурыи магнитного поля на устойчивость движения

В этом параграфе мы рассмотрим обобщения задачи об устойчивости движения в вертикальном слое, учитывающие наличие одного из двух факторов — продольного градиента температуры или магнитного поля. Продольный градиент температуры или поперечное магнитное поле (в случае проводящей жидкости) существенно влияют на интенсивность движения и профиль скорости, а также на развитие возмущений. Поэтому эти факторы оказывают значительное влияние и на устойчивость движения. ■

Продольный градиент температуры. Рассмотрим сначала, следуя работе [28], влияние продольного градиента температуры. Будем считать, что кроме поперечной разности температур между плоскостями 20, имеется еще и постоянный по высоте вертикальный градиент температуры Д (Д > О соответствует подогреву снизу). Граничные условия для температуры, заменяющие (43.2), теперь запишутся в виде

при х=+А ^=±0 —Дг. (48.1)

Легко убедиться в том, что и в этом случае существует плоскопараллельное стационарное движение, профили скорости и температуры которого, в зависимости от направления продольного градиента, удобно записать следующим образом (приняты те же, что и в § 43, единицы).

Подогрев сверху (Д < 0):

1/ ch цх • sin цх sh цх • cos цх \02ц2Р \ ch ц • sin ц sh ц • cos ц / *

(48.2)(48.2)(48.3)(48.3), Л Л J1/ ch цх • sin цх . sh цх • cos цх\

(48.2)

(48.2)

(48.3)

(48.3)

00 ^ । то> То D \ sh ц • cos ц ‘ ch ц • sin ц /

(D = thp-ctgp + cthp,-tgp; ц4= — ^r).

Подогрев снизу (А > 0): 1 / sh ух sin ух \

У° 2у2 \ sh у sin у / *

т =_т —• ( shyx ■ ап ух)

00+ о, о 2 \ shy sin у /

(y = R7‘).

Здесь число Рэлея определено через продольный градиент температуры: R = gpA^Vvx- При R-*0 формулы (48.2) и (48.3) дают кубическое распределение скорости и линейное распределение температуры (43.6), соответствующие чисто боковому подогреву.

Профили (48.2) и (48.3) представлены на рис. 130 и 131. В случае подогрева сверху (R •< 0) с увеличением |R| течение замедляется, особенно в центральной части слоя. При больших значениях |R| у границ образуются пограничные слои, а в центральной части появляются слабые возвратные течения. Значительно сложнее деформация профиля при подогреве снизу (R > 0). С ростом R в интервале 0 < R < л4 интенсивность движения возрастает, и при R -> л4 скорость становится бесконечной. При переходе через значение л4 происходит «инверсия» стационарного профиля. При дальнейшем увеличении R появляются новые узлы скорости, а в точках Й = (2л)4, (Зл)4, ...

скорость обращается в бесконечность. Эти значения как раз совпадают с критическими числами Рэлея, соответствующими кризису равновесия в вертикальном слое, подогреваемом снизу (см. § 12).

Рис. 130. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подогрев сверху).Рис. 130. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подогрев сверху).

Рис. 130. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подогрев сверху).

Рис. 130. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подогрев сверху).

Исследование устойчивости движений (48.2) и (48.3) относительно плоских нормальных возмущений приводит к амплитудной задаче, отличающейся от (43.11) — (43.13) по виду лишь

Рис. 131. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подогрев снизу).Рис. 131. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подогрев снизу).

Рис. 131. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подогрев снизу).

Рис. 131. Профили скорости и температуры при наличии продольного градиента (подогрев снизу).

тем, что в левой части уравнения теплопроводности (43.12) присутствует дополнительный член (R/P) ф', описывающий влияние продольного градиента на возмущения. Разумеется, существенное отличие состоит также в том, что невозмущенные профили у0 и Го теперь сложным образом зависят от продольного

градиента. Приближенное решение амплитудной задачи получено в работе [28] методом Галеркина (§ 45); часть расчетов выполнена методом Рунге — Кутта.

Приступая к изложению результатов, остановимся сначала на случае подогрева сверху (Л < 0; R<0). В этом случае

имеет место устойчивая стратификация плотности по высоте, движение стабилизируется.

в результате чего стационарноев результате чего стационарноеРасчет показывает, что при малых и умеренных числах Прандтля кризис связан со стоячими (монотонными) возмущениями. Нейтральная кривая на плоскости число Грасхофа — волновое число имеет минимум при критическом волновом числе кт. Минимальное критическое число Грасхофа Gm монотонно возрастает при увеличении |R| (рис. 132), и при некотором предельном |R|=R» достигается полная стабилизация (Gm->

в результате чего стационарное

в результате чего стационарное

оо). Для Р = 1 и Р = 0,2

Рис. 132. Минимальное критическое число Предельные ЗНаЧбЙИЯ Roo Грасхофа в зависимости от продольного. .

градиента (подогрев сверху).СООТВСТСТВеННО раВНЫ 112 И

125 *). Длина волны наиболее опасных возмущений монотонно растет с ростом |R|, и при |R| -^Roo волновое число кт стремится к нулю.

При больших числах Прандтля, как показано в [58], возможна

также и колебательная неустойчивость. В пределе при больших Р справедлива формула Gm = S/V^P (ср. формулу (45.10)), где коэффициент S растет с увеличением продольного градиента.

Случай подогрева сверху представляет интерес в связи с проблемой устойчивости конвективного движения в вертикальном слое конечной высоты. Конвективное течение, обусловленное поперечной разностью температур, сопровождается продольным конвективным переносом тепла вверх. Если канал закрыт сверху и снизу пробками конечной теплопроводности, то

вверху накапливается тепло, и вследствие этого автоматически устанавливается продольный градиент температуры, направленный вверх. Этот градиент определяется значением поперечной разности температур, отношением высоты слоя к ширине, а так-

’) Чисто гидродинамический подход (без учета тепловых факторов) дает сильно завышенное значение Roo = 374 [31].

Рис. 133. Вторичное течение в слое силиконового масла при наличии продольного градиента температуры, направленного вверх (фото из [28]).Рис. 133. Вторичное течение в слое силиконового масла при наличии продольного градиента температуры, направленного вверх (фото из [28]).

Рис. 133. Вторичное течение в слое силиконового масла при наличии продольного градиента температуры, направленного вверх (фото из [28]).

Рис. 133. Вторичное течение в слое силиконового масла при наличии продольного градиента температуры, направленного вверх (фото из [28]).

же, вообще говоря, условиями теплоотдачи на концах слоя. Таким образом, профили скорости и температуры (48.2) моделируют конвективное течение в . удаленной от концов части вертикального слоя конечной высоты Р8-23].

Исследование формы критических движений [23>30] показывает, что, как и в случае чисто бокового подогрева, неустойчивость связана с образованием вихрей на границе встречных потоков (см. фото на рис. 133).

. Перейдем теперь к изложению результатов, относящихся к случаю подогрева снизу (А > 0, R > 0). Продольный градиент температуры в этом случае создает неустойчивую стратификацию, что, в общем, способствует дестабилизации течения. Кроме того, как и в обсужденном в § 46 случае наклонного слоя, теперь действуют два механизма неустойчивости — гидродинамический и конвективный.

Наличие этих механизмов иллюстрируется картой устойчивости, представленной на рис. 134. В случае чисто бокового подогрева (R = 0) течение становится неустойчивым при некотором критическом значении числа Грасхофа (G = 575 для Р=1 и 6=1). Увеличение R приводит к возрастанию скорости стационарного движения; вследствие этого гидродинамическая устойчивость встречных конвективных потоков

понижается — критическое число Грасхофа уменьшается (линия /). При R-* л4 скорость стремится к бесконечности, и течение становится неустойчивым при сколь угодно малом G. Переход-через критическую точку л4 сопровождается «инверсией» скорости, а интенсивность стационарного движения

уменьшается. При этом, естественно, повышается гидродинамическая устойчивость (линия 2). Между линиями / и 2 заключена_

полоса гидродинамической неустойчивости, внутри которой воз

мущения монотонно нарастают.

Кроме полосы гидродинамической неустойчивости, имеются еще области конвективной неустойчивости, примыкающие к оси R. При отсутствии поперечной разности температур (G = 0) два нижних критических числа Рэлея равны R = 132 и 319. С увеличением G критические числа Рэлея изменяются (линии

3 и 4) и происходит характерное замыкание нейтральных линий монотонных возмущений, вполне аналогичное описанному в § 46. Как и в случае наклонного слоя, замыкание монотонных уровней сопровождается появлением области колебательной неустойчивости.

Изображенная на рис. 134 карта устойчивости относится к фиксированному значению волнового числа. Для определения

G 600

Рис. 134. Карта устойчивости (Р=1, Л=1; области неустойчивости заштрихованы). Линии / и 2 —границы полосы гидродинамической неустойчивости; 3 и 4 — два нижних уровня монотонной конвективной неустойчивости; 5 и б — границы области колебательной неустойчивости.

нижней границы области, неустойчивости нужно провести минимизацию зависимости G от к. В области 0 < R < л4 минимальное значение Gm монотонно убывает до нуля при К~*л4, причем значения Gm(R) весьма слабо зависят от числа Прандтля, что связано с гидродинамическим характером неустойчивости в этой области. В области R > л4, очевидно, минимальное значение Gm = 0 для всех Р. В самом деле, при любом R > л4 всегда найдется возмущение с таким волновым числом, для которого критическое число Грасхофа равно нулю. Это волновое число определяется нейтральной линией R(&) основного уровня неустойчивости равновесия подогреваемого снизу вертикального слоя.

На рис. 135 и 136 представлены сводные результаты, дающие зависимости минимального числа Грасхофа и критического волнового числа от R для случаев подогрева сверху и снизу. Следует подчеркнуть, что хотя в случае подогрева снизу при определенных значениях параметров возможна колебательная неустойчивость, нижняя граница области неустойчивости, опре-

деляемая минимизацией по к, связана с монотонными возмущениями. Таким образом, следует ожидать, что в результате неустойчивости при всех R будут устанавливаться стационарные вторичные движения.

Магнитное поле [32>33]. Рассмотрим теперь магнитогидродинамическое обобщение задачи. Будем считать, что разность тем-

Рис. 135. Граница устойчивости движения в вертикальном слое при наличии продольного градиента.

Рис. 136. Критическое волновое число в зависимости от продольного градиента.

ператур между вертикальными плоскостями вызывает конвективное движение проводящей жидкости, на которую действует внешнее однородное магнитное поле. Если поле направлено перпендикулярно ограничивающим плоскостям, то оно существенно влияет на стационарное движение и на поведение

возмущений. Это приводит к сильной стабилизации течения. Если же поле направлено вертикально, т. е. параллельно скорости стационарного движения, то оно не влияет на плоскопараллельный поток; его роль сводится лишь к влиянию на возмущения. При этом также имеет место стабилизация течения, хотя эффект значительно слабее, чем в случае поперечного поля.

Уравнения конвекции проводящей жидкости в магнитном поле обсуждены в § 24. Запишем эти уравнения в безразмерной форме, выбрав те же единицы расстояния, времени, скорости, температуры и давления, что и в § 43, и приняв за единицу поля напряженность внешнего однородного поля Но;

(48.4)(48.4)^ + G Ш » = -V (р + ^ ^)+At,+rv + ^ ^Н,47 + G(Wn=-^AT,

(48.4)

(48.4)

-^- + Grot(flXv)= р^АЯ,divv = 0, dwH = 0.

Параметры М и Pm определены в § 24; число Гартмана М в качестве характерного размера включает полуширину слоя к.

Из уравнений (48.4) нетрудно получить распределение скорости, температуры и индуцированного магнитного поля при плоскопараллельном стационарном движении. В случае продольного поля магнитогидродинамическое взаимодействие между полем и потоком отсутствует; в этом случае индуцированного поля нет, и сохраняются профили скорости и температуры, полученные в § 43 (формулы (43.6)). В случае поперечного поля сохраняется линейное распределение температуры, а профили скорости и индуцированного (продольного) магнитного поля имеют вид ' , ,

1 /shMx\

(48.5)(48.5)У°~ МЧ shMх)‘

(48.5)

(48.5)

, PmG / х2 — 1 chMx —chM\

Oz М2 k 2MshM

(при определении НОг считается, что индуцированное поле исчезает на границах слоя). Профили (48.5) представлены на рис. 137. С увеличением числа Гартмана движение замедляется, и вблизи границ образуется гартмановский пограничный слой, толщина которого при больших М порядка 1/М.

Запишем теперь уравнения для амплитуд нормальных возмущений. С этой целью введем, кроме возмущений температуры и скорости, возмущение поля в виде Но + Н, где Нй — невозму-

щенное поле (включающее в себя, кроме внешнего поля, также и индуцированное), а Я—малое возмущение. В случае плоских

а)

Рис. 137, Профиль скорости (а) и индуцированное поле (б) в случае поперечного внешнего поля.

возмущений *) удобно ввести функцию тока ф и магнитный потенциал А, связанный с компонентами Н соотношениями:

н _ М_ „ ЭЛдг 'дх’

где А = а(х)ехр(—М + Z£z).

Для амплитуд возмущений функции тока, температуры и потенциала получается система линейных однородных уравнений:

(ф1У — 2/г2<р" + &4ф) + ikG [УоФ ~ vo (ф" — ^2ф)] + О' +

+ SVH°X ка'" - ^ + 1кНог {а" - ^ - 1кад =

= _А(ф"-^ф), (48.6)

у (9" - /г2е) + Z^G (Г'ф - цое) = - Аб,(48.7)

-гГ- (а" — £2а) + G \ik (Н^у — voa) 4- ЯОхф'] = — Ха.(48.8)

г т

Если иметь в виду жидкие металлы, для которых параметр Рт очень мал (для ртути, например, Рт^Ю-7), то систему (48.6)— (48.8) можно упростить по аналогии с тем, как это

’) Здесь не рассматриваются пространственные возмущения. По опыту исследования устойчивости изотермических течений (£м. Р8]) можно думать, что в сильных полях такие возмущения могут оказаться более опасными.

делается при исследовании устойчивости изотермических потоков проводящей жидкости (см. [34»35]). При умеренных значениях числа Грасхофа можно воспользоваться малостью параметра PmG (аналог известного приближения малых магнитных чисел Рейнольдса). В случае поперечного поля ЯОх=1, а индуцированное поле //02 мало; поэтому членами, содержащими Н02) в уравнении (48.6) можно пренебречь. В уравнении (48.8) также следует опустить член, содержащий HOz; кроме того, ввиду малости PmG следует удержать лишь главный из членов, содержащих амплитуду магнитного потенциала а. Таким образом, (48.8) приближенно записывается

a"-k2a=-PmG^.

Уравнение (48.6) тогда принимает вид

(ф1 v - 2/Ар" + £4ф) + Z^G [у^ф - о0 (ф" - £2ф)] + 6' - W' =

= -Х«-к2ц)\ (48.9)

В случае продольного поля НОх=1, НОх = 0. Удерживая в ,(48.8) главные члены, получим

а" — к2а = — /№тОф.

После подстановки в (48.6) будем иметь

(Ф1 v - 2^2ф + *4ф) + ^G [и^ф - v0 (ф" - /Ар)] + 0' + А2М2ф =

= — Z (ф" — £2ф).(48.10)

Таким образом, в принятом приближении как в случае попе

речного, так и продольного поля амплитуда магнитного потенциала может быть исключена

2\1,^11—■О 10 20 30 ^0 50 60 702\1,^11—■О 10 20 30 ^0 50 60 70Рис. 138. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Гартмана (Р = 0,02). / — продольное поле, 2 —поперечное поле.Рис. 138. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Гартмана (Р = 0,02). / — продольное поле, 2 —поперечное поле.из уравнений. Влияние поля на возмущения описывается при этом добавочными членами в уравнении движения, причем эти члены выражаются через амплитуду возмущения функции тока. Уравнение теплопроводности (48.7) и гра-

2\1,^11—■

О 10 20 30 ^0 50 60 70

2\1,^11—■

О 10 20 30 ^0 50 60 70

Рис. 138. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Гартмана (Р = 0,02). / — продольное поле, 2 —поперечное поле.

Рис. 138. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Гартмана (Р = 0,02). / — продольное поле, 2 —поперечное поле.

ничные условия для амплитуд Ф и 0 остаются без изменений.

В работе [33] амплитудная краевая задача решалась методом Бубнова — Галеркина в приближении, содержавшем по

две полиномиальные базисные функции в разложениях ф и 0. Основной результат вычислений представлен на рис. 138, где изображено минимальное критическое число Грасхофа в зависи-

мости от числа Гартмана для монотонных возмущений1). Критическое волновое число кт с увеличением числа Гартмана монотонно уменьшается.

Как видно, магнитное поле существенно стабилизирует конвективное движение, причем поперечное поле, влияющее не только на возмущения, но -и на стационарное движение, оказывает значительно большее стабилизирующее воздействие.

