Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА 1. Общие представления и методика теории вихрей в диспергирующей среде 24
Стационарные решения нелинейных уравнений 26
Скалярные структуры 28
Векторные структуры 29
Дипольные вихри (многослойные решения} 29
Однослойная вихревая дорожка (цепочка) 32
Вихревые сателлиты во вращающейся ограниченной среде33
Точечные (изолированные) вихри в сплошной среде 35
Электромагнитные вихри 37
Характерные особенности вихревого движения в диспергирующей среде 40
Пределы применимости локального подхода в проблеме дрейфовых структур 43
ГЛАВА 2. Уединенные скалярные вихревые структуры в замагниченной плазме 45
Уединенные вихри коротковолновых дрейфовых (КВД) колебаний.... 48
Стационарные КВД структуры 51
Нелинейные электронные градиентные (ЭГ) волны 55
Стационарные регулярные структуры ЭГ волн 58
Динамика нелинейных нижнегибридно-дрейфовых волн в плазме..... 60
Нелинейные дрейфово-магнитозвуковые (ДМ3) волны в сжимаемой плазме 64
Слабодиспергирующие квазистационарные ДМ3 волны66
Стационарные регулярные структуры ДМ3 волн 69
Обнаружение дрейфового солитона по рассеянному электромагнитному сигналу 72
Обсуждение результатов 75
ГЛАВА 3. Регулярные векторные вихревые структуры к плазменных конфигурациях 77
• 79
Сильнонелинейные альфвеновские волны в однородной плазме83
Динамические уравнения для нелинейных альфвеновских волн 84
Характер разрывов 6 альфвеновских возмущениях и законы сохранения 88
Стационарные альфвеновские структуры 90
Нелинейная эволюция потенциальных возмущений в плазменном цилиндре 99
Желобковые и длинноволновые дрейфовые структуры 6 цилиндрическом плазменном шнуре 100
Стационарные уединенные вихри 102
Параметры радиальных вихрей 107
Динамика нелинейных непотенциальных волн в цилиндрических плазменных ловушках 110
Дрейфово-альфвеновские и дрейфово-баллонные нелинейные структуры 111
Уравнения для стационарных нелинейных волн 113
Локализованные альфвеновские структуры 115
Самолокализация волновых возмущений в ограниченных плазменных ловушках 121
Электростатические регулярные структуры 122
Электромагнитные вихревые сателлиты 126
Основные результаты 130
ГЛАВА 4. Устойчивость вихревых структур 132
Устойчивость магнитозвуковых (М3) солитонов 133
Исходные уравнения 6 теории устойчивости М3 волн 136
Общий анализ нелинейного уравнения 140
Устойчивость одномерных М3 солитонов 144
Трехмерная устойчивость двумерных М3 структур 149
Устойчивость дрейфово-магнитозвуковых уединенныхволн 153
Устойчивые нижнегибридно-дрейфовые солитоны 155
Устойчивость элевстронных градиентных и коротковолновых дрейфовых структур 159
Эксперименты по обнаружению устойчивых регулярных вихревых структур в диспергирующей среде 163
Обсуждение результатов 165
ГЛАВА 5. Генерация вихревых структур и их динамика в диссипативной диспергирующейсреде 168
Аналогия динамики дрейфовых волн в плазме и волн Россби в жидкой среде 169
Нелинейное уравнение низкочастотных дрейфовых волн 6 магнитоактивной плазме 169
.1.а. Короткие дрейфовые волны 174
• 1.6. Длинные дрейфовые волны 175
Нелинейное уравнение волн Россби 6 атмосфере и океане 176
а. Короткие волны Россби 179
6. Длинные волны Россби 179
Законы сохранения для бездиссипативных дрейфовых волн и волн Россби 182
Резонансное и диссипативное взаимодействие дрейфовых солитонов с частицами среды 183
Эволюция дрейфовых возмущений 6 неидеальной среде 184
Резонансное взаимодействие длинноволновых дрейфовых солитонов с электронами плазмы 189
Усиление дрейфовых солитонов вследствие эффекта конечной электронной теплопроводности 195
Раскачка коротковолновых дрейфовых солитонов при ионно-циклотронном резонансе 197
Многомерная теория возмущения для нелинейных уединенных вихревых структур в диссипативной среде 199
Уравнения, описывающие временную эволюцию интегральных характеристик вихревых структур 200
Нестационарное поведение интегральных характеристик вихрей 204
Выводы 209
Релаксация дрейфовых вихрей в вязкой среде 211
Динамические уравнения длинноволновых дрейфовых волн 6 вязкой плазме 211
Пространственная структура дрейфовых вихрей 213
Эволюция вихревых структур 215
Самоорганизация дрейфовых вихревых структур в диссипативной среде 221
Обсуждение результатов 223
ГЛАВА 6. Нелинейные волновые структуры как факторы литосферно-ионосферных связей 226
Самоорганизация акустико-гравитационных (АГ) вихрей в Е-области ионосферы перед землетрясением 227
Постановка задачи и исходные динамические уравнения 227
Самолокализация АГ возмущений 6 среднеширотной атмосфере 230
Усиление интенсивности зеленого излучения ночного неба АГ вихрями перед землетрясениями 233
Нелинейный механизм генерации элешромагнитных тюлей акустическими волнами в ионосфере 236
Постановка задачи и исходные уравнения 236
Дисперсионное уравнение для связанных акустических и электромагнитных мод 240
Генерация электромагнитных волн на гармониках звуковых частот 245
Ленгмюровская турбулентность как механизм переноса энергии сверхтепловых фотоэлектронов из мапштосопрх^енно访 в местную ионосферу 248
Динамика фотоэлектронов F-области 6 сопряженной ионосфере 250
Механизм ослабления интенсивности нисходящих фотоэлектронов на высоте - 600 км 253
Генерация нисходящего потока быстрых электронов на высоте ~300 尤” из-за ленгмюровского коллапса 254
Предсумеречное усиление красного излучения F-слоя ионосферы 259
Обсуждение результатов 261
ГЛАВА 7. Сильная вихревая турбулентность дрейфовых волн в диспергирующей среде 264
Динамика образования потенциальных дрейфовых структур 267
Модель сильной структурной турбулентности 269
Спектры квазиодномерной дрейфовой турбулентности 271
Двумерная модель сильной дрейфовой турбулентности 275
Вероятность основного состояния 275
Спектры стационарной двумерной дрейфовой турбулентности 276
Аномальная диффузия частиц среды на дрейфовых вихрях 277
Структурная турбулентность непотенциальных волн в плазменной среде 279
Мелкомасштабные регулярные структуры 6 разменном цилиндре 280
Спектры двумерной электромагнитной вихревой турбулентности 283
Диффузия плазмы на ансамбле вихрей 285
Обсуждение результатов 286
Список литературы 288
Summary 307
Contents 308
Short description of the contents of the book 312
Предисловие
Понятие вихря является центральным в гидродинамике, так как изменчивость атмосферной и океанской циркуляций определяется, в основном, переносом вихрей различных пространственных и временных масштабов. Аналогичную существенную роль играют вихревые структуры в проводящей плазменной среде (а также в ионосфере). Так, экспериментальные исследования спектров низкочастотных флуктуаций в плазменных термоядерных установках указывают, что нелинейные вихревые структуры могут более эффективно, чем линейные волны, поглощать свободную энергию плазмы и формировать сильную турбулентность. Нелинейные локализованные вихревые структуры отличаются от классических уединенных солитонов прежде всего тем, что вихри переносят захваченные частицы и могут вызвать повышенный перенос частиц, тепла и энергии и тем самым генерировать структурную (вихревую) турбулентность в среде.
Принятое в работе единое изложение теории динамики волновых процессов как в проводящей (в плазме, ионосфере) среде, так и гидродинамической, в атмосфере и океане оказалось весьма целесообразным ввиду сходства соответствующих динамических уравнений и применяемых в обоих случаях математических методов. Немалое значение имеет и то обстоятельство, что в результате единого подхода одни области обогащаются результатами, полученными в других. Что касается охваченного материала, то необходимо отметить, что его подбор и интерпретация в значительной мере отражают взгляды автора. При этом, основное внимание уделялось вопросам, в исследовании которых принимает непосредственное участие сам автор.
Глубоко благодарим научного редактора книги, академика Д.匸 Ломи- надзе, рецензентов: профессора А.匸 Хантадзе, профессора Л. С. Алперовича за их труд. Особую признательность хочется выразить доктору физ.-мат. н^пс А. Б. Михайловскому, многолетнее плодотворное сотрудничество с которым, бесспорно, отразилось на содержании настоящей монографии. Благодарю коллег-соавторов, в сотрудничестве с которыми был получен ряд приведенных здесь результатов. Хочу выразить признательность доценту Тбилисского государственного университета (ТГУ) О. А. Харшиладзе за участие в графическом оформлении книги, аспирантке X. 3. Чаргазиа, Л. А. Лашхиа за помощь в оформлении рукописи, а также особую благодарность моей «альма-матер» — Тбилисскому государственному университету и Институту прикладной математики им. акад. И. Н. Векуа ТГХ где была выполнена настоящая работа и руководство которых поддерживало и одобряло мою ночную деятельность.
Г. Д Абурджаниа
Введение
Теоретическое и экспериментальное исследования явлений, обусловленных нелинейным распространением волн, остаются одной из актуальных задач сплошной, диспергирующей среды: физики плазмы, гидромеханики, геофизики, астрофизики и других областей [1-8]. Основу для решения этой проблемы составляют результаты многолетних исследований по линейной теории волн и достижения в области методов описания нелинейных процессов [9-18]. Современное состояние исследований в этой области показывает, что хотя физическая природа нелинейных волновых структур в различных средах различна, в характере возбуждения и распространения много сходного. Это позволяет исследовать их на основе общеволнового подхода, который находит отражение в постановке и методах решения задач, в построении общих моделей волновых процессов, в выявлении способов их описания и свойств, выходящих по значению за пределы конкретной рассматриваемой задачи. Полученные при этом результаты представляют прикладной интерес и в то же время способствуют развитию общей теории волн, дают возможность взаимно стимулировать исследования в различных областях физики и математики Именно эта идея положена в основу построения настоящей монографии, посвященной единому теоретическому исследованию динамики нелинейных вихревых структур в плазменных ионосферных средах и гидродинамических атмосферных, океанических течениях.
Говоря о гидродинамических нелинейных волновых структурах (вихрях), мы имеем в виду вихри во вращающейся жидкости (в атмосфере, океане) или вихри типа Россби [4]. Как известно, двумерное движение мелкой несжимаемой вращающейся жидкости, находящейся в поле силы тяжести, в основном характеризуется дрейфовой частью скорости, Vd,
Vd= I VH xez. (B.l)
Здесь g — ускорение силы тяжести, Н — глубина жидкости, f — параметр Кориолиса, ez — единичный вектор вдоль направления оси z. В приближении g = const и волн характерным масштабом, малым по сравнению с характерным размером изменения параметра Кориолиса,
(В.2)(В.2)|VlnH| »|Vlnf|.
(В.2)
(В.2)
Из (В. 1) следует
Аналогичным свойством обладают низкочастотные электростатическиеАналогичным свойством обладают низкочастотные электростатические(В.З)(В.З)RxVdlz >>R・Vd|，
Аналогичным свойством обладают низкочастотные электростатические
Аналогичным свойством обладают низкочастотные электростатические
(В.З)
(В.З)
волны, распространяющиеся поперек или почти поперек однородного магнитного поля Во, с которым часто приходится иметь дело в задачах о замаг-
ниченной плазме. Говоря о низкочастотных волнах, мы имеем в виду волны, частота которых со мала по сравнению с циклотронной частотой соответствующего сорта частиц(лВа = еВ0 /(шас), ш «соВа, а их электрическое поле Е с достаточной степенью точности является потенциальным,
(В.4)(В.4)Е = -V(p.
(В.4)
(В.4)
—ezxV(p. Но—ezxV(p. НоЗдесь е. та (а = i,e) — заряд и масса соответствующего сорта частиц (ионов, электронов), с ——скорость света, ф ——электростатический потенциал. Часзицы (ионы или электроны) движутся поперек Во || z в поле таких волн в основном со скоростью дрейфа в скрещенных полях, Ve,
—ezxV(p. Но
—ezxV(p. Но
(В・5)
Предполагается, что соответствующая компонента плазмы является холодной и бесстолкновительной. Используя соотношение (В.5), можно убедиться, что
div VE =0, rotz VE = —А1Ф, (B.6) В。
где Л_ =д2/дх2 ^д2/ду2 . Таким образом, дрейфовые движения ионов или электронов в поле низкочастотной волны в проводящей среде (плазме, ионосфере), как и рассмотренное выше движение в мелкой жидкости, являются приближенно несжимаемыми и носят вихревой характер.
Указанная аналогия между свойствами волн типа Россби и низкочастотных потенциальных дрейфовых волн (подробнее смотри гл. 5) сыграла важную роль в развитии теории вихрей в плазме и внесла определенную ясность в вопрос о возможности существования регулярных (упорядоченных) дрейфовых структур.
Прежде чем охарактеризовать круг задач теории вихрей и связанных с ними коллективных турбулентных процессов, обсуждаемых в монографии, рассмотрим историю развития как теоретических, так и экспериментальных исследований по данной проблеме.
В первую очередь отметим, что в теории вихрей приходится сталкиваться с нелинейностями двух различных типов. Одна из этих нелинейностей, которую мы называем скалярной, характеризуется членами типа са2 / су (где а ——некоторая величина, описывающая волновое поле), т. е. имеет такой же вид, как и в уравнении Кортевега — де Вриза. Проблема уединенных вихрей, обусловленных скалярной нелинейноегью, тесно связана с проблемой солитонов в слабо- диспергирующих средах [11, 14] (понятие солитона в физике плазмы было введено R 3. Сагдеевым [15]). С точки зрения теории вихрей низкочастотные солитоны в замагниченной плазме представляют собой разновидность вихрей, которые мы будем называть скалярными вихрями. Пространственная локализация солитонов (скалярных вихрей) обусловливается совместным действием двух конкурирующих эффектов: нелинейности, которая приводит к укручению волнового фронта, и дисперсии, ведущей к расплыванию волнового пакета.
Другая нелинейность является существенно неодномерной и обращается в нуль в одномерном или осесимметричном случае. Она характеризуется членами вида якобиана (Vax Vb)z (где а, b ——волновые величины). Нелинейность такого типа характерна для волн в гиротронных средах, таких, как вращающаяся атмосфера, океан, замагниченная плазма и другие. Такую нелинейность будем называть векторной. Векторная нелинейность может приводить к пространственной локализации волн и образованию специфического типа уединенных вихрей (векторные вихри). Характерной особенностью таких вихрей является разрыв высших производных волновых величин.
Локализованные вихревые структуры качественно отличаются от уединенных волн прежде всего тем, что они переносят частицы, вращающиеся в вихре (захваченные частицы). Это приводит к усилению теплопроводности, электрическою сопротивления, диффузии н, вообще, к активизации процесов переноса в среде. По существующим представлениям значение регулярных вихревых структур может быть определяющим во многом важных в прикладном отношении физических процессов, таких как нагрев и удержание плазмы [1, 18], ускорение частиц [19], генерация излучения [20], циркуляция в атмосферах планет [5] и в океане [4], изменение климата [21] и формирование погоды [22], перенос примесей и аэрозолей [23, 24], сильная турбулентность сплошной диспергирующей среды [25] и т. д.
Изучение солитонов низкочастотных волн в плазме, обусловленных скалярной нелинейностью, имеет длительную историю.
Первой работой, в которой были получены уравнения для описания низкочастотных дрейфовых солитонов, была, по-видимому, работа В. И. Петвиа- швили [26]. В этой работе были приведены уравнения для дрейфово-ионнозвуковых волн, нелинейность обусловливалась продольным движением ионов. Тассо [27], В. Н. Ораевский и др. [28] отмечали, что пространственная локализация дрейфовых волн, распространяющихся почти поперек магнитного поля, может быть связана с градиентом электронной температуры, VTe w 0. Полученное в [28] уравнение было одномерным. Оно с точностью до обозначений
представляет собой уравнение, называемое в зарубежной литературе уравнением Бенджамена—Бона—Махони [29]. В работе [28] одномерные солитоны были найдены графически, а позднее в [30] — аналитически. В. И. Петвиа- швили [31] обобщил уравнение работы [29] на случай трехмерных дрейфовых волн. Он также нашел цилиндрически симметричное решение полученного уравнения ——«круглый» двумерный солитон.
Изучение векторных вихрей было начато в гидродинамике в связи с проблемой волн Россби во вращающейся жидкости. Нелинейное уравнение волн Россби, содержащее векторную нелинейность, было получено в 1947 году в работе Чарни [32] и часто называется уравнением Чарни, но ему длительное время не придавалось должного значения. Только в 1976 г. В. Д. Ларичев и Г. М. Резник [33] нашли стационарное аналитическое решение уравнения Чарни и показали, что векторная нелинейность может приводить к образованию специфического типа «векторных» солитонов — уединенных двумерных вихрей. Говоря о гидродинамических вихрях, мы имеем в виду вихри во вращающейся жидкости или вихри волн Россби [33] и тем самым оставляем вне поля зрения другие типы гидродинамических вихрей [34-36].
Работа [33] послужила своеобразным импульсом в развитии теории вихрей в плазме. Предпосылкой для этого явилась аналогия между волнами Россби в гидродинамике и низкочастотными дрейфовыми волнами в замагниченной плазме. Как известно, двумерное движение мелкой несжимаемой вращающейся жидкости, находящейся в поле силы тяжести, является вихревым VxV*0 (где V — макроскопическая скорость движения жидкости). Аналогичным свойством обладают низкочастотные (по сравнению с ионной или электронной гирочастотами) дрейфовые потенциальные волны, распространяющиеся поперек или почти поперек внешнего магнитного поля Во, с которыми часто приходится иметь дело в задачах о замагниченной плазме [9]. Это в свою очередь обусловлено сходством силы Кориолиса во вращающейся жидкости с силой Лоренца в замагниченной плазме. Помимо сходства вихревых свойств, указанные волны обладают и аналогичными дисперсионными свойствами (см. гл. 5).
Векторная нелинейность в теории дрейфовых волн была впервые учтена в работах Хасегавы и Мимы [39-40] для простешиего случая — дрейфовых колебаний в плазме с холодными ионами. Полученное ими уравнение совпадает с точностью до обозначений с уравнением Чарни. В физике плазмы оно известно как уравнение Хасегавы—Мимы. Аналогия между дрейфовыми волнами и волнами Россби первоначально была отмечена Хасегавой и др. [41]. Макино и др. [42], используя указанную аналогию с волнами Россби, перенесли из гидродинамики в физику плазмы представление об уединенных векторных вихрях. Мейсс и Хортон [43] обобщили результаты предшествующих работ [39-42] на случай косых дрейфово-ионно-звуковых волн. Кроме того, авторы [43] исследовали зависимость интегральных характеристик вихря (знергип и энстрофии) от его параметров, а также изучили влияние шира равновесною магнитною поля на дрейфово-ионно-звуковые вихри. Они показали,
что в отличие от линейных волн, обусловленное широм затухание дрейфовых вихрей экспоненциально мало, если Ls /Ln «1, где Ls,Ln — характерные длины перекрещенности силовых линий магнитного поля и неоднородности плазмы, соответственно.
Утверждению представлений о векторных вихрях в замагничепной плазме способствовала также работа В. П. Павленко и В. И. Петвиашвили [44]. В отличие от предшествующих работ, в ней рассматривались нелинейные желобковые волны в неоднородной плазме, находящейся в скрещенных магнитном и травитационном полях. В [44] было показано, что такие волны могут распространяться в виде уединенного желобкового вихря.
Следующим шагом в развитии теории вихрей было объединение двух обсуждавшихся выше направлений — солитонного и вихревого.
Первоначально, по-видамому, одновременный учет скалярной и векторной нелинейностей был произведен В. И. Петвиашвили [17] при исследовании проблемы Большого Красного Пятна Юпитера. В этой же работе было выявлено, что и при учете векторной нелинейности круглый солитон по-прежнему является решением получающегося уравнения. На необходимость одновременного учета обоих видов нелинейности — векторной и скалярной ——при изучении нелинейных дрейфовых волн было указано также в обзоре Ю. А. Данилова и В. И. Петвиашвили [45].
В связи с той важной ролью, которую регулярные или когерентные структуры могут играть в турбулентности плазмы, возникает необходимость изучения их устойчивости. Важным при этом является учет неодномерности возмущений. Аналитическое исследование устойчивости солитонов с учетом неодномерности возмущений берет начало с работы Б. Б. Кадомцева и В. И. Петвиашвили [46]. Используя развитый в [46] метод малых возмущений, Шпачек и др. [47] показали неустойчивость одномерного ионно-звукового солитона по отношению к изгибным возмущениям. Этим же методом В. И. Петвиашвили [31] (см. также [48]) показал неустойчивость одномерною дрейфового солитона, в результате которой, согласно [31], должен образовываться двумерный круглый солитон. Двумерная неустойчивость одномерного дрейфового солитона отмечалась также в работе [49].
Е. Захаров и Е. А.母знецов [50] впервые использовали для доказательства устойчивости солитонов подход, основанный на анализе законов сохранения. Согласно этому методу; если солитон реализует максимум какого-либо интеграла движения при фиксированных остальных, то он устойчив по отношению к конечным возмущениям. В [50] таким образом была доказана устойчивость трехмерно го ионно-звукового солитона, распространяющегося вдоль мш нитного поля.
И. Петвиашвили и В. В. Яньков [51] исследовали устойчивость круглого солитона волн Россби по отношению к двумерным возмущениям. Используя метод Ляпунова, они в рамках уравнения, содержащего векторную нелинейность, показали устойчивость такого солитона.
Изучение устойчивости векторных вихрей было начато в [42] численными методами. Было показано, что основное состояние вихря является устой-
чивым. в работах Лидке и Шпачека [52-54] были разработаны методы, позволившие аналитически исследовать устойчивость векторных вихрей типа ЛаричеваРезника. При этом в [52-54] использовался прямой вариационный метод. В [53] было показано отсутствие нарастающих со временем малых возмущений вихря в рамках уравнения Хасегавы—Мимы. В работах [53, 54] исследовалась также устойчивость круглого солитона Петвиашвили в рамках двумерного уравнения без учета векторной нелинейности. Согласно [53-54], кратный двумерный солитон устойчив, что подтвердило результаты работ [31,51].
Выявление существования различных регулярных структур в замагни- ченной плазме представляет собой лишь первый шаг в теории вихрей. Следующим этапом должно стать изучение их динамики, взаимодействия между собой и частицами и их влияние на турбулентные свойства среды. С этой точки зрения представляют интерес работы, в которых проводилось численное моделирование указанных процесов. В работах Макино и др. [42] и В. Д. Ларичева и Е М. Резника [55, 56] был установлен упругий характер столкновений векторных вихрей. В работах [57, 58] путем численного моделирования исследовались столкновения круглых солитонов. Результатом этих работ стал вывод о том, что при достаточно малых относительных скоростях вихри сталкиваются упруго, тогда как при достаточно больших скоростях происходит их слияние. Эти результаты подтверждаются работами [59, 60], в которых столкновения круглых вихрей исследовались экспериментально. В [59, 60] отмечалось также, что результатом сближения вихрей может быть не только их слияние, но и взаимное разрушение и перестройка в зональное течение.
Столкновения вихрей в рамках одномерного уравнения Бенджамина — Бона—Махони (ББМ) исследовались численными методами в [61]. Было выявлено, что столкновения носят упругий характер, когда оба вихря являются длинноволновыми и движутся в одну сторону. Упругое столкновение таких вихрей является вполне естественным, так как в этом случае уравнение ББМ приближенно совпадает с уравнением Кортевега — де Вриза. С уменьшением размеров вихрей (и, соответственно, с увеличением их амплитуды) роль неупругих процессов возрастает. Она проявляется в изучении волн, в свое время отмеченном в [62, 63]. При столковении достаточно коротковолновых вихрей, движущихся навстречу друг другу, согласно [61] и более ранним работам [64,65], помимо излучения волн, происходит также рождение новых вихрей.
В экспериментах, проведенных на Q-машинах Н. С. Бучельниковой с соавторами [66, 67], Хенделом и др. [68] и Политцером [69] при исследовании развития дрейфовой неустойчивости, были обнаружены регулярные дрейфовые структуры в виде пилообразных колебаний конечной амплитуды, которые на языке современной нелиненой теории, возможно, представляют собой цепочку или решетку дрейфовых солитонов. Регулярный характер градиентных волн отмечался также в экспериментах по высокочастотной центробежной дрейфовой неустойчивости [70] и пучково-дрейфовой неустойчивости [71, 72].
Большую роль в утверждении представлений о вихрях как в гидродинамике, так и в плазме сыграли эксп^иментальные работы М. В. Незлина [73, 74] и Д- Г Ломинадзе, В. И. Петвиашвили [75, 76]. Эти эксперименты стимулирова-
лись, с одной стороны, проблемой Большого Красного Пятна Юпитера, а с другой,——отмеченной выше аналогией между волнами Россби и дрейфовыми волнами. Авторы ставили своей целью получение информации о наиболее фундаментальных свойствах волн Россби. К числу таких свойств относится возможность образования регулярных структур Россби и, прежде всего — солитонов волн Россби. Эти эксперименты продемонстрировали существование солитонов волн Россби и утвердили представление о реальности таких структур в плазме и плазмоподобных диспергирующих средах.
В последнее время начали проводиться и эксперименты с целью отыскания регулярных структур в самой плазме. Такие структуры в плазме весьма трудно обнаружить, поскольку для этого необходимо применять многозондовые измерения, чтобы иметь мгновенную картину распределения волновых величин. В работах [77, 78] проводились экспериментальные исследования по конвективным ячейкам, являющимся примером нелинейных регулярных структур. Авторы сообщают о нелинейном характере взаимодействия двух конвективных ячеек одинаковой или противоположной полярности. О наблюдениях упорядоченных структур сообщалось также в экспериментальных работах [79, 80]. Таким образом, отмеченные здесь и выше эксперименты приводят к мысли о реальности образования регулярных (когерентных) структур в замагниченной плазме, сложным образом взаимодействующих между собой и частицами среды.
Присутствие когерентных вихревых структур в замагниченной плазме повышает число коллективных степеней свободы среды и может привести к возбуждению турбулентного состояния. Экспериментальные исследования спектров низкочастотных флуктуаций в плазменных термоядерных установках [81-83] указывают на то, что наблюдаемые колебания конечной амплитуды представляют собой результат развития дрейфовой турбулентности. В зависимости от того, какие именно степени свободы возбуждены — структурные или волновые, может существенно меняться и характер взаимодействия между возбуждениями в плазменной среде. Причем, структуры могут более эффективно, чем линейные волны, поглощать свободную анергию среды [84-88] и формировать сильную турбулентность [89] (см. также эксперименты по определению характера дрейфовой турбулентности в токамачной плазме [90,91 ]).
Эксп^иментальные наблюдения на различных плазменных установках (см. например, [81-83]), показали также, что ширина частотного спектра низкочастотных флуктуаций плотности плазмы значительно больше величины, предсказываемой перенормируемой теорией слабой турбулентности [92]. Для объяснения наблюдаемого спектра в [93, 94], по аналогии с сильной ленгмюровской солитонной турбулентностью [89], была предложена модель дрейфовой турбулентности как газ одномерных длиноволновых дрейфовых солитонов. Построенные в [93, 94] спектры солитонной турбулентности удовлетворительно согласуются с экспериментальными измерениями. Это наводит на мысль, что вихревые структуры могут формировать в плазме сильную дрейфовую турбулентность.
Отдавая дань предшествующим исследованиям, мы отмечали их роль в становлении представлений об уединенных вихрях в плазме. Вместе с тем
следует иметь в виду, что результаты этих исследований далеко не исчерпывают многообразия плазменных вихрей, не охватывают масштабность рассматриваемой проблемы и их последствия в динамике турбулентного состояния плазмы.
Дрейфовые и желобковые вихри, обсуждавшиеся в отмеченных выше теоретических работах, — это простейшие разновидности плазменных вихрей, к тому же изучавшиеся при максимально упрощенных предположениях (таких как: пренебрежение эффектами конечного ларморовского радиуса ионов, магнитным полем волн, ограниченности плазменного объема, конечности давления плазмы, неидеальной проводимости плазмы и т. д.). При изучении плазмы, характерной для существующих или предполагаемых магнитно-термоядерных систем и других типов лабораторных установок, а также космической плазмы, в том числе плазмы магнитосферы и ионосферы Земли, приходится иметь дело с достаточно широким, практически важным классом ветвей колебаний и, соответственно, с обширным многообразием вихрей. Некоторые из них имеют существенно более сложную структуру, чем упомянутые выше.
Одним из важных типов волн в неоднородной плазме с горячими ионами являются дрейфовые колебания с поперечными длинами волн, малыми по сравнению с ларморовским радиусом ионов pj, к丄pj > 1 (к丄 一поперечное волновое число). Первоначально коротковолновые дрейфовые (КВД) волны обсуждались в связи с проблемой дрейфово-циклотронных неустойчивостей плазмы в адиабатических магнитных ловушках [95, 96], а затем — в связи с экспериментами с 0 -пинчами [97] и проблемой высокочастотного нагрева плазмы [98]. С ними связывают также диссипацию магнитной энергии в процессе перезамыкания магнитных силовых линий в хвосте магнитосферы [99] и мелкомасштабные неоднородности в ионосфере [100, 101]. Поэтому вопрос об уединенных вихревых струшурах КВД волн является весьма актуальным.
В свое время в связи с экспериментами по взаимодействию пучков частиц с плазмой [71, 102] широко обсуждались электронные градиентные (ЭГ) волны. Важным представляется вопрос о нелинейной динамике ЭГ волн, поскольку именно нелинейные волны определяют процессы взаимодействия пучков с плазмой, ускорения частиц и т. д. Кроме этого, ^дучи более простыми по сравнению с ионными, электронные градиентные волны могут быть экспериментально изучены на более компактных лабораторных установках.
В плазме с относительным движением электронов и ионов поперек магнитного ноля возбуждаются так называемые нижнегибридно-дрейфовые волны [103] (НГД). Соответствующая неустойчивость экспериментально наблюдалась в зеркальных магнитных ловушках [70, 104]. Волны этого типа раскачиваются также при пучково-дрейфовой неустойчивости [102, 105] и наблюдались в экспериментах [71, 72]. Указанные неустойчивости могут быть причиной генерации НГД структур. Следовательно, становится важным анализ нелинейной эволюции НГД волн.
В задачах о высокочастотных методах нагрева плазмы [106], в теории КОЛЛС1СГИВНЫХ процессов в плазме термоядерными а -частицами [107] и неко-
торых других задачах физики лабораторной и космической плазмы существенную роль играют магнитозвуковые (М3) и дрейфово-магнитозвуковые (ДМ3) волны. Простейший вид магнитозвуковых структур ——одномерные солитоны были предсказаны Р. 3. Сагдеевым [15] при исследовании бесстолкновительных ударных волн в замагниченной плазме. Для этих же проблем представляет интерес исследование нелинейной динамики М3 и ДМ3 возмущений с учетом неоднородности волнового пакета.
Из общего анализа устойчивости плазмы в криволинейном магнитном поле известно [108], что одной из наиболее опасных является магнитогидродинамическая неустойчивость с достаточно большим волновым числом к поперек равновесного магнитного поля Во и малыми к” — вдоль Во. Случаю кц = 0 отвечает желобковая неустойчивость [9], а случаю к” 工 0 — баллонная неустойчивость [109]. В связи с этим принципиальную важность представляет вопрос о нелинейной стадии указанных неустойчивостей и существования нелинейных когерентных структур, так как структуры, в силу своей локализации, слабо подвержены подавлению широм магнитного поля.
В динамике замагниченной плазмы особое место занимают волны альф- веновского типа. Альфвеновские волны с Рр > me /nij (% — отношение давления плазмы к давлению магнитного поля) являются важными для проблемы высокочастотного нагрева плазмы и генерации токов увлечения [НО]. Согласно [111], эти волны определяют процессы ускорения электронов в авроральной зоне ионосферы, которая характеризуется низким давлением плазмы, Рр <те/т{. Роль дрейфово-альфвеновских волн в физике магнитосферной плазмы широко обсуждалась в работах [112, 113]. Поэтому существенный интерес представляет исследование специфики регулярных структур альфвенов- ских и дрейфово-альфвеновских мод и их влияние на турбулентные свойства плазмы.
В предшествующих работах изучались вихревые структуры, характерный размер которых намного меньше размера среды (неограниченная плазма). Однако, так как геометрия большинства плазменных экспериментальных установок близка к цилиндрической, естественно, возникает вопрос об адекватном описании влияния неоднородности плазмы, цилиндричности и ограниченности плазменного объема и диссипативных процессов на существование, специфику и динамику вихревых структур.
Заметим также, что во многих практически интересных случаях приходится иметь дело с нелинейными процессами, а именно — с сильной турбулентностью. В частности, с сильной турбулентностью связан наблюдаемый в плазменных термоядерных установках аномальный перенос тепла и частиц [71, 114, 115]. Экспериментальные данные показывают, что даже в спокойной плазме перенос тепла и частиц имеет конвективный характер, и его нельзя объяснить парными столкновениями частиц. В связи с этим актуальным представляется вопрос: может ли основная часть тепла переноситься конвекцией, обусловленной образованием дрейфовых вихревых структур?
Замечательными свойством рассматриваемого нами класса вихревых структур является то, что нелинейные уравнения, описывающие стационарное состояние вихрей, несмотря на широкое многообразие соответствующих ветвей колебаний, сводятся к небольшому числу канонических уравнений, отличающихся лишь различными значениями коэффициентов, зависящих от конкретного типа вихря и равновесных параметров плазмы. Благодаря этому, задача о стационарных вихрях расчленяется на две: выяснение вопроса о том, каким из канонических уравнений описывается тот или иной вихрь, и поиск решений соответствующих уравнений. Дело облегчается тем, что некоторые из этих канонических уравнений встречались и анализировались ранее при изучении вихрей волн Россби и простейших типов плазменных вихрей. Для удобства изложения вначале мы рассматриваем канонические уравнения и описываем процедуру их решения, что делается в первой главе. Там же разъясняется то принципиально новое, что обнаруживается в случае вихрей в за- магниченной плазме по сравнению с вихрями Россби во вращающейся жидкости: возможность существования двухпотенциальных вихрей, вихревых сателлитов в ограниченной плазме и «сжимаемых» вихрей.
При исследовании конкретных типов вихрей встает проблема их классификации. Поскольку изучаемые нами вихри связаны с теми или иными ветвями колебаний среды, то в основе принятой нами классификации лежит указание на то, к какой ветви колебаний относятся соответствующие вихри. Кроме того, в нашей классификации вихрей учитывается различие в типах нелинейности, обусловливающих их пространственную локализацию (см. подробнее гл. 1). В соответствии с этим мы различаем векторные и скалярные вихри, причем последние, согласно сказанному выше, мы называем просто солитонами. Указан рецепт теоретического поиска типов колебаний замагниченной среды, на которых могут реализовываться уединенные векторные вихри. В частности установлено, что волны должны быть низкочастотными и длинноволновыми по отношению к одной из компонент плазмы; их электрическое поле, поперечное равновесному магнитному полю, должно быть хотя бы приближенно потенциальным.
В первой главе показано также, что локальный подход, применяемый для исследования динамики дрейфовых волн, накладывает ограничение на ампли- гуду и харакгерный размер дрейфовых структур.
Сказанное помогает охарактеризовать содержание последующих глав монографии (гл. 2, 3). Во второй главе, в основном, исследуем возможность существования скалярных вихревых структур в замагниченной плазме. Изучаются солитоны потенциальных коротковолновых дрейфовых (КВД), электронных градиентных (ЭГ), иижнегибридно-дрейфовых (НГД) волн (причем, на КВД и ЭГ модах возможно также образование векторных вихревых структур) и электромагнитных дрейфово-магнитозвуковых волн. Изучаемые здесь вихри представляются важными, помимо общефизического интереса, для проблемы нагрева плазмы. К такому выводу можно прийти, хотя бы обозрев предшествующие работы по исследованию соответствующих ветвей колеба- II"访 плазмы: большинство из этих работ стимулировалось проблемой коллек-
тивного нагрева плазмы высокочастотным полем, ударными волнами и другими способами, связанными с интенсивными дрейфовыми движениями частиц поперек магнитного поля (см. подробнее гл. 2). КВД вихри имеют характерный поперечный размер, малый по сравнению с ларморовским радиусом ионов pi, что и оправдывает их название. Это предполагает, что мы имеем дело с плазмой с достаточно горячими ионами. Заметим также, что характерные частоты КВД вихрей могут быть не только порядка или больше ионной циклотронной частоты (такие вихри представляют наибольший интерес для проблемы нагрева плазмы), но и малыми по сравнению с ней (такого рода вихри важны для проблемы удержания плазмы). Что же касается НГД и ДМ3 вихрей, их характерные частоты предполагаются большими по сравнению с ионной циклотронной частотой.
Заметим, что нелинейные уравнения КВД волн имеют структуру, во многом сходную со структурой длинноволновых низкочастотных вихрей (ср. с гл. 5). Установлено, что КВД волны могут самолокализовываться в виде стационарных одномерных солитонов и кноидальных волн, цилиндрических круглых солитонов, двумерных цепочек солитонов или дипольных вихрей.
В случае же НГД и ДМ3 структур мы имеем дело с некоторым семейством уравнений существенно иной структуры, чем для КВД вихрей. Такие уравнения можно рассматривать как различные варианты обобщении нелинейного уравнения КадомцеваПетвиашвили [46], КП, на случай сильно анизотропной среды, каковой является замагниченная плазма. Показано существование одномерного НГД солитона. Скорость ДМ3 структур — порядка альфвеновской скорости. И в этом случае, наряду с поперечным волновым магнитным полем В丄,существенны эффекты сжимаемости, также необходим учет продольного волнового магнитного поля Bz. Мы выводим соответствующие динамические уравнения и используем их в задачах о стационарных ДМ3 солитонах. Показано, что в приближении слабой дисперсии и нелинейности уравнения допускают при косом распространении волн существование ряда одномерных и двумерных ДМ3 структур, обусловленных скалярной нелинейностью: одномерных солитонов и периодических волн, двум^ных рациональных солитонов, цепочек солитонов (вытянутые вдоль оси х либо вдоль оси у), «крестов».
В отличие от КВД вихрей, в электронных градиентых (ЭГ) вихрях существенно лишь движение электронов (плазма предполагается холодной и сильно неоднородной). Интерес к ЭГ волнам обусловлен прежде всего тем, что они могут быть реализованы в достаточно простых экспериментальных устройствах [72], и они являются некоторым предельным случаем НЦД волн. Выявлено существование одномерного солитона и периодической волны, цепочек двумерных солитонов и дипольного вихря ЭГ волн.
В третьей главе изучены разнообразные типы векторных вихревых структур в замагниченной плазме.
Сначала в гл. 3 на примере модельной задачи о плазме в однородном магнитном поле с эффективной силой тяжести (моделирующей кривизну магнит-
НЬ1Х силовых линий) в рамках системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики (МГД) исследуется возможность существования двумерных вихрей. связанных с электромагаитными баллонными модами (耳 нО). С точки зрения локализации баллонных мод такие вихри представляют интерес как нелинейный механизм локализации, альтернативный обычному линейному механизму локализации баллонных мод. Интерес к баллонным структурам связан прежде всего с тем, что именно локализация возмущений решающим образом определяет возможность подавления неустойчивостей: шир магннт- кого поля и различные диссипативные факторы. Показано, что система нелинейных уравнений идеальной МГД для случая баллонных возмущений может быть сведена к нелинейному уравнению типа Хасегавы—Мимы. В рамках этого уравнения найдены точные аналитические решения, описывающие баллонные вихри, аналогичные вихрям Россби во вращающейся жидкости, и проводится анализ основных параметров этих вихрей. Структура представляет собой пару вихрей равной интенсивности типа циклон ——антициклон, движущихся прямолинейно.
Затем в третьей главе изучаются сильнонелинейные альфвеновские волны. Колебания этого типа играют важную роль как в проблеме удержания плазмы, так и в динамике магнитосферной плазмы. В случае плазмы с Рр < те / т{ тепловые движения частиц (ионов и электронов) несущественны, и дисперсия альфвеновских волн определяется продольным движением электронов. Анализ волн при me / nii < рр < 1 необходим с учетом конечного ларморовского радиуса ионов, а для этого стандартная гидродинамика Брагинского оказывается недостаточной. Поэтому выводится новая система МГД уравнений с учетом эффектов ~ k：р；.
Выведены упрощенные уравнения для описания сильнонелинейных а；1ьфвеновских волн в одаородной плазме. Уравнения стационарных альфве- иовских вихрей в плазме с % >те/т； и Рр < те/т{ приведены к еданому каноническому виду, построено двумерное пространственно локализованное решение этих уравнений. Характерной особенностью этого решения во внеш- не而 области вихря является то, что оно содержит, наряду с экспоненциально спадающим слагаемым (как в решении Ларичева—Резника), слагаемое, убывающее лишь степенным образом. Пространственная струтстура вихря изучена численно. Построена радиальная зависимость вихревых величин для разного значения параметров вихря. Проанализированы характер разрывов в альфве- иовских возмущениях и законы сохранения.
В связи с тем, что большинство магнитно-плазменных ловушек имеют конфигурацию, близкую к цилиндрической, представляет интерес исследовать вопрос о возможности существования и специфики вихревых структур во вращающемся цилиндрическом плазменном шнуре. В гл. 3 выведены динамические уравнения для потенциальных, дрейфово-желобковых и длинноволно- Bbix дрейфовых волн с учетом цилиндрической симметрии плазменной среды.
Обобщены нелинейные уравнения непотенциальных волн альфвеновского типа с учетом неоднородности плазмы, кривизны магнитного поля (моделируемой введением поля силы тяжести) и конечного ларморовского радиуса ионов в цилиндрическом плазменном шнуре. На основе решения этих равнений установлено, что потенциальные — желобковые, длинноволновые дрейфовые и электромагнитные — дрейфово-альфвеновские, дрейфово-баллонные, же- лобковые волны самоорганизуются в новый тип двумерных сильно локализованных вихрей: одиночный вихрь (монополь-антициклон или циклон) или пару вихрей неравной интенсивности, движущихся по круговой траектории вдоль азимута.
В третьей главе исследуется также влияние ограниченности плазменного объема на динамику волновых возмущений в плазменных ловушках. Показано, что реальные граничные условия на краю плазменного шнура обусловливают самолокализацию электростатических (желобковых) и электромагнитных (дрейфово-альфвеновских, дрейфово-баллонных) волн в радиальном направлении. Структуры представляют собой связанное состояние двумерных вихревых сателлитов типа циклон — антициклон, движущихся в азимутальном направлении с постоянной угловой скоростью.
Количество сателлитных пар в структуре определяется азимутальным волновым числом (т = 1,2,3,...). Численно исследована пространственная структура вихрей. Для определенных значений параметров плазмы и ловушки структуры переходят в крупномасштабное азимутальное течение.
Скорость колебания частиц в структурах, построенных нами в гл. 2, 3, сравнима или больше фазовой скорости линейных волн, VE > V»; поэтому существует группа захваченных частиц, перемещающихся вместе со структурам. Ввиду конечной протяженности, они могут приводить к конвективному перемешиванию плазмы и тем самым служить структурными элементами сильной дрейфовой турбулентности в замагниченной плазме (см. гл. 7).
Четвертая глава посвящена проблеме устойчивости нелинейных структур. Разумеется, строить физические модели того или иного процесса в диспергирующей среде на основе вихревых структур можно только в том случае, если они в достаточной степени устойчивы. Поэтому вопрос об устойчивости вихревых структур имеет первостепенное значение. В настоящей главе исследуется устойчивость скалярных вихревых структур (магнитозвуковых, дрейфово-магнитозвуковых, нижнегибридно-дрейфовых, электронных градиентных и коротковолновых дрейфовых) по отношению к трехмерным длинноволновым возмущениям с учетом векторной нелинейности. Проблема связана с многомерным обобщением нелинейного уравнения Кортевега — де Вриза для сла- бодиспергирующих волн в замагниченной плазме.
Получено нелинейное уравнение для магнитозвуковых (М3) волн в холодной плазме с учетом эффектов векторной нелинейности. Проводится общий анализ этого уравнения. Получены интегралы движения для нелинейных М3 волн. Обращается внимание на существенно различную структуру этого уравнения для низкочастотных (со < coBi) (ПЧ) и высокочастотных (ВЧ)
(w > coBi) М3 волн. В случае нелинейных НЧМЗ волн уравнение сводится к хорошо известному трехмерному уравнению Кадомцева—Петвиашвили (КП). Для ВЧМЗ волн структура этого уравнения существенно отлична от структуры трехмерного КП. Показано, что эффекты векторной нелинейности важны только для ВЧМЗ волн достаточно большой амплитуды. Исследована устойчивость одномерных М3 солитонов относительно трехмерных возмущений. Показано, что векторная нелинейность влияет на инкремент и условия возникновения неустойчивости, но такое влияние в основном количественное, а не качественное. Получены соответствующие критерии. Изучена трехмерная устойчивость двухмерных М3 структур. Такие нелинейные структуры возможны при положительной дисперсии М3 волн. Показано, что двумерные ВЧМЗ структуры являются устойчивыми относительно трехмерных длинноволновых возмущений. Этот факт может оказаться важным для проблемы на- 1 рева плазмы пучками быстрых М3 волн.
Рассмотрена также устойчивость одномерного дрейфово-магнитозвукового (ДМ3) солитона по отношению к трехмерным возмущениям с учетом век* торной нелинейности. Установлено, что одномерный быстрый (U>аСАе) ДМ3 солитон устойчив, а медленный (U<аСАе) — не устойчив (САе — электронная скорость Альфвена, U — поперечная скорость распространения волны, U/a — продольная фазовая скорость).
Выведены трехмерные нелинейные уравнения, описывающие динамику НГД волн в замагниченной плазме, с учетом векторной нелинейности. Эти уравнения являются обобщением трехмерного уравнения КП с отрицательной дисперсией. Показано, что одномерный НГД солитон устойчив по отношению к трехмерным длинноволновым возмущениям при произвольной векторной нелинейности. В четвертой главе исследована также устойчивость одномерных ЭГ и КВД солитонов, которые оказались неустойчивыми. В результате такой неустойчивости, по-видимому, образуются двумерные вихревые структуры.
В пятой главе исследуется вопрос о генерации, усилении и динамике дрейфовых вихревых структур (скалярных и векторных) в диспергирующей и диссипативной среде. Изучена аналогия динамики дрейфовых волн в замагниченной плазме и волн Россби в геофизических течениях. Показано, что эволюция этих волн описывается одинаковыми уравнениями типа Чарни или Хасегавы——Мимы. Получены соответствующие нелинейные динамические уравнения и законы сохранения. Это обстоятельство позволяет использовать результаты исследования динамики волн Россби в атмосфере и океане для изучения развития дрейфовой турбулентности в плазменных средах.
Выведено динамическое уравнение как для длинноволновых дрейфовых (к亠2р/ «1), так и КВД структур, учитывающее влияние «неидеальных» (диссипативных) эффектов в рамках теории возмущений. Показано, что нелинейное резонансное взаимодействие длинноволновых дрейфовых солитонов с электронами плазмы приводит к росту амплитуды структуры по времени. Это связано с тем, что дрейфовые солитоны для электронов представляют собой
горб потенциала. В случае же столкновительной плазмы дрейфовые солитоны усиливаются сголь же эффективно, как и линейные длинноволновые дрейфовые волны. Установлен закон изменения амплитуды структуры по времени. Рассмотрен вопрос о резонансном циклотронном взаимодействии КВД солитонов с горячими ионами плазмы. Выявлена закономерность роста амплитуды солитона.
Сформулирован аппарат многомерной теории возмущения для описания эволюции нелинейных вихревых структур в диссипативной диспергирующей среде. Изучена динамика дрейфовых векторных вихрей (длинноволновых, коротковолновых) в диссипативной плазме (с учетом силы трения, магнитной и столкновительной вязкости). Получена система эволюционных уравнений для интехральных характеристик вихря (для знергии, энстрофии, скорости и др.). На основе численного эксперимента и аналитических оценок установлено: при взаимодействии силы трения вихрь затухает более или менее равномерно по радиусу, медленно увеличивая свой размер; в вязкой плазме быстрее разрушается внутренняя область структуры, т. е. происходит передача количества движения по слоям — от завихренной сердцевины к обтекающей вихрь внешней части; релаксация крупномаепггабных вихрей происходит значительно медленнее мелкомасштабных.
В пятой главе исследовано также влияние желобковых и баллонных неустойчивостей на формирование и динамику векторных вихревых структур на соответствующих модах. Установлено, что в области неблагоприятной кривизны магнитных силовых линий (область желобковой неустойчивости) электростатические жслобковые и электромагнитные дрейфово-баллонные структуры обладают отрицательной энергией. Поэтому образование вихревых структур на этих модах оказывается энергетически выгодным.
Шестая глава посвящена созданию физических и математических моделей, описывающих разные аспекты передачи информаций в литосфера—— атмосфераионосфера—магнитосферной системе, на основе нелинейных волновых структур. Показано, что акустико-ц)авитационные (А「) возмущения естественного (например, землетрясения) или искусственного происхождения (например, взрывы), распространяющиеся из нижних слоев атмосферы, достигают высот Е — области ионосферы, где они становятся конвективно неус- тойчивнми и самоорганизуются в виде локализованных нелинейных вихрей. Под влиянием дополнительного перемешивания нейтралов, вносимого связанными с АГ вихрями переносом атмосферных составляющих по вертикали, повышается плотность нейтралов (кислорода) на данном уровне атмосферы. Увеличение плотности атомного кислорода повышает эффективность их рекомбинации и, соответственно, усиливает интенсивность зеленого излучения нейтрального ночного неба, что соответствует наблюдаемому перед сильными землетрясениями усилению эмиссии ночного неба.
Предложен новый нелинейный ——параметрический механизм генерации электромагнитных полей акустическими волнами в частично ионизированной среде. Показано, что акустическая волна (естественного или искусственного происхождения), достигая ионосферного слоя почти без поглощения вовлека-
Введение
ет заряженные частицы в коллективное движение через столкновения. Силы трения элекхронов и ионов с нейтральными частицами отличаются друг от зруга, что вызывает разделение зарядов, возбуждение переменного тока со случайными фазами и, соответственно, генерацию электромагнитного поля.
В шестой главе также предложена теоретическая модель транспортировки энергии фотоэлектронов из магнитосопряженной области в местную ионосферу на основе сильной волновой турбулентности. Показано, что поток сопряженных фотоэлектронов в освещенной области ионосферы эффективно возбуждает длинноволновую ленгмюровскую волну.
Распространяясь в узком конусе вдоль силовых линий матитного поля Земли и доходя до местной ионосферы, модуляционно неустойчивая ленгмюровская волна через коллапсирование перекачивает свою энергию в коротковолновую область. Сильное затухание коротковолновых мод на быстрых тепловых электронах генерирует и поставляет в местную среднеширотную ионосферу наблюдаемый нисходящий поток быстрых сверхтепловых электронов. На основе этой модели объясняется наблюдаемое усиление интенсивности красной линии эмиссии 630 нм в F-области ионосферы.
Седьмая глава посвящена изучению макроскопических последствий при- сутствия нелинейных вихревых структур в диспергирующей среде. Сильно локализованные вихревые структуры содержат захваченные частицы и, перемешиваясь в среде, вызывают заметные флуктуации плотности, n/n0 ~ l/(k^Ln) (где Ln s(51nn0/cr) — характерный размер неоднородности среды), и активизируют процессы переноса, т. е. могут формировать сильную дрейфовую турбулентность. Турбулентность представляется как газ ансамбля мелкомасштабных сильнолокализованных (поэтому слабовзаимодействующих) одинаковых вихрей, составляющих основное состояние. Вихри различных амплитуд располагаются в пространстве случайным образом (из-за столкновения между собой), и для их описания применяется статистический подход. Предполагается, что стационарное турбулентное состояние формируется балансом взаимно- конкурирующих эффектов: спонтанного рождения вихрей за счет нелинейного у кручения фронта возмущений и столкновительного или бесстолкновительного затухания возмущений в коротковолновой области. Перекачка шумов по масштабу в инерционном интервале происходит за счет слияния структур при их столкновении. Определены спектры турбулентных флуктуаций по частотам и волновым числам, которые находятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными наблюдениями.
В этой же главе изучена также диффузия частиц среды на ансамбле вихрей. Установлено, что взаимодействие структур между собой и частицами среды вызывает в последней аномальную диффузию. Эффективный коэффициент диффузии корневым образом зависит от стационарного уровня шумов.
Глава 1
Общие представления и методика теории вихрей в диспергирующей среде
Плазменная среда, атмосфера планет, океаны — сложные динамические системы, в которых наблюдаются широкие пространственно-временные спектры движений и вариаций параметров среды. Эти изменения находят свое выражение, в частности, в многочисленных и разнообразных волновых явлениях и колебаниях. При этом рааличные участки спектра могут эффективно взаимодействовать друг с другом и средой в силу нелинейного характера процессов. Это достаточно, чтобы признать физически некоррекгными попытки построения модели, воспроизводящей весь спектр колебаний в данной среде. Однако в этом нет необходимости. Задача состоит в том, чтобы путем применения к исходной системе динамических уравнений различного рода ограничений, упрощений, предложений и т. д., всех возможных физически оправданных приемов (основанных на фундаменталыгых законах физики), воспроизвести с необходимой точностью все существенные особенности пространственно-временных вариаций полей основных термодинамических параметров с масштабами из соответствующего энергетически наиболее значимого спектрального интервала.
Вся совокупность упомянутых приемов может быть отождествлена с совокупностью «принципов» построения динамических моделей среды. На языке математики аналогичные «принципы» формулируются в виде аксиом, теорем, гипотез и т. д., в зависимости от степени аксиоматизации раздела математики. Физика, к сожалению, из-за большой внутренней степени свободы объекта сс исследований не может быть полностью аксиоматизированной, но роль аксиом в физике играют экспериментально установленные факты и фундаментальные законы природы.
Итак, построение любой модели, например, крупномасштабной (в пространстве и/или времени) динамики рассматриваемой среды фактически сволиг- ся к применению в исходной динамической системе уравнений совокупности принципов, которые отфильтровывают все более короткие, чем рассматриваемые, колебания, без искажения спектра последних. При этом, в частности, должны сохраняться симметрии и аналоги интегралов движения, имеющиеся у исходных уравнений.
Настоящая глава посвящена изложению основных понятий теории нелинейных вихрей в неоднородной диспергирующей среде. Эти понятия широко
6Vдут использоваться в последующих главах для исследования различных конкретных динамических процессов, обусловленных вихревыми структурами.
Несмотря на свое достаточное многообразие, вихревые структуры описываются небольшим числом канонических уравнений. Одним из наиболее часто встречающихся уравнений такого типа при изучении динамики вихрей в неоднородной замагниченной плазме и стратифицированной (бароклинной) атмосфере и океане является уравнение вида (см. пт. 2, 3) [16]:
与 + (▽① х У} ) [△丄①-f(x)O + SO2+g(x)j = 0.(1.1)
Здесь Ф ——некоторая величина, описывающая поле волны;
А 丄=д2/дк2+д2/ду2
——плоский лапласиан; f(x), S(x),g(x) связаны с равновесными параметрами среды (плотностью, температурой) и равновесным магнитным полем Во, (Во И z) (для плазмы), и параметром Кориолиса (для атмосферы и океана), которые считаются неоднородными в направлении оси х. Отметим некоторые частные случаи уравнения (1.1). При (f,g,S) = 0 уравнение (1.1) переходит в уравнение для нелинейных конвективных ячеек [117]:
^ + (▽① xV)z〉A 丄①=0.(1.2)
Другим хорошо известным предельным случаем уравнения (1.1) является уравнение ХасегавыМимы для магнитоактивной плазмы [40] или уравнение Чарни для атмосферы и океана [32], которое получается при g(x) = -У,.е • х, f(x) = l, S(x) = 0:t
、 оФА,Ф)№=0・、 оФА,Ф)№=0・(13)(13)
、 оФ
А,Ф)№=0・
、 оФ
А,Ф)№=0・
(13)
(13)
Здесь Vd - дрейфовая скорость элеетронов или ионов, обусловленная градиентом равновесной плотности для плазмы или скорость дрейфа нейтральных час- 丁иц，обусловленная градиентом параметра Кориолиса для атмосферы и океана.
Далее в данной главе внимание уделяется изучению некоторых свойств уравнения (1.1) в том случае, когда описываемые им вихревые структуры являются стационарными бегущими волнами, т. е. Ф = Ф(х,т]), где “my-Ut (U — некоторая произвольная константа, означающая скорость распростра- иения вихря). В разд. 1.1 излагается процедура интегрирования уравнения (1.1) и вводится понятие о скалярных и векторных структурах. Сведения о различных скалярных вихревых структурах приводятся в разд. 1.2, а о вектор-
ных вихрях в неограниченной среде и вихревых сателлитах в ограниченных конфигурациях — в разд. 1.3.
Помимо электростатических (или потенциальных) вихрей, в плазме могут существовать специфические типы вихрей, связанные с непотенциальными волнами и не имеющие аналога в обычной гидродинамике. В разд. 2.3.5 разъясняются особенности описания таких вихрей, вводятся понятия о двупотенциальных вихрях.
С точки зрения теоретического и экспериментального поиска вихрей в диспергирующей среде необходимо знать, на каких ветвях колебаний могут реализовываться вихревые структуры. С этой целью в разд. 1.4 выявляются ориентиры теоретического поиска векторных вихрей. (Аналогичные ориентиры для скалярных вихрей будут рассмотрены в пт. 2).
В разд. 1.5 анализируются пределы применимости локального подхода для дрейфовых структур.
Стационарные решения нелинейных уравнений
Ищем стационарное решение уравнения (1.1) в виде бегущих нелинейных волн Ф = Ф(х,т]),г| = y-Ut. Тогда уравнение (1.1) записывается в виде
DF = 0,(1.4)
где оператор D определяется соотношением
$鳴t▽①(1.5)
a F 三 А丄①一f(x)①+ S(x)①2+g(x). Заметим, что уравнение (1.4) может быть представлено в виде
(VFxV(O-U-x))z=0,(1.6)
где оператор V рассматривается в переменных х,г|. Отметим, что всякое уравнение (1.6) геометрически означает параллельность векторов Va и Vb, т. е. совпадение изолиний полей а и b или F должна быть некоторой функцией величины Ф-U x. Так что, из (1. 6) непосредственно следует, что величина F должна удовлетворять уравнению
F = G(x-O/U),(1.7)
где G — некоторая произвольная функция своего аргумента. Равенство (1.7) справедливо во всем пространстве, за исключением, быть может, особой линии, которая задается уравнением
Ф - U • х = const,(1.8)
1 е. уравнением изолинии функции тока Ф-Ux в системе координат, движу- шейся вместе с нелинейной струкгурой (возмущением). Таким образом, мы СВели нелинейное уравнение (1.4) к более простому (1.7). Подобную операцию будем в дальнейшем называть векторным интегрированием. Изложенная процедура будет систематически использоваться в последующих главах. Наибольший интерес с физической точки зрения представляют простран
/ 2 业2
ственно-локализованные решения, такие как ① т0 при г = (х +п )Т8・
Такие решения возможны лишь в том случае, если асимптотика произвольной функции G в (1.7) дается соотношением
G(x)|0toT g(x)・(1.9)
Различаем ситуацию, когда G является непрерывной функцией своего аргумента, и альтернативный случай, когда G терпит разрыв на некоторой линии или поверхности.
В случае непрерывной функции G равенство G(x) = g(x) должно выполняться во всем пространстве. При этом в простейшей ситуации f(x) = l,g(x) = go +gi • х, где go® - константы, из (1.7) получается уравнение
△丄①-А ①+ S ① 2 =о,(1.10)
где А = 1 - g] / U . Формально это уравнение совпадает с уравнением (1.4) при указанных выше f(x) и g(x) и в пренебрежении членом (VOx V)z • А±Ф . Поскольку, в соответствии с (1.10), в этом случае △丄① является функций Ф , 丁。член с векторной нелинейностью в (1.4) (VOxV)z • А丄① обращается тождественно в нуль. Уравнение (1.10) содержит лишь скалярную нелинейность. Поэтому в дальнейшем описываемые им вихревые структуры будем называть скалярными вихрями. Иначе говоря, как отмечалось во введении, такие вихри представляют собой обычные солитоны.
В качестве примера разрывной функции G возьмем, в соответствии с работой [16], кусочно-линейную функцию:
G(x) = go+(g】 +С)・х,(1.11)
№ С — некоторая произвольная константа, которая принимает разные значе- ни? в различных областях пространства и определяется из граничных усло- ви". Скалярная нелинейность часто оказывается несущественной (см. гл. 3) в случае разрывной функции G. При этом получаем
Описываемые уравнением (1.12) нелинейные структуры будем называть векторными вихрями.
Скалярные структуры
Рассмотрим вопрос о возможности существования пространственно-локализованных скалярных вихрей в плоскости (х,г|). Исходное нелинейное уравнение таких структур имеет вид (1.10). На достаточно далекой периферии уединенного вихря, когда нелинейный член становится несущественным, уравнение (1.10) превращается в линейное
А±Ф-ЛФ = 0.(1.13)
Отсюда следует, что ①一> 0 при г->оо, если только
Л>0.(1.14)
Это неравенство представляет собой условие существования пространственно-локализованного вихря.
Умножая обе части равенства (1.10) на Ф и интегрируя по пространству, получаем интегральную форму вида:
|[(7±Ф)2+ЛФ2-8Ф3] d г = 0.(1.15)
С учетом Л>0 следует, что для солитонов со знакопостоянным Ф должно быть
sgn Ф = sgn S.(1.16)
Построить аналитическое решение уравнения (1.10) оказывается возможным при 麥/" vv 6?/况.В этом предельном случае вместо (1.10) получается
-ЛФ + 8Ф2=0.(1.17)
Уравнение (1.17) имеет хорошо известное солитонное решение:
Ф = Ф0сЬ-2(кт]/2),(1.18)
где к = Л1/2, а максимум амплитуды солитона Фо определяется соотношением
ЛФ-БФ2.ЛФ-БФ2.В двумерном случае уравнение (1.10) допускает, как было отмечено в [31], цилиндрически-симметричное решение вида Ф = Ф(г), называемое «круг- 二зм» солитоном. Это решение описывается уравнением
ЛФ-БФ2.
ЛФ-БФ2.
(1.20)
Солитонные решения (1.20) были найдены численными методами [118].
Помимо отдельного «круглого» солиюна уравнение (1.20) описывает и более сложные двумерные структуры. В частности, в работе [119] было обращено внимание на возможность существования приближенного решения в виде двумерных цепочек солитонов, локализованных в поперечном направлении у (в направлении поперек неоднородности среды, х):
Ф = Ф0сЬ~2(кт]/2) 1 +Ф = Ф0сЬ~2(кт]/2) 1 +£cos(V^kx/2)ch(icr|/2)£cos(V^kx/2)ch(icr|/2)(121)(121)
Ф = Ф0сЬ~2(кт]/2) 1 +
Ф = Ф0сЬ~2(кт]/2) 1 +
£cos(V^kx/2)ch(icr|/2)
£cos(V^kx/2)ch(icr|/2)
(121)
(121)
где £ — произвольный малый параметр.
Другие классы двумерных уединенных скалярных структур будут представлены во второй главе.
Векторные структуры
Перейдем к анализу уединенных векторных структур, описываемых уравнением типа (1.3), (1.12). Наряду с декартовыми координатами х,т)используем в
дальнейшем изложении полярные координаты г = 1х +л ) * 0 = arctg(rj/х) и цилиндрические координаты r,0,z.
Дипольные вихри (многослойные решения)
Рассмотрим среду плоской геометрии и в основном ограничимся случаем двухслойных вихрей. Поскольку мы ищем пространственно-локализованные решения, введем представление о внутренней и внешней областях вихря, полагая, что эти области разделены некоторой замкнутой кривой г = R(0). Полагаем, что константа С в (1.12) имеет различные значения Се, С1 во внешней и внутренней областях, причем Се = 0. В соответствующих областях пространства уравнение (1.12) принимает вид
(1.22)(1.22)产 приг>я(е),
(1.22)
(1.22)
(АФ + С(Ф-и-х), при r<R(0),
ще С = С‘ w 0. Считаем, что при г = R(0) функция Ф , ее производная по нормали п к границе между областями п ▽①,а также △丄①,—непрерывны, т. е.
{Ф,п7Ф,Д±Ф}{ = 0.(1.23)
При условии непрерывности Ф и А Ф из уравнений (1.22) следует, что на границе г = R(0) функция Ф должна удовлетворять соотношению
O[R(O),0] = UR(O)cosO.(1.24)
Ограничимся рассмотрением так называемого дипольного вихря, для которого
O(r,e)=(p(r)cos0.(1.25)
В этом случае условие (1.24), которое можно трактовать как условие для определения границы между различными областями вихря, удовлетворяется при R(9) = а, где а — некоторая константа, которая, согласно (1.23), определяется уравнением
(p(a) = Ua.(1.26)
Пространственно-локализованные дипольные вихри, как видно из уравнения (1.22), определяющего функцию ф(г) во внешней области структуры
(1.27)(1.27)
(1.27)
(1.27)
возможны лишь в случае Л > 0, что совпадает с условием существования солитонов (см. (1.14)). При этом решение имеет вид [33]:
K](pi7a)/Ki(p), при г > а;
①(г, 0) = ф(а) cos 6 卜 『)г『j m / @)(1 ・28)
Здесь L л К】一функция Бесселя и функция Макдональда первого порядка, а константы Р и у связаны с Л и С соотношениями
Л = р2/а2, С = -(р2 +у2)/а2.(1.29)
Для Ф вида (1.28) первое и третье условия (1.23) удовлетворяются при произвольном у (т. е. произвольном С). Для соблюдения второго условия (1.23) необходимо, чтобы параметры 0 и у были взаимосвязаны уравнением [16]
(1.30)(1.30)К2(В)二 J2(Y)РК](Р)-沱⑺
(1.30)
(1.30)
Зто соотношение называется дисперсионным уравнением дипольного вихря. Уравнение (1.30) имеет счетное множество корней уа = yn (Р), п = 1,2,... [43]. Зависимость Уп(Р)исследовалась в [120], где было отмечено, что наиболее устойчивыми являются решения, отвечающие У](Р). Итак, решение (1.28) зависит от двух параметров: скорости структур (J и радиуса сшивки а (или характерного размера структур). Высшие производные решения (1.28) терпят разрыв на окружности г = а . Однако градиент завихренности (▽△丄①)терпит конечный разрыв при переходе через эту линию, поэтому уравнения (1.6), (1.12) удовлетворяются на всей плоскости (х,г|).
Построенное решение имеет при г->оо асимптотику Ф 〜г~1/2 ехр(~рг/а), так что волна локализована в плоскости (х,г|). В соответствии с (1.27), Ф ~ cos0. Следовательно, возмущенные линии уровня функции тока имеют дипольный характер. Поэтому такие структуры представляют собой пару про- гивоположно вращающихся двухслойных вихрей (циклон Ф <0 и антициклон Ф >0) равной интенсивности, движущихся прямолинейно вдоль оси у с постоянной скоростью U в покоящейся среде.
В зависимости от свойства, формы и конфигурации среды, в которой рассматриваются нелинейные структуры, решение (1.12) можно обобщить и представить в виде трехслойной структуры (г < а,а < г < Ь,г > Ь).
Замечательным свойством дипольного вихря является то, что в этом случае стационарное уравнение (1.3), т. е. уравнение
*5Ф
ОА±Ф = А—,(1.31)
сводится к одномерному. В этом убеждаемся, подставляя (1.25) в (1.31). В переменных
У^Ф/(и-г),^А1/2т(1.32)
получающееся одномерное уравнение записывается в виде:
(l-Y)YrYY-Y，+ ^ Y,2+(l-Y)^Yw-y^ =0,(1.33)
где штрих означает производную по 自.
Видно, что точка ^ = ^0, в которой Y(^o) = 1, является особой точкой уравнения (1.38). Обращаясь к (1.30) и (1.26), замечаем, что эта особая точка
есть не что иное, как граница раздела между внутренней и внешней областями вихря, т. е. точка г = а .
Уравнение (1.33) может быть также представлено в виде:
(1.34)
При &工彳0 уравнение (1.34) легко интегрируется, что находится в соответствии со свойством интегрируемости двумерного нелинейного уравнения, обсуждавшимся в разд. 1.1. Из (1.34) ясно, что математической причиной разрывного характера решения (1.27) является наличие указанной особой точки.
Однослойная вихревая дорожка (цепочка)
Еще в 1880 году Кельвин заметил, что в атмосфере Земли движение носит своеобразный характер в области, где скорость ветра равна фазовой скорости соответствующей линейной волны. Поле линии тока при этом имеет вид вихревой дорожки (цепочки) [121] и носит название системы «кошачьих глаз» Кельвина. Многие наблюдаемые данные атмосферы Земли [122] и результаты лабораторных экспериментов в плазменных установках [66, 69] удивительно похожи на эту картину. Поэтому необходимо рассмотреть вопрос о существовании решения в виде вихревых дорожек для динамических уравнений плазменной среды (уравнение Хасегавы~Мимы) и нейтральной атмосферы и океана (уравнение Чарни). Так как эти уравнения формально совпадают и имеют вид (1, 3), для определенности в этом пункте в основном будем говорить об уравнении Чарни (1.3).
Такие дорожки возникают в течениях (зональных потоках), скорости которых принимают разные постоянные значения при х т ±8 . Для их получения заметим, что уравнение (1.3) в стационарном состоянии в безразмерных единицах сводится к виду (1.7) или:
△±ф-ф + и0х = О(Ф-и-х),(1.35)
где G(z) — произвольная непрерывная функция (в отличие от предыдущего раздела); Uo — безразмерная скорость дрейфа (в частности, безразмерная скорость Россби).
Положим, что решение бежит с постоянной скоростью дрейфа U = Uo, а произвольную функцию G(z) выберем в виде непрерывной, односвязной, нелинейной функции своего аргумента:
G(z) = -z + ka2 exp{-2z /a),(1.36)
где a, k ——постоянные, смысл которых определится из дальнейшего. Подставляя (1.36) в (1.35), получим уравнение
А±\|/ = ка2 ехр{-2\|//а},(1.37)
где 屮三①-J ・х . В декартовых координатах уравнение (1.37) допускает решение вида [123, 13]:
屮三①-и。・х = a In 卜• ch(kx) + 厶? -1 cos(ky)},(1.38)
где а ——параметр, характеризующий амплитуду вихревой дорожки,冗/к —— размер вихря. При а = 1 (1.38) переходит в решение в виде зонального потока (вдоль оси у):
O = U0-x + ln(ch(kx)).(1.39)
Решение (1.39) имеет асимптотику, при больших значениях аргумента:
Ф =(и°+к)Х, ХТ+8，](140)
Ф = (Uo - к)х, х ->
Согласно (1.40), при х > 0 скорость зонального потока равна Uo +к , а при х <0 — равна Uo -к . При а > 1 в середине зонального потока образуется знакопеременная вихревая дорожка — «кошачьи глаза». Решение (1.38) описывает вихревые дорожки волн Россби в атмосфере, океане (или дрейфовых волн в плазме), аналогичные наблюдавшимся в работах [121, 66, 69,74].
Вихревые сателлиты во вращающейся ограниченной среде
Отметим, что плазменные ловушки зачастую имеют геометрию, близкую к цилиндрической, и в плазме существует равновесное электрическое поле, которое приводит к дрейфу (к вращению) в азимутальном направлении (вокруг оси цилиндра) каждой из компонент плазмы с постоянной угловой скоростью С° [124, 15]. Аналогично, лабораторные эксперименты для моделирова- ння вихревых структур в жидкости проводятся во вращающемся бассейне переменной глубины Н (во вращающемся вокруг своей оси с постоянной уг- 口ов。" скоростью Q()параболоидальном сосуде) [74, 76]. Поэтому представляет интерес исследование вопроса существования и специфики вихревых структур во вращающейся ограниченной среде (жидкости). При этом, в случае плазмы могут возбуждаться дрейфовые колебания, эволюция которых на нелинейной стадии описывается уравнением Хасегавы—Мимы (1.3), (где ▽=耳 д! дг+ с0о/50 ; ег ее — единичные орты по радиальному и азимутальному направлениям соответственно; А丄=1 / г5 /дг(гд/次)+1 / Уб? /о02) [125].
Соответственно, в жидкости во вращающемся параболоидальном сосуде возбуждаются волны Россби, нелинейная эволюция которых описывается уравнением Чарни (1.3) [13]. Итак, ищем решение уравнения (1.3) в виде двумерной уединенной волны, движущейся по азимуту с постоянной угловой скоростью С без изменения формы. Вводя независимые переменные г, rj = 0-Qt, посредством
векторного интегрирования сводим (1.3) к линейному уравнению (ср. с (1.12)):
(1.41)(1.41)A1O + X2O =(Q + QX2+L；2)y + C1,
(1.41)
(1.41)
где 九=Л1/2; Ln — характерный размер неоднородности равновесной плотности; С] = const, который определяется из граничного условия. Все величины, входящие в (1.41), обезразмерены.
Локализованное регулярное решение уравнения (1.41) имеет вид [125]:
(1.42)(1.42)①(г, П)=噁 Jm (M[cos(mT]) + а0 sin(mr|)] ++(Q + QX? +Lf )^> + C2・
(1.42)
(1.42)
Здесь Фщ = const характеризует амплитуду волны; а0 — произвольная константа; С2 = const.
Предположим, что около границы сосуда г = R отсутствует радиальное движение жидких частиц и возмущение среды равно нулю (Ф = 0), так что
er・V|r=R=。，что означает — r=R=0, Ф(г,т]) r=R = 0,(1.43)
где V — макроскопическая скорость среды, ег — единичный вектор вдоль радиального направления.
Первое из граничных условий (1.43) означает, что XR = kn (хде kn — нули функции Бесселя Jm), а второе условие определяет константу С2. Таким образом, окончательно имеем:
①(г,П)=噁I鸣г/R)[cos(mr|) + а0 sin(mn)] + an(r2 -R2),(1.44)
где
an=(Q + Qk2/R2+L；2)R2/(2kJ), mNl.
Решение (1.44) описывает локализованную в ограниченной вращающейся среде дрейфовую волну (волну Россби) — вихрь, движущийся в азимутальном направлении с постоянной угловой скоростью С . Вихрь характеризуется па-
раметрами: Ф® ,Q,kn,a0. Локализация энергии здесь создается в результате взаимодействия нелинейности и неоднородности (для плазмы) и нелинейности и рельефа для сосуда (ддя волн Россби). В отличие от дипольных вихрей (которые состоят только из одной пары циклон — антициклон равной интенсивности), рассмотренные здесь нами уединенные волновые структуры содержат высокие гармоники по азимутальным волновым числам (т = 1, 2, 3,...). Причем структура состоит из m пар циклон — антициклон неравной интенсивности. Нелинейное взаимодействие вихрей одинаковой интенсивности, но разного знака (циклон — антициклон) в паре создает прямолинейное движение (как это имеет место для дипольных вихрей (пункт 1.3.1.)); а вихревая пара (циклон — антициклон) неодинаковой интенсивности (1.43) при нелинейном взаимодействии изгибает траекторию, заставляя волну двигаться по кругу. Это обусловлено наличием осесимметричного (последнего) члена в (1.43). Заметим еще раз, что азимутальное волновое число m определяет количество вихревых пар в структуре (m= 1 — одна пара, т = 2 — две пары и т. д.).
Точечные (изолированные) вихри в сплошной среде
Уравнение Чарни~Обухова и Хасегавы•—Мимы (1.3) ввиду их нелинейного характера достаточного сложны для аналитического исследования. В настоящее время для них известны в основном отдельные удачные точные решения, представленные в предыдущих пунктах. Поэтому эти уравнения исследуются приближенными методами, либо путем линеаризации, которая, однако, лишает систему многих важных черт; либо спектральным методом, который в сочетании с методом Бубнова~Галеркина позволяет сводить задачу интегрирования уравнения (1.3) к исследованию конечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие основных энергонесущих вихревых мод [126, 127]. Применяется также прямое — сеточное численное интегрирование этих уравнений [128, 129]. В данном пункте мы рассмотрим способ интегрирования уравнения (1.3), называемый методом конечных элементов, или «многих тел» [130,131], в рамках которого используется приближенное представление непрерывного поля уединенных вихревых возмущений конечным числом точечных вихрей (ТВ). В рамках этого подхода удается свести ре・ шение уравнения (1.3) к исследованию конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для эволюции интенсивностей (%) и координат {xj,yj,Zj} точечных вихрей, по которым затем восстанавливаются нестационарная функция тока и выражающиеся через нее гидродинамические поля. Изу- “ение ТВ в геофизической гидродинамике началось, по-видимому, с работ [132, 133]. Дальнейшее развитие теория ТВ получила в работах [134,137].
Как было показано в пункте 1.1, векторное интегрирование нелинейных Уравнений типа Чарни или Хасегавы—Мимы сводит его к решению более простого линейного уравнения (1.7). Это обстоятельство наводит на мысль (основанную также на наблюдении), что обобщенное решение краевой задачи (задачи Дирихле, с условием излучения Зоммерфельда) в области С
А±Ф(х,у,t) -Х2Ф(х,у,t) = ЬФ( г, t) = F0( г, t),(1.45)
с однородным краевым условием на бесконечности
① тО, при г = (х2+у2)1/2 т 8,
удовлетворяет и уравнению (1.3). Здесь X2 > 0, оператор L = Д± -X2, 坛(г, t) — произвольная дифференцируемая функция.
Решение двумерной линейной краевой задачи (1.45) можно записать в виде свертки [138]:
А丄①(x,y,t)-九2 ①(х,у# = 2у《》(х-х《))3(у-у《))，i=l
Ф(г, t) = Jf0 (r；t)G(r,r3df = Jf0 (r； t)G(r-r3dr\ (1.46) an
Здесь G(r,r')— функция Грина краевой задачи для оператора L, т. е. фундаментальное решение уравнения
A1G-X2G = 5(r-r/) = 5(x-x/)8(y-y,),(1.47)
где b(r-r') — двумерная 8 -функция Дирака. Заметим, что фундаментальное решение G(r,r') оператора L (т. е. уравнения (1.47)), вообще говоря, не единственно; оно определяется с точностью до слагаемого Go(r,r'), являющегося произвольным решением однородного уравнения LGO = 0; но для нашего однородного краевого условия на бесконечности или условия Зоммерфельда ①=0(卜「)，5Ф/创г|一认①=о(卜「) при (|г| -^ оо), Go (г,г')三 0 [138].
Теперь выберем произвольную функцию в виде:
NN
Fo (г, t) = Zx(t) 8(г -1- (t)) = ^ Yi (t)5(x - xj (t))5(y - yf (t)), i=li^l
t. e. предполагается, что в среде присутствуют точечные источники (локализованные в точках г = г-) возмущения. Так что, рассматриваем непрерывные локализованные решения (1.3), (1.45) в форме суперпозиции точечных вихрей интенсивностей Y；,i = 1,2,..., N, с координатами н(х”у):
△ Ф(х, у,t)- ^2Ф(х, У,t) = £Y: (t>(x - х, (tW - У» (0}(L48)
В обшем случае число ТВ может быть и бесконечным.
Разрешая уравнение (1.48), функцию Ф(х,уд), согласно (1.45), можно выразить через функцию 1))ина G(r-r') оператора L (см. (1.47)):
N
①(r，t) = Е% (t)G(x-Xj (t),y-y (t)),(1.49)
i=l
удовлетворяющую надлежащим граничным условиям.
Согласно [138], фундаментальное решение (1.47) для однородного граничного условия на бесконечности имеет вид
G(rr) = -^KoG|r-H),(1.50)
где Кп(х)— функция Макдональда порядка п и, следовательно,
①仁 t)= -^Xx(t)KoG|r-r《)|)，(1.51)
тде_|r -q (t)| 二[(х _ % )2 +(у — * )2y 2.
Построенное решение (1.51) является локализованным в пространстве, поскольку Ф г~1/2 ехр(-Хг) при г -> оо и степень затухания пропорциональна 九.Наиболее ярко выраженными возмущениями атмосферы с локализованным полем вихря являются тропические циклоны (ураганы). Размер ядра урагана -- «глаза» Ro *10-80км, максимальная скорость в развитых урага- нах — V。~ 10 - 80 км/час , а типичные значения интенсивности ураганов — 7 -105 -10бкм2 /суг. [5, 139]. Модель ТВ позволяет объяснить некоторые особенности динамики парных ураганов [137], океанических течений [4, 10], ионосферной [140] и лабораторной плазм [13, 74].
Электромагнитные вихри
Наряду с потенциальными вихрями, в которых поле волны описывается одним потенциалом ф, в плазме могут существовать и электромагнитные вихревые структуры. Для них существенным является почти потенциальный
характер поперечного электрического поля Е_ = -А(р. Обсуждаемые вихри обладают поперечным магнитным полем, которое приводит к изгибанию силовых линий полного магнитного поля В = В° +В丄.При описании таких вихрей возникает необходимость использовать два потенциала, и по этой причине они могут быть названы двупотенциальными. В качестве второго потенциала удобно использовать z -компоненту векторного потенциала А, либо продольный потенциал 屮[141]. При этом продольное электрическое поле вихря определяется одним из двух выражений:
包」险二一曳(152
z 也 e at 力
Заметим, что потенциал 屮 можно использовать для возмущений с a/6z н 0 . Его удобно использовать при описании стационарных вихрей. В этом случае, согласно уравнению Максвелла, магнитное поле вихря В± связано с ф и 屮 соотношением:
В 丄=^[V(Q-W)，ez]・(L53)
Здесь предполагается почти поперечное распространение волны, так что ф,屮=f(x，n = у + az -ut), где a «1 — произвольная константа; при этом величина u/a представляет собой фазовую скорость волны в направлении z ; ez — единичный вектор вдоль магнитного поля Во; с — скорость света. Разность (р — 屮 служит мерой неэлектростатичности рассматриваемых вихрей.
При изучении динамики вихрей целесообразнее использовать m, поскольку в этом случае В丄 связано с m простым соотношением
B±=[VA,e7],(1.54)
что позволяет получать уравнения нелинейной динамики вихрей в более компактной форме. В случае стационарных вихрей,屮 н m связаны между собой посредством
А=—(Ф-V).(1.55)
и
Нелинейные уравнения двупотенциальных вихрей содержат, как правило, векторную нелинейность двух типов. Наряду с фигурировавшей в изложении до сих пор нелинейностью, происхождение которой связано с полной производной во времени d0 /dt = 5/ot +VEV, появляется нелинейность, обусловленная связью продольного движения электронов с полным магнитным полем
В 二 В° + В . Эта нелинейность содержится в операторе производной вдоль направления магнитного поля:
V =(BV)岂 d/dz + B亠У.(1.56)
Поэтому динамика электромагнитных вихревых структур описывается системой взаимосвязанных нелинейных уравнений, содержащих нелинейности указанных типов (см. гл. 3).
До сих пор мы рассматривали плазменные вихри, в которых дрейфовое движение частиц поперек магнитного поля несжимаемо, divVE = 0. Еше одна разновидность вихрей обнаруживается в классе возмущений, для которых divVE 工 0. Чтобы ориентироваться, в каких ситуациях может быть важна сжимаемость, проведем следующее рассуждение. В случае низкочасготных волн, в которых возмущается магнитное поле, скорость дрейфа частиц плазмы в скрещенных полях Е, В = В0+В, (В —возмущение магнитного поля) определяется выражением вида:
Ve =с[Е,В]/В2.(1.57)
Из (1.57) следует
divVg =—-■-——cErot~~—.(1.58)
В простейшем случае однородного магнитного поля в пренебрежении нелинейными членами уравнение (1.58) означает
diWE=』萼(169)
Во ot
Видно, что сжимаемость движения плазмы связана со сжимаемостью магнитного по；1я и, как следствие, важна в случае волн, распространение которых сопровождается сжатием или разрежением магнитного поля.
Связь сжимаемости движения со сжимаемостью магнитного поля следует также из условия вмороженности магнитного поля
^ = rot[VLB],(1.60)
которое по существу является другой формой записи (1.58). Взяв z -проекцию Уравнения (1.60), получаем:
—^ = -B2divV±-(V±V)Bz.(1.61)
Этот результат находится в соответствии с формулами (1.58), (1.59). Из (1.61) видно, что магнитное поле может возмущаться, В7 ^0 , также в несжимаемой плазме, divV, =0, если равновесное магнитное поле неоднородно. При этом возмущение магнитного поля обусловлено его конвективным переносом, описываемым вторым членом правой части (1.61).
Следует также иметь в виду, что наличие сжимаемости, вообще говоря, не означает наличие возмущения плотности плазмы. Это связано с тем, что, согласно уравнению непрерывности плазмы,
—=-ndivV丄-(V±V)n,(1.62)
изменение плотности зависит от конвективного переноса. В результате эффск ! сжимаемости плазмы может оказаться скомпенсированным конвективным переносом, и возмущение плазмы — несущественно, как, например, в случае чисто электронных градиентных желобковых волн [142].
Говоря о «сжимаемых» вихрях, мы, однако, считаем сжимаемость слабой (ср. с вихрями Россби в гидродинамике)
Irot^l» |divV±|.(1.63)
Для реального проявления эффектов сжимаемости плазмы важно наличие градаентов ее равновесных параметров (см. гл. 2).
Характерные особенности вихревого движения в диспергирующей среде
В настоящем разделе мы хотим обратить внимание на то, что класс возмущений диспергирующей среды, приводящий к задаче о вихревых структурах, является весьма широким. В этом смысле представление о вихрях является фундаментальным для нелинейной теории как неоднородной, так и однородной, как несжимаемой, так и сжимаемой, как проводящей — магнитоактивной, 1ак и нейтральной среды. Вихри могут встречаться в задачах, описываемых не только уравнениями типа (1.1)н(1.4), но и нелинейными уравнениями (или системами нелинейных уравнений) более сложной структуры (анализу разновидностей таких уравнении посвящены последующие главы монографии). Здесь мы обсудим вопрос о том, на каких ветвях волн в диспергирующей среде (в плазме, в атмосферах планет; в океанах) могут реализовываться векторные уединенные вихри, и отметим некоторые особенности вихревого движения в среде.
