Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Однородные космологические модели, автомодельные движения самогравитирующего газа и движения газа с однородной деформацией имеют важное применение в теории эволюции Вселенной, в теории взрывов звезд, теории образования галактик, пульсаций переменных звезд и др. Уравнения общей теории относительности и ньютоновской газовой динамики для перечисленных трех классов решений сводятся к системам конечного (но достаточно большого) числа обыкновенных дифференциальных уравнений. Возникающие таким образом многомерные динамические системы в последние два десятилетия активно изучаются с помощью традиционных аналитических, а также численных методов. На основе этих методов были установлены важные режимы динамики некоторых решений — в том числе колебательный режим поведения метрики пространства-времени вблизи космологической сингулярности, автомодельное движение самогравитирующего газа с ударной волной и расширяющейся полостью внутри газа, моделирующее вспышку звезды, коллапс пылевого самогравитирующего эллипсоида в диск и др. Однако изучаемые многомерные динамические системы настолько сложны, что полное исследование всех режимов динамики решений с помощью известных традиционных аналитических методов не представляется возможным. Поэтому особую актуальность приобретает разработка эффективных методов качественного исследования многомерных динамических систем и применение этих методов для решения задач астрофизики и газовой динамики, которые не были ранее решены традиционными методами.
В монографии проводится детальное исследование однородных космологических моделей, автомодельных движений самогравитирующего газа и движений газа с однородной деформацией на основе методов качественной теории многомерных динамических систем.
Основные применяемые нами методы — метод максимально невырожденной компактификации динамической системы, метод разрешения вырожденных особых точек и метод сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы, изложен-
ные в главе I,— являются обобщением и модификацией в конкретных многомерных задачах классических методов качественной теории двумерных динамических систем, созданных в начале XX века Пуанкаре и Бендиксоном.
Метод максимально невырожденной компактификации динамической системы, использующий разрешение вырожденных особых точек, позволяет исследовать поведение решений при предельных значениях параметров ——например, при больших значениях энергии или некоторых фазовых координат, а также в окрестности различных сингулярностей.
Метод сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы позволяет детально исследовать сложные нелинейные режимы динамики решений. Этот метод приводит к более полным и строгим результатам, чем традиционный метод сшивки приближенных решений из последовательных отрезков, на которых отдельные параметры предполагаются пренебрежимо малыми. В целом при изучении неинтегрируемых многомерных динамических систем методы качественного исследования являются по существу единственной альтернативой численных методов. При этом ряд важных вопросов — в частности исследование общих свойств поведения решений для всех значений параметров, или существование счетного множества решений, обладающих каким- либо¥：исключительным свойством,——во многих задачах успешно решаются качественными методами и принципиально не могут быть решены с помощью одних только численных методов исследования.
Задачи, рассматриваемые в данной книге, относятся как к общей теории относительности, так и к классической ньютоновской теории. В главах II и III проведено качественное исследование динамики во времени всех однородных космологических моделей с гидродинамическим тензором энергии-импульса материи (а также одной однородной космологической модели с электромагнитным полем). В главах IV и V исследуется автомодельное сферически-симметрично е движение самогравитирующего газа в общей теории относительности и ньютоновской теории. Изучаемые автомодельные решения в зависимости от значений параметров моделируют различные типы движения газа при вспышках звездой при аккреции самогравитирующего газа на центр. В главе У1^иссле- дуются автомодельные решения с вращением идеального газа, в которых движение частиц газа является существенно трехмерным. В главе VII изучаются ^нелинейные колебательные режимы в классе движений газа с однородной деформацией, моделирующие движение вращающихся газовых туманностей.
Область применения изложенных в книге методов качественного исследования многомерных динамических систем не ограничивается задачами астрофизики и газовой динамики и может
быть расширена; примером этому является проведенное в главе VIII исследование динамики возмущений известной вполне интегрируемой системы ——периодической цепочки Тода.
Разработка и применение методов качественного исследования многомерных динамических систем для изучения однородной космологической модели IX типа без движения вещества были начаты в 1971—1973 годах совместно С. П. Новиковым и О. И. Богоявленским [12] и продолжены в дальнейшем автором при изучении однородных космологических моделей с движением вещества, движений газа с однородной деформацией, автомодельных движений самогравитирующего газа и динамики возмущений периодической цепочки Тода.
Основные материалы монографии обсуждались со специалистами институтов Академии наук СССР: ИТФ, МИАН, ИКИ, ИПМ, ИТЭФ, ИГ СО АН СССР, и Г АИШ. Всем товарищам, принимавшим участие в совместных дискуссиях, автор выражает глубокую благодарность.
Мне особенно приятно выразить искреннюю признательность члену-корреспонденту АН СССР С. П. Новикову и члену-корреспонденту АН СССР И. М. Халатникову за полезные обсуждения результатов работы.
О. Я. Богоявленский
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Основы качественной теории динамических систем были заложены классическими работами Пуанкаре [1] и Бендиксона [2], выполненными в начале XX века в связи с задачами небесной механики. В этих работах, в частности, была создана в современном виде качественная теория двумерных динамических систем, получившая в дальнейшем, начиная с работ А. А. Андронова [3 —— 6], важнейшее применение в радиофизике и теории колебаний. В задачах газовой динамики двумерная качественная теория также имеет важное применение, главным образом при изучении автомодельных решений [7]. Методы построения решений динамических систем в виде сходящихся степенных рядов разрабатывались в многочисленных работах, начиная с [1, 8]; методы отыскания асимптотик решений в окрестности вырожденных особых точек, основанные на изучении некоторых «укороченных» систем и применении многогранника Ньютона, развивались в работах [9]. Специальные классы динамических систем, обладающие свойством грубости или структурной устойчивости, активно исследовались в последние десятилетия в многочисленных математических работах （см. [10, 11]）»
В данной главе приводятся методы качественного исследования многомерных динамических систем （см. работы [12 ——32]）: метод максимально невырожденной компактификации динамической системы, метод разрешения вырожденных особых точек и метод сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы, которые применяются при дальнейшем изложении для изучения конкретных задач астрофизики и газовой динамики.
Необходимые сведения из качественной теории двумерных динамических систем
Качественная теория автономных динамических систем на. плоскости изучает динамику траекторий систем двух дифференциальных уравнений:
箒=加=p （叫у）, M = * = Q （怎"）， （I」） предельное движение траекторий при 方 f 土 оо л характер раз-
биения плоскости х, у на ячейки, в каждой из которых поведение траекторий системы (1.1) качественно одинаково. Основой качественного исследования динамической системы (1.1) является изучение ее особых точек (положений равновесия, или точек покоя) (д, у。)，в которых Р (&, i/o) = Q (&，Во)=。・
I. Классификация невырожденных особых точек [33—36]. Важнейшими характеристиками особой точки (х0, у。) являются ее собственные числа (или собственные числа системы (1.1) в этой особой точке), которые определяются как корни следующего характеристического многочлена:
detdetР； (“о, Уо)-九 ％(%о, Уо)Qr(“0，Уо) Qy(“0，Уо)—Р； (“о, Уо)-九 ％(%о, Уо)Qr(“0，Уо) Qy(“0，Уо)—=%2 — qX + А = 0.=%2 — qX + А = 0.(1.2)(1.2)
det
det
Р； (“о, Уо)-九 ％(%о, Уо)
Qr(“0，Уо) Qy(“0，Уо)—
Р； (“о, Уо)-九 ％(%о, Уо)
Qr(“0，Уо) Qy(“0，Уо)—
=%2 — qX + А = 0.
=%2 — qX + А = 0.
(1.2)
(1.2)
Здесь штрих означает частное дифференцирование по соответствующей переменной; в дальнейшем предполагается, что все встречающиеся функции являются бесконечно дифференцируемыми. Собственные числа Z1?九2 являются инвариантами особой точки (力о, Во) и не меняются при любой регулярной (в точке (х0, 1/о)) замене координат 力,у. Особая точка (х0, у。) называется невырожденной, если Re 九1 耍 0, Re %2 耍。・
Отдельные траектории системы (1.1) могут при ^ -> + оо или 才一> ——оо входить в особую точку (к。, у。), касаясь некоторых направлений к — (归к, ку). Эти направления являются собственными векторами характеристической матрицы системы (1.1) в особой точке (力о, у。) (см. (1.2)). При 九工 工 九2 имеются два собственных вектора, их угловые коэффициенты к = ку/кх следующим образом выражаются через собственные числа:
ХХ — Р； (&, Во)入2 —Р ； (&，Уо)“
左I =；, 倘=7 .(1.0)
Ру (&，Уо)Ру (&，Уо)
Поведение траекторий системы (1.1) в малой окрестности невырожденной особой точки (х0, у。) качественно эквивалентно поведению траекторий ее линейной части:
6 = % (窃，％)(力一g) + Ру (&, Во)匂一Уо),
扌=Q； (g, %)3 — %о) + Q； (&, %)匂—Уо)・ "“)
Линейная система (1.4) легко интегрируется в явном виде:
力一&=Re (С^+С2еи), g—Bo=Re (&&&"+С2k2&")・ (1.5)
Полученные формулы позволяют изобразить графически качественное поведение траекторий системы (1.1) в окрестности особой точки (л:。, i/0) (т. е. нарисовать фазовый портрет динамической системы) .
С помощью линейной замены координат система (1.1) в окрестности невырожденной особой точки (①°, у。) приводится, в зависимости от значений собственных чисел \,九2, к одному из следующих канонических видов (в новых координатах u, v особая точка (д’ ％) переходит в точку (0, 0), функции 屮(и, и),屮(〃，и) в окрестности точки (0, 0) являются малыми второго порядка):
Собственные числа действительны и различны (九】次斯). Система имеет канонический вид:
й =入i〃 + ср (〃，у),力=入2^ + 屮(〃，и).(1.6)
Собственные числа равны (Хх = Х2 = X). Система имеет канонический вид:
й = Хи + ^)(и, р),力=6 + 卩乂 + 屮(〃，и),(1.7)
где 卩——вещественный параметр, который можно считать нулем или единицей.
Собственные числа являются комплексно-сопряженными 仇1 = а + 力3 Х2 = а — ф, а 抬 0, § 抬 0). Система имеет канонический вид:
力=а〃 一因 + 屮(〃，办力=眦 + cw + 屮(u, р).(1.8)
Приведем классификацию невырожденных особых точек, основанную на указанных канонических видах динамической системы (соответствующие фазовые портреты динамической системы представлены на рис. 1 в исходных координатах ①，у).
Узел (собственные числа ^1? Х2 вещественны и одного знака).
Невырожденный узел (九】次 Х2). Узел называется притягивающим (устойчивым), если 九1,九2 V °, в этом случае все траектории в окрестности особой точки (①°, у。)при 力一＞ 8 входят в эту особую точку, при этом все траектории, кроме двух, касаются собственного вектора, отвечающего минимальному по модулю собственному числу, а две исключительные траектории касаются второго собственного вектора (см. рис. 1, а). Узел называется отталкивающим (неустойчивым), если 九1, Х2〉0, соответствующий фазовый портрет получается из рис. 1, а обращением направления времени 九
Вырожденный узел (Хх =九2 =九，в канонической форме (1.7) параметр 卩：/= 6). При 入 V。 (притягивающий узел) все траектории в окрестности особой точки (力°, у。) при ^ -＞ оо входят в особую точку, касаясь единственного собственного вектора (см. рис. 1, 6). При 九〉0 узел называется отталкивающим.
Дикритический узел & =統=儿 卩=0). При 九 V 0 (притягивающий узел) все траектории в окрестности особой точки (No, Уо) при 方一＞ оо входят в точку (①о, у。), касаясь произвольных направлений (см. рис. 4,6), причем каждого направления касает-
ся точно одна траектория. Случай 九〉0 (отталкивающий узел) описывается аналогично при обращении времени. .
Седло (собственные числа вещественны и имеют противоположные знаки:九1 V 0,九&〉0). Фазовый портрет динамической
Рис. 1. Фазовые портреты динамической системы в окрестности невырожденных особых точек: а) невырожденный узел,① вырожденный узел, в) дикри- тическии узел, а) седло, @) фокус (В > 0), е) фокус (Р < 0).
системы в окрестности седла показан на рис. 1, 2. Седловая особая точка является неустойчивой при любом направлении времени. Четыре исключительные траектории, входящие при £-> + оо или 力一> —8 в эту особую точку (см. рис. 1, а), называются сепаратрисами седла.
Фокус (собственные числа %, %2 комплексно-сопряженные). При Re 九》= а V 0 фокус является притягивающим: все траектории в окрестности этой особой точки (忆。,^о) являются скручивающимися спиралями, которые при 力一＞ оо входят в особую точку (力0, Уо), совершая вокруг нее бесконечное число оборотов. Направление вращения траекторий в канонической форме (1.8) определяется знаком § = Im А「 Соответствующие фазовые портреты показаны на рис. 1, d (R〉0) и рис. 1, е (В ＜。)・ При Re 储= =а〉0 фокус является отта л кив ающим и описывается аналогично при обращении направления времени.
Если собственные числа некоторой особой точки (力°, у。) чисто мнимые (%! = ф,九2 = ——単，такая особая точка называется центром), то динамическая система в ее окрестности, так же как и в случае фокуса, имеет канонический вид (1.8) (а = 0, 5，。)・ Однако качественное поведение динамической системы в окрестности центра существенно зависит от конкретного вида функций 屮(и, и),屮(и, и) (можно утверждать только, что при некотором направлении времени все первоначально близкие к (力°, 9о) тРа" ектории остаются в малой окрестности этой особой точки и совершают вокруг нее бесконечное число оборотов).
II. Исследование вырожденных особых точек. Простая классификация особых точек, у которых одно собственное число 九i — =0, в то время как ^2 工 0, приведена в [34]. Для исследования вырожденных особых точек, с 九】=及=° применяется (начиная с работы Бендиксона [2]) переход к полярной системе координат. Пусть вырожденная особая точка находится в начале координат (0, 0) и разложение правых частей динамической системы (1.1) начинается с членов степени т^＞ 1:
Р (%, у) и Рт (瑞 у) + 屮(瑞 у), Q (瑞 у) = Qm (瑞 у) + 屮 Q, у), (1.9)
где Рт Q, у), Qm (力,у) — однородные многочлены степени тп, а функции ф (①,у),屮(力,у) — ряды, содержащие члены более высокого порядка. Динамическая система (1.1) после преобразования в полярные координаты г = (а;2 + У?)%,屮=arctg (у/х) и замены времени dx/dt = ^m-i принимает вид
f — г [cos 屮 Рт (cos 屮，sin 屮)+ sin(p^m (cos 屮，sin cp) + r①J, .(1.10)
Ф = costpQm (cos Ф，sin Ф)— sin 屮 Pm (cos 屮，sin ф) + r①2,
где ①丄,Ф2 — аналитические функции от г,屮.Отметим, что преобразование в полярные координаты является взаимнсьоднознач- ным всюду, кроме точки (0, 0), которой в полярных координатах соответствует целая окружность SL г = 0, 0《屮《2л. Динамическая система (1.10), очевидно, гладко продолжается на окружность 51, которая является интегральной траекторией этой систе-
мы. Если в исходных координатах х, у некоторая траектория системы (1.1) входила в особую точку (0, 0), касаясь луча, образующего с осью х угол 屮零，то соответствующая ей в полярных координатах траектория системы (1.10) входит в особую точку г = 0, Ф =屮*, лежащую на вклеенной (вместо вырожденной особой точки (0, 0)) окружности Si (рис. 2). Таким образом, все возможные
Рис. 2. Возможное поведение траекторий динамической системы в окрестности окружности S\ вклеенной вместо вырожденной особой точки.
направления входа траекторий системы (1.1) в особую точку (0, 0) определяются корнями уравнения
Р 3*)= cos ^т (cos %, sin 屮*) — sin 屮*尸皿(cos 屮*, sin %)二 0 (1.11)
и соответствуют особым точкам системы (1.10) при г — 0. Если все особые точки этой системы, лежащие на окружности S1 (г = 0, 0《屮《2冗),являются невырожденными, то, основываясь на классификации, приведенной в п. I, можно построить фазовый портрет системы (1.10) в окрестности окружности S', что даст полное описание поведения траекторий системы (1.1) в окрестности вырожденной особой точки (0, 0). Если же некоторые особые точки г — 0, ср — ср* являются вырожденными, то для их исследования можно снова применить переход к полярным координатам (с центром в данной особой точке г = 0,屮=屮零)，и т. д. Если же на окружности S' вообще нет особых точек системы (1.10), т. е. /? (ср) =/： 0 при всех ср, то окружность S，является неособой замкнутой траекторией системы (1.10) и поэтому все траектории в ее
окрестности (т. е. все траектории системы (1.1) в окрестности вырожденной особой точки (0, 0)) при некотором направлении времени совершают вокруг нее бесконечное число оборотов.
Отметим, что описанное выше преобразование динамической системы (1.1) в полярные координаты эквивалентно преобразованию в две системы координат:
匕：力，и =勿力； ％: у, р —力/у,(1.12)
в которых особой точке (0, 0) соответствует окружность, покрытая двумя прямыми:
厶：①=0, —ОО V и V 4-00 И 厶2： У = °， 一 OOV?2V +оо.
Это замечание особенно важно при исследовании (подобным методом) вырожденных особых точек многомерных динамических систем (см. § 2).
HL Исследование динамической системы на бесконечности. Для построения полного фазового портрета динамической системы (1.1) на плоскости 力,у необходимо знать поведение траекторий、
этой системы на бесконечности. Для〃一
исследования этого вопроса приме-J
няется преобразование динамической弋尸二7
системы (1.1) на сферу Пуанкаре. //
На рис. 3 показано отображение/
плоскости 力,у на нижнюю половину /
сферы S2 с помощью лучей, проходя
щих нерез центр сферы (точка плос- Рис. 3. Отображение плоско- кости и ее образ на сфере лежат на сти на половину сферы 52. одном луче). При этом отображении
бесконечно удаленные точки плоскости соответствуют экватору сферы. Таким образом, вся плоскость 力,у, пополненная бесконечно удаленными точками, эквивалентна кругу с граничной окружностью.
Для получения подобного преобразования плоскости в аналитическом виде можно использовать отображение обратных радиу- сов: Q, у) -> (р, ср), где р =厂 1 —(力2 + у2)-%, ф = arctg 匂/力). При таком отображении бесконечно удаленные точки плоскости переходят в точки окружности S± р = 0, 0《屮《2л. Исследование системы (1.1) после преобразования в координаты р, ср в окрестности бесконечно удаленной окружности S，вполне аналогично исследованию, описанному в п. II. Однако обычно, при исследовании динамических систем (1.1) с полиномиальными правыми частями (Р (%, у) и Q (%, у) — многочлены степени п), используется преобразование системы (1.1) в проективные координаты z = l/力，и = у/х и “ = 4/у, V = х/у (две системы коорди-
нат z. и w^ V при и 片 0, г； * 0 эквивалентны). Бесконечно удаленным точкам плоскости 忆,у в проективных координатах отвечает окружность S* покрытая двумя прямыми: z = 0, — 8 V V и <+ оо,ии; — 0, — oo<v<^+oo- Динамическая система (1.1) после преобразования в проективные координаты z, и и замены времени dxjdt. = 0n一1 принимает вид -
2 = —zP* (z, u),〃 = Q* (z, u) — uP* (z, u),(1.13)
где функции
P*(z») = zW(；，m) и Q*(z»)=znQ(；，+)
являются многочленами от переменных z, и степени не выше п. Очевидно, что прямая z = 0 является интегральной траекторией системы (1.13). Исследование системы (1.13) в окрестности интегральной прямой z = 0 (соответствующей бесконечно удаленным точкам плоскости ж, у) вполне аналогично исследованию, проведенному в п. II.
Отметим, что преимуществом проективных координат и координат (1.12) по сравнению с координатами р, ф и полярными координатами г, ф является то, что система (1.1) после преобразования в эти координаты по-прежнему имеет полиномиальные по z, и (или по х, и) правые части.
Критерии существования и отсутстйия предельных циклов динамической системы. Замкнутая неособая траектория системы (1.1) называется циклом. Замкнутая траектория, очевидно, делит плоскость ж, у на две части — внутреннюю и внешнюю. Предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория. Все траектории динамической системы (1.1) в окрестности изолированного цикла X при некотором направлении времени стремятся к X. Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории системы (1.1) в его окрестности стремятся к X при £ -> + 8, и неустойчивым, если такое стремление реализуется при £— 8.
Например, динамическая система
①=_у _ Q Q2 + «2 — 4)(炉 + у2 — 4),
力=N - J/ (炉 + J/2 一()(%2 + y2 - 4)
имеет два предельных цикла, ж2 + ^/2 = 1 и ж2 + !/2 — ^ (рис. 4), причем внутренний цикл является неустойчивым, а внешний —— устойчивым. Предельный цикл X называется полуустойчивым, если с одной стороны плоскости (например, с внешней по отношению к X) траектории стремятся к X при 力一> + 8, а с другой стороны ——при t -> ——оо.
Доказательство существования или отсутствия предельных циклов является наиболее трудной задачей двумерной качествен-
ной теории, для решения которой не существует универсального метода. Однако для динамических систем специального вида известен ряд методов, которые во многих конкретных задачах являются весьма эффективными. Допустим, например, что траектории динамической системы (1.1) пересекают некоторую замкнутую кривую % и входят внутрь области U, ограниченной этой кривой, причем в области U имеется единственная особая точка системы (1.1), являющаяся отталкивающей. В этом случае в области U
Рис. 4. Поведение траекторий динамической системы в окрестности предельных циклов.
существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл, точнее: число устойчивых циклов в области U на единицу больше числа неустойчивых циклов (если все циклы являются изолированными).
Для доказательства существования предельных циклов применяются методы теории бифуркаций динамических систем [6, 34]. Например, устойчивый цикл рождается из особой точки —— фокуса, если при изменении параметров задачи притягивающий фокус переходит в отталкивающий. Широко используется метод малого параметра [33, 34, 37—41], дающий, в частности, достаточные условия для существования предельных циклов динамических систем, близких к гамильтоновым системам, у которых все траектории замкнуты.
Для доказательства отсутствия замкнутых траекторий (циклов) динамической системы вида (1.1) во многих задачах эффективно применим следующий критерий Дюлака —хБендиксона. Если в некоторой области G существует такая гладкая функция F Q, у),
ЧТО
(1.14)(1.14)若■ +需〉。，
(1.14)
(1.14)
то в области G нет замкнутых траекторий системы (1.1), стягивающихся в этой области в точку. Действительно, если бы такой цикл Z, о гр аничивающий стягиваемую область s, существовал, то (по теореме Гаусса — Остроградского)
§ (歹夕 dy - FQ d~) = \ (響 + 符)壶 dg〉0.
Однако выражение слева на траектории (Z) системы (1.1) тождественно равно 0.
Исследование конкретного примера. В качестве иллюстрации применим описанные выше методы для изучения следующей динамической системы:
(1.15)(1.15)企=—уЗ Q2 — 1)(2 + ху), u =/3 匂2 - 1)(2 -侬).
(1.15)
(1.15)
Система (1.15) в конечной части плоскости ①,у имеет девять особых точек: Лх (—1, 1), 4? (1, 4)，幺3 (4, —1),厶4 (—4, —1),
名
Ai
0,
Д7
44 鸟
Рис. 5. Пример динамической системы, у которой сепаратрисы четырех неустойчивых (седловых) особых точек /^ образуют цикл.
^(-2,1),当(1,2),/(2,一1), 4(一1,一2), a(0, 0) (рис.5).
Каждая особая точка 4» имеет собственные числа Хх =——6,
入2 = 2, т. е. является неустойчивой (седловой). Каждая особая точка В» имеет собственные числа Хх = —64, ^2 = —3, т. е. является притягивающим узлом. Особая точка О2 (0, 0) является вырожденной (九I =九2 = 0)・
Сепаратрисы неустойчивых особых точек 4 интегрируются в явном виде: вдоль каждой сепаратрисы одна из координат 力，у постоянна и равна ±4 (см. рис. 5). Имеется последовательность четырех сепаратрис: А^А^ 4243, А3А^ А^А^ идущих из одной
Рис. 6. Полный фазовый портрет динамической системы (1.15).
особой точки At в другую и образующих замкнутую диаграмму. Траектория системы (1.15), находящаяся внутри квадрата Л ХЛ 2Л 344 и начинающаяся достаточно близко отего границы, будет сколь угодно долго двигаться вдоль последовательности сепаратрис неустойчивых особых точек 4». Тем самым доказано наличие колебаний в динамической системе (1.15) при | х | ＜； 1, | у | ＜； 1. Проведенное рассуждение является простейшей иллюстрацией метода сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы (см. § 4), который эффективно применим при исследовании некоторых многомерных динамических систем.
Для изучения вырожденной особой точки。工(0, 0) преобразуем систему (1.15) в полярные координаты г, ф (см. п. П). При этом вместо точки Ог (0, 0) вклеивается окру^кность SX二г — 0, 0《屮《2л (рис. 6). После замены времени dx/dt = г2 система
в полярных координатах принимает вид
г = г (—~ sin 4(р + 扌 N sin22q)—|-r4 sin4 2(p),
i(1.16)
q> = — 2 + sin2 2(p + 扌 严 sE 2屮(sin 2中 + cos 2ф)—
——帝 г’ sin2 2(p sin 4q)・
Система (1.16) на окружности S' (г = 0) не имеет особых точек; окружность 5工 является замкнутой интегральной траекторией этой системы. Поэтому все траектории системы (1.15)——(1.16) при г V 1 совершают бесконечное число оборотов вокруг особой точки 5 (0, 0).
Покажем, что все траектории динамической системы (1.15) внутри квадрата А142А3А4 при некотором направлении времени входят в особую точку 0^ а при противоположном направлении времени наматываются на сепаратрисный цикл Л^2, А^А^ 4з4, A^v Для этого достаточно доказать, что внутри квадрата А1А2А3А4 (I х I < 1? I у I V 4) система (1.15) не имеет замкнутых траекторий. Воспользуемся критерием Дюлака ——Б ей Диксона (см. п. IV). Функция 尸=(/2 —彳尸 匂2 _ qt, очевидно, регулярна внутри квадрата. Для системы (1.15) получаем
dx ' ду 1 一力2 丁(一产 /
при I ж I < 1, I i/ I < 1, что и доказывает отсутствие замкнутых траекторий.
Для исследования поведения траекторий динамической системы (1.15) на бесконечности преобразуем эту систему в проективные координаты z — 4/忆，и — у/х и w = 4/у, и = х/у (см. п. III). При этом преобразовании плоскость ①,у пополняется бесконечно удаленной окружностью, покрытой двумя прямыми, z = 0 и “ =0. В координатах z, и после замены времени dx^dt = %« получаем динамическую систему
% = зЗ (4 — z2)(〃 + 2z2),(1.17)
й = (u2 - z2)(—〃 + 2z2) + 公(1 一 z2)(〃 + 2z2)・
Система (1.17) на приклеенной границе (z = 0) в области z》0 Q》0) имеет три особые точки (см. рис. 6): D^ (u = 1)? D3 (и = = —4), С3 (и = 0) (и три аналогичные точки Dx, D^, С\ в области z《0 (①& 0)). В особых точках О? 口 °з система (1.17) имеет собственные числа 九1 = 1,九2 = 2, т. е. эти особые точки являются отталкивающими узлами. Особая точка С3 является вырожденной (дополнительное исследование показывает, что особая точка С3 неустойчива). В проективных координатах w, v система (1.15) имеет аналогичные особые точки С2 и С^
Полный фазовый портрет динамической системы (1.15) после разрешения вырожденной особой точки Ог (0, 0) и пополнения плоскости %, у границей на бесконечности показан на рис. 6.
§ 2. Метод исследования вырождшных особых точек динамической системы
Общая система обыкновенных дифференциальных уравнений, определенная в фазовом пространстве переменных %1, . . • ...,жп, имеет вид
@； = Сe =1 /| (g,、• • • , *^n)» » == 4,・・・,几・ (2・l)
В дальнейшем всегда предполагается, что система (2.1) является автономной системой, т. е. правые части 力 не содержат времени t. Любая неавтономная система сводится к виду (2.1) после введения новой переменной хп+1 =方：dxn^/dt = 1. Если первоначальная система дифференциальных уравнений содержала производные по t более высокого порядка “，»,..., у("), то такая система сводится к виду (2.1) с помощью введения новых переменных z； = J,・..,zm-i = y^-D. Часто используются также другие способы преобразования системы к виду (2.1). Например, во многих задачах изменение параметров во времени определяется некоторым принципом наименьшего действия:
6，£(%,负)办=0. (2.2)
Поэтому первоначальные уравнения являются уравнениями второго порядка и имеют лагранжев вид:
d dL = dL彳 ％ — "5^d dL = dL彳 ％ — "5^Z 1 1, • • * , м.Z 1 1, • • * , м.(2・3)(2・3)
d dL = dL彳 ％ — "5^
d dL = dL彳 ％ — "5^
Z 1 1, • • * , м.
Z 1 1, • • * , м.
(2・3)
(2・3)
Для преобразования лагранжевой системы (2.3) к виду (2.1) наиболее удобно использовать преобразование Лежандра: pt = dL/dpt. В 2九-мерном фазовом пространстве (0^ . . ., qn, р±,...,夕九)система (2.3) принимает гамильтонов вид:
加=一鶴，负=^， H = £g 絵-L, (2.4)
и, следовательно, является частным случаем систем вида (2.1).
Размерности фазового пространства х^ . . ., хп динамических систем, возникающих в задачах астрофизики и газовой динамики, могут быть достаточно большими. Например, динамические системы, описывающие наиболее общие однородные космологиче-
ские модели в общей теории относительности, определены в 12- мерном фазовом пространстве ——в число координат %» входят шесть компонент метрики g〃 (i, / = 1, 2, 3) и шесть соответствующих импульсов ptj. Динамические системы, описывающие автомодельные решения в газовой динамике (с учетом ньютоновского тяготения), определены в четырехмерном пространстве компонент скорости, массы, плотности и давления газа. Движения газа с однородной деформацией описываются гамильтоновой системой в 18-мерном фазовом пространстве, а для систем гидродинамического типа размерность фазового пространства может быть сколь угодно большой.
Переменная t в системе вида (2.1) может иметь различный физический смысл: в различных задачах это может быть как время, так и некоторая комбинация времени и пространственных координат. В данной главе мы, отвлекаясь от первоначального смысла переменной & будем для простоты называть ее временем.
Для многих динамических систем вида (2.1), возникающих в задачах астрофизики и газовой динамики, правые части (厶)являются рациональными функциями своих аргументов %i, . . •, хп. В этих случаях функции 找 после приведейия к общему знаменателю принимают вид /» = F JF、где Ft и F ——некоторые многочлены от %i,.・.,хп. Часто бывает удобно преобразовать систему с помощью замены времени 力一＞ т:
в систему, имеющую вид
■^ =修(力工，• • •，％n), (2・6)
где все /\ являются многочленами. Преобразование (2.5) устраняет сингулярности системы (2.1), в которых функция 歹=0. Обычно используются замены (2.5) вида dx/dt = 1/ | ^ |, не меняющие направления времени, но в некоторых задачах, например при исследовании автомодельных решений, необходимо использовать также немонотонную замену времени (2.5).
П. Точка (洒,...，或)называется особой точкой (или точкой покоя) динамической системы (2.6), если в этой точке все функции Ft (*, ...,*) = 0. В этом случае система (2.6) имеет следующее простое решение:力》(力)=*. Особым точкам системы (2.6) часто отвечают важные нестационарные решения изучаемой задачи (обычно имеющие степенной вид), поскольку функции %» являются, как правило, некоторыми комбинациями физических параметров, которые по отдельности изменяются при изменении t. Нахождение всех особых точек системы (2.6) и отвечающих им реше-
ний сводится, таким образом, к решению системы из п алгебраических уравнений 歹》(%「. •.,力篦)= 0.
Рассмотрим в особой точке (况;,...,力^) характеристическую матрицу системы (2.6): А{ = 8F Jdxj. X ар актер истиче ские корни этой матрицы, т. е. п корней 九i, • • •，九九 уравнения
det(石^ (或)一九相=0,(2.7)
называются собственными числами системы (2.6) в особой точке (/；, . . ., /^). Особая точка называется невырожденной, если в этой точке все собственные числа %» имеют ненулевые вещественные части: Re 儿抬 0.
Наряду с системой (2.6) рассмотрим также ее линейную часть:
•=，石(*…，成)(勺—喲.(2.8)
Справедлива следующая важная теорема (см. [42]): Если особая точка (/；, . . ., Жп) является невырожденной, то существует некоторое непрерывное и взаимно-однозначное преобразование окрестности этой точки, которое переводит траектории системы (2.6) в траектории системы (2.8). Таким образом, качественное поведение системы (2.6) в окрестности невырожденной особой точки эквивалентно поведению ее линейной части.
Пусть 喝)，• • •，(皆)—собственные векторы матрицы Л{= =右1 (此成)：
ne /潸=九図.
В случае комплексных собственных чисел 九卜=а^ + »§& координаты собственных векторов (§，) также являются комплексными. В общем случае матрица А\ имеет п различных собственных векторов (жорданова нормальная форма матрицы 4? диагональ- на), при этом все решения системы (2.8) имеют вид
制 = Re2C就/.(2.9)
Поэтому качественный характер поведения траекторий системы (2.8) определяется собственными числами 屍・
Невырожденная особая точка (*, • • ., %^) называется притягивающей, если для всех собственных чисел Re 九月 V 0; в этом случае все траектории в окрестности особой точки при т-> + оо
2424методы качественного исследованияметоды качественного исследования[гл. I[гл. I
24
24
методы качественного исследования
методы качественного исследования
[гл. I
[гл. I
входят в эту особую точку. Невырожденная особая точка называется отталкивающей, если все Re 九》〉0; в этом случае все траектории в окрестности (%；,...,球)входят в эту особую точку при Т —＞ ——ОО.
При изучении произвольных особых точек системы (2.6) постоянно используется следующая теорема [42]： Если в некоторой особой точке (%；, • . ., д;®) система (2.6) имеетdсобственных чисел 九и • • •,九d с отрицательными вещественными частями ах ^ ... • • •《《d V ° (собственные числа учитываются с их кратностями), то существует (локально) инвариантное d-мерное многообразие 例,на котором все траектории системы (2.6) при 力一＞ 8 входят в особую точку (%；,..., rt^)】).Для каждого такого решения
limrHnfd)(4 ⑴—崂2门=5 (2.10)
при некотором i. Если собственное число 九d с максимальной отрицательной вещественной частью ad единственно, то почти все траектории на инвариантном многообразии Wt касаются соответствующего собственного вектора『и имеют при 力一＞ 8 асимптотику (2.10) при Z = d. Аналогично, если в особой точке (*,.•• • . ., а^) система (2.6) имеет к собственных чисел с положительной вещественной частью, то существует Zc-мерное инвариантное многообразие Wu, на котором все траектории выходят из этой особой точки.
Траектории, входящие при 力一＞ 土 8 в некоторую особую точку, называются сепаратрисами. Предыдущая теорема указывает, в частности, асимптотики сепаратрис в окрестности особых точек.
Невырожденная особая точка (с；,...,以)называется седловой (неустойчивой), если динамическая система (2.6) имеет в этой особой точке d собственных чисел с отрицательными вещественными частями и п — d собственных чисел с положительными вещественными частями. Согласно указанной выше теореме существуют два инвариантных многообразия Ws и W^, проходящие через седловую особую точку и заполненные входящими и выходящими из этой особой точки сепаратрисами. Эти многообразия называются соответственно устойчивым и неустойчивым много-
Многообразие ^ называется инвариантным многообразием динамической системы, если каждая траектория, проходящая через некоторую неособую точку на ^, целиком (при всех —оо ＜ £ V й-оо) лежит в этом многообразии. Инвариантное многообразие ^ могут пересекать только траектории, входящие в особые точки динамической системы, лежащие на этом многообразии.
образием системы (2.6), проходящим через точку (*,..・,/^)・ Все остальные траектории, не лежащие на инвариантных многообразиях 用 и Wu~d, не входят в рассматриваемую седловую особую точку.
В динамических системах, обладающих некоторой симметрией, особые точки часто заполняют непрерывные множества, являющиеся многообразиями Мк размерности к. Динамическая система (2.6) в таких особых точках необходимо имеет к нулевых собственных чисел. Особое множество М^ называется невырожденным, если в почти всех особых точках этого множества имеется п — к собственных чисел системы (2.6) с ненулевыми вещественными частями. На невырожденные особые множества очевидным образом переносятся все указанные выше определения (притягивающих, отталкивающих и седловых особых множеств).
III. Поведение траекторий динамической системы (2.6) в окрестности вырожденных особых точек (в которых, например, все собственные числа 九》— 0) обычно является значительно более сложным, чем поведение траекторий в окрестности невырожденных особых точек. Например, число сепаратрис и целых инвариантных многообразий, входящих в вырожденную особую точку под различными углами, может быть сколь угодно большим.
Для исследования вырожденных особых точек применяется метод разрешения особенностей с помощью специального преобразования фазового пространства (своеобразное раздутие фазового пространства в особой точке), при котором вместо особой точки вклеивается целое инвариантное многообразие '). Предположим для определенности, что особая точка имеет координаты (0, . . ., 0). Введем в фазовом пространстве X (%工,...,％п) 〃 систем координат (локальных карт) V\,・• ., Vn. В локальной карте Vt определены координаты
У? = ///，…,у^ - %j//j,…, /,•••田^? = %n/%z. (2.11)
Траектории, входившие в особую точку (0, . . ., 0), касаясь некоторых векторов (а1? . . ., 1, . . ., ап), в локальной карте Vt вхо-
г
дят в точки с координатами (у," = а；, %» = 0). Таким образом, особой точке (0, . . ., 0) в координатах Vf (2.11) отвечает целая гиперплоскость £匚 ％» = 0. Отметим, что на каждой прямой, проходящей через точку (0, . . ., 0), лежат два луча, входящие в точку (0, • . ., 0) с противоположными направлениями. Конечные
При изучении конкретных многомерных динамических систем метод разрешения вырожденных особых точек независимо от совместной работы автора и G. П. Новикова 1973 г. [12] применялся также в работах 1974 г. [43, 44], посвященных исследованию движения четырех притягивающихся цо закону Ньютона масс на прямой，
точки двух таких лучей в координатах (2.11) отождествляются. Это отождествление не всегда удобно, и для того, чтобы его избежать, вводятся две системы координат У” V^ и Vj, в соответствии со знаком координаты &. Все 2п систем координат 卩丰 покрывают преобразованное фазовое пространство X】，которое взаимнооднозначно отображается на исходное фазовое пространство X, кроме особой точки (0, . . ., 0). Особой точке (0, . . ., 0) на многообразии X] отвечает (п ——1)-мерная сфера ^九一匕 покрытая в локальных картах 卩吉 гиперплоскостями 14t (& = 土 0). Если использовать только локальные карты Р% то на вклеенной вместо особой точки (0, ...» 0) (п ——1)-мерной сфере S^1 противоположные точки окажутся отождествленными, т. е. вместо особой точки (0, . • ., 0) будет вклеено проективное пространство RP^1. В этом случае проведенное преобразование фазового пространства называется в алгебраической геометрии а-процессом.
После преобразования системы (2.6) в локальные координаты Vi (2.11) получаем следующую систему:
Уj === "^у ^з @lQ，•…，勺，• • •，Un”i) 力％ (%L勺，• • •，勺，• • •，]/n^i))9 • _，、. _ я(2.12)
Предположим, что в вырожденной особой точке (0, ...» 0) разложение правых частей системы (2.6) — многочленов Ft — начинается с членов степени 左〉1 (для- дальнейших построений достаточно, чтобы функции Ft в окрестности особой точки (0,... ...,0) представлялись сходящимися степенными рядами). В этом случае из правых частей системы (2.10) можно вынести общий множитель 建т. После замены времени
芻=к尸|(2.13)
система (2.12) принимает вид
== РУп)Уj^i(2/1, • • • » 力不，• • •，Ун),
5(2.14)
-^— = ^{Рj (j/ij • • * » 勺，• • •，Ун),
где Pj == sign 3尸)•％/露 Таким образом, правые части преобразованной системы (2.14) по-прежнему являются многочленами. Гиперплоскость L^ (/» = 土0) является инвариантным многообразием системы (2.14). Поэтому вся (п — 1)-мерная сфера Sn-1, вклеенная в результате проделанных преобразований вместо особой точки (0, . . ., 0), является инвариантным многообразием ди-
намической системы (2.6) после преобразования на многообразие Хл и надлежащих замен времени типа (2.13).
Динамическая система (2.14) на инвариантной гиперплоскости /» = 0, вообще говоря, имеет ряд новых особых точек. Если среди этих особых точек есть невырожденные особые точки, то их исследование дает важную информацию о поведении траекторий исходной системы (2.6) в окрестности вырожденной особой точки (0,... • • ., 0). Например, сепаратрисы невырожденных особых точек, не лежащие целиком в плоскости %» = 0, определяют траектории системы (2.6), входящие в точку (0, . . ., 0). Если система (2.14) на гиперплоскости %» = 0 имеет вырожденные особые точки, то в этих особых точках следует повторить все проделанные выше преобразования вида (2.11), и т. д.
В важном частном случае, когда многочлены Ff являются однородными многочленами степени к (система (2.6) инвариантна относительно группы масштабных преобразований), уравнение (2.14) для координаты /» отделяется, т. е. порядок системы (2.6) при преобразовании в координаты (2.11) понижается на 1. В этом случае динамика системы (2.6) полностью определяется динамикой системы (2.14) на сфере S71*-】，вклеенной при преобразованиях (2.11) вместо вырожденной особой точки (0, . . ., 0).
Отметим, что динамическая система на инвариантной плоскости %» = 0 часто оказывается существенно проще исходной динамической системы (например, за счет понижения порядка). Поэтому исследование системы (2.14) при /» = 0 обычно дает гораздо большую информацию, чем простое исследование невырожденных особых точек.
В тех случаях, когда динамическая система (2.6) обладает какой-либо симметрией, например, записывается в тензорном виде (как в теории однородных космологических моделей), для разрешения вырожденных особых точек удобно использовать сферическую систему координат:
y»=g/G, G = (/；,・・•，或)4. (2.15)
Система п уравнений (2.6) после преобразования в координаты (2.15) переходит в систему из п + 1 уравнений, рассматриваемую на уровне связи
或 + ^ + • • • + 虚=L (2.16)
В целом фазовое пространство системы (2.6) в координатах (2.15) является произведением (п ——1)-мерной единичной сферы S^1 (2.16) на полупрямую G》0. Особой точке (0, . . ., 0) в координатах (2.15) отвечает инвариантное многообразие — (п — 1)-мер- ная сфера 3吁* выделенная условиями (2.16) и G = 0. Переход к сферическим координатам (2.15) полностью эквивалентен введению локальных карт Р吉 вида (2.11). В различных случаях один
из этих двух способов разрешения вырожденных особых точек оказывается наиболее удобным (требует меньших вычислений).
Разрешение вырожденных особых множеств осуществляется с помощью преобразований, аналогичных (2.11) (или (2.15)), вдоль этих множеств. Пусть множество вырожденных особых точек Мк размерности 论 локально задается уравнениями 网=• • • ...==Xfr = 0. Тогда для разрешения особого множества Мк следует применить преобразования (2.11), где 佑十 1)《厶 j《п. В результате этих преобразований вместо каждой, точки множества 而к вклеивается (九一加一1)-мерная сфера 5n
Метод максимально невырожденной компактификации динамической системы
Динамические системы, возникающие в физических задачах, определены, как правило, в некоторой области 5\ фазового пространства, выделенной рядом физических условий типа неравенств:
①)Qi, . . ., nJ〉0, j ==(,・.•，к. (3.()
К таким условиям могут относиться условия знакоопределенности энергии, знакоопределенности некоторых координат и т. д. Для исследования динамической системы полезно пополнить область Si границей, состоящей из нескольких компонент Г^ (лежащих в конечной области координат), на которых одно из условий (3.1) обращается в равенство:
弓：①；(%i, • • 叫)=0. (3.2)
Если траектории динамической системы не покидают область Si при любом направлении времени, то все компоненты границы J после надлежащей замены времени являются инвариантными многообразиями динамической системы.
Во многих случаях важно знать поведение траекторий динамической системы (2.1) при больших значениях координат Xi， Например, в гамильтоновых системах рида (2.4) часто необходимо исследовать асимптотическое поведение траекторий при больших энергиях, т. е. при Е 登 1. В других задачах (например, в задаче о сильном взрыве в атмосфере) представляют интерес только изолированные траектории системы, уходящие на бесконечность при некотором направлении времени. Для исследования поведения траекторий при больших значениях координат д необходимо пополнить фазовое пространство границей на бесконечности. Такое пополнение осуществляется с помощью введения 2п карт U吉 проективных координат
"'=登*" = +，•••，Zf = ±,…， 或)=從.(3.3)
§ з] Максимально невырожденная коМйакфйфикацйя 29
В локальной карте 〃寺 имеем sign z» = ±1. В координатах (3.3) бесконечно удаленным точкам соответствуют точки гиперплоскости 工卞：Zt = 土0. Траектории, уходившие на бесконечность с некоторой асимптотой (ai, . . ., о^), при о^ =# 0 входят в точку /)= aj/ai, Zi = 土0, лежащую на гиперплоскости 丄吉.
В результате преобразований координат вида (3.3) к фазовому пространству в области бесконечно больших значений координат Xi приклеивается граница ——(〃—— 1)-мерная сфера S"-* покрытая гиперплоскостями 丄丰.
Динамическая система (2.1) после преобразования в проективные координаты (3.3) принимает вид
% и1 (竹(如/，0，％i“i)УjFi(У1%, Q, Уп^г))^
\(3.4)
药=~—^i (y^b 图，yn^i)-
Предположим, что старшая степень многочленов Fi равна т '). Вьшесем из правых частей системы (3.4) общий множитель 力丁工 В оставшиеся выражения переменная /^ входит только в отрицательных степенях, т. е. в эти выражения в положительных степенях входит переменная ze = %?・ Поэтому после замены времени 影= |0『т(3.5)
система (3.4) преобразуется в систему
») ~ Рj(1/1, • •Z^, . . ., yQ力尸4 (力，• • •，Zj, . . •,勿)，
(3.6)
2i = —ZiPi (力，・・・，Z£,・・・，焱)；j = 1,.・.，％ j*i, где Pj = sign (/『T) •三/а*. Правые части полученной системы (3.6) по-прежнему являются многочленами от своих переменных.
Гиперплоскость Z^ (z^ = 0), очевидно, является инвариантным многообразием динамической системы (3.6). Следовательно, граничная сфера 5П-1, приклеенная к фазовому пространству в области бесконечно больших значений координат 力幻 также является инвариантным многообразием динамической системы на пополненном фазовом пространстве.
Система (3.6) на инвариантной гиперплоскости L% может иметь ряд невырожденных особых точек. Сепаратрисы, входящие в
Т) Проективное пополнение фазового пространства можно эффективно применить также для исследования динамических систем, у которых правые части bj не являются многочленами, но обладают некоторыми свойствами однородности.
эти особые точки и не лежащие целиком на граничной сфере 5п-1? определяют траектории динамической системы (2.1), уходящие на бесконечность с некоторой линейной асимптотой. Если система (3.6) на приклеенной границе aS11"1 (z^ = 0) имеет вырожденные особые точки, то для их исследования необходимо разрешить эти особенности с помощью преобразований, указанных в § 2.
В тех случаях, когда система (2.1) обладает некоторой симметрией, для пополнения фазового пространства на бесконечности удобно воспользоваться (так же, как и в § 2) сферической системой координат:
& =(/；+・.・+ 嗡-也 (3.7)
Динамическая система (2.1) после преобразования в координаты (3.7) рассматривается на уровне связи (2.16): у； + ・• • + у^ = 1. В целом координаты (3.7) покрывают многообразие, являющееся произведением (п ——1)-мерной единичной сферы Sn— (2.16) на полупрямую @ 0. Граничная сфера, приклеенная к исходному фазовому пространству в области бесконечных значений координат выделяется условиями (2.16) и @ = 0.
В некоторых динамических системах фазовые переменные естественным образом разбиваются на несколько групп: например, в случае гамильтоновых систем (2.4) — на 几 координат % и 九 импульсов pi，В таких случаях бывает удобно производить пополнение (компактификацию) фазового пространства на бесконечности отдельно по каждой группе координат. Преобразование координат в каждой группе можно по-прежнему взять в виде (3.3) или (3.7). При этом полная граница, приклеенная к фазовому пространству на бесконечности, состоит из нескольких компонент, каждая из которых соответствует пополнению фазового пространства по некоторой одной группе переменных. Компоненты границы пересекаются по углам границы, которые также являются инвариантными многообразиями динамической системы на пополненном фазовом пространстве.
Физическая область Si в результате указанных вьппе преобразований ——пополнения фазового пространства границей на бесконечности и разрешения вырожденных особых точек динамической системы — преобразуется в замкнутое (компактное) многообразие S с границей Г. Многообразие S является по существу многогранником ——полиэдром, граница которого состоит из нескольких компонент Г1, . . ., Г^, пересекающихся попарно по различным углам границы Г| П Г；. Многообразие S покрыто некоторой системой локальных карт, в которых наряду с исходными координатами g введены координаты вида (2.11), (2.15), (3.3) и (3.7). Динамическая система на многообразии S определена в результате преобразований системы (2.6) во все эти локальные карты и надлежащих (монотонных) замен времени типа (2.13) и (3.5).
Динамические системы, полученные таким образом в пересечении любых двух локальных карт, полностью эквивалентны и отличаются друг от друга только монотонной заменой времени.
Компоненты границы Гг, пополняющие фазовое пространство на бесконечности и приклеенные к фазовому пространству в результате разрешения вырожденных особых точек, являются инвариантными многообразиями динамической системы, преобразованной на замкнутое (компактное) многообразие S. Компоненты границы Fj типа (3.2), пополняющие физическую область Si при конечных значениях координат д, могут не быть инвариантными многообразиями ——в случае, если траектории динамической системы остаются в области Si только при одном направлении времени. В этом случае траектории динамической системы пересекают указанные компоненты границы только в одну Сторону — внутрь многообразия S.
Преобразования, указанные в §§ 2, 3, составляют основное содержание следующего общего метода исследования многомерных динамических систем. Метод максимально невырожденной компактификации динамической системы, определенной в некоторой физической области Si, состоит в построении такого компактного многообразия S с границей Г (состоящей из нескольких компонент) и динамической системы на S, что построенная динамическая система гладко продолжается на границу Г, имеет максимально невырожденные особые точки и внутри многообразия S эквивалентна исходной динамической системе в физической области Si・ Построение компактного многообразия S использует изложенные выше методы — пополнение фазового пространства границей на бесконечности и разрешение вырожденных особых точек динамической системы.
Метод сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы
После построения компактного многообразия S с указанными в § 3 свойствами следует перейти к изучению невырожденных особых точек и особых множеств динамической системы, определенной на многообразии S, и их сепаратрис. Особым точкам динамической системы, лежащим внутри многообразия S, соответствуют простейшие точные решения изучаемой задачи. Невырожденные особые точки, лежащие внутри многообразия S и на различных компонентах границы Г в стороне от углов границы, имеют сепаратрисы, входящие в них из физической области. Этим сепаратрисам отвечают некоторые специальные решения рассматриваемой задачи. х Асимптотики при т -> + оо (или т — оо) и устойчивость таких решений полностью определяются свойствами особых точек,
Неустойчивые особые точки динамической системы, лежащие в углах границы Гг П Г；, имеют сепаратрисы, целиком лежащие на компонентах границы Гг и Г； (являющихся инвариантными многообразиями динамической системы), и могут вообще не иметь сепаратрис, входящих в них из физической области Si・ Каждая такая сепаратриса по отдельности не соответствует никакому точному решению исходной динамической системы (поскольку она лежит на приклеенной компоненте границы, которая отсутствовала в исходном фазовом пространстве). Однако во многих случаях сепаратрисы, лежащие на различных компонентах границы Г^, идут из одной неустойчивой особой точки в другую, из второй неустойчивой особой точки в третью и т. д., образуя при этом длинные последовательности сепаратрис, которые аппроксимируют сложные режимы динамики истинных физических траекторий динамической системы.
Действительно, если все сепаратрисы, выходящие из одной неустойчивой особой точки X% идут в некоторую другую неустойчивую особую точку Xj и т. д., образуя последовательность переходов
・..^> X% f Х> ^> Xk ^> XI т . . •, (4.1) то траектории динамической системы, начавшиеся достаточно близко от одной из этих сепаратрис или особых точек, будут, по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных, сколь угодно долго двигаться вдоль некоторой последовательности сепаратрис (4.1).
Указанная ситуация реализуется, если для последовательности особых точек (4Л) неустойчивое многообразие Wu (Х0 особой точки X» (см. § 2) целиком принадлежит устойчивому многообразию Ws (X；) особой точки Xj и т. д. В общем случае пересечение любых двух инвариантных многообразий Wu (X*) и W8 (X() является некоторым новым инвариантным многообразием W, на котором все траектории при 力 f — оо выходят из особой точки X% и при £ f + 8 входят в особую точку Х(・ Траектории, лежащие в пересечении двух инвариантных многообразий Wu (XQ и W8 (Х(), называются гетероклиническими. Траектории, лежащие в пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий одной и той же особой точки — Ws (X») и Wu (X» — называются гомоклиническими траекториями точки X». Устойчивые многообразия W8 (XQ и W8 (Х0 разных особых точек попарно не пересекаются (также не пересекаются попарно и неустойчивые многообразия)—— это следует из их определения.
Устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия существуют не только у особых точек динамической системы, но и у неособых замкнутых траекторий ——циклов Z^ Гомоклинические и гетероклинические траектории, возникающие в Пересе-
чениях таких инвариантных многообразий 忆(Z0 и W8 (Z“， имеют очень сложную динамику в фазовом пространстве: при t f ——оо и при 力 f + 8 эти решения осциллируют в окрестности инвариантных многообразий W8 (Z^) и Wv (Zj), никогда их не пересекая. Впервые гомоклинические решения были найдены А. Пуанкаре в задаче трех тел [1]. Для изучения гомоклинических решений рассматривают, следуя Пуанкаре, гиперповерхности £ в фазовом пространстве, трансверсально пересекающие траектории динамической системы. В акрестности цикла Z〃, пересекающего гиперповерхность % в точке У 為 определено отображение / (диффеоморфизм) поверхности % в себя, называемое функцией последования. Каждая точка х на поверхности £ является начальной точкой некоторой траектории I (况)；отображение / переводит точку х в следующую точку пересечения траектории I (况)с гиперповерхностью £. Замкнутые траектории — циклы Z> — соответствуют неподвижным точкам 匕 отображения /, у которых также имеются устойливые и неустойчивые инвариантные многообразия (пересечения инвариантных многообразий Ws (Z；) и Wu (Z》с гиперповерхностью £)・ Для диффеоморфизма / аналогично определяются гетероклинические и гомоклинические точки неподвижных точек Уj. Гомоклинические точки и связанные с ними свойства траекторий подробно изучались в большом числе работ, начиная с [1, 8]; обзор последних результатов см. в [11].
Специфика рассматриваемых в данной книге динамических систем, возникающих в задачах астрофизики и газовой динамики, заключается в том, что большинство особых точек этих динамических систем лежат на различных компонентах границы rf соответствующих компактных многообразий S. Динамические системы на компонентах границы 1\ сильно упрощаются, вследствие чего сепаратрисы особых точек Xj во многих случаях удается полностью исследовать (а иногда даже проинтегрировать в явном виде). Доказательство того, что некоторая сепаратриса идет из одной особой точки в другую, часто опирается на существование специальных монотонных функций U (dU/dx〉0) динамической системы на данных компонентах границы. При исследовании движения сепаратрис на двумерных компонентах границы часто оказывается полезным критерий Дюлака — Бендиксона отсутствия замкнутых траекторий (циклов); см. § 1, п. IV.
Все реализующиеся в рассматриваемой динамической системе сепаратрисные переходы между особыми точками и особыми множествами удобно систематизировать в сепаратрисы ой диаграмме, которую можно изобразить в виде матрицы п X п (где п — число особых точек и особых множеств) или в виде графа на плоскости (например, типа (4.1)). Если последовательность сепаратрисных переходов (4.1) содержит конечное число сепаратрис и начинается в некоторой отталкивающей особой точке X* и заканчивается
в некоторой притягивающей особой точке Х^, то сепаратрисная аппроксимация (4.1) дает полное (при всех t) качественное описание динамики близких траекторий динамической системы.
В некоторых динамических системах реализуются бесконечные последовательности сепаратрисных переходов (4.1), содержащие циклы, возвраты в окрестность начальной особой точки и т. д. В этих случаях в динамической системе имеются сложные нелинейные колебательные режимы, которые аппроксимируются последовательностями сепаратрис (4.1), причем существуют физические траектории, совершающие сколь угодно большое число сепаратрисных переходов. Если особые точки образуют непрерывные особые множества, то сепаратрисные переходы между ними определяют отображения одного особого множества на другое (начальная точка сепаратрисы отображается в конечную точку этой сепаратрисы). Полученные таким образом отображения особых множеств представляют собой дискретные комбинаторные модели сложных нелинейных колебательных режтюв в изучаемой динамической системе. Отображения особых множеств в некоторых случаях обладают (при неограниченном повторении) эргодическими свойствами и поэтому обусловливают стохастиза- цию (по некоторым параметрам) траекторий динамической системы, идущих вдоль последовательностей сепаратрис между этими особыми множествами.
Другой механизм стохастизации траекторий связан с возможностью неоднозначных сепаратрисных переходов в сепаратрисной диаграмме (4.1). Такая неоднозначность реализуется, например, если из некоторой особой точки Х^ выходит целый пучок сепаратрис, которые при неограниченном продолжении идут в различные особые точки Xi, •・.,Х(. Эта неоднозначность также обусловливает стохастическое поведение траекторий и связана с неустойчивостью траекторий в зависимости от начальных данных в окрестности особых точек динамической системы.
Отметим, что в некоторых случаях удается проинтегрировать сепаратрисы особых точек, идущие внутри многообразия S. Аппроксимация траекторий динамической системы такими сепарат- рисными переходами позволяет исследовать поведение траекторий не только в окрестности границы Г, но и внутри многообразия S.
Таким образом, метод сепаратрисной аппроксимации траектории динамической системы, основанный на методе максимально невырожденной компактификации динамической системы, позволяет в принципе детально изучить сложные нелинейные режимы динамики траекторий, обладающие рядом стохастических свойств, а также получить картину поведения траекторий динамической системы в целом. Эффективность изложенных в данной главе методов качественного исследования многомерных динамических систем показана в дальнейших главах книги.
Г Л А В A II
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БЁЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
Однородные космологические модели являются одним из важнейших классов решений уравнений общей теории относительности. Исследование однородных космологических моделей, начиная с классических работ А. А. Фридмана [45, 46], явилось началом современной релятивистской космологии и оказало в дальнейшем решающее влияние на ее развитие. Полный класс однородных решений уравнений общей теории относительности впервые был выделен в работе [47]. Исследованию характера сингулярности в общих решениях уравнений Эйнштейна посвящен цикл работ [48—52], вершиной которого явилось открытие общего колебательного режима поведения метрики вблизи космологической сингулярности [49, 50]. Большое значение для исследования сингулярностей в решениях уравнений Эйнштейна имеют общие теоремы, доказанные в работах [53—56]. Важнейшими физическими вопросами при изучении однородных космологических моделей являются: выяснение конкретного характера сингулярности решения при сжатии пространства, исследование изотро- пизации решений при расширении пространства, отыскание наиболее общих режимов динамики однородных космологических моделей при сжатии и при расширении пространства, исследование конкретных свойств колебательного режима поведения метрики вблизи сингулярности и др. Изучению этих вопросов посвящено большое число работ [57——76], подробная библиография которых приведена в [74, 75]. Все указанные работы используют традиционные теор-физические методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым сводятся уравнения Эйнштейна для однородных космологических моделей (к числу этих методов относятся метод аппроксимации траекторий сложной системы уравнений решениями некоторых более простых систем с последующими сшивками решений, метод малого параметра, а также численный счет).
В работах [77, 78] при исследовании простейших однородных космологических моделей, для которых система уравнений Эйнштейна сводится на плоскость, впервые были применены классические методы двумерной качественной теории Пуанкаре ——Бендиксона (в дальнейшем подобные методы применялись в работах [79——81]). Однако более сложные однородные космологические
модели описываются динамическими системами в пространствах большей размерности, которая для наиболее общих моделей равна 12. В совместной работе С. П. Новикова и автора [12] для исследования шестимерной динамической системы, описывающей важную однородную космологическую модель IX типа без движения вещества, были впервые применены методы качественной теории многомерных динамических систем (результаты этой работы в подробном виде были опубликованы в [15, 21]). Дальнейшее исследование однородных космологических моделей [13, 16, 18, 19, 24, 82, 83] показало, что качественная теория многомерных динамических систем является наиболее адекватным математическим аппаратом для изучения однородных космологических моделей, позволяющим с помощью строгих методов получить полную картину их динамики. Данная глава и глава III посвящены подробному исследованию методами качественной теории многомерных динамических систем всех однородных космологических моделей с гидродинамическим тензором энергии-импульса, а также с электромагнитным полем.
Уравнения общей теории относительности
Широко известны классические учебники [84, 85], подробно излагающие основные понятия и различные специальные вопросы общей теории относительности. Поэтому в данном и следующем параграфах приводятся только наиболее общие и необходимые для дальнейшего сведения.
Основными объектами изучения в общей теории относительности являются различные свойства четырехмерных пространственно-временных многообразий J/’ и движение материи на этих многообразиях. Геометрические свойства пространства-времени определяются метрикой
威2= gtjd£ 亚(1.1)
(всюду по повторяющимся индексам производится суммирование), где симметричная матрица g〃 (况i,况2,况з,况， имеет сигнатуру (4). В каждой точке существует такая система коорди
нат (называемая локально-лоренцевой системой отсчета), в которой метрика (1.1) с точностью до членов второго порядка приводится к виду
曲2 =近 2 — dd —也2 -成2.(1.2)
Вид материи, заполняющей пространство-время, и ее свойства определяются тензором энергии-импульса материи 7订・ В данной книге рассматриваются два вида тензоров 7订：гидродинамический тензор энергии-импульса
3j =(Р + £)〃泓 j — Pgtj(1-3)
и тензор энергии-импульса электромагнитного поля
7訂=亲(/心gH + ；g万％小)•(1.4)
В первом случае е — плотность энергии вещества, р — давление, I? — вектор 4-скорости вещества, по определению удовлетворяющий условию gijit%' = 1. Уравнение состояния вещества рассматривается в виде 卩=庇，0《乃＜；1・ В случае (1.4) кососимметричный тензор 尸订 является тензором электромагнитного поля; по определению
(1・5)(1・5)дА. дА.
(1・5)
(1・5)
” @q 8%
где Лг ——вектор-потенциал электромагнитного поля.
Уравнения общей теории относительности (ОТО) — уравнения Эйнштейна ——связывают геометрические свойства пространственно-временного многообразия .〃‘ со свойствами заполняющей его материи и имеют вид
Rij^~gijR = W^Te(1.6)
Тензор Риччи R" является сверткой тензора Римана 7?；乃(区订= =R1^), который полностью определяет свойства кривизны пространства-времени (см. [84——86]). Скалярная кривизна R является полной сверткой тензора Римана: R = Riij^ = Л“『• В дальнейшем используется система единиц измерения, в которой скорость света с = 1 и гравитационная постоянная k = 1/8л.
Уравнения ОТО (1.6) (вместе с граничными условиями) полностью определяют эволюцию метрики g”； эти уравнения определяют также и движение материи, поскольку из (1.6) в силу тождества Бьянки [84, 86] следуют уравнения
几=0(1・7)
(здесь используется стандартное обозначение для ковариантной производной [84, 86]). Уравнения (1.7) для гидродинамического тензора энергии-импульса (1.3) являются уравнениями гидродинамики (в инвариантной четырехмерной записи). Для тензора энергии-импульса электромагнитного поля (1.4) уравнения (1.7) являются обобщением на искривленное пространство второй пары уравнений Максвелла.
Уравнения Эйнштейна (1.6) следуют из принципа наименьшего действия Гильберта:
” (Е/Л71 + л НТ71) & = 0,(1.8)
где E，|g|nA]/|g| — действия соответственно для гравита-
ционного поля и метрики, | g | = | det (g〃) |. Отметим, что в вариационном принципе (1.8) вариации метрики bg^ предполагаются финитными по пространственно-временному многообразию М^. В случае электромагнитного поля действие
А 了回=一备%宙吗
Для гидродинамического тензора энергии-импульса (1.3) формально можно принять
а мт = — с?+а щи^ игн—е — £)，тп, где связь UiU^ = 1 используется только после варьирования действия по компонентам метрики.
Различные общие свойства решений уравнений Эйнштейна наглядно проявляются в ряде специальных, обладающих большой симметрией точных решений.
Классические решения уравнении
общей теории относительности
Один из основных методов получения точных решений уравнений общей теории относительности состоит в исследовании решений, инвариантных относительно некоторых групп преобразований координат. Такие решения обладают глубокими симметриями и являются наиболее простыми и вместе с тем естественными моделями многих астрофизических и космологических явлений. Классификация различных типов инвариантных решений на основе теории групп дана в книге [87].
Инвариантность решения относительно некоторой группы преобразований G означает, в частности, что группа G является группой изометрий метрики (1.1) на данном многообразии ^久 Наибольшей инвариантностью обладает плоское пространство Минковского, метрика которого (1.2) имеет десятимерную группу изометрий ——группу Пуанкаре. Эта группа порождается шестимерной группой преобразований Лоренца О (1, 3) (группа линейных преобразований, сохраняющих квадратичную форму (метрику) (1.2)) и четырехмерной коммутативной группой У?4 произвольных сдвигов плоского пространства-времени.
Решения Фридмана. Шестимерными группами изометрий обладают замкнутое, открытое и плоское решения Фридмана. Эти решения были предложены А. А. Фридманом в 1922 г. в качестве нестационарных моделей однородной и изотропной Вселенной, метрика которой является метрикой постоянной кривизны. Вещество в решениях Фридмана покоится, т. е. 4-скорость вещества 疗 имеет компоненты (1, 0, 0, 0). Метрика замкнутой мо-
дели Фридмана имеет вид
孙=淤 一 а2 (力)(改2 + sir? % (曲2 + sin2 0 d(p2))・(2.1)
Пространственные сечения 力=% этой модели являются трехмерными сферами 53, на которых ограничение метрики (2.1) имеет постоянную ^положительную кривизну % = а (^0)"2 (т. е. сфера 53^имеет радиус а (力°)). Метрика (2.1) при любой зависимости а (力) инвариантна относительно шестимерной группы О (4) вращений стандартной трехмерной сферы. В случаеТуравнения состояния вещества р = &е, 0《А V 1, уравнения Эйнштейна для метрик (2.1) сводятся к двум уравнениям:
£淤=3 禽2 + а2,£谑(1+k) = const,(2.2)
где переменная п определяется соотношением dt ~ a dr].
Уравнения (2.2) в случае пылевидной материи (р = & = 0) решаются в следующем виде:
а = а。(1 — cos п), 力=а。(刀一sin 刀).(2.3)
Таким образом, радиус мира а (力)в замкнутой модели Фридмана при изменении 刀 от 0 до 冗 монотонно растет от а (0) = 0 (что означает сингулярность решения,16 поскольку 8 ^Са"3 -> оо) до состояния максимального расширения а (ла。) = 2ao и затем при изменении Y] от л до 2л радиус мира монотонно уменьшается до нуля: а (2лао) = 0. Аналогичные свойства имеют замкнутые решения Фридмана при любых 论 * 0.
Метрика открытой модели Фридмана имеет вид
曲2 =渺-炉(9(改2 + sh2 x (曲2 + sin2 0 d(p2)).(2.4)
Здесь пространственные сечения 力=} являются многообразиями постоянной отрицательной кривизны % = —а (力厂？ (трехмерными пространствами Лобачевского), которые имеют шестимерную группу изометрий, являющуюся группой Лоренца О (1, 3). Уравнения Эйнштейна для метрик вида (2.4) сводятся к двум уравнениям:
еа4 = 3 (籌 J — а2,£0 а+衣)=const, (2.5)
которые в случае пылевидной материи решаются в следующем виде:
а = Оо (ch т] — 1), 力=а。(sh 刀一y]).(2.6)
Согласно (2.6) открытое решение Фридмана (2.4) имеет сингулярность при 力 = 0, поскольку а (0) = 0; при возрастании 力 от 0 до оо функция а (力)монотонно растет до бесконечности.
Метрика решений Фридмана с плоским трехмерным пространством имеет вид
曲2 =出2 一 a2 (力(&； + dW + d冠).(2.7)
宀3備）2,宀3備）2,8a3d+A)= const,8a3d+A)= const,(2.8)(2.8)Решения (2.7), очевидно, инвариантны относительно шестимерной группы изометрий плоского трехмерного пространства (сдвиги и ортогональные вращения). Уравнения Эйнштейна для метрик (2.7) сводятся к уравнениям
宀3備）2,
宀3備）2,
8a3d+A)= const,
8a3d+A)= const,
(2.8)
(2.8)
(2.9)(2.9)которые легко решаются при всех А: а = М/(з(1+/с)).
(2.9)
(2.9)
Следовательно, в плоском решении Фридмана функция а (力)при возрастании ^ от 0 до оо монотонно растет от сингулярности а (0) = =0 до бесконечности, как и в открытом решении Фридмана.
Общим свойством всех трех решений Фридмана является наличие физической сингулярности а (0) = 0, где плотность энергии Ef 8 (при ЭТОМ I 丸 I f ОО, ПОСКОЛЬКУ R = —Tijg仃 =(3论一 ——1)8). Наличие некоторой физической сингулярности в общем решении уравнений Эйнштейна гарантируется рядом теорем, доказанных в работах [54— 57]. Конкретный характер сингулярности может быть существенно различным. Например, уже простейшее обобщение плоского решения Фридмана имеет совершенно другую ——анизотропную сингулярность.
Решения Назнера. Обобщением плоского решения Фридмана являются метрики следующего вида:
ds2 = d俨—鱼(力)d£ — 02 (0^2 — 9з ⑴出以 (2.10)
среди которых решение Фридмана выделяется условиями gi (力)= 三 q2 (t) = q3 (%). Группа изометрий Общей метрики (2.10) состоит из произвольных сдвигов по трехмерному пространству Xi,况纟，况з, т. е. является трехмерной коммутативной группой У?3. Уравнения Эйнштейна для метрик (2.10) сводятся к следующей системе уравнений:
((内4203)5(In 0i)J =(e 一0)(0蕉203)%,
3(2.11)
2(1口g他293)).. + 2 ((m%).)2 = - 2(e + 3p),
где точка означает дифференцирование по времени.
В случае пылевидной материи (р = 0) уравнения (2.11) легко решаются [88, 59] и имеют следующие два типа решений:
8 = 0: ^f (t) = С俨,(2.12)
8 * 0：方(方)Cfp^ (t + 扣)%一2忆 E = 4/3力(力 + 力0).(2.13)
Постоянные pi, р2, рз удовлетворяют двум условиям:
Pl + Р2 + Рз = 1, pl + pl + pl = i (2.14) и называются казнеровскими показателями.
Решения Казнера [88] (2.12) определяют метрики вида (2.10) в пустом пространстве. При 力=0 эти решения при всех наборах казнеровских показателей pi, р21 рз, кроме набора (1, 0, 0), имеют физическую особенность, не устранимую никаким преобразованием координат. Исключительное решение
澱=dt2 - 6产d谴一 c2 d届_ 03 d就 (2.15)
после преобразования в координаты т;=方 ch 力》 之=2 sh %i переходит в решение Минковского (1.2). Решение (2.15) является простейшим примером, показывающим, что наличие особенности в данном конкретном виде метрики еще не означает наличие физической особенности решения, поскольку особенность метрики в отдельных случаях может быть устранена с помощью некоторого преобразования координат.
Решения (2.13) в заполненном пространстве, полученные впервые в работе [59], содержат как частный случай при ^\ = С? =。3, 力о = 0 плоское решение Фридмана (2.7) — (2.9). В общем случае 力о〉° решения (2.13) при 2fo имеют анизотропную сингулярность того же вида, что и решения Казнера (2.12) в пустоте. Таким образом, плоское решение Фридмана (2.7) —(2.9) при сжатии пространства (det (g“) f 0, 2 f 0) является неустойчивым в классе возмущений вида (2.10). При расширении пространства (力f оо) все решения (2.13) имеют ту же асимптотику, что и решение Фридмана. Следовательно, при расширении пространства происходит изотропизация первоначально анизотропных решений (2.13).
Метрики вида (2.10) определяют простейшую однородную космологическую модель ——модель I типа. В рассмотренном случае два важных физических вопроса ——исследование характера поведения метрики в окрестности космологической сингулярности (det И gtj II = 0) и исследование характера изотропизации метрики при расширении пространства ——имеют весьма простое решение. Для более сложных однородных космологических моделей уравнения Эйнштейна уже не удается проинтегрировать в явном виде. Полное исследование всех режимов поведения метрики однородных космологических моделей проводится в дальнейщих параграфах с помощью методов качественной теории динамических систем.
IIL Решение Шварцшильда. Это классическое решение описывает гравитационное поле, создаваемое в пустом пространстве сферически-симметричным телом массы т = ~/2. Метрика пространства-времени в этом случае необходимо является статической
и имеет следующий вид:
曲 2 = (1 一 令)山2 — T^F —产(d02 + sin2 0 dq>2). (2.16)
Решение Шварцшильда при г -> оо стремится к плоскому решению Минковского, имеет физическую сингулярность при г = О и нефизическую, устранимую сингулярность на гравитационном радиусе г = rg.
Полное сферически-симметричное решение в пустом пространстве, не имеющее нефизических сингулярностей, было построено Крускалом [89] с помощью следующего преобразования решения (2.16) в координаты т,《：
г〉Tg： t = 2у"2rg (r — rg)% sh (t/2rg)9
J = 2rg*rg & 一 г#% ch (〃2rg);(2.17)
г V %： t = 2у"2rg 区—г” ch (t/2rg),
J = 2w"2Z J 一Г产 sh (力/2喇
Метрика (2.16) в новых координатах т,《принимает вид
或2 = A- ”g (肌2 —魂2)—戸(dQ2 + sin2 0 d(p2),(2.18)
причем функция г (t,寸)в силу формул (2.17) определяется из соотношения
七2 一 р = ^lrg(% 一 力(2.19)
Линии г = const на плоскости т, ^ в силу (2.19) являются гиперболами. Решение (2.18) определено в области плоскости т, g, заключенной между двумя ветвями гиперболы г (т,。= 0, на которой решение (2.18) имеет неустранимую физическую особенность. Линия т = Tg состоит из двух прямых t = 土《,на которых метрика (2.18) совершенно регулярна. Прямые т = +S делят плоскость на четыре области: две области 7+ (т;〉0) и Т_ (т V 0), находящиеся под гравитационным радиусом (г < r^, I 工 I〉 〉I С I), ее две области R± и 隔 находящиеся вне гравитационного радиуса (г ^> rg, | т | <； | ^ |). Области 7十 и % в силу преобразования (2.17) соответствуют двум областям г V 〜^ г ^ гg решения Шварцшильда (2.16).
В полном решении Крускала (2.18) две области R± и R2 не сообщаются никакими физическими сигналами. В области 7\ все времениподобные и световые линии за конечный отрезок собственного времени входят в физическую особенность г = 0. Пространственно-подобные сечения т = т0, — 8V《V + 8, при т? V V 4哈 являются произведением двумерной сферы 52 на прямую ?, причем минимальный радиус сферы S? определяется из (2.19)
при 《=0・ В дальнейшем, в главе IV, будут построены автомодельные решения уравнений Эйнштейна в заполненном пространстве с уравнением состояния вещества р =施 обладающие рядом аналогичных свойств.
Общие свойства однородных космологических моделей
Однородными космологическими моделями называются пространственно-временные многообразия ”，на которых задана метрика ds2, удовлетворяющая уравнениям Эйнштейна и инвариантная относительно некоторой трехмерной группы Ли G преобразований многообразия』俨、действующей с трехмерными орбитами (орбитой называется множество точек, получаемых из данной точки действием всех преобразований группы G). Наибольшее значение для космологии имеют пространственно-однородные космологические модели, для которых орбиты группы Ли G являются пространственно-подобными (ограничение метрики d$ на орбитах группы G отрицательно определено). Только такие однородные модели и рассматриваются в дальнейшем. Пусть Хо —— векторное поле, ортогональное к орбитам группы G. В силу пространственной однородности метрики векторное поле Хо является времениподобным. Поэтому можно нормировать длину векторного поля XQ (〈Хо, Хо> = 1) и рассматривать интегральные кривые 、поля Хо в качестве линий времени 力 причем на каждой орбите группы G имеем t = const. Можно показать, что если метрика 或2 удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, то каждая интегральная кривая поля Хо пересекает любую орбиту группы G только один раз (в силу существования монотонной функции). Поэтому пр остр анств енн о-временное многообразие ^4 можно представить в виде произведения оси времени R1 на некоторую орбиту 6工： ^4 = Д1 х Gx (орбита G] сама является трехмерной группой Ли, имеющей ту же алгебру Ли, что и группа Ли G).
Пусть Xi, Х2, Хз — векторные поля, являющиеся генераторами действия группы Ли G. Векторные поля Х】,X?, Х3 касаются орбит группы G и удовлетворяют коммутационным соотношениям, определенным алгеброй Ли @ группы Ли G:
【X», Xj]=僚Xk(3.1)
По построению векторные поля X。и X» коммутируют ([Хо, X/ = =0); метрика &2 в базисе векторных полей Хо, X】，Х2, Х§ имеет вид
/10 .00\
g -(')}3 7=1,2,3,(3.2)
где матрица g〃 (力)положительно определена, В однородных кос「
мологических моделях все параметры материи, заполняющей пространство, должны быть инвариантны относительно преобразований из группы Ли G. В случае вещества, имеющего гидродинамический тензор энергии-импульса (1.3), компоненты скорости иг в базисе инвариантных векторных полей Хо, Х^, X?, Х3, а также плотность энергии 8 и давление р зависят только от времени t. Таким образом, локальные свойства однородных космологических моделей полностью определяются типом соответствующей трехмерной алгебры Ли G.
Приведем простую классификацию трехмерных алгебр Ли, полученную впервые Бьянки в 1897 г. [90]. Структурные константы 鑑(3.1) в силу антисимметричности по индексам 2, / могут быть представлены в следующем виде:
僚—&i$i 小 + 3，а» —璃。力(3.3)
где а” 一 полностью антисимметричный трехмерный тензор, 厶^ — трехмерный симметричный тензор второго ранга, а» ——трехмерный вектор. Тождество Якоби
UXi, Xj], XJ + [[Х^ XJ XJ + [因，X】Xj】=о приводит к условию ^ai = 0, т. е. вектор at (если at # 0) является собственным вектором матрицы 濟，отвечающим нулевому собственному числу. Симметричная матрица zz* в некотором новом базисе 文и Х2, Х3 приводится к диагональному виду; пусть 〃1，於2,几з — собственные значения матрицы г^1. В силу условия т^1 аI = 0 можно считать, что вектор at в новом базисе имеет координаты (0, 0, а), причем либо п3 = 0, либо а = 0. В новом базисе Xi,犬2, Х3 коммутационные соотношения (3.1)——(3.3) принимают вид
[Х], X?] = 〃зХз, [Х2, Х3]=於]Х1 — аХ?,
[Х3, XJ -出Х2 + 〃Х]・
С помощью линейных растяжений векторов Х】，Х2, Х3 коммутационные соотношения (3.4) и соответствующие трехмерные алгебры Ли приводятся к одному из девяти типов, указанных в табл. 1, где параметр а ——любое положительное число. Типы VI и VII образуют однопараметрические семейства неизоморфных алгебр Ли.
В приведенной таблице содержатся следующие известные трехмерные алгебры Ли: тип I — коммутативная алгебра Ли 7?з； тип VIII ——алгебра Ли группы SO (2, 1) или SL (2, Е); тип IX — алгебра Ли группы SO (3). По стандартной алгебраической классификации алгебр Ли (см. [91]) алгебра Ли типа II является нильпотентной, алгебры Ли типов III——VII являются разрешимыми, алгебры Ли типов VIII и IX являются так называемыми простыми алгебрами Лит
Таблица 1
Классификация Бьянки трехмерных алгебр Ли
Тип по Бьянки
а
П1
n2
Пз
Тип no Бьянки
a
П1
n2
ПЗ
I
0
0
0
0
III
1
1
-1
0
II
0
1
0
0
IV
1
1
0
0
VIo
0
1
-1
0
V
1
0
0
0
vn0
0
1
1
0
VI (a W 1)
a
1
—1
0
VIII
0
1
1
—1
VII
a
1
1
0
IX
0
1
1
1
С алгеброй Ли ® группы Ли G естественно связана еще одна группа Ли G2 — группа внутренних автоморфизмов алгебры Ли @, или группа всех линейных преобразований алгебры Ли, не меняющих коммутационных соотношений между векторами X” Для коммутативной алгебры Ли (тип I) группой внутренних автоморфизмов G2 является полная девятимерная группа всех линейных преобразований пространства 倉 дЛЯ простых алгебр Ли VIII и IX типов группы внутренних автоморфизмов G2 совпадают с соответствующими этим алгебрам трехмерными группами Ли — SO (2, 1) П SO (3) соответственно; для остальных трехмерных алгебр Ли группа внутренних автоморфизмов G2 имеет размерность четыре и выше.
Трехмерные алгебры Ли и связанные с ними однородные космологические модели естественно разбиваются на два класса [62], соответствующие двум частям табл. 1: класс 4 (а = 0) и класс 5 (〃，0, 〃з = 0). Однородные космологические модели в каждом из этих двух классов имеют целый ряд важных общих свойств.
1-2 1-21-2 1-2Для однородных космологических моделей все компоненты тензора кривизны Римана А；仪 метрики (3.2) в базисе векторных полей Хо, Xi, Х2, Х3 выражаются через компонейты метрики gij (Z), ее производные (первого и второго порядка) по времени £ и структурные константы 爲 соответствующей алгебры Ли. Все необходимые вычисления проводятся по стандартным формулам, определяющим кривизну метрики в неголономном репере (см. [84, 85]). Компоненты тензора кривизны Риччи имеют следующий вид:
1-2 1-2
1-2 1-2
文^不延乂* a, р,工 j, 4, z = 1, 2, 3,
或(以一號a力(3.5)
Здесь 乂{=以ig", I g I = I det (g订)|; компоненты трехмерного тензора Риччи P»j вычисляются по формулам
尸订=—Г扛％ —魏1%(3.6)
Г%= 4~(僚 + С 赛gmjgH + Cfigmigkl)-
Система уравнений Эйнштейна R\——^厶 б{ Я = Л для однородных космологических моделей с гидродинамическим тензором энергии-импульса материи (1.3) является, в силу приведенных формул (3.5), (3.6), системой шести 《тензорных» уравнений (厶 /) 2 0, содержащих вторые производные по времени от метрики g〃(力)，и четырех уравнений Rq — V2^ =^ Tq и R^ = Ti, содержащих только первые производные от компонент метрики g〃 (力)• Эти четыре уравнения позволяют выразить плотность энергии 8 и три независимые компоненты скорости 〃г через компоненты метрики g〃 (力)и их первые производные по времени. После подстановки полученных выражений в шесть тензорных уравнений Эйнштейна получается замкнутая система дифференциальных уравнений второго порядка на компоненты метрики g订(f).
Для однородных космологических моделей без движения вещества, рассматривающихся в данной главе, вектор 4-скорости материи в базисе инвариантных векторных полей Хо, Х】，X?, Хз имеет следующие компоненты: 〃° = 1,优=0 (это означает, что система отсчета, в которой рассматривается метрика (3.2), является синхронной (g^ = 1, go： = 0) и сопутствующей (иг = 0, 力工 0)). В этом случае уравнения Эйнштейна /?? = Т? = 0 являются тремя связями для системы шести тензорных уравнений Эйнштейна.
Покажем, что на уровне связей Е? = 0 метрика однородных космологических моделей класса 4 одновременно во все моменты времени t приводится к диагональному виду, а в случае однородных космологических моделей класса В ——к виду с одним недиагональным коэффициентом. Такое приведение основано на важном свойстве системы уравнений Эйнштейна для однородных космологических моделей ——инвариантность относительно группы G2 внутренних автоморфизмов соответствующей алгебры Ли. Действительно, если преобразование X?〜Х；= /；Х) не меняет коммутационных соотношений между векторами X} (не меняет коэффициенты Сд), то система уравнений Эйнштейна в базисе векторных полей Хо, Х^ имеет тот же вид, что и в базисе Хо, X». Поэтому соответствующее преобразование метрики
gtj f gtj = A：gkiA；(3.7)
дереводит решения этой системы снова в решения.
В случае однородной космологической модели I типа группе & внутренних автоморфизмов коммутативной алгебры Ли А： является группой всех линейных преобразований jR3. Поэтому с помощью некоторого внутреннего автоморфизма можно одновременно привести к диагональному виду метрику g〃(力)модели I типа и матрицу ее первых производных по времени 金订(力)・ Решение с диагон ал ьными начальными данными в однородной модели I типа остается диагональным во все моменты времени, что и означает возможность приведения произвольного решения в модели I типа к диагональному виду.
Метрику любой однородной космологической модели g»j (%) с помощью внутреннего автоморфизма соответствующей алгебры Ли можно привести в данный момент времени 力=% к диагональному виду. При этом уравнения Эйнштейна Л? = 0 для однородных космологических моделей класса А в силу (3.5) имеют вид (в момент времени t =力°)
(—2)7?；=金23 5喏зз —八3g22) = 0,
(-2)围=gi3 (〃3gu — 心g33)= о, (3.8)
(—2)/?з = g21 dig?? — &g“)= 0・
Для однородной модели II типа (пх = 1, п2 = Пз = 0) с помощью внутреннего автоморфизма соответствующей алгебры Ли можно одновременно привести метрику g^(%) к диагональному виду и добиться, чтобы коэффициент g23 (力о) = 0. В этом случае из уравнений (3.8) следует ^13 (力°)=叁工(%) = 0・ Для остальных однородных моделей класса А из уравнений (3.8) при gM 耍 或 следует 纟订=0. Если же, например, g11 = g22 и 於工=八2 =夂, то ортогональный поворот векторов Хъ X? сохраняет коммутаторы и диагональность метрики gij (^0) и позволяет добиться g^ (力°) = 0.
Таким образом, для каждой однородной космологической модели класса А в начальный момент времени tQ можно с помощью линедного преобразования векторов Х】，Х2» Хз, сохраняющего коммутационные соотношения, и в силу уравнений Эйнштейна К? = 0 одновременно привести к диагональному виду две матрицы, g〃 (％) и 勺订(力°).
В силу остальных уравнений Эйнштейна для однородных моделей класса 4 из диагональности начальных данных g^ (^0) и gtj (力°) следует диагональность решения во все моменты времени, что и означает искомое одновременное приведение решения к диагональному виду.
Для однородных космологических моделей класса В уравнения Эйнштейна Н? = 0 (3.5) при условии диагональности метрики
g〃（％） имеют вид （при t = %）
（-2）制=（〃2之23 + 3唸3）g33 = 0,
（一 2）况=（3Q园3 — 〃山13卜33 = 0,（3.9）
（-2）7?3 =一@ （乂: + 喝一2x!） + 〃丄乂；一九2乂； = 0.
