ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Глава I

ВВЕДЕНИЕ

Задачи, цель и предмет курса

Все современные сооружения, конструкции, машины, приборы строят или изготовляют по заранее составленным проектам. В проекте указывают материалы элементов конструкций и деталей машин, все их размеры, необходимые для изготовления, а также приводится описание технологии. Таким образом, еще в процессе проектирования нужно уметь определять размеры элементов и деталей, входящих в состав сооружений или машин. Разумеется, указанные размеры зависят от ряда условий и обстоятельств, в том числе от свойств материала изделия и от предполагаемых на него воздействий.

Задачей науки о прочности и является создание теоретических и экспериментальных основ для установления требуемых размеров элементов и деталей, входящих в состав сооружений, конструкций или машин. При этом должна быть обеспечена надежность эксплуатации соответствующего объекта и экономичность конструкций, в значительной мере определяемая расходом материала.

Надежность конструкции обеспечивается, если последняя сохраняет прочность, жесткость и устойчивость при гарантированной долговечности. Приведем предварительное определение этих сложных понятий. Позднее эти определения будут уточнены и даны в более общей формулировке.

Конструкцию считают прочной, если в ней под влиянием внешних сил не возникает разрушения^ не происходит разделения единого целого на части. Если изменения формы и размеров конструкции при действии на нее внешних сил невелики и не мешают ее эксплуатации, то считается, что такая конструкция обладает необходимой жесткостью. Нагруженная конструкция пребывает в устойчивом состоянии, если, будучи отклоненной из этого состояния какими-либо причинами, не учитываемыми в расчете, она возвращается в первоначальное состояние по устрандаяя ^«кшпных ддшшн, R

противном случае состояние загруженной конструкции неустойчивое.

Долговечность конструкции состоит в ее способности сохранять необходимые для эксплуатации свойства в течение заранее предусмотренного отрезка времени. Долговечностью называют и продолжительность надежной работы конструкции. Разумеется, обеспечить долговечность можно, лишь зная процессы, происходящие в конструкции (в том числе в ее материале) во времени и в условиях, в которых она работает.

Рис. 1.1, Различные формы проявления ненадежности конструкции； а) нсчерпанне прочности; б) недостаточная жесткость; в) потеря устойчивости первоначальной формы равновесия.

На рис. 1Л показаны примеры проявления различных форм ненадежности конструкции. Требования надежности и экономичности связаны с противоположными тенденциями. Желая сделать конструкцию более надежной, приходится назначать большие размеры поперечных сечений ее элементов. Стремление же сделать конструкцию как можно более экономичной заставляет уменьшать размеры поперечных сечений. Наука о прочности позволяет установить степень удовлетворения требованиям как надежности, так и экономичности.

Таким образом, основная задача науки о прочности состоит в разработке методов к о ветру ир о в а ни я и расчета элементов всевозможных конструкций или деталей машин н а прочность, жесткость и устойчивость при условии долговечности, одновременно обеспечивающих их экономичность. Наука о прочности имеет экспериментально-теоретический инженерный

§ L1] ЗАДАЧИ, ЦЕЛЬ И ПРЕДМЕТ КУРСА 19 характер. Она тесно связана с физикой твердого тела, раскрывающей природу деформации и разрушения твердых тел; с материаловедением, исследующим технические свойства материалов, и с испытаниями материалов, позволяющими экспериментально изучать и оценивать количественно (теми или иными механическими характеристиками) их свойства. Наряду с ч указанными дисциплинами наука о прочности имеет органические связи и с другими разделами физики и многими отраслями техники; в ней широко используются результаты механики, большой и разнообразный математический аппарат. В науке о прочности рассматриваются материалы, применяемые в сооружениях, конструкциях, машинах, приборах, например: металлы, древесина, бетоны, керметы, керамика, стекло, ситаллы, высокомолекулярные соединения,, в том числе пластмассы, и т. п. Важнейшим свойством этих материалов является их способность противостоять внешним силам, сохраняя целостность и не испытывая больших измена ний в размерах и форме, если конструкция спроектирована правильно. 一

Система понятий, принципов и методов, позволяющих теоретическим путем решать указанную выше основную задачу науки о прочности, строится на базе общих законов механики.

Для решения основной сформулированной выше задачи одних положений теоретической механики, рассматривающей абсолютно твердые тела, недостаточно — приходится вводить новые понятия^ связанные со способностью реальных твердых тел под воздействием внешних сил, пусть незначительно, но все же изменять свои размеры и форму. Такими понятиями являются деформации и напряжения. Определение их будет дано ниже.

Напряженно-деформированное состояние и надежность всевозможных изделий, форма которых удовлетворяет некоторым требованиям, составляет предмет сопротивления материалов как учебной дисциплины. .

Наука о прочности, или прикладная механика твердого деформируемого тела, сложна и обширна. Поэтому изучение ее начинается с первого концентра, называемого сопротивлением материалов.

Результаты, получаемые в сопротивлении материалов, широко используются во всех областях техники и прикладных дисциплинах, в которых существенными являются надежность и экономичность элементов конструкций.

Вместе с тем с самого начала следует иметь в виду, что результаты, получаемые на основе прикладных технических теорий, рассматриваемых в сопротивлении материалов, являются приближенными. Более точные решения могут быть найдены при помощи аппарата механики сплошных ср&, например при помощи теории упругости. Некоторые же задачи вовсе не могут быть решены, и тогда опять приходится использовать механику сплошных сред.

Реальные твердые телаи идеализированное тело сопротивления материалов )Деформируемость, однородность, сплошность, изотропность

Твердые тела, встречающиеся в природе, обладают огромным количеством хсвойств. На ранней ступени развития науки было известно лишь небольшое их число. Наблюдение за твердыми телами в новых условиях, при помощи современной совершенной аппаратуры, позволяет открывать все новые и новые свойства.

В зависимости от поставленных перед данной наукой задач представляются важными лишь некоторые свойства твердого тела, остальные же оказываются несущественными. Например, при исследовании прочности стекла его диэлектрические свойства не имеют практически никакого значения.

Для простоты изучения реальное тело заменяют идеальным, наделяя его лишь важнейшими в рассматриваемом случаесвойствами. Такой процесс называется абстрагирование^ к нему вынуждены прибегать при развитии многих наук. После введения идеализированного тела, наделенного лишь важнейшими для рассматриваемого круга проблем свойствами, производится построение теории. Достоверность последней зависит, в частности, от того, насколько удачно идеализация сохраняет основные, существенные в данном случае свойства реального объекта. Судить об этом можно, сопоставляя результаты, полученные теоретически на основе идеализированной модели, с результатами соответствующего эксперимента.

В теоретической механике идеализированной схемой реального твердого тела является абсолютно твердое тело, т. е. такое, в котором при любых обстоятельствах расстояния между любыми точками не меняются — не изменяются ни размеры, ни форма тела. Используется определенное идеализированное тело и в сопротивлении материалов. В настоящем параграфе отмечаются лишь некоторые свойства этой модели. К числу их относятся: деформируемость, однородность, сплошность, изотропность.

Свойство деформируемости присуще всем реальным телам. Это свойство принципиально важно при решении проблем сопротивления материалов; отмеченное станет ясно из дальнейшего изложения (см. в частности, §§ 1.6, 1.7, 1.20, 1.21). Об этом свидетельствует м необходимость удовлетворения конструкциями условию достаточной жесткости.

Материалы, используемые в сооружениях и машинах, обладают значительной жесткостью (малой деформир у емостью). Малая деформируемость материала конструкции еще не свидетельствует о

Здесь, говоря о теле, мы имеем в виду его вещество.

9 1.2] ИДЕАЛИЗИРОВАННОЕ ТЕЛО СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 21 большой жесткости всей конструкции в целом. Об этом говорится в § 1.20. 、

Если в окрестности любой точки тела, при изучении любого по величине элемента свойства тела оказываются одинаковыми, то оно считается однородным.

Все реальные тела неоднородны. В одних случаях это очевидно, например, в бетоне отчетливо различимы включения крупного заполнителя и цементный камень, связывающий его куски; в некоторых видах горных пород легко. обнаруживаются отдельные компоненты — минералы, образующие породу, например, в граните: полевой шпат, квар正 слюда. В других случаях для выявления неоднородности приходится прибегать к микроскопу, при помощи которого видна, например, неоднородная кристаллоидная (зернистая) структура стали или других сплавов. Экспериментально доказано неоднородное, дискретное строение материи. Все реальные^ в том числе твердые, тела образованы из отдельных частиц — молекул, состоящих из атомов, которые имеют сложную структуру. Атом состоит из ядра, и электронной оболочки. В свою очередь структура ядра атома также сложна, и нет предела для дальнейшего познания неоднородности материи? Вместе с тем все перечисленные тела, начиная от стали и кончая бетоном, в некотором смысле и при некоторых условиях, ограничивающих общность, можно рассматривать как однородные. Речь идет об однородности 8 среднем, обнаруживаемой в том случае, когда объем рассматриваемого элемента тела намного превосходит объем структурных единиц, его составляющих.

Так, например, бетонный куб с ребрами, равными 20 см, можно считать обладающим осредненными свойствами составляющих его частей. При этом такие кубы, выделенные в различных местах конструкции, обладают практически одинаковыми свойствами. Если же выделить из бетона кубики с ребрами в один сантиметр в различных местах тела, то может случиться, что один из них придется на камень крупного заполнителя, а другой ——на цементный камень, и, таким образом, свойства этих кубиков окажутся резко различными. В стали размер элемента, в пределах которого осредняются свойства зерен, может быть очень мал (1 мм3 и даже меньше).

Под сплошностью тела понимают заполненность материалом всего объема, ограниченного его поверхностью.

Однородность и сплошность тела позволяют применять методы анализа бесконечно малых, а это весьма упрощает построение теории сопротивления материалов. Однако нужно отчетливо представлять, что результаты, получаемые в сопротивлении материалов, основанном на модели однородного сплошного тела, применимы лишь к элементам конструкций или их частям, имеющим размеры, в пределах которых материал можно считать в среднем однородным (квазиоднородным).

Одинаковость свойств материала во всех направлениях, проходящих через точку тела, называется изотропностью. Реальные тела изотропны 6 среднем, (квазиизотропны). Некоторые тела не обладают изотропностью вовсе и являются анизотропными (древесина).

Внешние силы. Классификация

Все внешние силы, действующие на изучаемое тело (изделие) следует рассматривать как проявление взаимодействия его с окружающими телами. Внешние силы могут быть классифицированы по нескольким признакам. Одним из наиболее существенных признаков является место расположения точек приложения сил к телу. По этому признаку все силы разделяют на объемные и поверхностные.

Объемные силы непрерывно распределены по всему объему, занятому телом. К числу таких относятся силы веса, инерции, магнитные; все они являются результатом взаимодействия тел, не обязательно соприкасающихся друг с другом. Интенсивность объемной силы имеет размерность (PL-3).

Поверхностные силы приложены к поверхности тела; они могут быть следствием воздействия на последнее другого соприкасающегося с ним тела, твердого, жидкого или газообразного (рис. 1.2). Интенсивность поверхностной силы имеет размерность (PL^).

Соприкасание тел всегда происходит не в точке, а по некоторой площадке, хотя бы очень малой величины, вследствие того, что тела деформируются и особенно сильно вблизи первоначальной точки контакта. Поэтому сосредоточенных сил в природе не существует и все поверхностные нагрузки являются распределенными. Одмако в тех случаях, когда площадка, на которой действует нагрузка, очень мала по сравнению с размерами тела, будем говорить о сосредоточенной силе, как о равнодействующей сил, распределенных по указанной площадке. В теоретической же механике, если учесть принятую в ней абсолютную жесткость тела, понятие сосредоточенной силы является строгим. Иногда два тела соприкасаются друг с другом по очень узкой площадке. Так, например, соприкасаются два тела: цилиндрическое н, нмеютЦее плоскую грань пли два цилиндрических тела при параллельном расположении осей цилиндров. В этом случае допустимо считать, что поверхностная нагрузка действует по линии или, как говорят, распределена вдоль линии. *

Интенсивность силы, распределенной по линии, имеет размерность (PL).

Пусть имеем некоторое тело (рис. 1.3, а); рассмотрим элементарную площадку AF его поверхности; внешнюю нормаль к поверхности в центре выделенной площадки обозначим символом v, а по-

Рис. 1.2. Примеры поверхностных- сил： а) поверхностные силы в опорной части мостового пролетного стреения; / ——пролетное строение, 2 — верхний балансир, 3 — вкладыш цилиндрического шарнира, 4 — ннжннй балансир, 6 — катки, 6 — опора (бык, устой); б) поверхностные силы, действующие на устой моста; @) поверхностные снлн* действующие на внутреннюю поверхность автоклава.

верхностную нагрузку, действующую на эту площадку,——символом APV. Направление этой силы составляет в общем случае какой-то угол с нормалью v. Средняя интенсивность поверхностной силы выражается формулой

Если устремить размер площадки AF к нулю, то в пределе получим действительную интенсивность распределенной нагрузки в точке поверхности с нормалью v:

(1.1)(1.1)APV

(1.1)

(1.1)

Свяжем с телом прямоугольную систему координатных осей хуг. Интенсивность поверхностной нагрузки pv можно разложить

Рис. 1.3. Интенсивность поверхностной распределенной нагрузки； а) к определению средней интенсивности; 6) составляющие действительной интеисивиости поверхностной распределенной нагрузки.Рис. 1.3. Интенсивность поверхностной распределенной нагрузки； а) к определению средней интенсивности; 6) составляющие действительной интеисивиости поверхностной распределенной нагрузки.

Рис. 1.3. Интенсивность поверхностной распределенной нагрузки； а) к определению средней интенсивности; 6) составляющие действительной интеисивиости поверхностной распределенной нагрузки.

Рис. 1.3. Интенсивность поверхностной распределенной нагрузки； а) к определению средней интенсивности; 6) составляющие действительной интеисивиости поверхностной распределенной нагрузки.

на составляющие pvxt pv>, pV2 по осям х, у, г. Будем считать эти ве- 臂 личины Положительными, если они направлены в сторону положительных значений на соответствующих (параллельных им) осях.

Выделим из тела объемный элемент ДУ. На него действует некоторая' элементарная объемная сила ДР. Среднюю интенсивность объемной силы находим по формуле.

ДР

Рср = х，・

При устремлении величины объема АУ к нулю получаем действа- • тельную интенсивность объемной силы в точке тела:

Р= Нт 方

Интенсивность р можно разложить по осям х, у, г на составляющие: X, У, Z. Будем считать их положительными, если они направлены в сторону положительных значений на параллельных им осях.

Сосредоточенную силу, приложенную к точке тела, обозначим символом Р. Ее составляющие в системе осей хуг суть 尸*,尸户 尸名； считаем их положительными, если они направлены в сторону положительных значений на параллельных им осях.

Внешние силы могут быть к лассифи ци рова ны и по другому признаку —по характеру изменени я силы в процессе ее приложения. Если сила изменяется очень медленно и возникающие в процессе приложения силы ускорения точек тела очень малы, а следовательно, малы и соответствующие им силы инерции (намного меньше других сил), то ими можно пренебречь и считать, что нагрузка прикладывается статически. Примером является приложение снеговой нагрузки к крыше здания. Другим примером может служить приложение веса кирпичной стены к фундаменту в процессе постепенного ее возведения. Если же ускорения точек тела таковы, что соответствующие им силы инерции не малы по сравнению с остальными, то такое, действие называется динамическим. Если ускорения, возникающие в процессе приложения внешней силы, могут быть определены, то можно считать известными и соответствующие им силы инерции. Примером такого случая является подъем кабины лифта. В тех случаях, когда конечное изменение внешней силы и конечное изменение скорости тела, передающего силу, происходит в очень короткий промежуток времени, динамическая нагрузка- называется ударной. Обычно продолжительность удара неизвестна, неизвестными оказываются и ускорения. Силы инерции в этом случае можно определить косвенно из энергетических соображений, не выражая их явно через ускорения. Примером ударной является нагрузка, передаваемая молотом на сваю в процессе ее забивки.

Встречаются динамические нагрузки, характеризующиеся периодическим изменением величины силы во времени, в частности — по гармоническому закону. Под влиянием переменной силы могут возникнуть колебания вибрация} т^ла.

Внешние силы классифицируют и по признаку продолжительности и х воздействия на конструкцию. Нагрузка, действующая на конструкцию непрерывно, называется постоянной (например, собственный вес конструкции); если нагрузка действует лишь в некоторые отрезки времени (например, поезд на мостовое пролетное строение), то такая нагрузка называется временной. Для воспринятия временной нагрузки и создается мост, поэтому такую нагрузку иначе называют полезной. Наконец, наряду с регулярными видами (постоянная, временная), нагрузка может быть и случайной (например, сейсмические силы, действующие на конструкцию во время землетрясения).

При рассмотрении реальных внешних сил, как и при рассмотрении реального тела, приходится прибегать к некоторой схематизации. Нагрузку, приложенную к очень маленькой площадке «ли к очень

малому объему (соответственно намного меньше поверхности и объема тела), заменяют сосредоточенной силой. Нагрузку^ изменяющуюся настолько медленно, что в процессе ее приложения возникают небольшие силы инерции (намного меньше остальных сил), рассматривают как статическую, при которой якобы вовсе не возникает сил инерции. Можно указать и на другие примеры схематизации внешних сил, действующих на тело (см. например, §§ 1.7, 1.12).

Реальная конструкция и ее расчетная схема

• Реальные сооружения, конструкции и машины характеризуются, как правило, большой сложностью конструктивных форм (рис. 1.4).

Производить расчет конструкций с учетом всех их конструктивных особенностей было бы весьма сложно, а в некоторых случаях, исходя из современного уровня развития науки, даже невозможно. Вместе с тем нет никакой необходимости учитывать все особенности конструкции, так как они часто оказывают несущественное влияние на работу сооружения. Поэтому при расчете реальной конструкции ее всегда заменяют идеализированной упрощенной системой ™, так называемой расчетной схемой, выбор которой является первым и исключительно ответственным этапом расчета. От этого выбора зависят и точность и трудоемк ост ь его. Иногда излишнее даже небольшое уточнение расчетной схемы влечет за собой существенное усложнение расчета. Напротив» из-за недостаточно обоснованного упрощения расчетной схемы в расчете может быть допущена существенная непозволительная ошибка. Расчетная сх ем а должна удачно отражать основной характер работы реальной конструкции, устраняя несущественные, второ- степенныефакторы.

Коснемся лишь трех элементов расчетной схемы. К числу их относятся: элементы конструкции^ способы соединения этих элементов и опорные части, при помощи которых конструкция прикрепляется неподвижно к опорам или к другой конструкции.

Рассматривая мостовое пролетное строение (рис. 1.4, а) легко увидеть, что конструкция каждого из элементов сложна: в них имеются ветви, планки, соединительные решетки, диафрагмы, стыковые накладки, прокладки и т. п. детали. Естественное упрощение состоит в представлении каждого элемента фермы в виде призматического бруса — стержня^ без учета всех местных особенностей реальной конструкции.

Аналогично ряд стержней с прямолинейной или криволинейной осями можно выделить в качестве расчетной схемы элементов и других конструкций. Например, в случае фюзеляжа (рис. 1.4, б) и крыла самолета или корпуса корабля (рнс. 1.4, г) такой расчетной схемой могут быть представлены все элементы набора — шпангоуты.

Рис. 1.4. Примеры стержневых конструкцийг а) мостовое пролетное строение со сквоэ ными фермами; / — распорка продольных связей, 2 — диагональ продольных связей 9 ——промежуточные поперечные связи, 4 — верхний пояс фермы, 6 — опорный раскос, 6 — сто立к% 7 — продольные связи продольных балок, 8 — подвеске, 9 — поперечная балка, /0 — раскос, // — продольная балка, /2 — нижний пояс фермы, 13 — нижние связи; 6) отсек фюзеляжа самолета; в) рамиый купол; а) отсек корпуса корабля; д) арочное костовое пролетное строение; е) пролетное строение моста комбинированной системы (системы К. Г. Протасова (ЛИИЖТ), ферма с очень жестким ннжним поясом).

стрингеры, бимсы, лонжероны и др.】).Стержень является элементом расчетных схем и таких конструкций, как рамные купола (рис. L4, в), пролетные строения мостов разных систем —— балочной со сквозными фермами (рис. 1.4, а), арочной (рис. 1.4, d) и т. д.

Стержень можно трактовать как тело, образованное движением плоской фигуры, центр тяжести которой скользит по кривой, в общем случае пространственной. При этом, во-первых, плоскость фигуры все время остается нормальной к указанной кривой, а во- вторых, габаритные размеры фигуры намного меньше пути, совершаемого центром ее тяжести. В таком случае упомянутая кривая называется осью стержня, фигура, образовавшая его,—— поперечным сечением, а само образованное движением фигуры тело — стержнем постоянного сечения, В частности, такой стержень может быть призматическим (рис. 1.5, а), если линия, по которой скользит центр тяжести фигуры, — прямая, а сама фигура в процессе движе- - ния не поворачивается. Если линия прямая, go фигура, скользя по ней своим центром тяжести, поворачивается, то получается стержень с так называемой естественной круткой (слово естественная подчеркивает, что обсуждаемая форма тела имеет место до деформации) (рис. 1.5, б). На рис. 1.5, в, г изображены стержни с криволинейными осями — плоской и пространственной соответственно.

Можно представить себе и такую картину образования стержня, при которой в процессе отмеченного выше движения плоской фигуры форма и размеры ее изменяются, но так, что центр тяжести остается все время на кривой, по которой скользит. В таком случае имеем стержень переменного сечения.

Итак, существенной особенностью стержня является малость двух характерных размеров его по сравнению с третьим — малость поперечных размеров по сравнению с длиной; осью стержня назы- 、вают геометрическое место центров тяжести поперечных сечений.

Широко распространены и такие элементы конструкций, размеры которых в двух направлениях намного больше размера в третьем найравлении. Геометрическое место точек, равноудаленных от наружных поверхностей таких элементов, называется срединной поверхностью. Если срединная поверхность плоская, элемент называют пластиной (рис. 1.5, d); если же криволинейная, то оболочкой (рис. 1.5, е). Наименьший из трех характерных размеров располагается в направлении нормали к срединной поверхности.

Так, например, опуская местные конструктивные особенности — вырезы, накладки и т. п., тонкостенную часть конструкции фюзеляжа самолета или корпуса корабля можно представить расчетной схемой в виде пластин (см, рис. 1.6, а, 6).

1) В расчетную схему фюзеляжа, кроме элементов в виде стержней, входят и элементы типа пластин.

Значительное превалирование одного характерного размера над двумя другими — в брусьях (стержнях) — или малость одного размера 卩о сравнению с двумя другими — в пластинах и оболочках —

Рис. 1.5・ Элементы конструкций： а) призматические стержни； б) непрнзматнческие стержни с т)ямолинейной осью (правый стержень естественно аакручениый — типа лопатки турбины); в) криволниейные стержни о плоской криволинейной осмо (крюк, звено цепи, рым); 2)криволинейный стержень с пространственной осью (пружина); о) пластины; 6 оболочки.Рис. 1.5・ Элементы конструкций： а) призматические стержни； б) непрнзматнческие стержни с т)ямолинейной осью (правый стержень естественно аакручениый — типа лопатки турбины); в) криволниейные стержни о плоской криволинейной осмо (крюк, звено цепи, рым); 2)криволинейный стержень с пространственной осью (пружина); о) пластины; 6 оболочки.

Рис. 1.5・ Элементы конструкций： а) призматические стержни； б) непрнзматнческие стержни с т)ямолинейной осью (правый стержень естественно аакручениый — типа лопатки турбины); в) криволниейные стержни о плоской криволинейной осмо (крюк, звено цепи, рым); 2)криволинейный стержень с пространственной осью (пружина); о) пластины; 6 оболочки.

Рис. 1.5・ Элементы конструкций： а) призматические стержни； б) непрнзматнческие стержни с т)ямолинейной осью (правый стержень естественно аакручениый — типа лопатки турбины); в) криволниейные стержни о плоской криволинейной осмо (крюк, звено цепи, рым); 2)криволинейный стержень с пространственной осью (пружина); о) пластины; 6 оболочки.

позволяет существенно упростить анализ состояния таких элементов. Это упрощение получается в большей мере при рассмотрении стержней, чем пластин или оболочек.

Второй стороной расчетной схемы является упрощенное представление характера соединения элементов между собой.

Обычно в конструктивном смысле стержни соединяются между собой упруго-податливо (рис. 1.7, а, б); однако в различных

₽нс. 1.6. Расчетные схемы конструкций: а) расчетная схема отсека фюзеляжа самолета; ' б) расчетная ехема отсека корпуса корабля.

Рнс* 1.7. К выбору расчетных схем： а) П-образная двухшариириая железобетонная рама;б) плоская ферма; е) работа рамы на горизонтальную силу; а) работа фермы на горизон*гальную силу; 2) расчетная схема рамы; е) расчетная схема фермы.

случаях это соединение в расчетной схеме трактуется по-разному. С целью пояснения идеи подхода к схематизации покажем характер деформаций систем, изображенных на рис. 1.7, а, б, при воздействии на них горизонтальной силы (рис. 1.7,6,?). Легко понять, что сопротивляемость системы горизонтальному смещению узлов в случае, изображенном на рис. 1.7, в, обусловлена сопротивляемостью элементов — стоек и ригеля ——изгибу, которая мыслима лишь при жестком соединении стоек с горизонтальным элементом —ригелем. Именно такое соединение и принимается в расчетной схеме, показанной на рис. 1.7, д. В случае же, изображенном на рис. 1.7, г, сопротивляемость системы горизонтальному смещению узлов обусловлена и сопротивляемостью стоек изгибу и сопротивляемостью наклонного элемента — раскоса ——растяжению. При этом именно наличие в конструкции раскоса в основном определяет собой жесткость ее в отношении горизонтального смещения верхних углов; влияние же жесткости соединения стержней в узле оказывается гораздо менее ощутимым. В связи с этим и изгиб стоек получается несопоставимо меньшим, чем в случае, показанном на рис. 1.7, в. Если в соединении стержней такой конструкции поместить конструктивные шарниры, то характер работы ее почти не изменится. Поэтому система, изображенная на рис. 1.7, 6, может быть представлена расчетной схемой, в которой пренебрегается работой стержней на изгиб и учитывается лишь осевая деформация стержней. В такой, расчетной схеме все стержни по концам соединены шарнирами (рис. 1.7, d). Так как рассматриваемая система плоская х), эти шарниры цилиндрические. В пространственных системах в аналогичных случаях шарниры шаровые. Рис. 1.7, д и 1.7, е показывает типичные случаи соединения стержней в расчетных схемах. В первом случае система называется рамой, а во втором ——фермой.

Остается рассмотреть еде один вопрос —— представление в расчетной схеме опорных устройств, В табл. 1.1 показаны некоторые типичные опорные устройства, называемые опорными частями; отмечено, какие степени свободы устранены ими, в предположении как пространственной, так и плоской работы конструкции; какие степени свободы сохранены и, наконец, показана расчетная схема соответствующей опорной части, составленная в предположениях пространственной и плоской работы конструкции. Ликвидация некоторых степеней свободы, осуществляемая опорными устройствами, в расчетной схеме представляется наложением соответствующего числа кинематических связей. Каждая связь в идеализированном виде представлена при помощи стержня с шарнирами

1) Плоской называют систему, оси всех стержней которой находятся в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии системы; при этом имеется в виду, Что в ней же располаганися все внешние силы, действующие на систему. В таком случае н после деформации система остается плоской (возможность потери устойчивости плоской формы здесь не принимается во внимание).

Вид н название опорной части

Степей и свободы, ликвидированные опорной частью

при пространствеиной работе конструкции

при плоской работе конструкции

Сферический каток

Перемещение вдоль у

学

Сферический

Перемещение вдоль х,

(шаровой) шарнир

»» 弘

о

».» z

—

о

Цнлнндрйческая шарнирная

Перемещение вдоль 囂》

Перемещение вдоль х

подвижная опора

*» У，

поворот относительно г.

>>X

鑑

Таблица 1.1

Сох ранившиеся степени свободы

Расчетная схема опорной части

при пространственной работе коиструкнни

при плоской работе'

конструкции

при пространственной работе конструкции

при плоской работе конструкции

Перемещение вдоль X, перемещение

ВДОЛЬ z,_ поворот относительно дс, поворот относительно yt поворот относительно Z

Поворот относительно л, поворот относительно у, поворот^ относительно Z

現

Перемещение вдоль % поворот относительно у

Перемещение вдоль Z, поворот относительно у

1

2 А. П. Филин

на обоих концах. Одним концом связь прикрепляется к телу (конструкции), другим —— к опоре (земля или другая конструкция). При этом шарнир на конце стержня шаровой, если конструкция работает пространственно, и цилиндрический/ если ——как плоская система (ось цилиндра перпендикулярна плоскости конструкции).

Виды деформации прямолинейного стержня

В зависимости от характера нагрузки, приложенной к стержню, имеются в виду как активные, так и реактивные силы, стержень подвергается той или иной деформации. Любую деформацию стержня, при определенных ограничениях (§ 1.22), можно представить в виде сочетания некоторых элементарных видов деформации; к числу таких

$ 1.Б]ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ35

относятся: осевая деформация {растяжение или сжатие), кручение^ изгиб (рис. 1.8).

Растяжение (рис. 1.8, а) или сжатие (рис. 1.8, е) стержня возникает в случае приложения сил, направленных вдоль его оси. Одним из многочисленных примеров растягиваемого стержня может быть подвеска в висячем мостовом пролетном строении (рис. 1.8, б). Примером сжатого стержня может служить колонна здания (рис. 1.8, г). Говоря здесь о сжатии стержня, будем иметь в виду, что отношение длины к поперечному размеру в нем не больше такого, при котором, подвергаясь сжатию, стержень не способен сохранять устойчивость своей прямолинейной формы.

Кручение стержня возникает в случае, если к нему приложены моменты, плоскость действия которых перпендикулярна оси

2*

(рис. 1,8, d)・ Примером скручиваемого стержня может служить вал в той или иной машине (рис. 1.8, е).

Изгиб стержня (поперечный) возникает при действии на него сил (сосредоточенных и (или) распределенных), перпендикулярных

₽нс. 1.8. Виды деформации и примеры из практики: а) растяжение стержня； 6) растянутая подвеска мостового пролетного строения висячей системы； в) сжатие стержня; а) сжатая колонна; @) кручение стержня круглого поперечного сечения; е) скручиваемый вал, / — ведущее зубчатое колесо, 2 — ведомое зубчатое колесо; ж) поперечный нзгиб балки; з) чистый изгиб балки; “)чистый сдвиг прямоугольного параллелепипеда.

оси 1), и (или) моментов, плоскость действия которых проходит через ось или параллельна ей. Изгибаемый стержень часто называют балкой (рис. 1.8, ж).

В сопротивлении материалов изучается и деформация общего вида, являющаяся комбинацией указанных элементарных видов деформации.

§ 1・6・ Различие взглядов на внешние силы

в теоретической механике и в сопротивлении материалов

Из теоретической механики известно, что любую систему сил, приложенных к абсолютно твердому телу, можно заменить другой системой, статически эквивалентной первой, без изменения характера движения (в частности, равновесия) тела. Отсюда следует, что

В главе XII, посвященной изгибу, будут более точно указаны условия его возникновения. Приведенные здесь условия возникновения изгиба без одновременного кручения справедливы для балки, поперечное сечеиие которой имеет две осн симметрии. Изгиб обычно сопровождается н сдвигом, различным у разных элементов балки. Исключение составляет изгиб стержня моментами, приложенными к его концам. В этом случае сдвига нет, а изгиб называется чистым (рис. 1.8, з). Чистым сдвигом называется деформация, которую испытывает прямоугольный параллелепипед, по четырем граням которого, перпендикулярным одной и той же плоскости, действуют касательные силы, равномерно распределенные по граням, имеющие одинаковую интенсивность и направленные та/ как это показано на рис. 1.8, и.

для абсолютно твердого тела точка приложения силы не является характерным ее элементом ——силу можно переносить вдоль линии ее действия. . *

В сопротивлении материалов, рассматривающем деформируемые тела, заменять одну систему сил другой, статически ей эквивалентной, как правило, нельзя ) Для наглядности приведем примеры

Рис. 1.9* Пример иедопустимой^замены сил,действующих на деформируемые стержни； а) Н 6) — два неэквивалентных случая нзгнба балки при статически эквнвалент> иых внешних силах.Рис. 1.9* Пример иедопустимой^замены сил,действующих на деформируемые стержни； а) Н 6) — два неэквивалентных случая нзгнба балки при статически эквнвалент> иых внешних силах.Рис. 1.10. Примеры иедопустикого переноса снл и моментов: а) три неэквивалентных случая воздействия сил, растягивающих стержень; 6) два неэквивалентных случая воздействия моментов, изгибающих ($алкуРис. 1.10. Примеры иедопустикого переноса снл и моментов: а) три неэквивалентных случая воздействия сил, растягивающих стержень; 6) два неэквивалентных случая воздействия моментов, изгибающих ($алку

Рис. 1.9* Пример иедопустимой^замены сил,действующих на деформируемые стержни； а) Н 6) — два неэквивалентных случая нзгнба балки при статически эквнвалент> иых внешних силах.

Рис. 1.9* Пример иедопустимой^замены сил,действующих на деформируемые стержни； а) Н 6) — два неэквивалентных случая нзгнба балки при статически эквнвалент> иых внешних силах.

Рис. 1.10. Примеры иедопустикого переноса снл и моментов: а) три неэквивалентных случая воздействия сил, растягивающих стержень; 6) два неэквивалентных случая воздействия моментов, изгибающих ($алку

Рис. 1.10. Примеры иедопустикого переноса снл и моментов: а) три неэквивалентных случая воздействия сил, растягивающих стержень; 6) два неэквивалентных случая воздействия моментов, изгибающих ($алку

Валка, подвергнутая воздействию трех сил, и та же балка, загруженная одной силой, представляющей собой равнодействующую указанных выше трех сил, изгибаются по-разному (рис. 1.9). Стержень, подвергнутый воздействию двух равных и противоположно направленных сил, в зависимости от того, где расположены точки их приложения, может быть весь растянут, растянутой может быть какая-либо его часть, и, наконец, может быть полное отсутствие растяжения. С точки зрения теоретической механики все три случая, изображенные на рис. 1.10, а, совершенно идентичны. При учете же деформируемости тела, осуществляемом в сопротивлении материалов, разница между тремя указанными случаями

1) Те немногочнелепные случаи, в которых и в сопротивлении материалов, т. е. н применительно к деформируемому телу, допускается замена одной системы сил другой, статически ей эквивалентной, будут отмечены специально (§§ 1.11, 1*12). С одним нз таких случаев мы уже столкнулись выше, когда говорили о воз・ можностн замены распределенной нагрузки, действующей на очень небольшой участок поверхности тела, сосредоточенной силой, представляющей собой равнодействующую этой нагрузки.

принципиальная. При рассмотрении абсолютно твердого тела в теоретической механике пару сил можно переносить в ее плоскости или в плоскость, параллельную последней, не нарушая состояния тела. Применительно к деформируемым телам такое перенесение недопустимо.

В теоретической механике силу, распределенную по объему, можно заменить сосредоточенной равнодействующей силой, в частности, так можно представлять вес тела. В сопротивлении материалов, где учитывается деформируемость тела, этого делать нельзя.

§ 1.7. О зависимости внешних сил, приложенных к телу,от его деформации

В ряде случаев внешние силы, действующие на тело и вызываю

щие его деформацию, в свою очередь зависят от этой деформации. То есть имеет место обратная связь. Покажем это на примере.

.Рассмотрим достаточно гибкий поддерживаемый жидкостью брус, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Распре-

勿

деление сил собственного веса вдоль оси бруса равномерное. Пусть по концам бруса к нему приложены две вертикальные силы» одинаковые по величине и равномерно

Рис. 1.11. Влияние деформации тела на внешние силы, деформирующие его; а) плавающий брус и силы, действующие на него в случае, еслр брус бесконечно (или очень) жесток; 6) результирующая эпюра вертикальных внешних

поперечных сил, соответствующих слу-чаю а); в) деформация плавающего бру-са и ее влияние на распределение снлподдержания.

распределенные на некоторых участках вдоль оси (рис. 1.11, а). Если бы брус был недеформируемым, то силы поддержания, действующие на него со стороны жидкости, были бы распределены равномерно. На рис. 11.1, а показан брус и все действующие на него силы при условии ■ его недеформируемости. На рис. 1.11, б изображена результирующая эпюра поперечных нагрузок, отнесенных к оси бруса. Если же учесть деформацию бруса (рис. 1.11, в), то силы поддержания не будут равномерно рас

пределенными; их интенсивность окажется наибольшей у концов и наименьшей посредине длины бруса (рис. 1.11, в). Итак, обнаружено, что внешние силы (силы поддержания) зависят от деформации бруса. Описанное явление оказывается ощутимым при рассмотрении работы достаточно гибких корпусов речных Судов. Аналогичная картина наблюдается и в самолетных конструкциях: аэродинамические силы, действующие на крыло самолета, зависят от деформации крыла — подъемная сила и сила сопротивления, действующие на

МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИИ 39 крыло, зависят от угла атаки, который в связи с кручением крыла в свою .очередь, зависит от указанных сил. ■ '

Влияние деформации тела на величину и распределение внешних сил, действующих на него, в подавляющем большинстве случаев количественно невелико и им можно пренебречь. ”

.В дальнейшем, как правило, будем считать, что внешние силы не зависят от деформации конструкций. В тех редких случаях, в которых внешние силы зависят от деформации тела, будет сделана специальная оговорка.

Принцип отвердения

Деформируемое тело можно рассматривать как некоторую изменяемую систему материальных точек. Из теоретической механики известен так называемый принцип отвердения.^ состоящий в том, что равновесие изменяемой системы не нарушается, если пред п о лож и т ь» что система стала абсолютно твердым телом. Такая замена эквивалентна наложению дополнительных связей, которое, естественно, не может нарушить равновесия тела.

Если говорить строго, то, составляя уравнения статики для деформируемых систем, необходимо использовать принцип отвердения применительно к системе, уже испытавшей деформацию. Од- 'нако о4ень часто учет дефо向ацнн системы при составлении уравнений равновесия не приводит к ощутимому уточнению. Поэтому в подавляющем большинстве случаев уравнения статики для деформируемой системы составляются так, как если бы система вовсе не испытывала, деформаций. Это называется расчетом по недеформи- рованной схеме.'

В тех случаях, в которых при составлении уравнений равновесия принцип отвердения приходится применять к системе* уже испытавшей деформацию, будет сделана специальная оговорка. Такой расчет называется расчетом по деформированной схеме (см. § 1.20). ■ ' ■ ■

Метод сечений. Понятие о напряжении

Из теоретической механики известна так называемая аксиома связей, состоящая в том, что вместо связей, закрепляющих тело в пространстве, можно рассматривать реактивные силы, равные усилиям в этих связях. От такой замены равновесие тела не нарушается (рис. 1.12). Для деформируемого тела, рассматриваемого в сопротивлении материалов, можно ввести понятие внутренних связей, т. е・ связей, которые соединяют части тела, обеспечивая его целостность. Применяя указанную аксиому, можно внутренние связи, лежащие на мысленной границе между двумя частями тела.

заменить соответствующими им усилиями, или, иначе, внутренними силами- Внутренние силы, возникающие в процессе приложения к телу нагрузки, следует рассматривать как дополнительные силы взаимодействия между частицами тела, появляющиеся вследствие изменения расстояний между ними, т. е. вследствие деформации тела. Приняв гипотезы об однородности и сплошности тела, мы тем самым отказываемся от индивидуального рассмотрения изменения сил взаимодействия каждой частицы тела со всеми ее окружающими. Достаточно рассматривать среднюю величину изменений в силах взаимодействия частиц, находящихся по разные стороны от элементарной площадки в плоскости границы между двумя областями тела.

" /" /Рмс. 1.12. Эквивалентность воздействия на тело связей и сил. их ааменяющих: а) балка' иа двух опорах; 6) балка, в которой опоры заменены их реакциями.Рмс. 1.12. Эквивалентность воздействия на тело связей и сил. их ааменяющих: а) балка' иа двух опорах; 6) балка, в которой опоры заменены их реакциями.

" /

" /

Рмс. 1.12. Эквивалентность воздействия на тело связей и сил. их ааменяющих: а) балка' иа двух опорах; 6) балка, в которой опоры заменены их реакциями.

Рмс. 1.12. Эквивалентность воздействия на тело связей и сил. их ааменяющих: а) балка' иа двух опорах; 6) балка, в которой опоры заменены их реакциями.

Проводя через тело, подвергнутое воздействию сил и находящееся в состоянии равновесия, воображаемое сечение, которое разделяет его на две части (рис. 1.13, а), мы тем самым мысленно отбрасываем все внутренние связи, соединяющие указанные части тела в единое целое. Пользуясь аксиомой связей, можем отделить мысленно одну часть тела от другой и взамен исключенных при этом связей к каждой из частей тела приложить на всей плоскости мысленного сечения силы, равные усилиям в исключенных связях. При этом равновесие тела не нарушается. Эти силы, распределенные по какому-то закону непрерывно по всему проведенному сечению (рис. 1.13, б), можно назвать внутренними силами.

Рассмотрим в плоскости сечения, разделяющего тело на две части, вблизи некоторой точки А площадку А尸，на которую действует сила ДРу. Направление силы APV вообще говоря не совпадает с нормалью V к площадке (рис. 1.14, а). Отношение

APV

представляет собой среднюю интенсивность внутренних усилий на площадке AF вблизи точки Л, или среднее напряжение на указанной

4 КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЯ ПРАВИЛА ЗНАКОВ 41

площадке. Если устремить размеры площадки AF к нулю, то в пределе среднее напряжение перейдет в истинное напряжение в точке А, действующее на площадке, нормаль у которой v:

pv== iim •^•・ (1.2)

На разных площадках, проходящих через одну и ту же точку, действуют, вообще говоря, различные напряжения. Напряжение pv представляет собой вектор и может быть разложено на составляю^ щие: нормальную nv, вдоль нормали, и касательную tv> в плоскости

Рис. 1,14. Напряжение в окрестности точки А в сечении тела： а) к определению ореднего напряжения; 6) истинное напряжение и его составляющие.

площадки, на которой действует pv (рис. 1.14, 6). Составляющая »у положительна, если она растягивающая.

Формально между напряжением, действующим на некоторой площадке внутри тела в окрестности точки Л, и интенсивностью внешних поверхностных сил никакой разницы нет (ср. формулы (1.1) и (1.2)). Однако по существу разница принципиальная. В формуле (1.1) под APV понимается результат взаимодействия рассматриваемого тела с примыкающим к нему по площадке А尸 другим телом. В формуле же (1.2) под APV понимают изменение сил взанмо, действия между частями одного тела, расположенными по разные стороны от площадки А尸，возникающее вследствие приложения к телу внешних сил и изменения расстояний между частицами тела, т. е. вследствие деформации тела..

Компоненты напряжения. Правила знаков

Свяжем с телом систему координатных осей xyz. Рассмотрим произвольную точку Л, лежащую внутри тела (рис. 1.15, а). Рассечем его на две части плоскостью, перпендикулярной оси х и проходящей через точку Л (рис. 1.15, б).

В точке Л на площадке, совпадающей с плоскостью сечения, действует напряжение рЛ, составляющие которого в системе осей хуг суть % т*у, %• При этом »* — нормальная, а % и ххг — касательные составляющие (первый индекс указывает на ось, которой

параллельна нормаль к площадке, а второй — на ось, которой параллельна сама касательная составляющая напряжения^-

Аналогично рассечем это же тело еще два раза плоскостями, проходящими через точку Л и перпендикулярными в первом случае оси г/ (рис. 1.15, в), а во втором — оси г (рис. 1.15, г), и разложим соответственно напряжение ру на составляющее %, %уХ1 马宮 и напряжение, рг — на составляющие аг, т^. Девять составляющих (в системе 尤у?) полных напряжений, которые действуют йа трех

Рис. 1.15. Компоненты напряжения! а) тело и связанная с ним система координатных осей хуг\ 6) составляющие напряжения р*; е) составляющие напряжения р^; ^) Ъэставляю- щие напряжения р?

ортогональных площадках, проходящих через точку Л и： параллельных координатным плоскостям, называются компонентами напряжения в точке Л в системе осей xyz“ Ниже будет показано, что напряжения, действующие на всех площадках, проходящих через точку напряженного тела, можно рассматривать как некоторый единый объект — тензор напряжения. Именно поэтому в термине «компоненты напряжения» последнее слово применено в единственном числе. Каждый из компонентов в различных точках тела, вообще говоря, различен, т. е. является функцией координат точек тела:

^^«х(х, у； г), гху.= хху (х, у, г), ..., ог = ог(х, у, ^： (1.3)

Если известны эти функций, то можно определить компоненты на-

> LIT 1 СТАНДАРТНАЯ СИСТЕМА ВНЕШНИХ СИЛ 43 пряжения в любой точке тела. Зная эти компоненты, можно найти напряжения, действующие на любой площадке, проходящей через точку Л. Это будет показано в главе V. Таким образом» если известны функции (1・3), то напряженное состояние тела описано исчерпывающе. Правило знаков для нормальных компонентов напряжения такое же, как и для av, — положительным считается растягивающее напряжение.

Положительный касательный компонент напряжения, действующий на площадке, внешняя нормаЛь к которой направлена в сторону положительных (отрицательных) значений на параллельной ей оси, тоже направлен в сторону положительных (отрицательных) значений на параллельной этому компоненту оси. Разумеется, отрицательный касательный компонент напряжения имеет противоположное направление.

• § 1.11.. Приведение внутренних сил в стержнях к эквивалентной им системе стандартных усилий.

Правила знаков

Рассмотрим призматический стержень. Свяжем с ним систему Декартовых осей. Начало координат расположим в какой-либо точке оси стержня. Ось г направим вдоль оси стержня. Оси хну располагаем произвольно т) в плоскости поперечного сечения. Мь!сленно рассечем стержень плоскостью, перпендикулярной оси г, на две части (/ и //). Исследи равновесие одной части, прикладываем к ней, кроме тех внешних сил, которые на нее действуют, внутренние усилия вместо отброшенных внутренних связей, соединяющих две части стержня (рис. 1.16).

Внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, могут быть приведены к центру тяжести сечения и, таким образом, заменены главным вектором и главным моментом, которые можно разложить на составляющие ) по осям (рис. 1.16, a}: Q*, Qyt N> MXt Му и MZ9 называемые внутренними усилиями и моментами или просто внутренними усилиями (в обобщенном смысле). Каждое из усилий и моментов имеет свое название. ^ — продольная сила, Q* и Qy — поперечные силы, Мх и Му — изгибающие моменты, Мг — крутящий момент, Q#, G* У, М*, Му и Мг являются статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по поперечному сечению, проведенному на границе частей бруса / и II. При этом существенно то, что, по какому бы закону ни были распределены в поперечном сечении внутренние силы, они всегда приводятся к стандартной системе усилий Q*, Qyi М М*, %,他，алгебраические

Рис. Lit. Приведение внутренних сил в поперечном сечении стержня к стандартному виду — к внутренним усилиям Q^。丫. ^> М^ М н М%: a) 6pys загруженный силами; б) брус, рассеченный на д?е части (действие одной Ласти на другую представлено распределенными по поперечному сеченик> внутренними силами); в) интевсивность внутренних сйл в одной точке поперечного сечення; а) статический эквивалент внутренних сил, распределенных по поперечному сечен ню бруса, н виде стандартной системы внутренних усилий; 0) то же в векторном изображении моментов.

величины которых зависят от места расположения поперечног© сечения бруса, т. е. от координаты г. Иными словами, внутренние усилия Qxt ... f М2 являются функциями г. Это очень удобно для построения общей прикладной теории стержней. Напряжение, действующее в точке поперечного сечения стержня (рис. 1.16, 6), имеет составляющие 】)аг, тгх и

Сопоставляя рис. 1.16, в и 1.16, г и считая, что все изображенные на них величины положительны, легко получаем условия эквивалентности:

Qx = \ Tz* dF,Qy = \ Tzg ",N =、GzI

尸尸尸} (1.4)

мх =，6zU dF,My = \ о/ ",Мг = \ (%y - Tz/) dF. |

FFF)

Величины Q#, Q» M MXi M* Mz описывают внутренние силы, в интегральной форме.

Установим правила знаков для усилий, справедливые для любого направления осей, в рамках принятых выше для них условий.

Любое поперечное сечение разделяет стержень на две части. Точки, расположенные на оси одной из них, имеют координату г, меньшую в алгебраическом смысле, чем координата z точек оси другой части. Назовем часть стержня с меньшими в алгебраическом, смысле координатами точек оси первой частью, а другую — второй частью стержня (рис. 1.17).

Продольная сила N положительна, если она растягивающая (рис. 1.18, гг).

Поперечная сила Q# (QJ положительна, если, действуя на первую- часть стержня, она направлена в сторону положительных значений на оси х (у) (рис. 1.18, б). На рис. 1.18, 6 дано пояснение для силы Оу； аналогично выглядит рисунок, поясняющий правило знаков- для Q*.

Изгибающий момент Мх (Му) положителен, если ему соответ- ствует изогнутая ось с отрицательной кривизной ) (рис. 1.18, в).

Крутящий момент Мг положителен, если при взгляде на поперечное сечение со стороны внешней нормали к нему (безразлично, для какой части бруса ——/ или II) этот момент представляется действующим против часовой стрелки (рис. 1.18, г).

Рис. 1.17. Разбивка сечением стержня на две части — первую и вторую.

qLZT^ 仁二一"»—一二一^仁"

Рис. 1.18. Правила знаков для внутренних усилий (показаны положительные иапав-леиня усилий): a) N； б) Qj #) Mj е) М%.

Если стержень имеет ось в виде плоской кривой, в плоскости которой располагаются и все внешние (активные и реактивные) силы

и моменты, то правила знаков для усилий принимаем-следующими.

Продольная сила положительна растягивающая, положительный изгибающий момент уменьшает кривизну оси стержня; направление положительной поперечной силы получается из направления положительной продольной силы путем поворота ； последнего направления на л/2 против часовой стрелки. Положительные усилия показаны на рис. 1Л9.

Разумеется, можно было бы принять и другие правила знаков для внутренних усилий. Во втором томе имеется специальный раздел, в котором обсуждается вся система пра-

Рис.; 1.19. Прайнла знаков для усилий., в поперечном сечении стержня с криволинейной осью; изображены положительные усилия.Рис.; 1.19. Прайнла знаков для усилий., в поперечном сечении стержня с криволинейной осью; изображены положительные усилия.вил знаков в двух наиболее распространенных вариантах,, одним, из которых является вариант, принятый в настоящем курсёз

Рис.; 1.19. Прайнла знаков для усилий., в поперечном сечении стержня с криволинейной осью; изображены положительные усилия.

Рис.; 1.19. Прайнла знаков для усилий., в поперечном сечении стержня с криволинейной осью; изображены положительные усилия.

Приведение внешних сил, действующих на стержень^ к стандартному виду

Рис. 1.20. Внешние силы, действующие jia элемент стержня.Рис. 1.20. Внешние силы, действующие jia элемент стержня.Рассмотрим призматический брус. На него, как и на любое- другое тело, могут действовать поверхностные и объемные；^силы. Их легко подвергнуть преобразованию, в результате которого любая система внешних сил представляется в стандартном - ；виде..

Рис. 1.20. Внешние силы, действующие jia элемент стержня.

Рис. 1.20. Внешние силы, действующие jia элемент стержня.

Свяжем с брусом систему координатных осей хуг такую же, как и

в § 1.1L Выделим из стержня двумя бесконечно близко друг от друга отстоящими сечениями элемент с размером вдоль оси, равным 也=1. На боковой поверхности этого элемента рассмотрим! элементарную площадку (рис. 1.20; а), площадь，которой равна

dF=ds・l =ds; здесь ds — длина дуги контура поперечного сечения в пределах рассматриваемой площадки на боковой поверхности элемента стержня. На указанную площадку действует поверхностная нагрузка, составляющие интенсивности которой в системе осей хуг суть 网#, 网力

В плоскости поперечного сечения элемента бруса выделим площадку dF (рис. 1,20, б); ее можно рассматривать как основание элементарной призмы, высота которой dz = L На такую призму действует объемная сила, составляющие интенсивности которой в системе осей хуг суть X, У, Z.

Приведем поверхностные силы, действующие на боковую поверхность выделенного элемента бруса, и объемные силы, действующие на этот элемент, к середине длины отрезка его оси. В результате такого приведения получим главный вектор и главный момент всех распределенных поверхностных и объемных сил, действующих иа элемент бруса. Обозначим составляющие указанного главного вектора в системе осей хуг символами qXi qy и q^ они представляют собой интенсивности распределенной силовой нагрузки, действующей на стержень. Составляющие главного момента обозначим символами /п*, ту. и /л/ они являются интенсивностями распределенной моментной нагрузки, действующей на стержень.

Величины qX9 q*, qz, тх, mv и mz являются стандартной системой распределенных вдоль оси нагрузок, эквивалентных произвольной системе распределенных поверхностных и объемных сил, приложенных к стержню.

Кроме распределенных внешних сил (поверхностных и объемных) на брус могут действовать и сосредоточенные силы и моменты. Пусть в пределах сечения / (z — 27) имеется & точек приложения сосредоточенных сил и га сосредоточенных моментов. Тогда все они могут быть приведены к центру сечения. Главный вектор и главный момент в сечении i, эквивалентные всем действующим в этом сеченин внешним сосредоточенным силам и моментам, могут быть представлены при помощи составляющих в системе осей хуг, т. е. при помощи стандартной системы внешних сосредоточенных сил Р/х, Ру, Ри, приложенных к центру сечения (к оси стержня в рассматриваемом сечении), и стандартной системы внешних сосредоточенных моментов ”и%, ”b” 3QI^, действующих относительно осей, проходящих через центр тяжести поперечного сеченияе(одна из таких осей совпадает с осью г и две другие параллельны осям к Н办

Таким образом, любая система внешних сил, поверхностных и объемных (сосредоточенных и распределенных), сводится к стандартной системе трех внешних распределенных вдоль оси силовых нагрузок с интенсивностями qxt qy и %, трех внешних распределенных вдоль оеи моментных нагрузок с интенсивностями тх> ту и трех внешних сосредоточенных сил「汉，％, Р〃，приложенных

к оси в сечении i (таких сечений вдоль оси может бьггь некоторое конечное множество), трех сосредоточенных моментов 力％, 9)%, ”?〃，действующих относительно осей, параллельных осям х и и проходящих через центр сечения, и относительно оси г (таких сечений вдоль оси может быть некоторое конечное множество).

Приведение внешней нагрузки к стандартной форме оказалось возможным вследствие того, что мы допустили замену одной системы сил и моментов, действующей на элемент стержня, другой, статически ей эквивалентной системой сил и моментов в области, размеры которой соизмеримы с размерами поперечного сечения.

Введя такую стандартную систему сил, мы, рассматривая внешние силы, можем не интересоваться поперечными размерами стержня н иметь в виду вместо самого стержня его ось 丄)・ '

Рассмотрим примеры приведения внешних, сил к стандартной системе.

Ввиду простоты примеры даны без пояснений. На рисунке указана система внешних сил, действующих на стержень, н статический ее эквивалент, отнесенный к оси стержня.

Пример 1.1 (рис. 1.21).

Пример 1.2 (рис. 1.22).

Пример 1.3 (рис. 1.23).

Пример 1.4 (рис. 1.24).

На рис. 1.21—1.24 изображены действительные направления внаиних сил стандартной системы, поэтому знаки не указаны.

Установим правила знаков для всех отнесенных к точкам оси стержня внешних сил и моментов, распределенных н сосредоточенных.

Для qXi qvi qz,尸*, Ру и Pz это правило знаков, одинаковое как для левой так и для правой систем координатных осей, изображено на рис. 1.25, где показаны положительные направления отмеченных выше величин. Формулировка правила такова. Составляющие интенсивности распределенной нагрузки и сосредоточенной силы положительны, если направлены в сторону положительных значений на параллельных им осях.

Для 加*, myi тХ9 Э){х, SRy и 32% применим правило знаков, зависящее от вида системы координатных осей (левая или правая), стаким расчетом, чтобы общий вид уравнений равновесия для одной и той же части стержня, первой или второй, как в левой, так и в правой системах координатных осей получался одинаковым и при этом в& члены в них, содержащие нагрузку, были бы одинакового знака.

1) В некоторых случаях может представить интерес так называемая местная (локальная) прочность бруса (прочность материала в окрестности именно той точки тела, в которой приложена сила; прочность, зависящая от деформации поперечного сечеиия стержня в случае его тонкостенности). В таких случаях на более поздней стадии расчета приходится возвращаться к рассмотрению действительной картины приложения сил к стержню.

Рис< 1.21. Приведение внешних сил к стандартному виду! а) внешние силы； прило-женные и стержню; б) внешние силы, приведенные к стандартному ниду. ■

Рнс. 1.,22. Приведение внешних сил к стандартному виду: а) внешние силы, приложенные к стержню; б) внешние силы,, приведенные к стандартному виду.'

qbhqbhПТПТГПТПТГРис. 1.23. Приведение внешних сил' 1< стандартному виду： а) внешние силы/ приложен* ные к стержню； б) внешние силы, приведенные к стандартному виду.:Рис. 1.23. Приведение внешних сил' 1< стандартному виду： а) внешние силы/ приложен* ные к стержню； б) внешние силы, приведенные к стандартному виду.:

qbh

qbh

ПТПТГ

ПТПТГ

Рис. 1.23. Приведение внешних сил' 1< стандартному виду： а) внешние силы/ приложен* ные к стержню； б) внешние силы, приведенные к стандартному виду.:

Рис. 1.23. Приведение внешних сил' 1< стандартному виду： а) внешние силы/ приложен* ные к стержню； б) внешние силы, приведенные к стандартному виду.:

Ряс. 1.24. Приведение анешних сил к стандартному виду； а) внешние силы, прилохсен-ные к стержню; 6) внешние силы, приведенные к стандартному виду.

Рис. 1.25. Положительные направления составляющих интенсивности распределенной нагрузки и сосрсдотрченноЁ силы в левой н правой системах координа ных осей.Рис. 1.25. Положительные направления составляющих интенсивности распределенной нагрузки и сосрсдотрченноЁ силы в левой н правой системах координа ных осей.

Рис. 1.25. Положительные направления составляющих интенсивности распределенной нагрузки и сосрсдотрченноЁ силы в левой н правой системах координа ных осей.

Рис. 1.25. Положительные направления составляющих интенсивности распределенной нагрузки и сосрсдотрченноЁ силы в левой н правой системах координа ных осей.

Ряс. 1.26. Положительные направления составляющих ннтенсивцостн распределенной иоментнй-Й нагрузки н сосредоточенного момента: а, б) в левой системе координатных осей; а, 0) в правой системе координатных осей; % е) изображение момента вектором соответственно в левой и правой системах координатных осей. ■

Соответствующее правило знаков для tnXi myi mZi SO?*,力?了 и 力?纟 изображено на рис. 1.26. Подчеркнем еще раз, что принятое правила знаков для внутренних усилий не зависит от того, является ли система координатных осей левой или правой.

На рис. 1.26 изображение моментов дано двоякое — дуговыми стрелками (рис. 1.26, а, г) и векторами с двумя стрелками рис. 1.26,6, d); при этом правило изображения момента вектором в левой и правой системах координатных осей представлено соответственно на рис. 1.26,仇 е.

Разумеется, изображать при помощи векторов можно и составляющие' момента внутренних сил. На рис. 1.16, д показано такое изображение.

Наконец, заметим, что принятые правила знаков для 农,qyt 勿，mXi my,加之，P*、Py, Pz, Э0?л, SOL и 痂匕 используются лишь при записи уравнений равновесия в общем виде (когда, как обычно, все величины, входящие в уравнемия, принимаются положительными, для чего в этом случае и требуются правила знаков), например, как это сделано в следующем параграфе. В случае же конкретного вида нагрузки в той или иной частной задаче уравнения равновесия записываются без применения правил знаков для внешней нагрузки, а в соответствии с действительным ее направлением.

Определение внутренних усилий через внешние силы.Эпюры внутренних усилий

Формулы (1.4) показывают природу усилий Q*, Qyt N, МХ9 Myt Мг1 величины же этих усилий могут быть легко найдены из уровне- ний равновесия любой из двух частей стержня I или II (если^считать, что все внешние силы, в том числе усилия в связях, известны). Из этих уравнений внутренние усилия выражаются через внешние силы.

Рассмотрим стержень, загруженный нагрузкой самого общего вида, т. е. в составе внешней нагрузки имеются распределенные силовые нагрузки с интенсивностями qxt qy и qz, распределенные моментные нагрузки с интенсивностями mXi ту и т£, конечное число сосредоточенных сил Pixt Piyt Piz (t = 1, ... , m)t каждая из которых имеет точкой приложения центр сечения с координатой &, и конечное число сосредоточенных моментов %"*,力七川,”?九(/ — h …,/г), каждый из которых действует относительно оси, проходящей через центр сечения с координатой 勺・ Будем считать, что реакции закрепления (усилия в опорных стержнях) найдены и действие опорных стержней заменено силами, равными усилиям, возникающим в последних. При этом положим, что обозначение реактивных сил не отличается от обозначения сил активных. Пусть необходимо найти усилия QX9 Qyt М Мх, М」，Мх в сечении, координата" центра которого г.

Рассматривая равновесие первой части стержня, получим уравнения

Ztill

£ пр.尤=0,\ 办dz + 2 Pix + Qx = °,

.Nmjn'= I

Wnp.g = 0,§ qydz + 2 Piy + Q« = 0，

Nmin

，Wnp.z = 0, j %dz + £ Pi. + N^O,

?min'=〔

22

£mom.x' = @,\ %(z —0d《+ \ mxdz +

?minгmin_

m,”，(L5)

+ £ Piy(z-Zi) + ^ ^l/x + Mx = Q,

i = 1/= 1

Smom./ = 0,§ qx(z-^dt+ § qdz +

гШ!ПгШ!П

+ 2 P*(z-z,) +』湫加 +此=0,

i=\/ = 1

2"i

£ mom.z = 0,、\ m2 dz +^ ^)ljz + Мг = 0.

Сси xr и у9 проходят через центр тяжести сечения, делящего стержень на две части, при этом х' ||.х, у' || у. Из (1,5) легко найти искомые усилия:

2 =2 =(L6)(L6)%厶一』Ри,%厶一』Ри,

2 =

2 =

(L6)

(L6)

%厶一』Ри,

%厶一』Ри,

г«miе： I

丛* = - \ qy(z - C)dg- \ 加方dz-e戶必(z 一引)一1 断",

zznt

Alg = — \ q*(z —0dC— \ 加gdz —£p/(z —4)—£训丿屮•(1.6)

Аналогично можно было-бы найти усилия в рассматриваемом сечении из уравнений равновесия второй части стержня» которые имеют следующий вид:.

2 maxm

Wnp.x = 0,-Q*+ \ 以dz+ У Pix = Q,

z( = mt4-1

гтахm

£np.g = O, -Q(/+,农dz+ £ Piy = 0, ' Zf =恤+ 1

' гтах俏'

£np. z = 0, . -N+ § %虑+ I Pz = 0,

zf = m1-|-1一

zmax2 max

£mom.W = 0, — m*+ \ 龜(z —0盟+ \ mx dz 4

2z}(1.7)

+ 2 2"(z-z,)+ e厘"=0, .

гтахгтах

Smom./ = 0, 一此+ \ 以(2 - 0對+ \ mydz +

mn

• + 工 Pix(2 —勿)+ E ЯЛ/у = О,

гтахn

£mom.z = 0, —Mz+ ( mzdz+ 】 9?l/z = 0. 丿

Z/ = + l

Из (1. Типолу чаемгтахт

Q# = \ 9* dz + I Р 打,zi = mi+l

Zmax/п <

Q“= § <fydz + £ 尸“,z. f = 〃“+ 1

z maxtn

N = \ qz dz + E ■ Pz,

(1-8)(1-8)м*= ) 9^(2 —?或+ ) mxdz +22

(1-8)

(1-8)

m-n

+ ] Piy (Z ~ ^i) + 2

2 maxZfnax

Mg = § g*(z —G)dg+ § mudz +гz

m 、n

+ F 2* (z 一 z『)+ ] 9)?%, j=/篦14-1/=〃1+1

гтахn

Mz = \ tn^dz 4- 1 ЭЛуг.

2/=«1+ 1

В (1.5) — (1.8) подразумевается, что сосредоточенные силы (моменты), приложенные к первой части стержня, имеют индексы г = 1, 2,…，恤(j = 1, 2, ... , %), а ко второй части ——индексы i =加工 4- 1,加1 + 2,…，/и (j = 〃i + 1, 〃i -(■ 2,…,n). Пределы интегрирования Zmm и zmax представляют собой координаты центров концевых сечений стержня.

В том, что величины усилий, найденные из равновесия первой части стержня по формулам (1.6), равны величинам усилий, полученным из равновесия второй части стержня по формулам (1.8), легко убедиться. Для этого достаточно приравнять соответствующие выражения для усилий по (1.6) и (1.8); в результате получаются уравнения равновесия всего стержня, что свидетельствует о правомочности приравнивания соответствующих выражений усилий из &6) и (1.8).

Уравнения (1.5) и (1.7) получены в предположении, что все величины, входящие в них, положительны. Поэтому знак усилий получается по этим формулам автоматически. Практически целесообразно пользоваться той системой уравнений ((1.5) или (L7)), которая позволяет получить более простые выражения для усилий. Иногда в одну из этих систем не входят реакции связей; в таком случае удобно пользоваться именно этой системой формул и предварительно не находить реакции. Выражения для усилий Qxt ... , Мг представляют собой функции координаты z центра того сечения, для которого они найдены. Это сечение мы вправе рассматривать как текущее. Тогда для каждой из функций QXf ... , Мх можно построить график, называемый эпюрой соответствующего усилия. Эпюры усилий широко используются в проектной практике, они позволяют легко составить представление о характере работы конструкции.

Ординаты эпюр изгибающих моментов будем откладывать с выпуклой стороны изогнутой оси стержня в плоскости действия моментов. Аналитический вид функций Qxt ... , Mz может быть различным в разных частях прямолинейного стержня. Часть стержня, в пределах которой аналитический вид функций остается неизменным, назовем участком. Границами участков могут быть сечения, в которых изменяется аналитический вид функций qXi 分，仇，mxt myt mzt либо сечения, в которых на стержень действуют сосредоточенные силы и (или) моменты. При этом для каждой из функций QXf Q,, N, Mxt Му, Mz причина наличия границы участка может быть своя собственная.

В табл. 1.2 показано, ч т о и для какого из усилий может явиться причиной изменения вида функции..

ходимо иметь аналитическое выражение этого усилия для каждого

из участков.

Если стержень имеет ось в виде ломаной, состоящей из прямолинейных участков, то для каждого из прямолинейных участксв принимается своя система координат, и поэтому каждый излом также является границей участков с различными аналитическими выражениями усилий.

Дифф^нциальные зависимости между интенсивностями распределенных силовых и моментных нагрузок

и внутренними усилиями(дифференциальные уравнения равновесия элемента стержня)

Пусть имеем прямолинейный стержень, на который действует распределенная силовая нагрузка с составляющими в системе осей xyz q*, qy и qz и распределенная мсментная нагрузка с составляющими в той же системе осей ту и 加名.

Вырежем из стержня двумя поперечными сечениями, бесконечно близко расположенными одно к другому, элемент с размером вдоль оси 司 равным 血，и заменим действие примыкающих к нему частей стержня соответствующими усилиями (рис.-1.27). На рис. 1.27 для простоты изображения показаны не эпюры нагрузок, а лишь составляющие интенсивностей в средней точке оси элемента. К стержню могут быть приложены, кроме распределенных, и сосредоточенные силы и моменты (активные и реактивные). Одиако будем иметь в виду, что в пределах выделенного элемента эти сосредоточенные силы и моменты не действуют. Составим уравнения равновесия выделенного элемента стержня:•，

—+ % dz + (Q# + dQJ =。，一Qy + ?^ ^2 + (Q^ + dQy) == О,

—N + qzdz + (N + dN) = U,

-M^^dz^^ + dM^-Qydz + qydz^ = 0t

+ A4y — Шу dz 一 (Му -]- dMJ) 4- Qx dz — qx dz^ — Qt

+ Мг — mz dz — (Mz + dM^ = 0.

Эти уравнения, после взаимного уничтожения членов, пренебрежения членами высшего порядка малости и простейших преобразований, приобретают вид

Полученные соотношения носят название дифференциальных уравнений равновесия элемента стержня с прямолинейной осью; их можно использовать, в частности, для проверки правильности построения эпюр.

Обращает на себя внимание наличие дифференциальных, связей между усилиями Q* и Му, а также между усилиями Qy и Мх. Никаких других связей между усилиями нет. Это обусловливает независимость таких деформаций стержня с прямолинейной осью, как изгиб в плоскости Oyzt изгиб в плоскости Охг, растяжение (сжатие) вдоль оси z и кручение относительно оси г. Наличие дифференциальной связи между Qx и Му (0 и М*) указывает на то, что при изгибе

Рис. 1.27. Элемент стержня и действующие на него внешние силы и усилия в сечениях торцов.

в плоскости Oxz (&/z) возникают два усилия: Q# и Му (Q» и Мх). В случае, если Q% 三 0 (g 三 0), имеет место так называемый чистый изгиб в плоскости Oxz (Oz/г). К вопросу об указанной выше независимости деформаций и о взаимной зависимости усилий Q# и Му (Qy и Мх) нам придется возвратиться позже.

Сущность проверки эпюр усилий при помощи приведенных выше дифференциальных зависимостей состоит в использовании свойств функции и ее производной:

производная равна нулю при том значении аргумента, при котором функция стационарна, в частности, имеет экстремум;

наличие скачка в производной при некотором значении аргумента мыслимо, если график функции имеет при этом же аргументе излом.

Действительно, если тх = 0, то, сопоставляя эпюры Мх и Qyt обнаруживаем, что в том сечении, где Мх достигает максимума или минимума, Qy равняется нулю. Аналогично в сечении с максимальным Qy равняется нулю qx. Сказанное проиллюстрировано примерами в § 1.15.

Примеры построения эпюрвнутренних усилий в стержнях

Пример 1.5. Имеется конструкция, состоящая из жестко соединенных между собой под прямыми углами четырех стержней (рис. 1.28, а). Все стержни имеют одинаковую длину, а = b = с = d = 1 м; с каждым из стержней связана система декартовых координатных осей. Конструкция загружена силой Рх. Требуется

Рис. 1.28. К построению эпюр усилий в стержне с осью в виде пространственной ломаной: а) стержень и нагрузка; о) внутренние усилия в сечении стержня на первом участке; 6)то же на втором участке; а) то же на третьем участку; 0) то же на четвертом участке.

построить эпюры усилий (Q%, Qy, М M%, Му,此)・ Прежде всего отметим, что в пределах всей конструкции имеется четыре участка, границами между которыми являются места соединения между собой стержней. Получим выражения для каждого! из усилий в одном из сечений в пределах длины каждого из Стержней с координатой центра сечения соответственно 2口 г2, / и 马.

Определим усилия в поперечном сечении 1. Применим метод сечений.

Рассечем конструкцию плоскостью, перпендикулярной оси 马 и проходящей через центр сечения / (рис. 1.28, 6). Отбросим одну из частей конструкции, заменим действие одной части на другую соответствующими внутренними усилиями (Q*，Qy，N, MXt Mv, 44白),полагая все их положительными, и составим уравнения равновесия оставленной части конструкции. Из этих уравнений определим неизвестные внутренние усилия. Целесообразно записать уравнения равновесия для первой части конструкции, так как при этом отпадает необходимость предварительного определения реакций в заделке конструкции.

Уравнения равновесия первой части конструкции имеют вид:

£ пр.尤『О, £ пр. У]=0, £ пр. Zj =0, £ мом.兄=0, £ мом. у{ = 0, £ мом. Zj =0,

Qxi = 0；

Qgi —尸1=0，

М=0；

-M*1 +匕力= 此1 = 0；

Мг^ — 0.

отсюда Qyi = Р^

：0, отсюда M^ — PiZy

Аналогично определяем Епр. х2==0, 工 пр. ^2 = 0， £ пр. 22 = 0, £ мом. х^ = 0, £ мом.弘=0, £ мом. г2 = 0,

усилия в сечении

Q*2 =。；

Q»2 —R=& м=о； 尸 iZ? —M*2 = 0,

M»2 = °；

M^2 + Pia = 0,

2 (рис. 1.28, б);

отсюда Qy2Hp1；

отсюда МХ2 = РУ2^

отсюда А!/?；—Р1@.

Усилия в сечении 3 (рис. 1.28, а):

£ пр. *з = 0, £ пр. Уз=а £ 口р. 2з= 0, е мом.必=0, £ мом.応=0, £ МОМ. 2з = 0,

Q*3=°；-

Q»3=°；

匕 + "з = °,отсюда & =—自；

尸扣一М*з = 0, отсюда МХз — РАЬ; Аа + Муз=0, отсюда Му^ —Рха\ %3 =0■-

И, наконец, усилия в сечении 4 (рис. 1.28, 0):

£ пр. %4 = 0, £ пр.勿=0, £пр. % = 0, £ мом. %； = 0, 工мом弘=0, £ мом. z4==0,

尸 1 + Q%4 = 0,отсюда Q%4 =—匕；

Qu4 = °；

M=o；

М*4 =。；

^1(a + 24) + ^4 = 0, отсюда m办=一?低+ ZQ;

Mzq —Р*=°，отсюда Мг^РхЬ.

На рис. 1.29 показаны эпюры всех шести усилий.

Рекомендуется найти аналитические выражения и построить эпюры усилий для конструкции, рассмотренной в примере 1.5, при иных внешних возае虫ствннх. показанных на рис. 1.30.

Часто приводится определять усилия и строить эпюры в более простых конструкциях, чем в примере 1.5 в частности в прямолинейном стержне, имеющем плоскость симметрии, проходящую через его ось, и загруженном силами и моментами, лежащими в этой плоскости. При таком условии деформированная ось стержня остается плоской кривой, расположенной в плоскости действия сил.

а)а)Рис. 1.29. Эпюры усилий в стержне с осью в виде пространственной ломаной： а) эпюра М 6) эпюра Qx； 6)эпюра Qj г) эпюра М%; 0) эпюра %; е) эпюра М ^.Рис. 1.29. Эпюры усилий в стержне с осью в виде пространственной ломаной： а) эпюра М 6) эпюра Qx； 6)эпюра Qj г) эпюра М%; 0) эпюра %; е) эпюра М ^.

а)

а)

Рис. 1.29. Эпюры усилий в стержне с осью в виде пространственной ломаной： а) эпюра М 6) эпюра Qx； 6)эпюра Qj г) эпюра М%; 0) эпюра %; е) эпюра М ^.

Рис. 1.29. Эпюры усилий в стержне с осью в виде пространственной ломаной： а) эпюра М 6) эпюра Qx； 6)эпюра Qj г) эпюра М%; 0) эпюра %; е) эпюра М ^.

Рассмотрим примеры построения эпюр усилий для стержня, работающего в условиях деформирования в плоскости.

Пример 1.6 (рис. 1.31, а). Построить эпюры усилий в стержне. В данном случае все усилия, кроме продольной силы, равны нулю. Стержень содержит один участок (0《z W /)• Проводим сечение на расстоянии z от начала координат и рассматриваем равновесие первой части стержня (рис. 1.31, б).

£np. z=«0,N —戶1十勿2 = 0；N gPi — q&z;

при z = 0^ = P1;

при z = Z N = P\ — qj = P&

(так как условие равновесия всего стержня имеет вид

—匕 + %/ + 卩2 = 0，откуда А = Р1 — qz【)・

Остальные пять уравнений равновесия имеют вид

Е пр. х=0,Qy=0;£мом. £ = 0,Мх = 0;

£np. g = 0,Qy = 0；£мом. у' = 0,此=0；

£мом. z = 0,此=0.

В таких случаях, как в рассматриваемом примере, равенство нулю всех усилий, кроме М очевидно и никаких уравнений, кроме 2пр. z = 0, не рассматривают.

На рис. 1.31, в показана эпюра М

М а) стержень и действующая на него нагрузка; б) одна и действующие на нее внешние и внутренние силы;М а) стержень и действующая на него нагрузка; б) одна и действующие на нее внешние и внутренние силы;Рис. 1.31. Построение эпюры нз частей стержня (первая)

М а) стержень и действующая на него нагрузка; б) одна и действующие на нее внешние и внутренние силы;

М а) стержень и действующая на него нагрузка; б) одна и действующие на нее внешние и внутренние силы;

а) эпюры qz и N.

Пример 1.7. Построить эпюры усилий в балке, изображенной вместе с нагрузкой на рис. 1.32, а; плоскость Qyz является плоскостью симметрии балки. В таком случае балка испытывает плоскую деформацию. В отличие от примера 1.5, перед построением эпюр усилий необходимо определить реакцию опор.

находимнаходим£ мом. 5 = 0,£ мом. 4=0,Ra=号,£ мом. 5 = 0,£ мом. 4=0,Ra=号,R{/_Pb=0；R в( — Ра = 0R{/_Pb=0；R в( — Ра = 0Из уравнений равновесия

находим

находим

£ мом. 5 = 0,

£ мом. 4=0,

Ra=号,

£ мом. 5 = 0,

£ мом. 4=0,

Ra=号,

R{/_Pb=0；

R в( — Ра = 0

R{/_Pb=0；

R в( — Ра = 0

Вся балка состоит из двух участков, первый из них левее силы Р, второй —— правее нее.

Выражения для усилий составляем для каждого из участков.

Первый участок (рис. 1.32, 6) (0 ^ г < а).

Рассматриваем равновесие первой часги балки (рис. 1.32, в), к которой прикладываем приходящуюся на нее внешнюю нагрузку (реакция опоры Л) и вну-

Рис. 1.32. Построение эпюр усилий Q и М* в балке; а) балка и действующая на нее нагрузка; б) сечение на первом участке балки; в) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы при расположении сечения на первом участке; е) сеченяе на втором участке балки; д) вторая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы при расположении сечения на втором участке; е) эпюры н М ”, скачок pbapiу х

в эпюре Q равен — -|——-.в —. (а + Ь) ==Р} 咏)вид эпюр Q“ н М 旷 при условии

У/" /，/у х

распределения сил, действующих на стержень, в пределах некоторых участков оси; / — первый участок, 2 — второй участок# 3 — первая часть балки, 4 — вторая часть балки

тренние усилия Qy, М, Л1 v, полагая их положительными. Усилия Л4у 三 0,財怎 三。 и Q* 三 0, так как задача плоская. Уравнения равновесия имеют вид

£пр. у = 0,7+Qy = O, Qy=—у~;(а)

£np. z = 0,2=0.(b)

(В дальнейшем, рассматривая поперечный изгиб прямолинейной балки, уравнения равновесия Wnp.z=0 составлять не будем, так как при этом всегда N = 0.)

РЬРЬ

£мом. д/ = 0,у г -4- Mx = 0t М%=——『z.

Так как функция Мх ——линейная относительно г, для построения графика, ей соответствующего, достаточно иметь значения функции при двух значениях аргумента г:

при z = 0Мх = 0,

⑹

Переходим ко второму участку (а < z V/) (рис. 1.32, а). Рассматриваем равновесие второй части балки (рис. 1.32, О):

£np.p = 0,-Q“ + ? = 0,Qy = ?；(吟

/ £мом.炉=0, M“ + ?(/ —z)=0,M“=—号(l — z);

.. Pa —a) Pcib 1

при z = a M*=%=「IC)

при г = / M% = 0.J

Пользуясь (а) и (а'), (с) и (с'), строим эпюры усилий Qy и Mx (рис. 1.32, е). В том сечении, к которому приложена сосредоточенная сила Р, в эпюре Q» имеет место скачок на величину, равную силе Р. Если силу Р и реакции R貝 и RB считать распределенными на некоторых небольших участках, то эпюры Qv и Мх будут выглядеть так, как это показано на рис. 1.32, ж.

Пример 1.8 (рис. 1.33, а). Построить эпюры усилий в балке. В рассматриваемом случае отличными от функции, тождественно равной нулю, являются усилия Qy и Мх. Реакции опор: R< =劣t//, RB =——观//. Балка содержит два участка. Рассмотрим первый участок (0 ^ z < а) (рис. 1.33, б). Составим уравнения равновесия первой части балки (рис. 1.33, в):

Епр. р = 0,7 + Qy = 0,

w

Е мом. xz = 0, -у z + Mх==0,при 2 = 0М% = 0;

при z = a М*=^-.

Рассмотрим второй участок равновесия второй части балки £ пр.乡=0,Рассмотрим второй участок равновесия второй части балки £ пр.乡=0,(а С z W /) (рис. (рис. 1.33, А):(а С z W /) (рис. (рис. 1.33, А):1.33, а). Составим уравнения1.33, а). Составим уравнения£ мом. %' = 0,宁 a-z) — M* = 0, M* =斗(/_z),при z = a,при z = Z Л1^ = 0.На рис. 1.33, е показаны эпюры Qy и Мх. В том сечении балки, к которому приложен сосредоточенный момент 航，в эпюре Мх имеет место скачок на величину 明.Пример 1.9 (рис. 1.34, а). Построить эпюры Qy и Мх в балке. Для того чтобы подчеркнуть возможность использования любого расположения осей ^примем его иным, нежели в двух предыдущих примерах. В балке имеется всего один участок (0 W z W /). Проводим сечение на расстоянии г от начала координат. Рассмотрим равновесие первой части балки (рис. 1.34 б,), учитывая, что реакции опор R“ = =Кв = д〃2:£пр. у = 0,一多+qz+Qy=0, Qy=q (―^ — z),при z = 0Qyug,при z = /Qy=—$；£ мом. %' = 0,у z— qz^ — Mx^, Mx = ^(l—z)£ мом. %' = 0,宁 a-z) — M* = 0, M* =斗(/_z),при z = a,при z = Z Л1^ = 0.На рис. 1.33, е показаны эпюры Qy и Мх. В том сечении балки, к которому приложен сосредоточенный момент 航，в эпюре Мх имеет место скачок на величину 明.Пример 1.9 (рис. 1.34, а). Построить эпюры Qy и Мх в балке. Для того чтобы подчеркнуть возможность использования любого расположения осей ^примем его иным, нежели в двух предыдущих примерах. В балке имеется всего один участок (0 W z W /). Проводим сечение на расстоянии г от начала координат. Рассмотрим равновесие первой части балки (рис. 1.34 б,), учитывая, что реакции опор R“ = =Кв = д〃2:£пр. у = 0,一多+qz+Qy=0, Qy=q (―^ — z),при z = 0Qyug,при z = /Qy=—$；£ мом. %' = 0,у z— qz^ — Mx^, Mx = ^(l—z)Рис. 1.33. Построение эпюр Q и М* в балке: а) балка и действующая нагнее нагрузка;, 6) сечение на первом участке балки; в) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы при расположении сечения на первомучастке; а) сечение на второе участке балки; а) вторая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы, при расположении сечения на втором участ« ке; е)эпюрыусилий Q^hM#； взпюреМ% ска- qok равен —*—I—厂=—(a + b) = -у =耽“Рис. 1.33. Построение эпюр Q и М* в балке: а) балка и действующая нагнее нагрузка;, 6) сечение на первом участке балки; в) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы при расположении сечения на первомучастке; а) сечение на второе участке балки; а) вторая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы, при расположении сечения на втором участ« ке; е)эпюрыусилий Q^hM#； взпюреМ% ска- qok равен —*—I—厂=—(a + b) = -у =耽“при z = 0M% = 0,при z = Z M* = 0.Сечение с максимальным Mx найдем, исследовав эту функцию на экстремум:при z = 0M% = 0,при z = Z M* = 0.Сечение с максимальным Mx найдем, исследовав эту функцию на экстремум:отсюда находим координату сечения с экстремальным М»:отсюда находим координату сечения с экстремальным М»:а само экстремальное значение Мха само экстремальное значение Мхравно M』i产贵 [1_% = %.равно M』i产贵 [1_% = %.

Рассмотрим второй участок равновесия второй части балки £ пр.乡=0,

Рассмотрим второй участок равновесия второй части балки £ пр.乡=0,

(а С z W /) (рис. (рис. 1.33, А):

(а С z W /) (рис. (рис. 1.33, А):

1.33, а). Составим уравнения

1.33, а). Составим уравнения

£ мом. %' = 0,

宁 a-z) — M* = 0, M* =斗(/_z),

при z = a,

при z = Z Л1^ = 0.

На рис. 1.33, е показаны эпюры Qy и Мх. В том сечении балки, к которому приложен сосредоточенный момент 航，в эпюре Мх имеет место скачок на величину 明.

Пример 1.9 (рис. 1.34, а). Построить эпюры Qy и Мх в балке. Для того чтобы подчеркнуть возможность использования любого расположения осей ^примем его иным, нежели в двух предыдущих примерах. В балке имеется всего один участок (0 W z W /). Проводим сечение на расстоянии г от начала координат. Рассмотрим равновесие первой части балки (рис. 1.34 б,), учитывая, что реакции опор R“ = =Кв = д〃2:

£пр. у = 0,

一多+qz+Qy=0, Qy=q (―^ — z),

при z = 0Qyug,

при z = /Qy=—$；

£ мом. %' = 0,

у z— qz^ — Mx^, Mx = ^(l—z)

£ мом. %' = 0,

宁 a-z) — M* = 0, M* =斗(/_z),

при z = a,

при z = Z Л1^ = 0.

На рис. 1.33, е показаны эпюры Qy и Мх. В том сечении балки, к которому приложен сосредоточенный момент 航，в эпюре Мх имеет место скачок на величину 明.

Пример 1.9 (рис. 1.34, а). Построить эпюры Qy и Мх в балке. Для того чтобы подчеркнуть возможность использования любого расположения осей ^примем его иным, нежели в двух предыдущих примерах. В балке имеется всего один участок (0 W z W /). Проводим сечение на расстоянии г от начала координат. Рассмотрим равновесие первой части балки (рис. 1.34 б,), учитывая, что реакции опор R“ = =Кв = д〃2:

£пр. у = 0,

一多+qz+Qy=0, Qy=q (―^ — z),

при z = 0Qyug,

при z = /Qy=—$；

£ мом. %' = 0,

у z— qz^ — Mx^, Mx = ^(l—z)

Рис. 1.33. Построение эпюр Q и М* в балке: а) балка и действующая нагнее нагрузка;, 6) сечение на первом участке балки; в) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы при расположении сечения на первомучастке; а) сечение на второе участке балки; а) вторая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы, при расположении сечения на втором участ« ке; е)эпюрыусилий Q^hM#； взпюреМ% ска- qok равен —*—I—厂=—(a + b) = -у =耽“

Рис. 1.33. Построение эпюр Q и М* в балке: а) балка и действующая нагнее нагрузка;, 6) сечение на первом участке балки; в) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы при расположении сечения на первомучастке; а) сечение на второе участке балки; а) вторая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы, при расположении сечения на втором участ« ке; е)эпюрыусилий Q^hM#； взпюреМ% ска- qok равен —*—I—厂=—(a + b) = -у =耽“

при z = 0M% = 0,

при z = Z M* = 0.

Сечение с максимальным Mx найдем, исследовав эту функцию на экстремум:

при z = 0M% = 0,

при z = Z M* = 0.

Сечение с максимальным Mx найдем, исследовав эту функцию на экстремум:

отсюда находим координату сечения с экстремальным М»:

отсюда находим координату сечения с экстремальным М»:

а само экстремальное значение Мх

а само экстремальное значение Мх

равно M』i产贵 [1_% = %.

равно M』i产贵 [1_% = %.

3 А. П± Филин — 1568

Fief знаку в горой производной,

Рис. 1.34. Построение эпюр Q” и М х в «балке： а) балка и действующие на нее внешние и внутренние силы; б) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы; в) эпюры Q и М .Рис. 1.34. Построение эпюр Q” и М х в «балке： а) балка и действующие на нее внешние и внутренние силы; б) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы; в) эпюры Q и М .勿勿Рис. 1.35. Построение эпюр Q и Л!^ в балке; а) балка и действующая н*а нее нагрузка; 6) первая часть балки и действуюРис. 1.35. Построение эпюр Q и Л!^ в балке; а) балка и действующая н*а нее нагрузка; 6) первая часть балки и действую

Рис. 1.34. Построение эпюр Q” и М х в «балке： а) балка и действующие на нее внешние и внутренние силы; б) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы; в) эпюры Q и М .

Рис. 1.34. Построение эпюр Q” и М х в «балке： а) балка и действующие на нее внешние и внутренние силы; б) первая часть балки и действующие на нее внешние и внутренние силы; в) эпюры Q и М .

勿

勿

Рис. 1.35. Построение эпюр Q и Л!^ в балке; а) балка и действующая н*а нее нагрузка; 6) первая часть балки и действую

Рис. 1.35. Построение эпюр Q и Л!^ в балке; а) балка и действующая н*а нее нагрузка; 6) первая часть балки и действую

убеждаемся, что в сечении z= Ц2 имеем максимальное значение Мх, Легко проверить, что в этом сечении QJz=〃2 =。； это соответствует условию dMx/dz = Q,・ На рис. 34, 6 пунктиром показана сила gz, являющаяся равнодействующей распределенной нагрузки, приложенной к первой части балки; плечо, этой силы

щие на нее внешние и внутренние силы;в) эпюры Qy и М*.

относительно центра рассматриваемого сечения равно z/2. Эпюры усилий Qv и M# показаны на рис. 1.34, 6.

Пример 1.10 (рис. 1.35, а). Построить эпюры Qy и Мх в балке. Определяем реакции опор; для этого рассматриваем равновесие всей балки:

qAl /qAl

£мом.4=0,Rg/ =。， 欠8

£мом. 8 = 0i-у у / —/?л/ = 0, Ra = ~y-・

Функция q имеет вид

Балка содержит один участок (О W 2 W /). Рассмотрим равновесие первой част» балки (рис. 1.35, б):

£np.y = 0, Q + 工华 z-军=0,Q 尸

при z = 0 一 Qy=q//6, при z = l Qy= —q曲3

Экстремальное значение функции Qv имеет место при dQ“dz = 0 или

т. е. при z = 0. Знак второй производной,

показывает, что при г = 0 функция Qy имеет максимум. Нулю значение функции Qy равно при г, определяемом из уравнения

Qy 若（；一勺=5Qy 若（；一勺=5/Кзоткуда г =——/Кзоткуда г =——

Qy 若（；一勺=5

Qy 若（；一勺=5

/Кз

откуда г =——

/Кз

откуда г =——

отрицательный корень нас не интересует, так как в пределах балки всюду z^^ £мом.』=0, 牛 z-^ 岑 z ^ — М% = 0, % =-鲁 z3± 響

при z = 0M* = 0,

при z = /44% =粤/3 -

x - 6/6

Экстремальное значение Мх условии*Экстремальное значение Мх условии*илиилиимеет место при координате z, удовлетворяющей

Экстремальное значение Мх условии*

Экстремальное значение Мх условии*

или

или

А，

q再仪（qAl

отсюда

/2 步干/2 步干

/2 步干

/2 步干

(Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи ——сечение выходит за пределы балки.) Как и должно быть, экстремальное значение Мх имеет место в том сечении, в котором Qy = 0. Знак второй производной,

(так как z^O), свидетельствует о том, что при г — /КЗ/З функция Мх имеет максимум:

q№ /"зqAi / /3 У 质

max MX = MX I z/3-=一而"~^3~ = -27,

^ис. 1.36. Построение эпюр Q, и М% в балке: а) балка и действующая на нее нагрузка 6) эпюры Qy и М%.

Пример 1.11 (рис. 1.36, а). Построить эпюры Qy и Мх в случае загружения балки нагрузкой, распределенной в соответствии с функцией

В данном случае, имея в виду решения примеров 1.9 и 1.10 и пользуясь принципом независимости действия сил (см. § 1.22)? можем сразу написать функции Qy и Мх:

也=%-)+卜普+絵2

Здесь учтено, что, вместо q в примере 1.9, необходимо иметь в виду д”； вместо qA в примере 1.10 — принимать ^0/2. Ординаты эпюр по концам балки так же легко .найти, складывая решения примеров 1.9 и 1,10. Исследование же на экстремум

следует выполнить специально для рассматриваемого случая:

dMx ~dTdMx ~dT=0,=0,-42 5r 十及一='-42 5r 十及一='

dMx ~dT

dMx ~dT

=0,

=0,

-42 5r 十及一='

-42 5r 十及一='

422 + 2/г —у /2 = о；422 + 2/г —у /2 = о；Z =——Z ± j/^ /2 + ~|~ /2 = —z ± Z j/4" у ；Z =——Z ± j/^ /2 + ~|~ /2 = —z ± Z j/4" у ；

4

22 + 2/г —у /2 = о；

4

22 + 2/г —у /2 = о；

Z =——Z ± j/^ /2 + ~|~ /2 = —z ± Z j/4" у ；

Z =——Z ± j/^ /2 + ~|~ /2 = —z ± Z j/4" у ；

Z[ == /Z[ == /,527/;,527/;

Z[ == /

Z[ == /

,527/;

,527/;

второй корень нас не интересует, так как г выходит за пределы балки;

max Мх lz=o,527Z =仇。919%?2.

Максимум эпюры Мх и нуль эпюры Qv располагаются в промежутке между аналогичными точками в примерах 1.9 и 1.10:

0,5Z V 0,527/ V 0,577/.

Исследование на экстремум функции Qv (dQy/dz = 0, — g0/2 — goz/2Z = 0, z = —Z) показывает, что функция

Qy『一2 =粤(4 + z) + t 停一?) = Й 媪

имеет экстремум при z = — Z (т. e. за пределами балки).

Эпюры усилий показаны на рис. 1.36, 6.

Пример 1.12. Построить эпюры продольной и поперечной силы и изгибающего момента, возникающих в поперечных сечениях стержня с криволинейной осью

Рис. 1.37. К построению эпюр усилий в плоском криволинейном стержне; а) стержень и действующая на него нагрузка; 6) первая чавть стержня и действующие на него внешние и внутренние силы.Рис. 1.37. К построению эпюр усилий в плоском криволинейном стержне; а) стержень и действующая на него нагрузка; 6) первая чавть стержня и действующие на него внешние и внутренние силы.

Рис. 1.37. К построению эпюр усилий в плоском криволинейном стержне; а) стержень и действующая на него нагрузка; 6) первая чавть стержня и действующие на него внешние и внутренние силы.

Рис. 1.37. К построению эпюр усилий в плоском криволинейном стержне; а) стержень и действующая на него нагрузка; 6) первая чавть стержня и действующие на него внешние и внутренние силы.

дуга окружности), показанного вместе с приложенной к нему нагрузкой на рис. 1.37, а.

Рассмотрим текущее сечение стержня, составляющее угол ср с осью пз

£ 口 р. у = 0,Qy — A% cos ①+Ри sin(р = 0,Qg =匕〃 cos ср—Plt sin ср;

E пр. z = 0,N — Р1л sin ср — Py cos cp = 0,N = P^л sin cp + Py cos ф；

£ mom. %』。， Mx + Puk (1—coscp) —P^R sin ①一脫j =0

(%' — ось, проходящая через центр текущего сечения 0 и направленная перпендикулярно плоскости чертежа),

Мх = PlnR sin ф — P[fR (1 — cos 屮)+ 迦工・

На рис. 1.38 показаны эпюры усилий Qy, ^ и М%,возникающих от каждой из внешних сил, при условии (尸口 =尸打=1,尸1〃 = Рщ = 1, 9Jii =航］=1), действующих самостоятельно (подсчет ординат дан в табл. 1.3).

Рис. 1.38. Эпюры усилий в плоском криволинейном стержне.

Пример 1.13 (рис. 1.39, а). Построить эпюры внутренних усилий. В данном примере из всех усилий отличным от функции, тождественно равной нулю, оказывается лишь крутящий момент.

Первый участок (0 W z V //5). Рассматриваем равновесие первой части вала (рис. 1.39, б):

y. МОМ. 2 = 0,制］+附2 = °，m2=一耽 1，

Второй участок (//5 < z < 2〃5). Рассматриваем равновесие первой части вала (рис. 1.39, в):

е мом. 2 = 0, 航 1 一决2十m2 = 0， Mz=一a?1 +耽 2，

Таблица 1.3

屮

COS ф

sin ф

Q,

0

п

л т

л;

У

冗

У

2

У л

3

4冗

5

л

7

1 竺

2

1 У

0

—丄

上

2

2

—1

2

0 1

臣 丁

Кз

1

竺

丁

臣

-2~

1

У

0

—丄

^1л

堂 J Ри

一尸口

一尸1〃 4+ +黄"

p«

2 2"+ 2 Pu

哆% +

哆 Pi〃 + %P"

K2

2 °"

T Ps 一

2p"

吗

R G"i"- 一上/Р"）+叫

「手p"）+叫 唔* 一貝,+叫

R（Pm-Pit）+^i

-■|•P1,+耽1 R （哆"

一乎p"）+叫

R G % "一 一绰Ipj+g

一2/?匕? + 統］

一手pJ+叫

Таблица 1.3 (Окончание)

ф

COS(Р

sin ф

N

5 彳冗

4

3

/2-

м»

一整2 +整&

Ри

一斗 一 2匕〃

R (一整乙一 -哼~) +竭

-У Pit)+^

R (一尸1%一 P")+竅1

2

—丄

0

2

2

-1

Третий участок (2//5 V 2 < 3〃5). Рассматриваем равновесие первой части вала (рис. 1.39, а):

емом. Z = 0,航］—航2 -断3 + m2 = °,Mz =一断1 + 制2 + 耽3。

Четвертый участок (3〃5Vz < 4//5). Рассматриваем равновесие второй части вала (рис. 1.39, 0):

£ мом. z = 0,—7Wz +耽5 —竅6 = °,Al^ ^ ЯЯб ®^6•

Пятый участок (4//5 < z W Z). Рассматриваем равновесие второй части вала (рис. 1.39, е):

£мом. z = 0,— Л1 z —耽6 = °,A)z=~-"耽6・

Эпюра Мг показана на рис. 1.39, ж.

Равенство

航5 -制6 = 一耽1 +制2 +则3 +做4 вытекает из уравнения равновесия всего вала

断］一咖2-断3-制4 +断5-费6 = 0・

Аналогично могут быть записаны равенства

一映1 +耽2=一次3 一耽4+耽5一耽6，

一航1 +耽2+制8=一耽4+航5一航6・

Пример 1.14 (рис. 1.40, а). Построить эпюры усилий в стержне.

В данном случае Мг = 0, Му 三 0, Q% 三 0, Q,三 0. Стержень содержит один участок (OwzW/). Проведем текущее сечение. Рассмотрим равновесие первой части стержня (рис. 1.40, б):

L пр. z = 0,— Piz + N = 0,N = Az；

£мом. £ = 0,耽i+M*=0,М%=—航i・

На рис, 1.40, 6 показаны эпюры усилий ^ и Мх.

Рис. 1.39. Построение эпюры крутящих моментов в валу! а) вал и действующие на него внешние моменты; 6) первая часть вала и действующие на нее внешние и внутренние моменты (сечение на первом участке); в) то ж% сечение на втором учаотке; а) то же, сечение на третьем участке; д) вторая часть вала и дейвтвующие на нее внешние и внутренние моменты (сечение на четвертом участке); е) то же； сечение на пятом участке;咏)эпюра М ,

励师7% I I丨I I I I㊀I I I I I I侬灰

Рис. 1.40. Построение эпюр усилий в стержне} а) стержень и действующая на неге на» грузка; 6) первая часть стержня и действующие на нее внешние и внутренние силы;

в) эпюры N н М*

Пример 1.15 (рис. 1.41, а). Построить эпюры усилий в стержне.

В данном случае Мг 三 О, Q% 三 0, Qy = 0. Стержень содержит один участок (OWzW/). Рассмотрим равновесие первой части стержня (рис. 1.41, б):

£ пр. z = 0,£ мом. х' = 0,£ мом.，= 0,£ пр. z = 0,£ мом. х' = 0,£ мом.，= 0,一乙 + % = 0, 『 + Mv = &航 1у — My = °,一乙 + % = 0, 『 + Mv = &航 1у — My = °,N = PeMx=—耽 lx；My =耽i夕N = PeMx=—耽 lx；My =耽i夕

£ пр. z = 0,

£ мом. х' = 0,

£ мом.，= 0,

£ пр. z = 0,

£ мом. х' = 0,

£ мом.，= 0,

一乙 + % = 0, 『 + Mv = &

航 1у — My = °,

一乙 + % = 0, 『 + Mv = &

航 1у — My = °,

N = Pe

Mx=—耽 lx；

My =耽i夕

N = Pe

Mx=—耽 lx；

My =耽i夕

Эпюры усилий показаны на рис. 1.41, в.

•^〃“ I I I I I I I ㊉ I I I I I I |& в)ЗпюраМх I I М I I I㊀丨门 I I I 也•^〃“ I I I I I I I ㊉ I I I I I I |& в)ЗпюраМх I I М I I I㊀丨门 I I I 也

•^〃“ I I I I I I I ㊉ I I I I I I |& в)

ЗпюраМх I I М I I I㊀丨门 I I I 也

•^〃“ I I I I I I I ㊉ I I I I I I |& в)

ЗпюраМх I I М I I I㊀丨门 I I I 也

Зпрра %/“丿/“o/丿/////

Рис. 1.41“ Построение эпюр усилий в стержне: а) етержень и действующая на него на-грузка; б) первая часть стержня и действующие на нее внешние и внутренние еилы:в) эпюры М Мх и Му

Пример 1.16 (рис. 1.42, а). Построить эпюры усилий в стержне.

В данном примере ^ = 0. Имеется в виду, что стержень находится в равновесии, т. е.

尸1? +尸3^ ="2夕 航1Z +耽8Z Н航2Z，^1X = "J" ^2X»匕Х = 7Р2%，01У=p8У。

Первый участок (0 W z < а). Рассматриваем равновесие первой части стержня (рис. 1.42, 6):

£ пр Г = 0,

—Pix + Qx = 0,

Q* = Р LV；

£ пр. у = 0,

A,+Qy=。，

Qp= —Pi小

£ мом. х7 = 0,

— P\yz — MX=Q,

м%= —P'yZ,

при z = 0 Mx = Qt

при г —а

M*=—尸 lyQ；

£ мом.旷=0,

—PiN + Aly = 0,

My = А/,

при г = 0 Mg = 0,

при z = a

Mg = PlM；

£ МОМ. 2 = 0,

^1г+м2^

Зпнзра^

Зпюра Qy

乌|山@川以

Зпюрамх

^poMy

Зпюра MnЗпюра MnII［倒丨伴%II［倒丨伴%TWTTk%TWTTk%

Зпюра Mn

Зпюра Mn

II［倒丨伴%

II［倒丨伴%

TWTTk%

TWTTk%

Рис. 1.42. Построение эпюр усилий в стержне] а) стержень и действующая на него на-грузка; б) первая часть стержня и действующие на нее внешние и внутренние силы(сечение на первом участке); в) вторая часть стержня и действующие на нее внешние ивнутренние силы (сечение на втором участке); а) вторая часть стержня и действующие нанее внешние и внутренние силы (сечение на третьем участке); д) эпюры усилий ^< Q*,Qp М*, Му и М?.

Второй участок (а < z < 2а). Рассматриваем равновесие второй части стержня (рис. 1.42, с):,

2j Пр. Х = О,—Q* —尸4* = °，Qx = — Р4Х；

£пр. у = 0, е мом. %' = 0, при 2 = а £ мом. у' = 0, при 2 = 4 £ мом. z = 0,

—Qy + AyuO,0у= Рзу；

mх + p配(2a一z) = 0,m*=-Р沙(2a-2),

Мх== —Рзуа}при г = 2а 214^ = 0;

— My + Pix (Z—z) = 0,My = P&%(l — z),

My^P^ (/—а); при z = 2a M^ == Pix (/ — 2a) = P^x^

—^z —耽 3z = °，Mz =—城 3Z・

Третий участок (2а < z W Z). Рассматриваем равновесие второй части стержня (рис. 1.42, а):

£ пр. x = 0, £np. ^/^0, £ mom. %'==0, 工 мом. p' = 0, при z=2a £ mom. z = “

—Q*-p纭=°2Qx= - P 5

Qp ==0；

Л4% = 0;

^My + P^ (Z—z) = 0,My = P4x (Z—z),

Л4^ ：^= P4* (/ 2a) ：^= P4x"；при Z =~ / ^^g ^^ °；

Mz = 0・

На рис. 1.42, д показаны эпюры усилий.

§ 1.16. Понятие о самоуравновешенных внутренних силахв поперечном сечении бруса

В общем случае распределения внутренних сил по поперечному сечению стержня их можно разбить на две части, первая из них можеть быть определена средствами сопротивления материалов, вторая же представляет собой остаток, не улавливаемый аппаратом этой науки. В свою очередь первая часть напряжений может быть разбита на шесть долей с таким расчетом, чтобы каждая из них участвовала в образовании только одного из шести внутренних усилий N, MXf Л!» Q*, Qyt Мг. Очевидно, что второму слагаемому напряжений, не улавливаемому аппаратом сопротивления материалов, соответствуют нулевые внутренние усилия. Поясним сказанное на примере.

Рассмотрим сначала нормальную составляющую внутренних сил в поперечном сечении бруса. Пусть интенсивность “ этой составляющей внутренних сил в пределах поперечного сечения выражается следующей функцией:

(1.Ю)(1.Ю)2b 2c , 4d

(1.Ю)

(1.Ю)

% = "一万%-万р +砲屯.

Функции (1.10) соответствует распределение напряжений, показанное на рис. 1.43, а.

Разобьем эпюру на четыре изображенных на рис. 1.43, 6, 8, г, О слагаемых:

% =0「+0B +0!3)+0产Т).(1.11)

У последнего из них верхний индекс (ост) указывает на то, что это есть отмечавшийся выше остаток.

Для этих слагаемых характерно следующее:

m11 =\ %u d尸=\ ozdF^ m М^" = \ а^1 'у d尸=0, FFF

Д4?)=§ <yj% d尸=0,

N(2)=\ 0yd尸=0, 〃F = § 吟ydF=、GzydF = M、 FFF

附『)= ,a2%d 尸=0,

(1.12)

〃?)= , оу% "= , о2х dF = Myi

N (ост) _ 卜产Т) d尸=0, М俨т) = j 砂ост* dF = о,

M严=W%d尸=0.

Первое слагаемое 疗 создает только продольную силу, — такую же по величине, как и продольная сила, создаваемая суммарной эпюрой

Второе слагаемое。罗 создает только изгибающий момент относительно оси %, — такой же по величине, как и изгибающий момент относительно оси х, создаваемый суммарной эпюрой о^.

Третье слагаемое создает только изгибающий момент относительно оси р, — такой же по величине, как и изгибающий момент относительно оси р, создаваемый суммарной эпюрой Oz・

Наконец, остатку, называемому самоуравновешенной системой внутренних сил в поперечном сечении бруса, соответствует статический эквивалент, равный нулю:

Мост) = 0, М£ ст) = 0, М(；ст) = 0.

Первые три слагаемых изображены эпюрами, представляющими собой плоскости, поэтому и их сумма также изображается эпюрой в виде плоскости (пунктирная линия на рис. 1.43, а).

Таким образом, какою бы ни была суммарная эпюра 仇，всегда можно провести такую плоскость, которая отсечет (в алгебраичес-

ком смысле) от нее статически эквивалентную ей часть. Разность суммарной эпюры и эпюры, соответствующей этой плоскости, представляет собой эпюру самоуравноветенннх внутренних сил. Если

Рна 1.48. Распределение нормальных напряжений по поперечному сечению бруса) а) суммарная эпюра; 6) первое слагаемое напряжений^ соответствующее ^; 8)второе вла« гаемое« соответствующее М^ а) третье слагаемое^ соответвтвующее М 炉 д) остаток — само* уравновешенная сиотема внутренних сил.

действительная эпюра изображается плоскостью, то самоуравнове- шенный остаток равен нулю.

Разумеется, поперечные силы и крутящий момент, образующиеся лишь из сил, лежащих в плоскости поперечного сечения, ни одним из слагаемых (1.11) не создаются.

Кроме только что обсужденной нормальной сосхавляющей внутренних сил имеется еще и касательная составляющая, которую, ана-

логично рассмотренному выше, тоже можно представить в виде четырех слагаемых:

%二嚼+嚼+嚼+咽户」

Слагаемое с индексом (4) создает Q*, с индексом (5) — Qy, с индексом (6) — Mxt а последнее — остаток —— является самоуравнове* шенным:*

QF =「以 dF=\“ d 尸 Q*, Q『=，喝 d尸=0,M? =，(T玄У—也%) ^=о,

Q『=\ 唠"=0, Qy = J 专丿"=J Tz« dF = Qg,竣'=J (硯g—T力)dF=0,

(1.14)(1.14)м，м，Q?'=卜以 dF=0, Q^='啕"=0,

(1.14)

(1.14)

м，

м，

、(工界У —工1犷)d尸=，"?хУ—Tz“％) dF=Mz， FF-

Q约=Jt(oct)" = 0,q产=J Т(ост) "=о,

]а 缪叱_ 嚼с%)"=о.

При этом имеется в виду, что

唸=0,& — 0.唸=0,& — 0.(1.15)(1.15)

唸=0,& — 0.

唸=0,& — 0.

(1.15)

(1.15)

На рис. 1.44 изображен пример, в котором показаны эпюры касательных напряжений лишь по двум перпендикулярным линиям поперечного сечения.

Самоуравновешенные остатки, соответствующие нормальной (и^ст)) н касательной «馨力, 喘幻)составляющим, можно объединить. Выше были показаны шесть долей несамоуравновешенных напряжений, из которых три ((1), (2), (3)) содержат лишь доли нормальной составляющей и образуют соответственно ^> Мх и %, три ((4), (5), (6))_— лишь доли касательных составляющих и образуют соответственно Qx, Qy и险・

Сказанное относится к самому общему случаю напряженного состояния бруса. В частных же случаях отдельные из шести долей несамоуравновешенных напряжений и остаток (самоуравновешенные напряжения) могут вовсе отсутствовать.

Существенно то, что средствами сопротивления материалов представляется возможным анализировать лишь шесть первых долей н е с а- моуравновешенных напряжений, остаток же — самоуравновешенные напряжения — выходит за рамки возможностей элементарной теории сопротивления материалов. В тех случаях, когда имеются основания считать, что (как это станет

皿HWNRM： 口皿HWNRM： 口以1Г一I 少以1Г一I 少歹歹

皿HWNRM： 口

皿HWNRM： 口

以1Г一I 少

以1Г一I 少

歹

歹

Рис. 1.44. Распределение касательных напряжений по поперечному сечению бруса! ⑴ суммарная эпюра; б) первое слагаемое, соответствующее Q*； в) второе слагаем。％ соответствующее Q ; а) третье слагаемое, соответствующее М$ d) остаток — еамрурав- 'новешенная система сил.

ясно из материала последующих глав) остаток является существенным, приходится прибегать к средствам теории упругости.

Подчеркнем, что если для анализа напряженно-деформированного состояния стержня (бруса) используется аппарат теории упру- П}стн, то обычно находится не отдельно отмеченный остаток, а сразу полные величины напряжений 备，% и 工冲，при этом подход к определению напряжений в принципе отличается от применяемого в сопротивлении материалов: вовсе не вводятся и, следовательно, не используются понятия интегральных внутренних усилий) (Qx, ... , MJ

В качестве исключения можно указать на тонкостенные стержни, для которых некоторую долю самоуравновешенных нормальных напряжений удается определить не средствами теории упругости, а элементарной теории, путем принятия некоторых новых, по сравнению с обычными для теории стержней, гипотез.

Завершим обсуждение вопроса о самоуравновешенных внутренних силах следующим замечанием. В изображенном выше .примере каждое из слагаемых 吧 соответствовало отдельным членам функции (1.10) для %. Это явилось следствием лишь того, что функция 巾 специально была представлена в виде суммы членов, каждый

Рнс. 1,45. Распределение нормальных напряжений по поперечному сечению бруса, а) суммарная эпюра; б) первое слагаемое, соответствующее М 8) самоуравновешенный остаток.

из которых точно соответствовал одному из слагаемых 吧 Однако легко привести примеры, в которых одному члену функции а соответствует не один, а большее число слагаемых 片)・“ Пусть, например,

Этому одночлену соответствуют два слагаемых:

% =吗)+ О■产 t)=а + a 肾_1).

Эпюры % 呼 и 0尸)показаны на рис. 1.45. Легко удостовериться что

М" = \е『 dF = \czdF = N, M^^\aTydF = 0, М戸=|呢Kd尸=0,

М℃т)= ,°尸)d尸=0, M^^a^ydF^O, M戶；,a^xdF^ 0, F尸F

Понятие о перемещении точки тела.

Составляющие перемещения. Правило знаков

Тело под воздействием прикладываемых к нему сил меняет свои размеры и форму, или, как говорят, деформируется. В нем изменяется относительное расположение отдельных его частиц вследствие их перемещения в пространстве.

Можно представить и такое перемещение точек тела, при котором относительное их расположение не изменяется. В этом случае имеем перемещение, но нет деформации тела — тело перемещается

как жесткое целое. Итак, перемещение не всегда сопровождается деформацией. Однако деформация тела немыслима без перемещения его точек.

Пусть имеем некоторое тело, закрепленное от перемещения как жесткого целого. Отметим в нем, до приложения к нему сил, т. е. до деформации тела, некоторую точку А. В результате воздействия на тело внешних сил тело де^юрмируется. Пусть при этом точка А тела переместилась в положение 4 в пространстве. Вектор ЛЛХ называется перемещением точки Л (рис. 1.46). Пусть с телом связана декартова система координатных осей xyzt в этой системе перемещение точки Л (т. е. вектор 瓦Q можно разложить на составляющие и, v и w9 положительные, (если они направлены в сторону

положительных значений на параллельных им осях. Составляющие и, V н w являются функциями координат точек тела:

« = ц(х, у, 2), v = v(x, у, z), w = w(xt у, Z).

Понятие о деформации тела в точке

Вблизи каждой точки тела картина деформации может быть, вообще говоря, отличной от деформации в окрестности других точек. Отметим два понятия, характеризующих деформацию тела вблизи любой его точки С. Рассмотрим до деформации тела вблизи точки С линейный элемент CD, располагающийся вдоль некоторого направления г (рис. 1.47, а). Под внешним воздействием точки тела перемещаются, тело деформируется. В частности, перемещаются и точки С н О, занимая новое положение в пространстве (Сх и DJ.

Расстояние между точками в общем случае изменяется. Величину

называют относительной линейной деформацией в точке С вдоль направления г.

В различных направлениях, проходящих через точку С, величина в общем случае различна.

Рассмотрим два бесконечно малых линейных элемента тела % = CD и 〃2 ^ СВ, расположенных до деформации тела вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений q и г2 (рис. 1.47, б). Под внешним воздействием точки С, В hD перемещаются и занимают новое положение в пространстве (圆，Вх и 方)Угол между q& и CaDx отличен, вообще говоря, от прямого и равен л/2 — 丫门,*. Вели-

чина у，", — изменение угла между двумя первоначально перпендикулярными элементами drx и ”方，ориентированными вдоль направлений 厶 н г2 H проходящими через точку С тела,——называется

Рис. 1.47. Деформации в окрестности точки тела: а) линейная деформация： б) угловаядеформация.

угловой деформацией между направлениями q и q или, иначе, сдвигом между указанными направлениями в точке С・ Угол уГ1п можно представить как сумму двух углов (рис. 1.47):

Y"5=网+匆，

Если рассматривать различные пары взаимно перпендикулярных до деформации направлений, проходящих через точку С, то сдвиги между ними в общем случае оказываются различными.

Понятие о повороте элемента в окрестности точки тела

Величина % (aL —a2) (aL и a2 см. на рис. 1.48) характеризует поворот элемента относительно оси, перпендикулярной плоскости 7*^2 (рис. 1.48).

Рис. 1.48. Поворот элемента ь окрестности гочкн тела; I — биссектриса прямого угла, 2 — биссектриса угла ВО, угол */t (% — a*) — угол поворота биссектрисы (на рисунке этот угол отрицательный).Рис. 1.48. Поворот элемента ь окрестности гочкн тела; I — биссектриса прямого угла, 2 — биссектриса угла ВО, угол */t (% — a*) — угол поворота биссектрисы (на рисунке этот угол отрицательный).

Рис. 1.48. Поворот элемента ь окрестности гочкн тела; I — биссектриса прямого угла, 2 — биссектриса угла ВО, угол */t (% — a*) — угол поворота биссектрисы (на рисунке этот угол отрицательный).

Рис. 1.48. Поворот элемента ь окрестности гочкн тела; I — биссектриса прямого угла, 2 — биссектриса угла ВО, угол */t (% — a*) — угол поворота биссектрисы (на рисунке этот угол отрицательный).

Углы ах и а2, изображенные на рис. 1.48, положительны. Если 网 V 0, «2>0 и «1 = I a21, то будем иметь картину, показанную

на рис. 1.49 и характерную тем, что поворот элемента произошел без сдвига. Так, например, поворачиваются любые элементы балки при чистом изгибе (рис. 1.50).

Рис. 1.50. [Пример деформации стержня, при которой имеют место повороты элементов без сдвигов.Рис. 1.50. [Пример деформации стержня, при которой имеют место повороты элементов без сдвигов.

Рис. 1.50. [Пример деформации стержня, при которой имеют место повороты элементов без сдвигов.

Рис. 1.50. [Пример деформации стержня, при которой имеют место повороты элементов без сдвигов.

Расчеты по деформирован но й и недеформированнойсхемам

Рассмотрим задачу об определении усилий в стержнях простейшей консольной фермы (рис. 1.51, а).

Получим решение этой задачи с учетом деформируемости стержней и выясним, является ли этот учет в данном случае существенным.

Рис. 1.51. К определению усилий в стержнях: а) по недефор ми ров энной вхеме б) по деформированной схеме.Рис. 1.51. К определению усилий в стержнях: а) по недефор ми ров энной вхеме б) по деформированной схеме.

Рис. 1.51. К определению усилий в стержнях: а) по недефор ми ров энной вхеме б) по деформированной схеме.

Рис. 1.51. К определению усилий в стержнях: а) по недефор ми ров энной вхеме б) по деформированной схеме.

Стержень / под влиянием силы Р растягивается, т. е. удлиняется, стержень 2 сжимается, т. е. укорачивается, вследствие этого узел А перемещается (рис. 1.51, б).

Рассмотрим равновесие узла в деформированной системе:

Wnp.f/i = 0, ли sin (а'-Р)-Р cos 0=0, NX = P ；

£ нр.修=0, — N* cos (а' — 0)—汽扌 + Q sin Р = 0;

腸=—^f cos (o/ — Р) + Р sin р, 乂务=—P cospctg (а‘ — P)4-Psinp.

Если деформации малы, а с такой ситуацией и приходится в подавляющем большинстве случаев иметь дело на практике, то Р 0 и ах а, при этом

sin Р^О, cos Р ^ 1, ctg (а‘一 0) ~ ctg а, sin (а7 — Р) а^ sin а.

При таком условии

Определение усилий N* и N$ значительно сложнее определения усилий ^1 и 乂2，так как углы а' и 0, входящие в выражения для ^* и N*、не являются заданными, они зависят от того, насколько деформировались стержни, а деформация стержней зависит от неизвестных еще усилий ^* и Л^; таким образом, углы а' и 0 приходится выражать через определяемые усилия. Уравнения относительно N； и ^2 получаются очень сложными. Условия 卩 к 0 н а' а а эквивалентны тому, что расчетная схема для определения усилий рассматривается в недеформированном состоянии.

Усилия N； и 汽事 определены с учетом деформируемости стержней, т. е. по деформированной схеме, a N~u N% найдены без учета деформируемости стержней, т. е. по недеформированной схеме. В случае малости р и малого отличия о/ от а величина N； практически не отличается от N*, а Л^ —— от N&. Как видно, под малой в данном случае понимается такая деформация, при которой изменение углов наклона стержней практически не приводит к изменению тригонометрических функций этих углов; такое малое изменение углов связано с малостью перемещения узла Л, а последнее, в свою очередь, —с малостью удлинения стержня / и укорочения стержня 2.

В дальнейшем будем отличать малость деформации материала в конструкции от малости деформации конструкции в целом. Первая состоит в том, что относительные линейные деформации ег в любом из направлений, а также относительные угловые деформации упГ2 между любыми ортогональными направлениями в каждой точке тела малы по сравнению с единицей.

Под малостью же деформации конструкции в целом будем понимать малость перемещений ее точек по сравнению с габаритными размерами конструкции.

Можно указать примеры, когда деформации материала ег и 丫勺勺 малы по сравнению с единицей, а в элементе в целом, выполненном из этого материала, перемещения точек не малы по сравнению с габаритными размерами. Одним из таких примеров может служить тонкий, первоначально прямолинейный стальной стержень, сгибаемый в кольцо (табл. 1.4, строка 3). Действительно, в изгибаемом стержне осевые волокна не испытывают ни удлинения, ни сжатия. С другой стороны, в силу малости толщины полосы наружные и внутренние волокна мало отличаются по длине от осевого волокна；

следовательно, относительные линейные деформации волокон малы, повороты же элементов велики (элемент, расположенный у торца полосы, повернулся на 180°). Иными словами,из малости деформаций материала (малости ег и 丫门尸.)еще не следует малость перемещений точек конструкции. Малость же перемещений точек конструкции мыслима лишь при малости деформаций материала.

Можно отметить четыре комбинации в величинах деформаций материала и поворотов; каждой из них соответствует либо малая, либо большая величина перемещений точек конструкции (см. табл. 1.4).

Таблица 1.4

Линейная относительная деформация по сравнению с единицей

Повороты в радианах по сравнению с единицей

Перемещения точек тела по сравнению с габаритными размерами тела

Примеры

1

Мала

Малы

Малы

2

3

Не мала

Малы

Не малы

са--жз

Мала

Не малы

Не малы

4

Не мала

Не малы

Не малы

Первому случаю соответствует малый изгиб балки. Второму — большое растяжение стержня. Третий случай пояснен выше. Наконец, четвертый случай может быть проиллюстрирован значительным изгибом негибкой балки.

Итак, в случае больших перемещений расчет следует вести по деформированной схеме — в частности, записывать уравнения равновесия с учетом деформации системы ) В такой постановке все

I) Заметим, что в расчетах на устойчивость и при малых перемещениях расчет ведется по деформированной схеме (см. гл. XVIII).

'1.21] СТАТИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ СИСТЕМЫ 87 проблемы механики деформируемых тел являются статически неопределимыми —для их разрешения одних уравнений равновесия статики недостаточно. Сами искомые внутренние усилия зависят от деформации отдельных частей системы, и при этом согласованной деформации, а деформации в свою очередь зависят от искомых усилий. Таким образом, уравнения получаются нелинейными, трудность возникает как при составлении, так и при решении их.

Статически определимые и статически неопределимыесистемы

В случае малости перемещений уравнения равновесия относительно внутренних усилий (Q*, ... , М?), в том числе в связях, могут быть составлены по недеформированной схеме, при этом они получаются линейными, и все системы могут быть разбиты на два класса: статически определимые и статически неопределимые. В первом из них уравнений равновесия статики достаточно для определения всех неизвестных усилий. Во втором ——этих уравнений меньше, чем неизвестных усилий. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. .

Рис. 1.52. Пример статически неопределимой системы: а) общий вид; 6) усилия в подвесках.Рис. 1.52. Пример статически неопределимой системы: а) общий вид; 6) усилия в подвесках.

Рис. 1.52. Пример статически неопределимой системы: а) общий вид; 6) усилия в подвесках.

Рис. 1.52. Пример статически неопределимой системы: а) общий вид; 6) усилия в подвесках.

Представим себе, что некоторое тело весом Р, которое можем считать абсолютно жестким, подвешено на трех нерастяжимых нитях (рис. 1.52； а). Усилия в нитях неизвестны. Учитывая параллельность всех сил и то, что все они лежат в одной плоскости, получаем два уравнения равновесия тела (рис. 1.52, б):

N * 十 W2 + "з — Р = 0, N*a 一 乂國=0.

