ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 6

Введение 7

Лагранжево описание движенияневязкой жидкости

Глава 1. Уравнения идеальной жидкости в переменных Лагранжа12

Особенности лагранжевого подхода 12

Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа 14

Уравнения движения в форме Лагранжа 16

Векторная и координатная формы 16

Преобразование Вебера 17

Уравнение движения в форме Коши 18

Комплексная форма уравнений гидродинамики. Якобианная форма уравнений для плоских течений 20

Лагранжево описание течений во вращающейся системе отсчета . .21

Глава 2. Завихренность и её свойства 23

Формулы для завихренности 23

Физический смысл инвариантов Коши 26

Безвихревое движение в лагранжевых переменных 27

Условия вмороженности и интенсификации завихренности28

Глава 3. Примеры точных решений в лагранжевом представлении 32

Простейшие вихревые течения 33

Инерционные течения 33

Течения с круговыми линиями тока 34

Течение внутри эллипса 35

Течения со спиральными траекториями жидких частиц ....36

Волны Герстнера 37

Неустановившееся движение плоского слоя со свободной границей 38

Пространственные течения с полем скорости, линейно зависящим от координат 39

Задача Дирихле 40

Эллипсоид Овсянникова 41

II. Новые методы и подходы

Глава 4. Плоские вихревые течения 46

Обзор известных подходов к изучению плоских вихревых течений в эйлеровом описании 46

Птолемеевские течения 48

Об уникальности класса птолемеевскихтечений 51

Волны на воде при неоднородно распределенном вдоль поверхности и гармонически изменяющимся со временем давлении 53

Эпициклоидальные волны во вращающейся жидкости (аналог волн Герстнера на цилиндрической поверхности) 54

Поверхностные волны в столбе однородно заряженного электронного газа во внешнем магнитном поле 57

Равновесная форма плазменного цилиндра в продольном магнитном поле 61

Глава 5. Динамика двумерных завихренных областей во внешнем потенциальном течении 63

История вопроса 63

Птолемеевские вихри 65

Нелинейные волны кельвина 71

Постановка задачи 71

Метод решения 72

Результаты вычислений 74

Примеры 78

Глава 6. Взаимодействие двух однородно завихренных областей эллиптической формы 81

Одиночный вихрь в произвольном нестационарном однородном деформационном поле 83

Случай гармонического по времени деформационного поля (анализ взаимодействия двух вихрей) 86

Обзор работ, посвященных исследованию системы двух вихрей. . .91

Глава 7. Пространственные вихревые течения (точныерешения)93

Матричная форма уравнений гидродинамики 94

Комплексная форма матричных уравнений 96

Обобщенные птолемеевские течения 98

Течения с прямыми вихревыми линиями 99

Течение внутри вращающегося эллипсоида со свободной границей (101). Вихревые домены (103). Течения с вихревыми линиями, прецессирующими в горизонтальной плоскости (104).

Течения с плоскими криволинейными вихревыми линиями . . 105

Вихревые линии лежат в одной плоскости с осью вращения (105). Течения, для которых ось вращения наклонена к плоскости вихревой линии (108).

Течения со спиральными вихревыми линиями (птолемеевские вихри в осевом потоке) 111

Глава 8. Вихревые стационарные волны на сдвиговом потоке . . . 114

Традиционный метод изучения волн 114

Слабонелинейные волны на поверхности сдвигового потока 115

Формулировка задачи 115

Свойства волновых возмущений 119

Примеры 125

О предельной вихревой волне на поверхности жидкости 128

Заключение к главе 8 131

Глава 9. Слабозавихренные волны на поверхности жидкости. . . . 133

Пространственные волны Гуйона 133

Стоячие вихревые волны на глубокой воде 138

Гравитационные поверхностные волны огибающей в завихренной жидкости 142

Глава 10. Течения вязкой жидкости в лагранжевом описании . . . 147

Уравнения Навье-Стокса в лагранжевыхкоординатах 147

Уравнения для инвариантов Коши 149

Точные решения для течений вязкой жидкости 152

Течение в канале и течение Куэтта 152

Течение Гагена-Пуазейля в круглой трубе 154

Плоская стенка, внезапно приведенная в движение (первая задача Стокса) 155

Течение, создаваемое вибрирующей плоскостью (вторая задача Стокса) 156

Течение между двумя вращающимися цилиндрами 157

Диффузия вихря 159

Течение в диффузоре 159

Волны на поверхности вязкой жидкости 160

Уравнения движения вязкой жидкости в модифицированых лагранжевых координатах 161

Решение в линейном приближении 161

Заключение 165

Литература 166

Предисловие

Предлагаемая монография посвящена вопросам динамики вихревых течений. Движение жидкости изучается в переменных Лагранжа. Это отличительная особенность книги.

Гидродинамики обычно предпочитают пользоваться эйлеровым описанием. К примеру, в ставших классическими учебниках Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшица, Л. Г. Лойцянского и Дж. Бэтчелора уравнения гидродинамики в форме Лагранжа даже не приводятся. В качестве исключений можно указать фундаментальный труд Г. Ламба и двухтомник Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и Н. В. Розе, но и там лагранжевым переменным посвящено лишь считанное число параграфов. Для решения некоторых типов задач использовать лагранжевые переменные, однако, явно предпочтительнее. Доказательством тому служит, в частности, вышедшая в 1992 году книга В. К. Андреева «Устойчивость неустано- вившихся движений жидкости со свободной границей». Большая часть задач в ней анализируется с применением лагранжевых координат. В нашей книге будет подробно продемонстрировано, что в лагранжевых переменных удобно описывать не только течения со свободной границей, но и некоторые типы вихревых движений.

Монография адресована всем интересующимся теоретической гидродинамикой, и потому включает ряд общеобразовательных разделов по лагранжевому описанию течений. Во всяком случае, нам бы хотелось, чтобы читатель рассматривал наш труд как своеобразное введение в лагранжеву гидродинамику.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-01-00695). Авторы выражают признательность «Фонду содействия отечественной науке» за поддержку Абрашкина А. А.

А. А. Абрашкин, Е.И. Якубович Май 2005 г.

Введение

В настоящей монографии изучаются вопросы динамики распределенных вихревых образований в несжимаемой жидкости. Они полностью лежат в русле одного из центральных направлений развития механики жидкости, которое называют динамикой вихрей или вихревой динамикой.

Исторически начало вихревой динамике как самостоятельному направлению гидромеханики положила, по-видимому, статья Гельмгольца 1858 года [1], в которой он сформулировал свои знаменитые теоремы о завихренности. Девятью годами позже Тэйт перевел работу Гельмгольца с немецкого на английский язык [2], чем зафиксировал пристальный интерес европейских механиков того времени к вопросам динамики завихренности.

Примерно в эти же годы Кельвин активно разрабатывает основы описания конкретных вихревых течений [3-6]. К примеру, он нашел скорость распространения вихревого кольца в однородной безграничной жидкости [4] и подробно изучил линейные колебания на поверхности цилиндрического вихря [5]. Развивая аналогию между уравнениями электродинамики и гидродинамики, Кельвин выдвинул вихревую теорию строения вещества [6]. Разумеется, с современной точки зрения она выглядит явно неудовлетворительной, но сам факт ее существования убедительно свидетельствует о том важном значении, которое придавали классики науки фактору завихренности течений.

Период времени, охватывающий последние десятилетия XIX — первые десятилетия XX столетия, можно назвать «золотым веком» вихревой динамики. На этот промежуток приходится основная масса наиболее ярких аналитических результатов — таких, например, как эллиптический вихрь Кирхгофа [7], вихри Хилла [8], Чаплыгина- Ламба [9, 10], тороидальный вихрь Максвелла [11], интегрируемые случаи движения точечных вихрей [11-14], эллипсоидальные фигуры равновесия [11], неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и знаменитая гипотеза Жуковского. Во второй и третьей четверти XX столетия внимание исследователей к проблемам вихревого движения жидкости заметно снизилось. В вышедшем в 1970 году четырехтомнике «Механика в СССР за 50 лет» [15] это направление гидромеханики даже не было представлено отдельной статьей. Интерес к задачам вихревой динамики в 60-х — начале 70-х годов поддерживали, главным образом, физики, занимавшиеся изучением квантованных вихрей в сверхтекучих жидкостях. Но уже в конце 70-х годов после открытия когерентных структур в турбулентности ситуация качественно переменилась.

При исследовании турбулентного слоя смешения Браун и Рошко [16] обнаружили, что преобладающими движениями в этом слое являются крупномасштабные вихревые движения поперек потока. Эти движения рождаются в области перехода и не исчезают, когда возникает мелкомасштабная турбулентность. Авторы [16] наблюдали спаривание соседних вихрей, то есть слияние в процессе взаимного вращения двух близлежащих вихрей в один большего размера. Схожее поведение вихрей в ламинарном свободном сдвиговом слое обнаружили Винант и Браунд [17], правда, ранее на существование высокорегуляризован- ных вихревых движений указывал еще Фреймут [18]. Позже организованные вихревые структуры были открыты в струях, следах, внутри пограничных слоев и т.д. (см., например, [19-21]). Это в значительной степени и предопределило всплеск интереса к задачам динамики вихревых ансамблей в последней четверти XX века.

Повышенное внимание механиков к подобного рода исследованиям в настоящее время обусловлено также их разнообразными физическими приложениями. К числу последних следует отнести исследования движения вихревых образований в атмосфере [22-26] и океане [2739]. Конечно, список цитированных работ по данной тематике является весьма неполным, но он ярко отражает факт распространения достижений теории вихрей в смежные области и демонстрирует очевидную актуальность задач вихревой динамики для изучения природных процессов. Если же, возвращаясь, говорить о направлениях, находящихся собственно в ведении механики жидкости, то здесь следует упомянуть о численных работах, в которых точечные вихри используются в качестве элементарных структур течения (см. ссылки [40-45] и библиографию в них).

В наступившем в середине 70-х годов «серебряном веке» вихревой динамики вновь активизировались попытки гидромехаников отыскать новые точные решения уравнений Эйлера. Среди результатов данного направления выделим прежде всего новые достижения в задаче о движении конечной системы точечных вихрей [46-50], трехмерные вихревые особенности — вортоны [51, 52], точечные вихревые диполи [53], и точечные вихревые квадруполи [54], нестационарные решения, описывающие динамику вихревых нитей [55-58], эллиптические вихри Мура и Сэффмена [58, 59] и Киды [60]. Особо отметим изящную теорию движения турбулентного вихревого кольца, предложенную Б.А. Луговцовым [61-63].

Данная книга продолжает эту линию исследований. Главное внимание в ней уделяется выработке новых аналитических методов описания вихревых течений с помощью лагранжевых координат.

Но вопросы, связанные с эволюцией вихревых структур, составляют лишь часть монографии. Другая ее «половина» посвящена изучению распространения вихревых волн на поверхности жидкости.

В теории волн на воде традиционно широко используется предположение о потенциальности движения жидкости. Оно основывается

на теореме Лагранжа, согласно которой, если в начальный момент движение было незавихренным и на жидкость действуют только потенциальные силы, то и в дальнейшем оно останется незавихренным. В реальных условиях эти предположения, однако, не всегда оказываются выполненными.

Начнем с того, что часто процесс волнообразования происходит на фоне сдвигового потока, и потому завихренность как бы присутствует внутри жидкости изначально. Другой фактор привнесения завихренности внутрь жидкости при ее волновом движении связан с проявлением вязких эффектов в приповерхностном слое [64, 65]. Внутри этого слоя формируются дополнительные дрейфовые течения, которые могут влиять на характеристики волны, бегущей вдоль свободной поверхности. Наконец, обратим внимание на возможную неустойчивость потенциальных поверхностных волн по отношению к слабым трехмерным возмущениям завихренности [66]. Это служит еще одним аргументом в пользу важности и актуальности исследования вихревых волн на воде.

Начало изучению вихревых волн на воде положило знаменитое исследование Герстнера [67], выполненное еще в начале XIX века. В нем было построено точное решение уравнений гидродинамики для установившихся плоских вихревых волн конечной амплитуды на поверхности идеальной тяжелой жидкости бесконечной глубины [11, 13]. Профилем свободной поверхности для волн Герстнера является трохоида, жидкие частицы в них движутся по окружности (дрейф отсутствует!), а завихренность убывает с глубиной. Теория слабонелинейных установившихся волн с более общим распределением завихренности, но по-прежнему при отсутствии сдвигового потока, развивалась в работах Дюбреиль-Жакотэн [68] и Гуйона [69]. В монографии проведено обобщение результатов последних на случай распространения вихревых волн на фоне произвольного, устойчивого сдвигового потока, а также на случай пространственных волн. Эти результаты, дополненные исследованием вихревых стоячих волн на глубокой воде и анализом движения пакета гравитационных волн в слабозавихренной жидкости, позволяют говорить о создании в рамках данной книги слабонелинейной теории вихревых волн на воде.

Проблема описания вихревых волн естественно вписывается в круг вопросов, затрагиваемых вихревой динамикой, поэтому «волновая» и «вихревая» части монографии не столько противостоят, сколько дополняют друг друга. Более того, их объединяют и общие способы математического описания течений, основанные на использовании лагранжевых координат.

Лагранжевые переменные крайне редко используются для решения гидродинамических задач. Причиной тому служит более сложный вид уравнений гидродинамики в форме Лагранжа по сравнению с их эйлеровым аналогом. Среди наиболее впечатляющих примеров применения лагранжевого подхода к задачам вихревой и волновой динамики следует выделить уже упоминавшиеся волны Герстнера: это единствен-

ное до сих пор точное решение для гравитационных волн на воде. Лагранжевые координаты использовались Я.И. Секерж-Зеньковичем для изучения потенциальных стоячих волн [70], Л.Н. Сретенским в задаче о кольцевых волнах на поверхности вращающейся жидкости [71], А.С. Мониным для нахождения некоторых свойств, присущих установившимся гравитационным волнам на поверхности жидкости [72, 73], и С. Я. Секерж-Зеньковичем при анализе параметрического возбуждения волн конечной амплитуды на границе раздела двух жидкостей разной плотности [74]. Цикл задач по исследованию устойчивости течений со свободной поверхностью в лагранжевом описании изложен в монографии В. К. Андреева [75]. Среди работ иностранных ученых упомянем методическую работу [76], в которой представлен вывод уравнения Шредингера из лагранжевых уравнений гидродинамики для пакета гравитационных волн на мелкой воде, и публикации норвежской группы геофизиков [77, 78], посвященные расчету дрейфовых течений, индуцируемых затухающей гравитационно-капиллярной волной в приповерхностном слое. Этот список, по-видимому, можно несколько расширить, но в целом он по-прежнему будет оставаться фрагментарным и крайне ограниченным. Лагранжевые переменные — весьма непопулярный среди гидромехаников «инструмент исследования».

Напротив, использование лагранжевого подхода выступает характерным отличительным признаком нашей книги. Поэтому ее можно рассматривать, в том числе, как естественное дополнение к уже имеющимся фундаментальным курсам по гидродинамике, основанным исключительно на эйлеровом описании.

Часть I

ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ

ДВИЖЕНИЯНЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Глава 1

УРАВНЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ВПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА

Особенности лагранжевого подхода

Уравнения движения жидкости можно представить в двух различных формах в зависимости от того, интересуемся ли мы значениями параметров потока в произвольной точке пространства или стремимся определить «историю» индивидуальной жидкой частицы. Уравнения, которые получаются в результате этих подходов, называются соответственно эйлеровой и лагранжевой формами уравнений гидродинамики. Так они названы в честь Леонарда Эйлера (1707-1783) и Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813). На самом деле обе формы уравнений были сформулированы Эйлером в 1755 году (на 33 года раньше Лагранжа) в трактате «Общие принципы движения жидкостей».

Лагранжев способ описания движения жидкости заключается в том, что за основу рассмотрения берется движение фиксированных «жидких частиц», прослеживаемое, начиная с некоторого момента времени. Если при эйлеровом подходе изучается поле скоростей в точке с координатами х, у, z, то при лагранжевом следят за каждой частицей жидкости, предварительно «пометив» их (перенумеровав). Таким образом, неизвестными функциями будут х, у, 2, а независимыми переменными «номера» частиц и время. Выбор этих меток в значительной степени произволен, необходимо лишь следить за однозначностью «нумеровки» и чтобы все частицы были «сосчитаны». Например, ими могут быть начальные координаты частиц жидкости 力о，Уо,2о・ Но это лишь один из вариантов введения переменных Лагранжа.

Дадим их общее определение. Обозначим компоненты поля скорости течения соответственно и(х, у, z, t), v(x, у, z, t), w(x, у, z, t), тогда

справедливы следующие равенства:

(1-1)(1-1)&力 dx dy dzи v w

(1-1)

(1-1)

Здесь x, у, z рассматриваются уже как функции независимого переменного 方.Очевидно, что это суть уравнения, из которых определяются траектории частиц. Решения уравнений (1.1) можно представить в виде

х = Х(а, Ь, с, t), у = Y(a, b, с, t), = Z(a, b, с, t), (1.2) где а, Ь, с — некоторые произвольные постоянные, определяющие положение жидких частиц. В частном случае их можно выбрать совпадающими с начальными координатами жидких частиц, так что

力о =。，Уо = А 2о = с. (1.3)

Однако в самом общем случае каждая из переменных а, Ь, с является некоторой функцией от координат начального положения жидкой частицы. Три произвольных постоянных в выражениях (1.2) выступают в качестве своеобразных меток для отдельной жидкой частицы. Будем в дальнейшем называть их лагранжевыми координатами.

В эйлеровом пространстве переменных х, у, z линии, соответствующие осям лагранжевой системы координат, будут, вообще говоря, сложными нестационарными кривыми. Рассмотрим, например, множество частиц, имеющих координаты b = 0, с = 0, то есть расположенных вдоль линии изменения координаты а. С течением времени эта жидкая «ось» будет искривляться и перемещаться в пространстве. То же самое можно сказать об «осях» бис. Их можно считать осями «жидкой» системы координат. Эта система, вообще говоря, криволинейна, неортогональна и нестационарна; в движущейся жидкости ее оси непрерывно деформируются, следуя за составляющими их жидкими частицами. Иными словами, эта система «вморожена» в жидкую среду, и суть лагранжевого описания в гидродинамике, следовательно, состоит во введении вмороженной в жидкость системы координат.

«Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение, поэтому его можно считать физически более естественным (курсив наш — авт.), чем эйлеров метод описания» [79]. Тем не менее, переменные Лагранжа редко используются в гидромеханике. Это связано как с громоздкостью уравнений гидродинамики в форме Лагранжа, так и со сложной формой их нелинейности. В отличие от эйлерового подхода, к тому же, в лагранжевых переменных нелинейный вид имеет не только уравнение движения, но и уравнение неразрывности.

Выигрышные стороны использования лагранжевых координат, однако, часто выявляются на уровне постановки задачи. Уравнения в форме Лагранжа обладают тем важным преимуществом, что их решение следует искать в заданной области пространства переменных.

В частности, при рассмотрении волн на воде можно считать, что неизвестной форме свободной поверхности отвечает значение вертикальной лагранжевой координаты, равное нулю, а всей области волнового движения —нижнее полупространство лагранжевых переменных.

Или другой пример. Как известно, в плоском течении идеальной несжимаемой жидкости завихренность жидких частиц сохраняется. Вследствие этого при изучении динамики завихренных областей (локализованные вихри, волны на воде) более удобно задавать начальное распределение завихренности именно в лагранжевых координатах.

Чтобы от лагранжевых переменных перейти к эйлеровым, надо продифференцировать по времени функции X, У, Z, получив, тем самым, выражения для компонент скорости как функций лагранжевых переменных а, Ь, с и 方，а затем исключить лагранжевые переменные, выразив их через Х,У, Z,方.В итоге получится зависимость компонент скорости от координат х, у, z (см. (1.2)) и времени 方，то есть поле скоростей в представлении Эйлера. Правда, провести эту процедуру аналитически, как правило, удается провести лишь в исключительных случаях.

Уравнение неразрывности в переменныхЛагранжа

Будем предполагать, что движущаяся жидкость сплошным образом заполняет пространство или определенную его часть и что во время движения не происходит ни потери вещества, ни его возникновения (нет источников и стоков). Это предположение налагает некоторое условие на изменения плотности и объема жидкости, носящее название уравнения неразрывности.

Рассмотрим два положения одного и того же жидкого объема в моменты 方° и 方；пусть в момент 方° жидкий объем 弋 ограничен некоторой замкнутой поверхностью, которая в момент t переходит также в замкнутую поверхность, ограничивающую объем в момент т. «Частица» жидкости, имеющая в момент 方о координаты 力о,Уо,2о, перейдет в момент t в положение с координатами х, у, z, причем

力о = X(a,b,c, t0), % = Y(a,b, с, t0), 2о = Z(a,b,c, t0),力о = X(a,b,c, t0), % = Y(a,b, с, t0), 2о = Z(a,b,c, t0),x = X(a, b, c,方)； g = Y(a,b,c, t);2 = Z(a, b, c,方)，x = X(a, b, c,方)； g = Y(a,b,c, t);2 = Z(a, b, c,方)，(1-4)(1-4)

力о = X(a,b,c, t0), % = Y(a,b, с, t0), 2о = Z(a,b,c, t0),

力о = X(a,b,c, t0), % = Y(a,b, с, t0), 2о = Z(a,b,c, t0),

x = X(a, b, c,方)； g = Y(a,b,c, t);

2 = Z(a, b, c,方)，

x = X(a, b, c,方)； g = Y(a,b,c, t);

2 = Z(a, b, c,方)，

(1-4)

(1-4)

плотность жидкой частицы в начальный момент ро(а, b, с, to) в момент t будет уже р (а, Ь, с,方).Но масса жидкого объема при его движении не меняется, поэтому справедливо соотношение:

(1.5)(1.5)0о dx()dgo dzQ = р dxdydz.

(1.5)

(1.5)

Заменим теперь в обоих интегралах переменные х, у, z переменными а, Ь, с по формулам перехода (1.4); по известным правилам преобразования интеграла при замене переменных имеем:

р dxdydz = pD da db de,(1.6)

TTo

где D есть функциональный определитель

X。匕 Z。

Хь К Zb

•(1.7)

Ь, с)

Хс 匕 Zc

здесь и далее нижние индексы означают взятие производной по соответствующей переменной.

Перенося в (1.5) все члены в одну часть и применяя (1.6), найдем

So Dq — pD) da dbde = 0,

丁0

где Do имеет аналогичное с D значение. Отсюда, ввиду произвольности взятого первоначально объема то, в любой момет 力 должно иметь место соотношение

PqDq - pD = 0,

или подробнее

班0 да

А?。 да

X。

匕

Za

Оо(а, b, & 方о)

班0 db

920 дЪ

=

仙,ь, e,方）

Хь

Zb

班0 дс

920 дс

Хс

匕

Zc

Оно и является

искомым уравнением

неразрывности

в

переменных

Лагранжа. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности при

нимает вид:

dxQ 处 8zq

X。匕 Z。

да да da

Хь К Zb

=

dxQ dyQ dzQ db db db

=00(a, b,c).(1.8)

Xc Yc Zc

Azo Ago Ano

дс дс de

Если лагранжевые переменные совпадают с начальными координатами жидкой частицы (см. (1.3)), то правая часть (1.8) равна единице.

В общем случае детерминант D является функцией только лагранжевых координат и не зависит от времени.

Уравнение непрерывности можно записать более компактно. Введем в рассмотрение матрицу Якоби

R= Ya у ZaR= Ya у Zaхь ХсZb Zcхь ХсZb Zc(1.9)(1.9)

R= Ya у Za

R= Ya у Za

хь Хс

Zb Zc

хь Хс

Zb Zc

(1.9)

(1.9)

элементами которой служат производные текущих координат частиц по лагранжевым переменным. Как и сами функции X, Y, Z, эти элементы зависят от переменных Лагранжа и времени. Если зависимость X, Y, Z от а, Ь, с линейна, матрица R состоит только из функций времени.

Матрица R описывает изменение бесконечно малого элемента жидкости dX{dX, dY, dZ}, соответствующего приращению лагранжевых координат da {da, db, de}:

dX = Rda.

Уравнение непрерывности при таком подходе формулируется как условие постоянства во времени детерминанта матрицы R:

(1-10)(1-10)det R = det Rq, Rq = r\

(1-10)

(1-10)

I力=o

При выполнении соотношений (1.3) матрица Rq является единичной.

Уравнения движения в форме Лагранжа

Векторная и координатная формы. Чтобы получить уравнения движения в форме Лагранжа, запишем уравнение Ньютона для отдельной жидкой частицы

т 1-т 1-(1-И)(1-И)

т 1-

т 1-

(1-И)

(1-И)

р — давление, р — плотность жидкости, а / — внешняя сила, действующая на единицу массы. В правых частях равенств (1.11) присутствует дифференцирование по неизвестным функциям Х(а, Ь, с, t), У(а, b, с,方)，Z(a, b, с,方). Чтобы исключить его, умножим скалярно уравнение (1.11) на вектор, касательный к одной из жидких координатных кривых, например, га. Тогда получим:

(1-12)(1-12)1тт

(1-12)

(1-12)

= —— ▽0孔 + (/ •孔)=—一0a + (/ •孔)•PP

Это и есть одно из трех уравнений движения жидкости в форме Лагранжа. Аналогично получаются и уравнения в проекции на оси b

ГцГь = — — &)+ (/•%)；

； т(S3)

rttrc = --Рс + (/-^).

Уравнения (1.12), (1.13) представляют векторную форму уравнения движения. В координатной форме они имеют следующий вид:

Х"Х。+ YttYa + ZttZa =ра + (/1 * X。+ 了2 •匕 + /з，^а), Р

Х"Хь + 匕力К + Z力力Zb =—夕ь + (力• Хь + % • К + /з • Z/ (1.14) Р

Х"Хс + YttYc + ZttZc =—夕с + (力• Xc + % •匕 + /з • Zj.

P

Здесь /1, /2, /з — компоненты силы f в проекции на декартовые оси х, у, z соответственно. Вместе с уравнением неразрывности (1.8) уравнения (1.14) образуют полную систему уравнений невязкой жидкости в переменных Лагранжа.

С помощью матрицы Якоби R уравнения (1.14) записываются следующим образом [80]:

R\Xtt-f{X^ = -~^aP-(1.15)

Р

Верхний индекс «Т» обозначает операцию транспонирования, а в правой части использовано обозначение оператора градиента по лагранжевым переменным.

Преобразование Вебера. Предположим, что внешняя сила является потенциальной, то есть

/ = -vя,

здесь в правой части записан градиент по переменным Эйлера для потенциала Н.

Для градиентной силы уравнения (1.14) можно представить следующим образом:

Х"Ха + YttYa + ZttZa =ра — На； р

Х"Хь + 匕力к += -~ръ -Нь；(1.16)

Р

x"Хе + 匕力匕 + Z力力 Zc = -Pc - Hj р

Проинтегрируем эти уравнения по времени в пределах от 0 до 方. Замечая, что

t力

XttXa dt = [XKa] $ - XtXta dt =

00力

= MXa-X力0曾一 ；^卜/必，(1•⑺ 0

где XtQ — начальное значение компоненты скорости жидкой частицы (а, Ь, с) в направлении х и полагая

t

ф= 电+Н—； {x/ + H2 + zT}近， (1.18) о ''

имеем

XtXa + 匕匕 + 厶 Za — (/Wk)=—① a；

XtXb + YtYb+ ZtZb - {ftQfQb)=—①b；(1.19)

XtXc + 匕匕 + 厶 Zc — (% 儿)=-Фс.

Здесь /о ——вектор начальной скорости жидкой частицы, а 汽 ее начальный радиус-вектор. При выводе (1.18) предполагалось, что плотность жидкости либо постоянна, либо является функцией давления (т. е. жидкость баротропна).

Эти три уравнения вместе с уравнением

需=件+ 8-；{x2 +研 (1.20) и уравнением неразрывности образуют систему уравнений в частных производных для определения пяти неизвестных величин X, У, Z,p, Ф. Впервые ее предложил Вебер в 1868 году.

Уравнение движения в форме Коши. В случае потенциальной внешней силы можно получить другую известную форму уравнений движения. Для этого возьмем перекрестные производные по лагранжевым переменным от пары уравнений (1.14) и вычтем одно из другого. Правые части с давлениями (далее считаем всюду плотность жидкости постоянной) и потенциальной силой пропадут, а левые станут производными по времени. После интегрирования по времени получим три уравнения:

Х^ьХс - X力сХь + 匕ьК —匕сК + Z力bZc — Z力cZb = Si (a, b, c),

XtcXa - XtaXc + YtcYa-YtaYc + 厶Z -厶以=S2(a, b,c), (1.21)

X力aXb — X力广。+ 匕aK— У^^а + Z力^Z^ — ZtbZa = 63(。, Ь, C),

здесь Si, S2, S3 — произвольные функции от лагранжевых переменных (интегралы движения). Замечательно, что в результате удалось избавиться от давления без повышения порядка уравнений. Уравнения (1.20) были впервые сформулированы Коши в 1815 году, поэтому функции Si, S2, S3 будем называть инвариантами Коши.

Непосредственным дифференцированием уравнений (1.20) можно убедиться, что производные от инвариантов Коши Si, S2, S3 по лагранжевым переменным связаны следующим соотношением:

да дЪ дс

Это означает, что их нельзя выбирать произвольно. Дивергенция вектора 8{Si, S2,5з}по лагранжевым переменным должна обращаться в ноль.

Выражения (1.20) можно также получить из уравнений в форме Вебера. Найдем перекрестные производные по лагранжевым переменным от пары уравнений (1.18) и вычтем одно из другого. При этом определяется связь инвариантов Коши с начальными условиями, задаваемыми векторами 而，小：

9д

S1 =帀(小而e) - Г5。公b)；дЬдс

S2 =歹伍о 公а)-厂(по rQcy,(1.22)

осда

аэ

S3 = (По Ш)—旧0 亦а).

Сам Коши нашел представления для величин Si, $2,63 в частном случаер.З), когда выполняется соотношение 亦 =а•万0 + 匕・5。+。・己， где ао, bo, cq- единичные вектора вдоль соответствующих лагранжевых осей. Из выражений (1.21) видно, что если

Х| 仁о=。，ylt=o=^Z| 仁о=с,

то инварианты Коши равны начальным величинам соответствующих компонент вектора завихренности:

◎хо = Si, Су о = S2, Czo = S3.

В общем случае выбора лагранжевых переменных такой простой связи между компонентами вектора завихренности и инвариантами Коши уже не будет. К вопросу об их физическом смысле мы вернемся в следующей главе.

Комплексная форма уравнений гидродинамики. Якобианная форма уравнений для плоских течений

Перейдем в уравнениях Лагранжа (1.16) к комплексным переменным

Х = (а +沥， Y=(a-〃b), с = с(1.23)

и комплексным координатам

W = (Х + гУ), Ж= (Х-гУ), Z = Z. (1.24)

В этих переменных уравнения движения запишутся так:

$ (WttW^WttW^ + ZttZx = —— — Нх ;

/p

5 (刃力力刃又+叫力14^) + Z"Z又=-—-H^;(1.25)

/p

$ (WttWс Л-WttWc) + zttzc = -— - нс.

/p

Появление множителя - связано с видом представления (1.22), (1.23). Его можно исключить, если «сжать» комплексные координаты в д/^ раз.

Уравнение непрерывности в координатах (1.22), (1.23) примет следующий вид:

Z% ZcZ% Zc(1-26)(1-26)

Z% Zc

Z% Zc

(1-26)

(1-26)

Уравнения гидродинамики, описывающие плоские движения идеальной несжимаемой жидкости, получаются из системы (1.24), (1.25), если положить в ней Z = с, 丁 = 0, п имеют вид ос

I (wttWx + WttW^ =-与-ях,

9 (wttW^ + WttW^ = --7 - G，

(1.28)(1.28)2 ?注dt Жх 网

(1.28)

(1.28)

Лагранжево описание течений во вращающейся системе отсчета 21

Исключим из них давление и потенциал внешних сил, взяв от первого уравнения производную по у, от второго — производную по х，и вычтя одно из другого. В итоге получим

[屮+屮奴咋-屮改%] = 0，

7(1.29)

班*%-队外)=0■

Первое уравнение допускает некоторое упрощение: сложим с ним продифференцированное по времени второе уравнение. В результате будет

__(Жх^-Ж^х)=0.(1.30)

Таким образом, полученную систему уравнений двумерной гидродинамики удается записать в виде двух законов сохранения [81, 82]— независимости от времени двух якобианов

D(W,W) D(W^W^ n 、

D(Wt,W) = D(Wt^W^ = ,Q'

O(x，x) — o(x，X)』0，

здесь Wo — комплексная координата в начальный момент времени, а независящая от времени функция Q(y, у) — завихренность. Отличительным признаком этой формы записи является ее компактность.

Представление течений в комплексных лагранжевых координатах, как будет показано, оказывается очень удобным при решении ряда задач вихревой динамики и для описания волн на воде.

Лагранжево описание течений во вращающейсясистеме отсчета

Рассмотрим движение однородной жидкости в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью 岔.Найдем вид уравнения, описывающего динамику жидкости в переменных Лагранжа. Для этого запишем уравнение Ньютона для единичного жидкого объема. Оно имеет вид:

%+ 2 口刃=一：▽夕一岔х (岔X打.(1.32)

Здесь учтено, что во вращающейся системе на жидкость действуют сила Кориолиса и центробежная сила. Последняя имеет градиентный характер:

CJ X(CJ X г)=岔⑷竹-尸,2 = ；▽ 口 竹2 - ,2 耳=_；▽ (口河)2，

поэтому можно ввести «новое давление»

Pf =p-^ (［色尸］『 и переписать (1.31) так:

斤力 +2 口瑁= —；▽“.(1.33)

Далее, умножим (1.32) скалярно на гаг:

电九+2(^九)=-%.(1.34)

Исключим «давление», как обычно, путем взятия перекрестных производных у любых двух уравнений и находя их разности

Гца/аг -ГПаГа3 + 2(Ш ftajfaJ — 2@ %&了а)=。・(135)

Далее получим уравнения, аналогичные уравнениям Коши (1.20), которые, насколько нам известно, в литературе не приводятся. Хорошо известны манипуляции с первыми двумя членами, которые приводят к уравнениям Коши:

tta3 аг — ^tta^aj =(々а〃а? 一 Qaja丿力•

Представим остальные члены тоже в форме производных по времени. В смешанном произведении четвертого члена (1.34) переставим второй и третий сомножители. При этом его знак изменится на противоположный, так что

2@ ftajfa^ - 25 rtafaj) = 2@ Аа尸％) + 2@ fajfta^ = 2(岔

Подставив найденные представления в уравнения (1.34) и произведя интегрирование по времени, получим уравнения для инвариантов Коши во вращающейся жидкости

rtbrc - rtcfb + 2(岔 fbfc) = Si,

ftcfa-ftafc + 2^fcfa) =S2,(1.36)

泣^ь — %#； +2(岔孔尸ь) =5з,

где правые части — функции только лагранжевых переменных. Замечательно, что, несмотря на непотенциальную силу Кориолиса, получились три закона сохранения.

Поскольку вектор 岔 постоянен, можно без ограничения общности положить Q = Q ^°, и система (1.35) примет окончательный вид:

rtbrc - rtcrb + 2G (zQfbfc) = Si,

rtcra - rtafc + 2a; (^Vx) =S2,(1.37)

rtarb - rtbra + 2G (zQfafb) = S3.

Глава 2

ЗАВИХРЕННОСТЬ И ЕЁ СВОЙСТВА

Формулы для завихренности

По определению завихренностью 0(尸，方)называется ротор скорости:

oy oz oz ox ox oy J

(2.1) здесь индексы величин обозначают проекции на соответствующие оси. Завихренность наряду со скоростью входит в уравнение движения жидкости, которое в невязком пределе можно записать так:

+ V-V2-VxQ = /--Vp.(2.2)

at 2р

Это уравнение называют еще гидродинамическое уравнение в форме Ламба. Если к нему применить операцию взятия ротора и предположить, что жидкость несжимаемая и однородная, а внешняя сила потенциальна £ то в итоге получим следующее уравнение:

Qt + (Й • V) Q = (Q • V) V.(2.3)

Его называют уравнением Гельмгольца. Оно уже не содержит давление, а скорость изменения завихреннности зависит только от мгновенных локальных полей скорости и самой завихренности.

Формулы (2.1)-(2.3) представляют взгляд на завихренность с точки зрения Эйлера. В лагранжевых координатах выражения для компонент

вектора завихренности можно представить так:

dYt = D(XZ,Z) О(Х,匕,У)=х ~~~ D(X,Y,Z) — O(X,Z,y)—

(2.4)

=丄D(Yt,Y,Xy

Do D(a, b, c) D(a, b, c)'

=ax力 dzt = D(x,Y,xt) O0,y,z)=厂 而—O(X,y,Z) — O(X,y,Z)-

=丄『O(%,z,y)O(X力,Х,У)]

Do D(a, b, c) D(a, b, c)'

9匕ax力=。匕,y,z) o(x,x,z)=

z ~ dX ~~ O(X,y,Z) — O(X,y,Z)—

=丄匕,У, Z) O(X,X,Z)- Do D(a, b, c) D(a, b, c)'

здесь специально отмечена последовательность элементарных преобразований, связанных с переходом к якобианам.

一 W，b） o（。, ь） 一一 W，b） o（。, ь） 一Для плоских течений, когда Хи У зависят только от а, Ь,方，a Z = =с, компоненты Q^h Q^ равны нулю, а формула для завихренности Q^ записывается так:

一 W，b） o（。, ь） 一

一 W，b） o（。, ь） 一

Завихренность жидкой частицы (т. е. завихренность течения в точке ее местонахождения) в случае плоского движения жидкости сохраняется.

Как указывалось в разделе (1.3.3), начальное значение компонент вектора завихренности равно соответствующим инвариантам Коши. Найдем теперь связь между завихренностью и инвариантами Коши в самом общем случае. Для этого преобразуем уравнение (1.20). Выразим производные от функций X力，匕，Z力 по координатам а, Ь, с, входящие в уравнения (1.20), через их выражения как производных от функций X力，匕，Z力 по переменным X,V,Z. К примеру,

(2.5)(2.5)X力a =方私 - Xa+ 五r • Ya + 砺7 . Zaи ?. Д.

(2.5)

(2.5)

Подставляя соотношения типа (2.5) в уравнения (1.20), получим следующую систему соотношений:

о o(y，z)"(Ь,С)о o(y，z)"(Ь,С)+ ^у+ ^уO(z,x)О(Ь,С)O(z,x)О(Ь,С)+必+必D(X,Y)O(b,c)D(X,Y)O(b,c)=Si；=Si；o o(y，z)” O(c,a)o o(y，z)” O(c,a)+ ^y+ ^yO(z,x)D(c, a)O(z,x)D(c, a)+必+必O(x,y)D(c, a)O(x,y)D(c, a)=S2；=S2；(2.6)(2.6)

о o(y，z)"(Ь,С)

о o(y，z)"(Ь,С)

+ ^у

+ ^у

O(z,x)О(Ь,С)

O(z,x)О(Ь,С)

+必

+必

D(X,Y)

O(b,c)

D(X,Y)

O(b,c)

=Si；

=Si；

o o(y，z)” O(c,a)

o o(y，z)” O(c,a)

+ ^y

+ ^y

O(z,x)D(c, a)

O(z,x)D(c, a)

+必

+必

O(x,y)D(c, a)

O(x,y)D(c, a)

=S2；

=S2；

(2.6)

(2.6)

o(y，z)1 c O(Z,X) 1 o(x,y)—

O(a,b) y O(a,b) ' O(a,b)—

Они устанавливают связь между компонентами вектора завихренности и инвариантами Коши. Для неё, однако, можно найти и более простой вид. Умножим первое из уравнений (2.6) на Ха, второе на Хь, третье на Хс и сложим. Принимая во внимание уравнение непрерывности (1.8), получим следующее выражение

(2.7)(2.7)^ = ^ (SlXa + S2Xb + S3XC)•

(2.7)

(2.7)

1 -А 1А- -1 -А 1А- -(Si 匕+ S2K + S3K);(2.8)(Si 匕+ S2K + S3K);(2.8)Схожим образом (домножением уравнений (2.6) на соответствующие производные от функций У n Z) можно найти выражения для двух других компонент вектора завихренности:

1 -А 1А- -

1 -А 1А- -

(Si 匕+ S2K + S3K);(2.8)

(Si 匕+ S2K + S3K);(2.8)

^Za + S2Zb + S3Zc).(2.9)

Эти равенства можно переписать в векторном виде:

Q =Q =l-^fa + S2fb + S3fc)l-^fa + S2fb + S3fc)⑵10)⑵10)

Q =

Q =

l-^fa + S2fb + S3fc)

l-^fa + S2fb + S3fc)

⑵10)

⑵10)

или с помощью матрицы Якоби R:

Q =Q =Rdet RqRdet RqS,S,(2.11)(2.11)

Q =

Q =

Rdet Rq

Rdet Rq

S,

S,

(2.11)

(2.11)

где компонентами вектора S {5i, S2, ^3} являются инварианты Коши. В частности, при t = 0

det Rq

Из этого равенства видно, что, когда в качестве лагранжевых переменных а, Ь, с выбраны начальные координаты Хо, Yq, Zq, матрица Rq совпадает с единичной и инварианты Коши равны начальным значениям компонент завихренности.