Из первых двух уравнений （3.9） при 9。纟 十 〃i〃2 抬 0 следует, что 瓦з （力о）=自23 （力о） = 0. Решения уравнений Эйнштейна для однородных моделей класса В с такими начальными данными имеют тождественно g13 （力）三 g23 （力）三 0, что и означает возможность приведения решения к виду с одним недиагональным коэффициентом g]2 （力）• Исключительный случай 9а2 + 〃i& — 0 реализуется только для однородной модели VI типа при а — 1/3; в этом случае необходимо рассматривать решения уравнений Эйнштейна в полном пространстве трехмерных матриц （см. главу III）. В случае однородной модели V типа （а = 1, 〃月= 0） с помощью внутреннего автоморфизма соответствующей алгебры Ли можно одновременно преобразовать метрику g〃 仇）к диагональному виду и добиться, чтобы 瓦2 （力о） = 0. Поэтому （и в силу уравнений （3.9）） решения уравнений Эйнштейна в однородной модели V типа приводятся одновременно во все моменты времени к диагональному виду.
Для однородных космологических моделей класса Л и однородной модели V типа в качестве координат в пространстве диагональных метрик 且订（力）используем их собственные числа Qi （力）=ga ⑴.Для остальных однородных космологических моделей класса В приведем метрику g〃（力）（имеющую один недиагональный элемент g12 （力）* 0） к диагональному виду с помощью зависящего от времени линейного преобразования 争 （力）, сохраняющего коммутационные соотношения в соответствующей алгебре Ли. Такие преобразования имеют следующий вид:
Тип VIIТип III, VIТип IV
（
cos ф sin <р 0\/ch <р sh <р 0\/1 <р0\
—sincp coscp 0,д^М = 1 sh q ch 中 0 ）,个（力）= 0 10.
00 1/\ 0 0 1/\0 01丿
（3.10）
По определению имеем
砂。g。您=仏 g =（个‘尸叫。m7,（3.11）
где g ——матрица метрики （gf；）, q ——диагональная матрица с коэффициентами на диагонали 夕】,02，0з・
Отметим, что для однородных к осмо л огических моделей класса Л диагональные метрики git （力）тождественно удовлетворяют уравнениям Эйнштейна Л? = 0. Для однородных моделей класса В метрики с одним недиагональным коэффициентом g^ （t） тождест-
венно удовлетворяют уравнениям Е； = Е? = 0, в то время как уравнение Е； = 0 (см. (3.9)) является дополнительным условием, которое будет учитываться в дальнейшем.
Тензорные компоненты уравнений Эйнштейна можно записать в весьма удобной лагранжевой форме. Для этого воспользуемся выводом уравнений Эйнштейна из принципа наименьшего действия (1.8), основанным на следующем известном тождестве (в дальнейшем индексы тензоров принимают следующие значения: 厶 /,冗 а, р = 1, 2, 3; I, п, т = 0, 1, 2, 3):
6 (Е /|7Т) = ®п - 4 gwR) /ПТ М徊 + М[7Г em^Rn^ 13.12) Здесь и далее | g | = | det (g〃) |. Последнее слагаемое в (3.12) является дивергенцией (см. [84]):
VW\ g^B兄7n = d(yw\ 疗)/@м (3.13) и поэтому интеграл от этого выражения по всему четырехмерному пространству-времени в случае финитных вариаций метрики 8gи тождественно равен нулю. Для однородных космологических моделей вариации метрики по самому определению однородности не являются финитными, поэтому при выводе лагранжевой формы уравнений Эйнштейна для однородных космологических моделей последнее слагаемое в (3.12) необходимо учитывать (исключением является однородная космологическая модель IX типа, где однородные вариации метрики финитны в силу компактности группы 50 (3)). С помощью формул (3.5) находим
/Иgnm&Rnm=一 WTWg认(力)3% + 4(/Й 叫，(3.14)
где zp° = —1/2 (gl* 30挑 + S (In I g I)*). Запишем первое слагаемае в (3.14) в виде
一 VViW\ik (0 вр»к = h[dqi + 犧屮 (3.15) Здесь и далее используется представление метрики g^ ⑴ в виде (3.11): g = ^^q^^ координата ср для моделей класса В определена формулами (3.10); для моделей класса 4 (и модели V типа) координата 屮三 0,争(屮)三 1. Коэффициенты " и % будут вычислены в дальнейшем.
Проведем необходимые преобразования оставшихся слагаемых в тождестве (3.12). В силу уравнений Эйнштейна при отсутствии движения вещества (уравнение состояния вещества р = ”£； см. (1.3)) получаем
gnm - 4" grnn&) /|7Т SgnW= Тпт/|7|^ПШ =
=-片纟师 /Й MmZ = - & VjTT (g荒 00 - kg^MQ =
=—В /ГЛ (g*goo —陶；％%)・ (3.16)
Здесь, использовано тождество g" 6g〃 = | g | 761gl = д^бд,. В синхронной системе отсчета (3.2) на основании формул (3.5) получаем
R y171 =(咫 + 国)了Г?[=-|/Й 3配6一 始成)一
-p^V\s\ —^"(见 Wg|) = %—^"厶，(3.17)
где введены обозначения 乙2 = 乂^ УI g I，Lx= Tf — VG и
『=~^ (鱼仅93)% (北х8 —感确，Vg = P^ (如0203产.(3.18)
Функция L* содержит только первые производные по времени от метрики g〃 (力)и в дальнейшем играет роль лагранжиана.
Рассмотрим систему отсчета, отличающуюся от синхронной системы (см. (3.2)) заменой времени
窑=|g (川F2 =(鱼仅дз)Е2・(3.19)
В этой системе отсчета имеем g00=(鱼9203)"，поэтому выражение (3.16) тождественно обращается в нуль. Выражение (3.14) в новой системе отсчета имеет вид
УГh g^BR师=-g1仅93)(1+》2萨⑴6匕k +
+ ^(配(鱼9203卢『.(3.20)
Вследствие инвариантности скалярной кривизны R в новой системе отсчета имеем
R /I?T =厶一 ^厶， 厶=L工(鱼倣03产.(3.21)
Для дальнейшего оказывается удобным использовать лагранжиан L = % £0. В новой системе отсчета подставим в тождество (3.12) найденные выражения (3.16), (3.20) й (3.21) и проинтегрируем по времени т от тх до т2 (при этом предполагается, что на концах отрезка интегрирования 6g订(①卜)=0); в результате получим следующее уравнение:
=j无也抠工+ \ %6屮dr, (3.22)
где /^ = 1/2总(9工0203)"/2・ Отсюда ввиду произвольности вариаций 6公,6(р получаем, что уравнения Эйнштейна для однородных космологических моделей без движения вещества эквивалентны
(3.23)(3.23)системе уравнений dLJ dL" d 5L
(3.23)
(3.23)
a%de 叫—”5(р — dp а© 一 0
Отметим, что проведенный вывод позволил исключить из уравнений Эйнштейна плотность энергии е и получить замкнутую систему дифф ер енци ал ьных уравнений (3.23), определяющую изменение метрики 貝订(力.Плотность энергии 8 выражается через^мет- рику g〃 и первые производные 点订 в силу уравнения Эйнштейна 7?\ — 1/2 К = То- Действительно, из формул (3.5) получаем
2е кй = 2(凡一手用/ш=⑶-砲/и =
，=扌(乂配6 -爐施)/Й + 心КЙ =『+元・(3.24)
Функция 哥=7’ + Vg (cm. (3.18)) является энергией для лагранжиана £] (3.17). Энергия, соответствующая лагранжиану L = 1/2 上0，в силу (3.21) имеет вид
H = T + VG=^ (%02蚤产2口‘ + %) = Е 3他203声 + ")/2.(3.25)
В дальнейшем будет показано, что эта функция является первым интегралом системы (3.23).
Перейдем к нахождению явного вида функции L и коз巾一 фициентов"^г, %. Кинетическая энергия Т согласно (3.25) и (3.18) имеет вид
T=^q^^ [(Sp 傳。ОSp(雾 Н。雾 m)]・
(3.26)
7 =7 =4(g效方)a+")/24(g效方)a+")/2Это выражение после подстановки матрицы g в виде (3.11) и проведения простых преобразований, использующих стандартные свойства следа матрицы и явный вид матриц 5s (t) (для однородных моделей класса А имеем 争(办三 1,屮三 0), переходит в окончательную формулу
7 =
7 =
4(g效方)a+")/2
4(g效方)a+")/2
(0m2 03 + %02。3 +0他203 — Ф203 (九位 1-汝02)2).
(3.27) Здесь точка означает дифференцирование по времени т, определенному согласно замене (3.19). Отметим, что кинетическая энергия 7, рассматриваемая как квадратичная форма от скоростей %, является индефинитной. Это обстоятельство существенно отличает динамические системы, описывающие однородные космологические модели в общей теории относительности, от гамильтоновых систем, изучаемых в классической механике.
Потенциальная энергия % =(019203)(1+"»2尸^ является скаляром, и поэтому достаточно вычислить значение Vq для диагональной метрики д. Тензор Риччи 声秋 для диагональной метрики в силу формул (3.6) и (3.4) имеет следующие компоненты:
2n - — 2a2外禽1+(冠 q； - (^2^2 -孔 303户)我%^,
尸22 = - 2〃2%義1 + 尸(滤國一(儿303 - nlQl)2) 03七 J，
_2(3.28)
尸33 = - 2絞 + =_ (冠9；-g鱼一儿2g2)2) 01%1，
P12 021 == a(儿 101 孔202)03* 夕 13 == P31 ^1 P23 =2 p32 ==: °。
Отсюда для однородных моделей класса 4 (а = 0) получаем
乙=4(£(Е (2 S П^~ £ 冠就)•乙=4(£(Е (2 S П^~ £ 冠就)•(3.29)(3.29)Для однородных моделей класса 5 (〃 犬 0,孔3 = 0) из находимДля однородных моделей класса 5 (〃 犬 0,孔3 = 0) из находим(3.28)(3.28)VGVG114 （鱼02,3产一"）24 （鱼02,3产一"）2(-12a2Qi^2 —(八 101 - 孔 2g2)2)・(-12a2Qi^2 —(八 101 - 孔 2g2)2)・(3.30)(3.30)
乙=4(£(Е (2 S П^~ £ 冠就)•
乙=4(£(Е (2 S П^~ £ 冠就)•
(3.29)
(3.29)
Для однородных моделей класса 5 (〃 犬 0,孔3 = 0) из находим
Для однородных моделей класса 5 (〃 犬 0,孔3 = 0) из находим
(3.28)
(3.28)
VG
VG
1
1
4 （鱼02,3产一"）2
4 （鱼02,3产一"）2
(-12a2Qi^2 —(八 101 - 孔 2g2)2)・
(-12a2Qi^2 —(八 101 - 孔 2g2)2)・
(3.30)
(3.30)
Полученные формулы (3.27) (3.29), (3.30) и определяют явный вид функции £ = 7 ——Vg для всех однородных космологических моделей без движения вещества.
Для вычисления коэффициентов ht = 1/2fej (鱼生方产/2， заданных соотношением (3.15), воспользуемся матричной записью свертки: .
戈灯2« = Sp (gT。6Р) (3.31)
и следующими выражениями:
g-i =砂厂1泡，p =(列)Tа师-
5Р =谷((涉尸/砂г + (驴)т§Р%т + (^)-ip 6(^-i). ( * )
Здесь тензор Риччи Р для метрики g, удовлетворяющей соотношениям (3.11), выражен через тензор Риччи 戸，вычисленный для диагональной метрики g и имеющий компоненты (3.28). Используя стандартные свойства следа произведения матриц, получаем
Sp (gFP) = Sp (广％戸)+ 2Sp (q^P8 (驴т)驴). (3.33)
Матрицы qTp имеют вид
_ 马
и 5(驴7)您 на основании формул
好弓2。\/0
"中220 I, 6设Г)仔=3屮出
。赤%丿
(3.28) и (3.10)
—ni 0、
0 0 .(3.34)
0 0/
Отсюда находим
2Sp (限1証(争一1疑)=222他行工一 〃④i)6q).(3.35)
Вычисление первого слагаемого в (3.33) по формулам (3.28) дает
Spg飞声)=4叫二2初3 - 2d比1或%外-2a2仿艺1 8®. (3.36)
Коэффициенты hh 九屮 входят в разложение величины —i/2(qi?2g3)("")/2g" 8尸订，поэтому в силу выражений (3.33), (3.35) и (3.36) получаем окончательные формулы
% = "2g2/Q, h2 = a2比/0,%з = -2。2%02/030，
h^ = a 51% -几202)2/Q,Q =(分0203)(1-")/2.,
Таким образом, для всех однородных моделей класса 4 (а = 0) коэффициенты %»=%,= 0. Следовательно, уравнения Эйнштейна для моделей класса А эквивалентны лагранжевой системе вида
(3.23), и поэтому соответствующая энергия Н = Т + Vg (см.
(3.25)) сохраняется: Н = const.
Для однородных моделей класса В имеет %» 抬 0, поэтому система уравнений (3.23) не является лагранжевой. Эта система эквивалентна системе уравнений Эйнштейна (при отсутствии дви- жэния вещества) при выполнении дополнительного условия
川=0 (см. (3.9)). нимает следующий
Qi
Эта условие после простого вычисления пр^ вид：
—2 А 敢93
51% —九 2«2)救他2
ф = 0.
(3.38)
V. Для исследования поведения траекторий системы (3.23) преобразуем эту систему в динамическую систему, определенную в фазовом пространстве с координатами р», q^ р^, ф. Импульсы р», р^ определяются преобразованием Лежандра:
Pi =班=而高尸^(/ + ’母)'»J " = 1，2, 3,
dL1k )
^=Ж = -恤(w$)2.
Обратное преобразование имеет вид q.2
Лагранжева система (3.23)(九月=九屮=0), определяющая эволюцию метрики однородных космологических моделей класса 4 (а = 0), после преобразования Лежандра (3.39) переходит в гамильтонову систему
• ан . дн
Ре = —班，仇=电•(3・《1)
Гамильтониан Н имеет вид
"=邕丽=7 + VG =
33
=仇我」(二泞£ [2m改S -gP嚮+
++；I? £ "/‘％%—举矶i<ji=l；I? £ "/‘％%—举矶i<ji=l(3.42)(3.42)
+
+
；I? £ "/‘％%—举矶i<ji=l
；I? £ "/‘％%—举矶i<ji=l
(3.42)
(3.42)
В случае однородных космологических моделей класса В система уравнений (3.23) после преобразования Лежандра (3.39) переходит в динамическую систему (Z = 1, 2, 3)
Рг =Рг =Рф =Рф =дн 瓦 дН д(рдн 瓦 дН д(р瓦,瓦,QiQiФФдН 丽, дн 瓦・дН 丽, дн 瓦・(3.43)(3.43)
Рг =
Рг =
Рф =
Рф =
дн 瓦 дН д(р
дн 瓦 дН д(р
瓦,
瓦,
Qi
Qi
Ф
Ф
дН 丽, дн 瓦・
дН 丽, дн 瓦・
(3.43)
(3.43)
Здесь коэффициенты 九江 h^ определяются формулами (3.37), а гамильтониан Н имеет вид
н =(5：е [2 § РМ汕幻一L Р储_
-丽豎/(12电】92 +他鱼f修)2].(3.44)
Динамическая система (3.43) рассматривается на уровне связи 7?з = 0 (3.38), которая после подстановки выражений (3.40) принимает вид
2P303 — Р& — Р2 g — Pg = 0.(3.45)
В случае однородной модели V типа (п^ = 0, 〃 = 1) без движения вещества имеем 屮=夕①三 0, в результате чего система уравнений (3.43) — (3.45) сильно упрощается.
Общим свойством динамических систем (3.41) и (3.43) — (3.45) является сохранение гамильтониана Н и наличие монотонной функции
b = ^|g|%， (3.46)
где I g I = det || g〃 ||. Существование монотонной функции (3.46) является общим свойством уравнений Эйнштейна в синхронной системе отсчета (при отсутствии однородности всюду используются частные производные по t). Приведем доказательство этого утверждения, которое фактически было получено в [84]. Производи
ная функции F по ^ имеет вид
空_叫也=叱/ту+丄= dt或26 « I g I6 \ I g I丿丿
=啖 传+4•(啮2)《噌•信成+$牆局=
=里^-(-正)，(3.47)
Здесь использованы алгебраическое неравенство (х«)2《 Зх歌S и явная формула (3.5) для тензора Риччи в синхронной системе отсчета. В силу уравнения Эйнштейна
R；=爲一告 Т = ｝焦 + Зр) + 5亡誓》0(3.48)
(здесь V2 — квадрат трехмерной скорости вещества). Поэтому из (3.47) и (3.48) получаем
黑=蹴《呼(一斶《0,(3.49)
что и означает монотонность изменения функции F в силу уравнений Эйнштейна. Отметим, что неравенство (3.49) означает, что в синхронной системе отсчета функция | g『厶 является выпуклой вверх функцией. Вследствие этого | g | не имеет локальных минимумов по 力 кроме I g I = 0, и за конечный отрезок времени t (при направлении времени в сторону убывания | g |) детерминант I g I обращается в нуль. Последнее утверждение означает неизбежность возникновения сингулярности метрики в синхронной системе отсчета.
Общий способ построения синхронной системы отсчета состоит в следующем: выбирается произвольная трехмерная пространственно-подобная гиперповерхность; из точек этой гиперповерхности выпускается пучок ортогональных к ней геодезических (времениподобных); семейство пространственно-подобных сечений определяется условиями t = const, где время t совпадает с длиной геодезической и 力=0 на исходной гиперповерхности. При общем выборе начальной гиперповерхности « = 0) пучок ортогональных к ней геодезических фокусируется в фокальных точках, при этом сингулярность метрики в построенной синхронной системе отсчета может оказаться фиктивной, т. е. исчезающей при другом выборе системы отсчета.
В случае однородных космологических моделей имеется выделенное семейство пространственно-подобных сечений ——орбиты действия трехмерной группы изометрий G. В соответствующей синхронной системе отсчета (которая и используется в дальнейшем) сингулярность метрики однородных космологических моде-
лей в общем случае является истинной. Докажем этот факт для однородных моделей в заполненном пространстве (и при отсутствии движения вещества). Из существования первого интеграла "=e (0心203)a+")/2 (ем. (3.25)) получаем 8 -> о0 при| g1 = 9心203一计 -> 0. В силу уравнений Эйнштейна скалярная кривизна R = —Tij^ = (ЗА： — 1)8, поэтому I 7? I f 8 при £ f ОО, что и означает неустранимость сингулярности решения.
Монотонная функция F (3.46) в фазовом пространстве динамических систем (3.41) и (3.43) имеет вид
許《°(3.50)許《°(3.50)尸= d（鱼耿，3）'/0 .月也1 +02，2 +戸3g3
許《°(3.50)
許《°(3.50)
山3（先gqQ
и существенно используется в следующих параграфах. Дальнейшее исследование однородных космологических моделей проводится уже отдельно в классе 4MB классе В.
§ 4. Преобразование гамильтоновой системы
Уравнения Эйнштейна для однородных космологических моделей класса 4, как показано в § 3, эквивалентны гамильтоновой системе в фазовом пространстве р^ qt (/ = 1,2, 3) с гамильтонианом
Я = ^^ где
33
т 3%) = 2 2 PiP^q%—』р緑,iVji—1
33
卩G (^i)= 2>^i^jQi^j\ 孔自・
г<；e=i
Гамильтонова ным временем вид:• дН p一寸.Гамильтонова ным временем вид:• дН p一寸.11система в новом времени т, связанном с синхрон- t по формуле dx/dt =(9№203)一"/2, имеет следующий
Гамильтонова ным временем вид:
• дН p一寸.
Гамильтонова ным временем вид:
• дН p一寸.
1
1
(%先方)(1)/2 [268分 + PM - P0)+
+ y- ^i ^jQj + nkQlt—ni^i)—(—习丄)"/仇]，(41)
痂=謂= 7^Uet[2%(p 浊 + pm-p浊)]•
Здесь X, j,加=1, 2, 3, H = T {p^ 十 1/4几(％)・
Важным свойством гамильтоновой системы (4.1) является наличие монотонной функции
Р = 4 (det (g切冲=4凸支产双吉也・(4.2)
矶J (7172^3)/3
В силу системы (4.1) имеем
雾=3(总产[-W(pg + P2g2 4- Р303)2 + T (pm) - 土dь]• (4.3)
Поскольку квадратичная форма — V3 (pm +「202 + Рз^з)? + + T (p»g j неположительно определена (имеет два отрицательных собственных значения и одно нулевое^отвечающее направлению Pi% = Р2g2 = Рз0з) и по условию 目》0, то из (4.3) следует, что dF/dt《0. Таким образом, d2 (detgf；)1/e/^2《0, следовательно, det (g〃)(力)может иметь только один локальный максимум и вообще не имеет локальных минимумов. При 歹 V 0 происходит сжатие объема det (gtj)«), а при 歹 > 0 — расширение. Оба эти процесса описываются системой (4.1) в одной области piq1 + + Р202 + Рз0з < 0, но с противоположным направлением времени (в соответствии с этим мы будем говорить о направлении времени в сторону сжатия (d (det gQJdt < 0) и в сторону расширения (d (det gij)/dt >()))•
Траектории системы (4.1) пересекают множество нулей производной dF/dt = 0 (Pig = 0202 = Рз0з, Я = 0) трансверсально всюду, кроме особых точек 7k (Ра^а = 0, 々外 =rtjqj、nkqk = 0). Следовательно, функция F монотонно убывает вдоль траекторий системы (4.1) и система (4.1) не имеет особых точек в физической области % > 0 (кроме указанных особых точек Т^ для моделей I и VII0 типов, соответствующих плоскому решению Минковского). Это означает, что стационарных однородных космологических моделей, кроме решения Минковского, не существует.
Все особые точки динамической системы (4.1) лежат на границе физической области. Наличие у системы (4.1) трехмерного многообразия вырожденных особых точек (% = @2 = 0з = 0, импульсы р» произвольны), а также некомпактность фазового пространства затрудняют исследования поведения этой системы вблизи космологической особенности, т. е. вблизи 比彰禽 = 0・
Для исследования системы (4.1) методами качественной теории дифференциальных уравнений мы построим компактное многообразие S с динамической системой на нем, которая на внутренней части многообразия S эквивалентна системе (4.1) и продолжается на границу Г многообразия S с сохранением направления времени. Граница Г не является гладким многообразием ——она состоит из нескольких граней, которые пересекаются по углам различных размерностей. При этом все особые точки имеют по крайней мере два ненулевых собственных числа.
Некоторым особым точкам соответствуют траектории, входящие в них из физической области ——внутренности многообразия S, такие точки дают степенные асимптотики решений вблизи особенности 0也203 — 0. Другие особые точки, лежащие в углах границы Г, не имеют сепаратрис, входящих в них из физической области; их сепаратрисы целиком лежат на крае многообразия S (вернее, на разных компонентах края, пересекающихся по этому углу) и идут из одной особой точки в другую. Особые точки и их сепаратрисы образуют «скелет» динамической системы: асимптотическое поведение решений] вблизи особенности определяется движением траектории вдоль сепаратрис из окрестности одной неустойчивой особой точки в окрестность другой и т. д., до попадания в окрестность притягивающей особой точки, если для рассматриваемой космологической модели такие особые точки существуют.
Перейдем к построению компактного многообразия S и динамической системы на нем. В общем случае (все nt 工 0) многообразие S имеет размерность 5 и покрыто двумя локальными картами W± и Ж2. В локальной карте W± введены координаты 勺订力：
亮=P0/G,勿=力/G, G = (ql + ^ + 或产.(4.4) Координаты st пробегают евклидово пространство /?* а координаты yt пробегают двумерную единичную сферу S?： g； + д； + 呢=1.
Для компактификации евклидова пространства Л3 на бесконечности введем локальную карту Ж2 с координатами у^ s», w:
Si = б 幽 + ^1 + 8h/2 =
力=(/+学+ 8旷1(4.5)
尸=就就 + P款+ P紡犷
Координаты Si пробегают единичную сферу S? ： s； + s； + s； = 1, а координата w пробегает полуось 0 & zp 々 8. Двумерная сфера s； + s； + s^ = 1,加=。соответствует бесконечно удаленной сфере в координатах §〃 Две системы координат sf и sf, w вместе покрывают замкнутый трехмерный шар D3. Компактное пятимерное многообразие S является подмножеством произведения D3 X 5^ и выделяется физическими условиями
力》0,必》0,Я2> 0,笃 + §2 + §з《°，(4.6)
где функция
з h2 = % h @&03)(1-*)/2 = 2 ] S們-1 +
33
+ 丁切(2 g，皿力力- £l"?叫•
Граница Г многообразия S не является гладким многообразием: Г состоит из шести четырехмерных компонент (граней), определенных условиями
Г*о： Н2 = О,Гр yi — 0, i = 1, 2, 3,
rw: zp = 0,Гт:亮 + 亮 + §3 = 0.
Компоненты границы Го, Гт лежат в «физической» области многообразия S, т. е. этим компонентам отвечают неособые состояния метрики, в то время как компоненты границы 1\, Г2? Г3, rw являются компактификацией физической области 5 по вырожденным состояниям метрики и соответствуют космологической сингулярности 比0203 — 0. Компонента границы Г^ в силу условий (4.6) является произведением 〃= А X 02, где координаты 勿 пробегают треугольник А (力》0), а координаты s» пробегают круг D2:
з
2 X sisj — 1》。，(4・7)
у
выделенный на сфере s； + s； + s； = 1,力=°, условием Н2》0.
Гамильтонова система (4.1) после преобразования в локальные
координаты W± и замены времени =7r 潔丁 имеет вид 近 2
^i =一几М (叫力 + 砍勿一^1Уд + (1 - *)^1 -毎限x —寄b嵋)， 九—8力(成§а — %),(4.8)
@ = 4G (%一同喲，
где
Hl =(处0203)(1一切2 "/G2 = 7(%) +(力)
(в (4.8) и (4.9) по индексам а, 0, у = 1, 2, 3 производится суммирование).
В локальных координатах W2 гамильтонова система (4.1) после замены времени -~ =т—тт~ принимает вид
℃2 (外做3产Г
Si = W [一々力(叫幻+ Пкик -儿窗2)+
+ si (^al/a% (怖除 + 叫价—几a%))】+
+ (1 -硕 1 — Si(S1 + $2 +S3)) %,
W = 2w[w (nayaSa(П^у^ + ПуУу — Пауа))—
一(1 一 *)(%)я2 + 4 做 一 2s/)], (4.9) 岁i = 8玖(Sa成一Sj),
d = 4G (s(x — 2sB谪).
Локальные координаты Wi удобно использовать для изучения поведения однородных космологических моделей в окрестности состояния максимального расширения §i + §2 + §з = 0, а локальные координаты Ж2 — в окрестности космологической сингулярности 01 夕2夕3 =。・
Отметим, что в системах (4.8) и (4.9) переменная G отделяется— это следствие инвариантности гамильтоновой системы (4.1) относительно группы масштабных преобразований
联：qt -> 入仇， 以：Pt f Pt, б：T ->九(1-3外/2T.(4.10)
Вследствие такого понижения порядка динамическая система (4.1) эквивалентна динамической системе (4.8) — (4.9), определенной на комцактном пятимерном многообразии S. Очевидно, что полученная динамическая система гладко продолжается на компоненты границы Г. При этом компоненты границы Го, Г1? Г2, Г3, rw являются инвариатными подмногообразиями динамической системы.
Различные компоненты границы Г пересекаются попарно и определяют трехмерные углы границы Уо, У^, У?, Уз, У《，У5，Уе, также являющиеся (кроме Ув) инвариантными подмногообразиями динамической системы. Угол границы У。= F0 n (I\ U『2 U U Г3), здесь % = 0, а координаты %, у2,狐 пробегают стороны сферического треугольника А. Углы границы 匕，У2? % проектируются в вершины треугольника А, на Yt имеем 力=1,力= = 祢 = °， т. е. У» = Г, р| I\ (Z, у, * = 1, 2, 3). Угол границы Y^ при 〃t = 0 является заполненным конусом
33
2 2 SjSj 一 2 总》0,§1 + §2 + §3《о,
i < jг=1
пополненным кругом D2 (4.7); при 勺=士1 угол У» является усеченным параболоидом
з
2 £%» —1 ——I«笫》0,w^O.
i<J
Угол границы 爲=(I\ [J % U %) П 九=。厶 X 少，здесь координаты 如，女，?/3 пробегают стороны сферического треугольника A, ip = 0, координаты s» пробегают круг D2 (4.7). Угол У4 является заполненным трехмерным тором и состоит из трех цилиндров Г£ Q TW7 склеенных попарно по их основаниям. Угол границы У5 = F0nl\； = А 义 S* здесь координаты 力,販，Уз пробегают сферический треугольник А, а координаты s» пробегают окружность Si = ОУ* м = о Угол границы У6 = Го р| р| Fm целиком лежит в «физической» области многообразия S, кроме трех исключительных точек Т?: 8k = 0, 力=0, ⑦=弘= =1//2：
Углы границы Уf также имеют пересечения в точках, где сходятся три компоненты границы (пересечение не обязательно в общем положении) Yu — Y^ Q Yt (А, 2 = 0, 1, . . ., 6; а = 1, 2, 3):
Уоа = ^^а X %а, У()4 = У05 = @厶 X S\ У°б =爲，
Уа4 = %а X О% У(Х5 = %а X S\ Y^ — Y045 = @А X SL
Здесь 今一три вершины сферического треугольника А. Имеются также -пересечения четырех компонент границы, или четырех УГЛОВ： УQQC4 = Yо(х5 = У(х45 = Уоа45 ~ ^а ^ ^1 —(叭 а)« Окружность (屮，а)(屮一угол на окружности, а — номер вершины 廟 имеет координаты ip = 0, 女=За/ s^ + s? + S3 = — ]/2, s； + s； + s； = 1 (% (仲，а)) = 0) и полностью состоит из особых точек динамической системы (4.9).
Все пересечения углов границы также являются инвариантными множествами динамической системы на многообразии S.
У многообразий S, соответствующих разным моделям, могут быть полностью тождественными некоторые компоненты границы Г, или некоторые углы, вместе с динамической системой на них. Например, система на компоненте угла 爲，соответствующей i-й вершине, определяется тем, будет ли тг» = ±1, или nf = 0 (см. (4.9)). Для всех моделей система на границе rw (w = 0) одна и та же. Все особые точки на rw вместе с их собственными числами и сепаратрисами, лежащими на Fw, одинаковы для всех моделей класса А. Для моделей с разрешимыми группами (типа I, П, VI0, VII0) система (4.7) содержит замкнутую подсистему меньшего числа уравнений, поэтому нет необходимости рассматривать эти системы на полном пятимерном многообразии S. Фактически вся информация об этих моделях содержится в моделях VIII и IX типов, поскольку динамические системы, определяющие эволюцию однородных моделей с разрешимыми группами, совпадают с системами на различных компонентах границы Г и углах 匕 для моделей IX и VIII типов.
Функция 尸(4.2) в силу инвариантности относительно масштабных преобразований (4.10) определена также на пятимерном многообразии S и в координатах (4.5) имеет вид 歹=如 + s? + + s^/3w 伍⑦拆)％. Отметим, что на компонентах границы Г17 Г2, Г3, rw имеем w @"2^3)% = 0； на компоненте границы П (勿=0) из условия Я2 =(S1 + S2 + $з)2 _ 2 — ? gUj 一 耿外)2〉 〉0 получаем ® + s? + S3)《一]/ 2 и точно так же на компоненте границы rw, поэтому на компонентах границы 几，Г1? Г2, Г3 при конечных w функция F .= —оо. Единственными точками на этих компонентах границы, в которых функция 歹#= —оо (и не определена), являются особые точки 7? (8» = 0, у» = 0, 力=九=1// 2). Из монотонности функции F (см. (4.3)) следует,
что все траектории динамической системы (4.9) для моделей IX и VIII типов при т -> оо покидают любую компактную область U внутри многообразия S, а также на компонентах границы Го, Гт (иначе функция F, ограниченная в области 47, неограниченно возросла бы по модулю). Следовательно, все траектории динамической системы (4.9) для моделей IX и VIII типов при т 8 приближаются к компонентам границы Гх, Г2, Г3, Гад, при этом F ―>• • оо •
Отметим, что локальные координаты (4.4) и (4.5) удобны прежде всего для построения компактного многообразия 5. Однако исследование особых точек, например динамической системы(4.9), для некоторых моделей приводит к громоздким вычислениям, поскольку здесь фактически имеется замкнутая система семи уравнений в переменных s?, ip, g“ определенная на уровне связей ^2 + ^2 + ^? = 1, 状 + 翦 + 成=1- Для исследования динамической системы (4.9) во многих случаях удобно преобразовать ее, после разрешения указанных связей, в замкнутую систему пяти уравнений. А именно, при gj. > 0 введем новые координаты У1：
玄玄т，т，S1$2 + S3S1$2 + S34,=4,=2 0 丁 s'2 0 丁 s'加/2加/2(4.11)(4.11)
玄
玄
т，
т，
S1
$2 + S3
S1
$2 + S3
4,=
4,=
2 0 丁 s'
2 0 丁 s'
加/2
加/2
(4.11)
(4.11)
и сделаем замену времени =―— . При 亥，0 口 Уз #= О
也 (71^253)/2| wl
введем две аналогичные системы координат У2 и 73, циклически переставив индексы 1, 2, 3. Динамическая система (4.1) — (4.9) в координатах (4.11) и времени т3 принимает вид
玄=& (?г厠2 + 〃зи3 - 〃1)谡一玄五2(&歹2他1 + 〃3方3 - 〃叫2)+ _ + 打3u3 (^1 + 〃廟2 -八3u3)) + (2玄一1)ЯЬ
厶=民2厶(图一做厶)一八3岁3 (八广一儿3歹3)应2 -
一万 2必2 (〃2歹 2 (做 + 〃3% - &歹 2)+_
+ 九3岁3 S + 出厶一〃3歹3)) + 2%方L (4.12)
U； = W [и — 1 — w2 (&歹2 (% + 〃3歹3 — 〃廟2)+___
+八3岁3 (〃1 +八2^2 一厶3岁3)) + 皿 J
u2 =g2 (1 4-方2 - 2我)，亏3 =u3 (1 一方2 - 2a), a工=q工回 一 1),
где
4! = h(9也293)a司/2-J,=丄№ 口 一 (' — ])2 — W +
+ 例2 (2孔1"2g2 + 271Pz3u3 + 2"2儿3岁2歹3 --九;——^2 - ^3^3)]-
Система координат Fx (4.11) определена при 力 > 0 м s? + s3 V О,
следовательно,访 V 0・ Из условия Нх》0 следует, что на компонентах границы Г\, Г2? Г3, rw многообразия 5, кроме трех точек Т?:鼠=0,力=0, 力=弥=2T/2 (если они принадлежат многообразию S для рассматриваемой модели), координата w ограничена по модулю. Поэтому системы координат V^ V2, V3 покрывают окрестность этих компонент границы Г (кроме малой окрестности особых точек Т?) и для изучения поведения динамической системы в этой окрестности достаточно исследовать динамическую систему (4.12). Очевидно, что компоненты границы Г2, Г3, rw в координатах^(4.11) определяются уравнениями % = О, % = 0, 访= 0 соответственно.
Космологические модели I и II типов
Решения в однородной космологической модели I типа при % = 0 (р = 0), как отмечалось в § 2, были проинтегрированы явно в работах [59, 88]. Динамика этих решений полностью определяется замкнутой подсистемой системы (4.9) при тг» = 0 (при произвольных 0《А V 1)：
瓦=(1 — к) (1 — si (si + S2 + S3)) E3, (5.1)
风=2旦^・一1. (5.1)
Система (5.1) определена в круге Р2 (4.7) (Нз^О) на двумерной сфере S2： s： + s^ + s； = 1 и эквивалентна динамической системе (4.9) на компоненте границькГ7Г (эта система одинакова для всех однородных^ моделей класса Я).
Многообразием S для модели I типа является, таким образом, круг 02. Граница круга — окружность S± s； + s； + s； = 1, S1 + S2 + S3 = —U2 (Я3 = 0) —состоит из притягивающих особых точек, которым соответствуют решения Казнера для пустого пространства:
& = &产3 А = 1- =1 + U寫.(5.2)
Система (5.1) имеет также одну отталкивающую особую точку Ф(S| = —1/]/"3), которой соответствует плоское решение Фридмана
g = & 力 4/3(l+k). (5.3)
В силу системы (5.1) имеем (s； — s2)/(s2 — S3) = const, поэтому траектории системы (5.1) являются дугами больших кругов на сфере S?, выходящими (при tf—оо) из отталкивающей особой точки Ф и входящими (при т -> +оо) в притягивающие
Рис. 7. Фазовый портрет динамической системы (5.1), определенной в круге 〃2 на единичной сфере §2 (однородная космологическая модель I типа).Рис. 7. Фазовый портрет динамической системы (5.1), определенной в круге 〃2 на единичной сфере §2 (однородная космологическая модель I типа).
Рис. 7. Фазовый портрет динамической системы (5.1), определенной в круге 〃2 на единичной сфере §2 (однородная космологическая модель I типа).
Рис. 7. Фазовый портрет динамической системы (5.1), определенной в круге 〃2 на единичной сфере §2 (однородная космологическая модель I типа).
особые точки на окружности S】(рис. 7). При этом метрика имеет асимптотики (5.3) и (5.2) соответственно.
Отсюда следует известное утверждение о том, что любое решение для заполненного пространства в модели I типа в сторону сжатия имеет асимптотику решений Казиера, а в сторону расширения —асимптотику плоского решения Фридмана, т. е. изотро- пизуется.
Рис. 8. Качественное поведение траек- торий динамической системы (5.4) на замкнутом трехмерном многообразии S для однородной космологической модели II типа.
П. Исследуем асимптотическое поведение решений в модели II типа, в которой ni= 1, n2 = п3 = 0. Система (4.42) для этой модели имеет вид
力=—広2 +(2〃 — 1)瓦， 方2 = 2%后2, W ^=w (й — i + 2Я2), 方2 =岁2(1 + % - 2й),京3 =歹3 (1 一方2 - 2立)，01 = 01 (立一1).
(5.4) Здесь
•瓦=二月(1 - (Й - I)2 —苏-归2).
Первые три уравнения (5.4) образуют замкнутую подсистему, которая совпадает с динамической системой (4.9) на угле У1 何2 =歹3 = 0) границы Г. Поэтому многообразием S для модели II типа служит угол У1, или половина шара Я2 ^ 0 (рис. 8): 国一 1尸+證十詼《1,访《0.(5.5)
Система (5.4) на S имеет следующие инвариантные многообразия: 1)石 = 0； 2) 力2 — 0； 3) 充2 = 0・ Перечислим множества
особых точек системы (5.4):
окружность:历=0, (й I)2 + ^2 = 1；
точка ①先 ш = 0, й = %, г2 = 0;
точка м：%=航3 场=一6((1一")(1+3"))仁 方2 = 0.
Собственные числа этих особых точек следующие (в скобках около собственных чисел указаны переменные, соответствующие собственным направлениям):
1)脑=一旦A(1 +立)，觴=0,(八方2)；入3=立一4，®)・
Нулевое собственное число отвечает одномерности окружности особых точек (1).
1 + 34/ 、—у—，(3・1 + 34/ 、—у—，(3・2)人=4^(1一")，®;崎=施)；
1 + 34/ 、
—у—，(3・
1 + 34/ 、
—у—，(3・
3)必2=三土占((У)(3 + 16a-3依)产，(й, W);
包)・
Отсюда следует, что дуга DFB (fZ V 1； см. рис. 8) состоит из притягивающих особых 1*очек; особая точка N、. является отталкивающей; особые точки на дуге BCD (й > 1) и ①我 неустойчивы.
Траекториям, входящим в притягивающие особые точки на дуге DFB, отвечает казнеровская асимптотика К^ обобщающая точные решения (5.2):
Qi ^ С^-^^ , 92= С212^^1^ ,依弋&扶&$)/(1+6), (5.6)
причем дуге FB отвечает асимптотика К2 (показатель р2 V 0; см. (5.2), т. е. 02 T 8, %, 0з — ° при 力 f 0), а дуге DF отвечает казнеровская асимптотика К3 (рз V 0). Отталкивающей особой точке Ni отвечает следующее точное решение (которое также обозначаем Ni), устойчивое при расширении пространства:
% ^ Cit^l^ ,我=G£(3+x)/2(i+k),禽=C^^l^\ (5.7)
Одномерной сепаратрисе, входящей в неустойчивую особую точку Ф?, отвечает асимптотика Флх (5.3) (при t —> 0).
Асимптотическое поведение решений в однородной космоло^ гической модели II типа полностью описывается следующей теоремой.
Теорема. Все метрики однородной модели II типа в заполненном пространстве имеют при сжатии пространства одну
из следующих асимптотик: ^1^ ФдХ, К?, £з・ ПргГрасширении пространства все метрики стремятся к точному решению N工(5.7). Решения в пустом пространстве имеют при сжатии асимптотики 区2，衣3，。 пРи расширении ——асимптотику К^.
Для доказательства первой части теоремы достаточно показать, что в физической области ip V 0 каждая траектория системы (5.4), не являющаяся точкой покоя N、、при направлении времени в сторону сжатия входит в одну из особых точек па дуге DFB, или ①;'.Допустим, что в начальной точке траектории г2 抬 0・ Поскольку функция 方2 вдоль траекторий системы (5.4) монотонна, то траектория прижимается к границе 笈2 = 0 многообразия S (см. рис. 8). Особые точки динамической системы (5.4) на границе 笈2 = 0 заполняют две дуги, BCD и DFB. Траектории из физической области ш < 0 не могут войти в неустойчивые особые точки на дуге BCD — траектории, входящие в эти особые точки, лежат на границе 访=0 многообразия S и поэтому не отвечают никаким физическим решениям.
На границе Я2 — 0 все траектории идут в притягивающие особые точки дуги DFB. Поэтому и каждая приближающаяся к границе Н2 = 0 траектория (т. е. все траектории внутри многообразия S) также попадает в одну из притягивающих особых точек на дуге DFB, Предположим теперь, что в начальной точке траектории 方2 = 0. Система (5.4) на плоскости 万2 = ° имеет вид
立=—w2 + (2й — 1)戸］=/-,
. — — 4 — L (5.8) 值=w(立一 1 + 2反2)=左，瓦=上/(1-伍-1)2-炉)
и определена в полукруге Я^》0,石 & 0. Легко проверить, что справедливо тождество
备仍。编+强仍套。, где及
Следовательно, согласно критерию Дюлака —— Бендиксона, система (5.7) не имеет предельных циклов. Поэтому существует единственная сепаратриса, выходящая из точки Ni (которая на плоскости 万2 = ° является отталкивающим фокусом) в виде раскручивающейся спирали и идущая в точку Ф^°. Все остальные траектории попадают в точку F.
Изменяя направление времени, получаем, что в сторону расширения все траектории из внутренней части многообразия 5, т. е. в заполненном пространстве^опапают в особую точку N»
Траектории на границе Я2 = 0 (т. е. в пустом пространстве) движутся по окружности в плоскости й, w с постоянным значением 万2, и, таким"образом? выйдя из точки (й, v^ на дуге BCD, траектория
попадает в точку (2 — й, F2) на дуге DFB. Соответствующие решения при расширении пространства имеют асимптотику (5.6), отвечающую дуге BCD, т. е. Ki (?i < 0), а при сжатии пространства ——асимптотики (5.6) К2 (卩2 < 0) или Кз (рз V 0).
Космологическая модель IX типаг)
Однородная космологическая модель IX типа с группой изометрий SO (3) (П1 = п2 = п3 = 1) по своему значению занимает исключительное положение среди остальных космологических моделей. Это обусловлено в первую очередь тем, что однородная модель IX типа является единственным возможным однородным возмущением однородного и изотропного закрытого решений Фридмана. Наиболее важным при изучении однородной модели IX типа является: исследование различных режимов поведения метрики вблизи сингулярности, исследование наиболее сложного колебательного режима поведения метрики, постановка и решение вопроса о типичных состояниях метрики вблизи сингулярности при сжатии и при расширении пространства, исследование характера изотропизации метрики при расширении пространства.
Особые точки динамической системы и степенные асимптотики решений. Динамическая система (4.9) на замкнутом многообразии S для модели IX типа имеет вид
瓦=ip [—г/i (г/； + % —勿)+ Si (Sa4a (你 + Уу — %))】+
+ (1 — ")(1 — si(S1$2 + S3)) ^2»
W = 2w[w (saya(№ + 办一％)) — (1 — A)(S1 + S2 + S3) Я2 +
+ 4 (% — 2sp涼)],(6.1) У1 = 8力(Sa№ — &),
& = 4G (s(x — 2sB 谛)，
33
где 82 = 2、$/)— 1 + ^丁(2工力力一по индексам a,
6，丫 = 1,2,3 в (6.1) производится суммирование; переменную времени т2 в системе (6.1) далее обозначаем т.
Как отмечалось в § 4, из существования монотонной функции
"1S3)
=~3—%(У У У 屮з следует, что динамическая система (6.1) не имеет особых точек внутри физической области многообразия S и все ее особые точки лежат на различных компонентах границы Г- Полная совокупность особых точек состоит из множеств шести
Основные результаты этого параграфа были получены в совместной работе автора и G. П. Новикова [12].
типов: ФЛх» NI、Tj, 4», В»,(屮，i) (рис. 9). Укажем координаты этих особых множеств и их собственные числа.
1) Треугольник особых точек Флх лежит на компоненте границы Ггр и определяется условиями: ip = 0, s» = —1/|/ 3, координаты 力，浓，Уз пробегают треугольник А, Н2 (Флх) = 1. Собст-
%
Рис. 9. Общее расположение особых точек динамической системы (6.1) на многообразии S для однородной космологической модели IX типа.
венные числа системы (6.1) на многообразии S в этих особых точках имеют вид
入 1,2 = (1 — ^) ]/ 3 (переменные s»), 九з = —2 (1 + 3〃)/ p 3 (переменная w),(6.2)
九4 5 = 0(переменные 沙力).
Обозначим Ф? стороны треугольника ФЛх (на Ф? д» = 0) и Ф?° — вершины треугольника ①пх (в ①^ Ун = %)•
Три изолированные особые точки М лежат в углах границы 爲=口「|1\ и имеют координаты
Sj = —(3 + 〃)У 2〃о, Sj = Sk = —(5 —生)〃o / 了2,
w； =8 (1 + 3心)(1 — к)唸 yi = 1, yj = Ук — 0,(6.3)
Mo = (43 + 2* + 3收尸/2.
Собственные числа системы (6.1) в особых точках N» имеют вид
九1 = 8 (1 — А) ]Л2 Mo (переменные s*
儿,3 = 4 [(1 —用土%((宁)(3 + 16为一3兴)『[J万"。
(переменные s$,访)，(6.4)
九& =九5 = —4 (1 + 3左)У 2 ио (переменные 山).
Три отрезка особых точек 7\ лежат на компонентах границы 7\ и имеют координаты % = 0, 力=% = 1/К 2, s» = 0, Sj = Sk = —1/]Л* 0《〃《оо, Я2 (ТО = °・ Од™ конец отрезка 3\, имеющий координату 必 = 0, лежит в пересечении Г^ Й Г® а второй конец — Т? (〃 = оо) в локальной карте Wi (4.2) имеет координаты 宜=§2 = §з = 0, т. е. лежит в пересечении Г1 р| р| Го П Гт. Система (6.1) в особых точках 北 имеет следующие собственные числа:
11 = —4]/2 (переменная у»),
九2,з = 士 2旷叫 九4 = —2/2 (1 — A),九5 = 0 (переменные у力
%,si,").(6.5)
Три окружности особых точек (屮，i) (0《屮《2% i = 1,2,3) являются пересечениями четырех компонент границы Г^ Q Г^ Q р| Tw р| Го и имеют координаты у/ = 3订,〃 =0. Координаты si, $2, S3 пробегают окружность S1:
S； + ^2 + S； = 1, S1 + $2 + S3 = —М 2.
Система (6.1) имеет в особых точках (屮，i) следующие собственные числа:
九1 = 2 (1 —句(si + S2 + S3) (переменные s),
九2 = 8 (sj + Sk — s%) (переменная 必)，(6.6)
九з = 8 ® — Sj), 脑=8 ® — sQ (переменные ⑦，牀).
Нулевое собственное число Х5 соответствует (так же как и Х5 = 0 для особых точек на отрезке 7f; см. (6.5)) одномерности множества особых точек (屮，i).
Окружность Si разбита точками а» 回=—2了2/3, Sj = s^ = =—1/3]^2) и & 闻=0, Sj = Sk = —1/)Л2) на шесть дуг 阮 (рис. 10); на Pffc имеем s» 之 s^ V Sj V 0・ Удобно ввести также дуги а» = р〃 * & 十 Mk 闻 < s^, sj Дуги особых окружностей (0，i) будем обозначать Q,厶)，(阮，*), где 〃 = 1, 2, 3 указывает номер окружности.
от положения особой точки наот положения особой точки наРис. 10. Окружность S】разбита на шесть дуг pj/f. Прямые, проходящие через вершины треугольника А, определяют на окружности S】отображение проектирования Т.Рис. 10. Окружность S】разбита на шесть дуг pj/f. Прямые, проходящие через вершины треугольника А, определяют на окружности S】отображение проектирования Т.
от положения особой точки на
от положения особой точки на
Рис. 10. Окружность S】разбита на шесть дуг pj/f. Прямые, проходящие через вершины треугольника А, определяют на окружности S】отображение проектирования Т.
Рис. 10. Окружность S】разбита на шесть дуг pj/f. Прямые, проходящие через вершины треугольника А, определяют на окружности S】отображение проектирования Т.
（网小）
（网j，"
(%,Q
（В/d，力）
(B油0
（吃，〃）
Ai
入2 3)
+
+
—
—
—
—
入3 （"）
—
—
—
+
+
九4 (%)
—
+
+
+
Таблица 2
Знаки собственных чисел особых точек на дугах окружностей (屮,г)
В табл. 2 указаны
знаки собственных чисел (6.6), зависящие
окружности 仲，i) и не меняющиеся внутри каждой дуги (6泳，》)•
Из таблицы следует, что все особые точки на окружностях (ф, i), кроме точек а», 仇(в которых собственные числа (6.6) меняют знак), являются невырожденными и неустойчивыми.
Три отрезка особых точек 4» и три отрезка особых точек Вг лежат в пересечении компонент границы Гf Q П Tw П Го. В этих особых точках 仇=0,或 + 成=1, "=0,/(4) = 4(生)=
=0. На отрезках 4 имеем s* = —2)/ 2/3, Sj = Sk = =—1/3)/2- Собственные числа системы (6.1) в особых
точках /( имеют вид
九I = 4)/2 (переменная 山),
九2 = —2]Л2 (1 — А) (переменные s，，(6.7)
九з = —16]Л2/3 (переменная 必)，
入4 =%5 = 0.
На отрезках Bt имеем s» = 0, Sj = s^ = —1/J2. Собственные
числа системы (6.1) в этих особых точках имеют вид
厶工 = —4 Y2 (переменная у°,
厶2 = —2 M2 (1 — к) (переменные Sj),(6.8)
Отрезки особых точек 4力 соединяют особые точки (〃》, /с), (а% у), а отрезки 区疝 соединяют особые точки (仇，fc),(仇，j), лежащие на особых окружностях (屮，〃)，(屮，/).
Приведенное вычисление собственных чисел особых точек показывает, что динамическая система на многообразии S вообще не имеет притягивающих или отталкивающих особых точек. Особые точки множеств ①nx, %力,北 м (屮,0 являются невырожденными (т. е. число нулевых собственных чисел равно размерности этих множеств) и неустойчивыми (поскольку в каждой особой точке имеются собственные числа с противоположными знаками их вещественных частей; отметим, что неустойчивость особых точек Ti проявляется только во втором порядке и следует из анализа поведения динамической системы на границе Г^; см. ниже, п. IV). Вырожденные особые точки Ai и Bt также являются неустойчивыми.
Сепаратрисы, входящие в особые точки ФЛх, N», Л, проходят (почти все) в физической области многообразия S. Решения, соответствующие этим сепаратрисам, имеют степенные асимптотики метрики при сжатии пространства (方—0). В особые точки на множестве Фдх входит трехмерная сепаратриса (отвечающая собственным числам 九з,九4,九5 (6.2)), которой соответствует квазиизот- ропная асимптотика, найденная впервые Е. М. Лифшицем и И. М. Халатниковым [48] и обобщающая асимптотику решений Фридмана:
g С#/з(нх)・ (6.9)
В особые точки TV» входит двумерная сепаратриса (собственные числа 九4,九5 (6.4)), которой отвечает асимптотика, найденная впервые С. П. Новиковым:
qt &方(if)/(1+* qj ж С#3+")/2(1+% (6.10) qk ^ CkW3+k)/2(JL+k)・
В особые точки Ti входит трехмерная сепаратриса (собственные числа 九 1,厶4,九5 (6.5)), которой отвечает асимптотика, обнаруженная впервые Таубом [47]:
Qi = Ct^, % =象 W 6・ (6.11)
Указанные степенные асимптотики решений при сжатии пространства (方—> 0) являются неустойчивыми, поскольку неустойчивы
особые точки ФЛх, Ni и 7\. Траектория динамической системы, движущаяся в окрестности сепаратрис, входящих в особые точки Флх, Nt、Т», при приближении к границе Г отклоняется от входящей сепаратрисы и начинает двигаться вдоль сепаратрисы, выходящей из этих (неустойчивых) особых точек. Все выходящие из особых точек Флх, М, Т% сепаратрисы лежат на различных компонентах границы Г. Поэтому для изучения дальнейшего движения траекторий вдоль границы Г необходимо исследовать поведение динамической системы (6.1) на различных компонентах границы Г.
Исследование сепаратрис особых точек ФЛх« Динамическая система (6.1) на компоненте границы Г^ имеет вид
§i = (1 一 ^)(1 — Sj(S1 + $2 + S3)) H3,
= 8%(2 Sa虚,(6」2)
3
где Нз = 2 $ Sy? — 1. В области Н3 > 0 в силу системы (6.12)
имеем (si — s2)/(53 — s?) = const. Поэтому траектории системы (6.12) в координатах s^ движутся на единичной сфере s； + s； + + s； = 1 по дугам больших кругов, проходящих через точку Ф ($» = —1 /|ЛЗ). При т г ——оо эти траектории выходят из особой точки Ф, при этом согласно (6.12) координаты уг стремятся к некоторым константам. Следовательно, все траектории системы (6.12) в области Н3〉0 являются сепаратрисами, выходящими из особых точек ФЛх ® = —1 /]/"§, У； + К + 戒=1, Уг > О, w = 0). Особые точки, заполняющие треугольник Флх, на компоненте границы rw являются отталкивающими, причем сепаратрисы, выходящие из особой точки @, у^ уз), заполняют некоторую двумерную поверхность.
Выясним, в какие особые точки входят при т т + 8 сепаратрисы, выходящие из особой точки (у】,у2, дз) на треугольнике ①лх・ Каждая такая сепаратриса в координатах s^ при т т + 8 стремится к некоторой (произвольной) точке s? на окружности 51: «1 + si + s| = 1, Si + S2 + $з = — 了2 (% = 0). В силу системы (6.11) имеем
仇 / У^ = —(%/力)® — s»(6.13)
Пусть особая точка (gi, g?，Уз) лежит внутри треугольника ①пх・ Тогда: 1) если s? V s；, s?， то 勿勿力 У^/yt —> ею при т оо, т. е. траектория стремится к дуге (а^, Л) на окружности особых точек 仲，4); 2) если s? = s? V s? (в этом случае s? = 0), то y^/yj = const, У"щ f g, следовательно, траектория при t f 8 стремится Н некоторой точке на отрезке В%.
Если особая точка (办,肉,Уз) лежит на стороне Ф?(仇=0) треугольника Флх, то вдоль выходящих из этой точки сепаратрис у｛三 0, при этом: 1) если s； < 4, то согласно (6.13)力/叁оо при т-> оо, т. е. траектория стремится к дуге (а;, /) + (卩订，у) (斗 V sQ на окружности особых точек (屮'/); 2) если s； = s* то у./ук = const и траектория при s? = —2]/"2/3, s^ = sк = —1/Зр2 стремится к точке гг? на отрезке Ai? а при s? = 0, s? = s* = —l/j/2 стремится к точке £± на отрезке В%、
Если особая точка (у» у2, Уз) является вершиной Ф?° (у^ = =8ki) треугольника ①пх, то выходящие из этой особой точки сепаратрисы лежат в углу границы Г (% = 6fei) и вдоль них изменяются только координаты s> Предельные (при т ~» + оо) точки этих сепаратрис целиком заполняют окружность особых точек (ф, Z).
Исследование сепаратрис особых точек (屮,г), 4办 В^, "#• Согласно (6.6) на дуге (0幫，i) (S)V s〃 V sQ имеем Xi V 0,九2 V 0, 九3 >0, A4 V 0, следовательно, из каждой особой точки (s?), лежащей на дуге (0汕 力 выходит одномерная сепаратриса, вдоль которой 痂=0, ?р = 0, s» = s? = const, и отношение 力仇 неограниченно растет. Конечная точка этой сепаратрисы лежит на Дуге ©ji, j) на окружности (ф,力.
На дуге 偉加 0 te < ^ <； Si) согласно (6.6) имеем м <； 0, 九2 V 0, %з > б ^4 >Л, следовательно, из каждой особой точки &), лежащей на дуге (0沁 力 выходит двумерная сепаратриса, вдоль которой ?р = 0, s〃 = s? = const (Н3 = 0). Динамика координат у】, у?, Уз определяется системой (6.12) и интегрируется в
явном виде:
(6.14)(6.14)
(6.14)
(6.14)
Все эти сепаратрисы, кроме одной исключительной, при т f оо входят в особую точку (s?) на дуге (卩及,у); исключительная сепаратриса, вдоль которой % = 0, входит в точку (s?) на дуге (0加 Л) (следующий сепаратрисный переход из этой точки также приводит в точку (s?) на дуге (§泳，/))•
Вдоль сепаратрис, выходящих из особой точки (b% i) (s» = 0, Sj = Sk = —1/|^2), имеем 牀/力=const,力/力 f оо при tf 8. Следовательно, эти сепаратрисы при tf оо стремятся к произвольным точкам отрезка особых точек В».
Вдоль сепаратрис, выходящих из отрезка особых точек 4» 回—_2|Л2/3, Sj = Sx = —1/3^2) (см. (6.7)), имеем 力除—
=const, yt/yj f оо при т— 8. Следовательно^ эти сепаратрисы при т — оо входят в особую точку (а% Г).
В особых точках на дуге (ai, i) = (6订，力)+ (的，X) + (自认，i) ® V Sj, sQ согласно (6.6) имеем 九3, Ji4 V °,九2 > 0； поэтому из каждой особой точки (s?), лежащей на дуге (a% i), выходит одномерная сепаратриса, вдоль которой 沙左 三 6決. Динамика координат w, $» определяется системой (6.1) на угле границы у^ = 6秋：
Si=^w(i — 4) +(1 — *)(1 — Sj(S1 + S2 + S3)) я2,
^j —必(—$讲力 + (1 — A)(l — sj (si + S2 + S3)) Я2,(6.15)
S^ = W (—SfSk) + (1 — A)(l — s左(Si + S2 + S3))反2，
io = 2w (—SjW—(1—舟(s：l+ $2 + S3) W2 + 4 ( 2 5a2s j),
3
где 耳2 = 2 2 SiS$ ——1 + w/4. Рассматриваемая сепаратриса, в силу
ее единственности, лежит на поверхности Н2 = 0. Вдоль этой сепаратрисы, согласно (6.15), Sj/s^ = const, d» > 0, следовательно, на сфере s； + sg + s； = 1 сепаратриса движется по дуге большого круга, проходящего через точку s^ = 1, S)= s^ = 0 и через начальную точку (4), лежащую на дуге а^ окружности SL Конечная точка сепаратрисы (s；) является второй точкой пересечения этого большого круга с окружностьр SL
w = 0,w = 0,3^ + 2^13+2宀? 'Sf3^ + 2^13+2宀? 'Sf一3+2]/觀'一3+2]/觀'3 + 2/2 s?'(6.16)3 + 2/2 s?'(6.16)
w = 0,
w = 0,
3^ + 2^1
3+2宀? 'Sf
3^ + 2^1
3+2宀? 'Sf
一3+2]/觀'
一3+2]/觀'
3 + 2/2 s?'
(6.16)
3 + 2/2 s?'
(6.16)
Приведем простую геометрическую интерпретацию полученного отображения Т окружности S】(начальная точка сепаратрисы отображается в конечную точку). Окружность 51 лежит в плоскости Р： Si + S2 + S3 =—/2 и вписана в равносторонний треугольник А ——пересечение плоскости Р с гранями квадранта Si《0. Точки касания S】с А разбивают окружность на три дуги а» (см. рис. 10). Рассмотрим прямую I ——пересечение плоскости sj$k — const, в которой лежит сепаратриса, с плоскостью Р. Очевидно, прямая I проходит через i-ю вершину треугольника Д, начальную точку сепаратрисы (s?), лежащую на дуге а», и конечную точку сепаратрисы (s；). Следовательно, отображение Т является проектированием дуги (a», i) окружности S1 лучами, выходящими из i-й вершины треугольника А, на две другие дуги:
3，0 + ®, i) + Qx, i) = (Pji, 0 + (。力 0 + 偉川 0 +
+ (仇，0 + 依力 0 + (%, » Т- (“，0(6.17)
(см. рис. 10).
Исследуем сепаратрисы особых точек N*. Особые точки N» (6.3) согласно (6.4) имеют двумерную входящую сепаратрису, лежащую в физической области многообразия S, и трехмерную выходящую сепаратрису, лежащую на угле границы у^ = 6心4・ Система (6.15) на угле границы ^卜= 6^ имеет одну отталкивающую особую точку N%、седловые особые точки на дуге (w, ») и в вершине Ф?° треугольника ①лх и притягивающие особые точки на дуге (6.17) окружности особых точек (*ф, г). Система (6.15) эквивалентна системе (5.4), описывающей динамику однородной космологической модели II типа, которая была исследована (в других фазовых переменных) в § 5.
Из результатов § 5 следует, что все сепаратрисы, выходящие из особой точки Nt、кроме одной, при т；т + 8 входят в (произвольные) особые точки на дуге (6.17). Исключительная сепаратриса, лежащая на инвариантном многообразии Sj = s^ (r2 = 0), выходит из особой точки NI в виде раскручивающейся спирали и при t т оо входит в особую точку Ф?°.
IV. Исследование сепаратрис особых точек Т<. В отрезок особых точек 7\, согласно (6.5), входит трехмерная сепаратриса, заполняющая инвариантное многообразие %:山=丸,Sj = s^. Пересечение этого многообразия с компонентой границы Г/ (i/f = 0) является двумерной плоскостью 必 Уг = °, Uj = Ук = 1/$2, Sj = st, заполненной сепаратрисами, входящими в особые точки Тf и соответствующими собственным числам Я4, Х5 (6.5). В окрестности особых точек 7\ все траектории системы (6.1), не лежащие на многообразии 厂小 вследствие наличия чисто мнимых собственных чисел (6.5) вращаются вокруг многообразия Vi，Покажем, что при этом на компоненте границы Гг все траектории удаляются от инвариантной плоскости £ (это и означает неустойчивость особых точек 7\). Действительно, на компоненте границы Г^ (力=0) функция Я2 (см. (6.1)) имеет вид
з
“2 = 2 \ S/j — 1? (% —勿)2》。，
3
следовательно, 2 为 s/j — 1》0, а это при si + s? + S3《 0 означает, что все s^ & 0. Вследствие этого на компоненте границы Г^ следующая функция Ь» монотонно возрастает вдоль траекторий системы (6.1):
F =4瓦—5>2+况（外一 力）2F =4瓦—5>2+况（外一 力）2"九力"九力"J 也願一引-二一二—口乙■‘III."J 也願一引-二一二—口乙■‘III.>0. (6.18)>0. (6.18)
F =4瓦—5>2+况（外一 力）2
F =4瓦—5>2+况（外一 力）2
"九力
"九力
"J 也願一引
-二一二—口乙■‘III.
"J 也願一引
-二一二—口乙■‘III.
>0. (6.18)
>0. (6.18)
Отметим, что траектории системы (6.1) пересекают поверхность Sk = Sj — множество нулей производной dF/d%2 ——трансверсально
(всюду вне плоскости 2). Поэтому вне плоскости £ каждая траектория X покидает любую конечную область U внутри компоненты границы Гг и, следовательно, стремится к углам границы 川=0,必=0 или 勿=⑦=0, ук = 1; % = % = 0,⑦=1 (иначе функция Fi вдоль траектории X в области U возросла бы неограниченно). При приближении к углам границы траектория X начинает двигаться вдоль траекторий на этих углах границы, которые, как показано выше, входят в особые точки N卜 $、①?, 4t, 5立(г|), у), (ф, №)• После конечного числа переходов вдоль сепаратрис неустойчивых особых точек траектория X входит в притягивающие (на компоненте границы Г f) особые точки на дугах (Btk, А), (§订,/) или же траектория X сама является сепаратрисой одной из неустойчивых особых точек (такие траектории не являются типичными и заполняют подмногообразия меньшей размерности).
Рассмотрим поведение траекторий системы (6.1) на инвариантной плоскости %. Система (6.1) при 力 = 0： 力 = 九 = 1/厂2, Sj = St принимает вид
& = 2 (1 — G) sw 回一s0(4sj — *),
匠=2i^ [4 - (1 -乃)® + 2sj)(4” 一 sg,
где s》+ 2s； = 1. Система (6.19) определена в области Я2 = s£4sj — —s0 > 0, или 4sj V $» V 0・ Система (6.19), очевидно, имеет отрезок притягивающих особых точек Ti'. Si == 0, 0《1Р《оо, притягивающую особую точку s» =——1/3 У2, гр = 0, лежащую на отрезке /力,и седловую особую точку Si = — 1/|/"2, гр = 0, лежащую на отрезке ①?. При t т + оо траектория st = Sj входит в особую точку на отрезке Ф?, траектории в области S)V V Si входят в отрезок 7\, а траектории в области 4sj V s» 之 Sj входят в особую точку на отрезке /^ При т f — оо все траектории системы (6.19) выходят из вырожденной особой точки Т； (s^ = =°, Vt = °, Pj = Uk = 1/У2).
V. Сепаратрисная диаграмма при сжатии пространства. Результаты проведенного исследования сепаратрис особых точек ①лх, %力 7% 厶江 笈i, СФ，0 собраны в сепаратрисной диаграмме табл. 3. В диаграмме используются обозначения: заполненный квадрат означает сепаратрису, идущую (при направлении времени в сторону сжатия) из одного множества особых точек в верхней строке в другое множество в столбце, цифра в нем означает размерность этой сепаратрисы, пустой квадрат означает отсутствие, сепаратрисы, буква Т обозначает отображение проектирования (6.16).
При направлении времени в сторону сжатия каждая траектория системы (6.1), как показано в § 4, в силу наличия монотон-
ной функции F =(S1 + S2 + S3)/必(У1У2У3)% при т f ОО прибли- я^ается к компонентам границы Г1, Г2, Г3, rw. Траектории (сепаратрисы), входящие в неустойчивые особые точки ①лх, Nt, 7\, соответствуют решениям со степенной асимптотикой метрики вблизи особенности (6.9) —— (6.11). Все остальные траектории при оо начинают двигаться вдоль траекторий системы (6.1) на компонентах границы Гх, Г2, Г3, rw, которые, как показано в пп. II—IV, идут из одной неустойчивой особой точки в другую. Таким образом, почти все траектории системы (6.1) при т -> оо движутся вдоль последовательностей сепаратрис неустойчивых особых точек и допускают поэтому сепаратрисную аппроксимацию.
Согласно сепаратрисной диаграмме (табл. 3) траектория, после конечного числа переходов (не более трех) вдоль сепаратрис особых точек ①лх, ^, Ti, начинает двигаться вдоль сепаратрис трех особых окружностей (屮，f), которые образуют замкнутую систему. Итак, траектория при тгт 8 аппроксимируется бесконечной последовательностью сепаратрис
...f (屮°, а0) f (屮 1, ai) f (G，%) f ...(6.20)
При этом (屮8+i, as+i) является однозначной функцией от (屮$, as), если 叭 лежит па дугах (仇力 i) и 偉幫，i); если же 屮$ лежит на дуге 偉沁力 то переход к (^)s+1, as+i) двузначен:
TII
偉汴，期一(6沁方)一偉加力(6.21)
Переход I осуществляется вдоль двумерной выходящей сепаратрисы, а переход II——вдоль ее граничной одномерной сепаратрисы, при этом, исходя из результата пути II, на следующем шаге мы придем к тому же результату, что давал путь I за один шаг.
Три окружности (屮,А) и выходящие из них (при направлении времени в сторону сжатия пространства) сепаратрисы образуют инвариантное относительно динамической системы (6.1) множество Р, являющееся клеточным комплексом. Одномерными клетками множества являются окружности (г|), А), двумерные клетки заполнены сепаратрисами окружностей (屮,加),лежащими в углах границы Г, трехмерные клетки заполнены сепаратрисами, лежащими на компоненте границы rw и выходящими из дуг (§沖,i) и осуществляющими переход I в (6.21).曾
Множество Р является притягивающим множеством динамической системы (6.1). Действительно, в силу существования монотонной функции F (4.2) все траектории системы (6.1) при т оо неограниченно приближаются к компонентам границы Гх, Г2, Г3, rw многообразия S. Почти все” траектории динамической системы на компонентах границыГ^ (i = 4, 2, 3) (кроме некоторых исключительных сепаратрис), в силу существования мнонотоных функций Fi (6.18) при т 8 стремятся к множеству Р, точнее, к трем
Сепаратрисная диаграмма динамической системы (6.1) для однородной
S
т?
①лx
м
Ф?
флх
3
力
3
/ = 1,2,3
2
/ = i
N$
2
/ = 1,2,3
1
/=i 土！
①；
2
7 = i
吸
1
/ — i
(Вку，〜)
4
% = 4, 2, 3 у—х± 1
3
с =力 ± 1
У =c 士 1
(Вук，*)
4
с = i 士 1
у =力
3
c = i 土 1 y =力
3
x = i
У = i 土 1
3
с = i 土 1
У =力
(В” с)
3
x -力
У =力 ±1
(% с)
3
力=1, 2, 3
2
n=力土 1
（噎N）
2
х — i
3
7 — »
2
2
/ =»
力
3 j = 1,2,3
2
7 = i
Таблица 3
каем алогической модели IX типа (при сжатии пространства)
ф?°
偉万，9
(加i)
（阻，0
(%，0
（分，方）
4
2
% = i
У = i 士 1
2
% = j
У = i
3 x — i У =A
2
х — i
у = i 士 1
2T
%=i
У =，
2
x == к
y = /
2
% =力 士 1 沙i
2
% =力 ± 1
2
x = i
У = i 士 1
2T x = i у = i
1
x = i
2
力=i
1
/ = i
1г
л = i
2
окружностям (屮，加)；на компоненте границы rw это же свойство следует из явного интегрирования динамической системы на Г^, см. п. II. Вследствие этого все траектории динамической системы на многообразии S, кроме сепаратрис, входящих в особые точки Флх, N%、Ti, при т т оо приближаются к множеству Р, которое и является поэтому притягивающим множеством.
Следуя современной терминологии притягивающее множество Р, которое не является гладким многообразием, можно назвать странным аттрактором. Отметим некоторые особенности этого странного аттрактора. Множество Р расположено на границе Г, приклеенной к физической области многообразия S, поэтому каждой отдельной траектории на Р не соответствует никаких точных решений исходной динамической системы (4.1); динамика траекторий на множестве Р весьма проста: все траектории являются сепаратрисами, идущими из некоторой особой точки (屮,а) в другую особую точку (屮 1,出).Однако траектории динамической системы (6.1) внутри многообразия S при неограниченном приближении к аттрактору Р обнаруживают весьма сложное поведение: каждая траектория при т —> оо аппроксимируется последовательностью сепаратрис (6.20), которая в общем случае всюду плотна на множестве Р. Действительно, последовательное изменение точек (*) на особых окружностях 仲，к) вдоль траектории (6.20) определено действием отображения Т на окружности 5】(проектирование из вершин описанного равностороннего треугольника А, см. п. III, (6.16), рис. 10). Отображение Т, очевидно, имеет степень ——2 (Т меняет ориентацию на S】и каждая точка имеет два прообраза). Отображение Т имеет три неподвижные точки —— точки касания окружности S】с треугольником А. Очевидно, что отображение Т всюду увеличивает длину дуги (только в точках касания | dT (<р) / d(p | = 1). Вследствие этого отображение Т имеет счетное всюду плотное на S】множество периодических точек, каждая из которых является неустойчивой. Для всех остальных точек х на S1 множество 7〃 (力)(倉=],2, . . . ) является всюду плотным на S- поэтому и общая последовательность сепаратрис (6.20) всюду плотна на аттрактдре Р. Отметим, что отображение Т имеет гладкую инвариантную меру на окружности S* которая становится сингулярной в точках касания S】с А, причем полная мера на £i оказывается бесконечной.
Важнейшим свойством аттрактора Р в динамической системе на многообразии S, описывающей однородную космологическую модель IX типа, является то, что траектории динамической системы в окрестности аттрактора 尸,несмотря на* их весьма сложное поведение, допускают детальное исследование, поскольку в се- паратрисной аппроксимации траекторий (6.20) все сепаратрис- ные переходы проинтегрированы явно. Аналогичная ситуация реализуется также и в некоторых других динамических системах.
где аттрактор расположен на границе, приклеенной к исходной физической области (см. главу VIII).
Напомним, что окружности особых точек (ф, к) находятся в углах границы У0123, где 次=必.Поэтому на траектории, движущейся вдоль последовательности сепаратрис (6.20), периодически s 登 幻，gfc, т. е. изменение метрики g^ происходит в некотором колебательном режиме. При этом при направлении времени в сторону сжатия траектория неограниченно приближается к аттрактору Р и периодически оказывается все ближе к особым окружностям 仲,")；следовательно, амплитуда колебаний величин %/” при т -> оо растет до бесконечности.
Общий колебательный режим поведения метрики вблизи космологической сингулярности был впервые открыт Белинским, Лифшицем и Халатниковым (БЛХ) [49, 50] и исследовался также Мизнером [58].
В работах [49—52] эволюция метрики (например, однородной космологической модели IX типа) вблизи сингулярности разбита на ряд так называемых «казнеровских эпох», в каждой из которых метрика аппроксимируется решениями Казнера % = Ci^^ где «казнеровские показатели» р» удовлетворяют условиям:
Pi + А + Рз = 1,夕；+ Pl + Pt = 1・ (6・22)
(6.23)(6.23)При сшивке двух соседних «казнеровских зиох» происходит смена «казнеровских показателей», причем если на одной эпохе было 夕1 V 0 V 夕2 V Рз, т。на следующей эпохе
(6.23)
(6.23)
夕I - 1+2网，/2 - 1 十 2网，?3 — - 1 + 2pi .
Часто используется представление чисел Pi V 夕2 V 夕з в параметрическом виде (и > 1)
Pi(〃) = T行k，次(〃)=不若%，p3(",)=拜书 •
Закон смены казнеровских показателей (6.23) выглядит особенно просто при использовании параметра u [5U]: если на одной каз- неровской эпохе было
Pl = Pl 3)， Pm = Р2 3), Рп = Рз 3)，
то на следующей казнеровской эпохе казнеровские показатели имеют вид:
Pl =卩2 (〃 一 1), Pm = Pl (〃 一 1), P； = Рз 3 — Л-
Покажем, что сепаратрисная аппроксимация траекторий (6.20) при выборе в (6.21) однозначного перехода по пути I изоморфна описанию колебательного режима, полученному в работе [50]. Действительно, при движении траектории вдоль сепаратрис
особых точек (0川，％) ⑸ V s/ идущих по компоненте границы rw (w — 0), координаты s» в первом приближении постоянны. При этом метрика аппроксимируется решением Казнера:
S = &”， р. = 1 +了 闕.(6.24)
Условия (6.22) выполнены в силу условий на окружностях особых точек (屮，X):
зз
S； + S^ + S； = 1,耳2 ⑸=2 » SjSj — » s? = 0.
Kii=l
Согласно сепаратрисной диаграмме табл. 3 после каждого перехода вдоль сепаратрис, идущих по компоненте границы Г\г (з = °) и входящих в особые точки 偉丸，9， следует переход вдоль сепаратрис, идущих по углу границы У» (у& = 3*), и наоборот. При таком переходе изменяются координаты sh причем конечные координаты (4) связаны с начальными (s?) отображением (4) — Т (碎)(6:16). Этот переход эквивалентен «смене казнеров- ских показателей»: легко проверить, что из соотношений (6.16) при условиях 卩=1 + М2st (6.24) следуют соотношения (6.23).
Таким образом, колебательному режиму БЛХ соответствует движение траекторий динамической системы (6.1) в окрестности странного аттрактора Р. «Длинная эра», в течение которой колеблются два собственных значения метрики g%, g> * qkl реализуется когда проекция траектории на координаты s^ находится в окрестности точек касания окружности S1 с треугольником Д, см. рис. 10. При направлении времени в сторону сжатия пространства все метрики в однородной космологической модели IX типа, кроме метрик, имеющих степенные асимптотики (6.9) — (6.11), выводят на колебательный режим, который является поэтому типичным состоянием метрики при сжатии пространства.
VI. Типичные состояния метрики на ранней стадии расширения пространства. Современные астрономические исследования показывают, что наблюдаемая расширяющаяся Вселенная является с огромной точностью изотропной. Из наблюдений реликтового излучения следует, что изотропия Вселенной наступила чрезвычайно рано, когда величина относительного красного смещения z 登 103; из данных о химическом составе вещества для момента изотропизации получается z> 1СР, см. [74]. Вследствие этого в релятивистской космологии возникает проблема теоретического обоснования изотропизации метрики на ранней стадии расширения пространства.
Область применимости уравнений общей теории относительности, как известно [74], ограничена снизу планковскими мае-
штабами времени и длины:
% = |/亨= 5,3 ・1()7 с,Zg = ]/* = 1,6・Озз см,
где G ——постоянная тяготения,方 ——постоянная Планка, с ——скорость света; при t<Z tg1 I <Z 1g принципиальную роль играют квантовые эффекты. Возможна точка зрения, что процесс формирования вблизи космологической сингулярности изотропного решения описывается неизвестной в настоящее время квантовой теорией гравитации ——и к моменту включения классической общей теории относительности решение уже является с высокой точностью изотропным и поэтому остается таковым в процессе дальнейшей эволюции.
Однако представляется более правдоподобным, что к моменту включения ОТО неизвестный квантовый механизм формирования начальных данных выбрасывает некоторую реализацию из целого ансамбля возможных состояний метрики, которые достаточно произвольны и могут быть далеки от изотропного состояния. При таком естественном предположении для исследования возможности ранней изотропизации метрики необходимо изучить эволюцию решений уравнений Эйнштейна с начальными данными из выделенного ансамбля состояний. В принципе эти решения через некоторое время в процессе расширения пространства могут оказаться сосредоточенными в окрестности некоторых специальных режимов, которые естественно назвать типичными состояниями метрики при расширении пространства. Если среди типичных состояний метрики на ранней стадии расширения пространства содержится изотропное решение Фридмана, то это означает, что в рамках классической общей теории относительности действует механизм, обеспечивающий произвольно раннюю изот- ропизацию метрики для целой области в пространстве решений.
Проведем намеченную программу для однородной космологической модели IX типа, основываясь на полном качественном исследовании динамической системы (6.1), определенной на компактном многообразии S. Как отмечалось в п. V, в работах [49, 50] впервые показано, что типичным состоянием метрики вблизи космологической сингулярности при сжатии пространства является колебательный режим. Однако отсюда еще не следует, что колебательный режим является типичным состоянием метрики на ранней стадии расширения пространства, поскольку типичные свойства поведения решений динамической системы могут необратимым образом зависеть от направления времени.
Необратимый характер типичных свойств поведения решений динамической системы (6.1) вблизи космологической сингулярности 史生方=0 (или вблизи компонент границы Г1? Г2, Г3, Fw многообразия S) наглядно виден из сравнения сепаратрисной диа-
Рис. 11. Пути на сепаратрисной диаграмме в сторону расширения перед уходом от особенности.Рис. 11. Пути на сепаратрисной диаграмме в сторону расширения перед уходом от особенности.граммы при сжатии пространства (табл. 3) и сепаратрисной диаграммы при расширении пространства (при обращении направления времени). При направлении времени в сторону сжатия пространства общая траектория динамической системы (6.1) при т оо после конечного числа переходов вдоль сепаратрис особых точек Флх, Nz, 7», 4», В» неограниченно приближается к аттрактору Р и движется вдоль последовательностей (6.20) сепаратрис особых точек 仲，а). При направлении времени в сторону расширения пространства траектория проходит особые точки в обратной последовательности. Перед уходом от особенности, или от границы Г, на обращенной по времени сепаратрисной диаграмме возможны лишь пути, изображенные на рис. 11. Здесь многоточие означает особые точки типов 仲，а), 4», В». Прямая стрелка означает сепаратрису, цифра над ней ——ее размерность; волнистая стрелка — переход по непрерывности за счет того, что одно особое множество лежит на границе другого; исклю
Рис. 11. Пути на сепаратрисной диаграмме в сторону расширения перед уходом от особенности.
Рис. 11. Пути на сепаратрисной диаграмме в сторону расширения перед уходом от особенности.
чительные точки Та следует причислить к физической области (хотя они лежат в замыкании границы, но в окрестности этих точек система может находиться долго, вплоть до момента максимального расширения). Из рис. 11 видно, что траектория может отойти от границы Г, лишь пройдя около особых точек Флх, 7\, а вакуумный колебательный режим БЛХ, основанный на сепаратрисах, лежащих в углах границы Г, из-за отсутствия сепаратрис, уходящих из этих углов в физическую область от границы Г, может, в принципе, исчезать произвольно рано. Отметим, что некоторые из путей на рис. И были найдены также (другими, преимущественно численными, методами) в работе [70].
Для точной постановки вопроса о типичных состояниях метрики на ранней стадии расширения пространства существенно следующее свойство монотонной функции F ~ d (det gt》"dt (см. (4.2)): при направлении времени в сторону расширения пространства функция I F I вдоль каждого решения убывает от оо до 0, причем 歹=0 в момент максимального расширения. Есте- ственно назвать ранней стадией расширения те состояния мет- рики, в которых 1. Отметим, что функция F инвариантна относительно масштабных преобразований (4.10) и имеет простой физический смысл: это скорость изменения среднего радиуса мира, определяемого Как | g I'/。(| g |1/с имеет размерность длины). Для решения Фридмана F = а, где а— радиус трехмерной сферы (функция!^ = d (I g |'/б)/б力 является монотонной вдоль любого,
например, неоднородного, решения уравнения Эйнштейна в синхронной системе отсчета, см. конец § 3).
Определение типичных состояний метрики на ранней стадии расширения пространства состоит в следующем. Допустим, что при J F I = Fi ^> 1 в фазовом пространстве координат g^ и импульсов р" каким-то образом заданы начальные условия (например; распределение можно взять равномерным на поверхности I F 丨= 歹1)・ Эти начальные условия в силу уравнений Эйнштейна перемещаются в фазовом пространстве и при некотором значении I 歹 I =歹2》1 (戸2 V 歹i) могут сосредоточиться в малой окрестности некоторых специальных точек фазового пространства. При этом метрика будет аппроксимироваться некоторыми специальными режимами, которые мы и будем называть типичными состояниями метрики на ранней стадии расширения пространства.
В рассматриваемой модели условие | ^ | = ^i ^> 1 означает, что начальные данные на многообразии S находятся в малой окрестности границы Г. Поэтому траектории, выходящие из этих начальных состояний, движутся вдоль сепаратрис особых точек системы (6.1), лежащих на границе Г, до попадания в окрестность особ"', точек, имеющих сепаратрисы, выходящие в физическую область многообразия S. Такими особыми точками являются точки множеств Фдх^ N» и Т^ см. рис. И. Таким образом, исходное распределение начальных данных преобразуется в распределение, сосредоточенное в окрестности особых точек ①лх, N» s Т订 При этом траектории по-прежнему находятся около границы Г, следовательно, | F | ^> 1. При движении траектории вдоль сепаратрис особых точек Флх,汽月 и 九，выходящих в физическую область многообразия S, метрика аппроксимируется степенными режимами (6.9), (6.10), (6.11), которые и являются типичными состояниями метрики однородной космологической модели IX типа на ранней стадии расширения пространства (при этом функция I F I уменьшается до значений | 歹 | 〜1).
Отметим, что время tQ выхода метрики на один из этих степенных режимов (力о больше времени действия колебательного режима) может быть сколь угодно малым и существенно зависит от самого решения (это очевидно уже из наличия масштабных преобразований (4.10)). Для всех решений время 力о W tmi где tm — время, протекающее от сингулярности (при t— 0) до момента максимального расширения пространства. Существенно, что время t0 выхода метрики на квазиизотропную асимптотику (6.9) также может быть сколь угодно малым, т. е. изотропизация решений в однородной модели IX типа может наступать (после анизотропного колебательного режима) произвольно рано. 賣
Исследование типичных состояний метрики^всех остальных однородных космологических моделей на [ранней стадии расширения пространства можно провести вполне аналогичным обра-
зом, основываясь на материале глав II и III. Такое исследование показывает, что типичные состояния метрики на ранней стадии расширения пространства мало зависят от типа модели и от состояния движения вещества. Точнее, степенные асимптотики (6.10), (6.11) в разных моделях могут видоизменяться, однако во всех моделях в число типичных состояний метрики входит квазиизот- ропная асимптотика (6.9). Это обстоятельство свидетельствует о том, что квазиизотропная асимптотика (6.9) является типичным состоянием метрики на ранней стадии расширения пространства и в общем неоднородном случае.
VII. Геометрическая модель колебательного режима. Приведем еще одно описание колебательного режима в однородной космологической модели IX типа с помощью сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы. Преобразуем систему (4.1) в координаты Рt = 2卩心力 生 и сделаем замену времени dx^dt — 1/(710203； получим следующую систему:
А =—史(幻 + 象一S)+ Ho, Gt = % (Pj + Рк — В),
(6.25) где
Яо =中(Т (?) + V (%)),(f, /, *) = (1, 2,二/.
Особые точки системы (6.25) образуют четыре двумерных множества:
Три плоскости особых точек 7\: q» =0, 0/ = g&,尸》= 0, Pj = Рк・ Плоскость Tt лежит на уровне Яо = 0. Собственные числа этих особых точек имеют вид
入 1, 2 = °,入3 = Р» (1 — “)，九4, 5 = ± 2%,九6 = 2P刀
Конус К особых точек
%=0,г(a) = 2 t?匕一 方爲=0,,Уi=l
лежащий в отрицательном квадранте координат Р” Р^ Р3. Собственные числа системы (6.25) в особых точках на конусе К имеют вид
儿,2 = 0,九з = А + А + А < 0,
% ==p2 +p3 -01=力1，% =p1 +p3 -p2 ~/2，
% =p1 + % 一p3 =/3.
Легко проверить, что
V (Pi)=力口2 + 力2/3 + 力3/1 = 0
и
p1 + 尸2 + p3 =/1 + g + N3 V 0.
Отсюда следует, что одно из /» положительно, а два других отрицательны. Если 力1 = 0, то или 力2 = °, или /з = 0 (так как Р (尸。=0), поэтому лишние нулевые собственные числа появляются только при Pi = 0, Pj =尸卜,т. е. при пересечении конуса с плоскостями Т" как и должно быть.
Из каждой точки Р；, Р；, Р； на конусе, кроме пересечений с плоскостями 7\, выходит одномерная сепаратриса, соответствующая единственному положительному собственному числу. Пусть 力1〉0, тогда вдоль этой сепаратрисы 玆=0з = °, Но = 0 и уравнения (6.25) принимают вид
#2 = 0，力3 = 0, p1 ~ ^4 G1 = % (p2 + p3 -p1)。
Поэтому вдоль сепаратрисы 尸2 =尸；=const, 尸3 =尸；=const. Сделав замену времени -^- =q、, получим уравнения
А = %，g = & + Р； — В；
их решения имеют вид
%="+毋一尸:)sin 口，P^P^+P^-(段 + 典 一 P；)cos q,
где 0 < Tj < л.
