ГЛАВА I

Общие соображения

Примеры струй. Струей называется поток вещества, перемещающегося почти в постоянном направлении на расстояние многих своих поперечных размеров. Чтобы получить струю, достаточно проделать отверстие в резервуаре, местное давление в котором превышает давление окружающей среды.

Струи находили применение с давних пор. Гринхилл [34] ссылается на римский закон, относящийся к расходу воды через отверстия водопровода. Струи из фонтанов, водопроводных кранов и пожарных шлангов хорошо известны всем (рис. 1). Их , свойства изучались учеными, начиная по крайней мере с эпохи Возрождения.

В более позднее время в связи с появлением двигателей внутреннего сгорания тщательно изучалось явление распыления струй в карбюраторах (гл. XV, п. 10—12). Металлические струи кумулятивных снарядов, разработанных во вторую мировую войну для использования в качестве противотанкового оружия ^, ) широко применяются теперь при проходке нефтяных скважин. В самое последнее время струи жидкости применяются для инъекций, а струи из абразивных частиц — для сверления зубов 2).

Предыдущие примеры относятся в основном к струям жидкости или твердых частиц в воздухе. Не меньшее значение имеют газовые струи в воздухе и водяные струи в воде.

В течение более ста лет изучалось поведение нагревательных (и осветительных) струй газа в воздухе. Широкое распространение получили изобретенные Дж. Томсоном з)в 1852 г. струйные насосы. Большое внимание уделялось также исследованиям по применению реактивной тяги в судостроении, а блестящие достижения последнего времени в области авиационной реактивной техники известны всем 4). В самое последнее время метеорологами были открыты так называемые струйные потоки в стратосфере, скорость которых достигает 200—600 км/час5).

Рис. 1. Струя, вытекающая из пожарного гидранта (а) и квадратного отверстия (б). Разделяющаяся плоская струя между параллельными стеклянными пластинами (в).

Следы и каверны. Легко заметить, что при обтекании неподвижного препятствия или выступа стенки поток обычно отрывается от них, образуя так называемые отделившиеся линии тока. Жидкость между этими линиями тока образует след; в непосредственной близости позади препятствия течение обычно имеет относительно спокойный характер («мертвая вода》).

Следы в жидкости могут иметь весьма различный характер. В рассматриваемом случае след образует цепочку вихрей, простирающуюся на большое расстояние позади препятствия.

На рис. 2 представлены полученные Флаксбартом5а) фото^ графин следов за плоской пластиной при числах Рейнольдса Re от 820 до 1750. Следует обратить внимание на развитие турбулентности за пластиной на расстоянии нескольких поперечных размеров пластины.,

Значение следов связано с тем, что они являются основным источником сопротивления в реальной жидкости. Как хорошо известно, в невязкой жидкости при дозвуковых скоростях

Рис. 3. Каверна позади полусферы, обтекаемой свободным потоком (а). Каверна позади сферы, брошенной в воду (万).

сопротивление обычно не возникает, если отсутствуют отрыв потока и сопутствующий ему след5б).

Следы играют роль также и в других практических задачах, таких, например, как защита от дыма верхних палуб пароходов 6) и проектирование ветрозащитных экранов для штурманов.

В случае движения тел в жидкости с большой скоростью след становится газообразным; такой след называется каверной. Если бросить в воду шарик со скоростью около 8 м/сек или больше, то образуется каверна, заполненная воздухом (см. рис. 118). Если же неподвижное препятствие удерживается в потоке воды, имеющей скорость 30 м/сек. или больше при атмосферном давлении, или же меньшую скорость, но при пониженном давлении, то возникает каверна, заполненная паром (рис. 3).

Каверны с воздухом впервые изучались около 1900 г. Вортингтоном [23] из чисто научного интереса. Примерно в это же

время инженеры столкнулись с серьезными проблемами образования паровых каверн на гребных винтах и в гидравлических турбинах. Эти явления предвидел Эйлер еще в 1754 г.7). Некоторые ссылки на обширную литературу, относящуюся к этим вопросам, указаны в гл. XV, п. 4—7.

Во время первой мировой войны Рэлей [72, т. 6, стр. 504] исследовал колеблющиеся каверны, которые образуются при подводных взрывах. Однако более широкие исследования подводных взрывов начали проводиться только во время второй мировой войны [47].

Во вторую мировую войну выяснилось большое практическое значение исследований Вортингтона в связи с вопросами входа в воду снарядов, запущенных в воздухе (см. [4, гл. II], [30] и [64]). В это же время было выяснено8), что взрывы, вызванные сотрясением, в действительности связаны с адиабатическим нагревом небольших внутренних каверн. Спустя некоторое время было показано, что каверны играют важную роль в процессе гомогенизации молока 9),

Кроме того, имеется еще огромное число практически важных вопросов, связанных с образованием струй, следов и каверн, некоторые из которых будут упомянуты ниже.

План книги. Настоящая монография посвящена разработке количественной теории струй, следов и каверн. Везде, где это было возможно, делалась попытка получения количественных результатов путем решения соответствующей краевой задачи для дифференциальных уравнений движения жидкости.

В случае жидких струй в воздухе и кавитационных течений это удается успешно выполнить, по крайней мере для простейших задач, если скорость достаточно велика, чтобы можно было пренебречь силами тяжести, а силы вязкости учитывать только в пограничном слое. В этих случаях с достаточной точностью применимы уравнения Эйлера для невязкой жидкости (п. 8), а для определения свободной границы, течения можно воспользоваться условием постоянства давления на границе раздела. Таким образом, в случае жидких струй в воздухе мы будем пользоваться потенциальной теорией (п. 8) и будем предполагать, что

Р = Ра (атмосферное давление) на свободной границе. (1.1а)

В случае «истинных» каверн, заполненных парами, условия р = Pv (давление парообразования) на границе каверны, р》рг, внутри жидкости(1.1 б)

дают хорошее приближение к действительности [2].

Однако в случае следов, газовых струй, текущих в газе почти той же плотности, и жидких струй, текущих в жидкости, этим путем нельзя получить даже приближенного решения, несмотря на существование большого числа математических работ, в которых утверждается обратное. По-видимому, эти течения описываются уравнениями Навье — Стокса (гл. XII, п. 1). В силу сложности наблюдаемых явлений (см. п. 13—15) становятся понятными трудности рационального подхода к математическому решению задачи.

Учитывая вышесказанное, мы рассмотрим сначала (гл. II—XI) применение диффер^циальных уравнений Эйлера к струйным течениям и к течениям жидкости, ограниченным поверхностью раздела жидкости и газа. Основная часть книги посвящена этим вопросам не потому, что они имеют наибольшее практическое значение, а только потому, что они лучше всего поддаются теоретическому анализу.

В гл. XII—XIV мы исследуем ламинарные, вязкие, периодические и турбулентные струи и следы. Для этих задач точные решения почти полностью неизвестны и поэтому применяется полуэмпирический подход.

Наконец, в гл. XV рассматривается ряд ограничений выводов гл. II—XI в связи с пренебрежением поверхностным натяжением, растворением газов и другими физическими факторами. Это обсуждение почти целиком эмпирическое.

Прежде чем перейти к детальному рассмотрению специальных случаев, мы должны, однако, обсудить некоторые простые идеи, на которых основывается материал книги. Этим простым идеям и посвящается данная глава.

Безразмерные коэффициенты. Как и во всех разделах механики, в теории струй, следов и каверн важную роль играют различные безразмерные коэффициенты. Вероятно, наиболее важную роль играет отношение плотностей

двух компонентов течения (например, жидкой струи в воздухе или кавитационного течения). Интуитивно ясно, что если

千 <1,' (1-2*)

то можно игнорировать наличие жидкости с плотностью р‘. В самом деле, именно это условие, которое, по-видимому, впервые в явном виде было сформулировано Бетцом и Питерсоном [5], обеспечило сравнительно успешное применение потенциаль-

ной теории к жидким струям в воздухе и к кавитационным течениям.

Следующим по значению является число кавитации, введенное Тома,

Q = ^P(1-3)

где р/ — давление в свободном потоке, pv — давление парообразования, р — плотность и V ——скорость свободного потока. Близко связанной с числом кавитации является величина местного коэффициента разрежения ——Cv

■ -Ср = ^^.(1-4)

Так, например, для каверн, заполненных паром и удовлетворяющих условию (1.16), местный коэффициент разрежения совпадает с числом кавитации. По аналогии, определим число кавитации в общем случае как

Q =午生，(1-За)

где рс — давление в каверне непосредственно за препятствием. В случае следов давление непосредственно за препятствием— донное давление р& 一 как правило, почти постоянно. В этом случае выражение

Pf — %

1(i-зб)

будем соответственно называть коэффициентом разрежения в следе; характерные значения величины Q даны в гл. XIV, п. 3 (следует обратить внимание на то, что в случае гиперзвукового течения давление в следе близко к нулю, вследствие чего поведение следа мало чем отличается от поведения каверны).

Помимо величины Q, традиционные число Рейнольдса

Re = ^=胃(1.5)

и число Фруда

Fr = *(L6)

также играют важную роль в теории струй, следов и каверн. Здесь d ——характерный размер тела (например, диаметр),卩一 коэффициент вязкости, v = ц/р — коэффициент кинематической вязкости и g — ускорение силы тяжести. Как обычно [7, гл. III], 1/Re и 1/Fr определяют относительную роль сил вязкости и сил тяжести соответственно.

Наконец, примем обычные обозначения для коэффициентов сопротивления и подъемной силы

Cd = /— и & =『」， (1.7)

где D ——сила сопротивления, £ ——подъемная сила, Л — площадь поперечного сечения препятствия, расположенного в потоке.

В п. 13 мы увидим, что введенные здесь безразмерные коэффициенты существенны не только при эмпирических расчетах, но и в теоретических исследованиях.

Реальные следы. Реальные следы представляют собой наиболее характерный пример, иллюстрирующий значение числа Re (1.5). По мере роста Re = fd/v характер следа позади кругового цилиндра, сферы или другого тела с поперечным размером d претерпевает четко выраженные изменения, которые можно в общих чертах охарактеризовать следующим образом [31, гл. XI]. (Более подробно это явление рассматривается в гл. XII—XIV. На рис. 99 дается картина последовательных изменений.)

При Re < 0,1 линии тока примерно симметричны относительно поперечной оси тела и соответствуют так называемому ползущему течению. В интервале (приблизительно) 0,1 < Re < 5 линии тока позади тела расходятся, нарушая симметрию. При дальнейшем увеличении числа Re (например, при 5 < Re < 25) за препятствием могут образоваться два стационарных симметричных вихря. В этом диапазоне чисел Re на поверхности тела появляется также четко выраженный ламинарный «пограничный слой» с сосредоточенной вдоль тела завихренностью.

В диапазоне 30 < Re < 1500 возможны самые различные типы течений. Непосредственно за плоской пластиной типичен более или менее неподвижный след (см. рис. 2). В случае кругового цилиндра след колеблется из стороны в сторону и периодически появляются вихри переменного знака (рис. 106). В случае диска периодически возникают вихревые кольца.

При дальнейшем увеличении числа Re след все более турбу- лизируется и обнаружить периодичность становится все труднее. Наконец, при Re порядка 105—106 пограничный слой сам стано-

вится турбулентным, отрыв потока затягивается и след за обтекаемым телом заметно сужается.

Типы кавитации. Если предположить, что кавитация возникает самопроизвольно при р V р管[см. (1.1 б)], то можно получить грубую оценку условий возникновения кавитации в установившемся потоке (некоторые существенные исключения из этого описаны в гл. XV п. 1—4). В соответствии с этим (см. п. 8) характер кавитационного течения около препятствия будет меняться в зависимости от числа кавитации Q (1.3) следующим образом (ср. [2], [1] или [45]).

Первые признаки кавитации наблюдаются, когда число Q становится меньше некоторого критического значения числа Q/, лежащего обычно в интервале 0,35 < Q； < 1,*0. Точное значение числа Qi зависит больше всего от формы препятствия, а также от поверхностного натяжения, количества растворенного воздуха и вязкости жидкости (см. гл. XV). Когда Q становится меньше Qt, в зоне отрицательного давления возникают мельчайшие каверны, наполненные воздухом или парами, захлопывающиеся с шумом, как только течение выносит их снова в область повышенного давления. Этот тип течения называется режимом начальной кавитации.

С дальнейшим уменьшением числа Q кавитационные пузырьки становятся крупнее и впереди кавитационной области начинается отрыв потока. При еще меньших значениях Q пузырьки сливаются в общую полость, которую и можно назвать «каверной». На обычных фотографиях таких каверн (рис. 4, а) их поверхность выглядит ровной и матовой ввиду того, что за время экспозиции пузырьки успевают переместиться на расстояние, во много. раз превышающее диаметр пузырька (например, на 2,5 мм за 0,02 сек). Скоростная фотосъемка 10) (с выдержкой порядка 10一4 сек) обнаруживает в этом случае пенистый турбулентный характер поверхности каверны (рис. 4, б). Течение в каверне обычно имеет резко выраженный градиент давления. При еще меньших числах кавитации (например, при Q = 0,10), особенно в случае обтекания хорошо отполированных препятствий с острыми краями в гидродинамических трубах с низкой турбулентностью и малым содержанием воздуха, поверхность каверны становится ровной, прозрачной, действительно стационарной поверхностью.

Возможны также и другие типы кавитации; они будут описаны в гл. XV. Помимо «срывной кавитации» на спинке винта и турбинных лопаток, известна так называемая концевая кави^ тация, срывающаяся по спирали с концов винта, «вихревая кавитация» вблизи затопленных струй и «акустическая кавитация», вызываемая звуком.

Г. Ьи^кгоф

Р и с. 4. Фотографии каверны позади диска в потоке воды в канале.

Модели параллельных течений. Следует отметить, что не все струи и каверны обладают такой сложной структурой. Так, например, истечение жидких струй из насадков и вертикальные кавитационные течения за продолговаты?ли телами могут быть

Неподвижная жидкость0—► - СтруяНеподвижна^ жидкостьаНеподвижная жидкость0—► - СтруяНеподвижна^ жидкостьаТвердый цилиндрТвердый цилиндрииНеподвижный следНеподвижный след66

Неподвижная жидкость

0—► - Струя

Неподвижна^ жидкость

а

Неподвижная жидкость

0—► - Струя

Неподвижна^ жидкость

а

Твердый цилиндр

Твердый цилиндр

и

и

Неподвижный след

Неподвижный след

6

6

Рис. 5.

приближенно представлены следующими двумя простыми моделями параллельного течения.

В модели струй предполагается, что скорость ? постоянна внутри прямого кругового цилиндра диаметра d = 2 а, а окружающая среда неподвижна (рис. 5, а). В кавитационной модели вне такого же цилиндра поток предполагается однородным со

скоростью V. Цилиндр (рис. 5, б) составлен из полу бесконечного твердого тела, к которому сзади примыкает каверна (или стационарный след, заполненный 《мертвой водой»).

В обеих моделях предполагается, что каждая область невозмущенного течения ограничена поверхностью разрыва, или скольжения, на которой скорость разрывна 口). В невязкой жидкости такая поверхность могла бы находиться в равновесии при условии, что давление непрерывно при переходе поперек поверхностей скольжения.

В самом деле, течения, приведенные на рис. 5, в точности удовлетворяют уравнениям движения любой невязкой несжимаемой жидкости с постоянной плотностью р. Это легко можно проверить, если исходить из математического определения такого течения, данного в п. 8. В этом смысле, как впервые отмечено Гельмгольцем [27], данные течения могут рассматриваться в качестве возможных моделей газовой струи и следа в газе.

Неустойчивость. К сожалению, поверхности разрыва оказываются неустойчивыми 12). Как будет показано в гл. XI, п. 14, малые возмущения поверхностей разрыва возрастают по экспоненциальному закону. Скорость возрастания, грубо говоря, пропорциональна Мр7р, где р‘ и р — плотности жидкостей по обеим сторонам поверхности разрыва, причем р‘ < р. Влияние вязкости оказывается несущественным.

Вследствие указанной неустойчивости модели на рис. 5 приближенно соответствуют реальным течениям только в том случае, когда выполнено условие (1.2 *) или же когда рассматривается начальная часть струи или следа. Кроме того, если р‘ 石 р, то модель перестает быть верной вследствие влияния сил тяжести: гидростатическое давление не может быть непрерывным поперек поверхности разрыва, за исключением случая горизонтального течения.

По указанным причинам описанные модели приближенно соответствуют действительности прежде всего при выполнении следующих ограничений:

■ 千 WL (L2*)

Fr》l. (1.7*)

(При этом, конечно, предполагается, что Re》l и М«1.) Эти же ограничения (1.2 *) и (1.7 *) обычно применяются при математических обобщениях моделей рис. 5, которым в основном посвящены гл. II—X (некоторые исключения отмечены в прим. 22, гл. I и прим. 4, 7, 14, гл. II).

Эйлеровы течения. Результаты, полученные в гл. II—X, базируются на дифференциальных уравнениях Эйлера для

2* '

невязкой несжимаемой жидкости, вывод которых не представляет затруднений. Предположим, что вектор скорости и — функция радиуса-вектора х и времени f, имеющая непрерывные производные всюду, за исключением, может быть, особых поверхностей разрыва. В тензорных обозначениях

辽£ = 〃£(%[,々，％； 9，(1.8)

где，= 1, 2, 3. Несжимаемость, или сохранение объема, жидкости математически выражается условием

з

ти=£^ = 0，(1-9)

для всех х, t. При скоростях, не превышающих 20% скорости звука (т. е. не более 60 м/сек в воздухе и 280 м/сек в воде), жидкость можно считать почти несжимаемой.

Уравнения движения невязкой несжимаемой жидкости в форме Эйлера имеют вид

Здесь g = g(x) —вектор ускорения силы тяжести, р — плотность, р — давление.

Векторное поле (течение) и (х; /) называется безвихревым, если оно обладает потенциалом скорости U (х; /), градиент которого равен и(х; /), так что

u = YU, % =翁(1.И)

Очевидно, что такое безвихревое течение одновременно является течением несжимаемой жидкости тогда и только тогда, когда

(1.12)

Легко убедиться в том, что безвихревое течение несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнениям (1.10) тогда и только тогда, когда соответствующее ему давление р (х; /) удовлетворяет уравнению Бернулли )

p + ^pVUVU+p 將+ pG = &(/)・(1.13)

В уравнении (1.13) G = G(x) — гравитационный потенциал (силовая функция), так что g = —V G. Течение, удовлетворяющее уравнениям (1.11) — (1.13), будем называть течением идеальной жидкости, или эйлеровым течением.

Обратно, можно показать [51, гл. I—III], что течение любой невязкой несжимаемой жидкости будет эйлеровым, если жидкость ускоряется из состояния покоя или из любых других начальных условий с безвихревым Движением.

Свободные линии тока. Из уравнения Бернулли (1.13) следует, что скорость на границе стационарных эйлеровых течений (подобных рассмотренным в п. 7) постоянна при выполнении одного из двух следующих условий (отметим, что dU/dt = 0 в любом установившемся эйлеровом течении).

Во-первых, если плотность р‘ внутренней среды пренебрежимо мала, то давление вдоль поверхности разрыва почти постоянно, поскольку давление во внутренней среде постоянно. Это положение будет справедливо независимо от того, находится ли среда с низкой плотностью в движении или в покое. Следовательно, граница, жидкости с большей плотностью находится при постоянном давлении рс. Такая граница называется свободной границей; типичным примером является граница между жидкостью и газом.

Таким образом, если g также пренебрежимо мало (т. е. если число Фруда v2/gd существенно велико)卫,кроме того, если течение жидкости с большей плотностью стационарно, то, согласно (1.13), величина

^^U^U = p0(t)-PG0-pc

почти постоянна на ограничивающих свободных линиях тока при почти постоянном давлении рс.

Во-вторых, если р‘ = р н наружная жидкость с плотностью р‘ неподвижна, то из условия непрерывности давления при пере^ ходе через свободную границу имеем на ней

■^ pVUVU = Po(£) — рО —р —

=Ро (力—pG — [А (£) — Р‘5 =А (£) — А (/),

где pi (/) представляет собой константу уравнения (1.13) для неподвижной жидкости. Отсюда следует, что скорость потока вдоль граничной линии тока, являющейся линией разрыва (или скольжения), также постоянна, несмотря на то, что давление р может быть переменным.

Главы II—X посвящены математическому построению стацио- нарных эйлеровых течений, ограниченных свободными линиями

U(х) уравнения Лап- граничным условиям:U(х) уравнения Лап- граничным условиям:на твердой границе ина твердой границе и\^U\ = const\^U\ = const(1.146)(1.146)

U(х) уравнения Лап- граничным условиям:

U(х) уравнения Лап- граничным условиям:

на твердой границе и

на твердой границе и

\^U\ = const

\^U\ = const

(1.146)

(1.146)

тока в только что рассмотренном смысле. Это значит, что за-

дача сводится к построению решений ласа ▽?〃 = 0, удовлетворяющих двум

(1.14а)

в отыскании аналоговв отыскании аналоговна свободной границе.

в отыскании аналогов

в отыскании аналогов

В этом смысле задача заключается

течений, изображенных на рис. 5 для истечения струй из отверстий произвольной формы и для каверн за препятствиями общего вида.

Законы сохранения и струи. Вообще говоря, решение краевой задачи (1.12) — (1.14а), (1.146) требует применения методов конформных отображений или теории потенциала. Однако некоторые важные результаты могут быть получены с помощью уравнения Бернулли и простых законов сохранения. Рассмотрим вкратце некоторые результаты, связанные с истечением струй..

(1.14)(1.14)Теорема Торричелли. В качестве примера рассмотрим истечение струи из отверстия в сосуде, уровень воды в котором находится на высоте Л над отверстием. Тогда, считая, что плотность воздуха вне сосуда р‘ пренебрежимо мала, ввиду чего давление вне сосуда равно атмосферному давлению ра, по уравнению Бернулли (1.13) получим, что скорость v = \^U\ на свободной граничной линии тока удовлетворяет уравнению %+^pu=%+pg 九

(1.14)

(1.14)

или

v — У 2g 九

Последнее выражение и представляет собою теорему Торричелли.

Насадок Борда. Вообще говоря, площадь поперечного сечения струи меньше площади отверстия; отношение этих площадей Сс называется коэффициентом сжатия. Для одного частного случая коэффициент Сс можно вычислить, пользуясь теоремой о количестве движения, следующим образом. Рассмотрим сосуд с вертикальными стенками, который наполнен жидкостью плотности р и в который вставлена, как показано на рис. 6, горизонтальная трубка (насадок Борда) с площадью сечения Л |3). Пусть избыточное давление на уровне насадка равно р. Предположим, что поток отрывается 14) от трубки у ее внутренней

Рис. 6.Рис. 6.

Рис. 6.

Рис. 6.

кромки и что скорость истечения струи из трубки асимптотически стремится к постоянной скорости и> которая должна быть равна постоянной скорости на свободной поверхности струи. Пусть Л * — асимптотическая площадь сечения струи. Тогда А*/А, по определению, есть коэффициент сжатия. Вычислим его следующим образом.

Объемный расход жидкости равен vA *; поток количества движения равен pv2A *; поток кинетической энергии равен 彳ргЛ4n С другой стороны, изменение количества движения равно рА (избыточное давление), изменение потенциальной энергии равно p(vA *). Следовательно, рА = ру2Л* и pvA* = =у Ру3^ *. Умножив первое уравнение на и н разделив на второе, получим

1

4 =(1」5)

Справедливость полученного результата не ограничивается плоскими течениями, он в равной мере пригоден и для цилиндрических насадков. (В гл. II, п. 5 дается полное исследование плоского течения через насадок Борда.)

Проникновение струй. Пусть однородная струя жидкости плотности р； с конечной длиной 入 набегает со скоростью U)на неподвижную мишень плотности р (рис. 7, а). Относительно наблюдателя, движущегося со скоростью проникновения струи 辽，процесс является стационарным. Струя и мишень движутся к общей критической точке со скоростями соответственно Vj —卫 и 卫(рис. 7, б). Следовательно, теорему Бернулли можно применить к обеим средам; приравнивая между собой давления в критической точке, найдем, чтоу ру(т/у —и)2 = -^ ри2. Применяя это уравнение для вычисления отношения скорости проникновения и к скорости s’ ——以 с которой струя «съедается», получаем 15) отношение

Глубнна проннкнов^ння —Длина струи

Полученный результат вполне удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными для кумулятивных зарядов, однако возможность применения его для инъекций или для сверления отверстий в зубах (п. 1) сомнительна.

Кумулятивные заряды. В качестве последнего примера рассмотрим кумулятивный заряд (см. п. 1) с конической или клиновидной выемкой |6), показанный на рис. 7,8 На теневых рентгеновских фотографиях, снятых с выдержкой в доли микросекунды, было обнаружено, что при разрушении наклонных стенок

Металлическая клиновидная оболочка I—Металлическая клиновидная оболочка I—ДетонаторДетонаторВоспламенительВоспламенительГГГГlJ— — — —Детонационная волнаlJ— — — —Детонационная волнаРис. 7,Рис. 7,升一升一

Металлическая клиновидная оболочка I—

Металлическая клиновидная оболочка I—

Детонатор

Детонатор

Воспламенитель

Воспламенитель

ГГ

ГГ

lJ— — — —

Детонационная волна

lJ— — — —

Детонационная волна

Рис. 7,

Рис. 7,

升一

升一

детонационной волной (рис. 7, г) впереди движущейся точки встречи стенок образуется тонкая струя, а позади — более толстая, так называемый стержень.

Приближенно наблюдаемые факты могут быть объяснены с помощью следующих упрощающих допущений: 1) давление проходящей детонационной волны импульсивно сообщает стен

кам скорость и。, после чего изменением давления можно пренебречь; 2) с точки зрения наблюдателя, перемещающегося вместе с точкой встречи стенок, процесс является почти установившимся. Отметим, что направление движения почти совпадает с биссектрисой угла р — а между нормалью к первоначальной поверхности оболочки и нормалью к поверхности разрушающейся оболочки, где 20 ——угол между разрушающимися стенками оболочки.

Если т обозначает всю массу разрушенной за единицу времени оболочки и znj — соответственно массу образовавшейся струи, то по закону сохранения вещества масса стержня будет равна ms = т ——mj. Далее, из принятых допущений 1) и 2)

следует применимость уравнения Бернулли (п. 9), так что все поверхности имеют одинаковую скорость свободной границы и2- Таким образом, при разрушении стенки струя и стержень удлиняются одинаково.. Поэтому уравнение количества движения имеет простую форму

“л? cos g 十 恤5 = rrtjV2.

Учитывая, что m^ + ms = m, получаем

加/ 1 — cos § ms 1 + cos ₽

=n，=不.( 1 • 1 / ) m2 m2''

Скорость, с которой движется точка встречи, вычисляется из геометрических соображений: s = % cos %(8 — а) ■ sin"1 р. Отсюда легко найти абсолютные скорости струи и стержня, равные соответственно s + и2 H s—v2-

Некоторые ограничения применимости этой приближенной теории, обусловленные сжимаемостью, будут обсуждены в гл. VIII, п. 9. Полное описание поля скоростей в плоском случае (клиновидные выемки) дано в гл. III, п. 4. Если обратить

течение, то получается теория рассеяния по коническим поверхностям двух сталкивающихся соосных струй.

Применение законов сохранения к кавернам. Подобные элементарные методы могут быть использованы для получения

полезных сведений о кавернах, удо

Р и с. 8.Р и с. 8.влетворяющих приближенным условиям п. 3.

Р и с. 8.

Р и с. 8.

Минимальное число кавитации. А? В качестве первого примера опреде

лим минимальное число кавитации для установившегося кавитационно-

го течения в кавитационной трубе

(рис. 8). Рассмотрим 17) течение невязкой несжимаемой жидкости, имеющей стационарную границу с газом, обладающим пренебрежимо малой турбулентностью. Далее предположим, что в кавитационной трубе с площадью поперечного сечения Ло имеется равномерный набегающий поток со скоростью и。и что скорость равномерного свободного потока вниз по течению становится равной Ui, когда площадь каверны достигает своего максимума 4・

Приращение количества движения жидкости в единицу времени равно р叱4 —р圖4，где 4 = До — Дс. Полная сила, дей

ствующая на жидкость, равна (Ри — pv)Ao — D, где р0 —давле- нне вверх по потоку в свободной струе, pv — давление паров в каверне, D — сопротивление облекаемого тела. Отсюда

р*4 — р%4 = (% — ％) Ao — D.

По уравнению Бернулли, р0+р^/2 = р^ + рм；/2; вследствие несжимаемости потока v}A} = и%» После подстановок получаем

D = р4 [у (叫一哨 + (% — %) %] = ^ Р& Q1 —砌2 • (1.18)

Применяя снова уравнение Бернулли и определение (1.3), имеем

Q =(款)2 — 1，или (1 + Q)%=^,(1.18，)

откуда, выразив, как обычно, коэффициент сопротивления через поперечное сечение препятствия Л и скорость вверх по потоку % = и『，так что .

\ ^о J А

получим точное соотношение

CD = [(l + Q)，/2-l]24(1」9)

Следовательно, Q не может быть меньше минимального числа кавитации Qmin, определяемого соотношением

• Q》QmM = 2 &)%(£『.(1.19，)

Поскольку CD обычно изменяется в пределах 0,0625—1,00, то практически (Л/Ло)*/2/2 < Qmin < 2 {А1А^1г^ Таким образом, чтобы получить Q = 0,05, необходимо иметь отношение Ло/Л равным не менее 400. Но поскольку это нереально, то можно заключить [9], что исследование кавитации при Q < ОД предпочтительнее проводить в свободной струе, а не в закрытой кавитационной трубе.'

Сопротивление 〃 число Q. Предполагая, что распределение давления с точностью до масштабного коэффициента не зависит от Q, можно получить очень полезную приближенную формулу 18)

Cd(Q)^'\^Q)Cd^(1.20)

которая следует из того, что по уравнению Бернулли коэффициент давления Ср изменяется от 1 в критической точке до —Q в каверне.

Согласно определению (1.36), формула (1.20) с успехом может применяться также и для следов. Она дает зависимость между теоретическим значением CD(0) при Q = 0 и действительным значением CD. Вообще применима также другая приближенная формула

i—C0(Q)=(i + Q)[i—c网(i.2(y)

Размер каверны. Аналогичное приближенное рассуждение дает довольно надежную оценку размера каверны. Этот размер играет важную роль в баллистике, так как убойная сила пуль часто зависит больше от образуемой ими каверны, чем от их пробивной способности 19).

(1-21)(1-21)В основе этого рассуждения лежит предположение, что течение вокруг замкнутой каверны за снарядом, движущимся с большой скоростью, имеет в основном радиальное направление. В частности, можно предполагать, что сопротивление D = =^v2ACD [см, (1.7)], рассматриваемое как сила, приложено к жидкости и определяется изменением кинетической энергии на единицу длины перемещения. Принимая, далее, что почти вся эта кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию (работу расширения каверны) при максимальном поперечном сечении каверны Лт, получим у ^ACD = (pz — р^ Лт) или20)

(1-21)

(1-21)

Аналогичным образом, в случае открытой каверны, простирающейся до поверхности воды, можно предположить, что работа затрачивается на преодоление гидростатического давления pgp на глубине у. Отсюда имеем приближенную формулу

Am (у) ' или = Г •・(1.219

m \ 〃 ^gy，A 2gy、/

Этот приближенный анализ будет развит далее в гл, X, п. 6.

Идеальные плоские течения. Для полного определения идеальных (эйлеровых) течений, удовлетворяющих условиям (1.12), (1.14а) и (1.146), требуются более совершенные методы. Наиболее простыми являются идеальные плоские течения. Гл. II—VII в основном посвящены исследованию этого случая, являющегося единственным, для которого существует законченная точная теория.•

В плоском течении положение точки на физической плоскости может быть определено единственной комплексной координатой z = х + iy. Сопряженную комплексную величину вектора скорости обозначим g =占 +，％ так что ^ = щ н г)=——w2. Если комплексный потенциал W определим как U + iV, где U — потенциал скорости, V ——функция тока, то, как известно из классической теории [51, 18*] идеальных плоских течений, W (z) является комплексной аналитической функцией, причем

需=* 2 = /laV，(1,22)

Соответственно краевые условия (1.14а) и (1.146) переходят в условия

V= const(1.22а)

на твердой границе и

Q=|* = const(1.226)

на свободной границе.

В некоторых случаях, когда твердые границы имеют прямолинейную или полигональную форму, идеальные плоские течения, удовлетворяющие условиям (1.22), (1.22а) и (1.226), могут быть найдены с помощью конформного преобразования, причем решение получается в замкнутом виде. Гл. II, III и V будут посвящены разработке этого метода, впервые примененного в 1868—1869 гг. Гельмгольцем [27] и Кирхгофом [44].

Случай криволинейных стенок, теоретически значительно более сложный, рассматривается в гл. VI. Несмотря на то, что многие основные идеи теории были даны Леви-Чивита [53] еще в 1907 г., лишь только около 1930 г. эта теория была завершена теоремами существования и единственности. Эти теоремы доказываются в гл. VII; в п. 1 этой главы дается краткий исторический обзор.

Общие теоремы. Хотя большая часть гл. II—XI посвящена исследованию частных случаев, для которых течение может быть построено в явном виде, очень важно знать некоторые общие свойства идеальных струйных течений. Мы начнем с одного результата, принадлежащего Кирхгофу 21).

Теорема 1. В любом, течении, удовлетворяющем уравнениям (1.12), (1.13), минимум давления достигается на границе.

Доказательство. Применяя оператор Лапласа к (1.13) и замечая, что V2G = 0 [42, стр. 124], после преобразований получаем

0 = V2p4-lpV2(VUVU) = V2p + р 工 VM，VM..

Ясно, что V% •▽%》()； следовательно [42, стр. 316], давление является супергармонинеской функцией и принимает минимальное значение на границе. Отсюда с учетом условия (1.16) следует, что кавитация в безвихревом течении (но не вихревая кавитация) должна начинаться на границе.

Теперь рассмотрим общий кинематический принцип, установленный Бриллюэном [13].

Теорема 2 (принцип Бриллюэна). В установившемся безвихревом течении линии тока искривляются в направлении возрастания скорости.

Доказательство, Компоненты ускорения частиц жидкости удовлетворяют, по определению, соотношениям

В у duk 0 /1 У 八 Ои

где v = (2 辽^)为 обозначает скорость течения. Следовательно, вектор ускорения параллелен градиенту скорости Vv.

В предыдущих теоремах течение предполагалось безвихревым. Далее приводится результат, относящийся к динамическому подобию, в котором указанное предположение отсутствует, однако не учитывается влияние силы тяжести.

Теорема 3. Если Ф — установившееся течение невязкой несжимаемой жидкости со свободной границей, то для любых действительных постоянных чисел а, 0, 了 > 0 卫方 преобразования хЛ = ах, и' = 0и, р，= тр 卫 р，= (^)р + 3 определяют установившееся течение ФЛ, также удовлетворяющее уравнениям Эйлера.

Утверждение теоремы непосредственно проверяется подстановкой в уравнения (1,9) и (1,10), в которых пренебрегается ускорением g и не учитывается d/dt [7, гл. IV, п, 16]. Указанное преобразование переводит свободные границы в свободные границы и определяет скорость эйлерова течения U' = оф(Л При этом все безразмерные коэффициенты, такие как CDt Q (1.3а) и другие, остаются неизменными.

Следствие. При определении эйлерова течения со свободными границами можно полагать р = и『=1 и (например) d = £ без потери общности.

Целый ряд других результатов общего характера будет получен ниже в гл. IV и VII.

Приложения. Из общих теорем п, 13 вытекает ряд очень важных результатов, которые мы представим в виде следствий, относящихся к установившимся плоским и осесимметричным течениям невязкой невесомой жидкости.

Следствие 1. Если выполняется условие (1.16), то Q》0 〃 каверны должны быть выпуклыми.

Доказательство. Так как из (1.16) следует, что p^»Ps то очевидно, что Q》0. Далее, поскольку ускорение жидкости Du/Dt = — Vp/p, ускорения должны быть направлены к каверне, если там давление минимально.

Этот результат, как и теорема 1, хорошо согласуется с наблюдениями.

Следствие 2. Для каверны конечных размеров скорость на границе каверны постоянна, 〃 поэтому существование критической точки на ней невозможно.

Доказательство. Согласно теореме Бернулли, вдоль линии тока [62, гл, 1] постоянному давлению в каверне соответствует постоянная скорость (как и в следствии 1, течение не предполагается безвихревым).

Следствие 3. Каверна конечного размера, вдоль граница которой скорость меняет знак, должна иметь точку заострения 卫 Q《0.

[Относительно подобных каверн см. гл. V, п. 14 и гл. VI, п. 10. Применяя принцип строгого максимума (гл. IV, п. 9), можно доказать, что Q < 0.]

Следствие 4. Если выполняется условие (1.16), то каверна за простым выступом имеет бесконечную длину и Q = 0.

В связи со следствием 4 возникают принципиальные трудности теоретического характера, поскольку для реальных каверн (и следов) Q > 0. Эта трудность преодолевается введением фиктивных стенок или возвратных струй на заднем конце каверны (см. гл. II, п. 8, гл. III, п. 8 и гл. V, п. 9). Это впервые было показано для следов Рябушинским в 1920 г. [74, 75] и распространено на каверны Вейнигом в 1932 г. [43, стр. 294—300].

В случае криволинейных препятствий имеется вторая менее серьезная трудность, которую не учитывал Леви-Чивита и на которую впервые указал Бриллюэн в 1911 г. [13], а именно: положение точки отрыва оказывается неопределенным даже для бесконечных каверн. (В случае плоской пластины во избежание бесконечно большой скорости и кавитации отрыв задается у острых кромок. Этот факт отмечался еще Гельмгольцем в 1868 г. [27].)

Для определения положения точки отрыва потребовалось применить искусственный математический прием (гл. VI, п. 6), физический смысл которого был выяснен [с использованием условия (1.16)] лишь недавно [7, гл. II, п. 5]. Для широкого класса двумерных препятствий, включая круговые цилиндры, следующие условия оказываются эквивалентными: 1) отрыв происходит как можно ближе к критической точке, 2) давление минимально на поверхности каверны, 3) каверна имеет выпуклую форму, 4) кривизна каверны в точке отрыва конечна.

Эффективные методы вычисления; обобщения. Теория идеальных плоских течений (гл. VI—VII) и ее завершение с помощью эффективных вычислительных методов (гл. IX) является для математика кульминационным пунктом всей книги и представляет собою полное решение трудной краевой задачи теории потенциала, интересовавшей математиков в течение почти 吟 ЛОГО столетия.

Последний шаг, заключающийся в разработке эффективных вычислительных методов, вряд ли имел бы практическое значение, если бы не последние достижения в области быстродействующих вычислительных машин. Мы сочли этот последний шаг очень важным и поэтому посвятили ему целиком гл. IX.

Однако успех в разрешении этой задачи дает очень мало оснований для успокоения. В теории идеальных плоских течений не учитывается влияние сжимаемости, сил тяжести и вязкости. Более того, в ней игнорируется неустойчивость (по Гельмгольцу) поверхностей разрыва и турбулентность потока. В остальной части книги обсуждаются попытки учета указанных факторов, а также возможность построения трехмерных струйных течений.

Прежде всего рассматривается возможность непосредственного обобщения методов теории функций комплексного переменного. Так, в гл. VIII анализируются плоские течения сжимаемой жидкости без учета влияния силы тяжести (и вязкости) и плоские течения несжимаемой тяжелой жидкости. В первой из указанных выше задач с успехом применяется достаточно общая теория Чап-лыгина [93] и его последователей.

В гл. X рассматриваются установившиеся осесимметричные эйлеровы течения со свободными границами. Несмотря на отсутствие точных аналитических формул и несмотря на наличие лишь небольшого числа достаточно точных численных решений, для частных случаев известно много приближенных результатов. Кроме того, развиваются прямые численные методы, с помощью которых можно надеяться в ближайшее время решить эту задачу.

Исследование неустановившихся (т. е. зависящих от времени) потенциальных течений в гл. XI имеет особый характер. Несмотря на то, что рассматриваемые течения весьма важны для приложений, полученные результаты относятся в основном к простым симметричным конфигурациям свободных границ и возмущений (цилиндрической и сферической кавитации), допускающим применение метода разделения переменных. Единственными исключениями являются импульсные и автомодельные течения, в которых от переменной времени удается избавиться другим способом.

Вязкость и турбулентность. Наше понимание влияния вязкости и турбулентности на струи и следы еще менее полно. Поэтому в гл. XII——XIV, посвященных этим эффектам, принят полуэмпирический подход.

Этот подход резко отличается от принятого в гл. II——XI, в которых главным образом разбираются корректные решения корректных краевых задач потенциальной теории. Для нелиней- ннх уравнений Навье — Стокса, которые, по-видимому, описы-

вают вязкие и турбулентные струи и следы, неизвестны какие- либо точные решения, относящиеся к этой задаче, за исключением случая 《ползущего》течения при Re<l.

В гл. XII и XIV почти вся теория представляет собой немногим больше, чем интерпретацию уравнений сохранения количества движения (которая значительно сложнее, чем это может показаться, судя по теории невязкого течения) в сочетании с соображениями подобия при асимптотическом поведении. Сверх того, даже указанная весьма неполная теория не всегда выдерживает критику; это особенно относится к понятию «длины смешения》， несмотря на популярность, которой оно пользуется.

Еще большее значение эмпирический подход имеет в гл. XIII, в которой рассматриваются удивительные периодические явления, происходящие (см. п. 5) при числах Рейнольдса, лежащих между значениями, соответствующими типичным ламинарным струям и следам, с одной стороны (гл. XII), и типичным турбулентным струям и следам, с другой стороны (гл. XIV).

Какими бы неприемлемыми для математика ни казались рассуждения гл. XII—XIV, они содержат важные научные факты и их интерпретацию. Что касается весьма важных задач истечения жидких струй в жидкость, газовых струй в газ и реальных следов, то в настоящее время эти рассуждения дают наилучшее научное истолкование. Теоретические модели потен* циальных течений, приведенные в гл. II—X, слишком неточны, несмотря на некоторые исключения 22). Мы надеемся, что те, кто считает анализ, проведенный в гл. XII—XIV, неприемлемым, сделают попытку улучшить его!

Другие физические переменные. Как и в большинстве других разделов механики сплошной среды, даже те задачи, которые слишком сложны для математического решения, с точки зрения физики слишком просты. Для завершения нашей реалистической оценки теории струй, следов и каверн мы приводим в гл. XV описание ряда важных эмпирических фактов, связанных с физическими переменными, которые полностью игнорировались в гл. II——XIV.

Некоторые из этих переменных перечислены в гл. XV, п. 1. Мы хотели бы здесь отметить, что реальные струйные течения, следы и каверны чрезвычайно сложны. Успешная математическая разработка любой из упрощенных моделей может считаться обнадеживающим шагом на пути к следующей, более реальной модели.

Если иметь в виду эту точку зрения, то расположение материала в книге должно представляться вполне логичным, несмотря на его разпороднсст!. Последовательно проводится деталь*

ное исследование все более сложных явлений или их математических приближений. На каждой стадии усложнения мы пытаемся построить картину уже известного явления, описывая ее возможно более рациональным образом. По мере усложнения мы постепенно переходим от теорий, известных в течение некоторого времени, к идеям, высказанным недавно, затем к теориям, имеющим фрагментарный п незавершенный характер, и наконец, к простому изложению экспериментальных фактов, количественное истолкование которых еще совсем не ясно.

Следуя этому плану, мы теперь обратимся к изучению простейших после параллельных течений (п. 7) математических моделей струй и каверн. Вплоть до гл. VIII мы будем рассматривать исключительно безвихревые стационарные течения невязкой жидкости, ограниченные неподвижными и свободными линиями тока, и учитывать только силы инерции. Мы будем считать, что эти течения описывают поведение струй жидкости в воздухе и каверн позади препятствий в потоке большой скорости, забывая (временно), что реальные течения подвергаются также действию сил тяжести, поверхностного натяжения и вязкости.

ПРИМЕЧАНИЯ

Birkhoff G., McDougall D. P., Pugh E. M„ Taylor G. L, Explosives with lined cavities. J. Appl. Phys., 19 (1948), 563—582.

Black R・ B., J. Am. Dental Assn., 41 (1950), 701—710; Dunne B., C a s s e n B., G a s s H., UCLA Rep. UCLA 212, 1952.

Thomson J., Papers in physics and engineering, pp. 26—35; G i b- s о п A. H., Hydraulics and its applications, 4th ed., § 213; S t о d о 1 a A., Loewenstein L. C., Steam- and gas turbines, N. Y., 1945, § 152, 154; G о s 1 i n e J. E., O'B г i e n M. P., The water jet pump, Univ. Calif. Press, 1934.

Относительно применения реактивной тяги в судостроении сМ. Brin С. В., Trans. Inst. Nav. Arch., 12 (1871), 128—149; Gibson A. H., цитированная выше работа, § 136, 137. (Первые предложения принадлежат Д. Бернулли и Л. Эйлеру [42*].——Прим, ред.) Вопросы авиационной реактивной техники подробно рассматриваются в 12-томной серии «Аэродинамика больших скоростей и реактивная техника», издание Принстонского университета (США). На русский язык переведены следующие тома: т. II, Процессы горения (ред. Б. Лыоис и др.), Физматгиз, 1961; т. III, Основы газовой динамики (ред. Г. Эммонс), ИЛ, 1963； т. V, Турбулентные течения и теплопере^ дача (ред. Линь Цзя-цзяо), ИЛ, 1963； т. VI, Общая теория аэродинамики больших скоростей (ред. У. Р. Сирс), Воениздат, 1962； т. VII, Аэродинамика частей самолета при больших скоростях (ред. А. Р. Доновэн и др.), ИЛ, 1959； т. IX, Физические измерения в газовой динамике н при горении (ред.

3 Г. Биркгоф

Р. У. Ладенбург и др.), ИЛ, 1957； т. VII, Реактивные двигатели (ред. О. Е. Ланкастер). Воениздат, 1962. — Прим, ред} См. также Keenan J. G.. Gas turbines and jet propulsion, Oxford Press, 1946, ch. XII. (Заслуживает также упоминания применение идей и методов теории струй в вопросах фильтрации [32*], а также в теории аппаратов на воздушной подушке [41*].— Прим, ред.)

Gen. elec, review, 56 (1953), 42—47.

) Flachsbart О., ZAMM, 15 (1935), 32—37, рис. 7a — 7f. О влиянии числа Re см. [8].

См. работу [7, гл. 1, п. 6]. Исключением является индуктивное сопротивление аэродинамических крыльев конечного размаха с острыми выходными кромками [31, § 12].

V а 1 е п s i J., G u i 11 о п d е L., Bull. Assn., Tech. Marit. Aero., 47 (1948), 180—182; Lanchester F. W., Aerodynamics, 4th ed., Lnd., 1908, p. 41. Относительно следов и сопротивления см. там же § 30 и стр. 129—137. Относительно следов и струй см. Taylor G., Riabouchinsky Anniv. Vol., pp. 313一 317.

Euler L., Hist, de VAcademie Ro у ale Berlin, 10 (1754), 227—295; о современной графической интерпретации см. Knapp R. Т., Trans. Inst. Meeh. Eng., Lnd„ 166 A (1952), 150—163.

Bowden F. P., Y о f f e A. D., The initiation and growth of explosions in liquids and solids, Cambridge Univ. Press, 1952, §§ 3.1, 3.2, 4.1.

L о о С. C. et al„ J. Dairy Set., 33 (1950), 692—702.

Первую ясную картину течения в следе позволили получить фотографии, выполненные с выдержкой 0,01 сек или менее. См. A h 1 b о г п L., Uber den Mechanismus des hydrodynamischen Wrderstandes, Hamburg, 1902. Относительно струй см. [72, т. 3, стр. 444].

")Возможность существования подобных поверхностей разрыва была отмечена еще Ньютоном в его труде Principia Mathematica, т. II, предложение 36, однако его рассуждения оказались ошибочными. (Русский перевод см. в Собрании трудов А. Н. Крылова, т. VII, М.—Л., 1936. — Прим. реО.)

Это было обнаружено Гельмгольцем [27, стр. 222] и ранее Стоксом [Stokes G・，Trans. Cambr. Phil. Soc, 8 (1843), 127],

См. Прандтль Л. и Г и т ь e н с О., Гидро- и аэромеханика, М.—Л., т. I, 1933. Этот вывод приведен у Борда [Borda J., Mem. d? VAcademie (1766), 599]. См. также J. Thomson, цитированная выше работа в прим. 3, стр. 91—96.

н) Это случай «свободного течения»； см. Gibson А. Н., Hydraulics and its applications, 4th ed., Lnd., 1947, p. 122. Может иметь место также течение с последующим заполнением сечения насадка,

Результат был получен Хиллом, Моттом и Паком в Англии в период второй мировой войны.

Дополнительные сведения см. В i г k h о f f G., McDougall D. P., Pugh E. M., Taylor G., J. Appl. Phys., 19 (1948), 563—582, откуда взято приведенное ниже изложение. Распространение на нестационарные условия см. Pugh Е. М., Eichelberger R.工，R о s t о кег N.,丄 Appl. Phys., 23 (1952), 532—542. См. также Eichelberger R. J,, там же, 26 (1955), 398— 402; 27 (1956), 63—68. (Струйная модель действия кумулятивного заряда независимо разработана М. А. Лаврентьевым, хотя и опубликована позже [21*], [23*, стр. 316]. — Прим, ред.)

Приведенное рассуждение цитируется дословно по работе [9, ч. 1, § 2]. Предполагается, что силой тяжести можно пренебречь.

формула (1.20) представлена в [2] в неявной форме. Дальнейшее обсуждение см* в работах [68], [9] и [1, стр. 38]. (Как отметил М. И. Гуревич, эта формула может быть обоснована путем разложения некоторых точных решений в ряд по Q* См* также результаты расчета CD (Q) на диаграмме 1 L— Прим, ред.)

С г а п z С., Handbook of Ballistics, VoL 1, § 74, Lnd., 1921.

Формула (1.21) была выведена в 1945 г. независимо Рейхардтом [68] и Лумисом. Вычисленное по ней значение Q на 25% меньше, чем значение, полученное по более точным теориям (гл. V, п. 9). Формула (1.2Г) получена в 1944 г. Макмилленом.

Kirchhoff, Vorlesungen uber Mechanik, 1876, S. 186; см. также В о u 1 i g a n d G., /. rfe math., 6 (1927), 427, или [7, гл. III].

Например, успешное приближенное определение коэффициентов расходов при истечении струй из отверстий. См. гл. II, примечания 4, 7 и 14,

ГЛАВА II

Г одографы в виде кругового сектора

Введение. Напомним (см. гл. 1, п. 12), что математическая теория плоских течений идеальной жидкости оперирует с тремя комплексными величинами: координатой точки z = х +/у, комплексным потенциалом W = U 1У/ и комплексной (сопряженной) скоростью ^ = ^ + ^ от вектора скорости

= Е ——/т]- Напомним также, что

若=с,2 = J ^dW.(2.1)

Годографом такого течения называется просто геометрическое место значений g.•

В гл. II, III и V мы будем рассматривать течения, ограниченные плоскими пластинами и свободными линиями тока. В таких случаях граница годографа будет состоять из отрезков радиуса и дуг окружности с центром в точке g = 0, так как g имеет постоянное направление вдоль любой' пластины и постоянную величину на любой свободной линии тока.

В гл. II и III мы будем исследовать течения, ограниченные одиночной пластиной или клином (который может, однако, проходить через бесконечно удаленную точку) и единственной свободной линией тока. Типичными примерами таких течений могут служить кавитационное течение за симметричным клином (рис. 9, а) и струя, истекающая из воронки (рис. 9, б). Если мы предположим, что имеется самое большее одна критическая точка, то из этого следует, что граница течения отображается на границу кругового сектора в плоскости годографа. Согласно гл. 1, п. 13, можно считать, что этим сектором (после подходящего изменения единиц измерения и координатных осей) является область Г (рис. 9,8), которая определяется для некоторого положительного п следующими неравенствами:

O《argC《^・(2.2)

В дальнейшем будем предполагать такую нормировку во всех наших формулах.

В настоящей главе примем, что: 1) область годографа однолистна (т. е. для данного g внутри Г имеется только одна точка z, в которой скорость равна g*)・ Определяя область изменения комплексного потенциала W эйлерова течения как геометрическое место всех значений 呼(2), сделаем также обычное предположение, что: 2) область W является односвязной и однолистной. В таких случаях течение можно определить, используя элементарные конформные отображения.

Р н с. 9,Р н с. 9,

Р н с. 9,

Р н с. 9,

В общих чертах рассматриваемое конформное отображение применяется следующим образом. Функция / =仃 отображает область Г на полукруг, который в свою очередь с помощью функции 7=——彳(£ + £一1) отображается на верхнюю полуплоскость Д

Im ⑦ >0.(22)

Легко видеть, что для любых действительных чисел, 〃，6, & d при условии, что 〃Z > Ьс, функция Т = (〃 7 + Ь)/(сТ + d) дает однолистное (т. е. взаимно однозначное) отображение области Д самой на себя. Эти факты элементарно доказываются.

Основная теорема единственности конформного отображения 1) утверждает, что это отображение является единственным из однолистных отображений области Д самой на себя. Из сказанного немедленно следует теорема.

Теорема 1. Наиболее общее однолистное отображение области Г на область А имеет вид

T_。e也+1) + 2分丁少心

—F(屮+l)+ 2db '丿

?de 〃, b, c, d — действительные параметры и ad < be.

Отметим далее, что любое течение ограничено линиями тока, так что на плоскости комплексного потенциала W оно ограни- чено отрезками прямых, параллельными действительной оси.

Таким образом, рассматриваемое отображение является частным случаем преобразований Шварца — Кристоффеля [42, стр. 370].

Теорема 2. Если область комплексного переменного W полного течения односвязна, то существует однолистное отображение, которое переводит область А на область в плоскости W 〃 имеет вид „

dT^C ⑵4)

где Лй Bh действительны, так что f(T)——рациональная функция с действительными коэффициентами.

Так, например, в случае кавитационного течения за клином область изменения W оказывается неограниченной плоскостью с разрезом; следовательно, W = Т2 и f(T) = 2Т при соответ' ствующем определении постоянных 〃, b, с, d в (2.3). В случае истечения струи из воронки область W имеет вид бесконечной полосы, здесь W = k\n Т, откуда f(Т) = k/T. Другой случай рассматривается в лемме 1 п. 6. Отметим, что во всех случаях ком* плексный потенциал W определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, не имеющей физического значения.

Следствие. В предыдущих предположениях комплексная координата является интегралом рациональной функции от gn и g, поскольку Т, согласно (2.3), — рациональная функция от

z = f ^f(T)dT. (2.5)

Общий метод получения z(g) в замкнутой форме при рациональных числах п дан в п. 9. Частные случаи рассмотрены в п. 2—8. Прежде всего кратко излагается физический смысл каждого случая; это изложение сопровождается подробными вычислениями. Мы надеемся, что, приводя эти подробности (ко* торые, как ни странно, трудоемки на практике), мы сэкономим много времени у заинтересованных читателей.

Каверна за пластиной. Рассмотрим сначала теоретическую каверну за горизонтальной пластиной, составляющей угол а с направлением безграничного потока. Случаи а = 90°, а = 45° и а = 15° показаны на диаграммах 1—3 приложения. Отметим, что при а = 15° точка разветвления находится ближе к передней кромке пластины и что соседняя с ней свободная линия тока делает очень крутой поворот навстречу течению, чтобы принять потом направление основного потока.

В этой модели, первоначально предназначенной для объяснения сопротивления, связанного с образованием следа 2), недооценивается действительное давление жидкости, для получения которого необходимо ввести коэффициент (1 + Q), равный при-

экспериментальные данные；теоретические кривые, исправленные с учетом экспериментальных значений Q.экспериментальные данные；теоретические кривые, исправленные с учетом экспериментальных значений Q.

экспериментальные данные；теоретические кривые, исправленные с учетом экспериментальных значений Q.

экспериментальные данные；теоретические кривые, исправленные с учетом экспериментальных значений Q.

близительно двум при а > 15。(«угла срыва», при котором поток отрывается). Здесь Q =(pz — pfi)/^ p^J— коэффициент разре

жения в следе, как в гл. 1 (Ру — давление свободного потока, рв—давление в следе, и『一скорость свободного потока). При углах а < 15° в модели недооценивается «подъемная сила» действительного профиля со значительно большими коэффициентами.

Однако, помимо важности этой модели для кавитационной теории при Q = 0 и помимо ее исторической значимости, она дает удовлетворительное представление о форме следа (диаграмма 11 приложения). Теорети

ческая критическая точка

и центр давления, показанные на рис. 10, также согласуются с наблюдениями. Наконец, эта модель при а > 15° дает хорошее

представление о распределении давлений вдоль плоской пластины, если коэффициент давления Ср исправлять по прибли* женной формуле (1.20‘) (Ср)аксп. = (1 + Q) (Ср)теор.・

(26)

Сравнение теоретических и экспериментальных данных показано на рис, 11.

Годограф рассматри* ваемого течения есть по*

лукруг Г (2.2) при л = 1, поскольку на горизон* тальной пластине скоро*

сти имеют горизонтальные направления (白一действительное). Очевидно, что к задаче применимы теоремы 1 и 2; кроме того, как

и в п. 1, W = Т2 при соответствующем выборе постоянных в формуле (2.3). Чтобы определить эти постоянные, отметим, что g = 0, когда в критической точке Г = 0. Исходя из этого, в формуле (2.3) а = 0 и be > Q. Разделив числитель и знаменатель (2.3) на получим

7 = у —2(^+1， ⑵ 7)

где fe > 0, С — действительное.

Согласно теории подобия (гл. I, п. 13), при вычислении безразмерных величин можно принять 2々=1; при таком выборе значения k положим 呼=Т? в формуле (2.1) и используем формулу (2.7), тогда после интегрирования по частям находим:

2 一 Г dWff 或(2 74

N —J g — g 十 J У — g 十 J (С2 —2CC + 1)2 . I "丿

На бесконечности ^ = e-/« и UZ=8； следовательно, C = cos a. Разлагая подинтегральное выражение (2.7‘) на простые дроби и интегрируя в комплексной области, получим

—(2.8) G —2以+1)2 1 2s2 [《2 — 26+1) 2s U —I 丿 Где S = sin a. В результате приходим к выводу, что наиболее общее идеальное кавитационное обтекание пластины подобно течению, удовлетворяющему соотношениям (2.7)〃(2.8)

при 2々=1.

Подробные формулы. Существует широко развитая методика преобразований «элементарных» комплексных выражений, подобных формулам (2.7) и (2.8)； необходимая для получения простых явных выражений для действительных величин, представляющих физический интерес. Дадим некоторые применения этой методики.

На пластине 白 принимает действительные значения; полагая т = g — С, так, чтобы выполнялось равенство ^2 — 2С； + 1 = =т2 + S?, можно проинтегрировать выражение (2.7) в действительной форме [35, формула (120.2)] и получить

z(9= B；s2)2 +莎{ i：2_ps2 +« arctg^y }+^jr・ (29)

Постоянная интегрирования к/4sз выбрана так, чтобы согласовать формулы (2.9) и (2.8).-

Из формулы (2.9) находим, что ширина пластины для нашего выбора размерностей 2々=1 в формуле (2.7) равна

匕=z ⑴—z(_ 1) = §т 十事，(2.10)

Коэффициент давления С「= (1 — |$|2)/2 также легко находится как функция от величины z/b, что позволяет рассчитать теоретические кривые, приведенные на рис. 11. Положение критиче* ской точки определяется по формуле

л - ал - а22

л - а

л - а

2

2

Кроме того, поскольку 《一действительная величина, то на пластине |$2| = f； следовательно, общая сила 尸，действующая на пластину, в согласии с уравнением Бернулли равна интегралу 尸=^“ J(l—?)dz=^“ J«T_0dW, (2.11)

который берется вдоль пластины в направлении возрастающих значений з. (Давление за пластиной соответствует принятой ранее скорости на свободной линии тока С = L) Интегрирование в формуле (2.11) можно легко выполнить по табличным формулам [35, стр. 26], подставляя -^dW = Т dT в (2.11) и исполь^ зуя (2.7). Таким образом, получим

尸一(2.па)

откуда на основании (2.10) получаем

й 2D2hS2й2冗SCС

分=而=^:^ Н G =(2.116)

Формулы (2.116), будучи безразмерными, применимы к любому идеальному кавитационному течению около пластины (см. гл. I, п. 13). Так, например, предсказанное сопротивление имеет максимальное значение CD = 0,88 при а = 90°, а подъемная сила максимальна при а ^ 37°30‘. Чтобы вычислить момент «элементарными методами», нужно (следуя Рэлею) ввести биполярные координаты, например посредством комплексной подстановки

(2.12)(2.12)а) — К —

(2.12)

(2.12)

Интегрируя тригонометрические функции от со, можно найти момент относительно центра пластины в виде [51, § 77]

(2.13)(2.13)пластины на рас-(2」3‘)пластины на рас-(2」3‘)Зтерс^is^

(2.13)

(2.13)

пластины на рас-

(2」3‘)

пластины на рас-

(2」3‘)

так что центр давления отстоит от центра СТОЯНИИ

ЗС ЗСЬ

*= f55r= 4(4 +冗S)'

Отметим, однако, что как формула (2.11а), так и формула (2.13) выводятся более эффективно из менее элементарных асимптотических формул гл. IV, п. 5, 6.

Биполярные координаты могут быть также использованы для получения простых параметрических уравнений свободных линий тока. Обозначим а = Im{sj, так что

c = ln|sin七拄/sin у~~а

где —ф — arg С — направление К = (2aS + 3C)/8S&. Тогда нагде —ф — arg С — направление К = (2aS + 3C)/8S&. Тогда наскорости, и пусть величинасоответствующих линиях токаскорости, и пусть величинасоответствующих линиях тока

где —ф — arg С — направление К = (2aS + 3C)/8S&. Тогда на

где —ф — arg С — направление К = (2aS + 3C)/8S&. Тогда на

скорости, и пусть величинасоответствующих линиях тока

скорости, и пусть величинасоответствующих линиях тока

С ch 2。一 4 ch аС ch 2。一 4 ch а— у— ух = К+х = К+С ch 2а + 4 ch а — 47csС ch 2а + 4 ch а — 47cs— у— уsh 2а — 2а8S3sh 2。+ 2аsh 2а — 2а8S3sh 2。+ 2а(2-14)(2.14)(2-14)(2.14)

С ch 2。一 4 ch а

С ch 2。一 4 ch а

— у

— у

х = К+

х = К+

С ch 2а + 4 ch а — 47cs

С ch 2а + 4 ch а — 47cs

— у

— у

sh 2а — 2а8S3

sh 2。+ 2а

sh 2а — 2а8S3

sh 2。+ 2а

(2-14)

(2.14)

(2-14)

(2.14)

Мы не знаем никакого простого действительного выражения для других линий тока, нет даже выражения для разделяющейся линии тока. Внутренние линии тока на диаграммах 1—3 приложения были рассчитаны методами, описанными в гл. IX, п. 2. Нам также неизвестно какой-нибудь формулы, в этом или любом другом случае, выражающей время, необходимое для того, чтобы частица прошла от одной точки до другой вдоль внутренней линии тока.

Каверна за клином. Распространение результатов п. 2, 3 на случай клиньев при п 声 1 позволяет выяснить некоторые интересные теоретические вопросы. Задавая годограф в виде кругового сектора, можно повторить рассуждения, приводящие к формуле (2.7), ввести 呼=户 и получить соотношение

7=次_2靠(2」5)

/•де 々＞0, С — действительный параметр.

Если п — рациональное число, то можно проинтегрировать -равенство dz — ^^T dT, для того чтобы определить %(0 и другие величины, используя общие методы (п. 9); для иррациональных п можно использовать численное интегрирование ;(гл. IX, п. 7).

Для симметричного клина Бобылев 3) отметил, что, поскольку С = 0, из (2.15) просто следует

dz =dz =2几（4-2-什2）萨+1）32几（4-2-什2）萨+1）3(2.15)(2.15)

dz =

dz =

2几（4-2-什2）萨+1）3

2几（4-2-什2）萨+1）3

(2.15)

(2.15)

Рдно из таких течений показано на диаграмме 4 приложения.

Если 〃 = $2п выбрать в качестве переменной интегрирования, то длина пластины / может быть легко выражена через логарифмическую производную гамма-функции 屮(％) =Г (%)/Г(х) по формуле [62]

Коэффициент сопротивления также может быть графически построен 4) в зависимости от угла раствора клина р = 2к/^.

Однако наиболее интересным фактом является теоретическая недостаточность предшествующих методов для рассмотрения общего асимметричного случая. Так, например, для каждого угла

наклона а только одно отношение длин сторон клина совместимо

с однолистным годографом в виде кругового сектора. Для дру* гих размеров клина простейшее

идеальное кавитационное течение не будет разветвляться в вершине клина. В случае тупого клина (рнс. 12, а) это приведет к годографу в виде кругового сектора с разрезом; в случаях острого клина / ■{рис. 12,6) в вершине клина возникают бесконечные скорости. Чтобы -一＞ .избежать бесконечных скоростей 5),

можно предложить другие конфигу-р Ис. 13.

рации свободных линий тока (гл. V,

и. 6, рис. 59); во всяком случае, нужны более усовершенство

ванные методы исследования.

В действительности даже около плоской пластины образование идеального кавитационного течения не столь обязательно, как это можно было бы предположить. Другая возможная схема такого течения изображена на рис. 52. Еще одна возможная схема течения, отличающаяся от однородного течения около плоской пластины, расположенной параллельно набегающему

потоку, получается, если положить a J 0 в схеме п. 2 при изменении положения пластины и ее размеров так, чтобы критическая точка и входная кромка располагались постоянно в точках z = 0 и 之=1 соответственно. Получающееся течение показано на рис. 13; оно определяется формулой

(2.16)(2.16)_ 16 г ЗС ,1 门

(2.16)

(2.16)

z~nL(i —о4十(1—03 — J *

В самом деле, определение всех возможных течений со свободными линиями тока около плоской пластины крайне сложно6).

Струя, истекающая из воронки. Одним из простейших течений со свободными линиями тока является струя, истекающая из воронки (см. диаграммы 5 и 6 приложения). Схемы таких течений показаны на рис. 14, & — в. Впервые эти течения

Рис. 14.Рис. 14.

Рис. 14.

Рис. 14.

изучал Гельмгольц [27, стр. 225]； см. также [33, стр. 31]. Коэффициенты сжатия жидких струй предсказываются теорией с достаточной точностью 7), как видно из табл. 1.

Табл. 1 основывается на расчетах, проведенных Мизесом [61, стр. 472], и данных Вейсбаха, исправленных с учетом влияния силы тяжести Цейнером [88, стр. 351].

Таблица /

Струя, истекающая из симметричной воронки

(В — половина угла раствора)

Р = n/〃

22,5。

45°

67,5。

90°

112,5。

135°

157,5。

180°

G теор.

Сс эксп.

0,855

0,882

0,745

0,753

0,666

0,684

0,611

0,632

0,568

0,606

0,537

0,577

0,516

0,546

0,500

0,541

В этом случае область в плоскости W, очевидно, является бесконечной полосой с критической точкой при W = —оо. Путем соответствующего выбора единиц измерений ее можно свести к полосе 0 <：!/<； к. При этом переменная W в формуле

丁 =叫 или №=ЕТ(2.17)

однозначно определяется в полуплоскости Т. Если годограф течения изображается круговым сектором, что кажется вполне правдоподобным, то одновременно будут справедливы соотношения (2.17) и (2.3). Наличие критической точки W = —оо, Т = =0 приводит к тому, что а = 0 в формуле (2.3). Наконец, поскольку преобразование 呼-> 步 + 幺 которое соответствует преобразованию Т — е&Т, не имеет никакого физического смысла (гл. I, п. 3), то можно без потери общности положить b = с = 1. Следовательно, формула (2.3) сводится к (2.15), если положить 2々=1. Учитывая еще и формулу (2.17), получаем

—hiG“一 2以"+ 1)=

=/г In С —In (С — /"") — In (С — е»"),(2.18)

где С = cos па, S = sin па, как и в п. 2—4, причем —а определяет направление струи на бесконечности.

При 孔=1 в случае струи, истекающей из щели (см. диаграммы 6 и 7 приложения), можно легко проинтегрировать dz = =^ 1 dW в замкнутой форме и получить

Z= —^ + C(lnG+W) + z・Sln :三工.(2.19а)

В табл. 2 приведены коэффициент сжатия 8) струи & и угол 7，образованный стенками щели и линией, соединяющей края щели, в зависимости от а для 0 < а《90°. При а = 90° коэффициент сжатия равен к/(к + 2) = 0,611; в этом случае свободная граница оказывается трактрисой. В общем случае свободные границы могут быть выражены- в параметрическом виде следую-

Таблица 2

Геометрические параметры струи, истекающей из щели

т

0°

18,4°

37,0°

56,2°

76,7°

91,8°

180°

а

а

0,611

90°

0,609 75°

0,602 60°

0,588 45°

0,562 30°

0,532

20°

0,500

0°

щим образом. На левой свободной линии тока, где величина С = ?琢[О V 勺 V а], находим

z =——cos 勺十 i sin 勺 +，С屮一С In [2 (cos ?——cos a)]—

— S(a+n) + ^iSln4aS^ •(2」96)

Аналогично, на правой свободной линии тока, где a < <р < и,

2 = — cos ? + 2 sin 屮 + iC (屮+ 冗)——C In [2 (cos 屮一cos a)]—

—Sa + In :二9 肾工飞.(2.19b)

1 21 — cos (平 + a)'/

Наиболее интересным является симметричный случай 9). В этом случае половина течения вновь представляет струю, вытекающую из воронки, одна сторона которой (ось симметрии) простирается в бесконечность. Если выбрать оси координат как и в предыдущем случае, то ось симметрии будет составлять с горизонталью угол a = 0/2 = 口/2孔，так что в формуле для комплексного потенциала (2.18) получим С = 0 н * = 1.

Следовательно,

U7=nlnC —1п(С2л+1),(2.18а)

•2 = /「dW=-"2"^^，(2.186)

откуда входное отверстие воронки Л определяется через логарифмическую производную гамма-функции 屮(%)=『(%)/『(尤) в следующем виде:

九=S1唠{2〃+屮(1 - i) --i)}-

В интересном частном случае насадка Борда n = V2 (см. гл. I, п. 10). В этом случае уравнение свободной линии тока имеет явное выражение [51, гл. IV]

х = 2 sin2 — — 2 In sec у, у = 6 — sin 6,(2.18в)

а коэффициент сжатия струи Сс = 0,5 (ср. гл. I, п. 10).

Представление о том, что коэффициент Сс всегда находится в пределах 0,5《&《1,0 было очень полезным в гидравлике. Для сужающихся отверстий это следует из вышеизложенных результатов и теоремы сравнения гл. IV, п. 13. Однако, как было показано Леви-Чивита9а), это заключение не обязательно выполняется в случае сужаюпшхся — расширяющихся насадков типа, изображенного на рис. 14, г..

Удар струи о пластину. Струя, ударяющаяся о бесконечную пластину 10) (рис. 15, а), в плоскости W дает более сложную область (рис. 15, б); годографом течения является полукруг (рис. 15,8). Будем считать, что пластина расположена горизонтально и что ширина струи равна к.

Лемма 1. Если точки разветвления отображаются на точку Т = 0, то плоскость W отображается на полуплоскость Т посредством преобразования

П7= —ln(r—7'1) + А21п(7' —7'2) + A3ln(7'— TJ, (2.20)

Рис. 15.Рис. 15.где Т1, 丁2, Тз — точки на бесконечности набегающей струи и ее двух ветвей соответственно, причем 用2 + 用3 = 1-

Рис. 15.

Рис. 15.

Доказательство. Согласно общей теории

Шварца — Кристоффеля в (2.4) можно положить, что f(T)= =Т/(Т — Т» (Т — 丁2)(Т — Тз) • Используя разложение на простые дроби и), можно далее написать /(丁) = 2也/(丁 一 丁士)для соответствующих постоянных Ль 用2,用з・ Интегрируя (2.4), получаем №=2%1п(Т—丁3 причем nh{ равно скачку функции тока V в точке Т- Согласно принятой нормировке,小=—1; вследствие сохранения массы (однолистности в смысле теории функций комплексного переменного) получаем 用2 + 用3 = 1.

При несколько более тщательном рассмотрении можно получить конечные формулы. Если положить

т =奉， (2.21а)

то область годографа по теореме 1 отображается на полуплоскость, и параметры 孔= b = c=l, & = d = 0; кроме того, в точке разветвления потока С = 0, откуда Т = 0 н, значит, условия леммы 1 выполнены.

Подставляя 匸="% 匚=1,匚=—1 в (2.21а), получаем соответственно 7\ = 2""/0〃+1), Г2= 1, Т3 = — 1. Далее, из условия сохранения количества движения в горизонтальном направлении находим 用？——Л3 = С, где С = cos а (а — угол

между набегающей струей и осью х). Учитывая далее условие 用2 + 方з = 1, получаеммежду набегающей струей и осью х). Учитывая далее условие 用2 + 方з = 1, получаем2& = 1 + С и 2А3 = 1 — С.2& = 1 + С и 2А3 = 1 — С.(2.216)(2.216)Подставляя в (2.5)/(Т) = £%/(Т—Tj и интегрируя, получаем.z = No + Cln«2 — 2a+l) — 2Sln^5^-—(l+c)ln«— 1) + (1 —С)1п«+ 1).(2.21В)Подставляя в (2.5)/(Т) = £%/(Т—Tj и интегрируя, получаем.z = No + Cln«2 — 2a+l) — 2Sln^5^-—(l+c)ln«— 1) + (1 —С)1п«+ 1).(2.21В)Соответствующее уравнение свободных линий тока при С = е阿 имеет видz = Z| + Clnj^^| + lnctg^ ++ ?SE｛七粽耳｝,(2.21r)ГДе位(1+0)-^—FS(大一a), если 屮 < а,2]=.(1 — С) Sa, если 屮〉а*Соответствующее уравнение свободных линий тока при С = е阿 имеет видz = Z| + Clnj^^| + lnctg^ ++ ?SE｛七粽耳｝,(2.21r)ГДе位(1+0)-^—FS(大一a), если 屮 < а,2]=.(1 — С) Sa, если 屮〉а*Если полученное таким образом течениеЕсли полученное таким образом течениеотразить относи-отразить относи-тельно пластины, то получим полноетельно пластины, то получим полноеописание идеального тече-описание идеального тече-образование струи при скорости на обратные,образование струи при скорости на обратные,ния, соответствующего двум симметрично сталкивающимся струям (рис. 16). Сталкивающиеся струи обсуждаются в гл. III, п. 3—5.Интересен предельный случай, когда а устремляется к к,用з остается постоянным, причем 储，Л2 становятся бесконечными (см. приложе- нне, диаграмма 8). Относительно наблюдателя, имеющего скорость потока, этот случай выглядит какния, соответствующего двум симметрично сталкивающимся струям (рис. 16). Сталкивающиеся струи обсуждаются в гл. III, п. 3—5.Интересен предельный случай, когда а устремляется к к,用з остается постоянным, причем 储，Л2 становятся бесконечными (см. приложе- нне, диаграмма 8). Относительно наблюдателя, имеющего скорость потока, этот случай выглядит какразрушении каверны 12). Еслн заменить то можно получить пробивание непо-разрушении каверны 12). Еслн заменить то можно получить пробивание непо-движной жидкой мишени плоской струей жидкости с равной плотностью.Течение определяется формулой.движной жидкой мишени плоской струей жидкости с равной плотностью.Течение определяется формулой.—2—2222= (4+1)2 —《Е2= (4+1)2 —《Е■j-In ；+ ； +const.■j-In ；+ ； +const.(2.22)(2.22)

между набегающей струей и осью х). Учитывая далее условие 用2 + 方з = 1, получаем

между набегающей струей и осью х). Учитывая далее условие 用2 + 方з = 1, получаем

2& = 1 + С и 2А3 = 1 — С.

2& = 1 + С и 2А3 = 1 — С.

(2.216)

(2.216)

Подставляя в (2.5)/(Т) = £%/(Т—Tj и интегрируя, получаем.

z = No + Cln«2 — 2a+l) — 2Sln^5^-

—(l+c)ln«— 1) + (1 —С)1п«+ 1).(2.21В)

Подставляя в (2.5)/(Т) = £%/(Т—Tj и интегрируя, получаем.

z = No + Cln«2 — 2a+l) — 2Sln^5^-

—(l+c)ln«— 1) + (1 —С)1п«+ 1).(2.21В)

Соответствующее уравнение свободных линий тока при С = е阿 имеет вид

z = Z| + Clnj^^| + lnctg^ +

+ ?SE｛七粽耳｝,(2.21r)

ГДе位

(1+0)-^—FS(大一a), если 屮 < а,

2]=.

(1 — С) Sa, если 屮〉а*

Соответствующее уравнение свободных линий тока при С = е阿 имеет вид

z = Z| + Clnj^^| + lnctg^ +

+ ?SE｛七粽耳｝,(2.21r)

ГДе位

(1+0)-^—FS(大一a), если 屮 < а,

2]=.

(1 — С) Sa, если 屮〉а*

Если полученное таким образом течение

Если полученное таким образом течение

отразить относи-

отразить относи-

тельно пластины, то получим полное

тельно пластины, то получим полное

описание идеального тече-

описание идеального тече-

образование струи при скорости на обратные,

образование струи при скорости на обратные,

ния, соответствующего двум симметрично сталкивающимся струям (рис. 16). Сталкивающиеся струи обсуждаются в гл. III, п. 3—5.

Интересен предельный случай, когда а устремляется к к,用з остается постоянным, причем 储，Л2 становятся бесконечными (см. приложе- нне, диаграмма 8). Относительно наблюдателя, имеющего скорость потока, этот случай выглядит как

ния, соответствующего двум симметрично сталкивающимся струям (рис. 16). Сталкивающиеся струи обсуждаются в гл. III, п. 3—5.

Интересен предельный случай, когда а устремляется к к,用з остается постоянным, причем 储，Л2 становятся бесконечными (см. приложе- нне, диаграмма 8). Относительно наблюдателя, имеющего скорость потока, этот случай выглядит как

разрушении каверны 12). Еслн заменить то можно получить пробивание непо-

разрушении каверны 12). Еслн заменить то можно получить пробивание непо-

движной жидкой мишени плоской струей жидкости с равной плотностью.

Течение определяется формулой.

движной жидкой мишени плоской струей жидкости с равной плотностью.

Течение определяется формулой.

—2

—2

2

2

2= (4+1)2 —《Е

2= (4+1)2 —《Е

■j-In ；+ ； +const.

■j-In ；+ ； +const.

(2.22)

(2.22)

Успешное обсуждение, проведенное в п. 1, делает естественной попытку рассмотреть струи, набегающие на бесконечные клинья,

путем обобщения преобразования (2.21а) в видеТ=2^п/(^2п+1). Однако, за исключением симметричного случая, такое обобщение не дает годографа в виде кругового сектора (см. конец п. 4). Симметричный случай легче изучить, если рассматривать половину течения, которое в плоскости W изображается бесконечной полосой. Перейдем теперь к рассмотрению этого класса течений.

Течения Рети. Рассмотрим половину течения около клина, помещенного симметрично в струе, вытекающей из сопла (рис. 17,а). Этому течению в плоскости W соответствует бесконечная полоса (рис. 17, б); область годографа (как мы предполагаем)—круговой сектор (рис. 17,s), стягивающий полуугол клина т = к/п. Такое течение будем называть течением Рети.

Рис. 17.Рис. 17.0，^——L0，^——L

Рис. 17.

Рис. 17.

0，^——L

0，^——L

Если нормировать течение так, чтобы полоса в плоскости комплексного потенциала W имела ширину к, а скорость на свободной линии тока была равна единице, то можно считать, что W = \пТ, как в (2.17), где Т задано формулой (2.3) 13). Это дает

W=ln [a(1"+ 1) + 26門-1山(产+ 1) + 2"].

Далее, если и < 1 —скорость в сопле, а ?-沁—скорость в струе, то ^ = и при W = —оо, Т = ?w = о, и = ^ш при W = Т = оо. Таким образом, пренебрегая аддитивными постоянными, имеем

W=\n [&" - *”“)«” - е~'”")] - In 以” -d) «〃 一 厂〃)]=

= ln『一2a”+ 1] — ln『一(@" + 丁")+ 1],(2.23)

где С = cos па. Положив z— ^ ^-1 dW, получим

声三Ли"—2"±^丸产(2.24) где

。=^句"+ @一")>1 И С<1.

4 Г. Биркгоф

Рис. 18.Рис. 18.

Рис. 18.

Рис. 18.

На диаграммах 9 a, 6 приложения приведено относительное отклонение струи а/7 и отношение и скоростей вверх и вниз по потоку в зависимости от длины клина и его положения для значений половины угла клина 7 15, 30, 45, 60 и 90°. Отклонение свободной струи и поджатие потока в канале симметричным клином показано на диаграмме 10 приложения.

Частные случаи этого течения будут обсуждаться в п. 8; формальное интегрирование соотношения (2.24) для любого рационального п будет произведено в п. 9. Пока отметим только

s——1s——1

s——1

s——1

некоторые интересные обобщения по методу симметрии, помимо обобщения на случай клина в струе, вытекающей из сопла, изображенного на рис. 17, а.

В предельном случае при а = 0, когда прямые стенки становятся бесконечными, можно получить половину течения из углового насадка (рис. 18, а), а также и обтекание клина в канале [94]. Повторяя отражения, получим струи, образующиеся бесконечным рядом симметричных одинаково расположенных клиньев. .

В предельном случае, когда стенки клина простираются в бесконечность в обоих направлениях (рис. 18,6), можно произвести отражение на обоих прямых участках стенки. Если п = =2m — четное число, отражение можно повторить, чтобы сделать критическую точку внутренней критической точкой, как в случае сталкивающихся струй, уже обсуждавшихся в п. 6. Особенно простой случай получается, когда прямые стенки исчезают (и= 1, С = —1), чему соответствует комплексный потенциал

(2.23，)

Написанные формулы описывают струйное течение в угле [33, § 21]. Отношение максимальной ширины к конечной

выражает утолщение струи, равное

Случай 九=6 показан на рис. 18, в; любопытным фактом является то, что теоретически для идеальной жидкости течение в любой из шести ветвей может быть обращено, причем уравне^ ния движения все равно будут выполняться!

Приложения; принцип наложения. Особый интерес для приложений представляет случай 孔=2, который был подробно обсужден Рети и другими авторами 13), 14).

Итак, рассмотрим половину кавитационного- течения около пластины шириной 2Ь, расположенной перпендикулярно к оси

длинного канала шириной п/и (рис. 19, а). Можно легко проинтегрировать соотношение (2.24) в замкнутом виде и получить

9f

N =力(С) = 4 arth 匚一2@ arth 或一—arth ,(2.25a)

占=%丄[(2 + 2©) arctg© —可，(2.26a)

где v — асимптотическая скорость вверх по потоку. Коэффициент сопротивления, определенный по скорости на свободной линии тока (вниз по потоку), равен CD = к(1—v2)/bv; тот же коэффициент, определенный по скорости набегающего потока, равен С。* Используя формулу (2.26), можно показать [6], что влияние стенки на коэффициент CD мало, если он определен 孔。 скорости на свободной линии тока, и весьма значительно, если он определен по скорости набегающего потока. Например, в канале, половина ширины которого равна а = 6Ь, в первом случае поправка составляет всего 1%, а во втором — 150%.

Аналогично, если пластина (шириной 2Ь) находится в свободной струе ширины л (рис. 19, 6), то имеем

z=^(9 = 21n(l+9 — 21п(1—9—еУп^^ —

—(2.256)

勿=冗(1 — cos а) — 2sin а In tg 仔一多)，(2.266)

где а — асимптотический угол струи. В этом случае поправка для коэффициента CD за счет конечной ширины струи равняется приблизительно такой же поправке в длинном канале одинаковой ширины, если этот коэффициент определяется по скорости на свободной линии тока.

В случае пластины, расположенной в струе, вытекающей из сопла (рис. 19,8), комплексный потенциал в плоскости годографа имеет источник в точке ^ = и и сток в точке g = еУ В случае длинного канала источник находится в точке С = и и сток в точке 2=1. Для пластины в свободной струе источник расположен в точке g = 1 и сток — в точке ^ = eia. Поскольку z = J ^-1 dW—линейная функция W (^), то любое кавитацион^ ное течение около пластины, расположенной симметрично в ограниченной струе, можно рассматривать как наложение течений около пластины в длинном канале и около пластины в свободной струе,

2=力(9+力(9・(2.25в)

Изложенное является частным случаем следующего принципа.

Принцип наложения. Пусть функции z = f](3) н 2 =夙工)определяют два идеальных плоских течения, имеющих одну и ту же заданную область годографа. Тогда любая линейная комбинация

2 =a/(9 + 的力(9(2.27)

где а】，&2 ——действительные постоянные, описывает идеальное плоское течение, имеющее тот же годограф.

В самом деле, функции тока 丿】и V2 являются кусочно-постоянными на границе; тогда lm[a}Wi +飲呼2} = &】匕 * a2V2 обладает тем же самым свойством и, следовательно, результирующее течение (2,27) действительно ограничено линиями тока.

Принцип наложения часто бывает полезен при изучении течений с годографами в виде кругового сектора. Однако в общем случае течения могут оказаться самопересекающимися или не иметь физического смысла по другим причинам.

Каверна с разрежением. Недавно был также изучен 14а) случай источника в точке ^ = и п равного ему по интенсивности стока в точке ^ = uJO < и <； t?i < 1). Предельный случай u = s безграничного потока дает простейшую модель кавитационного течения с положительным числом кавитации Q > 0. Он представляет собой половину идеального течения около пластины с каверной, граница которой заканчивается на параллельных (не свободных) линиях тока (рис. 19, г). Половина этого течения определяется формулами

旷=旷=2G2G?-2&2+1 '?-2&2+1 '八一 2八一 2

旷=

旷=

2G

2G

?-2&2+1 '

?-2&2+1 '

八一 2

八一 2

как можно видеть из того, что —(^2 + С2)/2 отображает область годографа на верхнюю полуплоскость Т.

Разложение на простые дроби. Будем теперь рассматривать выражения 2(С) в замкнутой форме для течений с годографами в виде кругового сектора, области изменения W которых являются односвязными и однолистными.

Мизес [61] впервые заметил15), что метод п. 8 может быть применен ко всем течениям Рети с рациональными показателями n = r/s (г, s ——целые). Действительно, из (2.23) непосредственно следует

dz=^dW=dz=^dW=“-2]-——-d — U-n“-2]-——-d — U-n

dz=^dW=

dz=^dW=

“-2]

-——-

d — U-n

“-2]

-——-

d — U-n

(2.28)

Отсюда сразу приходим к заключению, что

z = /" 储然。)+ /“ g e-") - /. * 0)一/. 储 07),(2.29)

где комплексные функции /п определяются интегралами

/〃储 J) = 〃/£^"・(2.293

О

Если показатель п = r/s рациональный (г, s — целые), то, введя параметр 况=匚依=尸匕 получим

/小低5 =Г/

где 况]=^s.

Поскольку n > 1 и г > s, то r》s+l и подинтегральное выражение конечно при 〃 = 0. Далее, разлагая на простые дроби,

получаем

« u-se-2Mslrqjr ^^q —我倡2n注"，

/小(У I)=叮 s 2 e-^\n\\-•(2.30)

Эта формула и дает возможность выразить z(^) через элементарные комплексные функции.

Применение бета-функций. Любая из функций /п (& J), введенных в п. 9, может быть также записана как неполная бета-функция

纬(，)=8(因 0; t) = J\P-i(l-，)-%t,(2.31)

о

где 0 = (〃一 1)/〃.

Действительно, заменяя 之=&.加，получаем

/〃 & 5 =— 行％Р (^) •(2-32)

С другой стороны, если показатель п = r/s — рациональное число, то функция 8(1—s/r, 0; с) может быть выражена по формулам (2.30) и (2.32) через элементарные функции.

Используя бета-функции, получаем следующее обобщение результата Мизеса. •

Теорема 3. Если область изменения комплексного потенциала течения W односвязна и однолистна, а годограф изображается круговым сектором (2.2), то функция 2(储)равна сумме переменной g, умноженной на рациональную функцию от ^п = t, и комплексных постоянных^ с?, умноженных на неполные бета-функции В^ (///；), где 0= (п — 1)/п.

Доказательство (см. [9, § 5—6]). Поскольку функции Т = [а(产 + 1) + 2bt]/[c(t^ + 1) + 2dt] и dW/dT = f(T) рациональные, то

dw — qy 飞-dt — r (/) df,

где r(t) —рациональная (действительная) функция. Но, согласно известной теореме алгебры, любая рациональная функ- дия может быть записана как линейная комплексная комбина-

ция простых дробей (t ——％)根.(В нашем случае m《3, согласно следствию 1 теоремы 4 гл. III.) Из этого следует, что

Z(233)

где m = m(i) —положительное целое число. Но для любого 厶 или ti = 0, интеграл равен переменной 之，умноженной на отрицательную целую степень /, или же комплексной постоянной, умноженной на 3g (〃介).Полагая т = 〃介，используя рекуррентную формулу

/L1用dp _1 г1川1 f l1儿dt

J (1 i)m — m — \ -(] —т)1 + n(m — \)丿 T (l—yl

и разлагая последний интеграл на простые дроби, можно перейти по индукции к случаю m = 1, при котором результат получается сразу [см. (2.29), (2.32)]. Это и завершает доказательство.

Интересные вычисления, основанные на предыдущих формулах, будут рассматриваться в гл. IX, п. 4.

ПРИМЕЧАНИЯ

')См. [6, т. I, стр. 61] [23*, 27*]. Доказательство этой теоремы не простое.

См. Кирхгоф [44]. Рэлей [72, т. I, стр. 287 и т. III, стр. 491] произвел впервые количественное сравнение с экспериментальными данными; более полное сравнение было сделано Фейджем и Иогансеном [90].

Бобылев Д. К., Ж. Русск. физ.-хим. о-ва, 13 (1881), 63; (см. также Мещерский И. В., там же, 18 (1886). — Прим, ред.)^ В г у а п G. Н., Jones R., Proc. Roy. Sou, 91A (1915), 354—370. Полагаем, как в формуле (2.7), что 2左=1.

См. также Morton W. В., Phil. Mag., 48 (1924), 464—476; экспериментальные факты имеются в работе Brun Е., Plan М., V a s s е и г М., 丄 Rech. Centre Nat. Rech. ScL, № 4—5 (1948), 17—25.

Они возникают в том случае, когда жидкость обтекает угловую точку; течение около пластины с бесконечной скоростью см. Schmieden С., Luftforsch., 17, № 2 (1940), 37. См. также Kataoka М., Proc. 2nd Jap. Nat. ^Congr. Appt. Meeh., № 2, 239—243.

Имеется девять случаев; см. [78].

См. [61]; [59]; McNown J. S., Hsu E,-Y” Рsc 1st Midwest Conf. •Fltdd Dyn. US4 /1950), 143—L55.

Этот коэффициент определяется как отношение асимптотической ширины струи к расстоянию между краями пластин.

См. [33, § 18], а также Smetana J.( La houllle blanche, 3 (1948), 41—53; Hahnemann H. W., Forsch. Geb. Ing., 18 (1952), 45—55.

9a) Levi-Civita T., Atti R. 1st. Veneto Sci. Let., 64 (1905), 1465-1472; см. также C i s о 11 i U., там же, 74 (1914), 1499—1509； кроме того, см. гл. 1. п. 10. Течение, приведенное на рис. 14, можно представить в замкнутой форме, используя метод гл. III, п. 7,

См. S с h а с h W., Ing. Archlv, 5、(1934), 245—265; 6 (1935), 51—68. где это течение и численные результаты обсуждаются с гидравлической точки зрения. См. также [33, стр. 11 —12] и [62, стр. 279—287],

")См. В i г k h о f f G,, McLane S., A survey of modern algebra, N. Y., Macmillan, 1953, p. 84.

См. В i г к h о f f G., С a у w о о(1 T. E.,丄 Appl. Phys., 20 (1949), 650; [7, гл. II, § 13]. Очень краткое описание без физической интерпретации дано в работе [33, стр. 49]. См. также гл. I, п. 10. (Задача о соударении струй была впервые исследована в работе Voigt W., Math. Ann., 28 (1886) и для случая рис. 16 — Н. Е. Жуковским в 1890 г. [12*, т. III, § 9]. — Прим, ред.)

(См. также [12*( т. III, § 13—18]. 一Прим, ред.) Изложение, приведенное здесь, было впервые предложено Рети [69] в 1881 г. По поводу важных сообщений Мизеса [62] см. п. 9. Кроме того, см. [57] и работу V а 1 с о v 1 с i V., Inaugural dissertation, Univ. Gott., 1913; Сяо и Хаббард [59, 33—44] дают графики влияния толщины струи на ее отклонение при нескольких углах клина. См. также Аппель и Лаурсен [59, 21—32]. Предельный случай бесконечного клина был рассмотрен Амброзом в работе [59, 73—80].

м) См [61]; [9]; Kretzschmer F., VDI Forschungsheft, 381 (1936); Г у р е в и ч М. И., Изв. АН СССР, Отд. техн, наук, 4 (1946), 487—498. Формулы (2.25а), (2.26а) приближенно применимы также к струям из клапана [100] при условии, что зазор достаточно мал, чтобы стенки канала могли стабилизировать течение; G е п t i 1 i п i В.( La houllle blanche, 2 (1947),145—149.

на) Roshko A., NACA TN № 3168, 1954; [99]; Plesset M. S., P e r- г у В., Riabouchinsky Jubilee Volume, 1954, pp. 251—262. (Эта схема была изучена еще в 1890 г. Н. Е. Жуковским [12*, т. III. стр. 303]. — Прим, ред.)

Теоретическое исследование этого вопроса приведено в [43*, ч. 2, 5 XI, § 2].

ГЛАВА III

Простые течения около клиньев

Введение. В гл. 11 мы получали различные обтекания пластин и клиньев, интуитивно определяя форму годографа и области изменения комплексного потенциала W и находя затем элементарное конформное отображение одной области на другую, Заменим теперь этот интуитивный способ более строгими рассуждениями, основанными на принципе отражения Шварца и связанными с ним результатами теории функций комплекс* ного переменного.

Эти строгие результаты освободят нас от специальных предположений (например, однолистности, см. гл. II, п. 1) относи* тельно годографа и области изменения W. Вместо этого мы еде* лаем предположения о поведении течения в физической пло* скости. В частности, сначала мы будем предполагать только, что рассматриваются идеальные (эйлеровы) простые течения (п. 2), которые односвязны в физической плоскости. Из этого предположения будет следовать, что производная dW/dT = R(T)——действительная рациональная функция (теоремы 1 и 2).

Предыдущие результаты и вышеупомянутые рассуждения оказываются, однако, важными для дальнейших рассмотрений в гл. IV——VII. В настоящей главе мы применим их в первую очередь к простым течениям около «обобщенных клиньев», т. е. к течениям, границы которых являются: 1) горизонтальными, 2) составляют постоянный угол 。=冗/孔 с горизонталью и 3) свободными. В этом случае, используя снова принцип отражения, можно будет доказать (теорема 3), что течение отображается на единичный полукруг Г во вспомогательной плоскости f так, чтобы O"/n = r(t) была рациональной функцией /.

Точно так же, как и в гл. II, можно затем связать перемен-* ные Г и / соотношением Т =—(看 + 尸)/2. Это дает выражение комплексной координаты '

2 = J ^r4n\^\dt, (3.1)

где Ri(t) = (\ ~ t2) R (Т)/2t2 — рациональная функция. Следовательно, задача сводится к одной численной квадратуре.

Частному случаю годографа в виде кругового сектора соответствует r(f) = 1. В качестве побочного результата более глу* бокого исследования в п. 10 мы перечислим все геометрические типы течений, имеющих годограф в виде кругового сектора и устойчивые свободные границы. Часть результатов этой классификации течений применима к простым течениям вообще [см. формулу (3.30)] и будет широко использована в гл. V.

Простые течения; принцип отражения. Дадим сначала строгое определение 9 понятия «простого течения».

Определение. Комплексное поле скоростей g(z), определенное в открытой области R с границей 无,называется простым течением тогда и только тогда, когда: 1) область /? локально однолистна; 2) область_7? односвязна; 3) функция 工(之) ограничена и непрерывна на Я и аналитична в R; 4) граница 耳 области /? состоит из конечного числа спрямляемых линий тока, поворачивающихся на конечный общий угол.

Замечание 1. Очевидно, что комплексный потенциал W = ^dz любого течения, удовлетворяющего условию 3), является определенным и непрерывным на Й, аналитическим в /? И ограниченным, за исключением бесконечно удаленной точки з. Линией тока мы называем кривую, вдоль которой V= Im {W} постоянна. Спрямляемой кривой мы называем такую кривую, дуга которой, соединяющая любые две ее точки, имеет конечную длину.

Замечание 2. Угол, на который кривая поворачивается, является точной верхней гранью сумм величин изменений направлений сторон вписанных многоугольников; поскольку эти суммы возрастают при дроблении, этот угол является также их пределом. Логарифмические (равноугольные) спирали поворачиваются на бесконечный общий угол (см. гл. IV, п. 1),

Лемма 1. Существует однолистная функция z(T)t отображающая верхнюю полуплоскость Т конформно и взаимно однозначно на любое простое течение; кроме того, функции g(T) а W(T) являются аналитическими функциями комплексного переменного.

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из основной теоремы конформного отображения [6, т. 2, стр, 6]; аналитичность функций 白(7)二乜2(丁)] и W(T) является следствием.

Многие важные свойства простых течений можно доказать путем применения принципа отражения Шварца [6, т, I, ■стр. 225], который мы сформулируем здесь без доказательства.

Принцип отражения. Пусть аналитическая функция комплексного переменного f(f) регулярна и однозначна в области D} ограниченной частично (как на рис. 20) отрезком АВ действительной оси, и стремится непрерывно к действительным значениям на Л5. Тогда соотношение f(f*) =f*(f) продолжает функцию f(f) аналитически через отрезок АВ в зеркальный образ О* области D, так что f(f) является аналитической в области

Много полезных следствий из этого принципа можно получить элементарными конформными преобразованиями.

Следствие 1. Пусть f(t)— аналитическая и однозначная функция 8 области D, частично ограни

ченная дугой АВ окружности радиуса г с центром в точке / = 0, за исключением конечного числа нулей и полюсов. Предположим также, что f(t) непрерывна в замкнутой области 方,за исключением полюсов, и отображает дугу АВ на дугу круга радиуса Rue центром f = 0. Тогда соотношение “卢〃*)=触/产(7) аналитически продолжает функцию f(t) в отраженный образ области D при инверсии относительно окружности 罔=匚 причем нули и полюсы взаимно заменяются.

Области изменения W простых течений. Используя идеи п. 2, нетрудно дать полную локальную классификацию особенностей функции 呼(Т) на основании леммы 1.

Теорема 1. Вблизи любой особенности Т = TQ в конечной плоскости Т комплексный потенциал W можно написать в виде

W=c{T~T^ + d(T-T^-^h\n{T-T^ + r(T\ (3.2)

где То, h, с и d ——действительные- функция г(Т) регулярна [т. е. разлагается в сходящийся ряд по степеням (Т ——7。)].

Доказательство. Согласно замечанию 1, любая особенность Т = Г。должна быть на границе течения, т. е. Т。должно быть действительным. Поскольку граница состоит из линий тока, функция V = Im呼 кусочно постоянна на ней. Следовательно, для соответствующих постоянных Ро и лЛ (скачок функции тока V в точке То на границе) имеем

阳 п/имт—гз+х+'гм),(3.3)

где 呼i(T) действительна вблизи точки Т。， при действительных значениях переменной Т. Согласно замечанию 1, функции W(Г) и Wi (Т) ограничены и непрерывны, за исключением конечного числа точек; следовательно, в точке Т。 располагается изолированная особенность. Принцип отражения показывает далее, что функция Wi (Т) может быть представлена однозначной аналитической функцией, определенной во всей окрестности точки То. Остается рассмотреть особенность функции 呼i(T) в точке То.

В гл. IV, п. 1 мы покажем, что существенная особенность в этой точке невозможна. Следовательно, Wi (Т) в точке Т'= Tq имеет полюс. Остается только установить ограничение его порядка п. Если было бы 孔〉2, то, поскольку 口丰 8 Mdz = =Ld吃 образ сектора 0 < arc (Т — То) < л в плоскости 之 охватывал бы угол 孔式〉2冗.Поэтому плоскость 之 была бы многолистной, во всяком случае локально, в противоположность предположению.

Определение. Если ^ ¥= 0, то окрестность бесконечно удаленной точки плоскости 2, соответствующей точке Т = Т。，будем называть безграничным потоком, полубезграничным потоком ) или струей в зависимости от того, будет ли в формуле (3.2) первым ненулевым коэффициентом соответственно с d или Л. (Если граница не является свободной линией тока, мы используем слово трубка вместо слова струя.)

Замечание 3. Эти случаи легко различимы в физической плоскости, поскольку течение на бесконечности соответственно охватывает угол 2к, угол л или заполняет полосу толщиной I用口化|. Случай 工=0 с критическими точками на бесконечности требует более тщательного рассмотрения (см. ниже п, 9).

В некоторых приложениях удобно отобразить простые течения на различные области В в плоскость параметрического переменного А Для таких приложений полезно следующее следствие.

Следствие. Пусть to — любая точка на границе области В, где граничная кривая является аналитической. Тогда справедлива теорема 1 с заменой t на Т.

Действительно, локально существует [6, т. 2, стр. 34] аналитическое отображение верхней полуплоскости на внутренность области В.

Общее поведение комплексного потенциала W можно оценить просто на основании теоремы 1. Конечно, его выражение можно составить еще более просто.

Теорема 2. Комплексный потенциал любого простого течения имеет аддитивное представление

S [77^7 +1^ + /п(7 — G)] + cT^dT.(3.4)

А=1

Его производная имеет разложение в виде произведения

小П(Т —4)(7-砲 П(Т-斗)

* = R(T) = C^~—=^.(3.5)

dT /П(т-%)

Все коэффициенты в выражении (3.4) действительны； также действительны 〃 все В$ в соотношении (3.5).

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда Т = оо отображается на точку, в которой W конечно. Тогда на основании теоремы 1, если просуммировать все локальные ocoj бенности, можно установить, что разность h(T) между правой и левой частями соотношения (3.4) (при с = d = 0) должна быть аналитической и однозначной функцией, действительной на действительной оси и не имеющей особенностей в (замкнутой) верхней полуплоскости. Согласно принципу отражения Шварца, функция 九(Т) может быть аналитически продолжена до функции, регулярной на всей конечной плоскости Т. Кроме того, поскольку 取(8， конечно, то функция 九(Т) ограничена. Следовательно, по теореме Лиувилля [6, т. 1, стр. 153],九(7) постоянна. Поскольку комплексный потенциал W определяется с точностью до аддитивной постоянной, утверждение (3.4) теоремы для случая с = d = 0 доказано. Если же W имеет особенность при Т = оо, мы можем отобразить верхнюю полуплоскость Т саму на себя путем инверсии, использовать только что полученный результат для конечного значения W(оо) и затем вернуться к первоначальной плоскости Т. Это и дает дополнительные члены сТ2 4- dT в результате инверсии конечной особенности (3.2). Наконец, дифференцируя (3.4), получим действительную рациональную функцию с общим знаменателем П(Т—7\) (некоторые множители могут повторяться). Разлагая действительный многочлен в числителе на линейные множители, приходим к (3.5).

Замечание 4. Хотя выражение (3.4) выглядит сложным, все его слагаемые можно получить предельными переходами от простой общей формулы 取= £"&1п(Т — 7\). Полубезгранич- ные потоки можно рассматривать как предельный случай двух сливающихся струй, а безграничные потоки — как предельный случай трех струй.

Замечание 5. Подобно тому, как 7\ можно отождествлять с безграничными потоками, полубезграничными потоками или струями в зависимости от того, является ли с, d или 九 первым ненулевым коэффициентом в соответствующем соотношении (3.2), так и величины 4 и Bj имеют простую физическую интерпретацию. Поскольку 3= (dWldT)l(dz/dT) и dz/dT 0 во внутренней части области, то нули в комплексных точках Ai соответствуют внутренним критическим точкам, где ^ = 0. С другой стороны, в точке разветвления на границе, где течение изменяет направление, область W должна охватывать угол по крайней мере 2к, так чтобы было dW/dT = 0 (и наоборот). Следовательно, нули в действительных точках В$ соответствуют точкам разветвления (критическим точкам или же точкам возврата).

Замечание 6. Случаи, в которых течение занимает всю внешность некоторого достаточно большого круга, как, например, возвратные струи (п. 8), также можно рассматривать на основании незначительно измененной теоремы 2. В этих случаях точка 2=оо должна рассматриваться как внутренняя изолированная особенность Т^ течения. Поскольку соответствие переменных T=z взаимно однозначно, можно написать, что w = с/(Т—Т^) 44- ...» и, следовательно, dzIdT имеет при Т = Т^ полюс второго порядка. Отсюда, поскольку g ограничена, производная dW/dT = g dz/dT имеет полюс не выше второго порядка. Поэтому dW/dT в точке Т8HB другой (отраженной) точке Т； имеет полюсы второго порядка. Это означает, что в соотношение (3.4) вообще должно быть добавлено слагаемое вида

+ /Пп (Т — 乙)+ /Лп (Т — 7；). (3.4') 1 ~1 k 1 — 1 k

В знаменателе соотношения (3.5) появляется соответствующий дополнительный множитель (Т—Tkf{T—Г*)2.

Замечание 7. Различные упрощения в (3.4) —(3.4') возможны в случае, когда критическая точка ^ = 0 расположена в бесконечности; этот случай обсуждается в п. 9.

Соударяющиеся струи. Рассмотрим теперь течение, характеризуемое двумя соударяющимися струями /，/3 и двумя отходящими струями 」2,」4?) (рис. 21). Пусть а在 обозначает угол, отсчитываемый по часовой стрелке, между осью % н /在，а 冗九片 обозначает приток в единицу времени площади (массы) струи Л. Согласно закону сохранения массы, находим

力1 + 力2十 ％3 + 力4 = О* (3.6)

Предположим, что все четыре скорости на свободных линиях тока одинаковы; это единственно возможное условие, если струи

имеют бесконечную длину и являются непрерывными в беско* нечности. (Более общее доказательство см. в конце гл. IV, п. 1.) При этом область годографа ограничена окружностью. Надлежащим выбором единицы измерения скорости его можно превратить в единичный круг так, чтобы величина 阮九在| была асимптотической шириной струи А，Как будет показано ниже, годограф оказывается однолистным.

Сначала отобразим область течения на единичный круг Г и заметим, что комплексный потенциал имеет логарифмические

Рис. 21.

особенности в точках /ь /2, Л,丿4 (рис. 21,6) и регулярен всюду, так как отражение по Шварцу этих особенностей относительно круга Г не порождает новых особенностей. Поэтому мы можем написать3) (см. следствие теоремы 1)

4

W=f(t) = ^hk\n{t-t^ 〃 = е%. (3.7)

Лемма 1. Годографом рассматриваемого течения является круг, и в выражении комплексного потенциала (3.7) можно положить f = ±

Доказательство. Согласно рис. 21,а, величина arg^ изменяется на 2л при обходе границы течения. Поскольку функция ^(г) ограничена и аналитична в потоке, это изменение равняется 2篁孔§, где ns — число внутренних критических точек (кратность учитывается), в которых £ = 0. Отсюда п5 = 1 (в п. 9 этот подсчет обобщается). Совмещая критическую точку с точкой / = 0, мы добьемся того, что функция 1п|^//| будет гармонической и ограниченной в Г, причем она будет тождественно обращаться в нуль на границе. Из этого следует, что она обращается тож< дественно в нуль во всей области, откуда 工=级丫/; в результате поворота получим ^ = /.

Лемма 2. Справедливо тождество

444

(36)(36)工普=0, или \ С”} = > Skhk = О, 月=1*=1* = 1

(36)

(36)

где Cft = cosaft, Sft = sinaft и 1丸=気 + iS^.

Доказательство. Формула (3.6‘) эквивалентна закону сохранения количества движения. С другой стороны, ее можно доказать аналитически. На основании (3.7) выражение комплексной величины n = /С"1 dW можно записать в виде

44

z = £ 普工号 ЕС.

А=1А=1

Из однозначности функции г(/) — г(^) в окрестности ^ = 0 и следует формула (3.6‘).

Если г0 является критической точкой, то

4

z = %+ 工得 Ш(1—*),(3.8)

где 1/蠢=以一iSk. Обратно, если формулы (3.6) и (36) справедливы и если струи не пересекаются, то (3.8) определяет до- пустнмое течение, соответствующее соударяющимся струям. Очевидно, что г0 произвольно.

Яеопределенность течения. Ось или средняя линия струи Jk может быть определена как прямолинейная асимптота на бесконечности к кривой, заданной как функция действительного параметра г формулой

^(r» ^) = ^~-^n(1 -广)+备+ 工 К 山(1 -吉)+。(1 -/•). (3.9)

Средняя линия параллельна С (т. е. Са Vz*), так что ее уравнения в прямоугольных координатах есть Skx + Cky + m在=О, где m在一момент относительно точки г = 0 единичного вектора U； = C少一iSk, действующего вдоль средней линии. Этот мо~ мент —Sftx — Chy = —Im(^ft г), где z = х A- iy является любой точкой средней линии. Отсюда, используя формулу (3.9) и переходя к пределу г 1, получаем

m尸— Im 7%+ £ %等 1п(1 _答).(39)

Физически естественно предположить, что если соударяющиеся струи /1 и /3 заданы (т. е. заданы 九匕九3, ai, а3 н средние линии струй «Л и /з), то результирующее течение определяется однозначно. Однако можно показать, что, в противоположность ожидаемому, результирующее течение в действительности является неопределенным, за исключением случая &з = а】+ л, т. е. параллельных соударяющихся струй!

В действительности, за исключением этого случая, соотношения (3.6), (3.6‘) и (3.9‘) при 力=1, 3 дают пять уравнений с

Р и с. 22.

шестью неизвестными 九2,九4, а2, а《，х0, уо (% = %о +『У())・ Эти уравнения имеют однопараметрическое семейство решений, которое можно легко получить графически.

Физический смысл этой неопределенности грудно понять; все возможные течения с механической точки зрения находятся в равновесии. Не ясно, какой вид имеет условие, если оно вообще существует, для устойчивого равновесия непараллельных соударяющихся струй. Возможно даже, что все стационарные конфигурации течения неустойчивы 4).

В случае параллельных струй можно использовать такое же точно построение, однако, поскольку М1 + Мз = 0, то, суммируя соотношения (3.9‘) при & = 1, 3, мы получим добавочное соотношение между 坛，九4,淦，В, которое содержит момент гл】+ гиз пары векторов 窘 и ^3, направленных вдоль средних линий соответствующих струй. Следовательно, в этом случае конфигурация течения определяется с точностью до переноса.

Разделяющиеся струи. Случай струи, разделенной горизонтальной пластиной (рис. 22, а), можно очень изящно исследовать путем отражения ее особенностей ) и использования топологических результатов п. 9. Отобразим течение на единичный

полукруг Г (рис. 22,6) в плоскости / так, чтобы полуокружность соответствовала свободным границам, диаметр полукруга — пластине, а точка / = 0 — точке разветвления.

Сначала мы докажем почти очевидное равенство g = £ В обозначениях п. 9 «о = 3, в то время как «1 = п2 = 0. Отсюда, согласно (3.30), «d = 1 и ns = 0. Из этого следует, что функция 之〃 ограничена в Г, принимает действительные значения на диаметре и по модулю равна единице на окружности |f| = 1. Продолжая аналитически эту функцию, согласно (2.19), через диаметры и окружность |/| = 1, видим, что функция g〃 оказывается всюду ограниченной. Следовательно, по теореме Лиувилля 3〃 постоянна. Поскольку функция g〃 принимает действительные значения на диаметре и имеет единичный модуль, то ^ = ± /. В случае струи, набегающей в верхней полуплоскости, как показано на рис. 22, а, ясно, что ^ = /.

Рассмотрим теперь комплексный потенциал W(/) = IF(^). Отражение особенностей относительно действительной оси дает три сопряженные логарифмические особенности одинаковой интенсивности в точках е-'а】, 。一加2, e-‘禽. Отражение относительно полуокружности Г (или ее зеркального образа) не дает никаких новых особенностей (рис. 22,6). Суммируя, получаем

(3.10a)(3.10a)W=^h}\n^ — elai)^ — e^ 电，

(3.10a)

(3.10a)

откуда

Чтобы обеспечить конечную величину w при 3 = 0, необходимо иметь 2%С/ = 0； это соотношение соответствует также урав* нению сохранения количества движения в направлении оси х. Следовательно,

Z =备 _£ “С/in q- 2守 +1)-iSj 1 п^Д j. (3.106)

С другой стороны, поскольку X 力/С/ = ° и 』力；=0, согласно закону сохранения массы, мы должны получить

Л2 =%. (З.Юв)

Итак, для данных 九i и ai конфигурация разделенной струи зависит от двух независимых параметров, как и следовало бы ожидать физически.

