Список обозначений

Замечание. Не приводятся некоторые обозначения с верхними или нижними индексами, употребляющиеся только в одной из глав 5, 7—12. Это же относится к изменению значения некоторых символов. Идентификаторы на языке ФОРТРАН, используемые в программах, не приводятся.

а

А

Az (п)

6 S ср, су

% Со

. с' Ст Сг // Ср

de C

d etr eint e Ea Ec

5f t to

to F pN F

h Н

й(Т)

скорость звука постоянная, или параметр, уточняемый в тексте определенный интеграл, в котором используются степенные потенциалы, выражение (4.54)

параметр в парном столкновении, прицельное расстояние постоянная, или параметр, уточняемый в тексте

удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно

наиболее вероятная тепловая скорость, ст = I/р среднеквадратичная тепловая скорость

средняя, среднемассовая, или скорость потока, для простого газа Со = с, для смеси с0 определена равенством (1.37)

тепловая, собственная или случайная скорость молекул, с' = с — Со скорость центра масс сталкивающихся молекул относительная скорость двух-молекул

скорость, определяемая для молекул сорта (компонента) р в виде

ср ~ ср ср.

элемент объема в пространстве скоростей de = dudvdw постоянная, уточняемая в,тексте

диффузионная скорость молекул сорта (компонента) р, Ср = ср — с0 эффективный, или номинальный, диаметр молекулы

удельная энергия поступательного движения, равенство (1.21) удельная энергия внутренних степеней свободы единичный вектор энергия активации

фиксированная энергия при столкновениях; полная энергия при столкновениях

энергия относительного'поступательного движения при столкновениях нормированная функция распределения скоростей, равенство (3.1) максвелловская, или равновесная, функция распределения скоростей, равенство (3.46)

Функция распределения модуля вектора скорости молекул величина силы; кумулятивная функция распределения ^-частичная- функция распределения, равенство (3.7) сила взаимодействия молекул; внешняя сила на. единицу массы функция распределения в фазовом пространстве, равенство (3.5) постоянная Планка, h = 6.6256-10-34 Дж-с; расстояние л-функцня Больцмана, равенство (3.40) момент инерции молекул константа скорости реакции

1414

14

14

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

1, 2 номер молекулы" или класса молекул,

р, qномера сортов (компонентов) смеси

сзначение в пределе сплошной среды

fсвободномолекулярное значение,■

iприлетающие; падающие; начальные

готраженные; относительные

ооневозмущенное значение.

wзначение на поверхности

х, у, г составляющие в направлениях х, у и г соответственно

Молекулярная модель

- • 1.1. ВВЕДЕНИЕ '

Газовый поток можно описывать на макроскопическом или микроскопическом уровне. Макроскопическая модель рассматривает газ как континуум, и соответствующее описание дается зависимостями .макроскопических скорости, плотности, давления и температуры от координат и времени. Микроскопическая, или молекулярная, модель представляет корпускулярную структуру газа как мириады дискретных молекул и в идеале содержит информацию о положениях и. скоростях каждой молекулы в любой момент времени. Однако Такое подробное описание вряд ли нужно для практики. Поэтому газовый поток почти всегда описывается с помощью макроскопических величин. Таким образом, эти две модели различаются только подробностью описания, а не самой его природой. Настоящая книга рассматривает микроскопический, или молекулярный, подход, и первый вопрос, на который надо ответить, состоит в том, можно ли на этом пути решить задачи, которые не могли быть решены на основе обычного континуального подхода.

Макроскопические величины в любой точке потока можно отождествить со средними значениями соответствующих молекулярных величин,' причем эти средние берутся по молекулам в окрестности данной точки. Континуальное описание справедливо до тех пор, пока физически малый объем содержит еще достаточное число молекул для установления средних величин.

Существование формальной связи между, макро- и микроскопическими величинами означает,' что- уравнения, выражающие сохранение массы, количества движения и энергии в потоке, могут быть получены любым из этих подходов. Из этого можно было бы сделать вывод, что каждая из этих моделей может дать только ту информацию, которая также содержится и в другой. Однако надо помнить, что уравнения сохранения не образуют замкнутую систему, если напряжение и тепловой, поток не выражены через другие макроскопические величины'!? Невозможность удовлетворить этому последнему условию, а не нарушение континуального описания накладывает ограничение

' 1

может быть точно и однозначно определена. Однако результа взаимодействия двух' молекул можно вычислить, зная меж^ лекулярное силовое поле. Типичная зависимость силы взаимс действия между нейтральными молекулами от расстояния м^ жду нимй показана на рис. 1.2. При больших расстояниях э^ сила, по- существу равна нулю. Когда молекулы достаточй сближаются, чтобб! началось взаимодействие, она является ср лой слабого притяжения. При ■ дальнейшем сближении - он

Рис. 1.1. Столкновения между двумя твердыми сферами диаметра d. _ i уменьшается и превращается в сильно отталкивающую на Mil лых расстояниях. Межмолекулярная сила в двухатомном и^ одноатомном газе обычно зависит от ориентаций молекул. Д| намика столкновений будет подробно рассматриваться в § 2| где также будут обсуждаться методы вычисления _ сечены столкновений и эффективные молекулярные диаметры. Следу! заметить, что сечение столкновений обычно является функций относительной скорости между сталкивающимися молекулами ■ Относительная часть всего объема газа, которая действ| тельно содержит молекулу, имеет порядок (с?/6)3. Равенс-тЯ (1.3) показывает, что для достаточно низких плотностей р^ стояние между молекулами 6 велико по сравнению с эфф^ тивным молекулярным диаметром ,d. Таким образом, толь| чрезвычайно1 малая часть пространства действительно заня| молекулами, поэтому каждая молекула в основном движет! свободно в пространстве, лежащем .вне области влияния ДруЯ молекул. Более того, столкновение молекул, несомненно, моя<|

считать парным, т. е. включающим еще только одну молекулу. Такое положение можно охарактеризовать условием

.(1.5)

которое и определяет совершенный *) газ.-

■ Временной масштаб микроскопических процессов определяется средним временем между столкновениями, которое пр определению есть средний- временной интервал между последо-

Рис. 1.2. Типичная зависимость силы взаимодействия между молекулами от расстояния между ними..

вательными столкновениями, испытываемыми типичной молекулой. Чаще используется обратная величина, которая называется средней частотой столкновений у, приходящейся на молекулу. При выводе, выражения для этой величины мы остановим наше внимание на типичной молекуле, которую будем называть пробной. Скорости других, или полевых, молекул, среди которых движется пробная., молекула, .распределены по произвольному закону. ' *

Рассмотрим полевые молекулы со скоростью, лежащей между с и с + Ас. Эти молекулы -будут называться молекулами класса с, а их числовая плотность будет обозначаться через Ап. ^сли скорость пробной молекулы равна ct, то ее скорость относительно полевых молекул класса с равна сг = Ct — с. Вы- ерем систему отсчета, в которой пробная молекула движется

«разве ^ВТ°Р-ПРименяет теРмин dilute gas—разреженный газ. Выше термин лят Е™ейный газ» уже использован для определения газа при больших чис-

Кнудсена. — Прим., ред. ~

P(N) того, что число молекул в точности равно N, дается рас пределением Пуассона: .

PW = ^exp<-nVy

Стандартное отклонение этого распределения равно (nizp/j что соответствует относительному отклонению- от среднего нй величину (пУ)~1/2. Для больших значений nV распределение нЗ

nVnVРис. 1.4. Границы статистических флуктуаций N в" зависимости от среднего, значения N = nV (в р % случаев значение N]nV окажется в обозначенных х границах); р = 50% () £=95% (—)• р = 99;5% (----).|Рис. 1.4. Границы статистических флуктуаций N в" зависимости от среднего, значения N = nV (в р % случаев значение N]nV окажется в обозначенных х границах); р = 50% () £=95% (—)• р = 99;5% (----).|

nV

nV

Рис. 1.4. Границы статистических флуктуаций N в" зависимости от среднего, значения N = nV (в р % случаев значение N]nV окажется в обозначенных х границах); р = 50% () £=95% (—)• р = 99;5% (----).|

Рис. 1.4. Границы статистических флуктуаций N в" зависимости от среднего, значения N = nV (в р % случаев значение N]nV окажется в обозначенных х границах); р = 50% () £=95% (—)• р = 99;5% (----).|

Ч (У-г/гУ)2 ’ I 2nVЧ (У-г/гУ)2 ’ I 2nVотличается от нормального или гауссова распределения’И Ожидаемая величина отклонения иллюстрируется на рис. 1.41 Видно, что имеется значительное отклонение, если макровели'З чина определена меньше чем по 1000 молекулам. Уравнение (1.3) позволяет записать nV как У/б3, где 6 — среднее межмоле* кулярное расстояние. Поэтому для получения достоверного результата макроскопической величины посредством 'усреднения по молекулам в малом элементе объема требуется, чтобы ти-

Ч (У-г/гУ)2 ’ I 2nV

Ч (У-г/гУ)2 ’ I 2nV

пичный размер У1/3 элемента удовлетворял условию'

.-' ,И/3>д. '.(1.Ю)

Если размеры элемента объема сравнимы с характерной длиной макроскопических градиентов, то макроскопические величины, вычисленные усреднением по молекулам в этом элементе, будут зависеть от размера этого элемента. Для трехмерного течения с градиентами во всех направлениях это ведет к требованию, чтобы УУ3 было гораздо меньше размера L. Однако для одномерного или двухмерного потока объемный, элемент может быть удлинен в направлении или направлениях с нулевыми, градиентами. Это значит, что размер в направлении градиента можно сохранять малым по сравнению с масштабной длиной L, а объем достаточно большим, чтобы удовлетворять условию (МО), хотя У1/3 может быть больше L.'1

. Вышеизложенное обсуждение имеет дело лишь1 с мгновенными средними в потоке. Прежде чем вывести условия, которые позволяют определить достоверные макроскопические величины в потоке, необходимо рассмотреть еще два типа средних. Первый тип определяется суммированием соответствующих свойств молекул в объеме . в течение достаточно продолжительного временного интервала. Это —среднее по времени. Оно позволяет описать любой установившийся- поток с помощью вычисленных так макроскопических величин. Второе среднее есть мгновенное среднее, взятое по элементам объема в произвольно большом ансамбле аналогичных систем. Это среднее по ансамблю может быть определено тогда, когда можно многократно повторять эксперимент . или .вычисление. Почти любой поток можно описать при помощи макроскопических величин, являющихся средними по времени или ансамблю. Такое описание по существу является вероятностным, и необходимо учитывать флуктуации, Если для описания потока можно использовать как средние по времени, так и средние по ансамблю, то в этих случаях нужно ожидать, что оба описания будут идентичны. Тогда молекулярное движение называют эргодичным.

Остальные представляющие интерес макроскопические величины связаны с переносом вследствие молекулярного движения массы, количества движения и энергии в газе. Прежде-чем перейти к рассмотрению этих величин,' проанализируем общее свойство потока некоторой величины Q через элемент поверхности в некоторой точке газа. Эта величина устанавливает связь между потоком и средними, вычисленными по молекулам элементе объема в той же самой точке.

Элемент поверхности характеризуется площадью AS и еди- смЧНЫМ Н0Рмальным вектором е, как показано на рис. 1.5. Рассмотрим молекулы класса с со скоростью между с и с^-Ас, я

так что средняя тёпЛовая скорость равна, нулю в простом газе. ^ Остальные макроскопические величины определяются средними, j взятыми по тепловым скоростям молекул. Поэтому, чтобы упро- 3 стить анализ этих величин, будем рассматривать элемент газа 1 как систему, движущуюся с местной скоростью течения. I

Вектор потока, обусловленный переносом тепловыми скоро-1 стями, равен nQc', а выражение для переноса количества дви- J жения тепловым движением получается, если положить Q рав*1 ным те!. Замечая, что количество движения есть векторная ве- я личина, приходим к выводу, что результирующее выражение | есть тензор'с девятью, декартовыми компонентами, называемый £ тензором напряжений р:

р = nmcV = pcV. '■ (1.17) J

Он лучше всего объясняется с помощью отдельных компонент.'! Пусть и', у' и -а/— компоненты скорости с' в направлениях xvl у и 2, и в качестве примера рассмотрим компоненту х потока! количества движения в направлении у. Положим Q = mu' выберем элемент поверхности в плоскости х, 2 так,, чтобы нор- '• маль лежала в направлении у. Соответствующая компонента •; равна .'• ''"

'РхЦ = Ри'у', '

а полный набор есть■

.. . Рхх = рм'2, Рху = PUV, рхг — рм V,'

' (1.18) лр можно(1.18а)' (1.18) лр можно(1.18а)Рух = Рху, РЯи = РУ . Pyz = P«w',

' (1.18) л

р можно

(1.18а)

' (1.18) л

р можно

(1.18а)

- :У '

-Pzx = Px^Ргу^Руг, -Ргг = PW .

Эти девять равенств (1.18) для компонент тензора записать короче следующим образом:

Рц = рсУр

где индексы г и / изменяются от 1 до 3. Значения 1, 2 и 3 можно 1 отождествить с компонентами вдоль осей х, у, г соответ- I ственно, т. е.J

.' c'xsu\ с'> = у', с' = ш'..1

Скалярное давление р обычно определяется как среднее значение трех нормальных компонент тензора напряжений, т. е. | .p^lsp^u'1-Vv,1-Vw,^ = xlapc,<i. ■(1.19)

Если газ находится в равновесии, то три нормальные компо- ! ненты равны, и давление равно произведению плотности и сред* i

ПРОСТОЙ РАЗРЕЖЕННЫЙ ГАЗ. 27

'-_____

него значения квадратов компонент тепловой скорости в любом направлении..

Рассмотрим случай, в котором газ ограничен твердой по- вепхностью, и выберем направление нормали к этой поверхности. Если газ находится» в равновесии с поверхностью, то молекулы, отраженные от нее, не будут отличаться от молекул, которые появились бы при воображаемом продолжении газа на другУю сторону поверхности. Давление р можно тогда отождествить с нормальной силой, с которой газ действует на единицу площади этой поверхности. Однако в неравновесном случае давление, определяемое равенством (1.19), не идентично нормальной силе, действующей на единичную площадь элемента твердой поверхности. Последняя величина является обычно практически очень важной, и, когда возникает двусмысленность, следует иметь в виду, что'термин «давление» обычно применяется к нормальной силе на, единицу площади.

Тензор вязких напряжений % определяется как отрицательная величина разности тензора напряжений и скалярного давления, образованного из нормальных компонент. Удобнее его представлять в компонентах или в индексной записи:

т^тг/ = -(рсХ/-бг/р),(1.20)

где 6ц—.символ Кронекера:

6^=1, если i = L и 6^ = 0, если i^j.

Средняя кинетическая энергия, связанная с тепловым или поступательным движением, есть тс,2/2, и’ удельная энергия, связанная с этим движением, равна

еъ=Ч^.(1.21)

Последнее можно объединить с выражением (1.19), что дает Уравнение

Р = 2/зрещ которое естественно сравнить с уравнением состояния идеального газа:

p = ’pRT = nkT.(1.22)

Здесь к— постоянная Больцмана, которая зависит от универсальной газовой постоянной 5? посредством равенства к = ^SlIJV. Кроме того, имеем т = Ж jJC и обычная газовая постоянная R=9l^, следовательно, к = mR. Термодинамическая температура Т— это по существу свойство равновесного газа, но вышеприведенное сравнение показывает, что уравнение Состояния идеального газа применимо к совершенному газу

Заметим, что, когда р = q, это выражение учитывает каждое столкновение дважды. Выражение (1.33) можно просуммировать по всем молекулам сорта q, тогда получим, что общее число столкновений на единицу объема в единицу, времени, которые включают молекулы сорта р, paBHo*nPvp. Его в свою очередь можно просуммировать по всем сортам р для определения общего числа столкновений Мс в единицу времени на единицу объема. При этом все столкновения считаются дважды, поэтому вводится множитель симметрии 7г, что дает ■ -

. Nc = 72 S («PvP) = Н^, ‘ " . p=i . - . ; -

^ак ожидалось из выражения (1.7). 7 - ■ Средняя длина свободного пробега для молекул сорта р равна ее средней тепловой "скорости, деленной на ее частоту столкновений, т. е_.

а средняя длина свободного пробега для смеси выражается в виде■

.X =■(1.35)

.•P=1''

Макроскопическая плотность равна суммр отдельных плотностей сортов и может быть записана как

.•Р = Z (трпр).■(1.36)

'Р=1. .

Скорость течения с0 определялась для простого газа таким образом-, чтобы. рс0 была равна вектору потока массы молекул. Аналогичная процедура для газовой смеси дает'" ■

zco=^(Wp)vО-37)

.P=i■

ДЛя газовой смеси Со называется среднемассовой скоростью. Это не средняя скорость, а взвешенная средняя, учитывающая каждую молекулу пропорционально ее массе/ Количество движения газа таково, как если бы все молекулы двигались, со скоростью со, и именно эта скорость появляется в уравнениях сохранения. - •.•.'\

Тепловая скорость с' каждой молекулы, как и прежде, измеряется относительно со, т. е. ,...■

1. С. с Cq,,

и средняя тепловая скорость сорта р есть ' ■ .< = ср-с0.(1.38)

Следовательно, средняя тепловая скорость определенного сорта равна его средней скорости относительно среднемассовой. Эта величина называется, диффузионной скоростью и обозначается через Ср. Таким образом,•

. Ср = с^ = ср-с0. '. (1.39)

Определения тензора напряжений, давления, тензора вязких напряжений, поступательной кинетической температуры и вектора теплового потока справедливы для газовой смеси, если учесть массы молекул при усреднении. Например, давление равно- ..•

Р = х'к^прт/р=А1уг^Д(пр1п^пгос^\ . '.

ИЛИ■2 '■-

’ p — lknmc'2. ■ ,(1.40)

Поступательная кинетическая температура теперь определяется так: .■■

. " 3№ = Ч2тс'\ •(1.41)

и в равновесном газе 7\г одять. можно рассматривать просто как температуру смеси, подчиняющейся уравнению состояния идеального газа. .

В неравновесном случае удобно определять-температуру отдельных сортов так, чтобы она служила количественной мерой степени неравновесности между сортами. Равенство (1.41) можно записать в виде -1..■

и очевидным определением поступательной кинетической температуры сорта является равенство

Wtr/=72mp<. ■ '. (1.42)

Однако тепловая скорость с' измеряется относительно среднемассовой скорости Со, которая включает все сорта. Поэтому необходимо связать кинетическую температуру, определяемую равенством (1.42), с температурой этого сорта, вычисленной по 'тепловой скорости с", измеренной относительно средней скорости ср данного сорта:. '■■

с;=ср-^(1.43)

требуется, чтобы число Кнудсена Кп = %/Л было мало по ср£ нению с единицей,- и соответственно . в качестве предельно5 выбрано значение Кп = 0.1. Это разумное предположение, е& L определяет линейный 'масштаб измерения соответствую^

Рис. 1.6. Границы основных приближений (d = 3.7 • 10~10 м). 1—значи' ные флуктуации; 2:— незначительные флуктуации; 3 — необходимо микрб" пическое описание; 4 — справедливо континуальное описание (уравнс Навье — Стокса); 5 — совершенный газ; 6 — плотный газ; Кп = XjL'=4 £/6=100; ---.6/d = 7., J

макроскопической переменной. Например, при обтекании т< число Кнудсена, определенное по характерному размеру те можно использовать для определения области пригодности к< тинуального подхода для описания всего течения. Однако у$ нения-Навье — Стокса в пограничном слое теряют силу, ко) число Кнудсена, определенное по толщине пограничного с§ приближается к значению 0.1. Это обычно имеет место, ко число Кнудсена, основанное на характерном размере тела, ) меньше. Далее, при более высоких плотностях может вози

ть необходимость изменить граничные условия для уравнения Навье — Стокса, допустив конечный скачок скоростей на . твердой поверхности.'"

В § 1.1 говорилось, что континуальное описание справедливо по тех пор, пока физически малый объем в потоке содержит достаточное число молекул для установления значимых средних. Это верно в том смысле, что газ вряд ли можно описать как континуум, когда имеют место значительные флуктуации макроскопических величин. Однако . мы видели, что применение средних по ансамблю или по времени позволяет дать вероятностную трактовку макроскопических, или континуальных, величин, несмотря на флуктуации. По этой причине мы будем , отождествлять третий предел с появлением значительных флуктуаций, а не с «нарушением- континуального описания». Критерий для этого предела определяется здесь равенством Л/6 = = 100. Это соответствует значению L, в 10 раз большему; чем сторона кубического элемента, содержащего 1000. молекул. Из рис. 1.4 видно, что плотность в таком элементе имела бы статистические флуктуации со стандартным отклонением прибли- , зительно 3%.,..

' Характерным для рис. 1.6 является то, чт.о линии, описы- ‘ вающие пределы, пересекаются, в одной точке. Несмотря на- то что предельные значения определены с известным произволом, этот факт нельзя существенно изменить иным разумным выбором этих ..значений. Поэтому можно утверждать, что граница применимости уравнений Навье — Стокса всегда лежит между границей совершенства газа и границей значительных флуктуаций. Поэтому, когда плотность и (или) характерный размер уменьшаются в совершенном газе,, уравнения Навье — Стокса перестают быть верными прежде,.чем уровень статистических флуктуаций становится значительным. Чем разреженнее газ, тем больше расхождение между этими пределами. С другой стороны, значительный уровень флуктуаций может быть и в плотном газе, даже если уравнения Навье — Стокса справедливы; Например, теория броуновского движения частично основана на этих уравнениях, хотя само это явление есть следствие значительных статистических флуктуаций. '

Ранее отмечалось, что существование направлений с нулевыми макроскопическими градиентами может повлиять на определение границы влияния флуктуаций. Применительно к Рис. 1.6 это означает, что в некоторых случаях может быть необходимо определить различные характерные размеры при уста- овлении различных границ. Например, рассмотрим одномер. ыи перенос тепла между параллельными пластинами. Харак- ерным размером для числа Кнудсена является, .очевидно, рас- °яние между пластинами, но размер L, входящий в отноше-

Молекулаи» м/с0, м/сСУ, м/с1320—423—2682—463197.'.2993 .—217—254— 1084346291—2125. -510320 .—508-6'243—217'375 „7 .' 478; .3652518— 172285—3669523336—481' 10-387. 256 -178Молекулаи» м/с0, м/сСУ, м/с1320—423—2682—463197.'.2993 .—217—254— 1084346291—2125. -510320 .—508-6'243—217'375 „7 .' 478; .3652518— 172285—3669523336—481' 10-387. 256 -17844

Молекула

и» м/с

0, м/с

СУ, м/с

1

320

—423

—268

2

—463

197.'

.299

3 .

—217

—254

— 108

4

346

291

—212

5

. -510

320 .

—508

-6

'243

—217

'375 „

7 .

' 478; .

365

251

8

— 172

285

—366

9

523

336

—481

' 10

-387

. 256 -

178

Молекула

и» м/с

0, м/с

СУ, м/с

1

320

—423

—268

2

—463

197.'

.299

3 .

—217

—254

— 108

4

346

291

—212

5

. -510

320 .

—508

-6

'243

—217

'375 „

7 .

' 478; .

365

251

8

— 172

285

—366

9

523

336

—481

' 10

-387

. 256 -

178

4

4

Вычислите компоненты скорости потока и кинетическую температуру газ® в этом объеме. Заметьте,' что результат упр. 1.5 может быть использовав чтобы'избежать вычисления компонент тепловой скорости. (Ответ: Ыо.= 16.1-| Vo = 115.6, шо = —84.0 м/с, Т = 522.5 К.)-

Рассмотрите кубический элемент газа, длина стороны которого равна средней длине свободного пробега. Покажите, что число молекул в элемент^ обратно пропорционально квадрату плотности и что- полная частота столкнм вений в элементе обратно пропорциональна плотности.

Покажите, что полный (т. е. основанный на молекулярных скоростях с| а не тепловых скоростях с') поток х-компоненты импульса в направлении л| в простом газе есть '3

рии = ри'.и' + p«ovo = рХу + p«ovo.|

Аналогично покажите, что полная поступательная энергия молекул, прм холящаяся на единицу объема (или плотность поступательной энергии), .а простом газе равна- J

VzPP2 = х1аР^2 + ЧарСо = s!apRT tr + Угрсо--4

Результаты упр. 1.8 показывают, что для потока импульса и плотности энергии в простом газе несущественны перекрестные произведения, вклфчакЯ щие тепловую скорость и скорость течения. Выведите следующий результат;]! покажите,, что подобная связь существует и для теплового потока: *Я

хкри<? = У*ры'с/2 + Р«о (Час'2 + VsCp) + ри0и'2 + poQu'u' + pw^u'w'-Л

■ Г.10. Проверьте уравнение (1.44).■Я

Покажите, что плотность поступательной энергии в газовой смеси равна - Ча У, npmpC2 = 8l1nkTtTA-xl<ipco, .|

и, замечая, что газовая постоянная в газовой .смеси есть R = пк!р, убедитесь! что этот результат аналогичен результату с простым газом в упр. 1.8.

Среднее число, молекул в объеме V макроскопически однородного газа с числовой плотностью п есть nV. Покажите, что для nV 3> 1 вероятноед того, что действительное число молекул находится в пределах ± А л/nV 0^ среднего, есть erf (А/V^")-.Ч

2

Парные упругие столкновения

АНАЛИЗ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Мы видели, что столкновения молекул в совершенном газе являются парными, т. е. в столкновении участвуют только две молекулы. Упругое столкновение определяется как столкновение, в котором не происходит обмена между поступательной и внутренней энергиями. Скорости двух молекул до столкновения в типичном парном столкновении можно обозначить через Ci и с2. Пусть даны физические свойства молекул и ориентация траекторий. Наша задача состоит в определении скоростей с, и с2. после столкновения.- .

Импульс и энергия при столкновении должны сохраняться. Это означает, что.

mIcI4-m2c2 = mIc; + m2c* = (mI + m2)cfil .(2.1)

и_." '

т^+ т2с^ = т^ + т2с^.’(2.2)

Здесь nt\ и m2 — массы двух молекул и Ст —скорость центра масс пары молекул. Уравнение (2.1) показывает, что столкновение не влияет на скорость центра масс. Значения относительной скорости между молекулами до и после столкновения можно определить так:

(2.3(2.3'Сг = С1-С2

(2.3

(2.3

и. *■

Уравнения (2.Г) и (2.3) можно разрешить относительно С] и с2, тогда получим .-•.

Ci — cm + ^ + m2 сг-

и"■(2.4)

°2 ~ Ст . mi + m2 Cr-'

Скорости до столкновения относительно ' центра масс есть ci~~cm и с2 — ст. Уравнения (2.4) показывают, что эти скоро-

Вышеизложенные результаты обобщены на рис. 2.1. Переход! от лабораторной системы координат к системе центра масс сво-' дит траектории в единую плоскость и показывает их симметрию около линии центров АА'. Эта симметрия отражает симметрий? уравнений относительно скоростей до и'после столкновения! Дальнейшее следствие этой симметрии становится очевидным] если мы рассмотрим такое столкновение между двумя молекул лами со скоростями с* и Cg, что расстояние между их невоз-: мущенными траекториями в системе центра масс опять равно 6.< Это столкновение приводит к скоростям Cj и Сг после стодкно-

Рис. 2.2. Прямое и обратное столкновения частицы приведенной массы е не-^ подвижным центром'рассеяния.■_’ "

вения и называется обратным первоначальному, или прямому,' столкновению. Траектории прямых и обратных столкновений по-; казаны, на рис. 2.2. . ■

- 2.2. ПАРАМЕТРЫ И СЕЧЕНИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ J

■ Помимо поступательных скоростей двух соударяющихся мо-'Й лекул, необходимы еще "два параметра столкновений, чтобы Я полностью определить парное упругое столкновение между сфе-I рически симметричными, молекулами. Первый —это расстоянием наибольшего сближения b невозмущенных траекторий в системе^ центра масс. Плоскость, в которой лежат траектории в-такойд системе, называется плоскостью столкновения. Второй пара-М метр — это угол между плоскостью- столкновения и некоторой'! плоскостью — плоскостью начала отсчета углов. Как показано! на рис. 2.3, линия пересечения плоскостей столкновения и от-1 счета углов параллельна сг. Рассмотрим плоскость, нормальт.1 ную к Сг и содержащую точку О, тогда дифференциальное се-3 чение adti для столкновения с параметрами удара b и е опре- ;

деляется в виде ‘ . od& = bdbds,(2.11)

где dU— элемент телесного угла около вектора Сг. Из рис. 2.3 очевидно, что'

.dQ = sin%d%de,.(2.12)

так что'

Полное сечение столкновений от определяется следующим образом:'.

" ,- 4л•

. ат = ^ adQ = 2n ^ о sin%d%. -(2.14)

' ■-оо '

Для реалистичных моделей молекул этот интеграл расходится и необходимо ввести эффективные, или номинальные, сечения столкновений. ‘

ДИНАМИКА СТОЛКНОВЕНИЙ

■ В полярных координатах г, 6, используемых на рис. 2.1, момент количества движения и энергию частицы приведенной массы тг, движущейся в силовом поле с центром в точке О, можно приравнять предельным значениям этих величин при г-* со, тогда уравнение момента количества движения есть .r29 = const s= bcs, '(2.15)

с точечным, центром отталкивания и определяют1 так:- X

•-F = 7,ir\

или.'(2.23

Ф = %/{(т] —l)^-1}.:

Отношение потенциальной энергии к кинетической на бескопеч)

ности равно- •

*/2»ггСг (n-Dm^""1 П —1 V^oJ ’

где Ц70— второй безразмерный параметр столкновения, ойреде ляемый равенством

•-,2\1/СП-1)‘J

.'(2.24)

Из уравнений (2.19)— (2.21) можно теперь получить угол от!

кЛонения:..•<

х-„-2${1-ТГ=-^(^)} ОТ, (2.25Я

.о-

где I?7! — положительный корень уравнения’

Заметим, что для данного ц величина % есть функция лишь без* размерного параметра удара IFo. Зависимость % от одного п^ раметра есть основная причина удобства и распространенно, сти степенного закона. Дифференциальное сечение столкнове) ний есть функция от сг. Для фиксированной величины сг выра1 жение (2.24) и его производная могут быть подставлены i (2.11), что Дает . -i

odQ = W0(-^\ - dWode.(2.26)8

' I me )

Для любой конечной величины ц силовое поле распространяет! сядо бесконечности, и интеграл в формуле (2.14) для полного сечения столкновений расходится..1

Проблема неограниченности полного сечения столкновений ат является общей для большинства классических моделей Хотя величина сгт бесконечна, огромное большинство столкно? вений —это скользящие столкновения, приводящие к очень не| большим отклонениям. С учетом квантовомеханических эффе£^ тов можно показать [94], что принцип неопределенности не] позволяет определить эти столкновения. Поэтому при использб; вании классической ‘модели отбрасывание (усечение) дальних

столкновений есть требование теории и одновременно практическая необходимость.

Такое усечение может быть проведено либо ограничением расстояния Ь, либо угла отклонения %. В большинстве случаев предпочтительно последнее, а так как %; есть функция Wo для' степенного закона, то усечение по углу отклонения для такой модели можно проводить, задавая максимальные - значения Wo, т величины Wo. Тогда для фиксированной величины сг полное сечение столкновений от можно получить интегрированием уравнения (2.26.) по всем возможным значениям столкнови' тельных параметров Wo и е, т. е.■

о=\ \dWode,'

oo x r r /

ИЛИ ■‘"

.'/ % x2/cn-l) .

•(2.27)

Однако это уравнение, содержит произвольную величину Wo, т, поэтому оно не -подходит для установления эффективной частоты столкновений или средней длины свободного про'бега.

Вычисление • переносных свойств, таких, как коэффициент вязкости; включает, как будет показано, дифференциальное, а не полное сечение столкновений. Номинальное полное сечение столкновений для данной модели может быть определено как поперечное сечение молекул — твердых сфер, которое дает то же самое значение коэффициента вязкости. С помощью этой процедуры можно по существу установить значение константы х в потоке с известным числом Кнудсена и при условии, что межмолекулярные-силы подчиняются степенному закону. Из формулы (2.27) следует, что полное сечение столкновений молекул, подчиняющихся степенному закону межмолекулярных сил, обратно пропорционально.

Номинальное полное сечение столкновений,1 которое устанавливается вышеописанной процедурой, не надо путать с вязким сечением Оу. Последнее определяется так:■'

. Оу = sin2%o dQ, '‘

о'••

или с учетом (2.12).*

Оу = 2л ^ о sin3 % d^.(2.28)

.' ■ о ..'

Его название связано с тем, что этот сходящийся интеграл встречается в теории Чепмена Энскога для коэффициента

степенном законе для силового поля, дает степенную завйси- ! мость вязкости от температуры, с показателем степени, являющимся функцией только т]. Так как истинный показатель сте- - пени можно рассматривать как константу только в ограничен- • ном температурном диапазоне, то появляется необходимость ; более реалистичной модели, включающей притягивающую ком- , поненту межмолекулярной силы.-

Модель прямоугольной потенциальной ямы добавляет к мо- 7 дели твердой сферы однородный притягивающий потенциал с ' конечной областью действия. Модель Сюзерленда в ту же мо- J дель твердой сферы вводит притягивающую компоненту с об- : ратной степенной зависимостью. Более реалистичной и, ве- - роятно, лучше всего известной из притягивающе-отталкивающих моделей является потенциал Леннарда-Джонса. Эта. мо- ; дель добавляет к обычному отталкивающему степенному закону : притягивающую . компоненту с обратной степенной .завйси- ' мостыо. Подробное обсуждение этих и других моделей-представлено в работе Гиршфельдера, Кертисса и Берда [45].

Следует помнить, что применение любой модели молекул ‘ оправдано, если в отсутствие сведений о сечениях столкновений •реальных молекул она дает правдоподобные результаты и не ' делает анализ слишком громоздким. Впрочем, последнее тре- ' бование становится все менеер существенным, по мере того как появляются все более мощные численные методы.‘:

. Постепенно Появляются теоретические и экспериментальные j данные о 'сечениях столкновений. 1 Тоннис [90] подвел итоги современных успехов в этом .направлении. Использование про- ' стых классических моделей сомнительнее всего при низких тем- j пературах, когда важны квантовые эффекты; для некоторых одноатомных газов теперь возможно заменить эти модели более ; реальными сечениями столкновений.-

Упражнения

Проверьте (2.4) if (2.5).'’

Покажите, что для особого случая ц = 2 (кулоновские молекулы) 5

'% = 2 arc sin [(1 + Г2) 1/2].:

Покажите, что уравнение траектории в системе центра масс для макс- J велловских молекул имеет вид. ,?

где'I

f (ф, «) = \ (1 — sin2 a sin2 (3)~^2 бф*

— эллиптический интеграл первого рода и - g = (l + 2/1^)1/2.

Вычислите сечения столкновений, определенные по потере импульса и по вязкости для молекул — твердых сфер и молекул со степенным законом взаимодействия. -' ,''

Определите минимальный угол отклонения, который соответствует усечению величины ^0, щ== 1.5 для безразмерного столкновительного параметра IFo в газе (1) из максвелловских молекул и (2) из молекул с г] — 12. (Ответы: (1) х = п.1°; (2) % = 0.5°.)■. ■

ление средней величины дает'^

■Q = ^QdN,

. N. ■. j

или, заменяя dN в соответствии с (3.1), имеем . ■ +°°-..

' 9=4" S Qf^Wde.;

Сокращая константу N, получим общий результат:5

- t Q = j Qf de.(3.3)

Такую операцию обычно называют взятием момента от функции распределения, а макроскопические величины — моментами функции распределения. Например, скорость потока, которая определялась равенством (1.15) как с, может "быть записана в виде■■

.с = cf de. .*(3.4)2

Макроскопические параметры потока газа являются функциями»! положения и времени. Иногда требуется дать более точную' зависимость функции распределения от вектора положения п в физическом пространстве и времени t. Так же как de исполь-; зовалась для обозначения элемента объема в пространстве скоч ростей, элемент объема в физическом,пространстве можно обо-; значить через- dr. Произведение de dr определяет тогда элемент; объема в фазовом пространстве, которое представляет собой; многомерное пространство, образованное объединением физи-j ческого пространства и пространства скоростей. Одночастичная\ функция распределения в фазовом пространстве 9" (с, г, /) опрей| деляется следующим образом:- Я

■dN — 9~(e, г, t^dedr, .(3.5)^

где dN — число молекул в элементе фазового пространства; de dr. В декартовых координатах de dr равно du du dw dx dy dzA и dN есть число молекул 'с компонентами скорости от и Д.Ф. и + du, от и до и + du, от w до w + dw и пространственными) координатами от х до х + dx, от у до у + dy, от z до z ф dzd Заметим, что 9" определяет количество, а не часть молекул^ в, элементе фазового пространства. Она не была нормирована,^ и' интегрирование по всему фазовому пространству-дает общее-1 число молекул N в системе, а не единицу. ."

. Если функцию распределения в пространстве скоростейf(с) применить к элементу физического пространства dr, то число молекул N в равенстве (3.1) будет представлять собой общее число молекул в dr, тогда как dN будет числом молекул в элементе фазового пространства de dr. Тогда'можно написать

'dN= Nf (с) de = ^~ (с, г, f)dcdr, .

и так как числовая плотность в элементе фазового простран- ства'равна N/dr, то..

nf (с) = ^ (с, г,/)..