Таким образом, максимум координаты ,i вдоль этой сепаратрисы ‘ух = р； + р； _ р；=吟 п сепаратриса входит в некоторую другую особую точку на конусе К, координаты которой получаются из координат начальной точки с помощью отображения Т。：
Р； = 2 図 + &) 一 Р；, Е = &,居=&•
Это, очевидно, вторая точка пересечения прямой Р2 = Р；, Р3 = =Р； с конусом V (Р^ = 0. В этой точке ^ =—力；V 0, поэтому вдоль выходящей из нее сепаратрисы растет координата ^2 или 9з и т. д. Для траектории, движущейся вдоль некоторой последовательности сепаратрис, периодически 生 身 幻，qt и максимум величины qt за одну осцилляцию приблизительно равен /「). Следовательно, отображение Го на конусе V (Р^ = 0 определяет еще одну модель колебательного режима.
Отображение Го линейно, поэтому для всех точек конуса, лежащих на одной образующей конуса, закон чередования максимальных величин Qi один и тот же. От положения на образующей конуса зависит амплитуда колебаний, которая в целом убывает, поскольку последовательность точек (尸心)=Tq (Р?) сходится к вершине конуса Р» = 0. В силу линейности отображение Т^ определяет отображение Т, действующее на окружности S^, получаемой сечением конуса плоскостью Pi + Pi + Ps^—Y^.
Отображение 7, очевидно, совпадает с отображением (6.16), полученным в п. III при исследовании сепаратрис особых точек на окружностях (*ф,力)(см. рис. 10). Таким образом, аппроксимация траекторий динамической системы (6.25) сепаратрисами особых точек, лежащих на конусе V (7\) — 0, приводит к полученной ранее геометрической модели колебательного режима и добавляет к ней описание последовательного изменения амплитуды колебаний максимальных величин g. Это описание справедливо для любого конечного числа колебаний на траекториях системы (6.25), начинающихся достаточно близко к особым точкам конуса К.
VIII. Асимптотики модели Тауба с материей около особенности. Осесимметричная (д? = 9з) космологическая модель IX типа (модель Тауба), имеющая группу изометрий SO(2) X SO (3), была проинтегрирована Таубом в случае пустого пространства (8 = 0) [47]. Исследуем асимптотическое поведение этой модели в общем случае е〉0.
Теорема. Метрика модели Тауба при 0《"V 1 вблизи особенности %區=0 имеет (при t —> 0) одну из следующих асимптотик:
% ~ С#/з(1+к), ,2 ^ J发/*1+% (6.26)
% Q 02 —02弊+©/2(1f)， (6.27)
qt а С* % ~ const (6.28)
(очевидно, асимптотики (6.26)——(6.28) являются частными случаями асимптотик (6.9) — (6.11)).
Осесимметричная космологическая модель IX типа описывается системой (4.1) на инвариантном многообразии V: q?m q^、 夕2 三夕з・ Система (4.1) на многообразии V в координатах
77 — РМ77 — РМW =W =414P2%414P2%
77 — РМ
77 — РМ
W =
W =
41
4P2%
41
4P2%
и времени т2: -^и времени т2: -^W—,—имеет видд；%2—W—,—имеет видд；%2—
и времени т2: -^
и времени т2: -^
W
—,—имеет вид
д；%2—
W
—,—имеет вид
д；%2—
〃 =—w2 + 2v2 — 2如2 + (2й — 1) %,
ib = w; (й — 1 — 2р2 + 2H2),
2)= }и(—А —(1—〃)伍一1)2_(1 —左)w2 - Ш2),(6.29)
%=夕1 但 一 1),
Я2— 1 ^上(1 -伍一I)2 - w2 + 4p2).
Первые три уравнения (6.29) образуют замкнутую систему, определенную в однополостном гиперболоиде Н?戸 0- Траектории си-
стемы (6.29) в области 网皴〉。®〉°, ^ > 0) и времени т3 — =—-т2 Ej&t〉0) за конечное, время уходят на бесконечность по координатам 必,и; при этом величина р观% (必,и) меняет знак. Поэтому при направлении времени в сторону сжатия достаточно рассмотреть систему (6.29) в инвариантной области 必 V 0, и V 0・
В силу системы (6.29) v/v V 0, поэтому траектория движется внутри гиперболоида Я2 義 0, приближаясь к многообразию и = 0; в частности, знак и сохраняется. Асимптотическое поведение решений определяется, таким образом, системой на многообразии
и = 0, @ — 1)2 + 讲《1, “《0. (6.30)
Выпишем особые точки системы (6.29) и их собственные числа (во всех точках и = 0, % = 0)：Выпишем особые точки системы (6.29) и их собственные числа (во всех точках и = 0, % = 0)：
Выпишем особые точки системы (6.29) и их собственные числа (во всех точках и = 0, % = 0)：
Выпишем особые точки системы (6.29) и их собственные числа (во всех точках и = 0, % = 0)：
ф： й = -L ? ^ = 0,九苏= ~|~(1—加),
久—1 + 3"А% —g , ^w久—1 + 3"А% —g , ^w1 + 3儿 夕1
久—1 + 3"А
% —g , ^w
久—1 + 3"А
% —g , ^w
=3 —，Aqi = 厂，
m：立=証^,如一占了(1+3")(一),
А1+34 А1 —儿
小=-2 (5 一储，人以=一享二F，
,1 一加土 i /工与储(3 + 164—3/)
餐w =5 —归，
c: й = 2,2=0, X- =^-(1 — k),
九" ==2~，^w == ]，%1==•
Устойчивой является только особая точка 7, ей соответствует асимптотика (6.28), справедливая, таким образом, для целой области в пространстве решений. В особую точку Ф входит трехмерная сепаратриса,\ которой соответствует асимптотика (6.26) Асимптотика (6.27’ соответствует двумерной сепаратрисе, входящей в! особую точку N*. Сепаратрисы, входящие в особую точку С, лежат на нефизической границе и?三 0. Никаких физических асимптотик точке С не соответствует.
Докажем, что все траектории системы (6.29), кроме сепаратрис особых точек ①,N% С, входят в особую точку Т. Поскольку каждая траектория'системы (6.29) прижимается к многообразию (6.30), то это утверждение следует из того, что все траектории на много-
образии (6.30), кроме сепаратрис этих особых точек, входят в притягивающую особую точку Т. Для доказательства этого последнего утверждения достаточно показать, что система (6.29) на многообразии (6.30), совпадающая с двумерной системой (5.8), не имеет предельных циклов, а это уже было доказано в § 5 (для системы (5・8))・
§ 7. Исследование космологических моделей VIII, VII0
и VI0 типов
VIII тип. Компактное пятимерное многообразие S с динамической системой (4.9) на нем для модели VIII типа (?и=—1, n2 = n3= 1) было построено в § 4. Компонента границы 「m(§i + §2 §з = °) многообразия S в силу условия (см. (4.8), 81 = (§1 + §2 + §3)2 — 2 (§；+§；十 S3) +
^^ (- 2yly2 - 2]/仅3 - У1 -①2 - У3)2)?0 вырождается в одну точку Т；:即 = 0, % = 0, у? = Уз = 〃丿2) Точка Т；, таким образом, является единственной точкой «максимального расширения» в модели VIII типа. При направлении времени в сторону расширения каждая траектория динамической системы (4.9) в силу монотонности функции 耳=(“ + 亮 + §з)/ (У1У2Уз)"з (см. § 4) покидает любую компактную область внутри многообразия S (а также в окрестности границы Го, лежащей в физической области) и, следовательно, приближается к компонентам границы Гт, Г1? Г2, Г3, rw. При этом траектория может войти только в особую точку rj, поскольку функция F монотонно возрастает (при расширении пространства) и во всех точках границы 1\, Г2, Г3, rw, кроме Т；, функция F = — оо. Таким образом, при бесконечном расширении пространства в модели VIII типа изо- тропизации по компонентам метрики не происходит.
При направлении времени в сторону сжатия функция F монотонно убывает и траектории динамической системы (4.9) приближаются к компонентам границы Г17 Г2, Г3, Г^. Динамическая система на компонентах границы Гг (у】=0) и Vw (w= 0) совпадает с динамической системой (6.1) на этих же компонентах границы, которая подробно изучена в § 6. Динамические системы (4.9) на углах границы Уf (^旧 = 6^) для модели IX и VIII типов также тождественны. Системы (4.9) на компонентах границы Г3 (у2 — 0) и Г3 (沙з = 0) для модели VIII типа эквивалентны (переходят одна в другую при перестановке координат ^2 и д3). Поэтому для изучения поведения метрики модели VIII типа вблизи космологической особенности (т. е. динамической системы (4.9) в окрестности компонент границы Г1? Г2, Г3, rw) остается рассмотреть динамическую систему на компоненте границы Г2.
Динамическую систему на Г2 удобно исследовать в локальных координатах У1（4.11）. Система （4.12） для космологической модели VIII типа имеет вид
方=访2 （_弘 一 и3 _ ］） _ 近* 何2 （u3一如_1） +
+ u3 （歹2 -岁3 - 1）） + （2立一1） %, 亦=遊（一2 （1 + u2）+ % （1 + 岁3）） —_
—02炉（U2（亏3 -u2 — 1） + у3 （u2 -亨3 - 1）） + 202H2,（7.1）
w = w ［й — i — w2 （y2 句3 —歹2 — 1） + 応 @2 — Уз — 1）） + 2Я2］, u2 =歹2 （1 +02 - 2我），歹3 =u3 （1 一02 — 2立），g = % （e一1）• Здесь
"2 = 4 4 £ U - （" 一 1）2 -方之 + 炉（-（52 一歹3）2 - 2 （u2 一u3）- 1）］•
Условие положительности энергии %〉0 вырезает над каждой точкой сферического треугольника Д компактный эллипсоид в соответствующих координатах й, r2, w. Лишь над точкой уг — О, ^2 = Уз = 1/］/"2 координата w неограничена （в точке 7；访=—оо）. Компонента границы Г2 диффеоморфна произведению D3 X /, здесь 03 — половина （归 & 0） эллипсоида в координатах й, г2, 归；I представляет собой отрезок определения координаты ^3: при 0《 亨3 V е мы используем координату у3 и локальную карту 卩 1, а при Уз > е ——координату %/禽=1/^3 и локальную карту 匕・ Основания Г2 — Д3 X 0 и Z）3 X 1 — совпадают с углами У】，Уз. Динамическая система на 匕，У3 изучена выше （см. §§ 5, 6）, где, в частности, найдено, что на У» находятся отталкивающие （на 爲）особые точки N、и N3, причем из Г2 в них входит одномерная сепаратриса. Оказывается что внутри Г2 есть единственная особая точка, которая на этом многообразии является отталкивающей.
Запишем систему （7.1）, используя вместо г2 координату х = =2/ + 方2 — 1：
企=力行2 & （% + 1） +歹2仇+ 1 - 2%）］ + 2力h3 +
+ 2冰阮一 1 一弘仇+ 1）1, u3 =一亨3%，
g =行2 （_ 我一歹3 — 1） — UW2 何2 @3 — ^2 — 1） +
+ У3 仇一u3 - 1）） + （2玄-1）忆， （7."）
W = w\u - 1 — W2 何2 （U3 -亨2 - 1） + 弘（u2 一亏 3 - 1）） + 2 H2］，
u2=u2（2 +/一4e），e1=生他-1）,
/ =色卢［1_何-1）2 - （力 -2立 + 1）2 +
+ 22 （一（u2 - и3）2 - 2 何2 + %） 一 1）］ •
Особые точки системы (7.2) при Уз * 0,值=/= 0 обязаны лежать на инвариантном многообразии 力 = 0, у3 = 1,歹2 = 0・ Рассмотрим систему (7.2) на этом многообразии:
克=2遊(й - 1) + (2й 一 1)后2 =尢，
—(7.3)
办=行国 一 1 + 2述 + 2%) = /-.
Здесь
后2=3偿一5仅一4-y一飼》0.
Система (7.3) при 行 #= 0 имеет единственную особую точку М? с ко- _3 + к —а + 2〃一 3/)%
ординатами u= ~ r, w = —=——：——-—.Собственные числа системы (7.2) в этой особой точке имеют вид (в скобках указаны соответствующие собственные направления)
必 ZH^Irr^ (1 ± % (1 + 6/С产)，(瓦行)；入3 = - 2 ；t曾,(U2)； .(7・4)
1_ 1一厶 I了•(0 -加)(3 + 13曾)/
5 5-一儿 土 "5^П，у3),
3 - 2 昌，©
Таким образом, на компоненте границы Г2 особая точка М2 является отталкивающей. Отрицательным собственным числам Х3,九6 отвечает входящая в особую точку М2 двумерная неустойчивая сепаратриса. Соответствующие решения имеют при 力一＞ 0 асимптотику
g2 Q G歩，q]a q3 у 0#1//d+"). (7.5)
В этой асимптотике д? изменяется как в таубовской асимптотике (6.11), а 01 п 9з изменяются как в асимптотике (6.10).
На рис. 12 показаны особые точки динамической системы на компактном многообразии S для модели VIII типа. Вместо отрезков особых точек 7\ и ?з модели IX типа здесь появились изолированные точки ”2 и 〃з・ Остальные особые точки вместе со всеми их собственными числами совпадают в обеих моделях. Соответственно этому многие сепаратрисы также совпадают; исключением являются сепаратрисы, идущие внутри Г2 и Г3. На Г2 кроме отталкивающей особой точки М2, неустойчивых особых точек N*, N3 и некоторых дуг окружностей есть полностью притягивающие (на Г2) особые точки дуг (Р21, 1) и (023, 3). Из этого, конечно, не следует, что сепаратрисы, выходящие из М2, идут в особые точки на этих дугах, так как, вообще говоря, могут существовать инвариантные многообразия внутри Г2, на которые наматываются
сепаратрисы. Для модели IX типа отсутствие таких инвариантных многообразий на Г\ следовало из существования монотонных функций Ft (6.18). Для модели VIII типа докажем менее сильное утверждение: на компоненте границы Г2 не существует гладкого
伪.伪.Рис. 12. Особые точки динамической системы (4.9) на многообразии S для од* породной космологической модели VIII типа.Рис. 12. Особые точки динамической системы (4.9) на многообразии S для од* породной космологической модели VIII типа.
伪.
伪.
Рис. 12. Особые точки динамической системы (4.9) на многообразии S для од* породной космологической модели VIII типа.
Рис. 12. Особые точки динамической системы (4.9) на многообразии S для од* породной космологической модели VIII типа.
трехмерного инвариантного относительно системы (7.1) многообразия W, содержащего внутри себя особую точку М2- Действительно, если такое многообразие W существует, то оно пересекается с двумерным инвариантным многообразием 力=0,歹з = 1, 歹2 = 0, проходящим через точку М2, по некоторому циклу ——замкнутой траектории системы (7.3). Однако легко доказать, что система (7.3), рассматриваемая в области 瓦》0,历《0, не имеет циклов. Действительно, справедливо тождество
@好。先）丄@好。先）丄W石)W石)2访I 2订1声+工V0, где%=病.2访I 2订1声+工V0, где%=病.
@好。先）丄
@好。先）丄
W石)
W石)
2访I 2订1
声+工V0, где%=病.
2访I 2订1
声+工V0, где%=病.
Поэтому, согласно критерию Дюлака ——Бендиксона, циклов нет.
Отметим, что фазовый портрет^ динамической системы (7.3), определенной в половине эллипса Я2》0，访《0, качественно тот же, что и фазовый портрет системы (5.8) (рис. 13). Система (7.3)
Рис. 13. Фазовый портрет динамической системы (7.3) в области, выделенной физическими условиями Я2 ^ 0,而《0.Рис. 13. Фазовый портрет динамической системы (7.3) в области, выделенной физическими условиями Я2 ^ 0,而《0.% ~ С1?02 = 03。2庐・% ~ С1?02 = 03。2庐・(7.6)(7.6)
Рис. 13. Фазовый портрет динамической системы (7.3) в области, выделенной физическими условиями Я2 ^ 0,而《0.
Рис. 13. Фазовый портрет динамической системы (7.3) в области, выделенной физическими условиями Я2 ^ 0,而《0.
% ~ С1?02 = 03。2庐・
% ~ С1?02 = 03。2庐・
(7.6)
(7.6)
в рассматриваемой области имеет отталкивающую особую точку М2, притягивающую особую точку а2 (принадлежащую отрезку Л 2) с координатами й = 1/5,力=0 и две неустойчивые особые точки:
точку Ф2 (й — 1/2, й) = 0), принадлежащую отрезку ①?，и точ- ку d2 (й = 1, й; — 0), принадлежащую отрезку В2.
Все сепаратрисные переходы между особыми точками, лежащими на компонентах границы Г\ и Гад, для модели VIII типа тождественно то же, что и для модели IX типа. В частности, все сепаратрисные переходы между особыми окружностями (屮，к)
те же, что и в сепаратрисной диаграмме (табл. 3). Поэтому все выводы о свойствах колебательного режима поведения метрики модели IX типа вблизи особенности, сделан
ные в § 6, в равной мере относятся и к модели VIII типа.
Так же как и в п. VIII § 6, докажем следующую теорему.
Теорема. Осесимметричные метрики (g = 0з) модели VIII типа имеют вблизи особенности д^Яз = 0 одну из асимптотик (при 力一＞ 0) (6.26), (6.27), (6.28). При расширении пространства (力一＞ оо) все осесимметричные метрики имеют асимптотику
Рассматриваемый класс метрик описывается системой (7.1) на инвариантном многообразии у2 — ^3, v2 = 0. Эта система в новых координатах й,而，и = ^2w, % и времени т2:
dT21W
dt行(0传2禽)%心/%2
имеет вид
e=—初2 — 2№ + 2如2 +，(2立一1)瓦，
亦=行侮一 1 + 2例+ 2反2),(7.7)
方=十"一包1_4№)_(1一A№_ 1)2 —(1 一〃)产)，
仅=91 (Ё一1).
Здесь
瓦=与丄(1 - (й — I)2 一讲—4或).
Условие 笈2》° выделяет эллипсоид 他—I)2 + 谖十 ^《1, причем 访《0, и《0.
Функция ] о I в силу системы (7.7) монотонно убывает, поэтому в сторону сжатия каждая траектория прижимается к плоскости и = 0. Система (7.7) на плоскости и = 0 тождественно совпадает с системой (6.29) при и = 0. Совпадают также все собственные числа особых точек, поэтому утверждение об асимптотиках в сторону сжатия доказано в п. VIII § 6.
В обратную сторону по времени функция ] v | монотонно растет. Отсюда следует, что все физические траектории (р ^= 0, гр У= 0) входят в притягивающую (в сторону расширения) особую точку (и = — 1/2, Е = 4,方=0) (других особых точек при и 幺 0 нет). В этой особой точке X-———1/2, Xv — — fc, X-=——1/2,入欤=0. После пересчета в синхронное время 方 получаем асимптотику (7.6).
При вложении осесимметричных метрик в общие метрики модели VIII типа притягивающая в сторону расширения особая точка (и =——1/2,讶=1,齿=0) переходит в притягивающую особую точку Т；.
VII0 тип. Динамическая система (4.9) для космологической модели VII0 типа (пг — 1, п2 — 1, ^з = 0) содержит замкнутую подсистему, совпадающую с системой (6.1) для модели IX типа на компоненте границы Г3, которая поэтому и является компактным многообразием S для модели VII0 типа. Особые точки динамической системы (6.1) на Г3 показаны на соответствующей части рис. 9. Две дуги (Рз1, 1) и (032, 2) на окружностях (屮，1) и (屮，2) состоят из притягивающих на Г3 особых точек (см. табл. 2 собственных чисел на стр. 70). Решения, соответствующие траекториям динамической системы на Г3, входящим в эти притягивающие особые точки, имеют при 力一＞ 0 устойчивую казнеровскую асимптотику
幻 w &产3 Pi = 1 十 M羽. (7.8)
На дугах(р31, 1) и(р32, 2) имеем 53 ＜ — 1/J2, поэтому Рз V 0 и в указанных асимптотиках %, g2 f 0,拆一＞ оо.
При направлении времени в сторону сжатия траектории динамической системы на Г3, как показано в п. IV § 6, приближаются к границе многообразия Г3 (состоящей из трех компонент, заданных условиями yt = 3〃，у» = б/2;加=0) и начинают двигаться вдоль сепаратрис особых точек. Сепаратрисная диаграмма для модели VII0 типа (а также VI0 типа) показана в табл. 4 (обозначения те же, что и на сепаратрисной диаграмме табл. 3, столбец М3 относится к модели VI0 типа). Существенно, что любая последовательность сепаратрис неустойчивых особых точек на Г3 после конечного числа переходов заканчивается в притягивающих особых точках на дугах (0з「1) и(р32, 2) (см. табл. 4). Поэтому почти все решения в модели VII0 типа при сжатии пространства имеют устойчивую казнеровскую асимптотику (7.8). В качестве
€епаратрисная диаграмма динамической системы （4.9） для однородных
Мз
吗
Ф?°
Ni
（良3，"）
（的,力）
2
①优
1
/ = i
2
Л 2
（%3, "）
3
N = 1, 2
2
力=i
（厶и，/）
3
①=1, 2
2
/=i
（Р…）
2
x — i
3
X =力
2T
6—i
У = /
（Взк，"）
4
6 = 1,2
3
% = 1, 2
2
x = i
3
x = i
2T x — i
（0屛，"）
2
x = i
3 rr = i
2T
6=i
У = 7
（Взу，力）
2
x = i
3
x = i
2T
% = i
力3
3
2
В*
2
Таблица 4
космологических моделей VII0 и VI0 типов (при сжатии пространства)
（屍，i）
(02廿0
単尹0
偉37, 0
力3
&
北
T?
2
1
，=1,2
2
力-• - /
2 х — f У = i
2
6=/
2
6 = 1,2
2
6 = 1,2
3 6=1,2
4 6=1,2
2
3
2
промежуточной асимптотики в решениях модели VII0 типа может реализоваться любое конечное число колебаний на «длинной эре», где собственные числа метрики q± и 勺2 発 0з колеблются точно так же, как и в моделях IX и VIII типов.
Геометрическая модель колебательного режима (см. рис. 10) наглядно показывает, что эти колебавия через конечное число тагов обрываются, поскольку любая точка на окружности S^ при последовательном действии отображения (проектирования) Т попадает на дуги К или к.
Траектории динамической системы на инвариантном многообразии S] = $2, У1 = у? — 1%2 описывают осесимметричные метрики в модели VII0 типа (см. (6.19)). Среди них имеются точные решения: плоское решение Фридмана
% = 02 = &W3(i+k), 拆=C^l^\
входящее в особую точку на отрезке ①;；казнеровское решение % =装=e1抬/3, q3 = Cg^ 2/3,
входящее в особую точку на отрезке Л 3; таубовское решение, соответствующее особым точкам Т3 (и изометричное решению Минковского):
% = ,2 = &, 0з = °3产・
Во всех осесимметричных решениях модели VII0 типа трехмерные пространственные сечения (方—const) согласно формулам для кривизны Риччи (3.28) являются плоскими.
При направлении времени в сторону расширения все траектории динамической системы на Г3 (кроме особых точек Тз) в силу существования монотонной функции F3 (6.18) при 力 f 8 входят в (вырожденную) особую точку Т； (см. п. IV § 6). Однако при этом асимптотики метрики, как показывают приведенные выше точные решения, могут быть различными.
VI0 тип. Динамическая система (4.9) для космологической модели VI0 типа (〃i = 1, 〃2 — —1, 〃з = 0) эквивалентна динамической системе на компоненте границы Г3 (или Г2) для модели VI1I типа. Поэтому компактным многообразием S для модели VI0 типа является четырехмерное многообразие Г3 (Г3, как показано выше, есть произведение половины шара (угол Yj) на отрезок 7). Особые точки динамической системы на Г3 показаны на соответствующей части рис. 12. Все эти особые точки вместе с их собственными числами совпадают с аналогичными особыми точками для модели VI10 типа, только вместо отрезка 北 и Т； здесь имеется отталкивающая особая точка М3. В соответствии с этим в сепаратрисной диаграмме (табл. 4) нужно отбросить строки и столбцы Г3 и爲.
Поведение решений модели VI0 типа при сжатии пространства вполне аналогично поведению решений VII0 типа — почти все решения после конечного числа колебаний на «длинной эре» переходят на устойчивую казнеровскую асимптотику (7.8).
При направлении времени в сторону расширения особая точка Мз является притягивающей. Этой особой точке в модели VI0 типа соответствует следующее точное решение:
9з =。3 产， ％ = 02 = С^1^\ (7.9) устойчивое в сторону расширения. Асимптотика (7.9) при t ->оо справедлива для целой области в пространстве решений. Поэтому в модели VI0 типа нет изотропизации метрики при бесконечном расширении пространства.
Таблица 5
Степенные асимптотики метрики однородных космологических моделей класса 4 при сжатии пространства
Тип модели
Степенные асимптотики при t -» 0
II
VI0 VIIo VIII
IX
К2, 4,①лх，泾
Кз,①лх，"з, %1，%2
Кз，①ЛХ，Тз，的，％2
Rix，‘1，“2, М3, N1,泾，"з
①ЛХ' %' %，Тз，№, N2, N3
В заключение перечислим степенные асимптотики в сторону сжатия, имеющиеся в однородных космологических моделях класса А (см. табл. 5). В этой таблице степенные асимптотики обозначены так же, как и соответствующие им особые точки; К»—казне- ровские асимптотики (7.8), в которых отрицательный казнеров- ский показатель р» соответствует переменной д» (т. е.力一>8, 9力 9k -> 0 при t = 0).
Преобразование динамической системы для однородных космологических моделей класса В
Общие свойства динамической системы. Система уравнений Эйнштейна для однородных космологических моделей класса В, как показано в § 3, сводится к следующей динамической системе в фазовом пространстве 卩闻％ 卩屮，屮：
Система (8.1) определена на уровне связи, заданной уравнением Эйнштейна R； = 0:
Е = 2рз0з — Pl%. — Р2g2 —石 Rp = °，(8.2)
и рассматривается в области X = е (?1?2?3)(1+力/2》0. Время т связано с синхронным временем t соотношением d%/dt = =(0^2,Оз)-附％ гамильтониан Н и слагаемые hb 无屮 имеют вид
" =(直击f(?8'" +乙紛)'
332
7 = 2 £ 仍% 一 ^ 龙成一 一口；工X/， i<ji = l
Kg (%)=臺(1202比02 + (汽 101 - "222)2),
『砲扣甯，(8.3)
Константы a, n1? n2 определяют тип рассматриваемой модели согласно табл. 1 на стр. 45. Все метрики модели V типа (〃 = 1, 〃】= =〃2 = °)，алгебра Ли которой имеет шестимерную группу внутренних автоморфизмов, как показано в § 3, приводятся к диагональному виду. Поэтому для модели V типа р^ ^ 0 и условие (8.2) принимает вид 2p3q3 =卩工宣十卩2骇，в результате чего система (8.1) сильно упрощается ——сводится к двумерной системе (см. ниже, § 10).
Проверим, что в силу системы (8.1) справедливы уравнения 樂=0, 得=一上端凡(8.4)
в частности, сохраняется связь Е = 0 (8.2); на уровне этой связи сохраняется гамильтониан Н》0. Найдем выражение dH/d%:
Ш дН / дН , \ , ,дН дН , дН , +丽丽=i瓦一%Ш дН / дН , \ , ,дН дН , дН , +丽丽=i瓦一%дН дН дН /дН2a2дН дН дН /дН2a2一器一历9)+一器一历9)+(鱼%%尸(鱼%%尸—Р101) 22十02(Pl^l + рз^з—p2g2)01+03(P101+ p2g2—Р101) 22十02(Pl^l + рз^з—p2g2)01+03(P101+ p2g2[%(P3Q3 + P2?2 —-卩血(-—[%(P3Q3 + P2?2 —-卩血(-—
Ш дН / дН , \ , ,дН дН , дН , +丽丽=i瓦一%
Ш дН / дН , \ , ,дН дН , дН , +丽丽=i瓦一%
дН дН дН /
дН2a2
дН дН дН /
дН2a2
一器一历9)+
一器一历9)+
(鱼%%尸
(鱼%%尸
—Р101) 22十02(Pl^l + рз^з—p2g2)01+03(P101+ p2g2
—Р101) 22十02(Pl^l + рз^з—p2g2)01+03(P101+ p2g2
[%(P3Q3 + P2?2 —
-卩血(-—
[%(P3Q3 + P2?2 —
-卩血(-—
p①仇1%一几202)2 ] _ 4 a2%,2 E
(%1%—九202)2«——(宜儿拆尸 ,
Запишем систему (8.1) в явном виде:
^=-福施砧I)а(p2g2+p侬-e弘)+窑:竺器仇-
Яо]
，2 Г
-2a202g- "1 (几 101 -期02)-
力2 =(M1+ р303 一p2夕2)—
—-("也1 —敗02)3 鱼—2〃 弘 + 才几2 51gl — "202)—
/з=—
1
(gg%)af)/2
〔2卩3(P101 +「2,2 —「303)—
柒
1
（%效，3产"）/2
-2逹*宁倒，
Зк(рт + p^qk — Р屈)],i,/,* = !, 2,3 ,
(8.5)
瓦=一
1
Ф
(%02%产")/21
" 51% -" 2g2)2,2%直02
(支我%)ae)/2(?]%一n2g2)2 .
Здесь HQ= T + %• Система (8.5) в новых координатах
P
=Pi® и времени т0, определенном соотношением dto/dt = =(%9293)一(1-曾/2 (или dxjdt =(必仇拆)一"2), имеет вид
(九1鱼-九2要)31，丄S I
4~ -2- "101 (九101 - 〃2g2)H—2- "0,
尸2 =十
需)(5% + 九2,2).今 2
(W^i — И2^2)3I '丄'
亍"2g2 他 1% 一汝02)H2—
Яо,
户3 = 2“2дд -] 2 ”0, Qi = 2% (Pj + Pg — Р) а₽ = - a (m心1 - "2仅)2,
._ 2%外他
屮—51gl —九 202)2 ・
Здесь
(8.6)
3
% = T + % =(Р1 + Р2 + Р3)2 - 2 £ P；
曦1效
（人直一九2敢户
7=i
『(1202公02 + ("1%-"202)2).
(8.7)
102102космологические Модели еез движейия вещества [ГЛ. И
102
102
Теперь нетрудно проверить, что функция R = 2% —巴—％ — —五夕屮 является первым интегралом системы (8.1) — (8.6):
黑=2户з —А —户2—.*Ар =
11
=2~ (nlQl - "202)2 - W (- ")(及101 -几2g2)2 = 0•
1 В+А+А1 В+А+А、_ 3(小产^(B + A + PJ + TZi)-、_ 3(小产^(B + A + PJ + TZi)-Из условия Яо ^ 0 (см. (8.7)) следует, что в физической области (д»〉0) Т ФО〉0, поэтому все /\ имеют одинаковый знак и /\ 二 0. Вследствие этого в однородных космологических моделях класса В объем 句也困界/2 изменяется монотонно (поскольку (In(0心203))・=p1 +p2 十 夕3声 0). При направлении времени в сторону сжатия Рх + Р2 + Р3 < 0, следовательно, все Р» V 0. Система (8.6) имеет две монотонно возрастающие функции /\ + + 尸2 V 6 и Р3 < 0, две монотонно убывающие функции q^ и рф = 2a (2Рз — Р± —尸2)% также как и система (4.1) для однородных моделей класса А, монотонно убывающую функцию
1 В+А+А
1 В+А+А
、_ 3(小产
^(B + A + PJ + TZi)-
、_ 3(小产
^(B + A + PJ + TZi)-
d尸_ 2 dt 3 (直以%)/ .
P節投21 + 3"斤]
-5g 一九2g产- °1,
Вследствие наличия монотонных функций все особые точки динамической системы (8.6) лежат на границе физической области.
Понижение порядка динамической системы. Отметим следующие важные для дальнейшего свойства динамической системы (8.6) : 1) координата 屮 является циклической координатой этой системы; 2) на уровне сохраняющейся в силу системы связи Е = 0 импульс р(р — 2。 (2Рз — /\ ——О?) исключается из уравнений (8.6); 3) после этих исключений система (8.6) инвариантна относительно масштабных преобразований
Р^т 入Р%, qi —> Х^,То—> — т0
и содержит замкнутую подсистему пяти уравнений на переменные 尸工,？2, Рз, Qi, ,2・ Вследствие этого порядок системы (8.6) понижается до четырех.
Введем масштабно-инвариантные координаты (аналогичные координатам, использовавшимся в § 4)
(8.8)
（尸;十尸；十P行/2''，，尸;+尸；+^
Координаты yt и s» удовлетворяют двум связям:
这 + 状=1， s； + s； + s； = 1.(8.9)
Динамическая система (8.6) в координатах (8.8) и времени т” определенном соотношением
dr =(p；+尸：+ %产必2 (%,2，3)'/2，
имеет вид
2整嗯+飞)力双(_1 内(方一S2)) +
+ W [4。2yly2 (1 — Si(S1 + S2 + S3)) + ("1% — 〃2y2)X
X (九 1力一Si (Sj/ZBi — $2〃2y2))] + (1 —倉)^2 (1 一 S](Si + $2 + S3)),
R = 2 ‘贬上；工？ У1У2 (1 + S2 (Si + S2)) +
+ W [4。2yly2 (1 — S2(S1 + $2 + S3)) + (〃1，力 一 〃2浓)义
X (- "2勿一S2 ($1几1力一S2〃2y2))] + (1 - ") h2 (1 - ^2 (51 + $2 + s3)),
°з = 2 ；Е：匕肃)У1y式S3 的—S2)) +
+ W [4a2yly2 (1 —S3(S1 + S2 + S3)) + (〃1力一〃2浓)X (8.10)
X (— S3)(^1^11/1 — S2〃2y2)] + (1 — A) ^2 (1 — S3(S1 十 S2 + S3)),
w = 2w 4 (Si + s? + S3 — 2疗Sj) + 2 (si — $2)，У，У2 —
L\n1У1 -九 2沙2)
-W {4a2yly2(S1 + S2 + S3) +(S1 〃田 1 ■- S2及2y2)("传1 - 〃2g2)}—
Уг = 8力臓 1 + 族 2 — Sj),i = l,2,
©(后::缆/2户'瓦= 2a(2s3 —S2),
@3 = 4,3 (sj. + s? —• S3) •
Здесь функция
(Pj + Pl + P^)② J(几仅 1 一九2汝)2
(12〃2yly2 + (〃B1 — 〃2^2)2)・(8.11)
Динамическая система (8.10) содержит замкнутую подсистему в координатах Si，s?, S3, w^ у】,у2, удовлетворяющих двум связям (8.9), и поэтому определенную на некотором четырехмерном мно-
гообразии. Все особые точки системы (8.10) для моделей III и VI типов (/г】=1,孔2 = —1,孔3 = 0, а〉0) оказываются невырожденными. Поэтому динамику моделей III и VI типов удобно изучать на построенном четырехмерном многообразии S, которое в системе координат Wr (8.8) выделяется естественными условиями:
力》о,浓》°，〃2 > 0,力》о, S1 + S2 + S3《0,
(8.12) 就 + 就=1, s； + S： + s； = 1.
При каждом значении у】, у? условия Я2》0,力》0 вырезают в координатах s^ w ограниченное трехмерное множество Р (диффео- морфное половине трехмерного шара). Поэтому многообразие S диффеоморфно произведению 尸 X /, где / ——отрезок %》0 на окружности у； + 谓=1.
Построение компактного четырехмерного многообразия для однородной модели VII типа. В случае модели VII типа (汽1 = 1, 〃2 = 1, п3 — 0) трехмерное множество Р при у】—^2 сжимается в двумерный диск (歹@ = 0), целиком состоящий из вырожденных особенностей системы (8.10). Для разрешения этих особенностей введем систему координат W2:
Si, S2,力,浓,以z=维；-乳l2.(8.13)
Компактное многообразие S для модели VII типа покрыто локальными картами： Wr и W2 и выделяется в них условиями (8.12) (координаты z и и; на многообразии S ограничены в силу условия 五2》°)・ Система (8.10) в координатах W2 и времени т3: dx^d%^ = =l/(i/i — «2)(полагаем уг〉^2) принимает вид
瓦=8a2z2 (^i + у?) ^伍2 (― 1 + Si(Si — S2)) +
+ 力仇一У2)[4〃2y传2 (1 — S1Z) +
+ (力—У2)(% — Si®% — s2y2))] + (1 — ©(У1 — «2)%Х
X (1 — S]Z),
匈=8唸2 (力 + 狐)У1У2 (1 + S2(S1 — S2)) +
+ 必仇一У2)[4a2y田2 (1 — S2Z) +
+(У1 — ^2)(― «2 — S2(S1y1 — s2y2))] + (!—&) (% —浓)％ X x(l — 52z),
2 = 8唸3 (% +》2)У1У2(S1 — S2)+(8.14)
+ mz [- 402yly2 (%一y^Z 一 (% —如户(S1% 一
lS?52)】—(1 — ^) Я22(У1 — y^ Z — W (% —浓)2 —
k 8z [仅]—毒)(y；S1 + 就S2)-①例一У2s2)]？
w = 2力（% 一力）[4（Z - 2y版）一
—w {ia2y±y2Z + 闻力一s2y2）（У1 —浓）}—
—（1 —论）％Z） + 161m2z2 d + 圾）《传2（S1 — S2）,
〃1 = 8 d一y2）У1 （尤Si + 办2 - Si）,
小2 = 8 （% — у2）У2 （或Si + 办2 — S2）, ф = — 8 网 1y2,
@8 = 2拆（力—«2）（S1 + S2 — Z 仇—У2））・
Здесь используются обозначения
z =（S1 + S2 + S3）=手（3（S1 + $2）+ Z（Z/1 —力）），
^2 = —（S1 — S2）2 -|- -q（S1+S2 + Z （力一為））（3（S1 + S2） —Z （力一У2））—
—4q2z2 力禽—号（12a2 yly2 + （力一浓）2）・（8.15）
Координаты 叩2 （8.13） на многообразии S используются в окрестности точек % = У2 = 1/]/"2; при всех %, ^2 условие %〉0 вырезает некоторое компактное трехмерное множество Р в координатах s” z, s （на уровне связи
S； + S； + S； = S； + S^ + 手（z （力一禽）+ S] + S2）2 = 1）.
Построение компактного многообразия S для однородной модели IV типа. В случае модели IV типа （〃i = j, п2 = ==п3 =0, а〉0） трехмерное множество Р, вырезанное в координатах sb w условием Я2>0 （см. （8.11））, при （%, ^2）-^（0, 1） растягивается в двумерную полосу 2s3 — s】一s2 = 0, s； + s； + + s；=l, 0《s<oo, которая целиком состоит из вырожденных особенностей системы （8.10）. Для разрешения этих особых точек введем новые координаты W3:
, 52, ^i=^\ 力，缈21 =至二普受.（8.16）
В координатах W3 функция Я2 （8.11） имеет вид
Н2 = —（S1 — S2）2 + n（S1 + S2 + Z1»1） （3（S1 + S2） — ZiUi） —
-4a2z 打2 —个（12 吟 2 + 曲.（8.17）
Очевидно, что в окрестности точекуг = 0,浓=1 условие %》0 вырезает в координатах s】,s?, z】,wr компактное трехмерное
множество (на уровне связи
S； + S； + ^3=S1+ S2 НМ (么必 + Si + S2)2 = 1).
Компактное четырехмерное многообразие S для модели IV типа покрыто локальными координатами И\ и W3 и выделяется в них условиями (8.12). Динамическая система (8.10) в координатах Wq имеет вид
瓦=8出2脑2 (- 1 + Si(S1 - S2)) +
+ u\ [4。2浓(1 — s/i) + (1 — s；)豆驾 + (1 一 к) H2 (1 — s/i), §2 = 8〃％^2 (1 + S2(S1 — S2)) + 恥[4〃 2y2 (1 — S^ — S/^；) +
+ (1 — 论)Я2 (1 一 s^, 幺 1 = 8a喲浓(S1 — S2)+
+ 力Ml [4q2y2 (— Z]) — S15；] — (1 —及)H2ZiZi —
-刃传 1 — 4Z1 债S1 + 办2 - sj, (8.18)
% = 2也{4 (Z1 - 2族1 — 2g覩2)+ 8 (si - ^2)典如一
-W1 [4。252z1 + S岳]-(1 -及)H^Zy +
+ 4 @;S] + 祥2 - Sj)}, 血=4贝阮S1 + 弥2 — S1),»2 = 8y2 (歹如 + ylsi — $2),
Ф = — 8azi -^~,@3 = 2^3 6工 + $2 — ZiUi)・
Здесь используется обозначение
Zi =(Si + S2 + S3) = ^y (3 Gi + S2) + Zi^i).
Некоторые общие свойства динамики однородных космологических моделей Ш, IV, VI и VII типов
I. Некоторые точные решения и асимптотики метрики для моделей класса В. Компактные четырехмерные многообразия S, построенные в § 8 для моделей III, IV, VI и VII типов, являются произведениями Р X I, где Р — трехмерное ограниченное множество в координатах 5f, ггили s% z, it; s^ zn ^ь диффеоморфное половине трехмерного шара, а / — отрезок на окружности у； + + 就=1，У»》°・ Граница Г многообразия S состоит из четырех компонент: Го (Н?二。)，rw (必—0), 匕 (勿=1, ^a —。), У2(2/1 — 0, i/2 = 1)； в пересечении этих компонент находятся углы границы. Компоненты границы Г и все их пересечения являются инвариантными многообразиями динамической системы (8.10) (соответственно (8.14) или (8.18)) на многообразии S・
Полезно сравнить систему (8.10) с аналогичной системой (4.9) для однородных моделей класса 4. Как отмечалось в § 4, системы (4.9) для всех моделей класса 4 при 力=0 оказываются полностью тождественными. В противоположность этому в классе В система (8.10) при 力=0 оказывается совершенно другой (это проявление недиагональности метрики для моделей класса В) и зависит от типа модели (вследствие того, что метрика приводится к диагональному виду различными преобразованиями; см. § 3). Однако некоторые особые точки систем (8.10) и (4.9) при 力=0 совпадают, например особые точки Фдх (s, — — 1/рЗ, w = 0); совпадают также все собственные числа в этих особых точках. Поэтому во всех моделях класса В также имеются квазиизотроп- ные асимптотики при 力-> 0, имеющие коразмерность два:
g н С^^\-(9.1)
при ЭТОМ ф -> const..
Система (8.10) на компонентах границы Ух при пг #= 0 тождественно совпадает с системой (4.9) (или (6.1)) на соответствующих углах Уi многообразия S для моделей класса 4. Поэтому на многообразии S для моделей класса В также имеются окружности особых точек 仲，i)闻 + s2 + s3 — —了2, s； + s； + s； = 1,勿= =谷彳卜,w = 0), изолированные особые точки N» (6.3) и точки Ф®° —— концевые точки отрезка Флх(У； + У； = 1) (здесь i = 1, 2 для моделей III, VI и VII типов и i = 1 для модели IV типа). Совпадают также все собственные числа этих особых точек. Поэтому в моделях класса В также реализуются (неустойчивые) асимптотики TV^, имеющие коразмерность три:
qi Q C#Lk)/(l+Q分 -e2搜+母2(1+%
拆 Q C3t^^\ ij - 1, 2,(9.2)
При ЭТОМ ф const при 力一> 0・
Две дуги (Р31, 1)(53 V Si V S2)и (Р82, 2) (s3 V s2 V s0 на окружностях особых точек (屮,1) и (®, 2) (для модели IV типа только дуга(р31, 1)), так же как и для моделей VI0 и VII0 типов (см. § 7), состоят из притягивающих в сторону сжатия особых точек. Решения, соответствующие траекториям, входящим в эти особые точки, имеют при 力一> 0 устойчивую казнеровскую асимптотику метрики
qi 七 &产％р» = 1 + }^2si, ф -> const. (9.3)
Перечисленные особые точки лежат на границе физической области многообразия S, и поэтому им соответствуют не точные решения, а асимптотики метрики. Ряд точных решений в однородных моделях класса В можно найти, жследуя особые точки в физической области W =/= 0, 力，0 многообразия S. В дальнейших
вычислениях удобно разрешить связи (8.9) и перейти (в физической области) к новым координатам
〃 =2%一气凸=2〃 =2%一气凸=2» — ^2 — g3» — ^2 — g371 /p1 -尸2 р= 4 —-/=4 ?马凸二%.=471 /p1 -尸2 р= 4 —-/=4 ?马凸二%.=4%苏"%苏"一4 S1 — S22S3 - S] - s2一4 S1 — S22S3 - S] - s2力苏"力苏"=，2 =沙2=，2 =沙2Динамическая система (8.6) — (8.10) в координатах и времени q = 2q имеет вид» =卯，方= “0 + 2(后一时2)—2。2力廿：W ,X = xu — 2(П1 —出у)2,方=“2 + 〃； _ 〃芻2 _ 4〃2y _ 歩鼻”爲丄 + Яз.Динамическая система (8.6) — (8.10) в координатах и времени q = 2q имеет вид» =卯，方= “0 + 2(后一时2)—2。2力廿：W ,X = xu — 2(П1 —出у)2,方=“2 + 〃； _ 〃芻2 _ 4〃2y _ 歩鼻”爲丄 + Яз.(9.4)(9.4)(9.5)(9.4)(9.4)(9.5)
〃 =2%一气凸=2
〃 =2%一气凸=2
» — ^2 — g3
» — ^2 — g3
71
/p1 -尸2 р= 4 —-
/=4 ?马凸二%.=4
71
/p1 -尸2 р= 4 —-
/=4 ?马凸二%.=4
%苏"
%苏"
一4 S1 — S2
2S3 - S] - s2
一4 S1 — S2
2S3 - S] - s2
力苏"
力苏"
=，2 =沙2
=，2 =沙2
Динамическая система (8.6) — (8.10) в координатах и времени q = 2q имеет вид
» =卯，
方= “0 + 2(后一时2)—2。2力廿：W ,
X = xu — 2(П1 —出у)2,
方=“2 + 〃； _ 〃芻2 _ 4〃2y _ 歩鼻”爲丄 + Яз.
Динамическая система (8.6) — (8.10) в координатах и времени q = 2q имеет вид
» =卯，
方= “0 + 2(后一时2)—2。2力廿：W ,
X = xu — 2(П1 —出у)2,
方=“2 + 〃； _ 〃芻2 _ 4〃2y _ 歩鼻”爲丄 + Яз.
(9.4)
(9.4)
(9.5)
(9.4)
(9.4)
(9.5)
Здесь функция Я3 имеет вид
я3 = ~^~ [3^2 + ^^—tvx—3"u+й力-
-运疗舛~ 12盟-(几1 - ^)2] •
Система (9.5) при у #= 0 имеет одномерное множество особых точек £? с координатами (у — параметр)
и = 0,£=色丄二終)2 ,и = 2аУу.(9.6)
В этих особых точках % = 0.
В случае однородной модели IV типа других особых точек у системы (9.5) — (8.10) в области у У= 0, w# 0 нет. Для моделей III, VI и VII типов кроме линии Ly имеются еще особые точки при у = 1 (их мы рассмотрим отдельно в § 10). Особые точки Ly определяют следующие точные вакуумные решения в моделях III, IV, VI и VII типов:
03 =g3产，屮03 =g3产，屮In tIn t+ фо.+ фо.(9・7)(9・7)
03 =g3产，屮
03 =g3产，屮
In t
In t
+ фо.
+ фо.
(9・7)
(9・7)
Эти точные решения для моделей III, VI и VII типов впервые были найдены в работе [70], где указаны также приближенные оценки области их устойчивости.
Устойчивость решений (9.7) можно исследовать полностью
(и найти точные границы (по параметру у) области устойчивости) на основе вычисления собственных чисел особых точек (9.6). Выпишем характеристическую матрицу системы (9.5)
У
и
X
и
一九
У
0
0
У
2 一丁恤
2а Vу — X»
—4如 з ~К7
一 щ2
0
X
4^2.壮2
0
2a р y -九
呜 аУу
и
1 —к
—4q2 +4 X
x(-⑵2一阴-
1
一丁恤
（一乃伽2户.
+ 12a У 力
2атпз U5 т2
^аУу — к —
——(12qU/ +
«/у /
小仇）=I話一砌
в этих особых точках:
Здесь
^1 = ^1 + 4〃1" 2y + 3r4y2,成2 = 孔1 - 孔2^,"3 = 儿1 + 儿2y.
Вычисление определителя этой матрицы удобно производить, упростив ее сначала с помощью следующих элементарных операций (каждая последующая операция применяется к результату предыдущей):
к 4-й строке прибавим 2-ю строку, умноженную на (—1/2);
ко 2-му столбцу прибавим 4-й столбец, умноженный на 1/2;
к 4-й строке прибавим 1-ю строку, умноженную на (— а / ру);
к 1-му столбцу прибавим 4-й столбец, умноженный на (а 37).
В результате этих операций, не меняющих определителя, исходная матрица преобразуется в матрицу, представленную на стр. 110. Характеристические корни 九止 полученной матрицы (det (4； (М)) = 0), являющиеся собственными числами особых точек £у, имеют вид
九1 =。，九2,з ~ 2aMУ ± 2» (Mi + 儿2«),
34〃У7一F (12〃]/7 + 崎产)•(9・8)
У
и
X
и
У
一 k
У
0
0
V
2
一丁恤
2а /у - X
4叫у 5
т2
0
з
% 丄 5%)2
4 М 2m2 + % i"二
(加2户
2a М〃
2аУу-к
Е)2 а %
м
0
0
0
厂一1 - k
4а у У 一九一—4— X
X (12а/г/+ ау-)
Нулевое собственное число 九工=0 отвечает одномерности множества особых точек Ly. Собственные числа 筛瓜 относятся к решениям в пустом пространстве (& = 0). Вследствие того, что вещественные части Х2>3 положительны, особые точки Ly (9.6) и соответствующие им решения (9.7) являются устойчивыми (при всех у〉0) в пустом пространстве при направлении времени в сторону расширения.
Характер устойчивости особых точек (9.6) и соответствующих им решений (9.7) в заполненном пространстве определяется знаком 九к При у достаточно малом, очевидно, Х4 < 0 для всех рассматриваемых моделей, т. е. особые точки (9.6) и решения (9.7) неустойчивы. Граница области устойчивости определяется равенством 入4 = 0, или ・
В случае модели VII типа (孔1 = 1, п2 = 1) уравнение (9.9) при всех значениях параметров а,论 имеет два корня: у。V 1 и 1/у。； в случае модели IV типа (汽工=1, п2 = 0) это уравнение имеет один корень： Ji = (1 —论)/4。2 (1 + 3论)；в случае моделей III и VI типов (/г】=1, п2 = —1) уравнение (9.9) не имеет вещественных корней, если
-簪士抖 <1； (9.10)
если же выполнено противоположное неравенство, то уравнение (9.9) имеет два корня: yQ V 1;и 1/у。；
Устойчивые при направлении времени в сторону расширения решения (9.7) (особые точки Ly (9.6)) определяются условиями
(入4 > 0)： Для модели VII типа Уо V У V 1/%； для модели IV типа 力 V У； для моделей III и VI типов Уо V У V 1/%, если а2 (1 + 3")7(1 —加)〉1, в противоположном случае все решения (9.7) неустойчивы.
Отметим, что точные решения (9.7) при 乂 工 1, очевидно, анизотропны при 力 т оо • Поэтому наличие в однородных моделях класса В (кроме модели V типа) устойчивых при расширении пространства асимптотик (9.7) означает, что в этих моделях изо- тропизация метрики возможна только на промежуточной стадии эволюции решения; при 力 т оо метрика согласно (9.7) становится анизотропной.
Решения (9.7) дают также асимптотики при направлении времени в сторону сжатия. Согласно формулам собственных чисел (9.8), асимптотики (9.7), для которых у принадлежит области неустойчивости 九4 V 0, имеют коразмерность два, а асимптотики, для которых у принадлежит области устойчивости Х4〉0, имеют в сторону сжатия коразмерность три.
II. Колебательный режим на длинной эре в моделях класса В. Отметим сначала некоторые свойства динамической системы (8.10), связанные с недиагональностью метрики
/gll gl2 U \
gej = I ^21 g22 ° j (9.11) 0 g33 丿
моделей класса 5. Покажем, что в случае модели VII типа почти все траектории системы (8.10) никогда не пересекают поверхность у± = у?，Для этого запишем уравнения Эйнштейна как динамическую систему в восьмимерном фазовом пространстве g〃， 纟订・ Траектория системы (8.10), пересекающая поверхность 力=肉， перейдет в траекторию, пересекающую подмногообразие WQ матриц с двумя равными собственными числами. (Координаты Qi,勺2, 4з в случае модели VII типа являются собственными числами метрики 且订,поскольку метрика приводится к диагональному виду с помощью ортогонального поворота на угол ср; см. § 3.) Многообразие % матриц с равными собственными числами % = =^2 имеет размерность два, поэтому в пространстве g»j,纟订 ему соответствует шестимерное многообразие ^ (скорости g 订 произвольны) и траектории динамической системы, проходящие через многообразие %, заполняют некоторое подмногообразие размерности семь в восьмимерном фазовом пространстве g^, g〃. Поэтому почти все траектории динамической системы не лежат на этом многообразии, т. е. не пересекают поверхность % =浓・ Следовательно, для исследования общих решений модели VII типа достаточно изучить систему (8.10) в области %〉％•
В случае однородных моделей III, IV и VI типов метрика g^ приводится к диагональному виду с помощью преобразований
(сохраняющих коммутаторы), которые не являются ортогональными преобразованиями (например, для моделей III и VI типов это гиперболический поворот). В этом случае координаты д】и ^2 не являются собственными числами матрицы g^ (9.11) и, как нетрудно проверить, подмногообразие матриц g^, для которых §工= =^2, имеет размерность три и поэтому целая область в пространстве решений пересекает многообразие д〔 = ^2. Этим объясняется существенное отличие динамики указанных моделей от динамики модели VII типа —— здесь амплитуда колебаний величины у = %/% может быть неограниченной, в то время как в модели VII типа у V L
В рассматриваемых однородных моделях класса В, так же как и для моделей VI0 и VII0 типов класса 4, имеется промежуточный режим поведения метрики перед выходом (при сжатии пространства) на устойчивую казнеровскую асимптотику (9.3)— колебательный режим на длинной эре (колеблются 鱼，92*9з), который обусловлен дрейфом траектории системы (8.10) вдоль сепаратрис неустойчивых особых точек окружностей (屮，4) и (屮，2). Однако в классе 5 колебательный режим изменения величин 91，02, 9з 口。указанным выше причинам существенно зависит от типа модели.
Сепаратрисы неустойчивых особых точек (屮,i) лежат на компонентах границы Yi и Tw (w = 0). Система (8.10) на компонентах границы Yi (кроме К2 Для модели IV типа) тождественно та же, что и для моделей класса Л, и изучена в § 6. Система (8.10) на компоненте границы Г^ имеет вид
^1 = Z? (—1 + S] % — s2)) + (1 — ")% (1 — 51 (51 + ^2 + S3)),
52 = Z2 (1 +s 2(S1 — $2)) + (1 — к) Н2 (1 — $2(S1 + S2 + S3)),
(9.12)
晶=Z?(S3(S] — S2)) + (1 —乃)H2 (1 — S3(S] + S2 + S3)),
У1 = 8力匂瓦 + 隗2 — Si), »2 = 8y2 比Si + 战2 — S2)・
33334。2 (2sз - Si - S2)2 %g2 (遇"一孔2g2户4。2 (2sз - Si - S2)2 %g2 (遇"一孔2g2户Z2 =Z2 =8“2 (方3 — Si — S2)2 5仅 1 + 几2y2)У伍2 (枕1% 一出汝)38“2 (方3 — Si — S2)2 5仅 1 + 几2y2)У伍2 (枕1% 一出汝)3Здесь
3
3
3
3
4。2 (2sз - Si - S2)2 %g2 (遇"一孔2g2户
4。2 (2sз - Si - S2)2 %g2 (遇"一孔2g2户
Z2 =
Z2 =
8“2 (方3 — Si — S2)2 5仅 1 + 几2y2)У伍2 (枕1% 一出汝)3
8“2 (方3 — Si — S2)2 5仅 1 + 几2y2)У伍2 (枕1% 一出汝)3
(9.13)
Для определенности рассмотрим сепаратрисы особых точек окружности 仲，1) (система (8.10) для моделей III, VI и VII типов не меняется при перестановке индексов 1, 2, а в случае модели IV типа имеется только одна окружность (屮，1)). Согласно табл. 2 знаков собственных чисел на стр. 70 из каждой точки (s；, s；, s^)
Рис. 14. Движение сепаратрис особых точек окружности (礼 1) в координатах S], S?, S3.Рис. 14. Движение сепаратрис особых точек окружности (礼 1) в координатах S], S?, S3.
Рис. 14. Движение сепаратрис особых точек окружности (礼 1) в координатах S], S?, S3.
Рис. 14. Движение сепаратрис особых точек окружности (礼 1) в координатах S], S?, S3.
дуги * VS1((021，4)卄(023，1) + (0 32，1))"окружности (ф, 1) вы- ходит^одномерная сепаратриса, идущая по углу границы Гш 门 Г| Го: “ = 0, 〃2 = 0. Вдоль этой сепаратрисы в силу системы (9.12) имеем]
• (■Ч^)；。， ，= 8y(s】一S2)' ?=崇・ (9.14)
Следовательно, в координатах s^ s?, S3 сепаратриса движется на
сфере s； + s? + s； = 4 по дуге ус большого круга, вырезанного плоскостью S]十 S2 = CS3 (рис.
14). Направление этого движения определяется знаком d】= =% (— 1 + S] % — s2)). Множитель —1 + S] (S1 — S2)=
=——S：——S；——S/2 V о, ПОСКОЛЬКУ 5f < 0 ( в силу Я2〉0) на
многообразии S; поэтому направление движения определяется знаком Z2, или (几仅丄 + + 九2yJ / (&l% —八2%凡 Величина у = yjy* согласно (9.14) возрастает до пересечения дуги % с дугой к (si = S2), и у убы-
вает после пересечения.
В случае модели VII типа (〃i =几2 = 1) на всех сепаратрисах Si 十 s? = CS3 при с 工 2 имеем у V 1, иначе при у = 4 функция 反2 стала бы отрицательной (Н? = — оо). Поэтому на этих сепаратрисах Z2〉0 и движение по дуге ?с происходит в одну сторону (61 < 0), а величина у проходит через максимум ут <； 1. Конечная точка такой сепаратрисы получается из начальной точки (s；, s* S3) отражением 9 в плоскости s^ = s?: получаем (s：, s；, s；)・ Если в начальной точке 2s；——s；——s： = 0, то вдоль выходящей из
нее сепаратрисы sf = s? и сепаратриса идет в ту же точку (s；, s；, S3) на окружности (屮，2).
В случае модели IV типа (^ = 1,几纟=。)имеем Z2〉0 (кроме 2s；——s：——s? = 0), поэтому сепаратрисы ведут себя так же, как и в модели VII типа (но величина ут может быть любой).
В случае моделей III и VI типов (nx = 1, п^=——1) имеются три типа сепаратрис. 1) Вдоль сепаратрисы у < 1, сепаратриса устроена так же, как в модели VII типа. 2) Вдоль сепаратрисы у переходит через единицу, при этом величина Z2 меняет знак и движение по дуге ус меняет направление на обратное, у растет до оо и сепа-
ратриса входит в точку （贺,总,s；） на окружности （ф, 2）. 3） Две исключительные сепаратрисы входят в неустойчивые особые точки /1 и /2, в которых у = 1, “ =
Найдем максимальное значение i/m, которое достигается на сепаратрисах, возвращающихся в точку исходной окружности （ф, 1）. Максимум ут достигается в точке （s, s, s；） пересечения дуги Ye С дугой X, при ЭТОМ
=专・（й）
Вдоль сепаратрисы имеем Я2 = 0, поэтому из （9.13）, подставляя выражение （9.15）, находим
=T（s；）=豆 （2 （s； + s；）T）
4a2（2si-4-4）2 — ^（s； + s； — 2s；）2 ・「丿
Из этой формулы следует, что при стремлении начальной точки сепаратрисы （s：, 4, s；） на окружности （屮，1） к точкам 〃з （^^ , 麺，議）или厶（言，言,0） （еm・ рис. 14） имеем ут f 0.
В случае модели VII типа функция ут/ （1 — у^ монотонна, и поэтому при стремлении начальной точки （s；, s：, s；） к точке С на дуге у? （s；十 s： = 2s：） величина ут монотонно возрастает до 1;
в случае модели IV типа при этом имеем Ут f 8 •
В случае моделей III и VI типов функция ут /（1 十 у^ & 1/4 при всех ут, поэтому, если начальная точка сепаратрисы （s；, s；, 4） находится на дуге /i （s2 V s0,
（9.17）（9.17）s；（2（s；+s； —s；））、1
（9.17）
（9.17）
4a2鳄十 s； — 2s；）2 / 4，
то вдоль такой сепаратрисы функция у = yjy工 не имеет максимума и монотонно возрастает до бесконечности, при этом сепаратриса входит в особую точку （s；, s；, s；） на окружности （屮，2）, осуществляя тем самым такой же сепаратрисный переход, что и в моделях VI0 и VII0 типов класса А. Если начальная точка （s；, s：, s；） лежит вне дуги /1, то выходящая из нее сепаратриса устроена так же, как и в случае модели VII типа {ут V 1）； если же точка （s；, s；, 4）является одной из двух концевых точек дуги /1, то выходящая из нее сепаратриса идет в неустойчивую особую точку 厶 или /2 （у = 1, w = 0）. Отметим, что дуга 71 содержит точку С （s； + s； = 24） （см. рис. 14）; при а -> 0 дуга /1 растягивается на всю дугу S2 < s】.
Опишем, основываясь на проведенном исследовании сепаратрис особых окружностей (ф, 1) и (ф, 2), свойства колебательного режима на длинной эре в однородных моделях класса В. Соответствующие траектории системы (8.10) аппроксимируются последовательностью особых точек и их сепаратрис, мимо которых эти траектории движутся:
…f (屮厶力l) f (切+1,必1) f 仲2+2,力+2)f •… (9.18)
Все сепаратрисные переходы между особыми окружностями в случае моделей класса В однозначны, и за каждой сепаратрисой, идущей по компоненте границы У i (или У2), следует сепаратриса, идущая по компоненте границы rw (w = 0), и наоборот.
Последовательность особых точек 仲厶 %) в (9.18) определяется следующими отображениями (в скобках указаны компоненты границы, по которым идут соответствующие сепаратрисы; в случае моделей IV и VII типов 加+i = it = i, полагаем i = 1):
，(7№，1),屮 на дуге (s, 1), (У\),
К (也，1)=(收+i, 1) = (0tp；, 1),屮 на дуге s? < su (工)，
、(收，1),屮 на дуге (₽3i, 1).
(9.19)
Здесь отображение 7\ — проектирование (6.16) дуги ai из первой вершины треугольника А: 0 — отражение 0 (si, s?, sj =；®, s^ S3); при попадании точки (屮§, 1) на дугу (P3i, 1), состоящую из притягивающих особых точек, аппроксимация (9.18) заканчивается выходом решения на устойчивую казнеровскую асимптотику (9.3).
В случае моделей III и VI типов имеем
К (屮厶 1)=(切+1，^+i)=К (屮厶 1)=(切+1，^+i)=(也,2),中на дуге 厶，(几)，(71切,1),屮на дуге («i, 1), (Ki),帥,1),屮на дуге s? < s】вне /ъ (几),、仲工,1),屮на дуге (限，1)・(也,2),中на дуге 厶，(几)，(71切,1),屮на дуге («i, 1), (Ki),帥,1),屮на дуге s? < s】вне /ъ (几),、仲工,1),屮на дуге (限，1)・(9.20)(9.20)
К (屮厶 1)=(切+1，^+i)=
К (屮厶 1)=(切+1，^+i)=
(也,2),中
на дуге 厶，(几)，
(71切,1),屮
на дуге («i, 1), (Ki),
帥,1),屮
на дуге s? < s】вне /ъ (几),
、仲工,1),屮
на дуге (限，1)・
(也,2),中
на дуге 厶，(几)，
(71切,1),屮
на дуге («i, 1), (Ki),
帥,1),屮
на дуге s? < s】вне /ъ (几),
、仲工,1),屮
на дуге (限，1)・
(9.20)
(9.20)
Отображение К (屮厶 2) получается из (9.20) заменой индексов 1 + 2, 2fl. Исключительные сепаратрисы, выходящие из границ дуг /1 и，2, идут в неустойчивые особые точки " и /2 (см. § 10) и не влияют на колебательный режим.
Последовательное изменение точки (si, s?, sj на окружности S' (si + $2 + S3 = — М2, s； + s^ + s； = 1) в силу отображений (9.19) и (9.20) показано соответственно на рис. 15, а, 6. На этих рисунках наглядно видно, что колебания на длинной эре заканчиваются через конечное число шагов при попадании точки ^8
на дугу (0з1, 1) (или(рз2, 2)). Также очевидно, что в случае моделей III и VI типов колебания внутри отрезка 厶(см. рис. 15, 6) те же, что и для моделей VI0 и VII0 типов в классе А.
При движении траектории (9.18) в окрестности особой точки (si, $2, S3) на окружности (屮厶 力)метрика аппроксимируется казне- ровским решением (9.3), при этом, в отличие от моделей класса 4, показатели pi приближенно постоянны только в окрестности окружностей (屮2,厶)и меняются вдоль обоих типов сепаратрис
Рис. 15. Последовательное преобразование особой сочки на окружности 51 для однородных космологических моделей IV и CII типов (а) и III и VI типов (6).
(идущих по У< и Г^,). Параметр казнеровских показателей и
Pi 也)=1 + 〃 + “2， Р2 ⑺=а + 〃 + 以2 一， Рз 3) = 1 + 〃 + /
(9.21) за одно полное колебание величины у = ^2/^i в моделях IV и VII типов уменьшается на 1, в то время как в моделях класса А параметр и уменьшается на 2. Действительно, одному колебанию в моделях класса В отвечают преобразования 87\ точки на окружности 51, а в моделях класса 4 ——преобразования Т2T?; при проектированиях 7\ и 7\ параметр и уменьшается на 1 (см. п. V § 6), а при отражении 0 параметр》не меняется.
Амплитуда последовательных колебаний величины у = qjq* на длинной эре вычисляется согласно (9.16) и после подстановки выражений (9.21) ир» = 4 + /2 s^ следующим образом выражается через параметр и казнеровских показателей:
%1—1/4 + 2“
51 — 几 2Ут)2 —1 — 2〃 一 2/ 丿•В
Здесь значение параметра и берется в начале данного колебания и расположено (для моделей III и VI типов) вне отрезка /1 (9.17). При ит (|Л3—1)/2 имеем %n f g в модели IV типа и z/^1
в модели VII типа.
Изменение угла ср за одно полное колебание (при этом траектория проходит вдоль одной сепаратрисы (9.18) на Ух и одной сепаратрисы на rw) в силу системы (8.10) имеет вид
△屮=$ 0 dq = — 8〃 \ &%Е^詳-(9.23)
Переход вдоль сепаратрисы, идущей по компоненте границы Уi (у = 0), дает нулевой вклад в этот интеграл. Интеграл (9.23) по сепаратрисе, идущей по компоненте границы rw, можно вычислить явно в случае модели IV типа. Действительно, в силу системы (9.12) при Я2 = 0 (на сепаратрисе) имеем
Д(р = — 8〃 \ (2$з — Si — $2)У ЙТ1 = — @ § 3亍令7丄 @У =
?m 0
=+ \)(备)包"三"初=
0 Ут
1 — °21 — °2(9.24)(9.24)2sH 丿.2sH 丿.=豆二2_F =L
1 — °2
1 — °2
(9.24)
(9.24)
2sH 丿.
2sH 丿.
2a〈 2s3 — S] — S2 / Io a
Последнее равенство учитывает, что конечная точка рассматриваемой сепаратрисы получается из ее начальной точки отражением 0: (s；, s：, 4) = (s：, s；, s；). Подставляя в полученную формулу выражения pi ^ I -[- Y^ 8г и (9.21), находим выражение угла поворота осей д> % через параметр и казнеровских показателей:
Дф =Дф =11 + 2〃〃 1 — 2〃 — 2〃211 + 2〃〃 1 — 2〃 — 2〃2(9.25)(9.25)
Дф =
Дф =
11 + 2〃
〃 1 — 2〃 — 2〃2
11 + 2〃
〃 1 — 2〃 — 2〃2
(9.25)
(9.25)
Для однородных моделей III, VI и VII типов формула (9.25) справедлива по порядку величины при больших и. Из (9.25) следует, что полный поворот осей, формально вычисленный за всю
длинную эру (2 △屮(爲十 0), при N fg расходится как — In N•
§ 10. Исследование некоторых специальных свойств однородных космологических моделей V, VII, Ш, VI и IV типов
V тип. Однородная космологическая модель V типа (a = 1, щ = п2 — п3 = О/ содержит как частный случай открытое решение Фридмана q* 三 q?三 q§ к поэтому используется при изучении динамики возмущений этого решения. Исследование однородной модели V типа проще исследования остальных моделей класса В, поскольку все метрики модели V типа без движения вещества приводятся к диагональному виду (см. § 3) и, следовательно, импульс
рф = 0. Система (8.6) в этом случае имеет вид
Pi — 2q& + 丄亏丄 %, Qi = 2% (匕 + Рк — А)- (Ю-1)
33
Здесь 8工=2 2 PiPj— S 尸；一3%92・ Условие (8.2) Е = 0 дает У/г=1'
СВЯЗЬ Рз= (А + ?2)/2・
Система (10.1) в масштабно-инвариантных координатах
(优2产广(%—%)
1p1 十02 'p1+p2
и новом времени q: dti/dq = — (Pi + P2) = —2P3〉0 принимает вид
齐= r(-1 +( 1^4)区2+4户卜 方=M 1G匕% +丝 ,(Ю.2)qi = "(и — 1), ©2 =養(—и — 1), 03 = — 9з,
=4 [- (b -=4 [- (b -Здесь Hz = 4%/(А + P JЗдесь Hz = 4%/(А + P JРис. 16. Фазовый портрет динамической системы (10.2) на двумерном многообразии S для однородной космологической модели V типа.Рис. 16. Фазовый портрет динамической системы (10.2) на двумерном многообразии S для однородной космологической модели V типа.力3 = _ Р3(g土%+ 4产).
=4 [- (b -
=4 [- (b -
Здесь Hz = 4%/(А + P J
Здесь Hz = 4%/(А + P J
Рис. 16. Фазовый портрет динамической системы (10.2) на двумерном многообразии S для однородной космологической модели V типа.
Рис. 16. Фазовый портрет динамической системы (10.2) на двумерном многообразии S для однородной космологической модели V типа.
三)2 一p3仍3 — 2仍1 + + %)) - 3直%]/(p1 + 4)2 = =—p2 + 3 — 12 г2. Первые два уравнения (10.2) образуют замкнутую систему, определенную в половине эллипса: р2 + + 12 戸《3 (% А °, г< 0). Фазовый портрет этой двумерной системы показан на рис. 16. Здесь имеются две притягивающие особые точки i± (г = 0, V = 士 /3), которым отвечают устойчивые прй сжатии прост-
ранства асимптотики казнеровского типа:
仇рa户弋 p上=•丄*皂,p手=」专竺，p寺=%.
(10.3)
Неустойчивой особой точке Фо (г = р = 0) отвечает квазифридманов ская асимптотика % 仁。亦&/за+к) Отталкивающей особой точке ① 1 (г = — 1/2, и = 0) отвечает точное решение в пустом пространстве
g = С^.(Ю.4)
Открытое решение Фридмана в модели V типа соответствует сепаратрисе и = 0, идущей из особой точки Фх в особую точку
Фо. В силу монотонности изменения координаты и получаем известное утверждение [61]: при направлении времени в сторону расширения все метрики в модели V типа изотропизуются и имеют при 力 т 8 асимптотику открытого решения Фридмана (10.4) (все траектории системы (10.2) входят в притягивающую при таком направлении времени особую точку Ф1); при направлении времени в сторону сжатия все метрики имеют при 力 т 0 либо устойчивую анизотропную казнеровскую асимптотику (10.3), либо неустойчивую квазифридмановскую асимптотику.
VII тип. Однородная космологическая модель VII типа (〃i = =〃2 = 1, 〃з = °，〃〉0), так же как и модель V типа, содержит открытое решение Фридмана, которому отвечает исключительная траектория системы (8.5) — (8.10): q】=q? = 9з,卩紹(。工一^2)3 三 三 0, Si = $2 = $з・ На многообразии S для модели VII типа, как показано в § 9, при всех а имеется отрезок притягивающих (при направлении времени в сторону расширения) особых точек Ly (9.6), которым отвечают устойчивые при расширении пространства точные ретпения (9.7). Частным случаем этих решений при у = i является точное решение в пустом пространстве
91 =家=&力 2, 9з = 〃証％ 屮=const. (10.5) Решение (10.5) при G = а2 изотропно и при 力 т 8 имеет асимптотику открытого решения Фридмана. Все остальные устойчивые решения (9.7) при у 工 1 становятся анизотропными при 才f 8, поэтому изотропизация решений в модели VII типа возможна только на промежуточной стадии эволюции.
Рассмотрим последние оставшиеся не исследованными особые точки динамической системы (8.10) — (8.14) на многообразии S. В этих особых точках у± = %• Система (8.14) на инвариантном многообразии У1 = у? = 4/1^2 имеет вид
瓦=^ 2^ (一 4 十 si (si -SR, s2 = 4/2 〃2冲(1 + $2(S1 — S2)),
——(10.6)
2 = 4丿％2纟3 ® — s2) + 4|^2z(Si — $2),
血=8 J 2 必〃2淤(S1 — S2).
Система (10.6) рассматривается на уровне связи s； + s^ + s^ 匸 =s* + s： + } (si + s2)2 = 1 в области Я2 > 0, Я2 = — (s】一s2)2+ 33
+ % (si + sj — 2a2号一芽 戒”，”》0. Особые точки системы (10.6) образуют двумерный диск W: у】=у?, z = 0. Собственные числа системы (8.14) в этих особых точках имеют вид
九0, % = 0, 左=4M2备—S2), Ky = — 4M2(si —- $2).
(10.7)
Таким образом, особые точки W при si:/： $纟 являются невырожденными и неустойчивыми. Отрезок si = s?, 0 V 必 V 2/За2 на W состоит из вырожденных особых точек и соединяет особые точки ФЛх (力=у^ и Ly (у = 1).
Траектории системы (8.14) могут пересечь инвариантное многообразие у】 = у?, лишь войдя в какую-либо особую точку на нем, т. е. в особую точку на множестве W. Множество траекторий
Рис. 17. Общее расположение особых точек динамической системы (8.10)—— (8.14) на многообразии S для однородной космологической модели VII типа.
сепаратрис), входящих в седловые особые точки W, заполняет некоторое трехмерное множество в четырехмерном многообразии S. Нетрудно проверить, что для этих сепаратрис при вхождении в особую точку величины % стремятся к ненулевым константам, т. е. это именно те исключительные траектории, которые имеют начальные данные на многообразии幫Wo коразмерности два (см. п. II § 9). Все остальные траектории системы (8.14) никогда не пересекают многообразие yi = z/2, поэтому почти для всех траекторий всегда》工 > у2, или у】< у2.
Перечислим особые точки системы (8.10) — (8.14) на компактном многообразии S (рис. 17).
На компонентах границы У\ 仇=1, z/2 = 0) и У2 (力=0, У2 = 1) особые точки те же, что и для моделей класса А: две окружности (ф, 1) и (ф, 2); изолированные особые точки N* и 汽纟； Ф?° и ①；°; дуги (p3i, 1) и (р32, 2) на окружностях (屮，i) являются притягивающими при сжатии пространства.
При и; = 0, у】 工 у?工 0 一 линия особых точек ①лх・•
В области 必工0, 51X^2 工 0 一 линия особых точек Ly (9.6); Ly содержит отрезок притягивающих в сторону расширения особых точек — L*-
При у* = у?——двумерный диск W неустойчивых особых точек.
Сепаратрисные переходы между особыми точками систематизированы в сепаратрисной диаграмме (табл. 6). Здесь ввиду отмеченной выше инвариантности области у^〉у2 рассматривается половина многообразия S (%》％)； множество особых точек W разбито на две части: % (Х2〉0,鼠〉52) и W_ (si V s?).
1П и VI тип. Однородные модели II и VI типов определяются условиями П1 = 1, тг2 = —1, 〃3 = 0, а〉0, причем модель III типа выделяется условием а = 1, в этом случае алгебра Ли соответствующей группы G имеет одномерную производную подалгебру (производной называется подалгебра, натянутая на коммутаторы), при а，1 производная подалгебра двумерна. Модель III типа рассматривается ниже как частный случай модели VI типа; модель III типа обнаруживает некоторые отличия в свойствах имеющихся асимптотик.
Все особые точки динамической системы (8.10) на соответствующем компактном многообразии S при ух #=^2 указаны в § 9. Особые точки при 力=验，必 * 0 удобно исследовать в координатах (9.4). Эти особые точки должны лежать на инвариантном многообразии д=1, и = 0, на котором динамическая система (9.5) принимает вид
х = хи — 8, й = и2 — 4а2 — %,
ГТ i — k Го 2 ."2/2(10・8)
Я3 = —^— Зи2 + их^2 — 4 ・
Система (10.8) в области %》0 имеет две особые точки:
1)厶：и = 2а, х — 4/。； " лежит на линии особых точек Ly (9.6) при в = 1, % (") = 0；
2)…=2j^U，2)…=2j^U，告，
2)…=2j^U，
2)…=2j^U，
%田)=4(作泰一叫.
Отметим, что координатыОтметим, что координатыэтой точки не зависят от а. Харак-
Отметим, что координаты
Отметим, что координаты
теристическая матрица системы (9.5) в особой точке М распадается на два блока, поэтому ее собственные числа легко вычисляются:
(10.9)
h, u = y^•，干晶 士 }/"—早^2 (1 —左一口2(1 + ЗА)).
Аналогичная особая точка уже встречалась ранее в моделях VIII и VI0 типов. Особая точка М принадлежит физической области Я3 > 0 лишь при
(10Д0)(10Д0)"《У 1 + ЗА：・
(10Д0)
(10Д0)
Сепаратрисная диаграмма динамической системы (8.10) — (8.14) для
4
Ly
①nx
м
明
Ly
2
①лX
2
ф;°
1
м
1
明
3
• 3
(013，4)
3
2
(Р12，1)
3
2
(§21，1)
2
3
(Рз1，")
4
3
2
3
（§23，今
2
3
（限，1）
2
3
В частности, при а〉1 точка М ни при каких значениях к не принадлежит физической области. При а =卜^ :"^，точка М совпадает с точкой /а, лежащей на линии уже изученных особых точек (9.6). Таким образом, значение а = 1 (модель III типа) выделено тем, что при а《1 модель VI типа при некоторых значениях 左(см. (10.10)) имеет асимптотику, соответствующую М, тогда как при а〉1 таких асимптотик нет.
、Таблица 6
однородной космологической модели VII типа (при сжатии пространства)
(613，1)
(P12，1)
(B21, 1)
(бзи 1)
(023，1)
他2, 1)
2е
2е
2T
3
2T
2е
2T
2T
В случае, если точка М лежит в физической области Н3》0, все четыре собственных числа (10.9) имеют положительную вещественную часть (в силу справедливости (10.10)), т. е. особая точка М является притягивающей в сторону расширения. Этой особой точке отвечает точное решение, устойчивое при расширении пространства:
如=匆=0；卽』)/(1+% 0з =國 £2, (10.11) 屮=一。/二士午(國)口" In九
Отметим, что условие (10.10) существования в физической области притя^ивающей в сторону расширения особой точки М совпадает с условием (9.10) отсутствия отрезка притягивающих особых точек на линии Ly (9.6). Поэтому, если а V 1, то при изменении параметра Л от 0 до 1 сначала решения в заполненном пространстве имеют при 力 т 8 асимптотику (10.11), тогда как решения в пустоте имеют асимптотику (9.7), а затем при а〉]/ (1 —左)/(1 + 3&) все] решения имеют асимптотику (9.7). Таким образом, изменению параметра А уравнения состояния материи соответствует качественное изменение асимптотических свойств решений в однородной космологической модели VI типа. Однако в любой из устойчивых асимптотик метрики (9.7) или (10.11) для моделей III и VI типов нет изотропизациипри t оо.
Исследуем особые точки динамической системы (8.10) (ni = 1, 〃2 = —1) при yi = у?，” = 0. В этих особых точках необходимо Si = $2 и либо Я2 =0, либо si = —1/|/ 3. Поэтому система (8.10) при yi = у^ w = 0 имеет три особые точки:
особая точка Ф1 (£% = —1/]ЛЗ), принадлежащая отрезку ①лх；
две особые точки 九 и j_, в которых si = s2, Н2 (/土) == 0, координаты % = $2 = $ м $з определяются условиями
2s2 _l52=1a=2 1 + 2淤 土了 匸f誨
十 3 —，s —1 + 4a2.
Собственные числа системы (8.10) в этих особых точках имеют вид_
九е = 8sз V 0, Н 2 = ± 2 ]/ 2。(2$з — Si — $2),入3 = — -导 MTT而 &1.
Таким образом, особые точки /十，九 невырожденные и неустойчивые. Из особых точек j土 выходят одномерные сепаратрисы, которые лежат на инвариантном многообразии rw (ip = 0) и поэтому не отвечают никаким физическим решениям. Трехмерные сепаратрисы, входящие при Ti -> оо из физической области многообразия S в особые точки j土， определяют следующие (неустойчивые) асимптотики метрики при сжатии пространства (力一》0):
qi 弋 q：/2 (4十R/(12-e,依 ^ q；方2(2+初/(12-*)，
(10.12)(10.12)- 1 ± 4 U1 + 3a2- 1 ± 4 U1 + 3a216a2 + 516a2 + 593 ^ 党方(4一3己/(12-总)，
(10.12)
(10.12)
- 1 ± 4 U1 + 3a2
- 1 ± 4 U1 + 3a2
16a2 + 5
16a2 + 5
2az/
屮之一 12=^m方+屮。,Z = 4
Отметим, что для особой точки j_ показатели всех степеней t в (10.12) положительны при всех а, т. е. q% т 0. Для /+ получаем (4 + 歹)/(12 —①)〉0 при всех а, тогда как (4 — 3讶)/(12 — »《0 при а 巨 1, т. е. при а〉1 в асимптотике (10.12) имеем % f 0, 仇 f 0, 0з f оо « т 0). При а = 1 асимптотика (10.12) в особой точке /+ принимает вид
qi ^=装 ^=生力 0з ^= const.
Особые точки j* и /_ лежат на угле границы Г; этот угол Гад р П Го (zp = 0, Я2 = 0) является двумерным цилиндром 51 X /. Весь цилиндр заполнен сепаратрисами окружностей (屮，1) и (屮，2).
Рис. 18. Особые точки динамической системы (8.10) на многообразии S для однородных космологических моделей III и VI типов.Рис. 18. Особые точки динамической системы (8.10) на многообразии S для однородных космологических моделей III и VI типов.
Рис. 18. Особые точки динамической системы (8.10) на многообразии S для однородных космологических моделей III и VI типов.
Рис. 18. Особые точки динамической системы (8.10) на многообразии S для однородных космологических моделей III и VI типов.
Особые точки j+ и /_ на цилиндре неустойчивы, и их сепаратрисы идут в границы отрезков 厶 и /2 на окружностях (屮，1) и (屮，2) и в образы этих границ при отражении 0. Эти сепаратрисы делят цилиндр на шесть областей; в четырех из них траектории имеют начало и конец на одной окружности, а в двух областях начало
и конец каждой траектории лежат на разных окружностях.
Особые точки динамической системы (8.10) на компактном многообразии S для моделей III и VI типов изображены на рис. 18.
IV тип. Особые точки динамической системы (8.10) — (8.18) на компактном многообразии S для модели IV типа (ni = 1, п2 = =九3 = 0, а〉.0) при у?拊 1 11 асимптотические свойства соответствующих решений исследованы в § 9. Система (8.18) на инвариантном многообразии у2 = 1, %》0 имеет четыре особые точки:
-^=-,么1 = 0, Wi= 0) — конце--^=-,么1 = 0, Wi= 0) — конце-1с—^1 = 0^1 =1с—^1 = 0^1 =—кон-—кон-особая точка ①Г 卜工=$2 вая точка отрезка Флх;
-^=-,么1 = 0, Wi= 0) — конце-
-^=-,么1 = 0, Wi= 0) — конце-
1с
—^1 = 0^1 =
1с
—^1 = 0^1 =
—кон-
—кон-
особая точка " (% =策=
цевая точка отрезка Ly (9.6), Я2 (£0) = 0*
3) две особые точки % (s^ =3) две особые точки % (s^ =-2 + ]/§ ~3/2-2 + ]/§ ~3/2Z] = 0, ^1 = 0) , 〃 (S]Z] = 0, ^1 = 0) , 〃 (S]—2 — /33 吸'S2 =—2 — /33 吸'S2 =仆仆Рис. 19. Особые точки динамической системы (8.10)—(8.18) на многообразии S для однородной космологической модели IV типа.Рис. 19. Особые точки динамической системы (8.10)—(8.18) на многообразии S для однородной космологической модели IV типа.
3) две особые точки % (s^ =
3) две особые точки % (s^ =
-2 + ]/§ ~3/2
-2 + ]/§ ~3/2
Z] = 0, ^1 = 0) , 〃 (S]
Z] = 0, ^1 = 0) , 〃 (S]
—2 — /3
3 吸'S2 =
—2 — /3
3 吸'S2 =
仆
仆
Рис. 19. Особые точки динамической системы (8.10)—(8.18) на многообразии S для однородной космологической модели IV типа.
Рис. 19. Особые точки динамической системы (8.10)—(8.18) на многообразии S для однородной космологической модели IV типа.
s 一 一 2 — ]ЛЗ
，~ _ 3/2~
-2 十]A3 L —
3了2
物=0), %(Х土) = 0.
Полная совокупность особых точек динамической системы на многообразии S для модели IV типа показана на рис. 19.
Собственные числа системы (8.18) в особых точках ①貝 Lo, i土 имеют вид
①乳%1 = u3 (1 -"),九时 = u3 (1 -一左)，Ki = - 2 - 1±¥一 ,
°；
£。：%,=方，%=今，入期=2-^1^， %1 = °，
(10.13)
i土：九厶=4 (si — $2), % = 3 (1 — k) (si + $2)< 0,統” =4 (si + $2)< 0, V = 4 ($2 — si).
Согласно (10.13), особые точки ①：°, /+ и i_ являются неустойчивыми; особая точка & принадлежит отрезку отталкивающих особых точек на линии Ly (9.6). Сепаратрисы особых точек ①?°, /_, "лежат на компонентах границы rw (w = 0) и У2 仇=0, % = =1) и поэтому не отвечают никаким физическим решениям. В неустойчивую особую точку % из физической области S входит трехмерная сепаратриса, которой отвечает казнеровская асимп-
тотика метрики при сжатии пространства (力 fO):
鱼 Q 盘/Ki+U》，夕2 =曲"КА吟)，Оз =曲％, ф — const. (10.14)
Таким образом, в однородной модели IV типа наряду с устойчивыми при сжатии пространства казнеровскими асимптотиками метрики (9.3) (в которых q^ q2 0,拆 f со при t f 0), соответствующими дуге притягивающих особых точек (§з1, 1) на окружности (屮,1), имеется также одна исключительная неустойчивая казнеровская асимптотика метрики (10.14), в которой q2^> оо, "，03 fs
ГЛАВА III
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА И С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Система уравнений Эйнштейна для однородной космологической модели IX типа с движением вещества
Изучавшиеся в главе II однородные космологические модели без движения вещества являются частным случаем решений уравнений Эйнштейна с гидродинамическим тензором энергии-импульса материи:
Т订=(р + е) м泓j — pg订，
где 优 ——4-скорость материи, 8 ——плотность энергии, р ——давление р=4е, 0 ^ /с ＜； 1. Более общими являются однородные решения, в которых система координат, сопутствующая движению материи, не является синхронной, или, наоборот, в синхронной системе координат материя движется (т. е. компоненты скорости 戸工 0 (»= 4, 2, 3)).