Характерным для уравнений, описывающих стационарные векторные вихревые структуры, является наличие члена типа DA±(p. Это обстоятельство
является одним из главных ориентиров при выполнении конкретных задач, сводящихся к исследованию вихревых процессов. Поэтому полезно проследить за «родословной» этого члена. Для этого рассмотрим движение холодной, бесстолкновительной компоненты замагниченной плазмы (ионов или электронов, в зависимости от частоты волны) в поле низкочастотной электростатической волны. Под действием полей Е, Во частицы приобретают попе-
dV е
-^ = ^E±+©B[V±,ez],(1.64)
где е,т — заряд и масса частиц; шв = еВ0 / (тс) — циклотронная частота, d/di = 8/^t +W；V =匕 + Vzez — полная скорость частиц; 乂 一 их продольная скорость. В случае низкочастотного длинного возмущения, когда d/dt«сов, из (1.64) приближенно следует:
(1.65)(1.65)V.=Ve+Y，
(1.65)
(1.65)
гце VE определяется соотношением (1.57), а % — инерционная скорость частиц поперек магнитного поля:
(1.66)(1.66)
(1.66)
(1.66)
При получении (1.66) мы полагаем, что VEV » V2a/Sz. Это справедливо при рассмотрении волн, распространяющихся почти поперек магнитного поля. Подставляя (1.65), (1.66) в уравнения непрерывности соответствующей компоненты плазмы,
(1.67)(1.67)dnл
(1.67)
(1.67)
—+ ndivV = 0,
(п — плотность плазмы), замечаем, что входящая в это уравнение величина divV равна
(1.68)(1.68)
(1.68)
(1.68)
Видно, что в случае волн, зависящих от х, т] = у + az - ut правая часть (1.68) с точностью до обозначений есть не что иное, как величина DA±(p. Отметим, что в случае электромагнитных волн, для которых поперечная составляющая электрического поля является потенциальной, то есть
E = -V±(p, (1.69)
проведенный нами анализ по-прежнему остается в силе.
Следовательно, типы волн, представляющие интерес с точки зрения векторных вихрей, должны обладать, по крайней мере, следующими свойствами:
они должны быть низкочастотными и длинноволновыми по отношению к соответствующим характеристикам движения самой среды или хотя бы по отношению к одной из компонент среды (ионам, электронам, нейтральным частицам);
в таких волнах, вообще говоря, должна быть существенна поперечная инерция соответствующей компоненты среды (по отношению оси вращения среды или направления внешнего магнитного поля в проводящей среде), хотя и есть исключения из этого правила [143];
в проводящей среде (в плазме) электрическое поле волн, поперечное равновесному магнитному полю, должно быть хотя бы приближенно потенциальным.
Еще одним существенным ориентиром для теоретического поиска вихрей является тот факт, что во внешней области уединенного вихря △丄①=ае2Ф, где % — некоторая вещественная константа. Поэтому из (1.22) следует
Л(и,а) = ае2.(1.70)
Такого типа соотношение формально совпадает с дисперсионным уравнением линейного приближения для волн с частотой со и волновым вектором к с точностью до замены
ае2 ->-к^, u->(o/ky, a->kz/ky.(1.71)
В связи с этим соотношение типа (1.70) может быть названо модифицированным дисперсионным уравнением (МДУ). Из (1.70) ясно, что для проблемы вихрей представляют интерес лишь такие волны в замагничепной плазме, для которых выполняется неравенство (1.14), Л >0. Следует заметить, что условие, налагаемое на фазовую скорость уединенных вихрей, является противоположным условию, которым определяются допустимые скорости волн линейного приближения, для которых из (1.70) с заменой ж2 -> -к： следует (ср. с (1.14)):
A(co/ky,kz/ky)<0.(1.72)
Так что скорость перемещения вихревых структур лежит вне интервала фазовых скоростей линейных периодических волн. Физически это связано с тем, что если бы скорость вихря лежала внутри интервала возможных фазовых скоростей линейных волн, то двигающийся вихрь генерировал бы незатухающие периодические волны, и решение стационарного вихревого типа у исходного уравнения не существовало бы (при этом возможно решение типа вихревых цепочек «кошачьих глаз» (1.37)).
Отметим также, что движение частиц среды в вихревых структурах имеет ненулевую завихренность, rotV w 0. Это означает, что частицы в вихре со- вершают вращательное движение. Из (1.65), (1.28), (1.44) следует, что характерная величина скорости такого вращения порядка скорости вихря:
V>u. (1.73)
Это соответствует случаю сильной нелинейности, при которой вихрь захватывает группу частиц и переносит ее с собой. Такая же оценка справедлива и для всех остальных разновидностей обсуждаемых нами далее вихрей.
Распространяясь в среде, вихревые структуры переносят часть вещества в виде захваченных частиц и могут сильно повлиять на процессы переноса и тем самым являться структурными элементами дрейфовой турбулентности в среде (см. тл. 7).
Пределы применимости локального подхода в проблеме дрейфовых структур
В работе [144] обсуждались пределы применимости локального подхода к проблеме дрейфовых (градиентных) регулярных структур, принятого при выводе уравнений типа (1.10), (1.12). При таком подходе координатная зави* симость коэффициентов Л(х), S(x) считается слабой. Вместе с тем, избавившись от векторной нелинейности и получив уравнения типа (1.10), (1.12), мы должны помнить об указанной координатной зависимости. Этот вопрос имеет общий характер, в том смысле, что он касается всех рассматриваемых в настоящей работе разновидностей градиентных структур. Ответ на него оказывается различным в зависимости от того, какие исследуются структуры, квазиодномерные 9Ф/5п>ЗФ/^ или существенно двумерные СФ/0г| * 舛/Sx.
В задаче о квазиодномерных солитонах (1.17), (1.18) зависимостью Ф от хне пренебрегается: эта зависимость входит в параметры солитона Фо и зе, означающих, соответственно, его амплитуду и характерный размер вдоль у,1у =1/ж = Л~1/2 .
Рассмотрим некоторые соотношения, характеризующие квазиодномерный солитон, и выясним условия его существования.
Для применимости локального подхода необходимо, чтобы характерный х -размер солитона 1Х удовлетворял условию
С другой стороны, с учетом оценки для S (см. гл. 2), S 二(c/(uB0))6A/^x , и с помошью (1.18), (119) получаем следующее значение для Ф :
Из (1.74), (1.75) находим, что в рассматриваемом случае квазиодномерных солитонов характерный х -й размер 1Х и характерный потенциал Ф связаны соотношением
1Х ^сФ/(иВ0).(1.76)
В отличие от случая квазиодномерных солитонов, теория существенно двумерных структур основывается на предположении, что солитон локализован в окрестности некоторой точки х = х0. При этом проводится разложение коэффициентов Л и S в ряд по степеням х. В этом случае с необходимой точностью из (1.10) следует:
А丄①一 А(х°) + х(Ф + $(хо)Ф2=О.(1.77)
I " A=Xq
Полагаем здесь поправочный член с х малым, что справедливо, если
1±<сФ/(иВ0),(1.78)
Еде 1 丄——характерный поперечный размер структуры. При этом вместо (1.77) имеем более простое уравнение:
А±Ф-Л(х0)Ф+8(х0)Ф2 =0.(1.79)
Именно это уравнение, а не (1.77), обычно подразумевается в качестве исходного уравнения в теории двумерных круглых солитонов (см. (1.20)).
Для конкретного случая дрейфовых структур их характерные размеры и характерные значения волновых величин определены в последующих главах.
Глава 2
Уединенные скалярные вихревые структуры в замагниченной плазме
Одним из важных типов волн в неоднородной плазме с горячими ионами являются дрейфовые колебания с поперечными длинами волн, малыми по сравнению с ларморовским радиусом ионов р； =(Tj /п^)172/^;兀一температура: ионов (a = i), электронов (a = e); k：p： »1 (к丄 一 поперечное волновое число). Согласно [96], в плазме низкого давления с 工 > 又 ветвь электростатических коротковолновых дрейфовых (КВД) колебаний описывается дисперсионным соотношением
о?-co*i(o-k泣=0, (2.1)
где со*, =ку%, % =cl^aen /(eB0),aen =51nn0/^x, с^ =I；/me — квадрат скорости электронного звука. При переходе к однородной плазме (со*{ ->0) уравнение (2.1) описывает электронно-звуковые волны, распространяющиеся под большим углом к магнитному полю. Условие применимости приближения холодных электронов представляет собой условие малости тепловой скорости электронов %е = (К/те)"2no сравнению с продольной фазовой скоростью волны,т. е. со> к%%е.
Первоначально КВД волны с(о> k2VTe обсуждались в связи с проблемой дрейфово-циклотронных неустойчивостей плазмы в адиабатических магнитных ловушках [95, 96], затем — в связи с экспериментами с 0 -пинчами [97] и проблемой высокочастотного нагрева плазмы [98]. Со временем представле- ния о КВД волнах с ©> k2VTe стали использоваться также в физике космической плазмы. В частности, были высказаны предположения, что связанная с зтимн волнами неустойчивость (часто называемая нижнегибридно-дрейфовой неустойчивостью) лежит в основе механизма диссипации магнитной энергии в процессе перезамыкания магнитных силовых линий в хвосте магнитосферы [99] и является источником мелкомасштабных неоднородностей в ионосфере [ЮО, 101].
В работе [98] были приведены оценки коэффициентов аномального переноса плазмы, обусловленного коротковолновыми колебаниями плазмы. Эти оценки основывались на представлениях теории слабой турбулентности плазмы, уравнения которой получаются усреднением по случайным фазам взаимодействующих волн (см. [145, 146]). Вместе с тем, по современным представлениям, в турбулентности плазмы весьма существенна корреляция фаз, приводящая к образованию регулярных (когерентных) структур. В разд. 2.1 настоящей главы мы рассмотрим вопрос об уединенных вихревых структурах КВД волн.
Кроме КВД вихрей, в которых существенным является движение обеих компонент плазмы (электронов и ионов), в разд. 2.2 исследуются чисто электронные градиентные вихри в холодной плазме. При этом мы ограничиваемся случаем потенциальных электронных градиентных (ЭГ) структур (непотенциальные электронно-градиентные структуры рассмотрены в [147]). Движение электронов в поле нелинейной ЭГ волны аналогично движению электронной компоненты в потенциальных КВД волнах, что позволяет использовать часть результатов, полученных при исследовании КВД волн, при выводе нелинейных уравнений ЭГ волн.
В линейном приближении ЭГ волны описываются дисперсионным уравнением вида [102]:
где cope i = 4тсе2п0 /me i — квадрат плазменной частоты. ЭГ волны в свое время широко обсуждались в связи с экспериментами по взаимодействию пучков частиц с плазмой [71,102].
Важным представляется вопрос о нелинейной динамике ЭГ волн, поскольку, по-видимому, именно нелинейные волны определяют процессы взаимодействия пучков с плазмой, ускорения частиц и т. д. Помимо этого, исследование нелинейных ЭГ волн представляет интерес для моделирования коллективных процессов, обусловленных электронно-ионными градиентными волнами. Будучи более простыми по сравнению с ионными, ЭГ волны могут быть экспериментально изучены на более компактных лабораторных установках.
В разд. 2.3, 2.4 настоящей главы рассматривается нелинейная динамика потенциальных нижнегибридно-дрейфовых (НГД) и непотенциальных дрейфово-магнитозвуковых (ДМ3) волн. Эти волны имеют характерные частоты выше ионной циклотронной, со > coBi, но ниже электронной циклотронной, со < сове (как и для отмеченных выше ЭГ волн). В таких волнах замагничен- ной компонентной плазмы являются электроны. Их движение носит вихревой характер, и, соответственно, вихревыми свойствами обладают НГД и ДМ3 волны.
НГД волны описываются в линейном приближении дисперсионным равнением вида [9]:
(23)(23)1 +唸 區 k；We I耳kу脸=0唸 ① 2kjo/ SBeSkj
(23)
(23)
Волны такого типа рассматривались в [103], где считалось также, что имеется относительное движение электронов и ионов поперек магнитного поля. В этом случае НГД волны оказываются неустойчивыми. Соответствующая неустойчивость в дальнейшем получила название НГД неустойчивости. Об экспери, сальном наблюдении такой неустойчивости сообщалось в [72, 104], а также в большом числе более поздних работ. Волны типа (2.3) оказываются неустойчивыми также при наличии относительного движения ионов и электронов вдоль магнитного поля. Такого типа неустойчивость называется пучково-дрейфовой [102, 105]. Она наблюдалась в [71] и ряде других работ (см. об этом подробнее в книге [72]). Указанные неустойчивости могут быть причиной генерации НГД волн.
Дрейфово-магнитозвуковые волны являются аналогом высокочастотных (ш > coBi) магнитозвуковых волн (см. ni. 4) в сильнонеоднородаой плазме. Они характеризуются в локальном приближении дисперсионным уравнением вида:
co2-kyun(o-k2c2 =0, (2.4)
где un = -с2соВеаеп /соре, Сд = Вд /(《兀口。!^), — квадрат альфвеновской скорости. Предполагается, что к丄 ^ соР8 / с, kz /к± «(me/mj)"?, и волны распространяются почти поперек магнитного поля. Поскольку в ДМ3 волнах возмущается равновесное магнитное поле, В = (Во + Bz)ez, то в них играют существенную роль эффекты сжимаемости (см. разд. 1.3.3).
Уравнение (2.4) является обобщением ряда более простых дисперсионных соотношений. В частности, в приближении неподвижных ионов (т{ оо) из (2.4) следует:
(o = kyun (2.5)
Это уравнение описывает ветвь негютенциальных электронных желобковых волн [142]. При (un,cA)->x (при этом вышеприведенное условие к 丄 <соРе/с необязательно) уравнение (2.4) соответствует НГД волнам. В случае однород- иой плазмы уравнение (2.4) переходит в дисперсионное соотношение для магнитозвуковых волн, нелинейная динамика которых исследована в [148].
Отметим, что в дисперсионных уравнениях (2.3), (2.4) пренебрегается тепловым движением частиц. Вместе с тем, согласно [105], при развитии НГД
неустойчивости должен иметь место аномальный быстрый нагрев ионов. При этом с ростом температуры нарушается приближение холодных ионов со > к %]. При со < к 1Vli вместо (2.3) получается:
+ *矗卜專呂°，(2.6)
где dj =Tj /^4ле2п0 j. Дисперсионное уравнение (2.6) описывает коротковолновые дрейфовые и элеюгронно-звуковые волны, нелинейные свойс1ва которых мы исследуем в разд. 2.1.
Дисперсионное уравнение (2.4) справедливо при условии со > k±VTi (по аналогии со случаем НГД волн). В другом пределе со > к 丄 %[ вместо уравнения (2.4) получается дисперсионное уравнение непотенциальных КВД волн [149].
Таким образом, в настоящей главе исследуются нелинейные свойства достаточно широкого класса электронно-ионных волн в сильнонеоднородной магнитоактивной плазме.
.L Уединенные вихри коротковолновых дрейфовых (КВД) колебаний5
Получим нелинейные уравнения для описания КВД волн в плазме низкого давления, Рр =87tno(Te+Т)/В^ «1 [150]. В этом случае электрическое поле волн можно считать потенциальным, Е = -V(p (возможно существование электромагнитных КВД волн в плазме конечного давления Рр ~ 1). Вихри на электромагнитных КВД модах рассмотрены в работе [149]. Предполагаем, что волны являются низкочастотными по отношению к электронам, со«соВе. Температурой электронов пренебрегаем, полагая 1^ « Т；.
Для описания электронной динамики используем уравнения идеальной магнитной гидродинамики. Возмущение плотности электронов в поле волны удовлетворяет уравнению непрерывности
^- + div(neV) = 0,(2.7)
где ne =n0 +ne, V —скорость электронов, п0 —равновесная плотность плазмы, которая предполагается неоднородной в направлении оси х, Vn0 ||х, пе — возмущенная плотность электронов.
$ См. [150].
Скорость движения электронов в поле волны представляем в виде:
V = V±+Vz%・(2.8)
Движение электронов поперек магнитного поля Вов поле КВД колебаний носит дрейфовый характер, и поперечная скорость частиц описывается приближенным соотношением:
V_L=VE+&,doVE/dt]/COBe，Q9
где уЕ ——скорость ЕхВ0 дрейфа электронов,
Ve=^[E,B。],(2.10)
*=評e口(2.и)
Равенство (2.9) является приближенным в том смысле, что мы пренебрегли в нем членом вида VZ5VZ/дг .Такое приближение оправдано при рассмотрении волн, распространяющихся почти поперек магнитного поля Во, таких, где vza/az«vEv.
Скорость электронов вдоль магнитного поля Vz удовлетворяет уравнению вида:
偿+V%曦需偿+V%曦需(2.12)(2.12)
偿+V%曦需
偿+V%曦需
(2.12)
(2.12)
Используя соотношения (2.8), (2.9), из уравнения (2.7) получаем:
武。武。(2.13)(2.13)
武。
武。
(2.13)
(2.13)
Предполагая плазму достаточно плотной,脸/со^е >>1，считаем изучаемые КВД волны квазинейтральными:
ne = ni *ne = ni *(2.14)
ne = ni *
ne = ni *
Для замыкания системы уравнений (2.12)-(2.14) необходимо иметь выра- 玄снне для плотности ионов п； в поле волны. При вычислении используем кинетический подход. Как известно, ионы в отсутствии столкновений описываются кинетическим уравнением вида [150]
—+ Wf—— V(p-^- —coBi — = 0.(2.15)
at mi 屮 6V Bl 6c
Здесь f = f (t,r,V)— функция распределения ионов по скоростям V , % — угол в пространстве поперечных скоростей (по отношению к магнитному полю). В силу коротковолновости рассматриваемых нами волн
VV »(a/at,coBi),(2.16)
и в пренебрежении малыми членами порядка 3/》и coBi, уравнение (2.15) сводится к виду:
Wf-—Vq>—= 0.(2.17)
nij 3V
Решение уравнения (2.17) является функцией вида f = F(8±,x), где е± =01^2 /2 + е(р ——поперечная энергия частиц (продольное движение ионов мы не рассматриваем), F — некоторая функция, вообще говоря, произвольным образом зависящая от £丄 и слабо зависящая от х. Примером такой функции является максвелловская: F ~exp(-ex/Ti). Интегрирование этой функции по поперечным скоростям приводит к больцмановскому выражению для плотности:
% =n0 exp(-ecp/Ti).(2.18)
(2.19)(2.19)Полагая ecp/工 vv 1, из соотношения (2.18) приближенно получаем:
(2.19)
(2.19)
Уравнение (2.13) с учетом (2.14), (2.19) с точностью до квадратичных членов приобретает вид:
do dTdo dTlnn0-~ + Ре1Д1lnn0-~ + Ре1Д1些］+21 一 К些］+21 一 К工丿工丿8z8z(2.20)(2.20)
do dT
do dT
lnn0-~ + Ре1Д1
lnn0-~ + Ре1Д1
些］+21 一 К
些］+21 一 К
工丿
工丿
8z
8z
(2.20)
(2.20)
P* =工 /(mcco|c) — квадрат ларморовского радиуса электронов по ионной
температуре. Вместе с (2.12) уравнение (2.20) составляет систему уравнений, описывающую нелинейную динамику КВД колебаний в плазме низкого давления. Отметим интересное свойство КВД волн в плазме с горячими ионами, которое заключается в формальном совпадении описывающих эти волны уравнений с соответствующими уравнениями длинноволновых дрейфовс-
ионно-звуковых волн (с точностью до замены ионных индексов на электронные и наоборот). На этот факт первоначально было обращено внимание, по- видимому, в работе [150].
уравнения (2.12), (2.20) сохраняют энергию КВД колебаний, которая имеет вид:
W = ； J {е2р^ (V(p)2 /工 +^l\ +meV^dr.(2.21)
В частном случае волн, распространяющихся поперек магнитного поля @8z = 0), из уравнения (2.20) следует:
帯m110-^ +p3a丄停)]=0.(2.22)
В приближении однородной температуры (▽% = 0)уравнение (2.22) представляет собой уравнение типа Хасегавы——Мимы и при дополнительном предложении постоянства дрейфовой скорости ионов (V*i = const) сохраняет обобщенную энстрофию волны:
U = |/^1Ф)2 +p；i®(p)2}d2r・(2.23)
Кроме энергии и экстрофии, уравнение (2.22) сохраняет во времени интегралы вида:
If[D] = J[f(q)-f(q(0))]d2r,(2.24)
D
где D -- произвольная область, граница которой перемещается со скоростью VE, f — произвольная функция, а
Y + p 紹闫Q.25)
а также ряд других интегралов.
Стационарные КВД структуры
Перейдем к изучению стационарных КВД вихрей, распространяющихся почти перпендикулярно Во, так что q>, Vz зависят от х, г| = у + az - ut. В этом случае система уравнений (2.12), (2.20) сводится к виду:
u6y+马四＞ =里生,2 dr\ me от]
$| lnn0 - ~^ + PeiA±
a d u &]
=0.
(2.26)
(2.27)
Здесь оператор D имеет вид:
D =——[V(p,Vl . 国uB0L"工D =——[V(p,Vl . 国uB0L"工(2.28)(2.28)
D =——[V(p,Vl . 国uB0L"工
D =——[V(p,Vl . 国uB0L"工
(2.28)
(2.28)
Решая (2.26) методом последовательных приближений с точностью до квадратичных по амплитуде волны членов, получаем:
(2.29)(2.29)Г 2 、еа(р ]_ еа срmeU〔 2me",
(2.29)
(2.29)
Подставляя (2.29) в (2.27), приходим к следующему уравнению:
(2.30)(2.30)
(2.30)
(2.30)
Посредством векторного интегрирования уравнение (2.30) можно привести к виду:
(2.31)(2.31)
(2.31)
(2.31)
Рассмотрим возможность существования пространственно-локализованных решений уравнения (2.31). В случае однородной плазмы функция g(x) должна удовлетворять на периферии структуры соотношению типа:
(2.32)(2.32)g(x) = lnn0 = const.
(2.32)
(2.32)
Во внутренней области вихря единственное ограничение, накладываемое на вИД g(x), — отсутствие в решении особых точек, в которых ф->ос. Приведем два различных примера решения (2.31), определяемых различным выбором констант. В первом из них полагаем вс всем пространстве выполненным равенство (2.32). При этом имеем:
p：iA±l _屮—3+2 =0>丿2p：iA±l _屮—3+2 =0>丿2(2.33)(2.33)
p：iA±l _屮—3+2 =0>
丿2
p：iA±l _屮—3+2 =0>
丿2
(2.33)
(2.33)
где KP =e(p/I^, а кроме того, дисперсия и нелинейность считаются малыми, что позволяет в нелинейном члене полагать и 绍 acse. Как уже отмечалось в гл. 1, уравнение (2.33) допускает существование как одномерных, так и двумерных солитонов. Одномерный солитон по аналогии с ионно-звуковым (см. [49]) является неустойчивым по отношению к двумерным возмущениям. В результате неустойчивости, по-видимому, образуется двумерный солитон, устойчивый по отношению к двумерным (5//& = 0) возмущениям. Что касается его устойчивости по отношению к трехмерным возмущениям, то этот вопрос остается открытым (данный вопрос будет рассмотрен в гл. 4).
В качестве другого примера рассмотрим вихревое решение уравнения (2,31) при
g(x) =g(x) =lnn0, г > а, 1пп0 +С・х,lnn0, г > а, 1пп0 +С・х,(2.34)(2.34)
g(x) =
g(x) =
lnn0, г > а, 1пп0 +С・х,
lnn0, г > а, 1пп0 +С・х,
(2.34)
(2.34)
где С — произвольная константа, г = (х2 +т]2)1/2, а ——параметр вихря, называемый часто его радиусом. В этом случае квадратичный по ф член, вообще говоря, не важен, и уравнение (2.31) имеет решение типа Лариче- ва—Резника [33] (см. также гл. 1). Роль скалярной нелинейности (член с(р2) сводится в этом случае к медленному разрушению дипольного вихря, в результате которого выживает только антициклон (ф<0) [151] (см. также гл. 4).
Наличие неоднородности плазмы (也° /》,阳 /5х ) приводит к некоторому усложнению задачи. В этом случае функция g(x), которая допускает существование уединенного вихря, определяется соотношением вида:
(2.35)(2.35)g(x) = lnn0(x).
(2.35)
(2.35)
Таким образом, в случае непрерывной функции g имеем
一碧R +『图 …卜-識）.（2.36）
Рассмотрим вихри, локализованные в точке х = х0. В этом случае Inп0 (х) можно разложить вблизи точки х = х0 в ряд с точностью до квадратичных членов. В результате из (2.35) следует
еедхп /ох®пдхп /ох®прмр4-区一宵рмр4-区一宵д\пхп % ) 『L_L|・X・q>_д\пхп % ) 『L_L|・X・q>_(2.37)(2.37)
е
е
дхп /ох®п
дхп /ох®п
рмр4-区一宵
рмр4-区一宵
д\пхп % ) 『L_L|・X・q>_
д\пхп % ) 『L_L|・X・q>_
(2.37)
(2.37)
где aen =51nn0/Sx, а все равновесные плазменные величины берутся в локальном приближении, т. е. при х = х0. При выполнении равенства
%+^^%=0，(2.38)
OX U
(где ает = 31叫/改)уравнение (2.37) идентично уравнению (2.33), и все выводы, справедливые для электронно-звуковых структур, остаются в силе и при наличии неоднородности плазмы. Кроме того, в силу предположения слабой дисперсии и слабой нелинейности с точностью до малых членов порядка амплитуды вихря должно выполняться модифицированное дисперсионное соотношение (ср. с (1.56)):
u2(l- ®2p^)-uV#i- a2c^e = 0.(2.39)
Одновременное выполнение условий (2.38), (2.39) означает постоянство дрейфовой скорости, V*i = const. Невыполнение равенства (2.38) приводит к нестационарности структур [152]. Причем локальное приближение в этом случае справедливо при
胆 >五，(2.40)
где Ln ——характерный масштаб неоднородности плазмы.
Аналогично электронно-звуковым структурам в однородной плазме (см. (2.34)), возможно существование КВД вихрей типа Ларичева—Резника при наличии неоднородности равновесных параметров плазмы, которые описываются уравнением:
Здесь f -- кусочно-непрерывная функция своего аргумента (уравнения такого типа подробно анализируются в гл. 3).
Влияние неоднородности плазмы на вихри типа Ларичева—Резника не столь существенно, поскольку в этом случае необходимо лишь выполнение неравенства:
(2.42)
где 1 ——характерный размер вихря. Условие (2.42) аналогично стандартному предположению о применимости локального приближения (см. (1.74)) при изучении волн в линейном приближении, причем роль 1 играет длина волны 九.
Отметим, что область допустимых значений скорости уединенных коротковолновых вихрей удовлетворяет неравенству (см. (1.14)):
и2-%и-а2"е>0・(2.43)
Видно, что возможны два случая КВД вихрей: быстрые вихри с и/% > 1
и медленные вихри с u/V\ < 0.
Пространственная локализация рассмотренных КВД солитонов может быть обусловлена либо нелинейностью продольного движения электронов (см. (2.29)), либо характером пространственного распределения равновесных параметров плазмы (см. (2.37)).
Нелинейные электронные градиентные (ЭГ) волны
Считая волны чисто электронными, мы пренебрегаем тем самым движением ионов. При косом распространении волны такое пренебрежение справедливо, если только kz /к^ > (те 1т{)12. В случае волн, распространяющихся поперек Во, движение ионов несущественно при достаточно
сильной неоднородности плазмы, такой, где 関门 /к_ 之(п^ /т{ )1/2 . Если указанные условия не выполняются, то ЭГ волны переходят в НГД волны, которые изучаются в разд. 2.3.
Предположим, что плазма холодная, пренебрегая таким образом давлением электронов. Это справедливо при со > kz%е，】де 看е — тепловая скорость злектронов.
Для описания нелинейных ЭГ волн воспользуемся уравнениями электронной магнитогидродинамики. При этом электроны характеризуются их плотностью п и скоростью V . Плазму полагаем неоднородной в направлении оси х. Магнитное поле Во считаем однородным, Во ||z .
Учитывая низкочастотность рассматриваемых волн по отношению к циклотронному вращению электронов и полагая аналогично разд. 2.1, VEV » \^2/力， электронное уравнение непрерывности приводим к виду [143]:
+ 1 土崂2/脸а丄屮+ 1 土崂2/脸а丄屮dzdz0.0.(2.44)(2.44)
+ 1 土崂2/脸а丄屮
+ 1 土崂2/脸а丄屮
dz
dz
0.
0.
(2.44)
(2.44)
При получении уравнения (2.43) учтено, что, согласно уравнению Пуассона, возмущение плотности электронов п имеет вид:
(2.45)(2.45)п = А±ф/4ле.
(2.45)
(2.45)
В (2.45) полный лапласиан заменен поперечным в силу предположения |V±| » d/dz. Продольная скорость элеворонов Vz удовлетворяет уравнению (2.12). Система уравнений (2.12), (2.44) является исходной при изучении нелинейной эволюции потенциальной ЭГ волны. Указанная система уравнений сохраняет, в частности, величину
wTdr,wTdr,(2.46)(2.46)
wTdr,
wTdr,
(2.46)
(2.46)
которая соответствует энергии ЭГ волны. В пренебрежении скалярной нелинейностью (членом ay^/Sz в (2.12)) и при дополнительном условии 51nn0/5x = const уравнения (2.12), (2.44) сохраняют также обобщенную экстрофию вихря:
*w圈〔計斗"z)2 **w圈〔計斗"z)2 *(2.47)(2.47)
*w圈〔計斗"z)2 *
*w圈〔計斗"z)2 *
(2.47)
(2.47)
Используем (2.12), (2.44) для изучения динамики уединенных ЭГ волн.
Упростим нелинейные уравнения ЭГ волн на случай слабодиспергирую- шИх слаболинейных волн, распространяющихся почти поперек магнитного ПОля Во так, что все волновые величины зависят от q = у + az - ut, х, z , t (Где и — скорость волны вдоль оси у, u/a — вдоль оси z , |a|«1). Считаем, кроме того, что (д/д^д/дт)«с/сг|. Тогда уравнения (2.12), (2.44) сводятся к виду [143]:
(2.48)(2.49)(2.48)(2.49)0「a/丄展 £o(p + q 叫_^-(ag +多卜z+丄丝=0,-」ea2z 丿a oz
(2.48)
(2.49)
(2.48)
(2.49)
meu 8z u 秋 Imu 丿
Здесь продольная скорость представлялась в виде 匕=V%。+ %, где Vz0 удовлетворяет соотношению (2.29). Величины £0,q и а0 определяются равенствами
u2 (1 + <4е/®Ве)1 Y 脸丿u2 (1 + <4е/®Ве)1 Y 脸丿(2.50)(2.51)(2.52)(2.50)(2.51)(2.52)
u2 (1 + <4е/®Ве)1 Y 脸丿
u2 (1 + <4е/®Ве)1 Y 脸丿
(2.50)
(2.51)
(2.52)
(2.50)
(2.51)
(2.52)
а оператор D имеет вид (2.28).
Отметим некоторые частные случаи системы уравнений (2.48), (2.49). Пусть поле волны не зависит от х (случай так называемых (n，z) волн). Тогда D~>g/ot|, и уравнения (2.48), (2.49) сводятся к двумерному уравнению Кадомцева—Петвиашвили с отрицательной дисперсией
где 己=a(z-2ut/a),t = t.
номерного солитона:номерного солитона:Рис. 2.1. Форма солитона (2.58);<р = 3e0/(2q); Y = авт]/2Рис. 2.1. Форма солитона (2.58);<р = 3e0/(2q); Y = авт]/2
номерного солитона:
номерного солитона:
Рис. 2.1. Форма солитона (2.58);
<р = 3e0/(2q); Y = авт]/2
Рис. 2.1. Форма солитона (2.58);
<р = 3e0/(2q); Y = авт]/2
Для (х,г|)-волн, поле которых не зависит от z, вместо (2.48), (2.49) имеем:
D [а^ А 丄(р -е0Ф + q屮2 ]-詈嘗 二 °，Q54)
豊(2.55)
mu 次
Эти уравнения представляют собой двумерное обобщение уравнения Кортеве- га — де Вриза с учетом векторной нелинейности.
Стационарные регулярные структуры ЭГ волн
В случае стационарных бегущих (х,т|)-волн (6/6z = 6/》=0)уравнения (2.48), (2.49) сводятся к виду
(2.56)(2.56)$卜込丄ср - еоф + q(p2 ) = 0・
(2.56)
(2.56)
равнение (2.56) равносильно следующему соотношению (см. разд. 1.1):
(2・57)(2・57)a^дiф-€0ф + qф2 =6(q一也.X],
(2・57)
(2・57)
где G — произвольная функция своего аргумента.
Рассмотрим некоторые частные решения уравнения (2.57). В случае G = 0 одномерное (5/5х = 0)уравнение (2.57) допускает существование од
(p = ~^-ch 2(ает]/2), (2.58) 2 q
где ае = 8q 2 / а0. Характерный вид солитона (2.58) представлен на рис. 2.1.
В двумерном случае уравнением (2.57) определяются цилиндриче- ски-симметричный круглый солитон, представляющий собой решение уравнения типа (1.20) (при А = е0 и S = q), и двумерные цепочки солитонов, вытянутые вдоль оси х [119],
cos (石аех/2ch(aer|/2)cos (石аех/2ch(aer|/2)(2.59)(2.59)(р = -—ch~2(aer|/2)1 + 5
cos (石аех/2ch(aer|/2)
cos (石аех/2ch(aer|/2)
(2.59)
(2.59)
2 q
где 5 — произвольный малый параметр, 5 «1. Форма рельефа и эквипотенциальные кривые потенциала для цепочки солитонов (2.59) представлены на рис. 2.2. В случае G(x) = С н х, где С ——произвольная константа, одномерное уравнение (2.57) описывает периодическую в пространстве кнои- дальную волну:
(2.60)(2.60)(p = |—(2-s2jdn2(аег|/2卜б?)"? ,s).
(2.60)
(2.60)
Здесь dn — эллиптическая функция Якоби, s — параметр этой функции, 0<s< 1. Форма кноидальных волн (2.60) представлена на рис. 2.3.
Если G(x) = С х (где С — произвольная постоянная), то (2.57) допускает существование дипольного вихря типа Ларичева—Резника (см. гл. 3). При этом предложение о слабой дисперсии рассматриваемых волн несущественно.
(2.61)(2.61)Рис. 2.2. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси х (2.59),Рис. 2.2. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси х (2.59),при 8 = 0,01; Х = &ае • х/2, Y = ает]/2; (р0 = 3e0/(2q)при 8 = 0,01; Х = &ае • х/2, Y = ает]/2; (р0 = 3e0/(2q)Пространственный масштаб спадания амплитуды ЭГ вихревых структур на периферии х (см. (2.58)-(2.60)) определяется соотношением
(2.61)
(2.61)
Рис. 2.2. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси х (2.59),
Рис. 2.2. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси х (2.59),
при 8 = 0,01; Х = &ае • х/2, Y = ает]/2; (р0 = 3e0/(2q)
при 8 = 0,01; Х = &ае • х/2, Y = ает]/2; (р0 = 3e0/(2q)
Рис. 2・3・ Кноидальные волны (2.60) при s = 0,9;Рис. 2・3・ Кноидальные волны (2.60) при s = 0,9;Фо = 3£()/(2 — s2)/(2q);Y = aeT]/(2(2-s2)2)Фо = 3£()/(2 — s2)/(2q);Y = aeT]/(2(2-s2)2)Из (2.61) видно, что на допустимые значения скорости структуры и параметра а накладывается ограничение вида:皿〈-оЛ (2.62)Наличие неоднородности величины аеп (т. е. 台田门 / 5х 工 0) приведет, очевидно, (аналогично (2.37)), к нестационарности ЭГ вихревых структур [152], описываемых уравнением (2.56).Все приведенные нами решения нелинейных ЭГ волн получены в локальном приближении, и поэтому справедливы, если выполнено неравенство (1.74). В чаИз (2.61) видно, что на допустимые значения скорости структуры и параметра а накладывается ограничение вида:皿〈-оЛ (2.62)Наличие неоднородности величины аеп (т. е. 台田门 / 5х 工 0) приведет, очевидно, (аналогично (2.37)), к нестационарности ЭГ вихревых структур [152], описываемых уравнением (2.56).Все приведенные нами решения нелинейных ЭГ волн получены в локальном приближении, и поэтому справедливы, если выполнено неравенство (1.74). В частности. для одномерного солитона (2.58) и круглого солитона, описывае мого уравнением (2.57) при G = 0, это условие означает:стности. для одномерного солитона (2.58) и круглого солитона, описывае мого уравнением (2.57) при G = 0, это условие означает:
Рис. 2・3・ Кноидальные волны (2.60) при s = 0,9;
Рис. 2・3・ Кноидальные волны (2.60) при s = 0,9;
Фо = 3£()/(2 — s2)/(2q);
Y = aeT]/(2(2-s2)2)
Фо = 3£()/(2 — s2)/(2q);
Y = aeT]/(2(2-s2)2)
Из (2.61) видно, что на допустимые значения скорости структуры и параметра а накладывается ограничение вида:
皿〈-оЛ (2.62)
Наличие неоднородности величины аеп (т. е. 台田门 / 5х 工 0) приведет, очевидно, (аналогично (2.37)), к нестационарности ЭГ вихревых структур [152], описываемых уравнением (2.56).
Все приведенные нами решения нелинейных ЭГ волн получены в локальном приближении, и поэтому справедливы, если выполнено неравенство (1.74). В ча
Из (2.61) видно, что на допустимые значения скорости структуры и параметра а накладывается ограничение вида:
皿〈-оЛ (2.62)
Наличие неоднородности величины аеп (т. е. 台田门 / 5х 工 0) приведет, очевидно, (аналогично (2.37)), к нестационарности ЭГ вихревых структур [152], описываемых уравнением (2.56).
Все приведенные нами решения нелинейных ЭГ волн получены в локальном приближении, и поэтому справедливы, если выполнено неравенство (1.74). В ча
стности. для одномерного солитона (2.58) и круглого солитона, описывае мого уравнением (2.57) при G = 0, это условие означает:
стности. для одномерного солитона (2.58) и круглого солитона, описывае мого уравнением (2.57) при G = 0, это условие означает:
(2.63)(2.63)е0 >а2/3(1 + со|е/со^у/3.
(2.63)
(2.63)
Помимо этого, неоднородность плазмы должна быть достаточно большой, поскольку мы считали дисперсию слабой, а волны — потенциальными (к丄>о)ре/с)：
/n(0^/砚1 +脸/*厂・/n(0^/砚1 +脸/*厂・(2.64)(2.64)
/n(0^/砚1 +脸/*厂・
/n(0^/砚1 +脸/*厂・
(2.64)
(2.64)
Таким образом, с электронными градиентными волнами связан достаточно широкий класс одномерных и двумерных регулярных структур, реализация которых, однако, возможна лишь при достаточно сильной неоднородности плазмы.
Динамика нелинейных нижнегибридно-дрейфовых волн в плазме7
Убедимся, что среди волн, описываемых уравнением (2.3), имеются сла- бодиспергирующие волны. Считая частоты и волновые числа формально малыми параметрами и полагая кх « ку, приводим (2.3) к виду:
+ r mi%闿明ky I ky nie k丄 8tH 丿
Здесь Vo и ①储一фазовая скорость НГД волн в «дрейфовом» направлении у и квадрат нижнегибридной частоты, определенные соотношениями
% =-SBi/en，(2.66)
说Н =①М /(1 + 唸/ юВе) •(2.67)
Видно, что волны являются слабодиспергирующими, если
ky < o)lh / %•(2.68)
Согласно (2.65), частота таких волн мала по сравнению с нижнегибридной, о < g)lh • Чтобы получить представление о характере уравнения, которым описываются слабодиспергирующие НГД волны, сделаем в (2.65) формальные замены, (D->i^/^t,k ->-iV, и подействуем соответствующим операторным уравнением на некоторую волновую величину v. Тогда приходим к следующему уравнению для v [153]:
目叱手偿+生学. (2.69)
Sy St оу 紡丿(改2 П1е〃2 丿
Здесь а0 = Vg / coLH . Ниже дополним уравнение (2.69) нелинейными членами: как скалярными, так и векторными.
Для получения уравнений, описывающих нелинейную динамику НГД волн, обратимся к уравнениям двухжидкостной магнитной гидродинамики. Считая, что волны являются электростатическими, Е = -V(p, и распространяются почти поперек магнитного поля, мы используем уравнение Пуассона в виде:
-А 丄(р = 4М»-Пе)・(2・70)
Здесь п；, пе — плотности ионов и электронов. Ионную плотность п( вычис- 二兄ем в приближеш1и незамат ниченных ионов:
号+ т(*)= о,(2.71)
告(»▽)¥=——Dq>,(2.72)
где у ——скорость ионов. Для отыскания плотности электронов используем уравнения (2.12), (2.13), полученные при изучении коротковолновых дрейфовых структур (т. е. электроны считаем замагниченными). При этом для поперечной скорости электронов V_e получается выражение (2.9). Система урав* нений (2.70R2.72), (2.9Н2.13) описывает нелинейную динамику НГД волн.
В рамках общей системы уравнений ограничимся рассмотрением слабо* линейных и слабодиспергирующих бегущих НГД волн, распространяющихся почти поперек магнитного поля. Вводим переменные г| и , определяемые равенствами
г| = у + az -ut, ^ = z-U|；t, (2.73)
где a = kz/k± <(me/mi)1/2, а U|j, как будет видно из дальнейшего, означает продольную групповую скорость волны. Зависимость волновых величин от x,^,t предполагаем более слабой, чем от г|.
Волновую часть плотности ионов находим из уравнений (2.71), (2.72) последовательными приближениями с учетом сделанных предположений. Продольным движением ионов пренебрегаем. В результате получаем [153]:
(2.74)(2.74)
(2.74)
(2.74)
(2.75)(2.75)где L71 ——оператор, обратный оператору 5/Зг|. Уравнение непрерывности электронов представляем в виде:
(2.75)
(2.75)
—lnne + divV = 0. dt ©
Здесь d/dt = 3/St +VEV + Vz^/oz. Учитывая выражение (2.8) для скорости электронов V и подставляя пе из (2.70), (2.74) в (2.75), приходим к уравнению вида:
(2.76)(2.76)
(2.76)
(2.76)
me а2 = a2mi / me. Продольная скорость электронов в поле волны Vz удовлетворяет уравнению:
Таким образом убеждаемся, что система уравнений (2.76), (2.77) сохраняет энергию НГД волны, которая определяется соотношением
(2.78)(2.78)
(2.78)
(2.78)
При строго поперечном распространении (Vz,a = 0) слабодиспергирую- шие НГД волны могут быть описаны уравнением типа Кадомцева—Петвиа- швили с отрицательной дисперсией, которое получается после снятия оператора D в (2.76):
аа(2.79)(2.79)a曾一吟+q。纤芸卜一譬dq 西 刃 Vq①」 дк
а
а
(2.79)
(2.79)
Здесь 80 = 1-Vo /и, q0 = (е/2т{Vg )[2-х^дхп /Нх], а кроме того, положим u = Vq во всех членах, кроме члена с е0 .
В случае косого распространения НГД волн уравнения (2.76), (2.77) имеют решение в виде одномерного солитона, который описывается уравнением (ср. с (1.17)) [144]:
22 Лa H-£(p + qq/ =0,22 Лa H-£(p + qq/ =0,(2.80)(2.80)
22 Л
a H-£(p + qq/ =0,
22 Л
a H-£(p + qq/ =0,
(2.80)
(2.80)
а2 =(1 + с2)ао,
е Г『 das"欲т^]2 2ав：е Г『 das"欲т^]2 2ав：s = 1-V0(1 + q2)/u.(2.81)s = 1-V0(1 + q2)/u.(2.81)
е Г『 das"欲
т^]2 2ав：
е Г『 das"欲
т^]2 2ав：
s = 1-V0(1 + q2)/u.(2.81)
s = 1-V0(1 + q2)/u.(2.81)
Из (2.81) следует, что солитон имеет характерный у -размер ls, характерную частоту cos порядка:
L *а/е"2 邕(me/mj“2 g产/%,L *а/е"2 邕(me/mj“2 g产/%,(2.82)(2.82)
L *а/е"2 邕(me/mj“2 g产/%,
L *а/е"2 邕(me/mj“2 g产/%,
(2.82)
(2.82)
A二 V。小 二或2%.(2.83)
Такой солитон является стационарным при 3%/бх = 0. В противном случае он может быть только нестационарным [152] и квазиодномерным, так что
lx v(61n£/ax)7.(2.84)
В случае достаточно произвольного распределения равновесной плотности плазмы ^е/5х = аеп . Учитывая предположение 1Х > ls, заключаем, что использованный нами локальный подход справедлив, если только
8>(me/mi )1/3.(2.85)
Считая выполненным неравенство (2.68), вместе с тем необходимо учитывать условие (см. разд. 2.2.1):
ку > соРе /с,(2.86)
так как в противном случае нарушается предположение о потенциальности волн. Из (2.68), (2.86) следует, что наш анализ относится к случаю достаточно сильнонеоднородной плазмы,
/6>围气1 +总/*『2,(2.87)
где pi — ларморовский радиус ионов,自 一отношение давления ионов к давлению магнитного поля. Из (2.87) ясно, что рассматриваемые слабодиспср- гирующие НГД волны возможны лишь при достаточно малом давлении ионов, Pi «1.
Нелинейные дрейфово-магнитозвуковые (ДМ3) волны в сжимаемой плазме
Цель настоящего раздела — рассмотрение динамики волн магнитозвукового типа в неоднородной холодной плазме, распространяющихся почти поперек равновесного магнитного поля. Характерно而 особенностью волн такого типа является наличие волнового магнитного поля, параллельного равновесному магнитному полю (т. е. колебания являются непотенциальными). Электромагнитное поле ДМ3 волн характеризуем (см. разд. 1.3.5) электростатическим потенциалом ср и z -компонентами векторного потенциала А и магнитного поля Bz.
Прм этом электрическое и поперечное магнитное поле определяются формула- 、必 Е_ 电 и (1.52), (1.54).
Рассматриваемые волны считаем квазинейтральными, так что
% =山.(2.88)
Для описания незамагниченных ионов используем уравнения (2.71), (2.72). Движение электронов поперек магнитного поля Во является замагни- ченным и носит дрейфовый характер. Учитывая низкочастотность рассматриваемых волн по отношению к циклотронному вращению электронов (со«соВе 二 еВ0 /(тес)), из уравнения поперечного движения (1.64) находим выражение для скорости электронов, поперечной полю Во [154]:
Vle=VE+VI+VzeB1/B0.(2.89)
Здесь
Ve [Е,%],(2.90)
М ——скорость инерционного дрейфа электронов, которая определяется соотношением (1.66), a Bz = Во + Вг — полное магнитное поле в направлении оси z . Последний член в (2.89) связан с возмущением магнитного поля, поперечного равновесному, и вследствие этого ——отклонением направления магнитного поля от оси z. Пренебрегая продольным движением ионов и используя уравнение Максвелла, для продольной скорости электронов получаем:
(2.91)
Предполагается, что волна распространяется почти поперек Во, так что
I▽丄I »c/dz .
Поперечное движение электронов в поле ДМ3 волн является сжимаемым. С точностью до квадратичных по амплитуде волны членов дня divV丄е находим
diW^e(2.92)
m^Be dt dt Во
гДе d0 / dt определяется равенством
崇二計訊▽9山(2.93)
a d/dt означает:
—[E,V1 .(2.94)
dt at BZLx 丿
Подставляя (2.91), (2.92) в электронное уравнение непрерывности, приводим его к виду [112]:
2 ф-宀 V11A丄 А = 0・(2.95)
dt [Bz 丿 mcco^e dt 4леп0
Здесь Vn — производная вдоль направления полного магнитного поля, которое описывается выражением:
(2.96)
Как видно из (2.95), изменение числа электронов в магнитной силовой трубке (пе / В2) обусловлено поляризационным дрейфом и потоком частиц в направлении полного магнитного поля В .
Связь между А и ф находится из уравнения продольного движения электронов в пренебрежении их инерций, что допустимо, если k±c/coPe «1,
^7 + с7||Ф = 0,(2.97)
а связь продольного волнового магнитного поля Bz с электростатическим потенциалом ф находим с использованием уравнения Максвелла, считая поперечный ток обусловленным ЕхВ дрейфом электронов:
rotzrotB = А 丄瓦=—rotz(neVE).(2.98)
с
Добавляя уравнения (2.71), (2.72), описывающие движение незамагниченных ионов в поле волны, получаем замкнутую нелинейную систему уравнений (2.71), (2.72), (2.95Н2.98), определяющих динамику дрейфово-магнитозвуковых волн.
Слабодиспергирующие квазистационарные ДМ3 волны
Рассмотрим в рамках приведенных уравнений квазиодномерные квазистационарные волны, распространяющиеся в направлении оси у, в ко-
торнх вес волновые величины зависят от r| = y+az-ut, x,z,t, причем
(e/6x,6/°z,u“6/质)vvS/dn • Волны считаем слабодиспергирующими и слаболинейными. В таком приближении из ионных уравнений (2.71), (2.72) для
возмушения плотности ионов в поле волны находим [154, 155]:
Используя условие квазинейтральности изучаемых волн и подставляя (2.99) в равенство (2.98), с учетом (2.90), приходим к выражению для Bz:
В7 =В7 =4леп04леп0L 2иВ° 屮L 2иВ° 屮(2.100)(2.100)
В7 =
В7 =
4леп0
4леп0
L 2иВ° 屮
L 2иВ° 屮
(2.100)
(2.100)
Заметим, что при переходе к однородной плазме связь между Bz и ф в магнитозвуковой волне становится линейной.
Подставляя (2.99), (2.100) в уравнение (2.95) и переходя к новым переменным, приходим к уравнению вида [154]:
、丄瓦一、丄瓦一$［九:a丄屮-80屮+ q中2］ = -: (1 一青一九:A
、丄瓦一
、丄瓦一
2生由 u 6t2生由 u 6tA丄A,A丄A,(2.101)(2.101)
2生由 u 6t
2生由 u 6t
A丄A,
A丄A,
(2.101)
(2.101)
где оператор D определяется соотношением (2.28), a D】имеет вид:
D］高一武［m叮，CT］ OIDqD］高一武［m叮，CT］ OIDq(2.102)(2.102)
D］高一武［m叮，
CT］ OIDq
D］高一武［m叮，
CT］ OIDq
(2.102)
(2.102)
We=(mjme)或We=(mjme)或(2.103)(2.104)(2.103)(2.104)
We=(mjme)或
We=(mjme)或
(2.103)
(2.104)
(2.103)
(2.104)
——квадрат электронной скорости Альфвена
80 =1-ип/и-Сд/и2,q二磊仔+閉^嗤4
%=c,/(Dpe —— толщина бесстолкновительного скин-слоя, aen =clnn0 /5х, un =-саепВ0/(4тсееп0).
Уравнение (2.97) переписываем в переменных x,n,z,t:
D(A-c(p) = -—+(2.105)
u》 u 6z
Умножая (2.101) на ср, а (2.105) на А丄А. убеждаемся, что эти уравнения сохраняют энергию ДМ3 волны [155]:
W = j[l + §)^+(▽丄ф『+冬(▽丄А)2 dr. (2.106)
В приближении слабой дисперсии можно пренебречь правой частью уравнения (2.105), а также членом d^^ldt в (2.101). При этом энергия волны определяется первым членом правой части соотношения (2.106).
Рассмотрим некоторые частные случаи системы уравнений (2.101), (2.105). При и » сА, как отмечалось во введении данной главы, ДМ3 волны переходят в чисто электронные волны, которые изучались в разд. 2.2. В двумерном случае (3/3z = 0) при строго поперечном распространении волны (а = 0) уравнения (2.101), (2.105) сводятся к соответствующему уравнению НЦД волн, которые изучались в разд. 2.3. В однородной плазме (аеп = 0) (2.101), (2.105) переходят в нелинейные уравнения работы [148] и описывают высокочастотные магнитозвуковые волны (см. также гл. 4).
В случае волн, распространяющихся строго поперек магнитного поля, для которых (a,a/3z) = 0, поперечное магнитное поле волны отсутствует, А = 0 , и из (2.101) следует:
乖乎…、計黯+嚟卜扑霜.
Это уравнение представляет собой обобщение двумерного уравнения типа Кадомцева—Петвиашвили с отрицательной дисперсией с учетом векторной нелинейности, которая, как правило, существенна в задачах о нелинейных волнах в неоднородной замагниченной плазме.
Для стационарных двумерных (х,г|)-волн таких, что (o/St,5/6z) = 0, из (2.105) получаем А = ас/и-ф, и в результате приводим (2.101) к виду:
Ь《1-^^ 寫-/cp + qd+氧-2 磬卜 о(2.108)
次о уравнение мы используем в следующем разделе для анализа возможных нелинейных структур ДМ3 волн с отрицательной (при а2Сде/и2 <1) либо положительной (при а2Сде /и2 >1) дисперсией.
Полагая все волновые величины не зависящими от x((n，z) -волны), что
оправдано лишь в случае 6%/力《/，имеем следующее уравнение для (М)・волн:
ДКЭ4ШДКЭ4Ш-80ф-ьЦф2-80ф-ьЦф241+血]匆U [ u2 J 5t41+血]匆U [ u2 J 5t(2.109)(2.109)
ДКЭ4Ш
ДКЭ4Ш
-80ф-ьЦф2
-80ф-ьЦф2
41+血]匆U [ u2 J 5t
41+血]匆U [ u2 J 5t
(2.109)
(2.109)
Заметим, что уравнение (2.109) принадлежит к уравнениям типа Захарова—Кузнецова [50].
Таким образом, уравнения (2.101), (2.105) являются обобщением ряда более простых нелинейных уравнений, которые были получены при изучении нелинейных колебаний холодной замагниченной плазмы.
Стационарные регулярные структуры ДМ3 волн
В этом разделе мы считаем, что волновые величины не зависят от t, c/5t = 0. В случае одномерных п-волн из (2.108)имеем:
(2.110)(2.110)
(2.110)
(2.110)
Как хорошо известно (см., например, [156]), этому уравнению удовлетворяют два физически различных типа одномерных волн: уединенные волны (или солитоны, см. рис. 2.1)
(p = 5ch-2(n/2 圖 (2.111)
и периодические в пространстве, бесконечно протяженные волны (кноидаль- ные волны, см. рис. 2.3)
(p = q)odn2(r|/2r|S，s),(2.112)
「дё 呢=3%/2q,小=江(1-a%3、2)/£0T [ 9о =3e0/(2q(2-s2)),嗡=4 [(2-s2)(l-a2clc/u2)/e0]1/2,
dn(u,s) ——эллиптическая функция Якоби, a s— свободный параметр (0 < s < 1), которым определяется степень нелинейности кноидальных волн.
Глава:
Случай $ f 0 соответствует линейным гармоническим волнам, а в предел； s т 1 периодическая волна разбивается на совокупность бесконечно удален, ных друг от друга солитонов. Отметим, что возмущение плотности плазмы ± одновременных ДМ3 структурах положительно при и > асАе и отрицательн( при и < асАе.
В случае (х,т|) -волн из (2.108) снятием оператора получаем стационарно, уравнение Кадомцева—Петвиашвили:
一今零 (2113
В случае волн с положительной дисперсией (и < асАе) одним из решений (2.113) является так называемый рациональный солитон [157]:
屮=如 >(mtf+(x/x。)：,(2Ш；
4 1 + (х/хо)2+(т]/По)2]
где х0 =(а2Сд /и2 j^a2^ / и2 -ijj /е0, характерный вид которого представлен на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Рациональный солитон (2.114);
9о = 4%/q; Х = х/х0, Y = “/吊
q/q01 1q/q01 1Рис. 2.5. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси у (2.116) при Yi=l,2; ФО = 6eoyf/qРис. 2.5. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси у (2.116) при Yi=l,2; ФО = 6eoyf/qф/ф0ф/ф0Рис. 2.6. Солитоны-крссты (2.117) при у2 =0,8; ФО = ббоУ^ЧРис. 2.6. Солитоны-крссты (2.117) при у2 =0,8; ФО = ббоУ^Ч
q/q0
1 1
q/q0
1 1
Рис. 2.5. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси у (2.116) при Yi=l,2; ФО = 6eoyf/q
Рис. 2.5. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси у (2.116) при Yi=l,2; ФО = 6eoyf/q
ф/ф0
ф/ф0
Рис. 2.6. Солитоны-крссты (2.117) при у2 =0,8; ФО = ббоУ^Ч
Рис. 2.6. Солитоны-крссты (2.117) при у2 =0,8; ФО = ббоУ^Ч
Помимо рационального солито- на, в случае положительной диспер- си】уравнением (2.113) описываются также цепочки солитонов, вытянутые
вД0ЛЬ ОСИ X, либо вдоль оси п, соответственно [158, 159]:
6е0 ,2 1 + PchyY cos 5Х
Ф = ~ q(chYY + Pcos5X)2^
(2.115)
—б£()2 1 + 耳 cos^Y ch8]X
4 Yl (cosY1Y + P1ch51X)2^
(2.116)
где Y = n/呜，Х = х/х°, Р2 =(1-4У2)/(2-У2), 52 = У2(2-У2)/3, у —произвольная константа, причем параметр |у| < 1 / л/2, а параметр 耳一
#=(1 + 4 宕)/(2 + 办8?=Y?(2 + Y?)/3,
力一произвольная константа. Цепочка солитонов, вытянутых вдоль оси у, представлена на рис. 2.5.
Кроме того, независимо от знака дисперсии существует решение уравнения (2.113) в виде так называемых «крестов» (ср. с [158]):
ф 二—维 у； l + PzchYzYvhbzX q 72 (chY2Y + P2ch82X)2,
(2.117)
Здесь ₽2 =(1-4y2)/(2-Y2)，
贫=Y沿"2)/3,г2»/.
Это решение представляет собой как бы X -образное пересечение двух наклон, ных одномерных солитонов типа (2.58), искаженных вблизи места пересечения (см. рис. 2.6).
Таким образом, найденные решения можно интерпретировать как це> почку вихрей, движущихся либо колонной друг за другом, либо шеренгой параллельно друг другу.
Заметим, что рассмотренные нами регулярные структуры ДМ3 волн были изучены в локальном приближении и поэтому, согласно (1.74), (2.103), имеют место при кА%/%.
.5・ Обнаружение дрейфового солитона
9
по рассеянному электромагнитному сигналу
В последнее время интенсивно исследуется образование и распространение нелинейных дрейфовых структур в неоднородной магнитоактивной плазме. Дрейфовые волны много лет назад наблюдались в ряде лабораторных установок (см., например, [66-69]). Однако в то время еще не сложилось представление о солитонах этих волн и авторы соответствующих экспериментальных работ не ставили задачу обнаружения солитонов дрейфовых волн. Одним из основных способов экспериментального изучения дрейфовых солитонов может быть отражение высокочастотных электромагнитных волн от возмущений плотности частиц плазмы, вызванных присутствием солитонов. В данном разделе анализируются характеристики слабой электромагнитной волны, рассеянной дрейфовым солитоном в замагниченной плазме.
Постановка задачи. Пусть имеется холодная плазма, находящаяся в одно- родаом магнитном поле Во|| z . Ось х совпадает с направлением градаента равновесной плотности n0, Vn0 II х, а ось у — с так называемым дрейфовым направлением. Согласно результатам настоящей главы, в такой плазме возможно существование разнообразных уединенных волн и, в частности, электронных градиентных (дрейфовых) солитонов (ЭГС). Мы здесь рассмотрим только ЭГС, так как они могут быть эксп^иментально исследованы на более простых лабораторных установках, чем электронно-ионные структуры. Итак, возмущения плотности предполагаем чисто электронными и потенциальными, характеризуя их функцией % (х,т|)，П = У+ az-ut, % « п。. (Здесь и — скорость распространения дрейфового солитона вдоль у, а = const — характеризует наклон фронта распространения волны к плоскости (х,у); |а|«1). При этом соответствующее волновое уравнение допускает одномерное солитонное решение (см. разд. 2.2):
См. [161].
(2.118)(2.118)ns =N0ch~2(k0T|).
(2.118)
(2.118)
Амплитуда No и обратная ширина солитона к0, соответственно, равны:
N0=3n0*(asnu/a"(DBe) -1 ,kj=—丁八 ——-——(2.119)
Pc \ P0 Вс /
где
出门=81n n0 /改,Шро = 4яе2п0/те — локальная плазменная частота,
①ве 二 еВи /(тес) — циклотронная частота электронов.
Решение (2.118) является пространственно-локализованным в области
k0Ti < 1» если к； > 0, т. е. при
HnU/sBe >£•(2.120)
Исследуем распространение высокочастотной электромагнитной волны в плазме при наличии одномерного солитона (2.118). При этом исходной является система уравнений для электрического поля волны E(Ex,Ey,Ez) [160]:
(2.121)(2.121)AEi--div e +%£禹=0.
(2.121)
(2.121)
1 陷c2，J J
Здесь £“ (co) — тензор диэлектрической проницаемости плазмы (пространственная дисперсия не учитывается); со — частота электромагнитной волны. Будем рассматривать случай нормального падения волны на движущийся солитон. В этом случае поле электромагнитной волны Е зависит лишь от у- координаты [161] и удовлетворяет уравнению
(2.122)
(2.123)
(2.124)
Коэффициент отражения и прозрачности. Строгое решение задачи об отражении электромагнитной волны от движущегося солитона (2.118) сводит* ся к решению уравнения Шредингера (2.122) с соответствующими граничными условиями [168]. Решение, удовлетворяющее условию, что при у— поле волны содержало бы только прошедшую волну, имеет вид [161]:
(2.125)(2.125)iu/2 (1一屮
(2.125)
(2.125)
F (-沁-s, -iu + s + l, -E +1, • 2
(2.126)(2.126)F — гипергеометрическая функция. Асимптотический вид решений при у т -оо (падающая и отраженная волны) определяется выражением:F — гипергеометрическая функция. Асимптотический вид решений при у т -оо (падающая и отраженная волны) определяется выражением:「(-iv)「(Iv) …,r(iv)r(l-iv)e-iukon f(l-iv+s)r(-iv-s)f(l + s)r(-s)「(-iv)「(Iv) …,r(iv)r(l-iv)e-iukon f(l-iv+s)r(-iv-s)f(l + s)r(-s)(2.127)(2.127)Отсюда находим искомый коэффициент отраженияОтсюда находим искомый коэффициент отраженияsin2 7CSsin2 7CSsin2 7cs + sh27tvsin2 7cs + sh27tv(2.128)(2.128)Соответственно, коэффициент прохождения D равен: А】口 = 1 - R13.В условиях (2.120) коэффициент отражения существен в области частот, определяемых из условия〔WjJ «|М,з|, где R1>3 имеет вид [161]:Соответственно, коэффициент прохождения D равен: А】口 = 1 - R13.В условиях (2.120) коэффициент отражения существен в области частот, определяемых из условия〔WjJ «|М,з|, где R1>3 имеет вид [161]:? мд ~N0/n0+513? мд ~N0/n0+513(2.129)(2.129)гдегде6产[со2 (со2- *0 -(4e )-就0 (①2-碣0 )] / *0 (^ - 20р0 ),6产[со2 (со2- *0 -(4e )-就0 (①2-碣0 )] / *0 (^ - 20р0 ),§3 =(①2 -СОро j/coj0.§3 =(①2 -СОро j/coj0.(2.130)(2.130)Из выражения (2.125)-(2.130) следует, что отраженный сигнал имеет допплеровский сдвиг частоты, пропорциональный скорости солитона, а коэф-Из выражения (2.125)-(2.130) следует, что отраженный сигнал имеет допплеровский сдвиг частоты, пропорциональный скорости солитона, а коэф-
(2.126)
(2.126)
F — гипергеометрическая функция. Асимптотический вид решений при у т -оо (падающая и отраженная волны) определяется выражением:
F — гипергеометрическая функция. Асимптотический вид решений при у т -оо (падающая и отраженная волны) определяется выражением:
「(-iv)「(Iv) …,r(iv)r(l-iv)e-iukon f(l-iv+s)r(-iv-s)f(l + s)r(-s)
「(-iv)「(Iv) …,r(iv)r(l-iv)e-iukon f(l-iv+s)r(-iv-s)f(l + s)r(-s)
(2.127)
(2.127)
Отсюда находим искомый коэффициент отражения
Отсюда находим искомый коэффициент отражения
sin2 7CS
sin2 7CS
sin2 7cs + sh27tv
sin2 7cs + sh27tv
(2.128)
(2.128)
Соответственно, коэффициент прохождения D равен: А】口 = 1 - R13.
В условиях (2.120) коэффициент отражения существен в области частот, определяемых из условия〔WjJ «|М,з|, где R1>3 имеет вид [161]:
Соответственно, коэффициент прохождения D равен: А】口 = 1 - R13.
В условиях (2.120) коэффициент отражения существен в области частот, определяемых из условия〔WjJ «|М,з|, где R1>3 имеет вид [161]:
? мд ~N0/n0+513
? мд ~N0/n0+513
(2.129)
(2.129)
где
где
6产[со2 (со2- *0 -(4e )-就0 (①2-碣0 )] / *0 (^ - 20р0 ),
6产[со2 (со2- *0 -(4e )-就0 (①2-碣0 )] / *0 (^ - 20р0 ),
§3 =(①2 -СОро j/coj0.
§3 =(①2 -СОро j/coj0.
(2.130)
(2.130)
Из выражения (2.125)-(2.130) следует, что отраженный сигнал имеет допплеровский сдвиг частоты, пропорциональный скорости солитона, а коэф-
Из выражения (2.125)-(2.130) следует, что отраженный сигнал имеет допплеровский сдвиг частоты, пропорциональный скорости солитона, а коэф-
、ем-
. иеНТ отражения зависит от амплитуды профиля возмущенной плопюсти ппазмы. Соответственно, измерив сдвиг частоты и коэффициент отражения, 二°冰но восстановить параметры дрейфового солитона.
2・6・ Обсуждение результатов
Показана возможность существования нескольких типов нелинейных скалярных структур на дрейфовых модах замагниченной плазмы.
Проанализированы нелинейные свойства коротковолновых дрейфовых (КВД) волн в плазме низкого давления с горячими ионами. В случае максвелловского распределения ионов по скоростям КВД вихри, распространяющиеся под косым углом к магнитному полю, переходят в случае однородной плазмы в электронно-звуковые вихри. При этом скалярная нелинейность обусловлена неоднородностью равновесных плазменных величин и продольным движением электронов. Скалярная нелинейность может приводить к одномерным солитонам и кноидальным волнам, а также к двумерным круглым вихрям, а векторная нелинейность — к дипольным вихрям. Характерный размер вихревых структур 1 заключен в пределах pei < 1 < pj.
Рассмотрены нелинейные элеюронно-ц)адиснтные (ЭГ) волны в холодной плазме, для существования которых необходима достаточно сильная неоднородность плазмы. Получены нелинейные уравнения, описывающие трехмерную эволюцию ЭГ волн. В случае слаболинейных и слабодиспергирующих волн из этих уравнений следует уравнение Кадомцева―Петвиашвили с отрицательной дисперсией ((n，z) -волны). Для (х,т|) -волн получаются уравнения, являющиеся двумерным обобщением уравнения Кортевега — де Вриза с учетом векторной нелинейности. С ЭГ волнами могут быть связаны различные скалярные стационарные регулярные структуры, такие как одномерные и двумерные солитоны, двумерные цепочки солитонов, одномерные периодические волны.
В приближении слабой дисперсии и слабой нелинейности исследованы нижнегибридно-дрейфовые (НГД) и дрейфово-магнитозвуковые (ДМ3) волны в сильнонеоднородной плазме, распространяющиеся почти поперек равновсс- ного магнитного поля. Частота рассматриваемых волн находится в интервале ①Bi «со «соВе, поэтому движение электронов в поле волн приближенно носят вихревой характер. Получены трехмерные нелинейные уравнения НГД и ДМ3 волн с учетом векторной нелинейности. Эволюционные уравнения волн являются обобщением трехмерного уравнения Кадомцева—Петвиа- 出вили с отрицательной дисперсией. Они допускают существование одномерного НГД солитона. Сделан вывод о возможной роли НГД волн на начальной стадии высокочастотного нагрева плазмы.
Исследована нелинейная динамика ДМ3 воли, являющихся обобщением вЬ1сокочастотных (со > coBi) магнитозвуковых волн на случай сильнонеодноРодной плазмы. При косом распространении волн в зависимости от угла на-
клона волнового фронта (положительная или отрицательная дисперсия) пока, зано существование ряда одномерных и двумерных ДМ3 структур, обусловленных скалярной нелинейностью: квазиодномерных солитонов, цепочек солитонов, вытянутых вдоль оси х, либо вдоль оси у, а также так называемых «крестов».
Изучен вопрос о взаимодействии высокочастотных электромагнитных волн с дрейфовым солитоном. Определены характеристики слабой электро* магнитной волны, рассеянной дрейфовым солитоном. Отраженный сигнал имеет доплеровский сдвиг частоты, пропорциональный скорости солитона, а коэффициент отражения зависит от амплитуды профиля возмущенной плотности плазмы. Поэтому, измерив сдвиг частоты и коэффициент отражения сигнала, можно восстановить параметры дрейфового солитона и, тем самым, установить существование солитона в плазменных экспериментальных установках.
Вопрос об устойчивости рассмотренных в данной главе скалярных вихревых структур исследован в четвертой главе.
Глава 3
Регулярные векторные вихревые структуры в плазменных конфигурациях
Вслед за скалярными структурами в теории плазмы стали интенсивно изучаться и регулярные векторные вихревые структуры. Существование векторных структур обуславливается наличием векторной нелинейности в динамических уравнениях. Замечательное свойство этих уравнений состоит в том, что они не имеют аналога в одномерном случае, поскольку содержат нелинейность в виде двумерного векторного произведения.
В настоящей главе исследуем векторные структуры, связанные различными ветвями колебаний плазмы: вихри баллонных (к“ н 0)и желобковых (кц = 0) мод в плазме, удерживаемой в криволинейном магнитном поле, альфвенов- ские вихри в однородной плазме, а также дрейфово-альфвеновские и дрейфово-баллонные вихри.
Из общего анализа устойчивости плазмы в криволинейном магнитном поле известно, что одаой из наиболее опасных является МЩ неустойчивость с достаточно большими волновыми числами к 丄 поперек равновесного магнитного поля В() и малыми к)( ->0 — вдоль Во [108]. Случаю кц =0 отвечает желоб- ковая неустойчивость (аналогичная неустойчивости Рэлея—Тейлора в жидкости), дисперсионное уравнение которой может быть записано в виде [163,9]:
о? =g£p(ky/к丄『. (3.1)
Здесь «эффективное» ускорение силы тяжести моделирует кривизну силовых линии магнитного поля, g^-v^VlnBo，vT —тепловая скорость, аер=51пЦ)/5х, Р° — равновесное давление плазмы и считается Во || z, V% ||g|| х.
При конечных значениях к“ для возмущения «почти желобкового» типа вместо (3.1) имеем
со2 = kJ Сд +gaep(ky/к丄『， (3.2)
Se Сд = Bq/(4тгт^0)——квадрат альфвеновской скорости. Неустойчивость, характеризуемая дисперсионным уравнением (3.2), получила название 6ал・ Юнной неустойчивости [164, 165].
Известно, что конкретный вид дисперсионного уравнения для альфвенов. ских волн зависит от соотношения между температурами электронов и ионоа. Те，】,и от соотношения между безразмерными параметрами рР =8n:R/B： (отношение давления плазмы к давлению магнитного поля) и me / т,. В слу. чае nie/mi <РР <1 и 工仁一。дисперсионное уравнение альфвеновских волн имеет вид [9]:
(3.3)(3.3)Здесь ро =Te/(mia)Bi)Здесь ро =Te/(mia)Bi)®2 =кМ(1 + к1Ро)-
(3.3)
(3.3)
Здесь ро =Te/(mia)Bi)
Здесь ро =Te/(mia)Bi)
—квадрат ларморовского радиуса ионов по электрон
ной температуре. При РР <те/ш, и 工 / ” т 0 из линейной теории альфве
новских волн имеем
(3.4)(3.4)后二 к；或(l + kCj,
(3.4)
(3.4)
где % =с/соРе — скиновая длина,где % =с/соРе — скиновая длина,Юре =(4ле2п0/теу/2Юре =(4ле2п0/теу/2—плазменная час—плазменная час
где % =с/соРе — скиновая длина,
где % =с/соРе — скиновая длина,
Юре =(4ле2п0/теу/2
Юре =(4ле2п0/теу/2
—плазменная час
—плазменная час
тота электронов.
Для многих задач физики лабораторной и космической плазмы представляет интерес случай рР > те / т{,工 邕 R (плазму с 又=工 будем называть плазмой с горячими ионами). Дисперсионное уравнение линейных альфвеновских волн в этом случае имеет вид [166]:
后=卜泣 l + kjp“ + ；#)后=卜泣 l + kjp“ + ；#)(3.5)(3.5)
后=卜泣 l + kjp“ + ；#)
后=卜泣 l + kjp“ + ；#)
(3.5)
(3.5)
Обобщением дисперсионного уравнения (3.5) на случай неоднородной плазмы, удерживаемой в криволинейном магнитном поле, является следующее [167]:
(3.6)(3.6)о? - соку % -gasp (}) - к：或=kjp 沁2 入.
(3.6)
(3.6)
Здесь
жт =51пТ, /Зх, V*. = cTj3en /(eB0), V*e = -TeV,j /1^ —— дрейфовые скорости ионов и электронов по градиенту плотности, aen = ^1пп0 /^х. Это диспср-
сионное уравнение соответствует дрейфово-альфвеновским волнам (g = 0) с конечным ларморовским радиусом ионов и дрейфово-баллонным волнам в неоднородном магнитном поле.
Ветви колебаний (3.1 )-(3.6), с которыми связаны рассматриваемые в на- стояшей главе гипы вихревых структур, играют важную роль в магнито-термоядерной и космической плазме. Баллонные и желобковые моды могут возбуждаться (например, вследствие неустойчивости) в системах магнитного удержания [109, 167] и существенно влиять на процессы переноса плазмы. В частности, в работе [168] в связи с проблемой удержания изучалась слабая турбулентность плазмы, обусловленная этими волнами, а также дрейфово- альфвеновскими волнами. Роль дрейфово-альфвеиовских волн в физике магнитосферной плазмы широко обсуждалась Кеннелом [112], Хасегавой [113]. Альфвеновские волны с рР >те/т! представляют интерес для проблемы высокочастотного нагрева плазмы и генерации токов увлечения [ПО]. По представлениям авторов работы [111], альфвеновские волны определяют процессы ускорения электронов в авроральной зоне ионосферы, которая характеризуется низким давлением плазмы(рр < me /mJ. В последнее время волны альфвеновского типа стали привлекать внимание в связи с проблемой генерации различного рода регулярных структур. В частности, в [117, 169] изучалась нелинейная генерация конвективных ячеек в результате са- момодуляции обсуждаемых типов волн.
Целью данной главы является исследование специфики уединенных вихрей волн типа (3.1Н3.6). Как будерт показано ниже, необходимым условием существования пространственно-локализованных вихрей является наличие либо неоднородности плазмы, либо кривизны силовых линий магнитного поля, либо дисперсии волн, либо дисперсии и кривизны одновременно. При этом реализуются вихри различной пространственной структуры. В разд. 3.1 рассматриваются вихри баллонных МГД мод. Такие вихри являются однопотенциальными и имеют пространственную структуру, аналогичную вихрям волн Россби. В разд. 3.3 исследуются желобковые и длинноволново-дрейфовые вихревые структуры в плазменном цилиндре. Цилиндричность плазменной конфигурации обуславливает существование как монопольных, так и дипольных структур. Далее в разд. 3.2-3.4 исследуются альфвеновские вихри в однородной и неоднородной плазме. Общим свойством указанных типов структур является их существенная двупотенциальность. Специфика образования вихревых структур в ограниченных плазменных ловушках исследуется в разд. 3.5.
3.1. Баллонные вихри10
Как уже отмечалось выше, баллонная неустойчивость (3.2) имеет малые, н° конечные значения продольного волнового числа к,;, приводящие к неко-
1010См. [170].См. [170].
10
10
См. [170].
См. [170].
торому возмущению магнитного поля. Поэтому плазму описываем в рамках модели одножидкостной магнитной гидродинамики, характеризуя ее массовой плотностью р и скоростью V . Давлением плазмы для простоты пренебрегав ется, движение предполагается несжимаемым. Магнитное и гравитационное поля обозначаются соответственно В и g. Итак, в качестве исходного берем уравнения движения в виде [170]:
1
р— = gp +丁卜 otB,B],(3.7)
dt 4л
а также уравнение непрерывности:
生+ VVp = 0・(3.8)
Помимо (3.7), (3.8) используем условия вмороженности
—= rot[V,B](3.9)
и несжимаемости плазмы
divV = 0,(3.10)
где d/dt = 3/》+W.
Массовая плотность и магнитное поле представляются в виде суммы равновесной и возмущенной величин:
Р = Ро+0， В = Во + В.(3.11)
Равновесная скорость плазмы равна нулю, поэтому V означает возмущенную скорость. Предполагаем, что равновесное магнитное поле является однородным и направлено вдоль оси z : Во ||z (используем прямоугольную систему координат х, у, z). Равновесный градиент плотности плазмы и гравитационная сила направлены вдоль оси х: Vp0 卜 g|| х . Рассматриваем возмущения магнитного поля и скорости плазмы, поперечные к равновесному магнитному полю, Biz, V1 z. В этом случае из (3.7) имеем:
(3.12)(3.12)(3.13)(3.13)РоМ雜Y^ +* ^B0^ +(BV)JrotzB.
(3.12)
(3.12)
(3.13)
(3.13)
Согласно (3.10), возмущенную скорость представляем в виде
V = [ez,VO],
регулярные векторные вихревые структуры в плазменных конфигурациях81
— где Ф 一 функция тока, зависящая от координат и времени, ez — единичный вектор вдоль оси z .
Полагаем, что Ф = Ф(х,г|), где г| - у + az - и • t. Константы а и и явля- ются свободными параметрами задачи. При этом из (3.8), (3.9) следует [170]:
р = -(ф/и)ор0/дс,(3.14)
B = -aB0 [ezVO]/u.(3.15)
Подставляя выражения (3.13)~(3.15) в уравнение (3.12), приходим к уравнению для функции тока Ф вида:
ОА±Ф = А—.(3.16)
而
Здесь
$ = е/ЗГ|-『[URV]z,Л = г2/(и2-a2cl), с： = В"4яр0
—квадрат альфвеновской скорости, Г2 = -gae — квадрат инкремента желоб- ковой неустойчивости (при а = 0), ае = 51пр0/^х, А± = д2/дх2 ^д2/ду2.
Как и обычно [9, 109], мы предполагаем возмущения мелкомасштабными, т. е. типичная поперечная длина возмущения функции тока Ф мала по сравнению с характерной длиной изменения равновесной плотности, |^1пФ|»|Vlnp0|. В этом приближении величины Сд и Г2 могут считаться константами, так что (3.16) является нелинейным уравнением с постоянными коэффициентами.
Анализ нелинейного уравнения. В линейном приближении для функции вида плоской волны, O~exp(ikx -x + iky - у), можно найти из (3.16) дисперсионное соотношение для баллонных возмущений:
и2=а2с^-Г2/к1，(3.17)
5е k：=k；+k； —квадрат поперечного волнового числа. Для преобразова- ния (3.17) в известную форму дисперсионного соотношения (3.2) следует за- Мена и т co/ky, a kz /ку, где к7 ——продольное волновое число (см. так- 覆е(1.57)).
Уравнение (3.16) имеет такую же структуру, как рассмотренное нами в 6・ 1 уравнение (1.4) в отсутствие скалярной нелинейности. Оно, в частно- стн, показывает уединенные дипольные вихри, описываемые соотношением
Рис. 3.1. Рельеф и эквипотенциальные кривые безразмерного потенциала, решение уравнения (3.16) (см. формулы (1.28HL30), при р = 1, у = 3,9226, а = 1. Образуются дипольные вихри (циклон (Ф<0) — антициклон (Ф > 0)) равной интенсивностиРис. 3.1. Рельеф и эквипотенциальные кривые безразмерного потенциала, решение уравнения (3.16) (см. формулы (1.28HL30), при р = 1, у = 3,9226, а = 1. Образуются дипольные вихри (циклон (Ф<0) — антициклон (Ф > 0)) равной интенсивности
Рис. 3.1. Рельеф и эквипотенциальные кривые безразмерного потенциала, решение уравнения (3.16) (см. формулы (1.28HL30), при р = 1, у = 3,9226, а = 1. Образуются дипольные вихри (циклон (Ф<0) — антициклон (Ф > 0)) равной интенсивности
Рис. 3.1. Рельеф и эквипотенциальные кривые безразмерного потенциала, решение уравнения (3.16) (см. формулы (1.28HL30), при р = 1, у = 3,9226, а = 1. Образуются дипольные вихри (циклон (Ф<0) — антициклон (Ф > 0)) равной интенсивности
1.30). На рис. 3.1 представлен вид нелинейного вихревого решения уравнения (3.16). Учитывая необходимое условие существования уединенных вихрей Л > 0, заключаем, что баллонные вихри являются сверхальфвенов. скими, и > асА.
В соответствии с (3.15), движение плазмы в баллонном вихре обусловли* вает возмущение магнитного поля. Из (3.13) и (3.15) следует, что
(3.18)(3.18)B = -aB0V/u.
(3.18)
(3.18)
Отсюда видно, что магнитное поле вморожено в плазму, т. е. оно переносится вместе с плазмой, а сохранение потока предохраняет от пересоединения магнитных силовых линий. По аналогии со скоростью, картина силовых линий магнитного поля также представляет собой дипольный вихрь.
Учитывая, что V«и (см. (1.72)), из (3.18) можно оценить возмущенное магнитное поле вихря:
(3.19)(3.19)B = -aB0V/u.
(3.19)
(3.19)
Из (1.28)-( 1.30) видно, что баллонный вихрь характеризуется тремя свободными параметрами: a, Р и а . Для оценок можно полагать р ® 1. Реально же величина 0 зависит от характера «накачки» и «релаксации» вихря (см. ni. 5).
Модифицированное дисперсионное уравнение (см. (1.70), (1.29)) для баллонных структур имеет вид:
(3.20)(3.20)и2 =。2或 +Г2а2/р2.
(3.20)
(3.20)
Параметр а характеризует угол между направлением гравитационного дрейфа частиц и направлением распространения вихря. Как отмечалось выше, случай a = 0 соответствует желобковому возмущению (см. подробнее разд. 3.2). При a w 0 вихрь имеет конечную скорость движения вдоль z , u / а н в В случае
а^Га/сА, (3.21)
который характерен для баллонного возмущения, такая скорость составляет порядка альфвеновской u/a = сА При этом скорость вихря вдоль У порядка
.—
и^Га.(3.22)
Для параметра а (радиус вихря) предположение |71пФ| »|Vlnp0| требует ограничения а < Ln (где Ln а ае丁 ——характерный размер изменения плотности). Следующее ограничение на а обусловлено пренебрежением дрейфовыми эффектами, т. е. u > V*, где V* ^ р； v»/Ln — ионно-дрейфовая скорость. Используя (3.22) и определение Г, получаем:
a>Pi vTi/VgLT-(3.23)
При невыполнении (3.23) баллонный вихрь переходит в дрейфово-баллонный (см. разд. 3.4).
Отметим, наконец, что в случае реальных баллонных мод плазмы в токамаке (а также в иных магнитных ловушках) необходимо рассматривать как кривизну магнитного поля, так и градиент давления VP (см. разд. 3.4). Для применения результатов данного параграфа к случаю реальной геометрии магнитного поля необходимо произвести замену gaen -> nVP/(Rp0) и усреднить результат по длине силовой линии (п — главная нормаль к Во, R — большой радиус токамака). Если для оценок положить g « v^ /R, тогда из (3.18X3.22) следует
V * u ^avTi/7RL7， а 生 Р#а/^Щ； в2/(4лР)« a2/(RLn)
(где рР =8лР0/В5).
3・2・ Сильнонелинейные альфвеновские волны в однородной плазме11
В настоящем разделе мы рассматриваем нелинейную динамику всех трех отмеченных выше (см. (З.ЗН3.5)) разновидностей альфвеновских волн. Для первых двух из этих разновидностей возмущений (т. е. для волн типов (3・3), (3.4)) характерно то, что оба они соответствуют приближению холодных ионов, Tj /Т е—> 0. Поэтому они могут быть изучены с использованием Достаточно простых и хорошо известных уравнений двухжидкостной гидродинамики плазмы с холодными ионами. Что же касается альфвеновских возмущений в плазме с Т, - Те и рр > me /nij (3.5), то для их изучения нужно использовать более сложные гидродинамические уравнения. Это станет ясно, если вспомнить, что с помощью обычной гидродинамики нельзя полу-
ннСм. [179-184].См. [179-184].
н
н
См. [179-184].
См. [179-184].
чить даже линейную формулу (3.5): ее обычно получают с помощью кинети. ческого выражения для тензора диэлектрической проницаемости плазмь： путем разложения в ряд по малому параметру к：р； (р； ^工/®嗚)、 квадрат ларморовского радиуса ионов), см., например, [171, 172]. В связи( этим, волны типа (3.5) часто называют кинетическими альфвеновскими нами. Можно показать, что формула (3.5) может быть получена при использовании гидродинамики типа Греда [173, 174], отличающейся от известной гид. родинамики Брагинского [175] более полными выражениями для тензора вязкости и потока тепла. Кроме того, можно показать, что гидродинамика Гре* да адекватна также проблеме нелинейных альфвеновских волн [176]. В настоящем разделе мы изложим другой способ получения таких нелинейных уравнений, основываясь на «эвристической» гидродинамике Кадомцева и По* гуце [177, 178]. Важным свойством альфвеновских структур в однородной плазме является то, что для их существования не требуется ни неоднородности плазмы, ни кривизны силовых линий магнитного поля.