Следовательно, если f(c) используется в случаях, когда она зависит от г и t, то

'п^У.-(3.6)

Мы воспользуемся этим тождеством, чтобы в последующих главах использовать только f. Некоторые авторы (например, Чепмен и Каулинг [19] и Харрис [41]) предпочитали ^-которую они обозначали через f. Наши уравнения для nf будут соответствовать их уравнениям для f так же, как и у ряда других авторов (например, Кеннард [48] или Винсенти-и Крюгер [94]).

Наиболее детальное описание дается функцией распределения для всех N молекул в системе. В любой момент времени полная система одноатомных молекул может быть представлена точкой в бМ-мерном фазовом пространстве. Если мы рассмотрим большое число или-ансамбль таких систем, то вероятность нахождения какой-либо системы- в элементе объема dey dc2 .. . deN dry dr2 ... drN в окрестности точки cb гь сг, г2, . л ..., eN, rN фазового пространства есть ’■-

Ew(cb гь сг, г2eN, rN, Cdcidca ....

... deNdrydr2 ... drN. (3.7)

Таким образом, она определяет N-частичную функцию распределения FW. Нижний индекс обозначает номер молекулы. R- частичная функция распределения Fw для R из N. молекул определяется в виде",

^(Сц гь с2, г2, .... eR, rR, f) = .'

== S S ^ ^®д+1 ••• de^dr^+i ...drN. (3.8)

В частности, одночастичная функция распределения Т^1) (С1, гх, 2) получается при R = 1. Вероятность нахождения молекулы 1 в элементе фазового пространства dey drх в момент t есть ^(сьИ, ^)^ci drx независимо от положения остальных N— 1 молекул. Число молекул в элементе фазового пространства § mq-

Если местоположение иформа элемента не меняются со вре-^ менем, то скорость изменения числа молекул в таком элементе^ есть '. •‘’ .Я

.^-^dcdr.(3.11)3

Рис. 3.2 иллюстрирует процессы, которые вносят вклад в из-;? менение числа частиц в dcdr и заключаются в следующем. у

(1) -Перенос молекул через поверхность, охватывающую dr,.J молекулами со скоростью с. Представление элементов фазового'

Рис. 3.2. Поток молекул в элемент фазового пространства dcdr и из иего/j пространства в виде отдельных объемных элементов в физиче- ^ ском пространстве и пространстве скоростей подчеркивает тот! факт, что сиг рассматриваются как независимые переменные, *\ при этом с считается константой в dr, a de расположен около точки, определяемой значением г.

-(2) «Перенос» молекул через поверхность, охватывающую Д de, под действием внешней силы F на единицу массы. Действие Я ускорения F иа_ молекулы в de аналогично эффекту, создаваемому скоростькГ с для молекулы в dr.■‘Д

(3) Переход молекул в dcdr и выход из него благодаря рас- Я сеянию межмолекулярными столкно-вениями. Газ предполагается -Д совершенным, как это определено условием- (1.5) и обсужда- Я лось в § 1.2. Одно из следствий этого предположения заклю- ^1 чается в том, что столкновение-можно считать мгновенным со- 5 бытием, происходящим в фиксированной точке физического про- )j странства. Это означает, что при столкновении молекула пере- л скакивает из одной точки в другую в пространстве скоростей ^ и при этом остается в одной и той же точке физического 1

пространства и времени. Поэтому на рис. 3.2 столкновения представлены таким образом, что они воздействуют только на элемент de. Вторым следствием предположения о совершенстве газа является вывод о парности столкновений. "

Сначала рассмотрим процесс (I), являющийся конвективным переносом ' через поверхность, охватывающую dr. Число молекул в элементе фазового пространства есть nfdcdr, так что числовая плотность молекул класса с внутри dr равна nfdc. Выражения (1.11) и (3.3) позволяют записать общий поток молекул этого класса через поверхность Sr в виде .

— п/с • ^rd.Srdc. •’-

Здесь Sr — общая площадь поверхности, охватывающая dr, dSr — элемент этой поверхности -и’ ег — единичный вектор нормали этого элемента. Теорема Гаусса позволяет преобразовать поверхностный интеграл по Sf в объемный интеграл по dr. Тогда это выражение приобретает следующий вид: ’.

- J V • (n/c) d (dr) de,

. dr-

или, так как nf и с постоянны внутри dr, ■

— V • (n/c) dr de.

Учитывая, что мы рассматриваем только молекулы класса с, скорость с можно вынести за операцию дивергенции в физическом пространстве. Поэтому поток молекул класса с через поверхность, охватывающую dr, обусловленный скоростью с, есть ■— c-^^-dcdr.(3.12)

Можно воспользоваться аналогией между процессом (2) в пространстве скоростей и процессом (1) в физическом пространстве, тогда легко записать поток молекул через поверхность, охватывающую de, за счет внешней силы на единицу массы F в виде.,-'

;-F-'-^-dcdr.(3.13)

Общее число молекул, рассеянных, из элемента dedr в результате столкновений, легко получается рассуждениями, аналогичными тем, которые привели к формулам (1.6) и (1.7) для частоты столкновений и полного числа столкновений в газе. Однако, чтобы получить правильное выражение для молекул, вошедших в элемент dedr, мы должны рассмотреть скорости

предел’ения. Сечения столкновений асимметричных молекул яв- Я ляются функцией ориентации молекул, и поэтому "они непрерывно меняются со временем из-за вращения молекулы при ее Я движении между столкновениями. Для классических моделей Я многоатомных молекул понятия обратных столкновений не су- Я ществует. Однако можно определить такие поперечные сечения ■ столкновений, которые сглаживаются или усредняются по мо-зИ лекулярным вращениям и- колебаниям. Теорема Лиувилля тогда,Я ведет к единичному якобину для преобразования, соответствующего равенству (3.16), и, таким образом, допускает формулировку, аналогичную уравнению (3.20). Чепмен и Каулинг [20] Я назвали'полученное уравнение обобщенным уравнением Больц- Я мана."Я

Член в правой части уравнения Больцмана называется ин- Я тегралом столкновений1). Его сложный вид контрастирует с Я членами в Частных производных, выражающими пространствен- Я ную и временную зависимости nf. Этот интегральный член и -Я является причиной многих математических трудностей, связанных С уравнением Больцмана. С-другой стороны, nf— един- Я ственная зависимая переменная в этом уравнении. Это можно Д было бы считать- преимуществом при сравнении уравнения Больцмана с уравнениями Навь-е — Стокса в континуальной га- ? зовой динамике, так как последние содержат в качестве пере- ') менных компоненты скоростей и термодинамические величины. « Однако это преимущество значительно превышается добавле- ’ нием скоростных координат к списку независимых переменных. *

Уравнение Больцмана впервые было выведено в 1872 г., но " прошло сорок лет, прежде чем были получе-ны решения для I сравнительно простых случаев малых градиентов температуры, | скорости и концентраций в газе. Это — решения Чепмена — Эи- скога, которые обсуждаются в § 3.5. Они ограничены случаями малых чисел Кнудсена, в которых длина свободного пробега 'I мала по сравнению с характерной длиной изменения парамет- * ров. Серьезные попытки решить уравнения Больцмана для более общих течений при произвольном числе Кнудсена были , предприняты лишь около 1950 г.; разнообразные подходы в- этом направлении обсуждаются в гл. 6."

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ’

И УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ-

Признак Q относится к одной молекуле и является либо " константой, либо функцией’скорости молекулы." Мы ранее ви- * дели, что среднее значение этого, признака можно получить ..-8

*) Автор называет его столкновительным- членом, а термин «интеграл '3 столкновений» применяет к моментам от него (см. (3.26)).—Прим: ped. v4

умножением функции распределения скоростей f. на Q с последующим интегрированием этого произведения по. всему пространству скоростей. " Эти средние называются моментами функции распределения. Аналогично, момент уравнения Больцмана можно получить-умножением его на признак Q и затем интегрированием полученного уравнения по всему пространству скоростей. Так как моменты функции распределения включают все макроскопические величины для одноатомного газа, то можно ожидать, что уравнения для моментов будут включать систему уравнений сохранения газовой динамики одноатомного газа..•

Умножение уравнения Больцмана. (2.23) на Q дает ■

= Q [j n^rn-H^c^dQdc,. (3.22) — ОО 0•'

Здесь f и Q относятся к молекулам класса с, и уравнение соответствующего момента получается, интегрированием по -всем классам молекул. Так как Q либо константа, либо функция только с, то Q можно- внести под знак прдизводной в первом члене (3.22). Искомый интеграл от этбго члена поэтому примет вид-'

+°° ..

. J -IpWhdc .

иди, используя (3.3),1-

' -jtW(3-23)

Величины, с и Q можно внести под з-нак производной и во втором члене уравнения (3.22), при этом интеграл становится равным..’

■( V • (ncQf) de, .-.

или

■. V . («cQ).(3.24)

То, что с можно вносить под знак производной в уравнении (3.22),-объясняется тем, что зависимой переменной в уравнении Больцмана является значение функции распределения для данного класса молекул. Поэтому, в то время как f—функция от г и t, величины с и Q в уравнении (3.22) можно считать не зависящими от г и t. Однако средние от с и Q определяются через

Физический смысл величины' A [Q] йаиболее ясно виден и; формулы (3.26ж), так как Q + Qi —Q —Qi представляет и| менение признака Q в результате столкновения класс; с, с,—>с*, с*. Это изменение суммируется по всем . класса^ столкновений и делится на два, чтобы учесть тот факт, чт< каждое столкновение при интегрировании считается дважды. То что интегрирование^эквивалентно суммированию по всем столк новениям, легко увидеть, если заметить, что ’-<

. 4-оо 4-оо 4л’-+°о 4-оо -4

72^ ^ n2fYfcrQ dQ de dcx ~ 7г j oTcrn2fxf de, de = ЧгП2а^сД

—-CO — 00 0■— OO —OO^

последнее выражение находится в соответствии с формулой (1.7), для полного числа столкновений в единицу времени нй единицу объема газа. Используя это замечание, уравнение длЯ момента, или уравнение лереноса, с A [Q] в форме (3.26ж). монет но вывести независимое уравнения Больцмана, и оно действиЦ тельно было таким образом выведено Максвеллом в 1867 Выражение A [Q] в форме ' (3.-26г) ближе к формулировка Больцмана и просто показывает, что изменение Q в результата обратных столкновений в точности равно изменению Q в фезулц^ тате прямых столкновений. •■$

Если Q есть либо масса т, либо импульс тс, либо энергии молекулы ^упс8, то сохранение этих величин при столкновб ниях означает, что-Q + Qi — Q* — Qi =.О.' Тогда из выражений (3.26г) и (3.26ж) следует, что интеграл A[Q] равен нулю, как и следовало ожидать из его физического смысла. Величины ад тс и */2тс2 называются инвариантами столкновений, тогда ка'к любая величина, удовлетворяющая условию Q + Qi — <2* — QT= Q называется сумматорным инвариантом1). Можно показать, чт'0 инварианты столкновений или их лцнейные комбинации явЯ ляются единственными возможными сумматорными инвариай тами (например, Харрис [41, § 4.2]). Поэтому если Q — сумма- торный инвариант, то интеграл A [Q] равен нулю и Q имеет вид

Q = A- ^mc2 + В • me + С, (3.28^ где Л, В и С — постоянные. .

Этот интеграл равен нулю’в трех уравнениях для инвариан-Л тов столкновений. Средние.в левой части этих уравнений можнЯ выразить через макроскопические параметры газа. Эти три^ уравнения являются, уравнениями сохранения газовой динами-1 ки. Прежде всего если положить Q = m в уравнении (3.27), то I

(3.29) -;(3.29) -;получится уравнение сохранения массы

(3.29) -;

(3.29) -;

-.- ’ "Ip (nm) + V • (птс) = О,

или, используя (1.9) и (1.13),'.

"^ + V • (рс0) = О,-(3.30)

Для обозначения дифференцирования по траектории движения жидкой частицы удобно ввести полную производную ■"

О <9 . _ —3I3,3,д'

-7ГГ = -Щ—Н Сц • V =-f- U Н9~5Ь W-т— .(3.31)

Dt dt 1 и • dt1дх .1ду'dzх ’

Уравнение сохранения массы, или уравнение неразрывности, тогда принимает вид' '

2e,_=-pV.co.(3.32)

Положив Q = тс в'уравнении (3.27), получаем уравнение сохранения импульса, или уравнение движения. Это уравнение является векторным:.

,-^-(pc) + V • (рсс) — pF = 0.(3.33)

Из определений (1.15) и (1.16) следует, что

СС = (с' + Со) (с' 4- Со) = с'с' + сосо, поэтому уравнение (3.33) можно записать в виде

р^ + с° ^ + C°V ' (рс°) + Р (со1 V) с0 + V • (рс'с') — pF = 0.

Второй и третий члены уничтожаются в силу уравнения неразрывности (3.30); определение (3.31) йозволяет объединить первый и четвертый члены в полную производную, а выражение (1.20)—записать пятый член с помощью давления и тензора вязких напряжений. Таким образом,

P^=-Vp + V.T + pF. -(3.34)

Смысл векторных и тензорных величин станет ясным, если записать уравнение сохранения импульса в направлении оси х декартовых координат. Оно имеет следующий вид:_

.. Dt . дх ' дх dy - dz х‘

И наконец, в уравнении 43.27) величину Q можно положить равной тс2/2, тогда получим уравнение сохранения энергии-.

jp САрГ2) + V • (V^2) - рсо • F = 0.(3.35)

Преобразования, аналогичные только что проведенным для Уравнения (3.33) (см. упр. 1.9 для разложения ее2), в конеч-

3*

На малом временном интервале f меняется до f +Af, а относи тельное изменение есть Af/f или A (Inf), //-функция Больцман^ есть среднее значение In f, т. е.' -1

Н = In f,

дли при помощи формулы (3.3).

со;

Н = ^ f In f de.(3.40)

В качестве Q в уравнении для моментов (3.27) можно положить^ Inf, и если интеграл A[Q] записать в форме (3.26г), то получим!

ОО ОО 4л;

J S S (bf + lnA-lnf-lnQX I

' X^-ffO^dSdcdc^

= f \(\n^(H*-ff\)ciadQdcdcr (3.41|

Пусть In (f^/fV*) положителен, тогда разность (f*f* ~ ffi) Долж'-< на быть отрицательна, и наоборот. Следовательно, интеграл М правой части уравнения (3.41) либо положителен, либо равен^ нулю, и Н не может увеличиваться, т. е. . *j

4г<°.(3.421

Этот результат известен как //-теорема Больцмана.я

Теперь возникает вопрос, уменьшается ли Н без предел^ до —оо или стремится к конечной величине и затем остается постоянной. Следует отметить, что при с ->- оо имеем, f ->- 0 ™ In f-ч—оо, и, -следовательно, интеграл (3.40) в определении /Я может расходиться. Однако так как энергия газа ограничена^ то интеграл1

\ fc2dc -J

сходится. Значит, чтобы интеграл (3.40) расходился, прибЛи-| жение In f к —оо должно быть более быстрым, чем приближе-^ ние —с2 к —оо. В этом случае приближение f к 0 происходила! бы быстрее, чем ехр(—с2) к 0, и так как х" ехр (—х2)->0 при-] х-*оо для всех, значений п, то интеграл (3.40) сходится. Сле-1 довательно, для любого начального распределения-молекул в^ пространстве скоростей распределение будет меняться со вре-^ менем таким образом, что Н будет уменьшаться монотонно да?

конечного нижнего предела. В последующие моменты бремени ^/5^=0, и из уравнения (3.41) следует, что для этого требуется выполнение условия -'■

ГЛ-^-о,■(3.43)

или-■

.•Inf + lnf^lnr+ln^.(3.44)

Из сравнения уравнений (3.44) и (3.39) видно, что стационарное состояние для Н является также стационарным состоянием для Д Следовательно, мы получили уравнение, определяющее равновесное состояние, в котором вероятное число молекул в любом элементе пространства скоростей остается неизменным во времени..

Из уравнения (3.44) видно, что в равновесном состоянии Inf есть сумматорный инвариант. Таким образом, в силу (3.28), необходимым и" достаточным условием для равновесия является следующее равенство:■

' lnf = A- */2т^ + В?тс+С.(3.45)

Последнее можно записать через компоненты тепловых скоростей в виде‘

In f = А • ^Izmc'2 + пг (Ас0 + В) • с' + А • ’/г^с2 + В • тс0 + С.

В равновесном газе не может быть предпочтительного направления, значит, распределение f должно, быть изотропным. Это требует, чтобы коэффициент при с' был равен нулю, т. е. ■

В = — Ас0.

Поэтому ■•~

In f = Ч2Атс'2 — */2Al/nf| + С, .

или.■.

f = exp QUAmc'^ — Ч^Апгс^ + С).

Функция f ограничена, следовательно, коэффициент при с'2 должен быть отрицательным,,и для удобства мы введем новую константу, положив x/iAm =—р2. Таким образом, имеем

f = exp(C + p2c2)exp(—pV2)..'

Постоянная С может быть найдена с помощью условия (3.2) для.нормировки f, которое требует,, чтобы-

' ^ f de = exp (С + р2^) exp (—pV2) tZc'= 1. . ■

МЕТОД ЧЕПМЕНА — ЭНСКОГА.

Метод-Чепмена — Энскога дает, решение уравнения БольцЯ мана для ограниченного класса задач, в которых функция расЯ пределения f незначительно отклоняется от максвелловскойЯ Предполагается, что функция распределения может быть вы^ ражена в Виде степенного разложения ' .•

(3.5'(Я

где ео — параметр, который можно рассматривать как меру либоЯ среднего времени между столкновениями,, либо числа Кнудсена^ Первый член f№ — максвелловское распределение /о для равно-^ весного газа. Другая форма этого выражения имеет следую^ щий вид,:■'. ' ‘

f = fo (1 4" Ф1 + Фг + • •(3.51Я

Равновесная функция распределения представляет известно^Я приближение первого порядка к решению уравнения БолыцйИ мана, а приближение второго порядка к решению требуейИ определения Фф"

Решения уравнения Больцмана в виде f = fo(l-ф Ф1) былйДи получены "независимо Чепменом и Энскогом и являются основой ным предметом классической монографии - [19]. Для простогсМ газа Ф1 зависит только от плотности, макроскопической плотам ности и температуры данного газа; так что это решение естиН нормальное решение уравнения Больцмана. Так как fo УД°вл^И творяет уравнениям'

■' cf de = с0,■ '’

', j° /f de = 3RT,Д

то Ф1 должна быть такой, чтобы;,w

". 'Гф1/о^с = О, 'Я

-”-■ гйяЯ

ОО■ -''

c®Jodc = O,■ (3.52) ^

оо.

1 J c/2®Ifodc = Os' ’-^

**00-_'V-^

sr. "'

Далее можно показать, что Ф1 должна иметь следующий вид: фН-4Лс'4(1пГ)+Вс'°с':^(3-53)

где А и В — функции от Т- и с'. Верхний индекс 0 над тензором указывает, что сумма его диагональных компонент равна нулю. В покомпонентных обозначениях гл. 1 имеем

Двойное произведение двух тензоров — скалярная величина, которую можно записать в индексной форме:_

Полная запись этого выражения в декартовых координатах имеет вид■-

(Ы — 1 кс ) -г-2- + ио -д-2- + U W-

v' ОХ 1оу021.

1/ / 5у0 . ( /2। / /2\ 5у0 , z z М ।'

'+ Ml + WM> + (^ _ v ,2)

.•1 ox . dg ■' dz

где c'1 = u'2 + v/2 +w’2.'

Подстановка выражения (3.53) в формулы (1.20) и (1.27) с использованием разложения (3.51) и определения (3.3) дает выражения для тензор» вязких напряжений и вектора теплового потока в виде линейных функций от градиентов, скоростей и температур соответственно. Коэффициенты при градиентах ь1ожно отождествить с обычными коэффициентами вязкости и теплопроводности. Подстановка зависимостей для тензора вязких напряжений и вектора теплового потока в уравнения сохранения приводит к уравнениям Навье — Стокса в континуальной газовой динамике. Поскольку Ф1 должна быть мала по сравнению с единицей, выражение (3.53) показывает, что существуют границы величин градиентов, для которых справедлив метод Чепмена — Энскога. Мы найдем, что условие справедливости состоит в том, что средняя длина свободного пробега мала по сравнению с линейным масштабом градиентов, или менее точно число Кнудсена мало, если газ не слишком отклоняется от состояния равновесия.■..

. Оценка следующего члена в разложении (3.51) ведет к системе очень сложных уравнений более высокого, порядка, называемых уравнениями Барнетта. Однако оценки показывают, что на эти уравнения нельзя полагаться в смысле улучшения

-1

тельном направлении оси х, равнотельном направлении оси х, равноГрафик этой функции'также приведен на рис. 4.1. Так к-ак-ЧН функция распределения f сферически-симметрична в простран- 4 стве скоростей относительно вектора среднемассовой скорости i Со, то наиболее" вероятное значение компоненты тепловой ско-. рости равно нулю. Среднее значение х-компоненты тепловой -^ скорости,. осредненное по молекулам, движущимся в положи- у

тельном направлении оси х, равно

тельном направлении оси х, равно

u'fu'du' ^ fu'du' = 2(p/n1/2)j «'ехр(—^и'^ du' = 1/(л1/2р), о/ оо(4 14)

или с'/2, что получим, сравнивая выражения (4.14) и (4.8).'

В случае равновесия"газовой смеси соотношения этого раздела можно применять к каждой компоненте независимо.

ПОТОКИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ

Рассмотрим теперь потоки молекулярных признаков через '; элемент поверхности в равновесном газе.еПусть, как это пока-, ' ? зано на рис. 4.2, вектор массовой скорости газа Со расположен

Рис. 4.2. Система координат, используемая при анализе потоков молекуляр- я ных признаков через элемент поверхности.,' SРис. 4.2. Система координат, используемая при анализе потоков молекуляр- я ных признаков через элемент поверхности.,' S

Рис. 4.2. Система координат, используемая при анализе потоков молекуляр- я ных признаков через элемент поверхности.,' S

Рис. 4.2. Система координат, используемая при анализе потоков молекуляр- я ных признаков через элемент поверхности.,' S

под углом 9 к единичному вектору е нормали к элементу по- I верхности. Не теряя общности, можно выбрать декартову си* J стему координат так, чтобы вектор скорости потока лежал в '^ плоскости х, у, плоскость элемента поверхности совпадала бы1 1 с плоскостью у, z. и направление оси х. было противоположно вектору е. Компоненты скорости каждой молекулы в этой си- -5 стеме координат'таковы:.-^

■ и = и' + с0 cos 9, и = и' + Со sin 9, w = w'.(4.16)'3

Из выражения (М2) следует, что поток произвольного .при^ ", знака Q на единичный элемент поверхности (в положительном 1 J направлении оси х или в направлении, противоположном д) J

равен.■ 1

ОО ОО ОО_ •

. nQu = n ^ ^ S Qufdudodw. .(4.16)

Здесь рассматриваются только молекулы, движущиеся в положительном направлении оси х. В равновесном газе поток признака Q на единичный элемент поверхности в единицу времени получим, подставляя в равенство (4.16) выражение для fo из (4.1):..

—п-= (Qnexp[— p2(w/2+ и'2 + w'2y\dududw.

Используя равенство (4.15); этот результат можно записать через величины массовой скорости и компоненты тепловой скорости, т. е.■

ОО ОООО'.-.

М Л Q (w'+ с0 cos G) X■

ST1 J J J•'

— oo — oo —Co cos 6- •

' x exp [— p2 (w/2 + y/2 + w'2)] du' du' dw'.(4.17)

Если положим в равенстве (4.17) Q = 1, то получим поток числа молекул Ni на элемент поверхности. Переменные при кратном интегрировании разделяются: ',

ехР (— М dw' ехр(— ^2u'2^du'X

X (^ + Со cos 9) exp (— р2«'2) du'. " —co cos 6■•

Используя стандартные интегралы приложения В, это выражение можно записать так:

PW«=-

= {exp (— s2 cos2 б) + л1/2 s cos G [ 1 + erf (s cos 0)]}/(2nI/2),(4.18)

где.■-

s = c£ = c0/c'm = c0/(^(4.19)

— так называемое молекулярное скоростное отношение. , В покоящемся газе (s = с0 = 0) это выражение принимает’

ВИД.■

Р^//г= 1/(2л1/2),.

( Складывая выражения (4.23) и (4.26) для q^ и q\, lnt, по’ лучим поток полней энергии на элемент:. ,

Р3^/Р = {[282+(у + 1)/(y — 1)] exp (— s2 cos2 9) 4

2л1/2$ cos 9 [s2 4 v/(v — 1)1 [1 4" erf (s cos 9)]}/(8л1/2). (4.27)

Для покоящегося газа это выражение упрощается:_

$V/P = Kv 4-1)/(Y — Ol/^1'^(4.28)

Средняя энергия молекул покоящегося одноатомного газа, пересекающих элемент поверхности, равна qi/Ni при s = 9, т. е.

Рнс. 4.3. Потоки числа частиц и касательной составляющей нмцульса на элемент поверхности; точный результат, уравнения (4.18), (4.22);

.гиперзвуковое приближение, уравнение (4.29)..■

пг/^. Средняя энергия молекулы,, находящейся в элементе объема, равна z/2mRT, или 3/4т/р2. Таким образом, средняя энергия молекул, пересекающих элемент поверхности, в 4/3 раза больше средней энергии молекул, находящихся в элементе объема. Физическое объяснение этого состоит в том, что вероятность пересечь элемент поверхности в заданный интервал времени для быстрых молекул больше соответствующей вероятности для медленных молекул. Этим же объясняется тот факт, что поток полной энергии (4.28) превышает поток энергии поступательного движения (4.24) вдвое при £ = 4, а не при £ = 3.

Приведенное выше выражение для Nt обычно получают при изучении эффузии молекул в разреженном газе. Эта задача будет обсуждена в следующей главе. Выражения для рь ti и q\ выводят, как правило, в свободномолекулярной аэродинамике.

Там они определяют давление и трение, оказываемое молекулами, прилетающими на элемент твердой поверхности, или тепловой поток, приносимый ими. Необходимо, однако, подчеркнуть, что полученные выражения для потоков различных величин на элемент поверхности в равновесном газе справедливы и важны при любой плотности.

На рис. 4.3 показано характерное поведение потока числа молекул в равновесном газе. Если scos0->oo, то

Рцс. 4.4. Поток нормальной составляющей импульса на элемент поверхности (обозначения см. в подписи к рис. 4.3).*

ехр(—s2cos20)-*O и erf (s cos 0)—»1, так что в гипёрзвуковом случае выражение (4.18) упро£Цается:

$Njn = s cos 0, Ni = псо cos 0.(4.29)

Эти выражения можно вывести из основных законов, если пренебречь компонентами тепловой скорости и рассмотреть только влияние скорости потока. Из равенства (4.22) следует, что ₽7п/(рз sin 0) равно $Nv/n, так что рис. 4.3 иллюстрирует и поведение потока касательной составляющей импульса. Влияние компоненты тепловой скорости молекул мало уже при s cos 0 = 1 и пренебрежимо мало при s cos 0 = 2, когда $Ni/n равно соответственно 1.02513 и 2.00049. '

На рис. 4.4 приведена аналогичная кривая для безразмерного потока нормальной составляющей импульса [З^/р. Как видно из равенства (4.21), предельное значение этой величины, когда экспоненциальный член стремится к нулю, а инте-

то двухчастичная функция распределения равна произведению двух одночастичных функций распределения /1 и /г- При этом* вычисляемое среднее значение равно

^5№ЙТ)= J ^ (^^tiMMCy

а в равновесном газе, используя формулу (4.1), имеем

mtc2 + т2С2 ~ 26?mtc2 + т2С2 ~ 26?dc\ dc^.dc\ dc^. (тт\^2 ? г

mtc2 + т2С2 ~ 26?

mtc2 + т2С2 ~ 26?

dc\ dc^.

dc\ dc^.

С(Я-5)/(Л-1) =2.. 1 у _ 11 с(Я-5)/(Я-1) ехо

г(2л6Т)3 J J гр

Проще всего этот интеграл вычислить, если переменные интегрирования Ct и с2 заменить на сг и ст. Якобиан преобразования равен-.■

.8 ^, Qi, ан, иг, 02, wit'

,84ur>yi,wv um;um,wmy,.

но вследствие симметрии равенств (2.3) и (2.4) достаточно вычислить одномерный якобиан, например якобиан по х-компо- нентам,■.

8их дих

5 („„„,) _ 8иТ дит'

-9 <иг ит) ди2 ди2 ’

8ut дит .

который, используя равенствакоторый, используя равенства(2.4), преобразуем к виду(2.4), преобразуем к видулл

который, используя равенства

который, используя равенства

(2.4), преобразуем к виду

(2.4), преобразуем к виду

л

л

т2тх + т2ШХmi + т2т2тх + т2ШХmi + т2т2mi +.тгт2mi +.тгmimi + т2mimi + т2

т2

тх + т2

ШХ

mi + т2

т2

тх + т2

ШХ

mi + т2

т2

mi +.тг

т2

mi +.тг

mi

mi + т2

mi

mi + т2

Таким образом, полный якобиан равен единице и в упомянутом интеграле dcydcs можно заменить на dcrdcm. Кроме того, в нашем распоряжении есть равенство' (2.6): . "

■ mvc2 + т2с3 = (ту + т^ с2т + т^3,

где mr — приведенная масса. Поскольку подынтегральное выражение не зависит от направления векторов сг и ст, то можно провести интегрирование по двум азимутальным и двум полярным углам, записав элемент пространства скоростей в сферической системе координат. При этом.получим

■ . .dcr = 4ncr2tZcr, dcm = 4nc2mdcm. . .

Таким образом,■

. о1 г(Г1-5№-1) = —L_L22— \ \ л(ЗП-7№-1)С2 у

Г "И j Г “ ^ *-

X ехр {- [(«! + m2) с\ + mrc2]/(2A:7’)}<Zcm dcr, или.'

ч •х f c<3T|-7)/m-1)exp[-mrc2/(2^7’)]tZcr. (4.32)

Заметим, что функции распределения величин ст и ct имеют следующий вид:' ■1 .

fcm =Cm 6ХР [~ К + m2) VW

j/2.t4^

к "^^ 7 ^P [- mrC2/(2^T)].■

Используя стандартные интегралы приложения В в равенстве (4.32), получим

с^’5’^-1’ = (2/^2) Г[2 (Л - 2)/(л - 1)1 (гИМ)01-5^1’.(4.34)

В случае упругих сферических молекул результат упрощается: ■^^(г/п^^г^т/то1'2.

В простом газе тг = т/2 и.

' . сг = 23/7(л1/2р) = 21/27.(4.35)

Подставляя выражение (4.35) в формулу (1.6а), . получим среднюю частоту столкновений, рассчитанную На одну молекулу, в равновесном простом газе, состоящем из упругих сферических молекул:_, ’

-v6 = 2vl2ndW.(4.36)

Используя равенство (1.7), получим полное число столкновений, происходящих в единице объема в единицу времени:

'NCa = 2""xl2Kd2rfc'.(4.37)

При этом определяемая равенствами (4.36) и (1.8) средняя длина свободного пробега в равновесном простом газе, состоящем из упругих сферических молекул, равна

Хо = (21/2лс/2п) \-(4.38)

Если нас интересует энергия, вычисляемая только по компоненте скорости вдоль линии* центров, в этот результат надо внести изменения. При этом для данного сг угол 0Л должен изменяться в пределах от 0 до arc cos [(2E'c/mr)1/2/cr]- Для упругих сферических молекул можно получить аналитический результат. Дифференциальное поперечное сечение для-этой модели равно

ffdn = (di2/4) sinx^X^e,

а так как (см. равенство (2.21))

х=л — 2ел, то

sin х ^Х = — 4 sin 0Л cos 0Л dSA.

Таким образом, эффективное полное поперечное сечение столкновения не при тех столкновениях молекул, при которых интересующая нас энергия превышает заданную величину, равно

arc cos [(2Ec/mr)*/2/cr]

<тЕ = — 2nt% ^ sin 0Л соз 0Л d9A,

О’

или, поскольку sin бд^Од = —d(cos 0л),

ffg = Ж/;2 ( 1ffg = Ж/;2 ( 125e\ ‘^725e\ ‘^7(4.60)(4.60)

ffg = Ж/;2 ( 1

ffg = Ж/;2 ( 1

25e\ ‘^7

25e\ ‘^7

(4.60)

(4.60)

Сравнивая этот результат с от = л^22, заключаем, что-для по- лучениу искомой доли в подынтегральное выражение равенства (4.48) необходимо ввести в качестве множителя разность, стоящую в скобках в равенстве (4.50), т. е.

dN 2т*?(2Ec/mr)l/2dN 2т*?(2Ec/mr)l/2/ . 2Е \

dN 2т*?

(2Ec/mr)l/2

dN 2т*?

(2Ec/mr)l/2

сЧ 1Т I ехР[~ т cs/^femdc .

Вычисляя без труда приведенный интеграл, получим поразительно простой результат для доли столкновений упругих сферических молекул газа, при которых энергия проекции относительной скорости на линию, центров превышает величину Ес:

-^=ехр(-ДЖ).-^=ехр(-ДЖ).(4.51)(4.51)

-^=ехр(-ДЖ).

-^=ехр(-ДЖ).

(4.51)

(4.51)

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРЫ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА

Приводимые ниже результаты теории Чепмена — Энскога для переносных свойств простого газа позволяют определить эффективный диаметр молекул и среднюю длину свободного пробега

В реальных газах. Используя только первый член в разложении по полиномам Сонина функций А и В, введенных равенством (3.53), можно получить «первое приближение» для коэффициента вязкости газа, состоящего из упругих сферических молекул: '5m f RT MP . /,.

' И = I •(4.52)

,16а2 у л у ■х '

Комбинируя этот результат с выражением (4.38) для средней длины свободного пробега в равновесном газе, получим

.. ц^ЛерМЗ^Г^Н^лрА^' (4.53)

Более ранние, приближенный теории давали аналогичные результаты, но с множителем 1/2 вместо 5л/32. Для определения номинальных диаметра молекул и длины свободного пробега иногда все же используют этот более простой результат. Для газа, состоящего из молекул со Степенным законом взаимодействия, формула (4.52) обобщается таким образом:

SmU^V^mRTIx)21^,'

t1 — 8Д2 (п) Г [4 - 2/(П - 1)]1

Здесь Г — гамма-функция, АДг])—числовой, множитель, определяемый как , .,-

А2(л)^ sin2x^o^o, .о. ■■

для которого в книге Чепмена и Каулинга [19] приведены следующие значения:'

rf 579111521 оо .

Д2(т]) 0.436 0.357 0.332 0.319 0.309 0.307 0.333

Наиболее простым . образом номинальную длину свободного пробега можно связать с постоянной х в законе межмолекулярного взаимодействия, воспользовавшись соотношением (4.53) между р и Ло для упругих сферических молекул, и формулой (4.54):, ._

TinAi (п) Г [4 — 2/(п - 1)] ‘Щ-OOJ

В первом приближении коэффициент теплопроводности К и коэффициент вязкости ц связаны следующим соотношением: •'К = (15/4Ищ'(4.56)

Поскольку рассматривается лишь одноатомный газ, то удельная теплоемкость ср при постоянном давлении равна 6/2^, а число Прандтля равно

Рг = рср/К = 2/з. '.(4.57)

верхности вводят коэффициент аккомодации энергии «в$"3

■ •, q-. — q. ■■Л

.(4-62) I

Здесь qv и qt — потоки энергии соответственно падающих и от- ,? раженных молекул, a qw — поток энергии, который уносился бы j молекулами при диффузном отражении с Гг = IV Коэффи- 3 цйент ав изменяется от нуля при отсутствии поглощения энер- j гии поверхностью до единицы при полном поглощении энергии 3 падающих молекул и равновесном их отражении с температу- '( рой поверхности (полная аккомодация). Аналогично можно ввести и коэффициенты аккомодации нормальной и тангенциальной составляющих импульса. Однако предпочтительнее, во-- обще говоря; описывать взаимодействие газа с поверхностью^ используя макроскопические величины — давление, трение, пол-| ный тепловой поток, и определять коэффициенты аккомодации С через эти величины..

Эксперименты по взаимодействию газа с образцами про- '•' мышленных материалов при температурах порядка комнатной--1 показали, что закон отражений аппроксимируется диффузным « законом с полной аккомодацией энергии. Этот ‘факт можно ^ объяснить тем, что промышленные материалы шероховаты с^ микроскопической точки зрения, так что падающие молекулы-^ претерпевают несколько отражений от поверхности. Кроме того, ( падающие молекулы могут , быть на‘малый интервал времени захвачены, или адсорбированы, на поверхности твердого тела.^ С другой стороны, эксперименты, проведенные с тщательно об-75 работанными и очищенными поверхностями, показали, ‘что коН эффициент аккомодации может быть существенно меньше едр-^ ницы. Измеренные значения ан при взаимодействии легких газов с такими хорошо обработанными поверхностями действи-Л тельно оказались малыми по сравнению с единицей.. >.