Физический смысл инвариантов Коши

Разберем теперь более подробно вопрос о физическом смысле инвариантов Коши. А именно: покажем, что уравнения (2.6) выражают фундаментальный факт сохранения циркуляции по замкнутому контуРУ-

Выберем замкнутую кривую, которая в начальный момент ограничивала, к примеру, прямоугольник 5 b, 8c (в лагранжевой плоскости а = =const), и обозначим через А, В, С величины площадей его проекций на координатные плоскости в момент 方.Они будут равны соответствен-

A=\dY х dz\ = R；? 5b fc,IID(b,c)

В = I dZ x dx\ = X)肋(2.12)

IIc)

C =\dX xI肋

Тогда первое из уравнений (2.6) запишется так:

Q^A + ЩВ + ^lzC = 51 й fc.(2.13)

Таким образом, поток вектора завихренности через площадку, составленную из жидких частиц в прямоугольнике 5Ъ 6с, не зависит от времени. Соответственно и циркуляция скорости по контуру, ограничивающему эту площадку, остается постоянной. Величина Si имеет смысл потока завихренности через единицу площади в плоскости лагранжевых переменных Ь, с. Или, по-другому, независимость от времени величины Si связано с условием сохранения циркуляции по бесконечно малому контуру, охватывающему площадку 6Ъ6с. Совершенно аналогично объясняется физический смысл и двух других инвариантов Коши.

Наши рассуждения можно обратить, то есть вывести из условия независимости от времени функций Si, $2,63 теорему Томсона о сохранении циркуляции по замкнутому контуру. В самом деле, выберем лагранжевые координаты таким образом, чтобы частицы, составляющие данный жидкий контур, лежали, например, в плоскости переменных Ь, с. Тогда в силу инвариантности Si циркуляция скорости по нему будет оставаться постоянной.

Выражение (2.13), выражающее факт сохранения циркуляции по жидкому контуру, можно записать как соотношение, связывающее 51, Q и градиент лагранжевой координаты а по эйлеровым координатам. В самом деле, будем рассматривать лагранжевые переменные а, Ь, с как функции эйлеровых переменных, то есть пусть

а = а(х, у, z\ b = b(力，у, 2), с = с(ж, у, z\

тогда, решая систему уравнений

а力力а +旬沙。+ ^z^a = 1；

а 力力 ь + аgдь +а22ь=0;

а 力力 с + ^уУс + а22c = 0, найдем, что

= 10匂,2). =丄生担. 二 10(/,g)

Do D(b,cy Do D(b,cy z ~ DQ D(b,Cy 「) Сравнивая (2.12)-(2.14), заключаем, что справедливо следующее равенствот

& = Do(^Va).(2.15)

Совершенно аналогично получаются и представления для двух других инвариантов Коши S? и S3：

S2 = DQ^b\ S3 = Д)(2).(2.16)

Своей структурой выражения (2.15), (2.16) напоминают теорему Эр- теля (см. [83], с. 31), утверждающую, что при неизэнтропическом течении для каждой перемещающейся частицы остается постоянным связанное с ней значение произведения (QVs)/р, где £ — энтропия.

Безвихревое движение в лагранжевыхпеременных

Если в некоторый начальный момент завихренность у жидкости отсутствует, то величины Si, S2, S3 равны нулю. В силу того, что инварианты Коши являются интегралами движения, они останутся нулевыми и в следующие моменты времени. Но тогда из выражений (2.15), (2.16) следует, что завихренность течения тоже будет равна нулю. Таким образом, доказана теорема Лагранжа: в идеальной однородной (или баротропной) жидкости, находящейся под действием потенциальных сил, завихренность не возникнет, если только в ней не имелось вихрей в начальный момент времени.

Необходимое и достаточное условие безвихревого (потенциального) движения можно сформулировать с помощью двух равенств:

rot^VQ = 0, rotff = 0.rot^VQ = 0, rotff = 0.(2.17)(2.17)

rot^VQ = 0, rotff = 0.

rot^VQ = 0, rotff = 0.

(2.17)

(2.17)

Первое из них представляет запись условия отсутствия завихренности в начальный момент, а второе запись условия потенциальности внешней силы (в нем учтено, что % =万).

Для безвихревого движения существует потенциал скорости 夕(г,方)，так что

斤=Р = ▽尸0.(2.18)

Примем для простоты, что О。= detR = 1. Тогда, учитывая, что градиенты от произвольной непрерывной функции 夕 по лагранжевым и эйлеровым координатам будут связаны соотношением

найдем из (2.18), что вектор RTft потенциален в лагранжевых координатах:乙

RT" = V&/(2.19)

Предположение о потенциальности движения накладывает ограничение на матрицу Якоби. Действительно, обобщая соотношения вида (2.5), запишем выражение для ее производной

S _ а伍)В g)S _ а伍)В g)(2.20)(2.20)X力X X力y Xtz Ytx Ну Hz Z力 x Z力 у Ztz

S _ а伍)В g)

S _ а伍)В g)

(2.20)

(2.20)

В случае потенциального движения матрицаВ случае потенциального движения матрицаской, то естьской, то есть賞 будет симметриче- а(『)賞 будет симметриче- а(『)g) а⑺g) а⑺ттэтэт

В случае потенциального движения матрица

В случае потенциального движения матрица

ской, то есть

ской, то есть

賞 будет симметриче- а(『)

賞 будет симметриче- а(『)

g) а⑺

g) а⑺

т

т

эт

эт

[80][80]Заменяя в этом равенстве представления для матриц из (2.20), получим

[80]

[80]

^'s гр» ^'s^4^ гр» ^'s

(2.21)(2.21)R^ Rt = R^ R.

(2.21)

(2.21)

Непосредственной проверкой легко убедиться, что это матричное равенство эквивалентно системе уравнений (1.20) при условии, что все инварианты Коши равны нулю. Оно выступает необходимым и достаточным условием потенциальности движения жидкости.

Итак, для лагранжевого описания потенциального течения следует решить систему нелинейных уравнений — уравнения непрерывности (1.8) и уравнений движения (2.21).

Условия вмороженности и интенсификациизавихренности

В 1858 году Гельмгольц в своем знаменитом мемуаре вывел дифференциальное уравнение для вектора вихря (см. (2.3)), на основании которого он доказал фундаментальные теоремы о сохранении вихревых линий и интенсивности вихревых трубок.

Начнем с теоремы о сохранении вихревых линий. Она звучит так: если сделать те же предположения, что и в теореме Лагранжа, то частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую

линию, во все время движения будут оставаться на ней. Эту теорему называют еще условием вмороженности вихревых линий.

Традиционно теорему о сохраняемости вихревых линий доказывают из условия постоянства циркуляции по замкнутому контуру [12, 13]. Дадим ее вывод с лагранжевой точки зрения.

Рассмотрим вихревую линию, которую в некоторый начальный момент 方о = 0 можно задать уравнением

尸(s, to)=外(s) = {“S), b(s), c(s)},

где s — параметр, изменяющийся вдоль выбранной вихревой линии (например, длина дуги); а, Ь, с — лагранжевые переменные, совпадающие с начальным положением жидких частиц, так что О。= 1. По определению касательная к вихревой линии совпадает по направлению с вектором вихря и для точек, лежащих на ней, выполняется соотношение

^ 再(s) = X(s) C(fb(s), to)=》(s) Qo =》(s) S, (2.22)

здесь A(s) — некоторая функция параметра. В следующие моменты времени 力〉力о вихревая линия будет определяться уже функцией 尸(%(s),方).Требуется доказать, что касательная к ней по-прежнему будет сонаправлена с вектором Q, то есть, будет справедливо равенство

，网fb(s),方)=X(s) 0(尸(fb(s), t),方).(2.23)

as

Для доказательства проведем вначале дифференцирование в левой части этого выражения, учитывая (2.5):

4-尸(公(s),方)=▽尸。尸(公⑶,方)%公(s) = ▽g尸(万,方)入⑶5,

а затем воспользуемся формулой (2.22). В итоге, принимая в расчет соотношение (2.10), придем к выражению (2.23).

Итак, теорема доказана и вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Жидкие частицы, находящиеся на вихревой линии, остаются на ней и в дальнейшем. Найдем теперь, какому уравнению в эйлеровых переменных соответствует это условие вмороженности поля завихренности.

Для этого перепишем равенство (2.20) для матрицы Якоби в векторном виде:

网万，方)=(▽尸г) ▽g尸(万,方)，

а потом умножим его на « = А(万)：

^ ▽g网万，方)d(万)=(▽尸D) ▽g尸(万，方)6(万).

Из последнего выражения следует, что завихренность удовлетворяет уравнению Гельмгольца (сравни с (2.3)):

^山尸,方)=(▽尸D)必元力

которое и служит математической формой записи условия вморожен- ности векторного поля в движущуюся среду.

Вторая теорема Гельмгольца касается уже свойств вихревых трубок —цилиндрических объемов, образованных вихревыми линиями, проходящими через точки стягиваемой замкнутой кривой. Поток вектора завихренности через поперечное сечение трубки называется ее интенсивностью (или напряженностью). Согласно Гельмгольцу, интенсивность вихревых трубок не меняется со временем в процессе движения жидкости. Для доказательства представим закон Томсона о сохранении циркуляции в следующем виде:

—о Vdl =— \^nda = 0,(2.24)

здесь da — элемент поверхности поперечного сечения вихревой трубки 1/2(方)，опирающейся на замкнутый контур Е(方)，ап — нормаль к этой поверхности. Последнее равенство означает, что поток завихренности через выделенную жидкую поверхность инвариантен.

На поверхности вихревой трубки нормальная проекция вектора завихренности Q • п обращается в ноль. Поэтому для трубки бесконечно малого поперечного сечения 8。выражение (2.24) можно записать так:

= const,(2.25)

где Qa — значение завихренности в данном сечении. Следовательно, интенсивность инфинитезимальной вихревой трубки остается постоянной.

Поскольку трубка движется вместе с жидкостью, то из условия сохранения массы следует, что

p6s6a = const.(2.26)

Сравнивая между собой соотношения (2.25) и (2.26), находим, что завихренность пропорциональна длине вихревой линии. Обобщая этот вывод, можно заключить, что направление и величина завихренности Q жидкого элемента изменяются во времени точно так же, как направление и величина вектора 6s, представляющего элемент жидкой линии,

который в некоторый начальный момент, скажем,方°, был параллелен вектору локальной завихренности. Таким образом, для завихренности жидкого элемента имеем

(2.27)(2.27)0(" _

(2.27)

(2.27)

|Wo)| I Wo) I

Подчеркнем, что это соотношение становится точным при |8<?&о)| — —0. Но из выражения (2.27) следует, что течение, растягивающее вихревые линии, интенсифицирует завихренность, и значит, внутри объема жидкости возможно увеличение суммарной завихренности.

Глава 3

ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ВЛАГРАНЖЕВОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Своеобразие гидромеханики и, по-видимому, главное ее отличие от остальных областей механики и физики состоит в том, что основные уравнения гидродинамики (уравнения Эйлера для невязкой жидкости и уравнения Навье-Стокса в вязком случае), описывающие движение жидкости, являются существенно нелинейными. Классическая электродинамика, например, создавалась как линейная наука, а нелинейные члены «добавлялись» в уравнения Максвелла по мере возрастания сложности рассматриваемых явлений. Нелинейная оптика вообще родилась только в 60-х годах XX века. Точно так же и квантовая механика, теория упругости, акустика и т. д. по преимуществу развивались как науки линейные. Совсем иная судьба у механики жидкости. Для большинства ситуаций, представляющих практический интерес, нетривиальных линейных движений просто не существует. В тех же случаях, когда линеаризация уравнений и граничных условий позволяет найти приближенное решение той или иной важной задачи, область его применимости часто оказывается очень узкой.

Основной прогресс в теоретическом исследовании течений жидкости был связан с развитием и использованием асимптотических методов. Однако эффективность последних, как правило, ограничивается условием слабой нелинейности движений или, реже, наличием другого малого параметра. В связи с этим в последние десятилетия особое внимание уделялось совершенствованию численных методов. Но это отнюдь не снизило, а скорее даже повысило интерес гидромехаников к разработке неординарных аналитических подходов. Мы уже не говорим о точных решениях. Они всегда находились в центре внимания вычислителей, поскольку интересны не только, как примеры решений нелинейных уравнений, но и как «эталоны» для проверки правильности методов прямого численного моделирования.

Особенность лагранжевого способа описания течений состоит в том, что для наперед заданного поля скорости в эйлеровых переменных только в очень редких случаях удается найти явное представление в лагранжевых координатах. И наоборот, для известного решения в лагранжевых переменных, как правило, нельзя указать аналитического эйлерового аналога. В некотором смысле эйлеров и лагранжев способы описания дополнительны по отношению друг к другу. То, что просто и удобно записывается при одном подходе, обычно весьма нетривиально при другом.

Приведем простой пример. Рассмотрим течение, определяемое в эйлеровом представлении следующим двумерным полем скорости:

% = —s 力，Vy = з у, (3.1) здесь s — постоянная с размерностью обратного времени. Это течение потенциально. Выражения для траекторий жидких частиц находятся из (3.1) и записываются так:

X = а ехр(—Y = b exp s 方. (3.2) Они представляют гиперболы (ХУ = const для выделенной жидкой частицы). Переход к лагранжевым координатам в данном случае оказался возможным, но форма представления движения несколько усложнилась. Более того, в формулы (3.2), описывающие стационарное течение, явно входит время. Это обстоятельство подчеркивает специфику лагранжевого описания.

Эйлеров подход очень удобен для анализа потенциальных течений. Введение потенциала течения позволяет существенно упростить исследование, а в плоской геометрии эффективно использовать методы теории функции комплексного переменного. Для лагранжевого подхода это не так. Движение (3.2) — один из редких примеров, когда вообще удается дать аналитическое представление потенциального течения в лагранжевых координатах. Но в случае вихревых потоков жидкости ситуация несколько иная. Здесь возможности лагранжевого подхода значительно шире и в некоторых случаях он оказывается более предпочтительным, чем эйлеров.

Простейшие вихревые течения

Знакомство с лагранжевым описанием конкретных течений жидкости начнем с простейших типов движения жидких частиц — поступательного, кругового, эллиптического и спирального.

Инерционные течения. Предположим, что на жидкость не действуют внешние силы, а давление внутри нее всюду одинаково. Тогда уравнения движения (1.16) удовлетворяются автоматически, если ускорение каждой жидкой части равно нулю, то есть

Х" = 0;匕力=0; Z"=0. (3.3)

2 А.А. Абрашкин, Е.И. Якубович

Такие течения естественно называть инерционными. Решения уравнений (3.3) должны также удовлетворять уравнению непрерывности (1.8). Нетрудно проверить, что это условие выполняется для выражения

X = a + U(b,c)方；У = Ь; Z = c.(3.4)

Оно описывает неоднородный дрейф жидких частиц в направлении оси х. В частном случае, когда функция U зависит только от одной координаты, например Ь, соотношение (3.4) описывает сдвиговой поток с профилем U(b).

Течения с круговыми линиями тока. Простейшим примером такого рода течений является однородное вращение жидкости. Представление для него удобно записать в комплексных координатах:

W = % exp (zcj t).(3.5)

Согласно ему, каждая жидкая частица с начальной координатой х = =а + 〃Ь движется по окружности радиуса |xl с постоянной угловой скоростью s. Выражение (3.5) удовлетворяет системе уравнений (1.30), причем, завихренность течения Q равна удвоенному значению угловой скорости (Q = 2s).

В действительных лагранжевых переменных однородное вращение жидкости задается формулами

X = a cos — bsin s方，

У = a sins 方 +b coss方.

Эту систему иногда записывают с помощью матрицы поворота:

(

cos —sins

万，(3.6)

sin s 方cos s 方 /

где Х,а — соответственно «эйлеров» и «лагранжев» двумерные вектора.

Выражение (3.5) легко обобщается на случай неоднородного вращения жидкости, которое описывается соотношением

屮=X ехр 卜s(|x|2)j ,(3.7)

здесь s — некоторая произвольная функция. Теперь жидкие частицы, находящиеся на разных расстояниях от начала координат, вращаются вокруг него с разными скоростями, определяемыми видом функции s. Завихренность течения (3.6) находится из второго уравнения системы (1.30) и равна

15丿

В случае однородного вращение это выражение совпадает с (3.5). Если же s убывает обратно пропорционально |у|2, то величина завихренности обращается в нуль, и течение потенциально. Этот случай соответствует, в частности, движению жидкости вне кругового вихря.

Течение внутри эллипса. Рассмотрим течение, задаваемое выражением

屮=；(厶 + 石)XexpSU + ；(厶-^)Х exp(-nt) (3.8) здесь А, В — постоянные (смысл такого их введения станет ясен ниже). Можно непосредственной проверкой убедиться, что соотношение (3.8) удовлетворяет системе уравнений (1.30). Движение отдельной жидкой частицы состоит из двух круговых вращений — по окружности радиуса -(А + В) |х1 с угловой скоростью 7 и по окружности радиуса 1

-(А — В) |х| с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении. В итоге каждая частица описывает эллипс с полуосями А |у| , В |у|. Одну из таких эллиптических траекторий, например, соответствующую значению |xl = 1，можно выбрать в качестве твердой границы. Тогда точное решение (3.8) будет определять течение внутри эллипса с полуосями А, В.

Это течение вихревое. Его завихренность, согласно (1.30), равна

7(А2 + В2)

Q= АВ *

Она постоянна всюду в области течения.

Усложним задачу и предположим, что граница эллипса вращается с угловой скоростью 8. Движение жидких частиц внутри него будут определяться выражением

W =^(А +В) х ехр[г(5 + 7)廿 + ^ (А - В)у ехр[г(5 -7) t].(3.9)

Оно также является точным решением уравнений гидродинамики и удовлетворяет граничному условию на твердой поверхности (условию непротекания). Его завихренность равна

7(42+ 债)АВ + .

Течение (3.9) нестационарное. Движение жидких частиц в нем по- прежнему представляет наложение двух круговых вращений, но частоты вращений уже неодинаковы. Траекториями жидких частиц будут эпициклоиды или гипоциклоиды, если 8 — 7 < 0. Примечательно, что если величины 8 + 7 и 5 — 7 несоизмеримы, то эти кривые незамкнутые.

Течения со спиральными траекториями жидких частиц. Уравнения гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости обладают одним любопытным свойством. Предположим, что нам известно некоторое двумерное их решение: X = Х*(а, Ь,方)，У =匕(а, Ь,方).Тогда выражения

Х = Х*(а,Ь,“，

У = К(а,Ь,“，(3.10)

Z = с + U{a, Ь)方，

где U(a, Ь) — некоторая произвольная функция, также будут решением уравнений гидродинамики. Для доказательства этого утверждения достаточно подставить эти соотношения в уравнение непрерывности (1.8) и в уравнения движения (1.20) и убедиться, что данное пространственное течение является производным от заданного плоского течения.

Выберем в качестве известного двумерного решения течение (3.5). Тогда соотношение вида

X = a cos— bsmut;

У = asins方 + bcoss 方；(3.11)

Z = c+U(a, b)方；s = s (|x『)

определяет течение co спиральными траекториями жидких частиц. Каждая из частиц, помимо равномерного вращения в плоскости X, У, участвует еще и в неоднородном дрейфе вдоль оси Z. Качественно такие винтовые движения напоминают траектории, по которым движутся отдельные частицы внутри смерчеобразных структур.

Точно так же подставим решение (3.8) в выражение (3.10), которое в данном случае примет вид

X = А(а coscj t — bsmut);

У = В (a sin з t + b cos s t);(3.12)

Z = c + U(a, b)方.

Это представление соответствует «деформированному» течению (3.11), когда коэффициенты растяжения (сжатия) по горизонтальной и вертикальной осям различны. В таком потоке жидкости траектори частиц представляют уже намотки на поверхность эллиптического цилиндра.

Еще более сложными будут спиральные траектории частиц в движении, определяемом соотношениями (3.9), (3.10). Оно записывается аналогично (3.11) и (3.12). К двум разночастотным вращениям добавляется смещение в поперечном направлении. В итоге траектория частицы будет равномерно вытянутой в этом направлении эпициклоидой (гипоциклоидой).

Волны Герстнера

Выражение, которым задаются волны Герстнера, имеет вид [11, 13, 84>X = а — Aekb sin(ka - s 方)，

У = 6 + Aekb cos(ka —'

Оно описывает гравитационные волны на поверхности жидкости: здесь А — амплитуда волны, к — волновое число, s — частота волны. Жидкость предполагается бесконечно глубокой, в глубине b <0. Как и в линейных потенциальных волнах на воде они связаны соотношением cj2 = дк, д — ускорение свободного падения (формула для данного дисперсионного соотношения получается из условия постояноства давления на свободной поверхности b = 0). В каждый момент времени свободная поверхность рассматриваемой прогрессивной волны представляет собой циклоиду — кривую, вычерчиваемую некоторой точкой круга радиуса А, катящегося без скольжения по горизонтальной прямой у = =—А. Оставаясь неизменной, циклоида движется со скоростью с = =以卜―1. Укажем также, что физический смысл имеют только решения с А < к~{, в противном случае профиль самопересекается. Если же А = к~{, то гребни на нем становятся острыми.

В комплексных переменных решение (3.13) записывается так:

屮=X + iAexpi^kx - s方).(3.14)

Каждая жидкая частица в неподвижной системе отсчета движется по окружности радиуса A exp kb (другими словами, в волнах Герстнера нет дрейфа частиц). В решении Герстнера ярко проявляются некоторые «тонкости» лагранжевого подхода. Обратим вначале внимание на то, что начальное положение жидких частиц не совпадает в нем с лагранжевыми координатами, а именно

Xq = а — Aekb sin ка,К = b + Aekb cos ка.

Можно, разумеется, принять Х°,К за новые лагранжевы координаты, но при этом выражения для Хи У уже нельзя записать в явном виде как функции Хо п К・ Правая часть уравнения непрерывности (1.8) для волн Герстнера равна

Д)= 1 - ^2А2 exp(2kb).

Она обращается в нуль на свободной поверхности, если А = к~х. В случае А > к~х нулевое значение D соответствует внутренним точкам течения, и потому это решение становится нефизическим.

Завихренность волн Герстнера имеет вид

2k34?cexp(2kb)

1 -卜2厶2 exp(2kb).

Она быстро убывает по мере погружения в жидкость.

Неустановившееся движение плоского слоясо свободной границей

Выпишем уравнения (1.8), (1.20) для случая плоского течения:

(3.15)(3.15)XaYb-XbYa = DQ(a,by,

(3.15)

(3.15)

XtaXb - XtbXa + YtaYb - YtbYa = D0(a, b) Q(a, b).

Предположим, что функция У не зависит от переменной а. Тогда система (3.15) упростится и примет следующий вид:

豆 ХаК=0；

斫(X力аХь — X力ьХа) = 0.

Авторы [85] следующее:Авторы [85] следующее:показали, что точным решением этих уравненийпоказали, что точным решением этих уравненийявляетсяявляетсяX = [1 + /(Ь)0а + 夕(Ь)方, ъУ= [1+ /(〃)『"从， оX = [1 + /(Ь)0а + 夕(Ь)方, ъУ= [1+ /(〃)『"从， о(3.16)(3.16)

Авторы [85] следующее:

Авторы [85] следующее:

показали, что точным решением этих уравнений

показали, что точным решением этих уравнений

является

является

X = [1 + /(Ь)0а + 夕(Ь)方, ъ

У= [1+ /(〃)『"从， о

X = [1 + /(Ь)0а + 夕(Ь)方, ъ

У= [1+ /(〃)『"从， о

(3.16)

(3.16)

здесь /,夕一произвольные функции с размерностью соответственно времени и скорости. Пусть в плоскости лагранжевых переменных решению (3.16) соответствует полоса 九》b》0. Тогда его можно интерпретировать как неустановившееся движение плоского слоя с толщиной

к

/⑴=[1 + /(从)方「1如■

о

На нижней границе слоя, соответствующей b = 0, выполняется условие непротекания (匕=0). С ростом t и в случае/(6) > 0 слой утоньшается, так что /(方)—0 при 方—оо. Для /(b) < 0 существует момент времени 方* такой, что /(方*) = 0.

Давление внутри жидкости, согласно (1.16), определяется по фор

мулемулеьР= -р (匕力 K + gK)db,ьР= -р (匕力 K + gK)db,

муле

муле

ь

Р= -р (匕力 K + gK)db,

ь

Р= -р (匕力 K + gK)db,

о

где g — ускорение свободного падения, и равно

ь7

p = -pgY + 20[1 + 貝丁)方「1 户(从)[1 + /(м)^]-3ф 打 +e⑴•

оо

На верхней границе b = h, выбрав определенное значение ℃), можно удовлетворить условию постоянства давления. Таким образом, решение (3.16) описывает растекание вдоль твердой стенки плоского слоя со свободной поверхностью. Завихренность рассмотренного течения равна

◎ = —afb —夕 ь・

Слой с постоянной завихренностью Qo получается при f = k = const и описывается формулами

(3.17)(3.17)X = (1 + kt)a — С。卅，У =]]尻, Qo =-夕ь = const, P = -pg[h-y(l+kt)] +(]，尻)4 [层-(1 + 尻)2у2].

(3.17)

(3.17)

Прямая у = Д(1 + к方)—1 является свободной границей.

В силу линейной зависимости X, Y от лагранжевых координат решение (3.17) можно в явной форме записать в эйлеровых переменных следующим образом [85]:

К =]，尻-СоУ；К =]，尻-СоУ；V = кУу 1 +尻.V = кУу 1 +尻.

К =]，尻-СоУ；

К =]，尻-СоУ；

V = кУ

у 1 +尻.

V = кУ

у 1 +尻.

Пространственные течения с полем скорости,линейно зависящим от координат

Уравнения гидродинамики существенно упрощаются, если предположить, что поле скорости течения линейно зависит от пространственных переменных. Выражение для вектора г, определяющего движение отдельных жидких частиц, маркируемых лагранжевым вектором а, можно представить так:

尸=4⑴万.(3.18)

Элементы матрицы Якоби Aij = dri/daj (г, j = 1,2, 3) являются функциями только времени. Для их определения следует решить уравнение непрерывности (1.8), которое в данном случае принимает вид

det А = 1,(3.19)

и три уравнения движения (1.20), записываемые с учетом (3.18) в следующей форме:乙 乙乙

А^ А-At = S,(3.20)

(。S3 - S2、

巨=-S30&.

〈S2sl0 )

Индекс «方》внизу обозначает дифференцирование по времени, элементами не зависящей от времени антисимметричной матрицы S являются

инварианты Коши. Для течений, линейно зависящих от пространственных координат, это некоторые постоянные величины. По известному представлению поля скорости распределение давления в жидкости находится из соотношения (1.15).

Итак, для нахождения девяти компонент матрицы А в общем случае имеется только четыре условия. Нас, однако, будут интересовать решения (3.19), (3.20), которым можно придать определенную физическую интерпретацию.

Задача Дирихле. Исторически впервые к исследованию такого рода течений обратился Дирихле [86] с целью изучения свойств самогравитирующих вращающихся жидких эллипсоидов. Он проанализировал, при каких условиях возможно существование течения, ограниченного в любой момент времени поверхностью эллипсоида и описываемого линейным по пространственным координатам полем скорости. Изложим суть его подхода для случая обычной (негравитирующей) жидкости. При этом воспользуемся способом описания течений, использованном в [80] (и приведенном в [75]).

Предположим, что давление внутри жидкого эллипсоида распределено по следующему закону:

р=嚟(/ —万万)，(3.21)

здесь N = diag(八i,八2,八з) — диагональная матрица,八i,八2,八з — произвольные числа. Свободная поверхность, на которой давление равно нулю, при таком представлении в лагранжевых переменных будет задаваться кривой второго порядка

I - d'Na = l -(八 1a2 + 八 2庐 + 八 3С2) = 0.

Для эллипсоида все 八分 положительны. Будем считать, что лагранжевые координаты совпадают с начальными положениями жидких частиц (4(0) = Е, Е — единичная матрица). Отсюда следует, что в начальный момент времени жидкий объем имеет форму эллипсоида. В эйлеровых переменных форма свободной границы будет определяться уравнением

А~{Х ^NA-{X = 1,

очевидно, что задаваемая этой квадратичной формой поверхность будет оставаться эллипсоидом во все следующие моменты времени.

С учетом (3.21) матрица А удовлетворяет уравнению

которое следует дополнить начальным условием

4 ⑼=Ao, SpAq = 0,

здесь 4° — произвольная постоянная матрица. Последнее условие следует из условия равенства нулю дивергенции эйлерового поля скорости в начальный момент.

Задача Дирихле традиционно решается в эйлеровых переменных. Лагранжев формализм «не приносит особой выгоды при исследовании конкретных случаев колебаний» [87]. Вместе с тем ряд результатов по динамике нестационарных, негравитирующих эллипсоидов удается получить именно в лагранжевых переменных.

3.4.2. Эллипсоид Овсянникова. Выберем3.4.2. Эллипсоид Овсянникова. Выберемдующем виде [6]:дующем виде [6]:матрицы А и N в слематрицы А и N в сле/ Q—п0、/ 100па;N = Ё =010\ о0т〔001/ Q—п0、/ 100па;N = Ё =010\ о0т〔001(3.23)(3.23)

3.4.2. Эллипсоид Овсянникова. Выберем

3.4.2. Эллипсоид Овсянникова. Выберем

дующем виде [6]:

дующем виде [6]:

матрицы А и N в сле

матрицы А и N в сле

/ Q

—п

0、

/ 1

0

0

п

а

;N = Ё =

0

1

0

\ о

0

т

〔0

0

1

/ Q

—п

0、

/ 1

0

0

п

а

;N = Ё =

0

1

0

\ о

0

т

〔0

0

1

(3.23)

(3.23)

В выражении для давления (2.21) будем мсчитать I = 1. Координаты начального положения жидких частиц совпадают с лагранжевыми:

a⑼=m⑼=1,八⑼=0.

Подставляя выражение для матрицы А в условие неразрывности (3.19), найдем, что элементы матрицы связаны соотношением

(а? + 八2)加=1.(3.24)

С учетом этого равенства обратная матрица к транспонированной матрице 4T записывается следующим образом:

/ат —пт0

птат0

\ 00

и система уравнений движения (3.22) принимает вид

= qa т,(3.25)

ntt = qnm,(3.26)

= qm~'.(3.27)

Здесь учтено, что N = Е, I = 1. Чтобы решить систему уравнений (3.25)-(3.27), положим

t力

小⑺今(小⑺而),

00

s — постоянная. Уравнения (3.25), (3.26) будут удовлетворяться, если положить, что

3 端—4nz%2

q 2(i+2m3).

С учетом этого уравнение (3.27) примет вид

3m? - 4nz%2= 7

2m(l + 2m3)

1262m3 [1 + А(1 - т)]，1262m3 [1 + А(1 - т)]，Понижая его порядок, получим, что функция m(t) удовлетворяет уравнению

1262m3 [1 + А(1 - т)]，

1262m3 [1 + А(1 - т)]，

2 =

где параметр b = —а力(0)=加力(0)/2, так что матрица 4°, определяющая величину начальной скорости течения, выглядит следующим образом:

/ -b -30

Aq = 3bo〈00 2b

Из нее видно, что начальная завихренность течения равна 2s, а ее вектор направлен вдоль вертикальной оси 2. Поскольку инварианты Коши равны величине начальной завихренности (см. раздел 1.3.3), то для них справедлива формула

Si = S2 = 0; S3 = 2s.

Координаты жидких частиц внутри эллипсоида изменяются по следующему закону:

X = аа — nb, У = па + а 6, Z = тс.

Вектор завихренности в соответствии с соотношением (2.10) определяется выражением

Q = 2шХс = 2uZczq = 2Gm ⑴尹.

Он направлен все время вертикально, а его величина зависит от времени.

Будем рассматривать вихревой режим течения (s # 0) и предположим, что b > 0. Тогда 加力(0) > 0 и величина m(t) с ростом t вначале возрастает, но существует критическое значение т* = 1 + 1 /А, при достижении которого mt обращается в нуль. Это происходит в момент времени 方*, определяемый формулой

1 + А( 1 — т)1 + А( 1 — т)、3/2

1 + А( 1 — т)

1 + А( 1 — т)

1

При 方〉方* должны выполняться неравенства

т < т^, mt < 0.

При этом зависимость m(t) определяется уравнениями

7*

2b%/5 方= 7一3/2 dr, 04方 W方*,

J V1 + 入(1 - 丁)

К /厂(3.29)

2bx/5(方一方*)=丁_3/2 / 1 匸一? dr,方*.

Из второго уравнения (3.29) видно, что nz — 0 при 方—оо. Если 6 < О, то при t > 0 функция т монотонно убывает. Если b V 0, то при t > О функция т монотонно убывает.

В начальный момент жидкий объем представляет шар, в более поздние моменты времени он деформируется, оставаясь эллипсоидом. Уравнение его границы записывается так:

т(ж2 + 力)+ m~2z2 = 1.

Если b〉0, то при Octet* шар вытягивается в эллипсоид вращения с осью 2 до тех пор, пока в момент 方=方* его большая (направленная вдоль 2)полуось не примет значения т = т*. После этого эллипсоид начинает сплющиваться по вертикали, в момент t = 2方* проходит стадию начальной сферы и затем продолжает сжиматься к плоскости 2 = =0.

Пусть теперь s = 0. В этом случае S3 14 a равны нулю и, следовательно, течение потенциально. Упрощается и вид матрицы А: поскольку теперь п = 0, она становится диагональной, а между ее ненулевыми элементами выполняется соотношение т = а~2. Функция а&) определяется выражением

3(2 + &6)1/2力=尻(k = bv^).(3.30)

i

С ростом времени единичный шар деформируется в эллипсоид вращения, полуоси которого равны а, а, а~2. Когда k V 0, то при 方—оо, согласно (3.30), а — 0. При этом эллипсоид вытягивается вдоль оси 2, становясь все более тонким. При больших t он имеет вид «иглы». Скорость ее конца равна

口⑴=2|k|(2 + &6) —1/2.

Она растет со временем: если при t = 0 ее значение 2 \к\ /д/З, то при 方—оо, когда а = 0, она достигает величины д/5 \к\. Если же к〉О, то эллипсоид, задаваемый уравнением

при 方—оо сплющивается к плоскости 2 = 0.

Приведенное решение получено Л. В. Овсянниковым [80] и представляет исключительный случай аналитического решения нестационарной задачи Дирихле. В двумерном случае решение подобного рода построено В.В. Пухначевым [88] (см. также [75]). Он показал, что плоская задача о движении жидкого эллипса со свободной границей интегрируется в элементарных функциях. Оказалось, что справедлива следующая альтернатива: либо одна из полуосей эллипса неограниченно возрастает при 方—оо, либо движение есть равномерное вращение круга вокруг центра.

Развивая изложенный выше подход, О.М. Лаврентьева получила некоторые достаточно общие результаты по динамике нестационарных эллипсоидов со свободной границей [89]. В частности, она указала неравенство, которому должен удовлетворять диаметр эллипсоида для некоторых частных представлений матриц 4° и N.

Часть II

НОВЫЕ МЕТОДЫ И ПОДХОДЫ

Глава 4

ПЛОСКИЕ ВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ

4.1. Обзор известных подходов к изучению плоскихвихревых течений в эйлеровом описании

Двумерные уравнения Эйлера в переменных завихренность Q — функция тока ⑦ имеют вид [11]

^ = 0; =-Q. (4.1)

Из этих уравнений следует, в частности, что если величина завихренности всюду постоянна, то задача сводится к определению функции тока, удовлетворяющей уравнению Пуассона, для которого легко написать общее решение. Таким образом, проблема описания однородно завихренных движений жидкости связана с выбором решения уравнения (4.1), удовлетворяющего заданным граничным условиям.

В случае движения жидкости внутри твердого тела указанная проблема решена, например, для эллиптического цилиндра [12] (см. также раздел 3.1.3) и треугольной призмы [90]; в случае полуограничен- ного течения жидкости с постоянной завихренностью оба известных точных решения получены С. А. Чаплыгиным и описывают обтекание однородным на бесконечности потоком препятствия в форме круглого полуцилиндра [91] и преграды в виде забора [92].

Другим типом движений с постоянной завихренностью (не ограниченных твердой поверхностью) являются области однородной завихренности, находящиеся в окружающем потенциальном течении. К ним относятся, в частности, локализованные вихри в безграничной жидкости — круговой вихрь Рэнкина [11, 93], эллиптический вихрь Кирхгофа [7], находящиеся в покоящемся на бесконечности потенциальном потоке, эллиптический вихрь Чаплыгина в сдвиговом

Обзор известных подходов к изучению плоских вихревых течений 47 потоке [94] и эллиптические — стационарный (Сэффмена-Мура [58, 59]) и нестационарный (Киды [60]) вихри в линейном по координатам внешнем поле. Специфической чертой этих течений является наличие границы, разделяющей области вихревого и потенциального движений. Проблемы их описания будут подробно обсуждаться в двух следующих главах.

При стационарном движении жидкости траектории жидких частиц совпадают с линиями тока. Поскольку завихренность частиц в плоском течении сохраняется, то она будет постоянна вдоль линии тока. Отсюда следует, что уравнение (4.1) можно свести к соотношению следующего вида:

Зхх + Фуу = —^W), (4.2)

где а(2) — некоторая, зависящая только от ⑦，функция. Итак, если распределение завихренности по различным линиям тока известно, то математическая часть решения задачи об установившемся двумерном течении ясна, хотя аналитическое определение ⑦ из уравнения (4.2) может оказаться нелегким делом.

Распределение завихренности может быть задано произвольным, если ограничиться теорией невязкой жидкости. На практике же оно определяется историей формирования стационарного течения, которая, в свою очередь, в значительной степени зависит от влияния вязкости. Обычно нет возможности подробно проанализировать процесс формирования установившегося течения, поэтому функцию ^(2) удается определить лишь в некоторых простых случаях.

Возможные решения уравнений движения невязкой жидкости можно исследовать путем задания того или иного вида 03). Так, в задачах обтекания твердых тел с образованием присоединенного вихря, которые будут рассматриваться в данной главе, ее можно полагать постоянной. Линейной 0(2) отвечает вихревое течение внутри кругового дипольного вихря Чаплыгина [9], находящегося во внешнем однородном потенциальном потоке. Граница, разделяющая разнозавихренные части кругового ядра, может быть как отрезком прямой, совпадающим с диаметром круга (симметричный дипольный вихрь), так и дугой, опирающейся на диаметр (несимметричный дипольный вихрь). Первый из них был независимо описан также Ламбом [11] и в литературе часто называется его именем. Всюду регулярное решение (4.2), соответствующее экспоненциальной С(2), описывает дорожку круговых вихрей в сдвиговом потоке [95]. Это течение всюду вихревое, а граница вихрей определяется как линия, внутри которой завихренность превышает некоторое заданное значение.

В работе [96] рассматриваются течения, для которых зависимость завихренности от функции тока определяется следующей формулой:

Решения (4.2) с правой частью вида (4.3) находятся методом разделения переменных. Течения, соответствующие им, могут быть двух типов — «изгибные», не содержащие замкнутых линий тока, и «петлевые», имеющие таковые. Их топология может быть весьма разной. Наиболее интересными среди них нам представляются течения, ограниченные прямолинейными границами. Выражение (4.3) является единственным, допускающим разделение переменных в виде произведения функций х и у.

В развитие данного исследования О. В. Капцов нашел все представления правых частей (4.2), для которых можно представить решение следующим образом:

⑦=Q(WO) + 〃匂))，

здесь Q,§, 〃一 некоторые функции, причем, ни одна из них не является многочленом степени два или меньше [97, 98].

Академик Г. Г. Черный подробно изучил класс плоских стационарных автомодельных течений, завихренность которых степенным образом зависит от ⑦[99] (впервые на их существование было указано в уже упоминавшейся статье [96]).

Из числа нестационарных вихревых течений, описываемых точным решением (4.1), следует указать несимметричный дипольный вихрь Чаплыгина, движущийся по круговой траектории в покоящейся на бесконечности жидкости [9]. Чаплыгинское решение было переоткрыто в работе [100], где изучалось образование диполя струей равномерно вращающейся жидкости.

