Глава 1

ОСНОВЫ КИНЕТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ НЕЙТРАЛЬНЫХИ ИОНИЗОВАННЫХ РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВ

ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ НЕЙТРАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ПЛАЗМУ. ЭТАПЫ ЭВОЛЮЦИИ НЕРАВНОВЕСНОЙ СИСТЕМЫ

Известно, что в случае, когда средняя длина свободного пробега частиц газа мала по сравнению с размерами системы, газ можно рассматривать как сплошную среду. В такой ситуации его состояние целиком определяется заданием некоторого числа макроскопических величин (концентраций компонентов, их температур и т.д.), удовлетворяющих дифференциальным уравнениям в частных производных - уравнениям газовой динамики. Как правило, структура упомянутых уравнений в основном ясна из общих соображений (связанных с использованием законов сохранения), а кинетические коэффициенты и скорости реакций вычисляют либо по данным эксперимента, либо с помощью микроскопической теории.

Кинетическая теория частично ионизованной плазмы и химически реагирующих газов в настоящее время еще далеко не завершена. Общепринятым считается подход, при котором (в идеальных и слабонеидеальных системах) взаимодействия частиц интерпретируются как столкновения с известными дифференциальными сечениями [85], [78] и учитываются путем введения соответствующих членов в кинетические уравнения. Данные члены - интегралы столкновений - могут иметь более или менее сложную структуру в зависимости от значений разнообразных параметров, характеризующих плазму или газ. В то же время в приложениях желательно располагать последовательной и достаточно универсальной методикой определения кинетических коэффициентов и скоростей реакций. При этом модель исследуемой системы, правильно отражая основные физико-химические особенности происходящих в ней процессов, должна быть достаточно простой, чтобы всю процедуру можно было представить в виде удобного для массовых расчетов алгоритма.

Пусть V - объем, занятый газом, имеющим температуру Г и состоящим из компонентов Аа (а = 1, 2, ..., ц). Обозначим Na полное ю •

число частиц сорта а в указанном объеме, a m а - массу одной такой частицы. Будем предполагать, что рассматриваемая система не вырождена. Частицы при этом обладают кинетической энергией порядка квТ и импульсом порядка ^таквТ(кв - постоянная Больцмана). Количество возможных состояний в одночастичном фазовом пространстве по порядку величины равно ¥(таквТр,2/Ь3. В результате условие применимости статистики Больцмана записывается в виде

(таквГ)3/2/П3»ла (1.1)

(здесь ла = Na/¥\ Неравенство (1.1) означает малость тепловой длины волны ЪЛтакв1У/2 частиц компонента Аа по сравнению со средним расстоянием л *1/3.

- Далее примем во внимание различие в характере взаимодействий частиц на малых и больших расстояниях. Основным на малых расстояниях является сильное отталкивание. Размер области отталкивания определяет газокинетические диаметры частиц; характерной длиной здесь служит радиус первой боровской орбиты атома водорода со = h2/(mee2) (однако фактически в единицах со молекулярные диаметры могут достигать сотен и тысяч). По отношению к взаимодействию данного типа мерой неидеальности системы служит параметр плотности (газовый параметр) пг^. Здесь л - концентрация, а го - характерный размер частиц. Поскольку среднее расстояние между частицами есть л*1/3, условие

е0 = nr3 « 1 (1.2) означает, что частицы газа находятся на расстояниях, гораздо больших радиуса короткодействующих сил. В результате вкладом от таких взаимодействий в переменные состояния можно пренебречь. Что касается слабого дальнодействия, описываемого потенциалом Фд(г) (г ^ г0), то идеальность относительно него выражается требованием ’

|Фд(7)|«квг, ‘ (1.3)

где г - соответствующее среднее расстояние между частицами. В важнейшем случае кулоновского притяжения или отталкивания зарядов имеем:

е2/ 7 « квТ.

При достаточно высокой степени ионизации, очевидно, г л-1^. Таким образом,

V = е2л1/3/(квГ) «1.(1.4)

Параметр у называют параметром неидеальности (взаимодействия) для заряженной компоненты.

Обычно расчет переносных свойств частично ионизованной плазмц производят, учитывая, что на расстояниях больших или порядка со взаимодействие заряженных частиц является кулоновским. Известно [67], что рассеяние на потенциале а/г квази- классично при

lal^vh,

где w- скорость налетающей частицы. В случае столкновения двух зарядов еа и ер роль v играет относительная скорость, характерное значение которой есть (квТ/цар)1/2 [цар = man?p/(ma + mp) - приведенная масса]. Поскольку, как правило, leal 1ер1 ~ е, то условие квазиклассичности кулоновских столкновений имеет вид

квТ«царе4/П2.(1.5а)

Взяв в (1.5) в качестве цар массу электрона те, получим неравенство

kBT^2Rv(1.56)

[Ry = mee4/(2h2) = 2.1796-Ю'18 Дж]. Формула (1.56) определяет для температуры значения приблизительно до 3е 104 К. Заметим, что при таких Т требование (1.1) для заряженной компоненты плазмы оказывается более слабым, чем ограничение (1.4). В самом деле, (1.56) можно записать в форме [тее4/(Ь2квТ)]3/2 » 1, а (1.4) - в форме (квТе~2)3 > л. Перемножив эти неравенства, найдем

(mekBT)3/2/h3 » л.(1.6)

Результат (1.6) для зарядов, очевидно, перекрывает (1.1) (так как ma те, а л >, па\ В рассматриваемой ситуации диапазон возможных значений концентрации л (и давления р = пквТ) определяется единственным соотношением (1.4).

Одним из основных свойств плазмы является ее . электронейтральность в больших объемах. В то же время в малых (порядка л‘1/3) объемах нейтральность, очевидно, нарушается. Характер-

ный пространственный масштаб разделения зарядов есть радиус экранирования. Для невырожденной плазмы он равен радиусу Дебая [59]

I I* 1-1/2

О) = I га />(1-7а)

'к=1/

где

га'2 = 4ппае‘/(квТ)(1.76)

[если компоненты имеют различные температуры, Г в формуле (1.76) следует заменить на Tj. Отклонения от электронейтральности порождают сильные электрические поля, вынуждающие плазму к быстрому возврату в нейтральное состояние. Время такого процесса по порядку величины совпадает с ы^1, где плазменная частота (частота Ленгмюра)

/ н \ 1/з

G)p = 2 о2 ,(1.8а)

\а= 1/

где.

“а = 4лпае2/та.(1.86)

Плазменным параметром называют обратное число зарядов в сфере радиуса гд:

£=1/(пф,(1.9)

(мы по-прежнему предполагаем, что полная концентрация и концентрация заряженных частиц одного порядка). Согласно (1.7а)-(1.7б)

/,3~r-2n-2,3~n1,3e2/(kBT) = y'

[см. (1.4)]. Итак, в идеальной плазме

(1.Ю)(1.Ю)5~у3,2«:1.

(1.Ю)

(1.Ю)

Плазменный параметр и параметр плотности ео определяют соотношение между основными пространственными масштабами, характерными для частично ионизованной плазмы. Известно, например [85], что средняя длина свободного пробега частиц по

отношению к короткодействующему отталкиванию с радиусом го имеет порядок 1/(пг*). Обозначая ее I, легко находим

nr-rr1'3:!-!:^1'3^1.(1.11)

Таким образом, при условии (1.2) справедливо неравенство

го«п-1,3«/.(1.12)

В качестве характерной для кулоновского взаимодействия длины свободного пробега возьмем величину

Це-^вТ/ШеУ'2^-(ИЗ)

Здесь эффективная частота электрон-электронных столкновений оценивается по формуле

пе*

Хее Мгд квТ/е3)(1.14)

т^дсвТР'1

(более общие выражения приведены в § 3.2). Комбинируя (1.7а) - (1.76) и (1.13), (1.14), нетрудно получить соотношение

/ее ~ rD/g.

В то же время в силу (1.9) п-1/3 ~ g1,3rp. В итоге оказывается, что

n-1/3:rD:/ee~g^3:l:g-i,(1.15)

и при условии (1.10)

П’1'3 « rD « 1ее.(1-16)

Если плазма находится в магнитном поле Н, то появляются дополнительные масштабы времени и длины - обратная циклотронная (ларморовская) частота и циклотронный радиус. Для частицы сорта а циклотронная частота

ы‘=leaIH/(mac)(1.17)

(с - скорость света), а характерный циклотронный радиус

4 ~>]квТ/та /и^ = '/квТта с/(1е«1Н).(1.18)

Наименьшим г^ будет, очевидно, у электронов. В гл. 3 мы приво- 14

дим два варианта вывода уравнений газодинамики. Условием применимости первого из них служит неравенство (3.9), которое для силы магнитного происхождения в рассматриваемом случае принимает вид

Це/с)Н 4квТ/тДквТ) £ 1.

Здесь L - характерная макроскопическая длина, связанная с размерами системы. Последнее неравенство вследствие (1.18) означает, что

r^L.

Второй вариант (см. § 3.3) допускает более сильные магнитные поля. Он справедлив, если

r^L Кп,(1.19)

где Кп- число Кнудсена [см. (1.21)].

Для системы, линейные размеры которой существенно больше характерных значений длин свободного пробега микрочастиц, соотношения типа (1.12) и (1.16) позволяют ввести представление о трех этапах эволюции первоначального неравновесного состояния. Пусть, например, свойства газовой смеси определяются параметром плотности (1.2). Если Vj - некоторая средняя тепловая скорость, то пространственным масштабам

r^l^L(1.20а)

можно сопоставить соответствующие времена Tq = ro/ty (длительность столкновения), т = l/Vj (средний промежуток между столкновениями) и Ч = Ъ/^ (время макроскопической релаксации - гидродинамическое время), причем

т0«т«т£.•(1.206)

Заметим, что тоЛ со, а

т/ч ^ VL = Кп.(1.21)

Промежуток 0 ^ t £ то называют этапом первоначальной хаотиза- ции. На этом этапе адекватным является лишь максимально подробное статистическое описание. Можно ожидать, однако, что по прошествии времени порядка нескольких то система достигнет 15

состояния, полностью определяемого одночастичными функциями распределения. Данный этап (тд «л ^ т) - кинетический этап эволюции. Наконец, при t » т, т.е. на гидродинамическом этапе, в малых объемах газа устанавливается локальное равновесие (или частичное равновесие, для которого характерно наличие компонент с различными температурами). В такой ситуации достаточно знать только несколько первых моментов от одночастичных функций распределения. Основное содержание настоящей книги связана именно с переходом при малых числах Кнудсена от кинетического описания к гидродинамическому. В последующих параграфах данной главы рассмотрена система кинетических уравнений, пригодная при условиях (1.2), (1.4) и (1.56) и послужившая нам отправной точкой для вывода макроскопических уравнений. '

ИЕРАРХИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ББГКИ

Исходным в классической кинетической теории является уравнение Лиувилля, которое в случае однокомпонентного нереагирующего газа, состоящего из N молекул, может быть записано в виде (см., например, [1])

(1-22)(1-22)d/jv W dfN N Г; dfN

(1-22)

(1-22)

+ Z Vf+ I= 0. dt i=l dr, i = l m d^

Здесь fN^t; Qi; ...; Qw) - ^частичная функция распределения,

подчиненная условию нормировки

(1-23)(1-23)S/wdOi... dQjy= 1;

(1-23)

(1-23)

й/ s {ri; V/J; dQ, = dr/dY,; r, - радиус-вектор частицы, a v, - ее скорость; m - масса молекулы; F; - сила, действующая на частицу с номером i (i = 1, 2,..., IV). Пусть, далее, V - объем системы. Введем s-частичные функции распределения соотношением

(1.24)(1.24)fs (f; ^i; ••.; ^s) — SfNdQs+i'"d&N.

(1.24)

(1.24)

Путем последовательного интегрирования по координатам и импульсам молекул из уравнения (1.22) можно получить иерархию кинетических уравнений ББГКИ (цепочку уравнений Боголюбова- Борна- Грина- Кирквуда- Ивона):

3/5s9f$sdf$s9f$

Д# + 2 Vf" „+ Z Fj0 * ——— + Z F/j * ——=

3t(=jQr,i=idp,-i,j=idpt

s 8

• -(N-s) 2~ S F^ /4+i dOs+i (Pi= m^iY (1-25) i=l 9₽i

Результат (1.25) справедлив для газа, находящегося в сосуде с абсолютно непроницаемыми стенками, на частицы которого действует либо сила, не зависящая от скоростей V-, либо сила Лоренца. Предполагается также, что

F( = F,o + 2 Fy, (1.26)

где F(g - внешняя сила, приложенная к Ай молекуле, a Fy - сила воздействия /-й частицы на Аю (Ft { = 0). При s = N (1.25) совпадает с исходным уравнением Лиувилля (1.22).

Решение ББГКИ-цепочки, строго говоря, надо начинать именно с последнего (N-ro) уравнения, поскольку в уравнение для каждой /, входит следующая функция /1+1. Но если распределение fN уже известно, то вовсе нет необходимости решать остальные уравнения. Проще воспользоваться соотношением (1.24). Интегрирование уравнения Лиувилля, однако, представляет собой практически невы- полнимую задачу. Физически разумный, подход к цепочке (1.25) состоит поэтому в "обрыве” ее на некотором шаге при помощи тех или иных соображений. В частности, если удается выразить /2 через /1, мы получаем замкнутое уравнение для функции /1, т.е. одночастичное кинетическое уравнение. Продемонстрируем вывод кинетического уравнения Больцмана из иерархии ББГКИ, используя метод многих масштабов.

Введем три группы масштабов, связанных со столкновениями частиц (масштабы для скорости уОв, времени столкновения тв, радиуса взаимодействия гв), движением частиц между столкновениями (характерные масштабы ^, Тр / = пг~2) и гидродинамическим движением (у^.т^,!). Определим безразмерные s-частичные функции распределения

fs=^BfSVSf$. (1.27) Введем затем безразмерные время t = t/(rB/^B), координаты г = г/гв, скорость и импульс Si = р, = V| /^b- Учтем также, что dQ$+i = = гв^й$+ь так как интегрирование по г$+1 производится факти-

чески по области I г, - г$+1| ^ гв. Теперь, помножив ураы:вчИе (1.25) для s «Мна гв /уОв, без труда получим

Ms

8»iB

- - (nr 3) Е 4- 5 ?^1 Ml d«s+v(L28)

i-1 dpj

Здесь средняя концентрация n = N/V.

Если выполняется условие типа (1.2), е = nr^, ot = F^F^1;

Fqi» Fo - масштабы для внешних и внутренних сил, то

Ms $ ~-а/$

—— + X ¥,-•—— + а 2 Ff.-=

а7 i=i а г,- y=i ' э р^ s а ~~~

= — 6~ * S ®*i,s+l /s+l ^^s+l-(1-29)

i=l dp,

Как видно из (1.29), в нулевом приближении по ев уравнение, описывающее эволюцию функции/1, вовсе не содержит межмолекулярных сил. Отсюда обычно делается заключение (которое мы еще будем обсуждать в гл. 2), что на временах порядка тв = rB/vT функция /1 не испытывает заметных изменений за счет взаимодействий. Влияние последних сказывается лишь при t ~ т; - l/vT (здесь Z - средняя длина свободного пробега). Отметим, что интегральный член в правой части (1.29) определяет воздействие "окружения” на замкнутую подсистему из s частиц. Заменив теперь для удобства св на е, запишем (см. [1, 3]) s-частичную функцию распределения Д в виде Л = J$(tB, г~, ^в; tb ^„ xib ^, r^, va, е). В соответствии с определением

в = п/%; Zb = Z/tb; г у = г{/1 = Гщ гв// ~ в г }в;

~f ТВ~~/г Г‘чV ~

tt = t/X! =*e2elB; гц, = гД = —— — гв « е Кпг,в;

тв Т11 L

е2 = V%> е3 = 4iz *о7* е1 = Кп»

= e Ej e2 e3tB,= e Ej e2 e3tB,

= e Ej e2 e3tB,

= e Ej e2 e3tB,

(1.30)

где tj, Ч "* среднее время между столкновениями и гидродинамическое время течения соответственно. Возможные ограничения, связанные с масштабом величины Кп * 1/L, не рассматриваются.

Разложим теперь fs в ряд по е:

Z - 2 7s (Zb. 7в« Ъв> 5» til. 'ihTL> r<t;4l) 8*.(1.31)

v-0

Найдем производные, входящие в левую часть (1.29), с помощью (1.30). Подставляя их в (1.29) и приравнивая коэффициенты при равных степенях е, получаем

-у- = _ + х у, .— + х Fy — + a Z F, - -^ 0.

DtB dtB i=l driB Ц-l 9piB /-1 apjB

(1.32)

—^- + —= - E—‘SF^/^dQ^,(1.33)

DtB dtl,L ^1 9piB

где

d$Эs ~ дI ds ~d \

—- = e2■"— + 2 v^ ■+ Kn I c2 £3 ■1+ E v i • ——— I +

^Ц.8~li-187l'94i’19^l

s ^dFq s ^ a

+ e2 I f,e2 Z F,v • —^7- +

i=l9pjjFq]y-\dpB

85 »a89Ед $ a

+Z Ff+5 Fy • -77- .(1.34)

e3 i»l8piLe3Fqi ц=1Эрд

запишем кинетическое уравнение (1.33) для одночастичной функции распределения:

D17a dift Э „ ~ ~ ~ ~

—-— + -у- - -аS ^i^f 2 dr2B d чад •(1.35)

D4d\l9 P}5

Важно отметить, что в левую часть уравнения (1.35) входят два, вообще говоря, однопорядковых члена, первый из которых учитывает изменение функции /^ на временах порядка времени столкновения. Как мы увидим далее, если не делать дополнительных предположений (например, связанных с порядком числа Кп), этот член нуждается в подходящей аппроксимации, поскольку уравнение (1.35) оказывается зацепляющимся не только по ниж-

нему, но и по верхнему индексу функции f 5.

Введя новую переменную Г12,в” г1в ~ г 2в и заметив, что

9/2°~ 8fS~ ~8752 ~d/f

—— + ▼!•-=— + (vl- v2>"~ 2 Fu—” =

dtB Эгивdr12>B V-l8^

+ a S Ff • —^ = 0,(1-36)

i=l дрщ

будем иметь

~8^d75 ~ d72°~ ~a/2° ~875

Fl,2-—— = —— + vp-^— + (vi- V2)- ₽2,Г +

aPi 9tB dr1Bа712в dp2

1 „d/2(1.37)

+ « 2 F, • —- .

i-l 8»iB

Преобразуем интеграл, входящий в правую часть (1.35):

~875 ~ ~. ~ ~875 ~ ~

5fu - —— dr2Bdv2 = i(Vi- v2) ■ —^—dr2sd v2 +

9 Pl9г12,в

I 815 ~ 87529/2 \ ~

+ 51——+*1 a 2 Fj-• —y-ldr2Bd V2 x

9*b9 Чв1-19PiB '

871 ~ ~

x 5F2,rdi2BdV2.(1.38)

9P2

Последний интеграл, под знаком которого осуществляется дифференцирование по Р2, а затем интегрирование по всему пространству импульсов, может быть преобразован к интегралу по бесконечно

удаленной в этом пространстве поверхности, где функция распределения, а следовательно, и рассматриваемый интеграл обращаются в нуль.

Пока преобразуемое уравнение носит обратимый механический, а не статистический характер, хотя мы и интерпретируем [см. условие нормировки (1.23) и определение (1.24)] h и h как плотности вероятностей для двухчастичной и одночастичной систем соответственно. Необратимость в формализм теории вносится путем дополнительных гипотез. Пусть, к примеру, в начальном состоянии можно пренебречь корреляциями между частицами. При этом в нулевом приближении по е

/2(0; «1, «2) =7?(O;Qi)7?(O;Q2).

В качестве решения дифференциального уравнения в частных производных (1.36), удовлетворяющего таким начальным условиям, следует взять

Т^ДЛ) = /^(.О;^ ЭД^з^^, вв

где SV - оператор временной эволюции для двухчастичной системы (он заменяет динамические переменные Q1$ Q2, заданные в момент Тв, соответствующими начальными значениями). Тогда на кинетическом этапе эволюции

72° = 7»(0; ^ пх) 7? (0; S(22 й2).(1.39)

При этом обращается в нуль и второй интеграл справа в равенстве (1.38), так что кинетическое уравнение (1.35) записывается в виде

пи? 471~~д'!?_~

—— + —— = 5 (v, — v2)-—dri2,Bdv2.(1.40)

DtB dtl,L9,12,b

Если ввести теперь цилиндрические координаты с осью, направленной вдоль Vj - Г2, обозначить координаты в плоскости, перпендикулярной оси, b и е и произвести интегрирование по г12в, то обычным образом получим уравнение’

dlf2

-Ч— + —— - S[/1 W/?W-fiWi^lgb db dtd4, DtB dtl,L

(1.41)

которое переходит в уравнение Больцмана при Dj\/DtB - 0. Здесь штрих соответствует функциям распределения частиц после их

взаимодействия, g = I v2 - у21 есть относительная скорость.

В кинетике обычно используется одночастичная функция распределения, отличающаяся от /° нормировкой:

/(г, у, 0 = IV/f^r.y)(1.42)

(начиная с настоящего момента, мы опускаем индекс у s ■ ц, у2, в свою очередь, переименовываем в v^ а также переходим к размерной форме кинетического уравнения). С помощью (1.23) и (1.24) получаем, что

5/(г, у, 0 dr dv = №, $f(t, v, 0 dv = n(r, f),

где n(r,t) - числовая плотность (концентрация) молекул в точке г в момент L Удобно также ввести эффективное сечение рассеяния [68] по формуле

bdbde 5do(g, 0).(1.44)

Здесь ^“iv-vj.aS- угол рассеяния. Опуская член, учитывающий изменение функции /] в гв-масштабе, приходим к обычной записи кинетического уравнения Больцмана для однокомпонентного газа:

8/8/Ед8/

— + ¥.+jdvi w г _ i^ d0.(L45)

atdrmdi

В (1.45) использованы стандартные обозначения

/ * /(V); /1 = /(vi); f=RVy f{ = RVX\(1.46)

Приведенный вывод годится лишь для разреженного газа. В области умеренных плотностей помимо короткодействующего отталкивания существенно и слабое дальнодействующее притяжение. Наличие обоих указанных типов взаимодействий молекул может быть, в принципе, учтено при построении кинетических уравнений (см., например, [80,81]).

Метод многих масштабов применяют и с целью перехода от кинетики к гидродинамике. Если число Кнудсена (1.21) много меньше единицы, разумно допустить, что функция распределения (1.42) явно зависит от t и от ti = tKn. Вне кнудсеновских слоев, когда

остается зависимость только от to, предположение о разложимости / в ряд по степеням Кп приводит к методу Гильберта [61]. Далее тео- роуа единственности Гильберта указывает на существование взаи- моодноэначного соответствия между /(г, v, t) и пятью основными макропараметрами - концентрацией n (г, t\ гидродинамической скоростью vo(r, О и температурой Т(г,0. Отсюда вытекает возможность выразить моменты высших порядков от функции распределения через вышеназванные первые пять моментов, т.е. получить замкнутые уравнения переноса. Методика построения таких уравнений подробно рассматривается в гл. 3.

Отметим еще, что член Di/^/Dt^, входящий в левую часть (1.41), может быть использован для вывода обобщенных уравнений гидродинамики [3,6].

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕРЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

Нейтральные нереагирующие смеси газов обычно описывают с помощью системы кинетических уравнений больцмановского вида, являющейся прямым обобщением уравнения (1.45):

д^Х^а F(x0 ^а £J .

at + dr + та"

(а = 1,2,...» ц).(1.47)

Здесь /а(г, va, f) - одночастичная функция распределения компонента Аа> нормированная на его концентрацию na(r, f); Fa0 - внешняя сила, действующая на частицу сорта а с массой ma; gaj - модуль относительной скорости молекул ”до удара”;

doaj = oay(gaj, 8, ф) sin 8d8dф (1.48) - дифференциальное эффективное сечение упругого столкновения молекул Аа и Aj, при котором их относительная скорость ’’после Удара” характеризуется полярным углом 8 и азимутальным углом ф.

В случае частиц, взаимодействующих по закону Кулона, непосредственно использовать кинетические уравнения (1.47) нельзя вследствие появления логарифмически расходящихся интегралов (см., например, [85]). Указанные расходимости возникают из-за дальнодействующего характера потенциала 1/1 ra - $1. Простейший метод их устранения заключается в обрезании области интегрирования по прицельному расстоянию при b = rD. Более строгий под-

ход состоит в возвращении к цепочке уравнений ББГКИ и применении теории возмущений по плазменному параметру (1.9). Вывод кинетического уравнения для электронов данным способом в условиях, когда ионы покоятся и создают лишь фон равномерно распределенного положительного заряда, имеется, например, в широко известных монографиях [23,51].

При построении кинетической теории плазмы оказывается более удобным в качестве исходной брать систему уравнений для микроскопических фазовых плотностей компонентов и микроскопических напряженностей электрического и магнитного полей [57]. Фазовая плотность распределения компонента Ла полностью ионизованной плазмы в соответствующем шестимерном пространстве х = [ г; р] дается выражением

Na

N«(l, р; t)- Z 6(1 - г, а(0) 6(р - Р, а(0)-(1-49)

Таким образом, Na(x; t^dx есть число частиц вида а, координаты и импульсы которых в момент t заключены в объеме dx около точки х. Интеграл по всему фазовому пространству

$Na(x; t)dx - Na,

т.е. равен полному числу частиц компонента Ла- Эволюция фазовой плотности (1.49) определяется уравнением [57]

dNo д Na м ^Na

+ va+ Fa (г. О 0 (v= p/m).(1.50) dtdrdp

Здесь

Fa = F«o + eaEM(r,t) + —vXHM(r,t),<L51>

c

где Fao - внешняя сила, приложенная к частице; ЕМ и НМ - микроскопические напряженности электрического и магнитного полей. Последние удовлетворяют уравнениям Лоренца-Максвелла

м 1 9бМ4л ,

rot Н +2 ea j vNa(г, р; t)dp;(1.52а)

сdtс a

M 1 н

rotE = -- ;(1.526)

dt

divHM = O;(1.52в)

div EM = 4л Z e« S Na (r, p; t) dp.(L52r)

a

Соотношения (1.50)-(1.52г) образуют замкнутую систему уравнениГ для микроскопических функций N^x; 0, Е Ми Н М.

В статистической теории микроскопические уравнения усредняют с помощью функции распределения координат и импульсов заряженных частиц и осцилляторов поля [58]. Обозначив такое усреднение горизонтальной чертой, можно записать для плазмы, что

Na (%! 0 = na/a(x; 0; 1М = Е(г, f); НМ - B(r, t).(1.53)

В формулах (1.53) na = Na/V - средняя концентрация частиц сорта О; Е - напряженность среднего электрического поля, а В — магнитная индукция. Функции /а(х; 0 по смыслу аналогичны функциям /a(t»v, 0 входящим в систему (1.47), но отличаются от последних нормировкой:

S/a(x;0dx ■ j/a(r,p;Odrdp = V.(1.54)

Далее,

F« = F«o + eaE+ — vXB = Г„.(1.55)

С

Можно ввести флуктуации (случайные отклонения) фазовых плотностей электрического и магнитного полей

&Na = ^(х; 0- nafa(x; t), 6Е = ЕМ - Е, 6В = НМ - В. (1.56)

Из (1.51) и (1.55) вытекает также, что флуктуация силы

6^ я f“- Га = ea 6Е + —vX 6В.(1.57)

С

Вследствие линейности уравнений (1.52а)-(1.52г) при усреднении они переходят в уравнения Максвелла для средних полей:

1 ав4л

rot В =+Zea па j v/a dp;(1.58а)

сdtс a

1 dB rotE ;

с dt

div В = 0;

divE = 4л S ea na S /a dp. a

Вместе с тем, поскольку, очевидно,

F«Ne(x;t) = raNa + (67a61Va),

усреднение уравнения (1.50) приводит к результату

(1.586)

(1.58г)

(1.58г)

8fa®fa1

+ у. + Ja. — *(6Га6ЛГа).

drдрпа др

(1.59)

По форме (1.59) напоминает кинетическое уравнение (1.45), поэтому его правую часть вновь можно назвать интегралом столкновений, хотя данное наименование и не отражает существа дела, так как в плазме каждый заряд взаимодействует одновременно с большим числом окружающих частиц. Выпишем также систему уравнений для флуктуаций электрического и магнитного полей:

1 дбв4л

rot 6В =+Sea J v6Na dp;(1.60а)

c dtc a

1 двВ rotSE ;

c dt

div SB = 0;

divSE = 4л Zea5 SjVa dp.a

(1.606)

(1.60b) (1.60r)

Соответствующее уравнение для 6Na получается вычитанием из (1.50) соотношения (1.59), умноженного на па:

/адд \a(na/a)

I —.-.... + у*+ Уд • .. J 6ЛГд + Sfa "

\ dtdrdp /др

д

- - ——[SfaSWa - (6ra6JVa)].

(1.61)

В нерелятивистской плазме, когда

^/с « 1,(1.62)

в выражении (1.57) и в уравнениях (1.60а)-(1.60г) можно пренебречь флуктуациями магнитного поля. В результате (1.59) принимает вид

+ т+ Г а(6E6Na),(1.63a) 8tdrdp na dp

a для расчета остальных флуктуаций имеем равенства

div 6Е = 4л Z еа J 6Na dp, rot 6Е = О а

иI 9I — -— + l dtиI 9I — -— + l dt88ддг*+ Т* 6Na + еа6Ев drdp /dг*+ Т* 6Na + еа6Ев drdp /d9(na/a)dp9(na/a)dp- еа[бЕбЛГа - (бЕбЛГа)]. др- еа[бЕбЛГа - (бЕбЛГа)]. др(1.636)(1.636)

и

I 9

I — -— + l dt

и

I 9

I — -— + l dt

8

8

д

д

г*+ Т* 6Na + еа6Ев drdp /

d

г*+ Т* 6Na + еа6Ев drdp /

d

9(na/a)dp

9(na/a)dp

- еа[бЕбЛГа - (бЕбЛГа)]. др

- еа[бЕбЛГа - (бЕбЛГа)]. др

(1.636)

(1.636)

(1.64а)(1.64а)Заметим, что условие (1.62) является более слабым, чем ограничение (1.56) [соотношение (1.62) переписывается в форме квТ « тес2, а неравенство (1.56) легко приводится к виду квТ « а2тес2, где « ** 1/137 - постоянная тонкой структуры]. Кроме того, при определении интегралов столкновений допустимо не учитывать средние электрическое и магнитное поля [57], если

(1.64а)

(1.64а)

е£гс/(квГ) « 1 и

“е « “е-(1.646)

Неравенство (1.646) следует из (1.19). В самом деле, заменив в (1.19) ЬКп по порядку величины на /ее, будем иметь

re ~ *г/ие ~ Ue ~ тп,£\ ы‘ ~ gVTrD ~ gUe ^ We.

Неравенство же (1.64а) вытекает из требования (3.9), согласно которому

LeEKkBT) 5 1

(L » гр). Итак, в уравнении (1.636) мы можем дополнительно а

отбросить член 7а-&Na. Тем не менее вычислить интеграл др

6 (кт — кт') X1е(к,кт)126 (кт — кт') X1е(к,кт)12столкновений в (1.63а) еще нельзя, так как вследствие нелинейности равенства (1.636) по флуктуациям получаемые из него уравнения для вторых центральных моментов будут содержать третьи моменты и т.д. Обрыв возникающей указанным образом цепочки производится обычно в так называемом поляризационном приближении [57], [58]. В этом приближении столкновительный член равен

6 (кт — кт') X

1е(к,кт)12

6 (кт — кт') X

1е(к,кт)12

вапавапад д к^к;

ва

па

ва

па

д/р \—/а dRdp', ap'j Iд/р \—/а dRdp', ap'j I— -(6E6Na) = Z2(eaep)2np-— S—^дррdPi к*

д/р \

—/а dRdp', ap'j I

д/р \

—/а dRdp', ap'j I

(1.65)

где диэлектрическая проницаемость кулоновской плазмы

(1.66)(1.66)4лпае& kd/a/dp e(k, ы) = 1 + 2Sdp.

(1.66)

(1.66)

а к2to - кт + iO

Выражение (1.65) называется интегралом столкновений Балеску- Ленарда.

Расчет интеграла столкновений может быть произведен также в рамках теории возмущений по параметру неидеальности (1.4). В результате получается выражение, отличающееся от (1.65) отсутствием множителя le(k, k*v)|“2 - интеграл столкновений Ландау. При интегрировании по к интеграл Ландау логарифмически расходится для малых и больших к. Учет поляризации плазмы (т.е. переход к интегралу Балеску-Ленарда) устраняет расходимость в области малых к (на ’’больших расстояниях”). Однако для больших к (на ’’малых расстояниях”) расходимость выражения (1.65) сохраняется, так как здесь эффекты поляризации не сказываются, а теория возмущений перестает быть применимой. По этой причине область интегрирования по к в выражении (1.65) (и в интеграле Ландау) следует ограничить условием к < 1//л, где

1п=е2/(квТ)

- длина Ландау, причем такой грубый способ регуляризации оправ- 28

дывается лишь при больших значениях кулоновского логарифма 1п(гр//л) ~ ln0/g)« Далее, в интеграле Ландау полагают к > Х/гп» считая, что на расстояниях, больших гр, заряженные частицы не взаимодействуют благодаря дебаевскому экранированию. Вместе с тем на интеграл Балеску-Ленарда данное ограничение явно не накладывается, поскольку он формально сходится в окрестности к = 0. При этом захватывается область к < X/rD, в которой нарушаются условия справедливости вывода интеграла столкновений (1.65). для состояний, близких к равновесному, однако, вклад от упомянутой области волновых чисел мал [57,58].

Приблизительный учет взаимодействия на малых расстояниях, как отмечалось выше, вполне допустим, пока не только g < 1, но и ln(l/g) > 1. При выполнении же лишь первого из этих неравенств [т.е. условия (1.10)] такой подход может оказаться недостаточно точным. Заметим в связи со сказанным, что теория Балеску - Ленарда последовательно описывает ’’далекие” соударения частиц, сопровождающиеся малой передачей импульса, в то время как теория, основанная на модели парных столкновений, - ’’близкие”. Области применимости этих теорий при g < 1 перекрываются. Значит, в принципе, имеется возможность их объединения. Для идеальной плазмы в качестве интеграла столкновений /а. естественно использовать следующую комбинацию интегралов Больцмана ГБ _БЛ „ -Л

1а, Балеску-Ленарда 1а и Ландау 1а:

1а - /« + ^ - la(L67)

(аппроксимация Хаббарда). Конструкция (1.67) предполагает, разумеется, точное определение способа компенсации расходимости трех интегралов столкновений. В рамках объединенной теории Кихары и Аоно [103], например, вклад близких столкновений учитывается больцмановским интегралом, а далеких - интегралом Балеску-Ленарда с экспоненциальным обрезанием вкладов соответственно далеких и близких соударений. Такой прием, однако, не позволяет создать достаточно ясную методику расчета кинетических коэффициентов и получить удовлетворительные результаты (см. [70, 101,108]).

Сходящийся интеграл столкновений для кулоновской плазмы (на основе ББГКИ-цепочки) построен в [21], где, в частности, разъяснено, каким образом следует понимать комбинацию (1.67). Рассмотрение ведется для интегрально слабых потенциалов, причем к таковым относится и кулоновский потенциал, если выполнено усло- 29

вие идеальности (1.4). В [16] упомянутый интеграл приведен к ВЦ. ду, пригодному для построения последовательных приближений коэффициентов переноса и скоростей реакций. Найденное нами выражение подобно формулам теории Кихары и Аоно содержит вспо. могательный параметр, обеспечивающий сходимость (см. § 1.4), Этот параметр, однако, как показано в гл. 6, последовательно сокращается во всех конечных результатах.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СХОДЯЩЕГОСЯ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Выше мы использовали одночастичные функции распределения, отличающиеся друг от друга нормировкой. В гл. 3-7 применяются функции /a(r,va, 0, для которых

5/«('»’а» 0 dva dr = S n«(r, 0 dr = Na.(1.68)

Функции (1.54) связаны с ними соотношением

/а(г, Ра; 0 та3 /а(г, ¥а, Г).(1.69)

Na

В [16] (см. также § 2.9 [4]) рассматривались функции

7а (г, ра, Г) = m-3 fa (г, ¥а, 0' (1 -70)

[не путать с безразмерными функциями из уравнения (1.28)!]. Там мы исходили из кинетического уравнения

а/а u а , dk ~

2 НтI —г1т<Ь£ »(ра)+

dt p-lt)*+O дра (k>n) (2л)3 ^Р

+ ^(p^tletk,^)!-3 - 1]} Ф ^Pk,(1.71)

где

h к»р (Ра) = 5 drp е'Ш‘(г₽~1а) $ dpp ($2 - 1} 7а7р ;(1.72)

0.73)

Ф^ = 4леаер/к2;(1.74)

е(к, ы) дается Формулой (1.66) [с функциями (1.54)].

уравнение (1.71) выведено в [21, приложение 3]. Отметим, что в [21] также использовались функции (1.54). По отдельности слагаемые в фигурной скобке суть интегралы столкновений Больцма- ^ар

на, Балеску- Ленарда и Ландау [ср. с (1.67)]. Поскольку ф k - фурье- образ потенциала взаимодействия частиц Дх и Лр

«8 z х * с л. ^“Р ikT

ф (г) J dkф е ,

8„ dkIm i J 9 Ра (к>П)(2”)э8„ dkIm i J 9 Ра (к>П)(2”)это!кф ^ является фурье-образом градиента Vva^(r). Следовательно,

8„ dk

Im i J

9 Ра (к>П)(2”)э

8„ dk

Im i J

9 Ра (к>П)(2”)э

[-1кФ k^]S dtp е ik(rP"ra)x

X Sdpplfi - 1)/<Д --4— jd(rp- r«) —^— x 8pK9(*p~*a)

X ^ Orp - raD J dpp {S^l - l]/a/p.(1.75)

eaep /2 nr sinx=1 iJdxГ \л 0 xeaep /2 nr sinx=1 iJdxГ \л 0 x(1.76)(1.76)Здесь

eaep /2 nr sinx

=1 iJdx

Г \л 0 x

eaep /2 nr sinx

=1 iJdx

Г \л 0 x

(1.76)

(1.76)

«“P/X1 г л ~“P ikr

Фп 0 S dkф k e

Л(2л)3 (k>n)

Выражение (1.75) подобно столкновительному члену уравнения (1.35), (1.39) преобразуется в интеграл столкновений Больцмана (единица в фигурных скобках может быть опущена):

5 dppfap S db (Д/р - Л/р); (1.77а)

db = bdbd£, а p'a и р’р вычисляются через потенциал (1.76). Далее, нетрудно видеть, что

5dk^аВ2

S к1т[|е(к,кта)| ~3-1] Ф к кХ

9Ра (k>n) I2”)3

х Sdpp

(d/dpp-d/dpetl/a/p

k-(vp-va)-iO

= 2(еаер)3

х

X

d d

-т— /а/р : 5 [|е(к,кпга)Г2

9рР 1(к>П)

кк

■11 Vх

X 6(k"gpa)dk (gp« = vp-va).

(1.776)

В результате, объединяя (1.71), (1.75), (1.77a) и (1.776), получаем

9 fa I* n

— = Z. nlin?nJap(P«)>

9t p=l n^+O

^ар(Ра) “ ^ dppgap 5 db(7a /р — 7а/р) + 2(ваер) ^

Xjdp —)—7р - 7а-— : 5 [Iе(к,k-Vp)l”2 — 1] х

9ра ( \ 9ра9рр / (к>п)

x 6(k'gap)-^-dk^.

(1.78)

Как показано в приложении А, интеграл столкновений может быть переписан в виде.

-П , ч _ rn(Dz ч ^ , п(2).

^ар1Р«' ~ Ахр Фа' + Ахр (Р«)> где .

^ар^ (Ра) “ ^Рр S db [gap (7а 7р - /а /р ) -

Э U 8ja . d/р \ 1 ) ЬЬ

- 2(еаер) -—jl-—7р - fa—— f г-з-МЬ)];

9»а ( \ драдрр / ,ар ) Ь*

(1.78)

(1.79)

(1.80)

^«р (Р«) * 2(е« ер)2 S dpp — j I — /р - fa9»а ( ' 9₽а

: S dk—(к>П) к*

6(k'gap) jI е (к, ктр)Г2 - 1 - exp I - — к2 Ь21

(1.81)

,.ч С r r \ -x2bo/(2ba)ТЛ(Ь) = J Ji(x)edx;

ЬП

Jl(x) * функция Бесселя; bg - произвольное действительное число, отличное от нуля.

Переход к пределу при Л ■♦ +0 в интеграле (1.81) не вызывает затруднений - здесь получается соответствующий несобственный интеграл, распространенный на все k-пространство. Значительно сложнее обстоит дело с интегралом (1.80). В [16] показа- но, что предел /ар (ра) можно наити, устремляя л к нулю под знаком интеграла. Доказательство разбивается на ряд этапов: выделение основного при больших b члена больцмановского интеграла столкновений, вычисление для таких b угла рассеяния на потенциале (1.76), оценка поправочных членов, преобразование и оценки ул(Ь) и т.д. Здесь мы лишь отметим, что когда Л = 0, величины р^ и рр определяются с помощью кулоновского потенциала, а

,.х,-(1/2)ь2/ь’

Уд(Ь) = 1 - е°.

В итоге (для пространственно однородной ситуации) кинетическое уравнение принимает вид [мы перешли к функциям /а(г, va, 0 посредством (1.70)]:

д/а И(

— = 2 SdijSdb^rj-pf^-

2(еае;)2 а I afa3fj \1

Ifj/а I:та 9 ’а \ 9’а mj 8lj I 8aj

me afi\ „ tt

7^-/a : S dk—— 6(k-fc ) [Ie(k,кт) I'2 -

m-di.k* J1

(1.82)(1.82)11-^%

(1.82)

(1.82)

Интеграл (1.82) будет использоваться вместо больцмановского столкновительного члена [см. правую часть уравнения (1.47)] в случае полностью или частично ионизованной плазмы.

ОБОБЩЕННОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНАПРИ НАЛИЧИИ НЕУПРУГИХ СТОЛКНОВЕНИЙ.

ПРИНЦИП МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ОБРАТИМОСТИ

В плазменных системах, представляющих интерес в прикладном отношении, энергетические пороги различных видов превращений (ионизации, возбуждения, химических реакций) сравнимы, как правило, с тепловыми энергиями частиц. Поэтому в кинетических уравнениях необходимо учитывать большое число неупругих процессов, которые могут оказывать заметное влияние на коэффициенты переноса. Следует отметить, что для рассматриваемого класса задач необходимо, вообще говоря, последовательное квантовомеханическое описание. При этом система характеризуется матрицей плотности, удовлетворяющей уравнению фон Неймана - квантовому аналогу уравнения Лиувилля. Переходя к приведенным матрицам плотности, определяющим статистическое состояние конечных наборов частиц, можно получить цепочку уравнений, заменяющую в квантовом случае ББГКИ-иерархию. Дальнейшая процедура вывода собственно кинетических уравнений для многоатомных и реагирующих газов осложняется, однако, наличием целого ряда проблем, выходящих за рамки традиционной кинетической теории [63].

В частности, вследствие внутримолекулярного движения характерное время изменения одночастичной функции распределения больше не совпадает, вообще говоря, со временем свободного пробега; это обстоятельство требует модификации методов получения разложений кинетических уравнений по параметру плотности. Возможность образовывать связанные состояния приводит к изменению характера корреляций между частицами газа. При этом возникает вопрос и об определении связанного состояния группы частиц, взаимодействующих с окружением. Например, очевидно представление о молекуле как об устойчивом состоянии, неспособном к самопроизвольному распаду. Однако мета- стабильное, но долгоживущее состояние мало отличается от абсолютно устойчивого. Наконец, при исследовании химически реагирующих газов важен учет неаддитивности потенциала межмолекулярного взаимодействия.

В [63] показано, каким образом, принимая во внимание упомянутые особенности, можно построить целый набор кинетических уравнений, различающихся степенью подробности в задании состояния отдельной молекулы, а также характером вклада 34

цежмолекулярного взаимодействия в кинетические и недиссипа- дданые величины. Так, для квантовых реагирующих газов получено уравнение, учитывающее возможную недиагональность матриц плотности по внутренней энергии связанных групп. По истечении времени релаксации недиагональных элементов оно переходит в обобщенное уравнение Вальдмана-Снайдера. Последнее упрощается дольше, если предположить, что матрицы плотности не зависят от квантовых чисел, соответствующих вырожденным степеням свободы. В результате получается обобщенное уравнение Больцмана, учитывающее процессы диссоциации и рекомбинации.

Выведенные в [63] кинетические уравнения (как и уравнения для частично ионизованной плазмы из [58]) весьма сложны, что затрудняет их практическое применение. Поэтому разумным, представляется использование упрощенных уравнений, имеющих, однако, удовлетворительную точность. В [1], например, обобщенное уравнение Больцмана с учетом химических реакций

Аа + Ар Ат+Ад;(1.83)

Аа + Ар + АтAg + Av + Аф;(1.84)

Аа + Ар + АтАд+Аф;(1.85)

Аа + Ар А^ + Ад+Аф;(1.86)

Аа+Ар^Ат(1.87)

записывалось в форме [используем функции (1.70)]:

9/а9/«9Лх •* . -«,

~^^ ‘~ + ^“'Т^ ’ ^[faft " Za^ Wajdpidp»dpi+

1 +—21 +—2I Ir РубI Ir Рубs ^- 4yses ^- 4yse~ ~ г уб Zy/б ~ Zx/p ^ ap~ ~ г уб Zy/б ~ Zx/p ^ apdppdPydpg +dppdPydpg +

1 +—

2

1 +—

2

I Ir Руб

I Ir Руб

s ^- 4yse

s ^- 4yse

~ ~ г уб Zy/б ~ Zx/p ^ ap

~ ~ г уб Zy/б ~ Zx/p ^ ap

dppdPydpg +

dppdPydpg +

1+—Z Z12 т Рубфф1+—Z Z12 т Рубфф*«*»*? у у у ;; тгбфф, J/б /ф/ф — /a*p#y ™ aPy “Рр“Ру dp 6 up ф dp ф+ s6 5ф 5ф*«*»*? у у у ;; тгбфф, J/б /ф/ф — /a*p#y ™ aPy “Рр“Ру dp 6 up ф dp ф+ s6 5ф 5ф

1

+—Z Z

12 т Рубфф

1

+—Z Z

12 т Рубфф

*«*»*? у у у ;; тгбфф, J

/б /ф/ф — /a*p#y ™ aPy “Рр“Ру dp 6 up ф dp ф+ s6 5ф 5ф

*«*»*? у у у ;; тгбфф, J

/б /ф/ф — /a*p#y ™ aPy “Рр“Ру dp 6 up ф dp ф+ s6 5ф 5ф

1+ —£ E J4 г рубф1+ —£ E J4 г рубфsaspsy ^, A, мfbU hssssvsaspsy ^, A, мfbU hssssv* * * г бф- /« /р /у W apy dpp dpT dp g dp ф +* * * г бф- /« /р /у W apy dpp dpT dp g dp ф +

1

+ —£ E J4 г рубф

1

+ —£ E J4 г рубф

saspsy ^, A, мfbU hssssv

saspsy ^, A, мfbU hssssv

* * * г бф

- /« /р /у W apy dpp dpT dp g dp ф +

* * * г бф

- /« /р /у W apy dpp dpT dp g dp ф +

1+~z z 56 г Рубф1+~z z 56 г Рубф

1

+~z z 56 г Рубф

1

+~z z 56 г Рубф

Sa^p^3 ~r о •■ губф

/т /б /ф - /а /р W ар dpp dp'T dp д dp ф +

Sy 5б 5ф

(1.88)

Ниже ограничимся исследованием таких реагирующих смесей, в которых существенны лишь процессы (1.83), (1.85) и (1.86). Умножив уравнение (1.88) на т„, перепишем его в виде

9/аat9/аat9/а Габ 9/а I* г „ ,, _

9/аat

9/аat

— *—— - V1^-^1 иг ТПд^ VVg j*l

x[h,aj(m(Xm/)3]dv;dvadT/+—E 2 J /^/8

2 г руб $T»g \ m^mg /

~ faf^~ faf^губ-^ар(ту m6yгуб-^ар(ту m6y. д д ' . 1 г v cl ,aSPsT dvB dvv dve + — 2 Z j 4 г рубф 1&3$6»Ф. д д ' . 1 г v cl ,aSPsT dvB dvv dve + — 2 Z j 4 г рубф 1&3$6»ФXX

~ faf^

~ faf^

губ-

^ар(ту m6y

губ-

^ар(ту m6y

. д д ' . 1 г v cl ,aSPsT dvB dvv dve + — 2 Z j 4 г рубф 1&3$6»Ф

. д д ' . 1 г v cl ,aSPsT dvB dvv dve + — 2 Z j 4 г рубф 1&3$6»Ф

X

X

x mamp my l3\ ms Шу /x mamp my l3\ ms Шу /+ — 5 5 6 г рубф+ — 5 5 6 г рубфJ $a»ph3 / - Sy 5б $ф 'J $a»ph3 / - Sy 5б $ф 'та трm^ т^ Шфта трm^ т^ Шф3I М^-/а/р Х3I М^-/а/р ХV /Л^Ф.хзх Кар (mTm8 Шф)3V /Л^Ф.хзх Кар (mTm8 Шф)3dvy dvydvg dvy.dvy dvydvg dvy.(L89)(L89)

x mamp my l3\ ms Шу /

x mamp my l3\ ms Шу /

+ — 5 5 6 г рубф

+ — 5 5 6 г рубф

J $a»ph3 / - Sy 5б $ф '

J $a»ph3 / - Sy 5б $ф '

та трm^ т^ Шф

та трm^ т^ Шф

3

I М^-/а/р Х

3

I М^-/а/р Х

V /Л^Ф.хз

х Кар (mTm8 Шф)3

V /Л^Ф.хз

х Кар (mTm8 Шф)3

dvy dvydvg dvy.

dvy dvydvg dvy.

(L89)

(L89)

,гбфq,,

/б /<р - /а /р /у W ару (т6 т<р) dvp dVy dv6 dvv +

удовлетво-удовлетво-(1.90)(1.90)Плотности вероятностей неупругих столкновений ряют принципу микроскопической обратимости [1]:

удовлетво-

удовлетво-

(1.90)

(1.90)

Sa s₽ ^ ^ар = $б 5ф IV ^бф> губг ар

Sa Sp W ар = Sy s§ ^ уб •

Обратим внимание на организацию суммирований в правой части уравнения (1.89); г всегда обозначает номер реакции соответствующего типа. Поэтому если частицы компонента Аа участвуют в бимолекулярном процессе (1.83) с номером г, то значение Р определяется единственным образом, а V и 6 - с точностью до перестановки. Отсюда уже ясно происхождение множителя 1/2 перед сум- 1

мой 2 2 (ее, в сущности, лучше записывать в виде 2 — 2 ). г Рубг 2 Руб

Аналогичный характер имеют и множители 1/4 и 1/6 перед остальныМи членами. Представление интегралов столкновений в виде формальных сумм полезно при проведении различных преобразований общего характера, однако в ряде случаев от него удобнее отказаться, переходя к конкретным наборам индексов. Важно также то обстоятельство, что при построении кинетических уравнений, учитывающих неупругие столкновения, обычно приходится привлекать некоторые дополнительные критерии. В качестве них естественно выбирать такие требования, как сохранение очевидных интегралов движения и выполнение Н-теоремы [63], эквивалентной закону возрастания энтропии для пространственно однородной системы. Хорошо известно, однако, что непротиворечивое классическое выражение, определяющее энтропию идеального газа, получается лишь при условии "правильного больцмановско- го подсчета” состояний. В случае уравнения (1.89), для которого справедливы соотношения (1.90), такой ’’подсчет” заключается в следующем. Пусть, например, в реакции (1.83) с номером г 6 = у, т.е. она имеет вид Аа*А^ •* 2АТ. Соответствующий интеграл столкновений из а-го уравнения (1.89) (после перехода к конкретным Р и У) дается формулой

55SVSVmamR \з“3 I /v^-Za/pmamR \з“3 I /v^-Za/pW 771 ГП*^ap myW 771 ГП*^ap mydvp dv^ d^xdvp dv^ d^x

5

5

SV

SV

mamR \з

“3 I /v^-Za/p

mamR \з

“3 I /v^-Za/p

W 771 ГП*^ap my

W 771 ГП*^ap my

dvp dv^ d^x

dvp dv^ d^x

Поскольку скорости двух тождественных частиц vj и v^ входят в последнее выражение симметричным образом, нужно заменить произведение дифференциалов dv^ dv^ на dv^ d4^1L Аналогичной модификации при необходимости могут быть подвергнуты и остальные столкновительные члены. Правильность данного приема подтверждается расчетом производства энтропии в реакции ионизации и трехчастичной рекомбинации [ср. (3.686) и (5.177)]. В дальнейшем множители, уменьшающие фазовый объем при наличии тождественных частиц, явно выписываться не будут (кроме случаев, оговариваемых особо).

Благодаря законам сохранения импульса и энергии плотности вероятностей упругих и неупругих столкновений содержат 6-функции, позволяющие снять ряд интегрирований в столкновительных членах. Например, первое слагаемое в правой части уравнения (1.89) на деле совпадает с правой частью уравнения (1.47). Поэтому формально можно записать, что

(1.91)(1.91)™ajlma mjV^a d^j = 8aj dOaj-

(1.91)

(1.91)

По аналогии и

Wap(mTme)3dTydv5 = ga$do ^p,(1.92a)

где do ^ ~ эффективное сечение неупругсго столкновения (1.83) с номером г. Наконец, введем и эффективное сечение реакции (1.86), положив-

k'Jp^ ms тф)3 dVy dv£ di'v = ga^ do «рф.(1.926)

Явный вид do Jp определяется формулой (3.191), а структура Г убф

do ар обсуждается в гл. 6. Отметим лишь, что gap = lva-vpL В случае, когда среди продуктов реакций имеются одинаковые частицы, соотношения (1.91) и (1.92а)-(1.926) несколько модифицируются. Например,

dojp1 = — W^dpW^. ^ap

Помножив первое из равенств (1.90) на dpadppdpydp$ и воспользуемся определением эффективного сечения (1.92а). В результате получим . г уб ,., .rap' , , , ,

sa $р бар “^ ap “Pa “Pp ” 5y $6 буб “^ уб “Ру “Рб •(1.93а)

Перейдем от переменных va = pa/ma и Vp = pp/mp к скорости центра масс сталкивающихся частиц

ma Ta + тр тр

G ma + mp и относительной скорости

бар = va - vp-

Заметим, что dva dvp - dG dgap. а из-за сохранения импульса и массы G' = G. Таким образом, (1.93а) приводится к виду 38

s„Sp g«p do ap (ma mp)3 dgap = s^ s6 g}6 do “J (mT ms)3 dg^s. (1.936) Далее, введя сферические координаты в пространствах gap и g^, напишем дифференциалы dgap и dg^8 в форме

dgap ” 8а» dgap du', dg'e = g'^dg^du.(1.94а)

Пусть ea, ер, ev и е8 - внутренние энергии частиц сортов Аа, Ар, А^ и Аь соответственно. Тогда сохранение энергии при столкновении выражается равенством

Uapgap/^-1" еа +бр = |1^8 8^/1 + ет + с8, где, например, цар = татр/(та + тр) - приведенная масса молекул Аа и Ар. Отсюда находим

Map gap dgap = 1*тв 8^6 dg^.(1.946)

Поделив левую часть (1.936) на (ma + mp)3, а правую - на такую же величину (тт + т6)3 и приняв во внимание соотношения (1.94а) - (1.946), легко вывести, что т^rap*

do арdo v6

sa sp (Hap gap)2= ST s8 (цт8 g'8)2 -" , -.(1.95)

dcoda)

т 76

Здесь do оф/du - дифференциальное эффективное сечение реакции (1.83) с номером г.

Равенство (1.95) может быть получено в рамках квантовой теории рассеяния. Пусть i обозначает входной канал реакции, в котором находятся частицы Аа и Ар, а / - канал, содержащий А^ и А8. Если гамильтониан системы сталкивающихся молекул инвариантен относительно обращения времени, то

Здесь р, = Дар gap - импульс относительного движения во вход- г ^6

ном канале; do^f = doa^; Т - оператор, изменяющий знаки всех импульсов и моментов. В случае когда дополнительно полный гамильтониан и ’’невозмущенные” межчастичным взаимодействием гамильтонианы в z-м и /-м каналах инвариантны по от- 39

ношению к инверсии Р, то [77]

dOpr^pTidOj^j

р j:— - р*•

J dtodto

Поскольку инверсия меняет знаки обычных (полярных) векторов и оставляет неизменными аксиальные векторы, в состоянии РТ/ импульсы такие же, как в состоянии /, а моменты отличаются знаком. Допустим, что нас не интересуют спиновые состояния молекул (для сложных частиц под ’’спином” понимаем полный собственный момент). Тогда сечения целесообразно усреднить по направлениям спинов начальных и просуммировать по направлениям спинов конечных частиц, введя

1

t/о j^j = — Я dotj

8i (m)

(суммирование идет по проекциям спинов всех частиц). Взяв статистические веса gi и gf в виде произведения таковых для отдельных молекул (g, = sa sp, gf ~ $y s^), получим, что

Sy s$ p? sa Sp pf,(1.96)

1 dto'dto

так как в результате усреднения разница между превращениями PTf-*PTi и f-^i исчезает. Равенство (1.96), очевидно, эквивалентно (1.95).

Переход к уравнению Больцмана, предусматривающему невырожденность квантовых состояний молекул газа, связан, разумеется, с потерей информации о системе. Можно надеяться, однако, что уравнение окажется достаточно эффективным для решения широкого круга задач плазмохимии, в которых, как известно, наиболее интересны распределения по колебательным уровням [82]. Практически уравнение (1.89) является обобщением известного уравнения Ванг Чанг-Уленбека (см., например, [85]), позволяющим учесть возбуждение и колебательную релаксацию, химические реакции, ударную ионизацию и трехчастичную рекомбинацию и т.д. Установим здесь еще связь между интегралами парных упругих и неупругих столкновений, входящими в (1.89), и соответствующими интег- 40

(1.97а)(1.97а)руими из уравнения (4.1.2) книги [1]: lUfafj " fafjVajgajbdbdtd^;

(1.97а)

(1.97а)

1 г— Z 2 52 груб1 г— Z 2 52 груб»аф / татр \31 губ

1 г

— Z 2 5

2 груб

1 г

— Z 2 5

2 груб

I I /у/б fal$ "apSap® х s-y S5 \ т-р mg /

X sin9 dbd0 dedvdvp.(1.976)

Заметим, что скорости V? и т$ в (1.976) на деле зависят лишь от тв, vp, 9 и ф. Поэтому можно сразу проинтегрировать по b и е и получить таким образом соотношение

Г убр г уб

do ap 5 da j P ap (s«p* ®> Ф» b, e)bdbd6 (da = sin9 d9 dф).

Множитель Paj в (1.97а) учитывает влияние неупругих столкновений на сечение упругого рассеяния. Очевидно, что

dOaj s Paj^apb.^bdbde.

В дальнейшем для исследования нейтральных и ионизованных газов мы используем кинетическое уравнение (1.89), в котором, однако, силу Fao заменим на Г« [см. (1.55)]. Кроме того, интеграл упругих столкновений заряженных частиц будет взят в форме (1.82). Удобно также обозначать Fa = Та/та, левую часть уравнения записывать коротко в виде Dfa/Dt, а билинейным по функциям распределения интегралам парных столкновений присвоить г уо

сокращенные обозначения 7о/(Л/) и 7 ag (/,/)• Средние поля Е и В, от которых зависят fa и Fa, удовлетворяют системе уравнений Максвелла (1.58а)-(1.58г). Отметим, что магнитная проницаемость рассматриваемых нами сред мало отличается от единицы, поэтому в гауссовой системе единиц индукция В может быть заменена на напряженность магнитного поля Н.