Динамические уравнения
для нелинейных альфвеновских волн
В равновесном состоянии плазму считаем однородной и находящейся в прямом однородном магнитном поле Во |j z. Электромагнитное поле альфве* новских волн описываем двумя потенциалами ср и А (или 屮)(см. разд. 1.3.5). При этом электрическое и магнитное поля волн определяются соотношениями (1.69), (1.52), (1.53) или (1.54). Полагаем волны квазинейтральными и используем уравнение замыкания токов, divj = 0 , которое представляем в виде [179]:
divj丄 +尊=0・(3.24)
Плазма с холодными ионами. В этом пункте получим нелинейные уравнения для ветвей колебаний типа (3.3) (3.4), т. е. альфвеновских волн в плазме с холодными ионами,工 /Т е-> 0, в случаях РР > те / т, и рР < те / irij. В силу низкочастотности альфвеновских волн по отношению к циклотронному вращению ионов движение частиц (ионов и электронов) в поле волны, поперечное по отношению к равновесному магнитному полю, носит дрейфовый характер. При этом поперечный электрический ток определяется формулой [180,181]
j^enoVj+j^/Bo+jL，(3.25)
Здесь е — заряд иона, jL = c[ez,VJ^]/B0, a Vj — инерционная скорость ионов поперек Во, означающая:
(3.26)(3.26)
(3.26)
(3.26)
Верой член в правой части уравнения (3.25) связан с кривизной силовых линий п0ЯНОго магнитного поля. Продольный ток jz находим из уравнения Максвелла:
(3.27)
Подставляя (3.25)-(3.27) в уравнение (3.24), получаем одно из искомых уравнений, связывающих ф и А:
С Ач%А 丄 А = 0.С Ач%А 丄 А = 0.(3.28)(3.28)
С А
ч%А 丄 А = 0.
С А
ч%А 丄 А = 0.
(3.28)
(3.28)
Здесь полная производная по времени d0 /dt и производная вдоль направления полного магнитного поля % означают:
¥ = + %"三 +*(3・29)
at at ut r>o
%吟時▽三(3・30)
Продольный электрический ток j2 обусловлен движением электронов.
Теперь обращаемся к уравнению продольного движения электронов, которое в интересующем нас случае означает [182]:
, е НА е „ Гс、
肃％ =— +—% ср.(3.31)
dt mec ot me 1 \ en0)
В зависимости от соотношения 0р и те /т； в (3.31) малым является либо "пен с Vze, либо с Ре. В случае 仙 > те /т{, котда неважен член с %，(когда продольная инерция электронов несущественна для проблемы альфвеновских волн), из (3.31) следует:
~ + cVH I Ф-"— | = 0・(3.32)
В другом предельном случае РР < me / т,, наоборот, продольная инерция электронов определяет дисперсию альфвеновских волн, а электронное дав- “енне R — несущественно. При этом уравнение (3.31) редуцируется к Уравнению вида:
^•+с%(р-т 务△丄 а=а^•+с%(р-т 务△丄 а=а(3.33)(3.33)
^•+с%(р-т 务△丄 а=а
^•+с%(р-т 务△丄 а=а
(3.33)
(3.33)
где 入§ =с/а>рс — толщина бесстолкновительного электронного скин-слоя Система уравнений (3.28), (3.33) полностью описывает альфвеновские волны в плазме с РР <me/mi и холодными ионами (см. (3.4)).
Для замыкания системы уравнений в случае me / m, < РР < 1, необходимее (3.28), (3.32) дополнить электронным уравнением состояния. Поскольку для альфвеновских волн co<kz vTe (vTe — тепловая скорость электронов), то в силу бесконечной продольной теплопроводности электронная температура вдоль полного магнитного поля не возмущается,
%Те=0・(3・34)
С учетом (3.34) уравнение (3.32) приводим к виду:
f+ch-^4=o-(“а
Плотность электронов й описывается уравнением непрерывности, которое представляем как:
絹唸％4 A = 0・Мб)
Система уравнений (3.28), (3.34)~(3・36) определяет нелинейную динамику альфвеновских волн в плазме с m© /т〔 v 仙 v 1 и холодными ионами (см. (3.3)).
Альфвеновские волны в плазме с mg/mj <рР <1 и горячими ионами. Уравнения (3.35), (3.36) не связаны с движением ионов. Следовательно, они остаются в силе и с случаях горячих ионов. Поэтому учет темпера1уры ионов в задаче об альфвеновских волнах сводится к проблеме модификации (3.28). Эту модификацию можно произвести следующим эвристическим способом, восходящим к идее Кадомцева и Погуце [173, 174]. Используем вместо (3.28) уравнение (3.36) с п, определяемым из кинетического уравнения для ионов. Другими словами, наряду с (3.38) будем использовать уравнение
^•+^%Q±A = 0.(3.37)
Здесь П$ — кинетическое значение волновой части ионной плотности, определяемое известным соотношением (см., например, [9]):
苗二-學「"ехр(р込丄)M-p?A,)]q>,(3・38)
где i0 — модифицированная функция Бесселя первого рода, а -к： заменяет собою 厶丄• Мы интересуемся волнами с р^А± «1. При этом разложением в рЯд по р；△丄 из (3.38) получаем:
湾=盜(1 +予込丄卜2 。.39)
Подставляя этот результат в (3.37), приходим к следующему уравнению [183, 184]:
+(△丄 9+^P；Aj屮)+(△丄 9+^P；Aj屮)+ *%А丄 А = 0.+ *%А丄 А = 0.(3.40)(3.40)
+(△丄 9+^P；Aj屮)
+(△丄 9+^P；Aj屮)
+ *%А丄 А = 0.
+ *%А丄 А = 0.
(3.40)
(3.40)
Это уравнение является искомым обобщением формулы (3.28) на случай конечной температуры ионов. В соответствии со сказанным в начале разд. 3.2. формулу (3.40) можно получить также с помощью гидродинамики Греда.
Уравнения (3.35), (3.36), (3.40) являются исходными динамическими уравнениями задачи о нелинейных альфвеновских волнах в плазме с me/mj <РР <1 и горячими ионами.
Учет магнитной вязкости. Рассмотрим теперь как модифицируются динамические уравнения для альфвеновских волн при учете магнитной вязкости. В соответствии с [9] (см. уравнение (4.44) в [9]), в этом случае мы имеем следующее выражение для divj丄：
mj丄=-営5 {崇(Ve +Vu)}+^%(3.41)
(3.42)(3.42)Здесь VLi = [ez,V^р(т{сов1п0) —скорость ларморовского (диамагнитного) Дрейфа ионов, £ =皿一волновая часть давления ионов. В рассматриваемом нами случае однородной плазмы величина R удовлетворяет уравнению ([9], формула (4.26)):
(3.42)
(3.42)
При подстановке (3.41) в (3.24) мы приходим к следующему уравнению, заменяющему (3.28) [184]:
%配表壹回杀心з间:+^厶…。.(3.43)
Характер разрывов в альфвеновских возмущениях и законы сохранения
Пусть в случае двумерных струкгур мы имеем некоторую сингулярную линию, а применительно к трехмерным задачам ——некоторую сингулярную поверхность, на которой непрерывны ф, ▽丄屮,厶丄屮・ Обозначим координату, направленную по нормали к этой линии, через хп , а координату вдоль этой линии ——нерез х2. Соответственно, в трехмерных задачах мы имеем дело с координатами х2, х3, лежащими на сингулярной поверхности. Пусть при некоторых заданных х2 = х2» хз = хз положение сингулярной линии или поверхности определяется точкой хп = х„ . Обратимся к (3.28) и проинтегрируем его поперек разрыва в интервале |хп -х„| < е, где £ — некоторое достаточно малое число, при фиксированных х? = х；, х? = х?. В силу сделанных предположений относительно непрерывности потенциала ф и его производных, интеграл от первого члена левой части равенства (3.28) обращается в нуль, так что в результате получается
(3.44)(3.44)^△iA + ~-div([VA,ez]V±A)jdxn =0.
(3.44)
(3.44)
Поскольку (3.28) является дифференциальной формой условия сохранения заряда, то (3.44) можно рассматривать как условие сохранения заряда на элементе длины сингулярной линии (или элемента площади сингулярной поверхности). В случае, если ▽丄 А и А丄 А непрерывны на разрыве, т. е.
("底=0, ®А)|Т：=0, (3.45)
то условие (3.44) автоматически удовлетворяется. В противном случае hci гарантии выполнения условия (3.44). Поэтому, предполагая невыполненными условия сшивки (3.45) и найдя конкретное решение для А, мы должны проверять, удовлетворяется ли при этом условие сохранения заряда (3.44). В связи с этим в дальнейшем мы будем рассматривать лишь такие решения, которые удовлетворяют условиям сшивки (3.45).
Аналогично, посредством интегрирования (3.40) с учетом (3.35) можно убедиться, что в задаче об алъфвеновских волнах в плазме с горячими ионами необходимо требовать, чтобы на сингул5фной линии было непрерывным А：А.
Теперь обратимся к (3.43), в котором учитывается магнитная вязкость. Вмпно, что при интегрировании этого уравнения поперек сингулярной линии возникает условие
(3.46)(3.46)f j|A1Pi+div((VEV)V1Pi)}dxn=O.
(3.46)
(3.46)
Чтобы не прийти к противоречиям типа рассмотренных выше, мы должны считать, что в нашей задаче должны быть непрерывны как первые, так и вторые производные Р-, т. е.
（、膿:二。,®膿:=0.（、膿:二。,®膿:=0.(3.47)(3.47)
（、膿:二。,®膿:=0.
（、膿:二。,®膿:=0.
(3.47)
(3.47)
При использовании (3.45) из уравнений (3.28), (3.35), (3.36) следует, что в случае алъфвеновских волн в плазме с me /mj < рр < 1 и холодными ионами интегралами движения являются следующие величины [180,184]:
W▽丄屮『+В： + 竝元(3.48)
U] = j(M<p-¥^n) dr.(3.49)
Эти интегралы движения можно интерпретировать, соответственно, как энергию и обобщенную экстрофию волн. Сохранятся также интегралы движения
IF[Dl=fF А丄屮_照區汕 dr ,(3.50)
g L eno .
口e D ——произвольная область, граница которой перемещается со скоростью u = VE, a F — произвольная функция своего аргумента.
Аналогично, из (3.28), (3.33) находим, что в задаче о нелинейных альфве- Новских волнах в плазме с рР <me/mi имеется интеграл движения [183, 184]:
况от интеграл движения соответствует энергии волн.
Обращаясь к уравнениям (3.35), (3.36), (3.40), описывающим альфвенов- ские волны в плазме с РР >me/mi и горячими ионами, находим, что эти уравнения обладают интегралами движения [184]:
If[6] = JfIf[6] = Jf(▽丄中『-気(a丄5г +(学)一午2小， (3.52)
If[6] = Jf
If[6] = Jf
△丄今 + 2p:a：4>-^^n d2r.(3.53)
4en0 _
Очевидно, эти выражения обобщают формулы (3.48)-(3.50) на случай конечной температуры ионов. Заметим также, что при Те = 0 в рассматриваемой задаче имеется также интеграл движения [184]:
М = Jb丄卜Е +#△丄Ve 卜г .(3.54)
При выводе всех приведенных выше законов сохранения нам приходилось проводить интегрирование по частям. При этом мы использовали условия сшивки типа (3.45), (3.47). Можно убедиться, что при невыполнении указанных условий сшивки мы получили бы, в частности, физически неестественный результат о несохранении энергии в структурах. В случае плазмы с конечной температурой ионов, т. е. при выводе формул (3.52)-(3.54) мы использовали также предположение о непрерывности А^ф. В дальнейшем мы покажем, что с необходимой нам степенью точности это предположение удовлетворяется.
3・2・3・ Стационарные альфвеновские структуры
Плазма с рр < те/п^ ・ Вводя стандартную автомодельную переменную T] = y + az-u-t, в случае стационарных структур из уравнений (3.28), (3.33) для альфвеновских волн в плазме с РР < те /т{ и холодными ионами следует:
2
$А 丄屮二吆 $]А 丄 А,(3.55)
uc
=0.(3.56)=0.(3.56)入；А 丄 А - А + —-— ср
=0.(3.56)
=0.(3.56)
Здесь оппзаторы D, Dj, учитывающие векторную нелинейность, означают
$喑一揃"中山$喑一揃"中山(3.57)(3.58)(3.57)(3.58)
$喑一揃"中山
$喑一揃"中山
(3.57)
(3.58)
(3.57)
(3.58)
При получении соотношения (3.56) было принято во внимание, что ЗА/贪 + 区屮=d0A/dt + c》p/6z. Уравнение (3.56) может быть проинтегриро
вано согласно разъяснению в гл. 1. В результате получается
XjA1A-A + (ac/u)(p = f(q>-uBox/c),(3.59)
где f — произвольная функция своего аргумента. Уравнение (3.59) имеет место во всем пространстве за исключением, быть может, особой линии, которая определяется равенством ср = иВох/с. Подставляя (3.59) в уравнение (3.55), приходим к уравнению вида:
иВох сиВох с=0,=0,(3.60)(3.60)
иВох с
иВох с
=0,
=0,
(3.60)
(3.60)
где штрих у f означает производную по аргументу. Интегрирование (3.60) приводит к дополнению к (3.59), еще одной связи между А и ср :
入:a丄4>+入:a丄4>+喲吟A)("М-*卜卜一明喲吟A)("М-*卜卜一明(3.61)(3.61)
入:a丄4>+
入:a丄4>+
喲吟A)("М-*卜卜一明
喲吟A)("М-*卜卜一明
(3.61)
(3.61)
nie g ——произвольная функция, аналогичная f . В дальнейшем мы ограни- внмся рассмотрением простейшего случая вихрей, когда f 三 0, a g представ- 几лет собой кусочно-линейную функцию
(3.62)(3.62)g(x) = G・x,
(3.62)
(3.62)
Ue G — произвольная константа, которая может принимать разные значения в различных областях пространства. Исключая из (3.59), (3.61) потенциал А, Получаем окончательно уравнение четвертого порядка для ф, которое описывает пространственную структуру альфвеновского вихря в плазме с Рр < me / irij и холодными ионами, кроме особых точек, в которых константа G меняет свое значение:
0.0.(3.63)(3.63)Анализ данного уравнения будет произведен ниже на основе единого подхода.Плазма с те/т( < РР < 1. При рР >те/т, в плазме с холодными ионами уравнение (3.55) остается по-прежнему в силе, а уравнения (3.35), (3.36) в стационарном случае выглядят следующим образом:Анализ данного уравнения будет произведен ниже на основе единого подхода.Плазма с те/т( < РР < 1. При рР >те/т, в плазме с холодными ионами уравнение (3.55) остается по-прежнему в силе, а уравнения (3.35), (3.36) в стационарном случае выглядят следующим образом:Dt !"ф—Зк-п-Ад =0,[ еп0 асDt !"ф—Зк-п-Ад =0,[ еп0 ас(3.64)(3.64)а ас аDA 二亠一D] A 1A.4neuа ас аDA 二亠一D] A 1A.4neu(3.65)(3.65)При получении (3.64) учтено, что, согласно (3.34), электронная температура в альфвеновских вихрях не возмущается.Уравнение (3.64) удовлетворяется приПри получении (3.64) учтено, что, согласно (3.34), электронная температура в альфвеновских вихрях не возмущается.Уравнение (3.64) удовлетворяется при号8鳴a)号8鳴a)(3.66)(3.66)Отсюда с учетом явного вида операторов D, $】приходим к выражениюОтсюда с учетом явного вида операторов D, $】приходим к выражению(3.67)(3.67)
0.
0.
(3.63)
(3.63)
Анализ данного уравнения будет произведен ниже на основе единого подхода.
Плазма с те/т( < РР < 1. При рР >те/т, в плазме с холодными ионами уравнение (3.55) остается по-прежнему в силе, а уравнения (3.35), (3.36) в стационарном случае выглядят следующим образом:
Анализ данного уравнения будет произведен ниже на основе единого подхода.
Плазма с те/т( < РР < 1. При рР >те/т, в плазме с холодными ионами уравнение (3.55) остается по-прежнему в силе, а уравнения (3.35), (3.36) в стационарном случае выглядят следующим образом:
Dt !"ф—Зк-п-Ад =0,[ еп0 ас
Dt !"ф—Зк-п-Ад =0,[ еп0 ас
(3.64)
(3.64)
а ас а
DA 二亠一D] A 1A.
4neu
а ас а
DA 二亠一D] A 1A.
4neu
(3.65)
(3.65)
При получении (3.64) учтено, что, согласно (3.34), электронная температура в альфвеновских вихрях не возмущается.
Уравнение (3.64) удовлетворяется при
При получении (3.64) учтено, что, согласно (3.34), электронная температура в альфвеновских вихрях не возмущается.
Уравнение (3.64) удовлетворяется при
号8鳴a)
号8鳴a)
(3.66)
(3.66)
Отсюда с учетом явного вида операторов D, $】приходим к выражению
Отсюда с учетом явного вида операторов D, $】приходим к выражению
(3.67)
(3.67)
Подставляя (3.67) в (3.65) и интегрируя по аналогии с (3.56), имеем
$-^[а +若譬 МА$-^[а +若譬 МА= f1(A-aB0x),= f1(A-aB0x),(3.68)(3.68)
$-^[а +若譬 МА
$-^[а +若譬 МА
= f1(A-aB0x),
= f1(A-aB0x),
(3.68)
(3.68)
где 0 — произвольная функция. Комбинируя (3.55) и (3.68), приходим к соотношению вида
р^А±ф- Ф- —А =0.I ае丿」р^А±ф- Ф- —А =0.I ае丿」(3.69)(3.69)
р^А±ф- Ф- —А =0.
I ае丿」
р^А±ф- Ф- —А =0.
I ае丿」
(3.69)
(3.69)
В результате векторного интегрирования из (3.69) следует
(3.70)(3.70)Род±Ф~^Ф-~А^ = ё11 ^■■―4^
(3.70)
(3.70)
興 g] — произвольная функция. В дальнейшем для простоты полагаем f =0, g1(x) = C1x, аналогично случаю рр <me/mi, С】 一 произвольная постоянная. При этом, исключая из соотношений (3.68), (3.70) величину А, получаем уравнение, которое описывае! альфвеновскую структуру в плазме с mc/nii <РР <1 и 工/q тО во всем пространстве, кроме особых точек (т. е. точек, где ф(г) = иВох/с):
Ai屮一^['总+ G卜丄ф一^总卜-号х) = "371)
В случае альфвеновских волн в плазме с РР > те /Ш| и горячими ионами уравнения (3.64), (3.65) остаются в силе, а уравнение (3.40) принимает вид:
(3.72)(3.72)A + Зр 込:ф] = ^^$] А 丄 А.
(3.72)
(3.72)
I 4) ис
Тогда, учитывая сделанное выше предположение о слабой дисперсии волн (р^,р；)А, «1, из (3.72) и (3.64), (3.65), аналогично (3.71), получаем
(3.73)(3.73)(Р^+^Р；)А：屮一 1-工2 +С?Р^ Д1Ф~^2^2"^-"^х] =
(3.73)
(3.73)
Здесь & — произвольная постоянная.
Ниже мы используем (3.63), (3.71), (3.73) для построения пространственно-локализованного решения.
Дипольные альфвеновские вихри. Уравнения (3.63), (3.71), (3.73), полученные выше для различных частных случаев альфвеновских волн, можно записать в канонической (единообразной) форме [184]:
a；@一扌a丄屮+学(屮_^^x) = 0.a；@一扌a丄屮+学(屮_^^x) = 0.(3.74)(3.74)
a；@一扌a丄屮+学(屮_^^x) = 0.
a；@一扌a丄屮+学(屮_^^x) = 0.
(3.74)
(3.74)
X^u2 /а2Сд, приР* =iPo>при• 2 3 2 [Po+-Pi， приX^u2 /а2Сд, приР* =iPo>при• 2 3 2 [Po+-Pi， приРр vme/m”Рр >те/т,, Ti/Te ->0,РР >тс/ть [*0.Рр vme/m”Рр >те/т,, Ti/Te ->0,РР >тс/ть [*0.(3.75)(3.75)
X^u2 /а2Сд, при
Р* =iPo>при
• 2 3 2 [Po+-Pi， при
X^u2 /а2Сд, при
Р* =iPo>при
• 2 3 2 [Po+-Pi， при
Рр vme/m”
Рр >те/т,, Ti/Te ->0,
РР >тс/ть [*0.
Рр vme/m”
Рр >те/т,, Ti/Te ->0,
РР >тс/ть [*0.
(3.75)
(3.75)
Коэффициент q определяется соотношением q = q0 + 6q,(3.76)
где
q0 =т(1-и2/а2Сд),(3.77)
5q =«
4产/公或)，при
С],при
С2Ро，при
Bp < те /тн
РР > те/ть Т, /Те -> 0 ,
(3.78)
Рр >те/т.,
工нО.
Величина h
и2 h = —_ ■ * а2Сд
имеет вид:
-с(и2/а2Сд), при
С】，при
Рр <те/тн
рР >те/тр Т(/Тс ->0 ,
(3.79)
Po+|p?j» при
рР >me/mi,工
=0.
Связь между А и ф определяется соотношением (см. (3.61), (3.70) и (3.64), (3.72)):
屮=(р— А = ц р?А丄屮干.(3.80)
ас [и к су
Здесь
-1,
при
Bp <me/mi,
吟
1,
при
Рр > те /ть Tj/Te ->0,(3.81)
(l + 3TJ4Te)T,
при
P? > те /ти 工工0,
屮一продольный потенциал (см. (1.52), (1.55)). Верхний знак в формулах (3.77), (3.80) относится к случаю Рр < т©，皿.
Ограничимся рассмотрением вихрей с одной линией сингулярности, определяемой равенством
ф(г,0) = (uB0r/c)cosG,(3.82)
(где г = (х2+г|2У 2, 0 = arctg(T]/x) — полярные координаты в плоскости (х，п)). Этого мы достигли, положив f = 0 = f? = 0 (отказ от этого условия нс меняет характер решения, но заметно усложняет его анализ).
Важным случаем вихрей являются дипольные структуры, т. е. такие, где
屮(г,6) =①(r)cos6,屮(r,6)=屮(r)cos8.(3.83)
В этом случае особая линия вихря удовлетворяет соотношению
Ф(г) = иВог/с.(3.84)
Аналогично случаю однопотенциальных вихрей (см. гл. 1), разбиваем плоскость (г,0) на две области, разделенные окружностью г = а. Поскольку мы интересуемся пространственно-локализованными вихрями, то во внешней области (г > а) должны положить h = 0 (т. е. G = Ci = С2 = 0). При этом уравнение (3.74) принимает вид
а1ф-Р2Д±ф = 0,(3.85)
где
『=qa2/p3.(3.86)
Решая уравнение (3.85), для радиальной части потенциала ср получаем:
ф(г) =①伍)卜］+ Е? ~1 г> а.(3.87)
Здесь Ф(а) = иВоа/с —значение Ф(г) при г = а ; Еи Е2 —произвольные константы, К} — функция Макдональда. Для того, чтобы Ф(г)т 0 при г т оо, необходимо выполнение неравенства р2 > 0. Это условие накладывает ограничение на допустимые значения скорости распространения вихря:
u2-a2或>0 или й2-а2Сд <0.(3.88)
Здесь первое неравенство относится к случаю |3р < те /т{, а второе — к случаю те /т j< рР < 1. Из (3.88) следует, что альфвеновские вихри в плазме с Bp > me / irij распространяются с доальфвеновской скоростью (и < асА), а в плазме с рР < me /nij — со сверхальфвеновской (и > асА ).
Во внутренней области вихря, считаем h н 0 в (3.74), представляем Ф(г) в виде:
O(r) = O(a)［； + D|^l + D21^］ г<а, (3.89)
где J〕， Ij — функция Бесселя и модифицированная функция Бесселя Dn D2 — произвольные константы. Величины 入,у представляют собой два различных масштаба решения во внутренней области вихревой структуры k определены соотношением:
У 二詣[С 甸-q],(3.90)
入 J£*4h)+q]•(3.91 j
Поскольку у2,入2 — положительные величины, то, согласно (3.90), (3.91). должно выполняться неравенство h < 0. Произвольные константы Е1} Е2, D[, D2 определяем из условий сшивки внутреннего и внешнего решений при г = а . По аналогии с однопотенциальными вихрями (см. гл. 1) требуем непрерывности при г = а величин ср, Эф/Эг, А丄(р,т. е.
卜春△丄ф}、。.(3.92)
Помимо этого, считаем непрерывными также и величины А, 5А / 5г, А 丄 А , т. е.
卜,^, Ma} =0.(3.93)
Из условий непрерывности ф, А±ф, А и уравнения (3.80) следует, что Ф(г) должна удовлетворять соотношению (3.84). Указанные условия сшивки приводят к тому, что все физические величины вихря, такие, как их электромагнитное поле, возмущение плотности плазмы в вихре — являются величинами непрерывными.
Требуя непрерывности при г = а величин ср, 8(р/5г, А, А±(р, приходим к следующим выражениям для коэффициентов [180, 182]:
Е] =2(А?+у2)/А,Е2=1-2(Х2+у2)/А,^ ^
D] =-D 2=-2『/А.
Здесь
A =(2-Q)(x2+Y2)-P2(L + G), Q = 0K2(B)吗偉)，(3 95)
l = xi2(x)/i1(x), G = yJ2(y)/J1(y).
0з условия непрерывности оА/5г получаем соотношение, называемое дисперсионным уравнением вихря
[^(P2+Y2)+(1-^)Z2]L +(X2+Y2)Q4-
+ [耳『-入 2) + № — i)]g = 0, (3.96)
гДе ^ = l + 3Tj/(41^). При таком выборе параметров вихря величина △亠А автоматически является непрерывной. Явное выражение для величины А легко можно получить, используя уравнение (3.80). Кроме того, подействовав оператором А丄 на обе части (3.66), (3.68) и учитывая непрерывность А丄ср, △丄 А , приходим к выводу, что непрерывными являются также величина А： А, а также А丄近.Наконец, подействовав оператором А： на обе части равенства (3.68), находим, что в пренебрежении членами порядка А： непрерывным является также А^ф . Это в частности оправдывает процедуру вывода интегралов движения (3.48R3.54) для случая рассматриваемых дипольных вихрей.
Характерной особенностью найденного нами решения является степенной характер спадания электростатического потенциала вихря на его достаточно далеко удаленной периферии. Таким же свойством обладают поперечные электрическое и магнитное поля вихря. Поэтому как энергия, так и энстрофия (см. (3.48R3.54)) оказываются конечными.
Нами был проведен численный анализ полученного решения (3.87), (3.89), (3.80), (3.96). В качестве заданных параметров мы выбрали 0 и а/р*, следя за тем, чтобы они удовлетворяли соотношению (3.86). Далее по формулам (3.90), (3.91), (3.96) находились значения 九 н у и строилась радиальная зависимость функции Ф, + и ①-+ = (u/(ac))A. На рис. 3.2а, 6 в качестве примера изображена характерная радиальная структура альфвеновских структур в однородной плазме при рр < те /тн а/р. = 1 и а/р* = 100. Константа Р — фиксирована, Р = 0,9.
В случае структур умеренного масштаба (а / р* = 1) продольный электрический потенциал внутренней области вихря сравним по величине с его поперечным потенциалом, а магнитное поле В丄 мало. Для крупномасштабных структур (а/р・=100) продольный потенциал пренебрежимо мал, а поперечное магнитное ноле вихря становится сравнимым с его поперечным электрическим Полем. Как из формулы (3.80), так и из числешюго анализа (рис. 3.2а, б) видно, ^о продольный электрический потенциал вихря (а значит, и его продольное электрическое поле) спадает как ехр(-Рг) при г -> х, в то время как поперечное электрическое и магнитное поля вихря становятся одного порвдка в
силу степенного характера спадания. Максимум амплитуды функции Т(г) достигается во внутренней области вихря, в некоторой точке Iq < а. Числен* ные расчеты показывают, что увеличение Р при а / р* = const, как и увеличе* ние а/p* при 0 = const ведет к смещению точки ⑦ к центру вихря. Макси* мум амплитуды Ф(г) может достигаться как во внутренней, так и во внешней области вихря в зависимости от его параметров.
Рис. 3.2. Радиальная зависимость решения (3.80), (3.87), (3.89); а) а/р*=1, Р = 0,9;б) а/р* =100, Р = 0,9.Рис. 3.2. Радиальная зависимость решения (3.80), (3.87), (3.89); а) а/р*=1, Р = 0,9;б) а/р* =100, Р = 0,9.
Рис. 3.2. Радиальная зависимость решения (3.80), (3.87), (3.89); а) а/р*=1, Р = 0,9;
б) а/р* =100, Р = 0,9.
Рис. 3.2. Радиальная зависимость решения (3.80), (3.87), (3.89); а) а/р*=1, Р = 0,9;
б) а/р* =100, Р = 0,9.
Заметим, что показатель спадания волнового поля на периферии альфве* новского вихря В (см. (3.85)) может иметь значения % и Р2, где 仇，Р2 оп- ределяются соотношениями
(3.97)(3.98)(3.97)(3.98)Pi = Qo&2 / Р*'
(3.97)
(3.98)
(3.97)
(3.98)
Рг = °・
Наличие нулевых корней, р2 = 0, отражает тот факт, что асимптотика а.чьфве* новских структур содержит, наряду с экспоненциально спадающей чаоью (при pf > 0), также часть, спадающую степенным образом. В этом смысле альфвеновские структуры в однородной плазме можно назвать вырожденными двупотенциальными вихрями, что является альтернативой стандартным двупотенциальным вихрям, для которых (В】，02) > 0 (см. разд. 3.4).
Это обстоятельство было упущено в работах [185-187], в которых изучался вопрос о существовании альфвеновских вихрей в однородной плазме с холодными ионами. Хотя альфвеновские структуры являются существенно двупотенциальными (① w 屮 н 0, А н 0), их анализ в отмеченных работах
проводился по такой же схеме, как и в случае однопотенциальных вихрей типа Ларичева—Резника (см. ел. 1). На сингулярных линиях сшивались jniiib потенциал и его производные, а первые и вторые производные продольного потенциала (屮,А) терпят разрыв. В этом случае разрывными являются также поперечное магнитное поле В± , продольный ток jz и производная возмущенной плотности плазмы 5п/5г. Поэтому эти решения находятся в противоречии с законами сохранения заряда (3.44), энергии и некоторых других инвариантов системы. Проблеме альфвеновских вихрей посвящена также работа [188].
3・3・ Нелинейная эволюция потенциальных возмущений в плазменном цилиндре
В связи с необходимостью интерпретации экспериментальных наблюдений по дрейфовой турбулентности в последнее время интенсивно развивается теория уединенных вихрей в неоднородной замагниченной плазме (см., например, гл. 2; разд. 3.1, 3.2 данной главы и цитируемые там работы). Все обсуждающиеся ранее решения в основном были основаны на результатах работы Ларичева~Резника [33]. Полученные решения, которые называют также дипольными вихрями, представляют собой пару вихрей равной интенсивности, движущихся прямолинейно. До сих пор изучение таких структур проводилось с использованием декартовых координат. Однако, так как большинство плазменных экспериментальных ловушек имеют геометрию, близкую цилиндрической, представляет интерес исследовать вопрос о возможности существования уединенных структур в системах с цилиндрической геометрией. В связи с этим в работе [189] были получены решения уединенных вихрей в тороидальной геометрии, а в работе [190] — в цилиндрической геометрии плазменного шнура. Найденные решения, за исключением того, что вихри двигались по криволинейной траектории, ничем принципиально не отличались от решения дипольных вихрей. Это объясняется тем, что в указанных работах размер вихря полагался значительно меньшим расстоянием от его Центра до оси цилиндра и совершался предельный переход от цилиндрических координат к декартовым.
В данном разделе получены решения, показывающие возможность существования вихрей, размеры которых равны или превосходят расстояние от нх центра до оси плазменного цилиндра. Такие структуры могут существовать как внутри, так и на периферии плазменного шнура и принципиально отличаются от дипольных вихрей. Структуры представляют собой либо одиночный вихрь (монополь), либо пару вихрей разной интенсивности, Движущихся по азимуту плазменного цилиндра. Анализ проводится для элеггростатических желобковых (3.1) и дрейфовых типов колебаний во вращающемся плазменном цилиндре в поле тяжести, моделирующем кривизну Магнитных силовых линий.
Глава з
.3.1. Желобковые и длинноволновые дрейфовые структуры в цилиндрическом плазменном шнуреп
Рассматриваем цилиндрический плазменный столб, помещенный в ма-. нитное поле Во, направленное вдоль оси столба. Равновесная плотность плаз, мы является только функцией расстояния от оси цилиндра п0 = п0(г). Полага. ем, что в плазменном столбе существует равновесное электрическое по.к Е = Еоег, направленное по радиусу цилиндра, которое приводит к дрейфу в ази* мугальном направлении каждой из компонент плазмы. Скорость дрейфа определяется из уравнений движения, записанных в полярных координатах г, 0 [9]:
-V//r = (c/m)E0+ VeocoB,(3.99)
где Veo — равновесная азимутальная скорость, г, 0 — радиальное электрическое поле, г, 0 ——заряд и масса каждой из компонент, шв -- циклотронная частота.
Отсюда следует, что электроны равномерно дрейфуют по азимуту со скоростью
V：o=Veo=-cEo/Bo・(3.100)
Для ионов с учетом центробежной силы скорость дрейфа равна:
Veo=£^L[-l + (l + 4VE/(r(oBi))1/2].(3.101)
Считаем далее, что скорость дрейфа VE() достаточно мала, VEo « гсоВ1, поэтому ионы дрейфуют практически с той же скоростью, что и электроны. Полагаем температуры ионов и электронов постоянными в объеме плазменного столба, VTc i = 0, исходя из этого для описания плазмы используем уравнения непрерывности и движения (индекс сорта частиц опускается):
5n/at + div(nV)= 0,(3.102)
nmdV/dt + V7i = -VP + en(E + [VB]/c) + nmg,(3.103)
где Р = пТ — давление, V — скорость частиц,元一тензор вязкости, d/dt = 8/St +VV. В уравнении движения ионов (3.103) учтена сила тяжести gl|er)направленная вдоль радиуса.
См. 1191, 124].
寓елобковые колебания. Сначала рассмотрим желобковые колебания (6/3z = 0), для чего потребуются следующие компоненты гензора вязкости ионов, записанные в полярных координатах [9]:
(3.104)(3.104)
(3.104)
(3.104)
Считая колебания потенциальными и низкочастотными по отношению к ионной циклотронной частоте, из уравнений движения (3.103) находим поперечные компоненты скоростей ионов и электронов:
V丄 cj = VE + Vyi + %℃, + Vr + Vgi，(3.105)
где Ve =(c/B0)[ez,V(p] — электрический дрейф, ср — электрический потенциал,
Vu,i=(c/(ee.iBon))[ez,VPeJ
——ларморовский дрейф,
% =(l/8Bi)[ez，dY/dt + y#/(min)] и % =[g,e2]/coBi
—инерционный и гравитационный дрейф ионов (инерционным и гравитационным дрейфом электронов пренебрегаем), ez — единичный вектор вдоль оси z. Плазма предполагается достаточно плотной, поэтому вместо уравнения непрерывности ионов используем уравнение замыкания токов:
击屮丄=0,j±=en(V±i-Vle).(3.106)
Компоненты электрического тока j丄 находим с помощью выражений для скоростей ионов и электронов (3.105). Проводя необходимые преобразования, запишем уравнение непрерывности и замыкания токов в полярных координа・ тах[124]:
m^+*}岩諳=。，(З.Ю7)
I Ot。口0 Г Bq 丿Bq
+ ~div{fi,Vq>} = 2QE {n-hn0,(p}-—Q|(3.108)
Здесь п — возмущенная часть плотности п, фигурные скобки обозначают якобиан в полярных координатах {,}三(1/Г) (6/次•d/68-8/68•8/①), Се = const — угловая скорость вращения плазмы. Равномерное вращение плазмы предполагает, что стационарное электрическое поле пропорционально расстоянию от оси цилиндра, % = % • г • При получении уравнения замыкания токов (3.108) было учтено условие (51п(р/сг,51пп/ог)» 51пп0 /次 и использовано уравнение непрерывности (3.107). Первый член справа в (3.108) обусловлен силой Кориолиса во вращающейся плазме, второй ——разностью скоростей дрейфа ионов и электронов из-за центробежных эффектов.
Дрейфовые колебания. Помимо желобковых колебаний, описываемых уравнениями (3.107), (3.108), в плазме с конечной температурой электронов Те возможны дрейфовые колебания с характерными частотами со и продольными волновыми числами kz, удовлетворяющими условию
(Ti/mj"? « a>/kz <<(Te/me)l/2.
Ионы в таких колебаниях можно считать холодными, а электроны ——подчиняющимися больцмановскому распределению в поле волны
пе =пое(р/Те.(3.109)
Подставляя в уравнение непрерывности (3.102) скорость ионов в виде V±>i = VE + Vu + Vgo и используя условие квазинейтралъности пе = п,, с учетом (3.109) получаем нелинейное уравнение:
сТе 15п0 д }с
芽+ Се 不5Ф~Ро 工 + Ce方 А丄Ч>_eBono г or о0 J<5t dQJ
-P^t{@，A 丄 @} = 0，(3.110)
где р0 =优 /的嗚)) 一ларморовский радиус ионов по электронной температуре. Уравнение (3.110) является исходным для анализа возможности существования дрейфовых (или, как их иногда называют, длинноволново-дрейфовых или элеюронно-дрейфовых) вихрей во вращающемся плазменном цилиндре [190].
3・3・2・ Стационарные уединенные вихри
Ищем решения полученных в разд. 3.3.1 динамических уравнении (3.107), (3.108), (3.110) в виде стационарных уединенных вихрей, движущихся по
азимуту цилиндра с угловой скоростью С на расстоянии R от оси цилинд- С этой целью положим потенциал и возмущенную плотность зависящими 0T двух координат г и q = 0-Qt. В этих координатах уравнения (3.107), (3.108) преобразуются к виду:
S嘴+訂阿岩盡=。'S嘴+訂阿岩盡=。'(3.111)(3.111)
S嘴+訂阿岩盡=。'
S嘴+訂阿岩盡=。'
(3.111)
(3.111)
«e+а+訖瞽^)»中+喷{…}+
+ -^-div{n, V(p} = 2% {п + п0,ф} + ^-О| ^--^-^^.(3.112)
Рассмотрим сначала уравнение непрерывности (3.111). Можно заметить, что оно имеет решение
(3.113)(3.113)1 也0 cП = 7rф,
(3.113)
(3.113)
г аг в°(с-Се)
если множитель 1/г^п0/5г в (3.113) является медленной функцией по сравнению с потенциалом вихря ф. В качестве характерного размера вихря будем считать величину d, &)/&* н cp/d, тогда это условие примет вид:
(3.114)(3.114)
(3.114)
(3.114)
Соотношение (3.114) легче всего удовлетворить для плазменных ловушек с профилем плотности, близким к параболическому,
по(г) = п(О)(1-г2/г^), г^г0, п(0)
— плотность плазмы на оси цилиндра,可 一 характерный размер неоднородности плотности. В этом случае возмущение плотности (3.113) преобразуется к виду:
. 2сп(О)
n =亍7、 ф.
Вог(О-ПЕ)
В уравнении (3.112) предположим, что сила тяжести пропорциональна Радиусу цилиндра, g = go「/%, g0 = const — ускорение силы тяжести на расстоянии г = %. Тогда с учетом (3.115) вместо (3.112) приходим к уравнению в внде равенства нулю якобиана:
где
Аф-Лф,(р-^—сог2 } = 0,
(3.116)
Л = Ag + Ag, Ае
Ag
2n(O)(2(p + QE)QE r^no(R)o)((»-di)'
2g()n(0)
Mgno(R)a)3-Gi)
Здесь co = Q-Qe, co»i =-2сТ]П(О)/(еВ0По(К)г^) —- угловая дрейфовая скорость ионов в системах с параболическим профилем плотности. В линейном приближении уравнение (3.116) описывает низкочастотную центробежную неустойчивость при % 工 ° и желобковую неустойчивость при Ag ^ 0 [9]. Заметим, что при указанных предположениях о параболичности профиля плотности и силы тяжести, пропорциональной радиусу г, нестационарные уравнения (3.107), (3.108) имеют интеграл движения, соответствующий энергии желобковых возмущений [124],
2n(O)no(R)c2 [2n(O)no(R)c2 [W =W =В緖В緖0+曳]/0+曳]/(З.И7)(З.И7)
2n(O)no(R)c2 [
2n(O)no(R)c2 [
W =
W =
В緖
В緖
0+曳]/
0+曳]/
(З.И7)
(З.И7)
Аналогично вышерассмотренному случаю желобковых колебаний, нелинейное уравнение (3.110) для дрейфовых вихрей, движущихся с угловой скоростью С в азимутальном направлении, приводим к виду (3.116) с коэффициентом А, определяемым соотношением
(3.118)(3.118)Л = 1 - С0*е / CD,
(3.118)
(3.118)
где со*е = 2cT^n(O)/^eBono (R)io ) — угловая дрейфовая скорость электронов в системах с параболическим профилем плотности. Энергия дрейфовых вихрей, согласно (3.110), равна:
W = J^(p2+pg(V(p)2^dr.W = J^(p2+pg(V(p)2^dr.(3.119)(3.119)
W = J^(p2+pg(V(p)2^dr.
W = J^(p2+pg(V(p)2^dr.
(3.119)
(3.119)
Решение уравнения (3.116) проведем, следуя работе [192]. Перейдем в полярную систему координат г； 8' с началом в центре уединенного вихря, находящегося на расстоянии R от оси цилиндра (см. рис. 3.3).
Угол 8' отсчитывается от прямой, проходящей через центр волны по касательной к траектории, и радиус г связан с новым радиусом г' соотношением г2 = г" +2Rr'sin6' + R2 . Согласно известному свойству якобиана, решение (3.116) представляется в виде:
A 丄屮-A(p = F((p-( B0co / 2c)产)，(3.120)
где F 二 F(z) — произвольная функция. В качестве F = F(z) выбираем линейную функцию
F(z) = C1(z-(B0cd/2c)(2D-R2)),
те С】и D ——произвольные постоянные. Разделяя двумерную плоскость г[ 8' на внутреннюю область г' v а и внешнюю г' N а, будем решать уравнение (3.120) с различными константами С】и D в каждой области, и затем не-
Рис. 33・ Система полярных координат г', 8', связанная волнойРис. 33・ Система полярных координат г', 8', связанная волнойпрерывно сошьем эти решения на границе областей г' = а. Во внешней области константы С】н D положим равными нулю, во внутренней области эти константы пока принимают произвольные значения. В итоге получаем два уравнения на потенциал:
Рис. 33・ Система полярных координат г', 8', связанная волной
Рис. 33・ Система полярных координат г', 8', связанная волной
В2
a,3-亏3 = 0, r'Na,а
(3.121)(3.121)А丄尹力吟IА丄尹力吟I+ Rcofsin04D , r'va. (3.122)
(3.121)
(3.121)
А丄尹力吟I
А丄尹力吟I
Для удобства здесь введены новые коэффициенты Р н у , определенные через коэффициент А, значение константы С〔 во внутренней области и радиус сшивки а следующими соотношениями:
(3.123)(3.123)Р2/а2 =А, у2/а2 =-(С[+『/а2).
(3.123)
(3.123)
Так как мы ищем решения, экспоненциально убывающие на бесконечности, то значения коэффициента А должны быть строго положительными, А > 0. Для получения однозначного решения потребуем непрерывности потенциала вплоть до второй производной на границе сшивки г = а . Для этого, как следует из уравнений (3.121), (3.122), на потенциал необходимо наложить следующие граничные условия:
必а
生
决'r，=a-0
b lr』a+0
—I —соа2 +Rcoa sinG4D с【2
(3.124)
Решая уравнения (3.121), (3.122) с учетом граничных условий (3.124), на> ходим [124]:
ЗА然4喘％*舞耦，』ЗА然4喘％*舞耦，』(3.125)(3.125)(p(i,8') =(p(i,8') =Y丿Y丿?2丿[a2aRz脏你)?2丿[a2aRz脏你)/ /(В) 2/ /(В) 2併 J】（K'/a）併 J】（K'/a）sin 6' +sin 6' +а %(уг，/а“ R yJi(y) Jа %(уг，/а“ R yJi(y) Jf <a.f <a.(3.126)(3.126)
ЗА然4喘％*舞耦，』
ЗА然4喘％*舞耦，』
(3.125)
(3.125)
(p(i,8') =
(p(i,8') =
Y丿
Y丿
?2丿[a2aRz脏你)
?2丿[a2aRz脏你)
/ /(В) 2
/ /(В) 2
併 J】（K'/a）
併 J】（K'/a）
sin 6' +
sin 6' +
а %(уг，/а“ R yJi(y) J
а %(уг，/а“ R yJi(y) J
f <a.
f <a.
(3.126)
(3.126)
Здесь Jo, J】 ——функции Бесселя, Ko, К】一функции Макдональда. Из условия непрерывности производной потенциала при г' = а следуют соотношения:
(3.127)(3.127)ы₽1. My) d_ ①/e+/偉)]
(3.127)
(3.127)
P^(P)M(Y)'(2 0K仰)丿
первое из которых в точности совпадает с дисперсионным уравнением диполь-первое из которых в точности совпадает с дисперсионным уравнением диполь-₽₽ного вихря (1.29). Здесь величины а,ного вихря (1.29). Здесь величины а,00
первое из которых в точности совпадает с дисперсионным уравнением диполь-
первое из которых в точности совпадает с дисперсионным уравнением диполь-
₽
₽
ного вихря (1.29). Здесь величины а,
ного вихря (1.29). Здесь величины а,
0
0
Ряс. 3.4. Изолинии безразмерного потенциала ｛屮一В0со^(г2 + 2Rr'sin 0Э/(2с)]| xc/(coB0Ra) в системе координат, связанной волной; В = 2,у = 4,0732,a/R = 0,5. Волна вращается вокруг точки О против часовой стрелки (со > 0). Образуются циклон-антициклонные пары неравной шпенсивности
являются свободными параметрами, определяющими структуру вихря. Из (3.125), (3.126) видно, что peuie- ние вихря состоит из антисимметричного слагаемого, с точностью до обозначений совпадающего с решением для дипольного вихря, и осесимметричного или радиального слагаемого, появление которого обусловлено учетом цилиндрической геометрии плазменного столба. В дальнейшем вихри, описываемые решением (3.125), (3.126), мы будем называть радиальными вихрями. Линии уровня безразмерного потенциала (3.125)-(3.127) представлены на рис. 3.4. Стрелками показано направление движения вихревой структуры. Видно, что внутри линии тока г = а поле представляет собой вихревую пару, состоящую из ци-
&она (Ф < 0) и антициклона (Ф > 0), причем интенсивность циклона больше ллтенсивности антициклона. Из вышесказанного очевидно, что такая вихревая пара должна двигаться против часовой стрелки по выпуклой вверх траектории.
3・3・3・ Параметры радиальных вихрей13
На бесконечности потенциал вихря спадает по закону 〜exp(-pr/a)/Vr , поэтому характерный размер вихря d при Р < 1 равен d ® а/p (где а — радиус сшивки). В случае быстрого спадания потенциала вихря на бесконечности р > 1 характерный размер d определяется только радиусом сшивки d « а.
Рассмотрим теперь возможные значения угловой скорости движения уединенных вихрей в азимутальном направлении. Для желобковых вихрей из выражений для коэффициента Л (3.116), (3.123) находим уравнение, связывающее между собой угловую скорость движения вихря относительно вращающейся плазмы со = С — Се с параметрами вихря:
CD2 - COCO*,-CD2 - COCO*,-4n(0) а24n(0) а2师俨后俨师俨后俨сe①一сe①一4n(0) а24n(0) а2no(R)fo P2 [no(R)fo P2 [сe2+型一2%叫=0.сe2+型一2%叫=0.(3.128)(3.128)
CD2 - COCO*,-
CD2 - COCO*,-
4n(0) а2
4n(0) а2
师俨后俨
师俨后俨
сe①一
сe①一
4n(0) а2
4n(0) а2
no(R)fo P2 [
no(R)fo P2 [
сe2+型一2%叫=0.
сe2+型一2%叫=0.
(3.128)
(3.128)
c = qe 土c = qe 土,\1/2 а,\1/2 аИз условия 6In ср/5г >> 8In п。/决 следует, что размер вихря должен быть меньше, чем расстояние 为,на котором происходит значительное изменение величины равновесной плотности плазмы, поэтому для всех вихрей должно выполняться соотношение a/(piQ)«1. При этом условии возможные значения С в пренебрежении силой тяжести и температурой ионов, согласно (3.128), определяются выражением
c = qe 土
c = qe 土
,\1/2 а
,\1/2 а
(3.129)
Исходя из выражения (3.129), можно сделать вывод, что угловая скорость вихрей изменяется в пределах от QE -^2n(0)a2 /(n0r^p2 jj QE до ^е -*-^2п(0)а2 /(п0ГдР2 jj % . В случае, когда угловая дрейфовая скорость нонов со*] значительно превосходит частоту Qe，желобковые вихри с одними и теми же параметрами а, 0 могут двигаться с различными угловыми скоростями:
1313См. [124].См. [124].
13
13
См. [124].
См. [124].
=Се + co»j +=Се + co»j +2n(O)a2 QeD0r0 ₽2 %
=Се + co»j +
=Се + co»j +
(3.130t(3.130tВидно, что при большой температуре ионов в плазменном цилиндре с\. шествуют две группы вихрей, движущихся сильно различающимися по величине угловыми скоростями, примерно равными QE и Qe + °Ч •
(3.130t
(3.130t
Анализ детерминанта квадратного уравнения (3.128) показывает, что оно имеет действительные корни при любом соотношении между частотами Се н Gj, то есть при любой температуре ионов. Направление вращения вихрей всегда совпадает с направлением вращения плазмы, за исключением случая 叫Се < 0, g | »|ОЕ |.
При достаточно большой силе тяжести угловая скорость движения вихрей С , согласно (3.128), может принимать следующие значения:
謂許『 。问
Желобковые вихри, как это следует из (3.131), могут существовать только в таких цилиндрических плазменных ловушках, в которых сила тяжести направлена по радиусу от оси симметрии ловушки, g0 >0. Так как сила тяжести моделирует кривизну силовых линий, то последнее условие означает, что главная нормаль к силовым линиям должна быть направлена к оси цилиндра [109]. Заметим, что в поле тяжести такие вихри могут существовать и в отсутствие вращения плазмы.
При учете дрейфовых эффектов из-за конечной температуры ионов вместо соотношения (3.131) для угловой скорости С получаем выражение
e = %+丄叫±丄叫+，(3.132)
2пого р % 丿
из которого видно, что желобковые вихри возможны также и в случае, копа сила тяжести направлена в отрицательном направлении, g0 > -По^р2^ /(8п(0)а2) Когда коэффициенты ЛЕ и Ag являются величинами одного порядка, угловые скорости вихрей определяются из уравнения (3.128).
Уравнения (3.125), (3.126) при a/R т 0 переходят в решения дипольных вихрей, движущихся в цилиндрическом плазменном столбе, поэтому проведенный анализ применим также и к такому типу вихрей. Анализ допустимых значений параметров желобковых дипольных вихрей в работе [190] некоррек-
так как параметры таких вихрей не зависят от электронной температуры. Последнее следует также из того, что в исходную пару уравнений работы электронная температура не входит.
(3.133)(3.133)Для дрейфовых вихрей из уравнения, связывающего угловую скорость движения С с параметрами вихря, которое согласно (3.118) выглядит сле- ду^ошим образом:
(3.133)
(3.133)
l-p?P2/a2>
видно, что при |(o.J << |Се| все дрейфовые вихри движутся примерно с одной и wg же угловой скоростью Се . Исключение представляют вихри с характерным размером порядка ларморовского радиуса р0, рор / а ~ 1, для которых величина угловой скорости может изменяться в довольно широких пределах. В противоположном случае 1d©I >>|%丨 Уповая скорость вихрей от С практически не зависит. Причем скорость движения этих вихрей может совпадать с фазовой скоростью линейной моды (〜V>e (1 - k：p^) ^ и терять часть своей энергии на излучение, поэтому реализация стационарного состояния может затрудняться.
Итак, мы показали, что в плазменных ловушках с цилиндрической геометрией может существовать новый тип вихрей ——радиальные вихри. Полученное решение наряду с уже известным антисимметричным слагаемым содержит дополнительное осесимметричное, физический смысл которого заключается в том, что оно «изгибает» траекторию движения вихря, заставляя его двигаться по кругу. Наличие этого слагаемого имеет принципиальное значение, так как уединенная волна, движущаяся по криволинейной траектории, не может состоять из пары вихрей равной интенсивности. При неизменных размерах вихря увеличение осесимметричного слагаемого приводит к уменьшению радиуса кривизны траектории движения. Таким образом, форма траектории движения вихря определяется его внутренним строением.
Из-за существования в решении осесимметричного слагаемого уединен- ная волна представляется в виде одиночного вихря или пары вихрей разной интенсивности. Когда размеры вихря значительно превосходят радиус кривизны траектории движения, a/R, осесимметричное слагаемое превосходит антисимметричное, и решение представляется в виде одиночного вихря (мо- нополь). В зависимости от направления движения в системе коорданат, свя- занной с вращающейся плазмой, одиночный вихрь является циклоном или антициклоном. Согласно (3.125), (3.126), вихри, вращающиеся против часовой ^елки (циклон), движутся по часовой стрелке, co = Q-QE >0, в системе ^ординат, связанной плазмой, а антициклоны ——против часовой стрелки. При уменьшении отношения a/R , когда осесимметричное слагаемое сравни- ^ется по порядку величины с антисимметричным, решение представляется в ВиДе пары вихрей разной интенсивности. Является ли более интенсивный
вихрь в этой паре циклоном или антициклоном, зависит от направления дви< жения пары вихрей относительно вращающейся плазмы, как и в случае од匕 ночного вихря. В другом предельном случае, когда размеры вихря значительн， меньше радиуса кривизны траектории движения, решение описывает пар* вихрей равной интенсивности (дипольные вихри).
Скорость вращения частиц в вихре (см. (3.125), (3.126)) сравнима или боль* ше скорости его распространения, поэтому, как и в случае дипольных вихре， (см. разд. 1.4), существует группа захваченных частиц, перемещающихся вмес入 с вихрем. В связи с этим можно предполагать, что такие структуры шрают в蛛. ную роль в процессах переноса частиц и тепла в плазменных ловушках.
Динамика нелинейных непотенциальных волн
14
в цилиндрических плазменных ловушках
Электромагнитные структуры альфвеновского типа в однородной плазме, как отмечалось в разд. 3.2, представляют собой вырожденный случай двупотенциальных вихрей. Это обстоятельство обусловлено спецификой альфве- новской ветви колебаний однородной плазмы (3.3)-(3.5) и выражается в степенном пространственном спадании поперечных электрического и магнитного полей вихрей.
Рассмотрим, каким образом модифицируется пространственная структура волн альфвеновского типа при наличии неоднородности плазмы, кривизны силовых линий равновесного магнитного поля и конечного ларморовского радиуса ионов. При этом линейный спектр колебаний определяется дисперсионным уравнением (3.6). Это уравнение описывает дрейфово-альфвеновскис волны в плазме с конечным ларморовским радиусом ионов (при g = 0), дрей- фово-желобковые волны (при kz =0) и дрейфово-баллонные возмущения. Видно, что для корректного описания динамики электромагнитных волн альфвеновского типа в такой плазме необходимо использовать кинетический подход или построить гидродинамику, включающую наряду с ионно-дрейфовыми эффектами (〜kyV#j) и дисперсионные эффекты порядка kjp；.
В работах [195, 196] установлено существование электромагнитных дрейфово-альфвеновских дипольных вихрей в неизометрической (< >> 工) плоской плазме. Однако, как уже отмечалось в разд. 3.3, представляет интерес исследование вопроса о возможности существования и специфики электромагнитных структур в цилиндрическом плазменном шнуре. Аналогичная задача ставилась в работе [197] для плазмы с холодными ионами (Т；空 0 ), но при получении решения совершался переход к плоской конфигурации. По-
14 См. [193, 194].
зтому эти вихри существуют только на периферии плазмы и по структуре нИЧем не отличаются от рассмотренных в [195, 196] дипольных вихрей.
Ниже будет построено новое решение для электромагнитных возмущений тИпа (3.6). Пространственная структура уединенных волн существенно отличается от ранее изучавшихся дипольных вихрей, что обусловлено цилиндрич- ностью плазменной конфигурации. В отличие от [195, 1960], мы учитываем также эффект конечного ларморовского радиуса ионов (〜kjр；). С этой целью будет использована новая система уравнений двухжидкостной магнитной гидродинамики. Новые структуры изучаются во вращающемся плазменном ни- лицдре, который находится в радиальном поле тяжести. Тем самым учитываем дрейфово-баллонные эффекты.
Дрейфово-альфвеновские и дрейфово-баллонные нелинейные структуры
Как и в разд. 3.3, рассматриваем цилиндрический плазменный шнур, помещенный в продольное магнитное поле Во и поперечное электрическое поле Ео = -QEBor/c (% = const —уповая скорость вращения плазмы; равновесная плотность плазмы — п0 = п0 (г)). Двухжидкостная магнитная гидродинамика в форме Брагинского [175] не позволяет корректно учесть дисперсию электромагнитных волн альфвеновского типа (3.6), обусловленную ионной температурой. В-работе [198] была получена так называемая дисперсионная ионно-дрейфовая гидродинамика, которая свободна от указанного недостатка, поэтому в качестве исходных мы берем уравнения из этой работы. (Заметим, что аналогичная гидродинамика может быть построена и эвристическим способом, представленным в разд. 3.2.1). Для простоты мы ограничимся случаем плазмы с однородной температурой, VTj = VR = 0. Тогда уравнения непрерывности и продольного Движения электронов записываются следующим образом [193]:
^-n + VEVno=O,(3.134)
dt
丄 А = 0,(3.135)
dt 4ле
ЗА . с 认NA 「广
+ Пр — + сопе — + eV 11 q at e曲 ne eg巾匸
一咼立=
4AA 丄 А. 5e dt
(3.136)
Здесь COpe =(4тте2no ^e)1 2
―поляризационная частота электронов, возму-
Генная плотность п представлена в виде n = n + nd , где n, nd ——«дрейфовая» н Дисперсионная части возмущения плотности. Разделение возмущения плотно-
сти на «дрейфовую» и дисперсионную части удобно проводить при n » nt Операторы d0 /dt и % имеют следующий вид в полярных координатах г. В •
В「М計 Ve 嘖[Е,В/В「М計 Ve 嘖[Е,В/
В「М計 Ve 嘖[Е,В/
В「М計 Ve 嘖[Е,В/
+++^^<Hv([V(no+n),V]zV9) + ^+^^<Hv([V(no+n),V]zV9) + ^dTdTWq=0・Wq=0・(3.139)(3.139)
+
+
+^^<Hv([V(no+n),V]zV9) + ^
+^^<Hv([V(no+n),V]zV9) + ^
dT
dT
Wq=0・
Wq=0・
(3.139)
(3.139)
Е, В丄一электрическое и поперечное магнитное поле волны,
®ne =-cTcaen/(eB0) (aen = r'^lnn 0/ст)
—дрейфовая угловая скорость элевстронов. Трехмерное уравнение замыкания токов в дисперсионной ионно-дрейфовой гидродинамике (для мелкомасштабных возмущений) имеет вид:
(3.138)
где r =卜丿(1^3^)) — ларморовский радиус ионов, Сд = Вд/(4яп0т,), Poi =n0Tj — ионное давление, Wo = j(mvl/8)fdv — момент четвертого порядка, который для максвелловской функции распределения частиц f равен Wo = пТ2 и определяется из уравнения
Система уравнений (3.134)-(3.139) имеет интеграл движения [194]
总心丄屮）2-%®g盡!? +总心丄屮）2-%®g盡!? +(3.140)(3.140)
总心丄屮）2-%®g盡!? +
总心丄屮）2-%®g盡!? +
(3.140)
(3.140)
加орн〃 имеет смысл энергии возмущений. Приведенная система уравнений ]34)43・139) является исходной для анализа нелинейной динамики дрейфо- во-альфвеновских волн (при g = 0) и дрейфово-баллонных волн (приg н 0) в цилиндрических плазменных ловушках. Для краткости ниже оба типа волн будем называть альфвеновскими.
Уравнения для стационарных нелинейных волн
Преобразуем полученные в пункте (3.4.1) динамические уравнения для стационарных уединенных волн, движущихся по азимулу цилиндра с угловой скоростью С на расстоянии R от оси цилиндра и со скоростью aRQ вдоль оси z；iB0 (a = const). С этой целью положим все величины зависящими от двух координат г и т| = 0 - Qt + az. При этом уравнение непрерывности для «дрейфовой» части возмущения (3.134) имеет решение
(3.141)(3.141)А 1 5no с n =——;rф,
(3.141)
(3.141)
Г аг Во(С-Се)
если множитель г-15п0 /5г является медленной функцией по сравнению с потенциалом вихря ср . В качестве характерного размера вихря будем считать величину d, Зф/йг =(p/d, тогда это условие имеет вид:
(3.142)(3.142)
(3.142)
(3.142)
Для определенности будем считать, что равновесная плотность распределена по г^ссовскому закону п 0(г) = п(0)ехр(-г2 /播)，(n(O)= const). В системах с таким профилем плотности размеры вихрей, согласно (3.142), должны удовлетворять условию dvj, что согласуется с условием мелкомасштабности возмущений.
(3.143)(3.143)Аналогичным образом, из уравнения (3.139) для момента четвертого порядка находим величину
(3.143)
(3.143)
С-%
Где coni =-2cT0i /(eBotQ j — угловая дрейфовая скорость ионов в системах с гауссовым профилем плотности.
Дисперсия альфвсновских колебаний при me / mj < рР < 1 определяется Гаднентом давления, поэтому в уравнении продольного движения (3.136)
пренебрегаем инерцией электронов (рР — отношение давления плазмы к лав. лению магнитного поля). При этом, переходя в уравнениях (3.135)-(3.138) к координатам г, т], с учетом (3.142), (3.143) имеем [193, 194]:
(3.144)
(3.145)
(3.146)
хде шпе =2cTe/^eB0i^j, go = Q-Qe; в уравнении (3.146) положено, что сила тяжести пропорциональна расстоянию от оси цилиндра g = gor/i^ (g0 = const),
операторы D и D.| определены соотношениями
3 с if5ср 5 5q> 5 Амм I■■ ■—«ММ* I
(3.147)(3.147)5n соВоМйгЭб 50 Sr 丿'
(3.147)
(3.147)
11 dr\ aB0 rt йг 36 SO Sr
Систему нелинейных уравнений (3.144)-(3.146) решаем методом векторного интегрирования (см. гл. 1). Уравнение (3.144) удовлетворяется соотношением
Подставляя (3.148) в (3.145), находим
(3.149)(3.149)соср =
(3.149)
(3.149)
те ро=(те/(т^))1/2те ро=(те/(т^))1/2ас(
те ро=(те/(т^))1/2
те ро=(те/(т^))1/2
—ионный ларморовский радиус по электронной
температуре. При комбинировании (3.145), (3.148), (3.149) из (3.146) посрсд-
ьвом векторного интегрирования получаем линейное уравнение для вектор- потенциала А:
р； А： А - (о + ае；р；) А丄 А + ае； А +
+ с/а - р込丄А -；аВ0г2 -d] = 0.(3.150)
Здесь С】и d' — произвольные постоянные,
忠；="3—т (2① + Се ) Се + ~SCO [rg忠；="3—т (2① + Се ) Се + ~SCO [rg(3.151)(3.151)
忠；="3—т (2① + Се ) Се + ~
SCO [rg
忠；="3—т (2① + Се ) Се + ~
SCO [rg
(3.151)
(3.151)
В случае рР < те / т^ дисперсия альфвеновских колебаний определяется продольной инерцией электронов, поэтому в уравнении (3.136) пренебрегаем возмущением плотности, nd » 0 . Тогда в координатах г, г| (3.136) принимает вид:
寿5 =0T同予 - A), (3.152)
а уравнения (3.144), (3.145) остаются в силе. Интегрируя эту систему аналогично вышерассмотренному случаю, приходим к уравнению вида (3.150) с коэффициентами
р；=」-М，讲=色③ р；, (3.153) ①一①ne We ①
а о и ге； остаются теми же самыми, что и в (3.151).
Таким образом, уравнение (3.150) описывает стационарные альфвеновские волны в неоднородной плазме конечного давления (т© /т】v Рр v 1) с параметрами (3.151)ив плазме низкого давления(рр <me/mj)c параметрами (3.153).
Локализованные альфвеновские структуры
Перейдя в полярные координаты в системе волны (см. разд. 3.3.2) (далее &трих у г', & опускаем), решение уравнения (3.150) представляем в виде:
(3.154)(3.154)A(r,O) = aBoa2 A0(r) +—A!(r)sin0 ,
(3.154)
(3.154)
где внутри границы (г < а)
А《)= 1 +- + diJi (yr/aJ + djl! (Xr/a),
I Y入丿a
2(3.155)
Ao(r) = No +； l + ^^), + NiJo(yr/a) + N2l()Rr/a),
а вне границы (r a)—
Al(r) = E1K1(p1r/a) + E2Kl(p2r/a),
<(3.156)
A0(r) = M1K0(p1r/a) + M2K0(p2r/a).
Здесь Jn, In, Kn (n = 0,1, 2)— функция Бесселя и модифицированные функции Бесселя первого рода, соответственно. Выражения для постоянных величин Е!, Е2, ^, d2, М,, М2, No, Nj, N2 определяются из условия сшивки решения (3.154) на сингулярной линии г = а и приведены в приложении. Поле (3.154) локализовано в пространстве (т. е. является вихрями) при условии р^2 > 0» где
(3.157)(3.157)(3.158)(3.158)$ =表｛(。+蛔)土[(0+暗》4暗:]
(3.157)
(3.157)
(3.158)
(3.158)
Видно, что такие решения существуют, если
®g >0, р2 >0,ь + aegp^ > 2aegp2 •
Первое из условий (3.158) означает наличие желобковой неустойчивости в линейном приближении (gaen < 0), а остальные условия можно рассматривать как ограничение на интервал значений угловых скоростей движения волн. Величины у и 入 определены уравнениями
‘2 Q + a2‘2 Q + a2(W+Cjp； I 卜+ 便"&叫2 吟+Ci(W+Cjp； I 卜+ 便"&叫2 吟+Ci2p；2p；"(K+Cjp；"(K+Cjp；1/21/22p；2p；% +(畛+Cjp；% +(畛+Cjp；VVP2P2ш 3159)ш 3159)哈С1P2哈С1P2
‘2 Q + a2
‘2 Q + a2
(W+Cjp； I 卜+ 便"&叫2 吟+Ci
(W+Cjp； I 卜+ 便"&叫2 吟+Ci
2p；
2p；
"(K+Cjp；
"(K+Cjp；
1/2
1/2
2p；
2p；
% +(畛+Cjp；
% +(畛+Cjp；
V
V
P2
P2
ш 3159)
ш 3159)
哈С1
P2
哈С1
P2
Из условия непрерывности третьей производной по г потенциала следует дисперсионное уравнение вихря
(BP+ LG)优+力侬-饼) +(GB2+LBJ(入2 削似+y2)_
(3.160)(3.160)-(LBz+GBj 卜2+0机炉倒) = 0,
(3.160)
(3.160)
где в,=к2(р1)/(р1к1(р1)), в2=к2(р2)/(р2К1(р2)),
G = J2(Y)/(yJi(Y))，L = I2(a)/(XI1(X)).
учитывая (3.157), (3.159), заключаем, что эти уравнения можно рассматривать так же, как уравнение для константы С】,как функции о, ае^р^Рг или, в итоге, как функции a, Q, а. Зная значение С】,с помощью (3.157), (3.159), (П.2)-(П.8), полностью определяем структуру вихря (3.154). Вихрь характеризуется тремя параметрами a, Q, а. Подставляя (3.154) в (3.149), (3.148), (3.141), (3.140), можно найти распределения возмущенной плотности, электрического потенциала и энергии волн.
Итак, показано, что в цилиндрических плазменных ловушках электромагнитные волны альфвеновского типа (3.6) самоорганизукхгся в виде нового типа двумерных вихревых структур (3.154), (3.149). Рассматривалась плазма как конечного давления me /rrij < РР < 1, так и низкого давления рр < me / rrij. Решение имеет более высокую степень гладютсти, чем ранее изученные вихревые структуры. Требование непрерывности накладывалось иа А, ЗА / Эг, 8AlА / 决 и А：А при г = а, поэтому решение (3.154) удовлетворяет уравнению (3.150) при всех г, в том числе при г = а . При указанном выше выборе параметров, согласно (3.149), для рассматриваемых слабодиспергирующих волн непрерывными функциями оказываются и ф, А丄ср, A j(p. Численные расчеты показывают существование решения дисперсионного уравнения (3.160). Поле волны состоит из одиночного монополя или пары вихрей неравной интенсивности, движущихся по круговой траектории, вдоль азимута. В зависимости от направления движения в системе координат, связанной с вращающейся плазмой, одиночный монополь и более интенсивный вихрь в паре являются антициклоном или циклоном.
Анализ условий существования структур (3.158) показывает, что для любой частоты вращения плазмы QE существует область допустимых значений параметров вихрей. Причем волна может вращаться как вдоль, так и против направления вращения плазмы (см. также разд. 3.3.3) Характерные размеры структур могут быть произвольными по отношению к ларморовскому радиусу ионов, они ограничены лишь условиями d«i()и диссипативными эффектами (об этом см. гл. 5). На бесконечности потенциал волны спадает по закону Г"Р2 ехр(-рг/а), т. с. сильно локализован в пространстве.
Заметим, что изученные выше нелинейные уравнения (3.144)-(3.146), (3.152) являются обобщением целого класса уравнений, описывающих дина-
мику волнового движения в замагниченной плазме. Рассмотрим некоторые частные случаи уединенных структур.
Электростатические вихри. В случае потенциальных колебаний А 三 с в пренебрежении ионной дисперсией (к：р?тО)и а = 0, система уравнений (3.144)-(3.146) описывает желобковые вихри, а при 工 тОнанО — элек- тронные дрейфовые вихри, рассмотренные в разд. 3.3.1.
Рациональные вихри. В случае малой кривизны магнитного поля, ко、 гда дисперсионные члены преобладают над членами, связанными с силой тяжести g, один из корней модифицированного дисперсионного уравнения (3.157) обращается в нуль, Р2 = 0, а 氏 нО. Это приводит к тому, что во внешней области вихря наряду с экспоненциально спадающей частью решения появляется, как и в случае однородной плазмы, член, спадающий лишь степенным образом. В результате (в отличие от случая однородной плазмы) энергия вихря становится бесконечной. Учитывая, однако, слабую кривизну, можно устранить указанный недостаток решения путем обрезания интеграла энергии при некоторых конечных значениях г. Дисперсионное уравнение вихря (3.160) переходит при g = 0 в соответствующее соотношение для альфвеновских вихрей в однородной плазме (см. (3.96)).
Дрейфово-баллонные вихри. Еще один частный случай соответствует бездиснерсионным альфвеновским волнам при наличии кривизны магнитного поля (р| -> 0). Соответствующие вихри будем называть дрейфово-баллонными. Характерная особенность этого типа вихрей — отсутствие продольного электрического поля Е2 = 0. В случае стационарных вихрей это означает ——
A = acq>/u. (3.161)
В результате вихри могут быть описаны одним потенциалом 屮(что и делалось в разд. 3.1). Переходя в (3.157) к пределу р^ тО, получаем (с учетом aejp； «о)
「2 2
9任『=2…2 …TT，伏一8 (3.162) u —и% -а сА
(ср. с (3.20)). Аналогично, во внутренней области вихря величина 入 т з (см. (3.159)). В такой ситуации коэффициенты Е2= d2=0, Е】=1, 4=一圻// В результате решение, описываемое соотношениями (3.154)-(3.156), превращается, как и следовало ожидать, в решение однопотенциального вихря (см. (3.125), (3.126)) (а в случае плоской плазмы решение переходит в обычное решение Ларичева—Резника; см. разд. 3.1).
Заметим, что в отличие от альфвеновских и дрейфово-альфвеновских вихрей, которые требуют описания в рамках двухжидкостной гидродинамики,
е^фово-баллонные вихри, являющиеся обобщением баллонных вихрей 总 разд. 3.1) с учетом ионно-дрейфовых эффектов, могут быть исследованы ；приближении одножидкостной гидродинамики. При этом должны быть уч- •рены инерция и бесстолкновительная магнитная вязкость ионов.
Приложение к разделу 3.4
Значение констант, входящих в решение (3.154). Мы строим регуляр・ ное уединенное решение уравнения (3.150). При этом с необходимостью следует условие для потенциала на сингулярной линии
А|г=а - р? А± A|r=a = Ra sin 9 +1 аВ0а2 + d.(П.1)
Здесь d = ac(d' + ；aBoR2)/co. Требуя непрерывности производных потенциала А вплоть до четвертого порядка и учитывая (П.1), находим следующее значение коэффициентов решения (3.154):
+ Bj 俨 + 入2 ) + *仔炉 + p2p2](L-G)],(П.2)
X[2L0G0 h2 +/)-a力 + Y2Go )] + ^7^[l2。仍 + f ) +
+LoBjo 优-Bj) + GoBjo(y2 +財)]+ ^2 [^Pj®jO (^2Ц +丫幻0)+
+(2Bjo+l)(y4Go-炉 L° 卜 p2Bj0 仅 2 +『川，(П.З)
Uej = l, 2,
Lo = L (入)/(叫(入))，G()= А(у)/("о(у)),В】。=К】 (р1)/(р1Ко 他))，В20 = К】 (₽2)/(Р2К0 (р2)),
4=卜广+片)(保B2一仰bJ+
+(做-叫[g(储 + В； + 2寸一』)-L(|3； + 0升 Y2 -2入2)],
△2 =1-£lP^2_P(l-G)(P2 ~р?) + (в2 ~B1)(Y2 +/)]'
dl = A A 峭口 + 曾)-В?卜/ +р2)-
(П.4)(П.4)(П.5)(П.5)-L(₽2 - ₽? ) + p-(Y2^2 + ₽?₽2)(B2 - В])]；
(П.4)
(П.4)
(П.5)
(П.5)
d2=^h2G 闻
-G(餞一明 + 冬伊2 +p2p2)(B2_B1)],
++хх{盲S)佃借味j -中仰8乂也+也) +(2Bjo + l)(y4G0- Yl。) - pjBj0 优 + f)] +
+
+
х
х
2依2+曾吼C丿 依2」
X[l°Go 优 + 制十 Bjo 优一喟 + G0Bj0 俨 + 竹)]} + +炉3'?儲[侬B20-P?B1O)(X2LO +Y2Go) + +(B20 - Blo)(y4G0-炉Lo) + B20B10 侬-笛)俨 + Y2)] +
++223『九2 倂-p2)r2L0G0 卜2 + у2 卜卜2l° + у2Go )] •3『九2 倂-p2)r2L0G0 卜2 + у2 卜卜2l° + у2Go )] •(П.6)(П.6)
+
+
2
2
3『九2 倂-p2)r2L0G0 卜2 + у2 卜卜2l° + у2Go )] •
3『九2 倂-p2)r2L0G0 卜2 + у2 卜卜2l° + у2Go )] •
(П.6)
(П.6)
>[j=i,2人 а 丿 у а
XXx[2G0Bj0（X2 -Р- ） + X2L0 +p?Bj0] + —
X
X
LУ A +P1P2
（П.7）（П.7）xj^L0B20 （九2 -₽2）_ LoB]（）卜2 —饼）-^ю®20 侬—圻）]+ + 2B10B20（P2 ~P? ） + p2®10 ~P?®2oj-
（П.7）
（П.7）
У 人 +P1P2
（П.8）（П.8）x[GqB20 （『+ 储卜 G0B10 卜2 + 饼）+ B10B20 （能-仰）]+ +2BioB2。倂一佛）+ 0汩20-位Biol
（П.8）
（П.8）
Самолокализация волновых возмущений в ограниченных плазменных ловушках
В предшествующих разделах установлена возможность существования разнообразных уединенных волновых структур в магнитоактивной плазме. Для построения таких решений существенными являются предположения о сильной пространственной локализованности структур и неограниченность Разменного объема. Эти предположения и затрудняют, по-видимому, экспериментальное обнаружение указанных структур.
Однако в реальных лабораторных условиях плазменные конфигурации "Меют конечный размер по длине и сечению. В связи с этим, естественно,
возникает вопрос об адекватном описании влияния ограниченности плазме^, ного объема на существование и специфику вихревых структур во вращаю, щемся цилиндрическом плазменном шнуре конечного радиуса. Исследование этого вопроса является целью данного раздела.
Таким образом, будем рассматривать динамику волнового возмущения й цилиндрическом плазменном шнуре конечного радиуса R, помещенном а продольное магнитное поле Во, радиальное электрическое поле Ео и поле тяжести g(r). Равновесная плотность плазмы распределена по гауссовскомх закону п0(г) = п(0)ехр(-г2 !^.
Электростатические регулярные структуры
Длинноволновые дрейфовые вихри. В плазменном цилиндре радиуса R могут возбуждаться потенциальные дрейфовые колебания (E = -V(p. где V = етд/dr + eQr~}d/дВ, ег, ее — единичные орты по радиальному и азимутальному направлениям, соответственно) с характерными частотами о) и продольными волновыми числами к и，удовлетворяющими условию (Е /mJ”？ « ш/к|| «(冗 /те)"?. Эволюция этих волн на нелинейной стадии описывается уравнением Хасегавы—Мимы (см. (3.110)) [125]
~(Ф-А1Ф)+ Ое-^(Ф- А 丄①)+= {①,А 丄①} •(3.163)
Здесь время, длина и электрический потенциал Ф обезразмерены на ионные гирочастоты ш^ = еВ0 /(mg), гирорадиус р0 = Те /(т；嗚广 и вели-
чину「/ е, соответственно,
®ь}=；［豕为-利^®ь}=；［豕为-利^а 1 6 Г За) 1 82aa丄"石[卞尸3讀，а 1 6 Г За) 1 82aa丄"石[卞尸3讀，
®ь}=；［豕为-利^
®ь}=；［豕为-利^
а 1 6 Г За) 1 82a
a丄"石[卞尸3讀，
а 1 6 Г За) 1 82a
a丄"石[卞尸3讀，
Ищем решение уравнения (3.163) в виде двумерной уединенной волны, движущейся по азимуту с постоянной угловой скоростью Q без изменения формы. Вводя автомодельную переменную г| = 0 - Qt, посредством векторного интегрирования (см. di. 1) сводим (3.163) к линейному уравнению
(3.164)(3.164)А1Ф + Х2Ф = (И + т2+2/1^)у + С1,
(3.164)
(3.164)
где 九2 =l-2/(r&6), 6 = С-Се，С】一постоянная, определяемая из гра" ничного условия.
рис. 3.5. Трехмерный график безразмерного потенциала Ф(г,т))/Ф° (3.166) (а) и изолинии функции Ф(Г,Т])/Ф° (б) при т = 4, п = 1, у = 0,5, ап/Ф° =0,2, R = l. Видно, что образуются четыре пары (так как т = 4) вихрей циклон-антициклонного типа неравной интенсивности
Локализованное решение двумерного уравнения Гельмгольца (3.164) имеет вид:
(3.165)(3.165)Ф (г, т]) = Ф® • Jm (Хг) (cos mr| + у sin тт|) ++(С + CI? + 2 / Iq )—^- + С?.
(3.165)
(3.165)
Здесь ①* = const характеризует амплитуду волны, С2 = const.
Предположим, что около границы плазменного шнура г = R отсутствует радиальное движение плазмы и электрический потенциал равен нулю (см. гл. 1, условия (1.43)). Так что окончательно имеем:
① & П)=噁• Jm [% ^(cos mi] + у sin mr|) + an (r2-R2)^(3 • 166)
где an =(Q + Qk^ /R2 +2/io)R2 /2k^; kn —нули функции Бесселя Jm; m> 1.
При увеличении параметра ап вихрь теряет симметрию и переходит в крупномасштабное азимутальное течение (см. рис. 3.6).
Решение (3.166) описывает локализованную в ограниченном плазменном цилиндре дрейфовую волну (вихрь), движущуюся в азимутальном направлении с постоянной угловой скоростью Q>QE+2poG)Bi/iQ . Вихрь характеризуется параметрами ①^, С, kn, у. В отличие от дипольных вихрей, рассмотренные
Рис. 3・6・ Изолинии безразмерного потенциала при m = 4, п = 1, у = 0.5, а/*8, R = l. В этом случае вихри с отрицательным потенциалом (циклоны) исчезают и образуется крупномасштабное зональное течение, в которое вовлечен весь плазменный объемРис. 3・6・ Изолинии безразмерного потенциала при m = 4, п = 1, у = 0.5, а/*8, R = l. В этом случае вихри с отрицательным потенциалом (циклоны) исчезают и образуется крупномасштабное зональное течение, в которое вовлечен весь плазменный объем^+|°е +^+|°е +(3.167)(3.167)6 " евопо г аг Jae 1<р~6 " евопо г аг Jae 1<р~
Рис. 3・6・ Изолинии безразмерного потенциала при m = 4, п = 1, у = 0.5, а/*8, R = l. В этом случае вихри с отрицательным потенциалом (циклоны) исчезают и образуется крупномасштабное зональное течение, в которое вовлечен весь плазменный объем
Рис. 3・6・ Изолинии безразмерного потенциала при m = 4, п = 1, у = 0.5, а/*8, R = l. В этом случае вихри с отрицательным потенциалом (циклоны) исчезают и образуется крупномасштабное зональное течение, в которое вовлечен весь плазменный объем
^+|°е +
^+|°е +
(3.167)
(3.167)
6 " евопо г аг Jae 1<р~
6 " евопо г аг Jae 1<р~
нами уединенные волны содержат в*, сокие гармоники по азимухальным во.ь новым числам (m = 1 .2, 3,...), и “、 локализация обусловливается реальны, ми граничными условиями на край плазменного шнура (см. рис. 3.5а, б) Азимутальное волновое число m опре- деляет количество вихревых пар в структуре.
Желобковые вихри. Согласно разд. 3.3, в цилиндрическом плазменном шнуре конечного радиуса R с неоднородной плотностью п0 (г) возбуждаются электростатические дрейфово-же- лобковые волны. Причем динамика возмущений описывается системой нелинейных уравнений (в полярных координатах г, 0 ) [199]
Ег^гЭОrg Jo6
(3.168)(3.168)= ^[{А1Ф,п} + ^ф,7п}] + ^{А1Ф}ф} + 2ПЕ{п,ф}. ев。
(3.168)
(3.168)
Здесь п ——возмущенная часть плотности плазмы, ср ——электростатический потенциал.
Уравнения (3.176), (3.168) сохраняют интеграл энергии
讓+红,
(Vq))2+G0aen
(3.169)
1 ainn。
г Эг
Вводя безразмерные переменные
г —> -—-, Piг —> -—-, PiФ = ^,
г —> -—-, Pi
г —> -—-, Pi
SBi
в стационарном пределе из указанной системы уравнений следует:
Д(жп+Пп) = {Ф,п),
(3.170)
={ A 亠①,Ф + п} + {7Ф,7п}ч-ц{п,Ф}.
(3.171)
Решение уравнений (3.170), (3.171) будем искать в видед1Ф = -Х2Ф + Г1(г),n = 6O + f2(r),
(3.172)
(3.173)
где 入 и 3 ——произвольные константы. Подставляя (3.172), (3.173) в (3.170), (3.171), находим, что
0(г)= ~у(ж8 +ц^) + ^2 ~ + С1э
(3.174)
СЬС2 ——константы, которые определяются из граничного условия.
При однородных граничных условиях уравнения (3.172)-(3.174) имеют решения
①&П)=①^ • Jm(knr/R)(cosmr| + ysinmr|) + +Pn(r2-R2),
n(r,r|) = 6O(r，n)-|(aen+Q6)(r2-R2).
①есь pn 十R2(K+g)/(b + l) + Ck：］/2%・
(3.175)
(3.176)
Полученные решения (3.175), (3.176) описывают локализованный в таз、 менном цилиндре желобковый вихрь, движущийся в азимутальном направлении с постоянной угловой скоростью С . Параметр 6 определяет связь межд\ плотностью плазмы и потенциалом волны.
3・5・2・ Электромагнитные вихревые сателлиты16
В разд. 3.4 были выведены динамические уравнения для электромагнитных волн альфвеновского типа (3.6) во вращающихся цилиндрических плазменных конфигурациях. Вводя безразмерные переменные, представляем эт\ систему в виде:
｛市，叫,｛市，叫,(3.177)(3.177)3百 с 補 1 1 3N0 5Фat e 说 г % 决 ее
｛市，叫,
｛市，叫,
(3.177)
(3.177)
А丄 a = {2,①} + {a,a丄 a},А丄 a = {2,①} + {a,a丄 a},(3.178)(3.178)
А丄 a = {2,①} + {a,a丄 a},
А丄 a = {2,①} + {a,a丄 a},
(3.178)
(3.178)
^ + (CE+5e 鲁+ ^
2
(3.179)(3.179)={А,(ф - N)|-{A,Nd} + 长{①，△丄①}, VTe
(3.179)
(3.179)
oNoN.%% £）（a丄叫靜仲+w）卜Vg等.%% £）（a丄叫靜仲+w）卜Vg等aoao
oN
oN
.%% £）（a丄叫靜仲+w）卜Vg等
.%% £）（a丄叫靜仲+w）卜Vg等
ao
ao
+&{№，6}+{м，а2}+№м、2}+^аа =
(3.180)(3.180)={A, A 丄 A} - 卜,△丄① + ^* Aj(6 + W)}- 一{百,a丄叫一{▽丄百，▽丄叫-2Ce(N,O),
(3.180)
(3.180)
5W c GWc _+Qe_{W,O}.5W c GWc _+Qe_{W,O}.(3.181)(3.181)Здесь введены обозначения:①=虫аТ Те'Здесь введены обозначения:①=虫аТ Те'©CaA©CaA叽叽N = —, n = n0+n + nd, noN = —, n = n0+n + nd, no
5W c GWc _+Qe_{W,O}.