В заключение этого параграфа укажем на другие усложнения задачи об устойчивости конвективного движения: эффект температурной зависимости вязкости [36] и влияние движения границ слоя [37].

§ 49. Движение, вызванное внутренними источниками тепла [39]

В предыдущих параграфах исследовалась устойчивость конвективного движения, возникающего при наличии разности температур между плоскостями. В этом параграфе мы рассмотрим плоскопараллельное движение между вертикальными плоскостями, вызванное другой причиной — однородно распределенными в жидкости внутренними источниками тепла. Если канал, ограниченный плоскостями, находящимися при одинаковой температуре, закрыт сверху и снизу, то внутренний разогрев приводит к конвективному движению, имеющему, в отличие от разбиравшихся выше случаев, четные относительно оси профили скорости и температуры. Скорость движения пропорциональна мощности внутренних источников тепла, и при ее достаточно большом значении движение становится неустойчивым.

Для нахождения стационарного плоскопараллельного движения при наличии однородно распределенных в жидкости внутренних источников тепла с объемной мощностью q следует обратиться к уравнениям движения (43.1), переписав уравнение теплопроводности в виде

Т" = -^, (49.1)

где q = const, х— коэффициент теплопроводности. Граничные условия для скорости остаются прежними и состоят в обращении в нуль скорости на границах и расхода жидкости через сечение канала. Условия для температуры теперь однородны:

при х=±А То = О (49.2) (обе границы поддерживаются при постоянной одинаковой температуре, принятой за начало отсчета).

9 Результаты работы [33] относительно колебательной неустойчивости требуют проверки на более полном базисе; они здесь не приводятся. Граница монотонной неустойчивости, как следует из [16], с достаточной точностью определяется уже в первых приближениях метода.

Решая уравнения движения с соответствующими граничными условиями, находим распределения скорости, температуры и давления в стационарном плоскопараллельном движении:

^^ Г1f х dP» — ^sN^2x[X h ) J’ dz ” 5x^^ Г1f х dP» — ^sN^2x[X h ) J’ dz ” 5x(49.3)(49.3)

^^ Г1f х dP» — ^sN^

2x[X h ) J’ dz ” 5x

^^ Г1f х dP» — ^sN^

2x[X h ) J’ dz ” 5x

(49.3)

(49.3)

Рис. 139. Течение, вызванное внутренними источниками тепла.Рис. 139. Течение, вызванное внутренними источниками тепла.

Рис. 139. Течение, вызванное внутренними источниками тепла.

Рис. 139. Течение, вызванное внутренними источниками тепла.

Распределение скорости представлено на рис. 139. Стацио

нарное течение состоит, как видно, из трех конвективных потоков: восходящего центрального и двух нисходящих возле сте

нок. Максимальная скорость на оси ка« нала um = gp^A4/120vx.

Переходя к исследованию устойчивости, следует записать уравнения малых нормальных возмущений. Введем следующие единицы: расстояния — А, времени — A2/v, скорости—g^qh^vn, температуры— ^А2/2х и давления pg^qh?!^. Тогда невозмущенные профили скорости и температуры запишутся следующим образом:

а0 = -^ (1 - 6х2 + 5х4), То = 1 — х2, (49.4)

а уравнения для возмущений и амплитудные уравнения сохранят вид (43.7) и соответственно (43.11), (43.12), где в число Грасхофа теперь в качестве характерной

разности температур входит максимальная температура на оси- канала </А2/2х, так что G = g^q№]^v.. Таким образом,

дело сводится к решению краевой задачи (43.11) — (43.13) с четными профилями скорости и температуры (49.4).

В работе t39] задача решена в чисто гидродинамической постановке. При таком подходе (см. § 43) необходимо решить уравнение Орра — Зоммерфельда (43.14) с граничными условиями (43.15), причем профиль скорости Оо(х) задан формулой (49.4). ■

Решения краевой задачи Орра — Зоммерфельда при четном профиле невозмущенной скорости распадаются на два класса— четных и нечетных решений. Для отыскания этих решений, как и в случае кубического профиля (§ 44), использовался метод Бубнова — Галеркина, причем для построения четных и не-

четных решений выбирались соответственно четная и нечетная подсистемы базисных функций (44.8) — (44.12). Аппроксимации содержали до 16 базисных функций четного или нечетного типов. Условия Галеркина приводят в рассматриваемом случае к комплексной матрице, собственные значения которой находились с помощью Q/^-алгоритма (см. [14]).

Рис. 140. Нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений для четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Фазовая 60 X, скорость равна с=-^~ • -у.Рис. 140. Нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений для четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Фазовая 60 X, скорость равна с=-^~ • -у.

Рис. 140. Нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений для четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Фазовая 60 X, скорость равна с=-^~ • -у.

Рис. 140. Нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений для четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Фазовая 60 X, скорость равна с=-^~ • -у.

В случае четного профиля скорости декременты нормальных возмущений при сколь угодно малых значениях числа Грасхофа оказываются комплексными (бегущие возмущения); эти возмущения и приводят к неустойчивости.

Основные результаты расчета представлены на рис. 140, где изображены нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений. Как видно, наиболее опасны возмущения четного типа: минимальное критическое число Грасхофа для них Gm = 1720 и достигается при критическом волновом числе ^т = 2,05; для возмущений нечетного типа Gm=7180, кт=\,57.

Интересно заметить, что фазовая скорость основной (четной) моды неустойчивости при изменении параметров вдоль нейтральной кривой меняет знак. Длинноволновые нейтральные возмущения имеют отрицательную фазовую скорость, т. е. сносятся вниз. Существует точка на нейтральной кривой (А = 2,65), которой соответствует нейтральное стоячее возмущение с равной нулю фазовой скоростью. При к > 2,65 фазовая скорость

Рис. 141. Структура вторичных движений в случае четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Возмущение нормировано так, чтобы максимальное значение функции тока составляло 0,1 от максимального значения функции тока невозмущенного движения.Рис. 141. Структура вторичных движений в случае четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Возмущение нормировано так, чтобы максимальное значение функции тока составляло 0,1 от максимального значения функции тока невозмущенного движения.положительна, т. е. возмущения сносятся вверх. Существование стоячих возмущений, в том числе и нейтрального (при fe=2,65), обусловлено, очевидно, тем, что рассматриваемое стационарное течение, хотя и имеет четный профиль, обладает, однако, свойством замкнутости (расход равен нулю).

Рис. 141. Структура вторичных движений в случае четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Возмущение нормировано так, чтобы максимальное значение функции тока составляло 0,1 от максимального значения функции тока невозмущенного движения.

Рис. 141. Структура вторичных движений в случае четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Возмущение нормировано так, чтобы максимальное значение функции тока составляло 0,1 от максимального значения функции тока невозмущенного движения.

Различие между четной и нечетной модами неустойчивости отчетливо видно из рис. 141, на котором изображены линии тока суммарного (возмущенного) движения, соответствующего этим модам. Как и в случае конвективного движения между плоскостями, нагретыми до разной температуры, неустойчивость развивается в виде системы вихрей на границе раздела встречных конвективных потоков. В отличие, однако, от течения с кубическим профилем, этих границ раздела теперь две— в правой и левой половинах канала. Соответственно этому развиваются две цепочки вихрей, могущие отличаться своим взаимным расположением. Нижней моде неустойчивости соответствуют две цепочки вихрей, расположенных в шахматном порядке. На верхней моде эти цепочки расположены зеркально-симметрично относительно середины канала. Шахматное расположение отвечает более «плотной упаковке» вихрей, и потому оказывается более предпочтительным — ему соответствует меньшее критическое число.

Вторичное конвективное течение [40]

Изложенная в предыдущих параграфах линейная теория, основанная на рассмотрении малых возмущений, позволяет найти границу устойчивости стационарного конвективного движения. Возмущения в надкритической области и, в частности, предельные режимы, возникающие в результате развития конечных возмущений, могут быть исследованы лишь на основе полных нелинейных уравнений конвекции. Мы изложим здесь результаты такого исследования для случая движения в вертикальном слое. '

Будем исходить из полных нелинейных уравнений плоского конвективного движения, записанных для функции тока и температуры:

^L + q(^L.^L_^L . ^1] = ддф + dr

(50.1)(50.1)dt 1\ dx dz dz dx ) Y 1 dx *

(50.1)

(50.1)

dt ^^Xdx dz dz ' dx P

(все величины безразмерные; выбор единиц указан в § 43).

На вертикальных плоскостях должны выполняться следующие граничные условия:

при х= — 1^ = -^- = 0, Г=1;

'(5°.2)

при х=1ф = -^- = 0, Т = — 1.

Задача (50.1), (50.2) имеет решение, описывающее плоскопараллельное стационарное движение с кубическим профилем скорости. В этом движении (ср. (43.6))

Фо = ^- (1-х2)2, Т0= — х.(50.3)

Как выяснено в § 45, это движение устойчиво лишь при значениях G, меньших критического. В надкритической области, согласно линейной теории устойчивости, плоскопараллельное движение становится неустойчивым. В широком интервале чисел Прандтля ответственными за кризис, как оказалось, являются монотонные возмущения. Это дает основание полагать, что в результате нарастания возмущений в надкритической области устанавливается вторичное движение конечной амплитуды.

Для исследования вторичных течений используется метод конечных разностей. Область, в которой происходит конвективное

движение, имеет бесконечную протяженность вдоль оси 2, а граничные условия и коэффициенты уравнений не зависят от 2. Поэтому можно искать решение нелинейных уравнений, периодическое вдоль оси 2. Задача сводится тогда к численному интегрированию в ограниченной прямоугольной области — l-^x^l; 0 ^2 ^2/, где 2/— длина волны в единицах полуширины слоя (/ — отношение высоты прямоугольной области к ширине).

Область интегрирования покрывалась прямоугольной сеткой 14X25. Как и при исследовании конвективных движений в полости, подогреваемой снизу, вводилась конечно-разностная схема, совпадающая в общих чертах с описанной в § 23. Отличие состоит лишь в условиях на горизонтальных границах. Для аппроксимации условия периодичности вдоль оси г на длине 2/ вводился дополнительный слой узлов с номером К + 1 и накладывались требования

fl, R — fl, О, fi, К+1 = fl, 1

(f — любая из переменных ф, ф, Г). Кроме того, при записи условия для вихря на вертикальных границах в разложении функции тока удерживались кубические по шагу сетки члены.

Отсылая за подробностями вычислений к работе [40], приведем некоторые результаты расчетов движения в надкритической области.

Обсудим сначала результаты, полученные для фиксированного значения / = 2 (длина волны периодического решения вдвое больше полной толщины слоя); при этом безразмерное волновое число к = л/2. Согласно результатам линейной теории (см. § 45; нейтральная кривая на рис. 118) этому волновому числу при Р=1 соответствует критическое число Грасхофа G = 512.

Численные расчеты показали,, что при G < 512, в полном согласии с выводами линейной теории устойчивости, любое начальное возмущение приводит в процессе установления к плоскопараллельному стационарному движению (50.3). При значениях О, превосходящих критическое, переходный процесс приводит к стационарному движению иной структуры. Траектории частиц жидкости в этом режиме не параллельны границам слоя, а распределение температуры отличается от линейного (рис. 142). Структура вторичного движения хорошо согласуется с результатами линейной теории (рис. 122) и данными эксперимента (рис. 123).

Кризис плоскопараллельного течения приводит к соответствующему изменению в законе теплопередачи. Поперечный тепловой поток через слой жидкости на участке, высота которого равна длине волны (на единицу длины вдоль оси у),

определяется формулой

dz.dz.(50.4)(50.4)

dz.

dz.

(50.4)

(50.4)

Здесь х— коэффициент теплопроводности, (дГ/дх)№— размерный градиент температуры на стенке, a L = 2lh — размерная длина волны периодического решения. В невозмущенном плоскопараллельном движении температура Го линейно меняется

Рис. 142. Изотермы (слева) и линии тока (справа) вторичного стационарного движения (G = 1250, Р — 1, 7=2; указаны значения функции тока, умноженные на 108).Рис. 142. Изотермы (слева) и линии тока (справа) вторичного стационарного движения (G = 1250, Р — 1, 7=2; указаны значения функции тока, умноженные на 108).

Рис. 142. Изотермы (слева) и линии тока (справа) вторичного стационарного движения (G = 1250, Р — 1, 7=2; указаны значения функции тока, умноженные на 108).

Рис. 142. Изотермы (слева) и линии тока (справа) вторичного стационарного движения (G = 1250, Р — 1, 7=2; указаны значения функции тока, умноженные на 108).

по сечению слоя, и потому поперечный тепловой поток определяется только молекулярной теплопроводностью: Qo = 2x0/.

Введем безразмерный тепловой поток — число Нуссельта N — следующим образом: N = Q/Qo. В режиме плоскопараллельного течения N = 1; отличие же N от единицы может служить мерой интенсивности поперечного конвективного переноса тепла, связанного с возникновением вторичного движения.

На рис. 143 представлена зависимость числа Нуссельта от числа Грасхофа, построенная по результатам расчетов. Экстраполяция зависимости N(G) на N = 1 позволяет определить критическое число. Оно оказывается равным G = 550± 12, что несколько выше значения, определяемого линейной теорией. Отличие, по-видимому, связано с недостаточно мелким шагом ис пользованной пространственной сетки.

Таким образом, в критической точке происходит кризис теплопередачи. Вблизи критической точки число Нуссельта линей-Таким образом, в критической точке происходит кризис теплопередачи. Вблизи критической точки число Нуссельта линей-тегрируя продольную скорость yz по на рис. 142, будем иметь:тегрируя продольную скорость yz по на рис. 142, будем иметь:но зависит от числа Грас- хофа (линейная зависимость N(G) имеет место также и в случае кризиса равновесия подогреваемого снизу бесконечного горизонтального слоя жидкости — см. (22.6)).

Таким образом, в критической точке происходит кризис теплопередачи. Вблизи критической точки число Нуссельта линей-

Таким образом, в критической точке происходит кризис теплопередачи. Вблизи критической точки число Нуссельта линей-

тегрируя продольную скорость yz по на рис. 142, будем иметь:

тегрируя продольную скорость yz по на рис. 142, будем иметь:

Интересной характеристикой течения является максимальное значение функции тока фщ. Эта величина определяет расход жидкости через сечение одного из встречных потоков на уровне центра вихря. В самом деле, ин- сечению (а, 6), указанному

ьь

w= j* uzdx = j -^ dx = ф (6) = фт.аа

Рис. 144. Максимальное значение функции тока в зависимости от числа Грасхофа (Р = 1, /=2).Рис. 144. Максимальное значение функции тока в зависимости от числа Грасхофа (Р = 1, /=2).В плоскопараллельном режиме движения функция тока зависит только от поперечной координаты х, и ее максимальное

Рис. 144. Максимальное значение функции тока в зависимости от числа Грасхофа (Р = 1, /=2).

Рис. 144. Максимальное значение функции тока в зависимости от числа Грасхофа (Р = 1, /=2).

значение, как видно из (50.3), равно фт = 1/24. Поскольку единицей функции тока служит gp0/t3/v (см. § 43), ясно, что в этом режиме размерный расход по сечению одного из встречных потоков пропорционален разности температур в, т. е. числу Грас-

Рис. 145. Безразмерный поперечный тепловой поток в зависимости от волнового числа в надкритической области (Р=1). Штрихи на оси к отмечают границы области неустойчивости согласно линейной теории.Рис. 145. Безразмерный поперечный тепловой поток в зависимости от волнового числа в надкритической области (Р=1). Штрихи на оси к отмечают границы области неустойчивости согласно линейной теории.хофа. На рис. 144 представлена зависимость от G величины фт = Оф™ (очевидно, фт представляет собой максимальное значение функции тока в единицах кинематической вязкости v). Прямая / соответствует плоскопараллельному режиму, линия II — режиму вторичного стационарного движения. Как видно, возникновение в надкритической области вторичного конвективного движения приводит к снижению интенсивности продольного течения по сравнению с невозмущенным плоскопараллельным режимом.

Рис. 145. Безразмерный поперечный тепловой поток в зависимости от волнового числа в надкритической области (Р=1). Штрихи на оси к отмечают границы области неустойчивости согласно линейной теории.

Рис. 145. Безразмерный поперечный тепловой поток в зависимости от волнового числа в надкритической области (Р=1). Штрихи на оси к отмечают границы области неустойчивости согласно линейной теории.

Обсужденные результаты относились к фиксированному значению волнового числа к = л/2. Меняя вертикальный размер прямоугольной области 2/, можно численным методом исследовать нелинейные вторичные движения с различными длинами волн.