Глава 2

ОБОБЩЕННЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯВ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВ

ОБОБЩЕННЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ И КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим смесь газов, в которой кроме упругих столкнове. ний частиц возможны неупругие столкновения, в том числе хим» ческие реакции. Процессы переноса в такой системе описываются гидродинамическими уравнениями, которые могут быть получены феноменологическим путем как следствие законов сохранения либо из кинетических уравнений. Следуя второму подходу, з» пишем гидродинамические уравнения Энскога [1, 36], которые легко получить, умножая левую и правую части уравнения (1.89) на молекулярный признак фа частиц сорта а и интегрируя затек по всем скоростям va:

d-d / 9Ф« 9Фа 9Фа\

— (паФа)+—пафаУа- Па ——+Уа- —+Еа-— =dtdr\ dtdrdva /

= J?.(2.1)

В этой главе Fa - сила, действующая на единицу массы частицы; черта означает осреднение по правилу

1

Фа =5 /а Фа ^va*

па

Интегралы столкновений определяются через символическую производную - столкновительный член кинетического уравнения:

Уравнения Энскога (УЭ) есть прямое следствие уравнения Больцмана, которое может быть получено в рамках прозрачного так называемого ’’физического” вывода, основанного на расчете изменения функции распределения в некотором фазовом объеме за счет столкновений. Обобщенное уравнение Больцмана (ОУБ), учитывающее изменение функции распределения в гв -масштабе [и, как следствие, обобщенные гидродинамические уравнения Энскога (ОУЭ)], может

gyjb выведено только на основе иерархии уравнений ББГКИ [6]. Тем не менее в §2.1 мы используем элементы ’’физического” выводе ОУБ, которые могут рассматриваться только как наводящие соображения, обоснование которых содержится в § 2.2.

(2.2)(2.2)Получим гидродинамические уравнения для многоскоростной У^пттемпературной смеси реагирующих газов. Уравнение неразрывности для компонента а может быть найдено обычным образом при подстановке фа = та в (2.1) (та - масса частицы а) и записано в виде

(2.2)

(2.2)

+ —'<Р«т0 + Л) = Ra dt dr

где J» * плотность диффузионного потока; Ra - массовая скорость образования компонента а в результате всех реакций; ц - среднемассовая скорость.

Использование инварианта столкновений Фа = таУа» где Va - тепловая скорость частицы, приводит к уравнению движения

d-d I dVa

~ (Р<х^а) +~"Pava^a ~ Pal-~ +

dt9г\ dt

I9 \I9 \\ col

+ V — К + V— Va = J™.(2.3)

\9t I\9la //

Если ввести тензор давлений Pa = PaVaVa, то уравнения движения принимают вид

9Jaаадт0

~ + -^‘Р“ + 4-'v°J« + Р«Т" + otdrdrot

./- _ 9 \ v _ .col,

Pa I va ’ I v0 ” Pa ^a ^a •

\ dr J

При суммировании no a получаем обычную форму уравнения

Движения для смеси газов:

dVQ I а \d

Р-+ Р ’оV0 = EpaFaР.(2.4)

at \ а* I « а?

В физике плазмы, когда средние скорости va компонентов могут

сильно различаться, вводят тензор давлений Ра * PaVaVa, г^ Va = va- Va, Va = 0. Связь между тензорами давлений Ра и имеет вид

Ра = Ра + PaVaVa.(2.5)

Если воспользоваться (2.5), то получим обобщение уравнение движения в форме Брагинского [26]:

Dvad *— col

Ра" = Ра Ра “* Ра “ ^aVa + Ja ,(2.6)

Dtdr

где оператор d а _ а

+ va •.(2.7) Dt dtdt

Для инварианта столкновений Ea = maVg/2 + ea (ea “ внутренняя энергия компонента а, не связанная с тепловым движением) находим из (2.1):

dna^a8 / 8EadEadE« \ col

+ na va ^a ~ na I + va + ^a I = la •

dtdr\ dtdr9va /

Введем тепловой поток

Qa = Pa^a^a/2 + na ea Va(2.8)

и среднюю внутреннюю энергию, приходящуюся на единицу массы смеси:

Ua = Еа/та.(2.9)

Тогда уравнения энергии приобретают вид

" 4UJ 1' v0 Pa Ча 1 "

dtdr

Id \d

+ Ja " T0 'v0 + Pa :v0 "

\dr Jdr

9, 9vq

''^a + ia+

drdt

P.F.'V,-^1.(2-Ю)

Если ввести оператор

d9— =+ v0 еdtdtd9— =+ v0 еdtdtddrddr(2.11)(2.11)

d9

— =+ v0 е

dtdt

d9

— =+ v0 е

dtdt

d

dr

d

dr

(2.11)

(2.11)

и воспользоваться уравнением неразрывности (2.2), то уравнения (2.10) запишутся так:

dn. -8- „8dig

р.—- Ч.—Л * ЧА ♦ —Л. * V~7 " dtdrdrdt

+ ^a:V° Pa ^a ^a ~ ^a ’

dt

или через температуру Ta компонента a (ma^ = 3kBTa),

dla * d*ddvn

”«%,— - UaA + Ц, A +qa + JaL +4 «drdrdt

•'.A - р.^л-'?- dr

поскольку

dUadTadEa

= n c : c .

dta dt a 3Ta

В плазмохимии используется тепловой поток

%= 0/2)paVa2va + ntteaVa.(2.12)

Связь тепловых потоков qan qa такова:

% = i, + (Va Ja)Va - - V = Ja - ^pa ^ + na e J v0. (2.13)

2\ 2I

Отметим еще полезные соотношения:

Уа= V^ V^; V$ = ^^-- V^ T = lnaTa/n. (2.14) maa

Тогда возможна запись уравнения энергии в форме, являющей^' обобщением уравнения энергии Брагинского [26]:‘

DTa8 ._ 8 _,

”«%-Г""4” ~ ^"Т”*0 + J“ " а Dtdidr

8 .8

" T^'OT + ^"^ + P«F«-Va - drdr

9Id-.,

J« ^а • ~” To +~ ' ( ^ a Ja) - UaRa.(2.15

pa8t2 dr

Обратимся теперь к выводу уравнений гидродинамики новы шейной точности [4, 91]. С этой целью рассмотрим изменение чие ла частиц сорта а, первоначально в момент времени t находивших ся в объеме di dVa фазового пространства. Через интервал времен dt частицы в отсутствие столкновений будут находиться в объе ме dtudtd^dt и при этом разность /а [г (t + dt), va(t + dt), t + dt]> х dt*dt di^dt - f^t,^, t)dt di^ обратится в нуль. При наличи внешних сил Fa, например сил Лоренца, нет оснований, вообш говоря, считать, что элементы фазового объема сохраняются с те чением времени. Можно показать, в частности, что элементы фа зического объема преобразуются с точностью до членов 0[(dt)2] так

dt*dt = jl + ——f^dtndt. ( dr)

Однако в общем случае необходимо вводить шестимерный якобиа ., t+dt t+dt-.-.t t.„

d[r Ла J/d[r , vj. Запишем уравнение Больцмана:

/а/а11 3Fa

/а

/а

г + та dt + —Fa(dt)2, va + ¥adt + — -^—(dt)2, t+dt x

J t*dt t+dt dlr , ia

d r,ra

/a(r»va>0 ~ [Лхупр + /анеупр]dt,

сохранив в левой части уравнения члены О [(Л)2]. Вычисление р,а»яиного якобиана приводит к результату

Г t+л t+at] d[r > та J

= 1 +

1 а

2 Эг

(dt)2,

где Са “ заряд частицы сорта а; В - магнитная индукция. Разлагая функцию распределения в ряд и сохраняя члены 0[(dt)3], получаем следующее кинетическое уравнение:

9/аat

а

: ^TF°

»/.аа-,,

я 1« * "” Fa + "- 1— + а’а8*8?

9*/а

+

+ 2 dv at F<x + 2 dtdt ‘M ” Jotynp + JaHe^‘

(2.16)

В уравнении (2.16) введено обозначение dt=2t. При этом т здесь следует рассматривать как положительный или отрицательный параметр, связанный с окрестностью, в которой функция распределения может быть представлена в виде суммы ряда Тейлора. Умножая почленно уравнение (2.16) на молекулярный признак Фа и интегрируя по скорости та, получаем обобщенное гидродинамическое уравнение Энскога:

с I / 9^“8f«8fa \(9/„

J Фа( +va+ЕаI dva + т j фа j Fa+\ dtdrdva /(gr

92/a97a97a„ n

+: VaVa +: FaF« + 2: Va^a + 2+

dr dr . ^a^’aдтадгадтад*

+ 2• Та [ dva = $ Фа Jaynp^Ta * S Фа ^анеупр ^a-(2.11

drdf )1

Получим теперь обобщенные гидродинамические уравнения неразр^ ности, движения и энергии. Преобразование соответствующих члену в (2.17) оказывается весьма громоздким, и в дальнейшем бу^ указаны только основные моменты этих преобразований. При вывод уравнений будет указывать форму уравнений и для плазмы, д частицы которой действует сила Лоренца та¥® = ea va х в.

В общем случае

Fa - Fa + Fa ,

где Fa^ - сила, действующая на единицу массы частицы сорта а и ц зависящая от ее скорости. Эта сила может быть связана с ускорений свободного падения g или напряженностью электрического поля I Для силы Лоренца выполняется, например, соотношение

г d^a „В „В./ е“ V

5: Fa Fa dva = —2В3 I I na.

B'a B^a' ma '

Уравнение неразрывности для компонента приобретает вид

^Ра d(д

~— + —“• (Ра Vp +ja) + T<(paFa )-

ot dr(dr

ea9_ d=p„ d’

-— (фа Ta x B) + ——— + ———:Pa + madrd^drdr

dsd»

+ 2ТГ:1’|Ь+ТГ:|’“Т«Т»+ drdrdrdr

(2.1(2.1

(2.1

(2.1

а ((Р+тdt (а ((Р+тdt (

а (

(Р+тdt (

а (

(Р+тdt (

Суммирование уравнений (2.18) no a приводит к уравнению неразрывности для смеси, которое запишем в дивергентном виде:

dp d) d (

—+. (Рто) (+)Pvo+

dt dr ‘ J ) dr (

[

дэа

(Pvo)+Pvovo+р- dtdrdr

= 0.= 0.(2.19)(2.19). ZpaFa(1)- 2 ——(Pavox5 + jaxB) aa ma

= 0.

= 0.

(2.19)

(2.19)

р^пи массовые силы Fa не зависят от скорости частиц, то уравнения (2.18) упрощаются:

do- Э( д(1) d3p№

(Pavo + ja) + T(%*«) + — +

dt drdrdt2

d2d2d2

+:Pa + 2: voja +: Pavovo +

dr drdr drdr dr

(2.20)(2.20)

(2.20)

(2.20)

Уравнение неразрывности в приближении Эйлера (fa - максвелловская функция распределения) записывается так:

др а( а (1) аа2р

— +.(Pv) + TjSp F«?тохВ) + +

dt dr °( ' dr a “ “ dr ° dt2

(2.21)(2.21). d2d / d \

(2.21)

(2.21)

*Ap+:Pvnvn + 2Pvn f = 0.

drdrdt \ dr /)

где △- лапласиан; Q = 2 ea na.B одномерном случае (Fa = 0) получаем из (2.20):dpd+dtdxгде △- лапласиан; Q = 2 ea na.B одномерном случае (Fa = 0) получаем из (2.20):dpd+dtdxI d2p (pvo) + T j +I dt2I d2p (pvo) + T j +I dt2d2d2d2d2(p+pvo2)+ 2(pvo)[ = O. dx2dtdx )(p+pvo2)+ 2(pvo)[ = O. dx2dtdx )

где △- лапласиан; Q = 2 ea na.B одномерном случае (Fa = 0) получаем из (2.20):

dpd

+dtdx

где △- лапласиан; Q = 2 ea na.B одномерном случае (Fa = 0) получаем из (2.20):

dpd

+dtdx

I d2p (pvo) + T j +

I dt2

I d2p (pvo) + T j +

I dt2

d2

d2

d2

d2

(p+pvo2)+ 2(pvo)[ = O. dx2dtdx )

(p+pvo2)+ 2(pvo)[ = O. dx2dtdx )

Перейдем к уравнению движения. При преобразовании формул возникают триады. Введем следующее определение: если триада образована векторами А, В, С, то двойное тензорное произведение Диады д 2 / д г 0 г на триаду АВС образует вектор по правилу

а»а1

:АВС = 2А=В,С. 8tdtij дг{8^1 1

В результате, например.

SjmaTa:TaVadTa -: (Р+Р^ото)тО +

adrdrdrdr

d2 d2

+ 2 ——: 2 Pa (Va T0)Va + ——: Z pa (Va Va) Ve. drdradrdr a

Если массовые силы Fa не зависят от скорости частиц, то возможна' запись уравнения дижения в виде

+

а

+(Рт0 + (PTqTq)Tq + Spa(VaT0)Va + 2pa (т0 Va)Va + draa

(2.23)(2.23)♦ Zpe(VaVa)Va] -X^PaVa - SPatr^ = 0. aaa)

(2.23)

(2.23)

Укажем форму уравнения движения с учетом лоренцевой силы:

dddл)

(р То) +(р vovo) +р - Spa Fa ~ 8tdrdra

~ ^Paa~ ^Paaa^dta^dt

~ ^Paa

~ ^Paa

a^dt

a^dt

dBea \_ d

—- XSI ]Pava ~ ^Pava~ * ^adr a \ ma /a or

.—(рто) +:(р + pvovo)vo + 2:Epa(Vavo)Va +

т gpdrdrdrdr «

+ J^:Epa(vJJva + s!(—?Р«[В(ВЛ) * *41 { "8tdt a\ та I)

- ЗЕЕ*0-^—(P«v«) - Е^- — ](pava) - a dra\ dr /

д I еа \

- 2- 2— • £ I Pa Va Va

- 2

- 2

dr a\ ma J

d2

drdt

•(p Vo To) +

ddrddr

d

dr

d

dr

a2ea \ -

*2——P+ 2E —— p v v -rotB - Ер т drdt «\ ma /a \

(2.24)

Приведем уравнения Эйлера. Из (2.24) находим:

ОО/IX

(рто) +(ртото) +р! - EpaFa - От0хВ + 3»dra

+ т+ тааг^ эьа ,п

+ т

+ т

——[evoToXB]-Epa—— + — XQr0-T0EpaГа +

агa dt at v a dr a

91а2а / d\

* T~(pvo) +:(P + ртото)то + 2(pv0) +

9^drdrdr \ dr/

ea \2m а

pa[B(B-T0) - B^vo]; - 2ef;1}(pavo) - ma Ia dr

(m d \

F" ■"7")(p■,‘,"2

d

—— 'Qvovo dr

X в -

/9 \(1) 9 рау

- 2 Вх eQ^^ - 2EF^ + 2Вх(Qvg) +

\ dr /a dtdt

д2Э2/ d \

+ 2TTr'(pV°Vo) + 2——-Р-20*0VO-rote -Ер v0- — X drdtdrdta \

X ^^ + ^ ^V0 ~^~ ^ B x v0 ~ Seana(Fa1)xB)j = °-(2.25)

Запишем еще обобщенные уравнения Эйлера для движения в поле силы тяжести, используя координатную форму:

d С гаа

— 3 Р V6 + Т (PVOj) +(рбц + pVjj,4j ) - pgj at [ J ata^ *. J

P + тP + тdpa + (P ^.) atartdpa + (P ^.) atarta (

P + т

P + т

dpa

+ (P ^.) atart

dpa

+ (P ^.) atart

gj + \р&ц + PVot^ot + ar,- (

aa

+ I+ I(pfiy + P Vb, V6j) +(P^j^ik + P%6ik + pv»k6ij +

+ I

+ I

+ РЧ||*6/*5к) - gi^^j - P^igj | = 0 1мЛ = 1,2,3).(2.26)

Одномерное уравнение движения в отсутствие массовых сил имеет вид

аа(а2а2

(Р^) +(Р + Р^) + т ](Р vb) + 2(P + PV?) + atах( st2at ах u

a2)

+(3vgp + pri?) ( = 0.(2.27)

ax2u )

Рассмотрим уравнение энергии для смеси газов. Используем

пта/а

инвариант Ба = ф„ +еа; отметим, что 2

Р(Х9

*^а “ *+ ^0 ’ ia + Ра + ^а ^а> ^ = ^^ав(2.28)

22а

укажем результаты преобразования некоторых членов:

ESB^-^dy^-^-E";(2.29)

e at*at*

п ^Ча В В/\2

£$Е”:F,Fedve-Epa -М (В-у0)3 + a dvadvaа ' та /

(

I еа \2\/ еа \2-

В-Е + ZpJ (B-Va)2 -

а \ та // а \ та /

/ еа \2/ еа \2

- 2B2^ZpJ - 4B=v0.E ja-

а \ та Jа\ та /

/ еа \3 —/ еа \2 еа

- 2В2Ера V2 - 2В=Е ра.(2.30)

а \ та ]а\ та I та

Приведем сводку уравнений энергии. Если в плазмохимической смеси газов действуют силы Лоренца, то уравнение энергии записывается так:

д / ру-g \3дрaId

dt \ 2 )2 dtat a a 2 dr0 7

aз aaa

+ 4—(vo'p) + T-5—(vop) + T-'(voZnaea) + ——Q - ot2 arar aar

aa!ea — n / d \ Z Еа I vo x —- I • В + a ma \ dr /

a

a

+ z— a ma

a2

drdr

2

2

•B - Z

at?

a dt

* Pa va “

z5.n—.Fw a o a a dr

•B +

d2E"

dt2

Ip^o2 \92

: vo vo +\2 /drdr

PVO

8ad2

^ТТГ^'^-Т^ИЫЛд + «тогdrdr a

1 8a-—;391

~ ГЧ • ^ Pa Va Va Уд + ——-—: рто vq +

2 drdr a2drdr

8191 6a

1 7 а :V0Q + "a a :Z[Pa^O’O + PaJ + drdrdtdr a m„

ПК / ea \3I e« \s

+ ZpaF<; + Zptt (B-ю)2 + Zpa (B-V„)2 +

««\ ma /a \ ma /

— В В * X Pg a— В В * X Pg a

— В В * X Pg a

— В В * X Pg a

' а

• "7(РаЮЮ + H)ja + кЮ + Pa) dr

eam/ 1\

~ 2Pa ’a ‘ [Fa x B] ~ rot В • Zpa —v„ v£ + v„ e„ I -a maa ma \ 2/

m dЭ2

+ Pa (’O' Va)(v«xB)+ Pa (’O' Va)(v«xB)- 22Е^-— (p„v„) + 2(voE")*

+ Pa (’O' Va)(v«xB)

+ Pa (’O' Va)(v«xB)

a dtdrdt

d2d2d ea1

+ 2(v0 • p) + 2q - (ihXfl) • Z E„ [ - 0.

drdtdrdtdr J a ma)

(2.31)

Уравнение энергии в эйлеровском приближении, описывающей перенос энергии в поле силы тяжести, имеет вид

9(3р»§j —р + + Т dt ( 229(3р»§j —р + + Т dt ( 229/ 3pr^ \d// р^

9(3р»§

j —р + + Т dt ( 22

9(3р»§

j —р + + Т dt ( 22

— — Р + +То +

dt\ 22 /dr\\ 2

— pl I - g'Pvi2 II— pl I - g'Pvi2 III И5\ .VO + — p +\22/I И5\ .VO + — p +\22/75 p* '+ —рщ’о + —1— 22 p .75 p* '+ —рщ’о + —1— 22 p .P Vj) Vq " g —P Vj) Vq " g —51—PigPVql'g 2251—PigPVql'g 22

— pl I - g'Pvi

2 II

— pl I - g'Pvi

2 II

I И5\ .

VO + — p +

\22/

I И5\ .

VO + — p +

\22/

75 p* '

+ —рщ’о + —1— 22 p .

75 p* '

+ —рщ’о + —1— 22 p .

P Vj) Vq " g —

P Vj) Vq " g —

51

—PigPVql'g 22

51

—PigPVql'g 22

ээрa

P Vj) + TP Vj) + T-r-(Pli)) + ““ + ~—'(PvqVo) - Pg otdrdr

P Vj) + T

P Vj) + T

(2.32)

Укажем еще вид уравнения энергии для одномерного нестационарного случая в отсутствие массовых сил:

а (]3р + pv§ + т di /а (]3р + pv§ + т di /dd

а (

]3р + pv§ + т di /

а (

]3р + pv§ + т di /

-—(Зр + Р vg) + ——(Ч) (Р^о + 5р)) atЭх

a । + dx

a

; *6 (pv? + 5p) + T (vb (pvg + 5p)) + dt

(2.33)(2.33)э [р» \

(2.33)

(2.33)

+ —-- pvg + 8pv§ + 5 — dx \р /

Уравнения гидродинамики могут быть получены с помощью системы инвариантов столкновений, записанных относительно полной или тепловой скорости частиц. Разумеется, эти формы Уравнений являются линейно зависимыми, использование той или иной формы уравнения является только вопросом удобства та ^а вычислений. Например, использование инварианта Фа = Еа = +

2

+ еа в отсутствие внешних сил приводит к следующему виду уравнения энергии: (р ^ = Sра ^а) а

a л 9Л dd( d2 А

+ *—'(Pvo^) + -Т— Ч + Р:—— vo + т j—— (р[/) + atardrdr( dta

I d»0 \2 i a2a2—

+ P II +:Vq P +:v^ • Zpa (Va Va) Va +

\ dt /2 drdrdrdr a

d2 d2

+:Spa(VaVa)^ + 2:Spa(Va v0) Va • v0 +

drdr adrdr a

d2 J1 d2

+: sPa(Va Vo) ya +: P(vo vo) ^ +

drdr a2 drdr

d2d2

T T7":p(v«To) - ’o •——:(P + Pvo v0) V0 *

2drdrdrdr

d2 d2

- 2^-—-: Zpa(Va v0)Va - Vq •‘^Pa(^a^a)^a +

drdr adrdr a

a2i a2:P + —r02drdr2drdra2i a2:P + —r02drdr2drdr:Pv0 V0 +:Pv0 V0 +d2———: 2ea[Pa + dr dr ad2———: 2ea[Pa + dr dr a

a2i a2

:P + —r02drdr2drdr

a2i a2

:P + —r02drdr2drdr

:Pv0 V0 +

:Pv0 V0 +

d2

———: 2ea[Pa + dr dr a

d2

———: 2ea[Pa + dr dr a

d2

+ 2v0 ja + pa v0 v0] + 2[Q + v01 ea na + vg • P +drdta

3pr§+ —PVg + Vg223pr§+ —PVg + Vg22- 2v0-- 2v0-d2—(P + P Vq Vq) drdtd2—(P + P Vq Vq) drdt++

3pr§

+ —PVg + Vg22

3pr§

+ —PVg + Vg22

- 2v0-

- 2v0-

d2

—(P + P Vq Vq) drdt

d2

—(P + P Vq Vq) drdt

+

+

,2 0,2 0d2drdtd2drdt•(PVqW = 0.•(PVqW = 0.

,2 0

,2 0

d2

drdt

d2

drdt

•(PVqW = 0.

•(PVqW = 0.

Обобщенные гидродинамические уравнения имеют вид урав* нений в частных производных с малым параметром при старшей производной. Использование этих уравнений позволяет построить эффективные разностные схемы, поскольку в уравнениях имеются члены, аналогичные искусственной вязкости, и получить лучшее описание быстропротекающих процессов, сопровождающихся быст рым изменением характерных физических величин [4, 19]. Отме тим, что аналогичные по структуре уравнения были постулирова* ны в [66] с целью доказательства для случая несжимаемой жид кости однозначной разрешимости в целом начально-краевых за’ дач, описываемых уравнениями Навье-Стокса. Однако полученный здесь уравнения обладают гораздо более широким спектром воз

хностей, представляя собой, по сути, уравнения гидродинамики ^рытенной точности. Мы убедимся в этом в последующих разде- дус этой главы.

Отметим также, что при численном интегрировании уравнения Власова возникает проблема филаментации функции распределения по скоростям. В результате приходится прибегать к процедуре фильтроц*™, которая приводит к появлению перекрестных производных второго порядка в уравнении Власова (см., например, [105]). Нетрудно видеть, что упомянутые уравнения есть частный случай уравнений (2.16).

ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА.

ВТОРОЕ обобщенное приближение навье-стоксаВ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вывод кинетических уравнений в § 2.1 этой главы, используя общепринятую терминологию, можно охарактеризовать как ’’физический” вывод кинетических уравнений, следствием которого являются обобщенные гидродинамические уравнения Энскога. Обсудим взаимосвязь этих уравнений с результатами классических методов Чепмена-Энскога и Гильберта [6].

Как известно, уравнение Больцмана для однокомпонентного нереагирующего газа может быть записано в виде

Df/Dt = /со1,(2.35)

.col где 1 - столкновительный член,

^ = 5 [/71 - ffilgbdbd<$ diu

а оператор

DЭдЭ

+ v0-+ F-.

CtStdrЭт-

Запишем, сохраняя старые обозначения и используя число Кнудсена, уравнение Больцмана в безразмерном виде

-^L = 1 /°1

Dt Кп ’

где Кп - число Кнудсена, равное отношению средней длины пробега к характерному гидродинамическому размеру.

В методе Чепмена-Энскога используется разложение в рЯд по малому числу Кнудсена

/ = /0) + Кп/(1) + Кп3/2) + ... = /0)(1 + Кп <р(1) + Кп2 <р(2) + .4 (2.37)

Введем оператор

iV,i • —S Vii + Ki- Hi - Kigbdbd^ dix.(2.38)

2

Тогда нулевое приближение по числу Кп

Ц^А - 0(2.39)

/0) приводит к максвелловской функции / .

В первом приближении имеем

D1®ГО.-ни® л® А(2.40)

Как известно, частная производная по времени в левой части уравнения (2.40) исключается в методе Чепмена-Энскога с помощью уравнений гидродинамики в эйлеровском приближении. Тем самым в методе Чепмена-Энскога релаксационные процессы учитываются неявно, через гидродинамические уравнения. Аналогично строятся и последующие приближения. Во втором приближении

—А - т® АРА - «А,РА.<2.4»

Dt

в к-м приближении

—^г-'ь - ktVwvk-ih - iiv^a

Dt1=1

(k = 1,2,...; ф(0)= 1).(2.42)

Обратимся теперь к построению решения по начальным данным в методе Гильберта:

DfDtDfDt(2.43)(2.43)

Df

Dt

Df

Dt

(2.43)

(2.43)

f (tg+ ^ r0+ ¥o ^ V0+ F T) = /(fg, fg, Vg) +

D XV t2 — +

Dt Dt Jt=O 2

В интегральной форме уравнение Больцмана может быть записанр в ряде (знак обезразмеривания опускается)

/U rg+vg(t—to)» Vg+F(t-tg))-/g =

t

[’

- — I / (S, Ig + Tg (5 - tg), Vg + F (S - tg)) *,(2.44)

Kn J

f0

где т-t-tQ..

В нулевом приближении по числу Kn имеем

t

j/ds = О,(2.45)

Ч

откуда следует

7-0,(2.46)

поскольку уравнение (2.45) выполняется при произвольном нижнем пределе интегрирования. В первом приближении /=/^(1 + Кп ф^, где /0) - максвелловская функция, а ф^ определяется интегральным уравнением

(0)f

— ,♦т - 2 ( hA/W

• Dt Jt=O DtJT=0 J

'to(2.47)

Если теперь предположить, что безразмерный интервал времени т = О(Кп), то вторым членом слева можно пренебречь и при маЛых т из (2.47) следует (2.40). Аналогично действуем во втором приближении:

f^Q +Кпф(1) + Кп2ф(2)),

(0) о/ t + т KnDt -Ito(0) о/ t + т KnDt -Ito—(А*/Dt—(А*/Dt+ т Kn2<0+ т Kn2<0—(/°>ф<2>Dt—(/°>ф<2>Dt

(0) о/ t + т Kn

Dt -Ito

(0) о/ t + т Kn

Dt -Ito

—(А*/

Dt

—(А*/

Dt

+ т Kn2

<0

+ т Kn2

<0

—(/°>ф<2>

Dt

—(/°>ф<2>

Dt

DDfV

+ Kn —

DtDt Jf() 2

X®Kn2 2X®Kn2 2c/vVc/vV

X®

Kn2 2

X®

Kn2 2

c/vV

c/vV

tl^VV^AK^ 21^,^.,™1,Кп1^(2-481

Применение разложения в ряд Тейлора и уравнения (2.40) при

водит к результату:

tQ+T2 WVV^-tQ+T2 WVV^-<0Ч$-1»)<0Ч$-1»)ds =ds =m hom hoX f0X f0(2.49)(2.49)

tQ+T

2 WVV^-

tQ+T

2 WVV^-

<0

Ч$-1»)

<0

Ч$-1»)

ds =

ds =

m ho

m ho

X f0

X f0

(2.49)

(2.49)

Используя (2.49), из (2.48) находим

—(A™)Dt—(A™)Dtт + т Kn ■ f0т + т Kn ■ f0(A®)(A®)+f0+f0

—(A™)

Dt

—(A™)

Dt

т + т Kn ■ f0

т + т Kn ■ f0

(A®)

(A®)

+

f0

+

f0

——v№ADt Dt——v№ADt DtX® D D /q) mX®

——v№ADt Dt

——v№ADt Dt

(/°^U))+ Kn —

2 Dt Dtt„2

t0 + T

-(2.5(

, (о) ax -I , t0V

5LJL2 .1 щ/\™, ^Л» 2/«"^А^.

Dt Jt0 Т J tfl(2.51)

Применяя разложение в ряд, находим

■^1 -IpVVVV*

A^V'A ^k/WvntJ t00A^V'A ^k/WvntJ t00и- A, (/-, /%<»> . Dtи- A, (/-, /%<»> . Dt(2.52)(2.52)to Jto J

A^V'A ^k/WvntJ t00

A^V'A ^k/WvntJ t00

и- A, (/-, /%<»> . Dt

и- A, (/-, /%<»> . Dt

(2.52)

(2.52)

to J

to J

Из (2.52) следует уравнение (2.41) второго приближения при малых т. Аналогичные рассуждения справедливы, конечно, для любого приближения.

Тем самым мы воспроизвели хорошо известный результат (см. также [61]). Для того чтобы перейти к разложению Чепмена-Энско- га, необходимо использовать разложение функции распределения по безразмерному времени около начального момента to при т = -О(Кп).

Обратимся теперь вновь к разложению типа (2.43), например вида

faU. r,¥«) - /a(t- At, г- Ar, va — Ava) =faU. r,¥«) - /a(t- At, г- Ar, va — Ava) =DfgDtDfgDtAt - tAt - t(At)2 D2 [ Dt(At)2 D2 [ DtDfaDt JtDfaDt Jt(2.53;(2.53;

faU. r,¥«) - /a(t- At, г- Ar, va — Ava) =

faU. r,¥«) - /a(t- At, г- Ar, va — Ava) =

Dfg

Dt

Dfg

Dt

At - t

At - t

(At)2 D

2 [ Dt

(At)2 D

2 [ Dt

Dfa

Dt Jt

Dfa

Dt Jt

(2.53;

(2.53;

Дяя многокомпонентного газа (a = 1, 2, ..., ц), которое приводи! к кинетическому уравнению

(2.54)(2.54)_ т D=1/°1

(2.54)

(2.54)

Dt Dt Dt Kn “

Поскольку возможно разложение ’’вперед” и ’’назад” по времени, Уравнение (2.54) может быть записано в виде

(2.55)(2.55)Dfa . DDfa1 col

(2.55)

(2.55)

± тIa , Dt DtDtKn

где t = O(Kn).

При малых числах Кнудсена кинетическое уравнение (2.55) пере- ходит в классическое уравнение Больцмана. Однако с ростом t влияние второго члена слева в (2.55) становится все более заметным. Учет этого члена (см., например, § 2.3, 2.4) позволяет существенно расширить возможности падродинамического описания. Оказывается, учет того или иного знака в левой части (2.55) приводит к качественно иному типу релаксации. Обратимся теперь к строгому выводу обобщенного уравнения Больцмана.

Прежде всего рассмотрим безразмерные кинетические уравнения ББГКИ в форме (1.40). Первый член в левой части (1.40) может быть опущен только при использовании дополнительного предположения, что функция распределения первого приближения слабо изменяется на расстояниях порядка гв за время порядка тв. Без учета указанного члена уравнение (1.40) сводится к уравнению Больцмана. Существенно, что член Di/j/DtB содержит функцию более высокого порядка /} по сравнению с другими членами уравнения (1.40), в которые входит только У®. Подчеркнем, что интегральный член кинетического уравнения (1.40) не содержит функцию У у Таким образом, система уравнений остается зацепляющейся. Отметим, что

(2.56)

Возникает вопрос о приближенном представлении (2.56) на врем» нах порядка времени столкновения или в гв-масштабе [6]. Таки* образом, проблемы секулярных членов здесь не возникает. В гв-мас штабе естественно использовать следующую аппроксимацию:

Dlfl#18 flI 8tB \8 fl8*B I 8tB \

~ = —” +—

DtBD^8tB' de ' e=08rB8tB ' de ' e=0

+ 9^ - ^ I 8*B \

^ Э£ \ de )e_0

формулу (2.57) представим в виде

то приводит к кинетическому уравнению

U_д/2~

= 2 ^“И%1-▼в2)'7Тdr162 Bdv62.(2.59)

6-1 Nd,162,B

Параметр (dtB/dc)e=o пропорционален параметру т кинетического уравнения повышенной точности, "физический” вывод которого

содержится в §2.1. Параметр (dtB/de)6 = o может трактоваться в терминах среднего времени между столкновениями. Действительно, если уравнение (2.65) записать в размерном виде, то

во

т-,(2.60)

[de/dt]6=0

где Ео - "равновесная” концентрация частиц в объеме, определяемом радиусом взаимодействия частиц. Таким образом, справедливо релаксационное уравнение

de eg - е

—■ —•<2-61>

Как следует из (2.60), в простейшем случае величина т совпадает со средним временем между столкновениями. Таким образом, параметр т в (2.16) может быть в простейшем случае отождествлен со средним временем между столкновениями частиц. Исследуем прежде всего уравнение (2.55) для одномерного нестационарного бесстолкновительного” движения в отсутствие внешних сил. Уравнение (2.55) запишем в виде

9/ а/ д2/8afУ$

+ у+ т+ 2ту+ ту3= 0.(2.62)

Эх Э^dxdtЭх2

Легко видеть, что уравнение (2.62) есть уравнение параболического типа, а использование переменных £ = x-vt, n = t позволяет привести его к каноническому виду

a2/df

т+= 0.(2.63)

dr)2дц

Интегрирование (2.63) осуществляется элементарно и приводит к результату

Эт) т

Но это уравнение типа БГК, и, следовательно, параметр т определяет время релаксации к равновесному состоянию, описываемому

W(0)

функцией распределения / . Иначе говоря,

Таким образом, в рассматриваемом случае мы приходим к релаксационному кинетическому уравнению типа БГК:

dt Эх т

Как известно, для уравнения типа (2.66) не составляет труда доказать Я-теорему Больцмана. Рассмотрим взаимосвязь Я-теоремы Больцмана и обобщенного уравнения Больцмана [127] (сначала при т = const)

д/а2/

± т= J,(2.67) dtdt2

записанного для пространственно однородного случая при отсутсг вии внешних сил. Введем Я-функцию Больцмана

(2.68)(2.68)(2.69)(2.69)Я= S/ln/dv

(2.68)

(2.68)

(2.69)

(2.69)

и умножим левую и правую части уравнения (2.67) на In/:

1 , 8f d*f ' ln'~ ± Un/ Jto/.

В уравнениях (2.67) и (2.69) перед вторым членом левой части указаны два возможных знака, т есть среднее время между столкновениями частиц.

Если воспользоваться соотношениями

8484(2.70)

84

84

(2.71)

и уравнением (2.67), то (2.69) преобразуется к виду 8da1 I 8f \а

(fin/) ± т(/In/) = (1 + Inf)J ± т(— . (2.72) atat1f \ at I

Проинтегрируем теперь почленйо (2.72) по скорости v и преобразуем правую часть полученного соотношения:

эна»нс г I д$ \а

±т= ± т I— dv—

dtat1J / \ at /

//i, ,

J In(/ h - /Л) gbdbdb dvd^.(2.73)

//1

Из (2.73) следует, что если выполняются условия ан

э»нэ»н< 0, (принцип Больцмана);(2.74)

э»н

э»н

(2-75)

10 только при выборе отрицательного знака в (2.67) всегда выполняется неравенство

дн92Н

т < 0.

dt9ti

Представим теперь столкновительный член в (2.67) в форме БГК.

Тогда для пространственно однородного случая (если среднее вре. мя между столкновениями совпадает с временем релаксации) кинетическое уравнение принимает вид

/± т/"=(/(0)- /)/т

(2.76)

и, следовательно, с точностью до непринципиальных постоянных

f - ^ ^ е t/T sin t/т

(2.77)

или

/-/^е^

(2.78)

(в зависимости от знака перед старшей производной). Таким образом, выбор знака определяет принципиально разный режим релаксации - либо колебательное затухание (например, флуктуации концентрации), либо чисто экспоненциальную релаксацию к состоянию равновесия. В частном случае из (2.55) следует уравнение Фоккера- Планка.

Если невозможно пренебречь изменением среднего времени пробега между столкновениями т во времени и в пространстве, то, как следует из (2.59), (2.60), уравнение (2.67) должно быть записано так:

dfd Idf \

+ X= j$ dtdt \dt I

что ведет к неравенству [128]

ат \ ана2н

1т< 0

dt / dtdt2

или к обобщенной формулировке Я-теоремы

ан°

— ^ о,

dt

где Я0 = н - тдН/dt - обобщенная энтропия неравновесного состояния.

Как было доказано [см. (1.35), (1.41)], при использовании а^ проксимации (2.59) столкновительный член обобщенного уравН^ 66

даЯ Больцмана (ОУБ) записывается в классической форме JB, поскольку интеграл столкновений в (1.35) [см. также (2.59)] содер-

жит только функции /2°- Итак, ОУБ записывается в виде

(2.79)(2.79)Of aD IDfa \

(2.79)

(2.79)

Iт I ~ 'В, а»

DtDt \Dt I

где

dFa' dvadFa' dvaD9d

d

Fa' dva

d

Fa' dva

+ v«+

DtStdr

или

DfgОт Д/аDlfa

DtDt DtDt3

где

P4fa _

92'«

♦ 2va*

dr dt

- + 2Fa--

92/a

d2/a

Dt3

dt2

dvadt

dr dr

• va va +

^fg

+ 2

8rdva

:Fa

„ 9/«

Va + Fa dr

dFa + •

dt

^/a + dva

9fa

T^V« dva

d

: — Fa + dr

92/а +

dva $Ta

^/a

• * a * a T ** a

9’a

d

’ "я ^a dva

В гидродинамическом пределе ОУБ может быть записано в более простом виде

(2.79,)(2.79,)D3faDt " Т-^-" Js'a'

(2.79,)

(2.79,)

Действительно, при Кп -* О среднее время между столкновениями выражается через гидродинамические величины. Например, для Модели твердых сфер [86] тр = 0,786л» где п - динамическая вяз- Dx Dfa

ость* Таким образом, опуская членв гидродинамиче-

Dt Dt

ских уранениях, мы пренебрегаем малыми членами, пропорцио-

нальными произведению т на производные по времени и простру, ству от логарифма гидродинамических величин.

Принципиально важным является то обстоятельство, что в о> личие от классической теории Больцмана в уравнениях (2.79), (2.79!), выведенных Б.В. Алексеевым, частицы не являются точечными, а это ведет к появлению в гидродинамических уравнениях дополнительных, пульсационных членов, пропорциональных вязкости, и как следствие к явному представлению турбулентных пульсаций на колмогоровском масштабе турбулентности [6, 129].

Теперь можно констатировать, что при выборе отрицательного знака перед параметром т гидродинамические уравнения (2.18), (2.20), (2.21), (2.24), (2.25), (2.27), (2.31) есть прямое следствие ОУБ (2.79!), а дивергентная форма обобщенных гидродинамических уравнений (ОГУ) есть точный результат применения ОУБ (2.79) [см. ОГУ (2.19), (2.23), (2.26), (2.32), (2.33)]. Конечно, ОУБ не может быть получено ни удержанием дополнительных членов разложения в рамках ’’физического” вывода, ни паллиативным использованием методов Энскога и Гильберта. Упомянутые и изложенные выше результаты - не более, чем наводящие соображения для сформулированного результата, основанного на теории ББГКИ, Таким образом, критерием правильности возможных обобщений уравнения Больцмана и как следствие классических гидродинамических уравнений является возможность вывода обобщенных уравнений из первых принципов физики, в данном случае из уравнения Лиувилля и иерархии ББГКИ.

С позиции развитой выше строгой теории интересно оценить известные в литературе попытки выйти за пределы классического гидродинамического или больцмановского кинетического описания.

В теории Вудса (см., например, [130]) предлагается, следуя идеям, восходящим к Максвеллу, ввести феноменологическую поправку в субстанциональную первую производную в левой части уравнения Больцмана с целью учета возможного дополни* тельного влияния давления на процессы переноса. Утверждается, что уравнение движения жидкой частицы может быть представлено в виде

v = F + Р,

где Р - некоторая дополнительная сила, пропорциональная гра* 1 др

диенту давления: Р , что ведет к представлению ле*

р dr

^ части уравнения Больцмана в форме

Df^fdfI1dp \d$

— =+ v+ F.

ptdtdr\pdr /dr

умчанное феноменологическое представление не согласуется СОУБ и не является следствием уравнений ББГКИ.

Рассмотрим теорию кинетически согласованных . разностных схем (КСРС) (см., например, [131-133]). Идеи теории восходя к работам Рейца (см., в частности, [134]), в которых использовался метод расщепления для решения задач теории процессов переноса на кинетическую и гидродинамическую стадии. В теории КСРС используется в отличие от [134] разложение функции распределения /(г,т»О в РЯД Тейлора по параметру ут, где т - некоторый произвольный параметр, определяемый отношением h шага сетки по пространству к характерной газодинамической скорости У, с точностью до членов третьего порядка:

1 (г, у, ~ 1 Е —va +

а=19га

т1 3 d2/o

+ j; v v

a,0=1 9ra9r0

Здесь /0 - максвелловская функция, а j определяет номер шага по времени. В последних работах [133] вводятся три параметра Tx = hx/2y, ту = ///2У, tz = hz/2 У, определяемых пространственными шагами по координатам х, у, z. Чтобы получить значения газодинамических параметров на новом слое по времени t= приведенное Разложение- умножается на сумматорные инварианты и интегрируется по скоростям молекул однокомпонентного газа. В результате получается система дифференциально-разностных уравнений с дополнительными членами (в отличие от классических гидродинамических уравнений - в правых частях), представляющих со- бой в силу выбранной аппроксимации комбинацию вторых произ- нодных по пространству, умноженных на шаг во времени. Указанный подход не ведет к новому гидродинамическому описанию, оолее того, как следует из качественного "физического” вывода он даже не доставляет в общем случае аппроксимацию вто-

рого порядка ни для уравнения Больцмана, ни для обобщенна гидродинамических уравнений. В частности, при такой аппроксц. мации по сравнению с ОГУ: а) отсутствуют все перекрестные щ пространству и времени производные, вторые производные до времени, и как следствие КСРС невозможно корректно применять для моделирования турбулентных течений: б) КСРС невозможно использовать для построения обобщенного навье-стоксовского приближения; в) в КСРС не могут быть введены внешние силы; г) невозможно выяснить физический смысл параметра т, что ведет к появлению в уравнениях секулярных членов; д) невозмож-. но оценить вклад в гидродинамические уравнения от неизбежной модификации, столкновительного члена. Лишь формально в силу разностной аппроксимации, которая в КСРС ведет к появлению вторых производных по пространству, уравнения КСРС могут оказаться частным случаем ОГУ, если: а) течение стационарное; б) распределение по скоростям является максвелловским; в) отсутствую! внешние силы; г) газ однокомпонентный; д) из теории ОУБ использован шаг по времени т, равный среднему времени между столкновениями. Причина подобного положения совершенно очевидна: невозможно получить качественно новое физическое описание, используя формально более высокую разностную аппроксимацию для классического уравнения.

Обратимся [6] к решению уравнения (2.55) в рамках метода Чепмена-Энскога. Разлагая функцию распределения в ряд (2.37) по числу Кнудсена, в нулевом приближении получаем максвелловскую функцию, если при построении процедуры Чепмена-Энскога не учитывать явно [см. (2.65)] режим временной релаксации. В первом приближении fa = fa\l + Фа^)» и Уравнение приводится к виду

(0)

DfDt Dt j

Аналогично строится второе приближение, соответствующее уравнение может быть записано в виде

- iS/<”,™ ^w, -

достроим теперь первое приближение, используя разложение функции распределения /а (а, /= 1,2,..., ц) в ряд по малому параметру - числу Кнудсена,

/„ - /™ * /?■(2-80)

Тогда обобщенное кинетическое уравнение записывается так:

Df?9Df?дDf?

тTVa-

Dt9tDtdrDt

■ Ij[/a lj *fj Ja - fa fj - ij Ja AgajbdbdvdVj, (2.81) /-1

где

n,(0) ar^ at^

Dfa8fadfa

+ Ta .

Dt atat

В уравнении (2.81) учитываются только упругие столкновения частиц а и j, для которых gaj - относительная скорость; b - прицельное расстояние; ф - азимутальный угол.

Решение уравнения (2.81) естественно искать в виде

^П ж f? ф« * тт »«' — U? Ф«).(2.82)

dtdr

где Фа - решение уравнения

Df^■

- ^гУ^Ч»; + ф; - ф« - <b^gaibdbd^? (2.8з)

построенное Чепменом и Энскогом.

В силу линейности интегральное уравнение (2.81) разбивается

81 следующие уравнения:

Df? ,

"Г- *= SJ /^^(Ф'а + ») - Фа - »j)gajbdbd<»d4j; (2.84)

— -^— = — XS^fj^^a + Ф} " »a - Ф,) gajbdbdcp d1f, at Dt 6t i

(2.85)

—■ L^_ V—wsr№*»;- dr \ Dt I dr j

- Фа - Ф^ gajbdbdWdVjV,(2.86)

(v«—) ^f^ff^^ + V^ - УаФа -

dr \ Dt j dr j JJ J

(2.87)(2.87)- Vj®y)^ajbdbd<pd^,

(2.87)

(2.87)

где Va - тепловая скорость молекулы сорта «. Уравнение (2.84) совпадает с (2.83), решение его известно. Подчеркнем, что в (2.84) - (2.87) субстанциональная производная Dfa^/Dt вычисляется npi т = 0. Очевидна совместность уравнений (2.84)-(2.86). Уравнение (2.87) совместно с (2.84)-(2.86), поскольку при решении (2.87) ме тодом моментов левая и правая части полученных выражений обращаются тождественно в нуль.

Для решения интегрального уравнения (2.81) необходимо использовать дополнительные условия, которые запишем так же, как и в классической теории Чепмена- Энскога:

(2.88|(2.85!(2.90;(2.88|(2.85!(2.90;5 /а Фа dva - 0;

(2.88|

(2.85!

(2.90;

(2.88|

(2.85!

(2.90;

2 ma j va /а Фа dva = 0; а

2maS Уа/а^Фа^а = 0.

2 а

Приведем систему обобщенных уравнений гидродинамики (сМ §2.1). В правых частях этих уравнений содержатся члены, пропор циональные т. Поэтому если сохранить в правых частях упомяну тых уравнений только члены, пропорциональные т, то тензор дав лений Ра, диффузионный поток Ja и тепловой поток qa необходЯ мо вычислить, используя в качестве поправки к максвелловской

фудуции распределения /^ функцию fa^a- Полученные таким образом величины будут отмечаться верхним индексом Л: Р*, 1а» 9* Начнем с уравнения неразрывности для компонента:

до—2- +• (ра v0 + Ja) - Ra + тat drдо—2- +• (ра v0 + Ja) - Ra + тat dr92Ра +dt292Ра +dt2d3dr drd3dr drЛ аЛ аd2 Л+ 2 —• Vo ^а +drdrd2 Л+ 2 —• Vo ^а +drdr° I °/Al-—:pav0v0 + 2(pav0 + Ja) ,drdrdt \ drI(2.91)° I °/Al-—:pav0v0 + 2(pav0 + Ja) ,drdrdt \ drI(2.91)где Ra ~ массовая скорость образования компонента сорта a. В (2.91) входит диффузионный поток Ja>- подлежащий расчету с помощью (2.82). Если воспользоваться определением средней тепловой скорости компонентагде Ra ~ массовая скорость образования компонента сорта a. В (2.91) входит диффузионный поток Ja>- подлежащий расчету с помощью (2.82). Если воспользоваться определением средней тепловой скорости компонентаvtt = —Sf^vadva,"avtt = —Sf^vadva,"aто, опуская громоздкие детали вычислений, находимто, опуская громоздкие детали вычислений, находимЛ \ aiaI к а \а .J«-^ -Т + J«'— Ь + —" (voJa) +( at\ dr /arЛ \ aiaI к а \а .J«-^ -Т + J«'— Ь + —" (voJa) +( at\ dr /ar♦~- UaVaVaf?dVa dr♦~- UaVaVaf?dVa drилиилил \ 9Ja / л д \ Л da = Ja ” T )+ Na’ v0 + Jav0 -( 8t \ dr /drл \ 9Ja / л д \ Л da = Ja ” T )+ Na’ v0 + Jav0 -( 8t \ dr /drd■ 2— • T]a Sdrd■ 2— • T]a Sdrгде S * тензор с компонентамигде S * тензор с компонентамиsasa1 I 8i6j= —I+2 \ 8г41 I 8i6j= —I+2 \ 8г4d^j \ _ J_ 8 dr,- /3 6‘J dtd^j \ _ J_ 8 dr,- /3 6‘J dt

до

—2- +• (ра v0 + Ja) - Ra + т

at dr

до

—2- +• (ра v0 + Ja) - Ra + т

at dr

92Ра +

dt2

92Ра +

dt2

d3

dr dr

d3

dr dr

Л а

Л а

d2 Л

+ 2 —• Vo ^а +

drdr

d2 Л

+ 2 —• Vo ^а +

drdr

° I °/Al

-—:pav0v0 + 2(pav0 + Ja) ,

drdrdt \ drI

(2.91)

° I °/Al

-—:pav0v0 + 2(pav0 + Ja) ,

drdrdt \ drI

(2.91)

где Ra ~ массовая скорость образования компонента сорта a. В (2.91) входит диффузионный поток Ja>- подлежащий расчету с помощью (2.82). Если воспользоваться определением средней тепловой скорости компонента

где Ra ~ массовая скорость образования компонента сорта a. В (2.91) входит диффузионный поток Ja>- подлежащий расчету с помощью (2.82). Если воспользоваться определением средней тепловой скорости компонента

vtt = —Sf^vadva,"a

vtt = —Sf^vadva,"a

то, опуская громоздкие детали вычислений, находим

то, опуская громоздкие детали вычислений, находим

Л \ aiaI к а \а .

J«-^ -Т + J«'— Ь + —" (voJa) +

( at\ dr /ar

Л \ aiaI к а \а .

J«-^ -Т + J«'— Ь + —" (voJa) +

( at\ dr /ar

♦~- UaVaVaf?dVa dr

♦~- UaVaVaf?dVa dr

или

или

л \ 9Ja / л д \ Л d

a = Ja ” T )+ Na’ v0 + Jav0 -

( 8t \ dr /dr

л \ 9Ja / л д \ Л d

a = Ja ” T )+ Na’ v0 + Jav0 -

( 8t \ dr /dr

d

■ 2— • T]a Sdr

d

■ 2— • T]a Sdr

где S * тензор с компонентами

где S * тензор с компонентами

sa

sa

1 I 8i6j= —I+

2 \ 8г4

1 I 8i6j= —I+

2 \ 8г4

d^j \ _ J_ 8 dr,- /3 6‘J dt

d^j \ _ J_ 8 dr,- /3 6‘J dt

И а - коэффициент вязкости компонента a:

П« - -^- ^S Ва (W=) VJ/^ dVa = ^-кв Тпа Ьа0.

Используя условие

ZJa = 0, а

можно убедиться, что a

SJa = 2тUS.(2.92)

adr

Таким образом, возникает невязка, не обращающаяся в нуль. Происхождение этой невязки очевидно и связано с использованием дополнительных условий в форме (2.88)-(2.90), полученных для укороченного классического решения /а = /^ (1 + Фа). Для того чтобы сумма диффузионных потоков Ja также обращались в нуль, удобно определить их так:

Л ( 9Ja / Л 9 \ л 9)х

1а = ^ ~ т — + W' — т0 + J*— * т0 .(2.93)

( 8t \ dt ]dt )

Тогда уравнение неразрывности (2.91) приобретает вид

dpaд( д2рад1

— + — -(РаТ0 + Ja) = *a+ ’ — + Ар- 4-ГТ-: dtdt( dt2dtdr

d2 A д2

: naS + 2——:v0Ja+ ——:PaVoVo + dr oror or

d I dA \)

+ 2— — •(Рат0 + tf) .(2.94)

at \ dr/)

В этом случае

ZJa = 0.(2.95)

a

Пульсационный член уравнения неразрывности имеет вид

HР2р«а ^91 Л

П? = Т)ТТ + ДР * 4~ а ;4aS + 2 :v0Jg +

®( dt2drdrdrdt

(2.96)(2.96)d2did

(2.96)

(2.96)

+ -—: Pa 16 vo + 2—— ——(pav0 + Ja) dtdtat \ dr

Отметим, что пульсационный член в уравнении неразрывности оказывается связанным с тензором давлений Ра.

Перейдем к уравнению движения:

а/а\[а\а

(pvo) + vo ——pvo + pro'-— vo + ——P -

dt\ dr/\drIdr

(а2a2

- т ]—-(pvo) + ——— :(P + pvOTo)vo +

( orOrOr

a2 a2

♦ 2——: Z pa (Ve v0) V„ + —-: Z Pa (Va Va) Va + oror aoror a

Э2d2J

+ 2pv0 vq + 2rk(2.97)

dtd,dtdr)

Обратимся к вычислению тензора давлений

fa = m« S Va Va/i0) dva + ma j Ve Vaf? Фа dva +

+ Tma^VaVa— (/a ®a)dva— ma т S Va Va—- '(va/a ®a)dVa. otOr

(2.98)

Приводим сразу результат, опуская весьма громоздкие выкладки:

( * dvo dfQ д d

Pa * PaI - 2П„8 - т] Ja+Ja - 2(UaS) +

dId \/ 9\

*2V6~—(n„S) - 2 n«S- v0 - 2[vo Ha8) + dr\dt )\ dr/

Л аЛ а(2.101)(2.101)- P^ak = P- P^ak = Pn S mp (Dap - D gp) d^k.n S mp (Dap - D gp) d^k.(2.102)(2.102)В (2.102) входит помимо обычного ’’нулевого” коэффициентаВ (2.102) входит помимо обычного ’’нулевого” коэффициентадиффузиидиффузиирп« [^ВТ (р,а)D«P -9/ са02nmp у ma vрп« [^ВТ (р,а)D«P -9/ са02nmp у ma v(2.103)(2.103)еще и ’’первый” коэффициент диффузиирп« / 2кВТ (р>а)DaP _ J Са1 •2nmp V таТензор Г°Н имеет компонентыеще и ’’первый” коэффициент диффузиирп« / 2кВТ (р>а)DaP _ J Са1 •2nmp V таТензор Г°Н имеет компоненты(2.104)(2.104)И kJ, а = —2 2 (Ч)к Па S|-,}.i=l 9т{И kJ, а = —2 2 (Ч)к Па S|-,}.i=l 9т{(2.105)(2.105)

Л а

Л а

(2.101)

(2.101)

- P

^ak = P

- P

^ak = P

n S mp (Dap - D gp) d^k.

n S mp (Dap - D gp) d^k.

(2.102)

(2.102)

В (2.102) входит помимо обычного ’’нулевого” коэффициента

В (2.102) входит помимо обычного ’’нулевого” коэффициента

диффузии

диффузии

рп« [^ВТ (р,а)

D«P -9/ са0

2nmp у ma v

рп« [^ВТ (р,а)

D«P -9/ са0

2nmp у ma v

(2.103)

(2.103)

еще и ’’первый” коэффициент диффузии

рп« / 2кВТ (р>а)

DaP _ J Са1 •

2nmp V та

Тензор Г°Н имеет компоненты

еще и ’’первый” коэффициент диффузии

рп« / 2кВТ (р>а)

DaP _ J Са1 •

2nmp V та

Тензор Г°Н имеет компоненты

(2.104)

(2.104)

И kJ, а = —2 2 (Ч)к Па S|-,}.i=l 9т{

И kJ, а = —2 2 (Ч)к Па S|-,}.i=l 9т{

(2.105)

(2.105)

Vq Ja - Та + Da + °На

(2.9^

Перекрестное расположение скобок подчеркивает порядок дейо вий с тензорными величинами.

В (2.99) введены тензоры: I - единичный тензор, Та - тензор с компонентами

д /дГ \ д /дг \3 аIдТ\

Tkl,a = ~Т lfca~ I + ~ \) + &klГ

dr^ '9rl I1°rl \dr^ Ji=l dr,\d4I

(2.100)

кВ Г 2T

k,l = 1,2,3; ka Da + — Ka; Da - коэффициент термодиффу- ma 5

зии; X'a - коэффициент теплопроводности; kg - постоянная Больцмана; Da - тензор с компонентами

а ~ а ~ з а ~

Dkl»a = ~—ial + ~T~lak + ^kl ^——^iy dr^otit»l dr,-

^^иярный тензор давлений Р компонентам смеси:^^иярный тензор давлений Р компонентам смеси:образуется суммированием по всемобразуется суммированием по всем(9/ 9р - pl - 2nS - т 1-2(nS) - 2 •[v0)nS] +Idt\ dr(9/ 9р - pl - 2nS - т 1-2(nS) - 2 •[v0)nS] +Idt\ drd/9 \+ 2t0‘(nS) - 2ц Sт0 - T + D +dr\8t Jd/9 \+ 2t0‘(nS) - 2ц Sт0 - T + D +dr\8t J(2.106)(2.106)гдеT = ZTa; D = ZDa; ^H = Zr®Ha. aaaгдеT = ZTa; D = ZDa; ^H = Zr®Ha. aaaОтметим, что тензор давлений зависит не только от вязкости среды, но и связан с физическими процессами диффузии, термодиффузии, теплопроводности.В правую часть уравнения движения (2.97) входят два осреднен- ных члена, вычисление которых производится с помощью функции к ж /а > 0 + фа), а именно:Отметим, что тензор давлений зависит не только от вязкости среды, но и связан с физическими процессами диффузии, термодиффузии, теплопроводности.В правую часть уравнения движения (2.97) входят два осреднен- ных члена, вычисление которых производится с помощью функции к ж /а > 0 + фа), а именно:д1~:ZMV«v0)Va--2 otox aд1~:ZMV«v0)Va--2 otox a(2.107)(2.107)T-:Zpa(VaVa)Va = .2 otat aT-:Zpa(VaVa)Va = .2 otat a92/fc3r dr \92/fc3r dr \dr \Iдт \I - Д k I +dr )\dr Idr \Iдт \I - Д k I +dr )\dr I+ 2 drdr+ 2 drdrpn S трС^аВ " ^ap)^ +P a,p p H.pn S трС^аВ " ^ap)^ +P a,p p H.+ Д+ Дpn~ Д mp (°ap - Da₽) d₽pn~ Д mp (°ap - Da₽) d₽(2.108)(2.108)

^^иярный тензор давлений Р компонентам смеси:

^^иярный тензор давлений Р компонентам смеси:

образуется суммированием по всем

образуется суммированием по всем

(9/ 9

р - pl - 2nS - т 1-2(nS) - 2 •[v0)nS] +

Idt\ dr

(9/ 9

р - pl - 2nS - т 1-2(nS) - 2 •[v0)nS] +

Idt\ dr

d/9 \

+ 2t0‘(nS) - 2ц Sт0 - T + D +

dr\8t J

d/9 \

+ 2t0‘(nS) - 2ц Sт0 - T + D +

dr\8t J

(2.106)

(2.106)

где

T = ZTa; D = ZDa; ^H = Zr®Ha. aaa

где

T = ZTa; D = ZDa; ^H = Zr®Ha. aaa

Отметим, что тензор давлений зависит не только от вязкости среды, но и связан с физическими процессами диффузии, термодиффузии, теплопроводности.