Аккомодация энергии падающих на поверхность молекул уменьшается по мере того, ” как энергия поступательного движения молекул относительно поверхности становится большой -Я по сравнению с энергией теплового движения, соответствующей Д температуре стенки. Более того, эксперименты, в которых на Я хорошо обработанные и очищенные поверхности падали моле- Л кулярные пучки, показали, что в среднем молекулы, отражен- ja ные от элемента поверхности, сохраняют определенную часть ' | импульса вдоль поверхности.-, , |

■ С практической точки зрения наиболее важной" оказалась | задача определения коэффициента сопротивления спутников, J движущихся в верхних слоях атмосферы. Энергия постуиатель- у ного-движения молекул относительно спутника примерно 5 эВ, .^ а энергия их поступательного движения в покоящемся газе при ‘

комнатной температуре порядка 0.025 эВ. Кроме того, поверхность спутника1 вследствие длительного пребывания в глубоком вакууме очищается дегазацией. Поскольку определение плотности атмосферы по наблюдениям траектории спутника требовало знания коэффициента сопротивления, в 60-е годы были начаты многочисленные теоретические и экспериментальные исследования процесса взаимодействия газа с поверхностью твердого тела.

В теоретических работах в основном изучалось взаимодействие отдельно падающих молекул с упрощенной моделью поверхности твердого тела. Обзор теоретических исследовании, связанных с определением коэффициента аккомодации энергии [35] и закона распределения, отраженных молекул по углам вылета [36], был сделан Гудманом1) . Полученные в различных теоретических работах . результаты предсказывают существенное отличие закона отражения молекул газа поверхностью от модели диффузного отражения, с полной аккомодацией энергии, рекомендованной для применения к промышленным -материалам. Экспериментальное определение коэффициента" аккомодации энергии основывалось главным образом на измерении термоанемометром полного теплового потока, а угловое распределение рассеянных молекул определялось в экспериментах с молекулярными пучками. ' . ' .' .

В обоих случаях наблюдалась согласованность теоретических и экспериментальных результатов. Однако повторяемости в экспериментах можно достичь, лишь обращая самое скрупулезное внимание на обработку и очистку поверхностей и на- проверку отсутствия примесей в газе. Все же эта работа пока не привела к результатам, которые можно было бы использовать в инженерной практике. Частично это объясняется непредсказуемым влиянием загрязнения поверхности, частично тем, что даже в случае идеальных поверхностей и чистых одноатомных газов решение задачи зависит от восьми безразмерных параметров [3].

Хотя было предложено несколько эмпирических моделей законов отражения (см., например, работы [70]. и [31]), введение некоторой произвольной доли зеркально отраженных молекул остается, по-видимому, практически наиболее удобной моделью, допускающей отличие закона отражения от вполне диффузного. Однако выбор этой модели означает, что допускается некоторая неопределенность, и не надо полагать, что характеристики тел, полученные при истинном законе взаимодействия, будут находиться в диапазоне, определяемом полностью зеркальным и полностью диффузным законами взаимодействия. В этом мож- йо будет убедиться в § 5.4 при 'анализе сопротивления сферы

*) См. также работу Баранцева [3]. — Прим. ред. . 4 Г. Бём

4.11. Пусть аргон находится в равновесии с плоской поверхностью твердого тела при температуре 20 °C. Пусть плоскость у, г системы координат совпадает с поверхностью твердого тела, а положительное направление оси х совпадает с направлением от поверхности к газу. На -поверхность падает молекула с компонентами скорости ш = —257 м/с, о, = 450 м/с, Ш] =—284 м/с и отражается с компонентами скорости ur—120 м/с, ог=92 м/с, шг=138м/с. Воспользовавшись соотношением взаимности, определить относительную вероятность взаимодействия молекулы газа с поверхностью, при котором скорость падения равна —сг, а скорость отражения — ср,

Ответ; 0.173.

Свободномолекулярные течения

ВВЕДЕНИЕ - ' . .

В этой главе рассматриваются предельные формы течений при очень больших числах Кнудсена. Этот предел можно записать так: ■ ■

' Кп = Л/Л^оо, - ■ (5.1)

и, следовательно, течения характеризуются либо очень большими средними длинами свободного пробега, либо очень малыми характерными размерами. Обычно встречается первый случай, являющийся следствием очень низкой плотности. В исследуемой области в указанном пределе столкновения между молекулами достаточно редки, тац что их можно не рассматривать. Для анализа течений необходимо задание лишь функции, распределения на границах и закона взаимодействия молекул с поверхностью твердого тела. .Этот предельный режим течения называют свободномолекулярным,.

Функции распределения в большинстве случаев считаются равновесными, хотя иногда требуется и функция распределения в приближении Навье — Стокса). При моделировании твердых поверхностей, обычно используют диффузную модель взаимодействия, а на фиктивных границах — зеркальную модель. В равновесном газе функция распределения при обеих моделях, как указывалось в § 4.5, равновесна. Если нужно определить силы, действующие на поверхности твердых тел' сравнительно простой . геометрии, аналитические представления следуют обычно непосредственно из равенств для потоков, приведенных в § 4.2. Эти поверхностные силы чаще всего стационарны, даже если течение в целом может быть нестационарным). Положение существенно усложняется, если молекулы, отраженные от одной части поверхности, могут попадать на другие ее части.

Выбор числа Кнудсена в случае круглого отверстия очевиден: это отношение средней длины свободного пробега в невозмущенном газе к диаметру отверстия. Для задач со столь простой геометрией, как рассматриваемая, следует ожидать монотонного перехода от одного предела к другому с наибольшим изменением в области чисел Кнудсена от 0.1 до 10. Глубокое исследование течения эффузии дано в работе [54] Липманом, где приведены экспериментальные данные, подтверждающие в целом это предположение. Однако в течениях с более сложной геометрией выбор числа Кнудсена может быть не столь очевидным, а переход между соответствующими пределами не обязательно монотонным. При течении газа взаимодействие различных потоков молекул или потоков различных сортов молекул происходит за счет столкновений молекул. Так как в свободномолекулярном течении столкновений нет, то сложное течение можно представить в виде суперпозиции более простых течений. Два следствия этого положения также можно продемонстрировать на примере задачи об эффузии.

Во-первых, рассмотрим случай, когда по обе стороны тонкой перегородки с малым отверстием находится равновесный газ. Если обе средние длины свободного пробега существенно больше размеров отверстия, то эффузия осуществляется в двух направлениях, причем оба потока газа совершенно не зависят, друг от друга. Если рассмотреть два сосуда, температура газа' в которых различна и которые соединены одним или несколькими отверстиями со свободномолекулярными течениями, то будет наблюдаться явление тепловой транспирации (см. упр. 5.1). Рассмотрим далее эффузию газовой смеси, каждый компонент которой вытекает независимо, и так как средняя скорость молекул обратно пропорциональна корню из их массы, то при истечении из отверстия происходит разделение компонентов (см/ упр. 5.2). . • .

ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Течение можно считать “одномерным, если его параметры можно определить, решая для потоков молекулярных признаков одномерные уравнения. Так, задачу определения потока массы при эффузии можно считать одномерной даже тогда, когда поле течения двумерно' или трехмерно. Это простейший тип течения; для дальнейших приложений необходимо получить результаты в еще нескольких примерах. - -

Рассмотрим одномерную задачу теплопередачи между двумя параллельными плоскими пластинами, отстоящими -друг -от друга на расстоянии h, которое много меньше средней длины свободного пробега X газа, находящегося Между пластинами.

Отражение от пластин полагаем диффузным с полной аккомодацией энергии и температурами Ти’и Тъ Соответственно на верхней и нижней пластинах. Тогда одноатомный газ с числовой плотностью п, заключенный между пластинами, состоит из потоков молекул, отраженных от нижней и верхней пластин с плотностями Ик и Ии и температурами Гь и Гц и движущихся соответственно вверх й вниз.

Поток диффузно отраженных от поверхности. молекул тождествен потоку молекул, подсчитанному так, как если бы за пластиной находился равновесный газ с температурой пластины. Числовая плотность отраженных молекул в точности равна половине числовой плотности этого фиктивного газа, так как ровно половина молекул движется в направлении к пластине. Тогда из равенства (4.20) имеем

и поскольку И = Ии + «L, то

(5.10)(5.10)•«Ги2rarL2

(5.10)

(5.10)

Полагая в равенстве (4.24) р =(2/?7'l)-1/2 и р = 2тиь, получим поток энергии ^l молекул, движущихся от нижней пластины:

qL = mn^n-'Z2 (^Т^)3/2.-

Аналогично, поток энергии молекул, движущихся от верхней пластины вниз, равен

qy = mnuu-^^RTy^. .■

Объединяя эти соотношения с формулами (5.10), получим полную составляющую потока энергии в направлении вверх:

.(5.11)

Поток тепла между пластинами в газе как сплошной среде равен■,.._

где ось у направлена по внешней нормали к нижней пластине. Если принять, что К = СТВ, где С и В —постоянные, то '

■ С dTB+x'

9с —5 + 1 dy -'

Из закона сохранения энергии в сплошной среде следует, что в покоящемся газе поток qc постоянен, так что•

.ТВ+1 = —• (В + l)C-I^cz/+ const.

полагая п\ = пх и Q = 1, получим формулу для плотности

.0■

п^х, 0 = 7" §(Р^л1/2) ехр(—^u,2^dx' =

Используя - далее стандартные интегралы приложения В, получим.-■'

-^ = i/2erfc(-^).(5.20) .

Аналогично, положив Q = u, вычислим скорость потока

M0 = ^-J-exp[-(₽IW],~

Л ■ 2р,..

или .* '-.

Р1И0 = л-1/2ехр[— (Pi%A)2]/erfc (Р^//).(5.21) :

Заметим, что в формулах (5.20) и (5.21) аргументом является выражение Pix/Z; при х = О’имеем njn\ = \lcl, PiUo = n“I/2. Поэтому поток числа молекул в плоскости х — 0 не зависит ’от 7 времени, и равен rti/(2n1/2Pi). Это выражение совпадает с потоком числа молекул при,стационарной эффузии. Зависимости величин п/пх и рщо от р^/i приведены на рис. 5.1. Профили плотности симметричны относительно начала координат, а отклонения от предельных невозмущеннйх значений плотностей ; пропорциональны ехр [—Pix/^)2], что следует из асимптотиче- ■ ского представления (С4) для erfc(x). Из этого же представления следует, что при больших значениях ^\x)t скорость Рщ0 стремится к р^/Л . ..

Приведенный анализ позволяет определять не только поля течения. Рассмотрим, например, обобщение предыдущей зада- . чи и определим давление, оказываемое газом на зеркально отражающую поверхность, расположенную при x = xw в свобод- йомолекулярном случае, когда Kn = MAw-* °0- Давление на поверхность равно удвоенному потоку нормального импульса в точке x = xw и может быть определено,' если в равенстве (5.19) положить х = х» и Q = тм2': .о.

pw = у тпхи2 -^- ехР (— Р1“2) ^х'=

2рА с (х«-х Y Л iWw-x) 1 V

Тг'

Используя опять стандартные интегралы, получим

-^ = 1 -erf. t —~(5.22)

p ।\ t / л ^" \ t J

Обобщая анализ задачи о разлете газа, можно рассмотреть также и разлет плоского слоя конечной толщины. Если толщина много меньше средней длины свободного пробега в невозмущенном газе, то свободномолекулярное приближение

Рис. 5.1. Числовая плотность и скорость потока при свободномолекулярном разлете; точный результат;асимптотический результат, и0 = х//

справедливо во всех точках в любой момент времени. Если первоначально газ равномерно заполнял область между плоскостями х = — I и х = -{-/, то выражения для плотности и скорости получим аналогично формулам (5.20), (5.21), подставляя в качестве пределов интегрирования по х' значения —/, +/ вместо —оо, 0. Окончательные результаты таковы:

— = i/2 {erf Р1 (х,+ ° 1 - erf ~Z) 1), (5.23)

p M = -I/2 fexD Г _ ^1^2211 _ eXn [ — ^tlizt^ll1 у

л X {erf р-'-И?) j _ erf [ pll* ~Z) ] } " *. (5.24) Поведение этих решений приведено на рис. 5'2 для числовой плотности молекул, а на рис. 5.3 для скорости потока. Облако

Вычисляя далее, получим■?

^-=l + V,[=rf(^ + s)-erf(te-s)]. (5.25) i

Здесь s = U^ — скоростное отношение поршня.■

Это решение для плотности проиллюстрировано на рис. 5.4.1

Условимся скорость U и скоростное отношение s считать поло- | жительными, когда поршень движется внутрь газа, и отрица- | тельными, когда он удаляется от газа. При положительных '

Рнс. 5.4. Профили числовой плотности в одномерной свободномолекулярной . задаче о поршне.'-Рнс. 5.4. Профили числовой плотности в одномерной свободномолекулярной . задаче о поршне.'-

Рнс. 5.4. Профили числовой плотности в одномерной свободномолекулярной . задаче о поршне.'-

Рнс. 5.4. Профили числовой плотности в одномерной свободномолекулярной . задаче о поршне.'-

значениях s газ отражается от поршня и имеет относительно него скорость x/t = U; в системе координат, связанной с первоначально покоившимся газом, в который вдвигается поршень, скорость отраженного газа x[t = 1XJ. На это движение накладывается постепенное расплывание фронта вследствие тепло-- • вого движения молекул. Последний эффект преобладает при малых скоростных отношениях. Числовая плотность на поверхности поршня равна

, п[п\ = 1 + erf (s).■(5.26) :

При отрицательных значениях s профили п]пх расположены .' между 1 и 0 и симметричны профилям, соответствующим поло- ‘ жительным значениям s..

Подставляя соответствующие значения Q в равенство (5.19), ■ легко получить выражение для других характеристик течения, X таких, как скорость потока. Давление на поршень можно под- . Считать, используя ту же методику, которая привела к формуле

для давления в задаче о свободном разлете. Следует помнить, что в свободномолекулярном течении тензор напряжения, вообще говоря, анизотропен.,

5.4. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ АЭРОДИНАМИКА

Здесь рассматриваются нормальное и касательное напряжения и теплопередача на поверхностях стационарно движущихся тел в разреженном газе. Для определения суммарных аэродинамических сил, действующих на тело, нормальное и касательное напряжения можно проинтегрировать по поверхности тела. В некоторых приложениях могут также потребоваться характеристики поля течения около тела. Обычно число Кнудсена определяют как отношение средней длины свободного пробега в невозмущенной атмосфере к характерному размеру тёла и, когда оно достаточно велико, считают, что применимо свободномолекулярное решение. Это предположение можно обосновать тем, что в указанных условиях молекулы, отраженные от тела, пролетают обычно до столкновения очень большие расстояния. Вероятность того, что молекулы, испытавшие такие столкновения, могут попасть на поверхность тела, пренебрежимо -мала, поэтому можно считать, что все молекулы прилетают из равновесного невозмущенного потока. Заметим, что для применимости свободномолекулярного ■ приближения наибольшее значение имеют столкновения отраженных от поверхности молекул с молекулами набегающего потока. Средняя длина свободного пробега последних может быть много меньше средней длины свободного пробега в невозмущенном потоке. Это особенно' существенно, когда скоростное отношение, а следовательно, число Маха велики *).•.

Комбинируя выражения § 4.2 для потоков падающих и отраженных молекул, получим характеристики потока на поверхности. Индексы i и г будем относить, к потокам набегающих и отраженных молекул; поток будет считаться положительным, если он направлен к поверхности. В отсутствие явлений адсорбции и эмиссии на поверхности поток числа молекул, падающих на нее, должен равняться потоку числа молекул, отраженных от поверхности. Таким образом,

ДГ = ^+ Nr = 0,(5.27)

Р = РЛРт’(5.28)

T = Ti + Tr,(5.29)

? = ^ + ?г-(5.30)

*) В общем случае длина пробега набегающих молекул на отраженных может быть не равна длине пробега отраженных молекул на набегающих

Коган М. Н. Динамика разреженных газов. — М-: Наука, 1967).—■ “рик ред,' '

записанные для верхней и нижней поверхностей, получим силу, действующую на единицу поверхности перпендикулярно к ней и направленную вверх:.

Р^Роо = [2(1 + е)/л1/2] s sin аехр(— s2 sin2 а) -|- .

+ (1 — в) (Tr/T^yi2 n^2s sin а+ (1 + е) (1 + 2s2 sin2 а) erf (s sin а).

.'(5.42)

Силу, действующую на единицу поверхности параллельно плоской пластине и направленную назад, определим аналогичным образом из формулы (5.39):•

/7р//?оо= [2 (1 — еУл^^д cosa[exp(—s2 sin2a)+ n1/2s sin a erf (s sin a)]

Обозначим подъемную силу и сопротивление пластины через L и D соответственно. Коэффициент подъемной силы пластины площадью S равен •. ..

L _ (fN cos a — f р sin a) S - (F^p^ cos a — ^Fpfp^ sin a -’ ViP^S- ~s2 '

Подставляя выражения для F^/p-» и Fp/р^, получим■

Cl= tp" sinacosaexp(—s2sin2a) 4- -^^-[1 4- s(l + 4s2sin2a)]X

-1 — 8*/ T \V2

X erf (s sin a) 4— л1/2 sin a cos a^Aj .(5.43)

Коэффициент сопротивления выражается в виде ,,

D _ (^n/Poo) sin a + (^p/Poo) cos a . VlPeX-SS' .

и, преобразуя аналогичным образом, имеем

„2 [1 — е cos (2a)1,92 \ I-'

CD =—1775- ■— exp (— s2 sin2 a) +■

it' s

+ S~^2~ {1 + 2s2 + e [1 — 2s2 cos (2a)] } erf (s sin a) + --

1'- 8„/\l/2

-4л1/2 sin2 a (-=—) . (5.44)

Теплопередача к поверхности определена формулой (5.40), а температуры верхней и нижней сторон теплоизрлированной нетеплопроводящей пластины даны выражением (5.41). Если теплопроводность плоской пластины бесконечно велика, то из фор;- мулы (5.40) следует выражение для полного теплового потока

на пластину:.

(1 - s) аЕРсо Г Г. ' У Y+17W 1

2л*^ Ц Y-12 (v — 1) То= 1'

X [ехр(— s2 sin2 а) + n1/2s sin а erf (s sin а)] — V2 exp(— s2 $in2a)|.

Равновесная температура Tw теплоизолированной абсолютно теплопроводной пластины в отсутствие теплового излучения определяется из"условия равенства нулю проведенного выше выражения для теплового потока; а именно:’*

7Х =-^^7^ р + ^7^

X [ехр(— s2 sin2 а) + n'^s sin а erf (s sin a)]-1j Тю. (5.45)

■ Для тел, отличных от плоских пластин, выражения (5.38) — (5.40) нужно проинтегрировать по поверхности. Перечень известных решений дан в работе [80], однако часто встречаются задачи, которые или не были решены ранее, или их решения не были опубликованы. Возможность получить в этом случае решение в аналитическом виде зависит от геометрии задачи. Методика интегрирования будет показана на примере вычисления коэффициента сопротивления сферы. В показанной на рис. 5.5 сферической системе координат коэффициент сопротивления равен.

Л■

Cd = Tj^Uw" = $ (/) cos 0 + т sin 0) 2лг2 sin 0 с/0/(‘/2р=оС2лг2).

В книге [72] приведены полезные таблицы определенных интегралов, появляющихся после подстановки в это выражение формул (5.38), (5.39). В окончательном виде коэффициент сопротивления записывается так:'■

р 2s2+1,2, . . 4s4 + 4s2 — 1,. 2 (1 — е) л1/2 / Т V/2.

Cd = —ехР (“ s ) 4•4* er? (s) Н ~ I

n2s3 н k ’2s43s V Too '

.(5.46)

Интересно, что коэффициент зеркальности е в выражении (5.46) остается только при члене с температурой поверхности Г». Следовательно, для холодной сферы значения коэффициентов сопротивления при зеркальном и диффузном отражениях совпадают, и, когда скоростное отношение становится большим, их общее значение приближается к двум. Конечно, это не значит, что коэффициент сопротивления сферы не зависит от модели взаимодействия газ — твердое тело. В § 4.5 была упомя-

щую на сферу, не дают. Так как поток числа молекул, подсчи- тайный по навье-стоксовской функции распределения, не зави- ’ сит от направления, то в случае однородной по поверхности* температуры сферы диффузно отраженные от поверхности мо-- * лекулы вклада в полную силу не дают. Давление, оказываемое . зеркально отраженными молекулами, равно pi. Касательное l напряжение диффузно отраженных молекул равно нулю, а зер-. | кально отраженных равно —т;. Полная сила при этом равна ' лJ

F = — . 5.2 -— \ [2 (1 + e) cos2 0 + (1 — в) sin2 9] 2лг2 sin 0 d0. 1

Здесь e — доля зеркально отраженных молекул. Таким образом,

(5.50)

Этот результат впервые получен Вальдманом [97]-. Запретим, что в отсутствует в окончательном результате вследствие А сферической геометрии течения и для частиц другой формы- мо- 2 жет влиять на силу.

ЗАДАЧА РЭЛЕЯ-^

Рассмотрим полубесконечное пространство у > 0, дапол.-^ ненное покоящимся однородным газом плотности р=о и темпе- '^ ратуры Too. Пусть диффузно отражающая плоскость у = 0 в:» момент времени t = 0 приобретает скорость величиной <7W,У направленную вдоль оси х, и температуру TV Для времен, I много меньших среднего времени между столкновениями моле- а кул, и расстояний, много меньших средней длины свободного^ пробега, течение можно считать свободномолёкулярным. Пара<| метры течения будут зависеть только от у. Однако здесь в от- J личие от чисто одномерных течений § 5.3 существуют конечные j компоненты скорости вдоль обеих осей х и у. Задача Рэлея по- J лезна как контрольная при сравнении различных методов,, пред-1 назначенных для изучения течений в переходном режиме, и ' основной целью настоящего исследования является получение 1 свободномолекулярного решения, используемого в дальнейшем.? Более полное исследование-задачи было дано, в работе [99].|

Лучше всего решать эту задачу, используя свободномолеку-я лярное уравнение Больцмана. Поскольку две компоненты ско-? рости отличны от нуля, то необходимо вновь обратиться к ра- : венству (5.6) и написать‘

nQ^y, 0 = -^- Н t Qn.^ С*" —, -^=^-, Zy"> tAdx'dy'dz'.-

.(5.51)^

Здесь г'= г — ct и интегрирование ведется по полупространству, занимаемому газом в момент t = 0. Начальная функция распределения при у' > 0 следует из формулы (4.3) и выражается в виде " .

J" ехр[-Р^(«2+о2+®2)] =

Газ, отраженный от поверхности при t > 0, можно представлять газом, находящимся в полупространстве у <_ 0 с функцией распределения: ■

В3;'

^-exp{-p2w[(«-^w)2+«2+^]} =

В начальный момент числовая плотность газа в области у > С равна Поо = роо/т, а в области у <. 0 равна п^. Поток числа молекул в направлении у вследствие непротекания плоскости у = 0 должен равняться нулю; используя равенство (4.20), имеем > .

: »w = (Pw/P=o)rt=-

Подставляя эти выражения й (5.51), получим

Выражения для числовой плотности, скоростей потока в направлении х и у, температуры, определенной по поступательному движению молекул, получим, полагая Q = 1, и, v и vlac'2[R

""Решение этой задачи впервые было получено Клаузингом [22] * и подробно обсуждается в книге [72]. В этом случае столь про-Я стой геометрии функции Na, Ре(х), АМ*) и Р(х', х) можцо ^ найти после простых, но утомительных выкладок. Однако ре- j шать интегральное уравнение для N^ нужно численно. Ин- ". тегрирование уравнения (5.60) в конечном виде возможно J только при линейной аппроксимации функции N(x) с коэффи-Л циентами, определяемыми из численного решения уравнения (5.61).'

Для задач с более сложной геометрией, чем рассмотренная <; выше,' проведение такого же, в основном аналитического, ана- ■■ лиза с выводом интегрального уравнения невозможно. С дру-J гой стороны, этот класс задач идеально подходит для иссле- ; дования вероятностным численным методом, названным мето- » дом пробной частицы Монте-Карло [26]. При этом необходимо'1; обратиться к цифровым ЭВМ, причем требования к их быстродействию жестче, чем к объему памяти. На ЭВМ моделируют-,' ся многие тысячи траекторий молекул, так что объем выборки ’ достаточен, чтобы описать поведение реального газа. Так как■ столкновениями между молекулами можно пренебречь, траек- ' тории’не зависят 'друг от друга и могут моделироваться после- , довательно. Покажем применение этого метода на примере потока .через круглую трубу и вычисления Nt и Na-; ?

Блок-схема программы моделирования приведена на рис. 5.7. Там введены, кроме известных, следующие обозначения: Т=у = Ь/г— относительная длина трубы; М1 — полное число частиц, влетающих в трубу; г\— расстояние при х = 0 от начального, положения частицы до оси трубы (начальный радиус);./i, m\,v пх — направляющие косинусы начального отрезка траектории;J хс — координата х точки пересечения траектории с поверхностью * трубы или ее продолжением вне интервала 0 ^ х ^ b; lc, mc, ^ пс—направляющие косинусы отрезка траектории частицы пос-Ш ле диффузного отражения от поверхности.,•'5

Функция распределения начального радиуса вводится," как и другие, в приложении D, и необходимое выражение непосред-J ственно следует из равенства (D6):|

' гх = №2г.(5.62)^

Из этой формулы следует, что начальный радиус выбирается! случайным образом в соответствии с равномерным распределе-1 нием в плоскости входа. Однако, поскольку траектории не за-3 висят друг от друга, статистические неоднородности, которые! появляются в начальных данных в результате такой процедуры,'! могут быть устранены, если воспользоваться регулярным рав-я номерным распределением. При этом начальный радиус ЛРй!

ТЕЧЕНИЯ С МНОГОКРАТНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ ОТ ПОВЕРХНОСТИ - 125

(5.63)(5.63)траектории определяется так:

(5.63)

(5.63)

Поток числа молекул, попадающих во входное сечение трубы вследствие диффузии, определяется равенством (4.16) при

( НАЧАЛО )

\ СЧИТЫВАНИЕ L,Nj

/ЦИКЛ\

Nt

\РАЗ /

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ Г,,Ц.т,, л.

(ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО хе|

ДА| Nd =A/j+11(МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ 1с,те,пс| ДА| Nd =A/j+11(МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ 1с,те,пс|№53№53

ДА| Nd =A/j+11

(МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ 1с,те,пс|

ДА| Nd =A/j+11

(МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ 1с,те,пс|

№53

№53

Г кпнгп Л *i/ПЕЧАТЬ \

Рис. 5.7. Блок-схема программы метода пробной частицы Моите-Карло для задачи о течении в цилиндрической трубе.

Q — 1. Наружный газ находится в равновесии, и его функцию распределения можно записать в сферической системе координат, как в формуле (4.4), с полярной осью, направленной вдоль оси трубы. Компоненту и скорости молекул можно тогда записать как с'cos 6. При этом поток числа молекул выражается соотношением

оо 2л л/2

^^ = ^Г § \ с'3ехр(— ₽2с'2) sin 9 cos 9t/9 d^ dc'. (5.64) я0

чение, данное Клаузингом [22] для этого случая, равно Nt/N\ = 0.672. Пунктирными линиями обозначены функции - 0.672 ± N~x^, и ясно, что они дают хорошую оценку ожидае-1 мого разброса при данном объеме выборки. Темными кружоч- ] ками обозначены данные, полученные с помощью программы * приложения F со случайным выбором начального радиуса в" соответствии с равенством (5.62), крестиками — значения, по-'* лученные при регулярном задании по уравнению (5.63). Устра- ' нение неравномерности в начальных данных не уменьшило в * этом примере разброса конечного результата. Суммированиеj всех данных, приведенных на рис. 5.8, приводит к значению ^ Nt/Ni = 0.6713, полученному по 201 720 траекториям. Для дру- j гих значений относительной длины цилиндра также было полу-^

VVчено хорошее согласие -с данными Клаузинга. ЭВМ средней мощности, такая, как CDC 6400, подсчитывает примерно тысячу траекторий в'секунду. '

V

V

Главке преимущество метода Монте-Карло заключается в < простоте его применения к течениям с более- сложной геомет-'i рией. Изменения, которые привели бы к полной практической ^ невозможности применения метода интегрального уравнения, в этом подходе обычно приводят к изменениям в несколькихj предложениях программы вычислений. Некоторые из конфигураций, встречающихся в инженерной практике, исследованы в | работе [26].. ■|

числительного алгоритма.Упражнениячислительного алгоритма.УпражненияВ приведенном примере нужно было определять лишь отно-( шение потоков числа молекул на выходе и на входе. При при-; менении метода Монте-Карло к задачам, в которых требуется j найти, например, коэффициент сопротивления, передачу им-- пульса необходимо связать с плотностью газа. Проще всего в( стационарном случае принять, что подсчитываемые траектории^’ соответствуют тем, которые существуют в реальном газе в еди-, ницу времени. Тогда сумма по всем траекториям переданного^ импульса равна потоку импудьса. Поток числа молекул можно, подсчитать таким же образом, и используя равенство (4.18) можно вычислить соответствующую числовую плотность. Метод пробной частицы Монте-Карло применить непосредственно к не-; стационарным течениям нельзя, и предпочтительнее исполь-: зовать свободномолекулярный вариант метода прямого модели-; рования Монте-Карло, описанного' в гл. 7. В этом методе одновременно строится большое число траекторий, и реальному времени можно сопоставить некоторый временной параметр вы-;

числительного алгоритма.

Упражнения

числительного алгоритма.

Упражнения

Рассмотрим два объема газа! разделенных тонкой перегородкой с отвер-’ стием. .Пусть характерный размер отверстия много меньше средней длины, свободного пробега молекул в газе. Пусть также внешнего воздействия на

творяют соотношениютворяют соотношениюр. / Т . \1/2\7р. / Т . \1/2\7Газ в объемах нет, помимо того, что его температуры Тд и Тв поддерживаются постоянными. Показать, что равновесные давления в объемах удовле-

творяют соотношению

творяют соотношению

р. / Т . \1/2

\7

р. / Т . \1/2

\7

Это явление называют термической- транспирацией.

Рассмотрим смесь'двух газов, отделенную от вакуума перегородкой, упомянутой в упр.5.1. Пусть поток массы газа через отверстие достаточно мал, так что газ вдали от отверстия можно считать невозмущенным/ Истекающие при эффузии газы собирают^ отношение числовых плотностей молекул сорта 1 и 2 .обозначим через »i/»2- Показать, что это отношение связано с отношением плотностей в исходной смеси выражением

И1 / m2

■га2 и2 X ^1 /'

где /иг и т2— массы молекул сорта 1 и 2,

Газ плотности я», истекает при эффузии с постоянной скоростью через отверстие площадью S. Выберем сферическую систему координат с началом в отверстии и полярной осью, направленной по нормали к отверстию в сторону движения газа. Используя результаты упр. 4.5, показать, что числовая плотность на больших расстояниях (г2 ^» S) от отверстия равна

._ Яо cos 0

-4лг2'

Показать далее, что для. круглого отверстия радиуса г о точный результат для плотности вдоль, оси симметрии таков: - •'

"°( г° \21-1/21' '

Разложить приведенное выражение в ряд по (го/г)2 и сравнить с полученным ранее приближенным результатом. .

Рассмотрим одномерную задачу о теплопередаче, введенную в § 5.2, с наложенным, вдоль оси у постояным полем тяготения. Показать, что если р — средняя плотность газа между пластинами, то в свободномолекулярном режиме тепловой поток равен.

н =.

‘г^2 (exp (g^) [1 - erf (Ои)] - 1} + Г*/2 {exp (G2) [1 + erf (6L)] - 1} ’

где G^ = g<RT^ и Gt = gh^RT^.

Простым течением Куэтта называют течениё между плоской неподвижной поверхностью, расположенной при у — 0, и движущейся со скоростью U пластиной, расположенной при у = h. В несжимаемом газе как сплошной среде в отсутствие перепадов давления скорость газа равна и — Uyih. Показать, Что отношение касательного напряжения в свободномолекулярном режиме при диффузно отражающих поверхностях к напряжению трения при течении газа как сплошной среды равно1.

т, 8.'-

'тс ~ 5лКп '

б г, Вёрд

Общие методы исследования течений в переходном режиме f

КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ’

Переходный режим течения — это реж'им, в котором средняя длина свободного пробега ни слишком мала, ни слишком велика по сравнению с характерным размером. Математическое J исследование нелинейного уравнения Больцмана сложно, и, как Д пр'авило, не существует прямых..методов, которые приводили бы к точным* аналитическим решениям. Поэтому предложено боль-» i шое число косвенных подходов, во многих из которых исполь- | зуются необычные типы аппроксимации. Необходимо класси- J фицировать большое количество конкурирующих методов. Про- делать такую . классификацию помогут ответы на следующие , вопросы.'I

Является ли метод численным или аналитическим? J

Применим ли метод при любых--значениях всех парамет- в ров или его применимость ограничивается предельными слу- i чаями, в которых один или большее число параметров малы J или велики? ,•

Какова размерность задач и какова сложность свойсте(^ газа и граничных условий, при- которых можно использовать'^ метод? .j

Требует ли метод задания начального приближения для; всего поля течения и зависит ли-он от сходимости последова-у тельных приближений?5

Опирается ли метод на дополнительные предположения; о функциональной форме некоторых параметров и зависит ли* он от произвольных'видоизменений основных уравнений? ■*

При принятии какого-либо приближения необходимо тща-.^ тельное сравнение с друТими теоретическими результатами иу экспериментом. Такой анализ особенно важен, если ответ наг пятый вопрос утвердителен. Заключения общего характера; нельзя основывать на совпадении не только в единственном^ случае, но даже и в одной задаче. Сравнительный анализ нуж;| но проводить не по зависимости единственного макропараметра, од числа Кнудсена, а, насколько это возможно, по наибольшему*

количеству параметров потока во всем поле течения. Поскольку решения для двух предельных режимов — свободномолекулярного и течения газа как сплошной среды — известны, то хорошие результаты могут быть получены физически неоправданными методами, которые, как оказывается, случайно привели к хорошей интерполяции между этими известными предельными значениями.

При рассмотрении первого вопроса необходимо иметь в виду, что некоторые аналитические методы приводят к «решениям», требующим обширной вычислительной работы для получения окончательных результатов в конкретных течениях. В некоторых случаях объем этой вычислительной работы может превышать объем работы, которая потребовалась бы при непосредственном численном решении задачи. Применение таких методов следует рассматривать скорее как возможность иначе и, быть может, менее точно сформулировать задачу, чем как возможность решить ее. Методы непосредственного численного решения обсуждаются в § 6.4.

Задачи, в которых имеются большие отклонения от, равновесия, нелинейны, так что не существует аналитического метода, в котором -не делались бы дополнительные предположения или аппроксимации.: Для получения приближенных решений, описывающих течения в режиме сплошной среды или в режиме, близком к свободномолекулярному, можно воспользоваться методами малых,-возмущений, основанными на малости числа Кнудсена или его обратной величины. В некоторых методах предполагается, что скоростное отношение мало или велико или что малы сами возмущения течений. В частности, если возмущения малы настолько, что функция распределения лишь слегка отлична от равновесной, или максвелловской, функции распределения, то метод малых" возмущений приводит к линеаризованному уравнению Больцмана. Детально теория этого, уравнения была изложена Черчиньяни [16]. Обзор более поздних результатов можно найти в работе [17].

Решения, полученные методом -малых возмущений,. дают важные числовые ориентиры,'особенно когда эти данные получены без каких-либо дополнительных произвольных' предположений относительно параметров и . без' видоизменения уравнений." Правда, такие решения получены только для ограниченного ряда задач со сравнительно простыми граничными условиями. Случайно они могут иметь непосредственное инженерное применение, однако маловероятно, чтобы эти методы можно было обобщить настолько, что ими можно будет исследовать иные задачи, встречающиеся на практике.

В некоторых методах приняты весьма произвольные предположения относительно вида функции распределения. Воль-

конкретное предположение сделал Уленбек [92], полагая, что уравнения Барнетта приводят.к.лучшему описанию быстропеременных малых возмущений. С другой стороны, экспериментально доказано [80], что включение членов более высокого порядка обычно приводит к уменьшению согласованности теоретических и экспериментальных данных при числах Кнудсена, близких к верхнему пределу применимости уравнений Навье — Стокса). ■ . " •

Грэд [37] выдвинул иное предложение: разлагать f в ряд по тензорным полиномам Эрмита опять-таки с локально максвелловской функцией распределения в качестве первого приближения. Приближение третьего порядка приводит к выражению f в виде локально Максвелловской функции, умноженной на члены, содержащие как р, с0, Т, так и т и q. Отсюда следует, что полное число моментных уравнений, необходимых для замыкания системы, равно числу зависимых переменных в уравнениях сохранения, т. е. тринадцати (упр/3.2)'. В этом приближении имеем тринадцатимоментные уравнения Грэда. Хотя эти уравнения—важный логический ш’аг в развитии кинетической теории, однако результат их применения к решению конкретных задач в переходном режиме разочаровывает [80].

Отсутствие разложений, приводящих к уравнениям, верхний предел применимости которых по числу Кнудсена существенно выше, чем у уравнений Навье — Стокса, показывает, что для построения уравнений, пригодных в • промежуточной области, требуются новые радикальные предположения об аппроксимации функции распределения. Для задач об одномерном стационарном течении с двухточечными граничными условиями функцию f выбирают в виде комбинации двух максвелловских распределений, определяемых граничными условиями. Она может быть линейной комбинацией двух распределений, задаваемых во всем пространстве скоростей, как нри решений Мотт-Смита задачи о структуре ударной волны (см. § 8.1), или комбинацией функций, заданных в полупространствах скоростей, как в моментном методе Лиза (см. § 8.2).