5W c GWc _+Qe_{W,O}.
(3.181)
(3.181)
Здесь введены обозначения:
①=虫аТ Те'
Здесь введены обозначения:
①=虫аТ Те'
©CaA
©CaA
叽
叽
N = —, n = n0+n + nd, no
N = —, n = n0+n + nd, no
время измеряетсявремя измеряетсяв единицахв единицах區,координаты區,координаты
время измеряется
время измеряется
в единицах
в единицах
區,координаты
區,координаты
г —> г/р0,Vc = 2Се, Се —> Се /©Bi,
z — zcObJca， Vg =go/&po 嗚)+ 鑑，
Система уравнений (3.177)-(3.181) является исходной для анализа нелинейной динамики электромагнитных дрейфово-альфвеновских волн (при g = 0), дрейфово-желобковых и дрейфово-баллонных волн (при g * 0) в ограниченных цилиндрических плазменных ловушках. Заметим, что уравнения справедливы как для плазмы низкого давления рР < me / nij (когда дисперсия волн определяется продольной инерцией электронов), так и для плазмы умеренного давления me/mj <РР <1 (когда дисперсия обусловливается градиентом давления). Она обладает интегралом энергии возмущения:
££=|J (VO)2 +(VA)2 -|5-(ДФ)2 +N2 -(1 + N)2 +G0ffinN2 dr, (3.182)
£
£
гдегдеN = 1 + NsG0 =g0/(rgp0coBi®n )•N = 1 + NsG0 =g0/(rgp0coBi®n )•Последний член в (3.182) (а также аналоПоследний член в (3.182) (а также анало
где
где
N = 1 + NsG0 =g0/(rgp0coBi®n )•
N = 1 + NsG0 =g0/(rgp0coBi®n )•
Последний член в (3.182) (а также анало
Последний член в (3.182) (а также анало
гичном выражении для желобковых волн (3.169)) описывает обмен энергией между волной и неравновесной плазмой (田口 工 ° )• В области неблагоприятной
кривизны магнитных силовых линий Goaen < 0, энергия волн может стать отрицательной и, как будет показано в гл. 5, это приводит к усилению волновых структур в диссипативной плазме.
Ищем решение системы уравнений (3.177)-(3.181) в виде двумерной локализованной волны, движущейся по азимуту плазменного цилиндра с угловой скоростью С . С этой целью положим все волновые величины, зависящие от двух координат г и т] = 0 + az - Qt, |а|«1. Для определенности будем считать, что равновесная плотность плазмы распределена по гауссовскому закону No(r) = N(O)exp(-r2/ro )(N(0),г0 = const). При этом исходная система нелинейных уравнений допускает решение в виде:
А 丄①=й|Ф + a2 A + 名"^~ + Cj,
(3.183)
A丄 A — b] A+ £厶+ C?)
(3.184)
VTe1 Гп VTe丿 2
(3.185)
（3」8б）（3」8б）Nd =① + а?А-(ota? + С)~^~+С4,
（3」8б）
（3」8б）
WW3(仙 摄e+强+b+-c/a，3(仙 摄e+强+b+-c/a，44(3.18》(3.18》
W
W
3(仙 摄e+强+b+-c/a，
3(仙 摄e+强+b+-c/a，
4
4
(3.18》
(3.18》
гдегде
где
где
% 二一曰太两i 卧 ® +bJ(Vg*E)+
(3.188)(3.188)+ (aa2+al^)| al +b]-号~b： I ,
(3.188)
(3.188)
Гд — Са? — ccbj, С —(С Ор) / co^j.
Постоянные коэффициенты a, b, С выбираются из условия разрешимости (3.183), (3.184) и из граничного условия на край плазменного шнура г = R .
Уравнения типа (3.183), (3.184), как было показано выше, имеют решение в виде:
①=[ф%т (М) + ①£)Jm (5)](cos mn + Y sin mn) + Q] ^ + C',(3.189)
A = [a£)〃(％r) + A^Jm (X2r)](cos mn + у sin mr|)4-fA1y + C".(3.190)
Здесь Фт, Am, у = const, X1>2 —положительные корни уравнения:
小 2+%)(入2+瓦)+ a^=0.(3.191)
Остальные коэффициенты взаимосвязаны соотношениями:
foi = (а2^А ~EQ )(aibi + а；),
^А1 =_(а1ГА -а2^Ф)(аФ1 +а2) '(3.192)
а^с' + а"” = 2fф],‘Ф1 ® +1) + a2 fAi = 0,
® +1)Ф^+а2А^ = 0,® +1)咪)+а?А^)= 0.
Предположим, что около цзаницы плазменного шнура r = R отсутствует радиальное движение плазмы, электрический потенциал и возмущенная часть плотности равны нулю. Так что
(3.193)
(3.195)(3.196)(3.197)(3.198)(3.199)(3.195)(3.196)(3.197)(3.198)(3.199)亩= -^Ь|Ф+仔+ 6曦卜一R2),亩= -^Ь|Ф+仔+ 6曦卜一R2),
(3.195)
(3.196)
(3.197)
(3.198)
(3.199)
(3.195)
(3.196)
(3.197)
(3.198)
(3.199)
亩= -^Ь|Ф+仔+ 6曦卜一R2),
亩= -^Ь|Ф+仔+ 6曦卜一R2),
①(rE)L=R = A(r，n)L=R =亩(向匕=0,(3.194)
^e V — макроскопическая скорость плазмы. При этом из условия (3.193) следует, что %R =入？R = kn (где kn — нули функции Бесселя Jm), а уравнение (3.194) определяет значения коэффициентов С. Тогда, с помощью (3.191), (3.192) все постоянные величины выражаются через kn, и окончательно имеем:
①二噁Jm (hr/R)(cosтт] + ysinтт])+g% 卜2 _r2),
A = -^^-此 Jm(knr/R)(cosmT] + ysinmT])+；fAi (r2-R2),
Здесь
bi=-(ai +2k3R2),如=計片 士®к： -4к“8)"2
а коэффициенты %】и fM определяются уравнениями (3.192) при а2 =кц/К2.
Решение (3.195)-(3.199) описывает локализованную в ограниченном Плазменном цилиндре альфвеновскую волну (вихрь), движущуюся в азимутальном направлении с постоянной угловой скоростью С. Внутреннее строение структуры характеризуется параметрами 吧，С, у, а (где Ф® определяет амплитуду волны). Поле волны складывается из вихревых сателлитов (т = 1, 2,3,・..)с отрицательной и положительной завихренностью (см. рис. 3.2а, б).
Основные результаты
В настоящей главе установлено существование двумерных векторных структур на различных электростатических и электромагнитных модах в плазменных конфигурациях.
Показано, что нелинейные баллонные электромагнитные волны можно описать с помощью системы уравнений одножидкостной магнитной гидродинамики и свести их к одному уравнению типа Чарни и Хасегавы—Мимы, в рамках которого существуют сильнолокализованные дипольные вихри, Структура состоит из пары вихрей равной интенсивности типа циклон ——антициклон, движущихся прямолинейно. '
Рассмотрены уединенные вихри волн альфвсновского типа. Характерной особенностью рассматриваемых типов волн является их существенная непо- тенциальность, которая выражается в наличии волнового магнитного поля В丄. В отсутствие дисперсии вихри альфвеновского типа (баллонные, дрейфовобаллонные) относятся к однопотенциальным вихрям.
Получены упрощенные нелинейные уравнения, описывающие альфвеновские волны при различных значениях 瓦(me / т i v 许 v 1 и pP <mc/mi) как в однородной плазме, так и при наличии неоднородности плазмы и кривизны магнитного поля. Рассмотрена плазма как с холодными ионами 工 / Т е~>0, так и горячими ионами Ij ® Те. В случае плазмы с горячими ионами возникает вопрос о возможности гидродинамического описания дисперсионных эффектов, обусловленных конечным ларморовским радиусом ионов. С этой целью была построена новая гидродинамика, учитывающая эффекты порядка kjp； как в линейных, так и нелинейных членах. Показано, что в нелинейных альфвеновских волнах сохраняющимися величинами являются энергия и обобщенная энстрофия.
Построены уединенные решения нелинейных уравнений для стационарных бегущих волн. При наличии дисперсии альфвеновские вихри являются двухпотенциальными и имеют более сложную пространственную структуру по сравнению с вихрями Ларичева―Резника. Характерной особенностью альфвеновских вихрей в плоской однородной плазме является степенное спадание поперечных электрического и магнитного полей волны. По этой причине альфвеновские вихри в однородной плазме отнесены к вырожденным двупотенциальным вихрям. Неоднородность плазмы и кривизна магнитного поля приводит к тому, что во внешней области структуры появляются два пространственных масштаба экспотенциального спадания амплитуды электромагнитного поля (р! и р2 в формулах (3.154), (3.156)).
Исследована динамика электростатических (желобковых и дрейфовых) и электромагнитных (дрейфово-альфвеновских, дрейфово-желобковых и дрейфово-баллонных) волн в цилиндрических плазменных ловушках. Показано, что спонганные волновые возмущения в цилиндрических плазменных ловушках самоорганизуются в виде нового типа двумерных структур. Поле волны
1a1aднвается из осесимметричной части и антисимметричных относительно 0cH х вихрей. Симметричная часть вихрей (являющаяся следствием цилинд- оичности плазменной конфигурации) изгибает траекторию, заставляя его дви- %п>ся по кругу в азимутальном направлении. Наличие этого слагаемого имеет принципиальное значение, так как уединенная волна, движущаяся по криво- длнейной траектории, не может состоять из пары вихрей равной интенсивно- 駿(в отличие от дипольного вихря). Уединенная структура представляется в вИДе единичного вихря (монополь) или пары вихрей разной интенсивности. В зависимости от направления движения в системе координат, связанной с плазмой, одиночный монополь и более интенсивный вихрь в паре являются антициклоном или циклоном. Структуры являются сильно (экспотенциально)
локализованными в пространстве.
Установлено, что пакет потенциальных и непотенциальных волн во вращающейся плазме в цилиндрической магнитной ловушке конечного радиуса
самолокализуются в виде вихревых сателлитов, движущихся в азимутальном направлении с постоянной угловой скоростью. Поверхностные эффекты (реальные граничные условия) обусловливают локализацию волновых возмущении в радиальном направлении. Структура представляет собой связанное состояние вихревых сателлитов типа циклон — антициклон. Количество са
теллитных пар в структуре определяется азимутальным волновым числом (т = 1,2,3,...). Для определенных значений параметров плазмы и ловушки
вихревые структуры переходят в крупномасштабное азимутальное течение.
Получены оценки для характерных параметров структур при различных условиях. Численно исследована пространственная структура вихрей. Построены радиальные и азимутальные зависимости потенциалов волновых структур при различных значениях параметров вихря и плазмы.
Скорость колебания частиц в структурах, построенных нами в гл. 2, 3, сравнима или больше фазовой скорости линейных волн,网 N V*; поэтому существует группа захваченных частиц, перемещающихся вместе со структурами. Учитывая, что возмущенная плотность п плазмы связана с потенциалом структуры выражением п/п0 ^еф/Т,изусловия % N V» следует
(3.200)
Ue L п=(а1ппо/^г)т — характерный размер неоднородности среды, к丄一 поперечное волновое число. Согласно [69, 84, 91], коллективные процессы, Удовлетворяющие условию (3.200), являются сильно турбулентными. Итак, рассмотренные нами вихревые структуры являются следствием сильно нелинейных, сильно турбулентных процессов. В связи с этим можно заметить, что исследо- ^ные здесь (а также в гл. 2) вихревые структуры могут играть важную роль в процессе переноса тепла и частиц и тем самым служить структурными элеменТами сильной дрейфовой турбулентности в замагниченной плазме (см. гл. 7).
Глава 4
Устойчивость вихревых структур
В предшествующих главах теоретически было показано существование в плазменных конфигурациях значительного числа различных типов нелинейных пространственно-локализованных стационарных вихревых структур. Такие структуры могут играть фундаментальную роль в проблеме удержания и турбулентности плазмы в магнитотермоядерных установках (см. гл. 6), а также в коллективных процессах магнитосферной и космической плазмы.
Разумеется, строить физические модели того или иного процесса в диспергирующей среде на основе вихревых структур можно только в том случае, если структуры в достаточной степени устойчивы. Поэтому вопрос об устойчивости вихревых структур имеет первостепенное значение.
Заметим, что размерность уединенной структуры часто меньше размерности того пространства, в котором она рассматривается. Таковы, например, одномерные солитоны, двумерные солитоны и вихри в трехмерной плазме, рассмотренные в гл. 2, 3. Следовательно, устойчивость этих структур нужно изучить по отношению к возмущениям, имеющим более высокую, чем сама структура, размерность; например, по отношению к изгибам или перетяжкам. Такие возмущения, конечно, нарушают симметрию структур.
Набор задач устойчивости, точно «интегрируемых» (методом обратной задачи рассеяния) и решаемых вариационными методами (например, методом Ляпунова), ограничен. Зато число не менее важных, но «неинтегрируемых» моделей, представляющих интерес в теории плазменных волн, продолжает возрастать. Поэтому одним из наиболее распространенных методов исследования устойчивости регулярных нелинейных структур в волновых моделях является теория длинноволновых возмущений.
Первый шаг в этом направлении сделан Кадомцевым и Петвиашвили [46], исследовавшими двумерную устойчивость одномерного солитона уравнения Кортевега — де Вриза (КдВ). Один из аспектов такого подхода состоит в том, что при анализе устойчивости одномерных солитонов относительно двух- или трехмерных возмущений используются уравнения, нелинейные члены коюрых являются теми же, что и в соответствующих одномерных уравнениях.
В настоящей главе мы обратим внимание на то, что в проблеме устойчивости нелинейных структур в дисп^гирующей среде могут быть важны эффекты, связанные с векторной нелинейностью. Даже в простейшем случае уравнения (1.1), когда f(х) = 1, g(x) = go +g)x и векторная нелинейность тождественно
0gpащается в нуль в задаче о стационарных солитонах, так как в этом случае А丄①二瓦(Ф), ситуация меняется радикальным образом в задаче об устойчивоЕ солитонов. В этом случае вместо стационарных решений типа А丄①=Т\)(Ф) ^еем дело с решениями типа А丄①=F^(O) + F, причем F^Р(Ф). При этом 回▽①]▽△一① н 0，что и обуславливает нетривиальную роль эффектов век- ^рной нелинейности.
По-видимому, первой работой, в которой изучалась устойчивость солитонОв с учетом векторной нелинейности, явилась статья Петвиашвили и Янь- кова [51]. Авторы исследовали устойчивость солитона волн Россби по отношению к двумерным возмущениям с использованием метода Ляпунова и показали, что одномерный солитон неустойчив, в то время как двумерный «круглый» солитон устойчив относительно рассмотренных возмущений. Примененный в [51] метод Ляпунова не удается, к сожалению, обобщить на случай трехмерных возмущений, а кроме того, результаты отмеченной работы справедливы лишь при постоянстве скорости Россби.
В настоящей главе мы, в основном, используем метод длинноволновых возмущений, предложенный в [46], применительно к задаче устойчивости скалярных вихревых структур с учетом векторной нелинейности.
• Устойчивость магнитозвуковых (М3) солитонов
В задаче о коллективных методах нагрева плазмы и некоторых других задачах физики лабораторной и космической плазмы существенную роль играют магнитозвуковые (М3) солитоны. Они были предсказаны Р. 3. Сагдеевым [15] в 50-х годах при изучении проблемы бесстолкновительных ударных волн в замагниченной плазме. В [15], а также в последующем обзоре [200] шла речь ° солитонах большой амплитуды (магнитное поле волны считалось сравнимым с равновесным магнитным полем), соотвегствующих сильнодисперги- рующим М3 волнам. Затем основное внимание в теоретических исследованиях стало уделяться М3 волнам малой амплитуды со слабой дисперсией. Такие волны оказались интересными не только с физической, но и с математической точки зрения. Последнее в значительной степени связано с тем, что слабонелинейные слабодиспергирующие М3 волны в одномерном приближении описываются известным уравнением Кортевега — де Вриза (КдВ) [11] и вследст- вне этого являются одним из объектов плазменных приложений общих Результатов анализа этого уравнения. Отсюда следует, что проблема устойчи- ^сти магнитозвуковых солитонов связана с про&темой многомерных обобщений уравнения КдВ для М3 волн, т. к. в одномерном приближении солито- 瓯 Уравнения КдВ устойчивы [202].
Целью настоящего раздела является вывод двух- и трехмерных (т. е. так называемых многомерных) уравнений для слабонелинейных слабодисперги- рующих М3 волн и исследование солитонных эффектов, описываемых этим> уравнениями. Таким образом, в данном разделе идет речь, в частности, о мно. гомерных обобщениях уравнения КдВ для случая М3 волн. Впервые в 1970 г проблема многомерных обобщений уравнения КдВ была поставлена Кадо% цевым и Петвиашвили [46]. Указанные авторы сконструировали некоторое двумерное обобщение уравнения КдВ, получившее затем название уравнения Кадомцева и Петвиашвили (КП). В канонической форме это уравнение имее! вид (см. (3.9) обзора Данилова и Петвиашвили [45]):
а fau т/и 々и) ха2иа fau т/и 々и) ха2и(4.1)(4.1)
а fau т/и 々и) ха2и
а fau т/и 々и) ха2и
(4.1)
(4.1)
Здесь U = U(t,x,z) — искомая функция, описывающая волновое поле: t, х, z — время и координаты (предполагается, что все величины соответствующим образом обезразмерены), знаки «+» и «-» относятся, соответственно, к волнам с положительной и отрицательной дисперсией. При такой форме записи уравнение КдВ означает:
(4.2)(4.2)也+u四十吗=0.
(4.2)
(4.2)
at az az3
В [46] отмечалось, что уравнение КдВ описывает широкий класс волн в слабодиспергирующих средах, в том числе М3 волны в плазме. Однако описываются ли М3 волны уравнением (4.1) в работе [46] — не было разъяснено.
Первой работой по проблеме многомерного обобщения уравнения КдВ для волн в замагниченной плазме была работа [50]. В ней рассматривались ионно-звуковые волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля. Авторы [50] показали, что в приближении достаточно сильного магнитного поля такие волны описываются трехмерным уравнением вида (см. формулу1 (3.12) обзора [45]):
(4.3)(4.3)аи ттаи ^иа еи
(4.3)
(4.3)
—-+ и Ч — = —△ I ,》5z 広3丄3z
где z — направление магнитного поля, А± =а2/сх2+а2/ау2;х,у — координаты, поперечные магнитному полю.
Работа [50] стимулировала также исследования по трехмерным ионнозвуковым волнам в плазме с достаточно слабым магнитным полем (в приближении незамагниченной плазмы) и аналогичным типам волн в других слабодиспергирующих средах. На этом пути было получено уравнение вида (см., например, [45]):
a fau ттаи --+ и ~ 6z I 浅 6za fau ттаи --+ и ~ 6z I 浅 6z+孙土AU，+孙土AU，(4.4)(4.4)
a fau ттаи --+ и ~ 6z I 浅 6z
a fau ттаи --+ и ~ 6z I 浅 6z
+孙土AU，
+孙土AU，
(4.4)
(4.4)
g0Topoe, по аналогии c (1.1), было названо трехмерным уравнением КП.
Предшествующая история многомерных обобщений уравнения КдВ была подытожена в отмеченном выше обзоре [45]. Однако авторы [45] не касались случая М3 волн.
Проблема многомерных обобщений уравнения КдВ для М3 волн не при-
влекала внимания предшествующих авторов вследствие ее кажущейся тривиальности, связанной со сходством законов дисперсии М3 волн и ионного звука. Поэтому сложилось представление, что М3 волны, как и ионно-звуковые в плазме со слабым магнитным полем, описываются двух- и трехмерным уравнением КП. Такая точка зрения нашла отражение в работах [203, 204]. Рассмотрим, в какой степени справедлива эта точка зрения. Ориентировку в вопросе о том, сводятся ли двух- и трехмерные нелинейные уравнения для М3 волн к уравнениям КП, можно получить, сравнивая линейные части соответствующих уравнений. Чтобы сконструировать линейную часть уравнений для М3 волн, обратимся к линейному дисперсионному уравнению этих волн, которое в простейшем случае холодной плазмы имеет вид [11]:
^2^ (l + cos0)2 +^2^ (l + cos0)2 +k2c2 cos2 0s嗚.k2c2 cos2 0s嗚.
^2^ (l + cos0)2 +
^2^ (l + cos0)2 +
k2c2 cos2 0
s嗚.
k2c2 cos2 0
s嗚.
(4.5)(4.5). k2c2 cos2 0
(4.5)
(4.5)
(1-COS0) +
Здесь s = 1 + k2c2 / 嗚；s и k — частота и волновое число,
cA=Bo/(47momi)1/2
—скорость Альфвена, Шре = 4欣п° /т©,《=те* /叫一квадраты плазменных частот электронов и ионов, с — скорость света, 0 — угол между волновым вектором и равновесным магнитным полем В 0, которое предпола- тется направленным по z ; т(, тс — массы иона и электрона, ее — заряд зпектрона. Полагая к? = k； +kj +к； , в приближении ку »(kx,kz) из (4.5) получаем
СаСа2spe 2ky 2ky、 2c0pj,2spe 2ky 2ky、 2c0pj,(4.6)(4.6)
Са
Са
2spe 2ky 2ky、 2c0pj,
2spe 2ky 2ky、 2c0pj,
(4.6)
(4.6)
Глава ч
Заменяя со и к операторами со—>i^/^t, кт-iV , действующими на некото. рую функцию ср, характеризующую волновое поле, с помощью (4.6) коне；, руируем искомое линейное уравнение для ср:
"2 е с2 а3 а2(р з? < с2 〕
石仁滉+2可+羸詞屮=-証一書,显犷卜(47
Вместо у вводим автомодельную переменную
T] = y + az-ut, (4.8)
iTie и — скорость распространения волн вдоль у (не путать это и с функцией U, фигурирующей в канонических нелинейных уравнениях (4.1 )-(4.4)). u/а — скорость волн вдоль z (полагается |а|«1). Тоща (4.6) сводится к виду：
д ( 2 д 6 с2 炉]
=一费一收而+風蔬豆) (49)
Здесь е = 1-Сд ^l + a2j/u2 — малый параметр, имеющий смысл диэлектрической проницаемости, нормированной соответствующим образом (предполагается u » сА), а2 = а2т{/те .
Видно, что в случае 5/5г| > coPi /с (т. е. при ky >copi/c) М3 волны не описываются трехмерным уравнением КП. Поэтому ясна необходимость вывода трехмерного уравнения для М3 волн с произвольным ку /с, что и делается в разд. 4.2. При этом учитывается не только обычная (скалярная) нелинейность, фигурирующая, например, в уравнениях (4.1R4.4), но и векторная нелинейность, т. е. члены вида [Va,Vb]z, где а, b — некоторые функции, характеризующие волновое поле. Общий анализ нелинейного уравнения М3 волн производится в разд. 4.1.2. В разд. 4.1.3 исследуется устойчивость одномерных М3 солитонов, а в разд. 4.1.4 — двумерных.
Исходные уравнения в теории устойчивости М3 волн
Мы исследуем волны с непотенциальным электрическим полем Е. При этом полное магнитное поле В отличается от равновесного Во на волновую
чаСТь В , так что В = В0+В. Считаем, что поля Е и В зависят как от поперечных координат х, у, так и от продольной z, так чтос/cz 工 0 . При этом необходимо учитывать как продольную компоненту волнового магнитного поля ВЛ, так и поперечные, обозначаемые В丄,т. е. считать В = Bzez + В丄, где ez ——единичный вектор вдоль z .
Для описания ионов используем гидромагнитное уравнение движения
47mmi — =(BV)B ———,(4.10)
получающееся при сложении обычного ионного уравнения движения с электронным и пренебрежении инерцией электронов (Y — скорость ионов). Из (4.10) следует:
—divV；—divV；uB0 aq2 V orj 5zJ ax?uB0 aq2 V orj 5zJ ax?
—divV；
—divV；
uB0 aq2 V orj 5zJ ax?
uB0 aq2 V orj 5zJ ax?
1 6 ч u дт}1 6 ч u дт}^L-'fa—+i—l + L-2I 6z u炭丿^L-'fa—+i—l + L-2I 6z u炭丿(4.12)(4.12)
1 6 ч u дт}
1 6 ч u дт}
^L-'fa—+i—l + L-2
I 6z u炭丿
^L-'fa—+i—l + L-2
I 6z u炭丿
(4.12)
(4.12)
(4.11)
где V^1 =cl(l + a2)Bz/uB0 — главная часть V^ . Уравнение (4.11) записано в переменных r|, х, z, t, введенных в разд. 4.1. Продольным движением ионов пренебрегается.
Подставляя (4.11) в уравнение непрерывности ионов, получаем выражение для волновой части плотности ионов п{:
月=哈!(")11+封+
me h = Bz /Bo, L = S/^q, L"1 — оператор, обратный L. В (4.12) мы пренебрегли величинами порядка а2 в поправочных членах.
Переходя к вычислению волновой части плотности электронов пе, записываем их уравнение непрерывности в виде:
不U-TT + dlV(nV-e) + —a就 + 帝 Jz =0"(4-13,
где n = n0 + ne — полная плотность электронов, V_e — поперечная скорости электронов, jz — продольный ток, связанный с возмущенным магнитны＞； полем уравнением Максвелла
jz =crotzB±/4n.(4.14)
Мы учли, что, вследствие пренебрежения продольным волновым движением ионов,
Уге=]г/ееп0*(4」5)
где 弘—продольная скорость электронов. Кроме того, из уравнения поперечного движения электронов с учетом (4.15) получается:
Vle+(4.16)
Bz eonoBo me(4e dt
Подставляя (4.16) в (4.13), получаем:
fA_uA+vEvYne-^Bz+-^-^k
anв0 тешВе 内丿
+丄++jz=°・(417)
而 3z Bo丿
Используем в качестве функции ср, характеризующей волновое поле (см. (4.7), (4.9)), поперечный электрический потенциал, определенный соотношением
Еу =-5ф/Эу.(4.18)
Связь В2 с ф находим, используя уравнение Максвелла rotxB = 4тдх / с, которое в рамках наших предположений сводится к виду:
^ = 4яееп0Еу/В0.(4.19)
оу
Из (4.18), (4.19) следует
Bz = -4лесп0(р/В0.(4.20)
В отличие от линейной задачи учитываем также z ——компоненту водно- вого электрического поля Е2 (как будет видно из дальнейшего, Ez связано
с векторной нелинейностью). Выражаем Ez через продольный электриче- сКйй потенциал 屮,определенный соотношением
(4.21)
Тогда для В丄 из уравнений Максвелла получается выражение
(4.22)(4.22)
(4.22)
(4.22)
Связь 屮 с ср находим, используя уравнение продольного движения электронов в пренебрежении их продольной инерцией, т. е. в условии идеальной проводимости электронов вдоль полного магнитного поля:
(4.23)(4.23)Ez+gW.
(4.23)
(4.23)
Используя (4.16), (4.21)-(4.23), выражаем В丄 через ф :
В 丄=4v6-1fa|-+^>|(p,ez1.(4.24)
u(_ I 济]也丿
Здесь
$鳴一盒 WL，(425)
4тш 而24тш 而2$7$7D"1 — оператор, обратный D. Подставляя (4.24) в (4.14) и учитывая, что с/дх«д/дт\9 получаем:
4тш 而2
4тш 而2
$7
$7
(4.26)
Приведенные формулы позволяют выразить 斗 и пе через ф . Найдя эти выражения и используя условие квазинейтральности п{ = пе, приходим к искомому нелинейному уравнению для ср [148]:
—£(p + q(p +—£(p + q(p +(4.27)(4.27)
—£(p + q(p +
—£(p + q(p +
(4.27)
(4.27)
ЗдесьЗдесьq = 3ei/2miu2,q = 3ei/2miu2,(4.281
Здесь
Здесь
q = 3ei/2miu2,
q = 3ei/2miu2,
(4.25
(4.30)
а выражение для e приведено выше. При получении (4.27) мы перешли в сне. тему отсчета, движущуюся вдоль магнитного поля со скоростью асА, т. е. перешли от переменной z к переменной 自=z - acAt, а затем для удобства переобозначили g через z.
Общий анализ нелинейного уравнения
Рассмотрим некоторые общие следствия (4.27). Действуя на это уравнение оператором D, умножая результат на ф и затем интегрируя по пространству, после ряда преобразований получим:
勿1/St = 0,(4.31)
где
Ii=jVdr.(4.32)
Соотношение (4.31) представляет собой закон сохранения энергии для рассматриваемого случая М3 волн и вместе с тем является определенной гарантией взаимосогласованности сделанных выше предположений.
В пренебрежении векторной нелинейностью (4.27) принимает вид:
+倍(433)
где о было введено выше. Из (4.33) следует; что, наряду с (4.31), в пренебрежении векторной нелинейностью сохраняются также следующие интегралы [148]： 日图+制一計啥部副計三冲2
"二"步，i汐."二"步，i汐.(4.35)(4.35)
"二"步，i汐.
"二"步，i汐.
(4.35)
(4.35)
З^есь функция 可 введена так, что 加/'^r| = q). Интеграл 12 имеет смысл га- ^льтониана уравнения (4.33). Чтобы проанализировать другие следствия (4.27), введем представление о высокочастотных и низкочастотных магнитоз- ^уховых солитонах (ВЧМЗ и НЧМЗ), связанных, соответственно, с высокочас- 1tугнымн и низкочастотными магнитозвуковыми волнами, т. е. волнами с ха- pj^pHbiMH частотами, большими или меньшими по сравнению с ионной циклотронной частотой coBi =е[В()/т]С (% =-ее — заряд иона). Согласно (4.6), ВЧМЗ волнам соответствуют характерные волновые числа ky > coPi/с, аНЧМЗ волнам — ку < copi / с . Аналогом характерного волнового числа в зада-
qe о солитонах является обратная характерная ширина солитона 1 / ls, а аналогом характерной частоты ——обратное характерное время солитона u/ls. Поэтому ВЧМЗ волнам соответствуют солитоны с Ц < с / coPi (мелкомасштабные солитоны), а НЧМЗ волнам — солитоны с ls > с / а)р, (крупномасштабные).
В случае НЧМЗ волн (4.27) сводится к виду:
證今±0"嶠一嗡(Z)卜爆+劄"(436)
С точностью до переобозначений это уравнение совпадает с (4.4), т. е. представляет собой одну из разновидностей трехмерного уравнения КП. Интеграл 12 для таких волн (см. (4.34)) означает:
+ |q(p3 dr. (4.37)+ |q(p3 dr. (4.37)
+ |q(p3 dr. (4.37)
+ |q(p3 dr. (4.37)
В случае же ВЧМЗ волн из (4.27) вместо (4.36) следует
匿e+寿誥R+q6 +专2%嗑$啜嗨・(4.38>
Вндно, что трехмерное уравнение для ВЧМЗ волн не сводится к трехмерному Уравнению КП.
Согласно [15, 200], в случае сильнонелинейных солитонов ls ® с/Шре, так
таким солитонам соответствуют волны с частотами порядка нижнегиб-
РНдной, ©«(mJ /те)12 coBi, т. е. существенно большими, чем ионной, цикло-
Донные частоты. Поэтому, используя предположение о слабонелинейньгх М3
волнах и ориентируясь на приложение результатов к проблеме бесстолкноыь тельных ударных волн, обсуждавшейся в [15, 201], следует иметь в виду, “小 для этой проблемы могут представлять интерес лишь ВЧМЗ волны, не описьь ваемые трехмерным уравнением КП.
Из (4.38) следует также, что, говоря о двумерных ВЧМЗ волнах, слепую丁 различать две разновидности таких волн: (т|, z) -волны и (г|, х)-волны, по：；г которых зависит, соответственно, от указанных координат. Полагая в (4.3大) a/R = 0, находим, что (rj, z) -волны описываются уравнением
^^ + |{[号(「J)崇-即+qd-号(2а^；目|] = 0. (4.39)
,2,2Это уравнение не сводится к двумерному уравнению КП. В случае же (г|, х> волн (5/Sz = 0)из (4.38) следует:
,2
,2
而сА》而［脸' 丿肝而сА》而［脸' 丿肝-£(p + qd | + 三^ = 0.(4.40)
而сА》而［脸' 丿肝
而сА》而［脸' 丿肝
I Ax?
С точностью до обозначений и перехода в соответствующую систему координат это уравнение совпадает с двумерным уравнением КП (4.1). Соответственно, для ВЧМЗ (г|, х)-волн применимы результаты общего анализа двумерного уравнения КП. К числу таких результатов относится в частности, вывод работ [46, 205] о двумерной (изгибной) неустойчивости одномерных солитонов в случае сред с положительной дисперсией (в нашей задаче этот случай означает о2 > 1) и об отсутствии такой неустойчивости в средах с отрицательной дисперсией (при п2 < 1). Для проблемы (т|, х)-волн с и2 > 1 существенный интерес представляет также вывод [157] о существовании двумерных рациональных солитонов (с полем волны, убывающим с расстоянием как г-2).
Хотя ВЧМЗ и НЧМЗ волны в рассматриваемом нами случае холодной плазмы имеют почти одинаковый закон дисперсии со 志 kycA (см. (4.6)), характер движения частиц в них существенно различен. Различие в характере движения ионов в тех и других волнах хорошо известно (несмотря на независимость выражения (4,12) для п{ от отношения характерной частоты волн к циклотронной частоте ионов). Оно состоит в том, что в случае ВЧМЗ волн равновесное магнитное поле слабо влияет на волновое движение ионов, тогда как в случае НЧМЗ волн это влияние весьма существенно. Поэтому в задаче о ВЧМЗ волнах, в отличие от случая НЧМЗ волн, с некоторой степенью точности справедливо приближение незамагниченных ионов. Более скрытым является отличие в характере движения электронов. С помощью (4.16) можно убедиться, что в случае ВЧМЗ волн такое движение является приближенно
лхревым, в том смысле, что вихревая часть поперечной скорости электро- Н0В V丄е велика по сравнению со сжимаемой частью, т. е.
(4.41)(4.41)!Г^г^е|>|^¥Дс|.
(4.41)
(4.41)
Нз этого ясно, что обсуждаемые нами ВЧМЗ структуры обладают вихревыми свойствами. Следовательно, в нашей задаче, вообще говоря, идет речь не о три- ^альном многомерном обобщении уравнения КдВ путем добавления в него линейных членов с производными по одной или двум дополнительным коорди- нЕМ а его обобщении на случай вихревых структур. Отражением вихревого характера ВЧМЗ структур являкл ся члены с векторной нелинейностью в (4.38).
Производимые в дальнейшем оценки свидетельствуют о том, что векторная нелинейность важна при ls > (m, /ше)18 с/шРе. Это соответствует случаю ВЧМЗ солитонов с достаточно большими амплитудами h = (me /т{)1/4 .
Интересно также отметить, что, в отличие от случая дрейфово-ионно- звуковых волн [206], векторная нелинейность фигурирует лишь в существенно трехмерных уравнениях ВЧМЗ волн, но выпадает из двумерных уравнений. Соответственно, анализ роли векторной нелинейности оказывается необходимым только в случае трехмерных задач.
Из сказанного ясно, что наряду со случаем достаточно мелкомасштабных ВЧМЗ волн, когда необходим учет векторной нелинейности, имеются ВЧМЗ солитоны с не слишком малым ls, при изучении которых векторной нелинейностью можно пренебрегать. При этом уравнение (4.38) сводится к виду:
Это уравнение можно получить также из (4.33), опустив в последнем член с # / 5z2 • f^cp. Как видно, уравнение (4.42) радикально отличается от трехмерного уравнения КП (4.36). Это отличие обусловлено тем, что если член с производной по z в правой части уравнения (4.36) связан с основными членами дисперсионного уравнения (4.6), то «блок» с производными по z в Уравнении (4.42) связан с продольной дисперсией. Во избежание недоразуме- 电或 заметим, что дисперсия входит в уравнение (4.42) в виде совокупности 期ух членов: один ——с коэффициентом l-b? в левой части уравнения (4.42), а второй — с коэффициентом с2 / ①^ в правой част этого уравнения. В теории одномерных М3 волн фигурирует только первый из указанных членов [И]. Но в проблеме неодномерных М3 волн необходимо учитывать также и
второй из этих членов, что и делается в настоящем разделе. Заметим так；® что члены с продольной дисперсией М3 волн учитывались также в [207].
Устойчивость одномерных М3 солитонов
-e(p0+q(p5 =0.-e(p0+q(p5 =0.В настоящем разделе мы рассматриваем устойчивость одномерных со.[小 тонов, характеризующихся потенциалом ф0 (г|), где ф0(г|) — солитонн蜕 решение одномерного стационарного уравнения:
-e(p0+q(p5 =0.
-e(p0+q(p5 =0.
(4&.
Согласно (4.43), функция ф0 (д) имеет вид
<Ро(&) = т2；£бо(&)/е[, (4.44) где Ф0(^) = сИ~2(^/2), & = п/儿 入=[(1-『)/£] с/о)ре. (4.45i В разд. 4.1.1 мы ввели также функцию h = В2 / Во, хараюеризующую относительное отклонение продольного магнитного поля от его равновесного значения. Учитывая (4.21), (4.44), находим, что потенциалу ф0 =ф0(г|) соответствует функция h = h0(r|), равная
ho(П)= £%(&)• (4抬
Из (4.45) ясно, что величина 入 играет роль характерного размера солитона I、 введенного в разд. 4.1.2, т. е.
к*М(44
В соответствии со сказанным в разд. 4.1.2, мы имеем дело с ВЧМЗ солитонами, если
(1-『)те /(т,е)«1,(4.4$
и с НЧМЗ солитонами — в случае неравенства противоположного знака. Сопоставляя (4.46) и (4.48), заключаем, что в случае ВЧМЗ солитонов
h0 »|1-п2|те/тн(4.49
где h0 — характерное значение функции h0(rj). В случае же НЧМЗ соли〕" нов мы имеем неравенство, противоположное (4.49).
Рассмотрим решения уравнения (4.27) вида
Q = Qo(n) + ©(nzx,t),(4.50)
口е @ — некоторая малая добавка к ф0 (возмущение потенциала солитона). Полагая 0~exp(-icot + ikuZ + ik±x), с помощью (4.27) получаем следующее уравнение для 0
「ко"1
e一0+3<м叫cL©+金卉仲-ib①附叶
一三^第春+同"叫+^耳卜(4.51)
Здесь штрих — производная по £ ,
Q = X(o/(sca), Ц =к1(Х(т|/те)1/2, к± =к±с/(есоРе), b = к丄卩， 卩= (mi /те)1/2 е2/(1-а2),(4.52)
i = 6/比， d0 =d/比+ ib<Db，
Г1, dg1 — операторы, обратные 1 и d0 .
Аналогично [45,46], ищем © в виде ряда по степеням С, к“, к丄:
@ = 6 +@2+6+••••(4.53)
При этом, для общности, мы считаем параметр b, характеризующий векторную нелинейность, величиной порядка единицы. В дальнейшем мы будем иметь дело как со случаями Ь«1, так и с b »1. Заметим, что предположе- нне b > 1 не находится в протаворечии с условием малости к丄,если только Н »1. С учетом (4.48) ясно, что векторная нелинейность важна лишь в задаче 0 BUM3 солитонах. Более подробно этот вопрос мы обсудим ниже.
С помощью (4.51) находим, что функция ф】определяется стандартным сражением
Ф1 = А(ро，(4.54)
Se А ——произвольная константа, тогда как функция ф2 удовлетворяет уравнению
9, 一 屮2 + ЗФ0(р2 = 2iAF.(4.55)
ЗдесьЗдесьg = bO0.g = bO0.(4.5$(4.5$Из (4.55) получаемИз (4.55) получаемe一唱1-*|①。*0-①°)]}e一唱1-*|①。*0-①°)]}гдегдеh（Ф。）=『仲0）（1%=乳£1+匿 e飞（1-h（Ф。）=『仲0）（1%=乳£1+匿 e飞（1-G =^Фд -1-«|ф0 +^彳①o5・G =^Фд -1-«|ф0 +^彳①o5・(4.59)(4.59)Согласно (4.51), уравнение для ср3 имеет вид:Согласно (4.51), уравнение для ср3 имеет вид:Фз -Фз +3①о(Рз = 2i 山*2 +Фз -Фз +3①о(Рз = 2i 山*2 +丁丁苗1 （а ть①高”2）-丁丁苗1 （а ть①高”2）-(4.60-(4.60-
Здесь
Здесь
g = bO0.
g = bO0.
(4.5$
(4.5$
Из (4.55) получаем
Из (4.55) получаем
e一唱1-*|①。*0-①°)]}
e一唱1-*|①。*0-①°)]}
где
где
h（Ф。）=『仲0）（1%=乳£1+匿 e飞（1-
h（Ф。）=『仲0）（1%=乳£1+匿 e飞（1-
G =^Фд -1-«|ф0 +^彳①o5・
G =^Фд -1-«|ф0 +^彳①o5・
(4.59)
(4.59)
Согласно (4.51), уравнение для ср3 имеет вид:
Согласно (4.51), уравнение для ср3 имеет вид:
Фз -Фз +3①о(Рз = 2i 山*2 +
Фз -Фз +3①о(Рз = 2i 山*2 +
丁丁苗1 （а ть①高”2）-
丁丁苗1 （а ть①高”2）-
(4.60-
(4.60-
Умножая обе части этого равенства на ①[и интегрируя результат по 屮】=А(р： в бесконечных пределах, приходим к искомому дисперсионному уравнению для возмущений солитона:
(4.6!'(4.6!'2号（*+ H・F就一占 к沁一回2）+參 *啾=a
(4.6!'
(4.6!'
где звездочка означает комплексное сопряжение. Интересно отметить, что пр>! учете векторной нелинейности (b * 0), как и в пренебрежении ею, все коэфф11' циенты в дисперсионном уравнении оказываются вещественными (ср. с [206])
Подставляя (4.56), (4.58) в (4.61), приводим дисперсионное уравнение к вид}
d 2С] Ck|Q
3 1-о2
(4.62；
СФ^|Ф0-2^1(ОФ0Ф^) cosgd£.
(4.63)
(4.64)(4.64)Заметим, что приближенно |1,Ь«1,
(4.64)
(4.64)
ю(1/ь),Ь»1.
Из (4.62) следует, что солитоны с о2< 1, £ > 0, соответствующие волнам с отрицательной дисперсией, устойчивы при произвольных k「k丄 и произвольной векторной нелинейности. Согласно (4.46), для таких солитонов Bz / Во > 0, т. е. устойчивые солитоны являются солитонами сжатия. Это и есть тот класс солитонов, который при а = 0, т. е. при строго поперечном распространении, первоначально изучался в [15]. Таким образом, мы должны рассмотреть лишь устойчивость солитонов с п2 > 1, е < 0 (солитонов разреже^ ния). Такие солитоны в свое время исследовались в [201]. С помощью (4.62) находим критерий устойчивости таких солитонов
諾爭嗑啥諾爭嗑啥(4.65)(4.65)
諾爭嗑啥
諾爭嗑啥
(4.65)
(4.65)
Как отмечалось в начале настоящего раздела, в случае НЧМЗ солитонов имеет место неравенство, обратное (4.48). Учитывая также, что в этом случае С1 = 1 (см. (4.64)), заключаем, что для НЧМЗ солитонов критерий устойчивости (4.65) не удовлетворяется и, следовательно, такие солитоны неустойчивы. Чтобы найти инкремент этой неустойчивости, обращаемся к дисперсионному Уравнению (4.62), которое в случае НЧМЗ волн означает
(4.66)(4.66)公弋或何+无）.
(4.66)
(4.66)
Отсюда следует, что возмущения НЧМЗ солитонов нарастают с инкрементом Y s Im со , равным
(4.67)
吨 k = (kj+kj『2 — волновое число, поперечное по отношению к фронту солитона. Рассматриваемая неустойчивость представляет собой разновидность
изгибной неустойчивости одномерного солитона, впервые отмеченной в [4^ Условие применимости формулы (4.67) найдем, вспомнив, что, по предпс.疝 жению, |q>2| <|ф1| • Из этого неравенства следует
°>Ре_且°>Ре_且e （巒7广e （巒7广(4厩,(4厩,
°>Ре_且
°>Ре_且
e （巒7广
e （巒7广
(4厩,
(4厩,
При больших к неустойчивость стабилизируется [205]. Поэтому из (4.67；, (4.68) следует оценка
yvgSs，(4.69)
где cos »сА/Х — характерная частота солитона. При %=0 результаты (4.67)-(4.69) относятся не только к НЧМЗ солитонам, но и к солитонам с произвольным cos / coBi, в том числе к ВЧМЗ солитонам (так как при к“ = 0 (4.27) сводится к уравнению КП). Поэтому в случае(о§ / coBi > 1 мы должны выяснить, что нового получается при 吗 工 0. Рассмотрим этот вопрос, вначале полагая к丄=0, а затем учтем конечное к丄.
При к丄=0 критерий устойчивости (4.65) сводится к виду:
(4.70!(4.70!5b2+3me
(4.70!
(4.70!
15(巒-1)2 ^Щ
Это неравенство не содержит волновых чисел возмущения и тем самым характеризует область стационарных параметров солитонов, устойчивых относительно рассматриваемых возмущений. Сопоставляя неравенство (4.70) с (4.48), заключаем, что ВЧМЗ солитоны относятся к числу устойчивых солию- нов (в указанном выше смысле). При о »1 критерий устойчивости (4.70) принимает вид:
(4.71)(4.71)|е| > За2.
(4.71)
(4.71)
В терминах функции h0 (см. (4.46)) это означает, что солитоны являются устойчивыми, если их амплитуда не слишком мала, h0 > За2.
Если неравенство (4.70) является сильным, т. е. мы имеем дело с ВЧМЗ солитонами, то (4.65) означает, что возмущения устойчивы, если их волновые числа удовлетворяют соотношению
33
При о2 »1 и в пренебрежении векторной нелинейностью (4.72) сводится к
ВИДУ(СР-с(4-71))：
Согласно (4.64), с ростом параметра b коэффициент С〔 падает. Поэтому из (4.72) ясно, что возмущения, устойчивые при Q =1, могут стать неустойчивыми при С】vv 1. В этом смысле векторная нелинейность играет дестабилизирующую роль. Оценку параметра b можно получить, взяв в качестве к丄 его верхнюю оценку, определяемую правой частью (4.68). Тогда имеем:
ь._л^Ы1/2.(Е)
Видно, что b ~ 1 / ст3 при а2 »1. Поэтому векторная нелинейность наиболее важна при 1. При этом b21, если
|е| 2 (т е / т； )"4.(4.75)
Соответствующие солитоны имеют характерный размер ls * (ш{ /те )1/8 с/соРе. Эти оценки и были использованы в разд. 4.1.2.
Согласно общим представлениями теории устойчивости солитонов [45], в результате неустойчивости одномерных солитонов могут образовываться двумерные солитоны. С учетом этого и проведенного выше анализа можно ожидать, что двумерные солитоны должны иметь характерный т| -размер 1Tl порядка ls и характерный х -размер 1Х порядка минимальной длины волны возмущений, т. е. в соответствии с (4,47), (4.48)
1产九，1х«|е|1/2Х.(4.76)
О таких солитонах и их трехмерной устойчивости будет щтги речь в разд. 4.1.4.
Трехмерная устойчивость двумерных М3 структур20
В стационарном случае 传/況=0)уравнение (4.40) (двумерное уравне- Нне типа КП) сводится к виду:
-e(po+q(po-e(po+q(po(4.77)(4.77)
-e(po+q(po
-e(po+q(po
(4.77)
(4.77)
где(р0 =ф0(г|,х). Рассмотрим устойчивость двумерных структур типа (4.77>. исходя из нашего трехмерного уравнения (4.33). Ранее аналогичная задача иссле. довалась в [203] в рамках трехмерного уравнения КП (4.1). При этом, как и в [46]. использовался метод разложения в ряд по частоте и волновому числу возмущений (ср. с разд. 4.1.3). Такой же метод будет использоваться в ншйем анализе.
Полагаем в (4.33) ф = ф0 + ф, где возмущение © считается зависящим or t и z , как exp (-icot + ikj|Z).Тогда для © получается уравнение
Ищем ф в виде ряда (4.41). Как и в разд. 4.1.3, имеем 恥=Аа(р()/ 而.По аналогии с [202], находим
Ф2Ф2& 现 me Sa2 J'& 现 me Sa2 J'(4.79)(4.79)
Ф2
Ф2
& 现 me Sa2 J'
& 现 me Sa2 J'
(4.79)
(4.79)
Условие ортогональности для 牝,вытекающее из (4.78), дает дисперсионное уравнение:
(4.80)(4.80)
(4.80)
(4.80)
Здесь
(4.81)(4.81)v = (me/mi)"2(o/(k!|CA), Р = J*dxd%
(4.81)
(4.81)
Приведем (4.80) к безразмерному виду, для чего сделаем в (4.77) замену переменных
Фо(П，х) = — Фо (в,ае).(4.82)
q
ЗдесьЗдесь5+4 喇-^^ = 0・ ) ox5+4 喇-^^ = 0・ ) ox
Здесь
Здесь
5+4 喇-^^ = 0・ ) ox
5+4 喇-^^ = 0・ ) ox
田二同也_X,(4.83)
(q2-1) c
а безразмерная функция Фо (0,ае) удовлетворяет уравнению
(4.84)
Предполагается, что о2 > 1, е < 0. Учитывая (4.82), (4.83), получаем из (4.81)
Р = ^(『Т ㈠严，Q = #^㈠严，(4.85) q Speq ①Ре
где безразмерные коэффициенты Кр, Kq не зависят от ст2 и е и определяются соотношениями
Используя (4.85). приводим (4.80) к виду:
(ct2-1)v2+(2 + Kq/Kp)8ctv + 82KQ/(3KP) - (ст2-1)ете/т{ = 0.(4.87)
Из (4.87) следует, что рассматриваемые нами возмущения устойчивы, если
(t)+(/T (1+普)+崇+^卄可>0.(4.88)
В случае ВЧМЗ волн, т. е. при |е| » а2 , это неравенство удовлетворяется при произвольных Кр, Kq . Следовательно, двумерные ВЧМЗ структуры, описываемые (4.77), в рамках принятых предположений о характере возмущений, являются устойчивыми. Напротив, в случае НЧМЗ волн, |е|« а2, критерий устойчивости (4.88) не удовлетворяется (напомним, что е < 0). При этом, согласно (4.87), возмущения нарастают с инкрементом, определяемым соотношением (ср. с (4.67))
(4.89)(4.89)У = %Са(—£)ь2.
(4.89)
(4.89)
(4.90)(4.90)В [203] обсуждалась устойчивость рационального двумерного солитона, найденного в [157]. Такой солитон характеризуется функцией Фо вида:
(4.90)
(4.90)
(1 + 出2 +02 J
В этом случае
(4.91)
Подставляя (4.91) в (4.88) и полагая о » 1, получаем, чго рациональный солитон устойчив при (ср. с (4.71)):
(4.92)(4.92)|е| >За2/10.
(4.92)
(4.92)
Согласно [203], в ситуациях, описываемых трехмерным уравнением КП, рациональный солитон неустойчив. Этот вывод не относится к рациональным солитонам ВЧМЗ волн, которые, в соответствии с вышесказанным, устойчивы относительно трехмерных возмущений.
Пределы применимости полученных результатов. При выводе дина< мического уравнения М3 волн (4.27) мы следовали приближению холодной плазмы. В связи с этим встает вопрос о пределах применимости наших результатов, т. е. об их чувствительности к температуре электронов и ионов. Эти пределы применимости просто получить, обратившись к линейной теории магнитозвуковых волн, изложенной в [208]. Тогда получим, что температурой электронов можно пренебречь, если Ре <1, где Ре — отношение давления электронов к давлению магнитного поля. При этом однако следует иметь в виду, что имеется так называемый резонансный угол а 志(me /(m^g), ?, при котором существенно затухание волн вследствие взаимодействия с резонансными электронами. Декремент такого затухания пропорционален 区• Поэтому при ре > ше /т{ волны с а »(те/(т^е))1/2 должны исключаться из рассмотрения, либо следует ограничиваться анализом процессов с характерным временем, меньшим обратного декремента затухания. Пределы применимости приближения холодных ионов существенно зависят от того, являются ли волны низкочастотными или высокочастотными по отношению к циклотронной частоте ионов. В случае ВЧМЗ волн приближение холодных ионов справедливо при 氏 < 1 [208]. В случае НЧМЗ волн условие применимости приближения холодных ионов является более жестким: р{ < me /nij (см. подробнее [176]).
Заметим также, что при выводе наших нелинейных уравнений мы для простоты полагали |а| < 1. Кроме того, следует помнить, что мы используем приближение слабой дисперсии. Это предполагает, что должно выполняться условие а < lscoPi / с . Для наиболее мелкомаспггабных солитонов с характер-
н0Й частотой со^(шВе^ )12, когда ls ^с/соРе, указанное неравенство означает a<(me/mi)12. Сувеличением ls интервал допустимых а расширяет- сЯ)а при L =c/coPi никаких дополнительных ограничений на a, кроме условия |a| < 1, не возникает.
4・2・ Устойчивость дрейфово-магнитозвуковых уединенных волн21
Поскольку регулярные дрейфово-магнитозвуковые (ДМ3) структуры, изученные в разд. 2.4, могут представлять интерес при построении сильной дрейфовой турбулентности замагниченной плазмы, возникает необходимость анализа их устойчивости. Ввиду сложности проблемы мы ограничимся рассмотрением устойчивости простейшей из возможных нелинейных ДМ3 структур — одномерного солитона. Как следует из результатов разд. 2.4, при условиях применимости локального приближения амплитуда структуры ограничена неравенством £0 > 1хаеп (где 1Х — характерный поперечный размер структуры). Важен также вопрос: нужно ли учитывать векторную нелинейность в задаче о ДМ3 волнах? Как видно из (2.28), (2.102), эта нелинейность заведомо существенна при условии с(р0 /иВ01х >1, где ф0 — характерное значение амплитуды нелинейной волны. Учитывая, что ф0 = е0 /q и u « un, из этого неравенства следует условие справедливости локального подхода, приведенное выше. Таким образом, если мы рассматриваем нелинейные ДМ3 волны в локальном приближении, при их изучении существенно необходимым является учет наряду со скалярной нелинейностью и векторной. Это и было учтено при выводе динамических уравнений ДМ3 волн (2.101)-(2.105).
Исследуем устойчивость одномерного ДМ3 солитона, описываемого соотношением (2.111), по отношению к длинноволновым трехмерным малым возмущениям. По аналогии с разд. 4.1.3, линеаризуя уравнения (2.101), (2.105) по амплитуде возмущений и исключая А, приходим к уравнению малых гармонических возмущений солитона
&0(…+2<М) =
=iC 1-§+2%0* W 1-冬卜 %产© +
訳]匕 2号 証 ф|].(4.93)
^[_l-a2cle/u4 比 丿 l-a2ct/u2 ^ 丄
Здесь g = "/唸 & = "/唸 一возмущение электрического потенциала соли， тона; Г1 ——оператор, обратный д/д^; штрих означает производную 6/亍之 фо =ЧФо/ео» Фо =ch'2(^2)； v = a(mi/me)1/2，М = £ос/(\Я^Во) • Линейные операторы d0 и d0 означают, соответственно:
苗=a/ag+ik丄卩①】,& = a/ag-ik丄n①汾^,
dg1 — оператор, обратный d0. Наконец,
С =(叫 / u) [0 - a2c^e/u2)/ejJ/2,卜丄=k±Xs/e0,
& = кЛ(т{/те)1/2[(1-a2cle/u2)/e0『
—обезразмеренные частота и волновой вектор возмущения солитона. Уравнение (4.93) решаем методом последовалельных приближений, полагая С, к丄,к, малыми параметрами, однако считаем параметр к丄卩,характеризующий векторную нелинейность, величиной порядка единицы, к 丄卩之 1. Представляя © в виде ряда по указанным малым параметрам и следуя процедуре, изложенной в разд. 4.1.3, получаем дисперсионное уравнение возмущений солитона вида:
С]]С? + 2С]2^^н + с??%，С]]С? + 2С]2^^н + с??%，(4.94)(4.94)
С]]С? + 2С]2^^н + с??%，
С]]С? + 2С]2^^н + с??%，
(4.94)
(4.94)
Коэффициенты сар (а，В = 1,2)и с丄 связаны в параметрами солитона и имеют вид:
=-X2(2)(好一/工)=-X2(2)(好一/工)厂 С? 、2"xj [-号 (l — co$w — wsinw) —号屮2cos屮 Gdg,厂 С? 、2"xj [-号 (l — co$w — wsinw) —号屮2cos屮 Gdg,
=-X
2(2)(好一/工)
=-X
2(2)(好一/工)
厂 С? 、2"
xj [-号 (l — co$w — wsinw) —号屮2cos屮 Gdg,
厂 С? 、2"
xj [-号 (l — co$w — wsinw) —号屮2cos屮 Gdg,
гдегдеW = k丄卩①°,G = ^(2Фо -^о + ^о^о)-^•W = k丄卩①°,G = ^(2Фо -^о + ^о^о)-^•(4.96)(4.96)В предельном случае к丄卩 »1 имеемВ предельном случае к丄卩 »1 имеемС12 «(С22，С115С_).С12 «(С22，С115С_).(4.97)(4.97)В результате из (4.94) получаем дисперсионное соотношение вида:В результате из (4.94) получаем дисперсионное соотношение вида:(4.98)(4.98)
где
где
W = k丄卩①°,G = ^(2Фо -^о + ^о^о)-^•
W = k丄卩①°,G = ^(2Фо -^о + ^о^о)-^•
(4.96)
(4.96)
В предельном случае к丄卩 »1 имеем
В предельном случае к丄卩 »1 имеем
С12 «(С22，С115С_).
С12 «(С22，С115С_).
(4.97)
(4.97)
В результате из (4.94) получаем дисперсионное соотношение вида:
В результате из (4.94) получаем дисперсионное соотношение вида:
(4.98)
(4.98)
Коэффициенты а丄 и ап в (4.98) положительны. Как видно из (4.98), при и > асАе одномерный ДМ3 солитон оказывается устойчивым по отношению к рассмотренным трехмерным длинноволновым возмущениям. При доальфве- новских скоростях и < асАе солитон неустойчив по отношению к поперечным возмущениям (к丄 х 0, к” =0). В результате развития неустойчивости одномерного солитона должны, по-видимому, образовываться двумерные ДМ3 структуры, рассмотренные в разд. 2.4.
В другом предельном случае к,卩 «1, когда векторная нелинейность несущественна, картина устойчивости одномерного ДМ3 солитона остается той же, что и при к丄卩 » 1. Что касается устойчивости солитона при и > асАе (отрицательная дисперсия) и к丄卩 «1 по отношению к возмущениям с кц = 0, то этот вывод можно было сделать и на том основании, что в этом случае уравнение ДМ3 волн (2.107) представляет собой уравнение Кадомцева—Петвиашвили с отрицательной дисперсией. Полученные нами результаты относительно устойчивости одномерного ДМ3 солитона остаются, по-видимому; в силе и при к丄卩=1.
4.3. Устойчивые нижнегибридно-дреифовые
22
СОЛИТОНЫ
В разд. 2.3 была показана возможность существования солитонов нижнс- ^бридно-дрейфовых (НЦД) волн. Целью данного раздела является анализ Устойчивости таких солитонов.
Полагаем
Q = Qo+0(n，x£,t).(4.99)
Здесь(р0 — решение квазиодна рного уравнения типа (2.80), ср0 = (е0 /ц)Ф0
Фо =|ch~2(e{)/2r|/a),Фо =|ch~2(e{)/2r|/a),(4.100)(4.100)
Фо =|ch~2(e{)/2r|/a),
Фо =|ch~2(e{)/2r|/a),
(4.100)
(4.100)
а ф — малая поправка к q>0, зависящая от х, & t, как exp(-icot + ik丄х + ik?z j где co, k丄，kz — частота и волновые числа возмущения. Вводим оператор DfJ определенный как невозмушенная часть оператора D, т. е.
$。二金+也迎
(4.101)(4.101)而 Bou而
(4.101)
(4.101)
Величины ш, к丄,kz, нормированные соответствующим образом, считаем малыми по сравнению с д/дх\. Величина к丄 входит также во второй член равенства (4.101), соответствующий векторной нелинейности. С помощью (2.80)-(2.83), (4.100) получаем оценку:
сФо/(Вои)岂 е0/аеп.(4.102)
Кроме того, необходимо считать
к±1х >1.(4.103)
Комбинируя (2.84), (4.102), (4.103), приходим к оценке:
ск1Фо/(Вои)>1.(4.104)
Это означает, что второй член в правой части (4.101) велик по сравнению с первым, т. е. векторная нелинейность весьма существенна.
Уравнение малых возмущений одномерного НГД солитона можно получить, используя динамические уравнения (2.76), (2.77), полученные в разд. 2.3. Оно имеет вид:
(1) $0 卜 2- %©+2q(Po©) + ^ ^ + 貞‘ ^) ©
(4.105)
Операторы R^, £ определены соотношениями
吧R”胆$о£т,r1 =^i-R^2D0L'1,(4.106)
u
гдегдеR：R：+电］+电］(4.107)(4.107)R^a^l + LDg1)R^a^l + LDg1)Оператор Q* описывается выражением0 j援+史14$户糸 nij u 线Оператор Q* описывается выражением0 j援+史14$户糸 nij u 线(4.108)(4.108)гдегде(4.109)(4.109)
где
где
R：
R：
+电］
+电］
(4.107)
(4.107)
R^a^l + LDg1)
R^a^l + LDg1)
Оператор Q* описывается выражением
0 j援+史14$户糸 nij u 线
Оператор Q* описывается выражением
0 j援+史14$户糸 nij u 线
(4.108)
(4.108)
где
где
(4.109)
(4.109)
Оператор Dg1 ——оператор, обратный Do, L"1 означает оператор, обратный L = c/5r|.
Решая (4.105) в соответствии с процедурой, описанной в разд. 4.1, 4.2, получаем дисперсионное соотношение гармонических длинноволновых возмущений солитона в виде:
(4.110)(4.110)С? с 20kllk；l _k2 ka
(4.110)
(4.110)
(l+o^)2 11 e^)3^
Здесь C,勺了 k丄 ——обезразмеренные частоты и волновые числа возмущений, определенные соотношениями
_k2a(mi/mc)“(l + 巒)_k2a(mi/mc)“(l + 巒)к丄а£。（1 + 『「к丄а£。（1 + 『「(4.1П)(4.1П)
_k2a(mi/mc)
“(l + 巒)
_k2a(mi/mc)
“(l + 巒)
к丄а
£。（1 + 『「
к丄а
£。（1 + 『「
(4.1П)
(4.1П)
Коэффициенты сар(а,Р = 1,2) означают:
Си =ап(1 + а4) + 2о2(2а23 - а12) + 4(а33-а13), с12 =а^2(а13+а23) + (а11 +а12)(а2-1)]-
(4.112)(4.112)-v[an(l + Q4) + 2a2(2а23-а12) + 4(а33-а13)], с22 =an ^o2(1-qv)2 +(0 + 丫)[ + 4@33丫2 -4a13v(o4-v) +
(4.112)
(4.112)
+ 2а】2О(1 — ov) (о+v) — 4a230V (1 — Qv),
v = (me /mJ172 U|； /и . Величиныa^ (a,P = 1,2,3)даются выражениями:
а“ = • % J*(l-cosw)G,(5)」а“ = • % J*(l-cosw)G,(5)」a12a12嵩2g嵩2g
а“ = • % J*(l-cosw)G,
(5)」
а“ = • % J*(l-cosw)G,
(5)」
a12
a12
嵩2g
嵩2g
(4.113)(4.113)12(k 丄 у)?12(k 丄 у)?Jd^ ^~- + l cosw-l + wsin”},Jd^ ^~- + l cosw-l + wsin”},азз=^ОФ 池азз=^ОФ 池\|/ = к±цФ0,卩=\|/ = к±цФ0,卩=c啾1 +巒)c啾1 +巒)auBoqauBoq—，^ = 6o2T|/a.—，^ = 6o2T|/a.(4.114)(4.114)
(4.113)
(4.113)
1
2(k 丄 у)?
1
2(k 丄 у)?
Jd^ ^~- + l cosw-l + wsin”},
Jd^ ^~- + l cosw-l + wsin”},
азз=^ОФ 池
азз=^ОФ 池
\|/ = к±цФ0,卩=
\|/ = к±цФ0,卩=
c啾1 +巒)
c啾1 +巒)
auBoq
auBoq
—，^ = 6o2T|/a.
—，^ = 6o2T|/a.
(4.114)
(4.114)
ai3 =(ап +a12)/2, G =式2①^ -Фо +^ФоФо)-^
Штрих — производная по ^. Величины а丄，а“ означают:
(4.115)(4.115)a± = |фо^
(4.115)
(4.115)
3V2a丄 +^(1-qv)2 -v2(l + o2 jja^ -2сту(1-сту)а^2\
гдегдеан 一ан 一(l-cos\j/)dg, a『)=£—j ① 0疝屮珞(l-cos\j/)dg, a『)=£—j ① 0疝屮珞(4.116)(4.116)
где
где
ан 一
ан 一
(l-cos\j/)dg, a『)=£—j ① 0疝屮珞
(l-cos\j/)dg, a『)=£—j ① 0疝屮珞
(4.116)
(4.116)
Заметим, что все коэффициенты в дисперсионном уравнении (4.110) вещественны. До сих пор мы считали величину % свободным параметром. Теперь распорядимся этим параметром так, чтобы с12 = 0. При этом, согласно второму равенству (4.112), имеем
V = стV = ст2包3+a23)+ (如1+a]2)(/-1)2包3+a23)+ (如1+a]2)(/-1)аи (1 + ст4| + 2п2(2а2з -а12) + 4(а33 -а13)аи (1 + ст4| + 2п2(2а2з -а12) + 4(а33 -а13)(4.117)(4.117)а дисперсионное уравнение (4.110) принимает вид:а дисперсионное уравнение (4.110) принимает вид:1 + 0 (1 + /)(&丄+kjaj_："1 + 0 (1 + /)(&丄+kjaj_："(4.118)(4.118)
V = ст
V = ст
2包3+a23)+ (如1+a]2)(/-1)
2包3+a23)+ (如1+a]2)(/-1)
аи (1 + ст4| + 2п2(2а2з -а12) + 4(а33 -а13)
аи (1 + ст4| + 2п2(2а2з -а12) + 4(а33 -а13)
(4.117)
(4.117)
а дисперсионное уравнение (4.110) принимает вид:
а дисперсионное уравнение (4.110) принимает вид:
1 + 0 (1 + /)(&丄+kjaj_："
1 + 0 (1 + /)(&丄+kjaj_："
(4.118)
(4.118)
В пренебрежении векторной нелинейностью с22 = 0, а коэффициенты Сц, а丄,а. — положительны. При этом Q2 > 0, что соответствует устойчивости одномерного НГД солитона. Этот результат находится в соответствии с общими представлениями об устойчивости одномерных солитонов в средах с отрицательной дисперсией, описываемых трехмерным уравнением КП. Однако, как разъяснялось выше, в нашей задаче векторная нелинейность весьма существенна, т. е. к丄卩 »1. В этом предельном случае из (4.117) следует, что v пренебрежимо мало (v~ (к丄卩厂驚，，а (4.118) сводится к следующему
Q2=^l(l+a2)(k2ai+k!；a(l)\ (4.119)
В этом уравнении ^а33, а丄,а{") > 0, ап < 0. Поэтому, как и в пренебрежении векторной нелинейностью, Q2 > 0 , т. е. одномерный НГД солитон устойчив по отношению к рассмотренным длинноволновым возмущениям.
В силу своей устойчивости одномерные НГД солитоны могут играть существенную роль на начальной стадии высокочастотного нагрева плазмы.
4・4・ Устойчивость электронных градиентных и коротковолновых дрейфовых структур
Устойчивость одномерного ЭГ солитона. Исследуем устойчивость одномерного солитона ЭГВ, описываемого соотношением (2.58), по отно- Венню к малым возмущениям. В отличие от разд. 2.2 полагаем, что вели- "Ннь】 ср и Vz зависят как от х, г|, так и от t и = z-Uyt. Продольная скорость и『введена для удобства и означает групповую продольную скорость волны. Тогда динамические уравнения ЭГВ (2.48), (2.49) принимают внд：
DV =一上"1-也虫+ 3迹z meu ( u 丿比 u ^tDV =一上"1-也虫+ 3迹z meu ( u 丿比 u ^t(4.120)(4.121)(4.120)(4.121)
DV =一上"1-也虫+ 3迹z meu ( u 丿比 u ^t
DV =一上"1-也虫+ 3迹z meu ( u 丿比 u ^t
(4.120)
(4.121)
(4.120)
(4.121)
В пренебрежении векторной нелинейностью уравнения (4.120), (4.121) сводятся к виду:
崇回a1……叫=V窘一;謎.崇回a1……叫=V窘一;謎.(4.122)(4.122)
崇回a1……叫=V窘一;謎.
崇回a1……叫=V窘一;謎.
(4.122)
(4.122)
Здесь продольную скорость Uy положили равной Vg = 5u0 / 5а (u0 — скорость ЭГВ в пренебрежении дисперсией и нелинейностью, которая определяется равенством е0 = 0). Используя известные результаты работ [31, 48]. заключаем, что в этом случае одномерный ЭГ солитон неустойчив по отношению к длинноволновым возмущениям, зависящим от х, и устойчив относительно зависящих только от & .
Согласно результатам предшествующих разделов, устойчивость квазиод- номерного солитона необходимо исследовать с учетом векторной нелинейности. При этом, используя метод, изложенный в разд. 4.1-4.3, уравнение малых гармонических возмущений ЭГ солитона представляем в виде:
$о [а 弘丄© -е0Ф + 2дФ0ф]=
(4.123)(4.123)
(4.123)
(4.123)
Здесь Do — невозмущенная часть оператора D и определяется выражением (4.101).
(4.124)(4.124)Решая (4.123) разложением в ряд по малым параметрам аналогично разд. 4.1-4.3, приходим к дисперсионному уравнению малых возмущений солитона:
(4.124)
(4.124)
Q2 =-—+а2к?.аи
Здесь а2 означаетЗдесь а2 означаета2 =а2 =-v[i+v)+a>e+S (4J25)-v[i+v)+a>e+S (4J25)
Здесь а2 означает
Здесь а2 означает
а2 =
а2 =
-v[i+v)+a>e+S (4J25)
-v[i+v)+a>e+S (4J25)
а величины а“，а】？，а[?, а[?,屮 и G определяются выражениями (4.11 ЗН4.116) с р = ссо 2 /(uBoqao). Частота и волновой вектор возмущений солитона обез- размерены так, что к丄二卜^%#, к； =kza0/(ae0), Q = соао/(8o/2uo), ^ = 8д2т|/а0. При получении (4.124) мы распорядились свободным параметром и,； так, чтобы в (4.124) отсутствовали члены вида Окц. При этом U|； оп- ределяегся равенством
Ui( =— 1 + -^- . (4.126) К аи丿
Кроме того, было учтено (как и в предшествующих разделах), что оператор Dq1 имеет вид:
$j】F = e"iv J%ivFd^ . (4.127)
Очевидно, что векторная нелинейность существенна, если к丄卩»1. Учитывая, что по предположению к± < I"1 (ls — размер одномерного солитона), приходим к выводу о существенной роли векторной нелинейности при условии локального приближения (2.63).
В предельном случае к丄卩一>8 величина ап отрицательна, поэтому согласно (4.124), ЭГ солитон устойчив по отношению к возмущениям с ki( = 0. В то же время неустойчивыми являются косые возмущения, к；； 0, поскольку асимптотики величин а12, а^^ являются осциллирующими функциями кхц(~ sin(3k±|i/2-7r/4)). Противоположная ситуация имеет место при к丄卩 f 0 : солитон неустойчив при кц = 0 и устойчив при к丄=0 ・ Неустойчивость одномерного ЭГ солитона, по-видимому, приводит к образованию двумерных структур ЭГ волн, представленных в разд. 2.2.1.
Устойчивость одномерного КВД солитона. Динамика КВД структур в ^магниченной плазме описывается уравнением непрерывности (2.13) и продольного движения (2.12) электронов и законом Больцмана для ионов (2.18). Согласно результатам разд. 2.1, эта система имеет стационарное решение в
виде одномерного солитона с фронтом, наклонным к магнитному полю немалым углом, |а| «1. Исследуем устойчивость этого решения относительно малых возмущений, слабо зависящих от х, z, t. Для простоты предположим что солитон перемещается поперек магнитного поля (а = 0). При этом исхо.】、 ные динамические уравнения упрощаются, и сводим окончательно задачу об устойчивости КВД солитона по отношению к малым трехмерным возмущеви. ям к уравнению вида:
$о (PeiP^ - £。+ 2qcp()©)=-丄粤-p：i$o т-^ ~~ту^Ф--(4.128)
'/ u ot ox u oz
Здесь Do означает невозмущенную часть оператора D:
Da =FФл ,0 an ив0 °ax
，心,u，心,un = y-ut,n = y-ut,ФоФоe дхп/дх(У^ Г|^ch"2(e1/2r|/2pei).e дхп/дх(У^ Г|^ch"2(e1/2r|/2pei).(4.129)(4.129)
，心,
u
，心,
u
n = y-ut,
n = y-ut,
Фо
Фо
e дхп/дх(У^ Г|^ch"2(e1/2r|/2pei).
e дхп/дх(У^ Г|^ch"2(e1/2r|/2pei).
(4.129)
(4.129)
Решаем (4.128) в духе предшествующих разделов, полагая гармонические возмущения солитона ф низкочастотными и длинноволновыми. Дисперсионное уравнение малых гармонических возмущений получаем как условие ортогональности для фз интегрированием соответствующего уравнения третьего порядка с весом leiv -lj/(ik±|Li) (где ^ = к±цФ0, ц = ce3z2 /(uBoq)). Оно имеет вид:
а^2 +a±kj —2卩片=0.а^2 +a±kj —2卩片=0.(4.130)(4.130)
а^2 +a±kj —2卩片=0.
а^2 +a±kj —2卩片=0.
(4.130)
(4.130)
а】=^Jdg(l-cosw)G(9，
(3)J(4.131)
a丄=jd&崂，a ll=(k ^
Величина G(? определяется выражением (4.113) с Ф0(^) = ЗсИ"2(^/2)/2, 自=e1/2T|/pei ； частота Q и волновые векторы возмущения к丄,к” обезразмеренЫ следующим образом: к丄=k±pei/£1/2, к“ = kzcsepci/(u£), С = copci/(ue3/2 j.
Проведем анализ дисперсионного уравнения КВД солитона (4.130) в предельных случаях. При к_ц — 0, когда векторная нелинейность неважна, из (4.130) следует известный результат, полученный для длинноволновых дрей- ф0Вь!Х соли гонов Петвиашвили [31,46]:
C2=-C]k：+C2kj,(4.132)
где
С】=%‘ C2=%j5dg'¥=j(4G/2)d&. aiai
Уравнение (4.132) описывает неустойчивость одномерного КВД солитона по (пношению к возмущениям с k, 2 к”, которая должна приводить к образованию двумерного круглого солитона. По отношению к возмущениям с к丄=0 КВД солитон устойчив, что понятно из того факта, что при 5/5х = 0,D—>о/5^ исходное нелинейное уравнение (4.128) представляет собой двумерное уравнение Кадомцева―Петвиашвили с отрицательной дисперсией. В случае более коротковолновых мод возмущений солитона, таких, где к±ц »1, из (4.131) получаем а! -21п(к±ц)/(к±|1)2 ,а(( = 41п(к±ц)/(к±ц)2. В результате дисперсионное уравнение сводится к виду:
(4.133)
Существенным моментом, обнаруживаемым для мод с к丄卩 »1, является стабилизация чисто поперечной неустойчивости к ； = 0, которая имела место при к丄н т 0. При этом, однако, неустойчивыми могут стать возмущения с ку н 0, приводящие к образованию двумерных круглых КВД солитонов.
・ Эксперименты по обнаружению устойчивых регулярных вихревых структур в диспергирующей среде
Актуальной проблемой физики нелинейных структур в замагниченной Плазме является экспериментальное подтверждение их существования. Такие ^уктуры в плазме весьма трудно обнаружить, поскольку для этого необхо- 电Мо применить сложные многозондовые и голографические измерительные приборы для получения мгновенной картины распределения волновых вели- "нн (плотности, скорости, потенциала и т. д.).
В первую очередь отметим наблюдения, сделанные на Q -машинах Н. С. By、 чельниковой с соавторами [66, 67], Хенделом [68] и Политцером [69]. Целью этих экспериментов было исследование турбулентности плазмы, возникающей при развитии дрейфовой неустойчивости. Авторы [66, 67] однако пришли к в&. воду, что в условиях их эксперимента дрейфовая неустойчивость приводит не к турбулентным флуктуациям, а к возбуждению регулярных пилообразных колебаний конечной амплтпуды, которые на языке современной нелинейной теории представляют собой цепочку или решетку солитонов. Об аналогичных результатах сообщали и авторы работ [68, 69]. Регулярный характер градиентных волн отмечался также в экспериментах по высокочастотной центробежной дрейфовой неустойчивости [70,104] и пучково-дрейфовой неустойчивости [71,72].
В работах [77, 209] экспериментально исследуются возбуждение и взаимодействие конвективных ячеек в плазменном объеме Q -машины. Эти структуры в значительной степени аналогичны двумерным вихрям в несжимаемой жидкости и плазме. Взаимодействие вихрей-ячеек носит нелинейный характер. Ячейки одинаковой полярности сливаются и образуют одну мощную ячейку; ячейки разной полярности возмущают орбиту вращения друг друга.
В экспериментах в магнетронной плазме [210, 211] наблюдалось образование электронных регулярных вихрей. Структуры сохраняют свою целостность достаточно длительное время и сложным образом взаимодействуют между собой.
Отмеченные эксперименты указывают на реальную возможность образования регулярных (когерентных) структур в замагниченной плазме. Более четкое экспериментальное доказательство существования и динамики плазменных вихревых структур в настоящее время, по-видимому, отсутствует. Поэтому предсказание свойств дрейфовых структур в замагниченной плазме в основном проводится на модельных гидродинамических установках. При этом учитывается аналогия между дрейфовыми волнами в плазме и волнами Россби в атмосфере планет и во вращающейся жидкости. Аналогия основана на сходстве действия силы Кориолиса на частицы атмосферы (жидкости) и силы Лоренца на заряженные частицы в плазме (см. гл. 5).
Результаты опытов на мелкой воде во вращающемся сосуде параболоидальной формы [212, 213] дают определенное представление о дрейфовых структурах в замагниченной плазме. Из этих экспериментов следует, что солитон Россби, аналогичный дрейфовому скалярному (монопольному) солитону в плазме, — это вихревая структура, которая имеет достаточно большую амплитуду и поэтому содержит в своей центральной части замкнутые линии тока, отделенные от остальной части вихря некоторой сепаратрисой; частицы среды, заключенные внутри сепаратрисы, перемещаются вместе с вихрем; знак циркуляции вихря — антициклонический. Две такие структуры сталкиваются неупруго, в частности, сливаются и не проходят сквозь друг друга, как «волновые» солитоны [57, 58] (отличающиеся от «+вихревых» солитонов тем, что имеют амплитуду, меньшую некоторой критической, и вследствие этого не содержат в себе области замкнутых линий тока с захваченными частицами).
рассматриваемые эксперименты показывают также, что скалярная нели- кейность. формирующая монопольный вихрь, в то же время разрушает ди- польный вихрь, если его характерный размер (а) существенно превышает лонный ларморовский радиус рн (а » pj (для дрейфовых волн в плазме и радиус Россби для геофизических течений). Наблюдаемый в опытах распад ^упномасштабного дипольного вихря приводит к формированию долгожи- вущего антициклонического монопольного солитона и быстро распадающего- ся циклона. Численный счет [151, 214, 215], проведенный непосредственно для плазмы, качественно подтверждает этот результат. Если характерный раз- мер дипольного вихря меньше или порядка ларморовского радиуса ионов (а 4 pj, то и дипольный вихрь является долгоживущим.
Таким образом, можно заключить, что в диспергирующих средах устойчивыми и долгоживущими структурами являются монопольные вихри (солитоны), а также мелкомасштабные (а 4 р) дипольные вихри.
・ Обсуждение результатов
Мы исследовали вопрос о трехмерном обобщении уравнения Кортевега — де Вриза (КдВ) для магнитозвуковых (М3) волн и нашли, что таким обобщением является уравнение (4.27). В предельном случае НЧМЗ волн это уравнение сводится к трехмерному уравнению КП (4.36), тогда как в другом предельном случае ВЧМЗ волн оно представляет собой уравнение (4.38), по структуре существенно отличное от трехмерного уравнения КП (см. также (4.42)).
Мы использовали эти уравнения для анализа устойчивости одно- и двумерных М3 структур и показали, что характер устойчивости ВЧМЗ солитонов качественно отличается от того, что следует из результатов анализа трехмерного уравнения КП. В частности, двумерные ВЧМЗ структуры в отличие от предсказаний работы [203], оказываются устойчивыми относительно длинноволновых трехмерных возмущений. В определенном смысле, нелинейные ВЧМЗ волны в холодной плазме обладают большей устойчивостью по сравнению с НЧМЗ волнами. Это связано с анизотропией дисперсии ВЧМЗ волн; эффект стабилизирующего действия анизотропии среды на неустойчивость солитонов отмечался также в [216]. Следует заметить, что в горячей плазме прн больших значениях давления плазмы, ре (Ре — отношение давления электронов к давлению магнитного поля) для волн с и ＞。忆 соотношение дисперсионных масштабов вдоль и поперек магнитного поля изменяется, что ®риводит к появлению неустойчивости ВЧМЗ структур, отсутствующей в хо- лодной плазме [217]. В этом случае анизотропия дисперсии ВЧМЗ волн стано- вится дестабилизирующим фактором.
Факт устойчивости двумерных ВЧМЗ структур может оказаться важным в прикладном отношении (например, для построения структурной турбулентно- ^ магнитоактивной плазмы).
Наше трехмерное нелинейное уравнение (4.27) учитывает наряду с тра」к ционными эффектами теории М3 вол» также эффекты векторной нелинейност { Из нашего анализа следует, что векторная нелинейность важна для солитонов достаточно большой амплитуды, h ^(me /т；)! 4 . Такие солитоны соответстну. юг магнитозвуковым колебаниям с характерной частотой со > coLH (me /т^ 了 ' а это как раз та часть спектра М3 волн, где начинается переход от М3 воли к нижнегибридным волнам. Мы выяснили влияние векторной нелинейное! и на устойчивость одномерных М3 солитонов. Оказалось, что такая нелинейность влияет на инкремент и условие возникновения неустойчивости, но такое влияние в основном количественное, а не качественное.
Исследована устойчивость простейших из дрейфово-магнитозвуковых (ДМ3) структур ——квазиодномерных солитонов по отношению к длинноволновым трехмерным возмущениям с учетом векторной нелинейности. Показано, что в случае отрицательной дисперсии ДМ3 волн, т. е. при условии и > ас Ае, одномерный солитон устойчив по отношению к рассмотренным трехмерным длинноволновым возмущениям. При положительной дисперсии, т. е. при и < ас Ае, неустойчивыми оказываются возмущения с к1； = 0. В результате развития неустойчивости одномерного солитона должны образовываться двумерные ДМ3 структуры, рассмотренные в ел. 2.
На основе трехмерного нелинейного уравнения, описывающего слабо- диспергирующие нижнегибридно-дрейфовые (НГД) волны, изучена устойчивость квазиодномерного НГД солитона. Показана устойчивость солитона по отношению к длинноволновым трехмерным возмущениям. В приближении малости векторной нелинейности этот результат согласуется с известным выводом об устойчивости одномерных солитонов в средах отрицательной дисперсии. Сделан вывод о возможной роли НГД волн на начальной стадии высокочастотного нагрева плазмы.
Исследованы устойчивость коротковолново-дрейфовых (КВД) и электронно-градиентных (ЭГ) структур по отношению к малым трехмерным возмущениям. Установлено, что в условиях сильной векторной нелинейности (к丄卩 » 1) квазиодномерные КВД и ЭГ солитоны устойчивы по отношению к возмущениям с к卩=0. Противоположная ситуация имеет место при (к丄卩 т 1): в этом случае одномерные КВД и ЭГ солитоны неустойчивы по отношению к трехмерным возмущениям. В результате развития такой неустойчивости должны образовываться двумерные структуры КВД и ЭГ волн, представленные в гл. 2.
Естественно, что, поскольку мы рассмотрели лишь длинноволновые возмущения, вопрос об устойчивости как одномерных, так и двумерных скалярных структур нельзя считать окончательно решенным, и требуется анализ более коротковолновых возмущений. Следует также иметь в виду, что возможны возмущения структур, не описываемые нашими динамическими уравнениями
Такие возмущения могут развиваться на фоне нелинейной структуры при уче- 代 отклонения от квазинейтралыюсти, вмороженности магнитного поля и т. п. Примеры таких возмущений и связанные с ними неустойчивости рассматри- рались, в частности, в работах [218, 219]. Согласно [218], эти неустойчивости ограничивают время существования структуры. Однако, как правило, такого рода возмущения оказываются высокочастотными и коротковолновыми по отношению к частоте и длине рассматриваемых нами колебаний. При этом разрушение нелинейной структуры происходит за счет диффузии магнитного ноля на фронте структуры. Характерное время такого процесса, вообще говоря, велико по сравнению с обратными характерными инкрементами обсуждаемых нами неустойчивостей.