Используя законы сохранения количества движения и момента количества движения, можно также вычислить силу У и момент М, действующие на пластину,

з

У = Р X hjSj,(3.1 la)

幽 р h^hjS^Sj— а/+ sin (% + сс》In sin —^^-"^} . (3.116)

На пластине величина g = и действительна, а также действи* тельно выражение

/ 1п/ 1п(c—宀(c—宀Sj2arctg 无二研;Sj2arctg 无二研;

/ 1п

/ 1п

(c—宀

(c—宀

Sj

2arctg 无二研;

Sj

2arctg 无二研;

соответственно действительна и разность г — г0. Чтобы поместить начало координат в критическую то^ку, необходимо положить.

3

% —^= — 2 ^j hjSу (тс — ссу).

Сделав это, мы получим следующее симметричное выражение для величины х6):

з

х = — X hjF (cty； г),(3.12)

где

尸(%•, г) = 2S, (тс —吟 + С, Е 紡—2c严 + 1) — 2Sj arc tg 仪广厶力•

В частности, кромки пластины х(—1) = м и х(1) = х2 опреде* ляются уравнениями

3

犬2 — \ 力/卜/(冗—"/)+ 2Cу In sin ~^~]，(3.13)

3

修=一工 hj [― S*+ 2С/П cos 對，(3.139

а ширина пластины ——формулой

з

Р =—工％ [冗5丿 + 2Cj In tg ,] •(3.14)

出 град

Р и с. 23.

Уравнение свободных линий тока Q = e冲 имеет вид

n const —hj [Sj (тс — cc—pCj In I cos 屮—Cj {—}—

1 Л 1 — cos 吟"I

+ 亨 S/1rli© 丁，. (3.15)

1 2 /1 — COS (屮一ay) J 、/

Физические приложения. Наиболее известное гидравлическое применение теории разделяющихся струй заключается в расчете течения при заданных угле ai, ширине пластины р и расстоянии g = Si [х‘ —— 万(х】+ х?)] вдоль пластины от средней линии набегающей струи до середины пластины. Здесь Xх

Рис. 24.

без труда выражается из асимптотических уравнений свободных линий тока. Чтобы произвести такой расчет, нужно построить номограмму.

Используя простое графическое построение, разработанное Мортоном и Харвеем 6), мы изобразили на рис. 23 кривые а2 = =const и аз = const в плоскости (р, q) для случая ai = 60°. Симметричные течения при ai = 90° были рассмотрены в гл. II, п. 8. Качественный характер функций а)(р, q; ai) соответствует ожидаемому в силу физических соображений.

Глиссирующие поверхности. Предельный случай оц = аз, при котором одна ветвь струи становится бесконечно широкой, оказывается в некотором смысле неожиданным. После поворота на угол ai по часовой стрелке течение можно рассматривать как глиссирование пластины по поверхности океана бесконечной глубины 7) (ри^. 24, а).

Используя прежние координаты и считая ширину отходящей струи, равной л (d=r), находим, что комплексный потенциал W имеет логарифмическую особенность при 勺=个

и простой полюс с добавочным логарифмическим членом при С, = "% = "% Таким образом,

W=7_r (3.16а)

где Т =—(C +「i)/2. Выполняя интегрирование г = J С-1 dW и замечая, что критическая точка находится в конечной плоскости тогда и только тогда, когда Qi = cosai ——cos аг, получаем .

z= 2© — Q)(f)《-0)2I e 1《一4/)(《一g》+ C21n(yfZz= 2© — Q)(f)《-0)2I e 1《一4/)(《一g》+ C21n(yfZ'二0 +1 —°1°2 J С—0'二0 +1 —°1°2 J С—0SiSi(3.166)(3.166)

z= 2© — Q)

(f)《-0)2

I e 1《一4/)(《一g》

+ C21n(yfZ

z= 2© — Q)

(f)《-0)2

I e 1《一4/)(《一g》

+ C21n(yfZ

'二0 +

1 —°1°2 J С—0

'二0 +

1 —°1°2 J С—0

Si

Si

(3.166)

(3.166)

Ширина пластины

/ = 2c 弋—С" + * [ 1 — COS (% — aj] + 2c2 In 簪.(3.16в)

喧a2//

На графике рис. 23 показана величина d/l в зависимости от аг для нескольких значений аь

Вычисляя мнимую часть Im ｛之。回｝ (повернутой) свободной поверхности 优= 加)на бесконечности, получим Im(ze*") = =S」Q — Ci)ln J2 sin，^% |. Результат показывает, что имеется бесконечное снижение свободной поверхности на бесконечности.

Чтобы объяснить этот результат физически, нужно принять во внимание, что в предыдущем исследовании не было учтено влияние силы тяжести. Предположим, что пластина шириной / движется горизонтально со скоростью и, причем ее нижняя часть находится ниже поверхности жидкости на глубине b и составляет угол ai с горизонталью. Предыдущий результат показывает, что по мере того как скорость и увеличивается, высота волны, возникающей перед пластиной, безгранично возрастает в океане бесконечной глубины, находясь в равновесии для до^ статочно больших скоростей, даже если Ь отрицательно. Аналогичное замечание справедливо и при проникании в океан струи, что можно рассматривать как предельную форму соударяющихся струй модели п. 4, в которой две струи сливаются. Случай океана конечной глубины будет рассмотрен в гл. V, п. 6, 7.

Тем не менее интересно рассчитать силу 尸 и момент М (для случая струи толщиной л). Эти формулы можно применять в

случае глиссирования с большими скоростями, а также считать, что d/2 удовлетворяет соотношению (3.16в) и что течение однозначно определяется величиной угла 肥 〃九〃 отношения d/厶 Переходя к пределу, получаем

尸=0^[上需3]. (3.17а)

Исходя из этой формулы, можно легко вычислить сопротивление и подъемную силу.

Момент проще всего вычислить как предел момента разделенной струи, когда толщины двух струй стремятся к бесконечности. Момент относительно критической точки оказывается равным

加=pn Im { ^/〃 (а)竺円2 +/(а) +

+/(₽)-2/(^)+ з 嚷 A J/，(а)—尸(中)]}, (3.176)

где /(屮)=е2Apiгт (1 — е2^).

Всасывающие щели. Другое применение относится к течению безграничного потока вдоль разрывной стенки8) или всасывающей щели (см. рис. 24,6). Формулы (3.16а) и (3.166) можно также применить к этому случаю, если считать Ci =少 отношением скорости свободного потока вдоль стенки к скорости на свободных линиях тока. Частный случай и = 0 уже был рассмотрен в гл. II, п. 5.

Простые течения около клиньев. Опишем теперь подробно остальную часть общего метода, намеченного в общих чертах в п. 1. Только часть этого метода была использована в п. 4——6, выводы которых можно было также получить (хотя и менее строго) методами гл. II. Сначала повторим (см. п. 1) определение простого течения около клина.

Определение. Простым течением около клина называется простое течение (в смысле п. 2), граница которого: 1) горизонтальна, 2) проходит под постоянным углом р =寬/孔 с .горизонталью и 3) становится свободной.

Любое такое течение можно конформно отобразить на единичный полукруг Г в плоскости / так, чтобы свободная граница (3) переходила в дугу окружности |/| = 1, а прямолинейные отрезки (1) и (2) границы переходили соответственно в отрезки —1 < / < 0 и 0 < / < 1 действительной оси.

ТТео р е м а 3. В любом простом течении около клинаео р е м а 3. В любом простом течении около клинаq=人"Г(f) = UUq=人"Г(f) = UU("〃》("〃；)(，一％)(а $ — 1)(〃％ — 1)(呼—1)("〃》("〃；)(，一％)(а $ — 1)(〃％ — 1)(呼—1)(3.18)(3.18)

Т

Т

ео р е м а 3. В любом простом течении около клина

ео р е м а 3. В любом простом течении около клина

q=人"Г(f) = UU

q=人"Г(f) = UU

("〃》("〃；)(，一％)(а $ — 1)(〃％ — 1)(呼—1)

("〃》("〃；)(，一％)(а $ — 1)(〃％ — 1)(呼—1)

(3.18)

(3.18)

Кроме того, параметры а» 〃 匕厶 которые представляют некоторые точки в конечной плоскости г, связаны с параметрами 4» 〃 8? в формуле (3.5) с помощью соотношений

a =2-a =2-в『5в『5(3.18а)(3.18а)

a =2-

a =2-

в『5

в『5

(3.18а)

(3.18а)

Замечания. Случаю плоской пластины g = 0 соответствует /г = оо, следовательно, сомножителем /"豆=1 в этом случае можно пренебречь. Если точка разветвления на пластине отображается в точку f = 0, то в соотношении (3.18) появляется еще множитель /, как показывается ниже. (В случае п = 1 критическую точку, если она существует на границе, удобно отобразить в точку / = 0.)

Доказательство. Ясно, что функция ^It1^ =г(^) действительна, когда f действительно, удовлетворяет условию |г(/)| = 1, когда |/| = 1, и ограничена внутри Г и на ее границе, за исключением, возможно, точки f = 0. Согласно теории конформных отображений, ^п dzldt не обращается в нуль при f = 0, в то время как dW/dt при этом регулярна в силу следствия теоремы 1. Отсюда следует, что (dWldt))^^ dz/di)= =L叱также ограничена в точке / = 0. Теперь, после трехкратного применения принципа отражения, находим, что равенства r^ = r^{tY /•(1//)= l"(f), г (1/0= 1/г(П(3.19)

厂停）=厂停）=определяют функцию, аналитическую во всей плоскости 厶 за исключением тех точек при |/| > lv которые являются образами критических точек, где ^ = 0. Они соответствуют полюсам функции г(/), являющейся поэтому рациональной функцией. В частности, пусть аг и bj представляют нули С соответственно внутри Г и на ее границе, причем кратность нулей учитывается повторением множителей. Тогда 而ункння

厂停）=

厂停）=

« —々)("〃；)С —哈(〃М — 1)(原—1) (bjt — 1)

не обращается ни в нуль, ни в бесконечность в области Г и удовлетворяет соотношениям (3.19). Следовательно, она яв・ ляется регулярной и ограниченной на всей плоскости /. Таким образом, по теореме Лиувилля [6, т. 1, стр. 153] она должна быть константой, в данном случае действительной постоянной с модулем, равным единице, т. е. ±1.

Критические точки в конечной плоскости z, исключая вершину клина при £ =0, являются нулями функции ^(/), крат-

ность которых равна их кратности как точек разветвления. То

же справедливо для вершины, если не учитывать множитель /"叱 Следовательно, параметры а» и 6)в формуле (3.18), если

они представляют точки в конечной плоскости г, соответствуют

параметрам Аг и В； соотношения (3.5) при выполнении условия (3.18а).

Замечание. Течение, не имеющее критической точки на границе, изображено на рис. 25. Это одно из девяти возможных обтеканий пластины безграничным плоскопараллельным потоком 9).

Следствие. Для любого простого течения около клина функцию

z(t) можно выразить в явном виде

через неполные бета~функции. Если 孔=1, то z(t) является эле-

ментарной функцией.

Доказательство. На основании соотношений (3.18) dzldt = ^dW/dt равняется величине /т/% умноженной на рациональную функцию от £ Разложив последнюю на простые дроби, достаточно повторить рассуждения теоремы 3 гл. II и получить требуемое.

Рис. 26.Рис. 26.Возвратные струи. Метод отражения п. 7 хорошо иллюстрируется на примере модели возвратной струи, которая была

Рис. 26.

Рис. 26.

предложена для каверны за плоской пластиной или за другим препятствием в безграничном потоке (рис. 26, а)10). В этой модели (см. гл. I, п. 13) давление в каверне ниже, чем давление в свободном потоке, так что число кавитации Q > 0. Предполагается, что обратная сторона каверны заканчивается

возвратной струей /, которая в физической плоскости уходит на другой лист римановой поверхности. Возвратные струи наблюдались экспериментально [30], хотя, по-видимому, они перемежаются и бывают неустойчивыми. Во всяком случае, эта модель из всех известных типов идеальных течений дает наибольшее сходство с наблюдаемыми конечными кавернами при Q>0・

В этой модели предполагается наличие двух критических точек: одна точка S на препятствии и другая R внутри течения в основании струи, как показано на рис. 26, а. Рассмотрим сначала случай симметричных кавитационных течений около пластины, перпендикулярной к потокуи). Как и в п. 3, отобразим течение симметрично на единичный полукруг Г вспомогательной плоскости / (см. рис. 26,6) так, чтобы пластина перешла в действительную ось, а свободная граница ——в окружность. Это конформное отображение существует, является единственным и отображает точки S, /, R, / течения в четыре точки мнимой оси; соответственно % =0,匕=fa, /R = ib и /^ = /(0 < а < 6 < 1). Поскольку бесконечно удаленная точка / = // по отношению к течению является внутренней, то применимы замечания 5 и 6 теоремы 2, так что

竺_ С(Т—7r)(t—啕 _「nd? — 7(7—Т/)2(7—7；)2一 Т(Т2_Т 力2，

где Т = —(/+ 尸1)/2, следовательно, 27'^—z (й~1 — 6), —4Гд = =(L— 6)2 И т. д. На основании этого простые вычисления дают.

(3.20z)(3.20z)(卢 + 戍)(/2 平厂 2)(产一1) k 1 (宀2)2(/2 +L2)2(/2+1)，

(3.20z)

(3.20z)

где Ci = ——4C ——новая действительная постоянная.

Комплексная скорость, согласно теореме 3, равна

(3.21)(3.21)Г "拦+加)

(3.21)

(3.21)

—(W+1) •

Половина годографа скорости течения представлена на рис. 26, в.

Нас интересуют только те случаи, для которых z(f) однозначна (без точек ветвления в Г). Из выражения производной dz/dt = ^~ldW/dt видно, что точка / = Za является единственной возможной точкой ветвления в Г. Чтобы эта точка не была точкой ветвления, необходимо и достаточно, чтобы было (р'.(，а) = 0 (так как dz/dt = ср(/)/(/ ——ш)2). После несложных

(3.22)(3.22)алгебраических преобразований это условие сводится к соотношению

(3.22)

(3.22)

° — 〃2(*+3)'

содержащему только один произвольный параметр а. По определению, число кавитации равно

(3.23)(3.23)

(3.23)

(3.23)

(3.24)(3.24)Его легко можно выразить из (3.21) и (3.22), поскольку G = C(旭)=-4(炉 + 4a_；).

(3.24)

(3.24)

График зависимости числа кавитации Q от параметра а ден на диаграмме 11 приложения; очевидно, что для каждого значения Q, 0 < Q <； оо, существует единственное течение рассматриваемого вида. Это согласуется с физической интуицией, которая подсказывает, что разрежение в каверне, скорость на бесконечности и форма препятствия должны полностью определять течение. Возможен предельный случай Q = оо, при котором

а = р М5 — 2 = 0,485868 ....

Этот случай соответствует проникающей струе (гл. II, п. 6).

Подставляя Ь2 из формулы (3.22) в формулы (3.20') и (3.21), разлагая dW/dt на простые дроби и интегрируя, получаем с точностью до постоянного множителя

2必 2£, \-iat ,

Z = 〃2尸 + 1 —歩彳也2 ■+ 2U‘ In 1 + 山—4J arctg 厶(3.25) где

匕=c'(込)= 1 (a-2 - a2).(3.25х)

Начало координат г = 0 располагается в критической точке S. Ширина пластины

P = z(—l) — z⑴=4 ^^ + 20%arctga +兵;](3.26) и толщина струи

d = F(Q-2 —@2).(3.27)

Простой расчет показывает, что две точки на свободной границе, где скорость . действительна, соответствуют точке

f =小，причем cos 6 = ±(1 —护)，а точки, где скорость чисто мнимая, — точке f =然①，sin 中=(1 4- b2)/2. Подставляя указанные значения / в формулу (3.25), легко получаем длину / и ширину 2w каверны. Кроме того, положение критической точки Т получается аналогично путем подстановки / = /6 в (3.25). На диаграмме 11 приложения приведены величины 1g Л и W /]ЛГ (L~ lip, W = w/p) как функции Q вместе с коэффициентом сопротивления CD. Он легко подсчитывается, поскольку сила сопротивления D удовлетворяет условию (гл. IV, п. 5)

。=^ 小 jdz= 2斗心(1 + 1 ⑺). (3.28)

На диаграмме 11 приложения показаны также свободные линии тока для различных значений числа кавитации Q при фиксированном значении d. Очевидно, что предельный случай Q = 0 соответствует течению Кирхгофа ——Рэлея (гл. II, п. 2).

Предыдущее исследование может быть распространено, как и в п. 7, на клинья с углом при вершине 0 = it/n. В этом случае первый сомножитель / в формуле (3.21) должен быть заменен сомножителем t^n, a z(f) не выражается уже в элементарных функциях.

Геометрическая классификация простых течений. Интересно произвести топологическую классификацию особенностей по соответствующим конфигурациям линий тока. Рассмотрим приращение многозначной функции '

1 1 •

n(z) = — arg dW= — arg С + arg =

— — [argdW/dt H-argdt\ (3.29)

при обходе контура В, состоящего из границы течения с малыми обводами критических точек и точек разветвления для любого несингулярного отображения плоскости течения на вспомогательную плоскость f = f(z) (например, на круг или на полуплоскость). Это приращение ——четное или нечетное число в зависимости от того, обходится ли течение против часовой стрелки или по часовой стрелке. Далее, оно возрастает в бесконечности на единицу при пересечении струи (источника или стока, рис. 27, а), на два— при пересечении полубезграничного потока 12) (рис. 27,6) и на три — при обходе безграничного потока (рис. 27,s). Эти факты легко проверить аналитически. В простой точке разветвления потока (рис. 27,г) n(t) умень- чается на единицу.

С другой стороны, легко видеть, что argdw возрастает на 2寬 при обходе вокруг контура В (простых течений, которые являются односвязными), в то время как (с учетом кратности критических точек) $ d (arg Q = 2^ns1 где ns ——число внутренних критических точек (рис. 27,0), окончательно приходим к следующему результату:

码 + 2% + Зп2 = 2 nd + 2п5, (3.30)

где «о ——число пересекаемых струй и трубок, «1 ——число полу- безграничных потоков, п2— число безграничных потоков и 几d — число точек разветвления потока на границе.

Рис. 27.

Замечания. Критические точки на бесконечности («покоящиеся трубки») нужно учитывать в обеих частях уравнения (3.30), т. е. как струи, полубезграничные или безграничные потоки в левой части и одновременно как критические точки (точки разветвления) в правой части. Так, например, струя, истекающая из щели (гл. II, п. 5), соответствует вытеканию из покоящегося полубезграничного потока и в уравнении (3.30) надо положить n0 = L 孔i = l, п2 = 0,孔汙=1, ns = 0. Общие правила для подсчета п в равенстве (3.30) в таких случаях усложняются. Внутренние особые точки на бесконечности (п. 3, замечание 6) дают в левую часть равенства (3.30) вклад, равный 4; так, например, для течения п. 8 с возвратной струей равенство (3.30) принимает вид 4 + 1+ 0 + 0 = 2+1+2.

С учетом этих свойств можно доказать новую теорему.

Теорема 4. Уравнение (3.30) справедливо в любом простом течении при условии, что п& 〃 孔$ считаются соответственно их кратности. '

Так, например, на рис. 18,8 показана тройная внутренняя критическая точка (ns = 3). Мы также знаем, что если плоскость не является многолистной на бесконечности, то 2/1] + & W 2.

Перечисление различных геометрических типов простых течений в соответствии с кочфи! урациями линий тока может быть проведено с использованием уравнения (3.30). Идея состоит

в том, чтобы рассмотреть возрастающую последовательность суммарных значений nd 4- ns и для каждого rid + ns перечислить и объяснить соответствующие возможности расположения «о,孔 1 и п2 на неподвижной и свободной границах 1), 2) и 3). В случае простых течений около клиньев каждый такой тип течения полностью определяется этим расположением вплоть до конечного числа действительных параметров.

Ниже эта идея будет проиллюстрирована путем перечисления всех устойчивых простых течений, имеющих годограф в виде кругового сектора.

Течения с годографами в виде кругового сектора. В случае простого течения с (однолистным) годографом в виде кругового сектора формула (3.18), очевидно, сводится к простому соотношению

』产"=产. (3.31)

В течении нет никаких внутренних критических точек и скорость достигает максимума на свободной границе, которая поэтому оказывается выпуклой (гл. I, п. 13).

Следовательно13), единственно возможная точка разветвления находится в точке ^ = / = 0. Если выбрать Т = —(/ + /-1)/2, то этой точке будет соответствовать Т = оо, а выражение производной комплексного потенциала (3.5) упрощается так:

;=1 .

Обращаясь к равенству (3.30), получаем, что n0 + 2/ti + Зп2 & ＜；3. Однако N ＜；/:()+ 2孔1 + 3孔2, причем, согласно замечанию 5 п. 3, неравенство обусловлено возможными полюсами комплексного потенциала W (соответствующими струям и т. д.) в точке Т = оо. Это доказывает следующую теорему.

Теорема 5. Для любого простого течения с годографом в виде кругового сектора соотношения (3.31) и (3.32) справедливы при N&3 и Т = —(f + 尸)/2.

Заметим далее, что на основании уравнения (3.30) 7V = п0 + + 2孔1 + 3孔2 ＞2, если не имеется особенности в вершине. Следовательно, может быть N = 2 или N = 3. При N = 2 единственными возможностями оказываются п0 = 2, «1 = «2 = 0 и 几 1 = 1, «о = ^2 = 0. Исследуем эти возможности.

Случай п0 = 2 включает течения Рети14) с особенностями, размещенными так, как показано на рис. 28 (крестики представляют источник и сток): одна на неподвижной, другая на

свободной границе, за исключением предельных случаев поло-вины течения около клина в струе (рис. 28,6) или в канале

q q q 2 /

GGd

G

G

Рис. 28.

(рис. 28, в). Рис. 28, г соответствует струе, истекающей из воронки, а рис. 28,0 (кружок представляет диполь)——половине

а6а66а6а66Р и с. 29,Рис. 30.Р и с. 29,Рис. 30.

а6а66

а6а66

Р и с. 29,Рис. 30.

Р и с. 29,Рис. 30.

течения Бобылева около клина. Другой интересный случай соответствует рис. 29, а и представляет течение идеальной жидкости в колене трубы (рис. 29,6), в котором давление постоянно вдоль изгиба. Этот случай имеет некоторый практический интерес для определения формы колена, в котором течение не должно отрываться ).

Следует, однако, отметить, что течение на одной свободной границе приближается к течению вдоль прямой стенки*Рис. 31.

Если криволинейная свободная граница не будет удерживаться твердыми стенками, то, очевидно, такое течение в действительности будет неустойчивым. Не трудно показать, что рис. 28, а — д дают все виды течений, которые удовлетворяют условию устойчивости, а именно：

В каждой точке отрыва течение идетот неподвижной границы к свободной границе.'丿

При ^ = 3 имеется только три существенно различных случая, удовлетворяющих условию устойчивости (S) (рис. 30).

Рис. 30, а и 30,6 представляют течения, изображенные соответственно на рис. 31, а и 31, 6. Рис. 30, в представляет струю, разделенную конечным клином.

Предельные формы течения получаются либо путем предположения, что две или три особенности сливаются в одну, либо

Так, например, годографы на рис. 32, а и 32, б соответствуют течениям на рис. 33, а и 33,6 соответственно15), в то время как рис. 32,s соответствует предельному течению Бобылева (гл. II, п. 4)*

И. Другие примеры. Возможна аналогичная классификация других простых течений около клиньев, основанная на теоремах 2 и 3 и уравнении (3.30). При такой классификации критические точки должны располагаться в полукруге Г* Аналогично можно рассматривать и вихри. Таким образом, с математической точки зрения

Vперечисление подобных течений ока

зывается весьма простой задачей.

Многие такие течения, однако, представлягот достаточный физический Рн& 34*интерес, и поэтому мы приведем неко

торые детали вычислений. В качестве примера рассмотрим отклонение свободной струи вихрем (рис. 34), что в первом приближении описывает воздействие на такую струю несущей поверхности 16).

Отобразим течение на единичный круг в плоскости параметрического переменного t так, чтобы вихрь V перешел в начало координат, а бесконечно удаленные точки струй /1 и /2 ——в точки окружности 然а и е^а соответственно. Если 7 — интенсивность вихря, то комплексный потенциал W имеет в точке f = О логарифмическую особенность с коэффициентом »丁/2篁,а в точках е’а н е-'а — логарифмические особенности противоположного знака (источник и сток) с коэффициентами ±d/^ (d ——асимптотическая толщина струй). В результате инверсии относительно единичной окружности вихрь в точке £ = 0 переходит в равный

и противоположиый по знаку вихрь в точке t = ос, однако струями никаких новых особенностей не порождается ). Таким образом,

Из выражения для производной комплексного потенциала

dW d since〃f冗 £2 + 1 — 2£ cos adW d since〃f冗 £2 + 1 — 2£ cos aП 1 — n (£ — £())(土一才) 2^ t~^ £(£ —小)(£ _…)П 1 — n (£ — £())(土一才) 2^ t~^ £(£ —小)(£ _…)

dW d since

〃f冗 £2 + 1 — 2£ cos a

dW d since

〃f冗 £2 + 1 — 2£ cos a

П 1 — n (£ — £())(土一才) 2^ t~^ £(£ —小)(£ _…)

П 1 — n (£ — £())(土一才) 2^ t~^ £(£ —小)(£ _…)

следует, что должна быть новая критическая точка в точке t = %, причем параметр % удовлетворяет такому уравнению: Й — 2 [cos a — (2d/?) sin a] /0-|- 1 = 0. Следовательно, комплексная скорость 工 имеет нуль в точке / = ^о, полюс в точке f = 0 и ее модуль равен единице на окружности t = е". После инверсии относительно единичной окружности полюс порождает нуль, а нуль — полюс в соответствующих точках. Вследствие этого можно написать

七 1 £ 一力t 1 "о

После интегрирования получим

z = J L dir = —罢 /о [/ + (『-灯 1)21п(1 一 е±) +

+ (е"а —/「)1п(1 — Л)].

Угол отклонения струи 6= arg ^ определяется формулой

3 = — arctg 表(1 — " COS а).

Можно дать и много других приложений метода отражения 17).

ПРИМЕЧАНИЯ

】)Это определение и строгое обсуждение его следствий являются новыми, хотя все используемые методы можно найти в различной литературе. Предположения могут быть существенно ослаблены (см. гл. IV, п. 1 и гл. VI, п. 3). Так, например, для применения принципа отражения необходим > предположить только непрерывное стремление к нулю Imf(f) или Re /(/) [49, т. II].

Рассмотрено Войтом, Voigt W., Gott. Nachr., (1885), 285—305. См. также С i s о 11 i U., Ann. Mat., 23 (1914), 285—340; В о g g i о T., Atti Accad. Sci. Torino, 50 (1915), 1103—1119; Caldonazzo M., Ann. Mat. Рига Appl. Milano, 26 (1916), 38—75; Rend. R. Inst. Lomb„ 52 (1919), 149; [62, § 11.42, 11.43]. Для симметричного случая ©i = О, a2 — л, ©4 =——аз см. гл. II, п. 6.

Поскольку функция W—/(/) н g(f) принимает действительные значения на окружности |/| = 1, то g(l/t*) =g*(f) определяет функцию, которая ограничена на всей плоскости и, следовательно, постоянна.

В работе Palatini A., Atti 1st. Veneto Sci., 75 (1916), 451—453 предложено условие минимума общей энергии части жидкости, имеющей скорость I" V г при г -> 1. Там же показано, что при этом отходящие струи должны быть симметричными или параллельными. Об устойчивости струи см. также гл. XI, п. 15.

См. методы, изложенные в гл. II, а также [57], [33, стр. 6—10]. Обобщение на случай клиньев приводит к усложнениям, отмеченным в гл. II, п. 4.

См. Morton W. В., Phil. Mag., 48 (1924), 464—476, а также Мог- ton W. В., Harvey Е. J., Phil, Mag.. 31 (1916), 130—138.

Этот случай был рассмотрен в работе Green A., Proc. Cambr. Phil. Soc., 32 (1936), 67—85 [43, § 12.3]. (Решение задачи глиссирования было получено в 1931 г. С. А. Чаплыгиным при участии М. И. Гуревича и А. Р. Ямпольского [9*, 29*]. С помощью другого метода задачи глиссирования рассматривались в 1936 г. Л. И. Седовым [36*]. — Прим, ред.)

См. S а 1 z m а п п F., Escher Wyss News, 8, № 4/5 (1935), 95—102; Watson E. J., ARC RM 2177 (February 1946), где даны некоторые таблицы. Всасывающие щели в конечных каналах рассматривались Мизесом [61, стр. 473], а также в работе М с N о w п I. S., Hsu E.-Y., Proc. 1st Midwest Conf. Fluid Dyn. USA (1951), p. 143—153. (См. также [12*, т. Ill, § 6]. — Прим, ред.)

См. Zarantonello Е. Н.,丄 math., 33 (1954), 29—80. Случай чисто циркуляционного течения был рассмотрен в работе С i s о 11 i U., Atti Accad. Lincei, 13 (1931), 85—92. (Еще одна схема струйного течения с двумя полыми вихрями за пластинкой предложена М. А. Лаврентьевым в 1958 г. [22*].— Прим ред.)

I。)См. Эфрос Д. А., ДАН СССР, 51, № 4 (1946), 267—270; 60 (1948), 29—31; К г е i s е 1 G., Adm. Res Lab. Rep. R l/H/36 (1946); G i 1 b а г g D., Rock H. H., NOL Memo. 8718, 1946; Гуревич M. И., Изв. АН СССР, № 2 (1947), 143—150 [9*]; G i 1 b а г g D., S e г г i n J.,丄 Math. Phys., 29 (1950), 1 — 12; Arnof f E. L., NOTS Rep. 368, 1951 (Navord 1928)」

")Асимметричные течения с циркуляцией и без циркуляции были рассмотрены Д, А, Эфросом, пластины в каналах — М. И. Гуревичем, симметричные клинья — Арновым в вышецитированных работах.

Это соответствует диполю в смысле теории потенциала или простому полюсу в смысле теории функций комплексного переменного; эти понятия нс-

много смешиваются! На рис. 28, а—е окрестность конечной точки охватывает угол 180°. Схемы для других точек можно получить посредством конформного отображения.

) Налагающиеся точки возврата и сливающиеся прямые стенки (клинья с внешними углами 360°) отбрасываются, см. гл. IV, п. 7. По этому вопросу см. также работу М i у a d z u М., Tech. Rep. Tohoku Imp. Univ., 10 (1932), 545-583.

Крестик на годографе представляет в физической плоскости струю, кружок — полубезграничный поток, квадрат или ромб — безграничный поток. Рис. 28, е соответствует случаю обтекаемых стоек, рассмотренному Гербером и Макнауном [59, 14—20].

Течение, изображенное на рис. 33, б, было исследовано В а п z i G., Лпп. Mat. Рига Appl. Milano, 28 (1919), 95—108.

Несколько более сложный случай отклоняющего вихря в струе, вытекающей из сопла, был рассмотрен в работе Simmons N., Quart. J, Math., 10 (1939), 283—311. См. также Phil. Mag., (7), 31 (1941), 81-102; [11*].

См., например, Ketchum Р. W,, Quart. Appl. Math., 1 (1943), 149— 167; Masotti A., Acta Pont. Acad., (1933—1934), 248—255; S h i b a о k a Y., J. Inst. Polyt. Osaka, БЗ (1952), 53—57.

ГЛАВА IV

Общая теория

Особенности функции W(7). В гл. II и III мы определили много плоских течений идеальной жидкости, ограниченных клиновидными стенками и свободными линиями тока. Теперь мы обратимся к общим свойствам струйных течений идеальной жидкости при обтекании препятствий произвольной формы как в плоском (п. 1—8), так и в пространственном (п. 9—13) случаях. Изложение будет независимым от содержания гл. II и III, за исключением понятий простого течения и отражения, рассмотренных в гл. III, п. 2 и 3.

Сначала мы завершим доказательство теоремы 1 гл. III, показав, что функция W(Г) не может иметь существенно особой точки. В этом доказательстве предполагается только: 1) область течения R локально однолистна, 2) R локально односвязна и 3) комплексная скорость ^(z) ограничена и аналитична в R. Таким образом, здесь не требуется, чтобы течение было простым в целом (см. гл. III, п. 2 и примечание в конце п. 3 гл. IV). Простой точкой течения, удовлетворяющего условиям 1) —3), мы будем называть регулярную точку или изолированную особенность. Напомним (см. гл. III, п. 3), что любая точка простого течения является одновременно простой точкой.

Теорема 1.8 простой точке на границе течения С производная комплексного потенциала dW/dT регулярна или имеет полюс порядка не выше третьего.

Доказательство. Согласно основной теореме конформного отображения, течение в окрестности простой точки можно отобразить на полукруг в верхней полуплоскости Т с центром в точке Т = 0 однолистным (взаимно однозначным) конформным преобразованием так, чтобы граница течения перешла в действительный диаметр. Поскольку функция z(T) однолистна, то по теореме искажения Кёбе [6, т. 2, стр. 77] локально справед-

либо неравенство:

Ahl <l^(ni <АИГ3.(4.1)

где " = 1тТ и постоянная Д0>0.

Отсюда, если через А обозначить верхнюю грань модуля скорости вблизи рассматриваемой простой точки, вытекает, что

I 譬 |=2(7)|e>14|犷3.(4.1，)

Так как производная комплексного потенциала dW/dT принимает действительные значения на границе течения, то она, кроме того, может быть продолжена по принципу симметрии в нижнюю полуплоскость, и оценка (4.1‘)будет справедлива по всей (круговой) окрестности точки Т=0.

Далее используется следующее небольшое обобщение теоремы Пойа и Стоуна *).

Лемма. Пусть h(T)——аналитическая и регулярная функция в окрестности точки 7 = 0, за исключением самой точки, причем. |Л(7')|《8|刀「"，з0е ^ ——неотрицательное целое число. Тогда функция h(T) или регулярна, или имеет в точке Т = 0 полюс порядка не выше ^.

Доказательство. Поскольку |产一Г2| 式2厂|刀| на окружности Гг (Т = ге河)и поскольку \h(T)\ < 5 |тд| ~7V по условию леммы, то

/(厂")=备 / 产/(1 -仅以T)dTH. (4.2)

Если k>Nt то /(r,力)一>0 при r~>0. С другой стороны, по теореме Коши, /(г, k) равен вычету подинтегральной функции, который, если функция h(T) представлена рядом Лорана £。力7", определяется суммой

2(S)(-1)&(…厂 2、=/(「，初•(42)

Из соотношения (4.2‘) при /(г, fe) 0 следует, что a-(2N + h)=0, .. -, ат = 6； согласно же соотношению (4.2), а$ = 0, если 0>М что и доказывает лемму.

Объединяя эту лемму с оценкой (4.1х), мы получаем доказательство теоремы 1. Очевидно, что вместо точки 7 = 0 может быть использована любая конечная точка Т=То на действительной оси.

Если простое течение отображается на полукруг в плоскости f, то преобразование Т= — (/ + ^*)/2 не может привести к появлению существенных особенностей, хотя полюсы порядка не выше пятого могут оказаться в углах, так как преобразование в них является локально квадратичным.

Теорема 1 была доказана без предположения о непрерывности функции ^(2). Однако классификация изолированных особенностей, данная в гл. III, п. 3, будет неполной, если условия 1) —3), принятые в теореме 1, не дополнить предположением о

непрерывности функции ^(з) или же ограниченности ее arg C(z) (см. гл. VI, п. 3).

То же самое следует сказать и об асимптотических формулах п. 3—6 данной главы.

В качестве примера рассмотрим течение, определяемое функцией

(=厂般，т= ^ в〉。 (4.3) Течение находится между двумя логарифмическими спиралями (рис. 35); первая из них оказывается свободной линией тока,

скорость на которой равна по модулю 1, вторая ——такой же линией, скорость на которой равна е^а Можно показать обратно, что особенность типа (4.3) представляет собой единственную

возможность локального соединения двух свободных линий тока с различными скоростями 2). .

Принцип отражения (аналитического продолжения). Следуя Шиффману [97], применим метод отражения (см. гл. III, п. 2) непосредственно в физической плоскости. Рассмотрим окрестность фиксированной точки z0 на свободной линии тока С, на которой модуль скорости равен и, причем функция ^(z) предполагается непрерывной. Поскольку функция C(z) отображает линию тока С на дугу окружности, то формулы гл. III, п. 2

показывают, что при аналитическом продолжении Zf z через С в соответствующих точках мы должны иметь

dW=dW\dW=dW\(4.4а)(4.4а)

dW=dW\

dW=dW\

(4.4а)

(4.4а)

Следовательно,

= 巾=0飞》旷=厂2 G dz)*.

Покажем теперь, что такое продолжение всегда возможно； из этого, конечно, будет следовать, что

房=2。+ 旷 2 /с2dz , W= W—2Vg, (4.46)

где Vo — постоянная величина Im {W] на свободной линии тока С.

Теорема 2. Любое плоское течение может быть локально продолжено через свободную линию тока по формулам (4.4а), (4.46).

Доказательство. Легко показать, что в области изменения W функция z(步)однозначна, а функция ^-1 ——непрерывна и удовлетворяет условию теоремы Морера [6, т. 1, стр. 133], так что $L dW=0 по любому замкнутому контуру. Отсюда следует, что С н z = / С"1 dW— аналитические функции W. Так как производная dz/dW = С"1 #0, то W(z) также аналитическая функция [6, т. 1, стр. 190]; итак, рассматриваемое течение аналитично в физической плоскости.

С л едстви е 1. В любом идеальном плоском течении3) свободные линии тока являются аналитическими кривыми.

В самом деле, поскольку W(z) — аналитическая функция, то очевидно, что любая внутренняя кривая V=const также аналитична.

С л едстви е 2. Поля скоростей двух течений, имеющих общую дугу свободной линии тока, совпадают с точностью до постоянного действительного множителя.

Действительно, в предположениях этого следствия, отношение C(z)/M(z) комплексных скоростей должно быть постоянной действительной величиной на непрерывной дуге; следовательно, оно должно равняться постоянной тождественно [6, т. 1, стр. 140].

Теорема 3. Рассматриваемое аналитическое продолжение переводит линии тока в линии тока, изобары и изоклины в изобары и изоклины, свободные линии тока в свободные линии тока, многоугольные стенки в параллельные многоугольные стенка, источники и вихри в бесконечно удаленные источники 〃 вихри. Если модуль скорости на свободной линии тока равен и, то вектор силы F, действующей на обтекаемое препятствие, равен величине tpu2/2, умноженной на вектор, соединяющий один конец препятствия Z] с его отраженным образом г(.

Доказательство. Утверждения теоремы о линиях тока, изобарах, изоклинах, о свободных линиях тока и многоугольных стенках очевидны в силу равенств (4.4а) и (4.46) ； кроме того, направление течения, т. е. величина —arg ^=arg ^* =—arg С，не изменяется при отражении. Утверждение об источниках и вихрях следует из того, что область W отражается в силу соотношения (4.46) зеркально, в то время как точки ^= ос и С=0 меняются местами. Следовательно, источники и вихри из конечных

Рис. 36.Рис. 36.

Рис. 36.

Рис. 36.

точек плоскости (^= ос) переходят в соответствующие точки на бесконечности 隽= 0).

Что касается вектора силы F, то, предполагая давление постоянным на обратной стороне обтекаемого препятствия и используя уравнение Бернулли, получаем

F=^P / [|q2_02]dz = ^pF=^P / [|q2_02]dz = ^pf ^dW—v2f ^dW—v2

F=^P / [|q2_02]dz = ^p

F=^P / [|q2_02]dz = ^p

f ^dW—v2

f ^dW—v2

Здесь С =©「* в то время как dW = dW^ = dW =^dz, поскольку величина dW действительна вдоль линии тока.

Согласно формуле (4.46), находим

gp@2 / dz=^p@2(Z]— W),(4.5)

что и завершает доказательство.

Отражение обычно переводит внутренние критические точки в точки разветвления третьего порядка; таким образом, отражение течения с внутренней критической точкой, как правило, не будет простым.

Одной из иллюстраций теорем 2 и 3 является струя в угле; ее отражением (рис. 36, а) через свободную линию тока оказы- нается струя, обтекающая угол. Особенно изящный пример

представляет собой вихрь со свободной линией тока внутри квадрата (рис. 36,6); используя метод отражения, получаем течение между двумя концентрическими квадратами 4).

Интересное приложение следствия 2 состоит в нахождении течения с заданной свободной линией тока С. Задача решается конформным отображением. Чтобы построить такое течение, определим конформное отображение z = f(7) области течения, расположенной с одной стороны линии тока С, на полуплоскость и положим

請=丫广⑺尸*(т)，~Т)=丿(4.6)

Тогда, если, например, свободная линия тока С имеет форму эллипса, то получаем циркуляционное течение, которое можно представить себе как полый вихрь, образуемый двумя противоположными параллельными потоками, текущими с двух сторон разделяющей их стенки (рис. 36, в).

Асимптотическая форма свободных линий тока. Рассмотрим часть течения, ограниченную двумя свободными линиями тока, простирающимися до бесконечности, и дугой окружности, соединяющей их между собой. Изучим асимптотическое или, иначе говоря, локальное поведение течения на бесконечности. В п. 3—8 положим и=1, т. е. модуль скорости на свободной линии тока равен единице.

Очевидно, что рассматриваемая область односвязна и может быть конформно отображена на нижнюю полуплоскость Т так, чтобы бесконечно удаленная точка перешла в точку Т=0. Согласно теореме 1, после интегрирования dW/dT выражение для комплексного потенциала W в окрестности Т = 0 можно записать в виде

W = h_?Т ? +力一X 1 + 力 In Т + % + 力/+ •.., (4.7) где коэффициенты ht Л_ь 心 действительны и не все равны нулю. Как и ранее в гл. Ш, п. 3 течение будем называть струей, полубезграничным потоком («океаном») или безграничным потоком, если первый отличный от нуля коэффициент разложения в соотношении (4.7) соответственно %, к или к.

Соотношение (4.7) может быть упрощено при соответствующем выборе параметрической переменной. Поскольку течение на бесконечности ограничено свободными линиями тока, и там С(0) 次 0, то все линии тока асимптотически параллельны на бесконечности, а область определения W содержит вне достаточно большого круга все точки между двумя полупрямыми, параллельными действительной оси (рис. 37,а — в). Одна из следующих функций соответственно будет отображать всю окрест*

ность бесконечно удаленной точки на внешнюю часть некоторого круга в нижней полуплоскости / (рис, 37,?).

В случае струи

W=~'mt,(4.8а)

в случае полу безграничного потока

步=/ + ^Е/,(4.86)

в случае безграничного потока

Г=/2 + 41п/.(4.8в)

В формулах (4.8) величина d равна разности значений функции тока V на двух свободных линиях тока; следовательно,

Рис. 37.

мы можем рассматривать / как существенный параметр. Отображения достаточно большого полукруга в нижней полуплоскости f (рис. 37, г) с помощью формул (4.8а) —(4.8в) показаны на рис. 37, а—в. Формулы (4.8а) — (4.8в) могут быть также получены путем подстановки в (4.7) следующего ряда:

Т =屮(/) =,

где все * действительны.

По принципу отражения (гл. III, п. 2), если повернуть тече* ние так, чтобы было ^(оо) = 1, имеем

С = ехр/(а尸+ L十 G + 5+ ...),(4.9)

где все а, & / ... действительны. Полученные соотношения (4.8)——(4.9) и определяют асимптотическое поведение течения. Тогда, поскольку величина —arg ^―—a/-1 —卩产—. при действительном значении параметра t дает направление касательной на свободных линиях тока, асимптотическая кривизна свободных линий тока определяется первым окпичным от нуля коэффициентом ряда (4.9). Если а>0, то обе свободные линии тока откло- I

няются от направления течения;

это означает, по принципу Брил-

люэна (гл. 1, п. 13), что скорость

течения асимптотически стремится к 一_^-

локальному максимуму на свободных

линиях тока. Если а = 0, а §#0, то I

одна свободная линия тока отклоняет

ся в сторону течения, а другая ——вРнс. 38.

противоположную сторону.

Более наглядное представление о течении в физической плоскости достигается с помощью разложения комплексной координаты

z = /L d!T = /[l—以广1 +停+ 睜)厂+ ..."步.(4.10)

В случае струи, t = eaW (a = /z"), получаем,

z = z°+步+^e-aw + ^ib-2aw+(4.11а)

следовательно, струя стремится по экспоненте к параллельному течению в канале шириной d=h虱(рис. 38 и диаграмма 7 приложения). В типичном случае истечения струи из сужающегося насадка хорошее приближение можно получить, принимая 『+步+图/-1, что приводит к симметричному сужению струи вдоль нижней и верхней свободной линии тока соответственно при f>0 и /<0.

Случай полубезграничного потока («океана») менее прост. Согласно формуле (4.10), имеем

г = J (1 — za/-1 — (4 + ^) z"2 + •••)(! +aL)d/ =

=% + W — za In / + ["^—|— / (aa + P)] / 1 + ...=

= Zo+IT—ialn 步 +。(取一1).(4.116)

Таким образом, если a = 0, то граница потока в бесконечности неограниченно понижается (или повышается) относительно

плоской горизонтальной поверхности (рис. 39); частный случай этого парадокса уже обсуждался в гл. III, п. 6. Ниже в п. 5 мы покажем, что с этой конфигурацией связана некоторая подъемная сила L = pma. Если коэффициент а = 0, то понижение уровня оказывается асимптотически конечным, но при этом (см. п. 5)

Рис. 39.

подъемная сила L = 0; этот случай обычно несовместим с условием отрыва Бриллюэна (гл. I, п. 13). Во всяком случае, разность в уровнях границы потока по обе стороны от любой фиксированной вертикальной оси на равных расстояниях от нее стремится к толщине отклоненной струи.

Случай безграничного потока наиболее сложен. Для каверны за обтекаемым препятствием имеем d = 0 и поэтому получим

z=/[l—旭步7"一(^+ 則步T—…]d!T =

=г0 + IT — 2w /Г — (4 + ^) In I^+ • • ••(4.11b)

Более того, выражение (4.1 Lb) справедливо даже если d # О, поскольку тогда

尸厶〜旷%[1+樂¥+

Так как обе границы каверны соответствуют двум сторонам разреза вдоль положительной оси в плоскости Wt a W=Y t имеет различные знаки вдоль берегов этого разреза, то ясно, что форма каверны существенно параболическая, если а>0 (рис. 40, а) 5), причем ее симметрия искажается только членом В In 步，если 卩次 0. Элементарные вычисления показывают, что в плоскости

у —儿=士2aMх — В lux +。⑴.(4.11г)

Очевидно, что при а<0 получается самопересекающееся течение, которое физически невозможно ).

Случай а = 0 сводится к каверне конечной ширины, которая может быть асимптотически прямой в симметричном случае 8 = 0, но которая обычно отклоняется от прямой линии по логарифмическому закону. Как будет показано в п. 5, именно это и будет случаем каверны с нулевым сопротивлением6) (рис. 40, б).

Для более общего случая там же будет доказано, что величины а и § определяют сопротивление D и подъемную силу L в соответствии с формулами £)= тсра2 и £ = пр&

Уравнение количества движения. Поток количества движения через какой-нибудь ориентированный7) элемент границы течения dz равен, по определению (гл. I, п. 12),

dlA^= ^dV = ^i^dV — i^dV). (4.12)

Кроме того, из уравнения Бернулли3)

Так как idz совпадает с внутренней нормалью (рис. 41), а комплексная скорость

течения равна dW/dz = l=l-\-ix\, то элементарный вектор силы давления, действующей на элемент dz границы жидкости, равен

^Р = ip dz = ipQ dz —^ p/C* -^- dz =

=ip0dz — ^?i^~ i-^ {dU + i dV). (4.13)

Сопоставляя формулы (4.12) и (4.13), получаем

СМ — dP = — ip^dz十;р» & dW^.(4.14)

Аналогично, если dP = i(p — p^)dz означает элементарный вектор избыточного давления, то имеем

d№—dP = i(Pf —厶)dz + } р» 储 d 步)*. (4.14‘)

Но, согласно теореме Коши, имеем ^ d2 = Q и $("步)* = 0; следовательно, интеграл по контуру от правой части равенства (4.14') обращается в нуль, если он берется вдоль границы какой-нибудь конечной области течения. Это означает, что § ®М — dP) = 0 (соответствующая формула § dM = § dP, получаемая таким же путем из равенства (4.14), выражает уравнение обычной теоремы о количестве движения; см. гл. I, п. 10).

Получим теперь асимптотический аналог этого уравнения, справедливый для бесконечных областей, ограниченных свободными линиями тока С» 卩= 1, ..., rz] при заданном давлении р『, и конечными неподвижными стенками 8"»= 1, г'; / = =1,…，s). Предположим далее, что масштабы выбраны так, что модуль скорости на свободной линии тока равен единице.

Для указанной цели применим основное уравнение М— Р = 0 к конечной области, ограниченной неподвижными стенками В” частями свободных линий тока &，простирающимися достаточно далеко, и сечениями С^ [々=1, ..., г], соединяющими соседние свободные линии тока, как показано на рис. 41. Очевидно, что dM三0 вдоль любой линии тока, в то время как dP 三 0 вдоль свободной линии тока. Пусть теперь Fy = j dP означает суммарную силу давления (избыточную по отношению к давлению внешней среды), действующую со стороны неподвижной стенки % на движущуюся жидкость. Поскольку $®М — dP) = 0, то ясно, что

5 Г Г _F=_2F/ = 2 /(dM — dP) = 2G『 (4.15)

；=1 力=1 Ck k=l

Теперь необходимо вычислить интегралы G^. Так как интеграл § ®М — dP) по контуру, состоящему из участков двух свободных линий тока и соединяющих их сечений, равен нулю, и так как dM — dP = 0 вдоль свободных линий тока, то интегралы Gft равны для всех сечений, соединяющих две данные свободные

линии тока. Таким образом, мы переходим к вычислению асимптотических значений интегралов G^.

Лобовое сопротивление и подъемная сила. Вычисление интегралов Gfe поперек любой струи тривиально. Вследствие конечного поперечного сечения струи и стремления ее по экспоненциальному закону (4.11а) к равномерному течению со скоростью vf на свободной линии тока и давлением внешней среды р/ значение любого интеграла G^ равно pQ@/d, т. е. вектору с модулем pd@；, действующему вдоль средней линии струи. Следовательно, если струя раздваивается какой-нибудь стенкой В, причем F означает силу, действующую со стороны струи на стенку, то

-F = G| + G2 + G3，(4.15а)

где Gfe — вектор потока количества движения струи и ее двух уходящих в бесконечность ветвей.

Выражение интегралов G^ для полубезграничного потока или каверны получается из формул (4.14'), поскольку р$ — ро = р/2, если и/ = 1, а именно,

oft = |pd /^dwr- /dz\. (4.16)

Вычислим теперь асимптотическое значение этого интеграла по контуру полукруга 以 достаточно большого радиуса R с центром в начале координат в нижней полуплоскости £ При этом полезно заметить, что

/ [/(/)〃]*= //*(/) ^>

где 产(f)——степенной ряд, полученный из ряда функции f(f) путем замены каждого его коэффициента сопряженной величиной, а С1— полуокружность, сопряженная с С^, на которой значе* ние In f уменьшается на величину fit.

В полубезграничном потоке, согласно (4.86) и (4.9),

=卜+ (—/a + 9n/ + const + o ⑴]「:=

=27?—北a — id -|-o(l).

Аналогично по контуру 以

/dz = /L dir=2A + na + M + o⑴.

Подставляя полученный результат в (4.16), находим

G力=^р» (—2ка — 2»d) = p(d —沐 a).(4.156)

Следовательно, для любой жесткой дуги 8, глиссирующей по поверхности бесконечного океана, скорость, с которой океан передает количество движения струе и дуге вместе взятым, имеет горизонтальную компоненту, равную массе струи, отходящей за единицу времени, и вертикальную компоненту, пропорциональную логарифмическому понижению уровня на бесконечности.

Поскольку в формуле (4.16) имеется два слагаемых, можно сказать, что лобовое сопротивление Z) = pa определяется слагаемым 偿)1п/ в формуле (4.8в), соответствующим струе, в то время как подъемная сила L = upa определяется слагаемым W = tt относящимся к полубезграничному потоку.

Теперь мы можем вычислить силу, связанную с чисто кавитационным членом 步=/2 в формуле (4.8в), который в большинстве приложений является единственным. В безграничном потоке вычисление дает

/ С*^г*= / (1 +у —^Д + •••)*2/*^ =

=—47aA 十 /а2к — 2际 + О (1 )；

/dz= / ^ dW= / (1 —^―^±^+ ...)2/d/ =

CkC力Ck

=[/2 — 2加/ — (a2 + 22力h / + O ⑴]1学=

=—4ER —以2代+2际 + 0 (1 ).

Подставляя этот результат в формулу (4.16), получаем

F = — G = ^ р" — 2/а2к + 4际]=рк (a2 + 2»。)・(4.15в)

Если, как обычно, D обозначает (кавитационное) лобовое сопротивление и L (кавитационную) подъемную силу, то приходим к следующей теореме.

Теорема 4. В безграничном потоке константы ^ и ^ из формул (4.116) и (4.11в) определяют величины

。=呼a2, £ = 2北 pp,(4.17)

если модуль скорости на свободной линии тока равен единице.

Возвращаясь к формулам f(4.11в), (4.11г), получаем

Z = 4)+ W7—2, / ^MlT —，貴 In W+O [y=j > (4.17a) y-九=±2/^^十费 Ex + O(亡).(4.176)

Итак, ширина каверны определяется лобовым сопротивлением, а ее асимметрия — подъемной силой. В рассмотренном случае симметричной каверны с нулевым лобовым сопротивлением £) = 0 (рис. 40, б) имеем, таким образом, типичное соотношение у — уо = 0(1/М%).

Другая интересная асимптотическая формула относится к возвратному струйному течению, как в плоском, так и осесимметричном случае. Она имеет вид 9)

Cd=2[1 + Q + /T+Q]^,(4.18)

где А* — поперечное сечение струи и Л — поперечное сечение препятствия.

. Момент. Коэффициент момента См также может быть вычислен путем соответствующего преобразования предыдущего асимптотического случая, причем, это, по-видимому, наиболее подходящий способ вычисления коэффициента См в конкретных задачах. Приведем теперь подробные формулы.

Момент относительно начала координат комплексного вектора f=g-\-ih, приложенного в точке 2, равен xh—yg=Im{fz*}. Следовательно, с учетом соотношения (4.12) поток момента количества движения через элемент dz границы записывается в виде

dTV=plmCN*)dk(4.19)

Аналогично для элементарного момента dQ силы избыточного давления имеем

dQ = Im р(Р^~Р/)^dz —昇兀*№乜步[, откуда следует

dN — dQ = {pf —%) Re {^ dz)^-^ Re (гС d W )*.(4.2。)

Г. Биркгоф

Интегрируя вдоль границы любой конечной области (не содержащей внутри себя источников, стоков или других особенностей) и учитывая соотношение

§ Re (г* dz) = f (х d% + y dy) = § z^dW = Qt получаем обычную теорему о моменте количества движения

N = Q.

Теперь мы найдем асимптотический аналог этого уравнения, выражающий момент, который нужно приложить, чтобы получить заданное асимптотическое течение на бесконечности. Поступая точно так же, как и в п. 5, получаем окончательно

一 N(F) = £ / ®N—dQ) = S N(G J(4.21)

力=1 Ck力=1

Иначе говоря [см. (4.15)], момент гидродинамических сил, действующих со стороны движущейся жидкости на жесткую неподвижную дугу, помещенную в потоке, равен сумме некоторых интегралов, асимптотическое значение которых мы попытаемся теперь вычислить.

Случай струи очевиден; как уже отмечалось в п. 5, величина N(Gk) равна моменту вектора с модулем p@；d, действующего вдоль средней линии струн.

Для препятствий многоугольной формы при кавитационном движении или при глиссировании по поверхности океана часто можно вычислить N(GQ как предельный случай раздвоенных струй. Однако обычно более удобно использовать непосредственно соответствующую предельную формулу. Поэтому вычислим N(Gk) для случая полубезграничного потока и для случая каверны в безграничном потоке..

Теорема 5. Момент сил давления относительно точки 之=0 для полубезграничного потока выражается формулой

N@) = рк 卜 +墨-弋侍 + a2)J + Im (G~?,422)

а для безграничного потока \см. (4.9)]10) — формулой

n@)="[2计3昨_^侬 + 4俨)可+ Im (Gm：). (4.23)

Доказательство. Согласно соотношению (4.20), при и/= 1, в обоих случаях имеем

N(G&) = ^pRe( /^dW— /z*dz) =

У ck /

Ip Re Г ^{z^—zX~^dWy.(4.24)

Теперь вычислим асимптотическое значение этого интеграла в плоскости / подобно тому, как это делалось в п. 5. При этом для упрощения вычисления мы воспользуемся следствием из соотношения (4.21), согласно которому интеграл N(Gk) (4.24) не зависит от пути интегрирования. Полагая / = Re*屮 и обозначая через Ck контур интегрирования |/| = /?, видим, что интеграл (4.24) не должен зависеть от R. Однако этот интеграл можно представить в виде ряда по R, состоящего из членов R2, R, 1, InR, R7 ..., умноженных на определенные интегралы от <р, которые не зависят от R, так как <р изменяется от ——л до 0. Следовательно, поскольку сумма не должна зависеть от R, все интегралы, за исключением интеграла от постоянной величины, обращаются в нуль.

Используя (4.86) и (4.9) и учитывая, что комплексная координата равна 乞=/ ^х dW, для полубезграйичного потока получаем

匕 债+中）（果+邓+力）,

一't

1 [^伍+用)+警+如+川

0^b

Подставляя полученные результаты в (4.24) и сохраняя только интегралы, не содержащие множителей R или In R, получаем соотношение (4.22). Аналогичным путем доказывается и равенство (4.23).

Кривизна в точке отрыва потока. Легко проверить в частных случаях, что кривизна свободной линии тока в точке отрыва потока обычно обращается в бесконечность. Дадим теперь изложение этого вопроса в более общей форме. Без потери общности можно считать, как и выше, что модуль скорости на свободной линии тока равен единице.

Рассмотрим какое-нибудь течение, удовлетворяющее условиям 1)——3) п. 1 и отрывающееся от неподвижной стенки S в точке А, как показано на рис. 42, а"). Возьмем вокруг точки Л подобласть D и отобразим ее конформно на единичный полукруг Г в плоскости 力 |/|< 1, Im />0, так, чтобы точка отрыва потока Л перешла в точку /= 1, свободная граница течения AAf ——в действительную ось, а стенка S ——в часть окружности (рис. 42,6). Комплексный потенциал рассматриваемого течения

Wf согласно теореме 1 гл. III, является регулярной переменной Т = — ^■(/ + 尸)в точке отрыва Т = — 1 вательно, разлагается в рядWf согласно теореме 1 гл. III, является регулярной переменной Т = — ^■(/ + 尸)в точке отрыва Т = — 1 вательно, разлагается в рядфункциейи, следо*функциейи, следо*

Wf согласно теореме 1 гл. III, является регулярной переменной Т = — ^■(/ + 尸)в точке отрыва Т = — 1 вательно, разлагается в ряд

Wf согласно теореме 1 гл. III, является регулярной переменной Т = — ^■(/ + 尸)в точке отрыва Т = — 1 вательно, разлагается в ряд

функциейи, следо*

функциейи, следо*

步=恥+?%(7+济，步=恥+?%(7+济，(4-25)(4-25)

步=恥+?%(7+济，

步=恥+?%(7+济，

(4-25)

(4-25)

где коэффициенты 5h действительны.

Отсюда ясно, что если точка Л не является критической точкой, как и показано на рис. 42, а, то ai 次 0. Рассмотрим теперь функцию(о(/), определяемую формулой

(о = / ]пС~ 9 -|-zt.(4.25z)

На отрезке AAf имеем 工=1п |С| = 0; следовательно, можно применить принцип отражения (гл. III, п. 2) и представить(о(/) степенным рядом, сходящимся при М<1,

①= ”+%#+(4.26)

(все коэффициенты bi действительны).

Лемма 1. Если 夕=囤一модуль скорости,。=« 磬一касательное ускорение жидкости, к = ^>—— кривизна свободной линии тока (ds измеряется вдоль линии тока), то

Доказ ател ьство. Вдоль линии тока 匕一1 = 0一16‘中 и ^-i = e^dq^1 + iq^e^d^] разделив обе части написанного равенства на dz = e^dst находим

*=铝+仁需・

Как следствие находим, что точки с нулевой кривизной на свободной линии тока должны быть изолированными точками.

С помощью этой леммы мы можем доказать следующую теорему.

Теорема 6. Если з'(1)关 0 существует как непрерывный предел производной о/«) при t~^\ на контуре Г, то кривизна отрезка свободной линии тока AAf в точке 4 равна бесконечности 6 направлении к жидкости или от нее соответственно при о)‘>О или о)'<О. Соответственно, скорость вдоль АВ увеличивается или уменьшается с бесконечным ускорением при приближений к точке Л п).

Замечание. Случай о/(1) ¥= 0 иногда называется случаем 《резкого» отрыва потока. Случай 《плавного》 отрыва о/(1)=О будет рассматриваться в теореме 7.

Доказательство. Вдоль свободной линии тока (/ действительно) соотношение (4.27) преобразуется к виду ^ — ~^ — = 1 ак как / Т 1, то ясно, что производная комплексного потенциала

•^1 = [% + 2出(丁 + 1)+ • • •] у (^ 2 — 1)

(/ = е。) вторая(/ = е。) втораястремится к —0, если а<0, как показано на рис. 42, а, что и

(/ = е。) вторая

(/ = е。) вторая

препятствияпрепятствияof 0 производнаяof 0 производнаямнимым значениям.мнимым значениям.доказывает первую часть теоремы. Вдоль из соотношения (4.27) получим, что^ =

препятствия

препятствия

of 0 производная

of 0 производная

мнимым значениям.

мнимым значениям.

часть теоремы следует из того, что при dW/dt стремится к нулю по отрицательным

Дальнейшее исследование кривизны в точке отрыва потока имеет более специальный характер 12). Различные результаты получаются при различных предположениях о гладкости обтекаемой стенки. Здесь достаточно предположить, что дуга АВ принадлежит к классу кривых С'", т. е. что угол наклона касательной 6(s) имеет непрерывную вторую производную по длине ДУГИ.

Сначала покажем, что если неподвижная граница гладкая, то направление течения (угол 9) в окрестности точки отрыва — непрерывная функция.

Лемма 2. Если направление касательной ср к препятствию непрерывно изменяется по длине дуги s, то 6(f) является непрерывной функцией 6 окрестности точки / = 1.

Доказательство. Из предположения леммы и известных свойств конформного отображения следует, что с приближением к неподвижной границе arg стремится к углу касательной ср. Таким образом,

6 9) = arg「1 (Jq) = arg (界)—arg (需)=夕[s (。)] — к.

Поскольку(р(5)и s(d) непрерывны, то 0(d) является непрерывной функцией от о в интервале 0<о<оо. Путем отражения [6(d) =С(—о)] свойство непрерывности распространяется также на интервал —оо<о<0; кроме того, существует Нш 6 (а). Но а->0

любая гармоническая функция, принимающая граничные значения 9(о), представляется интегралом Пуассона и поэтому непрерывна вблизи точки /=1. Такой функцией является 3(/), что и доказывает лемму.

Из формулы, связывающей S(o) с направлением касательной к линии тока, и из того, что производная dW/dT, согласно формуле (4.25), меняет знак или нет соответственно при ai = 0 или а】关 0, можно установить локальное свойство границы потока в точке отрыва.

Следствие. Кривая, состоящая из контура препятствия и свободной границы, в точке отрыва потока имеет точку возврата или непрерывную касательную, в зависимости от того, совпадает или не совпадает точка отрыва с критической точкой потока.

Последующее подробное обсуждение относится только к случаю ai W 0, когда точка отрыва не является одновременно критической точкой. При этом используется следующее определение.

Определение. Функция f(x) удовлетворяет, по определению, условию Липшица порядка v(0<v <； 1) в области В, если существует такая положительная константа С「 что для любых двух значений %i н %2 в области В

1/(Х[)—・/(々)|《С/Х]—修「.(4.28)

Лемма 3. Если(p(s) или же ее первая или вторая производные удовлетворяют условию Липшица, то функция о)(/) [следовательно и g(f)] или же ее соответствующие производные так-

же удовлетворяют условию Липшица в замкнутой подобласти Г, в которой |arg/| _ е, 1—е < | /11.

Доказательство. Так как точка отрыва не является критической точкой, то функция, устанавливающая соответствие между областями изменения Гиз, границы которых обладают в каждой точке непрерывно изменяющейся касательной (см. лемму 2), удовлетворяет (локально) условию Липшица с порядком V, сколь угодно близким к единице 14), т. е.

5 —S2I <С」，一丁2「，0<^<1.

(4.29)(4.29)Отсюда, полагая / = е'° (Т = —cos о), получаем |s(j) —S(%)l〈C/cosq —COS62I' С С,旧一。2「・

(4.29)

(4.29)

Если функция 9(s) удовлетворяет условию Липшица, то из этого следует, что и функция S(o) = 3[5(о)] удовлетворяет тому же условию для достаточно малых неотрицательных значений о. Путем отражения [0(d) =0(—о)] условие Липшица для 9(о) распространяется на всю окрестность1 точки о = 0.

Обратимся далее к следующему результату, известному из анализа 15), который приведен в локальной форме.

Теорема ① ату — Привалова. Если действительная часть аналитической функции, регулярной внутри круга |/| < 1, 6 окрестности граничной точки Р удовлетворяет условию Липшица порядка у (0 < V < 1), то сама функция также удовлетворяет этому условию s определенной части окрестности точки 尸16).

Теперь, поскольку функция 9 (о) удовлетворяет условию Липшица вблизи точки ь=0, то из этого следует, что как ю(/), так и т(ь) также удовлетворяют условию Липшица в окрестности той же самой точки. На дуге АВ соотношение dz = ^dW определяет производную

ds dbds dbdW IdW I(4.30)(4.30)

ds db

ds db

dW I

dW I

(4.30)

(4.30)

которая, поскольку | - аналитическая функция и т(о)— липшициан, удовлетворяет условию Липшица вблизи точки о=0 (о > 0). Повторяя это рассуждение и замечая, что 6'(ь)— нечетная функция 17), обращающаяся в нуль при о = 0, приходим к выводу, что для функций

°（°）=石=^F石，7°）， W

ии°" 8)°" 8)"28"28"О d2sds 苏2"О d2sds 苏2

и

и

°" 8)

°" 8)

"28

"28

"О d2s

ds 苏2

"О d2s

ds 苏2

последовательно выполняются условия Липшица, если dQ/ds и d^C/ds? удовлетворяют этим же условиям.

В заключение, обращаясь к теореме Фату—Привалова, по.. dcod2co

лучаем, что аналитические функции 2 “(也》и — ^ [in/]2 т ПРИ' нимающие на границе значения 6'(ь) + ^/(о) и У7(о) + 反"(о) соответственно, удовлетворяют условиям Липшица с порядком у в окрестности точки / = 1 н, следовательно, то же самое справедливо для производной

Следствие. В окрестности точки f = 1 справедливы

сле~

дующие разложения с действительными коэффициентами (ai 0) и (0 < V < 1):

з(/Ж1) + (—1)з0) + ^^^о/9) +

+ (/— 1)2。[(/- 1)'],0< ^< 1,(4.31)

8

W(/)=工4(7十1咒7=-^-.(4.32)

Кроме того.

『")=厂

2 г a2co [d(inf)2

dco d (In f)

L ⑴=L ⑴{ 1 + 沁，⑴(/ - 1 ) + ^ [一『⑴2 + 沁〃⑴](/ - 1 )2 +

+ (/ -1)20(1/-1「)卜(4.33)

2(/) = 2⑴ + L ⑴]-登(/ - 1)2+伍% - gai/⑴卜/ - 1)3 +

十(/一1)30(1/一 "%,• (4.34)

2 = “哲 + 3"⑴+。(1/-1「)卜—2/2

X (1+1)[电+2a2(7+1)+ …]•(4•35)

C 8'⑴ собаC 8'⑴ собапомощью этих разложений теперь можно изучить случай =0. Из формул (4.35) получаем, что, независимо от спо-помощью этих разложений теперь можно изучить случай =0. Из формул (4.35) получаем, что, независимо от спо-стремлениястремленияТаким образом,Таким образом,учитывая формулу (4.27), приходим к следующей теореме.учитывая формулу (4.27), приходим к следующей теореме.

C 8'⑴ соба

C 8'⑴ соба

помощью этих разложений теперь можно изучить случай =0. Из формул (4.35) получаем, что, независимо от спо-

помощью этих разложений теперь можно изучить случай =0. Из формул (4.35) получаем, что, независимо от спо-

стремления

стремления

Таким образом,

Таким образом,

учитывая формулу (4.27), приходим к следующей теореме.

учитывая формулу (4.27), приходим к следующей теореме.

Теорема 7. Если кривая АВ принадлежит к классу С'〃 то о/(1) 6 теореме 6 существует. Если же, кроме того, о/(1)= =0, то свободная граница струи и неподвижная стенка имеют

одинаковую кривизну в точке отрыва и ускорение обращается в нуль с обеих ее сторон 18.

Аналогичное исследование может быть проведено для точек отрыва, которые в то же время являются критическими точками. Можно установить, что в этом случае точка отрыва потока должна быть точкой возврата и что разложения (4.31)——(4.35) остаются в силе с ai = 0. Таким образом, если функции о/(1) и о)"(1) не равны нулю, то кривизна свободной линии тока бесконечна. Этот результат тем более справедлив для точек возврата на свободных линиях тока. В таких случаях имеем о/(1)=О (так как о)——регулярная функция Т), а также ю/,(1)》0 во избежание локального самопересечения линии тока в окрестности точки возврата.

Перегибы свободных границ. Много качественных сведе- (1ий о форме свободных линий тока можно получить из следующей теоремы.

Теорема 8. При бесконечном кавитационном обтекании неограниченным потоком неподвижной стенки в форме аналитической кривой 19) число перегибов свободной границы равно самое большее числу перегибов обтекаемой стенки, включая ее концы20). Указанная верхняя грань может быть уменьшена на два, если стенка в точке разветвления выпукла от жидкости.

Доказательство. Функция xlq гармонична как действительная часть аналитической функции (4.27). Геометрическое- место к = 0 перегибов линий тока состоит из кривых уровня 乂/夕，которые должны начинаться и оканчиваться на границе, поскольку функция 乂/夕 гармонична. Кроме того, линии перегиба (геометрические места точек перегиба), начинающиеся на свободной границе, не могут ни оканчиваться на свободной границе (исключая точки отрыва), ни уходить в бесконечность. В противном случае образовалась бы область, ограниченная свободными линиями тока и линиями перегиба, а на ее границе либо функция х/% либо ее нормальная производная d(aq^)!ds обращались бы в нуль; при этом из тождества Грина следовало бы, что функция 乂/夕 должна быть постоянной, что невозможно 21). Такие же рассуждения показывают, что никакие две линии перегиба не могут оканчиваться в одной и той же точке перегиба на обтекаемой стенке или в ее концах.

Далее, из асимптотических формул (4.8) и (4.9) п. 3 при d = 0 получим разложение

以Т dln「l _ . ( a I 3 \飞厂=2回十7r十…丿，

из которого видно, что имеются три или более (если а = 0) линии перегиба, идущие из внутренней части жидкости в бесконечность. В точке разветвления, поскольку обтекаемая стенка является аналитической кривой, имеем

L =言+6+酸+磔2+ f ~ 1

-——亍 + с + 2d2 + …•

Если в качестве положительной мнимой оси возьмем внутреннюю нормаль и примем, что ось х направлена в сторону движения жидкости, то получим а > 0; полагая г = ге^ и используя соотношение (4.27), получаем

х/g=厂-2(aS也2中+...).

Таким образом, функция 乂/夕 локально положительна в первом квадранте и отрицательна во втором; линия перегиба отходит от обтекаемой стенки под прямым углом. Если стенка выпукла в непосредственной близости справа от критической точки, то там функция 乂/夕 отрицательна, а с удалением от стенки происходит изменение в знаке функции x/夕，соответствующее линии перегиба, касающейся обтекаемой стенки. Аналогичное сказанному справедливо и с левой стороны от критической точки. Итак, имеются одна, две или три линии перегиба, идущие в критическую точку, в зависимости от того, находится ли критическая точка в вогнутой части, совпадает с точкой перегиба или находится в выпуклой части препятствия соответственно. Поэтому на обтекаемой стенке число концов линий перегиба равно числу точек перегиба границы плюс число перегибов в точках отрыва плюс 3 или 1 в зависимости от того, находится ли критическая точка в выпуклой или вогнутой частях. Три линии перегиба должны уходить в бесконечность, поэтому число этих линий, указанное в теореме, можно присоединить в крайнем случае к числу точек перегиба на свободной границе.

Следствие 1. Каждая свободная линия тока, ограничивающая бесконечную каверну за выпуклым препятствием (каверна нулевого сопротивления исключается丿 имеет одну точку перегиба или не имеет ее s зависимости от того, является или не является соответствующая точка отрыва точкой перегиба.

Рассмотренный способ может быть применен и к другим течениям, причем требуется только определить число линий перегиба, идущих к характерным особым, точкам. Этим способом можно получить еще одно следствие.

Следствие 2. Симметричные каверны с точкой возврата 23), образованные позади выпуклого или двоякоизогнутого симметричного препятствия, являются вогнутыми.

Число точек перегиба на свободной границе может быть также связано с числом точек на обтекаемой стенке, в которых ускорение обращается в нуль, т. е. с числом максимумов и минимумов скорости вдоль обтекаемой стенки.

Теорема 9. В бесконечном кавитационном течении свободная граница имеет по крайней мере столько точек перегиба, сколько раз ускорение на ней обращается в нуль.

Доказательство. Линии нулевого касательного ускорения являются, согласно соотношению (4.27), линиями уровня гармонической функции dqT/ds; они начинаются и оканчиваются на границе. Единственными особенностями функции dq^fds являются критические точки и, возможно, точки отрыва. Свободные границы сами являются линиями пулевого ускорения и, следовательно, они соединяются с другими такими же линиями в точках, где нормальная производная dq-i/ds равна нулю, т. е. где касательные производные функции 乂/夕 равны нулю.

Далее, поскольку функция 乂/q обращается в нуль в точках перегиба и в бесконечности на свободных границах, то на них между любыми двумя такими точками обязательно должна быть точка, в которой d(x/q)/ds обращалась бы в нуль. Таким образом, существует по крайней мере столько же линий нулевого ускорения, начинающихся на свободной границе, сколько имеется ее перегибов. Очевидно, что такие линии не могут ни оканчиваться на свободной границе, ни уходить в бесконечность, т. е. они должны оканчиваться на препятствии.

Локальное разложение в ряд, как и в доказательстве теоремы 8, показывает, что существуют точно две линии нулевого ускорения, идущие в точку разветвления. Из соотношения (4.35) следует, что в точках отрыва скорость стационарна тогда и только тогда, когда свободная и неподвижная границы имеют в этих точках одинаковую кривизну, и что только в этом случае имеется внутренняя линия нулевого ускорения, отходящая от точек отрыва. Кроме того, как и в случае линий перегиба, из асимптотических разложений видно, что существуют две внутренние линии нулевого ускорения, уходящие в бесконечность. Следовательно, все линии нулевого ускорения, начинающиеся на свободной границе, и две .линии, приходящие из бесконечности, должны оканчиваться в точках нулевого ускорения на препятствии, за исключением двух линий, оканчивающихся в точке разветвления. Таким образом, теорема 9 доказана*

Свободные поверхности тока. В п. 2 мы показали, что любая свободная линия должна быть аналитической кривой. Этот результат имеет частную обратную теорему, принадлежащую Вольтерра 24).

Теорема 10. Любая аналитическая поверхность S локально может быть свободной поверхностью тока, и любая аналитическая кривая С может быть свободной линией тока.

Доказательство. Выберем на поверхности S аналитическую кривую А; тогда геодезические линии на этой поверхности, пересекающие ортогонально кривую Л, будут аналитическим семейством кривых, локально покрывающих поверхность S, а ортогонали к этим кривым будут делить их на отрезки равной длины. Пусть U = s — направленное расстояние от кривой А.

Распространим полученную координатную сетку на систему (а, и, w) в пространстве. Тогда граничные условия U = s н dU/dw = dU/dn = 0 на поверхности S будут аналитическими начальными данными для уравнения ^2U = О25); следовательно, существует аналитическая функция U, удовлетворяющая этим начальным условиям и уравнению V?U = 0 в открытой области, включающей поверхность S. Для этой функции U градиентными кривыми (линиями тока) будут заданные геодезические, и, кроме того, VU • RU = 1. Отсюда следует, что поверхность S может быть свободной поверхностью тока. Аналогичное доказательство для плоского случая более просто.

Теперь можно охарактеризовать форму свободных линий тока на свободных поверхностях тока в пространстве. Поскольку давление на свободной поверхности тока S постоянно, то градиент давления и соответственно ускорения направлены по нормали к S. Отсюда следует26), что свободные линии тока являются геодезическими. Тем самым мы доказали следующую теорему.

Теорема 11. На любой свободной поверхности тока свободные линии тока являются геодезическими.

Используя эту теорему, Гамель показал, что единственными пространственными безвихревыми течениями, в которых все линии тока могут быть свободными, оказываются винтовые течения (образованные вихревой линией в равномерном течении, параллельном этой линии) 27).

Знак кривизны определяется по принципу Бриллюэна (гл. I, п. 13), который мы теперь уточним. Обратимся к следующему общему принципу.

Принцип максимума23). Допустим, что в области R с (гладкой) границей S функция ф удовлетворяет условию L[ip] ^ 0,

где L — линейный оператор,

丄=2叫(X)若計十2九(X)詮，

с положительно определенными коэффициентами а沮(х). Тогда ф либо постоянна, либо достигает своего максимума только на границе и удовлетворяет неравенству д^!дп > 0 во всех точках максимума, имеющего место в регулярных точках границы29).

Как в гл. I, п. 12 применим этот принцип к (субгармонической) функции давления, чтобы получить следующий результат.

Теорема 12. Если стенка препятствия (или сопла) нигде не является строго выпуклой со стороны плоского или осесимметричного течения, то образующаяся за ней каверна (или

струя, вытекающая из сопла) везде будет строго выпуклой со стороны течения.

Доказательство30). Скорость жидкости, будучи ограниченной и непрерывной функцией, должна где-нибудь достигать максимума, согласно принципу строгого максимума; этот максимум не может быть на неподвижной границе, однако он должен быть где-нибудь на границе течения; следовательно, он достигается на свободной границе, которая поэтому должна быть строго выпуклой. Три типичных частных случая применения теоремы 12 показаны на рис. 43.

Докажем принцип уплощения эквипотенциалей вблизи свободных линий тока 31). Пусть в трехмерном пространстве ось % касается в начале координат свободной линии тока, скорость на которой и 关 0. Тогда плоскость (у, z) будет касаться эквипотенциальной поверхности U = U(0, 0, 0), причем % = и, Uy = Uz = 0, (индексами %, у, z обозначены частные производные) .Кроме того,

° =詣(YU • VS = LU* 十 и〃,十 О”* =

Следовательно, Uxx = 0; однако, поскольку ▽?[/= 0, то из этого следует, что Uyy + Uzz = 0. Таким образом, функция U = U(0) вблизи начала координат разлагается в ряд

X = [Uyy (у2 —炉)+ 2Uyzyz\ + .

Средняя кривизна поверхности х = у [Ay2 -|- 2Myz + ^22] равна, однако,厶 + N = 0. Следовательно, доказана еще одна теорема.

Теорема 13. На свободной линии тока каждая эквипотенциальная поверхность имеет среднюю кривизну, равную нулю.

Следствие 1. В плоском течении эквипотенциальные кривые на свободной линии тока имеют нулевую кривизну.

Следствие 2. В осесимметричном течении эквипотенциальные поверхности на свободной линии тока изгибаются по направлению к оси симметрии и имеют в осевой плоскости кривизну г-1 sin ср, где ср — угол между осью симметрии и направлением течения, а г — расстояние от оси симметрии.

Вариационный принцип. Покажем теперь, что при некоторых условиях свободным линиям тока соответствуют стационарные значения кинетической энергии потока32). Чтобы показать это, предположим, что задан поток жидкости через часть S границы S U S конечной регулярной области R, причем 2 является поверхностью тока. Если U — соответствующий потенциал скорости, то производная dU/dn задана на границе области S и обращается в нуль на поверхности тока 2.

Допустим, что поверхность 2 заменяется новой поверхностью 2*, причем ее часть 2+ передвигается за пределы области и занимает положение £十,а остальная часть Е_ передвигается внутрь области и занимает положение £_, как показано на рис. 44, а. Внутренность новой области S U 2* обозначим R*.

Лемма. Если U 艮 U* обозначают потенциалы скоростей идеальных течений соответственно в областях R и R*, имеющих заданный поток массы через поверхность S, то разность между их кинетическими энергиями Т* — Т удовлетворяет соотношению

= f f f \^U^dR-j J J\s；U^dR +

I R*-R R—R*

+ / /U—U) °°；「)dS—/ j^-U)^~^dS\. (4.36)

Доказательство. Почти по определению

7*一7=告J/vq* + u). ▽(〃* — 〃)"〃 +〔кПа*

+ f f f \^U*VdR-\ J J\^U^dR

Применим далее последовательно к каждому члену первую формулу Грина [42, стр. 212], учитывая, что dU/dn = 0 на 2,

Р и с. 44.

dU*/dn = 0 на 2* и d(U — U^)/dn = 0 на S. Применяя ее к первому члену предыдущего соотношения, получаем

/ f(^M-f/)(^-)^-ff(o* + 6/)(^ dS,

где положительные нормальные производные направлены во внешнюю сторону области R П RK Применяя ту же формулу к другим членам, получаем два следующих равенства:

f f f lV”dR = — j f и* 嗡 dS — i f f NU『dR =

=/7u黑内(4.36，)

Суммируя все три члена, приходим к простой формуле

戸一7 =多!/7"霽"S一"U" 事 ds[. (4.37)

Очевидно, что она эквивалентна формуле

7*—7 =当!//U*~dS + j J (U-U*)嗡 dS —

—|/U黑 dS+JJ(U —U* 唠 dS •

Используя тождества (4.36/), а также условия dU/dn = 0 на 2 и dU*/dn = 0 на получаем (4.36).

Теорема 14. Если граница 2 варьируется, а поток, через поверхность S остается постоянным, то

"=—^Р//(VU・ VU)》R aR = &n・ dS) (4.38)

при условии, что граница S + W является кусочно аналитической кривой и ограничивает конечную область.

Доказательство. В формуле (4.36) последние члены являются бесконечно малыми величинами второго порядка. Переходя к пределу при нормальном перемещении, стремящемся к нулю, получаем (4.38). (Строгое доказательство требует дальнейших предположений, которые, конечно, полностью выполняются, если 2 — кусочно аналитическая кривая; детали доказательства здесь опускаются.)

Следствие 1. Для заданного потока через поверхность S сумма Т +у р^2 объем (R) * принимает экстремальное значение тогда и только тогда, когда 2 является свободной поверхностью тока с постоянной на ней скоростью q.

Следствие 2. Любая свободная поверхность тока 2 обеспечивает экстремум кинетической энергии при всех вариациях, которые оставляют инвариантным объем, охватываемый поверхностью 2.

Со следствиями 1 и 2 связан следующий экстремальный принцип Гарабедяна и Спенсера [25]. Для заданного потока через поверхность S свободная линия тока 2 минимизирует максимальную скорость на 2 и обеспечивает максимум минимальной скорости на 2. Если 2 является аналитической поверхностью, то справедливо также и обратное утверждение. За деталями отсылаем к работе [25].

Распространение на безграничный поток. Рассмотрим теперь конечное препятствие В с границей SUW, помещенное в безграничный поток, движущийся со скоростью с, параллель- дой оси х. Формула (4.38) в этом случае не имеет смысла, так

как рассматриваемая полная кинетическая энергия бесконечна. Однако можно заменить формулу (4.38) другим вариационным принципом (4.41) следующим образом.

Обозначая через ср потенциал скорости относительного движения жидкости, можем написать

(4.39)(4.39)

(4.39)

(4.39)

где ср ——регулярная функция на бесконечности, 画一слагающие момента диполя, последнее слагаемое д/ убывает на бесконечности как 1/г3, а его градиент — как 1/г* Все слагаемые соотношения (4.39) являются гармоническими функциями.

Полная кинетическая энергия относительного движения жидкости — конечная величина

7 =当 f f f W・WdA = ^p既2, (4.40) R

где 々 по определению [7, гл. VI] — коэффициент присоединенной массы при поступательном движении в направлении оси %; следовательно, р^ есть мера инерции жидкости относительно ускорения препятствия В в направлении оси х.

Теорема 15. Если варьируется часть 2 границы области В, за которой безграничный поток движется со скоростью (с, 0, 0), то

с2“力 + объем (В)] = 4пМ 汕]=—/ /(V。. NU、dR, (4.41)

где §/? = b/tdW, как и s формуле (4.38).

Доказательство. Первое равенство следует из тождества

4呼=々 + объем (В),(4.42)

доказательство которого мы опускаем [7, гл. VI].

Чтобы доказать второе равенство, поступим так же, как в лемме п. 10, но заключим область R в большую сферу X радиуса а, заменяя S на Su К (см. рис. 44,6), a U н 0* заменяя соответственно на «р и (р*> При этом разность кинетических энергий равна

T* _ 7 =号"吧/J / v@* + 屮).“屮*一屮)我 +

R*-R/?-/?*J

8 Г. Биркгоф

Применяя формулу Грина к каждому члену и замечая, что dU/dn = 0 на 2, dU*/dn = 0 на 2* и d(U* — U)/dn = 0 на S, получаем

7*_7 = ^]//(屮* + 屮)端"5_//(屮* + ?)黑^_

/ /(屮 + 中)3—叫叫 (4.43)/ /(屮 + 中)3—叫叫 (4.43)TJV霖dS — /JV噬ds+『祭dS + 门壊ds + %亡

/ /(屮 + 中)3—叫叫 (4.43)

/ /(屮 + 中)3—叫叫 (4.43)

+ lim a->8

Подинтегральная функция в последнем слагаемом имеет порядок О (а-3), так что при а ?8 этот интеграл стремится к нулю. Кроме того, в (4.43) интегралы по границам 工+ н 工十 складываются и дают

/ / и 嗡 dS+ff(U* 墻—сх 烁)dS —E+工+

一J7Q祭一次得出+叶小黑出一

Второй и третий члены обращаются в нуль, поскольку U* и сх — гармонические функции в области R* — R; член в квадратных скобках равен объему R* — R. Поступая аналогичным образом с интегралами по грайицам S_ и Е_ и складывая все результаты, получаем

Т^-Т=Ц! Su^ds~iiu^ndS+

+ с2 • объем (R* —欠)一с2 • объем (7? — О ・

Далее, поскольку разность между объемами (В*) и (В) равна разности между объемами (А — С) и (? — 7?), то получим 2npe2 (K-H)= ir/ff/^-^-fft/*^^l. (4.43，)

Правые части равенств (4.43') и (4.37) одинаковы. Теперь можно повторить рассуждения п. 10, показывающие равенство пра-

вых частей формул (4.37) и (4.36). Таким образом, выражение 2冗pt?2(a； — aj равно правой части равенства (4.36). Затем, как и в доказательстве теоремы 14, полагаем, что последние члены правой части (4.36) являются бесконечно малыми второго порядка. Переходя к пределу при §п^ 0, получаем второе равенство (4.41).

Следствие 1. Если объем фиксирован, то кинетическая энергия, присоединенная масса и момент диполя экстремизи- руются свободной поверхностью тока.

Обратное верно для экстремизирующих поверхностей, к которым применимо соотношение (4.41). В частности, аналитические экстремизирующие поверхности являются свободными поверхностями тока (см. гл. VII, п. 11)..

Используя понятие числа кавитации Q =—, опреде

ляемого как в гл. I (1.3а), мы приходим к следствию.

Следствие 2. Кавитационное течение, равномерное на бесконечности, экстремизирует величину [々(В)—Q • объем(В)] 6 том смысле, что

S [k(B) — Q • объем (В)] = 0(4.44)

при любых вариациях свободной поверхности тока S.

Доказательство. В соотношении (4.41) поверхностный интеграл равен

—/ / (VU • VU) «7?=产 объем (В).

Подставляя его в (4.41) и деля обе части полученного равенства на с2, получаем (4.44). К сожалению, наше доказательство равенства (4.44) нарушается в случае бесконечного объема каверны, когда Q = 0.

Теорема Лаврентьева. Метод сравнения в гидродинамике33), недавно разработанный для плоских и осесимметричных течений, существенно упростил доказательство теоремы единственности и качественное исследование поведения свободных линий тока. Этот метод состоит в сравнении функций тока двух течений с различными границами при использовании в качестве основного свойства того факта, что функции тока удовлетворяют уравнению

^хх+ ^уу —^У-1 ^у = 0(4.45)

(в р + 2 измерениях, см. гл. X, п. 1) и, следовательно, удовлетворяют принципу строгого максимума. В этом пункте мы пред-

лагаем две теоремы сравнения, имеющие важное значение для задач со свободными границами.

Теорема 16 (Лаврентьева). Пусть два плоских или осесимметричных течения идеальной жидкости, имеющие одинаковую скорость невозмущенного потока, определены в областях D и D, ограниченных соответственно линиями тока S и S, проходящими через бесконечно удаленную точку (рис. 45). £с- ли D & D и если граничные линии тока имеют общую точку Р,

то при этих условиях соответствующие скорости q и q удовлетворяют 6 точке Р неравенству

(4.46)(4.46)g (夕)《7(Р),

(4.46)

(4.46)

причем равенство достигается только тогда, когда эти течения совпадают или q(P) = 0.

Доказательство. Пусть V и Г — функции тока соответствующих течений. Без потери общности можно считать, что скорости невозмущенного потока направлены в положительном направлении оси х и что

(4.47)(4.47)V=0 на S, /=0 на S,I/ > 0 в D, 1/>0в£),

(4.47)

(4.47)

причем области D и D открытые. Кроме того, можно считать D Ф D, так как в противном случае теорема тривиальна.

Если положим wa = V — aV, где а — любая постоянная, меньшая единицы, то wa удовлетворяет уравнению (4.45) и, следовательно, подчиняется принципу строгого максимума (п. 9). Поскольку в любой точке области D

^ = уР«—а 晞

где и, й — горизонтальные компоненты скорости, то из этого следует неравенство

Нт 给 > 0.(4.48)

к, y+8 °У

Кроме того, на линии тока S мы имеем 9«》0 и поэтому

叫г》0(4.49)

вне любого достаточно большого круга. Эти два неравенства вместе с принципом строгого максимума означают, что 9a > О в области D. Устремляя а к единице, получаем для 9 = 9【в области D соотношение

矶У)=丿一丿》0 в D.(4.50)

Поскольку w также подчиняется принципу строгого максимума, то равенства быть не может; это означает, что 9 > 0 в области D.

Выберем точки Л и В на линии тока S так, чтобы точка Р лежала между ними, и чтобы ни 9(4), ни w(B) не были равны нулю; это не удается только тогда, когда S = S с одной стороны от точки Р. Соединим теперь точки А и В линией С, лежащей внутри области D. Очевидно, что 9 > 0 на линии С; для Ъ > 1 на линии С имеем

耽=V —力U=m — {b — 1) V> 0.

Поскольку на линии АР В 9力》0, то из этого следует, что 9b > 0 в (открытой) области, ограниченной дугами АР В и С. Таким образом, производная по внутренней нормали от величины Wb удовлетворяет в точке Р неравенству34) dwb/dn(P)》0. Отсюда получим

彳(Q —д(Р) = * 霹(Р)》宁黑(Р) =。—1)д(Р)・

Из этого следует

7(Q》g(P)，

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда 評)=°-.

Если S = S с одной стороны от точки Р, то выбираем регулярную точку В на этой стороне и по принципу строгого максимума получаем dw]dn(B) > О35). Определяя С и ⑵仇 как и раньше, имеем 9b (В) = 0 и, кроме того,

噜(3)>0(4.51)

при условии, что b— 1 = е — достаточно малая величина. Таким образом, 9ь》0 на некоторой дуге BBi линии С. Поскольку 9>0 на дуге В\А линии С, то для достаточно малого е > 0 имеем 9ь》0 на линии С и затем, как и выше, приходим к искомому заключению.

Вторая теорема сравнения. Более тонкой теоремой сравнения является следующая теорема.

Теорема 17. Пусть два течения идеальной жидкости, имеющие известные скорости на бесконечности (не обязательно 6 одном и том же направлении), определены в областях D и Dt ограниченных соответственно линиями тока S и S, проходящими через бесконечно удаленную точку. Предположим, что S и S имеют общую дугу MN и общую точку / вне дуги MN так, что

дуги JM и NJ и соответственно линии тока S и S вместе с дугой MN ограничивают односвязную_область MNJ = D\ внутреннюю по отношению к областям D и D. Возможность того, что точка / является бесконечно удаленной точкой, не исключается. Тогда

＜迪，(4.52)

g(N) ' g(N)‘

при условии, что эти отношения определены. Равенство выполняется только тогда, когда течения геометрически подобны или д(М) = 0.

Доказательство. Поскольку для геометрически подобных течений теорема очевидна, то в дальнейшем нет необходимости рассматривать этот случай. Кроме того, чтобы избежать повторных обсуждений частных случаев, мы дадим доказательство только в случае, когда обе скорости потока на бесконечности направлены по оси %, а / является бесконечно удаленной точкой (рис. 46).

Предположим временно, что существует точка Р на дуге MN, в которой

q (Р) = q (夕)+ 0,(4.53)

и что скорости на бесконечности д^ и 强 различны. Пусть V н Р ——функции тока, определенные таким образом, чтобы соот-

ношения (4.47) выполнялись. Полагая з = Р— V, имеем

w > 0 на дуге JM линии тока S,

.w = 0 на дуге MN,(4.54)

w < 0 на дуге NJ линии тока S.

Согласно принципу строгого максимума, поскольку dw/dn{P) = 0, точка Р не может быть ни точкой локального максимума, ни точкой локального минимума, а линия уровня С (w = 0) проходит внутри области Df в окрестности точки Р. Оба конца этой линии С находятся на границе области О\ и поскольку очевидно, что оба конца С не расположены на дуге MN, то по крайней мере один из них находится в бесконечности [согласно соотношениям (4.54), w не обращается в нуль на дугах JM и JN], Теперь мы установим, чго только один конец линии С находится в бесконечности.

Рассмотрим дугу L круга большого радиуса, соединяющую точку на дуге JM линии S с точкой на дуге NJ линии S и полностью лежащую в области Df. Из условия

и неравенств (4.54) следует, что существует только одна точка R на дуге L, в которой 9 = 0.

Таким образом, можно определять две (открытые) подобласти D\ например D[ и D? (см. рис. 46). Из принципа строгого максимума следует, что w > Q в Di и w < Q в D2, и, следовательно, как и в теореме 16,

彳(m)一g(m)》ад (附)，

g(N)f 7(N)》f'(N).

Для того чтобы отношения (4.52) были определены, необходимо, чтобы было q(N) > 0. Следовательно, ■

g(N)>^(N)〉0.(4.55)

Если q(M) = 0, то приходим к выводу, что д(М) = 0 и соотношение (4.52) выполняется тривиально. В других случаях получим_

д(М)<^(М),(4.56)

а из неравенств (4.55) и (4.56) следует, что

7(М) q(N) •

Поэтому

д(м)＜《(М),д(м)万(％)'

что доказывает теорему в частном случае, когда выполнены условия (4.53).

Если же не имеется никакой точки на MN, в которой 歹=д, то мы выберем точку Р* на дуге MN таким образом, чтобы было д(Р*) ^ 0 и q(P*)/q(P*)羊 u/u. Это возможно, поскольку течения не являются подобными. Определим новое течение функцией тока

g(尸)

Тогда q* р) = q (Р*) и 必* q 出 Согласно частному случаю теоремы, доказанному выше, получаем

д(М) = д*(М) ＜《(М)g(N) — g*(N)、7(N) *

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда 亨(М) = 0, что и требовалось доказать.

Теорема единственности. Две теоремы предыдущего пункта имеют важное применение к задачам струйных течений. Они помогают свести вначале сложную проблему (см. гл. VII, п. 1) единственности решения к сравнительно простым геометрическим исследованиям и дают мощное средство изучения геометрических свойств свободных линий тока.

В предлагаемом доказательстве единственности бесконечной каверны, создаваемой неподвижным препятствием в безграничном потоке (с данными точками отрыва), мы предполагаем, что течение является плоским симметричным или осесимметричным и имеет равномерную скорость набегающего потока и в положительном направлении оси х. Можно ограничиться исследованием верхней половины течения, которая будет представлять основную область течения D. Буквой Т обозначим ту линию тока, которая состоит из отрицательной части оси х и верхней половины обтекаемой стенки; свободную линию тока, отделяющуюся от Т, обозначим через S и положим, что S三Т + 2. Доказательство теоремы 18 для простоты будет ограничено плоским случаем: несколько усовершенствованный ход рассуждений будет справедлив и в осесимметричном случае [29]. Сделаем, наконец, предположение о том, что течение однолистно, избегая тем самым некоторых трудностей, затеняющих основные идеи.

Теорема 18. Никакая бесконечная прямая линия, не пересекающая Т, не может пересекать свободную линию тока S более, чем в одной точке.

Доказательство. Предположим, что линия / пересекает свободную линию тока S больше, чем в одной точке. Можно считать, что линия / не горизонтальна, ибо линия, образующая малый угол с линией /, также могла бы пересекать линию тока S больше, чем в одной точке. Поскольку S горизонтальна в бесконечности, то можно найти такую линию m в области D,

параллельную / и касающуюся линии тока S, что все другие линии, параллельные m и лежащие справа от т, пересекают S только в одной точке. Пусть М обозначает точку касания; рассмотрим два луча линии т, определяемые точкой М. Возможны два случая в зависимости от того, находится ли один из лучей внутри области О или вне ее.

В первом случае (рис. 47, а) рассмотрим точки дуги (М, оо) линии тока S, которые находятся слева от т, и допустим, что ^ — точка, находящаяся на максимальном расстоянии от М, Наконец, пусть D будет область, ограниченная линией MN и прямыми, параллельными /, которые показаны на рис. 47 жирными линиями. Образование этой области очевидно. Несомненно, что в области D существует течение с равномерной скоростью на бесконечности. Сдвигая изображение области Д вдоль вектора MN, получаем конфигурацию, которая рассматривалась в теореме 16, и следовательно,

q{M)<q{NY

но по теореме 17

д(м)« р(м)

g(N)(N)*

Из этих неравенств следует g(M) Vg(N), что, однако, противоречит предположению о постоянстве скорости на свободной линии тока S. В оставшемся случае (рис. 47,6) получается аналогичное противоречие, чем и завершается доказательство.

Кривая называется звездообразной, если существует точка О, обладающая тем свойством, что каждая прямая линия, проходящая через точку О, пересекает кривую самое большее в одной точке или вдоль отрезка. Назовем препятствие звездообразным, если соответствующая кривая 7 звездообразна. Пусть в осесимметричном случае точка О лежит на оси симметрии. В таком случае из теоремы 18 получаем простое следствие: если препятствие звездообразно по отношению к точке О, то и вся линия тока S звездообразна по отношению к точке О.

В • доказательстве следующей теоремы единственности снова ограничимся рассмотрением плоского случая, хотя в дальнейшем будет видно, что доказательство нужно изменить только в одном месте, чтобы применить его к осесимметричному случаю.

Теорема 19. Для заданного звездообразного препятствия может существовать самое большее одно симметричное кавитационное течение с данными ^^4 точками отрыва, 工 Доказательство. Рас- -'"■)・0смотрим . два течения тре

буемого вида с соответству- Р и с. 48.ющими свободными линия

ми тока S и S* (рис. 48). Если начало координат выбрано в точке О, то эти кривые могут быть представлены в полярных, координатах уравнениями г = г(Н), г = г*(Н).

Согласно теореме 18, г(6) и г*(0)—однозначные функции. Из асимптотического выражения (4.11г) свободной линии тока

найдем 36)найдем 36)у сх12у сх12lim8今0lim8今0(4.57)(4.57)

найдем 36)

найдем 36)

у сх12

у сх12

lim

8今0

lim

8今0

(4.57)

(4.57)

Принимая во внимание (4.57), видим, что отношение г*/г ограничено сверху; кроме того, г*/г = 1 в точке отрыва. Поэтому г*/г принимает максимальное значение р》1 при некотором значении 0, скажем 0Р, соответствующем конечной точке Р на линии тока S. Пусть область D получена путем преобразования подобия (расширения вокруг Q) из О* в отношении р-1; в области D возьмем течение, подобное первоначальному течению в

D* и с теми же скоростями в соответствующих точках, определяемое функодей тока V(P) = р-1 V(р^*). Очевидно, что D и линии S н S имеют общую точку Р так что применима теорема 16. Однако, поскольку q(P) =?(Р) = и, в соотношении (4.46) должно быть равенство, т. е. оба течения тождественно совпадают. Итак, D = D = О*, что и требовалось доказать.

Гилбарг 37) показал, что некоторые из этих результатов переносятся и на случай сжимаемой жидкости.

Минимум кавитационного сопротивления. Используя ме

тоды сравнения, можно определить симметричные препятствия данной длины а и ширины 2瓦 имеющие наименьшее кавитационное сопротивление38). Однако корректная一一

формулировка этой задачи довольно трудна. X* Г

Если не накладывается ограничений на отрыв ] 仪 потока, то минимум, равный нулю, достигается в I & случае каверны нулевого сопротивления за любым|

таким препятствием. Теперь примем, однако, уело- вие отрыва Бриллюэна (гл. I, п. 14): скорость мак- р и с- 49- симальна на свободной линии тока. Далее, определим профиль Кирхгофа К, состоящий из плоской пластины или диска L, за которым образуется симметричная каверна, имеющая на некотором расстоянии а за препятствием ширину 26 (рис. 49), как в гл. II, п. 2.

Теорема 20. Любой профиль Кирхгофа К обеспечивает минимальное кавитационное сопротивление по сравнению с любой другой симметричной стенкой той же самой длины и ширины, которая удовлетворяет условию отрыва Бриллюэна,

Доказательство. Поскольку течение предполагается симметричным, необходимо рассмотреть течение только в полуплоскости, ограниченной осью симметрии. Рассмотрим соответствующее течение, удовлетворяющее условию Бриллюэна, для какого-нибудь другого препятствия С, имеющего длину а и ширину 2c. Существует плоская пластина или диск L*, свободная линия тока которого S* касается С, например в точке Q и которая расположена полностью выше С39). Ясно, что пластина L* имеет по крайней мере такую же ширину, как и L. Мы утверждаем, что свободная линия тока S, связанная с препятствием С, на бесконечности расположена выше линии тока S*. Если бы этого не было, то мы имели бы

иm二界《L

Из этого неравенства и из того факта, что отношение 〃「*》1 в точке Q, следует, что 〃г* достигает максимальной величины

р> 1 при некотором значении б, например 0Р, которое соответствует конечной точке Р. Используя теорему Лаврентьева, как и в доказательстве теоремы 19, приходим к противоречию с вышеприведенным условием Бриллюэна. То из двух препятствий, которое создает большее сопротивление, имеет свободную линию тока, наиболее отдаленную от оси х на бесконечности [см. (4.17а), (4.176)]. Следовательно,

Сопротивление С >. Сопротивление L*》Сопротивление К・ Равенства справедливы в том и только в том случае, когда 0十£ = £*+* = «, т. е. тогда и только тогда, когда профиль течения, создаваемый препятствием С, является таким же, как и профиль Кирхгофа К.

ПРИМЕЧАНИЯ

Polya G., Jahr, deuische math, Ver., 40 (1931), 81; Stone M. И., 7. Ind. Math. Soc„ 12 (1948), 1—7.

Zarantonello E. H.,丄 de math.., 33 (1954), 29—80.

Гарабедян, Леви и Шиффер [24] доказали, что этот результат верен и для осесимметричных течений. Неизвестно, справедлив ли он для любых пространственных течений.

Отражение струи, истекающей из воронки, дает струю, истекающую из клина, с источником в его вершине, как было замечено в работе W е i п i g F., Ing, Archiv., 11 (1940), 264—268. См. также гл. V, п. 15.

Этот результат, а также формула (4.17) для сопротивления были получены Леви-Чивита.'

Используя понятие «мертвой воды» за обтекаемым телом (гл. I, п. 7), Л1изес рассмотрел этот случай как возможную модель течения при сверхкритическом числе Рейнольдса, см. Мизес, Теория полета, ИЛ, М,, 1949.

Внутренняя сторона течения находится слева от границы, что соответствует ориентировке обхода границы против часовой стрелки.

Здесь и в дальнейшем ро означает полное давление, р『一давление окружающей среды (на свободной линии тока), а звездочкой обозначается комплексно-сопряженная величина.

В i г k h о f f G.( Rev. dencias Lima, 50 (1948), 105—116.

Cm. [13, стр. 19 7] и Brodetsky S., Proc, Roy. Sou, 102 (1922), 361— 372.

H) Cm. [21], [14], а также Armstrong A. H.( Arm, Res. Est. Memo. 22/53 (Great Britain), 1953.

12) Cm, [54], [21], [48].

i3) Lindelof Е., С. R. 4th Warschawski S., Math, Z” 35и) См. Лаврентьев M. 112—115; а также G a 11 e g п о (1949), 35; [23*, 33*].i3) Lindelof Е., С. R. 4th Warschawski S., Math, Z” 35и) См. Лаврентьев M. 112—115; а также G a 11 e g п о (1949), 35; [23*, 33*].Scand. Math. Congr., 1916; кроме того, см. (1932), 406; [23*, 27*].

i3) Lindelof Е., С. R. 4th Warschawski S., Math, Z” 35

и) См. Лаврентьев M. 112—115; а также G a 11 e g п о (1949), 35; [23*, 33*].

i3) Lindelof Е., С. R. 4th Warschawski S., Math, Z” 35

и) См. Лаврентьев M. 112—115; а также G a 11 e g п о (1949), 35; [23*, 33*].

А., Математические записки, М., 36 (1929), С„ Ostrowski A., Mem. Set. Math., 110

См., например, Зигмунд А., Тригонометрические ряды, М.-Л., 1939. (Готовится к печати второе издание. — Прим, ред,) Приведенное там доказательство может быть проведено локально [7*, стр. 456].

То есть в той части окрестности, которая содержится внутри круга

Строго говоря, тот факт, что производные нечетного порядка вообще не обращаются в нуль при а = 0, препятствует применению этого довода без необходимых изменений к производным более высокого порядка.

Можно легко проверить, что в этом случае контур годографа имеет непрерывную касательную.

Как и в течении, описанном в гл. II, п. 2—4, со стенкой общего вида вместо пластины. См. также гл. VI, п. 5. Доказательство можно распространить и на стенки в виде неаналитических кривых с угловыми точками.

Мы считаем, что стенка имеет перегиб на конце, если неподвижная и свободная границы имеют там кривизны противоположного знака.

Из асимптотических построений п. 3 следует, что эти доводы применимы также и к линиям перегиба, начинающимся на свободной границе и за< канчивающимся на бесконечности.

В таких точках функция 乂/д может иметь особенность; в этом случае из формулы (4.35) следует, что не имеется более одной линии перегиба, идущей в эту точку.

См. гл. V, п. 14 и гл. VI, п. 10; кроме того, см. С i s о 11 i U., Ann. sc. norm, sup. Pisa, 1 (1932), 101—112.

V о 11 e г г a V.,丄 de math,, 11 (1932), 1—35. На плоскости любая свободная линия тока является аналитической кривой (ом, выше теорему 2, следствие 1).

HadamardJ., Lectures on Cauchy's problem, New Haven, 1923, Ch. 1.

В 1 a s c h k e W・，Vorlesungen fiber Differentialgeometrie, Berlin, Springer, 3 Aufl,, 1930, Bd. 1, S. 150.

Hamel G., Preuss, Akad. Wtss. Sitzungsben (1937), 5—20; см. также C a s t о I d i L., Rend. Accad. Lincet, 3 (1947), 333—337; N e m e п у i P., P r i m R., /. Math. Phys., 27 (1948), 130—135; Weingarten J., Gott. Nachr, (1890), 313—335; Graustein W. C., Trans. Am Math. Soc, 47 (1940), 173— 206.

Точную формулировку и доказательство этого принципа см. в работе Hopf Е., Proc, Am. Math. Soc., 3 (1952), 791—793; см. также Lichtenstein L., Emykl. Math. Wiss., 2 (11C 12), S.1290, 1310) [27*, гл. VI, § 3].

Точка на границе называется регулярной, если суидествует малый полукруг с центром в этой точке, целиком содержащийся в открытой области.

Для плоских струй этот результат впервые получен в работе В о g- g i о Т., АШ Accad, ScL Torino, 46 (1911), 1043.

Этот принцип впервые получен в работе Molenbroek Р., Verh. Коп. Akad. Wet. (Amsterdam) (1893), 31; Ann. d. Phys. u. Chern., 52 (1894), 207— 208; Verh. Ges. deutsch. Nat. u. Arzte, 65 (1894), 9—12.

Этот результат получен Рябушинским [76]. Более полный обзор литературы дан в гл. VII, п. 1, 10—12.

Этот метод был предложен М, А. Лаврентьевым [50, 23*]; его идеи были развиты и упрощены в ряде работ Гилбарга [29] и Серрина [80, 81], 丄 Rat. Meeh, Anal., 3 (1953), 563—575. Серрин помог нам написать п. 12—14.

В осесимметричном случае, когда точка Р расположена на оси, этэ неравенство заменяется условиями

醬(p) = 0,制…

Тогда последующее неравенство получается следующим образом:

Приведенное выше рассуждение нарушается в осесимметричном случае, когда точка В лежит на оси. В этом случае выбираем точку В так, что

w(B) = ~ (В) = 0,袈(В) > 0.

Тогда последующее неравенство (4.51) заменяется соотношениями

醬(В)= 0-穿(4・51а)

а в остальном доказательство остается неизменным.

В осесимметричном случае этот же результат может быть получен другим путем с помощью формулы Левинсона (гл. X, п. 5)

у = ex% (log %)-%

для асимптотической формы свободной линии тока.

См, Gilbarg D„ 丄 Rat. Meeh. Anal,, 2 (1953), 233—251; 3 (1954), 201—230, см. также S e г г i n J., /. Math, Phys., 33 (1954), 27—45.

跄)См. S e г г i n J.,丄 Rat, Meeh, Anal,, 2 (1953), 572—573. По-видимому, эти препятствия обеспечивают меньшее кавитационное сопротивление по сравнению с асимметричными препятствиями, удовлетворяющими тем же самым ограничениям.

Если точка Р имеет координаты (а, Ь), то С может и не быть касательной к Е*, но в этом случае очевидно, что С + 2 не остается ниже L* 十 £*, так что последующие выводы остаются в силе.

ГЛАВА V

Обтекание нескольких пластин

Параметрический прямоугольник. Данная глава в основном посвящена простым течениям, т. е. идеальным плоским течениям в односвязной области, ограниченной гладкой кривой (см. гл. III, п. 2); граница этих течений состоит из двух прямолинейных линий тока (пластин), разделенных двумя свободными линиями тока, причем пластины и линии тока чередуются [).

Рис. 50.Рис. 50.

Рис. 50.

Рис. 50.

Типичным является случай пластины, расположенной в струе, вытекающей из сопла (рис. 50, а). Поскольку область течения односвязна, то ее можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость Т (гл. II, п. 1). Согласно теореме 2 гл. III, комплексный потенциал течения W должен удовлетворять соотношению '

kR6=ckR6=cП (7-4)(7 —4；” (7—巧)П (7-4)(7 —4；” (7—巧)(5.1)(5.1)

kR6=c

kR6=c

П (7-4)(7 —4；” (7—巧)

П (7-4)(7 —4；” (7—巧)

(5.1)

(5.1)

где R(7)——действительная рациональная функция.

Подходящим действительным дробно-линейным преобразованием и подходящим выбором параметра k < 1 можно сделать так, чтобы четыре точки отрыва потока S【，S2, S3, S4 перешли соответственно в точки Т = 1, /г* —й-1, —1. Если определим t как эллиптический интеграл / = J dT^(\ — Г2)(1—炉户)，то течение отображается на параметрический прямоугольник R во вспомогательной плоскости ?