При введении комбинаций максвелловских- функций появляется одна или несколько дополнительных зависимых переменных, так что при этом требуется дополнить уравнения сохранения- соответствующим числом моментных уравнений. Так как в одномерном течении три уравнения сохранения, то минимальное-число моментов равно четырем). Для несохраняюще- гося момента или моментов нужно вычислить столкновительный

член A[Q], который обычно вводит характеристики процессов переноса в рассматриваемую формулировку. На этом пути можно получить решение в замкнутой форме для всего диапазона изменения числа Кнудсена, переходящее в свободномрле- кулярное решение при Кп->оо и в решение Навье — Стокса-при Kn < 1. ' '

Некоторые моментные методы приводят к результатам, находящимся в удивительном согласии с экспериментальными данными. Однако эти решения не однозначны, поскольку рассматриваемые методы связаны с произволом в выборе формы принятой функции распределения и несохраняющихся ' при столкновениях величин, используемых при выводе дополнительных моментных уравнений. Выбор, наилучший для одних параметров, необязательно лучший для других "даже для той же самой задачи. Точно так же использование более сложной формы функции распределения и соответственно большего числа моментов необязательно приводит к лучшим результатам.

Моментные методы безуспешно применялись для решения двумерных задач, таких, как задача о стационарном обтекании сферы в переходном режиме. Основная причина этого состоит в том, что в таких течениях форма функции распределения сильно - зависит от пространственных координат. Трудности в определении подходящей формы функции распределения усугубляются отсутствием осевой симметрии в пространстве скоростей (функция трехмерна). Наконец, даже если бы оказалось возможным найти пригодную аппроксимацию функции распределения, полученные уравнения было бы труднее решить, чем уравнения Навье — Стокса для соответствующего течения вязкого газа как сплошноой среды. '

МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . ' '"

При йспользовании модельных уравнений аппроксимируется непосредственно уравнение Больцмана, точнее интеграл столкновений, поскольку наибольшие математические трудности связаны именно с ним. После работы Бхатнагара, Гросса и Крука [4] наиболее известное модельное уравнение называют уравнением БГК- Его можно записать в следующем виде: -

■^-И + с-^И + р- -^-(hD = hV(/o-D. (6.3)

Хотя параметр v обычно считают частотой столкновений, он обладает лишь частью свойств частоты столкновений: v пропорционален плотности и может зависеть от температуры, однако принимают, что он не зависит от скорости молекул с. Так как fo— локально'махсделловская функция, т. е- зависит от скоро-

Первая крупная проблема связана с огромным числом дискретных точек, которое потребовалось бы при таком представлении. Даже для одномерной в физическом пространстве задачи функция распределения обладает осевой симметрией в пространстве скоростей, так что в фазовом пространстве необходим трехмерный массив. Дополнительная трудность связана с бесконечностью области в пространстве скоростей. Границы этой области можно определить так, чтобы вне ее находилось «лишь малое количество молекул. Однако оптимальное положение этих границ найти трудно. В двумерных течениях функция распределения зависит от трех компонент скорости молекул, так что в фазовом пространстве нужен пятимерный массив точек. Уже при работе с трехмерным массивом возникают огромные вычислительные трудности; когда же число-переменных увеличивается до пяти, они становятся почти непреодолимыми.

Вторая крупная проблема связана с числом операций, необходимых для вычисления интеграла столкновений. При конечно-разностной аппроксимации интегралы заменяются суммами. При этом в каждой точке фазового пространства необходимо вычислить сумму членов по всем точкам пространства скоростей. Сами эти члены представляют собой суммы выражений, вычисленных при различных значениях параметров столкновений. Таким образом, непосредственно метод конечных разностей почти для всех задач (исключая простейшие) требует огромного времени работы ЭВМ "И большого объема ее памяти.

Для одномерных стационарных задач метод конечных разностей применяли Нордсик, Хикс и Иен (см., например, [71, 100]). В их методе используется минимальное количество ячеек в .пространстве скоростей с осевой симметрией, а для .уменьшения вычислительной работы по суммированию в интеграле столкновений применяется метод Монте-Карло. Поскольку метод применим только к стационарным течениям, для того чтобы получить окончательный результат методом итераций, необходима предварительная оценка функции распределения во всем поле течения. Сравнительно малое количество ячеек приводит к загрублению "значений скоростей при вычислении интеграла столкновений и, следовательно, к увеличению систематической погрешности от итерации к итерации. Чтобы контролировать ее, а также чтобы обеспечить выполнение законов сохранения, применялся метод наименьших ‘"квадратов. Применение такой поправки в двумерных течениях было бы чрезвычайно затруднительно, если бы решение таких задач было осуществимо с технической стороны.

В конечно-разностных методах для сохранения устойчивости вычислений "обычно требуются специальные модификации разностной схемы при изменении геометрии течения или даже при

изменении значений параметров течения заданной геометрии. Несмотря на эти трудности, в задаче о структуре прямой ударной волны были получены удовлетворительные результаты [43], которые будут обсуждены в § 8.1. Этот метод применяли только его авторы, причем присущие ему трудности и ограничения таковы, что его едва ли можно считать полезным методом общего назначения при решении задач молекулярной газовой динамики.

Решение непосредственно уравнения Больцмана для функции распределения не является единственным средством получения решения задай о течениях в переходном режиме. Можно использовать то, что газ состоит из молекул, и предложить методику прямого моделирования для цифровой ЭВМ. В этом случае состояние газа определяется положением и компонентами скорости очень большого числа моделирующих молекул. Хотя функцию распределения можно определить по этим данным о молекулах, задачу можно формулировать и не обращаясь к ней. Прежде чем довести этот подход до логического завершения, необходимо упомянуть метод, который занимает промежуточное место .в классификации и имеет определенное историческое значение. Ему дали меткое название метода пробной частицы Монте-Карло, который впервые был применен Хэви- лендом [42].

В § 5.7 был изложен простой и последовательный метод исследования свободномолекулярных течений с многократными отражениями от поверхности, названный. методом пробной частицы. В переходном режиме в дополнение к взаимодействию молекул с поверхностью необходимо вычислять и типичные межмолекулярные столкновения. Это можно сделать только в том случае, если уже известна функция распределения во всём поле течения. Значения этой функции распределения, так же как и в методе конечных разностей, запоминаются в конечном числе точек фазового пространства. Таким образом, в этом методе сохраняется основной недостаток метода конечных разностей, заключающийся в необходимости оценки функции распределения во всем поле течения. В этом методе рассчитывается большое число траекторий, в, которых при подсчете столкновений молекул принятая функция распределения используется в качестве функции' распределения- газа-«мишени». Затем по траекториям пробных, или набегающих, молекул строится новая функция распределения газа-мишени. Этот процесс повторяется и считаётся, что он сходится тогда, когда отсутствует разница между функциями распределения пробных частиця газа-мишени.

Альтернативой, методу пробной частицы является" метод одновременного построения на ЭВМ траекторий очень большого числа моделирующих молекул.. Этот процесс начинается с некоторого начального состояния и затем следует естественному

соостояния в общем случае нет. Для нестационарного течения нет необходимости итерировать от некоторой начальной аппро-

( начало;

Хсчитывание данных/

Рис. 7.1. Примерная блок-схема программы расчета методом Монте-Карло прямого моделирования.'

ксимации’ к стационарному потоку, и поэтому не возникает, вопроса о сходимости. Это означает также, что изучение неста- дионарнбгр течения представляет робой не более трудную

задачу, чем стационарного с той же размерностью в физическом пространстве.

Моделируемый объем, физического пространства разбивается на ячейки. Такими ячейками могут быть либо малые объемы с заданными границами, либо просто множество точек. В последнем случае молекула находится в данной ячейке, если она ближе всего к точке, определяющей эту ячейку. Сетка из точек дает возможность избежать аналитического описания границ ячеек и, следовательно, особенно удобна для многомерных задач с геометрически сложными границами. Размеры Аг ячеек должны быть такими, чтобы изменение параметров течения в каждой ячейке было малым. Изменение времени проводится дискретными шагами А/ет, малыми по сравнению со средним временем между столкновениями молекул. Величины Аг и Atm могут изменяться .в пространстве и времени.

Движение молекул и межмолекулярные столкновения на интервале Мт разделены и проводятся последовательно:

Все молекулы перемещаются на расстояние, определяемое их скоростями и -шагом по времени Мт. Проводятся определенные действия, если мол’екулы ■ пересекают поверхности твердого тела, линии или поверхности симметрии, либо внешние границы течения. Новые молекулы генерируются на границах, через которые есть поток молекул внутрь области. ■

Проводятся столкновения между молекулами, соответствующие интервалу Мт. Скорости молекул до столкновения заменяются скоростями, приобретаемыми ими после столкновения. Так как изменения параметров течения в'ячейках малы, то все молекулы в ячейке определяют одно и то же- состояние, соответствующее положению ячейки. Это дает возможность не учитывать относительное расстояние между частицами при выборе пары молекул для столкновения, *

Вычисление соответствующего числа столкновений между молекулами является принципиально важной частью метода прямого моделирования. Рассмотрим эту процедуру для молекул со степенным законом межмолекулярного взаимодействия. Вероятность столкновения пары молекул, как показано при выводе уравнения (1.6), пропорциональна отсг или, подставляя для от значение из (2.27), имеем kWX Если положить Ц701 т = const и, следовательно, фиксировать минимальный угол отклонения, то вероятность столкновения будет пропорциональна сг в степени (р — 5)/(г] — 1), и на этой основе должна выбираться пара молекул для столкновения. Этот выбор лучше всего делать методом исключения (см. приложение D).

Заметим, что показатель степени (р — 5)/(р — .1) изменяется °Т 1 для молекул—твердых сфер до 0 для максвелловских мд-

Система ячеек обычно образует удобную основу для вычисления макроскопических свойств газа на интервале Ms. Числовая плотность п уже появилась в (7.2), и эта величина автоматически вычисляется в стандартной процедуре распределения молекул по ячейкам. Может быть определено и распределение молекул по скоростям, однако на таком уровне информация требуется редко. Потоки различных молекулярных величин могут быть вычислены на границе области или на любой помещенной в поток поверхности. В случае твердой поверхности падающие и отраженные потоки вычисляются в ходе моделирования взаимодействия газ — поверхность. Важным преимуществом ме-' тода прямого моделирования является то, что граничные условия формулируются в терминах вероятностного описания для каждой молекулы, сталкивающейся с границей, а не в виде функции распределения в окрестности границы. .

Конечная величина памяти ЭВМ определяет ограничения и на общее число моделирующих молекул, и на количество ячеек. Статистическая ошибка в результатах обратно пропорциональна корню квадратному из числа испытаний. Чтобы уменьшить ошибку до допустимого уровня, можно провести осреднение по ансамблю путем повторения независимых вычислений Для нестационарного течения. Если течение становится стационарным, требуемое число испытаний может быть «набрано» путем осреднения по времени на достаточно больших интервалах, выборки на которых являются независимыми. -

7.2. СВЯЗЬ С УРАВНЕНИЕМ БОЛЬЦМАНА ^ -

Метод_ прямого моделирования развивался на основе физических представлений о течении газа, в то время как большинство численных методов, таких, как метод конечных разностей, развивались на основе математического описания явления. Важным является вопрос, насколько моделирование дает правильное описание реального процесса. Однако сила математической традиции такова, что обычно задаются вопросом о связи решения, полученного моделированием, с гипотетически точным решением соответствующего уравнения, в данном случае "уравнения Больцмана, Эти два вопроса становятся идентичными, если это уравнение дает описание реального процесса, но мы видели в § 3.2, что на уравнение Больцмана накладываются некоторые ограничения. Они заключаются в рассмотрении только бинарных столкновений, в рассмотрении столкновений как мгновенных событий и в предположении о молекулярном хаосе. Легко видеть; что эти предположения неявно используются и в процедуре моделирования. Следовательно, как., и для уравнения

Больцмана обоснованность применения метода прямого моделирования зависит от степени разреженности газа.

Уравнение Больцмана для степенного закона взаимодействия между молекулами можно записать в виде. (см. (3.20) и (2.27)):

|Ы) + е4м + Р4Ы)-'.

-^г>КТ^ ^(Л;™^)^-^-»^.(7.5)

Сравним это уравнение с процедурой моделирования и обсудим возможные пункты расхождения ).

Первое расхождение заключается в том, что зависимой переменной в уравнении Больцмана является- функция распределения в фазовом пространстве ^"( = nf), которая может описывать бесконечно большое число молекул. Метод же прямого моделирования имеет дело с конечным числом молекул. Это приводит к значительному статистическому" разбросу результатов,- Величина ожидаемой погрешности для данного объема выборки обсуждалась в § 1.2 и представлена на рис. 1.4. Общее нравило таково: стандартное отклонение примерно обратно пропорционально квадратному корню из объема выборки. Найдено, что разброс результатов определяется только полным объемом выборки и не зависит от того, получены ли они в 100 испытаниях с 10 молекулами в ячейке, или в 10 Испытаниях со 100 молекулами. Это дает уверенность, что уменьшение числа частиц нГе приведет к систематическим изменениям или нестабильности в течении. Тем не менее желательно более внимательно изучить значение действительного числа молекул, включенных в процесс,

В типичных приложениях метода прямого моделирования ячейка имеет размер Х/3 и содержит 30 молекул. Имея в виду характерный «размер» молекул (см. § 1,4), из уравнений (1.3) и (1.47) получаем, что отношение б/d равно 7, т. е. близко к пределу применимости предположения о разреженности газа, использованному В § 1.4. Часто используются большие размеры ячеек-и (или) меньшее число молекул, что, может показаться, нарушает предположение о разреженности. Однако есть несколько независимых причин, показывающих, что это не так.

Молекулярный «размер» входит в моделирование только через уравнение (7.2),V которое определяет частоту столкнове-

странства:. ,

ОО.'’. -

. лГ02,т^1пг^м 5 ^ff^^-1^,(7.8) ;

что согласуется с соответствующим членом в правой части уравнения Больцмана (см. уравнение (7.5)), описывающим убыль | молекул из элемента фазового пространства за счет столкнове- | ний. Часть интеграла столкновений в этом уравнении, описы- “ вающая прибыль частиц, выводится аналогично при условии существования обратных столкновений для простых моделей одноатомного газа. Метод Монте-Карло имеет дело с конечным набором молекул, из которых выбираются оба партнера по стол-, кновению, а.скорости молекул до столкновения заменяются скоростями после столкновения. Это означает, что правильный выбор сталкивающихся молекул вместе со. случайным выбором параметров удара автоматически приводит, к правильному описанию левой части интеграла столкновений. Причем это имеет место безотносительно к существованию обратных столкновений, и с этой точки зрения метод моделирования имеет меньше ограничений, чем уравнение Больцмана.. -

Так как процедура метода прямого моделирования согласуется с выводом уравнения Больцмана, результат моделирования дает решение этого уравнения до тех пор, пока вычислительные аппроксимации соответствуют допустимым ограничениям. Эти приближения состоят в использовании конечного числа молекул, в разделении физического пространства на конечное число ячеек и в расщеплении движения молекул и столкновений между ними на интервале времени Мт- Необходимые исследования по дпределению числа молекул в ячейке, размеров ячейки, ■ шага по времени должны проводиться при всех приложениях метода. Следует ожидать, что наилучшйе результаты могут быть получены при максимально возможном числе молекул, при возможно меньших по сравнению с длиной свободного пробега молекул размерах ячейки, при малом по сравнению со средним временем свободного пробега шаге по вре- мейи Мт-"■

В действительности практика показывает удивительную нечувствительность результатов по отношению к этим аппроксимациям: никаких нежелательных эффектов не возникает при уменьшении числа молекул в ячейке'до 5 или 6, при увеличении размеров ячейки до средней длины свободного пробега, а шага Мт ДО среднего времени свободного пробега. Однако есть два дополнительных момента, связанных с этими величинами, которые надо иметь в виду. '.

Первый относится к использованию уравнения (7.2) для накопления времени в счетчике в ячейке при каждом столкновении. В приложении Е показано, что в этом случае-получается правильное число столкновений за длительный период. Однако если число молекул в ячейке очень мало, то может возникнуть физически -нереальная корреляция между местоположением столкновений и вероятностью проведения столкновений. Это происходит потому, что в таком случае множитель 2/Nm в (7.2) сравнительно велик, и если' произошло маловероятное столкновение с очень малой скоростью сг,-то А/с может быть много больше Мт, и в течение нескольких интервалов времени столкновений более не будет. Эта корреляция' существенно устраняется, когда число молекул Nm в ячейке будет большим, так что множитель 2/Wm будет малой величиной. - '

Рассмотрим в -качестве примера моделирование сильной ударной волны. Если в ячейку переднего фронта волны попадает по крайней мере одна молекула из возмущенной зоны, То пара молекул с таким партнером будет иметь большую относительную скорость и большущ вероятность столкновений," чем пщэы молекул из невозмущенной "области. Маловероятное столкновение между двумя невозмущенными молекулами даст большую величину А^с и может привести к описанной выше корреляции. Найдено, что небольшие искажения в области вверх-по потоку в задаче о сильной ударной волне имеются до тех пор, пока в ячейке не будет ио крайней мере 20 молекул^.

Второй момент связан с величиной отношения характерного размера ячейки Аг к шагу по времени Мт. Это отношение не должно быть большим /го сравнению со скоростью распространения акустических возмущений. Причину такого дополнительного условия легко увидеть, если сно'ва рассмотреть одномерную задачу об ударной волне. Предположим, что волна движется вправо и что в некоторый момент времени передний край волны только что пересек левую границу ячейки. Так как действительные положения молекул в ячейке при столкновениях не учитываются, одна из возмущенных молекул, находящаяся в левой части ячейки, может столкнуться с невозмущенной молекулой вблизи границы в правой части ячейки. Эта последняя молекула будет в этом случае возмущена волной и может перейти в следующую ячейку вправо на этапе перемещения молекул. Отсюда следует, что ложный сигнал может распространяться со скоростью \г/Мт. Однако это рассуждение предполагает маловероятную последовательность столкновений, возмущающих молекулы вблизи границ соседних ячеек, и было найдено, что, для того чтобы профиль волны изменялся, это отношение должно быть в несколько раз больше скорости волны- Более того, ограничение на величину отношения может быть

поле течения и на, поверхности используются соответственно массивы SC(7, L, J) и SS(7, J). В массиве VRC(3) записываются компоненты относительной скорости молекул, участвующих в столкновении, а массив ОР (10) предназначен для текущего' запоминания выходных данных.■

Программа следует общей блок-схеме, приведенной на рис. 7.1. После ввода данных вычисляются значения различных ’ констант, требующихся в последующих операциях. Числовую. плотность удобно рассматривать как размерную величину, основываясь непосредственно на числе молекул в геометрической ячейке; она запоминается в IC(1,N). Так как невозмущенное значение плотности п» определено как FND = MC/CH, то нормированная на эту величину числовая плотность равна IC(1,N)/MC. В программе используется модель молекул — твердых сфер, для которых средняя "длина свободного пробега ■ в невозмущенном газе равна (см. уравнение (4.38)):

^= (V^rrnJ

Так как значение Х^ принято за единицу, то величина сечения столкновения равна стт = (д/2 ^J и записывается в CXS. Число столкновений молекул за время-Мт в невозмущенном газе ACU вычисляется из уравнения (4.37), а средняя относительная скорость сталкивающихся пар VRM—из уравнений (4.35) и (4.8).

Расчет начинается с оператора, имеющего метку 20, и первой задачей является формирование начальных данных. Времена в ячейках С (2, N) устанавливаются равными некоторой ' части, определяемой случайным образом, от среднего интервала j времени, который добавляется в счетчики,при проведении столк-Л новений в невозмущенном газе. Использование этой величины 1 вместо нуля обусловлено тем, что за каждый интервал вре- | мени DTM должно пройсходить целое число столкновений и что j столкновения вычисляются до тех пор, пока С (2, N) не прёвы- | сит DTM. Если этого не делать, то в режиме течения, близком к свободномолекулярному, будет нереально большая начальная частота столкновений. Начальное значение максимальной относительной скорости в каждой ячейке устанавливается в С(3, N) равным удвоенной средней относительной скорости молекул в невозмущенном газе. В других циклах DO, заканчивающихся меткой 22, устанавливаются начальные значения координаты у и компонент скорости и, у, w для каждой из МС молекул во всех ячейках, причем положение молекул в ячейке определяется случайным образом, а компоненты скорости вычисляются из уравнений (D9)— (D11).

Затем следуют два цикла DO по временам Мт и Ms, причем последний интервал больше Мт в целое число раз NIS. Движение молекул за время Мт рассчитывается внутри цикла, заканчивающегося меткой 25,- Заметим, что координата молекул у записывается как Y. Если Y больше YM, то молекула испытывает зеркальное отражение от плоскости YM, т. е. ее координата зеркально отображается от этой плоскости, а нормальная плоскости компонента скорости изменяет знак на противоположный. Если же Y меньше нуля, то молекула . отражается диффузно от плоскости у = 0; при этом записывается информация. о потоке числа частиц, о приносимых на поверхность импульсе и энергии. Эта информация дается в системе координат, В которой невозмущенный газ движется со скоростью UW относительно поверхности. Скорости молекулы и и w после отражения генерируются с помощью уравнений (D9)— (D11), причем величина 1/0 теперь равна VMW, а не единице. Функция распределения нормальной компоненты скорости для диффузно отражающей стенки определяется из (4.16):

/„ = Си ехр (— Р2у2),'•

где С — константа. Далее

/„ do ='Cv exp (— Р2у2) dv = V2C exp (— p2y2) d (y2), так что функция распределения для квадрата нормальной компоненты равна’''

. 1 ft,2 = Ч2С ехр (— Р2у2).

Константа С определяется из условия нормировки (см. уравнение (D2)), что дает _. *

"f^v = ехр (— Р2у2)..

Это распределение у2 идентично распределению г2, что ведет к уравнению (D11); тогда-

■ •. у = {-1п№)}'/2/р.■(7.9)

Из этого соотношения при 1/р, равном VMW, определяется величина Р(2, N) после отражения от стенки. После столкновения с поверхностью молекула перемещается на расстояние, соответствующее ее скорости и оставшемуся от Мт интервалу времени DTR. При отражении молекулы также записывается информация об импульсе и энергии, причем система координат изменяется на ту, в которой невозмущенный газ находится в покое.

Информация р нумерации молекул, имеющаяся в массивах LCR(M) й 1С(2, N), до блока столкновений не используется; поэтому наиболее удобно определять ее после блока, в котором рассчитывается перемещение молекул. Эта процедура е необходимостью выбирает число молекул в ячейке и, следовательно,

поненты скорости потока в направлениях хи у вычисляются как й = ^'u/N и у = У, v/N. Температура газа, основанная на компоненте скорости молекул и, определяется из уравнения (1.24) (см. также упр. (1.5)):- ..

1 Тх = (m/й) и'2 = ^пг^К) (и2 — й2}, '

или, используя нормировку, принятую в программе, .

Заметим, что" из упр. 1.5 следует, что нет необходимости в вычислении компонент собственной скорости, поскольку полная температура является средним значением трех температур, определенных по трем компонентам скорости.’

Некоторые типичные результаты, полученные с помощью этой программы, обсуждаются в § 8.4. В последующих разде- ’• лах приводятся описания других программ и подпрограмм расчета течений газа методом прямого моделирования.

«*

8

Одномерные течения одноатомного газа

СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ

Ударная волна описывает переход от однородного течения газа в области вверх по потоку, к однородному течению вниз по потоку. Течение является одномерным — в нем нет градиентов в направлениях, параллельных плоскости волны. Система координат обычно выбирается так, чтобы скорость в этой плоскости равнялась нулю. Число Маха волны Ms может быть определено как отношение скорости волны в газе вверх по потоку к скорости звука в этом газе. Для системы координат, в которой ударная волна неподвижна, число Маха 'волны может быть отождествлено с числом Маха течения в газе вверх по потоку. Отношения давления, плотности, температуры и скорости потока газа до и-после волны даются соотношениями Рэнкина — Гюгонио [55]. Последние выражают законы сохранения массы, количества движения и энергии при переходе через ударную волну и зависят только от отношения удельных теплоемкостей газа и числа Маха волны. В то же время внутренняя структура ударной волны определяется вязкостью и теплопроводностью. Проблема определения структуры ударной волны играла важную роль в развитии молекулярной газовой динамики. Это обусловлено тем, что в таком течении при больших значениях Ms имеется значительная неравновесность, в нем нет неопределенностей, связанных с твердыми границами, имеется доступная проверка надежным экспериментом.

К проблеме определения структуры ударной волны могут быть применены уравнения Навье — Стокса, приводящие к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое может быть решено численно [34]. Аналитическое решение для газа с. числом Прандтля, равным 0.75, получено в работе [65]. Толщина ударной волны может быть определена как расстояние, на котором достигается изменение плотности от значения в области вверх по потоку к значению в области вниз по потоку при максимальном градиенте в волне. В работе [65] найдено, что отношение этой толщины к средней длине свободного пробега в волне изменяется от 10 при М& = 1.25 до 5 при Ms = 1.5, до 3

6 . Г, Вёрд \

Аналогичное выражение может быть получено для второго ела- ) гаемого. Используя далее уравнение (8.3), имеем

m? = Nxuox (м2, 4- 3RT! - д22 - 3RT2) + и^. («22 + 3RT2\

Из условия Сохранения энергии для состояний газа вверх и вниз по потоку получаем

4 + 5^ = ^ + 5^, так что- ■

77 (»•) - =/*, «, - 4) ^ •(8-7)

Используя далее уравнение (1.20) и замечая, что величина т« • симметрична относительно оси х, имеем':

= п2 (‘/зс'2 - и'2) = 2/3 и2 (д'2 - и'^.= п2 (‘/зс'2 - и'2) = 2/3 и2 (д'2 - и'^.м'2 — ы2 — 1^м'2 — ы2 — 1^n

= п2 (‘/зс'2 - и'2) = 2/3 и2 (д'2 - и'^.

= п2 (‘/зс'2 - и'2) = 2/3 и2 (д'2 - и'^.

м'2 — ы2 — 1^

м'2 — ы2 — 1^

tn ^xx

Затем из упр. (1.6)

и и2 может быть определена таким же образом,"как и и3. Следовательно,

■£ т« =^ 2/з п (пи2 - N^ - N2ы22),

и, используя уравнения (8.2) —(8.4), получаем

(n/zn) т„=2/з {(#t«01 + NA^2 - NX(NX + ^2) и2 - N2 (Nx+ W2) и22} = .

= -2/3^^ («01-Ы02)2 J

Величина N^ может быть исключена отсюда при помощи урав- ; нения. (8.4), что дает ’

(«М тхх = — 2I3N1 («i — Nx) ~ («01 — М2.

Подстановка (8.7) и (8.8) в уравнение (8.6) приводит к еле-

дующему дифференциальному уравнению для Nx/th ции аДь

где (

dd (*Ai)

Nt — а—L nv

8 (21?Г1)^2 Uoi — «оз ~ З^2.«02«01 + «02.

Решением уравнения (8.9) является- выражение Nx = th [1 + exp {a (x/Xi)}]-1.

Подстановка этого решения и (8.4) в уравнение (8.1) приводи! к определению функции распределения внутри волны как функ-'

(8.8) -

как фунК-

(8.9,)

(8.10)

(8.11)

ции величины хДь Непосредственно из уравнения (8.11) получаем профиль плотности.'

" -_ М _ 1

.я1 — я2 пх 1 + exp {a (*Ai)} ’' ’ '

Профили 'других макроскопических величин могут быть получены как соответствующие моменты бимодальной функции распределения. Этот метод был обобщен в работе [67] для других степенных законов взаимодействия молекул.

' Решение Мотт-Смита замечательно предсказывает толщину волны для очень сильных ударных, волн, но дает неправильное описание для слабых ударных волн, которые адекватно описываются уравнениями Навье — Стокса.' Эксперименты Шмидта [81] показали слабую несимметричность профиля, что находится в противоречии с решением Мотт-Смита. Следует помнить, что хорошее описание толщины волны получено при использовании в' четвертом моментном уравнении для Q величины и2. Обычно так и делается/но никаких строгих обоснований такое предположение не имеет, и, кроме того, в работах [76, 79] было показано, что результаты чрезвычайно чувствительны к выбору Q. Отметим, что, хотя эксперименты подтвердили выбор Q = u?, в работе [28] было получено, что лучшие результаты достигаются с Q = и3.._■

Для решения задачи о структуре ударной волны применялась и БГК-модель кинетического уравнения [56]. Для одномерного стационарного течения из уравнения (6.3) получаем

-и4>^п^~^(8.13)

Это уравнение является интегро-дифференциальным (см. § 6.3). Его можно проинтегрировать и получить следующее интегральное уравнение:''.

'£ f nvfo (х')( Г v 1//о t

nf = J и ' ехР| ~ J -ДГ7 ■(8-.14)

ТОО^ V'.

где х' и х"— переменные интегрирования, а отрицательный (положительный) знак в нижнем "пределе интегрирования соответствует положительному (отрицательному) значению и. Уравнение (8.1’4) было решено в [56] численно с использованием итерационной схемы, что требует начального приближения для /о." Результаты хорошо совпали с навье-стоксовским решением и, следовательно, с экспериментом при Ms С 2. Для очень сильных ударных,волн метод приводит к сильной асимметрии профилей плотности и скорости, в которых область Вверх по потоку имеет значительно большую, протяженность,

После того как ударная волна полностью сформируется, на основе линий ранной плотности можно построить профиль плот- - ности стационарной ударной волны. Однако, поскольку наклон этих .линий известен заранее из теории Рэнкина — Гюгонио, стационарный профиль может быть определен в процессе счета по тем ячейкам, которые движутся со скоростью волны:.

Возможна дальнейшая модификация программы для- молекул— твердй1х сфер для получения детальной информации — от профилей макроскопических параметров до функции распреде- х ленйя. Однако для более тщательного’сравнения с экспериментальными данными желательно иметь решение для более общей молекулярной модели газа. Поэтому далее будет описана вычислительная процедура на основе степенного закона' межмо- . лекулярного взаимодействия.-

. Метод Монте-Карло прямого моделирования был описан в , § 7.1 именно для такой модели молекул. Уравнение (7.1) показывает, что вероятность столкновения- пары молекул пропор- ; циональна с<’’"5>/(’,-1). Для реальных газов эффективное значение ■ параметра ц может быть определено путем сравнения температурной зависимости коэффициента вязкости, даваемой уравне- ; нием (4.54), с измеренной величиной. Наиболее часто употреб- ' ляемым значением параметра ц является ц — 9, что соответ- ) ствует зависимости коэффициента вязкости от температуры как ,• ц ~ рль в этом случае вероятность столкновения пропорцио- : нальна с'/2, и отбор сталкивающихся пар подобен описанному 2 выше в программе для молекул — твердых ефер, за исКлюче- " нием того, что в процедуре, основанной на методе исключения, J сг заменяется на с*'2..*;

Для вычисления, интервала времени, связанного со столк- * 3 новением, по формуле (7.2) требуется знать величину (x/mr)2^”11, которая вместе с сг и Wo, т устанавливает эффек- 4 тивное полное сечение столкновения, определяемое уравнением. | (2.27). Для этого можно использовать уравнение (4.55), даю- | щее возможность установить связь между параметром х. и J средней длиной свободного пробега, в некотором равновесном! состоянии. В рассматриваемой задаче это есть состояние газа ч в невозмущенной области вверх по течению. Замечая, что Ji mt = m/2 для простого газа, из (4.55) получаем •. я

.\т)лМА (ц) Г {4 - 2/(ц - 1)} 1•’!

Подходящей величиной для усечения прицельного параметра jj является Wo, m=1.5. Из уравнения (2.25) следует, что фикси-Л рованное предельное значение Wo, т определяет минимальную'^ величину угла рассеяния, которая физически более наглядна.®

Для ц = 9 и Wq, т = 1.5 имеем ■-,

aW^m^m^v' = 3M^RT^I^(8.17)

что дает возможность для каждого, столкновения вычислить из уравнения (7.1) величину Мс. Значение параметра Ц70 при столкновении выбирается в пределах от 0 до 1.5, и вероятность некоторого значения пропорциональна Wo. Это распределение вероятности рассмотрено в приложении D, и уравнение (D6) дает■■■

U70=1.5(^f)1/2.(8.18)

Угол отклонения % в системе центра масс определяется уравнением (2.25). Этот результат записан в форме определенного интеграла, верхний предел которого определяется корнем алгебраического уравнения порядка (ц — 1). Практически невозможно решать это уравнение и вычислять интеграл для каждого из многих тысяч или миллионов столкновений в типичных по методу Монте-Карло вычислениях. Разумной аппроксимацией величины х (в радианах) для т] = 9 и Ц70 ^ 1.5 является

Х ^л - 2>0 (1.26233+ ТГ0(1.84145 +

WQ (- 8.87881 4- ^0 (20.3313 +■

lFo(-23.8155 + Wo (14.5046 +

.+ Wq (- 4.42027 + Wo (0.535193))))))))."(8.19)

Значению Wo, m = 1.5 соответствует угол отклонения, приблизительно равный 1°. Азимутальный угол е равномерно распределен в интервале от 0 до 2л, так что ,.

'7 е = 2л^{.(8.20)

Компоненты вектора относительной скорости после столкновения затем определяются непосредственно из (2.22). Окончательно компоненты скоростей молекул после столкновения вычисляются из (2.1) и (2.5) точно так-же, как и в демонстрационной программе для молекул — твердых сфер, описанной в § 7.3. -

Максвелловская модель молекул плохо соответствует реальному газу, однако ее можно рассматривать как предельный случай мягких молекул. Кроме того, вычисления, проведенные для максвелловских молекул, часто требуются для сравнения с аналитическими результатами. Для этой модели механика столкновений отличается от степенной модели с ц = 9 следующим образом. Во-первых, столкновение любой пары молекул равновероятно, поэтому для пары молекул, выбранных случайно, не требуется дальнейшёго отбора по величине относительной скорости сг. Во-вторых, для множителя в уравнении—(7.2) Имеем..'

лГо, И/Пг)2''^'1 = 4.39 (ЯЛ)1'2/^).(8.21)

Среднее значение любой молекулярной величины определяется уравнениями (8.22) и (3.3):-

Q = "|—^гQ exp (— PiC/2) du du dw +

— со О

п ОО О ООV

—^1" ^ ^ ^ Qexp(— Р2с'2) du du dwI. (8.23)

Граничные условия в этой задаче таковы, что скорость потока равна нулю й с' — с. Полагая Q равной т, и, с2 и х 12тис\ получим следующие выражения для основных макроскопических

величин:■

р = п.т= ‘/2(^14- N^m, •■'(8.24)

-t>o=5^(^--^)/(2^),‘.(8.26)

Г==^/(3^)==/^. + ^/(4^),(8.26)

.:X Pl Р2 /'-

qti = хкптис2 = т(^- —’-^Л/(2л‘/2).(8.27)

\ Pl Р2.

Для решения задачи необходимо определить четыре величины: N\, N2, Pi и р*2- Из уравнения (3.27) получим моментное уравнение для данной задачи ,

- ^(п [q0McVa[Q]. (8.28)

Сохранение массы т, импульса ти и энергии х/2тс2 приводит к очевидному выбору величин Q для трех моментных уравнений из четырех. Интеграл столкновений в этих случаях равен нулю, и уравнение (8.28) дает -

п \ Quf de = const.п \ Quf de = const.(8.29)(8.29)

п \ Quf de = const.

п \ Quf de = const.

(8.29)

(8.29)

Полагая Q = m, имеем

WPi-WP2 = 0.(8.30)

Приравнивание константы в (8.30) нулю обусловлено тем, что левая часть может быть непосредственно связана через уравнение (8.25) со скоростью потока по нормали к пластинам, а граничные условия требуют, чтобы эта скорость на пластинах

равнялась нулю. Для Q = v из (8.29) имеем ,Nx/$ + У2/р2 = const,

(8.31)(8.31)или, используя (8.26),

(8.31)

(8.31)

и, следовательно, давление р = nmRT является постоянной величиной для рассматриваемого течения1)'. Далее, используя (8.27) для Q = '/2т2, имеем ■ . .

Nx^-N^ = ^qulm.(8.32)

Поскольку для рассматриваемой задачи существенным является тепловой поток в направлении у, Лю и Лиз в качестве четвертого момента выбрали величину Q — 1 l^mvc2. Уравнение (8.28) в этом случае дает ' • ‘

5m ' d16 dy5m ' d16 dy= ДГ'Атос2].P2 J= ДГ'Атос2].P2 J

5m ' d

16 dy

5m ' d

16 dy

= ДГ'Атос2].

P2 J

= ДГ'Атос2].

P2 J

Интеграл столкновений для величины ^Jim-ofi может быть вычислен таким же образом, как и для и2 в § 3.3, что в случае максвелловских молекул дает: лЛ2(5) (2%/m)nqg [94]. Константы Л2(5) и % могут быть исключены при помощи уравнений (4.54) и (4.56) для коэффициента теплопроводности Чепмена — Энскога в максвелловском газе. Четвертое моментное уравнение тогда принимает вид

(8.33)(8.33)/ АГ, лг2\^Rpqgdy \ р, Ра / тК

(8.33)

(8.33)

Теперь из (8.26), (8.24) и (8.30) получаем выражение

T = pKnmm = W^r1.T = pKnmm = W^r1.(8.34)(8.34)

T = pKnmm = W^r1.

T = pKnmm = W^r1.

(8.34)

(8.34)

которое с использованием уравнений (8.27), (8.30) и (8.31) дает

(8.35)(8.35)J1 _

(8.35)

(8.35)

Р1р2 2р

NxN,4р ( л92

PiРаm а V '

Следовательно, уравнение (8.33) может быть записано в виде

*' (8.36)*' (8.36)'' „ ат

*' (8.36)

*' (8.36)

Чу- К dy’

А) Точнее, давление постоянно в рамках принятого предположения (8.22) о виде функции распределения, — Прим, ред.