В правую часть уравнения движения (2.97) входят два осреднен- ных члена, вычисление которых производится с помощью функции к ж /а > 0 + фа), а именно:

Отметим, что тензор давлений зависит не только от вязкости среды, но и связан с физическими процессами диффузии, термодиффузии, теплопроводности.

В правую часть уравнения движения (2.97) входят два осреднен- ных члена, вычисление которых производится с помощью функции к ж /а > 0 + фа), а именно:

д1

~:ZMV«v0)Va--2 otox a

д1

~:ZMV«v0)Va--2 otox a

(2.107)

(2.107)

T-:Zpa(VaVa)Va = .2 otat a

T-:Zpa(VaVa)Va = .2 otat a

92/

fc3r dr \

92/

fc3r dr \

dr \Iдт \

I - Д k I +

dr )\dr I

dr \Iдт \

I - Д k I +

dr )\dr I

+ 2 drdr

+ 2 drdr

pn

S трС^аВ " ^ap)^ +P a,p p H.

pn

S трС^аВ " ^ap)^ +P a,p p H.

+ Д

+ Д

pn

~ Д mp (°ap - Da₽) d₽

pn

~ Д mp (°ap - Da₽) d₽

(2.108)

(2.108)

u

r*k - E ka.

a-l

В заключение приведем уравнение энергии:

0 а 8^88

'T-(PU) +(Ртои) +*« +₽ :vo =

9tdrdrdr

т

( d2Л I dvn \21

(pU) + p —* —

( at3 \ at I2

a2

dr dr

:vgPA +

d3 1 d3

♦ TT": 2 P« <V« V«> <V« • ’o) + - ~=2 MV« V„)V a + drdr a2 dr dr a

d3 d3

+ 2 ——: 2 Pa(Vav0)Va -Tg + ——: 2 Pa(Vav0)V2 + дтдх adrdr a

1d23

+:P(vovo) v^ + —

2drdr2

d3

dr dr

:P(vovo) -

d3 лd3

- Vo:(p + Pvovo)vo - 2v0- drdrdrdr

:2pa(Vav0)Va- a

* *O-

Г- 1292 Л а а 2 pa (Va Va) Va + — Vg2:РЛ drdr a2

id3а3 л л 3

+ —Vn2:pvovo + 2• Q + vg-P + — pvo+

2 drdr9rdt2

pr0292 A

+v0 - 2vo" (P +Pvovo)

2 Jdidt

+ Fq

d2

dxdt

•(pvo)r.

(2.101

Для использования гидродинамического уравнения (2.109) необ ходимо вычислить тепловой поток

Оа - q« - t-^Sv^-^-U? »«)dVa -

- T^-WaVa-^-baf? MdNa.(2.11<

Расчеты приводят к результату

Л t 9’а1,„Л 91/9 \ Л

Qa = Qa "тНг_ Тг° а1Г’’° " Tr° V0"7T J“ " ( агzотz\аг /

1 —J г

к a

8 1/

1D--^-)v63- 2Па I VO

S

aaa

- 2Па(ю-8)-—— vo + -—-(Па Svg2)- vj2(n„S) +

a

+ -’

dr

7Pa .

(Па-Па)8

Pa

dT ^

+-vodr dr

d di

- ka ^‘+

dr dr

dr

dr d ^4.

dr dr

pn d +

p L dr

vo-Zmp(Dap - D„p)dp +

+ Zmp(Dap - D£p)dp- ^ vo + Zmp(Dap - D^)dp-^—• v0

5 p/ d \5

^TT^^’^h’Tr0- Tk“

2 P P\ ot I 2

(2ЛП)

В (2.lll) введен "первый” коэффициент вязкости, рассчитанный с помощью коэффициента ba i:

i

Пе = ~kB ^ na ^ab

(2.112)

Суммируя по всем компонентам, находим плотность потока энергии для смеси

Г А Л/

q « q _ т |2п v0- ( dt\

d

*~—(nSr02) - vj2 -(ns) +

9tdr

d

dr

7SZ—(П*a pa

' n„)

- k

ddT

v0- +drdr

dr

dr

ddr5

— VO +’vo drdrdr

+

рпрпрр

рп

рп

р

р

- vq- Smp(Dap - О*p)dp + 2 mp(Dap - D^p)x

9t a,pa,P

5 pI d \5/ dr d \

+2mp(Dap- Одр) dp-— т0- —к —— v0

* 2 p a>pp \ p dr /2\ dr dr /

(2.113)

Как видим, тепловой поток оказывается зависящим и от вязкости, и от диффузии в рассматриваемой физической системе.

Остается вычислить интегралы, соответствующие осредненным величинам в правой части (2.109).

По определению, например,

d2-

— :2Po(V„VJ(Va-,0). rdr a

■ 1 m.T^^™4v«,v.,<V''.Nv,I-|2Л111

a, U9ri9rj

Поэтому, выполняя интегрирование в (2.114), находим

а1 а» дт

—-:Zpa(VaVa)(V„-v0) = -2:kv0

drdr «drdrdr

I dr \ d2 pn

- A k v0 I - 2:Tq

\ dr / drdr p

Z m„mp(Dap - D^p)dp a,P

- A

— V Z m„mp(Dap - Oj^dp P a,P

Остальные интегралы в правой части (2.109) имеют вид

1

2.

d2- 5 I

:Spa(VaVa)V3a = -квД ТЕ drdr aa 2\ a

(2.115)

56 д»

9 dr dr

SkBTZ—(па - n<i)a m„

140 d2 Г1

': ДквТ1(Па " П^) 27 drdr [ а Ша

где тензор Д имеет компоненты:

d»0i

Ду * 6g ?

dr;- а* —d2

: £ра (V„ v0) Va " v0 :pvovo - drdr adrdr

d2

- 2—— :H(vovo-S); dr dr

d2 d2 dr

-77-: ^Pa(Va‘ vo) V^ = -5——:k-—T0 +

, Or dr adr or dr

92 ”1

* 5~77~:~ Z mp(Dap ~ Dap) dp vo-

9r9r P a,p

Применение метода моментов к уравнению (2.81) порождает гидродинамические уравнения вида

(2.116)(2.116)Ф1г + Кп Ф21 = 0,

(2.116)

(2.116)

где индекс / соответствует номеру уравнения в системе уравне- “«б гидродинамики. Уравнение (2.116) более высокого порядка, Чем соответствующие уравнения Эйлера и Навье-Стокса, что при- ^Дит к проблеме граничных условий, которые могут быть получеНы из следующих соображений. С позиций теории турбулентности в Ламинарном подслое естественно потребовать выполнения условия

(2.117)(2.117)Ч» = 0

(2.117)

(2.117)

^ °бтекаемой поверхности. Оно также получается, если рассмотреть уравнение (2.116) в кнудсеновском подслое. Действительно, Ри Кп -* со из (2.Ц6) следует Ф2/=0, т.е. (2.117). Соотношения

позволяют произвести замыкание поставленной задачи в ра^ ках обобщенной гидродинамики.

Второе обобщенное навье-стоксовское приближение и соответ, ствующие кинетические коэффициенты получены выше для Oyj (2.79 j), когда можно пренебречь производными от т. Аналогичное решение для линеаризованного ОУБ (2.79) получается без труда если заметить, что в этом случае решение (2.82) переписывается в форме

^= ^)ф“" "ТГ^^ ■ 'a*^^^-<2-821)

Поскольку в гидродинамическом пределе среднее время свободною пробега т выражается через гидродинамические величины, все преобразования, включая интегрирование по тепловым скоростям молекул, выполняются совершенно так же, только т остается под знаком производных по времени и пространству.

В рамках теории турбулентности Рейнольдса возникшие дополнительные, пульсационные члены (т-члены) следует отождествить с мелкомасштабной или ’’подсеточной” турбулентностью. Напомним, что в системе обобщенных гидродинамических уравнений (2.17) т есть среднее время свободного пробега, для модели твердых сфер среднее время между столкновениями может быть представлено через динамическую вязкость 1| и давление р в виде тр= 0,786ц. В результате, например, обобщенные уравнения Эйлера содержат вязкостные члены, что естественно, поскольку мелкомасштабная турбулентность сильно зависит от вязкости. При необходимости обобщенные гидродинамические уравнения могут быть записаны в дивергентной форме [см., например, (2.19), (2.23), (2.26), (2.32), (2.33)]. Это означает, что можно проделать процедуру выделения пульсаций в гидродинамических величинах, перейдя, таким образом к ’’средним” гидродинамическим величинам. Рассмотрим подробнее эту проблему на примере обобщенных гидродинамических уравнений Эйлера, описывающих движение газа в поле силы тяжести [127].

Уравнение неразрывности:

Рто -

а а

77<Руо) + —-(pvovo) +

др

Pg

аг

(2.118)

datdatpvbp - тpvbp - тРР- т- т' dp. dt' dp. dt8)-—(PV6a) (£₽9raJ)8)-—(PV6a) (£₽9raJ)д (jp6«p + Р V»a Voy - 9ra Iд (jp6«p + Р V»a Voy - 9ra I

d

at

d

at

pvbp - т

pvbp - т

Р

Р

- т

- т

' dp

. dt

' dp

. dt

8)

-—(PV6a) (£₽

9raJ)

8)

-—(PV6a) (£₽

9raJ)

д (

jp6«p + Р V»a Voy - 9ra I

д (

jp6«p + Р V»a Voy - 9ra I

урупнение движения в координатной форме (а, 0, у = 1,2,3):

da

— (P*op) + —— (P6ap + PTOaW) - PSp dtdra

' d- T -t-U>Mot' d- T -t-U>Mot

' d

- T -t-U>Mot

' d

- T -t-U>Mot

а

Р*6а*6р) + ~—(РЧ)р6ау + РЧ)а6ру дг?

* РИу$а₽ + Р^а*бр%) - 5аРЯ)р - РУбаЯр

= 0.

(2.119)

Уравнение энергии

д ( 3prg——j —p +T dt ( 22д ( 3prg——j —p +T dt ( 229 / 3prg \— — P + +dt \ 22 /9 / 3prg \— — P + +dt \ 22 /

д ( 3prg

——j —p +T dt ( 22

д ( 3prg

——j —p +T dt ( 22

9 / 3prg \

— — P + +

dt \ 22 /

9 / 3prg \

— — P + +

dt \ 22 /

9// px®5\\1?9t/ Pro25\

*—— t0 +—p -g-рто (+——‘po +—P -

dr\\ 22JI)dr(\ 22/

75 p275 p2+ —PV0V0 + —I— 22 p+ —PV0V0 + —I— 22 pddrddrл 22

75 p2

75 p2

+ —PV0V0 + —I— 22 p

+ —PV0V0 + —I— 22 p

d

dr

d

dr

pror0

Vo Vo + Ip +

22

51'

- pvovo-gpl*gp V^I-g 22 '.

“g'iPTo - т“g'iPTo - т= 0.= 0.адра

“g'iPTo - т

“g'iPTo - т

= 0.

= 0.

——(PTO) + —— + ——(ptoto) - pg dtdrdr

(2.120)

® системе уравнений (2.118)-(2.120) явно выделен знак перед •^Раметром т; для модели твердых сфер т = 0,786 л Р-1. Для рас- ^триваемого случая система пульсаций на масштабе Колмогорова описания турбулентности приведена в табл. 2.1.

^абл. 2.1 может быть продолжена для других типов пульсаций а Других систем обобщенных гидродинамических уравнений.

Таблица 2.1. Пульсации гидродинамических величин в масштабе Колмогорова в рамках модели обобщенных уравнений Эйлера

Г идродинамическая величинаА

п

Пульсация А

Р

т

’ дрд\

^atа,'

Р»о

т

дд

(Р»о) +(Р’0’0> + dtdr

др

— - Ре дг

Р6ар + Р^а^ор

I

" дд

— (Р«ар + Р»0а»0р) + "“(pWP’

L dtdry

, + Р»ор6

ат

+

+ Р^^бар + Р»0аг0р»0т> ~ еР

Р»0а ~ 8аР*0р1

Зр + р»§

т

Г 9 (Зр + Р»п)

L dtи

д

+(*о <р*о + 5р^ "

дг

- 2g-pv0

»о(Р’о + 5₽>

I

( д

("дТ^0^’® +

д

5р)) + дг

Р’О’О’О +

IPVfl +

р2"

+ 7рт0 т0 + 51

Р J

- 2pv0v0-g

! ~ 5pl-g -

pvgl-g ■

- Р

д / р 5+ v

- дг ' р

о/ + 21’0“ 1 х (

д \4

— )то —

)г '3

д

■ VO —-1 от

г0

Например, произведение ’’истинной” плотности ри и ’’истинной” скорости Vq может быть использовано для вычисления пульса- П ГТ -

ционнои величины v0. Действительно,

Р Vo = (Р + р ) (*0 + v0)

и, следовательно,

п. п П С -I / с

▼о = l(PVo) - р V0]/p .

dig +dtdig +dtВ результате находим

dig +

dt

dig +

dt

" g" gd \1Эр

" g

" g

VO'—— Vg +dr /pdr

диалогично

Запишем теперь обобщенные уравнения Эйлера, используя терминологию ’’средних” величин:

дрс8

+ —_.(pv) = 0>(2.121)

dtdr''

— (Р Vg)C + — • (рС I + (р Vg Vg)C ) = р'g,^Л2^

dtdr

— (Зр + pVgf + —1*0 И + 5P)]C - 2g-(pVg)C =dtdr— (Зр + pVgf + —1*0 И + 5P)]C - 2g-(pVg)C =dtdr

— (Зр + pVgf + —1*0 И + 5P)]C - 2g-(pVg)C =

dtdr

— (Зр + pVgf + —1*0 И + 5P)]C - 2g-(pVg)C =

dtdr

Напомним, что произведение тр пропорционально вязкости п. Система уравнений (2.121)-(2.123) имеет весьма интересную струк- *УРу. Если диссипативный член в правой части уравнения энергии (2.123) мал (этот член связан с ’’истинными” гидродинамическими величинами) и может быть опущен, то система указанных урав- нений переходит в систему классических гидродинамических Уравнений Эйлера, записанных относительно ’’средних” гидроди- намических величин. В противном случае система уравнений в Форме (2.121)-(2.123) не замкнута и необходимо использовать систему (2.118)-(2.120). Итак, мы может констатировать, что член 8 Уравнении энергии

ППa

П

П

dt

провоцирует турбулентность в рассматриваемой физической системе, Таблица 2.2 содержит турбулентные пульсации гидродинамичес. ких величин в масштабе Колмогорова для обобщенных уравнен^ Энскога (Fa = 0).

Таблица 2.2. Пульсации гидродинамических величин в масштабе Колмогоровадля обобщенных уравнений Энскога

Пульсация АПульсация АГидродинамическая величи- наА

Пульсация А

Пульсация А

I др а \

Т +(pv0)

\ dt dr и /

I ааа

Р’От|—(р»о) * ~—Р»0’0 + ~—р

\ dtdtdt

/ d’O1 dId \ \

’о т ТГ * —I— p + I T0 ' T~ I ’0 \ dtp dr\dr / u/

P + P’0’0 т I(P + pvqvq) +Pv0 + (pvovo) vq + £pa (Va v0) Va + \ dtdr \а

+ £pa(^Va)Va + £pa(VaVa)Va) aa

Idal

pT^a*3p T (p/Q2 + 3p) + Hn'CP +(p/Q2 + 3p)J) + 2q) \ atdr \ w

I at a

T 77 + V *(Ft° + I₽a(VaT0)Va + 2pa(voVa)Va + \ dr draa

Id\ /d

+ 2pa(Vava)va) «I*₽/T0“’T0\а’*

a\dtI \dt

ВреЯОлжение табл. 2.2

Пульсация АПульсация АГидродинами- ^кдя величи-

Пульсация А

Пульсация А

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКАВ РАМКАХ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

Задача о распространении звука является классическим объектом исследования в кинетической и гидродинамической теориях. Пусть бесконечная плоская пластина колеблется в газе в направ- "ении своей нормали с некоторой частотой о, порождая звукоВые колебания. Введем параметр а = от, где т - среднее время между столкновениями. Для модели твердых сфер в больцманов- ском газе справедливо соотношение рт = Пл (р - давление; л ~ Динамическая вязкость; П = 0,786). Параметр о можно связать с аналогом числа Рейнольдса г = П/а. При достаточно больших значениях г вполне удовлетворительно работает классическая гидро- ^^ивмика. В линейной акустике при г-*» затухание звука стре- ^Ится к нулю, скорость звука определяется соотношением cj = Wp0, где р0 - плотность невозмущенного газа; у = к-1 = Ср/сг -

отношение теплоемкостей при постоянных давлении и объец При г ~ 1, тем более при г О, положение становится веоц сложным. Уравнения Эйлера ”не замечают” изменившейся ситу8 ции и дают постоянную скорость звука и нулевое затухание всем диапазоне изменения г. Уравнение Навье-Стокса также пр^ водит к совершенно неудовлетворительному результату: пос^ достижения максимума при г 1 затухание стремится к нул^ а скорость звука - к бесконечности при г -* 0. Поэтому при малц числах г исследование распространения звука строится на кине тическом уровне описания. Не вдаваясь в обзор упомянутых годов (см., например, [88]), отметим в целом неудовлетворительнуе картину. В частности, при использовании моментных методов уве личение числа моментов при решении уравнения Больцмана (из вестны результаты, полученные применением многих сотен мо ментов) приводит к ухудшению согласия с экспериментальным данными. Обычно констатируют существование ’’критически^ чисел Рейнольдса гкр, после которых при уменьшении г не существует решения в виде плоских волн. Для каждого типа модельного или моментного уравнения существует свое число гкр, что свидетельствует не о физическом, а о чисто математическом эффекте, Применим обобщенные уравнения гидродинамики к решению задачи о распространении звуковых волн в одноатомном газе. В линейной акустике возмущение плотности и температуры представляется в виде: Р = Ро(1+4, Т = То(1 + ц), s ~ exp(iwt - Кх\ Ц ~ exp (lot- Кх), где к' - комплексное, вообще говоря, волновое число. После линеаризации и использования представления решения в указанном виде обобщенные одномерные нестационарные гидродинамические уравнения (см. §2.1, 2.2) второго приближения сводятся к системе алгебраических уравнений [12].

Уравнение наразрывности:

л[io + а2 - на2 к2]$ +л[io + а2 - на2 к2]$ +А 9-на2к2 2А 9-на2к2 2х2 Аа4к4пх2 Аа4к4пИ +И +

л

[io + а2 - на2 к2]$ +

л

[io + а2 - на2 к2]$ +

А 9

-на2к2 2

А 9

-на2к2 2

х2 А

а4к4п

х2 А

а4к4п

И +

И +

++а А а2 А 8 ха3 А ха4 А к + 21кk3 + 41-к3С0Cq3 СдПС0Па А а2 А 8 ха3 А ха4 А к + 21кk3 + 41-к3С0Cq3 СдПС0ПУравнение движения:Уравнение движения:v = 0.v = 0.

+

+

а А а2 А 8 ха3 А ха4 А к + 21кk3 + 41-к3

С0Cq3 СдПС0П

а А а2 А 8 ха3 А ха4 А к + 21кk3 + 41-к3

С0Cq3 СдПС0П

Уравнение движения:

Уравнение движения:

v = 0.

v = 0.

А А Г А х2 А[-ик + 21иак]$+ -ик - gа2 к3 +пА А Г А х2 А[-ик + 21иак]$+ -ик - gа2 к3 +п27i27iх2х2ППа3 к3 + 21иака3 к3 + 21иакИ'И'

А А Г А х2 А[-ик + 21иак]$+ -ик - gа2 к3 +п

А А Г А х2 А[-ик + 21иак]$+ -ик - gа2 к3 +п

27i

27i

х2

х2

П

П

а3 к3 + 21иак

а3 к3 + 21иак

И'

И'

++ха Л ха2 Лаа Лк2 + 4iк2 +Зи-—к2 - ЛсдПсдCgCgха Л ха2 Лаа Лк2 + 4iк2 +Зи-—к2 - ЛсдПсдCgCgа3Л 8 ха3 Л_ 8х3А к4 +к2Псд3 Лсда3Л 8 ха3 Л_ 8х3А к4 +к2Псд3 ЛсдУравнение энергии:Уравнение энергии:[-5хк2а + 31 + 3a]s + 31 -[-5хк2а + 31 + 3a]s + 31 -v = 0.v = 0.15к Л 45к Лак2 +1— я3 к2 +2П2П15к Л 45к Лак2 +1— я3 к2 +2П2ПЛк2 Л х Л+ За - Юхак2 - 126а3Вк4 + 15 —а3к2 ппЛк2 Л х Л+ За - Юхак2 - 126а3Вк4 + 15 —а3к2 ппИ +И +++Л ки Л-528Ак3 +CQПс0Л ки Л-528Ак3 +CQПс011231123ха1 Лia3Ak3Псдха1 Лia3Ak3Псда Л'а Л'+ 101к v = 0.+ 101к v = 0.сдсд

+

+

ха Л ха2 Лаа Л

к2 + 4iк2 +Зи-—к2 - ЛсдПсдCgCg

ха Л ха2 Лаа Л

к2 + 4iк2 +Зи-—к2 - ЛсдПсдCgCg

а3Л 8 ха3 Л

_ 8х3А к4 +к2

Псд3 Лсд

а3Л 8 ха3 Л

_ 8х3А к4 +к2

Псд3 Лсд

Уравнение энергии:

Уравнение энергии:

[-5хк2а + 31 + 3a]s + 31 -

[-5хк2а + 31 + 3a]s + 31 -

v = 0.

v = 0.

15к Л 45к Л

ак2 +1— я3 к2 +

2П2П

15к Л 45к Л

ак2 +1— я3 к2 +

2П2П

Лк2 Л х Л

+ За - Юхак2 - 126а3Вк4 + 15 —а3к2 пп

Лк2 Л х Л

+ За - Юхак2 - 126а3Вк4 + 15 —а3к2 пп

И +

И +

+

+

Л ки Л

-528Ак3 +

CQПс0

Л ки Л

-528Ак3 +

CQПс0

112

3

112

3

ха1 Лia3Ak3

Псд

ха1 Лia3Ak3

Псд

а Л'

а Л'

+ 101к v = 0.

+ 101к v = 0.

сд

сд

Здесь v - гидродинамическая скорость; А = 1 - тр/П» S = 1 ~ - Х*/(2Х), Л1, X1 - дополнительные коэффициенты вязкости и теплопроводности, которые, в отличие от обычных коэффициентов вязкости л и теплопроводности X, вычисляются с помощью соответственно первого и второго коэффициентов разложения по полиномам Сонина.д

Например, л1 = (l/2)pbp Безразмерное волновое число к определяется соотношением: к = кс0/ы = ас0/со + 1рсв/ы. Использование указанных гидродинамических уравнений приводит к дисперсион- ному уравнению:

XsЛ (1008156

{10084В - 1804}а7 к10 + ]а7 АВ +а7 А +

п2(п2п2

6722106616840

+ ——а’Ва7а5 Аа5 В +а5 А +

п2п2п2п2п

3789013506

+а5В +а5а5 + 1[-10084В + 2224 +

Пп22ПП2

)Л (38433646

+ 672В - 270] > и4 к8 + ]а7А +а7В +а7 4-

)(п2п2п2

726

672

80

36

137

+

а5 Аа5 В

а5 А

а5д5 _

п3

п3

п

п3

6П

10

95

126

'918

—

-а3 +а3 +

15а3

а3В + i

а6 А +

п3

6П

п

. п2

840

88

192

168

80

+

о6 В +а6 +

а4А -

а41

3а4А +

П3

п2

п3

п3

п

36527

+a4a4

П36П

Л (40152

х3 к® + {а1а5 А + / па зп

126250245124126

+а5 В +а®а® +а3 Аа3 В +

ПП36Пзпп

3377015160

+а3а3 - 15а3а - 5а + iа® -

6ПП22ПП3

120

аАА

252190

+а4 В +а4

пп2

232

103 +а2 -

6П

п

ЗП

28

П

а3 А

- 15а3

) А (

{ х3 к* + j -

23 а5 +

п

207 а3 - а3 -

2П

231611151) Л

а + 6а + iа4 +а3 - 2а2 + 5 Уик3*

2П2П2П\

+ {-За3 + 9а 4- i[-9a3 + 3]} = 0.

Дисперсионное уравнение обладает двумя очевидными асимптотиками:

г - ~ (а -* 0), 5х к3 + 3 » 0;

Л

г - 0 (а - ~), {336АВ - 604} х3 к® + {-336АВ + 524 + 224В -

Л (46 ) Л 40

- 70} х3 к4 + {-1284 + 112В +} х к3 0.

/3 \3

яия модели твердых сфер А = 0,9415; В = 0,956. Решение уравне- б) приводит к результату: а = 0,43; ₽ = 0,56. В первом (обобщен- лфу эйлеровском) приближении результат таков: а = 0,51, ₽ = 0,65. да рис. 2.1, 2.2 изображены в логарифмическом масштабе зависи- цости скорости звука ₽ и затухания а от числа Рейнольдса г. Для -равнения приведены экспериментальные данные [96, 109], расче- ^ по первому приближению обобщенных гидродинамических уравнений (проведенные совместно с В.В. Михайловым и А.Б. Под- доскиным), а также расчеты по уравнениям Навье-Стокса, Барнепа я супер-Барнетта, и приближению 105 моментов. Как следует из расчетов, второе приближение обобщенных гидродинамических уравнений (аналог классических уравнений Навье-Стокса) при-

Рис. 2.1. Зависимость безразмерной скорости звука Р от обобщенного числа Рейнольдса г:

1 - обобщенное уравнение Эйлера; 2 - обобщенное уравнение Навье—Стокса; 3 - уравнение Навье—Стокса; • — эксперимент Мейера и Сеслера [109]; о - эксперимент Гринспена [96]

^ 2.2. Зависимость затухания а от обобщенного числа Рейнольдса г;

1 * обобщенное уравнение Эйлера; 2 - обобщенное уравнение Навье—Стокса; 3 - урав- ае®йе Навье—Стокса; 4 — уравнение Барнетта; 5 — уравнение супер-Барнетта; 6 — момент- 5й® Уравнения, N = 105; • — эксперимент Мейера и Сейслера [109]; о — эксперимент гРяяспена [96]

водит к вполне удовлетворительному согласию с эксперимент во всем диапазоне чисел Рейнольдса. Второе приближение сущ^ венно лучше соответствует экспериментальным данным при лых числах Рейнольдса, чем обобщенное приближение Эйлер| Использование модели Леннарда-Джонса взаимодействия частц вместо модели твердых сфер слабо влияет на результат. Наприм^ при Г = 300 К коэффициент затухания практически не меняет^ а ₽ = 0,55 при г -♦ 0.

РАСЧЕТ СТРУКТУРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПО УРАВНЕНИЯМГИДРОДИНАМИКИ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ

Исследования задач динамики разреженных газов были нач» ты с появлением интегродифференциального уравнения Больцмана Достижения, полученные с помощью аналитических методов ре шения этого уравнения (идеи которых были предложены еще Макс веллом и Больцманом), относятся в основном к исследования! простейших течений и течений, близких к предельному режим] сплошной среды. В настоящее время развиты методы прямой численного решения уравнения Больцмана, позволяющие получат решения достаточно сложных задач при различных режимах тече нмй (в том числе течений при разных числах Кнудсена). Таким! общепринятыми методами являются методы статистических испы таний Монте-Карло (Хэвиленда-Левина, Берда, Черемисина и др,) дискретных скоростей, а также методы, использующие аппрокси мацию сложной структуры интеграла столкновений (например S-метод) [24, 87, 126]. Трудности численного решения интегро ди) ференциального уравнения Больцмана ограничивают круг иссле дуемых задач; при решении сложных одномерных и двумерны задач в большинстве случаев затруднительно оценить точност аппроксимации исходного уравнения и степень точности получен ного решения.

Принципиально новым подходом к исследованию различных рс жимов течений, в том числе и при промежуточных числах Кнудсена является их исследование на основе уравнений гидродинамика повышенной точности. В приближении Эйлера при отсутствии мае совых сил в одномерном случае для смеси имеем как следствие ОУ^ (2.79J:

уравнение неразрывности

дрд( д2рд2д2)

+(Р Vg)- т )+(р + р г02) + 2(р Vq) [ = 0;

dtдх(di2дх2dtdx)

уравнение движения

25* »—(Р»»го-)-at 9х25* »—(Р»»го-)-at 9хтта2а1(ру0) + 2(р + РУО2) + at1dtdxа2а1(ру0) + 2(р + РУО2) + at1dtdx

25* »—(Р»»го-)-at 9х

25* »—(Р»»го-)-at 9х

т

т

а2а1

(ру0) + 2(р + РУО2) + at1dtdx

а2а1

(ру0) + 2(р + РУО2) + at1dtdx

а2/

+ •(РУО3+ Зрк0)[ = 0;

Эх2)

уравнение энергии

д Л д Лдуф ( д2/ dvo \2

(pl/) +(pl/v$) + pт](р U) + р +

$tдхдх ( dt2\ dt /

Э2Эх2Э2Эх2(PVq2) +(PVq2) +

Э2

Эх2

Э2

Эх2

(PVq2) +

(PVq2) +

1 а2 (ргс4)-■ 2 дх21 а2 (ргс4)-■ 2 дх2а2+ 23xdtа2+ 23xdt2v62v6r0Zeanaar0Zeanaa5+ — pr025+ — pr02++3П)р —23П)р —2д2(рdxdtд2(рdxdt++pV)pV)++а2)Vg2(Р V&) [ = °*u dxdt\а2)Vg2(Р V&) [ = °*u dxdt\

1 а2 (ргс4)-

■ 2 дх2

1 а2 (ргс4)-

■ 2 дх2

а2

+ 2

3xdt

а2

+ 2

3xdt

2v6

2v6

r0Zeanaa

r0Zeanaa

5

+ — pr0

2

5

+ — pr0

2

+

+

3П)р —2

3П)р —2

д2

(р

dxdt

д2

(р

dxdt

+

+

pV)

pV)

+

+

а2)

Vg2(Р V&) [ = °*u dxdt\

а2)

Vg2(Р V&) [ = °*u dxdt\

а21а2р

Vo(р г03) + — v02дх22дх2

1а2а2а2

+~^—(Рг02) + TI^^P^ + — ^^Ра^2)* 2дх2dx adx2 a

Напомним, что p, p, T - плотность, давление и температура; U - Задняя внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы; na> аа * соответственно концентрация частиц сорта а и внутренНяя энергия компонента а.

Системы одномерных нестационарных обобщенных гидродина- ^нческих уравнений, записанных в переменных Лагранжа, была Рименена для расчета исключительно сложных волновых движе- и> возникающих при наличии нестационарного объемного тепло- «деления за счет реакций термоядерного синтеза в звездах типа HUa и приводящих к их глобальным колебаниям [135, 136].

Рассмотрим структуру ударной волны в одноатомном газе [щ Решение обычных уравнений газовой динамики представляв собой в этом случае разрывные функции плотности, скорости и те^ пературы, которые связаны между собой уравнениями Ренкина* Гюгонио.

Эта классическая задача кинетической теории давно стц своеобразным тестом, на котором могут быть проверены различна методы решения уравнения Больцмана и приближенные кинет* ческие теории. Заметим, что решение этой задачи также было полу чено и на уравнениях Навье-Стокса, однако при не слишком бли» ких к единице числах Маха условия применимости уравнену Навье-Стокса (малые изменения гидродинамических величие на длине свободного пробега молекул) заведомо не выполнен^ И в лучшем случае можно надеяться только на качественно верное описание переходного слоя. При этом вязкие члены в данных уравнениях играют роль членов искусственной вязкости в уравн* ниях Эйлера, используемых при расчете течений с ударным волнами.

Выпишем систему уравнений в одномерном случае (внешние силы отсутствуют, процесс считаем квазистационарным) в безразмерном виде:

уравнение неразрывности

уравнение количества движения

d, х dpdd(pr)d'

(mr2) + С 3— +(nH

dxdxdxdxdx_

d+(8pv) +dxd+(8pv) +dxуравнение энергии

d

+(8pv) +

dx

d

+(8pv) +

dx

[(5pv + nv2) v] dxdx

уравнение состояния

р * пТ.

Граничными условиями для данной системы уравнений служили местные значения плотности, скорости и температуры перед и 38 скачком, связанные между собой уравнениями Ренкина- Гюгонио. Таким образом, в данной постановке задача о структуре ударной уолны сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

При обезразмеривании системы уравнений в качестве характер- нух масштабов были выбраны: п^ - плотность набегающего потока; Т1 w температура набегающего потока; ^ = V ^в ^т ” тепло"

1

вая скорость; / - средняя длина свободного пробега;

Л/Ц О2 УГ

t*— [36], где кв - постоянная Больцмана, т - масса

4щ о2 (л квту12

молекулы, о - диаметр молекулы. Значение С в уравнениях может быть представлено через безразмерные гидродинамические

величины, С =р’1 Т1'2.

2/Г

Если используемая модель взаимодействия отличается от модели твердых сфер, вычисление / нуждается в комментариях. Как известно, для дальнодействующих потенциалов при одночастичном описании т обращается в нуль, поэтому введение соответствующего обрезания является неизбежным. С этой целью естественно ис- пользовать соотношение тр = 0,8ц, строго выполняющееся в первом приближении в модели твердых сфер, где коэффициент вязкости вычисляется теперь в соответствии с реальным потенциалом взаимодействия. Это приводит к выбору параметра обрезания, а следовательно, и сечения столкновения. Возможна постановка и обратной задачи. Например, можно выбирать т, а следовательно, и сечение столкновений, исходя из наилучшего совпадения зави- симости от числа М безразмерной толщины ударной волны, найденной в рамках обобщенной гидродинамики, с эксперименталь- Ныь<и данными.

Система приведенных уравнений аппроксимировалась разност- уравнениями второго порядка точности на трехточечном шаб- ове, что позволило решать каждое из уравнений отдельно методом ^^онки, определяя при этом одну из функций (плотность, ско- Р'^ть или температуру). В качестве других функций, входящих

в это уравнение, использовались их приближения, рассчитанные на предыдущей итерации. Решение всей системы осуществляло^ глобальными итерациями с применением метода нижней релак. сации. Для получения сходящегося решения при различных чио лах Кп приходилось подбирать каждый раз свой параметр релак. сации, при этом наблюдалась тенденция ухудшения сходимости итераций при Кп 0.

Проведенные численные расчеты при различных числах Маха М и Кнудсена Кп указывают на интересную особенность рассматриваемых уравнений. Дополнительные (по сравнению с обычными уравнениями Эйлера) члены, содержащиеся в этих уравнениях, играют при численных расчетах роль членов искусственной вязкости, которые вводятся при расчете ударных волн. При Кп О влияние этих членов на вырабатываемое численное решение умень-! шается, что приводит к ухудшению сходимости итераций. Таким образом, наряду с адекватным описанием физических процессов эти уравнения обладают свойствами, позволяющими создавать высокоэффективные численные схемы для расчета сложных течений. В навье-стоксовом приближении в одномерном стационарном случае (массовые силы отсутствуют) для однокомпонентного газа имеют вид:

уравнение неразрывности

dd2 I8drQ \

—(рч)) = т— p + P4i2ч— ;

dxdx2 \3dx I

уравнение движения

уравнение энергии 4d/ 8dryат\

(p4i3 + 5ц(р) —ПЧ)+ 2^'I +

dxdx\ 3dxdxJ

d1p1dry

+ v РЧ64 + 8рц2 + 58цv(ja

dx2 [Pdx

56IП* \ Pdry8dT "

_-ц 1I+ —Х'ц -

3\n I Pdx5dx

5*5*0,20,20,10,1ОО8 М8 М

5*

5*

0,2

0,2

0,1

0,1

О

О

8 М

8 М

Используя эту систему уравнений, можно рассмотреть задачу о структуре ударной волны в следующем (навье-стоксовом) приближении на уравнениях гидродинамики повышенной точности. Обезразмеривание уравнений проводится аналогично первому приближению, уравнение состояния и граничные условия те же. Аппроксимация приведенной системы и организация вычислительного алгоритма аналогичны случаю первого приближения.

На рис. 2.3 представлены результаты расчета безразмерной тол-

^23. Зависимость безразмерной толщи-

• о,з• о,зУдарной волны от числа Маха М,(6 =. е где / — длина свободного пробега до

• о,з

• о,з

Удаоной волны; <i= (ро — pi)/()-

1 \ dx /max

1олШина ударной волны; Pi и pj — плотнос- 1,1 до и после ударной волны соответ* ^енно/„

/ - уравнение Навье—Стокса; 2— ^общенное уравнение Эйлера; 3 - обобщён- p. Уравнение Навье—Стокса; О — экспериментальные данные Шмидта (Schmidt В. м ^л beam density measurements in shock waves in argon// J. Fluid. Meeh. 1969. Vol. 39, 2-P. 361-373'

Рис. 2.4. Изменение безразмерной плотно^ Р = (Р - Р1)/(Р2 ~ Рр в ударной волщРис. 2.4. Изменение безразмерной плотно^ Р = (Р - Р1)/(Р2 ~ Рр в ударной волщр| — ПЛОТНОСТЬ, Л| — ВЯЗКОСТЬ И О| - ^ рость звука до ударной волны; р2 — пл^ ность после ударной волны; о — эксперт ментальные данные Шмидта)р| — ПЛОТНОСТЬ, Л| — ВЯЗКОСТЬ И О| - ^ рость звука до ударной волны; р2 — пл^ ность после ударной волны; о — эксперт ментальные данные Шмидта)

Рис. 2.4. Изменение безразмерной плотно^ Р = (Р - Р1)/(Р2 ~ Рр в ударной волщ

Рис. 2.4. Изменение безразмерной плотно^ Р = (Р - Р1)/(Р2 ~ Рр в ударной волщ

р| — ПЛОТНОСТЬ, Л| — ВЯЗКОСТЬ И О| - ^ рость звука до ударной волны; р2 — пл^ ность после ударной волны; о — эксперт ментальные данные Шмидта)

р| — ПЛОТНОСТЬ, Л| — ВЯЗКОСТЬ И О| - ^ рость звука до ударной волны; р2 — пл^ ность после ударной волны; о — эксперт ментальные данные Шмидта)

щины 6 для потенциала Леннарда-Джонса с использованием соот ношения тр = 0,8ц. На рис. 2.4 нанесен профиль безразмерной плот ности р газа. Совпадение следует признать вполне удовлетвори*; тельным. Напомним, что расчет структуры ударной волны в приближении Навье-Стокса при М > 1,65 приводит к неприемлемым результатам.

Глава 3

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ЭНСКОГА

МЕТОД ЧЕПМЕНА-ЭНСКОГА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ

Согласно известной идее Энскога, в простейшем случае одно компонентного газа полагают, что функция распределения / и прош водные основных макропараметров (плотности числа частив средней молекулярной скорости и температуры) dn/dt, dv0/3' и dUdt зависят от времени лишь неявно через сами величин! л, vo и Г, а также через их пространственные градиенты. Еще одЖ допущение состоит в том, что упомянутые производные, как и! являются степенными рядами по числу Кнудсена. Это дает Ш тривиальное разделение d//d t между различными членами раз ложения после подстановки формальных рядов в уравнение Больц^ на. В нулевом приближении по Кп мы получаем локально-максвелло! скую функцию распределения. Условия разрешимости линейно! интегрального уравнения приводят в первом приближении к ура нениям Эйлера для параметров данной функции и к уравнений Навье-Стокса во втором приближении. Таким образом, фор^ руется алгоритм метода Энскога, который оставляет основные гид) 98

динамические величины неразложенными в ряды по числу Кнудсе- иа(см. широко известные монографии [36,86]).

для реагирующих газов и плазмы вместо одного времени релаксации, совпадающего по порядку со средним временем свободного пробега частиц, характерно наличие, как правило, нескольких таких времен (времена установления химического и ионизационного равновесий и равновесного распределения по внутренним степеням свободы, времена максвеллизации функций распределения электронов и ионов, а также время выравнивания их температур и т.д.). В ранних обобщениях метода Энскога особо выделялись два предельных случая: ’’медленные” реакции (число неупругих столкновений много меньше числа упругих соударений) [5, 20, 47, 48, 61, 115] и ’’быстрые” реакции (число неупругих столкновений порядка числа упругих столкновений) [7, 28, 61, 85, 121]. Детальное рассмотрение возможных предельных случаев в теории процессов переноса реагирующих газов содержится в монографии [1], и мы на этих вопросах не останавливаемся.

Более общим является промежуточный случай, когда некоторые столкновительные процессы оказываются быстрыми, а остальные * медленными. Важно отметить, что для различных таких разбиений получаются свои формы уравнений газодинамики, которые не переходят друг в друга и связаны с теми или иными областями течения газовой смеси. Между тем даже в одном и том же течении система может последовательно проходить через несколько качественно различных состояний, причем положение соответствующих областей заранее неизвестно. В результате очевидно, что значительный теоретический и практический интерес представляло такое обобщение метода Энскога, которое привело бы к уравнениям, позволяющим проводить ’’сквозные” расчеты неравновесных течений.

Впервые вопрос о выводе гидродинамических уравнений, пригодных во всех предельных случаях, характерных для реагирующей смеси газов, рассматривался в работах Б.В. Алексеева [2]. Дня возмущения локально-равновесных функций распределения было получено линейное интегральное ’’интерполяционное” уравнение, из которого как частный случай следовали интегральные Уравнения предельных режимов в теории процессов переноса в Реагирующих газах (см. также [1, 7], где изложены и применения обобщенного метода Энскога к расчету реагирующих систем), ^о уравнение обобщенного метода Энскога - основополагающее ^ всех последующих рассмотрений и модификаций метода.

В частности, авторы [33, 34] из линеаризованного оператора столкно» вений этого уравнения выделили самосопряженную часть и пока» зали, что оставшаяся несамосопряженная часть имеет высший порядок малости по числу Кнудсена. Число собственных вектор, функций линейных интегральных уравнений с самосопряженным оператором из [33, 34], соответствующих нулевому собственному значению, меньше числа основных макропараметров. Таким образом, не удается достигнуть исчезновения вклада неравновесных возмущений в основные гидродинамические величины. В результате часть из них раскладывается в ряды по числу Кнудсена.

Следующий важный шаг в развитии обобщенного метода Энскога был сделан в работах [74-76], в которых функции распределения вновь считались зависящими от времени и координат через основные макропараметры и их пространственные градиенты. При разложении соответствующих уравнений сохранения в нулевом порядке по Кп была получена незамкнутая система уравнений Эйлера, так как в выражения для скоростей реакций вошли функции первого приближения. Уравнение первого приближения формируется здесь подстановкой разложения Энскога в уравнение Больцмана и исключением производных по времени с помощью упоминавшейся незамкнутой системы уравнений Эйлера. Оператор этого уравнения состоит из самосопряженной и несамосопряженной частей одного порядка. Собственными функциями, отвечающими нулевому собственному значению данного оператора, являются инварианты неупругих столкновений, а также некоторый дополнительный набор вектор-функций. Наличие такого набора позволяет избежать появления вклада от функций первого приближения в основные макропараметры. При этом определяется единственное решение линейного интегрального уравнения. Подставив его в уравнения сохранения, можно получить уже замкнутую систему уравнений Эйлера. Для замыкания системы уравнений Навье-Стокса необходимо привлечение уравнения второго приближения. Оно имеет такой же интегральный оператор, как и уравнение первого приближения.

В целом метод работ [74-76] уже может служить базой получения систем уравнений газодинамики относительно основных макро* параметров, не раскладываемых в ряды по числу Кнудсена. Такие системы, в принципе, пригодны при произвольном соотношении частот упругих и неупругих столкновений. Вместе с тем имеется серьезное препятствие к построению обобщенного метода Энскога описанным выше образом. Дело в том, что алгоритм работ [74- 7б] 100

предполагает явное построение системы инвариантов неупругих додкновений, а также вычисление некоторых дополнительных веКТор-фУнкЦий> количество и вид которых непосредственно зави- ^ от того, какие конкретно неупругие столкновения учитываются в задаче. Значительно более гибким в указанном смысле ока- зивается вариант обобщенного метода Энскога, изложенный в [9]. Оя уже не требует вычисления никаких других функций, кроме функции распределения первого и части функции распределения второго приближения по числу Кнудсена; отпадает и необходимость определения инвариантов неупругих столкновений. Последнее обстоятельство позволяет с минимальными изменениями перенести данный подход на нейтральные и ионизованные смеси с небимолекулярными неупругими процессами. Далее в настоящей главе изложены физические предпосылки и математическая схема вывода уравнений газодинамики для основных макропараметров многокомпонентных реагирующих газов и плазмы, пригодныу в широком диапазоне скоростей релаксационных процессов.

ОБЩИЙ ВАРИАНТ МЕТОДА ДЛЯ ЧАСТИЧНОИОНИЗОВАННЫХ РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВ

- 3J.1. Нейтральная газовая смесь с бимолекулярными химическими реакциями. Рассмотрим сначала случай нейтральной газовой смеси, состоящей из компонентов Аа (а = 1, 2, ..., ц), в которой происходят только бимолекулярные неупругие столкновения вида

г

Аа + Ар Av + А^. (3.1)

В соответствии с изложенным в гл. 1 предполагается, что система кинетических уравнений для такой смеси выглядит следующим образом:

(3.2)(3.2)Wa1 губ

(3.2)

(3.2)

2/«;(А/) + -2 2 1«^,П. ;=12 г руб

Обозначения, использованные при записи уравнений (3.2), описывались выше. Тем не менее напомним, что

D^ 9fa3faD^ 9fa3fa9faЭха ’9faЭха ’(3.3)(3.3)

D^ 9fa3fa

D^ 9fa3fa

9fa

Эха ’

9fa

Эха ’

(3.3)

(3.3)

a

^ар(Л/) = И^арЛ^б ” /а/р)^ар ^° ар ^VP(3.4)

- интеграл неупругих столкновений (3.1);

^уб sasp I mamp \3

£ ap = I j >(3.5)

sys6 ' mym6 '

где Sj - статистический вес энергетического состояния частицы Aje Интеграл парных упругих столкновений частиц Аа и Ay IajU>h имеет вид (3.4). Надо лишь положить в (3.4) у = а, ₽ = 6 = j и вместо губ

do ар подставить эффективное сечение упругого столкновения doaj. Выпишем еще раз и принцип микроскопической обратимости для реакций (3.1):

уб г?6г<хР ,,

£ ap ^ар do ар dva d^ = ^6 d0 уб ^ d4 •(3-6)

Обезразмерим величины, входящие в уравнение (3.2). Пусть па - характерное значение концентрации, а сa - масштаб средней тепловой скорости молекул Аа. Тогда масштаб для обезразмеривания •_ _г2

функции распределения /а есть па/с£. Обозначим также gap и daj соответственно характерные значения относительной скорости и сечения неупругого столкновения частиц Аа и Ар. Тогда из равенства (3.6) вытекает, что

уб • Г 2- Г 2-

?apSapdap^c| ~ glb d^c^.

Используя последнее соотношение, нетрудно привести интеграл стол*'| новений (3.4) к виду

губ1 [Л гтв + Л губ-"

I оф&П = ^уб^ар ~ ^ар^ср * са

Здесь, например,

губ-~

г Г77~ гУб ~ «В ^«/p5«pdoepdvp 102

^пК ”~” применяется для обозначения безразмерных величин), а

NaP = nanp£apdap

т

• среднее значение полного числа столкновений Аа + Ар ** Ау + А^ в единице объема за единицу времени. Пусть далее L - макроскопическая длина; Ч - гидродинамическое время; Fa - характерное значение действующей на единицу массы молекулы Аа внешней силы. Обозначим также

С « maxca, N = Zna.

(а)а

Тогда потоковый член (3.3) кинетического уравнения (3.2) легко при

водится к виду

D^_ С Г L= na DtL Ci£D^_ С Г L= na DtL Ci£^/a^$Лх—~ +vae—~ + dtcdr^/a^$Лх—~ +vae—~ + dtcdr

D^_ С Г L

= na DtL Ci£

D^_ С Г L

= na DtL Ci£

^/a^$Лх

—~ +vae—~ + dtcdr

^/a^$Лх

—~ +vae—~ + dtcdr

11LFaca dfa

1

1

"cac F“ 9’a -

В результате безразмерное уравнение (3.2) записывается следующим образом:

na£^/аса^^а^аса^а

— +va-—— + —Fa*-^- =

#СЧ9^Сdrс”Сdva .

И £ _1L L r^* L гуЬ-'

е ^ ~ — Naj laj +^* ^J ар —=г* Nар J ар .

j=l CN J 12 r р?6 CN 7 P CN P P

(3,7)

r

Поскольку N^/N -* полное число столкновений A^ + A^ ** Aa + 4p в Расчете на одну частицу смеси за единицу времени, то обратная величина есть соответствующее время свободного пробега, а г

®^^уб - средняя длина свободного пробега. Таким образом,

_ г

L^6/CiV=l/KnY6,(3.8)

г

где KnY6 - число Кнудсена для упомянутого типа столкновений Заметим, что са/С < 1 и na/N < 1. Будем также считать внешние поля не слишком сильными:

(3.9)(3.9)LFa/c= £ 1.

(3.9)

(3.9)

Наконец, учтем, что L ~ Ctl. В результате получим, что левая часть уравнения (3.7) имеет порядок 0(1). Допустим далее, что в уравнение (3.7) подставлено некоторое его решение. Гидродинамическое описание возможно тогда, когда для каждого а найдется хотя бы один тип неупругих столкновений с номером г (или хотя бы один тип упругих столкновений), для которого

(3.10)(3.10)Knap « 1.

(3.10)

(3.10)

Вернемся к размерной форме уравнений Больцмана (3.2), введя формальные малые параметры, играющие роль чисел Кнудсена, и рассматривая для простоты упругие столкновения как частны! случай неупругих:

Df«11rv6

= Т2 ТГ2^ «р ^ Л-(3-п)

Dt2гJOpV6

Ясно, что

rV6(А

— 2 /ар(/,Л = О(еи).(3.12)

руб

Если при некотором г значение е^ « 1, то соответствующие /а лив» величинами О(е^) могут отличаться от функций Fa, удовлетворяю’ щих уравнениям

г V6.11

— Z 2ap(F,F) = 0.(З.Ы

pV6

Умножим каждое из уравнений (3.13) на -кд In [I, проинт^ \ m^sa I

рируем по va и просуммируем по компонентам Аа, участвуют^ в реакции. Тогда

Z1 z S

•■a 2 p?6

I Fah3 \ r?6

-kB In —— /^(F.F)\ m a sa I

d4 = 0.

(3.14)

Очевидно, в последнем равенстве индексы аир можно рассматри' ^А, как "немые”, так что [после подстановки (3.4)] его можно при' вести к виду

$ s - Z J In4 аруб$ s - Z J In4 арубFgF^h6(mamp)3saspFgF^h6(mamp)3sasp(^рОД *(^рОД *

$ s - Z J In4 аруб

$ s - Z J In4 аруб

FgF^h6(mamp)3sasp

FgF^h6(mamp)3sasp

(^рОД *

(^рОД *

(3.15)(3.15)г уб

(3.15)

(3.15)

-FaFp)g«p do ар dvpdva=0.

Совершив переобозначение индексов, напишем:

1$ = — Z Sin4 ?6ap1$ = — Z Sin4 ?6apF^h6(mv m6 )э^5вF^h6(mv m6 )э^5в(^ЭД -(^ЭД -

1

$ = — Z Sin4 ?6ap

1

$ = — Z Sin4 ?6ap

F^h6(mv m6 )э^5в

F^h6(mv m6 )э^5в

(^ЭД -

(^ЭД -

rap

- F^g^do^d^d^.

Переставляя прямые и обратные столкновения, учитывая (3.5) и принимая во внимание структуру суммы по у, 6, а и р, получим, что

S = — Z Sin4 «РтбS = — Z Sin4 «РтбF^F^h*(niymgl^sgF^F^h*(niymgl^sg(F«Fp -(F«Fp -

S = — Z Sin

4 «Ртб

S = — Z Sin

4 «Ртб

F^F^h*(niymgl^sg

F^F^h*(niymgl^sg

(F«Fp -

(F«Fp -

S ■ - — Е j 1п 4 «руб

F^h6(mT m6 )3s?»e

^Довательно, (3.15) преобразуется в уравнение

Z Sin аруб

Fgfp

ti^ -

- Fa F^ g«p da^ dva dip = 0.(З.ц

Напомним, что в соответствии с (ЗЛО) все частицы участвуют хотя ^ в одном типе ’’быстрых реакций”, например в упругом столкновении, Введем обозначения:

(Оеа = mm е ; е = шахеа;rV6(а)

1г,/ар*0}(3.17)

^ = е«/сМ = 0(1); Ха = ^к = 0(1).

В результате уравнение (ЗЛ1) принимает вид

Dfa 1 1(г)г?6

Ха*4 2 1а^М\(3.18:

Dt е 2 г руб Р

Допустим, что для каждого а еа^ 1. Тогда и 6 ^ 1. Мы можем теперь следующим образом условно разделить столкновительные процессы на ’’быстрые” и ’’медленные”: быстрыми процессами станем считать те, для которых е^ < е, а остальные отнесем к медленным. Рассмот рим уравнения (3.16) для быстрых реакций. Существенно, что в наших условиях все функции Fa без исключения в них входят. По скольку подынтегральные выражения членов суммы из (3.16) неположительны, для каждого быстрого столкновения (3.1)

уб , , UpF^ -FeFp.

Таким образом [см. (3.16)], величина {In [Fa/(sa m3a)]}^=1 оказывав ся линейной комбинацией аддитивных инвариантов упомянут^ w . (X), столкновении {фa (va)} a=1:

HMs, -у]- zcx *"(,„).(Э.1<

Обычно с инвариантами неупругих столкновений с помощью coof

до^бНИИ

z SM£)d*« - «^to<3-2°)

„ЛМ „ известные функции) связывают некоторый набор макропара- иетров Г. Поскольку число равенств (3.20) совпадает с числом произ- дольных постоянных Ск в выражениях (3.19), то посредством (3.20) функции Fa можно выразить через макропараметры Г. Вместе с тем, как отмечалось выше, для быстрых реакций

/а - ^ = О(е(г))

и, значит,

f«-Fa- 0(e).(3.21)

Следовательно, функции Fa могут, в принципе, служить основными членами разложений /а по степеням е. Такие разложения приводят к частным вариантам метода Энскога, справедливым лишь для определенных разбиений процессов столкновений на быстрые и медленные.^^

Вернемся теперь к равенству (3.19). Заметим, что величины фа (va) либо не зависят вовсе от va (внутренняя энергия для упругих или резонансных столкновений, например), либо линейны по va (импульс), либо квадратичны по va (полная энергия или кинетическая энергия молекулы). Во всех случаях оказывается, что

m т2 h[Fa/($a Щд)] = aa + ba*(mava) - ca -,

гДе являющиеся функциями от г и t параметры aa, ba и ca > 0 не бу- ЛУт» вообще говоря, независимыми. Положив

°« = In°« = Inma6a2k5 таma6a2k5 таГП(Х \3/21

°« = In

°« = In

ma6a

2k5 та

ma6a

2k5 та

2л kg та I $а т^

ПолУчим

^а - va

та \э/2 ) exp

2лквта /

ma

2кВта

(▼а *

£а)3

(3^

Здесь Уа, та и 6а - опять-таки некоторые функции г и t, среди ^ рых не все, может быть, независимы.

Числовая плотность (концентрация) na, средняя молекуляр^ скорость vao и температура Га компонента смеси Аа определяю^

соответственно равенствами

5/a^va па>

S Va/a^a = ««ТаО»

(3.21(3.21та3

(3.21

(3.21

" (va “ vao) /a^va = ~^вЛаТа.

22

Выполняя интегрирование и учитывая соотношение (3.21), легко по лучить, что

S(/a”^a)^va ” na ~ va ~ 0(e);

SvaVa ^a)^va = navaO ” va£a = 0(e);

j 2 (va vao)2 (/a ^a) ^va *

33

— kg na Ta — ^B^a^a + 0(e) = 0(e). 22

Таким образом,

na - va = 0(e); Ya0 - 6a = °(c); ^a - Ta = 0(e).Следовательно, если мы введем функциюТПу^ \з/2^tt1 exp2л kg Т^ j2kg T^na - va = 0(e); Ya0 - 6a = °(c); ^a - Ta = 0(e).Следовательно, если мы введем функциюТПу^ \з/2^tt1 exp2л kg Т^ j2kg T^fa nafa naHa - ’«OF >Ha - ’«OF >(3.2<(3.25(3.2<(3.25

na - va = 0(e); Ya0 - 6a = °(c); ^a - Ta = 0(e).

Следовательно, если мы введем функцию

ТПу^ \з/2^tt

1 exp2л kg Т^ j2kg T^

na - va = 0(e); Ya0 - 6a = °(c); ^a - Ta = 0(e).

Следовательно, если мы введем функцию

ТПу^ \з/2^tt

1 exp2л kg Т^ j2kg T^

fa na

fa na

Ha - ’«OF >

Ha - ’«OF >

(3.2<

(3.25

(3.2<

(3.25

(3.2H(3.2H

(3.2H

(3.2H

то окажется, что

fa _ fa = 0(e)-

дцрлгя (3.26) является исходной для построения наиболее общего ид Энскога при условии, что реагирующая газовая смесь описы-

*L^ системой кинетических уравнений вида (3.2). В самом деле, допустить, что хотя бы в асимптотическом смысле некоторое

^д^р уравнения (3.18) представляется рядом

/<■/<■2 6 /а к=02 6 /а к=0(3.27)(3.27)

/<■

/<■

2 6 /а к=0

2 6 /а к=0

(3.27)

(3.27)

ю в силу (3.26) вместо функции (3.22) главным его членом может стать выражение (3.25). Отметим, что совокупность функций ^/^ ^=1 появляется в Излагаемой теории не как решение какого бы то ни fan» уравнения нулевого приближения, а как продукт своего рода ’интерполяции” между всевозможными предельными случаями соотношений времен релаксации.

г X ^и“Г”\ m=0г X ^и“Г”\ m=0(3.28)(3.28).Разложим далее по степеням е интеграл (3.4), подставляя в него функции распределения в виде рядов (3.27). Легко убедиться, что

г X ^и“Г”\ m=0

г X ^и“Г”\ m=0

(3.28)

(3.28)

rye 00

1«^,П- 2 k-0

где

^(Аг) - -ЧКарUU + Аб^) - u»g» +

+ Ар «а) 1 «ар d о „р dvP•<3129)

^и, в свою очередь, подставить разложение (3.28) в исходную оценку 1*13), то мы получим, что

ек— £ £ / ^ (A(m^ A(k~m)) = О(е(г)), к*02 р^в т=0

Z Z Z^(A(m),A(fc'm)) = О(е(г)).(3.30)

Руб т=0 Р

При к = О отсюда имеем

(3.31|(3.31|~ 2 I«^\f^ = oA 2 Ру6 Р

(3.31|

(3.31|

Перепишем теперь уравнение (3.18) в форме

Dt е 2 г 0уб

(3.32|

= Z 6k-1~ Lk^ 2 Z V^m\fg(-m\

к=12 г Руб т=0

Вследствие (3.31)

-11 ^ = 1>Л - о(- -^-=м) - О(х.). (3.3, е 2 г Р?б\ е (О /

Таким образом, левая часть уравнения (3.32) имеет порядок О(Ха)

Но тогда при решении этого уравнения окажется, что (k = 1,2...)