—К《Re {/}《К, 0《Im {/}总К.—К《Re {/}《К, 0《Im {/}总К.(5.2)(5.2)

—К《Re {/}《К, 0《Im {/}总К.

—К《Re {/}《К, 0《Im {/}总К.

(5.2)

(5.2)

Пластины отображаются на вертикальные стороны, свободные границы — на горизонтальные стороны, а четыре точки отрыва Si, S2, S3, S4 ——на углы прямоугольника, как показано на рис. 50. Здесь К и /С означают, как обычно2), полные эллиптические интегралы с модулем й, опреде„чяемым отношением t = tK[K. По определению,

‘=丿 М『7^^匸T = sn(/, А), 0</г<1, (5.3)

откуда sn (±К) = ± 1, sn (0) = 0, sn ((7С) = сю.

Теорема 1. Если функция ^ = f(t) известна, то течение полностью определяется формулами (5.1) и (5.3) и интегралом 2 = / г】dW = / у^уR(sn /) cn/dn/ df. (5.4)

Доказательство теоремы получается в результате непосредственной подстановки dW = (dW/dT)dT и использования выражения комплексного потенциала (5.1) и формулы d(snf)= =сп / dn f dt.

Наше исследование основывается па теореме 1. Обычно функция f(f) определяется путем отображения области течения на параметричрский прямоугольник R с помощью соответствующего аналога теоремы 3 гл. III, Этот метод будет подробно описан в п. 4, однако вначале мы отклонимся от темы, чтобы привести более общий (хотя менее конструктивный) метод, дающий формулы (5.2) и (5.3) как частные случаи.

Случай m пластин. Формально подобным же образом можно рассматривать течения, ограниченные m пластинами, разделенными m свободными линиями тока при последовательном чередовании. Хотя определение параметров течения при m > 2 становится крайне сложным, мы все-таки наметим этот расчет.

Формула (5.1) по-прежнему справедлива. Верхнюю полуплоскость Т (а следовательно и течение) можно отобразить на

9 Г. Виркгоф

прямоугольный многоугольник Rm с 2m сторонами по формуле Шварца — Кристоффеля (см. [42, стр. 370] или [66, стр, 189]), имеющей вид

,U(f)

/ =Q(T)=^，(5.5)

n(f)

1

где точки 7\ и 7\ соответствуют 2m точкам отрыва S% ..., S2w, отделяющим свободные линии тока от неподвижных границ, одна из которых может быть в точке 7 = оо. Это означает, что в общем случае / выражается гиперзллиптическим интегралом.

Случай m = 2 мы уже обсудили в п. 1. Случай m = 1 соответствует простым течениям около прямолинейных клиньев, рассматривавшимся в гл. II и III, при 九=1 в обозначениях гл. III, п. 1. В этом случае m = 1, прямоугольник R】 сводится к квадранту, причем Q(7) =7, 27=步，если положить Г； = 0 и Г】=8. Однако при m = 1 переменная и = (1 + lt)/(l — jf) оказывается более удобной, чем 2 Она отображает Ri на единичный полукруг Г, и часто оказывается С = 〃.

Рассмотрим теперь переменную (о = i In ^ как аналитическую функцию комплексного переменного t3). Производная ds]dt = tdQWdt, очевидно, действительна на всей границе Rm (за исключением изолированных особенностей), поскольку функция со = £ In q ——g имеет кусочно постоянную действительную часть на полигональных границах. Отсюда следует, что, исключая существенно особые точки/ функция dco/dT должна быть действительной рациональной функцией от 7, т. е.

号=r(7).(5.6)

Подставляя в равенство dz = ^dW формулы (5.1) и (5.3), получаем следующий весьма общий результат [36, стр. 56—64].

Теорема 2. Для односвязных течений, границами которых являются поочередно свободные линии тока или отрезки прямых, справедливо соотношение

^^fexpf/ 1^(т)Уо(г)ат^(т)ат,(5.7)

где Q(7), А(7) и R\(Т) —действительные рациональные функции.

Изломанные пластины. Теорема 2 применима также к изло* манным пластинам (например, клиньям),. Вблизи вершины, где

на-правление потока изменяется на «]п радиан, имеем (； = /(/ — /0)1/л -|- ..., откуда простое вычисление дает

dco : dQ _ _ г I

~ЗГ = ЕТ5Г=孔(力一幻 十•

Следовательно, равенство (5.6) справедливо и вблизи этих точек, которые являются полюсами функции R\ (Т).

Годограф в виде кольцевого сектора. В частном случае течений, область годографа скорости которых является кольцевым сектором с центром в начале координат, вид функции 匕⑺

можно указать непосредственно. Путем изменения единиц измерений и поворотом системы координат можно привести область годографа к виду (рис. 51, а)

О《arg У 0, о《|Н《1. (5.8)

Поскольку (о = f In |^| ——<р, область изменения переменной з оказывается прямоугольником, ограниченным прямой Re (со) = —в на SiS2, Im (со) = In и на S2sз, Re (со) = 0 на S3s& и 1т((о)=0 на S4Si (см. рис. 50, б и 51, а). Следовательно, если й выбрано так, чтобы в неравенствах (5.2) было

Ж* (5.9а)

то область со может быть отображена на параметрический прямоугольник R (5.2) путем только горизонтального переноса и изменения масштаба. Тогда

з + ^ = — "5^ А(5.96)

,В f Т- К

( ==(5.9в)

Итак, функция Ri(7) (5.6) сводится в рассматриваемом случае к действительной постоянной ——р/2К

Представляет интерес течение, изображенное на рис. 51,6, потому что оно показывает математическую неопределенность симметричных течений Бобылева, уже обсуждавшихся в гл. II, п. 2—44). Аналогичную неопределенность имеет и течение Ре- ти около угла канала (рис. 51, s) 5). Заштрихованная застойная зона физически неустойчива. Наконец, на рис. 51, г изображено колено трубы с постоянной (теоретически) скоростью на обеих границах перегиба; это течение обобщает течение Рети, исследованное в гл. III, п. 10 (см. рис. 29,6).

Во всех случаях производная комплексного потенциала dW/dT = R(7) в формуле (5.1) имеет простое выражение, которое можно получить по теореме 2 гл. III. В случае течения, изображенного на рис. 51,6, находим

~dT~ = (ТГ1)2 '(3」Ua)

где Т\ = \, поскольку комплексный потенциал W(T) имеет полюс в точке S4. Для данного р существует только один существенный параметр и < 1; он соответствует избыточному давлению в гипотетической застойной зоне. В случаях течений, показанных на рис. 51,8 и 51, г, можно установить, что

~dT — (Т — G)(T —厶)・U。)

Комплексный потенциал течения, изображенного на рис. 51,8, имеет особенность в точке S4, где Т2 = 1/й; на рис. 51, г имеется по особенности на каждой из двух пластин, так что —1// < Т1 < —1, 1 < 7\ < 1/厄

Во всех этих случаях имеется в точности две струи и в формуле (3.30) гл. III "1 = 2 и "о =九2 = "d = "к = 0・ Чтобы иметь точку возврата на свободной границе, должно быть 2 + 九壮》3, т. е. необходимо большее число струй. В частности, на рис. 52 представлен такой случай, который иллюстрирует неопределенность асимметричных течений Кирхгофа ——Рэлея е),

Мы не знаем ни одного течения с годографом в виде кольцевого сектора, для которого величина г = J С1 dW могла бы быть выражена в замкнутой форме.

Метод отражения. Определение функции 扌(/) в общем случае m = 2 лучше всего достигается распространением ме-

тода отражения гл, III, п. 2 на область параметрического прямоугольника R, определяемого неравенствами* (5,2). Рассмо- ' трим теперь это обобщение. 丨

Пусть Ф будет какое-нибудь I простое течение (см, п. 1), огра- | ниченное двумя пластинами и I двумя свободными линиями тока. 1 Тогда применимы формулы (5,1) \ и (5.4) и, следовательно, остает- ；

ся определить (см. теорему 1) функцию c=f (力

Комплексная скорость 匕 как функция t аналитична и регулярна в прямоугольнике R. Она имеет конечное число нулей, соответствующих критическим точкам течения, постоянный модуль на каждой горизонтальной стороне прямоугольника R и постоянный аргумент на каждой из его вертикальных сторон. Без потери общности можно считать, что на нижней, верхней, левой и правой сторонах прямоугольника R соответственно имеем |^| = 1,忆I = и < 1, arg 匕=0 и arg 匕=艮 Это равносильно такому выбору осей и единиц измерения, при котором граница течения в свою очередь является соответственно: 1) горизонтальной, 2) свободной с постоянной скоростью и на ней, 3) составляет угол ——g с горизонталью, 4) свободной со скоростью ID = 1 на ней. Производя отражение относительно

этих границ, находим с (/*) = (*"(/) □(/* + 2次')=炉(:*-1(/)С (— 2К—/*) = (*(/) С(2К—/*) = /成 *(/)этих границ, находим с (/*) = (*"(/) □(/* + 2次')=炉(:*-1(/)С (— 2К—/*) = (*(/) С(2К—/*) = /成 *(/)нана■ нанана■ нанананижней стороне, верхней стороне, левой стороне, правой стороне.нижней стороне, верхней стороне, левой стороне, правой стороне.(5.11а) (5.116) (5.11в) (5.11г)(5.11а) (5.116) (5.11в) (5.11г)

этих границ, находим с (/*) = (*"(/) □(/* + 2次')=炉(:*-1(/)

С (— 2К—/*) = (*(/) С(2К—/*) = /成 *(/)

этих границ, находим с (/*) = (*"(/) □(/* + 2次')=炉(:*-1(/)

С (— 2К—/*) = (*(/) С(2К—/*) = /成 *(/)

на

на

■ на

на

на

■ на

на

на

нижней стороне, верхней стороне, левой стороне, правой стороне.

нижней стороне, верхней стороне, левой стороне, правой стороне.

(5.11а) (5.116) (5.11в) (5.11г)

(5.11а) (5.116) (5.11в) (5.11г)

На границах отраженных прямоугольников функция 匕 ведет себя так же, как и в основном прямоугольнике R. Следовательно, этот процесс можно повторять до бесконечности и продолжить функцию = f(t) как мероморфную функцию на всю плоскость 16а). Поскольку функции (5.11а) и (5.116) заменяют

нули на полюсы и обратно, в то время как функции (5.11в) и (5.11г) сохраняют как полюсы, так и нули, функция 匕 не имеет никаких особенностей, кроме полюсов; следовательно, она является мероморфной функцией даже в углах. Повторным применением соотношений (5,11а), (5,116), (5.11в) и (5,11г) находим

((/+ 2ZK) = (5.12а)

С(/ + 4К)= е2^(/). (5.126)

Эти равенства показывают, что функция g(f) является двояко- квазипериодической мероморфной функцией с квазипериодами 4К, 2i/C в следующем смысле,

Определение. Число(о называется квазипериодом функции f(f), если существует такая постоянная а, что f(t +(о)= =af(Z)t Функция с двумя такими линейно независимыми квазипериодами (01 и со? соответственно множителями ai и аг называется двоякоквазипериодической функцией. Если ai = аг = 1, то функция называется двоякопериодической с периодами ®, (02・

Основным параллелограммом двоякоквази периодической функции f(f) называется любой параллелограмм со сторонами со】и (02, равными квазипериодам. В рассматриваемом случае квазипериоды (oi = 4К и (02 = 2iK‘ ортогональны. Следовательно, рассматриваемые основные параллелограммы ——прямоугольники, подобные основному прямоугольнику R, однако со сторонами удвоенной длины.

Лемма. Две двоякоквазипериодические мероморфные функции, имеющие одинаковые квазипериоды, полюсы и нули, совпадают с точностью до экспоненциального множителя Aectt

Доказательство. Пусть функция f(f) =gi(f)/g2(f) будет отношением двух таких функций. Тогда f〃) будет ква- зипериодической функцией, не имеющей полюсов или нулей. Следовательно, логарифмическая производная 『(/)/f(/) этой функции ограничена; кроме того, она двоякопериодическая. Следовательно, по обобщенной теореме Лиувилля, 『(/)//(/)= =С. Утверждение теоремы f(f) = Aect непосредственно следует из этого результата.

Следствие. Две двоякоквазипериодические мероморфные функции с одинаковыми квазипериодами, множителям и, полюсами и нулями совпадают с точностью до постоянного множителя.

В самом деле, экспоненциальный множитель Aect в этом случае должен быть двоякопериодическим и, следовательно, постоянным, Применяя это следствие к течениям, удовлетворяю-

шим уравнениям (5.11а)——(5.11г), придем к следующему заключению.

Теорема 3. Комплексная скорость C = f(f) простого течения, удовлетворяющего условиям 1)——4) (гл. /，/, и. 2), является двоякоквазипериодической мероморфной функцией с квазипериодами 4К и 2i/C и множителями e2i^ и и? соответственно. Она определяется с точностью до множителя ± 1 параметрами и, R, / и положением критических точек в прямоугольнике R.

В теореме 4 п. 10 мы продолжим теорему 3 утверждением, что положение критических точек в прямоугольнике R не является произвольным. Однако сначала в п. 5——9 мы применим теорему 3 к некоторым частным случаям течений с и = 1 и е2fB = 土 i, критические точки которых располагаются в прямоугольнике R симметрично. В таких случаях C = f(f) является эллиптической функцией, т. е. двоякопериодической мероморфной функцией. Действительно, этими периодами являются, очевидно, 4К (или 8/<) и 2i/C. В более общем случае очевиден следующий результат.

Следствие 1. Функция 匕(/) является эллиптической тогда и только тогда, когда и = 1 (т. е. давление на обеих свободных линиях тока одинаково), а § = r^/s ——рациональное число, кратное 乳.

В самом деле, в этом случае функция 匕(/) является двоякопериодической с периодами 4sK и 2i/C. Поскольку любая эллиптическая функция с периодами 4К* и 2»К* может быть представлена как рациональная функция R* от sn / = 7 и СП / dn / = М'1 — Т2)(1 то для некоторого нового модуля й* находим C = R*(sn/, cn Z dn /). Используя это представление в теореме 1 (й заменяется на й*), получаем, что z = R2 (sn /, cn / dn /) dt, где R2(u, v)—некоторая рациональная функция. Однако известно, что любой такой интеграл может быть выражен через эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода еб). Этим мы доказали новое следствие.

Следствие 2. В условиях следствия / функция z(t) может быть выражена в замкнутой форме через эллиптические интегралы от Т = sn (厶々*).

Этот результат аналогичен основному результату гл. II, п. 9 [см. также формулу (3.1)]. К сожалению, его прямое применение в частных случаях приводит к очень сложным формулам, если оба целых числа г и s не очень малы. Ниже мы рассмотрим интегралы, выражающие комплексную переменную z в нескольких простейших случаях, для которых r/s = 0, */2 или 1.

Для упрощения формулДля упрощения формулмы используем обозначения Глэйшера

Для упрощения формул

Для упрощения формул

sn 〃 sc и —СП 〃sn 〃 sc и —СП 〃sd и =sd и =сп и csg^сп и csg^dszzdszzsn 〃 dn и dn и sn 〃sn 〃 dn и dn и sn 〃cdzz =cdzz =dczzdczzСП 〃ЧгПГ， dn иСП и 'СП 〃ЧгПГ， dn иСП и '

sn 〃 sc и —

СП 〃

sn 〃 sc и —

СП 〃

sd и =

sd и =

сп и csg^

сп и csg^

dszz

dszz

sn 〃 dn и dn и sn 〃

sn 〃 dn и dn и sn 〃

cdzz =

cdzz =

dczz

dczz

СП 〃

ЧгПГ， dn и

СП и '

СП 〃

ЧгПГ， dn и

СП и '

Несмотря на это, окончательные формулы все же остаются сложными.

Соударение струй, истекающих из сопел. I. Сначала рассмотрим две соударяющиеся струи, истекающие из параллельных сопел, симметричных относительно неподвижного центра

симметрии 0 при повороте на 180°, как показано на рис. 53, а (общий случай будет рассмотрен в п. 10). В обозначениях п. 4 Р = тс, и = 1; следовательно, & = f(f)—эллиптическая функция с модулем /, если течение отображается на прямоугольник R, определяемый неравенством (5.2). Затем, отражая функцию "/) относительно неподвижных стенок, видим, что максимум ее модуля достигается на свободных границах. Отсюда следует, что |^|《1, а свободные линии тока являются выпуклыми, согласно принципу Бриллюэна (гл. I, п. 13).

Кроме того, из физических, соображений 6в) ясно, что существует только одна критическая точка, которая в силу симметрии должна совпадать с точкой 0. Следовательно, функция

f(f) имеет только один нуль в области R в точке / =，К/2. Повторяя отражения относительно неподвижных и свободных границ (рис. 53,6), получаем все нули и полюсы функции f(f), как в п. 4:

нули в точках/ = —~ + ^тК+^КЧ;(5.13а)

полюсы в точках / =^~ + 2тК+2/гК%(5.136)

Однако хорошо известно, что нули и полюсы функции sn / находятся соответственно в точках 2тК + 2niKf и 2mК + + (2и + l)i/C, т. е. имеют то же самое расположение7). Следовательно, по теореме 3 C = csn(f——i/C/2) с некоторой постоянной с Поскольку С = 1, когда t =次'，то с sn (i/C/2) = 1 и, таким образом, с = — / )/^8). Поэтому

(=—» Уksn[t — / 冬)=—/ ]/Asnx, x = f — / 冬.(5.14a)

Метод годографа. Годографом скорости такого течения (если оно однолистно) является, очевидно, круг Г* с двумя симметричными горизонтальными разрезами (рис. 53,в). Путем сравнения с формулой (5.14а) мы видим, что функция sn х отображает прямоугольник R*

—К《Re (х)《К, —等 W Im(x)《•—,

на круг Г* и каждую четверть прямоугольника R* на квадрант Г*. С другой стороны, если считать известным, что конформное преобразование X = snx отображает прямоугольник R* на круг с разрезами, подобный Г*, то можно сразу написать (5.14а) в результате рассмотрения годографа. Это свойство функции X = sn х выводится аналитически, например, следующим образом. Подставив —1//Х вместо X в интеграл

,M(i — X2) (1 — ^X2)，

получим sn (i/C——x)=——l/й sn х. В то же время на прямой Im (х) = К/2 имеем |sn (iKz ——х) I = |snx|. Следовательно, на этой прямой (|snx| = 1/优目 Im {*} =К”

Комплексная координата. Однако простейшее вычисление комплексной координаты z в замкнутой форме достигается путем другой параметризации, при которой область течения отображается на прямоугольник R?a)

—Ki《Re (и)《Ki, — Ki《Im (zz)《Ki

с критической точкой в центре и = 0. Тогда g(配)оказывается двоякопериодической функцией с периодами 4Ki, 4，Ki, наименьшими общими периодами функций sn и, сп и, dn и. Поэтому прямоугольник Ri и оказывается таким удобным.

В силу симметрии, точки ub u2, u3, и4, которые представляют струи и сопла, переходят в симметричные пары на границе Rb Таким образом, 〃з = —иь 也=—u2 Замечая, что сп и—четная функция, принимающая чисто мнимые значения на границе, находим, что комплексный потенциал (с точностью до действительного постоянного множителя) выражается формулой

СП и — СП и2

Чтобы получить комплексную скорость, заметим, что (C + D/2 — однозначная функция, принимающая действительные значения на границе, имеющая простой полюс в начале координат и принимающая значения ± 1 в углах. Такой же функцией является функция (^ sn и)~\ и поэтому, разрешая уравнение (!； + ；；-')/2 = (^sn и)"получаем 尸 ksn и ；=Т+ dn и *

Из (5.15) и (5.146) следует dzdW=-\- r 1X

々 en 〃 一 eП 〃2 eП 〃 一 СП а: J

X dn 辽(1 + dn a) du.(5.16)

Этот результат можно проинтегрировать в замкнутой форме и получить

之=5(〃)— &(〃)，где

5也丿一 ksn at 111 ¥(% — ¥(〃)十 2Asn ui 入

XlnSg^#^-(…T宀調,(5.16，)

где g(〃) = sn u/(l + cn 〃), sd u = sn u/dn u. В написанной формуле функция

口(〃，«) = ^2snacnadna J-f— 0

является эллиптическим интегралом третьего рода [87].

Пластины, перпендикулярные к струе. Можно также просто выразить функцию 白(/) в случае идеальных плоских тече-

ний около пластины, перпендикулярной струе, истекающей из сопла (см. рис. 50, а). Предполагая, что единственная критическая точка расположена на пластине, мы можем установить, что областью годографа, очевидно, является полукруг с симметричным разрезом (рис. 54, а), а областью логарифмического годографа (In《)является полубесконечный прямоугольник с таким же разрезом. Сравнивая рис. 54, а с

S2 Плоскость C 鸟-t^ Плоскость £

а6 I

Рис. 54.

рис. 53, б — & видим, что если течение отображается (рис. 54,6) на новый параметрический прямоугольник R?

-К《Re 3)《0, — /С/2《Im (辽)《К/2,

то комплексная скорость 匕 определяется формулой (5.14а), ^ = — z ]/^sn и. Эту формулу можно просто проверить, замечая, что если С(〃) продолжить путем отражений (п. 4) на всю комплексную плоскость и, то ее нули окажутся в точках и = 2тК + 2inK\ а полюсы — в точках 〃 = 2тЛ + (2и + 1)ЕК‘, как и должно быть7) для sn х.

Далее, очевидно, что функция U = sn(〃 + %/С/2) отображает течение на второй квадрант плоскости 0. Следовательно, Т = = ——sn2(〃 +，K'/2) отображает течение на верхнюю полуплоскость Г. Согласно теореме 1 (п. 1), течение полностью определяется этими формулами, а также производной комплексного потенциала

з

"jy ~ _3=2 77=?ГР力1 + 力2 + 力3 = 0, (5.17)

巾(7f)£=】

причем Ti находится на стороне S3s拆 Т2 на S4Si и 7з — на S2sз. Константа С определяет масштаб течения, 7\ — асимптотическую скорость в сопле, a 7g н Га — направления отходящих струй.

Особый интерес9) представляют различные предельные случаи течения, изображенного на рис. 50, а. Среди них можно упомянуть: 1) течение, порождаемое вертикальной пластиной, глиссирующей в потоке конечной глубины (рис. 55, а), и 2) кавитационное течение при Q = 0 около пластины, поставленной перпендикулярно, но не обязательно на оси бесконечного канала (рис. 55, 6). В случае 1) 7з = —1 и Ti = 1; в случае 2) Т2 = —1

и Ti = 1. Отражая течения, показанные на рис. 55, а, 6 относи* тельно одной стенки, получаем соответственно случай 3) ； удар симметричной струи, вытекающей из сопла, на перпендикулярную стенку с симметрично расположенной щелью (рис. 55,8) и 4) две перпендикулярные пластины, поставленные симметрично в канале.

Комплексная координата. Теперь рассмотрим формальное интегрирование выражения 2 = / 1ГХ d W и различные связанные с ним интегральные формулы. Чтобы получить их в простейшей форме, повернем принятое выше параметрическое изображение на 90° и отобразим течение на прямоугольник R3

0《Re (х)《/<3,— К； С Im (х)《0,

где кУКз = К1К'・ Тогда

L = dn (х_~г) = (1+ 働[dn* + (l —%) snxcnx] 岱岡 W^■dn2* + &'

Формула (5.18) может быть выведена либо из формулы С=——/ Уksnu путем вращения и переноса, либо (что более просто) путем сравнения расположения нулей и полюсов функции L и функции dn £7).

Что касается комплексного потенциала, то можно просто заметить, что поскольку функция sn2 х отображает R3 на полуплоскость, то можно использовать формулу (5.17), в которой следует взять Т = sn2х н Т$ = sn?%力 где Xj — три точки на границе R3. Поскольку критическая точка переходит в точку х = Кз/2 —»У, находим 8)

▲ = sn2(B —，K；,晟)=*・(5.19)

В результате подстановок из формулы (5.17) получим 3

W= 2 % In (sn2x — sn2 x^(5.20)

где

3

£% = 0, 2 Ay/K(ЙГ —sn2x;) = 0.(5.20，)

/=17=1

Физически величина n/叮=d? равна ширине струй; первое тождество (5.20') соответствует закону сохранения массы, а второе — условию (5.19), т. е. dW/dx = 0 в точке разветвления (это означает, что критическая точка находится на конечном расстоянии).

Теперь, учитывая формулы (5.18) и (5.20), можно вычислить комплексную координату точки

I Г Г sn х сп х dn2 х dx ,

丄([_ 丁、f sn2 x cn2 x ^n x dx

3 J (dn2X-P ^3)(sn2-^ — §口2弓)

Эти два интеграла можно выразить в замкнутой форме соответственно с помощью подстановок a = dnx и @ = dn(x — /^з)= = /(cn x)/(dn x), а также с помощью, где возможно, тождества (2.20). Обозначая cs х = (cn x)/(sn х), получаем окончательно

32 = е2>[(Ь+0)Е7=132 = е2>[(Ь+0)Е7=1dn х — dn хуdn х — dn хуdn% + dn%jdn% + dn%jMd)inMd)inCS X ——CS XjCS X ——CS Xjгде J «в V力;dn (%,十 &/2) — скорости на бесконечности.где J «в V力;dn (%,十 &/2) — скорости на бесконечности.(5.21)(5.21)

3

2 = е2>[(Ь+0)Е

7=1

3

2 = е2>[(Ь+0)Е

7=1

dn х — dn ху

dn х — dn ху

dn% + dn%j

dn% + dn%j

Md)in

Md)in

CS X ——CS Xj

CS X ——CS Xj

где J «в V力;dn (%,十 &/2) — скорости на бесконечности.

где J «в V力;dn (%,十 &/2) — скорости на бесконечности.

(5.21)

(5.21)

Прилоэюения. Длину пластины можно определить непосредственно из формулы (5.21):

/ = ^二力 G + 6)一，《尸-SIn ;三:机二I，] .('22)

Согласно гл. IV, п. 4, комплексная сила 尸，действующая на пластину, равна

F= 4[г(2^з-М)-Z(火雜=42^¥/»办(5.23) /=1

В предельном случае пластины в бесконечном канале (рис. 55, б) имеем

О =々 V %i V %з Кз н * ^= @ V 1, G ^=匸3== L

Коэффициент лобового сопротивления CD = 2F/p/y выражается формулой

Со =产j一=r，(5.24)

l-u+^O + Sarc tg

из которой следует интересный факт: CD не зависит от положения пластины. Для пластины, глиссирующей в потоке конечной глубины (рис. 55,а), имеем х2 = 0, Xi = Кз, а точка х3 расположена слева от точек 修 и х2. Соответственно этому 备=* = 1, Сз = eia, Коэффициент лобового сопротивления в этом случае равен

Ширина щели равна

^h=^i[z (/К) — z (—火詛=—2п%2 — 2饱 In

Из формул (5-20) и (5.20х) следует

九2 = -- 々3九1 и 九3 = --(1-力3)比.

Таким образом, отношение г ширины набегающей струи и ширины щели, а также коэффициент сужения с вытекающей струи выражаются соотв^ственно формулами

2/ц 「= ~Г2/ц 「= ~Г込込

2/ц 「= ~Г

2/ц 「= ~Г

込

込

Для 々з, достаточно близкого к 1, г < 1, Следовательно, течение теоретически может быть в равновесии, даже если ширина набегающей струи меньше, чем ширина щели. Было бы интересно экспериментально проверить устсйпивость такого течения.

U-образные препятствия. Рассмотрим течения, имеющие одну свободную границу, U-образную неподвижную границу, составленную из двух вертикальных и одной горизонтальной пластин, причем эти течения не имеют критических точек, за исключением двух углов. Типичные течения такого типа изображены на рис. 56, а, 56,6; впервые они были рассмотрены Мичелом [63] п). Другие варианты течений представлены на рис. 57, а—0 и 59,а, 6, а Отражая такое течение относительно горизонтальной

пластины, получаем течение с двумя свободными границами (рис. 56, а).

Было бы естественно отобразить двойное течение, полученное отражением, на прямоугольник R п. 1 [формула (5.2) и рис. 50, б] так, чтобы точки S；, S2, S3, S； перешли соответственно в точки^i, Ki + »Ki, —Ki + »Ki, —Ki・ Нули и полюсы функции 白 будут тогда находиться соответственно в точках (К1 + 火;/2)+ 2%К1 + 2加к； и (К1 —，К；/2)+ 2mК\ + 2/нК； • В результате сравнения с положением нулей и полюсов функции sn / можно получить, что C = csn (/ — Ki — $К；/2), согласно теореме 3, и затем построить течение, согласно теореме 1.

Однако можно получить более простые формулы, если отобразить первоначальное течение на прямоугольник R вспомогательной плоскости w, показанной на рис. 56, в, так, чтобы вертикальные пластины перешли в вертикальные стороны, горизонтальная пластина — в нижнюю сторону, а свободная граница—в верхнюю сторону прямоугольника R *2). В прямоугольнике R функция Z = f(u) действительна и положительна на действительной оси, чисто мнима на его вертикальных сторонах, равна по модулю единице на верхней стороне и не имеет никаких нулей, кроме расположенных в точках S】и S&, Согласно теореме 3, эти свойства определяют единственную функцию /(/). Однако все эти свойства имеет функция

一dn儿

стороне, 0《dnaW；〃 на dn и—чисто мнимая настороне, 0《dnaW；〃 на dn и—чисто мнимая на\ 々'十dn九，

стороне, 0《dnaW；〃 на dn и—чисто мнимая на

стороне, 0《dnaW；〃 на dn и—чисто мнимая на

поскольку 力‘ & dn a W 1 на нижней вертикальных сторонах, а функция верхней стороне. Следовательно,

[_1 / 勿一dn 儿V T + dn^[_1 / 勿一dn 儿V T + dn^Л СП uЛ СП u(5.26)(5.26)

[_1 / 勿一dn 儿

V T + dn^

[_1 / 勿一dn 儿

V T + dn^

Л СП u

Л СП u

(5.26)

(5.26)

Кроме того, число струй муле (3.4), производнаяКроме того, число струй муле (3.4), производная_ 1 dT = T — f{_ 1 dT = T — f{

Кроме того, число струй муле (3.4), производная

Кроме того, число струй муле (3.4), производная

_ 1 dT = T — f{

_ 1 dT = T — f{

равно двум, и поэтому, согласно фор- комплексного потенциала равна

т 1, T=snu, Г, = sn (5.27)

/一/ 2丿/

если ширина струи принята равной 冗.Соответственно комплексная координата z выражается разностью двух интегралов одинакового вида

z = j^dW= y / 葭7 三%- + 市 WsF后]他'+m m)dn zzd/z.

вв6о6о

в

в

6о

6о

Чтобы проинтегрировать это выражение, подинтегральную функцию (первого интеграла) представим в виде

(k' -(- dn u) dn u — 々'dn 九 I dn2 ux sn u

~SU ll ——sn Uj 一 sn U - Sn Ux T 5"2 九一5口2 九]

,91, dn2 U, sn2〃

—к SII ZZ — —52 ■

sn Ux 1 sn Ui sn'〃 一sn2 Uj

Первые четыре члена легко проинтегрировать путем выбора качестве независимых переменных соответственно sn w,

Ри с. 57.

(dna/cna), сп w и w, а последний член после замены sn ^ на [й sn (/г】一/йОР^риводится к канонической форме эллиптического интеграла третьего рода. Замечая, что

окончательный результат можно записать в виде разности z^=N]—之2‘(5.28)

где

Nj =彳(写一3 [In (eg 配一eg 勺)一In (eg a - eg 卫川 +

-Ь彳(不 +0)[In (de и — de zz, — In (de и —j— de z/y)| +

+鳥可+^(5+^)"з，勺一一火,同.

Здесь eg w = сп w/(l + sn w), de w = dn w/сп w, и II(w, a, k)— эллиптический интеграл третьего рода (см. конец п. 5).

В частном случае, изображенном на рис. 56, а, сток 〃i и источник w2 находятся в точках 土К + iK', следовательно, 备=——г,冷=厶 В этом случае большинство членов выпадает и формула (5. 28) приводится к виду

之=2〃 +»1口(力，一ik сп и) —»In (力，+ ik сп и).(5.28а)

На рис. 57 изображены некоторые интересные частные случаи, получающиеся при различном расположении источников и стоков (особенностей) на границе 13).

10 Г. Биркгоф

Особый интерес вызывает течение, показанное на рис. 57, б, которое представляет собой половину струи, ударяющей симметрично в U-образное препятствие (пластину с козырьком *4) или чашу). В этом случае а^ находится на верхней стороне прямоугольника, а = —К + iK‘ и соответственно 3 = е吗 塗=L Половина ширины поперечной пластины

b = z(K) — z(—K) = n(l + sin 屮) + 2К■宝胖 +

-2 cos cpZ(zZ] —

где Z (zz) = / dn2zz dzz — ®К)и— дзета-функция Якоби [87]. о

Длина козырька равна

a=\z^+iK^_z^)\ =

丫 L \ 1 + sn ^! 1 + 々丿 \ 1 + sn Ut 1 + 々丿」

+ COS 屮尸 K+哉二竺)+ K，z(〃]_ 火')]-1ПЙ+ К，廿产)

Вертикальная сила, действующая на препятствие, согласно теореме 7 гл. IV, равна F = 2dp(1 + sin g). Из написанных формул сразу вычисляются отношение а/b длины козырька к ширине пластины и коэффициент сопротивления CD = 2 尸/р 氏 Если 〃[^—К + iK', то получается предельный случай пластины с козырьком в неограниченном потоке (рис. 58, а). Соответствующие предельные значения отношения а/b и коэффициента С^ определяются формулами

力，2а 2(^ ——In_g

n+4e -2公2k

CD =厂,(5.296)

Dn+ 4e—，2勿欠、，

которые показывают, что коэффициент CD возрастает от 2n/(n + 4) до 1 с ростом отношения а/b, причем изменение С° особенно резко происходит вначале (dCD/d(a/b) = оо), как видно из рис. 58, в.

Аналогичные формулы получаются для модели, представленной на рис. 57, 8, которую можно рассматривать либо как половину течения через короткий насадок Борда в конечном резервуаре, либо как половину течения около пластины с козырьком в канале 15). В этом случае

〃1 = — ^+ z (^ — и), 〃2 = —К+еК, j = q

10*

/ d| k—力—*4\ '

Козырек 、

Короткий насадок Борда

Igb

6

Рис» 58.

Переход от аналитических параметров й и Ui к геометрическим параметрам а и 6 (ширина канала взята за единицу) дан на графике рис. 58, б.

Половина течения, изображенного на рис. 58, а, является частным случаем течения, когда источник и сток сливаются, образуя полубезграничный поток (гл. III, п. 3), для которого при подходящей нормировке dW/dT = 1/(Т—7\产 Получаемые таким путем предельные случаи показаны на рис. 59, а—в 16).

Течения Рябушинского. На рис. 60、 а изображен случай течения, получающегося при симметричном расположении источника и стока на нижней стороне S&Si прямоугольника R (см. рис. 56,8). Если это течение отразить относительно нижней стенки, то получается поток в двумерной трубке Вентури, впервые рассмотренный Колонетти п). Если то же течение отразить

1 Трудна I7J1 Трудна I7J1 Каверна |►1 Каверна |►j Каверна |—►j Каверна |—►

1 Трудна I7J

1 Трудна I7J

1 Каверна |►

1 Каверна |►

j Каверна |—►

j Каверна |—►

I Вентури |

аа666

а

а

6

6

Рис. 60.

относительно верхней стенки, как показано на рис. 60, б, то получается одна модель обтекания пластины в канале с положительным коэффициентом разрежения в следе (каверне):

Q =Q =Pg — Рс12蔓Р%Pg — Рс12蔓Р%>0,>0,(5.30)(5.30)

Q =

Q =

Pg — Рс

12

蔓Р%

Pg — Рс

12

蔓Р%

>0,

>0,

(5.30)

(5.30)

более соответствующая действительности, чем модель, показанная на рис. 55, 6 с Q = 0. Эта модель была исследована Рябу- шинским *7) в предельном случае рис. 60, в, когда стенки канала удаляются в бесконечность. Ввиду большого значения этого исследования название течения Рябушинского дается теперь всем течениям рассматриваемого вида.

КоличественныеКоличественныеслучаи формул 冷=Wi, имеемслучаи формул 冷=Wi, имеемрезультаты можно получить как частные

Количественные

Количественные

случаи формул 冷=Wi, имеем

случаи формул 冷=Wi, имеем

dW ~dT2 = ~2~ 1П 7dW ~dT2 = ~2~ 1П 727\27\11一 一T2 一 Т； 一 T一7\ sc u - sc 九1 2九一 一T2 一 Т； 一 T一7\ sc u - sc 九1 2九17+ А17+ А(5.31)(5.31)SC九+ SC九1SC九+ SC九1k sn U]k sn U]Из (5.27) и (5.28), полагая w2 = —wb

dW ~dT

2 = ~2~ 1П 7

dW ~dT

2 = ~2~ 1П 7

27\

27\

1

1

一 一T2 一 Т； 一 T一7\ sc u - sc 九1 2九

一 一T2 一 Т； 一 T一7\ sc u - sc 九1 2九

1

7+ А

1

7+ А

(5.31)

(5.31)

SC九+ SC九1

SC九+ SC九1

k sn U]

k sn U]

—zzi — »Ki, й)]. (5.32)—zzi — »Ki, й)]. (5.32)—!1 [n (弘 h\- "k，力)一 n (弘

—zzi — »Ki, й)]. (5.32)

—zzi — »Ki, й)]. (5.32)

Кроме того, скорость на бесконечности равна

%=阖諡У，(5.33а)

а число кавитации Q выражается (поскольку 卩=1) формулой

Q = e-1=丽器方・⑸336)

Ширина пластины при расходе d = п равна

2a = — i[z (К+ 火‘)—z (К— /К')]=

=4 [Jarctg^+К‘力 sn zzj +

々 СП 〃1 to CttUi1 1

(5.34)

2hK cn 〃i 1 々 cn ①1''/

а длина каверны равна

/ = Z (— к+ 次')—г ^+ 火')=4К [—居 sn 〃1 +

+ ^TZM'(5・35)

Сила, действующая на пластину, определяется на основании теории гл. IV п. 4:

尸=^ р力[z (К) - г ^+ 2，К')]=

=2P [砍‘ sn /г】一黑^ K'Z (zzj + 姦吋•

Исходя из этих формул, можно легко вычислить коэффициент сопротивления CD как функцию безразмерного числа кавитации Q и отношения а/b ширины пластины 2a к ширине канала 26 == 2к/Уоо.

Наиболее интересен частный случай предельного неограниченного течения Рябушинского при 尻1 = 0 (рис, 60, в). Тогда половина этого течения представляет полубезграничный поток, комплексный потенциал которого W7 = Г-1 и

z=k Г^Н—^一-Н£⑷一勿(5.36а)

где е(现)=七("，竹=J dn2 / dt ——эллиптический интеграл вго- о

рого рода [87], Соответственно, если Е = Е(1,力)н Е‘ = Е(1,也')， то

@8=1，，， Q = yi^，(5366)

(5.36b)(5.36г)(5.36b)(5.36г)2a = 2^т [е1 ~ 1^К1+Л / = 2"1 [E — k，2K],С「2尸—2(1 + Q)(E‘一〃к)

(5.36b)

(5.36г)

(5.36b)

(5.36г)

“=丽=—必У + 一 一 •

Интересно сравнить модель каверны Рябушинского с моделью возвратной струи (гл. III, п. 8). На диаграмме 11 приложения обнаруживается поразительное совпадение этих моделей во многих отношениях при числах кавитации до Q = 0,4 18). Это совпадение относится к передним половинам профилей каверны, к коэффициентам сопротивления Cd « 0,88 (1 + Q) и к другим геометрическим параметрам, показанным на диаграмме 11 и описанным в гл. III, п. 8. Таким образом, эти две модели дают почти идентичные результаты для минимального числа кавитации пластины в трубе (гл. I, п. 11).

В литературе были рассмотрены различные обобщения течения Рябушинского, а именно: течения около наклоненных пластин (см. п. 12); течения около параллельных пластин, помещенных перпендикулярно к потоку в бесконечной струе1Э); течения Рябушинского около симметричных пар клиньев с углами 2р при вершине.

Последние из упомянутых течений можно исследовать с помощью метода годографа. Если “ = 产饵 и и = (£『一£г))/2, то (при нормированных переменных) 眩=〃/了必+ tg2a, где a определяется числом кавитации Q. В случае 0 = п/4 комплекс* ная координата г (а) выражается через эллиптические инте< гр алы очень просто.

Соударение струй, истекающих из сопел. II. Рассмотрим теперь общий случай двух соударяющихся струй, вытекающих из сопел, направления которых составляют между собой неко-

торый угол В (рис. 61, а). Предположим, что внешнее давление постоянно, так что |g| = 1 на всех свободных линиях тока, если выбраны подходящие единицы измерений. Течение можно отобразить на параметрический прямоугольник R, как в п. 1 (рис. 61,6), так что функция sn / с соответствующим модулем й будет отображать течение на верхнюю полуплоскость Т.

Рис. 61.

Если считать, что отходят две струи, то комплексный потенциал течения должен удовлетворять уравнению

4

С(Т-А)(Т-А^$ 旬

~df =4=厶 7 — 7.，(d J /)

H(T—Tj) к

как и в гл. Ill, п. 4. Здесь масштабный коэффициент с является действительным, Т = 4 соответствует внутренней критической точке, Л* — величина, комплексно сопряженная с Л, а Г； соответствует приходящим и отходящим струям (бесконечно удаленным точкам течения). Поток жидкости из точки Т)равен 虱厄= d§ и £% = 0; поэтому W(Т) содержит семь произвольных действительных параметров.

Далее, из наших предположений следует, что функция g=e(£) обладает следующими свойствами: 1) е(£) регулярна в прямоугольнике R, 2) |е(£)| = 1 на его горизонтальных сторонах, 3) е(£) принимает действительные значения на правой стороне S1S2 прямоугольника R, 4) arge(£) постоянен на его левой стороне S3s% 5) е(£) обращается в нуль только при t = а (где sn а = А) в прямоугольнике R.

Кроме того, вполне правдоподобно, что годограф течения представляет собой единичный круг с двумя разрезами, наклоненными друг к другу под углом В，как показано на рис. 61,8. Поскольку эта конфигурация зависит от трех параметров,

возможно также, что функция е(£) = е(£, a, k) определяется модулем 也 прямоугольника R и комплексным числом а. Будем считать это предположение частным случаем следующего обобщения теоремы 3.

Теорема 4. Если выполняются условия теоремы 3 и если критические точки функции 寸=/(£) расположены в точках @左 внутри прямоугольника w в точках 6左 на его границе, то

Р =爲 In G 一 六[2 2 Im (%) + 2 Im (仇)].(5.38)

В случае годографа в виде кольцевого сектора (п. 3) выражение в скобках обращается в нуль, а формула (5.38) сводится к формуле (5.9а). В случаях течений, рассматривавшихся в п. 5—9, формула (5.38) предполагалась выполненной в силу соображений симметрии; так, в п. 5 е(£, ，К'/2, 力)= =с sn (£ —，К'/2). В данном общем случае соударяющихся струй, вытекающих из сопел, формула (5.38) сводится к формуле

р = _ 然⑷(5.38а)

ИЛИ

1гп (а) = — 0 ^, ,(5*386)

которая показывает связь параметров а и р. В общем случае формула (5.38) получается из следующей леммы.

Лемма. В любом основном прямоугольнике двоякоквази- периодической функции число нулей равно числу полюсов. Кроме того, если з】и(о2 — квазипериоды, ai w 。2 — соответствую- 〃〃:с множители,之冗一нули, a pk — полюсы, то

2 % 一2小三(3]警一吗黑).(5.39)

Доказательство. Разность между числом нулей и полюсов равна суммарному вычету логарифмической производной, который, поскольку логарифмическая производная является эллиптической функцией, обращается в нуль [87]. Чтобы доказать второе утверждение, используем следующее соотношение [87, т. 1, стр. 168]:

С

где С—граница основного прямоугольника квазипериодов. Разбивая контур интегрирования С на участки вдоль сторон прямо-

угольника и учитывая квазипериодичность функции /(/), полу

чаем

=о)! (In а2 -|- k^i) — со? (In ai + Й22к/),

что и дает формулу (5.39).

Чтобы применить эти результаты к функции 备 положим a)i = 4K, ®? = 2iK\ 1па] = 2»0 и а2 = г/2. Пусть основной прямоугольник квазипериодов определяется неравенствами —К <Re(Z) < ЗК,—片々Im(£)vK. заметим, что нуль а внутри прямоугольника R дает в результате отражения еще один нуль в точке о/ = 2К — а* и два полюса в точках а* и а'*, в то время как нуль 6, расположенный на границе, не дает никаких новых нулей, хотя дает еще полюс в точке 6*. Используя далее формулу (5.39), получаем формулу (5.38).

Теорема 5. Перечисленные выше свойства 1) — 5) определяют функцию е(£) = е(£, а,力)с точностью до знака.

Док аз ател ьство. Согласно теореме 3, функция е(£) является двоякоквазипериодической функцией с квазипериодами 4K и 2，К‘ и соответствующими множителями 或‘。и и2. По свойству 2) у = 1, и, следовательно, 4K есть период. Из формулы (5.38) следует, что, поскольку у = 1, параметр § 三 2nlm {а}/К‘ определяет множитель е?»。 Отсюда, согласно лемме п. 4, свойства 1)—5) определяют функцию е(£) с точностью до постоянного коэффициента с. Но, согласно свойству 2), \с\ = 1, а, согласно свойству 3), коэффициент с — действительная величина； чем и завершается доказательство.

Из проведенного обсуждения формул (5.37) и (5.38) видно, что общий случай соударяющихся струй с единичной скоростью на всех свободных линиях тока зависит от 7 + 1 = 8 параметров (параметр Л определяет а, но не 力).Однако геометрическая конфигурация сопел зависит от семи параметров (величины 0 и относительного положения краев сопел). Следовательно, как и в случае свободно соударяющихся струй (гл. III, п. 4), течение естественными физическими условиями не определяется.

Общие формулы. Покажем теперь, что функции е(£; а, й), определенные в п. 10, могут быть использованы для вывода выражения комплексной скорости С(£) в общем случае, описанном в п. 4 (и в теореме 4 п. 10).

Теорема 6. Комплексная скорость любого течения, удовлетворяющего условиям 1) —4) п. 4, имеет вид

С= + V К' П^(/; а}, й)П^(/; Ьп, й), (5.40)

где а； — внутренние нули функции 皆 bn—нули на границе прямоугольника R.

Доказательство. Из свойств функций е следует, что правая часть формулы (5.40) имеет простые нули в точках @力 bn, единичный модуль и модуль V соответственно на нижней и на верхней сторонах прямоугольника R принимает действительные значения на правой стороне прямоугольника R и имеет постоянный аргумент модуля к на его левой стороне. Однако, согласно формуле (5.38), эта постоянная равна 0 и, следовательно, на основании теоремы 3 правая часть формулы (5.40) действительно должна совпадать с 軍

Очевидно, что теорема 6 указывает на важность функций е(£, а,力)для теории течений, ограниченных двумя пластинами и двумя линиями тока. Учитывая значимость этих функций, имеет смысл вывести их выражение через тета-функции Якоби [87, г/, XXI]. Это будет, вместе с тем, доказательством существования функций е(£; а,力) для любого комплексного \ag R н для любого модуля й, 0 < й < 1. Подробно все сказанное можно сформулировать в виде леммы.

Лемма. Если z° является какой-либо точкой основного прямоугольника с вершинами в точках —кт/4, —м/4 + п/2, пт/4 + п/2, пт/4, то функция

h{z, %; т)=h{z, %; т)=%(N 一飞")04卜一圖 t)力卜+喇t) зg + m)%(N 一飞")04卜一圖 t)力卜+喇t) зg + m),если Im (z0) ± —,если Im (z0) ± —%(z-z 扑)kz + zolry%(z-z 扑)kz + zolryесли 1т(%) = ±4,если 1т(%) = ±4,(5.41)(5.41)

h{z, %; т)=

h{z, %; т)=

%(N 一飞")04卜一圖 t)力卜+喇t) зg + m)

%(N 一飞")04卜一圖 t)力卜+喇t) зg + m)

,если Im (z0) ± —

,если Im (z0) ± —

%(z-z 扑)kz + zolry

%(z-z 扑)kz + zolry

если 1т(%) = ±4,

если 1т(%) = ±4,

(5.41)

(5.41)

регулярна в прямоугольнике периодов, имеет простой нуль в точке z0 (и *е имеет никаких других нулей), равна по модулю единице на вертикальных сторонах, а ее аргумент остается постоянным (модуля п) на горизонтальных сторонах.

Доказательство. Доказательство сводится к простой проверке. Проведем ее для случая Im z0 V 士пт/4, так как в другом случае оно еще проще. В соответствии с известным расположением нулей тета-функций, сразу видно, что А является регулярной функцией, не имеющей никаких других нулей, кроме zq = %。+ iyo. На правой стороне прямоугольника 2 = тг/2 + is,

где s—— некоторая действительная величина. Однако [87]

%(/| <)=%(/ +^ 卜)，％(〃 т)= % 卜 +多卜)

и, следовательно,

__。3 (— %0 +，(s — Уо))办(一％0 +，(S + Уо)) =%+，(s — у。) )®2 (死 + £ (s + у。) )一 •

Поскольку 02 и б3 — четные функции, принимающие сопряженные значения в сопряженных точках, то должно быть |川=1. То же рассуждение верно для левой стороны прямоугольника. На его нижней стороне z = —пт/4 + s (s действительно) и

也 ％ (s 一 分一个)% (s — 石一号)0i (s + ?；— ?) % (s + % —寻)

Используем извеетное тождеетво 力(/)=一，/6叫(/ + 冗寸2) откуда б】(/ — itx/4)=——iq4eu^4{t + кт/4). Заменяя соответственно А в последнем выражении, получаем

04 (s+ ?；+?) 04 卜 + 分-*)

一 小+吁?)•

Итак, аргумент функции h всегда равен — 2Re(z0). Аналогичное доказательство проводится и для верхней стороны прямоугольника.

Рассмотрим теперь функцию 九(z, z0; 2d) с параметром 2d = 2£К/К'・ Преобразование £= (21^/к)z переводит прямоугольник периодов в прямоугольник R,

—^<Re(/)<^, 0clm(/)《《•

Из этого следует еще одна теорема.

Теорема 7. Для любого а ^ R функция

е(/, а; 々) = е "'也(2zK，~2iKf * ")(5.42)

обладает вышеуказанными свойствами 1)—5) (п. 10).

Здесь Y =，К/К1 а A (z, z0; т) определяется по формуле (5.41).

По теореме 5, функции 士е(£, а;力)являются единственными такими функциями. Согласно формулам (5.38а) и (5.126), они являются эллиптическими функциями тогда и только тогда, когда Im (а)/К = 0/2п есть рациональная дробь р/g. В этом случае периодами являются 2iK‘, 2q/(, если знаменатель q четный, и 2£К, 4дК, если он нечетный.

Пластина в струе, вытекающей из сопла. В качестве одного приложения общих формул п.10—11рассмотрим

случай20) пластины, помещенной под некоторым углом к струе, вытекающей из сопла (рис. 62,а),

причем давление на всех свободных линиях тока одинаково. Как обычно, можно считать, что на всех свободных линиях тока 置=1.

Точно так же, как в п. 6 (в котором мы имели дело со случаем 0 = п/2), можно написать dWТ — В

= с(7 —『J(丁_ ?2)(т— %)'(543)

где параметры Т, = sn 勾 имеют тот же смысл, а В = sn b соответствует критической точке на пластине. Далее, очевидно, что функция 工= е(£) обладает всеми свойствами 1)—5) п. 10. Следовательно, годограф течения представляет собою полукруг с разрезами (рис. 62, б), и на основании теоремы 7, а также формул (5.38) и (5.41) можно записать

Q = e(厶仇 k) = e^Q = e(厶仇 k) = e^04 (^ (t+b^iK^^e) 〃(к(£-Ь)/2£К，|21)'04 (^ (t+b^iK^^e) 〃(к(£-Ь)/2£К，|21)'(5・44)(5・44)

Q = e(厶仇 k) = e^

Q = e(厶仇 k) = e^

04 (^ (t+b^iK^^e) 〃(к(£-Ь)/2£К，|21)'

04 (^ (t+b^iK^^e) 〃(к(£-Ь)/2£К，|21)'

(5・44)

(5・44)

где V =瓜附 и Im(匕)三 BK'/冗.В частном случае п. 6 В = n/2, Im ｛匕｝ = К'/2 и е(力 К — 〃('/2,力)一эллиптическая функция.

Предельные случаи, представляющие особый интерес при В = к/2 и перечисленные в п. 6, заслуживают внимания и

здесь. Кроме того, отметим случай % =九=К,勿=К + iKr пластины около бесконечной стенки, рассмотренный Вилла21), а также случай 力=К,勿=К + iK‘， Im (%) = —К плоской струи, истекающей из сопла и ударяющей в бесконечную стенку. К этому следует добавить, что развитая теория дает решение задачи профилирования тройников, разделяющих канал на параллельные ответвления, при постоянном давлении на поворотах (во избежание отрыва потока от стенок).

Сходные течения, С только что определенными течениями тесно связаны аналогичные течения с неравными давлениями в различных областях, разделенных струями.

Видоизменяя эти течения, мы приходим к случаю течения Вилла — Мортона22), изображенного на рис. 63, а. Годограф

Рис. 63.

этого течения имеет разрез по дуге круга, который соответствует свободной линии тока с точкой перегиба.

Допуская существование двух критических точек, получаем большое число возможных конфигураций с двумя пластинами в ограниченном или в безграничном потоках, пример которых показан на рис. 63,6. Здесь мы отсылаем читателя к весьма обширной литературе, имеющейся по этому вопросу 23). Некоторые результаты относятся к случаю m > 2 (см, п. 2) нескольких пластин; другие результаты касаются течений с циркуляцией и многосвязных течений.

Внутренние источники и вихри. Простое распространение предыдущих идей позволяет рассмотреть течения, ограниченные двумя пластинами и двумя свободными линиями тока и имеющие внутри точечные источники и вихри24). Комплексный потенциал W(Т) в этих случаях имеет логарифмические особенности вида W = m\n (Т — Т()) + … в точках, в которых помещены источники, и логарифмические особенности W = =im In (Т — То) + … в точках/ в которых помещены вихри [62, гл. 13]. Отражая W относительно действительной оси Т, мы получаем дополнительные члены потенциала W(Т) от

любого числа внутренних источников и вихрей. Функция 工(£) имеет простые полюсы а/(£ — Zo) + ... во внутренних точках, в которых расположены источники (стоки) или вихри. Такие полюсы вводят множители е(£, %;力)в знаменатель выражения (5.40), которое во всем остальном не изменяется.Изучим подробно только два симметричных случая; как и в п. 5—9, мы сможем получить простые выражения для 工(£) и z(£), используя эллиптические интегралы. Рассмотрим вначале случай точечного вихря между двумя пласти^ нами25) (рис. 64, а). Пластины равны и параллельны, их концы располагаются в вершинах прямоугольника, а вихрь помещен в центре этой конфигурации. Пластиклюбого числа внутренних источников и вихрей. Функция 工(£) имеет простые полюсы а/(£ — Zo) + ... во внутренних точках, в которых расположены источники (стоки) или вихри. Такие полюсы вводят множители е(£, %;力)в знаменатель выражения (5.40), которое во всем остальном не изменяется.Изучим подробно только два симметричных случая; как и в п. 5—9, мы сможем получить простые выражения для 工(£) и z(£), используя эллиптические интегралы. Рассмотрим вначале случай точечного вихря между двумя пласти^ нами25) (рис. 64, а). Пластины равны и параллельны, их концы располагаются в вершинах прямоугольника, а вихрь помещен в центре этой конфигурации. Пластик!m{t}!m{t}КН К”КН К”EmEmРис. 64.Рис. 64.■ПеЩ■ПеЩК7К‘/2К7К‘/2

любого числа внутренних источников и вихрей. Функция 工(£) имеет простые полюсы а/(£ — Zo) + ... во внутренних точках, в которых расположены источники (стоки) или вихри. Такие полюсы вводят множители е(£, %;力)в знаменатель выражения (5.40), которое во всем остальном не изменяется.

Изучим подробно только два симметричных случая; как и в п. 5—9, мы сможем получить простые выражения для 工(£) и z(£), используя эллиптические интегралы. Рассмотрим вначале случай точечного вихря между двумя пласти^ нами25) (рис. 64, а). Пластины равны и параллельны, их концы располагаются в вершинах прямоугольника, а вихрь помещен в центре этой конфигурации. Пластик

любого числа внутренних источников и вихрей. Функция 工(£) имеет простые полюсы а/(£ — Zo) + ... во внутренних точках, в которых расположены источники (стоки) или вихри. Такие полюсы вводят множители е(£, %;力)в знаменатель выражения (5.40), которое во всем остальном не изменяется.

Изучим подробно только два симметричных случая; как и в п. 5—9, мы сможем получить простые выражения для 工(£) и z(£), используя эллиптические интегралы. Рассмотрим вначале случай точечного вихря между двумя пласти^ нами25) (рис. 64, а). Пластины равны и параллельны, их концы располагаются в вершинах прямоугольника, а вихрь помещен в центре этой конфигурации. Пластик

!m{t}

!m{t}

КН К”

КН К”

Em

Em

Рис. 64.

Рис. 64.

■ПеЩ

■ПеЩ

К7К‘/2

К7К‘/2

ны соединены двумя свободными линиями тока; образующееся течение предполагается симметричным относительно вихря. Возьмем прямоугольник R

—^<Re(/)<^, 一冬 <Jm(/)《等，

в области параметрического переменного / (рис. 64,6) и отобразим течение на этот прямоугольник так, чтобы пластины перешли в вертикальные стороны, а свободные границы — в горизонтальные стороны прямоугольника R. Отображение этого прямоугольника на полуплоскость дается функцией Т = =sn, + 与卜 причем вихрь располагается в точке То = и sn，К'/2 =，力％. Комплексный потенциал имеет логарифмические особенности при Т = Го, Т=Т； = — То с чисто мнимыми коэффициентами противоположного знака, и поэтому (после соответствующей нормировки) находим

眩=~^ 1п 丁 ] ? •(5.45)

Комплексная скорость 工 имеет простой полюс в точке / = 0, равна по модулю единице на горизонтальных сторонах прямоугольника R и является чисто мнимой величиной на его вертикальных сторонах. Согласно теореме 3,工(/) определяется единственным образом (с точностью до знака) как эллиптическая функция с периодами 4K и 2，К1 обладающая этими свойствами. Все необходимые свойства имеет функция "]/后snf

(см. п. 5), следовательно,

(5.46)(5.46)Yk sn^

(5.46)

(5.46)

Используя (5.45) и (5.46), после интегрирования, получаем

2 =显[£(/)一(1 一力)/],(5.47)

гдегде£(/)= /о£(/)= /оdn2 и du — эллиптический интегралdn2 и du — эллиптический интегралвторого рода.второго рода.Из написанного выражения для z следует, что расстояние d между пластинами и длина пластины / определяются соответственно формуламиИз написанного выражения для z следует, что расстояние d между пластинами и длина пластины / определяются соответственно формулами

где

где

£(/)= /о

£(/)= /о

dn2 и du — эллиптический интеграл

dn2 и du — эллиптический интеграл

второго рода.

второго рода.

Из написанного выражения для z следует, что расстояние d между пластинами и длина пластины / определяются соответственно формулами

Из написанного выражения для z следует, что расстояние d между пластинами и длина пластины / определяются соответственно формулами

d = ^[E-(\-k)K],/ =*伏г 一 户+1 一外(5.48)

Сила, стремящаяся раздвинуть пластины, согласно формулам гл. IV, п. 5, равна

F=^[Er — kKr\(5.49)

Случай источника, симметрично расположенного между двумя пластинами (рис. 65), можно эффективно изучить, применяя

ту же самую параметризацию. Поскольку струи толщиной к входят в точки / = ± ^^72, Т = ± i/У й, комплексный потенциал течения можно записать в виде

U7=^ln(T +孚)，r = sn(/ + Z^j. (5.50)

Сравнивая расположения нулей и полюсов, находим

(5.51)(5.51)尸—sn (f — К) _ сп/

(5.51)

(5.51)

— sn/ — snf dnf •

После интегрирования 2 = J L dW получаем

Z = ^ J In (W0 sn 卜一i 冬))+ £ (/) — (1 —力)4 (5-52)

Из формулы (4.52) следует аналог формулы (5.48)

d = "J—£ + (1—力)К, l = ^[~\nk-'^E' ~kK'\- (5.53)

Сила, стремящаяся раздвинуть пластины (гл. IV, и 5), равна F = р 尸—氏 К].

Каверны с точками возврата. Каверны конечной длины, оканчивающиеся точками возврата, неоднократно изучались, причем возможность их существования подвергалась некоторому сомнению. Схема течения была введена в 1876 г. Бриллюэном,

DСDС-И?а - А-И?а - А66

D

С

D

С

-И?

а - А

-И?

а - А

6

6

который позже (в 1911 г.) сам отверг ее [13, стр. 170], потому что она противоречила его принципу о том, что давление в каверне должно быть минимальным, иначе говоря (гл. I, теорема 2), каверны должны быть выпуклыми 26). В 1913 г. Вилла показал, что симметричная каверна с точкой возврата за клином невозможна, и высказал предположение, что каверны с точкой возврата теоретически вообще невозможны.

Хотя некоторые примеры с особенностями и некоторые приближенные решения были даны раньше, первое явное построение симметричной каверны с точкой возврата (за криволинейным препятствием) было дано Лайгхиллом27). В этом пункте мы рассмотрим некоторые каверны с точкой возврата за телами обтекаемой формы. Рассматриваемый метод может быть применен вообще к упомянутому в конце п. 2 случаю двух изломанных пластин (клиньев), разделенных двумя свободными линиями тока.

Рассмотрим течение, подобное изображенному на рис. 66, а. Его можно рассматривать как течение Рябушинского с добавленным к нему《хвостом》£. Дуги ВС и DE — свободные линии тока, на которых скорости соответственно равны 1 и v. Отобразим

половину течения на параметрический прямоугольник R п. 1 так, чтобы линия BAJE перешла в его правую сторону (рис. 66,6), CD — в левую сторону, а дуги ВС и DE— на верхнюю и нижнюю стороны прямоугольника соответственно. Очевидно, что комплексный потенциал течения имеет вид

W= —~г,(5.54)

snr —'

где j — значение t при z = 8、

Обращаясь к комплексной скорости, замечаем, что arg ^ = О на ЕА. arg ^ = ai на ABt arg ^ =—期 на CQ,忆I = 1 на ВС, ID = V на DE. Следовательно, функция 之制肉 удовлетворяет условиям теоремы 3 и должна быть квазипериодической функцией. Так, например, если со = / 1п ^, как в п. 3, то (—，式/ai)ds/df — эллиптическая функция, принимающая на границе чисто мнимые значения и имеющая полюс с вычетом, равным единице в точке t = а. С точностью до аддитивной постоянной такая функция должна совпадать с функцией cn a dn a/(sn t — sn а) и, следовательно,

£ ds— Я] cn a dn а - qdt —冗 sn t — sn a '*

Постоянную С можно определить из условия, что точки Л и £ расположены на одинаковом уровне. Скачок по г от точки Л до точки Е может быть только в бесконечно удаленной точке /; он обусловливается вычетом функции

dz _ Г dWdt — dt

в точке f = j, поэтому скачок должен быть нулем. Учитывая по-* ведение комплексного потенциала W при f = 厶 видим, что отсюда просто следует d^/dt = 0 при t = j.

Таким образом, постоянная С определяется единственным образом, поэтому

ids — Я] Г cnadna cnadna 1dt — 冗[snf — sn a sn j — sn a J

(5.55)(5.55)— ci] cn a dn a (sn /—sn /)

(5.55)

(5.55)

— 冗(sn / — sn a) (sn f — sn a)

a】 cn a dn a 冗 sn у—sn aa】 cn a dn a 冗 sn у—sn aУчитывая, что 白=勿内 в точке В, имеем

a】 cn a dn a 冗 sn у—sn a

a】 cn a dn a 冗 sn у—sn a

二=夕а ехр

Выполняя интегрирование, получаем

def— de仆含g尸(О de f + de @ 丿def— de仆含g尸(О de f + de @ 丿(5.56)(5.56)

def— de仆含g尸(О de f + de @ 丿

def— de仆含g尸(О de f + de @ 丿

(5.56)

(5.56)

где 尸(/) = И (/ — iKf, a,用 一 И (К—，К', а,期•一 (/ —例畀. Здесь dc = dn/cn, a П(^ а,女)，как обычно, эллиптический интеграл третьего рода. Теперь остается только проверить, что течение, определяемое соотношениями (5.54) и (5.56), действительно имеет вид течения, изображенного на рис. 66, а. Детали этой проверки предоставляем читателю.

Если ВС считать не свободной линией тока, а неподвижной границей, то получается кавитационное течение около твердого тела, ограниченного двумя отрезками прямых и двумя выпуклыми дугами ВС и ВС* Однако эта модель для каждого препятствия дает единственную каверну с заострением, так как любое изменение каверны немедленно приводит к изменению формы дуг ВС и ВС, а следовательно, и препятствия. Нам неизвестны аналитические выражения 貝幺 а), которые давали бы однопараметрическое семейство подобных каверн за неподвижным препятствием:

Полые вихри. Случай полого вихря в канале28) (рис. 67,。)также может быть исследован на основании леммы

Рис. 67.Рис. 67.

Рис. 67.

Рис. 67.

п. 4. Будем считать, что жидкость на бесконечности находится в покое, скорость на границе вихря равна единице и течение имеет центр симметрии. Отобразим половину течения (ниже пунктирной линии) на прямоугольник в плоскости параметрического переменного 我 一2K《Re(f)《2K, 0《im(f)《K' (рис. 67, б) так, чтобы свободная граница перешла в верхнюю сторону, нижняя стенка канала — в нижнюю сторону и две половины горизонтальной оси симметрии — в вертикальные стороны прямоугольника. При таком отображении бесконечно удаленные точки переходят в точки 土 К. Очевидно, что горизонтальная ось симметрии — эквипотенциальная линия и что ско*

рость принимает на ней чисто мнимые значения. Таким образом, функция 取(f) регулярна, имеет постоянную действительную часть на вертикальных сторонах и постоянную мнимую часть на горизонтальных сторонах прямоугольника. Следовательно, комплексный потенциал 取«) должен иметь вид

刃=袭 +const, ⑸ 57)

С=и 忌 n« —К) = —и 应需С=и 忌 n« —К) = —и 应需伏工cd f.伏工cd f.где постоянная т равна циркуляции скорости вокруг вихря. Кроме того, W(f) действительна на 厶，/2, мнима на <Ji и Л2/2, имеет модуль, равный единице, на Л1Л2 и равный нулю при f=±K На основании теоремы 3 эти свойства единственным образом определяют функцию W(f) с точностью до знака, как эллиптическую функцию с периодами 4K и 2，К. Такая функция может быть записана в форме ,

С=и 忌 n« —К) = —и 应需

С=и 忌 n« —К) = —и 应需

伏工cd f.

伏工cd f.

(5.58)

Далее получим

(5.59)(5.59)dz= L dW= --Л^^-dt.

(5.59)

(5.59)

711 — sn t

2 ^= 7= IП

8M也 К1 + sn/

Тот же метод можно применить к полому вихрю в правильном многоугольнике29) с п сторонами; случай квадрата п = 4 изображен на рис. 36,6. Если сектор течения отобразить на указанный выше прямоугольник, то получим снова соотношение (5.57):

吟傲+&(5.60)

C = WEsn(/—K)『"，(5.61)

где п—число сторон многоугольника.

Путем интегрирования нельзя получить выражение для г в конечном виде.

ПРИМЕЧАНИЯ

!) Как и в гл. II и Ш, граница любой ветви течения, простирающейся в бесконечность, рассматривается ил：； непрерывная. В п. 14 и 15 мы будем бесконечно удаленные точки пр >-то считать внутренними, поскольку g(8)имеет вполне определенное значение.-

Теорию эллиптических функций см. в работах [66, стр. 280—296] или [87, гл. XXII]; [2*, 16*, 23*, гл. VII, п. 4]. В настоящей главе треб)^ется некоторое знакомство с этой теорией. (Рассматриваемая задача может быть решена без применения эллиптических функций, см. [9*, § 27]; [23*, § 36, пример 2].— Прим, перев.)

Функция © была впервые использована Планком (Planck М., Ann. phys. Chetn., 21 (1884), 499—509). (Эта же функция использована в работах [12*, 53, 63J. — Прим, ред.)

Впервые это обстоятельство было отмечено Вилла, V i 1 1 a t Н., [19, 20]； см. также Т h i г у R., Ann. sci. ес norm, sup., 38 (1921), 229—239. Для клина другие возможности были отмечены в работе V i 11 a t Н., Ann. fac. sci. Toulouse, (1913), 357—404.

См. О d q v i s t F. K. G., Arkiv Mat., Astr., Fys., 19, № 13 (1926). Течение, представленное на рис. 51,2, было рассмотрено в работе С а 1 d о n a z- z о G” Ann. Mat. Рига A ppi. Milano, 25 (1916), 40.

См. Poole Е. G. С., Proc. Lnd. Math. Soc., 26 (1927), 148—150. Тщательное исследование, проведенное одним из авторов в /. de math. (1954), 29——80, показывает, что не существует никаких других течений такого типа около пластины. (Впервые струйные схемы, показанные на рис. 51,6, 52, были указаны в 1899 г. С. А. Чаплыгиным [45*, т. I. стр. 254]. — Прим, ред.)

ба) Мероморфной функцией называется функция, единственными особенностями которой в конечной плоскости t являются полюсы.

Osgood W. F., Lehrbuch der Funktionentheorie, S. 487, теорема 7. Относительно интеграла JQ (snt, cn f dn f) dt cm. [87, стр. 515] или E r d e 1 у i A. et al., Higher Transcendental Functions, vol. 2, § 13.3; [2*, 23*].

Более строго см. гл. Ш (3.30). Точки разветвления потока не могут быть ни на стыке свободных линий г ока, если они выпуклы, ни на стенке сопла, по определению; следовательно, па — 0.

См. [87, гл. 12]; [66, стр. 284]. Этот факт следует из метода отражения, если заметить, что функция Г = sn / имеет в прямоугольнике R единственный нуль при f = 0 н полюс при f = i/C и является действительной на границе прямоугольника R [2*, 23'].

Формулу sn (2К72) = "Vh см. в работе Т г i с о m i F., Funzioni elli- tiche, 2d ed., p. 147 или в приведенном ниже изложении метода годографа скорости; [2*, стр. 268].

8а) Модуль Е, относящийся к R】，связан с модулем А, относящимся к R, преобразованием Ландена [87, гл. 12]; [2*, стр. 271].

Симметричный случай был рассмотрен в гл. II, п. 7, 8. Случай 1) был изучен Грином, Green А. Е., Proc. Cambr. Phil. Soc., 32 (1936), 67—85; 34 (1938), 167—183. Случай 2) был рассмотрен Бондером, Bonder J., Лпп. Acad. Sci. Techn, Warsaw, 3 (1936), 155—193. См., кроме того, ссылки в п. 12.

Этот факт был замечен Бондером. См. примечание 9.

“)См. также Witozynski С. W., Vortrage iiber Hydro- und Aero- dynainik, Berlin, Springer, 1924, S. 250—251; [12*, т. Ш, § 15].

Модуль А этого отображения связан с модулем ^i только что рассмотренного отображения преобразованием Ландена.

Некоторые из этих течений были рассмотрены Гринхиллом [33, стр. 39—46] и Мич ело м [63]. Чизотти рассмотрел струю, вытекающую из прямоугольного сосуда (рис. 57), и ее предельную форму — струю из бесконечно малого отверстия; см. С i s о 11 i U., Rend. Circ. Mat. Palermo, 25 (1908), 145—179; Rend. Accad. Lincei, 23 (1914), 73―79. Другие U-образные препятствия были рассмотрены в работах С i s о 11 i U., Rend. Accad. Lincei, 22 (1913), 417—422, 580—584; см. также [61, ч. IV].

u) См. Ляв [57] и цитированную выше книгу Гринхилла. Кроме того, см. работу [59, стр. 45—53], в которой приведены экспериментальные данные для осесимметричного аналога течения, изображенного на рис. 57,6.

15) См. С i s о 11 i U., Rend. Circ, Mat. Palermo, 25 (1908), 145—179; другой предельный случай истечения струи из щели см. в работе Мичела [63].

|6) На рис. 59 представлены частные случаи из класса течений, рассмотренных в работе В о g g i о Т” Atti Rend. Accad, Sci. Torino, 46 (1911), 1024—1051. Библиографию исследований течений такого типа см. в п. 9.

и) Colonetti G., Rend. Accad. Lincel, 20 (1911), 649—655; 789—796; другая интерпретация дана в работе [9, ч. П]. О работах Рябушинского см. Riabouchinsky D., Proc. Lnd. Math. Soa, 18 (1920), 206—215; 25 (1926), 185—194, где даны другие ссылки; кроме того, см. [36, гл. V]. Связь этого течения с кавернами (в противоположность следам), по-видимому} впервые была отмечена Вейнигэм, W е i п i g F. [43, стр. 294—300]. '

|8) Это совпадение было замечено Гилбаргом и Роком [см. G i 1 b а г g D., Rock Н. Н., Nav. Ord, Lab. Мето., 8718 (1946), а также Гуревич М. И., Изв. АН СССР (1947), 143—150].

IS) О пластинах в струе см. работу [9, ч. II]; предельный случай сливающихся струй был изучен Чизотти, Cisotti U., Rend. Accad. Lincei, 21 (1912), 583—593; 22 (1913), 417—422, 580—584. О течениях Рябушинского около клиньев см. статьи Colonetti G. (примечание 17); Р 1 е s s е t М. S., Schaffer Р. A., J. Appl. Phys., 19 (1948), 934—939； Arnoff Е. L, Navord Rep., 1298 (1951); Perry B., Cal. Tech. Hydro. Lab, Rtpt., 21—11； [102, стр. 125—135].

Cm. [33, § 10, 11].

V i 11 a t H., Ann. sci. ec. norm, sup., 35 (1918), 251—312; T о m о t i k a, H a s i m о t o, Appl. Meeh. Revs., 2371 (1950).

V i 11 a t Н., Ann. fac. sci. Toulouse, 5 (1913), 375—404; [20], [22]; см. также Morton W. В., Phil. Mag., 41 (1921), 301—308; 48 (1924), 464—476.

См. Poole E. G. C.} Proc. Lnd. Math. Soc„ 22 (1923), 425—453; 25 (1926). 195—212; 26 (1927), 148—158. Кроме того,' см. Т h i г у R., Ann. sci. ес. norm, sup., 38 (1921), 229—329; [36, гл. V].

Метод исследования принадлежит Гопкинсону [32], который первым применил метод отражения в плоскости годографа.

Допуская, что эти пластины становятся бесконечно длинными, можно получить предельный случай течения, рассмотренный Гринхиллом [33]. Интересный случай вихря в струе, вытекающей из сопла (отклоняющий вихрь), был рассмотрен в работе Simmons N., Quart. У. Math., 10 (1939), 283—311. См. также Phil. Мa g., 31 (1941), 81—102. Другие случаи течений указаны в работе [37, гл. VII].

Бриллюэн ссылался на следы, для которых, однако, его принцип не всегда справедлив [31, гл. 11]. Все же каверны с точкой возврата никогда не были воспроизведены экспериментально. Работа Вилла напечатана в Ann. fac. sci. Toulouse, 5 (1913), 375—404, см. в особенности стр. 402.

Lighthill М., ARC RM, 2328 (1945). Простые примеры с бесконечными скоростями см. в работе Cisotti U., Ann. scu. norm.. Pisa, I (1932), 101—112; Schmieden C., Luftforschg., 17 (1940), 37. Приближенные решения для круговых цилиндров см. в работах К о 1 s с h е г М., Luftforschg., 17 (1940), 154—160; [79, стр. 159]. См. также Allen D. N. de С., Quark Л Meeh. a. Appl. Math., 2 (1949), 64—71.

См. [63] и Pocklington Н. С., Proc. Cambr. Phil. Soc., 8 (1894), 178—187.

29)См. [63]; [33, § 38 и § 45—47]. Если течение отражается относительно вихря, как в гл. IV, п. 3, то получается течение между двумя концентрическими и подобными правильными многоугольниками.

ГЛАВА VI

Криволинейные препятствия

Параметризация с помощью полукруга. В настоящей главе мы рассмотрим плоские стационарные* течения идеальной жидкости со свободными границами около криволинейных препятствий. Задача определения таких течений в ряде случаев может быть сведена к решению нелинейных интегральных уравнений с дополнительными условиями. Мы опишем некоторые течения, полученные при численном решении таких уравнений, и дадим их физическую интерпретацию. Существование решений будет доказано в гл. VII, а метод их получения будет опи^ сан в гл. IX, п. 8. .

В п. 1—6 мы рассмотрим случай разделяющейся струи, предполагая, что течение удовлетворяет условиям 1)—3), гл. IV, п. 1.

Пусть струя ширины d разделяется криволинейным препятствием Р на две ветви 几 /2 (рис. 68, а)】).Обозначим через С точку разветвления течения, а через Л и В — точки, в которых поток отрывается от Р. Предположим, далее, что Р имеет конечную длину и конечную кривизну2), кроме, быть может, точки С, в которой граница Р может образовывать угол 師 радиан.

Мы предположим, что поток ограничен твердыми стенками (смоченная часть АСВ препятствия Р) и свободными линиями тока при постоянном давлении. Как обычно, выберем единицы измерений так, чтобы было |^| = 1 на свободной границе, а действительную ось направим параллельно биссектрисе угла АВС.

Пусть ф обозначает (как и в гл. IV, п. 7) угол между положительным направлением действительной оси и касательной к границе Р, положительное направление которой выбираем так, чтобы поток оставался слева. Тогда

?(С+) = ?(С-)-(1-?)к. (6.1)

Далее, если / — длина дуги вдоль границы Р, отсчитываемая от точки С, то естественное уравнение кривой

屮=中(/) (6・2)

определяет положение Р в физической плоскости (с точностью до параллельного переноса).

Следуя Леви-Чивита [53], отобразим односвязную внутреннюю область течения конформно и взаимно однозначно на внутренность полукруга (рис. 68, б) Г,

|/| < 1,1т(/)>0.(6.3)

Согласно основной ствует единственноеСогласно основной ствует единственноеРис. 68.Рис. 68.теореме конформных отображений суще- взаимно однозначное преобразование

Согласно основной ствует единственное

Согласно основной ствует единственное

Рис. 68.

Рис. 68.

f = f⑶ области течения в область Г, которое переводит точки At В и С соответственно в точки f = 1, —1 и £ Это преобразование /(г) отобразит свободную линию тока на действительный диаметр, а смоченную часть дуги препятствия Р — на дугу t = е" области Г, как показано на рис. 68, а, 6. В этом имеется отличие от параметризации, применявшейся в гл. II и III.

Чтобы выразить комплексный потенциал, удобно отобразить Г на верхнюю полуплоскость посредством преобразования

/ + 厂1 dT 1 -Г2

7 =—• z=—

Согласно теореме 2 и замечанию 5 гл. III, комплексный потенциал должен удовлетворять для некоторого М* > 0 уравнению

dWdWМ*7М*7~dT= (7-г。м7 —7|)(7-7力~dT= (7-г。м7 —7|)(7-7力

dW

dW

М*7

М*7

~dT= (7-г。м7 —7|)(7-7力

~dT= (7-г。м7 —7|)(7-7力

поскольку внутренних критических точек нет, а точке разветвления t = I соответствует 7 = 0. Чтобы включить предельные случаи, когда одна или более точек 7\ = оо (заметим, что в. любом случае \Tk\ > 1), перепишем это уравнение в другом виде

(6・5)(6・5)dW МТ

(6・5)

(6・5)

П a-м)

где М > 0, — 1 V % V 1, “ = Г".

III следует, что Следовательно,III следует, что Следовательно,Функция Й (/). Из соотношения (3.30) гл. внутренние критические точки отсутствуют.

III следует, что Следовательно,

III следует, что Следовательно,

；(/) — аналитическая и регулярная функция, не обращающаяся в нуль ни в одной точке области Г. Мы докажем теперь, что 已 не обращается в нуль ни в одной точке замкнутой области Г, отличной от С. Указанные факты интуитивно правдоподобны.

Действительно, так как 已=(dW/dz) = (dWldT)l(dTldz) на свободной линии тока нигде не обращается в нуль, то 7 = оо можно не рассматривать. В других точках области Г, согласно (6.5), dW/dT 次 0, за исключением точки С, в которой 7 = 0, а dW/dT имеет простой нуль. Поскольку dT/dz ^ 0 или оо при 7 孚 0 н dT/dz〜Т・В вблизи Т = Q (это — классические результаты для конформных отображений) 3), то тем самым доказательство завершается. В частности, в окрестности точки 7 = 0 функция 已〜ГВ, откуда следует, что если только точка С не есть точка возврата (В = 0), то в ней W = 0.

Рассмотрим теперь функцию (/—/)/«+/) = (1 +")/(1—"). Ее модуль равен единице при действительных /, а ее аргумент, что ясно из элементарных соображений, равен п/2 на АС и —п/2 на СВ, со скачком —к в точке С. Следовательно, новая функция Q(f) = S + it, определяемая уравнением

С=(阳门一叫(6.6)

также аналитична и регулярна внутри Г. На свободной границе, где переменная t действительна, имеем |1 + ^| = |1 —it\ и, таким образом, находим

1 = 口 = ]|^ (6.7)

Итак, т(/) обращается в нуль на действительном диаметре области Г, т, е. функция Q(Z) действительна на действительном диаметре области Г.

Отсюда следует, что, согласно принципу симметрии Шварца (гл. III, п. 2), Q(f) можно аналитически ^продолжить и получить функцию, регулярную внутри единичного круга и, как мы увидим далее, ограниченную на окружности. Соответственно можно записать

◎ (Ум + а^ + М 十 …， (6.8)

где все а； действительны, а радиус сходимости ряда (6.8) равен по крайней мере единице. На смоченной части твердой стенки |^| = 1, а ограниченность Q(f) эквивалентна, согласно (6.6), ограниченности ^(^) при У £ (и ”В при t = г). При более строгом исследовании можно показать, что функция Q(f) даже непрерывна в единичном круге, включая границу (см. замечание в конце п. 3).

Обратно, если задать функцию Q(f) в виде ряда (6.8), непрерывную при |Н = 1, а также постоянные р, М ао, а； и «2» то уравнения (6.6), (6.5), (6；4) н

определяют разделяющееся струйное течение около препятствия Р с углом В в точке разветвления; остальная часть течения имеет гладкий контур. Это дает следующий классический результат Леви-Чивита 4).

Теорема 1. Разделяющиеся струи около препятствий с углом при вершине ©п определяются выбором 'функции ©(f), регулярной при \t\ < 1 и непрерывной при \t\ = 1, а также выбором постоянных М, ао, аь аг. Зависимость z = z(0 задается уравнениями (6.4), (6.5), (6.7) и (6.9).

Применяя теорему 1, легко построить широкий класс разделяющихся струй и каверн за криволинейными препятствиями 5), Так, в симметричном случае (см. п. 5) большое и характерное семейство течений задается трехчленами

Q(f) = 0" +a3代 +a5 步

(см. гл. IX, п. 8). Случай Q(f) =O соответствует клину (гл. II, п. 4).

Геометрическая интерпретация. Можно считать, что теоремой 1 Леви-Чивита решил обратную задачу описания класса всех струй, разделяющихся около криволинейных препятствий 6). Обратимся теперь к прямой задаче нахождения вида функции Q(f) для данной струи, обтекающей данное препятствие Р.

Для решения этой задачи удобно сначала выразить геометрические параметры течения через неизвестную функцию Q(f).

На твердой границе £ =叫 согласно (6.8), мы получим для функции й = S + ri следующее выражение:

^ = a^-^aY cos о-|- а2 cos 2с-|- ...,(6.8а)

с = 。； sin о 十 a? sin 2d + ... .(6.86)

Целесообразно также рассмотреть производную

Х(о) =———=^! sin с -|- 2а2 sin 2с -|- ... .(6.8в)

Мы не предполагаем, что ряды в правых частях (6.8а) — (6.8в) обязательно сходятся, знак равенства означает лишь, что они являются формальным разложением в ряд Фурье соответствующих функций.

Покажем сначала, что функция 0(a) имеет простую связь с углом наклона касательной к контуру препятствия. Так как arg (dz/dT) — arg ^-1 + arg dW^dT й arg dz/dT =屮(всюду, кроме точки С), то очевидно, что

W — 1а* =W — 1а* =Ф — н на АС<屮 на СВФ — н на АС<屮 на СВ

W — 1а* =

W — 1а* =

Ф — н на АС<屮 на СВ

Ф — н на АС<屮 на СВ

(см. также рис. 68, а и замечание ниже).

С другой стороны, учитывая отмеченные выше свойства величины arg(i—/)/(/ + /), имеем 二一

arg U =•arg U =•年一等на AC,0十萼на СВ.年一等на AC,0十萼на СВ.

arg U =•

arg U =•

年一等на AC,0十萼на СВ.

年一等на AC,0十萼на СВ.

Сравнивая оба написанных выражения для arg ^-1, получаем

6 =6 =中一п十春=中一(i — B)g —£▼L"^ =屮十(1 — ?)y — у中一п十春=中一(i — B)g —£▼L"^ =屮十(1 — ?)y — уна АС,на АС,на СВ.на СВ.(6.10)(6.10)

6 =

6 =

中一п十春=中一(i — B)g —£

▼L"^ =屮十(1 — ?)y — у

中一п十春=中一(i — B)g —£

▼L"^ =屮十(1 — ?)y — у

на АС,

на АС,

на СВ.

на СВ.

(6.10)

(6.10)

Очевидно, что Q равно углу между осью у и касательной к «спрямленному» контуру препятствия Рь полученному из Р поворотом АС и СВ до вертикали. В отличие от угла наклона касательной ф величина 6 — непрерывная функция / даже в точке £.

Условие 0 = 0 при о = п/2 и /=" сводится, согласно формуле (6.8а), к виду

。0= a2 -04 。6 — • • * •(6. 10‘)

В наиболее интересном случае гладкого препятствия р = 1 и 8 =屮一п/2 всюду на дуге АСВ.

Из формулы (6.10) следует интересный результат, состоящий в том, что случаю прямого клина (гл. II, п. 4 и гл. III, п. 7) соответствует просто 8 = 0, откуда в силу (6.8а) и (6.86) находим т = 0 н Q(f) = 0.

Дифференциал длины дуги вдоль границы Р можно найти с помощью формулы (6.9), которая дает7)

Однако на дуге [см. (6.7)] f = е吃 и с учетом тождества it = =—sin о + »cos о имеем

Аналогично, в силу формул (6.4) и (6.5), поскольку Т = —cos а, получим, что при t = 2込

I dW I— M I cos a sin а I

(1 + aA COS a)

Для заданных R, ao, ai, аг введем функцию

.,(о) = slng^+s!ng)3lcosg|1l .(6.11)

П (1 + ” cos a) 々=0

Используя введенную функцию v(a), в результате непосредственной подстановки получаем

dl = Му (с)「9)do.(6.12)

Используя это соотношение, можно получить формулу для кривизны к границы препятствия Р. По определению, к = —dg，d/; учитывая (6.9), (6.8в) и (6.11), имеем 一入⑷ 囂—Му (a)

Замечание. Докажем теперь, что Q(f) непрерывна в круге |f|《L Пусть S == 0(/) —угол между осью у и спрямленным пре-

пятствием. По предположению2), ©(/) удовлетворяет условию Липшица всюду на АСВ, Так как кривая АСВ к тому же всюду (за исключением угла Rn в точке С) непрерывно дифференцируема, то функция I = 1(a) на дуге О К о W 式 окружности t — е'° удовлетворяет условию Липшица порядка, сколь угодно близкого к min(2 — р, I) 8). Следовательно, функция 8(о) =8(/(о)) сама удовлетворяет условию Липшица на дуге 0<； а <； к. Поскольку 0(а) =@</(о))——четная функция, то она также удовлетворяет условию Липшица на дуге —п<；о^0. Из теоремы Фату—Привалова (гл. IV, п. 7) следует, что Q(f) также удовлетворяет условию Липшица на f = е'° и, следовательно, непрерывна в замкнутом круге IH&1. В качестве следствия получаем, что функция 匕(/) непрерывна и обращается в нуль только в точке С,

Итак, мы показали, что рассматриваемые разделяющиеся струи являются простыми течениями (см. гл. III, п. 2), Обратно, мы показали также, что если вся свободная' поверхность находится под одним и тем же давлением, то условия 3 и 4 гл. III, п. 2 можно заменить более слабыми условиями, заключающимися в том, что 3‘)угол касательной к твердым стенкам как функция длины дуги удовлетворяет условию Липшица и 4‘)

скорость потока ограничена.

Основные интегральные уравнения. Из формул (6.8а), (6.86), (6.8в) и (6.10') видно, что любая из выраженных ими

действительных функций на 0 < а < к определяет обе другие при использовании (6.10'). Связь между этими функциями

определяется либо зависимостями между их коэффициентами Фурье, либо тремя интегральными операторами9) С, J, D,

имеющими вид

С6^ = ^ = ^f 吃二像加， (6.14а)

О

冗/2

(6.146)(6.146)JX (с) == 9 (с) = J* 入(』)曲一

(6.146)

(6.146)

DX (с) = t ⑹=/ D (с, V)入(？) dd,(6.14в)

где

(6」4r)

Отметим, что в формулах (6.14а) — (6-14в) пары символов CS, JA, DA не представляют собой сложных функций; так,

например, Сб(б) = C[S(ai)] не означает для любых конкретных о = б функцию числа 8(б)； это — значение сопряженной всей функции 0(a) при о = 5. Интегральные операторы J и D мы обсудим в гл. VII, п. 5,

Используя эти соотношения, можно легко вновь сформулировать прямую задачу определения функции Q(f) для данного препятствия Р при помощи системы интегральных уравнений с одним или более неизвестными параметрами. *

Таким образом, для данного препятствия Р, если / измеряется от точки разветвления потока С, величину 6 легко выразить как S = © (/) при помощи формулы (6.10). Течение около Р характеризуется в этом случае в силу (6.12) и (6.14а) следующим соотношением:

/(<з)= м / v(o)e-c®ae))d<3. (6.15)

тс/2

Такую формулировку прямой задачи дал Вилла [19].

Мы предложили другую формулировку10), которая, по-ви- димому, хорошо приспособлена к расчетам в случае контуров препятствий с кривизной постоянного знака (т. е. не имеющих точек перегиба). Для данного Р, используя формулы (6.10), можно легко выразить кривизну к как функцию к = К(8) угла псевдокасательной S. Разделенное течение около данного препятствия Р характеризуется тогда, согласно формулам (6.13), (6.146), (6.14в), тем, что 厶(о) в соотношении (6.8в) удовлетворяет функциональному уравнению

入= ЛЪК(П)е7” (6.16)

где V = v(a) задано формулой (6.11). Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 2. Для существования заданного теоремой 1 течения около препятствия Р, граница которого описывается естественным уравнением S = ©(/), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось функциональное уравнение (6.15); если Р имеет кривизну к = К(8) постоянного знака, то необходимо и достаточно, чтобы выполняюсь уравнение (6.16). /

Симметричные каверны. Помимо других трудностей, решение прямой задачи при помощи уравнений (6.15) или (6.16) усложняется в общем случае тем, что заранее неизвестны параметры М, ао, аь а2. Таким образом, в общем случае существуют четыре свободных параметра. Однако в важном частном случае симметричной каверны s бесконечном течении заранее известны все параметры, за исключением М. Действительно, а。= = 0, поскольку точка С находится на оси симметрии препят-

ствия Р;(хо = си =(Х2 = 0, так как в уравнении (6.5) W = МТ2/2 (как и в гл. II, п. 2). Это весьма упрощает соотношение (6.11); в наиболее важном случае 6=1 для гладкого препятствия имеем

м(с) — sinc(l + sin с).

Кроме того, в симметричном случае имеем 0(к — а) =—8(о), так что из разложения (6.8а) следует а。 = 。2 = 。4 =.・・=О, и Q(f) оказывается нечетной функцией:

Q (/) =?。[/ -1~。3户—|—。5户—|—..・•

Функция кривизны также легко выражается в некоторых простых случаях; например, для эллипса ^(S) = [cos2 S +. + С2 sin2 0Р2, для параболы К (8) = cos3 S, для циклоиды К ⑼= =sec S. Отметим, что наличие (или отсутствие) постоянного коэффициента в К⑼ не влияет на функцию Q〃)； этот коэффициент просто входит в множитель М.

Поскольку угловой размер смоченной дуги контура препятствия, определяемой естественным уравнением к = &(8), не входит в интегральные уравнения (6.15) и (6.16), легко предположить, что этот размер определяется выбором параметра М. Некоторые довольно важные теоремы, относящиеся к этому предположению, будут рассмотрены в гл. VII, п. 4—6. Однако, используя (6.8а), (6.8в) и (6.10), легко показать, что угловой размер 26s смоченной части спрямленного препятствияи) определяется формулой

4=a1十。3十。5 十• • • =} / M6 do. (6.17)

Далее, в силу формулы (6.17) лобовое сопротивление равно

D =竺竺(宁^|)2.(6.18)

Отсюда можно просто вычислить коэффициент лобового со- проти>вления Cd, отнесенный к поперечному сечению смоченной части препятствия. Очевидно, что условием существования каверны с нулевым лобовым сопротивлением является а\ = 2. В табл. 1 приведены угол отрыва(ps, параметры М и &), а также коэффициенты。卜 а3>。5,。7,。9 для кавитационных течений около нескольких симметричных препятствий 12). Метод расчета описан в гл. IX, п. 8.

Условие отрыва Бриллюэна — Вилла. Расчет угла отрыва в случае гладкого твердого препятствия ранее не затрагивался.

Форма препятствия

厶

С。

м

Выпуклые дуги ок-

15°

0,81912

0,18196

0,26704

—0,00433

—0,00065

ружности

30°

0,76288

0,44723

0,52628

—0,00149

—0,00079

45°

0,67766

0,81727

0,77811

0,00746

0,00003

60°

0,57024

1,31730

1,02294

0,02165

0,00205

120°

0,00766

5,26837

1,93914

0,11679

0,02420

Вогнутые дуги ок-

-22,5。

0,93330

0,15579

—0,41618

0,02263

0,00045

ружности

-45°

0,96694

0,21397

—0,85256

0,06912

—0,00296

Дуги параболы

45°

0,66478

1,24304

0,83302

—0,05185

0,00504

60°

0,52856

3,27640

1,15648

—0,13067

0,02616

75°

0,32358

14,22544

1,53506

—0,31076

0,10667

Препятствия с нуле-

вым сопротивле-

нием

дуга окружности

124,21。

о,о

5,71464

2,00000

0,12518

0,02661

дуга эллипса 1:2

110,44°

0,0

18,03904

2,00000

—0,17274

0,10861

дуга эллипса 2: 1

140,58°

0,0

2,03057

2,00000

0,46700

0,01776

В случае следов действительное положение точек отрыва зависит от нескольких физических параметров (см, гл. I, п. 6). Однако в случае наполненных паром каверн и в более общем случае наполненных воздухом каверн за высокоскоростным снарядом 13) можно использовать любое из четырех довольно простых требований, впервые отмеченных Бриллюэном [13, стр. 18].

В этих случаях (см. гл. I, п. 13) можно утверждать, что давление должно быть минимальным в каверне. В противном случае даже незначительные изменения коэффициента давления Ср = р/(%р№) вызывали бы кавитацию в других местах. Это означает, что свободные линии тока должны изгибаться в сторону каверны, т. е. в направлении отрицательного градиента давления (гл. I, п. 13, теорема 2). Из теоремы Бернулли следует, что это также эквивалентно условию максимума CKoppctu на свободных линиях тока.

Для того чтобы при указанной кривизне свободных линий тока течение не проникало внутрь твердого препятствия (имеющего по предположению п. 1 конечную кривизну), свободные линии тока должны иметь конечную кривизну в точках отрыва А и В, Действительно, местная кривизна препятствия не может быть превышена. Вилла [21] дал точную математическую фор-

Таблица /

°9

%з

%5

%7

019

Й21

023

-0,00016

—0,00006

—

—

—

—

—

-0,00023

—0,00009

—

—

—

—

—

—

-0,00010

—0,00005

—

—

—

—

—

—

0,00037

0,00011

—

—

—

—

—

—

0,00767

0,00308

0,00146

0,00078

0,00046

0,00029

0,00021

0,00016

0,00013

0,00025

0,00008

0,00004

0,00002

0,00001

0,00001

—

—

—

0,00076

0,00010

0,00007

0,00003

0,00002

0,00001

—

—

—

-0,00080

0,00005

—

—

—

—

-0,00636

0,00164

—0,00046

0,00012

—0,00004

0,00001

—

—

-0,04493

0,02059

—0,00992

0,00496

—0,00253

0,00128

—0,00067

—0,00032

0,00858

0,00349

0,00167

0,00089

0,00053

0,00035

0,00024

0,00018

0,00016

-0,02371

0,01655

—0,00448

0,00330

—0,00089

0,00078

—0,00014

0,00022

—

-0,03348

—0,00675

0,00480

0,00320

0,00065

0,00003

0,00017

0,00024

—

мулировку условия, при котором выполняется четвертое требование Бриллюэна.

Теорема 3, Кривизна в точках отрыва А и В, в которых f = ±1, бесконечна и направлена в сторону каверны, бесконечна и направлена от нее или же равна кривизне контура препятствия при следующих условиях соответственно в точке А:

У(н)>—В， Y(h)< — В или Y(h) = — В (6.19а) и в точке В

с'(О)<В，с'(О)>В 〃力〃 *(0) = р. (6.196)

Доказательство, Утверждение теоремы является просто новой формулировкой утверждения теоремы 6, гл. IV, выраженной через функцию Q(f) = Q + 阮 Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция со = г In ^ (гл. IV, п. 7), согласно определению (6.6), равна Q(f) + 砲 1п[(1 + ")/(1 — »)]. Утверждение теоремы теперь очевидно.

Так как с'=—Ehatas ho, то первое равенство в сформулированном ниже следствии также очевидно [см. (6.14а)]. Предельная форма интеграла Пуассона позволяет выразить производную М(о) через сопряженную ей функцию —入(о) и получить второе равенство следствия.

12 Г. Биркгоф

Следствие. Кривизна симметричной разделенной струи конечна в точке отрыва тогда и только тогда, когда

0=0］十3。3十 5a5+ ... =? / )、(d) cosec о da (6.19b)

0

Из этих двух формул более общей является интегральная.

Мы будем ссылаться на условия (6.19а) — (6.19в) как на условия для гладкого отрыва, а каверны, удовлетворяющие этим условиям, будем называть кавернами за твердым препятствием.

Таблица 2

Форма препятствия

%

3

м

%

Лз

й9

Эллипс 1 :2

64,54。

0,49656

2,86016

1,19982

—0,08574

0,01438

—0,00262

0,00055

Окружность

55,04。

0,60838

1,13593

0,94277

0,01643

0,00123

0,00017

0,00004

Эллипс 3:2

49,06°

0,66520

0,66949

0,79162

0,05838

0,00544

0,00063

0,00011

Эллипс 2:1

44,78。

0,53426

0,46336

0,68893

0,07902

0,01140

0,00180

0,00033

Циклоида

51,42。

0,64328

0,86336

0,85378

0,03769

0,00488

0,00088

0,00019

В табл. 2 приведены параметры М,。匕...,。9 для симметричных каверн за различными твердыми препятствиями вместе

с соответствующими углами смачивания $s и коэффициентами сопротивления Ср14). На рис. 69 показаны свободные линии тока в случае твердого кругового цилиндра.

Несимметричный случай; проблема параметров. В несимметричном случае задача определения параметров сильно усложняется. Если препятствие имеет острый угол, то во избежание бесконечных скоростей точка разветвления должна находиться в его вершине. Теория, изложенная в п. 1—4, применима также и здесь, дд・ нако задача переопределена, как и в случае клина (гл. II, п. 4) ..Существуют только четыре свободных параметра,

которые должны удовлетворить пяти условиям, а именно условиям отрыва потока от препятствия и получения определенных ширины набегающей струи, ее направления и расстояния ОТ вершины препятствия до средней линии струи.

Случай гладкого препятствия р = 1 лучше рассматривать в условиях первоначальной параметризации Леви-Чивита [53]. При этом область течения конформно отображается на полукруг Г (6.3) так, что дуга АСВ переходит в дугу окружности, а свободная граница — в ее действительный диаметр. Однако поток повернут так, чтобы набегающая струя была параллельна положительной части действительной оси, и бесконечно удаленная точка J набегающей струи переходит в точку f = 0. В симметричном случае точка разветвления С также отображается в точку f =，，н поэтому результаты п. 1—6 применимы. Однако в общем случае образ точки С(^0 = ^ь ) неизвестен, как и образы 厶，t> бесконечно удаленных точек отходящих струй. Согласно (6*5), имеем

~dT~ — (i—%Г)(1 —。2丁)，3 丿

где То = — (/о+/『)/2, а, = — 2/(〃 十尸).

Вместо (6.6) запишем

L ="& ⑴，％ (/)=近(/) + % (/)•(66)

Функция Qi(f), как и Q(f), регулярна в круге |力 < 1, действительна на действительной оси и непрерывна на границе. Теорема 1 выполняется при подстановке Qi вместо Q. Кроме того, 01(。)=。，так что в разложении, аналогичном разложению

(6.8а), % = 0.*

Согласно геометрической интерпретации, получаем, как и в п. 3,

比(。)=什行一%)，dl=-Mix^e-^\ k =书鳥l где ф — угол между положительным направлением касательной и осью у, а

уSE〃1 — cos8 + oq))

1 < 丿—(1 — a, cos a) (1 — a2 cos a)'

Интегральное уравнение Вилла принимает вид

/(。)=加 / Vi9‘)e-c[®("°'))】d。'；(6.15')

О

аналогичное уравнение для кривизны записывается в форме

A = M、K(JE-H)e-D3 寸=^_%.(6.16，)

Здесь ©(/) означает направление касательной как функцию длины дуги, измеряемой от крайней точки Л; К(屮)一кривизна препятствия как функция от направления касательной; Ji — интегральный оператор

l入=瓦+/入(0)d* 瓦=—；/ 0入(0)daa0

Наконец, условия для гладкого отрыва в точках Л и В соответственно принимают вид

中(n) = — tg 号，＜(O) = ctg*.

С применением функции 入i(o) эти условия выражаются в виде ■^/zwg于&=tg子'^J 人1(。)也千&=久号.(6.i9z) оо

Написанные формулы показывают, что интегральное уравнение (6.16') зависит от четырех действительных параметров М оо,九 必 В любой разумной математической формулировке физической задачи следовало бы ожидать равенства числа свободных параметров и числа естественных геометрических или физических условий.

Это требование «разумности» выполняется в случае гладкой стенки, помещенной в струе, в которой должны выполняться четыре условия: два условия отрыва, одно условие, определяющее ширину набегающей струи, и еще одно условие, задающее расстояние, скажем, от точки Л до средней линии струи. Случай гладкого твердого препятствия характеризуется теми же условиями и параметрами, причем условия отрыва задаются формулами (6.19').

Предельный случай стенки в бесконечном потоке включает только два параметра М и оо, которые, по-видимому, определяются двумя условиями отрыва, как и следовало бы ожидать из физических соображений.

С другой стороны, случай поступательно и прямолинейно глиссирующего тела включает три параметра. Казалось бьг, естественно предполагать, что один из них определяет глубину погружения тела. Это, однако, неверно, как уже было показано в гл. III, п. 6.

Аналоги течения Рети. Случай симметрично разделяющейся струи сводится при К(6) = 0 (плоская пластинка) к отраженному течению Рети вида, рассмотренного в гл. II, п. 7 (см. рис. 19, а——8). Соответствующие схемы для случая криволиней-

кого препятствия, помещенного симметрично в струю, вытекающую из прямого сопла (канала), показаны на рис. 70, а, б15). Параметризацию Леви-Чивита можно модернизировать, отобразив половину потока на четверть круга.

В результате отражений, как и в п. 2, 3, получается однозначная функция й(/) = а" + 〃з" + 佐/5 + . . * , определенная в единичном круге; более того, геометрическая интерпретация п. 4——6 сохраняется без изменения, если ограничиться симметричным случаем и исправить выражение производной dW/dT.

Рис. 70.Рис. 70.

Рис. 70.

Рис. 70.

Для нахождения dW/dT применим преобразование /-> (/ 4+ 尸)2/4 =戶，ЧТобы отобразить половину потока на полуплоскость. Тогда применима теорема 2 гл, III с заменой Т на Р, что дает

(6.20)(6.20)dW МТ

(6.20)

(6.20)

NF 一 0 一 7六冲0-/у 2/)

где Ti н Tj соответствуют бесконечно удаленным точкам вверх и вниз по течению. Если у — скорость в канале и d — его ширина, то, очевидно,

Od= ?二严厂2 . (6.21а)

После подстановки в выражение для dl (п. 3) граничного значения Т = —cos а найдем

W (1 2cos2 0)(1+Y2 cos2 b) ' 丿 где мы обозначили а=717M 7 =—"『L Очевидно, что а и 7 — действительные параметры и |а| < 1. Формула (6.216) может быть упрощена в случае симметрично разделенной свободной струи, так как при этом 7 = 0, а также в случае криволинейного препятствия, симметрично установленного в бесконечно длинном канале (рис. 70,в), в котором а = 0.

При помощи отражения потока (рис. 70, в) относительно стенки канала можно получить симметричные струи, вытекающие из криволинейных сопел, расположенных в конце бесконечных прямых труб. Рисунки 71,〃，6 иллюстрируют два случая с р = 0 и р = 1 соответственно. Более общие случаи струй, вытекающих из сопел, рассматриваются в п. 14.

71.71.Рис.Рис.

71.

71.

Рис.

Рис.

Физические приложения. Большинство величин, представляющих физический интерес, может быть просто выражено через принятые нами основные параметры. Мы приведем несколько наиболее полезных формул и дадим некоторые, возможно, интересные количественные результаты.

Если точке на бесконечности набегающего потока соответствует f = is, то т = 2s/(1 —s2). Отношение у (скорости на бесконечности в канале к скорости свободного течения) получим, используя формулу (6.7):

幻=(；.工;)分声一赛叶a内叶(6.22)

Аналогично, если концам струй соответствуют точки f = =士厂;то а = 2г/(1 + г2). Соответствующие скорости 之=е土不。 на бесконечности выражаются формулой

В = 20 arc tgr — а, — а3г3 — а5г5 — ... . (6.23)

Зная у, можно вычислить ширину канала d с помощью выражений для М и формулы (6.21а)

(6.24)(6.24)va = -2~iа

(6.24)

(6.24)

Наконец, лобовое сопротивление равно проекции на горизонтальное направление разности потоков количества движения втекающей и вытекающей жидкости (см. гл. I, п. 10):

D=@d (cos В — и) = 7tM ^,『").(6.25)

Значительный интерес для приложений представляет случай препятствия с диаметром в бесконечном канале ширины d. В табл. 3 для твердых (почти) круговых цилиндров приведено изменение следующих величин: отношения скоростей и, числа кавитации Q = 1 — и* коэффициента сопротивления (отнесенного к скорости вниз по течению), параметра s и угла отрыва д§ в зависимости от отношения 2/力 ширины канала к ширине препятствия. Изменение коэффициента CD является мерой влияния стенки.

Таблица 3

d/b

0

炉

Q .

Cd

C/)/(U- Q)

s

ж

«i

Оз

8

54,988°

1,000

0,000

0,499

0,499

o,o

1,134

0,941

0,017

0,002

49,747

55,280°

0,899

0,236

0,621

0,503

0,1

1,293

0,948

0,015

0,001

14,026

56,159°

0,809

0,526

0,778

0,509

0,2

1,394

0,972

0,007

0,001

7,076

57,610°

0,729

0,880

0,974

0,518

0,3

1,428

1,010

—0,006

0,001

4,522

59,596°

0,658

1,306

1,216

0,527

0,4

1,718

1,063

—0,026

0,003

3,271

62,198°

0,597

1,809

1,495

0,532

0,5

2,210

1,135

—0,056

0,006

Таблица 4

Твердый круговой цилиндр в свободной струе

d/匕

[град]

б {град]

г

ж

。3

叫

2,8571

50,666

23,225

0,3782

0,7965

0,8337

0,0446

0,0049

0,0008

0,0002

Твердый круговой цилиндр в струе из сопла

d/b

lib

0

б [град]

炉

г

ж

。1

。3

%

2,395

1,779

50,408°

25,409

0,801

0,419

0,186

0,5484

0,827

0,045

0,007

6,904

0,888

54,968°

11,830

0,804

0,200

0,200

0,1129

0,940

0,017

0,002

2,922

0,023

57,119°

15,709

0,639

0,289

0,400

1,1579

0,999

—0,006

0,004

В табл. 4 приведены аналогичные результаты для твердых круговых цилиндров, расположенных в свободных струях и струях, вытекающих из сопел. Числовые результаты были получены почти во всех случаях с применением трехточечной аппроксимации (см. гл. IX? п. 8). Однакр эти результаты

прекрасно согласуются с более точными15а) примерами расчетов по 24 точкам.

Каверны с заостренными концами ). Симметричные каверны с заостренными концами (рис. 72) за выпуклыми препятствиями в бесконечном потоке также могут рассматриваться при помощи конформного отображения области течения на полукруг Г (см. рис. 68,6). Комплексный потенциал течения, очевидно, соответствует вертикальному диполю в бесконечно удаленной точке, образ которой в пло- ,~*^скости / обозначим через / = is.

―Пусть полукруг Г отображает- 〈ся посредством функции Т =

、彳=—% (方+尸1) на полуплоскость Т

и пусть IS = —% (is — is-} так Рн& 72.что 5 = (1—s2)/2s. Тогда по ме

тельно,тельно,тоду отражений (гл. III, п. 2) комплексный потенциал 呼(Т) определяется вертикальным диполем в точке Т = iS н его отражением в точке Т = —iS. Следова

тельно,

тельно,

(6-26)(6-26)w_ М*dW _ МТ

(6-26)

(6-26)

W = T2 + S2， ~dT = (1 + 爬夕2)2

где 7 = S~i = 2s/ (1 — №). Вгде 7 = S~i = 2s/ (1 — №). Вслучае гладкого препятствия р = 1

где 7 = S~i = 2s/ (1 — №). В

где 7 = S~i = 2s/ (1 — №). В

(6.27)(6.27)sin g(l +sin а)八°丿—(14-72 COS2 а)2 '

(6.27)

(6.27)

Обратно, поток, соответствующий решениям уравнений (6.27) и (6.16), будет иметь вид потока, показанного на рис. 72, за исключением того, что параллельные оси х линии тока ооС и Doo обычно будут проходить на различных уровнях. Эти линии тока будут совпадать, так что соответствие z н / при г = оо будет взаимно однозначным на бесконечности; оно будет давать каверны с заостренными концами тогда и только тогда, когда вычет функции dz/dt при t = is будет равен нулю или

Q/«s) = % — Зоз« + 5а5s4— ... = 2 (1—^尸.(6.28)

Это условие может быть записано в интегральной форме, если выразить ◎'(/) по формуле Шварца [7, стр. 77] через его действительную часть на границе — Л (а). Учитывая, что 入(ь)= = —入(一а), получаем

0 (/)=-甚—丄 j 入(0)sin 。 "。 .(6.28，)

“/十/т)冗求 、，1 —2С +，т)т cos,、，

В симметричном случае формула (6.28') сводится к виду

& (/) = -—丄 i入(。)Sin。& (6.28")

При этом из (6.28) следует

-f Х(а) 1 I s” 庚=1,(6,28〃)

w J \ / 1 + 丫2 cos2 а、/

о

Можно доказать (см. гл. VII, п. 6), что для данных 丁 (т. е.

О < s < 1) может быть найдено такое положительное число М.

для которого выполняется условие (6.28), и что имеется по крайней мере одно течение рассматриваемого вида для каждого отрицательного числа кавитации:

Q = С"2 (/S)— 1 = (4^-j2 ^-2 ^5-^3+ •••)— !.(6.29)

Следовательно, имеется однопараметрическое семейство каверн с заостренными концами за данным выпуклым препятствием.

0,0855, 〃5 = 0,02928, 〃7 = 0,0065, % = 0,0066. Каверны с0,0855, 〃5 = 0,02928, 〃7 = 0,0065, % = 0,0066. Каверны с〃з〃зКаверна с заостренным концом за круглым цилиндром при Q = —0,2819 имеет коэффициенты 5 = 0,47, а^ = 2,5026,

0,0855, 〃5 = 0,02928, 〃7 = 0,0065, % = 0,0066. Каверны с

0,0855, 〃5 = 0,02928, 〃7 = 0,0065, % = 0,0066. Каверны с

〃з

〃з

заостренными концами за круглыми цилиндрами были предварительно рассчитаны Кольшером 16), а также Саусвеллом и Вэйси. Каверны с заостренными концами за некруглыми цилиндрами были рассмотрены Лайтхиллом.