о стационарном тепловом потоке. Основные изменения заключаются в изменении граничных условий на верхней пластине, на которой ставится условие диффузного отражения при температуре 7и, и в добавлении необходимого' осреднения результатов по времени после установления стационарного состояния. Результаты, полученные методом прямого моделирования, одинаковы для двух моделей межмолекулярного взаимодействия и

Рнс. 8.3. Одномерный тепловой поток при TU]L = 4, _ четырехмоментное

решение для максвелловских молекул; •, О результаты расчета методом' Монте-Карло прямого моделирования для молекул — твердых сфер й максвелловских молекул соответственно;, - — отношение <7с/<7£ для молекул — твердых сфер и максвелловских молекул соответственно.

прекрасно согласуются- с решением моментных уравнений для свободномолекулярного и континуального режимов течения. В то же-время существенные отличия между двумя решениями имеют место при числах Кнудсена порядка единицы.

Результаты расчетов профиля температур между пластинами методом прямого моделирования при Tu/Tl = 10, Кп = 0.05 для молекул — твердых сфер представлены на рис. 8.4. В этом случае полный тепловой поток составляет 0.9 от теплового потока, полученного по теории сплошной’среды при том же числе' Кнудсена. Однако этот поток можно сравнить с потоком, рас-* считанным по уравнению (8.36), справедливому для режима сплошной .среды с локальными температурными градиентами, полученными методом прямого моделирования. Оказалось, что

в этом случае расхождение в результатах примерно равно 2%, что по порядку величины равно точности метода прямого моделирования. Следовательно, различие между полными потоками тепла определяется полностью эффектом температурного скачка на границах, как это и предсказывалось четырехмомейтным приближением. Величина (Х/Т) (dT/dy) изменяется примерно от 0.13 на холодной стенке до 0.075 на горячей, что соответствует диапазону чисел Кп, Для которого справедливо решение Чепмена — Энскога (т. е. континуум). На рис. 8.4 приведены

10

9

8

7

А

3

2

Рис. 8.4. Профиль температуры при Ти[Т^ =10 и Кп = 0.05. сглаженный профиль температуры, полученный методом прямого моделирования • , О температуры 7“ н Т*, полученные методом прямого моделирования; , .— температуры Т~ и 7+, полученные применением теории Чепмена — Энскога к сглаженному профилю.

для сравнения распределения температур Т+ и Т~ для движущихся вверх и вниз молекул соответственно, полученные как методом прямого моделирования, так и основанные на функции распределения Чепмена — Энскога —уравнение (4.6) (см. упр. (4.10)).■,•

Сравним теперь величину температурного скачка, полученную методом прямого моделирования, с явным выражением (8.39), полученным из четырехмоментного метода. Последнее получено для максвелловских молекул, но, как показали расчеты методом прямого моделирования, имеются лишь Небольшие различия между результатами для максвелловских молекул и молекул — твердых сфер. Поэтому будем применять уравнение (8.39) к данным, полученным численно и представленные

но все-таки значительно быстрее, чем предсказывает моментная теория (Тп ~ г-1).

Однако следует отметить, что расчеты столкновений между молекулами проводились до значений прицельного параметра, соответствующего углу отклонения 9°, что является удовлетворительным в большинстве приложений. Но в данной задаче

- 0.200- 0.2000.2000.2000.1000.1000.1000.1000.0500.0500.0200.0200.0200.0200.0100.0100.0100.0100.0050.0050.0050.005।।। 1\т ’20.50 j।।। 1\т ’20.50 j0.0020.002твердые сферы; б — максвелловские молекулы.твердые сферы; б — максвелловские молекулы.результаты для сплош-результаты для сплош-Рис. 8.5. Нарушение равновесия по поступательным степеням, свободы при стационарном сферическом расширении газа, Кп*= 0.002; а — молекулы —Рис. 8.5. Нарушение равновесия по поступательным степеням, свободы при стационарном сферическом расширении газа, Кп*= 0.002; а — молекулы —ной среды, для TjTov ф отношение Т/Тй; О отношение T^Tq, □ отношениеной среды, для TjTov ф отношение Т/Тй; О отношение T^Tq, □ отношение510г/г*510г/г*0.002 41-0.002 41-0.0504-0.0504-

- 0.200

- 0.200

0.200

0.200

0.100

0.100

0.100

0.100

0.050

0.050

0.020

0.020

0.020

0.020

0.010

0.010

0.010

0.010

0.005

0.005

0.005

0.005

।।। 1\т ’

20.50 j

।।। 1\т ’

20.50 j

0.002

0.002

твердые сферы; б — максвелловские молекулы.

твердые сферы; б — максвелловские молекулы.

результаты для сплош-

результаты для сплош-

Рис. 8.5. Нарушение равновесия по поступательным степеням, свободы при стационарном сферическом расширении газа, Кп*= 0.002; а — молекулы —

Рис. 8.5. Нарушение равновесия по поступательным степеням, свободы при стационарном сферическом расширении газа, Кп*= 0.002; а — молекулы —

ной среды, для TjTov ф отношение Т/Тй; О отношение T^Tq, □ отношение

ной среды, для TjTov ф отношение Т/Тй; О отношение T^Tq, □ отношение

510

г/г*

510

г/г*

0.002 41-

0.002 41-

0.0504-

0.0504-

пренебрежение большим чйслом слабых взаимодействий может 1 привести к значительным погрешностям. Возможны также опре-; деленные сомнения в связи с малым объемом выборки в методе' Монте-Карло, поскольку в дальнем поле большую роль играет характер функции распределения при больших скоростях мо-; лекул. ■ Однако результаты, приведенные на рис. 8.5, получены- осреднением примерно по 5000 временных шагов, Что дает, доч статочную выборку по молекулам, имеющим большую скорость,^

Далее, вычислительные детали, такие, как размер ячеек,, объем выборки, были одинаковыми в обоих случаях, и если дл^ максвелловских молекул даже при минимальном угле • отклонен

ния в 9° они привели к зависимости' Тп от расстояния более слабой, чем Тп ~ г~^, то более быстрое изменение Тп для молекул— твердых сфер является особенно существенным. Что касается скорости изменения Тп в реальном одноатомном газе, то можно предположить, что она будет лежать где-то между значениями для максвелловских молекул и молекул — твердых сфер и, следовательно, будет близка к изэнтропическому случаю. Действительно, измерения, проведенные в работах [15, 68], показали, что изменения Тп с расстоянием почти точно соответствуют зависимости Тп ~ г-^, т. е. изэнтропической кривой). S -

Одной из целей исследования методом прямого моделирования было установление критерия, определяющего начало неравновесного течения, а это в идеальном случае требует определения параметра, который позволяет коррелировать результаты для всех чисел Кп, моделей межмолекулярного взаимодействия и геометрий течения. Найдено, что этому требованию удовлетворяет параметр

который для одномерного стационарного течения вдоль оси х может быть переписан в виде

р = _Н_|ДР (8.46) ■ pv | dx | \ /

Частоту столкновений v можно связать с коэффициентом вязкости согласно уравнениям. (8.45) и (8.46). Вычисления показали, что если строить зависимость отношения Тт/Тп от параметра ■ Р для всех случаев, то нарушение равновесия имеет место при значении Р, примерно равном 0.04. Недавно были проведены эксперименты [15], в которых исследовалось установление начала нарушения равновесного режима течения. Эксперименты показали, что при представлении данных для Тп/Тт

Эти величины хорошо согласуются с экстраполированными 1 к / —О результатами расчета, полученными методом прямого 1 моделирования. Отметим, что поток частиц максимален на ин- ] тервале времени 1 ^ t* ^ 2, где t* отнормировано к среднему 1 времени между столкновениями в невозмущенном газе. Наи- j большее влияние столкновения молекул в газе оказывают на | напряжение сдвига и тепловой поток..1

' Результаты расчетов выводились на печать на интервале ] времени 1 ^ I* ^5 — начальные и конечные данные в этом йн- 1 тервале приведены на рис. 8.6, на котором,для сравнения при- 3 ведены также результаты решения уравнения. БГ1^ и для сво- I бодномолекулярного течения (см. § 5.6). Так как свободномо- , лекулярные результаты являются функцией у ft, то данные при < /v™ = 5 могут быть получены из данных при 1мта = 1 простым , умножением величины у/Ко на пять. Очевидно, что при Ь?» = 5 столкновения оказывают сильное влияние на поле течения.. Из | рис. 8.6 видно, что результаты, полученные методом прямого моделирования и из решения уравнения БГК, хорошо согла- J суются между собой. Отметим также, что возмущение нормаль- 1 ной скорости относительно слабое и что, хотя'статистический | разброс результатов значителен, метод прямого моделирования j позволяет получить результаты с погрешностью порядка 5—10%. ■

Программа, приведенная в приложении G, была реализована • на ЭВМ CDC Cyber 72 и требовала до 1000 с времени централь- - ного процессора.

9

Пространственные течения

9.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Немногие из подходов к решению задач в переходном режиме, ■ дающие решение для одномерных течений, могут быть применены для исследования течений с большей размерностью. Добавление хотя бы одного измерения в физическом пространстве приводит к тому, что функция распределения по скоростям становится трехмерной, а не осесимметричной,' как это было в одномерных задачах. Моментный метод зависит от интуитивного выбора аппроксимирующей функции распределения, и поэтому не удивительно, что'попытки распространить его на решение задач с большей размерностью обычно оказываются неудачными. Разобранные в работе [39] предельные случаи являются немногими исключениями, и их приложение ограничено рассмотрением течении с простой геометрией. . '

Аналогичные трудности возникают в любом методе, в котором, как и при конечно-разностном решении уравнения Больцмана с применением метода Монте-Карло для расчёта интеграла столкновений или в методе Монте-Карло пробных частиц, требуется априорное йредположение о всем поле течения, чтобы начать итерационный процесс, сходящийся, как можно надеяться, к единственному решению. Кроме трудностей, связанных с выбором начальной конфигурации поля течения, применение конечно-разностного подхода с вычислением интеграла столкновений методом Монте-Карло к двумерным течениям оказывается непрактичным с вычислительной точки- зрения. В имеющихся приложениях этого метода к решению одномерных по пространственной переменной задач приходится иметь дело с трехмерным фазовым пространством, разделенным примерно на 230 ячеек. Значительно большее число ячеек потребуется при решении двумерных задач, для которых необходимо работать в пятимерном фазовом пространстве. Далее нужно помнить, что пространство скоростей неограниченно, и при сложной геометрии течения все более трудно становится решить вопрос о расположении внешних границ, который неизбежно возникает, поскольку число ячеек в пространстве скоростей конечно.

ПРОЦЕДУРА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ТЕЧЕНИЙ.

Разделим поле течения на произвольное число зон, например, как изображено на рис. 9.2. Стороны каждой такой зоны' 'нумеруются от 1 до 4 и либо являются границей раздела с со- < седней зоной, либо включают часть поверхности твердого тела, | границу, .через которую задан поток молекул невозмущенного 1 потока, ось или плоскость симметрии. Положение границ зоны !

Рис. 9.2. Типичный пример области двумерного поля течения. • вершины: четырехугольных ячеек; О- внутренние точки сетки; □ внешние точки сетки^| определяется координатами равного числа точек на сторонах? 1 н 3. Эти координаты являются входными данными для npo-j граммы, а границы зон —линиями наилучшего соответствия указанным точкам. Соответствующие точки на сторонах 1 и 3. соединяются прямыми линиями, две крайние из которых образуют стороны 2 и 4. Каждая прямая линия разделяется на.от-^ резки, число и относительный размер которых также являются; входными данными программы. Линии, соединяющие соотвёт^ ствующие точки на прямых, относятся к тому же семейству^ что и линии, образующие стороны 1 и 3. Таким образом, два семейства, линий разделяют зону и образуют сетку с четырех-; сторонними ячейками.\ l

Центры четырехугольников обозначаются как «внутренние точки сетки». Для каждого отрезка, лежащего на границе зоны; определяется одна «внешняя точка сетки», которая являете^

как бы отображением примыкающей к отрезку «внутренней точки сетки». Массив точек лучше, чем линии, определяют ячейки. Далее скажем, что молекула находится в данной «ячейке», когда она находится ближе к точке сетки, определяющей эту ячейку, чем к любой другой точке сетки. Так как точки сетки образуют хорошо определенную систему «строк» и «столбцов», их положение может быть" удобно индексировано и введено в память.

Когда молейула перемещается в новое положение на этапе свободного пролета, то не представляет большого, труда определить, около каких точек ближе всего проходит ее траектория. Эта процедура в общем случае является «четырехточечным про- цессом», в котором анализируются только точки, которые лежат на тех же самых «строках» и «столбцах», что и «очередная» точка. Когда молекула проходйт ближе к одной из этих четырех точек сетки, последняя становится очередной и процесс повторяется. Эта процедура является точкой, если сетка прямоугольная. Однако для сильно наклонных и нерегулярных сеток молекула может находиться ближе всего к точке, расположенной по диагонали к «очередной», но не будет отнесена к ней, поскольку рассматриваются только точки, которые находятся на анализируемых рядах И столбцах. Для этих случаев в отличие от прямоугольной сетки не могут быть точно определены ни граница, ни площадь ячейки.

Для большинства -приложений можно получить удовлетворительные .результаты, если принять размытые ячейки и "граничные элементы, а площади ячеек определять по начальной сетке четырехугольных ячеек. Если же необходимо, то для наклонных сеток может быть построен точный «восьмиточечный процесс». В этом случае-положение молекулы анализируется относительно всех восьми прилегающих точек, включая диагональные. Это позволяет точно вычислить эффективные границы ячеек при любой геометрии.

Пока молекула расположена ближе всего к одной из внутренних точек сетки, она -находится в рассматриваемой зоне. Если же она переместится ближе к одной из внешних точек сетки, то в этом случае необходимо проанализировать пересечение границы зоны.

Данное поле течения может состоять из произвольного числа зон. Ориентация зон, т. е. нумерация сторон, также совершенно произвольна, причем данная сторона может быть линией раздела для более чем одной соседней зоны. Геометрическая конфигурация поля течения определяется координатами точек на сторонах 1 и 3; аналитического описания границ не требуется. Хотя стороны 2 и 4 должны быть прямыми линиями, возможно

поле течения, состоящем из Nc ячеек, равно'.

N№ = £ <nnVnlWn\(9.5)

где Vn. и пп — соответственно объем и числовая плотность мо- j лекул в ячейке п. Часто необходимо определить числовую плот- , ность «со в 'первоначально однородном потоке, содержащем Nm i молекул. Она определяется из (9.5) следующим образом:' i

--^ = ^М1 ЕМ) •(9.6)

V п=1)-

В общем случае поле течения имеет открытые границы, и даже без весовых множителей должны быть приняты необходимые " меры в связи с систематическими изменениями плотности в не- ’ стационарных процессах и в. связи с флуктуациями — в стацио- ■ парных. Когда молекула перемещается из ячейки в ‘ячейку, так что ее весовой множитель изменяется от Wn до Wm, то не- j обходимо либо удалить молекулы из поля течения, либо уве- J личить их число (размножить). Так как отношение. Wn/Wm ко-] личества молекул в ячейках не равно" целому числу, то проце-] дура, удаления или размножения основывается на методе исклю-1 чеиия. Описание эффективной процедуры на языке ФОРТРАН, ] предназначенной для регулирования переменного числа молекул,] дано в приложении Н._|

ТРЕХМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ»)*.

Обычно распространение метода расчета двумерных задач | на трехмерные не требует принципиально новых решений, но] при этом значительно, возрастает время счета и особенно по-1 требная память. В методе Монте-Карло прямого моделирования.! движение молекул и столкновения между ними всегдд рассмат-|

♦) Общей целью § 9,2 и 9.3 является описание применения системы «то-1 чечных ячеек» вместо - общеупотребительных плоских или объемных ячеек..! Недостатком этой схемы является, то, что для наклонных ячеек и сами ячейки, и границы элементов становятся «размытыми». Далее, введений’ «внеш-3 них» точек сетки, которые используются для определения поверхностей, значительно увеличивает общее число ячеек, особенно в трехмерных задачах^ Оба этих недостатка могут быть .преодолены при задании базовой системы ячеек. Соотношения для определения того, находится или нет точка, фиксн^ рующая положение молекулы, на той же стороне от линии или плоскости; что и другая точка, соответствующая начальному положению, относительна просты, и их применение не приводит к большим дополнительным- затратам времени счета. Твердые поверхности будут при этом аппроксимированы лД нейными или плоскими элементами, и это может оказаться нежелательный при проведении точных расчетов при малых числах Кнудсена.' ‘

риваются как трехмерные явления. Поэтому единственным дополнительным требованием' для расчета трехмерных течений является необходимость держать в памяти все три координаты молекулы. Для задач, в которых все границы достаточно просто описываются аналитически, молекулы могут , быть индексированы'в соответствии с-принятой системой нумерации объемных ячеек. Когда же рассматриваются задачи о течении газа со

Рис. 9.3. Типичный пример области трехмерного поля течения (грани 4 и 6 не показаны).. ■.'.

сложной геометрией, то необходимо применять описанный выше метод точечной индексации.

Логическим продолжением этого метода на решение трехмерных задач "является разделение поля течения на зоны с шестью поверхностями (гранями), которые нумеруются, как показано на рис. 9.3. Каждая грань, как и ранее, может быть либо частью поверхности. твердого тела, либо плоскостью симметрии, либо, внешней границей поля течения, на которой ставятся граничные условия для входящего потока молекул, либо поверхностью раздела с соседней зоной. " '

Координаты точек на гранях 1 и 3 записываются как входные данные и располагаются по «строкам» и «столбцам». Количество точек на всех гранях одинаково. Точки грани 1 соединяются прямыми линиями с точками грани 3. Следовательно, если грани 1 и 3 в общем случае имеют двойную кривизну, другие грани определяются прямыми линиями, соединяющими

7 г. Вёрд

при континуальном подходе. Ясно, что аналитическое решение предпочтительнее численного независимо от подхода (континуального или молекулярных моделей), который применяется для решения задачи. Далее, если возмущения в потоке достаточно малы (что позволяет использовать метод малых возмущений), то задача обычно не может решаться методом прямого

Рис. 9.5. Линин равных чисел Маха при падении недорасшнренной струн на стенку.'' х■

моделирования. Это объясняется трудностями проведения различий между малыми возмущениями и статистическим разбросом, обусловленным конечным объемом выборки1.). Заметим, что скорость потока является осредненной величиной скоростей молекул, имеющих порядок скорости звука, так что статистический разброс ^той величины необходимо сравнить со скоростью звука. Следовательно, метод прямого моделирования вряд ли пригоден для решения задач о течении газа с малыми дозвуковыми скоростями. ‘

*) Эта трудность преодолена в работе: Власов В. И., Горелов С. Л., Коган М. Н. — ДАН СССР, 1968, т. 179, № 6, с. 1293 — 1296. — Прим. ред.

Имея в виду высказанные выше соображения, оба метода — макроскопический и микроскопический — сравниваются на тестовых задачах о течении газа с большими возмущениями, требующих численного решения при континуальном' подходе. Таким примером является двумерная задача об установившемся поле течения, образующемся при падении недорасширенной струи о стенку. В этой задаче течение газа является смешанным — и дозвуковым и сверхзвуковым, поэтому она представляет трудный тест для численных методов, поскольку содержит слой смешения на границе струи, пограничный слой вдоль поверхности и «висячую» ударную волну, положение которой неизвестно.

' Типичный результат, полученный методом Монте-Карло прямого моделирования для линий равных чисел Маха, показан на рис. 9.5. Течение газа симметрично относительно оси х, а звуковое сопло высоты Н расположено при х = 0. Струя газа вытекает в направлении оси х в затопленное газом пространство, температура которого равна температуре торможения струи, а давление составляет 0.015 от давления торможения. Для случая, представленного на рис. 9.5, средняя длина свободного пробега молекул в окружающем газе равна 0.15 Н, а средняя длина свободного пробега на срезе сопла приблизительно равна 0.0012 Н. Расчеты проводились для двухатомного газа с использованием модели «стока энергии», описанной в § 11.3. Применялась «универсальная» программа, приведенная в § .9.2. Поле течения было разделено на три области с общим числом внутренних ячеек, равным' 460. Это означает, что типичный линейный размер ячеек был много больше длины свободного пробега молекул, но в большинстве случаев меньше, чем линейный масштаб локальных градиентов в поле течения. Исключением является внутренняя зонд ударной волны, ширина которой фиксировалась размером ячейки, а не местной длиной свободного пробега. Моделирование начиналось так: поле течения соответствовало невозмущенному состоянию окружающего газа, а струя мгновенно стартовала в момент'времени 1 = 0. После того как поле течения устанавливалось, проводилось вычисление макропараметров путем их осреднения по времени.

Задача о невязком континуальном течении газа, соответствующем условию рис. 9.5, решалась в работе [84] нестационарным конечно-разностным методом. Необходимо заметить, что зависимость от времени была искусственной, так что течение газа не следовало физически реальному нестационарному процессу. Единственное значительное различие в полях течения для континуального решения и для метода прямого моделирования заключается в том, что в последнем случае имеется толстый пограничный слой около стенки. Распределение чисел Маха вдоль оси х, полученное двумя методами, дано на рис. 9.6. Ис-

моделирования распространяется посредством межмолекулярных столкновений, даже если это отношение будет .меньше скорости звука. Легкость, с которой метод прямого моделйрования может быть применен для решения задач со сложными границами в двумерном и трехмерном случаях, представляет дальнейшее преимущество перед конечно-разностным методом решения уравнений Навье — Стокса. В гл. 10—12 будет дано описание процедур моделирования для расчета течений смесей газов, газа с внутренними степенями свободы и при наличии химических реакций. - .

10

Течения смесей газов

. ГОЛ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ -

■ Если газ находится в состоянии локального термодинамического равновесия, вопрос о его составе — простой газ или смёсь газов — является несущественным. Равновесные течения полностью описываются уравнениями Эйлера для макроскопических переменных, которые были определены для смеси газов в § 1.3. В течениях с малыми отклонениями от равновесия проявляются диффузия и разделение компонентов, описываемые на уровне уравнений Навье — Стокса. Даже если смесь газов первоначально имела однородный состав, то в результате термо- и бародиффузии может произойти разделение компонентов. К счастью, этими эффектами обычно можно пренебречь, даже если рассматриваются вязкие течения. ,

Для описания разделения компонентов в качестве дополнительных переменных вводятся скорости диффузии и числовая плотность- компонент. Это означает, что уравнения непрерывности, сохранения -количества движения и энергии должны, быть дополнены уравнениями диффузии, и уравнениями непрерывности для компонентов смеси [19]. В другом предельном случае — свободномолекулярном течении — компоненты смеси газов движутся независимо друг от друга, что приводит к сильно выраженному эффекту разделения. В переходном режиме, следовательно, можно ожидать, что влияние эффектов, обусловленных составом смеси, будет зависеть от степени отклонения от теплового равновесия. - .

В дополнение к эффектам разделения компонентов и диффузии в течениях смесей газов могут существовать различия и в кинетической температуре компонентов. Эти эффекты могут быть особенно ярко выражены для смеси, состоящей из легкого газа с малой добавкой тяжелого газа («тяжелые молекулы»). Частота столкновений тяжелых молекул между собой в этом случае будет мала по сравнению с частотой столкновения легких молекул. Далее столкновения между легкими и тяжелыми молекулами приводят к незначительным изменениям состояния газа из тяжелых молекул. Для этих двух компонентов эффек-

газов в равновесном состояний, согласно (4.39) ~ (4.41), равна

Постоянную Больцмана к удобно положить равной 1/2, и, для того чтобы 1/vo равнялось единице, диаметр молекулы 1 должен быть равен

В этой программе диаметры молекул переписывались в виде отношений в цикле с меткой 8, а суммирование проводилось в циклах с меткой 9. Требуемый диаметр, молекул первого компонента устанавливался как С (1,3), а диаметры модекул других компонентов определялись в цикле с меткой 10. Определялась частота столкновений и сравнивалась с теоретическим значением. Теоретические величины частоты столкновений молекулы компонента L и молекулы компонента М вычислялись как TC(L, М) прямо по уравнению (4.39) в циклах с меткой 36. Эти циклы используются также для установления временного параметра T(L, М) и счетчика столкновений SC(L, М) равными нулю и -для установления разумного начального значения максимальной относительной скорости молекул VM(L, М).

Если вместо модели твердых шаров использовать более общую модель межмолекулярного взаимодействия со степенным потенциалом, то нормирование результатов представляет гораздо более сложную задачу. Обычно при определении диаметра для молекул со степенным потенциалом объединяют результат, полученный для коэффициента вязкости по теории Чепмена — Энскога, с соотношением между коэффициентом вязкости и длиной свободного пробега, определенным для молекул — твердых, сфер.. Для простого газа эта процедура детально приводилась в § 8.1. Для смеси газов в случае степенного потенциала коэффициент вязкости Чепмена — Энскога определить нелегко. Но такая модель будет применяться при моделировании смеси реальных газов, так что в этом случае можно обойтись без нормировки, а для величин эффективных диаметров молекул каждого компонента (см. приложение А) и других переменных и констант могут быть использованы их действительные численные значения. -

Начальные значения составляющих скоростей молекул определяются циклами с меткой 12. При этом предполагается, что каждый компонент смеси находится в равновесном состоянии' с температурой, записанной в C(L, N), что дает возможность;

Применение метода, прямого моделирования 205

вычислить наиболее вероятную скорость молекул каждого компонента (при к = 1/2) и записать ее в D. Компоненты скорости молекул определяются далее с использованием метода исключения, как в приложении D. На этом заканчиваются предварительные вычисления; следующим шагом - является ввод основного цикла по числу шагов NP.

Время запоминается в виде переменной TIME, и его изменение проводится интервалами DTP в основном цикле. Число «классов» столкновений равно квадрату числа компонентов и будет именоваться как «класс L-М», где L и М изменяются от 1 до NC *). Их вычисление проводится в двух циклах с меткой 15; для каждого класса проводится определенное число столкновений, доводящее счетчик времени T(L,M) до величины, установленной в TIME. Первым шагом в процедуре столкновений является случайный выбор молекулы К из компонента L и молекулы J из компонента М. Затем вычисляются три составляющие скорости VRC(N) и сама величина VR относительной скорости этой пары молекул. Вероятность выбора пары для столкновения пропорциональна относительной скорости, причем величина VR нормируется максимальным значением VM(L, М). Если максимальное значение относительной скорости VM(L, М) оказалось меньше VR, то последнее принимается в качестве VM(L,M).

Как только пара молекул для столкновения отобрана, необходимо принять во внимание весовые множители этих двух молекул. Все компоненты, как упоминалось выше, представлены одинаковым числом моделирующих молекул независимо от их числовой плотности. Каждая ■ моделирующая молекула компонента смеси малой плотности представляет пропорционально меньшее число реальных молекул, чем моделирующая молекула компонента большей плотности. Следовательно, весовой множитель компонента равен его числовой плотности и устанавли-

*)- Как отмечено в прим. * к § 7.3, использование для нормирования средней длины свободного пробега в невозмущенном газе в качестве характерного размера теперь представляется нежелательным. Для практических задач применяются реальные разм'ерные величины, даже в случае простого газа.

Если пространственная задача содержит большое число компонент, например п, то может оказаться невозможным иметь п2 счетчиков времени для каждой ячейки, как это сделано в демонстрационной программе. Использование одного счетчика времени не создает никаких проблем до тех пор, пока не вводятся весовые множители. Однако комбинирование одного счетчика времени с весовыми множителями делает необходимым применение процедуры отбора партнеров по столкновению, на что затрачивается расчетное время.

Некоторые недавние применения метода прямого моделирования к смесям газов относятся к исследованию эффектов разделения компонентов при сверхзвуковом обтекании зонда [107] и сверхзвуковом течении в каналах [108]. .

ше средней частоты. По этой причине первый и второй компоненты приходят в равновесие между собой быстрее, чем. с третьим компонентом, а температура .второго компонента сначала увеличивается до некоторого максимального значения, прежде чем снова вернуться к первоначальному значению, равному равновесной температуре. Это является иллюстрацией того, что появление различных временных масштабов может быть обусловлено многокомпонентностью газа. ■

В приведенном примере в течение всего расчета общая температура смеси равнялась 5.0135. Ее отклонение от теоретиче-

^1

Рис. 10.2. Профили . плотности в ударной волне в бинарной смеси газов, Ms = 10. для смеси; —• — тяжелый компонент;легкий

компонент.'

ского значения, равного 5, объясняется статистическим разбросом при разыгрывании значений скоростей молекул.

. Аналогичные расчеты были проведены для смеси газов с отношением плотностей П\: «2 ‘. па — 10 : 2 : 1. Объем выборки снова равнялся 4000 на каждую компоненту, причем в расчетах применялись весовые множители. В общих чертах релаксационный процесс был подобен описанному выше с той разницей, что в величине общей температуры доминировал первый компонент, а начальное отклонение от теоретического значения составляло около 1%. Введение весовых множителей привело к последующей флуктуации, температуры, что отмечалось в предыдущем разделе, причем уровень этой флуктуации составлял пример' но 2%. '

Программа расчета течений смеси газов была включена в программу расчета структуры ударной волны, описанную в § 8.1. В качестве примера была рассчитана ударная волна в бинарной смеси газов, молекулы которых моделировались твердыми сферами; число Маха равнялось 10. Принималось, что отношение масс молекул равно 10:1, отношение плотностей в невозмущенном потоке 1 : 10 и что молекулы имеют один и тот

Рис. 10.3. Линии постоянного отношения концентраций при формировании ударной волны в бинарной смесн газов, Ms =10..,

же диаметр. Нормализованный профиль установившейся ударной волны показан на рис. 10.2, из которого видно, что профиль плотности легкого газа опережает профиль плотности тяжелого газа на величину, примерно равную пяти средним длинам свободного пробега в невозмущенной области вверх по потоку. Профиль плотности смеси расположен между профилями компонентов. Отставание профиля тяжелого компонента означает, что. внутри' ударной волны происходит локальное обогащение легкого компонента. Когда ударная волна генерируется поршнем, движущимся в газе, как это имеет место в рассматриваемой программе, то этот эффект уравновешивается обогащением Тяжелого компонента газа в области, примыкающей к поршню.

II

Течения двухатомных и многоатомных газов

1.1. МОДЕЛИ МОЛЕКУЛ ' С ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

При анализе течений газа, состоящего из молекул, обладающих внутренней энергией^ необходимо учитывать обмен энергией между поступательными и внутренними степенями свободы при столкновений молекул. Наличие внутренней энергии молекул принималось во внимание при обсуждении модели молекулярного газа в гл. 1 и при анализе свободномолекулярных течений в гл. 5. Однако в гл. 2 при анализе механики столкновений частиц и при последующих рассмотрениях межмолекулярных столкновений мы ограничились моделью молекул без внутренних степеней свободы. Внутренняя энергия может содержаться во вращательных и колебательных степенях свободы. Отметим, что если для описания, вращательного движения возможно применение классической -теории, то при. рассмотрении колебательных степеней свободы трудно ожидать, чтобы ее применение дало правильный результат.' Трудности, возникающие при использовании наиболее распространенных моделей молекул с вращательными степенями свободы, в значительной степени препятствуют применению кинетической теории к исследованию течений двухатомных и многоатомных газов. -

Для одноатомного газа модель молекул со степенным потенциалом взаимодействия обычно дает оптимальное соотношение между легкостью анализа и правильностью представления. Соответствующая модель для двухатомного газа имеет два центра отталкивания (по степенному закону), находящихся на некотором фиксированном расстоянии на линии, проходящей через ядра атомов. Такая модель рассматривалась в работе [59]; для этой модели требуется численное решение задачи взаимодействия молекул при каждом значении параметра столкновения. По этой причине представляется проблематичным применение этой модели в методе Монте-Карло прямого моделирования, в котором- требуется вычислять многие тысячи, и даже миллионы, столкновений молекул. -

Лучшие перспективы для применения «работоспособной» модели многоатомных молекул описываются при использова-

, 11.1. МОДЕЛИ С ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОбОДЫ . 213

нии модифицированной модели твердых сфер с ее очень простой механикой столкновения. Такой моделью, геометрически напоминающей двухатомную молекулу, является Модель из сфероцилиндров,. состоящая из гладкого цилиндра с полусферами на обоих концах. Механика столкновений сфероцилиндров была развита в [24]. Модель требует для своего описания дополнительных переменных, определяющих пространственную ориентацию и угловую скорость,- Однако при использовании этой модели возникают некоторые затруднения, связанные с тем,.что ориентация, а следовательно, и сечение столкновения изменяются во времени. Далее, столкновение ^вух молекул в такой модели зависит не только от прицельного расстояния, но и от того, приходят ли они в «зацепление» или нет. Более того, в этой модели при одном акте столкновения возможны многократные удары разных точек поверхности.

Другой моделью такого же типа является модель нагруженных сфер, предложенная Джинсом [47] и развитая в работах [25, 78]. В этой модели молекула имеет сферическую форму, а вращение происходит около центра тяжести, который смещен относительно геометрического центра. Эта модель по существу имеет те же недостатки, что и модель сфероцилиндров.

Единственной моделью с вращательными степенями свободы, сечение .столкновения которой не зависит от ориентации, является модель- шероховатых сфер. Название модели связано с ее основным свойством, заключающимся в том, что относительная скорость сфер в точке их соприкосновения изменяется при ударе н,а обратную. Эта . модель впервые была предложена Брианом- [13]; анализ переносных свойств газа, состоящего из шероховатых сфер, был проведен в работе [73].

В работе [62] показано, что наиболее сложной моделью, которую еще можно использовать в методе Монте-Карло прямого моделирования, является модифицированная модель нагруженных сфер. Модификация заключалась в пренебрежении «качанием» относительно центра масс. Даже в этом случае требования к памяти и времени счета оказывались значительно большими, чем в случае одноатомного газа. Ограничением модели нагруженных сфер является также «жесткость» взаимодействия молекул с очень ограниченным регулированием эффективного времени релаксации. Модель шероховатых сфер может быть применена в точной формулировке, и механика столкновений в этой модели, описана подробно в § 11.2. Недостатком этой модели является то, что она имеет три вращательные степени свободы, и, следовательно, отношение удельных теплоемкостей равно 4/3, а не .7/5, как это имеет место в двухатомном газе. Имеются и другие серьезные возражения против применения модели шероховатых сфер [20, §11.62].

216 гл. 11. ТЕЧЕНИЯ ДВУХАТОМНЫХ И ■ МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ вений — через с*, с* и о*, ®g. Скорости до столкновений, конечно, предполагаются известными.

В этом разделе введем следующее обозначение вектора скорости: сг = с2 —Ci (заметим отличие знака от определения (2.3))'. Выберем параметры удара b и е: параметр b распределен между 0 и d с вероятностью, пропорциональной 6, а е равномерно распределен между 0 и 2л. Удобно определить три вектора, лежащие в плоскости столкновения, j, k, 1, как это показано на рис. 11.1, Вектор к лежит на линии, соединяющей центры молекул 1 и 2, причем центр молекулы 1 принят за начало отсчета. Вектор 1 направлен вдоль вектора относительной скорости сг и соединяет центр молекулы 2 с плоскостью,

Рис. 11.1. Положения векторов j, k, I при столкновении молекул — шероховатых сфер.'

проходящей через точку О и перпендикулярной вектору' сг и I. Вектор j равен k +1, и его модуль равен параметру столкновения Ь.. Так как величина к равна d, а векторы 1 и j перпендикулярны, то■.

l — ^—b2^.(11.6)

Определим теперь углы 6 и ср так, что 6 равен углу между осью х и вектором сг, а ср есть угол между осью у и плоскостью, содержащей ось х и вектор' сг. Тогда , cos 6 = ujct,'

m(И-7)

COS ф = Vr/(Cr Sin 6).'7

Далее, если азимутальный угол е отсчитывать от плоскости у = 0, то компоненты вектора j будут равны

jx = b cos е sin 6,1■

jy — — b (cos е cos 6 cos ф + sin e sin ф),(11.8)

/? = 6(sin e cos ф — cose cos 0 sin ф),

Величина вектора I дана уравнением (11.6), а его компоненты равны-.

Ix^IutIct, ly = lvTlcr, lz~lwjcr. ■ (П.9)

Компоненты вектора к определяются из соотношения k = j— 1, а компоненты относительной скорости в точке соприкосновения сфер равны ■.\

= «г + 7г Vs (®г1 + ®г2) - кг (а^ + ©^у .

g/=vr + 72{^<»xl + ®x2).^^^(И-Ю)

г = ^г + V2 Vx (®»1 + М - ку (юх1 + МЬ

Обозначим скалярное произведение векторов кис, через кс, так что -■■

Ас -— к • Сг -— kx^T— 11 kyVy "ф kzWt.-

Выпишем теперь соотношения, связывающие поступательные скорости молекул до и после столкновения:

«1 — «! = «2 ~ «2 = Mx + ^Мх/^’

о^- У1 = 02-02 = 2^ + 5/7^y/tZ2,(Н.П)

щ* - wx = w2 - Щ* = 2/7gz + ^Js/d2.