На рис. 145 для примерз приведена зависимость безразмерного теплового потока от волнового числа для двух фиксированных значений числа Грасхофа в надкритической области (горизонтальные разрезы, указанные пунктиром на рис. 118). Из результатов линейной теории следует, что при фиксированном G > Gm область неустойчивости, а следова

тельно, и область существования вторичных движений, занимает определенный интервал значений волнового числа. Этот вывод подтверждается результатами численного решения нелинейной задачи. За пределами области неустойчивости реализуется лишь плоскопараллельное стационарное течение. В области неустойчивости устанавливаются вторичные стационарные течения. Число Нуссельта достигает максимума при некотором значении волнового числа внутри интервала неустойчивости. С ростом G максимум сдвигается в сторону меньших к (т. е. в сторону длинных волн).

Интересно отметить, что не удается построить всю длинноволновую ветвь функции N(&) при G = 1250. При к< 1 в результате процесса установления формируется движение, содержащее на длине волны два вихря, хотя начальное возмущение задается в виде единственного вихря в центре области. По-ви- димому, длинноволновые вторичные течения при больших G сами по себе неустойчивы.

Конвективный пограничный слой

В заключение этой главы рассмотрим устойчивость конвективного течения, возникающего возле нагретой полубесконечной вертикальной пластины. При достаточно большой разности температур пластины и жидкости формируется, как известно, поль- гаузеновский конвективный пограничный слой.

Найдем сначала стационарное движение. Выберем начало координат на нижней кромке пластины и направим ось х горизонтально, а ось 2 — вертикально вверх. Уравнения стационарного движения в приближении пограничного слоя [41»42] тогда запишутся в виде

„ М d2UZ I

(51.1)(51.1)dox । dvz n

(51.1)

(51.1)

dx "^ dz — U*

dT , dT d2T

Ух дх ~^ Уг dz = ^ dx2 ‘

На пластине исчезают обе компоненты скорости, а температура предполагается заданной и однородной вдоль пластины; температура жидкости вдали от пластины принимается за начало отсчета. Таким образом, имеем граничные условия:

(51.2)(51.2)при х = 0 у, = yz = 0, Т =9; 1при х —> оо yz —» О,Г-*0. /

(51.2)

(51.2)

Преобразование подобия позволяет свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем безразмерную независимую переменную т] = С -4г и запишем функ- цию тока фо и температуру То стационарного движения в виде

гдегдеФо = 4xCz8/*f (т)), 7’о = 0т(ц),(51.3)

где

где

с-№.

\ 4v% /

а функции f (т]) и т(т]) характеризуют распределения скорости и температуры в пограничном слое. Компоненты скорости уж и yz выражаются через функцию /(т]) следующим образом (штрих означает дифференцирование по г]):

»ж = -зп,

(51.4)

Подставляя (51.3), (51.4) в исходные уравнения (51.1), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций f и т:

(51.5)(51.5)±(2/'г-3//") = /"' + т,т"-|-3/т' = 0

(51.5)

(51.5)

(здесь Р — число Прандтля). Граничные условия для / и т вытекают из (51.2):

(51.6)(51.6)при r] = 0 f =р = 0, т = 1;

(51.6)

(51.6)

при т]—> оо f'->0,т-*0.

Система (51.5) с граничными условиями (51.6) интегрировалась численно в ряде работ. Результаты расчетов для различных чисел Прандтля можно найти, например, в книге Г. Шлихтин- га [41]. Профили скорости и температуры для Р = 1 изображены на рис. 146. Из решения, в частности, можно найти максимальную продольную скорость ит и толщину пограничного слоя б

Рис. 146. Профили скорости и в пограничном слое у нагретойРис. 146. Профили скорости и в пограничном слое у нагретойтемпературы вертикальнойтемпературы вертикальнойпластины.пластины.

Рис. 146. Профили скорости и в пограничном слое у нагретой

Рис. 146. Профили скорости и в пограничном слое у нагретой

температуры вертикальной

температуры вертикальной

пластины.

пластины.

(последняя определяется как расстояние от пластины, на котором продольная скорость составляет 0,01 иту Из (51.4) находим

. Ут = ад'т2^ Ь =(51-7)

Здесь f'm—максимальное значение /'(л). а величина т]в, согласно определению толщины пограничного слоя, находится из уравнения /'(т]б)= 0,01/^. Из (51.7) видно, что толщина

пограничного слоя и скорость растут с высотой по закону б ~ zxl\ ит ~ zxk Параметры решения fm и т]б для некоторых значений числа Прандтля приведены в таблице 10 [45].

С помощью vm и б можно ввести локальное число Рейнольдса

К = ^- = ^^_.2‘К(51.8)

рЧб0,7330,2355,2310,2515,381,50,2715,9020,2876,553,50,3158,7550.3329,2070,34510,40рЧб0,7330,2355,2310,2515,381,50,2715,9020,2876,553,50,3158,7550.3329,2070,34510,40Таблица 10Таблица 10Параметры пограничного слоя возле . вертикальной изотермической пластиныПараметры пограничного слоя возле . вертикальной изотермической пластиныв сущности, совпадаетв сущности, совпадаетПоскольку число Рейнольдса с высотой растет, следует ожидать, что на достаточной большой высоте стационарное движение потеряет устойчивость.

р

Чб

0,733

0,235

5,23

1

0,251

5,38

1,5

0,271

5,90

2

0,287

6,55

3,5

0,315

8,75

5

0.332

9,20

7

0,345

10,40

р

Чб

0,733

0,235

5,23

1

0,251

5,38

1,5

0,271

5,90

2

0,287

6,55

3,5

0,315

8,75

5

0.332

9,20

7

0,345

10,40

Таблица 10

Таблица 10

Параметры пограничного слоя возле . вертикальной изотермической пластины

Параметры пограничного слоя возле . вертикальной изотермической пластины

в сущности, совпадает

в сущности, совпадает

щенное стационарноещенное стационарноеПри исследовании устойчивости пограничного слоя невозму- гечение обычно рассматривается как плоскопараллельное, т. е. пренебрегается поперечным движением и зависимостью параметров профиля от продольной координаты. Такое приближение, очевидно, оправдано в случае, когда изменение толщины слоя б на расстояниях порядка длины волны X возмущений мало по сравнению с самой величиной б:

щенное стационарное

щенное стационарное

■(51.9)

Это условие накладывает ограничение на длину волны возмущения. Поскольку, однако, наиболее опасными (с точки зрения устойчивости) являются возмущения с длинами волн порядка толщины слоя, оценка (51.9) дает просто ^ <С 1, что, с условием существования развитого по

граничного слоя.

Итак, в предположении плоскопараллельности дело сводится к исследованию устойчивости течения с известным профилем продольной скорости vz и соответствующим распределением температуры Го. Продольная координата z рассматривается как фиксированный параметр; это дает основание ввести, как обычно при исследовании устойчивости плоскопараллельных движений, нормальные возмущения. Уравнения для амплитуд полу-* чаются обычным образом из уравнений движения и теплопроводности. Эти уравнения, собственно, уже были получены в § 43 (уравнения (43.8)). Целесообразно лишь переписать их в несколько иной форме.

\ В качестве единиц расстояния и скорости выберем соответственно толщину пограничного слоя б и максимальную скорость

vm, определяемые формулами (51.7) (единицей функции тока тогда будет служить величина ит6); единицы времени и возмущения температуры таковы: 6/ут и wm/gp62. Уравнения для безразмерных возмущений в этих единицах принимают вид

д Аф , ,гд Афdt + U dzд Аф , ,гд Афdt + U dz1 дТ R dx ’1 дТ R dx ’^L + (/2L_dt ^ и dz^L + (/2L_dt ^ и dzу 2* = _L дрТ dz PRу 2* = _L дрТ dz PR(51.10)(51.10)

д Аф , ,гд Афdt + U dz

д Аф , ,гд Афdt + U dz

1 дТ R dx ’

1 дТ R dx ’

^L + (/2L_

dt ^ и dz

^L + (/2L_

dt ^ и dz

у 2* = _L др

Т dz PR

у 2* = _L др

Т dz PR

(51.10)

(51.10)

Здесь штрих обозначает дифференцирование по безразмерной поперечной координате х1); U — безразмерная скорость невозмущенного течения, а т связано с невозмущенным профилем температуры

В качестве критериев подобия приняты числа Прандтля Р и Рейнольдса R (последнее определено формулой (51.8)).

Запишем нормальные возмущения функции тока и температуры в виде

ф = ф(х)е<й<г-с<), 7’ = 6(x)ei*«-c/>.(51.11)

Здесь ф(х) и 6(х)—амплитуды, к — безразмерное (в единицах 1/6) волновое число, а с — безразмерная (в единицах от) комплексная фазовая скорость, возмущений.'

После подстановки (51.11) в (51.10) получим амплитудные уравнения

kU-c>k<-^-U"^=-^W4+ £4ф) + 7^6', (51.12)

Ф - с) е - т'ф = -^- (0" - к^.(51.13)

Граничные условия для амплитуд таковы:

(51.14)(51.14)при х = 0 ф = ф'= 0, 0 = 0;

(51.14)

(51.14)

при х->оо ф, ф', 0—>0.

Поставленная краевая задача определяет характеристические возмущения в конвективном пограничном слое и соответствующие фазовые скорости с. Из условия обращения в нуль мнимой части с может быть найдена граница устойчивости течения (критическое число Рейнольдса).

9 Связь х с координатой подобия т) такова: х = т]Л1у

Рис. 147. Нейтральная кривая устойчивости пограничного слоя у вертикальной изотермической пластины. Сплошная линия-расчет [44]; штриховая линия — расчет [46] с учетом тепловых факторов; точка в области выше нейтральной кривой — неустойчивость, наблюдавшаяся в эксперименте р7].Рис. 147. Нейтральная кривая устойчивости пограничного слоя у вертикальной изотермической пластины. Сплошная линия-расчет [44]; штриховая линия — расчет [46] с учетом тепловых факторов; точка в области выше нейтральной кривой — неустойчивость, наблюдавшаяся в эксперименте р7].

Рис. 147. Нейтральная кривая устойчивости пограничного слоя у вертикальной изотермической пластины. Сплошная линия-расчет [44]; штриховая линия — расчет [46] с учетом тепловых факторов; точка в области выше нейтральной кривой — неустойчивость, наблюдавшаяся в эксперименте р7].

Рис. 147. Нейтральная кривая устойчивости пограничного слоя у вертикальной изотермической пластины. Сплошная линия-расчет [44]; штриховая линия — расчет [46] с учетом тепловых факторов; точка в области выше нейтральной кривой — неустойчивость, наблюдавшаяся в эксперименте р7].

В первых теоретических работах, посвященных исследованию устойчивости конвективного пограничного слоя (основные из этих работ [43~45]), применялся упрощенный подход, уже обсуждавшийся в § 43 в связи с проблемой устойчивости конвективного течения между плоскостями. Согласно этому чиста гидродинамическому подходу, уравнение теплопроводности (51.13) не

рассматривается вовсе, а в уравнении дви- жения (51.12) не учитывается член с возмущением температуры, описывающий влияние подъемной (конвективной) силы на возмущение. Задача сводится, таким образом, к исследованию устойчивости заданного профиля U^x) на основе уравнения Орра — Зоммерфельда

(U -с)(ф" - /Ар) — U"ф =

= ^Wv-W'-V^ (51.15) с граничными условиями для амплитуды ф(0) = ф'(0) = 0; ф,ф'->0 при х-*оо.

В работе Шевчика [43] эта задача решалась асимптотическим методом Толмина — Линя. Профиль скорости конвективного течения U(x) обладает двумя критическими точками, в которых cT=U (сг — вещественная часть фазовой скорости). Поскольку (в отличие от течения Пуазейля) профиль t/(x) не является симметричным относительно точки максимума, разложения амплитуды в степенные' ряды около критических точек не эквивалентны. Критические

числа, определенные по разложениям около внутренней и внешней критических точек,- оказываются сильно различными и плохо согласуются с полученными в той же работе экспериментальны

ми данными.

Значительно более- эффективным бказался численный метод решения задачи, примененный в работах Курна и Крэндалла [44] и Спэрроу, Тсоу и Курца [45]. Уравнение (51.15) записывалось в конечно-разностной форме и решалось на ЭВМ. В результате вычислений определены характеристические возмущения Ф и собственные числа краевой задачи — фазовые скорости с. На рис. 147 приведена нейтральная кривая для числа Прандтля Р = 0,733 (воздух) по данным работы [44]. Минимальное критическое число Рейнольдса оказывается равным Rm = 161 и соответствует волновому числу кт = 2,2.

Рис. 148. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Прандтля; штриховая линия — асимптотика при больших числах Прандтля.Рис. 148. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Прандтля; штриховая линия — асимптотика при больших числах Прандтля.

Рис. 148. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Прандтля; штриховая линия — асимптотика при больших числах Прандтля.

Рис. 148. Минимальное критическое число Грасхофа в зависимости от числа Прандтля; штриховая линия — асимптотика при больших числах Прандтля.

Приводимые в работе профили характеристических возмущений свидетельствуют о возникновении неустойчивости во внешнем критическом слое. Этот вывод согласуется с опытными наблюдениями [43].

В работе [45] расчеты были продолжены для других значений числа Прандтля (параметр Р входит в профиль скорости U основного движения). Результаты расчетов изображены на рис. 148, где в зависимости от Р отложено критическое значение локального числа Грасхофа, определенного через расстояние от нижнего края пластины и разность температур

(51.16)(51.16)Q = -S^

(51.16)

(51.16)

V2

Сравнивая (51.8) и (51.16), найдем связь между числами Рейнольдса и Грасхофа:.

G = P3f—т^7—V. (51.17)

Из системы (51.5), определяющей стационарное движение, видно, что при больших значениях числа ■ Прандтля можно пренебречь нелинейными членами в уравнении Навье—Стокса. При этом решение системы и, в частности, его характеристики f^ и т)6, входящие в (51.17), перестают зависеть от Р. Поэтому в области больших Р критическое число Грасхофа растет по закону G ~ Р3. Как видно из рис. 148, эта асимптотическая зависимость справедлива уже при Р > 5.

Обсужденные выше результаты, как указывалось, были получены в пренебрежении влиянием подъемной силы на возмущения. Решение проблемы в полной постановке должно быть найдено на основе краевой задачи (51.12) — (51.14). Численное решение было проведено в работе Нахтсгейма [и].

Нейтральная кривая для Р = 0,733 изображена штриховой линией на рис. 147. Как видно, влияние тепловых факторов сказывается в области длинноволновых возмущений и приводит к по

нижению устойчивости.

Аналогично рассмотренному выше случаю пограничного слоя возле изотермической пластины может быть поставлена задача об устойчивости движения в пограничном слое возле вертикаль-

12 Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий

362 УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. X ной пластины с заданным на ней однородным по высоте тепловым потоком. Задача о стационарном движении в этом случае также допускает преобразование подобия (см. [48]). Толщина пограничного слоя и продольная скорость растут с высотой по закону: б ~ z'/c, ym ~ гЧ

Задача об устойчивости течения вблизи пластины с однородным тепловым потоком решалась численно в работе Полимеро- пулоса и Гебхарта [49] в упрощенной постановке (без учета тепловых факторов) и в работе Ноулза и Гебхарта [50]—в полной постановке. Использовался численный метод [46]. В [^ предполагалось, что возмущения температуры могут приводить к изменению теплового потока на стенке; поэтому для возмущений температуры ставилось граничное условие в виде линейного закона теплопередачи 9'(0) =69(0), хотя основное движение соответствовало заданному тепловому потоку на стенке. Коэффициент b определяется относительной теплоемкостью жидкости и стенки и поперечной теплопроводностью стенки. На рис. 149

Рис. 149. Нейтральная кривая устойчивости пограничного слоя у вертикальной пластины с заданным тепловым потоком. Сплошная линия — расчет [49] (Р=0,72); штриховая линия — расчет [60J (Р=0,733) с учетом тепловых факторов; точки — эксперимент [6,j.

представлены нейтральные кривые по результатам расчетов [49] и [®°] в координатах (G, £), где

G = 5(^y/e\ 5xv2 /

(^ — плотность теплового потока, х— теплопроводность жидкости), а й — безразмерное волновое число в единицах G/52. Как и в случае пограничного слоя на изотермической пластине, учет

тепловых факторов приводит к понижению устойчивости в области длинноволновых возмущений.

Экспериментальное изучение устойчивости пограничного слоя в газе (сжатый азот) у вертикальной пластинки с постоянным тепловым потоком проводилось в работе Полимеропулоса и Гебхарта [я]. Возмущения вносились искусственно, подобно

Рис. 150. Интерферограммы пограничного слоя в сжатом азоте возле вертикальной пластины F4; а) —растущие возмущения (5=306, ^=0,35), б)— затухающие возмущения (5=306, £ = 1,56).