Возвратные струи17). Исследование симметричных возвратных струй не вызывает новых трудностей. Такое течение (рис. 73, а) отображается снова на единичный полукруг, причем свободная граница отображается на действительную ось, смоченный контур препятствия — на полуокружность, ось симметрии—на мнимую ось. Тогда точки / и С отображаются

соответственно на точки / = 0 и / = /, а бесконечно удаленная точка / и критическая точка S в потоке за каверной изображаются точками мнимой оси (рис. 73,6).

Очевидно, что комплексная скорость 之 имеет простой нуль при ?($) =/о (см. гл. III, п. 8), так что если мы положим

e” (6.30)e” (6.30)(1 —乃 Y Go —£<?) +(£— %")

e” (6.30)

e” (6.30)

то С(/) должна быть, как и в п. 2, регулярной функцией, принимающей действительные значения на действительной оси и обращающейся в нуль в начале координат. Комплексный потенциал, имеющий логарифмическую особенность в точке / и простой полюс в бесконечно удаленной точке /, должен удовлетворять уравнению

dW 2d 7(/一端一« 十 …)

=Aгде / dT 我(产一Т芋2

[см. формулу (3.20), в которой переменная Т является обратной и противоположной по знаку величиной по сравнению с принятой здесь]. Из (6.30) и (6.31) получим

= sin alcosol1"^! + sino)B ^Jil^j2, (6.32) где'

Кроме того, так как функция z(/) должна быть однозначной, вычет производной dz/dt =『dWIdt должен быть равен нулю при / =力.Непосредственным вычислением находим, что из этого условия следует соотношение

D闻=[I + ME][吁寿書芹可1 •

Используя (6.28"), можно также записать соотношение

1 f Х(а)一——2。= 07f.(6.32，)

冗/ 1 -|_ a2 cos2 aa (a + 7M1 + a2)

Течения Рябушинского. Симметричные течения Рябушин- ского (см. гл. V, п. 9) вида, изображенного на рис. 74,〃, можно исследовать подобным же образом. Половина такого течения (т. е. его часть с одной стороны от оси симметрии) конформно отображается на единичный полукруг Г с разрезом

вдоль мнимой оси, так что свободные линии тока отображаются в действительный диаметр, половина смоченной части контура препятствия отображается на четверть окружности, а разделяющая линия тока отображается на разрез (рис. 74, б). Обе критические точки С и С7 переходят в точку f = i по обе стороны разреза, а бесконечно удаленная точка / переходит в Конец разреза. В силу симметрии функция Z(f) однозначна на единичном полукруге, включая разрез, так что соотношение (6.6) применимо. Замечая, что функция V 7'2——7； отображает

Рис. 74.Рис. 74.

Рис. 74.

Рис. 74.

область изменения переменной Т на полуплоскость и применяя теорему 2 гл. III, получаем выражение комплексного потенциала

W=M-=J=iУт2 — т^

(при(6.33)(при(6.33)y(о)= sin о(1 + sin о) (1 +。2 COS2 b)% 'y(о)= sin о(1 + sin о) (1 +。2 COS2 b)% 'где М〉0. Далее, используя формулы (6.6), (6.9) и (6.11) В = 1), найдем

(при

(6.33)

(при

(6.33)

y(о)= sin о(1 + sin о) (1 +。2 COS2 b)% '

y(о)= sin о(1 + sin о) (1 +。2 COS2 b)% '

где а = 7/ = — 2///(1 + //).

В табл. 5 приведены данные, полученные для течений Рябушинского около твердого круглого цилиндра посредством

Таблица 5

Q

с。

CD/a+Q)

S

%

%

。5

54,988°

0

0,499

0,499

0

1,134

0,941

0,017

0,002

55,143°

0,135

0,568

0,500

0,06

1,150

0,945

0,016

0,002

55,431°

0,235

0,621

0,503

0,10

1,178

0,952

0,013

0,001

трехточечной аппроксимации при подходящих значениях Q = =0,135 и Q = 0,235 (см. также случаи 23а—23с и 24 в работе, указанной в примечании 15а).

Решетки профилей. Кавитационное обтекание решетки пластин было рассмотрено Бетцем и Питерсоном [5] и применено к расчету крыльчаток насосов Гонгвером 18). Эта теория может быть распространена на случай периодического расположения криволинейных препятствий (решетку дужек), изображенных на рис. 75, а19). Для расчета течения применим параметризацию, описанную в п. 7, и отобразим область течения через решетку на бесконечнолистный единичный полукруг

(рис. 75,6) с точкой разветвления во внутренней точке t = t* соответствующей бесконечности перед решеткой; при этом дужки отображаются на полуокружность с точкой разветвления / = /о = е®, а свободные границы отображаются на действительный диаметр. Бесконечно удаленным точкам струй между кавернами соответствует z= +8. Это отображение можно выполнить в два приема. Во-первых, посредством функции ^mz/b (3 — разность комплексных координат двух сходственных точек соседних дужек) решетка отображается на односвязную область, граница которой взаимно однозначно соответствует границе одного периода течения, а бесконечность перед решеткой переходит в начало координат. Во-вторых, по известной теореме конформного отображения, полученная область может быть конформно отображена на единичный полукруг с указанным выше соответствием. Комплексный потенциал, очевидно, имеет логарифмические особенности в точках / = % и / = 0, причем первая соответствует вихреисточнику, а вторая — стоку той же интенсивности. При дифференцировании эти точки становятся

полюсами первого порядка; поскольку dW/dt обращается в нуль только при / = /0, то

dUZ — ЛР(Т—То) = М(Т —То)

~dT = (Т— Т/)(Т-，) — (1 — 2тТ + а2Т2)'

где

7 = -北看 + /7)， a = ]77", T = Re{77}

Комплексная скорость одинакова на всех листах полукруга, поэтому можно написать соотношение (66), как и в п. 7. Для функции V1 (а) получим формулу

Y (о) = Sin "1 _ COS а + 刀)]31 cos — cos % |I( 34)

11 丿—(1 —27 cos О + a2 cos2 о)" I •'

Задача построения течения содержит, таким образом, четыре свободных параметра М а, 了 н а, которые, как можно предположить, соответствуют ориентации дужек, положениям на них точек отрыва и расстоянию между соседними дужками.

С

6

Рис. 76.

Другие примеры. Различные односвязные течения, ограниченные одной твердой стенкой и одной свободной границей 20), могут быть изучены аналогичным образом. Мы ограничимся в каждом случае кратким перечислением основных формул.

Истечение струи из криволинейного сопла. Струя, истекающая из криволинейного сопла с асимптотическим углом £п в бесконечно удаленной точке (рис. 76, а, 6), может быть аналогично представлена21) при помощи формул

v(o)=-—?

' 7 COS a (1 — a cos a) \ 1 — Sin a /

4 =k加，a= [-y (Ъ+ 万)],

где tj — образ струи в плоскости f. Симметричный случай получим, положив tj = 0, Tj = оо, W = М In Т, а = 0.

Для канала конечной ширины h угол р = 0. В этом случае, если у -- скорость вверх по течению, a h — асимптотическая ширина канала, то d = vh и в интегральном уравнении, соответствующем уравнению (6.16), параметр М может быть исключен; в симметричном случае это уравнение может быть приведено к виду

入=tg 火步(°)] е-卜⑹Y 陽)].(6.36)

Очевидно, что это интегральное уравнение сингулярно^; способ его решения не известен. Уравнение (6.36) не содержит свободных параметров, однако, поскольку воз- ， можен отрыв от переменной точки границы, J^**** оно должно иметь однопараметрическое семейство решений.

、**tT 用 Гибкий профиль. Если жесткую дужку за- меннть гибкой с закрепленными концами, как 4丁 показано на рис. 77, то возникает интересная 〈 задача, также рассмотренная Чизотти 22), 、%^^ Математически требуется лишь заменить в выкладках п. 1—4 уравнение 乂 = К(8), Рис. 77. дающее форму дужки, условием равновесия yT = рс — р, связывающим перепад давления на дужке и (постоянную) силу натяжения Т (рис. 77). С помощью уравнения Бернулли это условие принимает вид 乂 = —(p/纟亍)(1 —匕卩). Приравнивая написанное выражение кривизне в формуле (6.13), получаем интегральное уравнение относительно Х(а)

Х = М (Y£m—m)，(6.37)

в котором у】и 丫2 (丫1式丫2)—положительные непрерывные функции, зависящие от типа рассматриваемого течения и обращающиеся в нуль при ь = 0 н к. Так, например, для симметричной дужки в безграничном потоке vi = sin ь(1 — sin a), 迎= =sin d(1 + sin a).

В вариационной постановке гибкая дужка принимает форму, которая обеспечивает минимум кинетической энергии потока среди всех дужек постоянной длины 23).

Дополнительные сведения. В литературе приводятся исследования многих других интересных моделей, например таких, как свободная струя, отклоненная изогнутой дужкой, и ее предельные формы24) ； течение в частично открытом канале25) и различные типы глиссирующих тел 26),

Были исследованы также течения с двумя твердыми и двумя свободными границами, имеющими различные скорости. Аналитическое рассмотрение таких течений требует применения полукольцевой вместо полукруговой параметризации Ле- ви-Чивита (см. п. 2) и соответствующих кольцу изменений в ядрах уравнений и операторах 27). Таким способом рассматривались течения в каналах с разрывами28), препятствия в криволинейных каналах и криволинейных соплах29), асимметричные потоки Рябушинского30) и др.

ПРИМЕЧАНИЯ

】)Мы включаем, как предельные случаи, каверны в бесконечном течении и криволинейное препятствие, глиссирующее по поверхности океана. Эти потоки были впервые описаны в работах Cisotti U., Rend. Accad. Lincei (5), 30 (1911), 314—322; 494—502; Villat H., C R. Acad. Sci. Paris, 152 (1911), 1081—1084.

В n. 1—3 достаточно предполагать, что направление касательной 屮 удовлетворяет условию Липшица |(p(/i)—<р (Z2)| < k\l\ —为1, где Z означает длину дуги границы препятствия. При рассмотрении отрыва требуются более сильные условия (см. гл. IV, п. 7).

Seidel W., Math. Ann., 104 (1930), 222； Каратеодори К., Кон* формное отображение, ОНТИ, 1934; [23*, 27*].

См. [53], а также [48]. Леви-Чивита рассматривал лишь случай сс0 = =а】=а? = 0 безграничного течения, однако обобщение его доказательства требует лишь незначительных изменений.

Много примеров представлено в дополнении к работе [33]. Первое течение с кавернами -около криволинейного препятствия, имеющее серповид* ный годограф, было получено Кирхгофом, применившим конформное отобра* жение; см. Кирхгоф Г., Механика, Лекции по математической физике, М., 1962, стр. 244—246. Недавно Лайтхилл (Lighthill М., ARC RM, 8943) удачно применил этот метод годографа для иллюстрации огибания струями препятствий («эффект Коанда》),а также для рассмотрения течения с каверной, имеющей заостренный конец.

Как заметил Бриллюэн [13], некоторые из этих течений в целом неоднолистны.

Существование dl/d<3 следует из известной теоремы о конформном отображении [см. Смирнов В. И., Math. Ann., 107 (1932), 313—332], Бо* лее тщательное рассмотрение см. в [48, стр. 163].

Лаврентьев М. А.т Матем. сборник, 36 (1929), 112—115.

Интегральная форма оператора сопряжения С может быть получена из предельной формы интеграла Пуассона; см. также Зигмунд А., Триго*

нометрические ряды, М. — Л., 1939. Выражение оператора D было получено в работе Dini, Ann. di mat., 5 (1871), 305—345.

Функция кривизны для нахождения т применялась ранее Бродецким [14, 15], А. И. Некрасовым [65j и др.

")Здесь 20$ = / xd2; этот интеграл просто равен(р(л)—屮(0), если

Маши результаты для каверны с нулевым лобовым сопротивлением за кругом хорошо согласуются с данными Шмидена, Schmieden С., /ng.~ Archiv, 3 (1933), 356—370; 5 (1934), 373—375.

Мы имеем в виду снаряд, движущийся в воде со скоростью не ниже 100 м/сек, так что число кавитации достаточно мало.

и) В табл. 2 коэффициент сопротивления CD отнесен к диаметру препятствия. Случай круга впервые был рассмотрен Бродецким [14, 15]. Шмиден [Schmieden С., Ann. d. Phys., 2 (1929), 350—356] дает сравнение результатов расчета с экспериментом.

15) Это течение рассмотрено в работах С i s о 11 i U., Rend. Cir. Mat., Palermo, 23 (1909), 307—352； V i 11 a t H., Bull. soc. math. France, 40 (1912), 266. См. также Schieldrop E. B., Sk. Norske Vidensk. Akad., 1, №2 (1928).

15a) В i rkh о ff G., G о 1 dsti ne H. H., Zarantonello E. H., Rend. Sem. Mat. Torino, 13 (1953), случаи 10, 14, 18.

】6) К о 1 s c h e r M., Luftfahrtforsch., 17 (1940), 154—160; он применил метод Шмидена (Schmieden С., цит. выше в п. 5). См. также Е р р 1 е г R., Dissertation, Tech. Hoch. Stuttgart, July, 1951. Сауовелл и Вэйси [79] использовали релаксационные методы. Lighthill М., ARC RM 2328 (1945) (опубликовано в 1949 г.) дал также частные решения обратной задачи. '

и) См. библиографию, данную в гл. 111, п. 8.

18)G о п g w е г С. A., Trans. Am. Soc. Meeh. Eng., 63 (1941),29—40. (Первый пример струйного обтекания решетки пластин рассмотрен Н. Е. Жуковским в 1890 г. [12*, т. 111, § 20] и обобщен С. А. Чаплыгиным и А. П. Минаковым [45*, т. 1, стр. 283]. Другие примеры см. в работах [36*, 9*, 40*, 47*].— Прим. ред.).

Более общий случай обтекания решетки с возвратными струями описан в работе Эфрос Д. А., Изв. АН СССР, ОТН, № 9 (1947), 1068; [36*, стр. 230].

Как обычно (см. гл. 111, п. 7 и далее), граница может проходить через бесконечно удаленную точку.

Cisotti U., Rend. Cir. Mat., Palermo, 26 (1908), 378-382; C. R. Acad. Set. Paris, 152 (1911), 181; V i 11 a t H., там же, 152 (1911), 1081-1984； Weinstein A. [16, 17].

Cisotti U., Rend, Accad. Lincei, 15 (1932), 165—173; 253—257. Используя представление о следе как о застойной зоне (гл. 1, п. 12), эту задачу можно считать задачей о парусе.

Доказательство существования решения для гибких стенок, основанное на вариационных свойствах, дано в работе Garabedian Р. R., Royden Н., Proc. Nat. Acad. Sci., 38 (1952), 57—61.

Boggio T., Atti Accad. ScL Torino, 46 (1911), 1024—1051： Broi- k о s A,, Comment Pont. Acad., 3 (1939), 627—657; L i g h t h i 11 M., Ministry of Supply, Lnd., Rep. MO 2105.

С o 1 o n e 11 i G., Rend、Accad, Lincei, 20 (1911), 649—655; 789—796; S e g г ё V., Giorn. Mat. BattagUni, 55 (1917), L

Franke A„ ZaMM, 18 (1938), 155—172.

V i 11 a t H. [20].

Caldonazzo G., Ann, Mat. Рига Appt. Milano 25(1916), 40.

印 Villat H,, C R, Acad. Sci, Paris, 152 (1911), 1081—1084; [20]; J. de math. (6), 7 (1911), 353, 408; Ann. sci. ec. norm. s〃p.,29 (1912), 127—197; Bull, soc math. France, 40 (1912), 266, [21, 22]： Kravtchenko J. [48]; Huron R, C R. Acad. Sci. Paris, 228 (1949), 290—292, 357—358; Oudart A.,丄 math, pares appt., 22 (1943), 245—320; 23 (1944), 1—36,

Demtchenko B., Proc. 3d Intern. Congr. AppL Meeh., Stockholm, 1930.

ГЛАВА VH

Теоремы существованияи единственности )

Историческое введение. Вопрос о существовании и единственности потенциальных течений около тела произвольной формы со свободными границами заданного типа привлекал внимание многих выдающихся математиков. Были достигнуты большие успехи, особенно в случае симметричных течений, зависящих от одного параметра. В настоящей главе приведены наиболее важные методы и результаты. Однако следует предупредить читателя, что доказательства имеют специальный характер и для их понимания требуется хорошая математическая подготовка.

Только после исследований Бриллюэна [13] и Вилла [20], установивших неопределенность положения точки отрыва, была сформулирована, в качестве гипотезы, приемлемая теорема существования и единственности. Постепенно становилось ясно, что возможно существование континуального множества идеальных плоских кавитационных течений около данного твердого выпуклого препятствия *). Поэтому для создания удовлетворительной теории, в которой доказывались бы существование и единственность течения, необходимо или задать положение точек отрыва, или потребовать, чтобы давление в каверне было минимальным, или задать другие дополнительные условия (например, число кавитации для возвратных струй или каверн с заостренным концом).

Первая точная теорема существования для криволинейных препятствий была доказана в 1922 г. А. И. Некрасовым [65] в случае обтекания дуги окружности небольшой длины. Мы рассмотрим его метод (в обобщенной форме) в п. 2； метод осно-

вывается на том, что для малых параметров М интегральные уравнения гл. VI можно решить при помощи прямого итерационного процесса.

Однако первые общие результаты были получены Вайнштейном [16]2), который рассмотрел истечение симметричных струй из выпуклых сопел (см. рис. 76). Вайнштейн первый доказал невозможность существования двух бесконечно близких струй, истекающих из одного и того же сопла, показав, что в этом случае некоторая квадратичная форма (7.48) будет положительно определенной (см. п. 8). Для полигональных сопел, имеющих п сторон и, следовательно, зависящих от п параметров (см. гл. V, п. 2), положительная определенность квадратичной формы означает, что соответствие между геометрическими размерами и величиной параметров является локально взаимно однозначным для любого п. Следовательно, отправляясь от известного выпуклого полигонального сопла, можно получить струю, истекающую из любого другого полигонального сопла, путем непрерывной вариации положения вершин. Струи в случае сопел с криволинейными границами могут быть получены путем предельного перехода. Класс сопел, к которому применим этот метод непрерывности, был успешно расширен Гамелем, Вейлем3) и Фридрихсом [89], установившими, что из всякого заданного симметричного выпуклого сопла, стенки которого изогнуты на угол, меньший g вытекает одна и только одна симметричная струя.

Метод непрерывности, примененный впервые Вайнштейном, получил широкое развитие в 1935 г. в работах Лерэ [54], который обобщил его на функциональные пространства, используя ставшую в настоящее время классической теорию Шаудера — Лерэ [55]. В п. 3, 4 мы даем ряд примеров применения методов Лерэ к кавитационному обтеканию препятствий произвольной формы с использованием интегрального уравнения Вилла (6.15). В п. 5, 6 даются другие примеры решения задачи для кавитационных течений около выпуклых препятствий с использованием уравнения (6.16) и леммы Якоба.

В п. 7—9 показано, как можно применить несколько измененный метод непрерывности Вайнштейна к кавитационным течениям для получения теорем единственности. Эта форма метода непрерывности в принципе применима и к асимметричным плоским течениям, хотя мы ограничимся здесь рассмотрением только симметричного случая.

Все предыдущие методы, основанные на интегральных уравнениях, которые были выведены в гл. VI для плоских кавитационных течений, не могут быть использованы для доказательства теорем существования и единственности в случае осесим-

1Я*

метричных течений. Методы исследования таких течений, разработанные в последнее десятилетие, уже рассматривались в гл. IV. В качестве примера мы приводили для этих случаев теоремы единственности, основанные' на методе сравнения М. А. Лаврентьева [50], упрощенном Серрином [80] и Гилбаргом [29]. Поскольку эти методы, по-видимому, неприменимы к асимметричному случаю, они дополняются результатами, приводимыми в п. 7—9.

Еще более замечательным оказывается приложение вариационного принципа Рябушинского (гл. IV, п. 10, 11). Большой вклад в разработку этого вариационного подхода сделал Фридрихе [89], который показал, что в случае истечения симметричной струи из выпуклого сопла вторая вариация будет положительной. Из этого следует, что кинетическая энергия потока имеет локальный минимум. Недавно Гарабедян, Леви, Спенсер и Шиффер [24, 25] использовали принцип Рябушинского и метод симметризации Штейнера для доказательства существования симметричных кавитационных течений в плоскости и пространстве. Этот вопрос рассматривается в п. 10, 11.

Почти плоские препятствия. Метод А. И. Некрасова [65] и его последователей4) может быть легко описан с помощью нелинейных интегральных операторов. В качестве отправной точки возьмем интегральное уравнение (6.16), переписанное в виде

人=MS瓦S因=水(口) e-叫(7.1)

Здесь M — постоянная, у = у(о) —заданная неотрицательная функция.

Определим теперь «расстояние» между двумя функциями Xi (а) и 入2(ь):

НА —入2 Н = Slip IА (о)—入 2 (о) I •(7.2)

Лемма. Если функция К (6) > 0 удовлетворяет условию Липшица

|К ⑼一К(М)|《£|0 — М|，(7.3)

то оператор S удовлетворяет, для некоторого конечного N, неравенству

——(7.4)

в единичной сфере ЦХ/Ц К 1-

Доказательство. Функция у(ь) для всех случаев, рассмотренных в гл. VI, ограничена. Кроме того, из соотношения (6.146) следует, что замена ДХ на X изменяет JX самое большее

на к||А%||/2; следовательно, K(J%) изменяется, согласно условию (7.3), не более чем на kL||A%||/2. Аналогично

nn8n

f Р(°. s)|ds = /。(。，s)ds = ^±学券■ J sinns ds <

00л=1 о

+ j+i+ …)=多 <2.

Следовательно, ||D[X]|| < 2||Х|| и если ||儿|| W 1, то

lie—叫一e—吟I《叫DR]-D[%W《2叫％一讨，

Из написанных соотношений следует справедливость неравенства (7.4). Детали вычисления величины N опущены.

Теорема 1. Если постоянная М достаточно мала, то решение интегрального уравнения (7.1) можно найти непосредственно методом поеледователъных приближений. При ||Х|| < 1 решение единственно.

Доказательство. Если М < UN и все приближения 入п+1 = MS仇п] при Хо = 0 лежат в единичной сфере, то, как известно для процесса последовательных приближений Пикара5), 入曾+1 сходится к единственному решению. В самом деле, согласно неравенству (7.4), имеем

откуда по индукции ||Xn+i — X^ll < (Л^^)n||Xl||. Таким образом, повторно применяя известное неравенство треугольника, а также учитывая, что MN <1, получаем, что

Н^-^П< S 11Ч+1-^1К 他曾三需^竺 11^1 II

стремится к нулю при т, п-> оо. Другими словами, последовательность {入п} оказывается последовательностью Коши. Таким образом, последовательность функций Хп(о) равномерно сходится к предельной функции Х(а) 6). Легко видеть, что

MS [入]=lim 7WS 及]=lim 入〃+ i =入〃->8

и что Х(а) является решением уравнения (7.1). Единственность решения (при ||Х|| < 1) следует из того, что если

入1 = AfS ВJ и % ^ ATS [%]，то

叭一讨=M|S[M-sb2W《mn|R—5，

откуда ||Xi — Хг11 = 0 н 入】=入?，поскольку MN < 1,

Для получения достаточного условия того, что все Хп лежат в сфере ||Х|| < 1, нужно лишь вычислить Xi (a) =MS[0] = = МХ(0)v(a). Теперь легко показать, что это достаточное условие имеет следующий вид:

% ^4-^(0)sup•J (а) *

Теорему 1 часто называют теоремой о неподвижной точке ввиду того, что решение Х(а) уравнения (7.1) является неподвижной точкой оператора S. Ниже в п. 3 мы применим для доказательства существования другие (неконструктивные) теоремы о неподвижной точке. Для наилучшего использования таких теорем о неподвижной точке будет удобно перейти к другим пространствам Банаха, определяемым различными функциями расстояния. Так, например, Лерэ [52], исследуя уравнения Вилла, вначале использовал норму

||/|| =supj/(°)| +sup。,吟 出，

в то время как Кравченко 15) применил норму ||/|| = sup |/(а) | + + sup|，(D)|. В п. 5 при исследовании уравнений кривизны мы будем использовать норму гильбертова пространства ||Х|| = г 口

-/ 1入2(。)|公.ДЛЯ этой цели применялись также нормы .0」

более общего вида (см. [67])

Применяя норму ||/|| = sup|/(a)|, доказательство теоремы 1 можно обобщить на интегральное уравнение Вилла (6.15) при условии, что функция ©(/) достаточно гладкая, чтобы оператор 1(a) С[@(/(а))] удовлетворял условию Липшица (п. 3, лемма 3).

Во всяком случае при каждом достаточно малом фиксированном значении постоянной М наше конструктивное доказательство гарантирует существование 〃 единственность симметричного потока около симметричного препятствия произвольной формы. В самом деле, при симметричных условиях решение (7.1) должно быть симметричным, так как любое несимметричное решение в результате отражения (ь-> 冗一а) дало бы еще одно решение, что противоречит единственности. Далее, легко показать, применяя общую теорию ограниченных операторов, удовлетворяющих условию (7.4), что функции Х(а) и /(d) изменяются непрерывно с изменением М, если MN < 1. Так как

Х(а) и /(а) стремятся к нулю вместе с М, то справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Позади любой достаточно малой симметричной дуги произвольного гладкого контура существует симметричное кавитационное течение.

Поскольку функция у(ь) не была определена, аналогичный результат справедлив также для течений Рябушинского и для других течений..

Следствие. При достаточно малой постоянной М угол отрыва 中6 позади выпуклого контура монотонно7) изменяется с изменением М.

В самом деле, в силу уравнения (6.17), 0S и, следовательно, ф5 однозначно определяют М, иначе говоря, соответствие 屮式乂) локально взаимно однозначно. Однако мы уже видели, что оно также и непрерывно; отсюда и вытекает справедливость следствия, поскольку любая локально взаимно однозначная непрерывная функция фя(М) должна быть монотонной.

3. Метод неподвижной точки Лерэ. Весьма общая неконструктивная теорема существования основана на теории функциональных операторов Лерэ — Шаудера, которая была развита отчасти именно для этой цели. Интересующая нас теорема может быть сформулирована следующим образом [55, стр. 63].

Теорема Лерэ — Ш а у д е р а. Пусть F疝х] — произвольное однопараметрическое семейство вполне непрерывных8) преобразований банахова пространства6) & самого 兄а себя 〃 О < /г < 1. Пусть, далее, 炒一ограниченная область пространства &, в которой преобразования Fft равностепенно непрерывны по k в том смысле, что для любого s > 0 существует q〉О, такое, что при \k — /г'| V q имеет место неравенство ||Fft fx]— ——Fr[x]|| < г для всех х£ 炒.Пусть х — Fa[x] при любом х, принадлежащем границе области 讶* Если, кроме того,

уравнение х = F({x] имеет единственное решение х0 £ 炒，

в некоторой окрестности Хо отображение G0[x] = х—F0[x] (локально) взаимно однозначно^}, то уравнение

х = Fi (х)(7.5)

имеет по крайней мере одно решение в области 炒.

Сначала применим эту теорему к интегральному уравнению Вилла (6.15)

/(0) = М J v(o)e-c【®«e)"do = FM[/(。)],(7.6)

тс/2

считая, что постоянная М играет роль параметра k. В качестве & примем пространство всех непрерывных на интервале

0О<к функций 1(a) (/(к/2) = 0) с нормой

l|/|l= max |/(叫.(7・7)

Будем предполагать, что v(a)—неотрицательная непрерывная функция, и потребуем, чтобы функция 0(/) была непрерывна и имела ограниченное колебание 2^ = шах 0 (/) — min 0 (/) < к. Таким образом, мы рассматриваем только препятствия с касательной, непрерывно поворачивающейся на угол 21VH

Некоторые из условий теоремы Лерэ — Шаудера очевидны. Так, например, поскольку FoR(o)] = 0 для всех /(d), уравнение Fq岭имеет единственное решение /(d) 三 0. Кроме того, отображение Go[/] = /— F0[/] = Z, очевидно, взаимно однозначно. Далее, в любой области 炒 пространства 卷 имеем

UFm[/] — Fm，[1]\\ = \М-Мг\• IIFJ川I；

из этого следует равностепенная непрерывность по М, если можно показать, что норма HFJf ]|| ограничена. (Выбор 0&М&1 в качестве интервала изменения М, конечно, несуществен.)

Другие условия теоремы Лерэ — Шаудера будут выполнены, если мы покажем, что: а) преобразование FM[^] компактно и б) Fm непрерывно в пространстве S. В самом деле, - из а) и б) следует, что Fm вполне непрерывно. Из общего свойства а) следует, что FM[ ?] содержится внутри некоторой сферы 炒:||m|| < г, откуда находим, что F疝]=/ не удовлетворяется ни при каком /(а) на границе 炒.Таким образом, если будут доказаны свойства а) и б), то будет справедлива и следующая теорема.

Теорема 3. Для всякого М》0, ограниченной функции у(ь) >0 〃 непрерывной функции 0(/) с колебанием, меныиим ^, интегральное уравнение (7.6) имеет по крайней мере одно непрерывное решение /(d).

Доказательства свойств а) и б) основываются на следующей лемме 10).

Лемма 1. Если колебание 2i = max0(b)—min 0(a) функции 0(d) на отрезке OW^Wk ограничено, то

J ch [рС [6 (g)]) do < к sec〃т(7.8)

о

для любого положительного числа р К ^1^

Доказательство. Пусть t(ь) — С[0(о)]. Тогда h(а)= = 0(d)+/t(d) дает граничные значения в точке t=eiQ анали^

тической функции Д(/), регулярной в круге |/| < 1 и действительной при действительных значениях t. Пусть, далее, В = —[бтах + 6тш]/2. Согласно теореме о вычетах,

e/p[2(0)-₽] = JL2就e/p[2(0)-₽] = JL2就е“[。⑴一bi 半=歳 /e“mg)-B】d%е“[。⑴一bi 半=歳 /e“mg)-B】d%

e/p[2(0)-₽] = JL

2就

e/p[2(0)-₽] = JL

2就

е“[。⑴一bi 半=歳 /e“mg)-B】d%

е“[。⑴一bi 半=歳 /e“mg)-B】d%

и, так как 厶(一о) = 6(о)—й(о), то

Отделяя действительные части и учитывая, что cos[Q(0)—R]W 《1, получаем

к> / cos р (8 —В) ch pc do.о

Однако, по определению величины * имеем |р(6 — R)|Vp* откуда cos р(8 — В) >cos〃t при 0WP《n/2i・ Подставляя это неравенство в предыдущее, приходим к соотношению (7.8).

Лемма 2. Если 0 < 5 < (тс — 2、)к то существует положительная постоянная В = В(5), такая, что

1加8) 一加。)1《m8卜1||0 —/『(7.9)

для всякого преобразования /п(о) = FmU(d)] любой функции

Доказательство. По определению,

|/и(<5)— /п(『)|=А1 Jv(<5)e*cl0(z(a))Ida .

Предполагая, что ||v|| = sup v(o), из неравенства Гёльдера получаем, что для любых р > 0 и q >0, рт + g" = 1, справедливы следующие неравенства:

(

o' \i/g / с'、Up

《M|v|| • I。一，

где т(о) = С[@(/(о))]. Применяя лемму 1 к последнему интегралу и имея в виду, что е-Рт < 2ch(—рт), придем к неравенству

|/и(о) — /и(』)|《M|W； • М — /|"g(2ir sucpT)"R,

справедливому для всех р, 1 < р < 冗/2工 Пусть теперь ^* = 5 и рт = 1—5； тогда получим неравенство (7.9) при В = =(2 冗 secpT)2J\

Из леммы 2 следует, что FM[S] представляет собой множество равностепенно непрерывных функций, содержащихся в сфере конечного радиуса MB||v||k. Поскольку всякое такое множество компактно [49, т. I], то мы доказали свойство а).

- Лемма 3. Всякий оператор Fm непрерывен в пространстве S. Иначе говоря,

IIFaiKI- Fai НИК %|| v|| •脾(/') — 0 (Z)||(7.10)

для некоторой положительной постоянной С =。(丁).

Доказательство. Очевидно, что

肝川仪一F川川 |《М / v(o)|e-c[9(，e))]_e-cg"°)»m。. о

Заменяя функцию у величиной sup v = ||v||, используя неравенство \е~х — е~х'\ < \х — xz| • (е~х，4~^-х) и вводя обозначение 86(о) = 0(/(о)) — 0(/z(o)), получаем

肝加⑺一F川川|WM||v|| / |е-з + е-с®| . |С 岡 |丸о

где 6'(о) = 0z(/(o)) и т. д. Если р*1 + ,т = 1, то, пользуясь неравенством Гёльдера, находим

「3叫+

Здесь Ад — постоянная теоремы Рисса. При соответствующем выборе постоянной С сразу получаем утверждение (7.10). Этим завершается доказательство свойства б) и, следовательно, и теоремы 3.

Задача определения параметров. Предыдущее исследование может быть легко дополнено доказательством существования для задач, содержащих геометрический или физический параметр. [Параметр Л4 в уравнении (7.6), разумеется, не имеет прямого физического смысла 12), хотя его величина обычно возрастает с ростом угла отрыва(ps.] В качестве иллюстрации рассмотрим случай препятствия с заданной полной длиной L. Другими словами, будем считать выполненным дополнительное условие

L = Mf ^(а) e-c|0(z ^)\da(7.11)

о

при данном £ > 0. В симметричном случае это соответствует задаче обтекания препятствия с заданной точкой отрыва. Будем считать у(о) заданной неотрицательной и ограниченной функцией. Так, например, для симметричной бесконечной каверны v(o) = sino + sin2 о; в других случаях (например, для течений Рябушинского) функция v(o) зависит от одного или нескольких дополнительных параметров, физический смысл которых может быть не определен.

Сначала мы исключим постоянную М из уравнения (7.6) и условия (7.11) и получим эквивалентное функциональное уравнение

jv(。)е-С|9("。))]厶

*。) = r卩(。)]=丄^,(7.12)

о

в котором параметр А предполагается известным. Функция 0(/) также задана. Геометрически она не определена при / > А или / < 0. Однако, для того чтобы оператор F】口 был определен в линейном пространстве, необходимо определить функцию 0(/) для всех 厶 что всегда может быть выполнено, если положить ®(р) = 0(0) при р < 0 и 0(р) = 0(A) при р> L. Таким образом, оператор Fi осуществляет однозначное преобразование пространства S всех непрерывных функций, обращающихся в нуль при о = к/2.

Следующий шаг заключается в нахождении соответствуюСледующий шаг заключается в нахождении соответствующего однопараметрического семейства функциональных преоб

Следующий шаг заключается в нахождении соответствую

Следующий шаг заключается в нахождении соответствую

разований Fft, ремы Лерэ —разований Fft, ремы Лерэ —0<；々《1, удовлетворяющих всем условиям тео- Шаудера. Для этой цели мы используем одно

разований Fft, ремы Лерэ —

разований Fft, ремы Лерэ —

параметрическое семейство функций 0^(/) = й©(/), 0 <^ й < 1, и определим Fft[/] как преобразование, связанное с ©^ так же, как FJ/] связано с 8. Физически переход от Fi к Fo соответст

вует деформации препятствия в плоскую пластину.

Непрерывность и полная непрерывность преобразований F必 равно как и то, что все решения уравнения / = Fft[/] остаются в фиксированной сфере, следуют из лемм 2 и 3 при условии, что постоянные Мк = £ (/ 丫6一° [©论("°)〃 do) ,также являющиеся непрерывными по 厶 равномерно ограничены при всех / и k. В этом заключается содержание следующей леммы.

0V0V(7.13)(7.13)Лемма 4. Для всех / ^ S и всех 电 0 < й < 1, справедливо неравенство

0V

0V

(7.13)

(7.13)

где 厶丫—положительная постоянная, зависящая только от v.Доказательство. Из неравенства Йенсена13) имеем

ооdo》(/vdo) expdo》(/vdo) exp

о

о

do》(/vdo) exp

do》(/vdo) exp

卜厶о卜厶о

卜厶

о

卜厶

о

Отсюда, замечая 14), что для любых двух функций а(о) и р(о) справедливо равенство

/ а (о) С₽ (а) rfo = — J р (о) Са (о)丸

оо

имеем

/ OCy da

/ I Cy I da о/ I Cy I da о/ ve~c%2。》 о/ ve~c%2。》 оехрехр—21t—21tОднако —々8C[y]》一sup| 8(/)| • |С [y] |》一21rle[” так как угловой размер препятствия не превышает к. Поэтому

/ I Cy I da о

/ I Cy I da о

/ ve~c%2。》 о

/ ve~c%2。》 о

ехр

ехр

—21t

—21t

Ввиду того что пр'авая часть никогда не обращается в нуль (исключая случай w 三 0), лемма 4 доказана. Остается только убедиться в том, что оператор Fft равностепенно непрерывен по 加 что очевидно, и в том, что условия 1 и 2 выполнены, а это немедленно следует из того, что Fo[/] отображает все функции на одну фиксированную функцию. Это, в частности, завершает доказательство следующей теоремы.

Теорема 4. Для всякого препятствия с угловым размером, не превышающим п, и с непрерывно вращающейся касательной, помещенного симметрично s неограниченный поток, существует симметричное кавитационное течение с бесконечной каверной 〃 однопараметрическое семейство течений Рябушинского.

Тот же самый метод с небольшими изменениями вполне применим к задаче с несимметричным препятствием, имеющей еще одно дополнительное условие. Из-за отсутствия места здесь нет возможности рассмотреть другие многочисленные приложения метода Лерэ, которые могут быть найдены в других работах 15).

Из теоремы 19 гл. IV следует, что при некоторых значениях у(о) имеется единственное решение уравнения (7.12). Однако мы не исключаем возможности того, что различные значения параметра А, а следовательно, и две функции /(о) могут соответствовать одному и тому же значению постоянной М. [Из леммы Якоба (п. 5) будет следовать, что это невозможно для препятствий оживальной формы.]

Лемма Якоба. Покажем, что, по крайней мере в случае препятствия выпуклой 16) оживальной формы, угол отрыва (т. е. параметр £ в п. 4) и многие другие величины монотонно возрастают с ростом постоянной М. Для доказательства потребуются некоторые сведения относительно операторов J и D, определенных в гл. VI, п. 4. Эти сведения удобнее всего трактовать с помощью гильбертова пространства Н = £2(0,冗),иначе говоря, пространства Банаха 6), с метрикой

1网= / ^^dc =(入，入产，.0 -

где скалярное произведение （九i,九2） определяется как обычно:

о

Лемма 1. 1） Операторы J 〃 D осуществляют линейные пре- образования гильбертова пространства Н всех функций, инте~ грируемых с квадратом на интервале （0,冗）,в пространство не- прерывных функций на этом же интервале. Для всякой функции 九 из пространства Н т = D[Z] = DA обращается в нуль в концах интервала （0,к）.

Для любых d и о из интервала （0,冗）

18（吟一"。）+ 九0）一九（叫《]/2g一。卩11人|1.

Оператор D симметричен: （D储，九2） = （М, DZ2）.

Оператор D положительно определен, т. е. О <； （Z, DZ）, причем из условия （九，D九）=0 следует, что 九=0 почти всюду.

D — сжимающий оператор, т. в. （D九，D九）W （儿 D九）& 《（儿力

Оператор D сохраняет порядок, т. е. из неравенства 储 > 九2 следует, что D储 > DM.

Доказательство.

Ввиду того что 9 = J九 представляет собой неопределенный интеграл от 儿 утверждение относительно J очевидно. Ядро D{o, 5） имеет логарифмическую особенность при о = 5： таким образом, при фиксированном значении о оно представляет собой на интервале （0,冗）функцию от 5 с интегрируемым квадратом. По той же причине преобразование （скалярное произведение） т （о） = J Q（o, 5）X（5）ds определено и конечно для всех о на о

（0, к） и для любой 九 € Н. Кроме того, поскольку Q（0, s）= = Dg sj = 0, то т обращается в нуль при о = 0, к.

Для доказательства непрерывности функции т применим сначала неравенство Шварца

I -с （az） — Т （а） I ＜； / |。（。'，S）—0（。, S）|R（S）|dS《

О

《• / |。（。'，s） —0（。，s）12ds / R（s）12dsоJ l о

Далее, согласно соотношению （6.14г）, имеем

D （丁，s） —0（。，s） = ■!■w[（sin 尸一sin "）

и по теореме Планшереля

，|О(。，，S)—0(。，S)12ds = ^£师川片 0j = l

Ряд в правой части равенства равномерно сходится и стремится к нулю при(/->о. Отсюда и следует, что функция т(о) непрерывна.

Пусть 2 ^/Sin /о——ряд Фурье функции 九 и пусть 卩一 функция, ряд Фурье которой есть S^/Cos jo. Тогда / |卩|2 dо《

о

《+8, а —J |х rfo— непрерывная функция, разлагающаяся в о

тот же ряд Фурье, что и функция т(о). Следовательно, имеем т (о) = — J |х de. Тогда, в силу неравенства Шварца, |9(У)-9(0)4-г(т(У)-т(0))|</| 入 + 加|"。《

《1。'一。"[' 1人+加卩[• Но по теореме Планшереля

/ I12 曲《JI k + Z|x J2 rfo = к 2 a} = 2 /丨入 I? da

Jо0

Утверждение непосредственно следует из симметрии ядра £>(0,5).

С помощью рядов Фурье функций 九 н D九 находим

（入，D入）=（入，D入）=>0.>0.

（入，D入）=

（入，D入）=

>0.

>0.

Если далее (儿 D九)=0, то все коэффициенты ряда Фурье обращаются в нуль н 九=0 почти всюду.

Легко показать, что

(DX,m)=^工自，(К, x)= !24

откуда путем почленного сравнения членов разложения получаем утверждение 5),

Утверждение, очевидно, следует из положительной определенности Q(d, s) > 0.

Доказанные свойства 1) и 2) показывают, что операторы J и D являются сглаживающими операторами, преобразующими ограниченные множества гильбертова /пространства в ограниченные семейства равностепенно н^йрерывных функций. Из компактности таких семейств [49, т. I, стр. 49] следует, что J и D — вполне непрерывные интегральные операторы.

Теорема 5. Пусть заданы М ^Q и v(d)》0 для 0《о<тс. Тогда интегральное уравнение [см. (7.1) или (6.16)]

入(0)=必8)…0(叨(7.14)

имеет одно и только одно решение Z(o). Оно непрерывно, неотрицательно и обращается в нуль только вместе с v(o) 17).

Доказательство. Легко видеть, что любое решение уравнения (7.14) должно быть неотрицательным. Поскольку оператор D сохраняет порядок (лемма 1, утверждение 6), то т(о) = $九》0 и из уравнения (7.14) следует 0&九(о) <Mv (о). Поскольку D преобразует ограниченные функции в непрерывные функции (лемма 1, утверждение 1), то можно утверждать, что т(о) = D九，и поэтому функция Z — Мус— непрерывна. Наконец, из ограниченности т следует, что функция Z(o) обращается в нуль только вместе с v(d), что и доказывает второе утверждение теоремы.

Следовательно, всякое решение уравнения (7.14) принадлежит гильбертову пространству Н всех функций, с интегрируемым квадратом на 0 < о ^； л. Рассмотрим теперь в Н функционал 「(入)=^/入m"。+(7.15) оо

Согласно лемме 1, функция (p(Z) определена и удовлетворяет соотношению <р (九)》0 для всех X ^ Н. Далее легко найти, что

? (К 4- 8k) — Щ (入)=/ (入一Ahe-D, D [8k] d。+ 0

+ y f 8XD [8k]rf0+J Afve-DX^-Dsx — ] _D[8Xj)rfo>(7.16) 00

Отсюда следует, что (p(X + 8X)—(p(X) имеет порядок o(||8X||) тогда и только тогда, когда Х(о) удовлетворяет уравнению (7.14). Таким образом, решения уравнения (7.14) представляют собой неподвижные точки функционала (7.15).

Итак, для доказательства единственности решения уравнения (7.14) достаточно показать, что (7.15) является строго выпуклой функцией18). Однако это очевидно, поскольку из равенства N 丰 N следует, что

y (入)+ 中(入’)]-中(4* B + 入1)= -g- / (入一入’)D [入一入 1 do +

0

+ }/ЛЬ (о) (e-»/2— e-DU/2)2 do >0.(7.17)

0

Для доказательства существования мы покажем, что функция (р(Х) достигает минимума; это потребует некоторой изобретательности.

Пусть 卩一нижняя грань функции(р(Х) для 九 £ Н; рассмотрим минимизирующую последовательность {九п}, для которой 屮(九п)-> 卩 при п-> оо. Из соотношения (7.17) и по определению 卩 имеем

4*[中(" +中Gm)l >車& вт +入m))~

Так как выражение в левой части стремится к 卩 при /и, п-> оо, то, согласно формуле (7.15),

O = JimJl[?(kJ + ?(^]-?(l(krt + k^

=Нт 4* f (^Л — О D 及一入ml da + m, л->оо °

+ y /(e~%/2 _ e-D%/2)2 d。I. (7.18)

Оба члена справа, будучи положительными, должны стремиться к нулю по отдельности. Из неравенства

/①及-人ml )2公《/ (X„ - з D及-巾d。 00

00следует, что Tn = D[Xn] сходится в среднем к функции т с интегрируемым квадратом, и что / M^e~xnda имеет конечный предел

0

0

14 Г, Биркгоф

J М^е~х da. Однако трудно непосредственно доказать, что по- о

следовательность {Хп} сходится в гильбертовом пространстве Н. Эту трудность можно обойти следующим образом. Пусть со — некоторая непрерывная функция; то「区а из условия

0、W lim {屮(％ + s5)—屮(儿)} видно, Нто

厶今8

£ Jтазdo+-|~ /u)D5do + / AbeT(eTDs — i)do》o.

00000

0

0

0

0

Разделив это неравенство на е и устремив g к нулю, придем к соотношению

J co) do оJ co) do о—У Af^-*TDu)d^= / (с — D (ЛЬер )u)do > 0, (7.19)—У Af^-*TDu)d^= / (с — D (ЛЬер )u)do > 0, (7.19)оооо

J co) do о

J co) do о

—У Af^-*TDu)d^= / (с — D (ЛЬер )u)do > 0, (7.19)

—У Af^-*TDu)d^= / (с — D (ЛЬер )u)do > 0, (7.19)

о

о

о

о

которое возможно только при т = D(Mve~T). Легко видеть, что функция Z = Mve~T удовлетворяет уравнению (7.14).

Теорема 6. (Лемма Якоба [101]). Пусть А и Z + AZ — решения уравнения (7.14), соответствующие двум различным неотрицательным значениям М и М + ДМ параметра М. Тогда AZ/ДМ — не тождественно равная нулю функция от о, удовле- творяющая условию

°W^(”v(。)(7.20)

при 0<о<и.

Доказательство. По теореме 5, △九(и, следовательно, AZ/ДМ) и At = D[AZJ — непрерывные функции от о, обращающиеся в нуль при о=0, и. Кроме того, поскольку М однозначно определяется другими членами, входящими в уравнение (7.14), то из ДМ 0 следует △九于0.

Далее, из уравнения (7.14) непосредственным вычислением получаем

否(7.21)

Заметим, что поскольку (廿辽一 1)/и положительна для всех а, то правая часть соотношения (7.21) неотрицательна при Дт/АМ ^ 0. Однако поскольку Ac = D[K九],то Ат/АМ представляет собой (как и в гл. VI, п. 4) граничные значения гармонической функции h^re^), непрерывной в единичном полукруге Г, равной

нулю на действительном диаметре и имеющей производную по внешней нормали Gh2n = ДХ/ДЛ4 вдоль граничной полуокружности е?' Следовательно, минимум функции h{reu) достигается на границе Г. Если бы этот минимум не был равен нулю, то, согласно принципу строгого максимума (гл. IV, п. 9), в этой точке было бы AZ/AM < 0, что противоречило бы соотношению (7.21), поскольку, как было отмечено выше, правая часть его положительна. Мы придем к тому же противоречию, еслп предположим, что минимум обращается в нуль при 0 < о < и. Следовательно, Дт/ДМ>0 при 0<о<л.

Снова используя принцип строгого максимума и предполагая, что ДМ > 0, получаем △九 > 0 при максимальном значении Ат. Из соотношения (7.21) следует, что при этом * — 1 < < ДМ/М; иначе говоря, поскольку ДМ > 0, то (Ат/АМ) < <ДМ-1 1п(1 + ДМ/М). Подставляя последние два неравенства в соотношения (7.21) и используя уравнение (7.14), находим

(7.21*)

что и завершает доказательство теоремы.

Согласно выражению (6.17), угол отрыва 03 возрастает монотонно вместе с л (о). Отсюда получаем следствие.

Следствие. В случае препятствий оживальной формы угол отрыва а§ возрастает монотонно вместе с увеличением М.

Легко видеть, что если производная 。九/ОМ существует, то она удовлетворяет уравнению

W = ^-D[w]-(7・21**)

Путем более тонких рассуждений, аналогичных проведенным, можно доказать существование д^дМ、d^ldM, . . ., а также доказать, что。入/ЗА!》О,加7》dc/dAl》0, —2М~2 Л/^7И2 <； О, д3г/дМ3》0 н т. д. Можно доказать и более общее предположение о том, что т(ь) возрастает вместе с увеличением v(d).

Выпуклые препятствия. При попытках применения метода п. 4 к случаям (таким, например, как обтекание без отрыва или каверны с точкой возврата), когда теоремы существования и единственности для прямолинейных препятствий не имеют смысла или неприложимы, возникают серьезные осложнения. Однако случай выпуклых препятствий можно исследовать путем применения леммы Якоба при доказательстве теорем существования и единственности, в первую очередь для препятствии оживальной формы.

1А*

С целью выработки единого подхода вспомним (см. гл. VI), что различные дополнительные условия для таких течений могут быть выражены [см. (6.17), (6.1§в), (6.28〃)и (6.32х)] при помощи интегральных соотношений вида

/ 入(o)/(o)do= 1,

(7・22)(7・22)где функция f(o) положительна всюду, за исключением, быть может, о = 0 и о = к. Так, например, случай f(o) = const соответствует постоянному углу отрыва, ，(о) = (л sin о)-1 — плавному отрыву, ，(о) = к-1 sin о—каверне с нулевым лобовым сопротивлением и т. д.

(7・22)

(7・22)

Теорема 7. Допустим, что: 1) функция v(o) непрерывна на OWoW冗 и положительна на 0<а<л; 2) функция f(o) положительна и непрерывна на интервале 0 < о < к;

3) ^= J/(о) V (о) rfo < 4- оо и, наконец, 4) D [/v] < С/19). Тог

да система уравнений (7.14) и (7.22) имеет одно 〃 только одно решение..

Доказательство. Для заданного М> 0 уравнение

имеет одно и только одно решение 九м(о). Рассмотрим вы-

нению (7.14), I(М) & MN и, следовательно, /(0) = 0. Из условия 2) и теоремы 6 видно, что / (Л4)—возрастающая функция М, откуда и следует единственность решения. Далее, из условия (7.20) следует, что /(Л4)—непрерывная функция М. Таким образом, для завершения доказательства существования достаточно показать, что /(оо) = оо. Для этого, использовав сначала уравнение (7.14) и нера(венство Йенсена 13), выражающее, по существу, тот факт, что среднее арифметическое больше среднего геометрического, получим

附》附 exp I —^卜 (7.23)

Однако

/ Sdo = J X^D [/v] do《С/ W^°»

поэтому из неравенства (7.23), учитывая, что N=J/vd5 о

имеем

事，Me-cnN,

откуда следует, что

/ (加)》亲 In (СИ).(7.24)

Таким образом, lim /(附)=2

Следствие. Существует единственное симметричное кави~ тационное течение около любого препятствия оживальной формы, имеющее плавный отрыв (т. е, конечную кривизну s точке отрыва).

Лерэ показал [54, стр. 261], что это будет справедливо также в более общем случае симметричных препятствий с неубывающей кривизной (акколад).

Теперь мы уже можем приступить к доказательству существования различных струйных течений около выпуклых препятствий произвольной формы, удовлетворяющих различным дополнительным условиям. Интегральное уравнение (6.16) для выпуклого препятствия имеет вид

k = 7H^(jk)e-D\(7.25)

В случае препятствия оживальной формы это уравнение упрощается и переходит в (7.14). Параметр М можно исключить, и система уравнений (7.22) и (7.25) сводится к одному интегральному уравнению

入(。) = —_”®К(П)宀——.(7.25*)

/ f (а) ч (а) К W e~Dl da

О

Чтобы применить теорему Лерэ — Шаудера (п. 3) к уравнению (7.25*), положим ( (9) = a^(6) + (1—а), а в качестве оператора Бавозьмем оператор в гильбертовом пространстве Н (п.5)

Fa [X] = jKa(“)e-Dx.(7.26)

При изменении а от 1 до 0 кривизна К« (9) изменяется от К(9) до 1, что соответствует непрерывному переходу к препятствию оживальной формы.

Лемма. Введенный выше оператор Fa (7,26) удовлетворяет всем условиям теоремы Лерэ — Шаудера, если функции v 〃 ， удовлетворяют условиям теоремы 7, и если К (В) —непрерывная функция, определенная при всех значениях 9, ограниченная сверху и положительная

О〈月《К(8)《月т(7.27)

Доказательство. Определим сначала сферу, содержащую все решения уравнения 九=F/九].В силу (7.27) имеем h < Ka(fi)式卜一、для всех а и, следовательно,

j卜К“ (J入)e~D入 do》々 j/уе-D入 do(7.28)

оо

Как и при выводе неравенства (7.23) имеем

оо

Если функция 九 является решением, то /)/do=l и ■о

/卜Ka (JX) e-D入 do》hNe-cN.(7.29)

о

Используя это неравенство, из уравнения Z = Fa[Z] получаем

и, окончательно, поскольку 九》0, согласно (7.25*), имеем г к

\\\\\^k-2N-'eCIN\\y\\ = R;||Х||= /入 2(。)“。. (7.30)

-0-

Это означает, что все решения уравнения 九=Fa[Z] лежат внутри сферы радиуса 2R. Эту сферу можно взять в качестве области 炒 теоремы Лерэ — Шаудера.

Мы докажем, что все операторы Fa вполне непрерывны, показав, что они преобразуют ограниченные последовательности функций в гильбертовом пространстве 厶2(0,冗) в (ограничен-

ные) последовательности равностепенно непрерывных функций. По лемме 1, п. 5, это утверждение справедливо для оператора 丫6一口入 и, поскольку J九 является неопределенным интегралом, а К@ непрерывно, оно справедливо также и для Ка (J2v).

Следовательно, поскольку в силу неравенства (7.29) мно- 「п1

житель / /Y工的宀入痂 остается ограниченным, это пред- -0-

ложение будет справедливо также для операторов Fa.

Равностепенная непрерывность операторов Fa по а очевидна, а единственность решения уравнения Z = F0Z уже была установлена в п. 5. Итак, остается только доказать, что преобразование Go[九]=九——F0[Z] взаимно однозначно в окрестности решения 九 уравнения 九=F% Пусть 九 н 九 + А九 ——две различные функции, преобразуемые оператором Go в одну и ту же функцию. Уравнение

入—FoB]="从一FoB + 厶入](7.31)

можно записать, в виде

М = М»е-^+^ (1 + -^- — ^ , At = D[AM. (7.32)

Повторим теперь рассуждения доказательства теоремы 6. Если максимальное значение Аттах функции Ат положительно, то, согласно принципу строгого максимума (гл. IV, п. 9), функция △九 > 0 в любой точке, в которой Ат = Atmax. Следовательно, согласно соотношению (7.32), в той же точке Дттах < < 1п(1 + ДМ/М), откуда следует тождественное выполнение неравенств Ат < 1п(1 + ДМ/М) и △九 > 0 всюду, кроме точек о = 0, и (7.32). Аналогично, если Дттш V 0, то А九 V 0 всюду, где Ат = Asm, и, согласно (7.32), Atmin > 1п(1 + ДМ/М). Отсюда следует, что неравенство Ат > In (1 + ДМ/М) выполняется тождественно, а △九 <0 всюду, за исключением, быть может, точек о = 0, и; во всяком случае, △九 имеет постоянный знак.

С другой стороны, в условии (7.22) ，(о) > 0; следовательно, произведение ，△九 также должно иметь постоянный знак. Кроме того, легко видеть, подставляя в (7.22)九 н 九 + А九 и производя вычитание, что J f^da = 0. Из этих результатов мы видим, что △九=0 почти всюду, откуда и следует, что преобразование Go должно быть взаимно однозначным.

Объединяя предыдущую лемму с теоремой Лерэ — Шаудера, придем к следующему результату.

Теорема 8. При выполнении условий 1), 2), 3) и 4) теоремы 7 и условия (7.27) для кривизны К(9) система (7.22) 〃 (7.25) имеет решение.

Следствие. Пусть С — любое симметричное выпуклое препятствие в неограниченном потоке. Тогда существует:

симметричная каверна для каждого угла отрыва,

симметричная каверна с плавным отрывом,

симметричная каверна нулевого сопротивления,

однопараметрическое семейство симметричных каверн с точкой возврата,

однопараметрическое семейство симметричных течений Рябушинского для каждого угла отрыва,

однопараметрическое семейство симметричных течений Рябушинского с плавным отрывом,

двупараметрическое семейство симметричных возвратных струй.

Если С имеет оживальную форму, то решения единственны в случаях а) —в).

Метод непрерывности. Ранние доказательства теорем единственности ([54], [48]) основывались на методе непрерывности Вайнштейна, распространенном на функциональные уравнения. Несмотря на то, что этот метод лишен изящности и простоты, которыми обладают методы сравнения (гл. IV, п. 12—— 14), он имеет и свои преимущества. Так, он позволяет обнаружить тесную связь между вопросами существования и единственностью решений; он применим к плоским несимметричным течениям, а некоторые его идеи могут быть применены даже к пространственным несимметричным течениям.

Ввиду того что детали метода имеют чисто технический характер, мы рассмотрим только случай симметричных плоских течений около выпуклых плоских препятствий. Следует, однако, отметить, что развиваемая теория не только допускает возможность широких обобщений, но и позволяет получить вариационные формулы, имеющие самостоятельный интерес. Эти формулы дают выражение для вариации формы каверны (или струи), вызванной заданным возмущением препятствия (или отверстия). Выраженные в виде функциональных уравнений типа (7.1) или (7.6), они содержат дифференциалы операторов в банаховых пространствах, определение которых мы сейчас дадим.

IIF [% 十 ”1 一 F 同 一 L 网 II = о (И 阳I),IIF [% 十 ”1 一 F 同 一 L 网 II = о (И 阳I),Определение. Оператор преобразования F одного банахова пространства в другое называется дифференцируемым в точке 入о, если найдется непрерывный линейный оператор L, такой, что

IIF [% 十 ”1 一 F 同 一 L 网 II = о (И 阳I),

IIF [% 十 ”1 一 F 同 一 L 网 II = о (И 阳I),

причем нормы берутся в соответствующих пространствах. В этом случае L[5a] называется дифференциалом F[Z] в точке Zo- Будем обозначать его dF[九о；炽].

Однопараметрическое семейство операторов Fa[Z], OWaWL в банаховом пространстве § можно рассматривать как один оператор преобразования пространства & X.R (R — действительная прямая)20) в пространство &, и поэтому можно говорить о его дифференциале dF[九，& 6儿 6а] в точке 九 с параметром а, если он существует. [В дальнейшем, для простоты, мы не будем указывать точку (九，а), в которой берется дифференциал, и будем писать просто dF[6九，Sa].] Обратимся теперь к следующему общему принципу [54, ч. II; 55].

Принцип непрерывности. Предположим, что 九——решение уравнения Z = Fa[Z] и что F/九] имеет вполне непрерывный дифференциал dF[6九，Sa] в точке л при определенном значении параметра а. В этих предположениях, если «уравнение в вариациях» SZ=dF[SZ, 6a] допускает при любой вариации Sa единственное решение, то: (а) функция 入 является изолированным решением уравнения Fa [2i]； (б) уравнение 九+ 八九= = Fa+?ia 仇+ A九]при достаточно малых 6a допускает решение △九； (в) вариация 6九一главная часть △九，т. е. IIА九一6九II = = o(|5a|) •

При помощи этой теоремы можно доказать единственность решений уравнения Z= Fi[Z], предполагая единственность решения уравнения Z= F0[Z] и замечая, что если уравнение 九= =F0[Z] имеет единственное решение и если условия теоремы выполняются для всех уравнений Z = Fa [Z], 0 ＜； a＜； 1, то число решений (которые являются изолированными и меняются непрерывно вместе с а) не зависит от а. В самом деле, число решений уравнения ^=F[仇]должно равняться числу решений уравнения Z= F0[Z], т. е. единице. Аналогично существование решения уравнения Z= FJZ] можно вывести из предположения о существовании решения уравнения Z = F0[X].

В приложении к задачам струйного обтекания мы будем применять принцип непрерывности к семейству операторов FJ 九],определенных соотношением (7.26). В этом случае К“а)三 1, так что существование и единственность решения уравнения Z= FJZ] следует из теоремы 5. Для простоты мы будем рассматривать только бесконечные симметричные кавитационные течения около выпуклых стенок, для которых 呼= =М叫2 и v(o) = sfn о(1 + sin о). Будем также предполагать, что К(9) ＞0 и .

при некоторой конечной постоянной Липшица L. Наконец, мы будем считать & гильбертовым пространством 厶2(°,冗).Тогда & Х R — также гильбертово пространство 20).

Легко проверить, что оператор Fa[X] дифференцируем при всех а н 九 н что его дифференциал выражается формулой

"[认切=冗同(号+ 黑!+篙^网一D["])，(7.35) в которой

ьк=臂汝=(К(8) — 1) 8а,

加=(рКа(8)е-р。)，(7.36)

沙=- “F/N (^― + ^Jy J[8X] -D[Щ) de.

Согласно свойствам гладкости операторов J и D (лемма 1, п. 5), дифференциал dF[6九,6а] оказывается вполне непрерывным оператором по 6九 для всех 6а, преобразующим ограниченные множества из S в равномерно ограниченные классы равностепенно непрерывных функций. Отсюда следует, что первое условие принципа непрерывности выполнено.

Пусть теперь 入 будет симметричным решением уравнения 入=叱国， существование которого было доказано в п. 6. Уравнение в вариациях 6九=dF[5Z, Sa] в развернутой записи представляет собой интегральное уравнение типа уравнения Фредгольма. Для таких уравнений и существование решения и его единственность, требуемые по второму условию принципа непрерывности, эквивалентны отсутствию ненулевого решения соответствующего однородного уравнения (6К = 0) (см. [49, т. 1). Таким образом, все следствия принципа непрерывности, и в частности единственность течения, будут справедливы при условии, что SX = 0 является единственным решением уравнения

/ ЪМ к： (6)

” =+ 网-D 网)，(7.37)

в котором

号(皴3岡-D岡)d%о

для всех a, 0 ^ a＜： 1.

тдо 6yтдо 6yC^M4K3 л e нC^M4K3 л e но. Функция Вайнштейна. В соответствии с идеен Вайнштейна 20а) мы теперь построим, исходя из произвольной вариации 6% удовлетворяющей уравнению (7.37), аналитическую функцию Л(/), удовлетворяющую специальным граничным условиям (см. ниже лемму 1). В п. 9 мы покажем, как из этих условий следует, что Л(/) =0, и почему отсюда, в свою очередь, следовать, что соответствующие 6九=0.

т

до 6y

т

до 6y

C^M4K

3 л e н

C^M4K

3 л e н

Убедимся сначала, что любое решение уравнения должно быть непрерывной функцией, удовлетворяющей вию Липшица и обращающейся в нуль при о = 0 н о =冗 ма 1, п. 5). Пусть теперь 6Q(£) будет такой аналитической

цией, регулярной в единичном круге, действительной на действительной оси и мнимой на мнимой оси, которая принимает граничные значения SQ(ei3) =69(d) +£女(d), 0 о ＜； u (S6 = =J［視］,St = D［SZ］). Поскольку d(S9)/do =—。九(о) удовлетворяет условию Липшица, то теорема Фату — Привалова (гл. 4, п. 7) гарантирует, что 5Q(/) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую условию Липшица в замкнутом единичном круге.

Исследуем функцию21)

А(/) = "%/)Т(/) j(増+ 力即)存“ (7.38)

где & 吋 н 2, как обычно, обозначают соответственно комплексно сопряженную скорость, комплексный потенциал и координату течения, отвечающую функции 九.Функция Л(/) регулярна в единичном круге, кроме, быть может, особых точек функции 步(£)； в случае бесконечной каверны (W = МГ2/2) имеется единственная особенность при £ = 0. Вблизи точки / = 0 функция Л(/) разлагается в ряд

А (/) = ((/)! “訐 '+b\^ + ^ck ,(7.39)

в котором все коэффициенты действительны, поскольку Л(/) принимает действительные значения на мнимой оси. Вне начала координат, включая и границу единичного круга, функция Л(/) имеет непрерывную производную вследствие указанной выше непрерывности 6Q, а также свойств функции Q (см. гл. VI, п. 3). При £ =级工 0Wd Wr/2, получим, что

a(叫=等步(叫7(叫j［爷+，泪(叫］窑"。.(7.40)

Из соотношений (6.9), (6.10) и (6.12) следует, что

dz dodz do.2—В2-В.2—В2-В

dz do

dz do

.2—В2-В

.2—В2-В

а из уравнения (7.37) —что

ВМ6入ВМ6入к'-к'-(7.41)(7.41)Отсюда равноОтсюда равнонаходим, что подинтегральное выражение в (7.40)находим, что подинтегральное выражение в (7.40)к； Т Jк； Т J(7-42)(7-42)

ВМ6入

ВМ6入

к'-

к'-

(7.41)

(7.41)

Отсюда равно

Отсюда равно

находим, что подинтегральное выражение в (7.40)

находим, что подинтегральное выражение в (7.40)

к； Т J

к； Т J

(7-42)

(7-42)

и, поскольку 入=—曲］do и SZ = —d681d◎、может быть приведено к виду

e^^-^dldc 伞%叫K。⑨).

Выполняя интегрирование и замечая, что

~叫…氏(2-В)/2 = _ I匸g)，

получим

A©。)=步©。)嶋+山"力^工(8).(7.43)

В частности, Im (Л(е/сг)) =0.

Чтобы изучить поведение функции Л(/) на действительной оси, сначала продифференцируем (7.38) по z:

L若+小一等S吗=一泪. (7.44)

Если разделить обе части соотношения (7.44) на d「/dz, приравнять их мнимые части и учесть, что W, 6Q и d^/dz действительны на действительной оси (см. 4.27), то получим

叫71^ +』=。(745)

при действительных значениях £

Угловая точка / = 1 представляет особый интерес. Поскольку производная функции 6Q(£) всюду удовлетворяет условию Липшица, эта функция допускает локальное разложение вида

82Q) = 3Q(1) + 3Q/(1)" —1) + (匸一1)。(片一")

которое, вместе с аналогичным разложением функций ^(/) и 2(/) (см. гл. IV, п. 7) приводит к соотношению

А (/) — А ⑴=—粤 / (0) (/ — 1 )2 + (/ — 1)з。⑴.(7.46)

Результаты можно сформулировать в виде леммы.

Лемма 1. Функция Л(/), определенная равенством (7.38), аналитична и регулярна в первой четверти единичного круга 〃 всюду в замкнутой области имеет непрерывную производную, за исключением начала координат. Кроме того, эта функция принимает действительные значения на мнимой оси и на части границы, совпадающей с окружностью; она также удовлетворяет условию (7.45) на действительной оси и имеет разложения (7.39) 〃 (7.46) соответственно в точках / = 0 и / = 1.

Единственность. В п. 7 было показано, что течение единственно, если ЗХ = 0 является единственным решением уравнения (7.37). Найдем теперь достаточные условия единственности, для чего предварительно определим достаточные условия того, что из Л(/) = 0 следует ЗХ = 0 (лемма 2), а затем получим достаточные условия для Л(/) = 0 (лемма 3).

Лемма 2. Для того чтобы из Л(/) = 0 следовало ЗХ = 0, необходимо и достаточно, чтобы, функция |л(ь) =d/do (九(ь) ctgo) не удовлетворяла уравнению (7.37).

Доказательство. Если Л(/) = 0, то по формуле (7.43) имеем

86(。)=—帮 W(*) К“ (8 (。))|L©”.(7.47)

Учитывая, что dz/d^ = | C- (o)||dW/do| =从丫(0)6-口叱 получаем 68 (о)=—嶋 &$ ] ЛЬ (о) < (8 (о)) L ⑻=—嶋 х(0)ctg о.

Отсюда ЗХ = —d(S9)/db= (ЗМ/М)ц. Таким образом, если ЗХ 次 * 0, то ЬМ/М 次 0 и 貝 удовлетворяет уравнению (7.37). Наоборот, если функция 卩 удовлетворяет (7.37), то она сама является ненулевым решением (7.37), для которого соответствующая функция Л(/) тождественно обращается в нуль.

Легко видеть, что при f = const или при f = Tc_,sin □, соответствующих фиксированному углу отрыва или каверне с нулевым сопротивлением (гл. 6, п. 5), уравнение (7.37) не может быть удовлетворено ни при каком значении ц, соответствующем препятствию с положительной кривизной. В самом деле» если

функция 卩 удовлетворяет уравнению (7.37), то J 九庚=0； о

однако

/出d。=/ 為(入 ctgo)do = —2X(0)= -2m%(0)工也(0))声0, оо

/出 sin。d。= /sin。^ (X ctg a)ds = — ^\ 嗡d。¥= 0.

Оо■ о

Рассмотрим, далее, случай, когда в условиях леммы 1 функция Л(/) обращается в нуль. Условия достаточности были получены различными авторами 22), однако приводимый здесь результат Фридрихса [26] является наиболее общим.

Лемма 3. Если существует гармоническая функция т， не обращающаяся в нуль ни в одной точке замкнутого первого квадранта единичного круга и удовлетворяющая уравнению д^/дп = =7^(ln q)/dn на действительной ос〃 (д/дп — нормальная производная, 7 = |^|), то всякая функция Л(/), удовлетворяющая условиям леммы 1, тождественно обращается в нуль.

Доказательство. Пусть р = 1т{Л(/)}, Достаточно будет доказать, что функция р(/) тождественно обращается в нуль. Заметим сначала, что 0 является гармонической функцией в первой четверти, обращающейся в нуль как на мнимой оси, так и на части границы, совпадающей с окружностью. На действительной оси, согласно (7.45), д^1дп = 00 (In q)/d〃， откуда следует d 1п(0/т)/(3几=0.

Теперь покажем, что существует линия уровня 0 = 0, начинающаяся при / = 1 и продолжающаяся внутрь первой четверти единичного круга. Согласно (7.46), имеем

₽ = 1ш [Л (/) - Л (1)] = - 4 86 (0) 1m [(/ - 1 )2| + 0( I - 113),

откуда видно, что если 59(0)千 0, то такая линия существует. Если 56(0) = 0, то из (7.46) следует, что производная (dA/d7)T=_i — — lim [А(£) — Л(1)] 2//(/ — I)2 существует и равна нулю. Следовательно, 0, как функция от Т = —(/ + /-')/2, имеет нормальную производную, равную нулю в граничной точке Т = —1. Поэтому, согласно принципу строгого максимума (гл. IV, п. 9), р не нмеет ни относительного максимума, ни относительного минимума при Т = —1 (/ = 1), чем и доказывается существование линии уровня, проходящей через точку f=J. Ввиду того что В ——гармоническая функция, такая линия.

уровня должна заканчиваться где-то на границе. Если бы она заканчивалась на мнимой оси или на окружности, то 0 обращалась бы в нуль на всей границе одной из образованных таким образом областей и, следовательно, тождественно обращалась бы в нуль. Если линия уровня заканчивается на действительной оси, то возьмем область В с границей С, составленной из действительной оси и линии уровня, и рассмотрим квадратичную форму Вайнштейна 23)

/ (Р嘉一俨齡豆)公=JV驾口 ds. (7侣) Сс

Положим р = В// Тогда по формуле Грина получим

/ 曾嘅也 ds = / / 俨 V2 1rlp 十印2. Vlnp]d。， св

и из тождества 俨 V2 In р + V fi2 V In р = р2| V р|2, справедливого для гармонических функций 0 и т (р =£/т), будем иметь

св

Если линия уровня заканчивается в начале координат, то по формуле (7.39) функция g ограничена на В и применимы те же самые рассуждения.

Интеграл в левой части равен нулю по построению, поэтому подинтегральное выражение справа, будучи неотрицательным, должно тождественно равняться нулю. Следовательно, функция р должна быть постоянной, которая, ввиду того что р обращается в нуль при /= 1, должна быть нулем. Таким образом, В = 0, и лемма 3 доказана.

Будем теперь искать функцию *((/), удовлетворяющую условиям леммы 3. Ясно, что условие д^/дп = ^(In q)/dn равносильно тому, что т = 1т[Л1(/)] где М(/)——аналитическая функция, удовлетворяющая условию Im (gdM/dg ——М) = 0 на действительной оси. Отметим, что

Im GdMld'J = Im (dMjd In Q =办/d In q,

Такой функцией является 7=1巾(丈£气)，поскольку i=Im(M), a gdM/i£ — M = G. Найдем теперь условия, при которых функция а может быть выбрана так, чтобы 7 не обращалась в нуль в первой четверти. Ясно, что 7 обращается в нуль на линиях уровня arg ^ = а. Тогда поскольку arg ^ — гармоническая функция, принимающая одинаковые значения в сопряженных точках и обращающаяся в нуль на мнимой оси, эти линии уровня

должны оканчиваться в точках / = eio, 0＜：bWn/2. Кроме того, в этих точках —arg совпадает с углом наклона касательной, за исключением точки f=i, в которой его предельное значение составляет угол, равный половине угла при вершине. Таким образом, для существования значения а, никогда не достигающего величины arg ^, и соответственно для существования функции т， удовлетворяющей поставленным условиям, достаточно, чтобы половина смоченной поверхности препятствия имела угловую протяженность, не превышающую тс. Для выпуклых препятствий это соответствует случаю каверны с нулевым сопротивлением (гл. IV, п. 8) и очевидно для фиксированного угла отрыва, не превышающего л.

Окончательно суммируя полученные результаты, мы приходим к следующему заключению.

Теорема 9. Для любого замкнутого симметричного выпуклого препятствия существует:

только одно симметричное кавитационное течение при заданном угле отрыва, меньшем тс;

только одна симметричная каверна нулевого сопротивления.

Вариационный метод; симметризация. Вопрос о существовании струйных течений можно трактовать также как изопериметрическую задачу, используя вариационный принцип Рябушинского (гл. IV, п. 10 и 11). Так, например, если тело В минимизирует приведенную массу 々(В) среди всех тел, частично ограниченных заданными фиксированными границами Si и имеющих заданный объем, то, согласно теореме 15, гл, IV, остальная часть границы тела В должна состоять из свободных линий тока. Это означает, что при некотором значении множителя Лагранжа Q выражение k(B) — Q • объем (В) реализует экстремум; множитель Q представляет собой число кавитации (4.44). Следовательно, всякое тело, которое минимизирует выражение k(B) — Q • объем (В), должно быть ограничено поверхностями Si и свободными линиями тока; такая формули* ровка задачи является вариационной.

Изопериметрические доказательства существования плоских и осесимметричных струйных течений были впервые получены Гарабедяном, Спенсером, Леви и Шиффером в 19 52—1953 rr. [24, 25]. Эти доказательства почти полностью основываются на методе симметризации. Они сводятся к двум основным этапам：

доказательству существования тела, которое обеспечи* вает относительный минимум выражения k(B)—Q * объем (В) при заданном Q;

доказательству применимости формулы (4.44) к этому Телу.

Первый вопрос рассматривается в п. 10 и 11, а второй является предметом отдельной работы 23а), в которой доказывается, что минимизирующая граница описывается аналитической функцией.

Напомним сначала определение симметризации, введенное в 1836 г. Штейнером для доказательства изопериметрического свойства сферы 24).

Определение. Симметризацией тела В (по Штейнеру) относительно плоскости П называется получение тела В* образованного отрезками всех прямых М, пересекающихся с В и перпендикулярных плоскости П, середина которых лежит в плоскости П, а длина равна длине пересечения М П В.

Очевидно, что тело Bs симметрично относительно П. Штейнером была доказана25) следующая теорема.

Теорема Штейнера. Симметризация сохраняет объем тела 〃 уменьшает площадь его поверхности. Площадь поверхности остается неизменной тогда и только тогда, когда тело уже симметризовано.

Аналогичным образом можно определить симметризацию для плоской области относительно прямой L. В этом случае при симметризации сохраняется площадь и уменьшается периметр.

Известно24), что многие физические величины, такие, как. например, электрическая емкость или жесткость па кручение, изменяются монотонно при симметризации. Аналогично можно доказать, что присоединенная масса при симметризации уменьшается. Этот результат может быть доказан для пространственного случая [24, п. 4], однако мы ограничимся рассмотрением плоских течений 26).

Теорема 10. Присоединенная масса идеального бесциркуляционного плоского течения уменьшается при последовательной симметризации препятствия В сначала относительно прямой L, параллельной течению, а затем относительно прямой М, перпендикулярной ему.

Доказательство. Полагая скорость на бесконечности равной единице и выбирая направление оси 尤 по течению, комплексный потенциал течения в окрестности бесконечно удаленной точки можно представить рядом 呼=z 十 WJz + 呼2/2?+ ... • Функция тока V = Im(U^) будет тогда гармонической функцией, обращающейся в нуль на В и равномерно приближающейся к у на бесконечности. Пусть Q = Q(r) — квадрат со стороной 2г и с центром в начале координат, две стороны которого параллельны потоку и который содержит препятствие, и пусть Vr—гармоническая функция внутри Q, обращающаяся в нуль на В я совпадающая с у на границе Q.

Г. Биркгоф

Легко видеть, что Vr равномерно приближается к V при оо и что абсолютная величина V, никогда не превосходит г. Рассмотрим в пространстве (х, у, z) тело (рис. 78), ограниченное снизу частью плоскости х, у, содержащейся внутри В, и поверхностью 2 = еМ(х, у)|, е >0, сбоку ограниченное плоскостями х = ±г и сверху — плоскостью z = er. Сим метр изируем теперь это тело относительно плоскости ху. В этом процессе боковые и верхняя границы остаются неизменными, так как они уже симметричны. Что же касается нижней границы, то ее плоская часть внутри В заменяется симметризированной относительно оси 尤 областью Bs. Поверхность z = e|V7(匕 у)\ заменяется *ово卤 поверх- ностью_ z = е|%(х, у)|. Функция Vr дифференцируема в квадрате Q, за исключением, быть может, оси равна у на границе Q и равна нулю на границе Bs.

Уменьшение общей площади поверхности при симметризации приводит к уменьшению площади поверхности 2 = eWJ поскольку площадь других частей остается неизменной. Поэтому, сравнивая аналитические выражения площадей обеих поверхностей, находим

J J 口十 *2丨"吸円 2 dx dy < J J [1 +£2I v^r|2]2 dxdy.

Q—8sQ—B

q—^sQ-bq—^sQ-bВвиду того что площади фигур Q — Bs и Q — В равны между собой, при е-> 0, пренебрегая членами, содержащими е4, получаем

q—^sQ-b

q—^sQ-b

Согласно принципу Дирихле, это неравенство усиливается, если функцию Vr в левой части неравенства заменить гармонической функцией Vr, принимающей те же граничные значения:

//I vKFdxdy《//|V%|2dxdy. (7.49) q- в5 Q-в

Кроме того,

/ J>(匕—y)|2dxdy =

Q-B

=f f IVVJ2^ dy — 2 / / V匕Vy dx dy + J J dx dy- Q-BQ-BQ-E

По формуле Грина средний член равен интегралу —2 / Vr(dy/dn)ds, взятому вдоль границы Q, где Vr = у. Следовательно, он равен площади фигуры Q, умноженной на ——2, а последний интеграл равен площади фигуры Q ——В. Таким образом,

/ J>(匕一y)|2dxdy =

= J J ^V^ dx dy ——площадь Q — площадь В, Q-B

где Q = Q(r)・ Отсюда и из аналогичного соотношения для V^ а также из формулы (7.49), учитывая равенство площадей В и получаем

f f |v(V；-y)l2^rfy <； / f |V(W — y)|2dxdy. (7.50) Qs-BsQ-Z

При oo функции Vr и Vr равномерно стремятся к функциям тока Vs и V в течениях Эйлера соответствен но около 2$ и В Остается показать, что обе части неравенства- (7.50) стремятся к пределам, являющимся соответственно присоединенными массами В и Bs. По формуле Грина [42, стр. 212] (обозначая через Qoo всю плоскость) получаем

/ / |V(V —у) 12dxdy — / / |V(% — y)|2dxdy =

Qg-BQ-E

=-§(V _ y) °(^，d公+ § (匕 _y)2'2r')公= cc

где C——контур сечения тела В. Применяя снова формулу Грина и учитывая, что у и V——Vr——гармонические функции, можно

заменить С любой замкнутой кривой, содержащей В, без изменения величины последнего интеграла.

Таким образом, если считать С аналитической кривой, находящейся на положительном расстоянии от В, то и (V — V\), n d(V — Vr)/dn равномерно сходятся на С к нулю при г-> оо (см. [42, стр. 248]) и поэтому сам интеграл тоже стремится к нулю. Следовательно, правая часть неравенства (7.50) в пределе стремится к величине k(B) соответствующей присоединенной массы. Аналогичные рассуждения применимы и к левой части неравенства. Это доказывает, что присоединенная масса уменьшается при симметризации относительно прямой L.

Весь ход этого доказательства остается справедливым также и при симметризации относительно прямой М, за исключением, быть может, инвариантности боковой поверхности. Однако если препятствие уже симметризовано относительно L, то очевидно, что | Vr| <； \у\, и поверхность z = e\Vr(x, у) | выступает наружу, так что прямые, параллельные L и проходящие через боковые треугольники, с ней не пересекаются. Благодаря этому возникшее затруднение устраняется.

Минимизирующий профиль. Применим теперь теорему 10 для доказательства существования плоских течений Рябушин-

щими вне С, но внутри |х|щими вне С, но внутри |х|ского около симметричных профилей общего вида (см. гл. 6, п. 12).

щими вне С, но внутри |х|

щими вне С, но внутри |х|

Пусть С — замкнутая кривая, симметричная относительно обеих осей, составленная из двух кусочно-аналитических 26а) дуг S\ и S2, лежащих вне полосы х = ±т, и двух горизонтальных отрезков прямых (рис. 79). Рассмотрим области В, ограниченные S = =Si U S2 и двумя варьируемыми кривыми £ и £2, /е*а- т. Будем искать среди всех

течений Эйлера при векторе скорости на бесконечности С* = 1 и заданном значении коэффициента кавитации Q, такое, кото

рое минимизирует разность

(7.51)(7.51)h(B) — Q • площадь (8) =尸(В卜

(7.51)

(7.51)

Заметим сначала, что последовательное симметризирование относительно осей 尤 м у по теореме 10 уменьшает F，B), сохраняя инвариантны ми © п полосу [х| & т. Следовательно,

достаточно ограничиться рассмотрением дважды симметризированных областей В, которые благодаря этому ограничены в каждом квадранте монотонными кривыми.

Покажем далее, что множество F(B) ограничено снизу 27) и что ширина h(Bn) каждой минимизирующей последовательности, для которой F(Bn) / = infF(B), ограничена сверху. Действительно, согласно равенству (4.42), величина k(B) + + площадь (В) растет вместе с В и поэтому превосходит значение 乳九2/4, которое она принимает в течениях Эйлера около поперечно обтекаемой пластинки шириной Л (см. [51, гл. IV]). С другой стороны, площадь (В) < 2mh и, следовательно, F(B) >- тсЛ2/4— (1 + Q)2mht При любых фиксированных значениях m и Q эти величины ограничены снизу, и для ограниченных F(b) ширина Л ограничена сверху.

Ввиду того что все кривые {&} дважды симметричны, они определяются функциями уп (х) с равномерно ограниченной вариацией. Следовательно, по теореме Хелли28) существует сходящаяся подпоследовательность кривых 仍北伊)}, таких, что также F(区但))J

Поскольку каждая кривая Вп® обладает двойной симме- грией, то в верхней полуплоскости на границе 0 = 丫冷 К у, и поэтому всюду |Vn|<y. Отсюда следует, что функции Vn(fi)образуют компактное множество, из которого можно выбрать сходящуюся подпоследовательность [42, стр. 267]. Переходя к пределу, мы получаем область В с двойной симметрией, минимизирующую F(B) при любых заданных Q и т. Соответствен но граница области В будет спрямляемой. Таким образом, мы доказали теорему.

Теорема 11. Существует область В, обладающая двойной симметрией 〃 имеющая спрямляемую границу, которая минимизирует F(B) в классе рассматриваемых препятствий.

Граница B = B(Q, zn) может включать в себя прямые % = =±т или часть кривой С, лежащей в полосе |х| <； т. Однако остальная часть S； является свободной границей.

Для доказательства этого утверждения достаточно, согласно теореме 15 гл. IV, показать, что % аналитична. Этот важнейший результат содержится в отдельной работе 233), в которой использованы методы Гарабедяна и Спенсера (25, § 5 и 6], но в наших обозначениях, и приводится объяснение некоторых неясностей. Предполагая кривую Sy аналитической, можно показать существование течения Рябушинского путем исследования зависимости минимизирующего профиля В = B(Q) от числа кавитации Q. Для этого вывода основное значение имеет следующая лемма.

Лемм а. Для каждого Q > 0 имеется единственное минимизирующее тело, непрерывно увеличивающееся с ростом Q. Для малых положительных Q кривая S/ является частью @, g то время как для больших Q она целиком лежит вне С.

Доказательство. Пусть Q и F2 — верхние половины двух различных минимизирующих течений с числами кавитации Qi и Q2, a Q,。2 — соответствующие им половины областей. Будем переносить Q в вертикальном направлении до тех пор, пока Di не будет целиком лежать в D2. Тогда в некоторой точке Р границы D\ и D2 будут иметь общую касательную. По теореме сравнения М. А. Лаврентьева (гл. IV, п. 12) скорости в точке Р удовлетворяют неравенству q《P) < q?(P) • Аналогичным образом, смещая 尸2 относительно 尸卜 найдем точку R, для которой 仇(R) <(71 (/?). Точки Р н R соответствуют максимуму и минимуму расстояния по вертикали между двумя профилями. Поскольку свободные границы в каждом квадранте строго монотонны, эти экстремальные расстояния не могут достигаться на вертикальной прямой, пересекающей один профиль на свободной линии тока и другой—на горизонтальной части кривой С. Единственные исключения могут быть в случаях, когда экстремальное расстояние равно нулю или когда точки Р или R лежат па мнимой оси, что соответствует совпадению одного из профилей с (3.

Из сказанного следует, что если бы ни одна из областей первоначально не содержала другую, то обе точки Р н R находились бы на свободных линиях тока и были бы справедливы соотношения

<7i(P) = <7i(A)=(1 + QJ4 <72(Р) = <?2(А) =(1+ Q2)%，

противоречащие полученным выше неравенствам. Следовательно, либо Di содержит D?、либо наоборот; будем считать для определенности, что D2 и Q, так что по первому неравенству

<71(Р) < <?2(P) = (1 +Q2)%・

Если минимизирующий профиль для течения Fi не совпадает с С, то

<7】(Р) = (1 + Q н Q] < Q2-

Если минимизирующий профиль для Fi совпадает с (3, то по вариационной формуле (7.41) (примененной к прямолинейной части границы) должно быть (1 + Q^2 < q^ (Р) и снова Qi V Q2-

Следовательно, если минимизирующие течения различны, то И соответствующие нм числа кавитации не равны друг другу.

что и доказывает единственность решения. Кроме того, так как меньшей области течения соответствует большее Q, то минимизирующее препятствие увеличивается вместе с числом кавитации.

Чтобы показать непрерывную зависимость минимизирующего профиля от Q, рассмотрим последовательность Qn, сходящуюся к положительному числу Qo. Так же как и в доказательстве теоремы 11, соответствующие профили и функции тока образуют компактные поеледовательности, пределы которых должны соответственно совпадать с минимизирующим профилем и функцией тока, соответствующей числу Qo. Другими словами, по мере стремления Q к некоторому положительному значению, минимизирующее течение стремится к соответствующему пределу. Тем самым доказывается непрерывность.

Перейдем теперь к последней части леммы. Сравним между собой половину течения около минимизирующего профиля, отличного от С, при числе кавитации Q с половиной течения около С. Перемещая последнее течение вертикально до тех пор, пока минимизирующий профиль не коснется горизонтальной части С в точке Ро мнимой оси, и снова используя теорему сравнения М. А. Лаврентьева, получаем

q^ = (\+Q^>qA^ или Q> д°(&)2一1, (7.52) где до(Р“ обозначает скорость в точке /% течения около С. Таким образом, если Q < д0(А))2— 1, то минимизирующим профилем должен быть С.

В заключение сравним половину минимизирующего течения с течением около гладкой симметризированной кривой С', содержащей С и совпадающей с ней только вдоль дуг Si и S?. Если минимизирующий профиль не лежит целиком вне С\ то половину минимизирующего течения можно поднять путем параллельного переноса выше С так, что минимизирующий профиль будет касательным к С' в точке Р (обязательно на свободной границе). Сравнивая скорости в точке Р, получаем (1 十 Q)%V q\(P), где q；(夕)一скорость в точке Р для течения около С〔 Таким образом, для всех Q < М2—1, где М — максимальпая скорость в течении около &', минимизирующий профиль должен целиком лежать вне С', а следовательно, и вне С. Сказанным завершается доказательство леммы.

Из леммы следует, что длина части кривой 2/, принадлежащей |х| = т,——непрерывная и возрастающая функция Q, обращающаяся в нуль только при малых Q. Следовательно, существует наибольшее число Q = Qo, для которой она обращается в нуль. Свободная граница, соответствующая Qo,

соединяет концевые точки S и лежит вне С. Следовательно, соответствующее течение есть течение Рябушинского. По доказанной выше лемме это течение единственное. Это доказывает еще одну теорему.

Теорема 12. Существует единственное течение Рябушинского около любого препятствия с двойной симметрией, отрывающееся в его концевых точках.

Внутренние вариации ). Чтобы доказать, что кривая £『 является свободной границей, достаточно показать, что к ней применима формула (4.44). Как отмечалось в гл. IV, для этого в свою очередь надо показать, что Sy является аналитической кривой. (По-видимому, достаточно показать, что кривая Sy будет достаточно гладкой, например, что наклон касательной является трижды дифференцируемой функцией длины дуги29). Однако, как показано в гл. IV, теорема 2, следствие 1, аналитический случай является общим.)

Доказательство того, что кривая £/ аналитична, является очень специфическим и основано на методе внутренних вариаций Шиффера 30).

Рассмотрим прежде всего вариацию типа

& = 2 + £ 尸⑶， (7.53)

где F(z) —дифференцируемая комплексная функция 尤 и у, обращающаяся в нуль вне малого круга Г2р: | z — z01 < 2р, на минимизирующей кривой S； с центром в точке 2°, не совпадающей с ее концевыми точками, а в остальном произвольной. Для достаточно малых е функция (7.53) совершает однолистное преобразование всей плоскости на себя, отображающее препятствие В на новое препятствие Ве. Поскольку сдвигается только часть границы препятствия В, которая лежит внутри круга Г2р, можно всегда выбрать такое р, чтобы В£ принадлежало к классу препятствий, рассматриваемых в экстремальной задаче.

Преобразование (7.53) переводит функцию тока 屮(尤，у) в новую функцию

必(％，义)=屮(％，У)， (7.54)

которая вне круга Г2р совпадает с функцией 屮.Если 屮」х，У)—функция тока нормированного течения за препятствием 瓦，то, согласно принципу Дирихле,

^(Вг) = J / 国但一у) 12dx dy《/ / |V@ —у) 12dxdy,

где Dt обозначает внешность Ве. Соединяя это соотношение с минимизирующим свойством препятствия В

k (8) — QA (8) < k (旦)— QA (氏)，

получаем

Q j j dx dy — j j dx dy < J J I ^ (^^ — y)\2 dxdy —

Поскольку 5 H 屮 вне круга Г2р совпадают, то области интегрирования с правой стороны могут быть ограничены теми участками, которые содержатся в Г2р; аналогично этому изменение площади как раз и есть изменение части площади каверны, находящейся внутри Г2р. Следовательно,

Q //"х"у— //"х"у < //〔V& —У) 12dxdy—

4П「2PКП「2?」 °6ПГ2?

—//I"屮—У)12dxdy・(7.55)

°ПГ20

Теперь запишем | V (фе — у)|2= |V(pJ2+ 1—2d^Jdy и аналогичное равенство для | V (屮一？)卩 и после интегрирования по частям заметим, что интегралы от 2д^/ду и 2d屮/% взаимно уничтожаются; кроме того, поскольку площадь круга Г2? остается неизменной,то

J f dx dy— J J dxdy+ J J dxdy — J J dxdy = ). 勺雜2P^Пг2? %fl% Dnr2?

Следовательно, неравенство (7.55) можно представить в форме

(1 -И Q) //dxdy— j j dx dy M J J | V^£ |2 dx dy —

-^nr2P Kfl%? • 2” 2P

—J J I 叫 12 dx dy, °ПГ2?

которая после замены переменных преобразуется к виду*

(i+Q)

К 2P

< /川吨卩器絹7叫卩］^次(7・5仆 Р(1Г2Р

Чтобы явно представить различные величины в неравенстве (7.56), удобно ввести обозначения d/dz «« V2 (д/дх — z (д/ду)) d/dz^ = ^^(д/дх + i д/ду). Простое вычисление показывает, что 号g居=l+2Re{嚓"。(/(7.57)

,也,2 = 4|签卜=41耨2 - 81^卜［^］需『+

+ %(需舟+a(叫(7・58)

бой конечной жения (7.57)бой конечной жения (7.57)где R (s2)—функция вида Re {А -|- В d^ldz + С (d'^/dz)2} с коэффициентами Л, В и С, равномерно стремящимися к нулю, как О (е2) при е —0. Из этого следует, что интеграл от /? (е2) по /ю~

бой конечной жения (7.57)

бой конечной жения (7.57)

образованийобразованийобласти имеет порядок О(е2). Подставляя выра- и (7.58) в неравенство (7.56), после простых препоручаем неравенство

образований

образований

《Re］8e //图)(泉)%х 叫+0(吟,《Re］8e //图)(泉)%х 叫+0(吟,

《Re］8e //图)(泉)%х 叫+0(吟,

《Re］8e //图)(泉)%х 叫+0(吟,

которое, будучи справедливым для всех достаточно малых е, дает вариационное уравнение

(1+Q)И^-^^^ //(若)隱"х"У = °・(7・59) ^ПГ2?°ПГ2?

Теперь выберем специально вид функции F(z). Пусть w{r)—— бесконечно дифференцируемая функция положительной действительной переменной г, принимающая значение 1 при 0 W 厂 W р и обращающаяся в нуль при г〉2P. Теперь для любой точки / в круге Г2р : | z — z(} | < р (но не на %) и для любого положительного числа ”, такого, что круг \z——/| <；刀 весь содержится в Гр и не имеет никаких точек на £力 положим

рывы. Поскольку помимо этого она обращается в нуль вне I%， можно применить уравнение (7.59), которое для /СК дает'

ndx dy 7)2 =^П Г2о2-/] > 4=л 叩(力小)ndx dy 7)2 =^П Г2о2-/] > 4=л 叩(力小)W （丨之一%1）W （丨之一%1）dx dy +dx dy +4T+Q4T+Qл°П(5 Гр)л°П(5 Гр)w'(1 —曲1) 2w'(1 —曲1) 2『dx dy・『dx dy・

ndx dy 7)2 =

^П Г2о

2-/] > 4

=л 叩(力小)

ndx dy 7)2 =

^П Г2о

2-/] > 4

=л 叩(力小)

W （丨之一%1）

W （丨之一%1）

dx dy +

dx dy +

4

T+Q

4

T+Q

л

°П(5 Гр)

л

°П(5 Гр)

w'(1 —曲1) 2

w'(1 —曲1) 2

『dx dy・

『dx dy・

Правая часть этогоПравая часть этого

Правая часть этого

Правая часть этого

. уравнения — аналитическая функция от / в круге Гр, не зависящая от 斗 Обозначая эту функцию через ср(/), получаем 31)

(7.60)

丨Z-f 1 <叮

Аналитичность экстремальных кривых. Аналитичность £『 является, ввиду (7.60), непосредственным следствием леммы.

Лемма. Пусть К — конечная открытая область, частично ограниченная спрямляемой кривой S. Если функция 勺(/)= =// (z — t『dxdy аналитична и регулярна для t £ К и может быть аналитически продолжена на границу S, то £ является аналитической кривой.

Доказательство. Положим

/") = J /(2——t『dx dy — O(Z),

где G") — неопределенный интеграл от функции 勺⑴.

Интеграл J J (г — /尸 dx dy непрерывен для всех t и ана- литичеп для значений / вне К・ Поэтому функция /(/) не только непрерывна, но и аналитична во всех точках вне К, в которых аналитична функция 勺(£)•

Пусть Г — круг радиуса г с центром в точке z = 0 и содержащий К. Тогда можно написать

/(/)= / j (w — t)j dx dy 一 J J (г 一 ^1 dxdy 一。(/)・

ггг-^

г

г

Однако, если / ^ Г (и в частности, если / € К), то первый интеграл может быть вычислен в полярных координатах:

На основании теоремы о вычетах последний интеграл равен нулю или /т соответственно при р 芝а

/ /(2 — /尸 dx dy =-芯户.

Таким образом,

/(/) + 工户=- //4^ - 0(/)，/€k.

г-^

Правая сторона написанного равенства аналитична для /£К, и ее производная равна

/ /(2 — /Г? dx dy —屮⑵=—/ J(2 — /)" dx dy —

—J J(2 — О" dxdy = — J J(2 — /)-2 dx dy.

Очевидно, что последний интеграл в правой части не зависит от радиуса Г, если Г содержит точку /, и разность между ним и аналогичным интегралом по кругу того же радиуса с центром в точке / стремится к нулю при г—оо. Поскольку значение по-

следнего интеграла всегда равно нулю, то

dx dy = 0・dx dy = 0・/ (/)=—化产 + const./ (/)=—化产 + const.(7.61)(7.61)Следовательно, сумма /(/) +л/*( имеющая нулевую производную, равна постоянной, т. е.

dx dy = 0・

dx dy = 0・

/ (/)=—化产 + const.

/ (/)=—化产 + const.

(7.61)

(7.61)

Если мы устремим теперь / к S, это тождество останется справедливым и на кривой 工 На основании непрерывности функции /(/) правый член представляет граничные значения аналитической функции /(/) для / вне области К・ Теперь мы определим еще две функции

/?(/) = /(/) + тс/, ,(/) = /")——芯我

Эти функции аналитичны повсюду в окрестности S, лежащей вне К, причем на основании равенства (7.61) действительная часть р(/) и мнимая часть g(f) стремятся по мере приближения к £ к постоянным величинам. Так, например, согласно принципу отражения Шварца, если внешность К отображается на единичный круг, то р«) и g(f) становятся аналитическим и функциями, непрерывно продолжаемыми через дугу круга, соответствующего S. В частности, они аналитичны на такой дуге и, следовательно, /= 〔/2乳[p(f) —</(/)], если S — аналитическая кривая.

Итак, мы доказали, что части W, не лежащие на С или на линиях |х| = т, являются свободными линиями тока со скоростью q на них, т. е. доказали следующую теорему.

Теорема 13. В условиях теоремы 11 часть границы В, не лежащая на С 〃反| =加 или на неподвижной границе, является аналитической кривой и свободной границей.

Соответствующий результат справедлив также и в осесимметричном случае. Распространение на этот случай метода внутренних вариаций возможно непосредственно, однако доказательство аналитичности связано с большими трудностями.

ПРИМЕЧАНИЯ

См. гл. I, п. 14; гл. V, п. 3; гл. VI, п. 6; см. также Bergman S., ZaMM, 12 (1932), 95—121.

См. также Weinstein A., Rend. Acad. Line el, 4 (1926), 119—123; там же, 5 (1927), 157—161.

Превосходное изложение метода, выполненное самим Вайнштейном, см. в работе Proc, First Canad. Math. Congress, 1945, pp. 355—364; Proc. First Symp. Appl. Math., Amer. Math. Soc., 1949, pp. 1 —18; [102].

Appl. Meeh., Zurich, 1926,Appl. Meeh., Zurich, 1926,Hamel G., Proc. Ilnd Intern. Congr. pp. 76, 489; Weyl H., Gott. Nachr. (1927), 227.

Appl. Meeh., Zurich, 1926,

Appl. Meeh., Zurich, 1926,

Аржаников H. С., Матем. сборник, 35 (1928); Мясников П. В., y<iеные записки МГУ, № 7 (1937); Калинин С. В., Диссертация, МГУ, 1935; Слезкин Н. А., ДАН СССР, 2 (1935); Секерж-Зенько- вич Я. И., Труды ЦАГИ, № 299 (1937), № 354 (1938); Берман Я- Р-, 〃,ММ, 13 (1949), 543-546; Калинин С. В., Изв. АН СССР, ОТН (1950), 966—984; К у ф а р е в П. П., ПММ, 16 (1952), 589—598. В ранних работах рассматривались главным образом препятствия в форме дуг круга.

Picard Е., Traite d'analise, 2 nd ed., vol. 2, p. 301. Обобщенный метод был дан Адамаром около 1930 г., а для банаховых пространств — Кач- чиополи и др.

Поскольку непрерывные функции, если определять «расстояние» между ними по норме (7.4), образуют так называемое банахово пространство или В-пространство в смысле Банаха (Банах С” Курс функционального анализа, Киев, 1948).

Я. И. Секерж-Зенькокич показал, что если препятствие описывается аналитической функцией, то функция cps (Л1) тоже аналитична (см. приме- чанне 4).

Преобразование называется вполне непрерывным, если оно непрерывно и переводит ограниченные множества в компактные.

На языке топологии условия (1) и (2) означают, что индекс х = F0[x] в равен 1； Fo и Ff — гомотопны.

Zygmund A., Fund. Math., 13 (1929), 284—303. Здесь и ниже во избежание недоразумений мы пишем 0(а) = 0(/(а)).

и) Зигмунд А., Тригонометрические ряды, М.― Л., 1939.

Так, например, решение /(d)三 0, отвечающее М = 0, строго говоря, не соответствует задаче струйного обтекания.

Харди Г. Г. и др., Неравенства, М., 1948. Как и в гл. VI, и. 4, С仇=С0д (а) обозначает функцию С[0д (/ (а))], С|3 обозначает функцию, сопряженную с В(о), и т. д.

м) Для того чтобы это доказать, допустим, что Л (/) и В (/) — функции, аналитические на |/| < 1, принимающие действительные значения на действительной оси, действительные части которых совпадают соответственно с а (а) и 3(о) (0 л) при / = с'11. Тогда

2 / (аСЗ + ЗСа)而=—Re，/(/)8 (0 dt/t, О

где интеграл берется вдоль 騎=1; поскольку выражение Д (0)3(0) действительно, интеграл обращается в нуль.

Kravtchenko J., Л de math., 20 (1941), 35—239; Ann. sci. ес. norm, sup., 62 (1946), 233—268; 63 (1947), 161—184； О u d a r t A., J. de math., 22 (1943), 245—320; 23 (1944), 1—36; Huron R., Ann. fac. sci. Toulouse, 15 (1951), 5—78; Theron P., C. R. Acad. Sci. Paris, 228 (1949), 1922—1923; [80]; [81].

Теория, развитая в п. 5 и 6, становится неприменимой, например, в случае М<。——вогнутой круговой дуги, когда уравнение (7.14) может иметь 0, 1 или 2 решения. Однако с помощью методов п. 3 и 4 можно показать существование единственной бесконечной каверны, соответствующей произвольной вогнутой круговой дуге с углом, не превышающим л.

Значительная часть теоремы 5 содержится в общей теории интегральных уравнений Хаммерштейна [Hammerstein, Acta Math., 54 (1930),

117—176]. О сходимости процесса последовательных приближений, см. гл. IX, п. 8.

) Всякая неподвижная точка строго выпуклой функции в линейном пространстве дает строгий минимум (это очевидно в одномерном случае). Следовательно, эта точка единственна.

Когда оператор D[fv] ограничен, это условие, конечно, выполняется, если функция / положительна также и на концах отрезка; если же f на них обращается в нуль, то достаточно, чтобы ее производные в этих же точках отличались от нуля. Сказанное справедливо для функций f, входящих в формулы (6 18), (6.20в), (6.28〃)и (6.32').

& XR — пространство всех пар (入，а),入 € &,仪 W R, с нормой (伍旷+壮)反

2°a)Weinstein A., Math. Z., 19 (1924), 265—274.

ФункцияЛ(/) допускает интересную интерпретацию. При любом е > О функции

"(?)= ц0g吗叭⑺=(I +簪)取(/)

определяют течение около препятствия с кривизной К@ = К +。(&); в фиксированной точке физической плоскости комплексный потенциал W? является функцией только е и ее производная lim (UZ6 —取)/£ в точности равна А.

е т О

В этой интерпретации некоторые результаты этого и следующего пунктов могут быть обобщены на трехмерный случай.

См. Weinstein A., Math. Z., 19 (1924), 265—274; Hamel G., Proc. Ilnd Intern. Congr. Appl. Meeh., Zurich, 1926. pp. 76, 489; Weyl H., Nack、Ges. Wist Gottingen (1927), 227; Finn R., Л (^analyse math., 4 (1956), 246—291.

Эта квадратичная форма тесно связана со второй вариацией по е в течениях, описанных в примечании 21 (см. [89]). Очевидно, что подинтегральное выражение в правой части равенства, как и в последующих формулах, имеет только изолированную особенность при |3 = 0.

23а) Zarantonello Е. Н., Analycity of minimizing curves, Depart. Mathem., Harvard University. (В настоящем издании эта работа помешена в качестве п. 12, 13 этой главы. — Прим, ред.).

Полное изложение вопроса см. в книге Полна Г., Сеге Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, М., 1962.

Бляшке В., Дифференциальная геометрия, т. 1, ОНТИ, М.—Я., 1935.

См. [25. § 4); Р а у п е L. Е” Weinstein A., Pacific 丄 Math., 2 (1952). 633-638.

2ба)Здесь имеется некоторая неясность относительно необходимости налагаемых условий, а также ряда деталей доказательства.

Если не требовать, чтобы варьируемые границы Е были ограничены полосой 図《т, то это утверждение при Q > 0, вероятно, не будет справедливым. Чтобы убедиться в этом, следует рассмотреть случай, когда 8 аппроксимирует сфероид большого удлинения, для которого ^(В)/объем (В) < Q (см. [51, гл. V7]).

Stone М. Н„ Linear transformations in Hilbert space, N. Y,, 1932, p. 165.

Cm, Garabedian P. R,, Schiffer M., Convexity of domain functionals. Tech. Rep. № 11, Appl, Matli. and Statistics Lab., Stanford Univ,, p. 23.

Schiffer M., Am. /. Math., 68 (1946), 529—540; Курант P., Принцип Дирихле, Конформные отображения и минимальные поверхности, ИЛ, М., 1963.

Если f находится вне каверны, то уравнение (7.60) должно быть заменено на

/ /（2-i）2了（）кПе

где £ = 21д^/дг——комплексная скорость. Соответственно, на кривой 2r вели

чина *(£) совпадает со скачком функциичина *(£) совпадает со скачком функцииЭтот фактЭтот факт+ Q Г f dx dy

чина *(£) совпадает со скачком функции

чина *(£) совпадает со скачком функции

Этот факт

Этот факт

J J 1г 二旷

может быть использован для непосредственной проверки того, что |^|2 = 1 + Q

на %.

ГЛАВА VIII

Течения сжимаемойи тяжелой жидкости

Уравнения годографа. Многие методы гл. II—VII могут быть применены к исследованию дозвуковых течений сжимаемых невязких жидкостей. Это будет показано ниже в п. 1—7; сверхзвуковые течения (которые связаны с ударными волнами и другими усложнениями) будут рассматриваться в п. 8—9. Кроме того, некоторые из методов гл. II—VII можно применить к свободному движению несжимаемых невязких жидкостей под действием сил тяжести; это обобщение будет рассмотрено в п. 10, 11.

В дальнейшем мы будем рассматривать установившиеся безвихревые плоские течения невязкой жидкости. По-прежнему будем считать, что р обозначает плотность, а и, и — компоненты скорости соответственно в направлениях осей х н у. В этих обозначениях локальные условия отсутствия вихрей и сохранения массы эквивалентны уравнениям

% = % (ри).г + (р^)у = о, (8.1)

где индексы обозначают дифференцирование по х н у. Они также эквивалентны условию существования потенциала скорости U и функции тока V, удовлетворяющих уравнениям

(8.2а)(8.26)(8.2а)(8.26)_ dU — ро dV辽Р ду *

(8.2а)

(8.26)

(8.2а)

(8.26)

_dU _р0 дУ

© — ду —~ дх

в которых ро обозначает плотность торможения. Из равенств (8.2а) и (8.26) перекрестным дифференцированием получим

(pUJ+(p%)y=o・(pUJ+(p%)y=o・(8.3)(8.3)

(pUJ+(p%)y=o・

(pUJ+(p%)y=o・

(8.3)

(8.3)

Рассматриваемое течение удовлетворяет уравнениям движения Эйлера для сжимаемой невязко宓 жидкости тогда и только

16 Г. Биркгоф

тогда, когда давление удовлетворяет уравнению Бернулли,

g dq -]—^^ :» 0)

где g = ]/*〃2 + @2— местная скорость течения. Течение является изэнтропическим (что обычно означает адиабатичность) тогда и только тогда, когда р п р связаны уравнением состояния !) в виде p = f(p), где f(p)—возрастающая функция р. Производная f(р)= 办/dp = U равна квадрату местной скорости звука с, так что М = q[c— местное число Мйха. В дозвуковых течениях всюду выполняется условие М < 1; такие течения будут рассматриваться в п. 1—7.

В интегральной форме уравнение Бернулли для изэнтропического течения сжимаемой жидкости, очевидно, имеет вид

手 + / 一办=4(8.4)

где p = f(p) и А — постоянная Бернулли. Из этого уравнения следует, что д, р, р и М являются однозначными монотонными функциями друг друга [см. формулы (8.11), (8.1 Г) и (8.26), (8.27)]. Выполняя необходимые подстановки в уравнение (8.3) и учитывая, что q= и：+и；， получаем нелинейное дифференциальное уравнение относительно потенциала скорости U, которое в случае дозвукового течения имеет эллиптический тип.

Известно, что предыдущие уравнения движения становятся линейными, если в качестве независимых переменных взяты компоненты скорости. Вводя, как и в гл. II—VII, комплексную скорость

口=在一2可=ge一▼,(8.5)

из соотношений (8.2а) — (8.26) получаем

U dz = (〃 —》@) dx + (d + ш) dy = dU 十》^ dV.

Эта формула дает выражение полного дифференциала комплексной координаты

dz = dx +，dy = L(dU+吟叫. (8.6)

На основании этого выражения, а также на основании тождества Zq@ = %q сразу получим уравнения движения в плоскости годографа скорости

0U _ _ % (1 — АГ)。『 dU _ 2^_ di(8 7)

dq — pg d?，0?一p dq , l

которые напоминают уравнения Коши — Римана. В самом деле, в несжимаемой жидкости М = 0 и р"р = 1, так что они становятся в точности уравнениями Коиш—Римана в сопряженных независимых переменных In q н ?

Хотя предыдущий вывод является строго локальным и может быть даже затруднен, если якобиан d(g, ^)1д(х, у) обращается в нуль или в бесконечность, мы будем избегать случаев, в которых такие затруднения возникают2), применяя уравнения (8.7) только к дозвуковым течениям.

Исключая потенциал скорости U из уравнений (8.7), получаем уравнение относительно функции тока

与+死(1-竺)礬=0.(8.8)

Несколько частных решений уравнения (8.8) можно получить сразу. Так, например, радиальное течение определяется соотношением U = /д, которое, очевидно, удовлетворяет уравнению (8.8) для любого й. Далее, локально безвихревое течение одиночного вихря с концентрическими круговыми (свободными) линиями тока можно получить [учитывая, что р = р(д)] путем интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения poqdV = pdg или

丿=/(爲)歯=屮(办(8.9)

В более общей форме, любая линейная комбинация u=*? + 为冲(g)

представляет собой течение, аналогичное вихреисточнику, со спиральными линиями тока, которые конгруэнтны друг другу при вращении их около неподвижного центра симметрии.