Соответственно для угловых скоростей имеем

<1 - ®Х1<2 - %2 = '% (hygz - МуУ^

°^1 ~ %1 = ®у2 - ®У2 “ '% (Мх ~ МгУ^’(* 1 •12)

41®г1 = <4 ~ “й = *% (Му - hygхМ^-

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Первая модель, которая будет рассмотрена, была предложена Бёрдом в работе [9] и называется «моделью со стоком энергии». В этой модели с каждой молекулой связывается переменная, представляющая внутреннюю 'энергию meint (или вы). В "общем случае эта внутренняя энергия равна полной внутренней энергии, просуммированной по всем степеням свободы, хотя возможно ввести раздельные переменные для полностью возбужденных вращательных и колебательных степеней свободы, для которых требуются различные времена релаксации. В частном случае частично возбужденных колебательных степеней свободы лучшим представляется выделение каждого состояния как отдельного химического Компонента, как отмечалось в § 11.2. Модель со стоком энергии является модификацией модели со степенным потенциалом (частные случаи —мо-

новения вводится рабочая переменная А, устанавливаемая равной '^{(л— 1)/(л— 2)}mrc2. Изменение внутренней энергии • каждой молекулы равно произведению фактора перехода ТРАС и разности между внутренней энергией и А. Эта величина запи- . сывается как DERJ для молекулы J, и DERL для молекулы L, а внутренние энергии — как Р(4, J) и Р(4, L) соответственно. ■ Поступательная кинетическая энергия равна Чат^, или по- ; скольку mr=l/2, то VRR/4. Следовательно, для того чтобы 4 прибавлять сумму DERL и DERJ к поступательной энергии, па- 5 раметр YRR следует принять равным четырехкратной сумме этих величин. Наконец, параметр VRF устанавливается равным отношению нового и старого значений относительной скорости, v

Следующий шаг заключается в вычислении компонент относительной -скорости после столкновенйя и для этого для каждой модели молекул требуется своя процедура. Рассмотрим вначале ' модель степенного взаимодействия, механика столкновений для которой проанализирована в гл. 2, а приложение к программе расчета методом прямого моделирования описано в § 8.1. В первую очередь, используя непосредственно (8.18), установим ] безразмерный'параметр столкновения IFo и запишем его как з WA. Используя далее уравнения (8.20) и (8.19), определим J другой параметр столкновения е и угол отклонения % и запи- j шем их как EPS и СШ соответственно. Затем из уравнения 1 (2.22) определим компоненты вектора относительной скорости ( после столкновения и запишем их как VRC(N), где индекс N * изменяется от 1 до 3 и обозначает проекции на оси х, у, 2. За-. । метим, чТо параметр VRF, описывающий передачу энергии, вво- ‘ дится как масштабный множитель на последнем этапе. Расчет Для модели твердых сфер следует стандартной процедуре, на- -1 чинающейся с метки 17. Определение компонент скорости мо- | лекул является общим моментом для обеих моделей и прово- -| цится с помощью стандартной процедуры, примененной в ранее « описанных ^программах./

Заключительным шагом является вычисление'и выдача на печать на интервале DT.P поступательной и внутренней тем-’ ператур. Эта процедура начинается с метки 13, а управляющая : команда записана под меткой 12. Температуры, поступательная/ TTR, внутренняя TROT, полная'TOY, вычисляются непосред-' ственно по уравнениям (1.23), (1.25) и (1.26) соответственно. Некоторые типичные результаты расчетов будут приведены' в § 11.4.

Совершенно отличная от описанной феноменологическая мо-' дель была предложена Ларсеном и Боргнаккё [52, 53]. В этой, модели предполагается, что поступательная и внутренняя энер-,' гии имеют значения в соответствии с их равновесной функцией^ распределения, и при каждом столкновении с помощью этих'

распределений случайным образом определяются новые значения, удовлетворяющие закону сохранения энергии. В первоначальной трактовке метода время релаксации определялось некоторой пропорцией между упругими и неупругими столкновениями. В другой формулировке метода все столкновения рассматриваются как неуиругйе, но с ограничением той .части энергии сталкивающихся пар, которая может участвовать в обмене между степенями свободы. Мы опишем ниже процедуру обмена Энергиями для полностью неупругого столкновения.

Функция распределения для относительной скорости рг. молекул дается уравнением (4.33), а вероятность столкновения пары пропорциональна с'11-^/11!-1) (см. § 4.3). Относительная поступательная энергия сталкивающихся молекул фавна Et = Уг^с^, и, замечая, что dEt~ mvCrdcT, из распределения по сг можно получить функцию распределения для Ev.

Г^Е^'ЭД^ехр^-Е^Т). '(11.16)

Внутренняя энергия Е^ сталкивающейся пары молекул равна сумме внутренних.энергий каждой молекулы, т, е.

Д^нн, 1 + ^,2-'(11-17)

Выпишем функцию распределения для внутренней энергии молекул [44]:.-

Нам требуется функция распределения fEl для суммы внутренней энергии Ev Рассмотрим часть' сталкивающихся пар, первая молекула которых имеет внутреннюю энергию е1пц ь а вторая — энергию Е\ — Sint, ь Используя (11.17), (П.18) и замечая, что dE\ = t/eint, 2 при фиксированном значении etnt, i, получаем, что искомая часть сталкивающихся пар пропорциональна величине

=&' № - •«. J®-' «р (- £,/47), ЛЕ, (11.19)

Общее число пар с внутренней энергией, равной Еи получим интегрированием (11.19) пр Cmt, i в пределах от 0 др^. Это дает■' •"

ГЕ~Е^ехр(-Е.^Т).(11.20)

Полная энергия Ес сталкивающихся пар равна сумме поступательной энергии относительного движения и внутренней энергии, т. е.

,Ee = Et4-Ei. -'(11-21)

во времени поступательной и вращательной температур в однородном газе, молекулы которого имеют две внутренние степени своббды, причем в начальный момент вся энергия была связана с поступательным движением. . -

Вычисления проводились при помощи демонстрационной программы, описанной в предыдущем разделе, и несколько пер-

Рис. 11.3. Функция распределения молекул по скоростям в равновесно^ однородном стационарном га,зе. максвелловское распределение согласно

• уравнению (4.6); ®, О результаты расчета методом прямого моделирования для модели шероховатых, сфер и модели со стоком энергии соответственно при £ = 3, ц = со и t{ = 0.26. .

вых страниц результатов следует за текстом программы (см. приложение J). Величина параметра передачи энергии h принималась равной 0.1, что дает время релаксации, примерцс. в 6.7 раза превышающее среднее время между столкновениями! Дальнейшие вычисления показали, что время ■ релаксации н<> 1 зависит от начальной степени неравновесности и обратно прон порционально параметру it., п

. Подобные же расчеты релаксации были проведены для мсн

дели шероховатых сфер. Было найдено, что модель твердыщ

сфер со стоком энергии с тремя внутренними степенями свободы соответствует скорости релаксации для модели шероховатых сфер, когда параметр передачи энергии выби'рается равным 0.26. Однако при этом оказалось, что вращательная температура не достигает равновесного значения, когда it превышает 0.26. О причинах этого дает представление рис. 11.3, на котором сравниваются равновесные функции распределения по-

Рис. 11.4, Нарушение равновесия при стационарном сферическом расширении, Kn* = Wr* = 0.002.,результат для сплошной среды для Т!Т0; ©, О, □ расчеты методом прямого моделирования для 7'OV/7'0, ^ы/Л) и Гь/^о соответственно для- модели шероховатых сфер (рнс. а) и модели со стоком энергии (рис. б) при £ = 3, t] = оо, /{= 0.26.

ступательной скорости, полученные для модели шероховатых сфер и модели со стоком энергии.-

Распределение по скоростям, полученное для шероховатых сфер, в пределах "'ожидаемого разброса соответствует максвелловскому, в то время как феноменологическая модель при боль- пих скоростях . приводит к значительным отклонениям. Эго шеет место при скоростях, в -два раза и более превышающих аиболее вероятную скорость, й в связи с этим возникает во- рос, будет ли отмеченный недостаток приводить к значитель- ым ошибкам в применениях модели со,стоком энергии. С этой елью для расчета профиля ударной волны при числе Маха

8 Г. Бёрд

12

Химически реагирующие газовые потоки

■ 12.1. ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ СКОРОСТЕЙ РЕАКЦИЙ

Большинство химических реакций в газовой стадии можно рассматривать как столкновительные процессы. Мы видели, что весьма простые классические модели молекул достаточно хорошо описывают течения одноатомного газа, и некоторое их видоизменение ведет к приемлемым результатам для газов с внутренними степенями свободы. Рассмотрим теперь, насколько этот подход может быть обобщен для описания течений с химическими реакциями. .Логической основой является классическая теория столкновений, развитая в качестве простейшей теории для скоростей реакций. ■

Модель совершенного газа имеет дело исключительно с бинарными столкновениями и легче всего распространяется на бимолекулярные реакции. Обычная бимолекулярная реакция может быть записана схематически в виде . ' . ■

A + B^C + D, ' ■ (12.1)

где А, В, С и D — различные сорта молекул. Как и в предыдущих главах, здесь термин«молекула» употребляется как обобщенное понятие, включающее атомы, ионы, электроны, фотоны, а также и молекулы. Если реакция протекает в одну стадию с участием в соответствии с (12.1) лишь реагентов, изменение концентрации сорта А можно записать в виде '

-^- = ^(Т)«Ацв-6г(Т)«сцо. (12.2)

Здесь в качестве меры концентрации. использована .числовая плотность вместо более обычного числа молей на единицу объема, обозначаемого через [Ад]. Эти две меры связаны между собой следующей зависимостью:- «д = Л5[Мд], где JY — число Авогадро. Коэффициенты, или «константы» скоростей реакций кг^Т) и кг(Т) относятся к прямым и обр-атным реакциям соответственно. Они являются функциями температуры и не зависят от числовой плотности и времени. Следующий результат, полученный вначале эмпирически, состоит в том, что константы

скоростей реакций имеют вид

^(Л-АТ^ехр (-£,№' (12.3)

где Лиц — константы и Еа называется энергией активации. Для частного случая ц —О это уравнение называется уравнением Аррениуса. Формулировка, по существу, макроскопична, и использование термодинамической температуры подразумевает, что реакция представляет собой квазиравновесный процесс. Для этого ■ требуется, чтобы временной масштаб данного процесса был большим по сравнению со средним временем между столкновениями, благодаря чему распределение поступательных и вращательных скоростей остается близким к максвелловскому.

Полное сечение столкновений ат, определенное выще для упругих столкновений, без каких-либо изменений применимо и к столкновениям, которые влекут за собой обмен энергией между поступательными и полностью возбужденными внутренними модами. Однако для химических реакций или при возбуждении дискретных колебательных уровней вводится специальное сечение реакции Or. Это также полное сечение. При1 более глубоком знании реакции можно было бы определить и дифференциальное сечение как функцию параметров столкновения. Отношение Qr/ot сечения реакции к упругому сечению можно рассматривать как вероятность того, что упругое соударение приведет к химической реакции. Его можно отождествить со стерическим фактором. Использование стерического фактора означает, что сечение реакции должно быть меньше упругого сечения, и, несмотря на то, что это всегда так, желательно оставить ВОЗМОЖНОСТЬ, ЧТО Or > От-

Если бимолекулярная реакция между А и В требует конечного теплового вклада, то разумно предположить, что реакция не может произойти до тех пор, пока энергия сталкивающихся молекул в системе центра масс не превышает некоторой пороговой величины Еа. Рассмотрим лишь относительную поступательную энергию вдоль линии центров и предположим квази- равновесные условия. В этом случае из формулы (4.51) следует, что доля столкновений молекул — твердых сфер, имеющих необходимую энергию, есть, просто ехр(—Ea/kTY Примем, что сечение, реакции равно нулю для столкновений, имеющих энергию меньше требуемой, и равно постоянной величине aR для столкновений с требуемой энергией. Тогда скорость прямой реакции для молекулы А получается умножением частоты упругих столкновёний (формула (4.39)) на вышеупомянутую'^долю и на отношение Or/ctt- Это дает

дп. /SkTW / Еах х

в рекомбинации, в соударении должно участвовать третье тело. Простейший подход — это введение, «времени жизни» парного столкновения и расчет тройного столкновения как парного, но между парой молекул в начальном столкновении и третьей молекулой. Хотя этот общий подход был принят рядом ученых [85], следующий анализ более тесно связан с кинетической теорией и может быть легко введен в метод прямого моделирования.1

Рассмотрим тройное столкновение как результат столкновения между молекулой типа А и соударяющейся парой, состоящей из „молекул типа В и С. Числовая плотность пар ВС равна произведению числа столкновений между молекулами типа В и С в единице объема в единицу времени на время жизни столкновения.- Предположим, что время жизни столкновения равно

-а«са1Ж>. - (12-8)

где atBc — константа, аВс — полное сечение столкновений, сг — относительная скорость..

Рассмотрим теперь столкновение пробной молекулы типа В с классом молекул типа С, обладающих относительной скоростью, равной сг. Из выражения (1.6) следует, что частота столкновений пробной молекулы равна ДпсОвсСг, где dric — числовая плотность класса молекул типа С. Тогда, если dnB — числовая плотность молекул типа В в том же классе скоростей, которому принадлежит и пробная молекула, то вклад этого класса столкновений в числовую плотность цВс' пар молекул ВС равен ..■'.-

^rtBC = ^rtB ^С^ВС^АвС^Вс/^г = ^tBC^C ^rtB ^П^.

Поскольку этот результат не зависит от относительной скорости, требуемая числовая плотность просто равна

■«вс^^гвс^вЛв^с/6-(12.9)

Фактор сймметрии е включен для того, чтобы учесть Двойной подсчет ■ столкновений, когда В = С. Формальное* определение состоит в следующем:.

. ■ s = 2 для В = С, *

■в = 1 для В У= С. ■.

Пара молекул движется со скоростью центра масс стВс. Равновесная функция распределения для стВС, в силу (4.33), равна у 4 Гтв+«сУ/2 2 Л ('"в + МЛс!

A VmBc) - я1/2 гкТ )

'*(12.10)

Никакого предпочтительного направления здесь нет, и сравнение выражений (12,10) и (4.6) показывает, что функция распределения для Ствс является максвелловской, соответствующей молекулам массы тв + тс. Равновесная частота столкновений для молекул типа А с парами ВС, как следует из (4,39), равна'..

2Г 2kT (тд + тв + т^ ) V2

■^72- ^а (ВС)«А«ВС |mA(mB + mc) J ’ -

или, подставляя выражение (12.9),

й1вс „3/2^1 8W' (ота + «в + «с) ) 1/2 К о 1 п

17isI •(12.11)

в А (вс) вс А в с лтд (mB + т^ J'

Скорости тримолекулярных реакций могут быть связаны с частотой таких тройных столкновений так же, как скорости бимолекулярных реакций связывались с частотой парных столкновений в (4,39). Эту теорию можно обобщить так, чтобы определить долю столкновений ,с относительными поступательными энергиями выше заданного предела. Однако часто важными три- молекулярными реакциями являются экзотермические, а не эндотермические реакции. В этом случае энергия активации долж-' на быть положена равной нулю и сечение реакции равно сечению упругих столкновений ). ' ■

РЕАКЦИЯ ДИССОЦИАЦИИ — РЕКОМБИНАЦИИ

Реакция диссоциации — рекомбинации двухатомного газа является одной из самых важных и, несомненно, наиболее широко изучаемых в газовой динамике. Для однородного чистого газа ее можно записать в виде . . , '

(12.12)(12.12)ГМ)•ГМ)

(12.12)

(12.12)

м + | Aj^A+A+[ Aj,

где М обозначает молекулу, а А — атом. Прямая реакция, или реакция диссоциации, — бимолекулярная,-тогда как обратная реакция, или реакция рекомбинации, — тримолекулярная. Партнером молекулы по столкновению в реакции диссоциации может быть либо молекула, либо атом. '

хватка информации о сечениях реакций делает необходимым использование методов моделирования, тесно связанных с теорией столкновений, приведенной в предыдущих, разделах. В то время как сама теория столкновений ограничивается квазирав- новесными реакциями в пространственно однородном газе, метод моделирования позволяет рассматривать явления в потоках с большими градиентами на макроскопическом уровне и большими отклонениями от равновесного распределения скорости на микроскопическом уровне. • ■

Коура [49] использовал метод прямого статистического моделирования для изучения влияния неравновесности на химические реакции в пространственно однородном газе. Исследование ряда случаев выявило одну из основных трудностей, связанных с применением любого численного метода к всеусложняющимся задачам. Она состоит в том, что пространство параметров становится настолько большим, что трудно исследовать достаточное количество вариантов для установления общего характера решения. Интерпретация результатов на основе ограниченного числа частных случаев значительно облегчается,“если процедура моделирования дает аналитическое, решение для однородного квазиравновесного газа.. В этом случае сечение и время жизни столкновения,. которые используются в моделировании, можно связать со скоростями реакции и условиями равновесия.

Сказанное особенно важно для времени жизни столкновения, которое нельзя непосредственно связать с реальными ■ физическими величинами. Теория позволяет получить сечения реакций из экспериментальных данных о скоростях реакции. Однако следует помнить, что химическая реакция может исказить функцию распределения до такой степени, что скорость реакции, полученная для квазиравновесного случая^ не будет соответствовать действительности. Использование метода моделирования позволит исследовать эту проблему.

-Покажем, каким образом теоретические модели, рассмотренные в теории диссоциации — рекомбинации в § 12.1 и 12.2, могут быть использованы в- программе моделирования. Любое моделирование химических реакций обязательно имеет дело с газовой смесью, так что необходимо обобщить процедуру гл. 10. Несмотря на то что процедура столкновений должна быть изменена, в основу столкновений может быть положена либо модель твердых сфер, либо более общий степенной закон. Внутренние степени свободы будем рассматривать с помощью- феноменологической модели, хотя молекулы в различных колебательных состояниях будем рассматривать Как молекулы разного сорта. Каждый раз, когда вычисляется парное столкновение, соответствующие сечения реакции вычисляются 'из уравнений типа (12.5); их отношения к сечениям упругих столкновений

дают вероятность различных реакций. Затем используется стандартный метод исключения, чтобы решить, происходит ли реакция. Процедуры, в которых количество движения сохраняется," а поступательная энергия может меняться, уже описывались в связи с моделью со стоком энергии. Единственное дополнение заключается в изменении индекса, указывающего на химическую природу частицы или частиц, участвующих в химической реакции, и в введении в случае диссоциации дополнительной частицы. -1

Более существенные изменения основных процедур необходимы для моделирования тройных столкновений.' Так же как в газовой смеси, для каждой ячейки' и каждого класса столкновений используются отдельные временные счетчики,. здесь могут вводиться отдельные счетчики для каждого из тройных столкновений, в которых участвуют по крайней мере два атома. Расчет тройных столкновений лучше всего проводить' отдельно от парных столкновений.. Когда частота тройных столкновений " на один или более порядков величины меньше частоты парных, то можно ввести отдельный и пропорционально больший интервал времени Ыт для тройных столкновений. Тройное,столкновение рассматривается как парное столкновение между молекулой -А и'комплексом, образованным при. столкновении молекул В и С. Время жизни столкнувшейся пары дается формулой (12.8); оно обратно пропорционально относительной скорости между молекулами В и С. Поэтому пар^ может быть выбрана случайным образом, и выбранные три молекулы принимаются или отвергаются с вероятностью, пропорциональной относительной скорости сг между молекулой А и парой ВС. При вычислении этой относительной скорости соответствующая скорость пары есть, конечно, скорость центра масс. Приращение времени для этого столкновения определяется формулой (10.3) в виде

Д/с = J-1—Е -Ji.(12.20)

.^А ^А (ВС^ВС Cr ^ВС ^А (ВО^А^г

Числовая плотность пвс дается формулой (12.9), и эффективная величина ^вc получается из соотношения'

'- ^C^fBC _ гавс' П99П

VfA - «А '-

где №f — весовой множитель. Заметим, что слагаемые формулы (12.20) в отсутствие весовых множителей равны между собой. В общем случае эти' слагаемые определятся вероятностями, связанными с весовыми множителями, как описано в § 10.2 в связи с формулой (10.3). Различные сечения столкновений и времена жизни связаны равенствами (12.15). Вычисляется скорость центра„масс трех частиц до столкновения, которая остаег-

Приложение А

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ

Таблица А1

Свойства при нормальных условиях (101325 Па и 0°С)

Газ

Обозначение

Молекуляр* ный вес с^

Отношение удельных теплоемкостей

V

Номинальный - диаметр!) 2-10Ю м

Водород

н2

2.016

1.41

2.75

Гелий

Не '

4.003

Г67

2.19

Метан

СН4

16.04

1.31

4.19

Аммиак

NH3

17.03

1.32

' 4.48

Неон

Ne

20-18

1.67

2.60

Окись углерода

СО

28.01

1.40

3.81

Азот

n2

28.01

1.40

3.78

Кислород

02

32.00

1.40

3.64

Аргон■

Аг .

39.94

Г.67

3.66

Двуокись углерода

СО2

- 44.01 х

1.30

4.64

Хлор

С12

70.91 "

1.33

5.53

Криптон

Кг

83.80

1.67

4.20

Фреон 12

CC12F2

, 120.9

1.13

6.41

Ксенон

Хе

131.3

1.67

4.94

1) Данные получены из экспериментально определенного коэффициента вязкости и .формулы (4.52), полученной методом Чепмена — Энскога для вязкости газа, состоящего из упругих сферических молекул.

Значения физических постоянных даны в списке обозначений. Используя эти постоянные-и свойства газов, приведенные в табл. А1, можно получить другие характеристики. '

Масса молекулы

т = Ж^: = 1.660- 10-27 Ж кг.(А1)

Плотность при нормальных условиях '.

ро = пйт = 0.04462^ кг • м-3.(А2)

Газовая постоянная

R = 9ЦЖ = 8314.3/Л Дж • кмоль-1 • град-1.(АЗ)

- Скорость звука (при температуре Т К)

<z == (у^Г)1/2 = 91.18 (у7/^<)^2 м • с-1;. (А4)

Наиболее вероятная скорость молекул при температуре Т К

cm = ^RTV,2 = 128.95 (Jl-*^ м- с-1.(А5)

Средняя длина свободного пробега в равновесном газе плотности п (d в м).

Ко = ^я.(1ЧуХ = 8.3766- 10“19 (по/п) d~2 м.(Аб)

Эффективное число внутренних степеней свободы

& = (5-Зу)Ду-1)., (А7)

о

а

О

о2 exp (— р2о2) do =

л '

4Р3 ’

(В19) ’

о3 ехр (—Р 2о2) do =

1

2Р4 ’

(В2О)

Зя1'2

(В21)

о4 exp (— pV) do =

80=. *

и5 exp (— р2о2) do 8=

1

Р”

(В22)

и6 exp (— pV) do =

15л1'2

(В23)

1бр7 ’

о1 exp (— pV) do =

_3_

R8 •

(В24) '

О

О

- О

Я

«

Приложение С

-. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ

Интеграл вероятности от аргумента а определяется следующйм образом:

'9 Г.■

erf (а) = —-^ \ ехр (— х2) dx,(Cl)

'- я X)''•

а дополнительный интеграл вероятности задается соотношением

:-erfc (а) = 1 — erf (а).■(С2)

Таблица С1

Значение интеграла вероятности - v .

а.

erf (а)

а

erf (а)'

0.0

0.0~

1.1

0.880 205

0.05

0.056 372

-1.2

0.910 314

0.1.

0.112 463 '

1.3

0.934 008' -

0.15

- 0.167 996

1.4

0.952 285

-0.2

0.222 703

'1.5-'

■ 0.966 105

0.25

. 0.276 326 -

1.6

0.976 348

0.3

0.328 627

1.7

0.983 790

0.35

0.379 382 .

.1.8

0.989 091-

0.4■

0.428 392 .

1.9.

0.992 790

.2.0

0.995 322

0.45 .

0.475 482

- 0.5 .

0.520 500

2.2.

.0.998 137

0.55

. 0.563 323

2.4

■ 0.999 311

0.6

0.603 856

2.6

0.999 764 - •

■ 2.8

0.999925 0

0.65

0.642 029

3.0■

0.999 977 9

0.7'

0.677 801

-0.75

0.711 156

3.2

0.999 993 97

0.8

0.742 101

3.4

0.999 998 48 .

3.6'

0.999 999 64

0.85

0.770 668.

3.8■

0.999 999 92

.0.9 .

0.796 908

4.0

0.999 999 98

0.95

0.820 891

1.0

0.842 701

■ОО

1.0

ИЛИ'-

-х = а + R$ (6 - а}. ■(D5)

Этот результат очевиден и из элементарных соображений.

Теперь рассмотрим переменную г, распределенную между 0 и а таким образом, что вероятность величины г пропорциональна г. Именно с таким

Рис. D1. Типичная нормированная функция и кумулятивная функция распределения.-'■'

распределением мы сталкиваемся при вычислении случайного радиуса в одно-, родном осесимметричном потоке. Тогда.

fr = const • г,

и, вновь находя константу из формулы (D2), имеем ■fr = 2r/a2.-

СледоватеЛьно, из формулы (D3)

■Fr = г2la2, ■.

и из (D4) тогда получаем-

г = а^^.'.(D6)

К'сожалению, вышеприведенную процедуру можно использовать лишь тогда, когда есть возможность обратить (D4) для получения функции х От Rt. Рассмотрим функцию распределения tu' компоненты тепловой скорости в равновесном газе. Она дается формулой .(4.13):

f^ = (p/Vn")exp (-₽2и'2).(D7)

Следовательно,-

F - =—( exp Уи'2^ du',

или ’

-FB,= 7i{l +erf .(₽«')}.

Это уравнение нельзя обратить так, чтобы выразить и' чёрез Rt, и данный метод не проходит.

Обычный выход — это использовать метод исключения. Чтобы непосредственно использовать случайное число, функцию распределения делят на ее максимальное значение fmax:■

fx = UUx.- (D8)

Значение х тогда выбирается случайно в предположении, что оно равномерно распределено между своими пределами. Затем вычисляется функция tx для этого значения х и генерируется очередное случайное число Rt. Выбранное значение х либо принимается,- либр отвергается в *5ависимости от того, боль- - ше или меньше fx, чем Rt. Данная процедура повторяется до тех пор, пока очередное-значение х не будет принято. Так как Rt равномерно распределена ■ между 0 'и 1, то вероятность принятия величины х, очевидно, пропорциональ

на fx, и принятые значения х имеют распределение Д.'

В качестве примера рассмотрим функцию, определяемую формулой (D7). Ее максимум равен р/^/д при и' = 0, так что f„, = exp (— ^и'2\ Равномерно распределенное значение и' дается формулой (D5), при этом для а и b выбираются некоторые конечные значения вместо реальных пределов от —ос до +оо. Если положить а и 6 равными —3/0 и +3/0 соответственно, ■Го часть значений, лежащих за этими пределами, равна 1 —erf (3) или 0.000022 (см. уравнение (4.10)). Таким образом, '

,. и' = (- 3 + 6/?f)/0'

Иf', = exp{-(-3 + 6/?f)2}. '-

Генерируется очередное, значение Rt, если fu, > Rf, то и' принимается. Если fu- < R{, то значение и' отвергается, и весь процесс повторяется до тех пор, ’ пока очередное значение и' не будет принято.

' Хотя метод исключёния- предполагает процесс многократного повторения, -что может потребовать вычисления большого числа функций и случайных чисел, его можно использовать почти для любой функции распределения и легко включить в вычислительные программы.• . ’

' Для особых случаев имеются дополнительные методы. Один из них дает прямой способ моделирования пар величин с нормальным распределением, задаваемым формулой (D7). Эти величины можно обозначить через и' и о', тогда из формулы (D7) имеем- -

fu,du'fv,do' = exp (— р2и'2) du' —— exp (— 02v'2) do' =-

■B2

= — exp {— 02 (u'2 + o'2)} dU' do'.'

Далее положим■

-и' = r cos 6,.

,/(D9)

,о = r SIH 6.

■ Полное сечение столкновений для, молекул, подчиняющихся степенному за

ат = «Vq,ат = «Vq,кону, равно

ат = «Vq,

ат = «Vq,

Поскольку Vo, m, и и ш, являются константами, последний результат можно подставить в выражение (Е4): .'

■•.V = иотсг,

и это находится в согласии с формулой (1.6),

Приложение F

ПРОГРАММА РАСЧЕТА СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТРУБЕ'

PROGRAM TUBE С'

С FREE MOLECULE FLUX THROUGH CYLINDRICAL TU8E--TES? PARTICLE C MONTE CARLO PROGRAM ' WRITE 15Ы).'

‘1 FORMAT (* FRgE MOLECULE FLUX THROUGH CVLINDRICaL TUBE'///) c REAO DATE‘

READ (50,2) Tl ,NTT•'

FORMAT (F1O.5H1O>-.

WRITE (51,3) TL WRITE (51,11) NTT ‘..

format <> ^lux ratios for length-radius Ratio of »,fio,5>.

FORMAT (’'BASED ON ’,110,» REPRE$£NtATI VE TRAJECTORIES»//) • ND=0'*'

NT = O C NO IS THE NUMBER PASSING DIRECTLY THROUGH, AND NT IS THS TOTAL C NUMBER THROUGH

00 4. Nel ,NTT

C LOOP 4-1$ OVER THE NTT TRAJECTORIES RM=SGRt(RNOM(«1))'

c rm is the random radius of entry CALL DCEM(AL,AM,AN)

. X2AL*(RM*AM*5(IRT(AM*AM*(1.-RM«RM)*AH*AM))/(AM*AM4AN*AN} С X IS x CD-ORD, OF THE FIRST INTERSECTION wifH THE СУЦНЬВЙ

- IF (X.GT.TL) GO TO 5'

CALL DCEM(AM,AL,AN) X =X * 2 , ♦AL•AN/(дN•aN♦AM«AM )'

С X IS NOW T.HE'CO-ORO. OF A SUBSECUeNT INTERSfiOTlON IF (X . LT.0) GOTO A I F (X.GT.TL) GO TO В-

GO TO <‘-

NDaND*l.' ' ‘(

. fl NTaNT*l

CONTINUE FD=FLOAT(ND)/NTT FT=FLOAT(NTJ/NTT WRITE (51,9) FO ■ WRITE (51,10) FT

FORMAT (> FRACTION PASSING THROUGH TUBE DIRECTLY •»,Flo,9}

FORMAT (» ANO THE TOTAL NUMBER FRACTION • ’ , F 1 0,5////) STOP •. ■-

END'

SUBROUTINE DCEM(DCP»DC1>OC2)

c .'..

c generates DIRECTION cosines of TYPICAL molecule IN effusing

C OR EMITTED gas

c-'

C OCR Is WITH THE DIRECTION D^ EFFUSION» DG1 AND D&2 ARE WITH

FORMAT!» THE MOLECULES АЙЕ MOVED AT TIME 1 NTERVALS • О F',f10iS> WRITE (51,7) N]S,NST

' 7 FORMAT!' PROPER1T1.ES SAMPLED EVERV ’,I 6, • INtIRVAlS ANO RUN STO’ 1'PS'/' AFTER-»,16,» SAMPLINGS')

WRITE (51,8) NSEC в FORMAT (• ',18,» SECONDS OF COMPUTER TIME ARE AVAILABLE AND RUNS» 1/» CONTINUE AS LONG AS TIME IS AVAILABLE'///)

WRITE (51,9)

FORMAT (' NORMALISATION OF VARIABLES IS AS FOLLOWS»/) WRITE (51,10.)

FORMAT (• A LENGTH IS LENGTH/L, WHERE L IS THE MEAN FREE PATH IN» 1» THE'/' UNOl'STURBEO GAS')

WRITE (51,11)

FORMAT (• A VELOCITV IS VELOCITV.B, WHERE 8 IS THE RECIPROCAL O' ,1'F'/' THE MOST PROBABLE MOLECULAR SPEED IN THE GAS')

WRITE (51,12)

FORMAT (• A TIME IS TI ME/I 8»L ) ') WRITE (51,15)

format i> a temperature is temperaTure/г, where t is the tempera» 1'TURE»/» OF The UNDISTURBED CAS')

WRITE (51,14) 14 FORMAT (' A DENSITV IS DENSITV/D, WHERE D IS THE DENSITV OF THE' 1/' FREESTREAM GAS') "WRITE (51,15). is format (• a number flux is flux«b/n, where n is the number densi» 1,'TV'/» OF THE UNDISTURBED GAS') - WRITE. (51,18)

FORMAT .(•• A PRESSURE IS PRESSURЕ»8»В/D, StMILARLI FOR SHEAR SIR', 1'ESSES')

WRITE (51,17)

FORMAT (> A HEaT FLUX IS HEAT F LUX • В «8 »B/D • / / / > C THE PLATE is ASSUMED TO HAVE UNIT AREA " C«

C SET CONSTANTS

Pti3.141595. ж

CHsVM/NC C CH IS CELL WEIGHT

VNM=SRRT(TW) c VNW IS THE MOST PROBABLE MOLECULAR speed дТ the WOLL TEMPERATURE С (N,6 BOTH T- and в are unitv In the UN0ERST0R8ED gas, THEREFORE C GAS CONST-,eO,5)

FNOPMC/CH с fnd is the un-normahsed undisturbed gas number density

CXS=l,/CSaRT(2,)»FN0) c OXS IS THE COLLISION CROSS SECTION OF THE HARD SPHERE MOLECULES C (SINCE MEAN FREE PATH *1 IN U-HDISTORBEO GAS OF NUMBER DENSITV FND) .

NRUNsO c working variables and those with obvious meaning are left-undefined 00 21 N«1,NC

21C(l,N)=(N-0.5)*CH- NMeNCMC 4 NM IS THE (CONSTANT) TOTAL NUMBER OF MOLECULES

AC U = 0 T N • N I S *MC * F NO • С XS • S RR T ( 2 , / P I ) C ACU IS THE NUMBER OF. COLLISIONS PER CELL PER SAMPLING INTERVAL - С IN UNO I ST, GAS

VRN = 2.»SOR T(2./РI) c vrn is the averige Relative speed in undisturbed, gas collisions C c set sampling variables to zero*

DO 18 №1,NST do 16 M=t,7 SS(M,N)=0 00 is L=1,NC ■'

18SC(M,L,N)=0

C C START OF RUN,J

20 NRUNeNRUN*! call ct ime ( ckom.-tsr , . c TSR is THE COMPUTER TIME AT THE START OF THE RUN

С INITIAL STATE OF THE OAS WILL NOW BE SET 00 22 N=1,NC C(2,N>=RN0M(»l)»2,«CH/(NC«MC»CXS»VRN)

C INITIAL CELL TIME' [S A RANDOM FRACTION OF THE MbAN COLLISION C. TIME INCRIMENT

С I JiN>= 2,*VRN

e maximum Relative velocItv will be r'eset if faster encounters odour DO 22 Ms 1,MC

J » < N-1) *MC*M P(4iJ>=CHiN)»(RNDM(-1)-0,5)SCh DO 22 L = l,3 B=SORт(-aloOIRnDm<-1>>>

A=2,»P1«Rn0M!-1>

22 P(L , J IsBeSI Nt A> 00 23 J=1,nST

c

LOOP OVER SAMPLING intervals DO 24 1=1,Nis

0

C LOOP OVER The TIME INTERVALS WITHIN SAMPLING INTERVAL J TIME=<<J-l)»NIS»l)*DTN

С MME is THE OVfRAL FLOW TIME

C

C MOLECULES NOW MOVE APPR OPR I ATELV TO TIME INTERVAL DTM' DO 25 N=1,NM

V=P(4,N>*P<2,N)«0tN IF 1V.LT ,VM> 60 TO 26 .

c

C .MOLECULE REFLECTS FpOM SPECULARV REFLECTING PLANE AT V»VM V«1. 99 9 9 9 99 » VM-V P(2iN>’-P<2'N)

M IF (V.GT,0,> CO TO 25

C MOLECULE REFLECTS FROM WALL AT V«0 OTRsDTNsVZ(V-P(4.N >1 IF t0TR,LT,l,E-10> DTR=1,E-1O c dtr is time Remaining after molecule strikes wall

P( l.NIsPIi,n;-uw c this changes frame of referense for sampling wall properties

SS(1,J>=SS(1,J>*1

SSI2lJ> = SS(2, JI-P(2 |N>

SSI A,J > = SsI4(J >*P<1,NI

SS(6,J>sSS(6,J)*C,5*(P(1,N)»P(1,N>*P(2,N)«P(2iN>*P(3»N)pP(3#N>)

C INCIDENT MOLECULE SAMPLING HaS BEEN SET (MASS 0F" MOLECULE jS UNITVI В=VNM*SRRT(-ALOG(RNDM(-1 I)) A=2.»PI«PNOMt-1> PI 1,N> =B«S1N(A ) P(3,NI=B«COStA> P(2,N>sVNM»SQRT (-AL.OG(RNOM(-1> > >

. VsP t 2> NI•ОTR SS(3,J>=SS(3,J)*P(2,N)

■ SSt 5 »-1 > = sst 5 A J >*P(liN> SS<7,J> = SSt7lJ>»0.5,<PCL,N>»PH,N>PP<2lN>«P<2,N>T-Pt3,N>«P(3iN>> P( 1 ,NIsP(1,N)»uw

C REFLECTED MOLECULE PROPERTIES AND'SAMPLtNG HAVE NOW BEEN SET 25 P(4,N>xV -

C

C MOLECULAR indexing will now be set 6o 27 M=1,NC

27 I C<1,N >:1 DO 2B N=1,NM M=P(4,NI/CH*0.9999999 IF (M,Ей ^ О I Ms 1

C above STATEMENT IS to guard AGAINST ROUNO-OF error 2BtC(l,M)=IC(l,M)*l,

Ms C DO 29 N=1,NC

9 Г. Ббрд

DIRECT MOLECULAR 'S JMULATtON or THE RAVLEIGH PROBLEM

THE RL1NE VsO IS P1FUS5ELV REFLECTING WITH TEMPERATURE 1,COCCO ANO VEL0S1TV IN THE X DIRECTION OF' 0.10000

THE FLoWFIELO EXTENDS TO V =10,00000

WHICH IS TAKEN TO BE A SpECULARLV REFLEСT1 NG SURFES

the flowfiElo is divided into 20 uniform cells»

EACH INIT1ALLV CONTAINING 50 MOLECULES

THE'MOLECULES ARE MOVED AT TIME INTERVALS OF 0,17725„. PROPERlTlES SAMPLED EVERV5 INTERVALS ANO RUN STOPS

AFTER 5 SAMPLINGS

1024 SECONDS OF COMPUTER TIME ARE AVAILABLE ANO RUNS CONTINUE AS LONG AS TIME IS AVAILABLE

normalisation of variables is -as follows

a length is length/l, where l is the mean free path in the .undisturbed gas

a velocitv IS veloc]tv»b, where в is the reciprocal of the most probable molecular speed in the gas-

A TIME is TIME/IBpLI

A TEMPERATURE is TEMPERAtURe/T, where T IS the TEMPERATURE OF THE UNDISTURBED GAS

A OENSITV IS OENSITV/D, where 0 IS The densitv of the freestream gas

A NUMBER FLUX IS FLUX.B/N, WHERE N IS THE NUMBER DENS-ItV or the undisturbed gas

A PRESSURE is PRESSURE»B«BzO . SImILaRLI roR SHEAR SIR'ESSeS

A HEAT FLUX IS HEAT FLU Xpg.в ТВZ0 .