Пусть X。，X* X2, Хз — базис правоинвариантных при действии трехмерной группы Ли G векторных полей на пространственно-временном многообразии М4 = 7?工 X G, причем поля X1, Х2, хз касаются группы G и коммутационные соотношения имеют стандартный вид (см. главу II, табл. 1):
[X。，Г] = О, [X* Х〃 =爲X*I
偽.=&订科"+ 8j8ja — S^Sja, aM = 0.
Для однородных космологических моделей компоненты метрики gij и скорости материи 炉(а также плотность энергии 8 и давление р) в базисе правоинвариантных векторных полей Х°, X1, X2,文з зависят только от времени. В дальнейшем будет изучаться только (наиболее важная с физической точки зрения) часть пространственно-временного многообразия М4 = R1 X в которой ограничение метрики g^ на группу G отрицательно определено. В этом случае базис векторных полей Х°, X" = {е%} можно выбрать так, чтобы метрика ds2 имела вид
必2 = goo (т) dr2 — gij (t) e^e3d衣d/储(1.2)
где матрица g^ (т) положительно определена, a goo (т) ниже будет задано специальным выбором масштаба времени,
Уравнения Эйнштейна
Rtj — % ёа К = Т订(1.3)
в базисе Х°, Х\ X?, X* определяют систему дифференциальных' уравнений второго порядка на матрицу g订(т). В дальнейшем, в §§ 1—4, проводится подробное качественное исследование системы уравнений Эйнштейна (1.3) для однородной модели IX типа, а в § 5 указывается, как разработанные методы используются при изучении остальных однородных космологических моделей с движением вещества.
Для построения динамической системы, эквивалентной системе (1.3), удобно воспользоваться следующим тождеством [84]: ,67? У— g dt AG = — \ (jR“i- g"2)]A— g 6g订山 dG +
^^g^V^gbR^dt dG. (1.4)
Второе слагаемое в правой части (1.4), как известно [84], является полной дивергенцией и поэтому обращается в нуль, если вариации метрики 8gij по пространству финитны. В случае модели IX типа однородные вариации метрики являются финитными (в силу компактности группы SO (3)). Поэтому в силу тождества (1.4) уравнения Эйнштейна (1.3) (кроме (0, i) уравнений) следуют из вариационного принципа
6 J Е 7鼻山=一 j W6g为 V^ 阳(1.5)
где метрика g订 и ее вариации однородны (зависят только от 力). Для всех остальных однородных моделей однородные вариации метрики не являются финитными. Тем не менее для всех моделей класса 4 справедлив вариационный принцип (1.5), поскольку в классе А для однородных вариаций метрики справедливо тождество g”5E〃 = 0 (см. формулы (3.5), (3.28) главы II). В случае однородных моделей класса В второе слагаемое в правой части (1.4) дает ненулевой вклад в вариационный принцип (1.5) (подробнее см. § 5).
Выражение ^bgij (см. (1.5)) для метрики (1.2) имеет вид
"6g仃=ВЙ ln-^р + (1 + 储 £ (gabM^bgooBgoo —办加6gjj)・ (1.6)
Здесь и ниже | g | = det || gab ||.
Для упрощения выражения (1.5) выберем время т так, чтобы goo (力=I g I*(丄7)
тогда первое слагаемое в (1.6) при условии (1.7) равно нулю. Время т связано с синхронным временем t (g00 (t) = 1) соотношением dt — \ g |勿2dt.
Согласно вариационному принципу (1.5) и (1.6), «тензорные компоненты» (Z, / = 1, 2, 3) уравнений Эйнштейна (1.3) для однородной модели IX типа являются линейными комбинациями уравнений
翡一备景=Л4^ e "凉一他业wbg") I g "切2 (1.8)
и уравнения 7?§ —工厶 笈 = Т： (поскольку вариации Sg00 связаны условием (1.7)). Функция L (目订,点订)получается из V2 R U——g отбрасыванием полной производной по времени и имеет вид
£ = % I g产T)/2(成施一姥砲一 %1 g卜g)/2(21g I产一
—gccBgae), (1-9) где Y纟=gay仪生
Уравнения Эйнштейна Е： — 1/2 Е = Т； и 2?оа = Гоа являются связями, позволяющими выразить плотность энергии 8 и скорость материи й1 через компоненты метрики g^ и ее первые производные по времени ?订・ Действительно, уравнение Эйнштейна 凡一％А — ?о имеет вид
Н = & ((1 + 向 说 g0。一 ") I g ”")/2,(1.10)
H = w力•費一一 £ = £ I g2i)/2 (礙嗎-К汝孑)+
+ } I g『(1T'2 (2 I g I gaa — gaBga)
Уравнения Эйнштейна 7?oa —北a имеют вид
一 V2嗝或? = (1 +用叫火，(1.11)
где 唸,一структурные константы группы IX типа (SO(3)) в стандартной записи (1.1): т? = 1, a = 0.
Из уравнений (1.10), (1.11) и условия
就次。一 иаиь^ь = 1(1.12)
легко получить следующие выражения:
唠 I g 1a+力/21 r„ , Z„216加y 丫 I “ 体 W ]
(1.13)
JL+L 8^i g ](屮)/2 =м,
2(1 + 砌E 十(反2 一 16加(1 + 加)-2 XqX/ab J g『)％]，
(1.14)
где Xa = _ %Y；c3 I g |(i)/2.
Подставляя (1.14) в уравнения (1.8), получаем замкнутую систему дифференциальных уравнений второго порядка на компоненты матрицы 且订(т):
@£ d dL ? jy
炉——4(x^_%xax/)|g『15
(I + k)[H +(^2- 16Л (I + kr^xaxbfb Ig ^]
Преобразуем систему (1.15) в систему уравнений первого порядка, определенную в фазовом пространстве р", g〃. Импульсы 卢 определяются выражениями
卢=戸=•⑶丁)匕(g“ (in kir-Wkgkgjl). (1.16)
Система (1.15) в фазовом пространстве переходит в систему
Р" = 一券一加，/=儲・a/7)
Функция 〃 = g万一：L в координатах рг\ gf； имеет вид
н = [g |(M冠[(Sp(P。g))2 — 2Sp (p。g。p。g) +
+ }(2|g|gaa_sp(g2))]・(1.18)
Здесь Sp (Y) — след матрицы У, p。g — произведение матриц р = II 卢 II и g = II 馳 II.
Динамическая система (1.17) согласно проведенному выводу эквивалентна полной системе уравнений Эйнштейна. Зависимость от времени скоростей 〃а и плотности энергии 8 определяется из уравнений (1.10) — (1.12).
Преобразование динамической системы
Динамическая система (1.17) определена в 12-мерном фазовом пространстве (рг\ g〃 一 симметричные матрицы). Эта система инвариантна относительно масштабных преобразований
Р“ f Р”,gtj f 入gij, т fN"硝包
и поэтому допускает понижение порядка на 1. Для исследования системы (1.17) методами качественной теории динамических систем мы преобразуем ее, используя указанную масштабную инвариантность, в динамическую систему, определенную на некотором 11-мерном компактном многообразии S и имеющую до-
статочно простые (невырожденные) особые точки. Это преобразование удобно разбить на три этапа.
Введем координаты S* = g^ р"・ Согласно (1.16),
品=卫咚竺(成&一＞4),(2.1)
где к* = gktg”. Собственные направления матрицы S* совпадают с собственными направлениями матрицы х", которые в работе [51] названы казнеровскими осями. Матрица S = || S* || при ненулевых скоростях иа не является симметричной (в отличие от матриц g = [I g〃 II ир = II р" II). Действительно, используя (1.11) и (1.16), получаем
Ха= — ％ 喝喝 I g Rf)/2 = 1/2(1 + *) wo〃a I g'lf)/2 = S%&y・
(2・2) Очевидно, матрицы S и g удовлетворяют тождеству
goS = Sag.(2.3)
Здесь S' — транспонированная матрица.
Система (1.17) в координатах S" g〃 принимает вид
S' =2 |g，i)/2 U g I (取ga“ — g") — gkigij] +
+ & (与丄)〃— g^3(2・4)
Sij =[3«1：к)/2. (g 灯欧 ——2gi~?)・
Система (2.4) имеет два первых интеграла L и К:
L = Xi + XI + X；,(2.5)
кА(Н2-7^^/2 + н^
-毋•刃• (2・6)
Здесь Z = XaXbgab\ g『• Используя формулы (2.2), (1.10) и (1.13), получаем выражение этих интегралов через скорости иа и 8：
Е = (~^")炉就 I g I (м； + 调 + 喲，
n 9 / 2k 、a-k)/a+k)°2一21 .(2・7)
长 = 2(4^)82/(叶曾陶 g1.
где %о ——компонента скорости в синхронной системе отсчета. При к -> 0 вместо интеграла/Г (2.6) следует взять dK/dk (формаль-
но (2.6) дает К = 0 при к — 0). Интегралы (2.7) для случая к = =1/3 были указаны в работе [68]. В дальнейшем мы, используя выражения (2.5) и (2.6), укажем важные применения этих интегралов к вопросу о типичных состояниях^метрики на ранней стадии расширения пространства.
Система (2.4), как и общая система уравнений Эйнштейна в синхронной системе отсчета (см. § 3 главы II), имеет монотонную функцию
耳= ^1gM=$回)|g『N 黑《0・ (2・8)
При сжатии пространства функция 歹 < 0 и S； < 0. Из монотонности функции F следует, что траектории системы (2.4) не покидают область S；《0. Процесс расширения пространства описывается системой (2.4) в этой же области (S；《0)，ho с противоположным направлением времени.
Введем координаты
或力j=与' G,(2.9)
где
зG=： g鋼仁а, В
Координаты уи^ §* удовлетворяют тождествам з £ У切===1,У。s' = s。у.
Координаты (2.9) удобны для изучения поведения системы (2.4) в окрестности состояния максимального расширения, где det || g»j || достигает максимума и 8^ = 0・
Для изучения поведения решений (траекторий системы (2.4)) в окрестности космологической сингулярности G = 0 необходимо пополнить систему координат (2.9) границей на бесконечности по координатам 絲.Такое пополнение осуществляется с помощью введения координат
S" = 子 =毒，收'第=备，£(2.10)
где
B=( i 鏡)2产，e=( е 3а产.
Координаты 4 удовлетворяют тождеству
3
S (4)2 = 1.
Две системы координат, 8% и 4» 必,вместе покрывают девятимерный шар 09, причем в окрестности центра шара используются координаты §" а в окрестности граничной сферы ——коорди- .з
наты 4, w. Граничная сфера % (4)2 = 1 определяется условием ",7=1.
w = 0 и соответствует бесконечности по координатам 風:.
Динамическая система (2.4) в координатах (2.10) после замены
временивремени@22 I g |(li)/2@22 I g |(li)/2(2.11)(2.11)
времени
времени
@2
2 I g |(li)/2
@2
2 I g |(li)/2
(2.11)
(2.11)
принимает вид
品=缈[—I y I (6旬аa - /) +
+ y^ij + s"(I 沙 I (S*y8B — S^ya^)—沙a冰办a)l +
+ (网 - S位)Hi (1 - A) 一
8丨5丨2义
(1 + ")闻+⑶一16"(1+Al物/ЬI y I产)% ]
X [З^а严—кХаХъу^ — SJk (芻仰"^思一кхаХьу^^)].
»打=8 (一力/；+ УaУа^УУУа)^(2.12)
力=2w Sa (4 — (1 — к) Hl) — ^Уа^уУуа 十
+ w(I 沙|(S版В。- sg 片。)-Уа^уУуа +
十(1十及)(%十(H； - 16A: (1十伍-2 2%%I川 产)巧 "，
& = 4G (S^ — 2уаВ5$Ууа) •
Здесь
% = 8/g2 =(磁)2 一 2sgs^ + % s (2 旧 I 厅a — 1),& = S3或у.
Система (2.12) содержит замкнутую подсистему в координатах 威，沙订，w ——это следствие масштабной инвариантности исходной динамической системы (1.17).
Компактное 11-мерное многообразие S, на котором рассматривается динамическая система (2.12), вложено в 17-мерное проз
странство D9 X 58, где 58 — единичная сфера »務=1, и выде-
ляется в нем естественными условиями
зз
^oS* = Sog,У" = У ji，』谓=1，2 (成)2=1,
丨川= det||%j||》O,0《w《8, K》0,蹤《0. (2.13)
Из условия К》0 следует, в частности, что
% >0,Я?> 16" (1 + 矿2 1raMb 丨 У I 产.
Граница Г многообразия S состоит из четырех компонент: Го, 1\, Гад и Гш, которые определяются следующими условиями: Го： det у 力/ II = 0； 1\： К = 0； Г小必=0; Fm： 4 = 0. Очевидно, что система (2.4) — (2.12) непрерывно продолжается на компоненты границы Го, rw и Гт и компоненту границы 1\ при Нг =# 0. При Я1fo выражения, содержащие % в знаменателе (см. (2.12)), в силу условия
星》16" (1 + 矿2 WXaXb I 川产(2.14)
ограничены сверху величинами
с/ 丄任,с\хк\(\у\у^.(2.15)
xaxbI У 丨 У
Поэтому такие выражения стремятся к нулю при Ях -> 0, исклю
чая точки, в которых матрица у〃 однократно вырождена, причем хахъ \ у \ уаЬ = 0, ip =# 0,(①и ①2,①з) =/= 0. Таким образом, всюду,
кроме этих исключительных точек, которые выделяются двумя условиями: det || 力/| = 0, хахъ | у | уаЬ = 0, система (2.12) при % —» 0 непрерывно продолжается на границу Г.
Компоненты границы Го, Г1? rw являются инвариантными многообразиями системы (2.12), т. е. траектория, начавшаяся на границе, остается на ней все время.
Степенные асимптотики. Типичные состояния метрики на ранней стадии расширения пространства
Найдем степенные (по t) асимптотики метрики модели IX типа с движением вещества при сжатии пространства. Метрика, имеющая такую асимптотику, в координатах (2.10) представляется траекторией системы (2.12), входящей в одну из особых точек этой системы. В силу существования монотонной функции 尸=s&ipi/2 I у 卩/з все особые точки системы (2.12) лежат на компонентах границы Го (I у I = 0) или rw (w; = 0). Особые точки образуют шесть множеств: ①nx, N、7, А, В и К. Исследование поведения динамической системы (2.12) в окрестности этих особых множеств показывает, что все они, так же как и в случае диаго-
нальной модели IX типа (без движения вещества), являются неустойчивыми.
Множество Фдх имеет размерность 5 и определяется условиями s{=二&, ip = 0, ytj произвольны, Н1 (Флх) = 1
г 3
Система (2.12) на многообразии S имеет следующие собственные числа в особых точках ①лх：
£ =从=(1 一 *)//3,
入з =入4 =入5 = М3 (1 — к) (переменные s{),
入6 = —2 (1 + 3")/J3 (переменная ш),
九7 =..・=Au = 0(переменные ^订).
В пятимерное множество особых точек Флх из физической области многообразия S входит шестимерная сепаратриса (отвечающая отрицательному собственному числу Хв), которой соответствуют диагонализуемые метрики (движение вещества отсутствует) с квазиизотропной асимптотикой, найденной Лифшицем и Ха- латниковым [48]:
gij ⑴ 长 方%(1+"嗎(3.1)
(здесь синхронное время t -» 0).
Множество N^ имеющее размерность 2, определяется условиями
/1 0 0\(si 0 0\
I3II = Q1 0。о Q\I国| = Q1 о S2 о Q；・
\0 0 0/0 sj
Здесь и ниже Q* ——произвольная ортогональная матрица;
Si = -2 (3 + к) (43 + 2乃 + 3/尸А,§2 = - (5 - ") X
X (2 (43 + 2" + 3依)尸/2,
8(1 + 3后)(1一з„8 (5一 田
一43+24十3/ ， 厶丿-43十24+ 3/-
Собственные числа системы (2.12) в этих особых точках следующие: 入1 = & =入3 = —4 (1 + 3乃)(2/(43 + 2" + 3胪))％ (переменные у订), 入4 =入5 =入6 =入7 = 8 (1 —舟(2/(43 + 2乃十 Зк2))1/2 (переменные 4)? 入8,9 = 4 {1 — " 士〃％ (1 一 ")(3 + 16" — 3胪))％} X
X (2/(43 + 2" + ЗА:2))1/2 (переменные w, s^), X10 =入口 = 0 (переменные 班力 s*).
В особые точки N из физической области S входит пятимерная сепаратриса, представляющая диагонализуемые метрики, имеющие
асимптотику
/С.а-")/а+*) оо \
g仃(力)yQiо c/^^0Q；・(3.2)
\оо03%(3+k)/2(1+k)/
Особые точки ФдХ и N являются невырожденными и неустойчивыми.
Множество Т, имеющее размерность 5, определяется условиями
/2-%о0\/SО0\
II Ун 11 = С1 о2-%О&II 4 II = ^?1 0sx\q[.
\ о00/\ооо丿
Здесь координаты s, х удовлетворяют условиям s《0, 2s2 + а;2 = =1, m》0 — произвольное число, Н1 (Т) = 0.
В множество Т из физической области S входит семимерная сепаратриса, представляющая метрики (с вращением осей при х ^= 0), имеющие асимптотику, обобщающую асимптотику, найденную Таубом:
/600 、
giMD^Qx 0 Сг+С^ 一心磔伊 Q；.(3.3)
\ 0- J/s 伊每*/
Границей множества Т при s = 0 является множество вырожденных особых точек Т°.
Множества Л и 5, имеющие размерность 6, определяются условиями
但 0 0\G 0 4\
||%“ = Qi 0 双。Q；, [I 矗 || = Q] о S】s： ©, w = 0.
На множестве 4 sl = x/4 52, на множестве 5 s2 = 0; H】(4)= =Н* (В) = 0. Особые точки Л и 5 не имеют сепаратрис, входящих в них из физической области S, поэтому им не отвечают никакие асимптотики.
о о\о о\Множество К имеет размерность 7 и определяется условиями
о о\
о о\
Q；, II4II = <21 0 4 4\0 0 4/
券=0, Нг (К) = 0.(3.4)
Множество К лежит в пересечении компонент границы Го f) Tj f) f] rw. Эти особые точки являются невырожденными (при s；抬 :/= sg 抬 4) и неустойчивыми (подробное исследование особых точек
К проведено ниже, в § 4). Сепаратрисы особых точек К лежат на границе Г и идут (при направлении времени в сторону сжатия пространства) из одной особой точки К в другую. Особым точкам К не соответствует никаких степенных асимптотик. Эти особые точки вместе с их сепаратрисами являются аппроксимацией (см. § 4) наиболее общего режима поведения метрики при сжатии пространства — колебательного режима БЛХ [50, 51].
Покажем, что при наличии движения вещества степенные асимптотики (3.1) и (3.2) не реализуются. Из интегралов L (2.5) и К (2.6) можно образовать интеграл М, инвариантный относительно преобразований
gij —> 九2gi力S{:—> 九2跳，t f kt.(3.5)
Интеграл M в координатах s工 ^订，w имеет вид
M = L-K-2(1+/0/(1+3k)=
=(臂 + xl + xl)\y |2(lT)/(l+3%3(lf)/(l+3k) *
X 佟产 _ 曰同f (IT)/ (l+3k)(”/2 + /)-2(l+k)/(I+3M) =
=C 伯)e2(3D/(l+3k)就(kT)/a+3k)I g RT)/(l+3k) x
X储+谑+喻， (3.6)
где
Z「H； — 16及(1 + А:)-吟邓 I у I y^.
Если метрика вплоть до сингулярности имеет асимптотику (3.1) или (3.2), то соответствующая траектория системы (2.12) входит в особые точки ФдХ или N. Интеграл М (3.6) в особых точках ①лх и N равен нулю. Поэтому траектория, входящая в эти особые точки, соответствует метрике без движения вещества, т. е. асимптотики (3.1) и (3.2) при наличии движения вещества и при сжатии пространства вплоть до сингулярности не реализуются.
Отметим, что значение параметра “ = 1/3 выделено тем, что интеграл М при к = 1/3 не зависит от плотности энергии 8：
М (扌)=-д— "I* I g『1/3(〃； + ^2 + 喲.
Представляется естественным назвать движение вещества быстрым, если М ^> 1, и медленным, если М 1.
При направлении времени в сторону сжатия пространства все траектории системы (2.12) в силу наличия монотонной функции F (см. (2.8)) приближаются к границе Г. При этом вдоль каждой траектории 尸一》— оо, поскольку на границе F = — оо. Траектория системы (2.12), попав в малую окрестность границы Г, определенную условием I 尸 I 発 4, начинает двигаться вдоль траекторий этой системы, лежащих на границе Г. Все траектории системы
на границе Г являются сепаратрисами особых точек и ведут из одной особой точки в другую (мы не приводим здесь сепаратрисную диаграмму, поскольку она в основном совпадает с приведенной в § 6 главы II сепаратрисной диаграммой для диагональной модели IX типа). После конечного числа переходов (которое всегда не больше трех) вдоль сепаратрис особых точек ФдХ, N, Т, А 皿 В траектория попадает в окрестность особых точек К и начинает двигаться вдоль их сепаратрис. При таком движении траектории метрика изменяется в колебательном режиме (см. § 4). Таким образом, все метрики модели IX типа с движением вещества, кроме метрик, имеющих таубовскую асимптотику (3.3), выходят на колебательный режим, который является поэтому типичным состоянием метрики при сжатии пространства.
Определение понятия типичных состояний метрики дано в § 6 главы II. Для однородной модели IX типа с движением вещества типичными состояниями метрики на ранней стадии расширения пространства, определенной условием | F\ = | d ( | g 屮41dt |》＞ * 1, являются степенные режимы (3.1) — (3.3), соответствующие сепаратрисам особых точек ①nx, N、7\ вдоль которых траектории динамической системы (2.12) на многообразии S могут отойти от границы Г.
При наличии движения вещества типичные состояния метрики на ранней стадии расширения существенно зависят от величины интеграла М. Если для некоторого решения М登 1 (быстрое движение вещества), то соответствующая траектория системы (2.12) никогда не может оказаться в окрестности множеств Фдх и поскольку на этих множествах М = 0. Следовательно, при 〃登 1 единственным типичным состоянием метрики на ранней стадии расширения является степенной режим (3.3), обобщающий таубовский режим. Если же М 忘 1 (медленное движение вещества), то типичными состояниями метрики на ранней стадии расширения являются степенные режимы (3.1), (3.2) и (3.3), как и для диагональной метрики.
Комбинаторная модель колебательного режима
Приведем полное интегрирование сепаратрис особых точек и вывод комбинаторной модели колебательного режима с помощью аппроксимации траектории системы (2.12) последовательностью сепаратрис особых точек К, мимо которых эта траектория движется (при сжатии пространства).
Для дальнейшего исследования удобно следующее инвариантное описание множества К. Точка Р этого множества определяется двумя матрицами: Р = (%力 s$) (при этом ” = 0, Е】(Р) = (Sp (s))2 — 一 2Sp (s?) = 0, s = И s； II). Матрица 沙订 согласно (3.4) имеет ранг 1; пусть еу — собственный вектор матрицы 勿厶 отвечающий ее
единичному собственному числу. Согласно (3.4), вектор еу является также собственным вектором матрицы sj; пусть s — отвечающее ему собственное число этой матрицы. (Эквивалентная формулировка: матрица %> является проектором на некоторое собственное направление матрицы $)・
Пусть Si》$2》S3 — три собственных числа матрицы sj・ Удобно разбить множество К на три подмножества &, &, Кз, определенные следующим условием: на Ki имеем s = s】.
Собственные числа системы (2.12) и их собственные направления в особых точках Ki следующие:
入1 = 2 (1 — ")(Si + S2 + S3) (переменные 4),
九2 = 8 (sn + Sm — s【)(переменная ip),(4.1)
入з = 8 ⑸—s/, 入4 = 8 ⑸一Sm) (переменные 力力・
Здесь (sz, sm, s*) =(Si, s2, s3). Остальные семь собственных чисел 入5， . . . , Xu равны нулю и отвечают направлениям, касающимся множества К. В силу условий
Нг (К)=(近 + S2 + S3)? — 2 (S； + S^ + S；) = 0 И Si + S2 + + S3《。
получаем, что s»《0. Знаки собственных чисел 九工，九2,九з,入4 в особых точках К^ 区2，Кз указаны в следующей формуле:
Ki&Кз
入:一一+(4.2)
入3+一_
九4++—
Таким образом, в каждой особой точке множеств Къ К2и К3
имеются четыре ненулевых собственных числа с противоположными знаками, следовательно, эти особые точки являются невырожденными и неустойчивыми.
Проинтегрируем сепаратрисы особых точек К. Из каждой точки Р (歹订，或)，принадлежащей Къ выходит двумерная сепаратриса, идущая по компоненте границы Г^ 仅=0) на уровне % 口 0 (см. (4.1)). Эта сепаратриса имеет вид
3=0, s"q) =或，勿乂口)=exP、二师吵。"(4.3)
[Sp((exp(—8qs%))°go)2]i/2‘< 丿
где go — симметричная матрица такая, что go§‘ = 8go (тогда при всех q д (q)员=sy (q); см. (2.13)) и 力了 (― оо)=亏〃.Обозначим 隔 = Ун (+ °0). Очевидно, что матрица 见 имеет ранг 1 и yF = =sy1. Нетрудно проверить, что равенство yF = sy1 означает, что
матрица у1 является проектором на некоторое собственное направление матрицы §, т. е. точка Р^ = (у%, 8%) принадлежит либо множеству &, либо множеству К3. Из (4.1) следует, что в точку К2 по многообразию w = О, Л\ = 0 входит только одномерная сепаратриса, поэтому почти вся двумерная сепаратриса, выходящая из точки Р, идет в точку Р1 = (%六鼠)принадлежащую К3, и от нее отщепляется одномерная сепаратриса, идущая в точку (嗚，魂)， принадлежащую К2. Матрицы 成 и 耳告 являются проекторами на собственные направления матрицы s{, отвечающие собственным числам соответственно S3 и s2.
Из каждой точки Р =(歹订，碌)，принадлежащей ^2, выходит одномерная сепаратриса, имеющая вид (4.3), которая идет в точку 尸1 = (у%,魂), принадлежащую К3.
Из каждой точки Р =(歹订,§*)，принадлежащей К3, выходит одномерная сепаратриса, имеющая вид
I/万⑴=旅力 S% *)= 显一^^ + ， sh力示:11方0応力 (4.4)
w (t) = —4 (sh 力一sh 方0) [sh 方 + sh 力一2(Si + s?) ch %] ch"2^.
Здесь время t связано c q соотношением dt ~ w (力)dq, кон
станта % определена условием th t0 = 53, где 0》s^》s?〉S3 —— собственные числа матрицы j{. Сепаратриса (4.4) определена jipn 方о《力《々 < °・ При 力=力。получаем начальную точку Р =
2 (si + S2) — S3(1一同呼/22 (si + S2) — S3(1一同呼/2=(52力魂)；при t =力工
2 (si + S2) — S3
(1一同呼/2
2 (si + S2) — S3
(1一同呼/2
sh 力 1 =
получаем конечную точку Р1 =(歹订，4 (力i)), ^ (力 1) = 0, H1 (力)三 0. Из (4.4) следует, что конечная матрица 4 (力х) получается как первая точка пересечения кратчайшей дуги большого круга, проходя- з.
щего (на сфере » (4)2 = 1) через две матрицы s( и 歹打，споверх- ностью % (4) = (Sp ⑸尸一2Sp(52) = 0. Матрица s% (力0 имеет вид
以佑)=.(4.5)
U 1 十 4(S1 十 S2)2 — 4s3(S1 十 S2)
Общий собственный вектор еу двух матриц ^ и у订 является также собственным вектором матрицы 或(力0, поэтому конечная точка сепаратрисы (4.4) Р1 =(歹订，s{(幻)принадлежит множеству К. В этой особой точке собственное число 九2, отвечающее изменению координаты со (см. (4.1)), отрицательно, поэтому точка /\ принадлежит или множеству К^ или множеству К2 (см. (4.2)).
Рис. 20. Сепаратрисные переходы между особыми множествами & К?, Кз.Рис. 20. Сепаратрисные переходы между особыми множествами & К?, Кз.
Рис. 20. Сепаратрисные переходы между особыми множествами & К?, Кз.
Рис. 20. Сепаратрисные переходы между особыми множествами & К?, Кз.
Результаты проведенного интегрирования сепаратрис отраже- ны в сепаратрисной диаграмме рис. 20, где стрелка и символ а{ означают переход по сепаратрисе, идущей из множества £» в множество Kj. Отметим, что из каждой точки £i возможны два перехода: а； и а；, однако, как нетрудно проверить, 〃；。а； = а；, т. е. после этих двух переходов получается одна и та же точка на множестве К3.
Как отмечалось ранее, общая траектория системы (2.12) с некоторого момента времени начинает двигаться вдоль сепаратрис особых точек Ki и поэтому аппроксимирует
ся, согласно (4.4), бесконечной последовательностью этих сепаратрис и особых точек. При нахождении траектории в окрестности особых точек К[ одно из собственных чисел метрики g^ (力)много больше двух других (поскольку матрица
на множестве К имеет ранг 1). Этому максимальному собственному числу отвечает собственное направление матрицы g订,асимптотически близкое к общему собственному вектору матриц у〃 и 4 】)• Таким образом, бесконечная последовательность сепаратрис, определенная диаграммой рис. 20, является аппроксимацией колебательного режима поведения метрики g〃 (力).Такая аппроксимация следующим образом отображается в найденную в работе [51] кусочную аппр ок сим ацию колебательного режима решениями Казиера.
Пусть * е?,或一собственные векторы матрицы s^ (как отмечалось ранее, они совпадают с собственными векторами матрицы >4, которые в работе [51] названы «казнеровскими осями») и s^, s2, $з — соответствующие им собственные числа. При движении траектории вдоль сепаратрис а；, а：, а| метрика g^ (力)аппроксимируется следующим решением Казнера:
gii (0 = с^^ + С^^ + Сз朋弱， (4.7)
1) Отметим, что для почти всех траекторий системы (2.12) соотношения порядка собственных чисел дх > д2 > 0з метрики gij сохраняются при всех значениях времени 九 Это свойство имеет чисто геометрическую природу в следует из того, что в шестимерном пространстве симметричных матриц g»j многообразие W матриц с двумя равными собственными числами имеет размерность 4, поэтому почти все траектории системы (2.12) никогда не пере-» секают многообразие W. Аналогичное свойство динамических систем в про* Странстве двумерных матриц используется в § 3 главы VII,
где казнеровские показатели р» определены формулами
—42Sj
(4.8)(4.8)"*$1 十 $2 + $3，
(4.8)
(4.8)
—и1 + М〃 + 〃2
2 十"十〃2， 迎-1 十 74 + 炉， р3 _]十 〃 + "2
Движению траектории вдоль сепаратрис aj и а| в модели БЛХ [51] соответствует «смена казнеровских показателей и поворот казнеровских осей». Допустим, что матрица 8* приведена к треугольному виду (3.4). Согласно (4.5), собственные числа s» = 4 матрицы 或(здесь s】V s2Vs3 V 0, поэтому в (4.5) нужно поменять местами s^ и S3) преобразуются так же, как и в диагональной модели IX типа. Следовательно (см. § 6 главы II), преобразование (4.5) приводит к указанному в работе [51] закону смены казнеровских показателей:
Pi = А 3 — 1), А = pi & — 1), р； = & & 一 1).
Собственным числам s» отвечают следующие собственные векто-
ры матриц s{ и s{(力°:
(4・9)(4・9)S] т (1, 0, 0), S2 —> (s；, S2 — S], 0),
(4・9)
(4・9)
S3 f (s滋 +(S3 — S0 s；,(S3 — S0 S：,(S3 — Si)(S3 — S2))・
Запишем координаты этих векторов с помощью углов поворота: L (1, 0, 0), М (cos 0m, sin 0m, 0),
N (cos 8加 sin 0n cos(pn, sin 0n sin 孤)・(4.10)
Из формул (4.5), (4.8) получаем связь углов поворота собственных векторов матриц 或 и 或(力0 после сепаратрисных переходов 吐脸
tg % и — 2 tg 97n 2〃 一 1，
Полученные формулы совпадают с выведенным в работе [51] «законом поворотов казнеровских осей». Следовательно, сепарат- рисная аппроксимация метрики g^ (力),определенная диаграммой рис. 20, изоморфна аппроксимации, указанной в работе [51], при условии, что из двух возможных переходов а； и а： выбирается основной переход по двумерной сепаратрисе 〃；•
Опишем кратко полученную здесь комбинаторную модель колебательного режима, состоящую в том, что траектория системы (2.12) периодически оказывается в окрестности особых точек К, которые получаются одна из другой последовательным действием некоторого отображения Т.
Точкой множества К является пара матриц (力力 豆),удовлетворяющая условиям
W《0,& (s) = (Sp s)2 — 2 Sp ($2) = О,
33
Г 務3(4)2=1,(4.12)
3 7=1卜，7=1
причем матрица 沙订 имеет ранг 1 и является проектором на некоторое (вещественное) собственное направление матрицы s%. Пусть s? — соответствующее этому направлению собственное число матрицы 4 (в силу (4.12) s?《0).
На множестве К действует отображение Т, определенное следующим образом. Если s^ не является минимальным собственным числом матрицы 4» то отображение Т может быть двузначным и переводит точку (у〃，4) в тонну (亏订，s*), где у^ — проектор на другое собственное направление матрицы 4» отвечающее собственному числу, меньшему, чем s^. Если s^ — минимальное собственное число матрицы 4, то отображение Т однозначно и переводит точку (勿力 sQ в точку (z/f；,s9? где матрица sj есть первая точка пересече- з
ния кратчайшей дуги большого круга (на сфере』(4)2 = 1),
проходящего через точки 或 и у〃, с поверхностью Н* (s) = 0.
Отображение этой комбинаторной модели в комбинаторную модель БЛХ определяется тем, что собственные направления матрицы 4 совпадают с «казнеровскими осями», а казнеровские показатели р» определяются формулами
—42s；
Р j — S1 十 S2 + S3，
где Su S2, S3 — собственные числа матрицы 豆・
Некоторые общие свойства динамики однородных космологических моделей с движением вещества
Построение динамической системы. Указанная в §§ 1, 2 конструкция динамической системы на компактном многообразии S, эквивалентной системе уравнений Эйнштейна для модели IX типа, обобщается на все остальные однородные модели с движением вещества i). Так же как и в § 1, правоинвариантные при действии
Такое обобщение было проведено в работе А. А. Пересецкого [83], которому и принадлежат результаты этого параграфа. Существование общего колебательного режима поведения метрики однородной космологической модели VII типа с движением вещества впервые было обнаружено в работе
группы Ли G векторные поля XQ X1, X?, хз предполагаются выбранными так, что структурные константы 璃 имеют стандартный вид (1.1), а метрика 曲纟 имеет вид (1.2).
(5.1)(5.1)Подставим в тождество (1.4) тензор Р вместо 刑一“g'/ (в силу уравнений Эйнштейна (1.3)) и заменим вариации ЗЕ订 их выражениями через вариации метрики 3g订 по формулам (3.5), (3.28) главы II. После этих подстановок и при выборе времени т согласно (1.7) тождество (1.4) в силу независимости однородных вариаций метрики 3g订(г, у = 1, 2, 3) приводит к следующей системе уравнений:
(5.1)
(5.1)
°gfj 呪8g讨
где функции И炉 и М^ имеют вид ( | g | = det (g订))
m =手 I g『(if)/2g 叮[6a21 g I g喲 一 2叫 g I g33 6j +
+ a I g I g3msm山‘十 agikgkmSkm几+, (5・2) M”= ,2 # $ (uW — kgabUaUbgij) J g 俨+论)/2.
Функция L (且订,金订)в (5.1) получается из V2 ^ ]/" | g | после отбрасывания полной производной по времени и имеет вид 厶= £|g|af/2(% 取 g-к 纟噬 +
+ 4d g |-(i+砂仅[12a21 g I g33 — I g I gi" %汴 I 戸# + g务 nW],(5.3)
где к£ = ga^.
Так же как и в § 1, введем импульсы 卩幻=дЫд^ц и координаты 4 = g/нр". Очевидно, что вид импульсов 卢 и координат 4 одинаков для всех однородных моделей (поскольку кинетическая энергия в (5.3) не зависит от типа модели) и дается формулами (1.16), (2.1).
Уравнение Эйнштейна 3； —— V2 Я = 7； имеет вид
Н = $ J g |(1^)/2 [(1 + 向谪(一 g)』一矶(5.4)
где функция Н = g力，^ L выражается через фазовые координаты 幽 gtj по формуле
Н = KI(士砥｛(SP(Р*))2 — 2Sp (pogopog)—
—~% [12q2 I g I g33 T g I g> %泳 I 也к + g务几汕｝・(5.5)
Система уравнений (5.1) и (5.4) эквивалентна системе (0, 0) и (厶 j) уравнений Эйнштейна (1.3).
Уравнения Эйнштейна Иоа = Гоа имеют вид
sgcg? - 52爲6 = y— I g |(1-")/2也0〃а.(5.6)
Из уравнений (5.6) следует, что в однородной модели I типа (。纟丫 = = 0) включение движения материи невозможно (поскольку из (5.6) следует, что 〃《 = 0). Для однородной модели II типа (п1 = =几2 = а = о,几з = ])03 (5.6) получаем и3 = 0, в то время как 〃工 и 〃2 могут быть ненулевыми. Для остальных моделей III— VIII типов возможно введение всех трех компонент скорости материи.
Уравнения (5.4), (5.6), так же как и для однородной модели IX типа, являются связями, позволяющими выразить компоненты скорости материи и» и плотность энергии е через компоненты метрики 纟刃 и импульсы рг‘. Учитывая условие (1.12), И8 (5.4) и (5.6) получаем следующие выражения:
2 成]g |g)/2 =Н + ^~ 詳& XaXbgg | g『广=Z, 屮 euV| g |(】+k)/2 = •；£謬,(5.7)
X% = ^Cji — 乂唸•=味 Ejtk 几卜一as阳 + Заз?.
Система (5.1) после подстановки выражений (5.6) и преобразования в фазовые координаты рг;, g^ принимает вид
卢=-爲/ =嘉・(5・8)
Здесь функции Пг? определяются формулами (5.2), а функции Л/" в силу (5.7) имеют вид
М" = 4 I g『[¥¥ — "次(gabX^b)]/(l + A) Z.
Динамическая система (5.8) после преобразования в коорди- натж (2.10) и замены времени (2.11) принимает вид
= (1 一 ") "1 (学一s琥)+
+ 飞器 2丁 [居-s： Sp (s%8)] + w(Q}-s； Sp (*Q)), 窑—=8w (Sp s — 2Sp (j/2os))—
-2w[(i-k)H1Sps+ «霁才 Sp(sQB) + wSp(sQQ)], dy. •〃(5・9)
= 8(—力芯 + у 订 Sp (产 s)),
署= 4G(Sps-2 sp (户 s)).
Здесь использованы следующие обозначения:
3： = — /xlxj + к^ьхахь.
Xi = ^1 е川"—as^l + 3喈，
Q；=学(4a2次/33 - n2n3yyn — 几%3yy22 —几万2刃33) +
+ aEjityy3i几% + a^yi^^ +
+ 4"川小""I 8加I + ?式屮什才,(5.Ю)
Hl = (Sp s)2 — 2 Sp G) 一 ｝认Sp Q, Zi = % + (% -吊为 I у I wy-bxax^ ・
Динамическая система (5.9) определена на таком же, что и для однородной модели IX типа, компактном 11-мерном многообразии S, выделенном в координатах 举，yih w естественными условиями (2.13). Система (5.9) в силу условий (2.14) непрерывно продолжается на компоненты границы rw и Го, кроме некоторых исключительных точек (см. конец § 2).
П. Сепаратрисная аппроксимация колебательного режима. Динамическая система (5.9) на компоненте границы F缈(必=0) не зависит от типа однородной модели. Поэтому особые точки системы (5.9) и их сепаратрисы, лежащие на компоненте границы Г缈, для всех однородных моделей те же, что и для модели IX типа (см. §§ 3, 4). Остаются неизменными также все собственные числа особых точек на 几.
Исследуем сепаратрисы особых точек множества К, разбитого на три подмножества: К^ К?，"з (см. § 4). Сепаратрисы, выходящие из особых точек множеств К^ и £2, лежат на компоненте границы rw 0, как показано в § 4, идут в особые точки множества К3.
Пусть точка Р =句订，鸯，iv = 0) принадлежит множеству К3, Напомним, что это означает, что матрица у^ имеет ранг 1 и поэтому представляется в виде 亏订=川”，где (%,派，％) — единичный собственный вектор еу матрицы 歹订.Вектор еу является также собственным вектором матрицы 哥，отвечающим наименьшему собственному числу. При этом % (Р) = (Sp ⑹产一2Sp(52) = 0. Из особой точки 力,согласно формулам для собственных чисел (4.1)——(4.2), выходит одномерная сепаратриса, вдоль которой yij = const, Hi = 0, и уравнения (5.9) принимают вид
票=叭& — & Sp (s°Q)),
忆(5.11)
^^ = 8w (Sp s — 2 Sp (y%s)) — 2炉 Sp (s°Q),
Матрица Q @〃) не зависит от времени и согласно (5.10) имеет вид
Q (歹力=Q = a+yoNoyoK + у。"。//。"，
/ 0 +1 0\八1 о о \
К= -400 ,%= 0 做 0.(5.12)
\ 00 0/\0 0 枕з 丿
Пусть К Q II = Sp'G (Q%Q) * 0. После замены времени dt = =w (т0 К Q [j система (5.11) интегрируется:
豆昨翳風+^^a，陪孫
必(方)=4 (2Sp (户0) - Sp Q) (sh 力一sh 方。) (sh ^ - sh 方)，(5.13)
где 力 1 определяется из условия
(sh 厶一sh 力°) (2Sp 俨。W) — Sp 0) = 2 ch t0 (Sp s — 2Sp 俨。§))・
В момент времени 力=亢 сепаратриса (5.13), выходящая из особой точки Р (歹，§), принадлежащей множеству К3, попадает в особую точку Р (д', /), где 笫=0,旷=歹，s' = s (小，Нг (Р)= =0. Поскольку в особой точке Р‘ собственное число Xw V 0, то Р‘ принадлежит либо множеству А\, либо множеству К2 (см. (4.2)). Матрица s，= s (幻 вследствие формул (5.13) является второй точкой пересечения большого круга, проведенного на сфере W (4)2 = 1 через две точки (穽)и (?%), с поверхностью Ях (4) = 0. Отметим, что в случае однородной модели IX типа матрица Q = —У2 = У ^ формулы (5.13) эквивалентны формулам (4.4).
Предположим теперь, что^ (豆力=0. В этом случае сепаратриса, выходящая из особой точки Р =伉力專)，принадлежащей К3ч уходит из множества К. Действительно, при ^ — 0 из системы (5.11) получаем
s{. = const, 歹订=const, w = Wq exp [8q(Sp s — 2Sp (g2s))].
(5.14)
Условие Q (勿j) = 0 означает
II Q II2 = Sp Q%Q = 5或 + &调 + 九з喲2 X
X [(000 + 九2y2户 + (®2 — 〃協 1)2 + nlyl] = 0.
Последнее равенство в силу а*п3 = 0 выполнено одновременно с п^? + п^ + 九3欣=0. Таким образом, условие Q 也命=0 для моделей I и V типов выполнено тождественно. В случае моделей И, Ш, IV, VI и VIII типов условие Q Q/订)=0 вырезает на двумерном многообразии АР? маТрИц》订=у(у^ У1 + yl + Уз = i некоторую кривую; в случае модели VII типа ——точку; в случае модели IX типа — пустое множество.
Таким образом, для всех однородных моделей, кроме моделей I и V типов почти во всех точках множества £3 имеем Q (у^)抬 0. Следовательно, сепаратриса, выходящая из этих особых точек, имеет вид (5.13) и идет в особые точки множеств К* и К?・ Поэтому для всех однородных моделей, кроме I и V типов, почти все особые точки множества К обладают следующим свойством: сепаратрисные переходы, начавшиеся из данной особой точки, все время возвращаются в точки множества К и образуют бесконечные последова
тельности.
Траектории системы (5.9) при сжатии пространства, в полной аналогии с поведением траекторий системы (2.12), в силу существо- d (det g. -)1|/6
вания монотонной функции F =приближаются к
границе Г многообразия S и начинают двигаться вдоль последовательностей сепаратрис особых точек К (за исключением сепаратрис особых точек типа Фпх, N、М, Т). При этом отношения qdq§ собственных чисел метрики g^ осциллируют, т. е. изменение метрики происходит в колебательном режиме. Таким образом, для всех однородных моделей с движением вещества, кроме моделей I и V типов, общим режимом поведения метрики вблизи сингулярности является колебательный режим.
При движении траектории вдоль сепаратрисных переходов Л\ т Кз и К? — Кз метрика аппроксимируется решением Казиера (4.7). При движении траектории вдоль сепаратрис (5.13) К3 —> К^ К2 происходит смена казнеровских показателей р» и поворот казнеровских осей (собственных векторов матрицы 4)-
Покажем, что преобразование собственных чисел матрицы s{ (и связанных с ними казнеровских показателей ph см. (4.8)) при переходе (5.13) из особой точки Р (歹订，就)в особую точку Р(歹〃，(4)') не зависит от типа однородной модели. Действительно, дивамическая система (5.9) — (5.11) инвариантна относительно действия матриц А из группы автоморфизмов Ant (®) алгебры Ли ® группы G:
s f Рг (AsA^), у - Pi (Ау4),(5.15)
где оператор Рх означает проекцию матрицы 力;на единичную сферу:
Р1 (咛)=6 (力(嚙2)•
S1<S2 Vsз<0. (5.16)S1<S2 Vsз<0. (5.16)вести к видувести к видуС помощью преобразований (5.15) матрицы 亏订 и 可 можно при
S1<S2 Vsз<0. (5.16)
S1<S2 Vsз<0. (5.16)
вести к виду
вести к виду
В случае модели VIII типа возможно еще приведение матрицы 歹订 к виду 歹订=6游(см. [83]).
В силу (5.13) имеем
(Wy = 4 (fl) = const II St II + 2(S2 + S3 — S0 (: 0 ；) ] .(5.17)
Поэтому преобразование казнеровских показателей р»= 1 — 2sjX 乂闻 + S2 + §з)т при переходе (5.13) не зависит от типа модели (и указано в § 4).
Связь углов поворота казнеровских осей, которые для матрицы 4 вида (5.16) можно записать в виде (4.10), отличается от (4.11) и имеет вид
,.фп фп»(5.18),.фп фп»(5.18)tgB； _и-2
,.фп фп»
(5.18)
,.фп фп»
(5.18)
tgB^ — “十2 + 4atgB九 coscp 九
"+ ctg 呪—2〃 一 1
a + ctg 詳—2〃 + 1 .
Отметим, что при приведении матрицы 4 с помощью преобразований (5.15) к треугольному виду (5.16) собственные векторы матрицы 4 преобразуются матрицами Л, которые для всех однородных моделей, кроме модели IX типа, не являются ортогональными и поэтому изменяют углы между векторами. Вследствие этого в общем случае закон поворотов казнеровских осей зависит не только от их взаимного расположения (начальных значений 0т, 0П,(рп), но и от их расположения относительно базисных векторов Х2, X3.
Для всех однородных моделей с движением вещества, так же как и для модели IX типа (см. § 3), можно полностью исследовать все особые точки динамической системы (5.9) и соответствующие им асимптотики. Это исследование было проведено в работе [83], где показано, что все имеющиеся особые точки и асимптотики являются обобщениями особых точек и асимптотик, имевшихся в однородных моделях без движения вещества (см. главу И), и качественно новых асимптотик и особых точек при включении движения вещества не возникает.
§ 6. Однородная космологическая модель IX типа
с электромагнитным полем
I. Уравнения Эйнштейна ——Максвелла в лагранжевой форме. Электромагнитное поле в однородной космологической модели IX типа, так же как и метрика, инвариантно при правых сдвигах по группе SO (3). Метрика имеет вид (1.2), где g。。(力)三 1, Вектор-
потенциал электромагнитного поля в базисе X。，X* X?, X? имеет координаты
4 = (40 (力)，41 ⑴，｛2 (0, 43 (力)).
Тензор электромагнитного поля F^ =工上；；一工储卜 в рассматриваемом базисе имеет вид
尸ik = %4 + Vx'4 — %忙"加(б」)
где значок V^i означает производную Ли по полю X* а。露 —— структурные константы: [X», X/J =唸Х$, С& = С^ = 0. Выбирая структурные константы группы SO (3) в стандартном виде (1.1), из (6.1) получаем, что
Тензор %к вследствие градиентной инвариантности не зависит от компоненты 4。(0; в дальнейшем полагаем 4。(力)三 0.
В однородной космологической модели метрика g〃 и вектор- потенциал 4» удовлетворяют уравнениям Эйнштейна ——Максвелла (см. [84, 9§—99])
国"一l/2gekE = ^^ 2\k = ^" (— F厶咼 + ；歹lmPlmgil^ , 码=0, i, k.l.m = 0, 1, 2, 3.出・2)
Эти уравнения, как известно, следуют из вариационного принципа
5、Ep^idQ + $3 \ FikFik |<^^£2 = 0(6.3)
при независимом варьировании всех компонент метрики g〃 и вектор-потенциала 4»・ В дальнейшем мы используем систему единиц, в которой 2^/d = 1.
Вариационный принцип (6.3) при условиях однородности метрики и электромагнитного поля переходит в лагранжев принцип
6 J (£х + %) dt = 0,(6.4)
где
%="I" W g I (X觊S - 乂2嗡) ^^囱- (2 I g I g0606 - ga0ga0),
磋=gayg明I g I = det Ц ga0 II，(6・5)
厶=^ %a%BgaB W g I + -|- 4/吟邱 p=j •
Уравнения Лагранжа д (А + L^/dq = (d/dt) (5 (厶 + L^/dq), соответствующие (6.4), эквивалентны «тензорным» компонентам уравнений Эйнштейна при i, А = 1, 2, 3 и уравнениям Максвелла при » = 1, 2, 3 (см. (6.2)). Уравнение Максвелла ^ = 0 выполняется тождественно в силу однородности метрики и электромагнитного поля. Уравнение Эйнштейна
&0 — ％ g°°R = 一 /冏 + Z用m^mgoo
означает, что Н = 0, где Н ——энергия, отвечающая лагранжиану 厶！ + 乙2・ Уравнения Эйнштейна
Rqa =—歹об% 历 В имеют вид
-^IC^ = 4“弘 4g 叫(6.6)
где 。厶 ——структурные константы SO (3) в стандартной записи (1.1).
Таким образом, уравнения Эйшптейна — Максвелла (6.2) для однородной космологической модели IX типа с электромагнитным полем эквивалентны лагранжевой системе с лагранжианом L± + + 厶2, рассматриваемой на уровне связей (6.6) и Н = 0 (ниже мы покажем, что связи (6.6) сохраняются лагранжевой системой).
П. Первые интегралы гамильтоновой системы. Преобразуем полученную лагранжеву систему с помощью преобразования Лежандра в эквивалентную ей гамильтонову систему. Введем импульсы
声=普=寧(認(]n|g|).一赤g%f),
—(6.7)
E =券=一4認了团厶力论,Z = (，2, 3.
В фазовом пространстве (p, q) с координатами р", Р», g〃, At получаем гамильтонову систему
^ дН ・ дН/公
9 =而(6・8)
с гамильтонианом Н = Н工—Н?, где
1G = ру= [(Sp (pog))2 — 2Sp (pogopog) +
+ ^(2|g|Sp(gT)-Sp(g%))],
1(6.9)
h2 =万片(巴巳+ 4句)8储・
Здесь р, g — матрицы || р” ||, || g〃 ||； I g I = det || g〃 ||・ Отметим, что гамильтониан Н^ описывающий изменение электромагнитного поля, есть гамильтониан трехмерного осциллятора (с изменяющейся метрикой).
Лагранжиан L и, следовательно, гамильтонова система (6.8) имеют группу симметрий SO (3), действующую по закону
g т Q'ogoQ, р f Q%poQ, 4 Q1qA. Р т Qt°P, (6.10)
где Q ——ортогональная матрица.
По теореме Нетер (см. [100]) гамильтонова система (6.8), в силу наличия трехмерной группы симметрий (6.10), имеет три первых интеграла — «момента»:
% = g^6cla + % а^рА，(6.11)
С помощью интегралов ”《 легко доказать, что связи (6.6) сохраняются гамильтоновой системой (6.8). Действительно, используя формулы (6.7), легко проверить, что связи (6.6) означают, что Ма = 0. Таким образом, гамильтонова система (6.8) рассматривается на общем нулевом уровне гамильтониана 方=0 и моментов Ма = 0.
Система (6.8) имеет еще один первый интеграл
з
W = ^^P} + ^).(6.12)
Действительно, легко проверить, что скобка Пуассона {Я, W}= —0.
Ш. Колебательный режим поведения решений с диагональной метрикой вблизи космологической сингулярности. Уравнения Эйнштейна ——Максвелла для однородной космологической модели IX типа имеют частные решения с диагональной метрикой g〃 и однокомпопентным вектор-потенциалом 4匚
0 0\
0 的 0 ,4=(0, 4 0, 0)・(0.13)
\00 «з 丿
Такие решения тождественно удовлетворяют связям Ма = 0. Гамильтониан Н = Н* — Я2 (6.9) при условиях (6.13) имеет вид
зз
：2± 叫一2£L^lgJ.(6.伍)
Соответствующая гамильтонова система на уровне Н = 0 после
замены времени dxjdt = 1/(2 ]Л^1^3) и замены координат 金= =р0 (i = 1, 2, 3) переходит в систему
% =-%(2 % - 2%) + 2%6:,柒=4% (2 8k-2g j ,上=1x=i
(6.15) где
3333
Я0 = % 匕心203 =8『一2 ^寻 + ；(£ %У^^1涼・
i=li=lг=1г=1
При этом вектор-потенциал удовлетворяет уравнениям
А = yw sin 屮(q),4 = yw cos ф (q), Ф = 2 %. (6.16)
Здесь W = 2 HJq工 —— первый интеграл системы (6.15).
Рассмотрим поведение метрики (6.13) при сжатии пространства ((%02夕3)V 0) в окрестности космологической сингулярности 夕也喇3 = °・ Сжатию пространства отвечает область 互 + §2 + §з《 < 0; по смыслу задачи qt ^0,HQ = НГУ %&拆=% U %&方 >。・
Система (6.15) имеет двумерное множество невырожденных особых точек — конус L:
3з
(S 員)2 — 2 2 ^? = 0,,1 = 02 = 03 = 0・
г=1г=1
Конус L лежит в отрицательном квадранте 勺^ §2, §3《0 и касается биссектрис координатных углов st =8力 8k = 0. Биссектрисы делят конус L на три части; обозначим L* часть конуса, ближайшую к оси §;・
Собственные числа особых точек L следующие:入幻=%S1 = =4 % + §3 — §1),儿2 = 4 (§з + §i — §2),从з = 4 (笃 + 亮一§з), 入§2 ~ %з = 0. Очевидно, что на множестве Lt %〉0,入龔 V 0, 九0衣 V 0 «, /, % = 1, 2, 3). Следовательно, из множества Lt выходит сепаратриса, вдоль которой изменяются координаты 方 и §订 а координаты 分=,卜=0; §力翫 постоянны.
Сепаратриса, выходящая из точки (*, §；,忠)на множестве %(或 + 或一С：〉0), после замены времени dt/dq = % имеет вид
дх (т) = Ж cos 2 т + 2 (^ + ^ — sj) sin 2т — W,
亮⑴=(芸一或-或)cos 2T + 萼sin 2T +謂+砾 (6.17)
,2 =，3 = 0，$2 —磁，§3 = S?,0《Т《Т].
Конечная точка этой сепаратрисы достигается при т = т】：tg Т]=
=2 倒 + 磁一就)/%;%(Q = 0,互(q) = 2 風 + ⑥)一 / и принадлежит множеству £2 или L3. В координатах 51? §2, §3 сепаратриса (6.17) движется из точки (§；, §：,或)в точку (2 (8： + §；) — §；, §；, М) по прямой, параллельной оси §]・ Максимум величины gi вдоль (6.17) достигается при т = тт : tg (2тт) = 2 (§： + 或一 一 §；)/巾 и равен
gmax =(俨 + 4 處 + ¥一 8:)2/ 一 W. (6.18)
Аналогичные формулы справедливы для сепаратрис особых точек 乙2 и Z/3, где нужно переставить индексы и положить РИ = 0.
Особые точки £» вместе с их сепаратрисами представляют собой аппроксимацию колебательного режима Белинского — Лифшица —Халатникова [50]: траектория, идущая в окрестности сепаратрисы (6.17), попадает в окрестность некоторой неустойчивой особой точки множества £» и затем движется вдоль выходящей из этой особой точки сепаратрисы типа (6.17) до попадания в окрестность новой неустойчивой особой точки множества Lj и т. д. Таким образом, вдоль траектории последовательно одна из трех величин д^ ,2，,з оказывается много больше двух других. При этом формулы (6.17) показывают, что очередность максимумов величин q^ ,2,，з не зависит от величины W (наличие электромагнитного поля) и является такой же, как в пустом пространстве (Ж = 0); следовательно, также справедлив закон смены «казнеровских показателей» [50]. Однако величина максимумов % согласно (6.18) при наличии электромагнитного поля уменьшается; в случае сильного поля (W ^> %) имеем
% max (%) W (% max (0))2/2 忆
где % max (0) — соответствующий максимум % в пустоте (W = 0).
Полное качественное исследование динамической системы (6.15) можно провести с помощью методов, применявшихся в § 6 главы II. Система (6.15) после преобразования в координаты
st = Si/P.旳=%/G, w = G2/P2,
G = (g； + 或 + 喲％,尸=(話 + 君 + sl)^ (6.19) и замены времени 呪J肌工=Р принимает вид
& = "[- у. (у，+ % 一力)+ 电(%Sa (佈 + 办一勿))1 + + 2 (6} - SjS0 82, .33
w = 2w[w(УаSa 仅0 + УУ - Уа)) - 2$血2 + 4 (2% - 2 2 ^|)],
女=8物(Sa成一方),
33
@= 46(2 Sa-2 2 SB启.(6.20)
3
1)・ Система У г<7
так же как и система (4.9) главы II, определена на компактном многообразии 5, выделенном условиями Я2》°，У»》0, s^ + + $2 + S3《0・ На поверхности Я2 = 0 эти две системы, очевидно, совпадают. Поэтому система (6.20), согласно результатам § 6 главы II, имеет следующие множества особых точек, лежащие на уровне % = 0： три окружности 仲，i) и девять отрезков /», 方為 7\. Нетрудно проверить, что других особых точек (в области Н2〉0) У системы (6.20) нет. Поэтому все степенные асимптотики метрики при сжатии пространства соответствуют сепаратрисам особых точек ТI (особые точки (ф, i), Лг и Bt не имеют сепаратрис, входящих в них из физической области).
Покажем, не вычисляя собственных чисел в особых точках 2\, что в рассматриваемой задаче реализуется только таубовская асимптотика % w С^2, q2 = ^3 -» С2 ^> 0 при ^ —> 0, соответствующая особым точкам 7\. Действительно, из условия 8 = 0 (см. (6.14)) следует HJq工=(尸；+ 工；)/2 = W — const. Отсюда получаем % = H^G/wW. В таубовских асимптотиках имеем G -> —> const, w —> const, % —> 0, поэтому 勿一> 0, т. е. возможна только асимптотика Тх. Такую асимптотику имеют точные решения @ 三 ％), найденные в работе [93]; все остальные решения в рассматриваемой задаче при 力 т 0 выходят на колебательный режим (соответствующие траектории системы (6.20) движутся вдоль сепаратрис трех окружностей особых точек 仲，％))•
Отметим, что напряженности электрического и магнитного полей в лоренцевой системе отсчета имеют вид Е1H — /\/М仅方, 反工=A^Y^з- Отсюда в силу существования интеграла Р； + + Al = 2 W следует, что для общего решения вблизи космологической особенности Е； + 困—оо, в то время как для частных решений с 02 三 0з напряженности Е* и Н、все время ограничены.
глава iv
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Наряду с однородными космологическими моделями существует еще один важный класс решений уравнений Эйнштейна, для которого уравнения общей теории относительности сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений,— класс автомодельных решений. Автомодельные сферически-симметричные решения в общей теории относительности впервые рассматривались в работе [101]. Уравнения Эйнштейна для этих решений преобразовывались к различному виду в [102, 103] и р ассматрив а лись в сопутствующей системе отсчета в [104, 105]. Автомодельные обобщения однородных космологических моделей были указаны в [106]. Классификация частично инвариантных решений уравнений Эйнштейна, включающая автомодельные решения, дана в работе [107]. В связи с проблемой образования нестационарных черных дыр автомодельные решения изучались в работе [108]; автомодельные решения, несингулярные внутри светового горизонта, исследовались в [109]. Методы, применявшиеся в перечисленных работах, позволили исследовать ряд свойств автомодельных решений, однако не дали полной картины динамики этих решений.
В данной главе проведено качественное исследование трехмерной динамической системы, описывающей автомодельные сферически-симметричные решения в общей теории относительности. Впервые обнаружено наличие радиальных колебаний газа в автомодельных решениях (этот эффект имеет аналог также и в классической теории; см. главу V); найдены автомодельные решения, у которых трехмерные пространственно-подобные сечения имеют ту же топологию, что и в решении Шварцшильда — Крускала.
§ 1. Система уравнении Эйнштейна
для сферичеоки-симметричных автомодельных решений
Сферически-симметричные автомодельные решения уравнений Эйнштейна являются четырехмерными многообразиями с эйнштейновской метрикой 曲2 = g^M出с\ которые обладают трехмерной группой изометрий SO (3), действующей с двумерными орбитами (сферами S?)и одномерной группой преобразований
при действии которой происходит растяжение метрики
耿：ds2 т е (九)ds2, e & + 入2)= c (戛)e (九2)■
Автомодельные решения могут быть представлены в различных эквивалентных формах (см. ниже, § 3). В дальнейшем мы исследуем метрику автомодельных решений в конформно-статическом виде:
加2 = 2262T (оХ(г)办2 —(y&(r) d# —戸d Q2),(1.1)
где dQ2 = de? + sin2 0 d(p ——стандартная метрика постоянной положительной кривизны 乂 = +1 на двумерной сфере 52, о = =士 1, I — константа с размерностью длины, переменные т, г безразмерны. В автомодельном решении (1.1) группа 屮山 действует сдвигами по т. Одновременно с (1.1) можно рассмотреть автомодельные решения с метрикой dQ2 = dB? + sh2 0 d(p2 постоянной отрицательной кривизны х =——1 и с метрикой dC? = d®2 + d(p2 нулевой кривизны % = 0.
Предположим, что в автомодельном решении (1.1) материя имеет гидродинамический тензор энергии-импульса
7订=(Р + £)〃泓j — Pg力(1.2)
где плотность энергии е, давление р и 4-скорость материи и1 имеют вид
£ = 80в (г) е2, р =施 0《А: V 1,(1.3)
("0, "1, * №)= е-т [(；二：2 厂，и (；二：J”，0, °]'
Здесь 80 ——константа с размерностью плотность энергии. При о = +1 функция и (г) = и (r)/c, I u I < 1, а при о = —1 имеем и (г) = dv (г), I 〃 I》1, где V (г)——трехмерная радиальная скорость материи.
Уравнения Эйнштейна для автомодельных решений имеют вид (здесь % = 8л^/с4)
况e = k()7&：
e-入(与一$) + Зе- + 爲=xoeoe : ±：： ,(1.4)
А；2~ R = КоТ：:
—N+e-v + 备=—КоЕВ ,(1.5)
Rl — ^rR = HoTl
_ -1^4(2丿 + d — «^ м + ； - — V’M) + ef = _ Хонеое, (1.6) %i= y#oi： v=-{l + k)^ 三% e(叶九)/2 ・(1.7)
Рассмотрим систему двух уравнений Эйнштейна:
尤一用=乂。 (爲 — 7»围 一 _^ R = 乂。爲(1.8)
и одного уравнения гидродинамики 7；泳=0:
*且絆+ 27； 一手订:一手入7: 一 ^爲=0, (1.9)
где Mg = r2&v+九)/2. Уравнения (1.8), (1.9) после исключения воё из уравнения (1.7) и перехода к новым переменным
^ = In г, Q = red-v)/2, w= -^~= vV (1.10)
определяют замкнутую трехмерную динамическую систему
w = ww = ww; (1 + u2).2k (1 — u2).1 +炉-2〃•(1 — к) и* и _w; (1 + u2).2k (1 — u2).1 +炉-2〃•(1 — к) и* и _山一k山一k^^L_2ku + Q^^L_2ku + Q〃2(1一4)一%(4 + 3")〃2(1一4)一%(4 + 3")(1十幻(1十幻(1.11)(1.11)
w = w
w = w
w; (1 + u2).2k (1 — u2).1 +炉-
2〃•(1 — к) и* и _
w; (1 + u2).2k (1 — u2).1 +炉-
2〃•(1 — к) и* и _
山一k
山一k
^^L_2ku + Q
^^L_2ku + Q
〃2(1一4)一%(4 + 3")
〃2(1一4)一%(4 + 3")
(1十幻
(1十幻
(1.11)
(1.11)
Траектории динамической системы (1.11) полностью определяют автомодельное решение (1.1). Уравнение Эйнштейна (1.5) после исключения 80е из уравнения (1.7) определяет связь, сохраняющуюся в силу системы (1.11):
V = w + i-Q^ + wQ-^±^- = ^(1.12)
(здесь константа x = ± 1, 0 равна постоянной кривизне двумерной метрики dQ2; см. (1.1)).
Динамическая система (l.il) определена в области Q〉0, sign w = — sign и (последнее условие следует из (1.7) в силу положительности 8). Согласно (1.12), система (1.11) в области оР〉0 описывает сферически-симметричные решения (乂 = +1) в области eV V 0 ——решения с двумерной метрикой dQa отрицательной кривизны 乂 =——1 (группа симметрий SL (2, Я)), а на инвариантном многообразии V = 0 ——решения с 乂 = 0 (плоская симметрия). Два вида метрики (1.1) (а = ± 1) описываются системой (1.Ц) в различных областях: при о = +1 имеем | м | V 1, а при о = —1 имеем | м |〉1.
Система (1.11) на инвариантных многообразиях и = 6 = ± 1 имеет первый интеграл
К= d + ：?.5Q)2(L13)
и может быть проинтегрирована в явном виде. Эта система описывает направленные потоки нейтрино (при классическом задании тензора энергии-импульса 爲=—Т； = — 3 Т()ь(2)/2； См. [71]).
§ 2. Исследование динамической системы
I. Условия на разрывах. Существенным свойством автомодельных решений в общей теории относительности, так же как и в классической газовой динамике, является наличие в пих ударных волн. На языке динамической системы (1.11) возникновение ударных волп в автомодельных решениях обусловлено наличием поверхности непродолжимости решений Е士： 〃 = ± 川厶：с двух сторон от этой поверхности (и2 ——А: V 0 и 〃乞 ——А:〉0) векторное поле системы (1.11) направлено в противоположные стороны (и в пределе I 〃 I г А:'/? перпендикулярно поверхности 乙土). Вследствие такой непродолжимости некоторые решения могут быть определены при всех г только с введением разрыва ——ударной волны.
Положение фронта ударной волны определяется некоторым постоянным значением координаты г. Поэтому система координат (1.1) является системой, сопутствующей ударной волне. На фронте ударной волны сшиваются решения системы (1.11), расположенные по разные стороны от поверхности непродолжимости решений L+, т. е. дозвуковое решение (| 〃 12VA: = dp/d в) сшивается со сверхзвуковым ( | u I〉*厶)「Можно рассмотреть более общую ситуацию, когда в области за ^ударной волной материя имеет уравнение состояния р = ^ 8, а в области перед ударной волной —— уравнение состояния р =力2 &, 0《加2 & 乃厂 Наиболее интересны случаи к2 = к± и к2 — 0. Предельные значения параметров с двух сторон разрыва связаны следующими естественными условиями: 1) коэффициенты метрики v, Х, т всюду непрерывны; 2) на разрыве выполнены законы сохранения (см. [110]): 1Т^п^ = 0 (здесь п^ = =(0, 1, 0, 0)——вектор, ортогональный к фронту волны). Эти условия приводят к следующим равенствам (индексы 1 и 2 определяют параметры по разные стороны разрыва, в дозвуковой и сверхзвуковой областях соответственно):
附=0：
加（w+屈） & （遽+后2）
[^1 = 0:
1 -吗(4 + &) /а
1 — I
1 — w|
(1 4- “2)®2〃2
Отсюда получаем соотношения
(4 + 自)m1
(4 % %2)m2
81
〃；+ 及2
4 + “2%
82，+ 瓦 wi
1 -吗
(2.2)
определяющие 〃2, ?2 по найденным из решения
以，〃，причем из
двух значений 〃2 (при %2《％i) выбирается сверхзвуковое (〃； > 〉卷)・ Из условия I 〃2 1Vl и (2.2) следует, что | 如 |〉瓦.При к2 =自 имеем и^ =自，при 灰=0"2 = (“； + 自)/〃id + 瓦). Из выражения (1.12), непрерывности функций 夕,九,г и первого соотношения (2.2) следует, что на фронте ударной волны функция w (и У = wr} непрерывна. Таким образом, функции 夕,九,г, v\ w^ Q на разрыве непрерывны, а скачок м и е определяется из (2.2).
Перейдем к исследованию динамической системы (1.11) в области I u I < 1. Поведение решений в этой области представляет наибольший интерес, поскольку именно здесь в решениях возникают разрывы, соответствующие ударным волнам.
П. Иепродолжимость решении при 0 < г/ < 1 ・ Сферически- симметричные автомодельные решения в области 0《〃《1 описываются траекториями динамической системы (1.11), лежащими в области 50 : ^ ^? 0, гр О, V ^ 0, 0 ^ u ^ 1. Из вида функции V (1.12) легко следует, что эта область является ограниченной: здесь 0<(?<1, ~1<^<0.
Покажем, что все траектории в области 50 при некотором конечном г = гх выходят из поверхности L+ (и =川/?). В области О V 〃 V Ki? эТо следует из того, что в силу системы (1.11)应 V О и I й I —> сю на £^. В области %% v 〃 V 1, в силу системы (1.11), имеем 办〉——ip } 0, поэтому, в силу ограниченности области S。, все траектории при некотором конечном г выходят из поверхности L+. Вследствие этого в области 50 даже с введением разрыва нельзя получить ни одного решения, определенного при г —> 0. Поэтому решения в области S。(0 V 〃 V 1) не имеют физического смысла и в дальнейшем не будут рассматриваться.
Ш. Разрешение особенностей динамической системы при —1 & 〃《0・ В рассматриваемом случае автомодельные сфериче- ски-симметричные решения определены в области St : Q ^ 0. гр》0, U》0, —1《〃《О. Область S】иеограничена по гг; при ——Л; V 〃 V 0 из условия U〉0 получаем Q V 1, а при ——1 V V 〃 V —左 получаем Q V (1 + 加)I 〃 I (" + u2) ^1. На плоскости 〃 =0 условие U》0 вырезает отрезок ZA (и = гр = 0, 0 <^ ^ ^ 1) и полупрямую 勾(〃 =Q = °，必》0), на которых динамическая система (1.11) становится сингулярной. Для исследования динамической системы (1.11) в области 6\ мы преобразуем эту систему в систему, определенную на некотором замкнутом трехмерном многообразии S с границей Г и имеющую только невырожденные особые точки. Построение многообразия S осуществляется с помощью следующих замен координат:
Разрешение сингулярных линий 厶 и 为：
q=j, 〃，w, g; ■(2.3)
Q, 〃i=令，w, ~^=^〉°・(2/)
Пополнение многообразия 5\ на бесконечности по координате w:
9 =冬，"，』;'登=川•(2方)
Замкнутое трехмерное многообразие S покрыто системами координат (1.10), (2.3) — (2.5) и выделяется в них следующими
“，"1，0《о,一1《〃《0.“，"1，0《о,一1《〃《0.(2.6)(2.6)условиями:
“，"1，0《о,一1《〃《0.
“，"1，0《о,一1《〃《0.
(2.6)
(2.6)
Qa》0,
V (Q, 〃，s) > 0,
Граница Г многообразия S состоит из шести компонент rf (Z = =1, . . . , 6). Условия, определяющие компоненты границы и системы координат, продолжающиеся на Г/? имеют вид
Г! : Р = 0 (2.5); 「2 ： 〃 = -1 (1.10);
Г3 : и = 0 (2.3) 一 (2.4);Г4 ： 7 = 0 (1.10);
1\ : Q = 0 (1.10), (2.3);А ：必=0 (1.10), (2.4).
Укажем вид динамической системы (1.11) после преобразования в координаты (2.3) — (2.5). Система (1.11) в координатах (2.3) и переменной W имеет вид 收
j=q[l — w —曲2 — Wg 1 存s
+
苏=w[-1—w — g2〃2 _ wqA* 艺.-2g 一‘ / 加 (1 -炉)-
一0(1+吟],(2.7)
&=—"4e^•｛胃 仕—舟 + т^гд I 炉 a —%)—
一加(1 + 3〃)] —2m.
Система (1.11) в координатах (2.4) и переменной £ имеет вид
0 = q(〃i(—i + w + q2)+ ^2±^1
・「4一喂2 a一加哦2(i一向一加(i+зe)、
勾=м2— 2祉 1 +m；-
，4 +e沖1。
-"1(-1 + м + Q2)—勿(2 ，(2.8)
涼=!4“1+徹+q2)+^£1 + 々* + 4 + 〃’
Система (1.11) в координатах (2.5) и переменной Q имеет вид
)1 —Е 2 一加1十 F — A j-21" 1 + кV=V Г1 4- V + 也2〃2 + g % 谑)1 —Е 2 一加1十 F — A j-21" 1 + кV=V Г1 4- V + 也2〃2 + g % 谑1十〃2~2~■1十〃2~2~■+++ Zqu^^d-乂2)++ Zqu^^d-乂2)+
)1 —Е 2 一加1
十 F — A j-21" 1 + к
V=V Г1 4- V + 也2〃2 + g % 谑
)1 —Е 2 一加1
十 F — A j-21" 1 + к
V=V Г1 4- V + 也2〃2 + g % 谑
1十〃2~2~■
1十〃2~2~■
+
+
+ Zqu^^d-乂2)+
+ Zqu^^d-乂2)+
Динамические системы (1.11), (2.7)——(2.9) в координатах (1.10), (2.3) — (2.5) определяют динамическую систему на многообразии 5, которая гладко продолжается на границу Г и имеет только невырожденные особые точки.
IV. Исследование особых точек динамической системы на многообразии 6・ Рассматриваемая динамическая система имеет восемь изолированных особых точек:
4 (и = 0, g = —1, и = 0), В(V = q = и ~ 0),
С (ш = q = и = 0),
G (и q 0, 〃—1), Н (ш q 0, м = —1),
Z]侬=м = 0, g = -3 (1 + 向/(1 + 3 初，
Z? (Q -— 1, ш 0, и -—■ W-2 •==
=%(1 一用-｛胪(i + k) + к (i - к) (1 + 3 田｝%]/(l 一 砧 Z3 (и = 0, q = —1, 1^ — 4 乃/(1 + k))
и три линии особых точек:
厶(〃i = з=0, 0《Q《1), DE (Q = 1, м = —1,。《必& оо),/(u -—毋/2, 必(1 一 向 + 8 Q*/2 (1 + 乃尸=4 к).
Все особые точки лежат на различных компонентах границы Г (кроме линии /, лежащей на поверхности непродолжимости решений £_)・ Многообразие S вместе с особыми точками динамической системы и их сепаратрисами изображено на рис. 21.
Особые точки А, В, С, G, Н лежат в углах границы Г и являются ^неустойчивыми (седловыми); все их сепаратрисы лежат на различных компонентах границы Г, и им не отвечают никакие точные физические решения.
Особые точки на линии 厶 являются отталкивающими; их собственные числа имеют вид XW1 =入^ = ；*診，九q = 0. Вдоль каждой сепаратрисы, выходящей из линии особых точек 厶，пара
метр г изменяется до некоторого конечного значения г = г0, причем и (г。) = w (г0) = 0. При г ＜； г0 соответствующие решения
Рис. 21. Общее расположение особых точек и сепаратрис динамической системы (1.11) на замкнутом многообразии S.Рис. 21. Общее расположение особых точек и сепаратрис динамической системы (1.11) на замкнутом многообразии S.
Рис. 21. Общее расположение особых точек и сепаратрис динамической системы (1.11) на замкнутом многообразии S.
Рис. 21. Общее расположение особых точек и сепаратрис динамической системы (1.11) на замкнутом многообразии S.
могут быть гладко продолжены в области 〃〉0, однако в этой области решения, вследствие возникновения непродолжимости, не имеют физического смысла. Решения, соответствующие сепаратрисам особых точек Z】,определены при г》г。и описывают образование расширяющейся пустоты внутри газа. Действительно, поверхность г = г。является сохраняющейся при движении границей газа, поскольку и (г0) = 0; решение при г V 厂。может быть сшито (с сохранением непрерывности метрики) с пространством Минковского, метрика которого в координатах (1.1) имеет вид
曲 2 =/(6 m2 _ _^_ 而2 一产 d£!2).
При этом на границе пустоты плотность энергии 8 и давление р имеют разрыв — так же, как и в решениях с расширяющейся пустотой в классической газовой динамике [7]. Для придания физического смысла этим решениям необходимо предположить (так же, как и в классической газовой динамике; см. [7]), что газ вытес-
няется изнутри некоторым сферическим поршнем, уравновешивающим ненулевое давление на внутренней границе.
Особые точки на прямой DF имеют следующие собственные числа: 九1 =九2 ="——2,九з = 0. Таким образом, отрезок DE (0 & 《s V 2) состоит из притягивающих. особых точек, а отрезок EF (2 V гр《оо) — из отталкивающих. Все траектории системы (1.11) на компоненте границы Г2 (и = —1) начинаются при некотором 必=гр。на отрезке EF и заканчиваются при w = 4/м° на отрезке DE — это следует из существования первого интеграла К = wQ (1 + гр + Q)f (см. (1.13)). Траектории системы (1.11), близкие к компоненте границы Г2 (〃弋—1), ведут себя аналогичным образом. Метрика, соответствующая траекториям, входящим в особые точки DE (при г —> оо) или EF (при г —> 0), оказывается неполной и может быть гладко продолжена в синхронной системе отсчета (см. ниже, § 3).
Линия особых точек / разбивает поверхность непродолжимости решений £_(〃 =——川厶)на левую и правую части: Li, £二 (см. рис. 21). Левая часть Z/L выбрасывает траектории в многообразие S (в окрестности /А имеем 力〉0 при 〃〉——^2 и й <； 0 при 〃 V —川厶),а правая часть ZZ притягивает траектории из многообразия S. При этом в обоих случаях траектории пересекают поверхность L_ при конечном значении г.
Для изучения поведения траекторий в малой окрестности линии / сделаем следующую замену координат и (немонотонную) замену переменной g:
1 a= 我，1 a= 我，q (1 — к) гоВ=―2Q—q (1 — к) гоВ=―2Q—2〃2〃NTNT夫.(2.10)夫.(2.10)
1 a= 我，
1 a= 我，
q (1 — к) го
В=―2Q—
q (1 — к) го
В=―2Q—
2〃
2〃
NT
NT
夫.(2.10)
夫.(2.10)
Линия / (В = —4 */2 (1 + Л;)% 〃 =—毋介，а〉0) состоит из невырожденных особых точек системы (1.11) в координатах (2.10). Собственные числа полученной системы в этих особых точках имеют вид
入土 =—融 2 (1 —向土 屉/2(1 _ *)(1 4- 2Zo (1 — A)T)V2, 入з = 0,
Z。 = 2彳1j严壮一-自[(1 + 电3 + 2^(3 + 奴)]a +
+詳貓鼻十6儿(2.")
Линия особых точек I внутри многообразия S разбита на три отрезка:厶：оо〉a〉％,厶：％〉a〉电，/з ：电〉a〉a3» где ax и a2 — наибольшие корни квадратных уравнений Z° (а0 = =0, ZQ (a2) = — (1 —加)/2, a3 является координатой точки 応 пересечения линии / с компонентой границы Г4 (7 = 0, рис. 22, к = 4).
Рис. 22. Движение траекторий динамической системы на компонентах границы 1\ (цифры под рисунками соответствуют значениям к = 1, . . ., 6).Рис. 22. Движение траекторий динамической системы на компонентах границы 1\ (цифры под рисунками соответствуют значениям к = 1, . . ., 6).
Рис. 22. Движение траекторий динамической системы на компонентах границы 1\ (цифры под рисунками соответствуют значениям к = 1, . . ., 6).
Рис. 22. Движение траекторий динамической системы на компонентах границы 1\ (цифры под рисунками соответствуют значениям к = 1, . . ., 6).
Из (2.11) следует, что особые точки отрезка 7Х являются неустойчивыми седлами, особые точки отрезка 72 являются притягивающими узлами, а особые точки отрезка /3 являются притягивающими фокусами. Отрезок 7Х пересекается с компонентой границы Г5 (Q = 0) в точке iQ (а = оо) (см. рис. 22, к = 5).
Возвращаясь к исходным координатам ш, Q, и, получаем, что из дозвуковой области многообразия S ( | 〃 | V "%) в отрезок Zx входит двумерная сепаратриса £； и выходит (из /0 двумерная
сепаратриса £； (рис. 23). В отрезок 72 входит трехмерная сепаратриса L. При этом имеется двумерная сепаратриса L^ являющаяся гладким продолжением £；, соответствующая собственным числам 入一 (а); все остальные входящие в отрезок траектории касаются двумерной сепаратрисы L^ соответствующей собственным числам 九+ (а). Во всех случаях при вхождении траектории в отрезок I параметр С = In г остается конечным.
Рис. 23. Качественная картина поведения траекторий динамической системы(1.11) в окрестности особых точек на отрезках 厶，厶，，з・Рис. 23. Качественная картина поведения траекторий динамической системы(1.11) в окрестности особых точек на отрезках 厶，厶，，з・
Рис. 23. Качественная картина поведения траекторий динамической системы
(1.11) в окрестности особых точек на отрезках 厶，厶，，з・
Рис. 23. Качественная картина поведения траекторий динамической системы
(1.11) в окрестности особых точек на отрезках 厶，厶，，з・
Особые точки Z】,Z2, Z3 и их сепаратрисы имеют наибольшее физическое значение. Динамическая система на многообразии S имеет в этих особых точках следующие собственные числа (индекс внизу указывает соответствующее собственное направление):
Z]： % = ―3, К — 2,九〃 —1;
Z2: Xq = ^2,К =--上费忆〉。，
<0；<0；(2.12)(2.12)（论一吗）（1+儿）（论一吗）（1+儿）2(1 - ^2)(w2 (1 -4)一加(4 + 向)
<0；
<0；
(2.12)
(2.12)
（论一吗）（1+儿）
（论一吗）（1+儿）
Z3：Z3：_ 一(4 + 3府士"7+42论一产A/2
Z3：
Z3：
=2 (1 + A)
-及
4+加.
Таким образом, особые точки Их и Z? являются неустойчивыми седлами; особая точка Z3 (также неустойчивая) на компоненте границы Г3 (м = 0) является притягивающим фокусом и имеет одномерную выходящую из нее внутрь многообразия S сепаратрису X.
Все траектории на компонентах границы Г6 (w = 0) (при 0〉〃〉——Л:%) и Г3 входят в притягивающие (на этих компонентах границы) особые точки Z2 и Z? соответственно. На компоненте границы Г6 это следует из того, что @〉0 на Г6. На компоненте границы Г3 (и = 0) это следует из того, что динамическая система (2.7) при и = 0 не имеет предельных циклов. Действительно, при 乂 = 0 на линии g = — (1 + к)/к, в силу системы (2.7), имеем q = =(1 + 加)/%2, поэтому циклы могут находиться только в области q〉——(1 + 论)/Л: (поскольку в этой области находится особая точка (0 = —1)). Система (2.7) при м = 0 после преобразования в координаты q, 匕=1 + 必(1 + 冰/(1 + Л)) (в области q〉 〉——(1 + Л;)/^/имеем V\〉1) принимает вид
』[35+冷…』[35+冷…户=一户=一(1 + q) = Q.(1 + q) = Q.(2.13)(2.13)
』[35+冷…
』[35+冷…
户=一
户=一
(1 + q) = Q.
(1 + q) = Q.
(2.13)
(2.13)
Система (2.13) в области V\〉1 (а следовательно, и динамическая система на компоненте границы Г3) не имеет предельных циклов в силу критерия Дюлака ——Бендиксона, поскольку справедливо тождество
dq 丁 0八 (1+储卩1(1/1— 1) \，
где / = (^ (1 一匕)尸.
Качественное поведение динамической системы на компонентах границы Г^ показано на рис. 22 (Л; = 1, . . . , 6). При этом построении использовано доказанное выше отсутствие предельных циклов на компоненте границы Г3, наличие простых монотонных функций на компонентах границы Г1? Г4, Г5, Г6 и наличие интеграла (1.13) динамической системы на компоненте границы Г2.
Вычисление собственных чисел (2.12) показывает, что из особой точки Z] выходит некоторая двумерная сепаратриса Z. Одномерные сепаратрисы, получаемые пересечением Z с компонентами границы Г6 и Г3, соединяют особую точку Zi с Z? и Z3. Поэтому одномерная сепаратриса Ж2, выходящая из особой точки Z2 (см. рис. 22, к = 4), является пересечением сепаратрисы Z с компонентой границы Г4 (V = 0) (сепаратрисе 禺 отвечает некоторое точное решение с плоской симметрией), а одномерная сепаратриса X, выходящая из особой точки Z3, является предельной линией, на которую наматывается двумерная сепаратриса Z (см. рис. 21).
Сепаратриса X, выходящая из особой точки Z3, интегрируется явно: на этой траектории.
е 戸一a2“
Q = i = l 中2 (%」卩/2,缈= 2а,(2.14)
Траектории X отвечает следующее точное статическое решение уравнений Эйнштейна, найденное впервые Оппенгеймером и Волковым (см. [111, 112]):
曲2 = К2a或2 - 4 润2 —五2(加2 + sin20 dq)2),(2.15)
где 4 = (1 + 6论 + А2) (1 + 论)-2, плотность энергии 8 = =4й[х0 (1 + 6А + к2) 2?2]", давление р = кг. Автомодельной переменной в решении (2.15) является [г ~ 方/?ат. Связь автомодельных переменных 卩 и г дается выражением
「(卩)=*Н-^ 呻
Одна сепаратриса, выходящая из особой точки Z】(и принадлежащая двумерной сепаратрисе Z), также интегрируется явно: на этой траектории
Q = 0 _ 4：训2，加=_ 0—?：00’ "=偉一1)卩，
(2.16) г (卩)=&卩(l-(P-l)2 卩У(2В-2),卩=^^ •
Траектория (2.16) соответствует плоскому решению Фридмана
曲2 =山2 — /2р ^R2 + ? (je2 + sid 0 两2)), £=疆，(2.17) которое при всех “ является автомодельным с автомодельной переменной 卩=Е 伊一二 Связь автомодельных переменных 卩 и г дается (2.16). Все остальные сепаратрисы, выходящие из особой точки Zi, описывают, таким образом, некоторые возмущения плоского решения Фридмана. Все эти решения продолжаются до центра симметрии и имеют следующую асимптотику при г г О (здесь Т = ехр т):
Z-2 ds2。k+号戸)卄-
一片[(1+ Gn为 -1)产"戸 + 产(剂+ sin2edq)2)] '(2.18)
，〜1 + 3" с 〜3cl 1
_ 3(1 + 小)几 8 24+ 3" 戸 *
Очевидно, что решения с асимптотикой (2.18) регулярны и в центре симметрии г = 0.