Задача не может быть решена при помощи одних уравнений статики, такая система статически неопределима — число неиз* вестных превышает число уравнений статики. Решить эту за・ дачу средствами теоретической механики невозможно. Можно показать, что если не рассматривать деформации нитей, т. е・ считать их нерастяжимыми, то найти усилия в нитях невозможно. Действительно, если крайние нити короче средней на сколь угодно малую

Рис. 1.53. Работа статически неопределимой системы в случае недеформируемости ее элементов н неточности изготовления их： / — конец вытянутой нити, 2 — очень малый угол (идея анализа примера принадлежитЮ. Н. Работиову).Рис. 1.53. Работа статически неопределимой системы в случае недеформируемости ее элементов н неточности изготовления их： / — конец вытянутой нити, 2 — очень малый угол (идея анализа примера принадлежитЮ. Н. Работиову).величину Д, то средняя нить не натянута и весь груз передается на крайние нити, тогда N* = N& = Р/2, № = 0, Будем называть этот случай первым. Если средняя нить короче крайних на сколь угодно малую величину Д, то крайние нити не натянуты и весь груз передается на среднюю нить, при этом N* = N$ = О, N需=R △” ” —"ывать вторым. Чтобы перейти от первого

Рис. 1.53. Работа статически неопределимой системы в случае недеформируемости ее элементов н неточности изготовления их： / — конец вытянутой нити, 2 — очень малый угол (идея анализа примера принадлежит

Ю. Н. Работиову).

Рис. 1.53. Работа статически неопределимой системы в случае недеформируемости ее элементов н неточности изготовления их： / — конец вытянутой нити, 2 — очень малый угол (идея анализа примера принадлежит

Ю. Н. Работиову).

случая ко второму, нужно удлинить среднюю нить на бесконечно малую величину, т. е. бесконечно малое изменение длины влечет за собой конечное изменение в распределении усилий, что является абсурдным. Так как длина нитей абсолютно одинаковой быть не может, то всегда имеет место либо первый, либо второй случай 】)• В идеальном случае абсолютного равенства длин нитей задача неразрешима. Такой ответ дает теоретическая механика. Если же учесть деформируемость нитей, как это делается в сопротивлении материалов, то задача становится разрешимой. Пусть нити изготовлены одинакового сечения. Так как подвешенное тело бесконечно жестко и система симметрична, все три нити удлиняются одинаково. При одинаковых удлинениях в одинаковых нитях и сопротивления указанным удлинениям во всех нитях оказываются одинаковыми, т. е. в нитях возникнут и одинаковые усилия N* = N? = М; отсюда, используя, кроме того, и приведенные выше уравнения статики, получим Nt = N2 — N3 ~ Р/3.

При учете дефор ми р уемост и нитей малая разница в их длинах приведет- к малому различию и в усилиях в них.

В дальнейшем статически неопределимые системы будут рассмотрены подробно и будет дан общий метод их расчета. Сейчас же мы познакомились с задачей такого типа, чтобы уяснить специфику подхода к решению задач методом сопротивления материалов, отличающую эту науку от теоретической механики и состоящую в рассмотрении условий деформации. Вместе с тем показано, что при решении задачи методом сопротивления материалов, используются уравнения равновесия теоретической механики, исходя из принципу отвердения.

Относительно Q#, ... , Мг задача всегда статически определима в малом, т. е. при рассмотрении бесконечно малого элемента стержня.

В Giyuaft, когда все три нити разной длины, можно рассматривать либо как случай I, либо как случай II (рис. 1,53).

ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ 89

В большом же, т. е. при рассмотрении всей системы, задача отыскания Q*, ,Мг в одних случаях статически определима, а в других—— статически неопределима, в зависимости от характера закрепления стержня, в котором ищутся усилия. Если граничные условия (условия в опорных закреплениях) выражены через силы, то задача статически определима; если же через перемещения, то статически неопределима. Если же ищутся напряжения в отдельных точках стержня, действующие на той или иной площадке, то такая проблема всегда статически неопределима (см. § 2.3).

§ 1.22. Принцип независимости действия сил

Малость деформаций элементов и систем позволяет сделать еще одно существенное упрощение. Представим себе, что к консольной ферме (рис. 1.54) приложена сила Ръ после чего прикладывается сила Р2* Возникает вопрос: чему будут равны усилия в стержнях фермы в результате приложения обеих сил? При определении усилий от силы /\ в связи с тем, что деформация мала, можно не учи^ тывать изменения рисунка, образуемого стержнями фермы, т. &

сисигруженная двумя лами.груженная двумя лами.не учитывать ее деформацию. Так как в результате приложения силы /\ деформация мала, то и при определении усилий от силы Р2 подход' остается таким же. Следовательно, ввиду малости деформации можно считать, что усилие в некотором стержне при действии обеих сил /\ и 2 равно сумме усилий в этом стержне, возникающих в двух случаях: при действии только силы Рг и только силы Р2. В этом состоит так называемый принцип

си

си

груженная двумя лами.

груженная двумя лами.

независимости действия сил. Этот принцип

справедлив лишь при малых деформациях системы, т. е. при ма~ лых перемещениях ее точек. Можно привести, однако, примеры.

когда этот принцип несправедлив и при малых перемещениях.

Рассмотрим гибкий стержень, подверженный одновременному действию двух нагрузок: поперечной и значительной по величине продольной (рис. 1.55). При действии на такой стержень лишь силы Р1г он испытывает только растяжение. Если же на стержень дейст^ вует одна лишь сила 夕叮，то стержень изгибается, имея прогиб на конце консоли о (/)• При одновременном действии сил Ри и Р1у изгиб стержня происходит с меньшими прогибами: на конце стержня вместо и (/) будет и* (/); у* (/) < г (/), так как сила Р1г создает изгибающий момент, равный РХг У* (/)——у* (z)], имеющий знак, противоположный знаку изгибающего момента, создаваемого силой %： Ply (/ — 2)・

В главе XIII случай одновременного действия на гибкий стержень и продольных и поперечных внешних сил рассматривается подробно.

там же обсуждается и причина неприменимости в этом случае принципа независимости действия сил.

Выше была обсуждена применимость или неприменимость принципа независимости действия сил для статически определимых систем. Если же система статически неопределима, то для применимости

Рис. 1.55. Пример системы, для которой принцип независимости действия сил может дать большую погрешность: а) стержень, загруженный силамй Р^ и Р傍(вид до деформации); б) деформация стержня при действии на него одной силы Р^; 6) деформация стержня при действии на него одной силы Р^ г) деформация стержня при одновременном действии иа него сил Р1г и Р[д.

этого принципа одной малости деформации системы (малости перемещений ее точек по сравнению с габаритными размерами) недостаточно. Необходимо, кроме того, соблюдение линейности зависимости (е).

В дальнейшем, как，правило, будут рассматриваться системы, к которым принцип независимости действия сил применим; в тех случаях, когда этот принцип не может быть использован, будет делаться особая оговорка.

Глава II

ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

Предварительные замечания

В настоящей главе рассматривается осевая деформация, т. е. растяжение или сжатие, прямолинейного стержня. Такая деформация возникает, если все внешние нагрузки, приложенные к стержню, приводятся только к силам, точки приложения которых лежат на оси стержня, а линии их действия совпадают с последней. При этом возникает лишь продольная сила N = N ⑵；все остальные внутренние усилия Q^, Qyt Mxt Му, Мг в любом из сечений равны нулю. .

На примере осевой деформации стержня, учитывая, что она изучается первой, пояснены многие положения, справедливые для всех видов элементарной деформации.

Приводятся в минимальном объеме некоторые сведения об экспериментах с образцами из различных материалов, необходимые для введения основных понятий, в частности условия прочности» закона Гука и др.

Более подробное описание результатов экспериментов дается в главе IV, специально посвященной механическим свойствам материалов.

Характер деформации при растяженииили сжатии призмы

Проследим за наблюдаемой в опыте деформацией растяжения резиновой прямоугольной призмы. Призма взята резиновой с целью получения достаточно наглядной картины деформации. На боковой поверхности краской нанесена сетка тонких линий; одна система их параллельна продольным ребрам призмы, другая ——им перпендикулярна. Растягивающие силы равномерно распределены по торцам (рис. 2.1). Равнодействующая нагрузки, приложенной к

торцу, равна Р. Деформация призмы состоит в увеличении длины и уменьшении поперечных размеров. Прямые линии, образующие сетку на боковой поверхности призмы, остаются прямыми. Расстояние между любыми двумя соседними продольными линиями равномерно по ширине призмы уменьшается, а между поперечными — равномерно по длине увеличивается. Торцы остаются плоскими. Характер деформации при сжатии аналогичен, но происходит укорочение и поперечное расширение призмы.

Рис. 2.1. Деформация призмы, растягиваемой силами, распределенными равномерно по торцам: а) призма до деформации; б) после деформации;尸一площадь основания призмы.Рис. 2.1. Деформация призмы, растягиваемой силами, распределенными равномерно по торцам: а) призма до деформации; б) после деформации;尸一площадь основания призмы.Рис. 2.2. Деформация призмы, растягиваемой силами, приложенными к торцамз а) одна сосредоточенная сила Р в центре торца; 6) четыре силы по Р/4 в четырех углах торца.Рис. 2.2. Деформация призмы, растягиваемой силами, приложенными к торцамз а) одна сосредоточенная сила Р в центре торца; 6) четыре силы по Р/4 в четырех углах торца.

Рис. 2.1. Деформация призмы, растягиваемой силами, распределенными равномерно по торцам: а) призма до деформации; б) после деформации;尸一площадь основания призмы.

Рис. 2.1. Деформация призмы, растягиваемой силами, распределенными равномерно по торцам: а) призма до деформации; б) после деформации;尸一площадь основания призмы.

Рис. 2.2. Деформация призмы, растягиваемой силами, приложенными к торцамз а) одна сосредоточенная сила Р в центре торца; 6) четыре силы по Р/4 в четырех углах торца.

Рис. 2.2. Деформация призмы, растягиваемой силами, приложенными к торцамз а) одна сосредоточенная сила Р в центре торца; 6) четыре силы по Р/4 в четырех углах торца.

Все продольные волокна растягиваются (сжимаются) одинаково и при этом равномерно по длине, вследствие чего поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и в результате ее. Такая картина в случае равномерного распределения сил Р по торцам наблюдается и при любой другой произвольной форме поперечного сечения призмы и любом отношении длины призмы к размеру поперечного сечения )

Иной получается картина деформации, если растягивать (сжимать) прямоугольную призму силами Р, распределенными по торцам неравномерно. Если силы приложены к центрам торцов сосре-

В случае сжатия имеется в виду такое отношение длины стержня к поперечным размерам, при котором еще ие происходит выпучивания стержня. Это условие принято во всей главе II. '

доточенно, то картина деформации выглядит так, как это показано на рис. 2.2, а. В случае растяжения призмы четырьмя силами, приложенными по углам торца, каждая из которых равна Р/4, картина деформации имеет вид, показанный на рис. 2.2, б. Каждому закону распределения растягивающей нагрузки по торцу соответствует своя собственная картина деформации. Во всех случаях, когда силы распределены по торцам неравномерно, поперечные сечения в результате деформации призмы перестают быть плоскими.

Обнаруживается следующий факт: в сравнительно небольшом удалении от торцов, каков бы ни был закон распределения нагрузки, растягивающей (сжимающей) призму, характер деформации практически оказывается неизменным: сечения практически остаются плоскими, и расстояния между ними получаются одинаковыми, если и до деформации в сопоставляемых призмах они были равны друг другу. При этом должно быть соблюдено лишь условие, что равнодействующая сил, приложенных к торцу, проходит через центр тяжести его и величина этой равнодействующей во всех сравниваемых случаях одинакова.

Статическая неопределимость законараспределения напряжений

Одному и тому же значению N формально, если исходить лишь из равновесия, может соответствовать бесчисленное множество различных по виду эпюр распределения по поперечному сечению внутренних сил. Во всех трех случаях, показанных на рис. 2.3, продольная сила, соответствующая эпюре “，одинакова: N 0 P. Таким образом, для того чтобы иметь возможность находить распределение внутренних сил, или, иначе, эпюру напряжений, по поперечному сечению бруса, нужно знать не только величину усилия N. Для отыскания закона распределения внутренних сил по поперечному сечению бруса одних уравнений статики недостаточно. Система относительно этого закона статически неопределима, в то время как относительно величины М в зависимости от характера закрепления стержня, в одних случаях она может быть статически определимой, а в других — статически неопределимой. Все три эпюры, изображенные на рис. 2.3, а, 6, s статически возможны — они удовлетворяют условиям равновесия. Количество таких статически возможных эпюр бесконечно. Но лишь одна из них является действительной.

Мысленно рассечем брус на части и приложим к каждой из них распределенные внутренние силы взаимодействия (рис. 2.4 и 2.5)х),

На рис. 2.4, 2, 2.5, 6, 2.6, d, 2.6, е изображены лишь нормальные напряжения. Кроме них в поперечных сечениях возникают и самоуравновешенныв) в пределах этих сечений, касательные напряжения.

Рнс. 2.3. Различные (из бесчисленного множества) законы распределения напряжений по сечению, удовлетворяющие условию эквивалентностиРнс. 2.3. Различные (из бесчисленного множества) законы распределения напряжений по сечению, удовлетворяющие условию эквивалентностит. е. переведем внутренние силы в категорию внешних по отношению к частям бруса. Из бесчисленного количества для каждого сечения статически возможных эпюр действительными являются лишь эпюры (по одной в каждом сечении), которым соответствует согла- сованиая деформация отдельных частей бруса. Подразумевается, что при согласованной деформации из отдельных, уже подвергнутых деформации, частей можно составить сплошной стержень (рис. 2.4 и 2.5). Согласованность деформации иначе можно назвать совместностью деформаций. Условия совместности деформаций являются теми дополнительными, которые вместе с условиями равновесия бесконечно малого элемента тела с размерами dxr dy и dz (см. гл. V) позволяют найти величину и закон распределения усилий в теле. Пояснение этого положения дано на .рис, 2.6. Разумеется, при этом надо знать закон, связывающий напряжения с деформациями.

Рнс. 2.3. Различные (из бесчисленного множества) законы распределения напряжений по сечению, удовлетворяющие условию эквивалентности

Рнс. 2.3. Различные (из бесчисленного множества) законы распределения напряжений по сечению, удовлетворяющие условию эквивалентности

К заметному нарушению совместности деформаций приводит предположение о равномерном законе распределения напряжений по поперечным сечениям и вблизи резкого перехода от одного сечения бруса к другому (рис. 2.7, а) или в районе ослабления бруса отверстиями (рис. 2.7, 6), выточками (рис. 2.7, 6). На рис. 2.8 даны действительные эпюры распределения напряжений по поперечным сечениям брусьев, изображенных на рис. 2.7.

W = Jo df.W = Jo df.Из рассмотрения рис. 2.7, где показан характер несогласованности деформаций отдельных элементов брусьев, легко уяснить,

W = Jo df.

W = Jo df.

какие изменения должны быть внесены в эпюры равномерно распределенных напряжений, принятые на рис. 2.7, для того, чтобы добиться совместности деформаций. Так, например, ясно, что для ликвидации показанной на рис. 2.7, 6 щели между элементами, подвергнутыми деформации, необходимо приложить усилия вблизи круглого отверстия; при этом элементы будут упираться друг в друга в крайних точках 1. Вблизи точек / вследствие этого возникает сжатие. Если теперь на эпюру равномерно распределенных напряжений по ослабленному сечению, принятую первоначально, наложить растягивающие напряжения вблизи отверстия и сжимающие вблизи краев, то мы и получим окончательную эпюру, показанную на рис. 2.8, б.

Элементы, на которые можно разбить брус поперечными сечениями, будучи подвергнуты воздействию распределенных сил, взятых по эпюрам, указанным на рис. 2.8, испытывают деформацию,

I i Н Н i LI i Н Н i LРис. 2.4. Распределение напряжений в поперечных сечениях растягиваемого бруса： а) бруо, растягиваемый распределенными по торцам силами; б) бруо« растягиваемый сосредоточенными силами; % а) испытавшие деформацию элементы бруса в случаях а, 6) соответственно и распределение напряжений в поперечных сечейнях.Рис. 2.4. Распределение напряжений в поперечных сечениях растягиваемого бруса： а) бруо, растягиваемый распределенными по торцам силами; б) бруо« растягиваемый сосредоточенными силами; % а) испытавшие деформацию элементы бруса в случаях а, 6) соответственно и распределение напряжений в поперечных сечейнях.Ряс. 2.5. Картина деформации элементов и распределение напряжений в лопереч* ных сечениях сжимаемого бруса: а) при равиомерном распределении сил по торцам； б) при действии сосредоточенных сил.Ряс. 2.5. Картина деформации элементов и распределение напряжений в лопереч* ных сечениях сжимаемого бруса: а) при равиомерном распределении сил по торцам； б) при действии сосредоточенных сил.

I i Н Н i L

I i Н Н i L

Рис. 2.4. Распределение напряжений в поперечных сечениях растягиваемого бруса： а) бруо, растягиваемый распределенными по торцам силами; б) бруо« растягиваемый сосредоточенными силами; % а) испытавшие деформацию элементы бруса в случаях а, 6) соответственно и распределение напряжений в поперечных сечейнях.

Рис. 2.4. Распределение напряжений в поперечных сечениях растягиваемого бруса： а) бруо, растягиваемый распределенными по торцам силами; б) бруо« растягиваемый сосредоточенными силами; % а) испытавшие деформацию элементы бруса в случаях а, 6) соответственно и распределение напряжений в поперечных сечейнях.

Ряс. 2.5. Картина деформации элементов и распределение напряжений в лопереч* ных сечениях сжимаемого бруса: а) при равиомерном распределении сил по торцам； б) при действии сосредоточенных сил.

Ряс. 2.5. Картина деформации элементов и распределение напряжений в лопереч* ных сечениях сжимаемого бруса: а) при равиомерном распределении сил по торцам； б) при действии сосредоточенных сил.

Ряс. 2.6. К вопросу о распределении напряжений и совместности деформацнб в брусе) а) брус, растягиваемый сосредоточенными силами; б) ошибочно предполагаемой картина распределения напряжеини; в) деформация элементов^ соответствующая ошибочному предположению о распределении напряжений; е) несогласов ан ность деформации элементов 〃一22 и 22—S3 (отсутствие совместиостм деформаций) п&н ошибочно предполагаемом распределении напряжений; д) действительное распределение иапрядееинй; е) деформация элементов, соответствующая действительному распределен ню напряжений; ж) согласо* ванность деформации элементов 〃一22 н 22—33 (соблюдение совместности деформаций) при действительном законе распределения напряжений.

1ШШ1|1ШШ1|Рис. 8.7. Картина деформации элементов плоских брусьев, соответствующая предположению о равномерном раслределенин напряжений по поперечным сечеиням (нарушение есжместности деформаций)： а) брус ступенчато-переменного сечения; б) брус с круглым отверстием; е) брус с выточками, имеющими полукруглое основание.Рис. 8.7. Картина деформации элементов плоских брусьев, соответствующая предположению о равномерном раслределенин напряжений по поперечным сечеиням (нарушение есжместности деформаций)： а) брус ступенчато-переменного сечения; б) брус с круглым отверстием; е) брус с выточками, имеющими полукруглое основание.

1ШШ1|

1ШШ1|

Рис. 8.7. Картина деформации элементов плоских брусьев, соответствующая предположению о равномерном раслределенин напряжений по поперечным сечеиням (нарушение есжместности деформаций)： а) брус ступенчато-переменного сечения; б) брус с круглым отверстием; е) брус с выточками, имеющими полукруглое основание.

Рис. 8.7. Картина деформации элементов плоских брусьев, соответствующая предположению о равномерном раслределенин напряжений по поперечным сечеиням (нарушение есжместности деформаций)： а) брус ступенчато-переменного сечения; б) брус с круглым отверстием; е) брус с выточками, имеющими полукруглое основание.

勿勿勿

勿

勿

Ряс. S.8. Действительные эпюры напряжений в поперечных сечениях брусьев: а) бру« ступенчато>переменного сечеиия； 6) брус с круглым отверстием; в) брус с выточкамн«

согласованную с деформацией соседних элементов. Из таких элементов можно сложить сплошной деформированный брус без щелей. Условия совместности деформаций формулируются не для элемента стержня, ограниченного двумя поперечными сечениями, а для элемента с размерами 或,dy, dz и в аналитической форме выражаются дифференциальными уравнениями. Вывод их дан в главе VI. Однако в сопротивлении материалов ими не пользуются и задача решается элементарными средствами. Вместо строгого соблюдения условий совместности деформаций принимают определенные гипотезы о характере деформации, упрощающие действительную ее картину.

Гипотеза плоских сечений

Выше отмечалось, что в случае неравномерного распределения по торцам нормальных сил сечения перестают быть плоскими (депланируют). Однако на большей части длины стержня, за исключением частей, примыкающих к торцам, сечения практически 纥 таются плоскими. Если к промежуточному поперечному сечени^о стержня приложена неравномерно распределенная нагрузка, сводящаяся к силе, действующей вдоль его оси, то заметные отклонения от плоской формы сечений наблюдаются и вблизи этого промежуточного сечения. Возмущения имеются в районах изменения сечений, в том числе ——ослаблений. Однако при сравнительно небольшом удалении от всех этих мест возмущений поперечные сечения стержня при деформации практически остаются плоскими. Поэтому можно принять упрощающую расчет гипотезу о том, что при растяжении или сжатии стержней поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и параллельными друг другу и после деформации. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений (гипотеза Мариотта — Бернулли)г). Применительно к телам, имеющим форму брусьев, в сопротивлении материалов она заменяет собой условия совместности деформаций, используемые при решении задачи о распределении напряжений в более точной науке — в теории упругости. Такая замена, естественно, приводит к искажению истинной картины распределения напряжений, ощутимому лишь в указанных выше областях.

В том случае, когда внешние силы приложены лишь к торцам призматического стержня и при этом равномерно распределены по их площади, гипотеза плоских сечений выполняется строго, т. е. является законом плоских сечений, справедливым при любом ) отношении длины стержня к размеру поперечного сечения.

Ф. Мариотт (F. Mariotte, 1620—1684)—французский физик.

Яков Бернулли-старший (J acov Bernoulli, 1654—1705)——швейцарский учеиый-математикг принадлежащий талантливой семье, давшей науке несколько выдающихся ученых, среди которых он был старшим.

§ 2・5・ Формула для нормального напряженияв поперечном сечении растянутого (сжатого) стержня

В соответствии с гипотезой плоских сечений длина всех продольных волокон, расположенных между любыми двумя поперечными сечениями, в процессе растяжения (сжатия) изменяется одинаково. Следовательно, одинаковой у всех волокон оказывается и величина относительной линейной деформации:

е = const.

о = const.о = const.Это свидетельствует и об одинаковой напряженности этих волокон, т. е. о равномерном распределении нормальных напряжений по поперечному сечению при осевой деформации стержня:

о = const.

о = const.

Слёдовательно,

N =、GdF = G、dF =(jF・

Отсюда

尸

Имея эпюру продольных сил N, по формуле (2.1) определяем нормальное напряжение в любом из поперечных сечений стержня.

Если в поперечном сечении имеется ослабление (отверстие, выточка и т. п.), то в нем можно найти некоторые условные напряжения, значительно отличающиеся от действительных. Эти условные напряжения будем называть номинальными и определять по

формуле

“ нетто“ нетто(2.2)

“ нетто

“ нетто

Под 尸нетто подразумевается фактическая площадь поперечного сечения, т. е. разность между площадью поперечного сечения стержня без учета ослабления, называемой F6pyrr0, и площадью ослабления 尸 оел*_

Fнетто = Fбрутто —尸 осл・

Иными словами, номинальными называются на - ряжения, определенные по формулам с оп- отивления материалов, в которых о с л а б леи е учтено лишь соответствующим измен е- йем величины геометрического фактора, арактеризующего поперечное сечение стержня. Никакого другого учета ослабления, связанного с на-

рушением регулярности распределения напряжений вблизи отверстий, при этом не делается. В случае осевой деформации, как легко видеть из формулы (2.2), номинальное напряжение является средним по площади сечения нетто (аном = %)・

Концентрация напряжений

Обсуждение статической неопределимости закона распределения напряжений по поперечному сечению стержня показало, что при наличии в стержне отверстий, выточек и тому подобных нерегулярностей формы возникает резкая неравномерность распределения напряжений со значительными пиками вблизи указанных нерегулярностей. Это явление носит название концентрации напряжений. Оно обнаруживается не только при осевой, но и при всех других видах деформации стержня, а также при деформации элементов любой формы (не только стержневых). С этим явлением приходится считаться как при конструировании элементов конструкций и деталей машин, так и при расчете их. Выявить распределение напряжений с учетом их концентрации можно двумя путями: теоретическим и экспериментальным. Теоретический путь основан на применении теории сплошных сред (теории упругости, теории пластичности, теории ползучести — в зависимости от свойств материала), в которой вместо гипотез геометрического характера используются дифференциальные уравнения совместности деформаций, а равновесие соблюдается для любого бесконечного малого элемента тела, а не в интегральном (по поперечному сечению) смысле, как это делается в сопротивлении материалов.

Экспериментальный путь основан на непосредственных измерениях, выполняемых при помощи той или иной аппаратуры на реальных элементах или деталях или на моделях, изготовленных из материала натуры или другого материала.

При изучении концентрации напряжений одним из основных понятий является так называемый коэффициент концентрации, представляющий собой отношение максимального напряжения в районе концентрации к номинальному:

Коэффициент концентрации может определяться и для касательных напряжений. Вблизи максимального напряжения зоны концентрации всегда наблюдается затухание напряжений. Это явление называется законом затухания. Чем выше пик напряжений в месте их концентрации, тем заметнее затухание напряжений в неб о льшом удалении от указанного пика.

Величина коэффициента концентрации зависит от ряда факторов —формы детали и формы и относительных размеров той нерегулярности, которая вызывает концентрацию. Эту нерегулярность называют концентратором напряжений. На рис. 2.9 показаны различные формы концентраторов.

Можно отметить те параметры концентраторов, которые оказывают на коэффициент концентрации существенное влияние. В случае мелкой выточки (tlb ——малая величина, рис. 2.10) такими параметрами являются глубина f и радиус кривизны р. Искажение поля напряжений при этом локализуется областью, примыкающей к основанию выточки. Если же выточка достаточно глубока [tlb не малая величина), то поле напряжений искажается по всему ослабленному

□=] О=^

Рис. 2.9. Различные виды концентраторов напряжений.

поперечному сечению. В этом случае глубина выточки не является фактором, существенно влияющим на коэффициент концентрации; таким фактором становится отношение (Ь—/)/р = а/р. При прочих одинаковых условиях, чем меньше р, тем выше коэффициент концентрации. Особенно сильной концентрация напряжений оказывается у дна тонких трещин, где величина р исчезающе мала.

В случае мелкой выточки (£《Ь) коэффициент концентрации обозначается символом а必；на его величину оказывают заметное влияние параметры t (глубина выточки) и р (радиус кривизны), или их отношение 〃р・ При этом поле напряжений в ослабленном поперечном сечении заметно искажается (существенно отличается от однородного) лишь вблизи выточки.

В случае глубокой выточки коэффициент концентрации.обозначается символом а优；на его величину оказывают заметное влияние параметры а = b — / и р, или их отношение а! р. При этом поле напряжений заметно искажается (существенно отличается от однородного) во всем ослабленном поперечном сечении.

Коэффициент концентрации для общего случая выточки (глубокой и мелкой) обозначается символом а论.

Величина а在 в пределе с а,肌 Вместе с тем при 〃р - точка отсутствует.Величина аА в пределе с atk. Вместе с тем при а/ рВеличина а在 в пределе с а,肌 Вместе с тем при 〃р - точка отсутствует.Величина аА в пределе с atk. Вместе с тем при а/ рРис. 2.10. Растянутый стержень с двухсторонней симметричной выточкой [Нейбер Г., Концентрация на- пряженйй. Гостехиздат, 1947J.Рис. 2.10. Растянутый стержень с двухсторонней симметричной выточкой [Нейбер Г., Концентрация на- пряженйй. Гостехиздат, 1947J.(при 〃р-> 0 и а/р-> 0),(при 〃р-> 0 и а/р-> 0),при 〃 р f 0 (а/р-^Ы р) совпадает а 0 а結-> 1, поскольку при £ = 0 вы

Величина а在 в пределе с а,肌 Вместе с тем при 〃р - точка отсутствует.

Величина аА в пределе с atk. Вместе с тем при а/ р

Величина а在 в пределе с а,肌 Вместе с тем при 〃р - точка отсутствует.

Величина аА в пределе с atk. Вместе с тем при а/ р

Рис. 2.10. Растянутый стержень с двухсторонней симметричной выточкой [Нейбер Г., Концентрация на- пряженйй. Гостехиздат, 1947J.

Рис. 2.10. Растянутый стержень с двухсторонней симметричной выточкой [Нейбер Г., Концентрация на- пряженйй. Гостехиздат, 1947J.

(при 〃р-> 0 и а/р-> 0),

(при 〃р-> 0 и а/р-> 0),

при а/р-> 0 (Z/p-> b/р) совпадает О а,尼一> 1, поскольку наиболее узкое (ослабленное) сечеиие настолько малб, что при данном р шейка может рассматриваться как призма.

Коэффициент концентрации а在, удов л етвор я ющи й обоим требованиям

Рис. 2.11. Концентрация напряжений при объемном напряженном состоянии: а) эпюра нормальных напряжений в поперечном сеченин; б) эпюра нормальных напряжений на площадках, перпендикулярных радиусу.Рис. 2.11. Концентрация напряжений при объемном напряженном состоянии: а) эпюра нормальных напряжений в поперечном сеченин; б) эпюра нормальных напряжений на площадках, перпендикулярных радиусу.может быть представлен формулой

Рис. 2.11. Концентрация напряжений при объемном напряженном состоянии: а) эпюра нормальных напряжений в поперечном сеченин; б) эпюра нормальных напряжений на площадках, перпендикулярных радиусу.

Рис. 2.11. Концентрация напряжений при объемном напряженном состоянии: а) эпюра нормальных напряжений в поперечном сеченин; б) эпюра нормальных напряжений на площадках, перпендикулярных радиусу.

а = ] I (勺左―])(а俯—1)М(а"-1)2 + (а*—1)2

В приложении II показаны некоторые концентраторы напряжений и соответствующие коэффициенты концентрации.

Искажение поля напряжений вблизи концентратора проявляется и в площадках, перпендикулярных поперечному сечению. В таких площадках в растянутой призме, не содержащей концентраторов, напряжения равны нулю, а при наличии концентратора они отличны от нуля (рис. 2.11, б). Таким образом, даже в случае осевой деформации, например, цилиндра с концентратором, вблизи последнего возникает сложное напряженное состояние (рис. 2.11)—— действуют напряжения, отличные от нуля, на всех гранях бесконечно малого элемента, мысленно выделенного из тела. Такое изменение

102 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II напряженного состояния материала в о к- рестности концентратора в ряде случаев влечет за собой изменение характера сопротивляемости материала деформациям.

Принцип Сен-Венана 工)

На рис. 2.12 показаны два одинаковых стержня, растянутых одинаковой по суммарной величине, но различным образом распределенной нагрузкой, и изображены эпюры нормальных напряжений по сечениям.

Сопоставление соответствующих эпюр в двух стержнях показывает, что в части, удаленной от. места приложения нагрузки на сравнительно небольшую величину, напряженное состояние при любом законе распределения силы по торцу оказывается практически одинаковым. Лишь в частях, примыкающих к нагруженным торцам, распределение напряжений получается .существенно различным.

В этом состоит так называемый принцип Сен-Венана, который может быть сформулирован следующим образом: если тело подвергается воздействию нагрузки, приложенной к небольшой области (например, небольшая, часть- поверхности), то напряжения в теле существенно зависят и от величин составляющих силы и момента, статически эквивалентных нагрузке, и о т закона распределения п о- следней лишь в небольшой части т ел а, п р и м ы- кающей, к месту приложения нагрузки. Вне этой части тела напряжения практически зависят лишь от величин составляющих силы и момента, статически эквивалентных нагрузке, и не зависят от закона.распреде- л ен и я последней.

Из принципа Сен-Венана следует, что если не интересоваться частями тела, примыкающими к месту приложения нагрузки, то одну нагрузку можно заменять другой, статически ей эквивалентной, не опасаясь того, что картина напряжений при такой замене изменится ощутимо. .

Принцип Сен-Венана справедлив лишь в случае достаточной малости площадки, в пределах которой производится замена одного закона распределения нагрузки другим. В случае массивного (не тонкостенного) стержня площадка может считаться малой, если ее размеры не превосходят характерных размеров поперечного сечения. Иными словами, такой площадкой может считаться весь торец. В случае тонкостенного стержня площадка может считаться малой,

Барре де Сен-Венан (Barre de Saint-Venan, 1797—1886) — французский ученый'■механик, инженер.

если ее размеры того же порядка, что и толщина пластин, образующих стержень (рис. 2.13). Во всех тех случаях, в которых размер площадки не удовлетворяет этому условию, заменять одну систему сил другой, статически ей эквивалентной, нельзя, о чем уже говорилось во введении.

Принцип Сен-Венана является важнейшим принципом механики деформируемых тел. Он позволяет во многих случаях упрощать

鹹鹹гг!!ШШ!Ш!Ш11!!ШШ!Ш!Ш11ШШШЩШШШЩ丁丁dUdU血血EDEDlllllinilillllliniliРис. 2.12. К принципу Сен-Венаиа — независимость от закона；распределения внешней нагрузки (действующей в локальной области) распределения напряжений в частях бруса, удаленных от места приложения нагрузки.Рис. 2.12. К принципу Сен-Венаиа — независимость от закона；распределения внешней нагрузки (действующей в локальной области) распределения напряжений в частях бруса, удаленных от места приложения нагрузки.Рис. 2.13. Размеры загружаемой внешними силами площадки (заштрихована), которую можно считать «локальной» в формулировке принципа Сеи-Венана: а) массивный брус; 6) тонкостенный брус.Рис. 2.13. Размеры загружаемой внешними силами площадки (заштрихована), которую можно считать «локальной» в формулировке принципа Сеи-Венана: а) массивный брус; 6) тонкостенный брус.

鹹

鹹

г

г

!!ШШ!Ш!Ш11

!!ШШ!Ш!Ш11

ШШШЩ

ШШШЩ

丁

丁

d

U

d

U

血

血

ED

ED

lllllinili

lllllinili

Рис. 2.12. К принципу Сен-Венаиа — независимость от закона；распределения внешней нагрузки (действующей в локальной области) распределения напряжений в частях бруса, удаленных от места приложения нагрузки.

Рис. 2.12. К принципу Сен-Венаиа — независимость от закона；распределения внешней нагрузки (действующей в локальной области) распределения напряжений в частях бруса, удаленных от места приложения нагрузки.

Рис. 2.13. Размеры загружаемой внешними силами площадки (заштрихована), которую можно считать «локальной» в формулировке принципа Сеи-Венана: а) массивный брус; 6) тонкостенный брус.

Рис. 2.13. Размеры загружаемой внешними силами площадки (заштрихована), которую можно считать «локальной» в формулировке принципа Сеи-Венана: а) массивный брус; 6) тонкостенный брус.

решение задачи путем переноса известных результатов, относящихся к простым условиям, на другие, более сложные случаи.

Принцип Сен-Венана применим не только в случае растяжения или сжатия стержня и не только к телам, имеющим форму стержня. Он сохраняет силу и в других случаях, но до сих пор не получил строгого обоснования; однако он подтверждается многочисленными примерами исследований напряженного состояния, выполненными методами теории упругости, и измерением деформации при опытах.

Область применимостиформулы для нормального напряжения *

Из сказанного в предыдущих параграфах ясно, что формулой (2.1) можно пользоваться не всегда. Она применима в следующих случаях.

Если призматический стержень загружен лишь по торцам нормальной равномерно распределенной нагрузкой. При этом

отношение длины стержня к поперечным размерам может быть любым г).

Если призматический стержень загружен по торцам любой нормальной (не равномерно распределенной) нагрузкой, равнодействующая которой проходит через центры тяжести торцов, и рассматриваются сечения, отстоящие от торцов на величину, доводящую до порядка поперечного размера стержня. Чем ближе распределение нагрузки к равномерному, тем эта величина меньше.

Для частей стержня, примыкающих к торцам, в этом случае пользоваться формулой (2.1) нельзя. Таким образом, для возможности использования формулы (2.1) необходимо,чтобы длина стержня не менее чем в 5 раз превосходила размер поперечного сечения* В случае более короткого стержня почти веса стержень оопадает в область больших отклонений от гипотезы плоских сечений и, следовательно, больших отклонений от равномерного распределения напряжений по поперечным сечениям.

Если стержень не слишком отличается от призматического. В противном случае получаются значительные погрешности. Так, например, в ступенчатом стержне в районе каждой ступени формула (2.1) дает ощутимую погрешность, так как здесь характер деформации не соответствует гипотезе плоских сечений (рис, 2.7, а и 2.8, а). Большую погрешность формула (2.1) дает и в случае наличия в стержне других концентраторов напряжений, при этом погрешность получается особенно большой вблизи концентратора (рис. 2.7,5 л 2.8, 6).

Нарушение гипотезы плоских сечений имеет место и в случае непостоянства продольной силы вдоль призмы, т. е. если имеются промежуточные внешние сосредоточенные силы или неравномерно распределенные по поперечным сечениям нагрузки.

Несмотря на явно неравномерный характер распределения напряжений по поперечному сечению стержня, наблюдаемый в отмеченных выше случаях, формулой (2.1) все же пользуются зачастую даже и в таких случаях, получая при этом средние по поперечному сечению напряжения. Наличие же местных напряжений, превышающих средние, учитывается в условии прочности, о чем будет сказано в § 2.15.

Анализ напряженного состояния призматическогостержня, подвергнутого чистому растяжению (сжатию)

Пусть призматический брус с площадью поперечного сечения F растягивается (сжимается 】))двумя силами Р, нормальными к торцам и равномерно распределeHHbiNfM по ним (рис. 2.14, а). Такая деформация призматического бруса называется чистым

】)См. примечание па стр. 92.

растяжением (сжатием). Интенсивность распределенных по торцам сил равна PIF. Этой же величине равно нормальное (оно же полное) напряжение о в любом из поперечных сечений бруса.

Установим, чему равны напряжения, возникающие не в поперечном, а в любом плоском сечении, нормаль к плоскости которого составляет с осью бруса угол а. С этой целью рассечем брус на две части указанной плоскостью и рассмотрим одну из этих частей, заменив действие на нее другой части внутренними силами. Все про

дольные волокна удлиняются одинаково и при этом равномерно по всей длине каждого волокна. Поэтому по проведенному сечению распределение полных напряжений, направленных вдоль волокон, равномерное (рис. 2.14, 6). Тот факт, что полные напряжения в обсуждаемом сечении направлены вдоль волокон, очевиден, так как иначе отсеченная часть стержня не находилась бы в равновесии.

Уравнение равновесия части бруса имеет вид

Fg = F.p^

здесь /\ — полное напряжение в сечении с нормалью v,尸v — площадь наклонного сечения (Fv = F/cos а). Отсюда

pv = ^- = п cos а.

Полное напряжение разложим на нормальную и касательную составляющие qv и rv (рис. 2.14, 6):

= pv cos % tv =网 sin a, или

% = о cos2 a, rv = a sin a cos a = y sin 2a.(2.3)

Из формулы (2.3)i ясно, что % достигает максимума aVl тах = о при cos a = 1 или при a = 0, т. е. в поперечном сечении стержня, и минимума crv, min = 0 при cos a = 0 или при a = л/2, т. е. в продольном сечении стержня. Касательное напряжение равно нулю как при a = 0, так и при a — л/2. Максимального значения касательное напряжение достигает при sin 2a = 1 или при a = л/4, т. е. в сечении, нормаль к которому составляет с осью стержня угол л/4； при ЭТОМ “, max = J2・

Относительная линейная деформация стержня(продольная и поперечная). Относительное сужение

Абсолютное удлинение стержня при растяжении без указания длины стержня не может служить мерой степени деформации материала. Опыт показывает, что при различной длине стержня и при

Рис. 2.15. Изменение размеров призмы при растяжении.Рис. 2.15. Изменение размеров призмы при растяжении.перечный размер, ванного бруса).Величинаперечный размер, ванного бруса).Величинапрочих равных условиях одна и та же сила способна вызвать различное его удлинение: чем длиннее стержень, тем больше его удлинение. В связи с этим удобно ввести понятие, характеризующее деформацию независимо от длйГы стержня, на которой она обнаружена. Такой характеристикой является относительная линейная деформация е, которая в рассматриваемом случае однородна (постоянна во всем объеме стержня) и находится по формуле

Рис. 2.15. Изменение размеров призмы при растяжении.

Рис. 2.15. Изменение размеров призмы при растяжении.

перечный размер, ванного бруса).

Величина

перечный размер, ванного бруса).

Величина

е = Т. Q.4)

где А/ — / — 4 — абсолютное удлинение стержня, /0 и / —— первоначальная его длина и длина после деформации. #

以=以=万万При растяжении бруса происходит уменьшение его поперечных размеров. Величина, на которую уменьшается первоначальный поперечный размер бруса Ab = b —瓦，называется абсолютной линейной поперечной деформацией (рис. 2Л 5) (b<j ——первоначальный линейный по- Ь — линейный поперечный размер деформиро-

以=

以=

万

万

называется относительной линейной поперечной деформацией.

Если обозначить символом 凡 первоначальную площадь поперечного сечения стержня, а через 尸—площадь поперечного сечения в момент определения деформации, сохраняющей равномерность п о длине, то отношение

屮 равн="р—'(2.5)

можно назвать относительным равномерным сужением.

Диаграммы растяжения и напряжений

Зависимость между напряжениями и деформациями, возникающими в материале, можно изучить при помощи опыта. Эта зависимость необходима для теоретического определения напряжений в теле, в частности в сгержне, при условии того или иного на него воздействия. Знать поведение материала под нагрузкой вплоть до разрушения необходимо и для установления таких характеристик материала, которые позволяют решать одну из основных задач сопротивления материалов ——подбор сечений элементов, подвергнутых действию внешних сил. Экспериментальное изучение свойств материалов необходимо и для того, чтобы иметь возможность теоретически оценивать жесткость конструкции, т. е. оценивать ее деформацию.

Изучение свойств материала производится на изготовленных из него образцах стандартной формы. Нагружение (деформация) образца ос ущесгвл яется при помощи специальных испытательных машин.

Материалы в процессе деформирования под нагрузкой вплоть до разрушения ведут себя по-разному. Одни (пластичное поведение) к моменту разрушения образца (изделия) претерпевают значительные деформации, не исчезающие при снятии нагрузки, в связи с разрушением. Другие (хрупкое поведение) к моменту разрушения претерпевают весьма малые деформации, т. е. разрушение наступает без видимых изменений в образце (изделии).

Имеются такие материалы, поведение которых, при любых изучавшихся до настоящего времени условиях протекания деформации до разрушения, оказывается пластичным. К числу таких относятся: алюминий, медь, свинец. Такие материалы естественно называть пластичными.

Некоторые другие материалы, при любых изучавшихся до настоящего времени условиях протекания деформации, заканчивающейся разрушением, ведут себя как хрупкие. К числу таких материалов можно отнести различные неорганические стекла, некоторые разновидности чугуна. Такие материалы естественно называть хрупкими, Многие же материалы в различных условиях деформирования, завершающегося разрушением, ведут себя по-разному: в одних — как пластичные, в других — как хрупкие. Такие материалы, строго говоря, нельзя называть ни пластичными, ни хрупкими. Правильнее утверждать, что в рассматриваемых условиях протекания деформации, завершающейся разрушением, материал находится з пластичном состоянии, в других условиях тот же материал может находиться в хрупком состоянии.

К числу факторов, влияющих на существование пластичного или хрупкого состояния, относятся: скорость деформирования, температура образца или изделия, степень неоднородности поля

напряжений в теле г). Чем выше скорость деформирования, чем ниже температура образца (изделия), чем выше по величине коэффициенты концентрации напряжений, тем больше вероятность хрупкого поведения материала.

Несмотря .на то, что ряд материалов в одних условиях имеет хрупкое поведение, а в других ——пластичное, все же и такие материалы обычно называют либо пластичными, либо хрупкими в зависимости от того, каково их поведение при статическом деформировании, в условиях комнатной температуры и при отсутствии концентраторов напряжений. Разумеется, применительно к таким материалам определения «пластичный» или «хрупкий» используются условно.

Рис. 2.16. Форма и размеры круглого большого стандартного образца.

Для простоты изложения в дальнейшем применяются термины «пластичный» и «хрупкий» материалы. Понимать их следует с учетом сказанного выше.

Рассмотрим процесс деформации при растяжении образца из пластичного материала (малоуглеродистая сталь). Свойства материала, обнаруживаемые при испытании, до некоторой степени зависят от формы и размеров образца. Для того чтобы результаты испытания одного и того же материала были сравнимы, образцы изготовляют определенных стандартных размеров и формы. Само испытание осуществляется по определенной стандартной методике.

Одна из стандартных форм образца, применяемая при испытании пластичных сталей, показана ) на рис. 2.16. Выступы по концам нужны для того, чтобы при их помощи передавать нагрузку на образец. Деформация средней части образца между точками Д и В на основании принципа Сен-Венана не зависит от того, каков закон распределения нагрузки, растягивающей образец, на его уступах. На отрезке АВ, называемом рабочей частью образца, или на более

§ 2.П) ДИАГРАММЫ РАСТЯЖЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЙ 109 коротком AfB\ как на базе, устанавливается специальный прибор, позволяющий с большой точностью измерять удлинение соответствующего участка образца. Загружение производится ступенями, и замер деформаций осуществляется после каждой ступени нагружения. Данные такого эксперимента могут быть изображены графически в системе осей Р — А/ (нагрузка — удлинение образца). Испытательная машина позволяет и автоматически записывать график в этой системе осей при непрерывном процессе нагружения. Такой график, построенный по точкам или записанный автоматически, носит название диаграммы растяжения. Для малоуглеродистой стали она имеет вид-, показанный на рис. 2.17.

Можно отметить пять характерных точек па диаграмме. Точка / лежит в конце прямолинейного участка. При нагрузках, меньших Рпц, измеряемой отрезком О —— Г, зависимость между силой и удлинением линейная. Точка 3 характерна тем, что при достижении нагрузкой величины Рт, измеряемой отрезком О ——3‘， дальнейшее удлинение образца в некоторых пределах может происходить без увеличения нагрузки. Это явление носит название текучестиt и горизонтальный отрезок диаграммы, расположенный непосредственно правее точки 5, называется площадкой текучести. После площадки текучести для дальнейшего увеличения деформации требуется и дальнейшее увеличение растягивающей силы. Материал приобретает снова способность сопротивляться деформации, поэтому участок за площадкой текучести до точки 4 называется участком упрочнения. Точка 4 соответствует максимальной силе, которую способен воспринять образец. После нагрузки Рпч (или иначе Рв), измеренной отрезком О ——4', рост деформации происходит без увеличения и даже при уменьшении силы. В образце, по достижении нагрузкой величины О — 4‘，вблизи какого-то промежуточного сечения, образуется резкое сужение (рис. 2.18), называемое шейкой, развитие

которой заканчивается разрывом, т. е. .разрушением, образца. Разрушению соответствует точка 5.

Если загружение образца произвести до силы Р > Рт (точка С на диаграмме), а далее осуществить разгрузку, то ей будет соответствовать отрезок CD, параллельный отрезку О—1. Повторное загружение характеризуется тем, что до нагрузки О — С' диаграмма совпадает с прямой CD разгрузки. При дальнейшем увеличении нагрузки точки попадают на кривую С — 4 — 5, которая имела

Рис. 2.18. Деформация большого цилиндрического образца нз пластичной стали "в раз* ных стадиях испытания..

бы место в случае, если бы образец и не подвергался разгрузке. Это всегда можно проверить при испытании такого же образца, осуществляемом без разгрузки. Отрезок ОС〃 характеризует величину удлинения базы образца, которое соответствует силе ОС'. Эту величину удлинения называют полным удлинением (Д/^н). При полной разгрузке образца некоторая часть полного удлинения исчезает, а другая часть остается. Имея в виду, что свойство деформируемых тел после удаления причин, вызвавших деформацию, принимать первоначальные форму и размеры называется упругостью, обозначим упругую часть удлинения, т. е. исчезающую при разгрузке, символом Д/^. Остальная, неисчезающая часть удлинения называется остаточной и обозначается символом А/^. Индекс (С) у приведенных выше обозначений деформации указывает, что разгрузка начинается от точки С диаграммы.

Рис. 2.19. Диаграмма растяжения хрупкого материала.Рис. 2.19. Диаграмма растяжения хрупкого материала.Описанная картина разгрузки и повторного нагружения показывает упругое поведение материала.

Рис. 2.19. Диаграмма растяжения хрупкого материала.

Рис. 2.19. Диаграмма растяжения хрупкого материала.

Остаточная деформация, наблюдаемая после разгрузки образца, обнаруживается не всегда. Все зависит от того, какова была величина нагрузки перед разгрузкой. Нагрузка, являющаяся верхней границей проявления чисто упругих деформаций, соответствует точке 2 диаграммы, обозначается Рупр и равна отрезку О — 2’ в масштабе оси R

Положение точек / и 2 на диаграмме является условным, так как оно зависит от точности применяемых измерительных инструментов.

• Отрезок О ——/ в масштабе оси А/ представляет собой удлинение образца (в пределах базы) непосредственно перед разрушением; отрезок 0G — удлинение (в пределах базы) образца, составленного из двух частей, образовавшихся после разрушения, с учетом исчезновения упругой деформации Д/упр (отрезок /G).

В процессе деформации образца, по мере его удлинения, еще до образования в нем шейки, происходит уменьшение диаметра образца, т. ё. происходит его поперечное сужение. , Типичная диаграмма растяжения хрупкого материала показана на рис. 2.19. Площадки текучести, а следовательно, и точки 5 на такой диаграмме нет вовсе. Шейка в образце перед разрушением не образуется. Вся диаграмма практически прямолинейна, и характерные точки 2 и точка, соот

ветствующая разрушению, расположены весьма близко одна от другой.

Если диаграмму растяжения (рис. 2.17) подвергнуть некоторому" преобразованию, то из нее можно получить так называемую диаграмму напряжений при растяжении. Это преобразование состоит в том, что по каждому значению нагрузки находится соответствующее значение напряжения

где Fq ——первоначальная площадь поперечного сечения образца. Аналогично, зная первоначальную длину образца / и пользуясь формулой (2.4), осуществляем переход от абсолютных удлинений А/ к относительной линейной деформации е.

Из диаграммы в системе осей 戶——Д/ получается диаграмма в системе осей а ——е (путем аффинного преобразования ——«сжатия» вдоль осей ординат —— в 尸° раз и в / раз — вдоль оси абсцисс).

Полученная таким образом диаграмма (сплошная линия на рис 2.20) называется диаграммой условных напряжений. Условность состоит в том, что при ее построении все силы относятся к 爲一

первоначальной площади поперечного сечения образца, тогда как на самом деле с увеличением силы площадь поперечного сечения растягиваемого образца уменьшается. Если при переходе от 尸 к о учитывать это фактическое уменьшение F, то получим

Рис. 2.20. Диаграммы напряжений при растяжений образца нз пластичного материала: кривая / — диаграмма условных напряжений, кривая 2 — диаграмма истинных напряжений.Рис. 2.20. Диаграммы напряжений при растяжений образца нз пластичного материала: кривая / — диаграмма условных напряжений, кривая 2 — диаграмма истинных напряжений.Рис. 2.21. Диаграммы напряжений (при растяжении) с зубом теку； чести.Рис. 2.21. Диаграммы напряжений (при растяжении) с зубом теку； чести.Рис. 2.22. Диаграммы напряжений ряда металлов и сплавов: а) общий вид диаграмм; б) детали диаграмм в области малых деформаций; / — конструкционная кремниевая сталь, 2 — медь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — латунь, 6 — магний, 7 — алюминий высокой чистоты, отожженный [Templin R. L., Sturm R. G., Journ. Aero. Sci, 7 (7), 189— 198 (July 1940)1Рис. 2.22. Диаграммы напряжений ряда металлов и сплавов: а) общий вид диаграмм; б) детали диаграмм в области малых деформаций; / — конструкционная кремниевая сталь, 2 — медь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — латунь, 6 — магний, 7 — алюминий высокой чистоты, отожженный [Templin R. L., Sturm R. G., Journ. Aero. Sci, 7 (7), 189— 198 (July 1940)1

Рис. 2.20. Диаграммы напряжений при растяжений образца нз пластичного материала: кривая / — диаграмма условных напряжений, кривая 2 — диаграмма истинных напряжений.

Рис. 2.20. Диаграммы напряжений при растяжений образца нз пластичного материала: кривая / — диаграмма условных напряжений, кривая 2 — диаграмма истинных напряжений.

Рис. 2.21. Диаграммы напряжений (при растяжении) с зубом теку； чести.

Рис. 2.21. Диаграммы напряжений (при растяжении) с зубом теку； чести.

Рис. 2.22. Диаграммы напряжений ряда металлов и сплавов: а) общий вид диаграмм; б) детали диаграмм в области малых деформаций; / — конструкционная кремниевая сталь, 2 — медь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — латунь, 6 — магний, 7 — алюминий высокой чистоты, отожженный [Templin R. L., Sturm R. G., Journ. Aero. Sci, 7 (7), 189— 198 (July 1940)1

Рис. 2.22. Диаграммы напряжений ряда металлов и сплавов: а) общий вид диаграмм; б) детали диаграмм в области малых деформаций; / — конструкционная кремниевая сталь, 2 — медь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — латунь, 6 — магний, 7 — алюминий высокой чистоты, отожженный [Templin R. L., Sturm R. G., Journ. Aero. Sci, 7 (7), 189— 198 (July 1940)1

так называемую диаграмму истинных напряжений (пунктир на рис. 2.20).

Напряжения, соответствующие точкам 1, 2*3, 4, т. е. силам Рцц, Рупр, °т，Рцч, обозначаются символами апц, оупр, 6丁, апч и имеют специальные названия: апц ——предел пропорциональности, оупр —

предел упругости^ ат — предел текучести '), апч — предел прочности или временное сопротивление материала. Все эти величины на・ зываются механическими характеристиками материала. Обычно апц и бу” близки одно к другому по величине.

В диаграмме напряжений пластичных материалов в районе площадки текучести обнаруживается особенность, изображенная на рис. 2.21 и называемая «зубом текучести»; вследствие сказанного вводятся понятия верхнего и нижнего предела текучести (а® и а^).

Конечная максимальная ордината в диаграмме истинных напряжений при растяжении называется сопротивлением разрушению и обозначается символом 仇・

Напряжение, до которого в процессе повторного нагружения зависимость о = с (е) остается линейной, называется местным пределом текучести (в отличие от 仇一начального предела текучести) и обозначается символом аТс; имеется в виду, что разгрузка была начата от напряжения атс > ат.

Была рассмотрена диаграмма напряжений при растяжении пластичной стали, как достаточно характерная вообще для пластичных материалов. Вообще же у каждого из материалов в очертании диаграммы напряжений имеется некоторая специфика. На рис. 2.22 приведены диаграммы напряжений при растяжении ных материалов.

Если в диаграмме напряжений не имеется явно выраженной площадки текучести, то вводится понятие условного предела текучести; под ним понимается напряжение, при котором обнаруживается определенная по величине остаточная относительная линейная деформация, например, еост = 0,2%. Символическое изображение условного предела текучести имеет вид % (0j2)или просто а。,/. Относительная деформация в упругой области не превышает десятых долей процента.

Область пластической работы конструкционной стали превосходит область упругой работы ее раз в 200. В связи с этим работа материала в пластической области является огромным резервом прочности конструкций, вследствие которого конструкция, как правило, не разрушается (в смысле

ряда пластич'ряда пластич'Рис. 2.23. Диаграмма напряжений при растяжении хрупкого материала.Рис. 2.23. Диаграмма напряжений при растяжении хрупкого материала.разделения целого на части), а теряет несущую способность из-за больших остаточных деформаций. Практически разрушение стальных конструкций происходит лишь в случае перехода материала „з пластичного в хрупкое состояние.

ряда пластич'

ряда пластич'

Рис. 2.23. Диаграмма напряжений при растяжении хрупкого материала.

Рис. 2.23. Диаграмма напряжений при растяжении хрупкого материала.

Койец площадки текучести у строительных сталей соответствует примерно 3% удлинения.*

Диаграмма напряжений при растяжении хрупких материалов имеет вид,. изображенный на рис. 2.23. Так как при этом к моменту разрушения наблюдаются малые деформации и, в частности, вовсе не возникает шейки, диаграмма истинных напряжений очень незначительно отклоняется от условной.

Истинная деформация.

Разновидности диаграмм напряжений

При больших деформациях 】)вместо характеристики е уместно использовать другую характеристику, называемую истинной деформацией. Смысл ее можно пояснить так. Пусть длина стержня до деформации /0, а окончательная длина /х. Рассмотрим два бесконечно близких друг к другу состояния стержня в процессе деформации — в первом из них длина его /, а во втором / + d/; относительная деформация между этими состояниями

«8ист = у.

Если мысленно разбить весь процесс деформации на такие элементарные части, в каждой из которых удлинение относить не к первоначальной длине стержня, а к действительной в данном состоянии стержня, и затем просуммировать (проинтегрировать) все элементарные относительные деформации, то в результате получим истинную деформацию 2)

/ dl 1 4ает= ) 7 =g个

Отношение 厶/" мох《но найти из (2.4):

'7^ = 1+ е-(2.6)

Из формулы (2.5) находим

尸 11 一屮 равн

Если полагать, что в процессе деформации объем стержня (образца) не изменяется, а все сечения сужаются одинаково (т. е. без образования шейки), то условие постоянства объема стержня в процессе деформации выразится так:

FqZo = Fi^i，

В Природа этих деформаций может быть различной — как упругой, например, у резины, так и пластичной, например» у металла.

а) Для 8ИСТ применяют и другой термин — логарифмическая деформация.

Отсюда 1)Отсюда 1)(2.7)(2.7)£ = " = _厶 尸 1 1 — ^рави

Отсюда 1)

Отсюда 1)

(2.7)

(2.7)

Имея в виду (2.6) и (2.7), представим енсг в следующих формах:

%ст= 1п£ = 1п 磐— = In (14-е). ■

Истинная деформация зависит от отношения площадей поперечных сечений или длин образца в начальный и конечный моментыИстинная деформация зависит от отношения площадей поперечных сечений или длин образца в начальный и конечный моментыдеформации. Напомним, что, в пряжение (см. § 2.11) зависит в каждый момент деформации лишь от растягивающей образец силы и от площади поперечного сечения образца, относящихся именно к данному моменту деформации.В табл. 2. Г дано сопоставление величии 8 и еист.деформации. Напомним, что, в пряжение (см. § 2.11) зависит в каждый момент деформации лишь от растягивающей образец силы и от площади поперечного сечения образца, относящихся именно к данному моменту деформации.В табл. 2. Г дано сопоставление величии 8 и еист.отличие от этого, истинное на-Т а'б л и ц а 2.1отличие от этого, истинное на-Т а'б л и ц а 2.1ееист% расхожденияZi-l,O5Zo 厶=2/о0,0501,0000,0490,690231ееист% расхожденияZi-l,O5Zo 厶=2/о0,0501,0000,0490,690231Можно установить связь между i|)paBH и е. Сопоставляя (2.6) и (2.7), имеемМожно установить связь между i|)paBH и е. Сопоставляя (2.6) и (2.7), имеемОтсюдаОтсюда"Фравн1 —2равн"Фравн1 —2равн屮 равн屮 равнI"I"%广 1 —Зравн

Истинная деформация зависит от отношения площадей поперечных сечений или длин образца в начальный и конечный моменты

Истинная деформация зависит от отношения площадей поперечных сечений или длин образца в начальный и конечный моменты

деформации. Напомним, что, в пряжение (см. § 2.11) зависит в каждый момент деформации лишь от растягивающей образец силы и от площади поперечного сечения образца, относящихся именно к данному моменту деформации.

В табл. 2. Г дано сопоставление величии 8 и еист.

деформации. Напомним, что, в пряжение (см. § 2.11) зависит в каждый момент деформации лишь от растягивающей образец силы и от площади поперечного сечения образца, относящихся именно к данному моменту деформации.

В табл. 2. Г дано сопоставление величии 8 и еист.

отличие от этого, истинное на-

Т а'б л и ц а 2.1

отличие от этого, истинное на-

Т а'б л и ц а 2.1

е

еист

% расхождения

Zi-l,O5Zo 厶=2/о

0,050

1,000

0,049

0,690

2

31

е

еист

% расхождения

Zi-l,O5Zo 厶=2/о

0,050

1,000

0,049

0,690

2

31

Можно установить связь между i|)paBH и е. Сопоставляя (2.6) и (2.7), имеем

Можно установить связь между i|)paBH и е. Сопоставляя (2.6) и (2.7), имеем

Отсюда

Отсюда

"Фравн

1 —2равн

"Фравн

1 —2равн

屮 равн

屮 равн

I"

I"

Кроме диаграмм напряжений в системах осей ст, е и аист> е строят диаграммы напряжений и в системе других осей ): аист, W； ^ист» ^ист*

Относительно всех отмеченных выше диаграмм можно сказать следующее.

В ряде случаев исходной для получения остальных является диаграмма в системе осей Р； А/; она зависит, от размеров образца и не выражает свойств материала непосредственно. Диаграмма в системе осей с, £ сохраняет физический смысл лишь при малых деформациях. При больших деформациях ярко проявляется ее условность, так, например, она имеет максимум, в то время как на самом деле истинные напряжения монотонно возрастают вплоть до разрушения. Такую диаграмму можно рекомендовать к использованию лишь для

呢勿向^⑨^^ ^^呢勿向^⑨^^ ^^116 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. К материалов, пластичность которых в условиях испытания невелика (чугун, литье, алюминиевые сплавы). Применение диаграммы в системе осей а, е оправдывается и в тех случаях, когда она строится

呢勿向^⑨^^ ^^

呢勿向^⑨^^ ^^

61831r^ист(屮)

“102030^5060 ^

Рис. 2.24. Диаграмма напряжений в осях W,(Уист [Механиче-ская лаборатория ЛИИЖТ^.

для суждения о работе материала, предназначаемого к использованию в элементах, подвергаемых именно растяжению.

Наибольшее распространение, при исследовании материалов в области больших пластических деформаций, имеет диаграмма в системе осей оисг,屮(рис. 2.24). Эта диаграмма показывает, что

"2加e勿0t302例

Eucm，£

Рис. 2.25. Диаграмма напряжений в осях оист, еист; аист,- з;с, е [Механическая лаборатория ЛИИЖТ]

точка 4 (рис. 2.17 и 2.20) имеет физический смысл лишь в диаграмме Р, А/ (максимальная нагрузка, выдерживаемая образцом), аналитического же максимума в величине истинного напряжения нет.

Более точной, чем диаграмма аист,屮，является диаграмма в системе осей бнст, £нст (рис. 2.25), однако эта диаграмма применяется реже ввиду большей сложности построения г).

1) На рис. 2.25 переход от кривой о^ст = оИСт G) к пист = пист(еист) осуществлен в соответствии с зависимостью бнст = In (1 + ^. Например, в кривой анст=я = Онст (е) max е = 0,41 (41%); In (1+ max б) = in (1 + 0,41) = 0,34 = max еист (34%).

Диаграммы напряжений при сжатии

Изучение свойств материалов при сжатии производится путем испытания образцов, изготовленных в форме кубов, призм или

цилиндров с высотой, немногим превышающей диаметр, так как при больших отношениях длины образца к его поперечному размеру

в процессе сжатия образец теряет свою прямолинейную форму — искривляется.

При испытании образца из мягкой пластичной стали характер диаграммы напряжений, примерно до возникновения текучести, такой же, как и при растяжении. При более высоких напряжениях диаграммы сжатия и растяжения оказываются различными (рис. 2.26). В процессе деформации образец укорачивается и испытывает увеличение поперечных размеров. Между опорными плитами пресса и торцами образца

стичного материала.стичного материала.возникают силы трения, в связи с чем

стичного материала.

стичного материала.

поперечная деформация образца вблизи поверхности плит стеснена и первоначально цилиндрический образец приобретает бочкообразную форму (рис. 2.27). Чем меньше отношение размера образца

Рис. 2.27. Деформация образца из пластичного материала при вжатии; а) образец до деформация; б) и в) рззйые степени сжатия дбрмца.Рис. 2.27. Деформация образца из пластичного материала при вжатии; а) образец до деформация; б) и в) рззйые степени сжатия дбрмца.вдоль сжатия к поперечному размеру, тем существеннее проявляется трение. На рис. 2.28 показана серия диаграмм напряжений при сжатии пластичного материала в цилиндрических образцах

Рис. 2.27. Деформация образца из пластичного материала при вжатии; а) образец до деформация; б) и в) рззйые степени сжатия дбрмца.

Рис. 2.27. Деформация образца из пластичного материала при вжатии; а) образец до деформация; б) и в) рззйые степени сжатия дбрмца.

с различным отношением d/h. Более крутые диаграммы относятся к образцам с меньшим d/瓦 В таких образцах трение особенно ощутимо.

Трение между образцом и опорными поверхностями пресса можно значительно уменьшить, смазывая эти поверхности парафином или другим аналогичным веществом. В ряде случаев при сжатии пластичного материала напряжение, аналогичное пределу

прочности при растяжении, наблюдать не удается — образец сплю

щивается. .

Хрупкие материалы деформируются при сжатии иначе. Камень, бетон и другие камневидные материалы испытываются на сжатие в образцах, имеющих форму куба. Обычно размер ребра куба каменных образцов — 5 см, бетонных — 20 си, цементного раствора — 7 см. Характерный вид разрушения образца из естественного или

искусственного камня, при наличии трения между подушками пресса и образцом, показан на рис. 2.29, д. При уменьшении этого трения путем смазывания опорных граней образца парафином характерным оказывается разрушение, показанное на рис. 2.29, г.

В образце появляются трещины, в основном параллельные направлению сжатия. В направлении, перпендикуляр-

Рис. 2.28. Диаграммы напряжений при сжатии медных цилиндров с различными отношениями d/h [Bach С., Elastizitat u. Festigkeit, 5. Verl., Berlin, 1905, s. 67].Рис. 2.28. Диаграммы напряжений при сжатии медных цилиндров с различными отношениями d/h [Bach С., Elastizitat u. Festigkeit, 5. Verl., Berlin, 1905, s. 67].ном плоскостям таких трещин, никаких нормальных растягивающих напряжений (как и вообще никаких напряжений) нет (см. § 2.10). В главе VIII дается пояснение причины такого разрушения. Разрушение образца при смазывании его опорных граней происходит при меньшей нагрузке, нежели при отсут-

Рис. 2.28. Диаграммы напряжений при сжатии медных цилиндров с различными отношениями d/h [Bach С., Elastizitat u. Festigkeit, 5. Verl., Berlin, 1905, s. 67].

Рис. 2.28. Диаграммы напряжений при сжатии медных цилиндров с различными отношениями d/h [Bach С., Elastizitat u. Festigkeit, 5. Verl., Berlin, 1905, s. 67].

ствии смазки.

Если в отсутствие смазки опорных граней испытывать призму с высотой, превышаю-

щей размеры основания, и куб, имеющие одинаковые размеры и

форму поперечных сечений, то призматический образец разрушится при меньшей нагрузке, чем образец в виде куба.

Напряжения, при которых происходит разрушение камневид-

ного или каменного материала, иногда называют прочностью. Прочность камня или камневидного материала, обнаруженная на образце призматической формы с определенным соотношением размеров, носит название призменной прочности в отличие от Кубиковой у обнаруживаемой при испытании кубика.

Один и тот же каменный или камневидный материал при испытании его в образцах кубической формы имеет различную прочность в зависимости от размеров куба. Так, например, кубиковая прочность бетона при длине ребра, равной 15 см, примерно на 10% больше прочности образца в виде куба с ребрами, равными 20 см. Зависимость некоторых механических характеристик от размеров образца обнаруживается в ряде случаев, вследствие чего масштаб-

ный фактор всегда надо иметь в виду. Прочность образца не является характеристикой, которая позволяет непосредственно оценить

Рис. 2.29. Вид образцов из хрупкого материала, разрушенных при сжатии: а) чугунный цилин/ ричевкнй образец до деформации： б) разрушенный чугунный цилиндрический образец; в) образец кубической формы из цементного раствора; а) вид разрушенного образца кубической формы из цементного раствора при смазанных опорных гранях; 0) то же при несмазанных опорных гранях.'Рис. 2.29. Вид образцов из хрупкого материала, разрушенных при сжатии: а) чугунный цилин/ ричевкнй образец до деформации： б) разрушенный чугунный цилиндрический образец; в) образец кубической формы из цементного раствора; а) вид разрушенного образца кубической формы из цементного раствора при смазанных опорных гранях; 0) то же при несмазанных опорных гранях.'

Рис. 2.29. Вид образцов из хрупкого материала, разрушенных при сжатии: а) чугунный цилин/ ричевкнй образец до деформации： б) разрушенный чугунный цилиндрический образец; в) образец кубической формы из цементного раствора; а) вид разрушенного образца кубической формы из цементного раствора при смазанных опорных гранях; 0) то же при несмазанных опорных гранях.'

Рис. 2.29. Вид образцов из хрупкого материала, разрушенных при сжатии: а) чугунный цилин/ ричевкнй образец до деформации： б) разрушенный чугунный цилиндрический образец; в) образец кубической формы из цементного раствора; а) вид разрушенного образца кубической формы из цементного раствора при смазанных опорных гранях; 0) то же при несмазанных опорных гранях.'

прочность такого же, как и в образце, материала, в конструкции. Испытание образцов позволяетпрочность такого же, как и в образце, материала, в конструкции. Испытание образцов позволяетно работающего получать лишьно работающего получать лишьчугуна и цементного раствора, сжатий' располагается ниже (на- чем диаграмма а = а (g) при сжа- (еист) прй сжатии близка к диагчугуна и цементного раствора, сжатий' располагается ниже (на- чем диаграмма а = а (g) при сжа- (еист) прй сжатии близка к диаг

прочность такого же, как и в образце, материала, в конструкции. Испытание образцов позволяет

прочность такого же, как и в образце, материала, в конструкции. Испытание образцов позволяет

но работающего получать лишь

но работающего получать лишь

чугуна и цементного раствора, сжатий' располагается ниже (на- чем диаграмма а = а (g) при сжа- (еист) прй сжатии близка к диаг

чугуна и цементного раствора, сжатий' располагается ниже (на- чем диаграмма а = а (g) при сжа- (еист) прй сжатии близка к диаг

эталонные данные для сопоставления свойств материалов. Для этой цели и приходится изготовлять образцы стандартных размеров.

Чугунный цилиндр при сжа^ тии приобретает форму, показанную на рис. 2.29,4 На рисунке видны линии разрушения (трещины), направленные примерно под углом 45° к оси образца.

Хрупкие материалы значительно лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.

На рис. 2.30 показаны диаграммы напряжений при сжатии

Диаграмма аист = <гист (е) при чиная от площадки текучести), тии же. Диаграмма %仃=%仃

рамме такого же типа при растяжении.

Удельная прочность материала

В ряде случаев к конструкциям предъявляется требование малости веса. К числу таких относятся в первую очередь летательные аппараты — ракеты, самолеты. Вес конструкции зависит от двух факторов — от прочности и от удельного веса примененного в ней материала. Если материал 4 прочнее материала В в два раза, но при этом 4 имеет удельный вес в четыре раза выше, чем у В, то из материала А не получится конструкции легче, чем из материала В. Для того чтобы при выборе материала учитывать оба упомянутых выше фактора, введена характеристика, называемая удельной прочностью} она представляет собой отношение предела прочности опч к удельному весу у : опч/у. В табл* 2.2 показана удельная прочность при растяжении для некоторых конструкционных материалов.

Таблица 2.2

Материал

ог1Ч. кГ/мм2

V, Г /сл^

Удельная прочность, см

Сталь хромоникелевольфрамо-

100

8

1 250 000

вая

Дюралюминий повышенной

40

3

1 333 000

прочности

Магниевый сплав МА 3

28

1,9

1 470 000

Титановый сплав ВТ 10

ПО

4,5

2 440 000

Сосна

8

0л6

133 000

(растяжение вдоль волокон)

Условие прочностипри осевом действии сил на стержень

В любом поперечном сечении стержня, подвергнутого воздействию осевых сил, можно теоретически найти напряжения; для ЭТОГО ИСПОЛЬЗуЮТСЯ формулы (2.1) И (2.2) (Оном = Оср)・

С другой стороны, из испытания образцов материала на действие осевых сил известно, при каких напряжениях возникает опасное состояние. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии, опасным напряжением является предел прочности 。。门=опч> при котором наступает разрушение.

Для материалов, находящихся в пластичном состоянии» опасным напряжением в конструкциях, в которых недопустимы пластические деформации под нагрузкой, можно считать предел текучести боп = От, сопровождающийся значительными деформациями.

Опасность больших деформаций состоит в том, что стержень значительно меняет свои размеры и перестает удовлетворять требо-

ваниям, предъявляемым к нему как к элементу конструкции. К тому же эти деформации в основном оказываются остаточными.

Напряжения, возникающие в стержне, должны быть меньше опасной величины:1

О ^^ ^оп*

Для дсстаточной гарантии против возникновение опасного состояния необходимо, чтобы о значительно отличалось от。。旷 Действительно, достоверность значений как и, так и 仇口 не может быть абсолютной, и поэтому требуется некоторый запас, гарантирующий прочность. Для обеспечения этого запаса ставят условие, согласно которому и, определяемое расчетом, должно оставаться меньше не величины опасного напряжения аоп, а лишь некоторой доли от него» т. е. должно выполняться следующее условие:

Это и есть условие прочности материала "при осевом действии сил на стержень. Величина k называется коэффициентом * запаса (々＞ 1). Частное от деления опасного напряжения на коэффициент запаса называется допускаемым напряжением [о]:

竇=回.

Окончательно условие прочности материала при осевом действии сил на стержень представляем в виде

о v[o], или

^V回=粤.,(2.8)

Перечислим основные причины, в связи с которыми необходим коэффициент запаса:.

неполная достоверность сведений о величине и характере п редпол а гаемых нагрузок;

наличие разброса в величине опасного напряжения, определяемого из опыта;

неточность принятого метода расчета, не позволяющая гарантировать абсолютную достоверность получаемых на его основе результатов. Ярким примером. являются местные напряжения в местах концентрации напряжений, не учитываемые элементарным расчетом, определяющим лишь величину среднего напряжения Оср по ослабленному сечению.

Коэффициентом запаса учитывают и ряд обстоятельств, связанных с условиями работы сооружения или машины:

предполагаемая длительность срока работы проектируемого объекта; естественно, что к временному сооружению предъявляют

122 ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ [ГЛ. II меньшие требования, чем к постоянному капитальному сооружению, и при его проектировании коэффициент запаса можно несколько уменьшить;

наличие или отсутствие агрессивной среды, ускоряющей разрушение материала сооружения, и т. п.

Существуют и другие причины введения в условие прочности коэффициента запаса.

Выбор величины коэффициента запаса является очень ответственной задачей. При недостаточной его величине может наступить опасное состояние материала стержня; при чрезмерно большой величине k конструкция оказывается неоправданно тяжелой и излишне дорогой.

Опыт' проектирования, возведения и эксплуатации конструкций и сооружений позволяет путем накопления практических дйнньГх постепенно уменьшать коэффициент запаса и, таким образом, повышать величину допускаемых напряжений. Известно, что для стали марки Ст. 3 в 1912 г. допускаемое напряжение принималось 10 кГ/мм2. Для этого же материала, при учете огромного опыта эксплуатации сооружений, выполненных из него, и усовершенствовании методов расчета, допускаемые напряжения в настоящее время повышены до 16 k/7mmZ Иными словами, учитывая, что для Ст. 3 <гоп — <гт = 24 кПм^. величина коэффициента запаса уменьшена от 2,4 до 1,5.

Остановимся на вопросе о величине коэффициента запаса в связи с концентрацией напряжений. Концентрация напряжений способствует перёходу материала от пластичного поведения к хрупкому. Однако совокупность всех условий (скорость деформирования, уровень температуры, характер концентратора) в одних случаях приводит к хрупкому, а в других — к пластичному поведению материала.

Рассмотрим два одинаковых по форме и размерам образца (полоса с круглым отверстием), выполненные из двух разных материалов. Пусть .картина разрушения одного из этих образцов характерна для пластичного состояния материала, а другого —— для хрупкого.

Проследим сначала за картиной деформации первого из них. Вследствие наличия концентрации эпюра напряжений в ослабленном сечении имеет вид, показанный на рис. 2.31, а. При увеличении нагрузки пропорционально ей возрастают и все ординаты эпюр напряжений. Постепенно увеличивая внешнюю растягивающую нагрузку, дойдем до такого ее значения, при котором максимальные напряжения достигают предела текучести (。丁) (рис. 2.31, б).

При дальнейшем увеличении нагрузки равнодействующая всех внутренних сил в ослабленном сечении, т. е. продольная сила, остается равной возрастающей внешней растягивающей силе; что касается вида эпюры напряжений в ослабленном сечении, то он

меняется — нарушается пропорциональность роста ординат росту внешней нагрузки. Действительно, напряжения вблизи отверстия не могут возрастать до тех пор, пока не пройдена площадка текучести, вместе с тем продольные волокна в стержне вблизи отверстия не могут удлиняться так, как если бы они, будучи доведенными до состояния текучести, работали самостоятельно. Удлинению волокна, напряжение в котором доведено до предела текучести,

Рнс, 2.31.,Характер нзменення эпюры напряжений в. ослабленном сечении образца из пластичного материала в процессе увеличения растягивающей нагрузки. Толщина образца равна.1.

препятствуют все остальные волокна с напряжениями ниже предела текучести. Таким образом, напряжение в волокне, примыкаю^ щем к отверстию, доведено до предела текучести, но площадка текучести пройдена быть не может в силу стеснения деформации. С дальнейшим возрастанием внешней нагрузки должна возрастать и продольная сила в ослабленном сечении, поэтому происходит рост напряжений в тех волокнах, в которых они еще не дошли до предела текучести, а область волокон, в которых напряжения дошли до предела текучести, постепенно расширяется (рис. 2.31, в, г). Такая картина имеет место вплоть до того момента, когда все ослабленное сечение станет работать при напряжениях 0r (рис. 2.31, 0). При этом не останется зоны, стесняющей деформацию, соответствующую площадке текучести, и эта деформация произойдет, т. е. материал, во всем ослабленном поперечном сечении стержня потечет.

К такому же виду окончательной эпюры мы пришли бы, если бы, не считаясь с наличием концентрации напряжений, предполагали, что во все время нарастания нагрузки распределение напряжений по ослабленному поперечному сечению остается равномерным.

Сказанное справедливо при условии, что наличия концентрации напряжений при статическом действии нагрузки оказалось яедоста- точне для того, чтобы материал разрушался хрупко, в условиях Sпластического характера разрушения концентрация напряже- сама по* себе не опасна.

Теперь проследим за поведением второго образца, характер разрушения которого хрупкий (рис. 2.32). Как только вблизи отверстия максимальное напряжение достигает предела прочности

апч (рис. 2.32, 6), в материале в этом месте образуется трещина — площадь поперечного сечения уменьшается (рис. 2.32, б) и без дальнейшего увеличения нагрузки напряжения в сопротивляющейся ■ еще части поперечного сечения возрастают. Вблизи дна трещины I напряжения становятся равными опч, трещина продолжает разви- :ваться (рис. 2.32, г) до тех пор, пока не разрушается стержень по ；всему ослабленному сечению (рис. 2.32, 0). Процесс этот происхо- I дит в очень короткий промежуток времени — почти мгновенно. (^стояниег изображенное на рис. 2.32, 6, является опасным для стержня, ему соответствуют средние напряжения в ослабленном сечении, значительно меньше, чем аоп =詳.？

' Концентрация напряжений для материала в хрупком состоянии

является опасной х). Как только максимальное местное напряжение ，достигает предела прочностиматериала, происходит разрушение

стержня. Вместе с тем из расчета получаем не максимальное местное напряжение, которое следовало бы сопоставлять с допускаемым,

Следует иметь в виду, что сам хрупкий характер разрушения мог возникнуть вследствие концентрации напряжений, но не исключено и то, что материал образца имеет такую природу, что разрушается хрупко и без концентрации напряжений.

а среднее, т. е. вместо условия прочности

пользуемся условиемпользуемся условиемс 亡 G°n°max Vgс 亡 G°n°max Vg0cР捻自，0cР捻自，(2.9)(2.10)(2.9)(2.10)Здесь бср и Отах — среднее и максимальное напряжения в эпюре (рис. 2.33)Т 自 一 коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по максимальному местному напряжению; ^2 — коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по средЗдесь бср и Отах — среднее и максимальное напряжения в эпюре (рис. 2.33)Т 自 一 коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по максимальному местному напряжению; ^2 — коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по среднему напряжению.Для того чтобы можно было бы заменить условие прочности (2.9) условием (2.10), считая их эквивалентными, в (2.9) и (2.10)нему напряжению.Для того чтобы можно было бы заменить условие прочности (2.9) условием (2.10), считая их эквивалентными, в (2.9) и (2.10)правые части должны находиться отношении, как и левые, т. е.правые части должны находиться отношении, как и левые, т. е.в том жев том жеОтсюдаОтсюдаmaxОсрmaxОср々2 =々I,"ср々2 =々I,"срсреднего напряжения в сечении с концентрацией напряжений.среднего напряжения в сечении с концентрацией напряжений.т. e. если оценка прочности ведется по средним напряжениям, а так она обычно и ведется, то коэффициент запаса (^2) должент. e. если оценка прочности ведется по средним напряжениям, а так она обычно и ведется, то коэффициент запаса (^2) долженбыть больше того его значения, которое соответствует оценке прочности по максимальному местному напряжению. Поэтому, произбыть больше того его значения, которое соответствует оценке прочности по максимальному местному напряжению. Поэтому, производя расчет стержня, изготовленного из хрупкого материала, в условиях концентрации напряжений, необходимо выбирать коэффициент запаса более высокий, чем в случае пластичного материала. Это повышение зависит от коэффициента концентрации.В силу ряда особенностей, на которых здесь не останавливаемся и которые рассмотрим ниже, в § 4.8, раздел 7, § 4.10, раздел 5 и в главах XVII и XIX, коэффициент запаса при динамическом характере нагрузки должен выбираться большим по величине, чем при статическом действии сил. Коэффициент запаса при статическом действии сил для таких пластичных материалов, как сталь, принимается равным 1,5 + 2,0, для хрупких материалов 3 子 5.Условие прочности (2.8) позволяет решить следующие харакводя расчет стержня, изготовленного из хрупкого материала, в условиях концентрации напряжений, необходимо выбирать коэффициент запаса более высокий, чем в случае пластичного материала. Это повышение зависит от коэффициента концентрации.В силу ряда особенностей, на которых здесь не останавливаемся и которые рассмотрим ниже, в § 4.8, раздел 7, § 4.10, раздел 5 и в главах XVII и XIX, коэффициент запаса при динамическом характере нагрузки должен выбираться большим по величине, чем при статическом действии сил. Коэффициент запаса при статическом действии сил для таких пластичных материалов, как сталь, принимается равным 1,5 + 2,0, для хрупких материалов 3 子 5.Условие прочности (2.8) позволяет решить следующие характерные задачи.1. Проверка прочности. Даны: усилие ^, площадь поперечного сечения 尸,допускаемое напряжение [о]. Требуется установить, соблюдается ли условие прочностио = 了 V 1а1'терные задачи.1. Проверка прочности. Даны: усилие ^, площадь поперечного сечения 尸,допускаемое напряжение [о]. Требуется установить, соблюдается ли условие прочностио = 了 V 1а1'

пользуемся условием

пользуемся условием

с 亡 G°n

°max Vg

с 亡 G°n

°max Vg

0cР捻自，

0cР捻自，

(2.9)

(2.10)

(2.9)

(2.10)

Здесь бср и Отах — среднее и максимальное напряжения в эпюре (рис. 2.33)Т 自 一 коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по максимальному местному напряжению; ^2 — коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по сред

Здесь бср и Отах — среднее и максимальное напряжения в эпюре (рис. 2.33)Т 自 一 коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по максимальному местному напряжению; ^2 — коэффициент запаса в случае, если оценка прочности ведется по сред

нему напряжению.

Для того чтобы можно было бы заменить условие прочности (2.9) условием (2.10), считая их эквивалентными, в (2.9) и (2.10)

нему напряжению.

Для того чтобы можно было бы заменить условие прочности (2.9) условием (2.10), считая их эквивалентными, в (2.9) и (2.10)

правые части должны находиться отношении, как и левые, т. е.

правые части должны находиться отношении, как и левые, т. е.

в том же

в том же

Отсюда

Отсюда

max

Оср

max

Оср

々2 =々I,

"ср

々2 =々I,

"ср

среднего напряжения в сечении с концентрацией напряжений.

среднего напряжения в сечении с концентрацией напряжений.

т. e. если оценка прочности ведется по средним напряжениям, а так она обычно и ведется, то коэффициент запаса (^2) должен

т. e. если оценка прочности ведется по средним напряжениям, а так она обычно и ведется, то коэффициент запаса (^2) должен

быть больше того его значения, которое соответствует оценке прочности по максимальному местному напряжению. Поэтому, произ

быть больше того его значения, которое соответствует оценке прочности по максимальному местному напряжению. Поэтому, произ

водя расчет стержня, изготовленного из хрупкого материала, в условиях концентрации напряжений, необходимо выбирать коэффициент запаса более высокий, чем в случае пластичного материала. Это повышение зависит от коэффициента концентрации.

В силу ряда особенностей, на которых здесь не останавливаемся и которые рассмотрим ниже, в § 4.8, раздел 7, § 4.10, раздел 5 и в главах XVII и XIX, коэффициент запаса при динамическом характере нагрузки должен выбираться большим по величине, чем при статическом действии сил. Коэффициент запаса при статическом действии сил для таких пластичных материалов, как сталь, принимается равным 1,5 + 2,0, для хрупких материалов 3 子 5.

Условие прочности (2.8) позволяет решить следующие харак

водя расчет стержня, изготовленного из хрупкого материала, в условиях концентрации напряжений, необходимо выбирать коэффициент запаса более высокий, чем в случае пластичного материала. Это повышение зависит от коэффициента концентрации.

В силу ряда особенностей, на которых здесь не останавливаемся и которые рассмотрим ниже, в § 4.8, раздел 7, § 4.10, раздел 5 и в главах XVII и XIX, коэффициент запаса при динамическом характере нагрузки должен выбираться большим по величине, чем при статическом действии сил. Коэффициент запаса при статическом действии сил для таких пластичных материалов, как сталь, принимается равным 1,5 + 2,0, для хрупких материалов 3 子 5.

Условие прочности (2.8) позволяет решить следующие харак

терные задачи.

1. Проверка прочности. Даны: усилие ^, площадь поперечного сечения 尸,допускаемое напряжение [о]. Требуется установить, соблюдается ли условие прочности

о = 了 V 1а1'

терные задачи.

1. Проверка прочности. Даны: усилие ^, площадь поперечного сечения 尸,допускаемое напряжение [о]. Требуется установить, соблюдается ли условие прочности

о = 了 V 1а1'

Подбор сечения. Даны: усилие Nt допускаемое напряжение [и]. Требуется найти площадь поперечного сечения стержня 戶, при которой напряжения достигают величины допускаемых:

^

Установление коэффициента запаса. Даны: усилие ^, площадь поперечного сечения стержня 尸,опасное напряжение для материала стержня аоп. Требуется найти имеющийся коэффициент запаса

Ориентировочные значения допускаемых напряжений для некоторых распространенных материалов приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Материал

Допускаемое напряжение,

на растяжение

на сжатие

Чугун серый в отливках

300—800

1200—1500

Сталь Ст.З

1600

Сталь углеродистая конструкционная в машиностроении

600-

-2500

Сталь легированная конструкционная в машиностроении

1000—4000 и выше

Медь

300—1200

Дюралюминий

800—1500 .

Сосна, вдоль волокон

70—100

100—120

поперек волокон

15—20

Дуб, вдоль волокон

90—130

」30—150

поперек волокон

—

20—35

Подробные таблицы допускаемых напряжений для различных ‘ материалов даются в справочниках, нормах, технических условиях на проектирование конструкций, сооружений и в других аналогичных источниках.-

Пример 2.1. Требуется иайти площадь поперечного сечения призматического вертикально расположенного стержня, опирающегося нижним основанием, при учете воздействия собственного веса стержня и внешней сжимающей силы Р, приложенной к верхнему основанию (рис. 2.34).

В нижнем сечении на стержень со стороны опорной плоскости действует реактивная сила, уравновешивающая как силу Р, так и собственный вес его.

Эпюра продольной силы ^ показана на рис. 2.34, б. Площадь поперечного сечения стержня необходимо подобрать по максимальному усилию. Исходя из условия прочности

max ■

max —

м

находим необходимую площадь поперечного ния стержня:

сече-

尸=-

max P+yH

冋

Полностью материал стержня использован в инжнем его сечении. Во всей остальной стержня напряжения получаются меньше скаемых:

лишь части ДОпу-

^ P+yFz г ] 一 Г ]

_° =戸=户#应切V[o],

н прочностные возможности материала недоиспользованы, при этом в тем большей мере, чем выше расположено рассматриваемое поперечное сечеиие стержня.

Рис* 2.34.к

примеру 2.1;

сжатый силой；

а) стержень,

6) эпюра М

Примечание. Анализируя результат решения примера 2Л, естественно задать вопрос: нельзя ли подобрать такую форму бруса, при которой в любом из его сечений напряжения окажутся равными допускаемым и, таким образом, прочностные возможности материала всюду будут использованы в полной мере? Такой брус можно запроектировать, и ему естественно дать название бруса равного сопротивления сжатию. Чем ниже расположено сечение бруса, тем большая продольная сила в нем возникает, так как большая часть собственного веса ею уравновешивается. Для обеспечения равенства напряжений во всех сечениях необходимо увеличивать их площадь по мере увеличения г. Для того чтобы установить^ по какому закону

дол жно осуществляться это шим пример 2.2.

увеличение, ре-

Пример 2.2. Требуется запроектировать вертикально расположенный брус равного сопротивления (рис. 2.35, а), опирающийся нижним основанием и подверженный воздействию собственного веса и сжимающей силы, приложенной к верхнему торцу.

Выделим элемент (рис. 2.35, б) двумя, бесконечно близко друг к другу расположенными сечениями (с координатами z и 2 + dz). Площадь верхнего сечения элемента 忆 а ннжнего 尸 + dF. Продольная сила в верхнем сечении ^, а в нижнем ^ + dM По условию задачи в каждом из сечений напряжения должны быть равны допускаемым, т. е. в верхнем сечении

0=戸=网

н в нижнем

N + dN …

(2.Н)

В равенстве (2.11) разделим и числитель и знаменатель на 尸 н учтем, что dN

равняется весу элемента, т. е.

dN =?F dz*

(2.12)

где у ——объемный вес материала бруса. После подстановки (2.12) в (2.11) получаем

^ I y尸 &

1+嘗

или-

旧+Y必=旧+切餐.

Отсюда

Интегрируя полученное переменными, получаемИнтегрируя полученное переменными, получаемПостоянную С найдем изили-Таким образом,Постоянную С найдем изили-Таким образом,дифференциальное уравнение с разделенными

Интегрируя полученное переменными, получаем

Интегрируя полученное переменными, получаем

Постоянную С найдем из

или-

Таким образом,

Постоянную С найдем из

или-

Таким образом,

爵з+с・

условия: при г = 0 尸=尸°, откуда

О = In &+&

С = — In Fq.

~ = ln F—In F°,

eV2/[a] = J^eV2/[a] = J^или

eV2/[a] = J^

eV2/[a] = J^

Отсюда, потенцируя, находим

Наконец, получаем искомую функцию

F^F^z^o},(2.13)

описывающую закон изменения площади поперечных сечеиий вдоль оси бруса 】).

Примечание. Изготавливать брус, имеющий такую сложную форму, которая определяется функцией (2.13), затруднительно. В связи с этим криволинейную форму боковой поверхности бруса обычно упрощают. Брус делают ступенчатопризматическим так, чтобы в пределах каждого участка иижиее сечение работало при напряжениях, равных допускаемому. Общий вид такого бруса показан на рис.2.36,а( 8 эпюра продольной силы в нем ——на рис. 2.36, б. Легко проверить, что

'2-(旧一Y厶)(旧一也)'

尸=p [呼

3 =(旧一品)(旧一府(旧一蔺;

предлагаем это сделать читателю.

Напряженное состояние бруса полученной здесь формы при более строгой постановке задачи, осуществляемой в теории упругости, отличается от рассматриваемого в настоящем примере, при котором во всех поперечных сечениях нормальные напряжения распределены равномерно, по площадкам, параллельным оси бруса, отсутствуют нормальные напряжения и всюду отсутствуют касательные напряжении.

Особенно ощутимой выгода от применения бруса равного сопротивления оказывается при большой его высоте, когда влияние собственного веса получается значительным. К брусу равного сопротивления приближаются по форме промежуточные мостовые

Рис. 2.36. Брус со ступенчатым изменением сечений, в котором нижние сечения ступеней работают при допускаемых - напряжениях: а) брус;б) эпюра N.Рис. 2.36. Брус со ступенчатым изменением сечений, в котором нижние сечения ступеней работают при допускаемых - напряжениях: а) брус;б) эпюра N.

Рис. 2.36. Брус со ступенчатым изменением сечений, в котором нижние сечения ступеней работают при допускаемых - напряжениях: а) брус;

б) эпюра N.

Рис. 2.36. Брус со ступенчатым изменением сечений, в котором нижние сечения ступеней работают при допускаемых - напряжениях: а) брус;

б) эпюра N.

ступенчатой формы, либо ступенчатом фундаментеступенчатой формы, либо ступенчатом фундаментеопоры ——быки, которые делают либо чаще, с наклонными гранями при (рис. 2.37).

ступенчатой формы, либо ступенчатом фундаменте

ступенчатой формы, либо ступенчатом фундаменте

Пример 2.3. Запроектировать вертикальную подвеску круглого сечения длиной L, закрепленную в верхнем концевом сечении и нагруженную в иижнем сечении силой Р. Применить один из двух различных материалов Л и В, имеющих соответственно объемные веса уА и ?§, допускаемые напряжения [о]д и [б]§, стоимости единицы веса сА и с§. Требуется установить отношение стоимостей подвесок в случае использования каждого из двух материалов Л и В.

А/ к "Bmax л °B=砲注 V [%•А/ к "Bmax л °B=砲注 V [%•~“ 4max z厶=JlD%/4 J [以~“ 4max z厶=JlD%/4 J [以При ЭТОМПри ЭТОМУсловие прочности имеет вид

А/ к "Bmax л °B=砲注 V [%•

А/ к "Bmax л °B=砲注 V [%•

~“ 4max z

厶=JlD%/4 J [以

~“ 4max z

厶=JlD%/4 J [以

При ЭТОМ

При ЭТОМ

тогда, принимая

во внимание знак

равенства в условии

прочности,

L

冗D貝

Yya + P

*

不4 [%，

以D方

4

4

bmax 14 f at

2玄

"再max = P+ L~J~ Y再,

откуда

получим

(Bl 厶一LyQ = P, —(拉储一£?в) =巳 или

0又 旧в-Зb

項一叫一厶Y*

5 А, П, Филии

Веса стержней 6д и % находим по формулам

а отношение их выражается так:

鱼，=d和4 =(旧8-勿8)匕

% - d氈B -(切4一厶4)W

Зная стоимости стержней

С 貞=G/a,% == OBcBt

легко находим их отношение:

са _戛々=(付1В一LY6)Y/a

亏一研=([% -厶匕)Y勿・一

Закон Гука. Модуль продольной упругости.Касательный модуль (модуль упрочнения).

Диаграмма идеального упруго- пластического материала

Линейная зависимость между напряжениями и относительными линейными деформациями в начальный период нагружения образца (стержня), обнаруживаемая у многих материалов, известна под названием закона Гука г):

.а = £е.(2.14)

Здесь Е — коэффициент пропорциональности, носящий название модуля продольной упругости или модуля Юнга а), — характеризует жесткость материала: чем больше Е, тем жестче материал, т. е. меньше относительные линейные продольные деформации

Т(2.15)

при одних и тех же напряжениях а.

Закон Гука является важнейшим законом сопротивления материалов. Модуль упругости имеет размерность напряжения, т. е. (PL-2). Это видно из формулы (2.14)., если учесть, что е — безразмерная величина. Для того чтобы иметь представление о порядке величин, укажем, что у стали модуль упругости Е = 2-10® кГ/сл^, у холодного бетона, в зависимости от марки 3), Е = 180 000, -ь

Роберт Гук (Robert Hook, 1635—1703) — английский ученый, физик и механик.

Томас Юнг (Thomas Young, 1773—1829) — английский ученый, физик и механик.

+ 430 000 кГ/сл^. Модули упругости некоторых других материалов показаны в ряде таблиц главы IV. Модуль упругости можно рассматривать и как угловой коэффициент прямой в начальной части диаграммы напряжений или, иначе, как тангенс угла наклона этой прямой по отношению к оси е.

Близость предела пропорциональности и предела упругости, отмеченная в § 2.11, наблюдается в подавляющем большинстве случаев, но не всегда. Примером материала, у которого предел упругости намного выше предела пропорциональности, может служить резина, диаграмма напряжений которой имеет вид, показанный иа рис. 2.38. Нелинейность зависимости а = а (е) еще в упругой области объяо няется тем, что деформация резины, оставаясь упругой, достигает

Рис. 2.38. Диаграмма напряжений при растяжении резиныРис. 2.38. Диаграмма напряжений при растяжении резиныРис. 2.39. Диаграмма Прандтля (диаграмма и дельного упруго-пластического материала).Рис. 2.39. Диаграмма Прандтля (диаграмма и дельного упруго-пластического материала).

Рис. 2.38. Диаграмма напряжений при растяжении резины

Рис. 2.38. Диаграмма напряжений при растяжении резины

Рис. 2.39. Диаграмма Прандтля (диаграмма и дельного упруго-пластического материала).

Рис. 2.39. Диаграмма Прандтля (диаграмма и дельного упруго-пластического материала).

большой величины. Величина тангенса угла наклона касательной к кривой о = и(£) в силу нелинейности зависимости а — о (е), естественно, не остается постоянной.

Величину do/de за пределом пропорциональности называют касательным модулем. При разных а >апц величина его различна (в пределах площадки текучести практически равна нулю), но повсюду значительно меньше модуля упругости. Средняя величина касательного модуля на всем протяжении диаграммы, от предела упругости и до разрушения образца, очень мала по сравнению с модулем упругости, и в ряде случаев ее можно считать равной нулю. Это предположение равносильно принятию диаграммы напряжений в виде, изображенном на рис. 2.39. Такая диаграмма называется диаграммой идеального упруго-пластичного материала или диаграм* мой Прандтля 1)—— по имени ученого, предложившего ее. Иногда предполагают, что диаграмма Прандтля аппроксимирует не всю действительную диаграмму напряжений пластичного материала, а лишь два участка ее ——линейно-упругий и площадку текучести.

1) Людвиг Прандтль (L. Prandtl. 1875—1953) — немецкий механик.

§ 2・17・ Коэффициент Пуассона

Опыт показывает, что отношение поперечной и продольной относительных деформаций в пределах соблюдения закона Гука представляет собой для каждого из материалов свою собственную постоянную величину 卩,носящую название коэффициента поперечной деформации или иначе коэффициента Пуассона г):

科=一为(2.16)

деформации £‘ и £ имеют различные знаки. Если е > 0, т. е. если имеем продольное удлинение элемента тела, то е' < 0, т. е< в попе-. речном направлении элемент тела сужается. Для того чтобы полу- * чить 卩 > О .в формуле (2.16), перед отношением £‘/& поставлен знак минус.

У такого материала, как сталь,卩 = 0,25 彳 0,33, у бетона 卩 = 0,16 + 0,18. Коэффициент Пуассона определяют и за пределом пропорциональности. Чем при большем значении напряжений, превышающих этот предел, определяется коэффициент Пуас-， сона, тем больше его величина. При пределе текучести, т. е. при полном развитии пластических деформаций, коэффициент Пуассон占 卩=0,5. Коэффициент Пуассона для различных изотропных материалов колеблется в пределах от 0 до 0,5.

Величины Е и 卩 являются так называемыми упругими характеристиками материала.

Характеристики пластичности материала

Для оценки пластических свойств материала имеются две механические характеристики, определяемые экспериментальным путем. Одна из них называется остаточным относительным удлинением, а другая ——остаточным относительным сужением. В результате испытания образца на разрыв длина его при составлении из двух образовавшихся после разрыва частей оказывается отличающейся от первоначальной. Отношение абсолютного удлинения такого образца Д/тах к первоначальной его длине / (имеется в виду расчетная длина АВ), выраженное в процентах, и представляет собой остаточное относительное удлинение:

6=不100%.

У мягких пластичных сталей (Ст. 2) величина 6 доходит до 30%.

Разрыв образца происходит в шейке, образующейся на последнем этапе испытания. Отношение разности первоначальной (до испыта-

х) Симеон Дени Пуассон (Simeon Deni Poisson, 1781—1840) 一 французский математик и механик.

ния) и окончательной (в шейке после разрыва) площадей поперечного сечения образца к первоначальной площади его поперечного сечения, выраженное в процентах, называется остаточным относительным сужением:

2=綜占00%.

Здесь Fo — площадь поперечного сечения образца до испытания. 尸 1 — площадь поперечного сечения разорванного образца в шейке. У мягких сталей величина 屮 доходит до 60—70%. Следует отметить, что 屮 лучше характеризует пластические свойства материала, чем 6.

Абсолютное удлинение (укорочение)прямолинейного стержня при осевой деформации

Найдем формулу для абсолютного удлинения стержня при осевой деформации, имея закон Гука (2.14), зная, как связаны между собой величины е и Д/ (формула (2.4)), и учитывая зависимость (2.1).

Из (2.4) имеем

,4 = 4(2.17)

.Подставляя (2.15) в (2.17), получим

A/ = g.(2.1 Г)

В том случае, когда продольная сила вдоль всего стержня постоянная, N = Р (Р — внешняя сила), напряжения изображаются формулой

Подставляя это выражение для о в (2.17/)> находим .

А/ =等.• (2.18)

Произведение EF называют жесткостью стержня при осевой деформации 】)• Эта величина имеет физико-геометрический характер, она зависит от физических свойств — жесткости материала, из которого выполнен стержень, определяемой модулем упругости Е, и от геометрического фактора —— площади поперечного сечения стержня Е Чем выше значение £ и больше величина 尸，тем меньше А厶 тем жестче стержень. Иногда бывает удобно пользоваться понятием относительной, или погонной, жесткости при осевом действии сил, представляющим собой выражение EF/L Рассмотрим

1) См. примечание на стр. 92.

стержень переменного по длине сечения (рис. 2.40, а), загруженный так, что продольная сила N в нем также переменна по длине. В частности, стержень может быть загружен внешней распределенной осевой нагрузкой q, переменной пр длине интенсивности (рис. 2.40, б). На рис. 2.40, 6 изображена эпюра ^. Выделим из стёржня на некото

Рис. 2.40. К определению удлинения бруса переменного сечения прн р ас пределе нно А вдоль оси осевой нагрузке: а) брус; о) нагрузка (эпюра внешних распределенных продольных сил); в) эпюра ^; г) элемент стержня и действующие на него силы; о) упрощенная схема элемента в действующих на него силРис. 2.40. К определению удлинения бруса переменного сечения прн р ас пределе нно А вдоль оси осевой нагрузке: а) брус; о) нагрузка (эпюра внешних распределенных продольных сил); в) эпюра ^; г) элемент стержня и действующие на него силы; о) упрощенная схема элемента в действующих на него силром расстоянии z от одного из торцов элемент длиной dz и заменим действие примыкающих к нему отброшенных частей стержня соответст- в»ующими силами (2.40, а). На чертеже

Рис. 2.40. К определению удлинения бруса переменного сечения прн р ас пределе нно А вдоль оси осевой нагрузке: а) брус; о) нагрузка (эпюра внешних распределенных продольных сил); в) эпюра ^; г) элемент стержня и действующие на него силы; о) упрощенная схема элемента в действующих на него сил

Рис. 2.40. К определению удлинения бруса переменного сечения прн р ас пределе нно А вдоль оси осевой нагрузке: а) брус; о) нагрузка (эпюра внешних распределенных продольных сил); в) эпюра ^; г) элемент стержня и действующие на него силы; о) упрощенная схема элемента в действующих на него сил

Рис. 2.41. К определению удлинения стержня: а) стержень* растягиваемый силами: 6) эпюра ^Рис. 2.41. К определению удлинения стержня: а) стержень* растягиваемый силами: 6) эпюра ^они условно показаны в виде сосредоточенных. При определении абсолютного удлинения элемента будем исходить из того, что он имеет призматическую форму и подвергнут растяжению силами, М приложенными к его торцам (рис. 2.40, й). Абсолютное удлинение элемента Д dz, пользуясь формулой (2.18), представляем так:

Рис. 2.41. К определению удлинения стержня: а) стержень* растягиваемый силами: 6) эпюра ^

Рис. 2.41. К определению удлинения стержня: а) стержень* растягиваемый силами: 6) эпюра ^

Тогда полное удлинение всего стержня найдем по формуле

Z=\ddz=\喑.(2.19)

о о

Здесь N м F — функции от z. В случае постоянства какой-либо из этих величин ее можно вынести за знак интеграла. Если стержень выполнен из одного материала по всей его длинё, за интеграл можно вынести и 1/£. Если стержень постоянного сечения и выполнен из одного материала, то за интеграл можно вынести MEF и формула приобретет вид/

М = *、N dz.(2.20)

о

Интеграл в (2.20) представляет собой площадь эпюры А/. В случае, изображенном на рис. 2.41,

、N dz = Pili Р3/2»

и формула для А/ приобретает вид

a‘П亲(匕厶斗戶小)=等；

здесь(0 — площадь эпюры N.

Пример 2.4 Нййти абсолютное укорочение бруса равного сопротивления сжатию.

Воспользуемся формулой (2.19). В нашем случае N может быть найдено из уравнения (2.12) с учетом (2.13):

d"=讨3 = Y尸战Y叫5dz,N = (aj尸隰^人用+ e

При z = 0, ^ = Р; отсюда имея в виду, что [о]戶。=Ро, получим

СоО;

следовательно,

N = [o]F()eYz/[。】.(2.21)

Подставляя полученные значения N по формуле (2.21) и F по формуле (2.13) в формулу для А/, получим

A‘寸墻醤虑'罂唔".

Этот же результат можно получить, исходя из следующих соображений. В силу того, что напряжения во всех сечениях бруса одинаковы и равны [о], относительные удлинения тоже одинаковы и равны в окрестности любого сечения величине 】)

[ajе =，

поэтому *■

Д/ — eZ = -L二 L /.

На стр. 104 и 128 уже отмечалась приближенность перенесения напряженно-деформированного состояния, имеющего место в призматическом брусе, на брус переменного вдоль оси сечения.

Полезно проверить, что абсолютное укорочение ступенчатого бруса выражается формулой

4 = ■^7 |2P + &WJ+~^ [2 (p+ 内汕)+/也]+

+ 9РГ [2 (Р + 尸 1丫乙 + &Y%) +&Y%]

Пример 2.5. Установить отношение стоимостей подвесок, рассмотренных в примере 2.3, по условию одинаковости их жесткости.

Условие жесткости имеет вид

0 еа~^

Используя знак равенства в этом условии, получим

热!" +Y4w山1阳.

После интегрирования будем иметь

• 4

6狂力

3

,Y肝喝

14

£2 \

2，

)==[a厶].

Отсюда

П2

4PL

1

窮%

(ГД/1-

Ya

•

/

2 /

Аналогично

DA

4 PL

1

irEg

回-

.巫

Ев

书

Тогда、

(ГА/ 1

Yfi

^А

{MJ

Ев

2 /

F

(g—

Тд

Еа

Отношение весов выражается

формулой

也

Е|

\

A ..

Ев ([AL】-

3 2，

底

D靑Yb

Ea ([Ab]

、A沙

Еа 2

丿力

а отношение

стоимостей находится

так;

сA-口/4_它Е笈心以一?乩2)匕匕

% G$b(2£厶[AZ-] —yAL2) y§喑

Пользуясь формулами в примерах 2.3 и 2.5 при условии Р = 25 Г, £ — 10 л и [AL] = 1/200, подсчитаем стоимости подвесок для четырех материалов (сталь, медь, алюминий и капрон). Результаты приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

№ п/п

Материал

[日， кГ !см2

К「/СЛ<2

V»

с, рубль за I кГ

С, рубли

из условия прочности

из условия равной

жесткости

1

Сталь Ст.З

1600

2,1 • 10е

7,85

0,080

9,8

L5

2

Медь

1000

1,1 • 106

8,9

0,800

179

32,4

3

Алюминий

800

0,7 • 10е

2,7

0,580

49

11,2

4

Капрон

800

1,5 • ПН

1,15

1,365

51

525

§ 2.20. Перемещения при осевом действии силна прямолинейный стержень

Дифференциальное уравнение. Перемещение любой точки бруса в направлении, параллельном оси г, как и в теле произвольной формы, выражается функцией w = w (х9 yt г). Однако, вследствие использования гипотезы плоских сечений при осевой деформации бруса, легко заключить, что

W(x, у, z) = w(0, 0, Z),

е. перемещение, параллельное оси z, у любой точки поперечного сечения стержня, подверженного осевой деформации, такое же, как и у точки этого же сечения, лежащей на оси стержня. Последнее (обозначим его 切*) является функцией лишь z:

5(0, 0, 2)=5*(2)・

Таким образом, в рассматриваемом случае,для отыскания w (%, у, г) достаточно знать 叫 (г). Ниже индекс* у ш опущен.

Для определения перемещения ш нам понадобится дифференциальное уравнение, связывающее это перемещение с деформацией ег. Выведем указанное уравнение.

Рассмотрим стержень с прямолинейной осью. Пусть при этом главные оси инерции площади поперечных сечений лежат в двух плоскостях, разумеется, ортогональных и проходящих через ось стержня. Пусть этот стержень подвергнут такому воздействию, при котором в нем возникает лишь осевая деформация. Выделим элемент стержня двумя поперечными сечениями, находящимися

одно, от другого на бесконечно малом расстоянии dz (рис. 2.42). Первоначальная длина элемента (dz) в результате деформации изменяется на величину Adz = 2a. С другой стороны, изменение длины элемента, согласно рис. 2.42, может быть найдено как разность перемещений его торцов, равная х)

I * ] Adz = (dw/dz) dz. Таким образом, сопо-

^I—^―彳Тставл兄я два разных выражения для од-

3 [] I/ной и той же величины Adz, получаем

、,jравенство

患血'^2 =右或，

или )

Рис. 2.42. Элемент стержня иХц,

картина перемещения его тор*g ； /2 22)

ЦОВ2 d? •、 ./

уравнениемуравнением(2.23)(2.23)Преобразуем уравнение (2.22), воспользовавшись(2.15); в результате получимdw %

уравнением

уравнением

(2.23)

(2.23)

или, учитывая формулу (2.1), dw 一 N

Можно считать, что в (2.23) неизвестными функциями являются м н М Присоединим к (2.23) уравнение (1.9%:

仇=-瑞；(2・24)

и (2.24) можно рассматривать как систему уравнений относительно N из. Если в частном случае стержень имеет призматическую форму, систему (2.23), (2.24) можно упростить, сведя ее к одному уравнению. Исключим функцию ^ из (2.23) и (2.24), для чего продифференцируем (2.23) по г, решим полученное таким образом уравнение

относительно dN/dz и подставим эту производную в (2.24). Тогда,

получим

(2.25)(2.25)廖切 _ d ( N \ — 1 dNdz2 — dz \EF / — £尸 dz

(2.25)

(2.25)

Из (2.25) найдем

=Е 尸需.(2.26)

Подставим (2.26) в (2.24), в результате получим

(2.27)(2.27)d23一 qz

(2.27)

(2.27)

一前

2. Интеграл дифференциального уравнения в случае одного участка. Рассмотрим сначала случай, в котором на всей длине стержня функции N м q?, 3 следовательно и w сохраняют свой вид, т. е. стержень содержит один участок.

Проинтегрируем (2.27) дважды. В результате первого интегрирования найдем

黑"=IF н —, %dz + G(2.28)

о

и в результате второго

WW]£7]£70z dz dz + C]Z + С?.0z dz dz + C]Z + С?.(2.29)(2.29)

W

W

]

£7

]

£7

0z dz dz + C]Z + С?.

0z dz dz + C]Z + С?.

(2.29)

(2.29)

Постоянным интегрирования С\ и С2 можно дать механическую трактовку. С этой целью положим в (2.28) и (2.29) г = 0, тогда

备 L()=來=&, L-o — ^о = С2.(2.30)

Здесь Wq и ^o — перемещение вдоль оси и продольная сила в поперечном сечении, проходящем через начало координат. Величины 5 и ^0 можно назвать начальными параметрами.

Учитывая (2.30), получим выражения для Мид：

2г z

2 = М- \ %dz, w = w0 + -^2 — -^p § \ qzdzdz. (2.31) ов о

3・ Интеграл дифференциального уравнения в случае двух и нескольких участков. Рассмотрим теперь случай, в котором в пределах длины стержня содержится два участка и на каждом из них имеется своя собственная функция интенсивности распределенной продольной нагрузки:夕名口 и ^(2. Пусть координата границы между

участками г =马.Для каждого из участков запишем дифференциальное уравнение (2.27):

声声(2.32)(2.32)

声

声

(2.32)

(2.32)

Вычтем первое уравнение системы (2.32) из второго, в результате

получим

^^ —^^= — qz,2 — (9z,i\

以2 dz®EF \EF / *

или

d2 (g —叫)„ g?, 2 — qz, i(2 33)

Представим функции ⑪ и g名 на втором участке, т. е. при z N 马, б следующем виде:

W2 = Wr + 3*°п, 2,%, 2 =依,1 + %, доп, 2.(2.34)

Сопоставляя (2.33) с (2.34), убеждаемся в том, что (2.33) можно изобразить так:

&23доп,2доп, 2 •/с ои\

-^-=h・(2・35)

■ Уравнение (2.35) по своей структуре такое же, как и уравнение (2.27); следовательно, аналогично формуле (2.31)2 может быть представлен и интеграл уравнения (2.35):

Зд©и, 2 = ^о» ДОП, 2 Н ° £^ ~(2 — 21) — "£^ \ \ qz, доп, 2 血 dz. (2.36)

Вместо г во втором члене правой части формулы (2.31% во втором члене (2.36) имеем (г — 马)，поскольку интегрирование начинается от границы между участками. Этим же объясняется и изменение нижних пределов у интегралов в (2.36) по сравнению с (2.31)2. Велн・ чины wQt доп> 2 и NQt доп, 2 представляют собой скачки соответственно в функциях w и Nt имеющиеся на границе участков стержня. Если не иметь в виду специального приспособления, включенного в стержень на границе участков, то 咻дсш,2 = 0.

Подставляя (2.36) в (2.34) и имея в виду, что 侬】записывается в форме (2.31)2, получаем

9 = д+亲z•-备 \ \%dzdz + о о

+ ]严& 31, 2~1°£П 2(2 1 Z1)^\ \ %, доп, zdzdz. (2.37)

Символ ||21 обозначает, что все члены, расположенные правее него, учитываются, начиная с z =厶(при z N z^ w = w^. Этот символ введен в строительную механику И. Г. Бубновым > Будем называть его символом Бубнова. Для изображения того же содержания существует и ряд других символов й особых функций, на которых здесь не останавл иваемся.

Аналогично получаем формулу для ^:

zг

(2.38)(2.38)"=М —，％ 虑 + 卜 М, доп, 2 一，％, доп, 2 血•

(2.38)

(2.38)

О2〔

Структура решения при наличии не двух, а большего количества участков аналогична показанной в (2.37), (2.38). Подробнее это пояснено в приводимых ниже примерах.

Изложенный здесь метод получения интеграла обыкновенного неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами называется методом начальных параметров. Подробнее об этом методе говорится в главе XII, где поясняется, что указанный мртод есть не что иное, как метод Коши интегрирования дифференциальных уравнений, в которых правая часть (у нас нагрузка) на разных участках рассматриваемого промежутка имеет различные аналитические выражения.

Примеры

Пример 2.6. Найтн функции Naw для стержня, изображенного вместе с приложенной к нему нагруэкой на рис. 2.43,а.

Решение. Функции Naw находим по формулам (2.31), при этом 切。—0. Величину № найдем из условия ■

N 尸 Q, 0 = Nq~^ qzdz;

отсюда

%dz = ｝卜/_z)dz=%R —劣卜*i. 0

Учитывая выражения для 酬。и М, получаем.

N =粵一斗j "-2)必=岑一华(历一导)=岑(1-2/一 + ^),

击%z-备г、、(/_z)dzdz =子整(I_/+ 获), 0 0

. q*係

w^-l=6EF-

Пример 2.7. Найти функции N н 5 для стержня, изображенного вместе С приложенной к нему нагрузкой на рис. 2.43, б.

1) Бубнов Иван Григорьевич (1872——1919)——русский инженер-кораблестроитель й ученый в области строительной механики, автор первого в мире курса строительной механики корабля.

Решение. Обращаем внимание на то, что рассматриваемая система статически неопределима; однако при использовании метода начальных параметров этот факт не вносит изменения в общую схему решения задачи. Функции М н а> находим

Рис. 2.43. К примерам: а) 2.6： 6) 2.f; в) 2.8； а) к проверке решения примера 2.8.

по формулам (2.31), при этом 叫=0. Величину М найдем из условия 皿“.,二 0. Отсюда'

Учитывая выражения для g и 必，получаем

隸Z-亲彳«千一寻）=都 "1-|^+ 备）.

Пример 2.8. Найти фун кции N ■ з для стержня, изображенного вместе в приложенной к нему нагрузкой на рис. 2.43, в.

Решение. Функции N 丛侬 находим по формулам гипа (2.38) и (2.37) с учетом того, что имеется не два, а три участка в пределах длины стержня, при этом g=0,о»0, доп(2=0, NQt доп(3=0,qZt доп. 2=_^^~ ^~2 z)=

2z

R — § 9*+2д* 7,^о, доп.з=®»"о,доп,з =—尸，Яг> доп. з = ®*

Параметр Nq найдем из условия w 1^ _； = 0.

Итак, имеем

“=%- j д* (1-2 书虑+|〃3卜 g等(_ 1 +з /) dz) + |2//з(一 Р), g爵 Z-亲 \ \ 0*(1一2 书 dzdz + 0 0

+ L/3 卜百 j j (一 ¥■ + 2呜卜dz) + (и/з (一Р)* 0 T卜 Уравнение для отыскания М приобретает вид

迎L *传 2 "\1 2q* "23 口 /2 I 3 拉）“

乔—丽01歹―75）十评丁八彳—7百一*十丁威丿一而户=，

"。=6+画 g "+可ПТ^ ' ‘+з.

Теперь, подставляя Nq в формулы для N в w> получаем

"=養产+?—g* t (J?办z+l/з 響 i(i_3±)d2+|2//3(_p), 0j/з

g儡产+?)嘉一备i i(1-2孙2色+

+ 11/3舞 t j (i^dzdz+Kjp/KY). //3小

При г — l продольная сила приобретает следующее значение:

" Iz-L爲产+m7* (г-4 ^)|： + *卜_%訓/3一户=

Легко проверить, что условие равновесия удовлетворено (рис. 2.43, % а): £пр. 2 = 0;

一扌一爲q*'—部屮_鮪+Р+^+^M^g*=°； o=6

Заключительное замечание. Если стержень, испытывающий определенное внешнее воздействие (имеются в виду все силы, как

активные, так и реактивные), закрепить в пространстве против перемещения как жесткого целого, но таким образом, чтобы это закрепление никак не стесняло деформации, то каждому виду закрепления будет соответствовать свой собственный вид функции ⑪.

Рик 2.44. К вопросу о зависимости вида функции перемещений от вида закреплениятела в пространстве как жесткого целого: а) стержень, растягиваемый силами; б) первыйвариант закрепления стержня, з = Pz/EF\ в) второй вариант закрепления стержня,w = Р (z — D/EF- г) третий вариант закрепления стержня, w = Р (z — —^/E'Fj 7 —неподвижная очка.

Форма же и размеры стержня, получающиеся в результате деформации, во всех случаях закрепления окажутся одинаковыми. Сказанное проиллюстрировано рис. 2.44, на котором показан стержень, растягиваемый двумя силами Р, приложенными к его торцам. Изображено три разных способа закрепления стержня и для каждого из них приведена функция, характеризующая перемещения ® точек оси стержня, а также форма и размеры стержня, получающиеся в результате деформации. Сказанное в настоящем разделе справедливо не только при осевом действии сил на стержень и не только для стержней, но и для тел произвольной формы.

Работа силы. Понятие об обобщенномперемещении и обобщенной силе

Из механики известно, что работа Л постоянной по величине силы Р, совершаемая ею на перемещении А точки ее приложения (рис. 2.45), равна скалярному произведению векторов силы Р и перемещения А:

4 = (Р, А) = РА cos (Р, A) = PAcosot = PAn (2.39)

Или, иначе, работа равна произведению величины силы Р на Ар — проекцию перемещения точки ее приложения на направление действия силы. Если направление перемещения А совпадает с направлением силы, то в выражении (2.39).cos (Р, А) обращается

4 = РА.4 = РА.(2.40)(2.40)в единицу и

4 = РА.

4 = РА.

(2.40)

(2.40)

Ар в формуле (2.39) или А в (2.40) называют перемещением., соответствующим силе Р, т. е. таким перемещением, на котором сила Р

Рис. 2.45. К определению работы силы.Рис. 2.45. К определению работы силы.производит работу.

Рис. 2.45. К определению работы силы.

Рис. 2.45. К определению работы силы.

Если величина силы Р изменяется вместе с изменением Ар и между ними существует определенная зависимость

Р(0=/(Ар (0). (2.41) то работа, совершаемая этой силой, может быть найдена следующим образом.

Рассматриваем два близких момента

времени. В первый из них "имеем величины 尸(£) и Ар (f), а во второй 尸(/) + dP (0 и Ар (0 + dAp (£). Работа, совершаемая си

лой за отрезок времени между этими моментами, равна

d/ = P(£) dAp (/).

Работа, совершаемая силой dP (/) на перемещении dAp (/), является малой более высокого (второго) порядка малости. Отсюда

Ар. Ар

4= $ 尸(/)必户(/)= $ f(Ap(/))dAp(/).оо.

Если функцию (2.41) изобразить графически (рис. 2.46, а), то работа может быть оценена площадью, заштрихованной на рисунке.

Рис. 2.46. Графики зависимостей Р (/) = f (Др (/))： а) нелинейная зависимость; 6) линейная зависимость; в) случай постоянной силы.Рис. 2.46. Графики зависимостей Р (/) = f (Др (/))： а) нелинейная зависимость; 6) линейная зависимость; в) случай постоянной силы.Если зависимость (рис. 2.46, б), т. е.Если зависимость (рис. 2.46, б), т. е.между силой и перемещениеммежду силой и перемещениемлинейнаялинейная尸(f) = otAp(f),尸(f) = otAp(f),в частности, в конце роста силыв частности, в конце роста силыР =» осАр,Р =» осАр,

Рис. 2.46. Графики зависимостей Р (/) = f (Др (/))： а) нелинейная зависимость; 6) линейная зависимость; в) случай постоянной силы.

Рис. 2.46. Графики зависимостей Р (/) = f (Др (/))： а) нелинейная зависимость; 6) линейная зависимость; в) случай постоянной силы.

Если зависимость (рис. 2.46, б), т. е.

Если зависимость (рис. 2.46, б), т. е.

между силой и перемещением

между силой и перемещением

линейная

линейная

尸(f) = otAp(f),

尸(f) = otAp(f),

в частности, в конце роста силы

в частности, в конце роста силы

Р =» осАр,

Р =» осАр,

то работа Л представится в виде

Л = ^ аАр (/)必卩⑴=а оЛ = ^ аАр (/)必卩⑴=а о(Ap(f))2 ” ~2о(Ap(f))2 ” ~2о

Л = ^ аАр (/)必卩⑴=а о

Л = ^ аАр (/)必卩⑴=а о

(Ap(f))2 ” ~2о

(Ap(f))2 ” ~2о

Случаю постоянства силы Р в процессе изменения Др соответствует работа, представленная в виде площади, заштрихованной на рис. 2.46, &

В механике и, в частности в механике твердых деформируемых тел весьма важную роль играют понятия обобщенная координата и обобщенная сила. Эти понятия подробно обсуждаются в главах XV и XVII, посвященных механическим системам со многими степенями свободы. В настоящей главе лишь коснемся этих понятий.