тому, как это делалось при исследовании изотермического пограничного слоя в известной работе Шубауэра и Скрэмстеда Р2]. Источником возмущений служила горизонтальная проволочка, расположенная в пограничном слое параллельно поверхности пластины и совершавшая поперечные колебания заданной частоты. На рис. 150 приведены полученные с помощью интерферометра Зендера — Маха фотографии затухающих и нарастающих возмущений. Экспериментальные значения нейтральных характеристик G и & нанесены на рис. 149. Имеется удовлетворительное согласие экспериментальных результатов с теорией,

учитывающей влияние тепловых факторов. Приведенная на рис. 149 штриховая кривая, соответствующая граничному условию 9(0) = 0 для возмущения температуры, правильно описывает наблюдающееся в эксперименте понижение устойчивости в области. длинноволновых возмущений.

Теоретическое и экспериментальное изучение возмущений в пограничном слое возле пластины с заданным тепловым потоком продолжено в работах р3»54].

Экспериментальное исследование устойчивости' конвективного пограничного слоя возле наклонной нагретой пластины проводилось в работах р5»56]. В этих работах обнаружено, что при наклоне пластины к вертикали на некоторый угол (порядка 15° в воде) происходит смена формы неустойчивости — от горизонтальных валов (плоские волны Толмина — Шлихтинга) к продольным валам (пространственные возмущения). Смена формы неустойчивости, по-видимому, связана с появлением поперечной неустойчивой стратификации и связанного с ней конвективного механизма неустойчивости (см. § 47).

Укажем также на работу р7], в которой исследовалась устойчивость пограничного слоя постоянной толщины возле бесконечной пластины, температура которой линейно растет с высотой.

ЛИТЕРАТУРА

К г л а в е I

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиз- дат, Москва, 1953.

Boussinesq J., Theorie analytique de la chaleur, том 2, Paris, 1903.

Oberbeck A., Uber die Warmeleitung der Flussigkeiten bei der Beriich- sichtigung der Stromungen infolge von Temperaturdifferenzen, Ann. der Phys, und Chern., 1879, 7, 271.

Шапошников И. Г., О термоэлектрических и термомагнитных конвективных явлениях, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1954, 8, № 8, 81.

Spiegel Е. A., Veronis G., On the Boussinesq approximation for a compressible fluid,-Astrophys. J., 1960, 131, 442.

M i h a 1 j a n J. M., A rigorous exposition of the Boussinesq approximations applicable to a thin layer of fluid, Astrophys. J., 1962, 136, № 3, 1126.

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, «Наука», Москва, 1964.

Сорокин В. С., Вариационный метод в теории конвекции, ПММ, 1953, 17, № 1, 39..

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, Гос- техиздат, Москва, 1957.

Р е 11 е w A., Southwell R. V., On maintained convective motion in a fluid heated from below, Proc. Roy. Soc., 1940, A176, № 966, 312.

Братухин Ю. К., Ш л и о м и с М. И., Об одном точном решении уравнений нестационарной конвекции, ПММ, 1964, 28, № 5, 959.

Уховский М. Р., Юдович В. И., Об уравнениях стационарной конвекции, ПММ, 1963, 27, № 2, 295..

Жуховицкий Е. М., Применение метода Галёркина к задаче об устойчивости неравномерно нагретой жидкости, ПММ, 1954, 18, № 2, 205.

D a v i s S. Н., Convection in box: linear theory, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 3, 465.,

Sherman M., Toroidal and pqloidal field representation for convective flow within a sphere, Phys. Fluids, 1968, 11, № 9, 1895.

Finlayson B. A., The Galerkin method applied to convective instability problems, J. Fluid Meeh., 1968, 33, № 1, 201.

Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, 1962.

.К г л а в е II:

Benard Н., Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide, Revue generale des Sciences, pures et appliquees, 1900, 12, 1261; 1309.

В ё n a r d H., Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en regime permanent, Ann. Chim. Phys., 1901 (7), 23, 62.

Rayleigh, On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side, Phil. Mag., 1916, (6), 32, 529.*

Christopherson D. G., Note on the vibration of membranes, Quart. J. Math., 1940, 11, 63.

Bisshopp F. E., On two-dimensional cell patterns, Journ. Math. Analysis and Appl., 1960, 1, 373.

P e 11 e w A., Southwell R. V., On maintained convective motion in a fluid heated from below, Proc. Roy. Soc., 1940, A176, № 966, 312.

Б и p и x P. В., Рудаков P. H., Шварцблат Д. Л., Нестационарные конвективные возмущения в горизонтальном слое жидкости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 89.

Jeffreys Н., The stability of a layer of fluid heated bellow, Phil. Mag., 1926, (7), 2, 833.

Jeffreys H., Some cases of instability in fluid motion, Proc. Roy. Soc., 1928, Al 18, 195.

Low A. R., On the criterion for stability of a layer of viscous fluid heated from below, Proc. Roy. Soc., 1929, A125, 180.

Saltzman B., Selected papers on the theory of thermal convection, Dover Publications, Inc., New-York, 1962.

Chandrasekhar S., Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford, Clarendon Press, 1961.

Reid W. H., Harris D. L., Some further results on the Benard problem, Phys. Fluids, 1958, 1, 102.

Reid W. H., Harris D. L., Streamlines in Benard convection cells, Phys. Fluids, 1959, 2, 716.

Cat ton I., Natural convection in horizontal liquid layers, Phys. Fluids, 1966, 9, № 12, 2521.-

Schmidt R. J., Milverton S. W., On the instability of a fluid when heated from below, Proc. Roy. Soc., 1935, A152, 586.

Si Ive st on P. L., Warmedurchgang in waagerechten Flussigkeitsschichten, Forsch. Ing. Wes., 1958, 24, 29; 59.

Rossby H. T., A study of Benard convection with and without rotation, J. Fluid Meeh., 1969, 36, № 2, 309.

Thompson H. A., Sogin H. H., Experiments on the onset of thermal convection in horizontal layers of gases, J. Fluid Meeh., 1966, 24, № 3, 451.

Goldstein R. J., Graham D. J., Stability of a horizontal fluid layer with zero shear boundaries, Phys. Fluids, 1969, 12, № 6, 1133.

Koschmieder E. L., On convection under an air surface, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 1, 9.

Palm E., On the tendency towards hexagonal cells in steady convection, J. Fluid Meeh., 1960, 8, № 2, 183.

Jenssen O., Note on the influence of variable viscosity on the critical Rayleigh number, Acta polytechn. Scand. Phys, inch Nucl. Ser., 1963, № 24.-

S p а г г о w E. M., Goldstein R. J., Jonsson V. K., Thermal instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary condition and nonlinear temperature profile, J. Fluid Meeh., 1964, 18, № 4, 513.

H u r 1 e D. T. J., J a k e m a n E., P i k e E. R., On the solution of the Benard problem with boundaries of finite conductivity, Proc. Roy. Soc., 1967, A296, № 1447, 469.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M., Се мак ин И. Г., О конвективной неустойчивости жидкости в горизонтальном слое, разделяющем массивы разной теплопроводности, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 18.

Nield D. A., The Rayleigh — Jeffreys problem with boundary slab of finite conductivity, J. Fluid Meeh., 1968, 32, № 2, 393.

Г е р ш у н и Г. 3., Жуховицкий Е. М., О конвективной неустойчивости горизонтальных слоев жидкости, связанных тепловым взаимодействием, ПММ, 1968, 32, № 3, 478.

Изаксон В. X., Юдович В. И., О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 4, 23.

Изаксон В. X., О влиянии поверхностного натяжения на возникновение конвекции в слое жидкости со свободной поверхностью, ПМТФ, 1969, № 3, 89.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостех- издат, Москва, 1953.

Ш и ш к и н Н. С., Образование ячеистых структур в слоях жидкости или газа, УФН, 1947, 31, № 4, 461.

N i е 1 d D. A., Geophysical and astrophysical applications of thermal instability theory, New Zealand Science Review, 1965, 23, № 6, 86.

Miner R. W., Convection patterns in the atmosphere and ocean, Annals of the New-York Academy of Sciences, 1947, 48.

N i e 1 d D. A., The thermohaline Rayleigh — Jeffreys problem, J. Fluid Meeh., 1967, 29, № 3, 545.

К г л а в e III

Остроумов Г. А., Естественная конвективная теплопередача в замкнутых вертикальных трубах, Изв. ЕНИ при Пермск. ун-те, 1947, 12, № 4, 113.

Остроумов Г. А., Математическая теория конвективного теплообмена в замкнутых вертикальных скважинах, Изв. ЕНИ при Пермск. ун-те, 1949, 12, № 9, 385.

Остроумов Г. А., Свободная конвекция в условиях внутренней задачи, Гостехиздат, Москва—Ленинград, 1952.

Бугаенко Г. А., О свободной тепловой конвекции в вертикальных цилиндрах произвольного сечения, ПММ, 1953, 17, № 4, 496.

Славнов В. В., Свободная тепловая конвекция в металлических вертикальных трубах круглого сечения, ЖТФ, 1956, 26, № 9, 2002.

Смирнов А. Г., Свободная тепловая конвекция ртути в замкнутых круглых трубах, ЖТФ, 1957, 27, № 10, 2373.

Verhoeven J. D., Experimental study of thermal convection in a vertical cylinder of mercury heated from below, Phys. Fluids, 1969, 12, № 9, 1733.

Жуховицкий E. M., Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости неравномерно нагретой жидкости, ПММ, 1954, 18, № 2, 205.

Ostrach S., Unstable convection in vertical channels with heating from below, including effects of heat sources and frictional heating, NACA TN № 3458, 1955.

Ostrach S., On the flow, heat transfer and stability of viscous fluids subject to body forces and heated from below in vertical channels. В книге: 50 Jahre Grenzschichtforschung, Berlin, 1956, 226.

Yih С.-S., Thermal instability of viscous fluids, Quart. Appl. Math., 1959, 17, № 1, 25.

Wooding R. A., Instability of a viscous liquid of variable density in a vertical Hele-Shaw cell, J. Fluid Meeh., 1960, 7, № 4, 501.

Янке E., Эм де Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, «Наука», Москва, 1968.

Edwards D. К., Suppression of cellular convection by lateral walls, Pa* per. ASME, 1968, № WA/HT-6.

Жуховицкий Е. М., Об устойчивости неравномерно нагретой жидкости в вертикальном эллиптическом цилиндре, ПММ, 1955, 19, № 6, 751.

Славно в В. В., Кандидатская диссертация, Пермский ун-т, 1952.

Болотина К. С., Об условиях возникновения свободной конвекции в канале прямоугольного сечения, Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и маш., 1962, № 1, 73.

Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, Москва, 1962.

Болотин В. В., Асимптотический метод исследования задач о собственных значениях для прямоугольных областей, Сб. «Проблемы механики сплошной среды», Изд. АН СССР, 1961.

Сорокина А. И., Чудинов А. А., Свободная стационарная конвекция между двумя вертикальными коаксиальными цилиндрами, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1955, 9, № 4, 49.

Г ершу ни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шайдуров Г. Ф., О конвективной неустойчивости жидкости в связанных вертикальных каналах, ПММ, 1966, 30, № 4, 699.

Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, том II, ИЛ, Москва, 1960.

Shaidurov G. F., Convective liquid stability in closed circuits, Int. J. Heat Mass Transfer, 1968, 11, 235.

Пшеничников А. Ф., Шайдуров Г. Ф., Конвективная неустойчивость жидкости в вертикальных коаксиальных трубах, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 3.•

Г ершу ни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Рудаков Р. Н., К теории релеевской неустойчивости, ПММ, 1967, 31, № 5, 812.

Славнова Э. И., Об ячеистой структуре конвективного потока жидкости в вертикальном цилиндре круглого сечения, Инж.-физ. журнал, 1961, 4, № 8, 80.•

Ч е р н а т ы н с к и й В. И., Паршаков А. Н., О конвективной неустои- • чивосги равновесия жидкости в вертикальном цилиндре относительно возмущений ячеистой структуры, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 47.-

Г е р ш у н и Г. 3., Жуховицкий Е. М., О релеевской неустойчивости плоского слоя жидкости со свободными границами, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 83.

Рудаков Р. Н., О малых возмущениях конвективного движения между вертикальными плоскостями, ПММ, 1966, 30, № 2, 362.

Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, «Наука», Москва, 1966.

Hales A. L., Convection currents in geysers, Monthly Notices Roy. Astron. Soc., Geophys. Suppl., 1937, 4, 122.

'К г л а в e IV

Жуховицкий E. M., Об устойчивости неравномерно нагретой жидкости в шаровой полости, ПММ, 1957, 21, № 5, 689.

Г ершу ни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шлиомис М. И., Об основном уровне конвективной неустойчивости равновесия жидкости в шаре и горизонтальном цилиндре («круговые критические движения»), Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 3.

Sherman М., Toroidal and poloidal field, representation for convective flow within a sphere, Phys. Fluids, 1968, 11, № 9, 1895.

Овчинников А. П., Шайдуров Г. Ф., Конвективная устойчивость

однородной жидкости в шаровой полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 3.

Братухин Ю. К., Ш л и о м и с М. И., Об одном точном решении уравнений нестационарной конвекции, ПММ, 1964, 28, № 5, 959.

Братухин Ю. К., Об устойчивости неравномерно нагретой жидкости, заполняющей шаровой слой, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 33.

Г е р ш у н и Г. 3., Жуховицкий Е. М., Конвективная неустойчивость равновесия двух несмешивающихся жидкостей в шаровой полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, «57.

ШлиомисМ. И., Якушин В. И., Конвективная неустойчивость равновесия двух несмешивающихся жидкостей, заполняющих шаровую полость в произвольном отношении, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 15.'

Поддубная Л. Г., Рудаков Ю. П., Шайдуров Г. Ф., Тепловая неустойчивость двухслойной жидкости в шаровой полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 23.

Г ерш у н и Г. 3., Жуховицкий Е. М., Овчинников А. П., Конвективная устойчивость жидкости в кубической полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 49.

Овчинников А. П., Конвективная устойчивость жидкости в кубической полости, ПМТФ, 1967, № 3, 118.

Овчинников А. П., Конвективные возмущения жидкости в кубической полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 41.

Davis S. Н., Convection in a box: linear theory, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 3, 465.

Г e p ш у н и Г. 3., Жуховицкий E. M., Конвективная неустойчивость жидкости в вертикальном цилиндре конечной высоты, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 39.'

Жуховицкий Е. М., Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости неравномерно нагретой жидкости, ПММ, 1954, 18, № 2, 205.

W е i n b a u m S., Natural convection in a horizontal circular cylinder, J. Fluid Meeh., 1964, 18, № 3, 409.

Sherman M., Onset of thermal instability in a horizontal circular cylinder, Phys. Fluids, 1966, 9, № 11, 2095.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M., Та рун ин Е. Л., Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу, Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 6, 93.

Velte W., Stabilitatsverhalten und verzweigung stationarer Idsungen der Navier — Stokesschen Gleichungen, Arch. Ration. Meeh. Anal., 1964, 16, № 2, 97.-

Ku г z we g U. H., Convective instability of a hydromagnetic fluid within a rectangular cavity, Int. J. Heat Mass Transfer, 1965, 8, 35.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M., Устойчивость равновесия жидкости в горизонтальном цилиндре, подогреваемом снизу, ПММ, 1961, 25, № 6, 1035.

Шайдуров Г. Ф., Тепловая неустойчивость жидкости в горизонтальном цилиндре, Инж.-физ. журнал, 1961, 4, № 11, 109.

О s t г а с h S., Р n u е 1 i D., The thermal instability of completely confined fluids inside some particular configurations, Trans. ASME, 1963, C85, № 4, 346.*

P n и e 1 i D., Lower bounds to thermal instability criteria of completely confined fluids inside cylinders of arbitrary cross section, Trans. ASME, 1964, E31, № 3, 376.

К главе V

Сорокин В. С, О стационарных движениях жидкости, подогреваемой снизу, ПММ, 1954, 18, № 2, 197,

Ландау Л. Д., К проблеме турбулентности, ДАН СССР, 1944, 44, № 8, 339.

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиз- дат, Москва, 1953.

Овчинников А. П., Конвективная устойчивость жидкости в кубической полости, ПМТФ, 1967, № 3, 118.

Овчинников А. П., Конвективные возмущения жидкости в кубической полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 41.

Овчинников А. П., Шайдуров Г. Ф., Конвективная устойчивость однородной жидкости в шаровой полости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 3.

Уховский М. Р., Юдович В. И., Об уравнениях стационарной конвекции, ПММ, 1963, 27, № 2, 295.

V е 11 е W., Stabilitat und Verzweigung stationaren losungen der Navier — Stokesschen Gleichungen, Arch. Ration. Meeh. Anal., 1966, 22, 1.

Ю д о в и ч В. И.,- О возникновении конвекции, ПММ, 1966, 30, № 6, 1000.

Юдович В. И., Свободная конвекция и ветвление, ПММ, 1967, 31, № 1, 101.

Юдович В. И., Устойчивость конвективных потоков, ПММ, 1967, 31, № 2, 272.

Горьков Л. П., Стационарная конвекция в плоском слое жидкости вблизи критического режима теплопередачи, ЖЭТФ, 1957, 33, № 2, (8), 402.