е*-12_ £m)) = О [—,

2 г е(г) руб т=0\ е /

т.е. условие (3.30) при к > 0 выполняется автоматически.

В то же время соотношения (3.31) накладывают определена^ ограничения на параметры функций f^\ Для быстрых процессов оч приводят к выравниванию температур и средних молекулярных cri ростей компонентов, а также к соотношениям закона действую^ масс. Упомянутые ограничения должны учитываться при постанов начально-краевых задач для уравнений газовой динамики. Оце^ (3.31) имеют очевидный физический смысл: через малый в гид? динамическом масштабе промежуток времени быстрые сто^ новения перестают оказывать прямое воздействие на измене^ макропараметров. Результат каких-либо столкновений почти то^ компенсируется результатом обратных столкновений. Таким обра^ условия (3.31) обеспечивают возможность макроскопического оП^ ния быстрых реакций.

по

Эта возможность, в сущности, отрицалась в работах [64, 65]. В них, е частности, утверждалось, что при ка ~ 1 концентрации па не яв- ^тся, вообще говоря, медленными переменными и что в случае улогоатомных и реагирующих газов набор гидродинамических вели- члн зависит от характера течения и неоднозначно определен. Таким образом, вывод макроскопических уравнений должен указать крите- ряи выбора медленных для данной задачи параметров. Ответы на кри- жку обобщенного метода Энскога, высказанную в [64, 65], и разъяснение некоторых его особенностей содержатся, например, в [31].

Отметим, что наши исходные оценки порядков величин существенно связаны с диапазоном скоростей молекул va ~ с„, где ^ ~ (2кв Та/таУ'2 - средняя тепловая скорость частиц компонента Аг Как видно из (3.25), при таких скоростях действительно оказывается, что /„ ~ па/Сд. Однако для больших (по сравнению с квТ^ энергий!! поступательного движения имеется резкий экспоненциальный спад функций распределения. Следовательно, при соответствующих скоростях молекул вышеприведенные оценки и получаемые на их основании результаты перестают, вообще говоря, быть справедливыми. В то же время, если химическая реакция имеет энергетический порог 0 > квТ, вычисление ее скорости предполагает знание функций распределения при v^ » се, т.е. на ’’хвостах” /а. Обзор результатов, полученных при изучении кинетики высокопороговых реакций, содержится, например, в [71]. Вместе с тем методы решения кинетических уравнений, предназначенные для вычисления переносных свойств, должны быть ориентированы ”а диапазон тепловых энергий молекул.

.2.2. Линейные интегральные уравнения обобщенного метода Звосога для смеси с бимолекулярными реакциями. Из сказанно- го в предыдущем пункте следует, что на гидродинамическом эволюции функции распределения становятся функциона- ^ медленно меняющихся макропараметров Г:

■ 4 (г, Va, О = /„ (у„ I Г, V Г,.... V МГ,...).(3.34)

^Явсь V^ означает пространственные градиенты порядка s. Роме того, чтобы получить собственно гидродинамическое ОпИсание, нужно допустить, что

а

*^~Г(г, 0 = Ф(Г, vr,..., V(5)r,...).(3.35)

Если учесть оценки (3.17), (3.33), то можно на этом этапе рассуй дений замейигь формальные параметры ха, Х^ на единицу Таким образом, функции (3.34) мы будем находить из систе^ уравнений (а = 1,2,.... ц):

Dfa =2Dt 2Dfa =2Dt 22 S ^а^/0’^0^ г руб р2 S ^а^/0’^0^ г руб р

Dfa =2Dt 2

Dfa =2Dt 2

2 S ^а^/0’^0^ г руб р

2 S ^а^/0’^0^ г руб р

(3.3^(3.3^+ IeU-Z Z ЕЛ/(т), f{k т\ к-12 Т р?б m=Q

(3.3^

(3.3^

Так как /а представляются рядами (3.27), уместно предположить, ЧТО и

Ф = Е екФ(к).(3.31)

к-0

С целью добиться наибольшей общности мы пока не станен связывать себя предположением о том, что функции f^, вход» щие в (3.27), имеют вид (3.25). В принципе, в роли таковых могут выступать любые функции (3.22) - нужно лишь каждый раз выбирать в качестве Г соответствующий набор макропараметров.

Разложим по степеням е потоковый член Dfa/Dt, входящи! в левую часть уравнения (3.36). Вычислим предварительно пра помощи (3.27), (3.34), (3.35) и (3.37) входящую в выражение (3.3) производную d/a/d V.

»!«? 3'« 8„»г * э'« . 7«зг

swwn' 81"•а<7Иг> '81

5=6 Э(.А)$"°^"° аЛ ' 'т=01

-Е X

»=° tm-o g(v($)r)

4-о k-o z-o a(vWr)

(3.38)(3.38)(3.39)(3.39)Df* ” kDkfa—;_ -Ее ,Dt fc=0 DtгдеMa d^j?9f^<~-- 2 + V—+ Fa'-Dt;=q dtdtДалее удобно обозначитьh?-fM (« = 1,2,...,ц; к = 0,1...),Df* ” kDkfa—;_ -Ее ,Dt fc=0 DtгдеMa d^j?9f^<~-- 2 + V—+ Fa'-Dt;=q dtdtДалее удобно обозначитьh?-fM (« = 1,2,...,ц; к = 0,1...),(3.40)(3.40)(3.41)(3.41)(3.42)(3.42)

(3.38)

(3.38)

(3.39)

(3.39)

Df* ” kDkfa

—;_ -Ее ,

Dt fc=0 Dt

где

Ma d^j?9f^<

~-- 2 + V—+ Fa'-

Dt;=q dtdt

Далее удобно обозначить

h?-fM (« = 1,2,...,ц; к = 0,1...),

Df* ” kDkfa

—;_ -Ее ,

Dt fc=0 Dt

где

Ma d^j?9f^<

~-- 2 + V—+ Fa'-

Dt;=q dtdt

Далее удобно обозначить

h?-fM (« = 1,2,...,ц; к = 0,1...),

(3.40)

(3.40)

(3.41)

(3.41)

(3.42)

(3.42)

. z ? I S Z Vй Ф*-":-^- к-»'=« < s=09(v($)r)

Вводя операторы

2L= E V(s)®W:0 = 0,1,2...),

^5=0a(v^r)

имеем

»/«” _k £ W?

8tк-й /=0 St

Теперь с помощью (3.27) и (3.39) находим

а затем, подставив (3.42) в выражение (3.29), после несложных пРеобразований легко получить, что

е~2 2 /^в(/0),/0)) + Е ек— 2 Е 2 7^в(/(m),/(k"m)) = т Рубк=12 г р-уД т=о

"6kf^ {£„ [h(k)] + ?^}.(3.43)

^№сь линеаризованный интеграл столкновений

$£ ГЫ - 1 у г frrT® f^V^’th' 4. h'A

® ^alnj -£ £ ii^ap^y '6 C^y + ”6/ ”

2 г Руб J

aa- №« + h₽)]gapdoTapdVp,- №« + h₽)]gapdoTapdVp,(34(34,(O)-(k-l) • a r a,(O)-(k-l) • a r a1= — Z £2 r pV61= — Z £2 r pV6L. X ?/([,” fW’,W 1 lh^Yh(k-m)' jU-Okl)2 I ^а»Л 16 “(by h81 m=l JL2 'L. X ?/([,” fW’,W 1 lh^Yh(k-m)' jU-Okl)2 I ^а»Л 16 “(by h81 m=l JL2 '"^ ^6 ^y j 1 a ^ ^ ("a ’’p+ "p "a )J ^"^ ^6 ^y j 1 a ^ ^ ("a ’’p+ "p "a )J ^луб .. Г/^б /0/,(0)' ,(0),(0)\. губ . )XSapd°apdvp + $kl H^ap/y /б ^a ^p j^ap ^° ap ^¥P pлуб .. Г/^б /0/,(0)' ,(0),(0)\. губ . )XSapd°apdvp + $kl H^ap/y /б ^a ^p j^ap ^° ap ^¥P ph ~ |ha|a=l-h ~ |ha|a=l-(3.4)(3.4)С помощью (3.40) и (3.43) наше основное уравнение (3.36) пр образуется к видуЕеЕе/а j X а [ h J + Ра г.(3.46к=0 Dt fc=lС помощью (3.40) и (3.43) наше основное уравнение (3.36) пр образуется к видуЕеЕе/а j X а [ h J + Ра г.(3.46к=0 Dt fc=lПриравнивая в (3.46) коэффициенты при одинаковых степенях и учитывая формулы (3.38) и (3.41), получим уравнение И приближения обобщенного метода Энскога:Приравнивая в (3.46) коэффициенты при одинаковых степенях и учитывая формулы (3.38) и (3.41), получим уравнение И приближения обобщенного метода Энскога:к-11=0к-11=0ооа f^£ V^ Ф ^-,_1^;—ооа f^£ V^ Ф ^-,_1^;—5=05=0d(V($)r) М (к-d(V($)r) М (к-аЛ-^ 8fa+ ▼«—:— +ЭгаЛ-^ 8fa+ ▼«—:— +ЭгFaFaа /к-1)9fa9'a(3.4lа /к-1)9fa9'a(3.4l

a

a

- №« + h₽)]gapdoTapdVp,

- №« + h₽)]gapdoTapdVp,

(34

(34

,(O)-(k-l) • a r a

,(O)-(k-l) • a r a

1

= — Z £

2 r pV6

1

= — Z £

2 r pV6

L. X ?/([,” fW’,W 1 lh^Yh(k-m)' jU-Okl)2 I ^а»Л 16 “(by h8

1 m=l JL2 '

L. X ?/([,” fW’,W 1 lh^Yh(k-m)' jU-Okl)2 I ^а»Л 16 “(by h8

1 m=l JL2 '

"^ ^6 ^y j 1 a ^ ^ ("a ’’p+ "p "a )J ^

"^ ^6 ^y j 1 a ^ ^ ("a ’’p+ "p "a )J ^

луб .. Г/^б /0/,(0)' ,(0),(0)\. губ . )

XSapd°apdvp + $kl H^ap/y /б ^a ^p j^ap ^° ap ^¥P p

луб .. Г/^б /0/,(0)' ,(0),(0)\. губ . )

XSapd°apdvp + $kl H^ap/y /б ^a ^p j^ap ^° ap ^¥P p

h ~ |ha|a=l-

h ~ |ha|a=l-

(3.4)

(3.4)

С помощью (3.40) и (3.43) наше основное уравнение (3.36) пр образуется к виду

ЕеЕе/а j X а [ h J + Ра г.(3.46

к=0 Dt fc=l

С помощью (3.40) и (3.43) наше основное уравнение (3.36) пр образуется к виду

ЕеЕе/а j X а [ h J + Ра г.(3.46

к=0 Dt fc=l

Приравнивая в (3.46) коэффициенты при одинаковых степенях и учитывая формулы (3.38) и (3.41), получим уравнение И приближения обобщенного метода Энскога:

Приравнивая в (3.46) коэффициенты при одинаковых степенях и учитывая формулы (3.38) и (3.41), получим уравнение И приближения обобщенного метода Энскога:

к-1

1=0

к-1

1=0

ооа f^

£ V^ Ф ^-,_1^;—

ооа f^

£ V^ Ф ^-,_1^;—

5=0

5=0

d(V($)r) М (к-

d(V($)r) М (к-

аЛ-^ 8fa

+ ▼«—:— +Эг

аЛ-^ 8fa

+ ▼«—:— +Эг

Fa

Fa

а /к-1)

9fa

9'a

(3.4l

а /к-1)

9fa

9'a

(3.4l

Пусть теперь фа(уа) обозначает какой-нибудь из аддитивна инвариантов столкновений, с которыми по формулам (З.Я связаны макропараметры Г (напомним, что сейчас в качес^ /^ выступают любые из возможных функций Fa). УмноЖ®* (3.47) на фа, проинтегрируем по всем va и просуммируем 61 а от 1 до р. Будем иметь:

k-lZ1=0k-lZ1=0£ ^Ф^ 5=0£ ^Ф^ 5=0ддд (v(s)r)д (v(s)r)й с (О2 5/а Фа dva + а=1й с (О2 5/а Фа dva + а=1

k-lZ1=0

k-lZ1=0

£ ^Ф^ 5=0

£ ^Ф^ 5=0

д

д

д (v(s)r)

д (v(s)r)

й с (О

2 5/а Фа dva + а=1

й с (О

2 5/а Фа dva + а=1

Г f f(0)) Г Fh(k)l X в^Ч i

^ ^a j ^a ш 1 + ^a fФadVд.

a-1()

. ДО) /1) Дк-1)

Допустим далее, что функции /«,/«, .... /а Уже определе- вы. При этом учтем, что / а зависят лишь от Г, а про остальные функции предположим, что они удовлетворяют условию

2 5f? h ? Фа dv« - О У - 1,2...).(3.48)

a-1

Тогда последнее равенство упрощается и может быть переписа

но следующим образом:

аг р=1 р р р р=1 р[ р dr (k-1)

XF • ₽Не х У (г^к^Г^х P(k-1)Lb HeFl

+ ^ —а ^v₽ + ^ ^Р ( р ^+ р ^vpdvp. (3.49)

Соотношение (3.49) представляет собой систему линейных ал- №~1)

гебраических уравнений для определения Ф . Положим

ф°) = Ф^ + Фд 0 = 0,1,2...),(3.50)

ГдаФ^ ^ и Фд ^ ПРИ k = 1» 2— определяются системами яя/к-1)

-(к-1) 9 Н г (0) .£ г 9^

*N :~ТГ 2 VP ФР^0 = - 2 5фр V0-—+

р=1р=1dr

9/(к-1)

* FP' dvp + И f? Т ^ фр dvp;(3.51)

dtp0=1

ф^'Ч 9 J JZ % dv ж X S/p^VpI/jt^l фрйур. (3.52) аг 0=1p=i

Следовательно, Ф^ является функционалом от h ^ .... h ^'0

Ot-1)jt).*

а Фд - от h . Таким образом, уравнение (3.47) следует пере- писать в виде

ga 1)=Ьа[Ь^.(3.53)

Здесь

(0)

ЭГ/=1 $=о

а/к-1)я,(к"1)

. v+ FгОО-Дк-Ц

01 аfa ^а ’

drЭта

(3.54)

9(7^0

(0)

ie[fta’] - X.[b*>J -.(3.S5)

А ЭГ

Используя равенства (3.51) и условие (3.48), легко установить, что для любого ф ^Vg)

(3.56)(3.56)£ г.(0) (k-D. . пДМр gp Фр^тр=0.

(3.56)

(3.56)

Пусть далее h - некоторая вектор-функция. Тогда оператор

La[h] определяется формулой (3.55), где Ф^-1^ находится из А

(3.57)(3.57)системы (3.52), причем индекс (к - 1) здесь может быть, конечно, опущен. Легко убедиться, что

(3.57)

(3.57)

Д Sfp bplhWpdVp = 0.

Соотношения (3.56) и (3.57), как будет разъяснено в дальнейшем, обеспечивают разрешимость интегральных уравнений обобщен ного метода Энскога.

Опишем формальную схему нашего алгоритма. Задавший фунциями нулевого приближения f^\ из системы (3.51) прм k = 1 находим Ф^. Далее составляем уравнение (3.53) для к = *

(ф^ формально выражается из (3.52) с к = 1]. Допустим, что мож- go* найти единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (3.48) при J = 1. Теперь вычисляется Ф^, а затем по формуле (3.50) и Ф^. Далее из (3.51) при к = 2 находим ^\ Составляем уравнение (3.53) для к = 2 и получаем h \ удовлетворяющее условию (3.48). Наконец, по формуле (3.50) находим Ф^ и т.д. Как мы сейчас увидим, изложенный подход с минимальными изменениями переносится на случай ионизованной смеси с небимолекулярными неупругими столкновениями.

3JJ. Преобразование столкновительного члена для ионизованного газа. Если компоненты Аа и Aj заряжены, то в качестве Iaj^ f) следует взять либо интеграл стокновений Больцмана с экранированым кулоновским потенциалом, либо интеграл Балеску- Ленарда, либо сходящийся интеграл столкновений (см. гл. 1). Характерные времена релаксации, связанные с упомянутыми интегралами, хорошо известны [59]. Так, среднее время свободного пробега частиц сорта Аа между их столкновениями с частицами Aj оценивается как

4j = 1/Vap

где

nj (е« ер®кв Taj

'aj ~ In Гп

(3.58)(3.58)и^^втар- D 1е«еу1

(3.58)

(3.58)

га/ ■ (ma Tj + m, Га) / (ma + mj)

(черточки в обозначениях характерных концентраций и температур краткости опускаем). Для процессов, определяемых релак-

^Цией импульсов (например, для выравнивания средних скоРостей ионов и электронов) соответствующие частоты столкновений

v^. “Jv^. “Jxajxaj(3.59)(3.59)

v^. “J

v^. “J

xaj

xaj

(3.59)

(3.59)

^ процессов же, связанных с обменом энергией (релаксация вмператур),

(3.60)(3.60)Г 2^ау vaj ~vaj

(3.60)

(3.60)

ma + my

Следовательно, если, как. всегда, индексом е обозначить элек. троны, а индексом i - ионы с зарядом Ze (m, > те), то

пе е*кв те

veeIn rD

т^'ЧквТ^ ° е»

причем обычно vee ^ v{i. Далее,

-п, Z1 е*кв Те

V •In rD

т^^вТеУ'1 L Ze1

В то же время

Таким образом, энергообмен между электронами и ионами (а также между электронами и нейтральными тяжелыми частицами) является сравнительно медленным. Это обстоятельство реально может приводить к двухтемпературной гидродинамике.

(3.61)(3.61)Пусть теперь ФД^) - некоторые функции от скоростей частиц. Здесь индексы а и j различны. Тогда, чтобы действовать так же, как при решении уравнений (3.14), следует вычислить величину

(3.61)

(3.61)

5 = Si»aIajU,ndva + SVjIjaU,ndv

Заметим, что, интегрируя по частям и требуя исчезновения интеграла на бесконечно удаленной поверхности в пространстве va, легко получить, например, что

SdvadT;vaSdvadT;va1— 2ma1— 2maf9Va)dvadv; ——° 4f9Va)dvadv; ——° 49 / 9fa я I "я *i dva \ dva1/ 9/a‘ 2 я m= \ 9ra9 / 9fa я I "я *i dva \ dva1/ 9/a‘ 2 я m= \ 9ramamjmamamjmaHl9чHl9ч\ 1 /a I\ 1 /a I3fj3fjmj d^mj d^' Saj\ 1 fa I' gaj' Saj\ 1 fa I' gaj

SdvadT;va

SdvadT;va

1

— 2ma

1

— 2ma

f9Va

)dvadv; ——

° 4

f9Va

)dvadv; ——

° 4

9 / 9fa я I "я *i dva \ dva

1/ 9/a

‘ 2 я m= \ 9ra

9 / 9fa я I "я *i dva \ dva

1/ 9/a

‘ 2 я m= \ 9ra

ma

mj

ma

ma

mj

ma

Hl

9ч

Hl

9ч

\ 1 /a I

\ 1 /a I

3fj

3fj

mj d^

mj d^

' Saj

\ 1 fa I

' gaj

' Saj

\ 1 fa I

' gaj

S dva dijS dva dij9<P« / a/« , 9fj , \ 1

S dva dij

S dva dij

8»a ' 9P«9»j I g«j

Взяв далее в качестве Iaj U> Л сходящийся интеграл столкнове- ЯЯЙ (см. гл. 1) и приняв во внимание последний результат, не-

трудно найти, что

5 = 5 dva dij S db j gaj (фа + Фу) (/a fj fa fj) + 2(ea ey)5 = 5 dva dij S db j gaj (фа + Фу) (/a fj fa fj) + 2(ea ey)9 Фа9 Pa9 Фа9 PaМы воспользовались также очевидными соотношениямиМы воспользовались также очевидными соотношениями

5 = 5 dva dij S db j gaj (фа + Фу) (/a fj fa fj) + 2(ea ey)

5 = 5 dva dij S db j gaj (фа + Фу) (/a fj fa fj) + 2(ea ey)

9 Фа

9 Pa

9 Фа

9 Pa

Мы воспользовались также очевидными соотношениями

Мы воспользовались также очевидными соотношениями

•(k’fa/) = 6(k*^a);

6(k-gay)le(k,k-Vy)r2 = б (к-g^le (к,к • va)l~2.

Переставим прямые и обратные столкновения во входящем в £ интеграле по Ь; в результате этот интеграл примет вид

td^d^dbtgaj^a + Фу) Uafj - faty + 2(eae;)2 — (\ 9Pa

Здесь учтено, что

d^dHj'= dvady db' = db; b'= b; g«j = gaj.

В результате имеем

u _ у dva to. j db La. (Фа+ф - ф; - ф;) v^;- fj)+ 2(

+ 2(eae.)2+ 2(eae.)211jL/LbbJ^-^jxдр/ '' дра dpj IjL/LbbJ^-^jxдр/ '' дра dpj Iдф« 8^ dtaдф« 8^ dta8ajb*8ajb*1 - exp1 - expдфа дф-дфа дф-8 Яс aPy8 Яс aPy:tdkjeL6(k.&pS|e(k,k.vp|-3-:tdkjeL6(k.&pS|e(k,k.vp|-3-(3.621(3.621

+ 2(eae.)2

+ 2(eae.)2

1

1

jL/LbbJ^-^jx

др/ '' дра dpj I

jL/LbbJ^-^jx

др/ '' дра dpj I

дф« 8^ dta

дф« 8^ dta

8ajb*

8ajb*

1 - exp

1 - exp

дфа дф-

дфа дф-

8 Яс aPy

8 Яс aPy

:tdkjeL6(k.&pS|e(k,k.vp|-3-

:tdkjeL6(k.&pS|e(k,k.vp|-3-

(3.621

(3.621

Из (3.61) и (3.62) легко видеть, что

5 ^а^- V, ndVa + S Ф/уа V, Л dVj = 0(3.63|

при

Ф|(*|) = а,-; q>l(v/) = p, (i = aj).(3.641)

Равенство (3.63) имеет место и для

<Pi(vd = P?/(2mi)-(3.6^

В самом деле, в случае (3.646) дфа дф;-

8aj • Ъ = Baj • b = О

(Sbtj- ^ ® ’g«j) = ®'

удуим образом, используемый нами интеграл столкновений, как и больцмановский интеграл упругих столкновений, сохраняет число ддстиц компонентов Аа и Aj, а также их суммарные импульс и кинетическую энергию.

Положим теперь в (3.62)

*M fa'!" /a • b dp) /)*M fa'!" /a • b dp) /)xL 8ajb‘xL 8ajb‘/2 6(K-eUi) • k| —) k*/2 6(K-eUi) • k| —) k*e(k, к • t/)|-2-e(k, к • t/)|-2-

*M fa'!" /a • b dp) /)

*M fa'!" /a • b dp) /)

xL 8ajb‘

xL 8ajb‘

/2 6(K-eUi) • k| —

) k*

/2 6(K-eUi) • k| —

) k*

e(k, к • t/)|-2-

e(k, к • t/)|-2-

Здесь нетрудно получить, что

— S dva dv, J db ] gaj In (-^- j ^afj- /a // ) - 2 (ea e.) X

2(\ fati I

9fa9fj\U 1 U 8fa

—fj-/a U + f/-

9»a9»jI)^f? ( \ dp

Ясно, что и больцмановский член последнего выражения, и член, соот- ветствующий интегралу Балеску-Ленарда, строго положительны. Члены же, зависящие от Ьо, как мы знаем, просто компенсируют их Расходимости соответственно при больших b и к. Таким образом, можно ожидать, что знак определяется именно упомянутыми ^ложительными интегралами. Первый из них обращается в нуль лишь Яри

fafj'-fafj,

а второй - лишь при

а/«8fj\

fj/а -караa₽j/

6(к. g(y)=0.

(3.^

(з.ц

Уравнение (3.66) вследствие равенства хб (х) = 0 эквивалентно уравнению

• к + C(gty • к) = О,• к + C(gty • к) = О,1 / а/а8fj

• к + C(gty • к) = О,

• к + C(gty • к) = О,

Ifj —-—/а Vj ' араapj

где С - постоянная. Далее имеем

В силу произвольности к отсюда выводим, что (здесь Ь - не зависящий от р< вектор)

8Ы(р;

+ С= b(i = «,/).

dpiт.

Общее же решение последнего уравнения выглядит следующим образом:

р=

In/=ai + b p,- С——.

2т j

Видно, что построенные функции /а служат общим решением и уравнения (3.65), одновременно являясь частным случаем функций (3.22)- Рассуждения при j - ^ проводятся аналогичным образом. Только здесь следует рассматривать

^ = $ Фа Ахах У>Л^« = —[i Фа Аха^, /) dva + 5 Фах /а а(£ /)dVaJ.

В результате оказывается, что для

фд ■ { ва; та Va; та Л /2}

^ • 0. Если же фа = -к In [/а Н3Цт3 $„)], то t, обращается в нуль лип» при

In /а = °« + Ьа " (та v«) ~ £« та ^ / 2.'

В итоге приходим к выводу, что обобщенный метод Энскога в случае ^шипованных газов может быть построен по той же схеме, что и в случае нейтральных. Следует лишь видоизменить формулы (3.44) для линеаризованного интеграла столкновений и (3.45) для величин f® ^а*-1) ^ = ^ 2, —)• Это будет сделано позднее.

12.4. Кинетические уравнения для смесей газов с тройными веупругими столкновениями. Предположим, наконец, что в смеси газов протекают, кроме бимолекулярных, также реакции

Ад + Ар + Ау Aj + Аф(3.67а)

и обратные реакции

Г

Ла + -Ар "* А-р + Аб + А<р.(3.676)

Качественно степень влияния тройных столкновений на эволюцию функций распределения можно оценить, исходя из простых газокинетических соображений. Например, в газе из твердых шаров диаметром г0 частота парных столкновений gnr$n. Суммарный объем Двух таких сфер равен лго/3, а объем, приходящийся на одну молекулу, есть л*1. Таким образом, вероятность взаимодействия пары столкнувшихся шаров с третьим есть (л/3) пг%, а частота тройных столкновений ~ eov№ ^дв’ поскольку параметр плотности со ® л Го считается малым. Итак, следует ожидать, что тройные столкновения не будут ’’быстрыми”.

Покажем, тем не менее, что реакции типа (3.67а) - (3.676) при Алании могут быть включены в уже рассмотренную схему обобщенного метода Энскога [17]. Для простоты возьмем трехкомпонентную Плазму, состоящую из электронов (е), ионов G) и атомов (о), в которой Происходят ударная ионизация и трехчастичная рекомбинация, 0ПИсываемые уравнением

e*et*i^e + a.

Кинетические уравнения представим сейчас в виде (полагаем n^ = ma):

— = ^4— = ^4DtDtттX d^dvj* 5X d^dvj* 5Dh .(да) f = 4+ JDtDh .(да) f = 4+ JDtsesim^fefa-fefejih3sasesim^fefa-fefejih3sah38g , fefexfi- fefaseSimeh38g , fefexfi- fefaseSimeSeSim%h3saSeSim%h3safefa~fefetfifefa~fefetfiWeeee i (meme)3 dvet dv, XWeeee i (meme)3 dvet dv, XIVе 611 ™еаIVе 611 ™еа'1(mjma)3 ~dTfadiedve'^^'1(mjma)3 ~dTfadiedve'^^^e” i(meme)3 X^e” i(meme)3 X

— = ^4

— = ^4

Dt

Dt

т

т

X d^dvj* 5

X d^dvj* 5

Dh .(да) f = 4+ J

Dt

Dh .(да) f = 4+ J

Dt

sesim^

fefa-fefeji

h3sa

sesim^

fefa-fefeji

h3sa

h38g , fefexfi- fefa

seSime

h38g , fefexfi- fefa

seSime

SeSim%h3sa

SeSim%h3sa

fefa~fefetfi

fefa~fefetfi

Weeee i (meme)3 dvet dv, X

Weeee i (meme)3 dvet dv, X

IVе 611 ™еа

IVе 611 ™еа

'1

(mjma)3 ~dTfadiedve'^^

'1

(mjma)3 ~dTfadiedve'^^

^e” i(meme)3 X

^e” i(meme)3 X

x —dvedve difd^;

21

Dfo _ ,(дв) . с Г ^^ г» r . 1 ia®^i^/—1 — vJ ^a * Jfefe.fi fefa ^ (mema) X

DtSeJimiJL ee

(3.681)(3.681)1

(3.681)

(3.681)

X —dVedVe'dVe* dv<f 21

Здесь 1ею , ^ и 1^® обозначают интегралы парных столкновений (Bi том числе, может быть, и неупругих).

Умножим интегралы тройных столкновений уравнений (3.684

соответственно насоответственно наfeh3 - kBln——- me$efeh3 - kBln——- me$e, fih3- kBln, fih3- kBlnи -k5lnи -k5lnfgh3ma snfgh3ma sn

соответственно на

соответственно на

feh3 - kBln——- me$e

feh3 - kBln——- me$e

, fih3

- kBln

, fih3

- kBln

и -k5ln

и -k5ln

fgh3

ma sn

fgh3

ma sn

а затем проинтегрируем их в том же порядке по ve, v, и ve и сложи* В результате получим

П = -кв— J 2П = -кв— J 2Se$ime , i3h $eSe$ime , i3h $e1 feh\i A^\xIn+ In—*— x1 feh\i A^\xIn+ In—*— xте seте semesemesex СЛтет^x СЛтет^<hfidve<heidvedvi-<hfidve<heidvedvi--^s2-^s2fc3 -—^ ОД-fefa sestm4efc3 -—^ ОД-fefa sestm4e

П = -кв— J 2

П = -кв— J 2

Se$ime , i

3

h $e

Se$ime , i

3

h $e

1 feh\i A^\xIn+ In—*— x

1 feh\i A^\xIn+ In—*— x

те se

те se

mese

mese

x СЛтет^

x СЛтет^

<hfidve<heidvedvi-

<hfidve<heidvedvi-

-^s

2

-^s

2

fc3 -

—^ ОД-fefa sestm4e

fc3 -

—^ ОД-fefa sestm4e

feh3In mesefeh3In mesewe61tевwe61tев(m3mj3 d^dv^dijdvedvg—~SJ2(m3mj3 d^dv^dijdvedvg—~SJ2sesime ,r.i_Ie<eh3$esesime ,r.i_Ie<eh3$e-fefeji-fefejidvedvei d^ dv/dvg 2dvedvei d^ dv/dvg 2XXМы УЧЛИ, чтоМы УЧЛИ, чтоfefameseSisJ^&JifefameseSisJ^&JiSea Cea*' ^e^e* (3-686)Sea Cea*' ^e^e* (3-686)(3.69)(3.69)

feh3

In mese

feh3

In mese

we61tев

we61tев

(m3mj3 d^dv^dijdvedvg—~SJ2

(m3mj3 d^dv^dijdvedvg—~SJ2

sesime ,r.i_Ie<eh3$e

sesime ,r.i_Ie<eh3$e

-fefeji

-fefeji

dvedvei d^ dv/dvg 2

dvedvei d^ dv/dvg 2

X

X

Мы УЧЛИ, что

Мы УЧЛИ, что

fefameseSisJ^&Ji

fefameseSisJ^&Ji

Sea Cea*' ^e^e* (3-686)

Sea Cea*' ^e^e* (3-686)

(3.69)

(3.69)

^ea1' (me ma)3dVedve' dvt = geedo^1',

eVi'

Пей),,1 - дифференциальное эффективное сечение ионизации атома Нестройным ударом, а также, где это было необходимо, переставили Ц>ямые и обратные столкновения.

Очевидно,

1*0,

Ч*яем равенство достигается лишь тогда, когда

(3.70)(3.70)»г । г $е${т^ , , leleji =fefa.

(3.70)

(3.70)

h3se

jjKo видеть, что решениями уравнения (3.70) оказываются только /а(« = е, i, а), у которых величина In Vah3Ksamfl)A есть комбинация аддитивных инвариантов рассматриваемого */РУгого столкновения, т.е. опять-таки скалярных инвариантов, k Уяьса и полной энергии. Максвелловские функции распределения

™ar^™ar^

™ar^

™ar^

2kBT e2kBT e(ma \з/2

2kBT e

2kBT e

]2лквТ J

в частности, удовлетворяют (3.70), если

tiiл^2s iI2HmekBT \з/2/^д \

——:—exP•(3.7i)

n„se\ h2 I\kgT I

При выводе (3.71) мы учли, что se = 2 и

22*2*2#2

те Те та *а те re те1 re mi yi _+=+++ Ia>

22222

где 1в - потенциал ионизации атома. Равенство (3.71), связывающее концентрации компонентов идеальной плазмы и температуру, являй ся хорошо известным уравнением Саха, определяющим степе» термической ионизации в статистически равновесном состоянии [78].

Далее алгоритм обобщенного метода Энскога снова строится так, как описывалось выше. Модифицировать надо только выражения (3.44) и (3.45).

МНОГОТЕМПЕРАТУРНАЯ ГИДРОДИНАМИКАИ ОДНОТЕМПЕРАТУРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Уравнения многотемпературной гидродинамики в рамкУ обобщенного метода Энскога. Рассмотрим ситуацию, когда условУ (3.24) разбивают компоненты газовой смеси на группы таким образом что в пределах каждой группы средние молекулярные скорости >1 температуры компонентов отличаются друг от друга лишь величинам! О (е), в то время как отличия упомянутых величин для компоненте! из разных групп могут быть произвольны. Снабдим частицы, крон* номера а, дополнительно номером соответствующей группы i и вводе*1 операцию суммирования по а при заданном значении i. Эту операнд станем обозначать символом Определим далее массовые скорое*1 a

v и кинетические температуры Т* групп компонентов О = 1, 2, ..., 1<М«ц):

V f mana = S ma Va/a dva;(3.^

a a

LkBT’l'ria-l'S — m^a- v')2 /a^crLkBT’l'ria-l'S — m^a- v')2 /a^cr2 a a 22 a a 2(3.726)(3.726)

LkBT’l'ria-l'S — m^a- v')2 /a^cr

LkBT’l'ria-l'S — m^a- v')2 /a^cr

2 a a 2

2 a a 2

(3.726)

(3.726)

(3.72в)(3.72в)Кроме того, разумеется, n«“ S/« dTa(a = l,2,...,p).

(3.72в)

(3.72в)

Очевидно, что при сделанных предположениях в качестве определяющих макропараметров естественно выбрать величины

(3.73)(3.73)Г = ( na(a = 1, 2,.... Ц); v‘, r’(i= 1,2, ...,М}.

(3.73)

(3.73)

Легко проверить, что подстановка в равенства (3.72а) - (3.72в) функций/а в виде

2квт2квт(3.74)

2квт

2квт

обращает их в тождества. Одновременно (3.72а) - (3.72в) оказываются частным случаем соотношений (3.20), если в качестве Fa берутся функции (3.74), а роль аддитивных инвариантов столкновений играют следующие величины:

{f ₽ <М * р=1: S₽a (“ = !- 2> -> ^ mp vp 6 р’ mp vp 6 p /20=1,2,..., M).

(3.75)

Здесь подразумевается, что 6 -1, если 4g принадлежит i-й группе, и iРР

что 6 = 0 в противном случае.

Р

Дальше станем действовать в согласии с алгоритмом, сформулиро- ванным в § 3.2. Для удобства, однако, целесообразно решить системы Уравнений (3.51) и (3.52) в общем виде, предполагая выполненным Условие (3.48). Рассмотрим систему (3.51), обозначив к - 1 = j * ■ 0, 1, ...), а также выделив из Fa явным образом силу Лоренца, заменив Fa на

р еа /1\

*в+- E + -V.XH .

та \с/

®t8K, положив в (3.51) фр = 6ра [см. (3.75)], будем иметь

I 1af^

X E+-VH—^- dT^/^^d^.

\ c i) dva

Заметим, что по смыслу можно, конечно, Ф^ обозначить (Э;Г/Э^ Введем собственную скорость молекулы сорта Аа, принадлежащей ьй группе:

V^Va-^ (М

Для любой физической величины aa, связанной с частицами компонента А^ определим среднее значение формулой

«?=—bttf?d4(3.77)

na

и, кроме того, для упрощения заменим д/dr на V. Тогда, например,

5 Va— dva - V Л (V*„ + т’) f^ d^ VI <na V^) + 6/0 V. (^ A

dr

Нетрудно убедиться также, что

S{Fa+-^-l Е + —¥axHma cS{Fa+-^-l Е + —¥axHma cafW 9/aafW 9/a9ra9radva = 0.dva = 0.

S{Fa+-^-l Е + —¥axHma c

S{Fa+-^-l Е + —¥axHma c

afW 9/a

afW 9/a

9ra

9ra

dva = 0.

dva = 0.

Таким образом,

(3.78)(3.78)I 9ina \- _ . i„ , -irn. г»(0)э(0,4-

(3.78)

(3.78)

— )r = -6/0 V . (na v) - V . (navaw) *H« 7 a ^a-

\ ot IN.

Теперь заменим в (3.51) Фр на mpvp6p. Тогда в левой части (3.51) получается

pe-mpnp; Р -Z'pp .(3-79)

РР

Отлетим, что из соотношений (3.72а) - (3.726) следует равенство

X#S mp (vp- v')/pdvp = 0.

рурегая согласно (3.27) функции /р по степеням е, находим отсюда, «о

2*I mp V^dvp -I? mp np Vp °7 = 0 (/- 0,1,...).(3.80)

PP

Используя далее выражение (3.78) для (Э/па/00^ и учитывая (3.80), получаем

~ Vv -(Р*V*) + ^ mpv J/p^^dvp.

Рассмотрим правую часть (3.51), обозначив ее так же £ :

$■- 2'5mpvp vp.v/p^+ )Fp+——Ie + — vpxflH ♦

Р( mp \ с / )

‘ —~ dvp+ S'5/р(0) Рр0^ m3vpdvp , d*P J P

Преобразуем 6 так:

^$тртртр. v/p^dvp-V- S'mpnp^^v E'ppVpVp0) +

’PP

*2V. (v’Z pp Vp ^)+ б/g V- (P'v'v^-y, p‘® + 6y0y, (p'W). P

^®есь введено обозначение для тензора давлений i-й группы компо-

нентов вЛм приближении обобщенного метода Энскога:

P^-Z' PbVd v,ez®.(ц

Легко видеть, что

i '® В ) ^Ь1 I ® В \

Z SmpVp Fg+ЕЬdTp=—Z $joPp|Fp+ -^-Е 1.Рmp ) dipР ' тр '

Более подробно рассмотрим следующий член:

j Z1 J тр—- (тр хН— dTp [ - - if—^ етН, $ Vptvpk х

( Р с/ awp р)к р ср ₽

е

х—L.^, Е^Le„tHj(vpt6kr+ Vp^e^/p^dTp. zt-^- хdi-pr Р сpc

х CfatHsS v^tf^dTp= Z~ekrtHJnp[6JQTi+ V‘^]t- 6;0 x

P rc

x z'epnp(H xt% + -(h xZ'epnp V ^X- pc p

cc

Здесь мы ввели заряд единицы объема

Q'-Z'epnp,(3.82)

Р а также плотность тока проводимости в j-м приближении

J^-z'epnpVp^,(3.83)

Р

связанные с частицами i-й группы; е^ - символ Леви-Чивита. В ^ зультате оказывается:

g --V • p'W - 8/0v • (|>W) + 8,0 j s’ Pp Fp ♦

^q^qE +Vx HcE +Vx Hci +2_(/«x H) + Z1'J/p(0)?Wm^dy ) cP

^q

^q

E +Vx H

c

E +Vx H

c

И наконец, приравнивая два независимо полученных выражения для {, после простого приведения подобных членов легко устанавливаем, что

1Е + — v‘xH е1Е + — v‘xH е*1 /« X н - V . Г*® + z' J /р(0) pf mpVp dvp.*1 /« X н - V . Г*® + z' J /р(0) pf mpVp dvp.++(3.84)(3.84)

1

Е + — v‘xH е

1

Е + — v‘xH е

*1 /« X н - V . Г*® + z' J /р(0) pf mpVp dvp.

*1 /« X н - V . Г*® + z' J /р(0) pf mpVp dvp.

+

+

(3.84)

(3.84)

3 i i — квТ Z По2 р *3 i i — квТ Z По2 р *»lm,?=»lm,?=ww

3 i i — квТ Z По

2 р *

3 i i — квТ Z По

2 р *

»lm,?=

»lm,?=

w

w

Нам остается заменить в (3.51) фр на (1/2) mpVp6p‘. В левой части теперь имеем

1 з1,‘

+v"Z mpnp

2 р

Здесь

(3.85)(3.85)«‘-s'ne. ₽ ₽

(3.85)

(3.85)

Bn *^/ ”inB ।

"■«денное выражение для следует подставить I —— I из форму- \ at lN

^ (3.78) и р* ( ——| да формулы (3.84). В правой части равенства \ dt N

(3.51) стоит тождественная £ сумма интегралов :

_ z j i v V; « J F J₽_ / Е + J_ H W 2[Шр \ СI )

dvp Р р Р Р 2 Р

После несложных преобразований можно убедиться, что т Г23

Е1S —^ Vp - ^f^d^ - 6,— кв [n* у1' • VT1 + Г1? • (тМ) +

Р 22

+ V.qW +V • (v^P^^ + S^-^V -(pV2v ), где.

g-oi.r-_LLV'6-У.®

вектор теплового потока молекулой группы в у-м приближении обобщенного метода Энскога. Далее,

КУ яг

г,.$5 F .JleM „

Р 2 (mp) dvp

Pp j Fp + E > • Vp — 6yo v • Z Pp j Fp +E<,

P (mp)p ( mp )

^i^ JL(T xH)—L_dv =0.

P 2 cdvp

Подставляя вычисленные значения интегралов в формулу для ^, соо^ ветствующую правой части (3.51), и приравнивая полученный резу^'

^ к левой части, после простых, но довольно громоздких выкладок jjOXHO получу т>, что

- V (- L - - ^0 7 VV • V г' ♦ г' »6 FI> • V” 2\ or /zр

+ Е + — т'хНС+ Е + — т'хНС.j'^+l квТ^^.^^П^-2 Р Р Р

+ Е + — т'хНС

+ Е + — т'хНС

И

-t^-.vV-V.^ + ^S Г®^ / -^ -—квт‘\<1 тр. (3.87) Р122/

Решение системы (3.52) находится аналогичным образом. Впрочем, как легко видеть, имея выражения (3.78), (3.84) и (3.87), его можно написать непосредственно. Дадим ёейчас для удобства дальнейших рассуждений сводку промежуточных результатов:

-- L- ■^' ■7 Ла -6 >е "°7 ■' *

та

» M—L-^P » -»» *»,!^ »»F»t \p

+ q’e'] + A j' W XH - V . pi0) + Z' j f^№ ?^n mp Vp dvp;(3.88)

'~kBn‘lAL\ =-6,flAkn,vi.vT1 + 2<Fe.JB10) +

i e \ at jN ,0 2 B p ₽ 3

^1Ht*hlilt^--kBiiW

P\22/

f (3.89)f (3.89)(3.90)(3.90)Ma \ _cf№r fu^^tHi • _ L~J'a J“va* dt A

f (3.89)

f (3.89)

(3.90)

(3.90)

P II “ 2 i If ^p I" 1 mp " P “ VP » \ dt lA p

3 . i(9jT \^^л!^3 к Adi

— kBn I=2 Hr ^ri" Л^IdYo.

2\ dt I д P\ 22/

Напомним еще раз, что

P2

В формулы (3.88) мы ввели диффузионные потоки компонентов смеси

Ja Jma va/a ava>

через которые плотность тока (3.83) выражается следующим образом:

(3.9Я

объемная плотность электрического заряда, связанного с компоней' тами i-й группы, дается по-прежнему формулой (3.82);

Е'-Е + — т'хН(3.^

С - электричес поле, измеряемое в системе отсчета, движущей 134

■ийсте с частицами i-й группы со скоростью т‘. Наконец, а, р = 1,2, . .. ^И;/-!,^..., М(1«М$Д j = 0,1....

Положим в выражениях (3.90) и (3.91) j - 0 и возьмем функции f^ в вНпе (3.74). В результате легко получим, что

r'W-lp'; р‘-пквт\

(3.94)(3.94)«“«-О; Jg'^’-O; J,(®.0

(3.94)

(3.94)

(здесь I обозначает единичный тензор). С помощью (3.94) из (3.88) выводим:

—) - - v • Vna - naV • v‘ + S /a(0) Pa(0) dva;

\ 8t In

p* /) »-p'V • Vt + 2' PB fq + Q^- Vp' +

(3.95)(3.95)I 9< InP

(3.95)

(3.95)

.yif .(o)_(o) vi. .

* £ J /р V p mp ’P “Tp >

3 i I Э„т‘\3, :

~квп -^— =kBn v -VI -p V.v + 2\ 6t I jqT

Обратимся теперь к формуле (3.54) при к = 1:

f (0) (0) I 9ОГ \ а^(0) ( - еа

‘» «а = :*4^f<x + Fa +х

\ St lN dr( ma

X г, 1

х Е + —уахН

с

3f(0)

2?l _ г № р (°)

„ <а га

°’а

Отметим прежде всего, что, как нетрудно убедиться,

■ + — ата■ + — ата1Е + — va х Нс1Е + — va х Нс3f^ д^а3f^ д^а9v«9v«F« + —Е‘таF« + —Е‘та,,(0)94,,(0)949va9va(3.96)(3.96)

■ + — а

та

■ + — а

та

1

Е + — va х Нс

1

Е + — va х Нс

3f^ д^а

3f^ д^а

9v«

9v«

F« + —Е‘та

F« + —Е‘та

,,(0)

94

,,(0)

94

9va

9va

(3.96)

(3.96)

drdrdrdr^0)9V«^0)9V«дdrдdrdr' dFdr' dF9 1 ln,(0)i ( ln faav'a)9 1 ln,(0)i ( ln faav'a)

drdr

drdr

^0)9V«

^0)9V«

д

dr

д

dr

dr' dF

dr' dF

9 1 ln,(0)i ( ln faav'a)

9 1 ln,(0)i ( ln faav'a)

Далее, очевидно,

g(°) = M£l£_\ ._f_ + v . v + [p +-^-е‘] I Inf ? ® 5аI • T ¥a v га 11.( ш'а га •

(\ 9‘ lN ЭГI ma . 9la )

(3.97)

Станем рассматривать f^ как функцию аргумента Va‘. Тогда

— lnf(o) fa dr

Аналогично

Ta.Vln/a(0) = (vi + vySv-CV?).-^-! ln/a(o).

Здесь и ниже подразумевается, что

ЭЬ,

[(Vb).c] = —cz. 9хк'

В силу (3.74)

/,3/2 ,„ ‘2

, г (0) ,. , т« \3 , mava

In f„ = In п„ + In In Г—

\ 2nkB /22kBTl

Поскольку роль Г у нас выполняют макропараметры (3.73), в ^ 136

7 а0 г \

иестве Ij следует взять выражение (3.95).

\ at In

Таким образом,

■ -^ * Vn« - naV 1 т*+ S fa® ?а® d4 ~ +

I i „ i 1 -i „1 ^<^i1 „ i

♦ -T • Vv +f-S PpFp+p-Q E— Vp +

\P PPP

1*71*7*"^ ^ ?p mP VP dvP ) • -^F +

1

*7

1

*7

7 • V T1 - — г'? • v + — 7_ 2 '■ j f W p (0) x

33 квп< P

X -Li — k r‘\ 22X -Li — k r‘\ 22m V1132ksT*2m V1132ksT*2

X -Li — k r‘

\ 22

X -Li — k r‘

\ 22

m V113

2ksT*2

m V113

2ksT*2

Легко находим также, что

jv - (Vt1) —8-т ! In /a(0) = V In n„ - — V In т‘ +dva‘ )2

₽a+-^Ema

91n/g n ( Pgдтдna ( р'р‘

F«+ — Еma

V ¥a

Далее полученные результаты подставляются в правую часть (3.97). Если заметить, что

/\1 г /\

Vin т‘ +Vin n„ = V In (п„квт‘) = V|ln^-p‘U — V (—| + \ i\ 1 /

' П ' Па L \ п '

+—y-Vlnpf , я•

то после несложных преобразований можно прийти к формуле

(0)<0/ i I U 5 \ i i ” i i

Sa -2Wa W„:Vt + Wa -— Va.Vlnr +Va • da +

\2 I”a

(P P

3n '2'3\2 /)

Здесь

. = / Va;(3.99)

“V lkBf

диффузионная термодинамическая сила компонента Аа из i-й группы равна

^а +^а +ххеа таеа таi0 i i i 1/2Wa Wa = WaW«-7^a 1i0 i i i 1/2Wa Wa = WaW«-7^a 1(3.100)(3.101)(3.100)(3.101)

^а +

^а +

х

х

еа та

еа та

i0 i i i 1/2

Wa Wa = WaW«-7^a 1

i0 i i i 1/2

Wa Wa = WaW«-7^a 1

(3.100)

(3.101)

(3.100)

(3.101)

• симметричный бездивергентный тензор. 138

Для того чтобы установить явный вид оператора (3.55), нужно вы- д (0)

числить (д о Г / 8 t)A :In/а • Величины (Э0Г/8 t)A определяются э г

равенствами (3.89) при j = 0. Легко усмотреть, что процедура построе- аия оператора La не отличается, в принципе, от таковой для функции g*\ Имея уже формулу (3.98), можно, таким- образом, немедленно записать:

La [М * ^а И5 /а ^а[^]^Уа — па

--"J-1 '^/p^^Mmp Vpdiy -

квтр р

Зп \2 / Р\2 /Зп \2 / Р\2 /(3.102)(3.102)

Зп \2 / Р\2 /

Зп \2 / Р\2 /

(3.102)

(3.102)

Вводя функцию

Z«p(Va,Vp) = 8apZ«p(Va,Vp) = 8ap8(уР“<)8(уР“<)J_ mampvavp na У pJ_ mampvavp na У p

Z«p(Va,Vp) = 8ap

Z«p(Va,Vp) = 8ap

8(уР“<)

8(уР“<)

J_ mampvavp na У p

J_ mampvavp na У p

(3.103)(3.103)Lc(1), rwi2xc(1> ГЬА

(3.103)

(3.103)

r~Sl/2(Wa )Si/2(Wp ), 3n‘

где c ч z x 9n (x) = (m + l)-x'

• полином Сонина 1-го порядка с индексом т, вместо (3.102) получаем более компактное выражение:

МЧ-Е'^/р^рИг^^(З.Ю4)

в

Упомним, что /а°^а[^1 ~ линеаризованный интеграл столкновений

кинетического уравнения [соответствующий представлению /р в виде /p^d + hy),^!^. .... М].

Итак, уравнею первого приближения, т.е. уравнение (3.53), при k = 1 в рассматриь. эмом случае имеет следующий вид:

2W;°W;: Vv^S^a2)<• Vin г' + —¥«. dj- na

- E^d^^^fV^(a-1,2ц).(3.105)

Левая и правая части его удовлетворяют условиям (3.56) и 3.57) для инвариантов столкновений (3.75). Это дает основание ожидать, что существует единственное решение h^, ортогональное инвариантам (3.75) [в смысле (3.48)]. После построения упомянутого решения h^ из формул (3.89) при 7 = 0 можно фактически найти (Э0Г/Э7)^, а затем согласно (3.50) получить замкнутые уравнения гидродинамики в приближении Эйлера:

at

или

+ v' • Vna = - na V • v‘ + S f® { Т1^ + Ia [h(1)]} dva; at

р . atр . at9 о1 i „ i ——+v•Vv9 о1 i „ i ——+v•Vv-E PpFp + Q E - Vp +-E PpFp + Q E - Vp +

р . at

р . at

9 о1 i „ i ——+v•Vv

9 о1 i „ i ——+v•Vv

-E PpFp + Q E - Vp +

-E PpFp + Q E - Vp +

>-X z‘ s /p(0) { ?^ +£ p [h(1)]} s% (4<2) <4 • e

Положив далее в равенствах (3.88) J = 1, вычислим совокупность

величин Фы :

(!i”sl\ = __Lv.iiW+Sf(0)?(1)dv •

г 1v 'a TJ'a ха и,а»

\ dt In ma

p'(-^-j - —j'(1)xH-V-p'^+l'S/^PpW^(3.107)

\ dt In с3

— квп‘ I] = Z ‘Fo • Jp(I) + E* • Ji(1) +

*\ IN *

*—k-T'S'—V . Jn'(1)- P,(1): Vv'- iP

- V. qi(1) - kBTl Z1S/p(0) ? ^S% (W‘2) d1p . 3

Теперь уже можно записать уравнения переноса в приближении Невье- Стокса (без членов, в которые входит функция второго приближения):

atatНормальныйНормальный(3.108)

at

at

Нормальный

Нормальный

параметр е, игравший роль числа Кнудсена в разложении

^)> мы здесь заменили на единицу. Часть функции h \ необходи- Для окончательного замыкания уравнений (3.108), рассматривает- ж ГЛ- 4 для случая смеси с бимолекулярными реакциями.

^^* Частный случай однотемпературного односкоростного прибли-

^аея. Рассмотрим уравнения обобщенного метода Энскога в

однотемпературном односкоростном приближении, когда число групп компонентов, о которых шла речь в п. 3.3.1, т.е. М, равно единице, Здесь операция суммирования Е1 переходит в обычное суммирование Р

от единицы до И, а индекс i всюду опускается. Массовую скорость смеси обозначим стандартным образом v0. Итак, в качестве основных макропараметров используем

Г - { na (а - 1,2,..., ц); т0,Т}.(3.log)

Гидродинамические величины (3.109) отвечают аддитивным инвариантам всех упругих столкновений

f Vp (ip) )**р=1 : бра (а = 1,2,...»Ц); mpтр, mp ^/2.(ЗЛЦ;

Уравнения (3.108) приобретают, как легко понять, вид

d"a1z,x

-”aV-ToV.Ja(1) +

*ma

♦ 5 /а(0) {Pa(0)+ Ia[h(1)] + P^} dva;

1

p—= E ppFp+QE- Vp- V.p(1)+ — J(1)xH;

— kBn-^- = -pV • v0-P(1): Vv0- V.q(1)+(3.1Ш

2 A

U3 U i

+ E Fg. Jg^ + E'-J(1 + —kBT E V-Jg(1)-

p pyp

p-12p-1”»p

u

,.i

Здесь полная производная 142

ddЕ-Б+—voxH;cЕ-Б+—voxH;c(3.112)(3.113)(3.112)(3.113)

d

d

Е-Б+—voxH;c

Е-Б+—voxH;c

(3.112)

(3.113)

(3.112)

(3.113)

смысл остальных обозначений очевиден. Уравнение первого приближения (3.105) выглядит следующим образом:

2Wa° Wa: Vv0 - ^ (hV) Va • V In T + — Va • da +

( na3n

x z S/p^0^^^

0-1)

- 4. t™ 1 —- S 4™ ^ „ Ih™ ] ^ - 4- ^m w1 xna3л

x 2 S/p^-CpIh^JS^^p^dVp (a = 1,2,.... p).(3.114)

P-1

При записи уравнений (3.111) и (3.114) мы учли, что вследствие сохра-

ццЕ ИГ£ахЕ ИГ£аха=1а=1888 суммарного импульса во всех типах упругих и неупругих

ц

ц

Е ИГ£ах

Е ИГ£ах

а=1

а=1

с*°®сновений интегралы S $ f^ ?^ ma Vadva и

Х[»"*,’|Х[»"*,’|а=1

Х[»"*,’|

Х[»"*,’|

] ma Va dva обращаются в нуль. Это можно доказать, используя

8ЧЙ вид ?а и Za[h ], а также привлекая принцип микроскопи- ®йсой обратимости, причем нужно действовать, в сущности, так же, ^ и при преобразовании уравнения (3.14), величины (3.61) [см., *'°чем, (3.63) и (3.64а)] и интегралов столкновений кинетических

уравнений (3.68). Отметим еще, что, как легко видеть, для диффузионных термодинамических сил (3.100)

^а = 0-(3.11$)

а

Таким образом, сумма всех векторов da, входящих в левую часть уравнения (3.114), равна нулю:

и

2 da = 0.(3.116)

a=l

Обратимся теперь к противоположному - многоскоростному многотемпературному - случаю, когда М = ц. Индексы а и i оказываются здесь одинаковыми, так что суммирование при заданном i сводится к выписыванию единственного слагаемого с номером а.

i

Скорости v тождественны средним молекулярным скоростям va0, а температуры Т - температурам компонентов Та. Основными гидродинамическими величинами оказываются, таким образом,

г = { Па, va0, та (a = 1,2,..., ц)}.(3.117)

Они связаны с аддитивными инвариантами ” диагональных” упругих столкновений Аа + Аа я Аа + Аа:

{ Фр (vp)} ^.i : 6pa, ma va 6pa, (mava3/2) 6₽a (a = 1,2,..., ц). (3.H1I

Выпишем уравнения Навье-Стокса (3.108) для макропараметров (3.117):

dtma

+ $ /а ( ^a + ^a (^ 1 + а ^ ^Тх ’

р„ ^".p.F.tO-B" -Vp“-V.p^U-J^'zH* dtс

(3.119)(3.119)(3.120)(3.120)

(3.119)

(3.119)

(3.120)

(3.120)

W? ( f™ * I. th011 + T™ ) m, V„ d,„;

2dt

2 ma

-^.S^U-? tx.io™]^®)^ (iv.-jd.,.

В уравнениях (3.119) da 9

та

причем

V« -^ - ^0 •

Уравнение первого приближения имеет вид

^Ч :VXtO -^з/2 (^a2)Va -V In Т„ +

Ч V. t J_^>2 w „ f p® ^1>2 №</ 3n„

1

—-s-i'4 [^ к v. dv. - р“

-—^, w и6е a. ^’ 1^2 H2 ^v(З.Щ

Подчеркнем, что, хотя, к примеру, членыJ f^ р® dva в ура». ла

нениях (3.114) и (3.121) формально выглядят одинаково, на самом дед

они различаются выбором функций/^ . В случае (3.121) в качестве последних выступают функции (3.25), а в случае (3.114)

ДО) 'аДО) 'ата2лк^ Гта2лк^ Гехрехр(3.1Z(3.1Z

ДО) 'а

ДО) 'а

та

2лк^ Г

та

2лк^ Г

ехр

ехр

(3.1Z

(3.1Z

Отметим еще, что приведенные уравнения многоскоростной многотемпературной гидродинамики являются обобщением уравненл! работ [26,30,32,34,75].

Важно то обстоятельство, что описание реагирующих многокомп» нентных газов и плазмы на основе уравнений (3.119), (3.121) оказывает ся, по сути дела, наиболее общим (и в то же время, конечно, наибол# подробным) макроскопическим описанием в рамках применимое* кинетических уравнений гл. 1. Одновременно очевидно, что ПР* соответствующих условиях вполне законно использование тех и* иных частных вариантов метода Энскога, приводящих к систем** дифференциальных уравнений относительно меньшего числа макро** раметров, чем{ na , va0 ,Та («= 1, 2,..., |1)}. Одним из таких вариант может служить, к примеру, односкоростное однотемператур*11* приближение (3.111), (3.114). Естественно, возникает вопрос, како** связь между различными версиями обобщенного метода Энскога и <j происходит сокращение макроскопического описания. Мы попытае^ ответить на него ниже.