Из курса теоретической механики известно, что обобщенными

координатами %, ... , qN называют систему независимых параметров, однозначно определяющих положение точек материальной

системы. N ——число обобщенных координат, оно в голономной системе равно числу степеней свободы материальной системы 工)・ Величины %, ... , qN по определению позволяют найти Зп декар- TOBbix координат п точек материальной системы) (Эн В N). Радиусы-векторы этих точек, отсчитываемые от произвольной точки 0, могут быть выражены так:

G = г» (%, •…，9n) (，= 1, • • ,♦,几), откуда

Пусть на систему действуют активные силы Р/ " ■ 1, ... , п). Элементарная работа этих сил, произведенная на возможных бесконечно малых перемещениях) точек системы, выражается такой

формулой 1)：

m=22M = ер е需6力= 2(2?芻卜"

Желая сохранить структуру формулы для работы, выраженной через Р/ и 65 введем обозначение

Q尸2嚅0=1m;

тогда

6Л= 2 2 M = 2 Q/6%.

Величину Q/ называют обоби^Шй силой, соответствующей обобщенному "перемещению %• Иными словамиг обобщенная сила Q」一 это величина, характерная тем, что произведение ее на 6% ——изменение соответств ующей обобщенной координаты —— равно работе, производимой активными силами Рь приложенными к точкам системы, на их перемещениях 6『力 определяемых 6% — изменением /-Й обобщенной координаты.

Пример 2.9. Пусть имеем систему, изображенную иа рис. 2.47. Требуется найти обобщенную силу если в качестве обобщенной координаты принята длина стержня. Стержень закреплен в точке оси, находящейся на расстоянии а от одного из концов.

Рис. 2.47* Обобщенная сила в аиде двух равных и яро- тивоположио направленных сил.

Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы, так как, учитывая равномерность растяжения стержня, достаточно знать перемещение любой его точки, чтобы тем самым определить перемещение и любой другой точки, а следовательно, и картину деформации всей системы.

Изменение порядка еуммнрования допустимо в связи, q независимостью суммирования по i в

Обобщенная сила равнаОбобщенная сила равна2

Обобщенная сила равна

Обобщенная сила равна

dqA Z / I ；=1

Р・Р・Начало векторов & совмещаем с точкой закрепления.

Р・

Р・

Пример 2.10. На рис. 2.48 изображена система с одной степенью свободы — стержень и действующая на него нагрузка, описываемая одним параметром Р, Требуется найти обобщенную силу, если в качестве обобщенной координаты

принята длина стержня.

Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы, так как наличие у нагрузки одного лишь параметра Р обеспечивает то, что, зная перемещение одной точки, можно найти перемещения и всех остальных точек системы. Учитывая замечание, сделанное в конце предыдущего параграфа, о независимости формы и размеров тела, испытавшего деформацию, от характера закрепления, не стесняющего последнюю, представим себе, что закреплена точка пр ил о* жения силы 2P. В точке закрепления поместим。一 начало

векторов.

Итак,

%=3户，"=a=、=%7，^ = у；

п d厶 , b力2b

2=尸，^=b^l-T = qi T,茹=7；

А А ЗРа к 火入 Pb 3Г1 =也=百,6,2==М =标；

m=扌也=3嚐+*£(е Р阊m〃

Обобщенная сила равна

2

e噫=3吋+力*Р中.

Работа внешних сил при растяжении (сжатии) образца.Вязкость материала при статическом нагружении

Силы Р, растягивающие образец, могут быть приняты за обобщенную силу. Тогда обобщенным перемещением, соответствующим этой силе, оказывается изменение расстояния между точками приложения сил. Пусть сила прикладывается статически, постепенно возрастая от нуля до конечного своего значения.

Рис. 2.49. Графическое изображение работы силы, деформирующей образец： а) полная работа： 6) удельная работа.Рис. 2.49. Графическое изображение работы силы, деформирующей образец： а) полная работа： 6) удельная работа.

Рис. 2.49. Графическое изображение работы силы, деформирующей образец： а) полная работа： 6) удельная работа.

Рис. 2.49. Графическое изображение работы силы, деформирующей образец： а) полная работа： 6) удельная работа.

Рассмотрим два бесконечно близких друг к другу момента времени в процессе испытания. В первый момент сила равна Р, а во второй момент Р + dP. За промежуток времени между этими двумя моментами расстояние между точками приложения растягивающих сил изменяется на величину dA厶 Работа, производимая силой за этот отрезок времени, изображается следующим образом:

(2.42)(2.42)dA = Р d&.

(2.42)

(2.42)

Работу, производимую приращением силы на приращении перемещения, не учитываем, как величину бесконечно малую второго порядка малости. Интегрируя (2.42), получим

(2.43)(2.43)△2

(2.43)

(2.43)

о

Выражение (2.43) показывает, что работа 4 численно равна площади, ограниченной сверху кривой растяжения. На рис. 2.49, а эта площадь отмечена вертикальной штриховкой. Площадь, выделенная, кроме того, диагснальной штриховкой, равна dA. В пределах соблюдения закона 1、ка

Работа А затрачивается на деформацию образца. Если разделить Л на объем образца lFOt получим а — удельную работу, т. е. работу, приходящуюся на единицу объема деформируемого тела:

Удельная работа а численно равна площади диаграммы напряжений, т. е. площади, ограниченной кривой в диаграмме напряжений, осью абсцисс и перпендикуляром, опущенным из конечной точки диаграммы на ось абсцисс. Так как переход от диаграммы растяжения к диаграмме напряжений (рис. 2.49, б) осуществляется

Рис. 2.S0. К s нер гетическо му определению упругости: а) упругость в пределах закона Гука; б) упругость за пределами закона Гука; в) упруго-пластнческне деформации; / — нагружение* 2 — разгрузка.

а величин, откладываемых по оси абсцисс, на I, в результате площадь диаграммы напряжений в IF& раз отличается от площади диаграммы растяжения. В таком же соотношении находятся величины а и А,

Удельная работа деформации к моменту, когда в процессе нагружения образца напряжение достигает значения, соответствующего точке С в диаграмме напряжений, изображается площадью, заштрихованной вертикально на рис. 2.49, б. Если после этого производить разгрузку образца, то часть затраченной на деформацию работы, соответствующая упругим деформациям, возвращается. Указанная работа изображается площадью, заштрихованной горизонтально. Если разгрузка производится после того, как напряжение достигло величины меньшей, чем предел упругости, то, так как пути нагружения и разгрузки в этом случае совпадают, в процессе разгрузки (рис. 2.50, а) возвращается вся работа, затраченная на деформацию образца.

Мы будем понимать под упругостью не только полное отсутствие остаточных деформаций, но и полную обратимость работы деформации, независимо от того, линейна зависимость а — а (в) или, как у резины, нелинейна (рис. 2.38), и считать, что в случае

§ 2.22] РАБОТА СИЛ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ. ВЯЗКОСТЬ 151 абсолютно упругого материала, кривые нагружения и разгрузки в диаграмме напряжений совпадают (рис. 2.50, б) — каждому значению напряжения, независимо от того, рассматривается ли процесс нагружения или разгрузки, соответствует одна и та же по величине деформация. В отличие от нелинейно-упругого тела, в упруго-пластическом кривые нагружения и разгрузки не совпадают — одному и тому же значению напряжения соответствуют различные деформации в завцсимости от того, рассматривается ли нагружение или разгрузка, а если последняя, то в зависимости от того, от какого напряжения она производится (рис. 2.50, в).

Деформация, происходящая при монотонном возрастании, нагрузки (напряжений), называется активной, при разгрузке —— пассивной. Затрачиваемая на деформацию образца механическая энергия (ее эквивалент — работа внешних сил) в процессе деформации переходит в другие виды энергии. Пока напряжение не превосходит предела упругости, вся энергия, затраченная на деформацию, накапливается в теле в виде потенциальной энергии деформации, которая при разгрузке тела полностью переходит в механическую. То есть в пределах упругости всякое деформируемое тело можно уподобить идеальной пружине, накапливающей в себе энергию в случае ее загружения и возвращающей эту энергию при разгрузке.

Если напряжения превысили предел упругости, то не вся энергия, затраченная на деформацию, возвращается при разгрузке. Возвращается лишь часть, затраченная на упругую деформацию; соответствующая площадь на диаграмме рис. 2.49 заштрихована горизонтально. Остальная часть энергии идет на изменение формы, в том числе искажение внутренней структуры материала, и при разгрузке не возвращается. Более подробно о механизме деформаций металлов говорится в главе IV. Некоторая доля энергии, затраченной на деформацию тела, переходит в тепловую. Часть энергии, не возвращаемая при разгрузке в виде механической работы, численно равна рааности площадей, заштрихованных на рис. 2.49, б вертикально и горизонтально.

В технике используется условный термин ——вязкость материала '),под которой понимается способность его поглощать механическую энергию (работу) при деформировании образца, изготовленного из этого материала, вплоть до разрушения.

Работа, затрачиваемая на деформацию образца вплоть до егс разрушения, приходящаяся на единицу объема образца, измеряется площадью диаграммы напряжений; таким образом, мерой вязкости

Обращаем внимание на то, что обсуждаемый в настоящем параграфе термин вязкость материала не имеет ничего общего с термином «вязкость», используемым применительно к телам» находящимся в жидком и газообразном состоянии. В этом принципиально ином физическом понимании вязкость рассматривается в главе VII.

может служить удельная работа. Площадь диаграммы напряжений зависит от двух генеральных ее размеров — вдоль оси о (этот размер определяется ординатой опч, т.巳 мерой прочности материала) и вдоль оси 8 (этот размер определяется абсциссой 6, т. е. мерой пластичности материала). Таким образом, вязкость материала тем выше, чем прочнее и пластичнее материал. С другой стороны, 6 — мера пластичности материала, — как это было отмечено в § 2.11, зависит от тех условий, в которых протекает деформирование вплоть до разрушения; зависит от скорости деформирования, температуры образца, формы образца. Поэтому даже для образца стандартной формы вязкость, определенная на нем, не является какой-то физической константой и изменяется в зависимости от условий проведения эксперимента. Вязкость, определяемая величиной а, найденной при статическом испытании гладкого образца, называется статической вязкостью.

Совершенно очевидно, что чем выше вязкость, тем лучше материал при использовании в конструкции, так как тем большую работу необходимо затратить для разрушения его. Заметим, что обрабатываемость (резанием) материала тем более затруднена, чем выше вязкость материала.

В § 2.11 было пояснено, что пластичность и хрупкость являются альтернирующими свойствами материала. Поскольку чем выше пластичность, тем выше и вязкость, последнюю иногда также противопоставляют хрупкости.

Упругое последействие. Упругий гистерезис

Упругое последействие. Описывая деформирование образца в § 2.11, мы отвлеклись от того, как протекает оно во времени. Рассмотрим деформирование образца в пределах соблюдения закона Гука с учетом фактора времени. Наблюдения показывают наличие некоторого отставания деформаций от напряжений —— деформация происходит как в процессе возрастания силы, так и в течение некоторого отрезка времени после прекращения роста напряжения. Такое явление носит название упругого последействия при нагружении. Отстают деформации от напряжений и в процессе разгрузки: нагрузка уже снята с образца — напряжения равны нулю, а упругая деформация к этому моменту еще не полностью исчезла и остаток ее продолжает уменьшаться, доходя до нуля, еще некоторый отрезок времени. Это явление называется упругим, последействием, при разгрузке. На рис. 2.51 графически изображена зависимость

8 = f(O, /).

Упругий гистерезис. Вследствие наличия упругого последействия при периодическом изменении напряжений по закону,

показанному на рис. 2.52, г, одному циклу i) изменения напряжений соответствует цикл изменения деформаций, изображаемый в системе осей о, & некоторой t петлей ——замкнутым четырехугольником — параллелограммом (рис. 2.52, 6). Указанная линия называется петлей упругого гистерезиса.

Если периодическое изменение напряжений происходит по иному закону, нежели изображенный на рис. 2.52, а, например по гармоническому закону (2.53, а), то вследствие не мгновенного-нагружения и разгрузки отставание деформаций от напряжений оказывается меньшим, чем при законе по рис. 2.52, г. Поэтому петля гистерезиса

Рнс. 2.51. Упругое последействие: а) кривая в системе осей о. е, /; б) в системе осей О. е; 6) в системе осей е, /; е) в системе осей с, f; / — при отсутствии упругого последействия (отставания деформаций от напряжений)) 2 — при наличии упругого последействия.

получается криволинейной (рис. 2.53, б) и лежит внутри указанного ранее параллелограмма.

Площадь, заключенная на диаграмме о = а(8)внутри петли гистерезиса, численно равна необратимой удельной энергии (работе), превращающейся при выполнении каждого цикла деформации в тепловую энергию. Отставание деформаций от напряжений и порождаемая им петля упругого гистерезиса связаны с так называемым внутренним трением материала* В главе XVII при рассмотрении упругих колебаний систем показано, что наличие петли гистерезиса, порожденной внутренним трением, является причиной затухания свободных колебаний и стабилизации величин амплитуд вынужденных, колебаний в районе резонанса. При каждом цикле колебания происходит поглощение удельной работы, равной площади, заключенной внутри петли гистерезиса. С этой точки зрения,

В Следует рассматривать цикл в установившемся процессе, т. е. начинать его не раньше, чем по прошествии отрезка времени, равного половине периода изменения напряжений. '

Рнс. 2・52. Упругий гистерезис как следствие упругого последействия; а)картнна упругог последействия при циклическом (ступенчатом) нзмененнн напряжений; б； петля упругое гистерезиса (проекция простраиствеиноЙ кривой упругого последействия на плоскость

О£); б) проекция на плоскость sf; а) проекция на плоскость oz

Рис. 2.53. Упругий, ги терезис при гармоническом законе изменения напряжений во временно а) проотранствеииая кривая упругаго последействии; б) петля ристерезнса； в) однократное нагружение от нулевогв напряжения и полная разгрузка; а) разгрузка от иапряженнн, превышающего предел текучести, и повторное нагружение дэ ивходного мапояжения.

желая уменьшить эффект колебаний, целесообразно применять в колеблющейся системе материал с большим внутренним трением, обладающий широкой петлей упругого гистерезиса. Таким материалом является, например, хромистая сталь. Упругий гистерезис наблюдается лишь в поликристаллических телах и отсутствует в монокристаллах.

Если напряжение, изменяясь периодически, все время остается одного знака, но в течение цикла уменьшается до нуля, то петля упругого гистерезиса имеет вид, показанный на рис. 2.53, в. Наконец, если периодически изменяющиеся напряжения имеют максимальное значение, превышающее предел текучести, но остаются одного знака, доходя до нуля, то петля гистерезиса получается такой, как это изображено на рис. 2.53, г.

Гибкие нити

Общие положения. Наряду с прямолинейным стержнем, подверженным воздействию осевой нагрузки, осевую деформацию испытывают и так называемые гибкие нити, в связи с чем их уместно рассмотреть также в настоящей - главе.

Гибкой нитью называется линейный элемент, способный сопротивляться лишь растяжению и не сопротивляющийся никаким другим видам деформации. Примерами элементов, приближающихся по свойствам к гибкой нити, могут служить: гибкий канат висячего моста, провод электропередачи, трос кабель-крана. Во всех этих примерах элемент незначительно, но все же сопротивляется изгибу, сжатию (на небольшом участке длины), однако эти сопротивления столь невелики, что ими можно пренебречь.

Элемент может работать как гибкая нить, если концы его закреплены в так называемых точках подвеса. В общем случае эти точки располагаются на разных уровнях* в частном случае они могут быть на одном уровне.

Будем считать, что нить подвергается воздействию лишь вертикальных сил — собственного веса и нагрузки, последнюю полагаем распределенной равномерно вдоль горизонтальной проекции нити. Под влиянием собственного веса и нагрузки нить, если первоначальная длина ее превосходит расстояние между точками подвеса, провисает по некоторой кривой. Если однородную гибкую иить постоянного поперечного сечения считать иерастяжи- м о й и подвергнуть воздействию лишь собственного веса, то она провиснет по цепной линии. При учете растяжения кривая провисания оказывается иной.

Чем на большую величину превосходит длина нити кратчайшее расстояние между точками ее подвеса, тем большим оказывается ее провисание. Если нить имеет первоначальную длину несколько меньшую, нежели расстояние между точками подвеса, то для того,

чтобы подвесить нить, ее необходимо предварительно растянуть до того размера, который позволяет закрепить концы нити. Даже и в этом случае под влиянием собственного веса нить, удлинившись, провиснет по некоторой кривой.

Расстояние между проекциями точек подвеса нити на горизонтальную прямую, лежащую в плоскости провисания, называется пролетом и обозначается символом Z (рис. 2.54). При расположении точек подвеса на разных уровнях наинизшая точка провисшей нити располагается не посередине пролета; в нити с точками подвеса, лежащими на одном уровне, эта точка делит пролет пополам х).

Рнс. 2.54. Гибкие нити а) нить с точками подвеса, расположенными на разных уровнях： 6) нить с точками подвеса на одном уровнеРнс. 2.54. Гибкие нити а) нить с точками подвеса, расположенными на разных уровнях： 6) нить с точками подвеса на одном уровнеРис. 2.55. Действительное распределение нагрузки собственного веса нити.Рис. 2.55. Действительное распределение нагрузки собственного веса нити.

Рнс. 2.54. Гибкие нити а) нить с точками подвеса, расположенными на разных уровнях： 6) нить с точками подвеса на одном уровне

Рнс. 2.54. Гибкие нити а) нить с точками подвеса, расположенными на разных уровнях： 6) нить с точками подвеса на одном уровне

Рис. 2.55. Действительное распределение нагрузки собственного веса нити.

Рис. 2.55. Действительное распределение нагрузки собственного веса нити.

Будем называть стрелой провисания и обозначать символом / расстояние, измеренное по вертикали между прямой, проходящей через точки подвеса и параллельно ей проведенной касательной к кривой провисания нити. Проекции наинизшей точки на вертикали, проходящие через точки подвеса, отсекают вместе с последними на этих вертикалях отрезки 无1 и % При расположении точек подвеса на одном уровне 九工= 九？ = /■ Погонный вес гибкой нити, имеющей постоянное поперечное сечение и выполненной из однородного материала, является постоянным вдоль оси нити. Однако интенсивность нагрузки от собственного веса нити по горизонтальной ее проекции оказывается переменной. Обозначим интенсивность веса нити вдоль ее оси %; тогда, рассматривая элемент нити длиной ds (рис. 2.55), находим его вес q^ds. Если отнести этот вес к длине горизонтальной проекции элемента, т. е. к dx, то получим интенсивность веса нити по горизонтальной ее проекции:

9 =9 =松・44)松・44)

9 =

9 =

松・44)

松・44)

1) Имеется в виду нить постоянного поперечного сечеиия, выполненная из однородного материала.■

Чем круче располагается касательная к оси нити в рассматриваемой точке, тем больше эта интенсивность. В наинизшей точке нити (рис. 2.55), где касательная к кривой провисания нити горизонтальна, т. е. где у1 = 0, имеет место равенство

夕=%• (2,45)

Чем положе кривая провисания нити, тем меньше величина yf отличается от нуля. Для пологих нитей, у которых отношение fll V %, величиной 夕尸 口。сравнению с единицей можно пренебречь, допуская при этом Погрешность не более 10%, и считать, таким образом, что всюду

9 ^ %

В связи с этим обстоятельством существенно упрощается расчет пологих нитей по сравнению с расчетом нитей с большим отношением /7厶

Будем рассматривать именно пологие нити, находящиеся под воздействием нагрузки, равномерной по горизонтальной проекции нити. При этом в указанную нагрузку, кроме собственного веса нити, может входить и какая-либо иная нагрузка, например вес льда, образующегося на проводе или канате в зимнее время.

Итак, гибкие нити в зависимости от отношения /// можно разбить на три вида:

очень пологие нити (f// v "20)； в таких нитях, ввиду малости по сравнению с единицей величины (у'У， интенсивность собственного веса вдоль горизонтальной проекции нити можно принимать не по (2.44), а по (2.45). Это вносит упрощение; однако при расчете очень пологой гибкой нити необходимо учитывать ее удлинение, вызванное растяжением (усилие в нити статически неопределимо);

пологие нити (г/20 V fH V г/5)； расчет таких нитей особенно прост, так как в нем можно не учитывать удлинение нити и пользоваться формулой (2.45) вместо (2.44);

крутые нити (/// > "J; при расчете таких нитей удлинение нити не учитывается, это упрощает расчет; однако приходится пользоваться зависимостью (2.44), так как применение зависимости (2.45) приводит к большим погрешностям. Использование (2.44) значительно усложняет расчет нити.

Пологие нити с точками подвеса, расположенными на одном уровне. Отнесем кривую провисания нити к системе координатных осей х, у. Начало координат расположим в левой точке подвеса нити. Ось х направим горизонтально слева направо и ось у — вертикально вниз (рис. 2.56).

Если рассечь нить в сечении с абсциссой х, то, вследствие определения гибкой нити, действие одной ее части на другую можно заменить растягивающей силой, направленной по касательной к кривой провисания в рассматриваемом сечении, т. е. продольной силой

^ (х). Продольную силу N (х) можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие, которые обозначим Н (х) и V (х) соответственно (рис. 2.57). В частности, в точке подвеса О продольная сила и составляющие ее суть ^ (0), 〃(0) н £ (0). Из условия равновесия всей нити (равенство нулю суммы проекций всех сил

ЙШШЙ皿画夕ЙШШЙ皿画夕Рис. 2.56. Упрощенный закон распределения нагрузки собственного веса в пологих нитях.Рис. 2.56. Упрощенный закон распределения нагрузки собственного веса в пологих нитях.на вертикальную ось), учитывая симметрию, имеем V (0) = д〃2・ Если из нити вырезать некоторую часть, проведя два сечения с абсциссами 修 и х2, и заменить действие отброшенных частей соответствующими усилиями (рис. 2.58), то, рассматривая равновесие указанной части нити (равенство нулю суммы проекций всех сил на горизонтальную ось), получим Н (jq) = Н (х2). Иными словами, горизонтальная составляющая продольной силы оказывается одинаковой во всех сечениях. Поэтому эту составляющую обозначаем символом Н без указания аргумента.

ЙШШЙ皿画夕

ЙШШЙ皿画夕

Рис. 2.56. Упрощенный закон распределения нагрузки собственного веса в пологих нитях.

Рис. 2.56. Упрощенный закон распределения нагрузки собственного веса в пологих нитях.

.Рассечем нить в наинизшей точке

Рис. 2.57. Составляющие реакции п закреплении и усилия в текущем сеченяи.Рис. 2.57. Составляющие реакции п закреплении и усилия в текущем сеченяи.провисания. В силу симметрии кривая провисания имеет такую точку при х = Z/2. Отбросим одну из частей нити и рассмотрим другую. Вместо влияния отброшенной части нити на оставленную к последней прикладываем растягивающую силу (рис. 2.59). Так кЬк касательная к кривой провисания в наинизшеи ее точке горизонтальна» заключаем, что сила N (//2)

Рис. 2.57. Составляющие реакции п закреплении и усилия в текущем сеченяи.

Рис. 2.57. Составляющие реакции п закреплении и усилия в текущем сеченяи.

располагается горизонтально н, таким образом, совпадает с горизонтальной своей составляющей: ^ (〃2) = Н. Вертикальная сос* тавляющая равна нулю (У (〃2) = 0). Условие равновесия (равен* ство нулю суммы моментов всех сил, приложенных к нити, относительно точки О) запишется в следующем виде:

откуда-

〃=券.(2.46)

Найдем уравнение кривой провисания нити： Для этого проведем сечение с абсциссой х и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.57), учитывая при этом, как это было показано выше, что

Рис. 2.写队 К равенству горизонтальных составляющих усилия в различиях сечениях (при наличии только вертикальной нагрузки).

〃(0) = Я и V (0) == д〃2. Уравнение равновесия (равенство нулю суммы моментов всех сил, приложенных к рассматриваемой части нити, относительно точки 左)представится в виде

一 胃什粤一^=。； отсюда

У = ^-х(1-х).

Таким образом, кривая провисания нити в рассматриваемом случае (постоянство интенсивности нагрузки по пролету при условии

неучета растяжимости нити) представляет собой квадратную параболу.,

Теперь можно найти усилие в любом из сечений нити. Действи

тельно, в сечении с абсциссой х согласно рис. 2.57 имеем

N " (х)- h

(同—cos 屮(x) 一 cos ф (%) •

Учитывая тригонометрическую зависимость

COS ф (х)=尸，；,•

C + tga<p(x)''

а также то, что

tg 屮(X)= 9’ =昔(/ - 2х),(2.47)

получим

N(x) = H J 1 +嘗 ”2x)2 •

Наибольшего значения продольная сила достигает в сечений подаеса нити:

Nm.^N(x) \х^нУ 1+譬.(2.48)

Наименьшего значения продольная сила достигает в наинизшей точке кривой провисания нити, т. е. при х = 〃2:

Nmin = N(X)|%=〃2 ~ "•Nmin = N(X)|%=〃2 ~ "•(2.49)(2.49)

Nmin = N(X)|%=〃2 ~ "•

Nmin = N(X)|%=〃2 ~ "•

(2.49)

(2.49)

щается разница в величинещается разница в величинеРис. 2.60. К определеиню длины нити прн заданных / и f.Рис. 2.60. К определеиню длины нити прн заданных / и f.

щается разница в величине

щается разница в величине

Рис. 2.60. К определеиню длины нити прн заданных / и f.

Рис. 2.60. К определеиню длины нити прн заданных / и f.

Чем положе кривая провисания нити, тем в меньшей мере ощу

продольной силы при сопоставлении ее значений в различных сечениях. Сравним результаты, полученные по формулам (2.48) и (2.49) при fit = 1/5, т. е. для наиболее крутой нити из числа тех, к которым еще применима изложенная выше теория:

Nmax = Н Н + 16.%6 = 1,28〃，Nmin ="・

Разница составляет 28% от минимального значения N、Если рассмотреть нить с /〃 = 1/10, то

Nmax = Н/「Лё% = 1,08", Nmln = 〃・

Здесь разница составляет всего 8%. В связи с этим в нитях с fU V1/10 продольную силу N можно считать практически постоянной вдоль оси нити и принимать ее равной Н.

Имея уравнение кривой провисания нити, установим связь между длиной нити s, ее пролетом / и стрелой провисания 厶

Рассматривая рис. 2.60, получаем

ds = M(dx)2 + ®9)2 = dx/1十(力"; отсюда

s =卜1 十(y'^dx.о

Учитывая зависимость (2.47), получим

s = § ]Л1+讐(/ — 2x)2 dx = \ [ 1 十譬(/ 一 2炉『’ dx.

о0.

Применяя к подынтегральной функции разложение по формуле бинома Ньютона и отбрасывая в этом разложении все члены, начиная с третьего, в силу их малости по сравнению с единицей, будем иметь'

s= \[1+^ 醬(/-2列也

О или

Окончательно имеем

^Ф+т^)- .(2-50)

В приведенных выше формулах, если считать нить нерастяжимой, под s подразумевается первоначальная длина нити. В растя^ жимых нитях под s следует иметь в виду окончательную длину нити. Имея в распоряжении приведенные выше зависимости, в случае неучета растяжимости нити можно решать задачи в следующих постановках.

Пример 2.11. Заданы: пролет нити /, длина нити s, интенсивность нагрузки «, включая собственный вес нити, допускаемое напряжение материала нити [а], объемный вес материала нити у. Требуется подобрать сечение нити и выяснить, какую нагрузку, кроме собственного веса, нить способна выдержать.

Последовательность решения примера следующая.

Из зависимости (2.50) находим стрелу провисания нити:

f=V^ (т-1) =4]^Т(т-1)'&")

По формуле (2.48) находим

"max 口 у 1十翼 8f У I十'丿 4 y (%)(s/J) •

(2.52)

Формула (2.52) получена путем подстановки в формулу (2.48) выражений Н и / иа основании формул (2.46) и (2.51) соответственно.

условия прочности

Nmax/FQ。]

находим необходимую площадь поперечного сечения ннтш

4 m ? (%向亠1)・

6 А. П, Фнлии

Находим интенсивность нагрузки g *, которую способна выдержать нить сверх собственного веса (погонная интенсивность собственного веса нити qB= Fy):

”H唄-吊｝/ (%)(s//-l) J

Пример 2.12. Заданы: интенсивность равномерно распределенной нагрузии д*, которую нить может испытывать (кроме собственного веса) при напряжениях, равных допускаемым [а], объемный вео материала нити у, 1И)олет 厶 длина инти д. Необходимо подобрать площадь поперечного сечения нити F.

Последовательность решения задачи следующая,

Находим f по (2.51).

Максимальная продольная сила ^max, если учесть (2.52) и то, что g =■ g*+ + т居 изобразится так:

一厅+Y尸)1 J 1+68/1-万4 P W(₽T)*

Из условия прочности, учитывая полученную формулу для ^тах, находим уравнение для отыскания 尸：

(g*+Yf)”/~i+6(s/i-i)尸

.4 [а] У (%)(s/j) 一 •

Отсюда

W

画匣三Uv・:

Пример 2.13. Заданы: интенсивность нагрузки q (включая сюда собственный вес), допускаемое напряжение материала нити [а], площадь поперечного сечения 尸, пролет !, Требуется найти необходимую длину нити, при которой она работав при напряжениях, равных допускаемым.

Последовательность расчета следующая

а)<Из условия прочности.

к/У。]，，

записанного в форме

находим необходимую стрелу провисания нити fi

8 М 付尸户—g2/2/Z'

Из формулы (2.50) находим необходимую длину нити!

s=4 Уs=4 У24[0产户一嘗24[0产户一嘗

s=4 У

s=4 У

24[0产户一嘗

24[0产户一嘗

Пример 2.14. Заданы: допускаемое напряжение и объемный вес материала нити [а] и у, пролет, длина и площадь поперечного сечения нити /, s и F. Требуется установить, какую нагрузку, кроме собственного веса, способна выдержать нить.

Последовательиость расчета следующая.

Условие прочнсх:ти> учитывая формулу (2.52) и равенство ^ = ^ * + 丫凡 записываем в виде

~— У (3/2)©/-1Г'1“

Из этого условия, используя знак равенства, находим g*i

g*g* 4尸[о] 4尸[о](3/2)(S〃一l)1 + 6 (S//-Л(3/2)(S〃一l)1 + 6 (S//-Лy尸.y尸.

g*

g*

4尸[о]

4尸[о]

(3/2)(S〃一l)1 + 6 (S//-Л

(3/2)(S〃一l)1 + 6 (S//-Л

y尸.

y尸.

Приведенные примеры наглядно иллюстрируют многообразие возможных постановок задач, связанных с условием прочности.

Пологие нити с точками подвеса, расположенными на разных уровнях. В тех случаях, когда точки подвеса располагаются на разных уровнях, задача имеет некоторую специфику, состоящую

Рис* 2・61・ К определению Н в нити с точками [подвеса, расположенными на разных уровнях.Рис* 2・61・ К определению Н в нити с точками [подвеса, расположенными на разных уровнях.а)а)Рис. 2.62. Три различных случая провна сання нити при расположении точек подвеса на разных уровнях.Рис. 2.62. Три различных случая провна сання нити при расположении точек подвеса на разных уровнях.

Рис* 2・61・ К определению Н в нити с точками [подвеса, расположенными на разных уровнях.

Рис* 2・61・ К определению Н в нити с точками [подвеса, расположенными на разных уровнях.

а)

а)

Рис. 2.62. Три различных случая провна сання нити при расположении точек подвеса на разных уровнях.

Рис. 2.62. Три различных случая провна сання нити при расположении точек подвеса на разных уровнях.

в том, что абсцисса наинизшей точки кривой провисания не является заранее известной..

На рис. 2.61 показана такая нить. По причине, отмеченной выше, и в случае несимметричной подвески нити горизонтальная составляющая продольной силы во всех сечениях нити оказывается одинаковой. Рассечем нить в точке ее оси с абсциссой а. Условие равенства нулю суммы моментов всех сил, приложенных к

6*

оставленной левой части нити, запишется в виде

〃生一堂=0.

Отсюда

芻.■(2.53)

Из условия равновесия правой части нити получаем по аналогии

"=舞・Q，54)

Приравнивая правые части равенств (2.53) и (2.54);

2АГ*2АГ*

2АГ*

2АГ*

получим после сокращения

a2 加a2 加也1 也*也1 也*Учитывая, кроме того, равенствоУчитывая, кроме того, равенство(2.55)(2.56)(2.55)(2.56)

a2 加

a2 加

也1 也*

也1 也*

Учитывая, кроме того, равенство

Учитывая, кроме того, равенство

(2.55)

(2.56)

(2.55)

(2.56)

ОтсюдаОтсюда(2.57)(2.57)получаем возможность определить а и & из (2.55) и (2.56): a = ± b ]/瓦区2,b±bV瓦/用2 —厶

Отсюда

Отсюда

(2.57)

(2.57)

1 ±m取.

Ha рис. 2.62, а показана кривая, соответствующая случаю, когда в приведенных формулах сохранен знак минус (вершина С параболы вошла в область отрицательных значений х). При 用1 =0 получаем совпадение вершины С параболы с точкой О, в этом случае а = 0, Ь = I (рис. 2.62, б). Наконец, когда в формулах сохранен знак плюс, имеем случай, в котором вершина параболы находится в области положительных значений х (рис. 2.62, е). Величину Н найдем из формулы (2.54), подставив в нее значение Ь согласно /2.57). Формула для Н приобретает вид ■

Н =——,"二—f.(2.58)

2坛(1 土丿瓦饱)22 (M% 土 М%)2'

Вертикальные составляющие опорных реакций могут быть определены из уравнений равновесия всей нити:

% + Уз = д/, Vq/ —(^2 - Л1) = 0-

Отсюда, учитывая формулу для ", получаем

Vo^\X~ nlv^' Уа="1 + (М；М瓦)2】；⑵59) здесь Л — задаваемая разность уровней точек поДвеса нити. Уравнение кривой провисания находим из уравнения равновесия неко- терой части нити, лежащей по одну сторону от сечения с абсциссой х:

Р* — Ну —等=0.

Подставляя сюда " н У。согласнохформулам (2.58) и (2.59), получим

『｛叩一小加一｝竺戸

Тангенс угла наклона касательной к кривой провисания нити равен-в

tg фк = /= //Г1 - h 1 - (喉 士 匕&亡.

g ' I L (/Л2±/Ма J j /2

Продольная сила выражается формулой

^(x)='

Ч(У h^±V h^ V〃 I L ^hi±Vh^\ / ,

(2.60)

Отсюда можно найти значения ^ (%), соответствующие сечениям подвеса (для этого полагаем в формуле (2.60) х = 0 или х = /).

Наконец, формула для длины нити, выводимая аналогично такой формуле в случае симметричного подвеса нити, приобрета

ет видет вид1 (m瓦± m瓦尸[(]1 (m瓦± m瓦尸[(]-（К，瓦）2）-（К，瓦）2），（/后 ±h瓦产，（/后 ±h瓦产

ет вид

ет вид

1 (m瓦± m瓦尸[(]

1 (m瓦± m瓦尸[(]

-（К，瓦）2）

-（К，瓦）2）

，（/后 ±h瓦产

，（/后 ±h瓦产

Учитывая, что 友 и й2 связаны друг с другом зависимостью 力2 ——用1 =儿 замечаем, что, пользуясь формулами, выведенными для несимметричного подвеса нити, можно решить все те типы задач, которые решены выше для симметричной нити.

Непологие нити (f/l > х/5)« Так как в крутых нитях эффект растяжимости нити слабо сказывается на величинах усилий, им можно пренебречь с еще большим основанием, чем при расчете пологих нитей. Вследствие этого усилия в крутой нити оказываются статически определимыми — их можно найти из одних уравнений равновесия.

Выведем интегро-дифференциальное уравнение равновесия крутой нити в случае расположения точек подвеса на одном уровне.

Элемент нити ds (рис. 2.63) находится в равновесии под действием горизонтального распора ", вертикальных составляющих V н У + dV н результирующей нагрузки %ds, равномерно распределенной по длине нити. Из условия равенства нулю суммы проекций всех этих сил на ось х следует, что распор — величина постоянная в любом из сечений нити. Из второго уравнения равновесия ——

равенства нулю, суммы проекций всех сил, действующих на элемент йити>. на ось у — имеем

dV = %由； учитывая, что

ds = )/ 1 +(/『dx* можно это условие записать так:

崇=00 > 1 + (/)* •(2.61)

Третье уравнение равновесия — равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на выделенный из нити элемент, — позволяет установить зависимость между величинами проекций Я и V:

Н dy = V dx, или

"У = К(2.62)

Рассматривая равновесие половины нити, определим величину распора " в сечении х = 0, используя тот факт, что вертикальная составляющая V в этой точке равна нулю. Составив уравнение Моментов относительно точки А сил, действующих на половину йити, получим

•//2 ~

Н =乎 § 住一X)/ 1 + (行 dx.(2.63)

Исключая из уравнений (2.61), (2.62) и (2.63) составляющие Н и V, приходим к интегро-дифференциальному уравнению относительно функции у (х), определякмцей форму нити:

°

早 \ 伶一x))/ 1 + (行〃一Н+(行"(2.64)

Решением уравнения (2.64) является функция

g(x)= £(chcx—l)，(2.65)

график которой называется цепной линией.

Функция (2.65) удовлетворяет краевым условиям задачи, т. е. кривая, ей соответствующая, проходит через точки с координатами (О, 0) и (//2, /), если параметр с является корнем трансцендентного уравнения.

chy-/c=l.

Глава Ш

ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ.ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАГРУЗКАМИ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ

Предварительные соображения

В настоящей главе рассматриваются основные особенности статически неопределимых систем. Эти свойства необходимо учитывать с самого начала изучения сопротивления материалов.

Уже при первом знакомстве с рядом особенностей поведения материалов под нагрузкой (например, осмысливание двух типов разрушения, вязкого и хрупкого) приходится иметь в виду начальные напряжения в материале; при оценке комплекса свойств материала, предназначаемого для конструкций, работающих при высоких и резко изменяющихся температурах, важно понимать природу температурных (термических) напряжений. Как начальные напряжения, так и температурные (термические) напряжения могут быть уяснены лишь после ознакомления со свойствами статически неопределимых систем. Излагая идеи методов оценки надежности (в смысле прочности) конструкции и оставаясь при этом в рамках осевой деформации элементов последней, для того чтобы подчеркнуть различие методов, приходится анализировать поведение именно статически неопределимой системы.

Наконец, уже в самом начале курса важно понять, что заменяют собой геометрические гипотезы, принимаемые при выводе формул для напряжений. Сделать это можно, лишь уяснив природу уравнений совместности деформаций. Лучшей иллюстрацией могут явиться такие уравнения, составленные для простейшей статически неопределимой стержневой системы. После этого в главе VI читатель легко освоится с геометрическим смыслом уравнений совместности деформаций для сплошной среды,

Понятие о фермах и шарнирно-дисковых системах

Фермами называют геометрически неизменяемые системы, состоящие из стержней, соединенных между собой по концам в так называемых узлах при помощи шарниров (рис. 3.1). Узлы в ферме при любой нагрузке могут перемещаться относительно друг друга лишь за счет деформации стержней; в этом именно и состоит геометрическая неизменяемость фермы. Внешняя нагрузка в виде сосредоточенных сил прикладывается лишь в узлах фермы. Если существует плоскость симметрии, общая для всех стержней фермы, то последняя называется плоской. Предполагается, что такая ферма

загружается лишь силами, лежащими в ее плоскости, а шарниры в узлах ее ——цилиндрические, в каждом из них ось поворота перпендикулярна плоскости фермы. В пространственных фермах шарниры в узлах ——шаровые.

Все стержни фермы изготавливаются прямолинейными, при ЭТОМ ОНИ ИСПЫТЬ|- вают лишь осевую деформацию (чистое растяжение или чистое сжатие х)) (рис. 3.2). Если бы стержни в ферме были криволинейными, то они подвергались бы не только осевой деформации, но и изгибу (рис. 3.2, б). Элементарный способ образования геометрически неизменяемой шарнирно-стержневой системы состоит в следующем: в случае плоской (пространственной) системы к шарнирно-стержневому треугольнику (тетраэдру) последовательно присоединяются узлы — каждый при по-

Рис, 3.1. Фермы! а) плоские!6) пространственные.Рис, 3.1. Фермы! а) плоские!6) пространственные.мощи двух (трех) неколлинеарно (некрмпланарно) расположенных стержней (рис. 3.3). Получающиеся при этом фермы назы

Рис, 3.1. Фермы! а) плоские!

6) пространственные.

Рис, 3.1. Фермы! а) плоские!

6) пространственные.

ваются простыми в отличие от сложных, принципы образования которых иные. На принципах образования сложных ферм останавливаться не будем. •

Шарнирно-дисковыми называются геометрически неизменяемые системы, которые образованы из дисков^ соединенных при помощи шарниров. В частности, диском может быть и стержень; но шарниры,

при помощи которых он присоединяется к другим дискам, могут располагаться не обязательно по концам стержня, вследствие чего последний испытывает не только осевую .деформацию.

Если в такой системе, наряду с другими элементами, имеются прямолинейные стержни, прикрепляемые только шарнирами.

1) Предполагается» что поперечные размеры сжатых стержней таковы, что не происходи! выпучивания их. Это условие принято во всей настоящей главе.

расположенными по концам нх, то эти стержни испытывают лишь осевую деформацию： Если жесткость всех остальных элементов

Рис. 3.2. К вопросу об осевой деформации^ а) характер работы прямолинейного элемент# фермы; б) картина работы элемента фермы в случае его криволииейности; R — равно* действующая всех сил, приложенных к узлу /； н усилий во всех отержиях^ соединяемых в узле /, кроме стержня /—2; R* — сила, аналогичная Ri, ио приложенная к узлу 2? велика по сравнению с жесткостью стержней, подвергнутых осевой деформации, то указанные элементы можно считать жесткими х).Рис. 3.2. К вопросу об осевой деформации^ а) характер работы прямолинейного элемент# фермы; б) картина работы элемента фермы в случае его криволииейности; R — равно* действующая всех сил, приложенных к узлу /； н усилий во всех отержиях^ соединяемых в узле /, кроме стержня /—2; R* — сила, аналогичная Ri, ио приложенная к узлу 2? велика по сравнению с жесткостью стержней, подвергнутых осевой деформации, то указанные элементы можно считать жесткими х).Рис. 3.3. Образование простых ферм! а) плоской： б) пространственной.Рис. 3.3. Образование простых ферм! а) плоской： б) пространственной.

Рис. 3.2. К вопросу об осевой деформации^ а) характер работы прямолинейного элемент# фермы; б) картина работы элемента фермы в случае его криволииейности; R — равно* действующая всех сил, приложенных к узлу /； н усилий во всех отержиях^ соединяемых в узле /, кроме стержня /—2; R* — сила, аналогичная Ri, ио приложенная к узлу 2? велика по сравнению с жесткостью стержней, подвергнутых осевой деформации, то указанные элементы можно считать жесткими х).

Рис. 3.2. К вопросу об осевой деформации^ а) характер работы прямолинейного элемент# фермы; б) картина работы элемента фермы в случае его криволииейности; R — равно* действующая всех сил, приложенных к узлу /； н усилий во всех отержиях^ соединяемых в узле /, кроме стержня /—2; R* — сила, аналогичная Ri, ио приложенная к узлу 2? велика по сравнению с жесткостью стержней, подвергнутых осевой деформации, то указанные элементы можно считать жесткими х).

Рис. 3.3. Образование простых ферм! а) плоской： б) пространственной.

Рис. 3.3. Образование простых ферм! а) плоской： б) пространственной.

не испытывающими никакой деформации. В таком случае в шарнирно-дисковой системе все деформируемые элементы подвержены лишь растяжению или сжатию.

г) Такое предположение является естественным, если жесткость указанных элементов намного больше жесткости стержней, испытывающих осевую дефор* нацию.

Статически неопределимые системы.

Степень статической- неопределимости

Стержневая система называется статически определимой^ если в ней при любом загружении усилия во всех элементах могут быть определены из одних уравнений статики. Системы, в которых все или часть усилий не могут быть найдены из одних уравнений статики/ называются статически неопределимыми. На рис. 3.4 изображено несколько статически неопределимых ферм и шарнирнодисковых систем. Будем полагать в этих системах все диски, кроме

Рис. 3.4. Примеры втатически неопределимых систем.

стержней, испытывающих осевую деформацию, бесконечно жесткими.

Покажем на простейших примерах статически неопределимых ферм идею расчета и свойства, присущие всем статически неопределимым системам. Общие методы расчета таких систем излагаются в главе XVI.

Любую статически неопределимую ферму можно превратить в статически определимую геометрически неизменяемую путем удаления (исключения) некоторых связей. Рассечение стержня фермы эквивалентно удалению одной связи. Так как взаимодействие частей рассеченного стержня осуществляется посредством одного усилия М или, иначе, стержень с шарнирами по концам представляет собой одну связь, он предотвращает возможность осуществления лишь одного перемещения — сближения его концов или уве・ личения расстояния между ними.

Так, например, из статически неопределимой системы, показанной на рис. 3.4, а, можно получить геометрически неизменяемую статически определимую (рис. 3.5), исключая ту или иную связь (стержень). Такие связи называют лишними.

На рис. 3.5, а в качестве лишней связи принят стержень 3, иа рис. 3.5, 6 — стержень 2, н, наконец, на рис. 3.5, s за лишнюю связь принят стержень /・ Указанные связи называются лишними

Рис. 3.5. Варианты исключения связей, превращающего статически неопределимую систему в статически определимую.Рис. 3.5. Варианты исключения связей, превращающего статически неопределимую систему в статически определимую.

Рис. 3.5. Варианты исключения связей, превращающего статически неопределимую систему в статически определимую.

Рис. 3.5. Варианты исключения связей, превращающего статически неопределимую систему в статически определимую.

Рис. 3.6. Недопустимое исключение свя зеЙ превращающее геометрически неизме* няемую систему в механизм.Рис. 3.6. Недопустимое исключение свя зеЙ превращающее геометрически неизме* няемую систему в механизм.Рис. 3.7. Варианты превращения статически неопределимой системы в статически определимую путем удаления лишних связей.Рис. 3.7. Варианты превращения статически неопределимой системы в статически определимую путем удаления лишних связей.порознь может рассматриватьсяпорознь может рассматриватьсяусловно, ЛИШЬ С ТОЙ ТОЧКИусловно, ЛИШЬ С ТОЙ ТОЧКИ

Рис. 3.6. Недопустимое исключение свя зеЙ превращающее геометрически неизме* няемую систему в механизм.

Рис. 3.6. Недопустимое исключение свя зеЙ превращающее геометрически неизме* няемую систему в механизм.

Рис. 3.7. Варианты превращения статически неопределимой системы в статически определимую путем удаления лишних связей.

Рис. 3.7. Варианты превращения статически неопределимой системы в статически определимую путем удаления лишних связей.

порознь может рассматриваться

порознь может рассматриваться

условно, ЛИШЬ С ТОЙ ТОЧКИ

условно, ЛИШЬ С ТОЙ ТОЧКИ

не потому, что х)ни не нужны в конструкции. Если, например, в системе, изображенной на рис. 3.5, площади сечений стержней подобраны так, чтобы выдержать силу с определенным запасом, то, удалив один из стержней, мн уже не сумеем обеспечить тот же коэффициент запаса, а может быть, и вообще безопасность конструкции. Таким образом, с точки зрения надежности работы ни один из стержней не является лишним. Лишним каждый из стержней или 2, или , 3

зрения, что при удалении какого-либо одного из них система сохраняет свой) геометрическую неизменяемость. Из системы, пока-

занной на рис. 3.4, а, можно удалить всего лишь одну связь, не нарушая геометрической неизменяемости системы; если же удалить две связи, то система превратится в механизм (рис. 3.6), Итак, относительно рассматриваемой системы можно сказать, что в ней всего лишь одна лишняя связь.

Встречаются системы, в которых имеется две или большее число лишних связей. Так, например, удаляя из системы, показанной на рис. 3.4, “ одновременно' две связи, мы еще сохраним ее геометрическую неизменяемость. На рис. 3.7 показаны различные варианты такого исключения. В варианте г (рис. 3.7, а) удалено в правом конце абсолютно жесткого стержня закрепление, представляющее собой две связи, ибо этим закреплением воспрепят- ствованы как горизонтальная, так и вертикальная составляющие перемещения правого концевого сечения. Число лишних связей в системе хгфактеризует степень ее статической неопределимости, т. е. показывает, насколько число неизвестных усилий превышает число уравнений статики.

Расчет статически неопределимой системы начинают с установления степени ее статической неопределимости.

Раскрытие статической неопределимостипри помощи уравнений совместности деформаций.

Зависимость усилий от отношения жесткостей

Рассмотрим простейшую статически неопределимую систему (рис. 3.8, а). Пусть симметрично расположенные стержни / и 2 изготовлены из стали (модуль упругости £\), а средний стержень — из меди (модуль упругости EJ. Площади поперечных сечений крайних стержней примем одинаковыми, равными 吊，а у среднего стержня 尸з・ Рассматривая равновесие узла (рис. 3.8, б)( составим следующие уравнения равновесия:

—^1 sin Р + 必 sin р = 0,^l cos Р + 必、+ 必 cos P — P = 0・(3.1)

Найти три неизвестных из двух уравнений статики не представляется возможным — система является статически неопределимой. Из первого уравнения равновесия находим

N* =必.

Тогда второе уравнение равновесия примет вид

.2^ cos Р + ^з — Р = О,

или

Недостающее уравнение для отыскания неизвестных усилий составим, рассматривая деформацию системы. Под влиянием силы Р

во всех трех стержнях возникает растяжение. Растягивающие продольные усилия в стержнях должны быть такими, чтобы удлинения крайних стержней были согласованы с удлинениями среднего.- Согласование удлинений состоит в том, что после деформации, как и до нее, нижние концы всех трех стержней должны быть в одной точке. В этом случае можно сказать, 険 浄于йчто имеет место совместность деформаций всех

勿、 з / трех стержней.

\% Учитывая, что деформация стержней мала,

\/ А/ можно считать, что углы, составляемые край・ д / ними стержнями со средним, после деформа- \/. ции практически такие же, как и до дефор-

тически неопределимойтически неопределимойсистемы] а) статически неопределимая ферма; б) узел- и действующие на него силы (внешняя нагрузка и усилия в стержнях, соединяемых s узле); е) картина деформации системы под наррузклй.системы] а) статически неопределимая ферма; б) узел- и действующие на него силы (внешняя нагрузка и усилия в стержнях, соединяемых s узле); е) картина деформации системы под наррузклй.М311ИИ.

тически неопределимой

тически неопределимой

системы] а) статически неопределимая ферма; б) узел- и действующие на него силы (внешняя нагрузка и усилия в стержнях, соединяемых s узле); е) картина деформации системы под наррузклй.

системы] а) статически неопределимая ферма; б) узел- и действующие на него силы (внешняя нагрузка и усилия в стержнях, соединяемых s узле); е) картина деформации системы под наррузклй.

Между удлинениями среднего и любого крайнего стержня должна быть следующая зависимость (рис. 3.8, в):

Mt = Ms cosp.(3.3)

При несоблюдении этой зависимости удлинения стержней были бы несогласоваиными, нижние концы их не могли бы оказаться в одной точке, и была бы нарушена целостность конструкции. Итак, уравнение (3.3) следует рассматривать как уравнение совместности деформаций, составленное применительно к рассматриваемой задаче. Если учесть выражения для удлинений стержней при их растяжении постоянной вдоль оси продольной силой, то уравнение (3.3) получим в следующей форме:

鬱J睛cos в.

也品七8六8

Учтем, что 厶=4 cos p； отсюда

Из уравнений (3.2) и (3.4) найдем интересующие нас подставляя (3.4) в (3.2), получим2M舞85邛=Р一必.心 3r s■Из уравнений (3.2) и (3.4) найдем интересующие нас подставляя (3.4) в (3.2), получим2M舞85邛=Р一必.心 3r s■усилия;усилия;ОтсюдаОтсюда"в =., №=z产中旣з6"в =., №=z产中旣з6嘿с*嘿с*1+2旣小1+2旣小(3-5)(3-5)^ = i^^cosap.(3.4)

Из уравнений (3.2) и (3.4) найдем интересующие нас подставляя (3.4) в (3.2), получим

2M舞85邛=Р一必.

心 3r s■

Из уравнений (3.2) и (3.4) найдем интересующие нас подставляя (3.4) в (3.2), получим

2M舞85邛=Р一必.

心 3r s■

усилия;

усилия;

Отсюда

Отсюда

"в =., №=z产

中旣з6

"в =., №=z产

中旣з6

嘿с*

嘿с*

1+2旣小

1+2旣小

(3-5)

(3-5)

Одной из особенностей статически неопределимых систем является то, что усилия в них зависят от отношения жесткостей отдельных элементов. Действительно, как N3t так и А\ зависят от отношения EFJEF&

Проследим, как изменяется величина усилий ^1 и ^з в зависимости от изменения указанного отношения. Учитывая, что величины Ei и 旦 являются определенными, будем варьировать лиШь F〕F& Пусть подвергается увеличению 4§ при неизменной Fv При этом отношение 爲/尸з уменьшается, вследствие чего величина М возрастает, так как второй член в знаменателе уменьшается. В пределе, при戶丿居0,凡尸.

При уменьшении отношения FJF® происходит уменьшение усилия М, и при ь"尸8fo m =%f 0.

Таким образом, чем относительно мощнее средний стержень (по сравнению с крайними), тем большую долю внешней нагрузки он воспринимает на себя. В пределе, когда FJF§ f 0, вся нагрузка передается на средний стержень. Если, наоборот, уменьшать площадь поперечного сечения среднего стержня, то отношение 尸丿吊 возрастает и усилие ^3 уменьшается; в пределе, когда FJF^f оо,

^3 -> 0; усилие же ^1 или равное ему усилие N2 по мере роста отношения 卜1/尸3 увеличивается. Это легко уяснить, если формулу для усилия А\ представить в следующем виде:

员瓦+ 2cos3 0

при

&8 ScosP*

т・ e. усилия ^1 и ^2 приобретают значения, которые они имели бы при отсутствии среднего стержня в статически определимой системе (рис. 3.9).

Чем относительножестче элемент статически неопределимой системы, тем б б л ьшую долю внешней нагрузки, передаваемой на группу элементов, о и принимает на себя.

§ 3・5・ Монтажные усилия

Представим себе проектный чертеж статически определимой системы (рис. 3.10). Пусть при изготовлении один из стержней сделан немного короче, чем по проекту. Вследствие этого стержни

займут положение, отличающееся от проектного (рис. ЗЛО, б). Однако никаких усилий в них не возникнет, так как им ничто не мешает занять положение, соответствующее фактическим длинам стержней.

Иная картина наблюдается при неточности изготовления элементов статически неопределимых систем. Представим себе, что один из стержней такой системы (проектный вид ее показан на рис. 3.11, а), например средний,绮好 «

изготовлен на величину 6 короче力 飞下厂

проектной длины (рис. 3.11, б).\ | Z

Для того чтобы соединить кон-\ /

цы всех трех стержней в узле О,\[/

как это предусмотрено проектом,*〃

Рис. 3.10. К вопросу о сборке статически определимой системы из неточно изготовленных элементов： а) проектный внд системы; б) фактический внд системы (пунк- Qgp) после сборки при условии неточного изготовления первого стержня (длина меньше проектной на 6).Рис. 3.10. К вопросу о сборке статически определимой системы из неточно изготовленных элементов： а) проектный внд системы; б) фактический внд системы (пунк- Qgp) после сборки при условии неточного изготовления первого стержня (длина меньше проектной на 6).Рис. 8.11. К вопросу о сборке статически неопределимой системы из неточно изготовленных элементов: а) проектный внд системы; б) монтируемая система до сое* ди нения элементов в нижнем узле; е) кар* тнна деформации элементов системы после соединения нх в нижнем узле; е) картина самоуравновешенных усилий,' возникаю* щих в элементах фермы в процессе монтажа.

Рис. 3.10. К вопросу о сборке статически определимой системы из неточно изготовленных элементов： а) проектный внд системы; б) фактический внд системы (пунк- Qgp) после сборки при условии неточного изготовления первого стержня (длина меньше проектной на 6).

Рис. 3.10. К вопросу о сборке статически определимой системы из неточно изготовленных элементов： а) проектный внд системы; б) фактический внд системы (пунк- Qgp) после сборки при условии неточного изготовления первого стержня (длина меньше проектной на 6).

монтажа: средний стержень путем приложения к нему растягивающей силы удлиняется на величину о, вследствие чего оказывается возможным соединение нижних концов крайних и среднего стержней шарниром. После этого силу, растягивающую средний стержень, снимаем. Средний стержень будет иметь тенденцию приобрести свою первоначальную длину, однако этому воспрепятствуют крайние стержни, теперь уже работающие вместе со средним. В результате крайние стержни под влиянием среднего несколько укоротятся, но сами принудят средний стержень сохранить некоторую долю

растяжения, потребовавшегося для соединения концов стержней в узле О.

Таким образом, в статически неопределимой системе даже без внешней нагрузки, в силу одной лишь неточности изготовления , отдельных элементов, в результате мойтажа возникают усилия.

мм6 = Д/g Т6 = Д/g ТCOS §，COS §，Для определения величин этих усилий используем, наряду с уравнениями статики, уравнение совместности де(|юрмаций, которое в рассматриваемом случае запишется в следующем виде (рис. 3.11):

м

м

6 = Д/g Т

6 = Д/g Т

COS §，

COS §，

ни, тони, тол — IN也一近爲十瓦尸18sB.л — IN也一近爲十瓦尸18sB.(3.6)(3.6)или, если принять указанные выше предположения о площадях поперечных сечений и о материалах, из которых изготовлены стерж

ни, то

ни, то

л — IN也

一近爲十瓦尸18sB.

л — IN也

一近爲十瓦尸18sB.

(3.6)

(3.6)

Из условий равновесия узла (3.1), учитывая, что Р = 0, находим

^ = ^,2Mcosp = N》(3.7)

Подставляя ^3 из (3.7) в (3.6), получим

с 2^ cos р • Z3 I ' ^/3

=--京卜后石 85邛，

Отсюда

М = AcosBTJeJv Т］，(3.8)

а если учесть (3.7), то

3丄(2金亠・(3.9)

Температурные усилия

Пусть имеем статически определимую систему (рис. 3.12). Если изменить температуру одного из ее стержней, например, повысить температуру стержня 2 на Д/ градусов, то произойдет ничем не стесняемое изменение длины стержня 2 на величину

纯=/2а Д/,

где а ——коэффициент линейного температурного расширения материала стержня 2

Система изменит конфигурацию по сравнению с первоначальной, но в стержнях ее при этом никаких усилий не возникнет.

них — наних — наРис. 8.12. Картину деформации статически определимой системы прц нагреве Стержня 夕；оой стержней до нагрева 十 сплошные линии, оси стержней после нагрева —пунктир.Рис. 8.12. Картину деформации статически определимой системы прц нагреве Стержня 夕；оой стержней до нагрева 十 сплошные линии, оси стержней после нагрева —пунктир.Статически неопределимая система (рис. 3.13, а) в аналогичных условиях ведет себя иначе.•

них — на

них — на

Рис. 8.12. Картину деформации статически определимой системы прц нагреве Стержня 夕；оой стержней до нагрева 十 сплошные линии, оси стержней после нагрева —пунктир.

Рис. 8.12. Картину деформации статически определимой системы прц нагреве Стержня 夕；оой стержней до нагрева 十 сплошные линии, оси стержней после нагрева —пунктир.

Повысим температуру среднего стержня на Д/8 градусов и край* '… градусов. Если бы стержни не были связаны

друг с другом шарниром, то при указанном изменении температур средний стержень удлинился бы на величину Д/| =融 Д/8> а крайние — на Д/1 = А% = /2а Д^. При этом нижние концы среднего и крайних стержней, если их расположить на оси симметрии системы, оказались бы в точках Л3 и %】，расстояние между которыми, что ясно из рис. 3.13> б, равно величине

/8аД4 —

На рис. 3.13, б изображен случай расположения точек Лх и Д8, соответствующий некоторому определенному отношению Д<х/Д/8.

При другой величине этого отношения точка /工 могла бы оказаться ниже Л8.

Рис. 3.13. К вопросу о температурных усилиях в статически иеопределимых системах) а) статически неопределимая ферма; б) картнна деформации при нагреве среднего стержня на А%, а крайних на А~; в) картина температурных усилий.Рис. 3.13. К вопросу о температурных усилиях в статически иеопределимых системах) а) статически неопределимая ферма; б) картнна деформации при нагреве среднего стержня на А%, а крайних на А~; в) картина температурных усилий.На самом деле нижние концы среднего и крайних стержней, будучи соединены шарниром, должны располагаться в одной точке /', находящейся между Лх и Л8. При этом крайние стержни

Рис. 3.13. К вопросу о температурных усилиях в статически иеопределимых системах) а) статически неопределимая ферма; б) картнна деформации при нагреве среднего стержня на А%, а крайних на А~; в) картина температурных усилий.

Рис. 3.13. К вопросу о температурных усилиях в статически иеопределимых системах) а) статически неопределимая ферма; б) картнна деформации при нагреве среднего стержня на А%, а крайних на А~; в) картина температурных усилий.

оказываются принудительно растянутыми на величину А厶=* =NJ,E\F*, а средний ——сжатым на величину Д/8 — N3l3/ESF9} знаки усилий указаны согласно расположению точек Л2 и Л3, изображенному на рис. 3.13, б. Если бы точка Аг располагалась ниже, чем Л3, то А1 по-прежнему находилась бы между ними, но

при этом средний стержень был бы растянут, а крайние сжаты. На рис. 3.13, s показаны направления продольных сил в стержнях, соответствующие изображенной на рйс. 3.13, 6 картине взаимного расположения точек 力】и Л3.-

В уравнениях равновесия (3.1) ввиду отсутствия нагрузки нужно положить Р = 0. Условие совместности деформаций, согласно рис. 3.13, б, представляется так:

/ а М —=戶乎• * + 黔.(3.10)

B B COS Р七1 尸 1 COS В 1 丛居'，

Решая совместно (3.10) и уравнения равновесия, находим

N、= N = E3F з<х (cos2§ • А& — М)

12 2cos30+餘'

М _ 2E3F3a cos p (cos2 P • Д/з—A/t)(3」D

Таким образом, в статически неопределимых системах при изменении температурного поля возникают усилия (напряжения), называемые температурными (термическими).

Проанализируем формулы (3.11). Установим, какие свойства материала и поля приращений температур влияют на величины температурных усилий. Для большей простоты анализа будем считать, что все стержни выполнены из одного материала, т. е. что ^ = =e2 =七。Тогда

N'=№ = Л■&們 Еа 化寸卩.& - М), © ⑵ м=^й5^£а(с*з・м-м). J '

Из (3.12) следует, что величина температурных усилий тем больше, чем выше продольный модуль упругости и коэффициент линейных 'температурных деформаций материала.

Для того чтобы оценить влияние неоднородности поля приращений температур на величину температурных усилий, проанализируем, как изменяется выражение, находящееся в скобках в формулах (3.12), в зависимости от

(3.13)(3.13)А2/ = Д/3 — А/】

(3.13)

(3.13)

— степени неоднородности поля приращений температур. Обозначим выражение, стоящее в скобках, буквой Л:

Л = cos20•A友一A友.Л = cos20•A友一A友.(3.14)(3.14)

Л = cos20•A友一A友.

Л = cos20•A友一A友.

(3.14)

(3.14)

Тогда, определяя А& из (3.13) и подставляя найденное значение в (3.14), получим

(3.15)(3.15)Л = — (1 — cos2 ₽) Д/8 + А也

(3.15)

(3.15)

Зависимость (3.15) на рис. 3.14, а представлена графически. График показывает, что существует такое значение А2/, при котором % = 0

и, следовательно, температурные усилия равны нулю. Это значение

Д2/ = Д/3 (1 — cos2 Р).Д2/ = Д/3 (1 — cos2 Р).(ЗЛ6)(ЗЛ6)

Д2/ = Д/3 (1 — cos2 Р).

Д2/ = Д/3 (1 — cos2 Р).

(ЗЛ6)

(ЗЛ6)

Из (3.14) видно, что

Л > 0 при А% > Д/i/cos2 В; Л = 0 при Д/8 — Д/i/cos2 В;

4 Vo при . Д/8<A/i/cos2P，

На рис. 3.14, б показан график изменения I Л | в зависимости от I Д2/1. График позволяет утверждать, что при увеличении абсолютного значения степени неравномерности приращений температур происходит увеличение абсолютных значений температурных усилий, за исключением некоторой ограниченной области (исключение составляет лишь ограниченный участок положительных значений А2/ в диапазоне 0 V Д2/ V W Д/8 (1 — cos2 В)). ,

Рассмотрим теперь влияние уровня температурных приращений на температурные * усилия. Для большей простоты анализа будем считать что А& = 0 (тогда ^i = Д/3 = Д/). Формулы (3.12) приобретут при этом вид

N* = N$ =N* = N$ =£3 COS2 р2c^P + fV^£3 COS2 р2c^P + fV^fa Мfa Мм=м=2居 cos3 В2 cos3 В + 尸J尸f2居 cos3 В2 cos3 В + 尸J尸ffa Д/.fa Д/.

N* = N$ =

N* = N$ =

£3 COS2 р2c^P + fV^

£3 COS2 р2c^P + fV^

fa М

fa М

м=

м=

2居 cos3 В

2 cos3 В + 尸J尸f

2居 cos3 В

2 cos3 В + 尸J尸f

fa Д/.

fa Д/.

Величину Д/ в данном случае можно рассматривать не только как степень неравномерности приращений температур в системе, но и как уровень приращения температуры в какой-то области системы. При повышении уровня приращений тем，

ператур в системе происходит увеличение температурныхусилий..

Формулы (3.11) показывают, что температурные усилия, как и вообще усилия в статически неопределимых системах, зависят от отношения жесткостей Е&尸"£\f\・

Остановимся еще на одном аспекте влияния температурного фактора на статически неопределимые системы. При воздействии высокого нагрева в системе, наряду с возникновением в ней температурных усилий, происходят изменения в свойствах материала — могут изменяться величины £ и а; изменяются (понижаются) и прочностные характеристики, и при этом тем значительнее, чем продолжительнее воздействие высоких температур. Поэтому в тех случаях, когда произошел высокий нагрев какой-то части конструкции, необходимо как можно скорее отвести тепло в окружающую среду или в другие части конструкции. При этом, с одной стороны, понижается уровень нагрева в наиболее нагретой части, а с другой стороны, понижается степень неоднородности поля приращений температур. Как то, так и другое понижение влечет за собой уменьшение температурных усилий. Вместе с тем выравнивание температур зависит от трех факторов: плотности, теплопро- х водности и теплоемкости материала — и характеризуется коэффициентом температуропроводности а, равным ■

где 月 一 коэффициент теплопроводности, с — коэффициент теплоемкости, р — плотность. Чем выше коэффициент температуропроводности, тем быстрее происходит выравнивание температур. В целом в рассматриваемом случае для снижения температурных усилий необходимо выбирать материал, у которого величина

как можно меньше, разумеется, при наличии достаточной прочности и малой зависимости ее от высоких температур.

Пример 3.1. Определить температурные напряжения, возникающие вследствие нагрева в прямолинейном стержне длиною Z, одним концом жестко заделанном в несмещаемую стену / и отделенном на втором конце от другой несмещаемой стены 2 зазором 0 (рис. 3.15, а). Распределение приращений температуры по длине стержня по сравнению с тем моментом, когда зазор равенб, показано на рис. 3.15,6.

Функция, характеризующая распределение приращений температур по длине стержня, имеет вид

△/ = А"

Если бы не было стены 2, стержень при нагреве удлинился бы на величину А“1

Ak = \d (М),dA〃 = a Af d晶

«л и

А〃== j a A, dz=(x , Af dz = aQ/.оо

Здесь Q(=^\ ^i dz-^ площадь эпюры прлращения температуры. Полученная

формула для М применима приформула для М применима приРис. 3.15 ・ К примеру 3，Н а) система до иагрева; б) эпюра изменений темпер ат ур иого поля； в) картина деформации системы при нагреве.Рис. 3.15 ・ К примеру 3，Н а) система до иагрева; б) эпюра изменений темпер ат ур иого поля； в) картина деформации системы при нагреве.любом законе изменения вдоль оси прямолинейного стержня приращений температуры. В нашем случае & = А" //2 и A/尸 W Af"2・ Будем считать, что повышение температуры стержня вызовет изменение его длины по величине большее, нежели зазор 6(М>6), вследствие этого произойдет стеснение части температурного удлинения А^ — 6, влекущее за собой возникновение сжимающих реакций 火总 и R^, действующих со стороны стен на стержень (рис. 3.15, в). Единственное уравнение равновесия имеет вид

формула для М применима при

формула для М применима при

Рис. 3.15 ・ К примеру 3，Н а) система до иагрева; б) эпюра изменений темпер ат ур иого поля； в) картина деформации системы при нагреве.

Рис. 3.15 ・ К примеру 3，Н а) система до иагрева; б) эпюра изменений темпер ат ур иого поля； в) картина деформации системы при нагреве.

RA^RB^Qt (ЗЛ8)

н, так как оно содержит две неизвестные реакции, — задача статически неопределима. Уравнение совместности деформаций, необходимое для раскрытия статической неопределимости, имеет вид

м —6 = А2・(3.19)м —6 = А2・(3.19)Здесь Д/ = Rb〃EF — укорочение стержня (против его естественной, т. е. нестесненной.

м —6 = А2・(3.19)

м —6 = А2・(3.19)

а/ Д/оа/ Д/о226-霁《0.6-霁《0.Совместное решение этой системы даетСовместное решение этой системы даетEF ©I А"—26) 2Z~~EF ©I А"—26) 2Z~~(3.20)(3.20)длины, которая имела бы место после нагрева при отсутствии стены 2), вызываемое реакциями стен. Уравнения (3.18) и (3.19) * с учетом выражений А〃 и А/ приобретают вид

а/ Д/о

а/ Д/о

2

2

6-霁《0.

6-霁《0.

Совместное решение этой системы дает

Совместное решение этой системы дает

EF ©I А"—26) 2Z~~

EF ©I А"—26) 2Z~~

(3.20)

(3.20)

При этом используются лишь неотрицательные значения, получаемые по фор・ муле (3.20).

Температурные напряжения находятся по формуле

N R £(cUM—26)

Интересно отметить, что температурные напряжения в рассматриваемом случав не зависят от площади поперечного сечения. Это вполне естественно, так кан поведение всех продольных волокон стержня с площадью поперечного сечеийя, равной единице, одинаковое. Если бы приращения температуры по длине стержня

УСИЛИЯ ОТ НЕЗАВИСИМОГО СМЕЩЕНИЯ ОПОР 183 оставались постоянными и зазора между правым торцом стержня и стеною 2 не было, температурное напряжение выражалось бы формулой

,a =s Еа А/.

В этом случае напряжения не зависят и от длины стержня. По такой, формуле можно определять температурные напряжения в цельносварном рельсе. При этом Af определяется как разность между температурой рельса, при которой ищутся напряжения в нем, й температурой рельса в момент образования путем сварки из отдельных звеньев рельсовой нити (плети). *

Температурные усилия (напряжения) в статически неопределимых системах часто являются настолько серьезным фактором, что приходится принимать специальные меры конструктивного и технологического характера для уменьшения эффекта проявления температурного воздействия.

■ Температурные усилия возникают вследствие стеснения изменений в размерах, имеющих место при изменении температурного поля. Аналогичная ситуация может возникать и под влиянием других факторов. Так, например, бетон в процессе твердения испытывает усадку (некоторые бетоны — набухание}, tlo внешнему проявлению (имеется в виду уменьшение размеров элементов) усадка может быть уподоблена эффекту понижения температуры на определенное число градусов (обычно 15—20 ℃). Из-за усадки в статически неопределимых бетонных и железобетонных системах возникают так называемые усадочные напряжения и соответствующие им усилия. Расчет на усадку производится аналогично расчету на изменение температурного режима (понижение на 15—20 ℃). Для устранения или уменьшения усадочных напряжений обычно принимаются специальные меры — обеспечение возможности протекания усадки до превращения системы в статически неопределимую.

Усилия от независимого смекцения опор .

Представим себе статически неопределимую систему (рис. 3.16). Для простоты анализа будем считать, что все стержни имеют оди~ наковые площади поперечных сечений и выполнены из одного материала. Пусть одна из, опор, например закрепляющая средний стержень, сместилась по отношению к другим так, как это показано на рис. 3.16, q в связи с какой-то внешней причиной, например вследствие размыва грунта вокруг фундамента и под ним. Если бы верхний конец среднего стержня не был связан с крайними, то вследствие смещения нижнего конца на величину Д и верхний конец этого стержня переместился бы на такую же величину, т. е. весь средний стержень переместился бы как жесткое целое. Наличие же крайних стержней, присоединенных к среднему в узле О, меняет картину. Крайние стержни в определенной мере препятствуют верхнему концу среднего перемещаться. Перемещение верхнего конца стержня оказывается меньшим, чем нижнего. Следовательно^

средний стержень испьлтывает растяжение. Если обозначить величину абсолютного удлинения среднего стержня через Д/8, то смещение верхнего конца его окажется таким: Д — Д/8.

Смещаясь, верхний конец среднего стержня увлекает за собой верхние концы крайних стержней и, таким образом, вызывает в них сжатие. Уравнений равновесия узла

(уравнений (3.1) при Р = 0, нз которых следует (3.7)) недостаточно для отыскания усилий в стержнях, к ним приходится добавить уравнение совместности деформаций

Д/1==(Д — д/8) cos₽, или, в развернутой форме,

辛寸欢不

醬=(△一第cos卩.

Иг \ br /

(3.21)

Рис. 3.16.

К возникновению

усилий в статически неопределимой системе при независимом смещении опоры； а) ёид системы и деформации ее при смещении опоры; О) картина усилий, возни* кающих при независимом смещении опоры.

Подставляя в (3.21) вместо 必 его выражение на основании формулы (3.7) и учитывая, что /8 — 乙 cos 卩，получим

отсюда

韜 яг A£Fcos6

М = № = /1(l+2cos3p)，

2A£F 8sа В

/г (1+2 cos3 Р)'

В ста м ы х

тичес к и неопредели- системах вследствие

смещения опоры или опор, приводящего к изменению

относительного расположения узлов, возникают усилия. Этим объясняется то, что такие системы с большей осторожностью применяют в сооружениях при слабых

грунтах.

§ 3・8・ Подбор сечений элементов в статическинеопределимых системах по допускаемым напряжениям

Прежде чем коснуться подбора сечений элементов в статически неопределимых системах, покажем, как выполняется эта операция в системах статически определимых, на примере фермы. В статически определимой системе все усилия находятся из одних уравнений статики и не зависят от соотношения жесткостей элементов. Поэтому после отыскания усилий сечение каждого из элементов можно подобрать так, чтобы наибольшее напряжение в нем было

равно допускаемому. Для этого в случае фермы достаточно площади поперечных сечений всех элементов определить по формуле -吊= -^р(，= 1,…，孔)・

Здесь п — число элементов.

Таким образом, статически определимая ферма может быть запроектирована равнонапряженной, т. е. с одинаковыми'по величине напряжениями во всех элементах, в частности, равными допускаемым.

В случае статически неопределимых систем добиться равно- напряженности можно лишь в исключительных случаях. Покажем это на примере..

В § 3.4 была рассмотрена статически неопределимая система и найдены усилия, возникающие в ее элементах. Эти усилия (Л\ = =^2 и ^8) зависят от отношения жесткостей элементов / и 5 (жесткости элементов / и 2 приняты одинаковыми).

Для большей простоты обнаружения интересующей нас особенности статически неопределимых систем будем считать, что все три стержня изготовлены из одного материала и имеют одинаковые площади поперечных сечений. Таким образом, отношение жесткостей элементов равно единице. Усилия N± = N& к ^3 при этом изобразятся формулами

М = М = 1 十2 c(J 6，М = i"cos3 8，(3・22}

^1 = ^2 < так как cos2 6 Vl.

Подбираем по допускаемому напряжению сечение в элементе 3 с большим усилием:

"8 =奇=尸i =居；

напряжение же в элементах / и 2 оказывается меньше допускаемого:

Выясним, не существует ли такого отношения площадей поперечных сечений элементов (материал всех стержней по-прежнему предполагаем одинаковым), при котором они могли бы быть равнонапряженными. Для того чтобы это было возможным, усилия должны находиться в таком же отношении, как и площади поперечных сечений соответствующих элементов.

Рассмотрим отношение усилий ^1 и “幻 исходя из формул (3,5)* положив в этих формулах ^ >= £8 « Е; будем иметь

嘉=geos"В' или 啓臂= со$2 0.

Если исходить из равнонапряженности элементов / и 3 (например, считать, что в обоих элементах напряжения равны допускаемым), то предыдущее равенство приобретает вид

胃=l=cos2p,

что противоречит виду системы, так как равенство cos2 0 == 1 может выполняться лишь при р = 0, т. е. в случае, если все три стержня направлены параллельно друг другу.■

Если считать, что стержни выполнены из различных материалов, то

^ =能3限Н胄甯= Mcos2P.

Так как стержни / и 5 выполнены из различных материалов, допускаемые напряжения для них различны и наиболее целесообразное использование материалов имеет место при соблюдении равенства напряжения в каждом из стержней допускаемому для' материала соответствующего стержня.

Учитывая это, поставим требование, чтобы

* =[吗，符=冋8；

-тогда получим.

1^11 =邑 cos2 81^1" = cos2 8

旧3区 P，冋3邑C P・

Учитывая, что [必=1600 к/7cM纟，[а]3 = 600 кГУсм* 5г ^ =2 -10е кГ]с储,Ез = 1」• 10е кГ/см2, находим

Последнее равенство невозможно, так как cos2 卩 не может быть больше единицы.

Если для стержней / и 5 приняты материалы, у которых допускаемые напряжения имеют, например, следующие значения: [必=1000 к「/см&, [а]8 = 600 кГ/см29 то получим

1000 1,1 • 1062 Q с С1 /42 0

-600--2noe- = cos ₽：°,91 (6) = cos2p,

-или cos В = 0,957 и р = 16°50'・ Итак, при принятых условиях равенство напряжений в каждом из стержней допускаемому для соответствующего материала возможно, но лишь в случае строго -определенного значения угла р. Полного использования материала в статически неопределимой снстеме, если вести расчет п о допускаемым напряжениям, можно добиться лишь в исключительных случаях.

§ 3・9・ Регулирование усилий

Статически неопределимую систему всегда можно подвергнуть так называемому предварительному напряжению, позволяющему й в случае применения расчета по допускаемым напряжениям добиться полного использования материала во всех элементах системы. Такое предварительное напряжение служит цели искусственного регулирования усилий (напряжений).

Вернемся к статически неопределимой ферме (рис. 3.8). Будем считать, что площади поперечных сечений и материал всех стержней одинаковы. При таких условиях наиболее полное использование материала мыслимо, если во всех элементах системы напряжения равны допускаемым. -

Как было показано, добиться равнонапряженности элементов не представляется возможным, так как при равных площадях поперечных сечений стержней усилия в них оказываются различными:

Pcosz РГ+2сО8зр*Pcosz РГ+2сО8зр*8 l+2cos3p8 l+2cos3p(3.23)(3.23)

Pcosz Р

Г+2сО8зр*

Pcosz Р

Г+2сО8зр*

8 l+2cos3p

8 l+2cos3p

(3.23)

(3.23)

Верхний индекс (Р) подчеркивает, что эти усилия вызваны нагрузкой. Наложим на усилия от нагрузки усилия, создаваемые .искусственно,' путем регулирования, которое осуществим предварительным напряжением стержней. От предварительного напряжения стержней получится картина наподобие наблюдаемой при' монтаже в случае неточного изготовления элементов. Найдем величину 6 (отклонение длины среднего стержня от того размера, п ри котором в результате монтажа не возникает усилий), обеспечива ю- щую, в сумме с влиянием нагрузки, равенство усилий в крайнем и среднем стержнях. Для этого сложим усилия от нагрузки и от предварительного напряжения системы:

Мб —6£尸 cos? Вn© = "EF cogB,3 24)

—/3(l+2cos3 P) »“8 /j(l+2cos»P)*9•厶)

При выводе формулы (3.8) знак плюс подтверждает то, что усилие, показанное на рис. 3.11, действительно сжимающее; поэтому введем знак минус в формулу для 必"для того, чтобы все знаки соответствовали условию: плюс — растяжение, минус — сжатие. Формулы (3.24) получены из (3.8) и (3.9), если в них положить E^JE^F^ = 1. Приравняем суммарные усилия в крайнем и среднем стержнях.

Учитывая формулы (3.8) и (3.4), будем иметь

v = Pcos 邛1 ~ 1+2 cos3 pv = Pcos 邛1 ~ 1+2 cos3 p6EF COS2 ВР . 2M尸 со^р _ 川

v = Pcos 邛

1 ~ 1+2 cos3 p

v = Pcos 邛

1 ~ 1+2 cos3 p

0ЙР岳= T+2cos3p 十 /3(1 +2cos3р)=川8♦

Отсюда находим искомое:Отсюда находим искомое:(3.25)

Отсюда находим искомое:

Отсюда находим искомое:

(3.26)(3.26)P%1 — COS2 P

(3.26)

(3.26)

£f cos2 p~(r+2cos p) л

Знак минус в формуле для 6 указывает на то, что длина среднего стержня должна быть не меньше (как это было рассмотрено в § 3.5), а больше той, при которой не возникает предварительного напряжения.

При этом суммарные усилия от нагрузки и от предварительного напряжения системы получаем, подставляя (3.26) в (3.25):

как cos р >как cos р >Итак, N§ vN$* N*> Nt、. Действительно, так > cos3 £ 1 : cos2 § > 1, имеем

как cos р >

как cos р >

№ ==№ ==Г-|-2 севр V прт^^="F*Г-|-2 севр V прт^^="F*1 +2 88 01 +2 88 0>-荻邛+2COSB>-荻邛+2COSBNS—NS—

№ ==

№ ==

Г-|-2 севр V прт^^="F*

Г-|-2 севр V прт^^="F*

1 +2 88 0

1 +2 88 0

>-

荻邛+2COSB

>-

荻邛+2COSB

NS—

NS—

Так как при действии нагрузки Р без регулирования подбор сечений (при условии F* =尸з) производился по большему усилию, т. е. по ^8 , а ^3 < 必？ становится очевидным, что, при использовании регулирования, площади поперечных сечений всех стержней могут быть приняты меньшими, чем в случае, когда регулирование не применяется, т. е. искусственное регулирование напряжений может привести к экономическому эффекту:

а +纟cosе)旧 v(l+2с*am;

Приведенный пример показывает целесообразность использования искусственного регулирования напряжений в статически неопределимых системах.

Подбор сечений элементовв статически неопределимых системах по допускаемой нагрузке

До сих пор, говоря об оценке надежности (в смысле прочности) элемента, подвергнутого осевому действию сил, мы исходили Из условия 、

Такой подход к оценке прочности элемента составляет сущность так называемого расчета по допускаемым напряжениям. В этом расчете исходят из того, что вычисленное максимальное напряжение не должно превосходить допускаемого.

Другим методом оценки прочности или подбора сечений элементов из условия прочности является так называемый метод

расчета по допускаемым нагрузкам. Сущность его рассмотрим на примере системы, изображенной на рис. 3.8, а. Для упрощения анализа будем считать, что Е* = Е§ = Е и FT = % = F.

текучести, дальней-текучести, дальней-Проследим за характером работы системы в процессе постепенного возрастания силы Р・ Пусть зависимость между напряжениями и деформациями описывается диаграммой Прандтля (рис. 2.39). Напомним, что усилие в среднем стержне больше, чем в крайних, а следовательно, в нем большими оказываются и напряжения. До тех пор, пока напряжения в среднем стержне не достигли предела текучести, усилия во всех стержнях изменяются пропорционально силе Р и определяются формулами (3.22). Как только в сред-

текучести, дальней-

текучести, дальней-

Рис. 3.17. Узел фермы й усилия в стержнях, соединяемых п нем； в сред* нем стержне напряжения равны 0ТРис. 3.17. Узел фермы й усилия в стержнях, соединяемых п нем； в сред* нем стержне напряжения равны 0Тнем стержне напряжения достигнут предела ший рцст силы Р не будет сопровождаться увеличением напряжений в среднем стержне; расти будут лишь напряжения в крайних стержнях, не достигшие еще предела текучести.

Рис. 3.17. Узел фермы й усилия в стержнях, соединяемых п нем； в сред* нем стержне напряжения равны 0Т

Рис. 3.17. Узел фермы й усилия в стержнях, соединяемых п нем； в сред* нем стержне напряжения равны 0Т

Возникновение напряжений в среднем стержне, равных пределу текучести, не означает, что узел О может перемещаться без возрастания силы Р, так как опусканию узла О * препятствуют крайние стержни, в которых напряжения еще не достигли предела текучести. Таким образом, пластическая деформация среднего элемента задерживается крайними. Здесь картина совершенно аналогична

наблюдавшейся при рассмотрении концентрации напряжений вблизи отверстия в растянутой пластичной полосе. Таким образом, возникновение в среднем стержне напряжений, равных пределу текучести, еще не является опасным для системы. Система еще способна продолжать сопротивляться возрастающей нагрузке.

Начиная с того момента, когда в среднем стержне возникают напряжения。工，система перестает быть статически неопределимой, так как усилие в среднем стержне приобретает определенное значение От齐 и не меняется при дальнейшем увеличении силы Р・ Усилия в крайних стержнях при этом определяются из уравнений равновесия (рис. 3.17)

(3.27)(3.27)—М §也 0 + 乂2 sin 0 = О, М cos Р + ^2 cos ₽ + J尸一Рн。， откуда

(3.27)

(3.27)

Нагрузка, при которой возникают напряжения 0r в среднем стержне, может быть обозначена Рт; ее находим из условия

им 1+2 883 0*

Дальнейший рост нагрузки приводит к тому, что и в крайних стержнях напряжения достигают предела текучести. При соответствующем значении нагрузки, которое обозначим Роп> происходит опускание узла О без дальнейшего увеличения ее. То есть система (все ее элементы) будет испытывать возрастающие пластические деформации при постоянной нагрузке. Такое состояние является опасным для системы. Сила Роп, которой соответствует возникновение опасного состояния системы, может быть найдена из равенства (3.27), если в нем положить ^1 = axFt т. е. для определения Роп имеем уравнение

ОтсюдаОтсюдаPU 尸(1+2 сз 0)・PU 尸(1+2 сз 0)・n戶=Pg-“尸盟―2 cos В •

Отсюда

Отсюда

PU 尸(1+2 сз 0)・

PU 尸(1+2 сз 0)・

В расчете по допускаемым напряжениям исходят из того, что опасным является такое состояние сооружения, при котором хотя бы в одной точке его напряжения до сти г а ют величины опасного напряжения. На самом деле, если материал сооружения находится в пластичном состоянии, то, если напряженное состояние не является однородным, возникновение напряжений в какой-то точке сооружения, равных пределу текучести, еще не вызывает опасного состояния сооружения. Последнее возникает при нагрузке, превосходящей ту, которая впервые вызывает напряжения от в какой-либо точке сооружения.

Сказанное наглядно проиллюстрировано приведенным выше анализом работы системы.

Нагрузка Рт, при которой впервые в системе возникают напряжения (в среднем стержне), равные %, меньше нагрузки Роп, соответствующей возникновению опасного состояния системы:

• Рт = a.F (1 + 2 cos» ₽) < GtF (1 + 2cos ₽) = Роп.

Расчет по допускаемому напряжению сводится к удовлетворе* нию следующему условию прочности:

откуда

尸田请=(i+2cos3 p)м •(3・28)

При расчете по допускаемой нагрузке ставим условие, чтобы фактическая нагрузка Р была не больше так называемой допускав^ мой:

Величину допускаемой нагрузки находим как частное от деления нагрузки, опасной для системы в целом, на коэффициент запаса: [円=禦(3.29)

В рассмотренном примере, еоди принять k в (3.29) таким же, как и при определении [о], получим :)

[Р] и %£咛红竺й =冋尸(1 + 2 cos В).

Условие прочности по допускаемой нагрузке в данном случае имеет вид

Р ^MF (1 +2cos₽).

一 Подбирая площадь поперечного сечения стержней по допускаем моб нагрузке, получим

个—(l+2cosB) [и]・

Сопоставляя формулы (3.28) и (3.30), легко обнаруживаем большую экономичность расчета по допускаемым нагрузкам при Сравнении его с расчетом по допускаемым напряжениям. Это и вполне естественно, так как в расчете по допускаемым нагрузкам опасное состояние относится к большей по величине нагрузке.

Действительно, если положить, например, что 0 = 30° (cos В = ■ ]/3/2), то, подбирая площадь поперечного сечения по допускаемому напряжению, будем иметь

尸=0,435 Р/М.

Производя аналогичную операцию по допускаемой нагрузке, получим

戶 « 0,366 Р/М.

Перерасход материала , при расчете по допускаемому напряжению составил 19% по сравнению с расчетом по допускаемой нагрузке.

Одной изосновных проблем сопротивления материалов следует считать учет возникающих в системе пластических деформаций., Общая пластическая деформация системы, например пластическая деформация всех трех стержней, недопустима, так как с нею связано возрастание перемещений без увеличения нагрузки, лишающее конструкцию возможности исполнять ее функции. Развитие же локальных пластических деформаций (пласти-

*1) На самом деле переход от одного метода оценки прочности к другому сопряжен g изменением величины коэффициента запаса.

ческих деформаций в некоторых из элементов), стесняемых малостью величины упругих деформаций других элементов, в целом для системы не опасно. Это позволяет повышать нагрузку, которую может воспринять система, оставаясь надежной, по сравнению с той, при которой пластические деформации возникают лишь в локальной области. К системе, в которой в процессе нагружения возникает хотя бы в одном из элементов пластическая деформация, применять принцип независимости действия сил нельзя.

2・ Возникает вопрос: почему же не переходят полностью на расчет по допускаемой нагрузке, если он приводит к более экономичному решению?

.Ответить на это можно следующим образом.

Сейчас происходит переход от расчета по допускаемым напряжениям к расчету по допускаемой нагрузке, точнее сказать, к расчету по методу, родственному последнему, но несколько от него отличающемуся и носящему название расчета по предельным состояниям Некоторые основные идеи этого метода излагаются в § 3.14.

Однако этот переход не всегда является простым.

Во-первых, не всегда достаточно просто найти опасную нагрузку. В ряде случаев эта задача весьма сложна, и далеко еще не для всех случаев она разрешена. Особенно сложны вопросы, связанные с расчетом на подвижную нагрузку и на несколько разных комбинаций нагрузок.

Во-вторых, переход к новому методу связан с необходимостью введения в расчет новых коэффициентов запаса, которые нуждаются в проверке по поведению сооружений, запроектированных соответствующим методом. .

В ряде случаев夕 когда имеем дело с хрупким материалом, расчет по допускаемым напряжениям оказывается достаточно совершенным, ибо предельное (опасное) состояние для материала в малой области часто опасно для системы в целом.

Несмотря на широкое внедрение расчета, основанного на методе предельных состояний, расчет по допускаемым напряжениям сохраняет значение и еще долгое время будет оставаться исключительно важным, а в ряде случаев нет основания и думать о полном отказе пт расчета по допускаемым напряжениям.

Выше уже говорилось о том, что существуют исключительные случаи, характеризуемые одновременным возникновением напряжений, равных пределу текучести, во всем объеме материала системы; естественно, что они опасны для системы в целом. Для таких систем разница в расчете по допускаемому напряжению и по допускаемой нагрузке исчезает. К числу обсуждаемых случаев относятся: осевое действие сил на призматический стержень при постоянной вдоль его оси продольной силе; работа статически определимой фермы при равнонапряженности всех стержней, в условиях действия заданной узловой нагрузки. Если элементы, статически

РАСЧЕТ ПО ДОПУСКАЕМОЙ НАГРУЗКА 193 неопределимой фермы при действии заданной узловой нагрузки могут быть и являются равнонапряженными, то достижение напряжениями величины От произойдет одновременно во всех стержнях по всей площади поперечного сечения каждого из них и, таким образом, система в целом окажется в опасном состоянии х).

Отметим один важный момент. В § 3.8 рассматривалась статически неопределимая система (рис. 3.8), элементы которой не могут быть равнонапряженными. Для такой системы, как это показано в настоящем параграфе, расчет по допускаемому напряжению и по допускаемой нагрузке приводит к различным результатам; в § 3.9 отмечалось, что путем искусственного регулирования напряжений можно добиться равнонапряженности элементов статически неопределимой системы (однородность напряженного состояния). В таком случае, различие в результатах расчета по допускаемому напряжению и по допускаемой нагрузке исчезает. В частности, применительно к статически неопределимым фермам искусственным регулированием напряжений можно достигнуть того же экономического эффекта, оставаясь на позициях метода допускаемого напряжения, какой, получается в случае применения расчета по методу допускаемой нагрузки. Это подтверждается и приведенным примером. Действительно, с учетом регулирования напряжений в статически неопределимой системе, производимого с целью достижения в ней равнонапряженности элементов, при подборе площади поперечных сечений стержней по допускаемому напряжению была получена формула

个—(l+2cosB) [о]'

Эта формула совпадает с формулой для F, выведенной при расчете по допускаемой нагрузке статически неопределимой системы.

Если не рассматривать тех исключительных случаев, когда мыслима равнонапряженная статически неопределимая ферма, то можно утверждать, что применительно к статически недпределимым системам (не только к фермам), выполненным из пластичных материалов, разница в расчете по допускаемому напряжению и по допускаемой нагрузке имеется всегда (подразумевается, что искусственное регулирование напряжений не применено).

В случае статически определимых систем разницы в расчете по допускаемому напряжению и допускаемой нагрузке нет лишь в отмеченных выше случаях (однородное напряженное состояние во всей системе).

Расчет по допускаемой нагрузке в литературе иногда называют расчетом 孔。разрушающей нагрузке.

) Приведенные примеры являются частными случаями так называемого однородного напряженного состояния, при котором во всех точках тела напряжен^ ное состояние одинаковое.

А. П. Филин'

Несмотря на большую очевидность, все же покажем на примере, что в случае статически определимой равнонапряженной фермы нет разницы между расчетами по допускаемому напряжению и по допускаемой нагрузке.、

Рассмотрим статически определимую систему (рис. 3.9). В силу симметрии системы и нагрузки, элементы системы являются рав・ ненапряженными.

Условие прочности по допускаемому напряжению имеет вид

Отсюда

Условие прочности по допускаемой нагрузке имеет вид

При этом

Опасным состоянием является такое, при котором начинает течь материал обоих стержней, т. е. нагрузка, соответствующая оп сному состоянию, равна следующему выражению:

Роп = 2 必 cos р = 20r 尸 cos p.

Tai им образом,

[P]=出嘗£ = 2 尸[a] cos ₽.

Окончательное условие прочности представится в виде

P^2F [a] cos р.

Отсюда

r Q 2 8S В [о]*

Следовательно, результаты расчета по допускаемому напряжению и по допускаемой нагрузке в данном случае одинаковы.

Рассмотрим расчет железобетонной колонны по допускаемым нагрузкам (рис. 3.18). При сжатии таких колонн, как показывают многочисленные опыты, к моменту разрушения относительные линейные продольные деформации достигают величины в = 0,0015. При такой деформации, если считать, что она одинакова и в бетоне и в арматуре в силу их сцепления, в арматуре возникают напряжения не ниже предела текучести. Действительно, имея в виду, что

модуль упругости стали £ = 2 100 000 к/7cM?* а предел текучести у стали Ст. 3 равен от = 2500 кПс/^ (у стали Ст. 5ат = 3000 кГ!с^),

и учитывая, что вплоть до предела текучести между напряжением и относительной линейной деформацией сохраняется линейная зависимость, т. е. справедлив закон Гука, полу

чим относительную линейную деформацию, соответствующую .указанным значениям Е и от:

е=?=табо=0-00119-

Аналогичную картину имеем и для стали Ст. 5:

= rS6 = °，°343Vo,0015.

Следовательно, можно считать, что в момент разрушения колонны бетон разрушается от сжатия, а стальная арматура течет. Обозначим площадь бетона в поперечном сечении колонны через 户бет， площадь арматуры в том же сечении 尸прижейнУьо прочность бетона 】) /?пр, предел текучести арматурной стали ат. Опасная (разрушающая) нагрузка может быть подсчитана следующим образом (в данном случае можно говорить о равном ей опасном разрушающем усилии — продольной силе):•

"on = Ri，бет + J 尸 а •

Рис. 3.18. Желеэобе* тонная колонйа.Рис. 3.18. Желеэобе* тонная колонйа.Допускаемая нагрузка (допускаемая продольная сила) равна

Рис. 3.18. Желеэобе* тонная колонйа.

Рис. 3.18. Желеэобе* тонная колонйа.

Условие прочности по допускаемой нагрузке (по допускаемому усилию) запишется в виде

2w[2)=协产6气+0風.(3.31)

Подбор сечения колонны можно осуществить, задавшись так называемым процентом армирования % = Fa/F6eT. Тогда

д.尸бет (Rip + Ра°т)

Отсюда

бет —R 叩+

При испытании образцов в виде кубика из того же бетона предел прочности (кубиковая прочность R). получается несколько большим, чем при испытании призмы:

__1300 + ₽

Кцр-1450+3/? г・

После этого Fa находим по формуле 尸a =小fбет*

尸aW尸aW左"一Rnp 尸 бет左"一Rnp 尸 бетЕсли площадь бетона в поперечном сечении колонны известна и требуется найти площадь арматуры, то, решая уравнение (3.31), получим

尸aW

尸aW

左"一Rnp 尸 бет

左"一Rnp 尸 бет

Картина перемещений

в статически неопределимых системах

.' Рассмотрим зависимость между нагрузкой Р и перемещением узла Д в ранее обсуждавшейся статически неопределимой системе (рис. 3.8) (при условии одинаковости площадей поперечных сечений и материала всех стержней) на всех трех характерных этапах работы системы:

1) OvPvPn 2) PtVPVP^, 3)尸=尸亦

На первом этапе усилия в стержнях находятся по формулам (3.22):

^=Г^£Й- N^T+^-/(3・32)

, Перемещение узла 0 определяется по следующей формуле:

А = № =萼=練=.(3.33)

з cos В EF EF (14-2 cos3' 丿

Из формулы видно, что зависимость между Р н А линейная, и при этом прямая, изображающая эту зависимость, проходит через начало координат (рис. 3.19, а). Заметим., что перемещение Д, соответствующее значению Р = Рт, легко получить из формулы (3.33), положив в ней Р = Рт =(7T尸(1+2 cos3 Р).

Итак,

А — Ог%(1+2 8®0) _(Ттт L ~EF (Н-2 cos3 Р)—戸 8・

На втором этапе усилия в стержнях выражаются следующими формулами:

М="2 =与諜，m="尸.(3.34)

Перемещение узла О определяется удлинением крайних стержней, так как удлинение среднего стержня, напряжения в котором достигли о” происходит в соответствии с удлинением крайних, без увеличения усилия в нем, .

Рис. a）0

картине перемещений в статически неопределимой системе Зависимости:内 1* ~з — Р； 6）"l № — А; а） Д/i, А% — Д;。）М *~* 厶厶；М —厶厶；е）。⑴—-

gC）； 0（з）— g（3）； 5w）p — Д （с разгрузкой от Pq）.

Итак

，А — А ] (Р-Рт)4_。小 I IP-oJ(l+2cos3B)]%т 十 2EF cos3 р —2£F cos» p'

Зависимость между P и Д и на этом этапе линейная. Прямая, соответствующая этой зависимости, не проходит через начало координат. Для построения этой прямой найдем абсциссы, соответствующие двум крайним возможным для этого этапа значениям Р (Р = Рт Н Р = РОП).

При Р = Рт

А = * = А「

При Р = Роп

А Л °т13 I 9т尸(1+2 COS 0)—0" (1+2 COS3 В)] 4 0r41

2£Fcos»p" ге^т*

На третьем этапе, начиная от значения Р = Роп, происходит увеличение Д без увеличения Р, т. е. наступает развитие текучести в системе. На диаграмме рис. 3.19, а этому соответствует участок в виде горизонтального отрезка прямой. Графики на рис, ЗЛ9 соответствуют значению 0 = л/6.

.2. Построим графики зависимостей

№ = №(Р), N、= N 式 Р);М = М(А), ^з = ^з(A);

№ = А/1(Д), А/3 = А4 (А)； М = N* (4) ^3 = №з (AG；о(т)= аа)(е(1))( о(з) = о(з)(8(3))

на всех этапах изменения силы Р・ Графики первых двух зависимостей (рис. 3.19, б) на первом этапе получаем, исходя из (3.32), а на втором — из (3.34)._

Зависимости (3.32) при Р = Р^ = cj (1+2 cos3 0) дают ^1 = 0r尸 COS2 0,M = ОгЕ

Зависимости (3.34) при Р = Рт = j尸(1+2 cos3 Р) дают

M=“F cos® ₽, ^з = % 居

а при Р = Pon =(1 +'2 cos 卩)

N* = jF* М = ОтЕ

Сопоставляя графики рис. 3.19, а и 3.19, б, легко получаем графики зависимостей N* = Л\ (Д) и 必=几(А) (рис. 3.19, в).

Построим графики (рис. 3.19, а) А4 =厶入(А) и Д/3 = Д/3 (Д), исходя из зависимостей

Д/1 = Д cqs р, Д/3 = Д.

Сопоставляя графики 3.19, s и 3.19, ^/получаем графики зависимостей М = N* (A/J и ^з = ^з (Д/3) (рис. 3.19, 3).

Наконец, легко построить графики。⑴ =。⑴(е(1)) и о⑻ = =о(з)停з))(рис. 3.19, е).

На диаграммах рис. 3.19, д, е символом / (〃)обозначена точка, соответствующэя силе Рт (Роп). Нижний индекс указывает, к какому из стержней системы (1 или 3) относится точка. Силе Р = Рс (рис. 3.19, а) соответствуют усилия в стержнях, перемещение увла, удлинения стержней, напряжения и относительные линейные деформации в стержнях, показанные на рис. 3.19, б, % г, д, е. Все упомянутые величины обозначены символами, содержащими нижний индекс С:

N*& Мс； Ас： Мс, Мс；売'，整； ％ 喈.

Отмеченные величины принимают нижеприводимые значения.

А о&Pc—°Т尸(1+2со®В)aTZ3/ 1 Л

"e =方十 иT 尸(1+2 8spj-%f(1 +2 cog 0)Т"〈五邛-1 )， или, после преобразований,

Ac=2E + ^^[Pc-sF(l+2cos3p)j}.

Из формул (3.34) имеем

WtC 2cosp，

N зe = "尸;

— Рс/，"一% 0c 一尸—2cosB ，

О& = От；

&1С — Дс 8s В & 8MB ,,, 43c ДС

Остаточные усилия

Проследим за работой системы (рис. 3.8, а) в том предположении, что сила Р (направленная вниз), достигнув в процессе роста некоторого значения Рс (Рт V Pc V Роп), начинает уменьшаться вплоть др нулевой величины..

При разгрузке зависимость между напряжениями и относительными линейными деформациями изобразится на диаграмме 3.19, е следующими линиями: для первого стержня линией CiO и для третьего ——параллельной ей линией, начинающейся в точке С3.

Напряжения при разгрузке о?：разгр,. о^：разгр выразятся при этом следующим образом:

喝 разгр 0 ?£⑴，吋 разгр =。十 £*8⑻， где•

吋-(醬-^)£ = -§Г^[Рс-От尸(l+2cos3p)j.

Переходя к зависимостям

N1C, разгр = N\с, разгр (А?1) И NзС, разгр = “ЗС, разгр (厶厶)， получим

8?： разгр尸厶=е6⑴尸儿

。窗 разгр 仆=-^^ [Pc - %尸(1 + 2 cN 6)] %+£e⑻尸"

N工& разгр 1工=EF A/j,

，％С, разгр 4 =-岛【Pc -。/ (1 + 2 COS3 P)] + £尸 A%.

Переходя от 厶乙 и А% к Ac, разгр, будем иметь

N 1С> разгр 1г = ЕР^с« разгр COS Р，)

23c. разгр 4=-岛[Pc _ J尸(1 + 2 COS3 ₽)] + EF А& разгр. / ^'^

В процессе разгрузки условие равновесия имеет тот же вид, как и в процессе нагружения:

27Vic, разгр cos p + ^зct разгр — Р = 0.(3.36)

Если подставить N1Ci paSrp и ^3c, ра3гР，найденные из (3.35), в (3.36), то получится уравнение следующего вида:

2EF 'с na3rnCOs2 Р1.с г EFA С, оазго

一岩—一曰也一。网+ 23咐]十一产一尸=0, позволяющее установить зависимость между перемещением и силой:

РЬ厶 &一丫 а +2 cos3 В)]

разгр 一 EF (1 +2 cos3 В) 2£Fcos3p(l+2cos3P) '2・ J/丿

Совершенно очевидно, что при Р = 0 перемещение узла Ас, разгрН # 0 н его естественно назвать остаточным 纯円

А ,彰務一丫 0+2

△с, разгр !р = 0 — Ад — 炉=

р (1+2 cos3 Р)

=

■2£Т cos3 р (1 +2 cos3 р) —2£ cos3 р ' Нетрудно показать, что

Аст = Дс-Дспр(3.38)

при условии, что разгрузка на диаграмме Р — А, начиная от точки С, происходит параллельно линии нагружения на первом сгг этапе (рис. 3.19, ж). Действительно, при таком условии 厶整① найдется из пропорции

绯1Р:讐二*

и выразится формулой

с — £ %尸(1+2 COS叩).

Рассмотрев разность

△с - А*пр = ? {% + 伸薪[& -。』(1 + 2 COS3 Р)]} 一

—Рс 「с' з。丁厶

Е 尸(1 + 2 cos3 fj) 一 2EF cos3 p (I 4-2 cos3 §) 2E cos3(J7

убеждаемся в выполнении (3.38). Наличие △片' свидетельствует о наличии остаточных удлинений А/；У и Д/^с , а следовательно, и остаточных усилий.

Выясним, чему равны усилия в стержнях, если внешняя сила Р, уменьшаясь, дойдет до нулевого значения. Если усилия в элементах при полной разгрузке системы отличны от нуля, то их называют остаточными. Введем обозначения:

Мс …p" = N*,Nзс, разгр |р=0 ="济.

Для отыскания N龍 и 2；^ воспользуемся уравнением (3.36) при Р = 0 н уравнением совместности деформаций, которое получится из (3.35)1,2, если учесть, что Ас，разгр, входящее в каждое из них, одно и то же.

Итак, имеем

2 cos pN；? + W济=0,'

pH д = -+ 0s • q。[Pc — %尸(I + 2 cos3 ₽)].

EF cos p EF 2£F cos3 p1。।丿

Решая эту систему, получим

/Vy 2V2C 2 cos Р (14-2 cos3 Р) 2cosB， зс v? 1+2cos3P'

При Pc = Pi = ^^ (1+2 cos3 P)

TV墨=0,N請=0.

При Pc — Pq = gaF(\ +2 cos P)

"oct =a尸1一 ^b 0 n况T =仃尸出)支(£少20-1)v 0 ]+28®в>и, /V зс б/ ! _|_2 COS3 ₽ У •

Такие же знаки у N需 и /V歌 имеют место и при всех других значениях Рс в промежутке Рт < Рс V 匕・

Остаточные усилия являются самоуравнове- шенными (узел, мысленно вырезанный из системы, под действием остаточных усилий находится в равновесии).

В статически неопределимых системах при приложении к ним нагрузки, превышающей то значение, которое вызывает в части элементов пластические деформа ции, после разгрузки сохраня юте я некоторые остаточные напряжения (усилия).

Эффект снижения сопротивляемостипластическим деформациямпосле предшествовавшей пластической деформациипротивоположного знака

Продолжим рассмотрение вопроса, обсуждавшегося в § 3.12.

Пусть внешняя сила Р, дойдя до нулевого значения, изменяет свое направление и начинает увеличиваться. Линия зависимости Р — А при изменении знака силы. Р явится продолжением линий разгрузки, начатой от точки С. Тогда уравнения равновесия (3.36) и совместности деформаций (из формул (3.35)) приобретут'^ вид

州小EF cos §州小EF cos §2 cos ₽7VTc+^c + P* = 0,

州小

EF cos §

州小

EF cos §

停^ + 2£F cos3 p [& — От尸(1+2 COS3P)].

Звездочка в обозначениях усилий указывает на то, что они вызваны внешней нагрузкой, изменившей свой знак (свое направление). В уравнении равновесия изменен знак перед обозначением силы по сравнению с уравнением (3.36). Решая эти уравнения относительно усилий, получаем

Мс =Мс =2cosB(l+2cos3 В)2cosB(l+2cos3 В)—2Р * cos3p+[pc—oTF(l+2 cos3 В)]

Мс =

Мс =

2cosB(l+2cos3 В)

2cosB(l+2cos3 В)

2Р* cos?『[Pc—%尸(1 +2сзз 削

“ЗС= ' l+2cos3B夕•

При Pc = atF(l +2 cos В)

N% ="品=Легко видеть, чтоN% ="品=Легко видеть, чтоР* COS2 В . °т尸(1 — COS2 В)

N% =

"品=

Легко видеть, что

N% =

"品=

Легко видеть, что

—1 4-2 cos3 р 14-2 cos3 р 1

Р* I 2%尸 cos 6 (cos2 § — 1)

—1 4-2 cos3 p 'l-f-2 cos3 p

■ |N如 >|Wc|・

Таким образом, при возрастании величины внешней силы (направленной вверх) в среднем стержне раньше, чем в крайних, возникнут напряжения, равные пределу текучести; величина внешней

силы Р* при которой это произойдет, найдется из следующего уравнения:

Р*2%尸 cos р (cos2p — 1)

一 l+2cos3₽l+2cos邛=—“ ‘

откуда

Р* — %F(1 + 2 cos® P) — 2aTFcos 0 (1 — cos2p)<PT= .

=(yTF(l 4-2 cos3 P).

График P* — Д легко построить по зависимости (3.37) с учетом замены Р на —Р*:

. Р%[Pc-oTF(l+2cos3p)]

△ = 一e尸(1+2(：0a 8)十 2e尸 8s3в(1王2 8® b)■

Перемещение А^‘ узла при Р* = 0 выше уже было найдено. При Р* = Р? перемещение узла А? найдем по формуле (Рс принято равным Ро = и/ (1+2 cos 0))

第=第=— Ст尸(1 +2 cos3 0—2 cos0 + 2cos3 0) %— Ст尸(1 +2 cos3 0—2 cos0 + 2cos3 0) %£F(l+2cos3p)£F(l+2cos3p)++I h [nTF (1 + 2 cos P) — oTF (14-2 cos3P)J _ Пт/з 1—2 cos2 P 2£Fcos3j(r+2co?p) = ~E*I h [nTF (1 + 2 cos P) — oTF (14-2 cos3P)J _ Пт/з 1—2 cos2 P 2£Fcos3j(r+2co?p) = ~E*

第=

第=

— Ст尸(1 +2 cos3 0—2 cos0 + 2cos3 0) %

— Ст尸(1 +2 cos3 0—2 cos0 + 2cos3 0) %

£F(l+2cos3p)

£F(l+2cos3p)

+

+

I h [nTF (1 + 2 cos P) — oTF (14-2 cos3P)J _ Пт/з 1—2 cos2 P 2£Fcos3j(r+2co?p) = ~E*

I h [nTF (1 + 2 cos P) — oTF (14-2 cos3P)J _ Пт/з 1—2 cos2 P 2£Fcos3j(r+2co?p) = ~E*

При дальнейшем росте силы (направленной вверх) система стано-

Рис 3.20. Сяяжение предела текучести после предварительной пластической деформации противоположного знака: а) к равновесию узла： 6) график Р — АРис 3.20. Сяяжение предела текучести после предварительной пластической деформации противоположного знака: а) к равновесию узла： 6) график Р — А

Рис 3.20. Сяяжение предела текучести после предварительной пластической деформации противоположного знака: а) к равновесию узла： 6) график Р — А

Рис 3.20. Сяяжение предела текучести после предварительной пластической деформации противоположного знака: а) к равновесию узла： 6) график Р — А

вится статически определимой. Уравнение равновесия приобретает вид (рис. 3.20, а) Р* — oTF — 2А^*С cos ₽ = 0, откуда

М?с =М?с =p*一%尸2cosPp*一%尸2cosP

М?с =

М?с =

p*一%尸2cosP

p*一%尸2cosP

Перемещение узла может быть определено по следующей формуле:

Д* = Д*Д* = Д*(Р* —РМ(Р* —РМ2Е 尸 cos3 В2Е 尸 cos3 В

Д* = Д*

Д* = Д*

(Р* —РМ

(Р* —РМ

2Е 尸 cos3 В

2Е 尸 cos3 В

или, в развернутом виде (при & = А),

А* _ а"3(1-2 8寸 3) _ [p* 一01尸(1 +2(：0承3一2 cos 34-2 cosBp)]%—£ cos2 p2EF cos3 p*

При P* = P* имеем•

A*=A?.

При некоторой нагрузке P* напряжения и. в крайних стержня-х становятся равными от и узел системы начинает перемещаться вверх без увеличения силы. Силу PJ находим из уравнения

откудаоткудаР■"尸:2 cos р —Р■"尸:2 cos р —仇居仇居Ро =^TF(1 + 2 cos P).Ро =^TF(1 + 2 cos P).

откуда

откуда

Р■"尸:

2 cos р —

Р■"尸:

2 cos р —

仇居

仇居

Ро =^TF(1 + 2 cos P).

Ро =^TF(1 + 2 cos P).

Теперь определим перемещение узла AJ к моменту достижения силой Р* значения Р：:

А* — а/з 1 —2 cos2 § —

° — E cos2 р

®F (1 + 2 cos В)—(?т尸(1 十2 cos? В—2 cos §十2 со® §)]厶 — 2Е尸 8sз §:—

0"з1

u Е cos2p *

Полный график Р — А показан на рис. 3.19, ж. Перемещения и усилия при разгрузке, которая была начата уже после возникновения в одном из элементов пластических деформаций, и при последовавшем за этой разгрузкой нагружении силой, изменившей свое направление на противоположное, зависят от того, от какой точки и а диаграмме (т. е. от какого значения силы и соответствующего ей перемещения) начата разгрузка. Таким образом, если хотя бы в одном элементе статически неопределимой системы возникла пластическая деформация, то дальнейшая картина напряженно-деформированного состояния зависит от всей предыдущей истории (картины изменения усилий и перемещений) системы. Сказанное является общим свойством статически неопределимых систем..

В частности, эта зависимость от предыдущей истории проявляется так. Если материал одинаково сопротивляется деформациям при растяжении и сжатии, то сопротивление возникновению пластических деформаций в системе понижается

СНИЖЕНИЕ СОПРОТИВЛЯЕМОСТИ ДЕФОРМАЦИЯМ 206 при предварительной пластической деформации другого знака.

Действительно, если бы мы подвергли систему (рис. 3.8) воздействию силы Р*, направленной вверх, без предварительного воздействия на нее силы Р, направленной вниз, то, ввиду одинаковости сопротивления материала растяжению и сжатию, а также сделанного предположения о невыпучивании сжатых стержней, график Р* ——А* получился бы совершенно аналогичным графику Р ——А при действии силы вниз (координаты сходственных точек обоих графиков по абсолютному значению одинаковы (рис. 3.20, б)). Если же действие силы Р*, направленной вверх, возникает после того, как сила, действуя вниз, вызвала в элементе системы пластическую деформацию, то график получается иной ——абсолютное значение ординаты точки Аъ собтветствующей возникновению в системе пластических деформаций противоположного (по отношению к первоначально возникшей пластической деформации) знака, меньше абсолютного значения ординаты точки Л, которая соответствует возникновению пластической деформации в элементе системы, при условии, что до этого в ней пластических деформаций противоположного знака не было.

Это также является общим свойством всех статически неопределимых систем.

Если, доведя нагрузку до величины Р V Рт, далее производить разгрузку, то после полного снятия силы Р в системе не будет ни остаточного перемещения узла, ни остаточных усилий —— система после замкнутого цикла придет в исходное положение.

Если же довести нагрузку до величины Рс, а далее изменять ее циклически в пределах Pc W Р V —氏，т。все параметры системы также будут изменяться циклически. Сказанное пояснено рис. 3.21—3.26 и табл. 3.1 и 3.2, соответствующими случаю р = 60°. Крайний стержень обозначен номером 1, а средний ——номером 2.

В табл. 3.1 представлены характерные функциональные зависимости, описывающие состояние системы во всех стадиях работы ее. Для краткости в таблице представлены лишь правые части формул для величин, указанных в заголовках граф. Обозначение одной и той же величины во всех стадиях работы системы (на всех участках Диаграммы) остается неизменным.

В табл. 3.2 представлены значения наиболее характерных величин, описывающих состояние системы в моменты перехода от одной стадии работы системы к другой (точки диаграмм).

В табл. 3.1 и 3.2 приняты следующие обозначения:

fll=l+2cos3p,誉，

“2 = I + 2 cos p, 为=—7— cos3 卩・

Таблица ЗЛ

Вцды функциональных зависимостей

举

М - М (Р)

P к P (A)

^t = ^1(Д)

м ^ ^t (А%)

*-0⑴(g⑴)

週

М - N. (Р)

A = A (P)

m = ^^心力

Qf2, = Q^••^ (g'・‘)

1

Р cos2 p/aj

S

/Д cos2 0

f A/】 cos В

E&s

Pg工

p/fl

拗

/м

Ее®

2

(P—oTF)/2 cos P

f2A +。1 尸

/Д cos3 p

f Ak cos 0

七由卜

cj

(P -%f)偏

0T尸

°Т

3

(P+fA/J cos? B/勺

心一拙5

fA cos2 В

f M COS В

Eg⑴

护一 (Pc-PJWi

P/g 一飭网

込一込D,

f А/2TA5

Ее®— 一於曾/F

4

(P+。J)/2 cos В

GA — Ct 尸

/Д cos2 §

f № cos p

(p+%尸)/%

一 %尸

—oTF

— От

Часть из условных обозначений показана в самих таблицах. Данные табл. 3.2 (столбцы Р и Д)——координаты точек, отмеченных на рис. 3.21, и ординаты точек на рис. 3.22 и 3.23. Координаты точек по осям А&, А", о(% сг(2)» &口)，е⑶ в табл. 3.2 не приведены, так как они легко находятся по следующим формулам:

A/i = A cos р, Д/2 = А;

е⑴=竽=会 cos 8 = * cos2 p,№)=牛=:;

(точки О, Л), (точки. В, С), (ТОЧКИ А, &, Оз), (точки С', 4).(точки О, Л), (точки. В, С), (ТОЧКИ А, &, Оз), (точки С', 4).a(i)= EgR№ = £& ⑵

(точки О, Л), (точки. В, С), (ТОЧКИ А, &, Оз), (точки С', 4).

(точки О, Л), (точки. В, С), (ТОЧКИ А, &, Оз), (точки С', 4).

^^Ег^-f &.D J F o® . — о

Основной диаграммой является диаграмма рис. 3.21, остальные оказываются вспомогательными и приведены для более детального пояснения. В частности, параллельность линии разгрузки в диаграмме Р — А линии начального нагружения вытекает из параллельности аналогичных линий в диаграмме о — е.

На рис. 3.22—3.26 для обозначения точек диаграмм использованы те же буквы, что для соответствующих точек диаграммы рис. 3.21. Индексы при буквах показывают, к какому из стержней относится точка.

Рис. 3.21. Зависимость Р — А при циклическом изменении силы (Р а，＜ Р & РС влв Pg| W Р &Р В).

Рис. 3.23. Зависимости W, — Д и N2 — Д при циклическом изменении аилы (Р人,«Р《 w Р С или РВ[ w Р《Pg),

Рис. 3.24. Зависимости* Д/1 — А и А% — А при циклическом изменении силы ^Р д* W W Р W р е или р用 W Р W РB）：

Рис. 3.25. Зависимости N, — AZ： и N? — Д/2 при циклическом нзмененнн силы （Р^，＜

一SP &Р С или Pg，甚 Р W Р в）.f

Рис. 3,26. Зависимости uU） — 6】）и о（2）— £（'）при циклическом изменении силы （PyV & &Р & PC ней Pg，W F W 戶右）.

Таблица 3.2

Точки

Величины

0 л в с

А

5

4

С

4

0

= рT

% 也=Ро

Рт + (А「Шс

Pc-А

0

-/Ао.

%-2匕

一%

0

“％/Е == Ат

AT/cos2 0

(Рс—oTf)//2=Ac

(Рс-Рт)"2 = А。，

А。/%

0

А—%

0'

0

oj cos2 р %F 叫尸 叫尸

(Pg —。丁尸)/2 8s 0 = N]C

(气一气)"30= n0 0

-(外一匕)修 0

ТА)

N®_°』8s2 0

— Or尸

—arF cos2 § 一 %尸

Понятие о расчете конструкцийпо предельным состояниям

За последние годы в СССР большое развитие получил новый подход к оценке надежности конструкций путем расчета ) Он уже упоминался в предыдущем параграфе, где назывался методом расчета по предельным состояниям. Этот метод во многом близок к методу расчета по допускаемым нагрузкам, но отличается от последнего в части, относящейся к коэффициенту запаса. Метод расчета по предельным состояниям узаконен нормами и официально принят в СССР как основной метод расчета строительных конструкций, мостов и других сооружений. Понятие расчета по предельным состояниям включает в себя большее содержание, нежели расчет на прочность. В этом методе рассматриваются три предельных состояния: по несущей способности, по жесткости и по трещин ообразованшо. Коснемся лишь первого.

Охарактеризуем некоторые основные идеи метода. Оценка надежности элемента сооружения производится путем сопоставления

Здесь не имеегся в виду теория надежности.

2Ю ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ 『ГЛ. Ill того максимального усилия, которое может возникнуть в поперечном сечении элемента при н а и невыгодней шем сочетании всех предполагаемых на него воздействий, с той минимальной несущей с〃о・ собностью, которая присуща поперечному сечению элемента.

'Проиллюстрируем такое сопоставление, т. е. покажем основное условие надежности по несущей способности на примере железобетонной колонны. Максимальное продольное усилие, могущее возникнуть в сечении колонны, складывается из усилий, вызываемых различными видами нагрузки. Если эта колонна представляет собой стойку железобетонкого арочного пролетного строения, то такими видами нагрузки являются собственный вес конструкции, поддерживаемой стойкой, т. е. постоянная нагрузка; вес поезда, т. е. временная нагрузка. Усилия от каждогд из этих видов нагрузок определяются исходя из определенных нормативных данных» характеризующих нагрузку. Так, для постоянной нагрузки нормативными данными являются объемные веса материалов, для временной ——схема и величина нагрузки, изображающей силовое воздействие на конструкцию подвижного состава.

Обозначим продольную силу в поперечном сечении колонны, вызванную постоянной нагрузкой, символом ^. Верхний индекс указывает на то, что это усилие определено на основании нормативных данных о нагрузке. Продольную силу в том же сечении от временной нагрузки обозначим N?. Возникает вопрос: не могут ли фактические постоянная и временная нагрузки, т. е. те,, которые будут иметь место в действительности, отличаться от нормативных? Несомненно, такое отличие может быть. В постоянной нагрузке это отличие обусловлено тем, что фактические объемные веса материалов могут отличаться от нормативных, так как объемные веса не являются строго стабильными. Правда, это отличие не может быть очень большим и характеризуется для такого материала, как железобетон, величиной порядка 10%. Действительная временная нагрузка может отличаться от нормативной в большей мере, чем постоянная: по мосту могут ходить разнообразные составы, в том числе и те, которые появятся через некоторое время, имеющие иные веса, нежели указанные в нормах.

Так как усилия в сечении элемента зависят от нагрузки линейно> то в той мере, в какой возможны отклонения действительной нагрузки от нормативной, отклоняются и соответствующие усилия. С целью учета возможного отклонения действительных усилий от нормативных в расчет вводят не нормативные усилия^ а произведения их на так называемые коэффициенты возможной. перегрузки^ обозначаемые буквой п.