Malkus W., Veronis G., Finite amplitude cellular convections, J. Fluid Meeh., 1958, 4, № 3, 225.

Kuo H., Platzman G., A normal mode nonlinear solution of the Rayleigh convection problem, Beitr. Phys. Atmosph., 1961, 33, № 3—4, 137.

Kuo H. L., Convection in conditionally unstable atmosphere, Tellus, 1961, 13, № 4, 441.

Иванилов Ю. П., Вторичные режимы в конвективных течениях, Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 3, 93.

S t u а г t J. Т., On the nonlinear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows, J. Fluid Meeh., 1960, 9, № 3, 353.

Palm E., On the tendency towards hexagonal cells in steady convection, J. Fluid Meeh., 1960, 8, № 2, 183.

Segel L. A., Stuart J. T., On the question of the preffered mode in cellular thermal convection, J. Fluid Meeh., 1962, 13, № 2, 289.

Segel L. A., The non-linear interaction of two disturbances in the thermal convection problem, J. Fluid Meeh., 1962, 14, № 1, 97.

Palm E., Qiann H., Contribution to the theory of cellular thermal convection, J. Fluid Meeh., 1964, 19, № 3, 353.

Segel L. A., Non-linear hydrodynamic stability theory and its applications to thermal convection and curved flows. В / книге: «Non-equilibrium thermodynamics, variational techniques and stability». Univ. Press, Chicago, 1966.

Монин А. С., Яглом A. M., Статистическая гидромеханика, часть 1, «Наука», Москва, 1965.

Y i h С-S., Math. Rev., 1965, 29, Review 3078.

Пономаренко Ю. Б., Процессы установления шестигранных конвективных ячеек, ПММ, 1968, 32, № 2, 244.

N е w е 11 А. С., L a n g е С. G., А и с о i n Р. J., Random convection, J. Fluid Meeh., 1970, 40, № 3, 513.

Lortz D., Instabilitaten der stationaren Konvektionsstrdmungen endlicher Amplitude, диссертация, Universitat Munich, 1961.

Busse F., Das Stabilitatsverhalten der Zellularkonvektion bei endlicher Amplitude, диссертация, Universitat Minich, 1962.

S с h 1 u t е г A., L о r t z D., Busse F., On the stability of steady finite amplitude convection, J. Fluid Meeh., 1965, 23, № 1, 129.

Busse F. H., On the stability of two-dimensional convection in a layer heated from below, J. Math, and Phys., 1967, 46, № 2, 140.

К о gelman S., Di Prima R. C., Stability of spatially periodic supercritical flows in hydrodynamics, Phys. Fluids, 1970, 13, № 1, 1.

M a 1 к u s W. V. R., The heat transport and spectrum of thermal turbulence, Proc. Roy. Soc., 1954, A225, № 1161, 196.

Busse F. H., The stability of finite amplitude cellular convection and its relation to an extremum principle, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 4, 625.

Chen M. M., Whitehead J. A., Evolution of two-dimensional periodic Rayleigh convection cells of arbitrary wave-numbers, J. Fluid. Meeh., 1968, 31, № 1, 1.

Graham A., Shear patterns in an unstable layer of air, Phil. Trans. Roy. Soc., 1933, A232, 285.

Tippelskirch H. Ober Konvektionszellen insbesondere im fliissigen Schwefel, Beitr. Phys. Atmosph., 1956, 29, № 1, 37.

Tippelskirch H., Uber die Benard-Stromung in Aerosolen, Beitr. Phys. Atmosph., 1957, 30, 219.

Silveston P. L., Warmedurchgang in waagerechten Fltissigkeitsschich- ten, Forsch. Ing. Wes., 1958, 24, 29; 59.

Krishnamurti R., On the transition to turbulent convection, часть 1, The transition from two- to three-dimensional flow, J. Fluid Meeh., 1970, 42, № 2, 295.

P a 1 m E., E 111 n g s e n T., G j e v i к В., On the occurence of cellular motion in Benard convection, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 4, 651.

Busse F. H., Non-stationary finite amplitude convection, J. Fluid Meeh., 1967, 28, № 2, 223.

S e g e 1 L. A., The non-linear interaction of a finite number of disturbances to a layer of fluid heated from below, J. Fluid Meeh., 1965, 21, № 2, 359.

Koschmieder E. L., On convection on a uniformely heated plane, Beitr. Phys. Atmosph., 1966, 39, №1, 1.

Krishnamurti R., Finite amplitude convection with changing mean temperature, часть 1, Theory, J. Fluid Meeh., 1968, 33, № 3, 445.

К r 1 s h n a m u r t i R., Finite amplitude convection with changing mean temperature, часть 2, An experimental test of the theory, J. Fluid Meeh., 1968, 33, № 3, 457.

Foster T. D., The effect of initial conditions and lateral boundaries on convection, J. Fluid Meeh., 1969, 37, № 1, 81.

Segel L. A., Distant side-walls cause slow amplitude modulation of cellular convection, J. Fluid Meeh., 1969, 38, № 1, 203.

Kuo H. L., Solution of the nonlinear equations of cellular convection and heat transport, J. Fluid Meeh., 1961, 10, № 4, 611.

Г ершу ни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Та рун ин Е. Л., Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу, Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 6, 93.

Т а р у н и н Е. Л., О численном исследовании ветвлений при свободной конвекции в замкнутой полости, Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 5, 72.

Та ру нин Е. Л., Численное исследование свободной конвекции, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 135.

Т о м А., Э й п л т К., Числовые расчеты полей в технике и физике, Москва — Ленинград, «Энергия», 1964.

W i 111 s G. Е., D е а г d о г f f J. W., Measurements on the development of thermal turbulence in air between horizontal plates, Phys. Fluids, 1965, 8, № 12, 2225.

Шварцблат Д. Л., О спектре возмущений и конвективной неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости с проницаемыми границами, ПММ, 1968, 32, № 2, 276.

Шварцблат Д. Л., Численное исследование стационарного конвективного движения в плоском горизонтальном слое жидкости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 97.

Batchelor G. К., Heat transfer by free convection across a closed cavity between vertical boundaries at different temperatures, Quart. Appl. Math., 1954, 12, № 3, 209.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M., Тарунин Е. Л., Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости, Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 5, 56.

Fromm J. Е., Numerical solution of the nonlinear equations for a heated fluid layer, Phys. Fluids, 1965, 8, № 10, 1757.

Samuels M. R., Churchill S. W., Stability of a fluid in a rectangular region heated from below, AIChE Journal, 1967, 13, № 1, 77.

Schnee k P., Veron is G., Comparison of some recent experimental and numerical results in Benard convection, Phys. Fluids, 1967, 10, № 5, 927.

Ch or in A. J., A numerical method for solving incompressible viscous flow problems, J. Comput. Phys., 1967, 2, № 1, 12.

Полежаев В. И., Течение и теплообмен при естественной конвекции газа в замкнутой области после потери устойчивости гидростатического равновесия, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 5, 124.

Plows W. Н., Some numerical results for two-dimensional steady laminar Benard convection, Phys. Fluids, 1968, 11, № 8, 1593.

A z i z K., Heliums J. D., Numerical solution of the three-dimensional equations of motion for laminar natural convection, Phys. Fluids, 1967, 10, № 2, 314.

''К главе VI

Thompson W. B., Thermal convection in a magnetic field, Phil, Mag., 1951, 42, № 335, 1417.

Chandrasekhar S., On the inhibition of convection by a magnetic field, I. Phil. Mag., 1952, 43, № 7, 501.

Chandrasekhar S., On the inhibition of convection by a magnetic field, II, Phil. Mag., 1954, 45, № 370, 1177.

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц E. M., Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, Москва, 1957.

Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика, Физматгиз, Москва, 1962.

Жуховицкий Е. М., Об устойчивости неравномерно нагретой электропроводящей жидкости в магнитном поле, ФММ, 1958, 6, № 3, 385.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О спектре конвективной неустойчивости проводящей среды в магнитном поле, ЖЭТФ, 1962, 42, № 4, 1122.

Danielson R. Е„ The structure of sunspot penumbras, Astrophys. J., 1961, 134, 275.

P e г и p e p С. А., О конвективном движении проводящей жидкости между параллельными вертикальными пластинами в магнитном поле, ЖЭТФ, 1959, 37, № 1 (7), 212.

Dunwoody N. Т., Instability of a viscous fluid of variable density in a magnetic field, J. Fluid Meeh., 1964, 20, № 1, 103.

Yih С.-S., Gravitational instability of a viscous fluid in a magnetic field, J. Fluid Meeh., 1965, 22, № 3, 579.

Сорокин В. С., Сушкин И. В., Устойчивость равновесия подогреваемой снизу проводящей жидкости в магнитном поле, ЖЭТФ, 1960, 38, № 2, 612.

Шлиомис М. И., Осциллирующие возмущения в проводящей жидкости в магнитном поле, ПММ, 1963, 27, № 3, 523.

Шлиомис М. И., О колебательной, конвективной неустойчивости проводящей жидкости в магнитном поле, ПММ, 1964, 28, № 4, 678.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, Физматгиз, Москва, 1963.

Иванилов Ю. П., Яковлев Г. Н, Стационарная конвекция при наличии внешнего магнитного поля, ПММ, 1966, 30, № 6, 1140.

Chandrasechar S., Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford, Clarendon Press, 1961.

Gibson R. D., Overstability in the magnetohydrodynamic Benard problem at large Hartmann numbers, Proc. Camb. Phil. Soc., 1966, 62, № 2, 287.

Nakagawa Y., Experiments on the inhibition of thermal convection by a magnetic field, Proc. Roy. Soc., 1957, A24Q, № 1220, 108.

Nakagawa Y., Experiments on the instability of a layer of mercury heated from below and subject to the simultaneous action of a magnetic field and rotation, II. Proc. Roy. Soc., 1959, A249, № 1256, 138.

Lehnert B., Little N., Experiments on the effect of inhomogeneity and obliquity of a magnetic field in inhibition convection, Tellus, 1957, 9, № 1, 97.

Y u С. P., Thermal instability of a magnetofluid in a vertical rectangular channel, Phys. Fluids, 1968, 11, № 4, 756.

С м и p н о в А. Г., Свободная тепловая конвекция ртути в замкнутой круглой трубе в поперечном магнитном поле, ДАН СССР, 1957, 115, № 2, 284.

Р е г и р е р С. А., Стационарное конвективное движение вязкой электропроводящей жидкости в круглом вертикальном канале, ПМТФ, 1962, № 2, 14.

Y i h С.-S., Inhibition of hydrodynamic instability by an electric current, Phys. Fluids, 1959, 2, № 2, 125.

Писарев H. M., Конвекция проводящей жидкости в длинной вертикальной трубе кольцевого сечения, Магнитная гидродинамика, 1968, № 1, 109.

Г е р ш у н и Г,. 3., Жуховицкий Е. М., Свободная конвекция проводящей жидкости в связанных вертикальных каналах, ПМТФ, 1967, № 3, 31.

Поддубная Л. Г., Шайдуров Г. Ф., Конвективная устойчивость проводящей жидкости в замкнутом контуре, Магнитная гидродинамика, 1969, № 2, 63.

Kurzweg U. Н., Convective instability of a hydromagnetic fluid within a rectangular cavity, Int. J. Heat Mass Transfer, 1965, 8, 35.

Шайдуров Г. Ф., Шлиомис М. И., Ястребов Г. В., Конвективная неустойчивость вращающейся жидкости, Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 6, 88.

Chandrasekhar S., The instability of a layer of fluid heated below and subject to Coriolis forces, Proc. Roy. Soc., 1953, A217, № 1130, 306.

Chandrasekhar S., Elbert D., The instability of a layer of fluid heated below and subject to Coriolis forces, II, Proc. Roy. Soc., 1955, A231, № 1185, 198.

Ш л и о м и с M. И., Об устойчивости вращающейся и подогреваемой снизу жидкости относительно периодических по времени возмущений, ПММ, 1962, 26, № 2, 267:

Nii 1е г Р. Р., Bisshopp F. Е., On the influence of Coriolis force on onset of thermal convection, J. Fluid Meeh., 1965, 22, № 4, 753.

F i n 1 а у s о n В. A., The Galerkin method applied to convective instability problems, J. Fluid Meeh., 1958, 33, № 1, 201.

Nakagawa Y., F r e n z e n P., A theoretical and experimental study of cellular convection in rotating fluids, Tellus, 1955, 7, 1.

Fu 11z D., Nakagawa Y., Experiments on overstable thermal convection in mercury, Proc. Roy. Soc., 1955, A231, № 1185, 211.

D г о p к i n D., Globe S., Effect of spin on natural convection in mercury heated from below, J. Appl. Phys., 1959, 30, № 1, 84.

G о г о f f I. K-, An experiment on heat transfer by overstable and ordinary convection, Proc. Roy. Soc., 1960, A254, № 1279, 537.'

Rossby H. T., A study of Benard convection with and without rotation, J. Fluid Meeh., 1969, 36, № 2, 309.

Yih С.-S., Thermal instability of viscous fluids. Quart. Appl. Math., 1959, 17, № 1, 25.

Овчинников А. П., Шайдуров Г. Ф., Стабилизация конвективной устойчивости жидкости в кубической полости вращением, ПМТФ, 1968, № 6, 129.

Uber о i С., Gravitational instability of an infinitely extending layer of finite thickness surrounded -by non-conducting material in the presence of magnetic field and rotation, J. Indian Inst. Sci., 1964, 46, 11.

Chakraborty В. B., Stability of a gravitating fluid layer of uniform thickness in the presence of Coriolis force and a magnetic field, Indian J. Phys., 1964, 38, № 10, 490.

Nakagawa Y., Heat transport by convection in presence of an impressed magnetic field, Phys. Fluids, 1960, 3, № 1, 87.

Lortz D., A stability criterion for steady finite amplitude convection with an external magnetic field, J. Fluid Meeh., 1965, 23, № 1, 113.

V e г о n i s G., Cellular convection with finite amplitude in a rotating fluid, J. Fluid Meeh., 1959, 5, № 3, 401.

Veronis G., Motions at subcrittcal values of the Rayleigh number in a rotating fluid, J. Fluid Meeh., 1966, 24, № 3, 545.

V e г о n i s G., Large amplitude Benard convection in a rotating fluid, J. Fluid Meeh., 1968, 31, № 1, 113.

К u p p e r s G., Lortz D., Transition from laminar convection to thermal turbulence in a rotating fluid layer, J. Fluid Meeh., 1969, 35, № 3, 609.

К главе VII

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостех- издат, Москва, 1953.

Шапошников И. Г., К теории конвективных явлений в бинарной смеси, ПММ, 1953, 17, № 5, 604.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, «Наука», Москва, 1964.

Вертгейм Б. А., Об условиях возникновения конвекции в бинарной смеси, ПММ, 1955, 19, № 6, 745.

Накорякова С. Б., К вопросу об устойчивости механического равновесия неравномерно нагретой бинарной смеси, Сб. научн. тр. Пермск. по- литехн. ин-та, 1963, № 13, 58.

Славнова Э. И., О свободной тепловой конвекции в водных растворах солей, заполняющих вертикальную трубу круглого сечения, Инж.-физ. журнал, 1963, 6, № 3, 106.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О конвективной неустойчивости двухкомпонентной смеси в поле тяжести, ПММ, 1963, 27, № 2, 301.

Stommel Н., Arons А. В., Blanchard D., An oceanographical curiosity: the perpetual sals fountain, Deep Sea Res., 1956^ 3, 152.

9; Stern М. Е., The salt fountain and thermohaline convection, Tellus, 1960, 12, 172.•

Walin G., Note on the stability of water stratified by both salt and heat, Tellus, 1964, 16, № 3, 389.

Nie Id D. A., The thermohaline Rayleigh-Jeffreys problem, J. Fluid Meeh., 1967, 29, № 3, 545.

В a i n e s G., Gill A. E., On thermohaline convection with linear gradients, J. Fluid Meeh., 1969, 37, № 2, 289.

Братухин Ю. К., III л иом ис М. И., О конвективной неустойчивости смеси в шаровой полости, Уч. зап. Пермского ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 75.

Hurle D. Т. J., J a kern an Е., Significance of the Soret effect in the Rayleigh-Jeffrey’s problem, Phys. Fluids, 1969, 12, № 12, часть 1, 2704.

Thorpe S. A., Hutt P. K-, Soulsby R., The effect of horizontal gradients on thermohaline convection, J. Fluid Meeh., 1969, 38, № 2, 375.

S h i r t с 1 i f f e T. G. L, An experimental investigation of thermosolutal convection at marginal stability, J. Fluid Meeh., 1969, 35, № 4, 677.

V e г о n i s G., On finite amplitude instability in thermohaline convection, J. Marine Res., 1965, 23, № 1, 1.

V e г о n i s G., Effect of a stabilizing gradient of solute on thermal convection, J. Fluid Meeh., 1968, 34, № 2, 315.