В разд. 4.5 проведен анализ результатов экспериментального наблюдения дрейфовых регулярных структур в замагниченной плазме и в геофизических течениях. Лабораторные [66-72, 77, 209-213] и численные [214, 215] эксперименты показывают, что дрейфовые структуры в плазме (и нелинейные вихревые структуры волн типа Россби в атмосферах планет и океанах) представляют собой образования, содержащие захваченные частицы. Поэтом% перемешиваясь в среде, они переносят частицы и могут быть причиной дрейфовой турбулентности (см. гл. 6). Взаимодействие структур носит, в основном, неупругий характер. Долгоживущими и устойчивыми оказываются монопольные антици- клонические вихри, а также связанное состояние типа циклон — антициклон (дипольные вихри), характерный размер которого порядка ионного ларморовского радиуса (радиуса Россби).
Глава 5
Генерация вихревых структур и их динамика в диссипативной диспергирующей среде
В последнее время в связи с развитием плазменных исследований — с улучшением возможностей наблюдения, созданием мощных пучковых и волновых источников, усовершенствованием наземных, спутниковых и ракел ных наблюдений за динамикой волновых возмущений в атмосфере, ионосфере —— магнитосфере Земли, большое внимание привлечено к нелинейным волновым процессам. Это обстоятельство обусловлено пониманием важной роли подобного рода колебаний как для лабораторной [114, 115], так и ионосферной [8] и магнитосферной [220] плазмы, а также для общей циркуляции атмосферы [5]. океана [4], изменения климата [21] и прогноза погоды [22]. Как показано в предыдущих главах, дрейфовые волны самопроизвольно локализуются в виде нелинейных регулярных структур, взаимодействие которых с частицами существенно может повлиять на макроскопические свойства среды (см. гл. 7). Обычно такие структуры возникают спонтанно из-за различного воздействия и являются нелинейной стадией их развития.
Во введении и первой главе уже было отмечено, что динамика низкочастотных дрейфовых волн в проводящей среде (плазме, ионосфере) и волн Россби в нейтральной атмосфере и океане происходит аналогично. Поэтому с целью единого рассмотрения этих процессов было бы полезным проанализировать это сходство более подробно, что и будет сделано в разд. 5.1.
Изучая существование дрейфовых структур в замагниченной плазме, мы до сих пор не исследовали возможность их генерации и усиления вследствие резонансных и диссипативных эффектов. Поэтому вопрос о том, имеют ли дрейфовые структуры отношение к проблеме градиентных и диссипативных неустойчивостей, является актуальным. Исследование этого вопроса, а также временной эволюции вихревых структур в неидеальной диссипативной среде является целью настоящей главы.
В разд. 5.2.1 мы излагаем общий подход к исследованию влияния «неидеальных» (резонансных или диссипативных) эффектов на дрейфовые солитоны. В разд. 5.2.2 рассматривается взаимодействие дрейфовых солитонов с резонансными электронами. В разд. 5.2.3 выясняется роль эффекга конечной электронной теплопроводности для солитонов в столкновительной плазме.
В разд. 5.3 рассматривается задача о циклотронном резонансном взаимодействии коротковолново-дрейфовых (КВД) солитонов с ионами плазмы. Многомерная теория возмущения для вихревых струюур строится в разд. 5.4 и 5.5.
В разд. 5.6 исследовано влияние желобковых и баллонных неустойчивостей ^еды на возбуждение и самоподдерживание векторных вихревых структур.
Аналогия динамики дрейфовых волн в плазме и волн Россби в жидкой среде
Ниже будет показано, что двумерную динамику планетарных атмосфер, океана и магнитоактивной плазмы возможно описывать с помощью общего нелинейного уравнения переноса вихря — уравнением q叩ни (для атмосферы и океана) и уравЕ гнием Хасегавы—Мимы (для магнитоактивной плазмы). В отличие от уравнения Навье―Стокса, уравнение Чарни допускает решение в виде двумерных локализованных регулярных вихрей в квазиоднородной среде и линейных волн (волн Россби в атмосферах планет и океанов и низкочастотных дрейфовых волн в магнитоактивной плазме) в неоднородной среде.
Нелинейное уравнение низкочастотных дрейфовых волн в магнитоактивной плазме
Мы рассматриваем замагниченную плазму низкого давления с градиентом равновесной плотности п0(х), температуры %(х) и однородного магнитного поля Во II z,(7п0,7Т}))||х. В такой плазме возможно существование низкочастотных (со «соВа, а = i,e) электростатических волн двух типов, в зависимости от поведения основных групп частиц ионов (i) и электронов (е). Эти волны играют важную роль в проблемах удержания плазмы в лабораторных условиях [1, 9, 109], динамики ионосферных и магнитосферных неоднородностей [6, 7, 17] и т. д. В длинноволновых по отношению к ионному ларморовскому радиусу колебаниях [9] ионы считаются холодными (工 <<Те) и описываются гидродинамическими уравнениями, а электроды распределены в поле волны по больцмановскому закону и выполняют пассивную роль, нейтрализуя возмущение плотности ионов. В неизотермической плазме с температурой ионов значительно большей температуры элек- Ч^онов (Tj »1^) возможно существование другого типа колебаний — коротковолновых дрейфовых колебаний [150]. Так как длина волны меньше Ионного ларморовского радиуса, то ионы распределены в поле волны по больцмановскому закону и только нейтрализуют возмущение плотности Электронов. Электроны в таких волнах считаются холодными.
Таким образом видно, что в дрейфовых волнах одна группа частиц в^. полияет активную роль, а другая — только нейтрализует возмущение плот, ности частиц первой группы. Поэтому, чтобы описать одновременно 川切乩 ные и короткие дрейфовые волны, мы посчитаем, что в плазме существ、© два сорта частиц, которые обозначим индексом аир, подразумевая под ними либо нонн, либо электроны в зависимости от типа колебаний. Torg поведение частиц в поле дрейфовой волны описываем замкнутой системой уравнений:
± + (VJ)V a=^V(p +(oBa[Va,e7VvVa,(5.1；
^ + V(naVa) = 0,(5.2;
np =поехр(-ерф/Тр), 1^=1^.(5.3)
Здесь Va — скорость частиц сорта a, а остальные обозначения стандартные; V — частота столкновений электронов о неподвижные ионы или частота столкновений ионов о нейтральные частацы (в слабоионизированной среде, ионосфере); na =n0(x)+ na —полная плотность частиц, nOl =nOe =n0(x), na — возмущение плотности; % = “р (х) — равновесная температура частиц сорта Р . (5.3) означает, что плотность частиц сорта 0 распределена по больп- мановскому закону и удовлетворяет условию квазинейтральнссти (п。= пр )•
Применив к обеим сторонам уравнения (5.1) операцию rot, вводя вектор завихренности & =【。乂 и воспользовавшись известными формулами векторного анализа
rot((VV)V)= rot^yVV2 -[VC]) = -rot[vn],» 小
rot [VC] = (СУ) V - CdivV -(VV)C,
получим уравнение
^(Ca+8Ba) + (Ca+8Ba)divVa =
= ((«a+«Ba)V)Va+Vadiv{Qa+coBa)-vfta,(5.5)
содержащее только скорость, где coBa = eaB0 /(mac). Здесь d/dt = 5/ct + Vj и предполагается, что v = const.
Дналоп!чно, из уравнений непрерывности (5.2), (5.3) имеем
divVa =-—lnna =~ a dt a dtdivVa =-—lnna =~ a dt a dt(5.6)(5.6)
divVa =-—lnna =~ a dt a dt
divVa =-—lnna =~ a dt a dt
(5.6)
(5.6)
Для исследования динамики дрейфовых волн удобно ввести малые параметры, характеризующие отношение частоты волны (возмущение) о ~ 3/力〜％▽ к циклотронной частоте, еш, и диссипативной частоты к циклотронной частоте, %，
1 а (о1 а (о% шВа at (оВа% шВа at (оВа(5.7)(5.7)
1 а (о
1 а (о
% шВа at (оВа
% шВа at (оВа
(5.7)
(5.7)
(5・8)(5・8)а также параметр, характеризующий амплитуду колебаний, еф,
(5・8)
(5・8)
Предположим теперь, что поле скоростей Va является двумерным, т. е.
I警卜%口"%1?%|▽丄V丄/I警卜%口"%1?%|▽丄V丄/(5.9)(5.9)
I警卜%口"%1?%|▽丄V丄/
I警卜%口"%1?%|▽丄V丄/
(5.9)
(5.9)
(5.10)(5.10)Ue \7丄=id / 5x + jd / Sy; i, j — единичные векторы вдоль осей хну, соогвет- ственно. Соотношение (5.9) физически означает, что инерция частиц сорта a Вдоль внешнего магнитного поля Во || ez является пренебрежимо малой. Для двумерной среды уравнение (5.5) (с учетом (5.6)) принимает вид:
(5.10)
(5.10)
dt[ пр 厂 пр
Далее предположим также, что характерный размер неоднородности равновесной среды (IVlnnoUvinl^l) много больше характерного размера возму-
Шения (|Vlncp|),
|Vln(p| т |Vln(p||Vln(p| т |Vln(p|(5.П)(5.П)
|Vln(p| т |Vln(p|
|Vln(p| т |Vln(p|
(5.П)
(5.П)
工 e. рассматриваем локальное приближение или приближение геометрической °птики. Заметим, что мы здесь изучаем плазму низкого давления
倒т = 8mo%p / Bq <v 1)，
匚так :
в которой неоднородность магнитного поля является слабой по сравнению с неоднородностью плотности частиц
(% »£в =|VlnB0|/|Vln(p|)
и, соответственно, |V 1п(р|. В этих условиях с точностью до членов порядка % решение уравнения (5.1) имеет вид:
Voa=Vla=-^[ezV(p],(5.12)
следовательно, для завихренности Q = QOaez имеем:
%=量2 3 京暴(5.13)
и оператор субстанционной производной равен
叵，"В ▽•(5 • 14)
Методом последовательных приближений легко можно найти решения (5.1) более высокого порядка по малому параметру е^. Но они нам не понадобятся, т. к. их постановка в уравнение (5.5) дает превышение точности. Учитывая это, подставив решения (5.12), (5.13), (5.6) в уравнение (5.10), находим
Отношение параметров % и еф (учитывая равенства (5.12), (5.13) м уравнение (5.15)) определяет характерную длину дисперсии возмущения, d,
%/%~P”：~kjp：~p：/d2.(5.16)
Здесь Pa = W тасода — ларморовский радиус частиц сорта а по температуре частиц сорта 0; k(kx,kysk2) — волновой вектор возмущения, к丄=(k； +kj) 2 — поперечное (по отношению к внешнему магнитному полю, к丄丄 В。) волновое число. Так что условие £9 « £« (низкая частота или
высокая амплитуда возмущения) означает к：р； «1, т. е. ра « kj 〜d (ддйнноволновое возмущение); соответственно, условие £3 > % означает 卜滋 2 L г е. d< ра и возмущение является коротковолновым.
Уравнение (5.15) описывает динамику нелинейного длинноволнового (kjp^ «1) дрейфового колебания в слабоионизированной столкновительной ллазме, если считать, что частицы сорта а ——это ионы, а частицы 0 ——электроны, V — частота столкновения ионов о нейтральные частицы. В противоположном случае, когда частицы сорта а — электроны, 0 — ионы, уравнение (5.15) описывает динамику коротковолнового (к：р^ > ]) дрейфового колебания в полностью ионизированной неизотермической плазме, при этом v — частота столкновений электронов о неподвижные ионы.
В линейном по возмущениям (~ 屮)приближении, в бездиссипативной плазме еш/еф ~ со/v >> k：p^, из уравнения (5.15) следует дисперсионное соотношение, определяющее частоту возбуждаемых дрейфовых волн:
°> = 7~К(5.17)
где со* = kyV>, V* = cl^aen /(ерВ0) — дрейфовая частота частиц сорта & «п =51пп0(х)/5х ・
Заметим, что характерный размер регулярной неоднородности для плотности числа частиц в ионосферной плазме порядка LN - |Vlnn0| - 100км = 105м, размер неоднородности температуры частиц —丄丁 ~ | V In % 卜 5 • 1 (f м, размер неоднородности магнитного поля Земли— LB ^|VlnB0|^(1064-107 ^м [221]. В плазме газового разряда характерный размер неоднородности плазмы определяется радиусом разрядной трубки и обычно составляет LN (14-3)-10~2м , Причем, как правило, LT »LN [222]. В высокотемпературной же плазме, Удерживаемой сильным магнитным полем в установках для управляемого синтеза, LN ~ LT ~ (14-10)-10~2м , а
Lb » Ln, o)Bi 生(1°8 -ь!О9)сек"1,со* =(105 н-107^сек'1,
LB » Ln , Ре 〜Ю~3м, еср/Те = (10~2-Ю'1),A=к；р*е(р/Те)= (1ОТ+1о-2)[1,223].
л. Короткие дрейфовые волны
В случае % ~ % 〜％ =，дрейфовые волны имеют длину порядка лар. моровского радиуса ра (k?p^ N1, коротковолновые возмущения). В термо, ядерной и ионосферной плазме ет 〜en » ev [1,220], и для таких сред в ；Пь иамическом уравнении (5.15) все основные члены имеют порядок е2, а член, связанный с градиентом температуры, имеет порядок е2ет =е3 и им можно пренебрегать. Тогда уравнение (5.15) для бездиссипативной плазмы с во. дится к виду:
mQ"之А9)+ %粤一^^ {屮,а丄(р} =0.(5.18)
Здесь введены обозначения для якобиана двух функций
{a,b} =5a/Sx-5b/5y-5a/5y-cb/dc
и для продольного лапласиана А丄=3? /дс? +6? /力？.
Уравнение (5.18) было получено в [39] для случая a = i, р = е (для холодных ионов и горячих электронов) и часто называется уравнением Хасега* вы—Мимы; а в случае а = е, р = i (холодные электроны и теплые ионы) впервые было получено в работе [181]. Последний член в (5.18) описываем векторную нелинейность, которая для коротких волн доминирует по сравнению со скалярной нелинейностью.
В газоразрядной плазме [222] и в определенных слоях ионосферной плазмы [221] температура среды имеет аномально большой градиент ет » еп. Для анализа такого случая вводим безразмерную температуру т(х)：
Тр(х) = Т0.т(х),(5 •⑼
где т(х) имеет величину порядка единицы и То = const. Тогда, сохраняя в уравнении (5.15) члены порядка е2 и £?£丁 и вводя безразмерные переменные r-^p0ar =(T0/(maco^a)jr, 1一吒* v -^ шВаV, ф -^ То • Ф/ер, имеем:
1^_д±ф_1пПо(х)) = уА±Ф.(5.20)
Уравнение (5.20) описывает динамику нелинейных коротковолновых дрейфовых волн в столкновительной плазме с высоким градиентом температуры.
Длинные дрейфовые волны
В области длинных волн (eQ « еф), когда характерная длина дрейфовых возмущений намного превосходит ларморовский радиус частиц сорта а, ра (к?Р^ << 1，см. (5.15)), в (5.15) легко можно заметить, что градиент темперами играет важную роль. В этих условиях в уравнении (5.15) необходимо сохранять члены порядка %, пренебрегать членом порядка 或 и выше (Ез » ev). При этом находим:
(1-Ра(х)Д1)^ + у*^ + аФ^ = °»(5.21)
где а = -(с/В0)51пТр/5х.
Уравнение (5.21) (сравните с [224]) содержит только скалярную нелинейность -aq>5(p/Sy, обусловленную градиентом температуры. Эта нелинейность первоначально учитывалась в работах [27, 28] для одномерной плазмы (А丄 Td2/5y2). Нелинейное уравнение длинных дрейфовых волн (5.21) сводится к классическому уравнению Кортевега — де Вриза, когда первый дисперсионный член заменяется на д /3tA±(p = 5/5t52(p/ Sy2 —> -р^ ¥*539/ 5y3 (что верно в пределе рассматриваемых нами длинных волн, р：А丄=k jp： т 0).
(5.22)(5.22)Разъясним физический смысл скалярной нелинейности в уравнении (5.21). Нелинейность (〜cup即/5у) вызывает постоянное укручение возмущений до тех пор, пока волновая дисперсия (~р込丄加/St) не скомпенсирует нелинейность ^k2p^kV,Om =акуУ*Фт j. В этот момент из флуктуаций образуются солитоноподобные структуры. Комбинируя коэффициенты перед членом 5(р/5ув (5.21), замечаем, что нелинейные структуры передвигаются ВДОЛЬ оси у со скоростью
(5.22)
(5.22)
V = — = % + аср,dt
которая больше V*, при а(р/V* >0 и меньше V*, при acp/V* <0. Это озна- *ает, что скорость перемещения нелинейных структур (солитонов) лежит вне Интервала возможных разовых скоростей линейных периодических волн (Vn 乂). Физически это связано с тем, что если бы скорость перемещения солитона совпадала со скоростью линейных периодических волн, то двигаю- 如员。只 солитон генерировал бы незатухающие периодические волны, и решеНия солитонного типа у исходного уравнения типа (5.21) не существовало бы.
В рассматриваемом случае иерархия порядков волновых величин пр^. сгав；1яется соотношением % 〜е：〜^〜编=礙，и, учитывая (5.16). onpc.IC, лясм, что нелинейные структуры, описываемые уравнением (5.21), имеют ха. рактерный размер d ~ е~1/2ра .
Заметим, что уравнение (2.21) следует и из более общего уравнения (5.21), если учесть, что для длинных возмущений
[V(pez]VA±cp - ср2 /d4 « ф2 /d - ср6(р/су.
Нелинейное уравнение волн Россби в атмосфере и океане
В атмосферах вращающихся планет и океанах по разным причинам очень часто возбуждаются движения, горизонтальный масштаб которых достаточно велик по сравнению с вертикальным масштабом. При этом различают баротропные и внутренние моды. В баротропной моде фаза осцилляций частиц не зависит от высоты (глубины), а во внутренней (бароклинной)——существенно меняется с высотой. Баротропные движения в среде хорошо описываются уравнением мелкой воды с добавлением силы Кориолиса. Они выводятся из трехмерных уравнений гидродинамики с предположением постоянства плотности несжимаемой среды и малой глубины (D) по сравнению с горизонтальными размерами возмущений (£) (т. е. 5 = D/L « 1) путем интегрирования по вертикальной координате и, с учетом вязкости среды, имеют вид [225]:
^ + (VV)V = -gVH + f [VeJ-ь vAV,(5.23)
Здесь V = V1(Vx,Vy)Здесь V = V1(Vx,Vy)^ + div(HV)= 0.(5.24)
Здесь V = V1(Vx,Vy)
Здесь V = V1(Vx,Vy)
—горизонтальная составляющая скорости, зависящая
от горизонтальных координат х, у и времени /; Н = Но (1 + h) — полная глубина жидкости, Н()(х,у) — невозмущенная глубина жидкости, учитывающая неровности дна или высоту одаородной атмосферы (зависимость Н0(х) означает существование зонального течения вдоль оси у); далее для простоты будем предполагать, что Но = const; h(x,y,t) —относительное отклонение глубины жидкости от равновесия; f (х) — параметр Кориолиса, f = 2о)о sin а (где а ——широтный угол и ш0 — частота вращения планет); v — кинематическая вязкость жидкости, предполагаемая здесь постоянной; g ——постоянное
ускорение падения; ось z направлена по вертикали, ось х — на юц ось у — на восток. Так что. мелкая вода в математическом смысле эквивалентна двумерному сжимаемому газу с плотностью Н = H0(l + h).
Введем вектор завихренности
8V 6V
(5.25)(5.25)ft = rotV=Qez, С =—上亠Lde dy
(5.25)
(5.25)
х(хгорый в рассматриваемой нами двумерной среде направлен вдоль вертикальной оси. Тогда, применив к обеим сторонам уравнения (5.23) операцию ротора, по аналогии с пунктом 1.1 имеем:
弋Ad弋Ad(5.26)(5.26)
弋Ad
弋Ad
(5.26)
(5.26)
Уравнение (5.26) удивительно похоже на уравнение дрейфовых волн (5.10). Неоднородность фоновой среды в уравнении (5.26) учитывается зависимостью f(x), в отличие от дрейфовых волн в плазме (5.10), где неоднородность среды охватывается равновесной плотностью п0(х).
Далее будем рассматривать движения, при которых отклонение от равновесного состояния является малым (h «1), но конечным, и введем малые параметры, характеризующие частоту возмущения со
15 ш Q,V , у …
у^^у ®у= pRVln~ << €v = у «Ь (5.27)
(где f — среднее значение параметра f); h — амплитуда возмущения eh = h«l.(5.28)
Тогда с точностью до первого порядка малости по (в нулевом по ею приближении), решение уравнения движения (5.23) имеет вид:
%=牛卜产切，(5.29)
н，соответственно,
% =腓但-个 Vh).(5.30)
Учет членов более высокого порядка малости по еш в решении уравне- Ння движения настолько усложняет динамическое уравнение (5.26), что целе-
178匚%
——-
сообразно ими пренебрегать, тем более, что вклад от таких малых членов в нелинейной динамике возмущений ничтожно мал. Мы введем также отноц1г. ние двух малых параметров (5.27) и (5.28), определяющее характерную длину возмущения d
ew/en -р^Л-р^/d2,(5.3"
где pR =cg/f — радиус Россби (радиус деформации)^cg = pRf =(gH0)1 2 一 скорость звука в изотермической среде, pR — среднее значение параметра Кориолиса.
Будем работать в приближенной геометрической оптике, т. е. считать, что характерная длина возмущения много больше, чем характерный размер изменения параметра Кориолиса:
£f ^|Vlnf|/|Vlnh| «1.(5.32)
Линейное по возмущениям (h 〜exp^i(kr-cot)]j решение уравнения (5.26) в области частот % » ev дает дисперсионное соотношение для волны Россби
(5.33)(5.33)Sr
(5.33)
(5.33)
l + k?p^
Здесь % =kVd,Vd =Cg[ezVlnf]/f — скорость Россби (дрейфовая скорость). Волны, описываемые этим уравнением, носят имя шведского геофизика Россби, первым оценившего их роль в формировании погоды в атмосфере и океанах, и в настоящее время играют центральную роль в мегеорологии и океанологии. Соотношение (5.33) по виду совпадает с дисперсионным уравнением дрейфовых волн (5.17) при замене ра -> pR, со* ->(oR н V. т %.
Представим параметр Кориолиса f(x) в виде разложения в ряд Тейлора
(5.34)(5.34)f = f0 +fjX + f2^- + ---,
(5.34)
(5.34)
где (^ >f^ >f2 >... = const.
Тогда отношению двух параметров ef и eh можно придать ясную интерпретацию
生〜宫(5.35)
年 |V0|
—оно определяется отношением фазовой скорости линейных волн Россби % = p^f] к характерной скорости жидкости (5.29).
Я1.2.0. Короткие волны Россби
Для коротковолновых возмущений, когда длины волн порядка радиуса россбн kjp^ > 1, малые параметры, введенные выше, имеют следующую иерархию ev « ew - ef ~ eh = е. В этом случае, подставляя (5.29), (5.30) в общее динамическое уравнение (2.26) и сохраняя члены порядка е2, находим:
(5.36)(5.36)^•(h-p^A 丄 h) +Vd^-p^f(){h,Ah 丄} =0.
(5.36)
(5.36)
狄 уравнение называется уравнением баротропной завихренности или уравнением Черни, предложенным для описания волн Россби в атмосфере [32]. В плазме ему соответствует уравнение для коротковолновых дрейфовых волн (5.18), полученное Хасегавой и Мимой [39]: они с точностью до переобозначения совпадают друг с другом.
Длинные волны Россби
Если длина возбуждаемых возмущений намного больше, чем радиус Россби, т. е. kjp^ «1, тогда из (5.31) следует, что параметры возмущения удовлетворяют соотношению ev « е^ « eh ^ef » р^ /d2 «ij. Тогда, сохраняя в (5.26) члены порядка % (а членом С надо пренебрегать), имеем:
产小寸.产小寸.(537)(537)
产小寸.
产小寸.
(537)
(537)
В этом нелинейном уравнении отсутствует эффект, препятствующий нелинейному укручению фронта волн (эффект дисперсии р^А) и за конечное время на профиле волны образуется особенность — сингулярность (т. н. простые волны [2]). Далее происходит перекачка энергии возмущений в короткие волны вдоль у и, как следствие, формирование зонального течения вдоль оси у. Возмущения передвигаются вдоль оси у со скоростью
(5.38)(5.38)v=^ = Vd(i+h).
(5.38)
(5.38)
Если в уравнении (5.26) сохранить малые, но конечные дисперсионные ^ены, обусловленные завихренностью С , тогда получаем уравнение
気 h-p2)+ Vd^ + Vdh^ = 0,気 h-p2)+ Vd^ + Vdh^ = 0,(5.39)(5.39)
気 h-p2)+ Vd^ + Vdh^ = 0,
気 h-p2)+ Vd^ + Vdh^ = 0,
(5.39)
(5.39)
совпадающее с основным уравнением дрейфовых волн (5.21). Дисперсщ“八 ный член (второй член в скобке) в (5.39) препятствует нелинейному укруЧе. нию и опрокидыванию волн и приводит к образованию нелинейных рер. лярных солитонных структур, как это имело место для дрейфовых волн \ плазме (см. пункт 1.1.6). Интересно сравнить уравнения (5.18) или (5.36丿 с аналогичным уравнением, полученным на основе двумерного уравнения Эйлера для несжимаемой (divV = 0)однородной среды:' pdV/dt = -VP (「欠 р = mn = const массовая плотность среды). Вводя функцию тока 屮，через соотношение V =叵^屮]и подействовав оператором rot, это уравнение приводим к виду:
=0.
Аналогичное уравнение получается из (5.18) (или (5.36)) при условии А±ф/(р, А丄h/h -> оо и n0 /соВа, H0/f = const. В линейном приближении из (5.40) следует, что частота описываемых возмущений ш-> 0. Это означает, что в среде, описываемой уравнением (5.40), колебательные (волновые) движения не возникают. В данной системе возбуждаются сильнонелинейные моды —конвективные движения. Поэтому уравнение (5.40) иногда называют уравнением нелинейных конвективных ячеек [117] (ср. с (1.2)).
Анализ, проведенный в разд. 5.1, позволяет установить следующую аналогию между дрейфовыми волнами в замагниченной плазме и волнами типа Россби в жидкой среде (см. таблицу)
Выделим следующие основные параметры, влияющие на пространственно-временное распределение возмущений (ветров) на рассматриваемой высоте атмосферы: параметр (частоту) Кориолиса — f , скорость звука — cg, радиус Россби — Pr , частоту Брета—Вяйсяля — N , шкалу высот атмосферы (или высота однородной атмосферы) — Но и скорость Россби или дрейфовую скорость - Vd. Они определяются соотношениями:
f = 2ш0 sina, pR =cg/f, N=g/Cg, <dr = ky Vd>
% =《/g ? Cg /N, Vd = c^cosa/(Rf),
где угловая скорость вращения Земли соо ^Т-Ю^сек'1, радиус Земли R = 6106m, a —географическая широта, ky —горизонтальное волновое число, ускорение силы тяжести g = 10м-сек"1, cg = 300м-сек"1. Тогда N = 2-10~2ceK \ pR=2-106/sina-M,H0«8-103M, wR/f ^Ю^1 [13,223,225}
Таблица
Дрейфовые волны
Волны Россби
.равнение Хосегавы—Мимы (5.18)
(1-A J^- + U.石-{①,a丄①} = 0
Уравнение Черни (5.36)
0 - "丄陪+ % ^ 一仙' a丄4 = 0
Электрический потенциал 岭山ь闺^?力Зb』
Возмущение глубины жидкости:
h(x,y,t)偽 h 停大"
Сила Лоренца ^„^[V^]
Сила Кориолиса: pf[V|.ez]
Ex В Дрейфовое течение:
V丄噫%△◎]
Геострофическое течение:
V丄幸z叫
Циклотронная частота:
®Ва=еВо/ста
Параметр Кориолиса: f
Размер неоднородности плазмы:
公『
Размер неоднородности параметра Кориолиса
Радиус Лармора: Ра = cs/coBa
Радиус Россби: pR =cg/f
Ионно(электронно)-звуковая скорость cs=(Ta/mp)1/2,
Где Та — температура частиц
сорта a
Скорость гравитационной волны:
CgKgH 产，
где Н — полная глубина жидкости.
Дрейфовая скорость: V* = cspa。曲必 :(U=V,/(pa(o9a))
Скорость Россби： % = CgpR~-
低〜/孤切
Дисперсионное соотношение:
i1 + kPa
Дисперсионное соотношение: kyVd СО = J с с
1 + k Pr
Законы сохранения для бездиссипативных дрейфовых волн и волн Россби
В бездиссипативной плазме (v = 0)из динамического уравнения 口ву^ср. ных дрейфовых волн (5.10) следует, что вдоль траектории, жидкости сохраня. ется так называемый потенциальный вихрь nd (теорема Эртеля):
(5.41)(5.41)
(5.41)
(5.41)
+ (▽6)2 dxdy.+ (▽6)2 dxdy.Умножая уравнение (5.10) или (5.20) на Ф и интегрируя по всем х и у. устанавливаем, что сохраняется энергия дрейфовых колебаний Е, которая имеет вид (при v = 0):
+ (▽6)2 dxdy.
+ (▽6)2 dxdy.
(5.42)
Интегрируя уравнение (5.10) или (5.20) по всем х, у, получаем, что сохраняется безразмерная масса возмущенной жидкости
0M1 f ①
—=0,М=- -^dxdy,(5.43)
ot2 J т(х)
так как по определению безразмерная масса (см. (5.3))
М = J(np -no)/nodxdy s Jo/x(x)dxdy.
В приближении однородной темнературы (т(х) = const) уравнение (5.10) переходит к уравнению типа Хасегавы―Мимы (5.18) и при дополнительном предположении постоянства дрейфовой скорости (V. = const) сохраняет обобщенную экстрофию дрейфовой волны (возмущений) К :
^■ = 0, K = gj ^^~ +(Рф)2 收®.(5.44)
Соотношение (5.44) непосредственно следует из уравнения (5.18), если его помножить на АФ и проинтехрировать по всем х и у.
Кроме этого, уравнения (5.10), (5.20) сохраняют во времени интегралы вида (интегралы вмороженности):
(5.45)(5.45)】f [D] = j[f(q)-f(q(O))]dxdy,D
(5.45)
(5.45)
^де второй член в подынтегральном выражении введен для того, чтобы интегра- ди If имели конечные значения для локализованных структур [226], D — произвольная область, граница которой перемещается со скоростью жидкости VOa (2・12), f —произвольная функция, а
Я(Ф)= -1пп0(х)ч--~у-А1Ф.Я(Ф)= -1пп0(х)ч--~у-А1Ф.(5.46)(5.46)
Я(Ф)= -1пп0(х)ч--~у-А1Ф.
Я(Ф)= -1пп0(х)ч--~у-А1Ф.
(5.46)
(5.46)
Учитывая аналогию между динамическими уравнениями дрейфовых волн (5.10) и волн Россби (5.26), уравнением Хасегавы—Мимы (5.18) и Чарни (5.36), убеждаемся, что и для волн Россби соблюдаются законы сохранения, аналогичные законам (5.41R5.45). Например в безразмерных переменных 在ft, х, y/pR —> х, у, h/H° Th , для волн Россби сохраняется потенциальный вихрь U (см. (5.26)):
(5.47)
энергия волн —
E = |j[h2+(Vh)2]dxdy;E = |j[h2+(Vh)2]dxdy;(5.48)(5.48)
E = |j[h2+(Vh)2]dxdy;
E = |j[h2+(Vh)2]dxdy;
(5.48)
(5.48)
масса возмущенной жидкости ——
(5.49)(5.49)(5.50)(5.50)М = J hdxdy;
(5.49)
(5.49)
(5.50)
(5.50)
обобщенная (потенциальная) энстрофия волн —
K = lJ((Vh)2+(A1h)2)dxdy,
которая следует из уравнения Чарни (5.36), при % = const.
Резонансное и диссипативное взаимодействие 24 дрейфовых солитонов с частицами среды
В свое время Рудаков и Сагдеев [116] показали, что взаимодействие Дрейфовых волн (иногда их называют электронно-дрейфовыми или длинно-
24 См. [227].
волново-дрейфовыми волнами по отношению к ларморовскому радиусу иоь.；)^ к：р： « 1) с резонансными частицами в плазме с неоднородными плотносч ью и темпера1урой, находящейся в однородном мапштном поле, может приводить к. так называемым, дрейфовым (или градиентным) неустойчивостям. Такие нс”、 тойчивости возможны лишь в плазме с достаточно редкими столкновениями, когда длина свободного пробега частиц велика по сравнению & длиной волны возмущений. В противоположном предельном случае сильно-столкновителы юй плазмы дрейфовые волны могут раскачиваться вследствие диссипативных эф. фектов, связанных, например, с конечной электронной теплопроводностью [228]
Стандартный подход линейной теории дрейфовых неустойчивостей основывается на представлении о дрейфовых волнах как о монохроматических волнах с некоторыми фиксированными значениями волновых чисел и часто? (см., например, [9]). Вместе с тем, как отмечалось выше, в неоднородной плазме могут существовать уединенные дрейфовые волны конечной амплитуды (дрейфовые солитоны). В отличие от пакетов линейных волн, расплывающихся в пространстве из-за дисперсии, солитоны являются нерасплывающимися пространственно-локализованными образованиями и поэтому могут длительное время взаимодействовать с частицами плазмы.
Эволюция дрейфовых возмущений в неидеальной среде
Мы рассматриваем потенциальные длинноволновые ( k：p, vv 1) возмущения плазмы, Е = -V(p, помещенной в однородное магнитное поле В。，В° || z. Такие возмущения при не слишком малой плотности плазмы можно считать квазинейтральными, так что
nc iij,(5.51)
где пе, П{ —плотность электронов и ионов. Дифференцируя (5.51) по времени и используя уравнение непрерывности ионов, получаем:
登+也守"%=0,(5.52)
где j = 6田¥ — плотность ионного электрического тока, Y — макроскопическая скорость ионов, % — заряд иона.
В интересующем нас случае косых дрейфовых волн (а * 0), с учетом стандартного в теории дрейфовых волн условия % « VTc (где % — фазовая скорость волны, VTe — тепловая скорость электронов), легко увидеть, что распределение плотности электронов в поле электростатического потенциала Ф близко к больцмановскому (см. также гл. 2):
(5.53)(5.53)ne =n0(x)exp[-ee(p/Te(x)] + n；.
(5.53)
(5.53)
Здесь n(), 1c — плотность и температура электронов в нсвозмущенном со- 或янин, п^ ——пебольцмановская добавка к электронной плотности, которая 班дет вычислена ниже, ее =屮 一заряд злектрона. Физически п； в нашем случае будет характеризовать эффекты резонансного или диссипатавнотх) взаимодействия электронов с волной.
Аналогично (5.53), подставляем ионный ток j в виде:
(5.54)(5.54)ji=j；+j：・
(5.54)
(5.54)
Здесь j® — ионный ток, вычисляемый в приближении недессипативной гидродинамики, 工一часть ионного тока, соответствующая резонансному или диссипативному взаимодействию ионов с волной.
Величину j? представляем в виде
#=*收+%%) + r+儿#=*收+%%) + r+儿(5.55)(5.55)
#=*收+%%) + r+儿
#=*收+%%) + r+儿
(5.55)
(5.55)
Здесь Vf： = c[E,ez]/B0 — дрейф в скрещенных нолях, % — продольная скорость ионов, j： =c[ez,VP；]/B0 — ларморовский ток ионов из-за градиента ионного давления R, j] —инерционная часть поперечного тока ионов,
(5.56)
Комбинируя (5.51)-(5.56), приходим к уравнению:
(5.57)(5.57)*(₽一p/丄Q)-嘴-京V時++靑凯%吗件斗。.
(5.57)
(5.57)
Здесь
сТе石■/，/сТе石■/，/с 叽(х)с 叽(х)еВ0 5хеВ0 5х_6叫依) 6x，Ро =~2~» °Bi_6叫依) 6x，Ро =~2~» °Bi(5.58)(5.58)
сТе
石■/，/
сТе
石■/，/
с 叽(х)
с 叽(х)
еВ0 5х
еВ0 5х
_6叫依) 6x
，Ро =~2~» °Bi
_6叫依) 6x
，Ро =~2~» °Bi
(5.58)
(5.58)
cs 工 Те /mj — квадрат скорости ионного звука, coBi = еВ0 /п^с — циклонная Частота ионов, nJ — «неидеальная» часть плотности ионов, определенная ^отношением
譬+ div (力 e) = 0. (5,59)
Ниже ограничимся случаем плазмы с холодными ионами Те:» 工 弋“ Tj ——температура ионов). Переходим от переменных у, z, t. к переменных： г|, z, т, определенным соотношениями
г| = y + az-ut, z = z-ut/a, T = t,(5.60)
где a — угол между фронтом солитона и магнитным полем, rj, z, т — скс. рость солитона вдоль оси q, z, т ——«медленное» время, характеризующее изменение амплитуды волны, д/дт« -и5/5т]. Тогда с помощью уравнения продольного движения ионов находим
『静卜焉）插6嘿『静卜焉）插6嘿(5.61)(5.61)
『静卜焉）插6嘿
『静卜焉）插6嘿
(5.61)
(5.61)
где D"1 — оператор, обратный D,
(5.62)(5.62)D = 4-——[V<p,Vl .cn uB0L Jz
(5.62)
(5.62)
Постановка (5.61) в уравнение (5.57) дает [227]:
ЗдесьЗдесьстст6^Д1ф-Лф + 8ф2) + --^^1 + ^-~-理一6^Д1ф-Лф + 8ф2) + --^^1 + ^-~-理一(5.63)(5.63)(5.64)(5.64)
Здесь
Здесь
ст
ст
6^Д1ф-Лф + 8ф2) + --^^1 + ^-~-理一
6^Д1ф-Лф + 8ф2) + --^^1 + ^-~-理一
(5.63)
(5.63)
(5.64)
(5.64)
Решаем (5.63) приближенно, полагая
(5.65)(5.65)ф =(р(°)+ср ⑴,
(5.65)
(5.65)
и ср⑴ получаеми ср⑴ получаемгде <Р(" — «идеальная» часть потенциала,屮“)一малая добавка к ср(°), обу- сд0Вленная неидеальностью и приводящая к адиабатическому изменению ^ллитуды уединенной волны (затуханию либо усилению). Полагаем, что
и ср⑴ получаем
и ср⑴ получаем
ф(°)не зависит от z , т. е.屮⑼=屮⑼(х,г|,т). Тогда для 屮⑼ следующие уравнения:
(5.66)(5.66)DfA^-Acp^+Scp^^O,
(5.66)
(5.66)
=-upgD0 卜丄 ср ⑴-А(ра)+2s(pe)(p ⑴卜=-upgD0 卜丄 ср ⑴-А(ра)+2s(pe)(p ⑴卜(5,67)(5,67)
=-upgD0 卜丄 ср ⑴-А(ра)+2s(pe)(p ⑴卜
=-upgD0 卜丄 ср ⑴-А(ра)+2s(pe)(p ⑴卜
(5,67)
(5,67)
Здесь Do = D^(p =(p(。)
Используем (5.66) для нахождения формы дрейфовой структуры, а (5.67)——для проблемы усиления структуры вследствие резонансных и диссипативных эффектов.
равнение (5.66) допускает решения в виде одномерного солитона, двумерного круглого солитона, а также дипольного вихря (см. гл. 2). Далее для простоты пренебрегаем зависимостью ф^°)от х, Тогда уравнение (5.66) имеет солитонное решение
^0}=^ch-2(kQr]/2), (5.68)
где(р0 (амплитуда солитона) и к0 (обратная ширина солитона) определяются соотношениями:
(5.69)
(5.70)
(5.71)
Заметим, что (5.70) можно рассматривать как уравнение для парамезpa u при заданном к0:
u2(i-k；p；)-uV“e-a2c； =0.(5.72)
Эта связь аналогична хорошо известному дисперсионному уравнению д.1я монохроматических длинноволновых волн с частотой со и волновыми числами ку и kz [9]
(02(1 + к；р：)-схо.-к：с； =0,(5.73)
где со* = ку V*e. Основываясь на указанной аналогии, заключаем, что имеемся два типа дрейфовых солитонов: быстрый и/V*e > 1 и медленный u/V*c <0.
Уравнение (5.67) используем для изучения вопроса об эволюции солитона при наличии неидеальных эффектов, ^лножая на <р⑼ обе части (5.67) и интегрируя результат по координатам с использованием (5.66), получаем:
—fJ*(兄词)改卸,(5.74)
次 J 2^l + a2Cs /u2 jnoeJ 西
где черта сверху означает среднее по z . Это выражение можно переписать так:
二~J1dxd 斗(5.75)
女J 2' 丿(l + o^c'/MjnoeJ W
В правой части стоит член Ezjz — мощность, выделяемая в единице объема при наличии неидеальных эффектов. Член в левой части, естественно, будет характеризовать временное изменение энергии солитона.
Мы считаем к储 «1. Тогда можно пренебрегать зависимостью и от времени (см. (5.72)). Это обстоятельство фактически использовалось выше и будет использоваться в данном разделе.
Подстановка (5.68) в (5.74) дает:
沙 уравнение совместно с (5.71) является исходным для исследования влия・ йИЯ неидеальных эффектов на дрейфовые солитоны. При малых амплитудах (ефоz ^е «1) неидеальная часть плотности п' также мала, и усиление (задание) является адиабатическим, т. е. происходит с сохранением формы солитона (5.68). Величины к0 и ф0 при этом являются медленными функ・ пнями времени. Условие адиабатичности усиления (затухания) солитона — 6^у/к0Уф «1 (у — инкремент (декремент), %=и/а — продольная фазовая скорость волны).
Резонансное взаимодействие длинноволновых дрейфовых солитонов с электронами плазмы
В настоящем разделе полагаем, что основным неидеальным эффектом является взаимодействие волн с резонансными электронами, так что п； =п^\ п* =0.
В рамках линейной теории резонансное взаимодействие такого вида по Ландау описывается дисперсионным уравнением [116]:
со = kyV・e -屮％ (kyV4)2/(kzVTc).(5.77)
Видно, что Im(co) > 0, если т0 =51nl^ /Slnn0 <0 . Так что линейная стадия неустойчивости Рудакова ——Сагдеева развивается при условии т0 <0.
Необходимо отметить тот факг, что пространственная зависимость равновесной плотности плазмы п0(х) накладывает также важное условие и на исследуемые нелинейные волны. Это легко видеть прямо из (5.68), (5.69):
e押⑼=樓吻準岂也——(5.78)
Таким образом, при 赤门 /改 > 0 наш дрейфовый солитон представляет собой яму потенциальной энергии для электронов. Оценим, может ли для таких солитонов отрицательной полярности быть существенным взаимодейст- вме Ландау? Для этого, как известно [229], надо сравнивать баунс-период ко- пебаннй частиц, захваченных в яме потенциальной энергии (тв), с обратным
линейным инкрементом раскачки волн yL. В нашем случае
口 ag s
Приближение Ландау [230] соответствует случаю, когда характерное вре. мя изменения амплитуды поля тЕ - у? существенно меньше времени дефор. мации функции распределения в области резонансных скоростей (баукс. период) тв:
I^bYlI»1 •(5.80)
Условие (5.80) накладывает ограничение на амплитуду волны:
鳥 *3~kzCs”(^)・(5.81)
Отсюда можно сделать вывод: для солитонов такого вида линейное взаимодействие Ландау существенно.
Противоположный предельный случай имеет место, когда функция распределения резонансных частиц меняется значительно быстрее, чем амплитуда волны, тЕ » тв или
卜8在卜V1，(5・82)
и соответствует приближению МазитоваО* Ней ла [231]. А тгри этом неустойчивость дрейфовых волн может стабилизироваться за счет фазового размешивания резонансных частиц, связанных с конечной амплитудой волн [232, 233].
Далее представляет интерес исследование влияния резонансных частиц на дрейфовые солитоны положительной полярности (т. е. когда дхп /0х <0). При этом дрейфовый солитон представляет собой «rQp6» электрического потенциала для электронов и соответственно этому могут быть выделены две группы резонансных частиц. Частицы с достаточно большой энергией в системе отсчета волны £ > -е(р0 переваливают через горб (яму) и являются пролетными (траектории 1即6 на рИСв 5.1 а, б.). Такие частицы (как и захваченные в яму частицы — рис. 5.1а (II)) движутся то в ускоряющей, то в тормозящей фазе поля и при временах, больших по сравнению с временем пролета через солитон t »(k0Vo)"1, не дают заметного вклада в затухание (усиление) (где к0 — обратная характерная ширина солитона, Vo — фазовая скорость волны). Изменение энергии солитона, в основном, связано с частицами, отражающимися от горба потенциала £ < -еср0 (частицы, движущиеся на траекториях 1Па,6 на рис. 5.16). На траекториях 1Па такие частицы движутся все время в ускоряющей фазе поля, на траекториях III6 — в тормозящей фазе.
Перейдем теперь к исследованию уравнения (5.66). Плотность резонансных электронов удовлетворяет уравнению непрерывности:
Ряс. 5.1. Фазовые траектории частиц в поле единичного солитона: а) пролетные и за* хваченные частицы в поле потенциальной ямы; б) пролетные и отражающиеся частицы в поле потенциального горба
票+£［實屮2=0,
(5.83)
гце 书°§ 一 функция распределения резонансных элеюгронов, V2 ——продольная скорость частиц.
В переменных г|, z, т это уравнение имеет вид:
(5.84)
Считаем, что время изменения параметров нелинейной структуры намно- m больше (к。％)" (условие адиабатичности). Тогда можно перейти к ло・ бальной системе отсчета, движущейся со скоростью %, и считать в адиаба- ^еском приближении, что профиль волны не изменяется.
Функция распределения резонансных частиц
1%“фТ，х-6х), (5.85)
Se £ — равновесная (максвелловская в исследуемом случае) функция распределения, % = и / ос ——продольная (вдоль оси z) фазовая скорость волны, величины V；, 6х представляют собой изменение продольной скорости и
口 aRa \
поперечной координаты электрона под воздействием поля волны. Эти величи. ны удовлетворяют дрейфовым уравнениям движения:
(5.86)(5.87)(5.86)(5.87)蝦=_単①. dx =v =_二电dt me 也' dt Ex B0 Sy
(5.86)
(5.87)
(5.86)
(5.87)
Так как д / dz n ад / дт\, то
awBe
где ©ве = eeB0/mec — циклонная частота электронов. Разлагаем f：^ в ряд в окрестности фазовой скорости волны. При этом ограничимся членами первой степени по V；:
不т；爲一含對. (5.88)
Используя (5.88), (5.84) и (5.76), а также учитывая стандартное условие теории дрейфовых волн Уф « Vj-e (% =( 21/^4 产一тепловая скорость электронов), получаем:
(5.89)
^Т 議 VRV；% ^коЛ/2.
При вычислении I переходим от текущих скоростей и координат частицы V；, & к начальным \^0, ^0. При этом учитываем условие сохранения фазового объема
dV^ = dV^0.(5.90)
В условиях адаабатичности изменение амплитуды солитона за время пролета резонансных частиц (к。%)" пренебрежимо мало, и энергия является интегралом движения:
(5.91)(5.91)u 1 W
(5.91)
(5.91)
£ = — dZ—,2 ch^
(5.92)(5.92)上二生 = 婚5. V， W = 蜘如2нe
(5.92)
(5.92)
> dt 2 z'8 g产(％ j I a2：：(r a?：：、
Первое слагаемое правой части (5.91) имеет смысл кинетической энергии частицы, второе — потенциальной энергии. Как отмечалось выше, эта потенциальная энергия представляет либо горб для электронов W > 0 (при 齿5口 /дс < 0), либо яму.
Из (5.91) видно, что движение частицы в поле волны харашеризуется временным масштабом
тг ^|W|'1/2.(5.93)
В случае ямы, при W<0, это — временной масштаб, баунс-период колебаний запертых электронов (5.79) (тг — характерное время резонансного взаимодействия, равное по порядку величины времени прохождения резонансной частицей характерной длины волны, тг ~ (к。％)" )• Из условия адиабатичности взаимодействия у/(к0Уф)«1 следует, что время тг, в течение которого резонансные частицы оказывают воздействие на солитон, намного больше тг, t» %%)т 〜£. Поэтому для учета полного вклада частиц в эволюцию солитона надо решать задачу на характерных временах t >> £. Из общей теории бесстолкновительного взаимодействия частиц с нелинейными волнами [235, 234] известно, что в этом случае эффекты пролетных и запертых частиц экспоненциально малы (показатель экспоненты типа (-t/xr)). Поэтому ниже мы ограничиваемся учетом только отраженных частиц. Вклад отраженных частиц ищем методом интегрирования по их траекториям в поле волны [234]. Вводим вместо W величину 卩:
ц2 =W/8-l.(5.94)
а вместо 目一переменную 0, определенную соотношением
sh2^ = |i2ch2<；.(5.95)
Тогда, интегрируя (5,91) по t, получим уравнение траектории отраженных частиц в поле солитона:
С = Со+(2£『2,5(5.96)
г〃е о 二 sgnV；. Затем переходим от ^0, V^o к переменным интегрирования
/W；。=4焉，d"…点對./W；。=4焉，d"…点對.(5.9?丿(5.9?丿
/W；。=4焉，d"…点對.
/W；。=4焉，d"…点對.
(5.9?丿
(5.9?丿
В результате преобразуем интеграл I к виду:
w
(5.98)(5.98)1=詰41唯仆戸謡研.
(5.98)
(5.98)
При t» тг ~(2g) b 2 вклад в интеграл обусловлен частицами с，= 0. Тогда Go = RS)"? t, q = -1, и из (5.98) следует
(5.99)(5.99)4W(а%)?
(5.99)
(5.99)
Физически смысл результата очевиден. Действительно, для вычисления интеграла I важно знать только высоту горба потенциальной энергии, т. к. только она характеризует разделение на пролетные и отраженные частицы.
Подставляя (5.99) в (5.89), получаем:
Отсюда имеем:Отсюда имеем:(5.100)(5.101)(5.100)(5.101)dko： к 孤 20_%/и + %./2и)dt2«同 VTe(l + aY /и2 j
Отсюда имеем:
Отсюда имеем:
(5.100)
(5.101)
(5.100)
(5.101)
%(0)112(1 - %/11 + %"211)
°^1/2|a|VTe(l + a2c2/u2)
Согласно сказанному выше, у0 обусловлен отраженными частицами, а такие частицы существуют только при W > 0 (т. е. ожп /5х <0). Кроме того, из (5.70) следует, что как в случае быстрого дрейфового солитона, так и в случае медленного — l-V*e/u >0. Следовательно, при т0 = V*e/и <0 величина y0 становится отрицательной, у0 <0, и, согласно (5.100), (5.71)， взаимодействие отраженных частиц с дрейфовым солитоном приводит к возрастанию амплитуды структуры со временем.
Итак, градиентная неустойчивость длинноволново-дрейфовых волн (т0 = % / и V 0, т. е. неустойчивость Рудакова—Сагдеева) может быть причиной генерации регулярных дрейфовых структур в замагниченной плазме.
5・2・3・ Усиление дрейфовых солитонов вследствие эффекта конечной электронной теплопроводности25
рассмотрим теперь столкновительную плазму. Полагаем, что неидеальная пасть электронной плотности обусловлена конечной теплопроводностью, и； = nev> А = 0.
Из уравнения продольного движения электронов [9],
° = -еепо 粤-畳"- 0,7 In。@>,(5.102)
находим возмущенную плотность электронов в виде:
Пе=пр)+п 臥(5.103)
Уравнение для П,)дает распределение в поле волны
п(0) =п0(х)ехр[-есф/Тс0(х)],(5.104)
для п，？ находим (см., например, [9])
п^=-1,7ВД/Те0.(5.105)
Здесь 弾 ——возмущение электронной температуры, К。一 равновесная температура электронов (в обозначениях разд. 5.2.2 Т^о =Те(х)) Для вычисления R используем уравнение баланса тепла электронов [9]:
-nVEVTe =-史％(5.106)
(5.107)(5.107)Be qcz ——продольный поток тепла электронов, определенный соотношением:
(5.107)
(5.107)
q一/6就^
久一полная температура электронов, ve — частота электронных столкновений. Линеаризуя (5.106), находим
文=力22,1 力文=力22,1 力(5.108)(5.108)
文=
力22,1 力
文=
力22,1 力
(5.108)
(5.108)
Здесь \g = -ее(р/Те0. Переходя к переменным n，z, т, из (5.105), (5.108) %. лучаем:
雑初雑初24,71 noveVv2,1 a2Vfe '24,71 noveVv2,1 a2Vfe '(5.109)(5.109)
雑初
雑初
24,71 noveVv
2,1 a2Vfe '
24,71 noveVv
2,1 a2Vfe '
(5.109)
(5.109)
Подставляя этот результат в (5.76) и используя (5.68), (5,7р, проводим интегрирование по п. Тогда приходим к уравнению
(5.110)(5.110)Wo 4
(5.110)
(5.110)
(5.111)(5.111)Здесь yL — ин1фемент линейного приближения [220, 9], вычисляемый при Go/ky = u и kz =aky
(5.111)
(5.111)
…7声г
При получении (5.111) мы предполагали u » acs.
Из (5.110) видно, что эффект конечной электронной теплопроводности приводит к экспоненциальному росту (или затуханию) амплитуды солитона. Из (5.111), в свою очередь, следует, что усиление солитона возможно при 51п1^/51пп0 <0. Это полностью соответствует результатам линейной теории [219, 9].
Теперь выясним смысл численного множителя 4/3 в уравнении (5.110). В разд. 5.2.1 мы видели, что удобно характеризовать энергию солитона величиной
U=lJ(\|/)2dr|-(5.112)
Для “⑼ в форме (5.68), учитывая связь к0 и Vo (5.71), получим:
—=In(5.113)
dt 2 dt
Поэтому (5.110) означает
^ = 2YlU,(5.1 ⑷
ат
5・3・ Раскачка коротковолновых дрейфовых солитонов при ионно-циклотронном резонансе
Нелинейные структуры на коротковолново-дрейфовых (КВД) (k jp； »1) мод" рассматривались нами в разд. 2.1. Отметим, что исходная система уравнений (2.7Н2.15) в математическом отношении аналогична уравнениям для длинноволновых дрейфовых колебаний (см. разд. 5.2.1) с точностью до замены ионных индексов на электронные и наоборот. Поэтому можно в рамках подхода разд. 5.2.1 исследовать влияние неидеальных эффектов на КВД структуры, представленные в разд. 2.1.1. Для этого учтем добавки к «идеальным» плотностям электронов и ионов, т. е. положим в (2.18)
nj =n0(x)exp[-e-(p/Ti(x)] + n；.(5.115)
В итоге получаем уравнение вида:
^畔)dL(l + a2£u2)J*®F),(5.U6)
для вычисления влияния неидеальных эффектов на зволюцию одномерных солитонов КВД волн (где с^ = Т^ / те — квадрат скорости электронного звука, i] = y + az-ut). Здесь 屮⑼=eg⑼/工 一солитонное решение
w⑼=屮。由г化。n/2),(5.117)
Ue
тронов по ионной температуре.
Теперь представляет интерес рассмотрение наиболее типичного для коротковолновых дрейфовых колебаний взаимодействия, полученного выше КВД солитона с ионами плазмы (ионно-циклонный резонанс). Тогда п^ = 0, и физический смысл п； состоит в циклотронном (S/3r»CDBi)или высокочастотном (0/2с» coqj ) воздействии частиц с возмущениями.
Рис. 5.2. Дисперсионные кривые КВД колебаний и циклотронных колебаний [95]Рис. 5.2. Дисперсионные кривые КВД колебаний и циклотронных колебаний [95]
Рис. 5.2. Дисперсионные кривые КВД колебаний и циклотронных колебаний [95]
Рис. 5.2. Дисперсионные кривые КВД колебаний и циклотронных колебаний [95]
Остановимся на первом механизме воздействия. В линейном приближении этому механизму соответствует дрейфово-циклонная неустойчивость плазмы [95]. Как было показано в работе [95], при р{ /Ln >(me/mi )1/2 (где
волновых дрейфовых колебанийволновых дрейфовых колебанийLn =|51nn0 /йх「Ь ветвь коротко
волновых дрейфовых колебаний
волновых дрейфовых колебаний
(5.119)(5.119)(o(k) = G(k)kyV.i，
(5.119)
(5.119)
(где 4=化/《信喇"?(где 4=化/《信喇"?以3{1 +化4)2[1+細/圖2『，
(где 4=化/《信喇"?
(где 4=化/《信喇"?
—дебаевский радиус ионов) пересекается с ветвя
ми циклонных колебаний плазмы (рис. 5.2).
В окрестностях точек пересечения ветвей КВД и циклонных колебаний развивается гидродинамическая неустойчивость с инкрфиентом:
Yn(kJ =Yn(kJ =(5.120)(5.120)
Yn(kJ =
Yn(kJ =
(5.120)
(5.120)
где Zn = (к丄R)к=к，п — номер точки пересечения, т0 = 51пТ( /51пп0. Отсюда видно, что пересечение ветвей сопровождается неустойчивостью, если т0 < 0.
Наша задача состоит в том, чтобы исследовать нелинейную стадию развития такой неустойчивости ——рассмотреть ионно-циклотронное взаимодействие солитона КВД волн с ионами плазмы.
В однородном магнитном поле такая неустойчивость не имеет каких-либо механизмов нелинейной стабилизации. (В неоднородном магнитном поле неустойчивость может отсутствовать из-за «размытия» циклонных ветвей колебаний). В силу этого мы можем воспользоваться обычным методом расчета взаимодействия волновой пакет-частицы. Согласно [95], имеем
n： = jn[ exp(ikyT|)dky,n： = jn[ exp(ikyT|)dky,(5.121)(5.121)
n： = jn[ exp(ikyT|)dky,
n： = jn[ exp(ikyT|)dky,
(5.121)
(5.121)
庶при а = 0,,имеем 或，
屮 оky dlnTj卜孤 sh^Tiky /2k0 j 51nn0屮 оky dlnTj卜孤 sh^Tiky /2k0 j 51nn0(5.122)(5.122)
屮 оky dlnTj
卜孤 sh^Tiky /2k0 j 51nn0
屮 оky dlnTj
卜孤 sh^Tiky /2k0 j 51nn0
(5.122)
(5.122)
Здесь мы взяли резонанс, отвечающий первой гармонике coBi, т. е. области слабой дисперсии КВД возмущений (см. рис. 5.2). Резонанс достаточно активен в случае сильнонеоднородной плазмы, когда
Pi/Ц >(me/mi)1/2 (см. [95]).
Подставляя (5.122), (5.121) в (5.116), интегрируя по ку и т| с учетом соотношения (5.118), получаем:
屯=-Mshf 班]2.(5.123)
dt V2k^Pi I % 丿〔к。％ 丿 3 In %
Из (5.123) видно, что как и в случае линейных КВД волн [95], амплитуда КВД солитона растет из-за ионно-циклотронного резонанса при 51п1^ /21пп0 < 0, и такой рост является значительным при k0 > coBi /¥*(. При этом изменение амплитуды солитона приближенно описывается выражением
屮二(to)Bi У те/т?(5.124)
Область применимости этого выражения 1 < tcoBi <(m{ /те)12. Первое неравенство необходимо для существования циклотронного взаимодействия, правое второе — для выполнения условия 屮 v 1.
Многомерная теория возмущения для нелинейных уединенных вихревых структур в диссипативной среде"
Возможность существования векторных вихревых структур на разных ветвях колебаний идеальной плазмы показана в гл. 3 настоящей книги. Представляет интерес анализ поведения вихрей в столкновительной плазме, так как
столкновение частиц является характерной чертой многих плазменных 叩0匸耻、 сов. В этом случае вихрь не является стационарной волной из-за диссипаций Исходя из этого, в данном разделе исследуется временная эволюция инте^ гральных характеристик вихря, таких как энергия, энстрофия, его скорость радиус и крутизна спада потенциала на периферии, позволяющие судить 0 динамике вихря в замагниченной плазме. Учет столкновений определяется членом -vV в уравнении движения (где v — частота столкновений частиц V — макроскопическая скорость). Такой подход может быть применен 皿 различных ветвей колебаний. Например, в случае коротковолновых дрейфовых структур (см. разд. 2.1) v — частота столкновений электронов о неподвижные ионы, V — скорость электронов; в случае длинноволновых дрейфовых колебаний в слабоионизированной плазме [9] v — частота столкновений ионов о нейтральные частицы, V — скорость ионов. В дальнейшем мы везде считаем v положительной величиной, что соответствует рассмотрению систем с положительной диссипацией. Однако наш анализ может быть обобщен и для систем с отрицательной диссипацией. В этом случае во всех полученных нами результатах необходимо изменить знак v на противоположный (см. разд. 5.6).
Мы ограничимся случаем, когда частота столкновений достаточно мала, и её можно рассматривать как малый параметр. Тогда уравнение, описывающее вихрь в столкновительной плазме, решается методом последовательных приближений. В нулевом приближении уравнение имеет хорошо известное решение в виде дипольного вихря. В следующем приближении уравнение описывает адиабатическое изменение параметров этого вихря и изменение его пространственной структуры из-за диссипации. Получение уравнения для параметров вихря решается численными методами и в некоторых предельных случаях — аналитически.
Уравнения, описывающие временную эволюцию интегральных характеристик вихревых структур
Мы рассматриваем замагниченную плазму с градиентом плотности. Равновесное постоянное магнитное поле Во направлено вдоль оси z , а градиент плотности — вдоль оси х, Vn0 (I х. В такой плазме возможно существование дрейфовых колебаний двух типов, в зависимости от поведения основных групп частиц — ионов и электронов. В длинноволновых по отношению к ионному ларморовскому радиусу колебаниях к：р? «1 (см. разд. 3.3.1; 5.1) ионы считаются холодными и описываются гидродинамическими уравнениями, а электроны распределены в поле волны по больцмановскому закону и выполняют пассивную роль, нейтрализуя возмущение плотности ионов. В неизотермической плазме с температурой ионов значительно большей температуры электронов, возможно существование другого типа колебаний — коротковолновых дрейфовых колебаний kjp： »1 (см. разд. 2.1). Так как длина волн1»1 меньше ионного ларморовского радиуса, то ионы распределены в поле волнн
(5.125)(5.126)(5.125)(5.126)(5.128)(5.128)(5.129)(5.129)
(5.125)
(5.126)
(5.125)
(5.126)
(5.128)
(5.128)
(5.129)
(5.129)
Генераиня вихревых структур и их динамика 201 口о больцмановскому закону и лишь только нейтрализуют возмущение плотно* сТИ электронов. Электроны в таких колебаниях считаются холодными.
Таким образом видно, что в дрейфовых волнах одна группа частиц выполня- е【активную роль, а другая лишь нейтрализует возмущение плотности частиц первой 1руппы. Поэтому; чтобы не описывать отдельно длинноволновые и корот- Х0волновые дрейфовые колебания, мы считаем, что в плазме существует два сорта частиц, которые будем обозначать индексом аир, подразумевая под ними либо ионы, либо электроны, в зависимости от типа колебаний. Поведение частиц сорта а в поле волны описываем с помощью уравнений непрерывности и движения
^ + div(noVa) = 0,修+W%曦3飪^虱卜%.
Здесь na =n0(x) + na — полная плотность частиц, na — возмущение плотности частиц сорта a, удовлетворяющее условию квазинейтральности
na=np,(5.127)
Va — скорость частиц, na =пр, — возмущение частиц сорта Р，ea,ma — заряд и масса частиц, ср — электрический потенциал. В уравнении движения (5.126) учтена сила трения. Считая волны низкочастотными по отношению к циклотронному движению частиц сорта a, согласно (5.126), представляем скорость в виде:
Va=VE+Vl+Vv,
где Ve，Vb К определяются соотношениями
丿^a L
®г — единичный вектор вдоль оси z , coBa =eaB0/(mac) — циклотронная частота,
= —+ VEV.(5.130)
dt
Полагая, что плотность частиц сорта 0 распределена по больцмановскому закону, получаем приближенно
Пр =-noep(p/Tp,(5.131)
Цз — температура частиц сорта 0 . Подставляя (5.128), (5.131) в (5.125), приходим к уравнению
粤+ V.豐—р2 警-р2Vo(5.132)
ct оу dt
Здесь V* =叫sen /卜踞0)— дрейфовая скорость частиц сорта Р, aen = ^lnn0(x)/Sx, А丄=д2 /дх2 +б2 /5у?,
р = (Тр /(т(х(о|а ))1/2 — ларморовский радиус частиц сорта а по температуре частиц сорта Р. Уравнение (5.132) описывает длинноволновые дрейфовые колебания в слабоионизированной столкновительной плазме, если считать, что частицы сорта a — это ионы, а частицы сорта Р — электроны, v — частота столкновений ионов о нейтральные частицы. В противоположном случае, когда частицы сорта a — это электроны, а частицы сорта р — ионы, уравнение (5.132) описывает коротковолновые дрейфовые колебания в неизотермической плазме (см. разд. 2.1), v — частота столкновений электронов о неподвижные ионы. Уравнение (5.132) является исходным для анализа влияния столкновений на динамику дрейфовых вихрей.
Ищем решение в виде движущейся вдоль оси у уединенной волны, параметры которой медленно изменяются во времени из-за столкновений. С этой целью перейдем к новым переменным г| = у - ut, т = t, х = х , тогда
(5.133)(5.133)—=—и 1 11.
(5.133)
(5.133)
6t @1 历
и — скорость движения волны. Будем предполагать, что uo/drj»(v,^/ct) Это условие означает, что время прохождения уединенной волной расстояний порядка размера самой уединенной волны значительно меньше времени между столкновениями частиц, а / u «1 / v, а ——характерный размер уединенной волны. В этом случае уравнение (5.132) решается методом последовательных приближений. Полагаем ф = ф°+(р1, ср0 »ср1 и получаем из (5.132) в нулевом приближении:
(5.134)(5.134)丄9°丄Q° -a名Q° = 0,
(5.134)
(5.134)
A = (l-V./u)/p2.
уравнение (5.134) имеет хорошо известное решение в виде двумерных уеди- ле^ых дипольных вихрей (см. решение (1.27)~(1.29))
(5.135)(5.135)(р°(г,0) = Ф(г)со8 0,К(|к/а)/К](р),
(5.135)
(5.135)
；丿а『j】⑺
₽Ki(P)小⑺'
r = (x +n) , 0 = arctg(r|/z) — полярные коорданаты, J15 J2 — функции Бесселя первого рода, Ки К2 — функции Макдональда. В следующем приближении получаем уравнение для функции (р1, которая описываег изменение пространственной структуры вихря из-за столкновений:
1 ° 0ao а о
--Ф 一Т-纵q-"丄(Р -
-u-uр* ОТ
-u
-u
一良1V料叭9 J盒[""]MQj晶卜。・
(5.136)
Функцию ср0 в (5.128) необходимо брать в виде (5.135), считая параметры вихря медленными функциями времени т. Умножая (5.136) отдельно на ср0 и А丄<р° и интегрируя по всему объему, с учетом (5.134) и условия ортогональности приходим к уравнению вида:
(5.137)(5.137)drl = -p2v|^V(p° j dr,drl = -p2v|^V(p° j dr,j+p2(▽叫 2j+p2(▽叫 2(5.138)(5.138)
(5.137)
(5.137)
drl = -p2v|^V(p° j dr,
drl = -p2v|^V(p° j dr,
j+p2(▽叫 2
j+p2(▽叫 2
(5.138)
(5.138)
Выражения в левых частях. (5.137), (5.138) являются интегралами движения Уравнения (5.132) при отсутствии диспансии и называются соответственно энергией и энстрофией. Поэтому уравнения (5.137), (5.138) имеют простой физический смысл: изменение энергии и энстрофии из-за диссипативных Процессов. Подставляя в (5.137), (5.138) явное выражение для вихря q>° в виде (5.135), получаем уравнение для параметров вихря:
—= -vp2~a2u2 l + 咚 P2(46 + 1),
比 2 I ?丿
比 2 I Y丿
(5」39丿(5.140)(5」39丿(5.140)где E и К ——энергия и энстрофия дипольного вихря, соответственно, равнЫе
(5」39丿
(5.140)
(5」39丿
(5.140)
K = ^a2u2^l + ^jp2j46 + l + pK = ^a2u2^l + ^jp2j46 + l + p(5.142)(5.142)e = ^а4u2 1 + 导)卜262+(4“1)(券一打季)},(5.14])
K = ^a2u2^l + ^jp2j46 + l + p
K = ^a2u2^l + ^jp2j46 + l + p
(5.142)
(5.142)
Дипольный вихрь определяется тремя свободными параметрами а, Р，и , кото- рые связаны между собой модифицированным дисперсионным соотношением (см. (1.28)):
А点年号А点年号(5.143)(5.143)
А点年号
А点年号
(5.143)
(5.143)
Система уравнений (5.139)-(5.143) определяет временную эволюцию параметров вихря а, р, и.
Нестационарное поведение интегральных характеристик вихрей
Для удобства введем классификацию вихрей по величине параметров а и В. Вихри с а » р будем называть крупномасштабными, а вихри с а « р мелкомасштабными. Будем также различать вихри с пологим (р «1) и крутым (р »1) спадом потенциала на бесконечности. В силу сложности выражений для энергии и энстрофии (5.141), (5.142) решение системы (5.139)・ (5.140), (5.143) аналитически проведем в некоторых предельных случаях.
Вихри, движущиеся по направлению дрейфовой скорости (р2р2 /а2 «1)
Согласно модифицированному дисперсионному уравнению (5.143), скоробь вихрей с параметрами, удовлетворяющими условию р2р2 /а2 «1, приближенно равна дрейфовой, u = V*. При таком условии на параметры вихри с пологим спа* дом потенциала могут быть как мелкомасштабными, так и крупномасштабным11- а вихри с крутым спадом потенциала могут быть только крупномасштабными
рассмотрим сначала вихри с пологим спадом потенциала на бесконеч- Н0СТМ. В этом случае параметры у и 5 имеют приближенное значение у У： (1 丄『/ 2丫：)，6 二 2『一 In (р / 2), где у： — n-й корень бесселевой функции А(У)・ Разлагая выражения для энергии и энстрофии (5.141), (5.142) по паЛым параметрам 0 «1, р2р2 / а2 «1, р2а2 «1 находим приближенные значения этих величин Е = -(л/2)а4У? 1пр, К = 2ла2У?. Поставив их в систему уравнений (5.139), (5.140) и разложив по малым параметрам диссипативные члены в (5.139), (5.140), мы приходим к следующим упрощеным уравнениям для крупномасштабного вихря:
^•(а4 lnp) = 8vp2a2, 簣=-屮:『p2-(5.144)
Решая систему (5.144) с начальными значениями параметров а0,仇 при т = 0, получаем:
a2=ag-v(y®)2 р2т,1пр = -^^-у.(5.145)
依屮汴)
Заметим, что уравнения (5.145) справедливы при условиях 5ф°/5т « 屿9° /от], Ф1«ср0, указанных в разд. 5.3.1 и являющихся пределами применимости теории. Из (5.145) видно, что в столкновительной плазме параметры а, 0 вихрей с пологим спадом потенциала уменьшаются с течением времени. Подставляя полученные временные зависимости этих параметров в решение вихря (5.135), мы находим закономерности изменения во времени функций 唄г, 9) и Ф(г), которые характеризуют пространственную структуру вихря н позволяют установить особенности поведения вихря в столкновительной 皿азме. На рис.5.3а приведена временная эволюция функции ①(r,t) для начальных значений параметров ао/р = 1О2, р0 =0.02 . Из рисунка видно, что релаксация крупномасштабного вихря происходит с увеличением эффективного размера и уменьшением максимальной амплитуды функции ①(r,t). функция cp°(r,0,t) описьшает электрический потенциал в вихре, который определяет возмущение плотности (см. (5.131) и скорость вращения частиц в Мере (см. (5.128), (5.129)). Отсюда следует, что максимальная амплитуда поднимала, возмущения плотности и скорости вращения частиц в вихре уменьшаются из-за диссипации.
Рис. 5.3. Изменение радиальной части потенциала Ф(гД)дипольного вихря во времени (время в единицах v"1, Фо = V»/(сВор)):a) t = 0, ао/р = 1О2, р0 =20 — сплошная кривая;t = 102, а/р = 1,04-102, 0о = 17,3——пунктирная кривая;6) t = 0, ао/р = 1О~2, В。= 0,02 — сплошная кривая;t = 2, а/р = 1,002 -10"2, ро = 0,048 — пунктирная кривая;в) t = 0, а。/ р = 10"2, р0 = 20 — сплошная кривая;t = 0,03, а/р = 1,0110"2, В。=34,5 —пунктирная криваяРис. 5.3. Изменение радиальной части потенциала Ф(гД)дипольного вихря во времени (время в единицах v"1, Фо = V»/(сВор)):a) t = 0, ао/р = 1О2, р0 =20 — сплошная кривая;t = 102, а/р = 1,04-102, 0о = 17,3——пунктирная кривая;6) t = 0, ао/р = 1О~2, В。= 0,02 — сплошная кривая;t = 2, а/р = 1,002 -10"2, ро = 0,048 — пунктирная кривая;в) t = 0, а。/ р = 10"2, р0 = 20 — сплошная кривая;t = 0,03, а/р = 1,0110"2, В。=34,5 —пунктирная кривая
Рис. 5.3. Изменение радиальной части потенциала Ф(гД)дипольного вихря во времени (время в единицах v"1, Фо = V»/(сВор)):
a) t = 0, ао/р = 1О2, р0 =20 — сплошная кривая;
t = 102, а/р = 1,04-102, 0о = 17,3——пунктирная кривая;
6) t = 0, ао/р = 1О~2, В。= 0,02 — сплошная кривая;
t = 2, а/р = 1,002 -10"2, ро = 0,048 — пунктирная кривая;
в) t = 0, а。/ р = 10"2, р0 = 20 — сплошная кривая;
t = 0,03, а/р = 1,0110"2, В。=34,5 —пунктирная кривая
Рис. 5.3. Изменение радиальной части потенциала Ф(гД)дипольного вихря во времени (время в единицах v"1, Фо = V»/(сВор)):
a) t = 0, ао/р = 1О2, р0 =20 — сплошная кривая;
t = 102, а/р = 1,04-102, 0о = 17,3——пунктирная кривая;
6) t = 0, ао/р = 1О~2, В。= 0,02 — сплошная кривая;
t = 2, а/р = 1,002 -10"2, ро = 0,048 — пунктирная кривая;
в) t = 0, а。/ р = 10"2, р0 = 20 — сплошная кривая;
t = 0,03, а/р = 1,0110"2, В。=34,5 —пунктирная кривая
Аналогично находим, что энергия Е и энстрофия К мелкомасштабных вихрей (а2/р2<<1) с пологим спадом потенциала определяеются выражениями Е = 2ла2 V?p2 ^1 - a2 In р / ^4р2 j j, К =兀V?p?卜:『
Учитывая эти соотношения, из (5.139), (5.140) находим временные зависимости параметров а, р:
a2 =a?-vp2(Y®)2 т, lnp = lnp0 一彳陶2 T • (5.146) I ao 丿
С помощью (5.146), (5.135) устанавливаем, что со временем максимальная амплитуда потенциала в вихре уменьшается, а его эффективный размер увеличивается.
Рассмотрим теперь вихри с крутым спадом потенциала на бесконечности (Р »1). Разложение величин у и 5 по малому параметру 1 / р имеет вид у = у* (1-2/р), 6 = 1/р + 3/^2р2 j, где у： — п -й корень бесселевой функции J2 (у). Энергия и энстрофия таких вихрей определяются выражениями:
К 二 рк&/储)4
Подставляя их в (5.138), (5.140) и решая эту упрощенную систему уравнений, получаем:
a2=a?+|v(y*)2 р2т, Р = Ро^1+|у^-(у*)2т] .(5.147)
Из решений (5.147) следует, что в отличие от вышерассмотренного случая, релаксация вихрей с крутым спадом потенциала на бесконечности происходит с увеличением параметра а и уменьшением крутизны спада р. Анализ временной эволюции функции Ф(гД)показывает, что эффективный размер таких вихрей увеличивается, а максимальная амплитуда функции O(r,t) и, следовательно, амплитуда потенциала, возмущения плотности и скорость вращения частиц вихря уменьшаются.
Вихри, движущиеся против направления дрейфовой скорости(р2р2 / а2 »1)
Скорость движения таких вихрей определяется выражением u^-V.a?/伍 2P2)
При условии р2р2/а2 »1 вихри с пологим спадом потенциала могут быть только мелкомасштабными, а вихри с крутым спадом потенциала — крупномасштабными и мелкомасштабными. Будем решать упрощенные уравнения, разлагая все величины по малым параметрам Р，а2 /(р2р2 j для вихрей с пологим спадом потенциала и по малым параметрам 1/р, а2 /^р2р2) для вихрей с Чоутам спадом потенциала.
Выражения для энергии и энстрофии вихрей с пологим спадом потенциала имеют вид
Е ^2dv?pTp-2(1-р21пр/2),К ? m4V布Ур-2(*『乂 0_『1nB卜
Находим решение системы (5.139), (5.140) с начальными значениями а0,р0
a2 =aj 1 -1 poeVT [ 1п р0 +1 vtI + Ро 1п р0 ,
L I」(5.148)
p = poexpf|v^, u = и ° [e-vT -圈 In % | (1 -片")].
Из (5.148) видно, что скорость таких вихрей уменьшается, а параметры а увеличиваются по экспоненциальному закону из-за диссипативных процессов Подставляя решения (5.148) в выражение (5.135) для функции Ф(г), мы °小 ределяем изменение пространственной структуры вихря с течением временя На рис. 5.36 изображена временная эволюция функции ①(r,t) для начальных значений параметров вихря а0 /р = 10"2, Ро = 0,02 . Как следует из рисунка эффективный размер вихря, а также максимальная амплитуда потенциала, возмущения плотности и скорости вращения частиц в вихре уменьшаются.
Рассмотрим теперь мелкомасштабные вихри (а? / р2 «1) с крутым спадом потенциала (р »1) на бесконечности. Их энергия и энс1рофия опреде* ляются выражениями
Е 邕 *-2Vg卜：广° + 4p-iу%к 邕 34VУ 闾2(1 + ЗР'1 )/4.
Подставляя эти значения в уравнения (5Л39), (5.140), получаем временные зависимости параметров a, и :
a = aoexp(vx), 0 =(財一2丫。［ и = и0 exp(2vx)^po1 -2vxj2.(5.149)
Скорость движения вихрей с крутым спадом потенциала уменьшается, а параметры а, р увеличиваются с течением времени. На рис. 5.Зв изображена временная эволюция функции ①(r,t) для начальных значений параметров а0 / р = 10"2, р0 = 20 . Видно, что максимальная амплитуда функции ®(r,t) и, следовательно, электрического потенциала в вихре увеличивается. Эта особенность релаксаций вихрей с крутым спадом потенциала подтверждается также анализом выражения для максимальной амплитуды ① max ^0,07a3(u-V*). Эффективный размер таких вихрей уменьшается.
Крупномасштабные вихри (а2 /р2 »1) с крутым спадом потенциала на
периферии, обладают энергией Е 岂 Злапериферии, обладают энергией Е 岂 Зла8V?рТ 卜:广(1 + 4р")/8 и энстрофи-
периферии, обладают энергией Е 岂 Зла
периферии, обладают энергией Е 岂 Зла
ей К s ла6V?p^ (у* )~2 (1 + Др'1 )/4ей К s ла6V?p^ (у* )~2 (1 + Др'1 )/4.При этом параметры вихря.При этом параметры вихряааии0 со0 со
ей К s ла6V?p^ (у* )~2 (1 + Др'1 )/4
ей К s ла6V?p^ (у* )~2 (1 + Др'1 )/4
.При этом параметры вихря
.При этом параметры вихря
а
а
и
и
0 со
0 со
временем увеличиваются по законам
а2 = ao-|vp2卜：)\,₽=財-|4п(1 + |^vp2a『代у〈J(5.150)
Анализируя временную эволюцию функции Ф(гД), полученную с по- мОщью этих соотношений, находим, что максимальная амплитуда потенциала в вихре увеличивается, а эффективный размер вихря уменьшается.
5.4.3.Выводы
Найденные временные эволюции параметров вихрей позволяют выделить некоторые закономерности поведения вихрей в столкновительной плазме.
Представляется интересным вывод о том, что релаксация из-за столкновений происходит быстрее у вихрей, движущихся против направления дрейфовой скорости. Согласно разд. 5.4.2, изменение параметров а, р, и таких вихрей за время t = v" по порядку величины равно начальному значению параметра (х-х0)/х0 « 0(1), хле х — один из параметров вихря. Изменение параметров вихрей, движущихся по направлению дрейфовой скорости, за время t = v"1, как следует из разд. 5.4.2, по порядку величины равно (х-х0)/х0 »р2 / ад, где а0 — начальное значение радиуса вихря при т = 0. Отсюда видно, что релаксация крупномасштабных вихрей (а/р »1) происходит значительно медленнее мелкомасштабных. Для наглядности приведена временная эволюция энергии и энстрофии мелкомасштабных (рис. 5.4а) и крупномасштабных (5.46) вихрей, которая подтверждает ранее сделанный вывод.
Сравнивая временные масштабы изменения приведенных графиков, можно заметить, что быстрее всех эволюционируют мелкомасштабные вихри, движущиеся против направления дрейфовой скорости (и < 0).
Различие в поведении мелкомаштабных и крупномасштабных вихрей в системах с диссипацией можно объяснить, исходя из анализа выражений для знерти, знстрофнн и диссипативных членов в уравнениях (5.137), (5.138). Проведем оценку интегралов, входящих в (5.137), (5.138), следующим образом j(V(p) dr-d"2J(p2dr, J(Acp)2dr ~ d"2 j(Vcp)2 dr, где d — характерный размер вихря. Поэтому для мелкомасштабных вихрей ^р2 /d2 >>1) основ- Hg вклад в энергию и энстрофию дают, соответственно, члены р2 (V(p)2 и Р2(А_(р)2. При этом уравнения (5.137), (5.138) преобразуются к виду:
5Е6К …
—=—2vE,— = —2vK.
Нз этого следует, что энергия и экстрофия вихря уменьшаются по зксио- Унциальному закону, так как энергия, энстрофия и диссипативные члены являются величинами одного порядка. Для крупномасштабных вихрей
，/d2 « 1) диссипативные члены малы, как р2 /d2 по отношению к энерг^^ и энстрофии вихрей, поэтому релаксация таких вихрей происходит значите^, но медленнее мелкомасштабных.
Сказанное позволяет предполагать, что в неоднородной турбулентной плазме в процессах переноса частиц и тепла основной вклад дадут крупно、 масштабные вихревые структуры.
Предложенный подход к оценке величины диссипативных членов может быть обобщен для других типов диссипаций.
Другой закономерностью релаксации вихрей в столкновительной плазме является то, что она происходит по-разному в зависимости от начальных параметров вихря. Например, эффективный размер вихрей, движущихся по направлению дрейфовой скорости, увеличивается течением времени, а размер вихрей, движущихся в противоположную сторону, — уменьшается. Под увеличением эффективного размера вихря понимается радиальное изменение формы вихря, которое описывается временной эволюцией функции Ф(г,1). Однако при релаксации вихря возможны также азимутные искажения формы вихря, описываемые функцией ^ =0,ЗуиР{ /(гП|Шв|), которые мы считаем маленькими.
Рис. 5.4. Изменение энергии (сплошная линия) и энстрофии (пунктирная линия) во времени(T = tv):Рис. 5.4. Изменение энергии (сплошная линия) и энстрофии (пунктирная линия) во времени(T = tv):
Рис. 5.4. Изменение энергии (сплошная линия) и энстрофии (пунктирная линия) во времени(T = tv):
Рис. 5.4. Изменение энергии (сплошная линия) и энстрофии (пунктирная линия) во времени(T = tv):
а) 1. а/р = 0,01,а/р = 0,01,а/р = 0,01,а) 1. а/р = 0,01,а/р = 0,01,а/р = 0,01,0 = 20, и <0;3 = 0,005, и>0;В = 0,02, и > 0;0 = 20, и <0;3 = 0,005, и>0;В = 0,02, и > 0;
а) 1. а/р = 0,01,
а/р = 0,01,
а/р = 0,01,
а) 1. а/р = 0,01,
а/р = 0,01,
а/р = 0,01,
0 = 20, и <0;
3 = 0,005, и>0;
В = 0,02, и > 0;
0 = 20, и <0;
3 = 0,005, и>0;
В = 0,02, и > 0;
б) 1. а/р = 100,а/р = 100,а/р = 100,б) 1. а/р = 100,а/р = 100,а/р = 100,0 = 200, и<0;р = 0,02, и > 0;Р = 20, и > 00 = 200, и<0;р = 0,02, и > 0;Р = 20, и > 0
б) 1. а/р = 100,
а/р = 100,
а/р = 100,
б) 1. а/р = 100,
а/р = 100,
а/р = 100,
0 = 200, и<0;
р = 0,02, и > 0;
Р = 20, и > 0
0 = 200, и<0;
р = 0,02, и > 0;
Р = 20, и > 0
макси-макси-Максимальная амплитуда функции ①(r,t) и связанные с ней
макси-
макси-
Мольная амплитуда потенциала, возмущения плотности и скорости вращения “тип в вихре уменьшаются для всех вихрей, за исключением вихрей с кру- 1rbiм спадом потенциала, движущихся против направления дрейфовой скоро- стя. У таких вихрей максимальная амплитуда потенциала увеличивается с увеличением параметра а.
В системах с отрицательной диссипацией (v < 0), как следует из формул дллного раздела, процесс релаксации происходит в обратном направлении.
Полученные результаты могут представлять интерес для интерпретации экспериментальных наблюдений и численных расчетов по динамике вихрей в диссипативных системах.