V. Гравитационный радиус вещества в автомодельных решениях. Функция гравитационного радиуса rg для сферически-сим- метричных решений уравнений Эйнштейна определяется следующим выражением [73, 108]:
等)，(2.19)
\дх dxJ /
где функция R определяет радиус двумерной сферы S. Для конформно-статической метрики (1.1) имеем R = г^т; гравитационный радиус rg принимает вид
rg R(i + oe-九(冲&7 一 1)).(2.20)
После подстановки в это выражение формул (1.10) и (1.12) получаем
7 = •^(1 +Q(衣 + 〃2)/(4 + “)〃)
W — W (4 + Q (А； + 〃2)/« + 储〃)十 1 一 Q2 .* ・乙丄丿
По определению, вещество находится вне гравитационного радиуса, если QRV 1, и под гравитационным радиусом, если г JR〉1 Согласно (2.21), выражение tJR〉1 в двух случаях: в области —1 q 〃 V 0 (о = +1, Т〉0; см. (1.12)) при Q〉1 (для этого необходимо, чтобы —1 V “ V —论)；в области | 〃 |〉1 (а = —1, У < 0) при Q V 1・
В особой точке Z】(必=〃 =Q = 0) имеем rg/R = 0; в особой точке Z3 и на всей сепаратрисе X (2.14) (т. е. для статического решения (2.15)) получаем гё/И = 4* (1 * 6"丄胪尸 < 1; в особой точке Z2 выражение (2.21) имеет неопределенность. На инвариантной плоскости и = —1 выражение (2.21) приобретает вид rglR = =w/(w + 1 + Q). Следовательно, для всех траекторий системы (1.11), движущихся в окрестности плоскости и = —1, имеем rg/R <； 1, т. е. в с о отв етствующих автомодельных решениях вещество находится вне гравитационного радиуса.
§ 3. Преобразование автомодельных решений в различных координатах
ной) связи F «о,入о, |л0? ct/R) = 0. При этом плотность энергии 8 и 4-скорость материи i? определяются формулами
0把 ，
(* 吟, v^n?，0, 0),(3'2)
где cv (ct/R)——трехмерная радиальная скорость материи. Автомодельные решения могут быть представлены в виде (3.1) также в сопутствующей системе отсчета (см., например, [104, 105]), где вместо связи 歹=0 имеется связь у = 0. Часто применяется запись метрики автомодельных решений в виде
曲2 = * (£) С?出2у 修)d? _ R2 (d02 + sin2 0 西2)⑥*)
(связь 歹 = 卩。= 0) и в синхронной системе отсчета (связь F — ^^ и。^^ 0)：，
曲2 = С2 山2 — и (圖 dR2 — B^V (g) (de2 + Sin2edq)2)・(3.4)
IL Метрика (1.1) следующим образом отображается в синхронную метрику вида (3.4):
4" = /К)ехрт, 毋=% 臬)expt,C = br, (3.5)
где функции /1, /2 удовлетворяют уравнениям
/ = Q® — g exp С))】％ 上(3・6)
尤=fifzQ (尤—о exp С))т/2.
При этом отображении коэффициенты метрики (3.4), радиальная скорость V и плотность энергии 8 имеют вид
U = (£ 一 о ехр (”))爲 V = exp 侬)石?，
—(/； — о exp (v))1/2 + 〃/1—电0 (1 — % 噺 exp (― v)(3.7)
“/1 + (咛一о exp (v))i/2 '* PQ (1 + к) uR2 *
Пересчитаем с помощью формул (3.5)——(3.7) в синхронную систему (3.4) асимптотики решений, входящих при С т + оо в притягивающие особые точки на отрезке DE (см. § 2). Получим асимптотики
前=77〜V —> const.前=77〜V —> const.(3.8)(3.8)/1 и ехр 备 ％ ^G ехр К
前=77〜
V —> const.
前=77〜
V —> const.
(3.8)
(3.8)
U xV ^ С 2, £ f const,
Таким образом, при отображении (3.5) метрика (1.1) при С —> 8 переходит в метрику (3.4), определенную в области R/ct V % причем при R/ct т С2 метрика (3.4) невырождена. Поэтому решение гладко продолжается в области ct/R V G1. При этом автомодельная переменная ct/R становится времениподобной, а прямая ct/R = С71 является световой. Такое продолжение решения возможно до ct/R = 0, при этом все параметры решения остаются регулярными и новых качественных особенностей решения не возникает. В области ct/R V Q1 метрика (3.4) соответствует метрике (1.1) с а =——1, а соответствующая ей траектория системы (1.11) гладко продолжает в области u v —1 исходную траекторию.
Аналогично, в синхронной системе (3.4) продолжаются метрики (1.1), соответствующие траекториям, выходящим при 已一》—эо из отрезка отталкивающих особых точек EF.
Метрику (1.1) можно преобразовать к виду (3.3) с помощью преобразования .
E = Zexp(t + g), -^-=ехр(т +(р(^)), (3.9)
где dq)/dC = Q2. При этом компоненты метрики, скорость материи
и и плотность энергии £ 学вют вид
(3.10)(3.10)X (且)_ 0 exp (v 二 2屮) у (色) 0 exp * - 2g) Q2
(3.10)
(3.10)
._ Q + ^* = — £oO(l —炉)缈 exp (2g —v)
—1 十〃Q，pQ (1 + к) uR2 .
Отметим, что скорость v движения ударной волны (на которой ct/R = const) в системе отсчета (3.3) имеет вид v/c = (У/Х)1/г- •(R/或)=Q.
Асимптотика решений, отвечающих сепаратрисам Z при С —» т——оо, после преобразования (3.9) имеет вид (при R/ct —» 0)
(3.11)(3.11)曲竇。(1+4偿f)。2川t +晶(4)2) * 一歩也2, 2 R3eod 17.
(3.11)
(3.11)
DC ^ 3(1 + 为)丁，E节0+3为)了，d = const.
При С т + oo имеем R/ct г С\ — так же, как и при отображении (3.5). Метрика (3.3) может быть гладко продолжена в области ct!R V G* однако при ct/R —> 0 эта метрика, вообще говоря, имеет нефизическую сингулярность с асимптотикой X 七(с〃丘)"，Y f —> const. Эта сингулярность устраняется с помощью указанного выше перехода (3.5) к синхронной системе отсчета.
Задача о распаде равновесия звезды
в общей теории относительности
I. Постановка задачи о вспышке звезды в классической газовой динамике [7] (см. также главу V) естественно переносится в общую теорию относительности. Предположим, что в начальный момент времени метрика пространства-времени и распределение газа внутри звезды являются статическими и имеют вид (2.15). Допустим, что в результате некоторого возмущения из центра симметрии при 力=0 выходит ударная волна, причем движение газа и метрика пространства-времени за фронтом ударной волны являются автомо^ дельными. Решение задачи о распаде равновесия звезды в общей теории относительности состоит, таким образом, в отыскании автомодельных решений уравнений Эйнштейна, которые в силу условий (2.2) сшиваются на ударной волне со статическим решением (2.15).
Отметим, что, как показано в известной работе Оппенгеймера и Волкова [111], уравнение состояния вещества р — кг применимо (при " = 1/3) в окрестности центра нейтронных звезд. Однако плотность вещества в центре устойчивой нейтронной звезды не может превышать величины р? 1015 г/см3, которой соответствует предел Оппенгеймера ——Волкова массы нейтронной звезды Мов ~ ^1,6 М@; см. [111, 73] (М® — масса Солнца). Все равновесные конфигурации с центральной плотностью рс〉р? являются неустойчивыми [73], и, как показано в работах [ИЗ, 112], масса таких равновесных конфигураций (с учетом реального уравнения состояния вещества) является периодической функцией от рс при рс —> 8 (графикзависимости Мот рс, полученный впервые в работе [114], приведен на стр. 221, рис. 31). В частности, равновесная конфигурация с рс = оо, совпадающая в окрестности центра г == О с точным решением (2.15), при учете (во внешних слоях звезды) реального уравнения состояния ферми-газа нейтронов имеет конечную массу и является неустойчивой.
Рассматриваемые в данном параграфе автомодельные решения описывают, в связи с вышеизложенным, особый взрывной тип распада неустойчивого равновесия звезды. Эти решения можно рассматривать как модель эволюции звезды с массой М V Mqb (такая звезда не обязана коллапсировать в «черную дыру»), однако имеющей центральную плотность рс〉р^・
Автомодельные решения вида (1.1), которые сшиваются через ударную волну со статическим решением (2.15) (в силу условий (2.2) при 力1 =力2), описываются траекториями динамической смете- мы (1.11), входящими при некотором г = гх в линию У (в «дозвуковой» области I и I V "%):
〃，= — *, w = 2a,。二^^. (4.1)
Линия У при преобразовании (2.2): w -^ w, Q т Q、〃】f к/и^ переходит в траекторию X (2.14), соответствующую статическому решению (2.15). Положение фронта ударной волны определяется условием г = Гх，Ударная волна является расходящейся: действительно, радиус ударной волны R — гг ехр (т) — сю при т— оо. При г〉7\ решение описывается отрезком траектории X и является статическим. Естественным параметром на линии У является М = Qk~12 —— число Маха движения ударной волны (М = =у/(с/с1/2)) в системе отсчета (3.3).
П. В трехмерном многообразии S три линии ——траектория X, линия У и линия особых точек I ——пересекаются в одной точке У\ (Q =— 〃 =旭/2, w = 2а, М = 1) (пересечение этих трех линий в одной точке не является каким-либо вырождением, а необходимо следует из их определения). Исследуем поведение траекторий динамической системы (1.11) в окрестности особой точки У】. Собственные числа (2.11) в особой точке / принимают вид
j嘗f肥=-福=。.(4.2)
Соответствующие собственные векторы Z+, Z_, Z3 (вектор Z3 касается линии особых точек I) и вектор Z4, касательный к линии У в точке 匕，в координатах а, и, 0 (а = 1/Q, 0 =卜‘占论普-2А)/ Q; см. (2.10)) имеют следующие координаты:
%+： d 1，，
%3： (1, о, 0),
Л £ 告¥)♦
В окрестности особой точки Yr имеются две инвариантные относительно системы (1.И) поверхности L* и L2, заполненные сепаратрисами особых точек I, отвечающими собственным числам 九 + и %_. В точке У\ поверхность L* касается двумерной плоскости 2+，натянутой на векторы 2卜 и %, а поверхность Е? касается двумерной плоскости Ж_, натянутой на векторы 2_ и %.
Плоскости 2+ и Ж_ пересекают плоскость и, 0 под прямым углом (поскольку вектор Z3 ортогонален этой плоскости). Поэтому взаимное расположение поверхностей L1? L2 и линии У в окрестности точки Ух определяется расположением проекций векторов %+，1_ и 〃 на плоскость и, 0; их расположение показано на рис. 24. Здесь случаи к V 1/3 и 力〉1/3 качественно отличаются, посколь-
ку при А V 1/3 имеем 4&/(1 + &) V 2 (1 — &)/(! + /с) и наоборот (см. (4.3)).
Траектория X является входящей сепаратрисой особой точки 匕，соответствующей собственному числу 爲 и лежит поэтому на поверхности Lx. При & V 1/3 имеем 雑 V 疋；вследствие этого в окрестности особой точки Ух все траектории в «дозвуковой» области |m|V"L2 (кроме траекторий, лежащих на поверхности LJ
Рис. 24. Качественное поведение траекторий динамической системы (1.11) в окрестности особой точки ^ (в проекции на плоскость 〃，В) при 0 & 兀《 < 1/3 (а) и 1/3 < /с < 1 (6).
входят в притягивающие особые точки на линии I, касаясь поверхности 乙2・ В частности, все траектории, идущие в окрестности траектории X, при приближении к особой точке Ух при 力 V 1/3 отклоняются от поверхности Lx и оказываются в малой окрестности поверхности L2- Поэтому, вследствие указанного на рис. 24 расположения линии У, некоторый отрезок Y^Y (Мо) линии У (Мо〉1) целиком пересечен траекториями, двигавшимися ранее в окрестности траектории X.
Как показано в § 2, в окрестности траектории X находится обмотанная вокруг нее бесконечное число раз двумерная инвариантная относительно системы (1.11) поверхность ——сепаратриса Z особой точки Z]. Эта поверхность пересекает линию У в бесконечном числе точек У (М»),1 при i —> оо. Таким образом, при
к V 1/3 существует бесконечное число решений задачи о распаде равновесия звезды, являющихся сепаратрисами особой точки Zx и поэтому продолжающихся без особенности до центра симметрии. Эти решения, так же как и аналогичные решения в классической газовой динамике при 丫 V Yi V 4/3, со V 5/2 (см. главу V), описывают распад равновесия звезды без выделения энергии.
Все решения, соответствующие числам Маха М： М»〉М〉 〉Mi+1, описываются траекториями, выходящими из особых точек
линии 2]. Эти решения, как показано в § 2, имеют расширяющуюся пустоту (г V а) внутри газа, образующуюся в результате вытеснения газа изнутри сферическим поршнем.
Отметим, что каждое решение задачи о распаде равновесия звезды, отвечающее числу Маха М движения ударной волны (в системе отсчета (3.3)), совершает некоторое конечное число N (М) оборотов вокруг траектории X (рис. 25), причем N (М) —» оо при
Рис. 25. К решению задачи о распаде равновесия звезды в общей теории относительности.
М f 1. Радиальная скорость газа у в системе отсчета (3.3) имеет вид (3.10): V = -j^^i ・ Поскольку на траектории X имеем Q-[- и — =0, то в рассматриваемых решениях скорость газа v имеет 2N (М) нулей, следовательно, в этих решениях газ совершает конечное число TV (М) радиальных колебаний (по координате R (3.3), имеющей очевидный физический смысл), причем N (М) —» оо при М —> 1. На каждом отрезке Mj〉М》Mi+1 число колебаний N (М) является постоянным и на двух последовательных отрезках возрастает на единицу, в частности %(М»+1) = N (М0 + 1. После окончания радиальных пульсаций газа происходит монотонный разлет газа от центра с асимптотикой (2.18)——(3.11) для решений с М = =М» и с некоторой асимптотически (при г — q) постоянной скоростью разлета газа в системе отсчета (3.3) для решений с М :/= М».
III. При всех к особые точки на линии I в окрестности точки Ух являются притягивающими (см. 4.2)), причем при вхождении в особые точки на линии I при 力 V 1/3 все траектории, кроме траекторий, лежащих на поверхности 厶1, касаются поверхности 厶額 (поскольку 4： V %：), а при 力〉1/3 все траектории, кроме траекторий, лежащих на поверхности L2, касаются поверхности Lx (по-
скольку *〉疋)；см. рис. 24. Для каждой особой точки линии I в окрестности точки 匕 существует двумерная инвариантная поверхность 争,заполненная сепаратрисами, входящими в эту особую точку.
Двумерная поверхность 个(У。пересекается с обмотанной вокруг траектории X бесконечное число раз двумерной сепаратрисой Z по бесконечному числу траекторий Е». Эти траектории после вхождения в особую точку Ух могут быть продолжены траекторией X. Полученные таким образом решения продолжаются до центра симметрии и описывают распад равновесия звезды без выделения энергии и без ударной волны. В этих решениях на поверхности сшивки автомодельного решения со статическим имеется слабый разрыв ——все физические параметры непрерывны, а их производные имеют скачок. При этом при " & 1/3 уже первые производные имеют скачок (см. рис. 24, а), а при "〉1/3 первые производные решения остаются непрерывными (см. рис. 24, 6) на поверхности сшивки, а вторые производные имеют разрыв.
Все остальные траектории на поверхности 砂(У。выходят из линии особых точек Zx и соответствуют решениям с расширяющейся пустотой внутри газа и также имеют аналогичный слабый разрыв.
Все выводы, сделанные выше относительно конечного числа радиальных колебаний газа в системе отсчета (3.3), справедливы и для найденных решений со слабым разрывом.
Отметим, что при любых к: О V " V 1 двумерная сепаратриса Z пересекается с поверхностью Lr по бесконечному числу траекторий, которые гладко продолжаются через линию особых точек I, Соответствующие решения представляют собой некоторые гладкие возмущения статического решения (2.15), не имеющие особенности в центре симметрии и обладающие произвольным конечным числом радиальных колебаний газа.
Автомодельные решения с расходящимися и с коллапсирующими ударными волнами
Проведенное выше исследование динамической системы (1.11) показывает, что в дозвуковой области многообразия S (0 > м〉 〉——"1/2) существуют траектории этой системы следующих четырех типов: А) траектории, выходящие из отталкивающих особых точек 厶；5) траектории, заполняющие двумерную сепаратрису Z особой точки Z] (в частности, сепаратрисы 埶 0 X особых точек Z2 и ZJ; С) траектории, заполняющие двумерную сепаратрису Lv выходящую из отрезка особых точек /工；D) траектории, выходящие из поверхности Vi. (По всей видимости в многообразии S нет траекторий, наматывающихся на какие-либо инвариантные подмножества, и тогда каждая траектория в «дозвуковой» области
принадлежит к одному из перечисленных четырех типов.) Среди траекторий указанных четырех типов назовем траекториями типа Е траектории, входящие в отрезки особых точек 1Х и /2 (и заполняющие поэтому сепаратрисы и L, см. § 2).
Траектории типа А и 5 исследовались в § 4, где указаны их приложения в решении задачи о распаде равновесия звезды. Эти траектории могут быть использованы также при исследовании распространения расходящейся ударной волны в движущемся (в системе отсчета (3.3)) потоке газа. В этом случае разрыв на траектории вводится при г = г0 в некоторой точке «дозвуковой» области многообразия S, не лежащей на линии У (4.1). В «дозвуковой» (I 〃 I V 力12)области решения имеем「V г0, следовательно, скорость газа м (〃 V 0) направлена внутрь «дозвуковой» области, где, согласно (2.2), Е】＞ ё2» т. е. ударная волна является волной сжатия. Радиус RQ ударной волны равен I ехр (т) r0 = Ro, следовательно, Rq oq при t f оо, т. е. ударная волна является расходящейся.
В случае сильного разрыва, т. е. при 〃i。——к, сшиваемое с данным решением сверхзвуковое решение имеет в разрыве и2 ^ ——1 и поэтому, как отмечалось в § 2, соответствующая траектория движется вдоль компоненты границы Г2 (и = —1) до попадания при г —» сю в некоторую притягивающую особую точку на отрезке DE. При этом автомодельная переменная С = In г становится световой и далее, как показано в § 3, при времениподобной переменной С решение продолжается в синхронной системе (3.4) в области ct!R 戸 0. Разрыв в решении происходит при постоянном значении С = In г0, т. е. ударной волне отвечает ct/R = const. Следовательно, в синхронной системе (3.4) ударная волна движется с некоторой постоянной скоростью у0.
Образование ударной волны происходит в центре симметрии 7? = 0 при 力=0. В$ этот момент трехмерная метрика (3.4) U (0) dR2 + R2V (0) dQ2 имеет при [7 (0) #= 7 (0) коническую особенность в нуле, на бесконечности метрика, очевидно, плоская; скорость газа и (0) постоянна по пространству, плотность энергии 8 = Cq/R2 (такое распределение плотности энергии в конечной области может реализоваться, например, в результате постоянного истечения вещества из звезды).
Траектории типа А описывают решения, в которых газ вытесняется изнутри сферическим поршнем (см. § 2). Решения, соответствующие траекториям типа В, в системе отсчета (3.3) имеют при R/ct т 0 асимптотику (3.11). Отсюда полуцаем следствие: 1) решения типа В с расходящейся ударной волной продолжаются до центра симметрии Е = 0, причем в центре симметрии метрика после выхода ударной волны (力〉0) не имеет особенности; 2) газ в окрестности центра симметрии движется от центра (с линейной
асимптотикой скорости (3.11) при R -> 0); 3) плотность энергии вблизи центра приближенно постоянна по /? и падает как cj炉.
П. Траектории типа С при убывании параметра 白 непрерывно продолжаются через отрезок 厶 в сверхзвуковую область (см. рис; 23). После такого однозначного продолжения траектории типа С (сепаратрисы Е。, проходящие через отрезок /г в окрестности точки »о, аппроксимируются последовательностью сепаратрис 而，Gf0, 7^7, CZ1? Z (см. рис. 21, рис. 22, к = 5). Таким образом, траектории типа С при возрастании 白 движутся в окрестности сепаратрисы Z и поэтому, так же как и траектории типа В、соответствуют решениям с расходящейся ударной волной. После введения разрыва эти траектории продолжаются в синхронной системе отсчета (3.4) в области 7Х: С*〉ctj%〉0 (где автомодельная переменная С времениподобна).
Однако поведение решений типа С в области за ударной волной существенно отличается от решений типа В. Из указанной выше сепаратрисной аппроксимации следует, что решения типа С после гладкого продолжения через точки отрезка It в сверхзвуковую область при 白一——оо входят в притягивающие (при таком направлении ，особые точки отрезка EF. При этом автомодельная переменная 白 снова становится световой и, как показано в § 3, решение гладко продолжается при времениподобной переменной 白 в, статической системе отсчета (3.4) в новой области V2: 。2 > С力2/区2》。■
Полное решение типа С склеено из областей Р?，^2с, %，Р~, Pi, граничащих друг с другом в указанном порядке. Дозвуковая область Vg описывается движением траектории вдоль сепаратрис j0C, CZlf Z до точки разрыва (см. рис. 21, рис. 22, " = 5). Область Р2c описывается движением траектории вдоль сепаратрис FG, бТ0. Область Vlc склеена с областью Vg через ударную волну и описывается движением траектории в сверхзвуковой области многообразия S от точки разрыва до притягивающего отрезка DE.
Области Pi и 卩2 ограничены светоподобными поверхностями ctJR、= С\ и ctJR2 =。2 м поэтому не могут быть связаны между собой физическими сигналами. Ударная волна движется по общей границе областей Vg и Р“・ Образование ударной волны происходит в центре симметрии, как и в решениях типа В, однако при 方〉0 пространственно-подобное сечение имеет «горловину» и топологически является произведением двумерной сферы на прямую, как и в известном решении Крускала [89].
Траектории типа D определены при г〉「】〉0, поэтому для того, чтобы продолжить соответствующее решение при всех г〉0, необходимо ввести разрыв, которому в данном случае при положительном направлении т соответствует ударная волна разрежения. Однако ударные волны разрежения в веществе с нормальными
свойствами невозможны [115]. Поэтому решения типа D могут иметь физический смысл только после замены 方 — ——力 〃 f ——м, в результате которой разрыву соответствует ударная волна сжатия (см. ниже). Такое решение будет определено при всех г (без дополнительных разрывов разрежения), только если соответствующая траектория продолжается через линию особых точек /, т. е. принадлежит к типу Е.
Некоторые траектории типа Е уже использовались выше (см. § 4) в качестве решений со слабым разрывом задачи о распаде равновесия звезды. Укажем применения других траекторий типа Е, заполняющих сепаратрису £2 и проходящих через отрезок особых точек /工 в окрестности точки f0. Такие траектории при убывании параметра С аппроксимируются устойчивой последователь- i〉> i А
ностью сепаратрис i05, BA, А1Г и попадают в притягивающие (при убывании С) особые точки отрезка 厶・ При возрастании 白 сепаратрисы 厶；движутся вдоль сепаратрис 用反,HD и, следовательно, попадают в отрезок притягивающих особых точек DE. Сепаратрисы 厶；после введения разрыва в окрестности сепаратрисы 5»о определяют решения с коллапсирующей ударной волной.
Действительно, решения уравнений Эйнштейна вида (1.1) переходят снова в решения при преобразовании тх = —т, м】(г)= =—и (г), все остальные функции от г не изменяются. При этом преобразовании метрика (1.1) принимает вид
ds2 = /ехр (—2t[) [exp (v (r)) dt； — exp (% (r)) dr2 — r2dil2].
Пусть разрыв на рассматриваемых траекториях вводится при г = г0 (разрыв необходим в силу того, что эти трактории выходят из 厶，Z/_). В области за ударной волной, где течение газа дозвуко* вое, г〉г0. Скорость газа 乂工(г) = —и (г)〉0 направлена внутрь этой области, поэтому ударная волна является волной сжатия. Радиус ударной волны Ro = I exp (——т。小,следовательно, 7?о f 0 при ti f Ч-оо, т. е. ударная волна является сходящейся.
Полное решение типа Е склеено из следующих областей: V27 卩2с，卩g，卩ic，卩i・ Область Vg описывается движением траектории при возрастании переменной С в дозвуковой области многообразия S от разрыва до попадания в отрезок особых точек /2. Область Vic описывается движением траектории в сверхзвуковой области многообразия S от отрезка /2 до отрезка притягивающих особых точек DE. Далее решение, как показано в § 3, продолжается в области Р], где переменная 白 времениподобна. В синхронной системе (3.4) область ^ определена условием ——С±《 ctJR*《 《0; область Vg -J Vlc определена условием — Со《ctJR工《一Ct, уравнение ударной волны ctJR、= ~С0. Ударная волна колл ап-
сирует с некоторой постоянной скоростью в центр симметрии при 力I = 0.
Область 卩2c склеена с областью Vg через ударную волну и описывается, при убывании переменной 备 движением траектории в сверхзвуковой области многообразия S от разрыва до отрезка EF. Далее решение переходит в область 匕，где переменная С снова времениподобна. Область 匕 в статической системе отсчета определена условием —С?《 ct2/R2 & 0. Поскольку поверхности с*7Hl = —Сх и ctJR? = —С2 светоподобны, то области 卩工 и 匕 не сообщаются физическими сигналами. Пространственно-подобные сечения в этих решениях топологически являются произведением двумерной сферы на прямую, как и в решении Крускала (см. § 2 главы II), и имеют «горловину», которая сжимается в точку при коллапсе ударной волны в центр. Однако для рассматриваемых решений в силу (2.21) имеем г JR < 1, т. е. вещество в решениях типа Е находится вне своего гравитационного радиуса.
Производная функции R = гегх (см. (5.1) вдоль траекторий движения газа имеет вид
» 0R г产/2 小、
дхг(о(4— 〃/
В двух внешних областях 卩】и У2? описываемых движением траекторий системы (1.11) в области и < ——1, Q + м〉0, имеем Rf V 0. Поэтому решения типа Е описывают коллапс материи (при наличии давления), сопровождающийся образованием сходящейся ударной волны.
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ГАЗА В ЗВЕЗДАХ
В ньютоновской теории автомодельные сферически-симметрич- ные движения идеального самогр авитирующего газа при наличии ударных волн впервые были рассмотрены в работах [7, 116] в качестве модели вспышек сверхновых звезд. При этом в работе [7] был проведен анализ законов сохранения для автомодельных решений, найден ряд точных решений и некоторые решения исследованы численно; в работе [116] использовались в основном численные методы. Последующие работы [117—123] содержали уточнение результатов работ [7, 116] и развитие примененных в этих работах методов. Автомодельное движение идеального газа в поле притягивающего центра рассматривалось в работах [124—127].
В данной главе модель вспышек звезд [7, 116] изучается с помощью методов качественной теории многомерных динамических систем. Проведено также качественное исследование модели вспышек в оболочках звезд. Получены все возможные асимптотики автомодельной аккреции самогравитирующего газа на центр и построен ряд решений со сходящимися ударными волнами.
§ 1. Разрешение особенностей динамической системы
Уравнения газовой динамики для автомодельных решений. Основными физическими параметрами сферически-симметричных движений идеального газа в ньютоновской теории являются радиальная скорость газа v （г,方）,плотность газа р （г, t） и давление газа р （г,方）,где г ——радиальная координата, t ——время. Температура идеального газа Т определяется из уравнения состояния р=^рт，（1.1）
где Rq ——газовая постоянная,卩——масса одной грамм-молекулы газа. Энтропия S единицы массы идеального газа определяется выражением S =金1口（卩便），где у = Ср/Су〉1, Ср и Ср — удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и объеме. Движение газа, в котором отсутствует поступление энергии извне, называется адиабатическим; в этом случае dS/dt = 0, постоянная ¥ называется показателем адиабаты.
При наличии ньютоновского гравитационного притяжения частиц газа на частицу массы т, находящуюся на расстоянии г
от центра симметрии, действует сила притяжения
F = — GF = — GmJ/L (г,力)mJ/L (г,力)(1.2)(1.2)
F = — G
F = — G
mJ/L (г,力)
mJ/L (г,力)
(1.2)
(1.2)
где Л (г, t)——полная масса газа внутри сферы радиуса г в момент времени 力 G ——гравитационная постоянная, имеющая размерность [G] = M3・LT，TT = см3-^1 - с*2. По определению имеем
дЛдтдЛдт4w2P.4w2P.(1.3)(1.3)
дЛдт
дЛдт
4w2P.
4w2P.
(1.3)
(1.3)
(1.4)(1.4)(1.5)(1.5)@(Р/Р“)丄 @(P/PV) °@(Р/Р“)丄 @(P/PV) °(1.6)(1.6)
(1.4)
(1.4)
(1.5)
(1.5)
@(Р/Р“)丄 @(P/PV) °
@(Р/Р“)丄 @(P/PV) °
(1.6)
(1.6)
Уравнения адиабатического движения идеального самограви- тирующего газа, выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии, в сферически-симметричном случае имеют вид
d 卩 Орг? 2рг?—
1Г 十 к■十 =
dv , dv , i др . М св+оk +丁不+ 6声=0，
Уравнения газовой динамики (1.3)——(1.6) инвариантны при действии трехмерной группы Д3 масштабных преобразований, соответствующих растяжению единиц измерения физических величин:
г'=力，f =工力 《“(У, У)=卩J^(A 力，
и (" y)= g"(r,e)，p，h 力=卡 p(a 方)，(1.7)
^(^ ^-^ТР^^ ^ . G' = *G・
Автомодельными решениями уравнений газовой динамики по опре
делению называются решения, инвариантные относительно некоторой однопараметрической подгруппы Д1 масштабных преобразований, не меняющих гравитационную постоянную G. Все такие подгруппы Д1 определяются одним параметром з, причем Z = =т2/°,卩=t2(3/s-i), t е е：. Соответствующие автомодельные решения имеют вид [7]
(1.8)(1.8)(1.9)(1.9)月=右夕仏),J^ = ~^^3),"=子0(九)，
(1.8)
(1.8)
(1.9)
(1.9)
где X ——безразмерная автомодельная переменная:
(AGt^)1^
константа Л имеет размерность M-L^. Автомодельные решения зависят от двух безразмерных постоянных: показателя адиабаты Y〉1 н показателя автомодельности (о (из положительности р и % в равновесном распределении газа следует 1 V ① V 3 [71; см. ниже, § 5).
Уравнения газовой динамики (1.3), (1.4), (1.5) и (1.6) после подстановки выражений (1.8) с использованием новой переменной z (九)=yP/R вместо Р (X) преобразуются в следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений [7]:
入[『一陰-г)$]=2-3%
Xmz = — 3m + 4mR,
入(卩1") [4(丫一 D~^"] = — 2(у + у — 2),
где штрих означает производную по 入.Система дифференциальных уравнений (1.10), как показано в книге [7], имеет два интеграла (существование этих интегралов можно проверить непосредственной подстановкой): интеграл масс
X3 [(1 一 3/(о) т 一 2冗Е (V 一 2/о))] = & (1.11) и интеграл адиабатичности
纟炉"》»/(Т)俨 Т)/(Т)=a. (1.i2)
В данной главе автомодельные решения рассматриваются на уровне интеграла Сг = 0 ——это физически наиболее важный случай отсутствия источника вещества в центре симметрии [7]. В этом случае интеграл (1.11) дает связь
e=与咨.卢丁 (1/3)
Система уравнений газовой динамики для автомодельных решений ——система (1.10)——после подстановки связи (1.13) и перехода к новой переменной t = In 九 преобразуется в следующую трехмерную динамическую систему:
黑=_ 2/5 (z“_ и —可砒 设(2丫_4(1 - 1/(d)(y-1)-2yP)- 一 у (2 + (1 — 3丫) V) (V — 2/①)2— 丫 (丫 一 1)g + Г5 —卩)(p — 2/s)],
(1.14)
『 z (4 — 3归—4/(0) + ? (?n + у2 - V) (F - 2/码 ' =у (z — (V — 2/со)2)'
т =т
2 — 3广
V — 2/со *
Первое уравнение системы (1.14) можно представить также в виде
/ =[-(?-1)^ + 2 + (1-3丫)Н. (1.15)
Динамическая система (1.14) рассматривается в области 5Х, выделенной естественными физическими условиями:
z〉0,тп〉0,7 - 2/(о < 0(1.16)
(последнее условие при(о V 3 в силу (1.13) означает р〉0).
Поверхность 厶=z ——(卩——2/з)2 = 0 является поверхностью непродолжимости траекторий системы (1.14), так как с двух сторон от этой поверхности векторное поле системы (1.14) направлено в противоположные стороны. Как известно [7], с формальной точки зрения наличие такой поверхности приводит к возникновению в некоторых автомодельных решениях ударной волпы. Закон движения ударной волны определяется условием 九=九*.
С помощью автомодельных решений вида (1.8) можно построить модели таких важных астрофизических явлений, как разлет в результате взрыва самогравитирующего газа, образующего звезду, коллапс самогравитирующего газа на центр, сжатие самогравитирующего газа сходящейся ударной волной и др. Движение газа во всех этих моделях описывается некоторыми траекториями трехмерной динамической системы (1.14). Исследование автомодельных решений с помощью численных методов и методов поиска точных решений, основанных на нахождении первых интегралов, проведенное в работах [7, 116], позволило получить важную информацию о поведении решений в модели вспышек звезд только при специальных значениях параметров у, з. Для более подробного изучения автомодельных движений самогравитирующего газа необходимо провести полное исследование динамической системы (1.14) методами качественной теории многомерных динамических систем, изложенными в главе I. Такое исследование проводится в данном параграфе и в §§ 2, 3.
Построение замкнутого многообразия 6・ Для полного исследования поведения траекторий системы (1.14) в области S】 (см. (1.16)) мы преобразуем эту систему в систему, определенную на некотором замкнутом трехмерном многообразии S с границей Г (отметим, что граница Г не является гладким многообразием, а состоит из нескольких компонент, которые пересекаются по углам границы). При этом преобразовании осуществляется разрешение сложных особенностей системы (1.14) (например, особой точки z = пг = 0, V = 2/з)・ Укажем последовательно преобразования координат, с помощью которых будет построено замкнутое многообразие S, и замены переменной т на переменные т% в которых динамическая система (1.14) продолжается на соответствующие компоненты границы Г.
Очевидно, что динамическая система (1.14) в области S】(1.16) после замены переменной йт3/йт = — (7 — 2/s) гладко продолжается на три координатные плоскости, являющиеся тремя компонентами границы Г многообразия S: Г6 (V — 2/(о = 0), Г7 (т = 0), I\(z = 0)・ Эти три компоненты границы являются инвариантными многообразиями динамической системы (1.14). В области & удобно использовать координаты
и = Z】/2〉0,^0 =2/(0 < 0,
7П0 = 一⑺(V 一 2/о)))1/з > 0.(1，17)
Для исследования поведения траекторий динамической системы (1.14) при больших значениях координат м, и。, 7no необходимо пополнить область б】 границей на бесконечности по координатам и, и。, mQ. Такое пополнение осуществляется с помощью^перехода к проективным координатам
%=匹， 丄 u '
1
Ро = Н，
т1 =
咻
dq dp
(1.18)
V2 = — г
и
"1 =—, т0
卩=
1
@Т*2 dt
(1.19)
1
9 =蔦'
и
〃2 =—-,
"14 =
T.
(1.20)
Бесконечности по координатам и, %, mQ в координатах (1.18) отвечает плоскость р0 = 0, являющаяся компонентой границы Гх многообразия S. Динамическая система (1.14) в координатах (1.18)——(1.20) и соответствующих переменных rf гладко продолжается на компоненту границы Г1Т которая является инвариантным многообразием динамической системы.
Динамическая система (1.14) в области 51? пополненной границей Гх, имеет следующие вырожденные особые точки (особая точка называется вырожденной, если все собственные числа в этой точке 九 1 —-九2 —九з —' 0)： точка 。1 ("i ~—* ^^i — Pq — 0), петкагцал на компоненте границы Гг; точка。2 (и — vQ = mQ = 0), линия вырожденных особых точек: Z: и = и。= 0, 0《《г。《8. Для разрешения особой точки О】 сделаем следующие преобразования ко-
ординат:
噂
v^n
dt3 _ _
Po，
Po
и，
dp
"。m 一
喈
m
Po
% (1.22)
% =
=不，
P2 =
力=
% _〃2
,4厶 ^1,
Рз = '
噌
〃2
也一加 dr№ •
(1.23)
В координатах (1.21)——(1.23) вместо особой точки Ог вклеивается двумерная плоскость (Ui = 0, координаты тпз》0, р?》° произвольны), являющаяся компонентой границы Г2 многообразия S. Динамическая система (1.14) в координатах (1.21)—(1.23) и соответствующих переменных т» гладко продолжается на компоненту границы 1\, которая является инвариантным многообразием динамической системы. При этом все особые точки динамической системы, лежащие на компоненте границы Г2? оказываются невырожденными. Это означает, что преобразования (1.21)—(1.23) дают полное разрешение вырожденной особой точки。广
Для разрешения вырожденной особой точки О? (□ = "()= =/я。= 0) сделаем следующие преобразования координат (ниже Л/0=圖=_m(p_ 2心))：
М2 =vQmии ，иМо口 0, 〃2т =-и° Мот，〃з =Мо _М2 =vQmии ，иМо口 0, 〃2т =-и° Мот，〃з =Мо _dtdte = 4dr -済，(1.25)"。，第_ 1吟Jdtdte = 4dr -済，(1.25)"。，第_ 1吟J
М2 =
vQm
и
и ，
и
Мо
口 0, 〃2
т =-
и
° Мот
，〃з =
Мо _
М2 =
vQm
и
и ，
и
Мо
口 0, 〃2
т =-
и
° Мот
，〃з =
Мо _
dt
dte = 4
dr -済，
(1.25)
"。，第
_ 1
吟J
dt
dte = 4
dr -済，
(1.25)
"。，第
_ 1
吟J
(1.26) В координатах (1.24)—(1.26) вместо особой точки О2 вклеивается двумерная плоскость (Мо = 0, координаты v5 ^ 0 и и3 >= 0 произвольны), являющаяся компонентой границы Г3 (Мо = 0) многообразия 5. Компонента границы Г3, так же как и Гх и Г2? является инвариантным многообразием динамической системы (1.14) на многообразии S. Динамическая система на компоненте границы Г3 имеет наряду с невырожденными особыми точками одну вырожденную особую точку Оз ("i = и = М2 = 0). Для разрешения этой особой точки сделаем следующие преобразования координат:
"4=Н =胃，〃，^= —"4=Н =胃，〃，^= —(1.27)(1.27)т =т =碧=「， （1.28）碧=「， （1.28）%=F = -%=F = -1и,〃5=—TZ—1и,〃5=—TZ—〃2vom〃2vomm=一*(1.29)m=一*(1.29)
"4=Н =胃，〃，^= —
"4=Н =胃，〃，^= —
(1.27)
(1.27)
т =
т =
碧=「， （1.28）
碧=「， （1.28）
%=F = -
%=F = -
1и
,〃5=—TZ—
1и
,〃5=—TZ—
〃2vom
〃2vom
m=一*(1.29)
m=一*(1.29)
В координатах (1.27)——(1.29) вместо особой точки О3 вклеивается двумерная плоскость (М2 = 0, координаты р5 0, и5 > 0 произвольны), являющаяся компонентой границы Г4 (М2 = 0) многообразия S. Эта компонента границы, так же как и компоненты границы Г1? Г2, Г3, является инвариантным многообразием динамической системы на многообразии S. Все особые точки динамической системы, лежащие на компоненте границы Г4, являются
невырожденными. Это означает, что преобразования (1.24)—— (1.29) дают полное разрешение вырожденной особой точки О2.
Для разрешения линии вырожденных особых точек I (и = и3 = =寿=% = 0, 0 & MQ & оо) в окрестности Мо — 0 введем следующие координаты (см. (1.26)):
1〃3
1% ===== .
%dp
т
吟，
(1.30)
^6"3 一 〃，氏3
Mq，M°' %
(1.31)
В окрестности Мо — оо введем координаты (см. (1.19))В окрестности Мо — оо введем координаты (см. (1.19))(1.32)(1.32)(1.33)(1.33)
В окрестности Мо — оо введем координаты (см. (1.19))
В окрестности Мо — оо введем координаты (см. (1.19))
(1.32)
(1.32)
(1.33)
(1.33)
В координатах (1.30)——(1.33) вместо линии I вклеивается двумерная плоскость (рб = 0, координаты и2 > 0, MQ > 0 произвольны), являющаяся компонентой границы Гб многообразия S. Динамическая система (1.14) в координатах (1.30)—(1.33) и соответствующих переменных rf гладко продолжается на компоненту границы Г5, являющуюся инвариантным многообразием динамической системы. Все особые точки динамической системы на многообразии S, лежащие на компоненте границы Г5, являются невырожденными, т. е. преобразования (1.30) — (1.33) дают полное разрешение линии вырожденных особых точек Z.
После проделанных преобразований координат (1.17)—— (1.33) легко завершить построение замкнутого трехмерного многообразия S.
Замкнутое трехмерное многообразие S покрыто системами координат (1.17)——(1.33) и выделяется в них естественными условиями:
%力< 0; 跖,忆,儿厶,рь卩> 0.
Граница Г многообразия S состоит из восьми компонент Г^ (力= =1,..・,8). Условия, выделяющие компоненты границы Г\ и системы координат, продолжающиеся на Гь имеют вид
^ ^ ^ ^ м^ н^ й^ U о о о о 一一一一一一= 卩%; г ^ ^ ^^ ^ ^ ^ м^ н^ й^ U о о о о 一一一一一一= 卩%; г ^ ^ ^-(1.20); Г2: % = 0 (1.21) - (1.23);
^ ^ ^ ^ м^ н^ й^ U о о о о 一一一一一一= 卩%; г ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ м^ н^ й^ U о о о о 一一一一一一= 卩%; г ^ ^ ^
一 (1.26); Г4: М2 = 0 (1.27) 一 (1.29);
一 (1.33); % % = 0 (1.17);
; Г8: z = 0 (1.16).
Преобразование динамической системы. Динамическая система на многообразии S определяется после преобразования системы (1.14) в локальные карты (1.17)—— (1.33). Выполняя эти
преобразования, легко убедиться, что система (1.14) гладко продолжается (в соответствующей переменной т；) на компоненты границы 1\・ При этом все компоненты границы rf и их пересечения являются инвариантными подмногообразиями динамической системы на многообразии S.
При дальнейшем исследовании наиболее часто используются преобразования динамической системы (1.14) в двух локальных картах (1.21) и (1.27). Укажем эти преобразования в явном виде. Система (1.14) в координатах (1.21) и переменной т3 имеет вид
= - Y(二綿)[(4 一 "一用 _ 3Y1，0 — YF +
+ Wo ("о + ~) (^o + 1) pa j ,(1・34)
也=_斎台縞" [4? 一 T — 2w。一2『则+
+ 2y2u0 (u0 +等)(ио + -^1)P；十纤 (1 + '一З盟+ l三"? Do)"綿+
.+ 2Y(2一 3uо)(2 —朮p；)],
2Y(1匕綿)[4-2T 一 4■ - 2^o + r(T-l)m2-
一21« +中+上評叫＞。觀一
一Y(Y — 1)。。(% 十 ^) (% + -^1) Po] •
Система (1.14) в координатах (1.27) и переменной т3 имеет вид
% =-也入)[2?一穿一w壮一削"
+步4《“2 + A)2 -(图"2 +等))+
+ 2w%2(l+F+；L評爆〃2“，
他=-涌[2Y一粤一"储一Y2风+
+ Y (2^3分〃2)(] - W"2) _|_ 产力《内环 + Aj 一}4"2 + -^-^-j-
+ 2竺九2 (1 +,
〃「4(1・35)
й = ~1^^)^-—-2yv^ + y{y-l)m2-2y-
_Y (丫 一 1)%((分"2 + 等)2 -(内环 +—
-2w九2 (1+上言+上評方u2)].
Особые точки динамической системы на многообразии 8.
Нетрудно проверить, что следующие функции ①觊 изменяются монотонно вдоль траекторий системы (1.14):
①U = z (卩一叫
d% _①2(4 - 3y + з +卩(3 - 3)) 4- 0)(1 - 3Y 一 3卩)(0一2/3) m
* —(0 (丿-2/3)，(° g)
где р, находится между двумя числами:牍1 = (1 ——3丫)/3 и p,2 = =(1 — 3丫 +(o)/(3 —(о). При у V 4/3 имеем p,x < pi2 и ①觊 V О； при y〉4/3 имеем "1〉"2 "①]〉0; ири y = 4/3 卩1="2 =——1 и ①一1 является первым интегралом системы (1.14). Отметим, что монотонную функцию ①山 можно получить также из интеграла адиабатичности (1.12).
Существование монотонных функций (1.36) доказывает, что система (1.14) при 丫 * 4/3 не имеет особых точек внутри многообразия S ——все особые точки этой системы лежат на различных компонентах границы Г (а также на поверхности непродолжи- мости решений 厶=0). Динамическая система в многообразии S имеет шестнадцать изолированных особых точек:
厶(Z2j ~— 771-3 ~~: Р2 0), В ®з == Рз —- Л/"] ——• 0), С ®i ^― 〃i — =牍=0),
С] ("2 = 〃2 =卩=0), D @6 = 〃з = М° — 0), Н (Т| == 〃2 ~~: М"4 "― 0)С] ("2 = 〃2 =卩=0), D @6 = 〃з = М° — 0), Н (Т| == 〃2 ~~: М"4 "― 0)Z2恤3Z2恤31Y一'[1Y一'[
С] ("2 = 〃2 =卩=0), D @6 = 〃з = М° — 0), Н (Т| == 〃2 ~~: М"4 "― 0)
С] ("2 = 〃2 =卩=0), D @6 = 〃з = М° — 0), Н (Т| == 〃2 ~~: М"4 "― 0)
Z2恤3
Z2恤3
1
Y一'[
1
Y一'[
Z3 卜0=^", 加2 = 4(^3 今,po = o), Z4(Po = ТП2 = po == 0),
Z5 (力=7П2 = 〃 = 0), 26(CO ^> 2) ^1；4 =祟:二Т]1，^2 = U = 0j ,
Ze (3 V 2)(z =権=0, V = 1), Z8 {у — z = m = 0),
£ _ 6 丫(3Y一(1+3))(7 - 今一价
U - зy-1 , 2 -巒_1)2[2(3_今_37(3 _ 2)]，u丿
Z9(P=-|-, z = 0, m= -^-) , Zio(r)=〃2 = °,加4 = 2"/'
и четыре линии особых точек:
EF (〃5 = М2 = 0, — оо《少5 & 0), Dfi (М0 = % = 0,
—8《U5《0),
厶『2，/3(Z =唸 7П = 2瑰 + 必[со + 2 — 4(3 — 1)/丫] й)Т + + 2 (со — 2) со 2),
JJzQv 3 V3) (U5 =—炉/2 (з — 2), 〃5 = О, 0&ЛГ2&8).
При 丫 = 5/3 на компоненте границы Гх имеется линия особых точек £, проходящая через особые точки Z2, /4, Zw：
欣=—"1 (3 + “)2 Po = 0, — оо《以《0.
При у = 4/3 имеются две линии особых точек: %, проходящая через особые точки Z7, Z9 и пересекающая отрезок особых точек 厶乙：z = 4/27 - 2m/3,卩=2/3, 0 < m < 2/9 (см. [7]), и
Рис. 26. Многообразие S после разрешения вырожденных особых точек динамической системы (1.14) и пополнения физической области границей на бесконечности по координатам z, m, V.Рис. 26. Многообразие S после разрешения вырожденных особых точек динамической системы (1.14) и пополнения физической области границей на бесконечности по координатам z, m, V.
Рис. 26. Многообразие S после разрешения вырожденных особых точек динамической системы (1.14) и пополнения физической области границей на бесконечности по координатам z, m, V.
Рис. 26. Многообразие S после разрешения вырожденных особых точек динамической системы (1.14) и пополнения физической области границей на бесконечности по координатам z, m, V.
особые точки Zhi 0《加2《°°・Пр, точек Мз, являю- Г7 и проходящаяособые точки Zhi 0《加2《°°・Пр, точек Мз, являю- Г7 и проходящая
особые точки Zhi 0《加2《°°・Пр, точек Мз, являю- Г7 и проходящая
особые точки Zhi 0《加2《°°・Пр, точек Мз, являю- Г7 и проходящая
проходящая на компоненте границы Г2 через Z2, Z3： ро = 0, vQ = — ((3 — з)/з.+ 加2/З), Y = Yi = 2 (з — 1)/з имеется линия особых щаяся пересечением компонент границы Г6 и через особые точки Z4 и Z5：
U4 •--• тп>^ -— 0,0 '^^ 〃 ^^ оо.
На рис. 26 изображен вид на многообразие S «через» компоненту границы Гх. Здесь показаны все особые точки, кроме отрезков Д/з, /3/4, лежащих на поверхности непродолжимости решений L = 0 (пунктиром показано пересечение компонент границы с по-
верхностью L = 0). Указано качественное поведение динамической системы на компонентах границы Г при 2Vs V 3, Y〉{у。= 4 ® 一 1)(2 一(з — 2)L2)r, аз}.
Исследование линии особых точек Т1Га> 1з^^. Линия особых точек 厶厶，/3/4 лежит на поверхности непродолжимости решений £ = 0. При з〉2 эта линия состоит из двух отрезков // и 13T4, если 7〉у。； если же у V Yo, то имеется только один отрезок 71T4. Концевые точки определяются из условий 1Х (и。= 0); 『2, /3 0n (°о；2, з) — 0), /4 (и。= —оо) и лежат соответственно на компонентах границы Г3, Г7, Гх. При со < 2 имеется только один отрезок /3/4.
Для исследования линии особых точек I (/х72, /3/4) сделаем немонотонную замену переменной:
В новой переменной т0 поверхность непродолжимости решений £ = 0 всюду, кроме линии особых точек /, становится неособой поверхностью динамической системы (1.14). Собственные числа 入 1,2 системы (1.14) в точках линии / (в переменной т0) удовлетворяют характеристическому уравнению 戶—胃(3①—10)九+
+ уМ {2 (3y — 5) Vo + ~ (— 7 + Зу + "%~~11 + @丫 — 2co)圖 +
+ ± [?①2 — ?④一4炉一33)- 2 + 6y + '6® 二分]Vq 4
+ 4 ® — 2)(①一3) (丫 + 1)叫=о (1.37)
(собственное число Х3 = 0 в силу одномерности линии /).
Существенно отметить, что траектории системы (1.14), продолжающиеся (в переменной т) через поверхность £ = 0, обязаны проходить через особые точки на линии /, причем только через те точки, которые в силу (1.37) являются узлами или седлами. Примеры таких траекторий будут указаны ниже.-
Заключительные замечания. Вычисление собственных чисел особых точек динамической системы (1.14), проведенное ниже, в §§ 2—4, показывает, что все особые точки (кроме линии JXJ^ являются невырожденными. Это и означает, что при построении многообразия S осуществляется разрешение особенностей исходной динамической системы (1.14).
Разрешение особых точек линии J1J2 с помощью последовательности стандартных преобразований координат (называемых в алгебраической геометрии сигма-процессами вдоль многообразия) приводит к своеобразному зацикливанию: применение таких преобразований в любом конечном числе приводит к появлению
наряду с линиями невырожденных (и неустойчивых) особых точек Mi новой линии вырожденных особых точек, свойства которой те же, что и свойства исходной линии особых точек У^- При этом невырожденные особые точки М» не имеют сепаратрис, входящих в них из физической области,——их сепаратрисы лежат на компонентах границы Г и не отвечают никаким физическим решениям. Вследствие этого и исходная линия вырожденных особых точек /1，2 не имеет физических применений.
Шесть изолированных особых точек: А, 5, С, С1? Л, Я и особые точки на отрезках EF, D^G являются неустойчивыми (седловыми), причем все их сепаратрисы лежат на компонентах границы Г и'поэтому им не отвечают никакие точные физические решения. 鴻 Десять изолированных особых точек Zf наиболее важны в рассматриваемой системе. Эти особые точки имеют сепаратрисы, проходящие внутри многообразия S, которым отвечают важные физические асимптотики решений. В следующих параграфах мы укажем собственные числа Хх особых точек Z» (в переменных т；, определяемых согласно (1.18) —— (1.33) по координатам особой точки; буквенный индекс / внизу указывает соответствующее собственное направление) и соответствующие им асимптотики. Для удобства изложения мы сгруппируем особые точки Z%, 2kB соответствии с физическим смыслом определяемых ими асимптотик.
Асимптотики разлета газа от центра
Асимптотики разлета газа от центра распадаются на два класса: асимптотики, в которых движение газа продолжается до центра симметрии г = 0, и асимптотики с образованием расширяющейся пустоты внутри газа. Асимптотики разлета газа, продолжающиеся до центра симметрии, соответствуют сепаратрисам особых точек Z^ Z9,以(s V 2),必1,必(Y — 4/3), %7・ Укажем собственные числа динамической системы на многообразии S в этих особых точках и явный вид соответствующих асимптотик.
I.方(一f广6Y, g = p。=0):居『 4(?麻一6Y, л 4(/3丫) (3 — 1) ж 2 (3 — 1) -J- 3丫 (2 — co)
Особая точка Z】лежит в многообразии S, если у〉2 (со — 1)/3. Точка Z] имеет сепаратрисы, проходящие внутри многообразия S, в двух случаях:
2 (со — 1)/3 V 丫 V 4/3. Точка Zx неустойчива (九力。V О, 九m2〉°,九ро〉°) и имеет двумерную выходящую (при 九 т 0) сепаратрису;
у〉2 (со — 1)/3 (со — 2) (при этом з〉2). Точка Zx явлн- ется притягивающей при 九 т 00 •
Соответствующие^асимптотики
(при
九 1—> 0 и X ―> оо)
имеют
ВИД
^ = Ср4гЗ-映、
Р =
^СХА^,
р=а 卫沪厂4（®-1）/з,
V =
4 (со — 1) г
Зуз t ，
(2.1)
а = 2 (з — 1) Ь,
Ь =
3 —(о 3? —2((о —4)・
Особая точка Z9 (7 = 2/3, z = 0, m = 2/9):
*—3(о—(o . — со (4 — 3?)
人匕 m= 2(3 — 3)，儿= 3 - 3•
При у V 4/3 имеется двумерная входящая в Z9 сепаратриса (X —> 8), а при у〉4/3 ——двумерная выходящая из Z9 сепаратриса (X —> 0). Соответствующие асимптотики (при X —> О, X —> оо) имеют вид
〃2 гз12 г
14 — 3夕(2・2)
р = & 击(AG)a「2-①а •力2a-4,口 =.
Асимптотики (2.1) описывают разлет газа с асимптотически постоянным (по г) давлением, а асимптотики (2.2) описывают разлет газа с асимптотически постоянной (по г) плотностью. При у = 2 (со — 1)/со имеется одномерная сепаратриса, выходящая из и входящая в Z9, вдоль которой
V = 2/3, т = 2/9,0<z<oo.(2.3)
Для этой сепаратрисы асимптотики (2.1) и (2.2) являются точными
решениями, указанными II. Особая точка Zeрешениями, указанными II. Особая точка Zeранее в книге [7].
решениями, указанными II. Особая точка Ze
решениями, указанными II. Особая точка Ze
儿=驾72 - g儿=驾72 - gявляется отталкивающей. Сепаратрисы,является отталкивающей. Сепаратрисы,(со V 2) (z = иг = О, V = 1):
儿=驾72 - g
儿=驾72 - g
является отталкивающей. Сепаратрисы,
является отталкивающей. Сепаратрисы,
—> 0 асимптотику—> 0 асимптотикуОсобая точка Ze (co V 2) выходящие из этой особой точки, имеют при X
—> 0 асимптотику
—> 0 асимптотику
(2.4)(2.4)^ = С^Г^ 脏(3R)/(2-S)
(2.4)
(2.4)
p = &42GL 2®T 次 S(3Y-2®-l»(2-G)),U =工
В этой устойчивой при 力 т оо асимптотике материя движется от центра с постоянной скоростью, причем число Маха течения газа
М —> 8・
Линия особых точек 爲 (у = 4/3) (z = 4/27 — 2/п/З, V = 2/3, 0 & иг《2/9) лежит внутри многообразия S, поэтому особым точкам линии %工 отвечают точные решения, указанные впервые в книге [7]. При 0《тп《5 = 2/9 — 2 (3 — со)2/3со2 (отрезок £i в «дозвуковой» области L > 0) эти решения устойчивы при X оо; при В < т < 2/9 эти решения неустойчивы. Особые точки на линии 必(у = 4/3): р0 = 6, % = — ((3 — со)/со + + тп2/3), 0 久 иг?《оо, имеют собственные числа
% = ^ (先处+码，脑=0,觞=号一芷齐鱼.
Эти особые точки при 加2〉9 (3 — со)/со являются отталкивающими ——им соответствует трехмерная выходящая сепаратриса (九 т 0), а при тп2 V 9 (3 — со)/со являются неустойчивыми — выходящая из них сепаратриса двумерна. Соответствующие асимптотики при 厶 т 0 имеют вид
•4 = 4 卄吸р = 4^7r а,
”1 m2 2лу(о ' Зе，. (2.5)
〜—&3 —(o + а)т9 г __ 3 (со — 1) — тт^
a 一 3 (3 -①)十⑴询， S - (o ，
а2 = (3 (3 — со) + 0)加2尸， Л1 = (/G)-a/3 号片 厂2(з-з)аа.
В асимптотике (2.5) плотность и давление в центре (г -> 0) бесконечны. Особая точка Z3 (m2 = 3 (со — 1)/со, % = —2/со, р0 = 0) делит линию 必 на две части: при 恤〉3 (со — 1)/со в асимптотике (2.5) газ падает (р V 0) на центр за бесконечное время; при 川2 V 3 (со — 1)/со имеем разлет газа от центра, причем линии тока выходят из центра при 力=0.
Особая точка Z7 лежит в многообразии S при всех со《2 и при со〉2, если〔弋 ①，< у 2二.Точка Z7 лежит в «дозвуковой области» L〉0, если
3丫(Y — 1) со2 — 2 (3丫 — (1 + со))(2 (со — 1) + 3? (2 — со))〉0.
При со〉2 это условие выполнено при всех у. Если особая точка Z7 лежит в «дозвуковой» области, то на плоскости тп = 0 она является притягивающей. Собственное число Хт =(о 3 J% ?向 .Поэтому при у V 4/3 имеется одномерная выходящая из Z7 сепаратриса (X —» 0), а при у〉4/3 имеется трехмерная входящая в Z7 сепаратриса (X —» оо, точка Z7 является притягивающей). Если (при со V 2) особая точка Z7 лежит в «сверхзвуковой» области L V 0, то на плоскости тп = 0 особая точка Z? является седлом.
Поэтому при у V 4/3 имеется двумерная выходящая из Z7 сепаратриса (九一＞0), а при у〉4/3 имеется двумерная входящая в Z7 сепаратриса (X т сю). Соответствующие асимптотики при 九 т 0 и 九 т 8 имеют вид
Л = CtAr3^, р =岁盡)“ С^г-^,
2л (3丫 — 4) [2 (со — 4) — 3丫(со ■— 2)]
2 r3 — co
3Y — 1 t3? — (1 十 co)
(2.6)
V. Решения, имеющие расширяющуюся пустоту внутри газа, при со = 5/2 подробно исследованы в книге [7L Здесь мы укажем условия существования таких решений при произвольных 丫, со и приведем их асимптотики на внутренней границе. Решения с расширяющейся пустотой соответствуют сепаратрисам особых точек
Z4, Z5, Ze (со〉2) и линии особых точек ^3 (у = %):
Z4(Ро = ап2 = ро = 0) : \Vo =^-^—^——
а / 3 —(со — 1) — усо . ^m2 = 4 ~ ,Apo =*
Z5 ("4 =加2 = 〃 = 0)：入％ = 2 3 3s.,
入恤4
3 — со
2
(О
^и =-
*уо)— 2 (со — 1)
9_笛—2(3 - 1)
*3 (Y —Y1—^—
("4 =m2 = 0, 0《〃《 g ):
入"4 = 2 3.萨Xm2 = 4 -^-,入К=°•
Особая точка Z《является отталкивающей при 2 (со — 1)/3 V V Y V Yi, особая точка Z5 является отталкивающей при у〉ух, а линия особых точек 2з является отталкивающей при у = уг. При таких значениях параметров сепаратрисы, выходящие из особых точек Z4, Z5, £з имеют при 九 т 入】устойчивую асимптотику
ется неустойчивой: 入以=—入 m?=ется неустойчивой: 入以=—入 m?=(2.7)(2.7)色，.丁,加2 = 〃 = °) ЯВЛЯ-Y(S —2)，//色，.丁,加2 = 〃 = °) ЯВЛЯ-Y(S —2)，//(0(0coco
ется неустойчивой: 入以=—入 m?=
ется неустойчивой: 入以=—入 m?=
(2.7)
(2.7)
色，.丁,加2 = 〃 = °) ЯВЛЯ-
Y(S —2)，//
色，.丁,加2 = 〃 = °) ЯВЛЯ-
Y(S —2)，//
(0
(0
co
co
^ =乐e1 (告一1)二
丁2
3 — co
a =Y‘3?一2((0 - 4尸
Особая точка Ze (co〉2)伍=
2 (3 -(0) л _ 3Y 一(4 + s)
-,ли=•
При y〉^| © имеется двумерная выходящая из Z6 сепаратриса, которой соответствует следующая асимптотика при X —> Xi：
①2 3Y一(1+ з)
y书尸HiF，a -1 而
В асимптотиках (2.7), (2.8) масса газа внутри расширяющейся сферы 九=九1 равна нулю, т. е. внутри этой сферы пустота. В асимптотике (2.7) давление газа на внутренней границе р，0, т. е. газ вытесняется некоторым «сферическим поршнем» [7], моделью которого может служить бесконечно нагретый газ (температура Т = оо, плотность р = 0). При у〉％ на внутренней границе плотность газа р->.оо, следовательно, температура газа Т 〜 р/р-> —> 0 при X f 九i・ Поэтому в реальном, неавтомодельном решении на внутренней границе возникнет интенсивный теплообмен с бесконечно горячим газом внутри полости, который приведет к заполнению пустоты газом с ненулевой плотностью.
Другой тип неустойчивости внутренней границы связан с известным механизмом возникновения тейлоровской неустойчивости [128, 129]. А именно, при со V 2 ускорение внутренней границы 〃i〉°, т・仇 в системе, связанной с внутренней границей, ускорение направлено в сторону пустоты, что и приводит к тейлоровской неустойчивости газа; при со〉2 этой неустойчивости нет. При у V % (в этом случае со〉2, у V 4/3) плотность газа р —> 0 и температура Ттоо при 九+九工，поэтому внутренняя граница устойчива относительно рассмотренных возмущений.
В асимптотике (2.8) на внутренней границе р -> 0, р -> 0, Т т 0 при 九一> 九и т. е. эта асимптотика описывает расширение газа со свободной внутренней границей, которая в силу со〉2 (ускорение a】V 0) является устойчивой.
Из условий существования асимптотик (2.7), (2.8) следует важный вывод: при у <； 2(со — 1)/3 (при этом со〉5/2) автомодельных решений с образованием полости внутри газа не существует. В частности, в этой области значений параметров таких решений нет и в задаче о вспышке звезды.
Исследование динамической системы
на компонентах границ! Г2 и Г8
На основе проведенного в § 1 разрешения особенностей системы автомодельных уравнений оказывается возможным подробно исследовать асимптотики автомодельной аккреции самогравити-
рующего газа на центр и решения задачи о вспышке звезды. Поведение соответствующих автомодельных решений существенно зависит от поведения динамической системы на компонентах границы Г2 и Г8, к рассмотрению которого мы и перейдем в данном параграфе.
I. Исследование динамической системы на компоненте границы Г2. Динамическая система на компоненте границы Г2 (р0 = 0) имеет шесть невырожденных особых точек: Z】,Z?, Z3, Z4, А, В. Особые точки А и В рассмотрены в § 2. Особые точки А и В, как отмечалось в § 1, являются седловыми и не имеют сепаратрис, проходящих внутри физической области; на компоненте границы Г2 (ро — 0) особая точка Я также является седловой, а особая точка В является притягивающей. Особая точка Z2 (“丄=0, m3 = =(у — I)-1, р2 = 0) имеет следующие собственные числа:
九女=2^у —I)， 九加3 =]， 九Р2 = 丫 _ ； . (3」)
Эта особая точка имеет сепаратрисы, проходящие внутри физической области, при 4/3 V? V 5/3, и является при этом отталкивающей. Выходящие из особой точки Z2 сепаратрисы при 4/3 V Y V V 5/3 определяют устойчивую асимптотику аккреции газа на центр, которая обсуждается в § 4.
Динамическую систему на компоненте границы Г2 (р0 — 0) удобно рассмотреть в координатах 几，m2, в которых она имеет вид
岩=% (丄十 3% + 砌=Р, (3 2)
黑^ = m2(4 三詐 + 4% + Y叫=Q.
Особая точка Z3 仇 = —2/со, m2 — 4 (со — 1)/усо, р0 = 0) имеет следующие собственные числа:
=九± = {2со -5±[(2со- 5)2 - 8(з —1) (4 — 3丫)/丫产} со?
&о = 1・(3.3)
Особая точка Z3 является отталкивающей при у V 4/3, 5/2 V со v V 3 и неустойчивой при у V 4/3, 1 V ① V 5/2 и у〉4/3, 1 V <С со V 3. Сепаратрисы, выходящие из особой точки Z3, имеют в указанных случаях размерности 3, 1 и 2 соответственно. Для исследования модели вспышек звезд оказывается существенным следующее обстоятельство. Выходящая из особой точки Z3 одномерная сепаратриса, соответствующая собственному числу ХРо = —1, интегрируется явно и является следующей траекторией X системы (1.14):
° = 0, z= 2((оЗ)办 (3.4)
Траектории X соответствует точное решение уравнений газовой дциамцки, описывающее равновесное состояние газа:
p = W，р = 7——гг^-^,Л =г3-®, “ = 0・
•「8(со — 1) (3 — (0) •3 — (0
(3.5)
Остальные сепаратрисы, выходящие из особой точки Z3, описывают приближение газа при X 0 (^ -> оо) к равновесному состоянию (3.5).
При у V 也=4 [3 + (2со — 5)2/8 (со — I)]-1 V 4/3 собственные числа 九土 (3.3) комплексные, т. е. особая точка Z3 на компоненте границы Г2 (ро = 0) является фокусом и все траектории в ее
Рис. 27. Фазовые портреты динамической системы (3.2) на компоненте границы 「2： “)Y〉4/3, 1 <(о < 3;① Y< 4/3, (о < 5/2; в) у < 4/3, (о = 5/2;
2)? < 4/3, 5/2 <(о < 1 + Зу/2; 0) у < 4/3, 1 十 Зу/2 <(о < 3.
окрестности (кроме выходящей сепаратрисы X) вращаются вокруг этой точки (при 1 V s V 5/2, 丫 V 丫2 фокус Z3 является притягивающим (на плоскости р0 = 0), а при 5/2 V з V 3, у V 丫2 — отталкивающим), В соответствующих решениях скорость газа v колеблется около нуля (поскольку в особой точке Z3 имеем V = 0) и газ совершает радиальные колебания.
При у〉4/3 особая точка Z3 на компоненте границы Г2 согласно (3.3) является седловой. В этом случае фазовый портрет динамической системы (3.2) на Г2 однозначно определяется свойствами особых точек и указан на рис. 27, а. При у V 4/3 собственные числа 九土 (3.3) имеют одинаковый зцак вещественных частей, uq-
этому для установления фазового портрета динамической системы (3.2) необходимо исследовать наличие у этой системы предельных циклов.
Система (3.2) принадлежит к общему классу двумерных динамических систем вида х —也】，у = yL^, где Lr и Z2 — линейные функции от х, д, изученному в работе [130]. Следуя методу работы [130], найдем, что для функции
5 = d 尸显 T, А = 九=_3岁二;)
справедливо тождество
дВР dBQ _ 2 (2а)— 5) Ddv0 十 8恤一 s ,
Отсюда, согласно критерию Дюлака — Бендиксона, следует, что система (3.2) на компоненте границы Г при со 抬 5/2 не имеет замкнутых траекторий (а также сепаратрисных циклов). Этот факт вместе с полученной выше информацией об особых точках Z】， Z2, Z3, Z^ АиВ позволяет полностью восстановить фазовый портрет динамической системы (3.2). В зависимости от значений параметров у, з фазовые портреты показаны на рис. 27.
Случай со = 5/2 является особым: в этом случае динамическая система (3.2) имеет первый интеграл
ьi = 1等+ьi = 1等+"о"оY —Y —不 + 7^2「'Do 尸斶（LD不 + 7^2「'Do 尸斶（LD(3.6)(3.6)
ьi = 1等+
ьi = 1等+
"о
"о
Y —
Y —
不 + 7^2「'Do 尸斶（LD
不 + 7^2「'Do 尸斶（LD
(3.6)
(3.6)
При у 々 4/3, со = 5/2 особая точка Z3 на компоненте границы Г2 является центром: Re 九土 = 0. Интеграл Fx в точке Z3 имеет минимум. Поэтому все траектории динамической системы (3.2), совпадающие с линиями уровня интеграла %, в области 4/(5у) + + "(/(丫 一 1) + m2Vo являются замкнутыми кривыми (см. рис. 27, б).
Таким образом, при 5/2《 со V 3, у V 4/3 особая точка Z3 является устойчивой при X -＞ 0. Траектории динамической системы (1.14) — (1.34), движущиеся в окрестности особой точки Z3, при 5/2 & со V 3, у V Y2 определяют автомодельные решения, в которых при 九一＞ 0 происходит бесконечное число радиальных колебаний газа. Выведем асимптотические формулы (при 九一＞ 0) для таких автомодельных решений. Для этого достаточно проинтегрировать линейную часть системы (1.34) в окрестности точки Z3. Линеаризованная в окрестности точки 2з(%=^-, т2 =
=竺彳〕)• , ро = О) система (1.34) после перехода к переменной 1 a4 (со — 1)
Т = In 九 и координатам g = 4 + 丁 =匕 yQ= m2———
имеет вид
00 = - 3/0 — в0,
岁。=2 @『"(4& + Y%),
0O=pO》(l+ (曰—l"o+ ^i%)・
Эта система легко интегрируется:
拼力0 =力=GV0-% sin (P (In 入)+ 0),
^^^1y У. = У = -6产」/2 [(⑴ + %) Sin (P (In X)+0) +
+ ₽COS (P ln?i+e)],(3.7)
Po = C2M° (1 + 〃)，
u = 26 严"((3 — 5/2)a —与口 sin (p]nX + 0)-
—ap cos (P InX + 0)].
Здесь введены обозначения
a — у о — Зу + 1в / 2 (со — 1) (4 —Зу) ,5/
° —YZ®二彳)(4二觊尸P—I vW—/2)丿
P — мнимая часть собственных чисел 九土 (3.3) (при у V 也)，&, С2, 6 — произвольные постоянные. Полученные решения (3.7) после пересчета в исходные координаты V, m, R, Р:
у— 2—加2—2 (со — 1) (1 + у)
°Po I I YP^a—/)
A (1 — 3/(o) m p I p E
a =2行。二 273，P--ZR=-^
и подстановки в (1.8) приводят к следующим асимптотическим формулам для автомодельных решений при 5/2《(о V 3, 丫 V 也， 九-> 0:
и = + 告力， Р =簣(1 + 2力 + в — 〃)，
'2冗尊42G
J) "疗滓…)(1 + 2% + 尸 2〃)，(3.8)
加=У^Г C0Ar^(i +x + y — u).
Здесь。()=。2 (<o—1)(3—(о)/2лу, функции и, х, у определены в (3.7).
Формулы (3.7)——(3.8) описывают асимптотический характер автомодельных колебаний самогравитирующего газа в окрестно-
сти равновесного состояния (3.5), которое является пределом (3.8) при 力2 一卜 ^2 + 〃2 f о Область применимости формул (3.7) — (3.8) определяется условиями: при s = 5/2, у V 4/3 Сх <^ 1, f 0; при(о〉5/2, ? V 丫2。1 九з-% W 1,九 f 0.
При (o〉5/2, у 之？2 автомодельные колебания самогравитирующего газа являются затухающими, при этом во всем пространстве г〉0 диссипация энергии отсутствует в силу адиабатичности движения газа. Покажем, что в этих автомодельных решениях отсутствует также поток энергии к центру симметрии г = 0, где решение (3.8) имеет сингулярность. Плотность энергии (на единицу массы) идеального самогравитирующего газа имеет вид
—2 十(Y - 1) р г *
Полное количество энергии, перенесенной газом через сферу радиуса г。, и совершенной при этом работы против сил давления в течение бесконечного отрезка времени £。V 力 V оо определяется формулой
Ф (г。) = j4п^ (ре + p)vdt== 4л煮 j (р ^ + yzTTР — -^^) ^ 山・ toto
8口2Y综CM2G [Y _ 2 (s 一 "(Y 一 1)] co (co — I)2 (3 — co) (у — 1) (4 一 3丫)8口2Y综CM2G [Y _ 2 (s 一 "(Y 一 1)] co (co — I)2 (3 — co) (у — 1) (4 一 3丫)ф (Го)=ф (Го)=[г0 (4僦)1/呼%2 X[г0 (4僦)1/呼%2 XЭта величина после подстановки асимптотических формул (3.7)— (3.8) имеет вид & = r0 (4G/；)T心)
8口2Y综CM2G [Y _ 2 (s 一 "(Y 一 1)] co (co — I)2 (3 — co) (у — 1) (4 一 3丫)
8口2Y综CM2G [Y _ 2 (s 一 "(Y 一 1)] co (co — I)2 (3 — co) (у — 1) (4 一 3丫)
ф (Го)=
ф (Го)=
[г0 (4僦)1/呼%2 X
[г0 (4僦)1/呼%2 X
X [—(3 — %) sin (p In %o 4~ ®) 4~ P cos (P In 九о + 0)].
Функция Ф (г。) при r0 -> 0 осциллирует и бесконечное число раз меняет знак. Это и означает, что в процессе затухающих автомодельных колебаний самогравитирующего газа поток энергии в центр симметрии г — 0 отсутствует.
II. Исследование динамической системы на компоненте границы Г8. Динамическая система на компоненте границы Г8 (z = 0) описывает автомодельные движения самогравитирующей пыли (давление р — 0). В этом случае вдоль линий тока плотность энергии 8 — (№/2) — (GJZ/r) остается постоянной, т. е. de/df = 0. Для автомодельных решений 8 = (N〃2)(p2/2 —加).Обозначим % =户/2 — п. Закон сохранения 8 переходит в уравнение
軀一9 0一 1
NF =—乙玩 k — 2/co *
Система автомодельных уравнений (1.14) на компоненте гра
ницы Г8 имеет вид
m + V2 _ уИ-2/(0m + V2 _ уИ-2/(0,2-30
m + V2 _ уИ-2/(0
m + V2 _ уИ-2/(0
ТТЬ — ПЪ I / с /•
V —2/со
§ з] Исследование динамической системы на г2 и г8 203
Эта систетА = имеет монотонную' функцию / — ^峻，а = =(2 — s)/G — 3):
黑=不*/，/ = %eхp(登 t).
Из (3.9) легко получаем в явном виде одну точную траекторию системы (3.10):
% — 0, или т = V2/2.
Динамическая система на компоненте границы Г8 при ①〉2 имеет пять изолированных невырожденных особых точек: Z8)Динамическая система на компоненте границы Г8 при ①〉2 имеет пять изолированных невырожденных особых точек: Z8)Рис. 28. Фазовые портреты динамической системы (3.10) на компоненте границы Г3: а) у > 1, 2 <(о < 3; б) у > 1, 1 <(о < 2.Рис. 28. Фазовые портреты динамической системы (3.10) на компоненте границы Г3: а) у > 1, 2 <(о < 3; б) у > 1, 1 <(о < 2.
Динамическая система на компоненте границы Г8 при ①〉2 имеет пять изолированных невырожденных особых точек: Z8)
Динамическая система на компоненте границы Г8 при ①〉2 имеет пять изолированных невырожденных особых точек: Z8)
Рис. 28. Фазовые портреты динамической системы (3.10) на компоненте границы Г3: а) у > 1, 2 <(о < 3; б) у > 1, 1 <(о < 2.
Рис. 28. Фазовые портреты динамической системы (3.10) на компоненте границы Г3: а) у > 1, 2 <(о < 3; б) у > 1, 1 <(о < 2.
Z9, Z10, С\, Я (и еще особую точку Z6 при ① V 2) и отрезок седловых особых точек D£. Особые точки на отрезке D1G и особые точки С\, Я, как отмечалось в § 1, являются седловыми, и все их сепаратрисы лежат на различных компонентах границы Г. Особые точки Ze (s V 2) и Z9 рассмотрены в § 2. Отметим, что особые точки Z8, Z9 и Ziq лежат на параболе т = V2/2, которая, таким образом, состоит из сепаратрис этих особых точек.
Особая точка Z10 (т] = u2 — 0, т4 — 2一％) имеет следующие собственные числа:
(3.11)(3.11)
(3.11)
(3.11)
При 1 V Y V 5/3 особая точка Z10 является отталкивающей. Сепаратрисам, выходящим из этой особой точки, соответствует устойчивая при 九一> 0 асимптотика аккреции газона центр, которая обсуждается в § 4. При у〉5/3 особая точка Z10 является седловой, причем двумерная выходящая из Z10 сепаратриса лежит на компоненте границы Г8, а одномерная входящая в Z10 сепаратриса лежит на компоненте границы 1\.
Особая точка %8 {V — z = т ~ 0) является притягивающей, ее собственные числа имеют вид 九加 = % = —со,，久卩 = —(о/2. Траектория X (3.4), выходящая при 九一> 0 из особой точки Z3, при 九一> оо входит в особую точку Z8. Остальные сепаратрисы, входящие при Х-> оо в эту особую точку, имеют асимптотику
ё4 = ^4^ 产一①，p =4г①，V = (AG)^2 &/8/2 ,
「о(3.12)
р = k "、奥"A^Gr^\ 4 =与;4g,广 (3 —со)? G 丄4л ，
причем для сепаратрис, касающихся плоскости Р = 2 (со ——1) z/y —— —m, скорость газа и = AG (2 (со — 1)。丿丫 — С2) г1-°. Очевидно, асимптотика (3.12) описывает некоторое возмущение равновесного состояния (3.5).
Проведенное исследование особых точек позволяет полностью восстановить фазовый портрет динамической системы на компоненте границе Г8 (рис. 28).
Автомодельная аккреция самогравитирующего газа на центр
Автомодельные решения, описывающие при 力-> оо аккрецию (падение) самогравитирующего газа на центр, соответствуют сепаратрисам особых точек Z2, Z】。，％ (у = 5/3) и & (7 — 4/3). Укажем асимптотики аккреции, соответствующие сепаратрисам этих особых точек.
Сепаратрисы, выходящие из отталкивающей при 4/3 V у V V 5/3 особой точки %2, имеют при Х-> 0 (£-> оо) следующую устойчивую асимптотику:
風=А^^^^С^-^^.
р = (/G)1/(”1)S ^^ GC2rT/(S%(l/(YT)CDT),
р— (/G)(3T-2)/(D①(3 —2；)(厂1)_C；GrT/(D广2(2-(3Y-2"(yt)co),(4.1)
Сепаратрисам, выходящим из отталкивающей при 4 V Y V 5/3 особой точки Zu, соответствует устойчивая при 九一>0 (£-> оо) асимптотика
°〃 = (/G)3/s 量 £2(з-со)/①，
(4・2)(4・2)р =(4G)3/'2s(3 丁 &尸 L/啾з-асо/д
(4・2)
(4・2)
p = (46)(4+37)/28 整厂3?/2力(4+3仍/A4,
U= — (46)3/23 ОГ-^^-^^.
Особые точки на линии % (у = 5/3) (р0 = 0, " = —% (3 + + "；)/2, — 8 & 少1 & 0) являются отталкивающими и имеют следующие собственные числа: 九р° = ——3%/2, 九？= ——％， 九з =。・ Сепаратрисы, выходящие из этих особых точек, имеют при 九一> 0 (^ -> сю) следующую устойчивую асимптотику
3 + V? 9
Л = {AGY^ -.沥丄 с^-^^.
(4.3)(4.3)(3 — со) (3 + 脅)& р = (4G)3/23 aL/啾 3—2(0)?〃=^_W …1.
(4.3)
(4.3)
у \，4jwG I % I
P = (4G)9/2① _±. C；L/2搜T3)/3,P = (4G)9/2① _±. C；L/2搜T3)/3,"=% (4G)3/23 &厂‘/2方(3-8)/8."=% (4G)3/23 &厂‘/2方(3-8)/8.
P = (4G)9/2① _±. C；L/2搜T3)/3,
P = (4G)9/2① _±. C；L/2搜T3)/3,
"=% (4G)3/23 &厂‘/2方(3-8)/8.
"=% (4G)3/23 &厂‘/2方(3-8)/8.
В асимптотиках (4.1) — (4.3) газ падает на центр за конечное время. В центре г = 0 образуется точечная масса, растущая со временем. Поэтому эти асимптотики описывают в классической теории аккрецию газа на «черную дыру». При этом в центре симметрии давление, плотность, температура и скорость газа бесконечны. В асимптотике (4.1) число Маха течения газа М -> О, в асимптотике (4.2) М -> оо, а в асимптотике (4.3) М -> | % | при 九一> 0. Особым точкам на линии %2 (у — 4/3) соответствует устойчивая асимптотика аккреции (2.5) (при ап?〉3 (з ——1)/(о). В этой асимптотике газ падает на центр за бесконечное время, масса в центре J^ (0) — 0 и «черная дыра» не образуется.
Проведенное в §§ 2——4 полное исследование всех особых точек динамической системы на многообразии S показывает, что асимптотиками (4.1)——(4.3) и (2.5) исчерпываются все возможные асимптотики автомодельной аккреции. Таким образом, автомодельная аккреция самогравитирующего газа на центр при 1 V у V 4/3 имеет при 力一> 8 асимптотику (4.2); при у = 4/3 возможны две асимптотики (2.5) и (4.2); при 4/3 < у < 5/3 возможны две асимптотики (4.1) и (4.2); при у — 5/3 реализуется асимптотика (4.3). При у〉5/3 автомодельной аккреции самогравитирующего газа не существует.
Используя построенные в § 3 фазовые портреты динамической системы на компонентах границы Г2 и Г8, можно получить полное (при всех 0 V 九 V оо) качественное описание некоторых автомодельных решений, в которых отсутствуют ударные волны. Действительно, согласно фазовому портрету рис. 27 при з〉2 и 4/3 V уз = 2 (s — 1)/3 (со — 2) V у V 5/3 (в этом случае со〉8/3) имеется целая область многообразия S, заполненная
206 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЕЗДАХ / [ГЛ. V устойчивыми траекториями, выходящими при 九一> 0 丛 отталкивающей особой точки Z2 м входящими при 九一> оо в лритягиваю- щую особую точку Z「В соответствующих автомодельных решениях газ при t《1 разлетается от центра с асиьртотикой (2.1), затем при возрастании t происходит поворот направления движения газа и при дальнейшем возрастании t газ шадает на центр (на «черную дыру») за конечное время, при этои/реализуется асимптотика аккреции (4.1). /
При 4/3 < у <С Уз особая точка Z】является седловой (см. § 2) и имеет одномерную выходящую сепаратрису, которая лежит на компоненте границы Г7 и входит (при(о〉2) в притягивающую особую точку Z7 (см. рис. 26). Поэтому при 4/3 V 丫 V ?з，s > 2 имеется область заполненная устойчивыми траекториями, выходящими при 九一> 0 из отталкивающей особой точки Z2 и входящими при 九т 8，после движения вдоль сепаратрис Z2Z1, Z1Z7, в притягивающую особую точку Z7. Эти решения имеют при t у 1 асимптотику разлета (2.6), в остальном они подобны описанным выше решениям.
При тех же значениях параметров у, s находим, что имеется целая область многообразия S, заполненная устойчивыми траекториями, выходящими при 九一> 九1 из отталкивающей особой точки Z5 и входящими при 九一> 8, после движения вдоль сепаратрис Z5Z4, Z4Z1 при Y3 V Y V 5/3 (и вдоль сепаратрис Z5Z4, Z^, Z*7 при 4/3 V Y V Тз), в притягивающую особую точку Zx (соответственно Z7). В соответствующих решениях газ монотонно разлетается от центра, причем на бесконечности г реализуется асимптотика разлета (2.1) (соответственно (2.6)), а внутри газа образуется расширяющаяся с асимптотикой (2.7) пустота.
Описанные два класса решений разделяются неустойчивой двумерной сепаратрисой, выходящей при X -> 0 из седловой особой точки Z3 и входящей при 九 т оо в притягивающую особую точку Zi (Z7). Соответствующие автомодельные решения описывают неустойчивый процесс формирования равновесного состояния (3.5) из первоначально разлетавшегося с асимптотикой (2.1) (соответственно (2.6)) газа.
Совершенно аналогично, используя фазовые портреты рис. 28, получим, что при 1 V Y V 5/3 целая область многообразия S заполнена устойчивыми траекториями, выходящими при X -> 0 из отталкивающей особой точки Z10 и входящими при 九一> 8 в притягивающую особую точку Z8. Соотвегствующие автомодельные решения описывают интенсивную аккрецию (число Маха М -> оо) самогравитирующего газа на центр (асимптотика (4.2)) из первоначального состояния (3.12), являющегося некоторым возмущением (за счет наличия движения газа при £ = 0) равновесного состояния (3.5). В этих решениях скорость газа и при £ = 0 мои;ет иметь любой знак. При ①〉2 в асимптотике (3.12) скорость
газа d-> Q при 厂一> 8, поэтому указанные решения описывают в классической теории коллапс звезды с образованием в центре «черной ды血〉из асимптотически (при г -> оо) равновесного состояния (3.1 必.
Отметим, 口叫 при у = 5/3 и у = 4/3 также существуют автомодельные решения, аналогичные описанным выше и имеющие асимптотики аккреции\4.3) и (2.5).
Новые решения в модели вспышек звезд
Постановка задачи. Напомним физическую постановку модели вспышек звезд, следуя работам [7, 116]. В этой модели предполагается, что в начальный момент времени звезда образована массой идеального самогравитирующего газа, находящейся в состоянии равновесия:
2m；42G(со — 1) (3 — со)2m；42G(со — 1) (3 — со)r2(1-@),r2(1-@),一 3 —J ，一 3 —J ，и = О,и = О,
2m；42G(со — 1) (3 — со)
2m；42G(со — 1) (3 — со)
r2(1-@),
r2(1-@),
一 3 —J ，
一 3 —J ，
и = О,
и = О,
(5.1) где 1 V(о V 3, с】——безразмерная постоянная. Затем из центра симметрии г = 0 в результате выделения энергии (например, взрыва) или потери устойчивости начинает распространяться ударная волна ——разрыв физических параметров газа (плотности, давления, скорости газа и энтропии). Предполагается, что движение газа за ударной волной является автомодельным, т. е. параметры газа имеют вид
3 (5.2) ^ = ~^г 加(%), " = / 卩(%),
где автомодельная переменная 九 = r/(AGl?y^. Отметим, что равновесное состояние (5.1) также является автомодельным: этому решению соответствуют безразмерные функции
加 @) = 1^■九一％F(X) = O. (5.3)
После преобразования в переменные z =、PIR、加,V равновесному состоянию (5.1) соответствует траектория X системы автомодельных уравнений (1.14):
卩=0, z卩=0, z»-7~加.2 (со — 1)»-7~加.2 (со — 1)
卩=0, z
卩=0, z
»-7~加.