Итак, в расчет вводим усилия N；几工 и ^п2. Коэффициенты возможной перегрузки для каждого вида нагрузки, вообще говоря, различны. Величины коэффициентов nn п2, ... больше единицы вслед-

ствие того, что нас интересует отыскание максимального возможного усилия в сечении, а оно получается в случае, если в действительности отклонение нагрузок от нормативных происходит в сторону больших значений. Максимальное усилие, могущее возникнуть в поперечном сечении стойки, находим как сумму следующего вида:

2

В других случаях при большем числе различных видов нагрузки -число слагаемых в аналогичной сумме оказывается соответственно большим. Найденное таким образом максимальное усилие, возникающее в сечении стойки, не должно превосходить того минимального усилия, которое способно выдержать данное сечение стойки. Это минимальное усилие называют минимальной несущей способностью поперечного сечения.

Покажем, как находится минимальная несущая способность сечения. Усилие, которое может быть воспринято сечением, складывается из двух частей: усилия, воспринимаемого бетоном, и усилия, воспринимаемого арматурой. Первое из них равно произведению площади бетона в поперечном сечении стойки на предел призменной прочности бетона, а второе ——произведению площади арматуры в поперечном сечении стойки на предел текучести арматурной стали. Величины предела призменной прочности бетона и предела текучести стали для каждой марки бетона и стали приводятся в нормах, поэтому соответствующие величины можно назвать нормативны мии обозначить /?пР и а?. Однако в силу нестабильности свойств строительных материалов фактические механические свойства как бетона, так и стали в конструкции могут отличаться отнормативных. У такого материала, как сталь, изготавливаемого в заводских условиях при довольно точном соблюдении химического состава и технологии, отклонение свойств материала от нормативных оказывается меньшим, нежели у бетона. Поэтому при определении минимальной несущей способности сечения в расчет вводят не нормативные значения призменного предела прочности бетона и предела текучести стали, а некоторые иные величины, полученные путем умножения нормативных значений R；p и а? на коэффициенты возможной неоднородности 々,различные для различных материалов. Величины коэффициентов klt 偽，... меньше единицы вследствие того, что нас интересует отыскание минимальной несущей способности сечения, а она получается в том случае, если в действительности отклонение механических свойств материалов от нормативных их значений происходит в сторону меньших значений.

Итак, минимальная несущая способность поперечного сечения стойки определяется по формуле

ет 尸 бет + От 论 а^а*

Здесь 论бет и йа ——коэффициенты возможной неоднородности свойств бетона и арматуры соответственно.

Встречаются случаи, в которых рассчитываемый элемент предназначается для работы в условиях, так или иначе отличающихся от обычных (например, элемент предназначается для работы в агрессивной среде или для работы во временном сооружении). Это обстоятельство находит отражение при определении минимальной несущей способности — вводится специальный, так называемый коэффициент условий работы т. Окончательно выражение для минимальной несущей способности приобретает вид

т (&р^6ет尸бет + О•找аЗ)

(в случае, если элемент предназначается для работы в условиях агрессивной среды, m < 1; в случае, если элемент предназначается для работы во временном сооружении, /л > 1).

Условие надежности элемента записывается так:

'2

2 N；Z V/П (&р^бет尸6ет +и/а^а).(3.39)

Проанализируем полученное условие. Сопоставим ег® с условием оценки надежности при расчете по допускаемой нагрузке (3.31), которое можно записать в следующем виде:

Nk V RnpFбе】+ %尸&，(3.40)

или, учитывая, что величины ^, R^p и 。丁 взяты из нормативных данных, формулу (3.40) в принятых нами обозначениях для нормативных величин запишем следующим образом (k — коэффициент запаса):

+(3.41)

Сопоставляя неравенства (3.39) и (3.41), обнаруживаем, что они оказываются одинаковыми лишь при условии, что в неравенстве (3.39)

m1 = 〃2 = 72, 々а=^6ег = "，(3.42)

В этом случае формула (3.39) может быть преобразована к виду

п 2 N^mk^ (^PF6eT + a"Fa),

2

илл если учесть, что сумма £ №? представляет собой нормативное

РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ 213 усилие от всех видов нагрузки №, и разделить обе части неравенства на т^*, то получим .

詣* М^ет + о汜. (3.43)

Сопоставляя условия (3.43) и (3.41), убеждаемся в их полной идентичности, если общий коэффициент запаса в условии (3.41) считать равным следующему выражению:

Подчеркнем, что эта идентичность достигнута ценой предположений (3.42), явно противоречащих действительному положению вещей.

Итак, проведенным анализом показано, в каком соотношении находятся методы расчета по предельному состоянию и по допускаемой нагрузке.

Метод расчета по предельным состояниям совершеннее метода расчета по допускаемой нагрузке, ибо он позволяет правильнее учесть многие обстоятельства, такие, как неодинаковость ожидаемой вариации различных видов нагрузки, неодинаковость ожидаемой вариации свойств различных материалов. Эта большая совершенность метода выражается не только в возможности более обоснованного выбора численных значений отдельных коэффициентов, нежели выбор общего коэффициента запаса в расчете по допускае* мой нагрузке, но и в более правильной в принципиальном смысле структуре условия надежности. Коэффициенты в условии (3.39) расположены так, что при невыполнении (3.42) невозможно получить из (3.39) неравенство, аналогичное по структуре условию (3.41). Позднее будет показано, что в ряде случаев наиневыгоднейшей является такая комбинация нагрузок, при которой некоторые нагрузки не достигают своего максимума. Это обстоятельство также поддается учету при расчете конструкции по предельным состояниям. При указанном расчленении общего коэффициента запаса мыслим научный подход к установлению величины отдельных коэффициентов, в то время как величина общего коэффициента запаса в расчете по допускаемым нагрузкам или по допускаемым напряжениям назначается ощупью, лишь с учетом опыта эксплуатации.

Структура условия надежности, принятая в расчете по предельному состоянию, позволяет осуществить учет таких обстоятельств, как улучшение технологии материала, например бетона (такое улучшение позволяет повышать коэффициент kQc.It приближая его к единице), и т. п. Назначение величины коэффициентов производится путем применения методов математической статистики.

Чем более полога кривая плотности вероятности (рис. 3.27), тем вероятнее отклонение фактической механической характеристики от нормативной, тем меньшую величину приобретает коэффициент неоднородности 瓦 Достаточно поднять культуру производства, степень контроля за качеством продукции, увеличить степень индустриальности и автоматизированности производства, как изменяется вид кривой плотности вероятности (она становится менее распластанной) и возникает возможность сразу же увеличить коэффициент А, что имеет очевидный экономический эффект.

Несмотря на большую строгость определения коэффициентов в расчетных формулах метода расчета по предельным состояниям, нежели общего коэффициента запаса в других методах, все же и в случае применения этого метода необходима проверка величин коэффициентов путем наблюдения 沙广、над запроектированными соответ/ \ствующим методом сооружениями

/\в процессе их эксплуатации.

L^^\Приведенное выше условие

Л Лк(3.39) дано применительно к усилию

в сечении, т. е. это есть условие ^7\^1 предельного состояния п о п е -

——工 речного сечения. В слу-

Рнс. 3.27. Кривые плотности вероят- "'е СТОЙКИ С ПОСТОЯННОЙ ВДОЛЬ CG ностн (кривые распределения). ОСИ ПрОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ ЭТО уСЛОВИе является одновременно условием предельного состояния всей стойки. В случае сложных, главным образом статически неопределимых, систем установление условия предельного состояния для системы в целом представляет значительные затруднения, и в ряде случаев до сих пор еще нет разработанных соответствующих методов построения этих условий. Метод расчета по предельным состояниям развивается и уточняете я, и в настоящее время еще неизбежны некоторые компромиссные решения.

Одним из таких компромиссов является то, что в ряде случаев усилия в элементах статически неопределимой системы находятся из условия работы этой системы в упругой стадии, а подбор сечений элементов, исходя из найденных таким образом усилий, производят по предельному состоянию работы сечений элемента, т. е. за пределом упругости, тогда как возникновение предельного состояния в одном из элементов приводит к перераспределению усилий между элементами при дальнейшем росте нагрузок. Кроме того, предельные состояния отдельного элемента еще не означают предельного состояния sc3 системы, В дальнейшем число подобных компромиссов по мере развития теории будет уменьшаться.

Очень пологие гибкие нити

Ранее были рассмотрены статически определимые гибкие нити. Остановимся на том, как производить учет растяжимости нити при её расчете, т. е. как раскрывать статическую неопределимость усилий в гибких нитях.

Выше было показано, что если не учитывать растяжимости нити, то определение усилий в ней может быть осуществлено при помощи одних лишь уравнений статики, т. е. такая система является статически определимой.

Если при расчете системы, статически определимой при неучете деформации элементов, возникает необходимость учитывать влияние деформации на усилия, обойтись одними уравнениями статики не удается, приходится привлекать уравнения деформаций, и расчет приобретает особенности, характерные для статически неопределимых систем. Такой расчет называется деформационным. В качестве примера укажем на то, что во введении была рассмотрена статически определимая ферма, усилия в которой определялись в двух вариантах: без учета и с учетом деформаций. Первый расчет называют расчетом по недеформированной схеме, а второй ——по деформированной схеме. Приведенный выше расчет гибкой нити можно назвать также расчетом по недеформированной схеме, при учете же растяжимости нити —расчетом по деформированной схеме.

Пусть первоначальная длина нити s。, пролет нити I, окончательная длина нити (длина кривой провисания) s. Величина s не может быть найдена из одних уравнений статики; привлекаем дополнительное уравнение совместности деформаций

S-So = ^・ (3.44)

Имеется в виду, что в силу малости отношения /// продольная сила ^ в любом из сечений равна натяжению Я. Учитывая, как это было показано в главе II (§ 2.24), что s, / и / связаны зависимостью $ = /(1 + 8尸/3『)，а величина Я определяется по формуле Н = —qP/8ft уравнение (3.44) представим в виде- '

/(】+!■ — или

尸+ |j(/-So)f—1@ = 0. (3.45)

Полученное уравнение позволяет найти стрелу провисания /.

При учете растяжимости нити возможны такие же постановки задач, как и в случае, когда нить считается нерастяжимой (примеры 2.11—2.14).

Приведем два примера, соответственно аналогичные примерам

2.11 и 2.12, в связи с чем условия примеров не повторяем. Учтем

растяжимость нити.

Пример 3.2. Последовательность решения задачи следующая, а) Из уравнения (3.45) находим /・ При этом имеем в виду, что

тогда уравнение (3.45) приобретает вид

с3 , 33/s°8〃。]

илиилиОтсюдаОтсюдаf ｛产+^ 屮一。。+ 粤）］｝=0・f ｛产+^ 屮一。。+ 粤）］｝=0・(3.46) •(3.46) •б) Находим 〃 =纥. О/б) Находим 〃 =纥. О/f=M 小。(i+%-小f=M 小。(i+%-小2・47)2・47)в) Определяемв) Определяем

или

или

Отсюда

Отсюда

f ｛产+^ 屮一。。+ 粤）］｝=0・

f ｛产+^ 屮一。。+ 粤）］｝=0・

(3.46) •

(3.46) •

б) Находим 〃 =纥. О/

б) Находим 〃 =纥. О/

f=M 小。(i+%-小

f=M 小。(i+%-小

2・47)

2・47)

в) Определяем

в) Определяем

г) Вычисляем q* = q — Fy^q^\

Пример 3.3. Последовательность решения задачи следующая.

Находим / из уравнения (3.45). При этом учитываем, что

ОтсюдаОтсюда尸=2L - 管M ~ 8f [。]尸=2L - 管M ~ 8f [。]9h +(/*)/2 一 (勺 + 9*)分9h +(/*)/2 一 (勺 + 9*)分8f [о]8f [о]8fm8fm

Отсюда

Отсюда

尸=2L - 管

M ~ 8f [。]

尸=2L - 管

M ~ 8f [。]

9h +(/*)/2 一 (勺 + 9*)分

9h +(/*)/2 一 (勺 + 9*)分

8f [о]

8f [о]

8fm

8fm

илиили(3.48)(3.48)L 8f [a] J 8/[a]»

или

или

(3.48)

(3.48)

一8/ [0]冲•

Тогда уравнение (3.45) приобретает вид (3.46), и поэтому f определяем по формуле (3.47).

Вычисляем 尸 по формуле (3.48).

В очень пологой нити изменение температуры по сравнению с той, при которой была подвешена нить, вызывает возникновение в ней заметных температурных напряжений.

Уравнение совместности деформаций при этом приобретает следующий вид:

s—So = g^ + а Л/ s0 , или, с учетом приведенных выше формул для s н ", получаем

отсюда

/3 +—Sq (1 + а斗^ = 0.

о04 Lr

Определив из выведенного уравнения /, можно получить величину натяжения Н с учетом изменения температурного режима.

§ 3.16. Примеры расчета статически неопределимых систем

Пример 3.4. Найти усилия в статически неопределимой системе, изобра женной на рис. 3.28, а, и подобрать площадь поперечного сечения стержней (尸1 = & = 尸3 = 尸)по допускаемому напряжению. При этом а ~ 2 м, b = 1 初, с = 0,5 陷 к = % = 1 м,小=2 м, Р = =20 Т, [а] = 1000 кГ/сл^.

Так как имеется три неизвестных усилия ^, А/? н %з в вертикальных стержнях, а для системы параллельно направленных сил в плоскости можно составить два независимых уравнения равновесия, конструкция один раз статически неопределима. Следовательно, к уравнениям равновесия необходимо присоединить одно уравнение совместности деформаций.

Составляем уравнения равновесия сил, действующих на брус, с этой целью предварительно мысленно проведем горизонтальное сечение, пересекающее все три вертикальные подвески (рис. 3.28, б):

£пр.9 = 0,

% + М + М-Р = 0，(3.49)

£мом. Л =0,

^2^ + & (。+ 匕)—Р (。一 с) = 0. (3.50) Составляем уравнение совместности деформаций, для чего представляем характер деформации системы (рис. 3.28, е), учитывая, что горизонтальный брус бесконечно жесток и, следовательно, не изгибается. Существенным в рис. 3.28, 6 является тот факт, что удлинения всех стержней не могут быть какими угодно, они согласованы между собой — через концы трех отрезков, изображающих их, можно провести две прямые линии. При этом для составления уравнения совместности деформаций несущественно, в какую сторону наклонится брус, да мы заранее этого и не знаем. Уравнение совместности деформаций имеет вид

一5二也=竺二纱(3.51)

Рис. 3.28. К примеру 3.4: а) вид статически неопределимой системы; б) система с рассеченными вертикальными стержнями (к составлению уравнений равновесия); в) вид деформации системы (к составлению уравнения совместности деформации).Рис. 3.28. К примеру 3.4: а) вид статически неопределимой системы; б) система с рассеченными вертикальными стержнями (к составлению уравнений равновесия); в) вид деформации системы (к составлению уравнения совместности деформации).что равносильно пропорции, вытекающей из подобия треугольников ADG и АВС. Выразим уравнение (3.51) через неизвестные усилия:

Рис. 3.28. К примеру 3.4: а) вид статически неопределимой системы; б) система с рассеченными вертикальными стержнями (к составлению уравнений равновесия); в) вид деформации системы (к составлению уравнения совместности деформации).

Рис. 3.28. К примеру 3.4: а) вид статически неопределимой системы; б) система с рассеченными вертикальными стержнями (к составлению уравнений равновесия); в) вид деформации системы (к составлению уравнения совместности деформации).

丄冲3/31 (N，h

а + bЖ?

или, учитывая равенство площадей поперечных сечений стержней, получаем

(3.52)(3.52)N313cl — Nh = N2^2 (a + b) — N山(a + b).

(3.52)

(3.52)

Уравнения (3.49), (3.50) и (3.52) составляют систему, из которой найдем ^, У2 и №•

Из (3.50)

.% = Р讃-謚№・(3・53)

Подставляя (3.53) в (3.49) и (3.52), получаем

-弟卜P(1一諾)，

Mhb — ^2 р2 (^ + Ь) + 謀3 %@] = — Р ^孑:%« ・

Переходя к числам, получим уравнения в следующем виде:

3& + 必=1,5Р,3% - 17必=—6Р・

Отсюда

Проверка показывает удовлетворение условию равновесия: 軒+証+計-pm

Наибольшее усилие возникает во втором стержне, по этому усилию и подбираем площадь поперечного сечения стержней:

М 5.20 00025 9

尸=向=e1^ =菖*.

Определив удлинения стержней:

^1/113 • 20 000 • 100 • 3260 000

36E • 25= 3? ,

必厶 5 • 20 000 • 100 • 3100 000

=12Е • 25= ~Ё，

/ — %з"2 • 20 000.200-3320 000

"8 =京=9e. 25= 3£ ，

легко проверить выполнение условия совместности деформаций

320 000260 000

(3.54)(3.55)(3.54)(3.55)ЗГ~ — 200.

(3.54)

(3.55)

(3.54)

(3.55)

збб =浜；

100 000260 000

~— 200

200=而.

Убеждаемся в равенстве величин (3.54) и (3.55). Тот факт, что величины (3.54) и (3.55) положительны, свидетельствует о том, что наклон бруса происходит действительно так, как это показано на рис. 3.28. Если бы выражения (3.54) и (3.55) были отрицательными, это свидетельствовало бы о том, что наклон бруса должен быть в сторону, противоположную показанному на рис. 3.28.

Пример 3.5. Определить монтажные усилия в элементах системы, изображенной на рио. 3.29, а, возникающие при монтаже вследствие неточности изготовления

средней подвески. При этом имеется в виду, что А = 0,4 мм, а = 1 л｛，尸】==1 сл?, 尸2 = 1,5 с",尸§ = 2 сл«2, Е] = К = Е3 = Е = 2。106 кГIс储.

На рис. 3.29, 6 изображена система, получившаяся в результате монтажа, который мыслим лишь после того, как нижний конец стержня 3 для обеспечение

возможности присоединения к горизонтальному жесткому брусу принудительно опущен на величину А за счет растяжения этого стержня 3 и стержней 2. После присоединения нижнего конца стержня 3 к горизонтальному брусу и. предоставления системы самой себе произойдет некоторое смещение горизонтального бруса вверх за счет стремления стержней 3 и 2 принять свои естественные длины, чему сопротивляются стержни 1, В результате в стержнях 2 и 3 останется некоторая доля того растяжения, которое было необходимо для присоединения нижнего конца стержня 3 к горизонтальному брусу; в стержнях же 7 возникнет некоторое сжатие.

Мысленно рассечем все три вертикальных стержня и составим уравнения равновесия части системы, расположенной ниже проведенного сечения (рис. 3.29, б). Запишем уравнение равновесия:

%—2з + М = 0.(3.56)

Равенство усилий в стержнях / вытекает из упругой симметрии системы. Только при этом равенстве выполняется условие равновесия — одинаковыми и противоположно направленными оказываются моменты усилий в крайних стержнях относительно точки приложения усилия 必.

Уравнение равновесия узла (рис. 3.29, а) имеет вид

^2 cos 45е—Af з + ^2 cos 45® = 0,

откуда

(3.57) 22 cos 45®''

Равенство усилий в стержнях 2 вытекает из симметрии системы — тольк о при этом ра> венстве сумма проекций всех сил, действующих на узел, на горизонтальную ось равна нулю, что необходимо как условие равно* весия.

Теперь составим уравнение совместности деформаций.

Рис. 8.29. К примеру З.б] а) вид системы до монтажа (стержень 3 изготовлен короче проектного размера на величину А); 6) картина деформа* ции системы в результате монтажа; е) к равновесию бруса; а) к равно： весию узла.Рис. 8.29. К примеру З.б] а) вид системы до монтажа (стержень 3 изготовлен короче проектного размера на величину А); 6) картина деформа* ции системы в результате монтажа; е) к равновесию бруса; а) к равно： весию узла.На рис. 3.29, б сплошной линией показано окончательное положение стержней после монтажа. Точка Л — положение узла до монтажа, а В — после монтажа. Опускание узла на величину АВ произошло вследствие удлинения стержней на Д/2; само же опускание узла равно AZ2/cos 45°. Оаускание нижнего

Рис. 8.29. К примеру З.б] а) вид системы до монтажа (стержень 3 изготовлен короче проектного размера на величину А); 6) картина деформа* ции системы в результате монтажа; е) к равновесию бруса; а) к равно： весию узла.

Рис. 8.29. К примеру З.б] а) вид системы до монтажа (стержень 3 изготовлен короче проектного размера на величину А); 6) картина деформа* ции системы в результате монтажа; е) к равновесию бруса; а) к равно： весию узла.

конца стержня 3 произошло и за счет растяжения стержней 2 н за счет растяжения стержня 3. Если бы стержень 3 не растягивался, то при опускании узла из первоначального положения Л в окончательное В нижний конец стержня 3 из то^тки С перешел бы в точку D. Итак, отрезок DG представляет собой удлинение стержня 3. Таким образом, условие совместности деформаций имеет вид

М+М+^^ = А,М+М+^^ = А,или, если выразить его через усилия,

М+М+^^ = А,

М+М+^^ = А,

瓦77十 当尸3十瓦片cos 45。

Педставляя (3.57) в (3.59), получим

^■ + "з (^7 + 2邑尸2 ：os2 45。) = &

учитывая условия задачи, получим (3.60) в виде откуда

200% + Л/з. 100(*| +?^j = 0,04・ 2・ 106, или-

2%i + “з [у + 当2) = 800, 2М + 1,44必=800.

(3.58)(3.59)(3.60)(3.58)(3.59)(3.60)(3.61)(3.61)Решая (3.56) и (3.61) совместно, получим

(3.58)

(3.59)

(3.60)

(3.58)

(3.59)

(3.60)

(3.61)

(3.61)

^ 1 = 164 к「, 〃з = 328 кГ.

Теперь из (3.57) найдем

% = -^~ = 232

一2匹

2

Условие равновесия удбвлетворяется:

'2A'i-Mj = 2・ 164—328 = 0.

Проверяем условие совместности деформации:

Л/ N也 164.200"弘 232J41 л

А'1 = Ж' = 57ЖЛ = а°164吋布=工]侪・ 1,5 = 0 9 09 网

A/20,0109"3%328 • 100

-病砂"="W* * c他M3 = -^-^0,0082 cm.

Складывая A/t, Д/3 и A/2/cos 45®, получаем

0,0164 4-0,0154 4-0,0082 = 0,04 % = A, как и должно быть согласно уравнению (3.58).

Пример 3.6. Определить напряжения в поперечных сечениях каждого участка стержня, изображенного на рис. 3.30, а. При этом Р = 16 Т, а = Во см, b = =70 см, с = 80 см, А = 0,18 мм,吊=40 с財2, F2 = 35 ск2, А = 20 с“； Е = =2 • 106 кГ /см2.

Установим, насколько удлинился бы стержень, если бы внизу не было никакой преграды. Если это удлинение меньше зазора А, то система является статически

определимой; если же удлинение свободного стержня больше зазора А, то с момента прикасания нижнего торца стержня к преграде система становится статически неопределимой. Для отыскания свободного удлинения стержня воспользуемся формулой (2.19), которая в нашем случае, если учесть вид эпюры ^ (рис. 3.30), представится так:

0,026 см,0,026 см,Ра , РЬ 16 000 /50 , 70\ _

0,026 см,

0,026 см,

石耳十丽=2/06 [而十弼)=

А/св = °,26 мм > 0,18 мм = А.

Вследствие этого система работает как статически неопределимая.

Рис. 3.30. К примеру 3.6: а) вид системы до приложения силы Р (А — величина, на которую длина стержня отличается от расстояния между верхней и нижней опорными плоскостями) и эпюра N в случае, если нижний торец стержня не встретил бы преграды;

картина деформированного стержня и эпюра М

(3.62)(3.62)Рассмотрим равновесие системы, учитывая, что нижний торец стержня упирается в пол. Тогда, имея в виду наличие реакций, действующих на стержень как со стороны потолка, так и пола (рис. 3.30, б) получим

(3.62)

(3.62)

Ra-p+Rb=°・

При наличии двух неизвестных и одного уравнения статики устанавливаем, что система один раз статически неопределима. Условие совместности деформаций имеет вид

А/св — А = А厶

(3.63)(3.63)Здесь Д/св — свободное удлинение стержня, которое было бы при отсутствии пола, А — зазор между нижним торцом стержня и полом до приложения нагрузки к стержню, А/ ——укорочение стержня по сравнению с его естественной длиной. Выражая деформацию А/ через искомые реакции и учитывая при этом эпюру усилий М получим

(3.63)

(3.63)

Переходя в (3.62) и (3.63) к численным значениям, получим

Ra+Rs=16。°° "‘ 欠厶(^ + ^) - Rb ^ = (0,026-0,018) 2 • 10«.

Отсюда

/?4 = 11 030 ^Г,Rb = 4970 кГ.

Условие равновесия R力 + R^ = 11 030 кГ + 4970 кЛ = 16 000 кГ = Р удовлетворяется.

Проверим условие совместности деформаций; для этого определим удлинение первого и второго участков стержня в совокупности:

л/ Ra。上 №д/1+2==Ж + Жл/ Ra。上 №д/1+2==Ж + Ж11 030.502-Юв-4011 030.502-Юв-40^^^= 0,00689 + 0,01103 = 0,01792 см・^^^= 0,00689 + 0,01103 = 0,01792 см・

л/ Ra。上 №д/1+2==Ж + Ж

л/ Ra。上 №д/1+2==Ж + Ж

11 030.502-Юв-40

11 030.502-Юв-40

^^^= 0,00689 + 0,01103 = 0,01792 см・

^^^= 0,00689 + 0,01103 = 0,01792 см・

Укорочение третьего участка:

_R依一 4970.80 п .

△ l萌 一 2 • IO。• 20 — 0,00994 см *

Суммарная осевая деформация всего стержня:

Д/ = 0,1792 一 0,00994 = 0,00798 х 0,008 см.

Именно этой величине равна разность между свободной, нестесненной деформацией стержня и зазором:

А，св — ^ — 0,026 — 0,018 = 0,008 см.

Таким образом, и условие совместности деформаций выполнено.

Определим теперь напряжения в поперечных сечениях каждого из трех участков:

714Uг 2 uO

Rr 4970

0 =建=一 * = — 248,5 "/с心

Глава IV

МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ

Вводные замечания

Опыты с образцами, проводимые в различных условиях, позволяют изучить ряд свойств материалов. Получаемая в этих экспериментах информация, во-первых, характеризует ^прочностные возможности материалов, оцениваемые при помощи некоторых величин, которые используются в условиях надежности. Во-вторых, на основе результатов указанных опытов удается определить области наиболее эффективного использования материалов. В-третьих, дйнные экспериментов позволяют строить феноменологические 1) теории связей напряженно-деформированного состояния и теории предельного состояния материала. Наконец, опыт с образцами позволяет оценивать физические теории деформирования и разрушения материалов, в которых используется представление о дискретном строении материи. На такой основе оказывается возможным целенаправленный поиск новых материалов с необходимыми свойствами.

Настоящая глава посвящена механическим свойствам материалов, определяемым в эксперименте. Кроме того, обсуждаются некоторые явления, происходящие в материалах в связи с деформированием их и появлением в них напряжений. Для одной из основных групп материалов — металлов — даны в минимальном объеме сведения о физической природе деформаций и механизма разрушения, отражающие дискретность строения материи. Значительное внимание уделено влиянию различных факторов на механические свойства материалов и различным видам испытаний материалов. Описаны некоторые особенности групп и отдельных материалов.

То есть такие теории, в которых описывается поведение материала под внешним воздействием, обнаруживаемое в макроскопическом опыте, без объяснения этого поведения физическими законами.

§ 4・2・ Структура металлов

Предварительные соображения. Металлы и сплавы составляют один из важнейших классов материалов, используемых во всевозможных конструкциях и изделиях. Они имеют ряд общих характерных свойств. Только построение общей теории металла позволяет из разрозненных свойств, фактов и явлений получить некоторую систему, служащую руководством для правильного решения многих проблем, в частности проблем сопротивления материалов. Ниже приводятся элементарные сведения из физики металлов, относящиеся к вопросам их строения, деформируемости и прочности.

Материал настоящего параграфа излагается весьма кратко〉

2・ Поликристаллическое строение металла. Как известно, металлы и сплавы их представляют собой поликристаллические тела, состоящие из хаотически расположенных неполных (имеющих неправильные границы) кристаллов, называемых кристаллитами или зернами; размеры их очень малы: в 1 см* — порядка миллиона

Ознакомиться с физикой металлов можно по нижеприводимым источникам. Френкель Я. И., Введение в теорию металлов, изд. 3-е, М-Л., 1958. Мортон Е. Смит, Основы физики металлов, пер. с англ, под ред.

Б. Я* Любова, Металлургиздат, 1959..

.Успехи физики металлов. Под ред. Челмерса (оригинал издан в 1949—1954 гг.)> пер. с англ, под ред. Я- С. Уманского и Б. Н. Финкельштейна, тт. I——V, 1956——1963.

К и т т е л ь Ч., Введение в физику твердого тела, Физматгиз, 1962.

КиттельЧ., Элементарная физика твердого тела, пер. с англ., «Наука», 1965.

Ш у л ь це Г., Металлофизика, пер. с нем. А. К- Натансона под ред Я. С. Уманского, «Мир», 1971.

Жданов Г. С., Физика твердого тела. Изд-во МГУ, 1961.

Давиденков Н. Н., Физика твердого тела, т. I, 1959.

Кузнецов В. Д., Физика твердого тела, т. IV, Томск, 1947.

Некоторые проблемы прочности твердого тела. Сборник ста1ей, посвященных восьмидесятилетию академика АН У СССР Н. Н. Давиденкова, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1959.

Дамаск А. и Динс Дж., Точечные дефекты в металлах, пер. с англ. Д. Е. Темкина и Ж. Эстрина под ред. Б. Я- Любова, 《Мнр», 1966.

The Structure and Properties of Materials (vol. I — Structure; vol. II — Termo- dinamics of structure; vol. Ill —Mechanical Behavior; vol. IV — Electronic Properties), John Wiley and Sons, New York — London — Sydney, 1965.

Прочность металлов. Сборник статей, посвященный шести дес я т илет и ю чл.-корр. АН СССР И. А. Одинга, Изд-во АН СССР, 1956.

Баррет Ч. С., Структура металлов. Кристаллографические методы, принципы и данные, пер. с англ, под ред. Я. С. Уманского, Металлургиздат, 1948.

Большой материал содержится в журнале «Физика металлов и металловедение» (издается с 1955 г.) и в систематически выпускаемых сборниках:

Проблемы металловедения и физики металлов (Труды ЦНИИЧМ им. Н. П. Бардина).

Вопросы физики металлов и металловедения (Труды Института физики металлов АН УССР).

зерен. Зерна могут отличаться одно от другого как химическим составом, так и физическими свойствами.

Прочность металлов (сплавдв) определяется прочностью зерен и соединения их между собой. У металла (сплава), подвергавшегося механической (прокатка, ковка, прессование) и термической обработке, связь между зернами обеспечивается главным образом силами межатомного взаимодействия и лишь на некоторых участках границ главным является механическое сцепление. В отличие от этого в литом или плохо обработанном металле между зернами могут быть местами даже пустоты или скопления примесей.

При определенных условиях, пока все же трудно осуществимых^ удается получать монокристаллы металлов.

Кристаллы металла. Связь между атомами в кристалле металла (в кристаллическом зерне или в монокристалле) имеет особенности, отличающие ее от связи между атомами во всех других кристаллических твердых телах, вследствие чего она носит название связи металлического типа ')• В металлах внешние электроны атомов ввиду слабой их связи с ядрами отрываются от последних и образуют так называемый электронный газ (коллективизированные злектрон?", омывающий положительные ионы, которыми являются атомы, лишенные внешних электронов. Между положительными ионами, с одной стороны, и отрицательно заряженным электронным газом, с другой, имеются большие электростатические силы притяжения. Именно электронный газ объединяет положительные ионы в единое целое — металлическое тело. Положительные ионы металла, кроме сил воздействия со стороны электронного

) Существует эмпирическая классификация типов связей в кристаллах. Кроме кристаллов с металлическим типом связей различают: кристаллы с ионной связью (электроны переходят от атомов одного типа к атомам другого; взаимодействие образовавшихся ионов разных знаков заряда и обеспечивает связь в кристаллах; такая связь имеет место во многих типично керамических материалах); кристаллы с ковалентной связью (связь осуществляется валентными электронами, являющимися общими для двух атомов; примером кристаллов с ковалентной связью может служить алмаз). Существуют и другие типы связей (малекуляряая, водородная). '

При металлическом типе связей характерными являются относительно высокая пластичность и большие силы сцепления, т. е. большая прочность кристалла (наряду с этим — высокие электропроводность и теплопроводность). Говоря о значительной пластичности металлов, имеем в виду так называемую атермическую пластичностьt т. е. пластичность, обусловленную не высокими температурами (близкими к температуре плавления металла). Термическая пластичности Связанная с высокими температурами, имеет диффузионную природу; она обнаруживается не только у металлов; такая пластичность не сопровождается большой прочностью. Материалы с ионными связями обладают очень большой прочностью при сжатии, низким сопротивлением разрыву и практически характеризуются отсутствием пластичности; эти материалы имеют очень низкие электропроводность и теплопроводность. Для Хруйкогб мгновенного разрушения таких материалов достаточно мельчайших трещин иа поверхности. Однако имеются керамики, у которых прочность при растяжении доходит до 14 кГ/мл^, а прочность при сжатии —До 280 кГ/мм1.

А. П. Филин-

226 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ (ГЛ. IV газа, испытывают еще и силы взаимодействия, ввиду одинаковости знака зарядов у ионов, — силы взаимного отталкивания.

Располагаются положительные ионы в тех позициях, на строго определенных расстояниях друг от друга, в которых силы, действующие на них как со стороны других ионов, так и электронного газа, уравновешиваются. Именно поэтому получается регулярное расположение ионов в пространстве и образование так называемой кристаллической решетки —— системы мысленных регулярно расположенных в пространстве линий, пересекающихся в точках, именуемых узлами. Кристаллическая решетка является математи- ческой абстракцией. Вследствие того, что электронный газ дискретен по природе — состоит из электронов, число которых колоссально,—— а движение, при отсутствии разности электрических потенциалов, хаотично, силы, действующие с его стороны на ионы, имеют стати- этический характер ——они не постоянны, а характеризуются наиболее вероятной величиной. Поэтому положительные ионы не неподвижны, а находятся в непрерывном высокочастотном колебательном движении (частота порядка 1013 колебаний в секунду) ◎коло точек, которые собственно и принимаются в качестве узлов кристаллической решетки. Таким образом, узел кристаллической решетки металла — это наиболее вероятное расположение положительного иона в пространстве. Положительные ионы в кристаллической решетке находятся в динамическом, в статистическом смысле слова, равновесии г).

Всякий выход атома из узла увеличивает потенциальную энергию системы атомов в решетке и делает такое ее состояние неустойчивым. В природе устойчивое состояние системы всегда характеризуется минимальностью потенциальной энергии в'ней (например, шарик, будучи в устойчивом состоянии на дне чаши в наинизшей точке, обладает минимальной потенциальной энергией по сравнению с энергией во всех соседних позициях).

Металлы имеют различные типы кристаллической решетки, характеризуемые как рисунком расположения в ней линий, так и параметрами — расстояниями между узлами 6 элементарной ячейке решеткиt т. е. в том минимальном по количеству атомов элементе, при помощи многократного повторения которого мыслится образование всей решетки.

В табл. 4.1 показаны типы кристаллических решеток важнейших металлов, используемых в технике в качестве материалов или их составных частей. "На рис. 4.1 показаны все три элементарные ячейки, представленные в табл. 4.1. На рис. 4.2 изображены слои атомной решетки, из которых состоят указанные три типа решеток, при этом надо иметь в виду, что в двух соседних слоях позиции

г) Борн М” Хуань К у н ь, Динамическая теория кристаллических решеток. ИЛ, 1958.

Таблица 4.1

Кубическая объемно-. центрированная решеткаКубическая объемно-. центрированная решеткаКубическая гранецентри-роваиная решеткаКубическая гранецентри-роваиная решеткаГексагональная плотио- упаковапная решеткаГексагональная плотио- упаковапная решетка

Кубическая объемно-. центрированная решетка

Кубическая объемно-. центрированная решетка

Кубическая гранецентри-роваиная решетка

Кубическая гранецентри-роваиная решетка

Гексагональная плотио- упаковапная решетка

Гексагональная плотио- упаковапная решетка

Плотность упаковки — количество атомов, приходян^ихся на однуэлементарную кристаллическую ячейку

Число атомов в верши-, нах куба

3 + 2.1+12.1^63 + 2.1+12.1^61+8-1 = 2

3 + 2.1+12.1^6

3 + 2.1+12.1^6

числа ячеек, в которые входит атом, расположенный в вершине куба

Координационное число—число атомов, находящихся иа равномн наиболее близком расстоянии от избранного

8

12

12

V W Мо [3,03] [3,16] [3,14]

Та Сг [3,30] (2,88J [a, Aj

AI Си № [4,04] [3,61] [3,52]

РЬ

[4,94]

Be Mg Zn (1,58) (1,62) 0,86) ©a) [2,27; [3,20; [2,66; [a, A; 3,59] 5,20] 4,94) c. A]

Fe при Г V 910 ℃

[2,86](Fe«)

Fe при Т> 910 ℃ (F%)

Ti при Т>882℃ Еа)

Ti при TV882℃

(1例)

[2,95; 4,73]M

Таблица 4.1 (0ко&*еа&к£)

атомов смещены на половину горизонтального шага в горизонтальном направлении и на половину вертикального шага ——в вертикальном. Расстояния между соседними плоскостями кристаллической решетки в трех рассмотренных случаях соответственно

Рис. 4.1. Элементарные ячейки кристаллических решеток: а) кубическая объемиоцент- рированная решетка; б) кубическая граиецентрнрованная решетка； е) гексагональная плотноулакованная решетка.

равны ]/3 d/3, /2 d/2 и "2. Из рис. 4.2, s ясен термин плотноупа- кованная гексагональная решетка. В металлах Be, Mg, Мп, Со, Ti, Zr гексагональная решетка не строго плотноупакованная, так как отнршение da в этих металлах отличается от 1,633.

При повороте кристалла относительно некоторой оси на 2л/п Можно получить полное повторение картины. Такая ось называется осью симметрии п-го порядкаТак, например, ось, изображенная на рис. 4.3, а является осью 4-го порядка, потому что достаточно повернуть тело на 2冗/4 = п/2, чтобы произошло повторение кар-

тины. Осей симметрии д-го порядка ') в кристалле может быть несколько (рис. 4.3, г).

00（兴兴兴兴兴兴）（为*兴为兴兴）（兴兴兴兴兴兴）（为*兴为兴兴）

0

0

（兴兴兴兴兴兴）（为*兴为兴兴）

（兴兴兴兴兴兴）（为*兴为兴兴）

Рис. 4.2. Слои атомной решетки: а) кубическая объемноцентрироваиная решетка; 6) ку бическая гранецентрироваиная решетка; в) гексагональная плотноупаковэнная решеткаРис. 4.2. Слои атомной решетки: а) кубическая объемноцентрироваиная решетка; 6) ку бическая гранецентрироваиная решетка; в) гексагональная плотноупаковэнная решеткаНаряду с осями могут (рис. 4.3, d, е). В кристаллахНаряду с осями могут (рис. 4.3, d, е). В кристаллахиметься плоскости симметрии отмечаются кристаллографическииметься плоскости симметрии отмечаются кристаллографически

Рис. 4.2. Слои атомной решетки: а) кубическая объемноцентрироваиная решетка; 6) ку бическая гранецентрироваиная решетка; в) гексагональная плотноупаковэнная решетка

Рис. 4.2. Слои атомной решетки: а) кубическая объемноцентрироваиная решетка; 6) ку бическая гранецентрироваиная решетка; в) гексагональная плотноупаковэнная решетка

Наряду с осями могут (рис. 4.3, d, е). В кристаллах

Наряду с осями могут (рис. 4.3, d, е). В кристаллах

иметься плоскости симметрии отмечаются кристаллографически

иметься плоскости симметрии отмечаются кристаллографически

%) В кристаллах л может принимать значения 2. 3* 4, 6.

胃ЙО 0 03Рис. 4.3. Оси симметрии куба:а) одна нз осей четвертого поряд-ка； б) одна из осей третьего по-рядка; в) одна из осей второгопорядка; г) тринадцать осейсимметрии куба; д) трн плоско-сти симметрии, параллельныеГраням куба; е) шесть диаго-нальных плоскостей симметриикуба [Phillips F. С., Ап Intro-duction to Crystallography, Lon-don, 1946].胃ЙО 0 03Рис. 4.3. Оси симметрии куба:а) одна нз осей четвертого поряд-ка； б) одна из осей третьего по-рядка; в) одна из осей второгопорядка; г) тринадцать осейсимметрии куба; д) трн плоско-сти симметрии, параллельныеГраням куба; е) шесть диаго-нальных плоскостей симметриикуба [Phillips F. С., Ап Intro-duction to Crystallography, Lon-don, 1946].

胃ЙО 0 03

Рис. 4.3. Оси симметрии куба:а) одна нз осей четвертого поряд-ка； б) одна из осей третьего по-рядка; в) одна из осей второгопорядка; г) тринадцать осейсимметрии куба; д) трн плоско-сти симметрии, параллельныеГраням куба; е) шесть диаго-нальных плоскостей симметриикуба [Phillips F. С., Ап Intro-duction to Crystallography, Lon-don, 1946].

胃ЙО 0 03

Рис. 4.3. Оси симметрии куба:а) одна нз осей четвертого поряд-ка； б) одна из осей третьего по-рядка; в) одна из осей второгопорядка; г) тринадцать осейсимметрии куба; д) трн плоско-сти симметрии, параллельныеГраням куба; е) шесть диаго-нальных плоскостей симметриикуба [Phillips F. С., Ап Intro-duction to Crystallography, Lon-don, 1946].

эквивалентные позиции атомов, направления и плоскости. Так,

все три оси четвертого порядка (все четыре оси третьего порядка) являются кристаллографически эквивалентными (рис. 4.3, г),

Кристаллогр афическиКристаллогр афическиэквивалентными являются и плоскости симметрии, изображенные на рис. 4.3, d, е.

Кристаллогр афически

Кристаллогр афически

4・ Анизотропность кристаллов. Вследствие кр исталлического строения металлы в пределах зерна или в случае монокристалла в пределах всего тела обладают свойством анизотропности ,состоящим в том, что важнейшие механические и физические характеристики являются в каждой точке тела функциями пара-

метров направления. Материал в от

ношении всех своих механических и физических свойств обладает симметрией, зависящей от симметрии кристаллографической формы. На рис. 4.4 показаны векторные диаграммы (поверхности) коэффициентов

растяжения двух разных кристаллов.

В чистом железе модуль упругости в направлении пространственной диагонали куба равен 29 000 кГ1м储, в направлении диагонали грани —— 21 000 к/7л", а в направлении ребра куба— 13 500 кГ/mj^, для тех же направлений 6旧 изменяется от 16 до 22 кГ/мм2, а 6 — от 31 до 84%.

Модуль упругости в зависимости

от параметра решетки находится по формуле

(4.1)(4.1)F三旦.

(4.1)

(4.1)

七 一陋，

здесь k п т — некоторые постоянные.

Упругие свойства изотропного тела характеризуются двумя постоянными (Е и 卩)・ Упругие же свойства анизотропных тел (монокристаллов) характеризуются большим числом постоянных — от 3 в простейшем случае до 21 в случае самого общего вида анизотропии.

В поликристаллическом металле (сплаве) в силу хаотичности расположения зерен, а следовательно, и хаотичности ориентации в пространстве кристаллической решетки в любом направлении получаются усредненные —— одинаковые свойства. Это называется квазиизотропностью материала, в отличие от идеальной изотроп- ноет% при которой одинаковость свойств во всех направлениях не

является следствием их усреднения за счет хаотической ориентации структурных компонентов.

Упругие характеристики поликристаллических тел могут быть подсчитаны с высокой степенью точности теоретически (методами

Рнс. 4.4. Векторные диаграммы (поверхности) коэффициентов растяжения: а) кристалла кубической сингонии; 6) кристалла ромбической сингонии [Лехиицкнй С. Г., Теория упругости аннзотропнбго тела, Фнзматгиз, I960]

математической статистики и теории вероятностей) на основе соответствующих характеристик монокристалла. Это объясняется слабостью влияния .на упругие характеристики границ зеред х).

Таблица 4.2

Тип решетки

Металл

Е, кГ/мм

монокристалл (эксперимент)

поликристалл

шах

min

теоретически подсчитаниаи величина*

эксперимент

Кубическая гранецент-

AI

7 700

6 400

7 170

7 200

рированная

Си

19 400

6 800

11 950

12 100

Кубическая объемно- центрированная

Fe

29 000

13 500

20 700

21400

Гексагональная

Mg

5 140

4 370

4510

4 500

[По книге Фридмана Я. Б., Механические свойства металлов, Обо- ронгиз, 1952.]

В табл. 4.2 приведены некоторые данные, относящиеся к сопоставлению величин Е, наблюденных в опыте и подсчитанных теоретически. Из этой же таблицы видно, что анизотропность упругих свойств монокристалла зависит не только от типа кристаллической решетки, но и от природы металла. Так, например, у А1 и Си тип решетки одинаков, но £max/£min различно (соответственно 1,2 и 2,86).

В ряде случаев свойства и в поликристаллическом металле зависят от направления, несмотря на осреднение свойств зерен. Например, прокатанный элемент вдоль и поперек прокатки имеет различные модули упругости и прочности. Такая анизотропия иногда называется технологической, она связана с наличием преимущественной ориентации зерен в направлении обработки (текстура) .Например, после горячей прокатки хромомолибденовой

Рис. 4.5. Кристаллографические плоскости кубической решетки.Рис. 4.5. Кристаллографические плоскости кубической решетки.

Рис. 4.5. Кристаллографические плоскости кубической решетки.

Рис. 4.5. Кристаллографические плоскости кубической решетки.

Рис. 4.6. Кристаллографические плоскости в гексагональной ре-Рис. 4.6. Кристаллографические плоскости в гексагональной ре-шетке.шетке.

Рис. 4.6. Кристаллографические плоскости в гексагональной ре-

Рис. 4.6. Кристаллографические плоскости в гексагональной ре-

шетке.

шетке.

стали, вызывающей в ней текстуру, Emax = 25 160 кГ/мл^, Ет[П —20 360 кГЫ^,

Индексы Миллера. Для того чтобы было легко выделять те

или иные кристаллографические плоскости или направления, введена

стандартная система их обозначения ——индексы, Миллера. В случае кубических решеток с кубом связываются декартовы оси

координат х, у, г, направленные вдоль ребер, при расположении -

начала координат в вершине. Обозначение плоскости осуществляется тремя индексами —числами, заключенными в круглые скобки. Каждый из индексов представляет собой отношение длины ребра куба к отрезку, отсеченному на оси индексируемой плоскостью (если индекс отрицателен, то минус ставится над индексом)； Первый индекс относится к оси х, второй —— к у и третий ——к г. Весь класс плоскостей, имею-

щих одинаковые, с точностью до знака

и позиции, индексы, обозначается при помощи абсолютных значений индексов, заключенных в ф и г у р - н ы е скобки. Такие плоскости в кристаллической решетке однотипны, но по-разному ориентированы в пространстве. На рис. 4.5 показана индексация плоскостей в кубической решетке. В гексагональной решетке индексация плоскостей строится по аналогичному принципу, с тою лишь разницей, что используются четыре оси: х9 yf 2 И и (рис. 4.6).

Кристаллографическая прямая обозначается тремя индексами, заключенными в квадратные скобки. Индексами являются наименьшие числа, пропорциональные координатам в системе xyz любой точки прямой. Весь класс качественно подобных направлений, имеющих, с точностью до знаков, соответственно одинаковые индексы, обозначается абсолютными значениями индексов, заключенных в угловые скобки〈 ). Заметим, что в гранецентрированной кубической решетке в плоскости (111), а в гексагональной плотноупакованной — в плоскости базиса имеет место плотная упаковка атомов (см. рис. 4.1).

Несовершенства (дефекты) строения реальных кристаллов металла. Описанная в предыдущем разделе кристаллическая решетка является идеальной. На основе физики твердого тела теоретически найдены механические характеристики, которые должны быть у кристаллов строго идеальной структуры. Сопоставление этих характеристик с обнаруживаемыми в опыте показывает значительное (в десятки и даже в сотни раз) превышение теоретическими значениями опытных. Последнее расхождение объясняется тем, что в реальных кристаллах всегда имеются отклонения от идеального характера атомной решетки, называемые несовершенствами или дефектами строения кристалловг). Известны различные типы дефектов; классификация их дана в табл. 4.3.

Дефекты кристаллической решетки вследствие подвижности атомов перемещаются. Атомы, кроме упоминавшегося выше колебательного движения около теоретического узла решетки, совершают и другие движения вследствие постоянного обмена энергией между собой, неминуемо сопровождающегося пиковым скоплением кинетической энергии в каком-то из них. Может оказаться, что этой энергии достаточно для преодоления сил, удерживающих атом в его регулярном положении в решетке. Так, атом может попасть в промежуток между узлами (дислоцированный атом), не исключен и обмен местами двух атомов. Вакансия может быть занята соседним атомом. Таким образом, она перемещается; при комнатной температуре вакансия может сохранять свое положение до суток, а при повышенной температуре — десятитысячные доли секунды. Большой подвижностью отличаются и дислокации. На рис. 4.7 изображены стадии перемещения дислокаций. Из рис. 4.8 видно, что для перемещения линейной дислокации атомам достаточно совершить перемещения намного меньшие, чем расстояния между узлами. Эти небольшие перемещения могут быть совершены под влиянием малых внешних сил. Небольшие внешние силы в связи с постепенностью процесса могут вызвать перемещение и винтовой дислокации (рис. 4.7, б).

В'а н-Б ю р е н Г., Дефекты в кристаллах, ИЛ, 1962.

Рабинович М. X.» Прочность и сверхпрочность металлов, Изд-во АН СССР, 1963.

Точечжле дефекты (искажают решетку примерно в области пятишести узлов в каждом из трех измерений)

Дислоцированный атом

Атом, вышедший из равновесного положения, внедрился в решетку вдали от того места, где ои располагался

Вакансия

Отсутствие атома в одном из узлов ре- Шв1КИ

Дефект Френкеля

Атом, вышедший из равновесного положения, образовал вакансию, а сам внедрился в решетку вблизи вакансии

н

Л (шейные дефекты

Линейная дислокация

Наличие избыточной плоскости (экстра- плоскости) решетки в некоторой части объема

MEXAHHUECKHE СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ

Винтовая дислокация

Смещение (с изгибом) некоторой части плоскости решетки из регулярного положения

—

и и

§

i

1

1

о и

« 2 ж 員舌曽

з§1 jg|

\1包

Рис. 4.8. Перемещение линейной даслокации! I — плоскость скольжения, 2 — строки решетквя в которых перемещение атомов второго и треть«*Л столбцов, изображенных сплошной линией^ проио- ходат справа налево» з — строки, в которых перемещение атомов второго столбца происходит слева направо.

Рис. 4.7. Перемещение дислокаций! а) стадии перемещении линейной дислокации; о) стадии перемещения винтовой дислокации (заштрихована область плоскости скольжения, в которой смещение атомов пронсхе* Ант иа данном этапе).

Ряа 4.9. Расположение атомов в растворах!а) раствер замещения; б) раствор внедрения 1Рабвневвч М.典.，Прочнесгь в сверхпрочиость …таллеи. Изд-во АЙ GCGP, 1963].

При повышении температуры не только увеличивается скорость перемещения дефектов, но и создаются условия для их возникновения. Так, в 1 см3 алюминия при температуре 300 ℃ содержится 6-1013 вакансий. В частности, вакансии могут возникать за счет испарения атомов с поверхности. При температуре, бл-изкой к температуре плавления, вакансии составляют —1% от числа узлов.

Вследствие неизбежного присутствия в металле примесей происходит растворение их в основном металле ——диффузия. Атомы примеси либо занимают вакантные места в решетке, либо замещают атомы основного металла в узле (растворы замещения; рис. 4.9, а), либо, наконец, внедряются в промежутки между узлами (растворы внедрения; рис. 4.9, б). Даже маленький процент примеси приводит к огромному количеству мест возмущения в рететке. Так, например, при содержании 0,3% Si в А1 количество атомов кремния (а следовательно, и количество мест нарушения решетки) в I сл? алюминия составляет 2 -1017.

Мозаичная структура кристалла возникает в процессе его роста. Вследствие того, что рост кристалла происходит одновременно во многих местах, неизбежна несогласованность (поворот относительно друг друга на 10—15') смыкающихся частей (блоков) кристалла, возникающая из-за накопления погрешностей решетки внутри каждого блока. Линейный размер блока порядка 10"6 см; в 1 см3 находится порядка 1012 блоков.

Дефекты в к р иста л л и чес кой решетке могут быть связаны и с дендритной (ветвящейся) формой роста кристаллов, в результате которой смыкание и пересечение ветвей могут происходить таким образом, что стройность решетки оказывается нарушенной. К тому же к концу затвердения металла по весьма развитой поверхности дендрита могут расположиться примеси или микроскопические пустоты вследствие нехватки жидкого металла для плотного заполнения зерна вблизи границы.

Атомы вблизи поверхностей раздела находятся в иных условиях, чем внутри кристалла, вследствие этого нарушается регулярность строения кристалла в окрестности поверхности раздела. У границ блоков это нарушение углубляется внутрь на 5—6 атомных размеров, у границ зерен» где мыслимо скопление примесей, толщина слоя нарушения структуры доходит до нескольких тысяч атомных размеров.

Количество всевозможных дефектов в кристаллическом строении металла огромно. Так, в 1 с^ алюминия при 300 ℃ с содержанием 0,3% Si имеется 6 *1013 вакансий, 2「О1? атомов примеси, поверхности раздела по границам 1012 блоков и 103 зерен и ряд других дефектов (дислокации, дефекты, связанные с дендритной структурой). Таким значительным отличием теоретического строения металла от реального и объясняется большое отличие ожидаемых на основании теории свойств металла от обнаруживаемых в опыте.

§ 4.3・ Упругая и пластическая деформацияи разрушение монокристалла металла

t. Упругая деформация. Общая схема работы материала. Идеальный монокристалл металла имеет строго регулярную структуру, определяемую типом его кристаллической решетки. Под влиянием внешних сил, прикладываемых к монокристаллу, изменяются расстояния между атомами. Такому смещению атомов противодействуют силы межатомного взаимодействия. Если смещения атомов настолько невелики, что не преодолены эти силы, то по устранении внешних воздействий атомы возвращаются в свои первоначальные позиции устойчивого равновесия. Так протекает упругая деформация тела; величина этой деформации очень мала (измеряется десятыми долями процента). '

Упругая деформация представляет собой первый этап работы материала под нагрузкой. Если нагрузка не снимается и продолжается ее рост, то последовательно возникают еще два этапа работы материала ——пластическая деформация и разрушение.

В общем процессе работы материала под нагрузкой в случае доведения его до разрушения, как правило, имеют место все три этапа: упругая деформация, пластическая деформация и разрушение. Однако относительный удельный вес отдельных этапов в разных случаях может быть различным. Иногда пластической дефррма- ции предшествуют очень небольшая, труднообнаруживаемая упругая деформация; в ряде случаев разрушение наступает после еле заметной пластической деформации. Сам процесс разрушения в одних случаях носит почти внезапный характер, в других ——еще в области остаточных деформаций зарождается разрушение. До зарождения последнего остаточные деформации являются чисто пластическими; после возникновения первых зародышей разрушения в виде микротрещин остаточная деформация складывается из пластической и из элементов разрушения структуры.

Пластическая деформация металла происходит по одному из двух вариантов — либо сколыжением одного слоя атомов по другому, либо двойникованием. При этом, в отличие от упругой де4юр- мации, атомы под влиянием внешних сил переходят из одной позиции устойчивого равновесия в другую.

Разрушение в свою очередь также может происходить по одному из иижепоясняемых путей ——либо посредством среза, либо — отрыва,

Пластическая деформация.

Плоскости скольжения. Под влиянием внешних сил в кристаллографических плоскостях монокристалла возникают напряжения. Когда касательная составляющая напряжения в какой-то из плоскостей достигает некоторой предельной величины, происходит взаимное скольжение по этой плоскости частей кристал-

лов, расположенных по разные от нее стороны. Такая плоскость называется плоскостью скольжения. Скольжение имеет место в каком-то направлении, располагающемся в указанной плоскости, которое называется направлением скольжения. Плоскостью скольжения оказывается плоскость, разделяющая два слоя атомной решетки с наиболее плотно упакованными в них атомами. В слое атомов, параллельном плоскости скольжения, можно найти наиболее плотно упакованные ряды. Проекция линии, расположенной между этими рядами, на плоскость скольжения и является направлением скольжения.

При повышении температуры плоскостями и направлениями скольжения могут стать и некоторые другие плоскости и направления. Наиболее вероятные плоскости скольжения и направления скольжения в чистых металлах приведены в табл. 4.4. Металлы с кубической гранецентрированной решеткой более пластичны, чем с объемноцентрированной. Для каждого металла и каждой его плоскости и,направления характерно так называемое предельное касательное напряжение, при котором возникает скольжение. С другой стороны, в каждой из плоскостей и каждом из направлений в ней под влиянием нагрузки возникает некоторая определённая по величине касательная составляющая полного напряжения. Скольжение в монокристалле возникает в той из плоскостей и в том направлении, в которых касательное напряжение, вызываемое нагрузкой, прежде всего достигает предельной величины.

Скольжение может происходить и сразу по нескольким системам плоскостей и направлений, одинаково предрасположенным к его возникновению.

В монокристаллах с гранецентрированной кубической решеткой, в силу наличия большого числа однотипных потенциальных систем плоскостей и направлений скольжения, добиться такой пластической деформации, в которой скольжение происходит лишь в одной системе кристаллографических плоскостей, затруднительно. Гораздо легче этого добиться в монокристаллах с гексагональной решеткой.

Условие возникновения скольжения в некотором сечении призматического монокристалла, подверженного растяжению, может быть представлено так:

Здесь т —— напряжение, возникающее в сечении монокристалла; оно может быть найдено по формуле

"谕=4"。5 儿 （4.2）

в которой 尸 ——величина сил, растягивающих монокристаллический образец; F — площадь поперечного сечения образца;屮—угол.

составляемый нормалью к сечению с осью образца; К — угол, составляемый направлением скольжения с осью образца; Р cos X —— составляющая силы в плоскости скольжения по направлению скольжения; F/cos 屮一площадь сечения образца в плоскости скольжения; тс — предельное значение касательного напряжения, при котором происходит скольжение. Иногда формулу (4.2) называют законом Шмида.

、 Таблица 44

Тип решетки

кубическая объемно- цеитрнроваиная

кубическая гранецеитриро- ванная

гексагональная плотноупаковаиная

Плоскость скольжения

Количество непа- ,раллельных плоско- :стей сдвига

Направление сколь- :жения

Количество на- правлений скольжения

Общее количество элементов сдвига

Поясняющий рисунок

{U2},{U0}, {123}

6

〈111〉

2

6x2 = 12

{Ui} 4

〈NO〉

3

4x3 = 12

{0001} 1

,<2П0>

3

1X3 = 3

»

Теоретическая оценка предельного значения касательного напряжения. Советский физик Я- И. Френкель 丄)в 1926 г, дал теоретическую оценку тех напряжений, при которых может произойти сдвиг одной части монокристалла по отношению к другой по плоскости и в направлении скольжения.

На рис. 4.10,а изображено исходное (до сдвига) положение атомов.

I) Frenkel J., Zur Theorie der Elastizitatsgrenze und der Festigkeit krls- tallischer Кбгрег, Z. Phys. 37, 572—609 (1926).

Френкель Яков Ильич (1894——1952)——физик-теоретик, работавший, в чаЬт- ности, в области механики твердых деформируемых тел.

4О。创00伙赵U Смещение сРнс. 4.10. К теоретическому определению сопротивления сдвигу по Я- И. Френкелю； а) сдвиг одной атомной плоскости относительно другой; б) напряжение сдвига как функция относительного смещения плоскостей из их равновесных положений [Киттель Ч., Элементарная физика твер- norq тела, Физматгиз, 19651же т. действующее на атом Л4О。创00伙赵U Смещение сРнс. 4.10. К теоретическому определению сопротивления сдвигу по Я- И. Френкелю； а) сдвиг одной атомной плоскости относительно другой; б) напряжение сдвига как функция относительного смещения плоскостей из их равновесных положений [Киттель Ч., Элементарная физика твер- norq тела, Физматгиз, 19651же т. действующее на атом Лk ==k ==Ga2ndGa2ndИтак,Итак,т =т =Ga2ndGa2ndsin——sin——

4О

。创00伙

赵U Смещение с

Рнс. 4.10. К теоретическому определению сопротивления сдвигу по Я- И. Френкелю； а) сдвиг одной атомной плоскости относительно другой; б) напряжение сдвига как функция относительного смещения плоскостей из их равновесных положений [Киттель Ч., Элементарная физика твер- norq тела, Физматгиз, 19651

же т. действующее на атом Л

4О

。创00伙

赵U Смещение с

Рнс. 4.10. К теоретическому определению сопротивления сдвигу по Я- И. Френкелю； а) сдвиг одной атомной плоскости относительно другой; б) напряжение сдвига как функция относительного смещения плоскостей из их равновесных положений [Киттель Ч., Элементарная физика твер- norq тела, Физматгиз, 19651

же т. действующее на атом Л

k ==

k ==

Ga

2nd

Ga

2nd

Итак,

Итак,

т =

т =

Ga

2nd

Ga

2nd

sin——

sin——

Можно считать» что напряжение т при малых смещениях атома связано с этим смещением линейной зависимостью и обратно пропорционально расстоянию между сдвигаемыми слоями атомов:

—G 糸(4.3)

При неограничиваемых перемещениях 无 зависимость т от % имеет вид, показанный на рис. 4.10, 6 графиком. Наибольшее сопротивление сдвигу оказывается при расположении атома А посередине отрезка, представляющего собой проекцию первоначального расстояния между атомами Л и В на плоскость скольжения. Прн расположении атома Л над атомом В сопротивление сдвигу равно нулю, но, при дальнейшем перемещении атома Л вправо по отношению к атому В, вновь возникает сопротивление сдвигу. Однако если на первом участке смещения (0 + а/2) возникало сопротивление сближению атомов Л и В, то на втором (а/2 + а) — возникает сопротивление увеличению расстояния между ними. Именно этим объясняется то, что правее позиции В ординаты на графике т отложены вниз. Направлено

все время в сторону, противоположную движению атома. График зависимости т от х по виду напоминает синусоиду с периодом а; представим эту зависимость в форме

T = ^sin穿.、(4.4)

Предъявим к k требование

(4.5)(4.5)drl =色

(4.5)

(4.5)

dx |х = о ~*

при выполнении которого, при малых смещениях 招 зависимость (4,3) вытекает из (4.4). Из (4.5) находим

Максимальное сопротивление сдвигу равно

при а 比 d,

Величина G, называемая модулем упругости при сдвиге, находится экспериментально.•

В дальнейших исследованиях других ученых, уточнивших закон, который описывает силы межатомного взаимодействия, учтена возможность возникновения при сдвиге других механически устойчивых конфигураций атомных плоскостей в решетке; это позволило снизить теоретическую величину % до значения ”

тс = С/30.(4.6)

Как показывает опыт, фактическая величина сопротивления намного (в 100, а то и в 1000 раз) ниже, чем отыскиваемая по формуле (4.6). Так, например, для железа теоретическая величина сопротивления сдвигу в зависимости от примененной теории колеблется между значениями 230 长厂/小川纟 и Ц00 кПм^, наблюдаемая же в опыте величина равна 2,9 кГ/мм2. У алюминия указанные величины суть 90—430 кГ/мл^ и 0,12—0,24 кГ/мм^, а у меди 154—735 кГ!м^ и 0,1 кГ/лии2. Такое расхождение результатов теории и опыта объясняется тем, что принимаемая в теории идеальная, бездефектная структура атомной решетки монокристалла на самом деле не имеет места. В регулярность решетки монокристалла, как отмечено выше, вносятся те или иные искажения огромным количеством дефектов, ослабляющих монокристалл г).

В н.ешня я картина скольжения в монокристалле.. В монокристаллическом, например, растягиваемом призматическом, образце скольжение происходит не сразу по всем параллельно расположенным плоскостям, находящимся, если не учитывать наличия дефектов, в совершенно одинаковых условиях. На самом деле из всех них плоскостями скольжения оказываются лишь те, в которых ослабление, в силу наличия дефектов, наибольшее. Между плоскостями скольжения располагаются недеформиро- ванные части кристалла, называемые пачками скольжения. Описанная картина д^юрмации характерна для металлов. Именно в них сочетается высокая прочность с большой пластичностью вследствие описанного выше металлического типа связи между атомами, при котором коллективизированные электроны как бы играют роль смазки, облегчающей скольжение. В ряде случаев картина скольжения несколько более сложна.

^ Те ситуации, в которых некоторые дефекты могут упрочнять кристалл, ннж© обсуждаются особо.

Между элементами» проскальзывающими один относительно другого и изображенными на рис. 4.11, находится не одна плоскость скольжения, а тонкий слой, содержащий группу плоскостей скольжения, минимальные расстояния между которыми оказываются порядка тысяч атомных размеров. Между отдельными опачками скольжения смещения достигают величины порядка 1000 А. Число плоскостей скольжения в группе скольжения (порядка единиц или небольшого числа десятков) и расстояния

Ряс. 4.11. Схема сколь- жеиня при растяжении. Следы плоскостей скольжения иа поверхности образца —лнини Чернова —ЛюдерсаРяс. 4.11. Схема сколь- жеиня при растяжении. Следы плоскостей скольжения иа поверхности образца —лнини Чернова —Людерсамежду группами зависят от природы материала, степени деформации и от температуры.

Ряс. 4.11. Схема сколь- жеиня при растяжении. Следы плоскостей скольжения иа поверхности образца —лнини Чернова —Людерса

Ряс. 4.11. Схема сколь- жеиня при растяжении. Следы плоскостей скольжения иа поверхности образца —лнини Чернова —Людерса

Рис. 4.12. Уступы, образующиеся при скольжении пачек в процессе растяжения в случае, когда направление скольжения ие параллельно грани [по мотивам книги: Azdroff L. V. Introduction t(vSolids, 19601Рис. 4.12. Уступы, образующиеся при скольжении пачек в процессе растяжения в случае, когда направление скольжения ие параллельно грани [по мотивам книги: Azdroff L. V. Introduction t(vSolids, 19601Рис. 4.13. Отсутствие уступов Н2. боковой грани призмы, свидетельствующее о том. что направление скольжения параллельно этой грани [по мотивам книги: Az^roff L. V., Introduction to Solids, 1960].

Рис. 4.12. Уступы, образующиеся при скольжении пачек в процессе растяжения в случае, когда направление скольжения ие параллельно грани [по мотивам книги: Azdroff L. V. Introduction t(v

Solids, 19601

Рис. 4.12. Уступы, образующиеся при скольжении пачек в процессе растяжения в случае, когда направление скольжения ие параллельно грани [по мотивам книги: Azdroff L. V. Introduction t(v

Solids, 19601

С увеличением степени деформации и повышением нагрузки число групп уменьшается, а число плоскостей в группе увеличивается.

Смещение по плоскостям скольжения является не единственным видом изменения формы кристалла, находящегося под нагрузкой. Другой вид связан со смещениями по другим плоскостям» называемым плоскостями двойникования, о которых говорится ниже.

Уступы, образующиеся вследствие проскальзывания пачек скольжения (рис. 4.12), малы и воспринимаются не как уступы, а как следы плоскостей скольжения на боковой поверхности монокристалла. Следы скольжения позволяют определить ориентацию плоскостей скольжения, но не направлений скольжения, и лишь в одном случае,- когда грань поверхности монокристалла расположена параллельно направлению скольжения, на ней нет следов (так как нет уступов) и возникает возможность определения направления скольжения (рис. 4ЛЗ).

2Л. Механизм скольжения. В чем же состоит влияние дефектов на уменьшение величины предельного касательного напряжения скольжения и какой из дефектов играет наиболее существенную роль в этом уменьшении?

Рис. 4.14. Дислокация общего вида.Рис. 4.14. Дислокация общего вида.Наиболее существенно облегчают пластическую деформацию дислокации. Уже при сравнительно небольших сдвигающих силах, под влиянием которых ни в коем случае не могло бы произойти смещения одной части монокристалла относительно другой п о

Рис. 4.14. Дислокация общего вида.

Рис. 4.14. Дислокация общего вида.

Рис. 4.15. Скольжение вследствие перемещения дислокаций, происходящее! а) по двум; б) по трем плоскостям, параллельным некоторой прямой.

всему его сечению, лежащему в плоскости скольжения, вполне могут произойти смещения кусков монокристалла лишь в какой-то части указанного сечения. При атом происходит искажение решетки. Фактически сдвиг осуществляется вследствие движения образовавшейся дислокаций (рис. 4.7).

На самом же деле скольжение происходит там, где уже имеются дислокации. Механизм скольжения есть механизм перемещения дислокации. В относительное смещение поочередно вовлекаются различные атомы сдвигающихся слоев. Для такого поочередного вовлечения в смещение требуется сила намного меньшая, чем та, которая нужна для одновременного смещения всех атомов слоя.

Ч. Киттель образно выразил эту мысль так: «Складка перемещается легче, чем весь ковер одновременно, но при перемещении складки имеет место и некоторый сдвиг ковра в целом».-

На рис. 4.7 изображена картина постепенного перемещения даслокации, в результате которого происходит сдвиг пачек кристалла на одно межатомное расстояние.

Линейная и винтовая дислокации являются лишь частными случаями дислокации общего вида, которую можно рассматривать как некоторую кривую, отделяющую в плоскости скольжения сдвинувшуюся часть атомов слоя от еще не сдвинувшейся. На рис. 4.14 Показана дислокация общего вида на одном из этапов ее движения. Интересно отметить, что вблизи точки А дислокация имеет характер линейной дислокации (линия дислокации перпендикулярна

направлению скольжения), а вблизи точки В ——винтовой дислокации (линия дислокации параллельна линии скольжения). Скольжение может происходить не обязательно по одной плоскости, но и по двум и большему числу плоскостей г) (рис. 4.15).

Рис. 4.16. Условия возинкно- вения дислокации (источник Франка — Рида).Рис. 4.16. Условия возинкно- вения дислокации (источник Франка — Рида).2・В・ Источники возникновения дислокаций. Если в монокристалле в процессе приложения к нему внешних сил не возникали бы новые дислокации, то постепенно все имевшиеся в нем дислокации вышли бы на поверхности, после чего скольжение стало бы резко затруднено и металл упрочнился бы. Упрочнение наблюдается в опыте, однако пластичность все же продолжает проявляться все время вплоть до начала разрушения. Следовательно, в самом монокристалле в процессе его нагружения возникают новые дислокации.

Рис. 4.16. Условия возинкно- вения дислокации (источник Франка — Рида).

Рис. 4.16. Условия возинкно- вения дислокации (источник Франка — Рида).

Остановимся на источниках возникновения дислокаций, связанных с нагружением монокристалла. .

В 1950 г. двое ученых, Франк и Рид, независимо один от другого, предложили схему возникновения дислокаций в условиях воздействия нагрузки, стремящейся сдвинуть атомные слои относи

тельно друг друга, и наличия двух точек, в которых дислокация закреплена. Схема образования дислокации по Франку и Риду такова. Пусть имеем монокристалл, на который действуют сдвигающие силы, приложенные вблизи плоскости скольжения (рис. 4.16). Пусть, кроме того, имеются две точки N* и %2, препятствующие смещению дислокации (рис. 4.16 и 4.17, а). Вследствие близости этих точек требуются очень небольшие сдвигающие силы, чтобы произошел сдвиг по площадке в плоскости скольжения, расположенной между ними и отмеченной штриховкой. На рис. 4.17 показаны этапы распространения скольжения; на рис. 4.17,6—первый этап. На каждом следующем этапе (рис. 4,17, 8, a, d) одни и те же силы способны будут вызвать распространение скольжения в пределах еще некоторой площади (отмеченной штриховкой) в пло-

Укажем некоторые источники, посвященные теории дислокаций.

、Коттрелл А. X., Дислокации и пластическое течение в кристалле, Металлургиздат, 1958.

Одинг И. А., Теория дислокаций в металлах и ее применение, Изд-во АН СССР, 1959.

Павлов В. А., Физические основы пластической деформации металлов. Изд-во АН СССР, 1962.：

Р и д В. Т., Дислокации в кристаллах, Металлургиздат, 1957.

Ф о р т и А. Д., Непосредственное наблюдение дислокаций в кристаллах, Металлургиздат, 1956.

Дислокации и механические свойства металлов. Сб. статей, ИЛ, 1961,

скости скольжения (двойной штриховкой отмечена область смещений, произошедших на предыдущих этапах), пока сдвиг не захватит поочерёдно все атомы в слоях, примыкающих к плоскости скольжения. В конце расширения области, ограниченной замкнутой линией дислокации, произойдет смещение атомных слоев, лежащих по разные стороны от плоскости скольжения, на одно межатомное расстояние, и, так как сдвигающие силы продолжают действовать, а в точках N、и N2 дислокации продолжают быть закрепленными, описанный выше процесс повторяется ——всякий раз происходит смещение на одно межатомное расстояние. На рис. 4.14 показана картина искаженной сетки дислокации общего вида. Аналогичная картина имеет место и на линии дислокации, развивающейся из источника Франка — Рида. _

Рис. 4.17. Схема распространения скольжения вследствие движения дислокации, возникшей из источника Франка — Рида.

Дислокации могут возникнуть и от других причин. Например, вследствие подвижности вакансий может образоваться некоторый вакантный участок слоя; тогда остальная часть этого слоя может играть роль экстраплоскости (избыточной плоскости} дислокации при условии, что все вакансии будут заняты атомами соседних слоев и вакантная часть слоя поеледовательно сможет передвигаться к поверхности. Дислокации. могут возникать и вблизи трещин, а следовательно, и концентрацн访 напряжений при сочетании с флуктуацией тепловой энергии атомов.

Упрочнение. Взаимодейст вие дислокаций между собой и с другими дефектами. Если скольжение одной части кристалла по другой поддерживается вновь возникающими дислокациями и ничем ие затормаживается, то без дальнейшего увеличения нагрузки, вызвавшей начало скольжения, после значительных пластических деформаций (сдвиги пачек относительно друг друга, приводящие к значительному общему остаточному удлинению монокристаллического образца) произошло бы разрушение. Однако полного соскальзывания одной части монокристалла по другой может и не произойти ——возникает упрочнение вследствие наличия дефектов, тормозящих или предотвращающих перемещение дислокации. Другой причиной, заторма-

ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 247 живающей скольжение по тем плоскостям, по которым оно происходило в начале пластической деформации, является изменение ориентации плоскостей и направлений скольжения вследствие их поворота (угол, составляемый ими с осью монокристаллического образца при растяжении его уменьшается). Следует, конечно, иметь в виду, что вследствие дефектов, с одной стороны, и поворота пачек, с другой, создаются условия- для возрастания касательных составляющих напряжений по всем плоскостям, где они имеются, в результате чего скольжение может возникнуть по другим, новым кристаллографическим плоскостям и направлениям.

Скольжение в случае линейных (винтовых) дислокаций должно происходить в направлении, перпендикулярном (параллельном) линии (оси) дислокации. Поэтому одной из причин, препятствующих перемещению трех линейных (винтовых) дислокаций, является пересечение в одной точке соответствующих им линий (осей) дислокации, если они не компланарны, так как не существует направления, одновременна перпендикулярного (параллельного) всем трем некомпланарным прямым линиям (осям) дислокаций.

Все процессы, приводящие к уменьшению потенциальной энергии решетки, а это равносильно уменьшению ее искаженности, делают состояние решетки более устойчивым и происходят самопроизвольно. В противоположность этому процессы, влекущие за собой увеличение искаженности решетки, повышают ее потенциальную энёргию.

Исходя из этого общего принципа, легко установить следующее. Линейные дислокации, с параллельными линиями и одной общей плоскостью скольжения, разного знака 】) притягиваются друг к другу, а одного знака — отталкиваются друг от друга. Из рис. 4.18 ясно, что сближение линейных дислокаций разного (одного) знака уменьшает (увеличивает) искаженность решетки. Аналогично дело обстоит и с винтовыми дислокациями разного (одного) знака (рис. 4.19). Если линейные дислокации одного знака с параллельными линиями дислокации, относящимися к общей плоскости скольжения, находятся на таком расстоянии, что зоны вызываемых ими возмущений не перекрываются, то они практически не испытывают взаимного отталкивания.

На рве. 4.20 показана картина искажения решетки, до и после сближения разнозначных линейных дислокаций, расположенных на смежных параллельных плоскостях; в одном случае ——с перекрытием, в другом — с разрывом.

Менее очевидно установление характера взаимодействия между линейными дислокациями одного знака, но относящимися к различным плоскостям скольжения, хотя принцип остается тот же самый.

Знаки у двух линейных дислокаций разные (одинаковые), если экстраплоскости расположены по разные (одну) сторону от плоскости скольжения.

шштптпшштптпЙ4ШШНПН«Я11Й4ШШНПН«Я11IIII

шштптп

шштптп

Й4ШШНПН«Я11

Й4ШШНПН«Я11

II

II

Рис. 4.18. К взаимодействию линейных дислокаций: а) картина искажения решетки в случае двух линейных дислокаций разного знака; б) устранение искаженности решетки после слияния экстраплоскостей линейных дислокаций разного знака; е) картина искажения решетки в случае двух линейных дислокаций одного знака； г) увеличение (по сравнению с изображенной иа &)) искаженности решетки в том случае, если бы две линейные дислокации одного знака сблизились (на самом деле сближения не происходит).

Рис. 4.19. К взаимодействию винтовых дислокаций: а) картина искажения решетки при наличии двух винтовых дислокаций одного знака; б) увеличение (по сравнению с изображенной иа а)) искаженности решетки при сближении винтовых дислокаций одного знака (иа самом деле такого сближения не происходит); в) картина искажения решетки при наличии двух винтовых дислокаций разного знака;.г) устранение искаженности решетки после слияния осей винтовых дислокаций разного знака; / — / и 2—2 — оси винтовых дисл<наций.Рис. 4.19. К взаимодействию винтовых дислокаций: а) картина искажения решетки при наличии двух винтовых дислокаций одного знака; б) увеличение (по сравнению с изображенной иа а)) искаженности решетки при сближении винтовых дислокаций одного знака (иа самом деле такого сближения не происходит); в) картина искажения решетки при наличии двух винтовых дислокаций разного знака;.г) устранение искаженности решетки после слияния осей винтовых дислокаций разного знака; / — / и 2—2 — оси винтовых дисл<наций.г7тг7тб)б)

Рис. 4.19. К взаимодействию винтовых дислокаций: а) картина искажения решетки при наличии двух винтовых дислокаций одного знака; б) увеличение (по сравнению с изображенной иа а)) искаженности решетки при сближении винтовых дислокаций одного знака (иа самом деле такого сближения не происходит); в) картина искажения решетки при наличии двух винтовых дислокаций разного знака;.г) устранение искаженности решетки после слияния осей винтовых дислокаций разного знака; / — / и 2—2 — оси винтовых дисл<наций.

Рис. 4.19. К взаимодействию винтовых дислокаций: а) картина искажения решетки при наличии двух винтовых дислокаций одного знака; б) увеличение (по сравнению с изображенной иа а)) искаженности решетки при сближении винтовых дислокаций одного знака (иа самом деле такого сближения не происходит); в) картина искажения решетки при наличии двух винтовых дислокаций разного знака;.г) устранение искаженности решетки после слияния осей винтовых дислокаций разного знака; / — / и 2—2 — оси винтовых дисл<наций.

г

7

т

г

7

т

б)

б)

Рис. 4.20. К взаимодействию линейных дислокаций разного знака: а) линейные дислокации разного знака с перекрытием иа один узел： 6) картина после слияния дислокаций <изображенных иа а)), / — ряд дислоцированных атомов; в) линейные дислокации разного знака, не доходящие одна до другой на одни узел; а) картина после слинния дисло «аций (изображенных на в)), 2 — ряд вакансий (Рабинович М. X,, Прочность и сверхпрочность металлов, Изд-во АН СССР, 19631.

Характер взаимодействия таких дислокаций определяется отношением alb (рис. 4.21). ,，

В случае наличия линейных дислокаций одного знака на параллельных плоскостях скольжения искаженность получается меньшая при совмещении всех дислокаций в одной плоскости, перпендикулярной плоскостям скольжения (рис. 4.22); такая плоскость называется вертикальной стенкой. .

В результате взаимодействия различным образом ориентированных дислокаций какая-то значительная их часть закрепляется, т. е. становится неподвижной. В монокристалле при этом образуется пространственная сетка дислокаций. Наличие очень

Рис. 4.21. К взаимодействию двух линейных дислокаций одного знака и с разными плоскостями скольжения.Рис. 4.21. К взаимодействию двух линейных дислокаций одного знака и с разными плоскостями скольжения.Ряс. 4.22. К взаимодействию линейных дислокаций одного знака на параллельных плоскостях Скольжения: а) картина дислокаций; 6) картина совмещения всех линейных дислокаций в одной плоскости.Ряс. 4.22. К взаимодействию линейных дислокаций одного знака на параллельных плоскостях Скольжения: а) картина дислокаций; 6) картина совмещения всех линейных дислокаций в одной плоскости.

Рис. 4.21. К взаимодействию двух линейных дислокаций одного знака и с разными плоскостями скольжения.

Рис. 4.21. К взаимодействию двух линейных дислокаций одного знака и с разными плоскостями скольжения.

Ряс. 4.22. К взаимодействию линейных дислокаций одного знака на параллельных плоскостях Скольжения: а) картина дислокаций; 6) картина совмещения всех линейных дислокаций в одной плоскости.

Ряс. 4.22. К взаимодействию линейных дислокаций одного знака на параллельных плоскостях Скольжения: а) картина дислокаций; 6) картина совмещения всех линейных дислокаций в одной плоскости.

большого числа дислокаций приводит не к облегчению пластических деформаций скольжения, а к воспрепятствованию их. Движение дислокации тормозится не только взаимным влиянием, но и наличием других несовершенств монокристалла, - например наличием примесей в виде атомов] внедрения или замещения, искажающих решетку. Дислокация при своем движении, как бы «переползая» через такие препятствия, все же «затормаживается» ими. Упрочнение обнаруживается в монокристалле металла при плотности порядка 108 дислокаций/см2.

Пластическая деформация в форме двойникования. Представим себе кристалл, подвергнутый воздействию сил, показанных на рис. 4.23, а. При таком воздействии может произойти скольжение всех слоев относительно друг друга, но может случиться, что в какой-то из плоскостей между слоями возникнут препятствия для перемещений. Тогда слои в части кристалла, расположенной по одну сторону от этой плоскости» переместятся каждый относительно соседнего, а ниже этой плоскости никаких перемещений не будет (рис. 4.23, б). Такая пластическая деформация кристалла называется двойникованием. Для возникновения двойникования, кроме отмеченного выше условия, необходимо, чтобы переход слоев из одного положения в соседнее осуществлялся путем преодоления незначительного энергетического-

барьера, меньшего, чем барьер, отделяющий рассматриваемое состояние кристалла от разрушения. Двойникование может происходить лишь параллельно плоскостям, энергетически к нему предрасположенным, и при этом ступенчато, что обнаруживается при рассмотрении кристалла в плоскости, перпендикулярной плоскости двойникования.

Когда к кристаллу прикладывается растягивающая его нагрузка, вызывающая в какой-то атомной плоскости некоторый касательный компонент, то такой же компонент возникает во всех плоскостях, параллельных указанной. В некоторых из этих плоскостей в силу наличия дефектов сопротивление двойникованию оказывается меньшим, чем в остальных. Именно между этими наиболее ослабленными сечениями и возникает двойник. Каждый двойниковый слой продолжает под нагрузкой утолщаться до тех пор, пока на его пути не встретится помеха, препятствующая дальнейшему перемещению атомов. Случается часто, что энергия, требуемая для преодоления этого препятствия, больше необходимой для двойникования, вследствие этого в другой части кристалла возникает двойникование ——появляется новый слой двойника, вместо продолжения роста предыдущего слоя.

Деформированный кристалл содержит несколько параллель- образование двойников механиче

б)

ОООО ОООО ОООО ОООО ОООО

ОООО ОООО ооое/ ОООО

ОООО

Ри9« 4.23. Пластическая деформация, про- 'исходящая посредством двойникования： а) характер деформации образца; f) дискретная картина, 1 — плоскость двойни-

кования.

ных двойниковых слоев. Иногда

ской деформацией сопровождается резкими шумами, указывающими на иммульсивность процесса.

Деформация двойникования кристалла металла аналогична процессу скольжения. Плоскости двойникования в кристаллах различного типа показаны в табл. 4.5.

Атомы перемещаются один за другим в параллельных слоях, при этом величина перемещений возрастает с увеличением расстояния от плоскости двойникования (рис. 4.23, б).

На рис. 4.24 показано перемещение в плоскости (111) гранецентрированной кубической решетки; изображены два соседних слоя (111) (атомы, принадлежащие одному из них, показаны при помощи черных кружков). Картина деформации показана на

рис. 4.24, а (стрелками изображены перемещения); двойникованная структура представлена на рис. 4.24, б.

Проекция кубической объемноцентрированной решетки на плоскость сдвига т) показана на рис. 4.25. Перемещения атомов параллельно [III] по одну сторону от плоскости двойникования показаны стрелками (имеют разные длины).

Таблица 4.5

Тип решетки

кубическая объемноцент- рнрованная

кубическая гранецентрированная

гексагональная плотно- упакованная

Плоскость двойникования

Направление двойникования

{Н2}

<1Н>

{111}

{1012}

В металлах с гранецентрированной кубической решеткой двойникование происходит в плоскостях, параллельных плотно упакованным слоям {111}- Так как два эквивалентных соседних взаимных положения плотно упакованных слоев отделены, друг от друга минимальным расстоянием, энергетический барьер между ними

夕。о 0^О о о、、、• • • •О О о оо о о о%• • • ООО、、、О О о о• • • •О ООО• • • ООО夕。о 0^О о о、、、• • • •О О о оо о о о%• • • ООО、、、О О о о• • • •О ООО• • • ОООРис. 4.24. Перемещение соседних слоев атомной решетки при двойниковании кристалла с кубической гпаиецентрированной решеткой; а) до перемещения, б) после перемещения [Azdroff L. V., Introduction to Solids, i960].Рис. 4.24. Перемещение соседних слоев атомной решетки при двойниковании кристалла с кубической гпаиецентрированной решеткой; а) до перемещения, б) после перемещения [Azdroff L. V., Introduction to Solids, i960].Ряс. 4.25. Проекция кубической объемноцентрированной решетки на плоскость сдвига AzAro" L. V., Introduction to Solids, i960].Ряс. 4.25. Проекция кубической объемноцентрированной решетки на плоскость сдвига AzAro" L. V., Introduction to Solids, i960].

夕。о 0

^О о о

、、、

• • • •

О О о о

о о о о

%

• • • ООО

、、、

О О о о

• • • •

О ООО

• • • ООО

夕。о 0

^О о о

、、、

• • • •

О О о о

о о о о

%

• • • ООО

、、、

О О о о

• • • •

О ООО

• • • ООО

Рис. 4.24. Перемещение соседних слоев атомной решетки при двойниковании кристалла с кубической гпаиецентрированной решеткой; а) до перемещения, б) после перемещения [Azdroff L. V., Introduction to Solids, i960].

Рис. 4.24. Перемещение соседних слоев атомной решетки при двойниковании кристалла с кубической гпаиецентрированной решеткой; а) до перемещения, б) после перемещения [Azdroff L. V., Introduction to Solids, i960].

Ряс. 4.25. Проекция кубической объемноцентрированной решетки на плоскость сдвига AzAro" L. V., Introduction to Solids, i960].

Ряс. 4.25. Проекция кубической объемноцентрированной решетки на плоскость сдвига AzAro" L. V., Introduction to Solids, i960].

очень мал. Силы, позволяющие продолжать двойникование, также малы, вследствие чего двойник не. может получиться очень толстым при продолжении деформирования. Наоборот, более вероятно, что многие двойники содержат всего лишь несколько атомных слоев. Вследствие этого в промежутках между двойниками возникают пачки смещения, этим объясняется и то, что деформация двойнико-

1) Плоскостью сдвига называем плоскость, нормальную к плоскостям перемещений и содержащую направление перемещений.

вания не встречается заметной толщины в металлах с гранецентрированной кубической решеткой ')•

Двойники легче образуются при низких, температурах, так как сопротивление скольжению при понижении температур увеличивается и вероятность возникновения скольжения уменьшается. Так же как и в случае скольжения, если ничто не затормаживает двойникования, последнее заканчивается разрушением, имеющим пластический характер.

Пластическаядеформация ползучести. В некоторых случаях пластическая деформация происходит ^аже при напряжениях, вызванных внешней нагрузкой, меньших по величине, чем предельные напряжения скольжения. Такой тип деформации называется ползучестью- Объяснение ему можно дать такое. Энергия, йеобходимая для перемещения дислокации, сверх той, которая обеспечивается внешними силами, связана с упругими тепловыми колебаниями атомов. Она поступает в виде квантов энергии упругих колебаний, называемых фононами. Постольку, поскольку суммарное число взаимодействий, необходимых для сообщения подвижности дислокаций, велико, при обыкновенной температуре ползучесть происходит медленно.

3； Разрушение.

Разрушение от среза. В тех случаях, когда после возникновения пластических деформаций, происходящих либо посредством скольжения, либо двойникованием, нагрузка продолжает расти и преодолевает возрастающее сопротивление пластическим деформациям, процесс завершается разрушением, происходящим в форме соскальзывания одной части монокристалла по другой. Такое разрушение называют разрушением от среза; оно, как и пластическая деформация, вызывается касательными напряжениями.

Получить разрушение от среза без предшествовавших ему пластических деформаций не удается; однако можно указать случай, относящийся к поликристаллическому металлу ——прессованный магний и сплавы на егб основе,——в котором разрушение от среза происходит после очень малой пластической деформации.

Разрушение о т отрыва. Может случиться, что, до того как возникнут условия для скольжения или двойникования, нормальная составляющая напряжения в некоторой плоскости, называемой плоскостью отрывау достигнет предельного значения, при котором преодолеваются силы взаимодействия между атомами, лежащими по разные стороны от указанной плоскости, и направленные нормально к последней. В таком случае монокристалл разрушается вследствие отрыва одной его части от другой. Отрыву предшествуют весьма небольшие чисто упругие деформации, обуслов-

】)Двойникование кристаллов обсуждается в книге: Классен-Неклю д о в М. В., Механическое двойникование кристаллов. Изд-во АН СССР, I960,

ленные увеличением расстояний между атомами в направлении, перпендикулярном плоскости отрыва. Характер такого разрушения хрупкий. Во всех плоскостях, параллельных плоскости отрыва, в идеальном случае картина должна была бы наблюдаться одинаковая и монокристалл должен был бы распасться на отдельные атомные слои. На самом деле этого не происходит и разрыв осуществляется по одной плоскости отрыва ——именно той, в которой вследствие наличия дефектов преодоление сил межатомного взаимодействия происходит до того, как это могло бы произойти в остальных, параллельных ей плоскостях. Плоскости отрыва обычно располагаются в решетке между атомными слоями, наиболее удаленными друг от друга. . ,

Определение сопротивления отрыву может быть произведено теоретически, но при этом указанная величина получается в сотни раз выше наблюдаемой в опыте, вследствие наличия дефектов, теплового движения, поверхностных явлений и т. п. не учитываемых в теории факторов.

Некоторые авторы склонны считать, что и разрушению от отрыва предшествует некоторая, очень незначительная пластическая деформация. Для некоторых металлов (Pb, Al, Си, Ni, FeY) получить разрушение путем отрыва не удалось.

Некоторые общие замечания о разрушении. Разрушение не является мгновенным актом, оно начинает возникать ен^е до появления видимых трещин; последним предшествует образование микротрещин или некоторое «разрыхление» структуры. Именно этим объясняется то, что термины «остаточная деформация после разрушения» и «пластическая деформация» не являются синонимами. В состав остаточной деформации после разрушения кроме пластической деформации входят удлинения за счет образования микротрещин и разрыхления структуры.. В тех случаях, когда образец разгружен до возникновения в нем первых изменений, относящихся к разрушению, остаточная деформация совпадает с пластической (имеется в виду, что упругое последействие при разгрузке исчерпано; в противном случае в первый момент после разгрузки природа «остаточной» деформации может быть упруго-пластической).

Указанная выше классификация типов разрушения не является совершенно строгой. Так как в процессе разрушения изменяется напряженное состояние, т. е. изменяются условия, определяющие тип разрушения, картина осложняется. Поэтому правильнее говорить о типе начальной картины разрушения.

4. Резюме о характере деформации и разрушения монокристалла. Когда монокристалл напряжен выше предела упругости, мыслима пластическая деформация, которая происходит либо скольжением, либо двойникованием в зависимости от того, к какому из этих двух

видов имеется большее предрасположение. Последнее зависит от взаимного расположения плоскостей и направлений скольжения (двойникования) и направления действия внешних сил.

Переход от упругой деформации к пластической в монокристалле происходит резко. Предел текучести имеет ф и з и ч е с к и й (не просто феноменологический) смысл. При этом нарастание сопротивления начальным пластическим деформациям очень невелико, практически равно нулю; именно поэтому в ряде случаев имеется площадка текучести. С увеличением пластических деформаций происходит затормаживание их роста вследствие наличия дефектов, препятствующих перемещению дислокаций (упрочнение). Сопротивление пластическим деформациям с возрастанием нагрузки всегда повышается; что же касается модуля упрочнения^ т. е. daHCT/deHCT, то за пределами площадки текучести с увеличением напряжений величина его уменьшается. При возрастании внешних сил пластическая деформация может перейти в процесс разрушения. Разрушение может наступить после значительных пластических деформаций и при достаточно высоких напряжениях. В этом случае говорят, что материал обладает большой пластичностью^и высокой прочностью.

Кроме отмеченных двух путей протекания пластической деформации, переходящей при возрастании нагрузки в пластическое разрушение (от среза), мыслим и иной характер работы материала, при котором после упругих деформаций до возникновения или после ничтожно малых пластических деформаций возникает разрушение от-отрыва. То, что пластическое или хрупкое поведение материала зависит от взаимного расположения в пространстве направления действия сил и плоскостей отрыва, скольжения и двойникования, а также направлений скольжения и двойникования и величин предельных напряжений скольжения, двойникования и отрыва, можно проиллюстрировать таким примером. Монокристаллический цинковый стержень в случае, если ось его составляет 45° с плоскостями скольжения, обнаруживает очень большую пластичность — к моменту разрыва его можно растянуть в 10 и более раз. Если же в монокрметаллическом цинковом стержне ось его составляет отказанными выше плоскостями 90°, то разрушение происходит, как у чисто хрупкого материала.

Упругая и пластическая деформацияи разрушение поликристаллического металла

Физический и феноменологический подход к теории поликристаллического металла. Сказанное в предыдущем параграфе относительно монокристалла может быть применено к отдельному зерну поликристаллического металла, но с теми ограничениями и модификациями, которые вытекают из отличия. условий, в койх находится зерно поликристаллического металла и монокристалл.

В описании же поведения всего поликристалла, намного более сложного, чем монокристалл, и в построении теории пол икр металл иче- ского тела в какой-то мере используется вся теория моно^исталла. При этом приходится привлекать аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Вполне сложившейся, хорошо объясняющей все важнейшие факты, теории поликристаллического металла до сих пор не существует. В связи с этим пока, ввиду сложности, приходится отказываться от теории, учитывающей дискретную природу материи, и довольствоваться чисто внешними проявлениями свойств и зависимостей между напряжениями, деформациями и другими величинами, обнаруживаемыми в макроскопическом опыте. Такой подход, как уже отмечалось, называется феноменологическим. Несмотря на его несовершенство, именно ему мы обязаны имеющимися на сегодня достижениями в механике твердого дефор мир уемого тела. Во многих случаях и в будущем не потребуются изменения в подходе, однако &ряде областей учет дискретности строения материи, использование, достижений физики твердого тела, квантовой механики и статистической механики позволят получить исключительно важные для практики результаты теории. Континуальные теории, не рассматривающие структурные, единицы материи, не обязательно основываются на феноменологии. Можно отметить такое направление континуальной теории, в основе которого лежат объекты дискретной природы. К этому направлению принадлежит, например, континуальная теория дислокаций. Ниже приводятся некоторые соображения и сведения о поликристаллическом металле ')・

2・ Упругая деформация поликристалла. В упругой области основное отличие, деформации монокристалла и поликристаллического металла состоит в том, что монокристалл анизотропен, а поликристалл квазиизотропен. -

В целом внешнее различие между поведением монокристалла и поликристаллического металла в области упругих деформаций меньше, чем в области пластических. •

3・ Механизм пластической деформации в поликристаллическом металле. Свойства поликристаллического металла, как уже отмечалось, зависят от свойств зерен и соединения их между собой.

Пластическая деформация поликристаллического металла происходит за счет пластической деформации зерен. Перемещения по границам зерен имеют второстепенйое значение. Эти перемещения

К р е н е р Э., Общая континуальная теория дислокаций н собственных напряжений, пер. с нем. А. А. Вакуленко под ред. Г. И. БаренблаттЯ) «Мнр», 1965 (библ. 75 названий).

Э ш е л б и Дж., Континуальная теория дислокаций, пер, с англ. А. Л. Ройтбурда под ред. Б. Я- Любова, ИЛ, 1963 (библ. 195 названий),

Миркин Л. И., Физические основы прочности и пластичности (Введение в теорию дислокаций), Изд-во МГУ, 1968 (библ. 289 названий).

происходят лишь в силу изменения взаимного расположения зерен в процессе взаимного перемещения их частей. Преодоление связей на границах зерен влечет за собой хрупкое разрушение. Постольку, поскольку ориентация плоскостей, в которых з^рно предрасположено иметь скольжение, ил и двойникование, по отношению к направлению внешней нагрузки в разных зернах различна, не все они сразу вступают в пластическую деформацию. В первую очередь подвергаются ей те зерна, в которых расположение вероятных плоскостей скольжения (двойникования) относительно направления внешних сил наиболее благоприятствует возникновению пластической деформации. Предел текучести поликристалла может быть подсчитан методами математической статистики достаточно удовлетворительно. Наибольшее число зерен, одновременно включающихся в пластическую деформацию посредством скольжения, наблюдается в поликристаллическом металле, зерна которого имеют кубическую гранецентрированную решетку, ввиду того, что число плоскостей и направлений скольжения в кристаллах с такой решеткой велико. Этим объясняется и то, что характер протекания пластической деформации в монокристалле ближе к такому характеру в поликристаллическом металле с указанной кристаллической решеткой, чем в случае иных решеток. Постепенно, по мере увеличения напряжений, в пластическую деформацию вступают и другие зерна с менее благоприятной для нее ориентацией.

Пластическая деформация поликристалла в целом возможна лишь в случае перехода скольжения (двойникования) из одного зерна в другое, соседнее с ним, так как в противном случае ступеньки, без которых не мыслимо ни скольжение, ни двойникование, не могли бы выйти на границу зерна. Выход ступенек в зерне к его границе в ряде случаев происходит вследствие того, что дислокация, дойдя до границы зерна, может вызвать возникновение дислокации в соседнем зерне.

Такое возникновение дислокаций в зернах имеет место в связи с нажатием пачек скольжения соседнего зерна и образованием на границе некоторого дефекта, например микротрещины, приводящей к концентрации напряжений, которая в комбинации с флуктуак- цией тепловых колебаний Способна зародить новую дислокацию в соседнем зерне. Чем значительнее разориентация кристаллитов, тем затруднительнее переход дислокации из одного из них в другой.

При малых пластических деформациях упрочнение, происходящее в поликристалле за счет границ между зернами и разориенти- ровки, значительно выше, чем у монокристалла. При больших же пластических деформациях эта разница в упрочнениях моно н поликристалла уменьшается.

Упрочняющая роль дефектов. Таким образом происходит переход пластической деформации из одного зерна в другое, и ею захватывается целая область поликристаллического металла. Вместе

Рис. 4,2в. Микроструктура сплава (65% Си и 35% Zn). Образец растянут при напряжении 0,1 кГ/мм*. Видиы пятиа травления в местах выхода дислокаций на линнн скольжения. [Рабинович М. X., Прочность и сверхпрочность металлов.Изд-во АН СССР, 19631Рис. 4,2в. Микроструктура сплава (65% Си и 35% Zn). Образец растянут при напряжении 0,1 кГ/мм*. Видиы пятиа травления в местах выхода дислокаций на линнн скольжения. [Рабинович М. X., Прочность и сверхпрочность металлов.Изд-во АН СССР, 19631

Рис. 4,2в. Микроструктура сплава (65% Си и 35% Zn). Образец растянут при напряжении 0,1 кГ/мм*. Видиы пятиа травления в местах выхода дислокаций на линнн скольжения. [Рабинович М. X., Прочность и сверхпрочность металлов.

Изд-во АН СССР, 19631

Рис. 4,2в. Микроструктура сплава (65% Си и 35% Zn). Образец растянут при напряжении 0,1 кГ/мм*. Видиы пятиа травления в местах выхода дислокаций на линнн скольжения. [Рабинович М. X., Прочность и сверхпрочность металлов.

Изд-во АН СССР, 19631

с тем очевидно, что поверхности раздела (границы между блоками мозаичной структуры, границы между зернами) упрочняют металлы, препятствуя продвижению дислокаций. Этим объясняется большая прочность мелкозернистого поликристаллического металла, чем крупнозернистого. Дислокации, относящиеся к общей для них плоскости скольжения, задерживаясь поверхностью раздела, скапливаются у последней, однако, будучи одного знака, они не могут • подойти друг к другу сколь угодно близко и располагаются в плоскости скольжения у границы зерна на некоторых расстояниях друг от друга, увеличивающихся при удалении от границы зерна. Такое скопление называется горизонтальной группировкой дислокаций. Это явление обнаруживается на микрошлифах (рис. 4.26), на которых в местах выхода дислокаций на следы плоскостей скольжения имеются пятна травления.

Атомы примесей, находящихся как в растворенном состоянии в основном металле (раствор внедрения или замещения), так и в виде включений с границей раздела, тормозят перемещение дислокаций. Степень этого торможения зависит от размеров включения и их числа. Дислокация, перемещаясь, как бы захватывает с собой атомы примесей, образуя вокруг себя «облака» примесей, которые, тормозя движение дислокации, приводят к упрочнению материала; если

при этом дислокация «вырывается» из таких облаков, то происходит резкое понижение сопротивления пластической деформации, обнаруживаемое на диаграмме напряжений в виде《зуба》в районе площадки текучести (《зуб текучести^.

Два типа разрушения поликристаллического металла. Поли- кристаллический металл в растягиваемом образце, как и монокристалл, разрушается либо от отрыва (хрупкое разрушение), либо от среза, завершающего пластическую деформацию), в зависимо-

сти от того, какая ориентация решетки в зернах по отношению к внешней силе преобладает — та, которая способствует возникновению отрыва, либо та, которая характерна для возникновения пластической деформации '). Из двух возможных реализуется одна схема разрушения в зависимости от того, какое из сопротивлений меньше ——отрыву или срезу. В обоих случаях разрушение представляет собой усредненное проявление процесса разрушения зерен.

Рис. 4.27. Увеличенные продольные сечеиня образца вблизи «плоскости отрыва>. перпенднкуляр иой оси образца.Рис. 4.27. Увеличенные продольные сечеиня образца вблизи «плоскости отрыва>. перпенднкуляр иой оси образца.В частности, разрушение от среза пол и кр исталл ического металла складывается из срезов отдельных зерен подобно тому, как пластическая деформация поликрметаллического металла является следствием пластической деформации зерен, включая сюда изменение формы их границ. В общем срезе разрушение по границам не принимает участия. Напротив, в разрушении от отрыва удельный вес разрушения по границам зерен может быть велик.

Рис. 4.27. Увеличенные продольные сечеиня образца вблизи «плоскости отрыва>. перпенднкуляр иой оси образца.

Рис. 4.27. Увеличенные продольные сечеиня образца вблизи «плоскости отрыва>. перпенднкуляр иой оси образца.

б)б)Иногда для того, чтобы получить разрушение от отрыва, приходится создавать специальные условия: низкие температуры, надрезы, динамические воздействия. Уже говоря о разрушении монокристалла, мы отмечали

б)

б)

условность разграничения разрушения на два типа; это же можно в еще большей мере сказать о разрушении поликристаллического металла. В особенности затруднительно провести границу при сложном напряженном состоянии, возникающем, в частности, в образцах с надрезами, да и в гладких образцах после образования шейки.'

Разрыв образца может рассматриваться происходящим по плоскости, перпендикулярной его оси, однако при большом увеличении обнаруживается характер разрушения, показанный на рис. 4.27, а. Вблизи надреза в образце или шейки, образующейся при растяжении образца, касательные напряжения, в силу концентрации, намного превосходят величины их в других областях образца; вследствие этого срезы происходят не повсеместно, а именно в ослабленном сечении. Если же испытывать образец при очень низкой температуре, плоскость при большом увеличении имеет вид, показанный на рис. 4.27, 6.

Существует ряд теорий, в которых ставится цель описать качественно и количественно наступление предельного состояния (раз-

личившотся напряжения, в частности нормальные составляющие по потенциальным плоскостям отрыва, вплоть до разрушения от отрыва. Надо иметь в виду, что при этом наклеп, предшествующий отрыву, увеличивает сопротивление ему.

ij Механизм хрупкого разрушения подробно обсуждается в книге: К а с а т - кин Б. С., Структура и микромеханизм хрупкого разрушения стали, «Тех- HHKa»j Киев, 1964.

рушение или развитие пластической деформации) в поликристаллическом агрегате. Эти теории, как правило, основываются на континуальных феноменологических понятиях, они не отражают сложной структуры пол и кр металл ически х агрегатов и сложных процессов, происходящих в них. Такие теории можно называть механическими теориями предельного состояния .(в литературе их называют теориями прочности). Изложению этих теорий посвящена глава VIII.

Два вида предельных состояний. При определении одним общим термином двух понятий (возникновения пластической деформации и разрушения} представляется удобным использовать термин предельное состояние.

Для каждого конкретного случая интерес представляет лишь одно из двух указанных предельных состояний； Если в материале до разрушения возникают заметные пластические деформации, то именно это возникновение будем считать предельным состоянием материала, тем более что-отделить вязкое разрушение от течения часто вполне допустимо. Если же разрушение наступает без предшествующих заметных пластических деформаций, то в качестве предельного состояния материала будем считать разрушение.

Изучение законов пластической- деформации намного сложнее, чем упругой. В особенности эта сложность возникает при рассмотрении больших пластических деформаций. В этом случае все зависимости, описывающие их, нелинейны и часто даже трудносоставимы. Явление усложняется следующими обстоятельствами: возникновением при больших пластических деформациях анизотропии; физикохимическими превращениями, в особенности в неравновесных сплавах； невозможностью рассматривать процесс приложения нагрузки как простое нагружение, при котором все силы изменяются пропорционально одному монотонно возрастающему параметру.

Начальные напряжения

В материале кроме тех внутренних сил (напряжений), которые вызваны внешней нагрузкой и уравновешивают ее в любом бесконечно малом элементе тела, могут быть и другие — самоуравнове- шенные внутренние силы (напряжения), существующие и в ненагру- женном теле. Такие напряжения называют начальными. Начальные напряжения в связи с природой их возникновения иногда в литературе носят название остаточных, собственных или внутренних. Два последних термина подчеркивают самоуравновешенность этих напряжений внутри тела. Начальные напряжения играют исключительно большую роль во многих явлениях, происходящих в поли- кристаллических телах в процессе их деформирования. Начальные напряжения появляются либо в процессе самого изготовления элемента или конструкции (например, в процессе остывания отливки,

в процессе проката изделия и остывания его после проката, в процессе соединения частей конструкции посредством сварки и т. п.), либо во время эксплуатации конструкции (например, в результате изгиба балки с доведением напряжений до величины, превышающей предел текучести, и последующей разгрузки).

Можно пояснить возникновение остаточных напряжений, уравновешивающихся и в небольших объемах.

Кристаллиты расположены в металле хаотически. У некоторых из них ориентация такова, что при действии растягивающей на

грузки на образец в них,грузки на образец в них,Рнс. 4.28. К возникновению остаточных напряжений при иа- гружении и разгрузке поли- кристаллического агломерата [Стрелецкий Н. С.» Гениев А. Н., Балдни В. А., Белеия Е. И., Лессииг Е. Н., Стальные конструкции, Стройиздат, 1952].Рнс. 4.28. К возникновению остаточных напряжений при иа- гружении и разгрузке поли- кристаллического агломерата [Стрелецкий Н. С.» Гениев А. Н., Балдни В. А., Белеия Е. И., Лессииг Е. Н., Стальные конструкции, Стройиздат, 1952].при данном направлении внешних сил, пластические деформации происходят в первую очередь (в таких кристаллитах не успевают развиться большие напряжения). В других кристаллитах эти деформации происходят в последнюю очередь, в них возникают большие напряжения. Диаграмма напряжений, записываемая при испытании образца, является осредненной для всего множества кристаллитов. Если же на нее наложить диаграммы для отдельных кристаллитов, то они не совпадут с нею. На рис. 4.28 линия О АВС — диаграмма напряжений для образца, линия Оа^^ (Оа262c2)——диаграмма напряжений для кристаллита, в котором пластические деформации начались рано (поздно). Поскольку кристаллиты между собой связаны и не могут деформироваться неза

грузки на образец в них,

грузки на образец в них,

Рнс. 4.28. К возникновению остаточных напряжений при иа- гружении и разгрузке поли- кристаллического агломерата [Стрелецкий Н. С.» Гениев А. Н., Балдни В. А., Белеия Е. И., Лессииг Е. Н., Стальные конструкции, Стройиздат, 1952].

Рнс. 4.28. К возникновению остаточных напряжений при иа- гружении и разгрузке поли- кристаллического агломерата [Стрелецкий Н. С.» Гениев А. Н., Балдни В. А., Белеия Е. И., Лессииг Е. Н., Стальные конструкции, Стройиздат, 1952].

висимо, образуя статически неопределимые системы, при разгрузке в них возникают остаточные напряжения о累т и о^т・ Причиной начальных напряжений могут служить не только такие дефекты, как

поверхности раздела и разориентировка, но и ряд других.

*Н. Н. Давиденков ^) предложил классифицировать начальные напряжения по признаку размера объема, в пределах которого они самоуравновешиваются. Различают начальные напряжения I, II и III родов.

Напряжения / рода самоуравновешиваются в пределах всего тела (см., например, § 3.12). Напряжения I рода в случае удаления части изделия (просверливание отверстия) или разреза, например кольца, влекут за собой изменение формы всего изделия — отверстие может перестать быть круглым, разрезанное кольцо может перестать быть плоским и замкнутым. Эти же напряжения вызывают

1) Давиденков Николай Иванович (1879—1960)——советский ученый, работавший в области механики твердого деформируемого тела.

коробление и растрескивание изделий,, например изделий из древесины, испытывающей усушку.

Напряжения II рода уравновешиваются в пределах отдельных зерен металла или их частей (блоки мозаичной структуры, пачки скольжения) и возникают, в частности, в процессе образования соответствующих структурных единиц и стеснения их деформаций.

Напряжения /// рода уравновешиваются в еще меньших объемах (группа атомов) и связаны с дефектами атомной решетки в окрестности дислокаций, как линейных, так и винтовых, и другими дефектами. Напряжения I, II и III родов исследуются рентгеновским методом 1).

Влияние начальных напряжений II и III родов на суммарное поле напряжений (начальные напряжения II и III родов плюс напряжения от нагрузки) невелико, деформации изделия в связи с ними не происходит. Но эти напряжения весьма существенно влияют на ряд механических и физических свойств материала, в частностиf именно эти напряжения, возникая, при пластической деформации, вызывают упрочнение металла. С остаточными напряжениями связан и так называемый эффект Баушингера.

Эффект Баушингера )

После того как материал испытал воздействие осевого усилия одного знака (например, растяжения) в области пластических де

формаций сопротивляемость этого материала пластической деформации при воздействии сил другого знака (в рассматриваемом случае — сжатия) понижается. Это явление, сформулированное в терминах напряжений, носит название эффекта Баушингера.

На рис. 4.29 показана упрощенная диаграмма, илл юстр ир уюта я эффект Баушингера. Диаграмма относится к материалу с неярко выраженной площадкой текучести. Упрощение состоит в аппроксимации

криволинейного участка диаграммы выше

предела пропорциональности прямой ТС (участок ТС носит название линейного упрочнения). Эффект Баушингера состоит в том, что абсолютное значение напряжения, соответствующего точке

Т1( оказывается меньше, чем. напряжения, соответствующего Т 4 o「J V о)

Рассмотрение рис. 4.29 показывает полную аналогию его с рис. 3.20.身о объясняется аналогией и механической природы тех явлений, к которым относятся рисунки. .

В системе связанных между собой кристаллитов (см. § 4.5) после нагружения тела, до возникновения в некоторых кристаллитах пластических деформаций (стесняемых соседними кристаллитами) и разгрузки, возникают остаточные напряжения, подобно тому как имеют место остаточные усилия в статически неопределимой системе (§ 3.12).

При приложении к телу нагрузки противоположного, по сравнению с ранее имевшей место, знака возникшие уже в теле начальные напряжения снижают сопротивление пластическим деформациям, аналогично тому как это происходит в статически неопределимой системе (§ 3.13).

§ 4,7. Сплавы и диаграммы состояния

В сплавах, полученных на основе различных металлов, происходят разнообразные процессы в связи с теми или иными внешними воздействиями: изменением температурного режима, изменением химического состава у поверхности в присутствии химических агентов и т. п. Почти все эти процессы существенно влияют на механические свойства сплавов. Вместе с тем природа указанных процессов не может быть уяснена без рассмотрения так называемых диаграмм состояния сплавов. В связи с этим в настоящем параграфе приводятся весьма краткие о них сведения.

Как известно, сплавы — это сложные материалы, получаемые из более простых — компонентов. Существуют сплавы однородные, состоящие из одной фазы (фаза ——физически однородное тело —— твердый взаимный раствор или химическое соединение компонентов), и неоднородные, представляющие собой смеси, которые состоят из двух или большего количества твердых фаз. Характер взаимодействия компонентов определяется составом и границами существования фаз в интересующей области температур. Наибольшая наглядность обеспечивается диаграммами состояний, если число компонентов равно двум (бинарная система) или, в крайнем случае, трем； последнего случая касаться не будем.

Диаграмма состояния или фазовая ^идгражжа бинарной системы— геометрическое место точек (точки Чернова 】))，соответствующих

Точки Чернова — точки остановки приращения температуры при непрекра- щающейся подаче тепла к сплаву; им соответствуют: перекристаллизация в связи с аллотропическим изменением; начало и конец перехода из твердой фазы в жидкую; изменение магнитных свойств и т. п.

равновесию двух фаз (равновесие трех фаз возможно лишь в отдельных точках) в системе осей процентное содержание одного из компонентов в сплаве — температура сплава. По каждую сторону от точки Чернова (при температурах, больших или меньших температуры точки Чер нова) имеет место устойчивость одной 'из двух разных фаз.

На вид диаграммы состояния оказывает влияние ряд факторов, из них основные:

Полная (неполная) растворимость или нерастворимость компонентов как в твердом, так и в жидком состояниях.

Наличие (отсутствие) полиморфных модификаций у компонентов.

Наличие (отсутствие) химических соединений у компонентов.

Характер плавления химического соединения: конгруэнтный —без изменения химического состава при плавлении и инкон- груэнтный ——с распадом при плавлении на жидкость и твердую фазу, отличающиеся по составу от исходного твердого вещества.

Каждой точке диаграммы соответствует температурная критическая" точка на кривой охлаждения или нагревания сплава, с соответствующим содержанием компонентов А и В. -

В табл. 4.6 показаны типы диаграмм состояния в зависимости от характера взаимной растворимости компонентов в твердом и в жидком состояниях; имеются в виду случаи отсутствия у компонентов как полиморфных модификаций, так и химических соединений. Под диаграммами состояния / и 6 изображены типичные изотермы физических свойств сплавов. Линейный характер изотермы физических свойств сплавов имеют в сплавах-смесях^ криволинейный ——s сплавах-растворах. -

Диаграммы состояний усложняются при наличии у компонентов полиморфных модификаций или химических соединений в твердом состоянии.

На рис. 4.30 показаны некоторые типичные диаграммы состояния в случае, если компоненты Л и В образуют одно химическое соединение АтВп. При этом на рис. 4.30, а, 6 представлены случаи, в которых химическое соединение АтВп плавится конгруэнтно; в случае, показанном на рис. 4.30, 6, — инконгруэнтно. При конгруэнтном плавлении сплава диаграмма состояния АВ как бы распадается на две примыкающие друг к другу диаграммы с компонентами А и АтВп (АтВп и В), которые имеют тот или иной вид» согласно табл. 4.6, в зависимости от наличия растворимости (полная или частичная) или отсутствия таковой у компонентов Л и АтВп (АтВп и В) в жидком и твердом состояниях.

Из сказанного становятся ясными некоторые характерные особенности вида диаграмм состояния, соответствующих различным комбинациям факторов (растворимость, полиморфизм, наличие химических соединений и характер их поведения при плавлении),

Таблица 4.6

Взаимодействие компонентов в твердом состоянии

растворимость

нерастворимость частичнаяполная

ssffi^obooЕохемжиSHffiwffioKSOW ^яиьоед^оЕкга^и

КВ MITOU

П-Ь002к войной л

K«£-sbo«?

Л&О2КЛОШМОЯ do н

6

©

Примечания: Тл и Тй — температуры плавления компонентов; а — твердые растворы с преобладанием компонента А; р —твердый раствор с преобтаданием' компонента В; L —жидкая фаза (ликвидус); S ——твердая фаза (солидус). В точке £ — образование эвтектики. Р — перетектиче- ская точка. ЬД и £в —жидкая фаза компонента 4 н 8 соответственно. 厶 и L?— жидкие фазы, отвечающие гочкам М к N диаграммы соответственно. Диаграмма типа / имеется, например, в сплавах РЬ и Sb, типа 2—в сплавах РЬ и Си, типа 3 — в сплавах Л1 it РЬ, типа 4—в сплавах Sn и РЬ, типа 5 — в сплавах Sn и Sb (до 41 % Sb, при этом без учета отличия при Т > 319 ℃), типа 6 —в сплавах Bi и Sb, типа 7 — в сплавах Fe и Сг

На рис. 4.31, 4.32 и 4.33 показаны некоторые типичные диаграммы состояний широко распространенных сплавов. Большое

Рис. 4.30. Типы диаграмм состояния при наличии полиморфных модификаций у компонентов и (или) химических соединений компонентов: а) (/俏В〃)，Л и В в твердом состоянии взаимно не растворяются; б) Л и ЛmBrt (АтВп н В) взаимно неограннчеиио рас. творяются; 6)4 н АтВп (А^Вп и В) имеют взаимную ограниченную растворимостьРис. 4.30. Типы диаграмм состояния при наличии полиморфных модификаций у компонентов и (или) химических соединений компонентов: а) (/俏В〃)，Л и В в твердом состоянии взаимно не растворяются; б) Л и ЛmBrt (АтВп н В) взаимно неограннчеиио рас. творяются; 6)4 н АтВп (А^Вп и В) имеют взаимную ограниченную растворимость

Рис. 4.30. Типы диаграмм состояния при наличии полиморфных модификаций у компонентов и (или) химических соединений компонентов: а) (/俏В〃)，Л и В в твердом состоянии взаимно не растворяются; б) Л и ЛmBrt (АтВп н В) взаимно неограннчеиио рас. творяются; 6)4 н АтВп (А^Вп и В) имеют взаимную ограниченную растворимость

Рис. 4.30. Типы диаграмм состояния при наличии полиморфных модификаций у компонентов и (или) химических соединений компонентов: а) (/俏В〃)，Л и В в твердом состоянии взаимно не растворяются; б) Л и ЛmBrt (АтВп н В) взаимно неограннчеиио рас. творяются; 6)4 н АтВп (А^Вп и В) имеют взаимную ограниченную растворимость

разнообразие видов диаграмм объясняется фазовыми превращениями в твердом состоянии. Значительно сложнее диаграммы состояний

Рис. 4.31. Диаграммы состояния сплавов: Fe—Fe3C; Zr —叨нн нз элементов: Ag, Be, Со, Cr, Fe, Си, Mn, Mo, Ni, V, W.Рис. 4.31. Диаграммы состояния сплавов: Fe—Fe3C; Zr —叨нн нз элементов: Ag, Be, Со, Cr, Fe, Си, Mn, Mo, Ni, V, W.

Рис. 4.31. Диаграммы состояния сплавов: Fe—Fe3C; Zr —叨нн нз элементов: Ag, Be, Со, Cr, Fe, Си, Mn, Mo, Ni, V, W.

Рис. 4.31. Диаграммы состояния сплавов: Fe—Fe3C; Zr —叨нн нз элементов: Ag, Be, Со, Cr, Fe, Си, Mn, Mo, Ni, V, W.

и изотермы физических свойств в тройных сплавах *)・ Для более сложных сплавов (четыре компонента и выше) практически не удается создавать столь наглядные формы, как диаграммы состояний.

Фазовые превращения в металлах и соответствующие диаграммы состояния рассматриваются в ряде книг, например в книгах:

Б о ч в а р А. А,, Металловедение, Металлургиздат, 1956.

Б л а н т е р М. Е.» Металловедение и термическая обработка, Машгиз, 1963.

Уманский Я. С., Финкельштейн Б. Н., Б л антер М Е., Кишкин С. Т.» Фастов Н. А., Горелик С- С.» Физическое металловедение, Металлургиздат, 1955 (библ. 618 названий).

К а ш е н к о Г. А., Основы металловедения, изд. 3-е, Машгиз, 1959.

§ 4.8. Влияние различных факторовна механические свойства материалов

Предварительные замечания. Количество различных классов материалов очень велико, а число их разновидностей практически неисчерпаемо. Столь же многообразны и свойства материалов, а также виды зависимостей физических характеристик материалов от тех или иных внешних условий. Вместе с тем можно указать на изменения важнейших характеристик основных классов материалов в типичных условиях, характерных либо для эксплуатации конструкций, выполненных из соответствующих материалов, либо для технологии получения и обработки материала. Ниже приводятся некоторые такие данные： •

Влияние химического состава на механические характеристики. Говорить о влиянии химического состава материалов на их свойства, не вводя' никаких ограничений, невозможно. Не лишена смысла лишь, такая постановка вопроса, в которой изучается влияние тех или иных добавок (или их комбинаций) к основному материалу на свойства последнего. В настоящем разделе коснемся лишь принципа изучения влияния легирующих добавок на свойства металлических сплавов.

На приведенных выше диаграммах состояния показаны различные возможные случаи"образования сплавов. Если сплав представляет собой твердый раствор, то упрочнение происходит за счет искажения решетки вблизи мест расположения атомов растворимого вещества (легирующей добавки); это относится как к растворам внедрения, так и замещения, если размеры атома легирующего элемента достаточно сильно отличаются от размеров атомов основного металла. Если сплав представляет собой механическую смесь различных фаз, то включения легирующего элемента с поверхностью раздела также повышают прочность, являясь препятствиями для движущейся дислокации. Комбинация обеих форм упрочнения имеет место в сплавах, представляющих собой механическую смесь фаз в виде растворов с ограниченным растворением. Повышение прочности посредством одного лишь легирования достигает порядка 10—30%.

В случае сплавов в виде механических смесей свойства их являются линейными функциями, приобретающими, при процентном содержании в смеси одной из фаз, равном нулю или 100%, значения характеристики свойства, соответствующие чистым 而азам (см. табл. 4.6).

В случае сплавов в виде растворов изменение свойств в зависимости от процентного содержания растворимого элемента характеризуется нелинейной функцией.