Релаксация дрейфовых вихрей в вязкой среде28
В предыдущем разделе изучалось влияние трения между частицами на эволюцию дипольных вихрей в плазме с холодными ионами (工 т 0). В настоящем разделе, в отличие от разд. 5.4, рассматривается двухтемпературная ((»工)вязкая плазма. Получено нелинейное динамическое уравнение длинноволновых дрейфовых возмущений в такой плазме. Построено новое вихревое решение. Показано, что характер релаксации из-за вязкой диссипации отличается от характера затухания вихря из-за силы трения.
Динамические уравнения длинноволновых дрейфовых волн в вязкой плазме
Равновесное состояние плазмы, как и в разд. 5.4, характеризуем плотностью n0(x), Vn0 1| х ; равновесным постоянным магнитным полем Во || z. Зоме того, плазму считаем неизотермической Те » ^ (VTe, VT, =0)и не полностью ионизированной.
Предполагается, что колебания потенциальны (Е = -V(p) и квазинейтраль-
(см. (5.127)), а электроны из-за малой фазовой скорости волны вдоль Во Распределены по закону Больцмана (5.53); волны распределяются поперек маг- Нй1ного поля(6/6z 〜kz =0).
Для описания ионов воспользуемся уравнением непрерывности (5.125) и Уравнением движения с учетом поперечной инерции, силы трения и попереч- 及 вязкости ионов:
2828См. [238].См. [238].
28
28
См. [238].
См. [238].
偿+(VV)卜一知言+f[v,B工卜表計-表許-мм.
(5.0 丿
где vin — частота столкновений ионов с нейтралами, а тензор ионной вязкости 元 определяется выражением [9]:
元оф元офм _ м _ Pi (avf av：“XX ПУУм _ м _ Pi (avf av：“XX ПУУ(5.152)(5.152)
元оф
元оф
м _ м _ Pi (avf av：
“XX ПУУ
м _ м _ Pi (avf av：
“XX ПУУ
(5.152)
(5.152)
Здесь л^р ——бездиссипативная магнитная вязкость, обусловленная поперечной инерцией ионов; я^р — столкновительная вязкость ионов;
VE=c(l + TJTe)kz，▽吋/В。
~ скорость дрейфа в скрещенных полях; % =。，3%耳 /(me^J — коэффициент столкновительной вязкости; 1^ = п^ — давление ионов; ez — единичный вектор вдоль оси z .
Рассматривая низкочастотные по отношению к ионной гирочастоте возмущения, с помощью уравнений (5.151), (5.152) представляем поперечную скорость ионов в виде:
V = VE+VT+VI+Vst,(5.153)
где
W=芸©у-p『表(^ММф)],
V=丄导汐(А丄介“d，б®)
vst =^—^-y(△丄
niSi В。①Bi B。
е 一 единичный вектор вдоль оси у; d/dt = 9/》+ 屮口 Подставляя (5.153), (5」54) в уравнение непрерывности ионов и используя условие квазинейтральности, получим нелинейное уравнение для электростатического потенциала:
(5.155)
Здесь V* = -сТезвп /(еВ0)——дрейфовая скорость электронов;
p" тё/(叫唸) ——квадрат ионного гирорадиуса по электронной температуре, р.=卜j / (т](о£))— ларморовский радиус ионов.
Уравнение (5.155) описывает динамику длинноволновых дрейфовых волн в вязкой магнитоактивной плазме и представляет собой обобщение уравнения Хасегавы——Мимы с учетом силы трения и вязкости. Сила трения характеризуется первым членом правой части в (5.155); он аналогичен полученному в разд. 5.3. Магнитная вязкость учитывается членом p：d/dt(Ajq>/2), а столк- новительная вязкость — выражением ^А^ф/По.
Пространственная структура дрейфовых вихрей
В бездиссипативной плазме (v®, % = 0) динамическое уравнение (5.155) допускает стационарное локализованное вихревое решение. Предполагая, что все возмущенные величины зависят от переменных х и т| = y-ut (где и — скорость распространения волны вдоль у), посредством векторного интегрирования (см. разд. 1.1.) нелинейное уравнение (5.155) сводится к линейному. При этом стационарное решение имеет вид дипольного вихря, движущегося по оси у со скоростью и (ср. с результатами разд. 3.2.3.):
Ф°(г,0)= Ф(г) cos 0,(5.156)
Во внешней области (г > а )
Ф(г) = Ф(а)Ф(г) = Ф(а)K/耻/а)К/К/а)K/耻/а)К/К/а)(5.157)(5.157)
Ф(г) = Ф(а)
Ф(г) = Ф(а)
K/耻/а)К/К/а)
K/耻/а)К/К/а)
(5.157)
(5.157)
Ue К] — функция Макдональда первого рода, Ф(а) = аиВ0/с — значение 6 (г) на особой кривой г = а . Параметры 氏工 связаны показателем спадания
потенциала во внешней области ае】？ соотношениями Р1>2 = аае] 2, в которЬ1:< величины «! 2 — корни характеристического уравнения
(5.158：(5.158：ур^ае4 — аг? +а = 0,
(5.158：
(5.158：
вычисляемые по формуле
或2或2(5.159)(5.159)
或2
或2
(5.159)
(5.159)
Предполагается, что 2р?А < 1; Л = (1-V*/и)ро.
Аналогично, во внутренней области (г < а) имеем:
К)」'К)」'(5.160)(5.160)
К)」'
К)」'
(5.160)
(5.160)
где J】,I] — функция Бесселя и модифицированная функция Бесселя, соответственно;
Y2Y2V2V2ц = ц1-2Л/р?,=[(1+喇+1]}.ц = ц1-2Л/р?,=[(1+喇+1]}.(5.161)(5.161)(5.162)(5.162)(5.163)(5.163)
Y2
Y2
V2
V2
ц = ц1-2Л/р?,
=[(1+喇+1]}.
ц = ц1-2Л/р?,
=[(1+喇+1]}.
(5.161)
(5.161)
(5.162)
(5.162)
(5.163)
(5.163)
Коэффициенты А1Э А2, ^, с2 н^ц находятся из условия непрерывности потенциала и его первых и вторых производных на особой кривой г = а и определяются соотношениями:
A, =^L(v2-P?) + H(P?+Y2) + B2 (у2 +v2)],А2 =-牛[屮2 一吩+ н(储 +Р)+В] (у2 +v2)],С1 =*^^"[в】(储 +у2)-В2“ +佛)+ L倂-做)]"盞玄b個3/個3) + h倂一明
Здесь
6 =個-曾№ + 1) +卜2+内海一瓦)，
by 氏阜飓)/k]他)，Bi=b,/仰，(5 165)
i = L 2; h = yJ2(Y)/Ji(Y),1 = vl2(v)/l1 (v),
H = h/y2, L = l/v2.
Учет непрерывности третьих произвольных потенциала дает условия сшивки параметров вихря:
(В.В2 +lh)(y2 +v2)(p^ -Р?)-(НВ2 -LBjfy2 + 吩卜 2 一吩+
+(LB? + НВ])個 一《 肮 + 丫2) = о(5.166)
Учитывая соотношения р12=агв12, (5.159), (5.161)-(5.163) и (5.165), заключаем, что уравнение (5.166) можно рассматривать и как выражение для в：, как функцию параметров плазмы р,, р0, V* и волны а, и . Зная значения 卩！ полностью определяем пространственную структуру вихря. Вихрь характеризуется двумя параметрами а и и. Заметим, что в соответствии с разд. 3.2.3, при условии непрерывности ф, А丄ср и VA±(p непрерывным оказывается также А^ф при г = а .
Построенное решение (5.157), (5.160) является сильно локализованным в пространстве и по структуре заметно отличается от дипольного вихря типа Ларичева — Резника (см.(5.135)). Это обусловлено тем, что мы учли бесстолкновительную магнитную вязкость плазмы (р〔工 0 )•
Эволюция вихревых структур
^ = -Poj[vin (▽"『 +0.3viip?(A1(p0)2 dr,^ = -Poj[vin (▽"『 +0.3viip?(A1(p0)2 dr,Рассмотрим поведение вихревых структур, построенных в разд. 5.5.2, под влиянием диссипативных процессов. В качестве диссипации в динамическом Уравнении (5.155) нами были учтены силы трения, магнитная и столкнови- тельная вязкость. При этом энергия Е и энстрофия К возмущений не сохраняются и меняются со временем по закону:
^ = -Poj[vin (▽"『 +0.3viip?(A1(p0)2 dr,
^ = -Poj[vin (▽"『 +0.3viip?(A1(p0)2 dr,
(5.167)
Где т — «медленное» время;
E = ；Jj(Ф°)2 +P?(Vq>0)2 +；P風(△丄d『dr (5.169/ —энергия вихря;
к=g][”Г + po (*9°)Wp话(▽ (a丄d ))2 dr (5.170；
—энстрофия вихря.
В преположении малости диссипации в (5.167), (5.168) можно подставив выражение для ф° (решение нулевого приближения (5.156), (5.157), (5.160)). считая параметры вихря а и и медленными функциями времени (см. разд. 5.3). что дает возможность проследить за эволюцией вихревых структур в адиабатическом режиме. Эти уравнения решались численно для разных соотношений между pj, а0 и р0, а также vin и vH (где а0 — значение радиуса особой кривой при т = 0, т. е. а0 = а(т = 0)и характеризует поперечный размер вихря). Результаты численного эксперимента приведены на рис. 5.5-5.8.
Характерное время релаксации вихря тхар можно оценить на основе уравнений (5.167)-(5.170). С этой целью оценим порядок интегралов, входящих в выражения для энергии и энстрофии,
(5.171)(5.171)j (V(p)2dr 〜-~-J(p2dr, J (Acpfdr 〜-~-J(p2dr,J(v(A±9))2dr-^-Jq>2dr,
(5.171)
(5.171)
гдегде[(▽cpjdr 号“[(▽cpjdr 号“2dr — характерный размер вихря. С помощью (5.171)2dr — характерный размер вихря. С помощью (5.171)
где
где
[(▽cpjdr 号“
[(▽cpjdr 号“
2dr — характерный размер вихря. С помощью (5.171)
2dr — характерный размер вихря. С помощью (5.171)
из (5.167), (5.168) получаем выражение для характерного времени релаксации:
(5.172)(5.172)(j2] + p&/d2
(5.172)
(5.172)
2ро х^+0田欣庙
Видно, что влияние столкновительной вязкости на затухание мелкомасштабного вихря (pf /d2 > vin /vH) сильнее, чем влияние силы трения.
Из (5.172) следует также, что в слабоионизированной плазме,
vin »0,3viip"d2,
вихри затухают за характерное время:
E/Ej. K/凡
1.0
0,8
0,6
0.4
0,2
Рис.5.5. Эволюция энергии Е , энстрофии К (а), скорости и ,
радиуса %
О,6р；р； С%
Vy' (б) и профиля потенциала
①(г) (б)
вихря с начальными параметрами а0/р* =0,l;u = |V»|.
Затухание ——чисто вязкое: vin /уи =0; р,/р* =0,01
Е/Е-К/К/a)
Рис.5.6. Эволюция энергии Е , экстрофии К (а), скорости и , радиуса а (б)Рис.5.6. Эволюция энергии Е , экстрофии К (а), скорости и , радиуса а (б)и профиля потенциала Ф(г) (в) вихря с начальными параметрамии профиля потенциала Ф(г) (в) вихря с начальными параметрамиa0/p* = 10; u = |V.| •a0/p* = 10; u = |V.| •
Рис.5.6. Эволюция энергии Е , экстрофии К (а), скорости и , радиуса а (б)
Рис.5.6. Эволюция энергии Е , экстрофии К (а), скорости и , радиуса а (б)
и профиля потенциала Ф(г) (в) вихря с начальными параметрами
и профиля потенциала Ф(г) (в) вихря с начальными параметрами
a0/p* = 10; u = |V.| •
a0/p* = 10; u = |V.| •
Затухание как из-за вязкости, так и из-за трения: vin /vH =0,1; р,/р* =0,01
Е/Е,-.. K/凡
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Рис.5.7. Эволюция знергнн Е , энстрофии К (а), скорости и , радиуса а (о) н профиля потенциала Ф(г) (в) вихря с начальными параметрами а0/р* =10; u = |V»|.
Затухание — чисто вязкое: vin /vh =0; р,/р# =0,01
Рис.5.8. Эволюция знерти Е , экстрофии К (а), скорости и , радиуса а (б) и профиля поте1щиа；1а Ф(г) (в) вихря с начальными параметрами а。/р・=0,1; u = |V#|. Затухание как из-за вязкости, так и из-за трения: v,n / v^ = 10; Pj/р* =0,01.
& в сильноионизированной вязкой плазме, vm 1rурн релаксируют за время:& в сильноионизированной вязкой плазме, vm 1rурн релаксируют за время:« 0,3V]jp% /d2, вихревые струк-« 0,3V]jp% /d2, вихревые струк-GapGap! 1+包 0,6р讃 I d2J 11 •! 1+包 0,6р讃 I d2J 11 •(5.174)(5.174)
& в сильноионизированной вязкой плазме, vm 1rурн релаксируют за время:
& в сильноионизированной вязкой плазме, vm 1rурн релаксируют за время:
« 0,3V]jp% /d2, вихревые струк-
« 0,3V]jp% /d2, вихревые струк-
Gap
Gap
! 1+包 0,6р讃 I d2J 11 •
! 1+包 0,6р讃 I d2J 11 •
(5.174)
(5.174)
В обоих случаях крупномасштабные вихри (d » р0) затухают медленнее мелкомасштабных (d « р0).
Проведенные выше качественные оценки хорошо согласуются с результа- тамн численного эксперимента (см. рис.5.5-5.8).
5・6・ Самоорганизация дрейфовых вихревых структур в диссипативной среде
Исследуем теперь вопрос о генерации и динамике вихревых структур в неоднородной плазме, помещенной в криволинейное магнитное поле.
В такой плазме, как отмечалось в гл. 3, могут возбуждаться моды с kz = 0 и с частотой (3.1). В области неблагоприятной кривизны магнитного поля (т. е. в области, где градиент магнитного давления направлен в ту же сторону, что и градиент давления плазмы, g% <0) возмущение обладает инкрементом нарастания [163,9]:
Г = |ё®Р|2^-(5.175)
Это решение соответствует электростатической желобковой неустойчивости, одной из наиболее опасных с точки зрения проблемы удержания плазмы.
При к| 工0 неустойчивой становится баллонная ветвь колебаний (3.2), которая имеет порог возбуждения по Рр =8лР/Во [164.165]. Полагая для тощака к：! = (qR)"1 ,aen ~a"\g* V^/R, из (3.2) получаем значение критического Рр порядка
л а2
Per =4，(5.176)
q m丿
См. [16,239].См. [16,239].5е a, R ——малый и большой радиусы токамака, q — коэффициент запаса, £ = a/R — обратное аспектное отношение. При Рр > Рст развивается баллон- неустойчивость с инкрементом
См. [16,239].
См. [16,239].
(5г乙
В реальной тороидальной геометрии характер развития баллонной неус. тойчивости значительно усложняется. В токамаках кривизна магнитного поля неблагоприятна для удержания плазмы (gaep <0) на внешнем обводе юра поэтому именно там преимущественно локализуются неустойчивые модЬ1 («баллонность» возмущения).
За счет этих неустойчивостей амплитуда соответствующих возмущений (желобковых, баллонных) нарастает. С ростом амплитуды волны в игру всту. пают нелинейные эффекты, уменьшается характерный размер возмущения, и процесс заканчивается формированием локализованных нелинейных структур, рассмотренных в гл. 3. (В специфических условиях в линейном приближении плазма может быть устойчивой относительно раскачки дрейфовых волн из-за стабилизации широм, эффекта конечного ларморовского радиуса ионов и др. Но если в такой плазме временно действуют сильные возмущения, например, инжекция нейтралов, ВЧ нагрев и др., то после выключения возмущений в плазме могут остаться вихри типа отмеченных выше). Из-за сильной локализации они нечувствительны к ширу и другим стабилизирующим эффектам.
Рассмотрим, как влияют эти неустойчивости на динамику представленных в гл. 3 желобковых и дрейфово-баллонных вихрей в диссипативной плазме. Анализ проведем на примере дрейфово-баллонных структур.
При наличии диссипативных эффектов в плазме (вязкости, конечной электропроводности и теплопроводности, бесстолкновительных затуханий и др.) вихрь не является стационарной волной и для изучения динамики нелинейных структур необходимо использование соответствующих уравнений переноса. Здесь ограничимся анализом простейшего вида диссипации с учетом силы трения, вызванной слабыми столкновениями частиц (конечная электропроводность). При учете этого эффекта, согласно разд. 5.4, 5.上 к правой части уравнения продольного движения электронов (3.136) (или (3.177)) добавится член вида vAA, где V — безразмерная эффективная частота соударений. В этом случае интегральные характеристики волн, в частности энергия £ (3.140) (или (3.182)), не сохраняются и со временем медленно меняются (из-за слабой диссипации) по закону
(5.178)
Как отмечалось в глЗ, энергия дрейфово-балонных возмущений (3.14°) (или (3.182)), а также энергия желобковых возмущений (3.117) (или (3.169)) в области неблагоприятной кривизны магнитных силовых линий, gaep < 0, м" гут стать отрицательными. Тогда из (5.178) следует, что вихревая структур11 усиливается за счет диссипативного обмена энергии с плазмой. По термино*
доГии разд. 5.4, рассмотренная здесь ситуация соответствует отрицательной диссипации. Далее, учитывая результаты разд. 5.4, 5.5, заключаем, что в дис- сипатмвной плазме вышеотмеченные желобковые дрейфово-баллонные струк- ^ы увеличивают свою амплитуду, скорость движения и вращения захвачен- лых в ней частиц — вихрь становится мощнее и, следовательно, преобразует- сЯ в крупномасштабное течение.
Образование таких структур энергетически выгодно в области неблагоприятной кривизны магнитного поля, и они самоподдерживаются за счет диссипативных процессов, подобно автосолитонам.
Обсуждение результатов
Исследован вопрос о генерации, усилении и динамике дрейфовых (скалярных и векторных) вихревых структур в замагниченной диссипативной плазме.
Проведен относительный анализ динамики низкочастотных дрейфовых волн в проводящей среде (плазме, ионосфере) и волн Россби в атмосфере и океане. Показано то, что динамика волн описывается одинаковым нелинейным уравнением в частных производных переноса вихря уравнением Чарни (для волн Россби) и уравнением Хасегавы—Мимы (для дрейфовых волн). Эти волны имеют одинаковую линейную дисперсию и самолокализуются в виде одинаковых нелинейных уединенных вихревых структур.
Получена формула (5.76), которая в общем виде описывает влияние «неидеальных» эффектов на длинноволновые (kjp? «1) дрейфовые солитоны в рамках теории возмущений (малости этих эффектов). Вычислена «неидеальная» часть плотности электронов в предельных случаях пренебрежимо малых и частых столкновений. В линейном приближении по амплитуде волны первый случай соответствует неустойчивости Рудакова — Сагдеева, а второй — столкновительной дрейфовой неустойчивости. Показано, что нелинейное резонансное взаимодействие дрейфовых солитонов с электронами плазмы приводит к росту амплитуды структур. Установлена закономерность изменения амплитуды структуры по времени. Этот результат связан с тем, что дрейфовые солитоны для электронов представляют собой горб потенциала при 阪п/取 <°・ В случае же столкновительной плазмы дрейфовые солитоны Усиливаются при т0 =51пТе/51пп0 <0 столь же эффективно, как и линейные Дрейфовые волны, то есть отмеченные линейные неустойчивости имеют прямое отношение к генерации длинноволновых дрейфовых структур.
В рамках теории возмущения рассмотрен вопрос о резонансном цикло- зонном взаимодействии коротковолновых (k jpj »1) дрейфовых солитонов с горячими ионами плазмы; определены законы изменения амплитуды струк- ^ во времени. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего анализа проблем физики плазмы с горячими ионами, в частности — для во- ^осов циклотронного (5/^t = a)Bi) или ВЧ-нагрева (d/dt»coBi) плазмы.
Разработана многомерная теория возмушения для нелинейных вихреВЬ1х структур в диссипативной среде. На основе этой теории изучена динамика длинноволновых (kjp； «1) и коротковолновых (k：p； »1) дрейфовых век- торных вихрей в диссипативной плазме (с учетом силы трения, магнитной и столкновительной вязкости). Получена система эволюционных уравнений :丫仅 интегральных характеристик вихря (энергии, энстрофии, скорости движет^ радиуса и крутизны спада потенциала вихря). Полученные уравнения решены численными и аналитическими методами. На основе,численного эксперимента и аналитических оценок установлено, что: при воздействии силы трения вихрь затухает более или менее равномерно по радиусу, медленно увеличивая, а иногда даже уменьшая свой размер d; в отличие от этого, в вязкой плазме быстрее разрушается внутренняя область вихревой структуры, чем его периферийная область; т. е. в вязкой плазме происходит передана количества движения по слоям — от завихренной сердцевины к обтекающей вихрь внешней части. Выявлено также, что релаксация крупномасштабных вихрей (p2d2 « 1) проис- ходит значительно медленнее мелкомасштабных (p2d2 »1).
Сказанное позволяет предполагать, что в неоднородной турбулентной плазме в процессах переноса частиц и тепла основной вклад дадут долгоживущие крупномасштабные вихревые структуры.
Исследовано влияние желобковых и баллонных неустойчивостей на формирование и динамику векторных вихревых структур на соответствующих модах. Показано, что в области неблагоприятной кривизны магнитных силовых линий, g£n < 0 (область желобковой неустойчивости), электростатические желобковые и электромагнитные дрейфово-баллонные возмущения обладают отрицательной энергией. Поэтому образование вихревых структур на этих модах выгодно энергетически, и они самоподдерживаются за счет дисси- патиных процессов, подобно автосолитонам. Более того, вихри содержат захваченные частицы, создающие дополнительный канал диссипативного перераспределения свободной энергии в системе. В экспериментальных термоядерных установках они могут существовать и расти также в области благоприятной кривизны магнитных поверхностей за счет флуктуаций, возбуждающихся при дополнительном нагреве плазмы.
Заметим, что генерация и раскачка дрейфовых вихрей возможны также при параметрическом воздействии поля электромагнитной накачки с внутренними низкочастотными плазменными полями (см., например, [240]), а также при взаимодействии энергичных термоядерных а -частиц с плазменными колебаниями [241].
Возникает вопрос о топологической устойчивости вихрей в диссипативной плазме. Как показал численный эксперимент [242], желобковые вихри в области неустойчивости (gaen < 0, где aen = с?1пп0 /дс) разрушаются за время порядка обратного инкремента линейной желобковой неустойчивости (5.175)， В устойчивой плазме (且忠口 >0) счет показал, что при отсучствии диссипации
/V二0) уединенные вихри не распадаются длительное время и даже сохраняют фОрму. В устойчивой плазме скорость желобкого вихря и меньше дрейфовой скор。。™ ионов V*i，uvV*i (т.к. согласно (3.123), желобковые вихри формируются при условии A = -gaen(u(u-V#i)) 1 >0) и диссипация на ионах (V У °)приводит к усилению вихря. Это явление аналогично изменению знака затухания Ландау в дрейфово-диссипативной «универсальной» неустойчиво- 期[9], вызванной тем, что скорость дрейфовых волн меньше V#i (т. к. соответ- вующи而 член имеет коэффициент ~(l-V*j/u)). Действительно, численный счет [242] показал, что в области устойчивости желобковых колебаний дипольные вихри топологически устойчивы и усиливаются под действием диссипации. По-видимому аналогичная ьсартина будет наблюдаться (ввиду сходства уравнений) и для дрейфово-баллонных и дрейфово-альфвеновских вихрей.
Скопление рассмотренных выше структур в замагниченной плазме может вызвать повышенный конвективный перенос частиц и тепла и, тем самым, являться структурным элементом сильной дрейфовой турбулентности (см. гл. 7).
Глава 6
Нелинейные волновые структуры как факторы литосферно-ионосферных связей
Изучение нелинейных волновых процессов в диспергирующих средах привлекает внимание в первую очередь своей яркой прикладной значимостью и открывающимися возможностями исследования глубинных свойств математических и физических моделей тех или иных физических явлений. Нахождение скрытых закономерностей рассматриваемых явлений позволяет очертить круг потенциальных возможностей исходных представлений.
Нелинейные волновые структуры и возмущения часто привлекаются для интерпретации как лабораторно-экспериментальных [1-5], так и астрофизических наблюдательных результатов [6-8].
В связи с этим важным представляется переход от анализа отдельных нелинейных явлений к решению самосогласованных задач, в которых многообразие проявлений коллективных процессов в диспергирующей среде может быть выражено через несколько основных параметров.
В данной главе нелинейные волновые структуры и возмущения будут применяться для самосогласованного описания некоторых аспектов, существующих в системе литосферо-атмосферо-ионосферо-магнитосферных связей. В разд. 6.1 исследуется ионосферный отклик @а естественное (например, землетрясение) или искусственное (например, взрывы) воздействие. На базе нелинейных акустико-гравитационных вихрей построена теоретическая модель, описывающая наблюдаемое перед сильными землетрясениями усиление зеленой эмиссии ночного неба. Разработке нового, нелинейного механизма генераций электромагнитных полей акустическими волнами, естественного или искусственного происхождения, в частично ионизированной среде (ионосфере) посвящен разд. 6.2. В последующем разд. 6.3 строятся математическая и физическая модели транспортировки энергии фотоэлектронов из магнитосопряженной области в местную ионосферу на основе сильной волновой турбулентности. С помощью этой модели объясняется наблюдаемое предсумеречное усиление интенсивности красной линии эмиссии 630 нм в F-области ионосферы.
• Самоорганизация акустико-гравитационных (АГ) вихрей в Е-области ионосферы перед землетрясением
В последнее время особое внимание стало уделяться прямому анализу и непосредственным измерениям как стационарных, так и нестационарных структур в атмосфере и ионосфере Земли при воздействии внешних воз- и(ущающих факторов. Накопилось большое число данных наблюдения, подтверждающих, что перед землетрясениями и в последующие периоды в нейтральной атмосфере и ионосфере происходит активизация волновых процессов [245-248].
В частности наблюдалось возбуждение акустико-гравиггационных волн (АГВ). Наиболее отчетливо эти возмущения проявляются в инфразвуковом диапазоне, так как в этой полосе частот естественный фон атмосферной турбулентности ниже, чем в диапазоне внутренних гравитационных волн. Анализ данных по свечению предсумеречного ночного неба показывает, что перед землетрясением наблюдается усиление интенсивности зеленого излучения атомарного кислорода 557.7 нм (светящий слой на высоте 85-110 км), который начинается за несколько часов до землетрясе!тя [249-251] и косвенно под- тверждает присутствие АГ (инфразвуковых) возмущений.
В связи с этим, становится актуальным теоретическое исследование возможности генерации АГ вихрей в средней атмосфере и нижней ионосфере Земли при распространении возмущений сейсмического происхождения.
Постановка задачи и исходные динамические уравнения
На основе существующих наблюдательных и экспериментальных данных [245-251] можно предполагать, что перед землетрясением в атмосфере разыгрывается следующий сценарий события: тектонические процессы в коре генерируют рэлеевские волны, распространяющиеся по поверхности Земли от эпи- Центральной области землетрясения со сверхзвуковой скоростью (около 3 км/с). Рэлеевские волны возбуждают возмущения атмосферного давления (акустические возмущения) из-за вертикального импульсного воздействия на вышележащие слои воздуха [252, 253]. АГ волны, распространяясь вертикально вверх почти без затухания до высоты ПО км [254, 255], с экспоненциально-растущей высотой амили1уды, возбуждают на этой высоте коллективные движения в виде АГ вихрей. Присутствие конвективного, вихревого движения повышает Плотность атомарного кислорода на данном уровне атмосферы и, соответст- венно, усиливает интенсивность зеленого излучения ночного неба. Теоретиче- скому обоснованию этой модели посвящен данный раздел.
30 См. [20,243,244].
228228二[叭6
228
228
Распространение волновых возмущений в неоднородной, нейтрально^ бездиссипативной (диссипация будет учтена в дальнейшем) атмосфере опись-* ваем уравнениями движения
^- + (VV)V = -—+ g,(6.1 j
p
непрерывности
^ + VVp + pdivV = O(6.2)
и состояния (или энтропии) среды
—+ (VV)P + yPdivV = 0.(6.3)
Здесь, как обычно, V — скорость жидкости; p = po(z) + p' — плотность; P = Po(z) + P' —давление; g = -gez, g —ускорение силы тяжести, ez — единичный вектор вдоль оси oz; у = сР /cv — отношение удельных теплоемкостей; переменные с нулевым индексом означают параметры атмосферы в невозмущенном состоянии, а имеющие знак штрих — отклонение от этого среднего состояния.
Введем локальную систему координат х, у, z с осью х, направленной на восток, осью у — на север и осью z — по вертикали. Мы будем изучать динамику коротковолновых |k|»Н"1 (где к — волновой вектор: Н = dlnp0/dz ―■ характерный размер неоднородности или глубина однородной атмосферы), низкочастотных со « кс8 (где со — характерная частота возмущений, с§ = (?Ро /ро)12 — скорость звука) волн в атмосфере. Выделение такого интервала спектра атмосферных возмущений обусловлено спецификой нашей задачи. При распространении вверх волнового возмущения происходит быстрое поглощение высоких частот за счет вязкости атмосферы. Влияние вязкости мало для частот со « cs /1 (где 1 — длина свободного пробега молекул) [255]. Например, на высотах ~110 км или близких к ним с$ ~300м/с, 1~ 1м, следовательно, со«3-102с-1. Это означает, что АГ волны с частотой (меньше) 100 с~! распространяются до высоты ПО км без поглощения и для их описания в уравнениях мджно пренебречь вязкостью.
Учитывая коротковолновость и низкочастотность рассматриваемых волн и полагая, что возмущение давления и сжимаемости среды являются относительно слабыми, Р/Ро «р/р0 «(кН)-1, divV « 8匕 /氏,систему уравнений (6.1)-(6.3) приводим к виду [20]:
Нелинейные волновые структуры ка
LK факторы литосфер» ю-ионосферных связей229
ЗА% /
-+ (
rot rot(VV)V)z ® △丄①(6.4)
d①
6z т
-(VV)Oft——Vz.(6.5)
鸣/dz z一
Здесь скорость представляется
выражением
V：
= Vz%-▽丄 А：半，(6.6)
oz
введена новая переменная
Ф = р"1-Ро1；(6.7)
N2 — квадрат частоты Брента
—Вяйсяля
n2=-
[蝇+丄廸理；(6.8)
1 dz ypoPo dz 丿 dz
a=4丄+a2/①2; △1 =д2/dx2 оператор, обратный А±.
+ 6?/бу2 —горизонтальный лапласиан; А} —
Система двух взаимосвязи нейную динамику трехмерных тема сохраняет интеграл энерп
анных уравнений (6.4), (6.5) определяет нели- :АГ волн в неоднородной атмосфере. Эта смени [243]:
▽丄①)dr.(6.9)
"0 / az/
Основные трудности аналитического исследования решения системы (6・4), (6.5) обусловлены наличием неодномерной нелинейности типа rot^t((w)v) .Если задача характеризуется некоторой анизотропией, как в рассматриваемом нами случае распространения возмущения вдоль вертикаль- н°й плоскости (% =0), систему (6.4), (6.5) удается упростить, используя понятие функции тока 屮(x,z,t), и свести ее к классическому уравнению типа ^арнн (или Хассегавы——Мимы) [16]. Действительно, с помощью функции 2ка компоненты скорости могут быть написаны в виде производных:
ч=-ч=-з屮dzз屮dz(6.10)(6.10)
ч=-
ч=-
з屮dz
з屮dz
(6.10)
(6.10)
При этом условие слабой сжимаемости удовлетворяется автоматически.
Уравнения же, которым должна удовлетворять функция тока, получаются подстановкой (6.10) в уравнения (6.4), (6.5) [244]:
嗒+仆观)時篆(6.Н)
小 、 丿dz 5x丿
粤+J(屮M)=粤+J(屮M)=N? fflP d%/dz 5xN? fflP d%/dz 5x(6.12)(6.12)
粤+J(屮M)=
粤+J(屮M)=
N? fflP d%/dz 5x
N? fflP d%/dz 5x
(6.12)
(6.12)
Здесь введены обозначения
ч 5а 5b 5а дЪ 】о2 д2依讣羡益一石^a=费+萨
Эти уравнения, описывающие динамику двумерных АГ возмущений в атмосфере не только формально похожи на уравнение Чарни но, как будет показано дальше, их решения можно провести таким же образом, как и для уравнения Чарни.
Самолокализация АГ возмущений в среднеширотной атмосфере
Из общей теории нелинейных регулярных структур известно [13, 16], что вихри образуются на ветвях колебаний, имеющих малую, по сравнению со звуковой, фазовую скорость. Для рассматриваемых нами низкочастотных АГ волн это условие соблюдается с большим запасом: со/k « cs. Чтобы выявить и другие особенности этих волн, в первую очередь, найдем решение линеаризованной системы (6.11), (6.12) в виде плоских волн exp(o{i(l^x + k2z-cot)-z/2H}, тогда получаем дисперсионное соотношение:
届二与m，(6•⑶
k
где k2 =k： +k； +1《4Н2).
Из (6.13) видно, что в тех областях атмосферы, где N2 < 0, или dlnI^/dz>(Y-l)dlnp0/dz (т. е. в области, h -.110 км, где температура имеет высокий градиент), возбуждаются конвективно-неустойчивые АГ волны- Инкремент нарастания волн 匕 ~|kxN/k|. Со временем амплитуда возмуше- ния растет, волновой процесс переходит на нелинейный режим, и, конкурируй с дисперсионным расплыванием, может устанавливаться равновесие. Соот-
^твенно, процесс заканчивается формированием стационарных локализо- ^лых нелинейных вихревых струтсгур. Покажем, что нелинейная система равнений (6.11), (6.12) действительно имеет стационарное решение в виде Синенных двумерных вихревых структур.
Ищем решение уравнений (6.11), (6.12) в форме стационарных волн, рас-
устраняющихсяустраняющихсявдоль оси х со скоростью u = const; частоту Брента—Вяй-
устраняющихся
устраняющихся
皿 N = N()считаем皿 N = N()считаемпостоянной;屮= +(n,z),①二①(n，z); где n = x-ut.
皿 N = N()считаем
皿 N = N()считаем
НЬРУДн。показать, что уравнения (6.11), (6.12) в переменных г|. z эквивалентны следующему [242]:
J ¥ + uz,A*-，=0. IuJ ¥ + uz,A*-，=0. Iu(6.14)(6.14)
J ¥ + uz,A*-，=0. Iu
J ¥ + uz,A*-，=0. Iu
(6.14)
(6.14)
Следуя [18], введем полярные координаты г = (rj2 +z2j12, tg0 = z/r| и круг радиусом а . Далее потребуем, чтобы 屮(г, 9) экспоненциально стремилась к нулю при г -> 8 и была дважды непрерывно дифференцируема по своим аргументам. Тогда (3.2) имеет решение [20]
屮=-^ ^ ^ = auF(r)sin9,屮=-^ ^ ^ = auF(r)sin9,(6.15)(6.15)
屮=-^ ^ ^ = auF(r)sin9,
屮=-^ ^ ^ = auF(r)sin9,
(6.15)
(6.15)
ие
(6.16)(6.16)[(р/ае)2^(аег)/А(аеа)-(ае2 +р2)г/ае2, г<а, F(「) =
(6.16)
(6.16)
[-&(Br)/Ki(Pa), г>а,
Jn — функция Бесселя первого рода, Кп — функция Макдональда, параметры р и ае связаны дисперсионным соотношением:
J2(asa) = К2(ра)絞工
aeJi (аеа) рК](Ва)， и2
Так как мы строим решения, экспоненциально убывающие на бесконеч- н℃тн, то значения параметра『=-N2 /и2 должны быть строго положительными, т. е. -N2 >0 (или dlnT0/dz >(y-l)dlnp0/dz).
С учетом дисперсионного уравнения (6.17) в решении остается два св。- Еаних параметра и и а. Как это следует из (6.15), решение имеет при 2 8 асимптотику 屮〜r~1/2 ехр(-рг), так что волна локализована в плоско- ^ (n,z). Возмущенные линии уровня функции тока имеют дипольный характер. Поэтому такие структуры представляют собой пару противоположно
вращающихся вихрей (циклон — антициклон) равной интенсивности, hbhq . щихся прямолинейно в покоящейся среде. Вихри могут перемещаться как на восток (и > 0), так и на запад (и < 0).
Движение частиц среды в вихревых структурах (6.15)-(6.17) имеет лену, левую завихренность, rotV * 0, т. е. частицы в вихре совершают вращательное движение. Из (6.10)-(6.15) следует, что характерная величина скорости такого вращения порядка или больше скорости вихря V > и . При этом вихрь захватывает группу частиц (число которых порядка пролетных), которые, вращаясь, перемещаются вместе с вихревой структурой. Характерней размер вихря d равен d-a-p"1 =|u/N|, а скорость перемещений ограничена условием |u| < H|N|. Следовательно, на высоте расположения вихря h -110 км имеем возможный максимальный размер вихря d ~ Н « 6,5 км.
Выше рассмотрена локализация акустико-гравитационных волн в неоднородной (стратифицированной) бездиссипативной атмосфере. Нелинейные вихревые структуры образуются в тех слоях атмосферы, где dlnT0/dz>(y-l)dlnp0/dz, т.e. на уровне высот h-НОкм. Хотя на таких высотах для рассматриваемых нами мод со « 300 с"1, влияние диссипативных эффектов (вязкости, теплопроводности, бесстолкновительного затухания и др.) не является существенным [254, 255], тем не менее диссипацией энергии пренебрегать нельзя. Она важна как способ перераспределения энергии системы, обеспечивающей устойчивое поддержание нелинейных структур в среде.
При наличии диссипативных факторов в атмосфере вихрь не является стационарной волной, и для изучения динамики нелинейных структур необходимо использовать соответствующее уравнение переноса. Ограничимся анализом вязкой атмосферы. При учете вязкости, к правой части уравнения движения (6.1) добавится член вида vAV [255], где v — кинематическая вязкость. В этом случае интегральные характеристики волн, в частности энергия (6.9), не сохраняются и со временем медленно изменяются (из-за слабой диссипации). Заметим, что последний член в (6.9) описывает обмен энергией между вихрем и атмосферой (N н 0). В области атмосферы, где генерируются рассматриваемые нами АГ вихри (din!})/dz >(Y-l)dlnp0/dz, т. e. на высоте h ~ -ПО км), эн^гия структур может быть отрицательной, и, как будет показано ниже, это приведет к усилению волновых структур в диссипативной атмосфере.
Следуя [236], представляем каждую из волновых величин в системе (6.4)・ (6.5) (с учетом диссипативного члена) в виде F =玲 + R , где 丸一стационарное решение (при v = 0),耳 описывает изменение пространственной структуры вихря из-за вязкости 已 >> 耳.При этом находим, что энергия вихря (6・9) изменяется со временем по закону
—= -vfdr.(6.18)
6t J dP0/dzk z丿
В пределе малой диссипации в (6.18) можно подставить решение в виде (6.15), (6.10) с параметрами и, а, со временем медленно изменяющимися. &гда из (6.18) следует, что из-за отрицательности энергии Е (6.18) вихревая структура усиливается за счет диссипативного обмена энергией с атмосферой.
Образование таких структур энергетически выгодно в области конвективнонеустойчивой атмосферы (N2 < 0, т. е. на уровне высот h —110 км); они само- поддерживаются за счет диссипативных процессов, подобно авгосолитонам.
Возникает вопрос о топологической устойчивости АГ вихрей в диссипативной атмосфере. Как показал численный эксперимент [242], желобковые дипольные вихри в неоднородной плазме топологически устойчивы и усиливаются под действием диссипации. По-видимому, аналогичная картина будет наблюдаться (ввиду сходства уравнений и физических причин генерации структур) и для акустико-гравитационных вихрей в стратифицированной атмосфере.
Усиление интенсивности зеленого излучения ночного неба АГ вихрями перед землетрясениями
Основным источником возбуждения зеленой линии ночного излучения (Х = 557,7 нм) на высотах от 80 до 120 км является двуступенчатый механизм Барта—Хильдебранта, состоящий из реакгщи [257],
О「р) + о(Зр) + М = О；+М,
(6.19) О；+О(3р—°2+О(У)
с последующим излучением зеленой кислородной линии в реакции
O(1S)->O(1D)+ hv0.(6.20)
Здесь О(3р) — атомарный кислород в. основном состоянии; О； — молеку- ^ный кислород в возбужденном состоянии; М — произвольная нейтральная частица; O,S), O,D)— атомарные кислороды в возбужденных со- ^ояниях; v0 — частота зеленой эмиссии. Интенсивность излучения I линии 11PH этом сильно зависит от концентрации атомарного кислорода п(О)на Уровне светящегося слоя [244]:
1~陽)Y(O). (6.21)
Изменение n(O)на высоте 710км может быть обусловлено присутствц. ем АГ вихрей (6.15). Наличие АГ вихрей приводит к конвективному перем：, шиванию кислорода по вертикали и, следовательно, повышению концена'ра- ции п(О) на уровне святящегося слоя атмосферы. Оценим изменение (увеличение) концентрации атомарного кислорода п，(О) на уровне свяТящеги слоя (ПО км), обусловленное присутствием АГ вихрей. Согласно (6.7), (6.15),
(6.22)(6.22)
(6.22)
(6.22)
где р' — возмущение плотности атомарного кислорода, обусловленной вихревой конвекцией.
Согласно (6.22), (6.15), имеем [20]
Ро МО) dP°/dzРо МО) dP°/dz(6.23)(6.23)
Ро МО) dP°/dz
Ро МО) dP°/dz
(6.23)
(6.23)
Учитывая, что р0 =т(0)п(0) — масса атома кислорода, р = ро+р', из (6.21), (6.23) получаем
%机 〜Г— 〜 PqU ——— +1 .(6.24)
g向丿o臨/&
Здесь 1наб, 1сез — наблюдаемая и среднесезонная интенсивность зеленой эмиссии, соответственно.
На основании многолетнего наблюдательного материала в работах [249 251] показано, что вариации интенсивности основных видов излучения верхней атмосферы Земли содержат предвестник готовящегося землетрясения. Особенно отчетливо это явление обнаруживается в вариациях ночного зеленого излучения атомарного кислорода в линии 九=557.7 нм, светящий слой которого локализован на высоте около 100 км. Вычислялись разности △I = 1наб -1сез • Установлено, что интенсивность эмиссии X = 557,7 нм за сутки до землетрясения начинает увеличиваться. Амплитуда AI / 1сез, выраженная в процентах, составила 6,9±1,4%.
Для сравнения с данными наблюдений, на основе (6.24) определим относительное изменение интенсивности AI / 1сез зеленого излучения, обусловленного АГ вихрями:
+] _]dP0/dz+] _]dP0/dz(6.25)(6.25)△I
+] _]
dP0/dz
+] _]
dP0/dz
(6.25)
(6.25)
ТРо %ез
Сделаем некоторые численные оценки. Для характерных значений параметров атмосферы на высоте ПО км, 鸣/dz ~ р()с：/Н, с§~ 300м/с, ц = 6.5-103м, N = 210"2с"1, согласно (6.25) AI/ 1сез может составить 7 % да- *е при таких низких величинах скорости перемещения вихря и, как 16 м/с (величина скорости и ограничена лишь условием u < H|N| = 130 м/с), т. е. обеспечение необходимых значений вариации А1/1сез в атмосфере (перед землетрясением) не представляет трудностей.
Таким образом, наблюдаемые возмущенные вариации эмиссии 入=557,7 нм, связанные с усилением сейсмической активности, качественно объясняются в рамках предложенной теории распространения АГ вихрей (сейсмическою происхождения) в средней атмосфере.
Заметим, что непосредственное наблюдение ВГ вихрей в средней атмосфере затруднено из-за сложности идентификации признаков возмущения параметров нейтральной атмосферы. Но в нижней ионосфере (Е-слой, h-100км), с помощью вертикального зондирования, можно обнаружить немало признаков прохождения АГ вихрей среди различных фоновых возмущений. Хотя плотность заряженных частиц в Е-слое ионосферы мала и слабо влияет на динамику АГ вихрей, АГ вихри могут вызвать сильное возмущение плазмы Е -слоя. Причем электроны преимущественно движутся вдоль силовой линии геомагнитного поля, т. к. циклотронная частота электронов много больше частоты их столкновений. Ионы в основном, увлекаются нейтральным ветром поперек линии геомагнитного поля, генерируя поперечный электрический ток и, Соответственно, сильное возмущение ионосферной плазмы. Оценим возмущение геомагнитного поля В】,обусловленное прохождением АГ вихрей. Согласно уравнению Максвелла,
rotBj = ^%о¥ , (6.26) e 亠
Ue nOi — равновесная плотность ионов, V丄一скорость нейтрального ветра поперек линии геомагнитного поля. Учитывая (6.10), из (6.26) получаем
В 纪巴”中 (6.27) у с
Видно, что возмущенное магнитное поле локализовано подобно АГ вихрям. Так что, с помои^ью наземного или спутникового измерения можно опреде- "Нть характер возмущения геомагнитного поля (6.27) и локализованную замк- 11ylyК)силовую линию идентифицировать с АГ вихрями.
6・2・ Нелинейный механизм генерации электромагнитных полей акустическими волнами в ионосфере
В последнее время возрос интерес к изучению волновых явлений, свл_ занных с сейсмической и антропогенной активностью. Неоднократно наблюдалось возбуждение акустических волн в атмосфере и，в ионосферной плазме в момент землетрясений и непосредственно перед ним [245-247 261]. В ионосфере, на высоте 100 км и выше перед землетрясением зарегистрировано увеличение интенсивности электромагнитных возмущений [248, 261-263]. Анализ данных по свечению предсумеречного ночного неба также показывает повышение интенсивности линии излучения перед землетрясением [249-251], что косвенно подтверждает присутствие акустических и электромагнитных возмущений.
Акустические волны при этом могут генерироваться от любого естественного и антропогенного источника, в том числе от землетрясений, и, распространяясь вверх, достичь ионосферных слоев [252-255]. Например, на спутнике «Ореол-3» зарегистрирована [261] эффеюгивная трансформация энергии антропогенных взрывов — акустических возмущений инфразвукового диапазона в энергию электромагнитного возмущения. Итак, накопилось довольно много экспериментальных данных, указывающих на существенную роль взаимодействия нейтральной компоненты на динамику электромагнитных волновых возмущений верхней атмосферы.
В связи с этим, остро встает вопрос теоретического исследования механнз- мов передачи энергии акустических волн электромагнитным возмущениям.
Постановка задачи и исходные уравнения
Рассматриваемая нами среда состоит из нейтральных частиц, ионов и электронов. При этом, на высоте порядка 150 км концентрация нейтралов ~10“см-з, ионов и электронов - 104-106см"3. Поэтому, очевидно, следует рассматривать трехкомпонентную среду. Если частота столкновений v доста. точно высока, v»co (где со — характерная частота возмущений), то различные компоненты среды оказываются «привязанными» друг к другу, и движение компонент среды можно описать общей гидродинамической скоростью и скоростью движения электронов относительно ионов. Именно в этом приближении рассматривается задача генерации геомагнитных вариаций в работе [264]. Одн： ко этот подход исключает из рассмотрения движение ионов относительно нейтралов, что при исследовании генерации электромагнитных возмущений може1 оказаться важным. Более общим представляется приближение, в котором раС' сматриваются все три компоненты среды, как это делалось в работах [265-267]-
^^_12_1；：：U二
В этих работах ограничивались рассмотрением линейной задачи. В урав- 禍硏 口门丸 скоростей не учитывался нелинейный член вида (W)V . Тем са- 皿М пренебрегалось единственной возможностью трансформации волн в ^Йоднородной среде — нелинейным взаимодействием волн. Поэтому эти 即ры вынуждены допустшь существование резкой границы между ней- ^дьным газом и полностью ионизованной плазмой, что, практически, сводит 3aдачу к несколько видоизмененному механизму линейной трансформации в0ДВ на неоднородностях среды. В результате, коэффициент трансформации № в ионосфере оказывается незначительным [265].
Очевидно, что для большой амплитуды звуковой волны вклад нелиней- ною члена при рассмотрении задачи о трансформации акустической волны в электромагнитную делается определяющим. В обычной, полностью ионизированной плазме, когда амплитуды всех взаимодействующих волн малы, нелинейная трансформация описывается распадной неустойчивостью. Если же начальная волна (волна накачки) имеет большую амплитуду, то и сама по
становка задачи и техника расчета существенно меняются и интерпретиру- кяса как параметрическая неустойчивость [268].
Специфика случая, рассматриваемого нами, требует разработки несколько отличной от обычной параметрической неустойчивости техники, и она предлагается ниже. Наш случай имеет существенно отличный от обычной параме1ри- ческой неустойчивости характер ——волной накачки является акустическая волна, 工 е. колебания нейтральных частиц. Поэтому непосредственное взаимодействие волн накачки с электромагнитными модами невозможно. Интенсивная акустическая волна, достигая токонесущих высот; вовлекает в коллективное движение заряженные частицы посредством трения с нейтралами. Весьма существенно, что коэффициенты трения электронов и ионов с нейтральными частицами отли- wrex друг от друга, что вызывает относительное движение заряженных час- 叫 Индуцируемые этим движением переменные токи могут генерировать Ферромагнитные поля в ионосфере из-за парамегрической накачки. Сущест- венно, что эти токи имеют хаотическую фазу, и это необходимо учитывать.
Предполагая, что ионосферная среда является трехкомпонентной, квази- однородной, и, пренебрегая инерцией электронов (что справедливо для альф- веновскнх и магнитозвуковых возмущений), динамику волновых возмущений описываем уравнениями [175]:
О = - V — е%(Е + -[VCB]) +
(6.28)(6.28)(6.29)(6.29)+ mj evei (Vj-Ve) + menev en(Vn-Vc),
(6.28)
(6.28)
(6.29)
(6.29)
Mnn {醬 + (Y・V)Y } = ^ -ene(E + YB]) ++ menivei(Ve-Vi) + Mniv，п(Уп-У4),
м* 偿+(%▽)% 卜
=7Pn -mcneVm(Vn - Ve)-M^V ^(Vn - V, ),(6.30)
聾+ div(%Va) = O,(6.31)
▽Pa = YaTaVna，a = 5 i, П.(6&)
В уравнениях (6.28R6.32) Pa =Poa +pix»na = noa + 近a，Давление и【口①. ность ионосферной плазмы, В = В0+В, Ё — магнитное и электрическое поле (индекс «О» означает равновесное значение, а тильда над величинами означает их возмущенное значение), vap — средняя частота столкновения частицы сорта «а» с частицами сорта «Р», с — скорость света, М — масса иона или молекулы (нейтрала), е,те — заряд и масса электрона, уа — показатель адиабаты. Та — температура. В дальнейшем тильду у возмущенных величин будем, как правило, опускать.
Пренебрегая токами смещения, возмущения магнитного и электрического полей описываем уравнениями Максвелла:
4л rotB = —j,4л rotB = —j,m 1 евrotE =,
4л rotB = —j,
4л rotB = —j,
с 炭(6.33)
ЛуЕ = 4ле(пе-п{), divB = 0,] = е(п{¥, -neVe).
Уравнения (6.28)-(6.33) описывают взаимодействие возмущения газа с замагниченной ионосферной плазмой.
Учитывая, что ионосферную плазму с достаточной степенью точности можно считать квазинейтральной, nOe * noi = п0, и складывая уравнения (6.28), (6.29), получим уравнение движения для заряженных частиц. При этом электрическое поле выпадает из уравнения [258]:
мп 桧+(¥▽)* 卜
=々(Ре +Pi) + *TotB,B] + MriiV in(Vn-Vi). (6.3#
Здесь учитывались неравенства
(б®、(б®、
(б®、
(б®、
При достаточно редких столкновениях (a>Bi » vin), для медленных процессов (со« швнсо*ку, где к, со — волновое число и характерная частота генерируемого возмущения,(0^ = еВ0 / mac ― циклотронная частота частиц сорта a = i,e), используя уравнение движения ионов (6.34), уравнение индукции (6.33) приводим к виду:
(6.36)(6.36)^ = гог[ув].
(6.36)
(6.36)
В уравнении (6.34) член, пропорциональный VR, является определяющим, т. к. именно этот член описывает движение электронов относительно ионов. Для корректного определения VI^(= ye7^Vne) необходимо иметь уравнение, связывающее скорости электронов и ионов. Эта связь, в нашем случае (в ионосферной среде), осуществляется через столкновение электронов и ионов с нейтральными частицами. Для того, чтобы найти эту связь, мы воспользуемся описанной в работе [269] схемой расчета.
段噺訂in“ Vay=-c段噺訂in“ Vay=-c(6.37)(6.37)Следуя [269], изучим движение заряженных частиц сорта a, сталкивающихся с нейтральными частицами в среднем van раз в секунду. После столкновений скорость частицы распределена хаотически или в среднем равна нулю относительно нейтральных частиц. Предполагается, что нейтралы покоятся. Между столкновениями движение частицы с зарядом qa подвержено воздействию только электрического и магнитного полей. Электрическое поле — это генерируемое акустической волной переменное поле Е. Предположим, что частота изменения генерируемого поля со намного меньше циклотронной частоты, со « Швд . Тогда мы можем считать, что электрическое поле за период вращения частицы по ларморовской окружности постоянно, а магнитное поле возмущения мало по сравнению с внешним геомагнитным полем. Пусть однородное геомагнитное поле Во направлено вдоль оси z , а электрическое поле имеет компоненты вдоль осей х и z , E(EX,O,EZ). В такой модели можно легко найти решение уравнения движения заряженных частиц. Для частицы, покоящейся в момент t = 0 , имеем известные решения:
段噺訂in“ Vay=-c
段噺訂in“ Vay=-c
(6.37)
(6.37)
azazEzq(x —ma
az
az
Интервал между столкновениями подчиняется законам статистического Распределения. Вероятность того, что столкновение произойдет в момент времени между t и t + dt, равна fan = van exp(-vant)dt. Тогда, умножая каж-
口 а% б
дую из компонею' скорости (6.37) на fan и интегрируя по времени, находи^ компоненты средней или дрейфовой скорости заряженных частиц:
V = 口01 'an%a Ex у _① BaE*
(6.38)
V 一F
vaz 一口z・
m^an
Записывая эти выражения для электронов и ионов по отдельности (a = e,i) и исключая из полученных выражений поля Е и Во, легко найдем связь между компонентами скоростей (&} и(Y} , (j = x,y,z или 1,2, 3):
(Ve)j=Pij(Vi)j,(6.39)
где
b二вве*+谓 R二碌*+嗚
11 VinSi 总 + с4е '22硫i * + <4e '(6 40)
₽33=-—
me Ven
Самосогласованная система уравнений (6.30)-(6.32), (6.34), (6.36), (6.39) описывает возбуждение электромагнитных полей при распространении акустической волны в ионосфере.
6・2・2・ Дисперсионное уравнение для связанных акустических и электромагнитных мод
Для учета влияния акустической волны на заряженные частицы, мы в дальнейшем исследуем задачу в системе отсчета колеблющихся нейтралов — системе покоя нейтралов.
Обычно при гидродинамическом описании предполагается идентичность поведения частиц среды. Так, например, в двухжидкостной гидродинамике при параметрической генерации волн в плазме внешним элешромагнитны» полем, волна накачки действует на все заряженные частицы одновременно Из-за отличия инертности компонент электроны двигаются относительно ионов, что и вызывает параметрическую неустойчивость.
В нашем же случае влияние акустической волиы-накачки на заряженные частицы осуществляется только через столкновения. Очевидно, что столкновение с различными частицами происходит в различное время. После каждого акта столкновения нейтралов с заряженными частицами меняется их импульс — частицы начинают двигаться как бы с новой фазой. Поэтому для адекватно^
описания статистического состояния системы многих частиц необходимо вво- ^0, случайную фазу. В случае двухжидкостной гидродинамики, для электро- Н0В и ионов плазмы следует вводить случайные фазы ср и 屮，соответственно,
с доследующим усреднением по этим фазам. Дяя этого разобьем совокуп- Hocib частиц, находящихся в среде, на группы, в которые объединим частицы с близкими фиксированными значениями фаз \gn (п = 1,2,...). Далее записы-
дзем динамические уравнения (6.28)-(6.36) для каждой отдельной группы лроизвольной, но фиксированной ( фп или 屮口) фазы. Для описания картины с равновероятно распределенной фазой (т. е. детерминированного состояния, к 齡юрому окончательно релаксирует среда), мы должны в полученных уравнениях произвести усреднение по фазам [270].
Рассмотрим случай, когда частота генерируемого возмущения v|/n(n=l,2,...)
много больше, чем частота столкновений нейтральных частиц с ионами vni, ю» vni (丫市 ~ (nOi /пОп )vin « vin). В этом диапазоне частот движение заряженных частиц не влияет на движение нейтральных, поэтому решение уравнения динамики нейтральных частиц (6.30), (6.31) можно произвести независимо и скорость Vn представить в виде колебаний со случайной фазой 屮[259]:
(6.41)(6.41)Vn =V0cos(co0t + v),
(6.41)
(6.41)
где Vo — постоянная во времени амплитуда скорости нейтральных частиц, ©о — частота акустических волн (накачки),屮 一начальная фаза нейтралов или ионов. Мы описываем совокупность огромного числа частиц, поэтому очевидно, что 屮一случайно.
Таким образом, квазиоднородная атмосфера подпитывается внешним постоянным источником возмущения (6.41) (например, колебанием земной поверхности, которое из-за возбуждения поверхностных волн Рэлея, генерирует звук, распространяющийся вверх до ионосферных высот).
Вид внешнего источника (6.41) предполагает; что(o0t» kor, где k0 || Vo — волновой вектор волны накачки, т. е. рассматриваемая нами область гене- Рацни ионосферного возмущения меньше длины волны накачки \)= 2л/к0 (см. ниже).
Такое рассмотрение принципиально отличает нашу постановку задачи 0T рассмотренных ранее аналогичных ионосферных задач [264-267]. В лабораторной плазме такая постановка задачи весьма популярна и хорошо °боснована [268]. Отметим, что в нашей задаче из-за присутствия в среде Внешнего поля накачки возможно пространственно однородное состояние, в котором скорость частиц среды определяется выражением (6.41). Следовательно, мы рассматриваем малые колебания среды около такого равновесно- 2 состояния.
Исследуем временную эволюцию созданного внешним источником (6.4]) ионосферного возмущения в диапазоне частот vni « со »соВ1. Как отмеча лось выше, переходим к системе покоя нейтралов и для удобства анализа вве. дем новые переменные
V = Vj-Vn =U(t)eTa 血(仰t+v),a = ^
где k — волновой вектор генерируемого возмущения. Относигельно з【нх новых переменных, из уравнения (6.34), (6.36) с точностью до членов второго порядка малости по переменным n, U , получим
怨^ - 丫足U (t)=[铀V。疝(со。t + %—
ЕМПл
^^J[4V[VEU(f))Bol]]]^^(6.43)
Заметим, что ионы и электроны не взаимодействуют с нейтралами синхронно. Поэтому начальные фазы колебаний электронов ф и ионов 屮 отличаются друг от друга. С учетом этого, а также соотношения (6.39), решения уравнения непрерывности для электронов и ионов (6.31) представляем в виде:
ne(t) = -noe-ibsin^t+<p)£ Jn(b)Js(aF(E”)x
no=-«
х/Ж^^^(,44)
Д со +(n-s)co0
м (t) = -%e』sin®3 卜 u(t')dt',(6.45)
где Jn — функция Бесселя первого рода порядка п, b = —— ,j = х, у, z (1,2,3),(6.46)
①о
по индексу j ведется суммирование. В уравнении (6.44) использовалось разложение
e:iasin(o0tM = £ (但卜土沿®…),n=-00
仪①)一фурье-компонента величины U(t).
Выражения (6.44), (6.45) подставляем в (6.48). Экспоненциальную функцию exp ia sin(coot + 屮)]вновь представим в виде ряда по функциям Бесселя. Затем проведем интегрирование по t‘ и фурье-преобразование в (6.43). После уюго совершаем обратный переход от переменной U(co) к V(co) с помощью формулы
которая представляет фурье-образ равенства (3.2). Если здесь фаза 屮 фиксирована, как это имеет место в случае обычной параметрики [268], получается бесконечная сумма различных гармоник. Для описания такой системы приходится обрезать бесконечную систему зацепляющихся уравнений, используя дополнительные резонансные условия. В нашем же случае, при усреднении по случайным фазам <р и система уравнений для V автоматически упрощается. Дейсгвительно, в результате усреднения по случайным фазам уравнение (6.43) окончательно принимает вид [260]:
①(1 +噜①(1 +噜COCOCDCD(6.47)(6.47)
①(1 +噜
①(1 +噜
CO
CO
CD
CD
(6.47)
(6.47)
Здесь
V：=B"(4moM), у2=У^/М,V^=YeTe/M, k = (kj+k旷,
k丄，k;! —перпендикулярная и параллельная внешнему магнитному полю Во составляющая волнового вектора возмущения, соответственно.
Векторное уравнение (6.47) или соответствующая ему система трех ска・ ^ных уравнений определяет связь между акустической и электромагнитной Волнами в ионосфере.
Нетривиальное решение уравнения (6.47) существует при обращении в Мь детерминанта, составленного из коэффициентов этой системы. Это соотношение и будет искомым дисперсионным уравнением
||^ij|| = AUA22A33 + A】2A23A31 +Л13А21А32 -
-A13A22A31 -АЦА23А32 -A12A21A33 =0,(6.48)
гдегде
где
где
A” =l + i^-青(VRV± +РцА0У^),
方(v，W+%a№),
X、X、(vRv^+ioR),(vRv^+ioR),
X、
X、
(vRv^+ioR),
(vRv^+ioR),
A22 =1 + i^-^(VA +VTi+p22A0Vse)*
-"好"(龄i +в3за0%),-"好"(龄i +в3за0%),a23=-容田+%/匕),a23=-容田+%/匕),(6.49)(6.49)
-"好"(龄i +в3за0%),
-"好"(龄i +в3за0%),
a23=-容田+%/匕),
a23=-容田+%/匕),
(6.49)
(6.49)
A32 =--^■("i +в22a0r)，
A33 = 1 + i—y(Vyj +P33A0VS：),
§ coJ： (b)kjVoj
纟①一叫g
определяющим спектры генерируемых возмущений со = со(к).
Заметим, что если в уравнениях движения (6.28Н6.30) с самого начала пренебречь нелинейными членами(W)V (как это делалось в работах [264-267]), то в нашем случае это означает, что мы должны пренебречь членами порядка (VnV)V, V(Vnn). А это приводит к нарушению самосогласованности задачи, так как рассматриваемые нами эффекты имеют тот же порядок, что и (VnV)V . Мы пренебрегаем «волновой» нелинейностью порядка V2,n2 или Vn , но обязательно сохраняем «смешанную» нелинейность порядка
%兀(KV)V , так как амплитуда волны накачки Vn большая. В выражениях (6.49) аргументы функции Бесселя содержат скорость нейтральных частиц % (b 二 В jjkjV()j). Благодаря этому уравнение (6.48) определяет нелинейную за
висимость спектров『енерируемых возмущений от амплитуды волны накачки Vo. В этом смысле полученное дисперсионное уравнение описывает нелинейный эффек! воздействия акустического сигнала (накачки) на ионосферную плазму.
6・2・3・ Генерация электромагнитных волн на гармониках звуковых частот
Из теории параметрических неустойчивостей известно, что в проводящей среде во внешнем электрическом поле в условиях, когда частота внешнего поля о)о близка к одной из частот собственных колебаний среды со(к), возможно появление нарастающих возмущений.
В нашем случае движение нейтральных частиц (акустической волны-накачки) в ионосфере вызывает разделение зарядов через столкновения и, соответственно, индуцирование электрического поля. Индуцированное поле может изменить параметры основного состояния ионосферной среды и привести к параметрическим неустойчивостям, т. е. к генерации электромагнитного поля. Для того чтобы показать это, рассмотрим решение уравнения (6.48) в предельных случаях — поперечного и продольного распространения генерируемых возмущений.
Пусть возмущение распространяется поперек геомагнитного поля, к 1В0 (к(кх，ку,0)). Полагая в формулах (6.49) к2 = 0, из (6.48) получим
^+iv^-^[Nl+^^^(6.50)
Рассмотрим частоты колебания среды, близкие к гармоникам волны накачки, т. е. звуковой волны,
со(к) = сок +iy,(6.51)
Ue с0kM ко0 (1 = 1,2,...) и у «сок . Тогда, подставляя (6.51) в (6.50) и разлагая п。степеням у/сок, получаем для спектра колебаний
说二 к；伊+圖 + 餌岭-|₽ulkx)VsV? (b).(6・52)
Здесь влияние внешней акустической волны (накачки) проявляется в поправочных членах и обуславливает зависимость частоты от волнового вектора
(т. к. b = PjjkjVoj/coo). Для длин волн много больших характерной длины вод. ны накачки V0/a>0(b«l) частота колебаний (6.52) совпадает с частотой быстрой магнитозвуковой волны в плазме.
Инкремент нарастания колебаний (6.52) равен
У =仅22岭 ~|₽ll|kx)VslJ? (b)•(6.53)
Отсюда следует, что в ионосферной плазме возможна генерация электромагнитных возмущений (у > 0), обусловленных внешними акустическими волнами, в области волновых чисел
Соответственно этому, для пороговых значений амплитуды поля накачки, при котором становится возможной неустойчивость, из формулы (6.52) получаем соотношение
j加JL(6.55)
Выражение (6.53), при Vo -»0, легко переходит в известный результат Y = -vin/2, соответствующий сильному затуханию магнитозвуковых возмущений в столкновительной среде.
Вдали от резонанса гармоник внешней частоты, |(0k -nco0|»сок , т. е. для больших n » 1, получим для частоты и инкремента нарастания выражения:
°k± =-(B22kjTdi|k；)匕^■土
土（B22k*h|k：M各比（以土（B22k*h|k：M各比（以(6.56：(6.56：Y = -vinY = -vin(6.57：(6.57：
土（B22k*h|k：M各比（以
土（B22k*h|k：M各比（以
(6.56：
(6.56：
Y = -vin
Y = -vin
(6.57：
(6.57：
где 80 = £ 1/n2 < я2 /6 . В области волновых чисел кх > (M/mc)1/4 ку N=n.»l
возбуждается быстрая волна 9卜+，а в области кх <(M/me)1/4ку — мед
неравенстванеравенства^шейные волновые структуры как факторы литосферно-ионосф^ных связей 247 деяная волна ①卜一• Причем для генерируемых частот должны выполняться
неравенства
неравенства
к? V2
1Юк^I<Б0 1削22卜咪膿，0
в для порогового значения поля накачки имеем
PjjkjV0,nop « N » t (j = 1，2 師。X,y)・
Рассмотрим случай продольного распространения, ki|Bo(k(O,O,kx)). Решение дисперсионного уравнения (6.48) в этом случае, в области частот (^»1©0(1 = 1,2,...), приобретаег вид:
s"k；%「|%|k 泣片(b),s"k；%「|%|k 泣片(b),(6.58)(6.58)Y = W +，+ |B33|k*J；(b)Y = W +，+ |B33|k*J；(b)1/21/2(6.59)(6.59)
s"k；%「|%|k 泣片(b),
s"k；%「|%|k 泣片(b),
(6.58)
(6.58)
Y = W +，+ |B33|k*J；(b)
Y = W +，+ |B33|k*J；(b)
1/2
1/2
(6.59)
(6.59)
Итак, возбуждаются продольные, электростатические волны ионно-звукового типа, не возмущающие магнитное поле и имеющие порог возбуждения
J?(P33kzV0,nop/cD0)<V^/V^
В области частаг высоких гармоник с0k « Nco0, N »1, из (6.43) следует, что генерируются продольные (к丄=0)флуктуации с частотами и инкрементом нарастания
7/27/2(6.60)(6.60)(6.61)(6.61)
7/2
7/2
(6.60)
(6.60)
(6.61)
(6.61)
Для возникновения неустойчивости необходимо выполнение условия
同母符.
Соответственно, из (6.60), (6.61) следует генерация электростатической быст- волны ионно-звукового типа с частотой 叫=叫十 и пороговым значением амплиауды накачки V0)nop * Nco0/(kz |р33|).
Система уравнений (6.47) дает также возможность установить поляри3а, цию рассмотренных нами возмущений. Примем за характеристику поляр匕з&、 ции волны величину Р = Vx /Vy. Тогда с учегом (6.50) из (6.47) имеем
п Vx kx
Р == /(6.62)
У
Видно, что множитель поляризации Р является действительной величиной и генерируемые возмущения (6.52), (6.56) имеют линейную поляризацию в плоскости х,у. Волны (6.58), (6.60) также имекгг линейную поляризацию (vx=vy=o,vz^o).
Следует заметить, что мы пренебрегаем неоднородностью волны накачки и ионосферной среды. Это накладывает ограничение на длины волн возмущений, которые мы рассматриваем. При этом, длину волн X следует считать малыми по сравнению с характерным размером неоднородности внешнего пеня Lo и среды Ln:
X <min(Xo,Lo，Ln)»(6.63)
где Хо — длина волны накачки.
Выше мы пренебрегли также вязкостью атмосферы. При распространении вверх акустических волн происходит поглощение высоких частот за счет вязкости атмосферы. Влияние вязкости мало для частот, удовлетворяющих условию со0 « V8/l (гае 乂 一 скорость звука, 1 —длина свободного пробега молекул) [255]. Соответственно, верхних слоев атмосферы достигают лишь низкочастотные акустические волны (например, волны с частотой меньше Ю^сек"1 распространяются до высоты 400 км без поглощения).
6.3. Ленгмюровская турбулентность
как механизм переноса энергии сверхтепловых фотоэлектронов из магнитосопряженной в местную ионосферу
Исследования особенностей собственного излучения верхней атмосферы интенсивно ведется в последние десятилетия методами как наземного наблюдения, так и спутникового измерения. Интерес к этой проблеме обусловлен и тем обстоятельством, что излучение ночного неба является чувствительным индикатором природных и искусственных процессов, происходящих в разных слоях атмосферы, над и под землей. Излучение среднеширотной ионосферы в
”енне последних сорока лет наблюдалось и в Абастуманской астрофизиче- с*М обсерватории (Грузия) [250, 251]. Из этих и других наблюдений-измере- 呻兑 следует, что предсумеречное усиление эмиссии 6300 А начинается за 2-3 часа до начала местных астрономических сумерек и за один час возраст 訂 более чем в два раза; затем стабилизируется и до начала местных сумерек меняется мало. В [274] предпринята попытка объяснить усиление предсумеречной эмиссии электронами, пришедшими из магнитосопряженной точки, к(уюрая в зимние месяцы бывает освещенной солнцем в то время, котла на・ бдюдаемая ионосфера находится еще в тени. Предполагалось, что сопряженные фотоэлектроны, внедряясь в местную ионосферу, нагревают местные электроны до такой степени, что они могут возбуждать эмиссию 6300 А. Однако в работе [275] было показано, что наблюдаемое повышение температуры может увеличить интенсивность излучения всего на несколько релей (R). Следовательно, наблюдаемое увеличение эмиссии более чем на 50 релей можно объяснить лишь прямым столкновением фотоэлектронов с атомами кислорода. Действительно, в работе [276] экспериментально показано, что более чем на 65 % интенсивность эмиссии 6300 А объясняется непосредственными столкновениями атомов кислорода с сопряженными фотоэлектронами -О^3Р)+ е -> O^Dj + e. Остальная часть — результат диссоциативной рекомбинации. Интенсивность свечения при этом пропорциональна сечению неупругого столкновения, максимум которого приходится на область энергии фотоэлектронов в несколько десятков эВ [277]. Для того, чтобы обеспечить наблюдаемую интенсивность красных линий 6300 А (в среднем 150-200 R [250]) при знергии электронов 20+50 эВ, нужно иметь интегральный поток частиц 107-108 см"2 сек'1. Поток 108 см**2 сек"1, при энергии электронов 40 эВ дает интенсивность излучения красной линии 6300 А, равную 224 R [278]. С другой стороны, измерения, проведенные на высотах выше 600 км на спутниках «ИСИС-2», «Эксплорер-31» и «Космос-348» [279] для потоков частиц с энергией 30+50 эВ дают меньше нужного (-108 частиц см"2 сек"1) значения. На всех трех спутниках измерялись восходящие потоки частиц (локальные или Диссипирующие из атмосферы электроны; поток вверх) при ориентации прибора вдоль силовой линии вниз и нисходящий поток (сопряженные фотоэлектроны, пришедшие из магнитосопряженной ионосферы; поток вниз) при противоположном направлении ориентации прибора. По возможности Детальное сравнение диссипирующих и сопряженных фотоэлектронов проведено в работе [279] на спутнике «Космос-348». Сравниваемые спектры относятся к близким условиям. Сопоставления кривых 1 и 2 на рисунке 2 работы [279] показывают, что в интервале 30+50 эВ сопряженные фотоэлектроны дополнительно ослаблены по сравнению с диссипирующими, причем ослабление растет в сторону малых энергий и достигает ~3 раз для минимально регистрируемой энергии в 30 эВ. В этой же работе (см. рис. 2 в [279]) приведены спектры диссипирующих и сопряженных фотоэлектронов, изм^енные на спутниках «ИСИС-2», «Эксплорер-31» в разное время и опубликованные в
разных работах. Поэтому их непосредственное сравнение затруднительно, о小 нако из-за стабильности спектров фотоэлектронов и малости временных варш ций можно утверждать, что тенденция ослабления сопряженных фотоэлекгро. нов наблюдается. Измерения на спутнике «Космос-348» проводились на высо । о 〜600 км, «ИСИС-2», «Эксплорер-31» — на высоте, превосходящей 1000 км.
Ослабление потока сопряженных фотоэлектронов с энергиями выше 10 эВ нельзя объяснить столкновениями (см., например, работу [280]). Эксперименты [279, 281] и подробные теоретические расчеты [280] показывают незначительность ослабления фотоэлектронов из-за диффузии по питч-углам и их захвата в магнитосфере.
Если сопоставить наблюдательные кривые на рис. 2 работы [279], можно заметить тенденцию ослабления фотопотока с уменьшением высоты. При сравнении этого рисунка с рис. 2 работы [276], на котором представлены измеренные спектры фотоэлектронов на высотах от 350 до 214 км, можно заметить, что на высоте 350 км фотопоток вновь усиливается (и достигает -108см 2 сек-1) по сравнению с потоком, измеренным на высоте 600 км. Дальнейшее уменьшение энергии фотоэлектронов с понижением высоты обусловлено неупругими соударениями с атомами и молекулами атмосферы.
Таким образом, в модели, объясняющей усиление предсумеречной эмиссии 6300 А из-за взаимодействия внедряющихся в ионосферу сопряженных фотоэлектронов с атомарным кислородом, можно выделить четыре глобальных, пока не объясненных вопроса:
Как формируется наблюдаемый [279, 282] спектр интенсивности (поюка) сверхтепловых фотоэлектронов в ионосфере?
Каков механизм наблюдаемого ослабления [279] потока сопряженных фотоэлектронов на высотах ~600 км?
В чем причина последующего усиления этого потока на высоте 〜300 км [276, 282], обеспечивающего наблюдаемое свечение ночного неба [250]?
Являются ли фотоэлектроны, измеренные на спутниках в местной ионосфере, теми же самыми, которые были измерены в магнитосопряженном месте. Соответственно, возможен ли прямой перенос потока сверхтепловых сопряженных фотоэлектронов в местной ионосфере без потери энергии?
Заметим, что последующие эксп^иментальные исследования процессов образования и высыпания фотоэлектронов в дневной области ионосферы и их переноса в сопряженную ионосферу [283] согласуются с вышеотмеченным состоянием событий.
6.3.1. Динамика фотоэлектронов F-области в сопряженной ионосфере
Для ответа на эти вопросы следует рассмотреть динамику потока сопряженных фотоэлектронов, высыпающихся из магнитосферы в ионосферную плазму. Высыпающиеся в ионосферу фотоэлектроны должны иметь преиму-
Нелинейные волновые структуры как факторы литосферно-ионосферных связей 251 ^ественно продольное питч-угловое распределение (частицы, имеющие боль- тле поперечные импульсы, захватываются в магнитосферных адиабатических ловушках). Внедрение потока сопряженных фотоэлектронов в ионосферную плазму (выше 200 км ионосфера считается почти полностью ионизированной) является аналогом хорошо изученной задачи о взаимодействии размытого по энергии пучка электронов с холодной плазмой. Частицы пучка возбуждают лпфокий спектр ленгмюровских возмущений при черепковском резонансе ф/к = Уь，где(о /к 三 ％ — фазовая скорость волны, % — начальная скорость частиц пучка; со и к — частота и волновой вектор возбуждаемого возмущения.
Для того, чтобы разобраться в динамике потока фотоэлектронов, следует знать начальное распределение частиц по энергиям. Рождение фотоэлектронов на высотах выше 100 км над поверхностью Земли происходит в основном под влиянием взаимодействия коротковолнового солнечного излучения с нейтральной компонентой ионосферы. Сечение фоюионизации имеет резкий максимум в области энергии в несколько десятков эВ [284]. Следовательно, функция распределения пучка фотоэлектронов имеет отчетливый максимум в области энергии (-20-50 эВ) и характеризуется резким спадом при энергиях выше 60 эВ [282, 284]. Так что генерируемые в освещенной области ионосферы фотоэлектроны являются сверхтепловыми и обладают энергией €~1-500зВ, существенно превосходящей энергию тепловых (фоновых) электронов [ ~0,03-1зВ, их относительная концентрация пь /пе s 10~5-10~2. Поток образовавшихся сверхтепловых фотоэлектронов движется в основном вдоль силовых линий геомагнитного поля [284]. Начальный разброс скоростей частиц пучка фотоэлектронов ДУ значительно меньше средней скорости 《・ С другой стороны, скорость пучка % больше тепловой скорости % фонового распределения электронов. Такой достаточно размытый пучок на линейной стадии кинетически возбуждает ленгмюровскую волну [285] с частотой со = соР = ^4ле2пе / mj 107сек~1, значительно превосходящей частоту столкновений электронов с ионами vei =3,63nelnA/I^z2 ^102-103сек~1. (Для полностью ионизированной плазмы эта частота значительно превосходит частоту столкновения других компонентов ионосферы.) Здесь пе — плотность, m — масса,又一температура, е ——заряд фоновых электронов, In Л — кулоновский логарифм. Инкремент пучковой неустойчивости при этом равен
Y。=噴保卜(664)
Ue nb « пе — плотность пучка фотоэлектронов.
Основным эффектом, приводящим к насыщению роста колебаний, явля・ ^ся квазилинейная релаксация распределения частиц пучка к состоянию
«плато» по продольным скоростям. Время t0, за которое происходит квззк.：；〃 нейная релаксация пучка в интервале скоростей AV, можно оценить с помс. щью уравнения переноса плотности энергии возбуждаемых колебаний, и 门沁 равно [285]:
(6.65)(6.65)1 I W]tn = In,° 2yo Wo
(6.65)
(6.65)
где у。一 кинетический инкремент для размытого пучка (6.64), W】-nbmVg 一一 плотность конечной энергии колебании на квазилинейной стадии, Wo = Т©^ 一一 плотность начальной энергии колебаний (энергия тепловых шумов плазмы), % — дебаевский радиус электронов, Wj / Wo - А . Процесс квазилинейной релаксации пучка заканчивается тем, что колебаниям передаегся энергия порядка начальной энергии пучка. Для того, чтобы частицы пучка на квазилинейной стадии потеряли энергию порядка начальной W 〜nbmVbAV 〜nbmV^. необходимо выполнение условия AV 〜%, т. е. характерное время квазилинейной релаксации t0 определяется формулой:
t0 ~ —-^со"11пА« v；；・ (6.66) Уо пь
Таким образом, после рождения фотоэлектронов в первую очередь происходит возбуждение ленгмюровских возмущений и квазилинейная релаксация, приводящая к сглаживанию пика и образованию плато на функции распределения электронов в освещенной области ионосферы. Столкновения частиц я резонансной области (20+50 эВ), где происходит эффективный обмен энергиями между электронами и возбуждаемыми волнами, нс играют значительной роли (см. формулу (6.66)). В нерезонансной области за время пролета фотоэлектронами нескольких километров, столкновения максвеллизируют функцию распределения пучка. В результате спектр потока фотоэлектронов должен иметь экспоненциально спадающий вид с квазиплато в области резонансных частик. Этот теоретически установленный вид спектра хорошо согласуется с наблюдаемыми данными (см. рисунки 2 работ [276, 279], а также рис. 7, 9 работы [282]). Тем самым дан ответ на первый вопрос, поставленный в конце введения к разд. 6.3.
На этой стадии пучок фотоэлектронов возбуждает почти одномерные (k||B0||oz) колебания с частотой ш = й)р и волновым вектором k = kz = шР /Vz■ Далее волна продолжает распространяться практически вдоль первоначального направления тогда как линия магнитного поля Земли отходит от этого направления, из-за кривизны этих линий. В результате между волновым вектором к и дипольным магнитным полем Земли Во возникает некоторый маль川
У^л. Поэтому ленгмюровская волна по мере своего распространения делается ^сой и се спектр становится трехмерным, со = со(к). Это обстоятельство мы учтем в последующем изложении.
6・3・2・ Механизм ослабления интенсивности нисходящих фотоэлектронов на высоте 〜600 км
В соответствии с постановкой задачи далее изучим динамику переноса энергии ленгмюровскими волнами, генерируемыми в освещенной области ионосферы в местную среднеширотную сопряженную (находящуюся в тени) ионосферу.
В сопряженной ионосфере восходящий поток диссипирующих частиц с формирующимся спектром и возбужденные волны при распространении попадают в области (на высоте около 600 км) с пониженной плотностью электронов. При распространении волны в слабонеоднородной плазме энергия плазмонов сохраняется со = const, однако плотность падает и Щр~7^・ Для того, чтобы conо>р(1 + Зк?诒)"2 оставалась постоянной, должен увеличиваться волновой вектор к. Соответственно происходит замедление распространения волн — Уф = со/к уменьшается до тепловых скоростей местных электронов, и волны за время у"1 ~ со"1 начинают сильно затухать на спадающей части функции распределения электронов, отдавая местным тепловым частицам свою энергию (здесь у — декремент затухания Ландау). Что касается волн, распространяющихся в противоположную сторону, то для них % растет. Частиц со скоростью, близкой %, все меньше, и волны не затухают (затухание Ландау отсутствует). Происходит накопление энергии в ленгмюровских возмущениях. Описанная нами физическая картина хорошо согласуется с экспериментальными данными (рис. 2 работы [279]) и дает ответ на второй вопрос: ослабление нисходящего потока фотоэлектронов (на высотах ~600 км) вызвано перекачкой энергии фотоэлектронов в ленгмюровские волны, тогда как для восходяще- 2 потока из-за уменьшения % волны отдают энергию частицам. Максимальное ослабление потока сопряженных фотоэлектронов, по сравнению с Диссипирующими, должно иметь место в области резонансных энергий (20+50 эВ). При этом ясно, что плотность энергии волны должна быть порядка плотности начальной энергии пучка. Наблюдаемое ослабление (в 3 раза) соответствует этой оценке.
Таким образом, поток нисходящих фотоэлектронов над сопряженной точ- 期证 в северном полушарии ослаблен. Энергия того же порядка, что и энергия ^Учка фотоэлектронов, оказывается сосредоточенной в ленгмюровских волНах, что и является причиной ослабления наблюдаемого в работе [279] нисхо* ^Щего потока. Такое ослабление наблюдается на высотах ~600 км.
6・3・3・ Генерация нисходящего потока
быстрых электронов на высоте ~300 км из-за ленгмюровского коллапса
Далее следует проследить за дальнейшей судьбой нисходящих длинио. волновых колебаний в сопряженной ионосфере. Для объяснения увеличения потока электронов на высоте порядка 250-300 км необходимо, чтобы волна передавала свою энергию нисходящему потоку электронов. Нисходящие во.ь ны должны затухать из-за нелинейного механизма.
Как отмечалось в работе [286], поток энергии в сторону коротковолпо- вых мод с их последующим поглощением из-за затухания Ландау на электронах может возникнуть, по-видимому, только за счет модуляционной неустойчивости. В основу этой теории положено предположение о коллапсе ленгмюровских волн [287].
Механизм коллапса состоит в следующем: на однородном фоне ленгмюровских волн из-за флуктуации возникает высокочастотное давление, которое вытесняет заряженное частицы из этой области. Плотность плазмы понижается, что приводит к дальнейшему сваливанию плазмонов (квазичастиц) в образующуюся потенциальную яму (каверну). При этом происходи i уменьшение размеров каверны с возрастающей скоростью (схлопывание) до таких масштабов, щ(я которых существенна диссипация.
Задача о коллапсе ленгмюровских волн в магнитоактивной плазме в условиях не очень сильного равновесного поля с индукцией Во, удовлетворяющая условию Фр > сов =еВ0/тс, была решена в работе [288]. Для волн, длина которых значительно превосходит дебаевский радиус электронов rD = Vr / и распространяющихся под малым углом к магнитному полю, дисперсия плазмонов имеет вид:
吁％ h+区制+粤(6.67) I 2
где VT=(2Te/m)1/2 —тепловая скорость злектронов; ось z в локально口 декартовой системе координат — направлена вдоль магнитного поля Земли Во; kz，k丄 ——составляющие волнового вектора возмущений, соответственно, вдоль направления магнитного поля Во и поперек него,
kj =k；+kj, k = (kj+k；『\
Соответствующее нелинейное уравнение для амплитуды ленгмюровских возмущений записывается следующим образом [288]:
* + |зр 小 3]』Ez(r,t)-
I ct 2 cz 丿 oz
Здесь Ez(r,t) — z -компонента комплексной амплитуды электрического поля ленгмюровских колебаний; 6п — возмущение плотности под действием давления плазмонов, удовлетворяющее уравнению:
假一吉爱卜=誌^1e/假一吉爱卜=誌^1e/(6.69)(6.69)
假一吉爱卜=誌^1e/
假一吉爱卜=誌^1e/
(6.69)
(6.69)
где М ——масса ионов.