2 (со — 1)
»-7~加.
2 (со — 1)
Закон движения ударной волны в автомодельном решении есть 九=九*. Скорость распространения ударной /волны и* = =^■九* [AGy^ £(2—з)/з , поэтому при со〉2 ударнау волна замедляется при удалении от центра, а при со V 2 ускоряется. На фронте ударной волны выполнены условия сохранение массы, количества движения и потока энергии, которые йосле пересчета в безразмерные переменные принимают вид (индексы 1 и 2 указывают величины по разные стороны разрыва) /
区1 (匕一2/(о) = % (卩2 — 2/з), mx — m2,
%一等+ kw = %—等+而』(5方)%一等+ kw = %—等+而』(5方)
%一等+ kw = %—等+而』(5方)
%一等+ kw = %—等+而』(5方)
При преобразовании (5.5) (величины с индексом 2 переходят в величины с индексом 1) траектория X (5.4) отображается в линию Y(q)：
4(2Y一 (Y一 l)g)(y -1+2,) _ 8 (o)- 1) _ 4(1 —у) z0 炉(y十 1)2 ' 一 一^— - (y + 1)① *
(5.6)
Автомодельные решения, которые сопрягаются через ударную волну с равновесным состоянием газа (5.1), соответствуют траекториям системы (1.14), входящим при некотором 九=^* в точки на линии У (q) (0 < ^ < 1); при 九* V 九 V оо решение определяется отрезком траектории X (5.4) (при этом траектория при 入 < 九* лежит в «дозвуковой» области Е =么 ——(V ——2/(0产〉О многообразия S, а отрезок траектории X при 九〉九* лежит в «сверхзвуковой» области L V 0). Поскольку на ударной волне тг = т2, то, сопоставляя выражения для т из (5.3) и (5.6), находим, что
q =q =Jtyw2^Jtyw2^2 (①一1) (3 — со)2 (①一1) (3 — со)(5・7)(5・7)
q =
q =
Jtyw2^
Jtyw2^
2 (①一1) (3 — со)
2 (①一1) (3 — со)
(5・7)
(5・7)
Таким образом, решения задачи о вспышке звезды определяются единственным параметром q = М~2, где М〉1 — число Маха движения ударной волны по покоящемуся газу.
Для равновесного состояния (5.1) полная энергия (гравитационная плюс тепловая) шарового слоя 尸1 V г V 尸2 имеет вид
8*5/2： Е— 8л2(；— j — j；g — -)' c；GA2 5_2ш 产如 |；;,(5.8)
s = 5/2: e = e 沿а 2 .m .
/1 3(Y一 1) ri
При з V 煦 полная энергия Е шара радиуса г конечна, а при з》5/2 бесконечна, причем Е V 0 при у〉也 и 笈》0 при у《 & 也，где %』(2з — 1)/2 (з — 1).
Решения задачи о вспышке звезды в рассматриваемом классе движений газа при з〉5/2 вследствие расходимости энергии на нижнем пределе (c^i. (5.8)) являются некоторыми промежуточными асимптотиками, применимыми вне малой окрестности центра г = 0. Решения с у《у《(Е》0) описывают разрушение неустойчивого равновесия звезды. Закон выделения энергии в автомодельном решении имеет вид
(5.9)(5.9)Е = aG 5/3-145/”2(5-2з)/со.
(5.9)
(5.9)
Выделившаяся энергия Е не зависит от времени только при з — =5/2 или при а = 0. Константа а вычисляется из самого решения путем сравнения полной энергии (5.8) газового шара радиуса г в равновесном состоянии и его энергии в момент выхода ударной волны на поверхность шара; таким образом, а является функцией от числа Маха движения ударной волны М. В некоторых случаях константа а оказывается бесконечной. Соответствующие решения являются асимптотиками очень сильного взрыва (Е 身 1).
Исследование особой точки 1rl = Р (1). Для изучения решений задачи о вспышке звезды при числах Маха М ^ 1 необходимо исследовать поведение траекторий динамической системы (1.14) в окрестности точки Ут = У (1):
41П =41П =8 (з - 1)8 (з - 1)У О)2У О)2。=0.。=0.(5.10)(5.10)
4
1П =
4
1П =
8 (з - 1)
8 (з - 1)
У О)2
У О)2
。=0.
。=0.
(5.10)
(5.10)
Точка У】 лежит на поверхности непродолжимости решений £ = 0 и является неподвижной точкой отображения (5.5). В этой точке пересекаются три линии ——линия У (7) (5.6), траектория X (5.4) и линия особых точек Q&. Точка Ух делит линию Y (7) и траекторию X на две части, лежащие в «дозвуковой» (£〉0) и «сверхзвуковой» (L V 0) областях многообразия S. Ниже мы исследуем расположение отрезка У (q), 0 V 0 V 1, лежащего в «дозвуковой» области.
Собственные числа (1.37) в особой точке Yr принимают вид
. м = 20?(3 — 2) з-з,九2 = —8丫3一2,九з = 0. (5.11)
Собственные числа особых точек на линии Q&, близких к У1? разумеется, получаются из (5.11) непрерывным изменением. Система (1.14) имеет две инвариантные двумерные поверхности L工 и £2, проходящие через линию особых точек IJ& и заполненные сепаратрисами этих особых точек, отвечающими собственным числам 九 1 и ^2・ Траектория X в «дозвуковой» области £〉0 является входящей сепаратрисой особой точки Y± и лежит на поверхности %.
210 аётомодеЛьйое движение гава в звездах / (гл. v
Покажем, что отрезок линии У (q), О V q V 1, в/окрестности особой точки У\ при s〉10/7 лежит (в «дозвук(ни)й» области) между поверхностями Lx и £2- Обозначим 厶,Z2 и Л собственные векторы, отвечающие собственным числам 九】，九2 и 入з (5.11) (вектор %з касается линии особых точек W и пусть 彳一вектор, касательный к линии У(7)в точке У「Координат^ (6z, 3m, 67) этих векторов имеют вид
/1： (4 …/1： (4 …5 (у —■- 1)((о — 2) — 4(о5 (у —■- 1)((о — 2) — 4(о7<о-107<о-10• <2(s — l)，• <2(s — l)，8 (①-1)(¥ + 1)~у(7(о-1б)-1,8 (①-1)(¥ + 1)~у(7(о-1б)-1,4 (з — 1) + 6丫 一 уз4 (з — 1) + 6丫 一 уз。)， (5.12)。)， (5.12)узуз%： (-4%： (-42(з — 1)(¥ +1)усо2(з — 1)(¥ +1)усо
/1： (4 …
/1： (4 …
5 (у —■- 1)((о — 2) — 4(о
5 (у —■- 1)((о — 2) — 4(о
7<о-10
7<о-10
• <2(s — l)，
• <2(s — l)，
8 (①-1)(¥ + 1)~у(7(о-1б)-
1,
8 (①-1)(¥ + 1)~у(7(о-1б)-
1,
4 (з — 1) + 6丫 一 уз
4 (з — 1) + 6丫 一 уз
。)， (5.12)
。)， (5.12)
уз
уз
%： (-4
%： (-4
2(з — 1)(¥ +1)усо
2(з — 1)(¥ +1)усо
Поверхность Lr в точке У】 касается двумерной плоскости Р17 проходящей через векторы 厶 и Z3, а поверхность £2 касается плоскости 尸2, проходящей через векторы Z2 и %. Нетрудно вычислить следующие определители:
D* = det (厶,％, у) = 5 ^ «：炉由今(Зсо — Ю),
5 = det (厶，总勾)=—Y ^^y，(5.13)
03 = det (弘 %, %) ~。2，
Поскольку D2 — D^ то вектор у лежит по ту же сторону от плоскости 「2, Qto и вектор 厶.Поскольку при со〉10/7 sign Z\ = =sign Р2, то вектор у лежит по ту же сторону от плоскости Р17 что и вектор %• Следовательно, при со〉10/7 вектор у лежит между плоскостями Рг и Р?, т- ©• линия У (q) в окрестности точки У】 лежит между поверхностями L* и Ь2 (рис. 29, а, 6, в).
Все траектории динамической системы (1.14), идущие в окрестности траектории X и не лежащие на поверхности L2, при приближении к линии / J4 при со〉10/7 отклоняются от поверхности L2 и оказываются в малой окрестности поверхности Lx (это следует из того, что 九1〉九2 при s〉10/7). Поскольку при со〉10/7 линия У находится между поверхностями Zq и £2, то некоторый отрезок У】 У(д()) (0о V 1, числа Маха М ^； 1) на линии У целиком пересечен траекториями, двигавшимися ранее в окрестности траектории X. Это обстоятельство вместе с тем, что траектория X выходит из особой точки Z3, лежащей на компоненте границы Г2, позволяет подробно исследовать решения задачи о вспышке звезды при числах Маха движения ударной волны Mal. При этом суще-
5 £
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ ВСПЫШЕК ЗВЕЗД
^2
4
4
Л
夕
夕
Рис. 29. К решению задачи о вспышке звезды при числах Маха движения ударной волны М н 1; а) у < у2, <о > 5/2;
6) Y < 4/3, со = 5/2; у V 丫2,① < 5/2; з) 4/3 < у < 5/3, 1 < со < 10/7.
ственно используются фазовые портреты рис. 27 динамической системы на Г2 (см. § 3). /
Ш. Автомодельные решения с бесконечными затухающими радиальными пульсациями газа. Особая точка Z3 при у V 4/3, з〉5/2 является отталкивающей (см. (3.3)). Поэтому вся окрестность траектории X заполнена сепаратрисами этой особой точки и, следовательно, все решения задачи о вспышкб звезды для чисел Маха М ^ 1 при 九一> 0 « -> 8)стремятся к равновесному состоянию (5Л) (см. рис. 29, а). При приближении к равновесному состоянию скорость газа и при 丫 V 也=4 [3 +(2з — 5)2/8 (①— —— I)]"1 имеет бесконечное число колебаний около нуля; см. (3.6) (в этом случае особая точка Z3 на компоненте границы Г2 (р0 = 0) является отталкивающим фокусом; см. рис. 29, 6). Таким образом, при у V ?2, з〉5/2 в решениях задачи о вспышке звезды при М 1 газ после прохождения ударной волны начинает пульсировать, причем все частицы газа совершают бесконечное число затухающих колебаний. Асимптотические формулы для этих колебаний указаны в § 3 (см. (3.7) — (3.8)). При со 5/2 период (по переменной т3) каждого колебания много меньше времени релаксации. Найденные решения являются автомодельными возмущениями, не разрушающими равновесия звезды (которое в целом при ? V 4/3 является неустойчивым; см. [73]). Полная энергия Е газового шара радиуса г согласно (5.8) в этих решениях равна 土оо (в зависимости от соотношения у и ?4), причем энергия этого же шара после прохождения ударной волны также равна ±оо, поэтому вопрос о количестве энергии, выделяющейся согласно (5.9) в центре симметрии, в данном случае нельзя решить путем сравнения энергии газового шара до и после вспышки. Однако с помощью асимптотических формул (3.7)——(3.8) можно показать, что в рассматриваемых автомодельных решениях отсутствует направленный поток энергии в центр симметрии (см. § 3, п. I).
Исследование решений задачи о вспышке звезды при о = 5/2. Рассматриваемый случай представляет особый интерес, поскольку он соответствует мгновенному выделению энергии в центре симметрии (взрыву); см. (5.9). При со = 5/2 динамическая система (1.14) имеет, кроме монотонной функции (1.36), связанной с интегралом адиабатичности (1.12), еще монотонную функцию «интеграл энергии» [7]:
Н = — т + 岑一^ + 4~ (% + 刁 + 4" (4~)2] = %*.
(5.14)
При со = 5/2 все особые точки Z», кроме Z3, Z4, Z5, лежат на поверхности Я = 0, инвариантной относительно системы (1.14) и являющейся двумерной сепаратрисой, выходящей из особой
точки Z6. Особые точки Z4, Z5 лежат в области Н〉0 (в особой точке Z3 Я < 0 при у V 4/3 и Н〉0 при у〉4/3). Линия У (q) (5.6). при т V 4/3 лежит в области Я < 0 (а при у〉4/3 — в области 0). Отсюда получаем следствие.
Следствие. Задача о вспышке звезды при у V 4/3, со = =5/2 при любом числе Маха (1 < М < оо) движения ударной волны не имеет решений с расширяющейся пустотой внутри газа.
При т = 4/3, з = 5/2 линия У (q) лежит на поверхности Н = 0 ——сепаратрисе особой точки Z6, что и обусловливает исключительность поведения решений задачи о взрыве звезды при Т — 4/3 (проинтегрированной в работе [7]). В этом случае все решения с расширяющейся пустотой внутри газа (числа Маха М〉6) выходят из особой точки Z6 и имеют асимптотику (2.8), которая не реализуется для решений при у 丰 4/3, со = 5/2. Кроме этого, при т = 4/3, з = 5/2 решения для чисел Маха 6〉М〉1 являются сепаратрисами линии особых точек %2, которая отсутствует при т 关 4/3.
Из двух монотонных функций (1.36) и (5.14) можно образовать интеграл системы (1.14) (ранее не использовавшийся), который в координатах (1.21) имеет вид
歹= |Н^-зу ①訖 (5.15)
F=\-^- + ， ?% + m2 + 2儿0 (% + 等)2 Po『7) % |-? 〃g("D.
Интеграл F на траектории X принимает постоянное значение 方=及=7T (4/5尸一吗3"-1)J(4 — 3Y)/(? — 1) |4-3у, причем линия X состоит из экстремумов функции 户,т. е. первый дифференциал dF = 0. Второй дифференциал d2F на линии X имеет вид
d2b _ 一储3-1?2(? 一 1)(5/4)2(4 - зT)-1 X
X [(3说0 + dm^ + 3?T (4 - 3T)(1 - (4/5)2p?)蹴].(5.16)
Рассмотрим отдельно два случая: у V 4/3 и ?〉4/3. При ? V 4/3 отрезок линии X от точки Z3 (р0 = 0) до точки Уг (р0 = =5/4) состоит, согласно (5.16), из максимумов функции F. Поэтому поверхности уровня интеграла F в окрестности отрезка ZgYj на линии X являются двумерными цилиндрами и пересекают компоненту границы 1\(Ро = 0) по циклам ——замкнутым интегральным кривым динамической системы на Г2. Интеграл F на Г2 совпадает с интегралом % (3.6). Как отмечалось в § 3, в области m2 + vjiy — 1) + 4/(5у) < 0 на компоненте границы Г2 все траектории динамической системы (3.2) (? V 4/3, со = 5/2) (уровни интеграла F) являются циклами. При убывании % (% -> 0) все циклы, согласно (1.34), являются притягивающими (р0 -> 0). Отсюда нетрудно вывести, что все решения задачи о взрыве звезды
для чисел Маха Mal при X -> 0 наматываются на циклы F = =const, ро = 0 (см. рис. 29, б).
Решения задачи о взрыве звезды для чисел Маха М^> 1 соответствуют траекториям системы (1.14), проходящим через линию У (д) в окрестности точки Уо (д = 0): У =，(у + 1)з, z = = 屏(у — 1)(丫 + 1)~2(о~2, тп = 0. Точка Уо лежит на интегральной кривой 右=0 системы (1.14) на компоненте границы Г7:
z = _y(y — 1)T(3 }){；•, 他=°・(547)
При 9/7 V Y V 4/3 траектория (5.17), выходящая из точки Уо, при убывании % входит в особую точку Z6. Поэтому все траектории выходящие из линии У (g) (g^O, М 登 1), при убывании X при некотором конечном 九=%i входят в поверхность 厶=0 (поскольку линия У (д) при 丫 V 4/3 лежит в области Я < 0; см. рис. 26). Эти траектории не имеют физического смысла, поскольку их нельзя продолжить при 九 V 九i (непрерывное продолжение, очевидно, невозможно, продолжение с разрывом требует введения ударной волны разрежения, что также невозможно в веществе с нормальными свойствами; см. [115]). Поэтому в рассматриваемом классе автомодельных движений газа при 9/7 V у V 4/3, со = 5/2 не существует решений задачи о вспышке звезды для чисел Маха ударной волны М 导 1.
При у = 9/7 точка Уо совпадает с особой точкой Z7, которая также всегда лежит на линии (5.17). При 1 V Y V 9/7 траектория (5.17), выходящая из точки Уо, при X -> 0 входит в особую точку 々г Поэтому все траектории, выходящие из линии Y (q) (q а 0, М 登 1), при убывании X также оказываются в окрестности особой точки Zj и, поскольку они лежат в области Н V °, наматываются на предельные циклы F = const, р0 = 0. В этих решениях (М 另 発 1) функция V (九)при X -> 0 изменяется от конечного максимума Г* V 4/(5^) до сколь угодно большого отрицательного минимума. ,
В решениях, соответствующих траекториям, наматывающимся на предельные циклы, газ после прохождения ударной волны совершает незатухающие колебания. Действительно, вдоль линий тока газа
din Г . 4 din% dn 4
—^ = 7 = ^ + —? ~^=也，^^n-l；®.^)
отсюда d In r/dr3 =——(и。+ V5). В окрестности цикла изменение In г за период одного колебания In г |^ ^ — $("()+ %) dg == Л.
Из системы (3.2) при со = 5/2Из системы (3.2) при со = 5/20; отсюда при у 联 4/30; отсюда при у 联 4/3Обозначим 3 = 0 (тп2 — 12/5^) dj.
Из системы (3.2) при со = 5/2
Из системы (3.2) при со = 5/2
0; отсюда при у 联 4/3
0; отсюда при у 联 4/3
следует, что —ЗЛ +8 = 0, —4Л + уВ
4=8 = 0 для всех циклов. Таким образом, в процессе кодаба- ний газа дрейфа не происходит.
Период колебаний в окрестности особой точки Z3 в переменной т3 приближенно равен 7。= 5л (?/12(4 ——З?))'/?. Во времени 力, согласно (5.18), колебания газа замедляются; периоды последо- 'вательных колебаний возрастают в геометрической прогрессии с показателем ехр Т。. Амплитуда 4。колебаний In г для решений с М ^ 1 имеет порядок 4。〜Т。(М — I)3/2. В решениях с М 発 1 (1 V? V 9/7) имеем Ло ~ 2 [3 (? — 1)(4 — Зу)]~11п М при М-> оо.
Отметим, что описанные колебания реализуются в классе автомодельных решений и качественно отличаются от строго периодических колебаний однородных газовых шаров, использующихся в качестве модели пульсаций переменных звезд-цефеид [132]. В частности, в найденных решениях при фиксированном I скорость газа и при г -> 0 имеет бесконечно много нулей и плотность газа р -> оо, однако полная масса газа в окрестности центра 厂=0 конечна и изменяется как Сг1^ (см. асимптотические формулы для автомодельных колебаний газа (3.7) ——(3.8)).
Указанные решения, так же как и в исследованном выше случае у V 4/3, з〉5/2, являются автомодельными возмущениями, при которых звезда пульсирует в окрестности равновесного распределения (5.1), хотя полная энергия газового шара £ = + оо (см. (5.8)). Найденные решения на любом конечном отрезке t и на отрезке 0 < гх <^ г < г2 являются устойчивыми и могут быть использованы, даже и вне связи с задачей о взрыве, в качестве модели замедляющихся пульсаций газа в недрах звезды (с постоянной амплитудой)・
При т〉4/3, согласно (5.16), отрезок Z3yl линии X состоит из седел функции £ причем окрестность отрезка Z^Yi разбита поверхностью уровня 歹=歹。на четыре области: две области £>ь Z>2, в которых F & Fo, и две области D3, Z>4, в которых F》Fo. Поверхность 歹=歹。является однолистной поверхностью, поскольку из (5.15) следует, что на этой поверхности р0 ——однозначная функция р0, т2. Пересечение поверхности F — Fo с компонентой границы Г2 состоит из четырех сепаратрис особой точки Z3, изображенных на рис. 26. Область D* при р() = 0 вырезает треугольник Д, ограниченный сепаратрисами Z4Z3, Z3Zn ZjZ^ Покажем, что проекция любой траектории в области D* на плоскость р0,他2 не пересекает сепаратрис Z3ZX, Z4Z3. Действительно, поскольку в точках этих сепаратрис F — Fo, Н〉0, то в любой точке над ними, где р0〉0, из (5.15) получаем F〉Fo. Далее, в треугольнике А функция В〉0, поэтому во всей области D* также V〉0 (аналогично можно показать, что в области Z)2 V < 0).
q (y + z)y+iq (y + z)y+iF(Y(q))=FQF(Y(q))=FQ(5.19)(5.19)На линии У (q) интеграл F монотонно возрастает от 0 до FQ:
q (y + z)y+i
q (y + z)y+i
F(Y(q))=FQ
F(Y(q))=FQ
(5.19)
(5.19)
(2Y 一(Y - 1) 0)(Y - I + 2q)Y
и функция У〉0. Поэтому линия У (q), 0 V q V 1, целиком лежит в области О】 при Н〉0. Опишем геометрию этой области. Пересечение области О】с границей Г ограничено сепаратрисами Z3Zi, Z1Z7Z6, Z6Z6, Z5Z4, Z4Z3 (см. рис. 26). Область Dr является замкнутой инвариантной относительно системы (1.14) областью многообразия S, целиком лежащей в «дозвуковой» части £〉0 (это следует из того, что функция F (5.15) на поверхности 厶=0: Ро = I "о I над треугольником Д в области Н〉0 имеет единственный экстремум — минимум в точке У】(F (У, = ^0)).
В области О】 имеется единственная отталкивающая особая точка Z5 и единственная притягивающая особая точка Z7. Все остальные особые точки в этой области, Z】,Z3, Z4, Z6, неустойчивы, и их сепаратрисы лежат на границе области О】. Поэтому, вследствие наличия монотонной функции Фц (1.36), все траектории в области О】,в частности все траектории, проходящие через линию У (q), выходят из особой точки Z5. Тем самым доказана следующая теорема.
Т е о р е м а. Все решение задачи о вспышке звезды 几р〃 ？〉4/3, со = 5/2 при всех числах Маха (1 ＜； М ＜； оо) движения ударной волны имеют расширяющуюся пустоту внутри газа с асимптотикой (2.7).
Во всех этих решениях разлет газа от центра происходит монотонно вследствие того, что Р〉0 в области 0「Решения с расширяющейся пустотой внутри газа впервые были найдены (численно при т = 5/3 и аналитически при у = 4/3) в работах [7, 116]. Отметим, что, как показано выше, в задаче о вспышке звезды при Т V 4/3, з = 5/2 не существует решений с образованием пустоты внутри газа.
В указанных решениях при у〉4/3 полная энергия, выделившаяся при взрыве, Е = + оо, т. е. эти решения следует рассматривать как асимптотики, описывающие взрыв звезды при Е -＞ оо.
Проведенный анализ показывает, что поведение решений задачи о вспышке звезды в общем случае у 力 4/3 (со = 5/2) качественно отличается от проинтегрированного в работе [7] случая у — 4/3, з = 5/2, где, во-первых, вообще нет колебаний газа, и, во-вторых, при числах Маха 1 V М & 6 все решения продолжаются до центра симметрии.
Автомодельные решения • произвольным конечным числом радиальных пульсаций газа. При у V 4/3, со V 5/2 особая точка Z3 на компоненте границы Г2 (р0 = 0) является притягивающей (при т V ?2 —— притягивающий фокус; см. (3.3)). Малая окрестность особой точки Z3 заполнена сепаратрисами особых точек Z4 (или Z5, в зависимости от соотношения у и 丫工 см. § 2) и Z「При Т V?2 двумерная сепаратриса Z, выходящая из особой точки Z】, пересекается с компонентой границы Г2 по спирали, бесконечно наматывающейся на особую точку Z3 (см. рис. 29, в). Поэтому вся
§ 5] НОВЫЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ ВСПЫШЕК ЗВЕЗД 217 двумерная сепаратриса Z бесконечное число раз обматывается вокруг сепаратрисы X, выходящей из точки Z3. Следовательно, в окрестности особой точки У】 сепаратриса Z бесконечное число раз пересекает линию У в точках (М。(числа Маха Мг -> 1 при i -> оо) (см. рис. 29, б). Таким образом, доказано, что при Y V ?2, Ю/7 V з V 5/2 существует бесконечная последовательность чисел Маха движения ударной волны М» -> 1, для которых решения задачи о вспышке звезды продолжаются до центра симметрии и имеют при X — 0 асимптотику (2.1). В этих решениях энергия массы газа за ударной волной равна энергии этой же массы газа в состоянии равновесия (поскольку в центре 厂=0 асимптотика (2.1) не имеет особенности и течение газа всюду является адиабатическим). Поэтому найденные решения соответствуют взрывному типу разрушения равновесия звезды без выделения энергии. Первое решение такого типа («динамический взрыв равновесия») было указано в явном виде при у = 7/6, со = 12/5 в работе [7], для этого решения М2 = 15/2 и колебания газа отсутствуют.
Все решения для чисел Маха М： М»〉М〉Mi+1 являются сепаратрисами особой точки Z《(или Z5) и, следовательно, имеют расширяющуюся с асимптотикой (2.7) пустоту внутри газа. Соответствующие траектории динамической системы (1.14) совершают некоторое конечное число N (М) оборотов вокруг траектории X, на которой 卩=0; поэтому в этих решениях безразмерная скорость газа V обращается в нуль 2^ (М) раз. Вдоль линий тока газа, согласно (5.18), имеем d In r/dr3 = — У, следовательно в рассматриваемых решениях все частицы газа совершают N (М) колебаний. Число оборотов траекторий вокруг линии X N (М) -> оо при М -> 1, поэтому при у V ?2，3 V 5/2 существуют решения задачи о вспышке звезды с произвольным конечным числом колебаний газа после прохождения ударной волны. Колебания газа переходят затем в монотонное расширение газа от центра, которое для дискретного множества значений чисел Маха ударной волны М происходит с асимптотикой (2.1), а для всех остальных значений чисел Маха — с асимптотикой (2.7).
VI. Автомодельные решения со слабым разрывом. В предыдущих разделах были изучены автомодельные решения, описывающие различные типы распада равновесия звезды после прохождения ударной волны. Рассмотрим новый тип распада равновесия звезды, в котором нет ударных волн, а по покоящемуся в состоянии (5.1) газу распространяется слабый разрыв, за которым решение является автомодельным. В точках слабого разрыва, по определению (см. [7]), все физические параметры газа (р, р, и, М и энтропия S) остаются непрерывными, а некоторые их производные имеют разрыв. Траектории динамической системы (1.14), соответствующие рассматриваемым решениям, входят в особую
точку Yr при X = X* (九* определяется из (5.7) при g = 1) и при 九〉九* продолжаются отрезком траектории X (5.4). Закон движения поверхности слабого разрыва есть X — X*.
При з〉2 особая точка У17 согласно (5.11), является седловой и поэтому в точку У\ входит единственная траектория X, т. е. искомых решений со слабым разрывом при з〉2 не существует.
Рис. 30. Поведение траекторий динамической системы (1.14) в окрестности особой точки %： а) у > 1, 10/7 <(о<2;б)у>1, 1<(о< 10/7.
При 1 V о)V 2 особая точка У\ и все особые точки на линии 71y 4 в окрестности У\ являются притягивающими. Поэтому существует некоторая двумерная поверхность 砂,заполненная траекториями динамической системы (1.14), входящими в особую точку 爲.Согласно проведенному выше (в п. II) исследованию, при 10/7 之 V s V 2 траектории в окрестности точки У】 входят в линию особых точек //, касаясь поверхности Lr (рис. 30, а), а при 1 V V з V Ю/7 ——касаясь поверхности L2, на которой лежит, в частности, траектория X (рис. 30, 6). Вследствие этого при 1 V(о V V Ю/7 во всех решениях со слабым разрывом, кроме одного, лежащего на поверхности L1? первые производные физических величин остаются непрерывными, а разрыв имеют их вторые производные.
Рассмотрим автомодельные решения со слабым разрывом при 1 V з V 10/7, 4/3 V Y V 5/3. При 4/3 V Y V 5/3 окрестность траектории X разбита двумерной сепаратрисой 5^; выходящей из особой точки Z3 (см. рис. 29, а), на две области Ui и U2. Траектории системы (1.14) в области Ui выходят из особой точки Z2； соответствующие решения описывают аккрецию газа на «черную дыру» (см. § 4). Траектории в области U2 выходят из особой точки Z5 и описывают разлет газа с образованием расширяющейся пустоты внутри газа (см. § 2). В общем случае две инвариантные относительно системы (1.14) двумерные поверхности 仔 п 芋з пере- сенаютсн по единственной траектории X, при этом поверхность
个 пересекает обе области 力 и U2. При 1 < со < 10/7 все траектории на поверхности 驴 в окрестности траектории X входят в особую точку 匕(см. рис. 29, г). Поэтому при 1 < со < 10/7, 4/3 V Y V 5/3 пересечение поверхности 个 с областью U* определяет однопараметрическое семейство траекторий, входящих при 九=九* в особую точку У】и выходящих при 九=0 из особой точки %2・ Эти траектории после продолжения их отрезком траектории X (при 九〉九Q определяют автомодельные решения со слабым разрывом, моделирующие распад равновесного состояния звезды (5.1), после которого газ коллапсирует в центр с асимптотикой (4.1) (при X т 0), при этом в центре образуется «черная дыра» (растущая точечная масса). Такой тип распада равновесия звезды сопровождается при 4/3 之 丫 V 3/2 излучением бесконечно большой энергии. Действительно, в равновесном состоянии (5.1) газовый шар радиуса г при 1 V s V 10/7 обладает конечной положительной энергией (5.8). Полная энергия шарового слоя q V г V 乙 в асимптотике (4.1) имеет вид
=-商冬 Г(2”3)/(ТТ)|；： + ^=-商冬 Г(2”3)/(ТТ)|；： + ^r(2-V)/(V-l) J；：,r(2-V)/(V-l) J；：,(5.20)(5.20)
=-商冬 Г(2”3)/(ТТ)|；： + ^
=-商冬 Г(2”3)/(ТТ)|；： + ^
r(2-V)/(V-l) J；：,
r(2-V)/(V-l) J；：,
(5.20)
(5.20)
где положительные величины К】и К2 выражаются через константы асимптотики (4.1) и время 九 Энергия (5.19) при у V 3/2 расходится на нижнем пределе, т. е. при 4/3 V Y V 3/2 газовый шар в асимптотике (4.1) обладает бесконечной отрицательной энергией. Следовательно, при 4/3 V? V 3/2, 1 V s V 10/7 в указанных решениях при распаде равновесного состояния (5.1) происходит потеря (излучение) бесконечно большой положительной энергии» (Для этих решений в законе выделения энергии (5.9) константа а = — оо.)
Другой интересный класс автомодельных решений со слабым разрывом имеется при 1 < со < 2, ?V?2 V 4/3. В этом случае двумерная поверхность 砂 пересекается с обмотанной вокруг траектории X бесконечное число раз двумерной сепаратрисой Z особой точки Zt по бесконечному числу траекторий, которые, следовательно, выходят при X = 0 из особой точки Zi и входят при X = Х# в особую точку У「Этим траекториям, после продолжения их при 入〉九* отрезком траектории X, соответствуют решения со слабым разрывом, в которых распад равновесия звезды происходит без выделения энергии и которые гладко продолжаются до центра симметрии без особенности. К этим решениям также применимы все выводы п. V о наличии конечного (сколь угодно большого) числа радиальных колебаний газа.
При всех(о: 1<(о<2иу^> 1 имеются однопараметрические множества решений со слабым разрывом и с расширяющейся пустотой внутри газа (с асимптотикой (2.7)). При у〉4/3 эти решения соответствуют траекториям, лежащим в пересечении поверхности 砂 с областью 力2 (см. выше). При у V 4/3 существование рассматриваемых решений следует из того, что почти все траектории в окрестности траектории X — сепаратрисы особой точки Z5.
VII. Физическая интерпретация. В равновесном состоянии (5.1) самогравитирующий газ заполняет все пространство 0 V г V V °°, причем плотность газа р -> оо при г -> 0. Поэтому исследованная в данном параграфе модель вспышки звезды может применяться для моделирования нестационарного движения газа в реальных звездах только в области 0 <； г0 < г < /?0 <； /?, где R ——радиус звезды, и на отрезке времени 力 V То, где 7。——время выхода ударной волны на поверхность звезды. Степенной закон (5.1) распределения плотности и давления является, разумеется, лишь приближением к реальности; необходимым условием допустимости такого приближения является устойчивость распределения (5.1) относительно конвективных возмущений, что согласно критерию Шварцшильда [73] (dS/dr〉0, S — плотность энтропии) означает
Y〉2一告. (5.21)
При т〉4/3 это условие выполнено на всем отрезке 1 <(о < 3.
Автомодельные решения с(о — 5/2, у〉4/3 (см. п. IV) моделируют наиболее мощные вспышки сверхновых, при которых подавляющая часть массы звезды рассеивается в окружающее пространство и массой остатка (нейтронной звезды) можно пренебречь по сравнению с полной начальной массой звезды. Условием применимости этой модели является Е 登 ％, £2, где Е — полная энергия, выделяющаяся (в окрестности центра звезды) при взрыве, £\ — энергия, переносимая путем излучения нейтрино и последующего поглощения их во внешних слоях звезды ') (такая форма переноса энергии называется депозицией; см. [73]), £2 — энергия, выделяющаяся на фронте ударной волны в результате детонации газа ).
Для выяснения физической применимости автомодельных решений с 丫 V 4/3 напомним полученную в работе [114] зависимость массы М звезды (на конечной стадии эволюции) от плотности в центре рс (рис. 31; эта зависимость была выведена в работе [114] в результате численного интегрирования уравнений равновесия с использованием реального уравнения состояния вещества). Необходимым условием устойчивости равновесной конфигурации
Рис. 31. Зависимость массы холодной звезды М от плотности в центре рс, данные Саакяна и Вартаняна [144].
является dM/dpc〉0 (см. [73]). Этому условию отвечают два отрезка АВ и CD кривой рис. 31, определяющие соответственно белые карлики и нейтронные звезды. Точки В и D соответствуют пределу Чандрасекара и пределу Оппенгеймера ——Волкова. Отрезок ВС соответствует неустойчивым конфигурациям, в которых уравнение состояния вещества звезды приближенно является адиабатой с показателем у V 4/3 (см. [73]). Равновесные конфигурации с ]g pc V 14 хорошо описываются ньютоновской теорией гравитации. Для изучения конфигураций с большей плотностью (lg Рс ^ 15) необходимо учитывать эффекты общей теории относительности. Все равновесные конфигурации при 1g рс〉16 неустойчивы; в силу уравнений ОТО масса равновесной конфигурации М является периодической функцией от рс при рс оо [ИЗ, 112].
Рассмотрим звезду, которой на диаграмме М — рс соответствует точка F или 尸「Эти конфигурации являются неустойчивыми, им соответствует адиабата с у V 4/3 (см. [73]). В процессе эволюции звезда на диаграмме М ——рс сдвигается по горизонтали (поскольку масса М постоянна) до попадания в окрестность устойчивого равновесия G или Gv При этом в окрестности устойчивого
равновесия звезда в первом приближении будет совершать затухающие колебания (см. [73]).
Описанный процесс эволюции звезды моделируется автомодельными решениями с s〉5/2, у V 依=4 [3 + (2s — —5)2/8 (со — I)]"1 V 4/3 (см. п. III). В этих решениях газ при £ -> оо совершает затухающие колебания в окрестности равновесного состояния (5.1). Полная энергия шарового слоя (гх < г V「2)в равновесном состоянии (5.1) отрицательна, если у > 丫4 = =(As — 1)/2 (со — 1), и положительна, если у V у《(см. (5.8)). В целом произвольные равновесные конфигурации с у V 4/3 считаются неустойчивыми [73, 76], равновесные распределения (5.1) с со〉5/2, у V 4/3 можно назвать метастабильными относительно определенного класса возмущений (включающего автомодельные возмущения).
Отметим, что аналогичных автомодельных решений в общей теории относительности не существует ——в автомодельных решениях в ОТО реализуется только конечное число радиальных колебаний газа, после которых происходит разлет всей массы газа от центра (см. § 4 главы IV). Этот факт находится в полном соответствии с тем, что в сугубо релятивистской области In рс〉16 (см. рис. 31, отрезок DE) не существует устойчивых равновесных конфигураций.
В равновесном состоянии (5.1) при 1 < s《5/2, у V 4/3 полная энергия шарового слоя (т\ < г < г2) положительна. Конфигурации с положительной энергией не могут возникнуть из диффузного вещества, однако в принципе могут существовать и даже быть метастабильными (см. [73]). Автомодельные решения в модели вспышки звезды при 1 < со < 5/2, 丫 < 也 < 4/3 (см. п. V) описывают особый, взрывной тип распада неустойчивой конфигурации с положительной энергией: существуют сколь угодно малые возмущения, соответствующие числам Маха движения ударной волны Mj fl, при которых отсутствует выделение энергии, однако (после конечного числа радиальных пульсаций) происходит полный разлет всей массы газа (первое решение такого типа было получено при у = 7/6, о = 12/5 в работе [7]) (в рассматриваемых автомодельных решениях при 1 < s < 10/7,7 <^ у2 вместо ударной волны имеется слабый разрыв; см. п. VI). Автомодельные решения с 1 < s < 5/2, у V ?2, имеющие сколь угодно большое, но обязательно конечное число радиальных пульсаций газа, можно рассматривать также как модель пульсационной неустойчивости, которая реализуется в некоторых массивных звездах [73].
Другой тип распада равновесной конфигурации с положительной энергией моделируют автомодельные решения с 1 <^ ш <10/7, 4/3 < 丫 < 8/2 (см. п. VI). В этих решениях в результате излучения из центра бесконечно большой энергии начинается коллапс всей массы звезды, причем равновесное распределение (5.1) сшивается
с автомодельным решением, описывающим аккрецию газа на центр, через слабый разрыв. Описанные автомодельные решения моделируют процесс имплозии центральной части звезды, сопровождаемый мощной депозицией [73], например, за счет нейтринного излучения.
Исследование модели вспышек в оболочках звезд
Постановка задачи. Согласно современным данным (см・ [73, 152]), при вспышках некоторых новых звезд выделение энергии и движение газа происходят только в области, окружающей поверхность звезды,— в ее оболочке. При таких вспышках вещество ядра звезды не вовлекается в движение, однако посредством своего гравитационного притяжения оказывает существенное влияние на движение газа в оболочке. Масса оболочки звезды .力° много меньше массы ядра °〃” поэтому самогравитацией газа в оболочке можно пренебречь по сравнению с силой гравитационного притяжения ядра, которая в сферически-симметричном случае равна силе притяжения материальной точки массы 乩 находящейся в центре симметрии. Таким образом, для изучения вспышек в оболочках звезд необходимо исследовать сферически-симметрич- ное движение идеального газа (без учета самогравитации) в поле притягивающего центра.
В работах [124, 125] впервые была предложена следующая модель вспышек в оболочках звезд. Первоначально газ в оболочке звезды находится в состоянии равновесия под действием сил давления и силы гравитационного притяжения материальной точки массы J4. Параметры газа в состоянии равновесия имеют вид
sXGJ^zqa(G.4)l+s/2
Р=°，
где а — константа с размерностью ML^T* параметр з =
+ 2) + ", с】 ——безразмерная постоянная. Затем в результате выделения энергии (например, взрыва) или потери устойчивости из центра симметрии г = 0 выходит ударная волна, за которой движение газа является адиабатическим и автомодельным. Движение газа удовлетворяет уравнениям газовой динамики (1.4)—(1.6) при ^ = const. В эти уравнения входит постоянная GM = Ь3 с размерностью L3T~2, поэтому автомодельная переменная X определена однозначно: X = 〃(匕力％). Параметры автомодельного движения газа имеют вид
p=^^片（九），V=^^р^ и =十卩（九）.（6.2）
Исследование модели вспышек в оболочках звезд сводится к изучению автомодельных решений вида (6.2), которые в силу условий
Гюгонио (см. (5.5)) сопрягаются через ударную волну с равновесным состоянием газа (6.1).
В данном параграфе проводится качественное исследование модели вспышек в оболочках звезд, которое во многом аналогично исследованию § 5. Предполагается, что параметр со удовлетворяет условиям 0《з < 2 ——при этом в равновесном состоянии (6.1) плотность газа р не возрастает при удалении от центра и масса газа в окрестности центра г = 0 конечна. Критерий Шварцшильда устойчивости равновесия газа относительно конвективных возмущений (см. п. VII, § 5) приводит к условию з〉1/(7 — 1), из которого при з < 3 следует у〉4/3. Поэтому решения в модели вспышек в оболочках звезд могут иметь отношение к реальности только при значениях параметров у〉4/3, 4/(? — 1) < з < 3. Однако исследование автомодельных решений с у < 4/3, з < 3 представляет самостоятельный интерес в связи с вопросом о существовании автомодельных колебаний идеального газа в поле притягивающего центра, аналогичных автомодельным пульсациям самогравитирующего газа, изученным в §§ 3, 5 главы V и в § 4 главы IV.
Общие свойства динамической системы. Система уравнений газовой динамики (1.4)—(1.6) для автомодельных решений вида (6.2) в новых переменных z = yP/R, Е, Р, t = In 九 имеет вид (штрих означает производную по т)
受=-т^тг (一『+ s + ЛИ),(6.3)
,,(б%)
Jl(7 —6) —(у — 1)^(7 —6) = 2 —s(y — 1) —
一卩(2 + (Y一1)(" + 3)).(6.5)
Система уравнений (6.3)—(6.5) содержит явную зависимость от переменной t в виде члена V3. Для получения автономной динамической системы введем новую переменную т = V3. После исключения R"R (в силу (6.3)) из уравнений (6.4), (6.5) и разрешения полученных уравнений относительно производных приходим к трехмерной динамической системе в переменных z, V, т:
т = — Зт.
Здесь
s = ~|"(s + 2) + 队 6 =等.
Алгебраическая структура уравнений (6.6) аналогична структуре уравнений (1.14). Поэтому качественное исследование динамической системы (6.6) естественно провести на основе конструкций, разработанных в §§ 1——5. Рассмотрим наиболее существенные моменты этого исследования.
Равновесное состояние газа (6.1) соответствует следующей траектории X динамической системы (6.6):
z = —7 = 0.(6.7)
(D 十 1
Автомодельные решения, сопряженные через ударную волну с равновесным состоянием газа (6.1), соответствуют траекториям системы (6.6), проходящим через линию У, которая при преобразовании Гюгонио (5.5) переходит в линию X. Точки на линии У параметризуются переменной q — 1/М2, где М — число Маха движения ударной волны, и имеют следующие координаты:
4(2у —(Y—l)G(Y — l + 2g)4 ® + 4)
9(у+ 1)2， m ——
4(£ —g) 3(Y + 今•
Закон движения ударной волны имеет вид X =九*, где константа 九东 определяется из выражения (6.8) для переменной т = V3; отсюда 虑=9y/(4q (со + 1)). Траектория X и линия У пересекаются в точке 匕(夕=z = 4/9, m = 4 (со + 1)/9% V = 0), лежащей на поверхности непродолжимости решений L — =z — (V — 5)2 = 0. Точка 匕 принадлежит линии особых точек /, определенной следующими условиями:
Z = W— 3)2, m = (Р — 6)(ЗР — 2*^')) + 卩 _ 卩2.
Разрешение вырожденных особых точек динамической системы (6.6) и построение компактного многообразия S осуществляются с помощью тех же преобразований координат (1.17)——(1.33). Укажем вид динамической системы (6.6) в координатах (1.21) (р0 = =У — 6,九2 =——Ро^2"1» Ро = z"i/2)・ После замены переменной drj肌 = — 1/р0 в координатах (1.21) получаем систему
36 + Do(Po + 6)义
义伝 + 6 — 1) poj »
^2 = j ；済 [з% О — Роуо) — YI— Зи。— m2 + 2 <g^~ ”
—36 + Do(Po + 6)(^0 + 6 — 1) Ро| + (2 + (。0 + 6)(( — 3丫))(£ — Po^o),
(6.9)
p0 =万万言够 [一(丫一 D{- 3ио 一 网 + 2 甯今.一 36 +
+。0 5 + e)(ро + 6 - 1) Poj + (2 + (uО+ 6)(1 - 3Y))(1- p結)]•
На компоненте границы Г2 (р0 = 0) система (6.9) имеет три особые точки:
Zi 仅° = 2(%^~ ')5 = а, тп2 = 0, ро = 0),
Z3 佃=—6, 加2 = 2 侬扌丄，po = 0), Z^ (ро = иг2 = ро = О).
Особая точка Zr лежит в физической области о。< 0 при а < 0, или у〉 (со + 1)/3. Собственные числа системы (6.9) в особых точках 々1，Z3, Z《следующие (индекс у собственного числа указывает соответствующее собственное направление):
Zi：^0 = 3a<0, *2= 2® + ；),二理L,
际尸「七旺露仪二%(6.10)
/7 л со — 2 I Г (о — 24 (со + 4) / 4、]1/2) 彳
(6.11)
為：3。= -3a,脸尸.2(3产,%=9±戸1.(6.12)
Согласно (6.10), особая точка Z】при (со + 1)/3 <?yV 4/3 неустойчива и имеет двумерную выходящую сепаратрису; соответствующие автомодельные решения продолжаются до центра симметрии и имеют при 九 т 0 следующую асимптотику:
s+fcVi
2+$+(1-3y+上)v\2+$+(1-3y+上)v\P = C^ Vl%P = C^ Vl%_ 2(o)+ l)V1 §^ •_ 2(o)+ l)V1 §^ •(6.13)(6.13)
2+$+(1-3y+上)v\
2+$+(1-3y+上)v\
P = C^ Vl%
P = C^ Vl%
_ 2(o)+ l)
V1 §^ •
_ 2(o)+ l)
V1 §^ •
(6.13)
(6.13)
Особая точка Z3 при 丫〉4/3 согласно (6.11) является седловой
3y3yи имеет двумерную выходящую сепаратрису. Траектория X в координатах (1.21) определяется условиями р0= 1-,加2 = 2® + "
3y
3y
§ 6] ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ВСПЫШЕК В ОБОЛОЧКАХ ЗВЕЗД 227 р0〉0. При 九 f 0 эта траектория выходит из особой точки Z3 и является поэтому сепаратрисой, соответствующей собственному числу ХРо.
Собственные числа 九卜 2 (6.11) при 丫 < % =可位 一2：^12 ® + 1))' становятся комплексно-сопряженными. В этом случае особая точка Z3 на компоненте границы Г2 (р, = 0) является фокусом; при з < 2 ——это притягивающий фокус, при ①〉2 ——отталкивающий фокус, при(о = 2 — центр. Траектории, движущиеся в окрестности особой точки Z3, при у V Yi вращаются вокруг выходящей сепаратрисы X (6.7), на которой Р = 0. Поэтому в соответствующих им автомодельных решениях скорость газа V колеблется около нуля, т. е. газ совершает радиальные колебания. При Y <С Yi， з <С 2 в автомодельных решениях реализуется сколь угодно большое, но обязательно конечное число радиальных колебаний газа. При у < ?i, з〉2 существуют автомодельные решения с бесконечным числом затухающих радиальных колебаний газа. При з = 2 колебания газа являются асимптотически периодическими во времени In t. Асимптотические формулы для автомодельных колебаний идеального газа в поле притягивающего центра выводятся так же, как и в § 3.
Задача о вспышке в оболочке звезды при у < 丫匕 0《з < 3 и числах Маха движения ударной волны М ^ 1 имеет решения с радиальными пульсациями газа, полностью аналогичные решениям, исследованным в § 5.
Особая точка Z4 является отталкивающей при (з + 1)/3 < <У<(з + 1)/з, з<3・ Сепаратрисы, выходящие из этой особой точки, описывают автомодельные решения с расширяющейся пустотой внутри газа, имеющие следующую асимптотику на внутренней границе
у — ^2 (丫 一(со + 4)/3) /Х л \
Тз+1+з (6.14)
区=a (令一1)吁…，0=
Такую же асимптотику при RfR* имеют решения, соответствующие сепаратрисам, выходящим из отталкивающей (при у〉 〉(со 4- 1)/(о) особой точки Z5 伍=Vq/z = 0, z =九2 = 0). В асимптотике (6.14) на внутренней границе 九=М давление р * 0, т. е. газ вытесняется изнутри сферическим поршнем, моделью которого может служить сильно нагретый газ, заполняющий область 九 < 九1 и имеющий малую плотность.
При у〉4/3 имеется еще один класс решений с расширяющейся пустотой внутри газа. Эти решения соответствуют сепаратрисам, выходящим из линии неустойчивых особых точек £, лежащей на
компоненте границы Г4 (см. рис. 26) и определенной условиями
z = 0,加 2 h—^-方 + ?(%?-2L=0.(6.15)
Асимптотика таких решений при 九 f А^ является неустойчивой и имеет вид*
Y3—4
(646) Y (吁3)
Асимптотика (6.14) для (со + 1)/3 < у < 4/3 является единственной возможной асимптотикой автомодельных решений с расширяющейся пустотой внутри газа; для у < (з + 1)/3 таких решений вообще не существует. При у〉4/3, з < 3 автомодельные решения с расширяющейся пустотой внутри газа имеют на внутренней границе либо устойчивую асимптотику (6.14), либо неустойчивую асимптотику (6.16).
Ускорение а0 частиц газа в системе отсчета, связанной с движущейся границей 九=九】，определяется формулами
2%汐^ g^ ^0 = ^1— a2 = -g戸一，
где ускорение а】=—— 心ri骋、г = A1bН% ускорение а2 обусловлено гравитационным притяжением материальной точки массы JZ. При 入；〉9/2 ускорение а。направлено в сторону газа, в этом случае граница раздела газа с пустотой является устойчивой (см. [128]). Если некоторое решение задачи о вспышке в оболочке звезды имеет расширяющуюся пустоту внутри газа, то необходимое условие устойчивости внутренней границы имеет вид
等 < М < 僧=4g(：1 1)，
где 九* ——значение X на фронте ударной волны. Отсюда получаем, что внутренняя граница газа в таких решениях может быть устойчива только при
М〉м〉(2『_『，
где М = ,т/2 一 число Маха движения ударной волны.
Ш. Исследование специального случая о)= 2. Энергия в автомодельном адиабатическом движении идеального газа может подводиться в центре симметрии, если решение имеет особенность при г = 0, или на границе расширяющейся полости X =九匸 За-
кон выделения энергии имеет вид
2—к 2(2—3)Е = eta (G^) з 力 з
Постоянная а зависит от самого решения; для вычисления а необходимо сравнить энергию газового шара радиуса г в состоянии равновесия (6.1) и в момент выхода ударной волны на его поверхность. Энергия шарового слоя т\< г V「2 в равновесном состоянии (6.1) определяется следующими формулами:
Г1
(о,2: Ео = ■1 ~^^^-±^L 4nCia (С^)1+з/2Г2-ю ^ (6.18)
з = 2: Eq =-；三率 4jtci@ (GJ^)i+s/2 In *.
Отсюда получаем, что E()〉0 при Y < 已=(① + 2>/(з + 1) и Е° < 0 при 丫〉？2・ Из формул (6.17), (6.18) следует, что значение параметра ① = 2 является исключительным [124, 125]—— в этом случае количество выделившейся энергии Е не зависит от времени.
Автомодельные решения вида (6.2) имеют монотонную функцию —интеграл адиабатичности [125]
①=z (Р — Зут+В# = С^-^^, р = •；三* • (6.19)
При(о = 2 существует еще одна монотонная функция ——интеграл энергии [7, 125]
夕=区[专 + w-3)(? + 号F 一l)]=GMT •(6・ 2°)
Из двух монотонных функций ① и Н при з = 2 можно исключить переменную R и тем самым получить первый интеграл b = I Н I 4-3丫①-1 динамической системы (6.6), при этом переменная X заменяется на иг = V3. Интеграл F в координатах (1.21) имеет вид
方=]* +下зf+"2+ 号"(uо +等)р寸 \ио|t欣"t).
(6.21)
На траектории X интеграл F принимает постоянное значение
В точках линии X первый дифференциал dF = 0, т. е. линия X состоит из экстремумов функции F. Второй дифференциал d?F имеет вид
對г = 一 /(彳_) ?2(Y _ i)(4 - 3Y尸[(3曲。+ 由期)2 +
+ 3Yт(4 - 3Y)(1 -(年)p, d用• (6.22)
При 丫 V 4/3 отрезок линии X от точки Z3 до точки У\ (р0 = =3/2) состоит, согласно (6.22), из максимумов функции F. Поэтому поверхности уровня F = const в окрестности отрезка Z3yl при 丫 V 4/3 являются двумерными цилиндрами и пересекают компоненту границы Г2 (р0 = 0) по циклам — замкнутым траекториям системы (6.9) в области р° = 0,斎 + у^у + m2Vo. Траектории, наматывающиеся на эти циклы, определяют автомодельные решения, в которых происходят бесконечные незатухающие радиальные колебания газа в поле притягивающего центра, являющиеся асимптотически периодическими во времени In 力.
При 丫 > 4/3 отрезок Z3yl состоит из седел функции F. Поверхность уровня F = Fq разбивает окрестность линии X на четыре области: две области Dx и D^ в которых F &Fq (при этом в области D± имеем Р〉0, а в области D2 имеем V < 0), и две области £>з, 04, в которых F 戸 и?。.
Значения функции F на линии У (q) (6.8) определяются той же формулой (5.19), что и в п. IV § 5. На отрезке линии У (q) (0 < ^ < 1, оо〉М〉1) имеем 卩〉0 и 歹 V戸о, следовательно, этот отрезок при у〉4/3 лежит в области Dv В полной аналогии с рассуждениями п. IV § 5 можно показать, что все траектории в области Z)i при убывании X выходят из отталкивающей особой точки Z5 или (при у < (з + 1)/з = 3/2) из отталкивающей особой точки Z4. В частности, этим свойством обладают все траектории, проходящие через отрезок линии У (а), ° < q < 1・ Тем самым доказано, что все решения в модели вспышек в оболочках звезд при со = 2, у〉4/3 при всех числах Маха движения ударной волны М〉1 имеют расширяющуюся пустоту внутри газа с асимптотикой на внутренней границе (6.14).
Энергия Ео газового шара радиуса г при з = 2, 丫〉4/3 в равновесном состоянии (6.1) согласно (6.18) равна (— оо); после прохождения ударной волны энергия газового шара (с полостью внутри) конечна. Следовательно, в рассматриваемых автомодельных решениях при з = 2, у〉4/3, М〉1 в момент времени 力=0 в центре симметрии г = 0 выделяется бесконечная энергия, т. е. эти решения являются моделью сильного взрыва звезды, при котором происходит сброс легкой оболочки звезды и масса остатка много больше массы сброшенной оболочки.
§ 7. Автомодельные решения со сходящимися ударными волнами
I. Рассмотрим задачу о движении сходящейся ударной волны по покоящемуся газу, которая без учета гравитации впервые изучалась в известных работах [136, 137]. При наличии самогравита- ции газа решениями этой задачи являются автомодельные решения со сходящейся ударной волной, в которых в области перед ударной волной газ находится в состоянии равновесия (5.1), а за ударной волной устанавливается движение газа с нулевой скоростью на бесконечности.
L = OL = OРис. 32. К построению двойственных решений.Рис. 32. К построению двойственных решений.Автомодельные решения со сходящимися ударными волнами в некоторых случаях можно связать с решениями с расходящимися ударными волнами, которые естественно назвать двойственными друг другу. Действительно, пусть В)и В?——две точки многообразия S, сопряженные при преобразовании (5.5) (причем точка В* лежит в «дозвуковой» области £〉0, а точка В2 лежит в «сверхзвуковой» области 厶 V 0), и АВ£ и DB2E — траектории системы автомодельных уравнений (1.14), проходящие через эти точки (рис. 32). Автомодельное решение с расходящейся ударной волной, соответствующей разрывному переходу из точки % в точку % определено отрезками траекторий АВЪ BR причем отрезок траектории В2Е описывает решение в области перед ударной волной. Автомодельное решение со сходящейся ударной волной, определенное при 力 V 0, г〉°, соответствует, после преобразования 力 f —— 力и т —— v, отрезкам траекторий 0^2,笈1。・ В этом решении область перед ударной волной описывается отрезком траектории DB?.
L = O
L = O
Рис. 32. К построению двойственных решений.
Рис. 32. К построению двойственных решений.
Если оба указанных решения существуют, т. е. определены при всех 0 V 入 < 8, то они и называются двойственными друг другу.
Простой пример двойственных решений легко построить, используя найденное в работе [7] при у = 7/6,(о = 12/5 точное решение «динамический взрыв равновесия». В этом решении закон движения ударной волны есть X = Хо = (6л/5у%. При 九〉九о газ находится в равновесном состоянии (5.1); при 0 < 九 < 九。 решение имеет вид _1—К(30п”)5/б
(7.1)(7.1)Р = 6冗6伊， Р = с户/з， А =189S
(7.1)
(7.1)
Это решение соответствует сепаратрисе (2.3), идущей из особой
точки Z] в особую точку Z9 и пересекающей линвю /х/4 в особой точйе『о (卩=2/3, т = 2/9, z = 1/62) (рис. 33). Траектория (2.3) при у = 7/6, (о = 12/5 цересекает линию У(5.6) в точке Вг = =У (2/15), сопряженной в силу преобразования (5.5) с точкой В2, лежащей на траектории X (5.4). Полное решение «динамический взрыв равновесия» [7] описывается отрезками траекторий
Рис. 33. Построение некоторых автомодельных решений со сходящимися ударными волнами.
Z14 (° < 九 < 九0), ^2^8 & < 九 <С 8). Двойственное решение в данном случае соответствует траекториям Z3B2 (0 < % < 九о (5.1)), 5必 & < 九 < 8 (7.1)) и после замены 力 т —力 ит — v описывает коллапс первоначально покоившейся звезды (отрезок траектории Z3B2) в результате сжатия ее ударной волной, в процессе которого устанавливается постоянная по пространству плотность газа (отрезок траектории B^Z^, растущая со временем при 力 т — 0 согласно (7.1).
Используем полученное решение для исследования задачи о движении сходящейся ударной волны по покоящемуся газу. При у = 7/6,① = 12/5 собственные числа (1.37) в особой точке /о (Р = 2/3, т = 2/9, z = 1/62) имеют вид 九i = — 14/62, Х2 = =——35/62,九з = 0. Траектория (2.3) является входящей сепаратрисой особой точки /0, соответствующей собственному числу М, и лежит на гладкой двумерной поверхности /г】， проходящей, (в окрестности точки /0) через линию /厶(см. § 5). Все траектории, близкие к траектории (2.3) вне поверхности 厶=0, продолжаются через линию особых точек 1114t (поскольку особые точки в окрест-
ности，о являются притягивающими:九 1 <^ О, Х2 <С 0) и касаются поверхности Lr (поскольку 九i〉%2); таким образом, эти траектории остаются близкими к траектории (2.3) и при продолжении через особые точки линии /儿.В частности, все траектории, проходящие в окрестности особой точки Z9, при убывании X оказываются (пройдя через линию особых точек 1^1^ в окрестности точки В>
Окрестность особой точки Z9 разделена входящей (при 九 f 8) в эту точку двумерной сепаратрисой £3 (см. § 2) на две области 匕 и %. Траектории, выходящие из области 匕，при возрастании X входят в притягивающую особую точку Z8； траектории, выходящие из области 卩2, при возрастании 九 входят в поверхность непродолжимости решений L = 0 (см. рис. 26 и 33) и поэтому не имеют физических применений. Двумерная сепаратриса Л3 при убывании X определяет некоторую поверхность L3, пересекающую линию Y (5.6) в точке Все траектории, выходящие из области Ур при убывании X находятся по одну сторону от поверхности L；, а траектории, выходящие из области У2, находятся по другую сторону. Вледствие этого отрезок линии Y по одну сторону от точки Bi целиком пересечен- траекториями, вышедшими (при убывании X) из области 匕，а по другую сторону точки В< целиком пересечен траекториями, вышедшими из области 歹②.
Проведенные рассуждения доказывают существование траекторий BiIqZs (см. рис. 33), проходящих в окрестности траектории (2.3) через линию У и через область Vv Эти траектории и определяют решение задачи о движении сходящейся ударной волны по покоящемуся газу. Действительно, пусть 5?——точка, сопряженная с В[ при преобразовании (5.5) (В2 лежит на траектории X). Автомодельное решение, определенное после замены t f —力
— р отрезками траекторий Z3B；, B^qZq, удовлетворяет всем условиям рассматриваемой задачи. Отметим, что в силу непрерывности поведения траекторий динамической системы (1.14) такие же решения существуют и при всех значениях у, со, близких к у = 7/6, со = 12/5.
Полученные решения (при у,①，близких к 7/6, 12/5 и числах Маха движения ударной волны М。(15/2)1/2) описывают процесс сжатия звезды ударной волной, при котором после прохождения ударной волны при 力+ ——0 устанавливается состояние (3.12), являющееся некоторым возмущением исходного равновесного со* стояния (5.1), причем скорость газа v —> 0 при гт 8. Найденные решения имеют слабый разрыв (теряют аналитичность) при продолжении через линию особых точек TJ& в точках /；• Можно показать, что в окрестности у = 7/6,①=12/5 существует бесконечно много значений у,①,для которых имеется некоторое аналитичное всюду (кроме ударной волны) решение разсматриваемой задачи.
П. Приведем еще один точный пример двойственных решений. Рассмотрим точку пересечения линии У (5.6) с компонентой границы Г8(г = 0):
У2k = 0, ” ”；；％,4〈(Y — 4) з2，(Y - 4)3 丿
При (о =(о0 = (2у — 1) / 2 (у — 1) траектория динамической системы (1.14), проходящая через точку У2, интегрируется явно: z = 0, т =户/2 (см. § 3). Эта траектория проходит через особые точки Zg и Zio (см. рис. 33); ей соответствует точное решение
儿=D -- V 0 — -0 -0
2G 力 2 P力 JP —
(7.2)
(7.3)(7.3)где функция Р (九)〉0 определена уравнением V1 (1 + 3172)13 =九吵
(7.3)
(7.3)
Решение (7.2) описывает при /〉0 коллапс холодного газа с обра^ зованием в центре «черной дыры» (см. (4.2)).
Пусть В3 ——точка, сопряженная с точкой У2 в силу преобразования (5.5) (5з лежит на траектории X). Отрезки траекторий Z3S3, Y^ (см. рис. 33) определяют решение с расходящейся ударной волной. В этом решении на ударной волне 九=Х1? где 兀 определяется из (7.3) при F == 4со /(у — 1); при 0《九 < 儿 газ находится в равновесном состоянии (5.1), при 九〉九^ решение описывает коллапс холодного газа (7.2), причем при rf 8 решение является равновесным (с асимптотикой (3.12)) и скорость газа и f 0 при у V 3/2. В целом это решение описывает образование покоящейся звезды в результате разогрева коллапсирующего холодного газа ударной волной.
Двойственное решение соответствует траекториям 210У2,5378 и после замены 力 f —— 力 v f ——v описывает при 0 之九 < 九】 (отрезок 7Х0У2) идущий от центра поток холодного газа, причем в центре, согласно асимптотике (4.2), имеется убывающая при / f — 0 точечная масса — аналог «белой дыры» в классической теории. При 九〉九工(отрезок 5з?8)решение является равновесным состоянием (5.1). Таким образом, это решение описывает режим сжатия «белой дыры» ударной волной, при котором газ переходит в состояние равновесия. Решения с аналогичными свойствами существуют также при всех близких у, со и при р * 0・
ГЛАВА V
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
В природе существует обширный круг явлений, в которых существенную роль играет вращение газа или жидкости вокруг неподвижной оси. Например, в области геофизических явлений необходимо учитывать вращение атмосферы и океанов, обусловленное вращением Земли. Вращение является основным свойством таких явлений, как циклоны и смерчи в атмосфере и водовороты в воде. Вращение также необходимо учитывать в некоторых видах движений плазмы в магнитном поле. Существенно, что в перечисленных явлениях угловая скорость вращения газа, вообще говоря, зависит от расстояния до оси вращения. Простейшим классом решений уравнений газовой динамики, обладающих этим свойством, являются автомодельные решения с вращением газа, изучению которых и посвящена данная глава.
Автомодельные решения с вращением идеального газа относятся к классу частично инвариантных решений по классификации работы [138]. Автомодельное вращение вязкой несжимаемой жидкости исследовалось в работах [139, 140]. Полная классификация инвариантных и частично-инвариантных решений уравнений Навье —— Стокса, включающая автомодельное вращение вязкой несжимаемой жидкости, дана в работах [141, 142].
Определение автомодельного вращения идеального газа
При изучении автомодельных решений с вращением газа вокруг неподвижной оси наиболее естественно использовать цилиндрическую систему координат. В произвольной системе координат уравнения газовой динамики имеют следующий инвариантный вид:
普-+ D； jV1 =Р; jg",(1-1)
募+ (p 办£=0,(1.2)
嘤+ (#)/=0・a・3)
Здесь 且订 ——метрика в данной системе координат и используются
стандартные обозначения для ковариантных производных:
. ди}•..0:力" = 尢^— r泣4 т + r标咁.. ди}•..0:力" = 尢^— r泣4 т + r标咁.(1.4)(1.4)
. ди}•..
0:力" = 尢^— r泣4 т + r标咁.
. ди}•..
0:力" = 尢^— r泣4 т + r标咁.
(1.4)
(1.4)
Символы Кристоффеля имеют стандартный вид:
И =+籌一驚. d・5)
В цилиндрической системе координат г,屮，z】 метрика евклидова пространства имеет вид ds2 = dr2 + 厂2&屮2 十 ^, Среди символов Кристоффеля этой метрики только три символа отличны от нуля:
Вектор скорости газа в цилиндрических координатах имеет компоненты (у,(о, и), где V ——радиальная скорость, со ——угловая скорость, и—скорость газа по оси z> В дальнейшем будет использоваться обозначение w = гео,
С помощью формул (1.4) получаем явный вид уравнений динамики газа (1.1) в цилиндрических координатах:
ди . dv . w % +"行 + г
dv , dv а+U а
5ф 10Z]
w2 — г
1
Р
Нг '
dw
dw
W
dw
dw .
VW _
1
др
(1.6)
'~дГ
г
8(р
dzi *
г
гр
(9ф，
W
8〃
ди _
8р
+ U Q 十
1 аг 1
г
5(р
呢
Р
法
•
Уравнения неразрывности и адиабатичности (1.2) и (1.3) принимают вид
ар д^у 1 a(Pw) арц р^
十方十Г а(Р十北1十Г —
+ 21LWl+u£im 0.(1.8)
dt ' dr г дф 1'
Параметры идеального газа в автомодельных решениях с вращением имеют следующий вид:
и = + 卩 Q),額=子 Q (%), u = ^U(K\
〃а(1・9)
五3)，P = ^TP^
Здесь автомодельная переменная X = г/b仗，константы а и Ь имеют размерности [а] = МЫ, [Ь] = АТ". В решениях вида (1.9)
наряду с радиальным движением газа происходит также вращение газа вокруг оси z1 и разлет по этой оси. Таким образом, в автомодельных решениях (1.9) движение частиц газа является существенно трехмерным.
Автомодельные решения с одномерным движением частиц газа, имеющие плоские, цилиндрические и сферические волны, подробно изучались в большом числе работ [7, 115, 137, 143—147]. В случае цилиндрических волн эти решения имеют вид (1.9) при w=u = =0 и описывают одномерное радиальное движение газа. Ряд точных автомодельных решений с вращением вязкой несжимаемой жидкости найден в работах [139, 140, 1481 (эти решения имеют известные применения в задаче о диффузии вихря [139, 143] и при моделировании торнадо [140]). Автомодельное вращение идеального газа, судя по имеющимся публикациям и монографиям [7,115, 137, 143—147], совершенно не изучалось. В данной главе проводится детальное исследование автомодельного вращения идеального газа.
Отметим, что в классе автомодельных решений с плоскими волнами также реализуются существенно трехмерные движения идеального газа. Пусть в системе декартовых координат с* ж2, W волна распространяется по оси х1 = г. В обобщенном автомодельном решении давление и плотность газа определяются формулами (1.9), а скорости газа и1 (по оси d) имеют вид
方=广г")， J = Jug) + - 仍(%)，(1.10)
где 厶 j = 2, 3. В решениях вида (1.9)——(1.10) скорости газа при фиксированных t = const и г = const являются линейными функциями остальных пространственных координат. Это обстоятельство сближает автомодельные решения вида (1.9)——(1.10) с движениями газа с однородной деформацией (см. главу VII).
Алгебраические интегралы автомодельного вращения идеального газа
I. Система автомодельных уравнений. Уравнения адиабатического движения идеального газа (1.6)—(1.8) для автомодельных решений (1.9) в переменных V (т), Q (т), z (т) = ?Р/凡 R (т), U (т), т = In X принимают вид
寡=Z'=忆二碇工吟硝[Z (2 — к (Y — 1) — 2Т) +
+ (2(у7 —1)+(Y—1) СО(^ — б* — (丫 -1) (— 0 + 尸—у)(7 — 6)], (2.1) 『={z (К — 2г — U) + (— Q2 + 片—卩)(卩—3)}(z —(7 - 3)2尸，
_ Q (1 - 2Г)U(l-U)s 十 2 + 63 + 4)
Уравнение для изменения плотности отделяется:
用—-Г+ s + (A： + l)F-tZ2 处
Отметим, что первое уравнение (2.1) можно записать также в виде 以=一(Y - 1)x+ 2 (1 一 丫0 一 (Y - 1) U .⑵ $
Система (2.1) имеет три инвариантных трехмерных подмногообразия: Q = 0, С7 = 0 и U = 1. На двумерном инвариантном многообразии Q = О, U = 0 система (2.1) описывает автомодельные радиальные движения газа с цилиндрическими волнами, подробно изученные в книге [7].
Алгебраическая структура динамической системы (2.1) вполне аналогична алгебраической структуре системы (1.14) из главы V, описывающей автомодельные сферически-симметричные движения самогравитирующего газа, при этом формальным аналогом переменной т является переменная Q2 Система (2,1), так же, как и система (1.14) главы V, имеет поверхность непродолжимости решений £ = z — (У — 3)2 = О. Существование этой поверхности формально является причиной возникновения в некоторых автомодельных решениях с вращением газа ударных волн.
Система (2.1) становится сингулярной при У = 3. Вне поверхности 卩=3 (в конечной области координат z, V, Q, U) находятся (при любых у) шесть особых точек системы (2.1), которые мы обозначаем Z® по аналогии с особыми точками системы (1.14) главы V:
窑：С = 0,Z?： v = ~^ Q=o,Z}: V =月Г , Q = 0,Z；:P=0, Q = 0,窑：С = 0,Z?： v = ~^ Q=o,Z}: V =月Г , Q = 0,Z；:P=0, Q = 0,U = E = 0； 1； u = o,a=i,U = E = 0； 1；U = E = 0； 1； u = o,a=i,U = E = 0； 1；z = 0;n =(?-今 a — 丫 o)・ 于(吋_2)，(2.4)z — 3(у — 4) (3—у) (3—2)6).872 (ку - 3)，z = 0.z = 0;n =(?-今 a — 丫 o)・ 于(吋_2)，(2.4)z — 3(у — 4) (3—у) (3—2)6).872 (ку - 3)，z = 0.
窑：С = 0,Z?： v = ~^ Q=o,
Z}: V =月Г , Q = 0,
Z；:P=0, Q = 0,
窑：С = 0,Z?： v = ~^ Q=o,
Z}: V =月Г , Q = 0,
Z；:P=0, Q = 0,
U = E = 0； 1； u = o,
a=i,
U = E = 0； 1；
U = E = 0； 1； u = o,
a=i,
U = E = 0； 1；
z = 0;
n =(?-今 a — 丫 o)・ 于(吋_2)，
(2.4)
z — 3(у — 4) (3—у) (3—2)6).
872 (ку - 3)，
z = 0.
z = 0;
n =(?-今 a — 丫 o)・ 于(吋_2)，
(2.4)
z — 3(у — 4) (3—у) (3—2)6).
872 (ку - 3)，
z = 0.
Все эти особые точки являются невырожденными. Вырожденные особые точки системы (2.1) можно полностью разрешить с помощью последовательности преобразований координат, примененной в § 1 главы V (см. ниже, § 4).
Система уравнений газовой динамики для обобщенных автомодельных движений с плоскими волнами, имеющих вид (1.10), сводится к следующей системе (обозначения см. в (2.1))：
z'=厂二万)(z j(卩—％)[z (2 — Y (у — 1) — 2。)+
+((1 + y)0一2 + (Y一1)叫(0-3)2一(Y-1)(卩2-卩)(0一 3)],
{Z (乂 _。— 5) + (У - 6) (Р — V)} (z - (V - 6)2)-1,
и? (V 一 6) = и{ 一 以或， Wif (7 - 6)-犷一以И^,* ⑴ 一 3)= R (一『+ s + 伯 + 2)。一 и).
Здесь по повторяющимся индексам %, /с = 2, 3 производится суммирование. Нетрудно получить простые точные решения с плоскими волнами, соответствующие особым точкам указанной системы, в которых матрица U} диагональна и имеет собственные числа, равные 1 или 0.
В данном параграфе мы укажем для системы автомодельных уравнений (2.1)——(2.2) (в основном при U ~ 0) ряд алгебраических интегралов, связывающих в конечном виде величины
V,凡 Р, Q,入=exp т.
П. Интеграл момента количества движения. Для получения интегралов автомодельных уравнений (2.1)——(2.2) при 立三 0, связанных с различными сохраняющимися величинами F (значение 尸 вычисляется для единичного объема газа), мы воспользуемся следующим приемом, предложенным в книге [7]. Рассмотрим подвижные цилиндрические поверхности г'(力)и г" (/), на которых автомодельная переменная 九 принимает постоянные значения А/ и V. Для любой функции F справедливо следующее тождество 【7]:
(2・5)(2・5)^Frdr =^^ Fr dr ^\^Fr^—^;
(2・5)
(2・5)
Здесь символ d/dt. означает дифференцирование по времени, производимое над интегралом по подвижному объему, составленному из одних и тех же частиц газа. Интеграл в (2.5) для функции F, не зависящей от z】и <р, совпадает с полным интегралом по столбу газа единичной высоты, ограниченному цилиндрами радиусов rf и г".
В силу закона сохранения момента количества движения имеем 等，Р产如力=0.
После подстановки формул (1.10) получаем
1M
糸 \ pr2^ dr =曲 if "if)6-$7((1 —加)в _(1 + s)) \ RQ”k dX,
p产缈 ^——可 口 = аЬ1-к®-к)6т-2RQM-k (5 —卩)b
Поэтому тождество (2.5) при F = prw дает
(2.6)(2.6)((1 一 左)3 — (1 + s)) f 7?Q入-&九=RQM-k(5 —卩)
(2.6)
(2.6)
Согласно (2.6), при (1 — /с) 3 — (1 + s) = 0 (乂 = (23 + 1)/丫) значения функции 笈^九丄一"(7 — 6) на произвольной траектории системы (2.1) — (2.2) совпадают при любых А/, V. Следовательно, при 乂 = (26 + 1)/у имеется интеграл системы (2.1)—(2.2):
① 1 = 7?Q (卩一3) = const 炉У (2.7) Отметим, что условие существования интеграла (2.7) (1 — к) б — —(1 + s) = 0 означает, что из констант автомодельного решения а и b (см. (1.9)) можно образовать константу с размерностью момента количества движения, рассчитанного на единицу длины, а именно [a扶門=MLT-\
Интеграл энергии. Полная энергия столба газа единичной высоты, ограниченного цилиндрами радиусов г' и г", равна
追=2h\仅+y注叱)pr dr.
При адиабатическом движении плотность внутренней энергии газа е = р/(т ——1) р. Изменение энергии частиц газа, находящихся в данный момент времени между цилиндрическими поверхностями г' = const, rn — const, равно работе сил давления на этих поверхностях, поэтому
專=一2冗(p〃"-pg (2.8)
где v означает радиальную составляющую скорости частиц газа.
Тождество (2.5) при 力=р/(у — 4)工 р (№ + 炉)/2 после подстановки формул (1.10) и (2.8) и сокращения на общий множитель дает
((1 —力)6 — (s + 2)) \ 卜饪父 + R —4~-)入ЙХ =
Отсюда при (1 — /с) 3 — (s + 2) = 0 (или 乂 = 23/у) получаем интеграл системы (2.1)—(2.2):
H = R^V + (V-8>)(llf^ + ^z^))^ const 炉・(2.10) Условие существования интеграла (2.10) (1 — к) 6 — (s + 2) = 0 означает — так же, как и в [7], что из констант автомодельного
решения а и 6 можно образовать константу с размерностью энергии, рассчитанной на единицу длины, а именно [а1^~к} = MLT~2.
Интегралы масс и адиабатичности. Эти интегралы существуют при всех значениях параметров задачи, и их вывод совершенно аналогичен выводу, проведенному в книге [7]. Пусть JZ (г, i) —— масса газа (на единицу высоты) внутри цилиндрической поверхности радиуса г. В автомодельном решении имеем
ё^=产+"硏也).
Интеграл масс имеет вид [7]
(s 十 3 (〃 + 1)) тп — 2冗区(卩 _ 3) = const 然+匕 (2.11)
Интеграл адиабатичности имеет вид [7]
Фа = PRx I 7 - 6 |х - const V,(2.12)
2-(Y-l)s + 6(〃 + l — Y(k + 3))〃 — _ 2 ” + 论 + 1
$ + 6(用十1)， y — - s 十 6 (k 十 1) •
Используя уравнение (2.3), нетрудно проверить, что система (2.1) (U = 0) имеет монотонную функцию
0)8 = z I 卩 _ 3 |V-lQ2(W6)/(26-l) _ const •入2(Y-2)/(26t)・(2.13)
Система (2.1) — (2.2) имеет первый интеграл
Ф4 = R^z\V - b 产1)+41-2“， a = £,fj)「. 亿伍)
Интеграл Ф4 при 丫 #= 2 позволяет выразить переменную R через переменные z, V, Q. При у = 2 монотонная функция Ф3 является первым интегралом и совпадает с интегралом Ф4. Этот интеграл при y~2 позволяет понизить порядок системы (2.1) (U 三 0) на единицу, т. е. преобразовать эту систему на плоскость.
Система (2.1) — (2.3) при U 三 0 имеет монотонную функцию
Фб = EQB (7 — 6) = const M+L2B, р =嗡二;・(2.15)
Частным случаем этой монотонной функции при х = (23 + 4)/у, Р — 1 является «интеграл момента количества движения» ①】(2.7).
Интегралы полной системы автомодельных уравнений.
Система четырех уравнений (2.1) имеет монотонную функцию
，ф6 = Q Jу-^- |26 1 = const• V2.(2.16)
Используя уравнение (2.3), нетрудно проверить, что система (2.1) имеет также первый интеграл
О)? = z|U 一 6 尸 Q-Uf 1 一 {/『у.(2.17)
Система уравнений (2.1)—(2.2) имеет первый интеграл
Ф8 = a (p - 6) 总"1)/2u制 1 - UR
(2.18)(2.18)①=—s —(归 + 1)/2, у = s + (归一1)/2.
(2.18)
(2.18)
Интеграл Ф8 позволяет выразить плотность R через переменные V, Q, U. Интеграл Ф7 позволяет понизить на единицу порядок системы (2.1). При у = 2 этот интеграл определен на инвариантном многообразии U = 0, где совпадает с интегралом (2.13). При у = 3/2 интеграл Ф7 определен на инвариантном многообразии 6rdi и поэтому позволяет преобразовать систему (2.1) при U = 1, у = 3/2 на плоскость.
§ 3. Точные автомодельные решения степенного вида
Представим автомодельные решения (1.10) в виде степеней г и % с неопределенными показателями и числовыми множителями. После подстановки этих выражений в уравнения (1.6)—(1.8) и разрешения полученных алгебраических уравнений получим все автомодельные решения степенного вида. В некоторых из этих точных решений газ не вращается. Это шесть решений, отвечающих особым точкам Zg, Z^, Z；, Zj, Z；, Zj (2.4) и четыре решения, существующие при специальных значениях параметра к и отвечающие следующим простым траекториям системы (2.1):
х = 0: V = 0, Q = 0,х = 0: V = 0, Q = 0,и = 0, z = С^^и = 0, z = С^^
х = 0: V = 0, Q = 0,
х = 0: V = 0, Q = 0,
и = 0, z = С^^
и = 0, z = С^^
к = 1： Р = 0, Q = 0,к = 1： Р = 0, Q = 0,U = l, z = QML3 吟U = l, z = QML3 吟к = 2: 0 = 1, Q = 0,к = 2: 0 = 1, Q = 0,U = 0, z = G”(LY)/(L6)；U = 0, z = G”(LY)/(L6)；(3.1)(3.1)
к = 1： Р = 0, Q = 0,
к = 1： Р = 0, Q = 0,
U = l, z = QML3 吟
U = l, z = QML3 吟
к = 2: 0 = 1, Q = 0,
к = 2: 0 = 1, Q = 0,
U = 0, z = G”(LY)/(L6)；
U = 0, z = G”(LY)/(L6)；
(3.1)
(3.1)
z = GM(d/(i-6).z = GM(d/(i-6).(^о+4~)；(3.2) m+扌).(^о+4~)；(3.2) m+扌).
z = GM(d/(i-6).
z = GM(d/(i-6).
(^о+4~)；
(3.2) m+扌).
(^о+4~)；
(3.2) m+扌).
x = 3: 7 = 1, Q = 0, U=l,
При 丫 = 2 и 丫 = 3/2 имеются решения степенного вида, в которых угловая скорость вращения газа не зависит от координат г. Эти решения соответствуют двум следующим линиям особых точек (Qo — параметр):
丫 = 2: °=手，Q = Qo, U = 0, z =誌 _2；)
丫 =，"=，，Q = Q。，U = 4, 2 = 2 (x _ 2)
(3.3) Обозначим при у =2 ai= 4 ,и± —0, при у = -^ с^ = 3 » ua — 1. Решения, соответствующие особым точкам (3.2) и (3.3),
при а»〉0 определяются следующим формулами:
1 гУТ1 гУТw = Q()*~^, м = и^ ———,w = Q()*~^, м = и^ ———,
1 г
УТ
1 г
УТ
w = Q()*~^, м = и^ ———,
w = Q()*~^, м = и^ ———,
(3.4)(3.4)/=§仰十 u而-f产广6%-%
(3.4)
(3.4)
p = 6面7-% 产一2 广 6%.件2,a = (pc - s — 2)/6.
В решении (3.4) при у = 2 (f = 1) частицы газа движутся по логарифмическим спиралям 屮=С。In г 十 С2,兔=Сз и выходят из оси вращения г = 0 при 力=0. В решении (3.4) при у — 3/2 (г = 2) движение частиц газа происходит по логарифмическим спиралям, лежащим на параболоидах z】—Сг2; при 4 = 0 частицы газа выходят из центра г = 0 = 0.
Решения (3.4), так же как и решения, соответствующие особым точкам (2.4) и траекториям (3.1), относятся к классу движений газа с однородной деформацией (скорости газа являются линейными функциями координат).
При к/3 V 0 существует стационарное решение степенного вида, в котором газ только вращается:
и = 0,如=с/1/6戸т/з, 〃 = о,(3.5)
К2+8 ухs Y乂 2(1-6)
p =--款 C笛2曲丁尸丁，p = GabK■尸 ~
Это решение соответствует следующей траектории системы (2.1):
Р = 0, U = 0, z =—々Q2, q = &a/6.(3.6)
При у = 2 и у = 5/3 существуют нестационарные решения степенного вида, в которых угловая скорость вращения газа, так же как и в решении (3.5), зависит от расстояния до оси вращения. Эти решения соответствуют следующим двум траекториям системы (2.1):
丫=2:卩=1, U = 0, z = -^jQ2, q = &?j/(6t)；(3.7)
Y=-|>:卩=1, U=l, z = ^|Q2, ^ = c^!^. (3.8)
Обозначим при у = 2 仇=?-^^幺,〃工=0 и при у = ~ 02 = =货二盘,u2 = 1. Траекториям (3.7) и (3.8) при Pt〉O coot-
ветствуют следующие решения:
162д-1
u =w = Crb ^ъг ^11 бт, M = 〃j 年，
р = c2аь^~^ 言宀+ 言广时—2軍声
&今(3.9)
р=^就卡屮旷岷屮，р =丝二产?.
В решении (3.9) при у = 2 (方=1) частицы газа движутся по спиралям ф — Сд + С^г, Zi = Q и при £ = 0 выходят из оси вращения г = 0. В решении (3.9) при у = 5/3 (Z = 2) частицы газа движутся по спиралям <р = Сз + Со/г, лежащим на конусах z】= =С《г; при ^ — 0 частицы газа выходят из центра г = z】=0.
§ 4・ Исследование динамической системы
Динамическая система (2.1) в дальнейшем рассматривается в следующей области 5х четырехмерного пространства (z,C, V, U):
z》0, Q》0, -8 VPv + oo,0《U《l・(4.1)
Ограничение области значений координаты U обусловлено тем, что вне отрезка (0,4) координата U вдоль траекторий системы (2.1) обращается в бесконечность при конечных значениях переменной 九. Система (2.1) становится сингулярной при Р = 8, причем каждая траектория системы (2.1) при всех % остается в одной из областей S± (V <； 6) или 52 (V % 6).
Алгебраическая структура динамической системы (2.1), как отмечалось в § 2, вполне аналогична алгебраической структуре системы (1.14) главы V, причем переменная т является формальным аналогом переменной Q2. Вследствие этого полное разрешение особенностей динамической системы (2.1), или построение компактного многообразия S, на котором система (2.1) имеет только невырожденные особые точки, осуществляется с помощью преобразований координат (1.17)——(1.33) из главы V, где переменную т следует заменить на Q2, а параметр 2/(о обозначить 6. При всех этих преобразованиях координата U не меняется. Компактное многообразие S для каждой из инвариантных областей S】(V V б) и $2 (『〉3) является произведением трехмерного компактного многообразия 凡，построенного в главе V, на отрезок / (0,1) (область значений координаты U\ Две новые компоненты границы U = 0 и U = 1, очевидно, являются инвариантными многообразиями динамической системы (2.1).
Исследуем наиболее интересные особые точки динамической системы (2.1) и соответствующие им степенные асимптотики реше-
窑窑% =*， р0 = -, 约1=号,% =*， р0 = -, 约1=号,(4.3)(4.3)
窑
窑
% =*， р0 = -, 约1=号,
% =*， р0 = -, 约1=号,
(4.3)
(4.3)
ний. Особые точки будем обозначать Z®, где номер Z совпадает с номером соответствующей особой точки на компактном многообразии SQ главы V, а индекс 8 = 0,1 означает два экземпляра этой особой точки, лежащие при U = 0 и U = 1. В дальнейшем в основном рассматривается система (2.1) в области S】(V V 8)・ Сделаем замену переменной dtjdf — 1/(V — 6) и введем новые координаты (аналогичные координатам (1.17) главы V)
u = z'/2〉0, vQ = V — 3 V 0, 5 = — (0 (Р — 3))%〉°
(в области $2 (V > 6) производится замена времени dtg/dt = =1/ (V — 6) и координаты (4.2) удовлетворяют условиям м〉0, и。> 0,
wQ V 0). В координатах (4.2) дина-
мическая система (2.1) имеет инвариантное подмногообразие и。= 0 (компонента границы Г6 многообразия S).