3.3.3. Связь между версиями обобщенного метода Энскога. Д0*^ тим, что условия (3.24) позволяют применить в некоторой задаче " 146

сз(емы метода Энскога - более и менее подробную. Аддитивные ляварианты и соответствующие им определяющие макропараметры дуя первой и второй из них обозначим соответственно {фр}1^, Г и

W»i Р-1 ’т

. Уравнения же переноса станем записывать в виде

аг

—= Ф; at

ау

—= V. at

(3.123)

Наиболее просто искомую связь между различными вариантами метода Энскога можно установить, если заметить, что инварианты ф •{фр}|р-1 являются обычно линейными комбинациями инвариан- товф е{фр}*р.1- Иначе говоря, существует прямоугольная матрица с элементами о^^ (у которой число строк меньше числа столбцов), такая, что

ф(Х) -2 ^ ^\V

(3.124)

Далее будем считать, что разложение функции распределения /а в методе, основанном на инвариантах ф^, имеет обычный вид (3.27). Для метода же, использующего величины ф^, соответствующий ряд МДИшем следующим образом:

/ - т ?7^

•е I t fe .

.k=0

^етим, что по смыслу

#(D 7(0).

'« -/а =О(е).

(3.125)

(3.126)

^Следствие условия (3.48)

а=1

(3.127)

где F (Г) - известные функции макропараметров Г [второе равенство в (3.127) является частным случаем соотношения (3.20)]. Но одновременно

(3.128)(3.128)I*и

(3.128)

(3.128)

£ ИаФа dva= 2 Па фа dva = G (у), а=1а=1

причем 6^ (у) снова известны. Подставляя (3.124) в (3.128) и учитывая (3.127), легко найти, что

GM(y)-ZaXvFM(r).(3.129)

v

Уравнения (3.129) следует использовать для определения макропараметров у, если зависимость величин Г от времени уже установлена.

Продифференцируем теперь обе части (3.129) по t. Тогда (с применением очевидных обозначений) находим:

ду, дс^ дг- дГ^

_LlaK<-L.

dt д^ v dt dTj

Последнее равенство можно переписать и несколько иначе:

ИГ. 9 г

V: I Иа Фа dva = ду а=1

д

-^х,»: = Sl^dV(3-130)

vдГ а=1

Преобразуем далее правую часть (3.130) с использованием форму5 п. 3.2.2:

- Z Oxv 2 v ;=0

=J -1 s»r( 6-i

VP‘ ^f^*

+ Fp‘

a,W »Ур

dtp

dxp+Д j/p(0){ZpPa+1)] +

h(v)xh(v)x+ PpW}<PpV)dTp =2aXv - 2

h(v)x

h(v)x

) V ( p=i

X Z e^Zalh^l + Pp^Vp^dvp}»

■ Z $ ( Z OxvVp ^) P*1 V

Й1co

+ 2 S(ZaxvVpV)) — ^dvp- Z e;x P-l vej-0

x - e 5Фр(Х)( p-l

▼p-V/p^ + Fp dtp

dvp +

+ I S/p0){z5jb(/+1)] + ^^

Мы Учли, что S e; { Zp [h^+1^] + P^} есть в силу (3.43) просто ин- Фрал столкновений кинетического уравнения для частиц А^, *яенный на е [см. также разложение (3.28) и оценку (3.33)], т.е.

*°РОтко (1/е) 1“х. Далее мы произвели переразложение по степеням е, Чтадя к варианту метода Энскога, основывающемуся на функциях ^^^ого приближения/а °^ Таким образом, изменение во времени ^Ролараметров у в соответствии с уравнениями (3.129) тождествен- *>х эволюции, определяемой из метода Энскога, использующего Роенное описание. Нужно, однако, иметь в виду, что сформули-

рованное утверждение относится лишь к полным суммам типа (3.37)е На практике же разложение величин Ф и Т мы должны по необходц. мости обрезать, ограничиваясь тем или иным конечным числом чл^ нов. При этом следует ожидать в приближении Эйлера совпадения конечных результатов теорий для у с точностью О (е), в приближения Навье-Стокса - с точностью О (е2) и т.д. Вместе с тем очевидно, что, когда частный вариант метода применим, он позволяет получить я макропараметры Г с той же точностью, поскольку /а = f^ + е/^ * + О(е2) = /ц0)+e/^+Ote2).

Заметим в заключение, что, в принципе, условие (3.126) может просто перейти в равенство

fM®ад

при выполнении которого последовательные приближения функций распределения должны совпадать для обоих методов. Отсюда следует тождество операторов и самих интегральных уравнений. Далее (3.130) принимает вид

а=,х> а ,

8-^dG^ 6TjdG^

dtdfjdtдГу

Э?;dG^8TjdG^d^j

dtdy,ft8^ dTj

Из последнего соотношения вытекает, что

¥=—— у:Ф. 8 Г

Полученное равенство, очевидно, можно разложить по степеням6>]

причем для всех / ■ 0,1,2... имеем।

^=2_v.»u\(з.1^

агi

Тусям образом, в случае (3.131), как следует из (3.132), последователь- ил* приближения уравнений переноса для макропараметров у дрпаится соответствующими линейными комбинациями уравнений переноса для Г.

Двухтемпературное течение ионизованного газа. Рассмотрим подробнее двухтемпературное течение и введем в рассмотрение две группы компонентов - электроны (е) и тяжелые частицы (h); тогда из (3,106)- (3.108) следует:

/. Vne = -ne V • Vе + j f? ( Р? + £е [h(1)]} dve; at

at

(«*{&));

p [—+ve. Vveatp [—+ve. Vveat-peFe+QeEe- Vpe +-peFe+QeEe- Vpe +

p [—+ve. Vveat

p [—+ve. Vveat

-peFe+QeEe- Vpe +

-peFe+QeEe- Vpe +

Sfe(e){Pe(0)+Ze[h(1)]}meVedV

hhP + v • VtP + v • Vthhatat= ZhppFp + QhEh- Vph + p= ZhppFp + QhEh- Vph + p> (3.133)> (3.133)tZ^/O)tZ^/O)VP?^^VhWAAm^;dVVP?^^VhWAAm^;dV3232kBnebL+1e.4TeatkBnebL+1e.4Teat= -peV.ve- kBTex= -peV.ve- kBTex

h

h

P + v • Vt

P + v • Vt

h

h

at

at

= ZhppFp + QhEh- Vph + p

= ZhppFp + QhEh- Vph + p

> (3.133)

> (3.133)

tZ^/O)

tZ^/O)

VP?^^VhWAAm^;dV

VP?^^VhWAAm^;dV

3

2

3

2

kBnebL+1e.4Teat

kBnebL+1e.4Teat

= -peV.ve- kBTex

= -peV.ve- kBTex

Х^Р1рУ* £e[h«] }5%ГО dve;

3232kBnh ^- + 4h.^ThdtkBnh ^- + 4h.^Thdt= -p V. v - kBT Z x P= -p V. v - kBT Z x P

3

2

3

2

kBnh ^- + 4h.^Thdt

kBnh ^- + 4h.^Thdt

= -p V. v - kBT Z x P

= -p V. v - kBT Z x P

x 5 i? (?^ + Zp [h(1)]} 5% 0Vph2) dV

^) .-J_4a»4Sf®P™d^ dt In me

p^) - — v. /."(1,И/”?„(1,^1« - W);

' dt In ma

\ at 1N c

p^-lL-j = —jh(DxH-V-Ph(1) +

\ at In c

^Sl^P^m^d^; u ' p p pp p

(3.130(3.130p

(3.130

(3.130

“Мер— = Fg. J, +E • J W +

2\ at JN

+ — kBTe—^— V • Je(1)- Ре(П: VVе-

2 me

- V.qe(1)- kBTeSf^?^^W^^

hl8iT \ r-hf tMD Dh ,h(l)— kBn =E Fo-Jo +E • J +

\ at In P

, -h_h 1 „ _h(l) _h(l) „ h + — kBT S V-Jp -P :W -

2p mp

Обозначения в уравнениях (3.133) и (3.134) разъяснялись выше ^ пп. 3.3.1 и 3.3.2). Отметим только еще раз, что Jg1^ - это диффузное^ поток электронного компонента, а 1е^ - соответствующая плотй0^

^* в первом приближении обобщенного метода Энскога. Получае- уые по формулам (3.108) из (3.133) и (3.134) гидродинамические уравнения, как следует ожидать, могут послужить основой для построения достаточно точных решений широкого круга практически интересных задач.

рассматриваемое приближение связано с решением уравнений для поправок f^h^ к локально-максвелловским функциям распределения

Упомянутые уравнения запишем в следующем виде:

2We°We : Vve- ^(W») Ve• Vin/ + j— ^0) ?e(0) dve + ( ne

kBT Pe3ne

* Sdi0> z™ ■$% <^г> dv,- ?™ ^- 4[h(1,i-

- — St. [h'” J d,, -rh(1,j m, N,d4, -

e4T Pe

- — 5% № 5 ^ M^l 5% № d^,(3.136)

3ne

™£5n£: Vvh - s(& (Wah2) vah. Vin Th+—vah - di + ”a

(0)^(0)^ mava(0)^(0)

*j J Ax ?a d¥a+hV2 ^P ^P mpvpdVp +

”akBT P P

.«^ fWh2\rhf г^э^с^ rwh2\H. -b^l-

+ —r-S 1/2v*a )E J/p ^p sl/2™p )dTp-Pa 3np)

■•‘-al" J J Zot "^a J“Ta~ "a

jni-"^ ^'P ^₽l" Jmp’p“¥p~

— si/2("a )2 i/p J-pl” JS 1/2Wp )dvp, 3np

(ae(M).

Здесь подразумевается, что

V = у -ye- vh = v - vh-

v 2ksTV 2kBT

Величины (^ даются формулой (3.100) при i - h, причем в силу (3.115)

S^^O. a

Допустим теперь, что гидродинамические скорости v и v отличаются друг от друга лишь величинами 0(e). В таком случае, кроме вышеописанного подхода, основывающегося на макропараметрах

ГЧ^па(а = {Н)лл'1) /У),

возможен и вариант метода, связанный с сокращенным набором*

V-{ne,na(a = (h}), v0, /У)-

Переменные Г отвечают аддитивным инвариантам

{Фр (vp 1^1: 6pe> 6pa(« e < M); 6pemeTe, 6ph mpvp;

(8*-1 для p e { h} и 8eh - 0), а у - инвариантам

( Фр (тр) ) ^ •' 6pe> 6pa (“ e f A ) ): mp V Spe “^ ’ 6£ “^ •

Поскольку при всех 0 = 1,2,..., ц

mpVp = 6pemeve + 8p mpVp,

мы имеем, очевидно, частный случай линейной связи (3.124). Как следует из (3.72а),

PjM mevefedve, h h «hr- , . p v -E 5mpVp/pdTp.

Одновременно

P’o = x SmpVp/pd¥p, p-1

так что

(3.137)(3.137)рт»^р,Л pW

(3.137)

(3.137)

Соотношение (3.137) позволяет вычислить массовую скорость смеси, •о® массовые скорости электронов и тяжелых компонентов уже опре- Явлены в результате решения соответствующих уравнений переноса. ^*есте с тем ясно, что когда выполняется равенство те = ^, то, °б°3начая общее значение этих скоростей т0, мы обращаем (3.137) в 1®*№ство. При этом функции (3.135) переходят в функции

-(Ve-%)2kBTe-(Ve-%)2kBTe/(8)еп/т«1

-(Ve-%)2kBTe

-(Ve-%)2kBTe

'е“% | Iехр

\el

' 2пк5Г'

(« «{h })#(« «{h })#та 2kBThта 2kBThТаким образом, оказывается справедливым условие (3.131).Далее из (3.137) имеемТаким образом, оказывается справедливым условие (3.131).Далее из (3.137) имеемp-^2ldtp-^2ldtpe221+ph-^L/Te^+vhVLv0 Jldt dt ' ' at dt dtpe221+ph-^L/Te^+vhVLv0 Jldt dt ' ' at dt dtВ результатеВ результатеP«P«dve h dvA + P dt dtdve h dvA + P dt dt

(« «{h })#

(« «{h })#

та 2kBTh

та 2kBTh

Таким образом, оказывается справедливым условие (3.131).

Далее из (3.137) имеем

Таким образом, оказывается справедливым условие (3.131).

Далее из (3.137) имеем

p-^2ldt

p-^2ldt

pe221+ph-^L/Te^+vhVLv0 Jl

dt dt ' ' at dt dt

pe221+ph-^L/Te^+vhVLv0 Jl

dt dt ' ' at dt dt

В результате

В результате

P«

P«

dve h dvA + P dt dt

dve h dvA + P dt dt

Разложив же последнее равенство по степеням е, получим соотношение (3.132) для рассматриваемого случая (кстати, его можно разбить на два аналогичных соотношения отдельно для Т^ и Ф^, V^ и Фа j. Отметим, что исходное уравнение (3.137) является конкретной реализацией уравнения (3.129).

Итак, чтобы найти уравнение относительно v0, достаточно сложить отдельно третьи и четвертые уравнения систем (3.133) и (3.134), полагая одновременно ч = vh = v0. Проделав это, немедленно полу чаем:

РР^- + v0- Vv0^- + v0- Vv0ц 1= 2 ppFp+QE-Vp;ц 1= 2 ppFp+QE-Vp;dtdtР-1Р-1(3.138,1(3.1386)(3.138,1(3.1386)

Р

Р

^- + v0- Vv0

^- + v0- Vv0

ц 1

= 2 ppFp+QE-Vp;

ц 1

= 2 ppFp+QE-Vp;

dt

dt

Р-1

Р-1

(3.138,1

(3.1386)

(3.138,1

(3.1386)

При выводе уравнений (3.138а) - (3.1386) мы ввели суммарный тензор давлений, полную плотность тока и полный заряд единицы объема, i-8" обозначили

а также учли, что, как указывалось в п. 3.3.2,

ES/^l^+^hWjrrfcV^^

W? Р^ m^d^ = 0;(3.139)

VW

Электрическое поле Е'определяется формулой (3.113).

Перепишем первое из равенств (3.139) в виде

^(^^[^ВльУ.^*

♦^S/p ^^р0^ ^pl//4]} mpVpdip-0.

Теперь, положив предварительно те = т* = у0, исключим из третьего

четвертогоуравнений (3.133) член+ у0 • Vv0. В результате будем at

иметь

Л_с /0), (0)(1)

3 Д} /71е VgdVg

»е

w^tf^i »<°)^ г Гй^П»”kBTe

\:, Bp {Рр +Zp[h ]}mp¥pdvp=de;

Ре

- р Fe + 2h Рр Ер + ₽- р Fe + 2h Рр Ер + ₽

- р Fe + 2h Рр Ер + ₽

- р Fe + 2h Рр Ер + ₽

(3.140)(3.140)+ (Qh - —6J E'+—Vpe - Vph ' Pe ' Pe

(3.140)

(3.140)

Наконец, уже без труда получаем, что

sf {^0)+ 4[h(1)] W.dV*

—№ (^ W1^ }mpVpd^= nkeftV

Полученные выражения естественно использовать для модификации интегральных уравнений (3.136), которые, очевидно, могут быть теперь переписаны следующим образом:

2We<>We: Vt0- ^l2№ Ve. VlnA— Ve- <^ + ne

+ [_L^P^/2 (^)dve-

ne3ne

-P^V-^V—^Mh^dXe- ne

-—^Ш№ Si?^ W^A^W dV,

h

2Wah0 Wah: Vv0 - ^^ (Wah2) Va • V In ? + — Va X na

1i /a Pa dva + na1i /a Pa dva + na(3.141)(3.141)I и n Pa Г \

1

i /a Pa dva + na

1

i /a Pa dva + na

(3.141)

(3.141)

X I dadp | +

\h h h /

' n P T 1

dS^tWa )S ИР Pp 5l/2^p )dvp- . hP

- — *% (^а') ^ S /p(0) Zp [h0)] 5% (Vph2) d vp hP

3n

(а е ( h } ).

Соответствующие уравнениям (3.141) уравнения переноса, определяющие временную эволюцию макропараметров у в приближении, аналогичном (3.108), находятся путем сложения первых, вторых, пятых и шестых уравнений систем (3.133) и (3.134), а также уравнений (3.138а) и (3.1386):

^ П V „1 V I (1L tA? ^L

= -npV.vo’'•Jp + JJp IPp + dtmp

+ Xp[h(1)] + P^ldvp (P=e, (hl);

p—= 2 PpFp+QE- Vp-V.p(1)+ —J(1)xH; dt p-ic

3 ,^ ee(l) __ e(l)

— kBne= -pV-v0-P :Vv0-V-q +

2dt

г J & + rg • Jg +* • Jgi

’2 me

X $ /^ ( ?? + *e [h(1)] + i’i0} S^i2 ^b dNe\(3.142)

ih

, h dTft(D „„ h(D

— kBn -p V. Vo - P : V Vo - V • q +

2 dt

(1)

h(D , yh (1)3 ThyhV-Ip hx

+ J . e + Z Fp.Jp + — kBT 2 —e—kBT ^

P2 p mp

X Sh ( f® (P^^r rh^! P (1) 1 C(1) tW h2> dv • д J Jp I Pp + Zp [n J + “p J S 1/2 ("'p ) “ vp > dd

+ Vo • V . dt8t

dt dr I ma c J) dvadt dr I ma c J) dva

dt dr I ma c J) dva

dt dr I ma c J) dva

Отметим, что, по сравнению с уравнениями (3.134), в уравнениях (3.142) мы опустили значок h у диффузионных потоков Jph^\ поскольку сейчас V1 = Vе = v0. Решив систему (3.141), можно замкнуть уравнения переноса (3.142), т.е. получить искомое сокращенное гидродинамическое описание плазмы (с одной массовой скоростью вместо двух).

Модификация алгоритма с учетом влияния магнитного поля. До сих пор всюду предполагалось, что как действующая на частицу компонента Аа массовая сила, так и сила, действующая со стороны электрического и магнитного полей, являются малыми. Рассмотрим в рамках развитой теории влияние магнитного поля. Модифицируем в связи со сказанным кинетическое уравнение следующим образом:

Легко видеть, что все основные рассуждения п. 3.2.1 настоящей главы переносятся на случай уравнений (3.143) практически без изменений. В самом деле, в уравнениях (3.13) могут появиться разве что дополнительные слагаемые вида

Но

k5—Sln^^vJxH)

mac \masa I

i kBea• 9Fa •

X FadVa = erst^s S ^at~T ^^a ” macdV^

erstHsUrtFttdV;=O. mac

Таким образом, упомянутые члены не меняют уравнений (3.16) и их решений (3.19).

Далее запишем сразу модифицированное уравнение (3.47):

”(s) (fc_/_n8f^M 1=0d(VUF)”(s) (fc_/_n8f^M 1=0d(VUF)( ea+ Ha+I ma( ea+ Ha+I ma1 .E + — v'xHc1 .E + — v'xHcаЛк-^ ofa-+va drаг^"»9^aаЛк-^ ofa-+va drаг^"»9^a8'a8'a

”(s) (fc_/_n8f^

M 1=0d(VUF)

”(s) (fc_/_n8f^

M 1=0d(VUF)

( ea

+ Ha+

I ma

( ea

+ Ha+

I ma

1 .

E + — v'xHc

1 .

E + — v'xHc

аЛк-^ ofa

-+va dr

аг^"»

9^a

аЛк-^ ofa

-+va dr

аг^"»

9^a

8'a

8'a

(k=l,2...).(k=l,2...).- /a(0)Za [h(k)] —- (Vj X H). —*— + /a(0) ?^ (mac^a )

(k=l,2...).

(k=l,2...).

(3.144)

Из (3.144) следует, что мы должны опять заняться определением производных ^Г/Эйм и (Э;Г/Э1)д, которые уже вычислялись в о* 3.3.1. При этом достаточно заново рассмотреть лишь интегралы, содержащие (l/c)va х н [это выражение заменяется на (l/c)v‘ х Н], и интегралы, включающие/a^Za [h^+1^], т.е. линеаризованный интеграл столкновений (его будем заменять на^ Ах [h^]— (V^ х Н) •

9»а'■

Нетрудно убедиться, что

Fa +-^E'—d1a -$ Fe+—^—dVa =0;

* ma ) 3ia( ma ) dV^

f S (V + Vp )-^-(V X H) —^—d^ =

PP CdTpГ

—^—^^(4 ^k)^-^i =

P =9Vpr

6*4 d Vp * ^ -^-W4 4 6/0 Пр .

o' i

= -6/0— (V XH)k;

(Av'p)’ epd/p^

Ej— (т xh) —^—dvp =

P 2cdvp

-е'-Цг'хн) Hv' + VpP—VdVp =

P 2c'dVpr

= - S'(t X H) j (4 + v'pr) dVp =

P cr

= - E' -^- (▼ x H) • VpW np = — V • (j'0) X H); pcc

eaf0+1)

1 (Va‘ x H)dVa = 0; macav'g

_ Е'5_Р_(Ур* x H)^mp Vp dVp = ( P mpcdVp)k

— ^-^e^HtS V^-^vVkdvV P cdVpr

- Ee^S^ V^ 6kr Vp,) f^dvV

P C

^'-^efo^s Vy^dvV =-{ J,a+1)x Hi k; pcc

»,0+D/ vi2p mpcdVp \2»,0+D/ vi2p mpcdVp \2rjdVp"rjdVp"

»,0+D/ vi2

p mpcdVp \2

»,0+D/ vi2

p mpcdVp \2

rjdVp"

rjdVp"

з квт2 mpз квт2 mpя,0+1),12

з квт

2 mp

з квт

2 mp

^er,Mv^l^- P cdVpr \ 2

। во_ \/ Vo 3 keT \4

i'^Hj iJ -8— Ь Vp^pr f^°d ¥« - 0. pc(\ 22 mp I) ^^

Сравнивая полученные значения интегралов с соответствующими результатами п. 3.3.1, легко установить, что первое и третье равенства (3.88) сохраняют свою форму, а из правой части второго равенства

исчезает слагаемое — JX н, Аналогично не меняются первое и

с

третье соотношения (3.89), в то время как в правой части второго появляется дополнительный член (l/c)!1^4^ х н. Далее, остаются в силе результаты (3.94) и (3.95). Таким образом [см. также (3.96)], не изменяется и основное выражение (3.98) для функции gj°\ В то же время модифицируется формула (3.102). Теперь

Le [h0"0] = £а [h°*°] - — — (V‘ X Н). —— X

f^ тас9’а ”а

4f?£a ача -^А ^£^}+

кВТ р ( р

J хн,rS 1/2 ("а) *• 1/р £р I” J 5 i/2 (<*р) dvp с; зп‘р

0-0,1...).(3.145)

Обратимся, наконец, к задаче о двухтемпературной релаксации, ^Усматривавшейся в предыдущем пункте. В системах (3.133) и (3.134) “*• нужно переписать третьи и четвертые уравнения:

РеРед е е—+ ve. Vve dtд е е—+ ve. Vve dt= —Je(1)XH+PeFe+ С= —Je(1)XH+PeFe+ С

Ре

Ре

д е е

—+ ve. Vve dt

д е е

—+ ve. Vve dt

= —Je(1)XH+PeFe+ С

= —Je(1)XH+PeFe+ С

+ QeEe- Чр% S/(0){ J> (0) + le[h(1)] }meVedve;

phphdov h n h + v . Vvdtdov h n h + v . Vvdt= —Jh^XH+ZhpRFR+cp P P= —Jh^XH+ZhpRFR+cp P P

ph

ph

dov h n h + v . Vv

dt

dov h n h + v . Vv

dt

= —Jh^XH+ZhpRFR+cp P P

= —Jh^XH+ZhpRFR+cp P P

(3.146)(3.146)+ QhEh- Vp\ Lh ^^{P^+kJh^]} m V hdv • p p Pp p p

(3.146)

(3.146)

\ at lN

\ dt lNВ

Интегральные уравнения для вектор-фукции h^ имеют сейчас согласно (3.145) вид

2W° We: V ve - S0^ (Wf) ve. V In Iе J — S f^ ?e№ dve + ( ne

+ jVL. $ fW pw me VedVe + 1 S1/(1) (K, 2) J z№ ?№ x k5Tepe3ne

x «V? (W/) dve - ?? = le [h(1)] - Jl - (ve X H) • 'mecdVe

- — S /"> L. 1^’1 d.. -S S f® z, [h<»l mr V, *

nekBT6Pe

+ — /(1)x h! - — s1/2(1) №H^£e [h0^!^ W^dN-

3ne(3.147)

h

2Wh0W„h : Vvh - SoP (W h2) Vh • VlnTh + -^—Vh • dh + a1/2 v a 7 aa a

"a h

( 1 f#(0)»(0). mava „h r . (0),. (0)..h.

+ vj/a ^a dva*-j—^.L j fp Pg mpVpdvp +

' "akBT p P

+—-TS№ ™a )Z j/p ?P Sl/2 (^P )°TP“^a (” 3nP>

■Z«[h(1)]-—(V« XH).-^-5/a^2a[h^] dv«'

mac3V£ na

m^a t f f(0) , „(1).1 ,h(l)_

—JS i/p Zp[h ]mpVpdvp + —J wx

kBT p I Pc

Xu.Q) /т ;vh r , (0) r c (1) zT . h2x ,

HГ ^ (^a )Z 5/p ZP(^ JSl/2 (^P )^Vp 3n3

?(«€(b}).

Последние уравнения заменяют уравнения (3.136).

Совершим теперь переход к частному случаю ve = vh = v0. Поскольку Уравнение для v0 получается, в конечном счете, путем сложения всех Уравнений (3.146), то, как легко видеть, система гидродинамических Уравнений (3.142) не изменяется вовсе. Остаются справедливыми, конечно, и соотношения (3.139). В то же время из первых двух Уравнений (3.146) следует, что

Т~54(0) { ?? + 1в [h(1)]} me Vedve -'

- ^ 5 /р^ { ?^ + Zp [h(1)]} тр Vp dTp =

•1/ jMD ph ^(DLH^^^d p/p

Далее,

S f? { ?^ + £e [h(1)]} me Vedve =

= -^ 5 f^ { ?^ + Zp [h^]} mp Vp dip =

= nkB f c^ + -1_ (pe jh(1) _ ph f^) x h.

Модифицируя, наконец, при помощи последнего результата интегральные уравнения (3.147), получаем:

2W®; Vv0 - S3^ ^ Ve- Vin Ге +—Ve - de +

пе

Пе3ne

X S^^^. рЮX S^^^. рЮ^e[h(1)]- —(VeXH) •mec^e[h(1)]- —(VeXH) •mec

X S^^^. рЮ

X S^^^. рЮ

^e[h(1)]- —(VeXH) •mec

^e[h(1)]- —(VeXH) •mec

a. (D v

^^.(jO>XH)-l5/<'>Z,[h™Jd,c

^e kBTepcne

(3.148)(3.148)—L-S W (W =H/e(0)Ze[h(1)] 8<1?^е^ dV, 3ne

(3.148)

(3.148)

h

W^vi: Vv0 - S$ (Wih Va - VIn Th + — Va • "a

\n h Л I

x n p Г ' na

+ -VS1« (^’) ^И® ?б'5мУ (w“) d,s - p® 3np

<Х)V

ГН еаmava ГП

. la [h( 1 (Ve X Н)^— • (JW X Н) -

тасЭУа кдТ ре

С Г th^d- 2<?(1)Wh2^v

—Иа АД” ]а*а— А/2 v*a )х

”аЗп

х zp 5 f^^р [h^] SjW (W^2) dvp (а e { h }).

Уравнения (3.148) удовлетворяют, как и должно быть, условиям разрешимости (3.56) и (3.57) для инвариантов { фр }11 из п. 3.3.4, выраженных через собственные скорости. Поясним здесь лишь проверку этих условий для I mp Vp } Цр=1. В частности.

-^S^W^ ^We^e — 1Ь"^ х

XI— -W» IWe4dWe = 0;

. ,(0) "бпквТ® ” -W»,

14 Ve.demeVedVe = 4e——U^ dWe = nkBTede;

пеЗ^л О

"’‘квТ^^-п-^-квТ6^;р

nkBTede + IhlnhkB?d^- п-^-квтЧ)=0; а -р/

(1)

'14(0) — (V« х Н) • ^- m„ VadV„ = - Ja(I) X Н, me9Vac

где обозначено

J“(1) = eanaVa(1) (« ” L 2,.... |1);

“ ~W2Qe 1/1\

xje We4dWe =(J XH);

Оpc

1 е(Пpe 1 Л)

— J WX HГХН +

cpc

+ Eh/ — j“(1)XH——1(1)ХнЬо.

a \ cpcJ

Отметим, что наш подход к выводу гидродинамических уравнений двухтемпературной плазмы является значительно более общим, чем метод гл. 14 книги [85]. Например, уравнение (14.4.11) упомянутой книги есть просто частный случай первого из уравнений (3.148).

(3.149)(3.149)Колебательная релаксация химически однородного газа. В качестве следующего примера получения сокращенного описания рассмотрим переход от макропараметров Г (3.109) к макропараметрам

(3.149)

(3.149)

Т = (п, Гк;у0,Г],

где Тк - колебательная температура. Напомним, что величины Г связаны с аддитивными инвариантами (3.110), которые в настоящем

пункте будут играть роль { фр}пункте будут играть роль { фр}^ ^ Обозначение же [Фр 1^,1^ ^ Обозначение же [Фр 1^,1

пункте будут играть роль { фр}

пункте будут играть роль { фр}

^ ^ Обозначение же [Фр 1^,1

^ ^ Обозначение же [Фр 1^,1

оставим инвариантам

1; mp vp; mp vp2/2; ер (р = 1, 2,..., ц). (3.^

Здесь ер - внутренняя энергия компонента Лр, сохраняющаяся пр^ ’’быстрых” резонансных неупругих столкновениях молекул, котор^ по предположению, происходят в системе. Разумеется, при всех типах столкновений не изменяется и суммарная масса частиц. Поскольку яеТ оснований связывать сохранение массы и внутренней энергии, то пр#

Пользовании лишь инвариантов (3.150) мы должны считать вектор {Шр}^-! линейной комбинацией единственного вектора {П^^ цким образом, в дальнейшем полагаем, что массы частиц компонен- 10вравны: тр = т (0 = 1,2,..., ц).

В качестве f^ здесь берутся функции (3.122) с та = т. Функции же /,® (система обозначений здесь такая же, как в п. 3.3.3) находим по формуле (3.19) с фр в виде (3.150):

In [fa / (5am3)] = ^i + ^2 * (^ va) + ^з + С4 Са.

2

Далее, как в п. 3.2.1, записываем

тга

In [fa Ksa m3)l = «a + ba • (^ va) - ca,

2

где'

;?a ® ^i + ^4 €a; ba = C2; ca = -- C3.

Затем вводим новые переменные

причем

^a" ”Ф« ^ТД

хs«e

Ve (Тк) 11-ер/(<=вгк)

S spe 0=1

(3.151)

Результате, естественно, получаем частный случай функции (3.22):

,»3/2

у(0)т \

к вП(Ра(Гк) ехр

\ 2лкят I

т(та-6)2 '

(3.152)

Легко проверить, что

и

а=1 ц

2 S%0) mvadva-mn^; а=1

(3.153)

I s/T а=1

тта3/ 3mV \

d va = n I — квт +);

2\ 22/

2 S/а ^a^Va-^ 2 еафа(Тк). а=1а=1

Соотношения (3.153) для рассматриваемой задачи играют роль равенств (3.20), так что правые части (3.153) суть функции G^(y) из уравнений (3.129). В то же время очевидно, что при всех 0 = 1, 2, ...

1=2 6ра; Ер = ^ Са^ра» (3.154) а=1 а=1

т.е. мы опять имеем частный случай связи (3.124). Далее без труда можно получить следующие результаты:

$ fa^dva - na (a = 1,2,..., ц);

Р (0)

2 S/a rnvadva = mnv0; a=l

(3.155)

Правые части равенств (3.155), в свою очередь, являются функциями F^v\r) из уравнений (3.129). В итоге, объединяя (3.153) - (3.155), записываем уравнения (3.129) в виде и n = Е na; a=l

mn^ = mnv0;

I 3 mV \/ 3 mr® \

” 7квТ+^~Г" ТквГ+"Т" ;(ЗЛ56)

I*H

п E С(хФ(х(Тк)= E ^a^a* a=la=l

Первые три из соотношений (3.156) тривиальны. Из них следует, в частности, что, как и должно быть, £ = v0 и т = Т. Последнее обстоятельство, собственно, и позволяет вводить переменные у в форме (3.149). Четвертое же равенство дает возможность в любой момент времени выразить колебательную температуру Тк через состав смеси.

Осуществим, наконец, переход от варианта метода Энскога, связанного с макропараметрами (3.109), к варианту, базирующемуся на гидродинамических величинах (3.149). Для этого необходимо сначала удовлетворить равенству (3.131). Первое из условий (3.24) показывает, что нам достаточно просто заменить у функций (3.122) панапфа(Гк) (напомним также, что все та = т). Выпишем теперь уравнения (3.106) и (3.107) в однотемпературном односкоростном приближении:

~ + То • Vna = -naV . VO + 5 /а(о) { ?a(o) +

^a[h(1)]}dva(a = l,2,.... |1);

^- + v0.Vv0^- + v0.Vv0=p-l ppFp ~ ^p;=p-l ppFp ~ ^p;(3.157)(3.157)

^- + v0.Vv0

^- + v0.Vv0

=p-l ppFp ~ ^p;

=p-l ppFp ~ ^p;

(3.157)

(3.157)

3 ~kBn3 ~kBn= -pV.v0-kBTx= -pV.v0-kBTx

3 ~kBn

3 ~kBn

= -pV.v0-kBTx

= -pV.v0-kBTx

дт

—+ v0.VT dt

X li ^ { ^ + Zp ^} ^ ^} ^ l^\ _1 V I(lL(f№1>(l)^ .

1477 Л +Va dV>

p(-^l) =-V.p(1);

' 9f >N

3 I M \ ц m 3

(3.158)(3.158)-кв» — = E Fp.JpW+-kBrx 2\ at lN p=12

(3.158)

(3.158)

x 2 — v • Jp(1) - P(1): Vv0 - V • q(1) - P-1 m

Ц

- кв T Д S /p(0) PpG) Sj^ (Wp2) dtp.

Для простоты здесь рассматривается смесь нейтральных газов. Кроме того, мы опустили обращающиеся в нуль вследствие сохранения суммарного импульса интегралы (см. п. 3.3.2). Удобно также ввести величины И^» определяющие прирост числа частиц сорта 4$ в единице объема в единицу времени в j-m приближении обобщенного метода Энскога:

N»*n Ар,

= I f?^dV Я% = $ /р(0)1р [h0+1)] dvp 0 = 0,1...).(3.159)

Исходя из сохранения полной энергии (кинетической и внутренней) во всех типах упругих и неупругих столкновений и принципа микроскопической обратимости, нетрудно показать, что

kBTI-квГ + ерЬ^;

Р-1 Р Р2Р / Р

(3.160)(3.160)квТ Е $/р(0)1р [h0+1)]S^n (Wp2) dvp = P-1

(3.160)

(3.160)

U / 3\

P-l\2p/ P

Нам потребуется еще и уравнение первого приближения (3.114), которое, учитывая соотношения (3.159) и (3.160), можно переписать так:

2Wa°Wa : Vv0 - S$ (lVa2) Va . 71пГ + - V„ • d„ +

^-яй^^^) I (±fcBT+eJ X("a -Pp-B2/

vi/W _ P(0)L r th^l-Ln^ LsWfwax^

X л Np ° a ( ~ ^a I/* J " Aa ~“1/2 ("a ) ^

)na3p

X I -kBT + ep *%.

p-i‘ 2I

(3.161)

Уравнения переноса для полной концентрации п получаются атласно (3.156) суммированием соответствующих уравнений для na при na = п Ф«(ТК). Из (3.157) - (3.159) легко усмотреть, что

а.п

+ v0 . Vn=-nV . у0; dt

(3.162а)

(3.1626)

При выводе (3.1626) учтено следующее из (3.91) и (3.80) равенство

Е 1^=0 (/=1,2...). ««1

(3.163)

Кроме того, мы приняли во внимание соотношения

11и

Hf^P^dv -L 7/W =0, р-1 р р р 0=1 р

иц

Z Vp(0)Zp[hO+1)]dv =Z М(5 =0,

Р-1 рр р=1 р

вМтекающие из принципа микроскопической обратимости и явного 8ийа р^ и Zp ГЬ^*1^] (при равных массах компонентов сохранение ^ссы сталкивающихся частиц эквивалентно сохранению

всехвсехстолкновений). В связи со сказанным членыстолкновений). В связи со сказанным члены

всех

всех

столкновений). В связи со сказанным члены

столкновений). В связи со сказанным члены

^ числа, так что вектор {1}

р_^ оказывается инвариантом

(3.164)(3.164)_„(к) тс __„(к) тс _т„(к) тс у.т„(к) тс у.па ~ "^а ^к) >па ~ "^а ^к) >д Т\ Ц 1 = £ е —9t lN а-i “ ”2д Т\ Ц 1 = £ е —9t lN а-i “ ”2

(3.164)

(3.164)

_„(к) тс _

_„(к) тс _

т„(к) тс у.

т„(к) тс у.

па ~ "^а ^к) >

па ~ "^а ^к) >

д Т\ Ц 1 = £ е —

9t lN а-i “ ”2

д Т\ Ц 1 = £ е —

9t lN а-i “ ”2

S kBT*H^ и £ — киТТб^ из формул (3.160) в пп. 3.3.6 и 3.3.7 р=1 2й p=i 2₽

также считаются равными нулю. Далее, вторые уравнения систем (3.157) и (3.158), т.е. уравнения движения смеси, сохраняют свою силу. Это справедливо и для третьих уравнений упомянутых систем, причем

з квтI1

в третьем уравнении (3.158) можно опустить членV • S I; \ 2-пр=1 Р

Наконец, последнее уравнение из совокупности (3.156) записывается в виде

с ц па £с(Тк)^еаЛ а=1 п

где

ес(Тк)= Е е„Фа(Гк). а=1

Определим еще удельную колебательную теплоемкость при постоянном объеме:

с^= —дес/ЭТк.(зл65>

В результате получим:

8опа 8оп \

Привлекая теперь первое из уравнений (3.157) и уравнение (3.16^ имеем

М 8„ТК М

Р^К)~ 2 ea{-v0.VnVa(TK)-nVa(TK)x 9t а=1 '

X V • v0 + ^ + Ф« (Гк) [v0 • v п + n V • v0]}.

Отсюда после простых преобразований получается, что

д Г

pc^)-r25 = -nv0.Vec(TK)+ 2 ea^a0)*(3.166a)

а=1

Аналогично из первого уравнения (3.158) и (3.1626) находим

(к) Рсг(к) Рсг-V-E-JaU a»l т-V-E-JaU a»l т+ 5 еаа«1+ 5 еаа«1ИИ(1) Na(1) Na(3.1666)(3.1666)

(к) Рсг

(к) Рсг

-V-E-JaU a»l т

-V-E-JaU a»l т

+ 5 еаа«1

+ 5 еаа«1

И

И

(1) Na

(1) Na

(3.1666)

(3.1666)

Займемся далее модификацией интегрального уравнения (3.161). Очевидно, что„

^аBt^аBtпФ«(Тк) = 0 "«■"Фа^к^пФ«(Тк) = 0 "«■"Фа^к^

^аBt

^аBt

пФ«(Тк) = 0 "«■"Фа^к^

пФ«(Тк) = 0 "«■"Фа^к^

ИЛИ

-V,. 7пфа (Тк) - Пфа (TK)V • v0 + 7^0) -

МоДк) /m А» "n~~ф (TJ —-0. dt ” dt

®°Мтавим сюда результаты (3.166а) и (3.162а). Тогда окажется

* V • (г0 " Фа (Гк)) + «а - пм [~ПТ° '

ЭГК pcW

•OncfK)VTK)+ £ СцХд01] + фа (Тк) V • (топ) = 0.

а=1

^РУдно понять теперь, что последнее равенство преобразуется йИДу

(0) 9Фд 1 £^(О),,.

^g - n — Z ерлр -0.

Используя затем легко проверяемое тождество

5Фд(гк) Фд^к) еа-еС(Гк)

9гк гк кВ^к

можно найти, что

^ (0) _ Фд (гк)п е„-еС(Гк) £(0)

лд6021 е₽л₽ •*3, ^

рС;' квт^ ₽=1

Система равенств (3.167) непротиворечива. Это следует из соотношения

п 1 Ис

7~Г^ едФд (-Gc) [ед ~ 6 (^к)]-^*

^т ' ^вТ^«“1

доказываемого без особого труда. Подставив выражение (3.167) в

уравнение (3.161), преобразуем последнее к виду

2Wa° Wa : V т0 - S3^ (!Va2) Va - V In Г + фа (Гк)"1 Va - da +

++if-Sl/PW)^ (I 3pif-Sl/PW)^ (I 3p1"to1"to(0) Np(0) Np= ^«[h(1)l-= ^«[h(1)l--51/(М=) + 3p-51/(М=) + 3p1 sa e (TK) pc<K) kBT>1 sa e (TK) pc<K) kBT>XX

+

+

if-Sl/PW)^ (I 3p

if-Sl/PW)^ (I 3p

1

"to

1

"to

(0) Np

(0) Np

= ^«[h(1)l-

= ^«[h(1)l-

-51/(М=) + 3p

-51/(М=) + 3p

1 sa e (TK) pc<K) kBT>

1 sa e (TK) pc<K) kBT>

X

X

(3.1^(3.1^

(3.1^

(3.1^

x Z ep$fp(0)Zp[h(1)]dvp (a = 1, 2,.... Ц). p-i

Здесь согласно (3.100)

• Фа(гк)11

= 7Фа(Тк)2-5-(рРв- Е PpFp). рр=1

Тусим образом,

(3.169)(3.169)х^.-^/б^г.

(3.169)

(3.169)

Подчеркнем, что в уравнениях (3.168) роль f^ играет уже функция (3.152) [выше мы требовали выполнения равенства (3.131)!]. Для такой функции и для инвариантов (3.150) имеют место, как можно проверить, условия разрешимости (3.56) и (3.57).

Левые части наших уравнений совпадают с левыми частями (4.13.20) соответствующих уравнений книги [1]. Для установления такого тождества достаточно вновь применить (3.167) (выделив из величин ^ члены Я^р), пренебречь масссовыми силами Fp и учесть, что

VlnTK.VlnTK.Vh Ф„ (Г )2L2L V Т =1 ^

VlnTK.

VlnTK.

Фа^У дТк^В^к

Обратим внимание, кроме того, на различие в обозначениях: наши ^Nt совпадают по смыслу с К^ книги [1], а используемая здесь ••Дичина с^ получается из теплоемкости с^ [1] делением на т. "•Конец, левые части (3.168) переходят в выражение (1.31) статьи [48]; ^ки в последних не учитывать вращательных степеней свободы. Уравнения переноса, отвечающие уравнениям (3.168), формируются

J^1®** сложения уравнений (3.162а) и (3.1626), вторых уравнений р®16** (3.157) и (3.158), а также третьих уравнений этих систем. Дожить надо и (3.166а) с (3.1666). В результате находим

/ < а

dn

= -nV.v0;

dt

di I*,n

P—- = Z Pp Fp - Vp-V • P^l;

dt 3-1(3.170)

kBn —= -pV.v0- P(1): Vv0- V-q(1) +

2 dt

+ Z Fp.jW- Z Ср^ + тф;

3=1p-1

pc<K) —= -V- Z -^Jp(1)+ Z ep(Np(0) + N%).

dtp-lm p-1

При выводе последнего уравнения учтено, что

V ес (Тк) = me <к) V Тк.

Колебательная релаксация химически однородного газа при слабом отличии колебательной и поступательной температур. В заключение настоящего параграфа обратимся к случаю, когда Т - Тк = = 0 (е). Здесь макропараметры (3.149) станем рассматривать в качестве Г; в роли же у будут выступать

{n, v0, 0},(3.171)

(VpI^.BTo же(VpI^.BTo жегде 9 - температура смеси, определяемая по поступательным и внутренним степеням свободы молекул (см. ниже). Аддитивны® инварианты (3.150) теперь являются инвариантами время

(VpI^.BTo же

(VpI^.BTo же

{ Фр} “р=1:1; mpvp; -^т^ + ер.(3.172)

Функция/J®) имеет вид (3.152), af,^ дается соотношением

In Й0)/($а та3)] = оа + Ьа • (т v„) - са —,

ПфаЮПфаЮ

ПфаЮ

ПфаЮ

Г Л6

С,—T;b«=7T;0« = ln к^ кв9

I 3/2 ш \1 mv^

2л кд 6 /5ат3 - ^кдв

Таким образом,

\ 2 л кд 9

3/2

ехр

2кв6

(3.173)

Очевидно, что

Е S fa(0)dva = n;

«•1

Р ~(0).

2 5/а mTadva=mnv0; «•1

(3.174)

5 s20)

«•1

dva

mr? 3r '

——+ — kB9 + e (9) ,

22.

We*(9) находится по формуле (3.164). Сравнивая (3.150) с (3.172) и (3.153) с (3.174), записываем единственное нетривиальное соотношение (3.129):

3,3,

—кв 9 + ес (9) =—кв Т + ес (Гк). 12

(3.175)

Мее, из (3.175) следует, что

~kB + т^^

de

dt

3

— кв 2

dT -1 ^

+ тсу

dt T dt

r=rK»e‘

^°Дставляя сюда dT/dt и dT^dt из уравнений (3.170), легко хпо- ”hHTb

Рс*-~- = - PV-VO " P(1):Vv0 - V- (q(1)Рс*-~- = - PV-VO " P(1):Vv0 - V- (q(1)₽=1 m 1₽=1 m 1

Рс*-~- = - PV-VO " P(1):Vv0 - V- (q(1)

Рс*-~- = - PV-VO " P(1):Vv0 - V- (q(1)

₽=1 m 1

₽=1 m 1

(1) p •

(3.176)

Здесь

3 L. to mcY = — kB + mcr ;

2

(3.177)

p = nkB9.

(3.178)

Выпишем еще нулевые приближения третьего уравнений (3.170) при Т = Тк = 0:

и четвертого

з/ doe\

— кВп\ + ^‘V0 = - pV‘V0 -

2\ dtI

Lp» p p ’ 0=1

\ at/ P-i p

Исключая из получившейся системы член

аое

+ VV0, находим dt

11(0) сг

Z ерИрpV-v0.

0=1сг

(3.179)

С помощью (3.179) после несложных преобразований уравнение (3.168) приводится к виду

2W>a:Vvo-S^(W’)Va-Vln0

+ Va'

m /

Vin фк(6) - [Fa kB® '

U\1([2$/(0) m

- S фр(6)Ер -S/(^) +

0-111( L 3 cy

В уравнениях (3.180) T и Тк всюду заменены на 9, в том числ<

ив Wa; р определено соотношением (3.178); функция /^ имев1

вид (3.173). Условия разрешимости выполняются здесь для з^ дативных инвариантов (3.172). Наконец, системе (3.180) соо^ ветствуют гидродинамические уравнения [см. (3.170) и (3.17W’

= — nV'Vg;

<ivO 11ГП

— = Z Pp Fp - Vp - V'P' , dt9-1

pc, — = -pV-v0 - P(1):Wg - v-q^ + ZFpV^; (3.181) dt3=1

(1)„(1) . у^ wU),, 1R0X

t = Q + S Jp •(3.182)

f=l m

Преобразуем последнее уравнение (3.181). Из (3.177) и (3.165) вытекает равенство

тсу =

д

эе

з с

— кв6 + е (6)

2

Следовательно,

^ de а

РСу = п dtdt

3с

— кв6 + е (6)

2

Умножим теперь первое уравнение (3.181) на —кв9 + е (6) и сло- 2 с третьим. Получим

(3\/ 3

— кв9 + ес(9)= -п — кв9 + ес(9)

2I\ 2

' ^С - (Р1 + p(1));Vv0 + 2 Fp-J^

3=1

®®едем термодинамическую с* На единицу массы смеси:

V.

3с 1

— кв9 + е (9) /т.

2

V'Vg -

Л внутреннюю энергию U, приходящую-

(3.183)

-даddt-даddtI 3 en —kB9 + e (6)\ 2I 3 en —kB9 + e (6)\ 2,<°> р <» - JL е 4 а а2 г,<°> р <» - JL е 4 а а2 г^ot^P 5у s6^ot^P 5у s6/0)' (0)'_ (0) (0) Ь h 4а ^р/0)' (0)'_ (0) (0) Ь h 4а ^р, губ g«pdoap, губ g«pdoapdvp.dvp.

-да

ddt

-да

ddt

I 3 en —kB9 + e (6)

\ 2

I 3 en —kB9 + e (6)

\ 2

,<°> р <» - JL е 4 а а

2 г

,<°> р <» - JL е 4 а а

2 г

^ot^P 5у s6

^ot^P 5у s6

/0)' (0)'_ (0) (0) Ь h 4а ^р

/0)' (0)'_ (0) (0) Ь h 4а ^р

, губ g«pdoap

, губ g«pdoap

dvp.

dvp.

d ^ dU A dp

(pU) = p+ и dtdtdt

Поскольку, очевидно, полная производная

dp

-pV'Vg, dt

то для массовой плотности энергии имеем уравнение

р ——Vq^- (pl + P(1)):Vv0 + Z Fp-J^.(3.184)

dtР=1

Как указывалось выше, в настоящем пункте мы учитывали только столкновительные процессы, в которых сохраняется полное число частиц. По существу, речь идет лишь о реакциях (3.1) (упругие соударения рассматриваются как частный случай неупругих). Выпишем соответствующую сделанным предположениям величину Р^ из уравнения (3.180). Согласно (3.45) и (3.5)

Легко убедиться, что подстановка в последнее выражение функций нулевого приближения в форме (3.173) обращает его в нуль. Если же допустить еще, что внешние силы на все молекулы действуют одинаковым образом (Fp = F), то уравнение (3.180) окажег ся приведенным к виду (11.3.21) книги [85]. Из анализа, прове* денного в [85], следует, что тензор давлений р1 + Р^\ вычислен* ный на основе решения последнего уравнения, содержит Д03 коэффициента вязкости - сдвиговую и объемную вязкости. В то же время в тензоре pl + Р^\ к которому приводит интеграл^ ное уравнение (3.114), послужившее нам отправной точкой при 0bl воде уравнения (3.180), член с объемной вязкостью отсутствуй [10]. Эти результаты, однако, не противоречат друг другу, скольку в уравнениях переноса (3.181) р = пкв0, а в уравнен^ (3.111) р = пквТ. Разность же пквТ-пкв6 имеет порядок W6'"

как показано в работе [37], в точности равна члену, пропорцио- j^HOMy коэффициенту объемной вязкости (см. также по данному поводу [33,61]).

3.4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАЗРЕШИМОСТИЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНАС НЕУПРУГИМИ СТОЛКНОВЕНИЯМИ

Алгоритм обобщенного метода Энскога, построенный в § 3.2 настоящей главы, основан на представлении решения уравнения (3.18) в виде ряда (3.27) и имеет по необходимости формальный характер, поскольку, строго говоря, нужно быть уверенным в существовании и единственности разлагаемого решения. Между тем даже для однокомпонентного газа с парными упругими столк

новениями вопрос о существовании и единственности решения, по сути дела, остается открытым. Сравнительно недавно была доказана первая глобальная теорема существования решения задачи Коши для нелинейного уравнения Больцмана [73]. Имеется ряд теорем и для краевых задач. Однако, как отмечено в [25],

все результаты, полученные за последнее время, относятся лишь к малой окрестности равновесия, сильно же неравновесная ситуация для пространственно неоднородного случая остается (в строгом смысле) по-прежнему неисследованной.

Существуют различные мнения и по поводу предполагаемого характера сходимости разложений по числу Кнудсена. В линейном приближении показано [38], что ряд Чепмена-Энскога является асимптотическим для некоторого решения уравнения Больцмана. В то же время, например, в [80] указывается ни отсутствие для нелинейного уравнения Больцмана доказательна асимптотической сходимости решения, полученного этим Методом. Установлена лишь асимптотическая эквивалентность (при t -* оо) уравнений Навье-Стокса уравнению Больцмана СК1, [25]). Известно, что асимптотическая сходимость приводит существованию максимального числа членов разложения, ^°1Цего наилучшую аппроксимацию точного решения. На этом овании может быть сделан вывод о нецелесообразности ис- ^ЛЬз°вания барнеттовских и супербарнеттовских урвнений ^ 881. В [25] указывается также, что полные уравнения Бар- д^а вовсе могут не иметь решения. Таким образом, их не сле- ' использовать для уточнения результатов, получаемых

в приближении Навье-Стокса. Противоположная точка зрен^ высказывается в [80], где утверждается, что барнеттовское цр^ ближение не только уточняет теорию Навье-Стокса в области применимости последней, но и позволяет продвинуться в сторо ну большей разреженности газа, вплоть до Kn^ 1. Альтернативные гидродинамические уравнения, действительно применимые для течений с промежуточными числами Кнудсена, построены в гл. 2. Отметим еще, что изучению температурных барнеттовских напряжений посвящен ряд работ, обзор которых имеется, напримеп в [62].

Упомянем здесь и о проблемах, связанных с тем, что теория Чепмена-Энскога оказывается непригодной внутри начальных, граничных и ударных кнудсеновских слоев [38, 80, 85, 88]. Для дополнения этой теории следует решить три связующие задачи * о начальном ’’скольжении”, о ’’скольжении” на границе и о ’’скольжении” в скачке. Граничные и начальные условия для уравнений гидродинамики должны получаться как результат решения таких задач. В частности, в реагирующих газах в числе прочих обязаны появиться и условия типа (3.31), накладывающие ограничения на макропараметры смеси на гидродинамическом этапе эволюции.

пятого итерированногопятого итерированногоНаконец, нуждается в обосновании и сама рекуррентная процедура определения членов ряда (3.27). Важное значение здесь имеет, очевидно, задача о существовании и единственности решения основного интегрального уравнения обобщенного метода, т.е. уравнения (3.53). Еще Гильбертом было установлено, что для однокомпонентного газа из твердых сфер оператор интересующего нас уравнения является интегральным оператором с симмег ричным ядром [100]. Необходимо знать, выполняются ли для этого ядра теоремы Фредгольма. Этот вопрос, оставленный Гильбертом без ответа, разрабатывался его учеником Геке [99], доке*

пятого итерированного

пятого итерированного

завшим интегрируемость квадрата

ядра. В известной работе Карлемана [52] затем было показам что уже вторая итерация в такой задаче имеет интегрируемы* квадрат. Условия же квадратичной интегрируемости третьего итерированного ядра, сформулированные Грэдом в статье (при наличии только упругих столкновений), охватывают весьМ* широкий класс межмолекулярных взаимодействий. В [9,’

92] указанная проблема рассматривал' сь для случая многоко^ понентной реагирующей газовой смеси с бимолекулярными упругими столкновениями. Приведем здесь основные резулЫ* этого исследования.

З^ишем сначала уравнение

&e I„[h] (а = 1,2,..„ц).(3.185)

В уравнении (3.185) ga - некоторая функция от va, удовлетворяющая условиям типа (3.56):

ХИрЧ^^0-(злее)

В качестве аддитивных инвариантов {Фр}у=1 мы сейчас выбираем величины (ЗЛЮ); функции же нулевого приближения имеют соответственно вид (3.122). Далее, <£a[h] - линеаризованный интеграл парных столкновений (3.44) [упругие столкновения рассматриваются как частный случай бимолекулярных реакций (3#

Наложив на сечения реакций (3.1) ограничения

■Туб „

/ %р(8ар»Э,Ф) < S(l+gap ), В > 0, 0 < е < 1;(3.187)

eaptot^ap) = jo ap(gap,9,v)sin9d6dv > Vga^ (3-188)

^Л» > ^ > 0, Ьр > и,

можно привести уравнение (3.185) к фредгольмозскому виду (см. 01,13,37]):

(I-T*)h* = g*(3.189)

где./- единичный оператор, а Т* - интегральный оператор, и

^^(Va) = 2 П*р (Va,V)h*(V)dV.(3.190)

^Метим, что в формулах (3.187) и (3.188) знак ”~” обозначает без- Туерные величины; В, е, Ьо и g^ - некоторые постоянные (е не Дует путать с формальным малым параметром, игравшим РЭДшествующих параграфах роль числа Кнудсена);

губгуб

0 aS (бар» 9 »Ф) sin OdQ dtp = do ар,0 19ц

где 0 и ф - соответственно полярный и азимутальный углы, Ко, торыми характеризуется вектор gsY = V§ - V^ относительно gPft х = Vp-Va. Условия (3.187) и (3.188) в целом аналогичны соответ» ствующим ограничениям работы [39, с. 105, 108], которые опреде. ляют класс обобщенных ’’жестких” межмолекулярных взаимодействий. Все классические обрезанные потенциалы типа степенных функций с s > 3, включая твердые сферы, удовлетворяют условию (3.187) (подразумевается, что межмолекулярные силы изменяются по закону 7///, где г - расстояние между частицами). Неравенство же (3.188) имеет место при s ^ 5, а также для твердых шариков. Заметим, что вторая модель неупругого столкновения из [1, с. 203] приводит к эффективным сечениям неупругого и упругого столкновений, удовлетворяющим обоим требованиям (3.187) и (3.188). Рассматриваемый класс потенциалов используется и в теории нелинейного уравнения Больцмана (см., например, [35, 72]).

Основной строгий математический результат, полученный нами, состоит в установлении квадратичной интегрируемости третьего итерированного ядра Tap (Va, Vo), соответствующего третьей степени интегрального оператора (3.190):

2 S|T*(3)(V, w)] = dV dw < +~.(3.192)

и = 13

Условие (3.192) обеспечивает применимость к уравнению (3.189) теории Рисса-Шаудера [50, с. 132-136].

Используя далее теорию возмущений самосопряженных опера* торов [79, с. 396-402], мы показали, что у сопряженного однороД* ного уравнения не существует других решений, кроме инвариав* тов всех неупругих столкновений. Последние же являются л^ нейными комбинациями инвариантов упругих столкновении? т.е. величин (3.110), для которых справедливы равенства (3.18Ь/ В результате оказываются выполненными условия разрешимости уравнения (3.189) (подробно эти вопросы изложены в [37]). ПоТР* бовав, наконец, ортогональности решения инвариантам неупрУ гих столкновений, можно убедиться в существовании и еди^ венности такого решения. Речь идет об ортогональности в гиД* 186

цуговом пространстве Н с элементами h = {Ла}„=1 и со скаляр- ^ произведением

1 11

(h,r) = — 2 S f?hara dva,(3.193)

n a=l

введенном в [74- 76].

Перейдя к уравнению

й - W(3.194)

в котором La [h] совпадает с оператором интегрального уравнения (3.114), отметим, что (после приведения к виду Фредгольма) условие (3.57) делает инварианты упругих столкновений решениями соответствующего сопряженного однородного уравнения. В [37] доказано, что других решений упомянутое уравнение не имеет. Там же установлено наличие единственной вектор-функции h € • Я, удовлетворяющей уравнению (3.194), для которой

(М) = 0(3.195)

(ф - любой инвариант (3.110)]. По смыслу (3.195) совпадает с (3.48).

Итак, основное интегральное уравнение обобщенного метода Энскога (3.114) для системы с бимолекулярными упругими и неупругими столкновениями, сечения которых подчинены ограничениям (3.187) и (3.188), имеет единственное решение, ортогональное в Н инвариантам упругих столкновений. Уравнение (3.114) - частный случай уравнения (3.53). Однако проведенный анализ, несомненно, проливает свет на ситуацию в целом - можно ожидать, что и весь алгоритм обобщенного метода окажется обоснованным. Строгое доказательство основных теорем, безусловно, необходимо, так как оно в определенной мере гарантирует вну- ^еннюю непротиворечивость используемой модели. При этом результаты численных расчетов по существу не будут зависеть от техниЧеских деталей процесса вычислений.

Глава 4

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙОБОБЩЕННОГО МЕТОДА ЭНСКОГА

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ

ДЛЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ СМЕСИ ГАЗОВ

Настоящий параграф носит по необходимости служебный характер. Здесь мы сгруппировали часто используемые в дальнейшем формулы, выражающие различные слагаемые интеграла столкновений кинетического уравнения, на которые последний разбивается в случае, когда функции распределения компонентов смеси представляются степенными рядами по числу Кнудсена. Снача* ла упомянутые величины получаются в общем виде, а затем для удобства дальнейших обращений они выписываются для режима однотемпературной односкоростной релаксации.