Уравнения (6.68) и (6.69) записаны в системе, в которой поток сопряженных фотоэлектронов в среднем покоится. Простые соображения о возможности коллапса волн показывают [286], что в трехмерном случае, рассматривае
мом намн, коллапс ленгмюровских волн происходит с неизбежностью и
является сверхзвуковымявляется сверхзвуковым(Е2 /(8ттеТ)е =W/(neTc)»m/M).
является сверхзвуковым
является сверхзвуковым
Е? _ W 8япсТе ~ пеТеЕ? _ W 8япсТе ~ пеТеДействительно, из уравнений (6.68), (6.69) следует, что влияние магнитного поля на модуляционную неустойчивость, описывающую процесс локализации, становится существенным при выполнении условия
Е? _ W 8япсТе ~ пеТе
Е? _ W 8япсТе ~ пеТе
(6.70)
При этом продольный размер каверн 1ц не зависит от напряженности магнитного поля:
(6.71)(6.71)阎，
(6.71)
(6.71)
в то время как поперечный размер пропорционален напряженности поля
Ш 爲阊•(672)
В магнитном поле, напряженность которого определяется условием (6.70), в результате модуляционной неустойчивости образуются каверны, сплюснутые в направлении магнитного поля (% < 1丄).Каверны принимают форму «блина». Из (6.72) следует, что в процессе коллапсирования и роста |8п|
восстанавливается симметрия каверны. Как только амплитуда вариацип пло；. ности возрастет до величины |бп| / % 〜區 / 爲，каверна станет симметричной и магнитное поле перестает влиять на дальнейший процесс схлопывания. да. лее процесс сжатия каверны будет происходить так же, как и в изотропнох； случае (в отсутствие магнитного поля).
Выводы работы [288], подтвержденные в дальнейшем численным экспериментом [289], состоят в том, что модуляционная неустойчивость однородно- осциллирующего электрического поля имеет почти аксиал^но-симметричый характер. В результате ее развития коллапсируют блинообразные каверны. Энергия в кавернах не сохраняется из-за уменьшения числа плазмонов в каверне (нарушается условие адиабатичности) по закону (t0 -1)12, которое пренебрежимо мало к моменту коллапса (t0 = t) ; так что при коллапсе в магнитном поле каверна теряет плазмоны. Однако плотность энергии электрического поля в плазмонах, покинувших каверну, оказывается выше пороговой: Е?/(24皿1工)> к須.В результате сброшенные плазмоны образуют новую каверну с меньшими масштабами (вторичные каверны) и коллапсируют по тому же закону [290].
Стационарность турбулентного состояния в рассматриваемой задаче достигается за счет того, что энергия, диссипируемая в длинные масштабы из-за пучковой неустойчивости (область источника), перекачивается в процессе коллапса к коротким (инерционный интервал), далее поглощается резонансными частицами (область поглощения) и в конечном счете идет на ускорение хвоста функции распределения частиц.
Согласно (6.71), (6.72) в длинноволновой области источника спектр плазмонов существенно анизотропен
k20-%l(W/neTe)，/2,k10^kz0((Dp/coB)(W/neTe)1/2.
В инерционном интервале уравнение непрерывности для квазистацио- нарной плотности плазмонов в пространстве волновых чисел N(k±,kz) записывается в виде:
* (喏卜詛 Nk： /km)+^ 訂(Nki) = 0,(6.73)
где скорости спектральной перекачки
dkz/dt = т^к： /2, dk± /dt = -coBrDk2 /o>p；
km = 2a>B /(ipCDp) :— волновое число, при котором скорости перекачки по обоим измерениям сравниваются. В квазистационарной турбулентности все
Нелинейные волновые структуры как факторы литосферно-ионосферных связей 257 каверны в области источника образуются примерно с одним и тем же содер- лсанисм энергии, которая сохраняется до конца инерционного интервала. Спектральная плотность энергии Wk ленгмюровских колебаний пропорциональна числу каверн N в данном интервале масштабов турбулентности, что и позволяет на основе решения уравнения (6.73) определить ленгмюровский спектр в пределах инерционной области:
W-dk±dk7 sN(k±^Jdk±dkz =-^ydk1dkz, (6.74)
pie конкретный вид постоянной С = const определяется из условия сшивки решения (6.74) с соответствующим решением в области источника. Так что, в инерционном интервале, как и в области источника, спектр плазмонов существенно анизотропен, с ростом к происходит разворот спектра по к丄 и, наконец, при kz 〜km спектр становится изотропным, и магнитное поле перестает влиять на турбулентность.
Диссипация энергии ленгмюровских колебаний в коротковолновой области (к > к* = (3%)"——область поглощения) в ионосферной, почти изотермической плазме связана резонансным поглощением на электронах (затухание Ландау). Динамика процесса в этой области описывается системой уравнений: квазилинейного уравнения для электронной функции распределения по скоростям f(V,t) и уравнения для спектральной плотности шумов W：(t). В последнем учтены как перенос энергии по спектру, обусловленный коллапсом, так и резонансное поглощение колебаний электронами [286, 291]. В предположении об изотропии спектров волн и частиц в области поглощения эти уравнения имеют квазистационарные решения. Так что, функция распределения резонансных электронов (немаксвелловский хвост) и спектры плазмонов в этой области имеют вид (сравните с [291]):
f(V卜金，W”晶， (6.75)
VmUDvVvV111ax ⑴， kAkf/Vw
где А и В — постоянные, значения которых будут определены ниже, %п — минимальная скорость частиц, на которых поглощается энергия каверны, V1T1ax — верхняя граница хвоста спектра скоростей резонансных частиц. При этом объемный поток частиц J(V)определяется интегралом [286]
7);喑j啜.mV /к 8V7);喑j啜.mV /к 8V(6.76)(6.76)
7);喑j啜.
mV /к 8V
7);喑j啜.
mV /к 8V
(6.76)
(6.76)
(27C)'3J(W™dk/k2) = \v(27C)'3J(W™dk/k2) = \vДля нахождения постоянной В в формуле для спектральной плотности
(27C)'3J(W™dk/k2) = \v
(27C)'3J(W™dk/k2) = \v
ииплазмонов (6.75) используем условие нормировки
и
и
условие непрерывности спектра на границе инерционного интеграла с областью поглощения к = к* [272]:
В = 64л2к10 (已 + 啖鸠°к 产 2 w.(6.77)
Постоянную А можно выразить через число частиц в хвосте:
f(V)dV = 8TrAf(V)dV = 8TrA1max /1max /(6.78)(6.78)
f(V)dV = 8TrA
f(V)dV = 8TrA
1
max /
1
max /
(6.78)
(6.78)
В то же время из уравнений баланса для числа частиц и энергии имеем следующие соотношения:
(6.79)(6.79)
(6.79)
(6.79)
mA(噓-嗑) = £p-t,P = %W・(6.80)
Здесь P — мощность, поглощаемая в области длинноволновой турбулентности; ум = сор (mW/(MneT^))12 ——инкремент модуляционной неустойчивости, определяющей характерную скорость коротковолновой перекачки энергии при коллапсе. Объемный поток энергии, переходящий к быстрым частицам, можно представить в виде mV黑J/2. Используя (6.78), (6.79) и приравнивая этот поток к величине yMW, определяющей поток энергии в плазменную турбулентность, получим соотношение, связывающее постоянную Л с энергией длинноволновых плазмонов:
a7・64加2 ёV饕若/те丿丿［W丿a7・64加2 ёV饕若/те丿丿［W丿(6.81)(6.81)
a
7・64加2 ёV饕若/те丿丿［W丿
a
7・64加2 ёV饕若/те丿丿［W丿
(6.81)
(6.81)
Согласно выражениям (6.75), (6.77) и (6.81), в условиях сильной ленгмюровской турбулентности происходит перекачка спектра в сторону больших к, т. е. в коротковолновую область к > к*, схлопывание каверн останавливается за счет затухания Ландау плазменных колебаний на быстрых хвостовых электронах. Согласно вышеупомянутому уравнению для спектральной плотности шумов [286], характерное время схлопывания каверн т(к.)二 t°-t определяется временем резонансного затухания Ландау:
(6.82)(6.82)
(6.82)
(6.82)
Следовательно, время, за которое происходит рождение коротковолновых пульсаций (время схлопывания каверны) сравнимо с характерным временем зату- ^ания Ландау Перекачка шумов в коротковолновую область и уменьшение длины 0ОЛНЫ приводит к уменьшению фазовой скорости до величины, соответствующей скоростям быстрых частиц. Эти скорости приходятся на быстро падающую часть функции распределения. В результате взаимодействия с этими частицами волна передает им большую часть своей энергии, что приводит к увеличению числа энергичных (ускоренных) частиц и вытягиванию хвоста функции распределения.
Согласно (6.78), максимальное число взаимодействующих с волной частиц в хвосте равно [273]:
п>8тгА(У^)'1/2.(6.83)
Нижняя граница хвоста 中汕 при t т оо определяется, согласно (6.79), из уравнения
е飞3/4 =А& = V鳥 / 玲(6.84)
3 neVT
и составляет несколько тепловых скоростей электронов. Соответствено, из (6.80) следует, что асимптотический закон возрастания верхней границы хвоста имеет вид:
(3 P・t(4 冗 mA(3 P・t(4 冗 mA(6.85)(6.85)
(3 P・t
(4 冗 mA
(3 P・t
(4 冗 mA
(6.85)
(6.85)
Проведенное выше исследование, основанное на уравнениях (6.68), (6.69), применимо до тех пор, пока можно пренебречь влиянием хвоста на
J(mV2f/2)dV<ncTeJ(mV2f/2)dV<ncTeи выполняется для времени выполняется для временДисперсию ленгмюровских колебаний. Соответствующее условие имеет вид
J(mV2f/2)dV<ncTe
J(mV2f/2)dV<ncTe
и выполняется для времен
и выполняется для времен
(6.86)
6・3・4・ Предсумеречное усиление красного излучения F-слоя ионосферы
Полученные в предыдущих разделах решения позволяют провести расчет Потока нисходящих электронов в F-области ночной ионосферы, генерируемо-
го коллапсом ленгмюровских волн. Во избежание путаницы заметим, что в физике ионосферы распределение частиц по энергиям и направлению движ：е. ния часто характеризуют величиной дифференциального поюка в единицу телесного угла Ф0(£,О)(являющегося аналогом интенсивности нзлучепнх). При этом Фо имеет размерность см 2 сек"1 эВ-1 стерад'1. Использует erf также понятие интегрального потока Ф(е) = JФо (e,,Q)dQd8, = nV, представляют^-
го собой всенаправленный поток частиц с энергиями, превышающими (.. Здесь Q = V/V, элемент телесного угла dQ = sin9d0dq> и Ф(е) имеет размерность см-2 сек-1.
(Ор = 107сек-1, шв = 106сек"1,(Ор = 107сек-1, шв = 106сек"1,Согласно формулам (6.75), (6.81), (6.85), (6.86), степень вытягивания хвоста функции распределения нисходящих электронов (степень ускорения местных электронов) зависит от плотности энергии W , запасенной в косых длинноволновых ленгмюровских колебаниях kzo^cop/% т. е. энергии, запасенной на начальной стадии развития модуляционной неустойчивости при релаксации фотоэлектронов в сопряженной (освещенной) ионосфере. Плотность энергии длинноволновых ленгмюровских флукгуаций W можно определить из условия захвата плазмонов W/neTe w k；。^ . Для плазмонов, находящихся в резонансе с пучком нисходящих фотоэлектронов, kz0 =соР /Vb и характерное значение плотности энергии шумов W = 2пеТ^ /(mV^ j. Для плазмы в сопряженной ионосфере на высоте 250-300 км энергия резонансных фотоэлектронов
(Ор = 107сек-1, шв = 106сек"1,
(Ор = 107сек-1, шв = 106сек"1,
mV"2 墨 40зВ, Te=1500sK, пе ^105см"3,
т/М = 0,5-10^, %出=2VT, % 己 107cM сек"1, При указанных параметрах по формулам (6.85), (6.86) и (6.81) получим значение максимальной скорости генерируемых быстрых электронов Vmax = 2-108см сек"1 ~20%; максимальная плотность этих электронов, определяемая соотношением (6.83), составляег при этом п^мЮ’см-з. Следовательно, для максимального значения интегрального потока нисходящих электронов Фтах = n^V^ получаем оценку -1012cM~2ceK-1.
Оценка интегрального потока быстрых электронов, генерируемых ленгмюровским коллапсом, намного превосходит (104-106 раз) необходимое значение для объяснения наблюдаемого предсумеречного усиления красного свечения среднеширотной F-области ионосферы (~108 см'2 сек-1). Но это 一 интегральная оценка всего потока, генерируемого пучком нисходящих резонансных фотоэлектронов. Ленгмюровский коллапс же — процесс нсрезонанс- ный. Он описывает схлопывание каверн и перекачку энергии шумов в коротковолновую область. Следовательно, в процессе схлопывания уменьшается фазовая скорость волны. В первую очередь % сравнивается со скоростью
наиболее быстрых тепловых частиц (хвост функции распределения), из-за чего происходит затухание Ландау на этих частицах. Это, в свою очередь, приводит к ускорению быстрых элеюронов и вытягиванию хвоста функции распределения по скоростям. Длина хвоста AV 三 V^ - Vmin может оказаться весьма большой. Так что количество частиц с энергией 40 эВ может быть намного меньше, чем суммарное количество частац в хвосте. Запас, содержащийся в суммарном потоке (-1012-1013 см'2 сек"1), позволяет предположить, что часть потока, приходящаяся на частицы с энергией 40 эВ, может обеспечить наблюдаемое предсумеречное усиление (на 40-60 R) свечения 6300 А.
Из вьпиесказанного следует, что непосредственный перенос фотоэлектронов от сопряженных точек до местной ионосферы весьма затруднителен, в основном из-за генерации пучком фотоэлектронов различных плазменных волн. Как известно, наиболее эффективно возбуждаются ленгмюровские возмущения. При этом, как было показано выше, энергия потока фотоэлектронов почти полностью передается генерируемым волнам. Эти волны, возбужденные в сопряженной ионосфере, в свою очередь, могут генерировать в местную ионосферу наблюдаемый поток нисходящих электронов (-КГ-108 см-2 сек-1) и обеспечить наблюдаемый уровень усиления интенсивности красной линии эмиссии 6300 А.
Таким образом, ленгмюровские волны и связанная с ними турбулентность могут являться основным звеном транспортировки энергии сопряженных фотоэлектронов в местную среднеширотную ионосферу.
6・4. Обсуждение результатов
Мы проанализировали проблему распространения коротковолновых, низкочастотных акустико-гравитационных возмущений сейсмического происхождения в средней атмосфере и нижней ионосфере. Получена упрощенная система трех- и двумерных нелинейных уравнений, описывающая динамику АГ волн в нейтральной стратифицированной атмосфере.
Показано, что АГ возмущения, распространяющиеся из нижних слоев атмосферы, практически без затухания достигают высот ~110 км, где они становятся конвективно неустойчивыми ^N2 <oj, и процесс заканчивается образованием сильно локализованных АГ вихрей. Уединенная волна состоит из пары дипольных вихрей, вращающихся в разные стороны в плоскости x,z (циклон —— антициклон). Вихревые структуры захватывают нейтральные частицы и вместе с ними могут перемещаться как на восток, так и на запад. Под влиянием возмущений возможно также движение вверх и вниз. При этом они будут затухать из- за выхода за пределы благоприятной активной зоны(N > 0).
Установлено, что энергия АГ вихрей на высоте расположения (h ~ 110 км) становится отрицательной, их генерация энергетически выгодна и самопод- Держивается за счет диссипативного перераспределения внутренней потенци-
алыюй энергии среды. На данной высоте источником потенциальной энергии является тепло, выделяемое при рекомбинации атомарного кислорода. "
Под влиянием дополнительного перемешивания нейтралов, вносимого связанными с АГ вихрями переносом атмосферных составляющих по верти， кали, повышается плотность нейтралов на данном уровне атмосферы. Уве：ць чение плотности атомарного кислорода повышает эффективность их рекомбинации и, соответственно, усиливает интенсивность зеленого, >- = 557,7нм. излучения ночного неба.
Оценена величина флуктуации плотности атомарного кислорода, обусловленная АГ вихрями и связанный с ней относительный рост интенсивно- ста зеленой эмиссии ночного неба. Сравнение теоретически рассчитанною значения роста интенсивности зеленой линии с наблюдаемым перед сильными землетрясениями усилением эмиссии ночного неба,入=557,7 нм, показало хорошее согласие.
На основе вышеотмеченного можно заключить, что возмущение вариации эмиссии 入=557,7 нм, связанное с усилением сейсмической активности, может быть обусловлено генерацией АГ вихрей в средней атмосфере, и их можно считать краткосрочным (1-2 суток) волновым предвестником землетрясения.
Ионосферным проявлением АГ вихрей могут быть также пульсации геомагнитного поля 入=557,7 нм, обусловленные ионным током, генерируемым при увлечении ионов нейтральным ветром. При этом возмущенное магнитное поле локализуется в Е-слое подобно АГ вихрям, и замкнутые силовые лини» поля В1у можно идентифицировать с АГ вихрями.
Исследована возможность нелинейной трансформации естественных и искусственных акустических волн (например, сейсмического происхождения) в электромагнитные волны в верхних слоях квазиоднородной атмосферы. Изучен диапазон частот, включающий геомагнитные пульсации Vni « s « ①片.6a3a внешней акустической волны (накачки) является случайной. В этом и заключается основное отличие нашего рассмотрения от обычной параметрики [268]. В результате усреднения по случайным фазам, вместо бесконечной системы зацепляющихся уравнений для скоростей частиц (свойственной для параметрики), имеем одно векторное уравнение. Существенно, что уравнение содержит вклад движения электронов относительно ионов (последний член уравнения (6.47)), что, и вызывает существование неустойчивых мод. Эту неустойчивость можно назвать параметрической в общем смысле этого слова [271].
Показано, что распространяясь в ионосфере, низкочастотная акустическая волна вовлекает в коллективное движение частицы за счет столкновения. Причем электроны и ионы взаимодействуют с нейтральными частицами неодинаково, поэтому имеет место движение электронов относительно ионов и в результате — генерация электромагнитных и электростатических полей из-за параметрического взаимодействия низкочастотных акустических и электромагнитных волн с ионосферной средой. Определены частоты генерируемых
^дебаний и инкременты нарастания параметрической неустойчивости. Уста- 00Hдени пороги возбуждения и поляризация возмущений.
Изложенная здесь теория позволяет качественно понять причину воз- 1110cяовения наблюдавшихся в многочисленных экспериментах (например, [245-251, 262, 263] акустических и электромагнитных возмущений в атмосфере Л^ред землетрясением и во время сильных антропогенных воздействий: длинно- ^олновые акустические волны (инфразвук), генерируемые на границе Земля — воздух (например, за счет волн Рэлея) и достигшие ионосферного слоя, вызы- ^акхг возмущение параметров токонесущей средн и с высокой эффективностью трансформируют свою энергию в энергию электромагнитных возмущений.
Таким образом, появление в атмосфере и в нижних слоях ионосферы
интенсивных низкочастотных акустических и электромагнитных, а также электростатических возмущении можно идентифицировать с предвестником землетрясения — откликом среды на воздействие сильных возмущающих факторов. При этом, зная поляризацию генерируемых полей, можно оценить направление очага возможного землетрясения (источника возмущений).
Предложена теоретическая модель транспортировки энергии фотоэлектронов из магнитосопряженной области в местную ионосферу на основе сильной волновой турбулентности. Показано, что поток сопряженных фотоэлектронов в освещенной области ионосферы эффективно возбуждает длинноволновую ленгмюровскую волну. Распространяясь в узком конусе вдоль силовых линий магнитного поля Земли и доходя до местной ионосферы, модуляционно-неустойчивая ленгмюровская волна через коллапсирование перекачивает свою энергию в коротковолновую область. Сильное затухание коротковолновых мод на быстрых тепловых электронах генерирует и поставляет в местную среднеширотную ионосферу наблюдаемый нисходящий поток быстрых сверхтепловых электронов. На основе этой модели объясняется наблюдаемое предсумеречное усиление интенсивности красной линии эмиссии 6300 А F-области ионосферы.
Показано, что непосредственный перенос фотоэлектронов от сопряженных точек до местной ионосферы весьма затруднителен, в основном из-за неизбежной потери энергии пучком на генерации различных плазменных волн.
Глава 7
Сильная вихревая турбулентность дрейфовых волн в диспергирующей среде
В предыдущих главах было показано, что в диспергирующих средах, особенно в плазме, достаточно легко генерируются и эволюционируют разнообразные нелинейные локализованные волновые структуры. Далее важным представляется исследовать нелинейные взаимодействия волновых структур между собой и со средой. Нелинейное взаимодействие волновых структур может быть описано либо как взаимодействие локализованных структур, либо как взаимодействие отдельных волновых гармоник. В определенных условиях это взаимодействие приводит к хаотизации фаз структур или волн. В таких случаях можно перейти к статистическому способу описания волновых сарук- тур и ввести функцию распределения по некоторым подходящим переменным. Эта возможность порождает другой взгляд на взаимодействие структур, так как в результате хаотической динамики фаз волновых структур возникает макроскопическое движение, обычно называемое турбулентным.
Исследование турбулентных течений, начавшееся еще в прошлом веке, по-прежнему остается одной из центральных тем аэродинамики, гидродинамики, метеорологии, физики плазмы, астрофизики, химической технологии и т. д. Столь постоянный интерес определяется тем, что турбулентные течения являются самой распространенной формой движения жидкостей, газов (непроводящих, проводящих) и даже твердого тела, независимо от того, происходят они в естественных условиях или в современных технических системах.
Турбулентное движение является хаотическим и в определенной мере случайным (ограниченным законами сохранения), невоспроизводимым ог опыта к опыту. Случайный характер турбулентных процессов не исключает того, что среднее значение некоторых физических величин за достаточно большой промежуток времени остается постоянным или медленно меняется. Для определения этих средних величин целесообразно использовать статистическое описание турбулентности. При этом удобно ввести ансамбль систем, отличающихся друг от друга начальными условиями. Для описания турбулентности используют средние значения исследуемых величин ——по указанному статистическому ансамблю. Начальные состояния системы слабо влияют на средние значения величин, и средние — по статистическому ансамблю совпадают со средним значением во времени для данной системы [145, 146].
В гидродинамических течениях, говоря о движении любого элемента едкости, подразумеваем движение некоторого макроскопического объема, содержащего большое число молекул. Все молекулы этого объема имеют одина- авую направленную скорость, одинаково участвуют в общем макроскопическом дв!«жении, т. е. в пределах указанного макроскопического малого объема участвуют в коллективном движении. Так что гидродинамические движения едкости соответствуют определенным коллективным степеням свободы.
Плазменная среда обладает намного большим числом коллективных степеней свободы, чем нейтральная гидродинамическая среда. Так, взаимодействие плазменных электронов и ионов определяется дальнодействующими электрическими силами. Это приводит к многообразию коллективных движений плазмы в результате связи движения заряженных частиц с электромагнитным полем. Поэтому случайной, невоспроизводимой величиной в турбулентной плазме становится также электромагнитное поле, сопровождающее движение частиц.
Каноническое представление о турбулентности обычно подразумевает существование трех, определенным образом связанных областей взаимодействия волновых структур между собой и средой. Первая — это область источника или генерации, где происходит зарождение крупномасштабных волновых структур; вторая — инерционная область, где осуществляется перекачка энергии возмущений от длинных к коротким масштабам. Как правило, этот процесс трансформации энергии (по масштабам) нелинеен; третья — это область поглощения, где происходит диссипация энергии короткомасштабных структур и, соответственно, нагрев среды. Турбулентность не приводит к какому- либо истинному поглощению коллективных движений жидкости. Энергия турбулентных возмущений не теряется в процессе ее перекачки от одних масштабов к другим. Однако энергия коллективного движения переходит в ту область, где истинное поглощение становится весьма интенсивным. Трансформация энергии волновых структур в области поглощения можно рассматривать как механизм перехода к стационарной турбулентности, установления стационарного спектра и нагрева среды.
Приведенное рассуждение содержит все элементы, из которых может возникать стационарная турбулентность в среде, хотя плазменная турбулентность несравненно богаче возможными каналами взаимодействий.
В неоднородной замагниченной плазме наличие пространственных градиентов (равновесной плотности, температуры и др.) поперек магнитного поля приводит к возникновению в плазме диамагнитных дрейфовых токов. Коллективные движения частиц, возникающие в такой системе благодаря наличию диамагнитных токов, возбуждают в плазме низкочастотные дрейфовые неустойчивости. Действительно, результаты экспериментального исследования спектров низкочастотных флуктуаций в плазменных термоядерных установках [292-296] и в магнитосфере [220] указывают на то, что наблюдаемые колебания конечной амплитуды представляют собой результат развития дрейфовой неустойчивости. Одно из проявлений эволюции неустойчивости в замагниченной плазме — формирование упорядоченных волновых образований или вихревых структур. Возможная роль вихрей в процессе формирования
сильной дрейфовой турбулентности плазмы, в наблюдаемых экспериме}1Тах [91, 114, 115] по аномальному переносу частиц и тепла, вызывает повышу/ ный интерес к теории вихрей в плазменных средах.
В горячей плазме из-за коллективного характера взаимодействия сис1смЬ1 заряженных частиц может возбуждаться большое число степеней свободы, в частности, различные колебания и шумы конечной амплитуды (в том «числе р* гулярные вихревые структуры), сложным образом взаимодействующих между собой и частицами среды. Поэтому для плазменной среды свойственно турб(. лентное состояние; оно является формой ее существования. Следуя собственной логике развития, теория плазменной турбулентности в шестидесятых голах прошлого века базировалась на модели слабой турбулентности, когда учитывается слабое взаимодействие между модами вследствие нелинейности. В рамках этой модели удалось решить широкий круг вопросов и объяснить ряд важных нелинейных явлений [229, 297, 298]. Теория слабой турбулентности строится с помощью разложения исходных уравнений для плазмы по малому параметру — отношению энергии колебаний к полной энергии плазмы.
В неоднородной замагниченной плазме во многих практически интересных случаях область применимости теории слабой турбулентности, к сожалению, ограничена из-за сильной связи мод, и приходится иметь дело с сильной турбулентностью. В частности, именно с сильной турбулентностью связана аномальная диффузия плазмы в магнитном поле. Поэтому в семидесятых годах прошлого века центр тяжести теории плазменной турбулентности постепенно смещался в сторону сильнонелинейных волн и сильнотурбулентных состояний [290, 299-3(Й].
По существующим представлениям, сильная турбулентность в каждой конкретной ситуации представляег собой в той или иной степени совокупность взаимодействующих волн и упорядоченных нелинейных структур (вихрей). В зависимости от соотношения между свободными (слаботурбулентными) волнами и структурами, сильная турбуленгность может быть либо преимущественно волновой, либо структурной (вихревой, зернистой) [302, 303]. Причем структуры более эффективно, чем линейные волны, поглощают свободную энергию плазмы [84-88]. Так что сильнолокализованные дрейфовые структуры (рассмотренные в предшествующих главах книги), содержащие захваченные частицы, перемешиваясь в плазме, могут возбуждать сильную турбулентность и повышенный перенос тепла и частиц. Изучению этой проблемы посвящена данная глава.
Следует отметить, что точной самосогласованной ма!ематической теории вихревой турбулентности и аномального переноса плазмы построить пока не удается. Это связано со сложным, сильнонелинейным характером явления. Поэтому в основе нашего понимания процессов вихревой турбулентности лежат различные приближенные физические теории, апробированные в других областях плазменных исследований (например, в теории сильной ленгмюровской турбулентности [304]), которые объясняют определенные черты наблюдаемой коллективной активности неоднородной замагниченной плазмы. При достаточно малых давлениях плазмы турбулентные пульсации и ано-
сальный перенос связаны с коллективными электрическими полями. Эти низкочастотные электрические поля можно считать потенциальными, что существенно упрощает проблему. Вихревая турбулентность в режиме с малым давлением плазмы (на примере коротковолново-дрейфовых волн) изучена в разд. 7.1-7.3. Для случая с низким давлением имеется ряд лабораторных экспериментов, хорошо иллюстрирующих различные особенности турбулентного состояния плазмы. Нелинейная теория, рассмотренная в разд. 7.1-7.3, позволяет определить амплитуду и спектральные характеристики коллективных полей. Коэффициент аномальной диффузии (разд. 7.4) зависит как от амплитуды, так и от дисперсионных характеристик моды.
В плазме умеренного давления дрейфовые колебания имеют флуктуирующую компоненту магнитного поля, создаваемую осциллирующим плазменным током и по направлению ортогональную внешнему магнитному полю (т. е. возбуждаются электромагнитные моды). Особенности возникновения вихревой турбулентности на электромагнитных дрейфово-альфвеновских модах в плазменных ловушках обсуждаются в разд. 7.5. Спектры электромагнитных вихревых флуктуаций установлены в разд. 7.5.2, а соответствующий коэффициент аномальной диффузии определен в разд. 7.5.3.
Заметим, что в пятой главе была отмечена глубокая аналогия между динамикой дрейфовых волн магнитоактивной плазмы и волн Россби в гидродинамических течениях. Поэтому построенная в данной главе теория сильной структурной дрейфовой турбулентности имеет непосредственное отношение к теории сильной турбулентности геофизических течений — структурной (вихревой) турбулентности волн Россби, акустико-гравитационных и других волновых возмущений в атмосфере и океане.
Динамика образования потенциальных дрейфовых структур
С точки зрения сильной дрейфовой турбулентности одними из важных типов волн замагниченной плазмы являются потенциальные коротковолновые дрейфовые (КВД) волны с длинами волн, малыми по сравнению с ларморовским радиусом ионов р/к：р；»1, и с частотой ш (^ > со > kz\^6) (где k ,kz ——поперечные и продольные волновые числа, 7% — тепловая скорость электронов, c)Bi — ионная циклотронная частота). Как показано в разд. 5.2, КВД волны и соответствующие им нелинейные структуры могут генерироваться в плазме за счет ионно-циклотронного резонанса.
Характеризуем поле коротковолновых (kjp： »1) потенциальных волн скалярным потенциалом ср(Е = -V(p). Считаем, что ось z совпадает с на-
ных уравнений:ных уравнений:一旨器+謳u咼b一旨器+謳u咼b工工(7.1)(7.1)
ных уравнений:
ных уравнений:
一旨器+謳u咼b
一旨器+謳u咼b
工
工
(7.1)
(7.1)
правлением однородного равновесного машитного поля Во | z. Электроны полагаются холодными (工》Т© ~ 0), равновесная плотность плазмы п0 |х) и температура ионов Т/х) — неоднородными вдоль оси х,(Vi^^VTj х Тогда, согласно разд. 2.1, динамика КВД волн описывается системой нслин-й-
е曳 me 3zе曳 me 3z
е曳 me 3z
е曳 me 3z
(7.2)
Здесь 丫笈—возмущенная скорость электронов вдоль магнитного поля Во, шВе = еВ0 /тос — электронная циклотронная частота, d0 /dt = ^/St + VEV, VE = -c[V(p,Bo]/Bo — скорость дрейфа в скрещенных полях.
Указанная система сохраняет величину
Е = IJ^2 + Р： (▽叫 2 +竽 vjdr,(7.3)
которая соответствует энергии коротковолново-дрейфовых волн;
Р：=』/1Пе脸
—квадрат ларморовского радиуса по ионной температуре.
Согласно гл. 2, система уравнений (7.1), (7.2) допускает существование квазиодномерного солитона
恥=(3A/2S)ch'2(aer|/2),(7.4)
Л = y + az-ut, V»j =сТ{аеп /(еВ0), жп =^1пп/^х,
и — скорость распространения вихря вдоль оси у, a-kz/k«l ——характеризует отклонение направления фронта волны от оси у. Солитон (7.4) имеет характерные размеры вдоль оси у и вдоль оси х-1у, 1Х , соответственно равные
广史7~£-匕 k~(PejLj2, (7.6)
где Ln =ае~1 = (Slnn0/йх)"1 —характерный размер неоднородности плотности плазмы, £ — характерный размер амплитуды структуры.
В двумерном случае(5/ох - 6/^у) системой уравнений (7.1), (7.2) определяются цилиндрически симметричный круглый вихрь, представляющий собой решение уравнения типа (1.20), и двумерные цепочки вихрей, вытянутые вдоль оси х типа (2.59), а также дипольные вихри типа Ларичева~~Резника (см. решение (1.27)). Эти двумерные структуры имеют характерный поперечный размер
В разд. 4.4 было показано, что квазиодномерный КВД солитон устойчив относительно распада на возмущения с к丄=0 ・ Однако неустойчивыми могут стать возмущения с к 上〜к】,приводящие к образованию двумерных КВД структур. Численные эксперименты [42, 57, 58, 305], проведенные на основе динамических уравнений (7.1), (7.2), показывают; что вихревые структуры умеренных амплитуд при взаимодействиях, в основном, являются устойчивыми, сохраняют свою форму при их многократном столкновении и слабо модифицируют свои параметры. Поэтому предлагаемый ниже анализ справедлив в промежутке времени, в течение которого нелинейные структуры сохраняют свою целостность.
Отмеченные выше КВД структуры являются сильнолокализованными в пространстве, содержат захваченные частицы и, перемешиваясь в плазме, могут возбуждать сильную вихревую (структурную) турбулентность.
Модель сильной структурной турбулентности
Турбулентное состояние, описываемое системой динамических уравнений (7.1), (7.2), состоит из мод малой амплитуды широкого непрерывного спектра по волновым числам (слаботурбулентныи спектр), а также из ансамблей, рассмотренных в разд. 2.1 вихревых структур. Причем каждый вихрь, движущийся со скоростью и дает определенный вклад в частотный спектр со = ku флуктуации плотности плазмы. Так как скорость вихрей зависит от амплитуды, то частотный спектр набора вихрей с различными амплитудами может быть шире, чем
соагветствующий спектр волн малой амплитуды, слабо коррелирующих ме：^Л собой. Экспериментальные наблюдения на различных плазменных установок [82—84] показали, что ширина часгогного спектра флуктуаций плогносги значительно больше величины, предсказываемой перенормируемой теорией слабой турбулентности [93], поэтому можно предположить, что основной bk.iq ； в спектр флуктуаций в замагниченной плазме дают дрейфовые уединенные вод. ны, вихревые солитоны. Что же касается слаботурбулентной части спектра, ю его роль будет предполагаться пренебрежимо малой и может, при необходимо, сти, складываться с солитонной частью турбулентности (мы частично у^гм его влияние, выражающееся в стохастизации спектра вихревых структур).
Как отмечалось выше и в гл. 2-4, в неоднородной замагниченной плазме на дрейфовых модах могут образовываться достаточно устойчивые нелинейные структуры: квазиодномерные и двумерные вихревые солитоны. Распространяясь в плазме, они переносят часть вещества в виде захваченных частиц и могут вызвать заметную флуктуацию плотности. Из-за сильной локализации в пространстве у них агсутствует дальнодействие, и поэтому они распределены случайно, подобно молекулам газа. Причем случайность позиции и фазы вихревых структур обусловливается столкновениями между собой. Все это позволяет построить модель сильной турбулентности плазмы в виде ансамбля дрейфовых вихревых структур, располагая вихри различных амплитуд случайным образом в пространстве, и тем самым применить для их описания статистический подход.
Таким образом, будем считать, что сильная дрейфовая турбулентность плазмы представляет собой ансамбль слабовзаимодействующих вихревых структур (основное состояние), каждое из которых характеризуется распредс^ лением энергии системы между N -одинаковыми вихрями (N есть параметр состояния). На рисунке 7.1 представлена характерная картина ансамбля вихрей из N = 16 структур. Причем каждый вихрь представляет собой отдельную степень свободы системы. Тогда квазистационарное турбулентное состояние может быть в каждый данный момент времени разложено по основным состояниям (по ансамблям).
Рис. 7.1. Ансамбль из N =16 одинаковых вихревых структур
Спектры квазиодномерной дрейфовой турбулентности
Если возмущенные величины, характеризующие волну, сильно зависят лишь от одной пространственной координаты у (т. е. (2/бу » 6/6х, 8/6z)), то исходная система уравнений (7.1), (7.2) сохраняет следующий интеграл энергии (см. (7.3)):
吸dy(7.8)
и допускает квазиодномерное солитонное решение типа (7.4):
3meu2 (1 - % / u - a2Cge /и2)、
% (У，t； Уо，и) = — —г；ch"2 х
e[史冠+a2(1 + 1盛/仔)
(7.9)
(У-Уо-Ut),
где ае； = схп /Эх. Видно, что возможны два случая КВД солитонов: быстрые солитоны с u / V*j >1 и медленные солитоны с u / V*j < 0. Каждый солитон дает вклад в частоту возмущения, зависящую от скорости солитона (а также ог ее амплитуды) о)= ku. Поэтому нелинейные струюуры реализукугся в области частот со > ku и(о<0, дополнительно к линейным возмущениям.
Соответственно, безразмерная энергия одномерного КВД солитона равна
Е (и) = 口三Т (1 - V・i /и -。2或 / М 广(6 - % / u+4a2或 。⑹ 5 Qe 丿 [®nPri + a? (1 + <?或 / R )]2
На рис. 7.2 представлена зависимость Es /Ео от u/V*j (где Ео=(ав：/ае；) ) в случае поперечного распространения структур (а = 0). Видно, что энергия возмущения сосредоточивается или на быстрой структуре, u/V*j > 1, или на медленной структуре, u/V*, <0. В случае быстрых солитонов (и/^ »1) Е$/Ео =12(и/%『/5; а при и, стремящемся к нулю слева, и-»0~, (7.10) стремится к значению Es /Ео = 12(|u|/ V%) /5 .
Рис. 7.2. Знертя солитона при а = 0Рис. 7.2. Знертя солитона при а = 0Основываясь на отмеченной в разд. 7.2 модели турбулентности, т. е., рассматривая турбулентность как идеальный газ солитонов, представляем поле волны в виде суперпозиции полей отдельных солитонов типа (7.10),
Рис. 7.2. Знертя солитона при а = 0
Рис. 7.2. Знертя солитона при а = 0
N
屮(у，t) = Е% (у，t； Уп，％ )，(711)
П=1
и, следуя работам [307, 94], определим вероятность основного состояния Р(и) как каноническое распределение Гиббса для ансамбля солитонов с энергией Es(u) (7.10):
P(u)= ^^；exp(-BE(u)),(7.12)
где Ly ——длина системы по у координате, g0 ——не зависящая от Е§ нормировочная постоянная, Ps = %1 характеризует аффективную температуру системы. Тогда односолитонная функция распределения определяется из соотношения
fs(u) = NsP(u). (7.13)
Имея выражения для f^ (и), мы легко можем вычияслить спектр флук
туации плотности плазмы при развитой солитонной турбулентности. Спектр
реляционной функции (Sреляционной функции (S= ^|п/п0|2^):= ^|п/п0|2^):плотности определяется с помощью фурье*преобразования двухточечной кор
реляционной функции (S
реляционной функции (S
= ^|п/п0|2^):
= ^|п/п0|2^):
s^'Thed+S+DQB’t)"
(7.14)(7.14)=■■ - ■- Jdk|dcoS(k,co)exp(ik&-icox),
(7.14)
(7.14)
где усреднение ((•••)) проводится по ансамблям. Подставляя в (7.14) выражение для потенциала из (7.11) и переходя к пределу больших N , N »1, получаем для спектральной функции
S(k,s)」f ⑶丁―必矗 d-x
Ly〔к丿]к[綜p；i+a20 + a2或/М)]
(0)2 —tok% - a2k2盛)(0)2 —tok% - a2k2盛)(7.15)(7.15)
(0)2 —tok% - a2k2盛)
(0)2 —tok% - a2k2盛)
(7.15)
(7.15)
Здесь для случая N »1 сумма по солитонам в выражении (7.15) заменена интегрированием по функции распределения 匸(и). Зная вид функции 厶(и) (7.13), с помощью (7.15) определяем зависимость спектральной функции S(k,co) от частоты со и волнового вектора к возмущения. В частности, при 0<со< kV% имеем S(k,co) = 0, так как в этой области частот вихревые структуры КВД волн не образуются. В случае умеренных длин волн (к丄р& < 1) имеем асимптотическую оценку
expexp*3*3(ф2 -cokVei -a2k2Cse)12(ф2 -cokVei -a2k2Cse)12S(k,(»)~«S(k,(»)~«при kV*i <со« kV*j [1 + ( Ttkpei У ];при kV*i <со« kV*j [1 + ( Ttkpei У ];(7.16)(7.16)
exp
exp
*3
*3
(ф2 -cokVei -a2k2Cse)12
(ф2 -cokVei -a2k2Cse)12
S(k,(»)~«
S(k,(»)~«
при kV*i <со« kV*j [1 + ( Ttkpei У ];
при kV*i <со« kV*j [1 + ( Ttkpei У ];
(7.16)
(7.16)
при co»kV*i[l+(T：kpei)2], или a><0.
Для простоты рассмотрим случай солитонов, распространяющихся поперек магнитного поля (а = 0). При этом безразмерная спектральная функция S/So (7.15) (где So = 1247rNsmeV4pej (aen/(ae^Pei))4 z(mgo))представлена на рис. 7.3. Видно, что частотный спектр флуктуаций плотности является экспоненциально малым при ш< co#j = к% и имеет пик в области частот %,、£ (со > к% и со< 0). Причем ширина положительного спектра Асо 〜、~ 2k% . Спектры по частоте (со) и волновым числам (к丄)дрейфовых флуктуации, возникающих в гокамачной плазме, были получены, например в экспериментах [292, 293], методом микроволнового рассеяния. Для сравнения с теоретическими результатами (рис. 7.3) ниже приведем также и экспериментальную кривую из работы [293] (рис. 7.4).
Рис. 7.3. Спектральная плотность S(k,co)/So (7.15) КВД солитонов при фиксированном значении волнового числа к丄р^ = 0,5 и 7^ = 3 .
Заметим, что с математической точки зрения уравнения для рассмотренных в настоящем разделе КВД структур аналогичны уравнениям для длинноволновых дрейфовых возмущений, наблюдаемых в [293], с точностью до замены электронных индексов на ионные и наоборот (см. также разд. 2.1, 5.1). Учитывая это обстоятельство, можно заключить, что теоретическая модель дрейфовой структурной турбулентности удовлетворительно согласуется с экспериментальными наблюдениями.
Рис. 7.4. Частотный спектр дрейфовой турбулентности, полученный в ВДХ токамаке в экспериментах [293] в сантиметровом диапазоне к丄pj =0,6. Пик спектра соответствует дрейфовой частоте со = ш», а его ширина ——частоте доплеровского уширегшя
Двумерная модель
сильной дрейфовой турбулентности
Предположим, что основное состояние турбулентности плазмы представляет собой ансамбль двумерных КВД вихрей (круглые солитоны, цепочки солитонов, дипольные вихри и др.): каждая активная область плазменной среды с размером LxL покрыта N вихрями одинаковой амплитуды, распределенными случайным образом.
Вероятность основного состояния
Для удобства анализа введем следующую иерархию порядка волновых величин:
屮〜％〜о®,а/ау〜e/ах〜о伫2)；
a/at 〜аа/бу 〜а/Sz 〜0(<Х£〃2)；(7.17)
a/2t ~ uS/^y 〜UE”？ - O(ae1/2 j-> u - a;
где e ——малый параметр, характеризующий амплитуду структуры и не зависящий от другого малого параметра a-kz /к.
Заметим, что для волн малой амплитуды, когда £ < а2/3, из динамических уравнений (7.1), (7.2) следует, что векторной нелинейностью можно пренебречь, и структуры определяются скалярной нелинейностью (круглые солитоны, двумерные цепочки вихрей). При умеренных амплитудах, £ > а2/3, доминирует векторная нелинейность и образуются векторные вихревые структуры (дипольные вихри).
Модель турбулентности должна включать в себя источник турбулентных пульсаций, механизм их затухания и инерционный интервал, в котором происходит перекачка шумов по масштабам в области значений параметров, для которых существенно поглощение. Мы здесь выбираем простую модель: вихри спонтанно рождаются в коротковолновой области (kjp； »1) с характер- ным временем тп = v： и распадаются из-за столкновительной диссипации или затухания Ландау за время xd = v^1. Темп рождения вихрей (vn) балансируется темпом их разрушения (vdP(N)) в устойчивом состоянии. Отсюда определяем вероятность состояния P(N):
P(N)= vn/vd.(7.18；
Темп спонтанного рождения вихрей определяется временем нелинейно! 0 у кручения фронта волны, vu - ае3 2. А темп диссипации —— vd ^ kyV*,〜宀二 для затухания Ландау и vd = const для столкновительной диссипации. Тогда
P(N)~U,(7.19)
где у = 1 для затухания Ландау и у = 3/2 ——для столкновительной диссипации.
На инерционном интервале (на котором происходит перекачка турбулентной пульсации от масштаба возбуждения до масштаба затухания) мощные структуры сливаются при их столкновении. В случае слияния происходит увеличение амплитуды структур, а это приводит к уменьшению их поперечного размера [57, 301,302], т. е. происходит перекачка энергии флуктуаций в короткие масштабы.
Спектры стационарной двумерной дрейфовой турбулентности
Возникновение стационарных спектров происходит в резульгате баланса эффектов раскачки и поглощения турбулентных шумов. Определим спектры стационарной структурной турбулентности двумерных КВД возмущений.
Пусть W — средняя плотность энергии коротковолново-дрейфового возмущения, которая в интересующих нас интервалах времени (t»(kyV*j) 1 j может считаться постоянной. Обозначая через Ev энергию каждого вихря, имеем:
WL2 = NEV = Nel,
Ev = j j dx砧l + ot?或/u2)(pj + p；i(V%)[~£l・()
Здесь <p у(х，П)——двумерное стационарное решение исходаой системы уравнений (7.1), (7.2); I ——постоянная величина порядка единицы. Из уравнения (7.20) следует
£~\У1?Е.(7.21)
Характерный размер вихревых структур равен
1± -е~1/2 - W^^L^N1 2.(7.22)
Максимальное число вихрей определяется условием плотной упаковки
NmaxX/E-WaZ.(7.23)
Минимальное же число находим из условия e(Nmin) < 1. Так что
N^-WL2.(7.24)
Спектры стационарной двумерной КВД турбулентности определяем, следуя работе [309]. При этом, с помощью (7.20), (7.22), (7.23) имеем оценки для характерного числа вихрей No, волнового числа к0 и амплитуды ср0 структур:
N~L2/11 ~kjL2->k0~N1/2;(7.25)
%~9产~n/2->90~n~1^；(7.26)
Еу〜欣к『〜％(7.27)
WL2 = NE、,〜Nkj f I% ~ WL2k『•(7.28)
Фурье-компоненты стационарного двумерного решения аппроксимируем функцией фк = ф0кд2/F(k,k0), где F(k,ko) — ступенчатая функция, срезающая спектр при k = к0 (т. к. структуры являются сильнолокализованны- ми). Тогда для энергетического спектра флуктуаций имеем выражение
Nn1ax
Wk-(N|(pk|2)= j dNN|<Pk|2p(N)~k-2(2-Y).(7.29)
WL2ko2>Nmin
Здесь учтено, что согласно (7.18), (7.21), P(N)~ N—.
Полученное выражение спектра флуктуаций находится в удовлетворительном согласии с теоретическими результатами работы [41], а также с экспериментальным наблюдением [310].
7・4・3・ Аномальная диффузия частиц среды на дрейфовых вихрях
В экспериментальных плазменных установках с магнитным удержанием наблюдаются аномально большая теплопроводность и диффузия частиц [91, 114], обусловленные развитием дрейфовой турбулентности. Причем полученные значения коэффициента турбулентной диффузии лежат между значением коэффициента классической диффузии D© = р； / % ~ пВ/т；"? (где ре — ларморовский радиус электрона, т& — время рассеяния электронов на ионах)
и значением коэффициента диффузии Бома DB = cl^/^16еВ0 j. Причиной такого аномально большого переноса (по сравнению с классическим) в плазме могут быть рассмотренные в настоящей и предшествующих главах монографии регулярные вихревые структуры. Действительно, дрейфовые вихревые структуры содержат захваченные частицы и, перемешиваясь в плазме, взаимодействуя между собой и частицами среды, могут привести к весьма сильному увеличению поперечной диффузии и теплопроводности плазмы. Коэффициент вихревой диффузии можно постулировать выражением Dv =1： / % (me 1 丄 —— поперечный размер вихря, tv — характерное время взаимодействия вихрей). При этом вполне вероятно, что Dv » Dc. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Зная плотность энергии вихревых шумов W, можно изучить влияние вихревых структур на процессы переноса частиц и тепла в замагниченной плазме Определим коэффициент диффузии пробных частиц плазмы при их взаимодействии с ансамблем из N-вихревых структур. С этой целью введем характерные масштабы времен процессов, обусловливающих диффузию пробных частиц: частота столкновения между пробными частицами и N-вихрями (vc), частота парных столкновений между вихрями (vv) и время взаимодействия между частицами и вихрем (% ~ 1丄 / и). Для определения часгот столкновения вихрей (квазичастиц) между собой и пробными частицами используем соответствующее выражение для парных классических столкновений, v = onv0TH (где о — сечение рассеяния, п ——плотность квазичастиц, vOTH — скорость относительного движения). Учитывая, что рассматриваемые вихревые структуры являются двумерными, определяем плотность вихревого газа nv =N/I?; предполагая сечение рассеяния а порядка размера вихря (ь 〜1丄),находим выражение для vv и vc:
vc(N) = gvU 〜aW1/2L'3N3/2,(7.30)
Nmax
vv(N)= J |V(N)-V(N1)|a(N1)nv(N1)P(N1)dNr aW574^-1.(7.31)
Nmin
Здесь V — скорость вихревого солитона V = u(l + £(N)).
Нелинейное взаимодействие между вихрями приводит к декорреляции частиц и поля, поэтому диффузия пробных частиц не является чисто квазилинейной. Пробные частицы рассеиваются на вихрях в течение корреляционного времени тс:
(7.32)(7.32)тс -V；1 /(lg) ~
(7.32)
(7.32)
В случае волн малых амплитуд, £ < а2 3, частицы рассеиваются в потенциальной яме КВД волны [V(p,B0] в течение времени q. При этом длина рассеяния 1 определяется выражением
[〜Mk〜『Wl/N-】.[〜Mk〜『Wl/N-】.(7.33)(7.33)
[〜Mk〜『Wl/N-】.
[〜Mk〜『Wl/N-】.
(7.33)
(7.33)
При умеренных амплитудах волн, е > а2/3, длину рассеяния аппроксимируем поперечным размером вихря 1 ~ 1丄.
С помошью уравнений (7.32), (7.33) мы можем определить вклад отдельного вихря в коэффициент диффузии
a-WrN， aW-3/4L-4N2ja-WrN， aW-3/4L-4N2jпри Nc <N<Nmax;при Nc <N<Nmax;при N < Nc.при N < Nc.(734)(734)
a-WrN， aW-3/4L-4N2j
a-WrN， aW-3/4L-4N2j
при Nc <N<Nmax;
при Nc <N<Nmax;
при N < Nc.
при N < Nc.
(734)
(734)
Здесь Nc определяется из условия e(Nc) = а2/3 и равен Nc = L2Wa~2/3. Зная вероятность состояния P(N), отсюда легко можно получить полный коэффициент диффузии
NT / 、/、[a^W774, при W<а4/3;
(7.34')(7.34')D = Г D(N)P(N)dN竺《
(7.34')
(7.34')
点laWR при W>i.
Значение коэффициента диффузии (7.34) не зависит от вида диссипации и имеет одинаковый порядок для всех 0 < у < 2 . В области умеренного уровня шумов W > а4/3, Dv 〜а(ф0)1/2 (т. к. W ~ N(p0 〜cpQ), диффузия становится аномальной и коэффициент диффузии имеет тот же порядок, что и для нелинейных конвективных ячеек [311].
Структурная турбулентность непотенциальных волн в плазменной среде
Среди различных физических механизмов повышенного переноса тепла и частиц в токамаке большое внимание в последнее время привлекает эффект слабого разрушения магнитных поверхностей [312-314]. К такому разрушению могут приводить флуктуации радиальной компоненты магнитного поля, связанной с наличием в плазме дрейфовых колебаний. Расчеты показывают, что этот механизм может давать заметный вклад в поперечный перенос уже
при довольно низком уровне флуктуаций магнитного поля 8ВГ / Во > 1 [312]. О наличии в плазменных ловушках колебаний дрейфового типа конечной амплитуды свидетельствуют эксперименты по рассеянию микроволн [1, 292-296], в которых были обнаружения флуктуации плотности частиц с амплитудой 6п/п0 - Ю^-Ю"1 в области частот 102-103 кГц, характерной для дрейфовых волн. В экспериментах на установке Т-4 [315] были также зарегистрированы возмущения полоидального магнитного поля вне плазмы с частотой 0,15+2 МГц, возможно, связанные с раскачкой электромагнитных волн альфвеновского типа. Наблюдаемые в [292-295] флуктуации имеют широкий частотный спектр при фиксированном значении волнового вектора к丄,Aco~co~k±V*e (гДе V*j =cTe/(eB0Ln) —дрейфовая скорость электронов, Ц1 =-dlnn0/dr). Спектры по волновым числам к丄 также являются широкими и монотонно убывают при к丄pj > 0,5 , т. е. возмущения являются достаточно коротковолновыми. Наблюдаемые флуктуации плотности имеют порядок 6n/n0 = l/k±Ln, что является признаком сильной дрейфовой турбулентности [69, 91].
Наблюдаемые в замагниченной плазме спектры турбулентных пульсаций, как отмечалось в разд. 7.2, могут быть объяснены возбуждением нелинейных вихревых структур. Отметим также, что современная теория аномальных переносов [177, 178] предсказывает; что аномальная теплопроводность и диффузия обусловливаются в основном процессами с длиной волны порядка бесстолкновительной скиновой,九丄=Xs = с/соРе. Поэтому возникает необходимость описания нелинейных волновых процессов на таких масштабах. В пт. 2, 3 настоящей монографии было установлено существование в замагниченной плазме различных типов вихрей, имеющее размер поперек магнитного поля как больше, так и меньше ларморовского радиуса ионов. Но среди них не были выделены структуры с характерным размером порядка бесстолкновительной скиновой. Ниже будет исследована специфика существования в плазменных ловушках нелинейных электромагнитных структур с характерным размером 1丄 ~ 入$ и связанная с ними коллективная активность плазмы.
Мелкомасштабные регулярные структуры в плазменном цилиндре
Конфигурацию плазменной ловушки смоделируем прямым цилиндром радиуса Ro, помещенным в однородное сильное продольное магнитное поле Во)Во ]jz. Равновесная плотность плазмы предполагается радиально неоднородной п0 = п0 (г), температура ионов 工 и электронов 又一однородной. Плазменный шнур равномерно вращается с угловой скоростью Се = -сЕ0 /(гВ0) (с — скорость света; Ео — равновесное электрическое по-
де, направленное по радиусу цилиндра, г ——расстояние от оси цилиндра). Динамика нелинейных электромагнитных структур альфвеновского типа в тако〃 плазме описывается системой уравнений, представленной в работе [194] (см. также гл. 3, разд. 3.4 настоящей монографии). В ней изучаются вихревые структуры с конечным ларморовским радиусом ионов, хотя эволюционные уравнения, используемые в [194], справедливы и для более мелкомасштабных возмущений. Ниже мы рассмотрим волновые процессы с характерным масштабом порядка скиновой длины 九§ = с / со^ . При этом для ионов справедливо больцмановское распределение, и динамические уравнения работы [194], описывающие дрейфово-альфвеновские структуры длиной вплоть до скиновой во вращающемся плазменном цилиндре, сводятся к виду:
(7.35)(7.36)(7.35)(7.36)^ + (Qe + Ае )^ + С(1 + т)%<р - Y + А丄 А = о,专…П署乎河4a = 0.
(7.35)
(7.36)
(7.35)
(7.36)
Здесь введена система цилиндрических координат г, 0, z;
®п；е,; =^с1/аеп/(сВ()), жп =со1пп0(г)/(гбг); 7、© — тепловая скорость электронов; т = 1^ / Т,;
Ui CT Ct? £jq
(7.38)(7.38)
(7.38)
(7.38)
Уравнения (7.35), (7.36) сохраняют интеграл энергии
E = gj (УА)2+^(УА)2+^2 总E = gj (УА)2+^(УА)2+^2 总т(1 + т)ф2 dr.т(1 + т)ф2 dr.(7.39)(7.39)
E = gj (УА)2+^(УА)2+^2 总
E = gj (УА)2+^(УА)2+^2 总
т(1 + т)ф2 dr.
т(1 + т)ф2 dr.
(7.39)
(7.39)
Стационарное решение системы (7.35), (7.36) ищем в виде А = А(г,т|), Ф - Ф(г,г|) (где rj = 0 - Qt + az; С — угловая скорость вращения структуры вдоль азимута; a - kz / к «1 ——угол наклона волнового фронта к плоскости (г, 0); к ——волновой вектор колебаний). Следуя методике гл. 3, переходим в систему волны и разделяем двумерную плоскость (г,0) на внутреннюю г < а и внешнюю г > а области. Тогда регулярное локализованное решение уравнения (7.35), (7.36) имеет вид (ср. с [316]):
А(г,6) = аВ0а2^|А(г,6) = аВ0а2^|КО(Р) 2 l^|t J0(yr/a)|
А(г,6) = аВ0а2^|
А(г,6) = аВ0а2^|
РК!(Р)『2丿咕⑺
sinGk r <a;sinGk r <a;(740)(740)+e「[1 +空]J氏业3a] Y2；a Y2 "G)
sinGk r <a;
sinGk r <a;
(740)
(740)
A(r,0) = aBoa2 «A(r,0) = aBoa2 «Ko(|k/a)|RK](|k/a%neРК°(В) a K】(B)Ko(|k/a)|RK](|k/a%neРК°(В) a K】(B)(p(r,0)= ^-A(r,e).(p(r,0)= ^-A(r,e).r >a;r >a;(7.41)(7.42)(7.41)(7.42)
A(r,0) = aBoa2 «
A(r,0) = aBoa2 «
Ko(|k/a)|RK](|k/a%ne
РК°(В) a K】(B)
Ko(|k/a)|RK](|k/a%ne
РК°(В) a K】(B)
(p(r,0)= ^-A(r,e).
(p(r,0)= ^-A(r,e).
r >a;
r >a;
(7.41)
(7.42)
(7.41)
(7.42)
Здесь Jn и Kn — функции Бесселя и Макдональда, соответственно, порядка п; связь между параметрами 0 и у определяется из дисперсионного уравнения
yJi(y)k2(P)+pk1(p)j2(y) = 0,(7.43)
4 =虹0&>0,(7.44)
а2 а%*
R — расстояние от оси цилиндра до плоскости локализации структуры (RvRo)・
Полученное решение отличается от вихрей гл. 3 (помимо характерного размера) и тем, что имеет определенную угловую скорость, С = % + а%е и, как следует из условия (7.44), а < ①川 /%е，т- е- структура сильно вытянута вдоль оси цилиндра. Решение (7.40)~(7.42) содержит симметричные и антисимметричные слагаемые (~R/a). Поэтому уединенная волна представляет собой или одиночный вихрь (монополь), или пары вихрей неравной интенсивности типа циклон — антициклон, движущиеся с определенной угловой скоростью Q = QE + aVj-e в азимутальном направлении. Причем структуры, локализованные внутри плазменного шнура(R «а), являются преимущественно одиночными антициклонами, а структуры, возбуждаемые на периферии плазменного шнура(R » а), — дипольными вихрями. Эти свойства хорошо согласуются с результатами численных [214, 215] и лабораторных [212, 213] экспериментов. Данные эксперименты показывают, что монопольные структуры (антициклоны) являются долгоживущими, а крупномасштабные дипольные вихри (а > pj) распадаются и формируют также долгоживущие антициклоны. Если характерный размер структур меньше
ларморовского радиуса ионов а < pi (как и в нашей задаче), то и дипольные вихри сами являются долгоживущими устойчивыми структурами.
Все это позволяет предполагать, что построенное нами решение является достаточно устойчивым. Структуры переносят захваченные частицы, которые движутся на замкнутых линиях тока. Поэтому при взаимодействии (столкновении) вихревых структур происходит перезамыкание линий тока, и захваченные частицы будут переходить от одного вихря к другому, обуславливая повышенный перенос частиц и тепла поперек внешнего магнитного поля. Тем самым рассмотренные вихревые структуры могут формировать сильную дрейфовую турбулентность плазмы в магнитных ловушках.
Спектры двумерной электромагнитной вихревой турбулентности
Основываясь на модели сильной дрейфовой турбулентности, представленной в разд. 7.2, предположим, что основным состоянием турбулентной плазмы является ансамбль двумерных вихрей, изученных в разд. 7.5.1. Следовательно, каждая активная область плазменной среды с размером LxL покрыта N -вихрями одинаковой амплитуды, распределенными случайным образом. Поток энергии от больших масштабов к малым обеспечивается парными столкновениями вихрей (слиянием). Заметим, что в реальном турбулентном состоянии перемешаны вихри разного сорта, но, как показали численные [42, 57, 58] и лабораторные эксперименты [59, 60], вихри существенно разных амплитуд проходят друг через друга без взаимодействия, так что существенно лишь число вихрей данного сорта в плазме, и система основных состояний является полной. При разной амплитуде вихри отличаются и по ширине, но тогда один представляет для другого просто квазиклас- сическую яму, поэтому слияние едва ли возможно, хотя перекачка энергии и допустима.
Как известно, возникновение стационарных спектров турбулентности происходит в результате баланса эффектов раскачки структур и поглощения энергии возмущений. Мы здесь выберем (как и в разд. 7.4) следующую модель стационарной турбулентности: вихри спонтанно рождаются из-за нелинейного у кручения фронта волны за характерное время тп = v"1 ~ е~3/2 и распадаются из-за столкновительной диссипации за время Td = vj1 = const или затухания Ландау за время xd = v^1 ^ ^kyR(oni) 1 -е~1/2. (Механизмом перекачки шумов по масштабам в инерционном интервале может быть, как отмечено выше, слияние вихрей при их столкновении). Тогда вероятность основного состояния, P(N) = vn /vd , определяется выражением
Здесь 3 = 1/2 для затухания Ландау, 8 = 3/4 ——для столкновительной диссипации; с учегом того, что, согласно (7.47), £ - N~1/2 .
В условиях стационарной турбулентности существует постоянный поток энергии от крупномасштабных пульсаций к мелкомасштабным, а средняя плотность энергии W, как обычно, не является постоянной в каждом снек, тральном диапазоне. Одаако, если характерное время изменения плотйости энергии больше величины (。屮尸 〜。一\ то, как следует из динамических уравнений (7.35), (7.36), можно предполагать, что в интересующих нас интервалах времени W = const, и считать энергию возмущения равнораспределен- ной по степеням свободы (по структурам). Так что, обозначая через Е、 (см. (7.39)) знергмю каждого вихря, имеем
WL2 = NEV = Ne2I,
Ev =gj (VAv『+y(AAv)2+T(l + T)謂冠卜dt] = d.
Здесь Av(x,r|), cpv(x,T|) — стационарное решение вида (7.40Н7.42); I -постоянная величина порядка единицы. Из уравнения (7.46) следует
W1/2LN~1/2.(7.47)
Характерный размер вихревых структур равен
1丄〜入「£々2 〜w7/4l-】/2n1/4.(7.48)
Максимальное и минимальное число вихрей в данном состоянии турбулентной плазмы определяются (как и в разд. 7.4.2) выражениями
Ng ~ I? /“ W^L?, Nmin - WL2.(7.49)
Спектры двумерной дрейфово-альфвеновской структурной турбулентности определяем по аналогии с КВД турбулентностью (см. разд. 7.4.2). При этом оценки для характерного волнового числа к0 и амплитуды ср0 структур остаются в силе (см. (7.25), (7.26)), а для характерного числа вихрей No имеем:
Е V〜* ~ WL2 〜Nkj т I% ~ WL2k^.(7.50)
Как правило, в численных и лабораторных экспериментах снимаются фурье-спектры плотности плазмы (|nk /п0| ) = (|q)k| ) (где《••〉означает усред-
Сильная вихревая турбулентность дрейфовых волн в диспергирующей среде 285 некие по ансамблям). Учитывая сильную локализацию структур в пространстве ((pk =cpoko2/F(k,ko), где F(k,ko)|k^ko та), с помощью (7.45), (7.50) для спектра флуктуаций плотаости получаем выражение:
/Ы \= Г Wk『P(N)dN"TT)・ (7.51) V0' / WI?k^>Nmm
Таким образом, турбулентность осуществляет перекачку энергии пульсации из области генерации к - к0 в область больших к , пока не начинает играть роль поглощение энергии из-за диссипативных процессов. Заметим, что полученное выражение спектра флуктуаций по волновым числам удовлетворительно согласуется с экспериментальными наблюдениями [293, 310].
Диффузия плазмы на ансамбле вихрей
Динамика возникновения вихревой турбулентности, наблюдаемая в лабораторных экспериментах [212], показывает, что частицы среды испытывают случайные блуждания, проходя между вихрями. А в центральной части вихрей кружатся захваченные частицы, которые при столкновении (слиянии) структур переходят через перезамыкающиеся сепаратрисы от одного вихря к другому и тем самым также участвуют в переносе вещества и тепла поперек магнитного поля. Да и сами структуры при взаимодействиях перемещаются по случайным траекториям. Подобная коллективная активность среды и структур повышает даффузию плазмы в магнитных ловушках.
Оценим коэффициент диффузии пробных частиц плазмы при их взаимодействии с ансамблем из N-вихревых структур. С этой целью введем характерные масштабы времен процессов, обусловливающих диффузию пробных частиц (см. также разд. 7.4.3): частота столкновения между пробными частицами и N-вихрями vc
vc = uoDv aW-1/4L~5/2N5/4,(7.52)
где и — фазовая скорость вихря u ~ С 〜а, о — сечение рассеяния (а - 1±); частота парного столкновения между вихрями —
vv = J|V(N)-V(N1)|a(N1)nv(N1)P(N1)dN1 -aW2/3LN-1/2,(7.53)
me V = u(l + e(N)) — скорость вихревой структуры, n、= N/L2 ——плотность вихрей; tp — время взаимодействия между частицами и вихрем тр -1± /и .
Все отмеченные выше три процесса приводят к декорреляции частиц и поля, и диффузия пробных частиц не является чисто квазилинейной. Позтом、 пробные частицы рассеиваются на вихрях в течение эффективного корреляционного времени
тс 〜V；1 /(汽五)~ a^W^^N'1.(7.54)
Длину корреляции аппроксимируем поперечным размером вихря % 〜1丄.
С помощью уравнений (7.48), (7.54) мы можем определить вклад отдельного вихря в коэффициент диффузии
12
Dn N 〜aW1/3L-3N3/2.(7.55)
%
Зная вероятность основного состояния P(N)(7.45), легко можно получить полный коэффициент диффузии:
Nmax
Dv= J Dn (N)P(N)dN~aW1/6.(7.56)
Nmin
Значение коэффициента диффузии (7.56) не зависит от вида диссипации и имеет одинаковый порядок для всех 0 < 8 < 1. В условиях умеренного уровня шумов W диффузия частиц плазмы на вихрях становится аномальной и коэффициент диффузии имеет тот же порядок, что и для нелинейных конвективных ячеек [311]. Заметим также, что, согласно (7.50), W 邕 Ncpo - фо и Dy 〜3^^ • Специфика вихря в коэффициенте диффузии учитывается параметром а, связанным с угловой скоростью движения структуры Q, a =(Q-QE)/VTe (т. е. начальным условием формирования структуры или затравочным коэффициентом диффузии), а также величиной ср0, определяющей скорость вращения захваченных частиц в вихре Vo =kc(p0 /Во . Полученное значение для эффективного коэффициента диффузии структурной турбулентности (т. е. корневая зависимость от амплитуды флуктуации) хорошо согласуется с результатами теоретических работ [317, 318] и экспериментальным наблюдением [319].
Обсуждение результатов
В данной главе книги исследованы коллективные процессы в замагниченной плазме, вызванные нелинейными ретулярными структурами.
Показано, что потенциальные коротковолново**дрейфовые вихревые структуры могут возбуждать в плазме сильную дрейфовую турбулентность.
Турбулентность представляется как газ ансамбля сильнолокализованных сла- бовзаимодействующих N-одинаковых вихрей, составляющих основное со- сюяние. Эти структуры содержат захваченные частицы и, перемешиваясь в плазме, вызывают заметную флуктуацию плотности и активизируют процессы переноса. При этом ширина спектра флуктуации плотности значительно больше величины, предсказываемой теорией слабой турбулентности, что находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными наблюдениями. В области умеренной амплитуды турбулентных пульсаций, W > а4 3, структурная турбулентность приводит к аномальной (по сравнению с классической) диффузии частиц плазмы.
Теоретически установлено, что в плазменных ловушках могут генерироваться электромагнитные мелкомаепггабные (длиной порядка бесстолкновительной скиновой) монопольные вихревые структуры, а также дипольные вихри, несущие захваченные частицы. Распространяясь в плазме, они возбуждают сильную дрейфовую турбулентность, имеющую зернистый характер. Структурная турбулентность формирует в плазме стационарный спектр по волновым числам, спадающий по степенному закону. Взаимодействие структур между собой и час!ицами среды вызывает аномальную диффузию плазмы. Эффективный коэффициент структурной турбулентности коренным образом зависит от характерной амплитуды стационарного уровня шумов, Dv а^^
отличается от результата квазилинейной теории, в которой D фд.
Проведенный в данной главе анализ сильной дрейфовой турбулентности удовлетворительно согласуется с известными результатами численных и лабораторных экспериментов. Все это позволяет полагать, что дрейфовая структурная турбулентность может быть ответственной за аномальный перенос частиц и тепла, наблюдаемый в плазменных экспериментах.
Аналогичным образом можно построить теорию сильной структурной (вихревой) турбулентности для волновых возмущений в нейтральной атмосфере и океане [320].
Список литературы
Horton W. Nonlinear drift waves and transport in magnetized plasma. Institute for Fusion Studies the University of Texas at Austin. IFSR №416. Review. Austin. Texas, 1990. 256 p.
Кадомцев Б. 5. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988. 303 с.
Вихри и волны. Сб. статей. М.: Мир, 1984. 335 с.
Каменкович В. М., Кошляков М. Н., Монин А. С. Синоптические вихри в океане. Л.: Гидрометиздат, 1982. 264 с.
Интенсивные атмосферные вихри. Под ред. Л. Бентесона и Дж. Лайтхил- ла. М.: Мир, 1985. 368 с.
Гуревич А. В., ШварцбургА. Я. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. М.: Наука, 1973. 272 с.
Каплан С. А., Пикелнер С. £ Плазменная астрофизика. М.: Наука, 1972. 435 с.
Похотелов О. А., Стенфло Л.г Шукла П. К. Нелинейные структуры в магнитосфере и атмосфере Земли // Физика плазмы. 1996. Т. 22. № 10. С. 941-953.
Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. М.: Атомкздат, 1977. Т. 2. 360 с.
Х^.ГиллА. Динамика атмосферы и океана. М.: Мир, 1986. Т. 1. 397 с.
Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. 175 с.
Заславский Л М„ Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988. 368 с.
Петвиашвили В. И., Похотелов О. А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Эн^гоатомиздат, 1989. 199 с.
Додд R, ЭйлбекДж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.
Сагдеев Р 3. О нелинейных движениях разряженной плазмы в магнитном поле // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 4. С. 384-390.
Абурджания Г Д Нелинейные волновые структуры в плазме и геофши- ческих течениях // Труды ИПМ ТГУ 1998. Т. 48. С. 1-37.
Петвиашвили В, И, Красное пятно Юпитера и дрейфовый солитон в плазме 〃 Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 32. Вып. 11. С. 632-63 5.
Голант В. Е, Федоров В. И. Высокочастотные методы нагрева плазмы в тороидальных термоядерных установках. М.: Знергоатомиздат, 1986.200 с.
Буланов С. В. и др. Перезамыкания магнитных силовых линий в окрестности критических точек // Физика плазмы. 1996. Т. 22. № 10. С. 867-895.
Абурджания Л 〃. Самоорганизация акустико-п)авитационных вихрей в ионосфере перед землетрясением // Физика плазмы. 1996. Т. 22. № 10. С. 954-959.
Матвеев Л. Г Теория общей циркуляции атмосферы и климата Земли. Л.: Гидрометиздат, 1991. 295 с.
Казанцев Ю. В. Теория атмосферных вихрей и ее применение для задач прогноза. Л.: Гидрометиздат, 1988. 115 с.
Монин А, & Яглам А, М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965. Т. 2. 640 с.
ОзмидовР. В. Диффузия примесей в океане. Л.: Гидрометиздаг, 1986.280 с.
Абурджания Л Д Структурная турбулентность и диффузия плазмы в магнитных ловушках // Физика плазмы. 1990. Т. 16. № 1. С. 70-76.
Петвиашвили В. И. О нелинейных дрейфовых волнах в плазме 〃 ДАН СССР. 1967. Т. 174. № 1. С. 66-68.
Tasso Я Shock-like drift waves// Phys. Lett. 1967. V 24A. №11.P. 618-620.
Oraevskii И N, Tasso Я and Wobig H Nonlinear drift waves in a plasma with temperature gradient I I Plasma Phys. Contr. Nucl. Fusion Res. IAEA. Vienna, 1969. V. l.R 671-674.
Benjamin 兀 Bona J. and Mahoney J. Model equations for long waves in a nonlinear dispersive systems // Phil. Trans. R. Soc. London, 1972. V 272. N 1. P. 47-86.
Zhmudsky A. J., Lisitchenko 匕匕 and Oraevskii И N. Non-linear stable collisionless drift waves // Nucl. Fusion. 1970. V. 10. N 2. P. 151-153.
Петвиашвили В. И. Самофокусировка потенциальной дрейфовой волны // Физика плазмы. 1977. Т. 3. Вып. 2. С. 270-272.
Charney Г G The dynamics of long waves in a baroclinic westernly current 〃 J. Meteoroly. 1947. V4. N 1. P. 135-163.
Ларичев В. Д, Резник Г. М О двумерных уединенных волнах Россби // ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 5. С. 1077-1079.
Лэмб Л Гидродинамика. Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. Т. 1. 452 с.; Т. 2. 482 с.
Моисеев С. С, Сагдеев Р 3., Тур А. А, Яновский В. В. Об интегралах вмороженности в двухжидкостной гидродинамике И ДАН СССР. 1981. Т. 258. № 2. С. 318-322.
Моисеев С. С., Сагдеев Р. 3., Тур А. В., Яновский В. В. Об интегралах вмороженности и лагранжевых инвариантах в гидродинамических моделях 〃 ЖЭТФ. 1982. Т. 83. № 1. С. 215-226.
Кадомцев Б. Б., Тимофеев А. 5. Дрейфовая неустойчивость плазмы в магнитном поле 〃 ДАН СССР. 1962. Т. 146. № 3. С. 581-5 84.
Rossby S. G et al. Relation between variations in the intensity of the zonal circulation of the atmosphere and displacement of the semi-permanent center、 of action 〃 J. Marine Res. 1939. V. 2. № 1. P. 38-55.'
Hasegawa A. and Mima K. Stationary spectrum of strong turbulence in magnetized nonunifbrm plasma // Phys. Rev. Lett. 1977. V39. N 4. P. 205-208.
Hasegawa A. and Mima K. Pseudo-three-dimensional turbulence in magnetized nonunifbrm plasma // Phys. Fluids. 1978. V. 21. N 1 P. 87-92.
Hasegawa A„ McLennan C. G and Kodama К Non-linear behavior and turbulence spectra of drift waves and Rossby waves // Phys. Fluids. 1979. V. 22. N 11. P. 2122-2129.
Makino M, Kamimura Г and Taniuti Z Dynamics of two-dimensional solitary vortices in a low-beta plasma with convective motion // J. of the Phys. Soc. of Japan. 1981. V 50. №3. P. 980-989.
MeissJ. D. and Norton W. Solitary drift waves in the presence of magnetic shear // Phys. Fluids. 1983. V. 26. N 4. P. 990-997.
Павленко В, П., Петвиашвили В. И. Уединенный вихрь при желобковой неустойчивости 〃 Физика плазмы. 1983. Т. 9. Вып. 5. С. 1034-1037.
Данилов Ю. Ф., Петвиашвили В. И. Солитоны в плазме // Итоги науки и техники. Сер. Физика плазмы. Т. 4. М.: ВИНИТИ, 1983. С. 5-54.
Кадомцев К 5., Петвиашвили В. И. Об устойчивости уединенных волн в слабодиспергирующих средах 〃 ДАН СССР. 1970. Т. 192. № 4. С. 753-755.
SpatschekK. "., Shukla Р К. and W М. X On the two-dimensional stability of ion-acoustic solitons // Phys. Lett. 1975. V 54A. N 5. P. 419-420.
Петвиашвили В. И. Нелинейные волны и солитоны // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1964. Вып. 9. С. 59-82.
Laedke Е W. and Spatschek К. Н. Groft rates of bending KdV solitons 〃 Journ. Plasma Phys. 1982. V. 28. № 3. P. 469-484.
Захаров В. £., Кузнецов E. А. О трехмерных солитонах И ЖЭТФ. 1974. Т. 66. Вып. 2. С. 594-597.
Петвиашвили В. И., Янъков В. Я Двухслойные вихри во вращающейся стратифицированной жидкости 〃 ДАН СССР. 1982. Т. 267. № 4. С. 825-828.
Leadke Е. W. and Spatschek К. Н. Dynamical properties of drift vortices 11 Phys. Fluids. 1985. V. 28. № 3. P. 1008-1010.
Leadke E. W. and SpatschekK. H. Two-dimensional drift vortices and their stability // Phys. Fluids. 1986. V. 29. № 1. P. 133-142.
Leadke E. W. and SpatschekK. H. Drift vortices // International conference on plasma Physics. 1984. Lausanne. Switzerland. V. 1. P. 178.
Ларичев 5. Д., Резник Г. M Численные эксперименты по изучению столкновений двумерных уединенных волн Россби // ДАН СССР. 1982. Т.264.№ 1.С. 229-233.
Ларичев 5. Д, Резник Г. М. О столкновении двумерных уединенных волн Россби // Океанология. Сер. Физика моря. 1983. Т. 23. № 5. С. 725-734.
Петвиашвили В. И., Смирнов A. 7Z Численное моделирование взаимодействия дрейфовых солитонов-антициклонов Н ДАН СССР. 1984. Т. 277. № 1. С. 88-90.
Павленко В. П., Таранов 5. В. Взаимодействие двумерных дрейфовых солитонов 〃 Физика плазмы. 1984. Т. 10. Вып. 6. С. 1303-1306.
Антипов С. А, Незлин М А, Родионов В. К. и др. Солитоны Россби: устойчивость, столкновения, ассимметрия и генерация течениями со сдвигом скорости 〃 ЖЭТФ. 1983. Т. 84. Вып. 4. С. 1357-1372.
Антипов С. В., Незлин М. В., Родионов В. К. и др. Столкновения солитонов Россби // Письма в АЖ. 1983. Т. 9. Вып. 1. С. 58-64.
Morrison Р J, MeissJ. D. and Cary J. R. Scattering of regularized-wave solitary waves // Physica. 1984. V. 11D. № 3. P. 324-336.
Abdulloev.t Bogolubsky J. and Makhankov И On moke example of inelastic soliton interaction // Phys. Lett. 1976. V. 56A. № 6. P. 427-428.
Bona J. L, Pritchard W. G and Scott R. L. Solitary wave interaction 11 Phys. Fluids. 1980. V. 23. № 3. P. 438-441.
Santarelli A. R. Numerical analysis of the regularized long-wave equation: unelastic collision of solitary waves // Nuovo Cimento. 1978. V 46B. № 1. P 174-18 8.
Courtenay Lewis J and Tjon J. A. Resonant production of solitons in the RLW equation // Phys. Lett. 1979. V. 73A. № 6. P. 275-279.
Бучельникова H. С., Салимов P. А,, Эйдельман Ю. И. Исследование турбулентного состояния плазмы при дрейфовой неустойчивости // ЖЭТФ. 1967. Т. 52. Вып. 4. С. 839-850.
Бучельникова Н. С. Исследование турбулентности плазмы при некоторых неустойчивостях. Новосибирск: Изд-во ИЯФ СО АН CCCR 1970.
Hendel Н. W.f Chu 7? К. and Politzer 2 A. Collisional drift waves-identificati- on, stabilization, and enhanced plasma transport // Phys. Fluids. 1968. V 11 № 11. P. 2426-2439.
Politzer P A. Drift instability in collisionless alkali metal plasmas // Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 11. P. 2410-2425.
Маринин В. Г. Неустойчивости плазмы, созданной в зеркальной магнитной ловушке пучково-плазменным разрядом // Укр. Физ. журнал. 1968. Т. 13. № 11. С. 1872-1877.
Незлин М В., Тактакишвили М И., Трубников А. С. Пороги пучковых неустойчивостей // ЖЭТФ. 1968. Т. 55. № 2. С. 3974 4.
Незлин М В. Динамика пучков в плазме. М.: Энергоиздат, 1982. 263 с.
Незлин М. В. Солитоны Россби // УФН. 1986. Т. 150. № 1. С. 3-60.
Незлин М. В., Снежкин Е. Н. Вихри Россби и спиральные структуры. М.: Наука, 1990. 238 с.
Антонова Р А., Жвания К П., ЛоминадзеД. Г и др. О дрейфовых соли, тонах в мелкой вращающейся жидкости // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 3f №11. С. 545-548.
Антонова В /., Жвания Б. 77., Ломинадзе Д. Л и др. Моделирование на мелкой быстро вращающейся жидкости вихрей в однородной за、та「_ ниченной плазме // Физика плазмы. 1987. Т. 13. № 11. С. 1327-1331.
Pecseli Я. £., Rasmussen Juul Г and Thomsen К. Nonlinear interaction of convective cells in plasmas // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. № 24. P. 2148-2151.
Butcher Erhard A. and Post R. S. Measurement of convective cell spectra and the resultant calculated vortex diHusion coefficient // Phys. Fluids. 1981. V. 24. № 9. P. 1625-1634.
Nakamura К and Tsukabayashi /. Observation of modified Kortewegde Vries solitons in a multicomponent plasma with negative ions // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. № 26. P. 2156-2159.
Ehrhardt A., Gamer H. A., Navratil G A., and Post R. S. Grossfield diffusion and fluctuation spectra in a levitated octupole in the presence of toroidal • field 〃 Phys. Fluids. 1981. V. 24. № Ю.Р. 1859-1864.
Mazzucato E. Small-sclae density fluctuations in the adiabatic toroidal compressor// Phys. Rev. Lett. 1976. V. 3 6. № 14. P. 792-794.
Mazzucato E. Low-frequency microinstabilities in the PLT tokamak 〃 Phys. Fluids. 1978. V. 21. № 6. P. 1063-1069.
Slusher R, E. and Surko С. M Study of density fluctuations in the absorption of oxygen on silicon /7 Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40. № 6. P. 400-403.
Dupree I H. Theory of phase space density granulation on plasma // Phys. Fluids. 1972. V. 15. № 2. P. 334-344.
Рудаков Л. И. Торможение электронных пучков в плазме с высоким уровнем ленгмюровской турбулентности // ДАН СССР. 1972. Т. 207. № 4. С. 821-823.
Крылов С. Ф., Янков В. В. О роли солитонов в сильной турбулентности // ЖЭТФ. 1980. Т. 79. №1. С. 82-86.
Waltz R. Е. Subcritical magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. Lett. 1985. V.55.№ 10.P. 1098-1101.
SagdeevR. Z, Mocseev 5. S., Tur A.匕 and Yanovskii К V. Problems of the theory of strong turbulence and topological solitons // Non-linear phenomena in plasma physics and hydrodynamics / Ed. by R. Z. Sagdcev. Moscow: Mir Publishers, 1986. P. 131-182.
Горев В. B„ КингсепА. С, Рудаков Л. И. Сильная ленгмюровская турбулентность плазмы // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. № 5,6. С. 691-719.
Zweben S. J. Search for coherent structure with tokamak plasma turbulence // Phys. Fluids. 1985. V. 28. № 3. P. 974-982.
Liewer P. C. Measurements of microturbulence in tokamaks and comparison with theories of turbulence and anomalous transport // Nucl. Fusion. 1985. V. 25. №5. P. 543-621.
Horton W. Spectral distribution of drift-wave fluctuations in tokamaks // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. № 19. P. 1269-1272.
Meiss 丿.D. and Horton W, Drift-wave turbulence from a soliton gas // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 48. № 19. P. 1362-1364.
Tasso H. and Lerbinger R Exact k-spectrum for the KdV equation: Application to drift wave turbulence // Phys. Lett. 1983. V. 97. № 9. P. 384-386.
Михайловский A. 5. Дрейфово-циклотронная неустойчивость плазмы с горячими ионами И Ядерный синтез. 1965. Т. 5. № 2. С. 125-143.
Михайловский А. £., Тимофеев А. В. О циклотронной неустойчивости неоднородной плазмы 〃 ЖЭТФ. 1963. Т. 44. № 3. С. 919-921.
Fahrbach Н. U., Koppendorfer W., Munich М et al. Measurement of lower hybrid drift fluctuations in the boundary layer of a high-beta plasma by collective CO2 laser light scattering // Nucl. Fusion. 1981. V. 21. № 2. P. 257-270.
Гудблуд И. 7Z, Пятак А. И., Сизоненко В. Л. Электронно-звуковая и дрейфовая неустойчивости в плазме конечного давления с поперечным током 〃 ЖЭТФ. 1973. Т. 64. № 6. С. 2084-2096.
HubaJ. D., GladdN. Z and Popadopoulos К. Magnetotail turbulence I I Journ. Geophys. Res. 1978. V. 83.№11. P. 5217-5227.
HubaJ. D. and Ossakow S. L. On 11-cm irregularities during equatorial spread F // Journ. Geophys. Res. 1981. V. 86. № A2. P. 829-832.