Для исследования поведения траекторий динамической системы (2.1) при больших Значениях координат
u, vQ, и?。произведем пополнение области S± границей на бесконечности Р^с. 34. Разрешение вырож" по координатам и, и。,叭・ Такое по- денных особых точек °； и °：・ полнение осуществляется с помощью следующих координат (указана также замена переменной 力
Координаты (4.3) аналогичны координатам (1.18) главы V. В координатах (4.2) и (4.3) система (2.1) имеет четыре вырожденные особые точки: О； (% = % = р° = 0, U = е = 0, 1) и О： (и0 ^= Wq = и =0, U = 8 = 0, 1). Для разрешения вырожденной особой точки Of введем координаты (см. главу V, (1.21))
% , 加2 = U ， р。 =告，e3. (4.4) 卩0 卩0 и m
Для разрешения вырожденной особой точки О： введем координаты (см. главу V, (1.27))
U,缈 2 =U,缈 2 =(4・5)(4・5)Pi
U,缈 2 =
U,缈 2 =
(4・5)
(4・5)
Р4=— U
Координаты (4.3) — (4.5) при условиях (4.2) покрывают часть многообразия S, показанную на рис. 34, где изображены также особые точки динамической системы (для сравнения см. рис. 26).
Динамическая система (2.1) в координатах (4.4) имеет следующий вид:
р0 = —-L (Хх + 2р0 + 2S + U-k-w^ ^ = -и(4-и), 1 — Р爾
3 T^f 田"Х2 + 爲 一 и - 2(4 — 23 — 2%)(」“],
(4・6)
[(1— 7) Xi - X2 + x3 + 2% + 26 一 乂 一出2],
где введены обозначения
X] = — и。仇 + 6) (р0 + 3 — 1) р^, X? = 2 — у (к + %), X3 = W po(2 - (Y — 1) U - 2Y3 - 2Wo).
В координатах (4.5) динамическая система (2.1) имеет вид
^ = Т=^(У%+% — Уз), a = -U(4-U),
加2 = -]广/2【Y”，+ ~ — Уз — 2 (1 — 26 — 2i；4炉)(1 — и：乂2)],(4.7)
йй____I(1_7)yi_y3 + (?_1)(% + w2)+2S_2 + 2l；2tt2].
й
й
Здесь введены обозначения
У1 ==-勿(u4m2 + 3)(勿〃2 十 6 1), y2 = 2 十 U — Y(X ①2)，
У3 ="①2(2 一(Y 一 1) u - 2?3 一 2?2炉).
Динамические системы (4.6) — (4.7) имеют на вклеенных в результате проведенных преобразований (4.4)—(4.5) компонентах границы Г2 (ро — 0) и Г4 (w = 0) следующие особые точки (всюду координата U принимает значения <7 = 8 — 0, 1):
Z；： ро = О, 加2 = 0,и。= % 2 &—з；
Z；: ро = 0, w2 = §*竺—乂，％ = 0;
(4.8)(4.8)Z；: po = 0, g = -2--；； — к, % =职-— 6;
(4.8)
(4.8)
£ + 2 — 乂丫 .yd (d - 1)；£ + 2 — 乂丫 .yd (d - 1)；Z4 : Po^ ~"第2 ^^ 炉0 ^~ 0； Z5 : M =: 如2 ==04 ^= 0；
£ + 2 — 乂丫 .yd (d - 1)；
£ + 2 — 乂丫 .yd (d - 1)；
Z|: u = 0,加2 = 0,
。4 == Q"。4 == Q"z； ： m = 0,須2 = £^46—X,
。4 == Q"
。4 == Q"
Здесь волной отмечены особые точки, у которых нет аналогов на компактном многообразии S° главы У (см. рис. 34 и 26). При 6 -> 1 в особой точке Z： координата и4 -> — оо (см. (4.8)). Поэтому в случае 6 — 1 для полного исследования вырожденной особой точки О? преобразования координат (4.5) недостаточно. Необходимое дополнительное преобразование координат при 3 = 1 указано ниже, в § 5.
Отметим, что во всех особых точках Z? собственное число системы (4.6) — (4.7), отвечающее координате U、芻j = — 1, а в особых точках Z； имеем Х^ — + 1 (в дальнейшем не будем указывать вновь собственное число 九и).
Исследуем подробно два типа особых точек, имеющих приложения в построениях §§ 5, 6. При у = 2и23 —— к〉0на компоненте границы Г2 (ро — 0) имеется отрезок особых точек 纥，на котором
ро = 0, U — 0, % — 2d。= 25 — у, 0《％《25 — к. (4.9)
Отрезок 纺 проходит через особые точки Z；, Zj, Z；. Особые точки на отрезке 36 имеют следующие собственные числа:
九 1 = 0,九и = — 1,九з = — w^ + к — 23 v； 0, Хр0 = 1 — 〃?2—К・
При к〉1 отрезок % целиком состоит из притягивающих особых точек. При к V 1 на отрезке纺 имеется отрезок неустойчивых особых точек к/2 < U < 1/2, из которых в физическую область многообразия S выходит двумерная сепаратриса. Соответствующие решения при 九一> 0 имеют следующую асимптотику:
v = V -^-, w= j .^■[ j |1/20m一5+叩-叱，" =0,
p = aa6F7qA2广Vo, 0 = 2^^〉о, a= ^三卜，(4.10) p=警 ab-^^^iv^t^^ p = 2 号三^〉0.
В этой асимптотике на оси вращения давление р — 0. Асимптотика (4.10) имеет физический смысл, если при г = 0 имеем также ir = 0, т. е. 1 + а ^> 0 или 1 — 6 < 7 < 6.
Сепаратрисы особых точек линии £ определяют решения, продолжающиеся до оси симметрии г — 0. Таким же свойством обладают решения, соответствующие сепаратрисам особых точек Z；，Z；・ 〜 〜
Особые точки Z；, Z：, Zf, Z|, Z； лежат на инвариантном многообразии vQ — 0. Сепаратрисы этих особых точек определяют решения, в которых область, заполненная газом, имеет движущуюся границу 九—Хо. Особая точка Z： имеет следующие собственные
числа:
^Н - ^ - 1 +(£ + 2) (У - 1)/2Y，統4 = -(8 + 2 — 乂Y),
(4.11)
膈2 = 2 (26 — 1).
Сепаратрисы особой точки Zf определяют решения с внутренней (九〉九°) или внешней (九 V 九°) границей газа при одновременно положительных или одновременно отрицательных собственных числах 統，Ад (4.11). Эти решения имеют следующую асимптотику при 九入о：
v =入о瓦бт(6 — а ^у1)) , 乂 = & * ,
3 b*必府—d，P = — ^ aWFN 启—1 广
(4・12)
a=2統=2(3 - 1) +(Е+2)中，
卩 2= а =河，办="6(6-1)•
В асимптотике (4.12) скорость газа гг -> 0 при Х-> 九°. Из необходимого условия ограниченности давления при 九一> 九。получаем 02 V 0. Поэтому асимптотика (4.12) имеет физический смысл только в случае неустойчивой особой точки Z； (собственные числа 九％ и %и имеют противоположные знаки). В этом случае на границе 九 = 九。давление газа р = 0; температура газа Т 〜 р/р 〜]%А0 —— ——1 I -> 0 при 九一> 九о； при —1 ——02〉0 плотность газа на границе р 0, т. е. можно считать, что газ граничит с пустотой.
Автомодельный разлет вращающегося газа
В данном параграфе исследуются три различных типа автомодельного разлета вращающегося газа, существующие при следующих значениях параметра 3: 3〉1; 3 = 1; 1〉3〉1/2 (в последнем случае показатель адиабаты у — 3/2). Во всех трех случаях соответствующие траектории системы (2.1) при т -> оо входят в притягивающую особую точку Z^ (z = V = Q = U = 0), что обеспечивает необходимую асимптотику решений при г-> оо. Поведение исследуемых решений в окрестности оси вращения различно и зависит от значения параметра 6.
pttdJlv-t юраАД^ахигц^х vvti i аоа иулл и х 9 jo.wviu/^j олх vnvJOLVxnci uuuuxha точек Z：(卩=1, Q = z = 0, U = & = 0, 1) и Z； (Р 二 Q = z = 0,pttdJlv-t юраАД^ахигц^х vvti i аоа иулл и х 9 jo.wviu/^j олх vnvJOLVxnci uuuuxha точек Z：(卩=1, Q = z = 0, U = & = 0, 1) и Z； (Р 二 Q = z = 0,I. Для построения решений, описывающих автомодельный разлет вращающегося газа при 3〉1, исследуем свойства особых
pttdJlv-t юраАД^ахигц^х vvti i аоа иулл и х 9 jo.wviu/^j олх vnvJOLVxnci uuuuxha точек Z：(卩=1, Q = z = 0, U = & = 0, 1) и Z； (Р 二 Q = z = 0,
pttdJlv-t юраАД^ахигц^х vvti i аоа иулл и х 9 jo.wviu/^j олх vnvJOLVxnci uuuuxha точек Z：(卩=1, Q = z = 0, U = & = 0, 1) и Z； (Р 二 Q = z = 0,
[7 = е = 0, 1). Система (2.1) в особой точке 2； имеет следующие собственные числа:
k = |E|(2 + E)，％V=把г，屁=不二，^ = -тЕт-
(5.1)
Особая точка Zj при 3〉1 является отталкивающей, причем при у〉4/3 все сепаратрисы (кроме одной), выходящие из особой точки Zj, касаются в этой точке инвариантного многообразия z = О (поскольку 九z〉九丫 =九^ =入и при у〉4/3). Соответствующие решения имеют следующую асимптотику при %0:
6 1-26
0 = _ , w = Cir^t бт , и = ^-.
s+k 0_26一5 н7- 2-6(5.2)
р = ай6"1 Gr J 力 бт ,
s+k-зСр—Dу(з—乂)у(х-зб)
р = ab Iс2r б-i 方 б-i .
В асимптотике (5.2) при 乂 V (5 — 23)/丫 V 3 имеем р -> 0, р -> 0 при г 0.'
В особой точке Z： система (2.1) имеет следующие собственные числа:
九z = +(——2 + (丫 一1) s),、v = \q=g-,入и =空万丄.
*(5.3)
Особая точка Z； при 3〉0 является притягивающей, причем все траектории (кроме одной), входящие в эту особую точку, касаются инвариантного многообразия z — 0 (поскольку | Az |〉 ^> I %у I = I %Q I = I 九° °. Соответствующие решения имеют при £ —» оо следующую асимптотику:
V = 山6C1厂(6-1)/6, w = b^C2r^l\ 〃 = b^C^-^,(5.4)
p ~ 0川6舊厂(2-26-5)/6, p = "从5+2)/605厂比丫/6.
В асимптотике (5.4) константа & может быть любого знака; остальные константы Ct положительны.
В случае расширения газа в атмосферу необходимыми условиями при г -> оо являются р -> ро, р -> ро, что в асимптотике (5.4) достигается только при к = 0, 8 = 1. В случае расширения газа в вакуум при г -> оо имеем р -> 0, р -> 0, что достигается при к〉(0; 2 (1 ——3)/у)・ Для решений с асимптотикой (5.4) условия конечности (при г》1) массы и полной энергии газа в слое единичной высоты (по координате q) имеют вид
乂〉2/?， К〉23/Y.(5.5)
При 3〉4 система (2.1) имеет траектории (сепаратрисы), выходящие из отталкивающей особой точки Zj и входящие в притягивающую особую точку Z；. Действительно, рассмотрим систему (2.1) на инвариантном многообразии z — 0:
(5.6)(5.6)『=_ [(у 一 1/2)2 一 0 一 !/4] (у 一 3)-i,
(5.6)
(5.6)
皆=一 2С (Р — 1/2) (V 一 3)т, 。匚 _ U(u-i)(p_ 6)-i.
Траектории системы (5.6) в плоскости У, Q являются дугами окружностей'
(5.7)(5.7)(V 一 1/2)2 + (Q - К)?=箇 + 1/4,
(5.7)
(5.7)
где К = [(V — 1/2)2 4- Q2 — 1/4] (2Q)"1 — первый интеграл системы (5.6). Все окружности семейства (5.7) проходят через две точки 7 — 1, Q — 0 и V — 0, Q = 0. Поэтому, если окружность (5.7) не пересекает линию V — 6 (в этом случае К V 3 (3 — 1), 3〉1), то соответствующая траектория системы (5.6) выходит из особой точки ZJ и входит в особую точку 器(координата U в области Р V 5 в силу системы (5.6) монотонно убывает от 1 до 0).
Траекторий системы (2.1) при z《1 аппроксимируются траекториями системы (5.6) и, поскольку особая точка Zj является отталкивающей, а особая точка Z® является притягивающей, также имеют начало и конец в этих особых точках (аналогичные решения имеются и при. U 三 0 и соответствуют траекториям, идущим из особой точки Z® в особую точку 欧).Соответствующие решения при к〉0, 3〉1 описывают разлет вращающегося газа в вакуум. Асимптотики этих решений при г -> 0 и г -> оо имеют вид (5.2), (5.4). При выполнении условий 23уТ V к V (5 — 26) 丫一， рассматриваемые решения являются регулярными при всех г》0, причем полная масса и энергия столба газа единичной высоты конечны. Угловая скорость вращения газа Q -> 0 при г -> 0, оо; Q достигает максимума Qo^K + (К? + 1/4)1/2 при некотором 九 — 九i・ Область наиболее быстрого вращения газа w ^ r^t распространяется по частицам со скоростью v± 二 ЗА^б仗一i. Знак скорости газа и при г -> оо противоположен знаку К.
П. При 3 = 1 особая точка z| совпадает с вырожденной особой точкой О： (Р = 6, z = Q = 0). Для разрешения вырожденной особой точки О； при 6 — 1 сделаем наряду с преобразованием (4.5) следующее преобразование координат:
%=0一4,%=0一4,Q2Q2(5・8)(5・8)
%=0一4,
%=0一4,
Q2
Q2
(5・8)
(5・8)
Система (2.1) в координатах (5.8) и переменной т3 (с?т3/с?т =
——1/р0) имеет следующий вид (6 = 1):
z?o = — у ? 4 也2 (乂 一 U — 2% — 2)十 g + % + 4 ],.
(5.9)(5.9)w3=== ~—^-i ["2 (乂 — U2i?o) ，+ 加3 - 1 — 3z?o]»
(5.9)
(5.9)
近2 =近2 =^2~1 也 2 Зо — (у + 1) X + 4 + 2С7) — (у + 1) w3 —
近2 =
近2 =
—3 4~ Y +(Y — 4)u° +(Y — 1)U],
力=-u (U- I).
Система (5.9) имеет инвариантное многообразие и。= 0, на котором лежат следующие особые точки этой системы (U = е = 0, 1):
X； : % = % = S3 = °； X； : % = 〃2 = °，心=1；
X；: ио = 6 = 0,“2 =圖=:—&孑；]；+ % ；(5.40)
X： ： % = 0,"2 = 1，如3 = 1 + e 一儿
При к V 1 + & в особой точке X； имеем 14 V 4, а в особой точке X； имеем w9〉0. Собственные числа системы (5.9) в особых точках (5.10) имеют вид
X；:統qu4,入"2= 一 (3 - Y—(Y - 4)叫入g=l；
X^:統。=2, XW2= —4 + (у —1)8,入б = —1；
X：:統尸a="陪d，統尸上(5.11)
九恥=0=4十黑[y)；
x^ ：儿Q=0,入2, 3 = % (3 + 8 - Y乂 土 [(3+8 - Y乂户十
+ 4 (1 - E — X) (4 - E (? — I))]"»
Собственные числа (5.11) в особой точке Х^, лежащей на поверхности непродолжимости решений z — (Г — 6)2 — 0, вычислены после замены переменной dxjdx^ = (1 — ^)"1. Особая точка X： принадлежит некоторой линии особых точек /, лежащей на поверхности непродолжимости решений u2 = 1. При 乂 V 2 и 4 V Y V 2 из (5.11) получаем, что особые точки X；, Х^, X： являются седловыми, а особая точка Х^ является отталкивающей; для особых точек X? это же верно при xVl,lVyV3 (особая точка X； является отталкивающей на многообразии U = 0). Расположение особых точек и качественное поведение траекторий системы (5.9) на трехмерном инвариантном многообразии U = 1 при
2+02+0Р =曲 *1*Р =曲 *1*Рис. 35. К построению решений, описывающих автомодельный разлет вращающегося газа при 6 = 1.Рис. 35. К построению решений, описывающих автомодельный разлет вращающегося газа при 6 = 1.
2+0
2+0
Р =曲 *1*
Р =曲 *1*
Рис. 35. К построению решений, описывающих автомодельный разлет вращающегося газа при 6 = 1.
Рис. 35. К построению решений, описывающих автомодельный разлет вращающегося газа при 6 = 1.
х<2, 1<^у<^2в окрестности двух плоскостей р0 = 0 и zz2 — О показано на рис. 35.
Сепаратрисы, выходящие из особой точки Х^, определяют решения с расширяющейся границей (九—Zo) внутри газа. Асимптотика этих решений при Z -> Zo имеет вид (6 = 1, 乂< 2; 1 < V? V2)
U =餘匕(1 — а (^—— 1)) ,W =入obC\ (у—— °(а+В)/2a ,
p=曲e3 02份-1y，〃=子，(5.12)
—6 — xy(1 + y) 3(D-.
(см. (5.10), (5.11)). В асимптотике (5.12) при xV6y-i (1 + у)т плотность газа, давление и угловая скорость w на внутренней границе равны нулю. Поэтому можно считать, что в области А V 九о образуется пустота. Внутренняя граница газа 九=М расширяется с постоянной скоростью и。=九ob; вследствие наличия вращения газа внутренняя граница является устойчивой.
Рассмотрим траектории системы (5.9), идущие
вдоль устойчивой последовательности сепаратрис Х；Х；, Х}Х|, X：Z： (см. рис. 35). (Отметим, что траектории системы (5.9) при и2 = 0 (z = 0) изучены в п. I; см. (5.7); в частности, сепаратрисе Х^8 соответствует окружность (5.7) при К = 0.) Соответствующие решения при
6 = 1, 2уТ < х < бут (у + I)"1, 乂 V 2 описывают автомодельный разлет вращающегося газа в вакуум. Эти решения регулярны при всех г〉0, причем полная масса и энергия столба газа единичной высоты конечны. Внутри газа образуется расширяющаяся с постоянной скоростью и。— Х0Ь пустота (九 V 入о), на границе которой (九 f 九°) решение имеет асимптотику (5.12). На этой границе вертикальная скорость газа и достигает максимума. Максимальная угловая скорость Q ^ 1/2
достигается при X ^ ]/"2 Хо. Область наиболее быстрого вращения газа Q ж 1/2 распространяется по частицам с постоянной скоростью za1a J2 九оЬ. Асимптотика рассматриваемых решений при г f оо имеет вид (5.4), 6 = 1, причем предельная радиальная скорость газа и может быть сколь угодно мала.
Ш. При специальном значении показателя адиабаты у = 3/2 (что достаточно близко к у = 1,4 для обычного воздуха) существует еще один класс автомодельных решений, описывающих разлет вращающегося газа. Для построения этих решений исследуем свойства линии особых точек (3.3):
V = 1/2, С = Q。，U = 1, z° = а (含 + 1/4) (5.13)
при а = (1/2 — 6) (х — 2)〉0. Система (2.1) в особых точках (3.3) имеет следующие собственные числа: Хг = 0,九& =九。= =(8 ——1/2)-1, собственные числа Х2> 3 удовлетворяют характеристическому уравнению
九2 + 九(2zo + (4拿 + 3)/8) Lo1 + (3/4 -焉)"1 = 0, (5.14) Lq — z()— (1/2 — 3)2.
Собственные векторы, соответствующие, собственным числам 九j 入2,入з, лежат в плоскости U = 1.
Линия особых точек (5.13) при 0 = (1/2 — 3) (х — 2) — 1/4〉 〉0 разбита поверхностью непродолжимости решений 厶=z — —(卩一3)2 = 0 на две части: 7\ (Lo V 0, 0 < Qo < 庠厶)и /2 (Lo〉0, Qo〉俨%)• На отрезке 厶 при 1/2<6<1, 0〈к<；2 имеем Qo <3/4, поэтому из (5.14) получаем 入?•九з = (3/4 — Qo)^1 V V 0, т. е.九2〉°,入3 V 0・ Следовательно, из каждой точки отрезка 7\ выходит двумерная сепаратриса Жо, отвечающая собственным числам 九2〉0,九4〉0.
При у = 3/2 система (2.1) на инвариантном многообразии U = 1 имеет первый интеграл (см. (2.17))
①7 = Z I Р — 3「/2 Q-% = const.
На поверхности уровня интеграла Ф7 = С система (2.1) при С/ = 1 преобразуется на плоскость z, V; качественное поведение траекторий полученной системы при Ф7 — С ^> Со — а | 1/2 —— ——3 广％ (3/4)-3/4 в области £ V ° показано на рис. 36. Из каждой особой точки отрезка 7\ (乙 V 0) линии (5.13) выходит единственная сепаратриса 7 (отвечающая собственному числу 九2〉0), входящая при т т g в особую точку Z& (z = U = Q = 0, U = 1). Из особой точки Z^, согласно (5.3), выходит единственная сепаратриса (вдоль которой координата U изменяется от 1 до 0), идущая в притягивающую особую точку Z；・ Поэтому существуют сепара-
трисы, выходящие из особых точек отрезка /1? отвечающие собственным числам 入2〉0,入4〉0 s идущие в особую точку Z；.
Автомодельные решения, соответствующие указанным сепаратрисам, при
1/2<6<1,2/丫 V 乂 V 2, 5〉О, Qo < 陋 2
описывают разлет вращающегося газа (при у = 3/2) в вакуум. Эти решения регулярны при всех г ^ 0 и имеют при г т 0 асимпто-
Рис. 36. Качественное поведение траекторий динамической системы (2.1) при у = 3/2, Z7 = 1 на уровне интеграла Ф7 = С > Со.
тику точного решения (3.4); в окрестности оси вращения получаем р —>■ 0, р -> 0, w —>■ М ' С。, м Z]£ и —>• '/2 ” . При Г —>- ОО рассматриваемые решения имеют асимптотику (5.4), причем полная энергия и масса слоя газа единичной вьтсоты конечны. В рассматриваемых решениях угловая скорость вращения газа Q и вертикальная скорость газа 〃 максимальны в окрестности оси г = 0. При 6 = 1, 乂 = 0 существуют аналогичные решения, описывающие автомодельный разлет вращающегося газа в атмосферу (эти решения применимы в некоторой конечной области 0《г V < Ао при 0 V 片 V £ V 方2)・
Некоторые автомодельные решения при у=2
Применение интеграла энергии. Показатель адиабаты у = 2 выделен в первую очередь тем, что к адиабатическому движению газа с у = 2 сводятся следующие две важные задачи: 1) движение идеальной несжимаемой жидкости в теории мелкой воды [1101; 2) движение газа в магнитной газовой динамике при следующей
часто применяемой идеализации [149, 150]: бесконечная проводимость газа и вмороженность вертикально направленного магнитного поля, ортогонального к скорости газа. Поэтому автомодельные движения газа с у — 2 можно использовать для построения моделей некоторых явлений в указанных теориях.
Динамическая система (2.1) при у = 2 и U 三 0 имеет первый интеграл ①з (см. (2.13)):
z (卩 一 6) QT =以.(6.1)
При ^ = 6 система (2.1) имеет также интеграл энергии (см. (2.10)).
Я - Я (zF + (7 - 6) (У2 + 0 + 喇=const 炉一丄 (6.2)
На нулевом уровне интеграла энергии Е = 0 из (6.1) и (6.2) получаем
Со(2Р — 5) + (卩一6)2，—с0(2И —д) + (И —d)2 .〈'
Поэтому интегрирование автомодельного вращения газа при у — 2, х = 6 сводится (после подстановки (6.3) в (2.1)) к следующей квадратуре:
М" 丿[Со (2К — д) + (Г — 6)2] (V - д) + С^ '
р = 1л 九.(6.4) После интегрирования уравнения (6.4) (которое может быть проведено в явном виде) функции z, Q находятся из выражений (6.3), а функция R вычисляется с помощью монотонной функции Фб (см. (2.15)):
AQ“p — б) = const 九"+L2B,в = 2 ^^ ・(6.5)
Решение (6.3)—(6.4) определено в области
Со V 0,匕 V 卩 V 6, Со (27 一 6) + (卩一3)2 & 0, (6.6)
где 匕=6 — С。一 (Со — СоЗ)% — корень уравнения (6.6). В указанной области при
1/2<6<1, Со < (1/2 一 3)2 (6 一 1尸 V 0(6.7)
имеются две траектории уравнения (6.4): траектория А, идущая из точки 卩=3 в особую точку V = 1/2, и траектория В, идущая из особой точки 卩=匕 в особую точку V = 1/2 (匕 < 1/2 v V 6 V 1)・ Решения, соответствующие этим траекториям, при 九 f оо стремятся к точному решению (3.4) (при этом угловая скорость Q т С。= const). Решение, соответствующее траектории Л, имеет при X -> Хо расширяющуюся пустоту внутри газа, на гра-
Н 載 Ц8 КОТОРОЙ
1-63/4-6
Uf8, р 〜|р_5р^, у?〜|р_б| 6Т/2 , Q〜卜―б〉 (6.8) Таким образом, на внутренней границе (X ~>10) при 1/2 < 6 < V 3/4 имеем р ->0, р ->0. Решение, соответствующее траектории Н, продолжается до центра симметрии (X ->0, г f 0), при этом 卩f
Отметим, что поверхность Я = 0 на многообразии S (см. § 4) проходит через особые точки Z： (4.8), Z； (2.4), через линию особых точек 2 (4.9) и линию особых точек (3.2) (при 1/2 <； 6 < 1). Траектории Л на многообразии S отвечает траектория, идущая из особой точки Z： в особую точку на линии (3.2), поэтому соответствующее решение при A f 統 имеет асимптотику (4.12) (которая совпадает с асимптотикой (6.8)). Траектории В на многообразии S отвечает траектория, идущая из особой точки на линии Ж (см. (4.9)) в особую точку на линии (3.2), поэтому соответствующее решение при X ~>0 имеет асимптотику (4.10), которая имеет физический смысл (скорость w; т 0) при 1 — 6 < У1. Остальные решения (6.3) — (6.4), определенные в области параметров, отличной от (6.7), имеют при некотором направлении 入 нефизические асимптотики.
Автомодельное вращение в теории мелкой воды. Теория мелкой воды применяется главным образом при рассмотрении течений идеальной несжимаемой жидкости, в которых высота слоя жидкости h (力，у) W^，где L ——некоторый характерный продольный размер и вертикальная компонента скорости 厶3《&1, 〃2 [110, 151]. При этих предположениях давление р = Ро g 仅 — zx), где р0 ——постоянная плотность жидкости, g ——ускорение силы тяжести, zx — вертикальная координата. Вводятся новые величины ——эффективные давление и плотность:
九
p = ^pdz1 = pog ^, р = Pofe,(6.9)
о
которые, очевидно, удовлетворяют уравнению
好嚼产(6.10)
Эффективные давление и плотность р, р вместе с горизонтальными скоростями и^ и2 удовлетворяют всем уравнениям газовой динамики в двумерном случае, причем уравнение (6.10) играет роль уравнения адиабатичности с показатёлем 丫 = 2. Полученное эффективное движение двумерного газа является изэнтропическим, поскольку g/2Po = const.
「Таким образом, для построения автомодельных решений в теории мелкой воды достаточно найти среди автомодельных решений вида (1.9) (при у = 2, 〃 三 0) движения газа с постоянной энтропией. Согласно (1.1),
^ ~ а г 1 R^ ~ уа [力(2T)/(k+5) R * 9•丄丄)
В силу уравнений (2.2) и (2.3) получаем (у = 2, С7 = 0) d ]n (z/7?) 伊他I [ 5)У —(2 — $)/(% + 5) din% _人[十К_6.
При 5 = (2 — s)/3 + 5) (или 乂 = 2；(1 - 6)) из (6.11) и (6.12) следует, что р/р2 = const. Поэтому при этих значениях параметров автомодельные решения (1.9) являются изэнтропическими.
Описанные выше автомодельные движения газа (6.3)——(6・4) при X = 6 = 2/3 = 2 (1 — S) являются изэнтропическими и определяют поэтому интегрируемые автомодельные движения в теории мелкой воды. При 6 = 1их = 2(1 —— 6)=0в теории мелкой воды существуют автомодельные решения двух типов, аналогичные решениям, описанным в пп. II, III § 5. Решения первого типа соответствуют траекториям системы (5.9) при U = 0, идущим вдоль последовательности сепаратрис Х；Х；, Х；Х；, X；Z： (см. рис. 35), и описывают автомодельное растекание от центра вращающегося тонкого слоя жидкости, имеющего постоянную толщину при у -> оо и расширяющуюся от центра внутреннюю границу.
Для построения решений второго типа исследуем особые точки на линии (3.2) (при произвольных х, S):
V = 1/2, Q = Q。，U = 0, z° = a (Q； + 1/4),(6.13)
где а = (1/2 — 6)/(х — 1)〉0・ Линия (6.13) при 6〉1/2, х < 1 и Р = (1/2 — 5) (х — 1) — 1/4〉0 разбита поверхностью непродолжимости решений £ = z ——"(U ——S)2 — 0 на две части: Д (L < 0, 0 < Qo <；炉А) и，2 (£ В 0, Qo〉В，/2). Собственные числа 九2,3 системы (2.1) при у = 2, С7 = 0 в особых точках линии (3.2) удовлетворяют следующему характеристичен к ому уравнению (собственное число 九i = 0 в силу одномерности линии (3.2)):
炉 + 入(2z° 弋2嵩 + 1/2) "1 + 石 1 = 0,(6.14)
% = z° — (1/2 一 6)2.
Таким образом, %2*^з = "* следовательно, отрезок 7i состоит из неустойчивых (седловых) особых точек, а отрезок /2 состоит из притягивающих особых точек. *
Динамическая система (2.1) при у = 2, О = 0 с помощью интеграла ①з = z (V ——6) Qf сводится к однопараметрическому се-
Рмс. 37. Фазовый портрет динамической системы (2.1) при у = 2, 17 = 0 на уровне интеграла 5=6 в области 步 V 6 после разрешения вырожденных особых точек и дополнения области z > 0, 卩 & 6 границей на бесконечности.Рмс. 37. Фазовый портрет динамической системы (2.1) при у = 2, 17 = 0 на уровне интеграла 5=6 в области 步 V 6 после разрешения вырожденных особых точек и дополнения области z > 0, 卩 & 6 границей на бесконечности.мецству (в зависимости от величины интеграла Ф3) систем двух уравнений на плоскости z, V. Фазовый портрет одной из таких систем при В〉0 показан на рис. 37. Существует единственная траектория X, идущая из неустойчивой особой точки Zq, лежащей на отрезке Д линии (3.2), в притягивающую особую точку Z；.
Рмс. 37. Фазовый портрет динамической системы (2.1) при у = 2, 17 = 0 на уровне интеграла 5=6 в области 步 V 6 после разрешения вырожденных особых точек и дополнения области z > 0, 卩 & 6 границей на бесконечности.
Рмс. 37. Фазовый портрет динамической системы (2.1) при у = 2, 17 = 0 на уровне интеграла 5=6 в области 步 V 6 после разрешения вырожденных особых точек и дополнения области z > 0, 卩 & 6 границей на бесконечности.
Автомодельное решение, соответствующее траектории X, регулярно при всех г》0 и имеет при г ->0 асимптотику точного решения (3.4), а при г оо — асимптотику (5.4). При значениях параметров 1/2 V 6 V 1, 1 — б < х < 1, 0〉0 все характеристики газа р, р, и, w стремятся к нудю при г ~> оо. В этом случае рассматриваемые решения описывают расползание вращающегося плазменного шнура (угловая скорость вращения максимальна на оси г = 0), а также растекание вращающегося тонкого слоя жидкости, толщина которого 九 т 0 при г -> оо. Эти решения применимы в некоторой конечной области 0《т V С при 0 V d V 力 V G (поскольку при 乂 V 1, у = 2
полная энергия и масса газа при т т 8 расходятся; см. (5.5)). При 6 = 4, х = 0 в автомодельном решении X имеем р ->р0, р т Ро при т т 8, следовательно, в теории мелкой воды для*этого решения толщина слоя жидкости h т const при т f 8. В этом случае решение X можно рассматривать как модель затухающего крупномасштабного вихря в океане.
Укажем в теории мелкой воды автомодельные решения с движущимися разрывами, которые принято называть борами или, в стационарном случае, гидравлическими прыжками [151]. Условия на разрыве в теории мелкой воды являются следствием изэнт- ропичности движения (g/2Po = const; см. (6.10)) и законов сохранения массы и импульса:
(6.15)(6.15)zJR* = z，％, R1 (匕 一 6) = T?2 (卩2 - »J + ^^ = % _ 6 + T^，Qi.
(6.15)
(6.15)
Здесь индексы 1 и 2 обозначают величины по разные стороны от разрыва. Отметим, что в теории мелкой воды энергия на разрыве
§ 6j Некоторые автомодельные решения при у-2259
не сохраняется (в отличие от условий Гюгонио (см. главу V, (5.5)) на ударных волнах в классической газовой динамике). Из условий (6.15) получаем
卩2 — 3— ((%士 J + 8zj"2),
(6.16)
-中"+ (g+&y)
Для построения автомодельного решения с движущимся разрывом рассмотрим при 1/2 V 3 V 1, 乂 = 2 (1 — 6) некоторую сепаратрису У, выходящую из (неустойчивой)^ особой точки Z® (см. рис. 37) — например, при 6 = 2/3 — точное решение (6.3). В особой точке ZJ согласно (4.8) и (4.5) имеем
Г-д 2 3-1/2)п п
>4 = —- —= б®—]) т ° = 6, 2 = 0, Q = 0・
Поэтому точка 母 после преобразования (6.16) переходит в то^ку
х с координатами
2 = 0, Q = 0.2 = 0, Q = 0.* 6(56 — 3)L 4 (6 — 1/2)，
2 = 0, Q = 0.
2 = 0, Q = 0.
Пусть разрыв на сепаратрисе У вводится в точке %, достаточно близкой к точке 珏.После преобразования (6.16) точка ^工 переходит в точку 力 1, достаточно близкую к точке 力；поэтому траектория системы (2.1), проходящая через точку 勺，движется в окрестности плоскости 2 = 0 и, как показано в § 5 (см. (5.7)), при 九 f ио входит в особую точку 欧(z =卩=Q = 0). Автомодельное решение, определенное отрезками траекторий Z^y^ 力i£, определяет растекание от центра.вращающегося тонкого слоя жидкости с разрывом (амплитуда скачка -у- = -^ =夺三:〉1), движение которого определяется условием 九=入工=const. В этом решении имеется расширяющаяся от центра внутренняя граница (X =入°), на которой согласно асимптотике (4.12) толщина слоя жидкости 无=0, давление 夕=0, угловая скорость Q = 0・ При Z оо (г оо) все параметры решения (скорость, давление, высота 无)стремятся к нулю согласно асимптотике (5.4). Указанные автомодельные решения, вероятно, могут быть использованы при моделировании некоторых явлений в океане.
ГЛАВА VII
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
В данной главе изучаются адиабатические движения идеального газа с однородной деформацией, в которых скорости частиц газа являются линейными функциями координат. Такие движения сплошной среды изучались в большом числе работ, первыми из которых были классические работы Дирихле, Дедекинда и Римана по теории фигур равновесия идеальной несжимаемой гравитирующей жидкости (см. [153—155]). Сферически-симметричные движения идеального газа с однородной деформацией рассматривались в работе [156] и с учетом ньютоновской гравитации —— в [157]. Полный класс движений идеального газа с однородной деформацией впервые был выделен в работе [158], гамильтонов формализм в этих задачах развивался в [159]. Движения с однородной деформацией применялись при изучении расширения в вакуум невращающегося газового эллипсоида [160, 161] и сжатия эллипсоида под действием внешнего давления [162], при изучении движения пылевого гравитирующего эллипсоида (с применениями к теории образования галактик и динамики звезд в галактиках) [163——165], эллипсоида заряженной жидкости [166] и эллипсоида несжимаемой негравитирующей жидкости [167], а также в магнитной газовой динамике при изучении пульсаций плазменного шнура [168]. Движение гравитирующего газового шара рассматривалось в качестве модели пульсаций переменных звезд-цефеид [132]. Движение гравитирующих газовых эллипсоидов в работах [169, 170], использующих в основном численные методы, рассматривалось в качестве модели образования галактик и звезд из облаков первоначально холодного газа. При этом в работе [169] было отмечено, что адиабатическое движение гравитирующего газового эллипсоида при отрицательной энергии Е, как и движение эллипсоида несжимаемой жидкости, исследованное Дирихле в 1860 г. (см. [153]), происходит в колебательном режиме.
В данной главе показано, что общий колебательный режим движения гравитирующего газового эллипсоида при 耳 V 0 при определенных значениях параметров можно аппроксимировать последовательностью более простых движений гравитирующего пылевого эллипсоида, и указан новый колебательный режим движения газового эллипсоида при 耳〉0 (расширение вращающегося газового облака в вакуум). Проведено исследование различных свойств двух колебательных режимов движения гравитирующего газового эллипсоида.
§ 1. Уравнения движения негравитирующего газового эллипсоида
Движения газа с однородной деформацией. Уравнения адиабатических движений идеального газа в декартовых координатах имеют вид
= ~冬限'，4?~ = ipdiv『备(皆)=0, (1.1) где 〃‘ —— вектор скорости газа, р —— давление, р — плотность газа, Y〉1 ——показатель адиабаты, 刀乃力=5* ——метрический тензор евклидова пространства. Движениями газа с однородной деформацией называются решения уравнений газовой динамики (1.1), для которых эйлеровы координаты частиц газа %г являются линейными функциями лагранжевых координат а":
公=4 ⑴ М, 厶巾=1, 2, 3 (1.2)
(всюду по повторяющимся индексам производится суммирование). Напомним, что эйлеровыми координатами частиц газа называются их (изменяющиеся) координаты в евклидовом пространстве ж1, /2, /3, в то время как лагранжевы координаты ", а2, а3 различают частицы газа и остаются постоянными (для каждой частицы газа) в течение всего процесса движения сплошной среды. В силу определения (1.2) получаем
公=* =户読=/1(ь一1)就，
= 金屮出, (1-3)
где 歹-1 — матрица, обратная к матрице F: F?F^ = Е.
Уравнения газовой динамики (1.1) для движений газа вида (1.2) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, если давление и плотность газа имеют вид
4.
P = P(t)P ®， Р = Р (£) А (9， С =—亍g仃罐* (丄4)
где 纟订——некоторая постоянная симметричная матрица. Установим связи между функциями р (力),р (办, 尸(С), Е (Е)・ Уравнения (1.1) после подстановки выражений (1.2)——(1.4) переходят в систему уравнений
p⑴R （g）屛（Q唠力』p⑴騎g„ （片嘴（q］）标昧p⑴R （g）屛（Q唠力』p⑴騎g„ （片嘴（q］）标昧din p (力)dtdin p (力)dtd In det (时)d In det (时)P ⑴=C(P (%))"•P ⑴=C(P (%))"•(1.5)(1.5)
p⑴R （g）屛（Q唠力』p⑴騎g„ （片嘴（q］）标昧
p⑴R （g）屛（Q唠力』p⑴騎g„ （片嘴（q］）标昧
din p (力)dt
din p (力)dt
d In det (时)
d In det (时)
P ⑴=C(P (%))"•
P ⑴=C(P (%))"•
(1.5)
(1.5)
Из системы (1.5) получаем следующие необходимые условия:
R(С)= &翁，p ⑴=& (det (理)尸，(1 6)
P ⑴=03 (det (露))工
После подстановки этих выражений в уравнения динамики (1.5) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений 耳=С (det b)irg/ (片％曜，С = CJCQ. (1.7)
Система (1.7) является лагранжевой системой. Действительно, после свертки уравнений (1.7) с тензором g^ntm получаем систему уравнений
屏gk如m = c (det⑺尸(月一弘=-不二了外*?尸，,(1 -8)
которая, очевидно, имеет лагранжев вид: d dL _ dL "27 一 dq1 с лагранжианом
£ =手型岁g%m 一 金• (det (理)尸.(1.9)
Таким образом, в случае индефинитной метрики g^ движения газа с однородной деформацией описываются лагранжевой системой (1.8)—(1.9) с индефинитной кинетической энергией. В случае индефинитной метрики g^ поверхности постоянного давления и постоянной плотности газа являются гиперболоидами (см. (1.4)); поэтому такие решения могут быть использованы, например, для моделирования движений газа типа смерчей в атмосфере (наряду с автомодельным вращением газа, изученным в главе VI).
В дальнейшем рассматриваются два случая ——положительно и отрицательно определенной метрики g订.Без ограничения общности можно считать, что g^ = о或, о = ±1, 6 = 5= 3, Сз = С = у — 1・ При таких нормировках лагранжева система (1.8) принимает вид
耳=о (у — 1)(det (尸))—(『哨=—о・(1.1о)
Давление р и плотность газа р даются формулами
р = У£@,рЖ/吗(1.11)
("t 储))?y (det 储))'、 丿
где P (g)——произвольная функция параметра ^ = -— а (а? + а| + + 國)/2. Из условия неотрицательности плотности газа р следует
(см. (1.11)) необходимое условие dP (4)/^4》0. Взяв функцию Р (?) = ехр (4) при сг = + 1, получим изотермическую массу газа, заполняющую все пространство и имеющую гауссовское распределение плотности. Если же функция 尸(Z) финитна и имеет
вид, показанный на рис. 38, то получаем конечную массу газа со свободной границей, на которой р = р = 0. При сг = —1 давление растет при удалении от центра Q = 0); в этом случае газ находится под внешним давлением, изменяющимся согласно (1.11). Отметим, что поверхности постоянной плотности и давления газа в^эйлеровых координатах /»являются эллипсоидами, форма и расположение которых в пространстве изменяются^в силу системы (1.10).
ЩЩРис.Рис.38. Вид функции Р (0, обеспечивающий вы-38. Вид функции Р (0, обеспечивающий вы-полнение условии р = р = =0 на границе газового эллипсоида.полнение условии р = р = =0 на границе газового эллипсоида.Общие свойства динамики газового эллипсоида. Лагранжева система (1.10) инвариантна относительно шестимерной группы преобразований
Р©
Р©
Рис.
Рис.
38. Вид функции Р (0, обеспечивающий вы-
38. Вид функции Р (0, обеспечивающий вы-
полнение условии р = р = =0 на границе газового эллипсоида.
полнение условии р = р = =0 на границе газового эллипсоида.
尸—> O±FOz,
j =卢庐 一 ff\ к = PR —庐wj =卢庐 一 ff\ к = PR —庐w(1.12)(1.12)где О*м О% — ортогональные матрицы, и имеет вследствие этого шесть первых интегралов, образующих две трехмерные кососимметричные матрицы:
j =卢庐 一 ff\ к = PR —庐w
j =卢庐 一 ff\ к = PR —庐w
(1.12)
(1.12)
(здесь Ff — транспонированная матрица 尸).Интегралы J и К впервые были указаны в работе [159]; эти интегралы связаны с сохраняющимся полным моментом количества движения газа и вихрем. Если J = £ = 0, то после некоторого преобразования F т О±РО2 матрица F} во все моменты времени приводится к диагональному виду.
Полная энергия газа, заполняющего эллипсоид, пропорциональна интегралу энергии лагранжевой системы (1.10) (см. [159]):
з
Е = Т + о (det(F))w, Т =扌工(力护・ (1.13)
При о = + 1 из вида интеграла энергии Е следует, что решения системы (1.10) существуют при всех t:——8V 力V + оо (траектории системы (1.10) не входят в особые точки, поскольку из (1.13) следует det (尸)〉E'/g* и не уходят на бесконечность за конечное время, поскольку (終产 V 2Е). Покажем, что при 力一> ± 8 движение газового эллипсоида со свободной границей (сг = + 1)
является неограниченным х). Оценим скорость изменения суммы квадратов полуосей газового эллипсоида
з
о=近 + 或 + 磁=п (歹。Q=2 (4)2.
В силу уравнений (1.10) получаем зз
力=2» (力护 + 2 2 瓦厩=47 + 6 (Y _ 1) (det 仍)尸-丫・(1.14) i, fc2, k
Заменив поочередно каждое из двух последних слагаемых в (1.14) их выражениями из интеграла энергии (1.13), находим
力=6 (у - 1) Е + 2 (5 — Зу) 7,(1 15)
力=4Е - 2 (5 - 3丫)(det (歹))ir.•
Отсюда в зависимости от величины у〉1 получаем следующие неравенства:
Y < 5/3: 6 (у — 1)豆 V 力 V 4瓦口/6)
у〉5/3:4E V 力 V 6 (丫 一 1)瓦 •
Из (1.16) следуют оценки скорости роста суммы квадратов полуосей газового эллипсоида
у V 5/3: 6 (у — 1)矶 2 + Art + Br<D <Z 4 矶2 十(力 + &,
? V 5/3: 4及2 + 4]力 + & V 0 V 6 (Y - 1)后产 + 4力 + з2.
(1.17)
При 丫 = 5/3 оба выражения (1.15) совпадают и определяют дополнительные интегралы 4 и 3 системы (1.10), указанные впервые в работе [161]:
D = 2 矶2 + At + В.(1.18)
В силу (1.17), (1.18) получаем, что при всех у〉1 сумма квадратов полуосей газового эллипсоида D —>оо при 方一> 土 оо.
Отсутствие ограниченных*(при всех t) движений газового эллипсоида со свободной границей можно доказать также с помощью теоремы вириала [171]. Согласно теореме вириала, если в лагранжевой системе с лагранжианом L — Т —— U (где кинетическая энергия Т и потенциальная энергия U являются однородными функциями степени 2 и й: соответственно) существует ограниченная при всех t траектория, то усредненные вдоль этой траектории
1) Приведенное ниже доказательство является обобщением рассуждений работы [161], где при у = 5/3 впервые был найден первый интеграл (1.18) и с помощью этого интеграла доказано (для у = 5/3), что при t 一 ±оо происходит бесконечный разлет газового эллипсоида.
величины Т и U удовлетворяют равенству 27 = "万・ Для лагранжевой системы (1.10) имеем " = 3 (1 — у) V 0, поэтому равенство 2Г = 3 (1 — у) (det ⑺尸-丫 невозможно, что и означает отсутствие ограниченных при всех t движений газового эллипсоида.
Важным свойством динамики газового эллипсоида, находящегося под действием внешнего давления (о = — 1), является наличие сингулярностей det (F «*)) = 0. Существование таких сингулярностей можно установить с помощью оценок величины D. При о = — 1 равенства (1.15) принимают вид
力=6 (Y — 1) 后 + 2 (5 - 3Y)九
力=4后 + 2 (5 — 3Y)((1m仍))1-丫.
Отсюда при у》5/3 получаем
D ^Q (у - 1) Et2 + At + В.(1.20)
Из (1.20) следует, что при у 戸 5/3, о = — 1, Е V 0 решение существует на конечном отрезке времени I:方о《方《力i (поскольку D = c?i + ^2 + ^ ^ 0) и, следовательно, имеет сингулярности det (F (幻)=det(F (幻)=0 (иначе решение продолжалось бы вне отрезка /)•
Для исследования сингулярностей решения при всех у〉4, о =——1 можно использовать следующую функцию:
зз
(In (det (网)))" =2耳(尸咙一 X 型①一嘴戏(片唯= гЛг, fc,a, ₽
= -(Y-l)i (①T)f)2(det(^))w一Тг(42), (1.21)
где матрица А =户。W1. Матрица 4 является симметричной (Л = /'), если интеграл К = 0 (см. (1.12)). В этом случае из (1.21) в силу Тг (Л2) = Тг (Я о /£)》0 получаем
(In (det (汽))广 < 0.(1.22)
Следовательно, при К = 0 функция det (^ (方))является выпуклой вверх функцией и поэтому, по крайней мере при одном направлении времени 力 решение имеет сингулярность det (F (力*)) = 0. р IIL Преобразование динамической системы. Изучение динамики решений (1.2) во времени сводится, как показано выше, к изучению динамики лагранжевой системы (1.10). Эта система для простейших классов матриц 用(скалярных, осесимметричных) была изучена в работах [156, 161] , использующих стандартные методы анализа. Изучение системы (1.10) в общем случае при ненулевых интегралах (1.12) требует привлечения методов качественной теории дифференциальных уравнений.
Первым шагом применения этих методов" является построение динамической системы, определенной на некотором компактном многообразии S с границей Г, эквивалентной системе (1.10) и имеющей достаточно простые особые точки. Поскольку все последующие рассмотрения не зависят от конкретного вида потенциала в (1.10), мы будем рассматривать общую лагранжеву систему
(1.23)(1.24)(1.23)(1.24)с лагранжианомс лагранжианом上=}£壮一。。（仇）严,г=1上=}£壮一。。（仇）严,г=1A dL дьdt dq^ — dqi
(1.23)
(1.24)
(1.23)
(1.24)
с лагранжианом
с лагранжианом
上=}£壮一。。（仇）严,г=1
上=}£壮一。。（仇）严,г=1
где а < 0, а = ±1, U (д,——однородная функция степени 卩〉0 такая, что поверхность U (д, = 0 имеет размерность п — 1. Для системы (1.10) а = 1 — у, % =露，U (仇)=det || 歹器 J|, n = 9, 卩=3. Лагранжева система (1.23) в фазовом пространстве имеет вид
л = — аои«т毋L , 女=匕，X = 1, 2,…"2. (1.25)
Эту систему мы рассматриваем в области U (仇)〉0 (точки границы U (gj = 0, согласно (1.11), отвечают физической особенности решения). Система (1.25) допускает группу масштабных преобразований
qt -Mi, Pi ->九碎/2尸力t ->九-(破2)九(1.26)
n
При этом преобразование энергии Е = х/2 2j 尸* + oU (^)а имеет вид Е ->%аиЕ. в силу наличия группы масштабных преобразований (1.26), система (1.25) допускает понижение порядка, т. е. эквивалентна некоторой системе от 2п — 1 переменных.
Для построения компактного многообразия S размерности 2п ——1 введем две локальные карты Wr и Ж2. В локальной карте W± введем координаты
%о 4
у г一吁而
(2碓尸 (3
Hi
(1.27)(1.27)В локальной карте W2 ——следующие координаты:
(1.27)
(1.27)
У订 网=—п一七丁，w - n
(2尸m2畔
修工еt
п
Координаты yi пробегают единичную сферу S^1: 5j у1— 1- Koop-
n
динаты pi также пробегают единичную сферу Sn-1:》р?=1, г=1
в то время как координаты р° пробегают все евклидово пространство Еп. Координаты р^ = P°/(S(Рр)2)1/2w = V(S(Рр)2)1/г компактифицируют евклидово пространство Еп на бесконечности —— п
ей отвечает сфера 勿=0, 2 р? = 1 • Таким образом, координаты г=1
р?,卩力勿 можно представлять себе как пробегающие единичный п
шар Dn: 2 力?《1; в окрестности центра шара координаты р?, а i=l
п
в окрестности граничной сферы 5П-1 (2 ^? = 1) координаты р», w.
Многообразие S в локальных картах Wi и W^ выделяется условиями
u (力)> 0,"》0.
Граница Г многообразия S состоит из двух компонент Г = Го [J Г1в Компонента Го определяется условиями ” = 0, U (у»)》0, а компонента 1\ ——условиями ip〉0, U (у») = 0. Пересечение этих компонент N = Г1。р| 1\ (угол края Г) имеет размерность 2п — 3 и задается условиями
U (勿)=0, w = 0.(1.28)
Динамическая система на многообразии S определяется путем преобразования системы (1.25) в координаты Жх и W2 (это преобразование использует однородность функции U (%)). В координатах Wx и времени 工工：
9(%)dt —n
u仇)，确产P=1
получаем систему
п
. 於=a。(一第一等川纪墨/)),
双=。例)(Р? — Уг (工兩')，(1-29)
V=1
*i。喧鸞M・
В координатах Ж2 и времени т2:
(1.30)(1.30)(1.31)(1.31)0硒(%)
(1.30)
(1.30)
(1.31)
(1.31)
система (1.8) имеет вид
n
n
次=и （力）広一％ （2 /м/丫））’
Y=1
n
仍=呐1 + 2叫（耳~^p。
dU (%)〃 /dU \
Очевидно, что граница Г = Го [J Гх является инвариантным многообразием для систем (1.29) и (1.31). При о=—1 система (1.31) имеет еще одно инвариантное многообразие V: w — 1/2, соответ- п
ствующее нулевой полной энергии ^ = 1/2』^? + а^а (^г)- г=1
Колебательный режим расширения вращаю щегося газового облака в вакуум
В этом параграфе мы укажем новый колебательный режим движения газа путем аппроксимации траекторий системы (1.21) последовательностями особых точек и их сепаратрис, мимо которых эти траектории движутся.
Перечислим множества особых точек и их собственные числа для системы (1.29), (1.31) при от = +1:
Мс: w = 0, р» = &勿,8 = 士 1. Mt лежит на границе Го, dim Мъ =九—1. Собственные числа этих особых точек слрдую- пщез
[入 1 — aKsU (力)(переметшая s);
九2 = • • • = An = °(переменные р»),
k+i =・・・=入2п-1 = —еО (刃) (переменные 勿).
Особые точки Ме невырождены, поскольку число нулевых собственных чисел равно (д ——1)-размерности М$・ При сделанных
выше предположениях (а V 0,九〉0； см. (1.24)) особые точки М+ являются притягивающими, а особые точки М_ являются отталкивающими. 磅 蟲
ппРу (переменные 力).Ру (переменные 力).УсловиеУсловиеРу) (переменная w),Ру) (переменная w),N: s = 0, U 回)=0. 2V есть угол границы Г: N= Го р Гь dim N = 2п — 3. В этих особых точках 2п — 3 собственных числа, отвечающих размерности множества N, равны нулю и имеются два ненулевых собственных числа:
п
п
Ру (переменные 力).
Ру (переменные 力).
Условие
Условие
Ру) (переменная w),
Ру) (переменная w),
(2.1)
на N выделяет множество N* а условие
п
£ ^-Ру < 0 определяет множество N_. Эти условия, очевидно, V=1 Y
означают, что точка (р?, д?), принадлежащая множеству N, лежит на N* если точка (р?) на единичной сфере Sn^ лежит по ту же сторону от плоскости, касательной к поверхности U (у) = 0. в точке (yj, что и нормаль к этой поверхности ^^--— / | grad U (у) | ・ Аналогично, точка (р7, у?) лежит на N_, если точка (р?) лежит по отрицательную сторону от этой касательной плоскости.
Особые точки N+ и "一 невырожденные и неустойчивые, каждая точка 7\< имеет одну входящую сепаратрису, идущую по Г1? и одну выходящую сепаратрису, идущую по Го, а точки N工—наоборот.
Вырожденные особые точки 厶 в которых ~~ = 0 (особые в геометрическом смысле точки поверхности U (^/0 = 0), координаты a, w произвольны.
Для нахождения сепаратрис особых точек Ме и N проинтегрируем систему (1.31) на границе Г = Го U Гх. Траектории этой системы на компоненте Го имеют вид
”=龙須=0,勿=或爵+ p"5；h%.. (2.2)
Здесь р?, 此 т0 — константы, причем thr0 = 2 Р? *• Время т 1—1
связано с т2 по формуле dx =U (y^dx^- Траектория в координатах yi движется по кратчайшей дуге большого круга на единичной сфере б71、проходящего через точки (£) и (р?). Концы тра-
ектории (2.2) лежат на множествах особых точекМ_, или N、
т. е. каждая траектория является сепаратрисой некоторой особой точки./
Траектории системы (1.31) на композите границы 1\
U (力)=0) имеют следующий вид:/
Уг = Уь 初=Уг = Уь 初=ch? % — chz tch? % — chz t2 ch2 т2 ch2 тр，=р?需р，=р?需sh т — sh т0ch тsh т — sh т0ch тЗдесьЗдесь成,诡 Po/(S?)=成,诡 Po/(S?)=grad U (叫)! grad U (山)Igrad U (叫)! grad U (山)Iконстанты, причемконстанты, причемn2 PiSi = th % < 0, i=ln2 PiSi = th % < 0, i=ln£ Pi^i — th T.1=1n£ Pi^i — th T.1=1(2.3)(2.4)(2.3)(2.4)
Уг = Уь 初=
Уг = Уь 初=
ch? % — chz t
ch? % — chz t
2 ch2 т
2 ch2 т
р，=р?需
р，=р?需
sh т — sh т0ch т
sh т — sh т0ch т
Здесь
Здесь
成,诡 Po/(S?)=
成,诡 Po/(S?)=
grad U (叫)
! grad U (山)I
grad U (叫)
! grad U (山)I
константы, причем
константы, причем
n
2 PiSi = th % < 0, i=l
n
2 PiSi = th % < 0, i=l
n
£ Pi^i — th T.
1=1
n
£ Pi^i — th T.
1=1
(2.3)
(2.4)
(2.3)
(2.4)
Время т определено выражением 血=s | a | | grad U (務)| dr2 в (2.3). Траектория (2.3) имеет начальную точку (р?, у?, 必=0) при т = т0 на N_, конечная точка этой траектории (Pi (т), т = —%,或，必 = 0) в силу (2.4) лежит на N*. Конечная точка (pt (—т0)) получается из начальной точки (р?) отражением в плоскости, касательной к поверхности U (z/f) = 0 в точке (у?). Максимальное значение w вдоль траектории (2.3) достигается при т = 0 и равно
(.2峭『
(2.5)(2.5)i—1
(2.5)
(2.5)
n
2 (1-(2 卩賦)2)г=1
Полученный вид сепаратрис (2.2), (2.3) приводит к следующей сепаратрисной диаграмме:
m}n 刍％+”％.В+ 「m}n 刍％+”％.В+ 「(2.6)(2.6)
m}n 刍％+”％.
В+ 「
m}n 刍％+”％.
В+ 「
(2.6)
(2.6)
Здесь стрелка означает, что особая точка, являющаяся начальной для некоторой выходящей из нее сепаратрисы, отображается в конечную тоаду этой сепаратрисы. Отображения, определенные таким образом, обозначены а_, а+, §一，Р+.
Вырожденные особые точки L в сепаратрисную диаграмму не входят, поскольку между ними и особыми точками М&, N нет се- паратрисных переходов. Особые точки L не влияют на описываемые ниже режимы.
Отображения а_, р+, а+ осуществляются сепаратрисами (2.2), идущими по компоненте границы Го (s = 0). Вдоль этих сепаратрис коорддцаты] Ру = р； = const, а координаты у? изменяются
§ 21 кш^ба^еЛёйЫй режим Движения Таз。力6го Обйайа Й71
по кратчайше^ дуге большого круга, проходящего через точки （р^） и （g；）（Q；, ^ ——начальная точка сепаратрисы）* В сталкивающих особых точках М_ имеем р；=—调.Через две точки （Ру =—芻）и （芻）на единичной сфере S^1 проходит （п —2）-мер- ное множество больших кругов, поэтому отображение а_ неоднозначно. Отметим, что пересечение каждого такого круга с N_ в интересующем нас4 случае （卩=3） всегда существует.
Рис. 39. Последовательное изменение особой точки （р；, у；） при сепаратрисных переходах （2.2） и （2.3）.Рис. 39. Последовательное изменение особой точки （р；, у；） при сепаратрисных переходах （2.2） и （2.3）.Отображение р_ осуществляется сепаратрисой （2.3）, идущей по компоненте границы Гх （U （孙）=0）. Вдоль этой сепаратрисы уу = Уу = const. Конечная точка 冰，瑞，s = 0） получается из начальной точки （р；田:，"=0） путем отражения точки （р；） в плоскости 厶 касательной к поверхности U （孙）=0 в точке （芻）• Очевидно, конечная точка принадлежит N+.
Рис. 39. Последовательное изменение особой точки （р；, у；） при сепаратрисных переходах （2.2） и （2.3）.
Рис. 39. Последовательное изменение особой точки （р；, у；） при сепаратрисных переходах （2.2） и （2.3）.
Пусть расе тояние от точки （р；） до плоскости I равно 九.При ма
лых А кратчайшая дуга большого круга, соедийяющего точкй （/^） и （у；）, имеет пересечение с поверхностью U （у?） = 0 в точке （у^）, близкой к точке （у；） （рис. 39）. （Предполагается, что поверхность U （у?） = 0 в точке у； выпукла в сторону нормали. Такие точки （吟 в рассматриваемом случае существуют.）
Итак,
Р-（Р；,孙）=（Р；，務），Р+（Р?» 调）=（Р?» 力）.（2・7）
Точка （ру, у；） при Д ->0 бесконечно близка к точке （р；, у；）, и повторение отображений р_, р+ снова приводит к близким точкам. Поэтому при А ->0 сепаратрисная диаграмма （2.6） дает любое конечное число переходов между множествами N_ и ЛГ+:
M%N^N+h...hN^Mr （2.8）
Отметим, что расстояние между точками （р；） и （у^） при отображении р_ не изменяется, а при отображении р+ уменьшается, поэтому колебания между множествами W_ и N+ всегда обрываются попаданием точки на множество М+, где р7 = у^.
Движение точки по последовательности сепаратрис, определенной диаграммой （2.8）, в координатах у? представляет собой
свободное движение точки по геодезическим на сфере S"f в области U (价)〉0, причем точка отражается от поверхности U (^丫) = 0 по закону упругого отраженияДсм. (2.7)). В этом смысле математической моделью описываемого ниже режима является геодезический биллиард на сфере 户"丄 с отражающей поверхностью U 仇)=0. / /
Перейдем к выводам из полученной сепаратрисной диаграммы (2.6), (2.8).
Сепаратрисная диаграмма (2.8) реализована сепаратрисами, идущими по границе Го и ^ физической области S, и поэтому ей не отвечает никакое точное физическое решение. Однако существуют физические траектории (и? =# 0, U (价)抬 0), идущие сколь угодно близко вдоль всей последовательности сепаратрис (2.8). Отрезок такой траектории, выходящий из отталкивающей особой точки М_, отвечает сжатию газа по инерции из бесконечно разреженного состояния, а отрезок траектории, входящий в притягивающую особую точку 加+，соответствует бесконечному свободному расширению газа.
Внутренняя часть диаграммы (2.8) описывает чередующиеся сжатия и расширения газа. Действительно, в задаче о газовом облаке U (⑴)=det II Fjk у и условие U (价)=det || Yjk || =0 (£乃斤=1) означает, что газ сжат по нулевому собственному направлению матрицы || Уд ||. Поэтому близость траектории к неустойчивым особым точкам N_ или N+ означает, что эллипсоид постоянной плотности газа имеет сильно сжатую форму.
Далее, согласно (1.31),・"^?也=U (%)(『〔'^/^ Py) • Поэтому в окрестности N_ (工 >^- Py < °) 〃 (g) — det ||歹川 || уменьша-
У 1п
ется, т. е. газ сжимается, а в окрестности N+Pv〉°)
det II F坯 у увеличивается, т. e. газ расширяется. Следовательно, на отрезке траектории, отвечающем переходу N_ —> 7V+, существует минимум объема газа, а на отрезке траектории, отвечающем переходу N十—> существует максимум объема газа.
Для определения величины объема (det || F^ ||) в этих экстремумах предположим, что движение газа, соответствующее выбранной траектории системы (1.24), имеет полную энергию Е. По
определению^
Е = ~ 纟卜务 + (det II Fjlc ||)i-v, w =吗尸产.
Отсюда
det I® 11 = (-^■严？(2・9)
Поэтому минимумы объема, достигаемые на отрезках траектории, отвечающих переходам N_ —> N+, приближенно равны следующей величине:
min det Ил || = 5y^l片Т),(2.10)
где % дается формулой (2.5). Для траектории, достаточно близкой к последовательности сепаратрис (2.8), величина (2.10) достигается сколь угодно точно. Максимумы объема det || 歹泳 || достигаются на отрезках траектории, близких к сепаратрисам, осуще- 6+
ствляющим переход N+ f N_, где ^ = 0. Поэтому значение max det || 歹採 || может быть сколь угодно большим (см. (2.9)).
Отметим, что каждой траектории системы (1.31) в координатах; (1.27) отвечает однопараметрическое семейство траекторий исходной системы (1.25), параметризующееся постоянным значением энергии Е (О V 笈 V 8). В силу масштабной инвариантности относительно группы преобразований (1.26) время t движения вдоль траектории связано с энергией Е соотношением
力母/2+и(з(ут))= const.(2.11)
Таким образом, мы доказали, используя сепаратрисную диаграмму (2.8), что существуют следующие движения идеального газа: 1) первоначально газ сжимается из состояния бесконечного разрежения; 2) затем начинается колебательный режим: газ сколь угодно большое число раз сжимается и расширяется по изменяющимся направлениям, причем амплитуда осцилляций объема det у Fjk II в силу (2.9)—(2.10) может быть сколь угодно большой, а следовательно, при больших Е сколь угодно велики осцилляции плотности р, тогда как время осцилляций, согласно (2.11), может быть сколь угодно малым; 3) колебательный режим заканчивается бесконечным свободным расширением газа.
Отметим, что колебательный режим существует даже в том случае, если первоначальное распределение газа было близким к сферически-симметричному распределению. Далее, из (2.10) и (2.5) следует, что для движений с ограниченной энергией Е и
274 ДИНАМИКА ГАЗОВОЙ) ЭЯЛИМОЙДА / (ГЛ. УЙ с большим числом осцилляций det || Fjk || все время велик и поэтому газ в колебательном режиме остается размеренным.
Подчеркнем, что исследованный в данном шфаграфе колебательный режим движения газового зллешсо!^ реализуется за счет одних лишь сил внутреннего давления прй наличии вращения газа (интегралы J и К 千 0). В § 8 мы покажем, что этот колебательный режим сохраняется также при наличии гравитационного взаимодействия частиц газа.
Исследование одной задачи в теории мелкой воды
Аналогом задачи о расширении газового эллипсоида в вакуум в двумерной гидродинамике является задача о растекании вращающегося жидкого эллипса в теории мелкой воды (в этом случае у = 2; см. главу VI, § 6, п. II). Эта задача сведена к квадратурам в работе [161]. Однако полученные в [161] явные формулы настолько сложны, что исследование их явилось бы отдельной трудной задачей. Покажем, независимо от предыдущего изложения и не исследуя явйых формул, что в двумерной задаче (или в задаче о разлете эллиптического цилиндра) также существует колебательный режим, аналогичный описанному в § 2.
В пространстве двумерных матриц F^ введем координаты d», 4 Ф1,屮2 такие, что
(%1 ^12 \ [cos ф! — sin%)传 0 ) (cosg —sin(P2).(3工)
尸22 丿—\sin tpi cos фх? \0 厶丿卜 sin % cos ф2 / *' * '
ЛагранЖйан (1.24) для двумерной задачи имеет вид
L = -j- (&；十鶴 + (6 + 中;)("；+ 國)+ 4(pi$2^i^2)— о (山@2)(3.2)
Координаты ср】и (р2 являются циклическими координатами, и dL r dL
поэтому соответствующие импульсы p^x = — — J^ рф2= ^ = — К сохраняются. Интегралы J и К совпадают соответственно с интегралом момента количества движения и вихрем (см. (1.12)).
На плоскости di，厶 введем полярные координаты г, <р:
(3.3)(3.3)dx = r cos ф, % = г sin ф.
(3.3)
(3.3)
Лагранжева система с лагранжианом (3.2) в фазовом пространстве dL dL
pr^ -g^, рфЗ=-— , г, ф переходит в гамильтонову систему с га-
мильтонианом
(3.4)(3.4)ВДеВДеН = $(Р* + 靑("4"廟 + и (屮)))，
(3.4)
(3.4)
ВДе
ВДе
一 尸 + 不十 2JKs；n 2(p 2bи(屮丿—2 cos2 2<p十 sin 2(p *
Эта система dx/dt = 1炉 тонианамиЭта система dx/dt = 1炉 тонианамиза все время Т сущест-за все время Т сущест-За время Т координа-За время Т координа-вования решения.вования решения.Рис. 40. Вид потенциала U (ф): а) о = +1, J 圣 #=—к； о 6 = —1, Ja а—К» 1, J 孑：一К.Рис. 40. Вид потенциала U (ф): а) о = +1, J 圣 #=—к； о 6 = —1, Ja а—К» 1, J 孑：一К.Т — (2JK)3/4Т — (2JK)3/4Следовательно,Следовательно,%一(戸+k2)1/2 •%一(戸+k2)1/2 •
Эта система dx/dt = 1炉 тонианами
Эта система dx/dt = 1炉 тонианами
за все время Т сущест-
за все время Т сущест-
За время Т координа-
За время Т координа-
вования решения.
вования решения.
Рис. 40. Вид потенциала U (ф): а) о = +1, J 圣 #=—к； о 6 = —1, Ja а—К» 1, J 孑：一К.
Рис. 40. Вид потенциала U (ф): а) о = +1, J 圣 #=—к； о 6 = —1, Ja а—К» 1, J 孑：一К.
Т — (2JK)3/4
Т — (2JK)3/4
Следовательно,
Следовательно,
%一(戸+k2)1/2 •
%一(戸+k2)1/2 •
замены координат г = 1/毋 及 замены времени дается на две гамильтоновы системы с гамддь-
Я =—暮或-力2%,% = 4■状 + U(<₽)•(3.5)
Из (3.4) следует, что (при о* = +1 и J =/= —К) U (屮)т 將 при 屮 f 0, л/4. Таким образом, угол ф колеблется в потенциаль-
ной яме, определенной потенциалом U (<р). Колебания угла ф обусловливают изменение соотношения полуосей эллипса di, ~2 и являются отражением общего колебательного режима § 2 (рис. 40).
Оценим число малых колебаний угла ф вблизи положения равновесия
та х изменяется от 0 (г2 = dj + d| = оо) до максимума хт = \ Н 卩符 | Яо | г/2 и снова до；0・ Отсюда время 力=л (2百 Jr/z. Период ^Гф малых колебаний угла ф, как известно, равен Т屮二 2冗(С7； ((p0))~V2e Вычисления показывают, что при J ^ р К》>1 корень уравнения -^~ = 0 равен ф0 三(2JK) ^. В этой точке Яо = w U (<р)二'却£ и % (Фо) = 4 (2/К#. Отсюда 7 =冗(J2 + £2尸/2,爲= = л(2/К)~з/4. Число колебаний ^ =
при J^K->8 число колебаний N становится сколь угодно большим и растет как 户/2. Нетрудно показать, что малые колебания угла <р с амплитудой ^Фо 2<СФо обусловливают колебания величины 期譬Q = det || F^ |[.
В двумерной задаче, аналогичной задаче о сжатии капли под давлением, где о = —1, потенциал U (ср) т—оо при <р ->0 и U (ф) -> +оо при ф -> л/4 (см. рис. 40). При /ж -Л^> 1, J 展—К потенциал U (ср) при 0 V 屮 V 必4 имеет два экстремума: максимум 6 и минимум 屮2, при этом U(S)〉0・ Решения, в которых угол ф колеблется в окрестности минимума фг, не имеют физических особенностей — в нах сжатие из разреженного состоя-
ния сменяется расширением* Аналогичных решении трехмерной задачи, по-видимому, не существует.:”
Отметим, что бесконечно высокий барьер потенциала U (<р) при^ф = л/4т(являющийся одной из причин возникновения колебаний, другой причиной является барьер прй <р = 0, созданный давлением) имеет следующее чисто геометрическое происхождение. В четырехмерном пространстве матриц 歹方『множество матриц с di = % (см. (3.1)) имеет размерность 2. Поэтому для почти всех траекторий лагранжевой системы (3.2) во все моменты времени di * 〃2，следовательно, почти все траектории гамильтоновой системы (3.4) не пересекают поверхность <р = л/4? а это возможно
лишь при наличии бесконечного потенциального барьера. По тем же причинам в трехмерной задаче отношение порядка между полуосями эллипсоида постоянной плотности: di V ~2 V 〃з сохраняется для почти всех движений газа во все моменты времени.
Уравнения движения гравитирующего газового эллипсоида
Адиабатическое движение гравитирующего идеального газа определяется уравнениями
Pk = _^T _ P 两，B = 一pd]v"z,而
(4・1)
ньютоновскийньютоновскийгде все обозначения те же, что и в § 1, а ①(％)—
ньютоновский
ньютоновский
гравитационный потенциал к
созданный в данной точке х всей массой газа, G ——гравитационная постоянная. Уравнения (4.1), так же как и уравнения (1.1) при отсутствии гравитационного^взаимодействия, имеют решения с однородной деформацией, в которых эйлеровы координаты частиц газа %г являются линейными функциями лагранжевых координат 小
"=4 (力)М, %/ = 1, 2, 3. (4.2)
Для существования таких решений необходимо, чтобы гравитационный потенциал Ф (^, ж2, %з) был квадратичной функцией координат 力加 а это свойство выполнено только для гравитационного поля внутри эллипсоида, заполненного газом с постоянной плотностью (см. 1172, 173]). Поэтому для решений вида (4.2) плотность газа р и давление р определяются формулами (при
〃2 = а； + 普 \ 破 & 1)
(4・3)(4・3)广銮回隔尸，p=。端指^.
(4・3)
(4・3)
Здесь а, М — константы, М ——полная масса газа. При а2 > 1 полагаем р = 0, р = 0.
Оператор 歹} можно представить в виде
尸=Q「Qz,(4.4)
где Qi, Q2 — ортогональные матрицы, а матрица D диагональная D}=心5：・ Единичная сфера в лагранжевых координатах М при отображении (4.2) переходит в эллипсоид с полуосями 心，й2? 〃з и главными направлениями *» = 0工修・ В силу условий (4.3), газ с постоянной плотностью заполняет этот эллипсоид; давление р максимально в центре эллипсоида и равно нулю на его поверхности.
Ньютоновский потенциал Ф в точке (х1? х2, х3) внутри эллипсоида (в координатах, связанных с главными осями) имеет вид (с точностью до константы)
①(也,g, g) =^GM^) X
4 八G + s 碍+ s G + s丿
x ((d； + S)(碾 + s) (d； + s))T/2ds. (4.5)
Для вывода уравнений движения гравитирующего газового эллипсоида введем матрицу <р必=尸^尸^ (屮=尸。歹*). Очевидно, что собственные числа матрицы(р“ есть 说,國,國.Если матрица 歹方 диагона льна:歹* = О" то ньютоновский потенциал (4.5) можно представить в виде
①=一景刁山(4.6)
где
U = ^GM^ ((成 + s)(源 + s)(磁 + s))-^ds.(4.7)
о
Поскольку потенциал Ф является скаляром, то выражение (4.6) справедливо в любом базисе. Отметим, что подынтегральную функцию в (4.7) можно выразить непосредственно через компоненты матрицы 7^:
(書+ s)(處+ s)圆+ s) =
=det (歹尸 t) + } s [(Tr (尸尸))2 — Tr(尸尸，丁)] + s2 Tr ь F + 炉.
Основные уравнения динамики (4.1) с уието吵/ (4.3) и (4.6) переходят в систему уравнений/
。帚@t歹尸+（# +系）网
Согласно определению 0，=必尸^ имеем pi _叱訂。中阻
Поэтому система уравнений (4.8) является лагранжевой системой
(4・9)(4・9)d dL dL
(4・9)
(4・9)
с лагранжианом
з
L = ^^ (丸)2 一a@吼尸尸+
+ ^GM^ ((書 + s) (d： + s)闻 + s))t/2曲.(4.10) о
Таким образом, изучение динамики гравитирующего газового эллипсоида эквивалентно изучению динамики материальной точки в девятимерном пространстве матриц F\ в поле с потенциалом, определенным (4.10). Отметим, что лагранжиан (4.10) зависит от одного характерного, не устранимого заменой времени, параметра 0 = a/3GM. Лагранжева система (4.9)—(4.10), так же как и система (1.10), инвариантна относительно преобразований F fQ0Q%, где Qi，Q2 — ортогональные матрицы, и имеет первые интегралы J и К (1.12).
Полная энергия газа, заполняющего эллипсоид и, имеет вид eTI^J+Ut—P ①闯〃=,
3
1~ GM \ ((d； + s)(陽 + s) (d； + s))t/2 ds]. 0
В важном частном случае сферически-симметричных движений 體—歹択 лагранжиан (4.10) переходит в
L^~-F^ — -^-歹 з(1т)十 GMF'\
При у〉4/3 乜 отрицательной энергии
"1 = 扌炉+ 事尸з(Е _ GM FT
газовый шар пульсирует в окрестности положения равновесия 麓)4 = 3(Y _ 1)р.
Эти колебания газового шара изучались в книге [132] в качестве модели пульсаций переменных звезд-цефеид. При у & 4/3 и Е^ V О происходит коллапс газового шара в центр симметрии.
Динамика системы (4.9) при а = 0 (давление р = 0) — движение пылевого гравитирующего эллипсоида ——изучалась впервые в работах [163, 164] и имеет приложения в теории образования галактик (см. [165, 74]). Динамика системы (4.9)—(4.10) для диагональных матриц FJ при а〉0, GM〉0 изучалась в работах [169, 170] с помощью численных методов.
Преобразование гамильтоновой системы
Переходя к изучению лагранжевой системы (4.9) методами качественной теории дифференциальных уравнений, мы преобразуем эту систему в эквивалентную ей систему, определенную на некотором компактном многообразии S. Для удобства записи га- мильтойиан Н, соответствующий (4.10), представим в виде
п
Н =呑£或+絞1 (公)_ 岑 и (%), e =4£.(5.1)
Здесь координаты 夕力 соответствуют F^, V (q?) = det || 歹尤 || ——однородная функ< ия степени 3, U (%) = § ((d； + s) (d： + s) (d； + s))-V2 或一 о
однородная функция степени (—1),九=9・ Гамильтонова система, соответствующая гамильтониану (5.1), имеет вид
А дН厶 、卩缗 / 、3GM dU
(5.2)(5.2)%=一可=一a(1一Y)片"%)而 十个一西
(5.2)
(5.2)
Система (5.2) рассматривается в области S^ фазового пространства, выделенной условием V (g) > 0, поскольку, согласно (4.3), точкам поверхности V (外)=0 отвечает физическая особенность решения. Введем в фазовом пространстве »力 qt две системы коор-
дин ат Wx и 叩2・ Координаты Wr имеют вид
(aQr(%)+(3GM/8)U ⑷))1/2
》=^ 7/ ^
（玄碌产（玄碌产'=(8以36"/1(%) +。(%)" 一
（玄碌产
（玄碌产
п
Координаты yi пробегают единичную сферу iS71-1: 』У?= 1, коор- i—1
динаты Pi пробегают все евклидово пространство Е\ а координата и пробегает интервал 0 V 〃 V 1・ Отметим, что координаты 〃,у» при у = 4/3 становятся зависимыми, ниже мы полагаем Y，4/3.
Координаты Ж2 имеют вид
（2屣产 （2 P^（2屣产 （2 P^Рг =
（2屣产 （2 P^
（2屣产 （2 P^
(5・4)(5・4)份=1依=1
(5・4)
(5・4)
1 а『Г (力)+ ^GM^)U (幻)
Координаты pi пробегают единичную сферу 5nт：』成=1, fc—1
а координата w — полуось 0 V s V 8.
Гамильтонова система- (5.2) в координатах W± и времени q：
(5.5)(5.5)dq _ (炉-⑷)+ (3GM/8) U ⑷))1/2dt —~
(5.5)
(5.5)
(2磽严卩s出=i
имеет следующий вид:
方i=d-Y)d—出)(一券一~^瓦&奇瓦)+
女=p匂）（Pi - уг У瓦也），女=p匂）（Pi - уг У瓦也），I V м / dU 1 - 。 須-\
女=p匂）（Pi - уг У瓦也），
女=p匂）（Pi - уг У瓦也），
(5.6)
Эта же система в координатах W2 и времени т2:
祟=—(5・7)
принимает вид
А = (1 — Y)^ (1 —誤-+ % £ 誤' Pk ) +
+喑希。k)，
兆=0匂)(R - 力 £ 融")，(5.8)
+："a-2北）4^£鼠也卜
Отметим, что в согласии с определением координат р» и р± системы (5.6) и (5.8) рассматриваются лишь на подмногообразиях пп
£ 确=1，£ pl—1-
Область фазового пространства S】,в которой определена система (5.2), в координатах W^ W2 задается условиями о?〉0, О < ^ < 1, 卩(У0〉°・ Добавим к этой области границу Г,
состоящую из четырех компонент, которые определяются следующими условиями: Г^: ш = 0; Го: и = 0; Г\: и = 1; Г2: V (у。= 0.
Обозначим через S замкнутое многообразие, полученное в результате такого добавления границы (на 5 имеем ш ^ 0, 0&〃《1, V (у。> 0). На многообразии S определена динамическая система, совпадающая в координатах W± m РИ2 c системами (5.6) и (5.8) соответственно. Очевидно, что эти системы непрерывно продол
жаются на компоненты границы 几，Го, Гх.
卩匂）dUW7瓦f卩匂）dUW7瓦fДалее, используя явный вид потенциала U (g) (4.7), можно
卩匂）dU
W7瓦f
卩匂）dU
W7瓦f
О,О,показать, что при V (g) = det|| K；fc || ->0 выражения
О,
О,
поэтому на компоненте границы r2(V(У)~ 0) мы доопределяем
282 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА / [ГЛ. VII /
эти выражения нулем — их предельным значением. , В результате такого доопределения система (5.6)—(5.8) непрерывно продолжается на компоненту границы Г2.
Нетрудно проверить, что все компоненты границы Г и их пересечения являются инвариантными подмногообразиями динамической системы в S, т. е. траектория, начинающаяся на некоторой компоненте границы Г, остается на ней все время. Система, определенная таким образом на компоненте границы Го (и — 0), тождественна системе, описывающей движение газового неграви- тирующего эллипсоида, а система, определенная на компоненте границы Г\ (и = 1), тождественна системе, описывающей движение пылевого гравитирующего эллипсоида. Таким образом, динамическая система на многообразии S, описывающая движение гравитирующего газового эллипсоида, содержит в себе также и всю информацию об этих двух предельных видах движения.
Колебательный режим движения с отрицательной энергией
Исследуем поведение системы (5.6) при Е《0 и у V 4/3. Гамильтониан Н в локальных координатах Wt имеет вид
п
X (屮严仇Е) « i)T/(p)住 £ * + J 2〃).(6.1)
n
Отсюда следует, что областьЕ & 0 или 告 £ pl^2u ——1 целиком лежит в координатах Wv Все особые точки динамической системы (5.6) при Н & 0 и у V 4/3 лежат на границе Г и образуют четыре множества: К], Ф+, Ф_, L.
риантных подмногообразий 1\ (辽=1) ириантных подмногообразий 1\ (辽=1) иОсобые точки Кг (辽=1, V (у) = 0) — пересечение инва-
риантных подмногообразий 1\ (辽=1) и
риантных подмногообразий 1\ (辽=1) и
Г2 (У (у) = 0). Эти п
особые точки являются невырожденнымиособые точки являются невырожденнымии неустойчивыми и имеют два ненулевыхи неустойчивыми и имеют два ненулевых(при 將瓦*。)
особые точки являются невырожденными
особые точки являются невырожденными
и неустойчивыми и имеют два ненулевых
и неустойчивыми и имеют два ненулевых
собственных числа:
强=（1一Y）,量强=（1一Y）,量п
强=（1一Y）,量
强=（1一Y）,量
歹乂 (переменная 〃),
入2=£-^~ 瓦 (переменные 力).
Остальные 2п — 2 нулевых собственных числа соответствуют направлениям, касающимся многообразия ^. Знаки собственных чисел А] и 九2 ввиду у》1 противоположны, т. е. точки К】 имеют седловой тип. Удобно разбить множество Кг на две части:
瓦》0)и К_(£ 器"瓦《0)・ Каждая особая точка £十 имеет одну входящую сепаратрису, идущую по многообразию Г2, и одну выходящую сепаратрису, идущую по многообразию Г1Э
а точки К_ — наоборот.
Особые точки ①е(〃 = 1, Pt = £勿，^ = 1/2, е = ±1, у^ = у^ = 3T‘2Qjk)， QjK — ортогональная матрица. Собственные числа системы (5.8) в особых точках Фе имеют вид
2
Ki =-^-8(4 — Зу) (переменная и), 2
九2 = 丁& (переменная w),
我一年+g^片）〉。'm =『
= 3(-^—О)"2)<。， (6.2)
m=x8 = k9 = 0,入 13 =入 14=入15 = £(1-+j (堂J/2),
М6 =入17 =入18 = $ (- -^ — » (欝)"2) •
Первые шесть собственных чисел отвечают «диагонализуемым» сепаратрисам, т. е. решениям, имеющим вид F 〃) = Q.0 (力),Где D (力)——диагональная матрица. Согласно (6.2), особые точки Ф8 являются невырожденными и неустойчивыми. При этом каждая точка трехмерного множества ①一 имеет четырехмерную входящую сепаратрису, образованную диагонализуемыми решениями со сферически-симметричным характером сжатия, обобщающими точные сферически-симметричные решения, и одиннадцатимерную выходящую сепаратрису (лежащую на границе Гх на нулевом уровне энергии). Поэтому сферически-симметричное сжатие является неустойчивым (уже в классе диагональных решений). Свойства особых точек Ф+ тождественны свойствам особых точек ①—при противоположном направлении времени.
Вырожденные особые точки L: V (у) = 0, ^- = 0, ^f, и произвольны. В этих особых точках матрица У；^ двукратно вырождена. Таким образом, у системы (5.6) при Я《0, ? <4/3 нет устойчивых особых точек; это является одной из причин существования колебательного режима.
П. Как отмечалось выше, сепаратрисы особых точек К+, К_ лежат на инвариантных многообразиях Гх и Г2. Рассмотрим систему (5.6) на этих многообразиях.
Система (5.6) на многообразии Гх (辽=1) описывает движение пылевого гравитирующего эллипсоида. В работах [164, 174] показано, что в процессе движения пылевого гравитирующего эллипсоида с отрицательной энергией Н объем эллипсоида (det II Fjk У) дважды обращается в нуль, т. е. расширение из сжатого состояния сменяется сжатием. При этом для почти всех решений эллипсоид в начальном и конечном состояниях сжат в диск, т. е.心—0, & =# 0, &з * 0. В координатах Wx этот результат означает, что почти все траектории системы (5.6) на многообразии Гх при Н V 0 имеют начало и конец на многообразии особых точек К](卩(у) = 0, 〃 = 1) или для почти каждой особой точки К+ выходящая из нее сепаратриса идет в некоторую особую точку К_.
Систему (5.6) на многообразии Г2 (V (у) = 0) можно проинтегрировать явно. Траектории этой системы во времени т, определенном выражением dr = 21/2 (у — 1) (1 — 〃)| grad Р(呢)|dq, даются формулами
%=此瓦= 21/2"*券曳%=此瓦= 21/2"*券曳I —О COS Tq 十 Рг COSTI —О COS Tq 十 Рг COST(6.3)(6.3)COS2 т0COS2 т0
%=此瓦= 21/2"*券曳
%=此瓦= 21/2"*券曳
I —О COS Tq 十 Рг COST
I —О COS Tq 十 Рг COST
(6.3)
(6.3)
COS2 т0
COS2 т0
Здесь 必％ = А： ,工0,孩—константы, причем V (曲=0, I grad V (舟 I
nn
X 万瓦= 2L2tg%<0, I T0| < 冗/2,』瓦Sk = 2i/2tg г. Траекто- 左=1k=i
рия (6.3) определена при т0 ^т^ —т0 и идет из особой точки (р?,択, и = 1), принадлежащей К_, в особую точку (赤=瓦(—т0), 択， 〃 = 1), принадлежащую К+ (следовательно, все траектории (6.3) являются сепаратрисами особых точек К^ и К_)・ Легко видеть, что конечная точка траектории (6.3)(歹；=瓦(—То)) получается из начальной точки (р?) путем отражения ее в плоскости, касательной к поверхности V (勿)= 0 в точке (而.