Sani R., On finite amplitude roll cell disturbances in a fluid layer subjected to heat and mass transfer, AIChE Journal, 1965, 11, № 6, 971.

К главе VIII

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости, ПММ, 1963, 27, № 5, 779.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Юрков Ю. С., О конвективной устойчивости при наличии • периодически меняющегося параметра, ПММ, 1970, 34, № 3, 470.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Юрков Ю. С., О численном определении границ конвективной устойчивости в системе с периодически меняющимся параметром, Уч. зап. Пермского ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 29.

Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, Москва, 1958.

Зеньковская С. М., Симоненко И. Б., О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции, Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 5, 65.

Зеньковская С. М., Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 1, 55.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика, «Наука», Москва, 1965.

Сальников И. Е., К вопросу о протекании конвекции при распространении температурных волн в жидкостях, Тр. Горьк. ин-та инж. водного трансп., 1958, № 15, 136.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О конвективной неустойчивости теплового скин-слоя, ПМТФ, 1965, № 6, 55.

Лойцянский Л. Г., Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, Москва, 1962.

Venezia n G., Effect of modulation on the onset of thermal convection, J. Fluid Meeh., 1969, 35, № 2, 243.

Бурдэ Г. И., Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил, Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 2, 196.

Бурде Г. И., Численное исследование конвекции, возникающей при колебаниях температуры на горизонтальных границах, Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 1, 144.

Бурдэ Г. И., Численное исследование конвекции в условиях параметрической модуляции внешней силы, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 75.

С и г г i е I. G., The effect of heating rate on the stability of stationary fluids, J. Fluid Meeh., 1967, 29, № 2, 337.

Mahler E. G., Schechter R. S., Wissler E. H., Stability of fluid layer with time-dependent density gradients, Phys. Fluids, 1968, 11, № 9, 1901.

Foster T. D., Effect of boundary conditions on the onset of convection, Phys. Fluids, 1968, 11, № 6, 1257.

Krishnamurti R., Finite amplitude convection with changing mean temperature, часть 1, Theory, J. Fluid Meeh., 1968, 33, № 3, 445.

К главе IX

Gallagher A. P., Mercer A. Me D., On the behaviour of small disturbances in plane Couette flow with a temperature gradient, Proc. Roy. Soc., 1965, A286, № 1404, 117.

Deardorff J. W., Gravitational instability between horizontal plates with shear, Phys. Fluids, 1965, 8, № 6, 1027.

Gage K. S., Reid W. H., The stability of thermally stratified plane Poi- seuille flow, J. Fluid Meeh., 1968, 33, № 1, 21.

Chandra K-, Instability of fluids heated from below, Proc. Roy. Soc., 1938, A164, 231.

Hughes T. H., Reid W. H., The stability of spiral flow between rotating cylinders, Phil. Trans. Roy. Soc., 1968, A263, № 1135, 57.

Шварцблат Д. Л., О спектре возмущеций и конвективной неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости с проницаемыми границами, ПММ, 1968, 32, № 2, 276.

Шварцблат Д. Л., Стационарные конвективные движения в плоском горизонтальном слое жидкости с проницаемыми границами, Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 5, 84.

Шварцблат Д. Л., Численное исследование стационарного конвективного движения в плоском горизонтальном слое жидкости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 97.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шварцблат Д. Л., Стационарная конвекция в вертикальном канале с проницаемыми границами, ПММ, 1969, 33, № 3, 476.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шварцблат Д. Л., О спектре конвективной неустойчивости в вертикальном канале с проницаемыми границами, ПММ, 1970, 34, № 1, 150.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шварцблат Д. Л., Об устойчивости поперечного течения жидкости между проницаемыми границами, ПММ, 1967, 31, № 1, 116.

Шварцблат Д. Л., Ш л и о м и с М. И., О спектре возмущений подогреваемой снизу жидкости в полости с проницаемыми границами, Уч. зап. Пермского ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 38.

Sparrow Е. М., G 0-4 d stein К. J., Jonsson V. К., Thermal instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary condition and non-linear temperature profile, J. Fluid Meeh., 1964, 18, № 4, 513.

Watson P. M., Classical cellular convection with a spatial heat source, J. Fluid Meeh., 1968, 32, № 2, 399.

Roberts P. H., Convection in horizontal layers with internal heat generation. Theory, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 1, 33.

Tritton D. J., Zarraga M. N., Convection in horizontal layers with internal heat generation. Experiments, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 1, 21.

Грибов В. H., Гуревич Л. Э., К теории устойчивости слоя, находящегося при сверхадиабатическом градиенте температуры в поле тяжести, ЖЭТФ, 1956, 31, № 5 (11), 854.

Whitehead J. A., Chen М. М., Thermal instability and convection of a thin fluid layer bounded by a stably stratified region, J. Fluid Meeh., 1970, 40, № 3, 549.

Veron is G., Penetrative convection, Astrophys. J., 1963, 137, № 2, 647.

M usman S., Penetrative convection, J. Fluid Meeh., 1968, 31, № 2, 343.

Boger D. V., Westwater J. W., Effect of buoyancy on the melting and freezing process, Trans. ASME, 1967, C89, № 1, 81.

Faller A. J., Kaylor R., Numerical studies of penetrative convective instabilities, J. Geophys. Res., 1970, 75, № 3, 521.

Goody R. M., The influence of radiative transfer on cellular convection, J. Fluid Meeh., 1956, 1, № 4, 424.

Christophorides C., Davis S. H., Thermal instability with radiative transfer, Phys. Fluids, 1970, 13, № 2, 222.

Берковский Б. M., H о г о т о в Е. Ф., Фотоабсорбционная конвекция в полостях, Инж.-физ. журнал, 1970, 19, № 6, 1012.

Pearson J. К. A., On convection cells induced by surface tension, J. Fluid Meeh., 1958, 4, № 5, 489.

Block M., Surface tension as the cause of Benard cells and surface deformation in a liquid film, Nature, 1956, 178, 650.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Механика сплошных сред, Гостехиз- дат, Москва, 1953.

Л е в и ч В. Г., Физико-химическая гидродинамика, Физматгиз, Москва, 1959.

Stern ling С. V., Scriven L. Е., Interfacial turbulence: hydrodynamic instability and the Marangoni effect, AIChE Journal, 1959, 5, № 4, 514.

Vidal A., Acrivos A., Nature of the neutral state in surfacetension driven convection, Phys. Fluids, 1966, 9, № 3, 615.

N i e 1 d D. A., Surface tension and buoyancy effects in cellular convection, J. Fluid Meeh., 1964, 19, 341.

N i e 1 d D. A., Streamlines in Benard convection cells induced by surface tension and buoyancy, ZAMP, 1966, 17, № 2, 226.

Бабский В. Г., Скловская И. Л., Гидродинамика в слабых силовых полях. Возникновение стационарной термокапиллярной конвекции в шаровом слое жидкости в условиях невесомости, Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 3, 92.

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, «Наука», Москва, 1964.

Berg J. С., Acrivos A., The effect of surface active agents on convection cells induced by surface tension, Chern. Eng. ScL, 1965, 20, 737.

S с r i v e n L. E., S t e r n 1 i n g С. V., On cellular convection driven by surface tension gradients: effect of mean surface tension and surface viscosity, J. Fluid Meeh., 1964, 19, 321.

Smith K. A., On convective instability induced by surface-tension gradients, J. Fluid Meeh., 1966, 24, № 2, 401.

N i e 1 d D. A., Surface tension and buoyancy effects in the cellular convection of an electrically conducting liquid in a magnetic field, ZAMP, 1966, 17, № 1, 131.

Vidal A., Acrivos A., The influence of Coriolis force on surface-tension- driven convection, J. Fluid Meeh., 1966, 26, № 4, 807.

Me С о n a gh у G. A., Finlayson В. A., Surface tension driven oscillatory instability in a rotating fluid layer, J. Fluid Meeh., 1969, 39, № 1,49.

Namikawa T., Takashima M., Matsushita S., The effect of rotation on convective instability induced by surface tension and buoyancy, J. Phys. Soc. Jap., 1970, 28, № 5, 1340.

Scanlon J. W., Segel L. A., Finite amplitude cellular convection induced by surface tension, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 1, 149.

Полубаринова-Кочина П. Я., Теория движения грунтовых вод, ГИТТЛ, Москва — Ленинград, 1952.

Horton С. W„ Rogers F. Т., Convection currents in a porous medium, J. Appl. Phys., 1945, 16, 367.

L a p w о о d E. R., Convection of a fluid in a porous medium, Proc. Camb.. Phil. Soc., 1948, 44, № 4, 508.

Золотарев П. П., Условия возникновения тепловой конвекции в пористом пласте, Инж. журнал, 1965, 5, № 2, 236.

М о г гл s о n Н. L., Rogers F. Т., Horton С. W., Convection currents in porous media, II. Observation of conditions at onset of convection, J. Appl. Phys., 1949, 20, № 11, 1027.

Rogers F. T., Morrison H. L., Convection currents in porous media, III. Extended theory of the critical gradient, J. Appl. Phys., 1950, 21, № 11, 1177.

Rogers F. T., Schilberg L. E., Morrison H. L., Convection currents in porous media, IV. Remarks on the theory, J. Appl. Phys., 1951, 22, № 12, 1476.

Katt о Y., Masuoka T., Criterion for the onset of convective flow in a fluid in a porous medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 1967, 10, № 3, 297.'

Лейбензон Л. С., Движение природных жидкостей и газов в пористой среде, Гостехиздат, Москва — Ленинград, 1947.

Wooding R. A.,. The stability of a viscous liquid in a vertical tube containing porous material, Proc. Roy. Soc., 1959, A252, 120.

N i e 1 d D. A., Onset of thermohaline convection in a porous medium. Water resources research, 1968, 4, № 3, 553.

Herbert D. M., On the stability of visco-elastic liquids in heated plane Couette flow, J. Fluid Meeh., 1963, 17, № 3, 353.

Green T., Oscillating convection in an elasticoviscous liquid, Phys. Fluids, 1968, 11, № 7, 1410.•

V e s t С. M., A r p a c i V. S., Overstability of a viscoelastic fluid layer heated from below, J. Fluid Meeh., 1969, 36, № 3, 613.

Tien Ch., T s u e i H. Sh., S u n Z. Sh., Thermal instability of a horizontal layer of non-Newtonian fluid heated from below, Int. J. Heat Mass Transfer, 1969, 12, № 9, 1173.

Turnbull R. J., Effect of dielectrophoretic forces on the Benard instability, Phys. Fluids, 1969, 12, № 9, 1809.

Finlayson B. A., Convective instability of ferromagnetic fluids, J. Fluid Meeh., 1970, 40, № 4, 753.

SpiegeL E. A., Convective instability in a compressible atmosphere. I, Astrophys. J., 1965, 141, № 3, 1068.

Полежаев В. И., Течение и теплообмен при естественной конвекции газа в замкнутой области после потери устойчивости гидростатического равновесия, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 5, 124.

Гитерман М. Ш., Штейнберг В. А., Критерии возникновения свободной конвекции в сжимаемой, вязкой и теплопроводной жидкости, ПММ, 1970, 34, № 2, 325.

Г и т е р м а н М. Ш., Штейнберг В. А., Критерии возникновения конвекции в жидкости, находящейся вблизи критической точки, Теплофизика высоких температур, 1970, 8, № 4. 799.

'К г л а в е X х

Гершуни Г. 3., Об устойчивости плоского конвективного движения жидкости, ЖТФ, 1953, № 10, 1838.

Гершуни Г. 3., К вопросу об устойчивости плоского конвективного движения жидкости, ЖТФ, 1955, 25, № 2, 351.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О двух типах неустойчивости конвективного движения между параллельными вертикальными плоскостями, Изв. вузов (физика), 1958, № 4, 43.

Б и р и х Р. В., Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., О спектре воз* мущений плоскопараллельных течений при малых числах Рейнольдса, ПММ, 1965, 29, № 1, 88.

Б и р и х Р. В., О малых возмущениях плоскопараллельного течения с кубическим профилем скорости, ПММ, 1966, 30, № 2, 356.

Л и н ь Ц. Ц., Теория гидродинамической устойчивости, ИЛ, Москва, 1958.•-

Шлихтинг Г., Возникновение турбулентности, ИЛ, Москва, 1962.

Монин А. С., Я гл ом А. М., Статистическая гидромеханика, часть 1, «Наука», Москва, 1965.

Бирих Р. В., Замечание к работам ..., ПММ, 1966, 30, № 2, 1147.

Петров Г. И., Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости, ПММ, 1940, 4, № 3, 3.

Петров Г. И., Оценка точности приближенного вычисления собственного значения методом Галеркина, ПММ, 1957, 21, № 2.

Dolph С. L., Lewis D. С., On the application of infinite systems of ordinary differential equations to perturbations of plane Poiseuille flow, Quart. Appl. Math., 1958, 16, № 2.

Бирих P. В., О спектре малых возмущений плоскопараллельного течения Куэтта, ПММ, 1965, 29, № 4, 798.

Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, «Наука», Москва, 1966.

Рудаков Р. Н., О малых возмущениях конвективного движения между вертикальными плоскостями, ПММ, 1966, 30, № 2, 362.

Рудаков Р. Н., Спектр возмущений и устойчивость конвективного движения между вертикальными плоскостями, ПММ, 1967, 31, № 2, 349.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Рудаков. Р. Н., О спектре тепловых возмущений в потоках несжимаемой жидкости, ПММ, 1967, 31, № 3, 573..

Got oh К., Satoh М., The stability of a natural convection between two parallel vertical planes, J. Phys. Soc. Jap., 1966, 21, № 3, 542.

Рудаков P. H., О форме нормальных возмущений в конвективном потоке между вертикальными плоскостями, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968, № 184, Гидродинамика, вып. 1, 105.

On sa ger L., Watson W. W., Turbulence in convection in gases between concentric vertical cylinders, Phys. Fluids, 1939, 56, № 5, 474.

Сорокин M. П., Экспериментальное исследование устойчивости конвективного движения жидкости в длинной вертикальной щели, Инж.-физ. журнал, 1961, 4, № 2, 106.

Elder J. W., Laminar free convection in a vertical slot, J. Fluid Meeh., 1965, 23, № 1, 77.

V e s t С. M., А г p a c i V. S., Stability of natural convection in a vertical slot, J. Fluid Meeh., 1969, 36, № 1, 1.

Б и p и x P. В., Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M., P у д а к о в P. H., Гидродинамическая и тепловая неустойчивость стационарного конвективного движения, ПММ, 1968, 32, № 2, 256.

Catton L, Natural convection in horizontal liquid" layers, Phys. Fluids. 1966, 9, № 12, 2521..

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Об устойчивости плоскопарал- дельного конвективного движения относительно пространственных возмущений, ПММ, 1969, 33, № 5, 855.

Squire Н. В., On the stability for three-dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls, Proc. Roy. Soc., 1933, A142, № 847, 621.

Б и p и x P. В., Г e p шун и Г. 3., Жуховицкий E. M., Рудаков Р. Н., Устойчивость стационарного конвективного движения жидкости с продольным градиентом температуры, ПММ, 1969, 33, № 6, 958.

Зайцев В. М., Сорокин М. П., К вопросу об устойчивости теплового конвективного движения жидкости в вертикальной щели, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1961, 19, № 3, 29.

Б и р и х Р. В., Рудаков Р. Н., О форме неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения с продольным* градиентом температуры, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971, № 248, Гидродинамика, вып. 3, 56.

Мызников В. М., Об устойчивости конвективного движения в плоском вертикальном слое при наличии продольного градиента температуры, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 99.

Г е р ш у н и Г. 3., Жуховицкий Е. М., Стационарное конвективное - движение электропроводящей жидкости между параллельными плоскостями в магнитном поле, ЖЭТФ, 1958, 34, № 3, 670.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Об устойчивости стационарного конвективного движения электропроводящей жидкости между параллельными вертикальными плоскостями в магнитном поле, ЖЭТФ, 1958, 34, № 3, 675.

Stuart J. Т., On the stability of viscous flow between parallel planes in the presence of a coplanar magnetic field, Proc. Roy. Soc., 1954, A221, 189.

Lock R. C., Stability of the flow of an electrically conducting fluid between parallel planes under a transverse magnetic field, Proc. Roy. Soc., 1955, A233, 105.

Г e p ш у н и Г. 3., К вопросу об устойчивости стационарного конвективного движения вязкой жидкости, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1961, 19, № 3,25.

Б ир их Р. В., Рудаков Р. Н., О влиянии движения границ на устойчивость конвективного течения между вертикальными плоскостями, Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, № 216, Гидродинамика, вып. 2, 93.

Hunt J. С. R., On the stability of parallel flows with parallel magnetic fields, Proc. Roy. Soc., 1966, A293, 342.

Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M., Якимов А. А., Об устойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла, ПММ, 1970, 34, № 4, 700.