Ниже изучается новый класс нестационарных, неоднородно завихренных плоских течений идеальной жидкости [81, 82]. Нестационар- ность и неоднородная завихренность выделяют его среди остальных известных точных решений.

Птолемеевские течения

Непосредственной подстановкой в (1.30) можно убедиться, что выражение

W = GJ)/* + FgeW (4.4)

где G,歹一аналитические функции, X，〃一 произвольные действительные числа, является точным решением уравнений двумерной гидродинамики. Отметим, что функции G п 歹 в значительной степени произвольны, так как единственным ограничением на их выбор является требование необращения в нуль якобиана D. Поэтому выражение (4.4) описывает некоторый класс вихревых течений. Укажем, что в соответствии с (1.30) якобиан D равен

—I 片G[ = £,片=県 (4.5)

Траекториями жидких частиц при таком движении жидкости будут эпициклоиды (гипоциклоиды), т. е. частицы описывают окружность, центр которой в свою очередь движется по другой окружности (см. рис. 1). По таким орбитам вращались планеты в Птолемеевой картине Мира. В связи с этим данный тип течений был назван птолемеевским.

Эпициклоиды с 3 выступамиЭпициклоиды с 3 выступами1. Эпициклоида1. ЭпициклоидаРис. 1. Возможные виды траекторий жидких частиц в птоломеевских теченияхРис. 1. Возможные виды траекторий жидких частиц в птоломеевских течениях

Эпициклоиды с 3 выступами

Эпициклоиды с 3 выступами

1. Эпициклоида

1. Эпициклоида

Рис. 1. Возможные виды траекторий жидких частиц в птоломеевских течениях

Рис. 1. Возможные виды траекторий жидких частиц в птоломеевских течениях

Птолемеевские решения (4.4), включающие две произвольные аналитические функции, описывают весьма широкий класс двумерных вихревых движений. Рассмотрим некоторые их общие свойства. Очевидно, что равномерное вращение жидкости как целого с угловой скоростью s характеризуется общим множителем exp(zcjt) в выражении для W. Поэтому выбором подходящей системы отсчета множители при функциях G и F могут быть изменены. При такой процедуре невозможно изменить лишь разность частот X — 〃. В частности, одно из слагаемых в соотношении (4.4) можно сделать не зависящим от времени.

Птолемеевские течения — вихревые. Вектор завихренности для них определяется выражением

Ki2-hl

Он направлен по нормали к плоскости движения жидких частиц и, вообще говоря, имеет неоднородное распределение в пространстве.

Найдем эйлерово поле скоростей, соответствующее птолемеевскому течению. Для этого из системы

W = G(x) e"力 + ь(又)e^,

(4.7)

V = ”G(x) еш + ^歹(Х) е^

надо исключить переменные у, у и получить выражение, связывающее комплексные координаты W и W с комплексной скоростью V. Проще всего это сделать, если нам известна F как функция G:

F = Н0.

Тогда разрешая (4.7) относительно G и F, получим для них следующие соотношения:

G = 咅г- е 2F = — e(4.8)

2(从 -入)2(从 -入)

В итоге скорость как функция координат в неявном виде будет определяться формулой

(4.9)

Ее можно переписать в симметричной форме

(4.Ю)(4.Ю)

(4.Ю)

(4.Ю)

где 歹—I 1 — обратные функции от F и G соответственно. Стало очевидным, что при всей простоте зависимости от времени траекторий частиц, поле течений в переменных Эйлера может оказаться весьма сложной функцией времени.

Давление в области с птолемеевским течением записывается так:

^ = —Н + ； N |G『+ ；犷尸2 +

+ Re {&入一4)［d2G戸］+ 从2g；戸］d^ (4.11)

здесь H — потенциал внешних сил.

Об уникальности класса птолемеевских течений

В связи с видом решения (4.4) возникает естественный вопрос. Нельзя ли обобщить птолемеевские решения путем добавления эпициклов, подобно тому, как это делал Птолемей для описания сложного движения планет? Иными словами — возможно ли существование решений уравнений гидродинамики в виде конечного ряда Фурье, т. е. когда комплексные координаты ищутся в виде

N

屮=£%(Х，Х)exp(〃W),(4.12)

k=l

где число слагаемых N конечно (больше двух) и все 入卜—действительные постоянные?

Покажем, что из всех возможных решений в лагранжевых переменных, содержащих конечный набор временных (не зависящих от координат) частот, уравнениям гидродинамики удовлетворяет только двухчастотное решение, описывающее птолемеевские течения.

Рассмотрим последовательно возможность существования решения для случаев N = 2,3 и, наконец, для произвольного конечного числа.

Итак, пусть N = 2. В этом случае правые части уравнений системы (1.30) не зависят от времени только в том случае, если

叫严;l叫Ех・(4.13)

Заметим, что

=(帝2)； 伝‘=(帝2)； ,(4.14)

поэтому равенство (4.13) эквивалентно следующему:

吗=0;(4.15)

О(х，х) L 」 квадратные скобки в дальнейшем мы будем применять для обозначения операции взятия якобиана. Из равенства якобиана нулю вытекает, что

Ж =/(>2),

здесь / — некоторая аналитическая функция.

Из приведенного анализа следует, в частности, что в случае конечного набора функций вида % exp^iX^t) члены, содержащие максимальный и минимальный показатели в экспоненте (пусть это будут Ai и Адг), связаны соотношением

W{=f(WN).

Перейдем к случаю N = 3. Подставим выражение

з

Wk exp(zAfet)

k = l

в уравнение непрерывности и приравняем нулю все осциллирующие во времени слагаемые. Здесь возможны два случая:

все разности частот не равны друг другу. Тогда получаем

[叫，帚2] =0;[叫，声 з] =0;[%,ТГз] =0.

Из первого условия следует, что W^ — функция от W\, из второго, что W3 — функция от W\, но тогда из последнего и первого равенства получаем, что Wi — функция от W\. Это возможно только если W\ —комплексная функция одного действительного параметра. Очевидно, что %, W3 тоже функции только этого же действительного параметра. Примем этот параметр за лагранжеву переменную а. В итоге мы пришли к утверждению, что W — функция только а и доказали, тем самым, что течение, описываемое выражением

з

w = ^Wk^i\kt)k = l

с неэквидистантным спектром, не может быть двумерным. Мы получили этот результат, даже не используя уравнения движения.

К такому же результату мы придем и в случае, когда

частоты в триплете эквидистантны, то есть

入2 —入1 =入3 —入2・

Теперь, однако, необходимо воспользоваться обоими уравнениями гидродинамики. Из уравнения непрерывности следует, что

И，Ж3] =0;[叫，帚2] + [%,帚 з] =0, а из уравнения движения следует

А1 И，Ж2] +入2 [^2,Жз] =0, и опять, как и в случае а), получим

[明，帝2]=0；[叫，帝2]=0；[^2,>3] = 0, если Al ^ a2.

Таким образом, снова W — функция только а.

Рассмотрим, наконец, случай произвольного конечного числа слагаемых. Согласно сделанному выше замечанию \W\, W^ = 0 и, следовательно, W\ = f(Wn). Расположим все разности частот в порядке их не возрастания от максимальной (равной》n 一 入1) до наиболее близкой к 6n —入1)/2 (но большей неё). Якобианы, составленные из пар функций, соответствующих парам частот, входящих в эти разности, обязаны равняться нулю. Это сразу же следует из уравнения непрерывности, если нет равных разностей частот, а также — из уравнения движения и уравнения непрерывности, если есть пары равных разностей частот (см. рассуждения о триплете).

Отсюда следует, в частности, что функции W^ с частотами, расположенными на оси частот по одну сторону от частоты (Адг — Ai)/2, будут функционально зависеть от комплексно сопряженных функций Wj, соответствующих частотам из другой половины частотного интервала. Легко видеть тогда, что любая пара функций из одной половины частотного интервала функционально связаны между собой (без комплексного сопряжения).

Рассмотрим теперь функцию Wp с частотой Ар, наиболее близкой к середине частотного интервала. Пусть для определенности она расположена в той же половине интервала что и W\. Тогда, согласно последнему утверждению,

恥=/(%),

как расположенные в одной половине частотного интервала. Однако согласно уравнению непрерывности (см. рассуждения о дуплете и триплете), имеем—

Ki = h(Wp).

Последние два равенства означают, что Wi функция только одного действительного параметра а. Очевидно, что остальные Wp тоже функции только этого же действительного параметра. Примем этот параметр за лагранжеву переменную а. В итоге мы пришли к утверждению, что W — функция только а и доказали, тем самым, что течение,

описываемое выражением W = £ W^ exp^iX^t) для N > 2, не может к=1

быть двумерным.

Таким образом, мы показали, что из всех возможных решений в лагранжевых переменных, содержащих конечный набор временных (не зависящих от координат) частот, уравнениям гидродинамики удовлетворяет только двухчастотное решение, описывающее птолемеевские течения. Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз ограничения, накладываемые на спектр рассматриваемого решения — это дискретность, конечность и независимость частот от координат.

Волны на воде при неоднородно распределенномвдоль поверхности и гармонически изменяющимсясо временем давлении

Рассмотрим простейшее обобщение волн Герстнера. Предположим, что области течения в лагранжевых переменных по-прежнему соответствует нижнее полупространство, но описывается оно уже выражением

W = X + F(X)e”(4.16)

Очевидно, что оно принадлежит к семейству птолемеевских течений, но, в отличие от волн Герстнера, функция F уже может быть не только экспонентой. Значение ее модуля определяет амплитуду вращения

отдельной жидкой частицы по окружности. На глубине частицы покоятся, поэтому должно выполняться условие

\F\ — 0 при b — -оо.

Поскольку функция F является аналитической, то своего максимального значения она всегда достигает на свободной границе. Другими словами, максимальная величина осцилляций отдельной частицы жидкости будет обязательно соответствовать частицам, находящимся на свободной поверхности.

Определим теперь, какому распределению давления на свободной поверхности будет отвечать наше волновое решение. Для этого подставим выражение (4.16) в формулу для давления (4.11). В итоге получим

= -д(Ь + Im F+ Re門d)(4.17)

Как видно из этого соотношения, при b = 0 величина давления будет некоторой функцией горизонтальной лагранжевой координаты а и времени. Зависимость от t имеет периодический характер. По существу, мы имеем целый класс точных решений, описывающий сложную динамику свободной поверхности при неоднородном и гармонически изменяющемся вдоль нее давлении. Завихренность течения (4.16) определяется равенством

2〃 尸|2

112

С физической точки зрения выражение (4.16) определяет достаточно «экзотические» распределения давления. Но, во-первых, нет никакого запрета на то, что они вполне могут реализовываться в конкретных ситуациях при различных волновых движениях воздуха над поверхностью воды. Во-вторых, выражения (4.16), (4.17) представляют исключительный пример точного решения для нестационарных вихревых поверхностных гравитационных волн. И, наконец, в-третьих, мы имеем не единичное решение, как в случае волны Герстнера, а целый класс волн в зависимости от выбора вида аналитической функции F.

Эпициклоидальные волны во вращающейсяжидкости (аналог волн Герстнера на цилиндрическойповерхности)

Рассмотрим волновые движения в жидкости, частично заполняющей быстро вращающийся с частотой s вокруг горизонтальной оси цилиндр (центрифугу). Под действием центробежной силы жидкость оказывается прижатой к стенке цилиндра и движется вместе с ним вокруг центрального воздушного ядра. Возникающие при этом колебания свободной поверхности называют центрифуговыми волнами [101].

Ранее они исследовались только в линейном приближении [101, 102]. В том случае, однако, если внешний радиус центрифуги считать бесконечным (достаточно большим или много большим размера воздушного ядра R), задачу можно решить точно [103].

Предположим, что изучаемые волны относятся к классу птолемеевских течений, тогда функции G п 歹 должны определяться граничными условиями. Так как на бесконечности жидкость вращается как целое, то в решении (4.4) следует положить

G(x) = ехр(泳 х) = % А = ^(4.18)

и считать, что \F\ — 0 при \v\ — оо.

Функцию F найдем из условия постоянства давления на свободной поверхности |z/| = R. С учетом соотношений (4.18) выражение для давления (4.11) можно представить так:

2 = /岡2 +〃2 r 2 + Re

P Z2J

Для того, чтобы на свободной поверхности давление оставалось постоянным, необходимо обращение в нуль коэффициентов при временных множителях. Это выполняется, если

F(y) = Ай «=2(4.19)

где А — постоянная. Окончательное выражение для W получим, подставив равенства (4.18), (4.19) в выражение (4.4):

W = и exp(zcj t) + 4»—о? exp(iqgt),(4.20)

откуда легко заключить, что траекториями жидких частиц являются укороченные эпи- (q > 0) и гипоциклоиды (q < 0) с числом выступов \q — 11，а профилями распространяющихся волн — эпициклоиды с числом заострений q2 — 1, причем, для стационарности профиля q2 следует считать целым. Учитывая вид профиля, волны естественно называть эпициклоидальными.

Распределение давления в жидкости задается формулой

+/m2—岳],(4.21)

то есть на профиле волны давление постоянно. Укажем также, что для постоянной А, определяющей амплитуду волн, имеется верхний предел Rq +i/q2, когда профиль свободной поверхности содержит заострения (при больших значениях А на профиле образуются петли — случай, физически нереализуемый). Эпициклоидальные волны — вихревые. Завихренность Q для них записывается следующим образом:

Q ] 一g442 m-2(q2+D，

откуда видно, что величина завихренности зависит, в том числе, и от знака q.

Найдем угловую скорость вращения профиля волн &о・ Очевидно, что вращение жидкости как целого с частотой а。 характеризуется общим множителем ехр(гс＜；о 方)в выражении для W, поэтому в системе отсчета, где профиль неподвижен, решение (4.19) примет вид

W = V exp [z(cj - g0)力]+ exp \i(qu - '0)方].

В этой системе траектории жидких частиц совпадают с формой профиля, поэтому справедливо равенство

州-^0 =『(а -以0)，

из которого находим

&о =.~г-

q+ 1

В системе отсчета, движущейся с угловой скоростью s, частота вращения профиля равняется (q + 1)一1必，так что волны, соответствующие отрицательным q, движутся в направлении вращения, а положительным —против.

Интересно, что решение (4.20) останется справедливым и в жидкости с произвольной стратификацией 0*(〃|)・ Действительно, положим

1 др1 Эро

(4.22)(4.22)z/|) дар да

(4.22)

(4.22)

1 др1 а夕 °

0*(財)аьр аь

где ро задается формулой (4.21). При этом, очевидно, все рассуждения для однородной жидкости автоматически переносятся на неоднородную. Так как 夕° — функция только 心|，представление (4.22) всегда возможно.

Выражение для давления в стратифицированной жидкости имеет вид2

Р = ] 0*(財)У (財一А2 財—2q?T)砌沙|.(4.23)

Таким образом, наличие стратификации не меняет форму траекторий частиц в эпициклоидальных волнах, а также собственные частоты движения. Кроме того изостерические поверхности(0* = const) совпадают, как видно из выражения (4.23), с изобарическими, и потому любая поверхность \v\ = const может рассматриваться как свободная. Это позволяет строить новые точные решения, когда имеется набор однородных и стратифицированных кольцевых слоев.

Свойства эпициклоидальных волн очень схожи со свойствами трохоидальных волн Герстнера. Для обоих типов волн давление на профиле волны постоянно, в системе отсчета, где волны неподвижны, траекториями жидких частиц являются окружности. Наконец, вид свободной поверхнеости этих волн определяется родственными кривыми

—эпициклоидой и трохоидой, так что по существу эпициклоидальные волны — это волны Герстнера на цилиндрической поверхности.

Укажем здесь же, что независимо от нас эпициклоидальные волны во вращающейся жидкости были описаны Н. А. Иногамовым [104]. Примечательно, что он пришел к выражению (3.20), обобщая линейное решение данной задачи, не зная о классе птолемеевских течений.

Поверхностные волны в столбе однороднозаряженного электронного газаво внешнем магнитном поле

Число примеров птолемеевских течений можно увеличить, если обратиться к рассмотрению магнитогидродинамических течений.

Рассмотрим столб равномерно заряженного электронного газа во внешнем однородном магнитном поле В = Bzq, zq — единичный вектор вдоль оси столба. В гидродинамическом приближении движение несжимаемого газа описывается следующей системой уравнений

div К =0,

dtdt"-5[仅x細+厶 Ре"-5[仅x細+厶 Ре(4.24)(4.24)

dt

dt

"-5[仅x細+厶 Ре

"-5[仅x細+厶 Ре

(4.24)

(4.24)

здесь fe,Ve, pe,^le,pe — электрическая сила на единицу массы, скорость, плотность, ларморовская частота и давление электронной жидкости = , где е — заряд электрона, те — его масса, с —

тес

скорость света).

Рассмотрим плоские течения поперек магнитного поля. При этом предположим, что добавка к радиальному электрическому полю круглого заряженного цилиндра, обусловленная возмущениями свободной поверхности незначительна, что выполняется, если амплитуда возмущений много меньше радиуса столба. Напряженность поля тогда пропорциональна радиусу R и сила на единицу массы газа равна

_ 崂 з 2 _ 4тг е2пе

2о

где Шр — квадрат плазменной частоты, пе — концентрация электронов.

веллавеллаВ уравнениях (4.24) не учитываются силы, связанные с колебаниями электрического и магнитного полей. Используя уравнения Макс-

велла

велла

疗 47Г1 дБ

rot Е =-rot Е =-1 дН с dt1 дН с dt

rot Е =-

rot Е =-

1 дН с dt

1 дН с dt

можно провести оценку и показать, что эти силы пренебрежимо малы по сравнению с силой Лоренца, обусловленной внешним магнитным полем, если электростатическая энергия газа много меньше плотности энергии, связанной с массой покоя, то есть Е2/8тг « ре^, что как раз выполняется для нерелятивистских пучков [105].

Сравнивая по порядку величины члены, входящие в уравнение непрерывности для сжимаемой жидкости, и используя оценку для Ve из уравнения движения, запишем условие несжимаемости

+ Qe) « (к无е)? + ~2 kRo,

где 以―* 卜―1 — характерные время и пространственный масштаб течения, Rq — радиус невозмущенного цилиндра,无е — тепловая скорость электронов. Запишем уравнения (4.24) в лагранжевых переменных. Условие несжимаемости, согласно (1.8), можно записать следующим образом:

(ХаК - XbYa)t = 0,(4.25)

здесь Х(а, Ь,方)，У(а, Ь,方) —координаты траекторий жидких частиц.

Уравнения движения в лагранжевых переменных получатся, если проекцию уравнений движения на ось х умножить на Ха(Хь), проекцию уравнений движения на ось у умножить на 匕(К) и сложить их. В окончательной форме эти уравнения примут вид

1,

一(0ё)。 = -X力力X。-匕力匕+ J(X力匕-匕X。)+域(XX。+ У匕)；

2(4.26)

—(夕е)ь = -X力力Хь -匕力К + J(X力К —匕Хь) + U (ХХь + УК).

(4.27) Из них нетрудно получить условие сохранения завихренности вдоль траектории, которое записывается так

(XtaXb + YtaYb - XtbXa - YtbYa)t = 0.(4.28)

Уравнения (4.25), (4.26), описывающие движение электронной жидкости в столбе, совпадают с уравнениями движения идеальной жидкости (1.8), (1.20).

Предположим, что движение жидкости является птолемеевским и определяется выражением

W = и exp(zAet) + 歹(〃)exp(i/^).(4.29)

Индекс «е» здесь используется для обозначения величин, относящихся к электронной жидкости. На свободной поверхности справедливо граничное условие

Ре = 0 при 〃| = Rq.(4.30)

Выражение для давления получается из уравнений (4.26), (4.27) с помощью подстановки в них решения (4.29):

х ехp [/(ае -从排]小人х ехp [/(ае -从排]小人(4.31)

х ехp [/(ае -从排]小人

х ехp [/(ае -从排]小人

здесь ро — константа. Чтобы на поверхности столба давление оставалось постоянным, необходимо обращение в нуль коэффициентов при временных множителях. Это возможно, как легко видеть, если F удовлетворяет уравнению

из которого находим, что

9 吗

F ⑺=4方，Z = ,(4.32)

黑+矿_ ^e^e

здесь А — постоянная, смысл и величина которой будут обсуждаться позже.

Итак, точное решение нелинейных уравнений (4.25)-(4.27), удовлетворяющее нелинейному граничному условию (4.30), имеет вид

(4.33)(4.33)W = и exp(zAet) + Ай1 exp(z/iet).

(4.33)

(4.33)

Частицы жидкости с одинаковым 財 в фиксированный момент времени, например t = 0, образуют гипоциклоиды. Мы интересуемся движениями со стационарным профилем волны (свободной поверхности), полагая I целым положительным числом (отрицательные I дадут особенность в нуле). При выполнении этого условия гипоциклоиды замыкаются без самопересечения, а число их арок равняется / + 1.

Условие положительности I эквивалентно неравенствам

。)从е V 以鼠 从е >；

6) &0 V Me V ,* V “о , 》е >；

Интересно отметить, что соотношения для s^ совпадают с выражениями для равновесных частот вращения столба как целого в приближении холодного газа [106]. Амплитуда отклонения свободной поверхности, как видно из решения (4.33), равняется ARq, поэтому предположение о статичности электрического поля, принятое при определении fe, справедливо, если

AR^ < До.(4.34)

Укажем здесь же, что для значений А имеется верхний предел: при А = В^~1 /I профиль свободной поверхности имеет заострения. Для больших А границей цилиндра является гипоциклоида с самопересечениями, что физически бессмысленно. Таким образом, для волн с I》 》1 следует полагать А < Rq~1 /I; в остальных случаях величина А выбирается с учетом неравенства (4.34).

Исследуя решение (4.33), можно показать, что частота распространяющихся азимутальных волн s выражается через введенные нами параметры ”，从е так:

= ZAe + 从 е・(4.35)

В эти соотношения входят неизвестные величины Ае и 从е・ Для их определения заметим, что движение газа (4.33) можно рассматривать как сумму однородного вращения с угловой скоростью Ае и возмущения, описываемого вторым слагаемым. Для равномерно вращающегося электронного столба известно ([106], с. 119), что если угловая скорость его вращения незначительно отличается от частот с^ или s), то есть

Хе =— 8Се ИЛИ Ае =+ 8Се,

0 < 5 < 1, то внутри столба плотность электронов приблизительно постоянна. Значение 从е, соответствующее указанным Ае, находится из условия (4.32) и выглядит так:

从е =+ / 8Се；从е = “о — / 8Се,(4.37)

а окончательно дисперсионное уравнение (4.35) записывается в виде

s = (/ + 1) so, cj = (Z — 1) а。+ Qe,(4.38)

где 5 принимает одно из двух значений или .

Профиль волны вращается с угловой скоростью з(1 + I)-1, траектории частиц газа не совпадают с формой профиля, они являются гипоциклоидами с числом выступов, определяемых отношением и 靖.Отметим также, что частоты распространения рассмотренных гипоциклоидальных волн (4.38) совпадают с собственными частотами линейных волн в холодном газе [106].

Равновесная форма плазменного цилиндрав продольном магнитном поле

Рассмотрим теперь плазменный цилиндр в продольном магнитном поле. В приближении двухжидкостной гидродинамики в пренебрежении трением между электронами и ионами движение несжимаемой плазмы описывается системой уравнений

div К = 0,

°1(4・39)

div 忆=0,

。(44。)

—7Г =5 匕 X 2о .

dt Pi

Сила трения, которой мы пренебрегли, оказывается малой по сравнению с силой Лоренца, если частота соударений удовлетворяет условию vei « Vi^li/Ve или, как будет ясно ниже, условию ^広 « me^i/mi， Силы, связанные с действием осиллирующих электрического и магнитного полей на плазму, будем, как и в предыдущем параграфе, считать пренебрежимо малыми по сравнению с силой Лоренца, обусловленной постоянным магнитным полем.

В силу квазинейтральности концентрации электронов пе и ионов 八分 одинаковы, для простоты положим их вначале постоянными, тогда сразу можно воспользоваться результатами задачи, разобранной выше. Действительно, система (4.39) получается из (4.24), если положить шр = 0 (то есть /е =0), а уравнения движения в системах (4.39), (4.40) отличаются только знаком силы Лоренца. Поэтому достаточно, например, разрешить (4.39); для ионной компоненты решение получается из найденного заменой Qe на —Q^. С учетом сказанного движения электронной и ионной компоненты описываются выражениями

We = z/exp(zAet) + 4» А2-депе ехр(5〃5),(4.41)

Wi = zzexp(zAit) + Ай &—入4 exp(z^t),(4.42)

которые получаются из решения (4.32), (4.33), если положить в нем Зр = 0. Условие квазинейтральности плазмы будет выполнено, если свободные поверхности обеих компонент жидкости совпадают в любой момент времени, то есть одинакова как форма граничного профиля, так и угловая скорость его вращения. Это реализуется, как видно из (4.32), (4.35)-(4.38), если

(4.43)(4.43)/Хё = 8 ае,从ё = --8 a分，从分=/ 8 C

(4.43)

(4.43)

Плазменный цилиндр не вращается, так как cje = ^ = 0; частицы обеих жидкостей движутся по одинаковым траекториям — гипоциклоидам с числом выступов Z + 1, но в противоположных направлениях.

Подставляя (4.41)-(4.43) в выражение для давления (4.11), определимI「-|

% ]就—財2 + 户不(財％ —硝 j .(4.44)

Наконец, отметим, что полученное решение вихревое, его завихренностьII

равняется

一42/2 m 2”1)，

то есть в рассмотренной ситуации плазменный цилиндр является ги- поциклоидальным вихрем.

До сих пор концентрация плазмы полагалась постоянной. Однако известно (см. например, [27]), что условие сохранения завихренности вдоль траектории, а значит, и выражение (4.28), остаются справедливыми и в неоднородной жидкости. (Если давление является функцией плотности.) Легко видеть, что решения (4.41), (4.42) будут описывать равновесную конфигурацию плазмы, если ее концентрация зависит от модуля комплексной лагранжевой координаты 心|・ В самом деле, выражение для давления принимает вид

Ре,г^2А2 同'^ 一 岡)& 財 + (/W)0，

где (夕e,分)o ——константы, определяемые из граничных условий. Плотность и давление зависят, таким образом, от одной и той же переменной и, следовательно, давление есть функция плотности. Отметим, что поверхности одинаковой плотности совпадают с изобарами и любая поверхность, образуемая частицами с одинаковым 財，может рассматриваться в качестве свободной.

Глава 5

ДИНАМИКА ДВУМЕРНЫХ ЗАВИХРЕННЫХОБЛАСТЕЙ

ВО ВНЕШНЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ТЕЧЕНИИ

История вопроса

Постановка сформулированной в названии главы задачи очень проста: в некоторый начальный момент времени в идеальной несжимаемой жидкости задается односвязная область с известным распределением завихренности внутри нее. Требуется определить ее дальнейшую эволюцию.

В общем случае решение этой задачи связано с преодолением двух принципиальных трудностей. Во-первых, для определения течения внутри вихревой области следует решить нелинейное уравнение для завихренности Q = —Хф:

0(△九 2)=0dt D(x, g)

здесь ⑦—функция тока. Сделать это весьма непросто. Даже в предположении стационарности движения известно лишь считанное число вариантов его решения [98]. Однако пусть эта трудность преодолена и найдено некоторое частное представление ⑦，удовлетворяющее уравнению (5.1). Тогда возникает вопрос о сшивке внутреннего вихревого решения с внешним потенциальным. Условия склейки потоков могут быть двух типов. Первый — непрерывны нормальная к границе компонента скорости и давление. В этом случае на границе существует тангенциальный разрыв скорости. Второй тип, и только о нем в дальнейшем будет вестись речь, предполагает непрерывность полной скорости. Давление на границе при этом будет тоже непрерывно.

Наиболее просто обе проблемы решаются для цилиндрических вихрей, когда линии тока являются окружностями. Внутри вихревого ядра угловая скорость вращения жидких частиц может произвольным

образом зависеть от радиуса, в зоне потенциального течения она убывает обратно пропорционально его квадрату. Цилиндрические вихри неустойчивы по отношению к двумерным возмущениям при наличии точек, где завихренность экстремальна [107].

равнаравнаПри построении примеров некруговых вихревых областей чрезвычайно эффективным оказывается предположение о постоянстве завихренности в ядре. В этом случае уравнение (5.1) удовлетворяется автоматически. Вопрос о склейке для таких течений решался по-разному. Один из подходов опирается на предположение о малом отличии формы области от круговой. Как показал Кельвин [11], скорость распространения азимутальных линейных волн вдоль границы кругового вихря

равна

равна

(5.2)(5.2)- 1) Q

(5.2)

(5.2)

'二

т — порядок моды. В свою очередь, Кирхгоф построил решение для возмущений конечной амплитуды, согласно которому однородно завихренная область в виде эллипса, равномерно вращается вокруг своего центра с постоянной угловой скоростью

Q4 + g)2, здесь А, В — полуоси эллипса. Точное решение Кирхгофа и приближенное, данное Кельвином, долгое время были исключительными примерами, дававшими представление о динамике одиночных вихревых областей.

Интерес к движению распределенных вихрей возродился после открытия когерентных структур в турбулентности. Применительно к рассматриваемой задаче в настоящее время развиты как аналитические, так и численные методы. Структура равномерно вращающихся областей постоянной завихренности, для которых граница мало отличается от окружности, проанализирована методом возмущений вплоть до третьего приближения [108] (и независимо в [109]).

В статье А. Г. Петрова [29] предложен новый подход к изучению динамики одиночной однородно завихренной области, основанный на решении динамических уравнений Лагранжа. В указанной статье изучались уравнения системы с двумя степенями свободы, определяющие вращение и деформацию эллипса с неподвижным центром. Частным случаем получалось решение Кирхгофа. В работе [НО] получены уже более общие уравнения, учитывающие и перемещение центра эллипса. Найдена новая однопараметрическая серия стационарных движений эллиптического вихря. Эллипс вращается вокруг собственного центра как твердое тело с постоянной угловой скоростью, а центр эллипса вращается по круговой орбите с той же угловой скоростью. Причем большая ось эллипса направлена к центру круговой орбиты. Для этой серии решений условие непрерывности давления на границе эллипса выполняется приближенно. Погрешность характеризуется максималь-

ным отклонением от нуля безразмерной невязки давления, которая оказывается достаточно малой в области устойчивых стационарных движений.

При однородном распределении завихренности внутри вихревого пятна сами возмущения потенциальны, и их можно рассматривать как слабонелинейные волны Кельвина. Сильнонелинейные возмущения границы кругового вихря изучались численно [11]. Использование метода контурной динамики позволило также численно наблюдать нестационарные режимы квазивозврата вращающейся однородно завихренной области с точкой заострения на профиле и образование нити завихренности как возможного механизма разрушения структуры вихря [112]. Таким образом, движение областей с постоянной завихренностью изучено достаточно подробно. В то же время ясно, что предположение о постоянстве завихренности носит очень частный характер. Для полноты исследования необходимо рассмотреть, в том числе, и динамику неоднородно завихренных областей. В некоторых случаях это удается сделать аналитически, используя лагранжево описание движения жидкости.

Птолемеевские вихри

Рассмотрим односвязную вихревую область, потенциально обтекаемую снаружи. Пусть выражение

(5.4)(5.4)W = av exp(zAt) + F⑺, 財 < 1, V = exp(泳 X)， X = a + 分b，

(5.4)

(5.4)

(где a — некоторая положительная постоянная) задает птолемеевское течение внутри этой области. Предположим также, что на плоскости лагранжевой переменной ^ ей соответствует внутренность единичного круга, что эквивалентно условию b》0. Выражение (5.4) является частным случаем птолемеевских течений (4.4) при G(x) = ехр(г/су),从=0. Форма вихревой области при таком выборе может быть в значительной степени произвольной в зависимости от вида функции F. Завихренность этого течения определяется формулой

—1 2 尸|2

Для всевозможных функций F, за исключением линейной, она минимальна в центре вихря и возрастает к его границе. Траекториями жидких частиц служат окружности, причем, у каждой частицы свой центр вращения, положение которого определяется конкретным значением функции F.

Обратимся теперь к определению потенциального течения во внешности вихря. Для этого поступим следующим образом [10, 11]. Запишем комплексную координату некоторой точки внешней области W

3 А.А. Абрашкин, Е.И. Якубович

и комплексную скорость в этой точке V в виде следующих функций комплексного параметра %

. (5.6)

V = ^^ exp(zAt); \v\》1.

Эти выражения совпадают с выражениями для W и V птолемеевского течения на границе вихря. Следовательно, они удовлетворяют условиям непрерывности скорости и давления на границе.

Соотношения (5.6) решают проблему, так как являются параметрической формой записи искомого потенциального течения. Действительно, из них следует, что V — аналитическая функция от комплексно сопряженной координаты W, то есть течение потенциально. Во избежании недоразумений подчеркнем, что переменная в выражениях (5.6) уже не является лагранжевой переменной. Она совпадает с переменной Лагранжа только на границе вихря при \v\ = 1. При склейке течений потенциальное движение жидкости задается параметрически. Такой способ описания применялся в работе [113] (см. также [90, 114, 115]) при изучении течений со свободной поверхностью. Нами идея параметрической записи потенциального движения жидкости реализована применительно к задаче склейки внутреннего вихревого и внешнего потенциального течений.

Заметим, что закон спадания скорости на бесконечности такой же, как и для точечного вихря. Именно с целью удовлетворить этому условию выбирались вид функции G и значение частоты 从.В построенном решении функция F не может быть произвольной. Необходимо выполнение неравенства

尸|<а, при 同 <1 (5.7)

для того, чтобы детерминант D(y, у) не обращался в нуль внутри вихря (см. формулу (4.5)). Ниже мы покажем, что выполнение этого условия одновременно означает, что потенциальное поле скорости во внешности вихря не имеет особых точек. Как видно из (5.4), в общем случае птолемеевские вихри нестационарны, их форма изменяется во времени периодически.

Мы рассмотрели задачу определения динамики формы птолемеевского вихря и внешнего потенциального течения. Рассмотрим теперь в некотором смысле обратную задачу — по заданной начальной форме границы и скорости частиц на ней определить птолемеевское течение во внутренней области.

Пусть при 方=0 задана форма контура вихря Wq и скорость на нем W(^. Задача определения функции F сводится к определению конформного отображения Q единичного круга на внешность области W^.

После этого выражение для границы вихря записывается следующим образом:а

W^ (尹 °) = Q—1С 泳 а +Qne~ikna,(5.8)

п=0

где Qn — коэффициенты ряда Фурье,八—натуральные числа. Течение внутри вихревой области определяется выражением

W = Q_^Xt ^^QnV(5.9)

n=0

справедливым при заданной W^v если

W^t{eika) =/Q—ie 泳 °.(5.10)

Значение А находится из соотношения

Х =Re j >ot dW.(5.11)

Потенциальное течение вне вихря задается параметрически

W = Q^eXt + yQnp~n,

七(5.12)

Выбранное параметрическое представление единственное, которое обеспечивает спадание скорости на больших расстояниях от вихря обратно пропорционально расстоянию. Коэффициенты ряда Фурье должны быть таковы, чтобы с одной стороны, якобиан D не обращался в нуль внутри вихря, а с другой стороны, чтобы в области потенциального течения не было точек ветвления. Первое из этих условий можно записать следующим образом:

оо2

工八Qт < 1,財(5.13) а второе в виде

< 1,同》1.(5.14)

В обоих неравенствах мы для простоты положили Q_i = 1. Перепишем неравенство (5.14) в виде

з*з*1122< 1,勿》1.< 1,勿》1.(5.15)(5.15)

з*

з*

1

1

2

2

< 1,勿》1.

< 1,勿》1.

(5.15)

(5.15)

Сравнивая соотношения (5.13) и (5.14), нетрудно видеть, что из первого следует второе. Покажем, что и наоборот, из второго следует первое. Действительно, после замены ^ = - получим видоизмененное неравенство (5.15)

图2曰Т < 1，图Wl・

Из этого неравенства, очевидно, следует, что

^2п 1€1 < 1 или^2п 1€1 < 1 или^心d < 1,图 < 1,^心d < 1,图 < 1,

^2п 1€1 < 1 или

^2п 1€1 < 1 или

^心d < 1,图 < 1,

^心d < 1,图 < 1,

или по лемме Шварца [116] делаем вывод, что

П=1П=1<图，图<图，图

П=1

П=1

<图，图

<图，图

После возведения этого неравенства в квадрат следует неравенство (5.13).

Рассмотрим теперь конкретные примеры вихрей. Известное точное решение для эллиптического вихря Кирхгофа получается из (4.4), если взять]]

Q = 2 (4 + М), F⑺=q (4 —石厄(5.16)

Течение внутри вихря описывается выражением

W = ^(A + B)Q + |(А-石)》, 岡 < 1.(5.17)

Границей вихря является эллипс, который равномерно вращается с частотой —вокруг своего центра. Сами жидкие частицы при этом вращаются по окружности с вдвое большей частотой.

Решение (5.17) совпадает с выражением для течения внутри вращающегося эллиптического цилиндра (3.9), если положить в нем А = =8 + % 5 = 7，Завихренность в вихре Кирхгофа равна

_ А(А + В)2

Потенциальное течение снаружи, согласно нашей теории, определяется выражениями

(5.18)(5.18)W = ^А + В)уеш + ^А-В)^ 岡》1,

(5.18)

(5.18)

ШЛ + В)

Его также можно записать в явной (эйлеровой) форме:

V =-V =-2 (к + J俨一(42 一炉)exp("U)2 (к + J俨一(42 一炉)exp("U)гА (4 + 5)2

V =-

V =-

2 (к + J俨一(42 一炉)exp("U)

2 (к + J俨一(42 一炉)exp("U)

Это один из редких примеров, когда удается аналитически записать и лагранжево, и эйлерово представление для течения.

Любопытно отметить, что Кирхгоф построил точное решение для эллиптического вихря в эйлеровых переменных. При этом для анализа потенциального движения жидкости ему потребовалось перейти к эллиптическим координатам (см. подробно [11]). Вихрь Кирхгофа является простейшим примером семейства вихрей, которые равномерно вращаются без изменения своей формы. Действительно, во вращающейся с угловой скоростью вихря системе отсчета движение в вихре стационарно, линии тока (одна из которых граница вихря) совпадают с траекториями жидких частиц, и следовательно, вихри, границей которых являются гипоциклоиды, не меняют своей формы. Аналитически они описываются выражением

W = а^ё^ + (317п,W = а^ё^ + (317п,(5.19)(5.19)

W = а^ё^ + (317п,

W = а^ё^ + (317п,

(5.19)

(5.19)

где 八—целое неотрицательное число. Оно определяет семейство вихрей неизменной формы, равномерно вращающихся как целое с угловой

скоростьюскоростью八+ 1八+ 1(5.20)(5.20)

скоростью

скоростью

八+ 1

八+ 1

(5.20)

(5.20)

Для 八=1 получаем эллиптический вихрь; вихри, соответствующие значениям 八》2, представляют области гипоциклоидальной формы с числом выступов 八 + 1. Условием отсутствия самопересечения границы является неравенство /3 < —, оно обеспечивает однозначность поля скорости потенциального течения. Формула для завихренности течения (5.19) имеет вид

Q =与.(5.21)

Отсюда ясно, что для эллиптического вихря она постоянна, а для остальных членов семейства завихренность минимальна в центре и возрастает к границе.

Для функции F, отличной от степенной, вихревая область помимо вращения деформируется довольно сложным образом. На рис. 2 воспроизведена динамика границы вихревой области течения, описываемого функцией

W =沙£办力一0,5» + 0,2»2. (5.22)

Рис. 2. Динамика вихревой области в случае F⑺=—0, 5» + 0, 2»?

Рис. 3. Динамика вихревой области в случае F（P）= 0, 3»? + О, 1Р3

Рис. 4. Динамика вихревой области в случае F（P）= —О, 2Р3 + 0,田

Рис.3 соответствует

歹(〃)=0, 3〃2 + 0, 1〃з,

а рис. 4 — функции

歹(〃)=0,2〃з + 0, 1〃4.

Из них видно, что начальная форма вихря повторяется через период, а ее форма зависит исключительно от вида F; сравни при 方=0: «шляпа Наполеона» (рис.2), «наконечник боевого топора» (рис.3) и «бутон цветка» (рис. 4).

Нелинейные волны Кельвина

Азимутальные волны, распространяющиеся вдоль границы кругового вихря (волны Кельвина), наблюдались в специальном эксперименте [117]. Вихревое ядро создавалось в пространстве между двумя вращающимися дисками. Завихренность, постоянная в основной части ядра, в области границы вихря резко спадала и практически равнялась нулю во внешней области течения. В ходе опытов удалось возбудить несколько первых мод. Как оказалось, угловая скорость волн всегда меньше скорости линейных волн при однородно завихренном ядре, причем, относительная разность этих величин достигает 30 %.