Уравнение состояния Чаплыгина. В гипотетическом случае идеальной жидкости, уравнение состояния которой имеет специальную форму Чаплыгина [93]

0 = 4)—今，(8.Ю)

предыдущие уравнения сильно упрощаются3). Действительно, как будет показано ниже, математическое исследование оказывается не более сложным, чем в случае несжимаемой жидкости.

Очевидно, что с2 =『(р) = fe2/p2, откуда М = q^k. Кроме того, уравнение Бернулли (8.4) сводится к уравнению

"9J7T =^-(8/1)

(& 11')(& 11')Следовательно, обозначая С = —2Л, получаем М2=1—с£,1—М2 = (^)р2.

(& 11')

(& 11')

Таким образом, в зависимости от выбора знака константы Бернулли С течение будет везде только дозвуковым, звуковым или сверхзвуковым; в п. 1—7 мы рассмотрим только первый случай, соответствующий С > 0.

Согласно соотношению (8.1 Г) при М = 0 величина Cjk2 = =1/р* Следовательно, уравнения (8.7) [с учетом (8.11')] приводятся к уравнениям вида

dU р дУ дЦ р0^ дУ

Вводя новую переменную h =Вводя новую переменную h =J(p/po)dg/g,J(p/po)dg/g,которая однозначнокоторая однозначно

Вводя новую переменную h =

Вводя новую переменную h =

J(p/po)dg/g,

J(p/po)dg/g,

которая однозначно

которая однозначно

определяется скоростью q или плотностью р, получаем уравнения Коши — Римана

dh — dy，/ — dhdh — dy，/ — dh(8.12)(8.12)

dh — dy，/ — dh

dh — dy，/ — dh

(8.12)

(8.12)

графаграфапсевдогодо-(8.13)псевдогодо-(8.13)Вводя комплексную переменную так называемого

графа

графа

псевдогодо-

(8.13)

псевдогодо-

(8.13)

(о =干 + /Л,

видим, что W((о) является аналитической функцией комплексного переменного, как и в несжимаемой жидкости.

Теперь выберем единицы измерения так, чтобы было ро = = 々 = 1; тогда уравнение (8.11) сводится к равенству ф = =р-2 — 1, поскольку — 2А = С =评階 Очевидно, что тогда

h = f^ = -b^ = -fv^ = i^^(8-14)

и, обратно, получаем выражение плотности р в зависимости от переменной й,

р —= — th Л, откуда q= — sch Л, (8.15)

причем /i < 0 соответствует g > 0 н М = sch /i < 1.

Поскольку дт =——sh h и po/gp = ch h, обращаясь к формуле

получаем

dx= ~shh coscp dU — ch Л sin 勺 dV = — Im (sin w dW\ (8.16a)

dy = — sh 力 sin co dU 十 ch 力 cos 中 dl/ = Im (cos ^dW).(8.166)

Отметим, что поскольку вообще \dx/dU\ Ф \dy/dV\, то z(W) не является аналитической функцией комплексного переменного. В принятой нормировке (尼=1) случай несжимаемой жидкости не является предельным.

Теорема 1. Пусть функция 步=/(白)определяет несжимаемое течение Ф, максимум модуля скорости которого 同=1 достигается на свободной линии тока. Тогда при каждом числе Маха на свободной линии тока М = sch Н < 1 существует течение идеальной сжимаемой жидкости (8.10) при 尼=1, определяемое комплексным потенциалом W = /(ея~iw). Оно имеет ту же самую область изменения Wt геометрически подобные свободные линии тока и те же самые направления скорости на бесконечности, как и течение несжимаемой жидкости Ф.

Доказательство. Согласно формулам (8.12) и (8.13), W = f(eH -iw) определяет для 步=，1口(/叱)течение Ф‘ идеальной сжимаемой жидкости (8.10). Кроме того,步 н 屮 будут одинаковыми в соответствующих точках Ф и Ф\ включая и бесконечно удаленные точки. При |& = 1 имеем h = Im((o)= —", что дает свободную линию тока течения Ф' с числом М = =—sch Н и

x = sh " Jx = sh " Jcos”U,cos”U,y = sh〃/sincp dU,(8.16в)y = sh〃/sincp dU,(8.16в)

x = sh " J

x = sh " J

cos”U,

cos”U,

y = sh〃/sincp dU,(8.16в)

y = sh〃/sincp dU,(8.16в)

где 屮(U) —та же самая функция, что и в данном несжимаемом течении. Следовательно, свободные линии тока этих течений геометрически подобны и находятся в отношении 1 : sh Н. Далее, толщины струй (измеренные поперек эквипотенциальных линий) возрастают 車 сжимаемой жидкости в отношении 1 : ch //, в то время как отношение их длины к толщине умножается на отношение плотностей р/р0 = —th Н.

В частности, если область годографа скорости расположена по одну сторону от прямой линии, проходящей через начало координат, то соответствующее течение сжимаемой жидкости не будет иметь самопересечений в физической плоскости.

Течения около клиньев. Большую часть результатов гл. II и III, относительно струйных идеальных плоских течений около клиньев можно обобщить с помощью теоремы 1 на любой газ Чаплыгина, удовлетворяющий уравнению состояния вида (8.10). (Чтобы упростить формулы, мы продолжаем считать, что единицы измерений выбраны так, что ^ = С = k = 1.) Даже численный расчет по существу не оказывается более трудным. Изложим теперь это обобщение.

Годограф в виде кругового сектора. Сначала рассмотрим любое течение, имеющее годограф в виде кругового сектора

с центральным углом n/м. Путем поворота можно добиться, чтобы угол находился в пределах 0 < ср < к/n, а величину й на свободной линии тока можно считать равной величине —Н < 0. Тогда переменная м((о + Ш) определяется в той же полуполосе

Im [п 3 + £")] < 0, 0 < Re [п 3 + £")] < и, (8.17)

что и аналогичная переменная(о = г In ^ в случае несжимаемой жидкости. Поэтому переменная Т = —cos n((o + /Я) изменяется в верхней полуплоскости. Следовательно, комплексный потенциал течения с годографом скорости в виде кругового сектора будет удовлетворять, как и в теореме 5 гл. III, уравнению вида

疆=-^! (m=l, 2 или 3).(8.18)

Если использовать квадратную сетку для переменной л((о + 1Н), то значения Т можно вычислить по итерационным формулам, как описано в гл. IX, п. 6. Тогда координаты х, у точки определяются по формулам (8.16а) — (8.166) путем численного интегрирования гармонических функций

x =--Imx =--Im(/sinu)dW)= — Im /(/sinu)dW)= — Im /sin ⑴ sin 几(⑴ + iH)sin ⑴ sin 几(⑴ + iH)(7-G)(7-G)d (〃s)d (〃s),(8.19a),(8.19a)

x =--Im

x =--Im

(/sinu)dW)= — Im /

(/sinu)dW)= — Im /

sin ⑴ sin 几(⑴ + iH)

sin ⑴ sin 几(⑴ + iH)

(7-G)

(7-G)

d (〃s)

d (〃s)

,(8.19a)

,(8.19a)

y = Im (/ cos co dU^) — Im / 皆 片⑴。'8 + "") d m9).(8.196)

П(7'-Л)

Таким образом, х и у оказываются гармоническими функциями со, хотя и не сопряженными гармоническими функциями. Из этого следует, что квадратурные форм^^лы гл. IX, п. 6 можно использовать без потери точности результата.

Кроме того, если sins и cos(о заменить их линейными выражениями через показательные функции ен-^,废吁弋 то х и у могут быть выражены по формулам (8.16а) и (8.166) в виде интегралов, аналогичных интегралам в случае несжимаемой жидкости (гл. II, п. 9), так что и в этом случае возможен аналог конечных формул Мизеса и выражений через неполные бета-функции.

Принцип отражения. Если область годографа неоднолистна, то можно применить принцип отражения гл. III, п. 2 и 3. Рассмотрим течения в односвязной области, ограниченные клином

(или пластиной) и одной свободной линией тока (мы не будем делать различий между бесконечно удаленными и обычными гочками). Вновь используем комплексный параметр /, изменяющийся в единичном полукруге. Начало координат в плоскости f соответствует вершине клина (или критической точке па пластине), а точки / = ± 1 соответствуют точкам отрыва, так что граничный диаметр —!</<；! соответствует клину, а полуокружность |f| = 1—свободной линии тока. Тогда переменная Т = %(f + 尸)определена в нижней полуплоскости, а функция тока R—кусочно постоянна на действительной оси Г. Учитывая это свойство, функцию dW/dT можно определить, как и в гл. III (теорема 2), изучая ее нули (критические точки) в нижней полуплоскости и особенности (разрывы, источники и стоки) на действительной оси.

Аналогично, экспонента е^н-沁)является рациональной функцией /, нули и полюсы которой можно определить, применяя принцип отражения, как в гл. III, п. 7. Исходя из этого, хну могут быть получены численной квадратурой по формулам (8.19а) и (8.196).

Криволинейные препятствия. Путем аналогичного обобщения методов, описанных в гл. VI, можно также строить течение газа Чаплыгина около криволинейных препятствий33).

Используем снова параметрическую переменную f Леви- Чивита и отметим тривиальный факт, что функции W(f) и Q (О сохраняют свой смысл. Вместо комплексной скорости используем ее аналог

L = e"3 = ei = e-H (^^丫 (八， (8.20)

где Q = 6 +，т и Н зависят от числа Маха М — sch Н, На свободной границе, на которой f принимает действительные значения, т = 0. Отсюда, применяя принцип отражения к функции т, почти также, как в гл. VI [см. формулы (6.8а) и (6.86)], получаем

6 = % + % cos о + % cos 2。+ • •・, (8.21 а) т = dj sin с + d2 sin 2c -]- • • • . (8.216)

На неподвижной границе 九 步一Н и, следовательно,

加+"加+"J cos аС I 1 + sin аJ cos аС I 1 + sin а(8.22)(8.22)

加+"

加+"

J cos а

С I 1 + sin а

J cos а

С I 1 + sin а

(8.22)

(8.22)

откуда можно вычислить q~} = sh (—力)= %(е~" — е“)” Затем путем интегрирования можно определить длину дуги вдоль

厶=(8.23)厶=(8.23)неподвижной границы

厶=

(8.23)

厶=

(8.23)

丿$ /][(l_”cosa)

(-(，忆⑷

В соотношении (8.23) L соответствует параметру М гл. VI и VII； функции 尸 1(d) и 尸2(о) суть

Е 9) = е土"sin。丨 cos (1 土 sin c)₽

и не зависят от 步(f). Отметим, что функции 尸Ко) не имеют никаких особенностей в интервале 0 ＜； о ^ к, если р ＜； 1. Так, в случае гладкой стенки § = 1 н

尸](о) = е" sin о (1 + sin с),

尸29) = ^*Hsin с(1 — sin с).

Наконец, используя уравнение для кривизны 曲/力= —К (6) dl/da и применяя рассуждения, приводящие к уравнению (6.16), получаем аналогичное интегральное уравнение

入=厶кm) • [,9)e-D入—以"e叫.(8.24)

Здесь )、=—d6/d＜5 и v.(o) = e(o)/II(l-a&cos с); функции 6 = JA и DA = т вычисляются по формулам (6.14a) и (6.14г). Кроме того, разрешая уравнение М = sch Н (теорема 1), находим еИ= М-1(Ц- /1 — М2),е-" = МТ(1 —Ml —М?).(8.24*)

В результате, мы доказали следующую теорему.

Теорема 2. Дозвуковые течения газа Чаплыгина около препятствия Р, имеющего кривизну х = К(6) постоянного знака, взаимно однозначно определяются функцией Х(о), удовлетворяющей интегральным уравнениям вида (8.24) и предшествующим формулам.

Политропическое уравнение состояния. Чаплыгин [93] предложил также метод расчета простых дозвуковых течений с годографами в виде кругового сектора, отправляясь ог соответствующих течений (гл. II и III) несжимаемой жидкости, для любого газа, удовлетворяющего политропическому уравнению состояния 4)

р— Ри = *(8.25)

Изложим кратко метод Чаплыгина, который был развит также и другими авторами 4а).

В случае политропического уравнения состояния уравнение Бернулли принимает вид

Р = Ро(1 — т)*(8.26)

где

、2硏?『'、2硏?『'Уравнения так:Уравнения так:движения в плоскости годографа (8.7) запишутсядвижения в плоскости годографа (8.7) запишутся4 =4 =[1-т(2В + 1)] у2T (1—т)Р+1 屮[1-т(2В + 1)] у2T (1—т)Р+1 屮(8.28)(8.28)qq2T(l-К2T(l-КК.К.(8.27)

、2硏?『'

、2硏?『'

Уравнения так:

Уравнения так:

движения в плоскости годографа (8.7) запишутся

движения в плоскости годографа (8.7) запишутся

4 =

4 =

[1-т(2В + 1)] у

2T (1—т)Р+1 屮

[1-т(2В + 1)] у

2T (1—т)Р+1 屮

(8.28)

(8.28)

q

q

2T

(l-К

2T

(l-К

К.

К.

Исключая потенциал скорости U, получаем дифференциальное уравнение для функции тока V (см. 8.8)

早[2т (1 — т)' 匕]+ ；二侔 += о. (8.29)

дт2T (1—г

Частные решения этого уравнения можно найти методом разделения переменных. Полагая V = Bmtm/2尸^(t) sin (/nS + em), где Вт и £т—постоянные, получаем для функции Fm обыкновенное дифференциальное уравнение

Т(1 — t)K (t)+[(m+ 1) —(m+ 1 —В)т]/4(т) ++ ^(m+1)^(х) = 0.

которому удовлетворяет гипергеометрическая функция

Fm (t)=尸(a,瓦 с; t) = 1 + а •从 + “(；X；c睪产 У + …，(8.30)

где а + Ь = /п — ^ с = m + I и ab = —%8/п(/п + 1). Поскольку уравнение (8.29) линейно, любой сходящийся ряд вида

U=W 87n//2尸т(т) sin(叫+ %)(8.31)

со сходящимися производными будет решением уравнения (8.29).

Рассмотрим теперь течение сжимаемой жидкости, ограниченное прямолинейной стенкой и свободной линией тока с постоянной на н. и дозвуковой скоростью д» Тогда бит поочередно постоянны на границе. Сравним это течение с течением несжимаемой

жидкости, . имеющим ту же самую неподвижную стенку и свободную границу с той же скоростью 夕> Комплексный потенциал несжимаемого течения W\ = U\ + z'Vi — аналитическая функция от zcdi = In (С/'о). Предположим, что Wi разлагается в ряд вида

wx = k^ iB^{ + 2 А„ (е；ш')2л, кп = Впе1^, (8.32) тогда функция тока выражается в виде ряда

%=A+纱+ £当(乎)"Sin (2呼+%). (8.33)

Таким образом приходим к следующей теореме Чаплыгина.

Теорема 3. Если ряд (8.33) представляет собой функцию тока несжимаемого течения, ограниченного прямой линией и свободной границей, то ряд

У=А + В^+^Вп 目"(登鳥卜 in (2 阴十 a〃) (8.34) является функцией тока течения сжимаемой жидкости, имеющего ту 宛е самую неподвижную 〃 свободную границу с той же скоростью на ней.

Доказательство. Во-первых, проверим, что функция V (8.34) удовлетворяет соответствующим граничным условиям. Для т = то правая часть разложения (8.34) совпадает с правой частью разложения (8.33) и, следовательно, V постоянна на свободной линии тока. Кроме того, поскольку % постоянна вдоль прямолинейной части границы g = до то, очевидно, sin (2мдо + ап) = 0 для всех значений п. Следовательно, V также постоянна при g = фо-

Во-вторых, мы видим, что ряд (8.34) формально удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.29) для функций тока политропических течений. Доказательство того, что ряд (8.34) не только формально удовлетворяет уравнению, но и сходится к решению, требует тонкого исследования сходимости, которое здесь не может быть прнве几ено').

За примерами приложений этой теории к струям из щелей и воронок, к струям, набегающим на пластинки и т. д., мы отсылаем читателя к специальной литературе，1а).

Теоретически преобразование Vi -> V с помощью рядов (8.33) и (8.34) дает также возможность строить кавитационные течения сжимаемой жидкости около криволинейных стенок, исходя из аналогичных несжимаемых течений. Однако, поскольку форма границ изменяется при этом довольно сложным

образом, описанный метод в таких случаях, по-видимомут не совсем подходит.

Общее уравнение состояния. Совсем недавно Берг получил доказательство теоремы существования и единственности п,ля дозвуковых течений сжимаемой жидкости, имеющих более общее уравнение состояния, тем самым обобщая на случай сжимаемой жидкости часть результатов гл. VI и VII6).

Приведем теперь это обобщение. Для простоты рассмотрим только симметричные кавитационные течения в неограниченном потоке около (симметричных) стенок с углом при вершине gm Первый шаг состоит в том, чтобы получить соответствующую систему интегральных уравнений.

В этом изложении удобно привести уравнения движения к симметричной форме, принимая за независимые переменные 也= /(1 — M2)%dg/g и <р7), тогда

综=学L,(8.35a)

学М1 —М2察.(8.356)

В частном случае газа Чаплыгина эти уравнения сводятся к уравнениям (8.12). Определим далее функцию & = ехр (—沁)= =exp (h —加)，как в формуле (8.20). Очевидно, что вдоль свободной границы (границы каверны) величина h постоянна, как и в п. 4; обозначим ее через —Н.

Первый шаг доказательства заключается в отображении течения симметрично, как в гл. VI, на единичный полукруг Г,

|/|< 1,Im/>0,(8.36)

так, чтобы неподвижная граница отобразилась на дугу f =。迎 (O^dWr), свободная линия тока отобразилась на диаметр —1 < / < 1, а функция 匕(f) была комплексной аналитической функцией. Существование такого отображения следует из обобщения 6) основной теоремы конформного отображения, которая применяется в ее обычной форме, когда область изменения 工 («искаженный годограф») однолистна.

Вследствие симметрии критическая точка переходит в точку / = Л Следовательно, как и в гл. VI, п. 2, если мы напишем

l=厂("^4)%*3 Q (/) = 8+ 反， (8.37)

то Q(/) будет комплексной аналитической функцией от /, регулярной в области 1\ принимающей действительные значения на

действительной оси и обращающейся в нуль при / = 0. Кроме того, по принципу отражения Шварца (гл. III, п. 2) она может быть аналитически продолжена в круг |/| < 1. Принимая во внимание замечание о симметрии, можно написать

2 (/) = axt + ^3 + а^ +2 (/) = axt + ^3 + а^ +(8.38)(8.38)

2 (/) = axt + ^3 + а^ +

2 (/) = axt + ^3 + а^ +

(8.38)

(8.38)

Корме того, поскольку ；(£) и ①(f) —аналитические функции комплексной переменной t, из уравнений (8.35а) и (8.356) можно вывести аналогичные уравнения с независимыми переменными § и Т] « = Е + 衍)

dU dVdU dV

где коэффициент a = a(/i, f) может быть определен с помощью (8.37), если заданы функция Q(/) и уравнение состояния.

Введем теперь комплекснозначную функцию

《)=筝一黑嗡+货卜 (&40)

С использованием обозначенийС использованием обозначений(* — знак сопряжения)爲=^俣+»备)

С использованием обозначений

С использованием обозначений

эта функция может быть записана в виде

r(/)=岸r(/)=岸dWdW

r(/)=岸

r(/)=岸

dW

dW

В случае несжимаемой жидкости r(f) сводится к производной dW/dt. Можно показать, что в сжимаемой жидкости г(/) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению. Пусть

Q' (/)—Q' (/)—2。l+尸j2。l+尸j

Q' (/)—

Q' (/)—

2。

l+尸j

2。

l+尸j

Как и а, функция ц = p(/i, f) определяется функцией Q(/) и уравнением состояния.

Непосредственно из уравнений (8.39) получим

ar (/) = е -^- , аг (/) = — z 丽"♦

Дифференцируя по /* и / соответственно и складывая, получаем

d (ar) I д (ar*)—"dF1 дГ~ =

проведя дифференцирование, найдем

产十门.产十门.(8.41)

产十门.

产十门.

Обращение в нуль функции тока V вдоль границы означает, согласно (8.40), что функция r(f) принимает действительные значения на действительной оси и что функция "(f) чисто мнимая на полуокружности f = eht 0 Md V^・ В точке f = i (соответствующей точке разветвления) функция г(/) должна обращаться в нуль, а в точке / = 0 она должна стремиться к бесконечности. Мы предполагаем, что в этих точках функция ведет себя так же, как в случае несжимаемой жидкости. Используя некоторую неизвестную функцию Л(/), запишем равенство

r(/)=厂1(/)外也 (8.42) где 厂1(/)=附(/ —厂)/4 совпадает с функцией г в случае несжимаемой жидкости. Очевидно, что функция Л(/) действительна на границе, и что, не теряя общности, можно принять Л(0) = 1. Подставляя выражение (8.42) в уравнение (8.41) и принимая во внимание аналитичность функции А(/), получим дифференциальное уравнение относительно Л(/)

+ 湍 (8.43)

Наконец, записывая (8.6) в зависимости от 厶 получаем выражение комплексной координаты z в физической плоскости

么=「耳(1 +^а)г(/)% + ^(1 -^а卜(/)(〃)*]. (8.44)

Следовательно, как комплексная скорость, так и положение точек определяются формулами (8.37) и (8.44) через аналитическую функцию Q(/) и комплексную функцию Л(/), удовлетворяющую дифференциальному уравнению (8.43).

Интегральные уравнения. Определение функций Q и Л в прямой задаче построения течения около заданного препятствия, как сейчас будет показано, можно свести к решению системы интегральных уравнений.

Взяв модуль от обеих частей соотношения (8.44), получим выражение элементарной длины дуги dl вдоль препятствия (f = e历)，

dl = I С1 \ \r(t)dt\ = Мд7«А ⑷ sin о | cos с [ do. (8.45) Комплексная скорость 白 и переменная £ (искаженная скорость) имеют один и тот же аргумент, и, следовательно, как в гл. VI, п. 2, функция 6(d) совпадает на препятствии с углом, который образует касательная с направлением оси у, Для кривизны контура получим выражение

= 竺一_ — °'G)

d (б> sin а I cos а I'

Таким образом, если контур препятствия задан своим естественным уравнением 乂 = ^(0) (см. гл. VI, п. 3), то для 入=—况仇 получается интегральное уравнение

)、=МКУ^ (о)] q —I?】⑺ sin о i cos a I.(8.46)

Чтобы пояснить зависимость q от Q, запишем ^~' — Q (| j)' где Q — известная возрастающая функция [см. примечание6)]. На основании (8.37) имеем, далее,

д-i = Q \еИ((1 + sin о)/ ] cos с I У е-т(б

и, следовательно, интегральное уравнение (8.46) преобразуется к виду

入(0)=儿3(。《[8(咏市0丨coso]Q [e"(-^^)‘ет(。)] , (8.47) л/2

где т = DX, 0 — J 入厶，как и в m. VI. Это уравнение соответ

ствует уравнению (6.16) гл. VI. Кроме того, можно вывести аналог уравнения Вилла (6.15).

Уравнение (8.47) все еще содержит неизвестную функцию Л. Выведем теперь интегральное уравнение для ее определения. С этой целью применим к функции Л(/) обобщенную формулу Коши (для полукруга)

дЛ (Г) 丁“，

A ")=击 § 吋〃一打 /,(8.48)

которая справедлива для любой комплексной функции. Эта формула следует из классических тождеств теории потенциала

которые получаются путем применения первой формулы Грина [42. стр. 212] соответственно к парам функций [f(f'), Ing — У|] и "(，)，arg (，一 /)]. На основании уравнения (8.43) интегральное уравнение (8.48) принимает вид

А")=备/А")=备/Л (Г) dV 1 г г3口 一 J JЛ (Г) dV 1 г г3口 一 J J-厶二,ay對，.-厶二,ay對，.(8.49)(8.49)

А")=备/

А")=备/

Л (Г) dV 1 г г

3口 一 J J

Л (Г) dV 1 г г

3口 一 J J

-厶二,ay對，.

-厶二,ay對，.

(8.49)

(8.49)

Это уравненме содержит функцию 2(2) и, следовательно, содержит л(/) через функцию 卩.Уравнения (8.47) и (8.49) образуют

систему интегральных уравнений (относительно функций 九 и Л), к которым Берг сводит задачу о кавитационном течении сжимаемой жидкости. Полная формулировка задачи содержит также дополнительное условие (условие отрыва), позволяющее, кроме того, определить параметр М. Бергом было доказано путем применения теории Лерэ — Шаудера существование решения уравнений (847) и (8.49) в случае задачи обтекания стенки, помещенной в потоке (см. гл. VII, п. 2 и 3) 6). Из его результатов следует, что существует единственное кавитационное течение для любой симметричной криволинейной стенки, которая пересекается любой прямой, параллельной оси, самое большое один раз, н для любой заданной максимальной (дозвуковой) скорости q.

Сверхзвуковые струи. Структура сверхзвуковых струй и следов весьма сложна, и их математический анализ соответственно труден. Мы отложим исследование сверхзвуковых следов и турбулентной зоны смешения, которая ограничивает сверхзвуковые струи, до гл. XIV, предлагая здесь только некоторые свойства сверхзвуковых струй, которые не зависят от вязкости или турбулентности и которые проявляются, например, при истечении газов из сопел ракетных двигателей и газовых турбин 8).

В рамках ограничений, накладываемых уравнением состояния газа Чаплыгина (8.10), никакая задача о сверхзвуковой струе из щели не имеет решения, поскольку при этом никакое смешанное дозвуковое — сверхзвуковое течение невозможно (п. 2)* Дозвуковая часть течения (вверх по потоку) сверхзвуковой струи из сопла при использовании политропического уравнения состояния была изучена Франклем9), который следовал идеям Чаплыгина [93].

Для правильного понимания поведения плоских и осесимметричных сверхзвуковых струй нужно исходить из экспериментального факта 10), состоящего в том, что такие струи имеют существенно периодическую структуру, которая влечет за собой разрывы скорости и(х) как функции координат. Эта структура была впервые проанализирована Прандтлем и). В этом анализе стенки сопла предполагаются параллельными и основную роль играет отношение 尸=prJpe давления внутри сопла рп к давлению вне сопла ре 12).

Если 尸=1, то простое параллельное течение (см. рис. 5, а) дает точное решение задачи.

В обычном случае 尸 > 1 струя сначала расширяется на краях сопла (волны разрежения Прандтля — Мейера), как показано на рис. 80, а, так что скорость на кромках сопла возрастает скачкообразно. Далее струя продолжает расширяться до тех пор, пока среднее давление нс упадет значительно ниже

давления окружающего газа, достигая минимального значения на оси. Затем она начинает сужаться и проходит таким путем более или менее периодически через несколько циклов чередующихся сжатий и разрежений. ■

Случай 尸 < 1 может быть также реализован при использовании (сужающегося — расширяющегося) сопла Лаваля. В этом случае от краев сопла отходит скачок уплотнения, как показано на рис. 80,6; скорость поперек скачка уменьшается разрывно.

Ри с. 80.Ри с. 80.

Ри с. 80.

Ри с. 80.

Кроме того, цикл чередующихся расширений и сжатий начинается со сжатия.

Длину волны X (периодических) сверхзвуковых струй можно оценить и) методом возмущений для тривиального случая 尸=1, в котором применима линеаризированная теория сверхзвукового течения. Как обычно [7, гл, III], если V=vx + ^ означает потенциал скорости возмущенного течения сверхзвуковой струи с невозмущенной скоростью и, параллельной оси х, и шириной D, то добавочный потенциал ф удовлетворяет волновому уравнению

(M2-nS(M2-nS@2屮I @2屮^7 十 IF@2屮I @2屮^7 十 IF(8.50a)(8.50a)

(M2-nS

(M2-nS

@2屮I @2屮

^7 十 IF

@2屮I @2屮

^7 十 IF

(8.50a)

(8.50a)

а возмущение давления дается формулой

(8.506)

В оригинальной статье Прандтля в качестве и была принята скорость истечения; однако, когда 尸 > 1, средняя скорость струи оказывается большей.

Для периодических возмущений с периодом X = 2к/(о естественно попытаться положить

зх [ cos coy,Y COS ~/j I ,Мм2 — 1〔 4(⑺

соответственно в плоском и осесимметричном случаях. (Как обычно, число Маха М = и/с, где с означает скорость звука.) Чтобы удовлетворить условию постоянства давления на границе струи у = ± D]2 (соответственно 尸= £)/2), примем (wZ)/2) УМ2— 1=冗/2 для плоских струй и (u)D/2)MM2— l = ?i [仇一первый нуль функции /0(^)] для осесимметричных струй. Это дает

入—2兀2 MM2 — 1 (плоские струи),

, (8.51)

1,3 ум2—1 (осесимметричные струи),

поскольку к/仇 ~ 1,3* Эти результаты в первом приближении согласуются с наблюдением.

В плеском случае равенство (8.51) можно вывести более легко [86, стр. 87], предполагая, что все изменения давления распространяются вдоль характеристик. Для значения Р, близкого к единице, характеристики составляют с осью струи угол а, который удовлетворяет условию М = sec а, причем они возвращаются к своему первоначальному положению после двухкратного пересечения струи. На основании этого получаем равенство 入/2。= ctga= /М2 —Л.

Однако, чтобы вычислить 入 для больших 尸 и рассчитать конфигурацию линий тока, нужно использовать метод численного интегрирования (метод характеристик). За подробностями отсылаем читателя к специальной литературе 13).

9・ Струи очень больших скоростей. Большие усилия были затрачены на попытки получения струй очень больших скоростей, используя принцип кумулятивных зарядов (см. п. 10, гл. I). Теория показывает, что для детонационных волн, движущихся параллельно оси со скоростью детонации 加 можно ожидать максимальную скорость струи, равную 2vD 14). Однако, если можно сделать так, чтобы детонационная волна распространялась в направлении, перпендикулярном к оболочке заряда, то скорость струи Vj должна была бы увеличиваться безгранично, по мере того как угол g между стенкой заряда и осью симметрии будет стремиться к нулю, как для плоской (клиновидной), так и для осесимметричной (конической) оболочек.

Теперь покажем, однако, что предыдущее рассуждение не учитывает возможности неструйного разрушения, которого следует ожидать для достаточно малых углов R в плоском случае.

На рис. 81, а показан тип течения, открытый в 1929 г. Буземаном 15) и примененный К* Фуксом к неструйному разрушению клина. Две симметричные ударные волны, составляющие угол о с осью симметрии, распространяются от движущейся точки соударения J (см. гл. I, п. 10) и разделяют течение на три обла-. сти. В каждой из этих областей течение равномерно. Скорость течения перед волной относительно точки J равна Ui=Uo/sing, а скорость и? за волной параллельна оси. Для данного числа Маха М = vjc (с обозначает скорость звука в соударяющемся

Рис. 81.

материале) можно предсказать максимальный угол отклонения 15) б. Особенно примечательно, что полученные таким путем результаты были подтверждены экспериментально16).

Однако следует иметь в виду, что в осесимметричном случае конфигурация, изображенная на рис. 81, а, невозможна ), и поэтому предыдущее теоретическое исследование больше не применимо, а максимальная скорость струи должна быть ограничена другими факторами.

Были опубликованы экспериментальные данные для случая цилиндрической оболочки заряда, разрушаемой путем тороидального взрыва, возникающего мгновенно всюду около круга, ось которого совпадает с осью оболочки заряда 18). Сечение по меридиану, проведенное через ось заряда, показано на рис. 81,6; поскольку угол разрушения р первоначально равен нулю, постепенно возрастая по мере прогрессирования разрушения, то скорость вершины струи приближается к максимально достижимой. Было обнаружено, что в действительности скорость такой проникающей струи, рассмотренной в п. 10, гл. I, никогда значительно не превосходит величины 2uq* Однако, если в каверне будет предварительно создано разрежение, то этой проникающей струе будет предшествовать высокоскоростная (ионизированная) газовая струя со скоростью до 80 км/сек. По-видимому, максимальная скорость, поскольку она существенно зависит

эт атомного веса, была определена на основании кинетической теории газов.

Потенциальные течения в гравитационном поле. Хорошо известно [51, гл. I], что любое решение уравнения Лапласа V 2。= о можно взять в качестве потенциала скорости установившегося идеального течения в гравитационном поле с потенциалом (на единицу массы) G, при условии, что давление р удовлетворяет уравнению

VU・ VU + G = const.(8.52)

Это дает возможность попытаться распространить методы гл. II—VII на случай установившихся плоских течений со свободными линиями тока в гравитационном поле.

В случае, представляющем практический интерес, гравитационное поле однородно. Тогда при соответствующем выборе осей условием того, что линия тока V = Vo будет «свободной» линией тока, является соотношение

|评=VU・ VU=2gy.(8.52а)

Вводя комплексную скорость 工=qe~^ и дифференцируя (8.52а) по длине дуги, получаем

g^ugsin% или ^^ = 3g sin屮， (8.526)

поскольку qds = dU при U = U。* Для таких установившихся плоских течений, как недавно было доказано Леви 19), свободные линии тока оказываются аналитическими кривыми. В связи с этой аналитичностью любое идеальное плоское течение теоретически определяется формой любого участка любой свободной границы.

Справедливо и обратное утверждение： любая аналитическая кривая С, —у = f(x), х = g(—у), у V 0, может считаться свободной линией тока V = 0 идеального плоского течения в поле сил тяжести 20). Предположим, что оси были выбраны таким образом, что условие (8.52а) выполняется. Тогда потенциал скорости U должен удовлетворять соотношениям

х

U =/V?(x)[l+U(x)] dx = Q(x),

° у (8.53)

/ Му [l+g"(y)]dy = Q(y)・

/(0)

Действительные функции х = p(U), у = g(U), обратные по отношению к функциям U = Р(х) н U = Q(y), будут аналитическими функциями в некоторой окрестности С Следовательно,

комплексные степенные ряды z = p(U) + »g(U) можно применить для локального определения аналитической функции комплексного переменного z = h(W) (с производной dz/dW 千 0).

Так, например, если кривая С задана уравнением Зх — =2 (ау — 1)%, то предшествующий метод дает функцию

4

2 = (^) (^ VW - l)s/2 + ib yw, 仁將•(8・53a)

Однако описанный метод обращения не дает никаких указаний о том, как получить течения в целом около данных неподвижных границ. Обычное изложение этого вопроса ведется приближенными методами.

Метод интегральных уравнений. Представляет известный интерес метод (подобный методу гл. VI) определения установившихся идеальных плоских течений в поле силы тяжести, ограниченных свободными линиями тока и полигональными неподвижными границами. Этот метод (метод интегральных

0Рис. 82.0Рис. 82.

0

Рис. 82.

0

Рис. 82.

уравнений) применим к классическим примерам периодических гравитационных волн конечной амплитуды (рис. 82, а); струи, истекающей из щели (рис. 82,6); поднимающихся пузырьков (рис. 82,6); течения через плотину с острым краем (рис. 82, г); течения по плоскому порогу (рис. 82,0) и течения из-под стенки шлюза (рис. 82, е).

Все эти случаи рассматривались в литературе приближенными методами21), однако точные результаты, по-видимому, ограничены теоремами существования и единственности для

случая периодических гравитационных волн22). В этом случае для каждой скорости волны с (длины волны 九)существует однопараметрическое семейство решений (одно решение для каждой

амплитуды вплоть до определенного предела). В других случаях делаются различные правдоподобные предположения по физической интуиции.

Наш метод будет пояснен на примере симметричной струи, истекающей из щели 2з) (рис. 82, б). Рассматриваемое течение можно конформно и симметрично

отобразить на единичный полукруг Г на вспомогательной полуплоскости t (см. рис. 83)

IHC1, 1т(/)》0,

так что неподвижные стенки пере、 ходят в его действительный диаметр, а свободные границы — в полуокружность. Тогда точка t = О будет соответствовать бесконечно удаленной критической точке /, а точка f = i ——бесконечности спа

дающей струи /.

Согласно теореме 2 гл. III, если Т=——(/ + /~!)/2, то комплексный потенциал W выражается формулой ^ = С In Т, а его производная dW/dT = С/Т, где С ——некоторый масштабный коэффициент. Для того чтобы построить течение, остается найти функцию M(f); она, в свою очередь, дает возможность вычислить комплексную координату z = I С-1 dW^ Чтобы получить выра

жение для скорости М(/), построим аналог функции Леви-Чивита Q«) (гл. VI, п. 2).

Заметим, что функция 百 стремится к нулю в точке /, как 1/Т и, следовательно, как t (см. гл. II, п. 5). Поскольку комплексная скорость М действительна на действительном диаметре, применим, кроме того, принцип отражения; соответственно функция M(f) может быть аналитически продолжена на весь единичный круг |/| < 1. Поскольку 三 принимает чисто мнимые значения при мнимых значениях t, то, следовательно, при |f| < 1

получимполучимС == G]/ —J—死# —J—牝户—J—....С == G]/ —J—死# —J—牝户—J—....(8.54)(8.54)

получим

получим

С == G]/ —J—死# —J—牝户—J—....

С == G]/ —J—死# —J—牝户—J—....

(8.54)

(8.54)

По теореме Леви функция 三(f) аналитична на единичной окружности t = eh за исключением точек отрыва f= ±1, в которых С = ± 1, и точек t = 土，(т. е. точек J н Г), в которых 口 = ± 8.

Вблизи точки / асимптотически 三〜《2电之，откуда

Кроме того, поскольку 取〜In (1 + if) вблизи точки /, то приходим к заключению, что

口〜м际〜 步％〜|1п(1+")]%,(8.55)

где асимптотически постоянные коэффициенты не учитываются. Вблизи точки /', в силу симметрии,匸〜|1п(1 ——it^l\

Следовательно, если 0 < С < 0,5, то отношение

(8.56) 丿⑺1пС(1 + /2)]%''

ограничено и не обращается в нуль всюду при 用《1. Из этого следует, что можно написать

и=/[—1пС(1+户广评(3 если 0 < С < 0,5,(8.56*)

где функция Q(/) = Q(/, С) ограничена и непрерывна при |/|^1 и аналитична вне этой области. Ввиду симметричности функции 三 можно написать

*(/) =〈 + 茄=& + 电#+a4#+(8.56*Л)

с подходящими действительными коэффициентами а^.

Последний шаг заключается в подстановке второго равенства в граничное условие на свободной границе (8.526). Если это сделать, то получается уравнение

е3х [A (c) + 5(a)Tz(a)} =gsin |自+夕⑹],(8.57)

в котором А (а), В (а) и Р(о) —известные действительные функции. В зависимости от одной неизвестной функции ц(а)=——dx/da и от операторов D, J (гл. VI, п. 4) уравнение (8.57) можно переписать как интегральное уравнение

6几[а ⑷—6 ⑹卩(а)] = g sin [Р (о) + D吓(8.57*)

Аналогичное интегральное уравнение было получено для случая поднимающегося пузырька24). В этом случае коэффициент (1+/2) в уравнениях (8.55), (8.56) и (8.57 *) должен быть заменен на (1 — /2), в остальном же все формулы очень сходны24а). Численные результаты, полученные для этого случая, даны в гл. X, п. 11.

ПРИМЕЧАНИЯ

Точнее говоря, условием баротропности течения. Читатель, который желает ознакомиться с выводом формул п. 1, может обратиться, например, к книге: Липман Г. В., Пакет А. Е., Введение в аэродинамику сжимаемой жидкости, ИЛ, 1949. (См. также [18*, ч. П; 26*, 36*]. — Прим. ред.).

Как, например, случаев предельных линий, течения Прандтля — Мейера, внутренних критических точек и т.д. Ограничение звуковыми течениями исключает первые два случая; см. цитированную книгу Липмана и Пакета, гл. ХИ.

Отметим, что при М 个 1, g 个 со и р ( 0, если принимается уравнение состояния (8.10). Уравнение (8.10) дает хорошее количественное приближение к сжимаемым течениям известных реальных жидкостей, когда число М заключено в узких пределах, скажем М < 0,3 или 0,6 < М < 0,8. В этом диапазоне оно является основой геории Кармана — Цяня и связанных с ней приближенных методов.

за) Аналогичный метод впервые применен в работах: Слезкин Н. А., ДАН СССР, 2 (1935), 512; Ученые записки МГУ, № 7 (1937), где была решена путем последовательных приближений задача о струйном, обтекании дуги окружности. Другие примеры построения струйных течений газа Чаплыгина и литературные ссылки приводятся в работах [9*, 36*, 40*, 46*. 47*]. — Прим. ред.

В идеальном газе р =旧；см. цитированную книгу Липмана и Пакета. Для газов уравнение (8.25) дает достаточное приближение во всем диапазоне дозвукового течения.

4а) Jacob С., Mathematica (Cluj), 7 (1934), 205—211； Bull. Acad. Roum.t 28 (1946); 637—641； [46*]; Busemann A,, ZaMM, 17 (1937), 73; Dem- t c h e п k о В., Publ. sci. tech. min. air, 144 (1938); Ferguson D. F., L i g h t h i 11 M. J., Proc. Roy. Soc.t 192A (1947), 135—142; Слезкин H. A., ПММ, 16 (1952), 227—230; Shapiro A., Compressible flow, N. Y., 1933, pp. 358—359; Woods L. C., Quart.丄 Meeh. a. Appl. Math., 7 (1954),262—282; Pt ос. Roy. Soc., 227A (1955), 367—386; [47*]. Экспериментальные данные для струй, вытекающих из щелей, см. в работе Perry J, A., Trans, Am, Soc, Meeh. Eng., 71 (1949), 757——764; совпадение экспериментальных и теоретических данных хорошее.

См. [93, ч, II] и, кроме того, X о у а р т Л. (ред.), Современное состояние аэродинамики больших скоростей, т, I, гл, VII, § 4; Мизес Р” Шиффер М., сб. Проблемы механики, ИЛ, М., 1955, стр. 489—518. На стр. 512 этой статьи рассматривается течение с кавернами, имеющими точку возврата.

Berg Р. W., Ph. D. Dissertation, N, Y. Univ., April, 1953 (см. также Берс Л., Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, ИЛ, М., 1961. — Прим. ред.). Мы предполагаем, что р = р(р) и М = М(^) в уравнении состояния ——возрастающие функции. Основы теории

квазиконформных отображений см. [102, стр. 120] и Лаврентьев М. А., Матем. сборник., 21 (1947), 285—325; Изв. АН СССР, сер. матем., 12 (1948). 513—534 [см. также Лаврентьев М. А., Труды 111 Всес. матем. съезда, 3 (1958), 198—208; сб. «Некоторые проблемы математики и механики», Сиб. отд. АН СССР, 1961.— Прим. ред.].

См. книгу Липмана и Пакета, цитированную в примечании 1) в § 11.2. [Преобразование уравнений к виду (8.35) было выполнено независимо в работах Riabouchinsky D., С. R. Acad. ScL, Paris, 194 (1932), 1215, Лейбе н з о н Л. С., ДАН СССР, 3 (1935), 397. — Прим, ред.]

Мы опустим также обсуждение парадокса Сен-Венана и Венцеля, кото- рай рассмотрен в работе [51, § 25].

Франкль Ф. И„ ДАН СССР, 58 (1947), 381—384. При у = 1,4 Франкль обнаружил максимум коэффициента расхода, равный 0,85. Интересное теоретическое исследование периодических струй, удовлетворяющих уравнению состояния (8.10), см. в работе Coburn N.,丄 Appl. Phys., 22 (1951), 124—130.

Emden R., Ann. d. Phys. a. Chemie, 69 (1899), 264—289; 426—453. Эмден ссылается на раннюю работу Л. Маха и Паренти, 1897. См. также Stanton Т., Proc. Roy. Soc, ША (1926), 306—339; Hartmann J., Lazarus F., Phil. Mag., 31 (1941), 35—50; К e с e н к о M. С., Труды ЦАГИ, вып. 478 (1940).

n) Prandtl L„ Phys. Z, 5 (1904), 599—601; 8 (1907), 23—32. См, также Karman Th., там же, 8 (1907), 209—211; Rayleigh, Phil. Mag., 32 (1916), 177—187; S t о d о 1 a, Loewenstein, Steam and gas turbines, № Y., 1927, § 42 а и дальше； Курант P.? Фридрихе К., Сверхзвуковое речение и ударные волны, ИЛ, М、，1950, § 148.

Если давление в резервуаре (камере) равно 卩「，то (звуковое) давление в горле сопла равно рг/[(у + 1)/2]饮丁一°, что для воздуха составляет приблизительно 1,9рг. Следовательно, для сверхзвуковых струй воздуха рт/ре > Рг/Рп > 1,9、

См, [86, гл. VI—VH]; Pack D. С.. Quart.丄 Meeh. & Appl. Math、, 1 (1948), 1—17; 3 (1950), 173—181; более усовершенствованные вычисления А были недавно проведены в работе Н a s i m о t о Z., J. Phys. Soc., Japan, 8 (1953), 394—399. О струях, ударяющих в препятствия, см. Holt М., Quart. J. Meeh, a Appl. Math., 3 (1950), 200—216; 4 (1951), 419—431; Pack D. C., R o b e г t s L., PhiL Mag., 44 (1953), 561—563. См, также L i п С. C., J. Math. P何s., 33 (1954), 126-128 [18*, 48*].

В i r k h о f f G., McDougall D. P., Pugh E. M., Taylor G., /• Appl. Phys., 19 (1948), 571. В случаях обычных взрывов。。= 5000— 8000 м/сек.

См. Липман Г. В., Пакет А. Е., Введение в аэродинамику сжимаемой жидкости, ИЛ, М., 1949, стр. 95; В i г k h о f f G., Walsh J. M., Quart. Appl. Math., 12 (1954), 83—86.

Walsh J. M., S h r e f f 1 e г R. G., Willig F. J., /. Appl. Phys., 24 (1953), 349-359.

В i г к h о f f G., Walsh J. M., Riabouchinsky Jubilee Volume, 1954, p. 1 — 12.

Walsh J. M., Shreff ler R. G„ Wi 11 i g F. J„ 丄 Appl. Phys., 23 (1952), 1300-1305.

L. e w у H., Proc. Am. Math. Soc., 3 (1952), 111 — 113; это доказательство неприменимо к точкам с нулевой скоростью.

Мы следуем аналитическому исследованию, проведенному в работах Sautreaux С., Ann. sci. ec. norm, sup., 10 (1893), 95—182.丄 de math., 7 (1901), 125—160. См. также Blasius Н., Z. math. Phys., 58 (1909), 90—110； V i 11 a t H., Ann. sci. ec. norm, sup., 51 (1915), 177—214; Richardson A. R., Phil. Mag., 40 (1920), 97—110; John Fritz, Comm. Pure Appl. Math. 6 (1953), 497—503; V i t о u s e k M. J., Tech. Rep., 25, Appl. Math. Lab. Stanford Univ., 1954. В связи с этим, вероятно, должны быть упомянуты трохоидальные волны Герстнера [51, § 251], даже если эти точные решения уравнений движения Эйлера и не являются безвихревыми.

См. [51, § 250] и приведенные там ссылки； [3, т. 5, стр. 241—244]; Richardson A. R., цит. выше работа; Mises R. [61, стр. 496]; С г а у а А., G а г i е 1 Р., Houille blanche, 4 (1949), 45—64; Binnie A. M., Quart. J. Meeh, a. Appl. Math., 5 (1952), 395—407; Blaisdell F. W., Proc. Am. Sou Civ, Eng., 80, № 482 (1954); Marchi E., Ann. di mat., 35 (1953), 327—341. (Первое точное решение в теории стационарных струй тяжелой жидкости получено в 1891 г. Н. Е. Жуковским [12*, т. Ш, стр. 371]. — Прим, ред.)

% Результаты работы S t г u i k D. J., Math. Ann., 95 (1926), 595—634, полученные по методу Леви-Чивита, L е v i - С i v i t а T., там же, 93 (1925), 264—314, и исправленные в работе Hunt J. N.t Quart.丄 Meeh, a Appl, Math., 6 (1953), 336—343. См. также Lichtenstein L., Vorlesungen uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen, Berlin, 1931; P о п c i n H.t These, Paris, 1932; Dubreil-J acotin M. L.. J. de math., 13 (1934), 217—291; 16 (1937), 43—67; Gerber R” These, Grenoble, 1955 (см. также C. R. Acad. Sci., Paris, 233, 235). (Теория волн является самостоятельной областью гидромеханики. Фундаментальные результаты в этой области получены А. И. Некрасовым, М. А. Лаврентьевым, Н. Е, Кочиным и Л. Н. Сретенским, См. [51, гл. IX; 29*, стр. 279, 18*, т. I, гл. VIII], а также Стокер Д. Д., Волны на воде, ИЛ, М., 1959; сб. «Теория поверхностных во/н》，ИЛ, М., 1959. — Прим, ред.)

Этот пример был исследован К. Вильсоном по предложению одного из авторов. Аналогичное интегральное уравнение для случая периодических волн было дано в работе V i 11 a t H.t Ann. sci. ec. norm, sup., 32 (1915), 177—214

Birkhoff G., Carter D.t Rep. LA-1927, Los Alamos Sci. Labs., 1956 (а также 丄 Math. Meeh., 6 (1957), 769—779. — Прим, ped.)

24a) На движение струй тяжелой жидкости существенное влияние могут оказывать силы поверхностного натяжения. Этот вопрос впервые рассмотрен Н. Е. Жуковским [12*, т. Ш, стр. 377], см. также [9*, § 50, 10*], — Прим. ред.

ГЛАВА IX

Применение численных методов

Общие замечания. Мы уже говорили в гл. I, п. 15 о том значении, которое мы придаем проблеме разработки эффективных вычислительных методов. И в самом деле, она оказывается, пожалуй, одной из наиболее сложных проблем. Однако в литературе эта проблема освещена очень слабо, и поэтому ее последующее исследование будет основываться главным образом на нашем собственном опыте.

При формулировке вычислительной задачи необходимо, конечно, иметь ясное представление о том, какие величины и с какой точностью должны быть вычислены.

Даже в простейшем случае течений Рети (гл. II, п. 7) существенно различать три типа расчетов： 1) вычисление констант (коэффициентов сужения, коэффициентов сопротивления и т. д.), связанных с данной конфигурацией, 2) определение формы свободных границ и 3) вычисление внутренних линий тока и эквипотенциальных линий или изобар и изоклин. Вычисление внутренних линий тока рассматривается в п. 2, 3; п. 4, 5 посвящены расчету констант (и родственной задаче определения параметров, о которой упоминалось в гл. I, п. 15); в п. 6 вычисляются изобары и изоклины. Как будет показано, выбор правильной линии поведения в большой степени определяется уровнем вычислительной техники.

Решение задач обтекания криволинейных препятствий (гл. VI) состоит из двух этапов： решения интегрального уравнения A=Mv(o)K(JA)exp(——DA) относительно неизвестной функции А(о) и расчета течения при известной функции А(о). Ввиду того, что второй этап содержит сравнительно мало нового, мы будем в основном рассматривать первый этап (п. 8, 9).

Во всех случаях достаточно ограничиваться вычислением трех верных знаков по следующим п-ричинам. Во-первых, только три значащие цифры физически достоверны, поскольку не учитываются такие параметры, как вязкость, капиллярность и т. д. Во-вторых, числа с большим числом верных знаков просто

нельзя представить в графическом виде на обычном листе размером 150X230 мм (6%9"). Даже пользуясь пером с очень тонким острием и читая результаты на миллиметровой бумаге через лупу, нельзя получить точность отсчета более 0,25 мм.

Вопросы экономики. После выяснения задач расчета проблема выбора эффективных методов вычисления становится в основном вопросом о стоимости. В связи с этим мы произведем грубую оценку затрат на вычислительные работы.

Поскольку эта книга написана в период значительного развития методов вычисления, наш опыт нуждается в некоторых пояснениях. Можно считать, что стоимость одного действия умножения на ручной настольной машине равна приблизительно 2,5 цента, а на электронной машине не более 0,002 цента, т. е. более чем в тысячу раз дешевле1). Далее, для выполнения 104——105 операций умножения на ручной машине вычислителю потребуются месяцы работы, в то время как современная быстродействующая электронная машина может выполнить 108 операций умножения за один—два дня.

С другой стороны, требуется затратить много времени для выбора расчетной схемы и программирования всякой новой задачи для электронной вычислительной машины. Наибольшие затраты были у нас связаны именно с этой частью работы2). Поэтому для того, чтобы использовать потенциальную эффективность быстродействующих машин, очень большое значение имеет создание унифицированных расчетных схем, приложимых к широкому классу задач, желательно для большого числа расчетных точек. По этой причине мы сосредоточили особое внимание на задачах типа (3). Перейдем к изложению нашего опыта по решению различных задач этого типа.

Каверна за пластиной. Сначала, в 1949 г., мы использовали вычислительную машину Марк I (Гарвард) 3) для расчета линий тока и эквипотенциальных линий в случае каверны за пластиной, составляющей угол а с направлением безграничного потока (гл. II, п. 2).

Наш план состоял в том, чтобы непосредственно подставлять числовые значения, соответствующие прямоугольной сетке в плоскости W в конечные выражения для z(取).Мы предположили, что наиболее простыми формулами для работы на машине Марк I являются следующие：

Т =Y^t h=T~x -\- 2С, С = с cos а, (9.1а) 屮=戈力 土 UF^7), lmC>0, (9.16)

〈 2S2/ 2s2 ° 4s3 C— e~!a ' 丿

Однако непосредственное вычисление по этим формулам связано с рядом непредвиденных затруднений, которые мы обнаружили при пробных вычислениях вручную.

Во-первых, положение запятой в числе z（取）при а+0 быстро меняется и уже при а = 15° запятая перемещается на два знака. Поэтому, например, расчет вблизи критической точки （практически совпадающей с одним из концов пластины, см. диаграмму 2 приложения） при а = 5° становится затруднительным. Во-вторых, вычисление комплексных значений квадратного корня R-\-iS = T=yU-\-iV лучше всего может быть выполнено по алгебраическим формулам （а не по тригонометрическим） ,В этом случае можно избежать затруднений, связанных с положением запятой, если использовать в расчетах условие выбора^ вычисляя сначала

где Q =力黑（9・1г）

а затем определяя другое неизвестное （S или R） из соотношения 2RS = К В противном случае погрешность может сильно возрастать из-за операции вычитания в подкоренном выражении.

В-третьих, необходимо определять ветвь многозначной функции 1п［（^ — e'a）/（g — e-加）］ （2.8）. Для этой цели мы использовали неравенство а — тс < arg ［（^ — ?以）/（百一е」'"）］< а. В-чет- зертых, функция z（取） действительно двузначна на разрезе У = О, U 0 0. Ввиду этого функцию z （取）приходится вычислять на свободных линиях тока с помощью ручной вычислительной машины. Аналогичное ограничение, по-видимому, будет возникать при всех попытках вычисления линий тока в разделяющемся потоке.

Вычисление координат одной точки на машине занимает около 5 мин （120 операций умножения）; при ручном счете с применением настольных машин и таблиц на каждую точку требуется 1 —1,5 часа. На машине Марк IV этот расчет занимал бы менее двух секунд! На границе （на свободных линиях тока и на поверхности пластины） при ручном счете по гем же формулам на каждую точку затрачивается 30—40 мин.

Однако ручной счет с помощью таблиц часто обладает преимуществами перед расчетом на вычислительных электронных машинах из-за трудностей ввода и считывания табличных данных. Так, пользуясь простыми формулами4）

Т=「步，^ = ^- а -|- ^- arc cos （2S2T — С）,匚=С + S tg ?

Sy + 2 cos （2丫 一 a） + 1/4 COS （4丫 一 a）

N =252'

вычислитель может выполнить расчет координат каждой точки с точностью до 2——3 верных знаков за 5 мин (и за 2 мин для точек на границе).

Истечение струй из щели. Линии тока и эквипотенциальные линии в струях,, вытекающих из щели (гл. II, п. 5), были рассчитаны в 1950 г. на машинах ИБМ Лаборатории морской артиллерии5). Как и в расчетах п. 2, используются только рациональные функции, квадратные корни, логарифмы и арктангенс от действительных чисел. Однако для обеспечения достаточной эффективности расчета необходимо реализовать ряд новых приемов.

Так, например, при пользовании формулами •

U+L = 2/z;U+L = 2/z;Ае^ + ВАе^ + В

U+L = 2/z;

U+L = 2/z;

Ае^ + В

Ае^ + В

точность расчета значительно снижается вблизи точек отрыва, в которых ±1, dh/dl^ = 0. Кроме того, всюду, за исключением окрестности щели, оказалось необходимым использовать асимптотические разложения (см. гл. IV, п. 3).

В струе при а % 0 используется разложение

^(W^ — e-i^ ^ — Sn _ 2As In 2S + «一卜w +

+ 翁十.• • , (9.2a)

и при a ¥= 0

z(步)=—l + 步—2e-叫 2一^е-з 呼 2+(9.2б)

а в окрестности критической точки

n(W) = —2(S + Sa) —е-^ +2c«闪 +。《2帜+ (9,з)

Расчет значений функций z(取)и 三(取)вблизи щели требовал выполнения около 100 операций умножения на каждую точку (7 мин на машине ИБМ, находившейся тогда в нашем распоряжении). Асимптотические формулы (9.2), (9.3) имеют явное преимущество при расчете остальной части потока.

В действительности оказалось, что при ручном счете с использованием таблиц для решения этой задачи имеются преимущества по сравнению с расчетом на машинах ИБМ старого образца. Однако такое заключение было бы неверно в случае применения более современных машин.

Неполные бета-^нкции. После накопления опыта по решению задач, обсуждавшихся в п. 2, 3, мы сочли целесообразным рассчитывать все течения с годографом в виде кругового сектора по единой расчетной схеме. Мы начали с попытки при-

менения общих формул гл. II п, 9, 10 и рассмотрели связанные с ними проблемы расчета6). Данный план вычисления был предложен в работе [9].

Применяя формулы (2.29) и (2.32), с помощью таблиц бета-функций 8g (т) легко вычислить изобары и изоклины. Предварительно должны быть построены таблицы величин В^ (т). Вначале напишем выражение

d(c) = #Cr(：) =# (1 +修u+芽%大十• (9・4)

Легко видеть, что С° (т)=尸(1,区 р + 1； т) является комплексной гипергеометрической функцией. Расчет величин Ср (т) для любого параметра р, рационального или иррационального, не связан с какими-либо существенными трудностями. Так, например, можно вычислить действительную и мнимую части Сд (т) = Rp + 〃в путем решения действительных дифференциальных уравнений

矶矶(9-5)(9.5')(9-5)(9.5')1 — Г COS Y

矶

矶

(9-5)

(9.5')

(9-5)

(9.5')

1 + 厂2 - 2厂 COS Yr sin 丫

1 + 厂2 - 2厂 COS Y

записанных в полярных координатах т = ге^. Первые члены каждого выражения в квадратных скобках не зависят от § н могут быть вычислены заранее, Начальные значения при г < 0,2 можно легко вычислить с помощью ряда (9.4). Окончательно значения С? (т) в плоскости могут быть получены с помощью простых формул преобразований по известным значениям в полукруге 0《rWl,0WpWn.

Для наших целей, по-видимому, достаточно иметь таблицу, содержащую 100 000 пятизначных величин (по 5000 для каждого В). Используя формулы Ср(с) = С；(/*) и

для верхней полуплоскости, можно ограничиться табулированием функции на единичном полукруге. Такие таблицы [с помощью уравнений (9.5) и- (9.5')], по-видимому, могут быть вычислены на современных электронных машинах меньше, чем за один день. Однако печатание таблиц осуществляется машиной значительно медленнее. На машинах, существовавших до последнего времени, в данном случае может потребоваться целая неделя.

Большую пользу могли бы принести таблицы связанных функций

一〃(/)=/?/f^厶=练(f")卜=『｝(9.6) о

Они легко могут быть вычислены на машине одновременно с В§ (т). Так, для течений Рети (гл, II, п. 7), ввиду того, что пи формуле (2.29‘) —

/5 =g/"0 = —『马(" /=m*

по формуле (2.29) можно получить

Z = — М 偿)—叫(配)+ еЧп ®У> + е”； (е-叫.(9.7)

Если табулирование выполнено по квадратной сетке в плоскости 1п /, то для рациональных углов а и 1п и можно пользоваться этими таблицами, не прибегая к комплексному интерполированию, Подобные таблицы позволили бы применить очень удобный способ определения геометрических размеров, связанных с заданными значениями параметров. Кроме того, с их помощью было бы очень просто решить проблему вычисления констант, связанных с течениями Рети. (Формулы, выражающие коэффициент сопротивления С^ и т. п. через бета-функции, мы опускаем.)

Задача определения параметров. Если имеются таблицы функций 8§ (/п), то можно эффективно решить задачу определения параметров для течений Рети, а также в более общем случае, согласно следствию теоремы 3 гл. III, решить эту задачу для любых простых течений около клиньев.

Для иллюстрации рассмотрим задачу построения симметричного течения около клина с длиной сторон / и углом раствора 2тг0 (см. рис. 17, а), помещенного в струе, вытекающей из сопла шириной 2Ь, на расстоянии d от отверстия. Решение этой задачи (2.24) зависит от двух параметров а и и, но из него еще не видно, как их можно определить. Следовательно, для решения прямой задачи обтекания необходимо найти а и и в виде функций от геометрических параметров 〃Ь и d/b.

Единственный способ заключается в вычислении 〃Ь и d/b как функций от а и и и выполнении затем обратного интерполирования, чтобы найти обратные функции. На диаграммах 9, 10 приложения приведены номограммы для вычисления этих функций. Отметим, что мы не знаем ни одного практически пригодного способа расчета подобных номограмм в случае криволи-

нейных препятствий7), поскольку функцию 之(£) нельзя выразить в простом виде в замкнутой форме.

Вследствие отсутствия подходящих таблиц неполных бета- функций нам пришлось обратиться к формуле Мизеса [61]. Используя формулу (2.30), мы преобразовали формулу (9.7), которая при 3 = 1 принимает вид

Iris (^) = 2 e^iks!r In (1—е»泣/“(9.8)

Поскольку d=Re[z(l)] и l = el^nz (eu/n), то с помощью формулы (9.8) можно рассчитать номограммы, приведенные на диаграммах 9, 10 приложения8).

Объем вычислений может быть существенно уменьшен, если применить принцип наложения (гл. II, п. 8). В частности, обозначим

Нп (а) = е^и1п (e-以)+夕%厶 0а),Нп (а) = е^и1п (e-以)+夕%厶 0а),(99)(99)

Нп (а) = е^и1п (e-以)+夕%厶 0а),

Нп (а) = е^и1п (e-以)+夕%厶 0а),

(99)

(99)

В принятых обозначениях

d = "；(0)— Нп (а), I = Н%(0)—儿(费—斗

Вычисление /〃$(〃) по формуле (9.8) затрудняется в связи с необходимостью определения нужной ветви функции 1п(1 —с〃). Для иллюстрации трудностей, с которыми приходится сталкиваться при использовании этой с виду простой формулы, приведем выражение, которое в действительности применялось нами для вычисления Нп (①),а именно

m (г)m (г)万二1万二1COS ^^ .(0+}) . 1口(1 - 20"s cosCOS ^^ .(0+}) . 1口(1 - 20"s cos2冗论2冗论—2—2\ . 2兀论s,0)sin —— arctg\ . 2兀论s,0)sin —— arctgi2冗论V ' sin гi2冗论V ' sin гy 1 / s2冗 k1 — u'ScoS гy 1 / s2冗 k1 — u'ScoS г++

m (г)

m (г)

万二1

万二1

COS ^^ .(0+}) . 1口(1 - 20"s cos

COS ^^ .(0+}) . 1口(1 - 20"s cos

2冗论

2冗论

—2

—2

\ . 2兀论s,

0)sin —— arctg

\ . 2兀论s,

0)sin —— arctg

i2冗论

V ' sin г

i2冗论

V ' sin г

y 1 / s2冗 k

1 — u'ScoS г

y 1 / s2冗 k

1 — u'ScoS г

+

+

(9.10)(9.10)+ (① 十 4") C0S ns COS? (у rn) In (1 + 01/s).

(9.10)

(9.10)

В формуле (9.10) m(r)=(广一2)/2 или (广一1/2) в зависимости от четности г, причем функция у = 0 выбирается таким

18 Г. Биркгоф

образом, чтобы удовлетворялось условие —л/2<0<л/2. Расчетные выражения функций Нп (а) и Н*(р) оказываются не менее сложными. Кроме того, эти формулы справедливы только при г〉2； случай г = 2 должен непосредственно следовать из соотношения (9.8).

Легко видеть, что для расчета указанным способом только одного значения /〃$(〃) требуется выполнить 10г операций умножения, а для вычисления d — в четыре раза больше. Однако с помощью принципа наложения необходимое время расчетов может быть значительно уменьшено. Эффективность расчетов может быть также гораздо выше в случае использования таблиц функций Bp (tn).

Изобары и изоклины. Даже при наличии таблиц неполных бета-функций методы п. 4, 5 не будут достаточно эффективными при вычислении границ и внутренних точек течения, т. е. для решения задач 2) и 3) п, 1, Это частично объясняется тем, что ввиду большого числа расчетных точек желательно применение быстродействующих вычислительных машин, однако память таких машин не может вместить большую таблицу функций и обеспечить ее эффективное считывание.

С другой стороны, численная квадратура, основанная на формуле (2.1), дает хорошие результаты в случае, если dW и g выражаются достаточно простыми формулами.

Это справедливо, в частности, для течения с годографом скорости в виде кругового сектора. Если угол годографа равен n/孔，то переменная

© = 〃lnC(9.11)

отображает течение на полубесконечную полосу

/?<о < 0,0</(о(9.11а)

плоскости со, причем координатные прямые соответствуют изобарам и изоклинам. Здесь R(o и /(о обозначают соответственно Re((o) и Im((o).

Значения переменной 丁=/«“ + 广“)，определенной в нижней полуплоскости, можно найти, зная со, по формуле

Т = ch/?o)cos Ло + 汴h/?o)sin /<о.(9.116)

Согласно теореме 5 гл. III,

n = J -4^-d(o=J 尸3)d(o, r;；.e N<：3・(9.12)

g(T-〃)

Мы использовали формулы (9.116) и (9.12) для вычисления изобар и изоклин приблизительно для двадцати течений с годографом в виде кругового сектора 9) на вычислительной машине Марк II. Некоторые результаты приведены на диаграммах 5—7 приложения. Отметим наиболее важные особенности использованного метода.

Во-первых, применялась единая программа, что позволило вычислить все двадцать случаев с помощью одной кодирующей ленты. С этой целью использовалась расчетная сетка с основным шагом тг/144, с помощью которой были затабулированы функции ch g, cost], sh 三，sinт]. Это облегчило вычисление Т и sh(о во всех узлах сетки, хотя несколько и ограничило выбор ее шага h. (Вместо этого можно было использовать рекуррентные соотношения.)

Путь интегрирования в каждом случае выбирался с особой осторожностью10) и состоял из ряда 《ребер》 и центрального «хребта» /(о = const. Этот «хребет» выбирался с таким расчетом, чтобы исключить особенности Л (в которых z = 8)с тем, чтобы избежать накопления больших абсолютных ошибок. При интегрировании вдоль «ребер» использовалась формула комплексной численной квадратуры п),

Az = % [24%+ 4(尸I+ 吊)一(尸2+ 尸" (9 13)

Ошибка оценивалась с помощью эмпирического правила, заключающегося в том, что относительная погрешность этой формулы не превышает 0,1%, если ближайшая особенность находится не ближе 5ft12). Вместо этого мы могли бы исключить простые особенности (случай не совпадающих TJ с помощью формул вида

一宀吧片若口 Т.

Однако это усложнило бы программирование, так как потребовало бы применения формул различного вида в частных случаях I i = 12 ИЛИ 1 i = 12 = 1 3・

Легко видеть, что для вычисления каждого 尸(со) по данному способу требуется выполнение около пяти операций умножения комплексных чисел или двадцати операций умножения действительных чисел. Это составляет приблизительно 80% от всего объема работы и требует около 45 секунд на каждую точку, в которой вычисляется подинтегральное выражение13). По нашим оценкам вычислитель затратил бы на каждую точку 30—40 мин. Таким образом, счет на машине Марк II при решении рассмат-

риваемой задачи оказался в пятьдесят раз быстрее ручного счета, если не учитывать подготовительной работы.

В случае, если бы мы пожелали ограничиться только определением свободных границ и распределения давления на твердых стенках, то можно было бы обойтись применением машин настольного типа, Подобные вычисления в самом деле были проведены и дополнены приближенным конформным отображением (см. п. 10), выполненным графически для внутренней области с целью выбора расчетной сетки, обеспечивающей получение наиболее интересных результатов14), Однако наши исследования показали, что при расчете внутренней области течения трудоемкость каждой алгебраической операции увеличивается приблизительно в четыре раза, а число расчетных точек — в десять раз и потому более выгодно применять большие вычислительные машины,

Связанные методы. Методы, описанные в п. 2—6, позволяют эффективно решить ряд задач на обтекание в случае годографа в виде кругового сектора. Таким образом, они связаны с теми же вопросами, что и теоретические исследования в гл.- II и частично в гл. III. Существуют и другие методы, достойные упоминания, которые мы внимательно рассмотрели, хотя и не использовали для численных расчетов.

Мы тщательно рассмотрели задачу расчета на цифровой электронной машине линий тока и эквипотенциальных линий для течений, имеющих годографы скорости в виде круговых секторов. Ввиду неравномерного распределения функции 取亿) представляется более целесообразным использовать W как независимую переменную, вместо того, чтобы применять обратное интерполирование для функций 取(М) или 取(з). Функцию Т(W) можно вычислить, применяя формулу (3.5), путем интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения вида

(9.14)(9.14)*= И (7-〃)

(9.14)

(9.14)

而—IT(7— 4)(7— 4)( 7— 4)

В случае течений, имеющих годографы в виде кругового сектора, знаменатель обращается в нуль и, следовательно, правая часть уравнения (9.14) становится всюду регулярной. В противном случае при интегрировании необходимо избегать критических точек, а в их окрестности уменьшать шаг расчетной сетки.

Для любого Т функцию М(Т) можно определить по формулам

/ + L = —27,(9.15)

С = /"),(9.15，)

которые следуют из формулы (3.18). Таким образом, уравнение (9.15) может быть решено методом, изложенным в п. 2, с использованием разложения по биному Ньютона (1+〃尸例 для получения решений уравнения (9.15'). Затем можно определить z= / С1 dW по формуле численного комплексного интегрирования (9.13). Несмотря на то, что точность вблизи точек отрыва несколько понижается, уменьшением шага сетки в этой области можно обеспечить требуемую точность.

Две пластины. Мы рассматривали также вопрос о создании единой программы расчета внутренней части течений около двух пластин, подобных рассмотренным в гл. V.

Формулы гл, V, п, 1 указывают на возможность применения следующего общего приема, в котором комплексный потенциал W выбирается в качестве независимого переменного； при этом выборе можно определить сеть линий токов и эквипотенциальных линий. Функцию Т(W) можно вычислить из уравнения (9.14). Затем £ вычисляется по формуле (5,3),

t— 72)(1—£272) '(9」6)

которая может быть также заменена уравнением

諸 + (1 + 炉-2依72)т = 0(9.167)

Уравнение (9.16') можно интегрировать с большой точностью 15). Однако, в отличие от (9.16), оно обладает тем недостатком, что не дает сети линий токов и эквипотенциальных линий.

Используя затем формулу (5.6), можно вычислить

3 = , R\(T)dt и 匸"=产.

Иначе говоря, можно вычислить ^-1 из уравнения

哼""(7).(9•⑺

Наконец, с помощью формулы (9.13) можно найти

Изложенный только что способ в действительности нами не применялся. Это частично объясняется тем, что уравнения (9.14), (9.16) и (9.17) содержат очень много параметров и поэтому мы считали, что сначала должна быть решена задача определения параметров. Для решения этой задачи применение замкнутых аналитических формул гл. V оказывается более эффективным, чем изложенный выше численный метод,

Кроме того, мы полагали, что случай струйного обтекания криволинейных стенок представляет .больший интерес, чем случай полигональных стенок, вследствие чего мы сосредоточили наше внимание именно на этой задаче,

Криволинейные препятствия. В гл. VII мы исследовали вопрос о существовании и единственности идеальных плоских течений около криволинейных препятствий и решений соответствующих интегральных уравнений (6.15) и (6.16). Теперь мы исследуем как с теоретической, так и с практической точек зрения эффективное приближенное решение этих интегральных уравнений.

Следуя Бродецкому, мы использовали полиномы для приближения функции Леви-Чивита Q(f) в виде

Q (/) = а()+% (/) + • • • +。产，(9.18)

где все а% — действительные числа [см, (6.8)].

Для любого приближения такого вида интегральное уравнение (6.16) заменяется системой уравнений

k(6ft)=Afv (бft)^(9 Ы)е-Т(^) 优=1,2,…，叫(9.19) где

Х = 2 力。九 sin %, 0 = “ = £ a九 cos %,

t = D入=£ a九 sin %,(9.19)

[см. формулы (6.146) — (6.14в)]. Уравнения (9.19) удовлетворяются тогда и только тогда, когда течение, определяемое функцией Q(f) (см. теорему 1 гл. VI), удовлетворяет условию х = К(0) в точках 2(0九).Таким образом, наши приближенные решения соответствуют интерполяции степенным многочленом. В частности, если принять

(2^ — 1) к

ИЛИ

% =个，(9.206)

то интерполирование проводится по формулам для равноотстоящих точек.

Одним из авторов было доказано [78], что если уравнение (9.16) имеет единственное решение, то решения последовательности систем уравнений (9.19) при п-> оо сходятся к этому точному решению； за недостатком места здесь мы не приводим этого доказательства 16). Нам предстоит еще задача численного решения системы вида (9.19). С этой целью мы примем вели-

чины 入(о冗)за неизвестные постоянные, через которые 0(о%) и т(о/г) могут быть выражены в виде

6(°*) = £ J歙(q)，с (%) = £ ОнХ(%),2=1 /= 1

где матрицы J(m, D(® зависят только от п.

При малых М эта система может быть решена путем прямой итерации. В самом деле, здесь применимы рассуждения гл. VII, п. 2, из которых следует, что сходимость решений в данном случае подобна сходимости геометрических прогрессий.

Однако при больших М прямая итерация уже не обеспечивает сходимости, поэтому потребовалось найти более тонкий метод решения. Идея, лежащая в основе найденного метода, была нами почерпнута из наблюдения, заключающегося в том, что для оживальной поверхности при К三 1 оператор

S® = MY9)K(R)e—DA (9.21) является антитонным. В более общем виде это справедливо для симметричных течений, если К(0)——возрастающая функция. В связи с этим возникает возможность использования усредненной итерации с весовым коэффициентом % т. е. можно выполнять итерацию

SJM = (1 _Ё)人 + *[讣 (9.2г)

Эта схема оказалась эффективной почти во всех случаях. Более подробный анализ был опубликован ранее17). Типичный числовой пример уже приводился в гл. VI.

Однако этот метод решения уравнения (9.19) не казался нам наилучшим, так как он не позволяет полностью решить задачу определения параметров, которая является, по-видимому, наиболее важной задачей. В качестве первого шага для решения этой трудной задачи мы попытались применить схему, приближенно соответствующую лемме Якоба (гл. VII, п. 5) и основанную на том, что во многих случаях параметры являются монотонными функциями от М. .

В этих случаях верное значение М можно отыскать путем итерации по (9.21) или (9.2Г). Метод заключается в выборе малой положительной константы с и замене простой схемы итерации (9.2Г) более сложной рекуррентной схемой

尹+i)= £MrS fX(r)] + (1 — е)严， (9.22а)

Мг+1 = Мг+ се (Мг — Мг), (9.226) где Мг = g(S[Wr)]) определяется так, чтобы пара (Mr, S[入⑺]) удовлетворяла некоторому дополнительному условию [т. е. любому из условий (6.17), (6.19в), (6.28") или (6.32')].

Поскольку наш опыт применения этой схемы, а также и сама схема были подробно описаны в другой работе 17), мы не будем углубляться в дальнейшие детали. *

Теоретические соображения. Вместо этого мы покажем справедливость применения усредненной итерации, введенной в п. 8, доказав, что она сходится при достаточно малых * тем самым мы получим конструктивную теорему существования для многих типов струйных течений; следовательно, п. 9 можно считать продолжением гл. VII. Мы убеждены в важности как подобных конструктивных теорем существования, так и строгих доказательств справедливости численных методов.

Рассмотрим сходимость процесса усредненной итерации (9.21') для фиксированных М. Таким образом, мы не будем рассматривать задачу определения параметров. Мы ограничимся также рассмотрением тел оживальной формы, для которых К = \. Наше обсуждение будет соответствовать непрерывному случаю интегрального уравнения (6.16). Однако оно может быть применено (в слегка упрощенной форме в связи с конечным числом измерений) и к дискретной системе уравнений (9.19‘)[78].

Теорема. При всяком положительном £ s интервале О < е < 2/(1 + max v) усредненная итерация 入〃 =Sf [入о] непрерывной функции 入 о (о), О《Ао(ь) <v(o) равномерно сходится к решению уравнения 入=^-叫

Доказательство основывается на следующей лемме.

Лемма 1. Пусть(о ——неотрицательная ограниченная функция. Тогда для каждой функции 无 с интегрируемым квадратом, и любого £, 0 < £ < 1, имеем 18)

{—£0)Dx + (1 — £)Х, D [— £0)DjC-|-(1 —£)х]}% W

< т(W)(л, Dx)%, (9.23) где

丫 3)=丫 3)=— е при 0 < £ 式 2/(тах(о+ 2), е max(о + е — 1 при 2/(тахо)2) < е < 1.伸”"

丫 3)=

丫 3)=

Доказательство. Рассмотрим оператор D^ = }Ло D М(о, обозначающий умножение на функцию У^, затем применение оператора D и снова умножение на У^. Он представляет собой интегральный оператор с неотрицательным симметричным ядром Ds® /)=仆),(s)£)(s, /)|/о)(/), с интегрируемым квадратом. Как и оператор D, оператор D(^—неотрицательно определенный, поскольку (D^x, х) =(D|^^)》。・ Следовательно 19), Dg обладает не более чем счетной последовательностью собственных функций 屮友(f;(о) и собственных значений ,尼(со).

Собственные значения все неотрицательны и наибольшее из них 6 (з) в точности определяется формулой

3 3) = sup(* *) = 1/ /。(§,/) 了①(s) ]/o)(/) x (s) x (/) ds df. (9.25) о 0

Легко видеть, что, поскольку D (s, /) неотрицательно, точная верхняя грань достигается при некотором %〉0, и, следовательно, q((o) возрастает с возрастанием з. В частности, заменяя переменную з ее максимальным значением и вспоминая, что наибольшим собственным значением Ci(l) оператора D является 1, получаем 白(з)^тахз 白⑴ =max ю.

Любая функция у, с интегрируемым квадратом может быть единственным образом разложена в ряд по собственным функциям Dg

y = S%^+yi，(9.26)

где (у” 屮Q = 0 для 力=1, 2, .... Простое вычисление дает {—eD^y+Q — е)у, DM[—eDMy-F(l —е)у]}=

= e;(一務十1—斗展哈(9.27)

(У，D“y) = M。岗，(9.28)

и так как Ck ^ 0, в результате сравнения (9.27) и (9.28) получаем

-£0Шy + (1 - Е)y，0ш [— ё及y + (1 一 ё)у]}" <

CsupK—£%+1 — е|(у，D^y)%. (9.29)

Полагая у = Ух и учитывая, что

sup | —Е% + 1 — е| Mmax(ECi+E— 1, 1 — £)СтЗ),

получаем утверждение леммы (9.23).

Доказательство теоремы. Ввиду того что оператор S преобразует неотрицательные функции в неотрицательные функции, меньшие или равные % то 0《九在(о) ^ v(o) для всех k. Разность 8n+i = Ап+1 —— 九？г между двумя последовательными итерациями можно записать в виде

% + 1 = — e%D^ + (l — £) ^' где

^п_^п-\

3"= "=+"丁'"=叭•

Следовательно, согласно лемме 1,

Gt」，D3"+产二 т®)®, D3")%•(9.30)

Однако 0V и, поскольку т(з) растет вместе с з, то

Т(з?г)Мт(у). Кроме того, если величина е лежит в пределах,. указанных в условии теоремы, то, согласно определению (9.24), T(v) < 1.

Производя итерацию, согласно (9.30), получаем

储，D5J，/2<TW 7(叫)...тЗ…)(瓦D»%《

WT(v)"i0i，D»%.(9.31)

Поскольку оператор D положительно определен (гл. VII, п. 5, лемма 1), то функция (х, DX)% удовлетворяет метрическому неравенству (при m < п)

G" — S，D(% — ^))%=工“，D 工 >《

《£ (“，叭产《®,g)% £ ^-> = (8,. DS/tf1--(9-32).

Из неравенства (9.32) видно, что ｛九九｝ образуют последовательность Коши с метрикой (х, D%№， откуда следует равномерная сходимость 九％ Согласно лемме 1 гл. VII, п. 5, из равномерной ограниченности Xn вытекает, что Tn = D九气 и 卩门=丫«一7 являются равностепенно непрерывными функциями.

Следовательно, для всякого 8>0 существует 刀(8)>0, такое, что из | oz ——ozz | < л следует ограниченность | 卩тДо')—— ——Wn(o") I < г для всех п. Если, кроме того,刀(広)выбрано так, что нз I / ——о" I < 圻 следует | Xo(oz)——九 о (о") | < е, то будет также I 九Ti(o')—九？г (о") I < £ для всех м = 0, 1, 2 В самом деле, последнее неравенство, по условию, справедливо при м = 0, и из соотношения

В"(『)一 Х„ О) I 飞 I % (『)一 ％ (。〃) I +(1-е)|Х„_1(У)-Х„_1 (/) I

по индукции вытекает справедливость утверждения для любого п. Следовательно, функции Х„ равностепенно непрерывны, а поскольку они равномерно ограничены, из каждого их бесконечного подмножества можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность (см. работу [49], т. 1). Однако, согласно неравенству (9.32), расстояние [с метрикой (х, Dx产]между всеми полученными таким путем предельными функциями равно нулю, и, поскольку они непрерывны, они тождественно равны.

Ввиду того что предельная функция единственна, последовательность 九气 равномерно сходится к непрерывной функции 九 и SX=s-i[S6X-(l-e)X] = lime-4SEX„-(l-e)X„] =

门->8

=1吵「"入及十i 一 (1 一ё)入/ =入， что и требовалось доказать.

Другие методы. Для решения задач струйных течений применяются и другие численные методы, которые большей частью представляют собой методы приближенного решения уравнения Лапласа V^U = 0 в произвольной области либо методом электрогидродинамической аналогии в электролитической ванне или на сетках сопротивлений, либо путем графического построения конформной сетка、либо численным методом релаксации.

Поскольку малым отклонениям скорости |VU| вдоль свободной границы соответствуют значительные изменения формы свободной границы, для получения удовлетворительных результатов по указанным приближенным методам, градиенты следует вычислять не менее чем с двумя верными знаками. Это требование точности, по-видимому, ограничивает роль графического метода конформного отображения только получением картины течения в первом приближении.

Ввиду того что свободные границы криволинейны, приближенное удовлетворение условия ▽?〃 = 0 вблизи границ с помощью электрических сеток сопротивлений также нецелесообразно. Эту же задачу при решении ее методом релаксации в связи с применением так называемых нерегулярных звезд трудно запрограммировать для быстродействующей вычислительной машины, хотя она не представляет серьезных затруднений для опытного вычислителя 20).

Метод электрогидродинамической аналогии в электролитической ванне может вполне успешно применяться опытным оператором, по крайней мере для построения плоских идеальных течений. Однако следовало бы предостеречь от попыток разрабатывать эту узко специализированную аппаратуру только для решения* небольшого числа задач струйных течений. (Задачи с неподвижными границами решаются на ней значительно легче.)

В общем, как метод релаксации, так и точная электрогидро- динамическая ванна представляют собой довольно эффективные средства для решения задач струйных течений. Они обладают значительными преимуществами по сравнению с аналитическими методами (гл. II—VI), заключающимися в том, что по существу отпадает необходимость в решении задачи определе-

ния параметров. Эти методы особенно удобны при исследовании течений в узких каналах, однако ввиду значительного влияния удаленных неподвижных стенок на свободные границы они мало пригодны для получения приближенных решений задач обтекания в бесконечном пространстве (которые, между прочим, обычно содержат меньшее число параметров и поэтому проще решаются аналитически).

КлинКлинРис. 84.Рис. 84.Упомянутые методы можно применять также к решению осесимметричных задач (см. гл. X, п. 7——9), задач с учетом силы тяжести (см. гл. VIII, п. 10) и поверхностного натяжения; релаксационные методы в принципе могут даже быть приспособлены для исследования течений вязкой и сжимаемой жидкости со свободными линиями тока. Однако определение свободной границы, удовлетворяющей условию I V ^ I = const, должно производиться методом последовательных приближений путем су

Клин

Клин

Рис. 84.

Рис. 84.

жения струи там, где | VU| слишком мало, и отодвигания границы, если оно велико. Хотя этот метод может быть качественно обоснован при помощи вариационного принципа Рябушинского (4.38), трудно подобрать для него соответствующий алгоритм вычисления.

На рис. 84 показана свободная линия тока при обтекании клина с углом раствора 90° в канале, рассчитанная приближенно по двум последним методам 21). Оба расчета совпали с точностью до толщины линий в приведенном масштабе. Однако в случае применения этих методов к осесимметричным течениям около диска совпадение оказалось менее удовлетворительным (см. гл. X, рис. 92).

ПРИМЕЧАНИЯ

См. Clipping er R. F., Harvard Business Rev., 33 (1955), 77—88.

Мы платили также около 10 центов за расчетную точку при построении графиков и еще 10 центов за точку при подготовке графика к печати путем фототипии.

з)Работа выполнялась по контракту АТ (30-1)-497 Code HUX для Комиссии по атомной энергии. Численные результаты были опубликованы в отчете Helmholtz-Rayleigh flow streamlines and equipotentials, Rep. № 1, Comput. Lab. Harvard Univ.; они приведены в виде графиков на диаграммах 1—3 в приложении.

Эти формулы предложены Юнгом [102, стр. 128], использовавшим работу Kennelly, Complex circular and hyperbolic functions, Harvard Univ. Press, 1914.

Kaplan S., NOL Mem. 10818, June 20( 1950. В подготовке расчетов участвовал Г. Полячек.

Совместно с Хартрн, предложившим формулы (9.5) и (9.5'). Таблицы действительных неполных p-функций рассчитаны; см. Pearson К., Tables of incomplete beta function, Cambridge Univ. Press, 1934.

Задача определения параметров для криволинейных препятствий рассматривается ниже в п. 8.

Разработка описанного ниже метода и выполнение расчетов принадлежат Лоури и Варга.

Работа проводилась в сотрудничестве с Адлером, запрограммировавшим задачу, и с Хартри, предложившим различные упрощения и дополнительные численные методы.

Приближенный интеграл зависит от пути интегрирования, хотя точный и не зависит!

口)Birkhoff G., Young D. M., Jr., J. Math. Phys., 29 (1950), 217—221. Использовалась также специальная программа для перехода от одного ребра к другому.

Численная оценка погрешности была выполнена путем сравнения вычетов гармонической функции 尸(①)и результатов интегрирования вокруг каждого единичного квадрата.

Как и в случае применения машины Марк 1, предварительная оценка (хотя и очень умеренная) давала не более 50—70%.

и) Эту работу выполнили Книл и Лоури (Kneal S., Lawry).

Hartree D., Numerical analysis, Oxford, 1952, § 7.2. (на русском языке см., например, Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 11, Физмаггиз, М., 1959. — Прим, ред.)

Соответствующий результат в случае тригонометрического интерполирования хорошо известен (Jackson D., Theory of approximation, N. Y., 1930, p. 123). Использование тригонометрического интерполирования и формулы (9.19) рассматривается по Бродецкому. См. [14, 15]; Brodetsky S., Proc. Edinburgh Math. Soc., 41 (1923), 58—62; Proc, llnd Intern. Congr. Appl, Meeh., Zurich, 1926, p. 527—531. См. также Rosenhead L, Proc. Roy. Soc„ 117 (1928), 417—433. Процесс итерации применялся для оживальной формы авторами, указанными в примечании 4) гл. VII. Интегральное уравнение Вилла (6.15) исследовалось в работе Рапопорт С. М., Украинский матем. ж., 2 (1950), 107—117; см. также Kravtchen ко J., Лпп. Inst. Fourier, 3 (1952), 287—299. См. также Ку ф а р ев П, П., ПММ, 16 (1952), 589—598.

В i г к h о ff G., G о 1 dstin е H. H., Zarantonello E. H., Rend. sem. mat. Torino, 13 (1954), 205—223..

【8) Скобки обозначают скалярное произведение двух функций (х, у)=

=/ % (q) у (a)壮亂 См. [78, теорема 2].

о.

См. Hamel Р., Integralgleichungen, Berlin, Springer, 1937, S. 68.

2°) О нерегулярных звездах см. Southwell R. V., Relaxation methods in theoretical physics, Oxford, 1946. Применение метода см. там же, стр. 212—226, а также [79].

2【)Один из расчетов выполнен Вейси, другой — в работе М а г с h е t Р., Probleme D359A, Institut Blaise Pascal, CNRS (Paris), 1949. Определение других течений методом электрогидродинамической аналогии см. в работе A b d е I - Н a t i Abul-Fetough, Ph. D Thesis, Iowa State Univ., 1949, (Электромоделирование успешно применяется в плоскости годографа скорости и, в частности, для конформного отображения. Некоторые примеры построения струйных дозвуковых течений газа через решетки профилей, полученные в 1949—1953 it., приводятся в работе [40*]. — Прим, ред.)

ГЛАВА X

Осесимметричные течения

Типичные задачи. В данной главе рассматриваются установившиеся осесимметричные струйные течения в условиях малого влияния сжимаемости, вязкости и турбулентности. За исключением п. 10, влияние силы тяжести также не будет учитываться.

Содержание главы можно разделить на две части. В первой части (п. 2——6) изложены математические выводы потенциальной теории, физическая применимость которой при отмеченных выше условиях уже обсуждалась в гл. I, п. 7. К сожалению, методы теории функций комплексного переменного, которые применялись в гл. II——VII, не имеют эффективного аналога в осесимметричном случае, а точные аналитические методы пока что дали мало сведений, представляющих физический интерес 9> Более полезными оказались приближенные аналитические методы (п. 3, 6).

В действительности наиболее полезную информацию дает сравнение приближенных теоретических результатов с результатами экспериментов. Для различных частных типов течений, заслуживающих наибольшего внимания, это сравнение производится в п. 7——10. Чтобы дать более ясное представление о содержании главы, перечислим эти типы течений.

Одна из наиболее старых гидравлических задач состоит в определении расхода и коэффициента сжатия струи, вытекающей из конического отверстия. Случаи истечения из круглого отверстия в плоской стенке (рис. 85, а) и из насадка Борда (рис. 85, б) представляют особенный интерес. Такие течения подробно исследуются в п. 7.

Далее можно упомянуть прямой удар круглой струи в плоскую пластину, в диск или чашу. Математический анализ течений этого типа важен для понимания работы турбин Пельтона2) и будет проведен в п. 8.

Интересный пример военного применения теории осесимметричных струйных течений представляют кумулятивные заряды с коническими оболочками (гл. I, п. 10). В подвижной системе отсчета движение оболочек является обращенным по отношению к течению, образуемому двумя сталкивающимися соосными

ПХГ 二。6

Рис. 85.

круглыми струями (см. рис. 86), которые также рассматриваются в п. 8.

Кроме того, кавитационные течения около диска, сферы или другой поверхности вращения важны для подводной баллистики входящих из воздуха снарядов. Осесимметричные кавитационные течения изучаются в п. 9.

Рис. 86.

Наконец, много интересных осесимметричных течений обра* зуется вокруг полого вихря, расположенного вдоль оси симметрии. Полые вихри возникают при концевой кавитации винтов, в водоворотах и в других приложениях； такие течения рассмотрены в п. 10.

Потенциальная теория. Понятие (идеального) установившегося безвихревого струйного течения математически уже было дано в гл. I, п. 9. Такое течение имеет потенциал скорости U r U(x), удовлетворяющий уравнению V2U = 0, направлено по касательной ко всем твердым неподвижным границам и удовлетворяет соотношению VU • VU = const на каждой свободной границе. -

В осесимметричном случае в цилиндрических координатах (х, г) уравнение WU = 0 принимает вид [51, гл. IV]

/u丄加丄1 dи/u丄加丄1 dи(10.1а)(10.1а)

/u丄加丄1 dи

/u丄加丄1 dи

(10.1а)

(10.1а)

или эквивалентно существованию функции тока V(х, г), удовлетворяющей уравнению

d2V d2V 1 dV^^十7^~7~дгd2V d2V 1 dV^^十7^~7~дг(10.16)(10.16)

d2V d2V 1 dV

^^十7^~7~дг

d2V d2V 1 dV

^^十7^~7~дг

(10.16)

(10.16)

Осевые и радиальные компоненты скорости выражаются соответственно производными

_ dU 1 dV _ @" _1 dV

①一dх 一 7" dr， 可一dr 一 一 ~ dх ,

Прямые круглые струи при 〃 = с, и = 0, U = с%, V = по-видимому, являются единственными представляющими интерес безвихревыми осесимметричными струйными течениями, поле скоростей которых в целом было подробно описано математически в явной форме3). Следовательно, специальные аналитические формулы гл. II——III и V не имеют аналогов в осесимметричном случае.

Однако многие из общих теорем гл. IV и VII применимы и к осесимметричным течениям. Так, например, справедливы некоторые положения, относящиеся к кривизне свободных границ (гл. IV, теоремы 12 и 13), вариационные принципы Рябушин- ского (гл. IV, теорема 14), теоремы сравнения и единственности Гилбарга и Серрина (гл. IV, п. 12——14) и теоремы существования Гарабедяна — Леви—Шиффера (гл. VIII, п. 10, 11).

Кроме того, механические законы сохранения массы, количества движения и энергии применимы, конечно, как к осесимметричным, так и к плоским течениям. Так, например, мы уже видели (гл. I, п, 10), что коэффициент сжатия струи из круглого насадка Борда равен 0,5 (Сс = 0,5) и что скорости и отношение массы струи к массе стержня, образующихся при распаде ко* нуса (рис. 86), могут быть рассчитаны, так же как и скорость проникновения струи одной жидкости в другую,

С другой стороны, несколько более уточненный асимптотический анализ потенциальной теории3) показывает, что в случае осесимметричного кавитационного течения с возвратной струей и числом кавитации Q коэффициент сопротивления равен

Co = 2[l + Q+UTT^]冬，(Ю.2)

где 4* — поперечное сечение струи, Л — поперечное сечение препятствия.

19 Г. Биркгоф

Релаксационные методы. Используя разностные аппроксимации уравнений (10.1а)——(10.1в), Саусвелл и Вэйси [79] приближенно рассчитали релаксационными методами, описанными в гл. iX, п. 10 ряд важных осесимметричных струйных течений. Хотелось бы упомянуть видоизменение этого метода, разработанное в сотрудничестве с Юнгом и Варга, которые сумели избежать так называемых «нерегулярных звезд».

Если U и V использовать в качестве независимых переменных, a f = г2—в качестве их функции, то уравнения (10.1а)— (10.16) эквивалентны4) уравнению

金e券)=。, (1。・3) или системе двух уравнений

dV ~ dU * 〃 @丿一dU *

Если используется система (10.4), то рекомендуется подвижная сетка, использующая значения / и х в переменных точках. Кроме того, граничные условия должны удовлетворять разностным аналогам условий совместности

§(/dU+2x”) = 0, §(2xdU —1п/”) = 0. (10.5)

Особенность на оси / = 0 вызывает некоторые затруднения.

Распределение источников вдоль оси. Различным авторам 5) удалось успешно аппроксимировать потенциальные течения около тел обтекаемой формы с заданными неподвижными аналитическими границами путем наложения потока от системы источников, распределенных вдоль оси, на равномерный поток, параллельный оси симметрии. Такие течения называются течениями Рэнкина [62, § 15.27]. Тот же самый метод был применен и для аппроксимации кавитационных течений.

Так, например, Бауэр6) предложил рассматривать течение от источника в равномерном потоке, т. е. обтекание так называемого полутела [62, § 15.23], как некоторое приближение к бесконечному кавитационному течению за движущейся сферой (см. п. 10). Однако с точки зрения асимптотической теории Ле- .винсона (п. 5) лучшее приближение достигается^.при обтекании распределенных источников постоянной интенсивности, расположенных на положительной оси %. Этот случай, как известно, соответствует параболической каверне [62, § 15.20]. С помощью известных формул

, 1 . , / * =cos8, (10.6) }/炉十八， h炉十八 、 /

справедливых для одиночного источника в точке (0,0), можно вычислить как несобственный интеграл функцию тока течения для полулинии распределенных источников в равномерном потоке:

V = 4f2 —^(^+/^+72)- (10.7)

Далее, перенося ]/%2十产 в другую часть уравнения, возводя в квадрат обе его части и сокращая, находим, что

V — 0 на параболоиде г2 =4/n(x-j-/n).(107)

Отсюда можно получить некоторые сведения о поле скоростей вокруг снаряда при его кавитационном движении. Осевая и радиальная компоненты скорости равны соответственно

1 dV 1〃 ==1г dr1 dV 1〃 ==1г dr/и/иh炉斗产，h炉斗产，@ =@ =1 dV г дх1 dV г дх加г加гmxmx(10.7")(10.7")

1 dV 1

〃 ==1

г dr

1 dV 1

〃 ==1

г dr

/и

/и

h炉斗产，

h炉斗产，

@ =

@ =

1 dV г дх

1 dV г дх

加

г

加

г

mx

mx

(10.7")

(10.7")

Чтобы оценить интенсивность источников при заданном коэффициенте сопротивления D, можно вычислить коэффициент давления с помощью соотношения (10.7"), основываясь на уравнении Бернулли, а также используя формулы Левинсона (10.12х) и (107), которые дают D = 2трт2 (при и = 1).

С другой стороны, известно7), что поле скорости, индуцированное движущимся удлиненным эллипсоидом вращения, оказывается полем источников, распределенных между фокусами (士力 0) с линейно изменяющейся интенсивностью 加(自)= =—а^. Поскольку длинные каверны являются почти эллипсоидальными (см. п. 6), то наложение этого распределения источников на равномерный поток дает приближенное представление о течении вокруг длинной конечной каверны в виде течения Рэнкина.

К сожалению, осевые распределения источников — стоков не могут быть использованы для точного описания ни одного струйного течения полностью. Так, допуская, что V(x, г) является функцией тока любого течения Рэнкина, получаем8) 次，r^icr2+fv^^dm^- (i°・8)

Тогда [42, стр. 139] VU • VU = r~2 V V • V V оказывается аналитической функцией от (х, г) и, следовательно, от U н V, всюду, за исключением точек на самой оси. Предположим, что часть ограничивающей поверхности тока V = 0 свободна, так что на ней VU・VU = ^2. в таком случае, в силу аналитичности VU • VU, мы имели бы на этой поверхности

VU， VU =炉十瓦(U)丿+局(U)H+ ..一(10.8*)

На основании аналитического (гармонического) продолжения формула (10.8*) будет справедлива всюду вдоль ограничивающей линии тока, откуда следует, что V U • VU = fe2 > 0 9) на передней части любого тела Рэнкина. Поэтому никакое течение Рэнкина не может быть кавитационным течением. Например, течение Рэнкина не может иметь слабой особенности в точке отрыва (см. гл. IV, п. 7).

Источники и вихревые кольца. Согласно известному классическому результату [42, стр. 219] любая гармоническая функция может рассматриваться как потенциал соответствующего распределения источников и диполей (простого и двойного слоя) на границе течения и даже [42, гл. XI] любого из них в отдельности. Хорошо известны также представления плоских и осесимметричных течений посредством вихревых слоев.

Кроме того, любое осесимметричное распределение источников, очевидно, представляет собой суперпозицию кольцевых источников. Потенциал одного кольца источников с центром в точке х = 0 и с радиусом г = а 1。)равен

U (х,厂)= f 丁 =

' ' J " + 产+a2_2arcos 6

=；(同，(10.9a) 「1 j У 1 —左2 COS2 ¥ 「1

где 厂;=炉 +(厂+吟，+=8/2,炉= 4a〃厂;，k (力)—полный эллиптический интеграл первого рода. Соответствующие компоненты скорости равны 10)

〃=〃=4%Емт4%Емт(10.96)(10.96)

〃=

〃=

4%Емт

4%Емт

(10.96)

(10.96)

где г2 = х2 + (г — а)2, f — полный эллиптический интеграл второго рода. Потенциалы колец осевых и радиальных диполей даются аналогичными формулами. Функция тока кольца источников многозначна и имеет более сложное выражение, содержащее дзета-функции Якоби 10).

Аналогично этому любое осесимметричное распределение вихрей является суперпозицией вихревых колец. Функция тока вихревого кольца выражается формулойп),

『=(d十砲会一г£，(Ю.Юа)

из которой могут быть вычислены компоненты скорости

我=丄『/＜十七("2—：一巧］,(10.106)

0 =一上「k —⑷士学1 . (Ю.Юв)

Потенциал скорости U = U(x, г) многозначен, и выражение его очень похоже на выражение для функции тока кольца источников 10)..

Метод интегральных уравнений. Используя формулы п. 4, осесимметричные задачи струйных течений различными способами можно привести к решению интегральных уравнений относительно функций одной действи-

тельной переменной. Сначала рассмотрим задачи о течениях с бесконечной — Каверна каверной, для которых в качестве неиз- *

вестной функции удобно взять 屮=、、^^7,

=U — %, так как Vcp исчезает на беско- 、一亠00 нечности.

Для данной пробной свободной гра-Рн& 87.

ни цы Soo (рис. 87) на линии 8soM8 можно принять распределение источников с плотностью о(х), считая ср неизвестной функцией. Тогда условие dU/dn = 0 на линии OSоо сводится к известному интегральному уравнению Фредгольма относительно функции о(х) 12). (Аналогично на линии 8‘S'OS8 в качестве неизвестной функции можно принимать распределение диполей или распределение вихрей.) Затем на свободной границе Soo следует проверить условие VU. VU = 1 и путем последовательных приближений определить правильную форму свободной границы.

Другой вариант метода основывается на предположении, что для построения функции 屮 достаточно задать распределение источников на дуге S'OS и на круговом цилиндре г =厂(S). Для любого такого распределения можно определить линию тока, проходящую через точку S, и попытаться выполнить условия ди/дп = 0 на дуге OSoo и VU • VU = 1 на дуге Soo.

Более целесообразный способ заключается в том, чтобы задать пробные значения функции 屮= f(s) вдоль дуги S'OS и наиболее вероятной формой свободной границы r= ±g(s) 13). Для принятых функций f(s) и g(s) функция 屮 и производная дср/дп определяются на всей границе s'S'OSs следующим образом. Поскольку dU/dti = 0, то д^/дп — —дх/дп на всей границе, На дуге OS функция 屮=f(s), по предположению. На линии Soo, если s обозначает длину дуги, измеренную от

точки S, имеем U = s + const, откуда следует, что <р — (s — %) + + 屮(S) +%(S), Значения функции 屮 на дуге OS‘8 находятся из условия симметрии,屮(％, г)=屮(％, —г). Подставляя найденные таким путем значения dq[dn и <р в третью формулу Грина [42, стр. 219], получаем во внутренней области течения

?(х,厂)=/ —黑 U](x, г;犬，L)ds‘一

"-/+u2(%，厂；^) rr)ds\ (10.11)

где Ui — потенциал кольца источников в точке (%', /) [см. (10,9а)], 。2 — потенциал кольца диполей в точке (%* /), нор、 мальных к линии OSoo, оба нормированные соответствующим образом.

Весьма вероятно, что если (10.11) сходится к предполагаемой функции 屮 при приближении к границе, то U =屮 + % облагает требуемыми свойствами. Действительно, условие VU • VU = =1 немедленно выполняется, однако обращение в нуль производной dU/dn не столь очевидно. Во всяком случае, условие того, чтобы (10.11) сходилось к принятой функции 屮 на границе, является необходимым,

Используя этот факт, Левинсон [52] сумел определить асимптотическую форму осесимметричной каверны при Q = 0 и). Делая довольно слабые тауберовы предположения о регулярности асимптотической формы каверны, Левинсон показал, что при Xf 8 должно быть

Кроме того, лобовое сопротивление определяется формулой

D = ^-. (10.12，)

Более точно, оценка %」(％)"(%) =k + O(x) справедлива только при k = 1/2, что дает показатель степени V2 в соотношении (10.12). Оценка хгг(х)/г(х) = k + О(1/1п х) справедлива только з том случае, когда выполняется формула (10.12). Формула (10.12') может быть также выведена эвристически путем асимптотического вычисления кинетической энергии на единицу длины течения вокруг параболоида г2 = с2х, соответствующего полулинии источников, расположенных за фокусом.

Приближенные методы. Практический расчет кавитационных течений основан в настоящее время на менее тонких соображениях. Некоторые важные результаты получаются из законов сохранения (см. гл. 1? п. 10, 11); эти законы были суммиро-

ваны в и. 2. Другие результаты следуют из нестрогих приближенных соображений.

лалаТак, обобщая приближенный анализ гл. I, п. 11, можно прийти к выводу, что конечные осесимметричные каверны являются приближенно эллипсоидальными 15). Предположим снова, что течение происходит в основном в радиальном направлении. В буквальном смысле этому предположению соответствовала бы (радиальная) скорость г = ad/г, где а(х,/)—радиус каверны. При этом возникающая кинетическая энергия на единицу длины была бы бесконечной:2a2 / г dr/r^ = сх?.

ла

ла

а

,()сь симметрииР и с. 88.,()сь симметрииР и с. 88.Чтобы избежать этого противоречия, интеграл J заменим а

,()сь симметрии

Р и с. 88.

,()сь симметрии

Р и с. 88.

на интеграл / (см. рис. 88); а

эта замена дает конечную величину удельной энергии, равную крй2«2 In м. Предполагая, что п изменяется в диапазоне, например 10—20 или 15—30, In п можно приближенно считать постоянным (это не было бы справедливо в плоском течении).

Теперь сделаем еще одно предположение: и кинетическая энергия и (гидростатическая) потенциальная энергия 式(公一 —Рс)^? определяются работой, совершенной снарядом против сил лобового сопротивления D. Это дает уравнение сохранения энергии

■у нра2a2 In 〃 + 冗(夕8 — р} а? _ d.

Учитывая, что а = v(da/dx), после упрощений получаем

(10.13)(10.13)

(10.13)

(10.13)

(1613)(1613)где ат—радиус снаряда, или a da — dx

(1613)

(1613)

VCDam — Q^U® 孔

Интегрируя и возводя обе части полученного равенства в квадрат, получаем уравнение образующей эллипсоидальной каверны, оси которой находятся в отношении 2Am/L = УQ/lnn, где Ат — ширина каверны, L — ее длина. Экспериментально

установлено, однако, что отношение Am/L, по-видимому, растет как Q, а не как ]/Q, что видно из графика, приведенного на рис. 89 16).

Чтобы получить лучшее приближение, можно предположить, что л пропорционально отношению L/Am. Это предположение мало влияет на результаты предыдущих вычислений, однако

полностью изменяет результаты, полученные аналогичным спо^ собом в плоском течении.

Струи, истекающие из конических отверстий. Наиболее обстоятельно изученным осесимметричным течением является, вероятно, струя, вытекающая из круглого отверстия в плоской стенке с острой кромкой (см. рис. @5, а). Коэффициенты сжатия и расхода такого течения изучались на протяжении столетий.

Если эффекты вязкости, поверхностного натяжения и тяжести малы и если отверстие имеет острую кромку, то измеренный коэффициент сжатия Сс равен приблизительно 0,61 17), как в аналогичном случае (гл. II, п. 5) плоской струи, истекающей из щели. Соответствующее отношение диаметров равно приблизительно 0,78.

Многочисленные авторы провели теоретические исследования, подтвердившие экспериментальное значение Сс = 0,61. Заслуживают особого упоминания работы Треффтца 18), Саусвел-

ла и Вэйси [79, пример 3], а также Роуза и Абуль-Фету18). Эти авторы применяли методы интегральных уравнений (п. 4), релаксационные методы и методы моделирования в электролитической ванне.

Было также рассчитано релаксационными методами [79, пример 2] осесимметричное свободное течение из насадка Борда (гл. I, п. 10). Кроме того, Роузом и Абуль-Фету18) была рассчитана струя, истекающая из круглого отверстия в центре диска на конце круглой трубы, причем использовались релаксационные методы и моделирование в электролитической ванне.

Во всех случаях коэффициент сжатия струи незначительно отличается от коэффициента сжатия соответствующего плоского течения (течения Рети). Это наводит на мысль, что тот же самый принцип справедлив для струй, истекающих из конических отверстий, образующие которых составляют произвольный угол 8 с осью симметрии.

Кречмер даже считал, что осесимметричные струи могут быть рассчитаны, исходя из известных плоских струй, на основании предыдущего принципа соответствия площадей19). Если 屮(％, У) есть функция тока плоского потенциального течения, то этот принцип сводится к определению

V(x, г) =ф (х,论厂2) (10.14)

Легко показать, обозначая дифференцирование индексами, что справедливо соотношение

乙Х+匕，一^匕=中门+ 4炉叫У" (10.14Э

Следовательно, при 72ф = 0 функция V(х, г) (10.14) приближенно удовлетворяет уравнениям движения (10.14), причем для любого 力，если производные фхх 卫力卫屮卄 достаточно малы. Кроме того, поскольку广2(『:十14)=4然*十Г-2侦， условие на свободной границе приблизительно сохраняется, если величина г близка к 1/(2力)(см. также конец п. 9).

Соударение струй. Нормальный удар круглой струи в плоскую пластинку (рис. 90) также был уже неоднократно исследован 20). Элементарные соображения показывают, что в случае спокойного течения все количество движения передается пластине. Однако распределение давления и конфигурация потока также представляют интерес; обычно распределение давления измеряется, а конфигурация течения рассчитывается приближенными методами потенциальной теории. Так, например, приближенные расчеты конфигурации течения были выполнены Рейхом20), использовавшим разложение в ряд, Шахом 2I), применившим метод интегральных уравнений Треффт-

ца 18), и Леклерком21), использовавшим моделирование в электролитической ванне.

Представляют интерес также различные подобные течения и среди них круглые струи, набегающие симметрично на конические и полусферические чашки, и струи, набегающие под некоторым углом на пластины 22).

Нормальный удар струи в пластину может рассматриваться как половина течения, возникающего при соударении двух равных соосных круглых струй, имеющих равную скорость. Этот случай был подробно изучен Сава- filром 23), который экспериментально по-

J ； Iказал, что образующаяся дискообраз/ I \ная конфигурация устойчива. В слу-

J ] X.чае неравных струй образующаяся

/!^- ■ коническая конфигурация отбрасывается, и обращение этого течения

Рнс. 90.соответствует разрушению конической

оболочки, которая изучалась в теории действия кумулятивных зарядов (см. рис, 86 и гл. I, п. 10). Интересен также предельный случай, когда одна из этих струй имеет бесконечный диаметр, который соответствует случаю пробивания струей мишени. Ни в одном из этих случаев течение не было рассчитано теоретически.

Подводные каверны. Вследствие появления интереса к движению снарядов под водой с большой скоростью значительное внимание за последнее время было уделено осесимметричным кавернам и особенно зависимости коэффициентов лобового сопротивления от формы головной части и числа кавитации Q. Вследствие видимой справедливости формулы CD(Q)= = (1 + Q)Cd(0) (гл. I, п. 11) достаточно определить CD(Q) для одного значения Q, например для Q = 0.

Наиболее ранние результаты получены для шаров Бауэром 24), который нашел CD(0) =0,30. Этот результат, по-види- мому, надежен с погрешностью ±10%, хотя экспериментальные наблюдения требуют некоторых поправок. Например, если понятие присоединенной массы применимо к кавитационному движению (см. гл. XI, п, 6), то лобовое сопротивление D должно изменяться с изменением ускорения а, согласно формуле D = ma(l + oh), где m——масса снаряда, о — отношение плотности жидкости к плотности снаряда и k = k(Q)—коэффициент присоединенной массы, зависящей от формы снаряда [7, гл. VIJ. Член ak обычно не учитывается при измерениях коэффициента сопротивления каверны Си，

Для диска неоднократно25) были получены значения коэффициента сопротивления, близкие к С〃 = 0,81, и они, вероятно,

справедливы в пределах ±5%. Для конусов с углом раствора 23 = 90° коэффициент CD = 0,50, а при 2c = 30° CD = 0,15. Для (аши, показанной на рис. 91, коэффициент CD, очевидно, близок к 1.

Предпринимались различные попытки рассчитать коэффициент CD и конфигурацию каверны за сферой методом источников и стоков (п. 3). Так, например, если в качестве приближения к течению околоt

сферы берется течение около полутелаI

(п. 3), имеющего ту же самую кривизнуI

вершины, а избыток давления интегрируется по зоне положительных давлений,' то / I । I \ можно получить «теоретическую^ оценку / каверна \ CD = 0,34. Чтобы получить другие прибли- /''

жения, можно использовать более сложные р и с- 9L

распределения источников по оси, однако

отрыва.отрыва.этот метод имеет принципиальный недостаток, отмеченный в п. 3: не может быть точно представлено течение вблизи точки

отрыва.