Рис. 4.34. Зависимость вида диаграммы Р — AF от содержания углерода в стали (Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. II, Гостех- издат, 19461Рис. 4.34. Зависимость вида диаграммы Р — AF от содержания углерода в стали (Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. II, Гостех- издат, 19461

Рис. 4.34. Зависимость вида диаграммы Р — AF от содержания углерода в стали (Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. II, Гостех- издат, 19461

Рис. 4.34. Зависимость вида диаграммы Р — AF от содержания углерода в стали (Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. II, Гостех- издат, 19461

На рис. 4.34 показаны диаграммы растяжения 戶一 А/ для образцов, изготовленных из сталей с различным процентным содержанием углерода. Существенные изменения в очертании и величинах ординат диаграмм напряжений (растяжения) обнаруживаются при изучении образцов из сплавов, в которых имеют место другие комбинации основного металла и примеси или добавки, и при других основном металле и примеси или добавке.

Влияние термической обработки на механические свойства материалов. Термическая обработка является одним из весьма существенных классов операций в технологии получения материалов необходимых качеств. Это относится в первую очередь к металлам, но в большой мере справедливо и для материалов, в основе которых лежат полимеры, а также для ряда силикатов (неорганическое стекло, ситаллы).

В настоящем разделе коснемся лишь термической обработки металлов.

Можно отметить две особенности компонентов, образующих сплавы, наличие которых создает условия для применения термической обработки с целью изменения (улучшения) свойств сплава. Одной из них является растворимость одного компонента в другом, изменяющаяся с изменением температуры. Вторая состоит в наличии Хотя бы у одного из компонентов аллотропической модификации. При наличии хотя бы одной из этих особенностей возникает возможность закалкиt состоящей в том, что путем нагрева сплава и

последующего за ним быстрого охлаждения фиксируется то состояние сплава, которое он имел при высокой температуре, или одно из состояний, соответствующих какой-то промежуточной температуре. В качестве примера сохранения после закалки состояния сплава при наивысшей температуре, до которой он был нагрет, можно указать на закаленный сплав в виде пересыщенного раствора. Такой закалке подвергаются цветные металлы.

Сплав, получающийся в результате закалки, имеет неустойчивое состояние. Для придания ему большей устойчивости выполняется еще и другая термическая обработка — отпуск, состоящая в нагреве до- температуры, значительно меньшей, чем температура закалки, и медленном охлаждении. В процессе отпуска часть легирующей добавки выделяется из пересыщенного раствора в виде включений с поверхностью раздела, и такая комбинация повышает прочность в большей мере, чем одна пересыщенность раствора.

Второй тип закалки, при которой фиксируется состо月нне» соответствующее промеж уточной темпе ратуре — между темпера*

268 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ (ГЛ. TV турой закалки и комнатной температурой, 一 может быть проиллюстрирован закалкой стали. Диаграмма состояния Fe——Fe、C показана на рис. 4.31. Железо имеет аллотропическое превращение при 910 °C; в процессе нагревания Fea, имеющее кубическую объем- ноцентрированную решетку, переходит в FeY с кубической гранецентрированной решеткой. При этом происходит уменьшение плотности на 3% и увеличивается в десятки раз растворимость углерода. Резкая закалка эвтектоидной стали, содержащей углерод в количестве 0,8%, позволяет зафиксировать FeY и растворенный в нем углерод в очень неустойчивой при комнатной температуре структуре, носящей название аустенит. Эта структура практически всегда переходит в другую, несколько более равновесную,— мартенсит. При менее резкой.закалке получается одна из следующих структур: тростит; сорбит, перлит; перлит получается и при медленном охлаждении. Все эти структуры отличаются лишь степенью дисперсности механической смеси; самой тонкой из трех последних обладает тростит. Мартенсит обладает очень высокими прочностью и твердостью (Нв =600 4- 700 "丿九絞；см. § 4.10, раздел 7) и низкими пластичностью (6 = 2%) и ударной вязкостью (1 кГм!с^\ см. § 4.10, раздел 5) и имеет строение Fea, но сильно искаженное атомами углерода, внедренными в решетку. В мартенсите закалкой зафиксирован пересыщенный раствор углерода в железе, которое все же успело перейти из FeY в Fea. Закалка стали снижает модуль упругости на 〜10%.

В процессе закалки на мартенсит происходит резкое нарушение регулярности атомной решетки, в пределах одного зерна образуется ряд тонких пластин (мартенситная структура), каждая из которых имеет мозаичное строение. Этим "резко увеличивается суммарная удельная поверхность раздела, что влечет за собой резкое увеличение прочности. Наряду с этим упрочняющее, в пределах каждого блока, влияние оказывают внедренные атомы углерода в пересыщенном растворе. Хрупкий после закалки мартенсит используют лишь после отпуска, уменьшающего неравновесность структуры. При этом уменьшается прочность, но повышается пластичность и ударная вязкость.

На рис. 4.35 показана зависимость свойств сталей от термической обработки i)・

1) Большой материал о сталях можно найти в книге: Справочник марок сталей. Пер. с нем. Н. Д. Чукмасовой под ред. А. С. Чукмасова, Металлургиздат, 1963 (N^chschlagwerk, «Stahlschlussel», Verlag «Stahlschliissel», Merbach a/N, Bundes- republik Deutschland, V. Auflage, I960).

В справочнике приведены: химический состав, механические и физические свойства, режимы термической обработки и названия большинства углеродистых, легированных и высоколегированных сталей, применяемых в настоящее время в мировой практике. Содержатся основные данные о конструкционных, инструментальных, нержавеющих, кислотоупорных, теплостойких и жаропрочных талях двенадцати стран Европы, Америки и Азии (ФРГ, США, Бельгия, Англ-ия,

Термическая обработка отжиг, состоящая в нагреве до температуры закалки и медленном охлаждении, позволяет полностью снять закалку.

аУ

幽幽120120\Ш\Ш80804〃4〃8080ООXX227070606050504С4С3030勿勿оо勿勿Рис. 4.35. Зависимость свойств сталей от термической обработки： а) сталь NC 35 (ФРГ» фирма «Ugine»), закалка прн 830 ℃ в масле, по осн абсцисс — температура отпуска; о) сталь АК (ФРГ, фирма «Westa»), закалка при 1020 ℃, сплошная лнння — в масле, пунктир — на воздухе, по оси абсцисс — температура отпуска; в) сталь W 77 (ФРГ, фирма «Witten»), / — закалка при 980—1050 ℃ в масле, 2 — на воздухе, по осн абсцисс —температура отпуска; а) сталь К 20 (ФРГ, фирма «Zapp»), по осн абсцисс — температура отпуска [Справочник марок сталей, пер. с ием.» Металлургяздат, 1963].Рис. 4.35. Зависимость свойств сталей от термической обработки： а) сталь NC 35 (ФРГ» фирма «Ugine»), закалка прн 830 ℃ в масле, по осн абсцисс — температура отпуска; о) сталь АК (ФРГ, фирма «Westa»), закалка при 1020 ℃, сплошная лнння — в масле, пунктир — на воздухе, по оси абсцисс — температура отпуска; в) сталь W 77 (ФРГ, фирма «Witten»), / — закалка при 980—1050 ℃ в масле, 2 — на воздухе, по осн абсцисс —температура отпуска; а) сталь К 20 (ФРГ, фирма «Zapp»), по осн абсцисс — температура отпуска [Справочник марок сталей, пер. с ием.» Металлургяздат, 1963].

幽

幽

120

120

\Ш

\Ш

80

80

4〃

4〃

80

80

О

О

X

X

2

2

70

70

60

60

50

50

4С

4С

30

30

勿

勿

о

о

勿

勿

Рис. 4.35. Зависимость свойств сталей от термической обработки： а) сталь NC 35 (ФРГ» фирма «Ugine»), закалка прн 830 ℃ в масле, по осн абсцисс — температура отпуска; о) сталь АК (ФРГ, фирма «Westa»), закалка при 1020 ℃, сплошная лнння — в масле, пунктир — на воздухе, по оси абсцисс — температура отпуска; в) сталь W 77 (ФРГ, фирма «Witten»), / — закалка при 980—1050 ℃ в масле, 2 — на воздухе, по осн абсцисс —температура отпуска; а) сталь К 20 (ФРГ, фирма «Zapp»), по осн абсцисс — температура отпуска [Справочник марок сталей, пер. с ием.» Металлургяздат, 1963].

Рис. 4.35. Зависимость свойств сталей от термической обработки： а) сталь NC 35 (ФРГ» фирма «Ugine»), закалка прн 830 ℃ в масле, по осн абсцисс — температура отпуска; о) сталь АК (ФРГ, фирма «Westa»), закалка при 1020 ℃, сплошная лнння — в масле, пунктир — на воздухе, по оси абсцисс — температура отпуска; в) сталь W 77 (ФРГ, фирма «Witten»), / — закалка при 980—1050 ℃ в масле, 2 — на воздухе, по осн абсцисс —температура отпуска; а) сталь К 20 (ФРГ, фирма «Zapp»), по осн абсцисс — температура отпуска [Справочник марок сталей, пер. с ием.» Металлургяздат, 1963].

Влияние деформации в холодном состоянии на механические свойства металлов (наклеп). Отдых (возврат) металлов. Рекристаллизация. Если металл в холодном состоянии подвергнуть предва-

Франция, Япония, Норвегия, ГДР, СССР, Швеция, Чехословакия, Венгрия). Даны рекомендации по обработке и применению сталей.

рительной деформации —— нагартовке, накатке роликами» волочению, обработке дробью и т. п.,——структура его изменяется; увеличивается число дефектов ——происходит скопление дислокаций вблизи таких препятствий, как поверхности раздела. Это сильно искажает решетку и приводит к прекращению действия источников дислокаций Франка —— Рида, что повышает предел текучести и снижает пластичность. Описанный выше процесс механической холодной деформации называется наклепом. Наклепом же называют исостояние металла после холодной механической обработки его. Диаграммы напряжений различных образцов, изготовленных из одного и того же металла, подвергнутых до испытания предварительному наклепу, показаны на рис. 4.36. Чем больше степень наклепа, тем выше располагается кривая.

Возникновение новых дислокаций имеет место лишь при превышении напряжениями прежнего уровня.

В процессе механической обработки в холодном состоянии происходит дробление и вытягивание зерен, образуются так называемые 《фрагмента, увеличивается общая поверхность границ, уменьшаются блоки внутри фрагментов, что аналогично образо-

7 — диаграмма, соответствующая иенаклепан- ному металлу, 2 — диаграмма,' соответствующая образцу с наибольшим (в рассматриваемой серии) наклепом.7 — диаграмма, соответствующая иенаклепан- ному металлу, 2 — диаграмма,' соответствующая образцу с наибольшим (в рассматриваемой серии) наклепом.внутривнутриванию границ между пластинками и

7 — диаграмма, соответствующая иенаклепан- ному металлу, 2 — диаграмма,' соответствующая образцу с наибольшим (в рассматриваемой серии) наклепом.

7 — диаграмма, соответствующая иенаклепан- ному металлу, 2 — диаграмма,' соответствующая образцу с наибольшим (в рассматриваемой серии) наклепом.

внутри

внутри

зерна при мартенситной структуре. Под действием деформации распадаются и твердые растворы в сложных сплавах. Продукты этого распада также приводят к упрочнению.

скольженийскольженийСильное воспрепятствование

скольжений

скольжений

всевозможными дефектами приводит к уменьшению пластичности пол и кр металл ического тела. Наряду с_ этим происходит постепенное накопление таких дефектов, которые приводят к разрушению.

Ввиду различной ориентации зерен, при общей деформации (удлинении) образца, выражаемой каким-то определенным процентом, процент деформации (удлинения материала) внутри различных зерен оказывается весьма различным. Еще при упругой деформации всего образца в целом в отдельных зернах могут возникнуть разрушения. Вакансии, сливаясь, могут образовывать микроскопиче* скне трещины; при смещении зерен могут образовываться трещины между зернами. В целом в процессе пластической деформации при растяжении происходит «разрыхление» металла, заканчивающееся разрушением. При трехосном же сжатии, наоборот, происходит улучшение связей между зернами, смыкаются микротрещины. Устранение множества дефектов может повысить пластичность материала и перевести материал из хрупкого состояния в пластичное. Мра-

ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ 271 мор, являясь в обычных условиях хрупким, при всестороннем сжатии приобретает пластические свойства.

При холодной деформации металла происходит преимущественная ориентировка кристаллитов в каком-то из направлений (тексту* ра). В материале при этом появляется технологическая анизотропия. Текстуры могут быть исследованы методами рентгеноструктур* ного анализа.

Все отмеченные выше изменения в металле при наклепе связаны с накоплением внутри металла части энергии, затраченной при механическом воздействии на металл. Другая часть этой энергии — тепловая энергия — рассеивается в окружающую, среду. Наклеп используется в тонике с целью повышения прочности изделий. При использовании для наклепа дробеструйной или дробеметной обработки или обкатки роликами происходит повышение предела выносливости металла (см. § 4.10, раздел 6).

Наклепанное состояние металла неустойчиво —— в нем самопроизвольно происходит снятие искажений структуры, вызванных наклепом. Этот обратный процесс называется отдыхом или возвратом металла. При комнатной температуре отдых происходит очень медленно; он значительно ускоряется при нагреве (для углеродистой стали до 200 — 400℃). Вследствие этого часто отдыхом называют снятие искажений в наклепанном металле именно при нагреве до определенной для каждого металла температуры и выдержке при ней. В таком случае отдых можно рассматривать как разновидность термической обработки. В металлах с низкой температурой плавления (свинец, олово) отдых происходит при комнатной температуре. При отдыхе не происходит заметного изменения структуры металла, но свойства металла, изменяясь, приближаются к тем, которые были до деформации,— уменьшается прочность и твердость и повышается пластичность. Снятие искажений в металле при отдыхе происходит за счет пластических сдвигов внутри кристаллитов и отчасти за счет диффузии и сопровождается небольшим выделением тепла, в которое переходит энергия, освобождаемая при снятии искажений. С течением времени интенсивность протекания отдыха, при неизменной темпер а- туре, падает. Эта интенсивность тем больше, чем выше температура отдыха. Полного устранения искажений в структуре, внесенных в металл наклепом, при отдыхе не происходит.

Для полного снятия наклепа необходим нагрев до более высокой, чем при отдыхе, температуры. В таком случае в металле происходит процесс рекристаллизации г), состоящий в восстановлении исходных свойств наклепанного металла. При рекристаллизации

Не следует смешивать рекристаллизацию с перекристаллизацией. Последняя происходит при аллотропном превращении., в то время как рекристаллизация состоит в изменении размеров и формы зерен.

Рис. 4.87. Микроструктура (х 100) технического железа (С — 0,05 %): а) в состоянии наклепа; 6) после рекристаллизации.

6津，灯配2。

Рис. 4.38. Влияние тех иологин металла на прочность: а) среднеуглеродистая сталь, образец 8"; б) медь; 7 — холодная протяжка, 2 — холодный прокат, 5 — горячий прокат, 4 — протяжка н отжнг, 5 — литье [Murphy G., Properties oi Engineering Materials, International Textbook Co., Scraton Pa, 1957工

зерна металла перестраиваются: укрупняются, становятся равновесными, т.'е. размеры зерен во всех трех измерениях оказываются одного порядка (рис. 4.37), происходит уменьшение суммарной поверхности границ между зернами, и металл становится менее прочным и твердым, но более пластичным.

Влияние технологии материала на прочность среднеуглеродистой стали и меди показано на рис. 4.38.

Физико-химическое взаимодействие с окружающей средой.

Коррозия и механические свойства. Растяжение за пределом упругих деформаций увеличивает скорость коррозии. Если напряжения в металле ниже определенного уровня, разрушения не наступает даже при значительной продолжительности испытаний в коррозионной среде. Здесь предпЬлагается, что уменьшение поперечных размеров элемента вследствие коррозии невелико и его можно не принимать во внимание. При превышении же указанного уровня напряжений отрезок времени от нагружения до разрушения уменьшается с увеличением уровня напряжений. Этого в отсутствие коррозии не наблюдается. Имеет место явление так называемого внутрикристаллического и межкристаллического коррозионного растрескивания. В условиях определенных напряженных состояний (возникающих, например, при растяжении с кручением) и наличия коррозионно- активной среды происходит охрупчивание материала.

В ряде случаев в металле, испытывающем механические напряжения, наблюдается наиболее опасная — межкристаллическая коррозия. Ею объясняется часто обнаруживаемое межкристаллическое разрушение металла в котлах. Наклеп металла приводит к интенсификации коррозии подобно тому, как интенсифицируется окисля- емость при высоких температурах. В напряженном наклепанном металле часто возникает межкристаллическая коррозия.

Наиболее опасно сочетание периодической переменности нагрузок и условий, способствующих коррозии. При таком сочетании разрушение превышает сумму разрушений, возникающих при самостоятельном действии каждого из двух указанных факторов.

Наиболее чувствительны к коррозии такие механические свойства, как сопротивление разрушению оА и относительное поперечное сужение яр. Так, например, у отожженной стали с 0,13% С после травления в течение 10 часов в 2,5% растворе H2SO4 величина аА уменьшается с 93 кГ/мм2 до 52 кГ/мм2, а 屮一с 73% до 28%.

В ряде случаев переход от работы материала в неагрессивной среде к работе в среде, вызывающей коррозию, сопровождается переходом от пластичного состояния материала к хрупкому〉

Механические свойства в условиях агрессивной среды обсуждаются в книге: Коррозионное растрескивание н хрупкость. Сб. статей, пер. с англ. С. Б. Фель- гиной, Машгиз, 1961.

Сопротивление металлов и сплавов атмосферному воздействию и воздействию воды речной и морской часто обеспечивается образованием поверхностной защитной пленки. Например, в так называемой нержавеющей стали такая пленка образуется при наличии в стали легирующих добавок Сг, Al, Ni, Si в количестве, соответствующем образованию одной фазы. Для того чтобы пленка могла выполнять защитные функции, она должна удовлетворять ряду требований: быть достаточно толстой и плотной и препятствовать диффузии, обладать достаточными пластичностью и прочностью, чтобы сопротивляться внешним воздействиям, и хорошим сцеплением с основным металлом. Кроме того, требования предъявляются и к самому металлу: в нем не должно быть фазовых превращений, могущих вследствие изменения объема разрушить защитную пленку; металл должен обладать однородностью строения, чтобы не возникло вызывающих коррозию начальных потенциалов между различными структурными составляющими.

52 Эффект П. А. Ребиндера. Эффект Ребиндера 口 состоит в облегчении деформации и разрушения твердых тел при протекании их в среде, содержащей вещества, обладающие физико-химическим сродством к данному телу).

Было обнаружено, что, вследствие обратимой адсорбции материалом повецхностно-активных веществ из окружающей среды, облегчается упругая и в особенности пластическая деформация и разрушение материала. Объясняется это явление так. При растяжении монокристалла металла образуются микрощели с радиусом кривизны в вершине порядка нескольких А; если при этом деформируемый образец помещен в жидкость с поверхностно-активными веществами, происходит проникновение адсорбционных слоев молекул из жидкости в указанные микрощели. В упругой области микрощелн при разгрузке смыкаются. Такое поведение материала проиллюстрировано на рис. 4,39, на котором изображены диаграммы напряжений для монокристалла олова. Малая добавка олеиновой кислоты к вазелиновому маслу снижает все механические характеристики: в чистом вазелине свойства олова такие же, как и в воз* душной среде. Существует оптимальный процент содержания по-

верхностно-активной добавки, приводящей к наибольшему эффекту влияния на механические свойства материала. ”

Эффект Ребиндера существенно зависит от продолжительности контакта материала с внешней адсорбционно активной средой, так как вещество окружающей среды проникает в микрощели постепенно. Спустя некоторый отрезок времени происходит полное проникновение поверхностно-активного вещества внутрь образца — образец как бы набухает. Вследствие разъединения частей метал

ла заполненными микротрещинами резко падает его электропроводность, -восстанавливаемая спустя некоторое время по снятии нагрузки, так как вследствие

постепенного смыкания микрощелей поверхностно-активное вещество выдавливается из образца. Эта постепенность смыкания щелей позволяет относить явление к классу упругого последействия.

Адсорбция поверхностно-активных молекул расширяет, расклинивает слабые места в окрестности дефектов на поверхности материала и способствует развитию мнкрощелей. Таким образом, механика твердого деформируемого тела связана и с физико-химико-механическими процессами, или так называемой физико-химической механикой.

Рис, 4.39. Влияние различных концентраций олеиновой кислоты в вазелиновом масле иа диаграмму напряжений монокристаллов олова, деформируемых в указанных жидкостях: / — вазелиновое масло, 2 ——0,1 % олеиновой кислоты, 3 ——1 % олеиновой кислоты, 4 — 0,2 % олеииовой кислоты [Лихтмаи В. И., Успехи физических наук, т. XXXIX, вып. 3 (1949)1.Рис, 4.39. Влияние различных концентраций олеиновой кислоты в вазелиновом масле иа диаграмму напряжений монокристаллов олова, деформируемых в указанных жидкостях: / — вазелиновое масло, 2 ——0,1 % олеиновой кислоты, 3 ——1 % олеиновой кислоты, 4 — 0,2 % олеииовой кислоты [Лихтмаи В. И., Успехи физических наук, т. XXXIX, вып. 3 (1949)1.Старение материала. В ряде материалов при неизменных внешних условиях происходит с течением времени как бы самопроизвольное изменение упругих и механических свойств. Такие явления, имеющие различную в разных случаях физико-химическую природу, объединяются общим названием — старение ма

Рис, 4.39. Влияние различных концентраций олеиновой кислоты в вазелиновом масле иа диаграмму напряжений монокристаллов олова, деформируемых в указанных жидкостях: / — вазелиновое масло, 2 ——0,1 % олеиновой кислоты, 3 ——1 % олеиновой кислоты, 4 — 0,2 % олеииовой кислоты [Лихтмаи В. И., Успехи физических наук, т. XXXIX, вып. 3 (1949)1.

Рис, 4.39. Влияние различных концентраций олеиновой кислоты в вазелиновом масле иа диаграмму напряжений монокристаллов олова, деформируемых в указанных жидкостях: / — вазелиновое масло, 2 ——0,1 % олеиновой кислоты, 3 ——1 % олеиновой кислоты, 4 — 0,2 % олеииовой кислоты [Лихтмаи В. И., Успехи физических наук, т. XXXIX, вып. 3 (1949)1.

териала.

В металлах старение связано со структурными преобразованиями, которые происходят вследствие преодоления первоначальной неустойчивости структуры, возникшей, как правило, вследствие термической обработки.

В стали старение возникает вследствие того, что растворенные в кристаллитах феррита в небольших количествах углерод, азот и другие примеси выделяются с течением времени из твердого раствора и образуют структурно свободный цементит и нитриды, которые располагаются по границам зерен феррита.

При старении стали' уменьшается остаточное относительное удлинение, повышается предел текучести, уменьшается ударная вязкость, т. е. сталь становится более хрупкой. Длительность процесса старения стали в разных случаях различна ——от многих десятков лет до нескольких дней. Путем нагрева стали после пластических деформаций создаются условия для искусственного старения стали, которое может произойти в несколько часов. Чем крупнее зерно в стали и чем больше в ней примесей, тем больше склонна она к старению. Поэтому кипящие конверторные стали, для которых характерны эти свойства, стареют в большей мере, чем успокоенные. В меньшей мере, но все же подвержены старению и . кипящие мартеновские стали.

В некоторых случаях старение влияет даже на такую слабо изменяющуюся характеристику, как модуль упругости. Например, при старении бериллиевой бронзы Е повышается примерно на 20%.

В бетонах длительное время происходит химический процесс гидратации цемента при постепенном проникновении воды внутрь цементной частицы. Вследствие этого происходит постепенное повышение прочности бетона. Таким образом, для бетонов этот эффект является положительным.

В пластмассах, каучуках происходят внутренние окислительные процессы, сильно снижающие их механические свойства.

Влияние скорости нагружения и скорости деформирования.

Скорость нагружения и дефор мирова- н и я. Скоростью нагружения % называют величину

Скоростью относительной деформации va является, величина

Обычно испытательные машины имеют такое устройство, что в них поддерживается неизменной в процессе испытания образца либо величина уи, либо 。不 последняя ——чаще. В области линейной зависимости о = и (е), практически совпадающей с областью упругих деформаций, неизменность одной из величин vH или va влечет за собой неизменность и другой. В области же нелинейной зависимости, как правило, совпадающей с областью пластических деформаций, условия эксперимента с образцом существенно зависят от того, какую из двух величин vn или од сохраняют неизменной.

Учитывая, что deHCT = d/〃，получаем

1成

Таким образом, скорость относительной деформации зависит не

только от скорости абсолютной деформации (d〃d£), присущей испытательной машине, но и от длины образца.

Влияние на упругие характеристики. Упругие характеристики металлов (Е,卩)практически не зависят от скорости деформирования, так как сама упругая деформация распространяется в теле со скоростью звука, намного превышающей скорость приложения нагрузки. Как известно, упругие свойства тела и скорость звука связаны между собой. Звук представляет собой механические колебания, распространяющиеся в упругой средет).

Вследствие малой зависимости Е от скорости возрастания нагрузки, величину Е можно определять и при динамическом приложении нагрузки, т. е. динамическим способом. При этом принимаются нагрузки, вызывающие малые деформации. Соблюдение малости деформаций важно в тех случаях, когда чисто упругая область весьма ограничена, например, если материал мягок и (или) температура его высока.

Заметим, что упругие характеристики мало зависят не только от скорости деформирования, но и от других факторов.

Таблица 4.7

Материал

V, м/сек

1

Материал

V. м/сек

Каучук вулканизированный

43

Сталь Железо

4982

5000

Пробка

500

Гранит

5100

Свинец

1320

Алюминий

5104

Медь

Никель

3666

4970

Стекло

5500

[Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, ронгиз, 1952.]

Обо-

Влияние на пластические деформации. Вторая стадия работы материала ——сопротивление пластическим деформациям ——существенно зависит от скорости нагружения и деформирования. Можно отметить следующие факты. Наблюдать картину сопротивления пластическим деформациям при высоких скоростях деформирования очень затруднительно. Только

1) Скорость V распространения в стержне звука, модуль продольной упругости £ и плотность тела р связаны следующей зависимостью:

Uuj/f/p.

В табл. 4.7 показана скорость распространения звука в стержнях, выполненных из некоторых материал网 в том числе неметаллических.

сравнительно недавно создана методика и аппаратура, позволяющие наблюдать указанную выше картину при скоростях до 105 Мсек. Сопротивление пластической деформации у монокристаллов с увеличением скорости деформирования растет, но не очень существенно.

Рис. 4.40. Зависимость вида диаграммы оист — е от скорости деформирования; / — очень малая скорость [Тимошенко С. П.,]^пу)отнвленне материалов, т. II, Гостехиздат,

Кривая аист — е располагается тем выше, чем больше скорость деформирования (рис. 4.40).

Если при переходе от одного образца серии к другому увеличивать скорость деформирования, то обнаруживается, что сопротивление пластическим деформациям растет медленнее, чем указанная скорость.

Рис. 4.41. Влияние скорости деформирования на вид диаграммы о — е: а) случай охрупчивания материала прн увеличении скорости загружения; б) случай увеличения пластических свойств при возрастании скорости загружения: J — при ударе, 2 — при статическом загружении [Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, Обороигиэ, 1952J.

Наблюдается некоторая аналогия между зависимостью сопротивления скольжению от скорости деформирования, с одной стороны, и от степени наклепа, с другой.

Влияние н а прочность. Зависимость третьей стадии работы материала — сопротивления разрушению — от ско-

рости деформирования изучена слабо. Однако можно указать на наличие двух характерных картин (рис. 4.41). В одной из них увеличение скорости деформирования приводит к тому, что материал, пластичный при статическом испытании, в случае высоких скоростей становится хрупким (рис. 4.41, а). В другой ——при повышении скорости деформирования материал становится пластичнее и приобретает большую вязкость (рис. 4.41, б).

勿勿6欣网尿250 敘6欣网尿250 敘Рис. 4.42. Влняиие скорости деформирования на прочность (по оси абсцисс — скорость деформирования): а) сталь (/ —С 0,6%, 2 — С 0,2%) при комнатной температуре; 6) медь при растяжении; 6)алюминий [Hollomon J. Н.» The Problem of Fracture, American Welding Society, New York, 1946】.Рис. 4.42. Влняиие скорости деформирования на прочность (по оси абсцисс — скорость деформирования): а) сталь (/ —С 0,6%, 2 — С 0,2%) при комнатной температуре; 6) медь при растяжении; 6)алюминий [Hollomon J. Н.» The Problem of Fracture, American Welding Society, New York, 1946】.

勿

勿

6欣网尿2

50 敘

6欣网尿2

50 敘

Рис. 4.42. Влняиие скорости деформирования на прочность (по оси абсцисс — скорость деформирования): а) сталь (/ —С 0,6%, 2 — С 0,2%) при комнатной температуре; 6) медь при растяжении; 6)алюминий [Hollomon J. Н.» The Problem of Fracture, American Welding Society, New York, 1946】.

Рис. 4.42. Влняиие скорости деформирования на прочность (по оси абсцисс — скорость деформирования): а) сталь (/ —С 0,6%, 2 — С 0,2%) при комнатной температуре; 6) медь при растяжении; 6)алюминий [Hollomon J. Н.» The Problem of Fracture, American Welding Society, New York, 1946】.

На рис. 4.42f показано влияние скорости деформирования на прочность стали, меди и алюминия.

Если при определенной скорости деформации предел текучести, повышаясь, достигает значения предела прочности, то происходит переход к хрупкому разрушению материала. Таким обра* зом, увеличение скорости деформирования способствует появлению хрупкости.

Изучение влияния скорости деформирования на сопротивление разрушению осложняется рядом обстоятельств. Например, чем выше скорость нагружения, тем меньше количество тепла, возникающего в материале, успевает переходить в окружающую среду и тем ближе процесс к адиабатическому. При этом повышается

280 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ [ГЛ. IV температура материала, что само по себе влияет на свойства материала. Отделить это влияние от непосредственного влияния скорости деформирования не удается. Можно указать и на другие аналогичные затруднения.

Влияние температурного фактора на упругие и механические свойства материалов.

Существенность температурного фактора. Температурный фактор является весьма существенным в ряду причин, влияющих на механические свойства многих материалов. Наименьшее влияние он оказывает на каменные материалы—— естественные и искусственные. Весьма заметно влияние температуры на механические свойства металлов и их сплавов, а также полимерных материалов.

Примеры изделий, работающих в у с- л о в и я х высоких или низких температур. Известно, что в условиях высоких температур приходится работать материалу паровых турбин, котлов, высокоскоростных летательных аппаратов, некоторым элементам металлургических и химических агрегатов и др. В конструкциях современных самолетов при сверхзвуковых скоростях возникают высокие температуры. Так, например, в обтекателе (носовая часть) и в крыле при скорости х) 7 М и полете на высоте 30 км развивается температура 1540 °C.

В тяжелых условиях, при температуре 〜1400 ℃, приходится работать некоторым деталям прямоточных воздушно-реактивных и реактивных двигателей, а также некоторым элементам конструкций реактивных турбин. В наиболее тяжелых условиях работают детали газовых турбин ——для них важны не только сопротивление окислению и газовой эрозии, но и высокая длительная прочность и сопротивление удару/ Применение ниобиевых сплавов позволяет повысить температуру газа при выходе из турбины с 925 до 1370 ℃, а это снижает отношение веса двигателя к его мощности с 0,150 до 0,060 кГ/квт, а расход топлива ——с 0,44 до 0,315 к/7K8m в час.

Скорость ракет может быть повышена в 3 раза при переходе от ракет с химическим топливом к ракетам с атомным двигателем, но при этом температура газа достигнет 1930 ℃. В ракетах с плазменными двигателями рабочие температуры достигнут 3300——6200 ℃ и даже тугоплавкие металлы и сплавы должны будут работать с охлаждением.

В условиях низких температур работают многие наружные конструкции в районах сурового климата: пролетные строения мостов, резервуары, рельсы железнодорожных путей, подвижной

1) М — число Маха — отношение скорости течения в точке газа или жидкости (скорости обтекания потоком самолета) к скорости звука в газе (жидкости) в той же точке.

$ 4.8] ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ 281 состав транспорта и элементы конструкций в производствах с низкими температурами, таких, как предприятия холодильной промышленности, лаборатории глубокого холода и т. п.

Сходственные температуры. Удается наблюдать закономерности, до некоторой степени общие для ряда металлов, если ввести в качестве параметра не температуру в градусах той или иной шкалы, а так называемую сходственную (гомологическую) температуру. Сходственной температурой называется доля в процентах, составляемая рассматриваемой температурой, от температуры плавления данного металла в шкале абсолютных температур. На рис. 4.43 для двух металлов показаны графики, позволяющие переводить сходственные температуры в % в температуру по Цельсию.

Рис. 4.43. Диаграммы взаимосвязи сходственной температуры (по оси ординат ——сходственная температура в % или относительных единицах) с градусами по Цельсию: / — свинец, 2 — железо; нижняя горизонтальная шкала — шкала абсолютных температур.

Так, сходственная температура в 50% для свинца представляет 20 ℃, а для железа 630 ℃. Аналогия в изменении свойств различных металлов наблюдается при отнесении этих свойств к одинаковой, для сопоставляемых металлов, сходственной температуре.

Когда же речь идет о самостоятельном рассмотрении свойств отдельного металла, целесообразно применять обычную температурную шкалу.

Непосредственное влияние температурного фактора на свойства материала и влияние, связанное с физико-химическими процессами. Наряду с непосредственным влиянием изменения температуры на величины упругих и механических характеристик материала в последнем могут происходить изменения и в связи с физико-химическими процессами, возникающими и протекающими из-за изменения температуры. Иногда эти влияния трудно отделить одно от другого. •

8・5・ Влияние температурного фактора на ход упругой деформации металлов. Влияние температурного фактора на свойства материала в упругой стадии сводится фактически к влиянию этого фактора иа величину упру-

гих постоянных, в частности на величину Е. Я. Б. Фридман ') исследовал (1937) изменение модуля упругости в зависимости от

температуры (имея в видутемпературы (имея в видуРис. 4.44. Изменение модуля упругости в зависимости от тем- □•ратурн для ' типичных сплавов, применяемых «в авиационных конструкциях: J — иержа* веющая сталь, 2 — алюминиевые сплавы, 3 — углеродистые стали, 4 — титановые сплавы (Jackion L. R., Batelle Memorial Inst. Rep. 38 (March 1956)].Рис. 4.44. Изменение модуля упругости в зависимости от тем- □•ратурн для ' типичных сплавов, применяемых «в авиационных конструкциях: J — иержа* веющая сталь, 2 — алюминиевые сплавы, 3 — углеродистые стали, 4 — титановые сплавы (Jackion L. R., Batelle Memorial Inst. Rep. 38 (March 1956)].,что параметр решетки а зависит от температуры), если последняя меняется не в очень широких пределах, например от — 100 ℃ до 4-100 ℃.

температуры (имея в виду

температуры (имея в виду

Рис. 4.44. Изменение модуля упругости в зависимости от тем- □•ратурн для ' типичных сплавов, применяемых «в авиационных конструкциях: J — иержа* веющая сталь, 2 — алюминиевые сплавы, 3 — углеродистые стали, 4 — титановые сплавы (Jackion L. R., Batelle Memorial Inst. Rep. 38 (March 1956)].

Рис. 4.44. Изменение модуля упругости в зависимости от тем- □•ратурн для ' типичных сплавов, применяемых «в авиационных конструкциях: J — иержа* веющая сталь, 2 — алюминиевые сплавы, 3 — углеродистые стали, 4 — титановые сплавы (Jackion L. R., Batelle Memorial Inst. Rep. 38 (March 1956)].

Из (4.1) получаем

Eam = k; 'дифференцируя по Т, имеем^a^+m^E^^Q;(4.7)

после деления (4.7) на Еат находим “ + ；па = 0,(4.8)

где П =后斤—температурный коэф

фициент упругости или относительная, т. е. отнесенная к £, скорость по температуре изменения модуля упругости; а = ^~ 券一коэффициент линейного температурного

расширения.

Из (4.8) следует, что отношение a/刀 должно оставаться одинаковым для всех металлов. Например, у Fea a == 1,1「ОТ т)=2,7 • 10"6, a/т} = 4,01 -Ю-4; у Wa = 0,4 - IO-5, yj = 5,83 «10~4, a/т] 4,11 -Ю-4. При изменении температуры у стали от 25 ℃ до 450 ℃ величина £ уменьшается на 20%.

Приведем в качестве примеров некоторые данные, иллюстрирующие влияние температурного фактора на упругую работу металлов.

На рис. 4.44 показана зависимость модуля упругости важнейших материалов, используемых в авиационных конструкциях, от температуры.

Влияние температурного фактора на пластическую деформацию.

Сопротивление начальным пластическим деформациям в зависимости от температуры. Повышение температуры до величины, сравнительно мало отличающейся от температуры плавления, характеризуется снижением предела текучести.

Понижение температуры по сравнению с комнатной повышает предел текучести. У монокристалла алюминия при понижении температуры от 600 ℃ до —185 ℃ от повышается в 8 раз.

Фридман Я. Б., Качественная сталь № 1, (1937).

Фридман Яков Борисович (1911—1968) — советский ученый в области испы* тания материалов и физики прочности.

На рис. 4.45 изображены кривые зависимости предела текучести от температуры для различных сплавов.

Из рассмотрения рис. 4.45 можно заключить, что, во-первых, ряд сплавов, имеющих более высокий предел текучести при комнатной или сравнительно невысоких сходственных температурах.

Рис. 4.45. Измеиеиие предела текучести различных сплавов в зависимости от температуры: а) алюминиевые сплавы [Dlx Е. Н., Aluminium Alloys for High Temperature Service. Symposium Structures for Thermal Flight, L03 Angeles, Maren 1956, ASME, Paper 66-AV-81; 6) магниевые сплавы; в) сплавы титана [Mote М. W.( Frost Р. D., Batelle Memorial Inst. Rep. 15 (Sept. 1955)]; 2) нержавеющие стали, принимающие термообработку Roach D. В., Hail A. M., Batelle Memorial Inst. Rep. 48 (July 1956)]; 0) суперсплавы, применяемые в газовых турбинах,'

в дальнейшем, при повышении температуры» резче теряют в величине От и последняя становится меньше, чем у сплавов с относительно невысоким пределом текучести при комнатной и небольшой сходственной температуре. Во-вторых, что ряд алюминиевых сплавов теряют 5096 в величине предела текучести по сравнению с таковой при комнатной температуре уже при 150——250 ℃, ряд сплавов титана — при 400—500 °C, некоторые нержавеющие стали,

принимающие термообработку, — примерно при 500 ℃и, наконец, некоторые суперсплавы х) — при 700 ℃.

Зависимость коэффициента упрочнения от температуры. Влияние температурного фактора на коэффициент упрочнения гораздо ощутимее, чем на предел текучести, например, у кадмия при изменении температуры с 20.0 °C до — 250 ℃ коэффициент упрочнения увеличивается в 400 раз.

В области средних (〜50%) сходственных температур уменьшение коэффициента упрочнения по сравнению с таковым при комнатной температуре очень заметно; здесь особенно сильно проявляются отдых и рекристаллизация. Если скорость деформирования высокая и влияние температуры не длительное, то ни отдых, ни рекристаллизация не успевают заметно произойти, в связи с чем влияние скорости деформирования оказывается особенно ощутимым. Повышение скорости деформирования и понижение температуры влияют на коэффициент упрочнения аналогично.

В металле, претерпевающем пластическую деформацию в области упрочнения, в условиях определенного температурного режима происходят два противоположных процесса — упрочнение (наклеп) и разупрочнение (отдых и рекристаллизация). При этом при низких температурах превалирует первый, а при высоких — второй. Оба эти процесса весьма существенно влияют на протекание ползучести.

Влияние температурного фактора н а прочность.

Длительная прочность. Предел длительной прочности. Сопротивляемость материала пластическим деформациям и разрушению при высоких температурах зависит от продолжительности воздействия нагрузки на изделие. В ряде случаев при непродолжительном воздействии нагрузки в условиях высоких температур материал обладает хорошей сопротивляемостью и пластическим деформациям и разрушению, а при продолжительном воздействии оказывается недостаточно стойким. В связи с этим вводятся специальные характеристики: предел длительной прочности и предел ползучести (последний пояснен в § 4.10, раздел 4).

Пределом длительной прочности называют максимальное напряжение, которое может выдержать материал( не разрушаясь в течение определенного времени. Символически' эту. характеристику обозначают так: а100, а600, а10000; нижний индекс указывает продолжительность работы материала в часах.

Суперсплавы (например, разработанные для лопаток газовых турбин)— это сплавы, в основе которых лежит не один металл, как железо в обычных сталях, а два или большее число металлов (Сг, Ni и др.), и, таким образом, эти сплавы содержат железа намного меньше, чем жаростойкие стали, принимающие закалку.

Рис. 4.46. Зависимости сопротивления срезу и отрыву от температуры и скорости нагружения (схема А. Ф. Иоффе): / — сопротивление срезу, 2 — сопротивление отрыву, 3— область пластического разрушения, 4 — область хрупкого разрушения.Рис. 4.46. Зависимости сопротивления срезу и отрыву от температуры и скорости нагружения (схема А. Ф. Иоффе): / — сопротивление срезу, 2 — сопротивление отрыву, 3— область пластического разрушения, 4 — область хрупкого разрушения.Предел длительной прочности и предел ползучести приближенно выражаются линейной функцией логарифма продолжительности работы при постоянной температуре.

Рис. 4.46. Зависимости сопротивления срезу и отрыву от температуры и скорости нагружения (схема А. Ф. Иоффе): / — сопротивление срезу, 2 — сопротивление отрыву, 3— область пластического разрушения, 4 — область хрупкого разрушения.

Рис. 4.46. Зависимости сопротивления срезу и отрыву от температуры и скорости нагружения (схема А. Ф. Иоффе): / — сопротивление срезу, 2 — сопротивление отрыву, 3— область пластического разрушения, 4 — область хрупкого разрушения.

Влияние температурного фактора на сопротивление срезу и отрыву. Схема А. Ф. Иоффе. Сопротивление срезу уменьшается, а сопротивление отрыву почти не изменяется при увеличении температуры. Именно указанной динамикой изменения сопротивлению срезу и отрыву объясняется переход материала из хрупкого состояния в пластичное при повышении температуры.

На рис. 4.46 показана схема А. Ф. Иоффе 1) зависимости сопротивления пластическому и хрупкому разрушению от температуры и скорости нагружения.

У металлических, в частности конструкционных, сплавов температура перехода в хрупкое состояние, так называемая кри

Рис. 4.47. Зависимость вида диаграммы а — 2 при растяжении от температуры: а)армк。- железо； 6) нормализованная сталь 45 [Ужик Г. В,, Прочность и пластичность металлов при низких температурах. Изд-во АН СССР, 19571.Рис. 4.47. Зависимость вида диаграммы а — 2 при растяжении от температуры: а)армк。- железо； 6) нормализованная сталь 45 [Ужик Г. В,, Прочность и пластичность металлов при низких температурах. Изд-во АН СССР, 19571.тическая температура^ очень низка, например —253 ℃ у нормализованной среднеуглеродистой стали, испытанной статически (рис. 4.47). Некоторые металлические сплавы, например аустенит-

Рис. 4.47. Зависимость вида диаграммы а — 2 при растяжении от температуры: а)армк。- железо； 6) нормализованная сталь 45 [Ужик Г. В,, Прочность и пластичность металлов при низких температурах. Изд-во АН СССР, 19571.

Рис. 4.47. Зависимость вида диаграммы а — 2 при растяжении от температуры: а)армк。- железо； 6) нормализованная сталь 45 [Ужик Г. В,, Прочность и пластичность металлов при низких температурах. Изд-во АН СССР, 19571.

ные стали, сплавы никеля, алюминия, при испытании образцов, подвергнутых осевой деформации, не переходят вовсе в хрупкое состояние. На рис. 4.48 показана зависимость прочности некоторых

Схема Иоффе впервые изложена в статье: Иоффе А. Ф.» Журн. Русск. физ-хим. о-ва 56, 491 (1924).

Иоффе Абрам Федорович (1880—1960) — советский физик, академик, глава большой школы советских физиков, организатор многих иаучно-исследовательских учреждений в СССР.

перлитных сталей от температуры, в том числе в области низких температур. Естественно, что вследствие снижения пластичности при низких температурах становятся существенными и факторы концентрации напряжений и динамичности воздействия, воспри

нимаемого материалом.

Влияние температурного фактора на возможность меж

кристаллического излома. Температурный фактор может повлиять

на состояние фазы, расположенной между зернами в поликристалли-

Рис. 4.48. Предел прочности прн растяжении некоторых перлитных сталей в диапазоне температур ；315 + —195°С； нижняя горизонтальная шкала — величина, обратная абсолютной температуре; верхняя горизонтальная шкала — температура адусах Пельсия [НоПотоп J. Н., Problem of Fracture, American Welding Society, New York, 19461.Рис. 4.48. Предел прочности прн растяжении некоторых перлитных сталей в диапазоне температур ；315 + —195°С； нижняя горизонтальная шкала — величина, обратная абсолютной температуре; верхняя горизонтальная шкала — температура адусах Пельсия [НоПотоп J. Н., Problem of Fracture, American Welding Society, New York, 19461.ческом металле. Если эта фаза легкоплавка, то при повышении температуры может наступить разрушение. Таким обстоятельством, например, объясняется красноломкость стали при наличии FeS на границах между зернами. В некоторых сплавах, например в сплавах вольфрама, магния, к межкристаллическому разрушению приводит понижение температуры.

Рис. 4.48. Предел прочности прн растяжении некоторых перлитных сталей в диапазоне температур ；315 + —195°С； нижняя горизонтальная шкала — величина, обратная абсолютной температуре; верхняя горизонтальная шкала — температура адусах Пельсия [НоПотоп J. Н., Problem of Fracture, American Welding Society, New York, 19461.

Рис. 4.48. Предел прочности прн растяжении некоторых перлитных сталей в диапазоне температур ；315 + —195°С； нижняя горизонтальная шкала — величина, обратная абсолютной температуре; верхняя горизонтальная шкала — температура адусах Пельсия [НоПотоп J. Н., Problem of Fracture, American Welding Society, New York, 19461.

8：7.4. Тепловая хрупкость. Некоторые материалы вследствие длительного воздействия на них высоких температур (иногда сов-

она наступает скорее всего вона наступает скорее всего вместно с нагрузкой) переходят в хрупкое состояние при динамическом воздействии. Т акое явление называется тепловой хрупкостью] природа его не выяснена до конца. В теплоустойчивых сталях обычных марок интервале 450—650°. В указан

она наступает скорее всего в

она наступает скорее всего в

ном интервале температур тепловая хрупкость наступает через 100 часов в сталях, наиболее подверженных обсуждаемому явлению, и через 4000——5000 часов в наиболее стойких сталях, содержащих следующие легирующие добавки： Сг и Мо; Сг, Мо и Ti; Сг, Мо и V; Cr, Мо, W и V.

Сильнее других сталей подвержены возникновению тепловой

хрупкости хромоникелевые, марганцевые и медистые стали.

Тепловая хрупкость отсутствует у достаточно чистых однофазных металлов и сплавов. Некоторые исследователи склонны считать тепловую хрупкость следствием физико-химических процессов, происходящих на границе между зернами.

Зависимость прочность ——температура. Сопоставление зависимостей прочность ——температура у различных металлов дано на рис. 4.49. 〜

Рис. 4.49. Предел прочности при растяжении в функции от температуры: / — Re, 2 — W. 3 — Mo, 4 — аустенитная сталь, 5 — ферритная сталь, 6 — малоуглеродистая сталь, 7 — графит, 8 — Та [Faupel Joseph Н., Engineering Design. A Syntesls of Stress Analysis and Materials Engineering. John Wiley and Sons, New York — London —Sydney, 1964].Рис. 4.49. Предел прочности при растяжении в функции от температуры: / — Re, 2 — W. 3 — Mo, 4 — аустенитная сталь, 5 — ферритная сталь, 6 — малоуглеродистая сталь, 7 — графит, 8 — Та [Faupel Joseph Н., Engineering Design. A Syntesls of Stress Analysis and Materials Engineering. John Wiley and Sons, New York — London —Sydney, 1964].

Рис. 4.49. Предел прочности при растяжении в функции от температуры: / — Re, 2 — W. 3 — Mo, 4 — аустенитная сталь, 5 — ферритная сталь, 6 — малоуглеродистая сталь, 7 — графит, 8 — Та [Faupel Joseph Н., Engineering Design. A Syntesls of Stress Analysis and Materials Engineering. John Wiley and Sons, New York — London —Sydney, 1964].

Рис. 4.49. Предел прочности при растяжении в функции от температуры: / — Re, 2 — W. 3 — Mo, 4 — аустенитная сталь, 5 — ферритная сталь, 6 — малоуглеродистая сталь, 7 — графит, 8 — Та [Faupel Joseph Н., Engineering Design. A Syntesls of Stress Analysis and Materials Engineering. John Wiley and Sons, New York — London —Sydney, 1964].

Требования, предъявляемые к материалам, работающим в условиях высоких или низких температур. Основными свойствами, которым должны удовлетворять материалы, предназначаемые для работы в условиях высоких температур, являются жаропрочность и жаростой* кость.

Жаропрочностью материала называется способность его противостоять пластической деформации и разрушению при приложении нагрузки в условиях высоких температур.

Жаростойкостью называют способность материала хорошо противостоять химическому воздействию (в частности, газовой среде) при вы-, соких температурах.

Свойство материала не размягчаться или слабо размягчаться при достаточно длительном воздействии такой высокой температуры, как температура каления, называется красностойкостью, Для стали, например, эта температура равна 600—650 ℃.

Работа машины или аппарата в условиях высокой температуры предъявляет к материалам значительное число и других требований. Кроме прочности и пластичности существенными оказываются такие свойства и характеристики, как сопротивляемость старению ——сохранение достаточно высокого значения модуля упругости, так как от него зависит величина перемещений

и, следовательно, жесткость конструкции; отсутствие склонности к ползучести (см. § 4.10, раздел 4); прочность по отношению к ударным нагрузкам; существенными являются такие характеристики, как коэффициент теп л оп роводност и, коэффициент 'теплового расширения, коэффициент теплоемкости. Последние три характеристики наряду с модулем упругости определяют собой величину термических напряжений, могущих возникнуть при высоких температурах (см. формулу (3.17)). В частности, от величины коэффициента теплового расширения зависит сопротивляемость материала внезапному увеличению температуры — так называемому тепловому удару. В связи со сказанным выбор или создание материала для конструкции, предназначаемой

288 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ (ГЛ. IV для работы в условиях высоких температур, оказывается сложным.

К числу жаростойких материалов относятся тугоплавкие металлы: вольфрам, молибден, ниобий и некоторые другие. Все они очень сильно окисляются, что затрудняет их применение; без специальной защиты, которую трудно создавать» они практически не могут быть использованы. Температура плавления многих из неметаллических тугоплавких материалов превосходит, и иногда значительно, 3000 *С・

Основным требованием к материалам, предназначенным для работы при низких температурах, является сохранение пластических свойств и отсутствие хладноломкости. К числу материалов, плохо реагирующих на понижение температуры (возникает хладноломкость), относятся фосфористые сплавы железа.

Сравнение влияний температурного фактора и скорости деформирования. Аналогия влияний двух факторов ——температурного и скорости деформирования ——отмечалась выше. Сопоставлять два указанных влияния удается достаточно надежно при изотермическом процессе, так как в случае адиабатического процесса не представляется возможным наблюдение чистого эффекта влияния скорости деформирования: при увеличении скорости происходит повышение температуры, вызывающее эффект, противоположный достигаемому от увеличения скорости.

Укажем на имеющиеся различия во влиянии двух отмеченных факторов.

В упругой стадии это различие состоит в том, что £ и р. не зависят от скорости деформирования, но зависят от изменения температуры.

Повышение температуры вызывает не только непосредственно чисто механический эффект, но и физико-химические процессы, в свою очередь влияющие на механические свойства металла.

Возникновение хрупкости* материала в значительно большей мере вызывается понижением температуры, чем повышением скорости деформирования.

Влияние неоднородности напряженного состояния на характер разрушения. На переход материала из пластичного состояния в хрупкое большое влияние оказывает характер напряженного состояния в деформированном теле. Чем неоднороднее напряженное состояние, тем легче совершается переход материала в хрупкое состояние.

Одним из ярких проявлений неоднородности напряженного состояния является концентрация напряжений.

Концентрация напряжений препятствует развитию пластических деформаций по всему объему ——происходит локализация пластических деформаций в небольшой области. Поэтому при наличии

концентрации напряжений материал имеет склонность находиться в хрупком состоянии. На рис. 4.50 показано, как влияет на переход из； пластичного состояния материала в хрупкое концентрация напряжений. На этом рисунке изображены диаграммы напряжений образцов, изготовленных из одной и той же стали, но имеющих

Рис. 4.50. Зависимость вида диаграммы напряжений а — 8 от формы образцов [Стрелецкий Н. С., Геинев А. Н., Балдин В. А., Беленя Е. И., Лессинг Е. Н., Стальные конструкции, Строй издат, 1952]

различную форму: один образец гладкий, а остальные имеют различные выточки, являющиеся различными по интенсивности влияния концентраторами; чем острее выточка, т. е. чем меньше центральный угол, тем выше коэффициент концентрации и тем в более хрупком состоянии оказывается материал образца.

Неравномерность распределения напряжений, влекущая за собой переход из пластичного состояния материала в хрупкое, возникает не только в связи с тем или иным, нарушением плавности формы элемента конструкции, но и вследствие других причин, например вследствие наличия начальных напряжений. Плоское иди объемное поле начальных напряжений первого рода может иметь настолько заметный вес в поле суммарных напряжений, что обусловленная им неравномерность распределения напряжений в состоянии вызвать переход из пластичного состояния материала в хрупкое.

Так как в обычных расчетах концентрация напряжений или начальные напряжения не учитываются, необходимо иметь гарантию против хрупкого разрушения материала. Как эта гарантия достигается при осевой деформации образца с концентратором напряжений, Показано в В 2.15.

А. П. Филин'

Гарантию может дать испытание материала в условиях, при которых мыслим переход из пластичного состояния в хрупкое. Таким является испытание образцов с надрезами (см. § 4.10, разделы 3 и 5). Если обнаружится, что исследуемый материал при таких испытаниях не обладает склонностью к хрупкому разрушению, то его можно применять в конструкции, работающей в условиях, вызывающих опасение за появление хрупкого разрушения.

Ю. Масштабный фактор. Сопротивление образца или изделия разрушению зависит от его размеров. Такое влияние размеров называют масштабным фактором прочности. Изучен он в условиях пластичного характера разрушения гораздо слабее, чем в условиях хрупкого. Коснемся поэтому только последнего. Обнаружено, что сопротивление отрыву с увеличением размеров поперечного сечения стержня значительно уменьшается. Прочность тонких нитей ' значительно выше, чем нитей Таблица 4.8 большего поперечного сечения.

изготовленных из того же материала. Это явление имеет статистическую природу — вероятность наличия дефекта, ослабляющего тело, с увеличением размеров последнего возрастает.

Сказанное справедливо, разу

меется, не только для размеров других размеров, например для длины образца. Прочность стеклянной нити с увеличением ее длины (при неизменном поперечном сечении) уменьшается. В табл. 4.8 показана прочность такой нити. На рис. 4.51 показаны кривые, характеризующие зависимость 6 от длины образца, для различных

металлов. •

В статистической теории прочности предполагается, что разру- шенйе наступает при совмещении по месту расположения максимального напряжения и наиболее ослабленного сечения.

Обнаружено, что при достижении размером образца некоторой величины падение прочности с дальнейшим увеличением размеров прекращается. Зависимость прочности от размера сечения образца имеет асимптотический характер (рис. 4.52). Это объясняется, по- видимому, тем, что при размере, начиная с которого уже не наблюдается дальнейшее понижение прочности, в образце образуется та стандартная ситуация дефектов, характерная для данного материала, которая в изделиях большего размера просто повторяется в любом из объемов, равных объему обсуждаемого образца. Очевидно, что образцы желательно иметь большого размера, чтобы свойства, обнаруживаемые при их испытании, приближались к свойствам материала в изделии. Правда, и при этом различие в поведении образца й изделия будет обнаруживаться в связи с различием харак-

тера напряженного состояния. В самих изделиях, как правило, материал. менее однороден; имеется в виду технологическая неоднородность, возникающая в процессе изготовления изделий ——литья, механической обработки. Вырезая образцы из разных частей изделия, обнаруживаем различные до некоторой степени, свойства.

Повышение прочности с уменьшением размеров сечения, по- видимому, нельзя связывать только со статистической природой явления. Здесь могут проявляться и другие факторы: различное

Рис. 4.61. Зависимость 6 от длины образца; по оси абсцисс отложена длина образца в см1 / — AI высокой чистоты, отожженный, 2 — латунь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — кремнистые конструкционные стали, 6 — Mg, 7 — Си [Templin R, L. and Sturm R. G., Journ.Aero. Sci. 7 (7), 189—198 (July 1940)1Рис. 4.61. Зависимость 6 от длины образца; по оси абсцисс отложена длина образца в см1 / — AI высокой чистоты, отожженный, 2 — латунь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — кремнистые конструкционные стали, 6 — Mg, 7 — Си [Templin R, L. and Sturm R. G., Journ.Aero. Sci. 7 (7), 189—198 (July 1940)1Рис. 4.52. Зависимость прочности от размера сечения образца из стали 1045, закаленной в воде и подвергнутой отпуску при 430 °C; по оси абсцисс отло-* жен диаметр образца в еле; 6 определено на базе 5 смРис. 4.52. Зависимость прочности от размера сечения образца из стали 1045, закаленной в воде и подвергнутой отпуску при 430 °C; по оси абсцисс отло-* жен диаметр образца в еле; 6 определено на базе 5 см

Рис. 4.61. Зависимость 6 от длины образца; по оси абсцисс отложена длина образца в см1 / — AI высокой чистоты, отожженный, 2 — латунь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — кремнистые конструкционные стали, 6 — Mg, 7 — Си [Templin R, L. and Sturm R. G., Journ.

Aero. Sci. 7 (7), 189—198 (July 1940)1

Рис. 4.61. Зависимость 6 от длины образца; по оси абсцисс отложена длина образца в см1 / — AI высокой чистоты, отожженный, 2 — латунь, 3 — монель, 4 — мягкая сталь, 5 — кремнистые конструкционные стали, 6 — Mg, 7 — Си [Templin R, L. and Sturm R. G., Journ.

Aero. Sci. 7 (7), 189—198 (July 1940)1

Рис. 4.52. Зависимость прочности от размера сечения образца из стали 1045, закаленной в воде и подвергнутой отпуску при 430 °C; по оси абсцисс отло-* жен диаметр образца в еле; 6 определено на базе 5 см

Рис. 4.52. Зависимость прочности от размера сечения образца из стали 1045, закаленной в воде и подвергнутой отпуску при 430 °C; по оси абсцисс отло-* жен диаметр образца в еле; 6 определено на базе 5 см

удельное влияние зоны у поверхности на работу всего образца (зона у поверхности может иметь, в зависимости от технологии получения образца, иные свойства, чем остальная его часть), различие в структуре всего образца при сопоставлении образцов разных размеров.

И. Радиационные эффекты в твердых телах. Твердые тела, подвергающиеся облучению частицами, обладающими большой энергией, претерпевают значительные изменения, вследствие чего, в частности, существенно изменяются их механические, в тем числе упругие, свойства. Указанное явление наблюдается, например, в материале конструкций атомных реакторов. Возникло три направления исследований:

Изучение влияния облучения на свойства твердых тел и объяснение его физической природы. 、

Создание материалов» стойких к радиационным эффектам в тех случаях, когда они нежелательны.

10*

Использование радиационных эффектов с целью изменения свойств материалов в нужном направлении, наподобие того как используется термическая или механическая обработка (наклеп) металлов.

Причина изменения механических свойств материалов при облучении частицами высокой энергии состоит в образовании дефектов в кристаллической решетке.

Можно отметить следующие дефекты, развивающиеся при бомбардировке твердого тела тяжелыми частицами.

Вакансии, образуемые вследствие того, что частица высокой энергии при столкновении с атцмом решетки выбивает последний из узла, а он в свою очередь оказывается носителем энергии, достаточной для образования еще ряда вакансий в решетке.

Внедренные атомы, т. е. атомы, выбитые из своего равновеского положения в решетке и заторможенные в таких промежуточных положениях, из которых не происходит рекомбинации атома с ближайшей вакансией (дефект Френкеля).

Атомы примесей, образующиеся в результате ядерных превращений, происходящих при бомбардировке нейтронами. Кроме того, в твердое тело могут вводиться осколки, образующиеся в процессе деления частиц.

Столкновения, сопровождающиеся замещением атомов. Оно возникает в тех случаях, когда движущийся атом обладает энергией, достаточной для того, чтобы выбить атом из решетки, но недостаточной для того, чтобы удалиться от образовавшейся ва・ ^ансии, вследствие чего движущийся атом заполняет вакансию. Получается обмен движущихся атомов с атомами решетки.

Тепловые клинья и клинья смещения, состоящие в том, что вследствие' воздействия на атомы решетки частицы, движущейся в ней, происходит значительное возбуяедение атомов, если эта частица способна сместить атомы из их узлов. Возбуждение атомов проявляется в увеличении амплитуды колебаний относительно узла решетки, и, таким образом, вещество вдоль пути движения частицы, возбуждающей атомы, нагревается до высокой температуры (〜 1000° К) в области, содержащей несколько тысяч атомов. Высокая» температура держится от 10-10 до 10'11 сек и, вследствие расширения области возбуждения, падает: при этом происходит гакалка небольшого объема вещества. Такой процесс называется тепловым клином.

Ионизационные эффекты возникают вследствие прохождения заряженных частиц или у-квантов сквозь твердое тело и состоят в ионизации и в, электронном возбуждении, сопровождаемых разрывами связей и другими проявлениями.

В целом облучение тела потоком частиц, например нейтронов, приводит к структурным изменениям, вызываемым смещениями атомов из первоначальных положений. Можно, например, при по-

мощи нейтронной бомбардировки аморфизировать кристалл (кристаллический кварц превращается в кварцевое стекло). В других случаях облучение аморфных веществ может инициировать их кристаллизацию.

Радиационные эффекты устраняются путем отжига.

Изменение упругих свойств твердого тела в результате облучения состоит в заметном повышении модуля упругости. Например, облучение графита в реакторе дозой 102° нейтронIcj^ приводит к повышению модуля упругости в 3 раза. Теоретически это

явление связывают с внедренными атомами. Один процент внедренных атомов повышает модуль упругости меди на 7%. Удалось повысить модуль упругости меди на 15—20% при дозе облучения 4 -1012 нейтрон/сл^ 】).Увеличение модуля упругости с повышением уровня интенсивности облучения, начиная от некоторой дозы, перестает быть пропорциональным дозе облучения. Медь «насыщается» облучением, т. е. при увеличении дозы облучения сверх некоторого значения дальнейшего роста модуля упругости не происходит. При облучении тела обнаруживается изменение внутреннего трения. В меди

Рис. 4.53. Влияние иа свойства материалов радиационного эффекта; кривые зависимости касательного напряжения от деформации сдвига для кристаллов меди: / —‘ не- облученный образец, 2 — облученный образец [Blewitt Т. Н.» Coltman R. R., The Effect of Pile Irradiation on the StressStrain Curve of Copper, Phys. Rev. 82, 769 (1951) (A).lРис. 4.53. Влияние иа свойства материалов радиационного эффекта; кривые зависимости касательного напряжения от деформации сдвига для кристаллов меди: / —‘ не- облученный образец, 2 — облученный образец [Blewitt Т. Н.» Coltman R. R., The Effect of Pile Irradiation on the StressStrain Curve of Copper, Phys. Rev. 82, 769 (1951) (A).lудалось достигнуть уменьшения логарифмического декремента (см. гл. XVII), характеризующего внутреннее трение, на порядок величины. Это явление объясняется закреплением дислокаций образуемыми дефектами.

Рис. 4.53. Влияние иа свойства материалов радиационного эффекта; кривые зависимости касательного напряжения от деформации сдвига для кристаллов меди: / —‘ не- облученный образец, 2 — облученный образец [Blewitt Т. Н.» Coltman R. R., The Effect of Pile Irradiation on the StressStrain Curve of Copper, Phys. Rev. 82, 769 (1951) (A).l

Рис. 4.53. Влияние иа свойства материалов радиационного эффекта; кривые зависимости касательного напряжения от деформации сдвига для кристаллов меди: / —‘ не- облученный образец, 2 — облученный образец [Blewitt Т. Н.» Coltman R. R., The Effect of Pile Irradiation on the StressStrain Curve of Copper, Phys. Rev. 82, 769 (1951) (A).l

Опыты проводились и с рядом других веществ. Облучение металлов приводит к изменению вида диаграммы напряжений. Диаграммы напряжений, полученные для облученного (доза быстрых нейтронов 2*1018 нейтрон/см2) и необлученного монокристалла меди, показаны) на рис. 4.53. Эффект облучения до некоторой степени аналогичен эффекту закалки твердого раствора.

На рис. 4.54 показаны кривые истинных напряжений для никеля, облученного (〜10?° нейтрон/с諸 при энергии нейтронов выше 1 Мэв, Т а 80° С) и необлученного.

Облучение приводит к изменению положения температурной границы между хрупким и пластичным состояниями металлов. На

Рис. 4.5S. Кривые перевода от хрупкого к ковкому состояиню для облученного н необлу- ченного образцов, испытываемых на удар: / — необлучеиная сталь, 2 —облученная сталь (6,7 *1017 частиц/сМ; по оси абсцисс отложена температура разрушения образца в ℃к по оси ордииат — поглощаемая образцом к моменту разрушения энергия) [Meyer R. А” Influence of Deuteron Bombardment and Strain Hardening on Notch Sensitivity of Mild Steel, Journ. Appl. Phys. 25, 1369 (1954)].Рис. 4.5S. Кривые перевода от хрупкого к ковкому состояиню для облученного н необлу- ченного образцов, испытываемых на удар: / — необлучеиная сталь, 2 —облученная сталь (6,7 *1017 частиц/сМ; по оси абсцисс отложена температура разрушения образца в ℃к по оси ордииат — поглощаемая образцом к моменту разрушения энергия) [Meyer R. А” Influence of Deuteron Bombardment and Strain Hardening on Notch Sensitivity of Mild Steel, Journ. Appl. Phys. 25, 1369 (1954)].Рис. 4.54. Влияние облучения в реакторе на кривую зависимости истинного напряжения от истинной деформации для никеля: / — иеоблученный образец, 2 — облученный образец (^1020 нейтрон/см2 при энергии нейтронов выше 1 Мэе,力 ~ @0 ℃) [Faris F. Е., The Effects of Irradiations on Structu* г al Materials. Proceedings of the International Conference on the Peaceful Use of Atomic Energy, United Nations, vol. 7, 1956, p. 484, paper № 747].

Рис. 4.5S. Кривые перевода от хрупкого к ковкому состояиню для облученного н необлу- ченного образцов, испытываемых на удар: / — необлучеиная сталь, 2 —облученная сталь (6,7 *1017 частиц/сМ; по оси абсцисс отложена температура разрушения образца в ℃к по оси ордииат — поглощаемая образцом к моменту разрушения энергия) [Meyer R. А” Influence of Deuteron Bombardment and Strain Hardening on Notch Sensitivity of Mild Steel, Journ. Appl. Phys. 25, 1369 (1954)].

Рис. 4.5S. Кривые перевода от хрупкого к ковкому состояиню для облученного н необлу- ченного образцов, испытываемых на удар: / — необлучеиная сталь, 2 —облученная сталь (6,7 *1017 частиц/сМ; по оси абсцисс отложена температура разрушения образца в ℃к по оси ордииат — поглощаемая образцом к моменту разрушения энергия) [Meyer R. А” Influence of Deuteron Bombardment and Strain Hardening on Notch Sensitivity of Mild Steel, Journ. Appl. Phys. 25, 1369 (1954)].

Рис. 4.57. Влияние гидростатического давления на вид диаграммы 0^5 — ®нст пРи растяжении отожженной бескислородной медн высокой электропроводности: / —давление 3,13 ИО® к「]с* 2 — —1,57 -Ю3 кГ/см2, 3 — —0.78-108 кГ/с^^—ХкГ/см1.Рис. 4.57. Влияние гидростатического давления на вид диаграммы 0^5 — ®нст пРи растяжении отожженной бескислородной медн высокой электропроводности: / —давление 3,13 ИО® к「]с* 2 — —1,57 -Ю3 кГ/см2, 3 — —0.78-108 кГ/с^^—ХкГ/см1.■ Рис. 4.56. Влияние гидростатического давления на пластичность металлов: / — Си, 2 — Al, 3 — армко-желе- зо, 4 — сталь (С = 0,2), 5 — сталь (С ~ 0,5), 6 — Mg, 7 — Cr, 8 — чугун.

Рис. 4.57. Влияние гидростатического давления на вид диаграммы 0^5 — ®нст пРи растяжении отожженной бескислородной медн высокой электропроводности: / —давление 3,13 ИО® к「]с* 2 — —1,57 -Ю3 кГ/см2, 3 — —0.78-108 кГ/с^^—ХкГ/см1.

Рис. 4.57. Влияние гидростатического давления на вид диаграммы 0^5 — ®нст пРи растяжении отожженной бескислородной медн высокой электропроводности: / —давление 3,13 ИО® к「]с* 2 — —1,57 -Ю3 кГ/см2, 3 — —0.78-108 кГ/с^^—ХкГ/см1.

§ 4.9] МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ПРОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 295 рис. 4.55 изображено повышение этой |границы при облучении стали.

Воздействие оказывает радиация и на полимеры, а также на материалы, имеющие их в основе. В молекулах некоторых из них образуются поперечные связи (т. е. структура становится сетчатой) и, следовательно, увеличивается твердость; в других —— уменьшается средний молекулярный- вес. Можно привести такие примеры: при кратковременном радиоактивном облучении полиэтилена-1 в нем образуется сетчатая структура, влекущая за собой повышение теплостойкости. Фторопласт-4 под влиянием радиоактивного облучения утрачивает упругость, становясь все более жестким, а затем и хрупким материалом.

Влияние высокого гидростатического давления. Высокое гидростатическое давление ) накладываемое на поле напряжений, соответствующее тому или иному воздействию на образец (растяжение, кручение и т. п.), оказывает существенное влияние на свойства материала, обнаруживаемые в опытах на указанные воздействия. Ниже отмечаются некоторые характерные факты.

Самое существенлое влияние высокое гидростатическое давление оказывает на пластические свойства материалов. Такое влияние проиллюстрировано на рис. 4.56. Рис. 4.57 иллюстрирует влияние высокого гидростатического давления на вид кривой ^ИСТ ~ Оцет (еист)-

Методы получения прочных металлов и сплавов

Выше было показано, что наличие в металле таких дефектов, как дислокации, способствует протеканию пластических деформаций, которые при возрастании нагрузки завершаются разрушением срезом. К этому же эффекту приводят и другие дефекты, способные вызвать возникновение дислокаций. Отсюда можно сделать вывод, что упрочнения металла можно достигнуть, устранив из него все дефекты и добившись идеальной монокристаллической структуры. С другой стороны, отмечено, что при наличии большого числа различных дефектов материал становится прочнее. Таким образом, дефекты оказывают влияние как упрочняющее, так и разупрочняю- щее. Это противоречие кажущееся. Все дело в количестве дефектов. Зависимость между удельным числом дефектов и прочностью характеризуется графиком, изображенным на рис. 4.58. Из него видно, что при очень малом удельном количестве дефектов прочность металла должна быть очень высокой. Такой металл еще не получен, если не считать нитевидных кристаллов металлов («усов»)/

Механические свойства материалов под высоким давлением. Под ред. X. Л. Пью, пер. с англ. Общее ред. акад. Л. Ф. Верещагина. Вып. I. Общие вопросы воздействия высоких давлений на механические свойства материалов. Вып. II. Приложение высоких давлений в технологических процессах, «Мир», 1973.

которые, будучи практически бездефектными, обладают исключительно высокой прочностью, приближающейся к теоретической, и подтверждают справедливость положения о высокой ожидаемой прочности совершенных по структуре металлов.

При некотором удельном количестве дефектов прочность металла минимальная, это число можно назвать наиневыгод- и е й ш и м, дальнейшее же увеличение удельного числа дефектов приводит к нарастанию прочности, правда, не столь интенсивному, как при уменьшении числа дефектов по сравнению с наиневыгоднейшим. Удельное количество дефектов во всех существующих технических металлах и сплавах соответствует точкам на правой ветви кривой рис. 4.58.

Рис. 4.58. Зависимость предела прочности от количества дефектовкр ист алл и ч ес когостроения: ^ — количество дефектов кристаллического строения, / — диапазон количества дефектов в современных металлах и сплавах, 2— пр jxTHtCoKH достигаемая на сегодня прочность; пунктирная часть кривой —теоретическая： m— количество дефектов, которому отвечает мини* мальиая прочность [Рабинович М. X., Проч* кость и сверхпрочность металлов. Изд-во АН СССР, 1963].Рис. 4.58. Зависимость предела прочности от количества дефектовкр ист алл и ч ес когостроения: ^ — количество дефектов кристаллического строения, / — диапазон количества дефектов в современных металлах и сплавах, 2— пр jxTHtCoKH достигаемая на сегодня прочность; пунктирная часть кривой —теоретическая： m— количество дефектов, которому отвечает мини* мальиая прочность [Рабинович М. X., Проч* кость и сверхпрочность металлов. Изд-во АН СССР, 1963].За исключением упоминавшихся выше нитевидных металлических кристаллов со структурой высокого совершенства, еще не удалось попасть в область левой ветви кривой (рис. 4.58). Применяемые в технике методы упрочнения поликристаллических металлов основаны на искусственном увеличении удельного числа дефектов, достигаемом различными методами. К числу наиболее распространенных и пока наиболее эффективных средств повышения прочности металлов относятся легирование металлов при помощи тех или иных добавок, т. е. получение металлических сплавов, и термическая обработка их. Оба этих направления тесно связаны с изучением свойств сплавов при помощи диаграмм состояния.

Рис. 4.58. Зависимость предела прочности от количества дефектовкр ист алл и ч ес кого

строения: ^ — количество дефектов кристаллического строения, / — диапазон количества дефектов в современных металлах и сплавах, 2— пр jxTHtCoKH достигаемая на сегодня прочность; пунктирная часть кривой —теоретическая： m— количество дефектов, которому отвечает мини* мальиая прочность [Рабинович М. X., Проч* кость и сверхпрочность металлов. Изд-во АН СССР, 1963].

Рис. 4.58. Зависимость предела прочности от количества дефектовкр ист алл и ч ес кого

строения: ^ — количество дефектов кристаллического строения, / — диапазон количества дефектов в современных металлах и сплавах, 2— пр jxTHtCoKH достигаемая на сегодня прочность; пунктирная часть кривой —теоретическая： m— количество дефектов, которому отвечает мини* мальиая прочность [Рабинович М. X., Проч* кость и сверхпрочность металлов. Изд-во АН СССР, 1963].

Необходимость получения значительно более прочных материалов, чем ныне известные (сейчас уже имеются стали, правда,

получаемые пока в лабораториях, с прочностью до 300——400 кГ/мм2), заставила искать новые пути повышения прочности. К числу их относятся: термомеханическая обработка, представляк)щая собой поеледовательное сочетание термической обработки с холодной деформацией металла; фазовый наклеп, в котором используется свойство увеличения объема, занимаемого металлом, при некоторых фазовых превращениях (например^ в железе), для деформации внешних слоев под влиянием увеличивающейся в объеме сердцевины; магнитная обработка (комбинируется с термомеханической), состоящая в использовании эффекта (правда, весьма незначительного) изменения объема при намагничивании Fea; облучение ядерными частицами. Технология термомеханической обработки сложна, но она позволяет получать мартенситную структуру не в пределах

первоначальных зерен, а в новых, более мелких, что увеличивает степень дисперсности и повышает прочность на величину порядка 100 кГ1м^.

Фазовый наклеп имеет то достоинство, что он может быть применен к полностью изготовленной детали и исключает, таким образом, необходимость механической обработки после приобретения металлом большой прочности. Использование фазового наклепа позволяет повысить предел прочности углеродистых сталей (Ст. 1, Ст. 2, Ст.3) от величины порядка 30—50 кГ/жж2до80—90 кГ/мм2.

Облучение ядерными частицами (нейтронами) повышает предел текучести при почти неизменном пределе прочности и применяется к отожженному металлу. Искажения решетки, вызываемые облучением, рассмотрены в предыдущем параграфе. Неудобство использования этого метода изменения механических свойств состоит в приобретении металлом после бомбардировки ядерными частицами радиоактивности..'

Отличительной особенностью всех методов, упрочняющих металл путем увеличения числа дефектов, является то, что, после их использования, при повышении температуры восстанавливается регулярность строения металла внутри зерен и прочность падает. . Для предотвращения этого падения прочности в самолетных и ракетных конструкциях, а также в газовых турбинах, где температура доходит до 1200——1500° С, ведется большой научно-технический поиск в направлении получения весьма высокой прочности металла за счет устранения из него дефектов. Высокая прочность идеальных по структуре (бездефектных) монокристаллов позволяет использовать весьма высокопрочные так называемые усы в композитных материалах. Устранение одной из категорий дефектов достигается за счет получения чистого (без примесей) металла путем применения вакуумной дистилляции, зонной плавки и разложения летучих соединений металлов. Устранение других дефектов, таких, как дислокации и их источники, не связанных с наличием примесей, достигается воздействием на металл высоких давлений, измеряемых тысячами и десятками тысяч атмосфер. По-видимому, устранение дефектов позволит получить металлы, прочность которых подойдет вплотную к теоретической.

Одним из новых и исключительно перспективных направлений в получении металлов с важными для практики сочетаниями свойств, в частности сочетанием высоких прочности и пластичности, является разработка технологии металлов высокой степени чистоты. Обнаружено, что на механические свойства ряда металлов решающее влияние оказывают ничтожные в количественном отношении примеси. Избавление от этих примесей позволяет принципиально улучшить свойства металла. Ярким примером могут служить тугоплавкие металлы и в первую очередь W, Мо, Сг, Та, Nb, считавшиеся до недавнего .времени хрупкими (хладноломкими), а также

Be и Re, также считавшиеся хрупкими. Все эти металлы при высокой степени чистоты, достигаемой особой технологией, а именно зонной плавкой с электронно-лучевым или индукционным нагревом, обладают очень большой пластичностью при комнатной температуре образца; в частности, образец можно медленно загнуть на 180°. Одндвременно с устранением примесей стремятся создать условия для сравнительно легкого выращивания монокристаллов большого размера. В монокристалле металл обладает еще большей пластичностью. Для того чтобы знать, какую долю увеличения пластичности можно отнести за счет химической чистоты, а какую за счет монокристалличности, производили опыт с образцами из металла высокой чистоты, один из них был монокристаллическим, а другой путем механического воздействия был переведен из монокристаллического состояния в поликристаллическое. При этом пластичность второго образца, оставаясь все еще высокой, оказалась все же ниже, чем у первого. -

Таким образом, регулярность строения во всем объеме образца приводит к повышению его пластических свойств.

Резкое снижение пластических свойств тугоплавких металлов в присутствии очень незначительного количества таких примесей, как углерод, кислород, азот, объясняется тем, что они являются примесями внедрения.

Различные виды испытания материалов

Предварительные замечания. В §§ 2.11 и 2.13 были описаны статические кратковременные испытания гладких образцов из различных материалов на растяжение и сжатие при комнатной температуре. Предыдущие параграфы настоящей главы содержат описание различных упругих и механических свойств материалов и оценку влияния различных факторов на эти свойства. Уже при этом обсуждении приходилось обращаться к результатам динамических испытаний (при определении сопротивляемости ударному воздействию и при оценке влияния скорости деформирования на различные свойства), кратковременных и длительных испытаний при высоких температурах (при определении предела длительной прочности и предела ползучести, а также при оценке влияния температурного фактора на различные свойства), длительных испытаний при переменных по величине и знаку нагрузках, длительных испытаний при комнатной температуре и постоянной нагрузке и при монотонно убывающей нагрузке. Приходилось, наряду с рассмотрением результатов испытания гладких образцов, обращаться и к анализу материалов испытаний образцов с надрезом; указывалось, что, кроме непосредственного определения интересующих инженера свойств материала, существуют косвенные пути оценки этих свойств (при помощи определения твердости); отмечалосьг что,

§ 4.10] РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ 299 наряду е изучением свойств на образцах достаточно больших размеров, производится изучение свойств в малых объемах материала.

Все это свидетельствует об огромном многообразии разновидностей форм, условий и методов исследования свойств материалов. Такие исследования ——выбор устойчивых характеристик, разработка методик, установление зависимостей свойств от различных факторов и объяснение их природы — составляют предмет дисциплины, носящей название испытание материалов. Эта дисциплина теснейшим образом связана с физикой твердого тела, в частности с физикой металлов, с химией, с технологией материалов, металлографией, кристаллографией, рентгенографией, с экспериментальной техникой (испытательные машины и приборы), с эксплуатацией изделий, материал в которых работает в самых разнообразных условиях, и с. механикой твердого деформируемого тела.

Наряду с испытаниями, проводимыми для получения механических характеристик материалов, изучаемых в сопротивлении материалов, проводятся и так называемые технологические пробы, например, загиб полосового образца, продавливание круглой матрицей диска из листа и т. п. Такие пробы осуществляются для проверки поведения материала при соответствующих технологических процессах — при гнутье, штамповке и т. п. Настоящий параграф преследует весьма скромную цель ——показать классификацию существующих типов испытаний свойств материалов 工).

Кратковременные статические испытания гладких образцов при комнатной температуре. Статическое испытание материала в гладких образцах в условиях комнатной температуры производится не только при растяжении и сжатии; применяются еще и следующие испытания.

Изгиб однопролетньцс балок прямоугольного поперечного сечения при загружении сосредоточенными силами; наиболее существенная область применения ——испытание малопластичных и хрупких материалов, с которыми затруднительно ставить эксперимент в условиях растяжения ввиду большой чувствительности результатов испытаний к перекосу образца и необходимости применения сложных аксиаторов для его устранения.

г) Испытаниям материалов посвящена большая литература, например:

Новые методы . испытаний металлов (спорадически выходящие Сборники трудов ЦНИИЧМ им. Н. П. Бардина), Государственный Комитет по черным и цветным металлам при Госплане СССР, МеталлургНИИпроект.

Авдеев Б. А., Техника определения механических свойств материалов, изд. 4-е, «Машиностроение», 1965.

Авдеев Б. А., Испытательные машины и приборы, Машгиз, 1957.

Шапошников Н. А., Механические испытания металлов, Маш- гиз, 1951.

Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, изд. 3-е, части Г, 2, «Машиностроение», 1974.

Кручение круглых цилиндрических образцов; одним из применений является исследование высокопластичных материалов с целью устранения осложнений, вносимых в картину явления и в расшифровку результатов испытаний на растяжение, связанных с образованием шейки, ввиду большой чувствительноети материала к дефектам на поверхности и к внутренним микротрещинам.

Наряду с указанными выше основными методами испытания материалов, с целью упрощения методики используются следующие.

Растяжение кольцевых образцов (рис. 4.59); применяется для испытания материала стенок эксплуатировавшихся уже котлов без полного вывода из строя агрегата — после вырезки образца

Рис. 4.60. Схема испытания на Ижгнб дисков, опертых по контуру (Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, Обороигиз, 1952].Рис. 4.60. Схема испытания на Ижгнб дисков, опертых по контуру (Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, Обороигиз, 1952].

Рис. 4.60. Схема испытания на Ижгнб дисков, опертых по контуру (Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, Обороигиз, 1952].

Рис. 4.60. Схема испытания на Ижгнб дисков, опертых по контуру (Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, Обороигиз, 1952].

образовавшееся отверстие легко заделывается. Недостатком является наличие в образце кроме .растяжения и изгиба, на который сильно реагируют малопластичные металлы.

Изгиб дисков, опертых по контуру (рис. 4.60); этот вид испытания создает напряженное состояние, более близкое к тому (двухосное растяжение), которое имеется в баллонах, сосудах, трубах, чем напряженное состояние при одноосном растяжении; поэтому результаты такого испытания являются более надежными для суждения о поведении материала в указанных выше изделиях. Разрушение может быть либо пластичным ——продавливание диска, либо хрупким —образование радиальных трещин.

Испытание гладких микрообразцов') при растяжении; используется для следующих целей: выявления неоднородности и анизотропности материала в пределах изделия; изучения структур, возникающих лишь в тонких изделиях, например, при волочении, прокатке их или в цельноцементированных или цельноазотирован- ных изделиях; изучения свойств материала изделия при минимальной затрате материала с целью сохранения изделия; изучения

В Размеры образцов колеблются в следующих пределах： общая длина g,6 + 10,4 мм, диаметр 1,2 + 0,8 мм, длина между площадками для передачи йгрузки 6,6 + 4,4 мм.

свойств материала сварных швов; изучения масштабного фактора при уменьшении образца. Для изготовления и испытания микрообразцов используются специальные инструменты, при способ лен и я, приборы и применяется особая технология. . ,,

Испытание образцов с надрезами при однократном нагружении. Ввиду наличия в различных деталях машин и других изделиях всевозможных канавок, выточек, отверстий, нарезок, галтелей, необходимых для конструктивных и эксплуатационных целей, возникла необходимость выяснить чувствительность материала к надрезам, для чего производится сопоставление результатов испытания материала в гладких образцах и образцах с надрезом. Наряду с этим определяют и абсолютные значения характеристик материала при наличии надреза в образце. В большинстве случаев надрез снижает пластичность и вязкость материала и мало влияет на прочность. Испытания производят при различных видах деформации образца (растяжение, сжатие, кручение, изгиб), различных геометрических параметрах надрезов, различных абсолютных размерах образцов; все эти факторы оказывают существенное влияние на чувствительность к надрезу. Рассматривают чувствительность материала к надрезу по признаку прочности, деформации, вязкости. Наибольшее значение имеют исследования, в которых образцы доводятся до разрушения. В надрезанных образцах, в силу концентрации напряжений, пластические деформации локализуются областью надреза и характер разрушения образца, хрупкий при неинструментальном осмотре, оказывается на самом деле пластичным, что обнаруживается при микроскопическом изучении.

Особенно важным исследование свойств в образцах с надрезами является для материалов высокой прочности.

Наряду с основной отмеченной выше целью, испытание надрезанных образцов выявляет распределение, местных деформаций, давая необходимые данные для построения соответствующей теории, и позволяет искать пути уменьшения чувствительности к надрезу, в частности, при помощи разгружающих или перегружающих надрезов. Об этом подробно говорится в главе XIX.

Влияние химического состава, структуры и вида обработки материала на механические свойства при наличии надреза (чувствительность к надрезу) значительно выше, чем влияние тех же факторов на механические свойства в гладких образцах.

Длительные испытания при статических нагрузках.

Общее замечание. Длительное воздействие нагрузки в условиях высоких сходственных температур на материал в паровых и газовых турбинах, котлах и других агрегатах вызывает ряд процессов, в частности ползучесть и релаксацию. Остановимся на этих явлениях.

Ползучесть. Ряд материалов в различных условиях испытывает так называемую ползучесть, состоящую в том, что

с течением времени в материале без увеличения напряжений (нагрузки) и без изменения температуры происходит рост пластических деформаций '), Различается две разновидности ползучести:

ползучесть с участкомползучесть с участкомРис. 4.61. Кривая ползучести металля в системе осей ое/.Рис. 4.61. Кривая ползучести металля в системе осей ое/.установившегося процесса и неустановив- шаяся ползучесть. Первая из них в системе осей ое/ (/ — время) изображается диаграммой, показанной на рис. 4.61. Из диаграммы видно, что некоторая деформация 8МГН, называемая мгно- венной】 происходит в тот относительно короткий промежуток времени, в течение которого прикладывалась нагрузка. Далее без увеличения нагрузки (напряжений) происходит рост деформаций. В течение отрезка времени。乙 деформации происходят при переменной скорости. Скорость деформаций умень

ползучесть с участком

ползучесть с участком

Рис. 4.61. Кривая ползучести металля в системе осей ое/.

Рис. 4.61. Кривая ползучести металля в системе осей ое/.

шается до определенной нейную форму. Начинаяшается до определенной нейную форму. Начинаявеличины, и диаграмма имеет криволи- с момента 友 и до момента /2 деформации

шается до определенной нейную форму. Начиная

шается до определенной нейную форму. Начиная

растут с постоянной скоростью, при этом ползучесть называется установившейся и может происходить очень длительное время.

Рис. 4.62. Проекция кривой ползучести металла на плоскость e/i ef — мгновенная деформация (упругая или упруго-пластическая), е" — деформация ползучести; / — участок неустаиовнвшейся ползучести (с течением времени скорость убывает); // — участок установившейся ползучести (скорость ползучести сохраняется постоянной); III—участок, предшествующий разрушению (скорость резко возрастает); Т — температура.

иногда измеряемое годами. Наконец, наступает период, в который наблюдается повышение скорости деформации, завершающееся разрушением образца или детали. Такой тип ползучести наблюдается в металлах при высоких температурах.

Чем выше напряжения, тем интенсивнее происходит ползучесть при прочих равных условиях, в том числе при одинаковой температуре среды, в сопоставляемых случаях. На рис. 4.62 показана проекция кривой ползучести на плоскость &厶 Чем выше темпера-

х) Салли А., Ползучесть металлов и жаропрочные сплавы, пер. с англ., Оборонгиз, 1953.

Бордзыка А. M.t Методы горячих механических испытаний металлов, изд. 2-е, Металлургиздат, 1962.

Рис. 4.63. Кривые ползучести металла при разных уровнях температуры и одинаковом уровне нап-Рис. 4.63. Кривые ползучести металла при разных уровнях температуры и одинаковом уровне нап-Рис. 4.64. Кривые ползучести металла прн разных уровнях напряжений и одинаковом уровне температуры; при высоком напряжении (о,81) участок // установившейся ползучести может отсутствовать (S-образная кривая ползучести); при малых напряжениях (и " ) и низкой температуре может отсутствовать участок /// (при возрастании t деформа* цня ограничена и стремится к значению е (оо))./Рис. 4.64. Кривые ползучести металла прн разных уровнях напряжений и одинаковом уровне температуры; при высоком напряжении (о,81) участок // установившейся ползучести может отсутствовать (S-образная кривая ползучести); при малых напряжениях (и " ) и низкой температуре может отсутствовать участок /// (при возрастании t деформа* цня ограничена и стремится к значению е (оо))./

Рис. 4.63. Кривые ползучести металла при разных уровнях температуры и одинаковом уровне нап-

Рис. 4.63. Кривые ползучести металла при разных уровнях температуры и одинаковом уровне нап-

Рис. 4.64. Кривые ползучести металла прн разных уровнях напряжений и одинаковом уровне температуры; при высоком напряжении (о,81) участок // установившейся ползучести может отсутствовать (S-образная кривая ползучести); при малых напряжениях (и " ) и низкой температуре может отсутствовать участок /// (при возрастании t деформа* цня ограничена и стремится к значению е (оо))./

Рис. 4.64. Кривые ползучести металла прн разных уровнях напряжений и одинаковом уровне температуры; при высоком напряжении (о,81) участок // установившейся ползучести может отсутствовать (S-образная кривая ползучести); при малых напряжениях (и " ) и низкой температуре может отсутствовать участок /// (при возрастании t деформа* цня ограничена и стремится к значению е (оо))./

тура 7', при которой наблюдается явление, тем круче располагается кривая ползучести (рис. 4.63). Если испытывать образцы при одинаковой температуре, но при разных уровнях напряжений, то вид семейства кривых ползучести получается такой, как показано на рис. 4.64. Для деталей, выполненных из материалов, для которых характерны кривые ползучести типа, показанного на рис. 4.61, 4.62, устанавливается определенная продолжительность их работы. В этом случае важной является характеристика, называемая пределом ползучести. Под пределом ползучести понимается напряжение, при котором через определенный промежуток времени деформация ползучести при данной температуре получит заранее заданную величину, например: 1 % за 100 000 часов при 500 ℃. Символически предел ползучести обозначают так:瓦卫“。。,S,2/5oo, 5〃оооо,…Числитель индекса

показывает величину остаточной деформации в процентах, знаменатель индекса — длительность испытания в часах. Чтобы уяснить порядок величины продолжительности работы материала в ■ условиях проявления ползучести при высоких температурах, укажем, что материал деталей газовых турбин работает в течение сотен часов, а паровых турбин — до 100 000 часов.

Отношение предела ползучести к удельному весу материала иногда называют удельной жаропрочностью (удельным пределом ползучести). В табл. 4.9 приведены значения предела ползучести (при 1000 ℃ за 24 часа на 1%) и удельной жаропрочности для ряда чистых металлов; эти характеристики очень важны для оценки материалов, используемых в ракетах и сверхзвуковых самолетах.

Таблица 4.9

Металл

5/24, кГ/мм*

Удельный вес, Г/см* .

Удельная жаропрочность S/24/Y

Титан

0,16

4,5

3 500

Никель

0,4

8,9

'4500

Железо

0,75

7,87

9500

Кобальт •

1,0

•8,9

11 200

Хром

3,2—4,8

7,1

45 000—68 000

Ниобий

4$

8,4

54 000

Тантал

4,8-6,4

16,6

29 000—39 000

Молибден

4,8—6,4

10,2

47 000—63 000

Вольфрам

9,6

19,3

50 000

.[Блаитер М. Е； М

еталловедение

1 термическая

обработка, Маш-

гиз, 1963.]

Ползучесть с участком установившегося процесса обнаруживается и в древесине при обыкновенной температуре, и в тем большей мере, чем влажнее древесина.

Ползучесть наблюдается и в бетонах при обычной температуре. В отличие от металлов и древесины, в бетоне ползучесть затухающая, без периода установившегося процесса (рис. 4.65 и 4.66): скорость ползучести с течением времени уменьшается и асимптотически приближается к нулю. В зависимости от марки бетона.

Рис. 4.66. Кривая затухающей ползу честн бетона.Рис. 4.66. Кривая затухающей ползу честн бетона.

Рис. 4.66. Кривая затухающей ползу честн бетона.

Рис. 4.66. Кривая затухающей ползу честн бетона.

минералогического состава цемента, температурно-влажностного режима, а также величины напряжений период заметной ползучести бетона оценивается промежутком времени от одного года до нескольких лет. Весьма интенсивно происходит ползучесть в пластиках (полиэтилен, полихлортрифторэтилен, поливинилхлорид, полистирол и др.). При этом на протекание ползучести оказывает влияние не только уровень нагрузки и температуры, как и в металлах, но и влажность.

Характер поведения материала, испытавшего ползучесть после снятия нагрузки, зависит от его природы. Деформация ползучести

§ 4.10] РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛОВ ■ 805 металлов в основном необратима (имеет пластическую природу), у полимеров же в основном деформация ползучести упруга.

Релаксация. Коль скоро при неизменных напряжениях с течением времени происходит рост деформаций, то для того, чтобы деформация оставалась неизменной, необходимо снижать напряжения (нагрузку). В испытательных машинах это снижение происходит автоматически при помощи специального электронного прибора, осуществляющего постепенную разгрузку для обеспечения неизменной деформации. В качестве груза в этих случаях принимается дробь или вода, и, таким образом, имеется возможность производить уменьшение его величины небольшими

Рис. 4.67. Кривая релакса- Рис. 4.68. .Проекция кривой релаксации на плоскость цнн в системе осей ие/. о/; а(ор) — предел, к которому стремится напряжение прн возрастании /.

порциями. Уменьшение груза, естественно, влечет за собой снижение напряжений.

Явление снижения напряжений при постоянстве величины деформации и постоянстве температуры называется релаксацией напряжений. В системе осей ае/ релаксация может быть охарактеризована диаграммой, изображенной на рис. 4.67.

На рис. 4.68 изображена проекция кривой релаксации на плоскость а/.

Ползучесть и релаксация ——проявление свойства тела изменять свое напряженно-деформированное состояние во времени. Но эти проявления обнаруживаются в определенных частных случаях режима: ползучесть — в случае постоянства напряжений и релаксация ——в случае постоянства деформаций. Возможны и более сложные режимы, при которых изменению подвергаются как напряжение, так и деформация, а в ряде случаев и температура. Характер явления в этих случаях еще более сложен. Иногда процессы, происходящие в материале и в условиях этих сложных режимов, также называют ползучестью (в обобщенном смысле).

Для изучения материала в аналогичных указанным выше условиях и для определения предела ползучести, предела длительной прочности, а также изучения релаксации производятся длительные испытания материала при высоких сходственных температурах. Изучению подвергают сопротивление пластическим деформациям

н сопротивление разрушению. Для таких испытаний существуют специальные машины, образцы в которых располагаются в особых печах.

Испытания при ударных нагрузках г)・ Материал в условиях ударных нагрузок работает во многих машинах и других объектах.

По а-аПо а-а

По а-а

По а-а

Рис. 4.70. Зависимость ударной вязкости от температуры для некоторых сталей; по осн ординат отложена ударная вязкость: / — Ст. 3 «спокойная», ось образца вдоль проката, 2 — Ст. 3 «кипящая», ось образца вдоль &ОКата, 3 — Ст. 3 «спокойная», ОСЬ образца поперек проката, 4 — Ст. 3- «кипящая», ось образ- Ц* поперек проката [Стрелецкий Н. С. н др., Стальные конструкции, Стройиздат, 1952].Рис. 4.70. Зависимость ударной вязкости от температуры для некоторых сталей; по осн ординат отложена ударная вязкость: / — Ст. 3 «спокойная», ось образца вдоль проката, 2 — Ст. 3 «кипящая», ось образца вдоль &ОКата, 3 — Ст. 3 «спокойная», ОСЬ образца поперек проката, 4 — Ст. 3- «кипящая», ось образ- Ц* поперек проката [Стрелецкий Н. С. н др., Стальные конструкции, Стройиздат, 1952].

Рис. 4.70. Зависимость ударной вязкости от температуры для некоторых сталей; по осн ординат отложена ударная вязкость: / — Ст. 3 «спокойная», ось образца вдоль проката, 2 — Ст. 3 «кипящая», ось образца вдоль &ОКата, 3 — Ст. 3 «спокойная», ОСЬ образца поперек проката, 4 — Ст. 3- «кипящая», ось образ- Ц* поперек проката [Стрелецкий Н. С. н др., Стальные конструкции, Стройиздат, 1952].

Рис. 4.70. Зависимость ударной вязкости от температуры для некоторых сталей; по осн ординат отложена ударная вязкость: / — Ст. 3 «спокойная», ось образца вдоль проката, 2 — Ст. 3 «кипящая», ось образца вдоль &ОКата, 3 — Ст. 3 «спокойная», ОСЬ образца поперек проката, 4 — Ст. 3- «кипящая», ось образ- Ц* поперек проката [Стрелецкий Н. С. н др., Стальные конструкции, Стройиздат, 1952].

Р^с. 4.69. Образец Менаже для испытания на ударную вязкость и характер воздействия на него.

например в копрах, молотах, в сооружениях оборонной и военной техники и т. п. Поведение материала при ударной нагрузке в ряде

от поведения в условиях статического приложения сил. Желая оценить способность материала сопротивляться ударному воздействию и склонность его к хрупкому разрушению, производят так называемые испытания на ударную вязкость.

Образец, имеющий форму» показанную на рис. 4.69, подвергается ' удару на специальном копре. Надрез в образце преследует цель создать концентрацию напряжений, в условиях которой, так же как и в условиях динамической нагрузки, материал имеет склонность

переходить из пластического состояния в хрупкое. Мерой сопротивляемости образца удару является энергоемкость его — отношение работы, затрачиваемой на разрушение образца, к площади поперечного сечения в ослабленном месте. Эта характеристика называется ударной вязкостью и измеряется в кГсм!с^. Ударная вязкость стали и ряда дру

гих материалов существенно падает в некотором диапазоне температур. На рис. 4.70 показана зависимость ударной вязкости ряда сталей от температуры.

*)ДавиденковН. Н.( Динамические испытания металлов, ОНТИ, 1936.

Давиденков Н. Н., Проблемы удара в металловедении» Изд-во АН СССР, 1938.

Погодин-Алексеев Г. И., Свойства металлов при ударном нагру- жевии, Металлургиздат, 1953.

Р а т и е р С. И., Пластичность н прочность металлов, Оборонгиз, 1949.

Ударная вязкость многих металлов резко падает при снижении температуры, т. е. металл становится хрупким при низких температурах; это явление называется хладноломкостью.

Если при статическом испытании материал разрушается пластически, а при ударной нагрузке — хрупко, то материал обладает так называемой ударной хрупкостью. Кроме ударной вязкости при изгибе, изучается сопротивление материала ударному растяжению, ударному сжатию и ударному кручению, а также повторному ударному воздействию, большей частью при изгибе.

Испытания при повторно-переменных нагрузках. Испытание материала при повторно-переменных нагрузках (см. гл. XIX) производится с целью определения предела выносливости (предела усталости) г).

Понятие о выносливости материала. Для многих материалов (стали, сплавы меди, титана и других металлов, бетоны) характерно явление,

Рис. 4.71. Кривая испытаний на выносливость (кривая Веллера); / — предел выносливости.Рис. 4.71. Кривая испытаний на выносливость (кривая Веллера); / — предел выносливости.известное под названием усталостного разрушения. Сущность его состоит в следующем. Материал изделия в случае возникновения в нем переменных во времени напряжений 2) после некоторого .числа циклов изменения напряжений хрупко разрушается при уеловии*пре- вышения максимальньГми напряжениями, например наибольшим напряжением

Рис. 4.71. Кривая испытаний на выносливость (кривая Веллера); / — предел выносливости.

Рис. 4.71. Кривая испытаний на выносливость (кривая Веллера); / — предел выносливости.

в области концентрации, некоторой ве

личины, называемой пределом выносливости (рис. 4.71). Предел вы

носливости может быть намного ниже предела прочности и даже

предела текучести материала. .

Изображенная на рис. 4.71 диаграмма получается путем испытания ряда одинаковых образцов, но при различном уровне напряжений. Чем выше напряжение и, тем после меньшего числа циклов ^ происходит разрушение, если напряжение превосходит предел выносливости. Испытание одного образца позволяет получить одну точку в системе осей a^; ордината точки ——максимальное напряжение, при котором работал образец, абсцисса — число циклов изменения напряжений к моменту разрушения. По нескольким точкам проводится кривая. У ряда материалов, таких, как стали, титан, титановые сплавы, цирконий, эта кривая асимптотически односторонне приближается к некоторой прямой, параллельной оси N (иа рис. 4.71 — пунктир). Ордината точки этой прямой и представляет собой предел выносливости. На рис. 4.72 показаны

Вейбулл В., Усталостные испытания и анализ их результатов, пер. с англ, под ред. С. В. Серенсеиа, «Машиностроение», 1964.

В частности, периодически (циклически) изменяющихся, в особенности знакопеременных.

/ — гладкие образцы, 2 — круглый над/ — гладкие образцы, 2 — круглый надрез. 3 — острый надрез.рез. 3 — острый надрез.диаграммы выносливости титана в полулогарифмической шкале. У других материалов, например у сплавов меди, асимптота имеет, по-видимому/ нулевую ординату (рис. 4.73), т. е. предел выносливости в принятом нами смысле равен нулю. Для таких материалов вводится понятие условного предела выносливости} под последним понимается * величина напряжений, вызывающих разрушение при числе циклов, равном заданному ^. Таким образом, изделие из такого материала, работающее при переменных напряжениях, должно иметь ограниченный срок службы, в течение которого число циклов изменения напряжений не превзойдет с некоторым запасом расчетного.

/ — гладкие образцы, 2 — круглый над

/ — гладкие образцы, 2 — круглый над

рез. 3 — острый надрез.

рез. 3 — острый надрез.

Рис. 4.73. Кривая Вёллерв для меди.Рис. 4.73. Кривая Вёллерв для меди.Предел выносливости представляет собой то наибольшее напряжение, при котором, как бы ни было велико число циклов

Рис. 4.73. Кривая Вёллерв для меди.

Рис. 4.73. Кривая Вёллерв для меди.

изменения напряжений, разрушения не наступает. При разных отношениях максимального напряжения к минимальному предел выносливости различен.

Наименьшее значение предел выносливости имеет в случае, когда по абсолютному значению максимальные напряжения равны минимальным, но различны по знаку. Кроме того, предел выносливости зависит от вида деформации (осевая деформация, изгиб, кручение), от прочности материала, абсолютных размеров элемента, от наличия агрессивной среды, в частности, вызывающей коррозию и т. п. Одним из характерных случаев переменной нагрузки (напряжений) является нагрузка, действующая на элемент в процессе его колебаний (вибрации). В связи с этим способность материала противостоять переменной нагрузке, т. е. работать без наступления усталостного разрушения, называется вибрационной прочностью. На самом деле периодическая циклическая нагрузка (напряжение) мыслима не только как вибрационная; например, существуют нагрузки (напряжения), действующие на детали машин, совершающие вращательные или иные периодические движения.

Термин усталость сохранился еще с первой половины XIX века, когда ошибочно считали, что материал после длительного срока

работы перерождается-, превращается из волокнистого в зернистый, как бы «устает». На самом деле в условиях переменности напряжений в материале изделия образуются поперечные, невидимые на глаз зародышевые трещины, постепенно разрастающиеся и объединяющиеся в макротрещину, проникающую в глубь изделия. Берега трещины, надавливая друг на друга, в процессе переменности напряжений оказываются притертыми ——гладкими. Поперечное сечение элемента постепенно уменьшается и доходит до таких размеров, при которых напряжения в материале достигают предела прочности, вследствие чего происходит разрушение. У дна трещины, являющейся по форме как бы очень острым надрезом, возникает резкая концентрация напряжений, влекущая за собой локализацию разрушения и стеснение развития пластических деформаций г). Этим объясняется хрупкий характер окончательного разрушения даже в материалах, обладающих в иных условиях высокой пластичностью. Избирательный характер деформаций и разрушения от усталости ——сосредоточение их в очень локальной области вблизи максимальной концентрации напряжений —— отличает деформацию и разрушение в условиях усталости от таковых при однократном нагружении. В изломе детали, разрушившейся от усталости, имеются две ярко выраженные зоны: наружная — область трещины, — гладкая, блестящая, с притертыми поверхностями берегов трещины; внутренняя — область окончательного хрупкого разрушения, с характерным для хрупкого разрушения зернистым изломом. Усталость материала является грозным явлением, могущим привести к весьма опасным катастрофам, если не принять меры, обеспечивающие невозникновение ее. Эти меры обеспечивают непре- вышение (с некоторым коэффициентом запаса) максимальными местными напряжениями предела выносливости. Таким образом, необходимо, с одной стороны, снижать максимальные местные напряжения, а с другой ——повышать предел выносливости материала. Снижение максимальных местных напряжений обеспечивается приданием элементу формы, не вызывающей больших концентраций напряжений, приданием поверхности изделия гладкости. Даже след от резца, обрабатывающего изделие, у дна которого образуется концентрация напряжений, может явиться началом образования трещины усталости. Повышение предела выносливости достигается применением высокопрочных материалов и (или) средств, упрочняющих поверхность изделия: химико-термической обработкой поверхности, поверхностной закалкой, механической обработкой поверхности дробеструйным способом, накатки роликами и т. п.

При многократном повторении ударного воздействия иа материал изделия в нем может возникнуть так называемая ударная

1) Понятие предела прочности у дна трещины поясняется в главе VIII.

усталость. Существует понятие циклическая вязкость материала, представляющее собой удельную работу деформации (кГсм/cj^), поглощаемую при одном цикле нагружения; эта работа оценивается площадью, ограниченной петлей упругого гистерезиса.

6.2. Прочность материала, работающего при высоких температурах в условиях пе - ременного режима. Специфической является работа материала в условиях одновременного наличия высоких температур и переменных силовых воздействий. Материал, работающий в таких условиях, должен обладать свойствами выносливости (высокий предел усталости) и (или) термической стойкости (высокий предел термической усталости).

Первое свойство — это способность выдерживать не разрушаясь переменные нагрузки при высоких температурах; характеристикой его является условный предел выносливости, определяемый при заданной температуре и символически обозначаемый так: атоо, Moo* Индекс w указывает на то, что данное напряжение является условным пределом выносливости, второй числовой индекс указывает продолжительность испытания в часах. Можно поставить цель — исключить возможность разрушения от усталости. Тогда достаточно добиться того, чтобы условные пределы выносливости (°呢io。，°w5oo，-•) превышали соответствующие по продолжительности испытания пределы длительной прочности (а100, а500, ...).

Второе свойство —— термическая стойкость —— состоит в способности выдерживать без разрушения переменную температуру и термические напряжения.

Фактором, способствующим хорошей сопротивляемости жаропрочных материалов переменным воздействиям' при высоких температурах, является перераспределение напряжений в местах концентрации, происходящее в силу того, что протекание пластической деформации облегчено в условиях высоких температур; вместе с тем пластическая деформация снижает действительный коэффициент концентрации напряжений до величины, близкой к единице.

7. Косвенные методы определения механических свойств металлов (испытания без разрушения).

Идея испытания без разрушения. Испытания образцов металла с целью определения его свойств, обсужденные выше, требуют в каждом случае изготовления образца и наличия довольно сложной испытательной машины. Иногда, изготавливая образец, приходится портить изделие. Стремление к упрощению методики определения свойств материалов, в частности к тому, чтобы не приходилось приводить в негодность изделие, явилось причиной создания таких методов, в которых величины, характеризующие свойства материала, определяются без разрушения образцов, а часто и без изготовления их — непосредственно на самом изделии, минуя причинение ему ущерба.

Характеристика материала, определяемая без разрушения образца и даже без его изготовления, должна находиться в достаточно устойчивом соответствии с важнейшими механическими характеристиками.

Испытание воздействием н а поверхность материала.

Определение понятия《твердость》. Существует большая группа методов оценки материала, основанных на том или ином контактном воздействии на поверхность материала. Сопротивляемость материала внедрению в него характеризуется некоторым числом, которое имеет в разных случаях разную природу. Все эти методы объединяются общим названием: методы определения твердости. При этом, следуя Н. А. Шапошникову, будем считать, что «под твердостью подразумеваются разнообразные характеристики сопротивляемости металла местной, сосредоточен ной в небольшом объеме, деформации на его поверхности».

Числа, количественно определяющие эффект воздействия на поверхность металла, называют числами твердости. Этот эффект в одних случаях связан лишь с упругой деформацией поверхности материала, в других ——с пластической или упруго-пластической деформацией; наконец, существуют и такие методики, эффект воздействия в которых связан с разрушением поверхностного слоя в небольшой области. Имеется ряд определений понятия «твердость», но общим их недостатком является то, что они, хорошо отражая сущность одних методик, совершенно противоречат идеям других. Этот недостаток почти не присущ вышеприведенному определению. Вопрос о термине «твердость» являлся предметом многих дискуссий.

Определяя твердость металла не в образце, а в изделии, удается установить косвенным путем предел прочности, не изготавливая образца и не доводя материал до разрушения в изделии. Соответствующим методам (неразрушающим) определения механических характеристик в последнее время уделяют большое внимание.

Числа твердости. Итак, существует ряд методов отыскания некоторых характеристик, называемых числами твердости, которые количественно определяют твердость материала. В каждом методе число твердости определяется по-особому. Поэтому оно сопровождается указанием автора метода. Принципы, положенные в основу этих методов, различны.

Имеется группа методов (Бринелля, Виккерса и ряд других), числом твердости в которых является частное от деления нагрузки^ вдавливающей в образец так называемый индентор (стальной шарик или алмазную пирамиду), на площадь возникающего на образце отпечатка. В методе Роквелла числом твердости является глубина проникновения индентора (стальной шарик или алмазный конус) в образец. В методе Шора число твердости — это высота отскока бойка с алмазным наконечником (вес 36,8 Г, высота падения 18 мм)

Метод испытанияОбозначение чисел твердостиБринелльРоквелл, шкала В, ОВиккерс (твердость по пирамиде)"вНу, HdМетод испытанияОбозначение чисел твердостиБринелльРоквелл, шкала В, ОВиккерс (твердость по пирамиде)"вНу, HdТаблица 4.10Таблица 4.10Н в = ~й亭仍一e一产）Н в = ~й亭仍一e一产）(4・9)(4・9)

Метод испытания

Обозначение чисел твердости

Бринелль

Роквелл, шкала В, О

Виккерс (твердость по пирамиде)

"в

Ну, Hd

Метод испытания

Обозначение чисел твердости

Бринелль

Роквелл, шкала В, О

Виккерс (твердость по пирамиде)

"в

Ну, Hd

Таблица 4.10

Таблица 4.10

Н в = ~й

亭仍一e一产）

Н в = ~й

亭仍一e一产）

(4・9)

(4・9)

от поверхности образца; в другом методе того же автора число твердости представляет собой нагрузку, необходимую для вдавливания алмазного шарика в образец на глубину 45 мкм. В методе Герберта числом твердости служит продолжительность качания или величина углового отклонения маятника, опора которого устанавливается на поверхность образца. Существуети ряд других методов.

С числом твердости находятся в определенном соответствии некоторые важные механические характеристики. Это соответствие устанавливается посредством проведения опытов на большой серии образцов, выполненных из рассматриваемого материала.

Наибольшее распространение имеет метод Бринелля. Этим объясняется то, что числа твердости, определяемые по другим

методам, обычно сопоставляются с числом твердости по Бринеллю. Наиболее же совершенным методом является метод Виккерса.

Числа твердости имеют стандартные, но не международные обозначения. Эти обозначения в отечественной литературе показаны в табл. 4.10.

Ниже приводятся краткие сведения о некоторых из упомянутых выше методов.

%3. Описание методов определения чисел твердости. Метод Бринелля, Индентором служат стальные шарики с О = 10,5 мм и 2,5 мм. Число твердости определяется по формуле

здесь D — диаметр шарика, d — диаметр отпечатка; выражение в знаменателе формулы (4.9) — площадь поверхности лунки — отпечатка (шаровой сегмент). Метод дает надежные результаты до Нв = 450 кГ/мм^. Между диаметром шарика и нагрузкой соблюдается определенное соотношение, для того чтобы при испытании шариками разных диаметров получались одинаковые значения чисел твердости (для черных металлов Р = 30£)2, для цветных Р = 10Q2; здесь D — в мм, а Р — в кГ). Для вдавливания шарика в образец используется специальный пресс (пресс Бринелля), но может применяться и любой другой пресс соответствующей силы с точностью силоизмерения ±1 %.

Метод Виккерса (метод пирамиды). Индентором является алмазная квадратная пирамида с углом между гранями при вершине 136°. Нагрузка, создаваемая специальным прессом Виккерса, принимается от 5 до 120 кГ, чаще всего 10 кГ. Размер отпечатка

в силу его малости и для получения большой точности измеряется при помощи вмонтированного в прибор (в пресс) микроскопа^ Достоинством метода Виккерса является сохранение чисел твердости для одинаковых_материалов при очень значительных изменениях нагрузки, так как в формуле для определения числа твердости числитель (нагрузка) и знаменатель (площадь отпечатка) изменяются пропорционально вследствие геометрического подобия отпечатков любого размера, создаваемых пирамидой; шарик этого не обеспечивает. Методом Виккерса можно определять твердость практически всех материалов ——от самых мягких до алмаза вклю- чительно- Однако этот метод в производственных условиях менее удобен, чем метод Бринелля и особенно Роквелла.

Метод Роквелла. Индентор в форме конуса с углом при вершине 120° (алмазный или из твердого сплава) или твердого закаленного шарика (Q = 1,59 мм). Число твердости по Роквеллу, связанное с глубиной проникновения индентора в образец, показывается автоматически на приборе Роквелла (твердомере) при помощи стрелки на шкале. Такая простота измерений существенно увеличивает производительность метода и позволяет применять метод Роквелла для массового контроля изделий. В опыте используется одна из трех нагрузок: 60 кГ, 100 кГ, 150 кГ; числа твердости, соответствующие каждой из них, составляют так называемые шкалы Роквелла At В и С. При 60 кГ в качестве индентора используется конус; такая нагрузка применяется к очень твердым материалам, и числа твердости (шкала А) оказываются превышающими 70 1). Нагрузка 100 кГ применяется для испытания материалов мягких и средней твердости; индентором служит шарик, и числа твердости (шкала В) получаются до 100. Наконец, нагрузка 150 кГ используется для испытания материалов средней твердости и твердых; в качестве индентора применяется конус, и числа твердости (шкала С) находятся в пределах 20——70. Кроме трех указанных широко распространенных шкал имеется еще 12 других редко употребляемых шкал Роквелла. Для уточнения измерений используется предварительная нагрузка в 10 кГ с тем,. чтобы глубину отпечатков от испытательной нагрузки измерять от дна отпечатка, соответствующего предварительной нагрузке (измерения производятся прц, помощи индикатора с циферблатом).

Метод-Шора пояснен в основном выше; здесь к уже сказанному добавим лишь то, что число твердости выражается в условных делениях шкалы прибора, указываемых стрелкой. За 100 делений принята средняя высота отскока бойка от закаленной высокоугле- родистой стали. Метод Шора легко применяется для испытания металла непосредственно в изделии в условиях эксплуатации.

1) Чем тверже материал, тем меньше глубина отпечатка и тем выше число твердости.

Нв，田岡明30ffBJ0/3000/30HsJ0/3000/30^gJ0/3000/30

Рис. 4.74. Зависимости между числами твердости: а) Шора и Бринелля; б) Роквелла (шкала С) и Бринелля; 6 )Виккерса и Бринелля; г) Роквелла (шкала В) и Бринелля [Справочник марок сталей, пер. с нем. И. Д. Чукмасовой, под ред. A. G. Чукмасова,、 Металлургиздат, 1963].Рис. 4.74. Зависимости между числами твердости: а) Шора и Бринелля; б) Роквелла (шкала С) и Бринелля; 6 )Виккерса и Бринелля; г) Роквелла (шкала В) и Бринелля [Справочник марок сталей, пер. с нем. И. Д. Чукмасовой, под ред. A. G. Чукмасова,、 Металлургиздат, 1963].--二二二-二二二二二・-----■■■■--■?一, 勿引勿笈窗笈勿;7，^^衣/%，^^в^--二二二-二二二二二・-----■■■■--■?一, 勿引勿笈窗笈勿;7，^^衣/%，^^в^Рис. 4.75. Сопоставление шкал твердости Бринелля, Роквелла (шкалы В, С, М, R) и Мооса; М — шкала Мооса (/ — тальк, 2 — гипс, 3 — кальцит, 4 — флюорит, 5 — апатит, 6 — ортоклаз, 7 — кварц, 8 — топаз, 9 — сапфир, 10 — алмаз) [Kinney G, F., Engineering Properties and Applications of Plastics, John Wiley and Sons, New York, 19501.Рис. 4.75. Сопоставление шкал твердости Бринелля, Роквелла (шкалы В, С, М, R) и Мооса; М — шкала Мооса (/ — тальк, 2 — гипс, 3 — кальцит, 4 — флюорит, 5 — апатит, 6 — ортоклаз, 7 — кварц, 8 — топаз, 9 — сапфир, 10 — алмаз) [Kinney G, F., Engineering Properties and Applications of Plastics, John Wiley and Sons, New York, 19501.Рис, 4.76. Сопоставление различных шкал твердости с прочностью стали: d — диаметр отпечатка стандартного шарика Бринелля; / — 〃历 3000 ", шарик 10 兩麻；2 — Ну] 3 — 〃R。， 150 кГ, алмазный конус 120°; 4 — НRb，100 «Л шарик 1/16"; 5 — —НRe I。。"，шарик 1/8〃 [см. источник в подписи к рис. 4.49].

Рис. 4.74. Зависимости между числами твердости: а) Шора и Бринелля; б) Роквелла (шкала С) и Бринелля; 6 )Виккерса и Бринелля; г) Роквелла (шкала В) и Бринелля [Справочник марок сталей, пер. с нем. И. Д. Чукмасовой, под ред. A. G. Чукмасова,、 Металлургиздат, 1963].

Рис. 4.74. Зависимости между числами твердости: а) Шора и Бринелля; б) Роквелла (шкала С) и Бринелля; 6 )Виккерса и Бринелля; г) Роквелла (шкала В) и Бринелля [Справочник марок сталей, пер. с нем. И. Д. Чукмасовой, под ред. A. G. Чукмасова,、 Металлургиздат, 1963].

--二二二-二二二二二・-----■■■■--■?一, 勿引勿笈窗笈勿;7，^^衣/%，^^в^

--二二二-二二二二二・-----■■■■--■?一, 勿引勿笈窗笈勿;7，^^衣/%，^^в^

Рис. 4.75. Сопоставление шкал твердости Бринелля, Роквелла (шкалы В, С, М, R) и Мооса; М — шкала Мооса (/ — тальк, 2 — гипс, 3 — кальцит, 4 — флюорит, 5 — апатит, 6 — ортоклаз, 7 — кварц, 8 — топаз, 9 — сапфир, 10 — алмаз) [Kinney G, F., Engineering Properties and Applications of Plastics, John Wiley and Sons, New York, 19501.

Рис. 4.75. Сопоставление шкал твердости Бринелля, Роквелла (шкалы В, С, М, R) и Мооса; М — шкала Мооса (/ — тальк, 2 — гипс, 3 — кальцит, 4 — флюорит, 5 — апатит, 6 — ортоклаз, 7 — кварц, 8 — топаз, 9 — сапфир, 10 — алмаз) [Kinney G, F., Engineering Properties and Applications of Plastics, John Wiley and Sons, New York, 19501.

индентор в виде алмазаиндентор в виде алмазаРис. 4.77. Свойства отпущенного мартенсита [Joseph Н. Fau- pel, Engineering Design. A Syn- tesis of Stress Analysis and Materials Engineering, John Wiley and Sons, New York — London —Sydney, 19641.Рис. 4.77. Свойства отпущенного мартенсита [Joseph Н. Fau- pel, Engineering Design. A Syn- tesis of Stress Analysis and Materials Engineering, John Wiley and Sons, New York — London —Sydney, 19641.

индентор в виде алмаза

индентор в виде алмаза

Рис. 4.77. Свойства отпущенного мартенсита [Joseph Н. Fau- pel, Engineering Design. A Syn- tesis of Stress Analysis and Materials Engineering, John Wiley and Sons, New York — London —Sydney, 19641.

Рис. 4.77. Свойства отпущенного мартенсита [Joseph Н. Fau- pel, Engineering Design. A Syn- tesis of Stress Analysis and Materials Engineering, John Wiley and Sons, New York — London —Sydney, 19641.

Метод определения микротвердости х). В некоторых случаях представляет интерес определение твердости небольших участков микрошлифа. Используемый для такого определения прибор включает микроскоп. При помощи прибора последовательно произво

дятся следующие операции: наводка при помощи микроскопа на участок, подлежащий обследованию; получение отпечатка (при этом вместо объектива в прибор вставляется пирамидальной формы, давление исчисляется граммами — от 0,02 до 0,200 Г в приборе М. М. Хрущева, Е. С. Берковича и А. Н. Брулова); осмотр отпечатка. Число твердости имеет такую же природу, как и в методах Бринелля и Виккерса.

Отыскание механических характеристик по числам твердости 〃 сопоставление чисел твердости, полученных разными методами. Обнаружено, что для ряда материалов сохраняется неизменным отношение той или иной механической характеристики к Нв. Это позволяет для различных материалов раз навсегда произвести сопоставительные испытания на разрыв и на определение твердости и, по найденному в опы-. те числу Бринелля, получать предел прочности или иную механическую

характеристику без производства соответствующего испытания. Так, например, для стали(упч = (0,30 -^ 0,36) Нв-

На рис. 4.74 показаны связи чисел твердости по Роквеллу (шкалы С и В), Виккерсу и Шору, с одной стороны, и по Бринеллю —с другой.

На рис. 4.75 показана связь между числами твердости по Бринеллю и Роквеллу (четыре шкалы: В, С, Mt R).

На рис. 4.76 дана номограмма^ при помощи которой сопоставляются числа твердости по Бринеллю, Виккерсу, Роквеллу (шкалы В, С, Е) и Шору, с одной стороны, и предел прочности сталей. Рис. 4.77 показывает, что с числом твердости сопоставим не только предел прочности, но и предел текучести и характеристики пластичности 5 H 屮.

. Неразрушающие методы испытания материалов. Два последних десятилетия отмечены широким развитием всевозможных неразрушающих методов испытания материалов, в

См., например, книгу; Новое в области испытаний на микротвердость, «Наука», 1974.

основе которых лежат разнообразные физические явления, эффекты и процессы 1). Одновременно эти методы являются и методами дефектоскопии. К числу таких методов относятся: рентгеновский, всевозможные радиологические, ультразвуковые, магнитные и др. Отмеченным методам посвящена огромная литература. Здесь мы вкратце коснемся лишь определения модуля упругости путем использования ультразвуковых колебаний.