Для объяснения этого факта птолемеевские вихри, очевидно, не подходят, поскольку их завихренность нарастает по мере приближения к границе. В связи с этим имеет смысл рассмотреть стационарные слабонелинейные волны Кельвина с более общим распределением завихренности [118].

Постановка задачи. Рассмотрим одиночную область завихренности Q, вращающуюся без изменения формы с постоянной угловой скоростью s в идеальной несжимаемой жидкости. Течение полагаем двумерным, вне вихря оно потенциально.

Вихревое движение удобно изучать во вращающейся с частотой s системе отсчета. В ней течение стационарно, граница вихря неподвижна, а завихренность внутри равна Q — 2G. При стационарном движении жидкости величина вихря вдоль линии тока ⑦=const остается неизменной, поэтому ее можно задать как некоторую функцию С®). Во внешности рассматриваемой области течение теперь имеет завихренность —2s. Для склейки движений жидкости на границе вихря потребуем выполнения условия непрерывности полной скорости, а относительно формы области будем предполагать, что она незначительно отличается от круговой.

Уравнения двумерной гидродинамики в данном случае удобно записать в виде (см. (1.8), (1.20), (3.15))

D(X,Y) = D{X^ = 亦0， 0(%, X)。匕,У)J )

Примем, что границе вихревой области на плоскости лагранжевых переменных отвечает значение 6 = 0, а внутренности ядра — полуполоса 0 < а < 2тг, b》0; b = оо соответствует центру вихря. Введем комплексные координаты ТУ = X + гУ, W = X — iY и комплексную скорость V = Wt. Воспользуемся еще тем, что движение в выбранной системе отсчета стационарно. В лагранжевых координатах стационарное течение можно представить в следующем виде:

(5.24)(5.24)W = W(q, b), 吟卬北,b)=aWq(q,b), q = a +。⑹方， здесь a(b) — некоторая функция, подлежащая определению, a q и b — новые переменные. Поскольку лагранжевы компоненты скорости и координаты частиц зависят только от q п Ь, то эйлерово поле скорости Xt(X, У), Yt(X, У) не зависят явно от времени и, следовательно, стационарно. Переменные q, b будем называть модифицированными лагранжевыми координатами. В этих переменных уравнения (5.23) запишутся так:

(5.24)

(5.24)

a\Wq,W]-af\Wq\2 = (С-254,

квадратные скобки обозначают операцию взятия якобиана.

Итак, задача предельно конкретизировалась: используя систему уравнений гидродинамики (5.24), рассмотреть задачу о малых, но конечных возмущениях границы вихря с заданным распределением завихренности внутри него Q(6).

Метод решения. Будем расматривать движение внутри

вихря как возмущение кругового течения вида

Wq = exp[z(Q + 沥]=exp^x*), b》0.

Физический смысл функции o(b) для такого вихря очевиден — это угловая скорость движения жидких частиц. Вид решения для возмущений будем искать, полагая

Уравнения для неизвестной функции w при этом запишутся так

w + iwq — P(w, w) — Do + £—泌 + к. с. = О,

(7 (wgg — iwqb) + o'® — iwq + К. С.) = —(Q — 2А )Dq — /Vg—2b + R(w, w),

P = e2b ^iwqWb + (沁q — W^)W — |w|2 j ,

(5.26)(5.26)R = ae2b^wqq + iwqb)w + wqqWb — wqbwq + wq(iwb + 2zw -而q)} — —d& I\wqf + (zwwg + к. c.) + |w|2| ,

(5.26)

(5.26)

здесь А = а + cj. Вводя функцию и = -+ w),

получим из системы (5.26) уравнение для нее

2/"

Uqq + 〃66 Ни = (2А — Q) Dq — 2b + Re R +

+ ；卜2(Re p +「2b — A)］小(5.27)

Это уравнение является «незамкнутым», так как нелинейные члены R и Р не удается представить зависящими только от и. Тем не менее, оно удобно для исследования. Представим все функции и неизвестные величины, входящие в уравнения (5.26), (5.27), в виде рядов по малому параметру £ — отношению амплитуды возмущения к радиусу невозмущенного кругового вихря:

{С, (J, X, Ш, О。} =〉: ^П {^n, On,入п,以冷，-^On}, n=0

{w,u} = ££" {wn,un}, n=l СЮ

仍r} = £{办,及}.

n=2

Нулевому приближению отвечают значения

。0(。)=" Co(b) = 2Go + 26ro — ^o = 2》o — X・

Функция Ao(^) имеет смысл угловой скорости вращения частиц в лабораторной системе отсчета. Величина а。определится в процессе решений уравнений первого приближения. В случае однородного распределения завихренности внутри круговой области Qq = Ад = 0.

Течение внутри вихря необходимо сшить с течением снаружи. На границе склейки потоков потребуем выполнения условия непрерывности

скорости. Склеивать движения жидкости внутри и вне вихревой области удобнее уже в лабораторной системе отсчета, где граница вихря равномерно вращается, а течение вне её потенциально. Траектории жидких частиц в этой системе отсчета W*(q, b, t) пересчитываются по известному выражению для комплексной координаты во вращающейся системе W(q, 6) умножением (5.25) на exp(zcj t) — множитель, «придающий» частицам дополнительное вращение по окружности

W" = [ехр〃х*) + ^(«，b) ехр^Х*)] exp(zcj 方)，b = Imx*》0. (5.28) Скорость внутри вихревой области соответственно определяется выражением

V*=[办 ехр〃х*) + a wq(q, b) ехр(〃Х*) + zAw exp (г у*)] ехр(гс<;方).(5.29)

На границе вихря W*(q, b = 0, t), таким образом, известно распределение скорости V*(q, 6 = 0, t). Для потенциального течения комплексно сопряженная скорость V* является функцией комплексной координаты W*. Чтобы удовлетворить этому условию, достаточно так параметрически продолжить функции V* и W* во внешность вихря, чтобы V* была только функцией W* и t.

Для кругового вихря, когда w = 0 (нулевое приближение), параметрическое представление потенциального поля скорости имеет вид

W* =/ exp(汕方)， 厶=exp[z(g0 + 沥], 如=a+0(ь)方,

V* = exp(—汕方)，I以I》1,V* = exp(—汕方)，I以I》1,(5.30)(5.30)

V* = exp(—汕方)，I以I》1,

V* = exp(—汕方)，I以I》1,

(5.30)

(5.30)

здесь г/* — комплексный параметр. Формулы (5.30) определяют поле скорости, спадающее обратно пропорционально расстоянию от центра вихря. На границе вихревой области 心*| = 1 функции W* и V*, очевидно, непрерывны — см. (5.28), (5.29).

Для более высоких приближений задача потенциального продолжения вихревого течения уже не выглядит так просто. В общем случае W* и У* могут быть функциями двух параметров 以 п "*. При этом, помимо условия непрерывности на границе вихря, они должны удовлетворять равенству

из которого следует, что V* = V*(W*,方).

Результаты вычислений. Линейное приближение. Уравнения первого порядка теории возмущений имеют вид

"iqq + "ibb Н 〃i = (2Ai — /X： — Qi)e-2^,。°1 =。，

5b + 沁lq + к. С. = 0.

Их решение, не содержащее линейных по q слагаемых, запишется так:〃1 = aoRe wi = 田(b) cos mq,

(5.32)(5.32)00 加k0000 加k00wi =① j (b) ехр(гт^) + ①[(b) exp(—zm^),

(5.32)

(5.32)

00 加k00

00 加k00

где 加》2 — целое положительное число, а функции 歹i,Xi удовлетворяют уравнениям

+(2品二丸 _ 疗)Fi = 0, 6 > 0,(5.33)

* - 2А, +Q, =0.(5.34)

Чтобы обеспечить малость возмущений в (5.25), величины Ф^е6 должны стремиться к нулю при приближении к центру вихревой области. Уравнение (5.33) является цилиндрическим аналогом уравнения Рэлея в теории линейных волн на сдвиговом потоке. Переход к эйлерово- му описанию в уравнениях первого приближения сводится к замене лагранжевой переменной b на величину In г, г — радиус, а функция 歹i приобретает смысл амплитуды функции тока возмущений. В эйлеровых переменных уравнение (5.33) преобразуется к виду

彦田1dr2 r dr彦田1dr2 r dr(5.35)(5.35)

彦田1

dr2 r dr

彦田1

dr2 r dr

(5.35)

(5.35)

величинавеличинаДля волн, описываемых уравнением (5.35), справедлив результат [119], аналогичный теореме Рэлея: нарастающие возмущения в невязком цилиндрическом вихре могут существовать лишь при наличии точек, где завихренность экстремальна. В этих точках обращается в нуль

величина

величина

^о = 2〃 -0彳.

Параметрическое представление течения вне вихревой области будем искать в виде

ту* =*力厶{1+£ В? + ①;？ } + 0®), II > 1,

…-—卜。⑼+ ё"⑼+ “° +(二)1須°⑼①X。) +

++5 一(m一1)00⑼5 一(m一1)00⑼①[⑼ +。a・①[⑼ +。a・(5.36)(5.36)

+

+

5 一(m一1)00⑼

5 一(m一1)00⑼

①[⑼ +。a・

①[⑼ +。a・

(5.36)

(5.36)

При |z7*| — оо эти выражения отвечают полю скорости точечного вихря. Чтобы соотношения (5.36) удовлетворяли условию (5.31), необходимо потребовать, чтобы

(ао -八00)①]+ 入0 ① j =0， b = 0.

Анализ линейных колебаний на границе кругового вихря связан с решением уравнения (5.35). Оно выписывается аналитически только для однородного или кусочно-однородного распределения завихренности. Если величина С。，а значит, и значения Qo и Ао постоянны, то искомое решение примет вид

F1 =00厂做；①t =0;①]=做；

m - 1 Qo /m - 1 Л⑸37)

so =— =- 1)сг0 =Ao.

m 2m

С учетом этих равенств параметрическое представление для потенциального поля скорости вне вихря перепишется так

IV* = 厶(1 + 為)ехр(5з力)+ OR2), Ml > 1,

Функция Ai (6) задает слабый, порядка амплитуды волны £, дополнительный азимутальный дрейф жидких частиц. Как и завихренность первого приближения Qi, она может быть произвольной. Значение /\ 1(0)определяет добавку к циркуляции вокруг вихревой области нулевого приближения. Случай Ai = 0 отвечает линейным потенциальным волнам Кельвина.

Вид функции (71 = Ai — si будет найден во втором приближении после вычисления величины si. Все дальнейшее рассмотрение проводится в предположении, что Qo = const, и решение первого приближения имеет вид (5.37).

Квадратичное приближение. Решение уравнений второго приближения будем искать в виде

"2 =用i(b) cosmq + 用2(b) cos2mq.

Неизвестные функции 用i,用2 удовлетворяют уравнениям

^21 -加2歹21 = (乂 — 2#「吗(5.38)

歹£ - 4m2F22 = 0.(5.39)

Для того, чтобы скорость в центре вихря равнялась нулю, необходимо, чтобы (см. (5.28), (5.29))

用"，卫2仅—0 при b — оо.

Удовлетворяющее этому условию решение имеет вид

ь

(5.40)(5.40)ь21 = Aie-mb + 2(m - 1)ё流 为「2б「而,

(5.40)

(5.40)

歹22 = CtCT0e-2m\

При записи (5.40) было отброшено спадающее к центру вихря решение однородного уравнения (5.38), так как оно совпадает с выражением для 歹1, и его учет приведет лишь к переобозначению величины £. В формуле для 用2 величина а постоянна, она будет определена при склейке внутреннего вихревого и внешнего потенциального течений.

Зная 用 1,卫2, можно, используя уравнение неразрывности, найти выражение для w^. Оно имеет вид

w2 = Ф+^Ш(? + Ф~е-^ + ае-^ь^\(5.41)

若若(5.42)(5.42)

若

若

(5.42)

(5.42)

Поскольку в формулу для W2 входят только осциллирующие по q члены, то из уравнений (5.26) следует, что

Д)2 =—(加-1)2「2(『i)b, q2 = 2Л2 — М — 2maQDQ2. (5.43)

Завихренность второго приближения состоит из двух частей: первая, зависящая от 入2， связана с азимутальным дрейфом жидких частиц, а вторая, определяемая последним слагаемым, является завихренностью волновых возмущений.

Потенциальное поле скорости вне вихря представим в такой форме:

m;以卜+ / + £2(*+ ^ +m;以卜+ / + £2(*+ ^ +exp(zcjt) + 0{^), I以 |> 1,exp(zcjt) + 0{^), I以 |> 1,Aq + di +Aq + di ++ £2 I A2 ++ £2 I A2 +Ai — mayAi — may++2》o崂2》o崂(5.44)(5.44)

m;以卜+ / + £2(*+ ^ +

m;以卜+ / + £2(*+ ^ +

exp(zcjt) + 0{^), I以 |> 1,

exp(zcjt) + 0{^), I以 |> 1,

Aq + di +

Aq + di +

+ £2 I A2 +

+ £2 I A2 +

Ai — may

Ai — may

+

+

2》o崂

2》o崂

(5.44)

(5.44)

Коэффициенты 内，入匕为，①^ здесь взяты при b = 0. Параметрическое представление поля V*(W*,t) строилось таким образом, чтобы с одной стороны, функции W*n V* оставались непрерывными при переходе через границу вихря 心*| = 1, а с другой — чтобы слагаемые внутри квадратных скобок в выражении для W* не нарастали при приближении к бесконечно удаленной точке на плоскости параметра ^*. В итоге на расстояниях, существенно превышающих масштаб вихря (\^\》1)

потенциальное поле скорости имеет асимптотику, соответствующую полю точечного вихря.

Из условия (5.31) следует, что в формулах (5.40), (5.44) надо положить

Q = 0,(А1 - ШСГ1 +》о崂)"=о = о.

Используя последнее из этих условий, найдем

七^卜1(。) + . Ae-^db^.(5.45)

Таким образом, по известной завихренности первого приближения Qi можно вычислить функцию Ai, а следовательно, и линейную поправку к угловой скорости вращения вихревой области. В зависимости от распределения》i(b) величина &i может быть как положительной, так и отрицательной.

Кубичное приближение. Исследование решений третьего и более высоких приближений не представляет принципиальных трудностей, но связано с проведением чрезвычайно громоздких выкладок. В третьем приближении, в отличие от второго, в выражении для координат траекторий жидких частиц уже присутствуют слагаемые, содержащие вторую гармонику по q. Для определения скорости вращения, однако, по-прежнему достаточно знать лишь ту часть полного решения, которая содержит члены с первой гармоникой (то есть пропорциональные ехр(±гт^)).

Опуская схожую с приведенной в предыдущем разделе процедуру вычислений, запишем сразу же окончательную формулу для квадратичной поправки к скорости вращения вихревой области. Она имеет вид

= 2(m - 1)A2e~2mb^-

о

-(m-2)F2i]旧—2(m— 1)内]「2似｝曲，

(5.46)

здесь не входящие под знак интеграла функции берутся при b = 0. Величина с＜；2 находится по заданному распределению угловой скорости вращения (или завихренности Q2) и известному решению второго приближения.

Примеры, а) Потенциальные возмущения на границе однородно завихренной области (потенциальные волны Кельвина). В этом случае Qj = Q2 = 0・ Линейные возмущения описываются выражениями (5.37). Из равенства (5.34) следует, что Ai = 0,

следовательно, и cji = 0. Значения 入2 и &2 определяются из соотношений (5.43), (5.46). Они равны соответственно

入2 =—(加—1) -^2)8,&2 =—,(加—1)^0,(5.47)

что совпадает с результатами [108], [109].

Стационарные птолемеевские вихри. Птолемеевские вихри описываются точным решением уравнений гидродинамики. Для вихрей неизменной формы во вращающейся системе отсчета это решение записывается так (см. (5.19):

VK = aM+d»}T), v^ = ехр[г(а + ib + at)], b》0,(5.48)

здесь а = const, d = P/а С l/(m — 1). Случай m = 2 отвечает классическому решению для эллиптического вихря Кирхгофа. В случае т》 》3 выражение (5.47) описывает семейство вихрей гипоциклоидальной формы с числом выступов т. Если d = l/(m — 1), профиль границы имеет заострения.

Завихренность внутри вихревого ядра распределена следующим образом:

С = I 血2)b・(5・49)

Если для эллиптического вихря завихренность постоянна, то для остальных членов семейства она минимальна в центре ядра и возрастает к границе. При малом отличии гипоциклоидального вихря от кругового(£ = d « 1) выражение (5.49) представимо рядом

Q = 2та [1 + s2(m - 1产厂20—2)ь 十。(产,.

Итак, для стационарных птолемеевских вихрей

Qo = 2mcr, Qi = 0, 出=2m(m - l)2a「20—2)6.

Используя эти представления, легко получить, что si = с<；2 = 0 (см. (5.34), (5.43), (5.45), (5.46)). Из точного решения (см. предыдущий раздел) известно, что для гипоциклоидальных вихрей s = (тп — 1) о и, следовательно, частота вращения вихря не зависит от амплитуды «лепестков». Выполненные выше расчеты подтверждают этот результат.

В линейном пределе угловая скорость вращения птолемеевского вихря равна (т — 1)^()/2加 и совпадает со скоростью линейных волн Кельвина.

Qi = 8 е~叫 7 > 0; 出=0. В зависимости от знака величины 5 завихренность может либо нарастать, либо убывать при приближении к границе вихря. Подставляя выбранное представление для завихренности в соотношения (5.34), (5.45), получим

、_ 8 … _ 280—1)

- 口 -%+ 2)(т +2m) •

Если 8〉0, то скорость вращения вихревой области больше скорости линейных волн. Если же 5 < 0, то скорость вращения, соответственно, меньше &о・ Последняя ситуация как раз отвечает эксперименту, выполненному авторами [117]. В случае 5 < 0 азимутальное дрейфовое течение 》i(b) направлено против основного потока, отчего угловая скорость волн Кельвина уменьшается (si < 0). В третьем приближении имеем

为= (加 JCO e-2(m-2)^

(m — l)Qo 庐 — 1)[72 + 2ш7 + 2m(m — 1)]

4 Qo(7 + 2)2(7 + 2m)2(7 + m)

При 8 = 0 эти выражения совпадают с (5.47). Азимутальное дрейфовое течение》2(Ь) является аналогом стоксового дрейфа в гравитационных поверхностных волнах. Отметим также, что величина &2 всегда отрицательна и не зависит от знака 5. Таким образом, учет квадратичных по амплитуде слагаемых приводит к дополнительному снижению угловой скорости вращения вихря. Ее уменьшение станет еще более значительным, если положить, что Q2 отрицательна.

Настоящий теоретический анализ в силу своего асимптотического характера не может быть непосредственно сопоставлен с экспериментальными результатами [117], где отклонения завихренности от постоянной величины не являются малыми. Тем не менее, построенное решение выявляет механизм уменьшения угловой скорости вихря с «лепесткками» из-за убывания завихренности на его периферии, что соответствует экспериментальным наблюдениям.

Глава 6

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ОДНОРОДНОЗАВИХРЕННЫХОБЛАСТЕЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Исследование колебаний одиночной вихревой области естественно продолжить анализом движения системы двух распределенных вихрей [120]. Помимо самостоятельного интереса такая задача интересна и как модель «элементарного акта» взаимодействия некоторой выделенной вихревой пары в многовихревом ансамбле вихрей.

Рассмотрим движение двух однородно завихренных областей, характерные размеры которых L\, L? много меньше расстояния между ними L. Последнее обстоятельство дает возможность вместо изучения самосогласованного движения двух вихрей исследовать динамику одиночного распределенного вихря в заданном внешнем нестационарном поле, создаваемом другим вихрем.

Динамику двух плоских вихрей удается полностью изучить в предположении их точечности (точечный вихрь — это линейная вихревая нить с нулевым поперечным сечением). При рассмотрении движения вихрей в следующем приближении по малому параметру отношения размера вихря к расстоянию между ними следует считать, что центры завихренности распределенных вихрей — W\, W2 (W = X + 〃У — комплексная координата) движутся как точечные той же интенсивности, что и распределенные (для однородно завихренных областей координаты центров завихренности и инерции совпадают). При этом они равномерно вращаются вокруг общего центра завихренности с постоянной угловой скоростью &о, равной

左1 +左2

где 庆 1,庆2 — интенсивности соответственно первого и второго вихря.

Потенциальное поле скорости вблизи одного из вихрей, например, первого, можно записать в следующем виде

卩(%)=%(%)+駕 u(6」)

П2

здесь V\(W, t) — поле скорости, создаваемое первым вихрем (черта —знак комплексного сопряжения), da (Wf, Wf) — элемент площади 口2 второго вихря, завихренность внутри которого Q2 предполагается постоянной.

Будем отсчитывать «текущую» координату внутри второго вихря от его центра. Выражение (6.1) при этом примет вид

。(忆)—(％) +駕“史(6.2) П2

Если перейти в систему отсчета, где центр первого вихря покоится (в выражении (6.2) следует провести замену W W + 叫)，и, кроме того, разложить подынтегральную функцию в ряд по параметру (W — W,r)/(W2 — VKi), ограничившись линейными по W, W членами, то поле скорости вблизи первого вихря запишется в виде

0( 方)=巧(W,方)-粤 「2"叫(6.3)

Здесь для простоты полагалось, что в начальный момент центры вихрей лежат на действительной прямой и, следовательно,

W2 — W{ = £ ехр(й＜；о方).

Отметим, что в рассматриваемом приближении распределение скорости, создаваемое вторым вихрем вблизи первого, не зависит от формы второго вихря, поскольку интеграл

п2

равен нулю (это следует из определения центра вихря).

Итак, влияние одного из вихрей на динамику другого эквивалентно действию вблизи него линейного (по комплексной координате) и гармонического по времени деформационного поля. В случае движения конечного набора вихрей деформационное поле, действующее на некоторый выделенный вихрь, будет пропорционально комплексной координате, если только размеры вихря малы по сравнению с расстояниями до остальных вихрей, и последние, следовательно, создают поле скорости вблизи выделенного вихря: как точечные той же интенсивности. При этом зависимость деформационного поля от времени (которая, напомним, определяется решением нулевого приближения, когда вихри

считаются точечными), может быть более сложной, чем гармоническая. В общем случае поле скорости вблизи выделенного вихря будет иметь

видвидV{W,方）=巧",方）+ 2辽⑴ W,V{W,方）=巧",方）+ 2辽⑴ W,(6.4)(6.4)

вид

вид

V{W,方）=巧",方）+ 2辽⑴ W,

V{W,方）=巧",方）+ 2辽⑴ W,

(6.4)

(6.4)

где £(方)—известная функция времени.

Одиночный вихрь в произвольномнестационарномоднородном деформационном поле

Для целей исследования удобно рассмотреть отдельную задачу о динамике одиночного, находящегося в безграничной жидкости, вихря в однородном деформационном нестационарном внешнем поле. При этом выражение для поля скорости (6.4) будет справедливо уже во всей области вне вихря, а не только вблизи его границы (заметим, что скорость потенциального течения вне вихря вблизи бесконечно удаленной точки равна второму слагаемому в правой части (6.4)). Применительно к проблеме взаимодействия вихрей решение такой задачи будет иметь смысл только внутри вихря и вблизи его границы.

Рассмотрим вначале движение в вихре. Будем искать решение уравнений (1.30) в следующем виде [82]:

屮=Х9⑴ +Xf(t).

Из уравнения непрерывности следует, что

\g\2 - |/|2 =。0 = const,(6.5)

из уравнения движения имеем

99~ ff99~ ff4。024。02(6.6)(6.6)

99~ ff

99~ ff

4。02

4。02

(6.6)

(6.6)

где Q — постоянная завихренность. Решая (6.5), (6.6), получим вид искомого решения

W = х\д\ехр(2 + X J|д『—Д)ехр(^),(6.7)

здесь 夕(方)，^(^) — фазы функций ри/, связанные соотношением

(6.8)(6.8)291gl2 —СО。

(6.8)

(6.8)

2(1心 A)

Итак, выражения (6.7), (6.8) описывают некоторый класс нестационарных течений с постоянной завихренностью. В дальнейшем мы будем предполагать, что эти соотношения задают движение внутри вихря. При этом примем, что в плоскости лагранжевой переменной х области вихревого течения соответствует внутренность единичного круга

(вопрос о сшивке таких вихревых течений с внешним потенциальным будет рассмотрен ниже).

Из вида решения (6.7) можно заключить, что граница вихря (|乂丨= =1) будет всегда эллипсом. Вследствие этого удобно ввести новые функции 4(方)，B(t), имеющие смысл полуосей эллипса и связанные с функциями \д\ и Do соотношениями

А - В = Do； |g『=；(4 + М)2.(6.9)

При этом выражение (6.7) примет вид

VK = I х(4 + В) ехр(5夕)+ ；又(4 —石)ехр(^), А > В. (6.10)

Помимо деформации (А и В — функции времени; постоянство же их произведения отражает тот факт, что площадь вихря постоянна); вихрь вращается с мгновенной угловой скоростью

G0+ €) =g)2•(6・11)

Таким образом, решение (6.10) описывает самый общий случай движения вихря (функции А, В, cj — произвольные функции времени), при котором он остается эллипсом. Вид функций А, В, s определяется типом течения снаружи вихря. В частности, если считать А п В не зависящими от времени и положить

ф = X = const, V7 =。，

то (6.10) будет описывать вихрь Кирхгофа [7, 11] — область эллиптической формы, равномерно вращающейся в окружающем потенциальном течении с угловой скоростью

_ 1 х _ АВ"一尸-(4 + 月)2

Жидкие частицы при этом движутся по окружности с угловой скоростью А. Если теперь принять, что

仙=〃 =const,

то (6.10) будет описывать семейство эллиптических вихрей, вращающихся без изменения формы с угловой скоростью

入(42 + 82)— Q.4б

(4-g)2•

Частным случаем этого семейства (при А = —〃) является стационарный вихрь Сэффмена и Мура [58, 59]. Решение (5.10) описывает также вихри Чаплыгина [94] и Киды [60] — нестационарные эллиптические

вихри, находящиеся соответственно в сдвиговом потоке и в потоке, задаваемом соотношением

V = ЛУ- г7Ж,

здесь 5,7 — действительные постоянные.

Перейдем теперь к вопросу о сшивке течения (5.10) с внешним потенциальным течением, имеющим на бесконечности известную асимптотику

= £("[« - N，

или (для поля скорости)

VOG = 2i^t)W.

Согласно нашему предположению, вихревому движению на плоскости х соответствует внутренность единичного круга. Скорость внутри вихря определяется следующим выражением:

V = ^х^А + В + гф{А + М)] ехр(5夕)+

+—月+ *(4 —gRexp(>0), |х1 < 1-

Для потенциального течения комплексно сопряженная скорость 『 является функцией комплексной координаты W. Имея в виду это обстоятельство, заключаем, что соотношения

W = ^х(А + В) ехр(2 + ； (4 —石)•: ехр(г^), 1x1》1，

V = — • — [а + 5 — 1ф^А + 石^ ехр(—分夕)+(6.12)

+ J X Н —月—部(厶—В)] ехр(-г^),

где х служит параметром (и совпадает с лагранжевой координатой только на границе вихря), решают проблему потенциального продолжения вихревого движения (6.10) с непрерывной скоростью на границе сшивки. Действительно, (6.12) есть параметрическое представление поля скорости V(W, t), причем это представление однозначно, поскольку производная функции W по параметру х нигде не обращается в нуль вне вихря.

Вблизи бесконечно удаленной точки поле скорости записывается следующим образом:

Ооо =上片9 +(6.13)

十

Из этого выражения видно, что соотношения (6.10), (6.12) решают задачу о поведении одиночного вихря в произвольном нестационарном

однородном деформационном поле. Зависимость параметров вихря от времени определяется из решения уравнения

А-В-汕(4 - В)А-В-汕(4 - В)А + ВА + Веxp[一“0+⑦)]=2辽⑴,еxp[一“0+⑦)]=2辽⑴,

А-В-汕(4 - В)

А-В-汕(4 - В)

А + В

А + В

еxp[一“0+⑦)]=2辽⑴,

еxp[一“0+⑦)]=2辽⑴,

которое вместе с условиями (6.8), (6.9) образует систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных функций А, В,夕，⑦.

Случай гармонического по временидеформационного поля (анализ взаимодействиядвух вихрей)

Сравнивая выражения (6.3) и (6.13), выпишем условия на выбор параметров эллиптического вихря:

厶 + 石ехр[—2(夕+ ^)]=万方 ехр(—2ш；о，(6.14)

(4 -石)2" = (4 + В^ф - 2QAB, 4 •石=。0・(6.15)

Вид этих уравнений можно упростить, введя новые переменные

0=w，0二夕+⑦一2Go方.

В этих переменных уравнения (6.14), (6.15) примут вид

^ = -2Г2^ sina, =(6.16)

._ 9/2(0+1) 丄 2CJ

о = -2 5 - 2 —併—Jcos a +•(6.17)

Таким образом, динамика одиночного вихря в поле создаваемом другим вихрем, описывается системой двух автономных уравнений первого порядка. Ниже будет показано, что она сводится к квадратурам. Но вначале свойства ее решения удобнее рассмотреть с помощью фазовой плоскости.

Исследуем стационарные решения системы (6.16), (6.17). Для состояния равновесия, которому отвечает значение a = 0, величина отношения полуосей определяется из следующего уравнения

к^3+ 1)2(6»— 1) — 27rzz2 a 伙夕—1) +2 庆2夕2((9+ 1) =0.(6.18)

Это кубическое уравнение относительно 仇 и, следовательно, оно имеет три корня. Найдем их. Для этого уравнение (6.18) запишем в следую

щем виде:щем виде:伙0一1)伙0一1)27rzz2a27rzz2a(6.19)(6.19)

щем виде:

щем виде:

伙0一1)

伙0一1)

27rzz2a

27rzz2a

(6.19)

(6.19)

2"2a2"2a2"22"2Правая часть равенства по величине много больше единицы. Действительно, поскольку циркуляция равна произведению завихренности на площадь вихря, то для этой постоянной справедлива оценка

2"2a

2"2a

2"2

2"2

Исследуя расположение корней уравнения (6.19) с помощью графического метода, нетрудно показать, что если интенсивности вихрей одного знака (庆2/庆 1 > 0), то для корней уравнения справедливы следующие соотношения:

0<^1 < 1, 6*2》1, %》1,

для вихрей с интенсивностями разного знака (庆2/^1 < 0) эти соотношения приобретают вид

0<^1 < 1, SW1, &》1・

Исследование положения равновесия, соответствующего значению а = =7г, легко свести к только что рассмотренному случаю, поскольку вид системы (6.16), (6.17) инвариантен по отношению к замене

夕—夕―I О — О + 7Г.

Вследствие этого, значению а = тг отвечают в состоянии равновесия величины отношения полуосей 夕」，夕丁‘夕丁. В силу выбора вида решения величина 0 должна превышать единицу (см. (6.7), (6.10)). Укажем также, что для «стационарных» значений 仇 существенно превышающих единицу, нарушается принятое нами предположение о малости размеров вихрей по сравнению с расстоянием между ними. В самом деле, из уравнения (6.19) для 夕》1 имеем 夕=А/В 21т1^8~х》 》1; поскольку же А • В ~ 5, то получаем, что одна из полуосей — А, порядка L.

Таким образом, стационарными решениями системы (6.16), (6.17), удовлетворяющими условиям рассматриваемой задачи, являются в случае к2K > 0 значения а = 0,夕=%, а в случае 庆2/^1 < 0 значения о = 7г,夕=e^L В обоих случаях величина отношения полуосей несколько превышает единицу; близость этого отношения к единице означает, что стационарные вихри мало отличаются от круговых (нестационарные вихри, естественно, могут быть существенно эллиптическими при выполнении условия малости полуосей по сравнению с L).

Величина угловой скорости вращения вихря вокруг собственного центра инерции для стационарного решения, как следует из соотношений (6.11), (6.17), равна а。， поэтому вихрь не меняет своей ориентации относительно прямой, соединяющей центры вихрей (напомним, что центры вихрей движутся как точечные вихри той же интенсивности, что и рассматриваемые распределенные). Ориентацию эллипса относительно этой линии можно определить, рассмотрев его положение в начальный момент времени, когда координаты центров вихрей действительны. Поскольку в случае вихрей с одинаковой по знаку интенсивностью 夕》1 при а = 0, то большая ось эллипса лежит на прямой, соединяющей центры вихрей. В случае вихрей с разной по знаку интенсивностью значению 夕》1 соответствует а = тг, и, следовательно, на указанной прямой лежит малая ось эллипса.

Точно такое же рассмотрение можно провести и для второго вихря (во всех соотношениях индексы 1 и 2 поменяются местами). Таким образом, в первом приближении по параметру, равному отношению характерного размера вихрей к расстоянию между ними, стационарным состоянием является такое, при котором эллипсы неизменных размеров вращаются вокруг центра завихренности с неизменной ориентацией относительно линии, соединяющей их центры (рис. 5).

")6)

Рис. 5. Ориентация и траектории движения эллиптических вихрей неизменнойформы

В том случае, если ориентация вихревых областей эллиптической формы не совпадает с ориентацией вихрей, соответствующей стационарному состоянию, эллипсы будут неравномерно вращаться и деформироваться. Для качественного анализа этих движений удобно воспользоваться фазовой плоскостью. Определим вначале типы состояний

равновесия. После линеаризации система (6.16), (6.17) примет вид

о =о =e = —2「200 万 cos ег0,e = —2「200 万 cos ег0,(6.20)(6.20)8”2制一1)28”2制一1)2COS00 —COS00 —2c向—1)]彳向+1)2 ]2c向—1)]彳向+1)2 ](6.21)(6.21)

о =

о =

e = —2「200 万 cos ег0,

e = —2「200 万 cos ег0,

(6.20)

(6.20)

8”2

制一1)2

8”2

制一1)2

COS00 —

COS00 —

2c向—1)]彳向+1)2 ]

2c向—1)]彳向+1)2 ]

(6.21)

(6.21)

здесь 夕0,。0 — значения величин в состоянии равновесия, а 仇万一 отклонения от них. Находя корни характеристического уравнения для этой системы, заключаем, что состояния равновесия, соответствующие близким к единице значениям 仇 являются центрами; состояния равновесия, соответствующие существенно превышающим единицу значениям 仇 являются седлом для ао = 0 и центром в случае ст。= тг-

На рис. 6 изображена фазовая плоскость для случая 庆i庆2 >0, ^2 < < 0. Отметим, что ориентация эллипса относительно прямой, соединяющей центры вихрей, определяется величиной о. Действительно, выражение (6.10) можно переписать следующим образом:

x(A + B)expexp2―

Выражение в квадратных скобках описывает эллипс, у которого большая ось лежит на горизонтальной прямой. Экспоненциальный же множитель описывает вращение эллипса вокруг своего центра. Угол поворота большой оси относительно горизонтали равен

zо

(夕 += q + Go 九

Линейный по времени член в этом равенстве отвечает равномерному вращению эллипса, при котором его ориентация относительно прямой, соединяющей центры вихрей, не изменяется, поскольку центры вихрей вращаются с той же угловой скоростью относительно центра завихренности. Следовательно, слагаемое о/2 определяет поворот эллипса относительно прямой, соединяющей центры вихрей.

Из этого следует, в частности, что если в начальный момент вихрь повернут на угол, меньший тг/4 по отношению к своему «стационарному» положению, то он колеблется относительно этого положения (замкнутые траектории на фазовой плоскости). В случае малых отклонений от состояния равновесия собственная частота колебаний вихря J равна (см. (6.20), (6.21))

/ — 4”2

Собственная частота колебаний вихря существенно превышает частоту вращения вихрей вокруг центра завихренности, поскольку

以_4%儿2

5(左1 + 上2)(00 - 1)'

а величина 夕。близка к единице. В случае отклонения от стационарного положения, превышающего угол тг/4, например, когда вихри с одинаковыми по знаку интенсивностями (庆i 庆2 > 0) обращены друг к другу малыми осями в начальный момент, вихри стремятся повернуться так, чтобы «смотреть» друг на друга большими полуосями (таким движениям на фазовой плоскости соответствуют незамкнутые траектории). Если в начальный момент вихрь является круговым, то, как следует из рис. 6, он будет вытягиваться в направлении прямой, соединяющей центры вихрей. Этот вывод согласуется с результатами численного эксперимента [112].

Для вихрей с разными по знаку интенсивностями фазовая плоскость имеет такой же вид, но вся картина должна быть сдвинута на 7г по о. С учетом этого замечания легко переформулировать вышеприведенные результаты о движении вихрей. В частности, первоначально круговой вихрь будет вытягиваться поперек прямой, соединяющей центры вихрей, колебательный режим относительно их «стационарного» положения осуществляется, если их отклонения в начальный момент от этого положения меньше угла тг/4 и т. д.

Для полноты анализа свойств системы (6.16), (6.17) приведем вид ее точного решения. Она имеет первый интеграл следующего вида:

=2 Q in 屮—2з°小％

Здесь постоянная Со определяется начальными условиями. С помощью этого представления удается найти неявное выражение для функции

夕(方)，которое записывается так:

1 f6（力）1 f6（力）1104f2(^- I)204f2(^- I)22Qln 屮2Qln 屮

1 f

6（力）

1 f

6（力）

1

1

04f2(^- I)2

04f2(^- I)2

2Qln 屮

2Qln 屮

9庐+1丄尸、2「l/2曲

_2"。^ + 以）］у

Задавая значение входящих в это соотношение постоянных, можно определить временную эволюцию величины отношения полуосей эллипса в каждом конкретном случае.

6.3. Обзор работ, посвященных исследованиюсистемы двух вихрей

Идея рассматривать нестационарную динамику распределенных вихрей в предположении, что их размеры Е分 малы по сравнению с расстояниями между любыми двумя вихрями данной системы Ljk была впервые предложена в работе [121]. Величина △分=Е分/min служит для i-того вихря малым параметром. В качестве нулевого приближения выступает решение, полученное в предположении, что вихри точечные. В первом приближении по △分 вихри можно полагать эллиптическими. Динамика каждого из них зависит от четырех переменных: координат центра завихренности, отношения полуосей эллипса и угла, определяющего ориентацию главной его оси. В указанной статье численно рассчитаны примеры взаимодействия двух изначально круговых областей. Расчет проводился двумя способами: с помощью «эллиптической модели» и в рамках точных уравнений (с использованием метода контурной динамики). На основании этих вычислений указаны границы возможного применения приближенной модели.

В работе [122] дана гамильтонова формулировка и найдены основные законы сохранения для модели малых эллиптических вихрей.

По существу эта модель является обобщением примера, рассмотренного ранее Муром и Сэффменом [59, 123] применительно к исследованию цепочки идентичных вихрей. Названные авторы, считая, что размер вихря мал по сравнению с расстоянием до ближайших соседей, рассмотрели задачу о параметрах одиночного эллиптического вихря, находящегося в стационарном однородном деформационном поле. Наше исследование взаимодействия двух малых эллиптических вихрей, изложенное в предыдущем разделе, отличается от [59] тем, что деформационное поле полагается уже нестационарным или, более конкретно, гармонически зависящим от времени.

Исходная идея Мура и Сэффмена породила, помимо вышеупомянутых, целый круг исследований (см., например, [124-126]), связанный с изучением динамики эллиптического вихря во внешнем деформаци-

онном поле, свойства которого выбираются без соотнесения с конкретной физической ситуацией. С этой точки зрения стоит упомянуть, что птолемеевское течение вида

W = ехр(гА 方)+ F ⑺ ехр(ф t), \v\ < 1,соответствует вихрю, находящемуся в сложном деформационном поле

Vdef = F\Wехр(-гА t)] ехр(-фt).

В последнее время взаимодействие двух вихревых областей активно изучалось с использованием численных методов. Такой подход позволяет детально изучить интереснейшие моменты эволюции пары вихрей, когда один вихрь, к примеру, закручивается вокруг другого или происходит «вытягивание» вихревой пелены из вихря-соседа. Из работ, посвященных исследованию этого процесса, укажем статьи [127, 128], где приведена, в том числе, очень подробная библиография работ по данной тематике.

Глава 7ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ(ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ)

В теории трехмерных вихревых течений идеальной несжимаемой жидкости в качестве основных можно выделить два следующих подхода.