отрыва.

Методы релаксации и моделирования в электролитической

ния Рябушинского около двухния Рябушинского около двухРис. 92.Рис. 92.—・—резуль-—・—резуль-результаты Марчет;таты Вэйси.результаты Марчет;таты Вэйси.ванне были применены26) к осесимметричному аналогу тече

ния Рябушинского около двух

ния Рябушинского около двух

Рис. 92.

Рис. 92.

—・—резуль-

—・—резуль-

результаты Марчет;

таты Вэйси.

результаты Марчет;

таты Вэйси.

дисков (диаметра d) в канале диаметром 8d. Часть профиля каверны показана на рис. 92; приблизительно подсчитанные значения Q оказались равными 0,23 и 0,32; соответствующие значения CD(0)= =Cd(Q)/(1 + Q) равны 0,82 и 0,77. Подобным же образом Брунаэр. (Иллинойский технологический институт) теоре

тически рассмотрел течение Рябушинского за диском в канале, а Саусвелл и Вэйси [79, пример 11] рассчитали кавитационные течения за сферой; в обеих работах использовались релаксационные методы.

Очень простой метод оценки коэффициента сопротивления дисков и конусов в кавитационном течении был предложен Рейхардтом, Фишером, Плессетом и Шеффером27). Этот метод

заключается во вращении вокруг оси симметрии известного распределения давления плоского течения Бобылева (гл. II, п. 4) около клиньев с тем же самым углом 20 при вершине. Если 2р > 60°, рассчитанное значение CD хорошо согласуется с наблюдениями; это и не удивительно, поскольку распределение коэффициента давления Ср(г) в обоих случаях удовлетворяет

условиям & (0)=1, Ср(0)== 0, Ср(а) =。，Ср (а) — сю для любого затупленного препятствия, имеющего «резкий отрыв» (гл. IV, п. 7) при г = а.

Однако полученные распределения давлений не точны25), и метод расчета не основывается на правильной теоретической базе. То же самое можно сказать относительно всех других формул, предназначаемых для пересчета плоского струйного потока в аналогичные осесимметричные потоки28). В частности, описанный только что способ можно противопоставить способу, который использовал Кречмер (см. п. 7).

Степенной ряд Гарабедяна. Более правдоподобное сопоставление плоских и осесимметричных течений было недавно произведено Гарабедяном28а). Он рассмотрел (р + 2) -мерную задачу для уравнения Vxx + Vyy= (p/у) Vy при переменных р, предполагая, что ряд по степеням 6 = р/(р*2) будет сходиться при |S| < 1, и попытался провести вычисления при S = Уз-

Используя этот метод, он получил для струи, вытекающей из круглого отверстия, значение Сс = 0,58 вместо 0,61 (см. п. 7). Он также рассчитал для диска коэффициент CD = 0,83 вместо прежнего значения 0,81. Проведенный им более полный анализ дает большую уверенность в этих значениях28а).

.Вихревые течения. Вихревые течения с осевой симметрией встречаются в различных случаях: в водоворотах, в смерчах, в течениях через турбины и в течении, образующемся при выпуске воды через отверстие в ванне и др. Математическая теория была в основном разработана в связи с теорией турбин 29); здесь будут рассматриваться некоторые простые соображения, касающиеся таких вихревых струйных течений.

Простейшей математической моделью является вихревая нить. Она имеет потенциал скорости U = ^0, где 2叮一циркуляция вокруг оси симметрии, предполагаемая постоянной. Для таких моделей скорость и? = т/r является полной скоростью и цилиндрический полый вихрь при , = R может быть принят за свободную поверхность, если пренебречь влиянием силы тяжести. Тогда давление получается по формуле р = р0 — 丁2/2厂2 = =Ро 一 可彳/2; такие идеализированные полые вихри исследовались различными авторами, особое внимание уделялось теории их устойчивости 30) (см. гл. XI, п. 16).

(10.15)(10.15)Если положительная ось х направлена вертикально вниз, то поле силы тяжести интенсивности g может быть наложено на чистый вихрь при условии, что свободная поверхность имеет профиль

(10.15)

(10.15)

Общий случай осесимметричных потенциальных течений с циркуляцией трудно рассмотреть аналитически. Если сила тяжести не учитывается, то одно решение дается однополостным гиперболоидом вращения; его образующими являются линии тока31)- .

Если принимается во внимание сила тяжести, то уравнение Бернулли на свободной поверхности вихревого ядра дает неравенство 厂》Ут/2gx. При больших размерах вихря справедливо приближенное равенство (10.15). Одно идеальное течение этого типа было рассчитано Бинни и Давидсоном, использовавшими релаксационные методы 3-1а).

С практической точки зрения наиболее удивительным фактом 32) является значительное уменьшение расхода, которое может вызвать вихрь в профилированных круглых трубах выходных водосливов вследствие развития интенсивных центробежных сил.

Из-за потери момента количества движения в пограничном слое вытекающий поток зачастую состоит из пограничного слоя в сходящихся, быстро завихряющихся течениях. Впервые это было показано Тейлором33) применительно к вихревым форсун^ кам, а позже — Бинни и Гаррисом 32) в связи с течениями через водосливы в виде труб. Поэтому классический комбинированный вихрь Рэнкина [62, § 13.13] неприменим к вихревым углублениям, часто образующимся на поверхности вытекающей жидкости34). Также очень интересен захват воздуха слабой, частично полой вихревой трубкой, хотя теоретический расчет любого из этих явлений был бы очень длинным.

Следует также обратить внимание на интересную статью Рейснера35), касающуюся спутной струи со свободной границей за винтом, которая рассматривалась как струя с возможной завихренностью.

Всплывание пузырьков в трубах. Воздушные пузырьки, поднимающиеся под влиянием силы тяжести в вертикальной цилиндрической трубе (диаметром d = 2a), были экспериментально и теоретически исследованы различными учеными36). Скорость V подъема пузырьков приближенно определяется формулой V = 0,45 У ga, радиус кривизны головной части пузырька—формулой R = 0,7а; можно также определить 0 = 2/3 У gR^ используя градиент давления в идеальном течении около твердой сферы.

Предыдущие формулы справедливы в диапазоне d — =1 — 10 см. Для d < 1 см становится весьма важным влияние поверхностного натяжения; диапазон d > 10 см не был исследован. Заслуживает внимания то, что на продольных пузырьках

образуется рябь и что пузырьки длиной более Нем 15d -4- 20d неустойчивы.

Предельный случай d = оо пузырьков в неограниченной жидкости очень сложен с физической точки зрения и будет рассматриваться в гл. XV, п. 7.

Наблюдался также установившийся подъем пузырьков в вертикальной трубе прямоугольного сечения 10 X 2,5 см37). Были измерены средние значения отношений v/Уga ^ 0,41 и R/o у 0,70 (при а =10 см). Экспериментальное значение отношения v/Уga можно сравнить с теоретическим значением 0,33 土 0,01 для идеального плоского течения, рассчитанного методами гл. VIII, п. 11. Расхождение обусловлено, по-види- мому, пространственным характером действительного течения. (Для квадратного сечения, вследствие вторичного течения в углах, отношение v/Уga может превышать значение 0,45 для цилиндра приблизительно на 20"%.)

' ПРИМЕЧАНИЯ

'*) О течениях специального вида, полученных аналитически, см. библиографию, приведенную в примечании 27) гл. IV, п. 9. Кроме того, см. Garabedian Р. R., von Mises Anniversary Volume, Academic Press, 1954, pp. 149-159.

Cm. Gibson A. H., Hydraulics, разд. 125—128; Addison H.( Applied hydraulics, § 105—108, 193. (На русском языке см., например, работу: Сат- к е в и ч А. А., Гидравлические турбины, Госиздат, 1929. — Прим, ред.)

В i г k h о f f G., Rev. Ciencias Lima, 50 (1948), 105—116.

Woods L. C., Quart.丄 Meeh. a. Appl. Math., 4 (1951), 358—370.

Rankine W. J., Phil. Trans., 161 A (1871), 267—304; Fuhrmann G., Jahrb, Motorhijtschljjahrt Ges. (1911, 1912); Karman Th., NACA TM № 574, 1930.

Bauer, Ann. d. Phys., 82 (1927), 1014—1016; cm. [70, стр. 98].

Munk M. [38, t. 1, стр, 284-285].'

[51, гл. IV]. Интеграл в соотношении (10.8) является интегралом Стильтьеса для плотности источника dm/d^ = л (|) на оси х в равномерном потоке со скоростью с.

О гармоническом продолжении см. Sternberg W. Z., Smith J. L., The theory of potential and spherical harmonics, Toronto, 1944, p. 220. (На русском языке см., например, работу [39*]. — Прим, ред.)

*°) См. [42, стр. 59] или Sadowsky М. A., Sternberg Е., Quart, Appl. Math., 8 (1950), 113-126, особенно § 3,

!!) См. примечание!0) или работу [50]. Эти формулы были получены Кельвином (1869) и Максвеллом. См. также Weinstein A., Quart. AppL Math, 5 (194§), 429—444 и van Т и у 1 А., там же, 7 (1950), 339—409. По теореме Био и Савара это поле одновременно является полем от диска равномерно распределенных диполей.

См. [42, гл. XI] или Land weber L., DTMB Rep. 761, 1951 (второй метод).

Этот способ впервые был применен Треффтцем (Т г е f f t z E., Z. math, Phys., 64 (1916), 34—61) к cipye, вытекаюшей из круглого отверстия.

и) См. статьи Гуревич М. И., ПММ, 11 (1947), 97—104; Scheid F., Ат.丄 Math., 72 (1950), 485—501. Плоский аналог см. в гл. IV, п. 3. (См. также Гуревич М. И., Труды ЦАГИ, выл. 653 (1947); [9*, § 48]. В этих работах закон расширения получен путем построения пэлутела конечного сопротивления; ■ результат обобщен на случай дозвукового течения.— Прим, ред.)

Этот аргумент был выдвинут в 1945 г. Лумисом и Биркгофом, но не был опубликован; в 1944 г. Мунцнер и Рейхардт пришли к тому же заключению эмпирически (UM № 6616). В связи с этим см. также работу Т и- 1 i п М. Р., DTMB Rep. 834, 1953. По-видимому, метод Тулина можно приспособить к рассмотрению осесимметричных течений.

График копирует рис. 18 работы Рейхардта [68]. При Q J 0 эллипсоидальные каверны [см. примечание 7] переходят в параболоидальную каверну (10.7). •

\V е i s b а с h J., Experimental -Hydrbulik, 1855, р. 116; Smith Н., Hydraulics, N. Y., 1886, p. 59; Bazin R., Mem. Acad. Sci. Paris. 32 (1902), 31—45; [88, гл. X] и ссылки в этой главе; Harris С. W., Hydraulics, ch. II; В о u- а s s е Н., Jets, tubes et canaux, Paris, 1923, pp. 5, 29, 120; Marchi G., de, Annali dei lavori pubblici, Rome, 1925( pp. 45; Gibson A. H., Hydraulics, 1947( pp. 110—113.

% T г e f f t z E., Z. math. Phys., 64 (1916), 34—61; Rouse H., Abul- F e t о u h A.-H., /. Appl. Meeh., 17 (1950), 421—426. См. также К о 11 e г F., Arch. /. Math. Phys., 5 (1887), 392—417. L e v i - C i v i t a T., Rend. sem. mat, jis„ Milano, 5 (1931), 1-20.

Kretzschmer, VDI Forschungshejt, 381 (1936). Общее подтверждение применимости принципа отношения площадей см. в [59].

Reich Fr., VDI Forschungsheft, 290 (1929); Gibson A. H., Heywood F., Phil. Mag., 45 (1923), 229—238; В о u a s s e H., Ann. fac, sci Toulouse, 28 (1936), 1-62.

Schach W., Ing. Archiv, 6 (1935), 51—58; Leclerc A., Houille blanche, 5 (1950), 816—821. Поскольку це имеется никакой особенности в

точке отрыва, рассматриваемый случай, вероятно, является[, наиболее легким для исследования. /

Эти течения были исследованы Шахом, S с h а с h W., Ing. Archiv, 5 (1934), 245—265. '

Savart F. [77, 257——310]. В начале книги приведены полученные Са- варом фотографии 3—6-миллиметровых струй, для которых важное значение имеет поверхностное натяжение. См. также V о 11 е г г а V., J. de math., 11 (1932), 1—35.

Bauer W., Ann. d. Phys., 80 (1926), 232—244; 82 (1927), 1014—1016; cm. [70, стр. 98] и особенно May A., W о о d h u 11 J. C., J. Appl. Phys., 19 (1948), 1109-1121. ■

См. P 1 e s s e t M. S., Perry B,, Riabouchinsky Jubilee Volume, Paris, 1954, pp. 251—261.

Известны неопубликованные результаты Вэйси и Брунауэра； результаты Марчета были оформлены в виде отчета [Probleme D359A Institut Blaise Pascal, С. N. R. S. (Paris), 1949]. См. также M c N о w n J. S. et al., Trans. Am. Soc. Civ. Eng., 120 (1955), 650——686. Для более глубокого изучения см. У о и и g D. М., NPG Rep. 1413, Dahlgren, U. S. A.

Reichardt H. [68]; Fisher J. W., UBRC Rep., 34 (1945); P1 ess e t M., Shaffer P. A., J. Appl. Phys., 19 (1948), 934—939; см. также A rmstr о n g A. H., Arm. res. est. rep., 21/54.

См. статью Г у p e в и ч М. И., ДАН СССР, 57 (1947), 763—764, который показал неточность формул, предложенных в работе V a s i 1 е s с о, С R. Acad. Sei, Paris, 196 (1933), 896—898, 1284—1286.

28а) Garabedian Р. R., Bull. Am. Math. Soc., 62 (1956), 219—235.

Классической статьей является статья Мизеса, Mises R” Z. math. Phys., 57 (1909), 1 —120; см. также Marble F. E., Michelson L, NACA TN № 2614. 1952, а также-[40*, гл. 9].

См. [51, § 166] и данные там ссылки. Кроме того, см. А с к е г е t J., Ing. Archiv, 1 (1930), 399—402 и особенно Binnie А. М., Proc. Roy. Soc., 197A (1949), 545-555; 205A (1951), 530—540.

Математическое обсуждение струйных течений в тонких слоях см. в работе V о 11 е г г а V., /. de math., 11 (1932), 1—35, а также в работе [44*].

а) Proc. Roy. Soc., 199А (1949), 443—457. См. также цитированную выше работу Вольтерра.

Gibson А. Н., Mem, Manchester Lit* Phil. Soc., 55, № 7 (1911); Binnie A. M., Hookings G. A., Proc, Roy. Soc, 194A (1948), 398—415; Binnie A. M., Harris D. P., Quart. /. Meeh. a. Appl. Math., 3 (1950), 89-106,

зз)Taylor q. Proc. VII th Intern. Congr. 4ppl. Mech.t London, 1948, vol. 2, pp. 280—285.\См. также гл. XV, п. 12.

См. цитированную в примечании 32) статью Бинни и Хукингса, стр. 413; как там отмечено, «противоположное (ошибочное) утверждение Гибсона имеется в его книге Gibson А. Н., Hydraulics, р. 104,

R е i s s п е г Ц ZaMM, 12 (1932), 25—35.'

Forster, Z. r^ath. Phys., 62 (1912), 319—327; Gibson A. H., Phil, Mag., 26 (1913), 952—965; Dumitrescu D. T.t ZaMM, 23 (1943), 139—149; Davies R. M., Taylor G. I., Proc. Roy. Soc., 200A (1950), 375—390. (Приближенную теорию внхр*ой осесимметричной струи дал Н. Е. Жуковский в 1912 г. [12*, т. VI]. — При^. ред.)

Соответствующие экспериментальные данные приведены в отчете Duff R., Rep. LA-1927, LoS Alamos Sci. Labs. Описанные там расчеты программировались совместно с Д. Картером.

20 Г, Биркгоф

\aba XI

Неустановившиеся потенциальные течения

Сферические паровые пузырьки. Простейший случай не- уста повившегося потенциального струйного течения встречается при захлопывании сферического пузырька, находящегося в бесконечной среде при постоянном давлении р^. Следуя идеям Безанта и Рэлея】), дадим приближенную трактовку этого случая, пренебрегая влиянием вязкости, сжимаемости, силы тяжести, поверхностного натяжения и конденсации паров.

Пусть сферический пузырек переменного радиуса a(f) находится в несжимаемой жидкости с плотностью р. На расстоянии г от центра пузырька скорость г = dr/dt, которая считается положительной при направлении от центра, удовлетворяет уравнению 产厂=從方=А, где А — функция времени. Следовательно, полная кинетическая энергия жидкости равна

g = y Р J 41ГГ2 (Ar-^y dr = 2zpa2a3.(11.1)

В простейшем случае захлопывание пузырька (с радиусом а(0) = R) начинается из состояния покоя, при этом давление 卩8 на большом расстоянии больше давления паров pv внутри пузырька на постоянную величину Р.

В этом случае, если пренебречь поверхностным натяжением, из закона сохранения энергии следует

.4'—.

2пра%з = 一|_ 式夕(个 _ 叫.(U. у)

Отсюда получается дифференциальное уравнение .

Его можно проинтегрировать с помощью неполных бета-функций или эллиптических интегралов 2). Полагая х = 2］輕 и

匕=0,915/?)/善•匕=0,915/?)/善•(11.26)(11.26)Для периодически колеблющегося парового пузырька, упруго расширяющегося после захлопывания, период колебания равенДля периодически колеблющегося парового пузырька, упруго расширяющегося после захлопывания, период колебания равенРис. 93.Рис. 93.

匕=0,915/?)/善•

匕=0,915/?)/善•

(11.26)

(11.26)

Для периодически колеблющегося парового пузырька, упруго расширяющегося после захлопывания, период колебания равен

Для периодически колеблющегося парового пузырька, упруго расширяющегося после захлопывания, период колебания равен

Рис. 93.

Рис. 93.

工=К/, имеем ]

3Т= /з%11一犷'/5 = 3信，^)一眾信，扌).(п.2a)

В частности, время захлопывания определяется формулой а = %8(5/б, 〃2), или

11ct2 daра — a4ct2 daра — a4С другой стороны, можно получить выражение

1

1

ct2 da

ра — a4

ct2 da

ра — a4

(11-3)

где т = Kf, a = a]R* Это выражение также может быть проинтегрировано с помощью табулированных эллиптических интегралов, однако в этом случае формулы имеют более сложный вид.

Решение в графическом виде представлено на рис. 93; даже в случае подводных взрывов (п. 3) наблюдается вполне удовле-

20*

творительное совпадение с экспериментальной зависимостью радиуса от времени3),丿

Из уравнения (11.17) видно, что при а ^ 0 скорость а ^ а 2. Таким образом, в пределе теоретически предсказываются бесконечные скорости (а, следовательно, и давления) захлопывания, Как будет показано ниже (см. гл. XV; п. 6), очень высокие давления действительно возникают, и кавитационное разрушение практически связано с захлопыванием паровых каверн 4), Однако обсуждение действительных условий этого явления связано с учетом большого числа физических переменных, которые нами не принимались во внимание (см, также ниже п. 3.13), и поэтому мы пока отложим рассмотрение этого вопроса.

Кавитация в поле переменного давления. Обычно кавитация возникает в быстротекущей жидкости, когда она протекает через область пониженного давления. Местное значение разрежения —P(t) = р^ — р часто может быть определено по уравнению Бернулли, если известна форма твердых стенок. Грубая оценка наблюдаемой скорости роста пузырьков может быть получена5) без учета поверхностного натяжения из уравнения энергии

噜"=—4^а2ap (/).

Отсюда, в свою очередь, с помощью (11.1) получается дифференциальное уравнение второго порядка относительно а

吗汐■ = —2Р(/)明i

ИЛИ

|а2 + 2a£ = — j⑺,(11.4)

которое может быть проинтегрировано численно. Получаемое решение дает вполне удовлетворительное совпадение с экспериментом, Особое решение

& = 4叫 —р(/)= ^р』2/(114)

приближенно описывает скорость роста неподвижного пузырька в случае линейного возрастания разрежения Р(/)・ Если разрежение постоянно и равно /%, то а= р2夕о/Зр/.

Ввиду того что ни поверхностное натяжение, ни сжимаемость или вязкость не нарушают сферическую форму каверн, заполненных паром (более того, поверхностное натяжение спо-

собствует образованию сферической формы), естественно попытаться обобщить предыдущие теоретические результаты с учетом этих факторов.

Влияние поверхностного натяжения 了 в неподвижном поле легко можно учесть, имея в виду, что внутренняя энергия равна

4小梦也+ 4巧冲_叫•

При этом вместо (11.2) получим дифференциальное уравнение 1,5ра 石 2 =(PR3 十 31A2)仪—з^з __ 夕覆. (11.5)

В этом случае t = f(a) также может быть выражено с помощью эллиптических интегралов. В случае Р V 0 величину /?3 можно взять положительной или отрицательной, в результате чего возможны качественно различные типы решения. Легко проверить, что поверхностное натяжение не нарушает справедливость асимптотической формулы &〜а" ПрИ @ J 0.

Влияние сжимаемости и вязкости жидкости при а J 0 также существенно и будет исследовано в гл. XV, п, 6,

Демченко и Понсин6) рассмотрели захлопывание эллипсоидальных каверн, однако не получили простых результатов.

Каверны, заполненные газом. В случае пузырька (почти) сферической формы, появляющегося в результате подводного взрыва, следует учесть внутреннюю потенциальную энергию образующихся газов, В этом случае радиус пузырька не может падать до нуля и можно определить максимальный радиус ка- верлы R. Легко видеть, что величина R связана с полной энергией взрыва У по формуле У = 4kPR3/3, где Р — давление окружающей среды.

Влияние газов, образующихся при взрыве, проявляется в основном при относительно малых значениях радиуса a《R. Поэтому они мало влияют на период колебаний, вызванных подлодным взрывом. Подставляя У = 4itPR3/3 в формулу (11.26), получаем формулу

2/1= 1,14р%片力-%, (11.6)

дающую вполне удовлетворительные результаты7).

Можно также применить анализ размерностей для учета в формуле (11,6) влияния сжимаемости газа. Из соображений теории подобия8) следует инвариантность колебаний относительно подстановок а^а, У f 俨У, ff 筋 откуда следует, что 26 = У1/зт(р, Р), где р — плотность окружающей воды. Если предполагать, что газовый пузырек расширяется однородно и адиабатически, и учитывать только его потенциальную энергию.

то можно получить более простую формулу 2厶=Yll^'/2^(P). Определение функций т(р, Р) и 屮，Р) требует дополнительного анализа.

При указанных выше предположениях об однородности и адиабатичности процесса расширения поведение пузырька при подводном взрыве вблизи минимума радиуса Ri может быть определено следующим образом. Рассмотрим идеальный газ со средним давлением p(f) и плотностью рь(/)・ Если обозначить через Pi среднее давление при минимальном радиусе Ri, то получим р = Ар} = р{ (Rja^y, где 7 — подходящее значение показателя адиабаты. Полная потенциальная энергия сжатия газа определяется интегралом

з 2 з 4叩附аЗТ

4 叩府/а2Tdа =

Добавляя это выражение в уравнение энергии (11.Г) и деля на 2侬3, получаем .

. h2戶20产

(П-7)(П-7)пренебречьпренебречь(11.7а)(11.7а)ра =布-3(1- 7))•

(П-7)

(П-7)

пренебречь

пренебречь

(11.7а)

(11.7а)

Вблизи минимального радиуса R мы можем9)

величиной Р н получить упрощенное уравнение

(年)1’

где постоянная И определена из условия & = 0 при R = Ri.

В частном случае при 7 = 4/3, который приближенно соответствует газам, образующимся при взрыве, уравнение (11.7а) может быть проинтегрировано в замкнутой форме. Обозначая a/R = 1 + а, получаем 9)

= М 石(1 +4a + |«2).(11.76)

Численный пример имеется в работе [51],

В реальных подводных взрывах около 30% всей энергии теряется на акустическое излучение в течение первого захлопывания и расширения и примерно столько же теряется вследствие турбулизации потока и вследствие несферичности пузырька 9а), Отсюда видно, что периодически колеблющийся пузырек, рассмотренный выше, представляет собой значительную идеализацию реального процесса. См. также п. 13 и гл. XV, п, 4—6,

Вышеприведенные рассуждения применимы также к захлопыванию каверн, содержащих воздух, этот воздух ослабляет

удар в конце захлопывания. Абсолютная температура Т должна удовлетворять уравнению

今⑴・8)

где приближенно 3[—3 = 1,2.

Формула (11,8) показывает, что газонаполненный пузырек в быстро сжимаемой среде может быть нагрет до температуры, во много раз превышающей его первоначальную (абсолютную) температуру. Недавно было показано, что это обстоятельство важно при возникновении взрывов 10).

Неустановившиеся каверны за снарядами. Неустановив- шиеся каверны, образующиеся при' входе снарядов в воду, могут быть исследованы с помощью приближенных методов, подобных тем, которые применялись в гл. X, п. 6 при анализе установившихся подводных каверн и). Приближенные результаты хорошо согласуются с модельными испытаниями при входе в воду из вакуума, если соблюдается подобие по числу Фру- да (гл. XV, п. 8),

Для разработки эффективного приближенного метода расчета будем предполагать, что вода вынуждена двигаться по концентрическим сферам с центром в точке входа. Это предположение хорошо согласуется с формой наблюдаемых в действительности линий тока 12). Такое искусственное условие совместно с предположением о том, что энергия, расходующаяся па преодоление лобового сопротивления на любом отрезке пути, поглощается сферической оболочкой, содержащей этот отрезок, а также совместно с теорией движения идеальной жидкости, позволяют определить закон движения.

В случае вертикального входа максимальный угол ат(у), охватываемый каверной на глубине у, удовлетворяет соотношению

cos am (у)=1 — 2^^--(11.9а)

где О(у) — лобовое сопротивление снаряда на глубине у.

В безразмерной форме, полагая, что У = y/d — глубина, выраженная в диаметрах снаряда, и 尸(У) = v2(Y)/gd. где у (У)— скорость снаряда после проникновения вглубь на расстояние, равное У диаметров, придем к приближенной формуле

吟]/,(Н-96)

где W — отношение максимального диаметра каверны к диаметру снаряда. В табл. 1 приводится сравнение расчетных зна-

чений этого отношения Wp и значений Wm, полученных экспериментально Гилбаргом и Андерсоном [30] при начальном числе Фруда 尸(0) = 1986 и при давлении, равном 1/27 атмосферного давления. Расчетное время захлопывания каверны также вполне удовлетворительно совпадает с измеренным.

Таблица /

У

10

14

18

22

26

30

%У)

3,78

2,96

2,52

2,26

1,93

1,76

0,94

0,97

1,04

1,15

1,18

1,30

В случае входа снарядов в воду из воздуха эффект поверхностного смыкани-я каверн, рассмотренный в гл. XV, п, 8, может вызвать значительно большее расхождение теоретических данных с экспериментальными, В случае косого входа дополнительные погрешности вызывает гидростатическое всплывание каверны.

Движение пузырька; законы Бьеркнеса. В реальных условиях пузырьки при подводных взрывах (и другие пульсирующие пузырьки) перемещаются под влиянием силы тяжести, твердых сТенок и свободных границ. Покажем теперь, что они обладают тенденцией перемещаться по направлению к твердой границе (корпусу корабля или морскому дну) и прочь от горизонтальных свободных границ. О влиянии силы тяжести на пузырки см. гл. XV, п, 9,

Хорошо известно [62, § 8.41, § 13.31], что вличние твердой плоской стенки на источник в точности эквивалентно влиянию воображаемого источника (рис. .94, а), помещенного симметрично относительно плоскости стенки. Влияние плоской свободной границы приближенно совпадает с влиянием воображаемого стока той же мощности (рис. 94,6). В самом деле, при наличии воображаемого стока на плоской границе выполняется условие U = 0; поскольку на ней же dU/dt = 0 'и VUVU = 0(1/R4), то имеют место небольшие вариации давления.

Далее Бьеркнесом уже давно было показано12а), что сферы, пульсирующие в одинаковой фазе, притягиваются, а в противофазе—отталкиваются друг от друга. Этот факт подтверждает справедливость сформулированных выше положений. Выведем их, исходя из других соображений.

СтенкаСтенка* поверхность* поверхность

Стенка

Стенка

* поверхность

* поверхность

Для неподвижного пульсирующего источника (сферического пузырька), интенсивность которого E(f) меняется со временем, а ось х проходит через источник и его отображение, потенциал скорости вблизи источника определяется приближенно по формуле

U = — 十sf(f)r sin 0,(£= ± ^7),

где r — расстояние от источника (центра пузырька), R — расстояние до плоской границы, 8 — угол возвышения, g берется

卒

1 Свободная

Рис. 94.

со знаком плюс или минус, в зависимости от того, является ли граница твердой или свободной.

Предположим теперь, что форма пузырька остается сферической, но его центр может свободно перемещаться. В этом случае

и=—翠 + еЕ (/) Г Sin 8 + 外，£%(11.10)

где 5(f)—момент диполя, соответствующий поступательной скорости b(t) сферы (отраженным диполем мы пренебрегаем). Тогда, если a(f) — радиус пузырька, то E(f) = a2d и B(t) = a^b.

Если пузырек предполагается невесомым, то результирующая сила давления на его поверхность должна обратиться в нуль. Однако величины давления, не зависящие от 0 или пропорциональные sin2 0 или cos2 0 на поверхности, не дают нужного эффекта.

Поэтому из уравнения

Р +号俘f+仪事门+ р警 = с。т

используя (11,10), получим результирующую силу давления в виде поверхностного интеграла от —р, умноженного на выражение

曾(0 一 Sin 9 + (гЁг + 爲卜in 仇

Это выражение обращается в нуль тогда и только тогда, когда

5= 2^. —2е£2 — 2е£а3, (11.11)

Суммарный эффект Е и Ё за весь цикл равен нулю. Следовательно, знак В (а потому и В) противоположен знаку еЕ2 (а потому и £), что и доказывает высказанные ранее утверждения. Поскольку b(t) =B(t)/a3t мы обнаруживаем, кроме того, что большая часть перемещения происходит тогда, когда радиус пузырька мал. Если функция E(f) известна (п, 3), то, конечно, можно получить количественные оценки, однако отклонения пузырька от сферической формы и влияния турбулентности делают эти оценки недостаточно надежными,

Присоединенная масса кавитационного течения. В п, 6—10 мы рассмотрим реакцию несжимаемой жидкости со свободными границами на внезапное ускорение твёрдого тела, находящегося в жидкости. Таким образом, мы распространим классическое понятие присоединенной массы ([7, гл, V], [51, § 93, гл. VI], [62]) на этот случай (см, также п, 10),

Для формулировки основных идей будем вначале считать, что <р(х) является потенциалом скорости идеального кавитационного течения около неподвижного твердого тела, так что V2(p = 0, Вырожденный случай <р(х) = 0 также включен в рассмотрение, Пусть тело мгновенно получает ускорение а в момент времени / = 0 в направлении оси х. Тогда, согласно общим положениям теоретической гидромеханики, потенциал скорости при малых / > 0 разлагается в ряд

U(x; /) = ?(х) + аМ(х)+ …， VM = 0. (11.12)

Функцию А (х) будем называть потенциалом ускорения для единичного ускорения. Сведем задачу по его определению к смешанной краевой задаче теории потенциала.

По принятым предположениям, dU/dn = at дх/дп на поверхности твердого тела, в то время как на свободной границе р = const. Ввиду того что перемещение твердого тела имеет порядок 0(停)，получим

沂=而 +出而+ ••• =° +出而+ • •

Следовательно, при f == ОСледовательно, при f == ОдА — дх дп — дпдА — дх дп — дпна поверхности твердого тела

Следовательно, при f == О

Следовательно, при f == О

дА — дх дп — дп

дА — дх дп — дп

(11.13а)

Воспользуемся теперь интегралом Коши — Лагранжа для давления р в ускоряющемся идеальном течении. При f = 0 его можно записать в виде

C©T =、NU ги* 嘴=、0…什аА. (11.14)

Однако, по предположениям, на свободной границе V屮・厂屮= =const. Подставляя последнее выражение в (11.14) и вычитая из А константу, не имеющую физического смысла, получаем, что на свободной границе .

4 = 0. (11.136)

Как известно [42, стр. 214], условия (13а), (136) и V2A = 0 однозначно определяют 4

Заслуживает внимания тот факт, что условия, определяющие 4(х), не зависят от <р и что они не изменятся также и в случае наличия гармонического гра-

витационного потенциала G(x). Они зависят только от формы свободных (\

границ и твердых стенок и напра-(6\

вления (поступательного) ускоре-I'I

HHj

' Простейший и наиболее важный \^%; >//,>

случай соответствует вертикальному ускорению плавающего тела (рис. 95)

в неподвижной воде. В этом случаер и с, 951

начальную свободную поверхность S

можно совместить с х = 0 и из (11.136), применяя принцип симметрии (метод отражения), получить

А(—х, у, z) = — 4(х, у, z).(11.15)

Следовательно, А можно считать потенциалом скоростей в установившемся течении вокруг нового тела В*, составленного из погруженной части Bf тела В и ее зеркального отражения В" (рис. 95). В частном- случае наполовину погруженных сфер и эллипсоидов соответственно получается половина обычного установившегося течения вокруг того же самого тела. В случае кругового цилиндра или сферы, погруженных меньше, чем на половину, величина А (х) определяется как для течения около чечевицеобразного тела; случай клина приводит к течению около ромба. Все эти случаи описаны в литературе 13).

Еще одна интересная задача возникает при исследовании кавитационного обтекания пластины (гл. II, п. 2); этот случай рассматривался М. И. Гуревичем 14).

Согласно выражению (11.14), результирующая реакция жидкости равна

F = —pa/』dS, (11.16)

где абсолютная величина векторного дифференциала dS равна элементарной площади поверхности 曲，а его направление совпадает с внутренней нормалью к поверхности твердого тела. Величину тЛ = р JAdS можно назвать присоединенной массой кавитационного течения; величина m {atyji является кинетической энергией ускоренного движения и, как известно, ее минимизирует 15) возникающее при этом поле скоростей. Вообще говоря, определенная выше присоединенная масса mf кавитационного течения составляет 50—80% от обычной присоединенной массы. ,

Несмотря на то, что величина тЛи2/2 не выражает полной кинетической энергии кавитационного течения (которая равна бесконечности), понятие присоединенной массы кавитационного течения (с некоторой осторожностью15)) можно использовать для объяснения экспериментально наблюдаемой зависимости величины коэффициента сопротивления &> шара при изменении параметра а, равного отношению плотности шара к плотности жидкости. Мэй 15) получил приближенную зависимость CD(a)= =0,28/(1 + 0,13а"1)» которой соответствует присоединенная масса кавитационного течения, равная приблизительно 25% обычной величины присоединенной массы.

Кавитационная зона. В предыдущем рассмотрении предполагалось, что кавитационная зона не подвергается внезапному изменению. Однако в предельном случае мгновенного изменения скорости, как хорошо известно из эксперимента, это не соответствует действительности. Если предположить, что в кавитационной зоне давление постоянно и равно давлению на бесконечности, то получается задача более трудная, чем рассмотренная выше. Вообще, согласно (11.14), в безвихревом потоке минимальное давление имеет место на границе 16); таким образом, задача сводится к определению формы кавитационной зоны.

Эта интересная задача, по-видимому, впервые была рассмотрена Рябушинским 17) в 1926—1927 гг. Она была решена Рябу- шинским и Демченко 17) для случая твердого кругового цилиндра, погруженного в большую цилиндрическую массу воды, и

Л. И. Седовым 17) для случая полупогруженного эллиптического цилиндра.

Ускорение жидкой сферы. Рассмотрим начальное движение жидкой сферы плотности р, вызванное мгновенным ускорением из состояния покоя в окружающей жидкости плотности р' или же мгновенным появлением однородного гравитационного поля g. Если Л и Af — потенциалы ускорения обеих жидкостей, то, очевидно, VM =门才‘二。На границе раздела жидкостей S из условия несжимаемости получим

禦=醬 н §4^S = 0.(11.17а)

Кроме того, согласно (11.14), при <р = 0, ввиду непрерывности давления при переходе через S, имеем

р4 = р》<(11.176)

Если g—мгновенное ускорение, то мы также имеем lim ^А (х) = g.

Особенно интересны предельные случаи р = оо (твердая неподвижная сфера) и р = 0; последний соответствует электрическому проводнику в однородном поле. Вообще условия (11.17а) и (11.176) определяют краевую задачу теории потенциала, возникшую впервые в теории магнитной поляризации (магнитной индукции) Пуассона, в теории электростатической индукции Фарадея, в теории электро- и теплопроводности и в теории фильтрации18). Легко видеть, что обобщенный поляризационный потенциал Л — £ gkxk 4’ 一 ^gkxk определен во всем пространстве, регулярен на бесконечности и является гармонической функцией всюду, кроме S, где дА/дп = дА'/дп. Следовательно, он представляет собой [42, стр. 286] потенциал двойного слоя плотности ф(у) на S. Далее, если имеем 九=(р — р')/(р+р‘)， то ф(у) является решением интегрального уравнения типа Фредгольма

屮(у) —入/к(у； 〃)屮⑺as=±g&%(11.18)

s

на S. Здесь g — ускорение на бесконечности и ядро ^(y; п) соответствует(5(>у — п\)/дп теории потенциала.

Однако было исследовано только несколько частных случаев. Пуассон 19) доказал в 1828 г., что VA = с постоянно для эллипсоидов. Это эквивалентно утверждению о том, что начальное ускорение любой жидкой сферы или эллипсоида

происходит так же, как твердого тела. Так, для жидкой сферы имеем

A' = kx + k"^, A = k'x. (11.19)

В 1931 —1932 гг. Дайв и Никлибор19) доказали, что не эллипсоидальные жидкие тела этим свойством жесткости не обладают. .

Интересная родственная задача струйных течений, для которой также выполняются условия (11.17а) и (11.176), связана с импульсным ускорением паровой каверны в покоящейся жидкости. В этом случае постоянство объема каверны не предполагается и задача математически эквивалентна задаче о проводнике в электростатике.

Наконец, можно рассмотреть задачи, в которых одновременно имеются и свободные границы и твердые стенки. Например, случай полусферы или цилиндра, находящихся на жесткой горизонтальной плоскости, рассматривался Пенни и Торнхиллом 20). .

Ударные силы. Хотя начальные поля ускорений и импульсные поля скоростей, подобные рассмотренным в п. 6, 7, легче поддаются математическому анализу, на практике обычно приходится встречаться с условиями, когда течения изменяются за достаточно длительный промежуток времени. Сюда относятся задачи по определению ударных сил, действующих па поплавки гидросамолета и воздушные торпеды при их соприкосновении с водой, а также при так называемых хлопках корпуса судов. Полезные оценки величины силы удара как функции времени могут быть выполнены путем применения идей, развитых в п. 6.

Так, например, согласно Карману21), можно считать, что при вертикальном ударе поток почти совпадает (как в п. 6) с потоком, вызванным плоской пластинкой, имеющей одинаковую вертикальную скорость и и мгновенную площадь S сечения по ватерлинии. Из этого предположения можно вычислить полное количество движения22), передаваемое воде. Поскольку касательные составляющие напряжения конечны, импульсы, передаваемые напряжениями через любую вертикальную поверхность, горизонтальны. Конвекцией при ударе можно пренебречь. Следовательно, переданное количество движения должно быть равно количеству движения любого вертикального цилиндра, содержащего смоченный периметр. В двумерном случае оно равно [51]

(11.19а)

где 2b — ширина ватерлинии. В осесимметричном случае S представляет собой диск радиуса & = 〃(/), и количество движения равно [50, стр. 139]

(11.196)

Дифференцируя, можно обнаружить, что сила приблизительно равна 《риа^а, и в начальный период она, грубо говоря, пропорциональна У± в случае снаряда с конечной кривизной головки, когда a^yt.

Вагнер23) продолжил исследование вертикального удара и определил поправку на подъем уровня поверхности, которую необходимо ввести, поскольку площадь смоченного периметра превосходит площадь поперечного сечения на уровне ватерлинии. Введя в рассмотрение потенциал ускорений, он пришел к неожиданному результату, что давление минимально в центре, где находится критическая точка.

Косой удар тупых тел был исследован Л. И. Седовым 17) и Триллингом24). Полученные приближенные решения этой задачи менее надежны.

Во всех случаях предшествующий теоретический анализ не учитывал влияния сжимаемости (из-за которой, максимальное давление не может превышать величины реи, где с — скорость звука в жидкости), а также упругости ударяющего тела, значение которых может быть существенным. Однако имеющиеся экспериментальные данные25) подтверждают теоретические расчеты с точностью до ±20% для большей части периода погружения тела на одну четверть диаметра.

Удар конусов и клиньев. Вертикальный удар конуса о горизонтальную свободную поверхность приводит к очень изящной краевой задаче теории потенциала, если пренебречь влияниями вязкости, силы тяжести, сжимаемости и поверхностного натяжения. Из соображений теории подобия [7, гл. IV, § 8] потенциал скоростей можно искать в форме

U(x, /)==/伊)=仰(у), (11.20)

которая соответствует течению автомодельному при всех / > 0 где £ = 0 — момент удара.

Эта автомодельность была впервые введена Вагнером23), который показал, что (для правильных круговых конусов и клиньев) расстояние по кривой на поверхности жидкости между конусом и любой фиксированной частицей не зависит от времени. Для построения всего течения необходимо на неиз*

вестной границе решить интегральное уравнение вида

中(у)= / 卜(叫財&；叫+£(У；叫寫ds].(11-20*)

Приближенное численное решение этого. уравнения было дано Шифманом, Спенсером и Хиллманом 26).

Косой удар пластины, или клина также приводит к потенциалу скоростей в форме (11.20) и к интегральным уравнениям относительно <р(у), решение которых связано с определением положения неизвестной свободной поверхности27).

Весьма важно найти закон изменения силы удара 尸 от времени. Простые соображения теории размерности показывают, что 尸 = kt2 для конусов (н 尸=/г/ для клиньев). Ввиду инструментальных и других трудностей измерений ранние эксперименты 28) не подтвердили справедливость этого закона, однако экспериментальные данные нельзя считать надежными.

Постоянный коэффициент ускорения. Другой класс не- установившихся автомодельных идеальных струйных течений был открыт Карманом 29). Эти течения определяются потенциалами, имеющими вид

u 就' " ht

Таким образом, ускорение а (/) — dv/dt пропорционально 1/产, а безразмерный коэффициент ускорения al/v2 (или коэффициент замедления —al/v2) постоянен. Из уравнения Коши ——Лагранжа (11.14) получаем

V屮.V屮—2聞=const (11.22)

на свободной границе. Предельный случай й->0 соответствует установившемуся течению.

Проведем аналитическое исследование симметричного плоского течения около каверны с заостренным концом (рис.96, а). Всякое течение такого вида может быть конформно отобра-

жено на внутренность единичного полукруга Г на вспомогательной плоскости и (рис. 96,6) так, чтобы смоченная дуга SAS' препятствия переходила в дугу полуокружности и = eiQ, а свободная граница SCS'——в ее диаметр. В связи с симметрией течения бесконечно удаленная точка z = оо переходит в точку мнимой оси и = ф, где 0 < р < 1.

При обозначении W = U -\- iV = w(z)/ht приведенный комплексный потенциал w(z) определяется как и в гл. VI, п. 10, формула (6.26), по формуле

® =产％, (11.23) где

В = ^(р7-р) И Т = -^(и + и-'). (11.23')

На свободной границе S'CS потенциал 侬=中 действителен, и по условию (11.22), обозначая приведенную скорость g = =dw/dz, имеем

iq2=l^l = -7^r + conSt = ^4^-- (1L24)

В (11.24) все члены действительны, с =化|, в точке С, ввиду того, что в ней Г = оо, и /С2 >—1 вследствие того, что M'CS не содержит критических точек. Теперь запишемiK=Tx =—他+ + 〃[i)/2; ясно, что «1 = q, где 0 < 7 < 1, если К2Vo и % = =级。，где 0 V т V п, если —IKK^W。. Кроме того, поскольку 7 ± Т/=—zz~i ® 土勺)(〃 土叮 1)/2, из формулы (11.24) следует

(〃 + 〃1)(“一 "1)(〃 +“U) (〃一〃/) с 1

-(〃 + r)(〃_戸)(〃_戸7)(〃+，，37)・

Ввиду ТОГО ЧТО (〃 + 〃》(〃一 〃,1) И (〃一 〃,® + ”1)— сопряж. иные комплексные числа при действительном и (и и$ = /р, Uj = »т или щ = 级)имеющие одинаковую абсолютную величину, мы получаем, что на S'CS

|Q|=c|Q|=cw+旳）（以一以r）（以+ K）（以+ ?Вт）w+旳）（以一以r）（以+ K）（以+ ?Вт）(11.24**)(11.24**)

|Q|=c

|Q|=c

w+旳）（以一以r）（以+ K）（以+ ?Вт）

w+旳）（以一以r）（以+ K）（以+ ?Вт）

(11.24**)

(11.24**)

В случае плоской пластинки, исследованном Карманом и Гилбаргом29),工 принимает на S4S' чисто мнимые величины. В этом случае функция

“〃)=e (以+ 用)(以 +?вт)= a[(以-以一1)+ 2(3 + 3-1)1

с(〃 + “1)3 —以J)с [(« — 〃т)+ (〃1 — 〃[')]

91 Г КмпкглЛ

регулярна на Г, имеет единственный нуль при и = i, чисто мнимая на а = е^ и по модулю равна единице на действительной оси. Такой функцией является (и ——»)/(а + £)； следовательно,

(〃 +，•)(〃 +碓)(〃 +用 7) ' '

определяет совместно с (11.23) ускоренный поток около плоской пластинки для любых ри» удовлетворяющих указанным выше неравенствам. ■

С другой стороны, путем аналитического продолжения через единичную окружность (при котором 工(а*т)=——g*(a)) и действительную ось любую функцию f(u), обладающую указанными выше свойствами, можно аналитически продолжить на всю плоскость и, причем эта функция будет иметь нуль в точке и = I, полюс в точке и = —1 и не будет иметь никаких других нулей или полюсов. Следовательно, f(u) = ± (и — i)/(u + z). т. е. (11.25) и (11.23) определяют единственные течения рассматриваемого типа.

Карман показал 29), что существует только один случай, при котором z(C) и z(. 1) имеют одинаковые мнимые части. Однако в свете обсуждения в гл. V, п. 14 и гл. VI, п. 10, можно ожидать, что в случае твердого криволинейного препятствия число свободных параметров должно быть больше. Поэтому физический смысл результата Кармана не ясен. Действительно, общий случай криволинейного препятствия может исследоваться методами гл. VI с использованием формулы (11.24*) для отражения относительно свободной границы; детали этого метода мы опускаем.

Течения рассматриваемого типа позволяют объяснить некоторые свойства виртуальной массы ускоренной пластинки30). Однако остается неясным их физическое воспроизведение, а также не ясно, может ли быть устойчивым след или каверна с заостренным концом.

Действительно, не ясно, может ли образоваться поверхность разрыва в первоначально покоящейся идеальной жидкости. Этот вопрос является предметом длительных разногласий31).

Устойчивость плоскости раздела. Неустойчивость поверхностей разрыва скорости отмечалась в гл. I, п. 7 как основная причина того, что теория, развитая в гл. II——X, не может быть применена к реальным следам. Дадим теперь первую количественную теорию этой неустойчивости; см. также -гл. XV, п. 10—12.

В простейшем случае рассматривается единственная плоскость раздела у = 0, разделяющая две жидкости с плотностью р и р', в вертикальном гравитационном поле32) с интенсивностью g. Предположим, что эти жидкости имеют тангенциальные скорости и, 〃‘ и постоянное нормальное ускорение а, направленное в сторону жидкости с плотностью р. Относительно осей, движущихся с горизонтальной скоростью (ри + ^и)/(^ + р‘) и вертикальной скоростью а/, скорости и, и! будут параллельны оси х и будут удовлетворять уравнению pu + р'〃 = 0. Рассмотрим относительно этих осей бесконечно малые синусоидальные возмущения

у =b(t)s\nkx = ri(xt /) (11.26)

плоскости раздела. Если пренебречь вязкостью, то давление р удовлетворяет уравнению Коши ——Лагранжа в гравитационном поле. Это уравнение в системе координат, движущейся вертикально вниз со скоростью а/, имеет вид

p + ?^U^U+^+gy-ay^C{t),(11.27)

в области у >“(％,/), занятой нижней жидкостью плотности р; аналогичное уравнение можно написать относительно р[ р[ U для верхней жидкости.

Если поверхностное натяжение на поверхности раздела 7 > 0, то давление на ней удовлетворяет условию

/ =(Н.27а)

При обычных приближениях, принятых при исследовании малых возмущений33), уравнения движения Эйлера и условия на поверхности раздела (11.27а) эквивалентны обыкновенному дифференциальному уравнению

学=s 伍)氏(11.28)

где

S (舟=謂为"一吟 + 号；(a一g)々•(11.28，)

Случай р'= 0, а = 0, g > 0, при котором S(/e) =—gk и 厶(公=Re [С exp屮欧/], соответствует классической теории гравитационных волн в океане бесконечной глубины при отсутствии ветра. Мы не будем даже пытаться дать обзор всей обширной литературы, посвященной этому случаю нейтральной устойчивости (см. [51, гл. IX]).

Вместо этого мы исследуем некоторые виды неустойчивости, которые легче всего поддаются истолкованию с помощью

уравнения (11.28). Наши рассуждения будут основываться на классическом принципе, доказательство которого опирается на теорию рядов Фурье34), состоящем в том, что условием неустойчивости является неравенство

S优)>0 (11.29)

для некоторых /г > 0. Отсюда немедленно можно заключить следующее.

Относительная тангенциальная составляющая скорости |а‘ ——а| всегда оказывает дестабилизирующее влияние. Неустойчивость, вызываемая в основном этой причиной, может быть названа неустойчивостью по Гельмгольцу35).

Ускорение в направлении от тяжелой жидкости к более легкой оказывает стабилизирующее воздействие; ускорение е направлении от легкой жидкости к более тяжелой жидкости является дестабилизирующим. Неустойчивость, вызываемая в основном этой причиной, может быть названа неустойчивостью по Тэйлору36).

Поверхностное натяжение оказывает стабилизирующее воздействие- на самые короткие волны и существенно стабилизирует короткие волны, предотвращая возможность того, что поверхность раздела потеряет свою правильную форму37).

Действительно, если пренебречь поверхностным натяжением, то функция S (й) будет неограничена для обоих видов неустойчивости—и по Гельмгольцу и по Тэйлору. Отсюда следует34), что проблема возмущений поставлена математически некорректно в классическом смысле (Адамара), т. е. что дифференциальные уравнения возмущения просто не имеют решения при начальном возмущении общего вида.

Неустойчивость по Тэйлору. В случае и = и\ соответствующем неустойчивости по Тэйлору в чистом виде, вязкость в начальной стадии действительно не играет никакой роли. Благодаря этому теория неустойчивости по Тэйлору проще теории неустойчивости по Гельмгольцу. Поэтому мы сначала рассмотрим первую, хотя последняя лучше изучена и, по-видимому, играет более важную роль.

Теория Тэйлора была создана для объяснения неустойчивости пузырьков при подводных взрывах (п. 3), когда их радиус близок к минимуму (п. 13). Ранее Рябушинский38) предложил критерий устойчивости, заключающийся в том, что пузырек будет устойчив, если внутреннее давление меньше атмосферного, и неустойчив в противном случае. Тэйлор вместо этого дал соответствующий критерий II п. 11.

Количественная теория развивается следующим образом. Согласно (11.28) и (11.28'), существует непрерывное множество

неустойчивых собственных возмущений, каждое из которых обладает своей скоростью экспоненциального роста YS (^). Длина волны возмущения Xm = 2^/km, соответствующая наибольшему значению S(/e), будет, очевидно, соответствовать наибольшей скорости роста отклонений. Назовем ее длиной наиболее неустойчивой волны. При неустойчивости по Тэйлору в чистом виде, поскольку и = и' по (11.28') имеем 碌=(р — pz) (а—g)/3^ Например, если а = 50g и р，《р = 1, как это было в экспериментах Льюиса с воздухом и водой, то получается 左加^ 14 и 入加 ~ 0,45 см. В общем случае наибольшая скорость роста будет равна

Ms (啞)=Ms (啞)=2(L，)％зкз(р + рл)2(L，)％зкз(р + рл)(а — g)%(а — g)%

Ms (啞)=

Ms (啞)=

2(L，)％зкз(р + рл)

2(L，)％зкз(р + рл)

(а — g)%

(а — g)%

По истечении времени, достаточного для того, чтобы случайные начальные возмущения выросли в тысячу раз, можно ожидать, что поверхность раздела примет неправильную форму и приближенные соотношения, использованные при выводе формул (11.28) и (11.28‘)，станут неприменимыми. Если р《р‘ и первоначальные возмущения имеют синусоидальную форму с длиной волны 九=2冗/財 то пузырьки с закругленными концами более легкой жидкости проникают в более тяжелую жидкость, подобно тому как было описано в гл. X, п. 11, с почти постоянной скоростью порядка ]/gX. Тяжелая жидкость в промежутках почти не двигается. Эти выводы Тэйлора были подтверждены Льюисом [58] для случая поверхности раздела воды и воздуха. Случай двух жидкостей или газов со сравнимыми плотностями экспериментально труднее исследовать, так как в этом случае скорее возникает неустойчивость по Гельмгольцу; при этом она протекает более симметрично по отношению к обеим жидкостям.

В конце п. 11 мы обнаружили, что линеаризированная задача неустойчивости поверхности раздела некорректна, если не учитывается поверхностное натяжение, в обоих случаях неустойчивости, как по Гельмгольцу, так и по Тэйлору. Остается открытым интересный вопрос: позволяет ли точная нелинейная теория корректно поставить краевую задачу.

Сферические и цилиндрические пузырьки. Неустойчивость по Тэйлору сферических и цилиндрических каверн может быть исследована методами, аналогичными тем, которые были изложены в п. 11. Если b(f)——радиус сферической каверны, зависящий от времени, то возмущения поверхности раздела, выраженные с помощью полиномов Лежандра ^(cos ф), имеют амплитуды 匕九(/), которые, если, поверхностное натяжение т

пренебрежимо мало, удовлетворяют уравнению39)

bbh 十 3 方友—(й —1)^Л = 0. (11.30)

В случае подводных взрывов имеем 6 > 0 вблизи минимального радиуса, что указывает на неустойчивость по Тэйлору в обычном смысле (гл. II, п. 11) сферической формы. Это и приводит к тому, что значительная часть общей энергии взрыва переходит в энергию турбулентного движения жидкости.

В случае небольших паровых каверн поверхностное натяжение играет важную стабилизирующую роль и, кроме того, b < 0, поэтому неустойчивость по Тэйлору отсутствует. Тем не менее, вследствие отрицательного демпфирования (6 < 0) амплитуда последовательных колебаний возрастает приблизительно как 斤％. Следовательно, захлопывание кавитационных пузырьков теоретически также неустойчиво40).

В предыдущем теоретическом обсуждении не учитывались многие важные факторы, такие, как возрастание давления паров, которое возникает при b《bmax, отклонение от сферичности вблизи стенок, влияние вязкости и т. д.41). Тем не менее, это обсуждение, по-видимому, дает качественно правильную картину.

Многие другие задачи, связанные с неустойчивостью каверн, могут быть исследованы подобным же образом. Так, например, можно рассмотреть устойчивость сферического пузырька в переменном поле давления42) или изучить устойчивость захлопывающейся цилиндрической каверны, принимая возмущения в форме г = b(f) + b/i(f) cos М, где 匕九(/) бесконечно малы. Вместо уравнения (11.30) будем иметь

bbh+ 2^Л —(用一1) % = 0. (11.30а)

В этом случае возмущения возрастают не медленнее, чем по логарифмическому закону40), однако их относительная амплитуда растет как 1/6.

Кроме того, подобными же методами могут быть также исследованы колебания почти сферических капель с учетом поверхностного натяжения [51, § 275]. И, наконец, предметом интенсивного исследования в связи с астрофизическими приложениями стала задача устойчивости сфер и эллипсоидов в гравитационном поле43).

Неустойчивость по Гельмгольцу. Неустойчивость свободных линий тока (гл. II—XI) может быть выведена сразу из уравнений (11.28), (11.28')* В этом 'легче всего убедиться, положив р = р，(или а = g) и 7 = 0. Для всякого постоянного волнового числа k в случае р'《р, соответствующем поверхности раздела газа и жидкости, скорость роста возмущения будет npQ・

порциональна У^1? • Это объясняет условие Бетца ——Петерсона (гл. I, п. 4), которое показывает, что теория свободных струй приложима к границе газ — жидкость. Неустойчивость в этом случае мала и часто поверхностное натяжение преобладает.

Более сложным является приложение теории к образованию ветровых волн. Эта теория была разработана в 1871 г. Кельвином33). В этом случае р'《р. Расчет длин наиболее неустойчивых волн показывает [51, § 268], что поверхность раздела должна быть устойчивой при скорости ветра a'V 646 см/сек.

(Как сила тяжести, так и поверхностное натяжение оказывают стабилизирующее влияние; если было бы а = g, как, например, в падающем лифте, то мы всегда имели бы неустойчивость при 入т^З^т/р'〃‘• В экспериментальных условиях волны образуются при скоростях около 120 см/сек44).

Указанное расхождение типично для приложений теории устойчивости Гельмгольца ——Кельвина к конкретным задачам. Его объясняют различными причинами44): влиянием вязкости, отрывом воздушного потока у гребня волны (т. е. разрежением в зоне отрыва) и турбулентностью ветра в действительных условиях.

Эти приложения усложняются также нелинейными эффектами, возникающими в случае крутых волн (волн конечной амплитуды) .Так, в случае р = р‘ поверхность раздела (вихревая пелена), разделяющая две жидкости одинаковой плотности, .стремится свернуться в несимметричную спираль. Розенхедом45) были выполнены расчеты в предположении, что поверхность раздела вначале имела синусоидальную форму. Развитие спиралей показано на рис. 97.

Устойчивость капиллярных струй. Вероятно, наиболее поразительно приложение методов, изложенных в п. 11 —14, к вопросу об устойчивости капиллярных струй. Это приложение было изложено Рэлеем в ряде классических работ46).

Рэлей схематизировал такую струю (диаметром 1—10 мм) в виде цилиндра радиусом а. Он предположил, что распад струй возникает под влиянием поверхностного натяжения, которое вызывает возмущения в виде последовательных радиальных расширений и сжатий струи. Таким образом, он рассматривал возмущения вида г = а + b(t) sin kx, аналогичные возмущениям вида (11.26) в теории Кельвина. Потенциалы скоростей, соответствующие таким возмущениям, равны U = =Jo(kr) cos kx внутри струи и U，= Ko(/er) cos kx вне ее. Они заменяют выражения U = ehycos kx и U' = e_/i^cos kx в расчетах Кельвина.

Рэлей показал, что такая идеализированная струя статически не устойчива под воздействием поверхностного натяжения 厶 если ее длина 厶 превышает диаметр Q в п раз, и что длина наиболее неустойчивой волны равна приблизительно 4,5 D. В случае водяных струй соответствующее наиболее неустойчивое возмущение будет усилено в 1000 раз через промежуток времени / = 0,828 Q%* Рэлей заключил, * что длина распада пропорциональна скорости струи. Экспериментально это наблюдается при скоростях, не превышающих некоторую критическую скорость 47).

Можно предположить, что при этой скорости влияние неустойчивости по Гельмгольцу становится более сильным, чем влияние поверхностного натяжения. Возможность точного определения критической скорости сомнительна (см. п. 14). Так, известно47), что для струи, вытекающей из отверстия с острыми краями, критическая скорость может быть в три раза больше, чем у струн, истекающей из отверстия в толстой плите； другие отклонения от теории будут рассмотрены в гл. XV, п. 10.

Устойчивость других конфигураций. Метод Кельвина применялся ко многим другим конфигурациям с поверхностями разрыва：

Так, Рэлей46) использовал идеи Кельвина для объяснения хлопания флага при ветре. Аналогичный метод [51, § 232] может применяться для исследования устойчивости плоской струи невязкой жидкости в среде с одинаковой плотностью.

Вортингтон [23] также применил модель Рэлея для объяснения короны из капель, образующейся при всплеске от небольшого шарика, падающего в воду. •

-Конфигурация некруговых капиллярных струй также изуча* лась учеными в течение длительного- времени. Методы исследо-

вания аналогичны описанным в п. 15, поэтому мы ограничимся библиографическими ссылками 48).

Устойчивость потока, вращающегося вокруг цилиндрической каверны (полый цилиндрический вихрь), также исследовал Кельвин 49) (случай невозмущенного потока и его обобщения рассмотрен в гл. X, п. 10). Кельвин показал, что каверна обладает нейтральной устойчивостью, однако неровности (волны) движутся вокруг нее с угловой скоростью, которую можно вычислить в зависимости от длины волны. Следуя Кельвину, Ак- керет и Бинни50) теоретически доказали возможность существования винтовых волн и волн с отрицательной групповой скоростью.

,Недавно Фокс и Морган 51) исследовали устойчивость различных идеальных плоских струйных течений под воздействием одних только сил инерции при р‘ = 0. Следующие виды течений

Рис. 98.Рис. 98.оказались устойчивыми: полый вихрь в цилиндре; струя, вытекающая из симметричной воронки (гл. II, п. 5), исключая насадок Борда; струя, симметрично разделяющаяся на пластине (гл. III, п. 5), включая в пределе течение Кирхгофа. С другой стороны, было найдено, что сталкивающиеся рав-

Рис. 98.

Рис. 98.

ные и противоположно направленные плоские струи являются неустойчивыми; эта неустойчивость может быть связана с неопределенностью соударяющихся струй, отмеченной в гл. III, п. 4. Экспериментальные исследования показывают, что соударяющиеся соосные капиллярные струи, по-видимому, устойчивы; это было показано Саваром в работе [77, стр. 257—310].

Соударяющиеся соосные газовые струи также, по-видимому, очень устойчивы 52).

Вопрос об устойчивости пузырька в ускоренной жидкости более сложен; наблюдаемая последовательность развития явления изображена на рис. 98. Вначале, как это следует из (11.19), пузырек сферической формы находится в равновесии, однако ускорение пузырька в 2——3 раза выше ускорения окружающей жидкости. Затем под влиянием неустойчивости по Гельмгольцу появляется выпучивание по экватору в направлении, перпендикулярном ускорению. Затем сплющенный пузырек по неизвестным причинам выгибается.

Наконец, Беньямин и Урсел53) выполнили интересное исследование устойчивости горизонтальной плоской свободной поверхности под воздействием периодических вертикальных колебаний при наличии гравитационного поля.

ПРИМЕЧАНИЯ

Besant Н., Hydrostatics and hydrodynamics, 1859, § 158; Rayleigh, Phil. Mag・，34 (1917), 94—98; 45 (1923), 257—265； [51]. (Существенные результаты по вопросам этой главы принадлежат Л. И. Седову [35*( 36*].— Прим, ред.)

Выражение решения с помощью неполных бета-функций см. в работах [51], [47, стр. 275]. Выражение с помощью эллиптических интегралов, по-ви- димому, является новым; этот вывод проделан Ридом.

[17, стр. 277]; Y е п п i е D. R., Arons А. В., Navord Rep,, 425, 1949. См. также примечание 5).

См., например. Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 71, № 7 (1945) и дискуссию в следующих номерах. Акустические волны, возникающие при захлопывании пузырьков, также имеют значение; см. гл. XV, п. 5.

[45]; Plesset М. S.,丄 Appl. Meeh., 16 (1949), 277—338; N citing k В. E., N e p p i г a s E. A., Proc. Phys. Soc., 63B (1950), 674—685; 64В (1951), 1032—1038. См., кроме того, гл. XV, п. 1. Наблюдаемое время захлопывания несколько превышает расчетные значения. См. С h е s t е г m а п W. В., Proc. Phys. Soc, 65В (1952), 846—858; Harrison M., DTMB Rep. 815, 1952; E 11 i s A. T., Cal. tech. Hydro. Lab. Rep. 21—12 (1952).

Demtchenko B., J de Г Ecole Polyt.,27 (1926), 113—124; Poncin H., These, 1932; J. de math., 18 (1939), 385—404; Acta Math., 71 (1939), 1—62; Publ. sci. tech. min. air, № 18, 1933.

Cm. [47, стр. 276, 280]. В практических приложениях делается поправка на долю энергии взрыва, превращающейся в механическую энергию.

^ш^шМы применяем так называемый закон подобия Кранца; см. также [7, п. 18].

^ш

^ш

См. ссылки в примечании 】)，а также Lamb Н., Phil. Mag., 45 (1923), 257.

9а) См. [47, стр. 377]; Arons А. В„ Y е п п i е D. R., Revs. Mod. Phys., 20 (1948), 519—536.

Bowden F. P., Y о f f e A. D., The initiation and growth of explosions in liquids and solids, Cambridge Univ. Press, 1952, Ch. III.

")Содержание n. 4 подытоживает часть работы В i г kh о f f G., Isaacs R., Navord Rep. 1490, 1951.

См. фотографии в работе В i г k h о f f G., С a у w о о d T. E.,丄 Appl. Phys., 20 (1949), 646—659.

12a) В 1868 г.; см. Bjerknes V., Hydrodynamische Fernkrafte, Leipzig, 1900, Bd. 1, S. 285. Приложения к подводным взрывам см. в работе [47, стр. 312—352].

Wagner Н., ZaMM, 12 (1932), 193—215; Monaghan W. A.,. R. A. E. Tech. Note Aero. 1989, 1949; S h i f f m а п M., Spencer D. C., Quart. Appl. Math., 5 (1947), 270—288; Payne L. E., Quart. Appl. Math., 10 (1952), 197—204. Обтекание линзы впервые было определено в работе М е h 1 е г, 丄 f. Math., 68 (1868), 134—150.

Г у р е в и ч М. И., ПММ, 16 (1952), 116—118; [9*].

Birkhof f G., Quart. Appl. Math., 10 (1952), 81—86. Об изменении коэффициента сопротивления в зависимости от относительной плотности о см. работу [7, гл. IV], где вместо а в наших обозначениях следует взять о~\ а также М а у А.,丄 Appl. Phys., 21 (1950), 1285—1289.

Kirchhoff G., Vorlesungen fiber Mechanik, 1876, S. 186; В о u 1L g a n d G., 7. de math., 6 (1927), 427; [7, гл. II].

Riabouchinsky D., C. R. Acad. Sci. Paris, 182 (1926), 1327; 184 (1927), 584. См. также Demtchenko B. [36, гл. IV] и Седов Л. И., Труды ЦАГИ, вып. 187 (1934); Блох Э. Л., ПММ, 17 (1953), 579—592； [9*, 35*].

См. работы Picard Е., Rend. cir. mat. Palermo, 22 (1906), 241—259; В i г k h о f f G., Induced potentials, studies in mathematics and mechanics presented to R. von Mises, Academic Press, 1954, pp. 88—96, в которых приводится ряд общих результатов.

Poisson S. D., Mem. de I'institut, 1824; Dive, C. R. Acad. Sci. Paris, 192 (1931), 1443—1446; 193 (1931), 141 — 142; N i k 1 i b о г c. Math., Zeits.,35 (1932), 625—631.

Penney, Thornhill, Phil. Trans., 244A (1952), 231—334.

Karman Th., NACA TR № 321, 1929. См. также работы S h i f f・ man AZ, Spencer D. C., AMP—NYU, Reps. 1 —2, а также работу Szebe・ h e 1 у V. G., DTMB, Rep. 823 (1952), которая содержит библиогр. 34 наимен.

Сравнение с энергетическими расчетами указывает на то, что в случае горизонтального удара пластинки приблизительно половина энергии превра*. щается в звуковую (шлепок при ударе). Относительно сходимости интеграла количества движения см. работу [7, гл. IV].

2з)W a g п е г Н., ZaMM, 12 (1932), 193—215; см. также Schmieden С., ZaMM, 33 (1953), 147—151. Имеется также так называемая поправка на проникновение, определяемая в п. 6.

Т г i 11 i n g, Z. Appl. Phys., 21 (1950), 161—170.

Watanabe S., Sci. Papers Inst. Phys. Chern. Res. Tokyo, 12 (1930), 251—267; Richardson E. G.. Prue. Phys. Soc.f 61 (1948), 352—367; Hobbs E. V., Breakstone H. L, Woodson J. B., Nat. Bureau Stand, Rep. № 2788, 1954.

См. S h i f f m а п M., Spencer D. C., Comm. Pure A ppi. Math., 4 (1951), 379—418; формулы (1.1.3), (1.1.10) и (1.2.25).

Cooper E. P., Navord Rep. 1154 (N. О. T. S,); Garabedian P. R., Comm. Pure Appt. Math., 6 (1953), 157—165.

Watanabe S., Sci. Papers Inst. Phys. Chern. Res. Tokyo, 12 (1930), 251—267; 14 (1930), 157—168; Крепе P. Л., Труды ЦАГИ, вып. 438, 1939. (См. также Крепе Р. Л., Труды ЦАГИ, вып. 513, 1940； Риман И. С., Крепе Р. Л., там же, вып. 635, 1947. — Прим, ред.) Результаты более поздних экспериментов име-отся в работе McPherson А. Е., Byers Н. L., Hobbs Е. V., Bureau Stand. Ref. PR2, Lab., № 6, 4/1-196, NA опг 8-48.

Karman Th., Ann. di math., 29 (1949), 247—249; G i 1 b a г g D., Z. ang. Math. Phys., 3 (1952), 34—42. В работе [7, § 14] показано, что представление U = f(f)中(尤)подразумевает справедливость (11.21). См. также формулу (12) в работе Гилбарга. См. далее Т а п Н. S., Quart. Appt. Math., 12 (1954), 78—80; W о о d s L. C., A ppi. Meeh. Revs., 1041 (1955).

Luneau J., C. R. Acad. Sci. Paris, 227 (1948), 823—825; 229 (1949), 927—928.

Hadamard J., Lemons sur la propagation des ondes, Note II pp. 355—361; Klein E, Z. math. Phys., 58 (1910), 259—262; Jaffe G., Phys, Z„ 21 (1920), 541—543; Anton L„ Ing. Archiv, 10 (1939), 411—427.

Такое поле эквивалентно вертикальному ускорению—g, и его расчет не вызывает дополнительных затруднений.

См работу [51, § 232, 234, 268] и приведенные там ссылки; окончательная формула имеется в этой же работе. Математическая теория была развита Кельвином в 1871 г. [85, стр. 76—100].

В i г k h о f f G., J. Soc. Ind. Appt. Math., 2 (1954), 57—67.

3。)Впервые это было подчеркнуто Гельмгольцем [27] в 1868, См. также Russel S., Trans. Roy. Soc. Edinburgh, (1840), ссылка в работе [85, стр. 282].

Так как впервые в ясном виде этот принцип был сформулирован Тэйлором [84], который также вдохновил Льюиса [58] на выполнение его экспериментальной проверки. См. также примечание 33). Исчерпывающее исследование неустойчивости по Тэйлору было выполнено Биркгофом (В i г k h о f f G., Rep. LA-1862, LA-1927, Los Alamos Sci. Labs.).

Bellman R・，Pennington R. S., Quart. A ppi. Math., 12 (1954), 151 — 162.

Riabouchinsky D., C. R Acad. Sci. Paris, 184 (1927), 583; 3rd Intern. Congr. Appl. Meeh., Stockholm, 1930, vol. 1, p. 149. См. также Dem- t c h e п k о В., C. /?. Acad. Sci. Paris, 184 (1927), 1314.

Cm. [47, стр. 311].,

В i г k h о f f G., Quart. Appl. Math.. 12 (1954), 306—309; см. также Binnie A. M., Proc. Cambrt Phil. Soc., 49 (1953), 151—155; P 1 e s s e t M. S”

Mitchell Т. Р., Quart. Appt. Math., 13 (1956), 419—430； L a у z e г D., Astro- phys.丄，122 (1955), 1 — 12.'

Cm. Zwick S. A., P 1 e s s e t M. S.,丄 Math. Phys., 33 (1955), 308— 330; E 11 i s A. T., Caltech. Hydro. Lab. Rep., Ch. XV, § 4.

В i г к h o f f G” Quart. A ppi. Math., 13 (1955), 451—453; см. также Plesset M. S.,丄 Appl. Phys., 25 (1954), 96—98.

[51, гл. XII, в особенности § 376 и следующие]. Метод Джинса исследовался в работе Rosseland S., Norske Vid.-Akad., Oslo, Math.-Nat、Klasse, № 7 (1931). См. также Chandrasekhar S., Proc. Cambr. Phil. Soc, 51 (1955), 52—78; Quart. 7. Meeh. a. Appl. Math., 8 (1955), 1—21.

См. Jeffreys H., Proc. Roy. Soc., 107A (1924), 189—205; см. также [85, стр. 85]; М u п k W. Н., J. Marine Research, 6 (1947), 203—218. О влиянии турбулентности см. работу Е с k a i t С..丄 Appl. Phys., 24 (1953), 1485—1494. См. также Lock R., Proc. Cambr. Soc., 50 (1954), 105—124.

Rosenhead, Proc. Roy. Soc, 134A (1931), 170—192; [31, стр. 30]. В новых расчетах, изложенных в отчете LA-1927 (Los Alamos Sci. Labs.), модифицируют обычную интерпретацию результатов Розенхеда.

Rayleigh, Proc. Lond. Math. Soc., 10 (1879), 4—13, 19 (1887), 67— 74; [73, стр. 351—371]. См. также гл. XV, п. II.

Smith S. W. J., Moss Н.. Proc. Roy. Soc., 93A (1917), 373—393； Weber C„ ZaMMf 11 (1931), 136—154; [28, гл. VI].

В i d о n e G” Experiences sur la forme..., Turin, 1829; [3]; Boussinesq J., Mem. acad. sci. Paris, 23 (1877), 639—659; Rayleigh, Proc. Roy. Soc, 29 (1879), 71—97; N e m e n у i P” Wasserbauliche Stromungslehre, T. VI; Wada Y” 丄 Phys. Soc. Japan, 5 (1950), 259—262; 439—442; Erickson J. L., 丄 Rat. Meeh. Anal., 1 (1952), 521—538; M c N о w n J. S” Ling S. C., Houille blanche, (1955), 775—781.

Kelvin, Phil. Mag., 10 (1880), 155—168 (или [85, стр. 152]) ； см. также [51, § 158—1591.

А с к е г е t J” Ing. ArcMu, 1 (1930), 399—402; Binnie A. M., Proc. Roy. Soc, 205A (1951), 530—540..

Fox, Morgan, Quart. Appl. Math., 11 (1954), 439—456; эта работа продолжает предшествующее исследование Ab 1 о w С. М., Hayes W. D” Techn. Rep. on Contract N7onr-35807, Brown Univ., 1951. Неустойчивые следы (каверны) Кирхгофа изучались также в работе Woods L. С., Proc. Roy. Soc, 220А (1955), 152—180; [9*].

S с h a f f е г А., С a m b е 1 А. В., Jet Propulsion. 25 (1955), 284—287.

Benjamin Т. В., U г s е 11 F., Proc. Roy. Soc.. 225А (1954), 505—515. Задача впервые рассматривалась Фарадеем [Faraday М., Phil. Trans. (1831), 319].

ГЛАВА XII

Установившиеся вязкие следы и струи

Постановка краевой задачи. В гл. XII—XIV рассматриваются следы и струи, состоящие из той же жидкости, что и основной поток. Теория движения таких следов и струй основывается на уравнениях Навье — Стокса и почти полностью не связана с теорией гл. II—XI. В гл. XII—XIV главную роль играют понятия вязкости, завихренности и турбулентности, которые в гл. 11「Х1 не принимались во внимание. Соответственно понятия потенциала скорости и свободных линий тока (связанных с разрывом скоростей) не встречаются в гл. XII—XIV.

Причина этого изменения заключается в том, что, как объяснялось в гл. I, п. 7 и в гл. XI, п. 11 ——14, уравнения Эйлера, строго говоря, могут применяться только к кавитационным течениям и жидким струям в газах, но не к следам и струям, состоящим из той же жидкости, что и основной поток.

Простейший случай, рассматриваемый в этой главе, это случай ламинарного течения несжимаемой жидкости. При этом уравнения движения Навье — Стокса для поля скорости и(х) приводятся к виду *)

，，Uk 嗯= 黑， (12，D

В уравнении (12.1) предполагается, что плотность р и вязкость 卩 постоянны, т. е. изменения температуры предполагаются малыми. Анализ ограничен случаями плоских и осесимметричных течений. В этих случаях условие несжимаемости

El^ = divu = 0 (12.2)

эквивалентно предположению о существовании функции тока

V(x), удовлетворяющей в плоском течении соотношениям 2)

dVdV〃,〃,dV后=一叨dV后=一叨(12.2а)(12.2а)

dV

dV

〃,

〃,

dV

后=一叨

dV

后=一叨

(12.2а)

(12.2а)

а в осесимметричном течении — соотношениям

dVкdVкdV дхdV дх--rv.--rv.(12.26)(12.26)

dVк

dVк

dV дх

dV дх

--rv.

--rv.

(12.26)

(12.26)

Уравнения (12.1) и (12.2), выраженные через функцию тока V(x), эквивалентны в плоском течении уравнению

/4]/ — р/4]/ — рd (%，y)d (%，y)(12.3а)(12.3а)

/4]/ — р

/4]/ — р

d (%，y)

d (%，y)

(12.3а)

(12.3а)

а в осесимметричном течении [62] —уравнению

' 旺W = pr 2-%，([*V)(12.36)

В соотношениях (12.26) и (12.36) использованы цилиндрические координаты хиг, якобиан 。(厶 g)/d(居 г) = (df/dx) X

X (dg/dr) — (df/dr) (dg/dx) ； оператор е2 = 02后%2 _I_ 方2/力2 - —г~{д!дг.

Дифференциальные уравнения (12.3а), (12.36) должны быть дополнены условиями на твердых границах

V = const,黑~ = 0(или W = 0).(12.4)

Условия (12.4) выражают соответственно условия непроницаемости и отсутствия скольжения. В сочетании с условием на бесконечности u(oo) = (U, 0, 0) уравнения (12.3а), (12.4) и (12.36), (12.4) определяют две возможные краевые задачи для уравнений в частных производных, аналитическое решение которых можно считать нашей конечной целью.

Критический обзор. К сожалению, только что поставленные краевые задачи оказываются очень трудными. Хотя теоретически показано, что их решения существуют3), единственность этих решений до сих пор не доказана. Следовательно, мы даже не знаем, являются ли эти задачи математически корректными.

Более того, физически эти задачи, конечно, ставятся некорректно, за исключением области малых чисел Рейнольдса. Из эксперимента известно, что реальные следы и струи становятся неустойчивыми выше некоторого критического числа Рейнольдса ReKp., находящегося обычно в диапазоне 25 < ReHp, < 1000. При Re > ReKp> течение становится зависящим от времени (периодическим или турбулентным) и поэтому уравнения (12.3а) и (12.36) просто не применимы. Эта зависимость течения от времени иллюстрируется на рис. 99, где' даны примеры мгновенных фотографий следов за круговыми цилиндрами при различных числах Рейнольдса 4).

Наконец, не известно ни одного частного аналитического решения граничных задач, поставленных в п. 1, которые описывали бы следы или струи 5). Данные ниже аналитические решения, за исключением п. 15, относятся к различным приближениям уравнений Навье——Стокса(12.1). Среди этих приближений можно упомянуть приближение Стокса (п. 3), приближение

Рис. 99. Следы позади кругового цилиндра при различных числах Re < 50.

Озеена (п. 5) и приближение пограничного слоя Прандтля (п. 8). Первые два из этих приближений линейны.

В принципе можно также надеяться получить приближенные решения уравнений (12.3а), (12.36) численными методами (см. гл. IX). Этот подход применялся, главным образом, к следу за круглым цилиндром 6). Тем не менее, по-видимому, будет трудно строго оправдать использованные методы расчета, особенно

в отношении отрыва течения (см. п. 4). Кроме того, проведенные расчеты содержат до некоторой степени произвольные предпосылки, касающиеся поведения течения вблизи стенок, которые, как известно (гл. XIII, п. 9). стабилизируют течение.

Следы в ползущих течениях. При очень малых числах Рейнольдса Re《1 можно предположить, что правые части уравнений (12.3а) и (12.36) становятся пренебрежимо малыми, так как они имеют порядок квадрата скорости. Это приводит к приближенным уравнениям Стокса для ползущего течения

V4V = 0(12.5а)

и соответственно

EW = Q.(12.56)

Рассмотрим сначала краевые задачи, определяемые уравнениями (12.5а) или (12.56), условиями (12.4) и соотношением

lim u(x) = (U, 0, 0),(12.6)

соответствующим данному приближению7).

В осесимметричном случае, как можно показать8), эта задача является корректной. Иначе говоря, уравнения (12.56) и условия (12.4) и (12.6) определяют для данного осесимметричного препятствия одно и только одно ползущее течение. Кроме того, при Re《 1 теоретические расчеты течений очень хорошо согласуются с наблюдениями.

Легко показать, что ползущее течение около любого препятствия, обладающего продольной симметрией, само будет продольно симметричным (ср. рис. 100 и [60, рис. 3]). Это следует из инвариантности уравнения (12.56) относительно подстановки Ут—R, рт—р, соответствующей обращенному течению. Кроме того, могут быть определены аналитически в замкнутой форме различные специальные осесимметричные ползущие течения.

Наиболее важным является случай движения шара, рассмотренный Стоксом. В сферических координатах (R, ср, 6) это решение имеет вид.

V=u(告_%/? +鳥)Sin2%(12.7)

где а — радиус шара (см. [51, § 336—338] или [62, § 19.63]). Радиальные и угловые компоненты скорости равны

и / За а3 \

万=(1-衣+ 灰)costp,(12.7a)

22 Г. BHDKroS

Завихренность g = (За/2к) U sin ф. Лобовое сопротивление D = 6 叩 aU, а коэффициент лобового сопротивления Ср = = 24/Re. Формула для D имеет погрешность не более 5% при числе Re < 0,3 [31], за исключением поправок, содержащих средний свободный путь пробега, которые должны быть сделаны в случае газа.

Точные решения уравнений Стокса были даны также и в других случаях, представляющих физический интерес. Следует

упомянуть случай жидкого шара, падающего под действием тяжести [51, § 337], и сфероида [51, § 339]. Кроме того, приближенными методами были рассмотрены также случаи движения шара в цилиндрической трубе9), движения шара около плоской стенки и движения двух шаров тандем. Так, например, было показано, что более точная формула для лобового сопро- тивлейия шара радиуса а в цилиндрической трубе радиуса Л при Re《 1 приближенно имеет вид 6式卩《1 + 2,1 今).

Однако Стокс показал также, что аналогичные краевые задачи для плоских, ползущих течений, определенные соотношениями (12.4), (12.5а) и (12.6), решения не имеют 10). Этот парадокс Стокса будет разрешен в п. 5, 6 путем более тщательного исследования течения при больших радиусах шара

Отрыв потока. Сначала, однако, мы закончим изучение следов вблизи препятствий, отметив некоторые основные факты, касающиеся отрыва потока при малых числах Рейнольдса.

Давно известно, что в диапазоне10а) чисел Рейнольдса 5VRe<30 поток отрывается за круглым цилиндром или дру-

гим тупым (т. е. необтекаемым) препятствием вдоль отделившихся линий тока (см. рис. 99,6), которые смыкаются за препятствием на некотором расстоянии, увеличивающемся с увеличением Re10а). Область, ограниченная отделившимися линиями тока, заполнена двумя симметрично расположенными вихрями, вращающимися около некоторых центров.

Рассматривая эти центры как точечные вихри, Фёппль в 1913 г. построил теоретическую потенциальную модель таких

течений; ее линии тока показаны на рис. 101. Из-за математической простоты этой модели, из-за ее интересной теории устойчивости, а также из-за некоторого ее отношения к вихревым дорожкам (гл. XIII) модель Фёппля заслужила большого внимания и). В общем эта модель дает конфигурации линий тока, которые хорошо согласуются с наблюдавшимися экспериментально.

Однако эта модель теоретически необоснована. В реальной жидкости завихренность в вихревых центрах рассеивается, создавая вместо точечных вихрей область медленно изменяющейся завихренности. Вблизи вихревого центра множество полей скорости сходно с полученной конфигурацией линий тока, но это соответствие между предсказанными и экспериментальными линиями тока вовсе не означает соответствия, например, связанных с ними распределений давления и). (То же самое замечание относится и к вихревым дорожкам, рассматриваемым в гл. XIII.)

Конфигурации линий тока, похожие на конфигурации линий тока, обусловленные стационарными вихревыми кольцами, 22*

также наблюдались за шарами и дисками вплоть до чисел Рейнольдса Re = 200 12).

Наконец, последние вычисления Томотико и Аой 13), основанные на приближении Озеена, показывают, что отрыв может возникать за круговыми цилиндрами и шарами даже при Re = 0,1, в то время как в прежних расчетах получалось противоположное.

Асимптотическая структура следа. Как было замечено Озееном t3a), на больших расстояниях от препятствия уравнение (уравнение Озеена)

ри 招= /2и —V,(12.8)

дает лучшее приближение к уравнению (12.1), чем уравнения (12.5а) и (12.56), так как в чем учитываются главные члены левой части уравнения (12.1).

Математическая теория линеаризованных уравнений Озеена очень интересна 136); некоторые ее применения даны в п. 7. Так, например, произведя операцию rot над обеими частями уравнения (12.8), внднм, что завихренность 工=V X и удовлетворяет уравнению '

и窮= mq.(12.8а)

Аналогично, так как div и = 0 согласно уравнению неразрывности (12.2), из (12.8) .получаем

V2p = p.V2 (div u) — ?U -^^ = o. (12.86)

Поскольку VU = 0, уравнения (12.8)——(12.86) сохранятся, если мы изменим обозначения так, чтобы (U + ut v, w)= = (U + 〃L 〃2, 〃з) означало вектор скорости относительно препятствия, а и = (〃, и,侬)——вектор скорости относительно невозмущенного потока.

Асимптотическую структуру следа лучше всего изучить с помощью упрощенного уравнения (12.8а),

= “(128)

Это упрощение может быть мотивировано замечанием, что для гладко убывающих величин асимптотически д2/дх2《д/дх- оно будет оправдано в п. 6 a posteriori, Очевидно, что уравнение (12.8*) оказывается просто уравнением теплопроводности, в котором роль времени играет координата х, направленная вниз

по потоку. Решение этого уравнения возьмем в классической форме Лапласа 14)по потоку. Решение этого уравнения возьмем в классической форме Лапласа 14)S3S311ии，(0, “)е，(0, “)е-и-и(У-7] )2F_對.(У-7] )2F_對.

по потоку. Решение этого уравнения возьмем в классической форме Лапласа 14)

по потоку. Решение этого уравнения возьмем в классической форме Лапласа 14)

S3

S3

1

1

и

и

，(0, “)е

，(0, “)е

-и

-и

(У-7] )2

F_對.

(У-7] )2

F_對.

Оно показывает, что завихренность, возникшая на поверхности препятствия, ограничивается параболическим или параболоидальным следом W за препятствием, вне которого завихренность убывает экспоненциально. Это утверждение подтверждается и экспериментально.

Вне следа, поскольку там завихренность g незначительна, можно положить dujdxk = диь/дх{ и, следовательно, в уравнении (12.1) ^2ut = d(div u)/d%i = 0. Из этого следует уравнение Бернулли [гл. 1, (1.13)] в потоке относительно препятствия. Соответственно этому уравнению вне следа

р Р — ^Uu. (12.9)

Используя далее уравнение (12.86) и асимптотическое разложение гармонических функций на бесконечности [42, стр. 269], получаем в плоском потоке

p=P — C± + O(J,(12.9а)

а в осесимметричном —

(12.96)(12.96)Р=Р-С'^ + О^.

(12.96)

(12.96)

В (12.9а) и (12.96) величина Р — давление в невозмущенном потоке, а С и С' — подходящие константы. Таким образом, асимптотически поле давления (на бесконечности) оказывается полем давления диполя.

Обращаясь теперь к функции и(х), используем, например, соотношение (12.96), чтобы отбросить член др/дх = О(1/г3) в уравнении (12.8), равно как и член' д'2и/дх2 <С ди/дх. Это дает нам уравнение теплопроводности 15) для функции и(х)

тт ди 「д2и . д2и ]

血•(12.10)

Наконец, применяя формулу Лапласа к уравнению (12.10), легко получить (для плоского потока)

厶(X, у)^—4*-%ехр(—и先) (12.11а)

с некоторой константой ——Л. [Знак минус взят для удобства; см. (12.14а).] Подобным же способом для пространственного потока можно найти

и (х, г) —А'х"1 ехр (—U^^), г2 = у2 + г2. (12.116)

Количество движения следа. Покажем теперь, что предыдущие формулы очевидны и что константы Л, С и А\ С п. 5 попарно прямо пропорциональны друг другу, количеству движения следа М и лобовому сопротивлению D. Аргументация будет эвристической (более строгое исследование см. в п. 9).

Заметим сначала, что если величины V и v определить исходя из уравнения неразрывности (12.2) и формул (12.11а) и (12.116), то уравнение (12.1) удовлетворяется в следе в первом приближении в том смысле, что уравнение (12.10) состоит из главных членов уравнения (12.1). Вне следа, где в первом приближении имеем потенциальное течение (п. 5), приток массы в след должен быть компенсирован равным радиальным растеканием вне следа.

Этот вывод подтверждается при рассмотрении поля давлений 16). В радиальном плоском течении и — kx/r2 при расходе 2畴，в то время как в пространстве и = йх/г3 при расходе 4кйр. Эти формулы для распределения скоростей согласуются с соотношениями (12.9а) и (12.96) с учетом формулы (12.9) тогда и только тогда, когда расход растекающейся массы жидкости вне следа равен 2nC/U в плоском случае и 4nC//U в пространственном случае.

Обозначая через W поперечное сечение параболического или параболоидального следа, распределение скоростей в котором определено формулами (12.11а) и (12.116), вычислим количество движения в следе ма единицу длины в направлении движения препятствия, в плоском случае

Л1 (х) = — р /辽(х, y)dy, (12.12а) и в пространственном •

у, z)dy dz. (12.126)

[Интеграл (12.126) соответствует, например, порыву ветра позади экспресса, проходящего мимо платформы.] Согласно соотношениям (12.11а) и (12.116), мы должны были бы иметь на плоскости

lim М (х) = рА ("^)"'

(12.13а)

lim Л4(х) = р4 х->ооlim Л4(х) = р4 х->оои в пространстве—

lim Л4(х) = р4 х->оо

lim Л4(х) = р4 х->оо

(12.136)

Очевидно, однако, что соотношения (12.12а) и (12.126) представляют также приток массы в след. Учитывая предшествующие соображения о расходе растекающейся мяссы жидкости вне следа, приходим к выводу, что в плоском течении

(12.14а)

а в пространственном течении

O = Y(12.146)

Наконец, мы приходим к эвристическому выводу формул, связывающих Л и С, Лх и С7 с лобовым сопротивлением, обусловленным влиянием вязкости. С точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно невозмущенной жидкости, количество движения следа (направленное вперед) должно создаваться препятствием со скоростью D на единицу времени или со скоростью DIU на единицу длины следа. Отсюда и заключаем, что в плоском течении

D = 2рА У ^U =2кС,(12.15а)

а в пространственном

D = 4^Af = 4кС.(12.156)

С другой точки зрения, предыдущие расчеты показывают, что линии тока на внешней границе следа вытесняются наружу на постоянную величину 3 (на половину так называемой толщины вытеснения следа 23 = M/U) в плоском случае и на по- постоянную площадь вытеснения А = M］U — в пространственном.

Предыдущие соотношения являются фундаментальными в теории реальных следов. Их распространение на периодические и турбулентные следы . обсуждается в гл. XIII, п. 6 и гл. XIV, п. 7.

Уравнения Озеена. Уравнения Озеена (12.8) применялись во многих исследованиях. Так, например, используя приближение Озеена и методы возмущений, можно сделать поправки более высокого порядка к ползущему течению (12.7) около сферы, дающие формулу 17)

「_25/［丄 3Re 19Re2 . 71 Re3 ,、 门 9

^ =酮［1 十^ 1280" *20 480 * …丿，I"」0丿

Большой интерес представляет использование приближения Озеена для разрешения парадокса Стокса (п. 3) и для получения теоретических оценок сопротивления цилиндров при малых числах Re. Хотя вследствие влияния стенок18) измерения затруднены и не пригодны при Re《1 [31, гл. VIII], полученная формула D = 4rU представляется приближенно верной [51, § 343].

Были проделаны также различные другие расчеты следов при малых Re, основанные на линеаризованном приближении Озеена. Можно упомянуть случаи эллипсоидов, эллиптических цилиндров, сфер в трубах, проницаемых пластин и цилиндров, наклоненных под углом к потоку 19). Эти расчеты основаны на системе (12.2), (12.4), (12.8) и условии и(8)=0, которые определяют так называемую краевую задачу Озеена. [Заметим, что в наших новых обозначениях в уравнении (12.2) u = Ui = = —U, и = %2 = 0 и 5 = %з = 0 на поверхности препятствия.]

Приближение пограничного слоя. Для течений, почти параллельных оси х, уравнения Навье — Стокса можно заменить приближенными уравнениями пограничного слоя Прандтля [31； 18*; 26*]. Используя индексы для обозначения дифференцирования по соответствующим переменным, эти уравнения можно записать для плоских течений в форме

(Z7 + w) wx + rwy = — р-1^ + ^wyy. (12.17а) Для осесимметричных течений они имеют вид

(U + и) ux-\-vur = —p-1px-\-v~1 (гиХ- (12.176)

Отметим, что в приближении пограничного слоя течение впереди препятствий предполагается невозмущенным.

Большинство теоретических исследований [31], [98] реальных струй и следов основано на уравнениях (12.17а) и (12.176). Соответственно были детально проанализированы принимаемые приближения (например, [31, гл. IV]).

Однако мы избежим этого приближения при рассмотрении уравнения количества движения (п. 9) и получим асимптотический профиль скорости следа (12.11а) и (12.116) из еще более простых уравнений. Поэтому мы опустим вывод уравнений (12.17а) и (12.176) из уравнения (12.1) и отметим только несколько очевидных фактов.

Как и в уравнении (12.10), в уравнениях (12.17а) и (12.176) член ихх не учитывается, откуда приближенно ^2и ~ uyy + u22. Кроме того, поперечный масштаб бесконечно увеличивается, так что отношения поперечных размеров к продольным считаются бесконечно малыми. В частности» если функция V = ф(х, yt г) удовлетворяет уравнению (12.17а), или

(12.176), то функция V =巾(尤,ky, kz) также удовлетворяет этому уравнению.

Наконец, уравнения (12.17а) и (12.176) могли бы применяться с большой точностью к ламинарному следу за плоской пластиной или тонким профилем (длины /), параллельными течению, поскольку течение является почти параллельным. Лобовое сопротивление, рассчитанное Блазиусом [31; 18*; 26*], равно D = 1,328 (办U3)%, коэффициент сопротивления равен CD = =2,656/ М Re. Линии тока также могут быть рассчитаны путем численного интегрирования 20), однако в действительности след становится неустойчивым, при U〃v = Re > 1000.

Когда профиль скорости в следе анализируется в приближении пограничного слоя, то давление в следе обычно предполагается постоянным, т. е. равным давлению Р в невозмущенном потоке [формулы п. 5 дают более точное приближение к давлению невозмущенного потока Р(х) на внешней границе пограничного слоя следа]. Если это предположение сделано, то можно доказать 21), что интеграл количества движения

М2 = —р / [Z7 + u(x, у)]и(х, y)dy (12.18а)

не зависит от х. В пространственных задачах то же самое справедливо относительно интеграла

М = — 2пр / / (U+辽(х, у, 2)"(х, у, г) dy dz. (12.186) о

Поскольку %f 0 при %f 8, эти формулы связаны с формулами (12.12а) и (12.126) посредством соотношений М2 = UM (оо) и М3 = UM (оо) соответственно. (Не следует забывать, что пределами интегрирования в теории пограничного слоя являются границы пограничного слоя или следа.)

Теорема количества движения. Укажем теперь основы применения закона о сохранении количества движения к асимптотическому поведению следов и струй независимо от того, являются ли эти струи ламйнарными, периодическими или турбулентными. Проведем строгое обсуждение, основанное на уравнениях Навье — Стокса 22).

Теорема LB несжимаемой жидкости, удовлетворяющей уравнениям Навье — Стокса, в двумерном течении

0=_§pdy +呼(黑一瑞)dx — pU $ 辽 dy —

(12.19а)(12.19а)-p $ (辽2 dy - uv dx)t

(12.19а)

(12.19а)

а 6 трехмерном течении

D = ~ffpdS}+,ff^^+^)dSk-

—pU J J，dy "z — р/Л 辽 i/dS^(12.196)

[В соотношении (12.196) использованы тензорные обозначения Ui = и, U2 = и, u3 = w, dSi = dydz, dS? = dzdx, dSs = dxdy] Чтобы вывести приведенные формулы, нужно только объяснить все члены, входящие в выражение для скорости изменения количества движения. Этими членами являются: осевое давление D, обусловленное препятствием; давление и вязкое касательное напряжение жидкости; поток количества движения в направлении оси х вследствие конвекции. Некоторые упрощения можно сделать, используя закон сохранения массы, например, § £ 耿 dS在=0 = £/2, dy =0, и т. д.

Чтобы привести формулы (12.19а) и (12.196) к более удобной форме, определим полный напор, как обычно, выражением

■力=p+^p[Q + 〃)2 + U + ®2],

так что полный напор свободного потока будет равен

〃 = P° + ^PS.

Вне вязкого следа полный напор почти постоянен (т. е. почти равен "). Точнее, в обозначениях уравнения (12.1) и} = и + и имеем

許=需+рe4(需)=若+рe4(翡)+ pе厶"，

где ^i= (дик/дхг — дщ/дх^ являются компонентами вихря £ С помощью уравнений Навье — Стокса (12.1) получим

許= /2% + р£〃4・

Очевидно, что если течение несжимаемой жидкости безвихревое, так что u = V. где V2(p = 0, то ^h = 0nh = H постоянно. В более общей форме на плоскости V2a — д^ду и V2r = =—d〃dx； в пространстве 健辽=厂7do/力 и V2r = =—(N)/dx + r/r2.

Следствие 1. Если члены, которые содержат завихренность (или производную от завихренности) в качестве множа-

теля, не учитываются вне следа W, то в плоском течении

Q= / (〃一％)dy+р$ [辽学壮工 + 貝炉一辽2)dy], (12.20a)

а в осесимметричном течении

D= / JddSi — p / /E(%%dS*_^%dSj. (12.206)

Доказательство. Согласно результатам предыдущего пункта, разность Н—九 вне следа W мала, поскольку там мала производная dh/dx. Кроме того, член выражения (12.196), содержащий вязкость, может быть переписан в виде интеграла 2虱卩 § %dx, который обращается в нуль, если dx = 0 вдоль W.

Следствие 2. Если |и| = о(Х%) внутри следа W, если W имеет радиус О(Х~%) на расстоянии X за препятствием, если |и| = о (Re-1) вне W “，наконец, если g и его производные убывают экспоненциально вне W, то асимптотически при X f 8 s плоском течении

Q= / (〃一也)dy = — pU / 辽 dy, (12.21a)

a s осесимметричном течении

Q = 2冗 / (〃一 h)rdr = — 2npU/ ur dr.(12.216)

Действительно, квадратичными no u^ членами асимптотически можно пренебречь как внутри следа W, так и вне его. Отметим, что асимптотические формулы п. 6 можно получить на основании следствия 2, используя соображения п. 5, чтобы обосновать его предпосылки.

Специалисты по теории крыла в формулах (12.21а) и (12.216) увидят первые члены известных выражений, имеющих большое практическое значение. Более глубокий анализ, принадлежащий в основном Бетцу и Джонсу, дает возможность точнее определить лобовое сопротивление крыла в полете по измеренному распределению полного давления в поперечном сечении потока за профилем на расстоянии, составляющем некоторую часть длины хорды23). Однако мы не будем приводить этот более точный анализ отчасти потому, что он математически менее строг, чем более простые асимптотические формулы, выведенные выше.

Гипотеза подобия. Можно легко проверить, что асимптотические профили (12.11а) или (12.116) в следах подобна

одному универсальному профилю скорости при соответствующем изменении масштабов расстояния и скорости. Точнее говоря, для подходящих положительных постоянных р, g они имеют форму

«(х, y)=x-pf(^,(12.22)

где n = y/%Q. В дальнейшем мы увидим, что аналогичное выражение предполагается асимптотически справедливым в теории

Таблица /

Значения р и ^ для плоского (п = 2) и пространственного(л = 3) течений

А. Струи, Гипотеза подобия: u = x~Pf (у/х^)

Количество движения

Ламинарное течение Условие однородности;

2, = р+1

Турбулентное течение ^ = 1

п = 2

2尸=g

尸=|/з, 9 = %

Р= %, 9= 1

〃 =3

尸=9

尸=д= 1

р — q = \

Б. Следы. Гипотеза подобия: w = x~Pf 3炉).

Количество движения

Ламинарное течение Условие однородности 2g = 1

Турбулентное течение Р + ^ = 1

几=2

尸=9

р = q = %

尸=9 = %

п = 3

.?=2g

尸=1, 9= %

Р = %, 9 = 7з

В. Следы, гидродинамических движителей

Та же гипотеза подобия и, следовательно, то же условие однородност и

Количество движения

Ламинарное течение

Турбулентное течение

п = 2

尸=3g

尸=%, q = %

尸=%, g=% •

п = 3

尸=4g

尸=2, 9=%

р = Vs- g = 7s

ламинарных струй. В этом случае его можно назвать гипотезой подобия,

Вообще говоря, гипотеза подобия кладется в основу теорий турбулентных следов и струй (гл. XIV) и следов гидродинамических движителей. Во всех случаях постоянные р и g могут быть определены из приближенных форм закона сохранения количества движения и требования совместности с принятой приближенной формой уравнений движения. Таблица 1 содержит перечень постоянных р и 7, определенных таким образом 24).

Для пояснения метода отметим, что из уравнения (12.21а) следует, что для плоских вязких следов в формуле (12.22) р — 7, в то время как из уравнения (12.216) находим р = 2g. Кроме того, чтобы получить однородность в упрощенных уравнениях (12.10), мы должны принять 2g = 1. Условие 2g = 1 является также необходимым и достаточным условием для однородности уравнений пограничного слоя (12.17а) и (12.176), если пренебречь членом иих по сравнению с членом Uux, Из этих двух уравнений можно вычислить необходимые значения р и 7, перечисленные в табл. 1.

Так, например, для плоского ламинарного следа р = g = 1/2： ширина следа имеет порядок 0(%%), максимум скорости истечения О(х^!2); число Рейнольдса вдоль следа постоянно, В осесимметричных ламинарных вязких следах р = 1, g= V2； следовательно, диаметр следа имеет порядок О (х|/г), максимум скорости в следе имеет порядок О(х_1); число Re = О(х"'/г) О； и поэтому осесимметричный след будет оставаться ламинарным, если он первоначально был ламинарным.

Эмпирически было найдено, что критическое число Рейнольдса ReKp., при котором след становится не ламинарным, имеет величину в пределах 30—60 для двумерных следов за круглыми цилиндрами 25), более 500 для следов за плоскими пластинами, параллельными течению [91], и в диапазоне 100—200 для следов за затупленными осесимметричными препятствиями (гл. XIII, п. 11).

Ползущие струи. Можно предположить, что при стремлении числа Рейнольдса Re к нулю струя очень вязкой жидкости, истекающая из конического насадка, будет описываться уравнением Стокса (12.56) для ползущего течения, а также, что струя, истекающая из щели в вершине клина — уравнением (12.5а). Очевидно, что случаи истечения йз щели в стенке и из длинной трубы являются частными случаями.

Поэтому заслуживает, внимания существование течений (рис. 102), которые имеют (прямые) радиальные линии тока, т. е. которые имеют функции тока в форме V = f(9). Можно полагать, что на больших расстояниях от отверстия эти течения

аппроксимируются асимптотическими течениями типа ползущих струй.

Рассмотрим сначала случай струи, истекающей из щели. В полярных координатах уравнение (12.5а) записывается в форме

1/ \2尸押"丿1/ \2尸押"丿1/ = 0・1/ = 0・

1/ \2

尸押"丿

1/ \2

尸押"丿

1/ = 0・

1/ = 0・

Подставляя V = f(0) в уравнение (12.5а), получаем fIV+ 4/"= 0.

sin 29. Пренебрегая аддитивными поsin 29. Пренебрегая аддитивными порешений f = 1, 9, cos 29,решений f = 1, 9, cos 29,Рис. 102.Рис. 102.Полученное уравнение имеет фундаментальную систему частных

sin 29. Пренебрегая аддитивными по

sin 29. Пренебрегая аддитивными по

решений f = 1, 9, cos 29,

решений f = 1, 9, cos 29,

Рис. 102.

Рис. 102.

стоянными, не имеющими физического смысла, и предполагая симметрию около оси 0 = 0, находим

V = a[sin 20 —(2cos 2а) 9]. (12.23)

Радиальная скорость

ur = 2^ (cos 26 — cos 2а)(12.23^)

удовлетворяет граничному условию ur = 0 при 0 = ±а, хотя 辽в = 0 везде в потоке.

（1一炉）吟2（1一炉）吟2Для осесимметричных ползущих струй с радиальными линиями тока уравнение (12.56) может быть записано в виде

（1一炉）吟2

（1一炉）吟2

1/ = 0,

если использовать сферические координаты и учесть, что 卩=cos 0. В случае радиальных линий тока V = f (р,) написанное уравнение сводится после умножения на г4/(1—р,2) к уравнению

(1—句尸 v_ 4犷，，，+ ”，，= о

Помимо сингулярных решений, бесконечных при 卩=1, уравнение имеет регулярные частные решения f = 1,卩,卩з. Следовательно, наиболее общее ползущее течение с радиальными линиями тока, имеющее осевую симметрию, дается соотношением 26)

l/=a(3cos2acos 6 — cos3 6).(12.24)

В соответствии с этим радиальная скорость равна*

иг =*(cos2 6 — cos2 а).(12.24，)

Заслуживает упоминания тот факт, что в рассмотренных выше радиальных струях имеется локальное обратное течение (т. е. ur < 0) в интервале к — а < 6 < а, если а > 虱/2. Это справедливо как в плоском, так и в осесимметричном случаях. Действительно, согласно решениям (12.23') и (12.24'), поток массы направлен в обратную сторону, если а > 142,5° в пространстве или если tg 2а > 2а(а > к) на- плоскости.

Представляет известный интерес попытаться построить ползущие струи, соответствующие истечению жидкости из отверстий конечного размера. Исходя из элементарного решения V = r(9 sin 0) === х0 уравнения (12.5а), Дин27) рассмотрел решение

V=(x~ a) arc tg ^^ — (х + a) arc tg ^^ . (12.25)

нормально каса-нормально каса-Это решение представляет ползущее течение, которое

нормально каса-

нормально каса-

направленонаправленоРи с. 103.Ри с. 103.но к выходному сечению \х\ < а, у = 0 и тельной к 《стенкам》\х\ > а, у = 0, как

направлено

направлено

Ри с. 103.

Ри с. 103.

показано на рис. 103. Однако там не выполняются условия прилипания, а именно dV/dy * 0.

Инерционные эффекты. Поведение вязких ламинарных струй становится значительно более сложным в тех случаях, когда рассматриваются инерционные эффекты. С целью общего ознакомления дадим сначала краткий обзор довольно обширных экспериментальных данных, относящихся к круглым ла-

минарным струям 28). Количественно эти данные не были сопоставлены; кроме

того, малые скорости делают опыты осо

бенно чувствительными к конвекционным потокам и другим отвлекающим воздействиям. Тем не менее некоторые общие черты

очевидны. а

В случае круглого отверстия (диаметра d) при числах Рейнольдса Re = ud/v порядка 10 и выше (в зависимости от того, насколько острыми являются края препятствия) в плоской стенке имеется отрыв течения и образуется круглая струя. Эта струя порождает тороидальные вихри в окружающей жидкости (рис. 104, а)； следовательно, она может подчиняться гипотезе подобия п. 10 только вблизи оси. Когда число Re возрастает до 200 или более, то струя становится более концентрированной и менее устойчивой [60] и, наконец, разрушается и становится турбулентной.

С другой стороны, круглые струи, вытекающие из тонких трубок, по-видимому, радиально подсасывают окружающую жидкость согласно схеме рис. 104,6. Следовательно, такие струи, по-видимому, согласуются с гипотезой подобия, даже далеко от оси струи.

Модель Шлихтинга. Шлихтинг29) построил математическую модель круглых струй, основанную на приближенных соотношениях пограничного слоя (12.17а) и (12.176). Однако для

Рис. 104.

экспериментального подтверждения этой теории струй, вытекающих из круглых отверстий [98, рис. 9.12 и 10.3], использовались данные Андраде28) для струй, вытекающих из трубы. Кроме того, согласование теории и эксперимента требует выбора двух произвольных параметров: угла распространения струй и величины расстояния от отверстия трубы, в плоскости которого помещено начало координат (виртуальный источник) или эффективное отверстие30). С точки зрения этого выбора и того факта, что все дифференциальные уравнения типа уравнений диффузии дают колоколообразные профили скорости, упомянутое подтверждение вряд ли можно считать существенным.

Теория. Шлихтинга строится следующим образом. Поскольку для струй U = 0 н вне струи р = const, то уравнения (12.17а) и (12.176) сводятся соответственно для плоских струй к уравнению

辽后+ 0石Г ="守，(12.26a)

а для рассматриваемого осесимметричного случая ——к уравнению

+ b^ = v[礬+ L 黑].(12.266)

Первоначально Шлихтинг предположил, что можно попробовать применить гипотезу подобия при р = g = 1. В цилиндрических

координатах (х, г, 0) это предположение приводит к соотношению

V=^xh (т|),(12.27)

где т] = rjxv^.

Однако к такому выбору величин р, q можно прийти также и аналитически (см. табл. 1).

В приближенных соотношениях (12.17а) или (12.176) пограничного слоя, поскольку U = 0, количество движения М2 для плоских струй равно

ТИ2 = р / 辽2(%, y)dy,(12.28а)

а для круглых осесимметричных струй31) равно

7Из = 2хр/ ^(х, г) г dr.(12.286)

Чтобы Мз было постоянно, в (12.286), очевидно, должно выполняться условие р = g. С другой стороны, соотношение р = g = 1 является единственной возможностью совместить р = g с гипотезой подобия (12.22). Подставляя (12.27) в уравнение (12.266), получаем

言(俄+与+岑) = 0, если P = q = l. (12.29)

Граничные условия для обыкновенного дифференциального уравнения (12.29) имеют вид

Отсюда следует, что постоянная интегрирования в уравнении (12.29) равна нулю, что дает

М" 一 〃+ hh'：(*—2Л + 号)'=0.

Дальнейшее интегрирование (см. [31, § 57]) приводит к соотношению

九⑺=不爲穽，(12・30)

где а — произвольная постоянная. Соответственно

"_ Ya2%产一 2a2Y2%3

"=1/心2r2 '' = (Y%2 + %02г》,

■^ = £0-*•(12・3"

23 Г. БиркгоФ

Частный случай показан на графике рис. 105; очевидно, что все течения Шлихтинга (12.30) и (12.30') аффинно подобны.

ниянияИз соотношения (12.30') следует, что струя пересекает все конусы внутри модели Шлихтинга и что «горловина», соответствующая любой линии тока, находится при г = х/а Поскольку постоянная а произвольна, угол распространения a = a「cctga оказывается теоретически неопределенным. Таким же является и поток количества движе

ния

ния

財= 2пр/ 必rdr = ^^.

О

(12.31)

ооиг dr = 8кмл,иг dr = 8кмл,(12.32)(12.32)Однако приток окружающей жидкости можно определить. Так как объемный поток равен

о

о

иг dr = 8кмл,

иг dr = 8кмл,

(12.32)

(12.32)

то приток на единицу длины струи равен 8nM Таким образом, воздействие струи на окружающую жидкость совпадает с воздействием однородной полулинии стоков.

Ламинарные плоские струи. Предполагая, что теория пограничного слоя применима и что можно ожидать автомодельное течение, Шлихтинг29) и Бикли32) построили модель этого течения вблизи оси плоской струи, вытекающей из бесконечно малой щели.