Линеаризованный интеграл столкновений (3.44), а также функ-

ции Ра , определяемые равенством (3.45), имеют смысл лишь для нейтральной смеси с бимолекулярными реакциями. В общем случае мы записываем кинетические уравнения в форме (см. гл. 1):

Э/аdtЭ/аdtЭ/аd/aЦ

Э/аdt

Э/аdt

ra'~— + Fa’~— = 2 kjU.D +ardraJ=1

+ — Е 2 J2 груб+ — Е 2 J2 груб$а5р / та^р \3 ,1 т уб

+ — Е 2 J2 груб

+ — Е 2 J2 груб

Л /б - /а^ Sap do . dvp +

$Т<8 \ тТт6 /J

1+ —2 2 J4 гРубфГ бф1+ —2 2 J4 гРубфГ бф5а5р5у / т^тршу .835у5ф\ т6тф5а5р5у / т^тршу .835у5ф\ т6тф3 , га; - foM x3 , га; - foM xxxW ару(т8 тф)3W ару(т8 тф)3dvp dvv d^ d^dvp dvv d^ d^1+ — E2 56 грубф1+ — E2 56 грубф^^p'’3 xsy 5б 5ф^^p'’3 xsy 5б 5ф

1

+ —2 2 J

4 гРубф

Г бф

1

+ —2 2 J

4 гРубф

Г бф

5а5р5у / т^тршу .835у5ф\ т6тф

5а5р5у / т^тршу .835у5ф\ т6тф

3 , га; - foM x

3 , га; - foM x

x

x

W ару(т8 тф)3

W ару(т8 тф)3

dvp dvv d^ d^

dvp dvv d^ d^

1

+ — E2 5

6 грубф

1

+ — E2 5

6 грубф

^^p'’3 x

sy 5б 5ф

^^p'’3 x

sy 5б 5ф

I\ 3

xx—— гж -г« г» х

x

x

\ ту my j

И).И).г убф]

И).

И).

W ар (mV т6 тф)3 dvP dvV dv8 ^ (« = 1> 2,

дд^ь IgjV, Л ~ интеграл упругих столкновений Att + Aj ^ Аа * Aj. ^8CaS=° он равен

Г^.Л = S VHj'-fa^gaj doaj d^.(4.2a)

gem же ea ej * 0, to 4/ V, Л принимает вид

^([,Л = ^ dVjS dbj gttj ^fj - fafj) --I — fj

”(m«9»a \ 9'a

mamamjmj&fi a ^“ 8l,j&fi a ^“ 8l,j1 bb1 bbgaj b<gaj b<1 - exp1 - expb1b12424

ma

ma

mj

mj

&fi a ^“ 8l,j

&fi a ^“ 8l,j

1 bb

1 bb

gaj b<

gaj b<

1 - exp

1 - exp

b1

b1

24

24

НМр1 .8/ d/ama 8fj \

*, ^ d4. ^^ ;

ma81a \ 8xamj 8^/

iJdk-^-etk-gy) j| e(k,k-^)|'2 - (4.26)

Все основные обозначения, используемые нами, описывались вгл. 1. Напомним лишь, что

. м ? Ji±j(4.з) Р=1 тр к2со — к • ту + iOЭтр

В соответствии со структурой столкновительного члена урав- йения(4.1) линеаризованный интеграл столкновений

(0)( Ц1г тб

к 7a[h] = S Za [h] + — Z Z £(h) +

( j-12 r W P

. 1 „ r H1Г убф ) m

T20z z«p>’N + -2: SI [h] /V.(4.4)

г Зубф6 r Рубф)

ДО) г тбfe Z»P И] = 5ДО) г тбfe Z»P И] = 5dT°M второе слагаемое из (4.4) дается формулой (3.44), т.е.

ДО) г тб

fe Z»P И] = 5

ДО) г тб

fe Z»P И] = 5

SU\. / татг \3 (ОУ (0V„, .

/т /6 (hT+h5)-

SV$6 \ m^m^ I

.(0) /0).(0) /0)(0) (0)губ

.(0) /0)

.(0) /0)

(Ц(Ц- /а /р (ha + hp) gapdo ар d^.

(Ц

(Ц

Для ea ву = 0 соответственно

Ax ^aj 1^1 ~ Vfa fj (^а * ^j^ fafj (^а + ^j))^а/ ^«/ ^^j.

(4.6)

Далее по аналогии с (4.4)

р(к-0 г ар(к-0 г аII Z РII Z Р(k-D 1 T y a + — 2 z2 г Руб(k-D 1 T y a + — 2 z2 г РубV5 (k—1)1aB + — £ EаР< г РУ6ФV5 (k—1)1aB + — £ EаР< г РУ6ФГрГр6ф (к—1)ару ♦6ф (к—1)ару ♦1+ — 26 г1+ — 26 гZ РРубфZ РРубф?бф(к-1)ар(^?бф(к-1)ар(^(4.7)(4.7)

р(к-0 г а

р(к-0 г а

II Z Р

II Z Р

(k-D 1 T y a + — 2 z

2 г Руб

(k-D 1 T y a + — 2 z

2 г Руб

V5 (k—1)1

aB + — £ E

аР< г РУ6Ф

V5 (k—1)1

aB + — £ E

аР< г РУ6Ф

Гр

Гр

6ф (к—1)ару ♦

6ф (к—1)ару ♦

1

+ — 2

6 г

1

+ — 2

6 г

Z Р

Рубф

Z Р

Рубф

?бф(к-1)

ар(^

?бф(к-1)

ар(^

(4.7)

(4.7)

Второй член (4.7) определен в (3.45). В частности,Второй член (4.7) определен в (3.45). В частности,'a гар'a гар5а5р / mamp ^з (0)/ (0)/(о) (0)'у 'бsvs6 \ m?m6 / у5а5р / mamp ^з (0)/ (0)/(о) (0)'у 'бsvs6 \ m?m6 / уТ уб£ар ^° ag ^(4.8а)Т уб£ар ^° ag ^(4.8а)аа

Второй член (4.7) определен в (3.45). В частности,

Второй член (4.7) определен в (3.45). В частности,

'a гар

'a гар

5а5р / mamp ^з (0)/ (0)/(о) (0)

'у 'б

svs6 \ m?m6 / у

5а5р / mamp ^з (0)/ (0)/(о) (0)

'у 'б

svs6 \ m?m6 / у

Т уб£ар ^° ag ^

(4.8а)

Т уб£ар ^° ag ^

(4.8а)

а

а

(0) r V6(D Г ’ Р 'а г ар(0) r V6(D Г ’ Р 'а г ар- W4- W4sasp / mamp \з (0)' (О)1 (1)' (1)' Л Л S he s-y s^ \ тп^ m^ Iг убSap do ер dvp.sasp / mamp \з (0)' (О)1 (1)' (1)' Л Л S he s-y s^ \ тп^ m^ Iг убSap do ер dvp.(4.86)(4.86)

(0) r V6(D Г ’ Р 'а г ар

(0) r V6(D Г ’ Р 'а г ар

- W4

- W4

sasp / mamp \з (0)' (О)1 (1)' (1)' Л Л S he s-y s^ \ тп^ m^ I

г уб

Sap do ер dvp.

sasp / mamp \з (0)' (О)1 (1)' (1)' Л Л S he s-y s^ \ тп^ m^ I

г уб

Sap do ер dvp.

(4.86)

(4.86)

Для парных упругих некулоновских столкновений

(4.*)(4.*),(0) (On-J.OT'/O)' /0) (0)\

(4.*)

(4.*)

fa aj ~ М fa fj fa fj ) ^aj do^j dVj,

(0)' (Л)'. (l)'(D'/0) (0) (1) (1)\Mj6)

a fj ha hj "fa fj ha hj Uaj doaj dv. Д'»-

Положим теперь в формуле (4.26) ft = /^ + еh, (i = a, j\ е - ма^ параметр. Тогда [предполагая, что е(к, ы) выражается через фун^ нулевого приближения] будем иметь 190

1>П - f«

_ (O)ch ch

^aj + e^ajlM +

«2 p(l)ch

b raj

^k из-за билинейной по / = (/a) a=1 । .(•)p(°)ch =/ch(/°) Ж. ‘a raj aj ’* ’’

(t)p(!)ch = zch ,„(0) ^(1) (0) h(l) aj’'”

U h *Za a * a=l = l'a ’ a=

ch структуры laj (f, D

(4.10а)

(4.106)

Линеаризованный же интеграл столкновений заряженных компонентов Аа и А3 представляется в виде

I? ^ W = 5 d^ $ db j gai V?'^ \h^ + h') - f^ /< (ha + ty] -(°)

2kaej)29(0) ^1 dhama^hj \/ 5/a^

ma9l«I " ^ ' 9t«mj9wj '' 9l«

mamjmamj9h9lj9h9lj.(0) a.(0) a(ha^hj)(ha^hj)118a j8a jbbb4bbb41 - exp1 - expb2b2

ma

mj

ma

mj

9h

9lj

9h

9lj

.(0) a

.(0) a

(ha^hj)

(ha^hj)

1

1

8a j

8a j

bb

b4

bb

b4

1 - exp

1 - exp

b2

b2

(0)£Л/С)9'j a(0)£Л/С)9'j ax |e(k,k.v.)|-2 _x |e(k,k.v.)|-2 _(4.11)(4.11)1°нец, легко установить, что1°нец, легко установить, что(«) Гвф‘ Za9>. P>J = 5(«) Гвф‘ Za9>. P>J = 55a5P$T mampmT \з (0)/ (0)/ /5 / (Ь8+/1ф)-h’^t тбтц1 /5a5P$T mampmT \з (0)/ (0)/ /5 / (Ь8+/1ф)-h’^t тбтц1 /- /®) /0) (0), '« /р /? (ha + hp + ьт)- /®) /0) (0), '« /р /? (ha + hp + ьт)г 5(р^ ару (т6 т<р)3 dN» dyy dvs dK;г 5(р^ ару (т6 т<р)3 dN» dyy dvs dK;(4.12а)(4.12а)

(0)£Л/С)9'j a

(0)£Л/С)9'j a

x |e(k,k.v.)|-2 _

x |e(k,k.v.)|-2 _

(4.11)

(4.11)

1°нец, легко установить, что

1°нец, легко установить, что

(«) Гвф

‘ Za9>. P>J = 5

(«) Гвф

‘ Za9>. P>J = 5

5a5P$T mampmT \з (0)/ (0)/ /5 / (Ь8+/1ф)-

h’^t тбтц1 /

5a5P$T mampmT \з (0)/ (0)/ /5 / (Ь8+/1ф)-

h’^t тбтц1 /

- /®) /0) (0)

, '« /р /? (ha + hp + ьт)

- /®) /0) (0)

, '« /р /? (ha + hp + ьт)

г 5(р

^ ару (т6 т<р)3 dN» dyy dvs dK;

г 5(р

^ ару (т6 т<р)3 dN» dyy dvs dK;

(4.12а)

(4.12а)

++f(0) (0)(9h«m«9hi \

+

+

1 \ d«am.di. I

(0) r v6<p „/а ^ар P1] = 5(0) r v6<p „/а ^ар P1] = 5*«V3 / m«mP \3 /0) (0) (0) ,,,5y 56 $ф ' m^ m6 тф '*«V3 / m«mP \3 /0) (0) (0) ,,,5y 56 $ф ' m^ m6 тф '/0) /0)- /a /p (ha+hp)/0) /0)- /a /p (ha+hp)Г уб ф^af 0”, ™« ", f dv6 dV d^ d^-,(4. !2б)Г уб ф^af 0”, ™« ", f dv6 dV d^ d^-,(4. !2б)'a ^apy'a ^apyVp$y /mampmv \3 ,(0)r(0)'(0) t0) (0),3 I/ '6 /ф /а h" $6 ^ф ^6 ^ф 'Vp$y /mampmv \3 ,(0)r(0)'(0) t0) (0),3 I/ '6 /ф /а h" $6 ^ф ^6 ^ф 'XXXX’ г 6ф’ г 6ф^«Pv (тбтф)3] d^ dvy dv& dv^;^«Pv (тбтф)3] d^ dvy dv& dv^;(4.13а)(4.13а)/0); ^ф№ 'a “ ар/0); ^ф№ 'a “ арvp£/jv^LSy s6 5ф ' ту т6 тфvp£/jv^LSy s6 5ф ' ту т6 тф3 10)' (0)' (0)'(0) (0)J^ h J(p /а /р3 10)' (0)' (0)'(0) (0)J^ h J(p /а /рXXXXг ?6ф^ар t^^S^fг ?6ф^ар t^^S^fd^ dvy dvs di^.d^ dvy dvs di^.(4.136)(4.136)

(0) r v6<p „

/а ^ар P1] = 5

(0) r v6<p „

/а ^ар P1] = 5

*«V3 / m«mP \3 /0) (0) (0) ,,,

5y 56 $ф ' m^ m6 тф '

*«V3 / m«mP \3 /0) (0) (0) ,,,

5y 56 $ф ' m^ m6 тф '

/0) /0)

- /a /p (ha+hp)

/0) /0)

- /a /p (ha+hp)

Г уб ф

^af 0”, ™« ", f dv6 dV d^ d^-,(4. !2б)

Г уб ф

^af 0”, ™« ", f dv6 dV d^ d^-,(4. !2б)

'a ^apy

'a ^apy

Vp$y /mampmv \3 ,(0)r(0)'(0) t0) (0)

,3 I/ '6 /ф /а h

" $6 ^ф ^6 ^ф '

Vp$y /mampmv \3 ,(0)r(0)'(0) t0) (0)

,3 I/ '6 /ф /а h

" $6 ^ф ^6 ^ф '

X

X

X

X

’ г 6ф

’ г 6ф

^«Pv (тбтф)3] d^ dvy dv& dv^;

^«Pv (тбтф)3] d^ dvy dv& dv^;

(4.13а)

(4.13а)

/0); ^ф№ 'a “ ар

/0); ^ф№ 'a “ ар

vp£/jv^L

Sy s6 5ф ' ту т6 тф

vp£/jv^L

Sy s6 5ф ' ту т6 тф

3 10)' (0)' (0)'(0) (0)

J^ h J(p /а /р

3 10)' (0)' (0)'(0) (0)

J^ h J(p /а /р

X

X

X

X

г ?6ф

^ар t^^S^f

г ?6ф

^ар t^^S^f

d^ dvy dvs di^.

d^ dvy dvs di^.

(4.136)

(4.136)

Все формулы, написанные выше, относятся к общему случаю с произвольными функциями нулевого приближения. Для однотемпературной односкоростной ситуации, т.е. когда

(0)/ т« г/2та 7а\х

4 = п« ехр; Va = va - v0 (a = 1, 2,..., Hl

\ 2л kBT I\ 7kBT I

(4.И)

(0) (0) /а /р /0),(0)/ /у /б(0) (0) /а /р /0),(0)/ /у /бих можно значительно упростить. Так, воспользовавшись сохрани нием полной энергии при столкновениях, легко находим:

(0) (0) /а /р /0),(0)/ /у /б

(0) (0) /а /р /0),(0)/ /у /б

mamp \3/2 / ла пр \/ еа + ер ■” еу ” е6

I II exp I ту т^ I \ ПуП^ I \ квТ

(0) (0) (0),х

fa /р /ута тр ту 1р'2 пап^пу

(0)' (О)'\ т^ тф 2пквТ I п^ пф

/б /ф

к3Тк3ТI еа + ер + е-р ~ е§ - вф X ехр

к3Т

к3Т

^ь еа - внутренняя энергия компонента Аа. Нетрудно про- дерять также, что для функций (4.14)

(0)а (0)

Ыа (0) m« _^_,(0) = _ ДО) (0) та _ 9та ^ " т; д1$ ^ " '« Ь квТ 8а^

Используя последний результат и'принимая во внимание равенства h/b = 0; ^k-eajHVk-^ - 0,

получаем

Р^ = 0;(4.15)

fT^ajW = SdVjSdb^gajf^f^th'a + hj- ha-hj) -

,, ча*, ,я, (°) (°)

^аеР8^ha,_ma8hj\/a_fj_.

ma8'a\ 9»gnijd^jI gaj

I b1 \1)2(eae;)2 Э / dha

1 - exp II f +j di:I \2b= /J) m2 ' dta \ dta

_ m«_ Mf^f^ : 5dk ^6(k.ga.)L(k^^^ -

(4.16)

“"УВД. еще то, что f®lf. /”/''>. Далее,

,(0)n

«1 = 0;

(4.17)

^*)z otj [h] = Иа^ f^h’a + hj-^-hpgajdOajdVj.

(4.18)

Соотношение (4.8а) принимает вид

,(0)"Тб(0) ,t?6nff(0),(0).J-V».

(4.19)(4.19)^а ^ ар ”($ар“ ^^а ^р SaP^O apdVp,

(4.19)

(4.19)

здесь

уб (0) (0) tap/у /6уб (0) (0) tap/у /6,(0) (0) /a Jp,(0) (0) /a Jp_ уб ПУП6 / татр \3/3 »а3Р= 6 ар = I ) Х_ уб ПУП6 / татр \3/3 »а3Р= 6 ар = I ) Хnanp \ m^m^nanp \ m^m^sy 5бsy 5б/су + е6~са~6р X ехр \ квТ/су + е6~са~6р X ехр \ квТ(4.20)(4.20)Аналогично для оператора (4.5) имеемАналогично для оператора (4.5) имеем/«^«рМ] = ^^(^в) - (Ьа + М^Г^^/«^«рМ] = ^^(^в) - (Ьа + М^Г^^(4.21)(4.21)Наконец,Наконец,(0) rM (0) _ ap (0/ (0)' ^^^T 'a " aPy ~U”b6V/ф(0) rM (0) _ ap (0/ (0)' ^^^T 'a " aPy ~U”b6V/фк3$6$фк3$6$фr 6<p^ aPy Xr 6<p^ aPy XX (ma mp mv)3 d^ d^ d^ d^,X (ma mp mv)3 d^ d^ d^ d^,(4.22)(4.22)(О) Гувф(О) 6ф(о) (0)^6Ф хо- ^«Р“ ^ар ~ ^ ^а ^р ”ар(О) Гувф(О) 6ф(о) (0)^6Ф хо- ^«Р“ ^ар ~ ^ ^а ^р ”арх (mT me тф)3 dvp dv^ dn^ d^.х (mT me тф)3 dvp dv^ dn^ d^.(4.23)(4.23)ЗдесьЗдесь^6»ф^_ / т6 тф \3 (0) (0) (0)(0)' (0)' =$а$р3у \ татрт? / р V6*^6»ф^_ / т6 тф \3 (0) (0) (0)(0)' (0)' =$а$р3у \ татрт? / р V6*= . “Pv _ 66ф ~= . “Pv _ 66ф ~папрп?/ т6тф й2 \з/2 $6 $фп6 пф ' та тр ту ^л кд Г / $а 4р $упапрп?/ т6тф й2 \з/2 $6 $фп6 пф ' та тр ту ^л кд Г / $а 4р $у

уб (0) (0) tap/у /6

уб (0) (0) tap/у /6

,(0) (0) /a Jp

,(0) (0) /a Jp

_ уб ПУП6 / татр \3/3 »а3Р

= 6 ар = I ) Х

_ уб ПУП6 / татр \3/3 »а3Р

= 6 ар = I ) Х

nanp \ m^m^

nanp \ m^m^

sy 5б

sy 5б

/су + е6~са~6р X ехр \ квТ

/су + е6~са~6р X ехр \ квТ

(4.20)

(4.20)

Аналогично для оператора (4.5) имеем

Аналогично для оператора (4.5) имеем

/«^«рМ] = ^^(^в) - (Ьа + М^Г^^

/«^«рМ] = ^^(^в) - (Ьа + М^Г^^

(4.21)

(4.21)

Наконец,

Наконец,

(0) rM (0) _ ap (0/ (0)' ^^^T 'a " aPy ~U”b6V/ф

(0) rM (0) _ ap (0/ (0)' ^^^T 'a " aPy ~U”b6V/ф

к3$6$ф

к3$6$ф

r 6<p

^ aPy X

r 6<p

^ aPy X

X (ma mp mv)3 d^ d^ d^ d^,

X (ma mp mv)3 d^ d^ d^ d^,

(4.22)

(4.22)

(О) Гувф(О) 6ф(о) (0)^6Ф х

о- ^«Р“ ^ар ~ ^ ^а ^р ”ар

(О) Гувф(О) 6ф(о) (0)^6Ф х

о- ^«Р“ ^ар ~ ^ ^а ^р ”ар

х (mT me тф)3 dvp dv^ dn^ d^.

х (mT me тф)3 dvp dv^ dn^ d^.

(4.23)

(4.23)

Здесь

Здесь

^6»ф^_ / т6 тф \3 (0) (0) (0)(0)' (0)' =

$а$р3у \ татрт? / р V6*

^6»ф^_ / т6 тф \3 (0) (0) (0)(0)' (0)' =

$а$р3у \ татрт? / р V6*

= . “Pv _ 66ф ~

= . “Pv _ 66ф ~

папрп?/ т6тф й2 \з/2 $6 $ф

п6 пф ' та тр ту ^л кд Г / $а 4р $у

папрп?/ т6тф й2 \з/2 $6 $ф

п6 пф ' та тр ту ^л кд Г / $а 4р $у

I ea+ep+eT-ee -еф \ Хехр— -(4.24)

\ квт I

ДЛЛОГИЧНО

X W а6 (та тр m^ dvp d^ dv6' dv^ ;(4.25)

h »6»<p

ff^W -^^Vi^h^h^ - (ha + hp)]/^/p0) x

(4.26)(4.26)X w т8ф (m? m6 тф)3 dvp dv^dvgd^- " ap

(4.26)

(4.26)

УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Реагирующая газовая смесь при отсутствии магнитного поля. Запишем уравнение (3.114), решение которого необходимо для замыкания уравнений переноса (3.111), следующим образом:

: V^-s41„(lV!„)V„.VlnT.-^-Va.d,.

И гх-

Я|МиыйЯ|Миый7.1] ^0) ?^ s(°i/2 (h,2p) dvp ■? л=£«[h(1)L(4-27)

Я|Миый

Я|Миый

оператор La [h] дается равенством:

a J

2Ц Г2

(4.28)(4.28)- Т"^/! (^а) 2 \ f^ Ip [h] ^\l2 W p) dvp.

(4.28)

(4.28)

3”p-1 J

Линеаризованный интеграл столкновений Za [h] имеет вид (4.4), а отдельные слагаемые (4.4) определены соотношениями (4.16), (4.18) (4.21), (4.25) и (4.26). Кроме того, согласно (4.7), (4.15), (4.17), (4.19), (4.22) и (4.23)

/а(0) ?а(0) =2_ Е z £уб _ 1) j /а(0) /р(о)5ар ^т6 ^ + 2 г Руб

I(l-6,"h)S /,”' /,(0>' ^х

4 г рубфЬ3565ф

х ^ ару (т« тР mY^ dvP ^У dv6 d^' +

+rz z (^Р6”-1) H^w$»x Г Рубф

X (тТ т6 тф)3 dvp dr'd^ dv^.(4.29)

Выберем теперь произвольный номер к (1 < к < ц). Вследствие (З.Пб) и

dk = - 2 dr

j*k

Используя такое представление dk, легко найти, что при всех а

d«= 2 (б«, - 6«k)d?(^

/ = 1 j* к

Таким образом, третий член левой части уравнения (4.27) приниМ18

196■

ВЯД: . V«- 5 ^«j - б^Ц. Компоненты величин d; (j * к), V In Г, лаj = 1

Vfo>a таКже последнее скалярное слагаемое левой части (4.27) линей- я0 независимы. Опираясь на результаты §3.4, мы допускаем сущест- лование единственного решения^1) уравнения (4.27), ортогонального в гильбертовом пространстве Н инвариантам упругих столкновений рд 10). Указанная ортогональность означает выполнение условий (3.195), а именно:

И^^^а”» (« = 1,2,..., Ц);(4.31а)

Ц

I j ^h^mpvpdv^ 0(4.316)

р.1

НГГдУ2о

2 I /p^V» -^- dvp = 0.(4.31в)

р-1

Из вида интегрального уравнения (4.27) и ограничений (4.31а)-(4.31в) вытекает, что, как и в книге [1, формула (4.2.37)],

^ е -Ва: Vv0 - Аа • Vin Т*п I С^. V ■ d, + ta.(4.32)

У = 1; *k

Подставим решение (4.32) в уравнение (4.27). Получим:

* 2W°a Wa =La [В];(4.33)

^^^Va-LJA];(4.34)

^(6aj- MVa=La[C0.M];(4.35)

1 Гц

(4.36)(4.36)V J f«№?^dva* — S^W^ Z 5/p(0) PpWslDdv^dvp -

(4.36)

(4.36)

Займемся сначала уравнением (4.33). Дополнительные условия д^ него согласно (4.31а)-(4.31в) и (4.32) записываются следующим разом:

и

Sf^M'a = 0> S i^BpmpTpdvp = О,

2 5ЯВр -^-^ = 0.(4.37)

₽ = 12

В дальнейшем будем считать, что оператор (4.4) является инвариант ным относительно вращений. Таким свойством должны, разумеется, обладать и все его составные части. Возьмем, например, 2па; [см. фор. мулу (4.18)]. В соответствии с (3.191)

doaj = °«j ^aj>в» »)sin6 dtdg.

Поскольку g*. = gaj) скалярная функция oaj может зависеть в рассматриваемой ситуации лишь от g1^ = g* 2aj- и ^ • g^- = g2^ cos 6. Следовательно, в изотропном случае oaj = oaj (goy, 6). Наиболее общий тензор второго ранга, который можно составить с помощью единственного вектора W„, есть

Ва = Wa Wa b W +10 (№а).(4.38а)

Написав уравнение (4.33) и дополнительные условия (4.37) в компонев* тах, легко усмотреть, что вектор-функция (Sp Ba} ^a = j оказывается ре* шением уравнения

Лх [SpB] = 0

при ограничениях

$/W sPBadva = о,

2 У ^SpBpmp VpdVp = 0, р = 1

11"В^в

2 S^SpBp—-—dvp = 0.,

(1-12

дои, как мы, в сущности, и предполагаем, решение полученной зада- ф существует и единственно, то должно быть

SpBa = 0(a = 1,2, ...,ц).

Лэ (4.38а) в то же время имеем

ЗрВ^^Ь^ + ЗРО^.

Таким образом,

Ва=^^аЬ(^2„)- I—Ь(№а).

Далее, как обычно, последний результат запишем в форме

Be= W^WaB^W2^.'(4.386)

Аналогично решение уравнения (4.34) с дополнительными условиями

и

' f f^ Аа dva = 0; S S у® Ар mp vp dvp = 0; 9 = 1 P

^mB ^B

I S/%Ap —dvp = 0(4.39)

p-12

(« = 1,2, ...,p)

•Члшимает вид

= MaAaW2tt\(4.40)

Рвение же уравнения (4.35) с ограничениями

t КО) гУ»кЪ_ _п. у Г,(0)^,0,k)m . _п

’ ' a 4i “Ta ~ ", Z I /р Су mp Vp dvp - 0, P=1J

P*jA

^•1,2,..., p; j= 1,2,..., к - 1, к + 1ц)(4.41)

(4.42)(4.42)есть

(4.42)

(4.42)

Наконец, функция ^ (W2a) является скаляром, а дополнительные ус. ловия для уравнения (4.36) записываются, очевидно, так:

$ /0)а (х <^а = О, Д 5 /0)р ^ mp Vp dvp = 0,

(4.43)

(4.44)(4.44)Рассмотрим вместо (4.34) более простое уравнение: ^ (^a)Va -£» [А].

(4.44)

(4.44)

Заметим, что всякий вектор {А^^ типа (4.40) автоматически удовлетворяет первому условию (4.39), поскольку

$ f№ Аа dva -$ f№ Аа dva -"a Г "^

$ f№ Аа dva -

$ f№ Аа dva -

« W«Aa(^)dWa = 0.

л3/2 J“

Одновременно второе условие сводится к равенству

(4.45)(4.45)и

(4.45)

(4.45)

1 5/®Артр Vpdvp = 0.

3 = 1 р

Если же (4.45) имеет место, то, как легко видеть, справедливо и пос леднее соотношение (4.39). Результаты §3.4 позволяют допустить, 410 существует единственное решение уравнения (4.44), ортогональное ДО вариантам всех неупругих столкновений (тех, которые вносят вклад® операторы Ха). Указанные инварианты, как и инварианты упрУ1^ столкновений (3.110), включают вектор импульсов (n?p Vp^ 1 и неК(Г торые скалярные по Vp величины (например, вектор масс чаС^ {твР ). Ясно, таким образом, что для получения упомянутого Ре№ ния уравнения (4.44) следует потребовать выполнения единствен^ ограничения (4.45). При этом построенная вектор-функция ока#

^тональной и всем инвариантам упругих столкновений. Подставим щйденное решение в уравнение (4.34). Будем иметь

sg W va=sg ^ Va - — И® s® (W^ va dva -

-Vs™ lky 1 $ ^^ w^v'yS^v p = 1

Интегралы в правой части последнего равенства тождественно равно нулю. Следовательно, решение уравнения (4.34) с дополнительными условиями (4.39) сводится к решению задачи (4.44), (4.45).

Аналогично вместо уравнения (4.35) при ограничениях (4.41) достаточно рассмотреть уравнение

• 7- ^ ~ 6ak)V« = Z« tC°’ k)L(4-4<9

"a

потребовав, чтобы

и

Е S №’*> mpVp£/vp = 0.(4.47)

Наконец, система интегральных уравнений (4.33) также заменяется на менее сложную по структуре систему:

-2W°Wa = ^„[В].(4.48)

Дополнительные условия для решения вида (4.386) отсутствуют при

иом вовсе. В самом деле, например,

Vf?M»VaBa(W^dVa-bI,

^ b - постоянная. Взяв же от обеих частей последнего равенства ‘®йур, найдем, что ЗЬ = 0. Далее,

■ ^ W” Wp Bp (№₽) mp Vp dVp = 0

* **** нечетности подынтегральной функции. Последующие рассужде- ^ Уже очевидны.

' ^Существует отличная от (4.32) и в некотором отношении более

Удобная форма представления h^ [85]. Положим

Ра р da=d*a~—- S d*, p /-1

где {d*j} P-t - линейно независимы. Тогда

Рассмотрим интегральное уравнение

—Va. 2na . .—Va. 2na . .

—Va. 2

na . .

—Va. 2

na . .

с дополнительными условиями типа (4.31а)-(4.31в). По аналогии с изложенным выше заключаем, что г = {ra}P s 1 определяется единсг венным образом, причем

ra-nWa.£ tfJWj. i-i 01

Здесь функции £Х (^j удовлетворяют системам уравнений

1 /Ра \

Т~ К * Т* v« -L« t°'wl 0 = ^ 2’ •••«^<4Л9)

"а \Р /

и требованиям ортогональности инвариантам упругих столкновений Умножим уравнение (4.49) на Р,/Р и просуммируем по / от единицы до р. Получим:

^а^аРJ-1РJ-1Pj — D^Pj — D^= 0= 0(а = 1,2р).(а = 1,2р).

^а

^а

Р

J-1

Р

J-1

Pj — D^

Pj — D^

= 0

= 0

(а = 1,2р).

(а = 1,2р).

и pj

По смыслу Z — У W является единственным решением последней /=1 Р

системы, ортогональным инвариантам упругих столкновений (3.HW’ Но очевидно, что такое решение есть просто нулевой вектор. Следов»' тельно,

(4.50)(4.50)и р/ E—D' (W2a)-0.

(4.50)

(4.50)

j-1 р a 202

^А"^ 2 Di^f,I j-1^А"^ 2 Di^f,I j-15 результате

^А"^ 2 Di^f,I j-1

^А"^ 2 Di^f,I j-1

X J^ d*- -L Z;=1\ и k = l

hG)=-^; Vid - Aa-VlnT + n 2 D'W9 M ♦ tr (4.51)

Отметим еще, что вместо (4.49) можно использовать уравнения

1 /₽а \.

(4.52)(4.52)(4.53а)(4.53а)— Ч-V ^aP' И 0 = 1,2,..., и).

(4.52)

(4.52)

(4.53а)

(4.53а)

"a \Р /

Дополнительные условия здесь имеют вид

ц

2 Sf®DUW$Msm^d^ = 0.

р-1 р р

Итак, полный оператор / ® L„ (а не линеаризованный интеграл a

столкновений / ^V^ необходим лишь для вычисления скалярной составляющей ta функции Ь^[она должна определяться из уравнения Wt36)]. Мы можем только немного упростить дополнительные условия (М3). Очевидно, они сводятся к требованиям

Цт» У2

J Аа dia = 0; 2 J /№ to dvo = 0.(4.536)

“3 = 1 p 2 p

4«2J. Учет магнитного поля. В качестве обобщения рассмотрим вместо уравнения (4.27) аналогичное уравнение, но с оператором <3-145) (см. п. 3.3.5):'

^ м - 2. И - — (V,X!H)._IL- -—. (I ИХ® -

12й

* 7Х ^ Z« И ^а5$ W 2 5 /<% W S« (й^) *р.

(4.54)(4.54)'*р = 1

(4.54)

(4.54)

В выражении (4.54) согласно (3.91) и (3.92)

(4.5$)(4.5$)и JN^z^S^hpVp^p

(4.5$)

(4.5$)

(в однотемпературной односкоростной ситуации, как уже указывалось, верхний индекс / - номер группы компонентов - в упомянутых фор. мулах опускается, а суммирование распространяется на все а от еди- ницы до ц). Отметим также, что система гидродинамических уравнений, замыкаемая при помощи уравнения (4.27) с оператором (4.54), по- прежнему имеет вид (3.111). Не изменяются и дополнительные условия (4.31а)-(4.31b).

Функция h^ вновь представляется суммой линейно независимых членов:

и

^-Bg^ij-Ae.Vhr + n Z D<.d,^.(4.56)

, = 1 а

Тензоры Ва следует находить из системы (4.33) с дополнительными условиями (4.37), векторы А« - из системы (4.34) с ограничениями (4.39), векторы 1Уа - из систем (4.52) при условиях

f? Di dv« = °; 2 5 ^ Ч •’Пр Vp d^ = 0;

“т8 го 2

р-1 Р Р 2 Р

Наконец, скаляры ta определяются уравнениями (4.36) и требованиям* (4.43) [напомним, что оператор La сейчас надо брать в форме (4.54))- Выпишем систему уравнений для вектора Аа:

еаЭ

WV«^«[A]- —(VaxH) —А«-

mava "1

• S epS /® (VpxH) Ар dvpS ^£а [a] dva -

k₽Tpc p = 1P"a

^~ Sm ^a) 2 S f^ Zp [A] S« (№p) dvp (a = 1,2,..., H). (4.57) 3n 1/2p = 1 P1/2

решение уравнений (4.57) так же, как в [85, гл. 14], можно искать в виде

, - А^ Va + A^Va х Н + 4^ (Va . Н) Н.(4.58)

Скалярные функции A W (v = 1, 2, 3) должны зависеть при этом только от истинных скаляров V2a, Я2 и (Va • Н)2. Далее,используя вытекающие из представления (4.58) равенства

(V„xH) • -^- Ад = A^tt ХН+А^ [(V. . Н) Н - Я8 VJ;

Va- 2 ep S № (VpxH)Apdi^ = y. P-1

1 и1

-(YaxH) Z ер S/^p- — (Yp-Hp A^dv^

1♦—21♦—2p = lИV№Va-^a.H)HA E C| p = lp = lИV№Va-^a.H)HA E C| p = l-^VV^V^ A^<hrt-^VV^V^ A^<hrtrP’rP’

1

♦—2

1

♦—2

p = l

И

V№Va-^a.H)HA E C| p = l

p = l

И

V№Va-^a.H)HA E C| p = l

-^VV^V^ A^<hrt

-^VV^V^ A^<hrt

rP’

rP’

^ можем, следуя [85], разбить систему (4.57) на три связанных ^с^емы:

Хе[А(1)]+ — macИХе[А(1)]+ — macИma

Хе[А(1)]+ — mac

И

Хе[А(1)]+ — mac

И

аЮ Н»Ча- ——н2 V- X

a “ 2квТрс a

Хв2 еР ^ /? ^Р-— (VP-H)2 A^di^-р *1 м рIPр н

*^ $ ^ Z« [A(1)J *« " 77 S(l}2 ^"a) Х

xz j /ГО ^(jAtoJsto^W^d^(4.59a)

P-1 eama

£a (A<2>]Ad) VaxH +(VaxH)x

ХД^;:1»у-№,1№^-

s® №aV<

x 2 №r [A(2)JsW (k»p) dvo = 0;(4.596)

0-1

<■(Va.H)HZ ^S/W^p- 2к0ГлсB-l P

-^-(vg Ш-меь,, -—I ^ta !*<»>]*„ -

~ ЗГ Sl/2 ^«^ J Z0)ZP [A(3>1 Sl/2 (R°₽4 =°;(4-59B)

A^Ad^; A^A^ax H; А^3) - A^(ya -H)H.

Далее вводим

HAW = Am* H2A^;

HA№ = A(lUiHA^\C4*601

a a a

Умножив скалярно уравнения (4.59а) и (4.59в) на Н и сложив резУ^ 206

jgjH, найдем систему уравнений для вектора ЯА^“ Ну^ V«:

2Ц

З^. W 2 I /W-CppAWlsW^dVp- 3n 1/2 р = 1₽1/2

•S^ WVa.(4.61)

3/2

Умножая затем (4.59а) векторно на Н, а (4.596) на iH и складывая полу- денные уравнения, приходим к следующей системе уравнений для комплексного вектора ЯА^ НА® Va:

тас a 2кдГрс

и1

х* ер 5 /(”^р-^-(Vp .н№^)*р-

"a3n 1/2

Xh^W£(^ (fV3a)Va. (4.62)

Легко видеть, что требования (4.39) для векторов (4.58) сводятся к Единственному равенству

2 I/ytAWVp + A(2)VpXH +

*^Wp.H)H]mpVpdVp=O.

компонентах оно имеет вид

А **тР ^Р

Mi Р Р з ₽

^не z 5 №л® Ц-!- dv6 +

s-i ’ "3

Цmo V2»

*н,нт z 5 /^А^ —dVp = 0.

P = 1 p p 3

Направим ось аппликат по Н. Тогда Я( = 6|3 Н. При / = m = 1 получаем

(4.63а)(4.63а)11mo V^o

(4.63а)

(4.63а)

0=1 р р 3

При i = 1, т = 2 оказывается

то

z I/W-V-dVg-O.(4.4

0 = 1 р р 3

Наконец, при i = т = 3 с помощью1 (4.63а) находим

^тв ^в

(4.634(4.6341 Итлт-p-dVe-o.

(4.634

(4.634

Теперь, очевидно,

U „ ,. тр^рД! /ф^-у—U „ ,. тр^рД! /ф^-у—dVp = OdVp = O(s- 1,2).(s- 1,2).(4.64)(4.64)

U „ ,. тр^р

Д! /ф^-у—

U „ ,. тр^р

Д! /ф^-у—

dVp = O

dVp = O

(s- 1,2).

(s- 1,2).

(4.64)

(4.64)

Как легко понять, условие (4.45) имеет аналогичный вид [точнее, оно сводится к (4.63а) с заменой Л W на Лр vmp/2kBTJ.

Решение интегрального уравнения (4.61) записывается в фор*#

^^ HAW(IV2a)Va.(4.^

Вместо (4.61) опять-таки можно рассмотреть более простое уравнен^

^„[^"««(^Уа.(4-656*

Кроме того, вследствие изотропности оператора I a решение урае1*®" ний (4.62) не зависит от (Va -Н)2. Следовательно, и

НА(2)= ^(2)(IV2a)Va.(4.^

Наконец, от (4.62) переходим к уравнению

jCe[*A<2)|-iH— НА(2) + тас “

ma И

+.ЯV„ 2 ер $ f^VV2р-

2kB7t>c р = 1 Р Р

-"(Vp-н)2] Wd^-sW (^Vr(4.666)

Определив НА^ (s = 1, 2), вектор-функцию {Аа}^=1 получаем по формуле (4.58), в которой согласно (4.60)

А (0= Re "А Р); А <2> =—Im я4 <2); аа а н а

А (3) = -L (НА (1)_ Re НА (2))(4.66в)

а Я2 а« '

Вычисление вектор-функций {D^} £ = р входящих в выражение (4.56), производится аналогично. Соответствующие уравнения легко выписать, сравнивая, например, (4.44) и (4.52). Для нахождения же тензоров (Ва}^ = 1 можно воспользоваться методом,рассмотренным в [85, гл. 14]. Остановимся здесь лишь на процедуре определения скатных членов {г„р . Поскольку, очевидно, t„ зависит от №

“(Va-HP,

°Юода

^Лее из-за нечетности подынтегральной функции имеем

j/WtpV^p-o-

Таким образом, оператор (4.54) при действии на {L}1* . сводится и оператору (4.28). Значит, мы снова имеем уравнение (4.36). Дополнительные условия вновь принимают вид (4.536). Так как магнитное поле не входит ни в (4.36), ни в (4.536), то ta = ta (V2^.

УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

При записи уравнений Навье-Стокса (3.108) в правой части мы опустили член Ф^ s (djT/dt^. Для макропараметров (3.73) (OjT/dr^ дается формулами (3.89), в которых / = 1. В однотемпературном односкоростном случае (д^о/ЭДд = 0; согласно же (3.159) и (3.160)

Далее рассмотрим нейтральный газ с бимолекулярными реакциями (3.1). Тогда

з / ^ т \ к

—кв п — = - 2 ео Х(1) -(4-67б>

2 В \ at А „ . Р-^АР

'/ р = 1

Таким образом, к правой части первого уравнения (3.111) прибавля-

и

ется ^^a> а из правой части последнего вычитается Е epTl ^.

р = 1 Р

Как следует из (3.159),

Уравнение для функции h® - уравнение (3.53) при к = 2 - имеет виЛ

««>- r«[h<2>J (a = 1,2,...,ц).(4-^

я,(1) afg• drя,(1) afg• dr9/ а9/ а♦ 7Ф(0):—+ уа.d(VD а dr♦ 7Ф(0):—+ уа.d(VD а drd/i)^gd/i)^g(4.72)(4.72)

я,(1) afg

• dr

я,(1) afg

• dr

9/ а

9/ а

♦ 7Ф(0):—+ уа.

d(VD а dr

♦ 7Ф(0):—+ уа.

d(VD а dr

d/i)

^g

d/i)

^g

(4.72)

(4.72)

дось оператор La совпадает с оператором интегрального уравне- „,(3.114):

i„[M»l-z.[h<»]--2- 1/ОТхе[/><»]А„-■

па а

- ^"s(l/2 W 2 5 f^ 1» [h<2)] 3% (№p) d^.(4.70)

P=1

функция первого приближения [см. (3.42)]

(4.71)(4.71)/d)=f(O) h(D, 'а а а

(4.71)

(4.71)

где/(°)~ максвелловская функция (3.122); h^ определяется формулой « а

(4Л2), в которой векторы dj заданы соотношением (3.100). Легко видеть, что/W зависит только от макропараметров Г и их пространственных градиентов Vf. Поэтому из (3.54) при к = 2 имеем

о <°)

/(0) od) = ф(1) • ' а 6 а N/(0) od) = ф(1) • ' а 6 а N——+ ф(0): dr

/(0) od) = ф(1) • ' а 6 а N

/(0) od) = ф(1) • ' а 6 а N

Необходимо отметить, что в общем случае представление (3.34) строго справедливо лишь в нулевом приближении [/(°) = fW (у„/Г)].

а а

Уже в первом приближении fW = /<О (уа/Г, 7Г; [Ер] и), так как d; зави- 081 от внешних сил, действующих на частицы. Таким образом (ср. с ^•Логичным результатом § 3.2),'

9Fp9t9Fp9tа$а » 9fa du d/a

9Fp

9t

9Fp

9t

■Т~= Е :VW Г + 2

s=09(v($)r) dt р = 1 9Fp

^•зумеется, характерные масштабы временного и пространственного Мнения {Ер} ^ -1 должны быть гидродинамическими [порядка iL ^^(см. п. 3.2.1)]. Более того, эти масштабы могут, в частности, опре-

делять макроскопические времена и длины. Далее предполагается, чт {Fp} •* _ постоянны.

Процедура вычисления функции ^ по формуле (4.72) является весьма длительной, так что ниже будет приведен сразу конечный результат. Сделаем предварительно лишь следующее замечание. Пользуясь отсутствием неупругих столкновений, отличных от реакций (3.1), с помощью соотношений (4.4) и (4.5) напишем:

(4.73)

Здесь «£& [h] совпадает с самосопряженным оператором работ [74, 76):

f(0)l$ [h]=S— £ $ 1_ (£?6 /(0)'/(0)# +

а “ г 2 ₽Тв 2 «Р V 8

*f^ f®) (Ц + hg - ha - hp) gap ^ dVp.(4.74)

Одновременно

- Ax^p) (hy + h'b + ha + hp)gapdovsp d¥p = O(e).(4.75)

Упругие столкновения рассматриваются как частный случай реакций (3.1); справедливость представления (4.73) может быть установлена посредством приемов преобразования из п. 3.2.1 [см. формулы (3.14)* (3.16)]. Оценка (4.75) вытекает из равенства (3.33), согласно которому

К^Т 2 ^R ^’^ - о (еха).

а 2 рт6 ар

Поскольку, однако, алгоритм обобщенного метода Энскога строите* (см. § 3.2) при Х^ = Xa = 1 не 1, отсюда имеем [см. также (3-4)J 41 s «?в/“/^'-/‘"’/^i^^^-oie).

^ по смыслу введения формального параметра с,

с j ^Л?'-^J /(р = 0 (е)-(4-76)

^прпствие соотношений (4.73) и (4.75) оказывается, что

(r,^[h]) = (^feLh)+O(e).(4.77)

Используя результат (4.77), можно выделить из Я-^ некоторые члены я затем отбросить их. Это правомерно по следующей причине. Уточненные уравнения переноса (3.108) [см. (3.37) и (3.50)], если сохранить t,выглядят так:

(4.78)(4.78)~ = ф(0) + е (ф(1) + Ф(1)) + о (е2).

(4.78)

(4.78)

8tNA

В рассматриваемом случае согласно (4.67а), (4.676) Ф^ линейно вы- А

ражаются через Р^ } £ _ ^ Таким образом, входящие в (4.68) слагаемые вида О (е) порождают в правых частях уравнений (4.78) члены одного порядка с величинами, определяющими точность приближения Навье-Стокса. В его рамках мы имеем право либо сохранить, либо опустить эти члены. Разумеется, в следующем (барнеттовском) приближении пренебрегать ими нельзя в принципе. После отбрасывания упомянутых величин вектор-функцию h® удается представить в форме

М2) = ф + .„,(4.79а)

причем (с точностью до членов порядка е)

Ча^^^а.(4.796)

где

Чф]-^.(4.80)

Уравнение (4.80) заменяет (4.69); его правая часть удовлетворяет ^ходимым условиям разрешимости и имеет вид

^S* =2| — ^„-^-(/WBJ + а и “ dw2^ a a/

12

+^ /ОТ BJ Vv0 :S + — /Ю S(l) (№а)Vv0: KD.

Jl*зр (Л 1/*

f / 3\

1-W» -L-3 а 8waa1-W» -L-3 а 8waa(f^A^+fWA- 4lnT*а а(f^A^+fWA- 4lnT*а а

1-W» -L-3 а 8waa

1-W» -L-3 а 8waa

(f^A^+fWA- 4lnT*

а а

(f^A^+fWA- 4lnT*

а а

+ п 2 h+ п 2 h• F,• F,— №а — (/•(«) eV*. kb + /(0)C № *> dj.3 aw2a a a a a л)— №а — (/•(«) eV*. kb + /(0)C № *> dj.3 aw2a a a a a л)2kBT V»-^ — {- [Tl/2 (V . V^Aa T-V2 V In T))^2kBT V»-^ — {- [Tl/2 (V . V^Aa T-V2 V In T))^-^«-г^)^1"^*+ S [J1/2 (V . (/(0) „C(h, к) p-1/2 dh)) _- ^« 1^- ^ C^ntVlnD.d,,])*-^«-г^)^1"^*+ S [J1/2 (V . (/(0) „C(h, к) p-1/2 dh)) _- ^« 1^- ^ C^ntVlnD.d,,])*

+ п 2 h

+ п 2 h

• F,

• F,

— №а — (/•(«) eV*. kb + /(0)C № *> dj.

3 aw2a a a a a л)

— №а — (/•(«) eV*. kb + /(0)C № *> dj.

3 aw2a a a a a л)

2kBT V»

-^ — {- [Tl/2 (V . V^Aa T-V2 V In T))^

2kBT V»

-^ — {- [Tl/2 (V . V^Aa T-V2 V In T))^

-^«-г^)^1"^*

+ S [J1/2 (V . (/(0) „C(h, к) p-1/2 dh)) _

- ^« 1^- ^ C^ntVlnD.d,,])*

-^«-г^)^1"^*

+ S [J1/2 (V . (/(0) „C(h, к) p-1/2 dh)) _

- ^« 1^- ^ C^ntVlnD.d,,])*

+ {/(0) 1 Vd) + — $0)) У17 а гЛа Зр 4/2 ' а\+ {/(0) 1 Vd) + — $0)) У17 а гЛа Зр 4/2 ' а\аа88в "4в "4

+ {/(0) 1 Vd) + — $0)) У

17 а гЛа Зр 4/2 ' а\

+ {/(0) 1 Vd) + — $0)) У

17 а гЛа Зр 4/2 ' а\

а

а

8

8

в "4

в "4

-4 ^5R« I®'f«'^-1 рчб<-4 ^5R« I®'f«'^-1 рчб<

-4 ^5R« I®'f«'^-1 рчб<

-4 ^5R« I®'f«'^-1 рчб<

- /*/®zaB] ec^’pd-e)- /*/®zaB] ec^’pd-e)"г М^,"г М^,->*“«—(/«U^n* 2 РФ-- V ' (пр т0) ] ~ <Л) - Ьо • V In T +->*“«—(/«U^n* 2 РФ-- V ' (пр т0) ] ~ <Л) - Ьо • V In T ++—v .to+^- z (-^-Utyx3n3n р = 1\кдТ ] PXII-J ar V® (.))„._- ^w;^® '-)!■+—v .to+^- z (-^-Utyx3n3n р = 1\кдТ ] PXII-J ar V® (.))„._- ^w;^® '-)!■(4.81)(4.81)Здесь S - тензор сдвига с компонентамиЗдесь S - тензор сдвига с компонентами(4.82)(4.82)

- /*/®zaB] ec^’pd-e)

- /*/®zaB] ec^’pd-e)

"г М^,

"г М^,

->*“«—(/«U^n* 2 РФ-

- V ' (пр т0) ] ~ <Л) - Ьо • V In T +

->*“«—(/«U^n* 2 РФ-

- V ' (пр т0) ] ~ <Л) - Ьо • V In T +

+—v .to+^- z (-^-Utyx3n3n р = 1\кдТ ] P

XII-J ar V® (.))„._- ^w;^® '-)!■

+—v .to+^- z (-^-Utyx3n3n р = 1\кдТ ] P

XII-J ar V® (.))„._- ^w;^® '-)!■

(4.81)

(4.81)

Здесь S - тензор сдвига с компонентами

Здесь S - тензор сдвига с компонентами

(4.82)

(4.82)

^ = f«^+y (Wa°Wa:W»Wp)BaBp(S :S) +

*7-(W«-Wp)(n 2 C^k)dh-AttV In 7)- 3h a

(4.83)(4.83)•(n Z C(h,k)dh - ApVlnT);

(4.83)

(4.83)

X§a = z — l 5 K* f^f^z'^ - Na r 2 pv8 a₽ v '6?6

^ обычно, (VH) 2 = IH\ есть производная по г, вычисляемая a \ dr /

Постоянном W2a [величина W2a = ma ^/(2^ Г) считается завися-

^8 от г только через температуру Г], и г.п.

Решение уравнения (4.80), ортогональное инвариантам упруГИх столкновений, существует и единственно» Очевидно, ^ = ^ (ty2) Следовательно, и

(4.85)(4.85)Фа = Ф« ОЛ)-

(4.85)

(4.85)

В результате дополнительные условия, которым должна удовлетворять вектор-функция ф, имеют вид (4.536):

5 f^VadVa-O (а = 1,2,..., ц);

тВ ^в

(4.86)(4.86)I I /(;> ^-г2-^ - 0.

(4.86)

(4.86)

₽ = 1 р 2

4.4. ПОЛИНОМЫ СОНИНА. СКОБОЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Случай неионизованного газа. Для аппроксимации решении интегральных уравнений обобщенного метода Энскога, содержащих несамосопряженные (несимметричные) операторы, может быть использован известный метод Бубнова-Галеркина (см., например, [41]). В качестве пробных функций возьмем такие же, как в задачах с самосопряженными операторами, конечные линейные комбинации полиномов Сонина, помноженные на тензорные функции от скорости [1]. Заметим, что в симметричном случае данный подход дает для коэффициентов разложений те же уравнения, что и вариационный метод Ритца.

Обратимся сначала к интегральным уравнениям (4.44), (4.46), (4.48) и (4.36). Эти уравнения, следуя [1], запишем единым образом:

Я^) = f^ [^ fc)] (a = 1, 2,..., ц).(4.87)

Здесь T^'k) = {T^1’ k^) ^ = x, а возможный вид функций R^1’ k\ T^’ * и оператора La содержится в табл. 4.1.

Представим функции Г^*к^ в форме

(4.88)(4.88)5

(4.88)

(4.88)

9 = 0

Таблица 4.1. Свободные члены, искомые вектор-функции и операторы уравнения (4.87)

"д(Ь. к)

r(h,k)

^a

*a

^a

c<p)

£a

®a

^a

UUTlqi

fa

La

+ ^ SV2 ^ Rz ; /(F(? ^Р/г (^> dTP]

гдейолиномы Сонина

q

(4.89)(4.89)^- z — ” к = 0 (Q-*)!*!Г(п + к + 1)

(4.89)

(4.89)

t *0,1,2.... Для любых индексов п, в частности, ^(х)-!, S^x) = п + 1 - х,

42), х (п + 1) (п + 2), х х2, х

V W =5(л + 2) х + —.(4.90)

^^омы (4.89) являются коэффициентами разложения по степеням s ^Дующей производящей функции:

44.91)44.91)(1-$)-п lexpf—) = Z S^ (х)^. \ 1-5 I р = 0 ”

44.91)

44.91)

Если р * q, то

U"xx"S^4x^Wx = 0.(4i92i)

Нормировка полиномов Сонина такова, что

Г е~х х" [^ (х)]2 dx = Z^lLLlL.(4.926)

Ор!

Возможные значения индекса этих полиномов, входящих в раз- ложение (4.88), а также явные представления тензоров wa сведены в табл. 4.2. [Столбец wa заполнен в соответствии с формулами (4.40), (4.42) и (4.386).]

Образуем теперь бискалярные произведения, умножив левую i правую части уравнения (4.87) на wa ^ (W^), а затем проинтегрируем уравнение почленно по всем va. Обозначим

r№, k)- $я<*« ; w s^ W dV(4.93)

Выражения для величин R^> к\ отвечающих первым трем строкам табл. 4.1 и 4.2, могут быть получены без труда, если воспользоваться соотношением ортогональности (4.92а) и условием нормировки (4.926). Эти выражения приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.2. Индексы полиномов Сонина, тензорные функции и коэффициенты разложений (4.88)

Г№, к) 1 а

п

"а

f№, к) «g

^а

3/2

wa

°aq

С№, к) а

3/2

wa

®а

5/2

baq

^а

1/2

1

fag

Таблица 4.3 Итоговые формулы для интегралов (4.93)

°ap

15 /

4 na * 2 кв T/ma 6 pi

3

2 V^ kg T/m^ (6 a^ — 6 a^) 6pQ

bap

~5 na6pQ

Далее легко видеть, что после подстановки в формулу (4.16) вмес- roifoj ц = j линейных комбинаций (4.88) оказывается

*-Е(/д^ [wa S^ (W1 a), wa S^ (Wa)S. Пд П/ +

9*0

t ^k)[^ S^ (h^), w, S® (h^)] * n« n}.(4.94)

Здесь введены скобочные выражения

'H[7>G]£ =-^ ^a^j $ ^ЙЦ ff^ ^ :(G-G)-

3 I 3gma 9c \ /a0)//0)

"6’ 9’a \ a’amj a'j I 8aj '

к к—Г^ ^о

(4.95)(4.95): S dk—^ 6 (к ■&,){ | е (к,к-т;)|’2 - (1 - е )}

(4.95)

(4.95)

[в правой части (4.95) 7 свертывается с G, а производные по скород тям - с диадами b b и к к]. Классические скобочные интегралы [36,8$ 86], связанные с парными упругими столкновениями нейтральных частиц, получаются из величин (4.95) как частный случай при е^ е;- = ц.

п« nj [f, G]^--SdiadVjS doaj f^ ^ 7 : ^G- G) (4.96»)

(мы учли равенство db^ doaj). Аналогично и ^. [h] переходит, если ба в, = 0, в оператор ^ [h], определенный соотношением (4.18). Таким образом,

= - £ (Ak) [w^^ahwaS^^JP ^n,+

+ й k> ^ S(„P) ГО\Wj S^ (К^Га,- п» n,}.(4.966)

Наконец, с помощью (4.94) и (4.966) находим, что

^a S^ ГО : (J ] f? Lttj ['^ k)D dva =

= - s z o^’q^el Hh’k^(4-^

q = o 3 = 1 “P Рч ’,

где

Q^el = 2 nan, {6ap [w^>, «О») ]a/ + 6zp [W0>>, wto)]a/}.(4-9Sl

В выражении (4.98) обозначено,

eW-waS^ (W2a) (a = 1,2,..., ц; p = 0,1,..., 0.(4.99)

« n

jjjiB ea ei * 0 (Ад, A, - заряженные компоненты), входящие в (4.98) скобочные интегралы рассчитываются по формуле (4.95). Если же заряд ^ бы одной из взаимодействующих частиц равен нулю, скобочные 1дегралы определяются обычным образом, т.е. в виде (4.96а).

1 г

Перейдем к членам -т— 2 ^v6 [h], которые также содержат ли- ■W ap

имфизованный интеграл столкновений (4.4). Возьмем в качестве h вектор-функцию (4.88) и вычислим

'IdTglVaS^ (№a) :-у- 2 /а(0) ^ [г(М)] =

’2 Руб «Р 1

•Д^^ w4 S^ (w'$ + t^ W6 S^ (w'D- 1 Пr 0 4П

"4(0) f^ W S^ (h^a): (^ k^ wa S^ (k^a) +

SW(^))) - z у Zs») (H-„),

q = 0 руб

Ц S^ ^^ )] ^ - f ^ M [Wa S^ W, w^ S^ (!Vl )]«» -

't№,8 [w« ^ №.^s^n o^pB^p }=

'Vo^pV2^^1"'"^" (^2)’^^)(^)1ГОТ6 +

♦A« ^«^n^’^^n ^“^J +

+ ^ g [wa S^ (W2a), wp Sto) (1ф] ^ }.