Первый из них связан с исследованием установившихся осесимметричных закрученных потоков. Для анализа таких движений, также как и в плоском случае, удается ввести функцию тока, которая в данном случае удовлетворяет уравнению [12]

//1 /2dC

丁亿1)

здесь 广，2,夕一цилиндрические координаты, Hn С — некоторые произвольные функции ⑦.Величина Н имеет смысл постоянной Бернулли, а С пропорциональна азимутальной скорости 几(广，2)и характеризует закрутку потока. В физике плазмы (7.1) принято называть уравнением Грэда-Шафранова [129] (см. также [130, 131]). Классическое решение для вихря Хилла [8] получается из (7.1), если положить равными

Н = —4认 C = Q

внутри сферы радиуса 『о, движущейся относительно покоящейся на бесконечности жидкости со скоростью 24『^/15, и нулевыми вне этой сферы. Хикс [132], а позднее Моффатт [133] рассмотрели более сложное течение, для которого обе функции внутри некоторой сферы линейны по ⑦.Такое вихревое движение уже является закрученным, но по-прежнему его можно сшить с внешним потенциальным однородным на бесконечности потоком. Аналогичный случай выбора Н и С проанализирован в работе [134]. Точное решение (7.1) найдено также для случая квадратичной функции Н и линейной С [135, 136]. Оно описывает уединенные тороидальные вихри, правда, у этих решений есть существенный недостаток — производная “ терпит скачок на оси.

В работе [97] проанализированы свойства решений (7.1) для случая, когдаI

Н = §А2У С2 = 2В ф In 1^1#-

Им соответствует набор разнообразных тороидальных структур (см. также [98]).

Второй подход связан с исследованиями по динамике жидких эллипсоидов. Он был освещен нами в разделе 3.4.

Ниже излагается новый подход, основанный на матричном описании вихревых течений.

Матричная форма уравнений гидродинамики

Обратимся вновь к рассмотрению системы уравнений в форме Коши (1.20). Как можно убедиться непосредственной проверкой, с помощью матрицы Якоби R (см. (1.9)) она сворачивается в одно матричное уравнение [137, 138]:

/。S3- S2、

R^R-R^Rt = S; 3 =—S30&.(7.2)

IS2—&0丿

В правой части этого уравнения возникает не зависящая от времени антисимметричная матрица S, элементами которой являются инварианты Коши. Вместе с уравнением непрерывности

det R = det(7.3)

I力=о

оно образует систему матричных уравнений гидродинамики. К этим уравнениям следует добавить условие того, что матрица R не произвольна, а связана с координатами частиц согласно своему определению (1.9). Из него,^невидно, следует, что перекрестные производные столбцов матрицы R должны равняться друг другу:

9Rik 9Rin

Это «условие градиентности» означает, в частности, что интеграл по замкнутому контуру в пространстве лагранжевых переменных от матрицы Якоби равен нулю. Подчеркнем, что систему уравнений (7.2)(7.4) не следует рассматривать как новый замкнутый подход к описанию движения несжимаемой жидкости на основе матрицы Якоби. Это просто удобный способ записи гидродинамических уравнений для компонент ее матрицы. Да и чисто формально такое утверждение будет неверным, поскольку уравнения движения (7.2), наряду с самой матрицей R, содержит также и транспонированную к ней матрицу Дт. Как и якобианная форма двумерных уравнений (1.30), матричное пред-

ставление является чрезвычайно компактной формой записи основных уравнений гидродинамики и позволяет облегчить решение ряда задач вихревой динамики.

По способу введения матрица R похожа на тензор деформации в теории упругости. Однако есть существенное отличие — в теории упругости тензор деформации описывает изменение длины бесконечно малого элемента [139], тогда как матрица R описывает изменение векторного бесконечно малого элемента, его деформацию и, что очень важно, — вращение. Действительно, тензор деформации 石叮 в теории упругости определяется следующим образом:

2Eij dai daj = |dr|2 - \dr^

и, очевидно, не описывает вращательную часть движения. После решения системы уравнений: — движения (7.2), непрерывности (7.3) и удовлетворения условию (7.4) траектории частиц по известной матрице R можно найти интегрированием по лагранжевым переменным:

а

f {a,方)= R(万,方)da + r (0,方).о

Результат этой операции содержит постоянную интегрирования — произвольную функцию времени, не зависящую от лагранжевых переменных. Ее вклад представляет собой всевозможные движения жидкости как целого без относительного перемещения частиц, что соответствует наблюдению одного и того же течения в различных неинерциальных системах отсчета. Как можно увидеть уже из исходных уравнений Лагранжа (1.8) и (1.20), эта «твердотельная» составляющая несущественна при изучении нетривиальных движений жидкости и в дальнейшем при нахождении траекторий частиц будет опускаться. К системе уравнений для матрицы Якоби следует добавить начальные и граничные условия. Уточним способ постановки начальных задач для системы матричных уравнений применительно к ее действительной форме. Матрица Rq = R\ , служащая одним из начальных условий для I力=0

системы матричных уравнений, фигурирует в правой части уравнения неразрывности, причем, по существу она лишь характеризует выбор лагранжевых переменных а, Ь, с для данной задачи и не содержит информации о течении в начальный момент времени. Разумеется, ее следует считать удовлетворяющей условию градиентности. Физически содержательные начальные условия заключаются в задании картины течения в начальный момент времени. Это требует задания, помимо Rq, еще и начального значения производной по времени от матрицы Якоби R力о(。，Ь, с), которая характеризует начальное распределение скоростей.

Матрица инвариантов Коши S выражается через начальные значения Rq и А力о следующим образом:

S =h舌凡-R6r爲0, то есть правые части уравнений (7.2), (7.3) явно зависят от начальных значений А° и А力°・ Завихренность по известной матрице Якоби и величине инвариантов Коши находится с помощью формулы (2.11).

Напомним, что матричное представление естественно возникает при частной форме течений с линейной зависимостью скоростей и координат от лагранжевых переменных (см. раздел 3.4):

尸=元⑴万，V = At^ a.

Использовать матричную форму записи в более общем случае, кажется, уже не представляется возможным: так сложны уравнения. Однако один способ их исследования открывается, если перейти, как это делалось при анализе плоских течений, к комплексным переменным.

Комплексная форма матричных уравнений

Введем в рассмотрение матрицу Е泳 такую, что

(7.5)(7.5)(7.6)(7.6)丁 _ аж名，

(7.5)

(7.5)

(7.6)

(7.6)

где Wi п %^ определяются формулами

Xi = ^ (a + ib\ Х2 = ±(。一沥， Хз = &

恥= ±(Х + 〃У),% = ±(ХТУ), W3 = Z (7.7)

Это представление отличается от соотношений (1.22), (1.23) множителем —.

В новых обозначениях система (7.2)-(7.4) примет следующий вид:

(7.8)(7.8)(7.9)(7.9)(7.1。)(7.1。)L； L — L* Lt = Sc,

(7.8)

(7.8)

(7.9)

(7.9)

(7.1。)

(7.1。)

det L = det 工。,

az 泳 aLi/ndXn — dxk

здесь комплексная матрица инвариантов Коши Sc равна

/ УзО2T/2(—S2 + 5&) \

Sc =0z532T/2(—S2TS1) . (7.11)

〈2-i/2(S2 + 5Si) 2T/2(S2—Si)0 丿

следует, чтоследует, чтоИз комплексного представления матрицы Якоби вытекает еще одно ограничение (в дополнение к условию совместности) на решение системы (7.8)-(7.11). Именно, из определения матрицы

следует, что

следует, что

/ а (х + 〃у)

а (х + 〃у)

а (х + 〃у)\

9 (а + 〃Ь)

д (а -沥

а с

L =

а (х — iY) 9 (а + 〃Ь)

а (х - iY) д (а -沥

а (х - iY) а с

(7.12)

д Z

д Z

д Z

\ 9 (а + 〃Ь)

3 (а -沥

д с у

из всевозможных решений смысл имеют только те, у

которых

上22 =上11, 上12 =上21, 上23 =上13， ImZ/33=0， %1 =%2, (7.13)

где чертой обозначено комплексное сопряжение.

Для полноты описания движения жидкости нам необходимо еще найти представление для давления. Перейдем в уравнении (1.16) к переменным (7.6), (7.7):

Wittw2xi +w2ttwixi +w3ttw3xi = -р-{ рХ1；

Wittw2x2 +W2ttWiX2 +W3ttW3x2 =—厂夕 X2；(7.14)

叫力"2x3 +叫力+ 叫力"зхз = —р—'Рхз・

Для простоты потенциал внешних сил Н выбран равным нулю. Определение давления произведем с помощью стандартной процедуры восстановления функции по ее градиенту:

夕(XI，Х2, Хз)-夕(。,0,0)=夕XI(Х1，。，。) dxi + о

Х2Хз

+ 夕 Х2(Х1，Х2,О)&Х2 + 夕 хз(Х1，Х2，Хз)&Хз・ оо

Общая формула для вычисления давления по известным функциям ИЛ(Х1，Х2，ХЗ,“，W1(X1，X2，X3，U，W1(X1，X2，X3,“，как следует

4 А.А. Абрашкин, Е.И. Якубович

из системы (7.14), имеет следующий вид:

Xi

—0—1(夕—夕о)—Н=［叫力力+ % 力 Mi» + 恥力、"Xi +

0

X2

+［叫力"2х2 + 明力M1X2 + *力、"X2 +

.L」(X1，X2,O,力)

О

Хз

+ ［叫力"2хз + 叫力"1X3 + 龜力力屮3 J(Х1，Х2，ХЗ#) "хз・(7.15)

о

Нижние индексы у квадратных скобок указывают вид аргументов для функций, стоящих под знаком интеграла.

Обобщенные птолемеевские течения

Матричный подход естественно апробировать на примере птолемеевских течений. Для них Si = S? = 0, инвариант S3 равен (см. (1.20), (1.30), (2.10), (4.6)):

^з = 2 ［A |gT —〃尸Т卜

а матрица L записываетсяа матрица L записываетсяследующим образом:следующим образом:/ 6夕入+4）力L4 0/ 6夕入+4）力L4 0оо\『1）尸（Х2）\『1）尸（Х2）ххЧ 0Ч 0ое-|(А-М)^ое-|(А-М)^(7.16)(7.16)

а матрица L записывается

а матрица L записывается

следующим образом:

следующим образом:

/ 6夕入+4）力

L4 0

/ 6夕入+4）力

L4 0

о

о

\『1）尸（Х2）

\『1）尸（Х2）

х

х

Ч 0

Ч 0

о

е-|(А-М)^

о

е-|(А-М)^

(7.16)

(7.16)

Обратим внимание, что в указанном представлении для матрицы птолемеевских течений произошло как бы двойное разделение переменных. Во-первых, разделились «временные» и «пространственные» матрицы, а во-вторых, внутри координатной матрицы каждый из столбцов зависит только от одной комплексной координаты.

В связи с этим будем искать решение уравнений (7.8)-(7.11) в виде

L = diag{「^力，^)力，1} Lq diag{e—必力，е必力，1} ,(7.17)

где матрица Е。задается так:

/ 厶 1(Х1)Ь0 =e21(X1)\ ^31(Х1)/ 厶 1(Х1)Ь0 =e21(X1)\ ^31(Х1)Е12（Х2）Е13（ХЗ）e22（X2）b23（yЗ）%2（Х2）%3（ХЗ）Е12（Х2）Е13（ХЗ）e22（X2）b23（yЗ）%2（Х2）%3（ХЗ）(7.18)(7.18)

/ 厶 1(Х1)

Ь0 =e21(X1)

\ ^31(Х1)

/ 厶 1(Х1)

Ь0 =e21(X1)

\ ^31(Х1)

Е12（Х2）Е13（ХЗ）

e22（X2）b23（yЗ）

%2（Х2）%3（ХЗ）

Е12（Х2）Е13（ХЗ）

e22（X2）b23（yЗ）

%2（Х2）%3（ХЗ）

(7.18)

(7.18)

Такой вид искомых решений обобщает выражение (7.16), поэтому в последующем их естественно называть обобщенными птолемеевскими.

Матричное выражение (7.17) удовлетворяет уравнению неразрывности (7.9). Заметим далее, что условие градиентности (7.10) выполняется для матрицы I/。н в силу диагональности матриц, зависящих только от времени, сохраняется в любой момент времени для матрицы течения L. Остается выяснить, таким образом, при каких ограничениях на элементы Е。удовлетворяется уравнение движения (7.8).

Для этого запишем выражение для матрицы L в явной форме

L =£2iei(^-7)tЕ22е“"+6工23^)力

I L3ie-^t 42ME33/

и подставим в уравнение (7.8), откуда следует, что

Si = S2 = 0,

^з = ~2+ 7)|Ьц |2 + (^ - 7)\L^x |2 + ^ \L^\|2] ,(7.19)

|Ь1з|2 =厶 3『，|Ь31|2 = |%2『，|Ьц|2 = &2『，厶 1『=&2『,

(s + 2)) Z/iiZ/13 + Q — 2)) L\?L\3 + s L31L33 = 0.

Перепишем последнее соотношение, учитывая равенство L12 = Е21 (см. (7.13)) и указывая в явном виде аргументы для функций Е叮：

(s + 2t)Z/u(xi)E13(c) + 3 — 2t)Z/2i(xi)E13(c) + ^^31(X1)^33(C)=。・

(7.20) Это равенство удовлетворяется несколькими различными способами. Рассмотрим все их последовательно.

Течения с прямыми вихревьши линиями. Выделим вначале случай, когда элементы матрицы L не зависят от с. Положим L33 = 1 и будем считать величину 工奥 тоже действительной, положив ее равной

Ь1з = -8ш,

где 6 — действительная постоянная. Тогда из выражения (7.20) следует следующее соотношение:

^31 = 8 [3 + 2)) Ьп + (сх； — 2)) Z/21] •

Из него видно, что две из трех функций 工口，厶，Ji можно выбрать произвольным образом, а третья будет их линейной комбинацией (здесь и далее для простоты частоты s п)будем считать безразмерными).

Примем, что Ln = 1, L21 =尸，при этом матрица Е。запишется следующим образом:

(1Р(Х2)—加

Ьо =尸(Х1)1—加

\ 8 [а + 2)+ Q — 2))尸]В 艮 + 2)+— 2))歹〔1

здесь функции в первом столбце зависят от xi， а во втором — от Х2・ Выражение типа 歹(х/ следует понимать как обозначение функции

Выражения для траекторий частиц, соответствующих данному виду I/O, выглядят так:

Ж =Ж =Х + 5УХ + 5УХ1「必力 + 戸（Х2）е 必力—М, W2 = WiХ1「必力 + 戸（Х2）е 必力—М, W2 = Wi

Ж =

Ж =

Х + 5У

Х + 5У

Х1「必力 + 戸（Х2）е 必力—М, W2 = Wi

Х1「必力 + 戸（Х2）е 必力—М, W2 = Wi

Z = c + 28Re{[Q + 2T)xi + Q —2))歹(曾)]厂如力}・

(7.21)

Рис. 7. Схема течений в вихревом шнуре во вращающейся жидкостиРис. 7. Схема течений в вихревом шнуре во вращающейся жидкости

Рис. 7. Схема течений в вихревом шнуре во вращающейся жидкости

Рис. 7. Схема течений в вихревом шнуре во вращающейся жидкости

Траектории частиц являются четырехчастотными по времени. Они представляют собой намотки на тороидальные поверхности, образованные путем вращения различным образом ориентированных в пространстве эллипсов вокруг оси 2 (см. рис. 7). Для несоизмеримых частот

s п 7 эти намотки квазипериодичны, и каждая траектория заполняет всю поверхность соответствующего тора. Завихренность течения (7.21) находится с помощью (2.11) и имеет следующий вид:

det Ео = (1 +2£j)(l —尸 |2) +4д/ 卩—歹[2.

Вихревые линии такого потока — прямые, прецессирующие вокруг оси 2. Они «вморожены» в течение и задаются параметрически выражением (7.22), где параметром служит лагранжевая координата с. При 8 = =0 трехмерное течение (7.21) переходит в плоское птолемеевское (см. (4.4)), у которого завихренность направлена по оси 2.

Течение внутри вращающегося эллипсоида со свободной границей. Будем считать, что выражение (7.21) описывает движение жидкости внутри некоторого объема, ограниченного свободной поверхностью. На свободной границе должно выполняться условие постоянствам давления. Распределение давления внутри жидкости находится из формулы (7.15) и имеет следующий вид:

+2 Re^-5cJ72X3(xi + 歹)e~icvt + [{(s + 7)2 + 庐，(，—472)}yi F-

F dx\ + g 82ш2 ((s + 2))2 X? + (s — 2))2歹2)卜力

Положим F = —xi・ Тогда из формулы (7.20) следует, что при условии

齡U亿23)

давление внутри жидкости будет задаваться соотношением

夕—夕о = 0+ 72)(4 Ixi |2 + |xi

Как видно, оно остается постоянным на поверхностях, задаваемых уравнением эллипсоида

У М

产Y + 产7 + R = const,(7.24)

z 1 z 1 о

здесь мы перешли к обычным лагранжевым переменным.

Решение (7.21), описывающее динамику этих «лагранжевых эллипсоидов», будет иметь следующий вид:

*= &1「"力一x2 "力一5шe｝「力，W2 = Wi, v2

Z = c + 8bTRexie—必力•(7.25)

В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью —7 вокруг оси 2, форма свободной поверхности будет оставаться неизменной. В самом деле, обозначим 乂1&一力=s, тогда форма границы будет зависеть от трех параметров — з, з, с. После их исключения в уравнении для свободной границы не будет входить явно время. Но это и означает, что свободная граница жидкости остается неизменной по форме.

В силу линейной зависимости координат траекторий частиц от лагранжевых переменных этой формой будет поверхность второго порядка. Начальные положения жидких частиц в решении (7.25) связаны с лагранжевыми координатами следующим образом:

力о = —% = 2b, 20 = с + 4 V587a.

Зная это, легко заключить, что жидкий объем, соответствующий «лагранжевому эллипсоиду» (7.24), в эйлеровом пространстве ограничен поверхностью

16户72十2十16—

Главные оси этого эллипсоида в плоскости х, z повернуты относительно оси х на угол 夕，определяемый следующим образом:

Q ±，懈 + 0/ — 4，,2 -)44

При вычислении угла можно выбирать любой из знаков перед квадратным корнем.

Итак, выражения (7.25) при выполнении условия (7.23) описывают течение внутри стационарного эллипсоида со свободной границей, равномерно вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. В эйлеровых переменных такого рода движения были изучены Риманом [86, 87]. Если постоянные 8,以，)не удовлетворяют

условию (7.23), то решение (7.25) можно интерпретировать как течение внутри вращающегося эллипсоида с твердой границей.

Класс такого рода течений, то есть задаваемых решением (7.21) и существующих внутри твердых границ, можно существенно расширить. Как уже отмечалось, в случае линейной функции 歹=X^i (入= =const) движение жидкости во вращающейся системе отсчета является стационарным. Выберем в качестве области определения течения в лагранжевых координатах внутренность объема, образованного вращением линии г(с), где г = 2|xi|? = д/а? + 接.Тогда течение (7.21) будет удовлетворять условию непротекания на вращающихся без деформации поверхностях следующего вида:

W= [(е-^ + А е^)г(с) - с]

Z = с + 28 Re ｛辰 + 2)+ X Q — 27)] e^r(c), здесь r(c) — произвольная действительная функция, а 夕(0 W 夕 W 2тг) и с — параметры. Эти поверхности, очевидно, могут быть выбраны в качестве жестких стенок.

Вихревые домены. В теории вихревых течений выражение (7.21) выступают как уникальный пример точного решения, описывающего класс пространственных нестационарных движений жидкости, зависящий от произвольной аналитической функции и трех действительных параметров. По «мере сложности» с ним, по-видимому, трудно сопоставить любое другое из известных точных аналитических решений уравнений гидродинамики. Вместе с тем для него чрезвычайно актуальным является вопрос физической интерпретации. Дело в том, что соотношения (7.21) не могут определять движение жидкости в безграничном объеме, поскольку в пространстве лагранжевых координат всегда найдется точка, где детерминант матрицы L обратится в нуль. Кроме того, эти решения, в отличие от птолемеевских, нельзя сшить с внешним потенциальным течением (вихревые линии, а в данном случае это прямые, не могут оканчиваться внутри жидкости). Условию же постоянства давления на свободной поверхности это решение удовлетворяет только для случая линейной функции F. Таким образом, существует проблема физической интерпретации решений (7.21).

Мы можем указать лишь один вариант ее возможного решения. Выделим в пространстве лагранжевых координат некоторую поверхность, например, единичную сферу. Ее форма в реальном физическом пространстве будет зависеть от вида функции F. Если в дополнение к этому еще предположить, что действительные параметры cj и 7 (или их комбинации, входящие в (7.21)) иррациональны, то форма выбранного нами замкнутого вихревого объема никогда не повторится. Итак, мы имеем точное решение уравнений гидродинамики, которое определяет динамику ограниченного объема жидкости с законом изменения

формы границы, близким к случайному. На основании этого можно высазать гипотезу, что выражения (7.21) могут определять движение жидкости внутри когерентных структур, наблюдаемых в турбулентных потоках. А поскольку характерным свойством движений (7.21) служит однонаправленность вихревых линий внутри выбранного жидкого объема, то такие локализованные структуры естественно назвать вихревыми доменами.

Течения с вихревыми линиями, прецессирующими в горизонтальной плоскости. Есть еще один интересный пример течений рассматриваемого типа, который отличается от изученного ранее тем, что вихревые линии для него строго перепендикулярны оси 2 (оси вращения). Его не удается изучить в рамках изложенного выше подхода.

Положим Z/зз = 0, тогда функция £31(x1) произвольна, а элементы Ln, Z/21 связаны соотношением

(G + 27)厶1 +(G — 2))工21 = 0.

Обозначая

厶1= 2) — 8,Z/2i=2t + g, Li3 = 1,L31 = ^(xi),

запишем матрицу в следующем виде:

/ 2)— s s 1 \

Lq =2)+ з 2)— cj 1 I .

Gf Gf 0 /

Искомое течение описывается выражениями

W\ = [(27 - 5 xi 力 + (2)+ 5 匕 d3t + с] 力，

(7.26)

Z = 2Re [G(xi) .

Для этого семействаДля этого семействадвижений вектор завихренности равен

Для этого семейства

Для этого семейства

+ 72 1G[227 ReGz+ 72 1G[227 ReGzcos 71д/2 sin 71 0cos 71д/2 sin 71 0

+ 72 1G[2

27 ReGz

+ 72 1G[2

27 ReGz

cos 71

д/2 sin 71 0

cos 71

д/2 sin 71 0

Как видно, вихревые линии являются горизонтальными прямыми, прецессирующими вокруг вертикальной оси.

В случае линейной функции G = X^i распределение давления имеет следующий вид:

р = [8)4 +，(А2 - 6沟 + 2/] |х112 +

+ Re{ [8)4 + (б)2 + A2) J — 2/] Х12汝力-873cxi力}.

Из этого выражения видно, что при отличных от нуля частотах s и 7 не существует поверхности, на которой выполнялось бы условие постоянства давления. С другой стороны, во вращающейся с угловой скоростью —т вокруг оси 2 течение (7.26) с линейной G будет стационарным. Это позволяет по аналогии с рассуждениями, приводившимися в пункте 7.3.1.1, строить решения, описывающие течения внутри равномерно вращающихся полостей с жесткими границами.

Течения с плоскими криволинейными вихревыми линиями. Вихревые линии лежат в одной плоскости с осью вращения. Рассмотрим случай Е31 = 0. Будем для простоты считать 工奥 действительной. Из уравнения (7.20) следует, что

b2i =/#42.(7.27)

Обозначая

Ьн = (2)- 5 Ff(Х1),厶з = 〃(с), Ь33 = “(с),

запишем матрицу Е。в виде

((2)-5 尸(X1) (2)+ 5尸(x2)"(e) \

bо =(2)+ 5尸(X1) (2)-5 尸(x2)"(e)

\。0/(с)丿

и простым интегрированием найдем явное представление для искомого решения, которое выглядит так:

=[(2)- 5 尸 Ji)「必力 + (2)+ 5 歹(Х2)е必力 + h (с)卜一分)力；

W2 = Wl； Z = q(c).

Напомним, что Х2 = Xi・ В силу произвольности выбора области определения лагранжевых координат можно без ограничения общности считать

歹(Х1)=Х1， С(с)=с

Таким образом, окончательно решения рассматриваемого типа имеют вид

Ж = Х^У = [(27 - 5 Х1е-^ + (27 + 5%”力 + Д (с)]「竺

Полученное движение при Д(с) = 0 сводится к плоскому птолемеевскому (4.4). Движение частиц в течении (7.27) происходит в плоскости 2 = const по траекториям, представляющим собой наложение трех круговых вращений с различными частотами s +), ш — у, 7 и амплитудами или, по-другому, движение по эллипсу вокруг центра, перемещающегося по окружности. В случае несоизмеримости частот s п 7 траектории являются квазипериодическими и незамкнутыми. Несмотря на то, что все они лежат в параллельных плоскостях, течение трехмерно, поскольку координата центра, вокруг которого происходит вращение в каждой плоскости 2 = const, определяется функцией Д(с), то есть изменяется при переходе от одного слоя движущейся жидкости к другому. Произвол функции Д(с) ограничивается условием ее однозначности. Заметим, что для данного типа течений

det Lq = —87 s,

поэтому ни 7, ни s не могут выбираться равными нулю. Частным случаем рассмотренных течений является эллиптический вихрь Кирхгофа. Ему отвечает случай s = 7, Д = 0. В более общей ситуации Q = T，九#。)течение приобретает трехмерный характер. При этом ось вихря искривляется в пространстве в соответствии с законом, определяемым функцией h, но само вихревое ядро не деформируется и остается эллиптическим. Такой вихрь естественно назвать криволинейным вихрем Кирхгофа. Случай g # 7 соответствует более сложным режимам вращения эллиптического ядра.

Завихренность течения (7.28) определяется следующей формулой:

/ V^h\c) COS71 \

V^h\c) sin7t •(7.29)

Вектор завихренности в любой точке потока прецессирует вокруг оси 2 с частотой 7. Форма вихревых линий определяется соотношениями (7.28), (7.29), где комплексные переменные фиксированы, а с является действительным параметром. Другими словами, вихревые линии совпадают с координатными линиями с. Они лежат в одной плоскости с осью вращения (к примеру, при t = 0 вектор Q принадлежит плоскости xz).

В эйлеровой форме течение (7.28) запишется так:

ж =ТL力；

4)4)2)(7.30)

2力=0.

Первый член в выражении для комплексной скорости описывает стационарное круговое течение, порождающее 2 — компоненту завихренности, второй член соответствует нестационарному потенциальному движению. Третий характеризует различие в течениях на разных горизонтальных уровнях (именно он порождает осциллирующие компоненты завихренности, лежащие в плоскости ху). Эйлерово представление для завихренности получается из (7.29) заменой с на 2. Вертикальная ось в пространстве лагранжевых координат (для нее Xi = Xi = 0) ПРИ 方=0 образует в пространстве xyz плоскую линию х =九(2). В следующие моменты времени эта линия равномерно поворачивается вокруг оси 2 с угловой скоростью —7. Ее уравнение в произвольный момент времени записывается так:

х + iy =九(2) с—竺

Она совпадает с вихревой линией и служит осью вращения для течения (7.28). На рис. 7 качественно показано, какой объем занимают жидкие частицы, располагающиеся в лагранжевой системе координат внутри вертикального цилиндра с круговым поперечным сечением. В реальном физическом пространстве поперечное сечение такого изогнутого столба уже является эллиптическим. Его образующая АВС в следующие моменты времени по-прежнему будет оставаться плоской кривой, параллельной оси столба (жирная линия на рисунке), то есть жидкие частицы, составляющие линию АВС, не будут закручиваться относительно друг друга. Укажем при этом, что частицы внутри столба могут вращаться и в сторону, противоположную прецессии самого столба вокруг оси 2, что и зафиксировано на рисунке.

Для ограниченной функции Д(с) на достаточно далеких расстояниях от оси 2, то есть там, где \W\ >> h, эйлерово поле скорости (7.30) приближенно будет следующим:

М 刃+ 2(，：狂2)帝「2分竺 (7.31)

Оно представляет сумму слагаемого, описывающего однородное вращение с частотой ^2/4), и линейного по координатам и гармонического по времени деформационного поля.

Таким образом, течение (7.28) при ограниченной Д(с) можно интерпретировать как возможный режим движения жидкости во внешнем квазидвумерном поле с асимптотикой вида (7.31). В силу ограничения на выбор постоянных s, 7 течение (7.30) не может быть чисто круговым, но в то же время для значений s, крайне мало отличающихся от ±2), оно может быть сколь угодно близко к равномерному вращению.

В выражении (7.28) функция h является действительной. Вследствие этого оно не описывает спиральные возмущения, распространяющиеся вдоль оси 2. Давление для течения (7.28) записывается следующим образом:

^ = 2(4)4 + J — 3)2，) I» |2 + 72Д2+

+ Re{2(4)4 + 3)2,+ Re{2(4)4 + 3)2,-J) х「У 3t + 8)з九xi 必力-J) х「У 3t + 8)з九xi 必力

+ Re{2(4)4 + 3)2,

+ Re{2(4)4 + 3)2,

-J) х「У 3t + 8)з九xi 必力

-J) х「У 3t + 8)з九xi 必力

Интересно отметить, что давление зависит от вертикальной лагранжевой координаты, но не зависит от эйлеровой (# = 0 в силу 匕=0).

Течения, для которых ось вращения наклонена к плоскости вихревой линии. Пусть теперь все функции, входящие в уравнение (7.20), за исключением Е13, будут постоянными (комплексными). Не ограничивая общности, положим Е33 = 1, а функцию Е13 будем искать в виде

Li3 = A\c)+iB\c\

где А, В — действительные функции. Из уравнения (7.20) при условии A V 0 следует, что

+ 2))1/11 + Q - 27)Z/2i

以e31

+ •2))‘21玄=1. (732)

Положим, что

ImIm(s + 2))1/11 + Q - 2t)Z/2i

Im

Im

以e31

Re(s -27)21:(“ + 27)厶 1 = 0.(733)

Тогда одну из функций, например А(с), можно считать произвольной, другая же будет определяться из равенства (7.32). Масштабным преобразованием лагранжевой переменной xi сделаем L\\ равным единице. При такой калибровке с учетом равенств (7.32), (7.33) получаем следующую связь между А и В:

В =-——А -1Ш £В =-——А -1Ш £同2e2Ims(l + 2"5 С，同2e2Ims(l + 2"5 С，

В =-——А -

1Ш £

В =-——А -

1Ш £

同2e

2Ims(l + 2"5 С，

同2e

2Ims(l + 2"5 С，

Ьз1 = £； Ьн = 1.

Общий вид матрицы Е。для данного типа решений теперь записывается так:

11Ьо =Ьо =4(c)4(c).Rew1+Е.Rew1+Е2同2、21ш£ (1 + 2^2同2、21ш£ (1 + 2^££11££4(。)4(。)[.Rew[.Rew++2回221Ш£ ( 1 + 2-2回221Ш£ ( 1 + 2-

1

1

Ьо =

Ьо =

4(c)

4(c)

.Rew

1+Е

.Rew

1+Е

2同2、

21ш£ (1 + 2^

2同2、

21ш£ (1 + 2^

£

£

1

1

£

£

4(。)

4(。)

[.Rew

[.Rew

+

+

2回2

21Ш£ ( 1 + 2-

2回2

21Ш£ ( 1 + 2-

соответствующее построеннойсоответствующее построеннойРешение уравнений гидродинамики,

соответствующее построенной

соответствующее построенной

матрице, для произвольного момента времени получается подстановкой Lq в (7.17). Определение траекторий частиц жидкости по найденной комплексной матрице Якоби проводится путем интегрирования по комплексным лагранжевым переменным и дает следующий результат:

W =W =/ Ree—哄 хе^ + (1 + 分-/ Ree—哄 хе^ + (1 + 分-4。) —4。) —i |s|2 с21m£(1+2少i |s|2 с21m£(1+2少(7.35)(7.35)

W =

W =

/ Ree

—哄 хе^ + (1 + 分-

/ Ree

—哄 хе^ + (1 + 分-

4。) —

4。) —

i |s|2 с

21m£(1+2少

i |s|2 с

21m£(1+2少

(7.35)

(7.35)

Z = £xi е—必力+沃1 е必力+ c; Ai市0.

Траектории жидких частиц представляют пространственные кривые, зависящие от четырех временных частот. Движение отдельной частицы можно представить как суперпозицию трех вращений в горизонтальной плоскости с частотами 7, s + 7, cj — 7 и прямолинейных колебаний с частотой s в вертикальной плоскости.

Детерминант матрицы Е。равен

det I/。= 4sdet I/。= 4sQ - 27)同 2 - 2 Q + 2))

det I/。= 4s

det I/。= 4s

Q - 2))2 (s + 27)

Он не зависит от функции А (с) и равен некоторой постоянной. Это означает, что решение (7.35) существует во всем пространстве. Для нахождения завихренности определим единственный ненулевой инвариант Коши (см. (7.19))

(7.36)(7.36)2G [(2, + Q - 2,)2 |е|2]- 2))2

(7.36)

(7.36)

и воспользуемся затем выражением (2.10) для завихренности. В итоге

一(3 + 2))[(21(3”)2同2]吋"。(737)

det Lq 2)[(s - 2))厄『-2(s + 2))]

где fc, как это видно из (7.35), имеет компоненты

Res Isl2s \ .

4 cos7方 + Af —(、 sin)方,

\ Im £2 Im +

丄Res回\ 丄

/ I Ims 21гп£(& + 2т)丿 /

1

Уравнение вихревых линий в параметрической форме будет иметь вид

/ Re £Х(с) = 4/3 cos/ Re £Х(с) = 4/3 cos21шф + 27) I ，21шф + 27) I ，

/ Re £

Х(с) = 4/3 cos

/ Re £

Х(с) = 4/3 cos

21шф + 27) I ，

21шф + 27) I ，

У© = —4仆in^ + 卜黑-21mtX，j °5’(7.38)

Z(c) = /3с.

Кручение 庆 кривой пропорциально смешанному произведению векторов гс, fcc, гссс, которое в данном случае равно нулю:

Хс(Тс, Тсс, Тссс) = ХссХессХс(Тс, Тсс, Тссс) = ХссХесс匕 1

Хс

(Тс, Тсс, Тссс) = Хсс

Хесс

Хс

(Тс, Тсс, Тссс) = Хсс

Хесс

Кс 。= 0.

кее。

Это необходимое и достаточное условие того, чтобы кривая была плоской. Следовательно, вихревые линии (7.38) являются плоскими. Они, однако, уже не лежат в одной плоскости с осью вращения. Угол О между нормалью к плоскости вихревых линий

N Е X 同с]

I [гС X尸с』

и осью 2 определяется соотношением

,4 Q + 2,)2 +，El?

В случае £ = 0 вихревая линия лежит в одной плоскости с осью вращения. Этот случай соответствует решению (7.28). Предельный переход в выражении (7.35) при этом следует проводить в два этапа: сначала положить Res = 0, а затем устремить к нулю Ims.

Выражение (7.35) описывает сложное пространственное течение с плоскими криволинейными вихревыми линиями, прецессирующими вокруг некоторой оси. Оно обобщает решение (7.28). При заданных значениях частот cj и 7 форма вихревых линий в нем определяется видом функции А (аналога Д в (7.28)), а угол отклонения от оси вращения — параметром £.

Течения со спиральными вихревыми линиями (птолемеевские вихри в осевом потоке). Укажем еще один вариант обобщения птолемеевских течений (5.4), предложенный в работе [140]. Он связан с уже отмечавшейся в разделе 2.1.4 возможностью «превращать» плоские (力，у) течения в пространственные за счет добавления в решение неоднородного по оси 2 дрейфа жидких частиц.

Предположим, что течение внутри вихревого ядра описывается следующим выражением (см. (5.4)):

W = X + iY = ехр(гА 方)+ 歹 0); z/ = exp [ik (a + ib)];

(7.39)

Z = c + U(| 力方； 財 Wl； U ⑴=0.'

Вид осевого потока выбран таким образом, чтобы скорость течения вдоль оси 2 обращалась в нуль на границе вихря. В этом случае потенциальное течение вне вихря будет по-прежнему задаваться соотношениями (5.6). «Внутреннее» движение жидкости, однако, изменится. Жидкие частицы будут двигаться по винтовым линиям с шагом 2"-10(同2).

Выражения для завихренности данного течения находится путем подстановки формул (7.39) в соотношения (2.4). Для компонент вектора завихренности, лежащих в плоскости х, у справедливо следующее представление:

и尸(》) — a % ехр(гА 方)

i.亿40)

Каждая из компонент Q^, Q^ имеет как осциллирующую с частотой А, так и не зависящую от времени составляющие. Осевая компонента завихренности остается той же, что и в плоском случае, и определяется формулой (5.5).

Для определения инвариантов Коши, соответствующих данному течению, проще всего подставить решение (7.39) в уравнения (1.20). Из них находим, что

S1 = 〃； S2 = -и； =0; S3 = 2А.

Во второй из этих формул учтено, что |z/『=exp (—2kb) не зависит от а. В отличие от обобщенных птолемеевских течений, рассматривавшихся ранее в этой главе, для течения (7.39) отличны от нуля уже два инварианта Коши (см. (7.19)).

Форма вихревых линий по известному вектору Q определяется из уравнения

J dy dz

Су С。

Проинтегрировать его в общем случае течения (7.39) затруднительно, так как нельзя в явном виде записать зависимость компонент завихренности от эйлеровых координат х, у, z. Вследствие этого ограничимся анализом вида вихревых линий для простейшего случая — вихря Кирхгофа, соответствующего линейной функции F (») = /3». Осевой поток выберем в виде U (財?)=次(1 - 岡” В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью А/2, это течение стационарно, а вихревые линии неподвижны. В лабораторной системе, следовательно, они будут (оставаясь неизменными) вращаться с той же частотой. Чтобы найти их форму, достаточно проанализировать распределение завихренности в любой момент времени, например, когда t = 0.

Положим в выражениях (7.39), (7.40) t = 0 и найдем распределение завихренности в начальный момент в зависимости от эйлеровых координат. Оно имеет следующий вид:

с — 2Uo с — 2Uo с — 2ХМ

(а —/3)2 У (а + /3)2— 0

Подставим эти соотношения в уравнение (7.34):

ух

его решение в параметрической форме запишется так:

力=(Q + /3) COS S, у = 9 _ В) sin S, 2 = /\&2 s.

Это уравнение винтовой линии, которая равномерно, с шагом 2тгАа2 наматывается на поверхность эллиптического цилиндра с полуосями (а + /3), (а — /3). В моменты времени t > 0 вихревая линия будет сохранять свою форму, поворачиваясь от начального положения на угол

2.

Для нелинейной F вихревые линии будут по-прежнему представлять спирали, но наматываться они уже будут на более сложные поверхности и шаг их будет в общем случае неравномерным.

Решение (7.39) имеет важное физическое приложение. Перейдем в систему отсчета, которая движется в отрицательном направлении оси 2 с постоянной скоростью U*. В формулу для осевой координаты жидких частиц Z при этом добавится слагаемое U*方，но тогда выражения (7.39) будут описывать динамику нестационарного пространственного вихревого образования, находящегося в однородном внешнем потоке. Следовательно, найденное решение может выступать в качестве модели вихревого следа, образующимся за равномерно движущимся и равномерно вращающимся осесимметричным телом.

Глава 8

ВИХРЕВЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ НАСДВИГОВОМ ПОТОКЕ

Традиционный метод изучения волн

Данная глава посвящена изучению распространения стационарных вихревых возмущений по поверхности сдвигового потока. Традиционный путь исследования таких волн связан с применением метода теории возмущений для отклонений компонент поля скоростей от сдвигового течения U(g), U — горизонтальная скорость, у — вертикальная координата [141, 142]. Но подобный подход является очень частным. Действительно, свойства возмущений — их скорости распространения и завихренность — во всех приближениях определяются только видом исходного профиля. В то же время в стационарном течении, как известно, завихренность произвольным образом зависит от функции тока (или от вертикальной лагранжевой координаты 6) и в каждом приближении, следовательно, может задаваться произвольной функцией. Тем самым, общепринятый способ анализа не позволяет рассмотреть всего многообразия возможных волновых движений.

Обозначенный нами общий подход был реализован независимо Дюбреиль-Жакотэн и Гуйоном, правда, в предположении отсутствия сдвигового потока. Исследования этих авторов подробно разобраны в книге [84]. Рассмотрение течений проводится ими при допущении, что в системе отсчета, где волна покоится, завихренность можно записать в виде ряда по малому параметру крутизны волны £：

◎w)= £sw),

П=1

здесь ⑦—функция тока. Явные выражения для волновых возмущений находятся с помощью перехода к переменным х,⑦.Приоритет в их получении принадлежит, безусловно, Дюбреиль-Жакотэн, опублико-

вавшей свои исследования в 1934 году. Однако Гуйон в работе 1958 года значительно более подробно изучил свойства стационарных сла- бозавихренных волн, поэтому мы называем их волны Гуйона.