Рис. 4.78. Схема установки для определения модуля продольной упругости матери алапри помощи ультразвукового метода

С испытываемым изделием (рис. 4.78) / приводятся в состояние контакта излучатель зондирующих импульсов 2 и приемник колебаний 3.

В момент подачи импульса на изделие синхронно включается микросекундомер 4, а в момент прихода фронта продольной волны зондирующего импульса к приемнику синхронно останавливается микросекундомер. Синхронный пуск и останов микросекундомера осуществляются при помощи электрических сигналов, скорость распространения которых примерно в миллион раз превышает скорость распространения продольных волн в испытуемом теле. Таким образом, микросекундомер фиксирует продолжительность прохождения фронта волны через изделие. Зная расстояние между излучателем импульсов и приемником, т. е. зная размер изделия, и, определяя экспериментально продолжительность прохождения этого расстояния волной, легко найти скорость ее распространения.

Вопросам неразрушающих методов посвящены книги:

Джонс Р., Испытание бетона без разрушения, Стройиздат, 1964.

Третьяков А. К-, Ф и л о н и д о в А. М., Контроль бетона ультразвуком в гидротехническом строительстве, «Энергия», 1964.

Крылов Н. А., Электронно-акустические и р ад иометр ические методы испытания материалов и конструкций, Стройиздат, 1963.

Крылов Н. А., Калашников В. А.,Полещук А. М., Радиотехнические методы контроля качества железобетона, Стройиздат, Л.——М., 1966.

Особо следует отметить книгу: Harmer Е. D a v i s, George Earl Troxell, Clement T. W i s k о c i 1, The Testing and Inspection of Engineering Materials, 2d ed., McGraw-Hill Book Company, Inc., New York — Toronto — London, 1955.

В этой книге имеется огромная библиография (506 литературных названий) по общим вопросам и истории испытаний, по механическим свойствам материалов, по измерениям и измерительной технике, по испытаниям на статическое растяжение и сжатие, сдвиг и изгиб, на твердость, по испытаниям на удар и усталость и, наконец, по неразрушающим методам испытаний и свойствам отдельных классов материалов (металлы, древесина, бетон, кирпич, пластмассы).

Вместе с тем эта скорость распространения продольных волн связана функционально с модулем упругости материала и его плотностью В：_

r p（1一 炉）'r p（1一 炉）'^стержень — n / Е「пласт

r p（1一 炉）'

r p（1一 炉）'

「массив —Ьпрод =「массив —Ьпрод =Е(1—)— P(1-№)(1-2n)・Е(1—)— P(1-№)(1-2n)・^прод = I/ 石， ^прод

「массив —

Ьпрод =

「массив —

Ьпрод =

Е(1—)— P(1-№)(1-2n)・

Е(1—)— P(1-№)(1-2n)・

Приведем краткую информацию о волнах в упругих средах (подробно о них говорится в главе XVII).

Механической волной можно назвать такое явление, при котором перемещение точек среды является функцией времени пространственных координат точки. Если в точке пространства, занятого средой, через которую распространяется волна, перемещение изменяется в зависимостй от времени по синусоидальному закону .

(а)(а)А = 4 sin (st — hx),

(а)

(а)

то волна называется гармонической. Функция (а) называется волновой. Л ——ампли^ туда волны, (со/ — kx) — фаза волны, со = 2冗/ — угловая частота, / — частота, k = со/〃 = 2л/Л, V — скорость распространения волны, X — длина волны.

Поверхность, во всех точках которой в данный момент времени фаза одинакова, называется фронтом волны. Фронт волны может быть плоским, сферическим и т. п. Распространение волны можно трактовать как движение фронта волны в среде.

Через упругую изотропную бесконечную среду могут распространяться два типа волн. В одном из них перемещения частиц параллельны распространению волны (продольные волны}, а в другом ——перпендикулярны (поперечные волны). Продольные волны перемещаются со скоростью

e(1-卩)

р (1+^)(!-2И)*

Поперечная волна распространяется со скоростью |/G/p при' отсутствии изменения объема любого находящегося в волновом процессе элемента среды.

Упругие волны, распространяющиеся вблизи свободной поверхности упругого тела и перемещающиеся вдоль нее, называются поверхностными волнами Ре лея. Эффект этих волн быстро уменьшается при углублении в тело. Скорость их распространения равна а }^G/ р (а ——численный коэффициент, величина которого немного меньше единицы и зависит от значения коэффициента Пуассона; при 卩=0,25 а = 0,9194, при р, = 0,5 а = 0,9554) и оказывается меньше, чем, скорость продольных и поперечных волн. Движение частиц в пЪверхностных волнах Релея происходит в плоскостях, перпендикулярных поверхности и параллельных направлению распространения. Например, при простых гармонических поверхностных волнах Релея траектория частицы представляет собой эллипс.

В телах конечных размеров могут распространяться упругие волны различного типа, и, вообще говоря, скорость их распространения зависит от длины волны.

В тонких пластинах, т. е. пластинах, толщина которых мала по сравнению с длиной волны X, продольные упругие волны р аспростр ан яютс я со скоростью ]/Е/р (1 —喇• Если толщина пластины и длина волны сопоставимы, фаза скорости уменьшается и волна с очень малой длиной перемещается со скоростью поверхностных волн Релея.

В стержнях может быть три типа упругих волн, распространяющихся вдоль оси: продольные {волны растяжения — сжатия)t крутильные и изгибные. Если длина волны велика по сравнению с поперечными размерами стержня, продоль-

Далее, зная эти зависимости и имея р, р, и Спрод, легко найти Е. Использование этих формул и для тел иных форм и конечных размеров влечет за собой некоторую погрешность.

§ 4.11. Индивидуальные особенностимеханических свойств некоторых металлов и сплавов 丄)

Предварительные замечания. В предыдущих параграфах главы обсуждены многие общие особенности структуры и свойств металлов и сплавов. У отдельных металлов или сплавов имеется ряд специфических свойств, знать которые необходимо инженеру, занимающемуся проблемой надежности, при проектировании гех или иных конструкций. В настоящем параграфе остановимся на некоторых особенностях наиболее важных для техники металлов и сплавов. К их числу относятся: железоуглеродистые сплавы (стали, чугуны), алюминиевые, магниевые, сверхлегкие, медные, никелевые сплавы, титан и его сплавы, цирконий и его сплавы, бериллий, тугоплавкие металлы и их жаропрочные сплавы. Некоторые механические и упругие характеристики семи чистых металлов приведены в табл. 4.11.

Таблица 4.11

Ме-

E, %/7cM2

乩

0,2 кГ/см2

^пч*

кГ/см2

6, %

电 %

Нв， кГ/мм2

Примечания

Fe

Al Mg Си Ni Ti Zr

(1,93-2,11)・ 106

0,71 • 106

2,20 • 106

1,125-106

0,963 • 106

0,33

0,34

0,348 0,31

420 <- 560

1540

550

1770 + 2110

600 2000 2200 5000 2500 1750

40

40

10

50

45

50

50

90

95

15

70

70

78

50

65 工 70

%=70

Примесей <0,01 %, в том числе углерода < 0,001 %

Чистый («йодидный») цирконий

* Сплавы железа. Химически чистое железо трудно получить, и практически оно не используется. Наибольшее значение и распространение в технике

ные волны распространяюгся со скоростью \rЕ! р, крутильные волны -- со скоростью VG/р (при любых соотношениях длины волны и поперечного размера стержня), а изгибные волны ——со скоростью (2ns/&) У£/ р, где s ——радиус вращения поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси. Когда длина волны получается сопоставимой с поперечными размерами стержня, скорости продольных и изгибных волн значительно сближаются и обе становятся такими, как у поверхностных волн Релея.

1) Отдельные виды материалов, обсуждаемые в §§ 4.11—4.13, 4.15, освещаются в книге «Новые материалы в технике» (под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Колачева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964) и в других источниках, упоминаемых ниже в подстрочных примечаниях. Все эти книги были использованы при написании настоящего курса.

имеют железоуглеродистые сплавы; к их числу относятся стали (Cw2%) и чугуны (6-,7 > С > 2%). Диаграмма состояния Fe——Fe3C (карбид железа) имеет вид, показанный на рис. 4.31. На рис. 4.79 показана зависимость свойств углеродистой стали от процентного содержания углерода.

В железоуглеродистые сплавы входят следующие фазы: феррит (% = = 70 + 80 кГ/мм2, пластичен), цементит (% = 800+850 кГ/мл^, относительно хрупок), аустенит (% = 170+220 кГ/мл^, более пластичен, чем феррит) и графит (мягок и непрочен, входит в состав чугунов).

В связи с тем, что как в состав сталей, так и в состав чугуна, кроме железа и углерода (и неизбежных примесей ——Si, S, Р), могут входить и другие, специально добавленные, легирующие элементы, число всевозможных сгалей и

чугунов с различным химическим составом и различными свойствами огромно. Стали с содержанием легирующих элементов в количестве 3—5%, 5—10% н> 10% называются соответственно низко-, средне- и высоколегированными. Влияние важнейших легирующих элементов таково: Ni повышает пластичность и вязкость, уменьшает склонность к росту зерна и к отпускной хрупкости (хрупкость после отпуска), при большом процентном содержании создает свойство нем аг нити ости; Мп увеличивает прокали- ваемость, т. е. снижает критическую скорость закалки, что позволяет применять мягкие режимы закалки, в меньшей степени вызывающие начальные напряжения; увеличивает износостойкость; Сг упрочняет сталь, после цементации позволяет получать высокую твердость; как недостаток отметим повышение отпускной хрупкости; W увеличивает твердость, уменьшает склонность к росту зерна; Мо повышает прочность, пластичность, а следовательно и вязкость, создает высокое сопротивление ползучести, уменьшает склонность к отпускной хрупкости; V улучшает свариваемость, резко уменьшает склонность к росту зерна при нагреве,

снижения твердости при отпуске.

Легирующие добавки изменяют

содержания углерода; шкала р — в Г/см3, шкалы апч и Оу^р ——в кГ/мм2.содержания углерода; шкала р — в Г/см3, шкалы апч и Оу^р ——в кГ/мм2.увеличивает устойчивость противувеличивает устойчивость противдиаграмму Fe—Fe3C. По микроструктуредиаграмму Fe—Fe3C. По микроструктурелегированные стали принадлежат к одному из следующих классов: перлитномуу мартенситному, аустенитному, ферритному или карбидному. Одни легирующие элементы снижают температуру аллотропного изменения FeY -> Fea, доводя ее до отрицательной величины (аустенитный класс), другие, наоборот, локализуют область FeY (ферритный класс).

содержания углерода; шкала р — в Г/см3, шкалы апч и Оу^р ——в кГ/мм2.

содержания углерода; шкала р — в Г/см3, шкалы апч и Оу^р ——в кГ/мм2.

увеличивает устойчивость против

увеличивает устойчивость против

диаграмму Fe—Fe3C. По микроструктуре

диаграмму Fe—Fe3C. По микроструктуре

Большое значение имеют в технике легированные чугуны.

Алюминиевые сплавы. Кроме основного металла (алюминия) в алюминиевые сплавы входят следующие элементы (все или некоторые): Си, Mg, Si, Zn, Мп, Fe. Содержание легирующих добавок колеблется от 1,5 до 20%. Алюминиевые сплавы характеризуются высокой удельной прочностью. Удельный вес их колеблется от 2,65 до 3,00 Псл^.

Имеется две группы алюминиевых сплавов ——литейные и обрабатываемые давлением. Первые менее пластичны, чем вторые, вторые сильнее упрочняются под влиянием термической обработки. Вообще термическая обработка оказывает большое влияние на механические свойства алюминиевых сплавов. На основе алюминия созданы как высокопрочные, так и жаропрочные сплавы. О последних говорился в разделе 13 настоящего параграфа. Дюралюминий прекрасно работает

при низких температурах. Представление о высокопрочных алюминиевых сплавах» как отечественных, так и зарубежных, можно составить по табл. 4.12.

Таблица 4.12

Высокопрочные сплавы алюминия

Марка сплава

Страна

°пч， к「[мм?

0,2 кГ/мм1

6, %

Х149 В2243 ВАЛЮ

[Сплавы и А. А. Бочвара, ния прочностнь алюминиевых с

США СССР СССР

、ветннх металл。 《Наука», 1972

.IX характеристи плавов.]

42—48 45-51

50-53

в. К 70-летик !. Статья: Колс

к жаропрочных

40 37—43 39—46

)со дня рожд >бнев И. Ф., П) и высокопрочны

6 4—7 4-8

ения акад, 『тн повыше- [X литейных

Магниевые сплавы. Основными элементами, входящими в магнцевые сплавы, кроме самого магния, являются Al, Zn, Мп. Первые два увеличивают прочность, а последний снижает склонность к коррозии. Вредными примесями являются Fe, Си, Si, Ni. Магниевые сплавы обладают весьма высокой удельной прочностью (удельный вес магния 1,74 Г/сж3, а его сплавов —— ниже 2,0 /7с*з). Вследствие легкости сплавов магния их называют электронами. Применение магниевых сплавов позволяет уменьшать вес деталей, по сравнению с деталями из алюминиевых сплавов примерно на 20—30% и по сравнению с железоуглеродистыми ——на 50——75%. Так же как и алюминиевые, магниевые сплавы делятся на литейные и обрабатываемые давлением. У последних высокая ударная и циклическая вязкость. Обработка давлением существенно повышает прочность магниевых сплавов. Механические свойства Mg литого и деформированного приведены в табл. 4.13. На основе магния созданы жаропрочные сплавы (см. раздел 13 настоящего параграфа).

Таблица 4.13

Механические свойства Mg

Вид

2 кГ/мм2

°пч, кГ/мм2

Нв， кГ/мм2

6, %

2, %

Литой ”

2,5

11,5

8

9

30

0,33

Деформированный

9,0

20,0

11,5

12,5

36

0,33

Сверхлегкие конструкционные сплавы. Сверхлегкие конструкционные сплавы созданы на основе магния или алюминия посредством легирования их самым легким металлом —литием (Li; удельный вес 0,53 Г/см^, Тсолидус= 186 °C). Такое легирование не только снижает удельный вес сплава, но и, что самое важное, улучшает пластические свойства (снижается температура, допускающая обработку давлением) и повышает модуль упругости, обеспечивая тем самым большую жесткость конструкций, изготавливаемых из магниеволитиевых сплавов (МЛС), по сравнению с жесткостью конструкции того же веса из других металлических материалов, включая сталь и титан. Удельный вес заключен в пределах 1,3—1,65 Г/с* это ниже удельного веса промышленных магниевых

6 4 И] ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОВЕЙ ВОСТ И МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 321 сплавов на 10—15%, бериллиевых сплавов на 25——30% и алюминиевых сплавов в два раза. Низкий удельный вес МЛС позволяет получать и высокую удельную прочность материала. Эга характеристика оказывается выше, чем у стандартных магниевых сплавов. МЛС не только обладают пластичностью при обычной температуре, но и не склоннь! к охрупчиванию при низких температурах. Одним из достоинств МЛС является повышенное их сопротивление внедрению в них высокоскоростных частиц, что делает их перспективными для использования в авиации и ракетной технике. Существенным фактором является и достаточная распространенность Mg и Li в природе (Mg составляет 2,4% от веса земной коры, в то время как Ti — 0,6%, Си — 0,01%, Zn — 0,005%, Ni — 0,008%, Pb — 0,001%; распространенность Li в природе большая, чем Zn, Sn； Pb). Выпуск лития возрос за 20 лет в 100 раз. Легирующее влияние Li на свойства Mg в сплавах с ним показано в табл. 4.14. В табл. 4.15 приведена информация о МЛС.

Таблица 4.14

% L1 в сплаве

кГ/мм2

6, %

"8，

кГ/мм9

% L1

сплаве

к「/мм2

6, %

к「/мм?

0.2 кГ] ММ 士

巾， %

0,1

9,2

Н,1

7,3

4.9

36

44

1,5

3,0

19,8

11,1

8,4 ；\4

42

38

0,5

14,0

7,2

42

6,5

13.4

3,0

38

6,3

31

1,0

13,3

8,4

42

12

9,5

6,0

35

6,3

80

[Дриц М. Е., Свицерская 3. А., Елкин легкие конструкционные сплавы, «Наука», 1

Ф. М., 1972.]

Тро

хова В,

,Р., Сверх-

Таблица 4.15

Физико-механические свойства МЛС

Сплавы и их характеристики (химический состав, термическая и механическая обработка)

1 室 3上

3

£

求

請

Сплав на основе а-фазы; 5% Li, 5% Zn, 2% А!; прокатка 上" кадка с 370 ℃ + холодная прокатка 10% + отжиг 82 ℃ в течение 48 часов

—

34,3

29,4

11,0

—

—

9% Li, 8% Al, 12% Zn; сплав термически обработан, степень обжатия при холодной прокатке 8%

44,1

37,1

0,5

ИМВ2-1

—

2G,0

21,0

84,0

一

12,0

16,4

5,5

Сплав на основе В-фазы; 14% U, 1,5% AI, 5% Zn, 0,2% Sn.

1,4

31,6

29,6

88,4

0,8

11,6

22,5

—

11 А. П. Филин

Zn,%Zn,%Phj 4.80. Влияние содержания Sn и Zn на сплавы меди: а) влияние содержания Sn на свойства оловя- нистой литой бронзы; б) влияние процентного содержания цинка на свойства литой латуни [Туркин Ф. Д. и Румянцев М. В.,Структура и свойства цветных металлов, Метал- лургиздат, 1947].Phj 4.80. Влияние содержания Sn и Zn на сплавы меди: а) влияние содержания Sn на свойства оловя- нистой литой бронзы; б) влияние процентного содержания цинка на свойства литой латуни [Туркин Ф. Д. и Румянцев М. В.,Структура и свойства цветных металлов, Метал- лургиздат, 1947].Латуни до 39% содержанияЛатуни до 39% содержания

Zn,%

Zn,%

Phj 4.80. Влияние содержания Sn и Zn на сплавы меди: а) влияние содержания Sn на свойства оловя- нистой литой бронзы; б) влияние процентного содержания цинка на свойства литой латуни [Туркин Ф. Д. и Румянцев М. В.,Структура и свойства цветных металлов, Метал- лургиздат, 1947].

Phj 4.80. Влияние содержания Sn и Zn на сплавы меди: а) влияние содержания Sn на свойства оловя- нистой литой бронзы; б) влияние процентного содержания цинка на свойства литой латуни [Туркин Ф. Д. и Румянцев М. В.,Структура и свойства цветных металлов, Метал- лургиздат, 1947].

Латуни до 39% содержания

Латуни до 39% содержания

При содержании Li в сплаве с Mg в количестве 10,5% и выше гексагональная решетка Mg переходит в объемноцентрированную кубическую решетку (ОЦК), что влечет за собой увеличение пластичности. В самом Li происходит переход

из ОЦК решетки в гексагональную при лаждении в области температур 190——200

Медные сплавы. Медные сплавы отличаются большим разнообразием. К числу элементов, которые входят (по одному или по несколько) в состав сплавов с медью, относятся В： Zn, Al, Мп, Si, Sn, Be, Cd, Pb, Ni.

На рис. 4.80 в качестве примера показано изменение механических свойств оловя- нистой бронзы в зависимости от содержания олова и литой латуни в зависимости от содержания цинка. Прочность сплавов меди с любым из следующих элементов: Zn, Al, Si, Sn, Be — при увеличении процентного содержания легирующей добавки сначала растет, а затем понижается. Пластичность сплавов меди с Zn или А1 при увеличении содержания легирующей добавки сначала растет, а затем понижается, а с Мп, РЬ, Ti — уменьшается с увеличением процента содержания добавки. Наряду с двойными широко известны тройные и многокомпонентные бронзы (кремнемарганцевая, свинцовонике- левая и др.).

Бронзы поддаются термической обработке (отжиг, закалка и отпуск). Бронзы относятся к литейным материалам, однако они допускают и обработку давлением.

Если в сплаве содержание элемента, добавляемого к меди, не превышает определенного процента, бронзы однофазны, сплав является раствором внедрения или замещения —кристаллическая решетка такого сплава —кубическая гранецентрированная. При превышении предела растворимости образуются еще фазы, увеличивающие твер-

(при(придость и снижающие пластичность

(при

(при

холодной обработке) сплава.

цинка однофазны (полное растворение), при

большем содержании цинка — двухфазны. Мельхиор высокопластичен и стоек против коррозии (однофазен при всех температурах), обладает хорошими механическими свойствами: отожженный мягкий мельхиор марки МНЖМц-30-0,8-1 при растяжении имеет апч не менее 38 кГ/мм^ (обычно 45—48 кГ/м繕),6 ™ 38%; полутвердый мельхиор имеет апч не менее 50 kF/м諸(обычно 70 кГ/мм^), 6 = 8—20% ・

х) Сплавы Си и Zn называют латунями (при содержании Zn не более 10% сплав называется томпаком; если, кроме цинка, имеются и другие элементы, то сплав называется бронзой). Мельхиор, константан, никелин представляют собой различные сплавы Си и Ni. Сплавы Си с каждым из остальных упомянутых в тексте элементов называются бронзами (алюминиевая бронза, марганцевая бронза и т. п.). При большом количестве марганца в сплаве с медью сплав называется манганином.

Никель и его сплавы. Никель входит в состав многих сталей, придавая им ряд ценных качеств: хорошие механические свойства (высокие прочность и пластичность), стойкость против коррозии, жароупорность. Наряду в этим имеется ряд сплавов, в которых основой является никель. Из числа конструкционных сплавов никеля отметим монель-металл (68% Ni, 28% Си, 1,5% Мп, 2,5% Fe; иногда вместо железа и части марганца вводятся Be, Si и Со). В качестве основы Ni входит в ряд сложных жаропрочных сплавов, о которых говорится в разделе 13 настоящего параграфа.

Титан и его сплавы. Титан и его сплавы широко применяются во мно* гих областях техники, в частности в химической аппаратуре, судостроении, авиации и ракетостроении, вследствие весьма удачного сочетания свойств: высокой удельной прочности, исключительно высокой коррозионной стойкости, значительной прочности при высоких температурах. Чистый титан весьма пластичен. К числу свойств, создающих некоторые затруднения в применении титана в качестве конструкционного материала, относится низкая теплопроводность (в 13 раз меньше, чем у А1, и в 4 раза меньше, чем у Fe), нежелательная в условиях больших термических градиентов, в особенности при тепловом ударе, вследствие опасности возникновения высоких термических напряжений, и в условиях высокочастотных периодических термических колебаний; этот недостаток отчасти компенсируется малостью коэффициента термического расширения. Титан имеет низкий, по сравнению со сталью, модуль продольной упругости, затрудняющий получение жестких и вместе с тем легких конструкций, несмотря на высокую удельную прочность.

Большим стимулом в применении титана и его сплавов явилась потребность заменить алюминиевые сплавы в летательных аппаратах при больших скоростях, вследствие развития при полете больших температур, не выдерживаемых алюминиевыми сплавами.

Таблица 4.16

Свойства

Металлы

название

обозначе-

единица измерения

А1

Т1

Fe

Модуль продольной упругости

£

К「1с解

0,71 • 106

1,125 • 10е

2,1 . 10в

Коэффициент линейного термического расширения

а

1/℃

24,3 • 10-6

8,15 • IO—

13,3 - ю-б

Удельная теплоемкость (при 20 ℃)

а

кал[г •・С

0,215

0,129

0,105

Плотность (при 20 ®С)

Р

2/СМЗ

2,71

4,505

7,86

Удельная теплопроводность (при 20® С)

k

кал/см • сек X Х℃

0,538

0,0450

0,2000

Коэффициент склонно

Еаср

“ • см? . сек

18,7

118

115

сти к возникновению температурных усилий в статически неопределимых системах

•с

(15,8%)

(100%)

(97,4%)

Температура плавления

^пл

660,2

1665

1536

11*

Некоторые физические свойства титана приведены в табл. 4.16, где для сопоставления показаны данные и для алюминия и железа.

Предел текучести титана и его сплавов почти равен пределу прочности, это требует больших усилий при обработке давлением. Однако обработка давлением мыслима даже при комнатной температуре в силу достаточно высоких пластических свойств технического титана, получаемого современными методами.

Из-за большой химической активности титана при высоких температурах соединение элементов из него посредством сварки встречает трудности. Резание титана осуществляется лишь при небольших скоростях подачи и большой глубине острым инструментом из быстрорежущих сталей или твердых сплавов.

Титан ——химически активный элемент, но вследствие образования на его поверхности защитной весьма плотной и однородной пленки, химический состав которой зависит от окружающей среды и условий образования (чаще всего пленка рутиловая —— TiO2), он становится пассивным. Защитная пленка делает титан более стойким, чем нержавеющая сталь, во многих агрессивных средах, в том числе в разбавленной серной кислоте, царской водке, разбавленной и концентрированной, но не дымящей азотной кислоте. Технически чистый титан особенно стоек по отношению к действию морской воды. Опыт (с пересчетом) показал, что за 4000 лет лист титана разрушится на толщину бумажного листа. Легирование титана молибденом, цирконием, ниобием приводит к образованию еще более стойких защитных пленок.

Практически не взаимодействуя с газами при низких температурах, титан активно взаимодействует с ними при высоких температурах (с кислородом — уже при 250—300 ℃ и особенно интенсивно при 700 ℃, с азотом — при 850 ℃, максимум взаимодействия технического титана с водородом ——при 700—900 °C, а у чистейшего йодидного титана ——при 300 ℃).

Более высокие пластические свойства титана, чем у других металлов с гекса- гональной плотноупакованной решеткой, таких, как магний, цинк, кадмий, объясняются тем, что у него отношение осей с/а меньше, чем у идеальной плотно- упакованной решетки (с/а = 1,587 < 1,633), и, таким образом, скольжение может происходить не только по плоскости базиса, но и по пирамидальным и призматическим плоскостям.

Титан имеет склонность к ползучести уже при комнатной температуре. Заметной становится ползуяесть при напряжениях, составляющих 60% от о「 В интервале температур 150——350 ℃, находясь под нагрузкой, титан перестает ползти. При 350 °C ползучесть возникает снова и протекает тем интенсивнее, чем выше температура. Особый характер поведения титана в диапазоне температур 150——350 ℃ объясняется старением, происходящим под нагрузкой.

Технический титан упрочняется при холодной деформации (при степени деформации до 40%). При этом существенной является не только величина деформации, но и характер ее (протяжка, другие виды нагартовки, просто растяжение). Холод- ная деформация, предшествующая нагреву титана, влияет на температуру рекристаллизации. Чем больше предварительная деформация, тем ниже температура рекристаллизации (но не ниже 500 ℃). Упрочнение снимается отжигом (частично даже при 300—500 ℃).

Чистый титан в ряде случаев является незаменимым материалом в химической промышленности и судостроении. Более высокая стоимость титана окупается удлинением (до 40——50 раз) срока службы изделий. Легирующими добавками в сплавах титана являются многие металлы. Соответсгвенно существует много различных по химическому составу и структуре титановых сплавов. В некоторых из них, называемых а-титановыми сплавами, стабилизируется a-фаза (легирующая добавка ——алюминий), в других, называемых р-титановыми сплавами, стабилизируется p-фаза, претерпевающая эвтектоидный распад при достаточно низкой температуре (легирующие добавки: Сг, Мп, Fe, Cd, Ni, Be, W, Co) или сохраняющаяся до комнатной температуры (легирующие добавки: V, Mo, Nb, Та).

Существуют легирующие добавки, мало влияющие на устойчивость а- и Р-фаз (Sn, Zr, Ge, Hf, Th). Алюминий присутствует во всех тигановых сплавах, и система

титан ——-алюминий имеет такое же значение, как и система железо ——цементит для сталей. Титановые сплавы подвергаются всем основным видам термической обработки.

Очень хорошее влияние (повышение прочности без снижения пластичности) оказывают на а-титановый сплав Sn и Zn. Так, в сплаве с 4—5% Al и 2—3% Sn опч = 80-7-90 кГ/мм2, % = 704- 80 к ГI мл^ и 6 — 10%. Прочность сплавов сохраняется до 500 ℃.

дО 50 勿 勿 0 -勿дО 50 勿 勿 0 -勿0250500750℃0250500750℃Большинство а-сплавов применяют отожженными. |3-титановые сплавы не получили такого широкого промышленного применения, как а-титановые сплавы, в силу того, что в них тяжелые легирующие добавки должны быть столь значи-

дО 50 勿 勿 0 -勿

дО 50 勿 勿 0 -勿

0250500750℃

0250500750℃

тельными, что теряется основное преимущество титановых сплавов ——большая удельная прочность.

Рис. 4.81. Изменение веса авиационных конструкций из различных материалов в зависимости от температуры эксплуатации; по оси ординат отложен процент выигрыша (в алгебраическом смысле) в весе оптимально запроектированной авиационной конструкции по сравнению с весом конструкции из алюминиевого сплава типа В-95 (пред- назначенной для работы при комнатной температуре) принятым за 100%; / — высоколегированные стали (апч = 123 кГ/мм2), 2 — нержавеющие стали (опч = 155 кГ /мм2), 3 — сплав И70о (опч ==- 161 кГ /мм2}, 4 — стали для горячих штампов (апч = 197 кГ/мм2), 5 — сплавы на основе титана (кроме В-сплавов) (Новые материалы в технике. Под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Колачева, С. И. Сильвестровича, «Хнмня», 1964].водорода в титановых сплавах, какРис. 4.81. Изменение веса авиационных конструкций из различных материалов в зависимости от температуры эксплуатации; по оси ординат отложен процент выигрыша (в алгебраическом смысле) в весе оптимально запроектированной авиационной конструкции по сравнению с весом конструкции из алюминиевого сплава типа В-95 (пред- назначенной для работы при комнатной температуре) принятым за 100%; / — высоколегированные стали (апч = 123 кГ/мм2), 2 — нержавеющие стали (опч = 155 кГ /мм2), 3 — сплав И70о (опч ==- 161 кГ /мм2}, 4 — стали для горячих штампов (апч = 197 кГ/мм2), 5 — сплавы на основе титана (кроме В-сплавов) (Новые материалы в технике. Под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Колачева, С. И. Сильвестровича, «Хнмня», 1964].водорода в титановых сплавах, какНаиболее благоприятной комбинацией свойств обладают а + р-титановые сплавы. Прочность их может быть повышена термической обработкой на 50——100% по сравнению с исходным состоянием. Такие сплавы (ВТЗ, ВТЗ-1, ВТ6, ВТ8, ВТ 14), содержащие легирующие добавки: А1 (4——7%) и один или два элемента из чиста Сг, Mo, V, Мп в количестве около 1—5,8%, характеризуются следующими механическими свойствами:。口口 — 95+ 140 кГ/мл^, 6 = 10+ 18% , аи = 3 “м/см1, Нв - 250+350 к См#.

Рис. 4.81. Изменение веса авиационных конструкций из различных материалов в зависимости от температуры эксплуатации; по оси ординат отложен процент выигрыша (в алгебраическом смысле) в весе оптимально запроектированной авиационной конструкции по сравнению с весом конструкции из алюминиевого сплава типа В-95 (пред- назначенной для работы при комнатной температуре) принятым за 100%; / — высоколегированные стали (апч = 123 кГ/мм2), 2 — нержавеющие стали (опч = 155 кГ /мм2), 3 — сплав И70о (опч ==- 161 кГ /мм2}, 4 — стали для горячих штампов (апч = 197 кГ/мм2), 5 — сплавы на основе титана (кроме В-сплавов) (Новые материалы в технике. Под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Колачева, С. И. Сильвестровича, «Хнмня», 1964].

водорода в титановых сплавах, как

Рис. 4.81. Изменение веса авиационных конструкций из различных материалов в зависимости от температуры эксплуатации; по оси ординат отложен процент выигрыша (в алгебраическом смысле) в весе оптимально запроектированной авиационной конструкции по сравнению с весом конструкции из алюминиевого сплава типа В-95 (пред- назначенной для работы при комнатной температуре) принятым за 100%; / — высоколегированные стали (апч = 123 кГ/мм2), 2 — нержавеющие стали (опч = 155 кГ /мм2), 3 — сплав И70о (опч ==- 161 кГ /мм2}, 4 — стали для горячих штампов (апч = 197 кГ/мм2), 5 — сплавы на основе титана (кроме В-сплавов) (Новые материалы в технике. Под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Колачева, С. И. Сильвестровича, «Хнмня», 1964].

водорода в титановых сплавах, как

В последнее время все более широкое распространение получают сплавы на основе a-Ti, содержащие небольшое количество Р-фазы, улучшающей технологические и механические свойства сплавов.

Число опытных гитановых сплавов очень велико и продолжает расти. Основное внимание обращено на повышение их прочности, длительной прочности и сопротивляемости ползучести. Однако по-

давляющее число изделии из сплавов титана изготовляют из 5—7 сплавов, на долю же остальных приходится не более 10—15%. Одновременно ведутся изыскания жаропрочных сплавов на титановой основе, о чем говорится в разделе 13 настоящего параграфа. Наличие

и в' титане, приводит к так называемой водородной хрупкости-, в настоящее время трудности, связанные с нею, в основном преодолены.

Титановые сплавы используются главным образом в авиационной и ракетной технике. На рис. 4.81 показано изменение веса авиационных конструкций в зависимости от используемых материалов и температуры, при которой работает конструкция.

Применяют Ti и в других отраслях техники, где существенными являются сочетания высоких удельной прочности, коррозионной стойкости и жаропрочности или отдельно указанные свойства. К числу таких областей техники относятся: цветная металлургия (получение Ni, Со, Си, Zn, Pb, Ti), электрохимиче, ские и гальванотехнические процессы в металлургии; паротурбостроение, цел. люлозно-бумажная промышленность, пищевая и фармацевтическая промышлен. ность; бурильная техника (трубы при бурении на глубину до 10—15 километров)

и др. Уровень использования Ti в промышленности в определенном смысле является мерой прогресса в ней.

Цирконий и его сплавы. Основное применение как конструкционный материал цирконий находит в ядерной технике ——в атомных реакторах ——вследствие особого свойства ——слабо поглощать тепловые нейтроны. О материале, обладающем таким свойством, говорят, что он имеет малое поперечное сечение поглощения тепловых нейтронов. У циркония сечение поглощения тепловых нейтронов равно 0,18-10"24 сл?, у алюминия 0,21 • Ю-24 с九2, однако он уступает цирконию в коррозионной стойкости, чем и объясняется использование циркония. Меньшее сечение поглощения тепловых нейтронов, чем у циркония, имеют магний (0,059-10~24 см2) и бериллий (0,009-10-24 см2).

У циркония ——низкие теплопроводность и удельная теплоемкость и малый коэффициент термического линейного расширения.

Цирконий исключительно стоек против коррозии в щелочах, кислотах, в водяном 'паре, в обычной и морской воде, но не при высокой (до 360 ℃) температуре.

Уже при наличии небольших примесей азота и (или) углерода коррозионная стойкость циркония резко понижается, но ее можно значительно повысить легированием (например, ниобием). На поверхности циркония образуется окисная пленка, защищающая его до 800 ℃.

Легче всего взаимодействует цирконий с водородом (явление абсорбции), С повышением температуры количество абсорбированного водорода уменьшается.

'Чистый (йодидный) цирконий очень пластичен ——куется при температуре жидкого азота. Такие примеси, как азот и кислород, упрочняют цирконий.

Магниетермический цирконий (менее чистый, чем йодидный) имеет такие механические характеристики: опч = 40-=- 60 кПмл^, от = 254-26 кГ I м応、 6 = 21 + 30% и твердость по Виккерсу 150—180 кГ/мм2. Уже при содержании всего 0,001% водорода сильно снижается ударная вязкость при низких температурах (водородная хрупкость); остальные, характеристики изменяются мало. Закалкой, при содержании водорода не > 0,01%, можно зафиксировать пересыщенный раствор водорода в а-фазе и предотвратить падение ударной вязкости при комнатной температуре.

С увеличением температуры апч и ат у- циркония резко понижаются и становятся очень малыми при 500 °C. Начиная с 400 ℃ в цирконии интенсивно развивается ползучесть. Цирконий лучше, чем железо и стали, а также алюминий и его сплавы, работает на вибрационную нагрузку.

Механические свойства циркония существенно повышаются нагартовкой; это повышение исчезает при отжиге до 100—400 ℃. Температура рекристаллизации при нагартовке циркония понижается (с 590 ℃ при деформации 10% до 450 ℃ при 80-95%).

На основе циркония получают сплавы, работающие в агрессивных средах, в частности в атомных реакторах; легирующие добавки используются для повышения прочности и долговременной прочности циркония, а также для нейтрализации примесей, отрицательно влияющих на коррозионную стойкость.

Наиболее важные легирующие добавки: Sn, Al, Mo, Nb; все они повышают прочность циркония при комнатной температуре (4% атомн. Sn или А1 повышают прочность с 25,2 кГ/мм2- до 52 и 62,5 "/ли/ соответственно, а 4% атомн. Мо и Nl>— до 72,4 к「1 м储,при этом А1 и Sn повышают сопротивление ползучести и долговременную прочность). При 500 ℃ долговременная прочность при каждой из четырех указанных добавок примерно одинакова. Выше 500℃ А1 и Sn оказывают большее упрочняющее влияние.

Промышленные сплавы циркония циркалой-2 и 3 в отожженном виде имеют следующие механические свойства: опч = 50 кГ 1мл^, ат()2 =» 31,5 кГ/мл^, 6=30%,屮= 48+42%; те же сплавы после нагартовки имеют: опч = =67+69 к>м储,0r% 2 = 59+62 к/7九九2, 6 — 8%,屮=30+34%.

Циркалой-2 по поглощению тепловых нейтронов мало отличается от циркония, Недостатки этих сплавов — водородная хрупкость в интервале температур

150—350 ℃ и падение прочностных характеристик при температуре > 425 ℃, Характеристика Ea/k (см. § 3.6, формула (3.17)), определяющая величину термических напряжений у циркониевых сплавов, мала, что очень важно, так как конструкционным материалам в атомных реакторах приходится выполнять ряд функций В (создавать поверхности теплообмена, обеспечивать необходимую несущую способность, предохранять топливо от коррозии, предотвращать кон« такт топлива и теплоносителя), вызывающих термические напряжения,

Бериллий. Бериллий, используемый ныне как легирующая добавка (в сплавах меди, никеля, алюминия), обладая наименьшим из всех металлов сечением захвата тепловых нейтронов и достаточно высокими коррозионной стойкостью и жаропрочностью, имеет перспективу конструкционного материала е ядерной энергетике. Обладая очень высокой удельной прочностью (выше, чем у титана) вплоть до 500 ℃, бериллий найдет применение как конструкционный материал и в технике летательных аппаратов (в особенности ракет). Непреодолимым пока препятствием к использованию бериллия в качестве конструкционного материала является малая пластичность. Весьма характерной особенностью бериллия является анизотропность, возникающая как при литье и остывании, так и в результате механических деформаций. Интересно заметить, что при комнатной температуре и при 700 ℃ материал в отношении каждой из характеристик, 5 н 屮，практически изотропен. При промежуточных же температурах различие в величинах каждой из упомянутых характеристик для двух разных направлений, проходящих через точку тела, максимально и достигает 400 и 200% соответственно, т. е. материал существенно анизотропен. Механические харак* теристики бериллия в значительной мере зависят от способа получения полуфабрикатов его. Так, например, апч (в продольном направлении) колеблется между 65 и 28 кГ/мл^\ первое число относится к полуфабрикатам, получаемым тепловым выдавливанием при 400——500 ℃, второе ——к выдавленному слитку.

Подробные сведения о механических свойствах бериллия можно найти в ряде «стоя ни ков ).

Отметим еще две характерные особенности бериллия: малость коэффициента Пуассона (pi = 0,014-0,05, разброс объясняется анизотропностью) и существенную зависимость свойств от облучения. В результате облучения происходит сильное охрупчивание и повышение предела текучести бериллия. При облучении

Рис. 4.82. Зависимость температуры начала рекристаллизации от степени (в %) предварительной холодной деформацииРис. 4.82. Зависимость температуры начала рекристаллизации от степени (в %) предварительной холодной деформацииинтегральным потоком 9 • 1020 нейтрон/см^ (при Т = 650 ℃) о「увеличивается от 2,5—3,4 до 5,0—5,6 &/7川紹，а 3 падает от 18—24 до 3,1—5,4% и г|)от 14—18 до 0,9—5,2% •

Рис. 4.82. Зависимость температуры начала рекристаллизации от степени (в %) предварительной холодной деформации

Рис. 4.82. Зависимость температуры начала рекристаллизации от степени (в %) предварительной холодной деформации

Тугоплавкие металлы и их сплавы. К числу тугоплавких условно относятся Сг и металлы: V, Rh, Hf, Ru, Ir, Mo, Ta, Nb, Os, Re и \V, температура плавления которых выше 1875 ℃ ——температуры плавления хрома. Все они имеют объемноцентрированную кубическую решетку. Проблема получения технических тугоплавких металлов и создания тугоплавких сплавов вызвана требованиями сверхзвуковой авиации и ракетной техники и турбостроения, т. е. требованиями сохранять достаточную прочность при 1100 ℃ и даже при более высокой температуре, вместо 650—870 ℃, до которой способны работать жаропрочные стали и сплавы на основе N1 и Со.

V и Nb используются и в ядер ной энергетике (у них малое поперечное сечение захвата тепловых нейтронов). Проблемы, связанные с тугоплавкими металлами, являются сейчас весьма актуальными 1).

Учитывая распространенность в природе, наибольший интерес представляют W, Mo, Nb и Та. Элементы Re, Os, 1г и Ru являются рассеянными и поэтому не могут иметь такого промышленного значения» как отмеченные выше. В табл. 1.23 (см. приложение I) приведены некоторые физические и упругие характеристики шести тугоплавких металлов.

11з тугоплавких металлов наиболь- шей коррозионной стойкостью обладают Та и Nb, а отсутствием склонности к окислению —лишь Сг. Все остальные тугоплавкие металлы при температуре 500— 600 °C интенсивно окисляются.

При испытании гладких образцов температурная граница между хрупким и пластичным состояниями у тугоплавких металлов такая: <—196 ℃ у Та, —200 ℃ у Nb, 0 ℃ у Мо, 300 °C у W и 850 ℃ у Сг. Наинизшее расположение указанной границы наблюдается при кручении, наивысшее ——при изгибе надрезанных образцов.

У W и Мо граница может быть понижена на 100—200 ℃ путем деформации металла в направлении будущего нагружения изделия при температуре немного ниже температуры рекристаллизации. При загружении же этого изделия поперек направления предварительной деформации температурная граница между хруп- ким、н пластичным состояниями повышается.

Так как у Сг и W граница выше комнатной температуры, их можно использовать лишь при температуре, превышающей указанную границу. В табл. 1.24 (см. приложение I) приведены механические характеристики тугоплавких металлов, в том числе длительная прочность, весьма существенная для работы при высоких температурах. Все характеристики сильно зависят от примесей и поэтому очень изменчивы.

1) Некоторые проблемы тугоплавких металлов и сплавов. Сб. переводов, ИЛ, 1963.

Писаренко Г. С., Борисенко В. А., Городецкий С. С. и др.» Прочность тугоплавких металлов, «Металлургия», 1970.

Пластическая деформация тугоплавких металлов и специальных сплавов. Сб. статей. Ответств. ред. Н. М. Павлов, «Наука», 1970.

Так как температура рекристаллизации определяет границу, выше которой значительно падает прочность металла, важно знать, как влияют на эту границу предшествовавшаТ! холодная деформация и легирующие добавки (рис. 4.82).

Рис. 4.83. Зависимость прочности тугоплавких металлов от температуры: a) onq нага- ртованных металлов в зависимости от температуры при испытании в вакууме; б) удельная прочность c^q/Y в зависимости от температуры. [Новые материалы в технике, под ред. Е. Б. Тростяпской, Б. А. Калачева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964].

На рис. 4.83 показана зависимость опч и。门/丫 четырех тугоплавких металлов от температуры испытания.

Рис. 4.84. Зависимость механических свойств сплавов на основе тугоплавких металлов от температуры: / —。口口，2 — 6, 3 — 2, 4 — длительная прочность за 100 часов; нижний индекс при цифрах 1, 2, 3, 4 обозначает номер сплава (всего шесть сплавов; сплав / — 60% V + 40% Nb (дуговая плавка; наклепан и отожжен при 1100 ℃), сплав 2 — Nb 十 + 15% W 4- 5% Mo +1% Zr (дуговая плавка, наклепан), сплав 3 — Мо + 1,27% Ti + 0,29% Zr 0,3% С (дуговая плавка, наклепан, отпуск для снятия напряжения), сплав 4 — Мо + 20% Re (дуговая плавка, рекристаллизован), сплав 5 — Та + 10% W (дуговая плавка, наклепан), сплав 6 — W } 30% Re (дуговая плавка, рекристаллизован) (Новые материалы в технике, под. ред. Е. Б. Тростя некой, Б. А. Калачева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 19641.

Сплавы на основе тугоплавких металлов имеют лучшие свойства для работы в качестве жаропрочных материалов (имеют более высокую длительную прочность, лучше сопротивляются ползучести), чем основные металлы. На рис. 4.84 даны некоторые механические характеристики жаропрочных сплавов.

О монокристаллах тугоплавких и редких металлов и сплавов. При обсуж* дении схемы, изображенной на рис. 4.58, отмечалась актуальность получения металлов без дефектов как путь, обеспечивающий их высокую прочность. Почти бездефектны так называемые «усы» — нитевидные монокристаллы. Однако могут быть получены весьма совершенной структуры и монокристаллы больших размеров. Свойства таких монокристаллов уникальны во многих отношениях.

Совершенные монокристаллы легкоплавких металлов и металлов средней тугоплавкости (Sn, Zn, Al, Си) были получены еще в первой половине XX века.

Получение осуществлялось на воздухе* путем вытягивания из расплава или методом рекри- сталлизации предварительно деформированных чистых образцов.

Уже во второй половине XX века были получены и монокристаллы тугоплавких и редких металлов Mo, Nb, Та, W, Re, V. Получение монокристаллов этих металлов затрудняется их высокой температурой

Рис. 4.85. Характер кривых напряжений: а) металлов с кристаллической решеткой типа гранецентрированного куба (ГЦК) (Th); б) металлов с кристаллической решеткой типа объемноцентрированного куба (ОЦК) (V, W, Мо, Та, Nb); / — монокристаллическое состояние, 2 — поликристаллическое состояние.Рис. 4.85. Характер кривых напряжений: а) металлов с кристаллической решеткой типа гранецентрированного куба (ГЦК) (Th); б) металлов с кристаллической решеткой типа объемноцентрированного куба (ОЦК) (V, W, Мо, Та, Nb); / — монокристаллическое состояние, 2 — поликристаллическое состояние.б, кГ/мм3б, кГ/мм3Рис. 4.86. Анизотропия механических свойств при растяжении монокристаллов молибдена; ориентировка оси растяжения: / — [1001 (апч = и 47 кГ 1мм^^ % = 16 кГ/мм2, 6 = 17%,州=» у 70%), 2 — [ПО] (апч = 32 кГ/мм\ ат = =\^кГ!м^, 6 = 22%,屮=100%), 3 — [1111 (опч = 32 кГ/мм2, ат = 20 кГ/мм2, 6 = 20%, ■ф = 100%); микрообразцы ф 1,5 мм, 2 = 15 мм.Рис. 4.86. Анизотропия механических свойств при растяжении монокристаллов молибдена; ориентировка оси растяжения: / — [1001 (апч = и 47 кГ 1мм^^ % = 16 кГ/мм2, 6 = 17%,州=» у 70%), 2 — [ПО] (апч = 32 кГ/мм\ ат = =\^кГ!м^, 6 = 22%,屮=100%), 3 — [1111 (опч = 32 кГ/мм2, ат = 20 кГ/мм2, 6 = 20%, ■ф = 100%); микрообразцы ф 1,5 мм, 2 = 15 мм.плавления и большой хнмниеско員 активностью. Ниже обсуждаются лишь монокристаллы тугоплавких металлов 】).

Рис. 4.85. Характер кривых напряжений: а) металлов с кристаллической решеткой типа гранецентрированного куба (ГЦК) (Th); б) металлов с кристаллической решеткой типа объемноцентрированного куба (ОЦК) (V, W, Мо, Та, Nb); / — монокристаллическое состояние, 2 — поликристаллическое состояние.

Рис. 4.85. Характер кривых напряжений: а) металлов с кристаллической решеткой типа гранецентрированного куба (ГЦК) (Th); б) металлов с кристаллической решеткой типа объемноцентрированного куба (ОЦК) (V, W, Мо, Та, Nb); / — монокристаллическое состояние, 2 — поликристаллическое состояние.

б, кГ/мм3

б, кГ/мм3

Рис. 4.86. Анизотропия механических свойств при растяжении монокристаллов молибдена; ориентировка оси растяжения: / — [1001 (апч = и 47 кГ 1мм^^ % = 16 кГ/мм2, 6 = 17%,州=» у 70%), 2 — [ПО] (апч = 32 кГ/мм\ ат = =\^кГ!м^, 6 = 22%,屮=100%), 3 — [1111 (опч = 32 кГ/мм2, ат = 20 кГ/мм2, 6 = 20%, ■ф = 100%); микрообразцы ф 1,5 мм, 2 = 15 мм.

Рис. 4.86. Анизотропия механических свойств при растяжении монокристаллов молибдена; ориентировка оси растяжения: / — [1001 (апч = и 47 кГ 1мм^^ % = 16 кГ/мм2, 6 = 17%,州=» у 70%), 2 — [ПО] (апч = 32 кГ/мм\ ат = =\^кГ!м^, 6 = 22%,屮=100%), 3 — [1111 (опч = 32 кГ/мм2, ат = 20 кГ/мм2, 6 = 20%, ■ф = 100%); микрообразцы ф 1,5 мм, 2 = 15 мм.

Выращивание монокристаллов тугоплавких металлов осуществляется из каждой из трех фаз металла: из газовой фазы, из расплава (жидкая фаза) (метод электронной лучевой зонной плавки, плазменные методы) и из твердой фазы, (рекристаллизационные методы).

Производство монокристаллов дошло до промышленных масштабов, и выращиваемые монокристаллы имеют размеры в поперечном сечении, доходящие до 50 мм и более. Монокристаллы выращиваются различного профиля» в том числе прямоугольного (пластина), кольцевого (труба) и др.

1) Монокристаллы тугоплавких и редких металлов. Материалы III Всесоюзного совещания «Получение, структура, физические свойства и применение монокристаллов тугоплавких и редких металлов» (2—4/ХП 1968 г.), «Нау* ка», 1971.

Савицкий Е. М., Бурханов Г. С., Монокристаллы тугоплавких и редких металлов и сплавов, «Наука», 1972.

Обнаружен ряд уникальных свойств, присущих только монокристаллам тугоплавких металлов (феноменальная пластичность; высокая стойкость против рекристаллизации, ползучести, действия плазмы, облучения, термомеханических

6「皿/「俪2 а)6「皿/「俪2 а)Рис. 4.87. Изменение механических свойств при растяжении вольфрама в температурном интервале 20 — 2000 ℃: а) ат；о>2； 6) 6; 6)也 /1 — монокристалл (ориентация оси растяжения [ 111J), /е — монокристалл <[1101), /3 — монокристалл (L100J), 2 — поли кристаллический вольфрам вакуумной дуговой плавки, 3 — металлокерамический вольфрам.Рис. 4.87. Изменение механических свойств при растяжении вольфрама в температурном интервале 20 — 2000 ℃: а) ат；о>2； 6) 6; 6)也 /1 — монокристалл (ориентация оси растяжения [ 111J), /е — монокристалл <[1101), /3 — монокристалл (L100J), 2 — поли кристаллический вольфрам вакуумной дуговой плавки, 3 — металлокерамический вольфрам.воздействий; редкая анизотропия механических свойств). По-видимому, еще многие другие, неизвестные до сих пор ^свойства будут открыты при дальнейших исследованиях.

6「皿/「俪2 а)

6「皿/「俪2 а)

Рис. 4.87. Изменение механических свойств при растяжении вольфрама в температурном интервале 20 — 2000 ℃: а) ат；о>2； 6) 6; 6)也 /1 — монокристалл (ориентация оси растяжения [ 111J), /е — монокристалл <[1101), /3 — монокристалл (L100J), 2 — поли кристаллический вольфрам вакуумной дуговой плавки, 3 — металлокерамический вольфрам.

Рис. 4.87. Изменение механических свойств при растяжении вольфрама в температурном интервале 20 — 2000 ℃: а) ат；о>2； 6) 6; 6)也 /1 — монокристалл (ориентация оси растяжения [ 111J), /е — монокристалл <[1101), /3 — монокристалл (L100J), 2 — поли кристаллический вольфрам вакуумной дуговой плавки, 3 — металлокерамический вольфрам.

Учитывая, что монокристаллы можно получать с заданной кристаллографической ориентацией, а от последней вследствие анизотропности зависят свойства, можно говорить, с определенным ограничением, что монокристаллы ——это материалы с наперед проектируемыми свойствами. Отмеченное ограничение состоит в том, что выбор осуществляется из заранее известного дискретного множества.

Монокристаллы получают не только с исследовательскими целями (обнаружение новых химических и физических свойств и новых явлений, увязка

Рис. 4.88. Сопротивление ползучести при растяжении вольфрама (Т = 1500 °С)з /j — монокристалл (ориентировка оси растяжения 11111), /2 — монокристалл ([110])й 2 — пол икр металлическое состояние.Рис. 4.88. Сопротивление ползучести при растяжении вольфрама (Т = 1500 °С)з /j — монокристалл (ориентировка оси растяжения 11111), /2 — монокристалл ([110])й 2 — пол икр металлическое состояние.макроскопических (феноменологических) свойств с дискретным строением материи), но и для использования при изготовлении ряда ответственных деталей разнообразных приборов (электровакуумных, газоразрядных), аппаратов (для превращения тепловой энергии в электрическую), машин и механизмов (газовых турбин, гироскопов).

Рис. 4.88. Сопротивление ползучести при растяжении вольфрама (Т = 1500 °С)з /j — монокристалл (ориентировка оси растяжения 11111), /2 — монокристалл ([110])й 2 — пол икр металлическое состояние.

Рис. 4.88. Сопротивление ползучести при растяжении вольфрама (Т = 1500 °С)з /j — монокристалл (ориентировка оси растяжения 11111), /2 — монокристалл ([110])й 2 — пол икр металлическое состояние.

Ниже приводится информация о механических свойствах тугоплавких металлов в монокристаллическом и для сравнения в п ол и к р ист а л л и чес ком состояниях.

На рис. 4.85 показаны характерные кривые напряжений при растяжении для металлов с различным типом кристаллической решетки.

На рис. 4.86 изображены кривые напряжений при растяжении монокристалла молибдена при различной ориентировке оси растяжения. Особенно сильно выражена анизотропия механических свойств у монокристалла вольфрама. При ориентировке оси растяжения (100) а11Ч — 110 кГ/мл^, 6=2%, р=0%, а при〈110〉апч = 98 кГ/мм2, 6 = 15%,屮=100%.

В табл. 4.17 представлены механические свойства моно- и поликристаллов пяти тугоплавких металлов с объемноцентрированной кубической решеткой при растяжении и изгибе.

Таблица 4.17

Металл

O^q, К厂 М^2

6, %

W, %

Угол изгиба в градусах при —196 ℃

п

м

м

п

W

80—120

100

0

10—15

0

100

180

V

20- 25

10

5

20—25

25—50

100

180

Мо

50—100

30—35

20—30

20—25

V 1

100

180

Nb

30— 35

15

50

12

64—90

100

180

Та

35— 40

20—25

70

95

100

180

п —

поликристаллическое состояние, At —монокристаллическое состояние.

Сопоставление свойств вольфрама в моно- и поликристаллическом состояниях представлено и на рис. 4.87 и 4.88. Из рассмотрения этих рисунков видно, что пластические свойства у монокристаллов значительно ярче выражены, чем у того »；е металла в поликристаллическом состоянии, а скорость ползучести существенно меньше.

Получение монокристаллов тугоплавких металлов без дефектов и примесей (в таком состоянии они имеют очень стабильные свойства), что очень важно для новой техники, в настоящее время все еще очень затруднено. *

Примеси и дефекты, а также масштабный фактор существенно влияюг на свойства монокристаллов.

Жаропрочные сплавы ) В зависимости от диапазона высоких температур, в которых должна работать конструкция, и от продолжителыюсти этой

Жаропрочным сплавам посвящена огромная литература. Отметим лишь некоторые из книг:

Розенберг В. М.» Основы жаропрочности металлических материалов, «Металлургия», 1973.

В этой книге обсуждены физические явления, лежащие в основе ползучести, длительного разрушения и других явлений, являющихся существенными для жаропрочности.

Жаропрочные материалы. Пер. с англ. А. С. Соболева и Ф. С. Новика, «Металлургия», 1969.一

\ Легирование и свойства жаропрочных сплавов, «Наука», 1971.'

Ланская К. А., Жаропрочные сплавы, «Металлургия», 1969.

Захаров М. В., Захаров А. М., Жаропрочные сплавы, «Металлур* Гия», 1973.

работы используется тот или иной жаропрочный сплав ). Рабочая температура современных жаропрочных сплавов составляет) 0,5——0,8 Тпл, а иногда 0,8—0,9 Тпл. Можно отметить три группы жаропрочных сплавов:

сплавы на основе легких металлов ): Mg (300—350 ℃), Al (350—400 ℃), Ti (450-500 ℃);

сплавы на основе: Си (450—500 ℃), Fe (жаропрочные стали, 500—600 ℃ на основе Fea и 600—750 ℃ на основе FeY), Ni (до 1030 ℃), Со (до 980 ℃);

сплавы на основе тугоплавких металлов: V (до 1300 ℃), Сг (до 1300 ℃, а при кратковременном воздействии до 1500 ℃); Nb (до 1300 ℃), Мо (до 1200—1350 ℃ при длительной работе и до 1500——1600 ℃ при кратковременной работе), Та (до 1300—1650 ℃, но при невысоких напряжениях), W (до 1650—2200 ℃ и даже до 2500 ℃).

Укажем (в скобках) ориентировочные сроки службы (в часах) жаропрочных сплавов в следующих конструкциях различного назначения:

ракеты (1); самолеты военные (100 и больше); гражданские (1000 и больше); турбины газовые для локомотивов и судов (10 000); стационарные (30 000); турбины паровые стационарные (100 000 弋 12 лет).

Уровень температуры и продолжителыюсть работы определенным образом связаны. Так, при Т = 800 ℃ и выше элемент конструкции из жаропрочного сплава может работать сотни часов, при Т — 550——650 ℃ — тысячи и десятки тысяч часов. Разумеется, на продолжительность работы влияет и уровень напряжений, который может колебаться в широком диапазоне ——от единиц до многих десятков кГ/ма^. С повышением напряжения при данной температуре уменьшается продолжительность работы данного жаропрочного сплава (ЖС).

Отметим некоторые диапазоны наиболее высоких температур, возникающих в эксплуатационных условиях в различных областях техники:

авиация (не сверхзвуковые самолеты, о которых говорилось выше)— до 400——500 °C; нефтеперерабатывающая промышленность — 700——800 ℃ (при длительности службы, измеряемой месяцами, а иногда и годами); химическая промышленность — 1000——1100-℃, а иногда и 1500 ℃ (при высоких давлениях); газовые турбины (лопатки; авиационные газовые турбины имеют рабочие температуры намного выше, чем стационарные; повышение Т с 800—815 ℃ до 1020——1030 ℃ позволило повысить КПД и тягу современных реактивных двигателей современных военных сверхзвуковых самолетов на 30——45%), ракет* ная техника — 2500 ℃ и выше.

Для создания высокопрочных жаропрочных материалов поиск совершается как в направлении получения бездислокационных монокристаллов больших размеров, так и «усов» (нитевидных бездислокационных кристаллов), используемых в различных композитных материалах (см. § 4.15), а также в направлении получения металлов и сплавов с большим количеством дефектов (см. рис. 4.58). —

Особые условия работы жаропрочных сплавов вызывают необходимость оценивать их свойства специфическими характеристиками, о которых уже говорилось выше в настоящей главе. К их числу относятся: предел ползучести, предел длительной прочности, предел температурной выносливости. Наряду с этим используются и такие характеристики, как апч, ”，6,屮.

Разумеется, жаропрочные сплавы должны обладать и обсуждавшейся выше в настоящей главе жаростойкостью. Одной из причин, затрудняющих создание жаропрочных сплавов, является необходимость длительных испытаний (продолжительность испытаний должна превышать предполагаемую длительность

службы конструкции, а последняя доходит, как было уже указано, порой до 100'000 часов и более). В табл. 1.25 и 1.26 (см. приложение I) приведена информация о шести механических характеристиках по двадцати восьми сплавам при двадцати семи температурах. Дадим некоторую дополнительную к этим таблицам информацию.

Магниевые сплавы по удельной прочности и жаропрочности превосходят наилучшие жаропрочные алюминиевые сплавы. ' •

Титановые сплавы при Т > 500 ℃ сильно окисляются, однако в случае кратковременной работы эти сплавы могут применяться и при Т = 600 + 650 ℃ и даже при более высокой температуре. В диапазоне температур 300—350 ℃ по предельной длительной прочности титановые сплавы превосходят лучшие сплавы алюминия в 8.1 10 раз. •

Никелевые сплавы за последние 15 — 20 лет подверглись существенному улучшению — рабочая температура их повысилась с 750 ℃ до 1000—1030 °G

Рис. 4.89. Зависимость прочности границ и тела зерен в металлических жаропрочных сплавах от температуры： а) по Джеффрису; б) по М. Г. Лозинскому; / — прочность тела зерна. 2 — прочность границ зерен; / — область транскристаллического разрушения; 〃 一область межкристаллического разрушения. Тэкв — температура, при которой прочность зерен равна (эквивалентна) прочности границ.

за счет устранения легкоплавких вредных примесей (Pb, Bi, Sn, Sb, S), легирования (W, Co, Mo, Nb) и использования более совершенной технологии (плавка в вакууме). Жаропрочные сплавы никеля лучше жаропрочных сталей.

Из жаропрочных сплавов на основе тугоплавких металлов наименее изученной группой конструкционных материалов являются сплавы ванадия, хотя V——самый распространенный из редких рассеянных элементов. Сплавы ванадия имеют высокую удельную жаропрочность. Эти сплавы могут конкурировать с ниобиевыми и молибденовыми сплавами до 1250 ℃.

Молибденовые сплавы являются перспективными конструкционными материалами для длительной работы при 1200——1350 ℃, а при кратковременной до 1500——1600 °C, однако эти сплавы нуждаются в защитных покрытиях вследствие нежаростойкости.

Сплавы тантала меньше распространены, чем сплавы других тугоплавких металлов, из-за дефицитности и трудности легирования. Эти сплавы могут работать в условиях высоких температур (до 1300——1650 ℃), но при невысоких напряжениях.

Сплавы вольфрама содержат небольшое количество легирующих добавок- вследствие малой их эффективности до 2500 ℃. Недостатком этих сплавов является окисляемость при Т > 500 ℃.

Влияние температуры на прочность границ и зерен в пол икр исталл ическом материале может быть охарактеризовано диаграммами, изображенными на рис. 4.89.

Жаропрочные композитные материалы. Весьма перспективным методом получения материалов с высокими механическими свойствами и при этом в задан-

■6пч,кГ/мм1■6пч,кГ/мм1Рис. 4.90. Кривые напряжений при растяжении (Т = 1093 ℃): / — композитный материал, армированный вольфрамовым волокном (16% объема), 2 — нержавеющая сталь (матрица).Рис. 4.90. Кривые напряжений при растяжении (Т = 1093 ℃): / — композитный материал, армированный вольфрамовым волокном (16% объема), 2 — нержавеющая сталь (матрица).

■6пч,кГ/мм1

■6пч,кГ/мм1

Рис. 4.90. Кривые напряжений при растяжении (Т = 1093 ℃): / — композитный материал, армированный вольфрамовым волокном (16% объема), 2 — нержавеющая сталь (матрица).

Рис. 4.90. Кривые напряжений при растяжении (Т = 1093 ℃): / — композитный материал, армированный вольфрамовым волокном (16% объема), 2 — нержавеющая сталь (матрица).

ной их комбинации является метод создания разнообразных композитных мате* риалов. Здесь кратко обсуждаются лишь жаропрочные металлические композитные материалы, упрочненные волокнами тугоплавких металлов или металлическими или керамическими усами. К отмеченной группе материалов относятся материалы, полученные на основе металлической матрицы (из суперсплава, содержащего Ni, Fe, Со), армированной включениями из тугоплавких металлов. Волокна последних в матрице получаются путем вытягивания матрицы, первоначально имеющей сферические включения из тугоплавких металлов. Существует и другой метод ——метод выдавливания основного и армирующего металлов.

На рис. 4.90 сопоставлены диаграммы напряжений при растяжении композитного материала и материала матрицы, использованной в нем. Упрочняющая роль армирования очевидна.

Наряду с ориентированным армированием для изменения свойств металла матрицы применяют и хаотически расположенные в пластичной матрице без- дислокационные нитевидные кристаллы («усы») в объеме от 5—10% до 30—50% по отношению к объему композита.

В табл. 4.18 приведены свойства нитевидных кристаллов. Наиболее перспективными из них являются керамические «усы». Лучшие прочностные показатели

относятся к «усам» с диаметром, не превышающим 1——3 микронов. Используется и комбинация матрицы из тугоплавких металлов и волокна с высокой температурой плавления.

Нитевидные кристаллы используются в порошковой металлургии, материалам которой посвящен § 4.15.

Т а б л pi ц а 4.18

Кристаллы

g о

1

w ®

h 読

Кристаллы

匕口

I? 工

共 共 Ih

£&£

Си

300

12 600

8,3

33

А%Оз

ВеО

2000

1400

52 000

70 000

4,0

2,8

500

500

Ni

400

21 600

8,9

45

BeG

700

50 000

2,5

280

Fe

1300

20 000

7,8

167

SiC

1100

87 000

8,2

340

Cr

900

25 000

7,2

125

графит

2100

100 000

L7

1230

§ 4.12 Механические свойства некоторых материалов на основе синтетических полимеров

Вводные замечания. Успехи органической химии, которыми отмечены несколько последних десятилетий, позволили создать огромное количество материалов на основе так называемых синтетических полимеров. Свойства их разнообразны и существенно отличаются от свойств многих других материалов. Вместе с тем для больших классов этих материалов и состояний, в которых они предстают, обнаружен ряд общих закономерностей, находящихся в тесной связи а кимико-физической их природой, а в ряде случаев и с технологией. Без уяснения

некоторых из этих основных понятий, в отрыве от них, немыслимо адекватно и компактно описать механические свойства, а следовательно, и не возможно

ни создание соответствующих феноменологических теорий в рамках механики твердого деформируемого тела, ни практическое применение материалов в технике. Ниже приводится соответствующая информация 】).

Механическим свойствам полимеров посвящена большая литература. Отметим некоторые из источников, часть из них была использована при написании настоящего параграфа.

Конструкционные материалы, т. 3, Изд-во «Советская энциклопедия», 1965.

Статьи: Полимеры (Федоренко Н. П. и Рахлин И. В.)； Прочность полимеров; Термомеханическая кривая (Г. М. Бартенев).

Молчанов Ю. М., Справочник. Физические и механические свойства полиэтилена, полипропилена и пол и изобутилен а, «Зинатне», Рига, 1966.

Аскадский А. А., Деформация полимеров, «Химия», 1973.

Гуль В. Б.» К у л е з н е в В. Н.» Структура и механические свойства полимеров, изд. 2-е, перераб. и дополн., «Высшая школа», 1972.

Огибалов П. М., Малинин Н. И., Нетребко В. П., Кишкин Б. П., Конструкционные полимеры. Методы экспериментального исследования, книги первая и вторая, под общей ред. П. М. Огибалова, Изд-во МГУ,1972.

Малмейстер А. К., Т а м у ж В. П., Тетере Г. А., Сопротивление жестких полимерных материалов, «Зинатне», Рига, 1972.

К о р ш а к В. В., Термостойкие полимеры, «Наука», 1969.

К о р ш а к В. В., Химическое строение и температурные характеристики полимеров, «Наука», 1970.

Армированные полимерные материалы. Сборник переводов и обзоров иностранной периодической литературы, под ред. 3. А. Роговина, П. М. Валецкого, М. Л. Кербера, «Мир», 1968.

Александров А. Я., Бородин М. Я., Павлов В. В., Конструкции с заполнителями из пенопластов, изд. 2-е, перераб. и дополн., под общей ред. А. Я. Александрова, «Машиностроение», 1972.

Разрушение твердых полимеров. Под ред. Бернарда Роузена, пер. с англ.

В. Е. Гуля, «Химия», 1971.'

Зуев К. С., Разрушение полимеров под действием агрессивных сред, изд.

2-е, перераб. и дополн., «Химия», 1972.

Немец Я-, Се. ренсен С. В., С т р а м е е в В. С., Прочность пластмасс, под ред. С. В. Серенсена, «Машиностроение», 1970.

Методы статических испытаний армированных пластиков. Справочное пособие. Составители: Т. Я. Кинцис, А. В. Розе, И. Г. Жигун. Под ред. Ю. М. Тарнопольского, «Зин ат не», Рига, 1972.

Новые материалы в технике. Под ред. Е. Б. Тростя некой, В. А. Колачева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964.

Ферри Д. Д., Упруго-вязкие свойства высокополимеров, ИЛ, 1964.

А л ф р е й Т., Механические свойства высокополимеров, ИЛ, 1952.

Андреевская Г. Д., Высокопрочные ориентированные стеклопластики, «Наука», 1966.

Каргин В. А., Слонимский Г. Л., Краткие очерки по физико- химии полимеров, «Химия», 1967.

Т р е л о а р Л., Физика упругости каучука, ИЛ, 1953.

Т р и л о р 〃.，Введение в науку о полимерах, «Мир», 1973.

Релаксационные явления в полимерах. Под ред. Г. М. Бартенева и Ю. В. Зеле- нева, «Химия», 1972..

Переходы и релаксационные явления в полимерах. Под ред. Р. Бойера, «Мир>, 1968.

Вязко-упругая релаксация в полимерах. Составитель М. Шеи, перев. с англ, под ред. А. Я. Малкина, «Мир», 1974.

Бартенев Г. М. и 3 у е в К. С.» Прочность и разрушение высокоэластических материалов, «Химия», 1964.

Общие сведения о полимерах. Многочисленные материалы, получаемые путем синтеза органических веществ, называют синтетическими. В основе их лежат полимерные соединения (полимеры), определяющие их свойства. Синтетические материалы представляют собой яркий пример материалов, для которых совершенно необходимо совместное рассмотрение всех их свойств (химических, физических, механических), а также их технологии получения.

Полимеры ——это высоком олек у л я р н ые соединения, образованные в процессе полимеризации, поликонденсации и т.*д. из большого числа молекул мономеров. Степенью полимеризации п называют число таких звеньев (мономеров) в цепи, т. е. во всей молекуле полимера. Если обозначить символом % молекулярный вес одного звена, то молекулярный вес полимера М определится по формуле Л/ = пх.

Молекулы полимера имеют гигантские размеры (макромолекулы) и огромный молекулярный вес: от 6—10 тысяч до величины, определяемой размером данного куска полимера, состоящего из 啦ной молекулы. Полимер с М = 104 4- 106 —— высокополимер.

Молекулы полимеров могут быть линейными или сетчатыми, в обоих случаях они состоят из звеньев одинакового или различного химического состава. При закономерном расположении звеньев, среди которых преобладают звенья одной структуры, полимер называется гомополимером. При случайном взаимном расположении звеньев двух или трех типов имеем так называемый сополимер. Показатели свойств сополимера располагаются между показателями свойств гомополимеров с такими же звеньями, которые входят в сополимер. Между звеньями молекулы имеются химические связи, между молекулами ——межмолекулярные. 1【ем значительнее химическая связь превышает молекулярную, тем ярче прояв- ляются специфические свойства полимеров.

Чем значительнее и чаще межмолекулярные связи, которые в пределе могут быть также химическими, тем ближе полимер по свойствам к обычному твердому телу. Полимеры, макромолекулы в которых соединены между собой поперечными химическими связями, называются сетчатыми. Сетка может быть двумерной или пространственной, густой или редкой.

Из трех различаемых в физике агрегатных состояний вещества: твердого, жидкого и газообразного ——полимеры могут находиться лишь в твердом и жидком состояниях. Из различаемых в термодинамике трех типов фазовых состояний ) вещества: твердого, жидкого и газообразного — полимеры могут находиться в состойнии твердой и жидкой фазы. Вместе с тем в теории полимеров различают следующие основные группы полимерных материалов:

аморфные .(большинство пластмасс и каучуков);

аморфные ориентированные (волокна и пленочные материалы);

кристаллизующиеся (кристаллизующиеся от воздействия нагрузки);

кристаллические изотропные;

кристаллические ориентированные.

В таблице приведены возможные сочетания (в терминах, принятых в литературе по полимерам) агрегатных и фазовых состояний, в которых могут находиться полимеры.

Агрега гные состояния

твердое

жидкое

Фазовые состояния

твердое жидкое

кристаллическое

стеклообразное (аморфное)

расплав

Из этой таблицы видно, что к твердому агрегатному состоянию относятся и кристаллическое и аморфное состояния. С точки же зрения термодинамики к твердому фазовому состоянию относится лишь кристаллическое состояние полимера, а аморфное (стеклообразное) состояние полимера рассматривается как жидкая фаза, другой разновидностью которой является расплав.

Полимеры с линейными молекулами растворяются, а с повышением температуры приобретают вязко-текучее состояние. Полимеры с сетчатым строением при малом количестве поперечных связей между молекулами набухают в растворителе, а при густосетчатом строении не набухают и являются слабодеформи- руемыми; чем гуще сетка, тем меньше эластичность и пластичность полимера и тем более он хрупок.

Обычно полимеров со строго линейными молекулами не бывает — в последних имеются боковые ответвления; при большом их числе структура полн- мара рыхлая и прочность невысокая. В особых условиях синтеза удается создавать высокопрочные полимеры с макромолекулами идеальной линейной структуры. 、

Реальные сетчатые полимеры имеют структуру, отличающуюся от идеальной. О количестве поперечных связей и расстояниях между ними пока приходится судить по феноменологическим признакам: по величине упругих деформаций, твердости, хрупкости, набуханию. Чем больше дефектов (мест разрыхления), тем пластичнее полимер под нагрузкой и при повышенной температуре, тем больше его набухание.

Одним из видов сополимеров является такой, в котором макромолекула состоит из отрезков цепей различных гомополимеров. Такой сополимер называется блоксополимером. В последнем суммируются свойства составляющих его гомополимеров. Так получаются материалы с редко сочетаемыми свойствами, например ——твердые и эластичные.

Свойства полимера определяются структурой макромолекул, строением элементарного звена в гомополимерах и положением элементарных звеньев (в сополимерах).

Полимеры строго регулярной линейной структуры обладают большой склонностью к кристаллизации. Кристаллизация улучшает механические свойства полимеров — приводит к повышению твердости, модуля упругости, прочности. Мыслима и частичная кристаллизация. Высокой степенью кристалличности обладают многие полимеры, в частности полиолефины, это сделало их наиболее широко распространенным классом полимеров. Содержание кристаллической части в полностью линейном полиэтилене ——95%, в полиэтилене высокой плотности достигает 70——75%, в сильно разветвленном полиэтилене ——40%, в техническом полиэтилене содержание кристаллической части ——50%. У нейлона-66 содержание кристаллической части — 50—60% .

Каучуки не кристалличны, но наиболее прочны среди них те, которые способны кристаллизоваться.

Степень дефектности в полимерных кристаллах очень велика: доля неупорядоченной части полимера может составлять многие проценты или даже десятки процентов от веса полимера.

.В силу большого нарушения регулярности кристаллов полимеров механическое поведение их удается пока описывать лишь на качественном уровне.

В области дефектов в кристаллах полимеров имеются концентрации напряжений. В аморфных полимерах неоднородностью напряжений, вызванной структурой, можно пренебречь.

Процесс, обратный кристаллизации,——аморфизация начинается в случае, если в кристаллическом полимерном теле, построенном из регулярно расположенных линейных макромолекул, происходит так называемое структурирование —разветвление и поперечное сшивание линейных цепей 8a счет элементов основной цепи (например, в фенольных смолах молекулы сшиваются метилольными звеньями основной цепи). Сшивка может происходить и вследствие введения

специальных сшивающих веществ (например, для полиэфирных смол таким сшивающим веществом является стирол).

Встречаются и такие случаи, в которых разветвления цепей и сшивающие цепочки сами легко кристаллизуются, при этом аморфизации полимерного тела не наступает.

Вследствие особенности строения полимеры имеют специфические свойства. Отметим основные из них:

Сильно выраженные временные свойства. К числу их относятся: а) зависимость модуля упругости от скорости деформирования или частоты воздействий; б) релаксация напряжений при постоянной деформации; в) ползучесть (рост деформаций во времени при постоянных напряжениях).

В некоторых полимерах последействие длится многие годы и кажущиеся состояния равновесия принимаются за истинное. Если нагрузка носит знакопеременный характер, то установление равновесного состояния может не поспевать за изменением нагрузки вследствие последействия, и поэтому деформация в каждом цикле совершается иначе, чем в предыдущих. В литературе такое явление носит название гистерезиса. Точнее было бы называть его неустановившимся гистерезисом в отличие от гистерезиса установившегося (§ 2.23), с петлей, полностью повторяющейся при каждом последующем цикле, вследствие того что упругое последействие успевает полностью исчерпываться. Чем сильнее в полимере последействие, тем значительнее и гистерезис.

Весьма существенное влияние на свойства полимеров оказывает температура. Об этом влиянии ниже говорится подробно.

Сложная природа упругости, состоящая в наличии двух разновидностей полностью обратимой деформации: а) небольшой, происходящей практически мгновенно в процессе нагружения (мгновенно-упругая деформация, называемая в литературе по полимерам просто упругой деформацией), и б) значительной по величине (иногда несколько сот процентов) и происходящей не мгновенно (высокоэластическая деформация}.

Наличие двух видов необратимых процессов; такими являются: а) течение, обусловленное молекулярным механизмом, аналогичное течению вязких жидкостей и происходящее при низких уровнях напряжения; б) так называемое 《химическое» течение, имеющее место при высоких уровнях напряжения и температуры.

Влияние механических явлений (механической напряженности) на химические процессы.

Способность приобретать так называемое ориентированное состояние (возникает при силовом воздействии), в котором молекулярные цепи ориентированы в определенном направлении, что приводит к повышению прочности.

В полимерах наблюдается так называемое набухание, состоящее в проникновении в них газа или жидкости, находящихся в контакте с ними. В набухшем полимере возрастает объем, понижается прочность, но эластические и пластические деформации возрастают. При увеличении степени набухания происходит ослабление межмолекулярных связей и начинается растворение полимера в растворителе, ничем не ограниченное в случае, если полимер имеет аморфную структуру. Полимеры с высокой степенью кристалличности растворимостью обладают лишь при температуре, близкой к температуре плавления кристаллов.

В сетчатых полимерах с увеличением густоты сетки набухание уменьшается и исчезает вовсе в случае пространственной сетки.

Расположение макромолекул линейного полимера вдоль линии волокна или сетчатого полимера в поверхности пленки обеспечивает высокую прочность волокна или пленки.

Полимеры можно разбить на три группы.

Полимеры, образующие первую из них называются термопластами. Сами они и материалы, получающиеся на их основе, характеризуются особенностью сохранять неизменными исходные свойства, если полимер, нагревая, расплавить, а затем, охлаждая, вновь перевести в исходное состояние.

Отмеченное остается справедливым и при неоднократном расплавлении — отвердении. Термопласты имеют линейную или разветвленную структуру. Свойства их определяются химическим составом и физическим строением. Термопласты могут быть как аморфными, так и кристаллическими. К первым, например, относятся: полистирол, полиакрилат, поливинилхлорид; ко вторым: полиэтилен, полиамиды, фторопласты.

、Вторая группа полимеров получается из линейных полимеров в результате химического процесса, превращающего их в сетчатые, такой процесс (в случае пластмасс) называется отвердением. Низкомолекулярное вещество, превращающее линейный полимер в сетчатый, называется отвердителем или вулканизатором. После отвердения, или вулканизации, в полимере повышается твердость, прочность, теплостойкость, формоустойчивость, но утрачивается термопластичность, растворимость. Формовку изделий производят до вулканизации.

Наконец, третья группа полимеров — это сравнительно низкомолекулярные вещества, называемые смолами, которые, минуя стадию высокомолекулярного

Рис. 4.91. Термомеханическая кривая: / — стеклообразное состояние, 2 — высокоэластическое состояние, 3 — вязко-текучее состояние; Tg — температура (точнее, в окрестности этой температуры — температурный диапазон) стеклования, Т/ — температура (точнее, в окрестности этой температуры —температурный диапазон) текучести.Рис. 4.91. Термомеханическая кривая: / — стеклообразное состояние, 2 — высокоэластическое состояние, 3 — вязко-текучее состояние; Tg — температура (точнее, в окрестности этой температуры — температурный диапазон) стеклования, Т/ — температура (точнее, в окрестности этой температуры —температурный диапазон) текучести.Рис. 4.92. Термомеханические кривые для полимеров одинакового химического строения, но различного молекулярного веса; возрастание номера кривой соответствует возрастанию степей и полимеризации (М t <V М 2VM 3VM 4 < М 5 V М 6VM 7)・Рис. 4.92. Термомеханические кривые для полимеров одинакового химического строения, но различного молекулярного веса; возрастание номера кривой соответствует возрастанию степей и полимеризации (М t <V М 2VM 3VM 4 < М 5 V М 6VM 7)・

Рис. 4.91. Термомеханическая кривая: / — стеклообразное состояние, 2 — высокоэластическое состояние, 3 — вязко-текучее состояние; Tg — температура (точнее, в окрестности этой температуры — температурный диапазон) стеклования, Т/ — температура (точнее, в окрестности этой температуры —температурный диапазон) текучести.

Рис. 4.91. Термомеханическая кривая: / — стеклообразное состояние, 2 — высокоэластическое состояние, 3 — вязко-текучее состояние; Tg — температура (точнее, в окрестности этой температуры — температурный диапазон) стеклования, Т/ — температура (точнее, в окрестности этой температуры —температурный диапазон) текучести.

Рис. 4.92. Термомеханические кривые для полимеров одинакового химического строения, но различного молекулярного веса; возрастание номера кривой соответствует возрастанию степей и полимеризации (М t <

V М 2VM 3VM 4 < М 5 V М 6VM 7)・

Рис. 4.92. Термомеханические кривые для полимеров одинакового химического строения, но различного молекулярного веса; возрастание номера кривой соответствует возрастанию степей и полимеризации (М t <

V М 2VM 3VM 4 < М 5 V М 6VM 7)・

линейного полимера, образуют полимер пространственной структуры, не переходящий в пластическое состояние и не поддающийся обработке резанием вследствие большой хрупкости. Поэтому изделия изготавливают в той стадии, когда смола еще низкомолекулярна и обладает вязкой текучестью. С повышением тем пёр атуры увеличивается молекулярный вес полимера (термореактивная смола) и он приобретает пространственную структуру. Для ускорения процесса к смоле прибавляется ускоритель отвердения. Для предотвращения самопроизвольного отвердения, например, при хранении к термореактивной смоле добавляют ингибитор (замедлитель).

Отвердение термореактивных смол сопровождается большой усадкой, до 10—16%. В отличие от термореактивных смол, термопласты имеют меньшую усадку (0,8—2%).

Деформация аморфных полимеров.

Общая картина деформации в о всех температурных областях. На рис. 4.91 изображена термомеханическая кривая 】) аморфного полимера. При Г V 7旦 полимер — в стеклообразном состоянииу при Tg V Т V Tf — в высокоэластическом, при 7 > Ту — в вязко-текучем. При Г V 樓 деформации малы и обратимы. При Tg < 7 < Ту деформации

1) Тер момеха н и ческой кривая названа потому, что она отнесена к системе осей, по одной из которых откладывается температура, а по другой — деформация (механическая величина), достигнутая за некоторый промежуток времени. Такая кривая — одна из характеристик твердого тела в широком диапазоне температур. Обычно термомеханические кривые строятся для полимеров.

велики, но тоже обратимы. При 7 > 7\ деформации необратимы. Обычно при построении термомеханических кривых сохраняют неизменными скорость нагрева (dT/dt = const) и нагрузку. При другой методике не изменяют напряжения, а температуру изменяют ступеньками, выдерживая ее на каждой из них в течение времени Д/. Положение термомеханической кривой зависит от dT/dt = const или от А/. С уменьшением АС или увеличеиием dT/dt кривая смещается в область больших температур. Использование термомеханических кривых облегчает исследование механизма влияния молекулярного веса, пластификаторов, наполнителей, облучения среды и других факторов на механические свойства полимеров, облегчает контроль стабильности свойств в разных партиях материала и выявление температурных областей его применения.

lawnlrou nxEDfadau q旨Lrglawnlrou nxEDfadau q旨Lrg\ Высокоэластические ^ *'**чдеформации 卜\ Высокоэластические ^ *'**чдеформации 卜

lawnlrou nxEDfadau q旨Lrg

lawnlrou nxEDfadau q旨Lrg

\ Высокоэластические ^ *'**ч

деформации 卜

\ Высокоэластические ^ *'**ч

деформации 卜

Рис. 4.93. Диаграмма деформационно-прочностных состояний аморфных полимеров： 7\р — граница между температурными областями хрупкости и разрушения в ориентированном состоянии, Tg — температура стеклования, Тп — граница между температурными областями высокой эластичности и пластичности; ахр — хрупкая прочность; авэ — предел вынужденной эластичности: аэл — прочность высокоэластического материала (истинное напряжение); оп — предел текучести: 7Kp и ^кр пояснены в тексте при обсуждении рис. 4.94.

Вид термомеханической кривой полимеров одинакового химического строения, но различного молекулярного веса зависит от степени полимеризации, т. е. от молекулярного веса (рис. 4.92). Точка А на этом рисунке принадлежит кривой, соответствующей молекулярному весу, который определяет границу между низкомолекулярными и высокомолекулярными соединениями.

Развитие остаточной деформации происходит при переходе через ап. Этот процесс продолжается вплоть до наступления потери устойчивости течения с образованием сужения, завершающегося разрывом.

Существенную роль в описании свойств аморфных полимеров играет диаграмма деформационно-прочностных состояний (рис. 4.93). Как уже отмечалось, в зависимости от температуры аморфный материал находится в одном из трех физических состояний: стеклообразном (на рис. 4.93 ——область упругих деформаций), высокоэластическом (на рис. 4.93 — область высокоэластических деформаций) и вязко-текучем (на рис. 4.93 ——область необратимых деформаций). На рис. 4.93 изображены предельные напряжения, т. е. напряжения, при которых материал разрушается — по-разному в разных температурных областях. Все температурные границы смещаются к высоким температурам с увеличением скорости деформации (в особенности при ударе) и уменьшением продолжительности действия нагрузки. Проследим за поведением материала в каждой из температурных областей, рассматривая соответствующие диаграммы напряжений

при растяжении. Начнем со стеклообразной области, внутри которой, будем различать две подобласти. В первой из них при О V 7 V 7卄 разрушение происходит по схеме хрупкого исчерпания прочности (рис. 4.94, а).

Температуре TXD соответствует равенство ординат охр =仆？ (рис. 4.93 и 4.94, 6).

Рис. 4.94. Диаграммы напряжений при растяжении: а) температурная область Т < Тхр. 6)Т = Тхр； 6)Тхр V Т V Tg(7 =门，М, Л, Tg - AT; Tt < T, < T3 < Tg - AT? e)県《7《7@(70 7g，丁4, T“「кр，Tg <「4 < 丁6 V ?кр)； °)7Kp & 丁 & Тц・

Во второй подобласти (7\р V 7 V &) стеклообразной области диаграмма приобретает вид, показанный на рис. 4.94, в, где изображены три кривые (сплошные линии) при разных температурах; чем выше температура, тем ниже располагается кривая—тем легче деформируется материал. Напряжение авэ, соответствующее максимуму на кривой, называется пределом вынужденной эластичности. Чем выше Т (остается ниже, чем 7^), тем меньше овэ (см. рис. 4.93, где кривая Овз изображена пунктиром). Напряжения, соответствующие всем трем

§ 4.12] МАТЕРИАЛЫ НА ОСНОВЕ СИНТЕТИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ 343 кривым, изображенным сплошными линиями, отнесены к первоначальной пло・ щади поперечного сечения образца. Сначала дадим пояснения, рассматривая самую верхнюю кривую. Первый участок диаграммы (соответствующий диапазон деформаций отмечен буквой а) является линейным или почти линейным; при приближении Т к Tg происходит некоторое его искривление. На втором участке (диапазон деформаций, отмеченный буквой 6) имеется максимум. Максимуму соответствует начало образования шейки. Начиная с этой точки, диаграмма напряжений, изображенная сплошной линией, значительно отличается от диаграммы истинных напряжений (см. пунктирную кривую).

На третьем участке ® происходит уменьшение поперечных размеров шейки. Достигнув определенных поперечных размеров, шейка перестает суживаться; с этого момента начинается четвертый участок диаграммы напряжений (отмечен на рис. 4.94, в буквой а). Однако шейка захватывает все больший участок по длине образца. На образце создаются области, в которых резко отличаются поперечные размеры шейки и крайних участков. К тому моменту, когда шейка распространится на всю длину образца (конец участка а), деформации достигают сотен процентов. В процессе развития шейки материал ориентируется ——молекулярные цепи расправляются и располагаются вдоль образца (вдоль направления растяжения). Материал приобретает свойство анизотропности ——большую прочность вдоль направления растяжения. Этим (ориентационным) упрочнением и объясняется тот факт, что, пока шейка не охватила по длине весь образец, утонения (сужения) ее не происходит — шейка легче распространиться на еще не охваченные ею участки, чем сужаться. Так обстоит дело до полного распространения шейки на весь образец. Скорость стабилизации поперечного сечения шейки зависит от ориентационного упрочнения материала. Если для приобретения ориентационного упрочнения, препятствующего сужению шейки, не требуется большой вытяжки, то четвертый участок диаграммы (отмечен буквой а на рис. 4.94, а) сокращается и может совсем отсутствовать, т. е. диаграмма растяжения получается без максимума (например, у целлулоида). Вообще картина растяжения различных полимеров зависит от их склонности к ориентационному упрочнению. Явление значительного удлинения образца на участке а диаграммы (рис. 4.94, б) носит название вынужденной эластичности, происхождение термина будет пояснено ниже. При разгрузках и повторных нагружениях, в частности при колебаниях в процессе распространения шейки на всю длину образца, вследствие наличия последействия возникают петли гистерезиса (рис. 4.94, в, кривая, соответствующая температуре Т2). Наиболее широкие петли наблюдаются в области %. Вынужденно-эластическая деформация термодинамически необратима, при больших деформациях большая часть работы деформации переходит в тепло. Однако от пластической деформации она отличается тем, что после разгрузки и нагрева до температуры 樓 эта деформация исчезает. Отсюда название эластическая. Однако для возникновения обсуждаемой деформации необходимо довести напряжения до овэ ——предела вынужденной эластичности. Этим отличается вынужденно-эластическая деформация от высокоэластической, которая возникает при Т > Tg, т. е. в другом диапазоне температур, в процессе нагружения от нулевых напряжений. Отсюда становится понятным и слово вынужденная в названии деформации. Другим отличием вынужденно-эластической деформации от высокоэластической является то, что высокоэластическая деформация по устранении нагрузки исчезает без нагрева.

Следует заметить, что спад напряжений на диаграмме о ——8 (рис. 4.94, 8) не может быть объяснен образованием шейки. Во-первых, такой спад наблюдается и на кривой истинных напряжений (пунктир на рис. 4.94, 6). Во-вторых, характер кривой о ——8 сохраняется и при сжатии, когда шейка, естественно, не образуется. Механизм вынужденной эластичности до настоящего времени не выяснен окончательно. Среди существующих версий отметим одну, согласно которой вынужденная эластичность связана с разрушением некоторой (возможно, надмолекулярной) структуры. В пользу такой гипотезы говорят опыты по повторному нагружению образцов. А именно, если при первом нагружении на кривой о — в

Рис. 4.95. Изменение во времени скорости деформации сдвига в процессе течения полимера: / — при больших напряжениях, 2 — при малых напряжениях; большая величина у в начальный момент объясняется наличием в составе деформации как высокоэластической доли, так и течения; точка 6 соответствует исчерпанию высокоэластической деформации (ее скорость обращается в нуль); участок БВ графика —необратимое течение На этом участке скорость сначала растет вследствие разрушения надмолекулярных структур (при малых напряжениях и скоростях этого не происходит), а затем становится постоянной (установившийся режим течения); уменьшение скорости течения при малых напряжениях происходит за счет увеличения внутреннего трения при выпрямлении макромолекулы вдоль действия сил [Федоренко Н. П., Рахлин И. В.I (Здесь и далее в квадратных скобках в подрисуночной подписи приводятся фамилии авторов из библиографического списка, приведенного в подстрочном примечании на стр 336 (начало § 4.J2).)пои снятии нагоузки исчезает.Рис. 4.95. Изменение во времени скорости деформации сдвига в процессе течения полимера: / — при больших напряжениях, 2 — при малых напряжениях; большая величина у в начальный момент объясняется наличием в составе деформации как высокоэластической доли, так и течения; точка 6 соответствует исчерпанию высокоэластической деформации (ее скорость обращается в нуль); участок БВ графика —необратимое течение На этом участке скорость сначала растет вследствие разрушения надмолекулярных структур (при малых напряжениях и скоростях этого не происходит), а затем становится постоянной (установившийся режим течения); уменьшение скорости течения при малых напряжениях происходит за счет увеличения внутреннего трения при выпрямлении макромолекулы вдоль действия сил [Федоренко Н. П., Рахлин И. В.I (Здесь и далее в квадратных скобках в подрисуночной подписи приводятся фамилии авторов из библиографического списка, приведенного в подстрочном примечании на стр 336 (начало § 4.J2).)пои снятии нагоузки исчезает.наблюдался «зуб», то при втором и следующих нагружениях (после разгрузок) кривая о ——8 будет монотонной (рис. 4.94, в).

Рис. 4.95. Изменение во времени скорости деформации сдвига в процессе течения полимера: / — при больших напряжениях, 2 — при малых напряжениях; большая величина у в начальный момент объясняется наличием в составе деформации как высокоэластической доли, так и течения; точка 6 соответствует исчерпанию высокоэластической деформации (ее скорость обращается в нуль); участок БВ графика —необратимое течение На этом участке скорость сначала растет вследствие разрушения надмолекулярных структур (при малых напряжениях и скоростях этого не происходит), а затем становится постоянной (установившийся режим течения); уменьшение скорости течения при малых напряжениях происходит за счет увеличения внутреннего трения при выпрямлении макромолекулы вдоль действия сил [Федоренко Н. П., Рахлин И. В.I (Здесь и далее в квадратных скобках в подрисуночной подписи приводятся фамилии авторов из библиографического списка, приведенного в подстрочном примечании на стр 336 (начало § 4.J2).)

пои снятии нагоузки исчезает.

Рис. 4.95. Изменение во времени скорости деформации сдвига в процессе течения полимера: / — при больших напряжениях, 2 — при малых напряжениях; большая величина у в начальный момент объясняется наличием в составе деформации как высокоэластической доли, так и течения; точка 6 соответствует исчерпанию высокоэластической деформации (ее скорость обращается в нуль); участок БВ графика —необратимое течение На этом участке скорость сначала растет вследствие разрушения надмолекулярных структур (при малых напряжениях и скоростях этого не происходит), а затем становится постоянной (установившийся режим течения); уменьшение скорости течения при малых напряжениях происходит за счет увеличения внутреннего трения при выпрямлении макромолекулы вдоль действия сил [Федоренко Н. П., Рахлин И. В.I (Здесь и далее в квадратных скобках в подрисуночной подписи приводятся фамилии авторов из библиографического списка, приведенного в подстрочном примечании на стр 336 (начало § 4.J2).)

пои снятии нагоузки исчезает.

Диаграмма, изображенная на рис. 4.93, в той части, где показаны линии ахр и °вз, по сути дела, аналогична диаграмме схемы Л. Ф. Иоффе.

На пятом участке диаграммы (на рис. 4.94 отмечен буквой д) поперечное сечение образца уменьшается по сравнению с тем, какое было у шейки на четвертом участке диаграммы. Змеет место как бы 'упрочнение.

Чем меньше молекулярный вес полимера, тем ближе 7\р к Tg.

Вынужденно-эластические деформации являются важнейшей характерной особенностью аморфных (стеклообразных) полимеров.

Продолжим обзор диаграмм напряжений при растяжении образцов в не рассмотренных еще температурных областях.

Следующая температурная область примыкает к Tg со стороны больших температур. Выше' уже было показано, что при приближении к 樓 со стороны меньших температур понижается овэ и сглаживается соответствующий ему максимум на диаграмме напряжений. При Т = Tg — АТ максимума нет вовсе и диаграмма о — £ состоит из сопрягаемых криволинейным участком прямолинейных участков ——первого ——крутого со вторым — пологим (рис. 4.94, в, диаграмма Tg —— АТ). Точке пересечения этих двух прямолинейных участков соответствует так называемое критическое напряжение окр. В диапазоне температур Tg ^ Г ^ 7\р Диаграмма имеет вид, изображенный на рис. 4.94, г; по мере роста Т в указанном диапазоне диаграмма располагается все ниже я ниже, вместе с этим уменьшается и。叩・ Наконец, Окр обращается в нуль. Та температура, при которой это происходит, называется критической (Ткр). Начиная с Г = Ткр и при более высоких температурах (в диапазоне Ткр W Т V 「п) вид диаграмм растяжения становится таким, какой показан на рис. 4.94,0. Напомним, что вся деформация в этом диапазоне температур (небольшая упругая и огромная высокоэластическая) ,…Появляющиеся в температурной области

fg Т <. Тп высокоэластические деформации происходят с образованием шейки и ориентированием всего образца. Однако вся картина в общем-то аналогична той, которая была рассмотрена в области ТХр V Т V Tg、но все же отличается тем, что начало образования шейки соответствует весьма малому напряжению, тогда как при 7 V Tg ориентационное упрочнение происходит быстрее, чем в высокоэластическом состоянии. В следующем диапазоне температур (Тп V Т V Т° деформация £ содержит два слагаемых: высокоэластическую деформацию еэл и остаточную деформацию еост. Измеряя деформацию в конце

каждого шага нагружения и производя разгрузку, можно отделить одно слагаемое от другого. По мере роста Т в указанной выше области доля остаточной деформации растет. Наконец, при Т = Т/ деформация становится полностью необратимой и образец течет при очень малом напряжении. '

Отметим, что течение линейных полимеров имеет механическую природу. Пространственно-структурированные полимеры, нс текущие вплоть до температуры химического распада, при этой температуре начинают течь. Такое течение называется химическим течением.

Коэффициент вязкости при течении полимеров, как правило, большой вследствие большого молекулярного веса. На рис. 4.95 показано изменение скорости деформации сдвига во времени как при- больших, так и при малых напряжениях.

Некоторые дополнительные сведения о деформации полимеров в стеклообразном состоянии при напряжениях, способных вызвать вынужденную эластичность. Обсудим детальнее деформацию образца в каждой из температурных областей.

Модуль упругости у полимера в стеклообразном состоянии (рис. 4.94, а, 6, в) имеет величину порядка 104 кГ/ел2, что меньше, чем у конструкционных металлов примерно в 100——200 раз, однако больше, чем у этого же полимера, но в высокоэластическом состоянии, примерно на три десятичных порядка. Модуль высокой эластичности в процессе воздействия нагрузки уменьшается, стремясь к равновесному %. Динамический модуль упругости высокоэластичных полимеров зависит от скорости деформаций и частоты колебаний и складывается из двух частей:

Второе слагаемое ——неравновесная часть модуля, соответствующая вкладу высокоэластических сил и сил трения в сопротивляемость деформации.

В связи с наличием упругого последействия получение модуля упругости по кривой о ——е ведет к погрешности. Модуль упругости больше получаемого по наклону начального участка кривой.

Незадолго до достижения максимума на кривой напряжения (рис. 4.94, б) в образце образуются большие сдвиги (линии на поверхности под углом 45° к оси растягиваемого образца) и происходит развитие вынужденно-эластических деформаций.

Предел вынужденной эластичности зависит от ряда факторов. Отметим из них следующие: скорость нагружения, температура, масштабный фактор, молекулярный вес, предварительная ориентация и наложение гидравлического давления. Без подробных комментариев охарактеризуем каждое из этих влияний.

На рис. 4.96 в качестве иллюстрации показано влияние скорости деформирования (и) на Овз в одном из полимеров. Существует эмпирическая формула

仆3 — В -\- С \п V.

При этом В и С зависят от температуры (С тем больше, чем меньше Т). Интересно заметить, что если величина авэ уменьшается при увеличении и, то шейка в ряде случаев (например, в макролоне) оказывается одинаковой как при низких скоростях растяжения, так и при скорости 〜1 км/сек.

Понижение предела вынужденной эластичности при повышении температуры было качественно уже проиллюстрировано на рис. 4.94, в. На рис. 4.97 показана количественная зависимость。心 от Т, а также и от и.

Наложение гидростатического давления на деформацию сжатия повышает ав9, поскольку замедляет разрыхление.

Влияние предварительной ориентации на величину авэ (и одновременно на Охр) в определенном температурном диапазоне проиллюстрировано примером, представленным на рис. 4.98.

Остановимся теперь на установлении границы между областями хрупкого и вязкого разрушения, применяя схему А. Ф. Иоффе.

На рис. 4.99 изображены зависимости авэ и %р от температуры (аналог схемы А. Ф. Иоффе), на основании которых можно найти температуру хрупкости.

Однако, поскольку ахр зависит от молекулярного веса М, что существенно,Однако, поскольку ахр зависит от молекулярного веса М, что существенно,так как один и тот же полимер можеттак как один и тот же полимер можетб,кГ/мм9б,кГ/мм9““иметь различную степень полимеризации, изображено несколько кривых для ахр. Зависимость охр от М и малое влияние М на Овз объясняется так. авэ определяется подвижность отдельных участков макромолекул, и поэтому при достаточно большой длине молекулы, т. е. при достаточно большом М, овэ перестает зависеть от М. Величина же.иметь различную степень полимеризации, изображено несколько кривых для ахр. Зависимость охр от М и малое влияние М на Овз объясняется так. авэ определяется подвижность отдельных участков макромолекул, и поэтому при достаточно большой длине молекулы, т. е. при достаточно большом М, овэ перестает зависеть от М. Величина же.6бз，行[мм*6бз，行[мм*6)6)Рис. 4.96. Влияние скорости деформации на величину авэ полиметилкрилата при 18 ®С： а) кривые растяжения; рядом с каждой кривой написана величина скорости растяжения в мм/мин; б) зависимость овэ (кГ/мм2) от In V (сек-1) [Аскадский A. AJ.Рис. 4.96. Влияние скорости деформации на величину авэ полиметилкрилата при 18 ®С： а) кривые растяжения; рядом с каждой кривой написана величина скорости растяжения в мм/мин; б) зависимость овэ (кГ/мм2) от In V (сек-1) [Аскадский A. AJ.бдэгнг!мм2бдэгнг!мм2Рис. 4.97. Зависимость овэ от температуры поливинилхлорида. Точка пересечения кривой с осью абсцисс, соответствующая с вз = 0, показывает температуру стеклования (зависит от и).Рис. 4.97. Зависимость овэ от температуры поливинилхлорида. Точка пересечения кривой с осью абсцисс, соответствующая с вз = 0, показывает температуру стеклования (зависит от и).Охр определяется прочностью химических связей внутри молекулы, которая, как уже указывалось, значительно превышает прочность межмолекулярных связей, и лишь при очень больших молекулах прочность этих связей может превзойти

Однако, поскольку ахр зависит от молекулярного веса М, что существенно,

Однако, поскольку ахр зависит от молекулярного веса М, что существенно,

так как один и тот же полимер может

так как один и тот же полимер может

б,кГ/мм9

б,кГ/мм9

“

“

иметь различную степень полимеризации, изображено несколько кривых для ахр. Зависимость охр от М и малое влияние М на Овз объясняется так. авэ определяется подвижность отдельных участков макромолекул, и поэтому при достаточно большой длине молекулы, т. е. при достаточно большом М, овэ перестает зависеть от М. Величина же.

иметь различную степень полимеризации, изображено несколько кривых для ахр. Зависимость охр от М и малое влияние М на Овз объясняется так. авэ определяется подвижность отдельных участков макромолекул, и поэтому при достаточно большой длине молекулы, т. е. при достаточно большом М, овэ перестает зависеть от М. Величина же.

6бз，行[мм*

6бз，行[мм*

6)

6)

Рис. 4.96. Влияние скорости деформации на величину авэ полиметилкрилата при 18 ®С： а) кривые растяжения; рядом с каждой кривой написана величина скорости растяжения в мм/мин; б) зависимость овэ (кГ/мм2) от In V (сек-1) [Аскадский A. AJ.

Рис. 4.96. Влияние скорости деформации на величину авэ полиметилкрилата при 18 ®С： а) кривые растяжения; рядом с каждой кривой написана величина скорости растяжения в мм/мин; б) зависимость овэ (кГ/мм2) от In V (сек-1) [Аскадский A. AJ.

бдэгнг!мм2

бдэгнг!мм2

Рис. 4.97. Зависимость овэ от температуры поливинилхлорида. Точка пересечения кривой с осью абсцисс, соответствующая с вз = 0, показывает температуру стеклования (зависит от и).

Рис. 4.97. Зависимость овэ от температуры поливинилхлорида. Точка пересечения кривой с осью абсцисс, соответствующая с вз = 0, показывает температуру стеклования (зависит от и).

Рис. 4.99. Зависимости овэ (сплош* ная линия) и аХр (пунктирные линии) от Т при различных молекулярных весах полимеров.Рис. 4.99. Зависимости овэ (сплош* ная линия) и аХр (пунктирные линии) от Т при различных молекулярных весах полимеров.Т「СТ「СРис. 4.98. Влияние предварительной ориентации на овэ (сплошные линии) и охр (пунктир) в заРис. 4.98. Влияние предварительной ориентации на овэ (сплошные линии) и охр (пунктир) в зависимости от температуры образцов полиметилметакрилата: / — образцы в исходном состоянии^висимости от температуры образцов полиметилметакрилата: / — образцы в исходном состоянии^2 — предварительно вытянутые образцы (е】

Рис. 4.99. Зависимости овэ (сплош* ная линия) и аХр (пунктирные линии) от Т при различных молекулярных весах полимеров.

Рис. 4.99. Зависимости овэ (сплош* ная линия) и аХр (пунктирные линии) от Т при различных молекулярных весах полимеров.

Т「С

Т「С

Рис. 4.98. Влияние предварительной ориентации на овэ (сплошные линии) и охр (пунктир) в за

Рис. 4.98. Влияние предварительной ориентации на овэ (сплошные линии) и охр (пунктир) в за

висимости от температуры образцов полиметилметакрилата: / — образцы в исходном состоянии^

висимости от температуры образцов полиметилметакрилата: / — образцы в исходном состоянии^

100%).

прочность химической связи и произойдет хрупкое разрушение при малых деформациях. Вот почему Охр зависит от М. Аналогично, от М зависят и другие характерные для полимеров температурные интервалы. На рис. 4,100 показана

схема, предложенная Ю. С. Лазуркиным (докторская диссертация, М., 1954), показывающая зависимости Т/, Tg и Тхр от М при одном виде напряженного состояния. °

В заключение раздела заметим следующее. Выше была показана диаграмма деформационно-прочностных состояний аморфных полимеров при растяжении.

Рис. 4.100. Зависимость температур Т『 Tg и 7Хр от молекулярного веса полимера: 7 — область хрупкого стеклообразного состояния, 2 — область вынужденно эластического стеклообразного состояния, 3 — область высокоэластического со- стояння1r 4 — область вязко-текучего состояния [по Лазуркину Ю. С.].Рис. 4.100. Зависимость температур Т『 Tg и 7Хр от молекулярного веса полимера: 7 — область хрупкого стеклообразного состояния, 2 — область вынужденно эластического стеклообразного состояния, 3 — область высокоэластического со- стояння1r 4 — область вязко-текучего состояния [по Лазуркину Ю. С.].Рис. 4.101. Зависимость вида диаграммы деформационно-прочност- ных состояний от вида деформацииз / — растяжение, 2 — сжатие; пунктир —линии предела вынужденной эластичности.Рис. 4.101. Зависимость вида диаграммы деформационно-прочност- ных состояний от вида деформацииз / — растяжение, 2 — сжатие; пунктир —линии предела вынужденной эластичности.

Рис. 4.100. Зависимость температур Т『 Tg и 7Хр от молекулярного веса полимера: 7 — область хрупкого стеклообразного состояния, 2 — область вынужденно эластического стеклообразного состояния, 3 — область высокоэластического со- стояння1r 4 — область вязко-текучего состояния [по Лазуркину Ю. С.].

Рис. 4.100. Зависимость температур Т『 Tg и 7Хр от молекулярного веса полимера: 7 — область хрупкого стеклообразного состояния, 2 — область вынужденно эластического стеклообразного состояния, 3 — область высокоэластического со- стояння1r 4 — область вязко-текучего состояния [по Лазуркину Ю. С.].

Рис. 4.101. Зависимость вида диаграммы деформационно-прочност- ных состояний от вида деформацииз / — растяжение, 2 — сжатие; пунктир —линии предела вынужденной эластичности.

Рис. 4.101. Зависимость вида диаграммы деформационно-прочност- ных состояний от вида деформацииз / — растяжение, 2 — сжатие; пунктир —линии предела вынужденной эластичности.

В принципе она остается такою же в области Т V % и при сжатии, но происходит повышение ахр и соответственно овэ (рис. 4.101).

Деформация полимеров в стеклообразном со- стоянии при напряжениях меньше тех, которые вызы- вают вынужденную эластичность. Выше обсуждалась деформация аморфных полимеров в стеклообразном состоянии при больших напряжениях, способных вызвать вынужденную эластичность. Рассмотрим теперь бегло

名片"加2名片"加2Рис, 4.102. Релаксация напряжений в пол иметилметакрилате при различных начальных напряжениях (Г = 25 ℃).Рис, 4.102. Релаксация напряжений в пол иметилметакрилате при различных начальных напряжениях (Г = 25 ℃).Рис. 4.103. Кривая ползучести полимера: / — участок упругой деформации и деформации упругого последействия, 2 — участок деформации вы- нужден но-эл астического характера (снимается после нагрева выше %_), 3 — участок, предшествующий разрушению.Рис. 4.103. Кривая ползучести полимера: / — участок упругой деформации и деформации упругого последействия, 2 — участок деформации вы- нужден но-эл астического характера (снимается после нагрева выше %_), 3 — участок, предшествующий разрушению.

名片"加2

名片"加2

Рис, 4.102. Релаксация напряжений в пол иметилметакрилате при различных начальных напряжениях (Г = 25 ℃).

Рис, 4.102. Релаксация напряжений в пол иметилметакрилате при различных начальных напряжениях (Г = 25 ℃).

Рис. 4.103. Кривая ползучести полимера: / — участок упругой деформации и деформации упругого последействия, 2 — участок деформации вы- нужден но-эл астического характера (снимается после нагрева выше %_), 3 — участок, предшествующий разрушению.

Рис. 4.103. Кривая ползучести полимера: / — участок упругой деформации и деформации упругого последействия, 2 — участок деформации вы- нужден но-эл астического характера (снимается после нагрева выше %_), 3 — участок, предшествующий разрушению.

картину поведения этих же полимеров, но при напряжениях ниже предела вынужденной эластичности. В этом случае существенными оказываются временные свойства (последействие). На рис. 4.102 показаны кривые релаксации напряжений. При малых напряжениях наблюдается аффинность кривых релаксации,

отсюда ясно, что текущее напряжение является функцией лишь времени:

。/。H=f(/)，или о = о"(/)・

Здесь о — текущее напряжение, он — начальное напряжение. Нетрудно показать, что в таком случае и скорость релаксации напряжений также есть функция только времени; действительно,

dodoОнОн"(/)dt"(/)dtо d/(f)о d/(f)= оср (/).= оср (/).

do

do

Он

Он

"(/)dt

"(/)dt

о d/(f)

о d/(f)

= оср (/).

= оср (/).

Подчеркнем, что так обстоит дело лишь при небольших напряжениях. На рис. 4.103 изображена кривая ползучести полимера. Интересно, что несмотря на то, что о < авэ, в образце вследствие длительности воздействия наблюдаются

Рис. 4.104. Кривые, соответствующие опыту, обнаруживающему уМеньтенне скорости релаксации напряжений после разгрузок [по Лазуркину — Аскадскому].Рис. 4.104. Кривые, соответствующие опыту, обнаруживающему уМеньтенне скорости релаксации напряжений после разгрузок [по Лазуркину — Аскадскому].Рис. 4.105. Возникновение напряжении после полной мгновенной разгрузки релаксирующего образца в условиях сохранения его длиныРис. 4.105. Возникновение напряжении после полной мгновенной разгрузки релаксирующего образца в условиях сохранения его длины

Рис. 4.104. Кривые, соответствующие опыту, обнаруживающему уМеньтенне скорости релаксации напряжений после разгрузок [по Лазуркину — Аскадскому].

Рис. 4.104. Кривые, соответствующие опыту, обнаруживающему уМеньтенне скорости релаксации напряжений после разгрузок [по Лазуркину — Аскадскому].

Рис. 4.105. Возникновение напряжении после полной мгновенной разгрузки релаксирующего образца в условиях сохранения его длины

Рис. 4.105. Возникновение напряжении после полной мгновенной разгрузки релаксирующего образца в условиях сохранения его длины

деформации ползучести, имеющие природу вынужденно-эластических деформаций (участок 2 на кривой). ，

Интересные опыты были проведены с полимерами 10. С. Лазуркиным. Если образец, находящийся в условиях, позволяющих произойти релаксации напряжений (фиксирована величина деформации), по истечении какого-то промежутка времени, после того как уже произошел спад напряжений, вновь догрузить до исходного напряжения и повторять такую процедуру через одинаковые промежутки времени, то точки на кривых релаксации, соответствующие моментам

догрузки, располагаются на некоторой кривой, асимптотически приближающейся к прямой, параллельной оси времени, но расположенной на уровне более низком； чем уровень первоначального напряжения (рис. 4.104), т. е. после догрузок происходит уменьшение скорости релаксации, но не беспредельно.

А《ожно поставить опыт (Лазуркин ——Аскадский), обнаруживающий интересный эффект. Если образец, в котором происходит релаксация напряжений, разгрузить, сохраняя длину фиксированной, то, так как после разгрузки исключена деформация упругого последействия, вновь возникнут напряжения (рис. 4.105).

Наконец, отметим явление, в каком-то смысле аналогичное эффекту Баушингера (изменение свойств материала после предварительной деформации противоположного знака) и состоящее в том, что, если образец, в котором происходит релаксация, подвергается мгновенной разгрузке и нагружению таким же по абсолютному значения напряжением, как и первоначальное напряжение, но противоположного знака, то после такой операции скорость релаксации повышается (рис. 4.106).

Некоторая дополнительная информация о п о- лимера х в высокоэластическом состоянии. А. П. Александровым и Ю. С. Лазуркиным в 1939 г. был сформулирован принцип тем-

пературно-временной суперпозиции, согласно которому влияние температуры и времени на величину деформации эквивалентно. Основываясь на этом принципе, можно наложить кривые ползучести или релаксации напряжений, соответствующие разным температурам, на один общий график после соответствующего смещения вдоль оси

В высокоэластическом состоянии полимер каучукоподобен. Релаксация у таких полимеров имеет вид, изображенный на рис. 4.107.

Рис. 4.107. Кривая релаксации напряжения кау- чукоподобиого полимера (полимера в высокоэла- стичсском состоянии): / — почти мгновенная часть релаксации, 2 — переходная часть релаксации, 2' — выделенная переходная часть релаксации, 3 — кривая установившейся рела ксации.Рис. 4.107. Кривая релаксации напряжения кау- чукоподобиого полимера (полимера в высокоэла- стичсском состоянии): / — почти мгновенная часть релаксации, 2 — переходная часть релаксации, 2' — выделенная переходная часть релаксации, 3 — кривая установившейся рела ксации.Рис. 4.106. Увеличение скорости релаксации после изменени я знака релаксирующего напряжения.

Рис. 4.107. Кривая релаксации напряжения кау- чукоподобиого полимера (полимера в высокоэла- стичсском состоянии): / — почти мгновенная часть релаксации, 2 — переходная часть релаксации, 2' — выделенная переходная часть релаксации, 3 — кривая установившейся рела ксации.

Рис. 4.107. Кривая релаксации напряжения кау- чукоподобиого полимера (полимера в высокоэла- стичсском состоянии): / — почти мгновенная часть релаксации, 2 — переходная часть релаксации, 2' — выделенная переходная часть релаксации, 3 — кривая установившейся рела ксации.

Рис. 4.108. Деформация полиэтилена п условиях длительного действия постоянной силы при постоянной температуре: / — область аморфного состояния, 2 — область вытягивания в струну, 3 — область кристаллического состояния.Рис. 4.108. Деформация полиэтилена п условиях длительного действия постоянной силы при постоянной температуре: / — область аморфного состояния, 2 — область вытягивания в струну, 3 — область кристаллического состояния.Рис. 4.109. Кривые деформации образцов после отдыха (пунктирные линии) и неотдыхавшего образца (сплошная линия).Рис. 4.109. Кривые деформации образцов после отдыха (пунктирные линии) и неотдыхавшего образца (сплошная линия).В процессе растяжения в области высокоэластических деформаций полимер, находящийся в аморфном состоянии, может перейти в кристаллическое состояние. Такой переход во времени происходит почти скачком. Во время этого скачка в образце происходит огромная деформация, в результате которой он превращается в струну. Изменение деформации во времени, относящееся к описанному случаю, изображено на рис. 4.108.

Рис. 4.108. Деформация полиэтилена п условиях длительного действия постоянной силы при постоянной температуре: / — область аморфного состояния, 2 — область вытягивания в струну, 3 — область кристаллического состояния.

Рис. 4.108. Деформация полиэтилена п условиях длительного действия постоянной силы при постоянной температуре: / — область аморфного состояния, 2 — область вытягивания в струну, 3 — область кристаллического состояния.

Рис. 4.109. Кривые деформации образцов после отдыха (пунктирные линии) и неотдыхавшего образца (сплошная линия).

Рис. 4.109. Кривые деформации образцов после отдыха (пунктирные линии) и неотдыхавшего образца (сплошная линия).

Интересное явление было обнаружено при создании перерывов в действии нагрузки "на образец (отдыха), во время которых, вследствие обратимости высокоэластической деформации, последняя полностью снималась. Однако всякий раз после повторного загружения деформация «догоняла» тот уровень, которого она достигла бы к этому моменту, если бы образец не подвергался отдыху (время отдыха при этом из рассмотрения исключается, т. е. учитывается то чистое время, в течение которого образец нагружен). Описанная картина изображена на рис.4.109. Интересно заметить, что чем больше отношение отрезков времени отдыха

и нагруженного состояния, тем быстрее образец «догоняет» деформацию в неотдыхающем контрольном образце. По-видимому, в процессе первого деформирования в образце появилась новая структура, которой соответствуют новые свойства.

С изменением температурного режима в аморфных полимерах свойство вынуждаемой эластической деформации проявляется как способность «замораживания» упругих деформаций; последнее состоит в следующем. Если нагреть лист линейного полимера до возникновения в нем каучуко подобного состояния и придать ему путем прессования некоторую форму и охладить полученное таким образом изделие с сохранением его формы (т. е. не снимая пуансона, при помощи которого производилось прессование), то при комнатной температуре эта форма оказывается устойчивой. Однако если описываемое изделие нагреть выше определенной температуры, то оно приобретает вновь форму листа. Следовательно, во-первых, деформации, имевшие место при прессовании, были упругими, во-вторых, охлаждение изделия после прессования, с сохранением его формы, приводило к так называемому «замораживанию» указанных упругих деформаций.

Рис. 4.110. Высокоэластическая и остаточная доли полной деформации полиизобутилена в зависимости от интегрального фактора напряженности образца во времени.Рис. 4.110. Высокоэластическая и остаточная доли полной деформации полиизобутилена в зависимости от интегрального фактора напряженности образца во времени.Это свойство при наличии у материала, кроме того, еще и свойства оптической активности позволяет исследовать пространственное напряженное состояние на моделях, изготовленных из указанного материала.

Рис. 4.110. Высокоэластическая и остаточная доли полной деформации полиизобутилена в зависимости от интегрального фактора напряженности образца во времени.

Рис. 4.110. Высокоэластическая и остаточная доли полной деформации полиизобутилена в зависимости от интегрального фактора напряженности образца во времени.

О деформации аморфного полимера в диапазоне Tf <Z Т <Z Тп. В условиях длительного действия силы в диапазоне температур Т/V 力 V 丁口 в образце одновременно имеют место и высокоэластические деформации и течение, с которым связаны остаточные деформации. Последние при данной нагрузке возрастают со временем. Эти доли деформации могут быть отделены одна от другой путем разгрузки и длительной после нее выдержки. В результате такой операции сохраняются

лишь необратимые остаточные деформации. На рис. 4.110 изображены результаты разделения полной деформации на высокоэластическую и остаточную.

После разделения деформаций может быть найден модуль высокоэластической упругости как тангенс угла наклона касательной к первоначально прямолинейному графику.

Интересно, что высокоэластические деформации практически не зависят ни от молекулярного веса полимера данного вида, ни от температуры.

Деформация полимеров, находящихся в кристаллическом состоянии. Кристаллические полимеры при малых деформациях ведут себя, как обычные твердые тела, при больших же деформациях претерпевают фазовый переход от изотропной фазы к ориентированной.

На рис. 4.111 изображена характерная диаграмма растяжения образца из полимера, находящегося в кристаллическом состоянии. Вид этой диаграммы внешне сходен с видом диаграммы растяжения аморфного полимера, находящегося в стеклообразном состоянии. На деформацию такого образца влияют очень многие факторы: предыстория образца, форма, режим нагружения. Вследствие этого ценность результатов экспериментов существенно повышается, если указываются все условия его проведения.

Если из той части образца, которая уже подвергнута ориентации, вырезать образец так, чтобы его ось была перпендикулярна оси основного образца, то он будет вести себя, как исходный изотропный материал.

На рис. 4.112 изображены диаграммы и 一 а, полученные при испытании полимерных кристаллических образцов при различных температурах (рис. 4.112, а), при различных скоростях деформирования (рис. 4.112, б) и при / различных молекулярных весах одного и того же. вещества (рис. 4.112, в).

Термомеханическая кривая кристаллического материала имеет вид, изображенный на рис. 4.113.

Покажем теперь характер зависимости предела прочности кристаллического полимера от температуры. Соответствующий график изображен на рис. 4.114. Очевидно, что хрупкая прочность полимера существенно зависит от того, ориентирован он или нет.

Краткие сведения о пластмассах.

Термопласты. Большая часть пластмасс — это сложные механические смеси, в которых основной составной частью является полимер. Иногда пластмасса состоит из чистого полимера. В термопласты для увеличения пла-

Рис. 4.112. Влияние различных факторов на вид диаграммы напряжений при растяжении полимерного кристаллического образца: а) влияние температуры; ббльшим номерам кривых соответствуют более высокие температур ры; 6) влияние скорости нагружения на два первых участка диаграммы; ббльшим номерам кривых соответст* вуют более высокие скорости; в) влияние молекулярного веса на протяженность диаграммы; ббльшим номерам точек, соответствующих разрушению, отвечают ббльшие молекулярные веса одного и того же вещества (более вьь сокая степень полимеризации).Рис. 4.112. Влияние различных факторов на вид диаграммы напряжений при растяжении полимерного кристаллического образца: а) влияние температуры; ббльшим номерам кривых соответствуют более высокие температур ры; 6) влияние скорости нагружения на два первых участка диаграммы; ббльшим номерам кривых соответст* вуют более высокие скорости; в) влияние молекулярного веса на протяженность диаграммы; ббльшим номерам точек, соответствующих разрушению, отвечают ббльшие молекулярные веса одного и того же вещества (более вьь сокая степень полимеризации).