По ходу преобразований мы воспользовались принципом микроск» пической обратимости (3.6), переставили, где необходимо, прямые g обратные столкновения, а также учли, что индексы у и 6 являются немыми. Скобочные интегралы, связанные с бимолекулярными реакциями (3.1), согласно [1] имеют вид

^■Sasdo’1, d»„ d»6 U-i,M,H(4.1И)

Здесь Ht и Hj - тензорные функции собственных скоростей молекул одинакового ранга, двоеточие обозначает свертывание по всем тензорным индексам. Знак плюс ставится, когда А, и А^ одновременно оказываются исходными частицами в реакции (3.1) (или ее продуктами). В противном случае ставится минус. Полученный результат позволяет после переобозначений индексов установить, что

5 wa ^ (К^): {у I 2 ^ 1^ [^ k)]} dv„ =

Г Рубр

= -2 2 (Qp’jlW №(4.101)

,-ор-1 “Р 2^2 Р’

где

г П6

+ 6<$ [U((P), o(q)]ГУб; + 2б?р [G)((p)/ ^^1] raz,.(4.1<m

Займемся, наконец, теми составными частями линеаризовав^ интеграла столкновений (4.4), которые обязаны своим происхоМЛ^

^реакциям (3,67а)-(3.676). Операторы/°^ £гв^ (М и /°) ^р78’^] лун этом удобно выписать сразу в виде (4.25) и (4.26) соответственно, цдломним, что по смыслу

^Ф (mv m6 ^ 3 dS d¥6 dv» 5 gap d °$*>(4Л03)

ГД8 fcp ~ относительная скорость молекул Ар и Аа перед столкнове- яем (3.676), a do *^ф - дифференциальное эффективное сечение данного столкновения. Кроме того, выполняется принцип микроско- пической обратимости:

w'y,-^«’.О<4104>

Преобразуем с помощью соотношений (4.104) и (4.103) величину

^a"aS<P)(IV3a):l- £ f(°)£6» [T^b пРубф a apv

- X Т Е {^>М [^ 5<Р)(^2),

wt S^ (W=)] ra₽v + t <h- fc) [w' S<p) (w'2), ’ n ' »,J аф фд “ n “

w»sto4w2x)] r<xPv +

v n 0 6ф

+ Ут (Йк)М 5^Н<2Ы5^Чм№а»;и

+$ k> H S<₽) (IV'2), и-р'S^ (bp'2)] r«^ +

^гично

S dva wa S^ W: f 2 ^ X^ [T(h, k)] =

6 Ртбф p

- z — z (^Mi^st.)^

q = 0 рубф P

wa s^^2)]^^ + ^,k)[w; sto4w^,was^ Wl^jj +

+ ^. k> [w' S ^ (1ф, wa S(P) (R*)]'У8Ф ) +

+ $k) [waS<’) (W^.w^Wj]^^ +

+ $ k) [wp sh) (h,2}) „^Wa)]^ }.

Выше мы ввели следующие скобочные выражения, связанные со столкновениями (3.67а)-(3.676):

[Н(,НЩ6*-± S

: Hj &р do У d va dvp (i, j = a, p, ?,6, Ф).(4.1<ti

В формуле (4.105), как и в (4.100), подразумевается, что Н, и Ну - ^ зорные функции одинакового ранга; плюс ставится, если А, и Aj * ^ хоцные частицы или продукты реакции (3.676) (в противном слу#с ставится минус). Наконец, совершив простое переименование нем^ индексов, можно получить равенства

5 waS(P) W: Н-Х Е /W £И [т(М)^а =

Е= - Zq = 0Е= - Zq = 02 ^‘^2^’к);3 = 1 аР2 ^‘^2^’к);3 = 1 аР(4.И61(4.И61

Е

= - Z

q = 0

Е

= - Z

q = 0

2 ^‘^2^’к);

3 = 1 аР

2 ^‘^2^’к);

3 = 1 аР

(4.И61

(4.И61

JwaS^ №=5 Г 2 2 /^У [^Ndva =”( 6 г Р?6ф)

.-ZE «М^М(4Л0?)

q = 0 p = l apИ

Здесь

-Г 2 2 [26 [a) (p), u tov»h + 4 r /убф op “66<p

*V*h M^',^'] ra^+

+ 26» [иra,v)}:(4.108)

Ф а lбф

(Q^)^ = — E Z {З^бф 6 [U(<?)' ы (₽)] Пбф +

«Р2 J 6, e a/v a al

г /7бф

* 6aBrV6V + б» [a)(4), Ы (p)J Г^Ф}.(4.109)

p “ a 1 ali > a ‘«I1

Итак, доказано [см. (4.4), (4.97), (4.101), (4.106) и (4.107)], что £ ц

Ua S^ W-Ja^alT^^Adia^- Z E 6^) t^«; (4.110)

"q=0 p = l P PQ

Qi‘ 9) = 6ap’ 9)el + (0^ 9)) 2Де1 + (0a^ 4)) 3^2 + (Qa^ 4)) 2^3. (4.111)

Метаемые в правой части (4.111) определены соответственно форму- (4.98), (4.102), (4.108) и (4.109).

^ Рассмотрим далее интегральное уравнение (4.87) для случая, когда J^ ^ * ta (см. табл. 4.1). Это уравнение имеет вид

О. к) =/(о) z [r(h, kJ (a = ь 2ц).

Следовательно, после умножения на wa S^ (W2a), свертывания и Иц. тегрирования по всем va оно преобразуется в систему линейных ад. гебраических уравнений относительно коэффициентов t^*

R(h, к) ^ £ q (p> ч) t(h, k) (a = 1,2,..., ц;р = о, 1,... ,0- (4.112) «Рл.ПЙ-1 “₽ Pq

q = U p = 1

Явные выражения для входящих в систему (4.112) величин R^. к) «р содержатся в табл. 4.3; Q^’ 9^ вычисляются по формуле (4.111); тензорные функции (4.99) задаются табл. 4.2. Как указывалось в § 4.2 настоящей главы, уравнение (4.48) решается без дополнительных условий. Значит, если t^ к^ = bap, то коэффициенты линейной комбинации (4.88) определяются непосредственно из системы (4.112). Дополнительное уравнение в случае t^ к^ = aap (см. § 4.2) имеет вид (4.63а) с заменой А^ на Ар Vmp/(2kBT):

Ртв Уо

Е 5 /в(0) Ар (К|) Vmp-j</Vp = 0.

P = i

Согласно (4.40), (4.88) и табл. 4.2,

apq sW/2 (w2p). q = О

Подставив последний результат в рассматриваемое условие и произведя интегрирование с учетом соотношений (4.92а) и (4.926), легко найти [1], что

2 пр Ттрврд ■ 0.(4.113)

р-1"

Аналогично если 1^,к^ = с^к\ то ар аР

Обратимся, наконец, к интегральному л уравнению (4.87) для |Л *)я <d. Здесь согласно табл. 4.1 оператор La = La, где La определен формулой (4.28). Заметим, что равенство (4.110) остается, разумеется, в gpje и сейчас. Таким образом,

^а ^а [fl d*a = S S^ W :

1=0 P-1

J ^ ^p [fl ^ (№p)dVp = sS^(tfy:

E I*

‘^ z,MV- z z $"t„.

1=0/-l

Далее [ta является линейной комбинацией (4.88) с n = 1/2 и wa = 1],

Е ц

^М^М^" 2 2 Q^ ^ + q=0 Р=1 Р

5 Ц 1

[2 2 О^^ (ро! - 5 S(P} W /W dVa +

л-о p=ia

Е и

|Е 1 e^gtii-I^wys^ 1-0 p,j=l

!s%W/™-',«-^isM wy= “■'«a-

"«7= { Sto We aW=odWa- V л J

0

* na ~ j e~x x1/2 Sti>)/2 (x) S®/2 (x) dx = 0

2

na ^~ ®₽0 ^ (3/2) = na 6pQ.

При вычислении интеграла мы воспользовались результатами (4.92а)~ (4.926), а также учли, что S^ (х) = 1 [см. (4.90)]. Аналогично

5 s« (^j ^ W^ dva = 1/41/4I*

2 «a2 «a3 бр1Г(5/2) = — na6pl.3 бр1Г(5/2) = — na6pl.

2 «a

2 «a

3 бр1Г(5/2) = — na6pl.

3 бр1Г(5/2) = — na6pl.

(4.116)(4.116)p= 2P = 1p= 2P = 1na6,1 — -<l-6„) 6ap vW.na6,1 — -<l-6„) 6ap vW.

(4.116)

(4.116)

p

= 2

P = 1

p

= 2

P = 1

na

6,1 — -<l-6„) 6ap vW.

na

6,1 — -<l-6„) 6ap vW.

Окончательно, как легко видеть,

Пусть теперь

V(Pa = S ^ № /W ?^<ha.

Тогда, проводя вычисления в той же последовательности, что и выше, без труда получаем

S s^,, (W«) ^ - ?№ + — 5 f? ?№dva 1/2“ ' a a na “ a “

Итак, исследуемое интегральное уравнение сводится к следуют6^ 228

gicreMe линейных алгебраических уравнений:

6 Г"а Ц

- 2 2 (1- 6р0) (М- бр1 — 2 (М t*

q = O^ = ll«Р " n j = 1 /PJ РЧ

(4.117a)(4.117a)(а = 1,2,...,ц; ₽ = 0,1,2,...,?).

(4.117a)

(4.117a)

При всех а для р = О уравнения этой системы являются, очевидно, тождествами. Если их отбросить, то останется ’’укороченная” система

л(р, q)^ а0л(р, q)^ а0•*„а ]Ц

л(р, q)

^ а0

л(р, q)

^ а0

1 б«е-б„1— уы- z zPHР 9 = 0 0 = 1

"а Ц"а Ц^ (а = 1,2,..., р; Р = 1,2,...,?).^ (а = 1,2,..., р; Р = 1,2,...,?).(4.1776)(4.1776)

"а Ц

"а Ц

^ (а = 1,2,..., р; Р = 1,2,...,?).

^ (а = 1,2,..., р; Р = 1,2,...,?).

(4.1776)

(4.1776)

Суммируя затем по а от единицы до Ц уравнения (4.1176) для р = 1, мы получаем тривиальный результат. Таким образом, Цр уравнений (4.1176) один раз линейно зависимы. Число же неизвестных равно Нр + 1), так что необходимо задать Ц + 1 дополнительное уравнение. Подставив в условия (4.536) разложение (4.88), соответствующее четвертой строке табл. 4.2, после простых преобразований будем иметь

(4.118а)(4.1186)(4.118а)(4.1186)^0 = 0 (а = 1,2,... , ц);

(4.118а)

(4.1186)

(4.118а)

(4.1186)

U

2 nptpi = O.

Р-1

^отношения (4.118а)-(4.118б) и играют роль недостающих уравнений. Добно учесть требования (4.118а) сразу, положив

С

(4.119)(4.119)'« = 2 taqtos^ w

(4.119)

(4.119)

9 = 11/2

(здесь ? > 1). Система линейных уравнений для определения коэф, фициентов разложения (4.119) получается объединением уравнен^ (4.117), модифицированных в соответствии с (4.118а), и уравнения (4.1186):

цЕР = 1цЕР = 1»аМ ~ 6р1—»аМ ~ 6р1—Е И гу(р) = 2 2 q(p. <0 -Р g-ip-ll «Р

ц

Е

Р = 1

ц

Е

Р = 1

»а

М ~ 6р1—

»а

М ~ 6р1—

Е

2 Пр /pj = 0.

Р = 1

Анализ совместности уравнений (4.112) и дополнительных условий (4.113), (4.114) мы отложим до гл. 5, посвященной вычислению коэффициентов переноса. Здесь же остановимся еще на построении решения интегрального уравнения (4.52). Полагаем

Е

^ (lV2a)= Е d« (?) S^ W(4.121)

аq = q aq 3/2 u

Умножим скалярно уравнение (4.52) на f^ Wa S(3/2 ^a) “ ПР°ИЯ' тегрируем по всем va. В левой части оказывается

3 J 2кВт ‘ / ₽а \ ,- Т ^6а> “ ~) 6Р°"

В правой части согласно (4.110)

S wa S^ W . ^ za [2У W] dra =

E li

= - E E Q<p« i) d03 , g = Op = l aP P4

дротем 2^» ^ вычисляются по формулам (4.98), (4.102), (4.108), (4,109) и (4.111), а ы(р) определяются равенством (4.99), в котором fl • 3/2, a wa = Wa. В итоге приходим к системе линейных уравнений для нахождения коэффициентов разложения (4.121):

£ и -ЕЕ д=0 0 = 1£ и -ЕЕ д=0 0 = 1Q^4 dto«Р РчQ^4 dto«Р Рч

£ и -ЕЕ д=0 0 = 1

£ и -ЕЕ д=0 0 = 1

Q^4 dto

«Р Рч

Q^4 dto

«Р Рч

(4.122)(4.122)(а-1,2,..., Д; р =0,1,..., 9.

(4.122)

(4.122)

Дополнительное условие (4.53а) при любом j от 1 до д после подстановки в него (W р) из формулы (4.121) приобретает вид [ср. с (4.114)]:

2 пр /^^0 = 0.(4.123)

4.4J. Ионизованные газы. Коротко рассмотрим теперь те аспекты МДачи построения решений уравнений обобщенного метода Энско- н, которые связаны с присутствием в газе свободных заряженных Истиц. Обратимся сначала к интегральному уравнению (4.656). Вслед- ЗДие (4.65а) можно, очевидно, положить:

£W-wa 2 V^s^ W£W-wa 2 V^s^ W(4.124)(4.124)

£

W-wa 2 V^s^ W

£

W-wa 2 V^s^ W

(4.124)

(4.124)

Пользуясь одинаковостью уравнений (4.44) и (4.656), сразу записыва-

*** систему для определения коэффициентов но^ [см. (4.112) и

Ш. 4.3]:

15"^*па15"^*па£ ц

15

"^*па

15

"^*па

6П| = - 2 Е о(А fl) М)f! q = 0 p.f «Р °Рч

(4.125)(4.125)(®а 1,2,..., Д; р = 0,1....Л).

(4.125)

(4.125)

^ЛОсь подразумевается, что тензорные функции и^р\ функционалом

от которых является Q^ я\ имеют вид Wa S^ (W 2). Дополнитель. ное условие (4.64) при s = 1 дает [ср. с (4.113)]

(4.126)

Далее, приняв во внимание (4.66а), ищем решение уравнения (4.66б) в форме линейной комбинации

(4.127)(4.127)НА® = Wa 2 на® (?) S^ (W2a). a q = o aQ 3/2 x a/

(4.127)

(4.127)

После скалярного умножения упомянутого уравнения на /^ S(3/2 WW« и интегрирования по всем va в правой части будем

иметь известный результат:

S/™ s^^^-„а /^s,v

В левой части в первую очередь учтем, что согласно (4.110)

^S^^W,. £<,№)]dva = - 2 q = 00=14

t^ap здесь такие же> как в Равенстве (4.125)]. Затем вычислим интеграл

W>.>sW №¥..«. z "-«^W^. q = 0

^.V^w 5 e ^ sSi^sm ^^- =

2 F

= q = 0 H°^ J ^Х3?11 S^^ SMWX = 0

2 п н0№7^ « ар2 п н0№7^ « ар

2 п н0№

7^ « ар

2 п н0№

7^ « ар

[цц использовали соотношения (4.92а)-(4,926)]. Отметим еще, что

00л

> j ^ А НА® Vp dVp j 2л cos2 9 sin 6 d 9 =

»0

.> j 7 ^p V^A^ 4л уЗр dV^ --^-J ^ V=p HA®dVp. 0

Следовательно,

* ^ ^-ir ^ •H)2] Ha®^ = т5 ^ nM24-

29

-TSf®N6-4™dV4SdM$v

tПк^Г

Wo X we(2) ^ (lA) = ПАНа® / ——.

P %3/2 1 P7 V “pgJ mp

4 = 0v

Последний результат получается с помощью легко проверяемого действа

3 ПквТ

^^з/З (^а)^’^^^^ 6РО-

^^чательно после простых преобразований находим

^s* W W.. !z« ("»<=>] - 1Я — «К® ♦

£ТПдС

+ 1Я—— I ер J ^ V2p- — (Vp-H)2 Я4рН dv« "Чире p = iр'

" ;Л е1.^ m“°a* ■14,14

Здесь

^^ „^к6-^ «j.

рр Ул р vmampc\ р /

(4.129)

Таким образом, вместо уравнения (4.656) имеем систему

15/ 2квт *& и

(а -1,2,...,Ц; р-0,1,...,?),(4.130)

которая должна решаться при дополнительном условии, аналоги» ном (4.126):

Е npVmpHa® = 0.(4.131)

р = 1

Для ионизованной смеси в случае, когда неупругими столкновениями пренебрегают, (4.130) переходит в систему (14.2.41) книгд [85]. Нужно лишь положить

V-V-— и заменить чкв \ 2к5Г /— и заменить чкв \ 2к5Г /1 I "^ Р/2 (2) п у 2квТ IР, q

V-

V-

— и заменить ч

кв \ 2к5Г /

— и заменить ч

кв \ 2к5Г /

умножить уравнения (4.130) на л - 1.

В заключение обратимся к системе интегральных уравнений (ЗЛ41* предназначенной для замыкания уравнений двухтемператур116^ гидродинамики (3.142). Если не учитывать неупругие столкновений

^стием электронов, ее можно заметно упростить, основываясь на )<адости массы электрона те по сравнению с массами остальных частиц h е (ft)). Пусть электроны и тяжелые компоненты имеют распреде- цдяия, близкие к максвелловским, с общей массовой скоростью v0, но различными температурами 7е и 7*. Тогда усредненное по скоростям в углам рассеяния изменение кинетической энергии частицы сор- XI j в результате упругого соударения с электроном равно

33^е

ДЕ;=— кв (Г - я, ■ v *— кв (Г - 7*) (4.132)

а л{nij + тп^) 2mj

(при этом ДЕе = - &Ej\ Одновременно средний квадрат изменения импульса сталкивающихся частиц

(Дру)2 - (Дре)3 = 6 ц/е кв Tje » 6 mekBTje.(4.133)

Здесь Ц;е - приведенная масса, а

m.T® + m-I*

Ть=—*Т=,

my + те

если разница температур невелика (по сравнению с различием масс). Поскольку среднее квадратичное значение импульса электрона в системе отсчета, движущейся вместе с газом, равно

7е = ЗтеквТ,

*0 относительное изменение собственной скорости электрона за счет столкновения с тяжелой частицей имеет согласно (4.133) порядок

^•ЛОГИЧНО'

Plj = 3mjkBTh,

8 относительное изменение собственной скорости частицы сорта j взывается порядка

Следовательно, в нулевом приближении по параметру (me/mjYl2 ^ । можно считать, что

V/=Vp V/= ve(4.134)

[последнее равенство вытекает из (4.132)].

Рассмотрим далее больцмановский оператор столкновений е + + Aj^e+Aj:

fW ^h^do^^

[см. (4.6)]. В силу (4.134), очевидно,

/(»)=/(”) ^^ h'h j j е е J J

Таким образом, мы получаем оператор столкновений в приближении Лоренца:

^е ^е; М = 5 ^Whe " М 8ej dOej *Г(4.135а}

В кинетическое уравнение для тяжелого компонента Aj входит оператор

/®^М = StA0^'^^ -

- /(»)/№ (fy + he)]gej doej dve,

который, в свою очередь, также приобретает лоренцев вид:

f^je И - S f^We - he) gej doej dxe.(4.1356)

Пусть теперь Ф (Vy) - произвольная функция. Рассмотрим интеграл мЦФ(у^£^ь1<ьг

Легко видеть, что

М = S Ф (NjAf^^Xhg - he)gej doej dvj <he =

= S Ф (V/)^”^ - h'g) g^-do'ej<h/dv'=

. S ф (Vj) fW (he - h') g^ do^ d^ dve = -M

^ переставили начальное и конечное состояния, воспользовались р^иствами (4.134), а также применили принцип микроскопической обратимости для бинарных упругих столкновений]. Итак, М = 0. Значит, оператор (4.1356) не будет давать вклада в расчетные значе- щя кинетических коэффициентов, и его можно опустить совсем |внулевом приближении по (me/m;)1/2].

Необходимо отметить еще, что оператор (4.135а) формально является пределом соответствующего оператора (4.6) при mj ■* *, а температура тяжелых компонентов 7* входит в оба эти оператора лишь постольку, поскольку от нее зависит функция

mjyj

Kft\ I mj \3/2 2kRTh

3; \ 2л kBThe

Ectii т;-стремится к бесконечности, то, очевидно, ^^(Vy)..

Представим себе далее функцию, получающуюся из /^ заменой Th на температуру электронов Т6. Эта функция, конечно, при mj 00 тоже переходит в rij 6 (Vy). Таким образом, вместо расчетов с лорен- иевым оператором (4.135а) в рассматриваемом приближении все выкладки можно по-прежнему проводить с больцмановским оператором f^^ej [h], в котором, однако, считается, что Т11 = Iе. Нужно ^ко не забывать исключать из конечных результатов члены, со- ^Ржащие 1/гпу.

Воспроизведем теперь еще раз первое уравнение системы (3.148):

Ч^е: V v0 - S^ (№е) ¥е • V In Ге + -^- Ve • de +

~ $ /<;>?(»А1.2- s<»

Jee

= £ [h(D](Ve X H) -

JmecdV

^• (J(1) X Н) - — 5 ^ le [h(1)] <he -

кВ ^пе е

Т- S^ll № s ^ ^е [hd)] S^ ^е) dxe.

5Пе м*ем*

Из сказанного выше следует, что здесь

be [h(1)] = Lee [MD] + Z^ Ц [М»],(4.136)

причем £ej [M1)] пишутся в предположении Th = Г* с последующим предельным переходом т;- -* 00 [согласно (4.135а) такая процедура приводит к исчезновению компонент h, (j е [h]) из линеаризованного интеграла столкновений].

Далее [см. (4.2), (4.7), (4.9а) и (4.10а)],

р(0) = Zh р(0)(4.137а)

еej

j

где

f^W= ^j vm» ^v(4Л376)

Интегралы j /^ P^ <he и j f^^e 1^1 dve равны нулю вследствие неизменности числа электронов во всех принимаемых во внимание типах столкновений. Аналогично

5 /<^е [ь^)] s«2 WdNe = 0$

так как в приближении бесконечно массивных ионов, атомов и мо* лекул по отдельности сохраняются кинетическая энергия электрон^ и кинетическая энергия тяжелых частиц.

Интегральные уравнения (3.148) для компонентов 4а (а е W остаются, в сущности, прежними. Лишь величины р^ , определяема формулой (4.7) при к = 1, не содержат теперь членов, возникаюш^ счет неупругих столкновений частиц этих компонентов с электро**

ми. Дополнительно в выражении (4.4) сумма 2 £aj [h] заменяете’

j = 1

1а [Ь] (т-е. пренебрегается всеми столкновениями с электро-

щ^и). Далее, в § 3.3 указывалось, что система уравнений (3.148)

Удовлетворяет условиям разрешимости для инвариантов

(Фр)р-1 : 6Ре. 6ра(«е№); mpVp; 6ре me V=e/2, 6^ тр ^/2.

риитпятельно. вектор-функция h^ определяется однозначно при ограничениях

^h^d^e = °« H^h^dva = 0 (а = {h});(4.138а)

^^emeNed\ + ^ Н^ h^ mjN^ = 0;(4.1386)

j

^S[№h® J^L(4J3S.)

Искомое решение системы (3.148) может содержать только скалярные, векторные и бездивергентные тензорные (по скорости) составляющие. В тензорном случае (см. соответствующие разделы Л 14 книги [85]) дополнительные условия будут сводиться к тож- Мствам, а в скалярном - исчезает лишь условие (4.1386), но, Юм не менее, и здесь задачи для электронов и тяжелых частиц Удаляются (в пределах сделанных допущений) полностью. Акторные же вклады остаются связанными соотношением (4.1386), *•< что h^ необходимо записывать в наиболее общей форме

^ • -Ве: Wo - А/ V In ^ - А/ V In Th +

*п е* c^’^-dk + nD*de + te;(4.139a)

j

/*ke(M

^ - -Ba: Wo - A® • V In / - A« • V In ? +

*-nh Eh c^-d^ nD®-de + ta (a e {h})(4.1396)

i*ke(h)

[ср. с (4.56) и (4.32)].

Дальнейшие рассуждения мало чем отличаются от соответ, ствующих построений § 4.2 настоящей главы. В частности,

Dp = Dj(1)Vp + Dp(2)VpxH + Dpe(3)(Vp-H)H (p = e, p ® (h)).

(4.140)

Уравнения для вектор-функции (4.140) получаются после подста. новки решений (4.139а)-(4.1396) в систему (3.148). Запишем эц уравнения, сразу опуская равные нулю интегральные члены:

.ее9 е

Ve = Ze[De](VexH)* —D -■

"етес9Ve

те ^еае

- “ТГ" 2 еР ^р (VPxH) DP dV>(4.141а)

квТ pc p=i

(4.1416)(4.1416)ma Уа ^„ (0)„

(4.1416)

(4.1416)

2 ep 5 /р (VpxH) D® dvp («* (6}). kBTh pc ₽-1

Напомним, что сейчас оператор £е имеет вид (4.136), а из операторов £а для a е {h} исключены слагаемые, связанные со столкнове ниями тяжелых частиц с электронами. Удобно ввести новые Hew вестные функции (р = 1,2,..., ц)

Япе(!) ne(DDP =DPЯпе(!) ne(DDP =DPе(3) р ;е(3) р ;(4.14й)(4.14й)Я„е(2) ne(D .rme(2) Op = Dp + iHDp ,Я„е(2) ne(D .rme(2) Op = Dp + iHDp ,(4.1426)(4.1426)удовлетворяющие системам интегральных уравненийудовлетворяющие системам интегральных уравнений1Ve = Ze[ne1Ve = Ze[ne"D'™];"D'™];(4.1й(4.1й

Япе(!) ne(D

DP =DP

Япе(!) ne(D

DP =DP

е(3) р ;

е(3) р ;

(4.14й)

(4.14й)

Я„е(2) ne(D .rme(2) Op = Dp + iHDp ,

Я„е(2) ne(D .rme(2) Op = Dp + iHDp ,

(4.1426)

(4.1426)

удовлетворяющие системам интегральных уравнений

удовлетворяющие системам интегральных уравнений

1Ve = Ze[ne

1Ve = Ze[ne

"D'™];

"D'™];

(4.1й

(4.1й

1 Pot Ги р (П

Va= ^а[ DeU] (а е {/,});

Па h h

“ р Г

1 хг г (Нххе (2)1• гг ®е Не (2)

Ve = £е[ D ] - 1Я D +

• «е”»ес

те Ц , (0)♦ 1ЯVe 2 epS/p2кв Iе рсР=1те Ц , (0)♦ 1ЯVe 2 epS/p2кв Iе рсР=1v$- -^-(v6 h)= "Dg12’^;

те Ц , (0)

♦ 1ЯVe 2 epS/p

2кв Iе рсР=1

те Ц , (0)

♦ 1ЯVe 2 epS/p

2кв Iе рсР=1

(4.144)

1 Pa Т® Va =1 Pa Т® Va =PPIa[ D ] - 1Я Da +macIa[ D ] - 1Я Da +macma♦ШVa^kBThpcma♦ШVa^kBThpcP, (0)[1z*U6 VP --r(Vp-H)20=1HP, (0)[1z*U6 VP --r(Vp-H)20=1HHDe^U»HDe^U»dvpdvp

1 Pa Т® Va =

1 Pa Т® Va =

P

P

Ia[ D ] - 1Я Da +mac

Ia[ D ] - 1Я Da +mac

ma

♦ШVa

^kBThpc

ma

♦ШVa

^kBThpc

P, (0)[1

z*U6 VP --r(Vp-H)2

0=1H

P, (0)[1

z*U6 VP --r(Vp-H)2

0=1H

HDe^U»

HDe^U»

dvp

dvp

И(М).

VV« .mua« .muaСистема (4.143) является, очевидно, частным случаем системы (tW) при Я = 0, так что поясним лишь процедуру построения речения последней в виде линейной комбинации

V

V

« .mua

« .mua

Н ,е(2) (д)-

(4.145)(4.145)^е ^ deq 83/2 (!Ve); g-0

(4.145)

(4.145)

,.h Е Н_,е(2) o(q)„,h24 , f

" wa 2 da<? S3/2 (Wa ) (a«{h}).

1-0

Neoe уравнение (4.144) скалярно умножаем на /^

*®тедрируем по всем те. Аналогично второе уравнение умножаем 8t V°MP>fwh2x.,h„

*a s3/2^**a ^Wa И интегрируем по всем va. В результате ^8одим к следующей системе линейных алгебраических уравне- ^2?ТВосительно коэффициентов разложений (4.145) [ср. с (4.129),

Г(р + 5/2) X Г(р + 5/2) X _h «j» Ре Не (2)Е П/ ——;d-0 ; i n me my с Р_h «j» Ре Не (2)Е П/ ——;d-0 ; i n me my с Р(4.146а)(4.146а)Р!Р!X ПеX Пе++

Г(р + 5/2) X

Г(р + 5/2) X

_h «j» Ре Не (2)

Е П/ ——;d-0 ; i n me my с Р

_h «j» Ре Не (2)

Е П/ ——;d-0 ; i n me my с Р

(4.146а)

(4.146а)

Р!

Р!

X Пе

X Пе

+

+

Г(р + 5/2) е-Н /р« \1н е(2)

* iSpg* iSpg-7—"у—7 6., - —8р»“я ■

* iSpg

* iSpg

(4.1466)(4.1466)V та ту с

(4.1466)

(4.1466)

(а е lh}).

Дополнительное уравнение, связывающее коэффициенты Hd^\ выводится так. Сначала независимая часть решения (4.139а)—(4.139б)> пропорциональная dg, подставляется в (4.1386), а затем функции Dp берутся в виде (4.140). Далее приходим к равенствам, аналоги’’ ным (4.63а)-(4.63в):

I /">D«f'>-^LdV, tZ“ i^D-W-^-dV. - 0 (, - 1,2,3).

е е 3i J J з 3

Потом, используя (4.142а)-(4.1426), находим, что 242

^н^_^_йче + z^^^J^-^-dV. = о (s-1,2).

1(4.147)

g наконец (при s = 2), подставив в (4.147) разложение (4.145), после интегрирования получаем

л,/к^Т7^*“d^ + 1\ y/ks^m^d^ = 0.(4.148)

Методика определения вектор-функций {Cg'^lp-i (/ е [й], j* к в (й}), {Ар)р=1 и {Ар}р=1 в существенном не отличается аг только что описанной, а задачи вычисления Ве и {Ba}ae(h}, как мы уже отмечали, при сделанных предположениях могут решаться независимо друг от друга. В последнем случае формальные преобразования практически совпадают с выкладками, приведенными в гл. 14 книги [85]. Они отличаются от уже рассмотренных нами лишь большей громоздкостью вследствие необход:1мости построения всех истинных симметричных бездивергентных тензоров второго ранга, которые можно образовать из вектора Wa в псевдовектора Н. Скалярные члены te и ta (а • (й)), входящие в выражения (4.139а) и (4.1396), также рассчитываются по отдель- вости с привлечением алгоритма, сформулированного в предыду- Цвм пункте (этот подход последовательно применяется к гипо- ЗДическим замкнутым системам, состоящим из одних электронов виз .ионов, атомов и молекул).

Глава 5

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА И СКОРОСТЬ РЕАКЦИЙ В РЕАГИРУЮЩИХ НЕЙТРАЛЬНЫХ И ИОНИЗОВАННЫХ ГАЗАХ

5.1. РАСЧЕТ ВЯЗКОСТИ

5*1.1. Нейтральная газовая смесь. Получим выражение для тен- давлений в первом приближении (Р^\ который входит Уравнения однотемпературной односкоростной гидродинамики ^Н). Сначала будем считать, что функция h^ определяется ин- '243

тегральным уравнением (3.114). Его решение согласно (4.32), (4.38б) (4.40) и (4.42) имеет вид

h® —Ва (\2) *2 "а : 7т0 - ^ (Ь'а) Wa • V 1л Г +

t nWa • 2 d„ С^к) (W») + fa (W£) (a = 1,2,..., ц).(5л)

Обратимся ко второй из формул (3.90) и опустим индекс группы компонентов. Тогда

г™. Z m,j ¥,¥,/”»*” dV,.(5.2,)

Р-1

Слагаемые функции h^\ пропорциональные VlnT и {dh}^ . .

очевидно, не дают вклада в интегралы (5 Ja). Далее,

р(0)2 р (0) mP v₽

Хтр1УрУр/^Гр</Ур--1 2 5/J%——dv₽ = 0.

р-15р-12

Последнее равенство выполняется благодаря ортогональности вектор-функции ^=^p)p-i аддитивным инвариантам упругих столкновений [см. (4.536)]. В итоге

Р(1) = -2кв Г 2 SWp Wp/J0)Bp (Wp2) (Wp°Wp: Vv0) dVp. (5.26) p=l

Замечая, что

(0)”6~w₽

4dV» = ^7e dWP>

с помощью формулы (Б.4) легко преобразовать (5.26) к виду

Р(1) = -2Ц S.^

Здесь

п = -^- Д s/р0) Зр OVp2) Wp4 dVp

Коэффициент сдвиговой вязкости, aS- определенный соотношением (4.82) тензор сдвига.

Из выражения (5.4) и формулы (Б.З) вытекает также равенство

/ 2\

| ~ 6V &w + bik 6jl + 6и ^jkр =

•2квТ 2 S^pWp^/^tWpWp^d^. р=1

Вейлу уравнения (4.48) имеем

2\

- ~ви 6И + &ik 6Л + 6 Я ^jk j П =

■~квТ 2 S^0)Zp[(BW°W)y](BpW°Wp)k,dvp. р=1

(вконец, пользуясь обозначением скалярного произведения (3.193), получаем

/ 2\

— 6у6ы + 61к6ц + Mjkp = -р(£ [(BW° W)e], (BW°W)w).

(5.5а)

8 частности, полагая i = к = 1, j - I - 2, приходим к полезному пред- йпвлению

Ч - -р (£ [(ВW 0 W)12], (BW 0 W)12).(5.56)

Возьмем теперь функцию Bp(lVp) в виде разложения по поли* ^омам Сонина [см. (4.88) и табл. 4.2]:

Вр(^)= kbMS^Wp.(5.6)

вставив выражение (5.6) в формулу (5.4), после простых преоб- ®еа0ваний найдем, что

кВТ И

П = —-— Д пр Ьро-(5.7)

Система линейных алгебраических уравнений, из которой следуй определять коэффициенты комбинации (5.6), выглядит согласно (4.112) и табл. 4.3 так:

^ ®а₽ ^Рч = 5^а®рО 0* = 1> 2,..., щ р = 0,1,..., £).(5,8)

д=0 Р=1

В принципе, можно записать ее формальное решение с помощью правила Крамера и затем (в низшем приближении) представить коэффициент и в виде отношения двух детерминантов [1]. Не ста* нем приводить здесь подобные формулы. Отметим лишь еще, что матричные элементы О^р^ У нас являются суммами (4.111), а

ИТ.Д.

.1.2. Обобщение на случай ионизованных газов. Рассмотрим ситуацию, когда система уравнений переноса (3.111) замыкается путем построения решений интегральных уравнений (4.27) с оператором (4.54) (см. § 4.2 предыдущей главы). И в данном случае из всех составляющих выражения (4.56) вклад в тензор давлений вносит лишь член, пропорциональный Vvg:

Р(1) - - Z mpjVp¥p^0)(Bp:Vv0)dVp. р=1р

Явный вид Р^ получается с помощью обобщения упоминавшегося выше подхода [85] (см. формулу (14.2.73) в [85]):

PW =П]PW =П]1 И- — квТ Z пр2р = 11 И- — квТ Z пр2р = 1"bpo(O) + -^ ЯЬро(Н) + нь*^Н)"bpo(O) + -^ ЯЬро(Н) + нь*^Н)Snj *Snj *

PW =П]

PW =П]

1 И

- — квТ Z пр2р = 1

1 И

- — квТ Z пр2р = 1

"bpo(O) + -^ ЯЬро(Н) + нь*^Н)

"bpo(O) + -^ ЯЬро(Н) + нь*^Н)

Snj *

Snj *

1 ■ +2iH .1 ■ +2iH .

1 ■ +

2iH .

1 ■ +

2iH .

^ро№) — Ь*р0(Н) enki bjSHk + Cjki b^Hk Sls +

enklejrsHkHr +enklejrsHkHr +“b^W --Lpp0(H) + НЬ*ро(Я)

enklejrsHkHr +

enklejrsHkHr +

11/ 1 \ H I 1

t—н„я,я,я, s„.— bpo -и . bpg -all-

HJл L \\ z /\ z / ,

bnlHjHs + вляяя, -bnlHjHs + вляяя, -- HMO) - 4(HbpoW + яь*р0(н)

bnlHjHs + вляяя, -

bnlHjHs + вляяя, -

2—я„яуя,я$]$ь2—я„яуя,я$]$ь

2

—я„яуя,я$]$ь

2

—я„яуя,я$]$ь

-1(%О(Я)- яь* 0(Я))-1(%О(Я)- яь* 0(Я))Hb^W -Hb^W -

-1(%О(Я)- яь* 0(Я))

-1(%О(Я)- яь* 0(Я))

Hb^W -

Hb^W -

[enkl Hj Нк Hs + Cjy Hn Hk Я$] Sh г.

(5.9)

В формуле (5.9) з» 'здочкой обозначена операция комплексного ч

«пряжения; величинь. Ьро(Я) (р = 1, 2, ..., ц) определяются из си

Стемы линейных алгебраических уравнений:

t f (ра)8Г(р + 7/2)еаН

£^ ^аВ + *®aBbpqJ па

<•0 в=1₽1V7 р т“с

-5na6po (а = 1,2,..., р; р = 0,1,...,^).(5.10)

(5.8).(5.8).3»сь ^ = 0,1,2,...; Q^ ^ - те же самые, что и в

(5.8).

(5.8).

' Обратимся, наконец, к двухтемпературному течению ионизо- ^аной смеси, описываемому гидродинамическими уравнениями @•.142). функция первого приближения, необходимая для вычис- •аая диффузионных и тепловых потоков, тензоров парциаль- ’ах давлений и скоростей образования компонентов, является рением системы интегральных уравнений (3.148), ортогональ- z*1 инвариантом упругих столкновений. Она дается формулами •139а)-(4.139б), причем тензоры давлений опять выражаются

через содержащие Vvq члены этой функции:

ре0) = -те 5 Ve Ve^0)(Be: Vю) d Ve;(5.11,)

р" W = - Z h mp $ Vp Vp/J0)(Bp: V ю) d Vp.(5.Цб)

P

Если разделить задачи определения Ве и (Bp}pe{h) (см. § 4.4), Т(> компоненты тензоров (5.11а) и (5.116) Р^ и Р^® можно находить, по формуле (5.9). В первом случае нужно лишь снять суммирование по Р и всюду в фигурных скобках вместо индекса Р поставить

и

индекс е. Во втором случае операция Z должна быть заменена вы*

Р-1

числением суммы Zh. Коэффициенты НЬед(Н) и НЬ^д(Н) получаем Р

соответственно из систем линейных алгебраических уравнений:

6£4=06£4=0Г(р+7/2)р!Г(р+7/2)р!6Z4=06Z4=0zh Рzh Р0ар + 1 б«В бРв0ар + 1 б«В бРвГ(р+7/2)еаН 1Я; паb^q(H)р!тас ■Г(р+7/2)еаН 1Я; паb^q(H)р!тас ■

6£4=0

6£4=0

Г(р+7/2)р!

Г(р+7/2)р!

6Z4=0

6Z4=0

zh Р

zh Р

0ар + 1 б«В бРв

0ар + 1 б«В бРв

Г(р+7/2)еаН 1Я

; паb^q(H)

р!тас ■

Г(р+7/2)еаН 1Я

; паb^q(H)

р!тас ■

(5.13)(5.13)

(5.13)

(5.13)

= 5па6ро (ae{h); р = 0,1,.... О-

Отметим, что в системе (5.12)

О1"’ - z «.njliwiw.s^tv^wsw.s^’t»;)]»* 7=1

+ б^[№е*еЗ^(^), ^VjS^W^V,(5Д4)

все вычисления проводятся при температуре, равной электро!

0®ературе Г® [т.е. W; =—1— Nj О - <У * (М); V, -= ту - v0];

V 2kg т

предполагается выполнение предельного перехода 1/т^ ** 0 для • (h). В системе (5.13) Q^4^ является суммой (4.111), из которой услючены слагаемые, связанные с взаимодействием электронов ^-тяжелых частиц (таким образом, учитывается вклад в тензор ддрпений неупругих столкновений молекул, атомов и ионов между сбббй).

Обходимо помнить, кроме того, что элементы Q^^ содержат h /h~*h

уже Wa = v та/(2квТ ) va (а 6 {/)}), где Т - температура под- витемы тяжелых компонентов смеси.

62. ДИФФУЗИОННЫЕ СКОРОСТИ КОМПОНЕНТОВ И ПЛОТНОСТЬ ТОКА

Газовая смесь при отсутствии магнитного поля. Вычис- лам скорости диффузии сначала в односкоростном однотемпературном случае. Согласно (3.77)

V^" — SVa^0)h^dVa (а = 1,2,..., ц).(5.15)

na

Подставив в (5.15) функцию h^ в виде (5.1), после простых преобразований получим, что

(5.16)(5.16)4S lDahdh- DraVlnT. Л

(5.16)

(5.16)

^сь введены коэффициенты диффузии

^ =—пГ^ Ге “ ^ C^W^d^a (5.17) з/7 V ma J

О

Й1(ОэФфициенты термодиффузии % .оо

п 4 ГЧ^Г г

i^Ta/ е ^ Aa(W=)dWe, (5.18)

3V7 V ma J

О

которые лишь постоянными множителями отличаются от соответ, ствующих коэффициентов (4.7.19) и (4.7.20) книги [1] (упомяну^ множители легко выписать, сравнив, например (5.16) с формулой (4.7.21) [1]). Найдем далее выражение для плотности тока прово.димости. Как следует из (3.83),1 ■ ?'»"»v ■мкоторые лишь постоянными множителями отличаются от соответ, ствующих коэффициентов (4.7.19) и (4.7.20) книги [1] (упомяну^ множители легко выписать, сравнив, например (5.16) с формулой (4.7.21) [1]). Найдем далее выражение для плотности тока прово.димости. Как следует из (3.83),1 ■ ?'»"»v ■мТаким образом, Л)РЙЛрJ = ^^ ^вр лрДрЛ - V In Т S^epfipD^p.Таким образом, Л)РЙЛрJ = ^^ ^вр лрДрЛ - V In Т S^epfipD^p.(5.20а)(5.20а)Векторы dh даются формулой (3.100):Векторы dh даются формулой (3.100):_ г о F + JLe'^ L ₽В *6 + ь 1 ₽=1\ mp I_ г о F + JLe'^ L ₽В *6 + ь 1 ₽=1\ mp Iph \,I V In р -Р /ph \,I V In р -Р /PhРРPhРРр (ph + —в')-\ mh /р (ph + —в')-\ mh /(5.21)(5.21)е'= Е + — (voxH). СЕсли теперь подставить в (5.20в) величины <^ в виде (5.21), то окажется, чтое'= Е + — (voxH). СЕсли теперь подставить в (5.20в) величины <^ в виде (5.21), то окажется, что/и/и= 2 Vh= 2 Vh”h \/ ”h1 + I n I In”h \/ ”h1 + I n I Inph \ „ , IV In р -pph \ „ , IV In р -pPh I „pFh ~ 2pp \P=1ЗдесьPh I „pFh ~ 2pp \P=1Здесьр26=1р26=1е»п^П^ + оЕ - V77-е»п^П^ + оЕ - V77-(5.206)(5.206)

которые лишь постоянными множителями отличаются от соответ, ствующих коэффициентов (4.7.19) и (4.7.20) книги [1] (упомяну^ множители легко выписать, сравнив, например (5.16) с формулой (4.7.21) [1]). Найдем далее выражение для плотности тока прово.

димости. Как следует из (3.83),

1 ■ ?'»"»v ■м

которые лишь постоянными множителями отличаются от соответ, ствующих коэффициентов (4.7.19) и (4.7.20) книги [1] (упомяну^ множители легко выписать, сравнив, например (5.16) с формулой (4.7.21) [1]). Найдем далее выражение для плотности тока прово.

димости. Как следует из (3.83),

1 ■ ?'»"»v ■м

Таким образом, Л)РЙЛр

J = ^^ ^вр лрДрЛ - V In Т S^epfipD^p.

Таким образом, Л)РЙЛр

J = ^^ ^вр лрДрЛ - V In Т S^epfipD^p.

(5.20а)

(5.20а)

Векторы dh даются формулой (3.100):

Векторы dh даются формулой (3.100):

_ г о F + JLe'^ L ₽В *6 + ь 1 ₽=1\ mp I

_ г о F + JLe'^ L ₽В *6 + ь 1 ₽=1\ mp I

ph \,

I V In р -

Р /

ph \,

I V In р -

Р /

Ph

РР

Ph

РР

р (ph + —в')-\ mh /

р (ph + —в')-\ mh /

(5.21)

(5.21)

е'= Е + — (voxH). С

Если теперь подставить в (5.20в) величины <^ в виде (5.21), то окажется, что

е'= Е + — (voxH). С

Если теперь подставить в (5.20в) величины <^ в виде (5.21), то окажется, что

/и

/и

= 2 Vh

= 2 Vh

”h \/ ”h

1 + I n I In

”h \/ ”h

1 + I n I In

ph \ „ , IV In р -

p

ph \ „ , IV In р -

p

Ph I „

pFh ~ 2

pp \P=1

Здесь

Ph I „

pFh ~ 2

pp \P=1

Здесь

р26=1

р26=1

е»п^П^ + оЕ - V77-

е»п^П^ + оЕ - V77-

(5.206)

(5.206)

(5.22)(5.22)1/Ph \ I*(к)

(5.22)

(5.22)

о = — 2 -ehnh +Q 2 epnpDBh

Р h \Р /р-1 Р

- электрическая проводимость ионизованной газовой смеси; 250

(5.23)(5.23)# е — 2 ер Пр D^p т р-1

(5.23)

(5.23)

электротермическая проводимость;

О " а?! еа па

- заряд единицы объема. Соотношение (5.206) представляет собой обобщенный закон Ома.

Положим в формулах (5.17) и (5.18) в соответствии с (4.88) в табл. 4.2

(5.24а)

(5.246)(5.246)

(5.246)

(5.246)

Произведя далее интегрирование по IVa от нуля до бесконечности с использованием свойств (4.92а)-(4.926), найдем, что

(5.25)

(5.26)(5.26)1 / 2кВТ *

(5.26)

(5.26)

°т«= ТУ^Г" м-

Выпишем систему уравнений для определения коэффициентов

ceq ^ [см. (4.112) и табл. 4.3]:

3 1квТ3 1квТ

3 1квТ

3 1квТ

(5.27)(5.27)(«»1,2, ...,ц; р-0,1....Л).

(5.27)

(5.27)

При р = О, как легко заметить, сумма по а от Д до Ц левых часщ уравнений (5.27), умноженных соответственно на Vm^, равна цу. лю. Одновременно согласно (4.110)

SW.S^twpV^^lWC^^dv.* - Д ДОЙ’^^Ч

если С^ к^ имеет вид (5.24а). Отсюда

sw.-^jwc^jdT, в - Д Дc<j’>c£k).

Далее, поскольку

SWa/^IatWC^^dVa = 4^W« V? ^«[WC^^J dTa,

TO

41 Д ДО^ сЙк) = - ^Wa/a^atWC^^dVa

И

- - V /^Wa/^ Z« [WC(h'k)] dva.

Так как

V2kBTV2kBTma Уд>ma Уд>

V2kBT

V2kBT

ma Уд>

ma Уд>

нравая часть последнего равенства пропорциональна сумме 252

4 ЛтЛ./^ПЮ0^^,

^рая тождественно равна нулю вследствие сохранения импуль- d во всех типах столкновений [см. п. 3.3.2]. В итоге

С £ (М 22 Ogg1*0 Р=1С £ (М 22 Ogg1*0 Р=1ииа=1а=1(0,q) ар(0,q) ар= О,= О,

С £ (М 22 Ogg

1*0 Р=1

С £ (М 22 Ogg

1*0 Р=1

и

и

а=1

а=1

(0,q) ар

(0,q) ар

= О,

= О,

прячем это соотношение справедливо при произвольных значе- лйх коэффициентов разложения (5.24а). Итак, для любых возмож- шх q и Р

Результат (5.28) вместе с отмечавшимся выше свойством левых частей системы (5.27) означает, что ц уравнений упомянутой системы, соответствующих р = О, являются один раз линейно зависимыми. Требуется, таким образом, одно дополнительное уравнение. Оно имеет вид (4.114), поэтому необходимые для вычисления коэффициентов диффузии (5.25) величины с^к^ определяются системой

з Гтк^Г5 и и

- 6ak)6p0= - Д деар с^

(*-1,2,...,ц; р = 0,1,..., О,(5.29)

И-^ ПВР-1 рИ-^ ПВР-1 рVmP сро ~VmP сро ~0.0.

И

-^ ПВ

Р-1 р

И

-^ ПВ

Р-1 р

VmP сро ~

VmP сро ~

0.

0.

/д численных расчетах можно, конечно, просто отбросить какое- бУДь из первых уравнений (5.29) (с р = 0) и заменить его доба- Ч6Ь|и< уравнением. Лучше, однако, задавшись произвольным но-

мером 1(1 ^ I ц), выразить с да } следующим образом:

(h,k) J nPVmP <w,0 "■ЛГГг^ СР"

§*1 n/Vm,

Далее напишем:

у n(0,0) (h,k)|£ rM <М-

ptl°«P cp0 + Д p^Cap Cp, -

3/ 2кВТ

Т Ущ (5ah~ ^ак\

t Vma

Очевидно,

У n(°-°> /b-^ - У n(°’°) ^b,k)p^OaP CPO "pt^aP CPOp*z

(0,0) (h,k) _

+ Val c№ -

ll

P=1

P*1

(0,0) _ (0,0) nPVmP ^ap ~ ^al !—' nt^mt

(h,k) = cpo

UZp=l

n(0,0)_(0,0) "pVmp

Vap - Vai

^^Гтр

(W

cpo

Поскольку последнее преобразование проводится раздельно ДлЯ различных a, мы можем каждый раз выбирать 1 = а:

pti°aP СРО ^[0,pti°aP СРО ^[0,AW cpoAW cpo(0,0) _ о(0,0) ПР Утр'aP Vaa

pti°aP СРО ^[0,

pti°aP СРО ^[0,

AW cpo

AW cpo

na Vma

Следовательно, вместо (5.29) получается система вида

Zq=0Zq=05 еГ)4Г)=₽=15 еГ)4Г)=₽=1^ак"* ^у^бро ’a^ак"* ^у^бро ’a

Zq=0

Zq=0

5 еГ)4Г)=

₽=1

5 еГ)4Г)=

₽=1

^ак"* ^у^бро ’a

^ак"* ^у^бро ’a

(a* 1,2,.... |i; р = 0,1,..., £).

Здесь

(5.31)(5.31)/'(ML п^м> n^p,q^ ^ л л СаР " °ар ~ Qaa 6p06g0-

(5.31)

(5.31)

па V”*a

Коэффициенты разложения (5.246) определяются сходным об- руом. Из (4.112) и табл. 4.3 имеем

15/ 2кВТ'£ a ,)

-—па / —6р1- -22 Qap dp,(5.32а)

*. v maч-0 Д-1

(а=1,2,..., д; р = 0,1,.... £).

Линейная зависимость ц уравнений системы (5.32а), отвечающих р«0, обнаруживается непосредственно [если принять во внимание равенство (5.28)], а дополнительным уравнением служит (4.113). С помощью рассуждений, аналогичных описанным, легко далее «уравнений (5.32а), (4.113) перейти к уравнениям

$ 2 %(м)15 Г^к

(5.326)(5.326)2 2 О ар °РЧ~па /6р1

(5.326)

(5.326)

<■0 р-14* та

(а-1,2,..„ д; р= 0,1, ...,£)

Ш^р опять даются формулой (5.31)].

Преобразуем еще выражение (5.16) для V^, которому удобно

**№дать вид

\0)= Z D^?d;- DTe Vin Г, ^азумевая, ЧТО

D^) = n / гквТ (^k) n

«к -— Jca0 = 0

2 V ma

[величины Cpq формально удовлетворяют однородной системе (5.29)]. Затем, пользуясь соотношением (3.116), получаем

Е D^d; = Е D^d; + D (k)da = E [D(k? - D (k)]d-.

a; Jaj 1 м «1 oy aaJ j

i=lj*aj*a

Окончательно

V^- X De^-Dr„VlnT, l*a где

(5.33)

D .“D^-D№ aj aj aa

(j,k)(a,k)

cao “ cao

(5.34)

Перейдем, наконец, от представления (5.1) для функции h(1 к пред, ставлению (4.51). Подстановка (4.51) в (5.15) приводит к следующему результату: •

-т 11 а

V?— 2 D^dj-D^lnT. j-i

(5.35)

Здесь DTa имеет прежний смысл, а

со

D.=—пleа

“J3V7V rnaJ“ “' “7 a

О

Если D^ (W^) ищется в форме (4.121), то

(5.30

(5.37)

Коэффициенты d ® определяются из системы (4.122), (4.123), которУ® нетрудно преобразовать (см. выше) к виду

(5J8)

(a 1,2,..., ц; р — 0,1,..., ^ )..

Сопоставляя формулы (5.35) и (5.33) и принимая во внимание сов^

^рие (3.116), без труда получаем, что

диалогично из сравнения (5.35) с (5.16) следует равенство

/к) л А

D*-Da,-D„r(5.40)

рассмотрим сумму интегралов

- Z 5 /^W Z [DkW]dvp = 0 0-1 р р р р

7pVzp p ₽ np p* P/Vpdvp

— 5//^W. VkdVk- — E j/^WV nnk к к к К к Пр р = 100 Р Р Р Р

-W*5 е kW*D3k(^-W*5 е kW*D3k(^

-W*

5 е kW*D3k(^

-W*

5 е kW*D3k(^

Мы воспользовались уравнением (4.52), а также дополнительным ус- «овием (4.53). Итак [см. (5.36) и (3.193)],

1^—n3(Z[DkW]„Dy W).(5.41)

Ионизованная газовая смесь в магнитном поле. Пусть фикция первого приближения, с помощью которой вычисляет- * Диффузионная скорость компонента Аа> есть линейная комби- ^®я (4.56). Выделим из V^ член, пропорциональный, например, ®hr. Он согласно (4.58) и (5.15) равен

6«в - — S VJ^^V +A®V XH + 4^(Va-H)H)- na Ka aa a a a a

‘VlnTdV^(5.42)

Легко видеть, что

6

uV>^AfT s,^«v«d1,«'

^«г™4™^*»^,)..--^ нД f™A™v-adva,

< S v, /”A« (v. • н) в d v,)..- -L я,h. $ I? A™ V^dV..

Таким образом,

0 =—— [(VlnT) 5 f^A^V^dV + (HX a 3n„« a a a

x VlnT) J f?A®V® dV *H(H-4\n T)Sf№A® VM^ ].

Введем далее взаимно ортогональные векторы

(V In Т).. =, (VinТЛ = VInT- (Vin n., ■

IIj^2-LII

HXVlnTx

(VlnTk-.(5.43)

Вспомнив еще определение (4.60), будем иметь вместо (5.42):

^[„ШТ), J ("X'v-.dV^WnT^ X

X H^R^A^V^dV + (VlnT)Д /^Im^A^V^dV].(5.4*)

a a aa a aJ

Объединим, наконец, формулы (4.65), (4.66), (4.124) и (4.127). ТогЛ<

HA^V= s ЯА -^V =W„-Va 2 ^^ sj^ W») (s = l,2),q = 04

и после выполнения интегрирования по скорости в (5.44а) мы полУ4^

е = _ [Он (V In Т). +D?- (Vin Г). +D* (Vin Т)Д.(S'446^

«1 Га И Та '1 Га <

Здесь соответственно коэффициенты параллельной (магнитному поде), перпендикулярной и поперечной термодиффузии:

^Га^ГаL Г^2 V т„L Г^2 V т„н ® .°ао ’н ® .°ао ’(5.45а)(5.45а)D1ГаD1ГаL /ПдГ2 V таL /ПдГ2 V таПр.“е °ао ’Пр.“е °ао ’(5.456)(5.456)DrГаDrГа2к„г2к„гI д (2)Im < •I д (2)Im < •(5.45в)(5.45в)Отметим, что в силу (5.456) и (5.45в)Отметим, что в силу (5.456) и (5.45в)>1 ^_L /2^^Га Га 2 у та ао>1 ^_L /2^^Га Га 2 у та ао(5.46)(5.46)Придадим теперь окончательный вид системам линейных алгебраических уравнений, решив которые, можно найти кинетические коэффициенты (5.45а)-(5.45в). Сравнивая системы (4.125), (4.126) и (4.113), (532а), сразу записываем уравнения, определяющие На(1):Придадим теперь окончательный вид системам линейных алгебраических уравнений, решив которые, можно найти кинетические коэффициенты (5.45а)-(5.45в). Сравнивая системы (4.125), (4.126) и (4.113), (532а), сразу записываем уравнения, определяющие На(1):уу %(P,q)H to. 15 П / 2kBT22 Q„o Qa~ na / 6pi1*0 P-1 “P ^*’ maуу %(P,q)H to. 15 П / 2kBT22 Q„o Qa~ na / 6pi1*0 P-1 “P ^*’ ma(5.47)(5.47)(a ■ 1,2,..., p; p = 0,1,...?),(a ■ 1,2,..., p; p = 0,1,...?),Подробнее рассмотрим систему уравнений (4.130), (4.131). ИспользуяПодробнее рассмотрим систему уравнений (4.130), (4.131). Используяявное выражение (4.129) для элементов Q (5.28) ,находимявное выражение (4.129) для элементов Q (5.28) ,находим(р.<0ар(р.<0ар(Н), а также результат(Н), а также результатЛ1'^°,«»’®-°'Л1'^°,«»’®-°'(5.48)(5.48)^®«ит, уравнения (4.130) при р = 0 один раз линейно зависимы. По- ^ОДующие выкладки такие же, как в случае перехода от (5.29) к I *30). В итоге получаем^®«ит, уравнения (4.130) при р = 0 один раз линейно зависимы. По- ^ОДующие выкладки такие же, как в случае перехода от (5.29) к I *30). В итоге получаемtI<*оtI<*оЕ Q^(H)Ha^=-^na Г^^Р-1 «Р Pl 4 “V ma р*Е Q^(H)Ha^=-^na Г^^Р-1 «Р Pl 4 “V ma р*(5.49)(5.49)

^Га

^Га

L Г^

2 V т„

L Г^

2 V т„

н ® .

°ао ’

н ® .

°ао ’

(5.45а)

(5.45а)

D1

Га

D1

Га

L /ПдГ

2 V та

L /ПдГ

2 V та

Пр.

“е °ао ’

Пр.