Решение снова ищем в виде функции (12.22)

U = X-Pf^} = X~ Pf(^ (^ = ylx1),

которая оставляет количество движения струи (12,28а) постоянным и удовлетворяет уравнению пограничного слоя (12.26а). Для такого решения, допуская (как в осесимметричном случае) разделение переменных, согласно (12.22), мы должны иметь 2д ——р = 1. Из уравнения количества движения (12.28а) при 2P = д получим, что р = %, q = 2/з и, следовательно, функция тока равна

V = x'i^ (-4- = х叫⑴,V = x'i^ (-4- = х叫⑴,(12.33)(12.33)

V = x'i^ (-4- = х叫⑴,

V = x'i^ (-4- = х叫⑴,

(12.33)

(12.33)

а число Рейнольдса увеличивается вдоль струи пропорционально х'К

■ Определяя компоненты скорости и и у и подставляя их в уравнение (12.26а), получаем

屮戸+ 叫〃+ 3冲" = 0.(12.34)

Интегрирование уравнения (12.34) при граничных условиях

屮(0)=y(0)= Ншф(7)) = 9(12.34х)

дает общее решение

屮(т；) = 2a th 伍叫，и =冃一彳 sch?® 办(12.35)

Как и в случае круглых струй, в решении содержится неопределенный угол распространения, соответствующий величине а. Все течения вновь аффинно подобны, а все линии тока геометрически подобны. Можно также найти колоколообразный профиль скорости и величину подсоса окружающего воздуха струей (см. рис. 104,6).

Андраде и Цянь приближенно осуществили описанную модель в тонкой экспериментальной работе28). Для проверки снова требуется заменить течение из отверстия в стенке течением из трубы, эмпирически располагая начало координат после выходного сечения струи и подбирая угол распространения струи.

Было сделано также обобщение этой теории на случай течения сжимаемой жидкости 33), Однако количественная экспериментальная реализация таких струй, по-видимому, будет трудной.

Наконец, отметим, что вязкость должна оказывать влияние на струи жидкости в воздухе. Так, например, Лелли34) отметил, что вязкость может уменьшить коэффициент сужения струи из насадка Борда от величины 0,50 до 0,45 (гл. I, п. 10).

Точная автомодельность. Яиеев и Сквайр35) существенно улучшили теорию Шлихтинга, получив точные решения уравнений Навье — Стокса при сохранении гипотезы подобия Шлих- тинга (12.27). Их трактовку можно рассматривать как распространение на осесимметричный случай теории спиральных течений Джеффри — ГамеляЗб) [7, гл. IV, § 6] или [31, § 24 и соответствующие ссылки]. Формулы Сквайра наиболее удобно вывести в сферических координатах. В этих координатах предположение (12.27) принимает вид

V=^rf(p)t (夕= %/r = cos6).(12.36)

Радиальная и угловая компоненты скорости равны

必=必=уу(12.36')(12.36')

必=

必=

у

у

(12.36')

(12.36')

где g = y/r = sin Q, а штрих означает дифференцирование по р, так что ——Г =——df/q d0. Можно показать35), что точные уравнения Навье — Стокса (12.36) в этом случае математически эквивалентны обыкновенному уравнению

(牙)，=2尸 + [(1-加)/"—2Q,(12.37)

где с〕——постоянная интегрирования (с размерностью давления). Полученное уравнение после двухкратного интегрирования дает

/2 = 4川+2(1一加)广一2(r炉+ e2/? + с3)，(12.38)

где с〕，с?, Сз ——произвольные постоянные интегрирования.

На оси струи р = 1, g = 0,辽а = 0, а компонента скорости ur ограничена. Подставляя все эти величины в (12.36'), видим, что 『 =f = 0 на оси струи. Отсюда и из общего решения (12.38) находим q + с? + Сз = 0. Рассмотрим еще раз решение (12.38), которое пЗсле дифференцирования записывается в виде

•ff = ?/+ (1 —加)广一 (2с 歩 + С) (12.38)

На оси струи ff' = 2f = 0, как и раньше, в то время как, согласно (12.36'),

(1一户)广=步"=一(將) = ^^^ = 0.

Учитывая это равенство в соотношении (12.38') при р = 1, получим второе уравнение 2cl + с? = 0. В итоге имеем

Q + с? + Сз = 2q + с? = 0 или q = Сз，с2 = — 2cl. (12.39)

Кроме того, в-случае отверстия в плоской стенке на ней р = 0, условие “г =辽8 = 0 прилипания к стенке дает f = f = 0； аналогичное условие справедливо на любой конической стенке р = К(——1 < ^ < 1). Подставляя эти условия в уравнение (12.38), получаем уравнение cR + с2K + Сз = 0, из которого на основании (12.39) следует, что

с】 = С2 = Сз = 0.(12.40)

В случае струи, вытекающей из трубки, согласно условию дифференцируемости на оси трубы (р = —1) получим уравнение Ci — с2P + Сз = —2cl + с? = 0 и соответственно равенства (12.40) в результате повторения рассуждений, приводящих к равенствам (12.39). Таким образом, условие (12.40) является един-

ственным, при котором естественные физические граничные условия удовлетворяются37).

Теперь легко проинтегрировать уравнение (12.38). Общее решение имеет видзб)

2 sin2 Оа -1- 1 — cos О2 sin2 Оа -1- 1 — cos О(12.41)(12.41)

2 sin2 О

а -1- 1 — cos О

2 sin2 О

а -1- 1 — cos О

(12.41)

(12.41)

Единственной неподвижной границей, совместимой с решением (12.41), оказывается стенка трубки бесконечно малого диаметра, 8 = m Этим можно объяснить экспериментальный факт, отмеченный в п. 12 и заключающийся в том, что только в случае струи, истекающей из трубки, действительно наблюдаются радиальные линии тока. Однако даже в этом случае условие прилипания f'(——1) = 0 не удовлетворяется, но результирующее касательное напряжение действует на «нулевую» площадку и поэтому им можно пренебречь. В других случаях, как можно предполагать, на очень больших расстояниях при Re | 0 получается ползущее течение (п. 11).

В решении (12.41) случай струи получается при а > 0, где постоянная а соответствует углу распространения струи и является математически неопределенной. При а 10 вблизи оси струи получается уже рассмотренное в п. 13 решение Шлихтин- га ——Бикли уравнений пограничного слоя； в пределе струя ведет себя как полулиния стоков, расположенных на оси струи. Если это особое поведение на оси струи допускается, то можно удовлетворить граничные условия f(K) =『(К) = 0 для любой неподвижной конической границы. Так, например, случай К = О круглого отверстия на плоской стенке был рассмотрен Сквайром 35),

ПРИМЕЧАНИЯ

【)См, [31, 51, 62], Обычные уравнения упрощаются, поскольку d/df = 0; [18*, 25*, 26*, 35*, 38*],

[51, 62], Мы считаем и — иь v = V城 + 碌

L е г а у J., /. de math,, 12 (1933), 1—82. (Новые результаты относительно теорем существования и единственности уравнений Навье ——Стокса см. в работах [24*, 37*]. — Прим, ред.)

Другие примеры см. в работе R u b а с h Н. L, Gott. Diss., 1914; С a m i с h е 1 С., Engineering. 123 (1927)； F a g е A., Proc Roy. Soc, 144А (1934), 381—386; Н о m а п n F., Forsch. /ngenieurwesens, 7 (1936), 1 — 10.

Точные решения уравнений Навье ——Стокса, не относящиеся к следам Н〃н струям, см. в работе Rosenblatt A., Fasc. 72 Mem. Sci. Math., Paris,

Gauthier-Villars, 1933; В е г к е г R., Sur quelques cas d'integration..., Paris, 1936; V i 11 a t H., Lemons sur les liquides visqueux, Paris, 1943.

Bairstow, Cave, Lang, Proc. Roy. Soc., 100A (1922), 394—413; Phil. Trans., 223A (1923),383—342; Southwell, Squire, Phil. Trans., 232A (1933), 27—64; Thom A., Proc. Roy. Soc., 141A (1933), 651—669; К a w a- guti M., /. Phys. Soc, Japan, 8 (1953), 747—757; 9 (1954),303; Allen DM, de G., Southwell R. V., Quart,丄 Meeh. Appl. Math,, 8 (1955), 129 — 145.

В гл. XII—XIV мы используем U для обозначения скорости свободного потока вместо (обычно не существующего) потенциала скорости.

По аналогии с теорией упругости; см. Schrdder К,, Math. Z., 48 (1943), 553—675,

Ladenburg R., Ann. d, Phys-t 23 (1907), 447—458; Fax6n H., там же, 68 (1922), 89—119; М с N о w п J. S., a. oth.. Proc. Vllth Intern, Congr. Appl. Meeh., Lnd., 2, 1948, 17—29.

[51, § 343] и Lamb H„ Phil. Mag-, 21 (1911), 112—121. Более полное исследование было выполнено в работе К п е а 1 S., Harvard Doctoral Thesis, 1952.

) См, в гл. XIII, п. 9 обсуждение различных факторов, оказывающих влияние на верхний предел этого диапазона.

")Foppl L., Bayer S.-В., Munich Akad, Wiss,, (1913); Bickley W. G., Proc. Roy. Soc, 119A (1928), 146—156; Muller W., Z. tech. Phys., 8 (1927), 62—68, а также Mathematisehe Strdmungslehre, Berlin, 1928, S, 124, где показано расхождение теоретического распределения донного давления с экспериментальным.

Nisi Н., Porter A. W., Phil, Mag., 46 (1923), 754—768; S t а п- t о п Т. Е., Marshall D., Proc. Roy. Soc., 130A (1930), 295—301. См. также гл. XIII, п. 11.

Т о m о t i k a S., Quart. /. Meeh. Appl. Math., 3 (1950), 140—161; см. также Yamada Н., Math. Revs,, 15 (1954), 837; Р е а г с е у Т., McHugh В., Phil. Mag., 46 (1955), 783—794.

) Oseen W., Arkiv. f. Mat,, Astr., Fys., 6, № 29 (1910); Noether F., Z. math. Phys.. 62 (1911), 1—39.

Oseen W., Hydrodynamik, Leipzig, 1927; [51, § 342—343а].

Франк Ф,, Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, М.—Л., 1937, т. II, гл. XIII, § 2.

Идея о том, что уравнение (12.10) определяет асимптотическое поведение следов и струй, по-видимому, принадлежит Рэлею (см. [73]). См. также Т о 11 m i е п W., Handb, Exp. Phys., IV, № 1, 1931, 269. Исследование, основанное на полном уравнении Озеена (12.8), имеется в работе [31, § 249] и данных в ней ссылках.

Этот вопрос был разработан Бетцем [Betz A., Z. Flugt. Motorl., 16 (1925), 42—44].

См. работу [31, § 215] и данные там ссылки. Кроме того, см. V i 11 a t Н., Lemons sur les fluides visqueux, Paris, 1943, 224—256. Имеются также другие уравнения, дающие лучшее соответствие с экспериментом, чем уравнения Озеена, но содержащие чисто эмпирические константы, см. Carrier G. F., Slow viscous flow, Final Report on Contract Nom-653(00), Brown University.

W h i t e С. M., Proc Roy. Soc., 186A (1946), 472—479. См. также Bairstow L. et al, Phil. Trtms., 223A (1923), 383―432, Wiesels-berger C, Phys. Z., 22 (1921), 321—328.

См. работу [51, § 343] и многие данные там ссылки; Р о s s е 1 R., de, Valensi J., C R. Acad. Sci. Paris, 236 (1953), 2211—2213; 238 (1954), 1966—1968; T о m о t i k a S. a. oth., Proc. Roy. Soc. 219A (1953), 233—244; Quart.丄 Meeh. Appl. Math., 6 (1953), 290—312； S i d г a k S., Proc. Math. Phys. Soc. Egypt, 4 (1953), 17—27; Imai L, Proc. Roy. Soc., 224A (1954), 141 —160.

[31, § 248]; см. также Goldstein S.. Proc. Cambr. Phil. Soc., 26 (1930), 18—30; Proc. Roy. Soc,, 142A (1933), 545 —560; L u c k e г t H. S., Schriften Math. Sem. Univ, Berlin, 1 (1934), 245—274: Rosenhead L., Simpson J. H., Proc, Cambr. Phil. Soc., 32 (1936), 392—401; M e k s у n D., Proc. Roy. Soc., 207A (1951), 370—380; [98].

Cm. [31, § 52], особенно формулы (35) и (40). Поскольку никакой фиксированной границы нет, то т0 — 0.

22)Ср. Taylor G. 1„ Phil. Trans.f 225А (1925), 238—245; Fil on L.t Proc. Roy. Soc.t ПЗА (1926), 7—27; Phil. Trans., 227A (1928), 93—135； Goldstein S„ Proc. Roy. Soc, 142A (1933), 563—574; [62, § 19. 71]. Наша формула (12.19a) является формулой (5) Тэйлора с учетом вязкости.

Ссылки и подробности см. в работе [31, § 115].

24)Она частично имеется в работах [98, 25*, 38*].

См. работы [31]; F a g е A., Proc. Roy. Soc., 142А (1933), 560— 562. См. также Т о г d а Р., Ргос. 3rd Midwest Conf. Fluid Meeh., 1953, pp. 613—629. Более полное обсуждение см. в гл. XIII, п. 9.

Формулы (12.24) и (12.24') взяты из работы Beran М„ Quart. Appl, Math., 14 (1956).

Dean, Phil. Mag., 21 (1936), 727—744. Кроме того, Дин делает вывод, что наклонная плоская струя должна отделяться от одной стенки при всех Re > 0. Ползущие струи были также исследованы в работе W u е s t W., Ing. ArMv., 22 (1954), 357—367.

Oberbeck, Ann. phys. Chemie, 2 (1877), 1 —16; Smoluchowski M.( Bull. Acad. Sci. Cracovie (1904), 371—384; [60, ч. I—II]; Andrade E. N.( da C., Tsien L. C., Proc. Phys. Soc.f 49 (1937), 381—390; 51 (1939), 784—793, см. также Bourrieres F. J., Publ. sci. tech. min. air, № 279 (1953).

Schlichting H・，ZaMM, 13 (1933), 260—263; cm. [31, § 57] и [98]. Далее, поскольку для струй и (оо) = 0, приближение Озеена не представляется целесообразным. О результатах применения полных уравнений Навье — Стокса см. п. 15.

О течении вблизи отверстия см. работу О k a b е J., Reps. Kyushu Univ., 5 (1948), 1—22; Math. Revs.t 13 (1952), 700.

Формула (12.28a) взята из работы [31, стр. 145, (90)]； формула (12.286) взята из работы [31, стр. 147, (102)],

В ickl еу W. G., Phil. Mag., 23 (1937), 727-731. См. также [31, § 57]； [98, стр. 137]； С h о u Р. Y., Chinese 丄 Phys., 7 (1947), 96—101,

Р a I S. I., L aer. sci., 16 (1949), 463—469; Krzywoblocki М. Z., Quart. A ppi. Math., 7 (1949), 313—323; Illingworth C. R„ Proc. Roy. Soc.f 199A (1949), 533—548； T о о s e D. G., Quart. /. Meeh. Appl. Math., 5 (1952), 155—164; Pack D. C„ Proc. Cambr, Phil. Soc, 50 (1954), 98—104. Аналогичные формулы для следов были выведены в работе Chapman D. R, NACA TN № 1800, 1949.

L е 11 i М., Rend. Ac cad. Lincei, 10 (1929), 38—44.

Яцеев В. И., *ЗТФ, 20, № 11 (1950), 1031-1034; Squire Н. В., Quart.丄 Meeh. Appl. Math., 4 (1951), 321—329; Phil. Mag., 43 (1952), 942— 945. См. также P у м e p Ю. Б., ПММ, 16, № 2 (1952), 255—256; 17 (1953), 743——744. (Этот случай в точной постановке был рассмотрен Н. А. Слезкиным [38*, гл. IV, § 12]. Частное решение для затопленной струи было указано Л. Д. Ландау в 1943 г. [25*, § 23]. Затопленная закрученная струя была изучена в 1953 г. Л. Г. Лойцянским [26*, § 99]. — Прим, ред.)

Оба зависят в основном от инвариантности точных уравнений Навье— Стокса относительно группы преобразований х-> ex, и -> Си [7, стр. 125].

Это рассуждение по существу принадлежит Берану [В е г а п М., Quart. Appl. Math., 14 (1956), 213—214].

ГЛАВА Xlll

Периодические следы

Основные факты. Свойство периодичности потока около круговых цилиндров нередко можно обнаружить непосредственно на слух. Так, например, поток становится слышимым, когда тонкий прутик быстро рассекает воздух, издавая свистящий звук. Поток можно услышать в свисте и реве бури (например, в снастях корабля), и он же вызывает звучание эоловой арфы.

Такие звуковые эффекты впервые изучались в лабораторных условиях в 1878 г. Струхалем】), который показал, что колебания, вызывающие звуки, перпендикулярны к направлению потока. Он также показал, что частота колебаний ^ связана со скоростью потока U и диаметром цилиндра d приближенной зависимостью

N=爲. (13.1)

В 1902 г. Альборн2) сфотографировал периодические следы, однако только в 1908 г. Бенар установил связь между музыкальными звуками, которые изучал Струхаль, и двумя (почти) параллельными рядами вихрей, расположенных (почти) на равном расстоянии между собой позади цилиндра, т. е. так называемой вихревой дорожкой (рис. 106).

Представляет интерес изучение зависимости между периодичностью потока и числом Рейнольдса Re = Ud/v. Периодичность наиболее выражена в диапазоне 40 < Re < 1000, выше которого след становится турбулентным. В этом диапазоне имеем сравнительно точную эмпирическую формулу [31, рис. 149]

Sh = ^ = O,21(1—黑卜 (13.1а)

где Sh ——число Струхаля. Таким образом, в единицах CGS (сантиметр, грамм, секунда) периодическому потоку воздуха приблизительно соответствует диапазон 6 < t/d < 150 или

Qjbd2 < ^ < ЗО/d2; потоку воды —0,4<Ud<10 или 2725d2 < ^ < 2/d2. Это объясняет, почему слышимые звуки (100 < ^ < 1000) возникают в воздухе при d 弋 0,5—3,0 мм и U q 1 —10 м/сек и почему в воде видны (^ ~ 1) вихревые следы при d = 1—10 мм н U q 0,5—5,0 м/сек.

Даже при режимах преобладающей турбулентности наблюдается некоторая периодичность следов3) вплоть до значений

. Рис. 106. Периодические следы.

Re = 105 и более. В некоторых случаях она может вызывать появление серьезных механических вибраций 4).

Модель Кармана. В 1911—1912 гг. Карман предложил ставшую теперь классической теорию периодических следов в бесконечном потоке5). Это исследование было основано на простой математической модели, представляющей собой два параллельных ряда точечных вихрей Pi и Qf (рис. 107), расположенных в безвихревом потоке на одинаковых расстояниях друг от друга в шахматном порядке. Такая схема может быть названа идеальной вихревой дорожкой.

Очевидно, что эта модель определяется тремя произвольными параметрами: интенсивностью” каждого вихря 6), шагом а

и шириной h. Комплексный потенциал 1^ = <р + /ф выражается через эти параметры следующим образом 5）：

U7=^[lnsin^ —lnsin^-（z——гй）] .（13.2）

В невязкой жидкости идеальная вихревая дорожка находится в равновесии, причем система вихрей перемещается против направления потока на бесконечности с легко вычисляемой скоростью uSi

% = *也限 （13-3）

Соответственно количество вихрей К = Nx, сходящих в единицу времени вниз по потоку с каждой стороны тела со скоростью U — us относительно тела, равно

К=生竺了 = 2%（u_%）cth^・（13.4）

Однако эти формулы не определяют параметры 乂，а н 力 как функции естественных физических параметров U и d. Рассмотрим теперь задачу приближенного определения функций

乂（U, d）, a（U, d） и 方（U, d）, 乙一—a--^mЭ

2Рис. 107.что эта задача эквивалентна2Рис. 107.что эта задача эквивалентнакоторые в действительности в некоторой степени зависят еще от числа Re и расстояния вниз по потоку.

2

Рис. 107.

что эта задача эквивалентна

2

Рис. 107.

что эта задача эквивалентна

С помощью несложных алгебраических преобразований можно убедиться в том,

определению любых трех из безразмерных отношений:

务=入,贵=% 4 *（13.5）

Sh =等="評=（1 _川^ 传）.（135）

Из （13.5） и （13.4） мы получаем также [26] соотношение

^齿^=余也^ = e（1-e）.（13.5〃）

Из анализа размерностей следует, что эти отношения должны быть приближенно постоянными; согласно эмпирическим данным 九 а 0,4, е у 0,15,力/a 弋 0,3 и соответственно h/d ~ 1,2

(а также Sh ^ 0,2), причем в экспериментах наблюдается значительный разброс этих данных.

В п. 3 мы рассмотрим приближенный теоретический расчет параметра X. В п. 8 после определения в п. 4——7 количества движения следа и его устойчивости будут определены величины е, Sh,力/a и 力/d.

Скорость схода вихрей. Как было показано Гейзенбергом и Прандтлем 7), с помощью теории пограничного слоя нетрудно приближенно определить параметр 九.Поскольку в приближении теории пограничного слоя завихренность равна g = ди/ду, то скорость схода вихрей 凡 с каждой стороны тела приближенно равна

где S — толщина пограничного слоя и % — скорость вне его вблизи точки отрыва. (Мы пренебрегаем здесь тем обстоятельством, что вследствие отрыва потока теория пограничного слоя становится неверной.)

Согласно общей теории плоских течений и особенно согласно следствию уравнений Навье — Стокса dg/df = vV2g [62, § 19.11], завихренность потока распространяется путем конвекции и диффузии в область следа. Таким образом, с самого начала своего образования след ограничен двумя тонкими вихревыми слоями одинаковой интенсивности и противоположного знака.

В соответствии с простейшей картиной невязкого плоского течения эти вихревые слои《сворачиваются》вследствие неустойчивости по Гельмгольцу (гл. XI, п. 14) в периодические точечные вихри с сохранением завихренности, так что параметр 凡 равен параметру К, определенному в п. 2. Учитывая эти предположения, а также полагая в соответствии с теорией свободных линий тока, что % = U, Гейзенберг [26] таким образом априори определил величину K/U?=九=0,5. Порядок этой величины найден верно. '

Более точное значение X может быть получено с учетом замечаний Прандтля 7), развивающих идею Гейзенберга. Применяя теорему Бернулли к потоку вне следа, получаем

届=(1十Q)炉，

где Q = 2(p『一Рю)IpU?, Q — эмпирический коэффициент разрежения в следе (гл. I), 川一давление в свободном потоке, pw — давление в следе. Отсюда Прандтль получил формулу

& = 0,5* = "У. (13.6)

Эта формула подтверждается результатами прямых измерений /Q, проведенных Фейджем и Иогансеном8).

Для завершения оценки К необходимо определить параметр В = K/Kl В силу сохранения полной завихренности / / &囂= s

=/ / С dy в вязком плоском течении (что следует из уже упо- s

минавшегося уравнения d^dt = vv2^), параметр В представляет собой часть полной завихренности обоих знаков, которая не подверглась взаимному уничтожению при смешении (взаимной диффузии) одинаковых количеств завихренности противоположных знаков.

В соответствии с асимптотической теорией гл. XII, п. 5, величина С в конце концов обращается в нуль на большом расстоянии вниз по потоку. С другой стороны, если бы никакого смешения вихрей противоположного знака не происходило, то мы имели бы 8=1, как было принято Гейзенбергом.

Прандтль эмпирически установил, что В приближенно равно половине для той части следа, которая аппроксимируется вихревой дорожкой. Джеффрис9) объясняет это тем, что при «свертывании» пограничного слоя половина его переходит в след и подвергается там перемешиванию, а другая половина переходит в вихревую дорожку. Он обосновывает это предположение симметрией возмущений в единичном пограничном слое. Несмотря на то, что эта симметрия, согласно наблюдениям Ро- зенхеда 9), имеет только временный характер, до сих пор принято полагать 6 = 0,5. Этому соответствует, согласно (13.5) и (13.6), формула

入=卡，(13.7)

откуда и следует, что X обычно имеет значение, несколько меньшее 0,5.

Завихренность и количество движения следа. В п. 4——6 мы используем понятия количества движения и сопротивления следа, введенные в гл. XII при исследовании (почти) периодических следов. Целесообразно начать с установления зависимости между количеством движения (в следе) и распределением завихренности. Хорошо известно10), что если полная напряженность вихрей в плоском потоке несжимаемой жидкости равна нулю (т. е. если положительные и отрицательные вихри взаимно уничтожаются), то компоненты вектора количества движении М выражаются с помощью сходящихся на бесконечности интегра-

лов Мх = ? //〃 dx dy, Му = р J* J* v dx dy. Эти компоненты кинематически связаны с завихренностью g(x, у) уравнениями

Мх = р f /yCdxdy, 也=—J jxl dx dy. (13.8)

Отсюда следует, что величина проекции количества движения на продольную ось идеальной вихревой дорожки (13.2), соответствующая паре вихрей (т. е. одному периоду), должна быть равна pxh. Этот результат можно получить также путем интегрирования вдоль контура [31, § 243]. Точнее, пусть текущее значение количества движения на единицу длины следа для идеальной вихревой дорожки М(х) определяется формулой

+ 8

(13.9)(13.10)(13.9)(13.10)тогда среднее значение равнотогда среднее значение равноМ (х) = — р / и (х, y)dy;

(13.9)

(13.10)

(13.9)

(13.10)

тогда среднее значение равно

тогда среднее значение равно

При сравнении определения (13.9) с формулой (12.12а) следует заметить, что поле скоростей, порожденное периодической вихревой дорожкой, стремится к нулю по экспоненте при ут ±оо. Следовательно, интегрирование действительно производится поперек следа W. Если же рассматривается реаьчьный полуограниченный след, то это утверждение перестает быть справедливым： интеграл поперек W имеет почти в два раза большую величину, чем в пределах —оо < у < + оо, из-за наличия вне 渺' радиального потока типа источника.

Интегрируя (13.10) относительно dx, мы приходим к следующей теореме.

Теорема 1. Если ^(х, у)——любое периодическое распределение завихренности положительного и отрицательного знаков со средней интенсивностью, равной нулю, то

加(х) = ^ / у 丸加(х) = ^ / у 丸(13.10*)(13.10*)

加(х) = ^ / у 丸

加(х) = ^ / у 丸

(13.10*)

(13.10*)

еОе усреднение производится по периоду а.

Можно считать, что (13.10*) приблизительно верно и для почти периодических следов. В качестве дополнительного подтверждения отметим, что в соответствии с теорией погранич-

ного слоя, согласно которой g = % = 1/уу, имеем

+ ОО+84-СО

/ yQ(x, y)dy= / yV\ydy= J ydVy =

~OO-OO—QO

4-oo

ну/閣一/ dV=V(x, — co) — V(x, 4- do).

Следовательно, в этом приближении М (х) = pf y^dy.

Завихренность и лобовое сопротивление. Найдем теперь зависимость между завихренностью периодического следа и соответствующим ему лобовым сопротивлением. Следует подчеркнуть, что приводимые ниже формулы не являются точными, поскольку они выводятся при условиях, которые не выполняются точно.

Асимптотическая формула UM (оо) = D гл. XII, п. 9 не применима к периодическим следам, так как скорость не стремится к постоянной U на бесконечности. Если бы последнее условие выполнялось, то мы имели бы Q ^ ^hU/а. Более точная оценка может быть получена в предположении, что D есть скорость, с которой создается количество движения в следе за телом, движущимся в неподвижной жидкости. Это дает, согласно (13.4), оценку

D 竺匚妙迎=МК.(13」1)

Разделив (13.11) на ри2d/2 и использовав (13.5"), получим эквивалентную безразмерную формулу

警= 4e(l—e)^cth^.(13.11*)

Однако в приведенном расчете не учитывалась разница между средними давлениями вверх и вниз по потоку. В доказательстве следствия 2 теоремы 1 гл. XII, дающем зависимость между количеством движения в следе и лобовым сопротивлением, эта разность давлений асимптотически стремилась к нулю； в данном случае это не так. Если принять во внимание эту разность, то приходим к слегка измененной оценке ([39], [41], [31, § 243, (22)])

0=衅｛0-2% + 哀｝=爲 + 響(U -2Q (13」2)

Эта формула совпадает с формулой (13.11) тогда и только тогда, когда th(£"/a) = a/h или h/a 0,39,

В предыдущих расчетах предполагается, что вихревая дорожка простирается в бесконечность в обе стороны. Синдж показал, что если вместо нее взять периодическую полуполосу распределенных точечных источников, то коэффициент CD возрастает приблизительно на 5% "). Этот факт подтверждает сделанное в предыдущих расчетах предположение.

Следует еще раз подчеркнуть, что ни одна из приведенных выше оценок не является точной.

Теорема сохранения. При втором применении закона сохранения количества движения и кинематической связи между количеством движения и завихренностью будем рассматривать средний шаг вихревой цепочки с вихрями равной знакопеременной интенсивности 土乂 как в вязкой, так и в невязкой жидкостях. Для облегчения задачи мы пренебрежем влиянием тела на развитие во времени следа вниз по потоку. Будем также полагать, что след в начальный момент времени f = 0 состоит из бесконечного ряда знакочередующихся вихрей интенсивностью ± х, расположенных в полосе по обе стороны от оси х, причем средний продольный шаг12) равен d и поперечный шаг равен h. Эти же предположения приняты в теории устойчивости Кармана (п. 7), и поэтому настоящее более общее рассмотрение применимо также и там.

Будем считать, что средний поперечный момент завихренности 2g(Z) на единицу длины следа определяется формулой

L 的(/)=2吗金РЛL 的(/)=2吗金РЛ十8/ уС(х, у; £)dy,十8/ уС(х, у; £)dy,(13-13)(13-13)

L 的(/)=2吗金РЛ

L 的(/)=2吗金РЛ

十8

/ уС(х, у; £)dy,

十8

/ уС(х, у; £)dy,

(13-13)

(13-13)

где для дискретных вихрей ^dxdy = dx. Если обозначить 2厶=м@, то на интервале ——LW^WL первоначально существует около п (математически м+о(м)) вихрей с напряженностью +乂 и около и — с напряженностью ——乂. Поскольку средняя ширина дорожки 加 то

^(0)= lim [— + 0(1)1=^- . (13.13Э па 」 а

Далее, среднее значение количества движения Mx(t) на единицу длины в проекции на ось х в поле скоростей, вызванных завихренностью, определим следующей формулой；

+ £ оо

Mx(t)= Игл ^т~ f dx С и (xt у; ^) dyt (13.14)

一厶-09

Затем на основании известной кинематической теоремы 13) получаем обобщение соотношения (13.10)

Mx(t) = Ny(t).(13.15)

Окончательный результат можно рассматривать как одну из форм теоремы о сохранении количества движения.

Теорема 2. В вязкой или невязкой несжимаемой жидкости Mx(t)=例笈(0), поэтому ^y(/) = ^y(0) также не зависит от времени.

В плоском течении невязкой жидкости завихренность сохраняется [62, гл. IV]; вихри с течением времени перемещаются, сохраняя постоянной свою суммарную интенсивность ±х. Если скорость ограничена, то очевидно, что шаг вихрей d не зависит от времени.

Следствие 1. В невязком плоском, течении величины 乂 и а не зависят от времени, и, следовательно, ширина дорожки h = aNy/н также не зависит от времени.

В плоском течении вязкой жидкости существует диффузия [62, гл. XIX] между зонами положительной и отрицательной завихренности. Следовательно, средняя интенсивность ±x(f) каждой зоны уменьшается со временем, причем суммарная интенсивность остается равной нулю. Как и ранее, величина & = &(/) не зависит от времени. Поэтому из теоремы 2 можно получить еще одно следствие.

Следствие 2. В вязком, плоском, течении величина а не изменяется со временем, но х(/) убывает, поэтому h(t) = @%〃乂«) со временем возрастает.

Результаты, получающиеся из следствия 2, действительно подтверждаются экспериментально (рис. 108) 14).

Исходя из того, что в потоке жидкости малой вязкости ширина дорожки h приблизительно постоянна, можно заключить, что h/di ~ 1,0, где & — диаметр следа за телом на небольшом расстоянии. (Для кругового цилиндра или плоской пластины, согласно потенциальной теории струйных течений, &/d ~ 1,0—1,5).

Теория устойчивости по Карману. Карман [39, 41] дал классический анализ устойчивости двух параллельных периодических цепочек вихрей. Он показал, что в невязкой жидкости вихревая дорожка имеет неустойчивость первого порядка (т. е. смещения вихрей от первоначального положения растут по экспоненте), за исключением случая h/a = 0,281, соответствующего ch(^h/a) = У2. Поскольку этот вывод можно найти во многих работах [51, § 156] и [62, § 13.72], мы его здесь не приводим.

24 Г. Биркгоф

6

Рис. 108. Распространение периодических следов.

В связи с результатом Кармана можно найти много ссылок в литературе на величину 力/a = 0,281, как устойчивую относительную ширину дорожки. Однако различными исследователями показано, что и при условии 力/a = 0,281 имеется неустойчивость более высокого порядку15). Кроме того, поскольку h является

инвариантом для невязкой жидкости (следствие 1, п. 6), очевидно, что отношение h/a определяется своим начальным значением, а не условием устойчивости 1б) h/a = 0,281 (инвариантность h и о следует также из численных расчетов Шмидена) 15). Наконец, распад вихревых дорожек происходит отнюдь не в результате случайных смещений точечных вихрей, как это предполагалось Карманом. Таким образом, наблюдаемая в эксперименте конфигурация дорожек 14) в диапазоне 0,28 < h/a < 0,50 должна объясняться в противоположность ранее принятой точке зрения не тенденцией к 《устойчивому》 расположению вихрей, а какими- то другими причинами. Обсуждение этого вопроса будет продолжено в п. 8.

С другой точки зрения, неустойчива периодичность вихревой дорожки, а не ее конфигурация； все средние значения относительной ширины (в невязкой жидкости) теоретически сохраняются. В связи с этим, естественно, возникает вопрос： если вихревые дорожки теоретически являются неустойчивыми, то почему в действительности они распространяются на такие большие расстояния вниз по потоку (в диапазоне 30 < Re < < 200)? Одно из объяснений этого факта заключается в том, что скорость, вызываемая завихренностью, относительно мала (например, 0,03 U). Поэтому при расположении вихрей, достаточно близкому к «устойчивому» режиму (力/仪=0,2百1), можно ожидать, что вихри переместятся на много шагов вниз по потоку, прежде чем их относительное расположение существенно нарушится.

В дополнение следует отметить, что в действительности завихренность не сконцентрирована в отдельных точках (см. п. 9), и, кроме того, жидкость обладает некоторой вязкостью. Оба эти фактора, по-видимому, ведут к уменьшению неустойчивости в действительных условиях.

Число Струхаля. Мы вернемся теперь к задаче определения безразмерных параметров % Sh, h/a и h/d, которая была поставлена в конце п. 2. Если принять в силу (13.7) приближение 2九=(1+Q)B^1, то, согласно (13.12*),

%弋夕 (13.16)

и [как ранее было отмечено, (13.5)] остается найти оценку для оставшихся двух коэффициентов.

Как было отмечено в конце п. 6, значение параметра h/d мм жет быть найдено с помощью потенциальной теории струйных течений (гл. II——VI) для расстояний за препятствием, равных нескольким его поперечным размерам, после которых, согласно теореме 2, величина 力 остается приблизительно постоянной, хотя

там уже теория струйных течений неприменима. Из этих соображений можно получить приближенные значения коэффициента сопротивления для кругового цилиндра

1,25 (13.17а)

и для пластинки, наклоненной под углом а к потоку,

С口 弋 ^ 弋 2 sin а. (13.176)

Разумеется, величину h/d можно непосредственно измерить на фотографиях потока.

Остается найти еще один безразмерный коэффициент. Для этого можно принять h/a = 0,281, как это следует из теории устойчивости Кармана (п.7). Если принять это условие, то мы получаем полутеоретический способ полного определения параметров & 力,а и D, если известны форма тела и параметры потока в диапазоне чисел Рейнольдса, при которых образуются вихревые дорожки. В частности, согласно формуле (13.5Z), для круговых цилиндров будем иметь

Sh =等=(1 _ е喈)团。0,7 I 0,20. (13.18a)

Эта величина наблюдается экспериментально [см. (13,]_а)]. Далее, по • формуле (13.5"), поскольку при ch, = M2 имеем th^ = l/У2, получим

e(l-e)^|th^ = l/2. (13.186)

Выбирая наименьшее значение корня уравнения (13.186), получаем е ~ 0,175, что также хорошо согласуется с экспериментом для круговых цилиндров.

Однако по причинам, указанным в п. 7, мы не можем считать приведенную интерпретацию правильной. Вместо этого мы предполагаем, что действительную физическую картину можно гюлу> чить, рассматривая след как колебательную систему 17). Соответственно мы считаем, что частота колебаний определяется локальными эффектами, а не асимптотическим поведением потока вниз по течению.

Непосредственные визуальные наблюдения показывают, что в рассматриваемых условиях след колеблется из стороны s сторону, до некоторой степени уподобляясь хвосту плывущей рыбы. Масса следа, приходящаяся на единицу длины, очевидно имеет порядок p/z. Предположим, что восстанавливающая сила, действующая на часть следа, до его первого изгиба (рис. 109),

равна подъемной силе лри〃а [31, гл. I] аэродинамического

профиля той же длины 2/ с углом атаки а. Поскольку центр

масс рассматриваемой части следа одновременно сместился на расстояние / sin а, то мы получим (в первом приближении)

加а = 2рй/2а =—呼炉/а.加а = 2рй/2а =—呼炉/а.(13.19)(13.19)

加а = 2рй/2а =—呼炉/а.

加а = 2рй/2а =—呼炉/а.

(13.19)

(13.19)

Отсюда, учитывая, что при =—4к^2а, находимОтсюда, учитывая, что при =—4к^2а, находимчастоте ^ угловое ускорение а =частоте ^ угловое ускорение а =

Отсюда, учитывая, что при =—4к^2а, находим

Отсюда, учитывая, что при =—4к^2а, находим

частоте ^ угловое ускорение а =

частоте ^ угловое ускорение а =

^ =^ =М8TM 'М8TM '51Sh =51Sh =ииTWTW(13.19*)(13.19*)dd

^ =

^ =

М8TM '

М8TM '

51

Sh =

51

Sh =

и

и

TW

TW

(13.19*)

(13.19*)

d

d

(13.17а).(13.17а).поскольку h = l,25d, как и в

(13.17а).

(13.17а).

Написанная формула при 2/ = l,6d, что хорошо соответст-

вует действительности, дает величину Sh 弋 0,2, наблюдаемую при экспериментах. С другой стороны, согласно (13.5‘), Na = =U — us = (1 — g) U, и ввиду (13.19 *) (1 — е) (d/а) = Nd/U = =(10n//d-^). Однако расстояние 2/ до ближайшего изгиба следа

^=0,28.(13.20)^=0,28.(13.20)периодически изменяется от 0 до а/2 при среднем значении 2/ = а/4. Подставляя величину / = а/8 в последнее равен-

^=0,28.

(13.20)

^=0,28.

(13.20)

М 次/(1-е), получаемМ 次/(1-е), получаемство и умножая обе стороны его на

М 次/(1-е), получаем

М 次/(1-е), получаем

1

1 —

Применяя снова (13.17а), мы найдем 力/a = 0,35, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

В целом рассмотренная «колебательная» модель также позволяет приближенно объяснить наблюдаемые факты,

Дополнительные эффекты. В п. 1—8 мы исследовали след за круговым цилиндром в бесконечном потоке, предполагая, что след может быть аппроксимирован идеальной вихревой дорожкой. Рассмотрим теперь, какие изменения следует внести в предыдущий анализ в случае некругового цилиндра или в случае наличия стенок, параллельных потоку, а также рассмотрим влияние изменения чисел Рейнольдса и т. д.

Изменение профиля цилиндра влияет различным образом. Были исследованы тела эллиптической и оживальной формы, а также пластинки, наклоненные к потоку. Как следует из п. 3, с обеих сторон тела всегда сходятся вихри почти одинаковой интенсивности, поэтому вихревой след за наклоненной пластинкой все же может быть аппроксимирован идеальной вихревой

дорожкой. Однако параметр e=u3/U значительно меньше в случае тонких, хорошо обтекаемых тел, чем для широких препятствий 18). Так, для обтекаемых тел получены значения % не превосходящие 0,03, в то время как для пластинки, перпендикулярной потоку, е = 0,22. Число Струхаля изменяется в пределах 0,15 < Sh < 0,21, если принять за d поперечный размер тела или (приближенно) следа i9). Это соответствует теории, изложенной в п. 8; следовательно, можно предположить, что отношение Кармана h/a должно изменяться в узких пределах.

Даже в случае кругового цилиндра поведение периодического следа значительно сложнее, чем это можно предположить в соответствии с «инерционными» теориями п. 2——8. Так, согласно (13.1а), оно в значительной степени зависит от числа Рейнольдса； с увеличением числа Re неуклонно возрастает скорость турбулентного рассеяния вихрей20). Когда число Re превышает 400, вихревые нити (имеющие также трехмерную неустойчивость [71]) разрываются на расстоянии, не превышающем нескольких диаметров цилиндра.

Однако число Рейнольдса не определяет полностью картину течения. Так, например, критическое число Рейнольдса (Re)I(p.= =(Ud/v)Kp., выше которого след за круговым цилиндром становится периодическим, уменьшается под влиянием внешней турбулентности 21). Оно также уменьшается, если закрепить цилиндр на пружинах так, чтобы его свободные колебания были в резонансе с периодом естественных колебаний вихревого следа. Таким путем были получены периодические следы при Re = 11 21).

С другой стороны, если поток ограничен параллельными стенками, то ReI;p. возрастает от обычной величины около 30 до 50 или более. Розенхед22) теоретически показал, что стенки также понижают критерий устойчивости Кармана до величин 力/а = 0,281—0,09 (а2///) в канале шириной 2//. Другие воздействия стенки на идеальную вихревую дорожку также могут быть теоретически предсказаны.

Наконец, можно показать [8, § 6], что даже при отсутствии вязкости в связи с ограничениями энергетического характера вихревые слои позади цилиндра не могут свертываться в цилиндры диаметром меньше чем а/4. (Вихревая нить обладала бы бесконечной энергией.)

Пластинка при нулевом угле атаки. Предельный случай пластинки, параллельной потоку, отличается от кругового цилиндра, ввиду того что ширина следа 23 много меньше длины (хорды) / пластинки. Кроме того, в этом случае отсутствует отрыв потока, и поэтому вихри, по-видимому, сходят с постоянной скоростью в первоначально ламинарный след (гл. XII, п. 4.) при

Re = U〃v < 105. Можно ожидать, что тонкие профили при нулевом угле атаки будут вести себя аналогичным образом; оба эти случая были исследованы 23).

Однако ламинарный след неустойчив при Re ^ U〃v > 1000 [91, стр. 245—250] и периодически распадается в диапазоне промежуточных чисел Re в особенности, если имеется акустическое воздействие или резонанс. Поскольку 3//= l,72/]/Re [31, гл. II], интересно отметить, что критическое число Рейнольдса для периодического следа (2 Ub/〉)®, отнесенное к толщине следа, равно приблизительно 3,44 ]/Re ^； 110, т. е. имеет тот же порядок, что и в случае круговых цилиндров.

Звук, создаваемый пропеллером и лопастями в воде, связывают с этим периодическим распадом следа 24). Несмотря на недостаточную изученность этих явлений, ясно, что они могут быть причиной возникновения сильных вибраций. Если интенсивность вибраций достаточно велика, то кавитация может возникнуть в полоске, параллельной выходной кромке. Судя по картинам потока, полученным Гонгвером, сопутствующие чередующиеся прямолинейные вихри, как это было предсказано Кельвином, явно неустойчивы 25).

Осесимметричные периодические следы. При промежуточных значениях чисел Рейнольдса можно обнаружить периодический след позади шара, диска или других осесимметричных тел. Периодичность в этом случае менее регулярна, чем в случае цилиндра; кроме того, как и в двумерном следе, она зависит от многих факторов (п. 9).

Так, например, критическое число Рейнольдса ReKp., выше которого сферические воздушные пузырьки раскачиваются при подъеме в воде под действием силы тяжести, вместо того чтобы подниматься по прямой линии, имеет величину приблизительно ReKp. = 50 (гл. XV, п. 7). Однако для жестко закрепленной или тяжелой падающей сферы число ReKp., по-видимому, достигает 26) 500. Подобным же образом, для неподвижного диска, перпендикулярного нетурбулентному потоку, Стантон и Маршалл 27) получили ReKp. = 200, в то время как Симмонс и Дьюи в турбулентной аэродинамической трубе получили ReKp. = 100.

Нередко высказывалось предположение о том, что след за сферой или диском может состоять из одной или двух спиральных вихревых нитей 2б>28). Так, легко можно представить воздушные пузырьки, поднимающиеся вверх по спирали с относительным шагом около 0,3. В связи с такой возможностью Леви и Форсдайк28) рассмотрели вопрос об устойчивости внн- товых линий. Однако в действительности эта схема не наблюдается; кроме того, вихревая оболочка, ограничивающая след?

не свертывается в периодический ряд вихревых колец (которые, кроме того, были бы неустойчивыми29)).

Однако в диапазоне умеренных чисел Re, при которых образуется нетурбулентный периодический след, все же наблюдаются периодические вихревые кольца, наклонные к оси симметрии. Они особенно хорошо заметны за диском в нетурбулентном потоке [31].

Уинни2б) приводит соответствующее число Струхаля Nd/U = 0,25 для сферы; для цилиндра оно на 50% больше, однако эти данные нельзя считать достаточно надежными. Он также сообщает, что диаметр вихревой системы приблизительно равен 4d/5.

Периодические струи; возбуждение звука. Подобно следам, однородные струи нередко проявляют периодический характер при умеренных значениях чисел Рейнольдса, в особенности в диапазоне 100 < Re < 6000. Периодичность может быть вызвана акустическим путем. Усиленная с помощью резонанса,

Рис. 110.

она может производить громкий музыкальный тон. Действие различных духовых инструментов основано на этом принципе30). Ввиду интереса, который они представляют применительно к музыкальным инструментам, периодические струи тщательно изучались экспериментальным путем. Однако теория периодических струй еще менее разработана, чем теория периодических следов; даже экспериментальные данные не всегда легко правильно истолковать.

Мы начнем с плоских струй. Как и следы (см. п. 10), струи неустойчивы при больших значениях чисел Рейнольдса и стремятся принять извилистую форму. Однако эта неустойчивость обладает непрерывным спектром частот и вызывает появление шипящих звуков. Слышимый звук при вытекании струй из щели диаметром d имеет среднюю частоту31), близкую к ^ = 0,055 U/d.

Можно превратить этот шум в интенсивный музыкальный звук с длиной волны X q 7， введя в поток тонкий клин

(рис. 110) на подходящем расстоянии h от щели. Наилучшие результаты получаются, если выбрать отношение 力/九 приблизительно равным i + %, где i — малое положительное целое число； получающиеся музыкальные звуки называют клиновыми (edge tones).

Поскольку орган и флейта производят именно такие звуки, они явились предметом многочисленных исследований; в примечании мы приводим список наиболее важных экспериментальных работ32). Установлено, что центры вихрей образуются попеременно на двух вихревых слоях, ограничивающих струю, а также на вершине клина, и что они связаны с поперечными колебаниями струи. Кроме того, при благоприятных условиях клин может быть заменен проволокой.

Менее понятно, почему эта конфигурация является само- устанавливающейся, т. е. устойчивой, хотя правдоподобное объяснение было недавно высказано Кэрлом, развившим ранние идеи Ричардсона33).

а 6

Рис. 111.

Другие плоские конфигурации также могут давать периодические струи. Они получаются, например, в случае некоторых полуструй^ возникающих в параллельном потоке около угла (рис. 111, а), а также при некоторых парных струях, втекающих в резервуар через смежные параллельные щели34).

Осесимметричные струи. Поведение осесимметричных струй аналогично указанному выше. Так, Марти [60, стр. 52, 53] сообщает, что струя, истекающая из круглого отверстия в плите при 60 < Re <1300, имеет профиль, напоминающий стебель пшеницы, причем вихревой слой сворачивается в вихревые кольца 35). Это соответствует неустойчивости по Гельмгольцу с образованием утолщений.

Более определенно выраженная периодичность наблюдается при истечении струи из круглого отверстия в трубу равного или большего диаметра. Так, Иогансен36) получил в диапазоне 300 < Re < 1200 среднюю частоту ^ ~ 0,06 U/d (откуда Sh = =Nd/U ~ 0,6). Вальтер [18, стр. 158] наблюдал периодическое

вихревое истечение при 2000 < Re < 3500； Курцвег отметил аналогичную периодичность вблизи острых краев входного отверстия трубы. Кроме того, когда жидкость импульсивно начинает двигаться через круглое отверстие, несколько первых вихрей вы ходят более или менее периодично37).

Однако описанные выше явления не поддаются расчету и очень чувствительны к малым изменениям формы отверстия. Для получения сильного музыкального тона лучше всего пропускать воздух с подходящей скоростью через два определенным образом расположенных и выполненных отверстия в пластинках (рис. 111,6). Эта конфигурация называется «птичьим манком》38) и встречается иногда в некоторых медных инструментах39), а также при человеческом свисте.

Наоборот, в воздушных струях могут возникать колебания, если поместить их в сильные звуковые поля. Кроме того, раз возникшие колебания могут сопровождаться шумом, характерным для газовых печей. Это явление «чувствительных струй》 также широко освещалось в литературе39). Круглые струи, по-видимому, более чувствительны, чем плоские.

ПРИМЕЧАНИЯ

Strouhal V.( Ann. d. Phys, und Chemie, 5 (1878)； см. [73].

A h 1 b о г n F„ Mechanismus der hydrodynamischen Widerstandes, Hamburg, 1902, SS. 26—27, Fig. 47； Benard H.( C. R. Acad. Sci. Paris, 147 (1908), 970—972 (см. также M a 11 о c k A„ Proc. Roy. Soc.t 79A (1907), 262— 265)； относительно Леонардо да Винчи см. Handb. Exp. Phys., IV, 2, S. 9. Рис. 106 воспроизведен из работы Richards G. J., Phil. Trans., 233A (1934), 279—301, Fig. 16.

Relf E. F., Simmons L„ ARC RM, Rep. 917 (1924)； [31]； [46]; Roshko A„ NACA TN № 2913, 1953.

Г a p т о г Дж., Механические колебания. Физматгиз, М., 1960. Другие типы периодических следов рассматриваются на стр. 400—413 цитированной работы； там же объясняется галопирование электрических линий передач, см. также R u е d у R., Сап. /. Res., 13 (1935), 89—92. Вибрация дымовых труб при Re = 7 • IO。по Гартогу вызывается вихревыми дорожками [Н а г t о g J. Р.( Proc. Nat. Acad. Sci., 40 (1954), 155—157]. Известное разрушение моста на Такома также связывают с вихревыми дорожками； см. Steinman D, В., Univ. Iowa Eng. Bull., 31 (1946), 136—164. (См. также Р о к а р И., Неустойчивость в механике, И几 М., 1959. — Прим, ред.)

См. [39] и [41], а также [51, § 156] и [62. § 1372],

Определяемая выражением 乳=|§d屮卜 где 中=J* и dx -{- v dy — no- генциал скорости.

См. [26], [31, гл. Xlll], а также Прандтль Л.. T и т ь e н с О., Гидрон аэромеханика, М.—Л., т. 1, 1933, т. 11, 1935.

F a g е А„ Johansen F. С., Phil. Mag., 5 (1928), 417—441. Член Q в (13.6) объясняет очевидное противоречие, отмеченное в работе [31, стр. 555]. Относительно величины Q см. гл. XIV, п. 3.

Jeffreys Н„ Proc. Roy. Soc„ 128А ('930), 376—393 (особенно стр. 383). Критические замечания Розенхеда см. там же, 134А (1931), 170— 192, особенно стр. 171.

[51, стр. 229]; случай идеальной вихревой дорожки рассматривается в работе [62, стр. 347]. См. также Poincare Н., Theorie des tourbillons, Paris, 1893.

“)Synge J. L., Proc. Roy. Irish. Acad,, 37 (1927). 95—109； См. также Mises R., ZaMM, 15 (1935), 71—76.

Как и на рис. 107, это относится к среднему шагу вихрей одного направления вращения.

Строгий и детальный вывод формулы (13.15) и доказательство теоремы 2 с ее следствиями, изложенные впервые в работе [8, § 4], будут опубликованы позднее.

и) Tyler Е., Phil. Mag^ 11 (1931), 849—890; Hooker S. G., Proc. Roy. Soc., 154A (1936), $7—89; [31, стр. 568—569], [90]. Рис. 108 воспроизведен из работы Н о m а п п A., Forsch. Geb. Ingenierwesens. 7 (1936), 1 — 10. Исследование скорости распада вихрей в приближении Озеена см. в работе L i п С. С., Von Mises Memorial Volume, Academic Press, 1954, pp. 170—176.

】5) Schmieden C_, Ing. Archiv, 7 (1936); 215—221, 337—341； Kq- ч и h H. E., ДАН СССР, 24 (1939, 19—23； см. также [8, примечание 15].

】б) Таким образом, утверждение Кармана относительно «устойчивых расположений вихревых нитей, которые могут рассматриваться как результат распада вихревых слоев» [41, стр. 51], не соответствует действительности.

,7) Г1 оследуюшее краткое объяснение заимствуется из работы [8, § 5], в которой можно найти более детальное изложение. (Принятая автором схема настолько неточна, что ее трудно оправдать даже ссылкой на количественное соответствие с опытными данными. — Прим, ред.)

18) В ё п а г d Н., Proc. Ilnd Intern. Congr. Appl. Meeh., Zurich, 1932. pp. 502—503; Richards G. J., Phil. Trans., 233.4 (1934), 279—301; ARC RM 1590, 1933.

】9) Fage A„ Johansen F. C., [90], ARC RM 1143; [31, n. 247] и при- реденные там ссылки, .

Спектр турбулентности и структура следа в промежуточном диапазоне 300 < Re < 10 000 тщательно изучались в работах Коваснаи [46] и Pouiko (Roshko А„ NACA TN № 2913).

Dryden H. L., NACA TR № 231, 1925. О резонансных эффектах см. Thom A., ARC RM 1373; Proc. Roy. Sos., 141A (1933), 651—659； C a m ic h e 1 C, et al., C. R, Acad. Sci. Paris, 186 (1927), 203—205; 200 (1935), 704—707. (Здесь уместно отметить применение В. В. Голубевым в 1944一 1954 гг. вихревых дорожек Кармана в теории машущего крыла [6*].— Прим, ред.).-

Rosenhead L., Phil. Trans., 228А (1929), 275—329; Proc. Camb г. Phil. Soc., 25 (1929), 277—281; Proc. Roy. Soc., 129A (1930), 115—135; V i 11 a t H., Ann. sci. ec. norm, sup., 46 (1929), 259—281.

См. [91]; Tyler E” Phil Mag„ 11 (1931), 849—890,

G u t s c h e F., Z, deutsche Ing., 81 (1931),882—883; G о n g w e г C. A.t 丄 A ppi. Meeh., 19 (1952), 432—438,

G о n g w e г C. A., Phil, Mag., 10 (1880), 155—168. Указанная неустойчивость связана с взаимодействием вихрей; как указывается в гл. XI, п. 15, изолированные вихри устойчивы,

Winn у Н. F., ARC RM 1531, 1952; Moller W., Phys. Z,, 39, (1938), 57—80; [18, стр. 186].

Stanton T. E,, Marshall D., Proc. Roy. Soc,, 130A (1931), 295—301; ARC RM 1358, 1932; Simmons L. F. G., Dewey N, S,, ARC RM 1334, 1931, См, также S c h m i e d e 1 J., Phys. Z,, 2$ (1928), 593—610; D u p i n P„ Teissie-Solier M., C. R, Acad. Sci. Paris, 195 (1932), 1226—1228; [18, стр. 182—186]; В a u b i a с M., PubL sci. tech. min. air, № 98, 1936, p. 20.

Mallock A., Proc. Roy. Soc., 79Л (1907), 262—273; Karman Th., Vortrage aus dem Gebiet der ... Aerodynamik, Karman Th., L e v i - C iv i t a T. (eds,), Berlin, 1924, S, 137; Levy H„ Forsdyke A, G., Proc. Roy. Soc., 120Л (1928), 670—690, Теоретические возражения против существования спиральных вихревых нитей см. [37] и приложение Л. Розенхеда в работе S t a n't о п, Marshall, ARC RM 1358.

Levy H., Forsdyke A. G., Proc. Roy. Soa, 114A (1927), 594—604.

Richardson E. G,, Acoustics of Instruments and Organ, Lnd., 1929; Wood A. B., The Physics of Music, Methuen, 1944.

Wood A. B., Acoustics, Lnd., 1940, p. 391. Волнообразная неустойчивость исследована в работе S a v i с Р” Phil. Mag., 32 (1941), 245—252.

Sondhauss C., Pogg. Ann. d. Phys., 91 (1854), 26—47, 214—240, Kruger F., Schmidtke E., там же, 60 (1919), 715—733； Carriere Z.( /. phys. rad., 5 (1925), 52—64; Brown G. B., Proc. Phys. Soc., 49 (1937)r

493—521; Lenihan J. M. A., Richardson E. G., Phil Mag., 29 (1940), 400—406.

Richardson E. G., Proc. Phys. Soc., 43 (1931), 394—404; Curie N., Proc. Roy. Sou, 216A (1953), 412—424.

Cm. [60]； E s с a n d e L., Technique moderne, 27 № 17 (1935); Belli п A. I. at al., NACA TN № 2417, 1951.

См. также Oberbeck L., Ann. phys. Chemie, 2 (1877), 1 —16; T о w- п e n d H. С. H., ARC RM 1634.

Johansen F. C.( Proc. Roy. Soc., 126A (1929), 231—245; ARC RM 1252 (1929). См. также [18, стр. 158]; C u г t e t R., C. R. Acad. ScL Paris, 239 (1954), 387—388, 452—454; Gierke H” Z. ang. Phys., 2 (1950), 97—106; К u г z w e g H., Ann. d. Phys^ 18 (1933), 193—216; Anders о п А. В. C.,丄 Acoust. Soc. Am., 26 (1954), 21—25; 27 (1955), 13—21.

Johansen F. С., цит. выше работа; Bauer S. G., Proc. Roy. Soc.. 182A (1944), 347—362; Wille R., Jahrb. Schiffbau Ges., 46 (1952), 181 — 183.

Sondhauss C., Masson A., C. R. Acad. Sci. Paris, 36 (1853), 257, 1004; [73, § 371]; Kruger F., S c h m i d t k e E., Ann. d. Phys., 60 (1919), 701—714.

Cm. [73, § 370]; Benton W. E„ Proc. Phys. Soc, 38 (1926), 109—125; Richardson E. G., там же, 43 (1931), 394—404; Brown G. В., там же, 47 (1935), 703—732; A n d г a d e E. N. С, там же, 53 (1941), 329—355.

ГЛАВА XIV

Турбулентные следы и струи

Общие замечания. Большинство следов и струй, встречающихся в инженерной практике, являются турбулентными. Эти течения состоят из множества малых, быстро пульсирующих вихрей, хаотично распределенных во времени и в пространстве. Точнее говоря, реальные струи и следы стремятся стать' турбулентными, если число Рейнольдса Re = Ud/v превосходит 1000, и эта тенденция усиливается с возрастанием числа Рейнольдса.

Чтобы описать турбулентное течение, параллельное оси х и заключенное в неподвижные твердые границы, удобно разложить вектор скорости на три компоненты

и (X; /) =。+ 〃 + 以- 守 + ",加 + 加).(14.1)

В этом выражении (U, 0, 0) —скорость набегающего потока основного течения,которая предполагается постоянной; (〃，и,侬)一 осредненные по времени компоненты скорости основного течения; (uz, v\ wf)—компоненты случайных пульсаций скорости в какой-либо точке относительно средней скорости в этой точке. Используя черту для обозначения средних по времени величин, имеем й! = vf = wf = 0. Средняя величина

/ = uf2 + vf2 + ^2(14.1*)

называется интенсивностью турбулентности; отношение //t/2 измеряет ее относительную интенсивность.

Турбулентность связана с переносом количества движения («молекулярная диффузия») через поверхности. Так, например (см. об этом в [31], [51]), средняя скорость переноса количества движения через плоскость (х, у) в несжимаемой жидкости равна хху = —р〃'и〔 Имеются аналогичные касательные напряжения, называемые напряжениями Рейнольдса, и по другим координатным плоскостям.

По аналогии с вязким касательным напряжением, вызываемым молекулярной диффузией, этот перенос количества движения (срезывающую силу) можно связать с тензором е订 фиктивной кинематической «турбулентной вязкости», определяемым уравнением %了 =——^i^j — Psz； du^dxj. В большей части турбулентных течений молекулярная вязкость намного меньше, чем эта турбулентная вязкость.

Вообще говоря, среднее течение в турбулентных струях и следах весьма похоже на среднее течение в ламинарных струях и следах. Кроме того, имеющаяся асимптотическая теория и в этом случае основана на соображениях размерности и приближенных законах сохранения, так что п. 7—11 настоящей главы во многом соответствуют гл. XII.

Чтобы пояснить эту аналогию, рассмотрим асимптотическую теорию турбулентных следов. Предполагая течение близким к параллельному и пренебрегая молекулярной скоростью, приходим к приближенному уравнению

.署〉 (14」**)

Если бы коэффициент турбулентной вязкости еху был постоянным, то это уравнение давало бы полный аналог уравнения (12.10) гл. XII и связанную с ним асимптотическую теорию следа.

К сожалению, £ху не только оказывается функцией координат, но даже неизвестно никаких способов ее теоретического определения. До 40 х гг. XX в. корреляции турбулентной скорости / и т. д; аккуратно не измерялись, а инженерные оценки турбулентной вязкости были основаны на недостаточно строгих понятиях коэффициентов переноса и длины смешения (см. п. 6). .

При отсутствии научной теории по данному вопросу, по-ви- димому, более целесообразно подойти к анализу турбулентных струй и следов с полуэм лирической точки зрения, как это сделано ниже. '

Отрыв течения. Следы возникают по той причине, что при достаточно больших скоростях поток отрывается от препятствия. Гельмгольц предполагал [27, стр. 219], что по крайней мере в случае плоской пластинки отрыв потока необходим для того, чтобы избежать бесконечных скоростей и, следовательно, бесконечных разрежений на краях препятствия, т. е. искал объ* яснение в явлениях, связанных с кавитацией. Однако такое объяснение неправильно. На самом деле решающим фактором в определении отрыва является число Рейнольдса Re=t/Z/v, и, следовательно, всякое правильное объяснение должно быть связано с исследованием эффектов вязкости.

Общепринятое объяснение отрыва дается с позиций классического понятия пограничного слоя Прандтля. В случае течений с ламинарными пограничными слоями профиль скорости в слое может быть приближенно рассчитан (если известно распределение давлений вдоль поверхности), исходя из приближения пограничного слоя в уравнениях Навье — Стокса, уже упомянутых в гл. XII, п. 8. Однако эти вычисления оказываются довольно тонкими и сложными, и они были выполнены только в немногих случаях. Поскольку теоретические результаты не слишком хорошо согласуются с наблюдением, мы отсылаем читателя за подробностями к литературе т).

Напомним только общий качественный результат: отрыв возникает только там, где давление возрастает, обычно несколько позади максимума площади поперечного сечения препятствия. Расположение точки отрыва для препятствия данной формы теоретически не зависит от числа Рейнольдса Re, пока пограничный слой остается ламинарным (примерно для Re < 105). Однако относительная толщина пограничного слоя пропорциональна М Re. Соответствующим профилированием (скруглением носка тела, сужением его кормовой части и т. д.) отрыв может быть значительно затянут2), а след соответственно сужен, что дает уменьшение полного сопротивления.

Для чисел Рейнольдса, превышающих критическое число ReKp. обычно в диапазоне Re = 105 — 5 X 105, пограничный слой становится турбулентным; точки отрыва смещаются несколько назад, а коэффициент лобового сопротивления в значительной степени уменьшается [31, гл. I]. Так, например, для круговых цилиндров коэффициент сопротивления CD уменьшается от значений 1,0—1,2 до 0,3—0,35; для шаров — от 0,4—0,45 до 0,1 — 0,15 [31, гл. I, § 5]. Величина ReKp. для данного препятствия зависит не только от формы и отделки поверхности, но также от турбулентности набегающего потока [31, § 191, § 219]. Теория отрыва потока с турбулентными пограничными слоями находится еще в зачаточном состоянии [31, § 194, § 213], однако качественные результаты аналогичны отмеченным выше для ламинарных слоев.

Донное разрежение. В турбулентном течении давление в следе меньше, чем давление в свободном потоке 川 на значительную часть динамического напора (несжимаемой жидкости) %pU、где U — скорость свободного потока. Как уже отмечалось в гл. II, п. 2, по этой причине действительные линии тока свободного течения располагаются внутри линий тока, предсказываемых теорией идеальной жидкости [7]. Мы обобщим теперь некоторые эмпирические факты о понижении давления в следе.

(14.2)(14.2)Хотя коэффициент разрежения

(14.2)

(14.2)

Р — %pU2

значительно изменяется в следе, он почти постоянен вдоль торца большинства препятствий между точками отрыва; исходя из этого, определяем коэффициент донного разрежения в виде

Q = 3^， Ma)

где рв — донное давление [см. формулу (1.36)].

Рис. 112.Рис. 112.Для чисел Рейнольдса Re^#>l и в условиях несжимаемости (например, когда число Маха М < 0,3) коэффициент Q определяется в основном формой препятствия, за исключением быстрого скачка вблизи критического числа Рейнольдса ReKp.= =105 — 5 • 105. Приведем некоторые полезные численные результаты [31].

Рис. 112.

Рис. 112.

б

Для широких пластин Q— 1,2—1,4 [31, гл. VIII], чему соответствует коэффициент сопротивления CD 弋 2. Для круто вых цилиндров Q —1,0—1,2, если Re<ReKp., и Q = 0,2—0,5, если Re > ReKp> [31, гл. IX] с большим разбросом вблизи Re = =ReKp. [31, рис. 162]. Для шаров Q 弋 0,4 при Re < ReKp> ' и Q q —0 — 0,1 при Re > ReKp. [31, стр. 497]. Для дисков Q 弋 0,4, т. е.盡 у 1,12.

Для дальнобойных артиллерийских снарядов донное давление на плоском днище длинного цилиндрического тела (рис. 112, а) является особенно важным. В этом случае коэффициент донного разрежения зависит главным образом от числа Маха, а также в некоторой степени от числа Рейнольдса, температуры поверхности и отношения длины тела к диаметру.

В диапазоне 1,2 <М <3,7 относительное донное разреже* ние как функция числа Маха удовлетворяет приближенному соотношению3)

^11^ = 0,176 — 0,26 (М — 1) + 0,024(М — I)2. (14.3)

Считая, что это соотношение не зависит от формы снаряда, легко понять, что его сопротивление может быть значительно уменьшено путем сужения кормовой части (рис. 112,6), посколь

ку тогда поперечное сечение следа уменьшается, если угол су

жения настолько мал, что отрыва потока не возникает.

Однако донное разрежение также значительно зависит от числа Рейнольдса, и этот эффект, естественно, наиболее резко выражен при скругленных и конусообразных формах тел (например, на крыловом профиле) 4). Часто считают, что донное разрежение слабо зависит от отношения длины снаряда к диаметру, если диаметр превосходит один или два калибра 5), хотя

это и не достоверно.

Структура следа. В первоначальной теории Кирхгофа [44] след за пластиной считался областью «мертвой воды», состоящей из покоящейся жидкости. Фактически, как отмечалось в гл. I, п. 5, эта модель очень неточна; она

становится особенно нереальной, когда ее распространяют на препятствия хорошо обтекаемой формы. Изложим теперь некоторые эмпирические факты о сложной струк

туре реальных следов.

С"зРассмотрим сначала след за плоским

：：£ fдиском (рис. 113). След непосредственно за

' диском окружен тонким вихревым слоем, который колеблется и утолщается под воз-

Р и с. 113. действием турбулентности (особенно при Re > Renp.), переходя затем в турбулентную зону смешения (п. 9). Жидкость из этой зоны под воздействием разрежения в следе подсасывается вдоль оси. В результате, если Re > 104, след разрушается на расстоянии в несколько диаметров дна кормовой части тела, в то время как пониженное давление в следе в значительной степени восстанавливается 5а).

След внутри пограничных слоев заполнен вихрями; в середине следа, как показано на рис. 113, обычно имеются обратные

течения.

Даже при относительно малых числах Рейнольдса (например, при Re = 2000) след за плохо обтекаемым препятствием становится турбулентным на расстоянии нескольких диаметров, и его средняя скорость почти равна скорости свободного потока. След за плоской пластиной при нулевом угле атаки и при Re = 200 000 также турбулентен на расстоянии половины длины пластины за выходной кромкой6). По-видимому, это обусловлено неустойчивостью ламинарного течения.

На искровых фотографиях сверхзвукового потока около снарядов за их дном виден конический объем относительно непо-

движного воздуха, за которым тянется турбулентный след, который медленно расширяется в виде крупномасштабных вихрей. По-видимому, вне этого турбулентного следа течение ламинар- но (рис. 114). Следовательно, в каждой данной точке вблизи края следа турбулентность проявляется в виде перемежающихся вихревых зон.

Рис. 114. След позади сверхзвукового снаряда.

Турбулентный след. Таунсенд [83] провел фундаментальное исследование несжимаемого турбулентного следа за цилиндром при Re = 8100; мы приведем кратко некоторые из его результатов63).

Так же как и в сверхзвуковом потоке (см. конец п. 4), турбулентность в каждой данной точке характеризуется перемежаемостью, за исключением центральной части (ядра) следа; относительный промежуток времени, в течение которого поток в данной точке становится турбулентным, можно назвать коэффициентом перемежаемости ^.

На данном расстоянии х за препятствием интенсивность турбулентности в турбулентном следе, грубо говоря, всюду одинакова, причем наиболее важны изменения коэффициента *( с изменением расстояния qt осн следа. Возрастание ширины еле-

да, по-видимому, обусловлено в первую очередь крупномасштабными, а не мелкомасштабными пульсациями, хотя последние переносят большую часть турбулентной энергии. Мелкие пульсации в основном обусловливают коэффициент турбулентной вязкости % определяемый соотношением

西7 = —е需. (14.4)

Турбулентная вязкость почти постоянна поперек большей части турбулентного следа, если учитывается коэффициент перемежаемости, т. е. отношение e/丁 является почти постоянным на фиксированном расстоянии за препятствием.

Экспериментально установлено, что относительная турбулентность /г = I/U2 (14.1*) уменьшается по мере возрастания относительного расстояния x/d за препятствием. Так, например, /г 0,005 при 尤/d = 80; /г 0,0026 при 尤/d=120, /г 0,0018 при x/d = 160. Это соответствует приблизительно закону вырождения турбулентности / = х-1-5. Если считать, что ширина следа растет как х0-5, то полная турбулентная энергия убывает как 1/х.

Понятие длины смешения. Прандтль исследовал турбулентность в почти параллельном течении, используя грубое, но полезное понятие «длины смешения», аналогичное понятию среднего пути с пробега молекулы в кинетической теории газов. Прандтль предположил, что жидкие массы переносятся турбулентным течением перпендикулярно к направлению основного течения на случайные расстояния со средней длиной / и со средней скоростью УI.

По аналогии с классической формулой кинетической теории газов V q kcv, в теории 《длины смешения» имеем е =々//%, где 々一универсальная безразмерная постоянная (например, k = =i/з). Исходя из этого, в двумерном течении, параллельном оси 尤，Прандтль получил / = 12(ди/ду)2 и е = 12\ди/ду\, так что формула для турбулентного касательного напряжения т приняла вид

' t = Pe^ = pH削•(需)• (14.5)

Подробности см. в работах [31, § 80, 81] или [98, стр. 345—349]. Далее Прандтль принял, что в турбулентном следе (или струе) величина / должна быть пропорциональной ширине следа (струи) Ь(х) и постоянной внутри турбулентной области.

Предшествующие результаты приводят к размерно правильным формулам для асимптотической скорости расширения и среднего профиля скорости в следах и струях, которые будут

изучаться в п. 7—11. Сначала отметим, однако, некоторые принципиальные дефекты предположений Прандтля, которые являются очевидными в свете данных Таунсенда 7).

Во-первых, расчеты игнорируют основной факт перемежаемости. Во-вторых, из формулы (14.5) следует, что е = 0 на оси следа, где производная ди/ду = 0, в то время как эксперименты Таунсенда [83, рис. 3, 4] показывают, что турбулентная вязкость принимает максимальное значение как раз на оси струи! Связанная с этим основная ошибка в уравнении (14.5) заключается в том, что, согласно выводам Прандтля, величина Н обращается в нуль на оси струи, в то время как в действительности она принимает там максимальное значение.

Кроме того, идея Прандтля о том, что существует только один масштаб турбулентности, совершенно неправильна; как уже отмечалось в п. 5, крупные турбулентные пульсации являются главной причиной бокового расширения следа, а малые пульсации ——причиной переноса количества движения. Более того, формулы Прандтля не учитывают ни скорости рассеивания турбулентной энергии, ни влияния числа Рейнольдса. Наконец, чтобы привести в соответствие экспериментальные данные с данными Прандтля, длина смешения должна составлять значительную часть от диаметра следа, что несовместимо со статистическими выводами. .

С практической точки зрения, первоначальные идеи Прандтля также не могут объяснить тот существенный факт, что турбулентная конвекция теплоты и массы превосходит конвекцию скорости. Этот важный факт был объяснен Тэйлором, использовавшим другую теорию переноса завихренности8), которая представляет собой усовершенствование теории переноса количества движения Прандтля, но которая все же еще слишком упрощена. Здесь мы не будем, однако, останавливаться на этой интересной теории.

Соответствующая критика теорий, использующих понятие длины смешения применительно к турбулентным струям, будет дана в п. 10.

Асимптотическое поведение следа. Асимптотический профиль средней скорости турбулентного следа далеко вниз по потоку за телом может быть получен из соображений, аналогичных приведенным в гл. XII, п. 5—9. В этой аналогии величина коэффициента вязкости v в уравнении (12.10) должна быть заменена фиктивной турбулентной вязкостью е (см. п. 1).

Начнем с вывода некоторых асимптотических размерных формул, представленных в табл. 1 (стр. 348). Эти формулы следуют из уравнений количества движения (12.21а) и (12.216) и гипотезы подобия. В этом смысле, как было впервые ясно

отмечено Сквайром [82], они по существу основываются на анализе размерности.

Сначала мы рассмотрим применение асимптотических уравнений количества движения в плоском случае

/("—力)dyQpu/ —и (х, y)dy, (14.6a) ww

а в осесимметричном

0 内 2冗 / (〃一 K)r dr2呼U / и (л:, г) г dr. (14-66)

ww

Для этого мы покажем, что компоненты (〃- d, ®‘) турбулентной скорости, описанные ранее в п. 1, не влияют на окончательные выводы гл. XII, п. 9 8а). Чтобы показать это, начнем с утверждения, что уравнения (12.19а) и (12.196) можно применить к турбулентному течению, если учесть касательные напряжения Рейнольдса, определенные в п. 1. Чтобы убедиться в справедливости этого хорошо известного факта, достаточно только заметить, что все квадратичные средние по времени, такие, как ии\ uv\ которые содержат не зависящий от времени сомножитель, обращаются в нуль и также обращается в нуль интеграл

[ (dU 0他、,

Чтобы закончить обоснование уравнений (14.6а) и (14.66), заметим, что предположения,- сделанные в следствиях 1 и 2 гл. XII, п. 9, в равной степени верны и для турбулентного течения. Опытным путем установлено, что турбулентность вне следа W мала, в то время как полный напор

% = , + %p[(U+〃)2 + q2 + ®2+L + /2+ 苏 2]

вне следа W мало отличается от полного напора свободного потока Н = р/ + 1/2ри?・ Поэтому следствие 1 п. 9 гл. XII будет справедливо, как и ранее, с небольшой модификацией, включающей члены zz；〃；・ Эти квадратичные члены в предположениях сформулированного там' же следствия 2 будут асимптотически выпадать.

Затем мы вновь принимаем гипотезу подобия9) (гл. XII, п. 6) о том, что все поперечные сечения следа имеют аффинно подобные профили скорости. Так, мы полагаем, что в плоском случае ' “(х, у)= x-”係)，(14.7а)

а в осесимметричном —

〃(х, r) = x-Pg(g|.(14.76)

Подставляя эти равенства в соотношения (14.6а) и .(14.66), получаем в плоском течении

p—q(14.8а)

и в осесимметричном течении

(14.86)(14.86)p — 2q.

(14.86)

(14.86)

Анализ размерности приводит также к предположению о подобии турбулентной вязкости

(14.9)(14.9)〃/" = *-2Р力(叮),

(14.9)

(14.9)

где Г)= y/%q (или r)= r/%q). Это предположение эквивалентно допущению, что /~犬2(尤，0)力(刀)，что правдоподобно и согласуется по размерности с теорией пути смешения Прандтля. Если подставить (14.9) в упрощенное уравнение движения Udu/dx = d(ufvf)/ду^ то получим в показателе для х равенство —р — 1 = —2P — q или

(149)(149)р -\- q — \ (условие однородности).

(149)

(149)

Из уравнений (14.8а) и (14.9') мы заключаем, что ширина турбулентного следа b (х) в плоском течении асимптотически удовлетворяет соотношениям

b = B£hb = B£h(14.10а)(14.10а)

b = B£h

b = B£h

(14.10а)

(14.10а)

Вывод о том, что приближенно b〜^х, подтвержден экспериментально [98, гл. XXII] и [83, рис. 7]. В случае осесимметричных турбулентных следов подобным же образом приходим к заключению, что

(14.106)(14.106)

(14.106)

(14.106)

подробности можно найти в книге Гольдштейна [31, § 254]. Таким образом, турбулентные следы в осесимметричном течении расширяются медленнее, чем в плоском.

Принимая особые предположения о безразмерном пути смешения 入(п), можно также вычислить теоретические универсальные профили скоростей, т. е. определить функции f(r)) и g(r)). Так, например, используя предположение Прандтля (14.5),

Шлихтинг вычислил входящую в (14.10а) функцию 10)

"叫=(1一小 5)2. (14.11а)

Таким же образом в осесимметричном случае (14.106) с учетом (14.5) получается

g (刀) = (1 —仆乎 (14.116)

Эти формулы весьма хорошо согласуются с экспериментом, если эмпирическая константа В и плоскость 尤=0 выбраны в соответствии с экспериментальными даннымии).

Однако, как было замечено Рейхардтом [67] и Сквайром [82], не следует придавать слишком большого значения этому совпадению. Хорошо известно, что использованные уравнения пограничного слоя относятся к параболическому типу, как и уравнение теплопроводности [31, гл. II], и что любое такое уравнение типа уравнения диффузии дает асимптотически колоколообразное распределение функции первоначально сосредоточенного источника. Так, например [98, гл. XXII], профиль скорости, выведенный из соотношений (14.11а) и (14.116), пренебрежимо мало отличается от кривой ошибок Гаусса, полученной из обычного уравнения теплопроводности, как, например, в гл. XII, п. 5.

Поэтому мы не будем дальше обсуждать обширную литературу по турбулентным следам, основанную на понятии пути смешения 12).

Следы гидродинамических движителей. Размерные формулы двух первых разделов табл. 1 гл. XII не применимы к следам за гидродинамически самоходными объектами (лодками или самолетами). Если движитель включен, то суммарная сила £) = 0 и, следовательно, уравнение количества движения /zzdy = O не дает связи между параметрами р п q. Получим теперь другие формулы для р н q, пригодные в этом случае.

В случае ламинарного следа при постоянной вязкости v используются соображения гл. XII, п. 5. Так, например, в плоском течении предполагаем, что Uди/дх = ^д^и/ду2 и что имеется симметрия течения относительно оси х. При этом легко показать (интегрируя по частям), что момент второго порядка

N= /у2м(х, y)dyN= /у2м(х, y)dy(14.12)(14.12)

N= /у2м(х, y)dy

N= /у2м(х, y)dy

(14.12)

(14.12)

не должен зависеть от х. Предполагая N 丰 0、получаем асимптотическую формулу

〃 =Ак-*Н笃⑺ еТ = AxT?h (叫，(14.12а)

где 〃2(刀)——полином Эрмита по ^ = у/，2yx/U, а коэффициент Л пропорционален N. Подобным же образом в ламинарном осесимметричном течении 〃~尤一2 Таким образом, в обоих случаях падение скорости происходит значительно быстрее, чем в обычных следах.

Турбулентный случай является более трудным. Условие подобия все еще справедливо. Сохранение момента (14.12) не может быть строго обосновано: интегрирование по частям при использовании (14.1 дает

备/y也必="靑|＞命dy = _/k黑)у"y =

=—f £У^У — f u^ (*У)・ (14.13)

Если бы коэффициент турбулентной вязкости $ не зависел от у, то написанный интеграл обратился бы в нуль. Предположим, что изменение е пренебрежимо мало, т. е. будем считать уравнения моментов ламинарного течения справедливыми и для турбулентных следов. Это предположение сводится в плоском течении к соотношению

или р — 3qили р — 3q(14.14а)

или р — 3q

или р — 3q

и в осесимметричном ——

(14.146)(14.146)/ 产“rdr = N* 次 0, или p = 4q.

(14.146)

(14.146)

На основании соотношений (14.7а) и (14.14а) приходим к выводу, что в турбулентном следе за гидродинамически само- движущимся цилиндром имеем

(14.15а)

и аналогично за гидродинамическим движителем в пространстве

(14.156)

Из этого находим, что в следе число Re 〜1/М% в плоском случае и Re~%-3/5 — в пространственном.

Зона смешения. Простейшая задача смешения касается турбулентной поверхности раздела потоков двух жидкостей, движущихся тангенциально с относительной скоростью U и имеющих первоначально плоскую поверхность раздела. В случае равных плотностей эту задачу можно рассматривать как задачу неустойчивости по Гельмгольцу для больших значений Л Неустойчивость по Гельмгольцу той же самой конфигурации для малых f была обсуждена в гл. XI, п. 14.

Указанная задача смешения впервые рассмотрена теоретически Толмином13), использовавшим понятие пути смешения Прандтля. Поскольку это понятие не соответствует действительности (см. п. 6), то мы рассмотрим только уравнения, следующие из анализа размерностей.

Относительная скорость U не зависит от 尤；следовательно, если принять предположение подобия (14.9) о том, что длина пути смешения пропорциональна ширине 6(%) зоны смешения, то получим е~Ь(%). Сказанное соответствует формулам

(子｝ (14」6)

и образованию клиновидной зоны смешения после появления турбулентности.

Такая зона смешения действительно наблюдается в экспериментах, причем ширина 6(%) составляет около 0,225 х. Распределение средней скорости представляется приближенно ([67] и [56, рис. 13—15]) формулой

卫=弘[1+erf(*]. (14.16*)

Однако теоретическая интерпретация существующих экспериментальных данных довольно противоречива 14).

Структура струй. При достаточно большом числе Рейнольдса, например Re > 1200 [60, стр. 57], свободные однородные струи обычно становятся турбулентными. Структуру такой струи, вытекающей из круглого отверстия, в общих чертах можно описать следующим образом.

Вблизи отверстия граница струи диффундирует и образует высокотурбулентную кольцевую 《зону смешения» клиновидной формы (рис. 115), как в п. 9. Она постепенно поглощает невозмущенное центральное ядро струи. Хотя объемный расход можно приближенно определить по потенциальной теории, как в гл. X 15), угол распространения зоны смешения приводит к поглощению нетурбулентного конического ядра (рис. 115) струи на расстоянии четырех или пяти диаметров. Приблизительно на расстоянии восьми диаметров от отверстия [31, гл. XIII] асимц-

тотический турбулентный режим струи становится вполне установившимся.

Асимптотически такие круглые турбулентные струи распространяются в виде конуса с углом раствора порядка 20—25°16), профиль средней скорости 〃(г/В%) имеет колоколообразный вид и может быть хорошо аппроксимирован нормальной кривой ошибок [67]. Более ранние

результаты были получены Фортманом и).

Структура плоской турбулентной струи, истекающей из щели, вполне аналогична описанной, не считая очевидных видоизменений. Профиль средней скорости также может быть представлен нормальной кривой ошибок [31, рис. 235]; ширина струи Ь(х) также асимптотически пропорциональна

расстоянию х — кх в соответ

ствии с углом распростри-Рис, 1 5,

нения струи 25—30°.

Хотя поведение струи, как легко видеть, мало изменяется в зависимости от степени турбулентности вплоть до значения 8%,

оно может значительно изменяться под влиянием начального профиля скорости струи, вытекающей из отверстия 18).

«Теории» длины смешения. Как и в случаях ламинарных струй и турбулентных следов, асимптотическое поведение турбулентных струй может быть изучено, исходя из рассмотрения уравнения количества движения и из соображений подобия.

Так, например, пренебрегая изменением давления вдоль струи и касательными напряжениями вне ее, в приближении пограничного слоя можно получить, аналогично формулам (12.28а) и (12.286), следующие соотношения: для плоских струй

/ u2dy = const(14.17а)

и соответственно для круглых струй

const.const.(14.176)

const.

const.

Примем также гипотезу подобия (12.22) для плоских струй

(14.18а)(14.18а)" =L/传)

(14.18а)

(14.18а)

и для круглых струй

(14.186)

(Эмпирически, согласно п. 10, в обоих случаях g= 1.) Вообще говоря, соотношения (14.17а) и (14.18а) дают в случае плоских струй

9=2. (14.19а)

а соотношения (14.176) и (14.186) в случае круглых струй дают

q = рq = р(14.196)

q = р

q = р

(см. гл. XII, п. 13 и 14 соответственно).

Чтобы закончить анализ размерностей, примем гипотезу подобия для турбулентного течения, 〃‘и' ~ х~2р, уже использовавшуюся в п. 9 и на тех же самых основаниях. (Возможно более общее предположение / 〜х-2^.)

Уравнения пограничного слоя в плоском течении имеют вид 〃黑+ ，^ + %黑=总(嚼尸*•(14如)

Аналогичные уравнения, отличающиеся только множителем г, справедливы и для осесимметричного течения. Они совместимы с принятой гипотезой подобия тогда и только тогда, когда

q ——p - 1 =——p или

g=l и и(14.206)

Объединяя все результаты, получаем законы подобия для плоских турбулентных струй

〃(14.21а)

и для круглых турбулентных струй

卫= *Tg(/).(14.216)

Эти формулы согласуются с наблюдениями 16); так же как и в ламинарном случае, угол распространения струи теоретически не определяется.

Отметим, что общий расход для плоских струй, истекающих из щелей, равен /〃 dy 〜)/лг, в то время как для круглых струй f f и dy dz^х. Таким образом, жидкость, окружающая

однородную турбулентную струю, подсасывается струей как равномерной полулинией стоков.

Наблюдаемый профиль средней скорости в струе, представляемый нормальной (гауссовой) кривой ошибок, находится в соответствии с гипотезой турбулентной диффузии. Если коэффициент е рассчитывается с использованием некоторых предположений о переносе или о пути смешения, то соотношения (12.21а) и (12.216) сводят уравнения пограничного слоя к обыкновенным дифференциальным уравнениям, определяющим и(х, у) вплоть до угла распространения струи.

Подобные вычисления были выполнены Толмином для осесимметричного случая круглых струй и Шлихтингом для плоских струй 18а). Если обозначить 刀=у/Вх, то вычисленные профили скорости для плоских струй имеют вид

“ = с(1 —th?叮) (14.22а) и для круглых струй

吋*. (14.226)

Эти формулы дают по сравнению с действительными несколько более заостренные профили скоростей.

Аналогичные вычисления, основанные на теории Тейлора о переносе завихренности, были выполнены Хоуартом и Томоти- кой 19). Качественные идеи Тейлора были подкреплены наблюдениями Хинце и Ван-дер-Хегге Цийнена 19), которые показали, что, как и в случае следов, тепло и масса диффундируют в турбулентных струях приблизительно на 20% быстрее, чем количество движения.

Однако Липман и Лауфер [56] посредством измерений турбулентности термоанемометром 20) показали, что эффективная длина пути смешения (которая в среднем составляет приблизительно 4% от общей ширины струи [31, гл. XIII]) оказывается переменной вдоль струи, в противоположность предположениям Прандтля — Гертлера и Толмина, и что соответствующее рао четное распределение касательных напряжений оказывается полностью неверным.

Дополнительные данные. Известные сведения о турбулентных струях не ограничиваются вышеприведенными. Так, например, различными авторами изучены последовательные и коаксиальные струи в связи с их важностью для реактивных авиационных двигателей 2l).

Другое интересное исследование касается выхода дыма из печной трубы. Когда дым увлекается ветром, начальная область диффузии оказывается конической с углом раствора, который

зависит от турбулентности атмосферы. Однако когда ширина струи превосходит масштаб атмосферной турбулентности, то преобладает тенденция к более известному закону параболической диффузии " = с% = cUt. В спокойном воздухе средняя скорость подъема дыма под действием термической конвекции приблизительно пропорциональна корню кубическому из расстояния над трубой 22).

Наконец, недавно был исследован важный вопрос о шуме турбулентных струй, особенно в работе Лайтхилла 23). Было получено теоретически и приближенно подтверждено экспериментально 24), что максимальная интенсивность шума имеется в направлении 45° к оси струи (что соответствует акустическому квадруполю) и что отношение звуковой энергии к энергии струи пропорционально пятой степени числа Маха М = U^lc^ и не зависит от числа Рейнольдса Re = Ud/y. (Таким образом, для данной струи сила звука пропорциональна U8.)

ПРИМЕЧАНИЯ

【)Превосходное обсуждение этих вопросов имеется в работе [31, гл. IV]. Более поздние результаты приведены в работах [98] и в статье Д р а й- д е н X. Л., Современное развитие механики пограничного слоя, сб. Проблемы механики, ИЛ, М., 1955, стр. 258—290.

Методика задержки отрыва потока на профилях рассматривается в работе [38, т. 3].

з)Charters А. С., Turetsky R. A., BRL Rep. 623, Aberdeen, USA, 1948; см. также Hill F. К., А 1 р h е г R. А., /. Aero. Sci., 16 (1949), 153—160; Re Her J. О., Hamaker F. M., NACA TN № 3393, 1955.

Cm. Chapman D. R., Perkins E. W., NACA Rep. № 1036, 1951; Ch apman D. R., NACA TN № 2137, 1950; /. Aero. ScL 17 (1950), 812—813; NACA TN № 2787,. 1952; о более ранних работах см. Е u I a A., Aerotecntca (1940). Теорию вопроса см. в работах Kurzweg Н. Н.,丄 Aero. Sci., 18 (1951), 743—748; С г о с с о L., Lees L., там же, 19 (1952), 649—676; [19*]. (В настоящее время успешно развивается приближенная теория так называемых диссипативных течений, объединяющая результаты теории пограничного слоя и следа. Эта теория позволяет с достаточной точностью определить основные свойства течений около плохообтекаемых тел и, в частности, донное разрежение в сверхзвуковых потоках [17*]. — Прим, ред.)

5а) См. [31] и [91]. Точные данные, по-видимому, трудно найти.

См. [31, стр. 573]; эти результаты принадлежат Фейджу: F a g е А., Proc. Roy. Soc., 142А (1933), 560—562.

ба) См также С о г г s i п S.f U b е г о i М. S., NACA TN № 2124.

См. Batchelor G.,丄 Aero. Sci., 17 (1950), 441—445. Прандтль признавал некоторые возражения против своих аргументов. См. ZaMM, 5 (1925), 136, '

Taylor G. I., Proc. Roy. Soc., 135A (1932), 685—705; там же, 151 (1935), 494—497; 159 (1937), 499—502. См. также [31, § 83—85]; [98, гл. XIX]; Reichardt Н., ZaMM, 24 (1944), 268—272; [67].

за) Доказательство, имеющееся в конце гл XII, и. 8, может быть обобщено более просто; см. п. 11. Турбулентные следы за дисками аналогичным образом исследовались в работе Cooper R. D., L u t z к у М., DTMB Rep. 963, 1955.

Прандтль принимал еще более специальное предположение (Prandtl L., Proc. Il nd Intern. Congr. Appl. Meeh. Zurich, 1926, p. 62—74). См. также [31, § 252, 254] и [98, гл. XIX]. Любопытно, что случай турбулентного течения был рассмотрен раньше, чем ламинарного.

Schlichting Н., Ing. Archiv, 1 (1930), 533—571; [98, гл. XIX]; [31, гл. ХШ]. Т о 11 m i е п W., Ing. Archiv, 4 (1933). 1 —15, использовал в своей работе другое предположение. Осесимметричный случай см. в работе Swain L. М., Proc. Roy, Soc., 125А (1929), 647—659 или [31, § 254].

")См. работы, указанные в примечании 10), а также Hall А. А., Н i s- 1 о р G. S., Proc. Cambr. Phil. Soc., 34 (1938), 345—350; [67, рис. 6]; Kuri- h а г a M., Appl. Meeh. Revs., 5, № 830 (1952).

Cm. [90, § 252—255] и приведенные там ссылки на исследования, основанные на таких гипотезах. См. также Т о m о t i k a S„ Proc. Roy. Soc., 165 (1938), 65—72; Chou P. Y., Chinese 丄 Phys., 4 (1940), 1—33; L i п С. C., Sci. Reps. Natl. Tsing Hua Univ., 4 (1947), 419—750; M a 11 i о 1 i G. D., Teoria dinamica de regimi fluidi turbulenti, Padova, 1937.

Tollmien W., ZaMM, 6 (1926), 468—478 [NACA TN № 1085, 1945]： см. также [31, гл. XI11], [98, гл. XIX] и [38, т. 3, 1*, 25*, 26*, 38*]. Кроме того, см. работы Pai, Bershader,丄 Aero. Sci., 16 (1949), 463—469;丄 Appl. Phys., 21 (1950), 616; Quart. Appl. Math., 10 (1952), 141 —148;丄 Appl. Meeh., 22 (1955), 41-47.

н) Относящиеся сюда ссылки включают работы Forthmann, Ing. Archtv, 5 (1934), 42—54; К u e t h e A. M., J. Appl. Meeh., 2 (1935), 87—95; Gortler H, ZaMM, 22 (1942) 244—254; [67]; Corrsin S.,丄 Aero. Sci., 18 (1951), 773—774. Критическое обсуждение работы [67] полностью приведено в Appl. Meeh. Revs., 3502 (1952). См. также [86, гл. VIII]. (Относительно

теории турбулентных следов и струй авторы книги проявляют излишний скептицизм. Однако, например, линейное расширение зоны смешения плоских струй достаточно обосновывается соображениями подобия [25*, 36*].— Прим, ред.)'

Изменение давления в зоне смешения до 4% от полного напора было описано Barat М., С. R. Acad. Sci. Paris, 238 (1954), 445—447.

Ru den P” Naturwiss., 21 (1933), 375—378; Kuethe A. M.,丄 Appl. Meeh., 2 (1935), 87—95; [60, стр. 57]. См. также Squire Н. В., Aircraft Engineering, 22 (1950), 62—67; Albertson M. L., D a i Y. B., Jensen R. A., Rouse H., Trans. Am. Soc. Civ. Eng., 74 (1948), 1571—1596; Some aspects of fluid flow (Inst, of Phys. Conference. Lnd., 1953), p. 10; E 1 г о d H. G., AppL Meeh. Revs.t 7, № 3941 (1954).

Forthmann E.( Ing. Archiv, 5 (1934), 42—54； эти данные воспроизведены в работе [31, рис. 236], в которой даны также и другие ссылки. См. гакже С i t г i п i D. три статьи в L'energia elettrica (1946, 1947).

Taylor J. Е., Comings Е. W., Proc. Midwest Conf. Fluid Dyn., Ann. Arbor, 1951, pp. 204—215.

18a) T о 11 m i e n W.. ZaMM, 6 (1926), 468—478; см. также S z a b1 e w-

s k iW., NACA TM № 1311 [Ing. Archiv, 20(1952), 67—72]; S c h 1 i c h t i ng H.,

Ing. Archiv, 1 (1930), 533—571; [98].

Howarth L., Proc. Cambr. Phil.Soc.t 34 (1938), 185—194； T о m o-

t ika S.( Proc. Roy. Soc., 165A (1938),53—72； H i n z e J. 0., Vand e r

Hegge-Zijnen B. G., Appl. Sci. Res., 1A (1949), 435—461; Proc. Vllth Intern. Congr. Appl. Meeh., Lnd., 1948, pp. 268—299, (Вопреки критическим замечаниям авторов, теория турбулентных струй успешно развивается, имеет обширные области применения и многочисленные экспериментальные подтверждения. См., например, работы [1*, 4*, 5*]. — Прим, ред.)

См. также Little В. Н.( Wilbur S. W., NACA TN № 2361, 1951.

Landis F., Shapiro A. H., Heat Transfer, Inst. Stanford, 1951, pp. 130—146; К e a g у W. R., Weller A. E.( Appl. Meeh. Revs., 1534 (1950); Tani I., Kobashi Y., там же, 1741 (1955)； Acharya Y. V. G., там же, 2150 (1955).

Sutton О. G., Micrometeorology, N. Y.)1953, pp. 295—300. См. также Schmidt W., ZaMM, 21 (1941), 265—278; 351—363.

Lighthill M„ Proc. Roy. Soc., 211A (1952), 564—582.

N у b о г g W. L. at al., /. Acoust. Soc. Am., 24 (1952),293304； Fitz

patrick H. M., Lee R., DTMB Reps. 835, 1952; 868, 1953; Richards E. J., /. Roy. Aero. Soc., 57 (1953), 318—342; Richardson E. G.) Nature, 172 (1953), 54—58.

ГЛАВА XV

Различные экспериментальные факты

Общие замечания. В гл. II—XI обычно предполагалось, что кавитация возникает в жидкостях спонтанно, как только местное давление падает ниже давления насыщающих паров (см. гл. I, п. 6), т. е. как только (CQmax 〉 Q・ Из уравнения Бернулли следует, что кавитация должна возникать при Q < Qi = (ит/и/)2—1, где ит — максимальная скорость и Uf = U — скорость свободной струи. Предполагалось также, что струи жидкости в воздухе имеют гладкие границы, положение которых определяется условием постоянства давления на свободной границе.

В действительности обстановка оказывается значительно более сложной. В частности, доминирующую роль во многих явлениях играет поверхностное натяжение, причем его влияние настолько велико, что результаты, полученные в гл. II——XI, могут не давать даже первого приближения к действительности. В других случаях решающее влияние могут оказывать следы растворенных примесей. Кроме того, существенную роль могут играть такие, казалось бы, посторонние, физические условия, как уровень шума, акустическое воздействие, поверхностная электризация, поверхностное загрязнение и степень турбулентности. Даже взаимодействие двух или более таких явлений, например поверхностного натяжения и вязкости, может оказать некоторое влияние. Наконец, могут быть очень важными также гистерезисные эффекты.

Ввиду указанных трудностей представляется желательным посвятить последнюю главу рассмотрению различных экспериментальных фактов, которые не могут быть получены математически из предположений, принятых в гл. II—XI, и даже из уравнений Навье — Стокса. В этой главе количественные закономерности носят отрывочный характер, а материал расположен в соответствии с физическими явлениями, а не математическими методами.

Образование пузырьков и кипение. При медленном подогревании чайника легко убедиться в том, что воздушные пузырьки в воде образуются у дна и поднимаются к поверхности задолго до того, как начинается кипение (образование пара). Однако если подогревается кипяченая вода, то этого уже не возникает. Аналогично, если встряхнуть бутылку с пивом, то происходит внутреннее выделение значительного кбличества газа.

Эти простые явления показывают, что кавитация в сильной степени зависит от количества газа, содержащегося в жидкости. Существенно различать образование или выделение пузырьков растворенного газа и истинную кавитацию в чистой жидкости.

Так, обыкновенную водопроводную воду нельзя считать чистой и однородной. Она обычно содержит растворенный воздух и другие газы, а также нерастворенные газовые ядра, присоединенные к мельчайшим твердым частицам. Газ постепенно будет выделяться из раствора, когда отношение

—Объем растворенного газа

1 Объем воды

<^(4, Т)・<^(4, Т)・превзойдет некоторый коэффициент насыщения а$ = а$(р, Т). В обычных условиях а5 приблизительно пропорционально давлению р (закон Генри) и является убывающей функцией от температуры Т. Поэтому можно написать

<^(4, Т)・

<^(4, Т)・

(15.1)

При нормальных атмосферных условиях а5 приблизительно равно 2% для воздуха в воде, около 1 % для СО2 в воде и нескольким сотням — для NH3 в воде 】).(В последних случаях, очевидно, играет важную роль химический состав.)

При понижении давления или при подводе тепла через некоторое время будет as < сц. При этом можно ожидать выделения пузырьков, несмотря на то, что давление еще намного превышает упругость паров воды. Это позволяет получить первое грубое условие выделения пузырьков при изменении только давления:

Ре = 出

as (Pa，С

Из почти насыщенного раствора выделение пузырьков происходит постепенно при понижении давления немного ниже атмосферного давления.

Однако после того как воду однажды тщательно прокипятили, критическое давление, соответствующее выделению

пузырьков, тем самым понижается до величины давления пара воды, и ее можно назвать дегазированной. Если вода после этого охлаждается и снова нагревается, то никакого выделения пузырьков не наблюдается и пузырьки пара, поднимающиеся в более холодные слои воды, со щелчком захлопываются.

Прочность жидкостей на разрыв. Если профильтрованную воду дегазировать в чистом сосуде, то она может выдержать большие растягивающие напряжения. В связи с этим, подобно тому, как выделение пузырьков (пузырьковая кавитация) может происходить при р > 限 так и бескавитационное свободное .течение возможно при pWp* Таким образом, условие (1.16) гл. I может нарушаться в обе стороны!

Способность жидкостей выдерживать высокие растягивающие напряжения легко объясняется, если принять во внимание влияние поверхностного натяжения. Вспомним, что давление рс внутри маленького пузырька радиуса г связано с внешним давлением формулой

% =2 十务，или (15.3)

где т — поверхностное натяжение. Пренебрегая небольшим отклонением рс — pv от нуля, можно ожидать, что растягивающее напряжение будет определяться формулой

"=停),=7^' (153)

где 「max — радиус наибольшего пузырька в жидкости. Для чистой воды т = 75 дин/см. Исходя из этого, можно получить следующую таблицу приближенных значений rmax. Таким

—尸

0,1 атм

1 атм

10 атм

100 атм

1000 атм

г

max

0,015 мм

0,0015 мм

0,15 出

150 А

15 А

образом, можно предполагать, что если можно было бы избавиться от всех пузырьков, вплоть до пузырьков молекулярных размеров (около 1 А), то можно было бы достичь растягивающих напряжений порядка 10 000 атм.

В течение многих лет эта простая теоретическая картина была общепринятой. Она казалась особенно правдоподобной ввиду того, что порядок величин растягивающих напряжений по этой теории соответствовал члену a/V2 в уравнении состояния Ван-дер-Ваальса (р + a/V2) (V — b) = RT. Однако в настоящее время точка зрения на этот вопрос значительно изменилась.

Можно считать, что в любой реальной жидкости всегда имеются мельчайшие газовые ядра, прилипающие к мелким трещинам в стенках или к взвешенным твердым частицам (пылинкам) 2). Пузырьки с газом или паром образуются путем испарения в эти ядра. (Это объясняет тот факт, почему пузырьки последовательно образуются в одной и той же точке поверхности бутылки с пивом, а также, почему растворенный газ не выделяется внутри жидкости, свободной от пыли.)

Не исключено даже, что если такие ядра вначале отсутствуют, то они спонтанно образуются в соответствии со статистическими законами. При напряжении —戶 свободная энергия, требуемая для образования ядер, должна быть равна

唯х =(4吟# (_p)L = . (15.4)

Эта формула приводит к теоретическим величинам растягивающих напряжений порядка 1000 атм для чистой воды3).

Однако растягивающие напряжения, полученные в экспериментах, не превышали 30—50 атм4)у хотя в литературе, начиная с работы Вертело, описаны случаи, когда они доходили до 250 ат 5)Другие чистые жидкости также обладают довольно высокой прочностью на разрыв, доходящей обычно до нескольких десятков атмосфер 6).

Предыдущие рассуждения относятся к случаю выделения пузырьков газа, при котором формулу (15.2а) следует заменить формулой

厶产-亳+ % 或(15.26)

Таким образом, пузырьки, размеры которых ниже некоторой критической величины, будут не расти, а сокращаться. Это позволяет дать качественное объяснение тому, что вода, находящаяся под давлением, может быть перенасыщена： все внутренние ядра уже ликвидированы.

Поскольку морская и водопроводная вода обычно содержит пузырьки, диаметр которых превосходит 0,01 мм, легко также понять, почему кавитация, как правило, происходит при р < pv, т. е. почему простое условие гл. I, п. 3 применимо во многих практических случаях. Легко видеть также, почему в паровых котлах требуется применять меры предосторожности против перегрева 7) и вызываемых им кавитационных ударов в стенки.

Наконец, следует помнить, что поверхностное натяжение 工 может быть уменьшено наполовину, если концентрация растворенных примесей не будет превышать 0,003% 8). Этот пример

иллюстрирует большие трудности выполнения точных теоретических расчетов.

Динамика роста пузырьков. В п. 2, 3 был исследован процесс постепенного нарастания кавитации, причем вопросы скорости роста пузырьков почти не затрагивались. Эта скорость может зависеть от времени, требуемого для диффузии, и от других факторов.

В случае роста газовых пузырьков порядка видимых размеров и больших хорошие результаты могут быть получены с помощью сравнительно простых расчетовэ). Однако для пузырьков пара в слегка перегретой воде важную роль играет теплсь передача при испарении, вследствие чего расчет значительно

Рис. 116.

усложняется 10) [48*]. Простая теория, гл. XI, п. 2, в обоих этих случаях практически неприменима. В меньшей степени диффузия влияет на развитие начальной кавитации^ которую мы сейчас будем рассматривать.

В гл. I, п. 6, начальная кавитация определялась как быстрое образование и захлопывание мелких пузырьков в областях с отрицательным давлением потока большой скорости. Для областей длиной 1——50 см при скорости 15 м/сек, соответствующей (по теореме Бернулли) уменьшению давления на 1 атм, время прохождения частиц составляет 0,6——30 мсек. Поэтому его можно рассматривать как нормальный масштаб времени для начальной кавитации.

Согласно Рейнольдсуи), можно воспроизвести начальную кавитацию в трубе Рейнольдса (сопле Вентури), имеющей резкое сужение (рис. 116). С другой стороны, начальная кавитация возникает при определенной скорости обтекания моделей торпед в гидродинамических трубах и гребных винтов.

Во всех случаях физическая картина явлений одна и та же. Как и при обычном кипении, для того чтобы начался рост каверн, необходимо наличие микроскопических газовых ядер.

Ввиду того что масштаб времени мал, времени оказывается недостаточно, для того чтобы выделение растворенных газов стало заметным (т. е. для того чтобы растворенные газы про- диффундировали к поверхности пузырьков и вышли из раствора), если начальные газовые ядра не присутствуют в большом количестве и не имеют достаточно больших размеров. Таким образом, выделение пузырьков, как правило, нельзя увидеть до тех пор, пока давление не упадет до 0,1 атм или ниже 12).

По этому вопросу имеется значительное расхождение экспериментальных данных. Это расхождение частично можно объяснить тем, что критическое давление кавитации р。 зависит от статистического распределения газовых ядер, а не только от обычно измеряемого объемного содержания воздуха. Может влиять также наличие вихревой кавитации, т. е. кавитации вблизи вихревых жгутов, давление в которых значительно ниже, чем среднее местное давление. Подобные вихревые жгуты обычно сопутствуют отрыву потока.

Как только пузырьки увеличиваются настолько, чтобы 2i/r < 0,1 атм, т. е. когда г > 0,15 мм в воде, влияние поверхностного натяжения становится относительно малым и приближенное условие кавитации р^ = р* уже изученное в гл. XI, п. 2, дает сравнительно точную зависимость радиуса от времени (т. е. роста и захлопывания пузырьков). Однако законы роста микроскопических пузырьков изучены еще недостаточно.

Температурные градиенты В другом предельном случае изменение поверхностного натяжения под действием температурных градиентов может быть решающим фактором в динамическом поведении небольших пузырьков в жидкостях с большой вязкостью. Этот любопытный эффект может, например, приводить к тому, что жидкие пленки будут подниматься по стенкам, пузырьки будут опускаться против сил тяжести или деформировать свободную поверхность неподвижной жидкости.

Так, Гершей 12а) заметил, что слой жидкости толщиной 8 с поверхностным натяжением ^ = а + ЬТ может находиться в динамическом равновесии на пластинке, наклоненной под углом а к горизонту. Условие равновесия плоскопараллельного течения заключается в том, что профиль тангенциальной составляющей скорости е= U・[3(y/6 — 2](z//8) имеет параболическую форму. В этом случае силы вязкости и силы тяжести будут в равновесии, если р^82 sin а = 6卩U, или 6vt//82 = g sin а. Соответствующая тангенциальная составляющая вязкого напряжения на свободной поверхности равна 4卩U/6. Она уравновешивается силой сцепления, возникающей из-за влияния температурного градиента VT на поверхностное натяжение, при условии 4甘53= ЬУТ. Таким образом, при равновесии выполняется условие Ь^Т =

=(2pgb/3)sin а (но не условие b^T = pgb sin а, как можно было бы предположить при поверхностном рассмотрении вопроса).

Аналогичным образом, уравнение статического равновесия сферического пузырька радиуса R при наличии вертикального температурного градиента VT имеет вид I26) bVT = 2pgR/3. Это уравнение может быть получено путем рассмотрения течения, подобного течению Стокса, вокруг жидкого шара (см. гл.ХП, п. 3), с учетом дополнительной касательной составляющей напряжения и нормального давления, возникающих из-за изменения величины поверхностного натяжения на поверхности пузырька [51, гл. IX]. Учитывается также искажение температурного поля, вызываемое пузырьком.

Наконец, можно показать, что при определенных условиях конвективное течение в ячейках Бенара определяется аналогичным образом изменениями под воздействием тепла поверхностного натяжения на свободной поверхности 126).

Акустическая кавитация. Когда звуковой (или ультразвуковой) луч высокой интенсивности сфокусирован внутри жидкости, то в ней также образуются мельчайшие пузырьки, однако масштаб времени в этом случае имеет другой порядок величины.

■ Несмотря на то что частота колебаний может быть высокой, полное время воздействия достаточно велико, чтобы растворенный газ вышел из раствора, если среднее давление в малом пузырьке достаточно мало, чтобы обеспечить постепенное выделение газа. У маленького пузырька, колеблющегося в звуковом поле, поверхностное давление минимально в фазе, соответствующей наибольшей величине площади поверхности. В связи с этим испарение растворенного газа в пузырек значительно больию по сравнению с обратным поглощением газа жидкостью, чем это можно было бы предположить, исходя из поверхностного анализа, основанного на среднем давлении в жидкости в целом. Этим можно объяснить тот удивительный факт, что акинетическое выделение пузырьков может происходить в ненасыщенной воде 13).

Истинная акустическая кавитация имеет другую природу. Блейк9) исследовал ее зависимость от температуры и давления для дегазированной воды. Он показал, что существуют также важные гистерезисные эффекты, имеющие масштаб времени порядка минут и вызывающие в некоторых жидкостях также и эффекты вязкости. В его опытах порог кавитации для звукового луча с частотой 60 кгц соответствовал максимальным напряжениям порядка нескольких атмосфер. Однако в его опытах, как и в опытах других исследователей14), определение пиковых напряжений производилось без учета влияния прилипания

газовых ядер к частицам пыли и стенкам. Это влияние в экспериментах не контролировалось.

Кавитационные разрушения. Кавитационное разъедание (коррозия) является хорошо известным опасным источником повреждений гребных винтов, гидравлических турбин и водосливов. Оно даже более важно практически, чем вибрация и падение силы тяги вследствие кавитации, и впервые было обнаружено при испытаниях торпедного катера «Дэ- рннг》15).

Углубленное изучение явления привело к выводу, что кавитационное разъедание вызывается захлопыванием паровых каверн, соприкасающихся с твердыми стенками, при их возвращении в зону с положительным давлением после прохождения через кавитационную зону с отрицательным давлением. Действительно, согласно простой теории Рэлея о захлопывании идеального сферического пузырька в несжимаемой жидкости (гл. XI, п. 1,2), пиковое давление бесконечно велико. Иначе говоря, конечная величина полной энергии выделяется как бы в одной точке.

В связи с этим рассуждением, а также с тем, что видимое разъедание наблюдалось в материалах со статическим пределом текучести порядка 7 • 103 — 7 • 104 кГ/см2, вначале было предположено, что максимальные давления при захлопывании находятся в этом же диапазоне 16). Однако Аккерет [43, стр. 227—240] указал, что водяные капли, ударяясь со скоростью порядка 15—150 м/сек и соответствующим ударным давлением реи (здесь с ——скорость звука в воде) порядка 7 • 10—7 • 102 кГ/см2, также могут вызывать разъедание. Он со своими сотрудниками %) пришел к выводу, что максимальное давление в захлопывающихся кавернах имеет этот значительно меньший порядок величины. Другие исследователи склоняются к промежуточному диапазону 7 * 102—7 • 103 кГ/см218).