Рис. 4.112. Влияние различных факторов на вид диаграммы напряжений при растяжении полимерного кристаллического образца: а) влияние температуры; ббльшим номерам кривых соответствуют более высокие температур ры; 6) влияние скорости нагружения на два первых участка диаграммы; ббльшим номерам кривых соответст* вуют более высокие скорости; в) влияние молекулярного веса на протяженность диаграммы; ббльшим номерам точек, соответствующих разрушению, отвечают ббльшие молекулярные веса одного и того же вещества (более вьь сокая степень полимеризации).

Рис. 4.112. Влияние различных факторов на вид диаграммы напряжений при растяжении полимерного кристаллического образца: а) влияние температуры; ббльшим номерам кривых соответствуют более высокие температур ры; 6) влияние скорости нагружения на два первых участка диаграммы; ббльшим номерам кривых соответст* вуют более высокие скорости; в) влияние молекулярного веса на протяженность диаграммы; ббльшим номерам точек, соответствующих разрушению, отвечают ббльшие молекулярные веса одного и того же вещества (более вьь сокая степень полимеризации).

Рис. 4.111. Диаграмма растяжения (схема) образца из полимера, находящегося в кристаллическом состоянии; участок 0 — / на диаграмме почти линейный (Е найти как tg а все же затруднительно), деформации упруги (релаксационные процессы мало заметны, в особенности при больших скоростях растяжения); длина участка 2—4 на диаграмме иногда достигает нескольких первоначальных длин образца; точка 2 на кривой соответствует концу образования шейки установившегося поперечного сечения; от точки 2 до точки 4 поперечные размеры шейки сохраняются неизменными; в точке 4 шейка охватывает весь образец; первоначальный образец не ориентирован; участок образца, представляющий собой те^ку? ориентирован. 5 — точка диаграммы растяжения образца, соответствующая растяжению образца после того как шейка охватила всю его длину; после точки 4 происходит равномерное по длине уменьшение поперечного сечения образца.

стичности или снижения температуры текучести добавляют пластификаторы —* высоковязкие жидкости или низкоплавкие воскоподобные синтетические вещества, вызывающие набухание полимера и уменьшающие межмолекулярное взаимодействие. Пластификатор снижает твердость и сопротивляемость статическим нагрузкам, но увеличивает упругие м аластические деформации. Выветривание пластификатора приводит к изменению свойств пластмассы (старению) и короб-

лению изделия из нее. Применение воскоподобных п«тасгификаторов позволяет существенно отдалить момент наступления старения.

Кроме пластификаторов и наполнителей для образования пластмассы к полимеру в отдельных случаях добавляют стабилизатор (для связывания им продуктов частичной термической деструкции полимера, имеющей иногда место в процессе формования), противоокисл w тел и или противостарители (связывающие кислород, проникший внутрь изделия), отвердитель, замедлитель отверденияf ускоритель отвердения.

Пластмассы выгодно отличаются от других материалов рядом особенностей: широкой гаммой прочностных и деформативных свойств; простотой изготовления из них изделий литьем, штамповкой, прессованием, без какой-либо дальнейшей обработки; устойчивостью к атмосферному воздействию и влиянию агрессивных

Рис. 4.113. Термомеханическая кривая (схема) кристаллического полимера: Тпл — температура плавления, при переходе в жидкое состояние деформация почти полностью вязкая, / — участок, на котором при кратковременных испытаниях деформации обратимы.Рис. 4.113. Термомеханическая кривая (схема) кристаллического полимера: Тпл — температура плавления, при переходе в жидкое состояние деформация почти полностью вязкая, / — участок, на котором при кратковременных испытаниях деформации обратимы.Рис. 4.114. Зависимость предела прочности кристаллического полимера от температуры: 7。口 一 температура ориентации (температура, при которой начинает образовываться шейка), 7\р — температура перехода из хрупкого состояния (при нагреве), Тпл — температура плавления; АБ — участок хрупкого разрушения; БВ — участок, показываю1ций прочность при разрушении образца вне шейки;厂〃 一участок, показывающий прочность при разрушении образца в пределах шеики; если образец предварительно был ориентирован, то прочность его при любой температуре определяется прямой ОП\ температурная область вытяжки для предварительной ориентации лежит между 7\р и 丁口口 I Конструкционные материалы, т. 3, изд-во «Советская энциклопедия», 1965」.Рис. 4.114. Зависимость предела прочности кристаллического полимера от температуры: 7。口 一 температура ориентации (температура, при которой начинает образовываться шейка), 7\р — температура перехода из хрупкого состояния (при нагреве), Тпл — температура плавления; АБ — участок хрупкого разрушения; БВ — участок, показываю1ций прочность при разрушении образца вне шейки;厂〃 一участок, показывающий прочность при разрушении образца в пределах шеики; если образец предварительно был ориентирован, то прочность его при любой температуре определяется прямой ОП\ температурная область вытяжки для предварительной ориентации лежит между 7\р и 丁口口 I Конструкционные материалы, т. 3, изд-во «Советская энциклопедия», 1965」.

Рис. 4.113. Термомеханическая кривая (схема) кристаллического полимера: Тпл — температура плавления, при переходе в жидкое состояние деформация почти полностью вязкая, / — участок, на котором при кратковременных испытаниях деформации обратимы.

Рис. 4.113. Термомеханическая кривая (схема) кристаллического полимера: Тпл — температура плавления, при переходе в жидкое состояние деформация почти полностью вязкая, / — участок, на котором при кратковременных испытаниях деформации обратимы.

Рис. 4.114. Зависимость предела прочности кристаллического полимера от температуры: 7。口 一 температура ориентации (температура, при которой начинает образовываться шейка), 7\р — температура перехода из хрупкого состояния (при нагреве), Тпл — температура плавления; АБ — участок хрупкого разрушения; БВ — участок, показываю1ций прочность при разрушении образца вне шейки;厂〃 一участок, показывающий прочность при разрушении образца в пределах шеики; если образец предварительно был ориентирован, то прочность его при любой температуре определяется прямой ОП\ температурная область вытяжки для предварительной ориентации лежит между 7\р и 丁口口 I Конструкционные материалы, т. 3, изд-во «Советская энциклопедия», 1965」.

Рис. 4.114. Зависимость предела прочности кристаллического полимера от температуры: 7。口 一 температура ориентации (температура, при которой начинает образовываться шейка), 7\р — температура перехода из хрупкого состояния (при нагреве), Тпл — температура плавления; АБ — участок хрупкого разрушения; БВ — участок, показываю1ций прочность при разрушении образца вне шейки;厂〃 一участок, показывающий прочность при разрушении образца в пределах шеики; если образец предварительно был ориентирован, то прочность его при любой температуре определяется прямой ОП\ температурная область вытяжки для предварительной ориентации лежит между 7\р и 丁口口 I Конструкционные материалы, т. 3, изд-во «Советская энциклопедия», 1965」.

сред; низким удельным весом (1,0 — 1,3 77л?, редко 1,8 77川з)； хорошими диэлектрическими и теплоизоляционными качествами; свето- и радиопрозрачностью; высокой виброустойчивостью.

В табл. 1.27 (см. приложение 1) помещены данные о некоторых термопластичных пластмассах.

Число особых и при этом сложных закономерностей, обнаруживаемых в процессе деформации ряда пластмасс, очень велико. Отметим некоторые из них. Фторопласты имеют ряд весьма ценных свойств, к их числу относятся: широкий (наибольший из известных) температурный диапазон применения (от ——269 до 260 ℃); высокая стойкость к атмосферным воздействиям и к действию любых агрессивных сред, даже таких, как концентрированная азотная кислота при повышенной температуре, пары ртути, озон; нерастворимость; наиболее высокие антифрикционные качества. Однако не все эти свойства удается в полной мере использовать из-за других особенностей, таких, как возникновение хладотекучести под воздействием нагрузки.

Пластмассы такой группы, как полиамиды, например полиамид-68, полиамид-66, капрон, обладающие исключительно высокой стойкостью к истирающим нагрузкам (выше, чем у бронз) и широко используемые в машиностроении для изготовления шестерен и подшипников, а также различных деталей машин, для защиты трущихся поверхностей, для изготовления нитей, идущих на сети, имеют свойство ориентации кристаллитов при растяжении, сопровождаемой существенным увеличением прочности (в 4~5 раз) при вытяжке в 3,5—5 раз по срав-

нению с первоначальной длиной. Некоторые свойства полиамидов даны в табл. 1.27 (см. приложение I).

Для пластмассы пол ифор м а л ьдег ид характерно редкое сочетание свойств — она обладает гзысокими жесткостью, твердостью и ударопрочностью, что позволяет изготавливать из нее зубчатые колеса, подшипники, клапаны, втулки и т. п. детали машин. В области до +100 ℃ свойства пол иформ ал ьдег и да практически не изменяются.

К числу термопластов, удовлетворяющих требованиям, предъявляемым к материалам для силовых конструкций, относится поликарбонат. В этой же таблице показаны характеристики еще двух термопластов — винипласта и пенопласта, используемых для изготовления химически стойких труб, клапанов, вентилей, подшипников и даже деталей часовых механизмов.

Отверждающиеся пластмассы. В отличие от термопластов, в отверждающихся пластмассах практически полностью отсутствует хладотекучесть под нагрузкой в области ниже температуры теплостойкости (последняя же вы[山生 чем у термопластов), они нерастворимы, в них наблюдается малая набухаемость и стагбильность свойств в эксплуатационной области значений параметров. Однако отверждающиеся пластмассы с порошковым наполнителем хрупки.

В каждой из трех групп отверждающихся пластмасс: пресс-порошках, волокнистых и слоистых пластмассах ——имеются специфические свойства. Первые две группы материалов (пресс-порошки и волокнистые) возникают одновременно с изделием из него, в отличие от термопластов, в которых из заранее полученного материала путем литья, штамповки или прессования получается изделие. Таким образом, получение отверждающихся пластмасс нельзя отделять, от изготовления изделия.

В порошковых пластмассах имеется связующая смола, наполнитель и могут быть добавлены к основной дополнительные связующие смолы или даже — для улучшения свойств пластмассы (уменьшение хрупкости)——термопласты. Кроме того, в ряде случаев используются отверждающие или ускоряющие отвердение добавки. Механические, упругие и другие физические свойства получаются в зависимости от состава.

Волокниты классифицируют по виду наполнителя — волокон (хлопчатобумажные, асбестовые, стеклянные), каждое из которых может использоваться в комбинации с различными связующими смолами. Иногда наряду с наполнителем-волокном применяется и наполнитель-порошок. Показателем термической стойкости пластмассы считают потерю в весе в процентах.

В стекловолокнитах ярче, чем в других, проявляется влияние технологии на прочностные характеристики. Существуют разновидности стекловолокнитов: ориентированные и неориентированные, рубленого и непрерывного волокна. Наибольшей прочностью обладают изделия из ориентированного стеклопластика непрерывного волокна. Примером такого материала может служить СВ АМ (стекловолокнистый анизотропный материал), из которого изготавливаются плиты, листы, трубы и другие изделия, имеющие форму тел вращения или близкую к ним. СВ АМ, что видно из самого названия материала, анизотропен — вдоль стекловолокон прочностные свойства его намного выше, чем поперек.

Изготовление изделий из СВАМа методом намотки на вращающуюся оправку мыслимо лишь при использовании термореактивных связующих, находящихся в вязком состоянии. 、

Специальные термо- и огнестойкие материалы создаются с использованием кварцевого и (или) каолинового волокна.

Физико-механические свойства различных волокнитов приведены в табл. 1.28 (см. приложение I).

Последняя группа отверждающихся пластмасс-*слоистые пластмассы—имеет наполнители в виде листов бумаги 】)(гетинакс), хлопчатобумажной ткани (тек-

) В скобках даны названия пластмасс при соответствующем материале листа наполнителя.

А. П, Филин

столит), асбестовой ткани (асботекстолит), древесного шпона (древесно-слоистые пластики — ДСП), стеклянной ткани (стеклотекстолиты). Стеклотекстолиты обладают наилучшими из всех слоистых пластиков качествами: наиболее высокой теплостойкостью, самой низкой вл аг оем костью, наибольшей механической прочностью, хорошими диэлектрическими свойствами.

В качестве связующего материала для изделий технического назначения обычно используются: фенолоформальдегидная смола (сочетается с бумагой, хлопчатобумажной тканью, древесным шпоном, асбестовой тканью). В случае наполнителя в виде стеклоткани связующим является фенолоформальдегидная смола в сочетании с поливинилацетатами (КАСТ), с полисилоксаном и пол и ацеталем (ВФГ), с эпоксидной смолой (ЭФ, 32-301).

Одинаковость, в практическом смысле слова, относительной линейной деформации стекловолокна и связующего вплоть до разрыва обеспечивает монолитность материала во всех стадиях его работы.

Слоистые пластики выполняются либо в виде листового материала, предназначаемого для изготовления изделий путем механической обработки и скрепления частей механическими соединениями или клеями, и в виде заготовок изделий.

Физико-механические свойства изделий из слоистых пластиков находятся в зависимости от температуры и длительности воздействия на них. При одной и той же длительности воздействия модуль упругости и предел прочности с увеличением температуры уменьшаются, хотя в достаточно большом диапазоне температур это уменьшение незначительное.

Свойства некоторых силикатных материалов

Стекло 1). Неорганическое стекло представляет собой истинный затвердевший раствор ——сложный расплав высокой вязкости, неопределенное химическое соединение кислотных и основных окислов (оксидные стекла). Название стекла дается по кислотным окислам (силикатное стекло, алюмосиликатное, боросиликатное и т. п.).

Наряду с оксидными имеются так называемые халькогенидные (в основе их лежат соединения типа As2S3, As2Se3, SbSe3) и галогенидные (с основой типа BeF2) стекла.

Стеклообразное состояние является основной разновидностью аморфного состояния вещества.

Структура стекла располагается между двумя крайними формами ——между «идеальным беспорядком» и идеальной упорядоченностью (кристаллическим состоянием).

Известна гипотеза, согласно которой одна из зон ближе к структуре кристалла, а другая ——к беспорядочной аморфной структуре. Существует гипотеза о полимерном (неорганический полимер) строении каркаса неорганического стекла.

Механические свойства стекла и связанные с ними вопросы строения и теории прочности освещены в многочисленных книгах. Укажем некоторые из них.

Стекло. Справочник под рец. Н. М. Павлушина, Стройиздат, 1973.

Пух В. Г1., Прочность и разрушение стекла, «Наука», 1973.

Богуславский И. А., Высокопрочные закаленные стекла, Стройиздат, 1969.

Б о к и н П. Я., Механические свойства силикатных стекол, «Наука», 1970.

Прочность стекла. Сб. статей, пер. с англ, под ред. В. А. Степанова, «Мир», 1969..

Бартенев Г. М.» Механические свойства и тепловая обработка стекла, Госстройиздат, 1960 (имеется большая библиография).

Бартенев Г. М., Строение и механические свойства неорганических стекол,z Стройиздат, 1966.

У стекла не существует точки плавления; в нем происходит в некотором тем' пер ату р ном интервале (температурный интервал стеклования — размягчения), зависящем от состава стекла, размягчение, вслед за которым (при температуре 1000 ℃) возникает капельно-жидкое состояние. От кристаллов стекло отличается большой хрупкостью. Будучи неоднородного и неупорядоченного внутреннего строения, стекло в макроскопическом смысле однородно и изотропно.

Стекло обладает упругим и термическим последействием. Последнее представляет собой отставание термических деформаций от действия тепла. Теплопроводность стекла очень низка по сравнению с другими материалами.

Стекло значительно лучше выдерживает резкое нагревание, чем резкое охлаждение. Это объясняется тем, что внутренние слои деформируются позже наружных, вследствие чего внутренние слои, стесняя термическую деформацию 、 в случае резкого нагрева, вызывают сжатие, наружных слоев, а в случае резкого ' охлаждения — растяжение, которому стекло сопротивляется значительно хуже.

Стекло приобретает большое значение как конструкционный и технический материал. Дальнейшее широкое применение его полностью зависит от изыскания путей повышения прочности при ударных и растягивающих (изгибных) нагрузках и от повышения его термостойкости.

Хрупкое разрушение (относительная деформация к моменту разрушения от растяжения чрезвычайно мала) под действием нагрузки происходит вследствие внутренних неоднородностей и поверхностных дефектов, служащих причиной возникновения ослабленных участков и мест перенапряжения. В массе стекла и на его поверхности очаги хрупкого разрушения существуют до нагружения.

Прочность с текла существенно зависит от состояния его поверхности, которое в свою очередь является следствием способа обработки. Отношение прочности внутренних слоев стекла к прочности поверхностных слоев равно 2,6—4. Коль скоро прочность стекла зависит главным образом ст состояния его поверхности, одним из способов получения высокопрочного стекла является соответствующая обработка поверхности.

Известно несколько методов обработки поверхности стекла, приводящих к его упрочнению. Отметим два из них: термический и химический. В первом стекло (изделие) подвергается закалке путем нагрева выше температурного интервала стеклования и быстрого и равномерного охлаждения в потоке воздуха или в жидкости (масло). В результате такой операции в стекле возникают само- уравновешенные по толщине начальные напряжения — наружные слои оказываются сжатыми, а внутренний слой ——растянутым. Таким образом, наружные слои подвергаются предварительному (до приложения нагрузки) сжатию. Если предварительное сжатие превышает растяжение от нагрузки, то в суммарной эпюре наружные слои остаются сжатыми (растяжение внутренней зоны представляет меньшую опасность) и опасности разрушения от дефектов поверхности, проявляющихся при растяжении поверхностного слоя, не возникает.

Чем ниже теплопроводность стекла, выше коэффициент' его термического расширения и больше температурный перепад при закалке, тем более высокой / степени закалки можно достичь; в принципе при этом возможно разрушение от растяжения внутренней зоны. Закаленное листовое стекло, при сопоставлении его с отожженным, обладает прочностью при статической нагрузке, большей в 4——6 раз, при ударе — в 5——7 раз и большей термической стойкостью в 2—3 раза.

Химический метод упрочняющей обработки поверхности состоит в удалении поверхностного слоя (50—150 мкм) и «залечивании» поверхностных дефектов путем обработки поверхности стекла различными химическими реагентами.

При травлении кремнийорганическими соединениями на поверхности стекла образуются тончайшие прозрачные полимерные пленки, значительно снижающие расклинивающий эффект влаги в микротрещинах и защищающие поверхность стекла от механических повреждений и от воздействия атмосферы. Такие пленки значительно повышают прочность стекла.

Другой в принципе способ улучшения прочностных свойств стекла состоит в изменении химической природы его, а именно в переходе к химическим связям, свойственным самому прочному — кварцевому зеклу (при сжатии 0nq = =35 ч- 65 кГ/mj^, при изгибе иПч = 22 “/届硝.

Механическая прочность кварцевого стекла в процессе нагревания до 1200 ℃ плавно возрастает и становится на 50—60% выше прочности при комнатной температуре. Имея коэффициент термического расширения в 10——20 раз меньший, чем у обычного промышленного стекла, кварцевое стекло отличается исключительно высокой термост ой костью (выдерживает резкое охлаждение в воде после нагрева до 1000 °C). Кварцевое стекло ——незаменимый материал для изготовления химически стойкой аппаратуры, трубопроводов. Стекловолокно, используемое в различных стеклотканях и в пластмассах—стекловолокнитах, отличается исключительно большой прочностью, зависящей от химической природы стекла, от диаметра нити и способа ее получения. При диаметре волокна 3——4 мкм прочность стекловолокна при растяжении доходит до 3700 кГ/мл^ (при 6,8 кГ/мм^ в объемных образцах). Прочность силикатных стекол при том же диаметре волокна раз в 10 меньше. Промышленностью изготавливается пленочное или чешуйчатое стекло, используемое, в частности, в стеклотекстолитах. На его основе текстолиты (при 90% содержании по весу стекла) получаются исключительно прочными (onq До 25 кГ/мл^) и светопрозрачными.

Ситаллы 1). Полная или частичная кристаллизация стекла приводит к образованию стеклокристаллических материалов — ситаллов (в США ситалл известен под названием пирокерам и фотокерам), витрокерамов, стеклокерами- ков и фарфоров из стекла. Эти материалы занимают промежуточное положение между стеклом и керамикой. В отличие от стекла они имеют кристаллическую Структуру, в отличие от керамики получаются путем полного плавления с последующим формованием изделий из пластичной или жидкой стекломассы и кристаллизацией последней при охлаждении.

Дешевые и легко изготовляемые ситаллы находят широкое применение в технике. Размеры кристаллов в ситаллах намного меньше, чем у обычных кристаллических материалов. Ситаллы с наименьшими по размеру кристаллами прозрачны. Кристаллы в ситаллах ориентированы и образуют каркас. Свойства ситаллов характеризуются следующими данными: Е = 9000 + 14 000 кПмм^, 卩匸 0,25, при изгибе апч =16+25 кГ/мл^,

Из ситаллов изготавливают трубы, химическую аппаратуру, подшипники (работающие при температуре порядка 500 ℃ без смазки), поршни и цилиндры в дизелях и других двигателях внутреннего сгорания. Ситаллы являются прекрасным конструкционным материалом в машиностроении, приборостроении, гражданском и промышленном строительстве.

Техническая керамика ). Керамика (материал и изделие) получается из исходных порошкообразных материалов, закрепленных, для придания изделию требуемой формы, посредством спекания в процессе обжига. Изделие получается

.камневидным. Лишь в случае применения в качестве исходных материалов глины»

в частности каолина, используются пластические свойства их в стадии подготовки

(производство строительного кирпича, черепицы, труб).

В некоторых других случаях применяется полусухое прессование.

Новая керамика изготавливается из чистых окислив (А12О3, ВеО, ZrOa>

MgO, СаО, ТЙО2, VO2, Се。？，I2O3, LagOg,

HfO2, SrO2, Сг2О3) или из нитридов, карбидов (HfC, NbC, ТагС, ТаС, ZrC). боридов (HfBa, LaBe, NbBa, ТаВ2, TiB2, VBa, W2B, ZrB2), силицидов, сульфидов. Технология получения такой керамики состоит в спекании порошкообразного сырья. Новая керамика возникла в связи с требованиями реактивной авиации и ракетостроения, для которых необходимы высокопрочные термоустойчивые конструкционные и теплоизоляционные материалы, и с требованиями атомной промышленности, где необходимы особые ядерные сеойсгва (захват, рассеяние или поглощение -нейтронов, противостояние радиоактивному облучению), высокая огнеупорность, термостойкость и коррозионная стойкость.

Приведем некоторые свойства керамики чистых о кислое: температура плавления от 2100 (LaB6) до 4000 ℃ (ТаС), удельный вес юл 3,0 до 10,75; твердость по Моосу от 3,5

Рис. 4.115. Изменение величины сопротивления сжатию при высоких температурах различных видов керамики: / — шамот, 2 — дннас, 3 — окись бериллия, 4 — окись алюминия, 5 — двуокись циркония [Новые материалы в технике, под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Ка- ламева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964].Рис. 4.115. Изменение величины сопротивления сжатию при высоких температурах различных видов керамики: / — шамот, 2 — дннас, 3 — окись бериллия, 4 — окись алюминия, 5 — двуокись циркония [Новые материалы в технике, под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Ка- ламева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964].до 9,0; модуль упругости 14 000— ^8 000 к「Iм皤;при сжатии апч = (80 4- 4- 300) кГ/м^, при растяжении аГ1Ч = —(10 + 25) к/74t«2; а = (7 + 14) ■ 10~^.' В интервале температур 20—1000 ℃ коэффициент геплопроводности существенно зависит от вида керамики; значения этого коэффициента существенно понижаются при по-

Рис. 4.115. Изменение величины сопротивления сжатию при высоких температурах различных видов керамики: / — шамот, 2 — дннас, 3 — окись бериллия, 4 — окись алюминия, 5 — двуокись циркония [Новые материалы в технике, под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Ка- ламева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964].

Рис. 4.115. Изменение величины сопротивления сжатию при высоких температурах различных видов керамики: / — шамот, 2 — дннас, 3 — окись бериллия, 4 — окись алюминия, 5 — двуокись циркония [Новые материалы в технике, под ред. Е. Б. Тростянской, Б. А. Ка- ламева, С. И. Сильвестровича, «Химия», 1964].

вышении температуры, при этом происходит

сближение значений для разных видов керамики. Изменение прочности керамики в зависимости от изменения температуры показано на рис. 4.115. Родственными керамике являются обсуждаемые ниже, в § 4.15, керметы (керамико-металлические изделия).

§ 4.14. Механические свойства бетонов

Предварительные замечания. Бетон состоит из частиц крупного (щебень, талька, гравий) и мелкого (песок) заполнителя, соединенных между собой цементным камнем, образуемым путем взаимодействия цемента и воды в результате химической реакции гидратации. Химические процессы продолжаются в цементном камне практически всю жизнь бетона. Важным фактором в бетоне является вода, содержание которой, в зависимости от влажности окружающей среды, изменяется.

Бетон представляет собой сложное тело (материал), напряженно-деформированное состояние которого определяется всей предыдущей его историей (усло-

вия твердения, условия нагружения, состояние внешней среды). Исчерпывающей строго обоснованной теории бетона до сих пор не создано, хотя имеется ряд исследований, посвященных этому вопросу i). Построение не феноменологической теории для бетона значительно сложнее, чем для поликристаллического металла.

Краткие сведения о цементах. Цемент получается путем обжига сырьевой шихты, в результате чего возникает цементный клинкер. Далее цементный клинкер измельчается (помол). Химический состав клинкера наиболее распространенного портландцемента следующий: SiO2 20—40%, А12О3 4——8%, Fe2O3 2—6%, СаО 62—67%, MgO 0,5—4,5%, SO3 V 1%, имеются в небольших количествах. TiO2, S, Р2Об и др.

• Клинкер портландцемента состоит из следующих фаз: алит (C3S — трехкальциевый силикат), белит (С2s ——двухкальциевый силикат). Между кристаллами алита и белита имеется промежуточное вещество (алюмоферрит и обогащенное железом стекло). Имеемся и ряд других фаз, в процентном отношении составляющих незначительную часть объема (алюмоферриты кальция и др.).

Имеются следующие марки портландцемента (прочность (в к ГI са^) при сжатии нормального образца в возрасте 28 дней): 300, 400, 500, 600 (им отвечает прочность при изгибе соответственно 45, 55, 60, 65 кГ/сл^).

При твердении цемента происходит химическая реакция гидратации (каждая фаза гидратируется со своей скоростью)——цемент соединяется с водой, в результате чего возникают гидратные новообразования (главным образом гидросиликаты кальция, различающиеся по основности (СаО, SiO2), содержанию* воды и характеру кристаллизации). Гидросиликаты имеют волокнистую структуру (в поперечном направлении волокна содержат всего несколько молекулярных слоев). Удельная поверхность этих волокон очень большая (250——350 Л£/г), в тысячу раз превышающая удельную поверхность исходного цемента. Гидраты.

новообразования составляют сложную систему, содержащую элементы различной дисперсности, структуры, состава.

Гидросиликаты кальция образуют гелесоставляющую затвердевшего цемента. Затвердевший цементный камень представляет собой конгломерат, в состав которого, кроме уже отмеченного геля, входят более крупные, чем частицы геля, кристаллические новообразования и химически не прореагировавшие клинкерные зерна. Цементный гель увеличивается в объеме по сравнению с исходным цементом в 2,2 раза, заполняя пространство, занимавшееся водой. Увеличение объема в процессе гидратации может явиться причиной возникновения значительных напряжений в цементном камне, могущих вызвать нарушение структуры в нем. В теле цементного камня имеется весьма развитая система гелевых пор (2,5• 10-8 см), капилляров (1 + 10) • Ю"4 см и больших пустот {1 4- 20- КУ-2 см), в частности образованных воздухововлекающими добавками. Ъбщая пористость зависит от водоцементного отношения (В/Ц). При В/Ц = =0,35 + 0,7 пористость составляет 25—50% общего объема затвердевшего цемента. Во всех этих полостях может присутствовать вода. Различают четыре вида воды: химически связанную в гидратных новообразованиях (в составе твердой фазы), абсорбированную частицами цементного геля (псевдотвердая), капиллярную, наконец, свободную, находящуюся в крупных порах. Непрерывный процесс гидратации цемента, продолжающийся очень длительный период времени, происходит за счет капиллярной воды.

Механизм твердения цемента, несмотря на наличие ряда попыток, иногда достаточно успешных, до сих пор не пояснен соответствующей теорией исчерпывающим образом. Не вызывает сомнения, что обоснованная теория может возникнуть лишь на базе по крайней мере трех наук: химии, физики и механики. Здесь уместно отметить созданную П. А. Ребиндером физико-химическую механику.

Интересно отметить, что бетон и теория бетона привлекали к себе внимание ^многих механиков, среди которых ряд известных ученых: Н. М. Беляев, А. А. Гвоздев, К- С. Завриев, Р. Лермит, П. А. Ребиндер.

В зависимости от влажности окружающей среды может происходить уменьшение или увеличение количества воды в цементном камне. Это проявляется соответственно в процессах усадки и набухания, имеющих место в цементном камне, а следовательно, и в бетоне и представляющих весьма важные факторы работы бетона в механическом аспекте.

Существенным фактором процесса образования цементного камня является экзотермичность реакции гидратации. Особенно быстро и при значительной экзотермии протекает реакция воды с алитом (С3А + Н2О -> гидратные новообразования). Экзотермия имеет своим следствием, с одной стороны, возникновение в бетонной конструкции температурных напряжений, а с другой стороны, «изменение химических соединений и их структуры.

По И. Д. Запорожцу, тепловыделение за 7 суток в кал/г выражается форму* лой др? = 1,2 % 2)з, Где дц — семисуточная прочность в кПсл^.

Наконец, ряд физико-химических и механических процессов происходит 8 цементном камне и бетоне в связи с переходом воды при понижении температуры из жидкой фазы в твердую (лед). В связи с этими процессами интересна способность бетона сопротивляться многократному замораживанию и оттаиванию (морозостойкость).

Имеется большое число различных видов цементов.

Значительную группу составляют разнообразные портландцементы (обычный, быстротвердеющий высокопрочный, с поверхностно-активными добавками {гидрофильными, пластифицирующими цемент, и гидрофобными, понижающими впитывание влаги при хранении цемента с целью предотвращения падения его активности), сульфатостойкие и с умеренной экзотермией, разнообразные пуццо- лановые и шлаковые; цементы, твердеющие при пропаривании или при автоклавной обработке, разнообразные специальные портландцементы, в том числе жаростойкие)»

Кроме портландцементов имеется и ряд других цементов: глиноземистые (содержат моноалюминат кальция: СаО*А12О3 и др.), отличающиеся исключительно большой скоростью твердения, но и значительной интенсивностью тепловыделений в первый период твердения (рис. 4.116), расширяющиеся (расширение при воздушном хранении в возрасте одних суток не менее 0,05%, в возрасте 28 суток — не менее 0,02%; при хранении в воде в возрасте одних суток — не менее 0,2% и не более 1%; используются для плотного заполнения полостей, для включения конструкций в работу; прочность набирается очень быстро 一 цемент марки 500 через 6 часов после затворения имеет прочность 75 кГ/сл^, а через 3 суток — 300 кГ/cj^), кислотоупорные, жаростойкие и др.

Прочность Цементов зависит от удельной поверхности, т. е. от крупноств помола. Чем мельче помол, тем выше активность цемента. Активностью цемента

Рис. 4.116. Сопоставление скорости набора прочности и тепловыделений в трех цементах^ а) набор прочности; 6) тепловыделения; / — обыкновенный портландцемент, 2 — быстро* твердеющий портландцемент. 8 — глиноземистый цемент.Рис. 4.116. Сопоставление скорости набора прочности и тепловыделений в трех цементах^ а) набор прочности; 6) тепловыделения; / — обыкновенный портландцемент, 2 — быстро* твердеющий портландцемент. 8 — глиноземистый цемент.

Рис. 4.116. Сопоставление скорости набора прочности и тепловыделений в трех цементах^ а) набор прочности; 6) тепловыделения; / — обыкновенный портландцемент, 2 — быстро* твердеющий портландцемент. 8 — глиноземистый цемент.

Рис. 4.116. Сопоставление скорости набора прочности и тепловыделений в трех цементах^ а) набор прочности; 6) тепловыделения; / — обыкновенный портландцемент, 2 — быстро* твердеющий портландцемент. 8 — глиноземистый цемент.

Ru называют предельную прочность образца при испытании его на сжатие в двад* цативосьмидневном возрасте (образец, куб с ребром 7 см, изготовляют из раствора 1 : 3 на нормальном песке).

Усадка бетона. Цементный камень, а вследствие этого и бетон обладают специфическим свойством испытывать деформацию (уменьшение размеров), не связанную с нагружением, называемую усадкой. Если* свободное протекание- усадки стеснено связями, наложенными на рассматриваемый элемент, то в нем возникают самоуравновешенные напряжения.

Так же как и твердению, усадке цементного камня посвящено много исследований. По-видимому, одним из первых исследователей, указавших на то, что главной причиной усадки является объемное изменение геля цементного камня при высыхании, и на то, что в период схватывания усадка пропорциональна потере свободной воды, был А. Е. Шейкин. Им было отмечено и то, что величина усадки зависит от соотношения объемов кристаллических и гелевых новообразований в цементном камне и от отсоса свободной воды в зону гидратации. Продолжение усадки длительное время А. Е. Шейкин. связывает с потерей пленочной воды.

Р. Лермит, анализируя механизм усадки бетона, также связывает ее с испарением содержавшейся в нем воды. Кратко поясним сущность его теории.

На рис. 4.117, а показаны кривые изменения веса бетонных призм в различ* ных условиях хранения (влажности), а на рис. 4.117, б ——изменение линейных, размеров бетонных призм в различных условиях влажности (увеличение размера называется набуханием, а уменьшение и есть усадка\ усадка в несколько раз превышает набухание).

По графикам рис. 4.117, а, б легко построить графики в системе осей €ус (Qb) и О (рис. 4.117, 8), относящиеся к одному и тому же определенному значению /.

Графики на рис. 4.117, б свидетельствуют о том, что усадка, отсчитываемая от размеров, соответствующих хранению образцов в воде (отрезки 勿 на рис.4.117,6), пропорциональна количеству воды, недостающей до количества, необходимого для максимально мыслимого увлажнения образца, находящегося в воде (отрезки щ на рис. 4.117, а). Подчеркнем, что и 8ус и Qb относятся к одному и тому же f. Чем больше f, тем круче располагаются прямые Qb = Qb (^) и еус = Еус (®) и тем левее находится точка их пересечения на оси абсцисо (но не левее точки /).

Отношение eyc/QB = v (коэффициент усадки) в данный момент времени / не зависит от 也 но так как и £ус и Qb являются функциями времени, то и V есть функция времени, которую Лермит на основе опытов принимает той же структуры, как и формула ДЛЯ Qb*

другой стороны, коэффициент

усадки пропорционален

гидратированного цеменга

количеству % Итак»количеству % Итак»Если воды не хватает для продолжения процесса гидратации (на-

количеству % Итак»

количеству % Итак»

большой потерибольшой потерипример, вследствиепример, вследствиевлаги), то твердение бетона приоста-

большой потери

большой потери

пример, вследствие

пример, вследствие

н а вливаете я. Усадкан а вливаете я. Усадкав объемном вы-в объемном вы-ражен и и составляет примерно 1/30 объема испарившейся воды.

н а вливаете я. Усадка

н а вливаете я. Усадка

в объемном вы-

в объемном вы-

Если в процессе наблюдения за образцом менять условия его хранения (менять влажность окружающей среды), то кривые QB = QB (/) и еус = gyc (力 приобретают вид, отличный от показанного на рис. 4.117

На рис. 4 118, а изображены кривые, соответствующие наблюдениям за семью образцами- четыре из них хранились при постоянном режиме: образец / — в воде, 2 — в воздухе с 今= =0,99, 3 — в воздухе с 今=0,75,

Рис. 4.117. Зависимость между QB? еусй О и £ в бетоне: а) кривые изменения веса бетонных призм в различных условиях влажности; б) кривые набухания и усадки бетонных грнзм в различных условиях влажности; а) зависимости Qb == Qb 2) и 8у0 о 8уС (О) Inc Лермиту P.I.Рис. 4.117. Зависимость между QB? еусй О и £ в бетоне: а) кривые изменения веса бетонных призм в различных условиях влажности; б) кривые набухания и усадки бетонных грнзм в различных условиях влажности; а) зависимости Qb == Qb 2) и 8у0 о 8уС (О) Inc Лермиту P.I.4 — в воздухе с 今=0,50. Образец 5 в отрезок времени от 0 до 厶 хранился в воздухе с 6 = 0,25, начиная от % до /2 — в воде и начиная от ^2 — в воздухе с 今=0,99. Образец 6 в,отрезок времени от 0 до ^ — в воздухе с 9 = 0,25, а затем в воздухе с 9 = 0,75, и, наконец, образец 7 от 0 до 友—— в воздухе е 3 = 0,25, а далее в воздухе с 9 = 0,50

Рис. 4.117. Зависимость между QB? еусй О и £ в бетоне: а) кривые изменения веса бетонных призм в различных условиях влажности; б) кривые набухания и усадки бетонных грнзм в различных условиях влажности; а) зависимости Qb == Qb 2) и 8у0 о 8уС (О) Inc Лермиту P.I.

Рис. 4.117. Зависимость между QB? еусй О и £ в бетоне: а) кривые изменения веса бетонных призм в различных условиях влажности; б) кривые набухания и усадки бетонных грнзм в различных условиях влажности; а) зависимости Qb == Qb 2) и 8у0 о 8уС (О) Inc Лермиту P.I.

На рис. 4.118, а видно асимптотическое приближение кривой QB = QB (/) для образца 4 с переменным режимом хранения к кривой Qb = Qb (f)以〃я образца 8, хранящегося все время при том режиме, в котором образец А находился на последнем этапе наблюдения за ним. Роль образцов Л и В играют: 5 и / и 5

н 2, 6 н 3, 7 H 4. Итак, по Лермиту, существует обратимость влагонасыщения бетона. У кривых Qb = Qb (О по сравнению с кривыми 8ус = еус (/) имеется отличие — отсутствие полной обратимости, что видно из рис. 4.118, 6. Вопрос о том, является ли остаточная деформация усадки пластической и влияет ли она* на прочность бетона, не получил еще окончательного строгого разрешения. Остаточная усадка может составлять значительный процент от полной (30——60%).

Рис. 4.118. Зависимости Qb = Qb(0 и 8ус = 8ус (/) при переменном режиме хранения1 бетонных образцов [по Р Лермиту]

Н. Цилосани (1963)】)также связывает усадку со степенью насыщенности влагой, однако кривая соответствующей зависимости (рис. 4.119) по 3. Н. Цилосани (построена для образцов, изготовленных как из цементного теста, так и из раствора) отличается от полученной Лермитом (для бетонов). При этом, конечно, следует иметь в виду, что кривая еус = еус (6) Лермита получена как следствие принятых нм однотипных (экспоненциальных) аппроксимаций для зависимостей Qb — Qb (0 И бус = 8ус (/), а 3. Н. Цилосани получил Кривую еус = бус (8} непосредственно из эксперимента и характер каждого ее участка объяснил физико- химическими соображениями. Любопытно заметить, что в цел ом-то сходнук> с кривой 3. Н. Цилосани, но не столь детализированную, как у последнего, получил и С. В. Александровский (1966) (рис. 4.120). Для условного сопоставления на рис. 4.121 приведены кривые Лермита, Цилосани и Александровского.

А. Мощанский связывает усадку с контр акционным явлением (уменьшение абсолютного объема системы цемент + вода по сравнению с объемами исходных реагирующих веществ, хотя при этом макрообъем цементного теста не только не уменьшается, но может и увеличиваться) и расклинивающим и стабилизирую-

ЦилосаниЗ. Н., Усадка и ползучесть бетона, Изд-во АН Груз. ССР^ Тбилиси, 1963.

Рис. 4.119. Изменение усадочной деформации в бетоне в зависимости от влажности по 3. Н. Цилосани: А —участок практического отсутствия деформации усадки (О > 22—26%); £ — участок увеличения скорости нарастания деформации усадки с уменьшением влажности (22—26% >0 > 1 — 12%); В —- участок замедления нарастания деформации усадки при дальнейшем уменьшении влажности (10—12%》 ^О>3 —5%), в крице этого участка иногда происходит переход к участку Г, где наблюдается полное прекращение нарастания деформации усадки; Д — участок практически линейного нарастания деформации усадки с уменьшением влажности от 3—5% до нуля.Рис. 4.119. Изменение усадочной деформации в бетоне в зависимости от влажности по 3. Н. Цилосани: А —участок практического отсутствия деформации усадки (О > 22—26%); £ — участок увеличения скорости нарастания деформации усадки с уменьшением влажности (22—26% >0 > 1 — 12%); В —- участок замедления нарастания деформации усадки при дальнейшем уменьшении влажности (10—12%》 ^О>3 —5%), в крице этого участка иногда происходит переход к участку Г, где наблюдается полное прекращение нарастания деформации усадки; Д — участок практически линейного нарастания деформации усадки с уменьшением влажности от 3—5% до нуля.Уменьшение веса, %Уменьшение веса, %Рис. 4.120. Зваисимость усадки от потери влаги в цементном камне по С. В Александровскому! / — участок потерь влаги без усадки, 2 — участок, на котором потеря влаги сопровождается усадкой, 3 — участок, на котором усадка происходит без потери влаги.Рис. 4.120. Зваисимость усадки от потери влаги в цементном камне по С. В Александровскому! / — участок потерь влаги без усадки, 2 — участок, на котором потеря влаги сопровождается усадкой, 3 — участок, на котором усадка происходит без потери влаги.Рис. 4.121. Зависимость усадки от потери влаги: J — по Р. Лермиту, 2 — по 3. Н. Цил осени, 3 — по G. В. Александровскому.Рис. 4.121. Зависимость усадки от потери влаги: J — по Р. Лермиту, 2 — по 3. Н. Цил осени, 3 — по G. В. Александровскому.

Рис. 4.119. Изменение усадочной деформации в бетоне в зависимости от влажности по 3. Н. Цилосани: А —участок практического отсутствия деформации усадки (О > 22—26%); £ — участок увеличения скорости нарастания деформации усадки с уменьшением влажности (22—26% >0 > 1 — 12%); В —- участок замедления нарастания деформации усадки при дальнейшем уменьшении влажности (10—12%》 ^О>3 —5%), в крице этого участка иногда происходит переход к участку Г, где наблюдается полное прекращение нарастания деформации усадки; Д — участок практически линейного нарастания деформации усадки с уменьшением влажности от 3—5% до нуля.

Рис. 4.119. Изменение усадочной деформации в бетоне в зависимости от влажности по 3. Н. Цилосани: А —участок практического отсутствия деформации усадки (О > 22—26%); £ — участок увеличения скорости нарастания деформации усадки с уменьшением влажности (22—26% >0 > 1 — 12%); В —- участок замедления нарастания деформации усадки при дальнейшем уменьшении влажности (10—12%》 ^О>3 —5%), в крице этого участка иногда происходит переход к участку Г, где наблюдается полное прекращение нарастания деформации усадки; Д — участок практически линейного нарастания деформации усадки с уменьшением влажности от 3—5% до нуля.

Уменьшение веса, %

Уменьшение веса, %

Рис. 4.120. Зваисимость усадки от потери влаги в цементном камне по С. В Александровскому! / — участок потерь влаги без усадки, 2 — участок, на котором потеря влаги сопровождается усадкой, 3 — участок, на котором усадка происходит без потери влаги.

Рис. 4.120. Зваисимость усадки от потери влаги в цементном камне по С. В Александровскому! / — участок потерь влаги без усадки, 2 — участок, на котором потеря влаги сопровождается усадкой, 3 — участок, на котором усадка происходит без потери влаги.

Рис. 4.121. Зависимость усадки от потери влаги: J — по Р. Лермиту, 2 — по 3. Н. Цил осени, 3 — по G. В. Александровскому.

Рис. 4.121. Зависимость усадки от потери влаги: J — по Р. Лермиту, 2 — по 3. Н. Цил осени, 3 — по G. В. Александровскому.

щим действием тонких пленок воды в межзерновом пространстве. Наконец, заметим, чго усадка возникает и при взаимодействии гидрата окиси кальция

в цементном камне с углекислотой воздуха «в особенности в некотором диапазоне относительной влажности воздуха).

Выше отмечалось, что усадка бетона, как и изменение температурного режима, влечет за собой возникновение усилий в статически неопределимых системах, элементы которых выполнены из бетона. Если усадке дать возможность произойти в основном еще до монтажа конструкции, то усадочные напряжения в ней, обусловленные статической неопределимостью системы, значительно снижаются.

Если образец теряет влагу, то этот процесс начинается с поверхностных его слоев, из-за чего усадка ядра образца отстает от усадки поверхностных слоев.

Вследствие неодновременности начала усадки в слоях, расположенных на различной глубине бетонного массива (или призмы), и неодинаковой скорости протекания усадки в различных слоях в каждый данный момент времени, в бетонном массиве (призме) возникают начальные напряжения. Действительно, внешние глои бетона, в которых усадка начинается раньше, чем в ядре, стремятся уменьшить свои размеры, но этому противо-

действует ядро образца. Таким образом,

внешние слои оказываются растянутыми, а ядро — сжатым. Изменение влажностного режима влечет за собой изменение усадки, а следовательно, и величины и закона распределения начальных напряжений, вызванных ею.

Заполнитель в бетоне уменьшает усадку в несколько раз (6—7 раз) по срав-» нению с той, которая была бы, если все тело образца представляло бы собой цементный камень. Наличие усадки у цементного камня и отсутствие у запол*

нителя также является причиной возникновения начальных напряжений: в за» полнителе, препятствующем усадке цементного камня, возникает сжатие, а в цементном камне — растяжение.

Наличие начальных напряжений вызывает возникновение в цементном камне микротрещин, снижающих прочность (главным образом при растяжении).

Существует методика испытания (метод кольца), позволяющая определить склонность цементного камня к усадке и образованию усадочных трещин; сущность ее ясна из рис. 4.122. Характеристикой является отрезок времени от момента помещения образца (после пребывания его в течение 24 часов во влажном воздухе) в сухой воздух (仆=0,50) до появления первых радиальных трещин. Как и всегда при испытании образцов, получаемые результаты являются лишь сопоставительными и не дают количественных оценок соответствующих параметров в реальном сооружении. Величина усадки существенно зависит от вида цемента, а также от принятого метода композиции бетона. В случае создания жесткого скелета из заполнителя усадка опаснее.

Рис. 4.122. Испытание методом кольца склонности цементного камня к усадке и образованию усадочных трещин; 7 — стальной сердечник, 2 — трещина, 3 — цемент- н、ый камень.Рис. 4.122. Испытание методом кольца склонности цементного камня к усадке и образованию усадочных трещин; 7 — стальной сердечник, 2 — трещина, 3 — цемент- н、ый камень.Рис. 4.123. Зависимость о — е при сжатии* бетона: а) случай наличия точки перегиба в кривой о ——е; б) вид кривой а — е при многократном изменении о в пределах между двумя значениями одного знака.Рис. 4.123. Зависимость о — е при сжатии* бетона: а) случай наличия точки перегиба в кривой о ——е; б) вид кривой а — е при многократном изменении о в пределах между двумя значениями одного знака.

Рис. 4.122. Испытание методом кольца склонности цементного камня к усадке и образованию усадочных трещин; 7 — стальной сердечник, 2 — трещина, 3 — цемент- н、ый камень.

Рис. 4.122. Испытание методом кольца склонности цементного камня к усадке и образованию усадочных трещин; 7 — стальной сердечник, 2 — трещина, 3 — цемент- н、ый камень.

Рис. 4.123. Зависимость о — е при сжатии* бетона: а) случай наличия точки перегиба в кривой о ——е; б) вид кривой а — е при многократном изменении о в пределах между двумя значениями одного знака.

Рис. 4.123. Зависимость о — е при сжатии* бетона: а) случай наличия точки перегиба в кривой о ——е; б) вид кривой а — е при многократном изменении о в пределах между двумя значениями одного знака.

Известны различные методы борьбы с трещинообразованием при усадке,, уменьшающие скорость протекания последней (защита поверхности от испарения воды и др.)- На окончательную величину усадки эти методы не влияют.

Очень многие вопросы, связанные с усадкой бетона, изучены еще недостаточно (влияние температурного фактора, влияние чередований усадки и набухания, зависимость от химического и гранулометрического состава и г. п.).

4； Упругая деформация. Особенности поведения бетона в области упругих, деформаций состоят в следующем.

Вид диаграммы о — £ при сжатии существенно зависит от размеров и формы образца вследствие того, что от этих факторов зависят силы трения между образцом и подушками, влияющие на диаграмму о — 8. Желательны образцы, в которых сама форма исключает возможность влияния трения по опорным площадкам на вид диаграммы. Наиболее удачным оказываются удлиненные призматические образцы. У бетона почти с самого начала нагружения зависимость о = о (е) нелинейна, при этом даже в той области напряжений, в которой нет остаточных деформаций, кривые нагружения и разгрузки не совпадают. Таким образом, строго говоря, бетон с самого начала не упруг. Изменения модуля упругости с изменением напряжений незначительные:

при а = 0,2апч Е = О,95Ео，при а = 0,Запч £ = 0,89%при а = 0,4опч £ = О,83£'о.

В некоторых случаях в начальной стадии нагружения зависимость о ——£ имеет точку перегиба (рис. 4.123), по-видимому, вследствие наличия микротрещин, вызванных усадкой. Вид диаграммы о — 8 при нагружении и последующей

многократной незначительной разгрузке с повторным нагружением до прежнего уровня показан на рис. 4.123, 6. Бетон характеризуется наличием упругого последействия.

Пластическая деформация. Пластическая деформация бетона складывается из двух частей. Одна из долей ——мгновенная пластическая деформация ——происходит непосредственно в момент нагружения и обнаруживается после разгрузки, осуществленной сразу же вслед за нагружением. Вторая доля имеет характер затухающей ползучести и обнаруживается при длительном воздействии нагрузки.

Характер деформации сжатого образца во времени показан на рис. 4.124 сплошной линией. На этом же рисунке пунктиром показана деформация усадки

Рис. 4.124. Зависимость е —厶 обнаруживаемая при испытании бетонных образцов [no Р. Лермиту]： / — относительная деформация усадки в момент нагружения, 2 — мгновенная относительная деформация вследствие нагружения (80н), содержащая и упругую и пластическую доли, 3 — относительная деформация, проявившаяся при длительном нагружении (едн), содержащая как упругую (упругое последействие при нагружении), так и пластическую (ползучесть) доли, 4 — упругая мгновенная (мгновенно исчезающая) относительная деформация при разгрузке, 5 — относительная деформация упругого последействия при разгрузке, 6 ——суммарная упругая (исчезающая) относительная деформация при разгрузке, 7 — обратимая (исчезающая) часть относительной деформации усадки при помещении полностью разгруженного образца в воду, 8 — остаточная относительная деформация усадки в полностью разгруженном образце, помещенном в воду, 9 — установившаяся относительная деформация усадки ненагружен- ного образца в воздухе, 10 — установившаяся относительная деформация усадки не- нагруженного образца в воде.

контрольного ненагруженного образца. Приложение нагрузки происходит в момент времени /0, полная разгрузка — в момент /х и помещение в воду как ранее нагружавшегося, так и контрольного образца — в момент /2>

Пластическую деформацию ползучести в сумме с упругим последействием, которое не представляется возможным отделить от ползучести, не производя разгрузки, при условии воздействия постоянной по величине нагрузки можно изобразить 1) при помощи следующей линейной зависимости, подтвержденной многочисленными опытами:

8дн (力 Т)= о6дн(£，")•

Функцию 6Дн (/, т) называют мерой ползучести. Здесь t ——момент времени, в который нас интересует величина относительной деформации ползучести, характеризуемый отрезком, отсчитываемым от некоторого начального момента /0; т — момент времени в конце отрезка, отсчитываемого от момента приложения нагрузки /0.

х) Арутюнян Н. X., Некоторые вопросы теории ползучести, Гостех- издат, М. —Л., 1952. (Нами введены обозначения иные, нежели использованные Арутюняном.)

Мера ползучести, если ее изобразить так:

позволяет получить результаты, близкие к опытным кривым ползучести как

6дн«，T)= (C° + g)[l—e-Y("Tl

Мгновенная деформация еон, с учетом изменения модуля упругости во времени, может быть представлена гак:

о

Сумма деформаций 80Н и едн (/, т) приобретают вид (рис. 4.125)

% =。｛备+ (仇+争口—]｝， или

£ц — Пн，

где 5н — выражение, заключенное в фигурные скобки, Alt & и у — параметры, определяемые из эксперимента. Полная деформация с учетом усадки изображается формулой

® = £ус + %•

На рис. 4.126 показана серия кривых 6Н, соответствующих различным т. Отрезки кривых, расположенные ниже пунктирной линии, представляют собой 1/Е (О-

Обнаружено, что ползучесть усиливается при уменьшении влажности окружающего воздуха. По-особому в бетонах выглядит картина изменения коэффициента Пуассона с увеличением нагрузки и, следовательно, с увеличением доли пластических деформаций. Чем больше пластическая деформация, тем меньше коэффициент Пуассона, и в пределе он стремится к нулю. Напомним, что в стали и других металлах при полном развитии пластических деформаций коэффициент Пуассона приобретает значение 0,5.

Разрушение. Коснемся картины разрушения бетона лишь при сжатии и растяжении. Разрушение в условиях сложного напряженного состояния рассматривается в главе VIII.

Разрушение при сжатии. Первые признаки разрушения при сжатии появляются при нагрузке порядка 50—75% от разрушающей. Ско-

RR01,0%.如h[b01,0%.如h[bРис. 4.127. Зависимость прочности бетона при сжатии от отношения размеров призматического образца [Лермит Р., Проблемы технологии бетона, Гос- стройиздат, 1959].Рис. 4.127. Зависимость прочности бетона при сжатии от отношения размеров призматического образца [Лермит Р., Проблемы технологии бетона, Гос- стройиздат, 1959].рость загружения мало влияет на величину предела прочности. Так, увеличение этой скорости от 1 кГс^1сек до 100 кГслг/сек приводит к повышению наблюдаемого предела прочности всего на 10%. Отмечается, что при длительном воздействии нагрузки разрушение может произойти при напряжениях намного меньших, чем предел прочности, обнаруженный при кратковременном испытании.

R

R

01,0%.如

h[b

01,0%.如

h[b

Рис. 4.127. Зависимость прочности бетона при сжатии от отношения размеров призматического образца [Лермит Р., Проблемы технологии бетона, Гос- стройиздат, 1959].

Рис. 4.127. Зависимость прочности бетона при сжатии от отношения размеров призматического образца [Лермит Р., Проблемы технологии бетона, Гос- стройиздат, 1959].

Результаты испытания бетона на сжатие с доведением его до разрушения существенно зависят от формы и размеров образца, от подготовки поверхностей его, соприкасающихся с опорными подушками пресса, от центрирования 】),от жесткости машины и типа силовозбуждения. С анализом влияния этих факторов можно познакомиться по книге Р. Лермита, упоминавшейся в сноске в начале настоящего параграфа.

Предельная прочность бетона 2) R в двадцативосьмидневном возрасте при сжатии можно найти по эмпирической формуле

RiR 口借— В);

здесь 欠口 一 активность цемента (т. е. предельная прочность образца из раствора 1:3с нормальным песком в возрасте 28 дней); Л ——коэффициент, зависящий от качества заполнителя; Б. Г. Скрамтаев и Ю. М. Баженов предложили билинейную зависимость (на первом участке R = =/次口 (告+ 6), а на втором R = =』Ru 借-б) ； 4 =仇43 + 0,37, А = =0,65 + 0,55, Б = 0,5).

Известна формула ВНИИЖБ R = (0,23Ru + 100)^-80・

Уже неоднократно отмечалось, что испытания образцов часто являются чисто эталонными и не позволяют судить о действительной прочности материала в конструкции; это в большой мере относится к испытанию бетонных кубиков. Прочность материала, предназначаемого для работы в конструкции типа колонны, правильнее испытывать на призматическом образце. На рис. 4.127 показаны графики, соответствующие испытаниям призм с различным отношением h/bt изготовленных из разных бетонов. Как видно, результаты для разных бетонов получаются неодинаковыми. Существует ряд эмпирических формул, устанавливающих связь между призменной и кубиковой прочностью бетона при сжатии. В частности, можно указать формулу Графа

Rnp = (0,85 - R/1720) R = (0,85 一 0,000581R) R,

долгое время служившую основой для рекомендаций в отечественных ТУиН (1939 г.); формулу Эмпергера

Rnp = (0,8-0,00023R)R,

дающую Лермитадающую Лермитанесколько большие величины для R^p, чем формула Графа; формулу

дающую Лермита

дающую Лермита

Rnp = R [0,76 + 0,20 lg (R/200)];

формулу А. А. Гвоздеваформулу А. А. ГвоздеваА 1300+ R *np= 1450 + 3RА 1300+ R *np= 1450 + 3RR；R；

формулу А. А. Гвоздева

формулу А. А. Гвоздева

А 1300+ R *np= 1450 + 3R

А 1300+ R *np= 1450 + 3R

R；

R；

формулу Б. Г. Скрамтаева для высоких марок бетона

/?пр = 0,7R.

ПрочностьПрочностьи модуль упругости бетона с возрастом его нарастают.

Прочность

Прочность

Эмпирическая формула (В. Г. Скрамтаева), связывающая прочность кубика в возрасте м суток ()?п) с кубиковой прочностью R в возрасте 28 дней, называемой маркой бетона, имеет вид 亠

Разрушение при растяжении. Еще большую сложность представляет испытание бетона на растяжение. Ведет себя бетон при таких испытаниях, как хрупкий материал. Опыт показывает, что для ряда бетонов удовлетворительные результаты дает эмпирическая формула Ферэ, позволяющая находить предел прочности при растяжении по кубиковой прочности:

Rp = (l/2){<^

Марки бетона. Разновидности. Ар модемент. В настоящее время марки бетона достигли очень высокого значения: известны примеры получения бетона марки 1000 и даже 1200. Марки 600——800 используются достаточно часто. Распространены марки 300—500, однако находят широкое применение бетоны и более низких марок, в особенности бетоны на легком заполнителе (так называемые легкие или теплые бетоны).

Увеличение модуля упругости и прочности бетона продолжается длительное время (см. табл. 4.19).

Таблица 4.19

Воз*

раст бетона

в

сутках

Е, кГ/см2 (при напряжении)

%q，КГ /СМ, при

Воз- бЕгона сутках

Е, кГ/см2 (при напряжении)

%q，К「/С2,

50 кГ/см*

100 кГ/см*

сжатии (кубик 20 см)

изгибе

50 кГ/см*

100 кГ/см2

сжатии (кубик 20 см)

изгибе

7

352

53

92

422 000

383 000

626

62,5

28

416 000

372 000

605

210

—

675

65

57

一

—

612

63

435

449 000

408 000

717

88

[Маньель Г., Предварительно напряженный железобетон,

пер. с

англ.

Г. А.

Игнатюка под общ. ред.

г. к.

Хайдукова, Госстройиздат, 1958.]

В зависимости от используемых в бетоне цемента и инертных он обладает рядом специфических свойств. Например, существуют быстротвердеющие бетоны (на глиноземистом цементе), бетоны на безусадочном цементе, на расширяющемся цементе, жароупорные, кислотоупорные бетоны и ряд других.

В качестве квазиоднородного может рассматриваться такой материал, как армоцемент, в котором цементный камень облекает сетки (4——6 шт. при толщине элемента 10——12 мм) из арматурной проволоки малого диаметра (0,8——1,0 мм) при малых размерах ячейки (8——12 мм). Этот материал хорошо сопротивляется растяжению.

Свойства порошковых материалов

Предварительные замечания. Формование тонких порошков и спекание их позволяет получать так называемые изделия из порошковых материалов 】). Выше уже говорилось о пресс-порошковых пластмассах, о керамике. В данном параграфе обсуждаются материалы, -получаемые из металлических порошкоз (порошковая металлургия) и из смесей металлических порошков с порошками окислов (металлокерамические и керамико-металлические материалы). В разделе 14 § 4.11 такие материалы уже упоминались. При помощи порошковой технологии можно получить такие материалы, которые либо вообще иначе получить невозможно (высокопрочные или жаропрочные композиты), либо получить их очень затруднительно (тугоплавкие сплавы). Вследствие применения порошковой технологии происходит удешевление производства таких материалов.

Металлические порошковые материалы. Известны следующие разновидности материалов порошковой металлургии: конструкционные, инструментальные, жаропрочные (различные детали летательных аппаратов, работающих при высоких температурах), фрикционные (тормозные узлы самолетов, тракторов и других машин), пористые (объем пор 10—30%) и высокопористые (объем пор больше 30%), в том числе антифрикционные (пористые подшипники в узлах трения, в том числе самосмазывающиеся, обладающие высокой сопротивляемостью износу, хорошей прирабатываемостью и низким коэффициентом трения). Из пористых материалов изготавливаются фильтры с легко восстанавливаемой фильтрующей способностью; потеющие детали, которые в одних случаях эффект тивно охлаждаются испаряющейся жидкостью, проходящей через них в других случаях согреваются фильтрующейся жидкостью, что необходимо, например, при борьбе с обледенением самолетов. В табл. 1.29 (см. приложение I) произведено сопоставление свойств различных пористых и компактных материалов.

Порошковая металлургия позволяет полностью избавиться от литниковой системы, неизбежной при литье. Значительно упрощает или вовсе исключает последующую механическую обработку деталей. Вместе с тем порошковая металлургия позволяет получить изделия почти со 100% плотностью и высокой однородностью структуры. В порошковой металлургии для получения элементов конструкций используются разнообразные технологические процессы: прессование в пресс-формах с последующим спеканием; равномерное приложение давления

1) Порошковым материалам посвящена большая литература;

Раковский В. С., С а к л и н с к и й В. В., Порошковая металлургия в машиностроении, «Машиностроение», 1973 (в этой книге имеется библиография).

Роман О. В., Богданов А. П., Порошковая металлургия США, Белорус. Научно-исслед. ин-т научн.-техн. информации и техн.-эконом, исследований Госплана БССР, Экспресс-информация, серия Машиностроение, Минск, 1972.

«Новые материалы в технике» под ред. Тростянской Е. Б., «Химия», 1964.

Свойства и обработка металлокерамических материалов (литературный обзор), Институт научно-технической информации и пропаганды ЭССР, Таллин, 1969.

Прочность металлокерамических материалов и сплавов, Изд-во АН УССР. 1962.

по объему прессуемого порошка (гидростатическое давление); прокатка порошка; экструзия; искровое спекание — одновременное пропускание через порошок электрического тока и создание давления; ковка.

Керамико-металлические материалы. Керамико-металлические материалы используются в элементах конструкций, работающих при высоких температурах (жаропрочные и жаростойкие материалы), и в разнообразных инструментах (твердые материалы), для которых нужна очень высокая твердость и красностойкость. В таких условиях керметы справляются с работой лучше, чем металлы или керамики, недостатком которых является хрупкость и разрушимость при резких изменениях температуры. В керметах сохраняется высокая твердость, тугоплавкость, жаропрочность и окалиностойкость керамики, в то же время по сравнению с керамикой, благодаря наличию металлической составляющей, повышается теплопроводность и пластичность, улучшается термостойкость и снижается хрупкость.

Керамической основой в кермете служат о кислы и металлоподобные соединения: карбиды, бориды, силициды и нитриды ——таких переходных металлов, как Si, Ti, Zr, Мо и др. Металлической составляющей служат сплавы группы железа, хром, алюминий. Из керметов на базе карбида титана изготовляют^ например, диски и лопатки газовых турбин. Прекрасными материалами с высокими жаропрочностью и жаростойкостью являются керметы на основе боридов переходных металлов и керметы на оксидной основе.

Из твердых керметов отметим: ВК — на основе карбида вольфрама с кобаль* товой металлической фазой и ТК ——на основе карбидов вольфрама и титана с той же связкой.

Механические свойства древесины

Предварительные замечания. Древесина как конструкционный материал, пожалуй, в большей мере, чем какой-либо другой, имеет свойства, присущие только ему. Первым долгом отметим огромное разнообразие пород дерева, порождающее исключительную по широте гамму физических и механических свойств древесины. Свойства древесины каждой породы при прочих равных условиях существенно зависят от влажности ее. Говоря о механических свойствах древесины, нельзя не принимать во внимание большое количество всевозможных дефектов и отклонений от нормальных условий роста дерева, снижающих прочность древесины. К числу таких относятся: сучки, неправильное расположение волокон, крень (эксцентричное расположение сердцевины), тятовость (связанность волокон в определенной области лишь между собой), смятия (от чрезмерного искривления растущего дерева), плесень и деревоокрашивающие грибы» гниль, повреждение насекомыми, смоляные кармашки, минеральные пятна (образуются после продалбливания древесины птицами, вследствие окисления и других химических процессов). Причиной дефектов может явиться и неправильно выполняемая сушка древесины. Наконец, весьма большое значение для свойств древесины имеет направление прикладываемой силы (по отношению к волокнам и годичным кольцам) при определении этих свойств ——древесина существенно анизотропна. Вот почему изменчивость физико-механических свойств древесины очень велика ——показатели свойств имеют разброс гораздо больший, чем у любых других материалов.

Большое влияние на показатели свойств древесины оказывают размеры образца или изделия, температура и продолжительность воздействия сил.

Анизотропность упругих свойств древесины. Древесина обладает свойством криволинейной анизотропности. Криволинейной анизотропность называется в том случае, если в теле мысленно можно представить систему криволи- гейных поверхностей (через каждую точку тела проходит одна из них), обладаю- ьг,их определенным свойством. Это свойство состоит в следующем. В каждой точке ьоверхности можно отметить три характерных направления (например, нормаль R

и касательные L, Т к поверхности, лежащие в плоскостях главных кривизн) таким образом, что вдоль одноименных направлений во всех точках тела показатель каждого из его свойств сохраняет свою величину, а вдоль неодноименных направлений показатель свойства имеет различное значение.

В древесине такими криволинейными поверхностями являются концентрически расположенные цилиндрические (точнее, конические с малым углом при вершине конуса)】)поверхности с осями, совпадающими с осью ствола, а характерными направлениями являются: R — нормаль к поверхности (или направление, совпадающее с радиусом цилиндра), L —— касательная к поверхности, совпадающая с ее образующей, и 7 — касательная к поверхности, лежащая в плоскости поперечного сечения цилиндра. Вдоль каждого из этих направлений модуль продольной упругости имеет свое собственное значение, обозначаемое соответственно %, 4，Е「

Различных коэффициентов Пуассона оказывается шесть:卩次 卩丄т，卩rt， Ntr,卩rl，i，itl. При индексации имеется в виду, что 卩丄^ ——взятое с обратным знаком отношение поперечной деформации вдоль R при действии сил вдоль 厶 к продольной деформации

Можно отметить три характерные плоскости сдвига: LR, RT, TL.

Модуль упругости при сдвиге между направлениями LuR, RuT, ThL (см. гл. VII) имеет свое собственное значение, обозначаемое соответственно Glr. Grt н Gtl・

Таблица 4.20

ZHOdou OHHBBOHOWHBHZHOdou OHHBBOHOWHBHQ0)la«;3HWCDq9。Q0)la«;3HWCDq9。% >лноок^лк-м% >лноок^лк-мОтноше-ние моду-лей про-дольнойупругостиОтноше-ние моду-лей про-дольнойупругости7t4/Jm7t4/Jm7t4展①7t4展①Отношение моду-лей сдвигак модулю Е^Отношение моду-лей сдвигак модулю Е^Коэффициенты ПуассонаКоэффициенты Пуассона70/07。70/07。70、J7O70、J7O』7Tt』7Tt7Hti7Hti7JA7JA

ZHOdou OHHBBOHOWHBH

ZHOdou OHHBBOHOWHBH

Q0)la«;3HWCDq9。

Q0)la«;3HWCDq9。

% >лноок^лк-м

% >лноок^лк-м

Отноше-ние моду-лей про-дольнойупругости

Отноше-ние моду-лей про-дольнойупругости

7t4/Jm

7t4/Jm

7t4展①

7t4展①

Отношение моду-лей сдвигак модулю Е^

Отношение моду-лей сдвигак модулю Е^

Коэффициенты Пуассона

Коэффициенты Пуассона

70/07。

70/07。

70、J7O

70、J7O

』7Tt

』7Tt

7Hti

7Hti

7JA

7JA

Орех 0,592 11,0 0,056 0,106 0,085 0,062 0,0209 0,495 0,632 0,718 0,367 0,0520 0,0360

[Справочник по древесиноведению, лесоматериалам и деревянным конструкциям. Книга первая, пер. с англ., Гослесбумиздат, М.—Л., 1959. Lavers Gwendoline М., The Strength Properties of Timber, 2-d ed., London, H. M. Stat off, 1969.] Из этого же источника заимствованы табл. 4.21—23.

В табл. 4.20 в качестве примера приведены все упоминавшиеся выше характеристики упругости древесины. Анизотропность древесины проявляется не только в упругих, но и во всех остальных свойствах, связанных с направлением.

На рис. 4.128 показаны пространственные графики изменения апч и f; на рис. 4.129 ——полярные диаграммы изменения характеристик апч и Е.

На рис. 4.130 показаны грубо ориентировочные соотношения между стпч и Е для разных углов между направлением действия силы и годичными слоями древесины хвойных и лиственных пород. Предел прочности апч>^ при действии сжимающей силы под углом 仆 к волокнам в плоскости, перпендикулярной годичным

i) To есть поверхности, совпадающие с годичными слоями.

Рис. 4.128. Пространственные графики изменения характеристик: а) предела прочности (по Р. Бауману)- 6) модуля продольной упругости (по А Н Митинскому) древесины; а ——угол в плоскости поперечного сечения ствола дерева между нормалью к годичному кольцу (слою) и направлением сжатия, В ——угол в плоскости, параллельной оси ствол а, между направлением сжатия и направлением волокна [Ашкенази Е. К., Боксберг И. П.# Рубинштейн Г. М., К. К Туроверов, Анизотропия механических свойств древесины и фанеры. Гослесбумиздат, 1958].

Рис. 4.129. Полярные диаграммы: а) предела прочности (Og)； б) модуля упругости (Е) для трехслойной березовой фанеры (по данным Г. А. Сафронова); в двух крайних слоях волокна параллельны, в среднем — перпендикулярны им. Угол отсчитывается от направления волокон в двух крайних слоях; Е и опч — в кГ/мм2 [Ашкенази Е. К“ Боксберг И. П., Рубинштейн Г. М., Туро- веров К. К., Анизотропия механических свойств древесины и фанеры. Гослесбум- издат. 1958].

Рис. 4.130. Соотношения между величинами Og и Е при разной ориентации силы по отношению к годичным слоям древесины; / — хвойные породы» 2 — лист* венные породы.

слоям, связан с пределами прочности anq °。 при сжатии вдоль волокон и опч 90о перпендикулярно годичным слоям формулой

—0°0n% 90°

пч* ° = °口3 0。siMO + On* 90。COS2 ® •

Значительно отличается одно от другого сопротивление скалыванию в плоскостях LT, LR и RT (в последнем случае скалывания не происходит).

Влияние влажности Влажностью ш называют долю (в процентах), составляемую весом влаги в древесине от веса абсолютно сухой древесины. У многих пород по влажности древесина является неоднородным телом — ядро менее влажно, чем заболонь. При понижении влажности происходит повышение прочности древесины, начиная с влажности 〜30%, которой соответствует насыщение волокон водой. В табл. 4.21 приведены данные о влиянии влажности на прочность.

Таблица 4.21

^Характеристики

Среднее повышение (снижение) характеристик в процентах на 1% снижения (повышения) влажности

Статический изгиб:

предел пропорциональности

предел прочности

модуль упругости

работа до предела пропорциональности

работа до разрушающей нагрузки * Ударный изгиб ——высота падения мо

лота, при которой происходи! полное разрушение

Сжатие вдоль волокон:

предел пропоршюна.пьности

предел прочности

Сжатие поперек волокон:

предел пропорциональности

Скалывание вдоль волокон:

прелел прочности

Растяжение поперек волокон:

предел пропорциональности

Твердость поверхности:

торцевой

боковой

5

4

2

8 0,5

0,5

• 5

6

5,5

3

1,5

4

2,5

В лаборатории лесных продуктов в Медиссоне (США) предложена формула для определения показателя прочности S3, соответствующего влажности ш3, по двум парам соответствующих показателей (s】и шр s3 и ш2), найденным из опыта: 叫=^+(^)吟，

В образцах сухая древесина прочнее влажной, однако материал в изделиях крупных размеров после сушки может оказаться менее прочным, чем до сушки, вследствие образования грещин вокруг и внутри сучков.

К вопросу влияния влажности придется вернуться при обсуждении температурного фактора. На рис. 4.131 изображены типичные диаграммы о —е, показывающие как влияние влажности, так и проявление анизотропности в древесине.

Связь между объемным весом и прочностью. В разных породах объемный вес древесины различен, однако относительный удельный вес вещества древесины во всех породах одинаков и равен 1,5. Неодинако- 6,к「[мм2в ость объемного веса объясняется различной по-

Рис. 4.131. Типичные диаграммы о — е для древесины сосны: / — растяжение вдоль волокон, 2 — сжатие вдоль волокон в сухом состоянии, 3 — сжатие в радиальном направлении в сухом состоянии, 4 — то же во влажном состоянии [Хух- рянский П. Н., Прочность древесины, Гослесбумиздат, 1955].Рис. 4.131. Типичные диаграммы о — е для древесины сосны: / — растяжение вдоль волокон, 2 — сжатие вдоль волокон в сухом состоянии, 3 — сжатие в радиальном направлении в сухом состоянии, 4 — то же во влажном состоянии [Хух- рянский П. Н., Прочность древесины, Гослесбумиздат, 1955].ристостью разных пород.

Рис. 4.131. Типичные диаграммы о — е для древесины сосны: / — растяжение вдоль волокон, 2 — сжатие вдоль волокон в сухом состоянии, 3 — сжатие в радиальном направлении в сухом состоянии, 4 — то же во влажном состоянии [Хух- рянский П. Н., Прочность древесины, Гослесбумиздат, 1955].

Рис. 4.131. Типичные диаграммы о — е для древесины сосны: / — растяжение вдоль волокон, 2 — сжатие вдоль волокон в сухом состоянии, 3 — сжатие в радиальном направлении в сухом состоянии, 4 — то же во влажном состоянии [Хух- рянский П. Н., Прочность древесины, Гослесбумиздат, 1955].

Чем больше вещества древесины заключено в единице объема, чем выше объемный ее вес х), тем больше прочность. На основании многочисленных экспериментов (испытана древесина более 160 пород) удалось установить ) взаимосвязь между прочностными характеристиками древесины и объемным ее весом (независимо от породы) в пределах одной породы. Эти результаты приведены в табл. 4.22.

Влияние* температурного фактора. Повышение температуры влечет за собой снижение прочности. Степень снижения зависит от влажности и продолжительности воздействия высокой температуры. На рис. 4.132 показаны пространственные эпюры прочностных характеристик в зависимости от температуры и влажности при непродолжительном воздействии высокой температуры.

Изменения прочностных характеристик при повышении температуры в зависимости от уровня температуры и продолжительности ее воздействия в одних случаях носят обратимый, а в других — необратимый характер. Даже псддержание температуры 66 ℃ в течение года не приводит к необратимому снижению прочности. В диапазоне от — 18 до +66 ℃ увеличение температуры на 1 ℃ приводит к уменьшению прочности, обнаруженному при 20 ℃, на 0,6—0,9% . При температуре —184 °C прочностные характеристики значительно повышаются.

На рис. 4.133 показано необратимое влияние нагрева (при Г > 66 ℃) на прочностные и упругую характеристики древесины. Меньше всего температурный фактор отражается на величине модуля упругости; наибольшее влияние этот фактор оказывает на характеристики прочности при ударней нагрузке.

На степень необратимых потерь оказывает влияние не только температура, но и вид среды. Среды, в последовательности увеличения их влияния на свойства древесины, располагаются так: сухой воздух, вода, пар.

Влияние продолжительности воздействия нагрузки. Продолжительность воздействия нагрузки оказывает влияние на прочностные характеристики не только в условиях высоких температур и влажности, но и при комнатной температуре и невысокой влажности. Длительная прочность древесины ниже мгновенной. Деревянный элемент, несущий нагрузку в течение десяти лет, способен выдержать лишь 60% от кратковременной разрушающей нагрузки. Увеличение (уменьшение) продолжительности действия нагрузки в 10 раз влечет за собой уменьшение (увеличение) прочности на 7—8%. В древесине происходит измепе-

ние напряженно-деформированного состояния во времени — обнаруживаются явления ползучести и упругого последействия и релаксации. На рис. 4.134 изображены кривые упругого последействия и релаксации.

Изменчивость физико-механических свойств древесины. Показатели свойств даже чистой древесины, испытываемой при определенных режимах, имеют раз+ брос, превышающий таковой как у бетона, так, тем более, у металлов.

Рис. 4.132. Эпюры прочностных характеристик древесины в зависимости от влажности" и температуры: а) эпюра опч для древесины дуба при растяжении вдоль волокон; 6) то же в тангенциальном направлении; в) тпч при скалывании в радиальном направлений (в плоскости LR); а) эпюра сопротивления ударному изгибу [Хухрянский П. Н.# Прочность- древесины, Гослесбумиздат, 1950].Рис. 4.132. Эпюры прочностных характеристик древесины в зависимости от влажности" и температуры: а) эпюра опч для древесины дуба при растяжении вдоль волокон; 6) то же в тангенциальном направлении; в) тпч при скалывании в радиальном направлений (в плоскости LR); а) эпюра сопротивления ударному изгибу [Хухрянский П. Н.# Прочность- древесины, Гослесбумиздат, 1950].

Рис. 4.132. Эпюры прочностных характеристик древесины в зависимости от влажности" и температуры: а) эпюра опч для древесины дуба при растяжении вдоль волокон; 6) то же в тангенциальном направлении; в) тпч при скалывании в радиальном направлений (в плоскости LR); а) эпюра сопротивления ударному изгибу [Хухрянский П. Н.# Прочность- древесины, Гослесбумиздат, 1950].

Рис. 4.132. Эпюры прочностных характеристик древесины в зависимости от влажности" и температуры: а) эпюра опч для древесины дуба при растяжении вдоль волокон; 6) то же в тангенциальном направлении; в) тпч при скалывании в радиальном направлений (в плоскости LR); а) эпюра сопротивления ударному изгибу [Хухрянский П. Н.# Прочность- древесины, Гослесбумиздат, 1950].

В табл. 4.23 приведены коэффициенты изменчивости в процентах. Если на гистограмме, соответствующей пятистам испытанным образцам (Медиссонская лаборатория), по обе стороны от среднего значения показателя отложить среднее квадратичное отклонение (удвоенное среднее квадратичное отклонение), то внутри получившихся границ оказывается 67% (95%) всех образцов.

Заключительные замечания. В дополнение к сказанному выше отметим* еще несколько фактов.

У древесины отношение предела выносливости к пределу прочности, вследствие волокнистой структуры, выше, чем у металлов. Образец из

Таблица 4.22

Физико-механические свойства

Соотношения между объемным весом и прочностными показателями древесины

сырой

при влажности 12%

Статический изгиб:

предел пропорциональности, кТ]сЗ

701gL25

1150gL25

предел прочности, кГ/см2

⑵ 0gL25

1770gL25

работа до разрушающей нагрузки, к Г /сл^

2,45gl'5

2,39gl*

полная работа, к,Гсм/см^

6,90g2

5,(Hg2

Модуль упругости в 1000 кГ/см^

162 岗

Ударный изгиб ——высота падения молота, при ко

284gL75

236gL75

торой происходит полное разрушение, см Сжатие вдоль волокон:

предел пропорциональности, кГ/с^

360g

601g

предел прочности, к「[с2 Модуль упругости в 1000 кГ{см^

462g

200g

839g

239g

Сжатие поперек волоком:

298g2,75

предел пропорциональности, кГtCM^, Твердость поверхности 】)：

206025

юрцевой, к「

1670g2,25

2140g225

боковой, кГ

1520g2,25

1680产

1) Груз, требуемый для того, чтобы вдавить шарик d= 11,28 мм на по-

ловину его диаметра.

Таблица 4.23

Показатель

Коэффициент изменчивости

Показатель

Коэффициент изменчивости

Объемный вес Усушка:

10

Сжатие вдоль волокон: предел пропорциональ

24

радиальная

15

ности

тангенциальная

14

предел прочности

18

объемная

Статический изгиб: предел пропорциональ

16

модуль упругости

Сжатие поперек волокон: предел пропорциональ

29

ности

22

ности

28

предел прочности

16

Скалывание вдоль воло

модуль упругости

22

кон:

14

работа до предела про

38

предел прочности

порциональности

pa6oia до разрушающей

Растяжение поперек волокон: 二

нагрузки

Ударный изгиб— высота

34

предел прочности Твердость поверхности:

25

падения молога, при

горцевой

17

которойпроисходит

боковой

20

полное разрушение

25

Вязкость

34

Рис. 4.133. Влияние температуры на физико-механические свойства при /зг%6е древесины (испытания после нагрева производились при нормальной температуре и влажности 12%). По оси ординат отложены показатели физико-механических свойств в % от показателей ненагревавшейся древесины: а) результаты испытаний древесины, нагревавшейся в .течение различных отрезков времени в воде при температуре 93 ℃ (по оси абсцисс отложена продолжительность нагрева); 6)' результаты испытаний древесины, нагревавшейся в течение различных отрезков времени в паре при различи-ых температурах; / — продолжительность нагрева в часах; по оси абсцисс отложена температура пара; сплошные линии — хвойные породы пунктир — лиственные [Справочник по древесиноведению, лесоматериалам и деревянным конструкциям, Кн. первая, пер. с англ.е Гослесбумиз- дат, М -Л.# 1959].

勿

too

.例

Рис. 4.134. Типичные диаграммы приь продольном сжатии естественной древесины сосны (нагрузка одноступенчатая): а) кривые релаксации; 6) кривые упругого последействия. % — предел текучести, числовой коэффициент при °т — Y = о。/% °о — начальное напряжение при релаксации или уровень напряжения при упругом последействии* (при нагружении).

«оздушно-сухой древесины при напряжении, составляющем 40% от предела прочности выдерживает при растяжении 30 млн. циклов не разрушаясь.

Рис. 4.135. Сжатие древесины поперек волокон.

Прочность при сжатии поперек волокон зависит от отношения а/b (рис. 4.135). Чем больше это отношение, тем выше прочность, тем сильнее проявляется поддерживающая роль соседних волокон. При значительном увеличении а/b повышение ■прочности затухает. В приложении I, табл. I. 32 приведены механические свойства древесины нескольких пород.

§ 4.17. Общие соображения о требованиях,предъявляемых к материалам, используемым в конструкциях

Обеспечение надежности проектируемого инженером изделия требует того, чтобы оно обладало хорошими конструктивными свойствами «например, чтобы не возникали резкие концентрации напряжений или ситуации, способствующие коррозии, и т. п.), хорошей технологичностью (например, чтобы не возникали или были бы малыми всевозможные остаточные напряжения, в частности сварочные напряжения, напряжения от усадки бетона и т. п.), хорошими эксплуатационными свойствами (на- ^пример, условия эксплуатации должны предусматривать защиту конструкции от действия агрессивной среды) и, наконец, чтобы хорошим (надежным) был сам материал конструкции.

Можно сформулировать некоторые общие требования к материалу, удовлетворение которым может позволить считать его надежным. К числу таких требований относятся: однородность (имеется в виду квазиоднородность), свойств во всем занимаемом материалом объеме, стабильность свойств во времени, стабильность свойств материала в разных поставках, малая чувствительность к перегрузкам (например, таким свойством в большей мере обладают материалы, находящиеся в пластическом состоянии, чем в хрупком), способность быть нечувствительным к концентрации напряжений (и в этом случае у материалов, находящихся в пластическом состоянии, имеется преимущество перед материалами, пребывающими в хрупком состоянии), малая чувствительность «к надрезу (например, большое значение удельной ударной вязкости), хорошие технологические свойства (легкость получения •изделия из материала посредством обычных технологических процессов).

Таким образом, при выборе материала приходится иметь в виду ряд свойств и анализировать всю совокупность свойств, существенных в рассматриваемом случае и присущих различным материалам. Наглядны предлагаемые нами полярные диаграммы свойств (рис. 4.136). На этом рисунке представлены свойства Fe, Ni и Ti. Очевидно, что, накладывая на одну систему осей 《розы» разных

Рис. 4.137. Сопоставление свойств материалов; Е, апч, аупр в кГ1с^ [Литературный, источник см. в подписи к рис. 4.138].

материалов, легче осуществить выбор необходимого материала, чем это выполнять без такого наглядного изображения. Разумеется, число лучей, т. е. число сопоставляемых свойств, может отличаться от изображенного на рис. 4.136. На рис. 4.137 представлено сопоставление материалов по четырем их свойствам. На рис. 4.138 сопоставление материалов дано по другой схеме.

Наконец, подчеркнем еще раз (на протяжении предыдущего изложения на это не раз обращалось внимание), что прочность одного и того же материала в образце и реализуемая в составе конструкции не одинакова. Последняя может быть названа конструкционной прочностью. Отличие ее от прочности образца •обусловлено рядом причин. К числу их относятся: масш1абный эффект, сложность

00Сплавы AlСплавы AlСплаЗь/ Ti — Сплоды Ou ”'СплаЗь/ Ti — Сплоды Ou ”'—бетоны (сжатие)Древесина (изгибуМагниевые сплавыПластики—бетоны (сжатие)Древесина (изгибуМагниевые сплавыПластики0 Z0 Z68 Ю68 Ю1痂而初加，1痂而初加，ДревесинаПластикиАрмированные пластикиСплавы А1 ■'Сплавы Mq .СплаВы Ti л Сплавы Си СталиСплаЗы NI бетоныДревесинаПластикиАрмированные пластикиСплавы А1 ■'Сплавы Mq .СплаВы Ti л Сплавы Си СталиСплаЗы NI бетоны

0

0

Сплавы Al

Сплавы Al

СплаЗь/ Ti — Сплоды Ou ”'

СплаЗь/ Ti — Сплоды Ou ”'

—бетоны (сжатие)

Древесина (изгибу

Магниевые сплавы

Пластики

—бетоны (сжатие)

Древесина (изгибу

Магниевые сплавы

Пластики

0 Z

0 Z

68 Ю

68 Ю

1

痂而初加，

1

痂而初加，

Древесина

Пластики

Армированные пластики

Сплавы А1 ■'Сплавы Mq .

СплаВы Ti л Сплавы Си Стали

СплаЗы NI бетоны

Древесина

Пластики

Армированные пластики

Сплавы А1 ■'Сплавы Mq .

СплаВы Ti л Сплавы Си Стали

СплаЗы NI бетоны

0200 W 600600 Г

Рис. 4.138. Сопоставление свойств материалов: а) апч (растяжение); 6) Е; в) коэффициент линейного температурного расширения; а) температурная область работы [Fauре! Joseph Н., Engineering Design, a Synthesis of Stress Analysis and Materials Engineering, John Wiley ana Sons, New York — London — Sydney, 196^]

форм конструкции и связанные с нею, в частности, неоднородность напряженного состояния и концентрация напряжений, возникновение в конструкции технологических напряжений, подверженность конструкции в процессе эксплуатации повреждениям, агрессивное влияние окружающей среды, изменение свойств материала во времени и т. п.

Отдел второй

СОСТОЯНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫВ ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА

Глава V

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

Предварительные замечания

Содержание настоящей главы справедливо для любого сплошного тела.

Понятие о напряжении, действующем на некоторой площадке, проходящей через точку тела, было дано во II главе. Там было отмечено, что напряжение зависит как от координат точки, через которую проходит площадка, так и от ориентации площадки. Было введено понятие о компонентах напряжения и дано правило знаков для них.

Во II главе отмечалось, что, зная компоненты напряжения в точке тела в любой системе прямолинейных прямоугольных координат xyz, можно найти напряжение, действующее на любой площадке, проходящей через эту же точку тела. В настоящей главе показывается, как это делается. Здесь же изучаются закономерности изменения величин нормальной и касательной составляющих полного напряжения и величины самого полного напряжения, действующего на произвольной площадке, в зависимости от изменения ориентации этой площадки.

Анализ напряженного состояния в точке начинается с рассмотрения некоторых общих положений применительно к трехмерной задаче. Затем, когда становится возможным говорить о частных случаях ——плоском и линейном напряженных состояниях, производится анализ этих состояний по той же схеме, по какой выполняется анализ пространственного напряженного состояния, с тем, чтобы читатель, не желающий ограничиваться анализом плоского напряженного состояния, имел бы возможность по аналогии проследить и за анализом пространственного напряженного состояния без выполнения всех выкладок. Использование частных приемов анализа плоского напряженного состояния, непригодных для

анализа пространственного, исключило бы такую возможность. Вместе с тем некоторое усложнение анализа плоского напряженного состояния по сравнению с тем, каким он был бы при использовании упомянутых частных приемов, невелико.

Закон парности касательных напряжений

Вырежем из тела в окрестности точки С (рис. 5.1, о) бесконечно малый элемент в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям х, у, г. Действие на параллелепипед окру, жающего его тела заменяем соответствующими внутренними силамн”

Рис. 5.1. К равновесию тела: а) элементарный параллелепипед в составе тела в окрест* ности точки С： б) силы (показаны иитеисивностн сил), действующие на параллелепипед; е) силы (интенсивности), создающие Момент относительно оси 占.

которые по отношению к выделенному элементу являются внешними поверхностными. Интенсивности указанных сил представляют собой напряжения, а составляющие последних в осях х, у, г — компо-

ненты напряжения. На рис. 5.1, б показан элемент и действующие на его гранях компоненты напряжения.

Учитывая, что параллелепипед бесконечно мал, следует считать все компоненты напряжения относящимися к точке С, а не к трем разным точкам — центрам трех граней параллелепипеда, проходящих через С. Так как компоненты напряжения являются функциями координат точек тела, при переходе от одной грани параллелепипеда к другой, ей параллельной, компоненты напряжения получают приращения, главная линейная часть которых представляет собой дифференциал. Известно, что дифференциал функции / = / (х, у, г) выражается формулой

df(x, У，г) = ^-dx + fydy + ^dz.

Так как при переходе от центра одной грани параллелепипеда к центру другой, ей параллельной, происходит изменение всего одной из трех координат, дифференциалы компонентов напряжения содержат одно слагаемое.

Кроме поверхностных сил на элементарный параллелепипед действуют объемные силы. Пусть интенсивности составляющих этих сил по осям х, у, z суть X, У и Z (рис. 5.1, б).

Из общего числа шести уравнений равновесия этого элемента рассмотрим пока три, каждое из которых представляет собой равенство нулю суммы моментов всех сил относительно трех некомпланарных осей. Так, в частности, для моментов относительно оси xlf параллельной оси х, согласно рис. 5,1, s имеем т)

Qy dxdz— -\- ® + 芻 dy) dx dz 嚳—xyz dx 圾 dy 十

+ oz dydx^- (" + 芻虑)幽 dx 粤 + (曰 + 樂虑)dy dx dz —

xXydz dy 岑 + 卜+ ^^ dx) dzdy^-}~ %dz dy 粤一

[rxz + ^^ dx) dz dy* *Y dx dy d鸣—Z dx dy dz * = 0.

После взаимного уничтожения ряда членов и сокращения оставшихся на dx dy dz некоторые члены оказываются койечными, а остальные — бесконечно малыми; отбрасывая последние в силу их малости по сравнению с конечными, будем иметь

一 ^уz + тгд =。，

ИЛИ

"Г” = Тг»・(5.1)1

На рис. 5.1, в изображены лишь те компоненты напряжений, которым соответствуют силы, создающие момент относительно оси хх.

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил, действующих на элемент, относительно осей ух и гъ соответственно получим

(5・1)2, 3(5・1)2, 3

(5・1)2, 3

(5・1)2, 3

Три уравнения равновесия (5.1) выражают так называемый закон парности касательных напряжений*, на двух взаимно перпендикулярных площадках, п рох одя- щих через точку тела, действуют равные по величине касательные составляющие н а- пряжений, перпендикуля р н ые ребру, образуемому пересечением указанных площадок. На основе этого закона из девяти компонентов напряжения различными по величине в общем случае оказываются шесть компонентов.

Уравнения равновесия элементарного тетраэдра

В окрестности точки С напряженного тела, связанного с системой осей xyzt вырежем бесконечно малый тетраэдр (рис. 5.2), у которого три грани параллельны координатным плоскостям, а четвертая имеет ориентацию, характеризуемую нормалью v, направляющие косинусы которой в системе осей xyz суть /, т, п. Так как

тетраэдр бесконечно мал, в пределе все четыре его грани можно считать проходящими через одну точку тела. Действие на тетраэдр окружающего его тела заменим внутренними силами, которые по отношению к тетраэдру являются внешними поверхностными.

Интенсивности этих сил суть напряжения. При этом на каждой из граней, параллельных координатным плоскостям, напряжение п редставлено тремя составляющими в осяхх, t/, г (компоненты напряжения), а на грани с нормалью v напряжение pv в тех же осях х, у, z имеет составляющие pg p^t pvz.

Пусть площади граней СЬс, Сса, Cab и abc обозначены соответственно 尸*, F» 尸%, Fv; в этом обозначении индекс указывает название нормали к плоскости грани. Каждая из граней Cab, Cbc, Сса является проекцией грани abc на соответствующую координатную плоскость; поэтому

Fx = Fv/,Fy =尸*他，Fz = Fvn.(5.2)

Составим уравнения равновесия элементарного тетраэдра. Равенство нулю суммы проекций на ось х всех сил, действующих на тетраэдр, имеет вид

凡 Pvx - ^XFX - ryxFy - Tz*3 = 0;(5.3)

подставляя (5.2) в (5.3), сокращая после этого все члены на Fv 修 перенося все члены, кроме первого, в правую г,часть равенства» получим

/\х = о/+(5.4)j

Объемная сила в уравнении равновесия (5.3) опущена, так как она представляет собой величину третьего порядка малости, тогда как порядок малости остальных членов уравнения — второй.

Два других уравнения равновесия получаем аналогично:

(5.4)2,8(5.4)2,8Pvy = Т*，+ ^^^ + Т”％

(5.4)2,8

(5.4)2,8

Pv? = 3 + t"加 + “必

Формулы (5.4) позволяют найти составляющие напряжения р”, действующего на любой площадке, проходящей через точку тела» если известны компоненты напряжений в той же точке в системе осей хуг и направляющие косинусы нормали v к обследуемой площадке в той же системе осей.

Формулы (5.4) используются и с другими целями. Об этом говорится в § 5.15.■

Формула для av

Выведем формулу для av ——нормальной составляющей напряжения pv, действующего на площадке с нормалью v (рис. 5.2). Найдем ov как сумму проекций на v составляющих pv^f pvy и р、1t напряжения pv:

Ov = Pv/+ Pv/；m + Pvz 九(5.5)

Подставляя (5.4) в (5.5) и приводя подобные члены, получим

% = о/2 _]_ %加2 + °繕 2 十 2%xylm + 2xygmn + 2“諸/・(5.6)

13 А. П. Филнн

Теорема о существовании главных площадок

Пусть через точку С напряженного тела, связанного с системой осей xyz, проходит площадка с нормалью 工)v (/, m, п). Отложим вдоль

нормали вектор 1М±/ (рис. 5.3). Под радикалом используется Знак плюс, если о* > 0, н знак минус, если ov V 0; тогда подкорен

ное выражение всегданое выражение всегдаРис. 5.3, Вектор 1//±0屮 конец которого описывает поверхностьРис. 5.3, Вектор 1//±0屮 конец которого описывает поверхностьположительно и, таким образом, длина вектора представляет собой действительное число. Координаты конца вектора обозначим &, п н С，тогда

ное выражение всегда

ное выражение всегда

Рис. 5.3, Вектор 1//±0屮 конец которого описывает поверхность

Рис. 5.3, Вектор 1//±0屮 конец которого описывает поверхность

Отсюда -

/ = /±OvE, 团=M±Ov П, 九=V士 о\ £(5.7)

Конец вектора- 1//±о\, при всевозможных поворотах площадки, проходящей через точку С, описывает неко

торую поверхность, уравнение которой найдем, подставляя (5.7) в (5.6) и сокращая все члены на av:-

。点 + о川 2 + “* + 2т* 厠 + 2% 厘十 2%•生==± 1,(5.8)

уравнение центральной поверхности второго порядка). Известно, что существуют три такие взаимно перпендикулярные оси 勺，勿，Z]，называемые главными, в которых эта поверхность выражается уравнением .

加口 + о 仍干 + о/2 = ± 1,

не содержащим членов с произведениями двух разных координат. Вместе с тем исчезновение таких членов из (5.8) мыслимо, лишь если в соответствующих осях 力，уъ 马 касательные компоненты напряжения обращаются в нуль, т. е.

Таким образом, очевидно, что через каждую точку напряженного тела всегда можно провести три таких взаимно ортогональных направления, что на площадках, перпендикуляр-

ных к ним, касательные компоненты напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными, а напряжения, - действующие на них,——главными напряжениями. Очевидно, что главные напряжения нормальны к главным площадкам. Главные напряжения обозначим символами а1э а2 и а3> имея в виду при этом, что

О] N 02°з・

Приведенное утверждение является формулировкой так называемой теоремы о существовании главных площадок (главных напряжений). Таким образом, напряженное состояние в окрестности любой точки тела можно представить как растяжение (в алгебраическом смысле) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, совпадающих с направлениями нормалей к главным площадкам, или, что то же самое, с направлениями главных напряжений. Поверхность (5.8) называется квадрикой Коши 】).Подробнее о ней гово* рится в разделе 2 §-5.16..

Теорема об экстремальности главных напряжений

Рассмотрим точку С напряженного тела и проведем через нее три ортогональные оси х, у, г, совпадающие с нормалями к главным площадкам, проходящим через эту же точку тела. В этой системе осей 2)

(5.9)(5.9)= tgw = ^zx ~ О,

(5.9)

(5.9)

% = О], Оу = 02, Gz = ^3'

Проведем теперь через точку С тела площадку с нормалью v, произвольно наклоненную по отношению к осям х, у> г. Полное напряжение 0v, действующее на этой площадке, имеет составляющие в осях х, у、г: pvx, pv),, pvz. Введем еще одно обозначение для коор* динат вектора pv, а именно:

Pvx ^» Pvy = Л» Pyz = W・

Имея в виду (5.9), заключаем, что (5.4) приобретают вид

Pvx = Е = °!厶pvy = П = 6 加，Pvz = С = oyz.

Отсюда

(5.10)

Огюстен Луи Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) —французский математик и механик, один из создателей теории упругости.

Оси можно обозначить так, чтобы х была нормальна к площадке с alt у — к площадке с аа и г "- к площадке с 力，

13*

С другой стороны,Подставляя (5.10) вС другой стороны,Подставляя (5.10) виз аналитической /2+加2+几2= i.(5.11), получаемиз аналитической /2+加2+几2= i.(5.11), получаемгеометрии известно, что (5.Н) уравнение поверхности,геометрии известно, что (5.Н) уравнение поверхности,

С другой стороны,

Подставляя (5.10) в

С другой стороны,

Подставляя (5.10) в

из аналитической /2+加2+几2= i.

(5.11), получаем

из аналитической /2+加2+几2= i.

(5.11), получаем

геометрии известно, что (5.Н) уравнение поверхности,

геометрии известно, что (5.Н) уравнение поверхности,

Рис, 5.4. Эллипсоид Ламе: а) общий случай пространственного напряженного состояния (эллипсоид напряжений с разными полуосями); 6) частный случай пространственного напряженного состояния (цилиндрическое напряженное состояние; одно из главных сечений эллипсоида — круг); в) частный случай пространственного напряженного состояния (сферическое напряженное состояние; эллипсоид напряжений — сфсриче* ская поверхность); а) общий случай плоского напряженного состояния (эллипс напряжений с разннмн полуосями); 6) частный случай плоского напряженного состояния (круговое напряженное состояние; эллипс напряжений — окружность)； е) линейное напряженное состояние; эллипс напряжений — отрезок прямой (длина одной из осей равна нулю).

описываемой концом вектора полного напряжения:

号十^ + ^=1・(5.12)

j %

Этой поверхностью является эллипсоид с полуосями, равными оь 。2， Оз・ Очевидно, что любой радиус-вектор pv точки элл^соида имеет величину, заключенную между s и а3. При этом существенно

то, что pv расположены не перпендикулярно к площадкам их действия. Исключение составляют три полных напряжения — главные напряжения: oj, а2 н Оз，направленные по нормали к соответствующим главным площадкам, а2 является наименьшим из напряжений, действующих на площадках, которые проходят через направление а3, и наибольшим из действующих на площадках, проходящих через направление о「 Таким образом, а2 — минимакс. Эллипсоид (5.12) ввел в теорию напряженного состояния в точке тела французский ученый Ламе 】)•

Полезно иметь в виду частные случаи эллипсоида полных напряжений.

Если. “ > s = °"з (или ^ = а2 2> Оз), то эллипсоид напряжений в одной из главных плоскостей, перпендикулярной направлению о】 (или 03), сечение имеет в виде круга. Если вблизи такой точки тела с таким напряженным состоянием вырезать элемент в форме круглого цилиндра с основанием, нормальным направлению О] (или Оз), то на любой площадке, касательной к боковой поверхности цилиндра, будет действовать напряжение, нормальное к площадке и равное о?= 舊 (или 5 = а2)- При этом все такие площадки являются главными, а само напряженное состояние называется цилиндрическим. '

Если 01 =。2 = Оз， эллипсоид напряжений превращается в сферу, а само напряженное состояние называется сферическим. Так как в сфере любые три ортогональных направления могут быть приняты за главные, все площадки, проходящие через точку напряженного тела, являются главными. Ниже будет доказано, что, действительно, на любой из этих площадок касательная составляющая напряжения равна нулю. На рис. 5.4 показаны общий и частные случаи эллипсоида Ламе. При этом рис. 5.4, е, д относятся к случаям, поясненным в § 5.7, а рис. 5.4, е ——к случаю, поясненному в § 5.14.

Понятие о плоском напряженном состояниив точке

Изменение величин и направлений главных напряжений при переходе из одной точки тела в другую происходит непрерывно. Может случиться, что в некоторой точке С напряженного тела одно главное напряжение равно нулю; в таком случае напряженное состояние в этой точке называется плоским. Уже в соседних точках тела напряженное состояние может быть пространственным, при котором ни одно из главных напряжений не равняется нулю.

Габриэль Ламе (Gabriel Lam6, 1795—1870)—французский инженер и ученый (механик, математик). На протяжении 11 лет был профессором в Институте инженеров путей сообщения в Петербурге; автор первого в мире курса ло теории упругости.

Наряду с этим встречаются и такие случаи, которые характеризуются тем, что во всех точках тела напряженное состояние плоское и при этом главные площадки с нулевым главным напряжением во всех точках тела параллельны друг другу. В таком случае можно сказать, что все тело 6 целом испытывает плоское напряженное состояние.

Если тонкая пластина подвержена воздействию поверхностной и (или) объемной нагрузки, распределенной равномерно по толщине (рис. 5.5, а), и нагрузка не имеет составляющей, направленной вдоль оси z, то приближенно можно считать, что во всех точках тела площадки, проходящие через них и, параллельные наружным плоскостям пластины, являются главными с нулевыми напряжениями. Два других главных напряжения отличны от нуля и, вообще говоря, в различных точках различны и по величине и по направлению. Изменение как величины, так и направления этих напряжений при переходе из одной точки тела в другую происходит непрерывно.

Третьим примером является такой частный случай однородного напряженного состояния'), при котором во всех точках тела имеет место одинаковое плоское напряженное состояние (рис. 5.5, 6).

Ниже/ в §§ 5.8——5.13, выполняется анализ плоского напряженного состояния в точке, совершенно одинаковый, будь эта точка в составе пространственно напряженного тела или в составе тела, все точки которого испытывают плоское напряженное состояние. Мыслимы такие разновидности плоского напряженного состояния: ” 0, и? ^^ 0, (jg = O; 5 ^:。，и? = °, % ^^。；

% = 0, ■ о?，。，％学=。・ (5.13)

С целью анализа плоского напряженного состояния будем выделять элемент в виде прямоугольного параллелепипеда всегда так, чтобы фасадная и задняя грани ) совпадали с главной площадкой, главное напряжение на которой равно нулю. С нормалью к этой главной площадке будем совмещать ось z. Такой элемент и компоненты напряжения, действующие на его гранях, изображены на рис. 5.7, а： При этом учтено, что вследствие закона парности касательных напряжений

%хг = 0, Туг = 0.

Так как все компоненты напряжений, отличные от нуля, располагаются в одной плоскости Оху, вместо аксонометрического

——

—

—

Рис. 5.5. Условия возиикиовения плоского напряженного состояния в точке! а) плоское напряженное состояние пластины (во всех точках на плоскости ху напряженное состояние плоское, но различное в разных точках; во всех точках, лежащих на иормалн к плоскости ху, напряженное состояние одинаковое (плоское напряженное состояние однородно по координате 2 и неоднородно по координатам х и у)^ 1 — наружные плоскости пластины, 2、一 площадки с нулевым главным напряженнем}; б) однородное плоское напряженное состояние тела (во всех точках плоское напряженное состояние одинаковое —напряженное состояние однородно во всем объеме тела); 3 — эпюры касательных напряжений.

Рис. 5.6. Поверхностная нагрузка, вызывающая однородное напряженное состояние *ела: а) нормальные составляющие поверхностной нагрузки; б) касательные составляю* ■ щие поверхностной нагрузкн (а# в и с — величины касательных напряжений).Рис. 5.6. Поверхностная нагрузка, вызывающая однородное напряженное состояние *ела: а) нормальные составляющие поверхностной нагрузки; б) касательные составляю* ■ щие поверхностной нагрузкн (а# в и с — величины касательных напряжений).

Рис. 5.6. Поверхностная нагрузка, вызывающая однородное напряженное состояние *ела: а) нормальные составляющие поверхностной нагрузки; б) касательные составляю* ■ щие поверхностной нагрузкн (а# в и с — величины касательных напряжений).

Рис. 5.6. Поверхностная нагрузка, вызывающая однородное напряженное состояние *ела: а) нормальные составляющие поверхностной нагрузки; б) касательные составляю* ■ щие поверхностной нагрузкн (а# в и с — величины касательных напряжений).

изображения будем использовать ортогональную проекцию на плоскость Оху (рис. 5.7, 6).

Исследованию будут подвергаться напряжения, действующие лишь на площадках, перпендикулярных к главной площадке с нулевым главным напряжением.

Рис. 5.7> Плоское напряженное состояние в точке:, а) бесконечно малый пвраллелепн* пед, в котором две противоположные грани свободны от напряжений; 6) ортогональная проекция того же параллелепипеда; в) аксонометрическое изображение элементар' ной треугольной призмы( в которой две противоположные грани свободны от напряжений; е) ортогональная проекция той же призмы; 0) следы площадок, проходящих череа точку G нела, в которые в пределе, при бесконечном уменьшении размеров приз мы, переходят грани последней.

/ В некоторых случаях нам понадобится рассматривать треугольный призматический элемент с основанием в виде прямоугольного треугольника. Такую призму будем отрезать от описанного выше прямоугольного параллелепипеда сечением, перпендикулярным плоскости Оху (рис. 5.7, 6, а). Составляющая tv располагается в плоскости Оху вследствие закона парности касательных напряжений. Действительно, фасадная грань — главная площадка, в ней отсут* ствует касательная составляющая напряжения, в том числе и пер*

§5 9] ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТОВ НАПРЯЖЕНИЯ 393 пендикулярная ребру ab; следовательно, и на площадке abed составляющая касательного напряжения, перпендикулярная ребру 〃匕，равна нулю. В пределе площадку abed можно рассматривать проходящей через точку С (рис. 5.7, О).

Уравнения равновесия элементарной треугольной призмы

Выделим из напряженного тела в окрестности точки, испытывающей плоское напряженное состояние, элементарную призму (рис. 5.7, г). Нормаль v к площадке ab составляет с осью х угол а. Уравнения равновесия этой призмы легко получаются из уравнений равновесия тетраэдра (5.4); если учесть, что в рассматриваемом случае

/ = cos а, т = cos (п/2 — а) = sin а, n = cos (л/2) = О,

Рв2 = °, ххг = %zx = 0, Туг = %zy = 0, о存=°, получаем

(5・14)(5・14)"业=о/ + %ухт = cos а + %ух sin а, Pvg ~= Т#，+ CFgZTl —• ^ху COS ОС 十 CF# SID а、

(5・14)

(5・14)

Последнее уравнение из (5.4) превращается в тождество: 0 = 0.

Формулы преобразования компонентов напряжения

Пусть нам известны компоненты напряжения в системе осей 期： "*，行办 Хху = Хух- Необходимо найти компоненты напряжения в системе осей 尤必匚 о#., %” хХгУ1 =马】#[, если оси 尤】и % составляют с осями х и у углы, косинусы которых образуют матрицу ')

х УХ1 )1 А &У14 加2

С этой целью рассмотрим треугольную призму (рис. 5.8, а). Нормаль V параллельна оси х「Для того чтобы получить о*】и 工#力”, спроектируем полное напряжение на площадке с нормалью %i на направления 修 и у「Вместо того, чтобы проектировать %, можно взять сумму проекций его составляющих pXiX и р*停：

Ojq = PxtX^l + Px^ytTl^% 必=Pxix^2 + Pxtyf^2> (5.15)

(5.16)(5.16)Учтем, что 厶=cos a,加 1 = cos (л/2 — a) = sin a,

(5.16)

(5.16)

/2 = cos (л/2 + a) = —sina, m2 = cos a.

Каждый элемент этой матрицы представляет собой косинус угла, образуемого осями, указанными против строки и столбца, на пересечении которых находится элемент.

Так как роль v в нашем случае играет х1( формулы (5.4) приобретают вид

(5.17)(5.17)Рх,х = o/i + Т”〃" = U* COS а + 工以 sin а, рХ1У =+ %加1 =工切 cos а + % sin а.

(5.17)

(5.17)

Рис. 5.8. К выводу формул преобразования компонентов напряжений при повороте осей (плоское напряженное состояние): а) к определению оХ1 и t^yj 6) к определенна %1 Н %/уРис. 5.8. К выводу формул преобразования компонентов напряжений при повороте осей (плоское напряженное состояние): а) к определению оХ1 и t^yj 6) к определенна %1 Н %/у

Рис. 5.8. К выводу формул преобразования компонентов напряжений при повороте осей (плоское напряженное состояние): а) к определению оХ1 и t^yj 6) к определенна %1 Н %/у

Рис. 5.8. К выводу формул преобразования компонентов напряжений при повороте осей (плоское напряженное состояние): а) к определению оХ1 и t^yj 6) к определенна %1 Н %/у

Подставив (5.16) и (5.17) в (5.15) и учтя, что тху = TyXi получим

0/=o/j + %加；+ 2tx/加1=

(5,18)(5,18)=% cos2 a + % sir? a + 2Tx“ sin a cos a, ***%=O*'1/2 + %/721加2 + T#y (乙加2 + /2加1)=

(5,18)

(5,18)

=(ay — ax) sin a cos a -|- %xy (cos2 a — sin2a).

Если бы мы выделили элементарную треугольную призму с нормалью V, параллельной осн у】 (рис. 5.8, б), то аналогично

получили бы формулы ДЛЯ О力 И XyiX1：

о% = рд』2 +。〃#加2，Т#1Х1 = рдик + р"也加 1，

PyiX = °,2 + 工我加2,Ру*д = Т#〃2 + 0y 加 2，

0 例=05 + %侬 + 2b^2 加 2 =

= a^sin2a + % cos2 a — 2%xy sin a cos a,

=u/2/1 + %加2加 1+ Sy (%加1 + A加2)=(5/9)

=(% — о#) sin a cos a + j (cos2 a — sin2 a).

Нетрудно видеть, что, во-первых, формулы для aXl и 口丸 могли бы быть получены из формулы (5.6) для av, если учесть, что о?= = т* = %zx = 0; во-вторых, имеет место равенство

T*i"i = т 弘打，

которое подтверждает доказанный выше закон парности касатель ных напряжений.

Формулы (5.18) и (5.19) можно преобразовать применительно к такому случаю, когда оси 力 и у совпадают с нормалями к главным площадкам и, таким образом, напряжения о* и % — главные, а “ = 0. Введем такую замену в обозначениях. Вместо 力 н у примем' соответственно / и //, а вместо jq и у】 примем х и у. Индексы I и II применены вследствие того, что не конкретизируется случай из числа трех в (5.13). Тогда формулы (5.18).и (5.19) приобретают вид・

ах = ctj cos2 a 4- an sin2 a,

(5.20)(5.20)о尸 01 sin2a-|-CTii cos2 a,^xy н %x =9 SinzOC.

(5.20)

(5.20)

Определение главных напряжений

и направляющих косинусов нормалей к главным площадкам

Пусть для некоторой точки С напряженного тела известны компоненты напряжений в системе осей ху. Требуется определить главные напряжения и ориентацию главных площадок в системе осей ху. Начало координат системы осей хуг помещено в точку С. Главная площадка с ненулевым главным напряжением о имеет нормаль V (рис. 5.9), направляющие косинусы которой в системе осей хуг суть /, т и /2=0. В таком случае полное напряжение pv=a и по направлению совпадает с нормалью v (так как касательная составляющая напряжения на главной площадке обращается в нуль), вследствие чего

pvx = Pv^== ^^» pvgьт、(5.21)

С другой стороны» для pvx и pvy имеем формулы (5.14), в которых эти величины выражаются через компоненты напряжений:

Pvx = ох1 + ^пг,Pvy = ^xyl + oym.(5.22)

Сопоставляя (5.22) и (5.21), получаем

о/ + т 少加=or/,xxyl + аут = от,

или

ах-о)1 + ТуХт = 0, I

(力 + (%一。)m=0」()

Итак, мы пришли к системе линейных алгебраических однородных уравнений относительно / и 加一направляющих косинусов нормали к главной площадке, определяющих положение последней. Нас интересует ненулевое решение системы (5.23), так как в силу

известного равенства

『+ М +孔2 = 1

все три направляющих косинуса любого направления не могут одновременно обращаться в нуль; вместе с тем известно, что

п = cos(V, г) = cos (л/2) = 0;

отсюда ясно, что не могут быть одновременно равны нулю / и 加, так- как при 孔=0 产 + 加2=1. Система линейных однородных алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нуля» тогда и только тогда, когда основной определитель системы равен нулю (теорема Руше).

°х — О ^ху°х — О ^хуТаким образом, равенство

°х — О ^ху

°х — О ^ху

(5.24)

является условием существования ненулевого решения системы (5.23). Иными словами, ненулевое относительно / и т решение системы (5.23) имеет место лишь при удовлетворении величиной о уравнению (5.24), которое в развернутом виде записывается так:

(5.25}(5.25}о2 - (и* + %) и + %% — 小=0.

(5.25}

(5.25}

Решая квадратное уравнение (5.25), находим два таких значения и, при которых / и 加,отыскиваемые их (5.23), получаются ненулевыми.

Решение (5.25) имеет вид

—-2-)一(岭一电， или

Oi, II =七買-土 у Р(% —时 + *3•(5.26)

Учитывая условие аь 1 и2 A а3, заключаем, что

если 6 > 0, Si > 0, если 5 > 0, ап <0, если Ui V 0, ап V 0,если 6 > 0, Si > 0, если 5 > 0, ап <0, если Ui V 0, ап V 0,ТО U] = Uj, “hUii,ТО U] —- и【，О2 — °, то % == 0, 0^2 = и”ТО U] = Uj, “hUii,ТО U] —- и【，О2 — °, то % == 0, 0^2 = и”U3 =。；U3 = Ul】； 力=Uli.U3 =。；U3 = Ul】； 力=Uli.(5.27)'(5.27)'

если 6 > 0, Si > 0, если 5 > 0, ап <0, если Ui V 0, ап V 0,

если 6 > 0, Si > 0, если 5 > 0, ап <0, если Ui V 0, ап V 0,

ТО U] = Uj, “hUii,

ТО U] —- и【，О2 — °, то % == 0, 0^2 = и”

ТО U] = Uj, “hUii,

ТО U] —- и【，О2 — °, то % == 0, 0^2 = и”

U3 =。；

U3 = Ul】； 力=Uli.

U3 =。；

U3 = Ul】； 力=Uli.

(5.27)'

(5.27)'

Теперь» получив два корня для и (напомним, что третье главное напряжение равно нулю), можно найти направляющие косинусы 4 и /и* (й = I, II) нормали к каждой из двух главных площадок. Ищем 厶，g; /ц и 加II из системы уравнений (5.23),.которая приобретает вид двух следующих систем:

(5.28)(5.28)9х — %) /& + Тух加比=0，]у

(5.28)

(5.28)

ТхЛ +(^-^)^ = 0 j (' )•

В зависимости от знаков 5 и стп индексы I и II приобретают значения из множества 1, 2, 3 согласно (5.27).

Введем обозначение:

& =厶：加々 з=1, 11）；& =厶：加々 з=1, 11）；(5.29)(5.29)

& =厶：加々 з=1, 11）；

& =厶：加々 з=1, 11）；

(5.29)

(5.29)

тогда системы (5.28), после деления всех членов в каждом из урав-* нений на 加在，можно представить так:

(5.30)(5.30)亿一以)ak + Гух = 0, I

(5.30)

(5.30)

М+何-“) = 0 j)

Решаем любое из этих уравнений относительно ал (й = I, II), затем согласно (5.29) находим

(5.31)(5.32)(5.31)(5.32)厶П аа加力，

(5.31)

(5.32)

(5.31)

(5.32)

после чего из условия /^ 十 加^ = 1 получаем

h+礙

Обозначим угол, составляемый нормалью к главной площадке, где действует напряжение и% с осью *, символом aj； тогда 厶 =cos aj, а 加1 = cos (л/2 — ai) = sin a-

Рассмотрим tg 2ai =

sin 2aJ 2 sin 的 cos cq 2厶爪]

cos 2aj

cos2 a[ — sin2al =片―胃“，

или, учитывая (5.31),

tg2al =辞?

Найдбм &i из первого уравнения (5.30):

Хух

(5.33)

s =

_ Подставляя (5.34) в (5.33), получим

2 "-

(5.34)

tg2& =

亿 一01)2

2t” 9* —”)班二(% - 5尸•

(5,35)

получимполучим

получим

получим

Подставляя выражение для ai согласно (5.26) в (5.35),

tg 2al

「2%

°х — °у*

Этот же ответ получился бы, если бы а【находили из второго уравнения (5.30), когда

吁--

Если обозначить символом ан угол, составляемый нормалью к главной площадке, где действует напряжение ац, с осью %, то

- /п = cos ац, 加口 = cos (л/2 — an) = sin an

и тогда, аналогично предыдущему случаю, получаем формулу

tg 2alitg 2ali2ali砲一12ali砲一1(5.36)(5.36)

tg 2ali

tg 2ali

2ali砲一1

2ali砲一1

(5.36)

(5.36)

Величину a“ найдем из любого из уравнений (5.30), например из первого:

ац = --Ц-.(5.37)

Подставляя (5.37) в (5.36), получим

tg 2ali =tg 2ali =2t”9x —б»吼一(% - 51)22t”9x —б»吼一(% - 51)2(5.38)(5.38)

tg 2ali =

tg 2ali =

2t”9x —б»吼一(% - 51)2

2t”9x —б»吼一(% - 51)2

(5.38)

(5.38)

Подставляя в (5.38) формулу для а^ согласно (5.26), после преобразований, совершенно аналогичных выполненным при выводе

формулы для tg 2аь получим

tg 2aH = Т~・

Равенство tg 2al = tg 2ali свидетельствует об отличии угла 2a” от угла 2al на л, или, что то же самое, об отличии угла ац от угла а【 на величину л/2. Иными словами, главные площадки с напряжениями ai и стп взаимно перпендикулярны, вместе с тем они перпендикулярны и к третьей главной площадке с нулевым главным напряжением.

Инварианты напряженного состоянияв точке тела

В § 5.10 было получено квадратное уравнение (6.25), корнями которого являются главные напряжения и】,и оц. Известно, что такое уравнение может быть записано и в следующей форме:

(и— S)(и —Si) = 0,

или, в развернутом виде,

(5.39)(5.39)п2— (и〕+(rii) о + орп =0・

(5.39)

(5.39)

Коль скоро (5.25) и (5.39) являются различными формами записи одного и того же квадратного уравнения с корнями s и ац, коэффициенты в (5.25) и (5.39) при одной и той же степени о одинаковы. Отсюда получаем два равенства:

(5.40)(5.40)% + % = ui + Sn。"% 一碇g = OjO[I.

(5.40)

(5.40)

Для данной точки тела величины, стоящие в правой части равенств (5.40), являются строго определенными. Следовательно, строго определенными получаются и величины, стоящие в левых частях равенств, несмотря на то, что в каждой системе осей ху величины и#, Uy и хху свои собственные. Выражения, сохраняющие свои значения при изменении входящих в йих элементов, происходящем с изменением некоторого фактора, например при изменении системы координатных осей, называются инвариантами; этот термин подчеркивает неизменность (инвариантность) величины по отношение к соответствующему фактору (в нашем случае по отношению к системе координатных осей). Левые части равенств (5.40) являются соответственно первым и вторым инвариантами плоского напряженного состояния в точке; правые части показывают, чему равны эти инварианты.

Определение максимальных касательных напряженийи направляющих косинусов нормалей

к площадкам их действия

Пусть йам известны главные площадки в точке 6 напряженного тела. Свяжем с телом систелу координат xyz9 расположив начало в точке С и направив оси перпендикулярно главным площадкам (ось г — перпендикулярно площадке с нулевым главным напряжением). Теперь проведем через эту же точку тела произвольно площадку с нормалью V, направляющие косинусы которой в системе осей хуг суть I, т9 п (п — 0 ——площадка нормальна главной с нулевым напряжением). Полное напряжение на этой площадке pv, а нормальная и касательная его составляющие суть av м tv. Найдем такую ориентацию этой площадки (т. е. найдем такие / и т), при которой tv достигает своего максимума. С этой целью составим выражение для tv в функции от / и /тг. Так как вектор полного напряжения pv равен геометрической сумме составляющих av и tv, для tv имеем формулу на основании теоремы Пифагора:

K = pJ —哦.(5.41)

Для и и； имеем формулы

Pv = Р% + РЗ，片= 9/2 + %加2户・(5.42)

Первая из формул (5.42) вытекает из того факта, что вектор р、 есть геометрическая сумма векторов pvx и pvy, а вторая получена на основании (5.6) с учетом того, что

% = Xyg = %gx н 0

(площадка, перпендикулярная оси г, — главная с нулевым напряжением) и, кроме того,

(так как площадки, перпендикулярные осям х и у,——главные). Составляющие полного напряжения pvx и pVy выражаются формулами (5.14), которые в нашем случае (тХу = т^ = 0) приобретают вид

Ov# = и/ Рву = и^т.(5.43)

Подставляя (5.43) в первую из формул (5.42), а затем (5.42) s (5.41), получим

代=近/2 +U訴2 - (u/2 + % 加 2)2.(5.44)

Будем считать, что ось % направлена перпендикулярно главной площадке с напряжением 仃卜 а ось у — с напряжением 。口； тогда % = 6 и Uy = uii・(5.45)

Так как в главе II было отмечено, что всегда полагаем tv ^ 0, можно вместо отыскания экстремума функции tv искать экстремум

функции Tv； оба имеют место при одних и тех же / и /п. Учтем, что /нт удовлетворяют условию

户+话=].

Вследствие этого исключим из (5.44) один из направляющих косинусов, например т, выразив его через /:

加2 = 1 — 尸.(5.46)

Подставляя (5.46) в (5.44) и учитывая (5.45), получим

負=(5 — 吟)/2 + 5i — [(Ui — SI)/2 + S1]2.(5.47)

Далее следуем классической схеме отыскания экстремума функции: 才=0, 2/ {(ст? — oh) — 2 (и[ — Ou) [(s — Ui[) /2 + и”]} = 0. (5.48)

Из двух уравнений

(5.49)(5.49)/ = 0,

(5.49)

(5.49)

of — о£ - 2 (и〕一 Ou) [g — о”) /2 +(уп] = 0, порождаемых уравнениями (5.48), воспользуемся вторым, так как первому соответствует площадка, перпендикулярная оси х, которая, являясь главной, содержит не максимальное, а минимальное, равное нулю, касательное напряжение.