SURFaSE PROPERTIES

'TIME INTERVAL

SAMPLE

number

PRESSURE

from

TO

SIZE

flux Incident reflect!.

d.odood- о,

,88625

3377

0.288676,

256030,

25514

G.88625

1,77256

3371

0,28816

0,25399

0*25617

1.77250

2 , 65875

32 43

0*27722

0,24828

0.2457В

2.65875

3,54500

3313

0.28320

6,24887

0124955

3.54500

4,*3125

3405

0,29106

0,26150

0.25889

time interval

SHEAR'

STRESS

HEAT

' FLUX

FROM

TO

Incident

Reflected

Inc!dent

REFLECTE!

0.000 0 0

0« 68625

*0,02863

-0.00529

0,29066

0 .28742

0.88625

1,77250

•0,02821

0*00467

0,29116

0.20294

1/77250

2,65875

-0,02214

0,00514

0,28756

0,27654.

2.65875

3,54500

-0,02192

-0,00360

0,28119

0.28018

• 3.54500

4,43125

-6,02044

-0.00389

6*29263

0.29197

FLOW FIELD

PROPERTIES AT TlMt

s- 0,88625

CEUL

V CO-ORD

SAMPLE

DENS I Т-У

x-vel,

V-VEL.

CELL

1

0,25000

6650

1,00758

0.03390

• 0 , 0 0076

1

2

0.75000

6571

0,99561

- 0.0 C 9 1 6

-0.00746

2

3

1,25000

•6616

1,002*2

•0*02451

0.00127

3

*

1,75000

654»

0,99227

0.00178

0.017*0

4

5

2,25000

6616

1,00242

0*01152

-O.o0338

5

6

2.75000

8493

0,98379

0.01199

•0.00767

6

7

3.25000

6606

1,00091

0,00957

0.00830

7

8

3.75000

6758

1,02394

0.00442

•0 . 0 0304

8

9

4,25000

6642

1,00636

•0.00001

-0.00736

9

16

4,75000

657a

0.99/67

0.01576

-0.0040*

IQ

21

5,25000

6570

0,995*5

0. 0 0048

-0,00603

11

12

5,75000

6 595

0 ,99924

0.0 0697

»O .01532

12

1 3

6,25000

6581

0,99712

6. 00111

6.00583

15

14

6.75000

6620

l.,0 0303

-0.00820

-0.00528

14

1 5

7,25000

6621

1,00318

-0.0009B

-0.0 0399

15

16

7,75000

6450

0,97727

-0,00843

0.00581

16

1 7

8.25000

6615

1,00227

-0,00099

0.00057

17

18

«,75000

• 6610

1,00152

-0,01412

0,01403

15

1»

9.25000

661В

1,00273

-0.00001

-О.О'вЗЗ?

19 •

20

9.75000

6641

1,00621

-C,01346

0,01096-

20

CELL

Х-ТЕМР,

У-TEMP,

Z-TEMP,

TEMP,

COLL, RATE CELL

1

0.96926

0,99241

0.90173

0,984*7.

0.99119

1

2

0.96928

0.99241

0.99173

0.98447

0,99119

2

3

0,9692В

0,99241

0,99173

0 . 98447

0.99119x

3

4

0.96928

0.99241

0.99173

0.98**7

0.99119

*

5

0,96928

0.99241

0.99173.

0,96447

0.99119

5

6

0.96928

0.99241

0.99173

0.98447

0.99119

6

7

0.96928

0.99241

0.99173

0.9B447

0.99119

7

8

0.96928

0.99241

0.99173

0.98*47

0.99119

a

9

0.96928

0.99241

0,99173

0,98447

0.99119

9

10

0,96928

0.99241

0.99173

0.98447

0.99119

10

11

0.96928

0.99241

0.99173

0.98447

0.99119

11

12*

0.96928

0,99241

0.9 '91 7 3

0,98447

0.99119

12

13

0.9^6 9 2 §

0.99241

0.99173

, 0/9B447

-0.99119

13

14

0,96928

0» 99241

0.99173

0,98447

0.99119,

- 1*

1 5

0.96928

0.99241

■0.99173

'"0,98447

0.99119

15

16

0.96928

0.99241

0.99173

0.98447

0.99119

16

17

0.9692В

0.99241

0.99173

0.9844?

0.99ЦР

• 17

18

0.96928

0.99241

0.99173

0.98447

0.99Ц9

18

19

0.9692В

0.99241

.0.9,9173

0. 98*47

0.99119

19

20

0.96928

0,99241

0.99173

0 . 9B447

0,991J 9

20

flow

FIELD PROPERTIES дТ

TIME =1

,77250

CELL

V CO-ORD

SAMPLE

OEMS t TV

X-VEL.

У-VEL ,-

CELL

1

О.гбООО

6622

1.00333

0,04963

-0.00043

1

2

0.7'5 ООО

6558

0,99368

0,01*64

0.00728

2

1

ъгосоо

6639

1,00591

0,00627

0,00694

3

* .

1,75000

6533

0,9'8989

-0,00172

-0,00135

*

1

t,R5000

664?

1,00712

-0,00126

0,00*16

5

6

8,75000

6585

0,99773

0.01926

•0,00732

6

?

3, 85 0 0 О'

6610

1.00152

-0,00236

•0.0103*

7

в

8,75000

668а

.1.01533

6.00570

0,0051В

8

9

4,85000

6691

1.01379

0.01125

0,0 0998

9

10

4,75000

6508

О.Рабоб

0.00538

-6.00022

10.

11

5,25000

6774

1.02636

0.01327

0.00294

11

12

5,75000.

6512

0.98667

0,00473

-0.01569

12

13

6,85000

6508

0.98606

0.00236

-0.00953

13

6,75000

6574

0,99606

-0,00758 .

-0 , 0 0983'

1*

• <15

7,85000

6531 z

0,98955

-0.02343

0.01023

15

16

7,75000

6576

0.99636

0,00553

-0.00025

16

17

0,85000

6583

0.99742

-0.00502

0,010*6

17

18

8,75000

6575 ■

0.99621

-0.00207

1-0,0 0289

IB

19

.,25000

6610

1,00152

-0.008*6

-0,00353

19

ЙО

0,7500.0

6676

1,01152

■0,01164

0,0 0257

20

CELL

Х-ТЕМР,

У-ТЕМР,

Z-TEMP.

TEMP,

COLL, RATE CELL

1

0,98696

1.03241

0.95956

0,99298

1 . 02664

1

0,96698

1.03241

0.95956

0,99298

1,0266*

2

3

0.98696

1.03241

0.95956

0.99298

1.0266*'

3

4

0.96698

• 1,03241

0.95956

0,99298

1.02664

4 •

5

0,98698-

1.03241

0.95956

0,99298

1.02664

5

6

0.98698

1.032*1

0,95956

0,99296

1,02664

6 "

7

0,98698

1 . 03241

0.95956

. 0.99298

1.02664

7

6

0.98696

1.032*1

0.95956

0.99298

1.02664

8

9

0,98698

1.03241

6.95956

0.9929B

1,02664

9 „

10

0.96698

1.03241

0.95956

0.99298

1.02664

10

11

0,98696

1.03241

0,95956

0,99298

1.02664

11

12

0,96698

1.03241

0,9595'6

0.99298

1.0266*

12

13

0,98698

1, C32V1

0.95956

0,99298

1.02664

13

1 4

0,9869'6

1,03241

0.95956

0.99298

1.02664

1 4

15

0.96698

1,03241

0.95956

0.99298

1.02^64

1 5

16

0.98698

1.03241

0.95956

0.99298

1.0266 4

1 6

17

0,96698

1.03241

0.95956

0.99298

1 . 02664

17

18

0.96698

1.03241

0.95956

0.99298

1.02664

18

* 19

0,96696

1 . 0324 1

0.95956

• 0.99298

1 .02664,

19

го

0.98698

1 , 03241

0.95956

0.99298

1,02664

20

I

Приложение К

ПОДПРОГРАММА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛ^ МОДЕЛИРУЮЩИХ МОЛЕКУЛ .

PROGRAM DEME-

С С ROUTINE FOR HANDLING VARIATIONS IN THE NUMBER OF C MOLECULES

C'

C THIS IS NOT A COMPLETE PROGRAM

C THE aRRAV P(S.M) contains the floating point INFORMATION

C OF MOLECULE M, АНО 1P(3<M> . CONTAl NS THE INTEGER INFORMATION

C ON THIS MOLECULE•

C• '-'

N10

C -N IS THE MOLECULE COUNTING INTEGER *'

- 1 NsN*l•

IF (N.OT,NM > GO TO E '•

C Nm IS THE TOTAL NUMBER OF MOLECULES, ANO LABEL 2 MARKS C THE END OF THE ROUTINE *

IF <IPC1,N>,LT,0 > GO TO 1

C THIS IS A SECONOARV APPLICATION of the INTEGER IP(1,N>, c ano the negative value tags molecules that-have-been ’ C ADDED in THIS ROUTINE aS Result of the DUPLICATION PROCEDURE,.’ C 1PI1,N> is ALWAVS POSITIVE (E.G, the cell NUMBER) IN ITS C PRIMARV APPLICATION ANO IS NOT USED AGAIN BEFORE ‘BEING RESET» C.■’ '

C A NUMBER OF STATEMENT MUST BE INCLUDET AT THIS POINT TO .

C1

C (A)MOVE MOLECULE N OVER TIME INTERVAL OTM To A NEW LOfATIOH

С (B)IF IT MOVES OUTSIDE THE S1 MULA ТЕD REG I ON, TRANSFER TO

CLABEL S’-.

C (C> OTHERWISE IT MOVES FROM CELL J.TO CELLAR (J MAV BE EQUAL СTO K).■

c iO) if weighting factors.are not used, transfer to label 1 с■

IF (J.EQ.K) GO TO 1.

B’sWI J >/«( К >■

C W(I> IS THE weighting FACTOR In CELL I •.

MsO'

A IF (B.LT.l) GO TO 51

MeM*l ■.■

B«8-l’■.

GO TO A .

5 A«RNOM(-1>

C RNDM(*1) GENERATES a random fraction between 0 and 1 IF I A .LT . В ) M»M»l ■■

IF (M.EQ.O) 00 TO 3.

C THE molecule is discarded if M = 0.-

IF IM.EQ.l) GO TO 1

C No FURTHER ACTION IS REQUIRED IF M«1 .

M«M-1■■■.

DO 6 L«1,M.

С THE MOLECULE IS OUPL1C4TE,D IN THE LOOP OVER LABEL 4 NMsNM+1 DO 7 tibi.

Pt 1,NM)sP(l,N)-

00 8 1 = 1,3'

t P ( 1 , Nm ) * I p ( X , N >.

!Pfl,NM)s-l

GO TO 1-

3 00 9 1=1,5■

P(Г ,N)xp(t,NH> . "

DO 10 1=1,3 10 1 P ( 1» N > * I p (1, NM> C MOLECULE N HAS BEEN REMOVED THROUGH ITS REPLACEMENT C 8V molecule NM-•■

NMeNM-l.-

№N-1v

GO 'TO 1"

CONTINUE.'

tr <A,LT,В)'MPs0

60 TO 20

A=l./A IF (A.lT.B) LP«0. .

c lp ano mp are the probabilities that the collisions will

C BE COUNTED FOR THE I AND M SpEС 1E$,RESPECT1V EL V

CXS 3 PI • ( ( C ( L , 3 ) * С ( M , 3 ) , p * 2 ) Z4 t_ .

T tL , M > eT t L , M) 4 FL 0 AT (LP ) Z ( CXS»C (M, I )*VR*NM I PF^LO AT CMP ) /( CXSpC ( L p 11 *V IR.NMI

SC(L,M)iSC(L,M>*FLOAT(LP)ZANMZOTP

SCtM,L>eSC(M,L)pFLOAT(MP)ZANMZDTP

Be 1, - 2,*RNDM(-l )

A=SORT(1,-B»D>

VRC(1>=B*VR

Bs2.»Pl»RN0M(-l>

VRCt2 I 3A•COS(В)•VR

VR C ( 3 ) 3 A»S I N ( В ) pVR‘

SM = C ( L , 2 > *C ( M, 2 >

RmL=C(L,2)ZSM

RMM3CtM,2)ZSM 00 21 №1,3

VCCM3RML»P( L , К , N } ♦ R MM p P t M,J,N)

IF HP.E0,13 PIL ,К ,N)«VCCM»VRCtN)*RMM

IF <MP,EO,1> P(M,J,N)=VCCM-VRC(N)pRML

CONTINUE .GO TO 22

CONTINUE

C

C SAMPLE TEMPERATURES AND PRINTS RESULTS WRITE (51,23)

FORMAT (• •.,///)

WRITE (51,24) TIME-

FORMAT (> RESULTS AT TI ME’>F10,5Z) A = o.

00 25 l=1,NC

DO 25 M31,NC

A = A ♦ S C ( L , М > • 0 ( I • 1 I Z S N

CONTINUE‘

WRITE (51,2«) A 2» format r mean collision rate per molecule over previous time in*,

I'TERVAL’,F9.5>

WRITE (51,27)

FORMAT (• INDIVIDUAL COMPONENTS OF THIS COLLISION RaTE>)

DO 2B L=1,NCJ

WRITE (51,29) L

FORMAT (• SPECIES-,14,• MOLECULE WITH SPECIES 1 , SPECIES 2 AHO'p 1• SO ON* )

WRITE (51,30) (SC(L,M),Me 1#NO)

.FORMAT (> -,4F12,5> 20 CONTINUE

DO 31 1=1,NC

00 31 M3l,NiT

00 31 N3i,3

C ( L , 6 I 3 C ( L , 6) P P ( L , M, N ) pP ( L', M, N ) 1 31 CONTINUE

TF = O.

DO 32 L=1,NC

TF=TF»C(L,1>«C(L,2>«С(L»6) 32 CONTINUE ■

TF=0,6666667*TF/(aNM«SN>

WRITE (51,33) TF

33 FORMAT (> OVERALL TEMPERATURE =',F10,5)

DO 34 L=1,NC

A3O.6666667«C(L.2)*C(L,6)ZANM

WRITE (51,35) l,A

35 FORMAT (> TEMPERATURE of SPECIES',I 4,' » ',F10 5)

C(L > 6 > =0 , 00 34 M=1,NS SC(L,M)=O, Э4 CONTINUE

1* CONTINUE Stop eno

central processor time on besm-6 COMPUTER = *29 SECONDS

tempeRature Relaxation in Gas mixture

5 gas species ano a sample she of зооо for each 60 PRINTING INTERVALS

EACH E6UAL TO 0,50000 TIMES THE MEAN COLLISION TIME ■THE EGUILIBRIUM MIXTURE .

SPECIES 1

NUMBER DENSITV1,00000 MrSS

initial temperature _ p.ooooo

1,00000

DIrMETeR

•1,80060"

SPECIES 2

NUMBER DENSITV1 , 000 00 ,MASS

INITIAL 'TEMPERATURE5 ,00000

3 . ooooo

DIAMETER

2.00000

SPECIES3

NUMBER DENSITV1,00000 MASS

INITIAL TEMPERATURE1.OOOOO

10,ooooo

DIAMETER

0 , 50000

FINAL EGUILIBRIUM TEMPERATURE =5,00000

WITH A MEANCOLLIStONS rate per molecule OF unitv

THE THEORETICAL EGUILIBRIUM COLLISIONS RATE FOR MOLECULES

OF SPECIES I WITH SPECIES 1 ,SPECIES.2, ETC IS - 0.320B00.589350.13383

THE THEORETICAL EQUILIBRIUM COLLISIONS rate for MOLECULES

OF SPECIES 2 WITH SPECIES 1 .SPECIES 2, ETC IS - 0,589350.7*0860.23332

THE THEORETICAL EQUILIBRIUM COLLISIONS RaTe FOR MOLeCULeS

OF SPECIES 3 W]TH SPECIES 1 .SPECIES 2. ETC ]S - 0,133830.233320.02536

RESULTS AT TIME 0,50000

INTERVAL 1,18178 .SO ONSO ONSO ONINTERVAL 1,18178 .SO ONSO ONSO ONMEAN COLLISION RATE PER MOLECULE OVER PREVIOUS TIME individual components of this collision Rate

INTERVAL 1,18178 .

SO ON

SO ON

SO ON

INTERVAL 1,18178 .

SO ON

SO ON

SO ON

SPECIES 1 MOLECULE WITH SPECIES 1 ', SPECIES 2 ANO 0,4*2670,75*00’ 0.16733

SPECIES 2 MOLECULE WITH SPECIES 1 , SPECIeS 2 ANO 0.754000.784000.23067

'.SPECIES ' 3 mOLeCULe WITH SpEClES 1 . SpECtES 2 ANO 0,167330,230670.01*67

OVERALL TEMPERATURE =5,00*94

TEMPERATURE OFSPECIES1=8.25581

TEMPERATURE OFSPECIES2=5.37187

TEMPERATURE OFSPECIES3=1,38716

Results at time 1,00000

mean COLLISION RATE PER MOLECULE OVER PREVIOUS TIME INTERVAL 1,13111 INDIVIDUAL COMPONENTS OF THIS COLLISION RATE SPECIES 1 MOLECULE WITH SPECIES 1 , SPECIES 2 AND SO ON ' 0.389330.720670,16133

SPECIES 2 MOLECULE WITH SPECIES 1 , SPgCIES 2 ANO SO OH 0.720670.777330.22333

SPECIES 3 MOLECULE W]TH SPECIES 1 , SPECIrS 2 ANO SO ON 0 . 161330.22333.0,0 1600

OVERALL TEMPERATURE =5,00494

temperatureofspeciesi=7.7*735

TEMPERATUREOFSPECIES2=5,52906

TEMPERATUREOFSPEOiES3e1,73843

c s.et initial state or sas-

DO 9 M=1iNM

DO 10 N = l,3

11 V=-3.*6,*rNDm(-1>

A=EXpt-V*V) B=RNDM(-1) IF (A.LT.B) GO TO 11 P(N>M>= V

10 CONTINUE

P(4 >Ml=(OF 1/4. >•T 1 N

0 CONTINUE

00 33 K=1,NT T1mE=K.DTP

C CALCULATE COLLISIONS

12 IF (ТС,От,T1 ME)O0 TO 13

14 JaRNDM I-1>»NM*0,999999 IF (J.E»,O) J=1

15 LxRNDM(- 1)*NM*0♦999999

IF (L.EQ.O) L=1

IF (L,E8.J 1 GO TO IS VRR=O.

DO 16 N=l,3

VRC(N)=p(N,J)-p(N,D

V R R x V R R* V R c ( N ) * V R c ( N 1

16 CONTINUE

VRrSeRTtVRRl

IF (KTM.Ee.O) VREsVR

IF IKTM.Eft.il VRE=S4RTlVR>

C PROBABILITY .OF COLLISION IS PROPORTIONAL TO VRE IF (VRE.GT.VRM) VRM=VRe A=VRE/VRM B=RNDM(-1> IF I*. LT,Bl GO TO 14

c selections of collisions pair "has now been made with

c appropriate probability

TCcTC*(2,/FLQATINm1l/ICXS.VREl

NC0L=NC0L*l

C TIME aNO COLLISIONS COUNTER HAVE NOW BEEN ADVANCED A = VRR * 0 F I • 0 . 1 2 5/8 N

C A IS THE average EOUIlIbRIUM MOLECULAR ENERGY APPROPRI C TO THIS COLLISION

0 ERJ = TFA С*IP( 4 , J)-A) DERL=TFAC*|PI4,L)-A> P ( 4 , J 1 = P I 4 , J 1 - 0 ER J PI4»L1=P(4iL)-OERL VrR=VRR*(DERL*DERJ>«4,

VRF=SORT(VRRI/VR

C ENERGY HAS now BEEN TRANSFERRED.ВETWEEN THE TRANSLATlO C ANO INTERNAL MOOES

C VRF IS THE FRACTIONAL CHANGE IN THE MAGNITUDE OF THE P C COLLISION RELATIVE

C VELOCITY AS a conseouence of this transfer if tKTM.ee.oi go to it

c~

c Inverse nInth power collisions mechanics WAtSeRTIRNOMt-1) )•!,5

EPS = 2.*PI*RNOM(-1 ) c impact parameters have been chosen with appropriate pr , AiWAPI1,36233*HAP(1.8*1*5*HA«(-8,STBS1*WA»(20,1313

II-23.B155*WA«<lt.5046*WA*l-4,42027*WA*0.S15193>>>) CHI=P1-2,»A CCsCOS(CHI 1 SCBSIN(CHI> CE=COS(EPS) SE=SIN(EPS) OUaVRC(l) 0V=VRC(2> DW=.VRC(3>

AsSBRT(DV.DV*DW*grU

VRC(1)=(DU*CC+SC*SE*A)*VRF

VRC(2)z(0V»CC+SC»(VR»DW»CE-DU»DV«SE)ZA)«VRF VRC(3>=(DW«CC-SC»(VR»0V«CE*0U»DW.CE>ZA)»VRF 60 то 16

С HARO SPHERE CgLLISfnN MEXANICS

17 B = 1 .-2,„RN0M(-1>

A = S8RT ( l.-B»B >.

V RC t 1 ) = В • V R* V R F

Ba 2,*PI *RNDM("1)

V R C < 2 ) = A • C 0 S ( 8 > • V R • V R F

V RC < 3 ) = A# S I N ( 6 ) • V R • V RF

C VRCI3) NOW CONTAINS THE PpST COLLISION RELATIVE V EL ОС I T V .0 OMPOHEN TS 1» В 0 1» И «1 < 3

V С С Ms 0,5* I P I N # J ) + P < N , L ) I

P(N,J 1=VCCM*VRCLN)•0,5

19 P( N,L)= VCCM-VRC(N)«0,5

GO TO 12

13 PRINT 20 TIME-NCOL

C,SAMPLE ANO PRINT TEMPERATURES

20 FORMAT (" TIME =>,F10,5>>>>16,> COLLISIONS')

AsO.

В s D , DO 22 N = 1tNM •A»A»Pll»N)*P(l(N>*P(2'N>«P<2iH->*P(3iN>*e(3»H>

22 B=B‘P(4,N>

TTR=0,6666667•дZNM

TROTS*,#8Z(OF I»Мц)

T0Vs(3,«TTR*0F!«TR0T)/(3.*DFI> PRINT- 23 TOV

3 3 PRINT 2* 'TTR | TROT

23 FORMAT (' TEMPERATURES, OVERAL *’>F10,5>

24 FORMAT (> TRANSLATIONAL =>,Г10,5,> ROTATIONAL = > , F 10.5 Z • , , > >

STOP en6

CENTRAL PROCESSOR TIME ON BESM-6 COMPUTER = 166 SECONDS

INTERNAL TEMPERATURE RELAXATION

400 0 MOLECULES HAVING 2,00000 INTERNAL DEGREES OF rRe£t>GM HARD SPHERE MOLECULES

TRANSFER FACTOR =0,10000

INITIAL RATIO OF INTERNAL TO TRANSLATIONAL TEMPERATURE *0,00000

60 PRINTING INTERVALS, EACH OF 0,50000

TImE =0.500001115 COLLISIONS

TEMPERATURES, OVERAL «0,60262

TRANSLATIONAL =0,96799 ROTATIONAL *0.05437

TIME =1.0,0 0002237 COLLISIONS

TEMPERATURES, OVERAL =0,60262

Translational = p,93505 rotational =0,10394

TIME =1.500003311 COLLISIONS

TEMPERATURES, OVERAL =0,60262

TRANSLATIONAL =0,90773 ROTATIONAL =0,1*497

TIME =2.000004359 COLLISIONS

TEMPERATURES, DV.ERAl =0,60262 ’

TRANSLATION!^ «0^66367 ROTATJONAI, =O,101O§

of Germany, 1974, p. B.24. [Имеется перевод в сб.: Динамика разреженных газов. — М.: Мир,. 1976, с. 99.]

Curtiss С. F., Muckenfuss С. — J. Chem. Phys., 1958, v. 29, р. 1257.

Dahler J. S., Sather N. F. — J. Chem. Phys., 1962, v. 38, p. 2363.

26,-Davis D. H. — J. Appl. Phys., 1960, v. 31, p. 1169.

Derzko N. A. Review of Monte Carlo- methods in' kinetic theory. — UTIAS Rev. 35, University of Toronto, 1972.

Deshpande S. M., Narasimha R. — J. Fluid Meeh., .1969, v. 36, p. 545.

Diewert G. S. — Phys. Fluids, 1973, v. 16, p. 1215.

Edwards R. H., Cheng H. K. — AIAA Journal, 1966, v. 4, p. 558, [Имеется перевод: Ракетная техника н космонавтика, .1966, № 3.]

Epstein М. — AIAA Journal, 1967, v. 5,- р. 1797. [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1967, № 10.]

Fizsdon W., Herczynski R., Walenta Z. — In: Rarefied Gas Dynamics (eds. M. Becker, M. Fiebig).— Porz-Wahn. DFVLR Press, Federal Repub- -lic of Germany, 1974, p. B23.

Giedt R. D., Cohen N., Jacobs T. A. — J. Chem. Phys., 1969, v. 50, p. 5374.

Gilbarg D., Paolucci D. — J. Ration. Meeh, and-Anal., 1953, v. 2, p. 617.

Goodman F. O. — Surface Sci., 1968, v. 11, p.283.

Goodman F. O.— Surface Sci., 1971, v. 26, p.327.

Grad H. — Communn. Pure and Appl. Math., 1949, v. 2, p. 331. [Имеется перевод в сб.: Механика, 1952, № 4(14), с.71—97;№5(15),с.61—96.]

Grad Н. — In: Encyclopaedia of Physics (ed.S. Fliigge),vol.XII.—Berlin:

Springer-Verlag, 1958, p. 205. [Имеется перевод в сб.: Термодинамика газов. — М.: Машиностроение, 1970.]

Grad Н., Hu Р. N. — In: Rarefied jGas Dynamics (eds. L. Trilling, H. Y. Wachman). — New York: Academic Press, 1969, p. 561.

Hamel В. B., Willis D. R. — Phys. Fluids, 1966, v. 9, p. 829.

Harris S. An introduction to the theory of Boltzmann equation. — New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1971.

Haviland J. K- — In: Methods of Computational Physics (ed. B. Alder et al.). — New York: Academic Press, 1965, v. 4, p. 109. [Имеется перевод в сб.: Вычислительные методы в Динамике разреженных газов. — М.; Мир, 1969.]

Hicks В. Е., Yen S. М., Reilly В. L. — J. Fluid Meeh., 1972, v. 53, р. 85.

Hinshelwood С. N. The kinetics of chemical change. — Oxford: Clarendon Press, 1940, p. 39.

Hirschfelder J. O., Curtiss C. F., Bird R. B. The molecular theory of gases and liquids. — New York: Wiley, 1954. [Имеется перевод: Гирщфель- дер Дж., Кертисс1 Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.— М: ИЛ, 1961.]

Holtz Т. Measurements of molecular velocity distribution functions in an argon normal shock wave at Mach number. 7. — Ph. D. Dissertation, University of Southern California, 1974.

Jeans J. H. — Quart J, Pure and Appl. Math., 1904, v. 25, p. 224.

Kennard E. H. Kinetic theory of gases..— New York: McGraw-Hill, 1938,

Koura K. — J- chem. Phys., 1973, v. 59; p. 691.

Kuscer J.— Surface Sci., 1971, v. 25, p. 225.

Kuscer J. — In: Rarefied Gas Dynamics (eds. M. Becker,. M. Fiebig).— Porz-Wahn: DFVLR Press, Federal Republic of Germany, 1974, p, 47. [Имеется перевод в сб.: Динамика разреженных газов. — М: Мир, 1976.]

Larsen Р. S., Borgnakke С. — DCAMM Report 52. The Technical University of Denmark, 1973.

Larsen P. S., Borgnakke C. — In: Rarefied gas dynamics (eds. M. Becker, M. Fiebig). — Porz-Wahn: DFVLR Press, Federal Republic of Germany, 1974, p. A7. [Имеется перевод в сб.: Динамика разреженных газов.— М.: Мир, 1976.]

Liepmann Н. W. — J. Fluid Meeh., 1961, v. 10, p. 65.

Liepmann H. W., Roshko A. Elements of gas dynamics. — New York: Wiley, 1957. [Имеется перевод: Липман Г. В., Рошко А. Элементы газов'ой динамики. — М.: ИЛ, I960.]

Liepmann Н. W., Narasimha R., Chahine М. Т. — Phys. Fluid, 1962, v. 5, р. 1313.■

Linzer М., Hornig D. F. — Phys. Fluids, 1963, v. 6, p. 166,1.

Liu C. Y., Lees L. — In: Rarefied gas dynamics (ed. L, Talbot). —New York: Academic Press, 1961, p. 391.

Lordi J. A., Mates R. E., — Phys. Fluids, 1970, v. 13, p. 291.

Maxwell J. C.— Philos. Trans. Soc„ 1867, v. 157, p. 49.

Maxwell J. C. — Philos. Trans. Roy. Soc. 1, Appendix, 1879.

Melville W. K. — J. Fluid Meeh., 1972, v. 51,. p. 571.

Metcalf S. C., Lillicrap D. C., Berry C. J. — In: Rarefied Gas Dynamics (eds. L. Trilling, H. Y. Wachman). — New York: Academic Press, 1969, p. 619. -■"'’

Miller D. R.,'Subbarao R. B. — J. Chern. Phys., 1.971, v. 55, p. 1478.

Morduchow M., Libby P. A. — J. Aeronaut. Sci., 1949, v. 16, p. 11.'

Mott-Smith H. M. — Phys. Rev., 1951, v. 82, p. 885.

Muckenfuss C. — Phys. Fluids, 1962, v. 5, p, 1325.

Muntz E. P. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. C. L. Brundin). — New ■ York: Academic Press, 1967, p. 1257. ‘

Narasimha R. — J. Fluid Meeh., 1962, v. 12, p. 294. .

Nocilla S. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. J. A. Laurmann). — New York: Academic Press, 1963, p. 327. [Имеется перевод в сб.: Взаимодействие газов с поверхностями. — М.: Мир, 1965.].

Nordsieck A., Hicks В? L. — In: Rarefied Gas Dynamics (e3. S. L. Brundin).— New York: Academic Press, 1967, p. 695. [Имеется ■ перевод в сб.: Вычислительные методы в динамике разреженных газов. — М.: Мир, ,1969.].- .

Patterson G. N. Introduction to the kinetic theory of gas flows. — Toronto: University of Toronto, 1971.-

Pidduck F. B. — Proc. Roy. Soc., 1922, v. AIOI, p. 1017

Robben F., Talbot L. — Phys, Fluids, 1966, v. 9, p. 633, 644, 653.

Rode D. L., Tanenbaum B. S. — Phys. Fluids, 1967, v. 10, p. 1352.

Ross J., Light J. C., Schuler К. E.— In: Kinetic Processes in Gases and Plasmas (ed. A. R. Hochstim). — New York: Academic Press, 1969, p. 281. [Имеется перевод в сб.: Кинетические процессы в газах и плазме. — М.:

• Атомиздат, 1972.]_ -.■

Russell D. A.— In: Rarefied Gas Dynamics (ed. J. H. de Leeuw). — New York: Academic Press, 1965, p. 265.;

Sandler S. I., Dahler J. S. — J. Chern. Phys., 1967, v. 47, p. 2621.

Sather N. F. >— Phys. Fluids, 1973, v. 16, p. 2106..

Schaaf S. A., Chambre P. L. Flow of rarefied gases. — Princeton Unfver- sity Press, 1961...■

81; Schmidt B. — J. Fluid Meeh., 1969, v. 39, p. 361.

Schultz-Grunow F., Frohn A. — In: Rarefied Gas Dynamics (ed. J. H. de Leeuw). — New York:. Academic Press, 1965, p. 250.■-

Sherman F. S. — NACA Tech. Note 3298, 1955.-

Sinha R., Zakkay V., Erdos J. — AlAA Journal, 1971, v. 9. p. 2П63. "[Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, 1971, № 12.]■

Smith F. Т. — In: Kinetic Processes in Gases and Plasmas (ed. A. R. Hochstim)!— New York: Academic Press, 1969, p. 259. [Имеется перевод в сб.: Кинетические процессы в газах и плазме. — М.: Атомиздат, 1972.]

Springer G. S. — In: Advances in Heat Transfer. — New York: Academic Press, 1971, v. 7, p. 163..■ -

в которых слагаемые Т; — взаимно независимые положительные случайные величины с общим распределением F, удовлетворяющим условию F(0) = 01). Процессом восстановления называется последовательность {S«}, п = 0, 1, ...» случайных сумм вида (1.2) [2, гл. VI, § 6]..

Представим себе бесконечное число независимых экспериментов, в каждом из которых накапливается сумма вида . (1.2) до тех пор, пока ее значение не превысит заданной величины f. Максимальное число членов последовательности • So, Si, ... ..., Snтаких, что Sfl ^ t, будет случайной величиной, меняющейся от эксперимента к эксперименту. Обозначим через U (С) среднеё значение числа таких членов. Таким образом,

'где число слагаемых Nt в сумме (1.2) определяется условием

Sn{^ t < Sn4+\.,. (1.3)

Оказывается, функция U^f) всегда существует, и для нее справедлива следующая теорема..

Теорема восстановления [2, гл: XI, § 1]. Если распределение F не является арифметическим 2), то при любом фиксированном h> 0 и t^- оо""

U^-U(t-h^^,(1.4)

где■

ц = Т= J IdF^Y'

_о " -.*

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что при больших / функция LJ^ ведет себя как tjp. Справедлив еще более сильный результат [2, гл. XI, § 4]. Если неарифметическое распределение F обладает дисперсией ст2, то

(1.5) где. ."

a2=^(r-p)2dE(T).

■ о

. *) Здесь и далее вместо терминов кумулятивная функция распределения F и функция распределения f, применяемых в дайной книге, используются соответствующие термины: распределение F и плотность / распределения F; -х- .

"F (х) = $ / (5) d^ F (оо) = 1,'

.о■

принятые в математической литературе..

Этот частный случай соответствует максвелловским молекулам и яв- дается на самом деле наиболее простым (см. ниже).

Основой для получения свойств (1.4) и (1:5) и многих других является уравнение восстановления, которое - нам потребуется в -частной форме. Пусть F имеет плотность Д тогда решение уравнения восстановления'-

- t■

иф=цп-^и(г-тмт<1т .d-б)

-о_

является плотностью функции U (^), так что ,

t'"

U (t)— 1 + ^ и (х) dx,"о

и утверждение (1.4) теоремы восстановления .переформулируется в виде «(/)-> ц-1 при t-»-co.'

'Рассмотрим также одно простое обобщение процесса вое* становления. Предположим, что So не нуль, а положительная случайная величина с распределением Fo. Процессом восстановления с запаздыванием, называется последовательность сумм {5„}, таких, что

■ S„ = So + Тх + ... + Г„,(1.7)

где слагаемые Т; — по-прежнему независимые ' положительные случайные величины с общим распределением F. Оказывается, существует такое распределение Fo начального момента So, что для функции U(0 при всех t имеет место -

U(t\=t/p. (1.8)

Здесь U (t)—среднее значение максимального числа членов последовательности {5Я}, таких, что Sn ^ I, включая и So. Это единственное распределение Fo связано с F следующим образом [2, гл. XI, § 3]:- .

F0^=^-\\\-F^\dT.(1.9)

''о .■

Для применения результатов теорйи восстановления к анализу - процедур моделирования столкновений приращение времени Д/с, на которое увеличивается счетчик времени п

8п=^ Д^ при i-м столкновении, удобно записать в виде

.Ме-Ц^Л ' -(1.10)

где

tom = и. V =tom = и. V =VVпп

tom = и. V =

tom = и. V =

V

V

п

п

для условного среднего числа столкновений N*c можно понимать лишь как, асимптотическое, т. е.