Ниже предлагается метод описания стационарных вихревых возмущений самого общего вида, распространяющихся по поверхности произвольного (устойчивого в линейном приближении) сдвигового потока [143]. В качестве исходной информации о волне задается распределение завихренности на линиях тока

где U(b) — профиль течения, b — вертикальная лагранжевая координата, Qn(6) — произвольные функции. В отличие от случая, проанализированного Дюбреиль-Жакотэн и Гуйоном, завихренность, очевидно, уже не мала.

Слабонелинейные волны на поверхностисдвигового потока

Формулировка задачи. Рассмотрим стационарные волны, распространяющиеся по свободной поверхности сдвигового потока U(b), координата b изменяется от b = 0 (на свободной границе) до b = =—h (на дне). При исследовании волн ограничимся теми случаями, когда плоскопараллельный поток с профилем U(b) устойчив и по его поверхности могут распространяться линейные гравитационные волны, не имеющие критических слоев. В частности, согласно результатам [144], эти условия выполнены при

U〃(b) < 0,『⑼》О,

а также

U〃(b) > О, ⑼ W 0.

Уравнения двумерной гидродинамики в лагранжевых переменных а, b запишем следующим образом:

Xtt = -PaYb + 乳匕，Ytt = -РьХа + РаХ»

XaYb-XbYa=\, P = ^+gY,(8，1)

P

здесь X(a, b,方)，Y(a, b,方)—координаты местоположения жидкой частицы, р — давление, р — плотность, g — ускорение свободного падения. Эта форма записи легко получается из системы (1.8), (1.16), если положить

Z = c, 0=1, Н = gY

и разрешить ее относительно Xtt и 匕力.При изучении волнового движения жидкости удобно перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью распространения волны с, где течение стационарно. В лагранжевых переменных стационарное течение удобно представить в виде

X = X(q, Ь), У = Y(q, b), q = а + о(Ь)方，

где а(6) — произвольная функция, a q — модифицированная лагранже- вая переменная (см. раздел 5.3.). В новых переменных уравнения (8.1) запишутся так:

XqYb-XbYq = \,

a2Xqq = -PqYb + PbYq,(8.2)

宀口 = -PbXq + PqXb.

Функции a(b) в нашей задаче можно придать вполне определенный физический смысл. Так, если волновые возмущения на потоке отсутствуют, то а(Ь) совпадает с выражением для профиля сдвигового течения U(b) (в этом случае решением (8.2) является X = q, У = b). При наличии возмущений конечной амплитуды на потоке эту функцию удобно представить следующим образом:

o(b) = U(b) + 〃(b)—с(к),(8.3)

здесь “(b) — дрейфовое течение, возникающее в присутствии возмущений. Слагаемое — с(к) в (8.3) отражает факт перехода в систему отсчета, движущуюся со скоростью волны, к = 2тгА-1, А — длина волны.

Обратимся теперь непосредственно к изложению метода теории возмущений. Положим в (8.2)

X = q + £, Y = b + r1,

где £, 〃 — периодические функции q, имеющие смысл отклонения траектории жидких частиц от плоскопараллельного течения, и запишем систему уравнений для определения структуры стационарных возму-

щении

(8.4)

& "b— O(q,b)・

Модифицированные переменные удобно применять в том случае, когда жидкие частицы дрейфуют в некотором направлении. Смысл введения новых координат заключается в том, что в представлении для текущих координат жидкой частицы X, У, Z исключается неоднородная

по вертикальной координате b дрейфовая компонента смещения частиц (точнее, она «загоняется» внутрь переменной q). Таким образом, в представлении модифицированных лагранжевых переменных каждая жидкая частица участвует только в колебательном движении относительно некоторого центра и, если амплитуда отклонения частицы от него мала по сравнению с длиной волны, то задача о такой волне в жидкости допускает эффективное решение с помощью метода теории возмущений. (Попытка построения таким способом решения для слабонелинейной волны при наличии дрейфового течения в обычных лагранжевых координатах приводит к появлению секулярных членов.)

Новая координата q уже не связана с конкретной жидкой частицей, это некоторая вспомогательная переменная. Она вводится таким образом, что возмущения заданного сдвигового потока зависят от нее периодически, и в задачах о волнах на воде играет ту же роль, что и горизонтальная координата при стандартном эйлеровом описании волнового движения. Ввиду этого метод изучения движения жидкости в модифицированных лагранжевых координатах нельзя назвать чисто лагранжевым, он носит смешанный характер и в некотором смысле близок по духу эйлерово-лагранжевому способу описания течений, предложенному К. А. Бежановым и А.М. Тер-Крикоровым для исследования обтекания препятствий потоком слоистой жидкости [145, 146]. На возможность введения модифицированных лагранжевых координат для исследования движений жидкости с вертикальным сдвигом в свое время указывалось в книге [147]. Судя по ее тексту, эта идея каким-то образом использовалась в (недоступных для нас) работах по атмосферным волнам, выполненных учеными из норвежской и немецкой школ динамической метеорологии в 20-30-х годах XX столетия.

Из системы (8.4) можно получить уравнение для вертикальной компоненты скорости w =(jr)q, которое будет иметь следующий вид:

ат

a Aw — a w =————J,до

290(w,〃)0(〃, Р) а Жf)

—D(q,by ~ 9q D^b) *

Это уравнение исследовать гораздо проще, чем саму систему (8.4) для отклонений £, 〃.

Уравнения гидродинамики следует дополнить граничными условиями. Давление на свободной поверхности постоянно, поэтому P(q,O)= =g〃(q,。). В терминах функции w это условие имеет вид

a2Wb - (g + о%)г^ = -о I, b = 0.(8.6)

На дне обращается в нуль нормальная компонента скорости, то есть

w(q, —Д) = 0.(8.7)

Наконец, должно также выполняться условие неизменности среднего уровня жидкости

А/2

YdX\b=Q=0.(8.8)

-А/2

Представим неизвестные функции £, 〃, w, Р, и так же, как скорость распространения волны с и завихренность Q, в виде рядов по степеням некоторого малого параметра £, малого для слабонелинейных возмущений:

(£，〃‘ Р，”)=〉:, Pn, ^n) ,(8.9)

n=l

oooo

c = Co + £ C = -U'(b) + £ snQn. (8.10) n=ln=l

Выражение (8.3) для а при этом будет иметь вид

a = U -cq + ££%〃冷-сп) = сг0 + ££"•(8.11)

П=1П=1

Как станет ясно из дальнейшего, параметр £ « 1 с точностью до членов более высокого порядка малости пропорционален средней крутизне волн кА, где А — амплитуда волны.

Найдем выражение для завихренности волновых возмущений. Как следует из соотношения (1.24), она равна

О(Х,Х)。匕,У)

— O(a,b) O(a,b) •

В используемых нами переменных после перехода к возмущениям £, 〃 это выражение запишется так:

В силу стационарности течения величина завихренности зависит только от Ь, поэтому данное соотношение можно упростить, уничтожив периодические по q члены путем усреднения. Выражение для Q при этом примет вид

0(定q，8 ,。(。生，〃)

Здесь черта — усреднение по переменному q на длине волны. Подставляя в это равенство ряды (8.9)-(8.11), получим

n J-1J=2 m=ln J-1J=2 m=l

n J-1

J=2 m=l

n J-1

J=2 m=l

Как уже отмечалось, при самом общем рассмотрении слабонелинейных двумерных стационарных волн в идеальной жидкости завихренность на линиях тока в каждом из приближений можно задавать некоторыми произвольными функциями Qn(6). Из соотношения (8.12) видно, что распределение завихренности возмущений Qn связано с градиентом дрейфового течения соответствующего порядка ufn, а также для 八》 > 2 и со структурой полей предыдущих приближений. По заданной завихренности QnH известным решениям предыдущих приближений из (8.12) находится выражение для ип (а следовательно, и о^), после чего решаются уравнения (п + 1)-го порядка.

Заметим, что возможна и несколько иная постановка задачи. Можно задавать не функции распределения завихренности Qn, а выражения для дрейфовых течений соответствующего приближения ип, и уже по ним определять все остальные характеристики течения.

Свойства волновых возмущений.

Линейное приближение. Выражения для возмущений будем искать в виде

(8.13)(8.13)(&п,出ri,【ri, Jn) =〉: (Хпт’^пт,【пт, Jnm) Cnmkq,

(8.13)

(8.13)

Pn) =〉: (Ynm, Pnm) cos mkq.

Все функции с двойным индексом зависят только от координаты Ь. Выпишем, согласно (8.5), уравнения первого приближения

(TqAWi — (Tq W1 = 0;

croWi& — (g + ctoCto)wi = 0, b = 0; 如(q, -Д) = 0.

Полагая в них wi = Wii(b) sinkq, приходим к следующей краевой задаче для функции ТУ”：

叫「+ 庐)叫1 = °， 。0 = U — со；

而*1 -(9 + 父。。)叫 1 =0， b =0；(*14)

Wii(—九)=0.

Уравнение (8.14) — это хорошо известное уравнение Рэлея. Как показано в [144], если профиль скорости U(b) удовлетворяет условиям U'》0, U" < 0 или U' < 0, U" > 0, течение является устойчивым и на потоке возможно распространение линейных поверхностных волн без возникновения критических слоев (то есть везде в области течения 00 = U - 3(k)市0).

Точное аналитическое решение уравнения (8.14), имеющее физический смысл, может быть получено только для линейного профиля скорости. Известен также ряд приближенных методов, позволяющих записать в аналитической форме решение уравнения Рэлея для течения с произвольным профилем, в частности, решение Лилли [148], полученное в предположении малости отношения [max U(b)]/cQ, а также решения [149, 150] для случая длинных волн (kh « 1).

В дальнейшем будем полагать функцию Wn и дисперсионную характеристику линейных волн со(к) известными. Поля первого порядка в (8.13), не зависящие от q, по физическому смыслу задачи равны нулю. Амплитуды функций первого приближения находятся по формулам

KiKik(jQk(jQ

Ki

Ki

k(jQ

k(jQ

Ниже для краткости члены с индексами индексом 1.Ниже для краткости члены с индексами индексом 1.11 будем писать с одним11 будем писать с одним

Ниже для краткости члены с индексами индексом 1.

Ниже для краткости члены с индексами индексом 1.

11 будем писать с одним

11 будем писать с одним

Квадратичное приближение. ЗапишемКвадратичное приближение. Запишемтеории возмущений(7oAw2 — (7q W2 = —(TiAwi + CT^Wiтеории возмущений(7oAw2 — (7q W2 = —(TiAwi + CT^Wiуравнения второго порядкауравнения второго порядкаdl2dl2-/2；-/2；

Квадратичное приближение. Запишем

Квадратичное приближение. Запишем

теории возмущений

(7oAw2 — (7q W2 = —(TiAwi + CT^Wi

теории возмущений

(7oAw2 — (7q W2 = —(TiAwi + CT^Wi

уравнения второго порядка

уравнения второго порядка

dl2

dl2

-/2；

-/2；

05,Q) I 2 a。a,5)/ _ a D®R)O(q,b)十 “°9q O(q,b) '2~ dq O(q, b)'

。沁 2b —(9 + 诚oo)g = -2aoaiwib + (。0内)九i — ^oA, b =。；A/2

g(q,—九)=0,g(q,—九)=0,⑺2 +〃l£lq)|b=o 歯=°«⑺2 +〃l£lq)|b=o 歯=°«

g(q,—九)=0,

g(q,—九)=0,

⑺2 +〃l£lq)|b=o 歯=°«

⑺2 +〃l£lq)|b=o 歯=°«

-A/2

(8.15)(8.15)Возмущения с пространственной частотой к во втором приближении описываются функциями с индексами 21. Распределение амплитуды вертикальной компоненты скорости *1 удовлетворяет неоднородному уравнению Рэлея

(8.15)

(8.15)

с граничными условиями (штрихи в формулах (8.15) и далее означают производную по времени)

岔 ％1 —(9 + 父。0)*1 = (d。0 —抬 6 — Zgcrjcri)叫，b = 0;

(8.16)(8.16)*1(一б)=0.

(8.16)

(8.16)

Вихревые возмущения, задаваемые функцией Qi(6) = — 〃| (Ь), оказывают влияние на поле первой гармоники *1. Используя (8.14), преобразуем неоднородное уравнение (8.15) к виду

и проинтегрируем, применяя для правой части этого соотношения формулу интегрирования по частям. В результате получим

(8•⑺(8•⑺

(8•⑺

(8•⑺

константа интегрирования здесь исчезает в силу граничных условий

на дне.

Точно так же преобразуем граничное условие на свободной поверхности (8.16). С учетом граничного условия для уравнения (8.14) оно

примет видпримет вид

примет вид

примет вид

(8.17), взятым при b = 0,(8.17), взятым при b = 0,Сопоставляя это равенство с выражением

(8.17), взятым при b = 0,

(8.17), взятым при b = 0,

определим значение ai(0), а следовательно, и величину ci：

ci = "1 ⑼ +ci = "1 ⑼ +0/2"^⑼若⑼+ ］说(叫2呜В db-h0/2"^⑼若⑼+ ］说(叫2呜В db-h(8.18)(8.18)

ci = "1 ⑼ +

ci = "1 ⑼ +

0/

2"^⑼若⑼+ ］说(叫2呜В db

-h

0/

2"^⑼若⑼+ ］说(叫2呜В db

-h

(8.18)

(8.18)

Величина 〃i(0), зависящая от выбора системы отсчета, играет в формуле (8.18) роль произвольной постоянной. Она, очевидно, должна определяться из физических соображений. Для жидкости бесконечной глубины, например, естественно потребовать, чтобы

“1(b) — 0 при b — —оо,

откуда°

〃1 ⑼=-Ci(b)曲.

Выражение для *1 находится интегрированием (8.17):

°о

Постоянная поскольку в чтобы (8.19)Постоянная поскольку в чтобы (8.19)bV = 叮2—hbV = 叮2—hь^о—hь^о—hdb.db.(8.19)(8.19)интегрирования выбрана равной нулю. Это возможно, противном случае следует просто переобозначить £ так, оставалось справедливым.интегрирования выбрана равной нулю. Это возможно, противном случае следует просто переобозначить £ так, оставалось справедливым.Уравнение для второй гармоники волны имеет видУравнение для второй гармоники волны имеет вид(8.20)(8.20)

Постоянная поскольку в чтобы (8.19)

Постоянная поскольку в чтобы (8.19)

b

V = 叮2

—h

b

V = 叮2

—h

ь

^о

—h

ь

^о

—h

db.

db.

(8.19)

(8.19)

интегрирования выбрана равной нулю. Это возможно, противном случае следует просто переобозначить £ так, оставалось справедливым.

интегрирования выбрана равной нулю. Это возможно, противном случае следует просто переобозначить £ так, оставалось справедливым.

Уравнение для второй гармоники волны имеет вид

Уравнение для второй гармоники волны имеет вид

(8.20)

(8.20)

君屮丿2 —(9 + ^O^o)恥2 = —<70^22, Ь = 0；叫2(—九)=。・(8.21)

ьW22 = -&2&2~2-hьW22 = -&2&2~2-hb〜--(/32 +j22)曲 +b〜--(/32 +j22)曲 +曲.曲.(8.22)(8.22)00Остальные неизвестные функции второго приближения записываютсяОстальные неизвестные функции второго приближения записываютсяДля записи решения данной краевой задачи удобно ввести вспомогательную функцию &2(k,b), удовлетворяющую однородному уравнению (8.20) и однородному граничному условию из (8.21). Заметим, что для профилей U(b), отличных от линейного, определение функции 以2(卜，Ь) нельзя свести к замене параметра к на 2k у собственной функции W\ (к, 6), как ошибочно полагал автор [141]. В терминах функции ш^ окончательное выражение для *2 примет вид

ь

W22 = -&2&2~2

-h

ь

W22 = -&2&2~2

-h

b〜

--(/32 +j22)曲 +

b〜

--(/32 +j22)曲 +

曲.

曲.

(8.22)

(8.22)

0

0

Остальные неизвестные функции второго приближения записываются

Остальные неизвестные функции второго приближения записываются

Выражение для возвышения свободной поверхности в этом приближении имеет вид

〃(《，。)= еУ 1 ⑼ cos kq+

+ £?[心o(。) + 心 1(。) cos kq + 心2(。) cos2kq] + 0(F).

Отсюда легко установить связь между параметром разложения £ и амплитудой волны

厶=；|〃(。，。)— 〃 (±。) J = £ X ⑼ + 吨 1 ⑼I

или ее средней крутизной 庆=kA:

^ = s[l+£V(0)] X 严 1 ⑼/。0⑼ |・

Остановимся несколько подробнее на интерпретации построенного решения. Как видно из (8.19), (8.22), при изменении функции а\ меняется только *1, a W22 от распределения завихренности не зависит. Следовательно, характер изменения амплитуды первой гармоники может служить источником информации о завихренности волнового движения. Таким образом, возможна и обратная формулировка рассматривавшейся выше задачи — определение дрейфовых течений и завихренности для всевозможных амплитудных распределений волны. В самом деле, пусть известны следующие характеристики течения: профиль невозмущенного потока U(b), амплитуда вертикальной компоненты скорости линейной волны W\(b) (тем самым, согласно (8.22), однозначно задается функция *2), а также амплитуда первой гармоники во втором приближении %i(b). В уравнении (8.15) в качестве неизвестной функции теперь выступает 01(b). Перепишем его следующим образом:

и проинтегрируем дважды, учитывая (8.16) при выборе константы первого интегрирования и определяя вторую постоянную через значение функции oi(b) на поверхности. Выражение для скорости дрейфового течения 〃i(b) = 01(b) + ci при этом запишется так:

"1(b) = сгох"1(b) = сгохdb > +db > +

"1(b) = сгох

"1(b) = сгох

db > +

db > +

+5 + (〃i(0) - ci)1 + 2g [•(8.24)

Отсюда видно, что для однозначного определения дрейфового течения “1(b) необходимо задание как функции *1, так и величин ci и и\(0). Возмущение завихренности Qi =—叫 находится путем дифференцирования (8.24).

Кубичное приближение. Рассматривая уравнения третьего приближения, будем интересоваться нелинейной добавкой к величине скорости волны 。2・ Она определяется, как и в предыдущем приближении, из решения уравнения (8.5) с граничными условиями (8.6) соответствующего порядка. Но, как легко заметить, в уравнение и граничное условие п-го приближения функция an_i(6) (содержащая cn_i) входит только как множитель при wi, w^. Это означает, что для определения поправки cn-i достаточно рассмотреть возмущения с первой пространственной гармоникой по q, то есть искать решение лишь для функции Wn\. Используем это обстоятельство для вычисления 。2・ Для этого в уравнении относительно w^ следует ограничиться учетом первого слагаемого в разложении (8.13) этой функции, то есть W3 = W31 sinkq.

Не выписывая ввиду громоздкости всех уравнений третьего приближения, приведем сразу вид неоднородного уравнения Рэлея, которому удовлетворяет функция W31：

叫「+卜2)*6 SSL 6啲叫+

+。1。0 /©о 叫］_ aQ^I^i + J31),(8.25)

/31 = I (h?2 + 2算乃2 - 2K2行-好2Pl + 2%仍-2^1 ^0)- 卜2 2

尸(X1 %‘2 + 2Х；У^2 + 2X22У： + Х22У： + Х&У1 + 2X1Y20)， 卜2

СГ；+2(72О0СГ；+2(72О0厶1 = -у (XiP& + 2XjP22 + 2X22K + X；2Pl + 2XiBo),

СГ；+2(72О0

СГ；+2(72О0

W；+(000， + 0°？ + <^2^0)w1 ——

-2(71(70屮，］+ ((7廿0 + %(71) *1 - (то/31, Ь =0；(8.26)

w31(")=0■

Уравнение (8.25) и граничное условие (8.26) с учетом (8.14) и соответствующего ему граничного условия на свободной поверхности преобразуем к виду

(8.27)(8.27)(8.28)(8.28)Проинтегрируем (8.27) с учетом условия непротекания на дне, а затем положим 6 = 0 и вычтем результат из (8.28). В полученном выражении проведем интегрирование по частям. После несложных преобразований можно найти формулу для С2, которая запишется так:

(8.27)

(8.27)

(8.28)

(8.28)

dbdb++(8.29)

db

db

+

+

Входящее в эту формулу дрейфовое течение 〃2 связано с распределением возмущений завихренности 出 соотношением

которое является следствием (8.12). Величина 〃2(°) имеет тот же смысл в выражении (8.29), что и 〃i(0) в формуле (8.18).

Примеры. Рассмотрим ряд частных случаев, соответствующих известным классам стационарных волн конечной амплитуды.

Потенциальные возмущения при отсутствии внешнего сдвигового течения — волны Стокса — обладают нулевой завихренностью, т. е. все Qn = 0. Из (8.18) для этого случая следует щ = с\ = 0, так что стоксово течение (усредненный дрейф жидких частиц) и поправка к скорости распространения в соответствии с (8.19) возникают

во втором приближении. После известные выражения [65, 151]:=Сово втором приближении. После известные выражения [65, 151]:=Совычислений получим ДЛЯ 〃2(Ь), С2вычислений получим ДЛЯ 〃2(Ь), С2sh2k(b +九)sh2k(b +九)

во втором приближении. После известные выражения [65, 151]:

=Со

во втором приближении. После известные выражения [65, 151]:

=Со

вычислений получим ДЛЯ 〃2(Ь), С2

вычислений получим ДЛЯ 〃2(Ь), С2

sh2k(b +九)

sh2k(b +九)

19th4^- 10也2k九 + 9

С2 - 2 С° 8th4K ，

которые для волн на глубокой воде совпадают с результатами Стокса [84].

Для исследованных Гуйоном вихревых волн при отсутствии сдвигового потока [84]: Uf(b) = 0, и ряд (8.10) для завихренности начинается с первой степени £. Как видно из (8.18), при Qi ^ 0 возникает дрейфовое течение первого порядка и соответствующее слагаемое в дисперсионной зависимости. Формула для ci имеет вид

—h

Для бесконечно глубокой жидкости эта формула сводится к выражению°

ci = 〃1 ⑼ + Q1 ⑹ exp(2kb) db,

совпадающему с результатом Гуйона [84].

Известное точное решение Герстнера для стационарных вихревых волн в жидкости бесконечной глубины при отсутствии сдвигового течения характеризуется чисто периодическим движением частиц, то есть справедливы следующие соотношения:

U(b) = 0; ип(Ь) = 0,八》1.

В данном случае удобно задать функции ип, а завихренность в каждом приближении определять по найденным возмущениям &, 〃分 предыдущих приближений. Построенное таким образом решение является приближенным, но тем не менее обладает всеми характерными свойствами волн Герстнера.

Потенциальные возмущения конечной амплитуды на сдвиговом течении с линейным профилем скорости исследовались впервые в работе [142], где решение проведено по аналогии с методом Стокса в теории потенциальных волн для первых трех приближений. Результаты указанной работы могут быть получены и при нашем подходе, если положить

U(b) = Cob, Со = const; Qn = 0,八》1.

Общая формулировка метода возмущений в эйлеровом описании, пригодная для рассмотрения стационарных волн на поверхности произвольного устойчивого сдвигового течения, предложена в работе [141]. При таком подходе возмущения на сдвиговом потоке с профилем U(g), отличным от линейного, уже в первом приближении имеют вихревой характер. Тем не менее, как уже указывалось во введении к главе, этот подход принципиально не охватывает всего многообразия возможных типов вихревых волн, так как завихренность возмущений в [141] для всех приближений определяется только видом функции U(g). В нашем описании этому случаю соответствует задание завихренности в виде ряда (8.10), где все коэффициенты функционально зависят от вида исходного профиля: Qn = Qn \U(6)].

В качестве оригинального примера, демонстрирующего влияние вихревой компоненты на характеристики волн, рассмотрим возмущения на поверхности потока с линейным профилем скорости:

U = Cob, Со = const,

обладающие ненулевой завихренностью первого порядка. Для экспоненциального распределения завихренности возмущений

Qi = cj ехр()Ь)

величина ci выражается через интегральные показательные функции следующим образом

с = 凋 А _ Но ехр^соСр4)

g + kc^ cth kh I 4Q0 sh2 kh 广

G = e2kdG = e2kd_е-2Ы J Ei (2k— 7)_е-2Ы J Ei (2k— 7)сосо-Ei [(2k - 7)d]卜—2<Ei-Ei [(2k - 7)d]卜—2<Ei-e1 (M，,-e1 (M，,

G = e2kd

G = e2kd

_е-2Ы J Ei (2k— 7)

_е-2Ы J Ei (2k— 7)

со

со

-Ei [(2k - 7)d]卜—2<Ei

-Ei [(2k - 7)d]卜—2<Ei

-e1 (M，,

-e1 (M，,

7 _ 7,3

d = h + ^

cq = - th kh ± \ th2 kh + 4,

у 4就k

где co — скорость распространения линейных волн на сдвиговом течении с постоянной завихренностью [152].

Полученное решение демонстрирует общность развиваемого нами метода модифицированных лагранжевых координат. При традиционном подходе исследователи ограничиваются рассмотрением только потенциальных возмущений, распространяющихся по поверхности сдвигового потока с линейным профилем скорости [141, 152]. Незавихренные

в начальный момент волновые возмущения на таком течении и в дальнейшем остаются незавихренными, поэтому для их описания можно ввести потенциал и использовать методы, разработанные ранее для изучения потенциальных волн. В отличие от них предложенный в данной главе способ описания позволяет изучать слабонелинейные волны с произвольным распределением завихренности волновых возмущений. В частности, выше это сделано для экспоненциально завихренных волн, бегущих по поверхности сдвигового потока с линейным профилем скорости.

Дюбреиль-Жакотэн и Гуйон, проводившие свои исследования в переменных х,⑦，ограничивались случаем слабой завихренности жидкости и не учитывали фактор сдвигового потока, так как совершенно неестественно задавать его профиль в виде U =。侬)，когда аргументом служит не вертикальная координата, а функция тока.

Вместе с тем анализ, подобный нашему, можно провести и в эйлеровых координатах, если считать, что в каждом из приближений имеется добавочное к основному потоку сдвиговое течение и задавать суммарный поток в виде

U(g) =u0匂)+£01匂)+产。2匂)+ .

Такой подход позволяет рассмотреть все возможные стационарные вихревые возмущения, бегущие по поверхности сдвигового потока. В каждом приближении значение Qn будет некоторой функцией от U^, k W 八 и волновых возмущений предыдущих приближений. Следовательно, в качестве исходных данных при постановке задачи следует задавать выражения для Un, а соответствующие им значения завихренности находить в процессе ее решения. Эта формулировка противоположна той, которая была предложена Дюбреиль-Жакотэн и Гуйоном, когда изначально задается завихренность, и следует признать, что с физической точки зрения она выглядит менее привлекательно.

О предельной вихревой волнена поверхности жидкости

Изучение свойств сильнонелинейных волн на воде требует уже использования численных методов. Для поверхностных волн в однородно завихренной жидкости такие исследования были проведены как для случая бесконечно глубокой жидкости [153], так и для жидкости конечной глубины [154]. В первой из этих работ особо подробно анализировалась форма предельной волны, имеющей на своем профиле точку заострения. Авторы [153] установили, что существует некоторый интервал отрицательных значений завихренности (волна движется вправо, в положительном направлении горизонтальной оси и скорость ее положительна), для которых при заданной завихренности высота предельной волны уже не является максимально возможной. Вихревая

предельная волна, таким образом, в отличие от потенциальной предельной, уже не может определяться как волна наибольшей амплитуды для данного семейства волн с одинаковыми скоростью распространения и длиной волны.

В то же время в [13] показано, что угол заострения предельной волны не зависит от величины завихренности и равен, как и для потенциальной волны, 120°. Ниже аналитически доказывается, что этот вывод останется справедливым для произвольно завихренной стационарной волны, если только завихренность непрерывна вблизи свободной поверхности и не обращается на ней в бесконечность.

Рассмотрим стационарную вихревую волну неизменного профиля в системе отсчета, бегущей вместе с волной. Предположим, кроме того, что профиль симметричен относительно вертикали, проходящей через вершину и имеет угол заострения при ней, равный 2a. В системе отсчета, связанной с волной, ее профиль, очевидно, неподвижен, а движение жидкости стационарное, и поэтому описывается известным уравнением

△2 = —C = FW), (8.30)

здесь Q — завихренность, которая в идеальной жидкости может произвольным образом зависеть от функции тока ⑦.Свободная поверхность установившегося течения совпадает с линией тока, значение которой можно выбрать равной нулю.

Свойства течений (8.30) в значительной степени определяются видом функции 歹(V7). Положим вначале для простоты Q = С。，где Qo —некоторая постоянная величина (примером такого течения являются потенциальные волны на поверхности потока с линейным профилем скорости). Однородно завихренное течение внутри угла с раствором 2a можно описать следующей функцией тока:

(1 - cos ) + Arm cos тд, (8.31) 4 у cos 2a у

здесь 广，夕一полярные координаты с центром в точке заострения (полярный угол отсчитывается от вертикали, проходящей через вершину волны).

Функция тока (8.31) удовлетворяет условию обращения в нуль на свободной поверхности, если

та= -. (8.32)

Для определения т следует найти из (8.31) выражение для абсолютной величины скорости |У| и подставить его в уравнение Бернулли для линии тока ⑦=0. Поскольку скорость в точке заострения обращается в нуль, то интеграл Бернулли запишется следующим образом:

V『=2gg,

5 А.А. Абрашкин, Е.И. Якубович

ось направлена вертикально вниз. Подставляя (8.31) в это выражение, получим

Qo(3- 2 cos2a cos2夕 + cos4q) 2厶2 m2『2广2丄

4 cos2 2a

H-— [cos(m — 2)夕—cos 2a cos m^l 严=2gr cos 6. cos2q

Нетрудно убедиться, что единственным значением т, для которого это условие выполняется при 广—0, В — а, является т = 3/2 (первое и третье слагаемое в левой части при этом малы по сравнению с линейными по г членами). Найденное решение соответствует углу заострения при вершине 120°.

Заметим теперь, что наше рассмотрение включало в себя все углы за исключением нулевого. Действительно, из (8.32) видно, что чем меньше угол а, тем больше т, а в пределе а — 0 величина т обращается в бесконечность. Это означает, что представление (8.31) не описывает течение внутри гребня с нулевым углом и оно требует отдельного исследования.

Пусть теперь завихренность стационарного течения распределена неоднородно, то есть она постоянна на каждой линии тока и изменяется при переходе с одной линии на другую. На свободной поверхности 2 = 0, поэтому для непрерывной функции F вблизи этой поверхности справедливо следующее разложение

Р W)=ь⑼ + 以у0) +0(产).(8.33)

Из этого выражения ясно, что если значение 歹(0) конечно, то рассматривая достаточно малую окрестность гребня, можно всегда ограничиться учетом только первого члена в правой части и считать распределение завихренности однородным. Результаты, полученные для волны с постоянной завихренностью, в этом случае полностью переносятся на неоднородно завихренные течения.

При обсуждении разложения (8.33) неявно предполагалось, что F(0)市 0. При F(0) = 0 течение вблизи гребня описывается уравнением

△⑦=歹⑼认

Его регулярное решение имеет вид:

/ г \

где Jm — функция Бесселя, В — постоянная. В окрестности вершины волны функция тока определяется выражением

⑦=Arm cosm^.(8.34)

Оно совпадает с формулой для функции тока потенциального течения внутри угла (и с формулой (8.31) при Qq = 0)- Следовательно,

все наши выводы останутся справедливыми и для волны с нулевой завихренностью на свободной границе. Добавим к этому, что если на свободной поверхности равна нулю не только завихренность, но и ее производная (歹'(0) = 0), течение вблизи заострения можно заведомо полагать потенциальным, поскольку завихренность будет уже квадратичной функцией по малой ⑦.

В силу условия (8.32) выражение (8.34) опять-таки имеет смысл для всех углов а, кроме нулевого. Этот факт, насколько нам известно, не отмечался ни самим Стоксом, ни в последующих работах, посвященным волнам на воде. Сложность доказательства существования или несуществования потенциальной волны с нулевым углом связана с тем обстоятельством, что поле скорости в точке заострения, в отличие от предельной волны с углом 120°, должно иметь неалгебраическую точку ветвления.

Возможность обращения завихренности на свободной поверхности в бесконечность демонстрирует предельная волна Герстнера. Выражение для ее вихря имеет вид (см. раздел 2.2)

2kce2kbГд

] — /kb， с= у ^^

Здесь b — вертикальная лагранжевая координата. Из этого соотношения видно, что на свободной поверхности (Ь = 0) знаменатель обращается в нуль, а завихренность в бесконечность.

Итак, в предельной завихренной волне угол при вершине может быть равен 120°, случай нулевого угла должен исследоваться особо.

Заключение к главе 8

Найденные выше решения демонстрируют влияние завихренности на дисперсионные характеристики и структуру волн. В свое время Н.Н. Моисеев [155] доказал, что если только завихренность жидкости ◎3) является интегрируемой функцией, то для заданной длины волны А всегда существует однопараметрическое (зависящее от амплитуды) семейство периодических решений. На основании этой теоремы можно утверждать, что выстраиваемые в рамках предложенной нами теории возмущений ряды при достаточно малом значении параметра £ будут всегда сходящимися, и, следовательно, выполненные в данной главе расчеты пригодны для сопоставления с экспериментальными данными.

Явное аналитическое представление для волновых возмущений удается получить только для потока с линейным профилем скорости. Слабая завихренность волн, однако, может быть произвольно распределена по глубине. Для конкретных сдвиговых потоков, отличных от линейного, для нахождения характеристик вихревых волн необходимо численно решать соответствующие (записанные нами) краевые задачи

для уравнения Рэлея. Разумеется, такой подход остается справедливым только при изучении слабонелинейных волн.

Сильнонелинейные вихревые поверхностные волны на сдвиговом течении следует исследовать численно уже в рамках полных уравнений гидродинамики. Первые работы в этом направлении были выполнены Дальримпли [156, 157], который провел численный анализ волн конечной амплитуды на линейном сдвиговом течении и для потока со степенным (степени 1 /7) профилем скорости. Предельные волны на сдвиговом потоке с линейным профилем скорости, как уже указывалось, исследовались в [153, 154]. Наконец, численная модель расчета волн на произвольном сдвиговом течении была предложена в [158]. Все эти работы, однако, совершенно не затрагивают вопроса о влиянии собственной завихренности волновых возмущений на характер их распространения. Завихренность течения в них определяется только профилем исходного потока. Наш подход, учитывающий завихренность волн в качестве «дополнительной степени свободы», существенено шире и с его помощью можно исследовать более сложные квазиста- ционарные стадии взаимодействия поверхностных волн со сдвиговыми течениями.

Наконец, метод анализа, развитый в разделе 8.2, был применен для описания волн в неоднородной жидкости [159], что позволило обобщить классические результаты Дюбреиль-Жакотэн [160].

Глава 9СЛАБОЗАВИХРЕННЫЕ ВОЛНЫ НАПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

В данной главе будут рассматриваться различные типы волн на воде в случае, когда сдвиговый поток отсутствует и завихренность мала. По существу речь пойдет об обобщении исследований Дюбреиль- Жакотэн и Гуйона на более сложные ситуации.

Пространственные волны Гуйона

Волнами Гуйона называют стационарные волны, распространяющиеся на поверхности слабозавихренной жидкости [84]. Завихренность Q для них является малой, но конечной величиной и представляется в виде ряда по малому параметру крутизны волны £. В плоском стационарном течении завихренность вдоль линий тока сохраняется, поэтому для описания двумерных волн Гуйона (в системе отсчета, где профиль волны покоится) достаточно решить уравнение

△⑦=—CW) = — ±SW). (9.1) n=l

Здесь ⑦—функция тока, a Qn — завихренность соответствующего приближения. Для решения (9.1) следует перейти к координатам 力，⑦；х — горизонтальная координата. В случае трехмерного течения уравнение (9.1), очевидно, уже несправедливо, поэтому для изучения класса пространственных волн Гуйона следует использовать иные подходы. Покажем, что эта задача решается с помощью модифицированных лагранжевых координат [161].

Рассмотрим трехмерные стационарные волны в бесконечно глубокой жидкости. Пусть волна с неизменным профилем распространяется вдоль оси х. Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью волны V; в ней движение жидкости будет стационарным, а профиль соответственно неподвижным. Величина V будет равна горизонтальной

скорости Xt при b — оо. В лагранжевых координатах стационарное течение удобно представлять зависящим от переменных q = а + о(Ь)方，b, с, где а(6) — некоторая функция, описывающая неоднородный по глубине дрейф жидких частиц. В этих модифицированных лагранжевых переменных система уравнений гидродинамики, описывающая трехмерные стационарные течения, записывается следующим образом:

D{X,Y,Z) 0(Xo,K,Zo)

С),(9.2)

O«XqqXq + YqqYq+ ZqqZq)= —~Pq—,爲，(9・3)

Q‘(XqqXb + YqqYb+ ZqqZj= ~ ~Pb ~(9・4)

o'^XqqXc + YqqYc+ Zq/c)=—力夕c 一 9匕・(9・5)

Интегрируя (9.2), получим закон Бернулли

2

+ Z, + дУ + ^ =石(Ь, с).

Уравнения (9.3)-(9.5) имеют еще два интеграла:

\D(Xq,X) 。爲,У) D^Z)] _

— S3(b,c).

Решение системы (9.2)-(9.5) должно удовлетворять граничным условиям

Р = Ри 3 = 0), Yt = Zt = О (b=—оо).(9.6)

Линейное приближение. Предположим, что рассматриваемые волны обладают малой, но конечной амплитудой. Запишем координаты траекторий жидких частиц в виде

X = q + §, У = Ь + 〃， Z = c + £

И представим все неизвестные функции рядами по малому параметру крутизны так, что

代，〃，以 В, Qj} =〉: £п {&z, 〃冷，&, 5n, Qjn} ; j = x, у, z, n=l

СЮ

{V,a,Si,p} = ^en {Vn,an,Sin,pn}; i = 0,2,3.

n=0

Поскольку в нулевом приближении сдвиговый поток отсутствует, то aQ = const. Все остальные ап, однако, являются функциями вертикальной лагранжевой координаты. В первом приближении задача (9.2)(9.5) принимает вид:

flq + 〃lb + Clc = S°i,

% 卜依lq + -P1 +95)=°，

。^小qq =。^小qq =О 沁 qq =О 沁 qq =1

。^小qq =

。^小qq =

О 沁 qq =

О 沁 qq =

—Р\ъ — g〃ib,p

1

—Pic — g〃ic・p

Ее решением будут следующие выражения:

& = q 产 cos nc sin mq,

力 =a e cos nc cos mq,m

= — sin nc smmq,m

pi = pPekb cos nc cos mq, S°i = 0.

Здесь к? = n2 + m2; a, P — размерностные постоянные. Поскольку £i力=0 при b = —оо, то скорость линейной волны % совпадает с величиной aQ = т-1^/^, определяемой из граничного условия для давления. Таким образом, скорость линейной волны такая же, как у трехмерных потенциальных волн [84]. Совпадает также и форма свободной поверхности линейных потенциальных и изучаемых вихревых волн. Поля скоростей для них, однако, принципиально различны. В вихревой волне жидкие частицы участвуют в «дополнительном» дрейфовом движении со скоростью oi(b).

Из трех компонент завихренности — две (Q^i и Q^i) равны нулю (см. (1.24)), а третья Q^i = —aj. Функция Бернулли в данном приближении зависит только от вертикальной координаты (Bi = счоо), S31 = =Q^i, a S21 = 0. Для выбора определенной волны из семейства возможных движений жидкости необходимо задать распределение функции Бернулли с глубиной. Подобно Hi функция ai определена с точностью до некоторой постоянной. Значение последней будет вычислено в следующем приближении при определении 吒=。1(一оо).

Квадратичное приближение. Во втором порядке теории возмущений уравнения (9.2)-(9.5) имеют вид

&q + 〃2b + Qc = &%2卜"(2m2 —工 cos 2пс + 2m? cos 2mq ,

而&q + — + g〃2 = —2maQaiaekb cosnc cosmq—

J(9.7)

-才 a2e2kb (к? + m2 cos 2nc — n2 cos 2m^) + ①(b, c),

O^〃2qq + ~Р2Ь + 9〃2b = 一2卜加。0。1 &COS ПС COS, Ш^+

+ ^ 苏&2&2kb (卜2 + 加2 cos 2nc + n2 cos2nzq),

o^Qqq + -Р2с + 9〃2c = 2пш a(jQ(j\ с2kb sin nc COs mq —

О 2

2 2kb • оa e sin 2nc.