Такое уменьшенное давление легко объясняется, если принять во внимание влияние сферической неустойчивости (гл. XI, п. 3), сжимаемости ^8) и других физических факторов, которые нередко не учитываются. Так, например (см. п. 2), хорошо известно, что каверны захлопываются менее интенсивно (с глухим звуком вместо щелчка19) в воде с высоким содержанием воздуха. (В этой связи заметим, что свечение, которое можно было ожидать в условиях адиабатического сжатия при давлениях 7 • 10—7 • 102 кГ/см2, действительно наблюдалось20.)

С другой стороны, простой подсчет, основанный на методике теории размерностей, показывает, что скорость деформации около сферического пузырька радиуса о(/) пропорциональна

дг)дг 〜а2а/г3,откуда следует, что падение давления за счет вязкости между г = 8 и г = о пропорционально 出а / dr/N 〜厶 a

Если бы теория Рэлея (гл. XI, п. 2) была справедливой, то аГх^ и работа сил вязкости была бы бесконечной, что невозможно 2I).

Наконец, рост и захлопывание каверн не всегда определяются средним давлением окружающей среды. Пузырьки, вызывающие повреждения, могут образовываться также при наличии высокой местной завихренности22), которая не учитывается в уравнении Бернулли, используемом при определении коэффициента .кавитации Q (гл. I, п. 4). Так, например, в случае затопленной струи вихревая кавитация начинается у краев отверстия при Q < 0,5.

Кавитация гребных винтов. Сложный характер реальной кавитации хорошо иллюстрируется фактом существования различных ее видов, обнаруженных при исследованиях гребных винтов; мы опишем четыре таких вида.

На стробоскопических фотографиях часто обнаруживается кавитация у передней поверхности винта вблизи острой входной кромки. Эта кавитация соответствует схеме, предложенной Гельмгольцем (гл. XIV, п. 2) и связанной с отрывом потока и разрывными следами.

На таких фотографиях обнаруживается также кавитация на задней поверхности в случае, если тяга (или скорость вращения) достаточно велика. Так, например, в первоначальных испытаниях катера 《Дзрннг》15) кавитация начиналась, когда средняя удельная тяга винта достигала 0,77 кГ/см2. Улучшение конструкции винта позволило значительно повысить тягу23) до 1,6 кг/см2. Кавитация на задней поверности обычно начинается с появления отдельных перемежающихся пузырьков； затем, когда среднее давление падает ниже упругости паров, образуется кавитационная пелена. При очень высоких скоростях вся задняя поверхность покрыта одной воздушной каверной. Это явление можно назвать суперкавитацией, и оно обсуждалось в литературе 24).

Отметим, наконец, интересное явление концевой кавитации (рнс. 117), вызываемое сходом вихрей с концов лопастей винта. Согласно теореме Кутта — Жуковского [62, стр. 188], циркуляция Г вокруг винта длиной / связана с тягой Т формулой Т = p/t/Г. С другой стороны, для того чтобы давление внутри полого вихря радиуса г упало до величины упругости пара р&, если течение вне вихря безвихревое, должно иметь место соот-

ношение (поскольку по уравнению Бернулли местная скорость равна Г/2иг)

1 T272

A^ а -Pv =歹 4千f2 = 8元 2P220产2 •(15.5)

Рис. 117. Концевая кавитация.

Из уравнения (15.5) можно приближенно оценить радиус концевых вихрей, хотя влияние пограничного слоя делает результаты ненадежными.

Объем книги не позволяет нам привести большое количество интересных фактов, связанных с кавитацией винтов, которые были обнаружены за последние 50 лет25). С точки зрения

отмеченного выше масштабного эффекта, заслуживают упоминания полученные недавно Фишером26) фотографии натурной кавитации. Они указывают на качественное соответствие между моделью и натурной кавитацией.

Аналогичная проблема кавитации на подводных крыльях также заслуживает упоминания. Однако при погружении на малую глубину d скорость распространения волны Ugd, по-ви- димому, оказывается не менее важным лимитирующим фактором, чем кавитация27).

Масштабные эффекты при входе в воду. При входе твердого тела в воду или другую жидкость возникает последовательность явлений неожиданной физической сложности. Эти явления качественно впервые изучались Вортингтоном [23] в случае шариков, падающих в воду с небольшой высоты 九=0,15—6 м с вертикальной скоростью входа 1,2—7,5 м/сек и числами Фр уд а

F=} =当， (15.6) d gd

приблизительно равными 5—250.

Наиболее важными физическими переменными являются: 1) инерция воды и 2) сила тяжести, заставляющая воду заполнять полости, образующиеся при прохождении твердых тел. Приближенная теория каверн, учитывающая эти переменные, была рассмотрена в гл. XI, п. 4. Обстоятельство, на которое мы хотим обратить внимание, заключается в том, что точное решение этой задачи требует не только применения более тонкого математического аппарата, но и учета инерции и вязкости воздуха, которые в первоначальных исследованиях не были учтены.

Влияние плотности воздуха впервые было установлено Дейвисом 28). Наиболее интересные факты касаются различия между поверхностным и глубинным смыканием каверн, суть которого заключается в следующем.

При падении сферы в воду, если число Фруда лежит в пределах (приблизительно) 20 < F < 70, захлопывающиеся стенки каверны с шумом сталкиваются почти посередине между сферой и поверхностью (рис. 118). При этом издается характерный звук и после захлопывания (которое часто сопровождается образованием вертикальных струй в обоих направлениях [1]) каверна за телом отделяется от поверхности в результате глубинного смыкания.

При более высоких скоростях, когда (приблизительно) F > 150, это явление сопровождается поверхностным смыканием каверны (рис. 118, б). Звук последующего глубинного смыкания резонирует в каверне, закрытой тонкой пленкой, и слышится как 《планк》. Это различие в звуках впервые объяснил

Рис. 118. Глубинное (а) и поверхностное 9)Рис. 118. Глубинное (а) и поверхностное 9)смыкание каверны.смыкание каверны.

Рис. 118. Глубинное (а) и поверхностное 9)

Рис. 118. Глубинное (а) и поверхностное 9)

смыкание каверны.

смыкание каверны.

Маллок29). Однако, как было показано Дейвисом28), поверхностное смыкание возникает из-за наличия атмосферы (плотности воздуха). При переменной плотности поверхностное смыка-

ние впервые происходит, когда число Фруда достигает критического значения (очень приближенно [7, гл. III, § 16])

F > Fj<p. = * (15.7)

При поверхностном смыкании в каверне образуется некоторое разрежение по сравнению с гидростатическим давлением 30); на основании этого можно ввести еще один масштабный эффект. В заключение отметим, что выполнение условия Бетца р'/р《 1 (гл. I, п. 4) в этом случае еще недостаточно для применимости теории струйных течений.

Вязкость воздуха дает еще один масштабный эффект, который наиболее заметен при входе в воду под малыми углами со скоростью у < 33 м/сек и при диаметре d = 25 мм. В 1944 г. Слихтер показал, что гладкий дюралевый шар диаметром 50 мм, входящий в воду со скоростью 15 м/сек под углом в 20° к горизонту, под водой может отклоняться вниз на 5° или больше. Здесь трудно изложить (неопубликованные) доводы Слихтера в пользу того, что указанное явление объясняется вязкостью воздуха, однако они кажутся достаточно убедительными.

Примерно в этом же плане Вейланд31) показал, что при малых скоростях турбулентный пограничный слой может задержать отрыв потока, вследствие чего размеры каверны будут уменьшены, так же как в обыкновенном течении.

Наконец, как впервые продемонстрировал Вортингтон [23], критическая скорость входа для образования каверн, которая в обычных условиях приблизительно равна 3,6 м/сек для шаров диаметром 25 мм, может быть увеличена до 6 м/сек и более, если использовать шары с очень чистой поверхностью32). Однако масштабный эффект, связанный со смачиваемостью поверхности, при V > 13,5 м/сек исчезает； значение вязкости воздуха играет большую роль.

Отделение пузырьков. Размеры и форма паровых каверн за дисками при Q < 0,4, по-видимому, вполне определяются [1, фиг. 23] числом кавитации

Q = §彥土， (15.8)

где Рс = Рь・ Однако если каверна содержит воздух, давление в каверне33) не может сильно отличаться от 卩力 и поэтому объем каверн будет скорее определяться количеством этого воздуха, чем скоростью v. Это соответствует рассмотренному ранее случаю падения твердых тел в воду.

Следовательно, в этих случаях объем каверны в первую очередь уменьшается вследствие отделения воздуха в окружающую

жидкость в задней части каверны, вызываемого захватом пузырьков или пены 34).

Механизм отделения пузырьков воздуха недостаточно изучен, несмотря на то что картина образования «белой воды» на порогах, в водосливах и под водопадами хорошо знакома. В этих явлениях скорость флуктуации турбулентных вихрей должна намного превышать среднюю скорость подъема пузырьков в невозмущенном потоке. В явлении «откачивания» воздуха из каверны за телом определяющий критерий менее очевиден, однако ясно, что турбулентность является одним из таких критериев.

В хорошо известном явлении «белой воды» иногда считают, что выделение воздуха представляет собой процесс, обратный выпадению примесей (с плавучестью, имеющей обратное направление). Эта точка зрения кажется справедливой для воздушных пузырьков в воде с диаметром менее 2 мм, поскольку под влиянием поверхностного натяжения пузырьки ведут себя как почти жесткие шарики, если ускорения не превышают примерно 10g. Приближенная формула для лобового сопротивления жестких шаров 35)

94

CD = 0,4+-g-,0<Re< 1000(15.9)

может быть применима и к таким пузырькам. С помощью этой формулы и уравнения равновесия

V2 8

(£) = 4крг3§/3) можно легко оценить скорость подъема пузырьков.

Однако поведение даже подобных сферических пузырьков может вызвать удивление у неспециалиста35). При Re > 100 (приблизитеьг1ьно), вместо того чтобы подниматься по прямой линии, пузырьки раскачиваются из стороны в сторону. (Этот эффект связывают с. периодическим следом за сферой, рассмотренным в гл. XIII, п. 11.) В' чистой жидкости в формулу (15.9) вместо 24/Re следует ввести 16/Re [51].

Теория более крупных пузырьков значительно сложнее. Согласно наблюдениям, при диаметре d > 1 см они принимают форму линзы36). Скорость подъема' пузырьков при 0,1 см <d <2 см равна 20—30 см/секу и вода под пузырьками, по-видимому, находится в турбулентном состоянии.

Таким образом, отделение воздушных пузырьков представляет собой сложное явление, определяемое силами тяжести, вязкостью и поверхностным натяжением, помимо влияния примесей (которые образуют иногда пену) и, возможно, количества газа

в жидкости. Поэтому неудивительно, что количественное исследование этого явления должно быть трудным!

Устойчивость струй. В главе XI, п. 15, мы описали теорию распада капиллярных струй Рэлея и показали, что при умеренных скоростях истечения она согласуется с экспериментом. К сожалению, эта теория неприменима для более толстых струй и при более высокой скорости.

Как следует из формул гл. XI, п. 11 (при a = g), малые локальные поверхностные волны на толстых струях в связи с неустойчивостью по Гельмгольцу усиливаются быстрее, чем большие узловатые утолщения. При достаточно большой крутизне этих волн теория линейных возмущений, развитая в гл. XI, перестает быть справедливой. Как и для однородных (затопленных) струй (гл. XIII, п. 13), наиболее крутые волны выпучиваются и задерживаются окружающим воздухом, образуя профиль, напоминающий стебелек пшеницы. Вскоре после этого, так же как и в случае однородных струй (гл. XIV, п. 9, 10, в особенности рис. 115), образуется турбулентная зона смешения, постепенно размывающая струю. После того как зона смешения достигает центра струи, последняя принимает коническую форму, однако с меньшим углом расширения, чем для однородной струи.

Углы размывания и расширения в большой степени зависят от формы сопла и в особенности от начальной турбулентности. Профиль средней скорости, возможно, также играет существенную роль.

Сказанное многократно подтверждено при испытаниях пожарных гидрантов 37). Струи в таких случаях обычно имеют начальный диаметр 25——75 мм, причем вода вытекает под давлением 3,5——14 кГ/см2, так что число Re имеет порядок 106. В благоприятных (нетурбулентных) условиях не насыщенное воздухом ядро струи может существовать на расстоянии 30 или более диаметров, а замедляющее действие воздуха становится заметным только после 200 или более диаметров, когда влияние инерции проникающего воздуха становится значительным. Интересно отметить, что параметр Up/p', характеризующий относительную устойчивость струй при малых возмущениях, по-видимому, не может применяться в случае турбулентного размывания. Поскольку для водяных струй в воздухе Мр/р‘ ^27, ядро струи должно было бы существовать на расстоянии до 100 диаметров, если бы этот критерий был применим (см. гл. XIV, п. 10).

При больших скоростях поведение тонких струй жидкости (например, диаметром 0,25 мм) становится весьма сложным. Так, нередко при распаде струи принимают вместо узловатой синусоидальную или винтовую форму 38). При других обстоятель-

ствах (см. п. 11) под влиянием сил вязкости на струях образуются кратковременные очень тонкие перетяжки, которые под действием поверхностного натяжения разбивают струю на отдельные капли39). Теоретически предполагается, что подобные струи распадаются как струи вязкой жидкости в эмульсиях [28]. Струи в аппарате подкожного впрыскивания 40), имеющие скорости порядка 420 м/секу начинают распадаться, когда отдельные утолщения, задерживаемые сопротивлением воздуха, растут под действием набегающей сзади струн и образуют жидкие вихревые кольца, рассеивающиеся в окружающем воздухе в тонкий туман (см. п. 11).

При пониженной плотности воздуха получаются очень интересные явления4I). Расстояние, на котором происходит распад струи, приближенно пропорционально Ур/р‘ при условии, что турбулентность потока мала. В противном случае определяющим фактором является турбулентность.

В другом крайнем случае, соответствующем ползущим струям вязкой жидкости (как, например, меда или патоки), текущим под действием силы тяжести, распад струй происходит совсем иначе42). Наибольшей растяжимостью струя обладает в самом тонком месте, в котором и разрывается, образуя шейку, как при пластичном разрыве металлов.

Учитывая все эти различия в характере распада струй, трудно надеяться, что в скором времени удастся найти общий метод теоретического исследования.

Распыление струй. Поведение капель, на которые распадается струя жидкости, весьма сложно. Несмотря на то что капиллярные силы играют наиболее важную роль, влияние других сил в жидкости и окружающем газе, связанных с инерцией (неустойчивость по Гельмгольцу), ускорением, вязкостью и турбулентностью, также может быть значительным. Поэтому картина распыления струй может быть различной.

Простейшим случаем является распад капиллярных струй. В этом случае можно получить равномерный распад узловатой струи при помощи монохроматического акустического излучения соответствующей частоты, при котором образуются однородные капли с диаметром, вдвое превышающим диаметр струи, разделенные каплями значительно меньших размеров. Поскольку размеры основных капель одинаковы, их траектории также одинаковы.

Однако даже в этом случае распад струй и последующее поведение капель зависят от многих физических переменных. Помимо звука (случайный шум вызывает неравномерный распад струи), растворенные примеси, как, например, мыло, влияют на поверхностное натяжение, а следовательно, и на расстояние

до места распада. Кроме того, пыль в воздухе, химический состав окружающего газа и электризация могут решающим образом влиять на поведение распыленной струи, определяя, будут ли сталкивающиеся капли сливаться или отскакивать друг от друга.

Эти явления, приводившие в восторг физиков XIX в.43), возможно, могут найти полезное применение и теперь44).

В более позднее время в основном механические факторы, влияющие на размер капелек (и на их распределение в пространстве) ,исследовались в связи с проблемами впрыска горючего в двигатель. В этих случаях жидкость обычно распыляется воздушной струей, имеющей большую скорость.

Легко приближенно определить максимальный диаметр d жидкой капли, движущейся с постоянной скоростью U в воздухе плотности р‘ и устойчивой по Гельмгольцу. Динамический перепад давления имеет порядок p't/2； стабилизирующая сила поверхностного натяжения имеет порядок 4^/d. Следовательно, если безразмерный параметр W = p'dU* превышает некоторую величину45), например 10, то такая капля вначале выпучивается по экватору, затем втягивается и распадается.

Максимальную величину падающей дождевой капли можно определить следующим образом 46). Равномерному падению соответствует средний перепад давления, равный приблизительно 2pgd/3. Для того чтобы этот перепад был уравновешен поверхностным натяжением, должно выполняться неравенство 2pgd/3 < 4^/d или В = pgrf2/^ < 6. В действительности 46) распад происходит при В > 10.

Однако распад струи под влиянием воздушного потока не всегда происходит из-за потери устойчивости по Гельмгольцу. В некоторых случаях вязкость играет более важную роль47) и условие распада соответственно усложняется. В других случаях существенным оказывается механизм Кастлмэна 39). Еще в ряде случаев решающим фактором является турбулентность струй.

Другие конфигурации струй. Для полноты картины отметим еще несколько исследованных конфигураций струй.

В гл. X, п. 10 были кратко описаны вихревые форсунки и исследована их механика в целом. Теперь следует упомянуть, что процесс очень тонкого распыления, который дают эти форсунки, также был исследован 48). Кроме того, изучались эмульсии, образующиеся при впрыскивании струи одной жидкости в другую49).

Еще одно интересное явление представляет собой устойчивое равновесие шарика в вертикальной струе. Это явление заинтересовало Рейнольдса 50), который обнаружил, что положение

27 Г. Биркгоф

равновесия находится в стороне от оси струи и что равновесие нарушается, если используется жирная вода.

Другая группа исследований связана с падением под действием силы тяжести круглой струи на пластинку, поставленной под прямым углом. При этом не всегда можно получить идеальное течение, описанное в гл. X, п. 8. В действительности в растекающейся жидкости наблюдались по крайней мере три режима гидравлических прыжков: турбулентный, волнообразный и капиллярный 5I). Первый режим возникает при больших расходах жидкости； второй ——при умеренных расходах, он характеризуется стоячими круговыми капиллярными волнами (рябью) ； третий режим характеризуется вихреобразным обратным течением по поверхности за гидравлическим прыжком и отсутствием волн.

ПРИМЕЧАНИЯ

См. Smithsonian Physical Tables, 8th ed., p. 221. Общее рассмотрение вопроса см. G е г n е z М. D., С. R. Acad. Sci. Paris, 63 (1866), 883—888; см. также Schweitzer Р. Н., Szebehely V. G., J. Appl. Phys., 21 (1950), 1218—1224.

H e n г i c i F. C., Ann. d. Phys.. 147 (1872), 555—569; Tomlinson C., Phil. Mag., 45 (1873), 276—283. См. также Harvey E. N. et al„ Л Cell. Comp. Phys., 24 (1944), 1—22；丄 Appl. Phys., 18 (1947), 162—172；丄 Am. Chem. Soc, 67 (1945), 156—157; 68 (1946), 2119—-2120. Имеет значение также, является ли поверхность сосуда смачиваемой. Этот вопрос рассматривается в работе Weyl А., М а г b о е Е. С., Research. 2 (1949), 19—28.

з)В е г n a t h L., Ind, Eng, Chem., 44 (1952), 1310—1313. Эти идеи принадлежат Вольмеру (V о 1 m е г М„ Kinetik der Phasenbildung, 1939).

Temperley Н. N. V., Chambers L. G., Proc. Phys. Soc., 58 (1946), 420—443; 59 (1947), 199—208. См. также Scott et. al„ 丄 Chem. Phys., 16 (1948), 495—502.

Berthelot J., Ann. chim. phys., 30 (1857), 232—237. См. такке G e г n e z M„ C. R. Acad. Sci. Paris, 63 (1866), 883—888; Maxwell J. C„ Theory of Heat, Lnd., 1889, p. 291, 292； Dorsey N. E., Properties of Ordinary Water Substance, N. Y., 1940, pp. 179—181, 620—623； Vi n c e n t R. S„ Proc. Phys. Sgc, 53 (1941), 126—140; 55 (1943), 41—48; 376—382; В ri ggs L. S., J. Appl. Phys., 26 (1955), 1001 — 1004.

Отмечались значения от 3,5 атм для жидкого азота [М i s е п е г A. D., Н е d g с о с k F. Т„ Nature, 171 (1953), 835—836)] и до 419 атм для ртути [В г i ^ ^ s L. J.. J Appl. Phys.. 24 (1953), 488—790].

В 1846 г. Донни подогрел воду до 135° С без кипения； несколько позже Дюфур получил 180° С； К е н р и х, Г и л б е р т и В и з м е р достигли 270° С

[К е п г i с h, Gilbert. W i s m е i, J. Phys. Chem., 28 (1924), 1297—1307]; см. Dorsey, цит. в примечании 5) работу, стр. 579—582.

Adam N. К., The Physics and Chemistry of Surfaces, Oxford Univ, Press, 1948, p. 129.

Epstein P. S., P1 e s s e t M. S., J. Chern. Phys., 18 (1950), 1505—1509.

Plesset M. S., Zwick S. A., J. Appl. Phys., 23 (1952), 95—98; J. Math. Phys., 33 (1955), 308—330; Garabedian P., J. Appl. Meeh., 20 (1953), 537—545; Forster H. K・，Zuber N., там же, 25 (1954), 474—478.

u) Reynolds О., Papers on Mechanical and Physical Subjects, vol. 2, p. 578—587.

I2) Cm. Hunsaker J. C., Meeh. Eng., 57 (1935), 211—216. Первые точные количественные результаты даны в работах N u m а с h i F., 1ng. Archiv, 7 (1936), 396—409; Tech. Reps. Tohoku Imp. Univ., 12 (1938), 422—461; 529—542； 591—625; см. также Crump S. F., DTMB Reps. 575, 1949; 770, 1951.

12a) Hershey A. V., Phys. Res, 56 (1939), 203—205.

Неопубликованные результаты Блока, Янга и Гольдштейна. Блок послал результаты своих наблюдений и теоретических исследований ячеек Бенара в журнал Nature и указал нам на это интересное явление [49*].

Eckart С„ Phys. Res, 73 (1948), 68—76; Blake F. G., Tech. Mem., 12> Acoustics Res. Lab., Harvard, 1949; Rosenberg M. D„ Techn. Mem., 26, там же, 1953; P о d e L., DTMB Rep. 854, 1953; Willard G. W., /. Acoust. Soc. Am., 25 (1953), 669—686; D e г о u e t В., C. R. Acad. Sci. Paris, 234 (1952), 71—73.

Briggs H. B., Johnson J. B., Mason W. P„ /. Acoust. Soc. Am., 19 (1947), 664—677.

Первоначальное обсуждение этих испытаний см. в работах Barnaby J. W., Ра г s о n s С. W., Trans. Inst. Nav. Arch., 38 (1897), 232—242; 39 (1898), 139 — 144. О разрушении турбин см. Symposium Cavitation in Hydraulic Structures, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 71 (1945), 1000—1013 и дискуссия там же, 72 (1945), 715.

См. Parsons С. А., С о о k S. S., Engineering, 107 (1919), 515—519; 11 е г s е n F. К- T., Proc. Kngl. Akad. Wet., Amsterdam, 39 (1936), 138—149; 330—339; Mantel W., Z. VDI (1936), 863—867; Vena rd J. K-, L o- m a x С. C., Final Rep. under Contract N6-onr-25118, Stanford Univ., 1950.

I?) Ackeret J., Haller P., Schweiz. Bauztg., 98 (1931); 101 (1933), 243, 260; 108 (1936), 105; Vuskovic I., Escher Wyss. News, 13 (1940), 83—90; Kyropoulous S., Z. ang. Math. Phys. 2 (1951). 406—410. Другие теоретические исследования см. в работах Bottomley W. Т., Proc. Inst. Meeh,

Eng., 69 (1947), 253—266; Р о u 11 е г Т. С., Л Appl. Meeh., 64 (1942), А31—А37; S i 1 v е г R. S., Engineering, 154 (1942), 501—502.

См. превосходный обзор К о г п f е 1 d М., Suvorov J.,丄 Appl. Phys., 15 (1944), 495—506. См. также Plesset М. S., Ellis А. Т., Caltech. Hydro. Lab. Rep. 21 —15, 1954. Эффекты сжимаемости обсуждаются в работах Herring С., OSRD Repre. 236, 1941; [47, стр. 305—307]; Kennard Е. Н., Phys. Rev., 63 (1943), 172—181; Т г i 11 i п g L., Л Appl. Phys., 23 (1952), 14—17.

Osborne M. F. M., Trans. Am. Soc. Meeh. Eng., 69 (1947), 253—266; Harrison M., DTMB Rep. 815, 1952.

Chambers L. A., /. Chem. Phys., 5 (1937), 290—292.

P о г i t s k у H., Proc. 1st U. S. Congr. Appl. Meeh., 1951, pp. 813—821； S h u S. S., там же, p. 823—825.

См. Fotti n ger H.; [43, стр. 243]; Шальнев К. К., ЖТФ, 21 (1951), 206—220; ДАН СССР, 78 (1951), 33—36, где также показано влияние числа Струхаля (гл. XIII). О появлении вихревой кавитации в затопленных струях см. в работе Rouse Н., Houllle blanche (1953), 1—19. (Дополнительную литературу см. в [15*]. — Прим, ред.)

Данные взяты из работы Taylor D. W., The Speed and Power of Ships, U. S., Govt. Printing Office, 1943, Ch. 26.3; см. также Rossel H. E., Chapman L. B., Principles of Naval Architecture, vol. 2, Ch. Ill, Sec. 11. Тодд информировал авторов, что величину удельной тяги 0,95 кГ/см2, отнесенную к ометаемой лопастями площади, можно рассматривать как практический максимум.

Поздюнин В. Л., ДАН СССР, 39 (1943), 306—310 (см. также Изв. АН СССР, ОТН, № 1—2 (1945), 17—28). Вывод теоретических формул, основанных на модели отрывного течения, был бы значительным достижением.

См. L е г b s Н., Rep. 131, Hamburg, Schiffbau-Vers., 1936; Smith L. P., Trans. Am. Soc. Meeh. Eng., 59 (1937), 409—431.

Coast N. E„ Inst. Eng. Shipbuild. Trans., 68 (1951), 19—30.

Laitone E. V., J. Appl. Phys., 25 (1954), 623—626; 26 (1955), 1519— 1520. См. также Parkin B. R. et al., /. Appl. Phys., 27 (1956), 232—239.

Davies R. M., The influence of atmospheric pressure on the phenomena accompanying the fall of small scale projectiles into a liquid, Engineering Lab., Cambridge, England, 1944. См. также [1] и [64].

M a 11 о с k A., Proc. Roy. Soc., 95A (1918), 138—143. См. в работе Harvey Е. N., McMillen J. H.,丄 Appl. Phys., 17 (1946), 541—555 картины поверхностного смыкания при числах F около 107.

Richardson Е. G. [Proc. Phys. Soc, 61 (1948), 352—366] нашел максимальное разрежение 0,06 атм при и = 7 м/сек и р'/р = 0,0012； Мэй

(М а у А. в цитированной ранее работе, рис. 17) получил 0,25 атм при и = 26 м/сек, р7P = 0,0004 и р。= 0,175 КГ1М2- (приближенно).

Wayland Н., White F. G., Proc. Symposium Heat Transfer, 1949, p. 51—64. См. также M о s t e 11 e r G. G., Navord Rep. 1012, NOTS, 1948.

Наилучшие данные имеются в работе Мау А.,丄 Appt. Phys., 22 (1951), 1219—1222. См. также описание эффекта жидкой пленки в статье Bell G. Е., Phil. Mag., 48 (1924), 753—764.

В кавернах, наполненных пеной, давление р, может изменяться в широких пределах. Так, например, Эйзенберг и Понд получили значения Qc = =(ре —"曾)Л^ри? = 0,15—0,30 (Eisenberg, Pond, DTMB Rep. 668).

Cm. Swanson W. M., O'Neil J. P., Caltech, Hydro. Lab. Rep. М-24.3. Образование за каверной перемежаемой струи играет важную роль при отделении воздуха.'

По вопросу о подъеме пузырьков имеется обширная литература; в работе Haberman W. L., Morton R. К-. DTMB Rep. 802, 1953 указано 50 наименований. См. также Benfratello G., Energia Elettrica, 30 (1953), 80—97 и более раннюю работу Allen Н. S., Phil. Mag., 50 (1900), -323—338, 519—534. Количество воздуха в воде вновь является определяющим фактором!

Davies R. М., Taylor G. I., Proc. Roy. Soc, 200A (1950), 379—390; о пузырьках в трубах см. гл. X, п. 11. '

Freeman J. R., Trans. Am. Soc. Civ. Eng., 21 (1889), 303—482; Ro- ii s e H. et al., там же, 77 (1951), 147—188, а также дискуссия. Поведение струй, вытекающих из садовых шлангов, аналогично; см. О g и е у Р., Bull. Tech. Suisse Rom. (1944), (1951). Рассматриваемый эффект иллюстрируется на рис. 1, в верхнем левом углу рисунка; струя, наказанная в левой части рисунка, имела большую начальную турбулентность.

Haenlein A., Forsch. Geb. Ing., 2 (1931), 139—149 (NACA TM № 659); Weber С., ZaMM, 11 (1931), 355—358; Ohnesorge W., там же, 16 (1936), 355—358; Z. VDI, 81 (1937), 465—466; Mahrous M., Brit.丄 Appl. Phys., 3 (1952), 329—331.

Castleman R. A.,丄 Res. Bureau. Stand., 6 (1931), 369—376. Теоретические исследования см. в работе Rayleigh, Phil. Mag., 34 (1892), 145—154; Taylor G. I., Proc. Roy. Soc, 146A (1934), 501—522； T о m o- t i k a S., там же, 150A (1935), 322—337; Бородин В. А., Д и т як и н Ю. Ф., ПММ, 13 (1949), № 3 (См. также Изв. АН СССР, ОТН (1954), № 10; Журн. прикл. мех. тех. физ. (1961), № 1. — Прим, ред.)

Dunne В., С a s s е п В.,丄 Appl. Phys., 25 (1954), 569—572; 27 (1956), 577—582.

Lee D. W., Spencer R. C., NACA Rep. 454; Schweitzer P. H., J. Appl. Phys., 8 (1937), 513—521.

Rayleigh, Phil. Mag., 34 (1892), 145—154.

См. [77, стр. 337—386]; Magnus, Pogg. Ann., 106 (1859), 1—32; Tyndall J., Phil. Mag., 33 (1867), 3 75—391; R a у 1 e i gh, Proc. Roy. Soc, 29A (1879), 71—97; [73, p. 360—364]. См. также Littaye G., C R. Acad. Sci. Paris, 212A (1941), 1077—1009; Publ. sci. tech. min. air, № 181, 1942.

Так, например, в работе Y a d о f f О., C. R. Acad. Sci. Paris, 218 (1944), 104—105 предлагается использовать электризацию для уменьшения распада струй, подводимых к турбине Пельтэна.

Т г i е b n i g g Н., Die Einblase und Einspritzvorgang bei Dieselma- schinen, Berlin, 1925; L i 11 a у e G., C. R Acad. Sci. Parts, 217 (1943), 99—100; [28, стр. 286].

Bond W. N., Newton D. A., Phil. Mag., 5 (1928), 794—800; [28, стр. 286].

N u k i у a m a S., Tanasawa Y., Trans. Soc. Meeh. Eng. Japan, 6 (1940), 18—26 и имеющиеся там ссылки； Merrington А. С., Richards о n Е. G., Proc. Phys. Soc., 59 (1947), 1—13; H i n z e J. O., Appl. Sci. Res., 1A (1949), 263—288; Bitron M. D., Ind. Eng. Chem., 47 (1955), 23—28; Панасенков H. С., ЖТФ, 21 (1951), 160—166.

Green H. L., Some Aspects of Fluid Flow, Lnd., 1951, p. 75—86; [28, стр. 307]; Giffen E., Engineering, 174 (1952), 6—10. ，

Tyler E., Watkin F., Phil. Mag.r 14 (1932), 849—881; Richards о п E. G.,丄 Coll. Sci., 5 (1950), 404—413; [28, стр. 42].

Reynolds О., Collected Sci. Papers, v. 1, p. 1—16.

Tani I., J. Phys. Soc. Japan, 4 (1949), 212—215; L e v i a n t M. I., Rev. Gen. Hydro,, 16 (1950), 74—82; Cassel H. M., Proc. Und Midwest Conf. Fluid Meeh., 1952, p. 99—104,

ЛИТЕРАТУРА

Айзенберг (Eisenberg Р.), On the mechanism and prevention of cavitation, DTMB Rep. 712, 1950; дополнение, 1953.

Аккерет (A eke ret J.), Experimentelle und theoretische Untersuchun- gen fiber Hohleraumbildung (Kavitation im Wasser), Tech. Meeh. u. Therm., 1 (1930), 1—22, 63—70.

Ауэрбах (Auerbach F.), Handb. d. Phys., Tech., Meeh., Bd. 5, Barth, Leipzig, 1931.

Б а й Ш и - и, Теория струй, M., 1960.

Бет u (Betz А.)т Петерсон (Petersohn Е.), Anwendung der Theo- rie der freien Strahlen, Ing. Archiv, 2 (1931), 190—211.

Бибербах (Bieberbach L.), Lehrbuch der Functionentheorie, Leipzig, Teubner, Bd. 1, 1923; Bd. 2, 1927.

Биркгоф Г., Гидродинамика, 2-е изд., ИЛ, М., 1963.

Биркгоф (В i г k h о f f G.), Formation of vortex streets,丄 Appl, Phys., 24 (1953), 98—103.

Биркгоф (В i r k h о f f GJ, П л e с с e т (P 1 e s s e t MJ, Симмонс (Simmons N.), Wall effects in cavity flow. I, Quart. Appl. Math., 8 (1950), 151 — 168; II, 9 (1952),413—421.

Биркгоф (В irkh о f f G.), Янг (Young D.), Сарантонелло (Zarantonello E. H.), Numerical methods in conformal mapping. Proc. 4th Symp. Appl. Math., N. Y., McGraw Hill, 1953t pp. 117—140.

Блейк (Blake F. GJ, The tensile strength of liquids, Tech. Memo. 9, Contract N5ori-76, Proj. Order X, Harvard Acoustic Lab., 1949.

Бриллюэн (Brillouin MJ, Questions d'hydrodynamique, Ann. fac. sci. Toulouse, 1 (2) (1887), 1——80.

Бриллюэн (Brillouin M.), Les surfaces de glissement de Helmholtz et la resistance des fluides, Ann, chim. phys., 23 (1911), 145—230.

Бродецкий (Brodetsky S.), Discontinuous fluid motion past circular and elliptic cylinders, Proc. Roy. Soc, 102A (1923), 542—553.

Бродецкий (Brodetsky S.), Fluid motions past circular barriers, Scripta Univ. Bibi. Hlerosolymitanarum, 1 (1923), 1—14.

Вайнштейн (Weinstein A.), Ein hydrodynamischer Unitatsatz, Math. Z., 19 (1924), 265—274.

Вайнштейн (Weinstein A.), Zur Theorie der Flussigkeitsstrahlen, Math. Z., 31 (1929), 424—433.

Вальтер (Walter F.), Experimentelle und theoretische Untersuchungen uber die Stromungsformen, Ber. Sachs. Akad, Wissen., Math.-phys, К/, 29 (1940).

Вилла (V i 11 a t Н.), Sur la resistance des fluides, Ann. sei. ec. norm. sup.f 28 (1911), 203—240.

Вилла (V i 1 1 a t H.), Sur la determination des problemes de 1'hydrodyna- mique relatifs a la resistance des fluides, cm. [19], 31 (1914), 455—491.

Вилла (V i 1 1 a t H.), Sur la validity des solutions de certains problemes d'hydrodynamiques,丄 de math. (6), 10 (1914), 231—290.

Вилла (V i 1 1 a t H.), Apercus theoriques sur la resistance des fluides. Collection Scientia, Paris, Gauthier Villars, 1920.

Вортингтон (Worthington A. M.), A study of splashes, N. Y., Longmans, Green, 1908. См. также Phil. Trans., 194 (1900), 175—199.

Гарабедян (Garabedian P. R.), Леви (Lewy H.)', Шиффер (Schiffer M.), Axially symmetric cavitational flow, Ann. Math., 56 (1952),560—602.■

Гарабедян (Garabedian P. R.), Спенсер (Spencer D. C》, Extremal methods in cavitational flow,丄 Rat, Meeh. AnaL, 1 (1952), 359— 409.

Гейзенберг (Heisenberg W.), Die absoluten Dimensionen der Kar- manschen Wirbelbewegung, Phys. Z., 23 (1922), 363—366, и комментарии Прандтля на стр. 366.

Гельмгольц (Helmholtz Н.), Uber discontinuierliche Flussigkeits- bewegungen, Monatsber. Berlin Akad. (1868), 215—228. Перепечатано в журналах Phil. Mag., 36 (1868), 337—346; Wiss. Abh., 1 (1882).

Германе (Hermans J. J.), Flow properties of disperse systems, Interscience, 1953.

Г и л 6 a p г (G i 1 b a r g D.), Uniqueness of axially symmetric flows with free boundaries,丄 Raf. Meeh., Anal., 1 (1952), 309—320.

Г и л 6 a p г (G i 1 b arg D) Андерсон (Anderson R. A.), Influences of atmospheric pressure on the phenomena accompanying the entry of spheres into water,丄 Appl. Phys., 19 (1948), 127—139.

Гольдштейн С. (ред.), Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости, т. I, 2, ИЛ, М_, 1948.

Г опкинсон (Hopkinson В.), Free streamline flows with singularities, Proc. Lnd. Math. Sou, 29 (1898), 142—164.

Гринхилл (Greenhill G.), Theory of a streamline past a plane barrier, ARC RM, 19 (1910).

Гринхилл (Greenhill G), Theory of a streamline past a curved wing, Appendix to ARC RM, 19 (1916).

Д в а й т Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, М., 1948.

Д е м ч е н к о (Demtchenko В.), Problemes mixtes harmoniques еп hydrodynamique des fluides parfaits, Paris, Gauthier Villars, 1933.

Джеффрис (Jeffreys H.), The wake in fluid flow past a solid, Proc. Roy. Soc, 128 (1930), 376—393.

Д ю p э н д В. Ф., Аэродинамика, т. 1 —6, M., 1936—1940.

Карман (Karman Th.), Uber den Mechanismus des Widerstandes den ein bewegter Korper in eines Fliissigkeit erfahrt, Gott. Nachr. (Math.- phys. К厶)(1912), 547—556.

Карман (Karman Th.), The engineer grapples with nonlinear problems, Bull. Am. Math. Soc, 46 (1940), 613—683.

Карман (Karman Th.), Рубах (R u b a c h H.), Uber den Mechanismus des FlQssigkeitss und Luftwiderstandes, Phys. Z., 13, (1912), 49—59.

Келлог (К e 11 о g О. D.), Foundations of potential theory, Berlin, Springer, 1930.

Кемпф (Kempf H.), Фёрстер (Foerster E.), (ed.), Hydrodyna- mische Probleme des Schiffsantriebs, Hamburg, Springer, 1932, S. 227—342.

Кирхгоф (Kirchhoff G.). Zur Theorie freier Flussigkeitsstrahlen, J. reine angew. Math., 70 (1869), 289—298.

К н э n (Knapp R. T.), Холландер (Hollander A.), Laboratory investigations of the mechanisms of cavitation, Trans. Am. Soc. Meeh. Eng.t 70 (1948), 419—435.

Коваснаи (Kovasznay A.), Hot-wire investigations of the wake behind cylinders, Proc. Roy. Soc, 198A (1949), 174亠 190.

Коул (Cole R. H.), Underwater explosions, Princeton Univ. Press, 1950.

. Кравченко (Kravchenko J.), Sur le probleme de representation conforme de Helmholtz: Theorie des sillages et des proues,丄 de math., 20 (1941), 35—239.

К у p а н т P., Гильберт Д., Методы математической физики, т. 2, М・一Л・，1951.

Лаврентьев М. А., О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струй, Математический сборник, 46 (1938), 391—458.

Л а м б Г., Гидродинамика, М.—Л., 1947.

Левинсон (Levinson N.) On asymptotic shape of cavity behind an axially symmetric nose moving through an ideal fluid, Ann. Math., 47 (1946), 704—730.

Леви-Чивита ((Levi-Civita T.), Scie e leggi di resistenzia, Rend, cir. math. Palermo, 23 (1907), 1—37.

Лерэ (L e г a у J.), Les problemes de representation conforme d'Helmholtz, theories des sillages et des proues, I, II, Comment. Math. Helv., 8 (1935), 149—180, 250—263.

Лерэ (L e г a у J.), Ш а у д e p (Schauder J.), Topologie et equations fonctionnelles, Ann. set. ec norm, sup., 51 (1934), 45—78.

Липман (L i e p m a n n H. W.), Л а у ф e p (L a u f e r J.), Investigations of free turbulent mixing, NACA TN № 1257, 1947, p, 38.

Льюис (Lewis D. J,), The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes, II, Proc. Roy. Soc, 202A (1950), 81—96.

Л я в (Love A. E. HJ, On the theory of discontinuous fluid motion in two dimensions, Proc. Cambr. Phil. Soc, 7 (1891), 175—201.

М а к н а у н (М с N о w n S. S.), И й (Y i h С. S.) (ed.). Free streamline analysis of transition flow and jet deflection, State Univ. Iowa, Studies in Eng. Bull., 35 (1953).

Марти (Marty L.), L'ecoulement des fluides, Ann. fac. set. Toulouse, 22 (1930), 41 — 146.

Мизес (Mises R.), Berechnung von Ausfluss und Uberfallzahlen, Z. VD/, 61 (1917), 447—452, 467—473, 493—497.

M и л н - T о м с о н Л. M., Теоретическая гидродинамика, пер. 4-го англ, нзд., М., 1964.

М и ч е л (Michell J. Н.), On the theory f the streamline, Phil Trans.t 81 (1890), 389—431.

Мэй (May A.), Vertical entry of missiles into water,丄 Appl. Phys., 23 (1952), 1362—1372.

Некрасов А. И., О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг препятствия в форме дуги круга, Изв. Иваново-Вознесенского политехи. ин-та, № 5 (1922).

Н и г е й р и (N е h а г i ZJ, Conformal mapping, McGraw-Hill, 1953

Рейхардт (Reichardt H.), Gesetzmassigkeiten der freien Turbulenz, VDI Forsch., 414 (1951), 30.

Рейхардт (Reichardt HJ, The laws of cavitation bubbles at axially symmetric bodies, Min. Aircraft Prod. Reps, and Translations, p. 766.

P e т и (R e t h у M.), Strahlenformen incompressibler reibungsloser Flus- sigkeiten, Math. Ann., 46 (1895), 249—272.

Ричардсон (Richardson E. G.), Dynamics of real fluids, Lnd., Arnold, 1950. (Готовится перевод 2-го издания. — Прим, ped.)

Розенхед (Rosenhead L.), Вихревые системы в следах, сб. Проблемы мех аники, ИЛ, М., 1955.

Рэлей (Rayleigh), Scientific papers, Cambr. Univ. Press, 1899.

Рэлей, Теория звука, т. 11, М., 1955.

Рябушинский (Riabouschinsky D.), On steady fluid motion with free surfaces, Proc. Lnd. Math. Soc., 19 (1920), 206—215.

Рябушинский (Riabouschinsky D.), On some cases of twodimensional fluid motions, cm. [74], 2 5 (1926), 185—194.

Рябушинский (Riabouschinsky D.). Sur une probleme de variation, C. R. Acad. Sci. Paris, 185 (1927), 840—841.

С а в a p (Savart F.), Chocs de veines liquides, Ann, chim. phys., 54 (1833), 55—87, 113—145; 55 (1833), 257—310.

Сарантонелло (Zarantonello E. H) A constructive theory for the equations of flows with free boundaries. Collectanea Mathematica, Barcelona, 5 (1952)', 175—225.

С аусвелл (Southwell R. V.), Вэйси (V a i s e у GJ, Fluid motions characterized by free streamlines, Phil. Trans., 240 (1946), 117—161. См. также Southwell R. V., Relaxation methods in theoretical physics, Oxford, 1946, p. 212—226.

С е р р и н (S е г г i n J. В.), Existences theorems for some hydrodynamical free boundary problems,丄 Rat. Meeh. Anal., 1 (1952), 1—48.

C e p p и н (S e г г i n J. B.), Uniqueness theorem for two free boundary problems, Am.丄 Math., 74 (1952), 492—506.

Сквайр (Squire H. B.), Reconsideration of the theory of free turbulence, Phil. M*39 (1948), 1—20.

Таунсенд (Townsend A. A) Momentum and energy diffusion in the turbulent wake of a cylinder. Proc. Roy. Soc., 197A (1949), 124—140.

Тейлор (Taylor G.), The instability 、f liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes, I, Proc. Roy. Soc, 201 (1950), 192—196.

Томсон [Кельвин], Mathematical and physical papers, vol. 4, Cambridge Univ Press, 1910.

Удар (О u d a r t A.), L'etude des jets et le mecanique theorique des fluides. Pub. sci. tech. min. air, 234, Paris, 1948.

Уиттекер E. T., Ватсон Г. H, Курс современного анализа, М., 1962.

Форхгеймер (Forchheimer Р.), Hydraulik, 3 Auf., Leipzig, Teubner, 1030.

Фридрихе (Friedrichs K-), Uber ein Minimum Problem fiir Poten- tialstromungen mit freien Rande, Math. Ann., 109 (1933), 60—82.

Ф e йдж (Fage А.), Иогансен (Johansen F. C.), On the flow of air behind an inclined flat plate of infinite space, Proc. Roy. Soc., 116 (1927), 170—197*

Холли нгдейл (H о 11 i n g d a 1 e S. B.), Stability and configuration of wakes, Phil. Mag., 29 (1940), 209—257.

X о п ф (Hopf E.), Elementare Bemerkungen iiber die Losungen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung von elliptischen Typus, Siztber. Berlin, Akad. Wtss. (Math.-phys. KL) (1927), 147—152.

Чаплыгин С. А., О газовых струях. Научные труды Московского Университета, 1902, стр. 1 —121 или Собрание сочинений т. II М., 1948.

Ч и з о т т и (С i s о 11 i U.), Vene fluenti, Rend. cir. mat. Palermo, 25 (1908), 145—179.

Ч и 3 о т т и (C i s о 11 i U.), Sulla biforcazione di una vena liquida. Rend, Accad. Lincei, (5), 20 (1911), 314—322, 494—502.

Ч и 3 о т г и (C i s о 11 i U.), Idrodinamica piana, Millan, Tamburini, 1921.

Ш и ф ф м а н (S h i f f m a n M.), On free boundaries of an ideal fluid. Comm, Pure AppL Math., 1 (1948), 89—99; 2 (1949), 1—11.

Шлихтинг Тч Теория пограничного слоя, Wl, М., 1956.

Э п л е р (Е р р 1 е г R.), Beitrage zur Theorie und Anwendung der unsteti' gen Stromungen, J. Rat. Meeh, Anal., 3 (1954), 591—644.

Эрих (E h r i c h F. F.), The hydrodynamics of flow regulation, MIT, D. Sc., Thesis, Cambridge, 1951. Л4s, 20 (1953), 99—104.

只 коб (Jacob С.), Sur la determination des fonctions harmoniques par certaines conditions aux limites (These), Mathematica, 11 (1935), 149—175.

U. S. Nat Bureau of Standards, Proc. Symposium on Construction and Application of Conformal Maps, 1949.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Абрамович Г. Н,, Теория турбулентных струй, Физматгиз, М., 1960 (предшествующие монографии на ту же тему 1936, 1940, 1948 гг.).

А х и е з е р Н. П., Элементы теории эллиптических функций, Гостех- издат, 1948.

3*. Б и р к г о ф Г., Гидродинамика, ИЛ, М., 1963.

Гиневский А. С., Турбулентные след и струя в спутном потоке при наличии продольного градиента давления, Изв. АН СССР, Механика 〃 машиностроение^ № 2 (1959).

Г киевский А. С., Турбулентные неизотермические струйные течения сжимаемого газа, Сб. «Пром, аэродинамика», вып. 23, Оборонгиз, 1962.

6*. Голубев В. В., Труды по аэродинамике, Гостехтеориздат, 1957.

Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, Гостехтеориздат, 1952.

Гродштейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений, Физматгиз, М., 1962.

Гуревич М. И., Теория струй идеальной жидкости. Физматгиз, М., 1961.

Гуревич М. И., Влияние капиллярных сил на коэффициент сжатия струи, ПММ, 28, № 6 (1961).

Гуревич М. И., Вихрь вблизи свободной поверхности, ПММ, 27, № 5 (1963).

Жуковский Н. Е., Полное собрание сочинений, т. 1—IX, ОНТН, 1935—1937.

Иванова В., Розанцева В., Теоретические и экспериментальные исследования явления кумуляции. Механика, 4, № 20 (1953).

Канторович Л. В., К р Ь! л о в В. И., Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, М., 1962.

Карелин В. Я-, Кавитационные явления в центробежных и осевых насосах, Машгиз, М., 1963.

К о п п е н ф е л ь с В., Шталь м ан Ф., Практика конформных отображений, ИЛ, М., 1963.

Корст Г., Теория определения донного давления в околозвуковом и сверхзвуковом потоках, Механика, 5, № 45 (1957).

Кочин Н. ,Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, ч. I, II, Физматгиз, М., 1963.

19*. К р о к к о Л., Лиз Л., Теория смешения для определения взаимодей- сгвия диссипативного и почти изэнтропического потоков, Вопросы ракетной техники, 2, № 14 (1953).

20*. Курант Р., Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, ИЛ, М., 1953.

21*. Лаврентьев М. А., Кумулятивный заряд и принцип его работы. Усп. мат. наук, 12, № 4 (1957).

22*. Лаврентьев М. А., Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, АН СССР, Сиб. отд., 1962.

23*. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, Физматгиз, М., 1958.

24*. Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Физматгиз, М., 1961.

25*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гос- техтеориздат, 1957,

26*. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, Гостехиздат, 1957.

27*. Маркушевич А, И,, Теория аналитических функций, Гостехтеориздат, 1950.

28*. Математика и механика в изданиях АН СССР (библиография), вып. 1 (1728—1933), АН СССР, 1938; вып. 2 (1936—1947), АН СССР, 1955; выи. 3 (1948—1952), АН СССР, 1957.

29*. Механика в СССР за 30 лет, Гостехтеориздат, 1950.',

30*. Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, Гос- техтеориздат, 1957.

31*. Полна Г., Сеге Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, М., 1962,

32*. Полубаринова-Кочина П. Я-, Теория движения грунтовых вод, Гостехтеориздат, М. 1952,

33*. Привалов И. П., Введение в теорию функций комплексного переменного, ОНТИ, 1933.

34*. Проскура Г. Ф., Гидродинамика турбомашин, Машгиз, 1954.

35*. Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, М., 1957.

36*. Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гос- техтеориздат, 1950.

37*. С е р р и н Д., Математические основы классической механики жидкости, ИЛ, М., 1963.

38*. Слезкин Н. А., Динамика вязкой несжимаемой жидкости, Гостех- теориздат, 1955.

39*. Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, Гостехтеор- издат, 1946.

40*. Степанов Г. Ю.( Гидродинамика решеток турбомашин, Физматгиз, М., 1962.'

41*. Степанов Г. Q., Гидродинамическая теория аппаратов на воздушной подушке, Машгиз, 1963.

42*. Тюлина И. А., О работах Л. Эйлера по теории гидрореактивного судна и водяной турбины, Вопросы истории естествознания и техники, вып. 4, 1957.

43*. Франк Ф.( Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ОНТИ, 1937.

44*. Франкль Ф. И., Приближенный расчет струйного потенциального течения жидкости, распространяющегося по поверхности твердого тела тонким слоем, ПММ^ 24, № 2 (I960).

45*. Чаплыгин С. А., Полное собрание сочинений, т. I—III, М., 1933—1935.

46*. Jacob С., Introduction mathematique a la mecanique des fluides, Ed. FAcad. RPR, 1959.

47*. Woods L. C.. The theory of subsonic plane flow, Cambridge Univ. Press, 1961.

48*. В i r k h о f f G., Margulies R. S., H о г г i n g W. A., Phys. Fluids, 1 (1958), 201—204.

49*. Block M. J.( Nature, 178 (1956), 650—651; Young N. O., Golds t e i n J. S.( В 1 о c k M. J., J. Fluid Mech^ 6 (1959), 350—356.

Обширная библиография содержится в работах [1*], [3*], [9*], [28*], [29*].

ДИАГРАММЫ

1—11

-/7/7 力

。勿=R

1

HDl££d-灯巾OZHtlnX

ЗГШЗАЗ丄

v 0'01=П

os'o —

1 00 0

OQ'Z

\\fOcL=n xw 第=〃 \ wv 〃片"

97

2дюштэЮ1А[ p

z=/7 v 0Li=n Л^о1о-п

〃％=〃

“С-=〃

г \ X 〃上—/1

ГЛ

\^910-=Л Л

^г=л О'£=Л

? PWW加2BTl[f

寸 со 寸

U-0.080

U=0P95

Масштаб Z

〃0 0,0125 0,025

〃=7,8《

〃也欧

о

U=0

и=0,6

〃=//

/〃20

〃二 -/必

U—0,6

专

V=~50

V-50^

Ofl

U=0,050

0=15°

Течение Кирхгофа -Рэлея

AGfi，

^ ^ w ад

斤好，人，召

一〃

a 〃

Обтекание §i~ё。)

г

『加^внив бебылева

g勿川勿乂血у门万

厶^

Насадок Борда (СЕ卩уу из щели)

Масштаб Z

0,00 2,50 5,00

吗〃

部/6

Асимптота струи 乃

^20

工 OL

(Cm冏笈 изошли)

cc-/5°

*6

я

吟

Wu=+40

№s

"—€

~厶 по_

9?по【

oe£OL

9?аэ

Струя из щелиа = 45°

Масштаб Z 0,00

川

-汇

*6

b'u§

Юи = ^14

鼠加+24

0'unoL

2,50

5,勿

聆。

Струя из щели

差

7

20 V п

祢

i

Асимптш

10 и = -20

Масштаб Z

，Юu = 一乃

— LZ5

тТТЕ

'Юи = +4

、1Uu=72

in

- 5 「а.

十〃

5 也.

寸-/

qz—

oj

Отклонение струи клином

'

0

仪，0

5 3

8 7

窗，^,

49。

"处——

〃85—

一480

Q75--

〃勿

465——

历。

您。

Сужение канала клином

心n、

》、^于

QJ0396

Течение Рябушинского

Возвратная струя

12 М 16/8

8

0 z

J

00,2 Ofl

Ofi Ofi

ЦJ)

lt0 1,2/,«0

Каверны, Q >0

0,5

Диаграмма 11

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аблау (Ablow С. М.) 329, 333

Абрамович Г. Н. 397, 400, 428

Абуль-Фету (Abul-Fetouh А.-Н.) 284, 286, 297, 303

Адам (Adam) 404, 419

Адамар (Hadamard J.) 108, 125, 322, 332

Айзенберг (Eisenberg Р.) 13, 14, 17, 26, 411, 413, 421, 423

Аккерет (Ackeret J.) 17, 188, 300, 304, 329, 333, 40 8, 419, 423

Аллен (Allen D. N.) 160, 166, 336, 358

Аллен (Allen Н. S.) 414, 421

Альбертсон (Albertson М. L.) 395, 396, 400

Альборн (Ahlborn F.) 361, 378

Альборн (Ahlborn L.) 17, 34

Альфер (Alpher R. А.) 385, 398

Андерсон (Andersson А. В. С.) 377, 381

Андерсон (Anderson R. А.) 74, 424

Андраде (Andrade Е. N. С.) 351, 352, 355, 359, 378, 381

Антон (Anton L.) 322, 332

Аой (Aoi) 340

Апель (Apell D. W.) 49, 51, 56

Аржаников Н. С. 196, 237

Армстронг (Armstrong А. Н.) 100, 124, 299, 304

Арнов (Arnoff Е. L.) 73, 74, 82, 150, 165

Ароне (Arons А. В.) 303, 310, 330

Ауэрбах (Aauerbach F.) 259, 265, 329, 423

Ахарья (Acharya Y. V. G.) 397, 400

Ахиезер Н. П. 129, 137, 138, 164, 428

Базин (Bazin R.) 296, 303

Байер (Bayer S.) 339, 358

Байерз (Byers Н. L.) 320, 332

Бай Ши-и 12, 13, 355, 360, 394, 399,

423

Банах С. 197, 199, 205, 238

Банзи (Banzi G.) 80, 83

Барат (Barat М.) 394, 400

Баурер (Baurer S. G.) 378, 381

Бауэр (Bauer W.) 290, 298, 302, 304

Белл (Bell G. Е.) 413, 421

Беллин (Bellin A. L) 377, 381

Беллман (Bellman Р.) 324, 332

Бенар (Benard Н.) 361, 374, 378, 379

Бентон (Benton W. Е.) 378, 381

Бенфрателло (Benfratello G.) 414,

421

Беньямин (Benjamin Т. В.) 329, 333 Беран (Beran М.) 350, 357, 359, 360 Берг (Berg Р. W.) 251, 254, 255, 263 Бергман (Bergman S.) 194, 237 Березин И. С. 277, 285

Беркер (Berker R.) 336, 358

Берман Я. Р. 196, 237

Бернат (Bernath L.) 404, 418

Бернулли (Bernoully D.) 41, 93, 124, 242—244, 341

Берс (Bers L.) 251, 254, 255, 263

Вертело (Berthelot J.) 404, 418

Бершадер (Bershader) 394, 399

Бетц (Betz А.) 58, 327, 343, 347, 359, 423

Бибербах (Bieberbach L.) 37, 55, 58, 60, 61, 72, 84, 87, 423

Бидон (Bidone G.) 329, 333

Бикли (Bjckley W. G.) 339, 354, 358, 360

Бинни (Binnie А. М.) 260, 265, 300, 301, 304, 326, 329, 332, 333

Биркгоф (Birkhoff G.) 9, 16, 24, 25, 28, 33, 35, 47, 48, 54, 56, 97, 113, 124, 150, 165, 184, 188, 192, 256— 258, 262, 264—266, 271, 274—276, 279, 280, 289, 298, 302, 303, 309, 314, 316, 317, 319, 320, 324, 326, 330—333, 356, 357, 360, 369, 371, 372, 374, 384, 413, 423, 428

Бизэнт (Beasant Н.) 306, 310, 330

Блазиус (Blasius Н.) 259, 265, 345

Блайсдел (Blaisdell F. W.) 260, 265

Блейк (Blake F. G.) 407, 419, 423

Блок (Block М. J.) 407, 419

Блох Э. Л. 316, 331

Блэк (Black R. В.) 9, 33

Бляшке (Blaschke W.) 108, 125, 225, 239

Бобиак (Baubiac М.) 375, 380

Бобылев Д. К. 42, 55, 79, 80, 132

Боджио (Boggio Т.) 62, 82, 109, 126.

165, 130, 193

Бонд (Bond W. W.) 417, 422

Бондер (Bonder J.) 140, 142, 164, 165

Борда (Borda) 46, 287, 289, 297, 355

Бородин В. А. 416, 421

Боттомлей (Bottomley W. Т.) 408, 419

Боуден (Bowden F. Р.) 13, 34, 311, 330

Браун (Brown G. В.) 377, 378, 380, 381

Бриан (Bryan G. Н.) 42, 55

Бриггс (Briggs Н. В.) 407, 419、

Бриггс (Briggs L. J.) 404, 418

Бриггс (Briggs L. S.) 404, 418

Брикстон (Breakston Н. I.) 319, 331

Бриллюэн (Brillouin М.) 28, 30, 31, 44, 92, 98, 108, 136, 160, 166, 170, 176, 423

Брин (Brin С. В.) 9, 33

Бродецкий (Brodetscky S.) 98, 100, 124, 174, 176, 178, 278, 285, 423

Бруакос (Broikos А.) 190, 193

Брун (Brun Е.) 43, 55

Брунауэр (Brunauer) 299, 304

Буасс (Bouasse Н.) 296, 297, 303

Буземан (Busemann А.) 249, 250, 258, 263

Булиганд (Bouligand G.) 28, 35, 316, 331

Бурьере (Bourrieres F. J.) 351, 355, 360

Бусинеск (Boussinesq J.) 329, 333

Бьеркнес (Bjerknes V.) 312, 331

Бэрнаби (Barnaby J. W.) 408, 409, 419

Бэрстоу (Bairstow L.) 336, 344, 358, 359

Бэтчелор (Batchelor G.) 389, 399

Вагнер (Wagner Н.) 315, 319, 331

Вада (Wada Y.) 329, 333

Вайнгартен (Weingarten J.) 108, 125, 287, 302

Вайнштейн (Weinstein А.) 189, 192, 195, 219, 225, 239, 292, 303, 423

Вайсбах (Weisbach J.) 44, 296, 303

Валенси (Valensi J.) 12, 34, 344, 359

Валковичи (Valcovici V.) 49, 51, 56

Вальтер (Walter F.) 208, 377, 423

Ван-дер-Хегге Цийнен (Van der Heg- ge-Zijhen В.) 397, 400

Ван-Тьюил (Van Tuyl A.) 292, 303

Варга (Varga R.) 290

Варшавский (Warschawski S.) 102, 125

Василеско (Vasilesco С. K.) 300, 304

Baccep (Vasseur M.) 43, 55

Ватанабе (Watanabe S.) 319, 320)331, 332

Ватсон (Watson G. N.) 129, 135, 136, 138, 139, 141, 146, 150, 152, 164, 427

Ватсон (Watson Е. J.) 71, 82

Вебер (Weber С.) 328, 333, 415, 421

Вейль (Weyl А.) 404, 418

Вейль (Weyl Н.) 195, 219, 237, 239

Вейниг (Weinig F.) 89, 124, 148, '165

Веллер (Weller А. Е.) 397, 400

Венард (Venard J. К.) 408, 419

Венни (Vennie D. R.) 308, 310, 330

Визельсбергер (Wieselsberger С.) 344, 359

Вилла(Villat Н.) 51,100,101,124,

.132,157, 160,164—167,174,176,

189—194,254,259,261,265,

336, 358,359,367,374,380,

424

Виллард (Willard G. W.) 407, 419

Виллиг (Willig F. J.) 258, 265

Вильбур (Wilbur S W.) 397, 400

Вильсон (Wilson К・)261, 266

Винни (Winny Н. F.) 375, 376, 378, 380

Винсент (Vincent R. S.) 404, 418

Висмер (Wismer) 404, 418

Витошинский (Witozynski С. W.) 143, 165

Витушек (Vitousek М. J.) 259, 265

Вольмер (Volmer М.) 404, 418

Вольтерра (Volterra V.) 108, 125, 298, 301, 304

Вортингтон (Worthington А. М.) 12,

411, 424

Вуд (Wood А. В.) 376, 380

Вудс (Woods L.) 249, 250, 263, 290, 302, 320, 329, 332, 430-

Вудсон (Woodson J. В.) 319, 331

Вудхал (Woodhull J. С.) 298, 304

Вускович (Vuskovic I.) 408, 419

Вэйси (Vaisey G.) 185, 192, 283, 290, 297, 299, 304, 426

Вюст (Wuest W.) 351, 359

Гамель (Hamel G.) 108, 125, 195, 219, 237, 239, 287, 302, 355, 360, 423

Гарабедян (Garabedian Р.) 87, 112, 124,190,193,196,224,225,229,

240,287,289,300,302,304,

332, 405, 419, 424

Гариэль (Gariel Р.) 260, 265

Гартог (Hartog J. Р.) 362, 378

Гаттеньо (Gattegno С.) 103, 125

Гейзенберг (Heisenberg W.) 222, 363, 364, 424

Гвиланд (Guillande L.) 12, 34

Гельмгольц (Helmholtz Н.) 19, 28, 30, 44, 324, 327, 383, 394, 424

Гербер (Gerber R.) 78, 83, 261, 265

Германе (Hermans J. J.) 416, 417, 424

Герстнер (Gerstner) 259, 265

Гёртлер (Gortler Н.) 394, 397, 399

Гибсон (Gibson А. Н.) 9, 22, 33, 34, 287, 296, 297, 301—305

Гилбарг (Gilbarg D.) 13, 73, 74, 82, 115, 123, 126, 127, 150, 165, 196, 289, 320, 321, 332, 424

Гильберт Д. (Gilbert D.) 58, 202, 282, 404, 418, 425

Гиневский А. С. 397, 400, 428

Гирке (Gierke Н.) 377, 381

Гиффен (Giffen Е.) 417, 422

Глэйшер (Glaisher) 136

Голубев В. В. 374, 3SD, 428

Голузин Г. М. 125, 428

Гольдштейн (Goldstine S.) 12, 16, 160, 166,312,327,333,334,338,.

343—345, 349, 351—353, 357, 359— 361, 364,366,367,373,375,376,

383,385,388,391,394,395,

398—400, 424

Гольдштейн(Goldstine Н.Н.)184,

192, 279, 280, 286

Гонгвер (Gongwer С. А.) 188, 192, 375, 380

Гопкинсон 157, 166, 424

Гослайн (Gosline Т. Е.) 9, 33

Грауштейн (Graustein W. С.) 108, 125, 287, 302

Грин (Green А. Е.) 69, 82, 105, 111, 114, 140, 164, 254, 294

Грин (Green Н. L.) 417, 422

Гринхилл (Greenhill G.) 9, 46—48, 50, 56, 65, 82, 103, 125, 145, 146, 156, 158, 162, 165, 166, 170, 424

Гродштейн И. С. ЮЗ, 428

Гуревич М. И. 51, 56. 69, 73, 74, 82, 129, 150, 164, 165, 261, 294, 300, 304, 316, 331, 428

Гуче (Gutsche Е.) 375, 380

Давидсон (Davidson) 301, 304

Дайв (Dive) 317, 318, 331

Дафф (DW R.) 302, 305

Двайт Г. Б. (Dwight

н. В

•) 19,

40,

41, 424

Демченко (Demtcheriko

В.)

130,

148,

158, 165, 166, 190,

193,

249,

250,

263, 309, 316, 324,

330,

331,

332,

424

Деруе (Derouet В.) 407, 419

Джафэ (Jaffe G.) 322, 332

Джексон (Jackson D.) 278, 285

Джефрис (Jeffreys Н.) 327, 333, 365, 379, 424

Джеффери (Jeffery) 355, 360

Джинс (Jeans) 326, 333

Джон (John F.) 259, 265

Джонс (Jones R.) 42, 55, 347

Джонсон (Johnson J. В.) 407, 419

Дин (Dean) 351, 359

Дини (Dini) 173, 192

Дитякин Ю. Ф. 416, 421

Дмитреску (Dumitrescu D. Т.) 301, 305

Дорсей (Dorsey N. Е.) 404, 418

Драйден (Dryden Н. L.) 374, 380, 384, 398

Дубрейль-Жакотин (Dubreil-Jacotin) 261, 265

Дьювей (Dewey N. S.) 375, 380

Дэвис (Davies R. М.) 301, 305, 411, 412, 414, 420, 421

Дэй (Dai Y. В.) 395, 396, 400

Дюн (Dunne В.) 9, 33, 416, 421

Дюпен (Dupin Р.) 375, 380

Дюренд В. Ф. 291, 302, 384, 394, 398, 399, 424

Жентилини (Gentilini В.) 51, 56

Жерне (Gernez М, С.) 402, 404, 418

Жидков Н. П. 277, 285

Жуковский Н. Е. 48, 49, 56, 71, 82, 130, 143, 164, 165, 260, 265, 266, 301, 305, 428

Зальцман (Salzmann FJ 71, 82

Зейд ель (Seidel W.) 169, 191

Зигмунд (Zygmund А.) 103, 125, 173, 191, 200, 202, 238

Зондхаус (Sondhauss С.) 377, 378, 380, 381

Иванова В. 428

Йенсен (lensen R. А.) 395, 396, 400

Изаакс (Isaaks R.) 311, 330

Ий (Yih С. S.) 146, 165, 297, 303, 426

Иллингворт (Illingworth С. R.) 355, 360

Имаи (Imai I.) 344, 359

Иогансен (Johansen F. С.) 38, 55, 365, 374, 377—381, 392, 399, 427

Иоффе (Yoffe A. D.) 13, 34, 311, 330

Итерсен (Itersen F. К. Т.) 408, 419

Кавагути (Kawaguti М.) 336, 358

Калдоназо (Caldonazzo G.) 62, 82, 132, 164, 190. 193

Калинин С. В. 196, 237

Камишель (Camichel С.) 335, 357, 374, 380

Канторович Л. В. 428

Каплан (Kaplan S.) 270, 285

Карелин В. Я. 428

Карман (Karman Th.) 243, 255, 263, .264, 290, 302, 318, 320—322, 331,

332, 362, 367, 369, 371, 375, 380, 425

Каррьер (Carrier G. F.) 343, 359

Каррьер (Carriere Z.) 377, 380

Карте (Curtet R.) 377, 381

Картер (Carter D.) 262, 266, 302, 305

Касс (Cass Н.) 9, 33

Кассель (Cassel Н. М.) 418, 422

Кассен (Cassen В.) 9, 33, 416, 421

Кастлеман (Castleman R. А.) 416, 421'

Кастольди (Castoldi L.) 108, 125, 287, 302

Катаока (Kataoka М.) 43, 55

Кейв (Cave) 336, 358

Кейвуд (Caywood Т. Е.) 311, 330

Келлог (Kellog О. D.) 28, 111, 130, 227, 228, 229, 254, 291—303, 315, 341, 425

Кемпф (Kempf Н.) 30, 148, 165, 408, 425'

Кенард (Kennard Е. Н.) 408, 420

Кеннели (Kennelly) 269, 285

Кенрих (Kenrich) 404, 418

Керл (Kurle N.) 377, 381

Кетгум (Ketchum Р. W.) 81, 83

Кибель И. А. 242, 263, 334, 357, 428

Киги (Keagy W. R.) 397, 400

Кинан (Keenan J. G.) 9, 34

Кирхгоф (Kirchhoff G.) 28, 35, 38, 55, 76, 123, 132, 170, 191, 292, 293, 302, 316, 331, 386, 425

Кисенко М. С. 255, 264

Клейн (Klein F.) 322, 332

Клиппингер (Clippinger R. F.) 268, 284

Книл (Kneal S.) 276, 285, 338, 358

Кнэп (Knapp Е. Т.) 13, 17, 34, 425

Коаст (Coast N, Е.) 411, 420

Кобаси (Kobashi Y.) 397, 400

Кобурн (Coburn N.) 255, 264

Коваснай (Kovasznay А.) 374, 380, 425

Колонетти (Colonetti G.) 148, 150, 165, 190, 193

Кольшер (Kolscher М.) 160, 166, 185, 192■

Комингс (Comings Е. W.) 395, 400

Коппенфельс (Koppenfels W.) 428

Корнфельд (Kornfeld М.) 408, 420

Корсин (Corrsin S.) 387, 394, 399

Корст 386, 398, 428

Коттер (Kotler F.) 296, 303

Коул (Cole R Н.) 13, 28, 306, 309, 310, 326, 330, 425

Кочин Н. Е. 242, 261, 263, 265, 334, 357, 371, 428

Кравченко (Kravchenko J.) 101, 124, 170, 172, 190, 198, 205, 216, 238, 278, 285, 425

Крагер (Cruger F.) 377, 380

Крайя (Сгауа А.) 260, 265

Крамп (Crump S. F.) 406, 419

Кранц (Cranz С.) 27, 35

Крепе Р, Л. 320, 332

Крейзель (Kreisel G.) 73, 82

Кречмер (Kretzschmer F.) 51, 56, 297, 303

Кржнвоблоцкий (Krzywoblocki М. Z.) 355, 360

Крокко (Crocco L.) 386, 398, 428

Кругер (Kruger F.) 378, 381

Крылов В. И. 428

Кук (Cook S. S.) 408, 419

Купер (Cooper Е. Р.) 320, 332

Купер (Cooper R.) 390, 399

Курант 58, 202, 218, 255, 256, 264, 282, 425, 429

Курихара (Kurihara М.) 392 399

Курцвег (Kurzweg Н. Н.) 377, 381, 386, 398

Кутта (Kuethe А. М.) 394—396, 399, 400

Куфарев П. П. 278, 285

Кэйвуд (Caywood Г Е.) 48, 56

Кэмбел (Cambel А. В.) 329, 333

Лаврентьев М. А. 24, 73, 82, 102, 103, 115, 116, 125, 126, 129, 135, 137, 164, 173, 191, 196, 251, 254, 255,

264, 265, 292, 300, 303, 304, 425, 429

Ладенбург (Ladenburg R.) 338, 358

Лазарус (Lazarus F.) 255, 264

Ладыженская О. А. 335, 357, 429

Лайтон (Laitone Е. V.) 411, 420

Лайтхилл (Lighthill М.) 160, 166, 170, 185, 190—193, 249, 250, 263, 398, 400

Ламб 21, 25, 41, 46, 229, 255, 259, 264, 265, 289, 291, 306, 310, 314, 315, 318, 319, 323, 326—330, 334, 335, 337—339, 344, 362, 365, 369, 382, 425

Ланг (Lang) 336, 358

Ландау Л. Д. 355, 360, 394, 400, 429

Ланд вебер (Landweber L.) 293, 303 Ланден 137, 144, 164, 165

Ланчестер ((Lanchester F. W.) 12, 34

Лаурсен (Laursen Е. М.) 49, 51, 56 Лауфер (Laufer J.) 394, 397, 425 Леви (Lewy Н.) 87, 124, 196, 224, 259, 263, 289, 375, 376, 380, 424

Левинсон (Lewinson N.) 122, 126, 198, 290, 294, 425

Левитант (Levitant М. I.) 418, 422

Леви-Чивита (Levi-Civita Т.) 28, 46, 56, 92, 124, 130, 164, 168, 170, 179, 199, 247, 261, 265, 296, 303, 375, 380, 425

Леклерк (Leclerc А.) 297, 298, 303

Лелли (belli М.) 355, 360

Лениан (Lenihan J. М.) 377, 380

Лербс (Lerbs Н.) 410, 420

Лерэ (Leray J.) 101, 124, 195, 213, 216, 217, 255, 335, 357, 425

Ли (Lee D. W.) 416, 421

Ли (Lee R.) 398, 400

Лиз (Lees L.) 386, 398, 428

Линь (Lin С. С.) 257, 264, 369, 371, 379, 392, 399,

Линг (Ling S. С.) 329, 333

Линделеф (Lindelof Е, С. R.) 102

125

Липман (Liepmann Н.) 251, 253, 258. 264, 265, 394, 397, 425

Литей (Littaye G.) 417, 422

Литтл (Little В Н.) 397, 400

Лифшиц Е. М* 355, 360, 394, 400, 429

Лихтенштейн (Lichtenstein Z.) 108, 126, 261, 265

Ло (Loo С. С.) 13. 34

Ловенштейн (Loewenstein Z. С.) 9, 33, 255, 256, 264

Логценский Л. Г. 242, 263, 334, 349, 355, 357, 359, 360, 429

Лок (Lock R.) 327, 333

Ломакс (Lomax С. С.) 408, 419

Лукерт (Luckert Н.) 345, 359

Лумис (Loomis L) 295, 303

Луно (Luneau J) 322, 332

Льюис (Lewis D. J.) 324, 332, 425

Лэндис (Landis F.) 397, 400

Люцкий (Lutzky М.) 390, 399

Ляв (Love А. Е. Н.) 49, 56, 65, 82, 146, 165, 425

Магнус (Magnus) 417, 422

Мазотти (Masotti А.) 81, 83

Мак-Дугал (McDougall D. Р.) 9, 24, 33, 35, 257, 264

Мак-Лейн (McLane S.) 47, 56

Мак-Миллен (McMillen J. Н.) 412, 420

Мак-Наун (McNown J. S.) 44, 55, 71, 78, 82, 83, 146, 165, 297, 299, 303, 304, 329, 333, 338, 358, 426

Максвелл (Maxwell J, С.) 292, 303, 404, 418

Макферсон (McPherson А, Е.) 320, 332

Макхьюг (McHugh В.) 340, 358

Маллок (Mallock А.) 361, 375, 378, 380

Мантель (Mantel W.) 408, 419

Марбо (Marboe Е. С.) 404, 418

Маркушевич А. И. 102, 109, 125, 126, 429

Марти (Marty L.) 92, 124, 337, 351, 377, 394, 395, 426

Марус (Mahrous М) 415, 421

Марчи (Marchi Е.) 260, 265

Марчи (Marchi G.) 296, 303

Маршалл (Marshall D.) 340, 358, 375, 380

Марше (Marchet М.) 299, 304

Марше (Marchet Р.) 284, 286

Массон (Masson А.) 378, 381

Маттиоли (Mattioli G. D.) 392, 399

Max (Mach L.) 255, 264

Мезон (Mason W. Р,) 407, 419

Мексин (Meksyn D.) 345, 359

Мелер (Mehler) 315, 331

Меррингтон (Merrington A. S.) 417, 422

Мещерский И. В. 42, 55

Мизенер (Misener A. D.) 404, 418

Мизес (Mises R.) 44, 49, 53, 54, 56, 71, 82, 93, 124, 145, 165, 250, 259, 263, 265, 273, 290, 341, 358, 368,379, 426, 430

Милн-Томсон (Milne-Thomson L, М.) 43, 56, 62, 82, 157, 290, 312, 314, 334, 337, 345, 357, 359, 362, 364, 369, 409, 426

Михлин С. Г. 429

Мичел (Michell J. Н.) 130, 143, 145, 146, 162, 164, 165, 426

Миядзу (Miyadzu М.) 78, 83

Моленброк (Molenbrock Р.) 109, 126

Молье (Moller W.) 375, 380

Монаган (Monaghan W. А.) 315, 331

Морган (Morgan) 329, 333

Мортон (Morton R. К ) 414, 421

Мортон (Morton W. В.) 43, 55, 67, 69, 82, 157, 165 '

Мостеллер (Mosteller G. G.) 413, 421

Мунк (Munk М.) 291, 302

Мунк (Munk W. Н.) 327, 333

Мунцнер (Munzner Н.) 295, 303

Мэй (Мау А.) 13, 298, 304, 316, 331, 411, 413, 421, 426

Мэллок (Mallock А.) 412, 420

Мюллер (Muller W.) 339, 358

Мясников П. В. 196, 237

Некрасов А, И, 174, 194, 196, 261, 265, 426, 429

Неменьи (Nemenyi Р,) 108, 125, 287, 302, 329, 333

Неппирас (Neppiras Е, А.) 308, 330

Нетер (Noether F.) 340, 358

Ниборг (Nyborg W. L.) 398, 400

Нигейри (Nehari Z ) 129, 130, 137, 139, 141, 164, 426

Никияма (Nukiyama S.) 417, 422

Никлибор (Niclibor) 317, 331

Ниси (Nisi Н.) 340, 358

Нолтинк (Noltingk В. Е.) 308, 330

Нумати (Numachi F.) 406, 419

Ньютон (Newton D. А.) 417, 422

Обербек (Oberbeck L.) 351, 355, 359, 377, 381

О'Брайен (O'Brien М* Р.) 9, 33

Одквист (Odqvist F. К. G.) 132, 164

Озеен (Oseen W.) 336, 340, 341, 343, 358

Окабе (Okabe J.) 352, 360

Оквей (Oquey Р.) 415, 421

Онезорге (Ohnesorge W.) 415, 421

О(Нейл (O'Neil J, Р.) 414, 421

Осборн (Osborn М. F. М.) 408, 420

Осгуд (Osgood W. F.) 135, 164

Островский (Ostrowski А.) 103, 125

Пак (Pack D. С.) 257, 264, 355, 360

Пакет (Puckett) 242, 251, 258, 262, 264, 265

Палатини (Palatini А.) 65, 82

Панасенков Н. С. 417, 422

Паренти (Parenty) 255, 264

Паркин (Parkin В. R.) 411, 420

Парсонс (Parsons С. W.) 408, 409, 419

Пенни (Penney) 315, 331

Пенингтон (Pennington R. S.) 324,332

Перкинс (Perkins Е. W.) 386, 398

Перри (Perry В.) 53, 56, 150, 165, 298, 300, 304

Перри (Perry J. А.) 249, 250, 263

Петерсон (Petersohn Е.) 58, 327, 423

Пикар (Picard Е.) 197, 237, 317, 331

Пирсей (Pearcey Т.) 340, 358

Пирсон (Pearson К-) 271, 285

Планк (Plank М.) 130, 164

Плессет (Plesset М. S.) 25, 26, 53, 56, 150, 165, 271, 298—300, 304, 308, 326, 330, 332, 333, 405, 407, 408, 419, 420, 423

Плэн (Plan М.) 43, 55

Пойя (Polya G.) 85, 124, 225, 239

Поздюнин В, Л, 409, 420

Поклингтон (Pocklington Н.) 162, 166

Полубаринова-Кочина П. Я. 9, 429

Понснн (Poncin Н.) 261, 265, 309, 330

Порицкий (Poritsky Н.) 409, 420

Портер (Porter A. W.) 340, 358

Поссель (Possel R.) 344, 359

Прандтль (Prandtl L.) 243, 255, 256, 263, 264, 336, 364, 379, 384, 388, 389, 394, 397, 399

Привалов И. И. 103, 104, 429

Прим (Prim R. J.) 108, 125, 287, 302

Проскура Г. Ф. 429

Пуассон (Poisson S. D.) 102, 317, 331

Пуанкаре (Poincare Н.) 365, 379

Пул (Poole Е. G. С.) 132, 157, 164, 166

Пултер (Poulter Т. С.) 408, 419

Пуф (Pugh Е. М:丿 9, 24, 33, 35, 257, 264

Пэйн (Payne L.) 225, 239

Рапопорт С. М. 278, 285

Рассел (Russel S.) 324, 332

Раус (Rouse Н.) 415, 421

Рейх (Reich Fr.) 297, 303

Рейнольдс (Reynolds О.) 335, -357, 405, 417, 419, 422

Рейснер (Reissner Н.) 301, 305

Рейхардт (Reichardt Н.) 26, 295, 299, 303, 304, 389, 392, 394, 395, 399, 426

Реллер (Reller J. О.) 385, 398

Рельф (Relf Е. F.) 362, 378

Рети (Rethy) 49, 51, 53, 56, 78, 132, 297, 426

Ричардс (Richards Е. J.) 398, 400

Ричардс (Richards G. J.) 361, 374, 378, 379

Ричардсон (Richardson A. R.) 259, 265

Ричардсон (Richardson Е. G.) 298, 304, 319, 331, 375, 377, 378. 380, 381, 398, 400, 417, 420, 422, 426

Робертс (Roberts L.) 257, 264

Розанцева В, В. 428

Розе Н. В. 242, 263, 334, 357, 428

Розенберг (Rosenberg М. D.) 407, 419

Розенблат (Rosenblatt А.) 336, 357

Розенхед (Rosenhead L.) 278, 285, 327, 333, 345, 359, 374, 380, 426

Ройден (Royden Н.) 190, 193

Рок (Rock Н. Н.) 73, 82, 150, 165

Рокар (Rockard Y.) 362, 378

Россел (Rossel Н. Е.) 409, 420

Росселенд (Rosseland S.) 326, 333

Ростокер (Rostoker N.) 24, 35

Роуз (Rouse Н.) 296, 297, 303, 386, 395, 396, 398, 400, 409, 420

Рошко (Roshko А.) 53, 56, 362, 374, 378, 380

Рубах (Rubach Н. L.) 335, 357, 362, 367, 425

Руден (Ruden Р.)395, 396, 400

Румер Ю. Б. 355, 360

Рыжик И. М. 103, 428

Рэлей (Rayleigh) 13, 17, 38, 41, 55, 76, 132, 164, 255, 256, 265, 306, 310, 328, 330, 333, 341, 358, 378, 416, 421, 422, 426

Рэнкин (Rankinen J.) 290, 291, 301, 302

Рюди (Ruedy) 362, 378

Рябушинский (Riabouchinsky D.) 30, НО, 126, 148, 150, 165, 289, 316, 324,- 331, 332, 345, 359, 426

Савар (Savart F.) 292, 298, 303, 304, 329, 417, 426

Садовский (Sadowsky М. А.) 292, 293, 302, 303

Сарантонелло (Zarantonello Е. Н.) 44, 55, 73, 82, 86, 124, 184, 188, 192, 225, 229, 239, 279, 280, 283, 286, 398, 423, 426

Саткевич А А. 287, 302

Саттон (Sutton О. G.) 398, 400

Саусвелл (Southwell R. V.) 185, 192, 290, 297, 336, 358, 426

Свансон (Swanson W. В.) 414, 421

Свэйн (Swain L. М.) 392, 399

Сегре (Segre V.) 190, 193

Седов Л. И. 69, 82, 242, 263, 316, 319, 331, 394, 400, 429

Секерж-Зенькович Я. И. 196, 199, 237, 238

Серрин (Serrin J. В.) 73, 82, 115, 123, 126, 127, 196, 287, 335, 357, 427, 429

Сибаока (Shibaoka Y.) 81, 83

Сильвер (Silver R. S.) 4С8, 419、

Симмонс (Simmons N.) 25, 26, 80, 83, 158, 166, 271, 423

Симмонс (Simmons L.) 362, 378

Симмонс (Simmons L. F. G.) 375,380

Симпсон 345, 359

Синдж (Synge J. L.) 368, 379

Сквайр (Squire Н. В.) 336, 355, 358, 360, 390, 392, 395, 396, 400, 427

Скотт (Scott) 404, 418

Слезкин Н. А. 196, 237, 249, 263, 349, 355, 359, 360, 429

Сметана (Smetana J.) 46, 56

Смит (Smith Н.) 296, 303

Смит (Smith J. L.) 292, 302

Смит (Smith L. Р.) 410, 420

Смит (Smith S. W.) 328, 333

Смирнов В. И. 172, 191

Смолуховский (Smoluchowski М.) 351, 355, 359

Сотро (Sautreaux С.) 259, 265

Спенсер (Spencer D. С.) 112, 196, 224, 229, 315, 318, 320, 331, 332,424

Спенсер (Spencer R. С.) 416, 421

Сретенский Л. Н. 261, 265, 292, 302, 429

Стантон (Stanton Т. Е.) 375, 380

Степанов Г. Ю. 34, 192, 263, 286, 429

Стодола (Stodola А.) 9, 33, 255, 256. 264

Стокер (Stoker J.) 261, 265

Стоун (Stone М. Н.) 85, 124, 229, 240

Струик (Struik D. J.) 261, 265

Струхаль (Strouhal V.) 361, 378

Стэнтон (Stanton Т.) 255, 264, 340, 358

Суворов (Suvorov J.) 408, 420

(>вик (Savic Р.) 376, 380

Сю (Hsu Е. Y.) 44, 55, 71, 82

Сяо (Siao Т. Т.) 49, 51, 56

Тайлер (Tyler Е.) 369, 371 375, 379, 380, 417, 422

Тан (Tan Н. S.) 320, 332

Танасава (Tanasawa Y.) 417, 422

Тани (Tani Т.) 397, 400, 418, 422

Тауменд (Towmend Н. С. Н.) 377, 381

Таунсенд (Townsend А. А.) 387, 389, 391, 427

Тейлор (Taylor D. W.) 409, 420

Тейлор (Taylor G. I.) 9, 12, 24, 33, 34, 36, 257, 301, 305, 324, 359, 389, 395, 397, 399, 400, 414, 416, 418, 421, 427

Темперлей (Temperley Н, N. V.) 404, 418

Терон (Theron Р.) 198, 205, 238

Тесье-Солье (Teissie-Solier М.) 375, 380

Тиндаль (Tyndall J.) 417, 422

Тири (Thiry R.) 132, 157, 164, 166

Титьенс (Tiejens О.) 364, 379

Толлмин (Tollmien W ) 341, 358, 392, 394, 397, 399, 400

Том (Thom А.) 336, 358, 374, 380

Томлинсон (Tomlinson С.) 404, 418

Томотика (Tomotika S.) 157, 165, 340, 344, 358, 359, 392, 397, 399, 400, 416, 421

Томсон (Thomson J.) 9, 33

Томсон (Thomson W.) 292, 303, 323, 324, 327, 328, 332, 333, 375, 427

Торда (Torda) 349, 359

Торнхил (Thornhill) 318, 331

Треффтц (Trefftz Е. Z.) 293, 296, 298, 303

Трибниг (Triebnigg Н.) 417, 422

Трикоми (Tricomi F.) 137, 141, 164

Триллинг (Trilling L.) 319, 331, 408, 420

Туз (Toose D. G.) 355, 360

Тулин (Tulin М. Р.) 295, 303

Турецкий (Turetsky R. А.) 385, 393

Тюлина И. А. 9, 429

Уайт (White С.) 344, 359

Уайт (White F. G.) 413, 421

Уаткип (Watkin F.) 417, 422

Уберой (Vberoi М. S.) 387, 399

Удар (Oudart А.) 190, 193, 198, 205, 238, 257, 264, 394, 400, 427

Уилл (Wille R.) 378, 381

Уиттекер Е. (Whittaker Е. Т.) 129, 135, 137—139, 141, 146, 150, 152, 164, 427

Уолш (Walsh J. М.) 258, 265

Урсел (Vrsell F.) 329, 333

Уэйлэнд (Wayland Н.) 413, 421

Фарадей (Faraday М.) 329, 333

Фату (Fatou) 103, 104

Фейдж (Fage А.) 38, 55, 335, 349, 357, 359, 365, 374, 375, 379, 386, 392, 399, 427

Фёппль (Foppl L.) 339, .358

Фергюсон (Ferguson D. F.) 249, 250, 263

Филон (Filon L.) 345, 359

Финн (Finn R.) 219, 239

Фитцпатрик (Fitzpatrick Н. М.) 398, 400

Фишер (Fisher Т. W.) 299, 304

Флаксбарт (Flashsbart О.) 11, 34

Фонт (Voigt W.) 48, 56, 62, 82

Фокс (Fox) 329, 333

Форсдайк (Forsdyke A. G.) 375, 376, 380

Форстер (Forster Е.) 148, 165, 301, 305, 408, 425

Форстер (Forster Н. К ) 405, 419

Фортман (Forthmann Е.) 394, 395, 399, 400

Форхгеймер (Forchheimer Р.) 44, 296, 303, 427

Фоттингер (Fottinger Н.) 409, 420

Франк (Franke А.) 190, 193

Франк (Franke F.) 53, 56, 341, 358, 430

Франкль Ф. И. 255, 264, 430

Фридрихе (Friedrichs К*) 195, 196,223, 255, 256, 264, 427

Фриман (Freeman J. R.) 415, 421

Фукс (Fuchs К・)258

Фурман (Fuhrmann G.) 290, 302

Хаббард (Hubbard Р. G.) 49, 51, 56

Хаберман (Haberman U. L.) 414, 421

Хаенлейн (Haenlein А.) 415, 421

Халлер (Haller Р.) 408, 419

Хамакер (Hamaker F, М.) 385, 398

Хаммерштейн (Hammerstein )208, 238

Ханеманн (Hahnemann Н. W.) 46, 56

Хант (Hunt Т. N.) 261, 265

Хансейкер (Hunsaker Т. С.) 406, 419

Харвей (Harvey Е. N.) 404, 412, 418, 420

Харвей (Harvey Е. Т.) 67, 69, 82

Харди (Hardy G. Н.) 204, 212, 238

Харон (Huron R.) 190, 193, 198, 205, 238

Харрис (Harris С. W.) 296, 303

Харрис (Harris D. Р.) 301, 304

Харрисон (Harrison М.) 308, 330, 408, 420

Хартман (Hartmann J.) 255, 264

Хартри (Xartree D.) 277, 285

Хасимото (Hasimoto Z.) 157, 165, 257, 264

Хедкок (Hedgcock F. Т.) 404, 418

Хейвуд (Heywood F.) 297, 303

Хейз (Hayes W. D.) 329, 333

Херичи (Herici F. С.) 404, 418

Хершей (Hershey) 406, 419

Хилл (Hill Е.) 385, 398

Хинце (Hinze Т. О.) 397, 400, 417, 422

Хислоп (Hislop G. S.) 392, 399

Хоббс (Hobbs Е. Т.) 319, 320, 331, 332

Холл (Hall А. А.) 392, 399

Холландер (Hollander А.) 17, 425

Холлингдейл (Hollingdall S. В.) 349, 427

Холт (Holt М.) 257, 264

Хоман (Нотапп А.) 369, 371, 379

Хоман (Нотапп F.) 335, 357

Хопф (Hopf Е.) 108, 126, 427

Хоуарт (Howarth L.) 250, 263, 3 97

Хукер ((Hooker S. G.) 369, 371, 379

Хукингс (Hookings) 301, 304

Цвик 亿wick S. А.) 326, 333, 405, 419

Цейнер (Zeuner) 44

Цитрин (Citrini D.) 395, 400

Цубер (Zuber N.) 405, 419

Цянь (Tsien L. C.) 243, 263, 351, 355, 360

Чамберс (Chambers L. G.) 404, 408, 418, 420*

Чандрасекар (Chandrasekhar S.) 326, 333

Чартерз (Charters A. S.) 385, 398

Чаплыгин C. A. 69, 82, 132, 164, 243, 247, 250, 255, 263, 427, 430

Честорман (Chesterman W. B.) 308, 330

Чизотти (Cisotti V.) 46, 50, 56, 62, 73, 82, 107, 125, 145, 146, 150, 160, 165—167, 181, 189, 190—192, 427

Чоу (Chou P. Y.) 354, 360, 392, 399

Чэпмен (Chapman D. R.) 355, 360, 386, 398

Чэпмен (Chapman L. B.) 409, 420

Шабат Б. В. 24, 102, 125, 129, 135, 137, 164, 429

Шаблевский (Szablewski W.) 397, 400

Шайд (Scheid F.) 294, 303

Шальнев K・ K- 409, 420

Шапиро (Shapiro A. H.) 249, 250, 263, 397, 400

Шаудер (Schauder I.) 195, 217, 255, 425

Шаффер (Schaffer A.) 329, 333

Шах (Schach W.) 47, 56, 298, 297, 303, 304

Швейтцер (Schweitzer P. H.) 402, 416, 418, 421

Шебели (Szebehely V. G.) 318, 331, 402, 418

Шибаока (Shibaoka Y.) 81, 83

Шилдроп (Schieldrop) 181, 192

Шиффер (Schiffer M.) 87, 124, 196, 224, 232, 240, 250, 263, 424

Шиффман (Shiffman M.) 86, 315, 318. 320, 331, 332, 427

Шлихтинг (Schlichting H.) 344, 349, 351, 352, 354, 339, 360, 384, 388, 391, 392, 394, 397—399, 400, 427

Шмидель (Schmiedel J.) 375, 380

Шмиден (Schmieden C.) 43, 55, 160, 166, 175, 176, 178, 192, 319, 331, 370, 379

Шмидке (Schmidtke E.) 377, 378, 380, 381

Шмидт (Schmidt W.) 398, 400

Шрефлер (Shreffler R. G.) 258, 265

Шрёдер (Schroder K・)337, 358

Штальман (Stallman F.) 428

Штейнман (Steinman D. B.) 362, 378

Штернберг (Sternberg W. J.) 292, 293, 302

Шу (Shu S. S.) 409, 420

Шэффер (Shaffer Р. А.) 150, 165, 299, 304

Эддисон (Addison Н.) 287, 302

Эйлер (Euler L.) 13, 34, 242, 265, 334

Эйхельбергер (Eichelberger R. J.) 24, 35

Экарт (Eckart С.) 327, 333, 407, 419

Эллис (Ellis А. Т.) 308, 326, 330, 333, 408, 420

Элрод (Elrod Н. G.) 395, 396, 400

Эмден (Emden R.) 255, 264

Эплер (Eppler R.) 185, 192, 427

Эпштейн (Epstein Р. S.) 405, 407, 419

Эрдейи (Erdelyi А.) 135, 164

Эриксон (Erickson Т. L.) 329, 333

Эрих (Ehrich F. F.) 56, 427

Эсканд (Escande L.) 377, 381

Эфрос Д. А. 73, 74, 82, 92, 188, 192

Эула (Eula А.) 386, 398

Ядов (Yadoff О.) 417, 422

Якоб (Jacob С.) 210, 249, 250, 263,

428, 430

Якоби 146, 292, 303, 427

Ямада (Yamada Н.) 340, 358

Ямпольский А, Р. 69, 82

Янг (Young D. М.) 274, 285, 290,299,

304

Яцеев В. И. 355, 360

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Вариации внутренние 232

Взрыв подводный 310

Вихри кольцевые 292

Вихрь отклоняющий 83

—полый 162

——точечный менаду двумя пластинами 158

Вход тел в воду 411

Гипотеза подобия 347, 349

Годограф скорости 36, 47

в виде кольцевого сектора 131

в виде кругового сектора 36, 78, 245

однолистный 37

Градиент температуры 406

Граница свободная 13, 21

Давление донное 15

Диффузия молекулярная 382

Дорожка вихревая 362

Жидкости, вязкость 31

турбулентная 383

—поверхностное натяжение 401

—прочность на разрыв 403

Задача определения параметров 203, 272, 277, 279

Закон Генри 402

Законы Бьеркнеса 312

— сохранения 22

Заряды кумулятивные 24, 298

Звезды нерегулярные 283, 290

Звук, возбуждение 376

Изобары и изоклины 87, 88, 274

Источник между двумя пластинами

159

Источники и вихри внутренние 157

—кольцевые 292

Источников распределение 290

Каверны 12

—газовые 309

—за клином 42

—за пластиной 38, 268, 444

—за снарядом 311

—нулевого сопротивления 216, 224

—осесимметричные 295

—параболические 92, 290

—подводные 298

—размеры 27

—• симметричные 174

— с разрежением 53, 148

— с точками возврата 160, 184, 216

—смыкание глубинное 411

—смыкание поверхностное 411

—форма асимптотическая 294

Кавитация 17, 308

—акустическая 407

—газовые ядра 404

— гребных винтов 409

—зона 316

—начальная 17, 405

—разъедание (коррозия) 408

Квадратура численная 274

Квазипериод 134

Коэффициент момента 97

—перемежаемости 387

—разрежения 15

Коэффициент сопротивления 51

—сужения 22

—ускорения 320

Кривая аналитическая 87, 232

—звездообразная 122

—спрямляемая 58

— экстремальная 235

Крылья подводные 411

Лемма Якоба 205

Линии тока свободные 21

асимптотическая форма 89

——точки перегиба 105

Масса присоединенная 113

Метод вариационный 224

—годографа 137

—интегральных уравнений 260, 293

—Некрасова 196

—неподвижной точки (Лерэ) 199

—непрерывности 216

—релаксации 283, 290, 299 一

звезды нерегулярные 283, 290

—симметризации 224

Методы вычислений 30, 267

Модель Кармана 362

—Фёппля 339

—Шлихтинга 352

Момент количества движения 97

—сил давления безграничного потока 98

—сил да вления полу безграничного потока 98

Насадок Борда 22, 438

Неравенство Йенсена 212

—Шварца 206, 207

Неустойчивость по Гельмгольцу 324, 326

—по Тейлору 324

Нить вихревая 300

Особенности, классификация локальная 59.

——топологическая 76

Особенности комплексного потенциала 84

Отображение однолистное 37

Отрыв 338, 383

—кривизна свободной границы 99

—плавный 101

—резкий 101

—условие Бриллюэна — Вилла 175

Параметризация с помощью полукруга 167

—прямоугольника 128, 129

Параметры, определение 178, 203

Пластина в свободной струе 52 струе, вытекающей из сопла

52'•

Пластины изломанные 130

—перпендикулярные к струе 138

Поверхности глиссирующие 69

—тока свободные 108

Поверхность раздела, неустойчивость 19, 322

—скольжения 19

Поле гравитационное 259

Поток безграничный 60, 89, 90, 92, 96

—полу безграничный (океан) 60,

8 A91

Препятствия звездообразные 122

—выпуклые 211

— криволинейные

течение несжимаемой жидкости 167

——течение сжимаемой жидкости 247

численные методы 278

—U-образные 143

Принцип Бриллюэна 28

—вариационный ПО

— максимума 108

—наложения 51

—непрерывности 217

—отражения (аналитического продолжения) 86, 133

—отражения Шварца 57, 90, 246,

252

Принцип уплощения эквипотенциа- лей 109

Пространство Банаха 216, 238, 205

Профиль гибкий 190

—Кирхгофа 123

—минимизирующий 228

Прямоугольник параметрический 128,

129

Пузырьки 306, 402, 413, 414

—всплывание 301

—динамика роста 405

Разрежение донное 384

Решетки профилей 188

Ряд Гарабедяна 300

Сила, вектор 87, 88

—лобового сопротивления 95—97

—подъемная 39, 95—97

Силы ударные 318

Симметризация 224

Следы 11, 16

—вязкие асимптотические 340, 389

— — количество движения 342

момент завихренности 368

—гидродинамических движителей 11, 16

—ламинарные, автомодельность 355, 392

— периодические 361

завихренность 365, 367

осесимметричные 375

—турбулентные 382, 387, 393

зона смешения 394

структура 386

Сопротивление кавитационное, минимум 123

—лобовое 95—97

Срыв, угол 39

Стенки, влияние 51

Струи 9, 60, 89

—возвратные 73, 185, 216, 444

—вязкой жидкости осесимметричные 351, 377

—из воронки 44, 256

Струи из конических отверстии 296 сопла 136, 150, 156, 189, 437 щели 45, 255, 261, 270, 438, 439

——капиллярные, устойчивость 328

—ламинарные плоские 354

—отклонение 50, 441, 442

——очень больших скоростей 257

—параллельные 65

Струи периодические 376

—ползущие 349

—пробивание мишени 48

——разделяющиеся 65, 167, 180

—распыление 416

—сверхзвуковые 255

——симметричные сталкивающиеся

48

—сливающиеся 61

—соударяющиеся 62,136,150,

297

—турбулентные 394, 395

шум 398

—удар в пластину 47, 298

—устойчивость 415

—чувствительность 378

Струйное обтекание клиньев 57, 71, 245, 436

клиньев обобщенных 57

пластин изломанных 130

——пластин нескольких 128

——чаши 299

Тела оживальной формы 280

Теорема единственности 120

—количества движения 345

— Лаврентьева 115

— Лерэ — Шаудера 199

—сохранения 368

—сравнения первая (М. А. Лаврентьева) 230

вторая I18

— существования 194

—Торричелли 22

— Фату — Привалова 103

—Штейнера 225

Теории длины смешения 395

Теория существования 199

—устойчивости по Карману 369

Течение Бобылева 42, 436

—Кирхгофа — Рэлея 433—435

—ползущее 337, 349

Течения вихревые 300

—неопределенность 64

—несжимаемой жидкости 57, 71

—сжимаемости жидкости 245

—около пластин при нулевом угле атаки 374

—осесимметричные 287

—параллельные 18

—простые 58, 71, 76, 84

——классификация 76

комплексный потенциал 61

—Рети 49

——аналоги 180

—Рябушинского 148, 186, 216, 232

— — однопараметрическое семейство 205, 444

—Рэнкина 290

—Эйлеровы 19

Точка критическая внутренняя 50, 62

—простая 84

—перегиба свободной границы 105

Точки отрыва 176

Трубка Вентури 148

—тока 60

Турбулентность, интенсивность 382

Удар конусов и клиньев 319

Уравнение Бернулли 20, 88, 249, 401

—количества движения 93

Уравнение Озеена 340, 343

—состояния 242, 251

политропическое 248

—Чаплыгина 242, 243

—годографа 241, 249

Уравнения интегральные 173, 253, 293, 260, 293

— Коши — Римана 244

—Навье — Стокса 334

—пограничного слоя 344

Ускорение жидкой сферы 317

Условие Бетца — Петерсона 14, 327

—Бриллюэна — Вилла 175

Устойчивость 328

Функции, бета 54, 73, 270

—эллиптические 136

Функция Вайнштейна 219

——двоякоквазипериодическая 135

—мероморфная 133

Число кавитации 15

минимальное 25

—Маха 242

—Рейнольдса 15

критическое 384

—Струхаля 361, 371

—Фруда 15

Щели всасывающие 71

Экстремальные кривые, аналитичность 235

Электромоделирование, ванна элект- трическая 283, 299

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода

Из предисловия авторов

Гл. I. Общие соображения

Примеры струй

Следы и каверны

План книги

Безразмерные коэффициенты

Реальные следы .

Типы кавитации

Модели параллельных течений ...

Эйлеровы течения

Свободные линии тока ......

Законы сохранения и струи

Применение законов сохранения к кавернам ..

Идеальные плоские течения

Общие теоремы

Приложения

Эффективные методы вычисления; обобщения .

Вязкость и турбулентность

Другие физические переменные

Гл. II. Годографы в виде кругового сектора

Введение

Каверна за пластиной

Подробные формулы

Каверна за клином

Струя, истекающая из воронки

Удар ?труи о пластину

Течение Рети

Приложения; принцип наложения

Разложение на простые дроби

Применение бета-функций

Гл. III. Простые течения около клиньев

Введение

Простые течения; принцип отражения....

Области изменения W простых течений

3 4 6 7 8 9

125789012

222222333

6 8 0 2 4

3 3 4 44

7 9 13 4

4 4 5 5 5

7 8 9

5 5 5

Соударяющиеся струи62

Разделяющиеся струи65

Физические приложения69

Простые течения около клиньев71

Возвратные струи 73

Геометрическая классификация простыхтечений76

Течение с годографами в виде круговогосектора78

Другие примеры80

Гл. IV. Общая теория

Особенности функции W(T)84

Принцип отражения (аналитического продолжения)86

Асимптотическая форма свободных линийтока89

Уравнение количества движения93

Лобовое сопротивление и подъемная сила95

Момент 97

Кривизна' в точке отрыва потока99

Перегибы свободных границ105

Свободные поверхности тока118

Вариационный принцип 110

Распространение на безграничный поток112

Теорема Лаврентьева 115

Вторая теорема сравнения 118

Теорема единственности 120

Минимум кавитационного сопротивления123

Гл. V. Обтекание нескольких пластин

Параметрический прямоугольник . . 128

Случай 加 пластин129

Годограф в виде кольцевого сектора131

Метод отражения133

Соударение струй, истекающих из сопел.I.. . 136

Пластины, перпенпнкулярнь1е к струе138

Комплексная координата . 140

U-образные препятствия 143

Течения Рябушннског。 .. 148

Соударение струй, истекающих из сопел. 11150

Общие формулы153

Пластина в струе вытекающей из сопла156

Внутренние источники и вихри 157

Каверны с точками возврата 160

Полые вихри 162

Гл. VI. Криволинейные препятствия

Параметризация с помощью полукруга167

Функция Q(f)169

Геометрическая интерпретация 170

Основные интегральные уравнения 173

Симметричные каверны174

Условие отрыва Бриллюэна ——Вилла 175

Несимметричный случай; проблемапараметров178

Аналоги течения Рети180

Физические приложения . 182

Каверны с заостренными концами184

Возвратные струи185

Течения Рябушинског。 186

Решетки профилей188

Другие примеры 189

Гл. VII. Теоремы существования и единственности

Историческое введение 194

Почти плоские препятствия 196

Метод неподвижной точки Лерэ199

Задача определения параметров203

Лемма Якоба 205

Выпуклые препятствия211

Метод непрерывности 216

Функция Вайнштейна219

Единственность 221

Вариационный метод; симметризация 224

Минимизирующий профиль 228

Внутренние вариации 232

Аналитичность экстремальных кривых235

Гл. VIII. Течения сжимаемой и тяжелой жидкости

Уравнения годографа 241

Уравнение состояния Чаплыгина 243

Течения около клиньев245

Криволинейные препятствия 247

Политропическое уравнение состояния 248

Общее уравнение состояния 251

Интегральные уравнения 253

Сверхзвуковые струи 255

Струи очень больших скоростей257

Потенциальные течения в гравитационном поле259

Метод интегральных уравнений260

78002468036677777788222222222278002468036677777788222222222278023467801889999999^02222222223378023467801889999999^02222222223368 9 124789024568 8-68 9 124789024568 8-

7800246803

6677777788

2222222222

7800246803

6677777788

2222222222

78023467801

889999999^0

22222222233

78023467801

889999999^0

22222222233

68 9 124789024568 8-

68 9 124789024568 8-

Гл. IX. Применение численных методов

Общие замечания

Каверна за пластиной

Истечение струй из щели

Неполные бета-функции

Задача определения параметров

Изобары и изоклины

Связаннее методы

Криволинейные препятствия

Теоретические соображения

Другие методы

Гл. X. Осесимметричные течения

Типичные задачи

Потенциальная теория

Распределение источников вдоль оси .....

Источники и вихревые кольца

Метод интегральных уравнений

Приближенные методы

Струи, истекающие из конических отверстий .

Соударение струй

Подводные каверны

Вихревые течения

Всплывание пузырьков в трубах .......

Гл. XI. Неустановившиеся потенциальные течения

Сферические паровые пузырьки ........

Кавитация в поле переменного давления ...

Каверны, заполненные газом

Неустановившиеся каверны за снарядами ...

Движение пузырьков; законы Бьеркнеса ...

Присоединенная масса кавитационного течения

Ускорение жидкой сферы

Ударные силы

Удар конусов и клиньев

Постоянный коэффициент ускорения ；

Устойчивость плоскости раздела

Неустойчивость по Тэйлору

Сферические и цилиндрические пузырьки ...

Неустойчивость по Гельмгольцу

Устойчивость капиллярных струй

Устойчивость других конфигураций .....,

Гл. XII. Установившиеся вязкие следы и струи

Постановка краевой задачи

Критический обзор

Следы в ползущих течениях

Отрыв потока

Асимптотическая структура следа

Количество «движения следа

Уравнения Озеена

Приближение пограничного слоя

Теорема количества «движения

Гипотеза подобия

Ползущие струи .

Инерционные эффекты

Модель Шлихтинга

Ламинарные плоские струи

Точная автомодельность

Гл. XIII. Периодические следы

Основные факты

Модель Кармана

Скорость схода вихрей

Завихренность и количество движения следа ....

Завихренность и лобовое сопротивление ....

Теорема сохранения

Теория устойчивости по Карману

Число Струхаля

Дополнительные эффекты

Пластинка при нулевом угле атаки

Осесимметричные периодические следы

Периодические струи; возбуждение звука

Осесимметричные струи

Гл. XIV. Турбулентные следы и струи

Общие замечания

Отрыв течения

Донное разрежение ...

Структура следа ..

Турбулентный след ...

Понятие длины смешения .,..

Асимптотическое поведение следа

Следы гидродинамических движителей

457802345791245333344444445556 &заазззззз457802345791245333344444445556 &заазззззз1245789134567124578913456723467892 4.23467892 4.Зона смещения

457802345791245

333344444445556 &заазззззз

457802345791245

333344444445556 &заазззззз

1245789134567

1245789134567

23467892 4.

23467892 4.

Структура струй 394

«Теории» длины смешения395

Дополнительные данные397

Гл. XV. Различные экспериментальные факты

Общие замечания401

Образование пузырьков и кипение402

Прочность жидкостей на разрыв403

Динамика роста пузырьков 405

Акустическая кавитация407

Кавитационные разрушения408

Кавитация гребных винтов 409

Масштабные эффекты при входе в воду .. . .411

Отделение пузырьков413

Устойчивость струй 415

Распыление струй416

Другие конфигурации струй 417

Литература 423

Дополнительная литература 428

Диаграммы 1 — 11 431

Именной указатель 445

Предметный указатель457

Г. Биркгоф, Э. Сарантонеллоструи, СЛЕДЫ И КАВЕРНЫ

Редактор А. С. ПоповХудожник Ф. Л. ЛейнХудожественный редакторВ. И. ШаповаловТехнический редактор Л. /7. Кондюкова

Сдано в производство 8/IV 1934 г.

Подписано к печати 5/Х 1964 г.

Бумага бОхЭО1/^- 14,6 бум. л.

29,5 печ. л.

Уч.-изд л. 27. Изд. № 1/1480Цена 2 р. 09 к. Зак. 322(Темплан 1964 г. Изд-ва ИЛ, пор. № 28)

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР»Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ленинградская типография № 2имени Евгении Соколовой«Главполиграфпрома»Государственного комитетаСовета Министров СССР по печати.

Измайловский проспект, 29.

то можно получить в качестве предельного случая половину

течения от неограниченного потока, набегающего перпендику

лярно на две равные и симметрично расположенные пластины.

Вышеприведенная формула показывает, что при этом CD становится равным 2к/(к + 4), т. е. коэффициенту сопротивления

одиночной пластины 10).

В интересном случае струи, набегающей перпендикулярно

и симметрично на перфорированную стенку (рис. 55,8), половина течения определяется в результате подстановки Xi = Кз,

%2»=0 н #з = Кз —，К；・ Естественно, что & ■ 1, G』L Сз 匸一厶

Последний интеграл можно мажорировать с помощью теоремы

Рисса ”)，а два других интеграла, если 1 < р < 冗/2丁，по лемме 1,

поэтому

3 心W—g