Hoegy W. R„ Curtes S. A., Brache Z. H. et al. Ionospheric heating and density fluctuations // Geophys. Res. Lett. 1982. V. 9. P. 997-1000.
Михайловский A. 5. К теории устойчивости пространственно-неоднородного тока в плазме // ЖЭТФ. 1965. № 11. С. 1945-1959.
Михайловский Л. £, Цыпин В. С. Высокочастотная неустойчивость плазмы, находящейся в радиальном электрическом и продольном магнитном полях // Письма в ЖЭТФ. 1966. Т. 3. № 6. С. 247-249.
AlexeffL, Estabrook К,, Horose Л. Е al. Understanding turbulent ion heating in the OAK Ridge Mirror Machine “Burnout V”〃 Phys. Rev. Lett. 1970. V. 25. № 13. R 848-851.
Ловецкий E. C.t Рухадзе А. А. Теория гидродинамической устойчивости неоднородных плазменных токов // Ядерный синтез. 1966. Т. 6. № 1. С. 9-14.
Лонгинов А. В., Степаков К. Н. Высокочастотный нагрев плазмы в токамаках в области ионных циклотронных частот // Высокочастотный нагрев плазмы. Горький: ИПФ АН СССЕ 1983. С. 105-220.
Михайловский А, £ Вопросы теории коллективных процессов в токамаке с группой быстрых ионов // Вопросы теории плазмы / Под ред. А. Б. Михайловского. М.: Атомиздат, 1979. Т. 9. С. 83-204.
Longmive С. L. and Rosenbluth M N, Stability of plasmas confined by magnetic fields //Ann. Phys. 1957. V 1. № 2・ P. 120-140.
Михайловский А. Б. Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках. М.: Атомиздат, 1978. 295 с.
Елфимов А. Л, Киров А. Л, Сидоров В. 77. Альфвеновский нагрев плазмь< и генерация токов увлечения /； Высокочастотный нагрев плазмы. Гопе кий: ИПФ АН СССР, 1983. С. 211-252.'
Lysak R. L. and Carlson С. ИС Ionospheric electron acceleration // Geoph）、 Res. Lett. 1981 V. 8. № 3. P. 269-271.''
Kennel G E Consequences of a magnetosphere plasma // Rev. Geophys. Res 1969. V.7.№3.P37 J42.~
Hasegawa A. Drift-wave instability at the plasmapausa H Journ. Geoph、、 Res. 1971. V. 26. № 22. P. 5361-5364.
Муховатов В. С. Токамаки И Итоги науки и техники. Сер. Физика пла,- мы. Т. 1, часть 1. М.: ВИНИТИ. 1980. С. 6-118.
Мирное С. @. Физические процессы в плазме токамака. М.: Энергоатом- издат, 1985. 246 с.
Рудаков Л. Я., Сагдеев Р 3. О неустойчивости неоднородной разреженной плазмы в сильном магнитном поле// ДАН СССР. 1961. Т. 138. № 3. С. 581-585.
Shukla 2 К., W М К, Rahman Н. and Spatschek К. Н. Non-linear convective motion in plasmas // Phys. Reports. 1984. V. 105. № 4, 5. P. 227-328.
Михайлова Э. Я, Шапиро Я Б. Двумерная модель эволюции синоптических возмущений в океане // Изв. АН СССР. Физика атм. оксана. 1980. Т. 16. № 8. С. 823-833.
Михайловский А. Б., Кудашев В. Р, Лахин В. 77. и др. Цепочки солитонов Россби и градиентных солитонов // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 40. Вып. 7. С. 273-275.
Стиган Я Функции Лежандра // Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана. М.: Наука, 1979. С. 153-176.
Kelvin Lord. On a disturbing infinity in Lord Rayleigh's solution for waves in a plane vortex stratum 〃 Nature. 1880. V 23. P. 45-46.
Hiks J. J. Radar observations of a gravitational wave in clear air near the tropopause associated with CAT // J. Appl. Meteorology. 1969. V 8. P. 627-633.
Бицадзе Л. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. 346 с.
Абурджания Г Д, Иванов В. Н. Радиальные вихри в цилиндрических плазменных ловушках // Физика плазмы. 1988. Т. 14. Вып. 5. С. 575-5 81.
Абурджания Л Д Самолокализация дрейфовых волн во врапщющейся ограниченной плазме // Физика плазмы. 1988. Т. 14. Вып. 4. С. 503-504.
Гледзер Е. Б. Точное решение для двумерной уединенной топографической волны Россби // ДАН СССР. 1985. Т. 282. № 4. С. 981-985.
Галин М. Я. Двенадаатикомпонентная модель общей циркуляции атмосферы 〃 Изв. АН CCCR Физика атм. океана. 1978. Т. 14. № 9. С. 915-925.
Каменкович В. М. Вихреразрешающие численные модели И Каменко- вич В. М., Кошляков М. Н., Монин А. С. Синоптические вихри в оксане. Л.: Гидрометиздат, 1982. С. 110-124.
Me. Williams J. С, Flierl G К., Larichev И D and Reznik G М Numerical studies of barotropic modons // Dyn. Atm. Oceans. 1981. V 5. P. 219-238.
Улан С Устойчивость при расчетах по методу многих тел // Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964. С. 289-303.
Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 392 с.
Steward Н. 7? Periodic properties of the semipermanent atmospheric pressure systems // Quart. Appl. Math. 1943. V 1. P. 262-267.
Morikava G K. Geostrophic vortex motion // J. Meteorology. 1960. V. 17. R 148-158.
Новиков E А. Динамика и статика системы вихрей 〃 ЖЭТФ. 1975. Т. 68. №5. С. 1868-1882.
Friedlander S. Interaction of vortices in a fluid on the surface of rotating Sphere // Tellus. 1975. V. 2 7. № 1. P. 127-138.
ArefH. The motion of three vortices // Phys. Fluids. 1979. V. 23. P. 393-400.
Гряник В. M Динамика сингулярных геострофических вихрей в двухуровневой модели атмосферы (океана) 〃 Изв. АН CCCR Физ. атм. океана. 1983. Т. 19. № 3. С. 227-240.
8. Владимиров В. С Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 527 с.
Шулейкин В. В, Расчет развития, движения и затухания тропических ураганов и главных волн, создаваемых, ураганами. Л.: Гидрометеоиздац 1978.97 с.
Chmyrev И N., Marchenko И Л., Pokhotelov О. Л. еЕ. а/. Vbrtex structures in the ionosphere and the magnetosphere of the Earth // Planet. Space Sci. 1991. V.39.№7.P. 1025-1037.
Кадомцев £. £, Погуце О. 77. Нелинейные винтовые возмущения плазмы в токамаке // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. Вып. 2. С. 575-589.
Арефьев В. И., Гордеев А. 8・,Рудаков Л. И. Неустойчивости, вызываемые в плазме током, текущим поперек уцеживающего поля // Plasma Phys. Cont. Nucl. Fus. Res. V 2. IAEA. Vienna. 1969. P. 165-180.
Aburdzhaniya G D., Kamenetz £ E, Lakhin V. P. and Mikhailovskii A. B. Electron drift solitons in an inhomogeneous magnetized plasma // Phys. Lett. 1984. V. 105A. № 1, 2. P. 48-50.
Абурджания Г. Д, Лахин В. FL, Михайловский А. Б. Нижнегибридно-дрейфовые солитоны // Физика плазмы. 1985. Т. 11. Вып. 10. С. 1262-1263.
Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М.: Наука, 1967. 287 с.
Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. М.: Атомиздат, 1971.424 с.
Филиппов Д. А, Чернов А. 4, Яньков В. А Двумерная турбулентность в Z-пинчах и идеальной жидкости. Препринт ИАЭ-3838/6. М., 1983.
Михайловский А. Б., Абурджания Л Д, Онищенко О. Л, Смоляков А. И. Структура нелинейных уравнений замагниченной плазмы и проблема устойчивости магнитозвуковых солитонов // ЖЭТФ. 1985. Т. 89. Вып. 2(8). С. 482-497.
Лахин В. 〃.，Михайловский А. Б., Новаковский С. В. Коротковолновые вихри в плазме конечного давления // Физика плазмы. 1986. Т. 12. Вып. 5 С. 566-574.“
Aburdzhaniya G D, Mikhailovskii A. B. and Shrapov S. A Short-wavclenuth drift solitons // Phys. Lett. 1984. V. 100A. № 3. P. 134-135."
Михайловская А. А., Ерохин H. С., Фадеев А. П. Численное моделирование длинноволновых градиентных вихрей в плазме. Препринт. Инет, прикл, мат. им. М. В. Келдыша АН СССР. М., 1985. № 143.
Williams G Р and Yamagata Г Geostrophic regimes, intermediate solitary vortices and Jovian eddies // Joum. of the Atmosph. Sciences. 1984. V. 41 №4.P.453Y78・
Абурджания Г Д, Лахин В. П., Михайловский А. £. Устойчивость нижнегибридно-дрейфовых солитонов // Физика плазмы. 1986. Т. 12. Вып. 5. С. 596-604.
Aburdzhaniya G D., Lakhin V. Р and Mikhailovskii А. В. Nonlinear regular structures of drift magnetoacoustic waves // Joum. Plasma Phys. 1987. V. 38. № 3. P. 373-386.
Абурджания Г Д, Лахин В. 77., Михайловский А. Б. Нелинейные регулярные дрейфово-магнитозвуковые структуры. Препринт Инет, прикл. математики ТГУ Тбилиси, 1986. С. 10--33.
Лифшиц Е. М., Питаевский Л. /7. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.
ManakovS.匕，Zakharov И £., Bordag £. A, et al. Two-dimensional solitons of the Kadomtsev—Petriashvili equation and their interaction // Phys. Lett. 1977. V. 63A. № 3. P. 205-206.
Жданов С. К., Трубников Я. А. Цепочки солитонов в плазме с магнитной вязкостью II Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39. Вып. 3. С. 110-113.
Зайцев Л. А. О формировании стационарных нелинейных волн суперпозицией солитонов // ДАН СССР. 1983. Т. 272. № 3. С. 583-587.
Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 683 с.
Aburdzhaniya G D. Reflection of electromagnetic waves from drift soliton // Proc, of the joint conference of the seventh Kiev Intern, conf, on plasma and seventh Intern, congress on waves and instabilities in plasma (Kiev, USSR) / Editor A. G Sitenko. 1987. V 2. P. 16-19.
Ландау Л. Д., Лифшиц £. M Квантовая механика. М.: Физматгиз. 1968. §25.
Kruskal М. and Schwarichild М. Some instabitities of a completely ionized plasma // Proc. Roy. Soc. 1954. V. A232. № 1190. P. 348-3 56.
Furth H. R, Killeen J., Rosenbluth M N. and Coppi B. Stabilization by shear and negative “V” // Plasma Phys. Cont. Nucl. Fus. Res. 1966. IAEA. Vienna. V. l.R 103-126.
Шафранов В. 〃.，Юрченко 3. И. Критерий желобковой неустойчивости в тороидальной геометрии // ЖЭТФ. 1967. Т. 53. № 3. С. 1157-1166.
Hasegawa A., Uberoi С. The Alfven wave (National technical information service, Springfield, VA). 1982.
Михайловский A. 6 Рудаков Л. И. К вопросу об устойчивости пространственно-неоднородной плазмы в магнитном поле // ЖЭТФ. 1963. Т. 44. №3. С. 912-918.
Кадомцев К Б. Турбулентная диффузия разреженной плазмы в сильном магнитном поле //ЖЭТФ. 1963. Т. 45. Вып. 4. С. 1230-1242.
Sanuki Я. and Weiland J. Electromagnetic drift wave turbulence and convective cell formation // Journ. Plasmas Phys. 1980. V. 23. № 1. P. 29-42.
Mikhailovskii А. Д.» Aburdzhaniya G D., Onishchenko O. G and Sharapov S. E. Balloning vortex in a magnetized plasma 11 Phys. Lett. 1984. V. 100A. №9. P. 503-506.
Hasegawa A. and Chen L. Kinetic process of plasma heating due to Alfven wave excitation // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 34. P. 370-373.
Михайловский А. К, Петвиашвили В. Я, Фридман А. М Альфвеновский солитон // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 24. Вып. 2. С. 53-55.
Grad Я. On the kinetic theory of gases 11 Comnuns. Pure Appl. Math. 1949. V.2.№2. P. 311.
Коган E Я, Моисеев С. С., Ораевский В. H. Гидродинамические модели в применении к исследованию устойчивости замагниченной плазмы И ПМТФ. 1965. №6. С. 41Т6.
Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. Т. 1. С. 183-272.
Михайловский А. Б., Смоляков А. И. К теории низкочастотных магнитозвуковых солитонов // ЖЭТФ. 1985. Т. 8 8. № 1. С. 189-204.
Кадомцев Б. К, Погуце О. П. Теория электронных процессов переноса в сильном магнитном поле 〃 Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39. Вып. 5. С. 225-228.
Кадомцев £ £., Погуце О. П. Нелинейная динамика плазмы в сильном магнитном поле // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наукова думка, 1985. Часть 1. С. 326-330.
Mikhailovskii Л. B.t Aburdzhaniya G D, Onishchenko О. G and Churikov А. Я Alfven vortex solution in a homogeneous magnetized plasma 〃 Phys. Lett. 1984. V. 101 A. № 5, 6. P. 263-264.
Абурджания Г. Д, Лахин В. Л, Михайловский А. Б. К теории альфвеновских вихрей. Препринт Инет, прикл. математики ТГУ. Тбилиси, 1986. С. 34-51.
Mikhailovskii А. 8., Aburdzhaniya G D., Onishchenko О. G and Sharapov S. E. Short-wavelength drift vortices // Phys. Lett. 1984. V. 104A. № 2. P. 94-96.
Абурджания Г. Д., Михайловский А. Б., Онищенко О. Г, Шарапов С Е. Электромагнитные вихри в плазме // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наукова думка, 1985. Часть 1. С. 231-233.
Aburdshaniya G, Lakhin И, Mikhailovskii A. and Onishchenko O. AlRen \大_ tices in a homogenous plasma 〃 Proc, of the Joint Varenna-Abastumani Intern. School and Workshop on “Plasma Astrophysics^ (Sukhumi, USSR). Pub. b\ the European Spase Agency, 1986. P. 495-500."
Mikhailovskii A. B., Lakhin 匕 R, Aburdzhaniya G D. et al. On the theory of alfven vortices 〃 Plasma Phys. Contr. Fusion. 1987. V. 29. № 1. P. 1-25.
Shukla P. K., Anderson D., Lisak M. and Wilhelmsson H. Shear Alfven vortices in a very-low-beta plasma // Phys. Rev. A. 1985. V. 31. № 3. P. 1946-1947.
Shukla P. R, YuM.Y. and Varma К. К Formation of kinetic Alfven vortices Phys. Lett. 1985. V. 109A. № 7. P. 322-324.
Shukla P. K. Propagation of solitary Alfven vortices // Physica Scripta. 1985. V. 32. P. 141-142.
Петвиашвили В. 〃，Похотелов О. А. Альфвеновские дипольные вихри " Письма в ЖЭТФ. 1985. Т. 42. Вып. 2. С. 4749.
Михайловский А. £., Лахин В. П., Марченко В. А. МГД вихри в токамаке // Физика плазмы. 1985. Т. 11. Вып. 5 С. 633-635.
Horton Wt Liu J., Meiss J. D. and SedlakJ. £ Solitary vortices in a rotating plasma // Phys. Fluids. 1986. V. 29. № 4. P. 1004-1010.
Aburdzhaniya G D. and Lakhin ИРА class of exact solutions of the Hase- gava—Mima equation 〃 Phys. Lett. 1987. V. 123. № 8. P. 402-404.
Резник Г, M. Точное решение для двумерной уединенной топоц)афиче- ской волны Россби 〃 ДАН СССР. 1985. Т. 282. № 4. С. 981-985.
Aburdzhaniya G D. Electromagnetic drift vortices in a rotating plasma cylinder// Phys. Scripta. 1988. V 38. P. 59-63.
Абурджания Г. Д. Автоволновые нелинейные регулярные структуры в плазменных ловушках // Тр. Инет, прикладной математики ТГУ 1989. Т. 32. С. 5-24.
Петвиашвили В. И., Похотелов О. А. Уединенные вихри в плазме // Физика плазмы. 1986. Т. 12. Вып. 9. С. 1127-1144.
Лахин В. П., Михайловский А. £, Онищенко О. Г. Дрейфово-алъфвенов- ские вихри 〃 Физика плазмы. 1987. Т. 13. Вып. 2. С. 188-196.
Lui J. and Horton W. Electromagnetic solitary vortices in a rotating plasma // Phys. Fluids. 1986. V. 29. № 6. P. 1828-1835.
Лахин А П., Макурин С. А, Михайловский A. £, Онищенко О. /： Дисперсионная ионно-дрейфовая гидродинамика. Препринт ИКИ АН СССР. М., 1986. №1146.
Aburdzhaniya G D Self-organization of flute waves in rotating bounded plasma cylinder // Plasma Phys. Contr. Fusion. 1989. V. 31. № 3. P. 345-349.
Абурджания Г Д. Самоорганизация электромагнитных дрейфовых волн в ограниченной плазме // Укр. физ. журнал. 1989. Т. 34. № 5. С. 695-702.
Сагдеев Р. 3. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме 〃 Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Гос- атомиздат, 1964. Т. 4. С. 20-80.
Benjamin Z В. The stability of solitary waves // Proc. Roy. Soc. 1972. V.A328.№ 1573. P. 153-183.
Кузнецов E. 4, Турицын С. К. О двумерных и трехмерных солитонах в сла- бодиспергирующих средах //ЖЭТФ. 1982. Т. 82. Вып. 5. С. 1457-1462.
Кузнецов Е. 4, Мушер С.几 Шафаренко А. В. Коллапс звуковых волн в средах с положительной дисперсией 〃 Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37. Вып. 5. С. 204-207.
Захаров В. Е. Неустойчивость и нелинейные колебания солитонов // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22. № 7. С. 364-367.
Михайловский А. £., Лахин В. 77., Онищенко О. Л, Смоляков А. И. Роль векторной нелинейности в проблеме устойчивости солитонов в замагниченной плазме // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. Вып. 3. С. 798-809.
Манин Д. Ю., Петвиашвили В. И. Самофокусировка магнитозвуковой волны поперек магнитного поля // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38. Вып. 9. С. 427U30.
Электродинамика плазмы / Под ред. А. И. Ахиезера. М.: Н^ка, 1974.719 с.
Pecseli Я. £., Rasmussen JuulJ.t Sugai Н. and Thomsen К. Evolution of externally excited convective cells in plasmas // Plasma Phys. Contr. Fusione. 1984. V. 26. №8. P. 1021-1034.
Кервалишвили H. А. Вращательная неустойчивость заряженной плазмы в скрещенных Е1Н в полях и генерация электронов аномально большой энергии 〃 Физика плазмы. 1989. Т. 15. Вып. 2. С. 174-181.
Кервалишвили Н. А. Динамика развития нелинейных структур в заряженной плазме в скрещенных Е1Н полях И Физика плазмы. 1989. Т. 15. Вып. 6. С. 753-755.
Антонов С. А, НезлинМ. А, Родионов В. К. и др. Свойства дрейфовых солитонов в плазме, вытекающие из модельных опытов на быстровращаю- щейся мелкой воде // Физика плазмы. 1988. Т. 14. Вып. 9. С. 1104-1121.
Антонова Р 4, Жвания К 77., ЛоминадзеД. Г, Нанобашвили Дж. И., Петвиашвили В. И. Моделирование на мелкой быстровращающейся жидкости вихрей в однородной замагниченной плазме 〃 Физика плазмы. 1987. Т. 13. Вып. 11. С. 1327-1331.
Ерохин Я. С., Михайловская Л. А., Черноусенко 5. М Численное моделирование процесса релаксации дипольных вихрей в плазме. Препринт ИТФ. Киев, 1985. №81. 17 с.
Михайловская Л. 4 Нелинейная динамика дипольных дрейфовых вихрей в плазме // Физика плазмы. 1986. Т. 12. Вып. 7. С. 879-881.
Островский А. А., Шрира В. И. Неустойчивость и саморефракция солитонов //ЖЭТФ. 1976. Т. 71. №4. С. 1412-1420.
Михайловский А. К, Смоляков А. И. Нелинейные высокочастотные магнитозвуковые волны в плазме с конечной ре 〃 Физика плазмы. 1985. Т. ll.№ 12.С. 1469-1475.
Гордеев А. Я, Рудаков Л. И. Неустойчивость плазмы в сильнонеоднородном магнитном поле // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. Вып. 6. С. 2310-2321.
ХапаевМ. М, Шолин Л В. Анализ гидродинамических уравнений плазмы методами сингулярно возмущенных систем // ДАН СССР. 1986. Т. 286. № 3. С. 602-605：
Итоги науки и техники. Сер. Исследование космического пространства. Т. 24. М.: ВИНИТИ, 1986. 188 с.
Альперт Я. Л. Волны и искусственные тела в приземной плазме. М.: Наука, 1974.214 с.
Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1975. 255 с.
Horton W. and Hasegava A. Quasi-two dimensional dynamics of plasmas and fluids // Chaos. 1994. V 4. № 2. P. 227-251.
Петвиашвили В. 〃. Самофокусировка потенциальной дрейфовой волны // Физика плазмы. 1977. Т. 3. Вып. 2. С. 270-272.
Петдлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.: Мир, 1984. Т. 1. 400 с.
Филиппов Д. А, Янков А В. Об электронных двумерных вихрях // Физика плазмы. 1986. Т. 12. № 5. С. 1077-1074.
Aburdzhaniya G D., Mikhailovskii А. В. and Sharapov S. Е Resonant and dissipative interaction of drift solitons with particles // Plasma Phys. Contr. Fusion. 1984. V. 26. № 4. P. 603-612.
Галеев А. А., Ораевский В. Я., Сагдеев Р. 3. «Универсальная» устойчивость неоднородной плазмы в магнитном поле // ЖЭТФ. 1963. Т. 44. Вып. 3. С. 903-911.
Галеев А. А., Сагдеев Р 3. Нелинейная теория плазмы // Вопросы теории плазмы / Под. ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973. Т. 7. С. 3-145.
Шапиро В. Д, Шевченко В. И. Взаимодействие волн конечной амплитуды с плазмой. Препринт ХФТИ. Харьков, 1972. № 24. 78 с.
Шапиро 5. Д, Шевченко В. И. Взаимодействие волна — частица в неравновесных средах // Изв. высш. уч. зав. Радиофизика. 1976. Т. 19. № 5. С. 767-791.
Абурдэ1сания Л Д, Киценко Л. Б., Панкратов И. М Нелинейная стадия взаимодействия потока заряженных частиц с плазмой в магнитном поле // Физика плазмы. 1978. Т. 4. Вып. 1. С. 227-234.
Абурджания Г Д., Панкратов И. М. Эволюция нелинейной стадии пучковой неустойчивости плазмы в магнитном поле // Физика плазмы. 1983. Т. 9. Вып. 2. С. 273-277.
Криворучко С. М, ФайнбергЯ. 5., Шапиро В. Д, Шевченко Я Я Уединенные волны плотности заряда в магнитоакгивной плазме // ЖЭТФ. 1974. Т. 67. Вып. 6. № 12. С. 2092-2103.
Карпман В. И. Эффекты взаимодействия ионно-звуковых солитонов с резонансными частицами плазмы И ЖЭТФ. 1979. Т. 77. Вып. 4(10). С. 1382-1395
Aburdzhaniya G D., Ivanov V. N, Kamenetz E E and Puchov A. M Dynamics of drift vortices in collision plasmas // Physica Scripta. 1987. V. 35. P. 677-681.
Aburdzhaniya G D. Evolution of integral characteristics of drift vortices in collision plasmas 〃 Proc, of the joint conference of the seventh Kiev Intern, conf on plasma phys. and seventh Intern, congress on waves and instabilities in plasmas (Kiev, USSR) / Editor A. G. Sitenko. 1987. V. 2. P. 12-15.
Абурджания Г. Д, Каменец Ф. Ф., Пухов Л. М, Назаренко С. В. Диссипативная релаксация дрейфовых вихрей в вязкой плазме 〃 Тр. Инет, прикл. математики ТГУ 1989. Т. 32. С. 25-40.
Mikhailovckii А. В., Aburdzhaniya G Z>, Makurin S.匕 and Onishchenko О. G Ion-drift soliton // Phys. Lett. 1984. V. 105A. № 1, 2. P. 45-47.
Shukla P. K., Yu M. Y. and Tsintsadze N. L Parametric excitation of magnetic electron drift vortex modes by Langmuir waves I I Phys. Lett. 1987. V. 121.№3.P. 131-134.
Каладзе Т.Д. Взаимодействие термоядерных альфа-частиц с нелинейными структурами плазмы 〃 Физика плазмы. 1987. Т. 13. Вып. 9. С. 1107-1113.
Павленко В. /I, Петвиашвили А И., Таранов В. Б. Диссипативное усиление желобковых вихрей в плазме // Письма в ЖЭТФ. 1989. Т. 49. Вып. 1. С. 10-12.
Aburdzhaniya G Q. Physical and mathematical modeling of dynamics ionospheric wave precursors of earthquakes // Applied Mathematics and Informatics. 2000. V. 5.№ l.R 1-27.
Aburdzhaniya G D. Night sky green radiation intensity amplification by nonlinear acoustic-gravity vortexes in ionosphere to the earthquake 11 Proceedings of International Conference on “Geophysic and Geochemic Criteria to Forecast Earthquakes". Baku, 1998. R 15.
Acoustic-gravity waves in the atmosphere. Symposium proceedings. Boulder. Colorado. 15-17 July. 1972.
Blanc E. Observations in the upper atmosphere of infrasonic waves from natural or artificial sources: A summary //Ann. Geophysicae. 1985. V 3. P. 673-688.
Pokhotelov O. A., Parrot M., Fedorov E. N. et. a/. Response of the ionosphere to natural and man-made acoustic sources // Ann. Geophysicae. 995. V. 13. R 1197-1210.
Шарадзе 3. С., Джапаридзе Г. 4, Жвания 3. К. и др. Возмущения в ионосфере и геомагнитном поле, связанные со Спитакским землетрясением 〃 Изв. АН СССР. Физика Земли. 1991. № И. С. 106-116.
Торошелидзе Г Я., Фишкова Л. И. Анализ колебаний ночного излучения средней и верхней атмосферы, предшествующих землетрясениям // ДАН СССР. 1988. Т. 302. № 2. С. 313-316.
Фишкова Л. М Ночное излучение среднеширотной верхней атмосферы Земли. Тбилиси: Мецниереба, 1983. 271 с.
Торошелидзе Г И. Анализ проблем аэрономии по верхней атмосфере Тбилиси. Мецниереба. 1991. 216 с.
Голицин Г С., Кляцкин В. 〃. Колебания в атмосфере, вызываемые движением земной поверхности 〃 Изв. АН СССР. Физ. атм. океана. 1967. Т. 3. № 10. С. 1044-1052.
Павлов В. А. Воздействие землетрясений и извержений вулканов на ионосферную плазму 〃 Изв. вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22. № 2. С. 19-37.
Петухов В. К., Романова Я Я Об эффектах, вызванных акустико-гравитационными волнами в верхней атмосфере 〃 Изв. АН СССР. Физ. атм. океана. 1971. Т. 7. № 2. С. 219-223.
Госсард Э., Хук У Волны атмосферы. М.: Мир, 1978. 252 с.
Stenflo £. Acoustic gravity vortices // Physica Scripta. 1990. V. 41. P. 641-642.
БрасьеГ, Соломон С. Аэрономия средней атмосферы. Л.: Гидромстеоиз- дат, 1987. 407 с.
Aburdzhaniya G D and Machabeli G Z New mechanism for electromagiiciic field generation by acoustic waves in partially ionized plasmas // Phys. Lett 1997. V. A226. R 199-204.
Абурджания Г. Д, Мачабели Z 3. Параметрическая генерация электромагнитных возмущений акустическими волнами в ионосфере 〃 Геомагнетизм и аэрономия. 1998. Т. 3 8. № 4. С. 80-90.
Aburdzhaniya G D. and Machabeli G Z Generation of electromagnetic perturbations by acoustic waves in the ionosphere I I J. Geophys. Res. 1998. V. 103. NA5. P. 9441-9447.
Galperin Ju. I., Gladishev V. 4, Jorjio N. N. et. al. VLF and ELF efleets in the upper ionosphere caused by acoustic waves observed from t4Aureol-3v 〃 Ann. Geophysicae. 1984. № 10. P. 823-830.
Hayakawa M. (Edit). Atmospheric and ionospheric electromagnetic phenomena associated with earthquakes 〃 Terr. Sci. Publ. Company. Tokyo, 1999. 1029 p.
Липеровский 5. Л., Похотелов О. А., Шалимов С. Л. Ионосферные предвестники землетрясений. М.: Наука, 1992. 304 с.
Альперович Л. С, Гохберг М £., Сорокин В. Ш., Федорович Л В. О генерации геомагнитных вариаций акустическими колебаниями во время землетрясения // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1979. № 3. С. 58-68.
Kohalas £ 丄.and Ми Neill D. 4 Coupling of magnetohydrodynamic to electromagnetic and acoustic waves at a plasma-neutral gas interface // Phys. Fluids. 1964. V. 7. P. 1321-1328.
Белов С. В., Горбачев Л. /7., Савченко Ю. Я Генерация направленного гид- ромагнитиого сигнала импульсом акустических волн в изотропно проводящей среде // Геомагнетизм и аэрономия. 1973. Т. 13. № 5. С. 818-824.
Huba J. D. and Fedder J. A. Self-generation of magnetic fields by sheared flows in weakly ionized plasmas /7 Phys. Fluids. 1993. V. 5. P. 3779-3788.
Силин В. П. Параметрические воздействие излучения большой мощности иа плазму. М.: Наука, 1973. 287 с.
Бостром Л Электродинамика ионосферы // Космическая геофизика. М.: Мир, 1976. С. 282-300.
Мачабели Г. 3., Цхакая Д. Д. О неустойчивости магнитоактивной плазмы при наличии выделенной поперечной скорости ионов // Журн. техн, физики. 1972. Т. 42. № 7. С. 1343-1347.
Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М Механика. М.: Наука, 1988. 215 с.
Абурджания Г Д., Мачабели Г 3., Нанобашвили И. С. Природа предсумеречного усиления красного излучения среднеширотного F-слоя ионосферы // Геомагнетизм и аэрономия. 2002. Г 42. № 1. С. 1-8.
AburdzhaniyaG D., Machabeli G Z. and Nanobashvili /. S. Modeling of super thermal photoelectrons dynamics in midlatitude ionosphere F-region // Reports of seminar of I. Vekua Institute of applied mathematics. 1999. V 25. P. 21-34.
Cole K. D. The predawn enhancement of 6300 A airglow // Ann. Geophys. 1965. V.21.№1.P. 156-164.
Duboin M. £., Lejeune G, Petit M. and Weill G Excitation of the oxygen lines and ionospheric heating by conjugate photoelectrons // J. Atmos. Terr Phys. 1968. V. 30. P. 299-304.
Shepherd G G, Pieau J E, Ogawa 工 勿 al. Direct measurement of conjugate photoelectrons and predawn 630 nm airglow // Planet. Space Sci. 1978. V. 26. P. 211-217.
Green A. £ £ and Stolerski R. Analytic models of electron impact excitation cross section // J. Atmos. Terr. Phys. 1972. V. 34. P. 1703-1719.
Rees M Я. and Robie R. G Observations and theory of the formation of stable auroral Red Arcs I I Rev. Geophys. Space Phys. 1972. V. 13. № 1. P. 201-243.
Болюнова A.", Мулярчик Г M., Шуйская Ф. К. Перенос диссипирующих фотоэлектронов в магнитосфере // Космические исследования. 1977. Т. 15. №3. С. 445T54.
Lejeune G and Womser Е Diffusion of photoelectrons along a field line inside the plasmasphere // J. Geophys. Res. 1976. V. 81. № 16. R 2900-2916.
Rao В. C. N. and Maier E. / R. Photoclectrons flux and photosphere heating during the conjugate point sunrise // J. Geophys. Res. 1970. V. 75. P. 816-822.
Doering J. ?, Peterson W. K., Bostrom С. O. and Armstrong J. C. Measurement of low-energy in the day airglow and day side aurora! zone from atmosphere Explorer C // J. Geophys. Res. 1975. V. 80. № 28. P. 3934-3941.
Lorentzen D. A., Deehr C S., Minoxv J. /. et al. SCIFER-Dayside auroral signatures of magnetospheric energetic electrons // Geophys. Res. Lett. 1996. V.23.№ 14.P. 1885-1888.
Кринберг И. А. Кинетика электронов в ионосфере и плазмосфере Земли. М.: Наука, 1978. 214 с.
Иванов А. А. Физика сильнонеравновесной плазмы. М.: Атомиздат, 1977. 347 с.
Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д, Шевченко А И. Ленгмюровская турбулентность и диссипация высокочастотной энергии // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. № 4. С. 1352-1369.
Захаров В. Е Коллапс ленгмюровских волн// ЖЭТФ. 1972. Т. 62. № 5. С. 1745-1759.
Красносельских В. В., Сотников В. И. Коллапс ленгмюровских волн в магнитном поле 〃 Физика плазмы. 1977. Т. 3. № 4. С. 872-879.
Липатов 4 С. Численное исследование коллапса ленгмюровских волн в магнитном поле // Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 26. С. 516-520
Шапиро В. Д, Шевченко В. 〃 Сильная турбулентность плазменных колебаний. Основы физики плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1984. Т. 2. С. 119-174.
Pelleiter G Generation of a high-energy electron tail by strong langmuir turbulence in a plasma // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. № 1 i • P. 782-785.
Surko С. M. and Slusher R. E. Study of plasma density fluctuation by the correlation of crossed CO2 laser beams // Phys. Fluids. 1980. V. 23. № 12. P. 2425-2439.
Bromley Г and Mazzucato E Scaling of density fluctuations PDX // Nucl. Fusion. 1985. V. 25. № 5. P. 507-524.
TER GROUP and A. TRUC. Correlation between low frequency turbulence and energy confinement in TFRII Nucl. Fusion. 1986. V 26. № 10. P. 1303-1310.
Broker D. Z., Peebles W. A. and Luhmann N. C The spectrum, spatial distribution and scaling of microturbulence in the Text Tokamak // Nucl. Fusion. 1987. V. 27. № 12. P. 2055-2073.
Weissen H., Hollenstein Ch. and Benn K. Turbulent density fluctuations in the TCA Tokamak II Plasma Phys. Contr. Fusion. 1988. V. 30. № 3. P. 293-309.
Кадомцев Б. 5. Турбулентность плазмы // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1964. Т. 4. С. 188-339.
Хортон В. Дрейфовая турбулентность и аномальный перенос 〃 Основы физики плазмы / Под ред. А. А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоатомиз- дат, 1984. Т. 2. С. 362-434.
Литвак А. Г Динамические нелинейные электромагнитные явления в плазме // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атом- издат, 1980. Вып. 10. С. 164-242.
Coldman Martin V. Strong turbulence of plasma waves // Rev. Mod. Phys. 1984. V. 56. №4. P. 709-735.
Петвиашвили В. И., Яньков В. В. Солитоны и турбулентность // Вопросы теории плазмы / Под ред. Б. Б. Кадомцева. М.: Энергоатомиздат, 1985. Вып. 14. С. 3-55.
Diamond Е Я. and Carreras В. A. On mixing length theory and saturated turbulence 〃 Comm, on Plasma Phys. Contr. Fus. 1987. V. 10. № 6. P. 271-278.
Захаров В. E, Пушкарев A. M, Швец 8. Ф., Яньков В. В. О солитонной турбулентности // Письма в ЖЭТФ. Т. 48. Вып. 2. С. 79-82.
Кингсеп А. С. Сильная ленгмюровская турбулентность и турбулентный нагрев плазмы // Итоги н^ки и техники. Сер. Физика плазмы. Т. 4. М.: ВИНИТИ. 1983. С. 48-112.
SuX.t Horton W., Morrison ?丿.and Pavlenko 匕 P Effect of scalar nonlinearity on the dipole vortex solution. Preprint. IFSR. № 328. Austin. 22 p.
Aburdzhaniya G Drift turbulence of plasma as a gas of vortex ensemble // Proc, of the Joint Varenne-Abastumani Intern. School and Workshop on “Plasma Astrophysics” (Varenna, Italy). Publ. European Space Agency. 1988. P. 313-319.
Currie J. E, Kumhansl J. A. et al. Statistical mechanics of one-dimensional solitary-wave-bearing scalar fields: Exact results and ideal-gas phenomenology // Phys. Review B. 1980. V. 22. № 2. P. 477-496.
Абурджания Л Д Сильная дрейфовая турбулентность и аномальный перенос частиц в плазме 〃 Труды Инет, прикл. математики ТГУ 1989. Т. 32. С. 42-65.
Kingsep Л. S., Rudakov 厶 /. and Sudan R. N. Spectra of strong Langmir turbulence // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 31. № 25. R 1482-1484.
Semet A., Mase A. et al. Study of low-frequency microturbulence in the Mi- crotor Tokamak by far-infrared laser scattering 〃 Phys. Rev. Lett. 1980. V 45. № 6. P. 445-448.
Weiland J. Nonlinear excitation of convection cells and anomalous diffusion in inhomogeneous plasmas // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44. № 21. P. 1411-1414.
Callen J. D Drift-wave turbulence effect on magnetic structure and plasma transport in Tokamaks // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 39. № 24. P. 1540-1543.
Rechester A. B. and Rozenbluth M. M Electron heat transport in a Tokamak with destroyed magnetic surfaces // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40. № l.P. 38-41.
Галеев А. А., Зеленый Л. M Влияние редких соударений на диффузию плазмы в стохастических магнитных полях // Письма ЖЭТФ. 1979. Т. 29. № 11. С. 669-672.
Иванов Н. В., Кован И. А., Семенов И. К Наблюдение непотенциальных ВЧ-шумов в плазме токамака Т-4 И Физика плазмы. 1977. Т. 3. №5. С. 960-962.
Погуце И. О. Гидродинамика дрейфовых вихрей скинового размера И Физика плазмы. 1988. Т. 14. Вып. 3. С. 361-364.
Осипенко М. В., Погуце О. 77., Чудин ". В. Диффузия плазмы на решетке вихрей // Физика плазмы. 1987. Т. 13. Вып. 8. С. 953-960.
Rozenbluth М. N, Berk Н. L., Doxas /. and Horton W. Effective diffusion in laminar convective flows 〃 Phys. Fluids. 1987. V. 3 0. № 9. P. 2636-2647.
Huld T., Lizuka S., Pecseli H. L. and Rasmussen Juul J. Experimental investigation of flute-type electrostatic turbulence // Plasma Phys. Contr. Fusion. 1988.V.30.№10.P. 1297-1318.
Pavlenko 匕 P and Stenflo 丄.The acoustic-gravity vortex turbulence spectrum // Europhys. Lett. 1992. V. 20. N. 8. P. 693-695.
ABURJANIA George Duru
Self-organization of the nonlinear vortex structures and the vortical turbulence in the dispersive media. Monograph
Summary
The book is devoted to investigation of generation, dynamics of the nonlinear localized vortex structures, formation of vortical turbulence and the collective processes of transfer, connected to them in dispersed and dispersive media. The uniform approach of research of the dynamics of various wave structures in magnetized plasma and geophysical flows is offered. Theoretical results are compared to laboratory experiments and geophysical observations.
The monograph is intended for science officers, and also for post-graduate students and students of the senior rates which are interested in modern problems of plasma physics, geophysics, dynamics of atmosphere and ocean, astrophysics and mathematical physics.
Contents
Preface 7
Introduction 8
CHAPTER 1. The general notion and vortex theory method in dispersed medium 24
Stationary solutions of nonlinear equations 26
The scalar structures 28
The vector structures 29
The dipole vortices 29
One-layer vortex path (chain) 32
The vortex satellites in rotating limited medium 33
The point (isolated} vortices 35
The electromagnetic vortices 37
The characteristic features of the vortexmotion in dispersed medium 40
The validity limits of the local approximation in the drift structure problem 43
CHAPTER 2. The solitary scalar vortex structures in magnetized plasma 45
The solitary vortices of the short wavelength drift (SWD) oscillations 48
The stationary SWD structures 51
The nonlinear electron gradient (EG) waves 55
The stationary regular EG wave structures 58
The dynamics of nonlinear lower-hybrid drift waves in plasma 60
Nonlinear drift-magnetosound (DMS) waves in compressible plasma 64
Weakly dispersed quasi-stationary DMS waves 66
Stationary regular DMS wave structures 69
The drift soliton relevance by scattered electromagnetic signal 72
Discussion of the results 75
The regular vortex vector structures in plasma configurations 77
The ballooning vortex 79
Strongly nonlinear Alfven waves in homogeneous plasma 83
The dynamical equations for nonlinear Alfven waves 84
The character of discontinuity in Alf\>en perturbations and conservation laws 88
Stationary Alfven structures 90
Nonlinear evolution of potential perturbations in plasma cylinder 99
The flute and long wavelength drift structures in cylindrical plasma string 100
The stationary solitary vortices 102
The radial vortex parameters 107
The dynamics of nonlinear nonpotential waves in cylindrical plasma traps 110
The drift-Alfven and the drift-ballooning nonlinear structures Ill
Equations for nonlinear stationary waves 113
The localized Alfven structures 115
Self-localization of the wave perturbations in confined plasma traps 121
The electrostatic regular structures 122
The electromagnetic vortex satellites 126
The main results 130
The vortex structure stability 132
Magnetosound (MS) soliton stability 133
The initial equations in MS wave stability theory 136
The general analysis of nonlinear equation 140
One-dimensional MS soliton stability 144
Three-dimensional stability of two-dimensional MS structures 149
Stability of the drift-magnetosound solitary waves 153
Stability of the low-hybrid drift solitons 155
Stability of electron gradient and short wave length drift structures 159
The experiments on stable regular vortex structure relevance in dispersed medium 163
Discussion of the results 165
The vortex structure generation and their dynamics in dissipative dispersedmedium 168
The analogy of the drift wave dynamics in plasma and the Rossby waves in liquid medium 169
The nonlinear equation 炉the low-frequency drift waves in magneto-active plasma 169
.a The short wavelength drift waves 174
.6. The long wavelength drift waves 175
Nonlinear Rossby wanes in atmosphere and ocean 176
a. The short wavelength Rossby waves 179
6. The long wavelength Rossby waves 179
Conservation laws for поп-dissipative drift waves and the Rossby waves 182
Resonance and dissipative interaction of the drift solitons with medium particles 183
The drift velocity evolution in nonideal medium 184
The resonance interaction of the long wavelength solitons with plasma electrons 189
Drift soliton amplification due to the effect of finite electron conductivity 195
Short-wavy-drift soliton swing at ion cyclotron resonance 197
Multydimensional perturbation theory for nonlinear solitary vortex structures in dissipative medium 199
Time evolution equation for integral characteristics 炉 the vortex structures 200
Non-stationary behavior of integral characteristics of the vortices 204
Conclusions 209
The drift vortex relaxation in viscous medium 211
The dynamical equations of long wavelength drift waves in viscous plasma 211
Spatial structure of the drift vortices 213
The vortex structure evolution 215
Selfbrganization of the drift vortex structures in dissipative medium 221
Discussion of the results 223
Nonlinear wave structures as lithosphere-ionosphere coupling foctors 226
Self-organization of acoustic gravitational (AG) vortices in E region of the ionosphere before earthquakes 227
Statement of the problem and the initial dynamical equations 227
Self-localization of AG perturbations in midlatitude atmosphere …..230
Amplification of the night-sky green radiation intensity by AG vortices before earthquakes 233
Nonlinear generation mechanism of electromagnetic fields by acoustic waves in the ionosphere 236
Statement of the problem and the initial equations 236
Dispersion equation for coupled acoustic and electromagnetic modes 240
Electromagnetic wave generation on the soundfrequense hannonics 245
o.3. Langmuir turbulence as mechanism of superthermal photoelectron energy transition from magncto-conj ugate ionosphere to the local ionosphere 248
Photoelectron dynamics in F region of the conjugated ionosphere 250
Weakening mechanism of intensity of descending photoelectrons at height 600 km 253
Descending flow generation of the fast electrons at heigt 300 km due to Lengmuir collapse 254
Pretwilight red radiation enhancement of F layer of the ionosphere 259
6.4.Discussion of the results 261
CHAPTER 7. Strong vortex turbulence of the drift waves in dispersed medium 264
J. Dynamics of the potential drift structure formation 267
The model of strong structural turbulence 269
The spectra of the quasi onc-dimensional drift turbulence 271
Two-dimensional model of the strong drift turbulence 275
The ground state probability 275
The spectra of the stationary two-dimensional drift turbulence 276
Anomaly diffusion of the medium particles on the drift vortices 277
The structural turbulence of non-potential waves in plasma medium 279
The small-scale regular structures in plasma cylinder 280
The spectra of two-dimensional electromagnetic vortex turbulence 283
Plasma diffusion on the vortexassembly 285
Discussion of the results 286
References 288
Summary 307
Contents 308
Short description of the contents of thebook 312
Short description
of the contents of the book
The theoretical and experimental investigation of the phenomena, caused by nonlinear propagation of the waves, remains one of the actual problems of the solid dispersed medium: plasma physics, hydro-mechanics, geophysics, astrophysics and others [1-8]. The basis for solving this problem composes the results of many years investigations on linear wave theory and achievements in area of methods, describing the nonlinear processes [9-18]. Modem condition of investigation in this area shows, that though the physical nature of the nonlinear wave structures in different media are different, generation and propagation characters are almost similar. It allows investigating them on the basis of general wave approach which finds reflection in statements and solution methods of the problems, in construction of the general models of wave processes, in revealing ways of their description and the properties leaving on value for limits ofa concrete considered problem. The received results represent applied interest and at the same time development of the general theory of waves, enable mutually to stimulate researches in various areas of physics and mathematics. This idea is necessary in a basis of construction of the present monograph devoted to whole theoretical research of dynamics of nonlinear vortex structures in plasma, ionosphere media and hydrodynamical atmospheric, ocean flows.
Speaking about hydrodynamical nonlinear wave structures (the vortices), we mean tiie vortices in rotating liquid (in an atmosphere, ocean) or the Rossby type vortices [4]. As it is known to a liquid, two-dimensional movement shalow non- compressible rotating liquid which are being in a gravity field, basically is characterized by a drift part of velocity 弘,
Vd = | VHxez. (1)
Here g — gravitation force acceleration, H — liquid depth, f— Coriolis parameter, e2 — unit vector along z axes. In approximation g = const and wave character scale, small in comparison with the characteristic size Coriolis parameter variation
|VlnH|>> |Vlnf|, (2) from (1) it follows
|VxVd|z »|V-Vd|, ⑶ e. i. two-dimensional motion of liquid has a vortex character.
Similar property has low-frequency electrostatic waves, propagating across or nearly so across of a homogeneous magnetic field Bo, with which it is often necessary to deal in problems about magnetized plasma. Speaking about low-frequency waves, we mean the waves, frequencies of which co are small in comparison with cyclotron frequency of correspond sort of particles coBot = eB0 /(mac), co «coBa, and their electric field E with enough accuracy is potential,
E—% (4)
Here e, ma (a = i,e) — charge and mass of corresponding sort of particles (ions, electrons), c — light speed, cp — electrostatic potential. The particles (ions and electrons) move across Bo || z in field of the such waves basically with a drift velocity in the crossing fields, %,
VE = ежх7ср. (5)
At supposing, that the corresponding plasma component is cold and noncolli- sional. Using the relation (5), we can make sure that
div VE =0, rotz vE = —Д1Ф, (6) В。
where A丄=8? / R? +52 /5y2 . Thus, drift movements of ions or electrons in a field of a low-frequency wave in the conductive medium (plasma, ionosphere), as well as the movement considered above in a shallow liquid, is approximately incompressible and has vortex character. The specified analogy between properties of Rossby type waves and low-frequency potential drift waves (look the chapter 5 more in detail) has played the important role in development of the vortex theory in plasma and has brought the certain clearness in a question on an opportunity of existence of the regular (ordered) drift structures.
Prior to characterizing a circle of problems of the vortex theory and related with them collective turbulent processes, discussed in monograph, we shall consider history of development both theoretical, and experimental investigations on the given problem.
First of all we shall notice that in the vortex theory is necessary to collide with nonlinearities of two various types. One of these nonlinearities which we name scalar, is characterized by terms of type ^a2 /5y (where a is some value describing a wave field), i. e. has similar form as in Korteweg-~de Vriez equation. The problem of solitary vortices, caused by scalar nonlinearity, is closely related with a problem of solitons in weakly dispersive media [11, 14] (the concept of soliton in plasma physics has been entered by R. Z. Sagdeev [15]). From the point of view of the vortex theory low- frcquency solitons in magnetized plasma represent a version of vortices which we
shall name scalar vortex. Soliton spatial localization (scalar vortices) is caused b> joint action of two competing effects: nonlinearity which leads to a wave front steeping, and a dispersion leading to a wave package spreading.
Other nonlinearity is essentially non-onedimensional and becomes zero in one-dimensional or axial-symmetry case. It characterizes Jakobian kind terms (VaxVb)z (where — a, b wave quantities). Nonlinearity of such type is characteristic for waves in girotrophy medium, such, as rotating atmosphere, ocean, magnetized plasma and others. Such nonlinearity we shall name vectorial. Vector nonlinearity can lead to spatial localization of waves and formation of specific type of solitary vortices (vector vortices). Prominent feature of such vortices is discontinuity of the higher derivative of wave value.
The localized vortical structures qualitatively differ from solitary waves first of all that they transfer particles, rotating in a vortex (the trapped particles). It leads to ampflication of heat conductivity, diffusion, electric resistance and, in general, to activation of the transfer processes in the medium. On existing representations value of regular vortex structures can be defining in many respects important in the applied attitude physical processes, such, as heating and keeping of plasma [1, 18], acceleration of particles [19], generation of radiation [20], circulation in atmospheres of planets [5], and at ocean [4], change of a climate [21] and a weather formation [22], carry of impurity and aerosols [23,24], strong turbulence dispersive media [25], etc.
Studying solitons low-frequency waves in plasma, caused scalar nonlinearity, has long history. The first work in which the equations for the description of low- frequency drift solitons have been received, was, as it seems, V. I. Petviashvili*s work [26]. In this work were carried out the equations for drift-ionosound waves in which nonlinearity was caused by longitudinal movement of ions. Тассо [27], V. N. Oraevsky, et al. [28] marked, that spatial localization of the drift waves extending almost across a magnetic field, can be related with a gradient of electronic temperature. Received in [28] equation was one-dimensional. It to within designations represents the equation named in the foreign literature by the equation of Benjamin—Bona—Makhoni [29]. In work [28] one-dimensional solitons have been found graphically, and later in [30] — analytically. V. I. Petviashvili [31] has generalized the equation of work [29] on a case of three-dimensional drift waves. It also has found cylindrically — the symmetric solution of the received equation 一 “round” two-dimensional soliton.
Studying the vector vortices began in hydrodynamics in connection with a problem of Rossby waves in a rotating liquid. The nonlinear equation of Rossby waves containing vector nonlinearity, has been received in 1947 in work of Charney [32], and often refers to as Charney equation. This equation long time remains indifferently. Only in 1976 V. D. Larichev and G M. Reznik [33] have found the stationary analytical solution of Charney equation and have shown that vector nonlinearity can lead to a formation of specific “vector" solitons ——solitary two-dimensional vortices. Speaking about hydrodynamical vortices, we mean vortices in a rotating liquid or vortices of Rossby waves [33] and by that we leave out of sight other types of hydrodynamical vortices [34-36].
Work [33] has served as an original impulse in development of the vortex theory in plasma. The precondition for it was the analogy between the Rossby waves in hy- diudynamics and low-frequency drift waves in magnetized plasma. As is known, two- diiTiensional movement of the shallow incompressible rotating liquid which is being in a gravity field is vortical, Vx V 0 (where V — macroscopic velocity of liquid motion). Similar property possess low-frequency (in comparison with ionic or electronic girofrequencies) Uie drift potential waves propagating across or nearly so across an external magnetic field Bo, with which often it is necessary to deal in problems about to magnetized plasma [9]. It is in turn caused by similarity of Coriolis force in a rotating liquid with Lorentz's force in magnetized plasma. Besides similarity of the vortex properties, the specified waves possess also similar dispersive properties (see chapter 5]).
Vector nonlinearity in the theory of drift waves for the first time was considered in the works of Hasegawa and Mima [39-40] for the elementary case — drift oscillations in plasma with cold ions. The equation received by them coincides to within designations with Charney equation. In plasma physics it is known as the Hasegawa—Mima equation. The analogy between drift waves and Rossby waves has oiiginally noted by Hasegawa, et al. [41]. Makino, etal. [42], using the specified analogy to Rossby waves, have transferred from hydrodynamics to plasma physics representation about solitary* vector vortex. Meis and Horton [43] have generalized results of previous works [39-42] on a case of oblique drift-ionosound waves. Besides authors [43] investigated dependence of integrated characteristics of a vortex (energy and enstrophy) from its parameters, and also have studied influence of an equilibrium magnetic field shear on drift-ionosound vortex. They have shown, caused by shear damping of drift vortices is exponentially small, if Ls /Ln «1, where Ls,Ln — characteristic lengths, that unlike the linear waves, crossing of power lines of a magnetic field and inhomoogeneity of plasma, accordingly.
The statement of representations about vector vortex in magnetized plasma was promoted also V. P. Pavlenko and V. I. Petviashvili's by work [44]. Unlike previous works, in it were considered nonlinear flute waves in non-uniform plasma, being in the crossed magnetic and gravitational fields. In [44] it has been shown, that such waves can extend in the form of solitary flute vortex.
Following step in development of the vortex theory was combination of two discussed above directions — soliton and vortical.
Originally, apparently, the simultaneous account scalar and vector nonlinearities have been made by V I. Petviashvili [17] at research problem of the Big Red Spot of the Jupiter. In the same work it has been revealed, as at the account of vector nonlinearity round soliton as before is the solution of a obtained equation. Necessity of the simultaneous account of both kinds of nonlinearities vector and scalar — at studying nonlinear drift waves it has been specified also in U. A. Danilov and V I. Petviashvili^ review [45].
In connection with that important role which regular or coherent structures can play in turbulence of plasma, there is a necessity of studying of their stability. Thus, the account of perturbation non-onedimensionality is important. Analytical research of soliton stability in sight of perturbation non-onedimensionality originates from
B. Kadomtsev and V I. Petviashvilfs work [46]. Using developed in [46] method of small perturbations, Shpatchek, etc. [47] has shown instability of one-dimensional ionosotmd soliton in relation to bending perturbations. V I. Petviashvili by same method [31] (see also [48]) has shown instability of one-dimensional drift soliton as a result of which, on ideology [31], it should be formed two-dimensional round soliton. Two-dimensional instability of one-dimensional drift soliton was mentioned also in work [49].
V E. Zaharov and E. A. Kuznetsov [50] for the first time used for the proof of soliton stability the approach based on the analysis of preservation laws. According to this method if soliton realizes a maximxim of any integral of motion at fixed the others it is stable in relation to finite perturbations. In [50] thus it has been proved the stability of three-dimensional ion-sound soliton, propagating along a magnetic field.
V I. Petviashvili and V. V Jankov [51] investigated stability of the round soliton of Rossby waves in relation to two-dimensional perturbations. Using Lyapunov's method, they within the limits of the equation containing vector nonlinearity, have shown stability of such soliton.
Studying the stability of vector vortices began in [42] by numerical methods. It has been shown, that the basic state of a vortex is stable. In works of Lidke and Shpatchek [52-54] methods have been developed, which gave possibility to investigate analytically stability of Larichev—Reznik type vector vortices. Thus in [52-54] the direct variational method was used. In [53] absence of small perturbations of a vortex, increasing according to time within the limits of equation Hasegawa—Mima has been shown. In works [53, 54] the stability of Petviashvili round soliton and within the limits of the two-dimensional equation without taking into account vector nonlinearity was investigated also. According to [53-54], round twodimensional soliton is stable, it verified results of works [31, 51].
Revealing of existence of various regular structures in magnetized plasma represents only a first step in the vortex theory. A following stage should become studying of their dynamics, interaction among themselves and particles and their influence on turbulent properties of environment. From this point of view works to which numerical modeling of specified processes was spent are of interest. In works of Makino, et al. [42] and V D. Larichev and G M. Reznik [55, 56] has been established elastic character of collisions of vector vortices. In works [57, 58] by numerical modeling of collisions of round solitons were investigated. Result of these works became a conclusion that at enough small relative velocities the vortices collide is elastic, whereas at enough greater velocities there is their merge. These results verifying by works [59, 60] in which collisions of round vortices were investigated experimentally. In [59, 60] it was mentioned also, that result of rapprochement of the vortices can be not only their merge, but also mutual destruction and reorganization in zonal flow.
The vortex collisions within the limits of one-dimensional Benjamin—Bona- Mahoney equation (BBM) were investigated by numerical methods in [61]. Il has been revealed, that collisions have elastic character when both of the vortices arc long-wave and move to one direction. Elastic collision of such vortices is quite natural as in this case BBM equation approximately coincides with Korteweg de Vriez equation. With decrease of the vortex sizes (and, accordingly, with increase
of their amplitude) the role of inelastic processes increases. It is shown in wave investigation due to time noted in [62, 63]. At the enough short-wave vortex collisions, moving towards each other, according to [61] and to earlier works [64, 65], besides radiation of waves, occur also a new vortex generation.
In the experiments made on Q-machine by N. S. Buchelnikov^s machines with co-authors [66, 67], Hendel, et al. [68] and Politzer [69] at research of drift instability development the regular diift structures in the form of saw-tooth oscillations of finite amplitude which in language of modern nonlinear theories, probably, represent a chain or grid of drift solitons have been found out. Regular character of gradient waves was mentioned also in experiments on high-frequency centrifugal drift instability [70] and beam-drift instability [71, 72].
Greater role in the statement of representations about the vortices both in hydrodynamics, and in plasma M. V. Nezlin's experimental works [73, 74] and D. G Lominadze, V I. Petviashvili experiments [75, 76] have played. These experiments were stimulated, on the one hand, with a problem of the Big Red Spot of the Jupiter, and with another — the analogy mentioned above between Rossby waves and the drift waves. Authors set as the purpose reception of the information on the most fundamental properties of the Rossby waves. The possibility of formation of regular Rossby structures concerns to number of such properties and, first of all — Rossby wave solitons. These experiments have shown existence of solitons of the Rossby waves and have approved representation about a reality of such structures in plasma and like plasma dispersive media.
Recently have started to be spent the experiments with the purpose of search of regular structures in the plasma. Such structures in plasma are rather difficult for seeking, as it is necessary to apply for this purpose multi-probe measurements to have an instant picture of distribution of wave values. In works [77, 78] experimental researches on convective cells, be an example nonlinear regular structures were spent. Authors inform on nonlinear character of interaction of two convective cells of identical or opposite polarity. On supervision of the ordered structures it was iniormed also in experimental works [79, 80]. Thus, noted here and above the experiments lead to an idea on a reality of regular (coherent) structure formation in magnetized plasma, complexly interacting with each other, and medium particles.
Presence of coherent vortex structures in magnetized plasma raises number of collective degrees of medium freedom and can lead to excitation of a turbulent condition. Experimental researches of spectra of low-frequency oscillation in plasma thermonuclear installations [81-83] specify that observable oscillations of finite amplitude represent result of drift turbulence development. Depending on what are raised degrees of freedom, structural or wave, can essentially vary the character too of interaction between the excitations in the plasma medium. And, structures- can more effectively, than linear waves, absorb free energy of medium [84-88] and form strong turbulence [89] (see also experiments by definition of character of drift turbulence in tokamak plasma [90, 91]).
Experimental observations on various plasma installations (see for example, [81-83]), have shown also, that the width of a frequency spectrum of low-frequency oscillations of plasma density is much more than size of predicted of the renormalized
weak turbulence theory [92]. For an explanation of an observable spectrum in [93. 94], by analogy with strong Lengmuir soliton turbulence [89], had been offered model of drift turbulence — as gas one-dimensional long-wave drift sobton. Constructed in [93. 94] spectra of the soliton turbulence will well be coordinated with experimental measurements. It suggests, that vortex structures can form strong drift turbulence in plasma.
Giving a tribute to previous researches, we mentioned their role in becoming representations about the solitary vortices in plasma. At the same time it is necessary to mention, that results of 出esc researches far do not settle variety of plasma vortices, do not cover scale of a considered problem and their consequence in dynamics of a turbulent condition of plasma.
Drift and the flute vortices discussed in mentioned above theoretical works are the elementary versions of plasma vortices, besides studied at as much as possible simplified assumptions (such as neglect effects of finite Larmor radius of ions, a magnetic field of waves, plasma confined volume, finiteness of pressure of plasma, nonideal conductivity of plasma, etc.). At studying plasma, characteristic for existing or prospective magneto-thermonuclear systems and other types of laboratory installations, and also space plasma, including magnetosphere and ionosphere plasma of the Earth it is necessary to deal with wide enough, practically important class of the oscillation branches and, accordingly, with extensive variety of the vortices. Some of them have essentially more complex structure, than mentioned above.
One of the important types of waves in non-unifbrm plasma with hot ions are drift oscillations with transversal lengths of waves, small in comparison with Lar- more radius of ions рн к丄p〔 > 1, (к丄-transversal wave number). Originally shortwave drift (SWD) waves were discussed in connection with a problem of the dri flcyclotron instabilities of plasmas in adiabatic magnetic traps [95, 96], and then in connection with experiments with 0 -pinch [97] and a problem of high-frequency plasma heating [98]. With them relate also dissipation of magnetic energy during reconnection of the magnetic force lines in a magnetosphere tail [99] and small-scale inhomogeneity in an ionosphere [100, 101]. Therefore the question on the solitary vortex structures of SWD waves is rather actual.
In due time in relation with experiments on interaction of particle beams with plasma [71, 102], were widely discussed electronic gradient (EG) waves. Important the question on nonlinear dynamics of EG waves as nonlinear waves define processes of interaction of beams with plasma, accelerations of particles, etc., is represented. Besides of being simpler in comparison with ion particles, the electron gradient waves can be experimentally studied on more compact laboratory installations.
So-called low-hybrid-drift (LHD) waves are raised in plasma with relative electron and ions motion transverse of magnetic field [103]. Corresponding instability experimentally was observed in mirror magnetic traps [70, 104]. Waves of this type are swing also at beam-drift instability [102, 105] and observed in experiments [71, 72]. Mentioned instability can cause generation of LHD structures. Hcncc, there is important an analysis of the nonlinear LHD wave evolution.
In problems on high-frequency methods of plasma heating [106], in the theory of collective processes in plasma for thermonuclear a -panicles [107] and sonic
other problems of physics of laboratory and space plasma an essential role play the magneto-sound (MS) and the drift-magneto-sound (DMS) waves. The elementary luiid the magneto-sound structures, one*dimensional solitons, have been predicted Dy R. Z. Sagdeev [15] at research collisionless shock waves in magnetized plasma. For the same problems it is of interest investigation of nonlinear dynamics of MS and DMS perturbations in sight of inhogeneity of a wave package.
From the general analysis of plasma stability in a curvilinear magnetic field it is known [108], tiiat one of the most dangerous is magneto-hydrodynamical instability with enough greater wave number к亠 transverse of equilibrium magnetic field Bo and small % — along the Bo. To a case % = 0 answers the flute instability [9], and to a case- к!； w 0 balloon instability [109]. In this connection basic importance represents the question on a nonlinear stage of specified instabilities and represents existence of nonlinear coherent structures. As structures, by virtue of the localization, it is under the weak suppression by shear of a magnetic field.
In dynamics of magnetized plasma a special place take Alfven type waves. Alfven type waves with pp > me /mj (pp ——the relation of plasma pressure with a magnetic field pressure) are important for a problem of high-frequency plasma heating and generation of the drag currents [110]. According to [111] these waves define processes of electron acceleration in avroral zone of an ionosphere which is characterized by low pressure of plasma. The role of the drift-Alfven waves in the physics of magnetosphere plasmas was widely discussed in works [112, 113]. Therefore essential interest represents research of specificity of regular Alfven structures and the drift-Alfven modes and their influence on turbulent properties of plasma.
In previous works the vortex structures, characteristic size of which is much less than medium size (unlimited plasma), were studied. However, as the geometry of majority of the plasma experimental installations is close to cylindrical, it is natural rising of a question on the adequate description of influence of plasma inhmoge- neity, cylindrical and plasma limitation volume and the dissipative processes on existence, specificity and dynamics of the vortex structures.
Let's notice also, that in many practically interesting cases it is necessary to deal with nonlinear processes, namely — with strong turbulence. In particular, anomalous transfer of heat and particles observable in plasma thermonuclear installations is connected with strong turbulence [71, 114, 115]. Experimental data show, what even in quiet plasma trasnfer of heat and particles has convective character and it cannot be explained by pair collisions of particles. In this connection actual is question: whether can the main heat are transferred by convection, caused by formation of drift vortex structures?
Property of a class of the vortex structures considered by us that the nonlinear equations describing a stationary condition of the vortices, despite of wide variety of the corresponding branches of oscillations, are reduced to a small number canonical equations, diflering by only various values of the coefficients is remarkable, depending from concrete type of a vortex and equilibrium parameters of plasma. Owing to it, the problem about stationary vortices is dismembered on two: finding-out of a ques-
tion on by what of the canonical equations is described those vortices, and seeking of solutions of corresponding equations. The effort is facilitated by some of these initial equations met and analyzed earlier at studying vortices of the Rossby waves and the elementary types of plasma vortices. For convenience of a statement we in the beginning consider the canonical equations and we describe procedure of their solution. It is done in the chapter 1. In the same place that is explained essentially new, that is found out in case of the vortices in magnetized plasma in comparison with the Rossby vortices in a rotating liquid: an opportunity of existence of two-potential vortices, the vortical satellites in confined plasma and <<compressible,, vortices.
At research of concrete types of the vortices there is a problem of their classification. As the vortices studied by us are connected with those or others branches of oscillations of medium in a basis of the classification accepted by us the instruction lays on showing to what branch of oscillations belong the corresponding vortices. Besides in our vortex classification the distinction in the types of nonlinearity causing their spatial localization (is see more detailed chapter 1) is considered. According to it we distinguish vector and scalar vortices, and in conformity with told above we name the last simply solitons. The recipe of theoretical search of oscillation types of magnetized medium on which can be realized the solitary vector vortices are specified. In particular, it is established, that waves should be low- frequency and long-wave in relation to one of a component of plasma; their electric field, transverse to an equilibrium magnetic field, should be even approximately potential. In the chapter 1 it is shown also, that the local approach, applied to research of the drift wave dynamics, imposes restriction on amplitude and the characteristic size of drift structures.
Told helps to characterize the maintenance of the subsequent chapters of the monograph (chapters 2, 3). In the chapter 2, basically, we investigate an opportunity of existence of the scalar vortex structures in magnetized plasma. The solitons of potential short-wave drift (SWD), electron gradient (EG), low-hybrid-drift (LHD) waves (and, on SWD and EG modes are probably also formation of the vector vortex structures) and electromagnetic-drift-magneto-sound waves are studied. The vortices studied here are important, besides the general physical interest, for a problem of plasma heating. To such conclusion it is possible to come even at a sight of previous works on research of corresponding branches of plasma oscillations: the majority of these works was stimulated with a problem of collective plasma heating by a high-frequency field, the shock waves and in other ways related with intensive ckift motion of particles transverse of a magnetic field (is see more detailed chapter 2). The SWD vortices have the characteristic transverse size, small in comparison with larmore radius of ions r , as they verify their name. It assumes that wc deal with plasma with enough hot ions. Let's notice also, that characteristic frequencies of the SWD vortices can be not only the order or more than ionic cyclotron frequency (such vortices represent the greatest interest (or a plasma heating problem), but also small in comparison with it (such vortices are interesting for a plasma keeping problem). As if to LHD and DMS vortices, their characteristic frequencies are assumed by greater in comparison with ionic cyclotron frequency.
Lefs notice, that nonlinear equations of SWD waves have structure, in many respects similar to structure of long-wave low-frequency vortices (compare with chapter 5). It is established, that SWD waves can self localization in the form of маНопагу one-dimensional solitons and cnoidal waves, cylindrical round solitons, iwo-dimensional soliton chains or the dipole vortices.
In case of LHD and DMS structures we deal with some family of the equations essentially of different structure from equations for SWD vortices. Such equations can be considered as various variants of generalizations of nonlinear Kadomtsev―Pet- viashvili equation [46], KP, on a case of the srtong anisotropy of medium as is magnetized plasma. It is shown the existence of one-dimensional LHD solitons. The velocity of DMS structures are of the order of Alfven velocity and in this case along with a transverse wave magnetic field В丄 the effects of compressibility are essential, and it is necessary to consider a longitudinal wave magnetic field Bz. We deduce the coiTesponding dynamic equations and we use them in problems about stationary DMS solitons. It is shown, that in approach of a weak dispersion and nonlinearity the equation at slanting propagation of waves the existence of some one-dimensional and twodimensional DMS structures are allowed, caused by scalai* nonlinearity: onedimensional solitons and periodic waves, two-dimensional rational solitons, the soliton chains (extended along an x axis or along an у axis), <<crosses,^.
Unlike of SWD vortices, in electron gradient (EG) vortices only the electron motion is essential (plasma is supposed cold and strongly inhomogeneous). Interest to EG waves is caused first of all by the fact that they can be realized in enough simple experimental devices [72], and they are some limiting case of LHD waves. Existence of one-dimensional soliton and a periodic wave, two-dimensional soliton chains and the dipole vortices of EG waves is revealed.
To the chapter 3 various types of vector vortex structures in magnetized plasma are studied. First in the chapter 3 on an example of a modeling problem about plasma in a homogeneous magnetic Held with an effective gravity force (modeling curvature of magnetic force lines) within the limits of system of the equations of ideal magnetic hydrodynamics (MHD) the opportunity of existence of the two-dimensional vortic” related with electromagnetic balloning modes (к н 0) is investigated. From the sight of ballooning mode localization such vortices are of interest as the nonlinear mechanism of localization alternative to the usual linear mechanism of ballooning mode localization. Interest to ballooning structures is related first of all to the fact that localization of perturbations essentially verifies possibility of instability suppression: magnetic field shear and various dissipative effects. It is shown, that the system of the nonlinear equations of ideal MHD for a case of ballooning perturbations can be reduce to the nonlinear Hasegawa—Mima type equation. Within the limits of this equation, similar to Rossby vortices the exact analytical solution describing the ballooning vorticess are found in a rotating liquid, and the analysis of key parameters of these vortices is carried out. The structure represents pair vortices of equal intensity of cyclone — anticyclone type, moving linearly.
Then in the chapter 3 strongly nonlinear Alfven waves are studied. Oscillations of this type play the important role both in a problem of plasma deduction and in dynamics of magnetosphere plasmas. In case of plasma with % < me/ nij thermal movements of particles (ions and electrons) are insignificant, and the Alfven waves dispersion is defined by longitudinal electron movement. The analysis of waves at те/т{<Рр<1 is necessary taking into account the final Larmor radius of ions, and for this purpose Braginsky*s standard hydrodynamics appears insufficient. Therefore new system of MHD equations taking into account - k：p? effects is obtained.
The simplified equations for the description of the strongly non-linear Alfven waves in homogeneous plasma are reduced. The equations of stationary regular vortices in plasma with Pp >me/mj and % < п^ /n^ are led to a whole canonical form, and is constructed two-dimensional spatially-localized solution of these equations. Characteristic feature of these solutions in external area of a vortex is that it contains, along with exponentially-falling down component (as in Larichev— Reznik's solution), component, decreasing by degree. The spatial structure of a vortex is analyzed numerically. Radial dependence of vortex sizes for difierent value of the vortex parameters is constructed. The characters of discontinuities in Alfven perturbations and the conservation laws are analyzed.
In connection with that the majority of magneto-plasma traps have a configuration close to cylindrical, is of interest of investigation of a question on an opportunity of existence and specificity of the vortex structures in a rotating cylindrical plasma sting. In the chapter 3 the dynamic equations for potential, the driftflute and long-wave drift waves accounting cylindrical symmetry of the plasma medium are received. The nonlinear equations of non-potential Alfven type waves taking into account inhomogeneity of plasma, curvature of a magnetic field (modeled by introduction of a gravity field) and finite Larmor radius of ions in a cylindrical plasma sting are generalized. On the basis of the solution of these equations it is established, that the potential — the flute, long-wave drift and electromagnetic — the drift-Alfven, the drift-ballooning, the flute waves self-organize in the form of new type of the two-dimensional strongly localized vortices: a single vortex (monopole — an anticyclone or a cyclone) or pairs of vortices of unequal intensity, moving on a circular trajectory along an azimuth.
In the chapter 3 influence of plasma volume limitation on dynamics of wave perturbations in plasma traps is investigated also. It is shown, that real boundary conditions on edge of a plasma sting cause self-localization of electrostatic (flute) and electromagnetic (the drift-Alfven, the drift-balloon) waves in a radial direction. Structures represent the related condition two-dimensional vortex satellites of the cyclone — anticyclone type, moving in an azimuthal direction with constant angular speed. The quantity of satellite pairs in structure is defined by azimuthal wave number (m = 1,2,3,...). The spatial vortex structure is numerically investigated. For the certain values of parameters of plasma and a trap of structure pass in large-scale azimuthal flow.
Oscillation velosity of particles in the structures constructed by us in chapters 2, 3, is comparable or more than phase velocity of linear waves VE > V#; therefore, ihere is a group of the traped particles moving together with structures. In sight of finite extent they can lead to convective difusion of plasma and by that to serve as structural elements of strong drift turbulence in magnetized plasma (see chapter 7).
The chapter 4 is devoted to a stability problem of the nonlinear structures. Certainly, construction of physical models of those processes in dispersed medium on the basis of the vortex structures is possible only in the event that they have a sufficient stability degree. Therefore the question on the vortex structure stability has paramount value. In the present chapter stability of the scalar vortex structures (magneto-sound, drift«magneto-sound, low-hybrid-drift, electron gradient and short-wave drift) in relation to three-dimensional long-wave perturbations taking into account the vector nonlinearity is investigated. The problem is related with multivariate generalization of nonlinear Korteweg—de Vriez equation for weakly dispersed waves in magnetized plasma.
The nonlinear equation for magneto-sound (MS) waves in cold plasma taking into account the effects of vector nonlinearity is received. The general analysis of this equation is spent. Integrals of nonlinear MS wave motion are received. To essentially various structure of this equation for low-frequency (ахсо^) (LF) and high- frequency (HF)(G)>o)Bi) MS waves is paid attention. In case of nonlinear LFMS waves the equation is reduced to well-known three-dimensional Kadomtsev— Pctviashvili equation (KP). For HFMS waves the structure of this equation is essentially distinct from the structure of three-dimensional KP equation. It is shown, that the effects of vector nonlinearity are important only for HFMS waves of enough the big amplitude. Stability of one-dimensional MS solitons according to three-dimensional perturbations is investigated. It is shown, that vector nonlinearity influences on increment and conditions of occurrence of instability, but such influence basically quantitative, instead of qualitative. Corresponding criteria are received. Three-dimensional stability of two-dimensional MS structures is studied. Such nonlinear structures are possible at positive dispersion of MS waves. It is shown, that two-dimensional HFMS structures is stabile according to three-dimensional long-wave perturbations. This fact can appear important for a problem of plasma heating by the fast MS wave beams.
Subility of one-dimensional drifl-magnetosound (DMS) soliton in relation to three-dimensional perturbations taking into acount the vector nonlinearity is considered also. It is established, that one-dimensional fast (U>aCAe) DMS soliton is stabile, and slow (U<aCAe) — is unstable (C鹿一electron velocity of Alfven, U — transversal propagation velocity of a wave, U / a — longitudinal phase velocity).
The three-dimensional nonlinear equations describing dynamics of LHD waves in magnetized plasma, taking into account the vector nonlinearity are deduced. These equations are generalization of three-dimensional KP equation with a negative dispersion. It is shown, that one-dimensional LHD soliton is stable in relation to three-dimensional long-wave perturbations at any vector nonlinearity. In the chapter 4 stability of onc-dimcnsional EG and SWD solitons which have appeared
unstable is investigated also. As a result of such instability, it scams, two-dimensional vortex structures are formed.
In the chapter 5 the question on generation, amplification and dynamics of drift vortex structures (scalar and vector) in dispersed and dissipative medium is investigated. The analogy of dynamics of drift waves in magnetized plasma and the Rossby waves in geophysical flows is studied. It is shown, tliat evolution of these waves is described by identical equations of Charney or Hasegawa—Mima type. The corresponding nonlinear dynamic equations and the conservation laws are received. This circumstance allows using investigation results of the dynamics of Rossby waves in atmosphere and ocean for investigation of the drift turbulence development in plasma media.
It is obtained the dynamic equation for long-wave drift (к丄^pj? «1) and the SWD structures, accounting the influence of ttnon-ideals, (dissipative) effects within the limits of the perturbation theory. It is shown, that nonlinear resonant interaction of long-wave drift solitons with plasma electrons leads to growth of amplitude of structure on time. It is connected to the fact that the drift solitons for the electrons represent a potential hump. In case of collisional plasma drift solitons amplify so effectively, as well as linear long-wave drift waves. The law of amplitude variation of structure on time is established. The question on resonant cyclotron interaction with SWD solitons with hot ions of plasma is considered. Law of growth of soliton amplitude is revealed.
It is formulated the mathematical tools of the multidimensional perturbation theory for the description of evolution of the nonlinear vortex structures in dissipative dispersed medium. Dynamics of the drift vector vortices (long-wave, shortwave) in dissipative plasma (taking into account the friction force, magnetic and collisional viscosity) is studied. The system of the evolutionary equations for integral characteristics of a vortex (for energy, enstrophy, velocity, etc.) is received. On the basis of numerical experiment and analytical estimation is established: at interaction of friction force the vortices damp more or less in regular intervals according to radius, slowly increasing the size; in viscous plasma the internal area of structure more quickly collapses, i. e. there is a transfer of motion quantity according to layers —from vortical cores to an external part of streamlined vortex; the relaxation of the large-scale vortices occurs much more slowly than the small-scale ones.
In the chapter 5 influence of the flute and ballooning instabilities on formation and the vector vortex structure dynamics on corresponding modes is investigated also. It is established, that in the field of unfavorable curvature of magnetic force lines (area of flute instability) electrostatic flute and electromagnetic drift-ballooning structures possess negative energy. Therefore formation of the vortex structures on these modes appears energetically favorable.
The chapter 6 is devoted to creation of the physical and mathematical models describing different aspects of information transfer in a lithosphere-atmosphere- ionosphere-magnetosphere system, on the basis of nonlinear wave structures. It is shown, that acoustic-gravity (AG) perturbations of natural (for example, earthquake) or artificial origins (for example, explosions), propagating from low layers of atmosphere, reach heights E-region of the ionosphere, where they become convective un-
stable and sclf-organize in the form of localized nonlinear vortices. Under the influence of additional neutral transition, brought in by connected with AG vortices trans- lerring of atmospheric components along to a vertical, the neutral density (oxygen) increases at the given level of atmosphere. The increase of the nuclear oxygen density, increases their efficiency of recombination and. accordingly, increase of green radiation intensity of the neutral night sky. That will be well correlated with observed before strong earthquakes by strengthening emission of the night sky.
It is offered a new nonlinear-parametrical mechanism of electromagnetic field generation by acoustic waves in partially ionized medium. It is shown, that the acoustic waves (of natural or artificial origins), reaching ionospheric layer almost without absorption, involves the charged particles into collective motion through collisions. Friction forces of electrons and ions with neutral particles differ from each other, that cause separation of charges, excitation of an alternating current with random phases and accordingly, the electromagnetic field generation.
In the chapter 6 the theoretical model of photoelectron energy transportation from magneto-conjugate to the local ionosphere on the basis of strong wave turbulence is built. It is shown, that the stream of the conjugate photoelectrons effectively excite the long-wave Langmuir wave in the lighted ionosphere. Propagating in a narrow cone along magnetic field force lines of the Earth and reaching a local ionosphere, modulation-unstable Langmuir wave through collapse pumps over the energy in short-wave region. Strong damping of short-wave modes on the fast thermal electrons generates and delivers an observable descending stream of the fast super- theniial electrons in a local middle-latitude ionosphere. On the basis of this model of the red line observable intensity strengthening of emission 630 nanometers in F- region of ionosphere is described.
The chapter 7 is devoted to investigation of macroscopic consequences of presence of the nonlinear vortex structures in dispersed media. Strongly localized structures contain the trapped particles and, transiting in the medium, cause appreciable oscillations of density, n/n0 - l/(k±Ln) (where Ln =(51nn0/5r) —the characteristic size of medium inhomogeneity), and activates transporting processes, i. e. can form strong drift turbulence. Turbulence is represented as gas of small-scale strongly localized ensemble (therefore weakly interacting) the identical vortices making the basic condition. The vortices of various amplitudes locate randomly in space (cause of the collision among themselves) and for their description the statistical approach is applied. It is supposed, that the stationary turbulent condition is formed by balance of competitive processes: a spontaneous excitation of the vortices due to nonlinear steeping front of perturbations and collisional or non-collisional perturbation attenuations in short-wave area. Pumping over of noise on scale in an inertial interval occurs due to merging of structures at their collision. Spectra of turbulent oscillations according to frequencies and wave numbers, which are in good agreement with the experimental data, are determined. In the same chapter diflusion of medium particles on the vortex ensemble is studied also. It is established, that interaction of structures with one other and medium particles causes abnormal diffusion in medium. The effective factor of diffusion is in root dependence on a stationary level of noise.
Георгий Дуруевич АБУРДЖАНИА
今｝ ® Родился в 1951 году в г. Хоби (Грузия). Окончил Тбилисскую физико-математическую среднюю школу им. В. М. Комарова (1968), физический факультет Тбилисского государственного университета (ТГУ) по специализации физика-теоретика (1973). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте физики Академии наук Грузии (1978) в области физики плазмы и доктора физико-мате
матических наук в ТГУ по специальности «теоретическая и математическая физика» (1990). Профессор ТГУ. В Тбилисском государственном университете в разное время подготовил и прочитал ряд общих и специальных курсов лекций по физике для студентов и аспирантов. Заведующий «Лабораторией исследований неординарных явлений» в Институте прикладной математики им. ака- демика И. Н. Векуа Тбил исского государственного университета. Известный специалист в области теории плазмы, физики ионосферы и магнитосферы, теории линейных, нелинейных волновых и уединенных вихревых структур и вихревой 1ур6унентностм в диспергирующих средах. Работал в ведущих научных центрах России и Украины. Неоднократный участник и руководитель международных научных проектов в рамках CRDF, INTAS, МНТЦ, УНТЦ и др. Автор более 130 научныхтрдаов.
Наше издательство рекомендует следующие книги:
МЕЧТЫ
ОБ 5
ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ
ГЕОРИИ
ЛЕКЦИЯ ФИЗИ 遅
ФЕЙНМАНОВСКИЕ
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail:
URSS@URSS.ru Каталог изданий в Интернете: http://URSS.ru
Тел /факс 7 (495) 135-42-16
Телефакс 7 (495) 135—42—46
URSS
т. е. есть энергия солитона изменяется во времени из-за диссипации так же,
как и энергия линейной монохромической волны. Изменение же амплитуды
27 См. [236, 237].
Г. Д. Абурджаниа
САМООРГАНИЗАЦИЯНЕЛИНЕЙНЫХ
ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР 彳砂 l/I^^OS ТУРБУЛЕНТНОСТИ、 ^ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕ^)С
Г. Д. Абурджаниа
САМООРГАНИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР И ВИХРЕВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
МОСКВА
5BK 22.253.3 22.333 26.2
УДК 533.9:530.182
Абурджаниа [еорпш Дуруевич
Самоорганизация нелинейных вихревых структур и вихревой турбулентности в диспергирующих средах. — М.: КомКнига, 2006. — 328 с.
ISBN 5-484-00478-0
Книга посвящена исследованию генерации, динамики нелинейных локалн- зованных вихревых структур, образования вихревой турбулентности и связанных с ними коллективных процессов переноса в диспергирующих и диссипативных средах. Предложен единый подход к изучению динамики разнообразных волновых структур в замагниченной плазме и геофизических течениях. Теоретические результаты сопоставляются с лабораторными экспериментами и геофизическими наблюдениями.
Монография рассчитана на научных работников, а также аспирантов и студентов старших kvdcob. интеоесуюшихся новейшими проблемами физики плазмы, геофизики, динвшюнотмооФ90Ы>йоweew^:Амт)«физики и математической физики.
Научный редактор, академик АН Грузии Д. Г Ломинадзе
Рецензенты'.
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики атмосферы и климатологии ТГУ А. Г. Хантадзе;
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий департамеюм геофизики Тель-Авивского университета Л. С A.iперович
Издачельсаво «КомКнмга» 117312, i Москва, пр-т 60-jcihm Октября, 9
Подоисано к печати 10 02.2006 I. Формат 60x90/16 Пей л 20,5 Зак. № 458
Отечатаио в 0()() <ЛЕНг\НД>» 117312,1 Москва, пр-т 60-летя Окгября, л. НА, cip 11
ISBN 5-484-00478-0ISBN 5-484-00478-0© Г. Д. Абурджаниа, 2006© Ком Книга, 2006© Г. Д. Абурджаниа, 2006© Ком Книга, 2006
ISBN 5-484-00478-0
ISBN 5-484-00478-0
© Г. Д. Абурджаниа, 2006
© Ком Книга, 2006
© Г. Д. Абурджаниа, 2006
© Ком Книга, 2006
3753 ID 362033753 ID 36203
3753 ID 36203
3753 ID 36203
НАУЧНАЯ Н УЧЕ6НАЯ ЛИТЕРАТУРА
Й E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (495) 135-42-16 URSS Тел./факс: 7 (495) 135-42-46
Оглавление
Предисловие 7
Введение 8