Гершуни Г. 3. Жуховицкий Е. М., Т а р ун и н Е. Л., Вторичные стационарные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости, Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 5, 130.

Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, «Наука», Москва, 1969.

Лойцянский Л. Г., Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, Москва, 1962.

Szewczyk A. A., Stability and transition of the free-convection boundary layer along a vertical flat plate, Int. J. Heat Mass Transfer, 1962, 5, 903.

Kurtz E. F., Crandall S. H., Computer-aided analysis.of hydrodynamic stability, J. Math, and Phys., 1962, 41, № 4, 262.

Sparrow E. M., Tsou F. K., Kurtz E. F., Stability of laminar free convective flow on a vertical plate, Phys. Fluids, 1965, 8, № 8, 1559.

Nachtsheim P. R., Stability of free-convection boundary layer flows, NASA TN D-2089, 1963.

Eckert E. R. G., Soehngen E. E., Interferometric studies on the stability and transition to turbulence of a free convection boundary layer, Proc. General Discussion on Heat Transfer, 1951, 321.

S р а г t о w Е. М., G г е g g J. L., Laminar free convection from a vertical plate with a uniform surface heat flux. Am. Soc. Meeh. Engrs., 1956, 79, 435. r'

Polymeropoulos C., Gebhart B., Stability of free convection flow over a vertical uniform flux plate, AIAA Journal, 1966, 4, № 11, 2066.

Knowles C. R., Gebhart B., The stability of the laminar convection boundary layer, J. Fluid Meeh., 1968, 34, № 4, 657.

Polymeropoulos С. E., Gebhart B., Incipient instability in free convection laminar boundary layers, J. Fluid Meeh., 1967, 30, № 2, 225.

Schubauer G. B., S к r a m s t a d H. K., Laminar-boundary-layer oscillations and transition on a flat plate, NACA Report 909, 1948.

Dr in g R. P., Gebhart B., A theoretical investigation of disturbance amplification in external laminar natural convection, J. Fluid Meeh., 1968, 34, № 3, 551.

Dring R. P., Gebhart B., An experimental investigation of disturbance amplification in external laminar natural convection flow, J. Fluid Meeh., 1969, 36, № 3, 447..

Sparrow E. M., Husar R. B., Longitudinal vortices in natural convection flow on inclined plates, J. Fluid Meeh., 1969, 37, № 2, 251.

Lloyd J. R., Sparrow E. M., On the instability of natural convection flow on inclined plates, J. Fluid Meeh., 1970, 42, № 3, 465.

Gill A. E., Davey A., Instabilities of a buoyancy-driven system, J. Fluid Meeh., 1969, 35, № 4, 775.

G i 11 A. E„ Kirkham С. C., A note on the stability of convection in a vertical slot, J. Fluid Meeh., 1970, 42, № 1, 125.-

Бир их P. В., Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Рудаков Р. Н., О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения в вертикальном канале, ПММ, 1972, 36, № 4, 475.

В последнее время появился ряд работ, посвященных конвективной устойчивости. В приводимых ниже дополнениях затронуты наиболее интересные из полученных результатов.

К главе I

Новый аспект теории конвективной устойчивости развит в работе В. М. Зайцева и М. И. Шлиомиса Р], рассмотревших поведение гидродинамических флуктуаций в подогреваемой снизу жидкости. Наряду с другими факторами (толчки, неравномерности подогрева и т. д.) флуктуации служат постоянным источником возмущений, а поэтому их изучение представляет особый интерес с точки зрения теории гидродинамической устойчивости. Гидродинамические флуктуации, вообще говоря, малы; их энергия порядка кТ (Г — абсолютная температура, к — постоянная Больцмана). Однако вблизи границы устойчивости равновесия или стационарного движения они становятся весьма значительными.

Для описания гидродинамических флуктуаций в уравнения движения вводятся дополнительные «сторонние» члены — тензор сторонних напряжений в уравнение Навье — Стокса и вектор стороннего теплового потока в уравнение переноса тепла. Корреляционные соотношения для их компонент были получены Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [2]. В работе f1] этот метод применен для рассмотрения флуктуаций равновесия (R <Ri) и стационарного конвективного движения (R > Ri) подогреваемой снизу жидкости при числах Рэлея, близких к первому критическому Ri.

В линейном приближении флуктуации скорости и температуры описываются неоднородной системой уравнений, в которой «сторонние» члены играют роль источников. Критическое число Ri является минимальным собственным значением соответствующей однородной задачи. Решение неоднородной задачи, очевидно, имеет особенность в точке Rb Отсюда ясен результат, полученный в PJ: по мере приближения числа Рэлея к R] интенсивность флуктуаций нарастает,

При подходе к границе устойчивости как со стороны равновесия, так и со стороны установившегося надкритического движения время корреляции флуктуаций тс растет по закону |R — Ri |-1. Если жидкость заполняет полость, все размеры которой одного порядка, то флуктуации оказываются скоррелированными во всей полости. Для бесконечного горизонтального слоя наряду с тс существует и радиус корреляции rc~ |R—Ri|-Va, Полученные в PJ результаты имеют, по-видимому [3], более общий характер: с некоторыми изменениями они справедливы, вероятно, и для стационарных потоков вблизи критических чисел Рейнольдса.

К главе V

Описанная в § 22 картина надкритической конвекции в горизонтальном слое получила в последнее время дополнительные экспериментальные подтверждения. В работе Буссэ и Уайтхеда [4] продолжено исследование устойчивости двумерных конвективных валов, начатое в [v-34]1). Использовалось силиконовое масло со слабой температурной зависимостью параметров (число Прандтля Р= 100). Методика экспериментов в принципе не отличалась от развитой в [v-34]. Новый результат заключается в том, что искусственно возбуждая валы с различными начальными значениями волновых чисел, удалось не только продемонстрировать их перестройку, .наступающую в результате неустойчивости, но и количественно .определить саму границу устойчивости валов. При этом экспериментальные результаты подтверждают как наличие границы области устойчивости валов (см. рис. 56; кривые Буссэ), так и тот факт, что на двух ветвях кривой неустойчивость связана с возмущениями разной структуры.

В связи с обсуждаемым вопросом представляет интерес также результат численного эксперимента, проведенного в работе Огура [5]. В этой работе численно исследовались плоские начальные возмущения в горизонтальном слое со свободными границами с отношением длины слоя к высоте около 30. В процессе установления наблюдалась перестройка начальных возмущений и формирование стационарной периодической структуры с волновыми числами, соответствующими интервалу устойчивости валов. Можно сказать, что это исследование является численным аналогом экспериментов [v-34].-

Вопрос об устойчивости двумерных надкритических валов оказывается сложнее в случае малых значений числа Прандтля (напомним, что результаты работы [v-30] относятся к противоположному предельному случаю больших Р). В работе Буссэ [б] рас-

9 В дополнениях римской цифрой в ссылках отмечается литература к соответствующей главе основного текста.

смотрена устойчивость валов в горизонтальном слое со свободными границами в пределе малых Р. При решении задачи амплитуда стационарных валов не предполагалась малой; для отыскания декрементов нормальных возмущений применялся метод малого параметра, основанный на разложении по степеням волнового числа возмущений в направлении осей валов, а также метод Галеркина. Основной результат состоит в том, что в случае малых чисел Прандтля валы достаточно большой амплитуды (согласно оценке, при надкритичности (R— Rm) /Rm > 0,31 Р2) оказываются неустойчивыми относительно трехмерных осциллирующих возмущений. Этот вывод ставится в связь с- колебаниями, наблюдавшимися в экспериментах [V. 53, п. is, ?]

Как указывалось в § 22, температурная зависимость вязкости существенно влияет на структуру и устойчивость надкритических движений. Так, согласно [v-33] трехмерные гексагональные ячейки в плоском бесконечном слое при достаточной неоднородности вязкости возбуждаются «жестко» (см. рис. 37), причем устойчивым является лишь движение, при котором на оси ячейки жидкость поднимается вверх (имеется в виду типичный для капельных жидкостей случай убывания вязкости с температурой). Движение с противоположной циркуляцией оказывается неустойчивым. Как показано в работе Джозефа [8], это обстоятельство специфично для бесконечного слоя, где границы ячеек выделены условиями периодичности в горизонтальной плоскости. В замкнутой же области с твердыми границами ситуация иная: отличие в свойствах спектра линейной задачи приводит здесь к тому, что оказываются устойчивыми обе ветви, соответствующие двум возможным направлениям циркуляции, причем движение с нисходящим осевым потоком возбуждается «мягко», а движение с восходящим потоком — «жестко».

Отметим в этой связи проведенный недавно авторами совместно с Е. Л. Таруниным расчет методом сеток вторичных конвективных движений в квадратной области. Неоднородность вязкости приводит к асимметрии второго критического движения (см. рис. 51) относительно изменения направления циркуляции. В соответствии с результатами Джозефа, оба движения оказываются устойчивыми, причем одно из них возбуждается «жестко», и глубина области существования подкритических движений растет с увеличением параметра неоднородности вязкости.

К главе VII

В дополнении к этой главе мы кратко остановимся на вопросе о термоконцентрационной неустойчивости. В последнее время благодаря ряду работ этот вопрос приобрел достаточную ясность,

Во многих экспериментальных работах (см., например, [9,1°]) обнаружено, что в стратифицированной смеси при наличии в ней градиентов температуры и концентрации при определенных условиях возникают своеобразные слоистые течения: в жидкости образуются чередующиеся вдоль вертикали слои, в которых происходит движение со скоростями, наклоненными на небольшой угол к горизонтали. Из экспериментов следует, что возникновение слоистых течений связано с наступлением некоторых критических условий. Как будет пояснено ниже, это явление связано с неустойчивостью равновесия смеси, при котором градиенты температуры и концентрации наклонены к вертикали (так, однако, что градиент плотности смеси вертикален; см. § 30).

Физическую картину этой неустойчивости можно наглядно представить себе, используя те же рассуждения, что и приведенные в § 32 («парадокс устойчивости»). Для простоты рассмотрим равновесное состояние, при котором градиенты температуры и концентрации легкой компоненты горизонтальны и противоположны по направлению. Пусть, далее, их величины ДиВ согласованы так, что градиент плотности равен нулю, т. е. Р1Д + р2В = 0. Речь идет, таким образом, о состоянии равновесия с одинаковой во всех точках плотностью смеси. Пусть для определенности градиент температуры направлен влево, а градиент концентрации — вправо. Будем считать также, что выполнено условие х > D, т. е. неоднородности температуры выравниваются быстрее, чем неоднородности концентрации. Поскольку температура и концентрация не зависят от вертикальной координаты, случайное смещение элемента среды вверх или вниз не приводит к появлению подъемной силы — возмущения такого типа гасятся вязкостью. Иная ситуация возникает при боковом смещении. Если, например, элемент сместится влево, то в новом месте, где температура окружающей среды выше, он будет быстро нагреваться, относительно медленно теряя легкую компоненту. Плотность элемента может оказаться меньше плотности окружающей смеси, и в результате возникнет подъемная сила. Таким образом, при определенном соотношении между градиентами и параметрами жидкости боковое смещение может привести к монотонной неустойчивости. Элементы, случайно, сместившиеся влево, будут всплывать, а элементы, сместившиеся вправо,— тонуть; в результате сформируется слоистое течение с траекториями частиц, наклоненными к горизонтали.

Первый расчет неустойчивости такого типа был выполнен в уже цитированной работе Торпа, ХаттаиСолсби [vn. isj в этой работе рассматривалась устойчивость равновесия смеси при наличии горизонтальных градиентов температуры и концентрации и вертикального градиента плотности. Авторы получили решение краевой задачи для монотонных возмущений и подтвердили

критический характер явления. Найденное ими соотношение между критическими градиентами, несмотря на весьма искусственный характер принятых граничных условий, удовлетворительно согласуется с результатами их же экспериментов.

Полная ясность внесена работой Харта [п]. В этой работе исследуется устойчивость стационарного плоскопараллельного движения между вертикальными плоскостями, нагретыми до разной температуры, при наличии направленного вверх вертикального градиента концентрации легкой компоненты. При малом градиенте концентрации профиль скорости близок к кубическому (см. § 43); если же градиент достаточно велик, то движение происходит лишь в тонких пограничных слоях вблизи плоскостей; основная масса жидкости в центральной части слоя практически неподвижна, причем в ней автоматически устанавливается горизонтальный градиент концентрации В, связанный с заданным градиентом температуры А соотношением рИ + + ^В = 0. Поэтому при достаточно большом градиенте концентрации неустойчивость всей системы обусловлена, в сущности, термоконцентрационным механизмом, обсужденным выше. При большом вертикальном градиенте концентрации имеют место следующие асимптотические зависимости для критического числа Грасхофа (определенного по поперечной разности температур) и вертикального волнового числа кт\

Gm~(RdP, ^-(RJ'/e.

Здесь Rd — число Рэлея, определенное по вертикальному градиенту концентрации.

Таким образом, можно считать твердо установленным, что слоистые течения, возникающие при боковом нагреве стратифицированной смеси, обязаны своим происхождением неустойчивости равновесия При наличии горизонтальных градиентов температуры и концентрации. ■

К главе VIII

Изучение конвективной устойчивости и конечно-амплитудных колебаний при наличии периодически модулированного параметра продолжено в недавних работах [12-15]. Г. И. Бурдэ [12] провел численное исследование методом сеток случая, когда на горизонтальных границах периодически меняется температура; в отличие от постановки задачи, изложенной в § 37, имеет место также средняя по времени неустойчивая стратификация. Он же [|3] применил метод малого параметра (разложение по амплитуде движения) для выяснения структуры конвективных колебаний вблизи границ устойчивости (рассматривался горизонтальный слой со свободными границами в модулированном поле тя-

жести). Расчет привел, в частности, к интересному выводу о возможности «жесткого» возбуждения неустойчивости на границах резонансных областей при достаточно большой амплитуде модуляции. Этот вывод качественно согласуется с численными результатами [VIIL 14],

Упомянем также работу Розенблата и Танаки [и], в которой численно исследована устойчивость плоского слоя с твердыми границами, верхняя из которых поддерживается при постоянной температуре, а температура нижней меняется со временем гармонически. В отличие от уже цитированной работы Венециана [VIIL и] здесь не предполагается малой амплитуда модуля* ции. В работе Розенблата и Герберта [15] выясняются некоторые особенности воздействия низкочастотной модуляции температуры.

К главе IX

Развитие исследований конвективной неустойчивости, вызываемой внутренними источниками тепла, последнее время шло по пути рассмотрения различных физических механизмов тепловыделения.

А. В. Лыков, Б. М. Берковский и By Зуй Куанг [16] определили устойчивость горизонтального слоя проводящей жидкости с внутренним тепловыделением за счет джоулева тепла при протекании высокочастотного тока. Скин-эффект приводит к неоднородному по высоте распределению плотности источников тепла. С ростом частоты критическое число Рэлея быстро возрастает.

В работе Э. А. Штесселя, К. В. Прибытковой и А. Г. Мержанова [17] методом сеток изучается конвекция в полости квадратного сечения с горизонтальными изотермическими и боковыми теплоизолированными границами. В жидкости (число Прандтля р = 20) распределены источники тепла, мощность которых экспоненциально возрастает с температурой (экзотермическая реакция). Открытое Д. А. Франк-Каменецким явление теплового взрыва осложняется при этом свободной конвекцией. В то же время параметр Франк-Каменецкого, определяющий скорость тепловыделения, влияет на границу конвективной неустойчивости.

В серии работ (ссылки см. в [18]) изучается неустойчивость горизонтального слоя химически реагирующей смеси. Упомянем также работы [19>20], в которых рассматривается конвективная устойчивость в двухфазной системе с учетом выделения тепла на границе раздела фаз.

Вопрос о структуре и устойчивости надкритических движений при наличии внутренних источников продолжает оставаться открытым. В работе [21] проведено исследование методом сеток

плоских и пространственных движений в горизонтальном слое £ теми же граничными условиями, что и в работе Робертса [1Х-15]. В численном эксперименте автор наблюдал переход между разными формами ячеек по мере увеличения надкритичности. Однако полученные данные в общем не согласуются с аналитическими результатами [1Х *5] и экспериментом [1Х-16].

Среди новых исследований термокапиллярной неустойчивости отметим [22~24]. Палмер и Берг [22] экспериментально изучали порог конвекции в горизонтальных слоях силиконовых масел со свободной поверхностью. Толщина слоя менялась в пределах от 0,24 до 10,3 мм, и при этом были существенны оба механизма неустойчивости — термогравитационный и термокапиллярный. Экспериментально найденная зависимость критического числа Рэлея от параметра Марангони хорошо согласуется с теоретическим результатом Нилда [1Х-32]; см. рис. 113.

Расчет методом сеток нелинейной конвекции в плоской ячейке с учетом подъемной и термркапиллярной сил произведен в работе [23]. В [24] для изучения надкритической термокапиллярной конвекции применен метод малого параметра, аналогичный методу В. С. Сорокина (§ 21). Результаты используются для описания конвекции в слое металла и в слое шлака на поверхности металла.