Ш. Полученные результаты приводят к следующей сепара- трисной диаграмме:
(6.4)(6.4)
(6.4)
(6.4)
Здесь показанные стрелками отображения обозначают переход по сепаратрисе из ее начальной точки в конечную. Отображения I и II осуществляются сепаратрисами, идущими по многообразиям
1\ и Г2 соответственно. Сепаратрисные переходы между множествами Я+, К_ а Фе, L не показаны в диаграмме (6.4) ввиду того, что для почти всех особых точек К^ К_ вся бесконечная последовательность отображений (6.4) не выводит за пределы множеств 《+，К_・
Бесконечная последовательность сепаратрис, определенная диаграммой (6.4), является аппроксимацией траекторий системы (5.6) при больших отрицательных энергиях Я, а также при Р = -^^- —>0. Действительно, функция Я (см. (6.1)) ограничена снизу на многообразии 5 везде, кроме компонент границы Гх (е = 1) и Г2 (У (у) = 0), где Н f —оо. Поэтому траектории системы^ (5.6) с большой отрицательной энергией Н все время остаются в малой окрестности многообразий 1\ и Г2 (это же верно и при любых Е V 0, но р т 0; см. (5.3), определение координа ты 辽)・ Следовательно, эти траектории движутся вдоль траекторий системы (5.6) на многообразиях 1\ и Г2, т. е. общая траектория системы (5.6) движется вдоль последовательности сепаратрис особых точек 彩，К_.
Полученная аппроксимация траекторий системы (5.6) последовательностью сепаратрис (6.4) доказывает, что общее движение гравитирующего газового эллипсоида с большой^отрицательной энергией Я или с малым параметром 0 имеет пульсирующий, колебательный характер. Действительно, согласно аппроксимации (6.4), траектория периодически оказывается в окрестности особых точек К*, К_, где det Y^ = V (勿)=0, т. е. эллипсоид периодически оказывается сжатым в диск. Кроме того, из уравнения.
鹏~ =7@)£*瓦(6.5)
следует, что объем эллипсоида det || F^ || — V (д») при движении траектории системы (5.6) вдоль сепаратрисного перехода I достигает максимума, а при движении траектории вдоль сепаратрисного перехода II (см. (6.4)) det || 尸必 || достигает минимума. Следовательно, изменение плотности р газа, заполняющего эллипсоид, р= -~1『/~также имеет колебательный характер. Период
4冗uet II力泳II
каждой пульсации эллипсоида в силу соотношения (см. (5.5)) dt^d^H产(肃打3)(麼广)/g)ПЦem x
n х14Е^+1-2иГ (自6)
при Н f —оо становится сколь угодно малым.
Из уравнения состояния идеального газа
р — pRT
и (4.3) получаем выражение для температуры:
7 = а (丫 — 1) RT (1 — 吟0-Y ①)，(6.7)
где R ——газовая постоянная. Очевидно, пульсации объема газа сопровождаются колебаниями его температуры, а также и других физических параметров газа. Константа а определяется начальной температурой в центре эллипсоида.
Описанное пульсирующее движение эллипсоида при Н -> —оо происходит в состоянии сильного сжатия, поскольку величина
F 或=
=(時严Е (и (У)与±)""f)(У (y))*)/(4F)(6.8)
стремится к нулю при Нт — оо (т. е. или V (у) -> 0, или и -> 1).
Сепаратрисная аппроксимация (6.4) означает, что асимптотическое движение траекторий системы (5.6) в координатах 力 при Н f —оо или 0fo происходит следующим образом:
В области V (д0〉0 движение происходит по траекториям, соответствующим пылевому гравитирующему эллипсоиду. Такая траектория в общем случае пересекается с поверхностью V (у») — 0 в некоторой точке у? (переход I).
В точке пересечения траектория упруго отражается от поверхности V (力)=0 (переход П; см. (6.3)).
Затем движение снова происходит по траектории, соответствующей пылевому гравитирующему эллипсоиду, до следующего пересечения с поверхностью V ®) = 0 и т. д.
Таким образом, можно сказать, что моделью колебательного режима движения гравитирующего газового эллипсоида является многомерный биллиард в области det || 丫必 || =卩(у。》0 на з
восьмимерной сфере 58 ( 』У务=1) с упруго отражающей гра- Л fr=i
ницей det || У；fe || — 0. Причем между соударениями с границей точка движется ло траекториям, описывающим движение пылевого гравитирующего эллипсоида. Наличие газодинамического давления проявляется в свойстве упругого отражения траектории от границы det || Уд || = 0.
О невозможности коллапса гравитирующего газового эллипсоида при наличии вращения газа
Н=； Тг卢戸+Н=； Тг卢戸+а(det/)^-1а(det/)^-1В данном параграфе мы получим (при у V 4/3) оценки сверху и снизу для полуосей эллипсоида 厶 для движения с отрицательной энергией
Н=； Тг卢戸+
Н=； Тг卢戸+
а
(det/)^-1
а
(det/)^-1
一等 GM 卜(君 + s)(虚 + s)(考 + s))t/zds (7.1) о
и ненулевыми интегралами J и К (1.12). Оценим сначала интеграл энергии Н (7.1). Матрицу F представим в виде (4.4): F — QiOQg- Тогда 歹'=Q；°Q；・ Введем кососимметричные матрицы Л и В:
「0
& — — QM,
a3 一
a ~ bq 2、
/ о Рз
—02、
/ = 1
1 — аз
0 «11 ,
В = 1 —Рз о
Pl •(7.2)
、а2
—Qi0’
02 — Pl
0丿
В этих обозначениях получаем
Р = Q、(一力。+ 力 + DB)Q%,力f = Q； (—5。+D + DA)Q{.
Первые интегралы J и К имеют вид .
J =少庐— FFl = QJQ；, К = ^F -力力=0妆02, где
7 = —2DBD + Z)M + 402,厶=_2ZM。十小笈十笈。% (7.3)
Трехмерные векторы (или кососимметричные матрицы) j м 场 получаются из постоянных векторов J м К с помощью ортогонального поворота (на 0； и & соответственно), и поэтому
1/1 = I 〃，丨〃 I = 1М・
Равенства (7.3) в координатной записи принимают вид
九=а( (d^i + 碌)一2dmd^Pz,
k〔 — Bi (滥 + 鹰)一2dmdnoc，i, (m, n, Z) — (1, 2, 3).
Отсюда получаем
" _力(跟+叫)+2勺％%
也=
勺(*+碟) + 2/4%
第一嗡
(7.4)
Кинетическая энергия газа Т имеет вид
Т '=Тг (力加)=4> Тг (力2 — /202 一 加 02 十 2ADBD).
Используя формулы (7.2) и (7.4) получаем
зз27 =寧+ £зз27 =寧+ £(户+硝(%+ %) +伤勺％%(%一明)2(户+硝(%+ %) +伤勺％%(%一明)2(7.5)(7.5)
зз
27 =寧+ £
зз
27 =寧+ £
(户+硝(%+ %) +伤勺％%
(%一明)2
(户+硝(%+ %) +伤勺％%
(%一明)2
(7.5)
(7.5)
(% 一 d/(炉 + 片)+ 2%%(厶 + 勺)2@m —%)2(dm+跚(% 一 d/(炉 + 片)+ 2%%(厶 + 勺)2@m —%)2(dm+跚Кинетическую энергию Т, очевидно, можно представить в виде
(% 一 d/(炉 + 片)+ 2%%(厶 + 勺)2@m —%)2(dm+跚
(% 一 d/(炉 + 片)+ 2%%(厶 + 勺)2@m —%)2(dm+跚
(7・6)(7・7)(7・6)(7・7)Пусть 厶 V d2 V 呢；тогда из (7.6) следует
(7・6)
(7・7)
(7・6)
(7・7)
7>舍(1吓+ 1灯).
Оценим интеграл
ds—(曲
и ((過 + S)@叶矶(畛 + $))1/2=可 J(e； + s) (% + s)(l+s))l/2
где 5工—&/&з, б2 = &/&з・ Очевидно,
(6J + s)(璃 + ^) - 3我2)2 + (熒 + 3张 + S2〉(%32 + 紋.
Поэтому
УУ1 F1 FdsdsM) (M2 + s)d+s)"2 =M) (M2 + s)d+s)"2 =У8〃3 U (6Д + s) (1 + s)^ 丁，(66 + s)(l+s)l/2У8〃3 U (6Д + s) (1 + s)^ 丁，(66 + s)(l+s)l/2dsds(61^2 + s)(61^2 + s)0—f In 6力2 + У-& V 6А0—f In 6力2 + У-& V 6А+i而』）=一+ m匕+ ? 一 4丿+i而』）=一+ m匕+ ? 一 4丿In 6162).In 6162).
У
У
1 F
1 F
ds
ds
M) (M2 + s)d+s)"2 =
M) (M2 + s)d+s)"2 =
У8
〃3 U (6Д + s) (1 + s)^ 丁，(66 + s)(l+s)l/2
У8
〃3 U (6Д + s) (1 + s)^ 丁，(66 + s)(l+s)l/2
ds
ds
(61^2 + s)
(61^2 + s)
0
—f In 6力2 + У
-& V 6А
0
—f In 6力2 + У
-& V 6А
+i而』）=
一+ m
匕+ ? 一 4丿
+i而』）=
一+ m
匕+ ? 一 4丿
In 6162).
In 6162).
Минимум первого слагаемого достигается при у = (4 + У5)/2. Отсюда получаем оценку
I<^-(G-ln6拉2), Q = 5In丿』包•(7.8)
С учетом (7.7) и (7.8) получаем оценку интеграла энергии Н
(7.1)：
°〉"〉 Ц + d(YF (6仓户72-芍(Q —1113T 2)・
Умножив это неравенство на 2d，3GМ, получаем
皆 + 一(&-1пс)<0,(7.9)
где
Из неравенства (7.9) после отбрасывания первого слагаемого следует неравенство
&产 <& 当上，(7.10)
где
广 _ ехр (СДу - 1))exp (5 (у-4))
Поскольку (1口 z)/z V е~1, то неравенство (7.10) определяет верхнюю оценку для &з：
d3< (望喘三а 严用)=a.(7Л1)
Для получения нижней оценки величины х = 6Х62 преобразуем (7.9) (разделив на d3) к следующему виду:
（鲁（鲁Ci — InX у ( a —Inc )2Ci — InX у ( a —Inc )2d汐-％S RU・d汐-％S RU・
（鲁
（鲁
Ci — InX у ( a —Inc )2
Ci — InX у ( a —Inc )2
d汐-％S RU・
d汐-％S RU・
Отсюда, отбрасывая первое слагаемое и используя оценку (7.11), получаем неравенство
О。〈警，(742)
где
т\ —(Y — 4)俨"ехр (― & (у—1)/2) ^— eNp (― & (丫 一1)/2)
—C3(V-D/2/(wD/2•
3(7.13)
Из неравенства (7.12) следует, что Do V в"1 ——ограничение величины интегралов J и К для движений с отрицательной энергией. Из (7.12) получаем DQz1 V In DqZ± — In О0 V e~1DQz1 — In DQ. Следовательно, Zi< 工；『"#吐.Отсюда получаем оценку снизу
ДЛЯ 0：
Переходя к выводу из (7.14) нижней границы для d1? d2, укажем нижнюю границу для &з. Из неравенства (7.9), отбрасывая второе слагаемое, получаем
§ 丿 In [(exp C^/x]
(7.15)(7.15)Используя оценку снизу для х (7.14), находим
(7.15)
(7.15)
"з〉F~ In [(е/(е 一 l)：(m Do)/%)]
Теперь из (7.14) и (7.15) легко следует оценка снизу для полу* осей эллипсоида:
@2〉&1 ==寸-&3》:％@з〉
/\ е |1® 丿 2/(Т -1) I ln[((.-l)/e) (Ро/| in Ро|)]|
(7.16)
Выведенные неравенства (7.11) и (7.16) определяют (при у V 4/3) двусторонние оценки полуосей эллипсоида dj для движения с отрицательной энергией Я и | 7 |2 + I ^ I2 =/= 0 и доказывают невозможность коллапса эллипсоида при наличии вращения газа. Движение газового эллипсоида при Н->—оо, как показано в § 6, происходит в колебательном режиме в состоянии сильного сжатия, однако, как следует из вышеизложенного, объем эллипсоида (при наличии вращения газа) остается ограниченным снизу.
Колебательный режим движения
с положительной энергией
Рассмотрим поведение динамической системы на многообразии S при Е 屋 0, ?〉4/3. Особыми точками системы (5.6) в координатах W1 являются множества К± ^= К+ [J К_, Ф+, Ф_/ 厶, свойства которых те же, что и при Е《0 (см. § 6). Перечислим особые точки, которые не покрыты координатами 例，т. е. лежат на инвариантном многообразии Fw (w — 0) в координатах W^ и укажем собственные числа системы (5.8) в этих особых точках.
М1е：辽=1, U； = 0, Pi = £山，8 = 士 1・
Особые точки Мх_ являются отталкивающими, а особые точки Мх+ являются притягивающими.
М^. м = О, IP = 0, Pi = £勿，£ = ±1.
Это невырожденные и неустойчивые особые точки.
TV。： 〃 = 0,如=О, V (勿)二 0.
В особых точках 7vo имеются три ненулевых собственных числа：
п
證=—(Y —4)» 瑞」Рн (переменная w),
nnnn(переменная и),(переменная и),(8.1)(8.1)(переменные 汲).(переменные 汲).Отсюда следует, что особые точки 7vo при V P/f =#0 невырож-Отсюда следует, что особые точки 7vo при V P/f =#0 невырож-денные и неустойчивые.денные и неустойчивые.N] иN] и— О, V (勿)=0.— О, V (勿)=0.Эти особые точки являются границей (при ip т 0) множества особых точек Кг (см-. § 6) и, как и точки &, имеют два ненулевых собственных числа противоположных знаков:пЭти особые точки являются границей (при ip т 0) множества особых точек Кг (см-. § 6) и, как и точки &, имеют два ненулевых собственных числа противоположных знаков:пРк (переменная 〃),Рк (переменная 〃),nn(переменные 仇).(переменные 仇).(8.2)(8.2)fc=lfc=lУдобно разбить каждое из множеств Nq и N工 на две части: ^0_,Удобно разбить каждое из множеств Nq и N工 на две части: ^0_,видеть, что сепаратрисы неустойчивых особых точек ^0_, ^0+ лежат на компоненте границы [钟(zp = 0) и на угле границы Го Г| Г2 (и = 0, 7 匂》) = 0), а сепаратрисы неустойчивых особых точек N— 7vl+ лежат на углах границы [钟 Q Гх (и; — 0, и — 1) И rw П Г2(1Р = 0, 7 (力)=0).видеть, что сепаратрисы неустойчивых особых точек ^0_, ^0+ лежат на компоненте границы [钟(zp = 0) и на угле границы Го Г| Г2 (и = 0, 7 匂》) = 0), а сепаратрисы неустойчивых особых точек N— 7vl+ лежат на углах границы [钟 Q Гх (и; — 0, и — 1) И rw П Г2(1Р = 0, 7 (力)=0).ппВырожденные особые точки L^. w = Q,V 匂)=0, V —Вырожденные особые точки L^. w = Q,V 匂)=0, V —Pk =Pk ==0, координата и произвольна. Множество Lr имеет своими границами пересечениеNo^ f| NQ+ (прим = 0)иЛ\_ Q 瓦十(при и — 1).=0, координата и произвольна. Множество Lr имеет своими границами пересечениеNo^ f| NQ+ (прим = 0)иЛ\_ Q 瓦十(при и — 1).
n
n
n
n
(переменная и),
(переменная и),
(8.1)
(8.1)
(переменные 汲).
(переменные 汲).
Отсюда следует, что особые точки 7vo при V P/f =#0 невырож-
Отсюда следует, что особые точки 7vo при V P/f =#0 невырож-
денные и неустойчивые.
денные и неустойчивые.
N] и
N] и
— О, V (勿)=0.
— О, V (勿)=0.
Эти особые точки являются границей (при ip т 0) множества особых точек Кг (см-. § 6) и, как и точки &, имеют два ненулевых собственных числа противоположных знаков:
п
Эти особые точки являются границей (при ip т 0) множества особых точек Кг (см-. § 6) и, как и точки &, имеют два ненулевых собственных числа противоположных знаков:
п
Рк (переменная 〃),
Рк (переменная 〃),
n
n
(переменные 仇).
(переменные 仇).
(8.2)
(8.2)
fc=l
fc=l
Удобно разбить каждое из множеств Nq и N工 на две части: ^0_,
Удобно разбить каждое из множеств Nq и N工 на две части: ^0_,
видеть, что сепаратрисы неустойчивых особых точек ^0_, ^0+ лежат на компоненте границы [钟(zp = 0) и на угле границы Го Г| Г2 (и = 0, 7 匂》) = 0), а сепаратрисы неустойчивых особых точек N— 7vl+ лежат на углах границы [钟 Q Гх (и; — 0, и — 1) И rw П Г2(1Р = 0, 7 (力)=0).
видеть, что сепаратрисы неустойчивых особых точек ^0_, ^0+ лежат на компоненте границы [钟(zp = 0) и на угле границы Го Г| Г2 (и = 0, 7 匂》) = 0), а сепаратрисы неустойчивых особых точек N— 7vl+ лежат на углах границы [钟 Q Гх (и; — 0, и — 1) И rw П Г2(1Р = 0, 7 (力)=0).
п
п
Вырожденные особые точки L^. w = Q,V 匂)=0, V —
Вырожденные особые точки L^. w = Q,V 匂)=0, V —
Pk =
Pk =
=0, координата и произвольна. Множество Lr имеет своими границами пересечениеNo^ f| NQ+ (прим = 0)иЛ\_ Q 瓦十(при и — 1).
=0, координата и произвольна. Множество Lr имеет своими границами пересечениеNo^ f| NQ+ (прим = 0)иЛ\_ Q 瓦十(при и — 1).
IL Переходя к построению сепаратрисной диаграммы при Я > 0, отметим, что сепаратрисы неустойчивых особых точек Noe, Nie, К& лежат на следующих инвариантных подмногообразиях^ Г?, Его, Г*О М「2・
Система (5.6)—(5.8) на многообразии 1\, как уже отмечалось, описывает движение пылевого гравитирующего эллипсоида; этот вид движения изучен в работах [163—165, 174]. Система (5.6) на многообразии Г2 (V (у) = 0) при и #= 0 проинтегрирована явно (см. (6・3))・ Систему (5.8) на многообразиях rw и Го Q Г2 также можно явно проинтегрировать. .
Траектории системы (5.8) на многообразии rw (zp = 0) имеют вид
LUIGil Т/ Q
C(chT)3A4u(%)(y(%yT
"=Z + C (ch T严-4 и 仇)(У 財))YT •
Здесь p®,做 т0, C — константы, причем th т0 =2 P紡弘 Время т связано с т2 по формуле dx = V (力)d&. Траектория (8.3) в координатах у» при т〉То движется по дуге большого круга на единичной сфере S71-* проходящего через точки у? и р?. Концы траектории (8.3) лежат на множествах особых точек М или ^, т. е. каждая траектория является сепаратрисой некоторой особой точки.х На угле границы rw Q Г2 (zp = 0, V (у) = 0) лежат траектории, вдоль которых изменяется только координата и (от 0 До 1).
Траектории системы (5.8) на многообразии Го р| Г2 (и — 0, V (у) 5= 0) имеют следующий вид:
w =w =2 ch2 т2 ch2 т(8・4)(8・4)
w =
w =
2 ch2 т
2 ch2 т
(8・4)
(8・4)
Здесь y：,p^,s? =константы, причем
I g^d V (/)I
nn
(8.5)(8.5)2 P冠=th q < 0,2 p/ = thr.
(8.5)
(8.5)
Время т в (8.4) определено выражением ©т = dq勿(у ——1) х XI grad V (i/i) [. Траектория (8.4) имеет начальную точку (р?, у?,
ip = 0, 〃 = 0) при т ^= т0 на N j конечная точка этой траектории (卩力(т), t = -—т0, у?, zp = 0, м = 0) в силу (8.5) лежит на N”. Конечная точка р» (—т0) получается из начальной точки (р：) отражением в плоскости, касательной к поверхности V (勿)=0 в точке (у?)・ Максимальное значение w вдоль траектории (8.4) достигается при т — 0 и равно
(8.6)(8.6)пп
(8.6)
(8.6)
2(1-(3 40
Результаты интегрирования сепаратрис собраны в сепарат- рисной диаграмме (табл. 7), где использованы следующие обозначения: .
В заполненном квадрате символ а： означает сепаратрису, идущую из множества особых точек в верхней строке, в множество особых точек в левом столбце, число перед символом а? есть полная размерность этой сепаратрисы. Пустой квадрат означает отсутствие сепаратрисы. Цифры над буквами в верхней строке означают размерность множеств особых точек (напомним, что размерность многообразия S равна 18).
Буквой Si обозначены инвариантные подмногообразия в физической области многообразия S, на которые, вообще говоря, могут наматываться некоторые сепаратрисы особых точек М1е.
Особые точки Фе, L, Lr не включены в сепаратрисную диаграмму ввиду того, что их сепаратрисы имеют меру нуль в пространстве всех сепаратрис и для почти всех остальных особых точек бесконечная итерация отображений, определенных диаграммой табл. 7, не выводит за рамки этой диаграммы.
Сепаратрисная диаграмма для случая Н》0, у <4/3 отличается от табл. 7 некоторым изменением сепаратрис особых точек МОе} Л/1g и включением неустойчивых положений равновесия Р, лежащих в физической области 5г. Описываемый ниже колебательный режим движения эллипсоида в равной степени относится и к случаю 丫 & 4/3, Я > 0.
Ш. Согласно сепаратрисной диаграмме табл. 7, на границе Г имеются следующие последовательности сепаратрис:
ЛЛ_ 二 Nq-fNz М+ 4 М1+. (8.7)
Покажем, что имеются последовательности (8.7), в которых число переходов между множествами ^0_ и ^o+ сколь угодно велико. Возьмем точку (у?) на поверхности V (у») = 0. Пусть пг ——нормаль и I — касательная плоскость к поверхности V (у») = О
Таблица 7
Сепаратрисная диаграмма динамической системы (5.8) при Н > 0, ? > 4/3
8 必―
8 м1+
16 к_
16 ' К+
15
15 忆+
15
15 “0+
8 м0_
8 Mo+
邑
М1+
18碣
17w
16吗
174
眦。
к_
174
17w
К+
"а：
生一
16吗
16碍
"计
16":
N『
17©
16吗
17吟
16吟
%叶
"6。?
Mo—
9*
“0+
16*
)17aio
Si
aii
в точке (у?). Проведем через нормаль пг двумерную плоскость Г и выберем направление нормали таким, чтобы кривая, вырезанная на плоскости Г поверхностью V (у。— 0, была выпукла в сторону нормали пг. Пусть точка (р?) лежит в плоскости Г по отрицательную сторону от нормали на малом расстоянии h от плоскости L Точка Ро = (р?, у?, ip = 0, 〃 = 0) лежит на 7V0_. Сделанный выбор точки Ро предполагает наличие вращения эллипсоида. Точка А = 4 (Ро), согласно определению отображения 届(см. (8.4)), имеет координаты (贵，亦 ip = 0, 〃 = 0), где точка (р》получается из (р?) путем отражения в плоскости Z. Очевидно, точка
Р± принадлежит ^0+. Точка Р2 — а； (Р。, в силу определения отображения а? (см. (8.3)), имеет координаты (р-, у}^ w = 0, и = 0), где точка (у；) является точкой пересечения кратчайшей дуги большого круга на 5П-1, проходящего через точки (р；) и (у?), с поверхностью V (力)=0. Очевидно, что при малых h точка Р2 = ^ о 〃之(Ро) сколь угодно близка к начальной точке Ро (аналогичная ситуация поясняется рис. 39； см. § 2). Следовательно, при 无一> 0 итерации отображения а；。〃2 в любом конечном числе приводят к близким точкам и поэтому соответствующая последовательность сепаратрис (8.7) содержит любое конечное число переходов между множествами 7V0- и No+.
Переходы между множествами 7V0_ и NQ+ в общем случае обрываются попаданием точки на множество М1е, где pt = £》加 Причиной этого является то, что при отображении а；。а； расстояние между точками (р戶)и 匂，))уменьшается. Отметим, что кроме циклических переходов между множествами 7V0_, NQ+ сепаратрисная диаграмма (табл. 7) содержит также циклические переходы между множествами К_, К+ и N()_, NQ+l N1+, N. Однако при iv -> 0 соответствующие последовательности сепаратрис стремятся к последовательностям (8.7).
Рассмотрим траекторию системы (5.8), выходящую из особой точки М^ близко к компоненте границы rw (力=0). Такая траектория будет все время оставаться вблизи последовательности сепаратрис (8.7) и также попадет в притягивающие особые точки М1+. Нахождению траектории системы (5.8) в окрестности особых точек Мх_ и 妬+ отвечают соответственно инерциальное сжатие газового эллипсоида из бесконечно разреженного состояния и инерциальное бесконечное расширение эллипсоида. Нахождение траектории в окрестности особых точек 7УО_/7УО+ (где det || У^ || = =卩(》D = 0) означает, что эллипсоид сжат в диск вдоль собственного вектора матрицы У/, поэтому переходам траектории между множествами N°_ и NQ+ отвечает некоторый колебательный режим движения эллипсоида. Используя определения Я и ip, нетрудно получить, что
det Ид || = 7 出=(а 樣詐拜严° • (8.8)
Из уравнения (6.5) следует, что при движении траектории системы (5.8) вдоль сепаратрисы а! объем эллипсоида det || F^ || достигает минимума, который в силу (8.4) и (8.8) равен
min det II 融 II = (а 1 金普丄)， (8.9)
F^e w* определено (8.6). При движении траектории вдоль сепара-
трисы a； det || Ь* || достигает максимума, который согласно (8.3) и (8.8) может быть как угодно велик. Отметим, что при произвольной величине энергии Н〉0 имеются траектории системы (5.8), достаточно близкие к последовательности сепаратрис (8.7). Отсюда следует, что при больших Н имеются движения газа, в которых det II Fjk II колеблется от сколь угодно малого минимума (см. (8.9)) до сколь угодно большого максимума, при этом осцилляции плотности газа р = 43tdet “尸.『0Ko^1b угодно велики. Время осцилляций зависит от способа приближения траектории к последовательности сепаратрис (8.7).
Таким образом, мы доказали, используя сепаратрисную аппроксимацию (8.7), что при наличии вращения и iz? 0 (кинетическая энергия много больше потенциальной) имеются следующие движения газового гравитирующего эллипсоида:
первоначально газ сжимается из состояния бесконечного разрежения;
затем начинается колебательный режим: газ сколь угодно большое число раз сжимается и расширяется по изменяющимся направлениям, причем при больших энергиях Н амплитуда осцилляций плотности сколь угодно велика;
колебательный режим заканчивается бесконечным расширением газа.
Отметим, что движение точки на многообразии S по последовательности сепаратрис (8.7) в координатах у» представляет собой свободное движение точки по геодезическим на восьмимерной сфере S8 в области det || У^ ||》0, причем точка отражается от границы det II У『к И =0 по закону упругого отражения. В этом смысле математической моделью колебательного режима движения газа при наличии вращения является геодезический биллиард на сфере 58 с упруго отражающей поверхностью det || Yд || = 0. При отсутствии вращения газа (матрица У；fc диагональна) поверхность det у Уyfc (I = 0 вырождается в три координатные плоскости и поэтому реализуются только три колебания — три последовательных сжатия и расширения эллипсоида по ортогональным осям.
Описанный колебательный режим может служить моделью движения облака расширяющегося и вращающегося газа, образовавшегося в результате взрыва вращающейся сверхновой звезды.
Заключительные замечания
Приведем краткое описание найденных в данной главе колебательных режимов движения гравйтирующего газового эллипсоида. Исследование движения гравитирующего газового эллипсоида, как доказано в § 4, эквивалентно исследованию динамики
следующей лагранжевой системы, определенной в пространстве трехмерных матриц:
喇⑶喇⑶а0川T仍）а0川T仍）^甯^甯(9.1)(9.1)
喇⑶
喇⑶
а0川T仍）
а0川T仍）
^甯
^甯
(9.1)
(9.1)
V ⑺= detF, и⑺=\® + s)(磁 + s)(虑 + s))T/2 ds・ о
Если полуоси эллипсоида d^ cZ2, &з сравнимы друг с другом (瓦~d), Tо
-f- GMU (F)〜A GMd\ -|-GM』#d 〜“2,
Wy〜а@зат), аWy〜а@зат), а8Р（1Т）8Р（1Т）0 H0 Had3(i-v)-iead3(i-v)-ie(9.2)
Wy〜а@зат), а
Wy〜а@зат), а
8Р（1Т）
8Р（1Т）
0 H
0 H
ad3(i-v)-ie
ad3(i-v)-ie
Эти простые оценки будут использованы ниже.
Колебательный режим расширения в вакуум вращающегося газового облака. Рассмотрим движение сильно расширившегося газового эллипсоида с полной энергией Е〉0 и 丫〉1, где
Е = Т + аНт ①)—^GMU (F),
з(9.3)
г=4Е^)2-'
Здесь Т ——кинетическая энергия газа. Пусть
山,金,d—а＞餐+仔片(9.4)
Тогда изменение скорости a|-^J при движении на отрезке траектории длины 〜d допускает, после подстановки (9.4) в (9.2) и (9.1), следующую оценку: 卡
Поэтому при условиях (9.4) коэффициенты F[ (£) в первом приближении изменяются по прямым:
片:«) = 4 域 + 瓦.(9.5)
При подходящем выборе констант 4±, 8* прямая (9.5) при некотором t = tQ пересекает поверхность £: V (F) = 0, т. е. эллип-
соид при t. f % сжимается в диск вдоль некоторого направления. Однако при этом давление, препятствующее сжатию, растет неограниченно, а скорости газа и гравитационные силы остаются конечными; поэтому сжатие сменяется расширением. Такая смена происходит как упругое отражение прямой (9.5) от поверхности L в точке пересечения при t — ^0. Затем коэффициенты F^ (力)снова изменяются по прямой вида (9.5) с новыми константами (4J)1, (3*)т. Эта прямая снова может пересекаться с поверхностью L, что означает новое сжатие эллипсоида, и т. д. Таким образом, изменение коэффициентов 歹糸(Z) на всей оси времени £ в первом приближении происходит по ломаным линиям, которые упруго отражаются от поверхности L в точках пересечения.
Используя тот факт, что L ——сильно изогнутая поверхность, можно направить первоначальную прямую (9.5) так, чтобы построенная по ней ломаная имела сколь угодно большое (но конечное) число пересечений с этой поверхностью.
При изменении F^ (£) вдоль любого отрезка ломаной объем эллипсоида (V (F)) достигает максимума, а затем убывает, т. е. газ находится в колебательном режиме. При этом амплитуда колебаний объема эллипсоида и плотности газа р(%) = 4л det (Л^) может быть сколь угодно большой. Очевидно, проведенные рассуждения справедливы и при G = 0, поэтому колебательный режим реализуется и при отсутствии гравитационного взаимодействия между частицами газа.
Колебательный режим обрывается, когда очередной отрезок ломаной при неограниченном продолжении не пересекается с поверхностью L; в этом случае происходит бесконечное свободное расширение газа.
Для реализации колебательного режима необходимо наличие вращения газа, так как при отсутствии вращения (матрица II F\k (О II диагональна) поверхность L вырождается в три координатные плоскости и ломаная имеет только три отражения, которым соответствуют три последовательных сжатия и расширения эллипсоида по ортогональным осям/
П. Колебательный режим движения с отрицательной энергией. Рассмотрим движение гравитирующего газового эллипсоида при 月 V О, Y V 4/з в состоянии сильного сжатия. Пусть полуоси & 〜dy (GM/a)U(4-3Y). Тогда при у < 4/3 в силу (9.2) получаем
338Р1-(尸)吟—8Р1-(尸)吟—
3
3
8Р1-(尸)吟—
8Р1-(尸)吟—
Поэтому движение эллипсоида определяется гравитационными силами и, следовательно, аппроксимируется движением гравити-
рующего пылевого эллипсоида. Согласно [164], под действием гравитационных сил пылевой эллипсоид в общем случае сжимается в диск (т. е.厶 f 0, & f。2〉0, "з f。3〉。м Р (F)=厶&2dз+。)・ Однако при наличии давления неограниченное сжатие эллипсоида в диск невозможно, так как скорости газа и гравитационные силы при таком сжатии остаются конечными, а давление, препятствующее сжатию, растет неограниченно. Поэтому сжатие в диск сменится расширением (такая смена происходит как упругое отражение вектора скорости dFk/dt. от поверхности L), в результате которого полуоси "и “2, 〃з вновь станут сравнимы одна с другой, движение вновь будет определяться гравитационными силами и будет аппроксимироваться движением пылевого эллипсоида. Это приведет к новому сжатию эллипсоида в диск (возможно, вдоль другого направления), которое после упругого отражения вектора скорости от поверхности L снова сменится расширением, и так далее, до бесконечности.
Для справедливости описанной аппроксимации колебательного режима не обязательно сильное сжатие эллипсоида; достаточно, чтобы § = 8a/(3G7lf)y 1 (это неравенство выполнено при низкой начальной температуре газа).
Приведенная аппроксимация колебательного режима является точной при сильном сжатии эллипсоида (月一> —оо) или при § —> о.
При этих значениях параметров единственными решениями системы (9.1), не обнаруживающими колебаний, являются решения со сферически-симметричным режимом сжатия [156]. Однако такой режим сжатия неустойчив. Поэтому, если на некотором отрезке времени движение эллипсоида близко к сферически-сим- метричному, то при дальнейшем движении эллипсоид уходит от этого режима и вновь начинаются колебания. Колебания объема эллипсоида сопровождаются колебаниями температуры и других физических параметров газа.
ГЛАВА VIII
ДИНАМИКА ВОЗМУЩЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЦЕПОЧКИ ТОДА
§ 1. Гамильтоновы возмущения цепочки Тода
В 1970 г. японский физик М. Тода при численном исследовании различных моделей взаимодействия атомов в кристаллической решетке обнаружил отсутствие стохастизации в системе частиц единичной массы на прямой, взаимодействие которых определяется потенциалом
V = 3ехр (弘一％+i),
где 史 ——отклонение 方-近 частицы от положения равновесия [1751е В дальнейшем в этой задаче был найден ряд первых интегралов [176] и с помощью подбора подходящей L ——4-пары доказана [177, 178] полная интегрируемость цепочки Тода, которая в периодическом случае q» = Qi+n+i имеет гамильтониан
4叶1п
H = -r^JPi + ^etp(qi — Qi+1) + exp (gn+1 — q^).(1.1)
i=li=l
Периодическая цепочка Тода изучалась также в работе [179] с помощью алгебро-геометрических методов.
Очевидно, что в реальной физической ситуации более правдоподобна реализация некоторого общего возмущения гамильтониана (1.1) —— например, за счет включения парного взаимодействия между всеми частицами, а не только между ближайшими соседями, и за счет различия масс взаимодействующих частиц. В связи с этим представляется важным исследовать наиболее общие режимы динамики возмущений периодической цепочки Тода и выяснить характер симметрии, выделяющей вполне интегрируемую цепочку Тода среди ее общих неинтегрируемых возмущений 1).
Т) В работе [180], независимой от работы автора [20], численными методами изучалась динамика системы из двух частиц с произвольными массами и потенциалом цепочки Тода. Результаты работы [180] указывают на наличие стохастизации траекторий при Н *1, что согласуется с результатами работы [20], полученными для более широкого класса возмущений цепочки Тода с произвольным числом частиц.
В данной главе эти вопросы решаются для произвольных возмущений цепочки Тода в классе гамильтоновых систем вида
. дН ^ дН
н = w £ atjPiPj + £bkl exp ({afc, q} + {an q})・
Здесь ax, . . ., 0n+1 — векторы в n-мерном пространстве Дп, имеющие координаты afc = (dkl,. . ., dfcn), q — вектор (必，...,gn). В Z?n заданы два скалярных произведения (%, у) и {%, у}:
пп
(“，У)== 2 ^ij^iyj^ {%, У} == 2 ^il/i*(1・3)
d, Уi=l
Векторы a卜 и квадратичные формы 〃切 bki удовлетворяют условиям А и В:
Для всякого вектора р в Ап
max (afe, р)〉0.初
Для всех 论
(耿,ak)bkl(〉0.
Гамильтониан (1.1) принимает вид (1.2) после перехода к системе «центра масс», т. е. /ь + 卩2 + • • • + Pn+i = 0・ Отметим, что гамильтоновы системы вида (1.2) возникают также в теории однородных космологических моделей. Например, однородная модель IX типа в пустом пространстве (на уровне 左=0) описы^ вается гамильтоновой системой с гамильтонианом
зззз
Н = 2 £ р通—р? + 2 3 exp (仅 + 幻)一£ exp (2^). (1.4) iVjidг< ;'г—1
Вследствие очевидного сходства гамильтонианов (1.2) и (1.4) колебательные режимы в этих системах обнаруживают общие свойства и допускают единый вывод, приведенный ниже (в более общем случае), в § 4.
§ 2. Сепаратрисная аппроксимация колебательного режима
Для изучения гамильтоновой системы (1.2) методами качественной теории дифференциальных уравнений перейдем к координатам
(2.1)(2.1)
(2.1)
(2.1)
где/
Qk 二 exp (®, g}),及=1,・• .,# + 4, Qk> 0,
P = (P； + ・♦・ + 廟 У/?, G = (QI+ ... + Q 統”，
и сделаем замену времени 肌工=Р dt. Система (1.2) в координатах (2.1) и времени q принимает вид'
九=〃(2 %a£用一2 r?4m/j,
Юг, j, I
Ji = W (—£ 瓦2 (眼 + &Q r吊 + S± 2 s/km(@kl + &mZ)Утл) , Q・2) 儿 Ik,ltm
仍=2叫 JJ {d^a^s^ + w ^tsibki №г + du)r^) •
Эта система определена на 2тг-мерном инвариантном многообразии
「； + •・•+ 爲+1 — 1, s； + . . . + s^ = w0.
Очевидно, система (2.2) гладко продолжается на границу Г многообразия 匕 где ip и О, гк — 0, причем компоненты границы Г являются инвариантными подмногообразиями системы (2.2).
В дальнейшем понадобится также преобразование системы (1.2) в координаты rf, ph w:
^ =厶(S d^aijP^ — 2 r^dnaijPj),
Pi = — ^ 瓦2 (嘉 + d^ r^r^W,(2.3)
w = 2w( 2j 4(4i«ijPj)十纺 2 Pihi @i + ^zi) r^t) •
Система (1.2) эквивалентна системе (2.3), рассматриваемой на инвариантном 2斤мерном подмногообразии
®Р2严…+%+])/2号...L：霍=1, Г: +...+片+] = 1, где набор чисел с» определен условиями
4% + ・・・ + %+g+i = 0, q + / + ••• + %+i = с, причем с можно считать нулем или единицей.
Система (2.2) имеет n + 1 множество Mf (i — 1. .... т} особых точек. Каждое множество Mi является (п ——1)-мерной сферой и имеет координаты
г尸 “，ip — 0, s； + • • • + s；= 1.
Точка s на множестве М^ обозначается парой {s,储.
Собственные числа системы (2.2) на многообразии V в особой точке {s, к} следующие (в скобках указаны соответствующие соб-
ственные направления):
九I = (а^, s) — (aft, s) (переменные 勺；2 = 1,. •・,〃 + 1, Z*"), 1n = 2 (為，s) (переменная ip),(2.4)
統+i =・ …=九2n = 0 (переменные s»).
Из условия Л (§ 1) и (2.1) следует, что все особые точки М^, кроме подмногообразий меньшей размерности, являются невырожденными и неустойчивыми (особая точка называется невырожденной, если число ее нулевых собственных чисел равно размерности множества %).
На каждом множестве М^ выделим два подмножества 卩卜 и %«:
на Vk Qk,s)V。，
на W^ 3加 s) = max (аг, s)〉0.
Сепаратрисы, выходящие (при %+—оо) из точки {s°, /}, принадлежащей множеству 卩力 имеют вид
Гт (q) = Cm exp ((ctm，s。) 口) (? C? exp (2 (s, so) q))T/2,加三0, Sj = S?, Cm》°・
Здесь mJ пробегают числа i, для которых 九》〉0 (см. (2.1)); если же 儿 V 0, то 后=0. Пусть (aft, s°) = max (а(, s°). Очевидно, все
сепаратрисы (2.2), для которых С^〉0, при T^f+，оо идут в особую точку {s。，论} на множестве 忆.
Из особой точки {s°, А}, принадлежащей множеству 叩加 согласно (2.4), выходит единственная сепаратриса 纺,лежащая на инвариантном многообразии 勺=6我・ Для интегрирования этой сепаратрисы удобно обратиться к системе (2.3), поскольку все траектории системы (2.2) (на многообразии s； + • • • + s^ = 1) получаются из траекторий системы (2.3) при отображении
Si = Pi/R(2.6)
Траектории системы (2.3) на многообразии 勺=8^ после замены времени dx/dt =尸2如 легко интегрируются:
Pi = " — xbkAi, w(x) = x {s。一吨k卢k，so — w^”} (2・7) (при этом, вместо интегрирования уравнения (2.3) для 切,удобно воспользоваться интегралом Н (1.2)).
Траектория (2.7) при т = т^ = 2 (%, s°)/瓦卜(aft,融)(t*〉0 согласно определению s。и условию В, § 1) входит в точку
/Л =~马(s°) = s°( [，Sc, w (т；ц) = 0.(2・8)
Очевидно, что отображение Тк является отражением в плоскости, ортогональной (по метрике @仃)к вектору ал, и (р\ о^)= =—(s°, а^) V 0. Сепаратриса получающаяся из траектории (2.7) при отображении (2.6), при т = тх уходит в особую точку, принадлежащую множеству 卩卜(поскольку (р1, aQ V 0).
Проведенное интегрирование сепаратрис (2.5), (2.7) показывает, что сепаратрисы, выходящие из множеств особых точек У^, 用j, снова входят в такие же множества. Поэтому существуют бесконечные последовательности, образованные сепаратрисами, идущими между этими особыми множествами:
...一匕二万用巴唳二忆三... (2.9)
Траектория системы (2.2), начавшаяся в достаточно малой окрестности одного из особых множеств 卩力 W^, будет сколь угодно долго двигаться вдоль последовательности сепаратрис (2.9). Соответствующая траектория в исходных координатах д» движется следующим образом: при переходе I (2.5) происходит движение с приблизительно постоянным направлением импульса рь это движение заканчивается, когда некоторое QkAQi для всех Z; затем при переходе II (2.7) происходит эффективное «отражение» импульса, описываемое отображением (2.8); затем снова движение с постоянным направлением импульса и т. д.
Этот колебательный режим в случае положительно определенной метрики atj реализуется (асимптотически точно) при Н 発 1・ Действительно, из условия А (§ 1) следует, что по крайней мере одно Q»〉1, поэтому G2 1
Далее, интеграл энергии Н в координатах (2.1) имеет вид
пП+1
н =彳•尸2 ( g aijSisj + wi J^ 屏八门卜 (24°) Поскольку при сепаратрисных переходах I 必 у 1, то при положительно определенной метрике 〃订(без потери общности ее можно считать евклидовой) получаем Е》1. Отметим, что при этом из (2.10) следует также, что при переходах I не только направление, но и модуль импульса р? по порядку величины не меняется. В случае индефинитной метрики @订,как показывает пример (1.4), колебательный режим реализуется и при Н = 0.
Согласно (2.8), приближенно постоянные векторы направлений импульса sn при последовательных переходах вдоль сепаратрис I (2.5) получаются один из другого действием отображения Т:
SN+I = Т(SN)= 丁.(2.11)
{% ($n)，4 回)}
где номер к определяется условием
、(а^, sn) == max (а(, Sn),(2.(2)
а отображение 七才,являющееся отражением в плоскости, ортогональной к вектору afc, определено (2.8).
Отображение Т для цепочки Тода (1.1) является периодическим ——здесь векторы а» являются корнями простой алгебры Ли типа Ап (SL (п + 1)). Для гамильтоновой системы (1.2) отображение Т будет периодическим, если группа Кокстера G, порожденная отражениями (2.8), конечна (если d ——порядок группы G, то Td! • Td = Td, но отображение Г может быть необратимым). Все конечные группы Кокстера G известны [91] и, кроме трех исключительных случаев, являются группами Вейля простых алгебр Ли (при условии, что G не разлагается в произведение двух других групп). Исключениями являются две группы Кокстера в трехмерном и четырехмерном пространствах и бесконечная серия диэдральных групп (групп симметрий правильных многоугольников) в двумерном пространстве.
Свойство периодичности отображения Т, отражающее глубокую алгебраическую симметрию гамильтониана (1.1), выделяет периодическую цепочку Тода среди ее общих возмущений (1.2). В общем случае (1.2) группа Кокстера G бесконечна и ее замыкание (при положительно определенной метрике а订)совпадает с ортогональной группой О (п) и для общего вектора р множество Т* (р) всюду плотно на сфере (р, р) = const. Общая гамильтонова система (1.2), по-видимому, не имеет никаких первых интегралов, кроме энергии Н.
§ '3. Гамильтоновы системы, связанные
с простыми алгебрами Ли
В данном параграфе указаны новые примеры гамильтоновых систем вида (1.2), для которых, как и для цепочки Тода (1.1), отображение Т является периодическим и которые допускают представление в виде L ——Л пары (и имеют вследствие этого большой набор первых интегралов). Построение этих систем использует теорию простых алгебр Ли @.
Суммируем необходимые в дальнейшем сведения о базисе Кар- тана ——Вейля е%, h^ в ® [91]. В картановской подалгебре Н (Я — максимальная коммутативная подалгебра в @) имеется набор векторов ах, . . ., %, называемых корнями, и выбран некоторый базис 无1,...,无九(拒 = dim H —— ранг алгебры @). Векторы еа.» 无м образуют базис алгебры @ и удовлетворяют коммута-
ционным соотношениям/
В%, е%】=Na§fa#aj, 〔‘电，《-aj =电，
[观，ё&]=(限，a2)气， [瓦，hj] = 0.(3.1)
Скалярное произведение (%, у) определено формой Киллинга —— Картана
(%, У)= Tr (ad 化。ad у), ad / (z) = [/, z]・
Назовем набор корней аъ . , ., a^ допустимым, если для всех М /《N вектор а^ — а； не является корнем; тогда
[©%, C-aJ = 0.
В каждой простой алгебре Ли @ имеется один важный допустимый набор корней
①1，®2，• • •，①/г,◎,(3・2)
где со?——простые корни (все корни а% являются целочисленными линейными комбинациями coQ, aQ = к^^ + . . . + кп8n —— так называемый максимальный корень (Q +，2* + . . . + 1п^п) не является корнем при всех 乙》0). Допустимыми являются также все подмножества этого набора корней.
Справедлива следующая теорема.
. дН . дН死=一丁， 吋帀，nN. дН . дН死=一丁， 吋帀，nNn(3・3)n(3・3)Теорема 1. Пусть @ — простая алгебра Ли ранга п, h^ • . ., Лп ——базис ее картановской подалгебры, а1? . . ., aN ——допустимый набор корней^ а» ="〃无1 + . . . + ^切无九,bj ——произвольные действительте константы^ скалярное произведение у) 6 @ определено формой Киллинга — Картана. Утверждается, что гамильтонова система е 2п-мерном фазовом пространстве р», g:
. дН . дН
死=一丁， 吋帀，
nN
. дН . дН
死=一丁， 吋帀，
nN
n(3・3)
n(3・3)
7£(/,①)PkPi + X % exp(2 £内甫,
k,l乐=1Л==1
допускает представление в виде L — A-пары.
Доказательство. Все решения системы (3.3) при отображении
п
乙=呼2 exp (』djkqk), j= 1,・・・，N,(3.4)
переходят в решения системы
(3.5)(3.5)Pk~ — 2 ^^[学⑴d沁;=i
(3.5)
(3.5)
jj = Zj ， d"pk (无k,瓦).
§ 3]ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ И ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ307
Рассмотрим в ^лгебре Ли @ уравнение [181]
Z =亿 Л (Z)],(3.6)
где векторы I (t) и A (Z (力))имеют вид
Nп
l(t)=^l}(t)(ea，+^-aj) + / РкМ，
Кх(3.7)
"(Z (力))=h (0 (^aj — e~«j)・
Используя коммутационные соотношения (3.1) и определение допустимого набора корней а1? . . •, а^, легко проверить, что система (3.5) эквивалентна уравнению (3.6) (при условиях (3.7)).
Уравнение (3.6) при любом линейном представлении Т алгебры @ определяет L ——Л-пару:
Т (Z)* = [Т (Z), Т (А (%))].(3.8)
Таким образом, при отображениях (3.4), (3.7) все решения системы (3.3) переходят в решения уравнения (3.6), а следовательно, и в решения уравнения (3.8). Возьмем в качестве Т точное представление алгебры ®, имеющее минимальную размерность. Тогда уравнение (3.8) при I (0, заданном (3.7) и (3.4), будет эквивалентно системе (3.3), что и доказывает теорему 1.
Из представления в виде L ——Л-пары следует, что система (3.3) имеет первые интегралы
Л = Тг Г (Z (力)))•
Уравнение (3.6) всегда имеет интеграл (Z, 2)(厶)，который при условии (3.7) имеет вид
nN
(Z, 2) = 2 (无м 九z)PkPz + 2 2 以j = 2H.
k,I；=1
Приведем конкретные примеры систем (3.3). Воспользуемся классификацией простых алгебр Ли и стандартной записью корней алгебры @ в ортонормированном базисе еъ . . ., еп (см. [91]) (для алгебр типа 4九,Е^ 笈7, G2 удобно расширить картановскую подалгебру элементом, коммутирующим со всей алгеброй; в этом расширении имеем базис е^ • •・,е九,e^+i). В качестве базиса 无» возьмем ортонормированный базис д, а в качестве допустимого набора корней ——набор (3.2). Соответствующий гамильтониан (3.3) имеет вид г)
н = }£或+%m).(3.9)
i=l
Другой класс вполне интегрируемых гамильтоновых систем, связанных с простыми алгебрами Ли, указан в работе [182], где используется конструкция L — Л пары Мозера — Калоджеро [183, 184].
Здесь т = п + i для алгебр типа 4П, Е^ 2/ G2Mm = п для остальных типов (п ——ранг алгебры @). Введем обозначение
к
% = 2 exp(g —%н)・г=1
Явный вид потенциалов % (д») в зависимости от типа @ следующий:
^ап = р n+ exp(9"1— %), п > 2,
VBn =匕I + exp (gn) .+ exp (-(直 + 02)),心 2,
Vcn = Vn^ + exp (2%) + exp (―2鱼)，n > 3,
^pn = Pi + exp (qn^ + gn)十 exp (—% — %),九》4, ?/==% + exp (g- (— 91 — 02 — 03 + 04 + 05 + %) +
+ ~j^ 07)+ exp (— 了2 mb(3.10)
%7 = % + exp (}(—仇 + 02 + ・•・ + 07 — 08)) +
+ exp (— 0i — 02)+ exp (— % + 第)， 卩& =匕 + exp (扌(—Qi + 02 + ・• • + 07 — 08)) +
+ exp (―鱼—效)+ exp (q7 + J)， 卩尸4 = exp (鱼—а?) + exp @ — аз) + exp @) +
+ .exp (£ (■— £ —效一Оз + q《))+ exp (—q】一％), %2 = exp (鱼一亥)+ exp (-2% + 皴 + 拆)+
+ exp (% + 02 - 2矗).
Используя стандартные линейные представления простых алгебр Лп, можно показать, что гамильтоновы системы с гамильтонианами (3.9) имеют ровно т интегралов; в некоторых случаях удается доказать их инволютивность г).
Для алгебры Ли типа Ап {SL (п + 1)) гамильтониан (3.9) определяет периодическую цепочку Тода, для остальных типов получаем новые цепочки частиц, имеющие большое число интегралов движения (отметим, однако, что система (3.9) для типа Сп
I) В недавних работах [185, 186] доказано, что гамильтоновы системы (3.9) для всех простых алгебр Ли являются вполне интегрируемыми системами. При этом в работе [185] в явном виде проинтегрированы системы (3.9), у которых в потенциале (3.10) отброшен максимальный корень и поэтому происходит разлет частиц на бесконечность. В самое последнее время в работе [187] изучалась связь интегрируемости гамильтоновых систем (3.9) с тем рией представлений полупростых алгебр Ли.
вкладывается в цейочку Тода из 2п частиц). Во всех этих системах стохастизация невозможна.
Для системы двух частиц из (3.10) получаем, кроме цепочки Тода, еще две интегрируемые гамильтоновы системы с потенциалами
Р& = ехр 也一%) + ехр ⑷)+ ехр (—% — ％),
0G2 = ехр(д' + ехр(/3 依)+ ехр(— -—Qi — -^力 Отметим, что обе эти системы отличаются от рассмотренной в [179] системы с потенциалом
匕г = ехр (鱼一02)+ ехр @) + ехр (—д0,
описывающим цепочку Тода с одной фиксированной частицей.
Основываясь на теореме 1, можно указать много других примеров гамильтоновых систем, допускающих представление в виде L — А-пары — например, такие системы получаются из (3.9) отбрасыванием нескольких слагаемых в потенциале Р®・
§ 4. Нелинейные колебательные режимы
в системах гидродинамического типа
Понятие системы гидродинамического типа (с.г.т.) было введено в работе [188]. Такие системы возникают при конечномерной аппроксимации уравнении гидродинамики по методу Галеркина и имеют вид
號=Г1% 加 I?(4.1)
при постоянных 17k Согласно определению работы [188], система гидродинамического типа обладает квадратичным по г? интегралом энергии Е и поток, определенный системой (4.1), сохраняет фазовый объем (div йг = 0). Гамильтоновы системы (1.2) цри «1 + ・• • + «n+i= 0 при отображении ^=ехр ({а&, ,}) переходят в с.г.т.
Выделим общий класс динамических систем, включающий в себя системы (1.2), (1.4), и некоторые системы гидродинамического типа (4.1), для которого докажем наличие сложных нелинейных колебательных режимов, допускающих сепаратрисную аппроксимацию, подобную описанной в § 2.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида (переменные разбиты на две группы: О ® Лт, р" W Rn):
» =巡QBQ『+ О储"+九а),
糙=乩QBQY +幅QW + %諭8•
(всюду по индексам, повторяющимся в одной части уравнении, производится суммирование).
Предложение 1. Следующие условия Л, В, С являются достаточными для существования в системе (4.2) нелинейного колебательного режима, допускающего сепаратрисную аппроксимацию:
Л. Для почти всех р‘ Е IT
max (匕婚 + 九％ =匕婚 + 仙〉о, у = у (р)・(4.3)
Для каждого а вектор 储)* 0.
В. Для каждого а матрицы порядка (п + 1) X (п + 1)
a= 4a <
имеют диагональную жорданову нормальную форму и все их собственные числа 九t имеют Re 九》= 0.
С Для всех § =# a 磺в = 0.
Для изучения колебательного режима перейдем к координатам
да = Qa/Q, Q = ((Q^ + • • • + (0皿)2)1/2.(4.4)
Система (4.2) в координатах 产 р* Q имеет вид
qa = ^qy^l + Г (^ + 九а) —
一 г (脸д6двg脸 + (g6)2 0力 + m))，
(4.5) a = а(磺HgBg脸 + (d)2 (b储 + 不))，
戸=◎ (сЬкВд脸 + dl^pj + 储 gB)・
Система (4.5) рассматривается, в силу замены (4.4), на инвариантном многообразии (д1)2 + . . . + (^w)2 = 4, ◎〉0 п непрерывно продолжается на границу Q = 0, также являющуюся инвариантным многообразием. Эта система имеет 2т множеств особых точек Ma = Rn (a = 4, • • ., тп; е = ±1) с координатами
产=&龈Q = 0,尺R ¥•
Точки, принадлежащие множествам М^, обозначаем тройками (Р, а, 8).
Собственные числа системы (4.5) в особых точках (р, а, 8) следующие (в скобках указаны соответствующие собственные направления):
卩6 =(龙Р‘ + 九В) — (bip1 + 九а) (переменные g6; р = 1, .. .,m, Р * a), 卩m =围「’ + 九°(переменная Q),
Nm+工=• • • = Hm+n =。 (переменные p)
Из условия 4 следует, что почти все особые точки М^ невырожденные (т. е. число нулевых собственных чисел равно размерности Ма) и неустойчивые.
Выделим два подмножества Va и Wa на каждом Ма- на 7^ (bip1 + 九％ < о； на W^ а = Т (р) (см. (4.3)). Сепаратрисы, выходящие (при 力 f ——оо) из точки (ро, а, 8)® 卩^, имеют вид
疗=СВ ехр ((Ь% + 九В)力)(2 (0)2 exp (2t(b?p^ + 仙))尸化(4.6) 6
Q (方)=О, P” (力)=Ро» 以=8, —оо < 力 < +оо
(здесь р пробегает те индексы, для которых рф〉0; для остальных индексов рдВ 三 0). Пусть у = у (р°) (см. (4.3)). Если Cv〉0, то все сепаратрисы (4.6) при 力 f 乎оо идут в особую точку (Ро, Y »о), +1) W 附* если С? < 0 — то в особую точку (Ро, Y»o)，—I)三%L Исключительные сепаратрисы, для которых С? = 0, неустойчивы. Ниже, при определении отображения Т^ мы не будем их рассматривать.
Сепаратрисы, выходящие из особых точек (р0, а, 8)三 福, лежат на инвариантном (в силу условия С) многообразии дВ = еба. Система (4.5) на этом многообразии после замены времени dv/dt = Q〉0 переходит в линейную систему
X =.&Sa・X + е.У, (4.7)
где векторы X, У имеют координаты X = (eQ, //), У =(九% 九%). В силу условия В, каждая траектория системы (4.7), начинающаяся на плоскости Q = 0 при Ь^рг + 九00〉。(сепаратриса, выходящая из особых точек 诡),снова пересекает эту плоскость (при Ь®рг + 入00 < °). Обозначим определенную таким образом функцию последования Т^・
Таким образом, на множествах особых точек 嚎 能 определено отображение Т^ переводящее начальную особую точку в конечную точку выходящей из нее сепаратрисы. Отображение Тг имеет вид
(р, а, 8)三 Wa* Ti S, а, 8)= (7*3 S), а, 8)W Va, за,ё)М噁:厶за,什｛笈图：龍盜：(现
В последнем случае отображение 7\ двузначно.
Траектория системы (4.5), начавшаяся в достаточно малой окрестности особых множеств 吟, 展,будет сколь угодно долго двигаться вдоль некоторой последовательности сепаратрис в диа-
312 ДИЙАМЙКА ВОЗМУЩЕНИЙ ЦЕПОЧКИ ТОДА// [ГЛ. VIII грамме
…一% (4.9)
(стрелка означает сепаратрису, идущую между особыми множествами), т. е. колебательный режим в системе (4.2)—(4.5) допускает сепаратрисную аппроксимацию. Ниже мы укажем класс систем (4.2)—(4.5), у которых пространство Q% 加 разбито на инвариантные области, в каждой из которых все переходы в диаграмме (4.9) однозначны. .
В исходных координатах Q°\ 小 колебательный режим имеет следующую динамику. Траектория, начавшаяся при достаточно малых значениях координат Q°\ периодически оказывается в окрестности точек плоскости Р (Q】=...=^т = 0), получающихся одна из другой последовательным действием отображения Т (двузначного), определенного следующим образом. Плоскость Р разбита на подмножества Р«： наимеем у ») = а (см. (4.3)). На каждом Ра отображение Т = Т^ (см. (4.8)), т. е. Т (р) = 7%), е = ±1. При переходе траектории между двумя последовательными точками плоскости Р сильно изменяется координата Q^^^ причем sign Qy(@)= е, а для остальных координат | QB | У У |Qy(@)|・ Стохастические свойства колебательного режима определяются свойствами отображения Т.
Отображение Т (и сепаратрисная диаграмма (4.9)) сводится к однозначным отображениям в важном частном случае систем (4.2), когда коэффициенты
碌y = 0 при р, у У= а. (4.10)
В этом случае все плоскости ①=0 являются инвариантными мно^ гообразиями системы и, следовательно, каждая из 2m областей а, в которой sign Q00 = еа? также инвариантна. Если траектория в области ст движется вдоль некоторой сепаратрисы (4.6), то необходимо sign Cv =勿(см. (4.6)), поэтому все переходы в диаграмме (4.9) для траекторий, лежащих в области а, однозначны. Соответствующее отображение 7 = 7。на множестве Ра имеет вид То = Т^ и также однозначно. Все отображения TG и соответствующие им колебательные режимы, вообще говоря, различны.
Если система вида (4.2) при выполнении условия (4.10) рассматривается только в некоторой одной области a (sign Q°° — 8ab то достаточные условия существования колебательного режима можно ослабить: вместо условия В достаточно потребовать, чтобы Re 九t》0, где 九》—— собственные числа матриц 8а-5а.
Примерами систем, удовлетворяющих условиям предложения 1, являются гамильтоновы системы (1.2) и (1.4). Системы (1.2) после отображения & = ехр {%, д} принимают вид (4.2) и удовлетворяют условиям А, 5, С (4.10) (в силу условий А и 5, § 1). Колебательный режим, указанный выше, для этих систем переходит в колебательный режим, найденный в § 2. Гамильтонова система (1.4) после отображения Q» = ехр ,» принимает вид (4.2) и удовлетворяет условию 4 в особых точках Zf = 0, Q» = 0 и условиям 5, С, (4.10). Колебательный режим в этом случае изоморфен колебательному режиму БЛХ (см. § 6 главы II).
Системы гидродинамического типа (4.1), допускающие представление (4.2) (с 九06 =猫=°)и имеющие интеграл энергии Е вида Е =(1?)2 + • • • +《疗户，автоматически удовлетворяют условиям 4 (в силу сохранения объема, div ^ = 0) и 5 (в силу существования интеграла энергии Е). Выполнения условия С, вообще говоря, нужно требовать дополнительно.
Простейшим примером с.г.т. являются уравнения Эйлера движения твердого тела, или триплет [189]:
厶=" (圖一喲，户2 =一何必，户3 =也%,
очевидно, удовлетворяющий условиям А, В, С (4.10). Здесь координатами р‘ является неустойчивая мода 少工,а координатами 3 ——必 и Pg ——линейные комбинации устойчивых мод.
Имеется специальный класс систем гидродинамического типа, автоматически удовлетворяющих условиям А, В, С. Такие с.г.т. можно получить путем суперпозиции [189] триплетов по следующему правилу: если два триплета зацеплены по некоторой моде, то эта мода в обоих триплетах является либо устойчивой, либо неустойчивой. При этом возможны двойные зацепления триплетов и каждый триплет может быть зацеплен с любым числом других. Полученные таким образом с.г.т. имеют дополнительный интеграл F = Q1-・・・• Qm； в колебательном режиме безразмерный интеграл F • Е氏 У 1.
Для таких с. г. т. матрицы Sa имеют ранг 2 и каждое отражение Т” = Г»1 является отражением та в плоскости, ортогональной к вектору (呢).Таким образом, с отображением Т, так же как и для возмущений цепочки Тода, можно связать группу Коксте- ра G, порожденную отражениями та. Как известно, для общего набора векторов (Ь^) замыкание группы G совпадает с ортогональной группой О (п) (для тп〉几).По-видимому, в общем случае отображение Т является эргодическим на сферах постоянного радиуса (инвариантной мерой для обратимого отображения Т является обычная евклидова мера), хотя доказательство этого факта является трудным уже в двумерном случае, где задача сводится к перекладыванию отрезков на окружности,
ЛИТЕРАТУРА
Poincare Н. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste.-— Paris, 1899 (русский перевод: Пуанкаре А. Избранные труды.— М.: Наука, 1971, т. 1, 2).
Bendixon I.— Acta Math., 1901, v. 24, p. 1.
Андронов А. А. Собрание трудов.— M.: Изд-во АН СССР, 1956.
Андронов /• /., Витт / . / ., Хайкин С. Э. Теория колебаний.—^ 2-е изд.— М.: Физматгиз, 1959.
' Андронов А. А., Леонтович Е. Л., Гордон И. "., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка.——М.: Наука, 1966.
Андронов А. Л., Леонтович Е. А., Гордон И. "., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.——М.: Наука, 1967.
Седов Л,窗.Методы подобия и размерности в механике.— 3-е изд.— М.: Наука, 1954; 8-е изд.— М.: Наука, 1977.
Биркгоф Дж. Динамические системы: Пер. с англ ./Под ред. А. А. Маркова.— М.— Л.: Гостехиздат, 1941.
Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1979; Труды Моск, матем. о-ва.— М.: Изд-во МГУ, 1975, т. 25, с. 119; 1976, т. 26, с. 199.
Л носов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды матем. инет. им. В. А. Стеклова.— М.: Наука, 1967, т. 90.
Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику: Пер. с англ./. Под ред. В. М. Алексеева.— М.: Мир, 1975.
Богоявленский О. И., Новиков С. П.■ ЖЭТФ, 1973, т. 64, № 5, с. 1475.
Богоявленский О. И.——УМН, 1973, т. 28, № 5, с. 1973.
Богоявленский О. И.— Письма в Астроном, ж., 1975, т. 1, № 9, с. 22.
Богоявленский О. И., Новиков С. П.— Труды семинара им. И. Г. Петровского.—М.: Изд-во МГУ, 1975, вып. 1, с. 7.
Богоявленский О. И.―- Труды семинара им. И. Г. Петровского.— М.: Изд-во МГУ, 1976, вып. 2, с. 67.
Богоявленский О. И.——UMM, 1976, т. 40, № 2, с. 270.
Богоявленский О. И.— ЖЭТФ, 1976, т. 70, № 2, с. 361.
Богоявленский О. И.— ТМФ, 1976, т. 27, № 2, с. 184.
Bogoyavlensky О. I.— Comm. Math. Phys., 1976, v. 51, № 3, p. 201.
Богоявленский О. И., Новиков С. П.— УМН, 1976, т. 31, № 5, с. 33.
Богоявленский О. И.— Докл. АН СССР, 1977, т. 232, № 6, с. 1289.
Богоявленский О. 4・—Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 26, № 2, с. 63.
Bogoyavlensky О. I.— Phys. Lett., 1977, v. 60A, № 3, p. 163.
БогоявленскийО. И.— ЖЭТФ, 1977, т. 7 3, № 4, с. 1201.
БогоявленскийО. И.— Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 27,№2,с. 91.
БогоявленскийО. И.— Астрофизика, 1978, т. 14, №3,с.501.
БогоявленскийО. И.— Письма в Астроном, ж., 1978,т.4,№ 9, с. 397.
Bogoyavlensky О. I. — J. Geoph. Astroph. Fl. Dyn., 1979? v. 12, № 1/2, p. 117.
Богоявленский О. И.— Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, № 10, с. 622.
Bogoyavlensky О. I.— In: Proc. Intern. Congr. of Math.— Helsinki, 1980, v. 1, p.395.
Богоявленский О. Я.— Труды семинара им. И. Г. Петровского.— М.: Изд-во МГУ, 1980, вып. 6.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— 4-е изд.— М.: Наука, 1975.
Баутин Н. Я., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.— М.: Наука, 1976.
Петровский И, Г Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.——6-е изд. испр.——М.: Наука, 1970.
Коддингтон 3. Л., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ./Под редакцией В. В. Немыцкого.— М.: ИЛ, 1968.
Боголюбов Н. Я. Избранные труды.— Киев: Наукова думка, 1969, т. I.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Физматгиз, 1974.
Дородницын Л. А,— ПММ, 1947, т. И, № 3, с. 313.
Тихонов А. Н・—Матем. сб., 1948, т. 22, № 2, с. 193.
Мищенко Е. Ф., Разов Н^Х- Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.— М.: Наукц, 1975.
Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ./ Под ред. В. М. Алексеева.*— М.: Наука, 1976, гл. IX.
McGehee R.— Invent, math., 1974, v. 27, p. 191.
Mather J., McGehee H.— In: Lecture Notes in Physics/Ed. J. Moser.— New York, 1975, v. 38, p. 673.
Friedmann Л. Я.— Z. Phys., 1922, v. 10? p. 37 7.
Friedmann A. A.— Z. Phys., 1924, v. 21, p. 326.
Taub A. H.— Ann. Math., 1951, v. 53, p. 472.
Лифшиц E, M., Халатников И. ЛГ.—< УФН, 1963, т. 80, с. 391.
Белинский В. / ., Халатников И. М.— ЖЭТФ, £969, т. 56, с. 1700.
Белинский В. 4., Лифшиц Е. М., Халатников И. М.— УФН, 1970, т. 102, с. 463.
Белинский В. Л., Лифшиц Е. "., Халатников И. М.— ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 1969.
Белинский В. Л., Халатников И. М,— ЖЭТФ, 1972, т. 63, с. 1121.
Penrose R.— Phys. Rev. Lett., 1965, v. 14, p. 57.
Hawking S. W.一 Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 689.
Gero ch R. P.— Phys. Rev. Lett., 1966, v. 17, p. 445.
Пенроуз P, Структура пространства-времени: Пер. с англ./Под ред. Я. Б. Зельдовича и И. Д. Новикова.— М.: Мир, 1972.
Arnowitt R.^ Deser S., Misner C. W.— Phys. Rev., I960, v. 418, p. 1100.
Misner C. W.— Phys. Rev. Lett., 1969, v. 22, p. 1071.
Hechman O., Schucking E.— In: Gravitation: an introduction to current research.— New York, 1962, p. 438.
Newman E., Tamburino 厶.,Unti T.— J. Math. Phys., 1963, v. 4, p. 915.
Грищук Л, 〃.，Дорошкевич A. Г., Новиков И. Д.— ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 2281.
Ellis G. F. Я., MacCallum М. А. Н.— Comm. Math. Phys., 1969, v. 12, p. 108; Comm. Math. Phys., 1970, v. 19, p. 31.
MatznerЯ. A., Shepley L. C, Warren I. C.— Ann. Phys., 1970, v. 57, p. 401.
Фаддеев Л. Д.— ТМФ, 1969, т. 1, с. 3.
Фаддеев 〃. 〃.，Попов В. Я.— УФН, 1973, т. 111, с. 427.
MacCallum М, А. Н.— Comm. Math. Phys., 1971, v. 20, p. 57.
Дорошкевич А. Г., Лукаш В. Я., Новиков И. 〃.一 ЖЭТФ, 1971, т. 60, р. 1201.
[68. Грищук 〃. 〃., Дорошкевич А. Г., Лукаш В, Н.—> ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 3.
Новиков С. 〃•一 ЖЭТФ, 1972, т. 62, с. 1977.
Дорошкевич А. Г., Лукаш В. Н., Новиков И. Д.— ЖЭТФ, 1973, т. 64, с. 1457.
Лукаш В. Н,, Старобинский А. А.— ЖЭТФ, 1974, т. 66, с. 1515.
Пиблс Я. Физическая космология: Пер. с англ ./Под ред. Я. Б. Зельдовича и И. Д. Новикова.— М.: Мир, 1975.
Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд.— М.: Наука, 1971.
Зельдович Я, 6., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной.— М・： Наука, 1975.
Ryan М. Р., Shepley L. С. Homogeneous Relativistic Cosmologies.—New Jersey: Prine. Univ. Press, 1975.
Вейнберг С. Гравитация и космология: Пер. с англ./Под ред. Я. А. Смо- родинского.— М.: Мир, 1975.
Шикин И. С.— Докл. АН СССР, 1967, т. 176, с. 1048.
Collins С В.— Comm. Math. Phys., 1971, v. 23, p. 137.
Шикин Я. С— ЖЭТФ, 1972, т. 63, с. 1529; ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 1583.
Collins С. В.~ Comm. Math. Phys., 1974, v. 39, № 2, p. 131.
Белинский В. Л., Халатников И. М.— письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 223; ЖЭТФ, 1975, т. 69, с. 401; НЮТ①，1977, т. 72, с. 3.
Григорян С. Д.— Изв. АН Арм. ССР, 1976, т. 11 № 5, с. 468; Матем. заметки, 1979, т. 26, № 2, с. 235.
Пересецкий А. А.— УМН, 1976, т. 31, № 5, с. 251; Матем. заметки 1977, т. 21, № 1, с. 71.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.— М.: Наука, 1973.
Мизнер ¥., Торн К., Уилер Дж. Гравитация: Пер. с англ./Под ред. В. Б. Брагинского и И. Д. Новикова.— М.: Мир, 1977, т. 1—3.
Дубровин Б. Л., Новиков С. П., Фоменко Л. Т. Современная геометрия.— М.: Наука, 1979.
Петров 4. 3. Пространства Эйшптейна.—— М.: Физматгиз, 1961.
Kasner Е.— Am. J. Math., 1921, v. 43, р. 217.
Kruskal “.一 Phys. Rev., 1960, v. 119, p. 1743.
Bianchi L.— Mem Soc. It. Della, Sc., 189 7, v. 11, p. 267.
Бурбаки H. Группы и алгебры Ли: Пер. с фр./Под ред. А. И. Кострики- на.— М.: Мир, 1972.
Лукаш В. Н.— Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 19, с. 499.
Brill D. Н.— Phys. Rev., 1964, v. В133, р. 845.
Дорошкевич А. Г.—■ Астрофизика, 1965, т. 1 с. 255.
Шикин И. С・一Докл. АН СССР, 1966, т. 171, с. 73.
Халатников И,必.——Письма в ЖЭТФ, |967, т. 5, с. 595.
Hughston L. Р., Jacobs К. С— Astroph. J., 1970, v. 160, р. 147.
Collins С.瓦一Comm. Math. Phys., 1972, v. 27, p. 37.
Belinsky V. A., Khalatnikov /. M.— In: Rand. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino.— Torino, 1977, v. 35, p. 159.
Арнольд В. И, Математические методы классической механики.— М.: Наука, 1974.
Скрипкин В. Л.— UMT①,1960, т. 4, с. 3; Астроном, ж., 1961, т. 38, с. 192.
Станюкович К. 〃.一 Докл. АН СССР, 1961, т. 150, с. 77; ЖЭТФ, 1974, т. 66, с. 826.
Гурович В. 〃., Станюкович К. 〃., Шаршекеев О. Ш.— Докл. АН СССР, 1965, т. 165, с. 510.
Cahill М. Е., Taub А. Н.— Comm. Math. Phys., 1971, v. 24, p. 1.
Taub Л. H.— Comm. Math. Phys., 1973, v. 29, p. 79.
Eardley D. M.— Comm. Math. Phys., 1974, v. 37, p. 287.
Ибрагимов Н. X. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений.— Новосибирск.: Наука, 1967.
Carr В. J., Hawking S. W.— Mon. Not. R. Astr. Soc., 1974, v. 168, p. 399.
Сибгатуллин H. P., Динариев О. Ю.— ЖЭТФ, 1977, т. 73, с. 1599.
НО. Ландау 〃. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М.—Л.: Гостехиздат, 1954.
Oppenheimer J. X., Volkoff G.— Phys. Rev., 1939, v. 55, p. 374.
Уилер Д., Гаррисон 6., Вакано М., Торн К. Теория гравитации и гравитационный коллапс: Пер. с англ./Под ред. Я. Б. Зельдовича. — М.: Мир, 1967.
Дмитриев Н. А., Холин С. А,— Вопросы космогонии.-— М.: Изд-во АН СССР, 1963, т. 9, с. 254.
Саакян Г. С・,Вартанян Ю. Л.— Сообщ. Бюраканской обе., 1963, т. 33, с. 55; Астроном ж., 1964, т. 41, с. 193.
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.— М.: Физматгиз, 1963.
Carrus Р. A., Fox A. A., Haas S., Kopal Z.— Astrophys. J., 1951, v. 113, № 3, p. 496.
Kopal Z.— Astrophys. J., 1954, v. 120, № 1, p. 159.
Яворская И. M.—> Докл. АН СССР, 4 956, т. № 4, с. 783..
Sakurai 4.— J. Fluid Meeh., 1956, v. 1, № 1, p. 436.
Rogers M. N.— Astroph. J., 1957, v. 125, № 2, p. 478.
Коробейников В. 〃., Мельникова 左.С., Рязанов Е. В.——Теория точечного взрыва.— М.: Физматгиз, 1961.
Курт Р. Анализ размерностей в астрофизике: Пер. с англ.—— М.: Мир, 1975.
Дибай 3. Л., Каплан С, А. Размерности и подобие астрофизических величин.— М.: Наука, 1976.
Carrus Р. A., Fox А. Л., Haas F., Kopal Z.— Astrophys. J., 1951, v. 113, № 1, p. 193.
Лидов M. 〃.一 Астроном, ж., 1957, т. 34, № 4, с. 603.
Каждая Я. М., Луцкий Л. Е.— Астрофизика, 1977, т. 13, № 3, с. 535.
Cheng A. F.— Astrophys. J., 1977, v. 213, № 2, р. 537.
Taylor G.— Proc. Roy. Soc.— London, 1950, v. A201, p. 192.
Анисимов С. И., Зельдович Я、Б.— Письма в ЖТФ, 1977, т. 3, № 20, с. 1081.
Баутин Н. Н.—• ПММ, 1954, т. 18, № 1, с. 36.
Чандрасекар С. Введение в учение о строении звезд.: Пер. с англ./Под ред. А. Б. Северного.— М.: ИЛ, 1950.
Росселанд С. Теория пульсаций переменных звезд.: Пер. с англ./ Под ред. А. Б. Северного.— М.: ИЛ, 1952.
Седов Л. И. Механика сплошной среды.— 3-е изд. испр. доп.— М.: Наука, 1976, т. 1, 2.
Змитриенко Н. 5., Имшенник В. С, Хлопов М. Ю., Чечеткин В. М.— ЗКЗТ①，1979, т. 75, № 10, с. 1169.
Надежин Д.附.一Астроном, ж., 1968, т. 45, с. 1166.
Guderley G.— Luftfahrtforschung, 1942, v. 19, р. 302.
Станюкович К. Я. Неустановившиеся движения сплошной среды.— М.: Гостехиздат, 1955.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.—— М.: Наука, 1978.
Oseen С. W.— Ark. Mat. Astr. Fys., 1911, № 7.
В ell ату-Knights P. G.— J. Fluid. Meeh., 1970, v. 41, № 3, p. 673.
Пухначев В. В.— Докл. АН СССР, 1972, т. 202, № 2, с. 302.
Бытев В. О.— ПМТ①，1972, № 6, с. 56.
Кочин Н. Е., Нибель И. Л., Розе Н. В.— Теоретическая гидродинамика. 6-е изд. испр.— М.: Физматгиз, 1963, ч. 1, 2.
Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие.: Пер. с англ./ Под ред. М. И. Гуревича и В. А. Смирнова.— М.: ИЛ, 1963.
Биркгоф『.,Сарантонелло Е. Струи, следы и каверны.: Пер. с англ./ Под ред. Г. Ю. Степанова.— М.: Мир, 1964.
Соболев С. 4.— Изв. АН СССР: Сер. матем., 1954, т. 18, № 1, с. 3.
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны： Пер. с англ.— М.: Мир, 1977.
Капитанский Л. В.— Записки научных семинаров ЛОМИ, 1979, т. 84, с. 89.
Куликовский Л. Г., Любимов Г. Л. Магнитная гидродинамика.——М.: Наука, 1963.
Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме.— М.: Наука, 1976.
Стокер Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. Пер. с англ./ Под ред. М. А. Лаврентьева и Н. Н. Моисеева.— М.: ИЛ, 1959.
Шкловский И, С. Сверхновые звезды и связанные с ними проблемы.— М.: Наука, 1976.
153・ Dirichlet G. L.— J. und angew. Math. 1860, v. 58, № 1, p. 181.
Лам б Г. Гидродинамика: Пер. с англ./ Под ред. Н. А. Слезкина.— М.— Л.: ОГИЗ, 1947.
Чандрасекар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия.: Пер. с англ./ Под ред. В. В. Румянцева.— М.: Мир, 1973,
Седов Л.以一Докл. АН СССР, 1953, т. 90, № 5, с. 735.
Лидов М. Л.— Докл. АН СССР, 1954, т. 97, № 3, с. 409.
Овсянников Л. В.— Докл. АН СССР, 1957, т. Ill, № 1, с. 47.
Dyson J. Г— J. Math. Meeh., 1968, v. 18, № 1, р. 91.
Немчинов И. В.— ПММ, 1965, т. 29, № 1.
Анисимов С. Л\, Лысиков Ю, И.— ПММ, 1970, т. 34, № 5, с. 926.
Анисимов С. И., Иногамов Н. А.— Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 20, № 3, с. 174.
Lynden-Bell D.— Proc. Cambridge Phys. Soc., 1962, v. 58, № 4, p. 709.
Зельдович Я. Б,— Астроном, ж., 1964, т. 41, № 5, с. 873.
Зельдович Я. Б.— Астрофизика, 1970, т. 6, № 2, с. 319.
Невзглядов В. Г. Теория тела однородной деформации и ее применение к атомному ядру— Владивосток: Изд-во ДГУ, 1970.
Андреев В. К., Пухначев В. В.— ПМТФ, 1979, № 2, с. 25.
Куликовский А. Г.一 Докл. АН СССР, 1957, т. 114, № 5, с. 984.
Fujimoto М.— Astroph. J., 1968, v. 152, № 2, p. 523.
Hara T., Matsuda T., Nakasawa K.— Progr. Theor. Phys., 1973, v. 49, № 2, p. 460.
Ландау 〃. Д.、Лифшиц E. M. Механика.— M.: Наука, 1965.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1971.
Сретенский Л. Н. Теория ньютоновского потенциала.— М.——Л.: ОГИЗ, 1946.
Новиков И. 〃.一 Астроном, ж., 1975, т. 52, № 5, с. 1038.
Toda М.— Progr. Theor. Phys. Suppl., 1970, v. 45, p. 174.
Henon M.— Phys. Rev., 1974, v. B9, p. 1921.
Flascka H.— Phys. Rev., 1974, v. B9, p. 1924.
Манаков С. B.— ЖЭТФ, 1974, т. 67, № 2, с. 543.
Дубровин Б. Л., Матвеев В. Б., Новиков С. П.— УМН, 1976, т. 31, № 1, с. 55.
Cassati G., Ford J.— Phys. Rev., 1975, v. A12, p. 1702.
Lax P. D.— Comm. Pure Appl. Math., 1968, v. 21, p. 467.
Olshanetsky М. 4., Perelomov А. М.— Inv. Math., 1976, v. 37, p. 93.
Moser J.— Adv. Math., 1965, v. 16, p. 197.
Calo ger о F., Ragnisco 0., Matchioro。.一 Lett. Nuovo Gimento, 1975, v. 13, p. 383.
Olshanetsky M. A., Perelomov A. M.— Preprint ITER-157, Moscow, 1978.
Рейман A. T., Семенов-Тян-Шанский M. Л., Френкель И. Б.— Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 4, с. 802.
Kostant В, The Solution to a Generalized Toda Lattice and Representation Theory.— Massachusetts: Preprint, 1979.
Обухов A. M.— Докл. АН СССР, 1969, т. 184, № 2, с. 309.
Должанский Ф. В., Кляцкин В: И., Обухов Л. М., Чусов М. А. Нелинейные системы гидродинамического типа.— М.: Наука, 1974.
Олег Игоревич Богоявленский
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В АСТРОФИЗИКЕ И ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ
м., 1980 г., 320 стр. с илл.
Редактор Г. М. Карасева
Техн, редактор Н. В. Кошелева
Корректор Г. В. Подводьская
ИВ № 11523
Сдано в набор 29.03.80. Подписано к печати 19.09.80.
Т-17801. Бумага 60 X 90% . Тип. № 1.
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 20.Уч.-изд. л. 21,24. Тираж 3000 экз.
Заказ № 3143. Цена книги 3 р. 50 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука», Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
1) Современные оценки роли нейтринного механизма переноса энергии в процессах взрывов звезд см. в работах [73, 134]. Автомодельные решения с излучением нейтрино исследовались в работе [135].
О. И. БОГОЯВЛЕНСКИЙ
МЕТОДЫ
КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В АСТРОФИЗИКЕ
И ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ 勿 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980
22.31 Б 74
УДК 530.1
БОГОЯВЛЕНСКИЙ О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике.—— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.
В книге описывается и последовательно применяется в ряде важных задач космологии, теоретической астрофизики и газовой динамики новый метод качественного исследования многомерных динамических систем — метод максимально невырожденной компактификации динамической системы. На основе этого метода исследованы модели различных космологических явлений, модели вспышек сверхновых звезд и аккреции вещества на черные дыры, модели пульсаций вращающихся газовых туманностей и различных вихревых движений газа и жидкости, нелинейные колебательные режимы в системах гидродинамического типа и динамика возмущений некоторых известных интегрируемых систем.
Рис. 40, табл. 7, библ. 189.
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 198020402—120
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980
Б •庙§@药一80 ” 1°3-80・ 1704020000
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава I. Методы качественного исследования многомерных динамических систем*9
Необходимые сведения из качественной теории двумерных динамических систем 9
Метод исследования вырожденных особых точек динамической системы 21
Метод максимально невырожденной компактификации динамической системы 28
Метод сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической системы 31
Глава II. Качественная теория однородных космологических моделей без движения вещества 35
Уравнения общей теории относительности 36
Классические решения уравнений общей теории относительности 38
Общие свойства однородных космологических моделей . .43
Преобразование гамильтоновой системы 56
Космологические модели I и II типов 63
К осмо логическая модель IX типа 67
Исследование космологических моделей VIII, VII0 и VI0 типов 90
Преобразование динамической системы для однородных космологических моделей класса В 99
Некоторые общие свойства динамики однородных космологических моделей III, IV, VI и VII типов 106
Исследование некоторых специальных свойств однородных космологических моделей V, VII, III, VI и IV типов 117
Глава III. Качественная теория однородных космологических моделей с движением вещества и с электромагнитным полем 128
Система уравнений Эйнштейна для однородной космологической модели IX типа с движением вещества 128
Преобразование динамической системы 131
Степенные асимптотики. Типичные состояния метрики на ранней стадии расширения пространства 135
1*
Комбинаторная модель колебательного режима 139
Некоторые общие свойства динамики однородных космологических моделей с движением вещества 144
Однородная космологическая модель IX типа с электромагнитным полем 150
Глава IV. Автомодельные сферически-симметричные решения в общей теории относительности 157
Система уравнений Эйнштейна для сферически-симметрич- ных автомодельных решений 157
Исследование динамической системы 160
Преобразование автомодельных решений в различных координатах .170
Задача о распаде равновесия звезды в общей теории относительности 173
Автомодельные решения с расходящимися и с коллапсирующими ударными волнами 177
Глава V. Автомодельное движение самогравитирующего газа в звездах 182
Разрешение особенностей динамической системы ....182
Асимптотики разлета газа от центра 193
Исследование динамической системы на компонентах границы Г2 и Г8 197
Автомодельная аккреция самогравитирующего газа на центр 204
Новые решения в модели вспышек звезд 207
Исследование модели вспышек в оболочках звезд ....223
Автомодельные решения со сходящимися ударными волнами 231
Глава VI. Автомодельное вращение идеального газа235
Определение автомодельного вращения идеального газа 235
Алгебраические интегралы автомодельного вращения идеального газа 237
Точные автомодельные решения степенного вида . . .242
Исследование динамической системы 244
Автомодельный разлет вращающегосягаза 248
Некоторые автомодельные решения приу =2 254
Глава VII. Динамика газового эллипсоида 260
Уравнения движения негравитирующего газового эллипсоида 261
Колебательный режим расширения вращающегося газового облака в вакуум 268
Исследование одной задачи в теории мелкой воды ....274
Уравнения движения гравитирующего газового эллипсоида 276
Преобразование гамильтоновой системы 279
Колебательный режим движения с отрицательной энергией 282
О невозможности коллапса гравитирующего газового эллипсоида при наличии вращения газа 287
or近AB立еНИЕ5
Колебательный режим движения с положительной энергией 220
Заключительные замечания ....296
Глава VIII. Динамика возмущении периодической цепочки Тода 300
Гамильтоновы возмущения цепочки Тода300
Сепаратрисная аппроксимация колебательного режима 301
Гамильтоновы системы, связанные с простыми алгебрами Ли 305
Нелинейные колебательные режимы в системах гидродинамического типа 309
Литература 314