Здесь ①(b, c) — функция, подлежащая определению. Решение уравнений (9.7), удовлетворяющее граничным условиям (9.6), запишется так

& =-也/(b) cos ПС°0& =-也/(b) cos ПС°0кп2кп2…予2k…予2k2■e27nb + 上 g2kb42■e27nb + 上 g2kb4sin2mQ,sin2mQ,

& =-也/(b) cos ПС

°0

& =-也/(b) cos ПС

°0

кп2

кп2

…予2k

…予2k

2■

e27nb + 上 g2kb

4

2■

e27nb + 上 g2kb

4

sin2mQ,

sin2mQ,

小 = —_?^ [内£2kb + /(b)] cos nc cosnzq+

2「p2mbQ2kbi厶

— —-+ —— cos 2mq + -—a2e2kb (k2 + m2 cos 2nc),

2m — 2k 2m J4加'7

<2 =/(b) sin nc cos mq,aom

b

/(b)= (芯 + ken) ^kbdb,

①=* a2e2kb & + m2 cos2nc^ ,о

吒=a-^i(-oo) = a"1(kH\c2kb -留)db,

C力2 = —na(j'^b sin nc sin mq,

c/ kb .

S°ia e sin nc cos mq,

2

必2 = —。2 —。1 — a e cos nc cos mq.

В случае сп =。2 = 0 все эти формулы переходят в решение для пространственных потенциальных волн [84]. Завихренность волновых возмущений ((71 # 0) приводит к изменению их вертикальной структуры и появлению линейной по амплитуде поправки к скорости волны. В двумерной геометрии (волновое число п = 0) полученное решение описывает классические волны Гуйона [84]. С трехмерностью волновых возмущений или появлением поперечных модуляций на профиле двумерной волны (п ^ 0) связано существование приповерхностного слоя с толщиной порядка к~{ = (т + п2) ") внутри которого завихренность является осциллирующей функцией.

Поперечные модуляции на профиле — одно из свойств обычно наблюдаемых волн на воде, показатель их трехмерности. В изучаемых волнах средний уровень колеблется по поперечной координате с с удвоенной частотой (см. выражение для 〃2), вследствие чего эти модуляции несинусоидальны. Волны Гуйона в отличие от стоксовой волны имеют линейную по амплитуде поправку к скорости распространения. В зависимости от вида функции ai она может быть как положительной, так и отрицательной. Выражение для 吒 не содержит зависимости от координаты с. Другими словами, скорость трехмерной волны Гуйона совпадает со скоростью двумерной волны, соответствующей той же функции сч, а влияние трехмерности сводится к изменению структуры волновых возмущений. Распределение сп(6) определяет профиль слабого, порядка амплитуды волны, сдвигового потока. Его можно выбрать в значительной степени произвольным — например, с точкой перегиба.

Рассмотрим несколько подробнее траектории движения жидких частиц. Выражения для координат отдельной частицы обладают двумя масштабами «затухания» — k~l и т~1. В том случае, когда k~l « « т~1, а сдвиговое течение локализовано исключительно вблизи поверхности и уже несущественно на глубинах порядка k~l, движение жидкости в нижележащих слоях описывается соотношениями

2 2

X = qAe2mb sin 2mq, q = a + %方， 4m

Амплитуда волны А равняется

А = 1^1(0,0,0) + £2〃2 (0,0,0) I = ? 1 + 2"“*+"°"

£2庐Q2

4m

"2(32衣)+北+川 m — 2k

Отсюда видно, что величина параметра £ пропорциональна «продольной» крутизне волны и потому может быть выбрана сколь угодно малой в зависимости от значения А.

Выражение для 笈 определяется по заданной функции Бернулли %, найденной ai и известному решению первого приближения. Полный вид。2 вычисляется при нахождении квадратичной по амплитуде поправки к скорости волны (匕=(Т2(—оо)). Рассмотрение третьего и следующего приближений не представляет принципиальных трудностей, но сопряжено с проведением громоздких вычислений.

Для приложений удобнее задавать не распределение функций Бернулли с глубиной, а сами функции ап, которые непосредственно и определяют дрейфовые течения жидкости. Вид этих течений, очевидно, должен выбираться в зависимости от конкретной физической ситуации.

Стоячие вихревые волны на глубокой воде

Классические стоячие волны являются потенциальными [84, 163, 164]. В настоящем разделе обращается внимание на то, что стоячие колебания свободной поверхности бесконечно глубокой жидкости могут существовать и на слабом (порядка амплитуды волны) сдвиговом течении [165].

(8.1)：(8.1)：Рассмотрим плоские колебания свободной поверхности бесконечно глубокой идеальной несжимаемой жидкости. Будем полагать, что смещение свободной границы соответствует стоячей волне. Для изучения течений воспользуемся лагранжевыми координатами. Уравнения двумерной гидродинамики в этих переменных можно записать в виде (см.

(8.1)：

(8.1)：

X力力=YaPb- KE, Ytt = РаХъ - РьХа,

XaYb-XbYa=\, P=P+gY.PXaYb-XbYa=\, P=P+gY.P(9.8)(9.8)

XaYb-XbYa=\, P=P+gY.

P

XaYb-XbYa=\, P=P+gY.

P

(9.8)

(9.8)

Здесь X,Y — координаты траекторий жидких частиц с лагранжевыми координатами — горизонтальной а и вертикальной Ь, р — давление, р — плотность. Граничными условиями для этой системы служат условия постоянства давления на свободной поверхности, отвечающей значению 6 = 0, и обращению в нуль скорости на дне, где b = —оо. Завихренность течения предполагается заданной функцией Q(6).

Введем модифицированную лагранжевую переменную q = а + о(Ь)方， тогда в новых координатах q, b, t система (9.8) запишется так:

XqYb-XbYq = [X,Y] = \,

a2Xqq + 2aXqt + Xtt = \Y,P],a2Yqq + ^Yqt + Ytt = [P,X].

Квадратные скобки обозначают операцию взятия якобиана по q и 6. Эти уравнения будем решать методом теории возмущений по малому параметру крутизны волны £ относительно плоскопараллельного течения X = q, Y = b. Возмущения такого потока, задаваемые функциями £, 〃 (X = q + £, У = b + 〃) удовлетворяют системе уравнений

Wq + 〃Ь = — [£,明’

扰晶勺 + 2o3j + j&4 = -Pq + 切,P] ,(9.9)

Lnqq ++ /〃从从=~Pb + F，g，从=& 九

Здесь s — частота волны. Функции £,〃 определяют структуру поверхностной волны. Чтобы она была стоячей, необходимо положить сг(О)= =0, что соответствует требованию отсутствия дрейфа жидких частиц вдоль свободной границы.

Представим завихренность и все неизвестные функции, входящие в систему (9.9), рядами

(£, 〃，сг(Ь), С(Ь)) = ^£п,

3 = Go + £6<?1 + £2以2 + …，0冷(0) = 0.

Функции ап, как будет показано ниже, определяются по известной завихренности данного приближения и решениям предыдущих приближений. Граничные условия и требование неизменности среднего уровня жидкости запишем в виде

Рп~ gr]n = const при b = 0; 〃从=& = ° при b = -оо;

7(9.10)

〃(1+晶) 歯=0.

kb=0

Здесь k — волновое число.

Линейное приближение. В первом порядке теории возмущений уравнения (9.9) записываются в виде

宙 flqq = — P\q,以訪 Iqq = ~P\b-> flq + 力b =。・

Их решение, отвечающее стоячей волне, выглядит следующим образом:

Р1 =夕*£卜"cos kq sin 从， & = —a ekb sin kq sin 从，

(9.11) 力=qM coskq sin〃， a = kp^ /cjg.

Здесь 夕* — постоянная с размерностью квадрата скорости. Из граничного условия для давления (9.10) следует дисперсионное соотношение для волн cjg = gk.

В отличие от свободной поверхности в глубине жидкости величина ел отлична от нуля, поэтому жидкие частицы помимо колебательного участвуют еще и в изменяющемся с глубиной дрейфовом движении. В линейном приближении вихревые стоячие волны представляют наложение на потенциальную волну слабого, порядка амплитуды волны, дрейфового течения. Оригинальное свойство вихревых стоячих волн, таким образом, заключается в наличии дрейфа узлов волны. Закон изменения скорости дрейфа с глубиной определяется видом распределения завихренности первого приближения. В самом деле, выражение для завихренности в лагранжевых переменных записывается следующим образом:

Q = О(М,Х)。匕,У)=

O(a, b) О(а, Ь)(9.12)

=s (%, X] + [力 У]) + a ([Xq, X] + М，У]) - °/ 因 + 乂2) •

Подставляя в это соотношение решения (9.11), получим aj = —Qi, откуда вытекает, что

о

6= Qi(b)曲.(9.13)

ь

Функция Qi должна быть ограниченной, в остальном ее выбор в значительной степени произволен. В частности, выражение для Qi можно взять таким, чтобы профиль дрейфового течения сп(Ь) имел точку перегиба.

Квадратичное приближение. Уравнения второго приближения имеют вид

&q + 〃2b =-瓦,力],

芯&从从=-P?q — 2GoeTigiq^ - 2Gos1£1从从，(9.14)

G訪2从从=—P2b + [Л,б] - 2&0О1〃1д4 - 2Gos1力从屮

При записи второго уравнения этой системы было учтено, что [〃i, PJ = =0. Решение (9.14), удовлетворяющее граничным условиям (9.10),

записывается следующим образом:

厶2 2厶2 2

Р?=——е2kb( 1 - з cos 2〃) нcos 2〃 Н Ф sin kq cos 从， 2讶so

〃2 =£ (1-2 cos 从)e2kbе~кЬФ sin kq cos 从；si = 0;

4端

b

& = 2k(k£—kb①-aiekb^ coskq cos 从，①(b) = 6(b) e2kb db.

При(7i = 0 оно переходит в решение для потенциальной волны [84]. Во втором приближении учет завихренности приводит к появлению дополнительных слагаемых в выражениях для «волновой» составляющей траектории жидких частиц §2,〃2・ Вертикальная структура этих возмущений зависит от распределения завихренности первого приближения или, что то же самое, от величины с^. Функция 。2 влияет только на величину дрейфовой скорости. Подобно соотношению (9.13) эта функция связана с завихренностью данного приближения равенством

о

02=出(b)db.

Таким образом, как и в линейном приближении, завихренность течения определяется лишь дрейфовой частью общего выражения для траекторий движения частиц.

Кубичное приближение. Уравнения третьего приближения записываются в следующей форме:

&q +〃ЗЬ = - К1，^] - [&,〃1],

芯= -P^q + 血，4] + [〃2, Л]-。佔qq — 2(T2^o6qm

(9.15)

— 2(7 1^o^2q/z — 2Gos2§1从从，

君〃 3从从=—4b+ [^2，б] + Fl，&]—。历3 —2criGo〃2q —

—2(T2^o^lgM — 2Gos2〃1从屮

Две наиболее важные характеристики волны — поправку к дисперсионному соотношению и выражение для завихренности, можно получить, не выписывая в явном виде полное решение этой системы. Для нахождения величины ^ достаточно рассммотреть в соотношениях для & и 〃з слагаемые с сомножителями sin kq sin 从 и cos kq sin 从 (входящими в формулы для возмущений & н 〃i)・ Используя граничное условие для давления (9.10), нетрудно найти, что &2 = — М 跋/2sj.

Значение &2 не зависит от распределения завихренности и совпадает с квадратичной по амплитуде поправкой к дисперсионному уравнению потенциальной волны. Этот результат является следствием принятого условия о неизменности динамики свободной границы независимо от распределения завихренности. Видимо, он останется справедлив и для высших приближений.

Выражение для завихренности находится прямым вычислением по формуле (9.12) с учетом уравнения (9.15). Для удобства расчета следует воспользоваться тем, что завихренность зависит только от координаты Ь, а потому в выражении для нее по переменным q п 〃 можно проводить усреднение. В третьем порядке теории возмущений завихренность определяется равенством

◎з = —аз + (d + 2koi) е2kb.

Помимо «дрейфовой» составляющей —og, оно содержит также и «волновую», связанную с колебательным движением жидких частиц. Наличие этой компоненты завихренности в отличие от двух первых приближений служит проявлением эффекта нелинейного взаимодействия волны со слабым сдвиговым течением.

Для нахождения траекторий жидких частиц, очевидно, следует стандартным образом разрешить уравнения (9.15). Здесь не приводятся выражения для решения этой системы ввиду их громоздкости.

Стоячие вихревые волны могут существовать только на поверхности такого сдвигового потока, величина которого зависит от амплитуды волны. Данное обстоятельство указывает на главную трудность, которую следует преодолеть при возбуждении таких волн в лабораторных условиях: согласовать амплитуду колебаний свободной поверхности с величиной дрейфового течения. Сделать это можно путем взаимной подстройки силы ветра, обдувающего свободную поверхность сосуда с жидкостью и создающего приповерхностное сдвиговое течение, а также параметров тряски дна сосуда, за счет которой возбуждаются стоячие волны.

Гравитационные поверхностные волныогибающей в завихренной жидкости

Рассмотрим цуг гравитационных волн, бегущих по поверхности бесконечно глубокой завихренной жидкости (для простоты предположим, что сдвиговое течение отсутствует) [165]. Уравнения двумерной гидродинамики, описывающие нестационарное течение идеальной несжимаемой жидкости в лагранжевых переменных, имеют вид

(см. (1.8), (1.20)):

XaYb-XbYa = \,

(9.16)

XtaXb - XtbXa + YtaYb - YtbYa = Q(a, b),

где X(a, b,方)，У(а, b,方)—как и ранее, координаты траекторий жидких частиц, а, 6 — их лагранжевые координаты (Ь = 0 на свободной поверхности, b = —Д на дне, —оо < а < оо). Граничными условиями для системы (9.16) служат требования непротекания на дне (匕= =0) и постоянства давления р на свободной поверхности. Последнее условие эквивалентно равенству нулю производной давления вдоль свободной границы ра, т. е. (см. (1.16)):

^ = XttXa + YttYa+gYa=Q при b = 0.(9.17)

Р

В модифицированных лагранжевых координатах уравнения (9.16) запишутся так:

XqYb-XbYq=\,

XtqXb - XtbXq + YtqYb -匕6爲 +

+o (XqqXb - XqbXq + YqqYb -爲6爲)-。/ (X2 + 珠)=C(b)・

Они по-прежнему не содержат членов с явно входящим временем и их удобно переписать в терминах комплексных (W = X + гУ, W = X — —гУ) координат траекторий жидких частиц:

-к.с. = 25,

ЖдЖ - WtbW； +。(储JW - WqbW；) - af\wq\2- C(b) + к. c. = 0.

(9.18)

Граничное условие на свободной поверхности (9.17) примет вид

(^ 储q力 + ；叫)％ — g % + к. с. = 0, b = 0.(9.19)

Исследуем поведение слабонелинейного цуга волн с медленно меняющимися параметрами (амплитудой, частотой, волновым числом). Для этого воспользуемся методом разложения производной (методом многих масштабов [166]. Примем, что функция W зависит только от пространственных переменных 如=q, q\ = & q, q?=九，b и временных 方1 = £ 方，方2 = £?方(£ ——малый параметр крутизны волны) и представима разложением

W(qo,%,q2,b力，方2)= qo + Ж +m恥 + s3w3 +0(产)，e20) Wi = Wi(qQ,qi,q2,b,t\,t2Y

Это выражение определяет движение в системе отсчета, движущейся со скоростью(т(—оо).

Зададим также завихренность Q и функцию а рядами по параметру £：з

a = e也(Ь)+。(£4),

3

о(Ь) = оо + ^2 ^^冷⑹ +。(产)，сто = const.(9.21)

П=1

Незавихренность жидкости в нулевом приближении (Qo = 0) и постоянство оо являются следствием предположения об отсутствии сдвигового потока.

Отметим два свойства изучаемых течений. Зависимость завихренности только от вертикальной лагранжевой координаты b означает, в частности, что завихренность вдоль свободной поверхности постоянна, и потому волна непосредственно ее не переносит.

Второе свойство связано с представлением последней в виде ряда по амплитуде волновых возмущений. При распространении ограниченного цуга волн (волнового пакета) завихренность отлична от нуля как впереди, так и позади пакета и порядка его амплитуды. Такое условие сужает класс рассматриваемых начальных задач для волновых пакетов.

Линейное приближение. Подставляя разложения (9.20), (9.21) в уравнения гидродинамики (9.18), получим системы уравнений соответствующего приближения. Решением уравнений первого приближения служит выражение

= 4e泳次+^ +咖(%,q2,Ь，力，方2)；

^о = * d = -Cl,

где A — комплексная амплитуда,如—действительная функция, описывающая дрейфовое движение жидкой частицы. Обе величины А и ip\ зависят от «медленных» переменных %,夕2,方1,方2・ Функция оказывается связанной с завихренностью первого приближения.

Квадратичное приближение. Во втором порядке теории возмущений решение для комплексной координаты траектории представляется в виде

W2 = i 1 аП +4 e/qi+NUe—泳q。+炉2 + 耽，

ь

U(b) = 0)1(2kь内兴如—内产)，

Ль =終 Щ2 e2kb -+ oo屮 1% + 紋。0 Щ2 e2kb = 0,质=-Q2,

здесь 肮 ——действительная функция медленных переменных. Подставляя выражение для W2 в граничное условие (9.6), получим уравнение для комплексной амплитуды волны

о

41 + 扌 4% + %0А = 0, /3 = 2k2内£2kb 如

Оно диктует следующее представление для амплптудь匚

〜1

4=4e，方2, q2), e =200 方 1,

где А — функция, подлежащая определению.

Энергия волны, определяемая |4『，в лабораторной системе распространяется со скоростью с, равной

с= -^а0 + е 匕 1(0) - cri(-oo)] + s2 匕2(。) - сг2(-оо)] + 0(F),

и складывающейся из групповой скорости распространения потенциальных волн на глубокой воде и скоростей течения, связанных с наличием неоднородного дрейфа частиц в каждом из приближений. Величины ai,。2 находятся по известной завихренности Qi, Q2 c точностью до некоторой постоянной. Ее значение связано со скоростью системы отсчета, в которой рассматривается движение. Скорость пакета с, очевидно, от нее не зависит.

Кубичное приближение. Разрешая уравнения третьего приближения и подставляя их решение в (9.19), придем к искомому уравнению для амплптудн:

〃(41 + "^ 4%) + ^ 4%% + 沁厶％ + 7厶 + 2 取。。Щ2 厶=°,

о ь

7 = о「卜流一2/3内一к(Т20о + g7 = о「卜流一2/3内一к(Т20о + gQ = 4k2£-kb(/ 曲)db,

7 = о「卜流一2/3内一к(Т20о + g

7 = о「卜流一2/3内一к(Т20о + g

b=0

R -丄 kbduekb 曲 +2] 卜+ к0200 -к0?)62kb db-

ekb

-2ko'(卽 1-•

Полагая, что А = 4ехр(—5/3方i) зависит от Q = «2 一 1/2 о%, 丁 =方2, С перепишем это уравнение следующим образом:

Введением новой функции

Ф = Aeip^iKT, р = 4као「， к =—% — 2ko?(j~x оно сводится к нелинейному уравнению Шредингера:

及「 +工①其+ J收00 |ФI2Ф = 0.

Функция Ф удовлетворяет точно такому же уравнению, что и комплексная амплитуда пакета гравитационных потенциальных волн на глубокой воде. Своеобразие распространения волн огибающей в завихренной жидкости при одинаковом (в сравнении с потенциальными волнами) начальном профиле огибающей связано, таким образом, с фазовым отличием выражения для комплексной амплитуды (другой частоте и другом волновом числе высокочастотного «заполнения»).

Для описания волнового пакета в незавихренной жидкости следует считать ел =。2 = 0- Уравнение для огибающей потенциальной волны, тем самым, можно получить, не вводя модифицированные координаты, а используя обычные лагранжевые. Вывод нелинейного уравнения Шредингера в лагранжевых переменных для огибающей незавихрен- ных поверхностных волн в жидкости бесконечной глубины интересен с методической точки зрения. Если для потенциальных волн на глубокой воде нелинейное уравнение Шредингера впервые было получено В.Е. Захаровым с помощью спектрального метода [167], затем независимо Хасимото и Оно [168] и Дэви [169] методом многомасштабных разложений в эйлеровых координатах, а Юэном и Лэйком на базе метода усредненного лагранжиана [170], то нами указан способ его вывода в лагранжевых переменных. В приближении мелкой воды нелинейное уравнение Шредингера в лагранжевых координатах получено в [171].

Нетрудно убедиться, что однородный цуг в завихренной жидкости подобно «потенциальному» цугу неустойчив, если волновое число возмущения К заключено в пределах0<К <2V2k2AQ.

Глава 10

ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ВЛАГРАНЖЕВОМ ОПИСАНИИ

Уравнения Навье-Стокса в лагранжевыхкоординатах

До сих пор наше рассмотрение ограничивалось случаем идеальной жидкости. Как же изменятся уравнения гидродинамики в переменных Лагранжа при учете вязкости? Уравнение неразрывности, очевидно, сохранит свой вид. Его нам удобно записать так:

а

証[Х1,Х2,Хз] =0,(10.1)

где использованы следующие обозначения:

Xi = Х(а, Ь, с, t), Х2 = У(а, b, с,方)， Хз = Z(a, b, с, t).

Величина якобиана [X, У, Z] не меняется при циклической перестановке переменных X, У, Z и меняет знак при их ациклической перестановке.

Для записи уравнений движения следует найти лагранжевое представление для сил давления и вязкости. Производная функции /(X分) по эйлеровой переменной выражается через производные по лагранжевым переменным следующим образом:

df 1

К •，芻，力，(Ю.2)

здесь под комбинацией индексов (г, j, к) всегда понимается циклическая перестановка индексов (1,2,3). Это выражение получается аналогично (2.14). Если в качестве функции / выбрать давление 夕，то формула (10.2) определяет (с учетом множителя \/р) выражение для сил давления при записи уравнений Навье-Стокса в лагранжевых координатах.

Для учета вязкости, то есть для определения формулы для оператора Лапласа в лагранжевых переменных, следует дважды воспользоваться соотношением (10.2):

+ [X^X^D^lX^X^f]] + [Xi,X2,O「[Xi,X2,川}.

Теперь можно перейти к лагранжевым переменным в уравненияхТеперь можно перейти к лагранжевым переменным в уравненияхНавье-СтоксаНавье-Стоксаdtdt1 др0而+ "31 др0而+ "3(Ю.4)(Ю.4)

Теперь можно перейти к лагранжевым переменным в уравнениях

Теперь можно перейти к лагранжевым переменным в уравнениях

Навье-Стокса

Навье-Стокса

dt

dt

1 др

0而+ "3

1 др

0而+ "3

(Ю.4)

(Ю.4)

Пользуясь формулами (10.2) и (10.3), получаем:

++導= -(pDQyi [Х^Хк,р]+^П-{[\х2,Х3,Б-{

+

+

+ Хз,Х1,Од"1 х^,Xi,-^- + ХьХ?,!?] Xi,Х2, а/]}.

(10.5) Уравнения (10.1) и (10.5) относительно неизвестных X乂万,方)，г = 1,2, 3 и р(а,方)образуют полную систему уравнений динамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа. Если при эйлеровом описании нелинейные относительно Vi слагаемые содержатся в выражении для ускорения dVi/dt (см. (10.4)), а силы вязкости описываются линейными выражениями, то при лагранжевом описании ситуация прямо противоположная. Инерционные взаимодействия между неоднородностями поля скорости, описываемые выражением (?▽)匕，имеют относительный характер и устраняются при переходе в сопутствующую (лагранжевую) систему отсчета. Но в ней нелинейными становятся силы вязкости, причем они описываются нелинейными выражениями пятой степени относительно переменных X分.В значительной степени усложняется и выражение для сил давления. Оно теперь тоже нелинейно. Обратим также внимание, что при лагранжевом подходе существенно усложняется задача вычисления давления по известному полю скорости.

В случае уравнений Навье-Стокса (10.4) своеобразной мерой нелинейности служит число Рейнольдса Re — отношение типичных значений сил инерции (?▽) К и сил вязкости ^△匕；при достаточно больших Re инерционные взаимодействия оказываются весьма сильными. В лагранжевом описании мерой нелинейности служит уже отношение типичных значений сил вязкости к типичному ускорению, т. е. 1 /Re; при больших Re вязкие взаимодействия оказываются весьма слабыми.

Вид уравнений (10.1), (10.5) довольно сложен. Вполне естественно упростить его, выбрав в качестве лагранжевых координат начальные положения частиц. В результате будем иметь

[X,Y,Z]=Dq = \,

(10.6)(10.6)+ Хз,Х1, Хз,Х1,涼+ Хз,Х1, Хз,Х1,涼+ Х1,Х2, Х1,Х2,+ Х1,Х2, Х1,Х2,a J =，Хк，夕]+ ^ { Х2, Х3, Х2, Х3,鼠+

(10.6)

(10.6)

+ Хз,Х1, Хз,Х1,涼

+ Хз,Х1, Хз,Х1,涼

+ Х1,Х2, Х1,Х2,

+ Х1,Х2, Х1,Х2,

Вывод этих уравнений был опубликован, по-видимому, впервые лишь в середине XX столетия французом Гербером [172]. Несколько позже этот же результат был независимо получен А.С. Мониным [173] (см. также монографию [79]).

Приведем еще вид лагранжевых уравнений гидродинамики для двумерного плоскопараллельного течения. Пусть движение жидкости происходит только в плоскостях Z = с = const, a Xi n X? не зависят от с. Тогда, используя для якобианов по (а, Ь) обозначения

8],о (а, Ь)

запишем уравнения (10.6) в таком виде

(Ю.7)(Ю.7)[ХЕ = 1,

(Ю.7)

(Ю.7)

-0 [р, Х2] + I Xi, Xi,-^y + Х2, Х2, J ,

(10.8)

(10.9)

Эта система уравнений будет использоваться нами в разделе 10.3 для описания затухания поверхностных гравитационных волн в вязкой жидкости.

Уравнения для инвариантов Коши

В предыдущем параграфе уравнения движения вязкой жидкости в переменных Лагранжа были получены путем перехода к диффе- ренциацированию по лагранжевым координатам в уравнениях Навье- Стокса. В данном разделе дается вывод новой формы этих же уравнений, где в качестве неизвестных функций выступают инварианты Коши. В случае вязкой жидкости величины Si, $2,63 (то есть, циркуляции по элементарным лагранжевым площадкам) уже будут зависеть

от времени, но мы по-прежнему будем называть их инвариантами, как и для идеальной жидкости.

При записи уравнений движения будем исходить из уравнения Ньютона для отдельной жидкой частицы. Поскольку вязкая сила, действующая на единицу массы несжимаемой жидкости равна

X = z/Л^У =rot又(貿计又 P)，

то соответствующее уравнение имеет вид

弘=一；▽夕一沙貿计又(貿计又斤).

Умножим это уравнение слева на матрицу 兄丁，тогда получим

А’％ = -- ▽&夕-иR^ rot^ (rot又兄)・(10.10)

Индексы а и X внизу у знака векторной дифференциальной операции, напомним, означают, что дифференцирование ведется соответственно по лагранжевым или эйлеровым переменным.

С целью исключить давление, применим к уравнению (10.10) операцию взятия ротора по лагранжевым переменным:

rot ^(Дт^) = —и rot^(BT rot^ (貿计又兄)).(10.11)

Пока мы повторяем цепочку преобразований, проводившуюся в первой главе для идеальной жидкости. Если положить ^ = 0, то после интегрирования левой части по времени придем к системе (1.20). Из этого, в частности, следует, что левая часть (10.11) равняется производной по времени от вектора инвариантов Коши, то есть

岳= rot&(丘 т%).(10.12)

Для учета вязкости в рамках данного подхода следует перейти в правой части уравнения (10.11) к дифференцированию по лагранжевым координатам. Воспользуемся тождеством, выражающим операцию взятия ротора при переходе от одних переменных к другим [4,5]:

rot^N = ^ rot&(RTN),(10.13)

здесь А — произвольный вектор, D = det R — якобиан преобразования. В справедливости этой формулы можно убедиться на частном примере, если положить А = ft. Тогда левая часть (10.13) равна завихренности. Выражение же для ротора в правой части, как можно проверить непосредственным вычислением, можно записать так:

rot aRT ft = S.(10.14)

Учитывая это соотношение, заключаем, что в рассматриваемом примере выражение (10.13) переходит в соотношение для завихренности (2.Н).

Для записи уравнения (10.11) в лагранжевой форме воспользуемся дважды тождеством (10.13). В итоге получим следующее уравнение

rot& (无т%) = -v rot^(D~[RT R rot^ ^D~XR^ R rot& (近兄))} (Ю.15)

Учитывая соотношения (10.12), (10.14), и вводя новую матрицу 个=无丁 无；g = g^ г,^= 1,2,3;

gii =X^ + * + Z^;g^= g^=XaXb + YaYb + ZaZb-(10.16)

922 = X^ + Y^ + Z^;gi3= p3i = XaXc + YaYc + ZaZc;

933 = X^ + Y^ + Z^;,23= 932 = ХьХс + 匕匕 + Z^Z^,

придем к уравнению для инвариантов Коши

£ = — го% (。—丐 г。％ (。一丐 «))•(10.17)

Детерминант D совпадает с величиной правой части уравнения непрерывности. Если в качестве лагранжевых координат выбираются начальные положения частиц, то он равен единице, и вид уравнения (10.17) упрощается:__

& = rot (р rot (р «)).(10.18)

Уравнения (10.14) и (10.17) и есть искомые уравнения для инвариантов Коши. Важно отметить, что дифференциальное уравнение для R (10.14) в этой системе уравнений совпадает с уравнениями (1.20) для R в гидродинамике идеальной жидкости. Произошло разделение временных масштабов: инерционных, описываемых уравнением (10.14), и вязких — уравнение (10.17).

В случае двумерного течения уравнение (10.17) несколько упростится. Вектор инвариантов Коши будет иметь всего одну компоненту, направленную, скажем, по оси «с» (в данном случае S =皮).Кроме того, учтем, что__

9ij S = S3,

так что уравнение (10.17) в итоге принимает следующий вид (индекс «3» опускаем):

SQ = г го% (。―丐 卜噴 D-'S —守 ^D-f.(10.19)

В скалярной форме оно запишется так:

-(0-%21 (，S广 0-%22 (，5 J}；

Р11 =Х2 + ^；912=921 =Х°Хь +匕 К； 922=Х^+^2； (1020)

D = XaYb-XbYa,

здесь индексы внизу означают дифференцирование по соответствующим переменным. Подчеркнем, что в силу уравнения непрерывности величина D не должна зависеть от времени. И опять-таки, как и в трехмерном случае, формулы (10.19) и (10.20) упрощаются, если положить 0=1.

Уравнения (10.17) и (10.20) эквивалентны системе (10.5). Правда, они не содержат давления. В случае их независимого разрешения для нахождения этой характеристики течения следует подставить найденное решение в исходные уравнения (10.17) или (10.20). Обе формы вязких уравнений весьма непривычны для исследователей, поэтому имеет смысл протестировать их на некоторых конкретных примерах. В качестве таковых выберем известные точные решения, которые допускают явное аналитическое представление в переменных Лагранжа.

Точные решения для течений вязкой жидкости

Начнем рассмотрения с наиболее простых случаев прямолинейного движения жидких частиц.

Течение в канале и течение Куэтта. Плоское сдвиговое течение в лагранжевых переменных задается соотношениями

X = a + U(b)方，У = Ь,(10.21)

U(b) определяет профиль скорости потока. Этому типу течения соответствует двумерная матрица Якоби

Ее детерминант D равен единице, а связанный с ней метрический тензор р имеет вид

9 ~ \ Uft 1 +

Нам следует еще вычислить компоненты вектора инвариантов Коши. Для двумерного течения у него будет только одна компонента S3. Как следует из выражения (10.14), она равна

S3 = —U'(b).(10.23)

Величина инварианта Коши совпадает с завихренностью течения. Подставляя соотношения (10.22), (10.23) в уравнение (10.20), получаем условие на вид профиля сдвигового потока:

U 〃/ = 0.

Общее решение этого уравнения записывается так:

имаМ + сь + х(10.24)

Постоянная а связана с распределением давления в жидкости. Подставляя решение (10.21) в систему (10.7)-(10.9), получим, что

1 dp

Q = — —— = Const,da

то есть формулы (10.21) описывают прямолинейное движение жидкости с постоянным градиентом давления вдоль направления течения.

Если жидкость ограничена твердыми стенками 6 = 0 и 6 = Д, то из условий прилипания на твердых поверхностях следует представление для поля скорости течения в канале:

da

Если же одна из стенок (пусть, это 6 = 0) покоится, а другая (6 =拉) движется в своей плоскости с постоянной скоростью Uq, то формула (10.24) дает следующее представления для скорости:

U =(Ю.25)

Оно описывает так называемое течение Куэтта. В частности, для нулевого перепада давления получается линейное распределение скоростей

h

Течение с таким распределением скоростей часто называют простым течением Куэтта или течением чистого сдвига. Течение Куэтта в более широком смысле (с перепадом давления) представляет собой наложение простого течения Куэтта на течение в канале. Форма кривой распределения скоростей при течении Куэтта определяется безразмерным градиентом давления

р 九2 dp

Для P〉0, когда давление падает в направлении движения верхней стенки, скорость остается положительной по всей ширине канала. При Р < — 1 вблизи неподвижной стенки возникает возвратное течение. Объясняется оно тем, что увлекающее действие на жидкие частицы со стороны их соседок из вышележащих слоев не в состоянии преодолеть

перепад давления, действующий в направлении, противоположном движению верхней стенки.

Течение Гагена-Пуазейля в круглой трубе. Рассмотрим осесимметричный аналог течения в канале. Пусть жидкие частицы движутся вдоль оси круглой трубы радиуса『о, а скорость их движения зависит от расстояния до оси. Тогда их координаты изменяются по следующему закону:

X = a + U(『丄此 У = Ь, Z = c;广丄=，接 +。2. (10.26)

Такое представление решения, как легко убедиться, удовлетворяет уравнениею непрерывности (10.7). Матрица R для данного течения записывается так:

R= 0 10; a =u/2；U: =『

、0 о 1丿广丄广丄

а его завихренность, инварианты Коши и метрический тензор д^ равны соответственно

С 力=0; Cg = С。=—〃，

S1=O; S2 = U；; S3 = F，(10.27)

/ 1 U" 。片 \

g”= U" 1+伊2 “и；/

Эти формулы являются естественным обобщением соотношений (10.22) и (10.23). Теперь отличны от нуля два инварианта Коши, но они по-прежнему совпадают с соответствующими компонентами завихренности. Отметим также, что умножение тензора р на вектор инвариантов Коши не меняет его, то есть выполняется соотношение = S.

Подставим выражения (10.27) в уравнение (10.18), из которого следует, что функция U удовлетворяет следующему уравнению:

广丄广丄

广丄

广丄

Решая его, найдем, что

丁 2

U = а— + /31пг + 7,

где а, /3,7 — постоянные. В силу ограниченности скорости на оси трубы следует считать, что /3 = 0. Величина а, как следует из (10.6), (10.26), равна

dp

Q == = Const,

dacc r

а постоянная 7 определяется из условия прилипания на стенке (U = 0 при 广=『о). В итоге течение в круглой трубе описывается следующей формулой:

4” da ''

Его называют течением Гагена-Пуазейля.

Плоская стенка, внезапно приведенная в движение (первая задача Стокса). Перейдем теперь к рассмотрению нестационарных течений с прямолинейными траекториями жидких частиц. Пусть, например, плоская стенка, ранее покоившаяся, внезапно начинает двигаться в своей собственной плоскости с постоянной скоростью Uq. Определим течение, вызываемое таким движением.

Положим, что стенка совпадает с плоскостью xz и движется в направлении оси х. Будем искать решение в виде

(10.28)(10.28)X = a + f(b,t\ У = Ь, Z = c.

(10.28)

(10.28)

Оно удовлетворяет уравнению непрерывности при произвольной функции f. Уравнение для инвариантов Коши, однако, накладывает ограничения на ее выбор. Выражения для R, S ng записываются следующим образом:

/ 1 АR= 0 1、0 0/ 1 АR= 0 1、0 0/ 1 А о\

/ 1 А

R= 0 1

、0 0

/ 1 А

R= 0 1

、0 0

9= fb 1+疗 0 . (10.29) \ 00

Подставляя эти соотношения в уравнение (10.20), найдем искомое

уравнение для функции f:

fttb = ftbbb-

Проинтегрируем его по лагранжевой переменной:

ftt = ftbb + /3(а,方).ftt = ftbb + /3(а,方).(10.30)(10.30)

ftt = ftbb + /3(а,方).

ftt = ftbb + /3(а,方).

(10.30)

(10.30)

Из уравнений (10.6) нетрудно определить, что/3(а," = —р-р。.

Будем считать, что давление во всем пространстве постоянно, тогда /3 = 0, а выражение (10.30) имеет смысл уравнения теплопроводности для горизонтальной скорости Xt = ft = 〃(b,方)：

ut = ^〃加.(10.31)

Начальными условиями будут:

при 方 W 0 :и = 0для всех Ь, '

при t > 0 :и = Uq для b = 0;>

〃 =0 для b = оо.,

Вводя безразмерную переменную

77 =；

и полагая и = U()g⑺,сведем уравнение в частных производных (10.31) к обыкновенному дифференциальному уравнению

д〃 + 2〃/ = 0

с граничными условиями

р = 1 при b = 0 и р = 0 при b = оо.

Решением этого уравнения будет

и = Uq erfc ту,

где

есть дополнительный интеграл вероятности, для которого имеются подробные таблицы.

Единственный ненулевой инвариант Коши (см. (10.29)) будет равен

В отличие от ранее рассмотренных примеров, он теперь зависит от времени.

Течение, создаваемое вибрирующей плоскостью (вторая задача Стокса). Пусть неограниченная плоская стенка совершает в своей плоскости прямолинейные гармонические колебания с частотой s. Как и в предыдущей задаче, направим ось х вдоль стенки, а ось у — перпендикулярно к стенке. Давление в жидкости будем полагать однородно распределенным, а ее движение по-прежнему описывать с помощью выражений (10.28). Так как жидкость прилипает к ней,

"(b,方儿=0 = " (0,方)=Uq coss 方."(b,方儿=0 = " (0,方)=Uq coss 方.то для горизонтальной скорости и (Ь,方)на ее поверхности выполняется условие

"(b,方儿=0 = " (0,方)=Uq coss 方.

"(b,方儿=0 = " (0,方)=Uq coss 方.

Оно выступает в качестве граничного условия для уравнения (10.31). И тому, и другому удовлетворяет следующее выражение:

и (Ь,方)=Uq e~kb cos Q方—kb), k =、；.

Таким образом, частицы жидкости вблизи стенки совершают колебательное движение с убывающей по мере удаления от стенки амплитудой Uq exp (—kb), причем колебание слоя жидкости, находящегося от стенки на расстоянии Ь, отстают по фазе от колебаний стенки на величину

Инвариант Коши для данного типа течения будет равен

S3 = kU()e~kb [cos - kb) - sin Q 力一kb)].

До сих пор при поиске точного решения в первую очередь анализировались уравнения для инвариантов Коши. Они не включают давление. Для его вычисления необходимо всякий раз обращаться к традиционным уравнениям движения в лагранжевых переменных. В этом смысле уравнения (10.17) неполны.

Другое наблюдение. Несмотря на свой довольно компактный вид, их исследовать сложнее, чем общепринятую систему уравнений в форме Лагранжа. Учитывая это, следующие примеры будем сразу же изучать в рамках уравнений (107)-(10.9).

Течение между двумя вращающимися цилиндрами. Рассмотрим течение между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися с различными, но постоянными угловыми скоростями. Пусть значения радиусов внутреннего и внешнего цилиндров равны соответственно R\ n R2, а угловые скорости их вращения — si и Такое движение жидкости удобнее рассматривать в полярной системе координат. Обозначим эйлеровы полярные координаты R, Ф, а лагранжевые —г,夕，так что

X = R cos Ф; У = R sin ①； а = г cos 夕； b = г sin 夕.