Nc ~ М - к при А/-> оо.Nc ~ М - к при А/-> оо.(1.16)(1.16)

Nc ~ М - к при А/-> оо.

Nc ~ М - к при А/-> оо.

(1.16)

(1.16)

Если А/^ X-1, можно воспользоваться оценкой (1.5). Заметим прежде всего, что NC = U (А/) — 1, значит

-1<<-А/.Х->=(1,17)

2Ц227^v '

здесь учтено, что ц = Т* и а2 = Г2 — Г2..'

Аналогичные асимптотические соотношения, связывающие абсолютные средние Nc и X, можно получить интегрированием (1.16) и (1.17) по всем сг, m с весом, равным Д f(cr,m). Выпол» . ..■m—1

ним это для (1.17). Из условной плотности (1.14) найдем

_ Np'm-1 -_ Np'm-1 -- Np-2^. = Ц_ У СО™*- Np-2^. = Ц_ У СО™*Следовательно,-о.Tt 1 i V,-1 1 V -iLTt N2N2Р m—1Р к, mРСледовательно,-о.Tt 1 i V,-1 1 V -iLTt N2N2Р m—1Р к, mРкч^т mкч^т m

_ Np

'm-1 -

_ Np

'm-1 -

- Np

-2^. = Ц_ У СО™*

- Np

-2^. = Ц_ У СО™*

Следовательно,

-о.

Tt 1 i V,-1 1 V -iL

Tt N2N2

Р m—1Р к, mР

Следовательно,

-о.

Tt 1 i V,-1 1 V -iL

Tt N2N2

Р m—1Р к, mР

кч^т m

кч^т m

Интегрирование всех слагаемых (Hk/^m суммы в последнем выражении даст одно'и то же значение, равное <в-<о_1 (в силу независимости со& и (о™1 при к^пгу Тогда '~

~ "^ Np■..

j П (Cr> т^ ^Сг> m=

= -Л-(А^р+ Np(Np — 1)5 • и-1)»б • со-1 при Np > 1.

Следовательно,, интегрирование (1.17) дает (при Np^V)

. - 1<Я-А/.х->(72й.^- 1).

Величина s= X-А/= (W/2).v А/ есть среднее число столкновений, вычисленное по точной формуле для частоты столкновений в разреженном газе. Таким образом, при s^> 1 имеем следующее асимптотическое равенство:

А~ 1-1(1 -l/^.^).

Пусть, например, моделируется газ из упругих шаров (от(сг) = = const), и плотность f(cr) соответствует максвелловскому равновесию, тогда ю-йУ1 = 4/л, ' -

Оценка (л — 2) / (2s) для относительной ошибки в частоте столкновений при значении безразмерного шага по времени v-A/ = = 1 и числе частиц в ячейке N = 20 дает значение 0.085, но при меньших интервалах А/ придется брать пропорционально большее число частиц А/. Эта весьма неприятная зависимость заставляет ставить вопрос о совершенствовании метода.

- 4. Мы выделим два принципиально разных подхода усовершенствования рассмотренной выше схемы моделирования столкновений. В первом из них предлагаются различные пути искусственного выдергивания равенства (1.1) с большей точностью в среднем, чем это обеспечивает условие (1.13). Основой подхода является простое качественное объяснение оценки (1.18). Обрывая процесс столкновений по условию (1.13), мы как бы не добираем полное время У А/с, а вместе с этим и какую-то долю столкновений. Эта недостающая часть столкновений равна

б/ v -у, б/ = А/ -^Т h

Если принять, что средняя величина недобора времени б/= = О(Т), то относительная ошибка в числе столкновений- будет равна , _ -

_ «у (#/2) _ _ о = _ о Г 1 _ лД/у(АГ/2) \М/ ХХМ/

что совпадает по порядку величины с предсказаниями (1.18) )'. Тогда кажутся очевидными два способа устранения обсуждаемого недостатка. В одном [3, 4] первые Мс столкновений определяются условием (1.13), а дополнительное (Мс+1)-е столкновение разыгрывается с некоторой вероятностью р. В другом способе, изложенном в данной книге, предлагается использовать (1.13): не на каждом отдельном интервале. А/, а на всем времени наблюдения ta = аМ; а= 1,2, ... . Иначе говоря, после каждого цикла расчета всех столкновений в ячейке за время А/ значение счетчика времени У А/с следует запомнить для использования на следующем временном шаге А/. Тогда дефицит времени б/ не пропадает, он учитывается на следующих вре-

обходимое число операций пропорционально Np\nNp [11]. Громоздкость такого алгоритма не оставляет возможности серьезно говорить об его использовании.

ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМЫ Г. БЁРДА

Модификация схемы моделирования, описанная в данной книге, предполагает использование следующего условия прекращения расчета столкновений в моменты времени ta = = а'Д/; а = 1, 2, ...:

Змг^<а < Sn(+i, . ' (2.1)

Здесь Nt — число столкновений на всем интервале времени от О до’ ta. На первый взгляд этот путь полностью решает проблему. Действительно, в силу утверждения (1.4) теоремы восстановления, имеет место следующее предельное соотношение1):

. Nt-Nt_M->^ = A/.A = ^-vAA - (2.2)

Однако методические расчеты по схеме Г. Бёрда указывают на зависимость результатов от характерного значения No числа частиц в ячейках; это отмечается и самим Г. Бёрдом. На рис. 2.1 в .качестве примера представлена зависимость безразмерного коэффициента‘нормальной силы Сп от Мо, полученная А. И. Ерофеевым и В. А. Перепуховым при расчетах обтекания пластины потоком разреженного газа из молекул — шаров [9]. Легко видеть, что при No <30 схема обладает заметной вычислительной ошибкой, которая уменьшается от 0.2 до 0.1 при увеличении No от 10 до 20. Такое же поведение результатов предсказывает и оценка O(s-1) для ошибки схемы, использующей неравенство (1.13) независимо на каждом интервале АЛ Таким образом, схема, использующая условие (2.1), полностью не устраняет недостатка метода. , -

Кажущийся характер противоречия расчетов и утверждения (2.2) теоремы восстановления легко понять,, если заметить, что последняя не утверждает ничего большего, кроме эргодичности, т. е. существования стационарного значения у среднего числа столкновений в единицу времени. Конкретные же значения v = = псгОт определяются плотностью f(cr) распределения скоростей сг, которая для теоремы восстановления является заданной.

Этой теореме не противоречит любая степень отличия f(Cr), а следовательно, и пс№ от истинных их значений в газе1). Таким образом, никакие результаты теории восстановления, в том числе правильный в пределе общий вид формулы.

v = псгс-у,"

не являются достаточными для утверждений, касающихся поведения функции распределения скоростей. Для- этого необходимо

Рнс. 2.1.

кинетическое уравнение

модели, соответствующей данной схеме вычислений. Как строить подобные уравнения, будет показано в § 3. Здесь мы ограничимся качественным анализрм решения кинетического уравнения модели Г. Бёрда, используя лишь общую структуру этого уравнения, очевидную из схемы реализации модели.

Оператор A[f] кинетического уравнения исследуемой модели состоит из двух частей: оператора Д|Д, соответствующего этапу расчета бесстолкновительных перемещений модельных частиц, он аппроксимирует конвективную производную (—cdf/dr);

*) Напомним следующую связь значений сгат с f (сг):

С г Ст = ^ СГОТ (сг) f (Cr) dcr.О■

10 Г3 Бёрд

Обозначим через ®о(О и ®0 следующие интегралы по физическому пространству и пространству скоростей:

©о (О = dr ®X2hh dcx dc2, й0 = ^dr j ®i2f if 2 dcx dc£

fi = Hcik i=L2; . ®i2 = y| ci -c2| • oT (| Q - c21).

Разница A(0 = ®q>(0 —®o с точностью до малых величин порядка ф2равна•

А (/) = ^ dr ^ ®12 (ф! + ф2) dcx dc2,

и ее . можно принять в качестве меры отклонения функции ф от нуля. Учитывая (2.10), найдем, что'

= ^ dcx dc2 ®i2 Ц/r [Ф1] +А- [Ф2]) dr +

'+ S dr S ®12 (4° W + ^Г M) ^1 dc2 +

+ dr ®I2 (6It [f J + &It [f2]) dcxdc2. (2.11)

Первый интеграл в правой части (2.11) равен нулю, так как / дф. х

Аг[фг] соответствует производной I— ^i-^-) * и интегрирование по dr • можно заменить интегрированием функции (—®цС/ф<) по dr границы Г в физическом пространстве, на которой ф, = 0. Второй интеграл равен нулю, так как

'А1<»]= $<»12(4ЧФ1]+ 44^]) ^С1^С2

имеет смысл линеаризованного столкновительного интеграла, характеризующего изменение условной частоты столкновений молекулярной пары в результате ее столкновения. Но со зависит лишь от относительной скорости ст и. поэтому не меняется в этом процессе. Остается последний интеграл, который спадает по времени как 6vf ~ ^f/^Not) (см. асимптотики (1.5) и (1.18)). Учитывая, что нас интересует лишь порядок величины А, последний интеграл в (2.11) заменим выражением — [2/(АоО]®о’ Таким образом, будем исследовать модельное по отношению к (2.11) уравнение

<2'12>

Заметим, что это уравнение, так же как (2.6), (2.9) и (2.10), правильно отражает поведение решения лишь при больших t. При t ~ М нужно учесть дискретное изменение времени в схеме

моделирования и соответственно заменить производную d/dt в указанных уравнениях ее разностным аналогом А/А/. Тогда принимая f за начальное приближение для решения задачи (2.9), получим ■’.

1^Л = Тг[/1+/о[П + 6/д<[|].

или, учитывая (2.8),'

ф(А0 = /(А/)-Г = А/ -6/д<[f].

Соответствующее выражение для А будет иметь вид

■-А(А/) = —— то-

Это равенство может служить начальным условием для нахождения А(/) при / > А/ из уравнения (2.12). Принимая отношение Л/®о за меру относительной ошибки в функции распределения f и сохраняя за ней прежнее обозначение А, получим следующую задачу для нахождения этой ошибки;

2-•

Решение данной задачи имеет вид

' А»<*•■'»>

Итак, вопреки ожидаемому результату: А(/)—>0 при /-*оо, из формулы (2.13) следует, что А (7) неограниченно возрастает при //А/-* оо. Это означает, что отклонение частоты столкновений от необходимого выражения псгот затухает слишком медленно, в результате происходит накопление локальных ошибок и линеаризованный вариант (2.10) схемы Г. Бёрда оказывается неустойчивым алгоритмом. Эта неустойчивость слабая, поскольку ошибка Л (7) нарастает по логарифмическому закону. Поэтому можно надеяться, что по истечении характерного времени релаксации tr, когда начнут проявляться нелинейные эффекты исходной задачи (2.9), произойдет выход на некоторое стационарное решение f. Наличие процесса установления действительно подтверждают численные эксперименты. Тогда максимальная накопленная ошибка в функции распределения будет равна

max of—In—Y .(2.14)

■/ \No ы ), а /

В системе из N векторов {сь ,.., cw} выбирается пара (ci, с,) с номером т в соответствии с условной вероятностью столкновения . ’

это может быть реализовано так же, как в процедуре Г. Бёрда.

Разыгрывается время ожидания Т столкновения данной пары в соответствии с распределением (3.3), и это время накапливается в счетчике Sn,

Hl^S^ So = O. i-1. -

Если 8п ^ А/, то скорости с, и c;- заменяются скоростями с* и с* после столкновения."

Цикл, состоящий из этих трех шагов, повторяется ровно No раз, где•

5wc ^ А/ < S^+i.■-

Данный алгоритм впервые был предложен в работах [5, 6]. Оц точно отражает статистику столкновений в идеальном газе на любом интервале времени А/, но с вычислительной' точки зрения является громоздким, так как частота X может изменять свое значение после каждого столкновения. Число операций, необходимое для однократного пересчета X, пропорционально Np « IV2/2. Так как число столкновений за единицу безразмерного времени пропорционально N, то полное число операций, необходимых для точного моделирования столкновений, пропорционально №. Следовательно, применение этого алгоритма для решения реальных многомерных задач вряд ли может быть оправданным, но он дает теоретическую основу для построения приближенных алгоритмов, обладающих хорошей аппроксимацией [1, 7]. Один из наиболее простых и эффективных приближенных алгоритмов [1] состоит из поочередного перебора всех пар т=1, ..., Np вида (с,, с/) и выполнения для каждой из них следующих процедур..

Разыгрывается факт столкновения пары т, (с1;с/), с вероятностью..■'

" Рт = сотА/.(3.4)

Если столкновение принято, то скорости с/, с;- заменяются скоростями после столкновения cj, с*; в противном случае значения скоростей не меняются."

Данная схема моделирования аппроксимирует точный процесс столкновений с интегральной ошибкой на полном времени

наблюдения ?г порядка О(?г-А?) ). Не сразу является очевидной эффективность этого алгоритма, так как число операций, необходимых для ее реализации, пропорционально числу пар Np ~ N2. Однако, как показывают численные- эксперименты, расчеты с применением такого алгоритма можно, проводить при

х

Рис. 3.1.

малом числе частиц в ячейке, Wo <~- 1 и квадратичная зависимость времени счета от N заметно не проявляется.

С другой стороны, возможность проводить расчеты при малых No и А? существенно расширяет возможности метода, т. е. его суммарную эффективность. Весьма слабую зависимость ошибки данного метода от No иллюстрируют рис. 3.1, 3.2, на

Плотность ф(/+Л, С) равна сумме выражений (3.5) и (3.6), следовательно, .

Ф(/+л, С)=ф(/, o + -f £ Ста1х

.' KKKN

•х[^ф(<, Ci/)^/ —От(сг,г/)ф(/, С)].'

Перенеся член ф"(/, С) в левую часть, разделив все равенство на dt и используя определение полного сечения столкновений от:

от.(сг, г/)= \ dan,'.

мы получим окончательную форму основного уравнения ^Ё"-”^ £ ^[ф^С^-ф^, C)] d<^ (3.7) KKiCN ..

Уравнение (3.7) применительно к газу из N молекул — шаров предложил Кац [12] как удобную для теоретико-вер'оят-. ностного исследования модель уравнения Больцмана. Оно было также выведено' Пригожином [13] непосредственно из уравнения Лиувилля. Если проинтегрировать уравнение (3.7) по cR+i, ..., cN, то, полагая затем ^ = 1, 2, ..., "получим иерархию уравнений, аналогичную цепочке ББГКИ, приводящей к уравнению Больцмана. Уравнение, соответствующее R=l, имеет вид.

^P-JLSlL — ^ у ^ 5 5 ^(2) ^’ с*’ с^ ~ ф(2) ^’ Сь С2^ Сг-12 ^ai2 dc21

Оно превращается в замкнутое уравнение Больцмана без конвективной производной при дополнительном предположении о молекулярном хаосе, т. е. при равенстве .

■ф(2> (t, Сь с2) = Ф<*> (/, С1) ф(*> (/, с2),

отражающем статистическую независимость молекул разреженного газа. Это замечание делает понятным замечательное асим, птотическое свойство решений задачи Коши для уравнения (3.7), открытое Кацем, а затем исследованное и обоснованное Мак-Кином [14] и Грюнбаумом [15]. Если в начальный момент / = 0 скорости частиц с, статистически независимы, т. е.

ф(/ = 0, сь ..., с^^П/оМ, '

то для ^-частичных распределений "

.ф^, Сь ...., Сд)= $ф(/, С) Ц dct

г-д+i

почти всю^у имеет место -

- Нт <р«)(/, С!Cj?) = П f (t, cj,

N, У->оо( = 1

причем функция f(t, с) является решением уравнения Больцмана'.'

^ = п-\\\ГП —ftocrdodci•

с начальными данными.

./(/_0, с)-Ш-.

Эта теорема и завершает вопрос обоснования применимости строго марковских, процессов для прямого статистического моделирования столкновений.’

В заключение еще раз отметим, что применение модели Каца или аппроксимирующего эту модель марковского процесса для реализации столкновений частиц в ячейках существенно расширяет возможности метода прямого статистического моделирования, что особенно важно при использовании ЭВМ средней мощности. В таком виде метод, во-первых, позволяет более эффективно решать задачи 'на координатных сетках с мелкими или неравномерными шагами, это необходимо при расчетах течений с малыми числами Кнудсена, с большими градиентами плотности, при решении трехмерных задач и т. д. Во-вторых, он обеспечивает существенно большую точность расчетов нестационарных во времени и пространственно неоднородных процессов.

'ЛИТЕРАТУРА'

Белоцерковский О. М., Яницкий В. В. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа. — Ж. вычисл. матем. и йатем. физ., I, 1975, т. 15, № 5, с. 1195—1208; II, 1975, т. 15, № 6, с. 1553—1567.;,..■

Феллер В; Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мнр, . 1967, т. 2.."■. '

Macpherson' А. К. A preliminary Monte Carlo analysis of the reflection of , an exploding hemispherical shock wave similar to that generated in the UTIAS explosion driven hypervelocity Launcher of shock tube. — UTIAS Report, No. 152, Nov., 1970.

Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа. — Уч. зап. ЦАГИ, 1975, т. IV, № 3, с. 51—57.

Денисик С: А., Малама Ю. Г., Лебедев С. Н., Полак Л. С. Решение задач физической и химической кинетики методом Монте-Карло. — В сб.: Применение вычислительной математики в химической и фцзической кинетике.— М.: Наука, 1969,. с. 179—231.'

Денисик С. А., Лебедев С. Н., Малама Ю. Г., Осипов А. Н. Применение ' метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов. — Физ. горения и взрыва, 1972, т. 8, № 3, с. 331—349.

Использованный метод был. по существу методом пробных частиц (см. § 6.4 настоящей монографии). Увеличение быстродействия, и особенно памяти ЭВМ, позволило перейти к исследованию течений с учетом многократных столкновений. Параллельно развиваются как метод пробных частиц, в котором последовательно прослеживается движение одной пробной частицы на фоне полевых частиц, так и метод прямого моделирования, в котором прослеживается движение всего ансамбля моделирующих течение частиц (метод Бёрда). ,

Одним из недостатков метода пробных частиц является необходимость запоминания функции распределения полевых частиц. Существенное усовершенствование метода предложено в работах [16—17]. Вместо того чтобы вычислять и запоминать функцию распределения в каждой пространственной ячейке, запоминается лишь плотность газа и одна случайная скорость молекулы, которая изменяется в момент пролета пробной частицы через эту ячейку. Правило запоминания построено так, что частота запоминания данной скорости пропорциональна значению функции распределения для этой скорости. Это усовершенствование позволяет на 2—3 порядка сократить потребную для счета память ЭВМ. В работе [18] аналогичные идеи применены для решения линейных задач.

Линейные задачи обладают определенной спецификой, так как малые возмущения развиваются на фоне не существенной для исследуемого явления функции распределения, относительно которой производится линеаризация. Флуктуации последней могут быть соизмеримы или даже больше исследуемых возмущений. Эта трудность применения метода пробных частиц к решению линейных задач преодолена в работе [19].

. Имеется широкий круг практически важных, задач/ в которых функцию распределения можно считать мало отклоняющейся от равновесного максвелловского распределения и уравнение Больцмана может быть линеаризировано. К числу таких задач относятся, например, классические задачи о течении в трубе (течение Пуазейля), о течении в слое Кнудсена, позволяющие установить условия «скольжения», о медленном. движении тел, термофорезе й т. д. Ряд подобных задач решен методом работы [19]. - -

В работе [20] решена задача о течении Пуазейля при произвольном числе Кнудсена для плоского канала, а в работе [21] — для круглой трубы. В отличие от газодинамического течения (при числах Кнудсена, стремящихся к нулю) при произвольных числах Кнудсена газ течет по трубе не только под действием градиента давления, но и под действием градиента температуры [22]. Течение-в кнудсеновском слое исследовано

■в работах [23—25] для определения как скачка температуры, так и скорости скольжения при различных моделях молекул.

Метод-работы [19] может быть использован для расчета коэффициентов переноса [19, 25]. Этим же методом решены задачи о термо- и фотофорезе - [26] при произвольном числе Кнудсена. ■ - ' . -

В работах [27, 28] метод пробных частиц модифицирован для решения модельного уравнения Больцмана. В этом случае -отпадает необходимость запоминания фун'кции распределения. Достаточно в каждой ячейке помнить лишь плотность, скорость и температуру газа. Это позволило рассчитывать более сложные течения. ’

В работах [29—31] преодолен другой недостаток метода пробных частиц — отсутствие прямой связи численного алгоритма с кинетическим уравнением. . - " Развитие метода прямого статистического моделирования шло по двум направлениям: обоснования и совершенствования схем и моделей метода, о которых говорилось в. дополнении 1, и модификации метода для расчета все более сложных течений. Процедуры, -использующие статистическую модель Каца [32, 33], и модификации метода Бёрда [34, 42, 43] позволили существенно уменьшить потребное число частиц в каждой ячейке, что дает возможность на тех же ЭВМ решать более сложные задачи. - ' ' _ -

Метод использует принцип расщепления по физическим признакам (столкновения, перелеты), позволяет использовать модульный принцип для учета различных свойств газа и границ (задание формы тела, законов взаимодействия молекул между собой и границами и т. д.). .

Параллельное использование метода прямого статистическое го моделирования и метода пробных частиц предоставляет возможность их взаимного контроля. Для уравнения Больцмана такой контроль особенно важен, так как точных решений этого уравнения чрезвычайно мало, а имеющиеся решения относятся к весьма вырожденным ситуациям. Сравнение же с экспериментом вносит новые элементы неопределенности: законы взаимодействия молекул между собой и границами.

Развитые методы позволяют исследовать аэродинамические характеристики в широком диапазоне изменения определяющих течения параметров: числа Кнудсена (числа Рейнольдса, построенного по параметрам набегающего потока и температуре торможения), числа Маха, температурного фактора, угла атаки, закона взаимодействия молекул, внутренней структуры молекул, закона отражения молекулы от тела. ,

Наиболее полно исследовано течение около пластины бесконечного размаха. Эта задача решалась методом прямого ста-

Басс В. П. Расчет обтекания тел потоком сильно разреженного газа с учетом взаимодействия с поверхностью. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1978, № 5.-

Нусинзон Л. М., Породнов П. Г., Суэтин П. Е. Решение задачи о течении газа в цилиндрическом капилляре в промежуточном режиме методом Монте-Карло. — Изв. АН .СССР, Механ. жидкости и газа, 1968, № 6.

Власов В. И. Улучшения метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженного газа. — ДАН СССР, 1966, т. 167, №5.'.■

Власов В. И. Расчет методом Монте-Карло обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газодинамике, 1977, Изд-во ЦАРИ. •.

Власов В. И., Хлопков Ю. И. Вариант метода Монте-Карло для' решения линейных задач динамики разреженного газа.—Ж. вычислит, матем. и матем физики, 1973, № 3..

Власов В. И., Горелов С. Л., Коган М. Н. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса. — ДАН СССР, 1968, т. 176, № 6.

Горелов С. Л., Коган М. Н. Течения разреженного газа между двумя параллельными пластинками. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 6.

Горелов С. Л. Течения разреженного газа в трубе. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1974, № 1..

Коган М. Н. Динамика разреженного газа. — М., Наука, 1967.

Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение линейных задач динамики разре-

■ женного газа методом Монте-Карло. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1968, №6.• ■

Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение задачи о скачке температуры. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1968, № 4.

Хлопков1Ю. И. Вычисление коэффициентов Нереноса н скорости скольжения для молекул в виде твердых шаров. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1971, № 2.

Горелов С. Л. Термофорез и фотофорез в разреженном газе. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1976, № 5.

Хлопков Ю. И. Статистический метод решения приближенного' кинетического уравнения. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, № 4.'.

Григорьев Ю. Н., Иванов М. С. Исследование применимости некоторых статистических моделей в задаче о структуре ударной волны. — Изв. СО АН СССР, сер. техн, наук, 1972, т. 13, № 3.

Хлопков Ю. И. Решение линеаризованного-уравнения Больцмана. — Ж., вычисл. матем. и матем. физики, 1973, №5..'

Григорьев Ю. Л., Иванов М. С., Харитонова Н. И. К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнений динамики разреженного газа методом Монте-Карло. — Численные методы механики сплошной среды. — СО АН СССР, ВЦ, 1971, т. 2, № 4.

Григорьев Ю. Н„ Иванов М. С., Харитонова Н. И. Решение задачи о течении Куэтта для кинетического уравнения БГК методом Монте-Карло. — • В сб.: Вероятностные методы решения задач математической физики. — ВЦ СО АН СССР, 1971.'-

Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа. — Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1975, т. 15, № 5 и 6.-

Денисик С. А., Лебедев С. Н., Малама Ю. Г., Осипов А. И. Применение метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов. — Физика горения и взрыва,.1972, т. 8, № 3.•

" Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. 6, № 3.

Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины бесконечного размаха потоком разреженного газа. — Ученые записки ЦАРИ, 1976, т. 7, № 1.*. ■

Власов В. И., Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины потоком разреженного газа. — Труды ЦАРИ, 1979, ви?п. 1974.

Ёрофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1976, №4.. .

Горелов С. Л., Ерофеев А. И. Влияние внутренних степенен свободы на обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. — Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1979, № 6.

Власов В. И. Расчет обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа. — Ученые записки ЦАРИ, 1973, т. 4, № 1.

Шахов Е. М. Обтекание пластины потоком разреженного газа. — В сб. «Численные методы в динамике разреженного газа». — М.: ВЦ АН СССР, 1973.'*■

Гусев В. Н., Ерофеев А. И., Климова Т. В., Перепухов В. А., Рябов В. В., . Толстых А. И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа.— Труды ЦАГИ, 1979, вып. 1855.,

Ерофеев А. И. Пространственное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 5.

Ерофеев А. И. Расчет обтекания конуса под углом атаки гиперзвуковым потоком разреженного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. 10, № 6.

Гусев В,- Н., Крюкова С. Г. О несущих свойствах тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 6, № 6.<'

Хлопков Ю. И. Сопротивление сферы в потоке разреженного газа малой скорости. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, Т; 6, № 5.

Черемисин Ф. Г. Метод прямого численного интегрирования уравнения Больцмана. — В сб.: Численные методы в теории разреженных тазов. — М.! ВЦ АН СССР, 1969..'

Чатвани (A. U. Chatwani) 181 ■

Чахине (М. Т. Chahine) 165

Ченг (Н. К. Cheng) 178

Чепмен (S. Chapman) 55, 62, 72, 94, 135, 201, 213■

Черемисин Ф. Г. 307

Чёрчиньяни (С. Cercignani) 57, 76, 98, 133, 139.

Чу (С. К. Chu) 182

Шмидт (В, Schmidt) 165, 170

Штейнхильпер (Е. A. Steinhilper) 170

Шулер „(К. Е. Schuler) 230

Шульц-Грунов (F. Schultz-Grunow) 162-

Эдвардс (R. Н. Edwards) 178

Эпштейн (М. Epstein) 97

Эрдеш (J. Erdos) 197

Шааф (S. A. Schaaf) 117, 136

Шамбре (Р. L Chambre) 117, 136

Шахов Е. М: 139, 306

Шерман (F. S. Sherman) 162

Якобс (Т. A. Jacobs) 231

Янг (Н. Т. Yang) 120

Яницкий В, Е. 275, 286, 296, 303, 305

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Авогадро число 17, 32

Аккомодации коэффициент 96

Активации энергия 229

Аррениуса уравнение 229

Барнетта уравнения 75, 135

ББГКИ-уравнения 57

БГК-уравнение 137, 139

— пространственных течений 186

— применение к задаче о стационарном разлете 178

_ — структуре ударной волны 165

— Рэлея 182

Бимодальное распределение 162

Бимолекулярная реакция 228

. Больцмана //-функция 70

— //-теорема 70 •

— постоянная 27

— уравнение 57—62

-вывод 57—61

для смеси газов 61

моменты 63—64 ’

нормальное решение 74

— — обобщенное 62

связь с' методом прямого моделирования 148—154

-свободномолекулярноё 162

Чепмена—Энскога решение 74— 76, 93—95

Броуновское движение 35

Букингема потенциал, экспоненциальная модель 170

Вектор потока 25

тепла 28 '

Взаимодействие газа с поверхностью 95—98 ’

Внутренние степени свободы 28, 31— 33, 61, 211—227

Волна разрежения 182

Время жизни столкновения 232

Вязкости коэффициент 93

Газ простой 17

— равновесный 21, 71, 77—92 — совершенный 19, 25

Газовая постоянная 27

— смесь 29—32, 61, 87—92, 201—211

Гауссово распределение 22

Гейзенберга принцип неопределенности 36

Давление 26—27

— в смеси газов 31

Двумерные течения 188

Двумерный газ 37

Де Бройля длина волны 36

Действующих масс закон 234

Дискретных ординат метод 142

Диссипативная функция 68 >

Диссоциации с рекомбинацией реакция 233—235, 238

Дифференциальное сечение 42

Диффузионная скорость 31

Диффузное отражение 95

Диффузно-упругое отражение 98 Длина свободного пробега распределение 37 — средняя 21, 30, 89 — Тейта 90

Задача о-поршне 111

Зеркальное отражение 95

Изэнтропический процесс 135

Интеграл вероятности 79, 245

Интеграл столкновений БГК 137

— — Больцмана 62

Исключения метод 249

Квантовые состояния 36

Кнудсена число 16

Конечно-разностный метод решения

уравнений газовой динамики 197

Константы скоростей реакций 228

Кронекера символ.27

Кулоновские молекулы 50

Куэтта течение 106

Уравнения для моментов 62

— переноса 64

Усечение столкновений 46

Фазовое пространство 54

Феноменологические модели 217—221

Флуктуации 35'

Фредгольма уравнение 123

Функция распределения 162

бимодальная 162

кумулятивная 250'

нормированная 52—53

относительной скорости в парном столкновении 89

равновесная см. Максвелловская функция распределения

1 скорости центра масс в парном столкновении 89■

в приближении Навье — Стокса

74, 94"

скоростей 52—56

в пространстве' скоростей 52

в фазовом пространстве 54

двухчастичная 53

Л/-частичная 55.

одночастичная 55 см. также Максвелловская функция распреде

ления

Хаос молекулярный 56.

Хаотическая скорость 25'

Химические реакции 228—239 ,

Чепмена — Энскога метод 74—76, 93—95, 134

Четырехмоментное решение 171

Число Маха ударной волны 161

Числовая плотность 17

смеси газов 29

Эйлера уравнения 68, 135

Энтропия 76- .

Эргодичность 23

Эффузия 103

*

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редакторов перевода. > 5

Предисловие8

Список обозначений'П

Молекулярная модель . . 15

Введение..15

Простой разреженный газ 17

1.3. Обобщение на газовые смеси . . . . 29

.L4. Характерные значения величин 32

Упражнения87

Парные упругие столкновения39

Анализ импульса и энергии 89

Параметры и сечения столкновений..... 42

Динамика столкновений. . . V.43

Частные модели .45

Упражнения.....^ ... .50

Основные элементы кинетической теории ., .52

Функции распределения скоростей52

. 3.2. Уравнение Больцмана 57

Уравнения для моментов и уравнения сохранения62

//-теорема и равновесие.69

. 3.5. Метод Чепмена — Энскога . . .74

Упражнения76

Справочные формулы, граничные условия77

Объемныевеличины в равновесномгазе77

Потоки вравновесном газе80

Характеристики столкновенийвравновесном газе 87

Функция распределения и параметры вязкого теплопроводного газа92

Взаимодействие газа с поверхностью. . 95

Упражнения .'' ...98

Свободномолекулярные течения101

ВведениеЮГ

■5.2.Одномерные стационарныетечения104

Одномерные нестационарные течения-107

Свободномолекулярная аэродинамика113

Термофорез118

Задача Рэлея_ . 120

Течения с многократным отражением от поверхности . . . . ^ 122

. Упражнения- ...................... 128

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу:" 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский riep., д. 2, издательство «Мир».

Г. Бёрд

Молекулярная газовая динамика

Научный редактор * П. Я. КорсоюцкаяМл. редактор Р. И. ПяткинаХудожник Ф. Н. Буданов

Художественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Н. Д. ТолстяковаКорректор С. А. Денисова

ИВ № 2347

Сдано в набор 10.06.80.

Подписано к печати 17.12.80.

Формат 60X90’/ie«

Бумага типографская №^ -Гарнитура латинская. Печать высокая.

Объем 10 бум. л. Усл. печ. л. 20.•учлизд, л. 18,76. Изд. № 1/0968.

Тираж 4600 экз. Зак. 698. Цена 2 р. 50 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

129820, Москва, И-ПО, ГСП 1-й Рижский пер., 2.

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

*) В приложении Е данной книги величина Rt определяется выражением (Е2). Формула же (ЕЗ) определяет не истинное время 1, а среднее время, накопленное в счетчике, SN^. Используя одно обозначение t для этих двух времен, Г. Бёрд молчаливо предполагает предельный переход t-*oo, или, что то же, s->oo, и приходит, к верному выражению для частоты столкновений.

THE OXFORD ENGINEERING SCIENCE SERIES

General Editors'

L. C. Woods, W, H. Wittrick, A. L, Cullen

MOLECULAR

GAS DYNAMICS

by

G. A. BIRD1

Lawrence Hargrave Professor of Aeronautical Engineering University of Sydney

Clarendon Press • Oxford 1976

МОЛЕКУЛЯРНАЯ

ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

Перевод с английского А. И. ЕРОФЕЕВА, О. Г, ФРИДЛЕНДЕРА и

В. Е. ЯНИЦКОГО под редакцией

О. М. БЕЛОЦЕРКОВСКОГО и

М. Н' КОГАНА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА <991

Отличительной особенностью настоящей книги является то, 9 что изложение метода доведено в ней до описания программ | счета. В книге рассмотрены задачи как для простого газа, так 5 и для смеси химически реагирующих и многоатомных газов/; В первых главах автор приводит необходимые сведения из кинетической теории, позволяющие читателю, интересующемуся ‘ прикладными вопросами, приступить к изучению метода без'*' предварительного изучения других книг.,-;

Обычно к уравнению Больцмана обращаются при решении.; задач о течениях газа в свободномолекулярной и промежуточ-"; ных областях, т. е. вне области применимости классической га-.^ зодинамики. Автор рассматривает предложенный им метод бо.-^ лее широко, считая его эффективным средством для решения^ любых задач газодинамики, вплоть до невязких течений сплош/-/ ной среды. Эту точку зрения автор подчеркивает выбором на-и звания книги — «Молекулярная газовая динамика».■ S

. Метод статистических испытаний трактуёТся в книге не ка^ метод решения уравнения Больцмана, а скорее как метод мо^ делирования процессов перелета и столкновений молекул, ве^ дущйй к уравнению Больцмана. • ../1

Опыт’применения различных вариантов метода Монте-Кар:

ло указывает на удовлетворительное совпадение его результатов с экспериментом, а также с имеющимися решениями урав; нения / Больцмана. Тем не менее представляет несомненный интерес установление непосредственной связи применяемых процедур с уравнением Больцмана. Этот вопрос обсуждаетсй в § 7.2 книги. Математически более строгое обоснование проце* дуры счета как метода решения уравнения Больцмана привел дено в дополнении 1. •

Автору, по-видимому, не известны работы по методу стати^ стических испытаний, выполненные в Советском Союзе. Поэтому! в дополнении 2 дан краткий обзор этих йсследований. Я

Книга вышла в Англии в 1976 г., По просьбе редакторов пе-| ревода автор сделал ряд примечаний, учитывающих результаты^ полученные .вплоть до конца 1979 г. Эти примечания отмечены! звездочками, а дополнительная литература дана как продолу жение общего списка под номерами [101—113]. Мы весьма при-: знательны проф. Бёрду, за эти примечания и дополнения. - q . Перевод гл. 1—3, 12, приложений D, Е выполнен В. Е. Яниц- ким, гл. 4—6, предисловия, приложений А, В, С и обозначений— О. Г. Фридлендером; гл. 7—11—А. И. Ерофеевым. При-| водимые в конце книги программы для удобства пользований переработаны применительно к отечественным ЭВМ, в част! пости к машине БЭСМ-6. Эта работа выполнена М. С. Ивановыми

Можно надеяться, что книга послужит хорошим практичеЯ

ским руководством для научных работников, инженеров и студентов, занимающихся методом статистических испытаний в применении к решению разнообразных задач современной газодинамики._■

О. М Белоцерковский

М. Н. Коган ,

руководителей фонда г-на М. Роджерса,й г-на П. А. Тёрстонд Не последней по значению частью этой поддержки явилось прЯ доставление автору возможности участвовать почти во всЯ международных симпозиумах по динамике разреженных газов собираемых раз в два года. В книге приводится ряд новых рё зультатов, полученных указанным методом; большая их част! выполнена по контракту AFOSR-72-2336. Отметим, что много ’программ метода моделирования Монте-Карло появилось в ре] зультате продолжительных консультаций с. TRW Systems Indi (Калифорния). Значительно способствовали созданию этих про] грамм их обсуждения с д-рами Ф. У. Вогениц и Дж. Е. Броду'] эЛлом. '-'-

Рукопись .была прекрасно отпечатана г-жой В. Робинсон и г-жой С. Фрост. Ценные критические замечания по рукописи дали д-ра Д. И. Пуллин и А. Чатвани. Наконец, г-н Т. Чан Кон^ внимательно прочитал ряд глав и сделал много исправлений;

Сидней, АвстралияГ. Бёре.

Июнь, 1975'',