Остановимся теперь кратко на результатах проведенного авторами исследования конвективной устойчивости жидкости Бингама. Рассматривалась задача о возникновении плоскопараллельной конвекции в вертикальном плоском канале. В случае одномерного течения касательное напряжение связано с градиентом скорости реологическим уравнением: т = Tosign *иг + цу', где то — предельное напряжение сдвига, ц — вязкость, у' — поперечный градиент скорости.

Из-за конечной величины начального напряжения равновесие такой жидкости относительно малых возмущений оказывается устойчивым при всех числах Рэлея. Рассмотрение плоскопараллельных стационарных движений приводит к нелинейной краевой задаче, которая решена точно для случая нечетного течения, соответствующего основному уровню неустойчивости относительно плоских возмущений. Решение этой задачи определяет амплитуду скорости в зависимости от числа Рэлея и безразмерного параметра пластичности. Это решение существует при значениях числа Рэлея R > л4 (напомним, что R = л4 есть нижний уровень неустойчивости для случая обычной ньютоновской жидкости; см. § 12). Как показывает анализ, это решение оказывается неустойчивым относительно малых возмущений («седловой» режим). Амплитуда скорости у0 является пороговой: возмущения равновесия с амплитудой, меньшей у0, затухают, а с амплитудой, большей Уо, неограниченно нарастают.

Таким образом, в среде Бингама, как и в ньютоновской жидкости, критическим значением числа Рэлея остается R = л4. Однако, в отличие от ньютоновской жидкости, при R > л4 неустойчивость равновесия возникает лишь под действием конечных возмущений скорости. Пороговая амплитуда у0 пропорциональна начальному напряжению То и уменьшается с увеличением R в области R > л4. В пределе при то -> 0 имеем у0 -> 0, и мы приходим к известному результату о неустойчивости равновесия ньютоновской жидкости при R > л4.

К главе X

В § 49 сформулирована задача об устойчивости плоскопараллельного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла. Приводимое в этом параграфе решение получено в чисто гидродинамическом приближении. Недавно авторы совместно с А. А. Якимовым получили решение задачи в полной постановке — с учетом конвективной силы и тепловых возмущений (краевая задача (43.11) — (43.13)). Применялся метод Галеркина с базисными функциями, определенными формулами (44.8) — (44.12), (45.6). Рассматривался нижний уровень неустойчивости, соответствующий четным возмущениям функции тока и нечетным возмущениям температуры. ,

Как оказалось, учет тепловых факторов весьма важен. Чисто гидродинамический подход, как и следовало ожидать, справедлив в предельном случае малых чисел Прандтля. С увеличением числа Прандтля минимальное критическое число Грасхофа уменьшается и минимум на нейтральной кривой смещается в область меньших к, т. е. в сторону длинноволновых возмущений. При больших числах_Прандтля справедлива асимптотическая формула Gm = 488/]/ Р, свидетельствующая о том, что неустойчивость связана с нарастающими тепловыми волнами (ср. с формулой (45.10)). '

Интересно отметить, что с ростом Р происходит не только понижение критического числа Gm, но и значительная деформация нейтральной кривой. При Р = 5,7 на кривой появляется точка возврата, и при Р > 5,7 кривая состоит из двух ветвей, соединяющихся друг с другом через замкнутую петлю. Две ветви нейтральной кривой описывают, в сущности, две моды неустойчивости, проявляющиеся при разных значениях волнового числа. Коротковолновая ветвь отвечает гидродинамической моде, мало чувствительной к изменению числа Прандтля. Длинноволновая ветвь соответствует возмущениям типа нарастающих тепловых волн, фазовая скорость которых соизмерима со скоростью основ ного потока.

Аналогичные особенности — переход при увеличении числа Прандтля к неустойчивости типа бегущих тепловых волн и формирование замкнутой петли на нейтральной кривой — обнаружены Хибером и Гебхартом [25’26] при исследовании устойчивости конвективного пограничного слоя возле вертикальной пластины с однородным тепловым потоком. .

Таким образом, переход по мере увеличения числа Прандтля к неустойчивости типа нарастающих бегущих тепловых волн к настоящему времени отчетливо прослежен на примере трех стационарных течений: конвективного течения между плоскостями, нагретыми до разной температуры; течения, создаваемого внутренними источниками тепла; конвективного пограничного слоя у нагретой пластины. Этот переход, несомненно, специфичен для произвольных конвективных течений.

Среди появившихся в последнее время исследований отметим работу [27], посвященную устойчивости течения в наклонном слое с продольным градиентом температуры, а также работы, в которых исследуется влияние на устойчивость конвективного движения продольного градиента концентрации [28] и периодической по высоте деформации границ слоя [29]. Уточнение асимптотического расчета волн Толмина — Шлихтинга в вертикальном слое [х-18] можно найти в [30]. Новые экспериментальные данные об устойчивости содержатся в [31-33].

ЛИТЕРАТУРА К ДОПОЛНЕНИЮ

Зайцев В. М., Шлиомис М. И., Гидродинамические флуктуации вблизи порога конвекции, ЖЭТФ, 1970, 59, № 5 (И), 1583.

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М., О гидродинамических флуктуациях, ЖЭТФ, 1957, 32, 618.

У л е н б е к Г. Е., Фундаментальные проблемы статистической механики, УФН, 1971,103, № 2, 275.

Busse F. Н., Whitehead J. A., Instability of convection rolls in high Prandtl number fluid, J. Fluid Meeh., 1971, 47, № 2, 305.

Ogura Y., A numerical study of wavenumber selection in finite-amplitude Rayleigh-convection, J. Atmos. Sci., 1971, 28, № 5, 709.

Busse F. H., The oscillatory instability of convection rolls in a low Prandtl number fluid, J. Fluid Meeh., 1972, 52, № 1, 97.

W i 11 i s G. E., D e a r d о r f f J. W., The oscillatory motions of Rayleigh convection, J. Fluid Meeh., 1970, 44, № 4, 661.

J о s e p h D. D., Stability of convection in containers of arbitrary shape, J. Fluid Meeh., 1971, 47, № 2, 257.

Г у б и н В. E., Хазиев H. Н., О термоконцентрационной конвекции, Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 3, 166.

Chen С. F., Briggs D. G., Wirtz R. A., Stability of thermal convection in a salinity gradient due to lateral heating., Int. J. Heat Mass Transfer, 1971, 14, № 1, 57..

Hart J. E., On sideways diffusive instability, J. Fluid Meeh., 1971, 47, № 2, 279.

Бурдэ Г. И., Численное исследование нестационарной конвекции, возникающей в условиях модуляции температуры границ, Сб. «Численные методы механики сплошной среды», Новосибирск, 2, № 4, 1971, 16.

Бурдэ Г. И., Исследование нелинейных конвективных колебаний, возникающих в модулированном поле сил, Всесоюзн. коцф. «Соврем, проблемы тепловой гравитационной конвекции», Тезисы докладов, Минск, 1971.

R о s е n b 1 a t S., Tanaka G. A., Modulation of thermal convection in. stability, Phys. Fluids, 1971, 14, № 7, 1319.

Rosenblat S., Herbert D. M., Low-freuquency modulation of thermal instability, J. Fluid Meeh., 1970, 43, № 2, 385.

Лыков А. В., Берковский Б. M., By Зуй Куан г, Сб. «Тепло- и массоперенос», Минск, 1972 1, 321.

Штес с ель Э. А., Прибытков а К. В., Мержанов А. Г., Численное решение задачи о тепловом взрыве с учетом свободной конвекции, Физика горения и взрыва, 1971, 7, № 2, 167.

Bozil J., Frisch Н. L, Chemical instabilities. YI. Hydrodynamic stability of the dissociating fluid A2^ 2A, Phys. Fluids, 1971, 14, № 9, 2048.

Busse F. H., Schubert G., Convection in a fluid with two phases, J. Fluid Meeh., 1971, 46, № 4, 801.

Ла диков Ю. П., Ткаченко В. Ф., Влияние свободной конвекции на неустойчивость плоского фронта кристаллизации, ПМТФ, 1971, ^2 6, 99.

Thirl by R., Convection in an internally heated layer, J. Fluid Meeh., 1970, 44, № 4, 673.-

Palmer H., Berg J. C., Convective instability in liquid pools heated from below, J. Fluid Meeh., 1971, 47, № 4, 779.

C a b e 11 i A., De V a h 1 D. G., A numerical study of the Benard cell, J. Fluid Meeh., 1971, 45, № 4, 805.

Бродский С. С., Головин A. M., Термокапиллярная конвекция в слое жидкости, ПМТФ, 1972, № 2, 49.

Н i е b е г С. A., Gebhart В., Stability of vertical natural convection boundary layers: some numerical solutions, J. Fluid Meeh., 1971, 48, № 4, 625.'

H i e b e r C. A., Gebhart B., Stability of vertical natural convection boundary layvers: expansions at large Prandtl number, J. Fluid Meeh., 1971, 49, №3, 577.

Hart J. E., Stability of the flow in a differentially heated inclined box, J. Fluid Meeh., 1971, 47, № 3, 547.

[28JНиколаев Б. И., Ту б ин А^А., Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси в плоской термодиффузионной колонне. ПММ, 1971, _ 35, № 2, 248.'

Watson A., Poots G., The. effect of sinusoidal protrusion on laminar free convection between vertical walls, J. Fluid Meeh., 1971, 49, № 1, 33.

G о t о h K., Ikeda N.; The stability of an unsteady convection between two parallel vertical planes, J. Phys. Soc. Jap., 1971, 30, № 3, 864.

Oshima Y., Experimental studies of free convection in a rectangular ca- - • vity, J. Phys. Soc. Jap., 1971, 30, № 3, 872.

К и p д я ш к и н А. Г, Леонтьев А. И., Мухина Н. В.,, Устойчивость ламинарного течения жидкости в вертикальных слоях при естественной конвекции, Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 5, 170.

Малинов А. В., Экспериментальнре исследование естественной конвекции в щелевых полостях различной ориентации, Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 1; 150.

’) Этот принцип был впервые получен для плоского горизонтального слоя жидкости в работе [10]. Общее доказательство дано в [8]. В литературе часто употребляется мало удачное, с нашей точки зрения, название «принцип смены (или обращения) устойчивости».

*) Входящий в (4.6) интеграл существенно положителен, так как в силу

(4.1) и (4.2):'

9 Тепловым уровням при R = 0 по-прежнему соответствуют декременты ^п = у (п2л2 + к^\, декременты гидродинамических уровней при R = 0 определяются как собственные числа задачи ДДу = — |хпДр, у(0; 1) =у'(0; 1) = 0

• .A1-A2=-^\mi, ^-f(1 х)1.

8002 LU /J-

6 = 248,- (»- + «-.") [«’ таГ + 62 "Ш * * + ^'"] • <198>

f D-LndV

закона Ома в форме (24.1). См. об этом, например, в (4>5]. "

9 Внешнее поле, направленное вдоль оси цилиндра, как легко убедиться, не действует на возмущения с продольными скоростями и потому не влияет на устойчивость.

9 Следует подчеркнуть отличие в постановке обсуждаемой задачи от

задачи работы [п] (см. конец предыдущего параграфа). В [м] изучалось влия

ние слабых модуляций температуры на границу основной полосы неустойчивости. Теперь же имеется в виду случай, когда средней разности температур нет, и потому основная полоса неустойчивости отсутствует. Исследуются ре

зонансные области; метод малого параметра, использованный в [и], в данном

9 Характерная особенность рассмотренной ситуации состоит в наличии в слое двух областей, из которых одна (верхняя половина слоя) стратифицирована неустойчиво, а другая (нижняя) — устойчиво. Возмущения, возникающие в результате неустойчивости верхней половины, распространяются на всю область. В таких случаях принято говорить о «проникающей» неустойчивости. Впервые постановка вопроса о «проникающей» неустойчивости была дана в работе В. Н. Грибова и Л. Э. Гуревича [17], исследовавших неустойчивость в слое с постоянным градиентом, граничащем сверху и снизу с областями, в которых градиент меньше критического. Близкая по постановке задача рассмотрена в [,8].

Интересный пример «проникающей» неустойчивости представляет собой слой воды, нижняя граница которого поддерживается при температуре 0°С,

Г. 3. ГЕРШУНИ и Е. М. ЖУХОВИЦКИЙ

КОНВЕКТИВНАЯУСТОЙЧИВОСТЬНЕСЖИМАЕМОЙЖИДКОСТИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫМОСКВА 1972

532 Г 42 УДК 532.5

Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Г е р ш у н и Г. 3., Жуховицкий Е. М., Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1972 г., 392 стр.

Монография посвящена исследованию устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости и стационарного конвективного движения. Рассматривается конвективная устойчивость вязкой несжимаемой жидкости в полостях разной формы. Исследуется влияние на устойчивость различных факторов — магнитного поля, вращения, неоднородности состава, модуляции параметров, внутренних источников тепла, капиллярных эффектов и пр. Основное внимание уделяется изучению спектров возмущений, определению границ устойчивости и формы критических движений. Излагаются также основные результаты нелинейных исследований конечно-амплитудных движений. Рассматривается устойчивость плоскопараллельных конвективных течений.

Книга рассчитана на специалистов, занимающихся гидродинамикой и вопросами тепло-массообмена, а также на лиц, интересующихся различными приложениями теории гидродинамической устойчивости.

Рис. 150, табл. 10, библ, ссылок 379.

Гриеорий Зиновьевич Гершуни, Ефим Михайлович ЖуховицкийКонвективная устойчивость несжимаемой жидкости

М., 1972 г., 392 стр. с илл.

Редактор Н. И. РозальскаяТехн, редактор К. Ф. Брудно Корректор И. Б. Мамулова

Сдано в набор 17/V 1972 г. Подписано к печати 1(Х1 1972 г. Бумага 60Х90‘/|в, тип. № 1.

Физ. печ. л. 24,5. Условн. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 24,80.Тираж 3000 экз. Т-16847.

Цена книги 2 р. 35 к. Заказ 188

'Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени

Ленинградская типография №2 имени Евгении Соколовой ГлавполиграфпромаГосударственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств,полиграфии и книжной торговли. Измайловский проспект, 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .• 5

Глава I. Общие положения7

Уравнения тепловой конвекции. .7

Механическое равновесие .12

Нормальные возмущения 17

Критические градиенты температуры и критические движения 25

Глава II. Плоский горизонтальный слой32

Свободные границы(задача Рэлея) .........32

Твердые границы ..39

Границы произвольной теплопроводности..50

Параллельные слои,связанные тепловым взаимодействием..57

Деформируемая свободная поверхность61

Глава III. Вертикальные каналы67

Основные уравнения . . . . . 67

Цилиндр кругового сечения71

Плоский вертикальный слой 78

Каналы эллиптического, прямоугольного и кольцевого сечений 84

Связанные каналы .93

Возмущения, периодические вдоль вертикали . 99

Периодические возмущения в наклонном канале102

Глава IV. Замкнутые полости109

Шаровая полость109

Кубическая полость 117

Вертикальный цилиндр конечной высоты122

Бесконечный горизонтальный цилиндр . .127

Глава V. Движения с конечной амплитудой137

Метод малого параметра.138

Конвекцияконечной амплитуды в горизонтальномслое...145

Численныерасчеты надкритических движений .. ....159

Глава VI. Влияние магнитного поля и вращения на конвективную УСТОЙЧИВОСТЬ169

Уравнениявозмущений ...169

Монотонная и колебательная неустойчивость (пример)..174

Общие свойства спектравозмущений 180

Плоский горизонтальныйслой.189

Другие задачи . . . 199

Устойчивость вращающейся жидкости208

Глава VII. Бинарная смесь217

Уравнения возмущений . . . 217

Полость с непроницаемыми границами222

Общий случай. Монотонная и колебательная неустойчивость 226

Г л а в а VIII. Модуляция параметра. . 237

Амплитудные уравнения . . . .. . . 238

Области устойчивости и неустойчивости242

Вибрации высокой частоты . . .250

Температурный скин-слой 255

Надкритические колебания . . . . •261

Глава IX. Разные вопросы268

Продольное течение вгоризонтальномслое268

Слой с проницаемымиграницами 273

Внутренние источникитепла 279

Термокапиллярный эффект . . . . . 285

Пористая среда 293

Глава X. Устойчивость конвективного движения 300

Стационарное движение. Уравнения возмущений301

Движение с нечетным профилем скорости ........ 305

Конвективное движение в вертикальном слое 315

Конвективное движение в наклонном слое325

Пространственные возмущения332

Влияние продольного градиента температуры и магнитного поля на устойчивость движения 337

Движение, вызванное внутренними источниками тепла . . . 347

Вторичное конвективное течение ..... 351

Конвективный пограничный слой . . 356

Литература .. 365

Дополнения при корректуре 382

Литература к дополнению ...391