В новых переменных систему уравнений (10.7)-(10.9) можно записать так:

О(Х,У) = О(Х,У) D(R,®D(r，6O(a,b) — 0(凡①)D(r耳)0(。, b)О(Х,У) = О(Х,У) D(R,®D(r，6O(a,b) — 0(凡①)D(r耳)0(。, b)0时口…(10.32)0时口…(10.32)г R cos Ф = —p~1 [p, R sin Ф]г R cos Ф = —p~1 [p, R sin Ф]Reos①,-Reos①,-R cos ①,—R cos Ф +R cos ①,—R cos Ф +

О(Х,У) = О(Х,У) D(R,®D(r，6

O(a,b) — 0(凡①)D(r耳)0(。, b)

О(Х,У) = О(Х,У) D(R,®D(r，6

O(a,b) — 0(凡①)D(r耳)0(。, b)

0时口…

(10.32)

0时口…

(10.32)

г R cos Ф = —p~1 [p, R sin Ф]

г R cos Ф = —p~1 [p, R sin Ф]

Reos①,-

Reos①,-

R cos ①,—R cos Ф +

R cos ①,—R cos Ф +

「1 「 д

+ Hsin ①，一 A sin ①，кН cos ①>;(10.33)

г ^" Rsm Ф = —p~1 [R cos ①,p] +〃г ^" Rsm Ф = —p~1 [R cos ①,p] +〃ReosФ,-ReosФ,-'9Reos①，kRsin①+dt'9Reos①，kRsin①+dt

г ^" Rsm Ф = —p~1 [R cos ①,p] +〃

г ^" Rsm Ф = —p~1 [R cos ①,p] +〃

ReosФ,-

ReosФ,-

'9

Reos①，kRsin①+

dt

'9

Reos①，kRsin①+

dt

Rsin Ф, т—i?sin ФdtRsin Ф, т—i?sin Фdt

Rsin Ф, т—i?sin Фdt

Rsin Ф, т—i?sin Фdt

(10.34)(10.34)+ Rsm Ф,- r

(10.34)

(10.34)

Здесь квадратные скобки обозначают уже якобиан по переменным 『，夕.При выводе этих уравнений из системы (10.7)-(10.9) использовалось «правило» перемножения якобианов, что и отражено при записи уравнения непрерывности (10.32). Будем интересоваться течениями с круговыми линиями тока, когда

R = г, ①=0 + /(广，方)， p = p(r, t).

Уравнение непрерывности при таком виде решения удовлетворяется для любой функции /. Подстановка этих соотношений в уравнения движения (10.33), (10.34) приведет к следующим условиям на выбор /:

dp dr，

rftt = ^ (rftrr + 3ftr).(10.35)

Поскольку ft — это угловая скорость вращения жидких частиц, то граничные условия к этой системе имеют вид

ft = при 广=兄1； 力 =&2 при 广=兄2・(10.36)

Будем считать / линейной функцией времени, тогда из (10.35) следует, что

ftrr + 3 力г =。，

и выражение для угловой скорости вращения жидких частиц, удовлетворяющее условиям (10.36) имеет следующий вид:

_以2居-(匂-以2)出居

Вычислим инвариант Коши для этого течения. Координаты жидких частиц X, У определяются соотношениями

X =『cos①，y =『cos①，①=0+ /力(广)方.

Подставляя их в формулу (10.14), найдем выражение для инварианта

Коши/°

г dr \ 丿j

Он не зависит от времени в силу стационарности течения. Этот же результат можно было бы получить и более простым способом, вычислив величину завихренности.

Диффузия вихря. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что выражение

(10.37)(10.37)

(10.37)

(10.37)

является точным решением уравнения (10.35). Оно описывает диффузию завихренности от вихревой нити с начальной циркуляцией Го. Это решение было получено Гамелем в 1916 году и независимо Озее- ном в 1927 году [174]. Инвариант Коши для течения (10.37), вычисляемый по формуле (10.14), равен

=ехр.

г or \/ 47rzy方 у 方丿

В начальный момент (方=0) величина S3 имеет особенность (завихренность равна бесконечности). Впоследствии точечный вихрь все более и более расплывается. Завихренность в месте первоначального расположения вихря станет конечной, но она по-прежнему будет оставаться максимальной в области течения на данный момент.

Течение в диффузоре. Рассмотрим движение вязкой жидкости между двумя плоскими стенками, наклоненными друг к другу под углом а. Предположим, что течение является чисто радиальным и в лагранжевом представлении задается следующими соотношениями:

①=0；足=/ + 2/(°)方；夕(广,夕)=裟 貝夕)-^ +G. (10.38)

Подставляя их в уравнения (10.33), (10.34), получим, что уравнение, которому должна удовлетворять функция f, имеет следующий вид:

/〃+ 4/+^-С = 0.(10.39)

Вид искомого решения (10.38) соответствует в эйлеровых переменных автомодельному полю скорости

(10.40)(10.40)

(10.40)

(10.40)

Задача о течении в конфузоре была впервые решена Гамелем [175] с использованием представления (10.40). Его лагранжева форма определяется выражениями (10.38).

Уравнение (10.39) должно быть дополнено граничными условиями. На стенках диффузора, уравнение которых пусть будут 夕=±а/2, должно выполняться условие прилипания к стенкам:

/(±|) =0. (Ю.41)

К нему следует добавить условие постоянства расхода жидкости через поперечное сечение диффузора в единицу времени. Оно записывается так:

а/2 а/2

Q = р Vr . Rdq = р /(夕)d夕. (10.42)

—a/2 —a/2

Величину Q называют обильностью источника и считают заданной. Если Q положительно, мы имеем дело с источником, то есть расходящимся течением в диффузоре; если же Q отрицательно, то со стоком (сходящимся течением или течением в конфузоре).

Уравнение (10.39) легко интегрируется в квадратурах. Его общее решение выражается через эллиптическую функцию р Вейерштрасса. В книге [176] приводится полный его анализ при наложении ограничений (10.41), (10.42). Расходящееся течение в диффузоре не может иметь место при большом числе Рейнольдса (его роль в данной задаче играет величина \Q\/pv). При превышении некоторого предельного значения вытекание жидкости из диффузора может происходить только таким образом, что внутри него области вытекания будут сменяться областями втекания. Сходящееся, симметричное относительно оси течение, возможно, однако, при любом числе Рейнольдса.

Подставляя соотношения (10.38) в выражение для вектора инвариантов Коши S, найдем, что

Величина инварианта S3 растет для сходящегося движения и уменьшается для расходящегося. Она совпадает со значением завихренности в той точке, где находится данная жидкая частица.

Волны на поверхности вязкой жидкости

Все рассмотренные выше течения вязкой жидкости были изначально получены в эйлеровых переменных. На их примере мы непосредственно убедились, что вычисления в рамках лагранжевого подхода являются более громоздкими. Есть, однако, примеры, где использование лагранжевых координат представляется более предпочтительным. Это течения со свободной границей. Для иллюстрации этого положения рассмотрим задачу о затухании плоской волны на поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости.

Уравнения движения вязкой жидкости в модифициро- ваных лагранжевых координатах. Пусть поверхностная гравитационная волна бежит в положительном направлении оси X. Движение жидкости описывается системой уравнений (10.7)-(10.9), где для определенности положим Xi = Х(а, b,方)，Х? = У (а, Ь,方).Как обычно, свободной поверхности соответствует линия 6 = 0, а дну значение b = =—оо.

Будем изучать движение в модифицированных лагранжевых координатах. Система (10.7)-(10.9) в этих переменных примет следующий вид:

[X,Y]=XqYb-XbYq = \,(10.43)

х力力 + 2(7 X奠 + a^Xqq =

=--[p^] + ^ {[X, [X, X力 + CT Xq\] + [У, [У, X力 + CT Xq]]}；

匕力+2。%力+ 02%q =

= -g-^[X^^v {[X, [X,匕 +。爲口 + Y，Y，匕 +。爲]]} .(10.44)

Квадратные скобки обозначают операцию вычисления якобиана по переменным q, b. Уравнения (10.43), (10.44) следует дополнить граничными условиями. В случае свободных гравитационных волн на воде это условия непротекания на дне

Yt = Q при b = —оо

и отсутствие вязких напряжений на свободной поверхности, которое можно записать так:

Tiknk =一夕0几分； 八 {八力，пу}= 几 </ q ；-/q > ； b = 0；

Txx = —р + 2z/ /9 [X力+crXq, Y]; Tyy = —p — 2up [匕+cr Y, X];

(10.45) Txy = vp(X +。％, У]—阳 +。Xq, X]),

здесь T泳—тензор вязких напряжений,夕° — постоянное внешнее давление, ап — внешняя нормаль к свободной поверхности.

Решение в линейном приближении. Представим все входящие в уравнения движения функции в виде ряда по малому параметру крутизны волны £：

X = q + £§1 + £ 2& +

y = b + £力+凸2 +…，

P = Pq- ogb + е夕1 + £?夕2 + •••,

О = Оо + £。1 + 后2。2 + ••• •

6 А.А. Абрашкин, Е.И. Якубович

Подстановка этих соотношений в (10.43)-(10.45), даст искомые уравнения для неизвестных функций в соответствующем порядке теории возмущений. Примем, что величина ст。постоянна, а требования на выбор функций ап(Ь) будем формулировать в процессе решения. В результате введения модифицированных лагранжевых переменных в уравнениях теории возмущений будут отсутствовать слагаемые с явно входящим временем. В этом состоит преимущество предлагаемого подхода перед традиционным лагранжевым описанием, использующим обычные лагранжевые координаты (см., например, [77]).

Уравнения первого приближения имеют вид

flq + 5b = °；

<ltt + 2aQ^qt + (JQ^qq = -p—'p\q 一 9小q + "Z (&力 + O0&q + 6 )；

力力力 + 2(jQT]iqt + 加力 qq = -p-、pib + g&q + ^ △二(力力 +00〃ь)；

芽+帝・(1°・47)

Функции £1,〃1,夕1 предполагаются периодическими по пространству. В уравнении для gi, однако, присутствует функция ai(6), задающая сдвиговое течение жидкости. Чтобы в следующем порядке теории возмущений отсутствовали секулярные по времени слагаемые, положим

аг =0.(10.48)

Решение уравнений (10.47) должно удовлетворять двум граничным условиям на свободной границе b = 0:

力力q +。0〃3 + f1 方 b +。0§1如=°,(10.49)

-Pl + 2^ pgtb +。0〃1加=о.(10.50)

Ищем решение в виде

& = Re А (Ь) ехр (泳q + n t),

力=ReB (b) exp (ikq + nt),(10.51)

pi = Re C (b) exp (ikq + n t),

где величины kun будем полагать действительными, а функции А, В, С — комплексными. После подстановки выражений (10.51) в (10.47), несложных преобразований и с учетом (10.48), получим следующее уравнение для А:

▲职-(23 + 空产)期 + 紋卜2 + 空2)А = о； (10.52) Полагая А = exp (lb), получим для I биквадратное уравнение, решением которого будут соотношения

俨)1 = к?;俨)2 =紋 + 八 + 泳“。=m2.(10.53)

Волновые возмущения должны спадать по мере погружения вглубь (при b — —оо), поэтому функцию А следует выбрать в таком виде:

A = aekb + [3emb', k, Rem>0.(10.54)

С =С =(10.55)(10.55)Функции В и С при этом определяются равенствами B = -i (a ekb + ^[3emb},

С =

С =

(10.55)

(10.55)

+ ikao) + kg] a ekb Hgf3 emb

Подставим найденные выражения для функций А, В, С в граничные условия (10.49), (10.50). Из первого из них следует, что

(10.56)(10.56)2kzyma + /3(2z/" + 八 + ika^ = О,

(10.56)

(10.56)

а из второго, что[(八 + ikoo)2 + 2z? k2 (n + ikao) + kg]а из второго, что[(八 + ikoo)2 + 2z? k2 (n + ikao) + kg]a + ——g + 2z/ (八 + 泳er。)廿 /3 = 0. ma + ——g + 2z/ (八 + 泳er。)廿 /3 = 0. m

а из второго, что

[(八 + ikoo)2 + 2z? k2 (n + ikao) + kg]

а из второго, что

[(八 + ikoo)2 + 2z? k2 (n + ikao) + kg]

a + ——g + 2z/ (八 + 泳er。)廿 /3 = 0. m

a + ——g + 2z/ (八 + 泳er。)廿 /3 = 0. m

Условие совместности этих уравнений запишется так:

(八 + 泳ст。+ 2^ к?) + kg = "к^тп.(10.57)

Обозначим для краткости

а? = gk, =夕； n + ikaQ + 2у k2 = ss,

где s — частота линейных распространения линейных гравитационных волн. В новых обозначениях уравнение (10.57) примет вид

(з2 + 1) = 166>з (s-6>).(10.58)

Из четырех его корней только два удовлетворяют условию Rem > О [11]. Действительная часть корня определяет величину п, а мнимая — значение для ст。. Из двух величин — a п /3 — одну можно выбрать произвольно. Пусть, например,

a = &о = const,

тогда выражение для /3 запишется следующим образом: a2k" гп

(1059)

Величина а° определяет начальную амплитуду волны. Завихренность волнового движения задается выражением

〃加〃加C = Re (…。。)2 M

〃加

〃加

Она сосредоточена в приповерхностном слое с толщиной 27r |m|-1.

В качестве примера рассмотрим затухание достаточно длинных волн, для которых длина волны X = 2穴卜—】удовлетворяет условию

e=-« 1.

При этом в уравнении (10.53) можно пренебречь правой частью, и решением будут значения s = ± 5 или в размерных величинах

(10.60)(10.60)八 + ikaQ = —2z/ k2 ± iu.

(10.60)

(10.60)

Отсюда заключаем, что величина декремента равна 八=—2и к?,

а величина сг。， имеющая смысл фазовой скорости волны, задается соотношением

о。= ±s/k；

выбор знака в этом равенстве определяет направление распространения.

На основании формул (10.53) и (10.60) находим, что значение т приближенно равно

…、1/2m = (l±z)A;•

Отношение значений /Зиа, как следует из (10.59), равно

Эта величина по модулю всегда много меньше единицы, и потому в принятом приближении величиной /3 по сравнению со значением а можно пренебрегать. Вследствие этого выражение для возвышения свободной поверхности 〃i запишется следующим образом (см.(10.51), (10.57)):2

5=效厂力sin(kq ±以方)，

здесь а。— начальная амплитуда возвышения. Приведем также выражение для завихренности, которая в данном случае равна

С =干cos (kq ±.

Проведенное выше рассмотрение допускает обобщения на случаи учета капиллярных эффектов, упругих свойств пленки на поверхности воды, вращения жидкости и движения воздуха над ней. Особо подчеркнем, что предложенная методика применима во всех порядках теории возмущений и имеет явное преимущество перед эйлеровым подходом, при котором в каждом из приближений необходимо переходить к новым криволинейным координатам, параметризующим свободную поверхность [64, 65].

Заключение

Наша книга посвящена исключительно вопросам аналитического расчета течений. Специфика лагранжевого подхода определяет тот круг задач, где его использование является наиболее эффективным. Это, в первую очередь, плоские вихревые течения. Именно такого рода течения и рассматривались преимущественно в книге. Аналитическое описание более сложных типов движений требует уже привлечения оригинальных идей и использования новых подходов. Так, в частности, произошло в результате разработки матричного описания пространственных вихревых течений и формулировки метода модифицированных лагранжевых координат для изучения динамики волн на воде. Вместе с тем, широкое поле для использования лагранжевых переменных представляет область численного моделирования течений. Это направление вычислительной гидромеханики, насколько нам известно, еще даже не начинало всерьез разрабатываться математиками. Но, думается, что с ним будет связано будущее развитие лагранжевой гидродинамики.

ЛИТЕРАТУРА

Helmholtz ". Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen welche den Wirbelbewgungen entsprechen. Crelles J. 1858. 55, 25.

Tait P. G. Translation of «On integrals of the hydrodynamical equations which express vortex motion» by H. Helmgoltz // Phil. Mag. 1867. V. 33. P. 485-512.

Kelvin, Lord. On the vortex motion // Trans. Royal Soc. Edinburg. 1868. V. 25. P. 217-260 (Also: Collected works. Vol. IV, P. 13-65).

Kelvin, Lord. The translatory velocity of a circular vortex ring // Phil. Mag. 1867. V. 33. P. 511-512.

Kelvin, Lord. Vibrations of a columnar vortex // Phil. Mag. 1880. V. 10. P. 155-168.

Kelvin, Lord. On vortex atoms // Phil. Mag. 1867. V. 34. P. 15-24.

Kir choff G. Vorlesungen uber mathematische Physic: Mechanik. Teubner, 1876. (Рус. Пер.: Кирхгоф Г. Механика. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 402 с.).

Hill M.J.M. On the motion of fluid, part of which is moving rotationally and part irrotationally // Phil. Trans. R. Soc. A. 1884. V. 175. P. 363410.

Чаплыгин C.A. Один случай вихревого движения в жидкости // Труды физической секции Московского Императорского общества друзей естествознания. 1903. Т. 11. С. 11-14. См. также: Собр. соч. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. Т. 2. С. 155-165.

Lamb ". Hydrodynamics (3-rd edn.) Cambridge University Press, 1906.

Ламб Г. Гидродинамика. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 928 с.

Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.— 758 с.

Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. 4.1. — М.: Физматгиз, 1963. — 583 с.

Вил几兄 Г. Теория вихрей. — М.-Л.: 1936. — 266 с.

Механика в СССР за 50 лет. Т.2 (Механика жидкости и газа).— М.: Наука, 1970. - 879 с.

Brown G.L., Roshko A. On density effect and large structure in turbulent mixing layers // J. Fluid Meeh. 1974. V. 64. P. 775-816.

Winant C.D., Browand F.K. Vortex pairing, the mechanism of turbulent mixing layer growth at moderate Reynolds number // J. Fluid Meeh. 1974. V. 63. P. 237-255.

Freymuth P. On transition in separated boundary layer // J. Fluid Meeh. 1966. V. 25. P. 683-704.

Кантуэлл Дж. Б. Организованные движения в турбулентных потоках // Вихри и волны (Под ред. В.Н. Николаевского). — М.: Мир. 1984. - С. 9-79.

Hussain A.K.M.F. Coherent structures and turbulence // J. Fluid Meeh. 1986. V. 173. P. 303-358.

Hussain A.K.M.F. Coherent structures — reality and mith // Phys. Fluids. 1983. V. 26, No. 10. P. 2816-2850.

Уиднелл Ш. Структура и динамика вихревых нитей // Вихревые движения жидкости. — М.: Мир, 1979. — С. 127-159.

Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А.М. Системы гидродинамического типа и их применение. — М.: Наука, 1984. — 366 с.

Интенсивные атмосферные вихри // Под ред. Л. Бенгтссона и Дж. Лайтхилла. — М.: Мир, 1985. — 368 с.

Smith J.H.B. Vortex flows in aerodynamics // Ann. Rev. Fluid Meeh. 1986. V. 18. P. 221-242.

Петвиашвили В. И., Похотелов О. А. Уединенные вихри в плазме и атмосфере. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 200 с.

Каменкович В.М., Кошляков М.Н., Монин А. С. Синоптические вихри в океане. — Л.: Гидрометеоиздат, 1982. — 264 с.

Коротаев Г. К. Теоретическое моделирование синоптической изменчивости океана. — Киев: Наукова думка. 1988. — 160 с.

Петров А.Г. О движении рингов Гольфстрима // Океанология. 1980. Т. 20, Вып. 6. С. 965-973.

Ларичев В.Д., Резник Г.М. О двумерных уединенных волнах Россби 〃 ДАН СССР. 1976. Т. 231, № 5. С. 1077-1079.

Козлов В. Ф. Метод контурной динамики в модельных задачах о топографическом циклогенезе в океане // Изв. АН СССР. Физ атм. и океана. 1983. Т. 19. №8. С. 845-855.

Козлов В. Ф., Макаров В. Г. Моделирование эволюции неустойчивых геострофических вихрей в баротропном океане // Океанология. 1984. Т. 24, №5. С. 737-743.

Жмур В. В., Панкратов К. К. Динамика эллипсоидального приповерхностного вихря в неоднородном потоке // Океанология. 1989. Т. 26, №2. С. 205-211.

Жмур В. В., Панкратов К. К. Динамика мезомасштабного вихревого образования в поле течения крупного интенсивного вихря // Океанология. 1990. Т. 30, №2. С. 170-178.

Жмур В. В., Щепеткин А. Ф. Взаимодействие двух квазигеостро- фических бароклинных вихрей: тенденция к сближению и к слиянию // Изв. РАН. Физ. Атм. и океана. 1992. Т. 28, № 5. С. 538-551.

Гончаров В. И., Гряник В.М. Геофизические аспекты динамики неоднородной вихревой пелены // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1985. Т. 21, № 10. С. 1011-1019.

Гончаров В.П., Гряник В.М. Взаимодействие неоднородной вихревой пелены с дискретными вихрями и течением // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1985. Т. 21, № 11. С. 1123-1131.

Гряник В.М. Динамика локализованных вихревых возмущений — «вихревых зарядов» в бароклинной жидкости // Изв. АН СССР. Физ атм. и океана. 1983. Т. 19, № 5. С. 467-475.

Гряник В.М. Локализованные вихревые возмущения — «вихревые заряды» и «вихревые нити» в бароклинной дифференциально вращающейся жидкости // Изв. АН СССР. Физ атм. и океана. 1988. Т. 24, № 12. С. 1251-1261.

Белоцерковский О. М и Ор. Моделирование отрывных течений на ЭВМ. - М.: Наука, 1984. - 121 с.

Белоцерковский О.М. Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу. — М.: Наука, 1997. — 207 с.

Leonard A. Vortex methods for flow stimulation // J. Comp. Phys. 1980. V. 37, No. 3. P. 289-335.

Christiansen J.P. Numerical simulation of hydrodynamics by the method of point vortices // J. Comp. Phys. 1973. V. 13, No. 3. P. 363379.

Beal T., Majda A. High order accurate vortex methods with explicit velocity kernels // J. Comp. Phys. 1985. V. 58, No. 2. P. 188-208.

Веретенцев A.H., Я Рудяк. В., Яненко Н.Н. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальной несжимаемой жидкости // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26, № 1. С. 103113.

Новиков Е.А. Динамика и статистика системы вихрей // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. С. 1868-1879.

Aref Я. The motion of three point vortices // Phys. Fluids. 1979. V. 22. P. 393-400.

Новиков E.A., Седов Ю.Б. Коллапс вихрей // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, №2. С. 588-597.

Aref ". Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in twodimensional flows // Ann. Rev. Fluid Meeh. 1983. V. 15. P. 349-390.

Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / Под ред. А. В. Борисова, И. С. Мамаева и М. А. Соколовского. — Москва- Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. — 704 с.

Новиков Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов) // ЖЭТФ. 1983. Т. 84, Вып. 3. С. 975-981.

Safman Р. G., Meiron D.I. Difficulties with three-dimensional weak solutions for inviscid incompressible flow // Phys. Fluids. 1986. V. 29(8). P. 2373-2375.

Чефранов С.Г. Динамика точечных вихревых диполей и спонтанные сингулярности в трехмерных турбулентных потоках // ЖЭТФ. 1987. Вып. 1(7). С. 151-158.

Чефранов С. Г. Динамика точечных вихревых квадруполей и эллиптических вихрей на плоскости // ЖЭТФ. 1991. Т. 99. С. 1149-1165.

Hasimoto ". A soliton on a vortex filament // J. Fluid Meeh. 1972. V. 51. P. 477-485.

Lamb G. Soliton and the motion of helical curves // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. P. 235-237.

Kida S. A vortex filament moving without change of form // J. Fluid Meeh. 1981. V. 112. P. 397-409.

Сэффмен Ф.Дж. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000.— 376 с.

Moore D.眩，Saffman Р. G. Structure of a line vortex in an imposed strain // Aircraft Wake Turbulence and its Detection (ed. J.H. Olsen, A. Golgburg, M. Rogers). 1971. P. 339-354. Plenum.

Kida S. Motion of an elliptic vortex in a uniform shear flow // J. Phys. Soc. Japan. 1981. V. 50. P. 3517-3520.

Луговцов Б.А. О движении турбулентного вихревого кольца и переносе пассивной примеси // Некоторые проблемы математики и механики. — Л. 1970. — С. 182-197.

Луговцов Б.А. Структура турбулентного вихревого кольца в пределе исчезающей вязкости // ДАН СССР. 1976. Т. 226, №3. С. 544546.

Луговцов Б.А. Турбулентные вихревые кольца // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 38. С. 7188.

Longuet-Higgins М. S. Mass transport in water waves // Phil. Trans. A. 1953. V. 245. P. 535-581.

Филлипс О.M. Динамика верхнего слоя океана. — Л.: Гидрометео- издат, 1980. — 320 с.

£〃 Q., Benney D.J. Rotational effects on surface waves // Studies in Appl. Math. 1995. V. 94. P. 77-82.

/. Franz von Gerstner. Theorie der Wellen sammit einer abgeleiteten Theorie der Deichprofile // Gilberfs Annalen der Physik. 1809. V. 32. P. 412-445.

Dubreil-Jacotin M.L. Sur la determination rigoureuse ondes perma- nentes periodiques demleur finie // J. Math. Ptires Appl. 1934. V. 13. N.3. P. 217-291.

Gouyon R. Contribution a la theorie des houles // Annales de la Faculte des Sciences de fUniversite de Toulouse. 1958. V. 22. P. 1-55.[

Секерж-Зенъкович Я. И. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1951. Т. 15, № 1. С. 57-73.

Сретенский Л.Н. О кольцевых волнах на поверхности вращающейся жидкости // Динамическая теория приливов. — М.: Наука, 1987. - С. 197-212.

Монин А. С. Лагранжево описание установившихся волн // ДАН СССР. 1972. Т. 203, №4. С. 769-771.

Океанология. Физика океана. Том 2. Гидродинамика океана / Под ред. Монина А.С. — М.: Наука, 1978. — С. 158-160.

Секерж-Зенькович С. Я. Параметрическое возбуждение волн конечной амплитуды на границе раздела двух жидкостей разных плотностей 〃 ДАН СССр. 1983. Т. 272, № 5. С. 1083-1085.

Андреев В. К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. — Новосибирск: Наука, 1992. — 136 с.

Osborne A.R., Boffetta G. The shallow water nonlinear Schrodinger equation in Lagrangian coordinates // Phys. Fluids A. 1989. V. 1, No. 7. P. 1200-1211.

Weber /. E. Wave attenuation and wave drift in the marginal ice zone // J. Phys. Oceanograf. 1987. V. 17. P. 2351-2361.

Weber J.E., Forland E. Effect of the air on the drift velocity of water waves 〃 J. Fluid Meeh. 1990. V. 218. P. 619-640.

Монин А. С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. T.l.— СПб.: Гидрометеоиздат. 1992. — 694 с.

Овсянников Л. В. Общие уравнения и примеры // Задача о неуста- новившемся движении жидкости со свободной границей. — Новосибирск: Наука, Сиб. Отд-ние, 1967. — С. 5-75.

Абрашкин А. А., Якубович Е.И. О плоских вихревых течениях идеальной жидкости // ДАН СССР. 1984. Т. 276, № 1. С. 76-78.

Абрашкин А. А., Якубович Е〃. О нестационарных вихревых течениях идеальной жидкости // Ж ПМТФ. 1985. №2. С. 57-64.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986.— 733 с.

Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. — М.: Наука, 1977. — 816 с.

Андреев В. К., Родионов А. А. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения илеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. С. 1577-1586.

Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. — М.: Мир, 1973. - 158 с.

Кондратьев Б.П. Теория потенциала и фигуры равновесия.— Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.— 624 с.

Пухначев В. В. О движении жидкого эллипса // Динамика сплошной среды. — Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1978. Вып. 33. С. 6875.

Лаврентьева О. М О движении жидкого эллипсоида // ДАН СССР. 1980. Т. 253. №4. С. 828-831.

Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964.

Чаплыгин С.А. Вихревой поток, переливающийся через препятствие в форме круглого полуцилиндра // Собр. Соч. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. Т. 2. С. 537-546.

Чаплыгин С. А. Поток, обтекающий с непрерывными скоростями забор с образованием вихрей впереди и позади забора // Указ. собр. Соч. Т. 2. С. 546-555.

Rankine W.J. A Manual of Applied Mechanics. 1858, Griffin.

Чаплыгин С. А. О пульсирующем цилиндрическом вихре // Труды физической секции Московского Императорского общества друзей естествознания. 1899. Т. 10. № 1. С. 13-22. (См. также Указ. собр. соч. Т. 2. С. 138-154).

Stuart /. Т. On finite amplitude ocsillations in laminar mixing layer // J. Fluid Meeh. 1967. V. 29. N. 3. P. 417-440.

Sher cliff J. A. Simple rotational flows // J. Fluid Meeh. 1977. V. 82. Ft 4. P. 687-703.

Капцов О. В. Стационарные вихревые структуры в идеальной жидкости 〃 Ж ПМТФ. 1989. № 1. С. 109-117.

Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. — Новосибирск: Наука, 1994. — 319 с.

Черный Г. Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1997. №4. С. 39-53.

Flierl G.R., Stern ME, Whitehead J. A. The physical significance of modons: laboratory experiments and general integral constraints // Dyn. Atmos. Oceans. 1983. V. 7. P. 233-264.

Philips О.M Centrifugal waves // J. Fluid Meeh. 1960. V. 7, No. 3.

Сунь-Цао О волнах на поверхности жидкости под действием центробежной силы // Ж ПМТФ. 1960. № 3.

Абрашкин А. А. Нелинейные азимутальные волны в центрифуге // Ж ПМТФ. 1984. № 3. С. 86-88.

Иногамов Н.А. Цилиндрический аналог трохоидальных волн Герстнера. Препринт ИТФ. Черноголовка, 1984. (См. также: Иногамов Н.А. Движение с «вмороженными» изобарами: трохоидальные волны и изобарическая рэлей-тейлоровская мода // Докл. АН СССР. 1984. Т. 278, № 1. С. 57-61.

Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. — М.: Мир, 1978. - 520 с.

Девидсон Р. Теория заряженной плазмы. — М.: Мир, 1978.

Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. —М.: Мир, 1971. —350 с.

S〃 С.Н. Motion of fluid with constant vorticity in a singly connected region 〃 Phys. Fluids. 1979. V. 22, No. 10. P. 2032-2033.

Миндлин И.М. О волнах в однородной несжимаемой жидкости, индуцированных вихрем // ПММ. 1984. Т. 48, Вып. 5. С. 761-767.

Перепелкин В. В., Петров А. Г. Динамика эллиптического вихря // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. №4. С. 55-60.

Burbea，，Landau М. The Kelvin waves in vortex dynamics and their stability // J. Сотр. Phys. 1982. V. 45. No. I. P. 127-156.

Дим 厂.，Забуски ". Стационарные V-состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение // Солитоны в дейстзии. — М.: Мир, 1981.— С.289-304.

John F. Two-dimensional potencial flows with a free boundary // Comm. Pure and Appl. Math. 1953. No. 6. P. 497-503.

New A.L. A class of elliptical free-surface flows // J. Fluid Meeh. 1983. V. 103. P. 219-239.

Longuet-Higgins M.S. Parametric solutions for breaking waves // J. Fluid Meeh. 1983. V. 121. P. 403-424.

Лаврентьев M.A., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. — М.: Физматгиз, 1973. — 736 с.

Ахметов А. Г., Тарасов В. Ф. О структуре и эволюции вихревых ядер 〃 Ж ПМТФ. 1986. № 5. С. 68-73.

Абрашкин А. А., Зенькович Д.А. Нелинейные волны Кельвина на границе цилиндрического вихря // Изв. АН. Мех. жидк. и газа. 1996. №4. С. 125-130.

Michalke A., Timme A. On the inviscid instability of certain twodimensional vortex-type flows // J. Fluid Mtch. 1967. V. 29, No. 4. P. 647-666.

Абрашкин А. А. К теории взаимодействия двух плоских вихрей // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1987. № 1. С. 62-68.

Nielander М. И, Styczek A. S., Zabusky N.J. Elliptically desingularized vortex model for the two-dimensional Euler equations // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53, N. 13. P. 1222-1225.

Брутян M.A., Крапивский П. Л. Гамильтонова формулировка и основные законы сохранения для модели малых эллиптических вихрей 〃 ПММ. 1988. Т. 52, № 1. С. 164-167.

Moore D. W., Saffman P.O. The density of organized vortices in a turbulent mixing layer // J. Fluid Meeh. 1975. V. 69. P. 465-473.

John C. Neu. The dynamics of a columnar vortex in an imposed strain 〃 Phys. Fluids. 1984. V. 27(10). P. 2397-2402.

Polvani L.M., Wisdom，Chaotic Lagrangian trajectories around an elliptical vortex path embedded in a constant and uniform background shear flow 〃 Phys. Fluids A. 1990. V. 2(2). P. 123-126.

Dhanak MR, Marshall M.P. Motion of an elliptical vortex under applied periodic strain // Phys. Fluids A. 1993. V. 5(5). P. 1224-1230.

Dritschel D.G., Waugh D. W. Quantification of the inelastic interaction of the unequal vortices in two-dimensional vortex dynamics // Phys. Fluids A. 1992. V.4(8). P. 1737-1744.

Waugh D. W. The efficiency of symmetric vortex merger // Phys. Fluids A. 1992. V.4(8). P. 1745-1758.

Шафранов В.Д. Ц ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 710-722.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.— М.: Наука, 1982. — 620 с.

Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1988. - 304 с.

Hicks W.M. Researches in vortex motion. On spiral or gyrostatic vortex aggregates // Phil. Trans. Roy. Soc. 1899. A 192. P. 33-101.

Moffatt H.K. The degree of knottedness of tangled vortex lines // J. Fluid Meeh. 1969. V. 35. P. 177-129.

134.

Шмыглевский Ю.Д. О закрученных течениях идеальной и вязкой жидкости // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т. 33, № 12. С. 1905-1911.

Скворцов А. Т. Точное решение уравнений магнитной гидродинамики в виде уединенного тороидального вихря // Письма ЖЭТФ. 1988. Т. 14, Вып. 17. С. 1609-1611.

Силаев И. И., Скворцов А. Т. Уединенною тороидальные вихри // Препринт ИПМ АН СССР. 1990. №9.

Абрашкин А. А., Зенькович Д.А., Якубович Е.И. Матричная формулировка гидродинамики и трехмерное обобщение птолемеевских течений // Радиофизика. 1996. Т. XXXIX, №6. С. 783-796.

Абрашкин 44, Зенькович Д.А., Якубович Е.И. Исследование трехмерных вихревых течений с помощью матричных уравнений гидродинамики // ДАН СССР. 1997. Т. 357. №5. С. 619-622.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987. - 204 с.

Зенькович Д.А. Матричное лагранжево описание вихревых структур в идеальной жидкости. // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Нижний Новгород, 2002. 22 с.

Ninh F. V. Stokes waves on shear flow // Oceanologia. 1984. V. 18. P. 5-17.

Цао С. Поведение поверхностных волн на линейно изменяющемся течении // Труды МФТИ. Исследования по механике и прикладной математике. 1959. Вып. 3. С. 66-84.

Абрашкин А.А., Зенькович Д.А. Вихревые стационарные волны на сдвиговом течении // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1990. Т. 26. № 1. С. 35-45.

Yih Ch.-Sh. Surface waves in flowing water // J. Fluid Meeh. 1972. V. 51. Pt. 2. P. 209-220.

Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Исследование граничных задач обтекания препятствия потоком стратифицированной слоистолй жидкости 〃 ДАН СССР. 1984. Т. 277. №5. С. 1102-1104.

Бежанов К. А., Тер-Крикоров А.М. Многослойные установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости над неровным дном // Прикл. Матем. и мех. 1984. Т. 48. №5. С. 750-760.

Госсард 3., Хук У. Волны в атмосфере. — М.: Мир, 1978. — 532 с.

Hidy G.TW., Plate E.J. Wind action on water standing in a laboratory channel 11 J. Fluid Meeh. 1966. V. 26. Pt. 4. P. 651-687.

Burns /. C. Long waves in running water // Proc. Camb. Phil. Soc. 1953. V. 49. P. 695-706.

Blythe P.A., Kazakia Y., Varley £. The interaction of large amplitude shallow-water waves with an ambient shear flow: non-critical flows // J. Fluid Meeh. 1972. V. 56. Pt. 2. P. 241-255.

Уизем Г. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 622 с.

Шрира В. И. О нелинейных волнах яа поверхности слоя жидкости с постоянной завихренностью // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286. №6. С.1332-1336.

Simmen J.A., Saffman Р. О. Steady deep-water waves on a linear shear current // Studies in Applied Mathematics. 1985. V. 73. N. I. P. 35-47.

Silva A.F. Teles, Peregrine P.H. Steep, steady surface waves on water of finite depth with constant vorticity // J. Fluid Meeh. 1988. V. 195. P.281-302.

Моисеев H.H. // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24. Вып. 4. С. 711-714.

Dalrymle R.A. A finite amplitude wave on a linear shear current // J. Geophys. Res. 1974. V. 79. P. 4498-4504.

Dalrymle R.A. A numerical model for periodic finite amplitude waves on a rotational fluid // J. Comput. Phys. 1977. V. 24. P. 29-42.

Thomas G.P. Wave-current interactions: an experimental and numerical study. Part 2. Nonlinear waves // J. Fluid Meeh. 1990. V. 216. P .505-536.

159.

Абрашкин А.А., Зенькович Д.А. О новом классе периодических стационарных внутренних волн на сдвиговом течении // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1993.1.29. №3. С. 369-376.

Dubreil-Jacotin L. Snr les ondes de type permanent dans les liquides heterogenes // Atti Reale Acad. Nationale Lincei. 1932. V. 15. N. 6. P. 44-52.

Абрашкин А. А. Пространственные волны Гуйона // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1996. №4. С. 125-130.

Шварц Л., Фентон Дж. Сильно нелинейные волны // Нелинейные волновые процессы / Под ред. В.Н. Николаевского. — М.: Мир, 1987. - С. 10-36.

Schwartz 厶眩， Whitney A. К. A semi-analytic solution for nonlinear standing waves in deep water // J. Fluid Meeh. 1981. V. 107. P. 147171.

Абрашкин А. А. Стоячие вихревые волны на глубокой воде // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1996. №4. С. 125-130.

Абрашкин А. А. Пакет гравитационных поверхностных волн в завихренной жидкости // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1991. Т. 27. № 6. С. 633-637.

Найфэ А. Методы теории возмущений. М.: Мир, 1976. — 455 с.

Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // Ж ПМТФ. 1968. №2. С.86-94.

Hasimoto Н., Опо ". Nonlinear modulation of gravity waves // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33. P. 805-811.

Davey A. The propagation of a weak nonlinear wave // J. Fluid Meeh. 1972. V. 53. P. 769-781.

Yuen H. C., Lake B.M. Nonlinear deep water waves. Theory and experiment // Phys. Fluids. 1975. V. 18. P. 956-960.

Osborne A.R., Boffetta G. The shallow water nonlinear Schredinger equation in Lagrangian coordinates // Phys. Fluids A. 1989. V. I, № 7. P. 1200-1211.

Gerber R. Sur la reduction a tin principe variationnel des equations du movement d'un fluide visqueux incompressible // Ann. Inst. Fourier. 1949. V. 1. P. 157-162.

Монин А. С. О лагранжевых уравнениях гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости // Прикл. матем. и мех. 1962. Т. 26, №2. С. 320-327.

Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.— 712с.

Hamel G. Spiralformige Bewegungen zaher Flussigkeiten, Jahres- bericht der deutschen Mathematiker Vereinigung, 25 (1916). C. 34-60.

Кочин H. E., Кибель И. А., Розе H. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. П. — М.: Физ-матгиз, 1963. — 728 с.

Научное издание

АБРАШКИН Анатолий АлександровичЯКУБОВИЧ Евсей Исаакович

ВИХРЕВАЯ ДИНАМИКА В ЛАГРАНЖЕВОМ ОПИСАНИИ

Редактор В.С. ЯрунинОригинал-макет: Т.Н. Савицкая

Подписано в печать 01.06.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Ус л. печ. л. 11. Уч.-изд. л. 12,2. Тираж 400 экз.

Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;

http://www.fml.ru

ISBN 5-9221-0725-9

УДК 532.5

ББК 22.253

А 16

Абрашкин А. А., Якубович Е. И. Вихревая динамика в лагранжевом описании. - М.:①НЗМАТЛНТ, 2006. - 176 с. - ISBN 5-9221-0725-9.

Изучаются проблемы аналитической динамики вихревых образований в жидкости и волн на воде в лагранжевых переменных. Приведен обзор всех известных примеров лагранжевого описания движений жидкости. Предложены новые подходы к исследованию распределенных вихревых течений, основанные на использовании крмплексных функций (плоские движения) и матрицы Якоби (пространственные движения). Найдены и проанализированны классы точных решений уравнения Эйлера. Рассмотрены их приложения для описания конкретных типов движений: одиночного плоского вихря, пары вихрей, вихревых шнуров во вращающейся жидкости и т.д. Для изучения волн на воде предложен метод модифицированных лагранжевых координат. На его основе построена слабонелинейная теория вихревых волн на воде. Найдены и ислледованы свойства волновых возмущений, распространяющихся на поверхности сдвигового потока, трехмерных вихревых волн (пространственных волн Гуйона), стоячих вихревых волн и пакета волн в слабозавихренной жидкости. Дан вывод новой формы уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа.

Книга рассчитана на специалтистов в области гидромеханики, теоретической физики, математики, а также на аспирантов и студентов.

© ФИЗМАТЛИТ, 2006

ISBN 5-9221-0725-9ISBN 5-9221-0725-9© А. А. Абрашкин, Е. И. Якубович, 2006

ISBN 5-9221-0725-9

ISBN 5-9221-0725-9