“е °ао ’

(5.456)

(5.456)

Dr

Га

Dr

Га

2к„г

2к„г

I д (2)

Im < •

I д (2)

Im < •

(5.45в)

(5.45в)

Отметим, что в силу (5.456) и (5.45в)

Отметим, что в силу (5.456) и (5.45в)

>1 ^_L /2^^

Га Га 2 у та ао

>1 ^_L /2^^

Га Га 2 у та ао

(5.46)

(5.46)

Придадим теперь окончательный вид системам линейных алгебраических уравнений, решив которые, можно найти кинетические коэффициенты (5.45а)-(5.45в). Сравнивая системы (4.125), (4.126) и (4.113), (532а), сразу записываем уравнения, определяющие На(1):

Придадим теперь окончательный вид системам линейных алгебраических уравнений, решив которые, можно найти кинетические коэффициенты (5.45а)-(5.45в). Сравнивая системы (4.125), (4.126) и (4.113), (532а), сразу записываем уравнения, определяющие На(1):

уу %(P,q)H to. 15 П / 2kBT

22 Q„o Qa~ na / 6pi

1*0 P-1 “P ^*’ ma

уу %(P,q)H to. 15 П / 2kBT

22 Q„o Qa~ na / 6pi

1*0 P-1 “P ^*’ ma

(5.47)

(5.47)

(a ■ 1,2,..., p; p = 0,1,...?),

(a ■ 1,2,..., p; p = 0,1,...?),

Подробнее рассмотрим систему уравнений (4.130), (4.131). Используя

Подробнее рассмотрим систему уравнений (4.130), (4.131). Используя

явное выражение (4.129) для элементов Q (5.28) ,находим

явное выражение (4.129) для элементов Q (5.28) ,находим

(р.<0

ар

(р.<0

ар

(Н), а также результат

(Н), а также результат

Л1'^°,«»’®-°'

Л1'^°,«»’®-°'

(5.48)

(5.48)

^®«ит, уравнения (4.130) при р = 0 один раз линейно зависимы. По- ^ОДующие выкладки такие же, как в случае перехода от (5.29) к I *30). В итоге получаем

^®«ит, уравнения (4.130) при р = 0 один раз линейно зависимы. По- ^ОДующие выкладки такие же, как в случае перехода от (5.29) к I *30). В итоге получаем

tI<*о

tI<*о

Е Q^(H)Ha^=-^na Г^^

Р-1 «Р Pl 4 “V ma р*

Е Q^(H)Ha^=-^na Г^^

Р-1 «Р Pl 4 “V ma р*

(5.49)

(5.49)

(a - 1,2,..., р; p-0,1,...^),

В формуле (5.49)

QM (H) = Qtp;4) (H)-QM ^apapaaQM (H) = Qtp;4) (H)-QM ^apapaa(Н)(Н)пр Vmpпр Vmp$ро ^до •$ро ^до •(5.50)(5.50)

QM (H) = Qtp;4) (H)-QM ^apapaa

QM (H) = Qtp;4) (H)-QM ^apapaa

(Н)

(Н)

пр Vmp

пр Vmp

$ро ^до •

$ро ^до •

(5.50)

(5.50)

Отметим, что [см. (4.129)]

е^-о^о). ap ap

Отсюда

=Q(p,q) (0) ap ap

Таким образом, если обозначить

н гт-нл®

%q(H)= V то окажется

Я (1) Я

Вклад в скорости диффузии слагаемых n Е D^- d., также входящих в (4.56), рассчитывается аналогично. Приведем поэтому сразу конечный результат:

(5.51)(5.51)V(1) = A +0 , a a Чх ’

(5.51)

(5.51)

где 0a дается формулой (5.446), а

А«- д ^/v^l+^-w(5'й)

Здесь

(5.53)(5.53)H(Hd)HXd

(5.53)

(5.53)

(dA = —L • (dP± = d/"(d?*’ 4^= —,;

коэффициенты диффузии находятся из соотношений

(5.54а)

^. + i S* — — ^- Н(£о (H).(5.546)

«J ^2 у ma

Система линейных алгебраических уравнений для определения Hd^(H) доглядит следующим образом:

I z eM№fld/№-3 /5.^,1(5-55)

,-0В=1 “Р Рч 2 V ma \ р aJ I у

(a = 1,2,...,ц ; р = 0, !,...,£).

Напомним, что (Н) введены соотношением (5.50), а Q^’^ (Н) - ар, .“Р

равенством (4.129). Наконец, Q^ имеют вид (4.111) [слагаемые, составляющие суммы (4.111), вычисляются при о^ = Wa S^ (W*) и т. д.].

Выражение для плотности тока получается подстановкой (5.51) в (5.19). В результате оказывается:

"Л I’J (VT)l + *t <VT>1 + ’B<VT41'(5.56)

Здесь парциальные электрические проводимости

(5'57)

8 парциальные электротермические коэффициенты

VB= —eRnRDTR(5.58)

Р т Р Рх

каждое из соотношений (5.57) и (5.58) считается справедливым отно- свтельно параллельных, перпендикулярных и поперечных компонент По отдельности]. Далее,

— ) V In p -P /— ) V In p -P /(5.59)(5.59)А*Pi \ni \ ni

— ) V In p -

P /

— ) V In p -

P /

(5.59)

(5.59)

VE- pl е.п.J- Q V — +

PiPi\ J p /\ n I \ n

Pi

Pi

pF.- E pmFmr i . rm m

J m=l

Составляющие (dp^, (dp^ и (d!)t определяются по образцу (5.53) Электрическая и электротермическая проводимости в рассматривав, мой ситуации являются тензорами второго ранга. В самом деле, как нетрудно видеть,

= [°^^%/Е^%(Е'),1"

= о11 (е')ц +о (е')± + о‘(Е)( = о. е', где

/ \®^т^п 1t Нк

^тп= (°° ' “^+ 0 ^тп+ 0 еткп ~^~ >(5.60а)

(5.606)(5.606)и о. I

(5.606)

(5.606)

PJ=1

Аналогично

2 [ф^Т^ + ф^фГ^ + ф'(VT?J = f-VT;

(5.616)(5.616)(ф) -(ф’-ф1) ^2— +Ф16 +ф*е—;(5.61а)

(5.616)

(5.616)

Ф = 2 Фв р-1 [мы вновь подразумеваем справедливость равенств (5.606), (5.610) отдельно для параллельных, перпендикулярных и поперечных компр; нент]. В случае, когда Я=0, (5.56) превращается в (5.206). Нужно лишь перейти от коэффициентов диффузии Ов. к коэффициентам Ов^ с по-

II А мощью формулы (5.40). Заметим, что если Я = 0, то Яа j = Da j, a a j' ^

5.23. Случай двухтемпературного течения ионизованного га* Особая осторожность необходима при замыкании гидродинамич^ ких уравнений (3.142). Решение соответствующей им системы ^ тегральных уравнений (3.148) имеет вид (4.139а)-(4.139б). В § 4.4 гл. 4, фиксировав промежуточные результаты (4.140), (4.1418-4.14* *’

«1428-4.1426) и (4.143), мы пришли к системе (4.144). Далее неизвест- ^g функции были представлены конечными комбинациями полино- ^ Сонина (4.145), коэффициенты которых (комбинаций) удовлетво- ^т алгебраическим уравнениям (4.146а)-(4.1466). Заметим, что последняя система получена с учетом дополнительных упрощающих предположений, в то время как сами по себе интегральные уравне- jgg (4.144) еще точные. Пусть для краткости

1/2

VVVe,P = e;

V

V

mp I1'2

—4vp«Pe(M.

2kBThl P

Рассмотрим вектор-функцию

VW3 ^S^J^) (M,2,..,U)

(^- произвольные коэффициенты). В силу линейности операторов

1*р^« (WpVp^p[h]dvp = ^ Z Q^h^.(5.62)

Равенство (5.62), совпадающее по форме с (4.110), на деле является ^лее общим, а матричные элементы Q^p,<^ переходят в элементы р/

“111) лишь при Те = Th. Положим в (5.62) р = 0. Тогда окажется:

^^ без труда получаем, что

. 1 “

'/зГр2, $ mp V^s^V

V 2 Р = 1

Затем (см. вывод формулы (5.28)) можем записать:

7М 2 h [/n^ t/0’^ s” 4т»^ ^V

3 q-o j=i « e ej p P x»j

—7= z S^v^z^Md.,.

V2ky P’lP

Поскольку последний интеграл тождественно равен нулю, то

/7 V^^-^V^e^-OU-l^,).(5.63)

Разумеется, при Те = Th = Т соотношение (5.63) переходит в (5.28).

Пусть теперь решение системы интегральных уравнений (4.144) вновь ищется в виде (4.145). Тогда, не делая предварительно никаких упрощений, а действуя формально на основе соотношения (5.62), приходим обычным образом к точному варианту системы (4.146а)- (4.1466):

3 ИквТвС

2 / me

Г(₽+^чнL

X «е 1 "

р!тес \

+ 2h QM-\t> 6р0 /■ •е;PQ Р°

X—^—Ре Н^№

■V те т^ сР . М

-Р“ ге 3Г2квтЬ

ph ph 2 у ma

j [ 5М + 1б -F x

/ [ *Р» -^i

Pe ,\ Я .6(2) .

— 6po)] deq +

hI |P + “ I

Th 2\2/

n x Te%1

1улp!

1J;(5.64a)

С (r , . q=0 (

X

(a е { h}) •

(5.646)

Рассмотрим уравнения (5.64а)-(5.646) для р = 0. Очевидно,

в силу (5.63) при j = e. Аналогичной

раРраР♦ Eh ' а♦ Eh ' а

ра

Р

ра

Р

♦ Eh ' а

♦ Eh ' а

= 0

Lул \ 2 / ^mamjC '

Нм).

^» И уравнений нашей системы, отвечающие значению р = 0, явля- /Тся один раз линейно зависимыми. Дополнительное же уравнение, ^Доказано в конце § 4.4, есть уравнение (4.148).

Оценим элементы матрицы системы (5.64а)-(5.646). Это удобно

парных упругих столкновений согласно (4.98)парных упругих столкновений согласно (4.98)сделать, предполагая температуры Те и Th одинаковыми - в тако# ситуации (см. выше) величины Q^ могут быть найдены по формуле (4.111). В случае полностью ионизованной плазмы с преобладанием

парных упругих столкновений согласно (4.98)

парных упругих столкновений согласно (4.98)

w

где

IW,S® W»), w. < wy A„ ~-^-^=;(S.65.)

[Wa 5^2 (^ )>~;(5.656)

“ a '1 al kkBT)3-» Vn«Z

Ma = ma!(ma + m;),M, = m,/(ma + m,), ца/ = maMt; Te = Th = T. Cootho- шения (5.65а)-(5.656) следуют из явных выражений для скобочных интегралов, связанных с взаимодействием заряженных частиц (расчету этих скобочных посвящена гл. 6). Обозначим также mh характерное значение массы ионов, а

(х) е(х) е%н%нmecmecс °hс °hе=нmhcе=нmhc(5.66а)(5.666)(5.66а)(5.666)

(х) е

(х) е

%н

%н

mec

mec

с °h

с °h

е=н

mhc

е=н

mhc

(5.66а)

(5.666)

(5.66а)

(5.666)

- соответственно циклотронные частоты электронов и тяжелых коМ' понентов. С помощью (5.65а)-(5.656) и (5.66а)-(5.666) легко уставо* вить, что

QM+ 16 ее РЧ

Р! * тес

1 ~ — боп р Ро

n(vee+iu/’

>‘t}-i6

^ pq

л

г p+ -I

2-2—n.x

pi 1

e.H

X- ® — 4mema c

Pg

P

(5.67)

(vee+i<);

eM+i6 2__—-,-X=^ pq л/1Г p! Vrnam7c

x V - 6PO nx V - 6PO n

x V - 6PO n

x V - 6PO n

Оценки (5.67) справедливы при np~n (₽= 1, 2,..., Ц) (тогда Pe/P~me/mh, ipe/p~l, a®{h}). Здесь, кроме того, введена характерная частота ’•мрон-электронных столкновений

(квТГ'ат*'а

Ц сравнению с формулами § 3.2 в данном выражении отсутствует ку- *°вбвский логарифм, опущенный для краткости еще при записи ^^(З.бббИ.

Пусть

% ~ de, d.q ~ dh (]®W) . (5.68) **^ебе слагаемое правой части (5.64а) будет в результате иметь 1>6^,Док п (v s+i Gig) Hdg, а второе - порядок /me/mh n 6vee+i са^) dh-

Аналогично в правой части уравнения (5.646) стоят члены поряди Vme/mh n (vee+itiec)"de и /т^ п (vee + i Vme/mh и®) Hdh. Отноцц. ние же порядков левых частей уравнений (5.646) и (5.64а) есть Vni^i Теперь почти очевидно, что

(5.69)(5.69)Hd е h

(5.69)

(5.69)

Из соотношения (5.69) вытекает законность пренебрежения вторых слагаемым (5.64а) (содержащим суммирование по j е {h}) по сравнению с первым. Следовательно, упомянутое уравнение принимает вид

Hd^ (Р=о, 1,...,^).Hd^ (Р=о, 1,...,^).(5.70)(5.70)

Hd^ (Р=о, 1,...,^).

Hd^ (Р=о, 1,...,^).

(5.70)

(5.70)

Таким образом, в (4.146а) нужно отбросить последний чисто мн» мый член и перейти к уравнению (5.70). Иначе обстоит дело с уравнениями (5.646). Они сводятся к (4.1466). если в первых квадратных скобках правой части (5.646) обратить в нуль d^. Эта операция оказывается, однако, некорректной, поскольку все слагаемые в (5.646) имеют одинаковый порядок. Значит, использовать систему уравнений (4.1466) вместо точной системы (5.646) для вычисление { Hd ® ®}. . . нельзя - у вектор-функции {Do} £ ., от которой зав» сит hw (4.139а) - (4.1396), в традиционно применяемом приближении бесконечно массивных ионов, атомов и молекул можно наЙ* лишь электронную составляющую D®. Исследуем еще роль дополни тельного условия (4.148). Вследствие оценки (5.69) оно приводив к виду

lhn.^Hd^=ti.

Итак, коэффициенты Hd^ должны определяться непосредст06^ из системы (5.70) без каких бы то ни было дополнительных ур35^ 268

^ Они, впрочем, и не нужны, поскольку оператор (4.136) не ор- ^рнален импульсу электронов.

Скорости диффузии компонентов смеси и в рассматриваемом слу- yg даются формулой (5.15). в которую, однако, подставляется h^ в уде (4.139а) - (4.1396). Как мы только что показали, с помощью дкгемы (5.70) с достаточной точностью можно рассчитать вклад в уф, пропорциональный вектору de (3.140). Явное выражение для ука- Mflffnro вклада (А®) нетрудно получить, сопоставляя последова- ttiibHO (4.56) и (4.139а)-(4.139б), (4.58) и (4.140), (4.60) и (4.142а)- (4.1426), (4.666) и (4.144), (4.127) и (4.145), а затем привлекая (5.44) и (5.52). Окончательно получаем, что

(5.72)(5.72)Де = - [D (d )„ + D (d ). + Df(d )J .

(5.72)

(5.72)

1 ее' e'll ее ' е'± eex e't1 3w»(de)||, (d£)j_ и (dg)t имеют очевидный смысл, a

в> =- л / вТв*2 у meв> =- л / вТв*2 у meHd®(0);eov 'Hd®(0);eov '(5.73а)(5.73а)

в> =- л / вТв*2 у me

в> =- л / вТв*2 у me

Hd®(0);eov '

Hd®(0);eov '

(5.73а)

(5.73а)

(5.736)(5.736)(5.74)(5.74)^ +iSee=- “Г Л^~ HdU»l '2 V me

(5.736)

(5.736)

(5.74)

(5.74)

Xw= Hde®.

eq ' 7 eq

Вычислим коэффициенты диффузии (5.73а)-(5.736) в низшем при-

^ении по полиномам Сонина (£ = 0). Так как Г ( — ] = — >fit, то, \ 2 /4

11’’"‘зуясь обозначениями (5.74) и (5.66а), получаем

1

1

«о

-0,0. 3 с

Q -i— n w ее 2 e e

^•Фоме того, пренебрегли в правой части (5.70) членом ре/ р по .

' ейИю с единицей]. Подставив последний результат в (5.73а)-

(5.736), будем иметь

й1 _ й± й, . ее _ее ее т

Далее ограничимся случаем простой электронейтраАьной плазмы, состоящей из электронов (е) с зарядом ее = -е (е - элементарный электрический заряд) и ионов (/) с положительным зарядом е,- = е; неупругие столкновения не учитываем. Для такой системы согласно (4.111) и (4.98) в очевидных обозначениях (пе = nJ

Q" - л=( [ *.. *Д „.„ * I*,, *,]„♦[*,. *, ]„|,_,) .

Необходимые скобочные интегралы берем из приложения В:

[W„,W ] . = 1 a jJaj

8-/n(e„epa ^5(2кяТ)-^

2С-21п2-

- In

rD ^В ^

| еа е)|

J0. «1

(5.75а)

8 Ул (еае,)2

IX.Wl -

1(2 kB Г)3'2

rD^B ?

+ 21П2-2С + J»

(5.756)

Как видно из формул (5.75а)-(5.756), первый и последний члеяН®

выражении для Q^ лять при Т = 7* и т.

в сумме дают нуль. Второй член следует вЫЧ^ — о». В результате М. = 1, а це|. = те. Окончатся

пМ = vee

2У2л п1 е« I гпкпТе\

In -^- +21n2-2C + J°. .

т^ЧкдТ^'Д е1е* /

доетим, что знак величины, заключенной в круглые скобки, оп- риделяется знаком кулоновского логарифма In (rD кв Те / е2), по- дюдьку 1п2 и постоянная Эйлера С положительны и меньше единицу, а интеграл J^ также мал по абсолютной величине (см. численный расчет в гл. 7). В то же время, конечно, rD » е 2 / (кв Т®) в силу иде- 1Лаяости плазмы. Значит, Q^ > 0 и, как следствие, 6J* > О, Й^ > 0.

Выпишем далее вектор (3.140), пренебрегая силами неэлектромаг- доой природы, градиентами давлений и слагаемым Qh по сравне- днюс ^h/Pe)Qe(Qh = -Qe = nee, Ph/Pe = m,./me»l; Ph ~Р):

d,= -Ц- Е

* пквТе

Плотность тока проводимости, связанная с электронами, согласно (3.83) равна

J*(1) = -eneVe(I).(5.77)

Вклад в величину (5.77), пропорциональный de, получается подстановкой в (5.77) вместо V^ выражения А®из (5.72):

-епеАее =епе [Д” (de)„ + D^ (de)± + b^l .(5.78)

^рассмотренном выше простейшем случае

”епе^=°1 ^^С °« (Е'>1+ °еА ’(5-79)

где

01"е®21

* 2те’

«i+io*«?.

6 т

^^^шение (5.79) имеет обычный вид закона Ома, а у- Q^ / пе иг-

рает для электронов роль эффективной частоты столкновений. Оче- видно.что о">0 и о"*" > 0. ПриЯ = 0 имеем ы^О и о£«0, а о-*-, еееееееее

= 0** .

ее

Остановимся на вычислении остальных вкладов в диффузионные скорости. Вклад в V?4 (/ • (h) ), пропорциональный VlnTe, в теории, основанной на малости электронной массы, не определяется. Вклад же в V® равен

е; - - [ D^ (V In Те )„ + D^ (V In Те )± + D//V In Te)t ].(5.80)

Здесь

°'. • Т Р^- Ч™:(3.81а)

D,1 + 1D*Ге ГеD,1 + 1D*Ге Ге2кВТете2кВТете(5.816)(5.816)

D,1 + 1D*Ге Ге

D,1 + 1D*Ге Ге

2кВТете

2кВТете

(5.816)

(5.816)

Величины Ha®q (Н) получаем из системы линейных уравнений

-16-16PQPQ%(Н) (р = 0,1, ...,£).%(Н) (р = 0,1, ...,£).(5.82)(5.82)

-16

-16

PQ

PQ

%(Н) (р = 0,1, ...,£).

%(Н) (р = 0,1, ...,£).

(5.82)

(5.82)

Что касается составляющих, пропорциональных VinТ\ то из них можно вычислить только те, которые входят в V^ (а е { и }). Соответсг вующие вклады записываются следующим образом:

е£ = 7 [ О^ (V In Th)и + D^ (V In Th )± + D/a(V in rh )t ] - (^

Коэффициенты термодиффузии находятся по формулам

II _ ! 5kBThТа “ Т х 2 V таII _ ! 5kBThТа “ Т х 2 V таHah (0) ;aov 7 ’Hah (0) ;aov 7 ’(5-S^(5-S^

II _ ! 5kBTh

Та “ Т х

2 V та

II _ ! 5kBTh

Та “ Т х

2 V та

Hah (0) ;

aov 7 ’

Hah (0) ;

aov 7 ’

(5-S^

(5-S^

^•‘"n 7^•‘"n 72kBTh2kBThmamaW (”)W (”)(5.846)(5.846)

^•‘"n 7

^•‘"n 7

2kBTh

2kBTh

ma

ma

W (”)

W (”)

(5.846)

(5.846)

gopie решения системы уравнений

plplnjnjeiH , mamj ceiH , mamj cXX

pl

pl

nj

nj

eiH , mamj c

eiH , mamj c

X

X

(5.85)(5.85)х(ч- T- \o)]'4><»-(m;p-o.1E)-

(5.85)

(5.85)

Далее, при доказательстве линейной зависимости уравнений (5.64а)- (5.646) мы, по сути дела, показали, что

lhlh^№.7)..^aj +1®oq^№.7)..^aj +1®oqei Н m^ №j сei Н m^ №j с

lh

lh

^№.7)..

^aj +1®oq

^№.7)..

^aj +1®oq

ei Н m^ №j с

ei Н m^ №j с

Если справедливы оценки (5.67), то Q^4^ ~ Q^- Одновременно ^Ч * Ра/Р ~1> а ре / р ~ те!т\ Следовательно, в приближении, ис- Пбльзующем малость параметра /те/ mh, нужно при всех /ид считать

О (о,д) v»iО (о,д) v»iГГnini^тат$с^тат$с= 0.= 0.

О (о,д) v»i

О (о,д) v»i

Г

Г

ni

ni

^тат$с

^тат$с

= 0.

= 0.

^•еднее равенство означает линейную зависимость уравнений ^MutS.SS) для р = 0. Дополнительное уравнение выгляди! здесь Логично (5.71):

(5.86)(5.86)f п^яоД(/{) = 0.

(5.86)

(5.86)

Условие (5.86) можно обычным образом учесть путем модификации системы (5.85). В результате имеем

к /2k„Th5.

— ". у v- д ^ о<§” ® х ® «д (а « {hl;p = 0.1t),

причем матричные элементы Q^:^ (Н) даются формулами (5.50) и

(4.129).'

Выпишем, наконец, вклад в скорости V® (а е (hj) от членов функ- цйи первого приближения (4.139а)-(4.139б), содержащих dh:

j

h= zh [рЮ1^) . D(k)L ^ = D№^ ]/5 88j

a j aj j I «j ' j '1 a; j't14'

jke^h^

В выражении (5.88)

D№‘-(5.8«

aj 2 V ma ao

С«\1О«'.У /^Vow(W.(5.«M)

aj aj 2 V ma ao

Для расчета коэффициентов Hc h ^'к^ служит система линейных ал- aq

гебраических уравнений

t^ ь®, в®, ^ и e£ имеют соответственно вид (5.72), (5.80), (5.88)

I (5.83). Плотность тока в первом приближении обобщенного метода ускога определяется по формуле

(5.92)(5.92)j(0e Je^ + jh 0), /^выражается через V® посредством (5.77), а

(5.92)

(5.92)

[см. (3.83)]. Следует учитывать, что существуют, вообще говоря, и другие нелады в диффузионные скорости V® и Va®, однако для их расчета нужно решать системы уравнений, подобные точной системе (5.64а)- ^646). Матричные же элементы Q^’^ и О^’9^ таких систем могут быть получены лишь путем распространения и без того громоздкого «шарата вычисления скобочных интегралов (см. гл. 6) на двухтемпературный случай. Впрочем, формально упомянутые вклады выписывается без труда. В заключение отметим еще, что выше при проведении оценок неявно использовалось условие vee ~ ы ^ .

5X4. Сводка формул по скоростям диффузии. Дадим теперь сводку результатов по скоростям диффузии. Нами рассмотрены: а) многокомпонентная частично ионизованная газовая смесь в отсутствие магнитного поля и при 7* = rh - Г; б) та же однотемпературная смесь, ко в магнитном поле (Н * 0); в) двухтемпературная (7е * 7*) многокомпонентная смесь в магнитном поле. Упомянем предварительно о расчете тензора давлений первого приближения. В случае а) тен- *Р Р® определяется формулами (5.3), (5.7) и (5.8), в случае б) - фор- ЧОДи (5.9) и (5.10). Наконец, в случае в) нужно использовать соотношения (5.9), (5.12) и (5.13) так, как это описано в § 5.1.

Вычисление диффузионных скоростей производится следующим °®Разом. Случай а):

V?e Z D^ d-D-VlnT;

j=i aj J Ta *

• i*k

°^=Л Г”1 c(Lk)-P =— / 2квТ а •

с z

<1-0

ИZP-i

n<p,q) p (i.k) vap %q

2 у ”«

czq=0czq=0Z ^Ma —^n FSL 6 (a-1,2ц;

czq=0

czq=0

P=1 “₽014“ V ma P1

P-0,1t);

№tL 0M_0M vap «a₽ «aa№tL 0M_0M vap «a₽ «aa2224 6 « .

№tL 0M_0M vap «a₽ «aa

№tL 0M_0M vap «a₽ «aa

po qo ’ na Vma

где Q^ определяется равенством (4.111). Для V^ могут быть использованы и иные представления. Например,

ц

'«* 1 M-Dr.71"r ■

i#^ где

D bD®-D®

vaj uaj uwx >

причем подразумевается, что D^ =0. Возможна также запись

v“l- f.AiwtoT'-v“l- f.AiwtoT'-Ап Г^вА.(j).D«*" 2 J m.'"'Ап Г^вА.(j).D«*" 2 J m.'"'

v“l- f.AiwtoT'-

v“l- f.AiwtoT'-

Ап Г^вА.(j).

D«*" 2 J m.'"'

Ап Г^вА.(j).

D«*" 2 J m.'"'

(a = 1,2ц; p-0,1,...,^).

Отметим, что

D^-d .-d ai ak a)

Диффузионная термодинамическая сила равна

и 2

j = i

dy =0.

Плотность тока проводимости можно записать в виде

о- — ЕР мо- — ЕР м

о- — Е

Р м

о- — Е

Р м

Р U\ ц

—— Z eR По - ef л,-1 2 во nR D^ ;

Р р-1 Р Р J '/ р-1 р р р'

1 и

V- Е

т 3-1

еЗпЗ°тр-

Случай б):

• [D^ (Vlnr)g + Dja(VlnT)± + D/a(VInr)( ];

^1 e П 1г^вт

<i " 1 ^ ma

Hdi (0); ao v 7 ’

t *3/ 2к=Г / p„ \

у £ O^’^fH^d^ fH) = /I6 .16 :

До p-i °ap ’77 2 V\ p “J ₽0

J, s=„ oy®4 ®

(a=l,2

QaV ^ "ОУ ^ -О?^ ^^ 6p0V

X 6„Rfil.

Ip Po j

Мы подразумеваем также, что для любого вектора Z

Плотность тока имеет вид

-Л [%<V7V% (”')1 + »„(vr),l.

где

1 I Р; *\ А

°«i ~ р е«па^п1 р p?i ер Пр/ Dai ’

1

а у а а Га

(два последних соотношения справедливы отдельно для парал^ ных, перпендикулярных и поперечных компонент):

— I eene-e,n, V м- * мL Vlnp -

Р p_j р ₽1 11 V \ п I \ ” р /

Здесь

qM.qM*

где Q(p>4)tt определены формулой (4.98), в которой скобочные ш ее

тегралы вычисляются при Т»Те,ате/т. = 0 для j®^. Наконец,

d = — -— [ - phF + ShpoFo+ (lheRnR*ph —j e' + pnkBT« e p 3 3 \p 3 3 me I

+ — Vpe-Vph .

Далее,

V®- Zh Ю^1^ ♦ D*L ^VD^V^XV

a j a; J aj J ± aj J r j*k®W

- [ D^ (VlnTh) + D^ (VlnTh). + D ‘ (VlnTh )J;

D(k)l= J? /^ Hch(j.k) (0); aJ 2 V m ao

V ma

D^^iD*'- ^ p5iH^M (Я); aj aj 2 V m a0 a

DDII TaII TaL [l^aak2 V ma «оL [l^aak2 V ma «о(H):(H):

D

D

II Ta

II Ta

L [l^aak

2 V ma «о

L [l^aak

2 V ma «о

(H):

(H):

DTa * VDt” —H° h W

Ta Ta 2 у m a0 a

J, J °aB ® % ,H) Tj^T®"* "^ ^

т Thn^p,q^/mHnh rm- 15 гквт

2 21 g«r W or (H) =- n /л

e«0 P “p ₽44« у ma P*

Патричные элементы Q ^ (H) формально выглядят здесь так же, как в случае б), однако при расчете элементов Q w*4* по формуле (4.Ш) следует полностью исключить электронную компоненту. Век- ropud^ имеют вид

- 2 Рв FB + — Е р р\ р "*р/- 2 Рв FB + — Е р р\ р "*р/

- 2 Рв FB + — Е р р\ р "*р/

- 2 Рв FB + — Е р р\ р "*р/

Плотность тока равна

J^ = -ene Ve(1)+Eh еапа V®

5.3. РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

Релаксация при отсутствии магнитного поля. Согласно (3.86) в (3.77) в рассматриваемом режиме течения

q0)= х 5 V '^f^h^dV^(5.93)

р=1 р 2 р р р

(индекс группы компонентов опущен). Подставив в формулу (5.93) ^ в виде (4.51). после простых преобразований будем иметь

«®. 2»1 х3р-1«®. 2»1 х3р-12^Р2^Ри

«®. 2»1 х

3р-1

«®. 2»1 х

3р-1

2

^Р

2

^Р

n S D/d, -/-1 Р 1

'■A^\nT)dVa +рр

SkBT 11/ 2квТ Г ,т „ Ц :

+ *Т~ Z / /в W^n 2 Db d/ " АР Vln Г) ^Р * (5 94)

6 р-1 V «р .1 р р /=1 р

Введем коэффициент теплопроводности, связанный с трансляци011. ным движением частиц:

к 11 , «вXЕ3 р-1к 11 , «вXЕ3 р-1^Р W^V (5.95)^Р W^V (5.95)Кроме того, заметим, чтоКроме того, заметим, что5квТ * р^Т6Р=1 V «"р5квТ * р^Т6Р=1 V «"рf^WHn Е z/d-ApVlnDdVp-р рр J ррf^WHn Е z/d-ApVlnDdVp-р рр J рр-Тквт? п^.1 р»1 ₽ ₽В результате-Тквт? п^.1 р»1 ₽ ₽В результате55г 5—(1)- XVT + -kBT е npvl -2 p=i р Рг 5—(1)- XVT + -kBT е npvl -2 p=i р Р(5.96)(5.96)Преобразуем далее очевидным образом первый член формулы (5.96):Преобразуем далее очевидным образом первый член формулы (5.96):кпТ И И^ВТ Г ,т /5 \— Е —— /(0) ^ - —3 р-1 VШр J & \ ₽2 /кпТ И И^ВТ Г ,т /5 \— Е —— /(0) ^ - —3 р-1 VШр J & \ ₽2 /^n Е D4.dVR =Р j=i Р 1 Р^n Е D4.dVR =Р j=i Р 1 Ркд Т П И Иz«xг— -^-Е d; E S^S^^VpDp dVp-3 y-i v p-i Pp н p p pкд Т П И Иz«xг— -^-Е d; E S^S^^VpDp dVp-3 y-i v p-i Pp н p p pI* P.■"p,?,dr,.!:1 sf^*»5- WPVN»-I* P.■"p,?,dr,.!:1 sf^*»5- WPVN»-= - p E 4: nCD1 W, £[4W]).Мы воспользовались уравнением (4.44) и ввели скалярное произв^ дение в пространстве Н согласно (3.193).= - p E 4: nCD1 W, £[4W]).Мы воспользовались уравнением (4.44) и ввели скалярное произв^ дение в пространстве Н согласно (3.193).

к 11 , «в

XЕ

3 р-1

к 11 , «в

XЕ

3 р-1

^Р W^V (5.95)

^Р W^V (5.95)

Кроме того, заметим, что

Кроме того, заметим, что

5квТ * р^Т

6Р=1 V «"р

5квТ * р^Т

6Р=1 V «"р

f^WHn Е z/d-ApVlnDdVp-р рр J рр

f^WHn Е z/d-ApVlnDdVp-р рр J рр

-Тквт? п^.

1 р»1 ₽ ₽

В результате

-Тквт? п^.

1 р»1 ₽ ₽

В результате

5

5

г 5—(1)

- XVT + -kBT е npvl -

2 p=i р Р

г 5—(1)

- XVT + -kBT е npvl -

2 p=i р Р

(5.96)

(5.96)

Преобразуем далее очевидным образом первый член формулы (5.96):

Преобразуем далее очевидным образом первый член формулы (5.96):

кпТ И И^ВТ Г ,т /5 \

— Е —— /(0) ^ - —

3 р-1 VШр J & \ ₽2 /

кпТ И И^ВТ Г ,т /5 \

— Е —— /(0) ^ - —

3 р-1 VШр J & \ ₽2 /

^n Е D4.dVR =Р j=i Р 1 Р

^n Е D4.dVR =Р j=i Р 1 Р

кд Т П И Иz«xг

— -^-Е d; E S^S^^VpDp dVp-

3 y-i v p-i Pp н p p p

кд Т П И Иz«xг

— -^-Е d; E S^S^^VpDp dVp-

3 y-i v p-i Pp н p p p

I* P.

■"p,?,dr,.!:1 sf^*»5- WPVN»-

I* P.

■"p,?,dr,.!:1 sf^*»5- WPVN»-

= - p E 4: nCD1 W, £[4W]).

Мы воспользовались уравнением (4.44) и ввели скалярное произв^ дение в пространстве Н согласно (3.193).

= - p E 4: nCD1 W, £[4W]).

Мы воспользовались уравнением (4.44) и ввели скалярное произв^ дение в пространстве Н согласно (3.193).

Рассмотрим теперь два последних слагаемых оператора (4.4):

f?l4-J-Z Z r®l'‘4hV

<х к 4 г Руб<р ® аР?

+ 4-22(5.97)

о Г Рубф а аР

Пусть у* (Уа}ц = 16 Н. Тогда, используя соотношения (4.104) и (4.103), совершая переобозначения немых индексов, а также переставляя, где необходимо, прямые и обратные столкновения, можно убедиться, что

12 г «Рубф а р ар г и V

- (Ьа + hp)] [(уа + Ур) - (у?' + Уб + Уф)] g„p d о^Ф d Va d Vp. (5.98) Очевидно,

Bro же время, подобно (4.76) [см. также (4.24)],

^^(еТбф _Vp^3 /^а^Р V .(0)'(0)' (0)'_

“ ₽“₽V6S<₽ \ттт6тф/ 7 6 ф

-f«C=°W.(5.99)

Следовательно,

(у, Х*»^])»^,/» [у]) + О(е).(5.100)

Далее, имеет место равенство

.V^^f^ ^Md,,- I Shj”l Z Z Mld,a. (5.101)

J = 1a = i;=i

в котором £а. [h] определяется соотношением (4.16). При доказательстве (5.101) вычисления проводятся в той же последовательности что и в § 3.2 [см. переход от (3.61) к (3.62)]. Дополнительно использу’ ется лишь переобозначение немых индексов а и j. Благодаря результатам (5.100) и (5.101) свойство (4.77) оказывается справедливым для полного оператора (4.4):

(5.102)(5.102)(UM=Ua,M+o(£).

(5.102)

(5.102)

Вернемся к первому слагаемому выражения (5.96), которое мы и .

привели к виду {-р I d.- n (D^M, £ [A W])}. Как ив §4.3, в рам- i-t

ках приближения Навье-Стокса можно заменить (D1 W, £ [A W]) на (£ [D; W ], AW), т. е. пренебречь членами О (е). В итоге получаем

квт и Е3 р =1квт и Е3 р =1u _iп Е IT d,dVR = j=i Р ' Рu _iп Е IT d,dVR = j=i Р ' Р

квт и Е

3 р =1

квт и Е

3 р =1

u _i

п Е IT d,dVR = j=i Р ' Р

u _i

п Е IT d,dVR = j=i Р ' Р

= -р Е d,n(Z[D'W],AW) = /=1

И И ml/ Ре \

ртрт— р z dr z S L — «„- г W>d,r j=l Р=1 р пр \ р / р р р р

рт

рт

5 dyj ГА-М V dN

j=l 1111 tlj J J

d 1111 rmц

* ^ d- Д 1 ;« m»v»',edv» ■ - РД Dr;di'

При проведении преобразований мы воспользовались последователь но уравнением (4.52), условием (4.45) и определением коэффициент^ термодиффузии (5.18). Просматривая наши выкладки, легко заМ^

тить также, что

IDr/-n(AW,I[D^W]).(5Л03)

ЦйК, тепловой поток (5.96) окончательно принимает вид

.«^--хчт-р Z D-.d,* — квТ Z nRV™.(5.104)

j =1 Т1 120 = 1 р Р

Из определения коэффициента теплопроводности (5.95) и из урав- дртя (4.44) без труда выводим

lX'--kBfi(Z[.4WMW).(5.105)

расчетная^формула для х' получается подстановкой в (5.95) вместо 1 (Wp) разложения по полиномам Сонина (5.246). В результате ин- дарирования с привлечением соотношений (4.92а)-(4.926) имеем

^ е - Т кв 2 пв / -^ «аг(5106)

40 = 1 р V mp Р

Выражение (5.104) можно преобразовать, введя термодиффузионные отношения {кт}*? f [85] как решения системы линейных уравнений

U11

Z Du k=D_(i- 1,2ц),2 kTi - 0.(5.107)

Сначала, впрочем, отметим, что [см. (5.35) и (5.107)]

Ч— 2 Da.(d. + kT,VlnT).(5.108)

Имее, в силу (5.41) и (5.97) с необходимой точностью

^=^а.(5.Ю9)

Отсюда

DT.d,« Z DnkTA- Z ПиктД=’

<"1 Г i.J*l 1 Т) i,j=t 1 Т)

Ц РР -т

^•*<Х образом,

^•-xvr+p Z lkTi+ — —)vW,(5.110)

j=i \ TJ 2 п J

где

(5.111)(5.111)и

(5.111)

(5.111)

X = k~nkR I kT.DT.. в j = 1 Tj Tj

Получим для коэффициента теплопроводности смеси X полезное представление. Вследствие (5.105) и (5.103)

и

IX = - ksn(£MW],4W)-квп Z кг. (£[пО(М].А¥) =

i = lI

--квпЩА W+ 2^ kTi nD’W],AW).

Преобразуем еще величину

(£[AW+ Z kr,nD‘W], Z kT,nDzW) =

= E кт.п^АМ^ГН¥^ E n2kT. ^^[D’WLD'W^

J=1 Пij = ia Tj

PpA

-I Z tD-I Zt].,lП„-0.

/=1l,j=l

В итоге находим, что РР

IX = - кдп (£ [A W + Z kTi nD'W],AW + Z krinD*W). (5.112) i = li=l,

Кратко рассмотрим вопрос о разрешимости системы уравнений (5.107). В силу (4.50) и (5.41)

Z — В.. =0(5.ПЗ)

/-1 Р и

ИИ(5.И4)(5.И4)z А. р =о J-l рz А. р =о J-l р[кстати, соотношения (5.109) и (5.113) показывают, что существу®1 всего лишь ц(ц - 1)/2 независимых коэффициентов диффузии]. ОД‘ новременно из (4.50) и (5.103) следует еще один результат:

И

И

(5.И4)

(5.И4)

z А. р =о J-l р

z А. р =о J-l р

(значит, имеется только ц -1 независимых коэффициентов ^^^ * диффузии). Умножим теперь первые уравнения системы (5.107) с

дотвенно на p, / p и просуммируем результаты по i от 1 до ц. В ле- pf.fi части оказывается

ии»-1»-1- Z D..kT.= Е к. Р J-11 Т] j-i- Z D..kT.= Е к. Р J-11 Т] j-iI* Р, А ' — D..= 0 Р 11I* Р, А ' — D..= 0 Р 11

и

и

»-1

»-1

- Z D..kT.= Е к. Р J-11 Т] j-i

- Z D..kT.= Е к. Р J-11 Т] j-i

I* Р, А ' — D..= 0 Р 11

I* Р, А ' — D..= 0 Р 11

^следствие (5.109) и (5.113)]. В правой части сразу получается нуль д-за соотношения (5.114). Итак, первые уравнения (5.107) линейно зевисимы. Исследуем далее, при каких значениях постоянных (Xj},.! вообще возможно равенство и

Е x^W-O.(5.115а)

<-1

Если (5.115а) выполняется, то, как это ясно из уравнений (4.52),

хе- Срв/р.

В итоге имеем единственную линейную зависимость типа (5.115), выражаемую формулой (4.50). Поэтому можно ожидать, что ранг октемы, состоящей из первых ц уравнений (5.107), равен ц-1. Об- *еже решение ее, очевидно, выглядит так:

4r*Ti*cpi/p •

Змесь {kjp^ t есть некоторое частное решение этой системы, С - произвольная постоянная. Подставив кт. в дополнительное уравне- О (5.107), найдем

и

I к®. +С = 0.■

М Т1

^Яовательно. С определяется единственным образом, а полная ?Ома (5.107) однозначно разрешима. Заметим, что (5.107) легко "Образовать • к крамеровскому виду. В самом деле, если / - про- "Ольный номер от 1 до ц, то

к J к .

.L KTi ’

j” 11

I* А•* А Л Ц ,Л A ,

Д "Аг ^iWrr.^^-Vb-

Таким образом, вместо (5.107) получаем

(5.1156)

3.2. Учет магнитного поля. Перейдем к случаю б) (см. п. 5.2.4). Здесь q(1) по-прежнему дается формулой (5.94), но в качестве h® берем функцию (4.56). После простых выкладок оказывается, что

9®— квтД J /®S®3(^)Vp [- Ар-VlnT+nД D<d.]dVp +

+ — к-Т X о-У®..(5.116)

в р-1 Р Р

Рассмотрим интеграл

Согласно (4.58)

V ^N^s^ W»W^VAtVu*^

V In TdV„.

p

Далее величины Zp преобразуем так же, как выражение (5.42). В результате получаем

V ^W^U^ G^X'V V

+ (VinТ)± j /р(0) S^ (WJ) Re "a® • Vp d Vp +

+ (V in T\ 5 /p(0) S™2 (WJ) ImV • Vp d Vp ].

Если положить затем

V-vp- J~ ^p \H%<iWst^?’p p V mp “ g=o“

ф после подстановки в Z^ этих разложений и интегрирования ока- хется:

у- f "s/v- ^"П/^т^пГ^ЕеХОТ*

(V In T)t Im HOfU(H)L

Теперь вместо (5.116) записываем:

qd) = - [/ ° (V Т)н + / 1 (V Г)± + x' '(V T\] -

pl d.. Z W^S^tw^N dV + j =10=1 p pppp

4 k_T Z n0V(1).(5.117)

2квТ mp2квТ mpКоэффициенты теплопроводности, входящие в выражение (5.117), рассчитываются по формулам

2квТ mp

2квТ mp

A =- —kBl nR 4 Bp = l ₽A =- —kBl nR 4 Bp = l ₽41(0):

A =- —kBl nR 4 Bp = l ₽

A =- —kBl nR 4 Bp = l ₽

(5.118)

4 Вр=1 PV mp pl

% 41(0) и 41^ - те же самые’ чт0 и в предыдущем параграфе.

Займемся теперь суммой интегралов У f^1D^ • d. S э ,2 (IV®) Vg d Vp.

^^ые преобразуются подобно Z^:

(^)VBdVe- A [(d,)h5 /»5» 1^ X” •

YpdVp + (dy)j^ j /p S3/2(Wp)Re Dp • * VPdVp+(dy), s /p’^^^pim Я1Ур(2). VpdVp],

Вектор-функции {HD^ ^} ^ (s = i, 2) удовлетворяют уравнениям [ф (4.44), (4.52) и (4.656). (4.666)

X[V 4-^» HM"D;™dV ^(6«,--7")Va М»»)

(« =1,2Ц).

Далее,

* (d 1 Z ( f^S^ (W^^ni^ .v dV = “TVi Д 3 4 S3,a(V Dp vpdvp

- WA ■ Д ^^^^у/п'/11 dV, .(d,), •

= (d.),, • n (I [ V], “tf0)) - (d^ • n (ЯА(1), £ [н^ 0) ]) =

S f®HxS f®HxcopcopiiVpdTP =VpdTP == (dPn’ EJ 11 p-1= (dPn’ EJ 11 p-1"p"p

S f®Hx

S f®Hx

co

p

co

p

i

i

VpdTP =

VpdTP =

= (dPn’ E

J 11 p-1

= (dPn’ E

J 11 p-1

"p

"p

Мы использовали уравнения (4.656), (5.119a) и соотношение (5-^ опустили члены порядка е, а также ввели коэффициенты термоД** фузии [для этого достаточно сравнить раве •* (5.44а) и (5.446)].

Более сложным оказывается преобразовг. дующих слагаем»»

-?ч>1,?,5 t®s”« «^ r= “Drv''n ■

162

17- 9) Т«'/$ Г (РТа"( ЛРЛ| ‘"ш^х

XXгг(Н • А) —(Н • А) —ю- гАю- гА®г г д ^ = ® (0)И a Zя®г г д ^ = ® (0)И a ZяdAdA’<»1вчгТ»1*’<»1вчгТ»1*

X

X

г

г

(Н • А) —

(Н • А) —

ю

- гА

ю

- гА

®г г д ^ = ® (0)И a Z

я

®г г д ^ = ® (0)И a Z

я

dA

dA

’<»1вчг

Т»1*

’<»1вчг

Т»1*

+ A-X^-U^ tj^/S z -Vp)^.

g, „3 g,, ’•<

кр^н'гй^н gg//, (#)^S Z*

* Ap 6)fQH 6) vh9?^; л»^'

-(<о/ая,1Л)7)" т('|>)|’а-|',*₽ю?Он [Л, 4" "'■

" W? ] s'y Tc'«!’a- j8ap а^1я X

XXX) лKP®VHX) лKP®VHг(Н- A)— " =Aг(Н- A)— " =Aв - l-»d э»1ачг „.^^ ^А-бТ-''"в - l-»d э»1ачг „.^^ ^А-бТ-''"

X

X

X) л

KP®VH

X) л

KP®VH

г(Н- A)— " =A

г(Н- A)— " =A

в - l-»d э»1ачг „.^^ ^А-бТ-''"

в - l-»d э»1ачг „.^^ ^А-бТ-''"

+ d 1^я1_[ У ]dj] ^г’з’1 .T^iaa'dVH^rH‘ Vh1 J x№ 1 ^ VP,j

-(8ap1iX9a(^)%‘Sms/s'z9.t(,p))’«>

Аналогично и

t ^Ч1.! Sf”s™=w?1™H4',' v»d''»"DTiwA-

Здесь нам потребовались уравнения (4.666) и (5.1196), а также ус.

ловия ортогональности вектор-функции { D_ L и { А } век- р р = 1р р=1

тору импульсов:

P?tЧ mPVP DP dVP"0’

2 J fa mpVp A dVp-0

p=ipp

[последнее из этих условий сводится к равенству (4.64) при $ = 2, первое имеет аналогичный характер]. Итак, доказано, что [с точностью до членов О (е)] выражение (5.117) для q(1) может быть переписано следующим образом:

q^= - [ Z 1 (V Г)н + V1 (V Т )±+ Хиф T)t ] -

ЦЦ

-Р z [^/d,),*!^;)^^nsv™.(5.120)

Нам остается получить тепловые потоки лишь в двухтемпературной ионизованной смеси (случай В). Согласно (3.86), (3.77) а (4.139а) (см. также замечания, сделанные в конце п. 5.2.3) пишем

е(О= у (0> у [- Ае-Vin Те+n D® • d ]d V =

ч J2 е 1 ее е е

= - kB r j f^sS, (^=) V [- Ае • VlnTe + п D® dj d N, + сс с gвсе

+ LkBTeneN^.

Далее по аналогии с вышеприведенным преобразованием интеграла ^

5 /е(0) 5з/2 (^) Ve [- Aj • Vin Те ] d Ve =

s - ~ ne —T- №!<), V (O) + (VlnTe). ReHae (H)*

* V meи ei± el

HVlnr^Im^^]. j точности также

5f*1 kg THeи

T"6/”^"t^H del (0) + (de)±Re d^H)*

+(<Wm “d^ (H)].

Окончательно имеем

ed) 5 . jlkBT ,, е. He

1 = T kBne J -S7~ KVT )g °el (0) + + (VTe)± ReHaeex (H) + (VTe)tIm “a^(Я)] -

4 ^ J^- "»d.)| X (0)*(d,)1R=V,№> *

♦(VtIm Hdeei (H)^+4 p(e)Ve° •(5 l2I)

Тепловой поток, связанный с тяжелыми компонентами, вычисля- похожим образом. Сначала записываем, что

4h (1)= 14 Vp ^- /р(0)[- Ар • VlnTh + tnh £l c^y.^jdv^.

"-^Т* Z4f™s™ dV^IVnI-A^VlnT*»

*"h Г c»'ti'ditdVTk»Thvv»- i^kG ft)

а отсюда после преобразований очевидного характера выводи», итоговую формулу"

qh (i). i к z н n /^[(v J*) Hah (0) + (V 7*) Re Hah (Ц) * 4|3 p уpl-L pl .

+ (V Th) ImHak (H)] - -1. ph 5h nW_ x

f Pl 4 p P V mp

X E h [ (d* )я Hc^«У (0) + (dj1)± Re Hc^‘ k) (H) +

j*keW

+ (dh), Im Hch a k) (H)] + 4" fc Th Eh ne V?.(5.122)

J ‘pi2”о P P

.4. СВЯЗЬ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ТЕРМОДИНАМИКОЙНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ

(5.123)(5.123)Покажем, что полученные нами результаты согласуются с требованиями феноменологической неравновесной термодинамики. Как известно (см., например, [44]), гидродинамические уравнения (без выражений для входящих в них потоков) являются макроскопическими соотношениями баланса тех или иных физических величин. Разумеется, в таком виде они очень просто выводятся и из кинетических соображений. Пусть аа (г, va, 0 - некоторая скалярная, векторная или тензорная функция (молекулярный признак). Среднее значение аа определяется соотношением [ср. с (3.77)]

(5.123)

(5.123)

“а = "7 «а <г> va’ Ша <г> va 0<На- a J

Умножив кинетическое уравнение (4.1) на аа и проинтегрировав 00 всем va (для простоты считая магнитное поле равным нулю и обозя* чая интеграл столкновений через /“*), без труда находим [Ь С-^Ь что

_ Г9аа

—t(na°a) + V-(na°aTa)-na 77+Ta-Vea +

♦F.' ^ «. " $ -.1. 1*«Р-124)

[cM. также (2.1)].

Положив в (5.124) aa = 1, получим уравнение неразрывности для

компонента смеси Аа:

^V^MM"^.(5.125а)

Здесь

(5Л25б)

- скорость образования частиц сорта а в единице объема. Умножив уравнение (5.125а) на та, преобразуем его к виду

£♦’[₽„’.*1.1-(5.126)

Где диффузионный поток компонента Аа

1.-P.V,.(5.127)

Согласно (3.72а) (М = 1; v1 заменяем на v0) и

Wio= 2 Pava.

a-1

Окюда имеем и и

Z V Z Р« <v«-vo) = 0-(5-128)

«•1 а = 1

Далее,

и

t mH =0,(5.129)

рольку в каждом столкновении сохраняется суммарная масса ^ИЦ. Складывая теперь все равенства (5.126), получаем в силу ‘^ и (5.129) уравнения неразрывности для смеси в форме

(5.130)(5.130)Ор

(5.130)

(5.130)

аГ * v • (р v0) - о.

Уравнение движения выводится следующим образом. При

° a = ma va (5-124) принимает вид

у (p« *. + J.) + V • (P.(»o + V,)(,.♦¥,)) - p„ F, -

u a a a a

Так как полный импульс в результате столкновений не изменяется, то

^"A^V0’(5-131)

Следовательно,

а

4 (Р v0) + V • (р v0 v0) + V • Р- Z PaF =0

8ta=i

[мы учли также равенство (5.128)]. Здесь тензор давлений и

Р= Z paVaVa.(5.132)

a-1

Наконец,

V 1 (р v0 v0) = v0 V- (р v0) + р (v0-V) т0 .

Таким образом, принимая во внимание (5.130), получаем

dvQц

р—+p(To-V)vo + V-P- Z PaF =0.(5.133)

dta = i

Далее положим в (5.124) oa = m* V^/2 + e^ [напомним, что \ = t# " - Vo (г> 01. а затем просуммируем результаты по а от 1 до Ц. В итоге после несложных преобразований придем к следующему уравнение баланса внутренней энергии:

-J- (P^)+v-(P^vo) + V-qtot+P:Vvo- Z F-J=O. (5-^ dta=1 a a

Здесь мы, как и в п. 3.3.7, ввели термодинамическую внутреВйЮВ энергию 0, приходящуюся на единицу массы смеси, соотношением

PU= Z (— р V= + n е L(5ЛЗЙ

I 9 a a a а/a=i \ 2/

Кроме того, вектор теплового потока

(5.136)(5.137)(5.136)(5.137)I1 е tot

(5.136)

(5.137)

(5.136)

(5.137)

о = q+ S J ,

а =1 а

Ц

qe £ — Р„¥2У„. а-1 2 а а “

Одним из основных положений неравновесной термодинамики является гипотеза локального равновесия, согласно которой среда рассматривается как совокупность элементарных областей, находящихся в равновесии. Предполагается, что к единице массы континуума применимо соотношение Гиббса, объединяющее первый и второй законы термодинамики для равновесных систем:

(5.138а)(5.138а)d§= ^[dt) + pdK Z p„dNaJ. Га=1 « а

(5.138а)

(5.138а)

Здесь S - энтропия, а V = 1/ р - объем единицы массы; Na = па V = ^па/р- число частиц компонента Аа в этом объеме; Ра - химический потенциал а-го компонента. Равенство (5.138а) можно использовать

для вывода уравнения баланса энтропии, если учесть, что диффе- ^ d\ А А ц

ренциалы dS, du, dV и {dNj относятся к единичной массе, переа а=1

мешающейся как целое в лабораторной системе отсчета со скоростью f л»-. Таким образом, скажем, dS / dt следует рассматривать как субстанциональную (полную) производную по времени, где оператор d/dt5 d/dt + v0-V. Итак, вместо (5.138а) имеем

.АА А Ц Ап

<81 dU dV * dN„

(5.1386)(5.1386)■"'"*- = _ — + pZ ц —?

(5.1386)

(5.1386)

dt T [dt dt a-1 “ dt

Выражая далее У и Na через р и na, легко получаем

d§ 1

"dt ~ Т

dd

И

*( Е ' a-i

Р) — — а а р dt

** dn

I Ц —5 а-1 а dt

(5.138в)

Уравнения неразрывности (5.125а) и (5.130) без труда переписыва* ются в субстанциональной форме:

"^у = ~ па V v0 - V (па Va) + Яа ,(5.138г)

2L,-pV-v0.(5.138л)

Аналогично для уравнений движения и баланса внутренней энергии

dv0и

р _ =-Vp+ X paFa;(5.138е)

лц

Р^ =-V qtot-P:Vvo+ X Fa J„.(5.138ж)

Подставляя теперь в равенство (5.138в) вместо dntt!dt. dpldt и pdO/dt соответственно правые части (5.138г), (5.138д) и (5.138ж), находим

Ц + X a = lЦ + X a = lр— = V qtot-(P-pI): Vv0 + dt Т

Ц + X a = l

Ц + X a = l

FaA + * “ VA~ 2 Ha Аa=i maa = i

Поскольку, очевидно, в силу (5.130)

dS/ д§р— = р dt\ dtdS/ д§р— = р dt\ dt+ Vg*V5 I + 5+ Vg*V5 I + 5(д p — .\ Э a

dS/ д§

р— = р dt\ dt

dS/ д§

р— = р dt\ dt

+ Vg*V5 I + 5

+ Vg*V5 I + 5

- + V-(pT) = (ps) +dt01 dt v ’

+V-(pSv0),

то окончательно

-L(pS)+V pvo+± q^‘_ _L s _^ j ' 9f\ T1 a = 1 m

p-pl1 11

-—— :Vv0-AE цаИа.(5.139)

1T а«1

До смыслу Ро - энтропия единицы объема смеси. Поэтому вектор

q$=psv0+4- qtot" 4 z ^ J«(5Л40)

Тг а=1 та

интерпретируется как плотность потока энтропии, а член

_ L21;Vv0- — Z Ua7ta(5Л41)

1 а=1

характеризует производство энтропии, col г

Выпишем выражение (5.1256) для К^ подставляя 1^ [интеграл столкновений уравнения (4.1)] в явном виде. Отметим предварительно, что

SdVaj(fJ)-°-

Этот результат легко получить, проследив, например, за ходом преобразований величины (3.61) (см. п. 3.2.3). Таким образом,

ГГг z2 рубг z2 руб+ Z-L Zг 4 руб<р J+ Z-L Zг 4 руб<р Jта ^р ^ута ^р ^у$„ $р «уh’ $6 $<р$„ $р «уh’ $6 $<рГЛе ТП,_' О ФГЛе ТП,_' О Фf - f Lf X Ф 'а'р'уf - f Lf X Ф 'а'р'у

Г

Г

г z

2 руб

г z

2 руб

+ Z-L Z

г 4 руб<р J

+ Z-L Z

г 4 руб<р J

та ^р ^у

та ^р ^у

$„ $р «у

h’ $6 $<р

$„ $р «у

h’ $6 $<р

ГЛе ТП,_' О Ф

ГЛе ТП,_' О Ф

f - f Lf X Ф 'а'р'у

f - f Lf X Ф 'а'р'у

Х [ ^«7/ (т6 тФ )3 1 dva dvp dvy dT6 dS +

+ 2 — Z fr 6 Рубф]+ 2 — Z fr 6 Рубф]' sasph3- Уб5Ф' sasph3- Уб5Ф

+ 2 — Z fr 6 Рубф]

+ 2 — Z fr 6 Рубф]

' sasph3

- Уб5Ф

' sasph3

- Уб5Ф

X I ^ap 6 Ф (mT m6 m4 V i dTa dvp Ц dv6 d¥»(5Л42>

(a = l,2....,p ).

11*а*РVs*а*РVsх f^-Mtх f^-Mt8„п d о rJS dv„ dvft +«Р ар «Р8„п d о rJS dv„ dvft +«Р ар «Р+ Z IF z К + мр-ит-ив-нф) г а0?6ф+ Z IF z К + мр-ит-ив-нф) г а0?6фsas^h3 I тат6 \35V s6 *Ф ' mV m6 m<p Isas^h3 I тат6 \35V s6 *Ф ' mV m6 m<p IX А^бАр U»X А^бАр U», губф, губф^a^p^a^p(5.143)(5.143)

1

1

*а*Р

Vs

*а*Р

Vs

х f^-Mt

х f^-Mt

8„п d о rJS dv„ dvft +«Р ар «Р

8„п d о rJS dv„ dvft +«Р ар «Р

+ Z IF z К + мр-ит-ив-нф) г а0?6ф

+ Z IF z К + мр-ит-ив-нф) г а0?6ф

sas^h3 I тат6 \3

5V s6 *Ф ' mV m6 m<p I

sas^h3 I тат6 \3

5V s6 *Ф ' mV m6 m<p I

X А^бАр U»

X А^бАр U»

, губф

, губф

^a^p

^a^p

(5.143)

(5.143)

Пользуясь уже применявшимися ранее приемами [см. п. 3.2.1; форму и

лу (5.98)], входящую в производство энтропии сумму Е и К с К а = 14

даваемыми формулой (5.142), можно привести к виду

и

и химическое сродство этой реакциии химическое сродство этой реакции?г= + (На + ^-^-Цб)?г= + (На + ^-^-Цб)Md%?dN«d^ (5Л44)Md%?dN«d^ (5Л44)Структура первого из членов здесь следующая: при заданном г величина а принимает четыре значения. Если а выбрано, то р определяется однозначно, а для у допускаются два значения. Наконец, для некоторого V значение 6 уже единственно. Таким образом, всего имеется восемь одинаковых слагаемых. Поэтому, отказавшись от формального суммирования и взяв какой-нибудь конкретный набор индексов, мы можем ввести скорость бимолекулярной реакции (3.1) с номером г:

и химическое сродство этой реакции

и химическое сродство этой реакции

?г= + (На + ^-^-Цб)

?г= + (На + ^-^-Цб)

Md%?dN«d^ (5Л44)

Md%?dN«d^ (5Л44)

(5.145)