Из второго уравнения (5.49) имеем

(6 — ап) {(⑴ +si) — 2 [(5 — ап) /2 + ^п]} = 0.(5.50)

Будем считать, что рассматривается общий случай, при котором 5 ¥=5i(5.51)

(случай 6 = ин рассмотрим самостоятельно). В силу (5.51) можно сократить (5.50) на(5 — ин); тогда получаем

(S — 5» — 2 (б — стп) А = 0,или, учитывая (5.51),1—2户=0,

откуда, имея в виду (5.46),

или]- ] }(5.52)

，2，/2 J

Четырем комбинациям:

711,]I 1

/2 */2/2，卜2‘

/2 '/2 '/2 '/2 '

соответствуют четыре нормали, но по две из них относится к одной н той же площадке (рис. 5.10). Поэтому всего площадок с макси

Рис. 5.10. Следы площадок с макси маль* ным касательным напряжением.Рис. 5.10. Следы площадок с макси маль* ным касательным напряжением.мальным касательным напряжением две (площадка, изображенная на рис. 5.10, а и 5.10, & одна и та же; площадка, изображенная на рис. 5.10, б и 5.10, а, также одна и та же).

Рис. 5.10. Следы площадок с макси маль* ным касательным напряжением.

Рис. 5.10. Следы площадок с макси маль* ным касательным напряжением.

Теперь нетрудно найти сам максимум функции т《,а следовательно, и функции %, воспользовавшись формулами (5.47) и (5.52):

gmax =马里+时一

一卜5 —G1/ + 5 J =

2o；+2o；[ —of —2О[Он—о；]

ИЛИ

—G[ —SI Tv max = 1 2.

Итак, в случае плоского напряженного состояния из числа площадок, перпендикулярных главной площадке с нулевым напряжением, в двух — касательная составляющая полного напряжения достигает максимальной величины, равной половине разности главных напряжений 5 и оц. Эти площадки делят двугранные углы между главными площадками с нап-

ряжениями О[ и ац пополам. Случаю равенства о【и ац со-

"ответствуют нулевые касательные напряжения на всех площадках. Эллипс полных напряже* нин превращается в круг, и все площадки являются главными.

Графический анализплоского напряженного состояния в точке

Анализ напряженного состояния в точке в напряженного состояния можно выполнить и помощи так называемой окружности напряжений (круг Мора 1)). Для этого графического построения и только д л. я него введем особое правило знаков для касательной составляющей напряжения, показанное на рис. 5.11. Согласно этому правилу касательное напряжение положительно, если для совмещения с его направлением внешнюю нормаль необходимо повернуть на 90° по ходу часовой стрелки, и отрицательно, если ——против хода часовой стрелки. Закон парности касательных напряжений при таком правиле приобретает вид

^ху =

Будем исходить из зависимостей (5.20). Согласно отмеченному выше правилу знаков, касательное напряжение, изображенное на наклонной площадке на рис. 5.8, а, отрицательно, вследствие чего последнее уравнение вается 2) с учетом этого знака:

u* = S cos2a +(yII sin2a,

Oy — aj sin2a + an cos2a,

Of [ — 01

случае плоскогослучае плоскогоной составляющейной составляющейнапряжения, принятое при построении и использовании окружности напряжений; / — внешняя нормаль к площадке.напряжения, принятое при построении и использовании окружности напряжений; / — внешняя нормаль к площадке.в (5.20) записы-в (5.20) записы-(5.53)(5.53)—% = “ = —2— Sin2a.

случае плоского

случае плоского

ной составляющей

ной составляющей

напряжения, принятое при построении и использовании окружности напряжений; / — внешняя нормаль к площадке.

напряжения, принятое при построении и использовании окружности напряжений; / — внешняя нормаль к площадке.

в (5.20) записы-

в (5.20) записы-

(5.53)

(5.53)

Учтем тригонометрические формулы

2 sin a cos a == sin 2a, cos2 a = ^i^~^, sin2 a =丄二壊叫；(5.54)

тогда формулы (5.53) приобретают вид

屮 + 中 cos 2a,

。尸吗泣一写也…,

•(5.55)

^xy = — Tg・=—9— Sin 2a.

i) Otto Mop (Otto Mohr, 1835—1918) — немецкий инженер, ученый-механик и педагог.

2) Напомним, что зависимости (5.20) получены из зависимостей (5.18) и (5.19) при учете замены в обозиачеииях: I, gf II; хг х, 弘-> д. Вот почему %i“ изображенное на рис. 5.8, а, на основе которого выводились зависимости (5.18) и (5.19), в формуле (5.20) обозначено 工留.

Рис. 5.13. Окружность напряжений: а) случай ffj == ^i，^Ш = стг = 0> ^П = ^з： б) слуЧЗЙ СТ j -*—。£, о11 ^= Oj, о 11 [ — (Г[ —- 0♦Рис. 5.13. Окружность напряжений: а) случай ffj == ^i，^Ш = стг = 0> ^П = ^з： б) слуЧЗЙ СТ j -*—。£, о11 ^= Oj, о 11 [ — (Г[ —- 0♦

Рис. 5.13. Окружность напряжений: а) случай ffj == ^i，^Ш = стг = 0> ^П = ^з： б) слу

ЧЗЙ СТ j -*—。£, о11 ^= Oj, о 11 [ — (Г[ —- 0♦

Рис. 5.13. Окружность напряжений: а) случай ffj == ^i，^Ш = стг = 0> ^П = ^з： б) слу

ЧЗЙ СТ j -*—。£, о11 ^= Oj, о 11 [ — (Г[ —- 0♦

Нетрудно видеть, что если величины нормальной и касательной составляющих напряжения, действующего на некоторой площадке, проходящей через точку С напряженного тела, принять в качестве

системе осей ат, то зависимостям (5.53) будет соответствовать окружность (рис. 5.12). На рис. 5.12 изображен случай 5 = 5,51 = % и 5н 口 0. На рис. 5.13, а и 5.13, 6 показана окружность напряжений в двух других случаях: 6 = ом = 0, и” =F； 5и =。，6 = g и ин =必.

Окружность, показанная на рис. 5.12, является геометрическим местом точек, координаты которых численно равны нормальной и касательной составляющим напряжений, действующих на площадках, проходящих через точку С напряженного тела, перпендикулярно площадке с нулевым главным напряжением. Так, точка ^x соот

ветствует площадке с нормалью %, точка Ny — площадке с нормалью ，，^1 ——главной площадке с и】，а ^2 — главной площадке в о2. Рис. 5.12 показывает> как строить окружность напряжений по

известным главным напряжениям и как, пользуясь ею, находить составляющие напряжения, действующего на произвольной площадке.

Остановимся теперь на построении окружности напряжений в том случае, когда заданы компоненты напряжений о^, oyt 工吋 в некоторой произвольной (не главной) системе осей ху.

Точки на окружности, как это видно из приведенного выше построения, лежат по концам дуги с центральным углом, равным удвоенному углу между нормалями к соответствующим площадкам (рис. 5.14). Поэтому, если нормали к площадкам, или, то же самое, сами площадки взаимно перпендикулярны, то им соответствуют

Рис, 5.14. К установлению связи между взаимным наклоном площадок н расположением соответствующих нм точек на окружности напряжении.

точки на окружности, дуга между которыми опирается на центральный угол, равный я. Иными словами, такие точки лежат на концах диаметра окружности. Так, в частности, обстоит дело с площадками, нормалями к которым являются оси х и у (рис. 5.15). Пользуясь отмеченным фактом, находим точки 2% и 2), по координатам

Рис. 5.15. К построению окружности напряжений по компонентам напряжений в произвольной снстеме осей: а) элемент тела и компоненты напряжения; б) окружность па'пряжений

соответственно и*, ^ху и %, “. На отрезке между ^^ и Nyt как на диаметре, строим окружность.

Теперь поясним, как можно найти напряжение на любой площадке, нормаль к которой составляет угол а с осью х (х не является нормалью к главной площадке). Для решения поставленной задачи строим на окружности некоторую полюсную точку Кху с координа-

тами Оу и хху (рис. 5.16). Эта точка обладает особым свойством. Если провести через Кху луч v под углом а к оси о, то он пересечет окружность в точке Nv. Координаты этой точки равны по величине нормальной и касательной составляющим напряжения, действующего на площадке, перпендикулярной лучу. Докажем справедливость сделанного утверждения.

Формулы (5.18), если учесть, во-первых, (5.54), во-вторых, то, что V совмещено с 尤工,и, в-третьих, принятое правило знаков для

Рис. 5.16. Определение составляющих напряжений по окружности Мора путем использования полюса.

касательного напряжения (по этому правилу на рис. 5.8, a tv — =%】如 V 0), можно представить так:

% = — t — + cos 2a - %ху sin 2а, d

:i>(5・56)

,—tv = yy~sin 2a — ixy cos 2a, J

С другой стороны (рйс. 5.16),

ОМ = О® +。跳=外广-I-Rcos (2a + ₽)=-

=°W°"十 R cos 2a cos В — R sin 2a sin p,

Rcos0= %2 *\ RsinB = “，

ONv = ^^ + cos 2a - тху sin 2a,(5.57)

^v^v 匸 R sin (2a + B) = R sin 2a cos 卩 + R cos 2a sin p,

NM = “"广 sin 2a + %y cos 2a.(5.58)

Рис. 5.17. Примеры анализа напряженного состояния при помощи окружности Мор笛 а) отыскание угла ^Чтах' составляемого осью х с нормалью к площадке g макснмаль* ной касательной составляющей напряжения; 6) отыскание угла а*, составляемого осью х с нормалью к главной площадке, на которой действует напряженfce 。仆 в) отыскание угла аг, составляемого осью * в нормалью к главной площадке, на которой действует напряжение о3; е) построение векторных диаграмм для нормальной и касательной состав- ляющнх полного напряжения (величина составляющей напряжения в вндс вектора от» кладывается вдоль нормали к алощадке).

Сопоставление (5.57) с первой из формул (5.56) и (5.58) со второй из формул (5.56) показывает, что

ON% = и、, NvNv = tv. ■

Пользуясь свойством полюса Kq, легко разрешить ряд задач 】). На рис. 5.17 показано такое решение.

Линейное напряженное состояние

Линейное напряженное состояние в точке возникает в двух случаях: либо в отдельных точках пространственно или плоско напряженного тела при условии, что в этих точках два из трех главных напряжений равны нулю (仇=# 0, а2 = а3 = 0 или ^ — а2 = 0, ◎з=й=°), либо во всех точках тела в случае однородного напряженного его состояния, которое можно представить как равномерное, одинаковое по величине во всех точках растяжение или сжатие в параллельных для всех точек направлениях.

Компоненты напряжений при линейном напряженном состоянии в произвольной системе осей могут быть выражены через главные напряжения формулами, полученными из (5.20) как частный случай (рис. 5.18). Мыслимы такие варианты: s = ах =/= 0, оц = =% = 0, с^щ = Од = 0 и 5 = 5 = 0, 511 = U2 = 0, 5i = =S =/： 0. Во всех нижеприводимых формулах имеется в виду первый вариант. Перейти от него ко второму варианту не представляет никакого труда. Итак, из (5.20) в рассматриваемом частном случае имеем■

g* = 5 cos2 а, % = 5 sin2 а,七*尸 ——у- sin 2а.

Ha рис. 5.18 эти компоненты показаны положительными. Знак минус в формуле для тху указывает на то, что этот компонент на самом деле имеет направление, противоположное изображенному на рис. 5.18, а. Компоненты напряжения на любой наклонной площадке, нормаль к которой v составляет с осью х угол «! (рис. 5.18, 6), выражаются такими же формулами, как (5.18), только вместо индекса %] надо иметь в виду v и вместо а — угол а「

丄)Условия задачи, решенной на рио. 6.17, а: зная ох и %ху, найти угол Оттах, составляемый с осью х нормалью к площадке с максимальным касательным напряжением.

Условие задачи, решенной на рис. 5.17, б: зная о* и %勿 найти угол %, составляемый с осью х нормалью к главной площадке с главным напряжением 0丄.

Условие задачи, решенной на рис. 5.17,61 зная а# и т*у, иайти угол 專，составляемый с осью х нормалью к главной площадке с главным напряжением о2.

Условие задачи, решенной на рис. 5.17, а: зная а* и %炉 построить кривые, являющиеся геометрическим местом точек концов отрезков, откладываемых вдоль нормалей к площадкам и равных подлине нормальной и касательной состав» ляющим полного напряжения.

Преобразование компонентов напряжений при повороте системы координатных осей на угол cq (рис. 5.18, в) осуществляется по

Рис. 5.18. Линейное напряженное «©стояние： а) к определению компонентов напряжений в произвольной системе осей по главным напряжениям; 6) к определению составляющих напряжения на произвольной площадке по компонентам напряжений; в) к завис» мост и между компонентами напряжений в двух системах осей, повернутых одна относительно другой; 2) площадка с максимальным касательным напряжением； 3) окружность напряи<ений яри одноосном растяжении; е) окружность напряжений при одноосном сжатии

формулам (5.18) и (5.19), как и при плоском напряженном состоянии (вместо а надо иметь в виду %).

Максимальные касательные напряжения возникают на площадках, нормаль к которым составляет ±45° с направлением 力

(рис. 5.18, г). На рис. 5.18, г показано действительное направление касательного напряжения. Окружность напряжений в случае линейного напряженного состояния имеет в(ид, показанный на рис. 5.18, д и 5.18, е.

Дифференциальные уравнения равновесияи статические граничные условия

В § 5.2 из условий равновесия элементарного параллелепипеда, вырезанного из напряженного тела в окрестности произвольной точки С (рис. 5.1, а), были составлены три из шести уравнений, а именно равенства нулю сумм моментов всех сил, действующих на параллелепипед, относительно трех некомпланарных осей. В результате было получено три зависимости (5.1), выражающие аналитически закон парности касательных напряжений. Составим остальные три уравнения равновесия элементарного параллелепипеда — равенства нулю сумм проекций всех сил, действующих на параллелепипед, на три некомпланарные оси.

Составим первое уравнение равновесия (равенство нулю суммы проекций на ось х всех сил, действующих на параллелепипед):

—oxdy dz + (ол + 芻 d*) dy dz — ryxdz dx +—oxdy dz + (ол + 芻 d*) dy dz — ryxdz dx +++•^^ dg) dz dx - “dx dy + [x2X + ^~ dz^ dx dy +•^^ dg) dz dx - “dx dy + [x2X + ^~ dz^ dx dy +

—oxdy dz + (ол + 芻 d*) dy dz — ryxdz dx +

—oxdy dz + (ол + 芻 d*) dy dz — ryxdz dx +

+

+

•^^ dg) dz dx - “dx dy + [x2X + ^~ dz^ dx dy +

•^^ dg) dz dx - “dx dy + [x2X + ^~ dz^ dx dy +

,+ X dxdydz = 0. и деля оставшиеся,+ X dxdydz = 0. и деля оставшиеся(5.59) 2(5.59)з(5.59) 2(5.59)з

,+ X dxdydz = 0. и деля оставшиеся

,+ X dxdydz = 0. и деля оставшиеся

(5.59) 2

(5.59)з

(5.59) 2

(5.59)з

Производя взаимное уничтожение ряда членов после этого члены на dxdydz, получим

(5.59%

Аналогично составляются еще два уравнения равновесия (равенство нулю сумм проекций всех сил, приложенных к элементарному параллелепипеду, на оси 〃 и z):

дтхи ' do”дх ду dz'

禁+警+罄+ z = o.

Уравнения системы (5.59) могут быть получены одно из другого путем циклической перестановки букв:

4

2^-——у

X/\Z—У

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 411 Такая циклическая перестановка букв в дальнейшей будет обозначаться символом (xyz), (XYZ). Дифференциальные уравнения равновесия справедливы для каждого параллелепипеда, на которые разбито тело, следовательно, они выражают условия равновесия всего тела. Учитывая (5.1), приходим к выводу, что в трех дифференциальных уравнениях равновесия (5.59) содержится не девять, а шесть неизвестных функций. >

Из трех дифференциальных уравнений равновесия (уравнений статики) найти шесть неизвестных функций не представляется возможным. Имея в виду, что системы, в которых усилия или напряжения не могут быть найдены из одних уравнений статики, называются статически неопределимыми, приходим к выводу, что напряжения в сплошной среде (за исключением так называемых простейших задач, о которых говорится в главе IX) статически неопределимы. Для выяснения картины распределения напряжений в теле приходится кроме уравнений статики использовать и так называемые уравнения совместности деформаций (см. гл. VI). Граничными условиями для функций, входящих в уравнения (5.59), являются (5.4), если при этом иметь в виду, что наклоненная грань тетраэдра —элемент поверхности тела н, таким образом, ру представляет собой интенсивность поверхностной нагрузки, а %*, pvy и pvz —■■ ее составляющие в осях%, у, z. Такие граничные условия, при которых на поверхности тела заданы силы, называются статическими. Могут быть и другие формы задания граничных условий, на которых здесь не останавливаемся. Таким образом, функции g*, %, о?, тху> %z, ^zx должны удовлетворять уравнениям (5.59) во всей области, занятой телом； и, кроме того, удовлетворять условиям (5.4) на поверхности тела (на границе области).

Анализ пространственного напряженного состоянияв точке

Вводные замечания. Анализ пространственного напряженного состояния в точке (все три главных напряжения отличны от нуля) выполняется совершенно аналогично анализу плоского напряженного состояния. Поэтому можно, не приводя всех выкладок, дать лишь окончательные результаты. Изучающему курс рекомендуется выполнить все необходимые выкладки (аналогичные приведенным для плоского напряженного состояния) самостоятельно. Здесь же приведем и некоторые иллюстрации, относящиеся к изложенному выше материалу и не вошедшие в предыдущее изложение.

Частные случаи квадрики Коши. На рис. 5.19 показаны характерные случаи пространственного, плоского и линейного напряженных состояний и соответствующие им квадрики Коши.

办办

办

办

面

Рис. 5.19. Поверхности Коши! а) трехосное сжатие (растяжение); б) растяжение (сжатие) в двух направлениях н сжатие (растяжение) в третьем; в) двухосное растяжение (сжатие); е) двухосное напряженное состояние — растяжение (сжатие) вдоль одного направления и сжатие (растяжение) вдоль другого; d) одноосное растяжение (сжатие).

Формулы преобразования компонентов напряжений при повороте системы координатных осей. Даны матрицы:

В первой из этих матриц приведены компоненты напряжений в системе осей xyzt а_во второй ——направляющие косинусы осей хъ уи

召 в системе осей xyz. Требуется найти компоненты напряжений в системе осей Xi%?/

Z"尤1

Искомые формулы выводятся аналогично формулам (5.18) и имеют внд 1)

0打=0/； + %m；+ %% + 23加1 + 2t“7ti%i + 2мхМ 必,

工尤也以厶/2十。//"1团2 + %〃1%2 + Gy (4^2 +为^1) +

+力2 (加1%2 +团2%)十tzx (%厶+几2人).

(5.18*)

формулы (5.18*) преобразования компонентов при изменении системы координатных осей являются определяющими понятие симметричного тензора второго ранга (см. Дополнение).

4. Определение главных напряжений и ориентации главных

площадок. Даны матрицы:

厶恤 为加2 %现3

勺

«2

汽3

В первой из этих матриц приведены компоненты напряжений в системе осей xyz, а во второй ——направляющие косинусы нормалей к главным площадкам в системе осей xyz. Требуется найти главные напряжения о〕，02 H 仃3・ Искомые главные напряжения находятся как корни кубического уравнения

Sr — ОТ" %*

Ьт/Gy — G “ =0,

^xz ^yz“一О

(5.24*)

которое в развернутой форме записывается так:

炉-(0Л-+ ％ + ог)炉 + (*〜+ ％% + %% - ^ху — T；z -T4) G -

一(分办/ + ^xyXyz%zx 一 程T力一 G户4 - "貪力= 0. (5.25*)

Корни уравнения (5.25*) суть ^, a2, a3 (^i ^ 仃2 H Оз)・ Направляющие косинусы нормали к площадке с главным напряжением ok находятся по формулам

!/1+*+広'・й^Шt "'=/1+碗+庙;(5,32*)

i) Номера формул со звездочками относятся к пространственному напряженному состоянию; эти формулы аналогичны соответствующим* формулам, обозначенным теми же номерами, но без звездочек и справедливым для плоского напря- ■женного состояния.

величины。力=lk/nk н b^ =团内/总々 находятся из системы уравнений (% 一0自)次 + %*玩 + 吃* = 0, .

工*心厶 + (% — oQ bk + xzu = 0,(5.30*)

%2。厶 + %z瓦 + (% - o&) = 0..

Инварианты напряженного состояния в точке. Сопоставляя (5.25*) с другой формой записи того же кубического уравнения (имеющего те же корни 5, % и 6)：

(о — G0 (с — •)(о — Оз) — 0 или

炉-(% + & + 5)(У2 +(56 +(у2(у3 + Озб) о — 0155 = о, убеждаемся в инвариантности коэффициентов в (5.25*) по отношению к системе координатных осей, т. е.

% + о» + °z = °\ + S + Оз = А (То),

%о» + ^y^z + О«х —噴g — Cz T 久 ~

”办+ а/з + Озб =厶(丁就(5.40*)

^х^у^z + 21TxgTg2Tz* — ^x^yz 一 ^y^zx — -0小大=0102备口/3(7)

Заметим, что инварианты (5.40*) являются простейшими симметрическими функциями аргументов о】,仃2 и 03 (симметрическими потому, что вид их не изменяется при замене одного аргумента на другой; простейшими потому, что каждый аргумент (из числа и】， 仃2, Оз) входит в них лишь в первой степени).

Наиболее общими симметрическими формами первой, второй и третьей степени являются

®1 = 711,虱=T21 + a722,®； = 731 + 0732 + Y733,

где

Тц = /1? Т 2兔=12> Тзз = /з, 「21 = °7 + О$ + О；，丁31 = О； + °1 + С» Т32 = 0田2 + 0須3 + 501 + 60» + 仃2 吗 + Оз5・

В 7“ первый индекс показывает степень членов,, входящих в Т小 а второй — число разных аргументов в каждом из членов. Между 0Н 02 и 03, с одной стороны, и оь а2 и a3t с другой, при некоторых условиях, накладываемых на а, Р и у, существует взаимно одно» значное соответствие. Вследствие этого оказывается, что @1, 02 и 03 являются наиболее общими инвариантами тензора напряжений. Существование отмеченного выше взаимно однозначного

соответствия нетрудно доказать. Можно показать, что

0 = 3д,©2 ~ . / ■- ^2»仇=厶3，

I 2 где '■.

Oq = В 91 + 6 + Оз ),

A2 = ")/"扌[(01 - °0) + (02 - 6))2 + (。3 - 00)?],厶3 = ]/g-【(5 — б))' + 付2 — 仇尸 + (。3 — CT0)]*

Таким образом, напряженное состояние в точке можно полностью описать, имея среднее (гидростатическое) напряжение и средние квадратичное и кубическое уклонения тензора напряжения от среднего (гидростатического) напряжения, т. е. имея соответственно а0, А? и △$，поскольку, как уже отмечалось, имея Qlt 02 и 6з, можно найти 5, а2 н 亠

Максимальные касательные напряжения и площадки их действия. Как и в§5.12, находим выражение для т^ на произвольной площадке с нормалью v:

*4 = (о； - о；) А +(5 — 6；)团2 + 5； —

—[(°1 — °3)В + (仃2 — %)加2 + Оз]?- (5.47*) Предполагается, что /, m и п —— косинусы углов, - составляемых v с направлениями “，а2 и 仿 соответственно; косинус п при помощи зависимости Р 4- /тг2 + п2 = 1 из формулы для Tv исключается, в результате чего и получена формула (5.47*). Условия экстремальности т^

а (喲 ° а(“

.в развернутой форме имеют вид

(5.48*)(5.48*)2/ {((У； — О；) — 2(0] —。3)[(5 — %) /2 + (仃2 — Оз)能2 + %]} = О, 2m {(о；—优)一 2 他-S) [(J — ％)拦 +(S - Оз)团2 + а3]} = О,

(5.48*)

(5.48*)

что эквивалентно четырем следующим комбинациям равенств:

/ = 0 и /и = 0;

этому случаю соответствует главная площадка с напряжением о3, на которой действует не максимальное, а минимальное касательное напряжение, равное нулю;

этой комбинации равенств соответствует частный случай 5 = о2» его проанализируем ниже самостоятельно;

3) / = 0 и {(а| — Од) — 2 (о2 — 5)【(°i 一 ％)/2 + (& —仃3)卢 +

+ S" =。； (5.49*)i

-4) /и = 0 и {(о； — о；) — 2 (о】一 Оз) [ (s — Оз)/* +(6 — ^з)团2 +

+ о"} = 0・ (5.49*)毋

Если бы из формулы для т^ был исключен не и, как это сделано при получении формулы (5.47*), а другой направляющий косинус, например /и, то, аналогично комбинациям равенств 3) и 4) (формулы (5.49*)1 и (5.49*)з), получили бы еще две комбинации равенств:

5) / = 0 и {9；一5) - 2(5 - S) [(" 一 5)及 + 93 一 g)紋十

+5]} = 0;

6)几=0 и {(5 -g) -2(% - 02)[(5 - 02)於 + (% — 02)紋 +

+ 仇]} = 0.

Из комбинаций равенств 3),. 4) и 6) соответственно находим направляющие косинусы нормалей к трем парам площадок, по которым действуют максимальные напряжения. Комбинация равенств 5) не дает новых значений для I, т и nf отличных от уже найденных.. Аналогично не дают новых значений для lt т и п п такие

Таблица 5.1

Направляюи^ие косинусы нормали к площадке с экстремальным значением касательного напряжения в системе главных осей

Величина составляющей напряжения, действующего hq площадке

/1 m

касательной

нормальной

В S J d

Е U X В

+

1

0

0

0

± 1

0

±

0

0

1

0

0

0

6

и碧

OJ •

в d х к

0

±/1

/I

Т]=

& — Од 2

°2 + °3 2

± J

G

0

±J

/

тп =

中

Оз + б 2

±1

q

0

ТП1

u1一02 2

2

комбинации равенств, которые соответствуют случаю, когда из выражения для 工3 исключен направляющий косинус /. Сами величины максимальных касательных напряжений получаются путем подстановки в формулу для Tv соответствующих значений I, т и п

Рис. Б.20. Площадки с максимальными касательными напряжениями： а) две площадки, проходящие через первую главную ось; 6) две площадки, проходящие через вторую главную ось； в) две площадки, проходящие через третью главную ось; а) площадка внутри тела; d) два варианта отбрасывания части тела, расположенной по одну сторону от площадки. В приводимых ниже выражениях направляющие косинусы иормале4 показаны в круглых скобках： [vx(Z » 0, m -： V 1/2> n = V 1/2)» vj(Z ~ 0, m = — У1/2, л = — VT75)； va(Z = 0, m = V1/2» /t = —• V1/2), v^(Z = 0, m = — У1/2» n = VI/2)1V3(Z = V1/2, m = 0.

а].Fа].Fп = /172). _у.' (/ = -/172,七 0, n = — VT/2)\ v4 (/ 二工该，m = v： (/ = — M1/2,tn = 0, п = Y 1/2)； vb (l ==Y 1/2, m =丿 1/2, n = 0),

а].F

а].F

m = — У1/2, n = 0)； ve (/ —1^1/2)m = — V^I/2> n = 0), Ve (/ = — V1/2» m =

и последующего извлечения корня квадратного. В табл. 5.1 приведены направляющие косинусы нормалей ко всем трем парам площадок, величины максимальных касательных напряжений и нормальных составляющих напряжений, действующих на этих площадках, Последние определяются по формуле (5.6). В этой же таблице показаны и площадки с минимальными — нулевыми касательными напряжениями, т. е. главные площадки. На рис. 5.20 изображены площадки с максимальными касательными напряжениями.

А. П. Филии

Теперь рассмотрим случай О] = % > % (цилиндрическое напряженное состояние); при этом оба равенства в комбинации 2) получаются одинаковыми:

{(5 — О；) — 2 91 — %)【91 — Оз)户 +(5 — 仃3)办 + Оз]} = 0.

Отсюда, после двухкратного сокращения на q — s, получаем

/2 + 疗=%,，(5.60)

а следовательно, и“

紋= %•、(5.61)

Условиям (5.60) соответствуют нормали ко всем площадкам, касающимся конуса, изображенного на рис. 5.21, а. Величина касательного напряжения на всех указанных площадках оказывается равной

Рис. 6.21. Конусы, касательно к которым располагаются площадки с максимальным касательным напряжением в случае, если два из трех главных напряжений одинаковы: а) случай 01 = о« > 0з； 6) случай а】> о* = а8.Рис. 6.21. Конусы, касательно к которым располагаются площадки с максимальным касательным напряжением в случае, если два из трех главных напряжений одинаковы: а) случай 01 = о« > 0з； 6) случай а】> о* = а8.

Рис. 6.21. Конусы, касательно к которым располагаются площадки с максимальным касательным напряжением в случае, если два из трех главных напряжений одинаковы: а) случай 01 = о« > 0з； 6) случай а】> о* = а8.

Рис. 6.21. Конусы, касательно к которым располагаются площадки с максимальным касательным напряжением в случае, если два из трех главных напряжений одинаковы: а) случай 01 = о« > 0з； 6) случай а】> о* = а8.

“)(5 — Оз), что легко установить, подставив (5.60) и (5.61) в формулу ДЛЯ Tv：

Tv = o；G + Km? + 5炉一【о"? + 02m2 + %叫°,(5.44*)

и учтя, что 5 = 5・

Аналогично, при о^ > о? = Оз имеется бесконечное число площадок с касатёльными напряжениями (42) (^ — а3). Все эти площадки касаются конуса, показанного на рис. 5.21, 6.

В случае 仇=» % =内(сферическое напряженное состояние) касательные напряжения на любой из площадок, проходящих через рассматриваемую точку напряженного тела, рав血 нулю, так как комбинация равенств 2) удовлетворяется при любых 厶 /пили (5.44*) приобретает вид

小—5 (/2 + М + 喲—[5 (/2 + 加2 + 紋)『=о； — oj = 0・

Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор.

Тензор напряжений TG можно представить в виде двух слагаемых:

= T7 + Do=a + Ds (5.62)

где I ——единичный тензор третьего порядка:,

1 о 011

.1=010,о。|||

% — среднее гидростатическое давление в точке, 5*Нох -5b Sg = Op -5方 必=内一仇・

Первое слагаемое, Т(}, называется шаровым тензором напряжен ний (поверхность Коши для него ——сферическая); второе слагаемое» Da, называется девиатором напряжений- Пример разложения тензора напряжений на шаровой и девиатор показан на рис. 5.22.

Рис. 5.22. Пример разложения гензора напряжений на 【иаровоС тензор н цевиатор{ все напряжения указаны ₽ кГ/'см2.Рис. 5.22. Пример разложения гензора напряжений на 【иаровоС тензор н цевиатор{ все напряжения указаны ₽ кГ/'см2.

Рис. 5.22. Пример разложения гензора напряжений на 【иаровоС тензор н цевиатор{ все напряжения указаны ₽ кГ/'см2.

Рис. 5.22. Пример разложения гензора напряжений на 【иаровоС тензор н цевиатор{ все напряжения указаны ₽ кГ/'см2.

Нетрудно показать, что поверхность Коши для девиатора представляет собой совокупность конуса и однополостного и двухполостного гиперболоидов. Эта совокупность называется гиперболоидом напряжений.-■..

Особенностью девиатора является равенство нулю первого его инварианта (суммы диагональных элементов). Вследствие этого кубическое уравнение для отыскания главных значений диагональных компонентов девиатора (slt s2, s3) изображается так:

S3 — /2 (Da) s 一 /з (Da) = 0.

Формулы для /2 (DJ и /3 (DJ имеют вид

/2 (D。)=一(SxSy + Sy% + %S* -T力一京一电=-(&$2 + S岛 + S3$1),‘3 (D(j) = S*Sy£z + 2T1Vgltу*%* — ^x^yz 一 5“菽一S小iy = S^SgSg；

они получены путем формального перехода по аналогии от формул (б.40*)2,з； только в первом случае знак изменен на противоположный. Можно показать, что главные направления девиатора и* тензора напряжений совпадают, при этом

〃匸 ％ + %(А= 1, 2, 3).(5.63)

Докажем, что /2 (DJ > 0. Действительно, подставляя в /2 (Da) вместо 玩,s2 и % их выражения через %, ст21 а3и о。= g (о工 + S 十 S), получим

厶①。)=- @ -吐時tt 佃_Ei±!±冃+

+(色_纟士号士用 卜3 - 2i±廿1) +

ог + а2 + <^з033；-

после выполнения простых очевидных преобразований находим формулу

，2 (D(y) = -g- [91 一 S)2 + (仃2 — S)2 + 9з — °1)2],

из которой с очевидностью следует, что /2 (Da) > 0.

Приведенное выше кубическое уравнение относительно s может быть решено в общем виде:

51n р^ «厶①。)COS (% — у^ , S2 = р^г У/2 (Do) COS (①仃 + 学),

при этомпри этом53 =一言 /万历 COS ①。；53 =一言 /万历 COS ①。；(5.64)(5.64)—cos Зсоа =—cos Зсоа =3UW /3仇)2 (+]/??砌3 •3UW /3仇)2 (+]/??砌3 •

при этом

при этом

53 =一言 /万历 COS ①。；

53 =一言 /万历 COS ①。；

(5.64)

(5.64)

—cos Зсоа =

—cos Зсоа =

3UW /3仇)

2 (+]/??砌3 •

3UW /3仇)

2 (+]/??砌3 •

Касательные напряжения на любых площадках, в том числе и площадках, где они достигают экстремума, полностью определяются компонентами девиатора и не зависят от компонентов шарового тензора; так, например,

G =疊产"=一/厶(D(j) sin (①С一部，

(5.64a)(5.64a)^max = Tn = J “ 2 sL | =丿厶(D(j) SIH (% + ^)>

(5.64a)

(5.64a)

Uu = /厶(D。)sin (O。，0 wco。W ^・

Интенсивность касательных напряжений. Интенсивность напряжений. Трактовка, данная В. В. Новожиловым величинам Tf и(off. Октаэдрические площадки и напряжения. Направляющий тензор напряжений. Девиаторная плоскость. ГидрдЬтатическая ось. Величина //2(D(j), выше уже встречавшаяся, называется интенсив^ ностыо касательных напряжений и обозначается символом tz:

q =/厶(DR.

Наряду с г； вводят в рассмотрение величину Gi^^^y 1^ (Da) и называют ее интенсивностью напряжений. И т/ и а； в некотором смысле характеризуют напряженное состояние в точке тела.

Рис. 5.23. К определению интенсивности касательного напряжения: а) напряжения при чистом сдвиге; 6) напряжения при одноосном растяжении.Рис. 5.23. К определению интенсивности касательного напряжения: а) напряжения при чистом сдвиге; 6) напряжения при одноосном растяжении.

Рис. 5.23. К определению интенсивности касательного напряжения: а) напряжения при чистом сдвиге; 6) напряжения при одноосном растяжении.

Рис. 5.23. К определению интенсивности касательного напряжения: а) напряжения при чистом сдвиге; 6) напряжения при одноосном растяжении.

Если О] = т,仇=0, Оз = —т (это напряженное состояние называется чистым сдвигом; рис. 5.23, а), то tf = T, (у/ = ]/Зт. Если 仇，0,仇=S = 0 (рис. 5.23, б), то■

Из формул для rz и ттах получаем

*ах = sinTwRjiTS) •(5.65)

(5.65а)(5.656)(5.65а)(5.656)Имея в виду пределы изменения ①《, находим

(5.65а)

(5.656)

(5.65а)

(5.656)

гшах М3

Можно полагать

Т/ ^^ 1,08tmax == 1,08ти

с погрешностью, не превышающей а 7%.

В. В. Новожилов дал величинам tz и ①仃 следующую трактовку. Он показал, что q пропорциональна среднему значению касатель-

ных напряжений, действующих на поверхности малой сферы, окружающей рассматриваемую точку тела:~

G =為传卜2^0)" при Q->0.

Здесь Q ——площадь сферической поверхности, ограничивающей элемент, k = ]/5/2. Заметим, что В. В. Новожилов полагал k = 1 и тогда получал выражение, отличающееся от /Т^Ьи) постоянным множителем, но именно эту отличающуюся от У/2 (Da) величину называл интенсивностью касательных напряжений.'

Величину s(j В. В. Новожилов связал с отношением ттах/ть

показав, что cos ①。пропорционален этому отношению.

Наряду с заданием напряженного состояния в точке главными

направлениями и главными напряжениями ап а2, а3, можно задать

Рис. 5.24. Элементарный октаэдр; /, 2, 3 — направления нормалей к глапным площадкам.Рис. 5.24. Элементарный октаэдр; /, 2, 3 — направления нормалей к глапным площадкам.чаются из противоположных строенного на главных осяхчаются из противоположных строенного на главных осяхглавные Направления и величины 5H “ и о)ь Действительно, из формул (5.63) и (5.64) ясно, что ”，的 н S выражаются через %, “ и «а.

Рис. 5.24. Элементарный октаэдр; /, 2, 3 — направления нормалей к глапным площадкам.

Рис. 5.24. Элементарный октаэдр; /, 2, 3 — направления нормалей к глапным площадкам.

чаются из противоположных строенного на главных осях

чаются из противоположных строенного на главных осях

Величинам а0 и( может быть дана и такая трактовка. Если через точку напряженного тела провести площадки, равнонаклоненные к главным осям (таких площадок четыре), то нормальной и касательной составляющими напряжения, действующего на такой площадке, являются и^кт = % 工окт н/% 巾 УПО-. мянутые площадки называются октаэдр ическими, так как они полуграней правильного октаэдра, по- (рис. 5.24), когда размеры октаэдра

устремляются к нулю и противоположные грани сливаются.

l^tn=^n = ±l^tn=^n = ±(22 + 加2 + 紋=1),(22 + 加2 + 紋=1),Напряжение (и его составляющие), действующее на октаэдрической площадке, называют октаэдрическим; вот почему а и т имеют индекс《окт》.В сказанном легко убедиться, если учесть, что нормаль к октаэдрической площадке в главных осях имеет следующие направляющие косинусы (см. табл. 5.2):

l^tn=^n = ±

l^tn=^n = ±

(22 + 加2 + 紋=1),

(22 + 加2 + 紋=1),

и воспользоваться формулами (5.6) и (5.44*). Пред^гаем читателю выполнить указанные выкладки.

Можно показать, что угол со, составляемый т0КТ с продолжением в сторону отрицательных значений оси ///, являющейся проекцией на октаэдрическую площадку третьей главной оси, равен

углу сост в вышеприведенных формулах для s^, & и S3. Для доказательства достаточно разложить полное октаэдрическое напряжение рокт на составляющие по главным осям и спроектировать эти составляющие на продолжение оси III в сторону отрицательных значений (рис. 5.25), предварительно определив направляющие

Рис. 5.25. К определению октаэдрических напряжений: а) грань октаэдра в первом октанте; б) проекция главных осей на плоскость грани октаэдра.

косинусы этого направления в главных осях. Далее остается приравнять полученную проекцию выражению т0КТ cos со, найти из этого равенства cos со и, сравнив его с cos соа из формулы (5.64) для S3, убедиться в равенстве ① и (ост. Предлагается читателю выполнить обсуждаемое доказательство. Трактовка а0| Т/ и(0^ как параметров октаэдрического напряжения имеет лишь историческую ценность. Однако эта трактовка все же иногда упоминается в литературе, в связи с чем здесь она и пояснена.

Т а б л и ц а 5.2

1

1

1

z

'+у

m

+ }

1

л

+т

— у

一丄

Частное от деления девиатора напряжений на интенсивность касательных напряжений называют направляющим тензором hq・ пряжений:

瓦=?(5.66)

Формула (5.62) с учетом (5.66) приобретает вид

Tg = Col + TjDg.(5.67)

Направляющим тензор D。назван потому, что он определяет собой направления главных осей. Поверхность Коши, соответствующая ему, называется направляющим гиперболоидом напряжений.

Еще одна геометрическая трактовка величин а0, т； и соа возникает, если ввести пространство главных напряжений и「а2, а3- В этом пространстве можно рассмотреть так называемую девиатор- ную (название ниже поясняется) плоскость:

S + u2 + u3 = °,

проходящую через начало координат и равнонаклоненную к 5, 口2, 口3, вследствие чёго направляющие косинусы нормали к этой плоскости суть

/=〃？ = 〃 =.

УЗ

Очевидно, что орт нормали к девиаторной плоскости равен

V =吉"('+ %+ "

где h, i2 и i3 — орты осей 厶 а2 и а3 соответственно.

Тензору напряжений в пространстве и» о2, о3 можно поставить в соответствие вектор

p = u由+矶+啞.

Проекция этого вектора на нормаль к девиаторной площадке равна (Р‘ V) = Й~ °1 + Й~ °2 + Й~ "'=丿* °1 十^+▲.= ‘品0.

Вектор

S == Siii + Sgi% + S3Ig,

который в пространстве ult а2> &з ставится в соответствие девиатору, лежит в девиаторной плоскости (этим определяется название плоскости), в чем "Нетрудно убедиться, спроектировав S на нормаль к этой плоскости, так как эта проекция равна нулю:

(S, v) = S|# + &台+ м吉= /З^Ц±^ = 0.

Легко показать, что вектор S представляет собой проекцию вектора Р на девиаторную плоскость. Длина вектора S пропорциональна a：_

]S| = 1/'5%

Наконец wo можно трактовать как угол, составляемый вектором S с отрицательной осью З1 (ось З1 — проекция на девиаторную плоскость направления i3). Прямая

5 = 6 = %,

направленная вдоль нормали к девиаторной плоскости, называется гидростатической осью. На этой оси лежат концы векторов, которые поставлены в соответствие всевозможным шаровым тензорам.

Заметим, что если пространство, где располагается октаэдрическая площадка,——это реальное пространство, в котором находится само напряженное тело, то пространство 口⑸内 представляет собой абстрактное пространство.

Круги напряжений (круги О. Мора). Через точку напряженного тела проведем площадку с нормалью v, составляющей с главными осями углы, косинусы которых суть I, тн п. Составляющие полного напряжения pv на этой площадке суть av и ту. Тогда относительно /, m и п можно составить следующую систему уравнений:

а; + G = а?/2 + olm^ + а^и2,'

и* = и“2 + 口加2 + % 孔2, ' (5.68)

1 =g+疗+淤.

Левая часть первого уравнения есть р，а члены правой —— соответственно равны pvx> рЗ，Р%, т. е. в сумме, разумеется, тоже составляют 屛.Вместе с тем в силу того, что оси х, у и z главные, в формулах (5.4) для pvx, pvy и 网？ сохранены лишь члены с нормальными компонентами напряжений (касательные обращаются в нуль), являющимися главными. Наименование осей выбрано так, чтобы Uy = dj, Оу = а2 и о2 = %.

Легко показать, что, решая (5.68) относительно /2, т2 и * получим .

/2T；+9v —G" 9V — Оз)

(5—甸91 —甸'

т^4-fov —o3) (ov~°i)

/и2 -

(5.69)

(02 - °3)(°2 - °1)'

(o3 —ог) (оэ — о2)，丿

Для того чтобы получить согласно (5.69) вещественные значения для /, m и п, а такими они только и могут быть, необходимо, чтобы каждая из величин 尸,团纟 и п2 была положительной. Для обеспечения этого в каждой из формул (5.69) числитель и знаменатель должны быть одинакового знака. Вместе с тем, так как s N % 田 о3, знаки знаменателей известны: первый и третий положительны, второй отрицателен. Следовательно, такие же знаки должны быть и у соответствующих числителей:

+ 9у — S)9v — 口3)N 0,工占 + (% — 5)(% — б) W °,

tJ + (av — aj (av — a2)0. (5.70)

В системе осей avxv (при условии использования в (5.70) знаков равенств) уравнениям (5.70) соответствуют окружности, центры которых лежат на оси абсцисс. При этом окружности проходят через точки с абсциссами:

0%? ^3 仃2, U* U3% = &, О\ = 5O' v —- U1, U v — U 20%? ^3 仃2, U* U3% = &, О\ = 5O' v —- U1, U v — U 2(первая окружность);

0%? ^3 仃2, U* U3

% = &, О\ = 5

O' v —- U1, U v — U 2

0%? ^3 仃2, U* U3

% = &, О\ = 5

O' v —- U1, U v — U 2

(вторая окружность);

(третья окружность).

Учитывая (5.70), убеждаемся, что точки (av» tv) лежат вне. пер

вой и третьей окружностей или н а них и внутри второй окружности или н а ней.

Одновременное удовлетворение всем трем условиям (5.70) мыслимо при расположении точки (av> tv) в заштрихованной области (рис. 5.26) или на ее границах — первой, второй и третьей окружностях. Поскольку, как отмечалось выше, составляющая rv определена лишь по модулю, ниже изображены не полные окружности, а лишь их половины (выше оси uj.

На одну из окружностей

точка попадает в случае, если площадка проходит через одну из главных осей. При этом точка с координатами %, tv лежит на окружности с тем же номером (рис. 5.26), какой имеется и у главной оси, через которую проходит площадка.

Если площадка проходит через две главные оси, то она совпадает с третьей главной площадкой, и, таким образом, rv ~ 0, а Су является главным напряжением, действующим на этой третьей площадке. Точками, соответствующими главным площадкам на диаграмме Мора, являются А, В, С.

Круги, изображенные на рис. 5.26, позволяют получить величины максимальных касательных напряжений и нормальных напряжений, действующих на площадках с максимальными касательными напряжениями; эти величины, разумеется, совпадают с приведенными в табл. 5.1.

Используя круги Мора и зная ориентацию площадки по отношению к главным осям, можно найти составляющие av и tv полного напряжения, действующего на этой площадке.

Из (5.69) находим

9V - 6) 9v - “)+ tv = 9i -出)91 - м)偿•(5.71)

Равенство (5.71) можно представить в виде

(% - ^Ц^了+ 疗=(^Ц^y -0203 + (01 -02)91 -03)/3,

ИЛИ

(% - ^^j + 谪=(^^j^y + (Oi - &) (J - OS) /2. (5.72)

口рн условии переменности av и rv и постоянства l равенство (5.72) представляет собой уравнение окружности, радиус которой

г工="j/" ("2 %) + 9i - s) 91 - 03)信，

а центр находится в точке ОА с координатами av = % (а2 + о3)# tv = 0. Аналогично находятся радиусы еще двух окружностей

Г2 = у"(?32 5) + (а2 - ^3)(а2 -。1) М, % = ^/"(% %) + (% - 6)(% ~а2)^

с центрами соответственно в точках О2 5 = %(S + 仇)，tv = 0) М。3(W = % 91 + и)工* = °).

Координаты точек окружности радиуса 厶 с центром в 5 равны значениям av и 工*, действующих на площадках, проходящих через рассматриваемую точку напряженного тела, при условии, что нормали к этим площадкам составляют с осью х одинаковые углы а = arccos /. Представим конус, ось которого совпадает с х, а угол при вершине, лежащей в рассматриваемой точке тела, равен л ——2a. На площадках, касательных к этому конусу, действуют напряжения с составляющими av и iv, равными координатам точек, лежащих на окружности с радиусом 厶 и центром в точке О「Аналогично, координаты точек окружности с радиусом г2 (“)показывают значения % и q, действующих на площадках, проходящих через рассматриваемую точку напряженного тела, при условии, что нормали к этим площадкам составляют с осью у ⑵ одинаковые углы В = arccos т (у = arccos п). Представим конус, ось которого совпадает с осью у (г), а угол при вершине, лежащей в рассматриваемой точке напряженного тела, равен л ——2|3 (冗一2у). На площадках, касательных к этому конусу, действуют напряжения, составляющие которых % м Ту равны координатам точек, лежащих на окружности с радиусом у (г3) и центром в точке О2 (О3).

Задать ориентацию площадки в любой системе .ортогональных осей — это значит задать значения двух направляющих косинусов нормали к этой площадке; величина третьего направляющего косинуса находится из равенства Z2 +/и直 +/? = 1. Если заданы аи % и а3> а также /* и т* для нормали v к площадке с % н tv, то

отыскание последних осуществляется путем построения пересечения окружностей с радиусами г2 и г2 и центрами & и 02; в формуле для 厶 надо положить / = 产，а в формуле для q — положить т = т*. Действительно, в пересечении окружностей лежит точка с / = /* и m = m*. Из трех радиусов /\, г2 и г3 для отыскания точки (uv, т\) приходится использовать два, и именно те, которые соответствуют двум заданным направляющим косинусам из числа трех 厶 т н 〃，

при помощи кругов Мора в случае пространственного напряженного состояния: а) отыскание точки с координатами о”，т* по известным радиусам 厶，厂纟； 6) графический способ построения г* н с н отыскания точки (%, %)

Длины радиусов могут не вычисляться, а находиться графически. Если заданы 5, а2 и а3 и / = cos а и n = cos у, то построение осуществляется так, как показано на рис. 5.27, б. Для доказательства правомочности построения нужно убедиться в том, что 0Q = ги О3Е = 「з・ Предлагаем читателю выполнить это доказательство.

Имея формулы для гп 与 讨 ％，можно установить ранее доказанное положение о том, что точки (av, rv) занимают заштрихованную на рис. 5.26 область, включая границы. Действительно,

(ri)min!』0 = ^f4 (Гз)тЕ』= ^^, (Qmax !切=0 = | ^^| ・

На рис. 5.28 изображены круги Мора в различных случаях пространственного, плоского и линейного напряженных состояний.

Заметим, что в § 5.13 при графическом анализе плоского напряженного состояния была использована лишь одна окружность Мора — именно та, которой соответствуют площадки, перпендику* лярные площадке с нулевым главным напряжением. На рис. 5.28, 6 для плоского же напряженного состояния изображены все три окружности, вследствие чего имеется возможность рассматривать любые площадки, в том числе н не перпендикулярные к площадке с нулевым главным напряжением.

Рис. 5.28. Характерные случаи расположения кругов Mopaf а) при простраяственяом напряженном состоянии; б) прн плоском напряженном состоянии; б) при линейном напряженном состоянии.

Определение направления tv при помощи кругов напряжений. Псевдоглавные напряжения. Приведенное выше построение позволяет найти величину 工v, но не дает возможности установить направление этой составляющей на площадке. Ниже показывается построение, разрешающее эту задачу )

Вырежем из напряженного тела треугольную призму (рис. 5.29). Системы осей Охуг и 0'*%'z‘ параллельны. Система Ofxfvt

напряженномнапряженном

напряженном

напряженном

получается из О'х'у'/ путем поворота последней на угол ^ относительно оси х‘ до совмещения yr с v.

Уравнения равновесия этого элемента имеют вид

tvx = тух cos •& + Xzx sin 8,

av cos 仆一tv/ sin •& = a^cos O' + r^ sin &,(5.73)

avsin $ + tv/ cos 仆=g? sin $ + 工“名 cos $.(5.74)

Уравнения (5.73) и (5.74) повторяют уравнения (5.17) с точностью до обозначений. Поэтому вращение площадки с нормалью v относительно оси £ характеризуется тем, что av и % изменяются так же, как и в случае двумерного напряженного состояния, даже если х не совпадает с направлением главного напряжения. Таким образом, для охарактеризования av и tv/ может быть применен обычный круг Мора. Экстремальные нормальные напряжения 皿 и % из множества нормальных напряжений, действующих на площадкахf параллельных оси *, могут быть названы псевдоглавными напряжениями, а экстремальная касательная вдоль оси f составляющая напряжений

% =9

}) Z 1 г 1 с a s G. А.( Representation of Three Dimensional Stress Distrl* butiori by Mohr Circles, Journ. Appl. Meeh. 22, № 2 (June 1955).

§ 5.16] ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 431 из множества напряжений, действующих на тех же площадках, — псевдомаксимальным касательным напряжением,.

Путем комбинации таких вращений может быть проанализировано любое трехмерное напряженное состояние.

Пусть оси х, ，, г совмещены с направлениями главных напряжений 。1, а3 и из (рис. 5.30, а). Перейти от главной площадки к произвольно ориентированной (с нормалью v) можно при помощи двух определенным образом произведенных поворотов. Первый поворот — относительно оси г на угол ф, второй поворот ——на угол 仆 в плоскости напряжений аа и а3. В процессе первого поворота изменение % и % происходит, как в двумерном напряженном состоянии, и характеризуется кругом Мора, построенным на главных напряжениях s и а3 (рис. 5.30, б). В процессе второго поворота компоненты % и % могут быть найдены из круга Мора, построенного, как для двумерного напряженного состояния, на напряжениях а3 и и« как на главных (рис. 5.30, б). После отыскания tv/ и tv (последнее находится, как это показано в разделе 9 настоящего параграфа) не составляет труда найти %& и угол(ov/. Построение показано на рис. 5.30, б. Заметим, что понятие псевдоглавных напряжений используется при анализе пространственного напряженного состояния тела оптическим методом.

■ И. Коэффициент Лоде. Если на некоторое напряженное состояние наложить дополнительно всестороннее равномерное растяжение (сжатие), то размеры всех кругов напряжений не изменяются, но вся фигура смещается вдоль оси и вправо (влево). Для девиатора напряжения диаграмма Мора характеризуется определенным относительным расположением центров окружности и начала координат системы ат, которая, поскольку в девиаторе нормальные компоненты напряжений обозначаются символом & переходит в систему ^т (рис. 5.31, а); сумма расстояний от центров -большого и среднего кругов до начала координат равна по абсолютному значению расстоянию от центра малого круга до* начала координат.

Тип. напряженного состояния с точностью до сложения с гидростатическим давлением может быть определен так называемым коэффициентом Лоде

g б + &

卩。=- = 2爲一1 = M§ctg ® +部.(5.75)

Дробь в числителе — это координата центра наибольшей из трех окружностей Мора, дробь в знаменателе —— это радиус указанной окружности. Таким образом, по-другому можно сказать, что |х＜； характеризует относительное расположение точки 5 на диаметре большой окружности (рис. 5.31, б). Можно рассмотреть три основных типа напряженного состояния. 一

.edow moJAdy HmoKonHduia втА«якиольооа (g -XEXHemoyu SHm s ^SSU^K^E^K охзйкйднооо н .asKQPHmoieoeH .HHEem。口 ^a^^v KasAOHSl^m я -edow HOJAdx Hmonor Hdu GHHBOIJO。 VOKS^K^roffi шоскшпнок«&ьоо&^ J №UH»£KR.№«H00e к SSR.no &rn№ SKtt^ss&o M -0« w UHd.edow moJAdy HmoKonHduia втА«якиольооа (g -XEXHemoyu SHm s ^SSU^K^E^K охзйкйднооо н .asKQPHmoieoeH .HHEem。口 ^a^^v KasAOHSl^m я -edow HOJAdx Hmonor Hdu GHHBOIJO。 VOKS^K^roffi шоскшпнок«&ьоо&^ J №UH»£KR.№«H00e к SSR.no &rn№ SKtt^ss&o M -0« w UHd

.edow moJAdy HmoKonHduia втА

«якиольооа (g -XEXHemoyu SHm s ^SSU^K^E^K охзйкйднооо н .asKQPHmoieoeH .HHEem。口 ^a^^v KasAOHSl^m я -edow HOJAdx Hmonor Hdu GHHBOIJO。 VOKS^K^roffi шоскшпнок«&ьоо&^ J №UH»£KR.№«H00e к SSR.no &rn№ SKtt^ss&o M -0« w UHd

.edow moJAdy HmoKonHduia втА

«якиольооа (g -XEXHemoyu SHm s ^SSU^K^E^K охзйкйднооо н .asKQPHmoieoeH .HHEem。口 ^a^^v KasAOHSl^m я -edow HOJAdx Hmonor Hdu GHHBOIJO。 VOKS^K^roffi шоскшпнок«&ьоо&^ J №UH»£KR.№«H00e к SSR.no &rn№ SKtt^ss&o M -0« w UHd

0! = о2. Точки Л и В сливаются, правый внутренний круг обращается в точку, левый, внутренний круг сливается с главным. Если при этом перенесем ось т параллельно самой себе в положение т\ что равносильно наложению гидростатического давления интенсивностью и】，то

5Ho2 =。，* V。 '

и круги Мора превращаются в один большой круг простого сжатия. Такой тип напряженного состояния называют типом сжатия, для него ца — 1. При этом соа = 0.

Рис. 5.31. К понятию коэффициента Л оде: а) круги Мора девнатора； 6) три типа напряженного состояния.

& = о3. Точки В и С сливаются, левый внутренний круг обращается в точку, правый внутренний круг сливается с главным. Если при этом перенести ось т параллельно самой себе в положение t", что равносильно наложению гидростатического давления интенсивностью а3, то

5 = % н 0, о】^> О

и круги Мора превращаются в один большой круг простого растяжения. Такой тип напряженного состояния называют типом растяжения, для него ца = ——1. При этом соа = л/3・

5 =。寸％. Точка В совпадает с центром главного круга, внутренние круги оказываются одинакового диаметра. Если при этом перенесем ось т параллельно самой себе в положение J', что равносильно наложению гидростатического давления интенсивностью s, то

% н — Оз > 0, s = О

и круги Мора приобретают вид, соответствующий чистому сдвигу. Такой тип напряженного состояния называют типом чистого сдвига, для него ца = 0. При этом ①仃 = п/6. Вообще, каким бы ни было напряженное состояние,

Вс не имеет смысла лишь при всестороннем равномерном давлении в окрестности рассматриваемой точки напряженного тела. Имея в виду формулы (5.75) и (5.65), получаем

1/3 тг

Семейство кругов Мора, соответствующих фиксированным значениям аОкт и тОкт. Рассмотрим октаэдрическую площадку в точке напряженного тела. Нормальная и квадрат касательной составляющей напряжения, действующего на этой площадке, суть

О°кт = 3 (б + 0 + 03),Токт = -д [(6 - 6)2 + (。2 —。3户 + (。3 - ”)2].

Проанализируем, как зависят эти составляющие от трех параметров： ^ — абсциссы центра наибольшей окружности Мора (己=i/z 31 + %)), т| — радиуса наибольшей окружности Мора Мн%(5 —”)) и цо — коэффициента Лоде (ца = (а2 —Й/r)), определяющего относительное взаимное расположение точек пересечения окружностей Мора с осью а. Зависимости аокт и т0КТ от Е, т] н No в дальнейшем окажутся необходимыми (см. гл. VIII). Преобразуем формулы для о0КТ и tjkti используя выражения для К " и Цо：

県=中 + * =甞 ++ 自)歹，(5.76)1

токт = ■5■ [(01 一02户 + (02 - °3)2 + (01 -03尸 +

+ 2 (中 J - 2 (中丹=! (偌+ 3)俏

т°кт = ^пМЙП^.(5.76%

Две зависимости (5.76) связывают пять величин: о0кт, токт( &, 口 и р,а. Значения двух из них, а именно о0кт и т0КТ, зафиксируем, тогда зависимости (5.76) свяжут три остальных величины & Т) и ^а). Фиксация величин аокт, токт равносильна фиксации вектора октаэдрического напряжения. Этот вектор можно относить к раз-

ЛИЧНЫМНЫМ ИЗЛИЧНЫМНЫМ ИЗнапряженным состояниям, соответствующим В н % найден- (5.76):

ЛИЧНЫМ

НЫМ ИЗ

ЛИЧНЫМ

НЫМ ИЗ

ToktNo . /2 h歼曹ToktNo . /2 h歼曹(5.77)(5.77)В ^ °окт1- = ОоктЗт(экт .

ToktNo . /2 h歼曹

ToktNo . /2 h歼曹

(5.77)

(5.77)

В свою очередь комбинации значений ± и п определяются коэффициентом Лоде ца, как параметром, через который они выражаются. Так как ца может непрерывно изменяться от —1 до 1, существует бесконечное количество таких комбинаций 自 н % которым соответствуют фиксированные аокт и т0КТ. Каждая комбинация £ н П определяет наивысшую точку (вершину) наибольшей из окружностей Мора и, следовательно, полностью определяет собой наибольшую окружность Мора, а 卩仃，которому соответствует данная комбинация и т), определяет положение точки касания двух внутренних окружностей Мора.

Исключим из (5.77) ца. После ряда преобразований получим

Е - 0°кт =—仓"/9тЬкт - 6т]2 , или.

化一0g产=贯—寸，(5.78)

Т2

Деля все члены на —^, получим

Итак, геометрическим местом вершин главных кругов Мора при фиксированных значениях аокт и токт является эллипс (рис. 5.32, а) с полуосями .

Проследим за тем, в каком соответствии находятся расположение точки (% Е) на этом эллипсе и значение р0> от которого зависят Е н гр Согласно (5.77) при ца=»—1 -

5 = ^max —仇кт + 赤券，

При卩l1

E ^mln = Ookt — 2》j

Таким образом, всему диапазону изменения численных значений коэффициента Лоде на эллипсе вершин главных кругов Мора соответствует участок АВС (точка А отвечает значению цст= 1, точка С — значению 卩产一1). Можно проследить и за изменением т) в зависимости от ца.'

При Цо = ± 1 Т] = T]min = |у^- = 1,061ТОКТ.

ПрН Ца = О П = Птах = 7^" Токт = 1，225т()кт, &!% = 0 = О°кт・

Иными словами, радиусы всех мыслимых главных кругов Мора, соответствующих фиксированной комбинации значений 0。仃 и т0КТ>

Рис. 5.32. К построению огибающей кругов Мора (М. М. Филоненко*Бородич), соответствующих фиксированным значениям доКТ, тОКт： а) эллипс — геометрическое места вершин главных окружностей Мора； 6) ог нбающий для кругов Мора эллипс; в) четыре характерных круга Мора; г) область, занятая кругами Мора (заштрихована), соответствующими фиксированным значениям аокт, гокт и всем мыслимым значениям 出°.

отличаются один от другого незначительно, максимальная разность между ними

Птах — Ппйп = 0」64Toкт

составляет от минимального радиуса (0,164токт: 1,061%灯)• 10° « = 15,5%. На рис. 5.32, а пунктиром показано графическое построение отрезка DH == токт по отрезку DFx^x^l^i.

Теперь рассмотрим, какую область занимают окружности Мора с вершинами, расположенными на линии АВС, т. е. все окружности Мора, соответствующие фиксированным аокт и т0КТ и всему диапазону изменения значений цст. Уравнение окружности из рассматриваемого семейства (с абсциссой центра, равной &, и радиусом, равным п) имеет вид

9-?2 + 工2 =『(5.79)

Координатами точек этой окружности являются о и т — нормаль* ная и касательная составляющие напряжения, действующего на любой площадке; на октаэдрической же площадке действуют фиксированные значения

(Т = (Токт, t = Т0Кт.

Напомним, что между g н Т)существует зависимость (5.78), так как и | и Т) соответствуют всякий раз одному и тому же значению 卩°. Пользуясь (5.78), исключим из (5.79) величину % в результате получим уравнение семейства окружностей

9 ~g)2+t2 = 4 碇 кт-3(1-о°кт)2「 (5.80)

Поставим цель: найти уравнение огибающей всего рассматриваемого семейства окружностей. С этой целью продифференцируем (5.80) по W, найдем из полученного равенства £ и исключим его из (5.80). В результате получим (в случае наличия таковой) уравнение огибающей. Производная от (5.80) имеет вид

—2 (о — W) = —6 化—仇кт)；

отсюда'

自=^。。灯+十。.(5.81)

Исключая 三 из (5.80) при помощи (5.81), после ряда преобразований получим уравнение огибающей обсуждаемого семейства окружностей Мора:

(а —аокт)3(宀鹏)2(а —аокт)3(宀鹏)2

(а —аокт)3

(宀鹏)2

(а —аокт)3

(宀鹏)2

Таким образом, выяснили, что огибающей семейства окружностей Мора, соответствующих фиксированным значениям покт и токт

и всем мыслимым значениям ца, является эллипс с полуосью вдоль оси о, равной К2 т0КТ, и полуосью, параллельной оси т.

равной -^ токт. Этот огибающий эллипс изображен на рис. 5.32, 6. У 2 •

Пунктиром показано построение его большой полуоси по известному т0КТ, На этом же рисунке показан и вспомогательный эллипс, являющийся геометрическим местом вершин главных окружностей Мора.

На рис. 5.32, в изображены оба эллипса и четыре окружности Мора из бесконечного множества окружностей семейства, соответствующего выбранной комбинации о0кт и т0КТ, Окружность / — крайняя левая; радиус ее является радиусом кривизны огибающего эллипса в точке Л\, а вершина располагается в крайней левой точке (точка А) участка АВС вспомогательного эллипса.

Окружность 2 —крайняя правая; радиус ее является радиусом кривизны огибающего эллипса в точке /С2, а вершина распола* гается в крайней правой точке (точка С) участка АВС вспомогательного эллипса. Окружность 5 —средняя окружность, она имеет наибольший радиус и касается огибающего эллипса в наивысшей его точке —точке В, а вершина этой окружности располагается в наивысшей точке (точка В) участка АВС вспомогательного эллипса. Наконец, окружность 4 —это окружность общего положения (текущая окружность рассматриваемого семейства), она касается огибающего эллипса в точке М и имеет вершину в точке ^, лежащей на участке АВС вспомогательного эллипса. Окружности общего расположения всплошную заполняют заштрихованную на рис. 5.32, г область. Каждой точке участка АВС вспомогательного эллипса соответствует определенное- значение коэффициента ца> а следовательно» и определенный тип напряженного состояния. При(х= 1 имеем тип сжатия, при р = 0—. тип чистого сдвига и при 卩=—1 — тип растяжения; этим типам принадлежат соответственно окружности /, 3 н 2・ Точки F* и 尸2 —точки пересечения вспомогательного эллипса с осью абсцисс — являются фокусами огибающего эллипса.

Рассмотренный в настоящем разделе вопрос разработан М. М. Филоненко-Бородичем )

Отыскание площадки действия полного напряжения, изоСра- женного радиусом эллипсоида Ламе. Эллипсоид Ламе не позволяет установить, на какой площадке действует полное напряжение, изображаемое данным радиусом.

В случае плоского напряженного состояния, когда эллипсоид Ламе становится эллипсом, для отыскания направления площадки, на которой действует напряжение, изображаемое радиусом эллипса, можно применить построение, предложенное Л. )Калюсо). Сущность этого построения ясна из рис. 5.33. На рис. 5.33, а рассмотрен случай Qi > 0,仃2>°・ На рис. 5.33, 6,(? —случаи: Gi>09 03 VoM 02 V0, ай <0. Легко видеть, что, вращая вектор полного напряжения (рассматривая различные площадки), получаем вращение круга Мора вокруг окружностей с радиусами, равными максимальной и минимальной полуосям эллипса Ламе.

Существует еще один способ решения той же задачи, основанный на использовании так называемой направляющей кривой полных напряжений

， 打^ = 1， (5匐

лежащей в плоскости эллипса Ламе

Л с；Л с；

Л с；

Л с；

Построение ясно из рис. 5.34. Доказательство правомочности построения приводим ниже для случая плоского напряженного состояния.

Рис. 5.33. Графический способ отыскания направления площадки действия напряжения, определяемого радиусом-вектором эллипса Ламе (построение 双алюсб): а) случай 5 > 0 и ая > 0; б) случай % > 0 и ст, < 0; в) случай о2 < 0, О3 < 0, / — эллипс Ламе, 2 — окружность Мора.Рис. 5.33. Графический способ отыскания направления площадки действия напряжения, определяемого радиусом-вектором эллипса Ламе (построение 双алюсб): а) случай 5 > 0 и ая > 0; б) случай % > 0 и ст, < 0; в) случай о2 < 0, О3 < 0, / — эллипс Ламе, 2 — окружность Мора.

Рис. 5.33. Графический способ отыскания направления площадки действия напряжения, определяемого радиусом-вектором эллипса Ламе (построение 双алюсб): а) случай 5 > 0 и ая > 0; б) случай % > 0 и ст, < 0; в) случай о2 < 0, О3 < 0, / — эллипс Ламе, 2 — окружность Мора.

Рис. 5.33. Графический способ отыскания направления площадки действия напряжения, определяемого радиусом-вектором эллипса Ламе (построение 双алюсб): а) случай 5 > 0 и ая > 0; б) случай % > 0 и ст, < 0; в) случай о2 < 0, О3 < 0, / — эллипс Ламе, 2 — окружность Мора.

Если 5>0, 02>0, 。3 = 0, то направляющая кривая полных напряжений представляет собой эллипс с полуосями j/s и ]/о3 (рис. 5.34, а). >

В случае ^ = 0, 02 Vo и %V。(5.82) соответствует так называемому мнимому эллипсу. В этом случае можно вместо отрицательных значений а2 и а8 иметь в виду равные им по абсолютному значению положительные величины^ и вновь получить эллипс, на этот раз с полуосями /о? н М”，но при этом под V подразумевать не внешнюю, а внутреннюю нормаль (рис. 5.34, б).

Рис. 5.34 Направляющая кривая напряжений! а) двухосное растяжение (а( = 4。*)： 6) двухосное сжатие (Оз ^ 4。,)； 8)плоское напряженное состояние при различных эиа* ках ненулевых главных напряжений; / — эллипс напряжений, 2 — направляющая кривая напряжений, 3 — площадка, на которой действует напряжение р~ о 〃 ，— на・ правляющая кривая напряжений, соответствующая случаю, когда V рассматривается как внешняя нормаль, 5 — направляющая напряжений, соответствующая случаю* когда V рассматривается как внутренняя нормаль, 6 — направления, имеющие то ево^« ство, что полные напряжения, иаправлениые вдоль них, являются касательными к пло Щадке нх действия (нормальная составляющая на этой площадке равна нулю).

Наконец, если ”>0, а2 = 0, 03 V 0, то направляющей кривой полных напряжений оказывается гипербола (две ветви)

5 °з '

Еще две ветви строим соответственно уравнению

"2 丄"_

Для точек, попадающих на эти две ветви, за v принимается внутренняя нормаль к площадке. На рис. 5.34, в показана направляющая кривая напряжений при чистом сдвиге.

Рис. 5,35. Направляющие поверхности напряжений.Рис. 5,35. Направляющие поверхности напряжений.

Рис. 5,35. Направляющие поверхности напряжений.

Рис. 5,35. Направляющие поверхности напряжений.

В случае пространственного напряженного состояния имеем направляющую поверхность полных напряжений (рис. 5.35). Располагая эллипсоид Ламе н эту поверхность концентрично и совмещая главные оси поверхностей, продолжаем радиус-вектор эллипсоида Ламе до пересечения с направляющей поверхностью полных напряжений в точке k (х0, Уо, г0).

В точке k проводим плоскость

(5.83)(5.83)^о I 纱и I Z2q ^ I 《十3十0r 3 一

(5.83)

(5.83)

касательную к этой поверхности. Уравнение этой же касательной плоскости можно записать и так:

(5.84)(5.84)lx + my-\-nz = h,

(5.84)

(5.84)

где /z —длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную плоскость; /, т, л — направляющие косинусы, определяющие направление этого перпендикуляра.、

показывает, чтопоказывает, чтоСопоставление (5.83) с (5.84)

показывает, что

показывает, что

илиили0/ = К0瓦生也 =%小 仃3九=?0瓦0/ = К0瓦生也 =%小 仃3九=?0瓦(5.85)(5.85)

или

или

0/ = К0瓦生也 =%小 仃3九=?0瓦

0/ = К0瓦生也 =%小 仃3九=?0瓦

(5.85)

(5.85)

точки.точки.oa一oc@0c-=-oa一oc@0c-=-

точки.

точки.

oa一oc@0c-=-

oa一oc@0c-=-

(5.85) представляют собой(5.85) представляют собойС другой стороны, левые части равенств

(5.85) представляют собой

(5.85) представляют собой

pvx, pvy и pvz соответственно.

Иными словами, составляющие полного напряжения, действующего на площадке, проходящей через точку тела (начало координат) параллельно указанной выше касательной плоскости, пропорциональны координатам точки касания. С другой стороны,

составляющие в главных осях полного напряжения, определяемого

радиусом- вектором эллипсоида Ламе, тоже пропорциональны координатам точки касания — по условию построения касательной плоскости (точка касания лежит на направляющей поверхности в месте пересечения с нею продолжения г). Следовательно, площадка, проходящая через точку тела параллельно указанной касательной плоскости, и является действительно той площадкой, на которой действует полное напряжение, определяемое радиусом-вектором г эллипсоида Ламе,

Поверхности нормальной if касательной составляющих напряжения^

Если по нормали к площадке» проходящей через точку напря

женного тела, отложить в виде вектора нормальную составляющую напряжения, которая в главных осях выражается формулой

CTV =中2 + 。2加2 + 。3几2，(5.86)

то прн всевозможных поворотах площадки конец вектора av опишет некоторую поверхность, уравнение которой в сферических координатах получается из (5.86) путем подстановки I, т и п согласно формулам (рис. 5.36)

Ob cos Ос sin cos ср .

.0空叱？ = % 峥注中.=sin 0 sin 中：'(5.87)

n = cos 仆；

в результате получаем

% = Gi sin2 ® cos2 屮 + % sin2 3 sin2 屮 + % cos2 3.

На рис. 5.37, 5.38 и 5.39 изображены поверхности нормальных составляющих напряжений〔)соответственно для случаев: линейного .• напряженного состояния (ctj > 0, сг2 = а3 = 0), плоского напряженного состояния (01*0,02=#°, a3 = 0 -рие. 5.38, а и ь1=#0, 仃2 = 0, а3у=0 —рис. 5.38,6) и пространственного напряженного состояния (0! N。2 N 仃3 太 0 или 仃3 V 仃？ V 仃1 S 0 — рис. 5.39, а и d1^d2>°，03 Vo или ь1>0,03 002 V0 —рне. 5.39, 6).

Рис. 5.37. Поверхность нормальных напряжений при одноосном растяжении..

Аналогично можно построить поверхность касательных напряжений, впервые рассмотренную Г. В. Колосовым, пользуясь формулой (5.44*):

Tv =0弘2 +0浙2 +优几2 一 9]/2 _(-g加2 _(- %几2)2 „G宙(/2十加2+几2) -|_ + eфm (/ + 川 + 歩)+ 0:几2 (/2 + 加2 +标)-磕4 -吟处 -0:几4 —

-2s%GM 一 2备%加2几2 — 2/5^2 =

=(01 一02尸(询2 +(6 一03户(加* +(5 -03尸(成凡

В первые трй члена после второго знака равенства введены множители, равные единице (l2 + tn2 + r^)t Используя (5,87), получаем уравнение

代=(6鼻0户市 2(р sin4O + pg%/ 5]口2 屮$e2 29 +

+ (9工彳？з J cos暫 q> sin 20.

Конец вектора tv, откладываемого по нормали к площадке, на которой действует tv, при всевозможных поворотах площадки описывает поверхность, носящую имя Г. В. Колосова. На рис. 5.40, а показана2) поверхность Г. В. Колосова при а^，。？# 耍 仃3 и на рис. 5.40, 6 при ^ == а2 =# аз- В случае ах = сг2 = сг8 поверхность Г. В. Колосова вырождается в точку..

Рис. 5.38. Поверхности нормальных напряжений при плоском напряженном состоянии; а) случай одинаковых знаков у главных напряжений (ц2 = 0,5 о\); 6) случай раз ■ иых знаков у главных напряжений а = — 0.5 5).*

Рис. 5.39., Поверхность нормальных напряжений при пространственном напряженном состоянии: а) случай одинаковых знаков у всех главных напряжений (о\ : а9 п 1,5; О, ； 3 = 3)； 0)случай разных знаков у главных напряжений (ц2 = 0,吵G Оз 〒一 O,50i).

Рнс. 9.40. Поверхность касательных напряжений] а) случай Oi £ о.安 0$; 6) случай равенства двух из трех главных напряжений.

На рис. 5.41 показаны кривые нормальной и касательной составляющих напряжения для плоского напряженного состояния

Рис. 5.41. Крнвые нормальных н касательных напряжений при плоском напряженном состоянии (штриховой пунктир — растягивающие напряжения; короткий штриховой пунктир — сжимающие напряжения； сплошная линия — касательные напряжения).

(десять частных случаев)х). Уравнения кривых, показанных на рис. 5.41, имеют вид (5.55), если принять вместо 。【и 仃“ две

Рис. 5.41 заимствован из статьи Ф. Кинсмана( упоминавшейся на

стр. 443 в подстрочном примечании.'

величины из числа 。卜 02 и сг3 сообразно рис. 5.41. Кривые rv впервые были изображены А. М. Драгомировым еще до введения Г. В. Колосовым поверхностей касательных напряжений и в литературе называются иногда 'розами Драгомирова.

Изостатические поверхностив напряженном теле

В разных точках напряженного тела в общем случае как ориентация главных площадок, так и величина действующих на них главных напряжений различны. В точках, бесконечно близко расположенных друг к другу, углы, образованные соответствующими главными площадками, бесконечно малы, и различия в величинах главных напряжений на соответствующих площадках также бесконечно малы.

Поверхность, мысленно проведенная в напряженном теле, во всех своих точках касающаяся главных площадок с одноименными главными напряжениями (仃公 или сг2, или Сз), называется изостатической. Через каждую точку напряженного тела проходят три ортогональные (в силу ортогональности главных напряжений) изостатические поверхности. Тремя системами изостатических поверхностей все тело разбивается на бесконечно малые криволинейные шестигранники, касательные плоскости к граням которых совпадают с главными площадками. При изменении нагрузки изостатические поверхности изменяются. В случае, когда напряжения зависят лишь от двух координат точек тела, например от х и //, и не зависят от г, одна из систем изостатических поверхностей превращается в плоскости, перпендикулярные оси г, а две другие представляют собой цилиндрические поверхности, ортогональные указанным плоскостям и ортогональные между собой. Следы, оставляемые этими поверхностями на плоскостях, перпендикулярных г, называются изостатами или иначе троек- ториями главных напряжений.

Если ф -т- угол наклона касательной к изостате по отношению к оси х произвольной системы осей ху, то

здесь у = у(х) —функция, графиком которой в системе осей ху является изостата. Тогда согласно формуле для tg 2al или tg 2ali из § 5.10 (имеется в виду, что а】 или ац равен 屮)

▲ с 2 tg ср2т

g屮一1 二tg2 a 一 。м -%'

ИЛИ

2т —2"

uа -Up1 -(，户‘

откудаоткуда(/)2+^^/-1 = о.(/)2+^^/-1 = о.(5.88)(5.88)

откуда

откуда

(/)2+^^/-1 = о.

(/)2+^^/-1 = о.

(5.88)

(5.88)

Из дифференциального уравнения (5.88) можно найти функции, которые определяют собой оба семейства изостат.

Примеры :

Пример 5.1. Разложить тензор напряжения

I::I::Q*卜卜3004北Q*卜卜3004北100—500—200100—500—200150—200—600150—200—600

I::

I::

Q*卜卜300

4北

Q*卜卜300

4北

100

—500

—200

100

—500

—200

150

—200

—600

150

—200

—600

(все компоненты заданы в кГ/см2) на шаровой и девиатор. Определяем среднее гидростатическое напряжение в точке:

Gх+о и+о г300 — 500 — 600800•*

% =2一-— ^2=3~ = —266,(6) кГ/сл^л

sx = ax —仆= 300 — (—266,7) = 566,7 кГ/см^,

^у~Оу —。0 = —500 — (—266,7) =—233,3 кГ/см^,?z =02 —。0 = -600 — (—266,7) = -333,3 кГ[Cз、

Тогда искомое разложение представится в виде

300100150Ц [—266,700 口

/и 100 —500 —200 =0—266,70 十

150 —200 -600|| 100—266,7，

1 566,7100150

4-1 100 —233,3 —200

|150—200 —333,3

= T«+D0.

Пример 5.2. Определить нормальную и касательную составляющие напряжения, действующего на площадке, заданной направляющими косинусами ее нормали:

,212

‘^吾，m =百， Л=У

Тензор напряжений взять из условия предыдущей задачи. По формуле (5.6)

41

"v = о*?? + 0ym2+"娥 + 2т必/加 + 2тд?тп -卜 2т?*献=300 • -^- — 500 • §

491122 2

一 600 • @+2 • 100，з” * 家—2 • 200，争• j- -|- 2 • 150 • $ ♦ у = 100 кГ /сМ.

Квадрат полного напряжения находим по формуле

гдегде心=脸+代,"+脸,

где

где

212

Pv* = o.J + 丁"他 +T2х九=300 • 一3 + 100 " "^" + 150 • g = 333,(3) "/ема

21о

Pvy = ^xy^ + °/z + t«<y厶= 100 …？— 500 • ^— 200 • -g- = —233,(3) кГ/ел,

219

Pvz = J J + tgz〃* + о?/1 = 150 • 2— 200 * -^— 600 * § = —366,(6) кГ [c 解,

или.

2 _ 1 000 000 , 490 000

,1 210 000 _ 2 700 000_,nnnnn

妳=―g— + —^― + —g— = ^-g— = 300 000 (кПс^у.

Квадрат касательного напряжения выражается следующей формулой:

琮=川一策=300 000 — 1。°0。= 290 000 {кГ/с^\tv = 538 к〃”戶.

Пример 5.3. Определить главные напряжения и направляющие косинусы нормалей к главным площадкам в точке напряженного тела, в которой ком* поненты напряжений такие, как в данных примера 5.1.

Главные напряжения находим из уравнения

% 一。Пу =0*

^xz Tpz °г — ° или

2-(% +。" + %) 6 + (%% + %% + %% -吗-% - /)。一

-(%%% + 2тхЛЛх -唳”z 一 V« - ° J7) = °，

© 十 800a2 —102 500。一 89 250 000 = 0, или в общем виде

(Р + 〃о2 + 匕 о+°=о*

Решаем кубическое уравнение в тригонометрической форме. Для этого воспользуемся подстановкой 】)а = г—а/3, тогда получаем

(г - у) + а (г - ^+Ь (г - у)+с=0.

После простых преобразований получаем

户+ (_4"。2+少 +儔a3一号+ c)=0g или

гз+рг+д=0, где

p=一多+儿 g = 2 停)—y+ c«

В нашем случае а == 800, Ь =—102 500, с=—89 250 000,

8003

р = —— 102 500 = —315 800,

g = 2 (譽『+ 8°" , 5°° — 89 250 000=:=_2з 990 000, 「3 — 315 800г —23 990 000 = 0,

/р\з /q\2/ 315 800 \з , / 23 990 000\2 1ЛПО Л

так как 腐)+(三)=(з—) +(2~) =一 1023.10У0

р V 0, использ^ ем формулы'

q cos a l ， 2/- (〃3)зq cos a l ， 2/- (〃3)зГз,з = — 2 К一 р/3 cos (^ ± ^), ;3竺缈。

q cos a l ， 2/- (〃3)з

q cos a l ， 2/- (〃3)з

а = 69°26'30〃，а= 1,212 рад)а = 69°26'30〃，а= 1,212 рад)л -I Л315 8001,212”2]/ -3-COS-3-л -I Л315 8001,212”2]/ -3-COS-3-——518,5 кГ/сл^9=—77,31 "/с寐,——518,5 кГ/сл^9=—77,31 "/с寐,崛学Y .

а = 69°26'30〃，а= 1,212 рад)

а = 69°26'30〃，а= 1,212 рад)

л -I Л315 8001,212

”2]/ -3-COS-3-

л -I Л315 8001,212

”2]/ -3-COS-3-

——518,5 кГ/сл^9

=—77,31 "/с寐,

——518,5 кГ/сл^9

=—77,31 "/с寐,

596,7 кГ[с叫

力=勺—~ = 330,02 кГ/c^t

03 =г2—家 n —785,93 кг/ем^^

。2 =「3 —告=—344,10 кГ/см2.

Произведем проверку по инвариантам:

L 5+。" + % = %+。2 +03 =%(Tj

и* +。“ + % = 300 — 500 — 600 = —800 кГ/сл2,

S + % +。3 = 330,02 — 344,10 — 785,93 = —800,01 кГ/см^ Погрешность ~0%.

%% +。产2 + %%一w"一吟z-Wx ="1% + %% + %%=%(TJ 。典/ + """」”1*—T% — % —吃=300 • (—500) +(—500) • (—600) +

+ (—600) • 300— 1002 _(—200)3 — 1502 = — 102 500 (кГ/см^\ 万1。2 + 仃2。3 + %。1 = 330,02 -(—344,10)十(—344,10) • (—785,93)十

+ (—785,93)*330,02 = —1 113 560 + 270 430 — 259 370 = — 102 500 (кГ/см^ Погрешность 0%.

3， %%%+2%/"/»一%的2一0户К一%这“=%%%=/3 (T。)， %%% + 2%%%—%% — %% —о/%-300 ■ (-500) ■ (-600) + +2 ■ 100 • (—200). 150 —300 ■ (—200)2 — (—500) • 1502 —(―600) ■ 1002 = = -89 250 000 ("例卢凡 О16Оз = 330,02 • (—344,10) • (—785,93) = —89 250 000 (кГ/см^.

Погрешность 0%.

15 А. П, Филин

Переходим к отысканию направляющих косинусов нормалей к главным площадкам.

Для отыскания направляющих косинусов нормали к первой главной площадке имеем систему уравнений

3* + (^—%) ^1 + /у勺■ 0, }

(300 — 330,02) /j 4- 100/rti 4- 150Л! «== 0,100/1 -^-(—500 — 3^),02) /Л1 — 200/ij = С, •150/1 — 200/ + (—600—330,02) flj«0..

Делим все уравнения иа п} и вводим обозначения

01 =今， 无二*;

тогда система уравнений приобретает вид

-30,02的 + 100 瓦=-150, I100а! —830,02^=200,}

150al—200® = 930,02; /

отсюда, используя любые два уравнения, находим

О] = 7,004,Ь[= 0,6028,

Л1 =—— = 0,1408,

/！+硏+圻7,1006

，i = t?i% = 7,004“ 0,1408 = 0,9862,团1 =瓦街=0,6028.0,1408 = 0,08487.

-Проверка: 2； + 加；+ 呜=0,9862? + 0,08487? + 0J 4082 = 0,9726 + 0,0072 + -I- 0,0198= 1,000.

Аналогично находим направляющие косинусы нормали ко второй и третьей площадкам:

(%:-®)为+切х很+T名*码=。，"

T*"厶 +(5 -02)加暫+%"几2 =。，j2%+%2加2 + (0名一0)九2 =0；,[300 一(一344,10)] % + 10°加2 + 150® = 0.)W0/a 4- (—500 — (—344,10)J 7^2 — 200n2 = 0, |150/з — 200团暫 +[—600 — (—34 4,10)]农=0; J

644,10。2 + 100b暫《=— 130,)

100(z2—155,90^2=200, 卜150a2—200d2 = 255,90; J

& = —0,030661,昆=L3025,

%=!—=0,60886,.

Ml +磴 + 用1,6424

/а = a2n2 = —0,018668,团？=匕紹2 = —0,79304..

Проверка:

^+mi+«l=0,00035 + 0,62891 + 0,37069 = 1,0000.

2.厶％+砌团2 + 勺&=—0Q184 — 0,0673 + 0,0857 = 0,0000.

付*—%) 4 4-4- %门3 = 0,]

Т*，з + 9у—a3)m3 + ^zyn3 — 0» }

Jz^+TyzS + l% -。3)/=。；J

[300 — (—785,93)] /3+Ю0/и3 + 150л3 = 0,100厶 +【一500 —(4785,93)]飞一200沟=0, }150/з — 200/Пз +【一600 —(—785,93)] Кз = 0； J

a3 = /3例3，b3 =m3阳3；

1085,9а3 +100% =—150,]

100勾 + 285,93为=200,$ 匈m-0,20928,63 = 0,77267,

150饱一200%=—185,93; J

門=1/1 丄 2 E^f = 1 Лоло = 0,7^7°，厶=a3门3 = -°，16338,

，1 +碎 +必1,2809

/Из = % 厶8 = 0,60332,

Проверка:

1,呢+ 团霍 +牖=0,02669+0,36387+ 0,60949=1,0008

I山 + 加仰3 + «1^3 = —0/6112 + 0,05119 + 0,10992 = 0,0000.

14ъ + “％飞十齿两=0,00305 - 0,47838 + 0,47534 = 0,0000.

имер 5.4. Определить максимальные касательные и октаэдрические напряжения, если тензор напряжений задан компонентами, указанными в условии примера 5.1..

При решении примера 5.3 для тензора напряжений, представленного в примере 5.1, найдены главные напряжения:

% = 330 кГ/см2,6=—344 кГ]с* а3=—786 кГ/см2.

Зная величины главных напряжений, максимальные касательные напряжения находим по следующим формулам:

口=石电=.一方40(_786) =221 к 门еме,

у = |^5^■卜 I .-78^-330 卜558 "^%

Tm = £1^1 =竺吐「4) = 337 "【см，

Нормальная и касательная составляющие октаэдрического напряжения находятся по формулам

0"? + 产、330一*768 =_260,7 К”，

т0КТ = з 丿千F三肝帀=у и 2212 + 5582 + 3372 = 688 кГ/с^.

Направляющие косинусы нормалей к площадкам с максимальными касательными напряжениями в системе осей хуг можно ианти по следующей формуле:

Л = ЛЛ*(5.89)

Здесь А" искомая матрица направляющих косинусов нормалей к площадкам с максимальными касательными напряжениями в системе осей хуг, А — матрица направляющих косинусов нормалей к площадкам с максимальными касательными напряжениями в главных осях, А — матрица направляющих косинусов главных осей (нормалей к главным площадкам) в системе осей хуг.

Матряцы А и А имеют следующий вид:

0丿 2/2/2/2

А =А =0/2/2 — /2/20/2/2 — /2/2НП/2 0/2/2НП/2 0/2/2修/20- /2/2修/20- /2/2И2/2/2/20И2/2/2/200,9862А= —0,018668—0,163380,9862А= —0,018668—0,163380,08487 0,1408—0,79304 0,608860,60322 0,780700,08487 0,1408—0,79304 0,608860,60322 0,78070

А =

А =

0/2/2 — /2/2

0/2/2 — /2/2

НП/2 0/2/2

НП/2 0/2/2

修/20- /2/2

修/20- /2/2

И2/2/2/20

И2/2/2/20

0,9862

А= —0,018668

—0,16338

0,9862

А= —0,018668

—0,16338

0,08487 0,1408

—0,79304 0,60886

0,60322 0,78070

0,08487 0,1408

—0,79304 0,60886

0,60322 0,78070

К2/2 — /2/20

Формулу (5.89) можноФормулу (5.89) можноиспользовать и для отысканияиспользовать и для отысканиянаправляющих косину

Формулу (5.89) можно

Формулу (5.89) можно

использовать и для отыскания

использовать и для отыскания

сов нормалей к октаэдрическим площадкам в системе хуг, подразумевая под А

матрицу этих косинусов, а под А матрицу направляющих косинусов нормалей к октаэдрическим площадкам в системе главных осей. Последняя матрица в этом случае имеет вид

^ ^ ^

/3

А =

Глава VI

- ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ

§ 6.1. Предварительные замечания

Понятия о перемещении точки тела, о компонентах деформации н о повороте элемента в окрестности точки даны в §§ 1.19 — 1.21. Напомним, что как составляющие перемещения и9 v и w, так и компоненты деформации тела в окрестности его точки &#, £р, %, Уху^ Ууг и Ум являются функциями координат точек тела. Задание функций u9 v и w исчерпывающим образом характеризует деформацию тела в целом. Функции &*, 8^,..., угх полностью характеризуют деформацию в окрестности каждой точки, т. е. позволяют найти в ней относительную линейную деформацию вдоль любой оси, проходящей через рассматриваемую точку тела, и изменение угла между любыми двумя первоначально ортогональными осями, проходящими через эту точку.

Естественно, что между функциями и, и и ^, с одной стороны, и 厶,...,Yz*, с другой, существуют зависимости, так как ■обе группы функций описывают одну и ту же картину деформации тела, но различными средствами. Эти зависимости выводятся в настоящей главе, их получение является одной из основных целей анализа деформированного состояния тела. Из них получаются зависимости и между компонентами деформации (уравнения совместности деформаций). * '

Подобно тому, как в предыдущей главе изучались напряжения тела независимо от деформаций, т. е. производилось чисто статическое обследование тела, в настоящей главе выполняется чисто геометрическое (или кинематическое} изучение сплошной однородной среды, без упоминания о напряжениях и о физических свойствах материала тела.

Будем считать тело обладающим большой жесткостью, это явится основанием для линейности зависимостей мевду перемещениями и деформациями. В § 6.9 показывается, к каким

осложнениям приводит отказ от предположения о большой жесткости тела. Под большой жесткостью тела будем понимать пренебрег жимую малость перемещений в нем по сравнению с размерами тела.

Деформация в точке, так же как и напряжение в ней, является симметричным тензором второго ранга. Это обстоятельство определяет собой наличие в ряде вопросов аналогии между теориями напряжений и деформаций.

§ 6・2・ Зависимости между компонентами деформациии составляющими перемещения точки тела

Рассмотрим тело до деформации. Проведем через точку А ось г (рис. 6.1) и на ней на расстоянии dr от Л отметим точку В. В системе осей хуг отрезок имеет составляющие dx, dy и dz.

В результате деформации тела точки Д и В перемещаются в точки А] и В】 пространства. Составляющие перемещения точки 4

Рис. 6.1. К определению относительной линейной деформации вдоль направления г в точке Л;, координаты точек: Д (х, у, г), В (* 4- dx, у -j- dy, z + dz), 小 (x + a,

У ^ vt z ^ w}t 81 (% + dx + a + * dr, у ^- dy + v + ~ dr, z + d2 + 9 + ^ 〃 ).

суть uf v и w9 составляющие перемещения точки 8 отличаются от них на величину приращений, обусловленных отличием коор* динаты г точки В от той же координаты точки А на dr. Составляющие перемещения точки 8 суть

“+行"，и +京~dr,w + -^- dr.

Найдем относительную линейную деформацию в точке Л по

направлению г:направлению г:А]& — АВА]& — АВ(6.1)(6.1)

направлению г:

направлению г:

А]& — АВ

А]& — АВ

(6.1)

(6.1)

Зная координаты точек Ai и В】 (рис. 6.1), легко найти расстояние

f6 2] . КОМПОНЕНТЫ ДЕФОРМ. И СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 455

между ними:

431 = М收 + ^ “『+ [dy+ ^- dr『+ (dz + 嗚〃『=

=打M偿+翁)‘+停+鼾+停+器)"•

Направляющие косинусы г в системе осей xyz суть

dx , dydz

万=‘，言=m，， 石=n・

Тогда'，

^iBi = dr ]/(/+ jy + (m + J/ + (« + 票Y =

Имея в виду,月то / + /и2 + п2= 1, и считая деформацию малой 工), можем пренебречь квадратами величии d〃/力，dv/dr и dw/dr по сравнению с единицей, при этом получим

4/ = 〃 ]/ 1 + 2 (/翁 + 加翁 + п 票｝

Применяя разложение по формуле бинома Ньютона и пренебрегая по сравнению с единицей степенями величин d〃/Зг, dv/dr и dw/dr выше первой, будем иметь

48i = dr[l+^・2(嚼+ 加翁+ 〃 雰)].-(6 ⑵ Подставляя (6.2) в (6.1) и учитывая, что АВ = dr, получим

%='筈+"雾+"雾■(6・3)

Рассмотрим величину р, определяемую выражением

'p = lu+mv + nw;(6.4)

формулу (6.3) можно представить так:

(6.5)(6.5)_变

(6.5)

(6.5)

一方，

р — проекция перемещения точки А (т. е. проекция отрезка ЛЛГ) на направление г. Формула (6.5) связывает относительную линейную деформацию в точке деформированного тела по некоторому

направлению с проекцией перемещения этой точки на указанное направление. В случае растяжения в направлении г, учитывая формулу (6.1), получаем %>0 и в случае сжатия в том же направлении ег<0.

Рассмотрим теперь в недеформироваином еще теле точку Л и две взаимно перпендикулярные оси 『1 и г2» проходящие через эту точку. На указанных направлениях вблизи Л соответственно на расстояниях dr* и dr2 0T нее отметим точки В и С. В результате деформации точки А, В и С перемещаются в точки 4丄，Вг

Рис. 6«2. К определению относительной угловой деформации (сдвига) между ер то ренальными направлениями 勺 н г* 3 точке А.Рис. 6«2. К определению относительной угловой деформации (сдвига) между ер то ренальными направлениями 勺 н г* 3 точке А.

Рис. 6«2. К определению относительной угловой деформации (сдвига) между ер то ренальными направлениями 勺 н г* 3 точке А.

Рис. 6«2. К определению относительной угловой деформации (сдвига) между ер то ренальными направлениями 勺 н г* 3 точке А.

и Ci пространства (рис, 6.2). На рис. 6.2 все точки как до, так и после перемещения показаны в виде проекций на плоскость осей fj и г2. На самом деле точки Лъ 8】и Ci выходят из плоскости, но это на величину углов о^ и а2 практически не влияет в силу сделанного предположения о малости деформации; поэтому-то и можно вместо самих точек Яь В】и & рассматривать их проекции на плоскость Аг^г^. Установим зависимость величины у门q угла сдвига между направлениями 厂工 и г2 от перемещения точки Д, характеризуемого проекциями р】и р2 на。也《 и 夕黎 Из рис. 6.2 видно, что

Уг1Ге^^+^ (6.6)

В силу малости углов сами углы заменяем их тангенсами:

(6,7)(6,7)ai^tgo!»-請，a；j«=：tga2 =器.

(6,7)

(6,7)

Определим длины отрезков &，А也 &с и А^с. входящих в формулы (6.7). На рис. 6.2 показаны проекции перемещений точек В и С на оси q и г2* Эти проекции равны соответствующим вели-

чинам для точки А плюс приращения, обусловленные различием координат точек Л и В, Л и С соответственно, т, е.

Bib = -^ dr 1,CiC = -^ dr^

4匕=〃1 + 専％ A^c^dr^^- dr2.

Or2

Подставляя найденные значения в (6.7), получим

Учитывая малость производных др^дгг и др2/дг2 по сравнению с единицей в силу малости деформаций, получим

Подставляя (6.8) в (6.6), находим искомую зависимость:

=舍+翁(6・9)

Здеош

Pl =厶以+m用 + 九曲， p2 = /11〃+加12 + 力政； (6.10)

/ь 加「n( (/“，/иц, Ли) — направляющие косинусы направления ri (г2)- Учитывая (6.6), получаем упч > 0, если первоначально прямой угол между направлениями гх и & уменьшается.

§ 6.3. Уравнения Коши .

Формулы (6.5) и (6.9) позволяют установить связь между функциями %, %, %, Уху, %z，Yz*, С одной стороны, и функциями Uf V И W, с другой.

Предположим, что в формуле (6.5) г||х. Тогда /= 1, т = 09 п = 0 и, согласно (6.4), р = 〃. Формула (6.5) приобретает следующий вид:'

Аналогично, предполагая поочередно, что г^у и r^zt получим

Имея в виду формулу (6力)」предположим, что rj|x (т. е.厶=1, 切1 = 0, /：! = 0), а г^у (т. е. /ц = 0, 〃“, = 1, щ\ = 0); тогда,

учитывая (6.10), найдем

Yw = 1T +历

Аналогично, полагая гг[у и r^z (夕丄口之 и /^Н*)，будем иметь . диди *

Y" = » + 方,力* = » +爾.

Все шесть полученных выше зависимостей составляют систему уравнений, впервые введенную Коши:

ди ' dv

"学 ГТа J(6

ov . ди. доди , дш.

^ху — дх + 切？ 丫" — ® + 灭'Yz* — dz + 8% *

Эти уравнения относятся к числу основных уравнений теории сплошной деформируемой среды.•

В главе IX показано, как интегрируются эти уравнения. Интегрирование, при соблюдении определенных условий (см. § 9.6)» может всегда быть выполнено в квадратурах.

§ 6.4. Формулы преобразования компонентов деформациипри повороте прямоугольной системы координатных осей

Пусть имеем деформированное тело, с которым связана система ортогональных координатных осей хуг. В некоторой точке А этого тела в указанной системе осей известны компоненты деформации &； %, %, Y*» Уугу %*• Требуется установить, чему равны компоненты деформации 附"①，匕山“ у力山,丫马打 в той же точке тела, но в другой системе ортогональных координатных осей 汇伍庐卜 если направляющие косинусы осей 汇么‘匕 2工 в системе осей хуг образуют следующую таблицу:

X

У

г

/l

g

勺

恤

«3

На основании (6,5)

及尸翳^^ ^^'(6.12>

§ 6.4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТОВ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ

459459Здесь «! (иъ ttJr) есть проекция перемещения точки Л на направление %1(41, zj・ Вместо того, чтобы проектировать само перемещение точки Л, рассмотрим сумму проекций на ось хх каждой из составляющих (и, и и 侬)этого перемещения в системе осей хуг. Учитывая таблицу направляющих косинусов, будем иметь

459

459

'■u1 = ull + vm1 + wn1(〃偿©i)(L 2, 3).(6.13)

Представляя (6.12) при помощи формулы дифференцирования сложных функций в виде

8х( ^ д— = wд— Н—a4— 4 л— (XiZ/i2i) (tl-iViW-i) (о, 14)

и имея в виду (6.13), получим

%，= 4停厶+工"i +翁％)+恤(篇4+芻恤+ ^如)+

du n t du „ .. dw 2 , / 加.du \ t 7 fdw . dv \.

我厶+而加i +疗恤+ (而+%)1^ +质+笏)加储I + +需+工)九1厶(不以4)(1 2 3).

Учитывая формулы (6.11), будем иметь

J, = %G + %加；+ 7注+ Y沙1加1 + y卢恤％ + Yz諸必(Xi必力)(1 2 3).

(6.15) На основании (6.9)

小=3元 +孤.(6.16)

Учитывая (6.13) и применяя к каждой из производных в формуле (6.16) правило дифференцирования сложной функции, получим 5 =为偿4+靠加1 + ^力)+恤居/1+^恤+ ^ «1) +

+ a2儀厶+ ^吗+需灼)+厶偿厶+ ^恤+ ^ &) +

■+恤瑞"2+^"2+缴2)+a1偿为+羽加2+絹出)=

=2 ^厶厶+ 21^恤恤+ 2霑М2 +係+勖a"2 +厶啕+

+ 窗 + 翁卜恤a2 + 加2a1) + 卷 + ^£)(a4+ a24)(Х1У1 Z1) (1 2 3).

Используя уравнения (6.11), окончательно получим

丫占勿=Ze/% + 2eJ.m1m2 + 2%〃д + V^ (厶恤 + 4^0 +

+ 也(加储2 + 加2%) + Yz* ⑸为 + a2乙)(х1 以 Z0 (1 2 3).(6.17)

Аналогия между теорией деформациии теорией напряжения

Деформация в точке — симметричный тензор второго ранга. Формулы (6.15) и (6.17) показывают, что деформация в точке является симметричным тензором второго ранга (см. Дополнение). Особенно отчетливо это обнаруживается, если формулы (6.15> и (6.17) записать в следующем виде:

+ 2代Yz*"1厶,+ 2代Yz*"1厶,觊=e/i +巧加；+%浦+2 (У y*JA恤+ 2 (； Y")加簿1 +

+ 2代Yz*"1厶,

+ 2代Yz*"1厶,

(у y力力)=з/“2 + %加1加2 + g解簿2 + (4" Y* j (厶加2 + l^ +

+ (4* Y") (mi〃2 + m2^i) + (^*YzJmi/2 + 〃2/i)*

Тензор деформации можно записать так:

Ниже на основе свойств тензора, обнаруженных на примере тензора напряжений, приводятся уже без доказательства и выводов основные положения теории деформации тела.

Теорема о существовании главных направлений деформаций и об экстремальности главных деформаций. Через любую точку деформируемого тела всегда можно провести три таких взаимно ортогональных направления, сдвиги между которыми в процессе деформации оказываются равными нулю. Такие направления называются главнымиа относительные линейные деформации, происходящие вдоль этих направлений, называются главными деформациями и обозначаются е1( е2 и 83. Доказательство этой теоремы производится путем рассмотрения квадрики деформаций, совершенно аналогичной квадрике напряжений. Вдоль оси г, проходящей через рассматриваемую точку тела, откладывается вектор длиной

Формула для % получается из (6.17), если г (/, т. п) совместить с любым из направлений хъ д^ или 之工 *

勿 q g/2 + 勾加2 + ®簿 2 + уху1т + уугтп + 力#位・

Главные деформации %, % н % экстремальны, так как они обратно пропорциональны квадратам полуосей поверхности деформаций, а последние в центральных поверхностях второго порядка обладают экстремальными свойствами. Возможные случаи поверхности деформаций аналогичны таковым в теории напряжений.. Таким образом, деформацию в окрестности любой точки можно представить как растяжение (сжатие) в трех взаимно ортогональных (главных) направлениях.

Главные деформации. Инварианты деформации в точке тела. Отыскание главных деформаций производится из уравнения, имеющего такую же структуру, как и уравнение для отыскания главных напряжений:

е,е,(%-£)(%-£)ъъ1 -21 -2°-°-б?(6б?(6

е,

е,

(%-£)

(%-£)

ъ

ъ

1 -2

1 -2

°-

°-

б?

(6

б?

(6

Алгоритм отыскания направляющих косинусов главных направлений деформации ничем не отличается от алгоритма определения направляющих косинусов нормалей к главным площадкам. При этом во всех формулах вместо элементов тензора

(6 Л 9)(6 Л 9)

(6 Л 9)

(6 Л 9)

имеют место соответствующие элементы тензора.

Всегда вещественные корни 8lt е2 и 83 уравнения (6.18) и представляют собой главные деформации.

Если одна из главных деформаций равна нулю, деформированное состояние в точке называется плоским.

Три инварианта тензора деформации находятся аналогично инвариантам тензора напряжений и выражаются формулами, которые получаются из (5.40*) путем замены компонентов в соответствии с аналогией То и Те [(6.19) и (6.20)].

' Поясним физический смысл первого инварианта тензора дефор- ^гации

/i (Те) = E# + J + % = £丄 + 加 + Ез = const.

В окрестности рассматриваемой точки выделим элементарный куб с ребрами, длина которых равна единице, а направления совпадают с главными направлениями деформацииt Объем такого куба до деформации, равный единице, обозначим Vo- В результате деформации куб превратится в .прямоугольный параллелепипед (так как сдвиги между главными направлениями деформации равны нулю). Длины ребер этого параллелепипеда суть (1十£) U+з), (1 +е3), а объем

l/ = (l+q)(l+喲(1+е3)・

Относительное приращение объема элемента, выделенного в окрестности точки, представляют собой величину、

С .Y一% (1+%)(1+啕(1+£3)-1

=q + S + % + 加国 + 仆办 + еЗе1 + в18383.

В силу малости величин q, е2 и е3 пренебрегаем по сравнению с ними их произведениями. Тогда получим

3匸玩+加+%=厶(又)・

Таким образом, первый инвариант тензора деформации представляет собой относительное изменение объема. Такая интерпретация величины 令 позволяет утверждать, что, выделяя в окрестности рассматриваемой точки всевозможным образом ориентированные бесконечно малые кубики или тела иной формы с центром в этой точке, получим одинаковое относительное изменение объема вследствие деформации каждого из них.

Максимальные сдвиги. Пользуясь аналогией между теорией деформаций и теорией напряжений, укажем, что максимальные сдвиги возникают между тремя парами направлений. Каждая такая пара направлений лежит в одной плоскости с двумя главными направлениями деформации. Каждое из взаимно перпендикулярных направлений, между которыми происходит максимальный сдвиг, делит угол между главными направлениями пополам (рис. 6.3), Максимальные сдвиги находятся по формулам, аналогичным формулам для максимальных касательных напряжений, т. е.

1е2一&з1 … €з — е1 1 „ 盯—吻

или

R =加一е3» Tu = % — ei>Yin = S — %；

Yi — сдвиг между направлениями, являющимися биссектрисами углов между направлениями деформаций е2 и е3; аналогичная картина и в двух других случаях..

Сдвиги уь у” и уш называются главными.

Рис. 6.3. Направления, между которыми имеют место максимальные сдвиги! / — направления. между которыми сдвиг равен Yj = е2 — es; 2 — направления, межДу которыми сдвиг равен yiI = % — &；.3 — направления, между которыми сдвиг равен 力“= «=* et — 8г; (/),《2) и (<?) — направления главных деформаций, соответственно е「е£ и ея.Рис. 6.3. Направления, между которыми имеют место максимальные сдвиги! / — направления. между которыми сдвиг равен Yj = е2 — es; 2 — направления, межДу которыми сдвиг равен yiI = % — &；.3 — направления, между которыми сдвиг равен 力“= «=* et — 8г; (/),《2) и (<?) — направления главных деформаций, соответственно е「е£ и ея.

Рис. 6.3. Направления, между которыми имеют место максимальные сдвиги! / — направления. между которыми сдвиг равен Yj = е2 — es; 2 — направления, межДу которыми сдвиг равен yiI = % — &；.3 — направления, между которыми сдвиг равен 力“= «=* et — 8г; (/),《2) и (<?) — направления главных деформаций, соответственно е「е£ и ея.

Рис. 6.3. Направления, между которыми имеют место максимальные сдвиги! / — направления. между которыми сдвиг равен Yj = е2 — es; 2 — направления, межДу которыми сдвиг равен yiI = % — &；.3 — направления, между которыми сдвиг равен 力“= «=* et — 8г; (/),《2) и (<?) — направления главных деформаций, соответственно е「е£ и ея.

Относительные линейные деформации вдоль направлений, между которыми происходят максимальные сдвиги, равны следующим величинам:.-

" 一 剪 + 関а _1_ €1 + ®2

. Ei =—2~>Ell =—2—，еИ1 =—2—'

Разложение тензора деформации на шаровой тензор деформации и девиатор деформации. Деформацию в точке, описываемую тензором деформации (6.20), Можно представить как сумму двух слагаемых:

Te = T? + De.(6.21)

Первое слагаемое — шаровой тензор деформации

Il S0ООТ『оео0II00е0Il S0ООТ『оео0II00е01ОО1ООо 1 оо 1 ооооо

Il S0ОО

Т『оео0

II00е0

Il S0ОО

Т『оео0

II00е0

1ОО

1ОО

о 1 о

о 1 о

оо

оо

—соответствует равномерному всестороннему растяжению4 (или

сжатию) при одинаковых вдоль любого из направлений относительных линейных деформациях

e1 +9

% =33= У

Имея в виду физический смысл первого инварианта тензора деформации» легко уяснить, что в первом слагаемом (6.21) заключена полная деформация изменения объема. На долю же второго слагаемого

I

J—% 匕〃2 Vrz/2 В

Yxg/2 % —% &z/2，•

、m?&J2e2—e0||

называемого девиатором тензора деформации (или просто девиатором деформации), остается лишь деформация изменения формы. Деформация, соответствующая шаровому тензору Те, не сопровождается изменением формы (кубик остается кубиком).

Инварианты девиатора деформации легко могут быть получены по общему правилу, показанному на примере тензора напряжений (формулы (5.40*)), если ввести обозначения

ед. — е0 = 5Х,.固一б。= эу.е2 — е0 = %：

厶(DJ = з# + 固 + % = 0,

—厶(D J = эхэу + эуэг + эгэх 一 ^ Y% — } 丫£ 一 ； 丫舞 ~

=3饱 +3233 +方81=

U - "^ [(Е* - 出)2 + (/-冤产 + ⑸-E J + 4 ^У + 7募 + Y九)]=

==-^~ [(% - 加户 + (白一用户 + (% - e1)円=一 V 5 + Tn + Yin)»

，3 (D J = ЭхЭуЭг + 彳 YxgYuzYzx — % 彳 Y jz 一 ％ 彳 丫4 一 厶彳 Уху = ^1^3-

Равенство нулю первого инварианта девиатора деформации свидетельствует о том, что ему соответствует деформация изменения объема, равная нулю. Главные значения ^, 3纟 и з§ находятся кз кубического уравнения

.э^-П^э-^ (De) = 0,(6.22)

все корни которого вещественные.

Главные значения эъ з^ и 83 соответственно отличаются от главных значений еь е2 и &3 на величину е0. Главные направления девиатора деформации De и тензора деформации Те совпадают.

Поверхность Коши, соответствующая Tg, представляет собой сферу. Для девиатора же деформации — комбинацию однополостного гиперболоида, конуса и двух полостного гиперболоида, называемую гиперболоидом деформаций,

Главные сдвиги не зависят от % и полностью определяются компонентами девиатора.

W =32 — *, Yu = % — %, Yui =% —死・

Аналогично, лишь компонентами девиатора деформации определяются и сдвиги между любыми двумя ортогональными -направлениями, проходящими через рассматриваемую точку деформированного тела.

Используя для корней кубического уравнения (6.22) тригонометрическую форму, находим 田々，у； (й= 1, 2, 3; / = I, II, III) по формулам, аналогичным (5.64), (5.64а), с заменой в нихх) ]/72(D(j) на 21Z/2(De) и s(j на. юе. Для наглядности покажем на рис. 6.4 характер деформации элементарного кубика с ребрами, равными единице, соответствующей отдельным элементам следующего тензора: .

8*=з8

У、xg

彳％

1

■у Yx«

% = 4в

1

2 v^

1

万Y"

ez = 5e

На рис. 6.4, а показан элементарный кубик до деформации. На рис. 6.4, б —доля полной деформации, связанная лишь с изменением длин ребер кубика. На рис. 6.4, в, г и й изображены доли деформаций, связанные (при неизменных длинах ребер) лишь с изменением углов между гранями. На рис. 6.4, е представлена полная деформация, которая далее разложена на две составляющие части, из которых одна представляет собой шаровой тензор деформации, а другая — девиатор деформации, изображенные соответственно на рис. 6.4, ж и 6.4, з.

Интенсивность деформации сдвигов. Интенсивность деформации. Октаэдрические деформации. Выше нам встречалась величина 2/，2(口£). Она носит название интенсивности деформации сдвига. Эта величина в некотором смысле характеризует деформированное состояние в окрестности точки тела и определяется следующей формулой:

]=+ 2 ]/ 厶(DJ = j/^ *1 ]/\扌 + 访[十 Yin =

1)Аналогично второму инварианту девиатора тензора напряжений и ‘2 (°8)> °，

Рис. 6.4. Деформация

элементарного кубика:

О4еОО4еО1:21:2о”2 Оо”2 О

О4е

О

О4е

О

1:2

1:2

о

”2 О

о

”2 О

а) элемент до деформации; б) деформа-ция, соответствующая тензору

ЗеОО

в) деформация, соответствующая тензору

О

Оо

деформация, соответствующая тензору

деформация, соответствующая тензору

00丄

005力*

1С0；

Т У2Х о .

деформация, представляющая собой сумму деформаций, изображенных на рис.仇 в, £ и д (показано постепенное на«

копление суммы деформаций),т. е. соответ* ствующая тензору

Зе "2 У*У *2 力月

彳？zx "2 % 5е

砌 деформация, соответствующая шарово* му тензору

尸。0 0

Io

8)деформация, соответствующая тензору

儿 g0 1 %

~2 % "2 V? e I ■-

(сумма слагаемых деформаций, изебра> женных на рис. в, г, о и деформации^ соответствующей тензору

Г; ： 口)•.

В случае чистого сдвига, определяемого тензором имеем

也=丨Y1.

Можно ввести понятие интенсивности деформации^ связанной с интенсивностью касательных деформаций зависимостью

="3~ / (ei — е2)2 + (е2 — £з)2 + (ез — ei)2-="3~ / (ei — е2)2 + (е2 — £з)2 + (ез — ei)2-

="3~ / (ei — е2)2 + (е2 — £з)2 + (ез — ei)2-

="3~ / (ei — е2)2 + (е2 — £з)2 + (ез — ei)2-

Величинам ео, уь и о)£ может быть дана механическая интерпретация, аналогичная приведенной в теории напряжений для о(” 切 и со0. Величина е0 представляет собой относительную линейную деформацию вдоль нормали к октаэдрической площадке, т. е. вдоль оси, равнонаклоненной к главным направлениям .деформации; у； с точностью до постоянного множителя равняется углу сдвига между двумя ортогональными направлениями, лежащими в октаэдрической площадке:

%кт ~ ^0» ?окг = ^/^Уь

"е— У「。"，определяющий положение ортогональных направлений в октаэдрической площадке, между которыми происходит сдвиг, равный уокт. Этот угол характеризует определенным образом отношение интенсивности деформации сдвига к абсолютной величине максимального сдвига:

I Ymax 丨sin ^(Ое + у j

Аналогично (5.65a) получаем

11Yi;=^ 1,08 J Ymax IYi;=^ 1,08 J Ymax I

1

1

Yi;=^ 1,08 J Ymax I

Yi;=^ 1,08 J Ymax I

с погрешностью, не превышающей 7%. Величинам % и юе можно дать интерпретацию, аналогичную данной В. В. Новожиловым

для s н %.

Так как любая деформация в окрестности точки представляется как растяжение:) в трех взаимно ортогональных главных направлениях, деформацию в точке можно задать тремя главными направлениями деформации и величинами трех главных относительных линейных деформаций-加,е2 и е3.

По-другому деформацию в окрестности точки можно задать тремя главными направлениями деформации и величинами ео, 伙 и сое.

Подобно направляющему тензору напряжения, вводится поня* тие направляющего тензора деформации

Тогда тензор деформации определяется следующей формулой;

Ге = е014-у1'Ое.

Первое слагаемое характеризуется поверхностью Коши в виде сферы, а второе слагаемое ——в виде направляющего гиперболоида деформаций.

7. Круги Мора. Тензор деформации в точке, так же как и тензор напряжения в точке, может быть геометрически охарактеризован кругами Мора. Справедливым остается все построение и все формулы, только вместо ап о2 и а3 фигурируют ег； е2 и е3, а вместо av и tv —величины ег и у у. (Здесь 7 — абсолютная величина сдвига в плоскости, перпендикулярной направлению г, определяемому направляющими косинусами /, m и п.)

Аналогично вводится и коэффициент Л оде, характеризующий вид диаграммы Мора:

He = 2^-l=/3ctg(<oE + ^.

Пример 6.L 无 н у——главные направления деформации, х и у —два ортогональных направления, лежащих в плоскости 北夕 (ось х составляет с 兄 угол а). Вдоль осей х и ^ имеют место главные деформации ех и е2. Требуется найти и уху.“

Решение при двух значениях угла а (а в первой четверти и во второй четверти) показано на рис. 6.5, а, 6. Так как х и у лежат в плоскости двух главных деформаций, пользуемся одним кругом Мора.

Пример 6.2. По компонентам плоской деформации %,勿 и уху = у найти отличные от нуля главные деформации и направления их.

Решение показано на рис. 6.6.

Пример 6.3. По заданным ех, %, Y£g=Y иайти при помощи полюса круга деформаций e^, eN и、м№ а также найти £工,е2 и их направления.

Решение показано на рис. 6.7.

Растяжение следует понимать в алгебраическом смысле.

Рис. 6.5. К примеру 6.1. Определение компонентов деформаций в осях *, g (плоская задача) по заданным главным деформациям при помощи круга Мора: а) случай, когда угол а, составляемый осями % н — в первой четверти; 6) случай, когда угол % состав- ♦• ляемый осями * н — во второй четверти.

Рис. 6.6. К примеру 6.2. Определение главных деформаций и их направлений по компонентам деформации при помощи круга Мора.

Пример) 6.4. По показаниям трех датчиков розетки, пользуясь кругом Мора, найти величины и направления главных деформаций. Особенностью постановки этой задачи является то, что среди заданных величин нет сдвига, линейных же деформаций задано три.

Рис. 6.7. К примеру 6.3. Определение прн помощи полюса круга деформаций компо- неитов деформации в системе осей MN и определение главных деформаций и их направлений по компонентам в системе осей г и ^.

Изобразим точку Р (полюс) (рис. 6.8, а) и будем считать ее точкой расположения трехкомпоиентной розетки общего вида. Изобразим три измеренные -относительные линейные деформации g*, £” й U" в окрестности точки тела .при помощи векторов. Проведем линии 2 — 2 и 3—3, перпендикулярные 8Х,

Рис. 6.8., К примеру 6.4. Определение главных деформаций н их направлений по пока- занням тензометрических датчиков трех компонентной розетки: а) случай розетки общего вида： 6) частный случай розетки,

и £”'. Отложйм отрезок PD — г' горизонтально в направлении, противоположном направлению е#; точка D определяет собой положение оси у/2. Отложим DE ==吸 и проведем ЕН вертикально до пересечения с 2 — 2 (2 —2 丄 н"). Тогда Я явится точкой, лежащей на окружности и имеющей координату, равную компоненту деформации вдоль направления 2 — 2. Отложим Ь) = К" и проведем JK вертикально до пересечения с направлением 3—3 в точке К. Тогда точка X представит собой точку на окружности, координата которой дает компонент деформации направления 3—3. Так как Р, Н н К должны

лежать на окружности, легко *находим цеигр С этой окружности как пересечение прямых, перпендикулярных к HP и ^^ и делящих эти отрезки по полам. Точка С опрепеляет собой положение оси 8. Окружность имеет радиус СР и легко строится. Главные деформации 04 н ОВ и направления их Р4 и РВ могут быть легко найдены.

Для частного случая прямоугольной розетки, когда s" составляет как с s', так и с &〃' углы по 45。，построение может быть упрощено, а именно: центр С находится как точка пересечения прямой ЕСЦс" и прямой LC J. JP » делящей JP пополам (рис. 6.8, 6). :

§ 6・6・ Условия совместности деформаций

Возникает вопрос: любыми ли могут быть функции ех,办, s2( ...» Ya#, входящие в уравнения (6.11), или они должны удовлетворять каким-то определенным требованиям? Функции и, у и w должны быть непрерывными из-за того, что сохраняется сплошность тела в процессе деформации. Следовательно, функции ех, ..,, Yz# должны быть такими, при которых обеспечивается эта „ непрерывность. Такие функции %, . ., угх при совместном их рассмотрении могут описать действительную картину деформации тела. Следовательно, условия сохранения сплошности тела в процессе его деформации иначе можно трактовать как условия совместности деформаций.

Если мысленно разбить тело до деформации на элементарные параллелепипеды и затем продеформировать каждый из них согласно функциям ех, ..., yzxt то совместность деформаций будет означать, что из элементов, - претерпевших деформацию, можно составить тело без каких-либо просветов. В противном случае, при невозможности образования сплошного тела (без щелей} из элементов, претерпевших деформацию, деформации несовместны.

Выясним, каким же требованиям должны удовлетворять функ* ции Е#, ..., н*, чтобы обеспечить совместность деформаций. Для этого достаточно исключить из уравнений (6.11) функции и, v nw. С этой целью поступим так. Сопоставим первое, второе и четвертое уравнения системы (6.11); убеждаемся в том, что если первое уравнение продифференцировать дважды по х, второе дважды по z/ и результаты сложить, то правая часть суммы окажется равной правой части результата двухкратного дифференцирования четвертого уравнения — один раз по х и один раз по у:

产£用—不〃. 吻2 一糸ду2十

62gx 如y‘

勿2 + ^ дх ду2 + 0" by，

济匕" 亦^ I 承以 дх ду dx2 ду + 汝犷，

Равенство правых чрстей уравнений свидетельствует о равенстве и их левых частей:

Итак, первое уравнение совместности деформаций имеет вид

@W 1 d%2 дхду ' у@W 1 d%2 дхду ' у(6.23)1,斷 з(6.23)1,斷 з

@W 1 d%2 дхду ' у

@W 1 d%2 дхду ' у

(6.23)1,斷 з

(6.23)1,斷 з

Два других уравнения выводятся аналогично и могут быть получены из вышеп р и веден ного циклической перестановкой букв.

На этом не ограничиваются условия совместности деформаций, связывающие функции ех, ..., у?*. Имеется еще три условия. Рассматривая последние три уравнения из системы (6.11), убеждаемся в том, что если произвести дефференцирование четвертого уравнения по г, пятого по х, а шестого но у и из суммы результатов дифференцирования четвертого и пятого уравнений вычесть результат дифференцирования шестого уравнения, то в правой части порученного таким образом, уравнения останется всего одна функция у из числа трех функций 〃， и п ®:

外用У 那0 渭以дг и ~дудг

дх — дх ду dx dz

加外 力" 力?用 =2鼻0~дг дх ду = дх дг "

Если теперь продифференцировать обе части полученного равенства по у, то, учитывая, что dv/dy ^= etfl получим еще одно условие совместности деформаций:

而M 丿=2(X У z). (6.23)4, & 6 Два последних условия могут быть написаны, если воспользоваться циклической перестановкой букв. Всего составлено шесть условий совместности деформаций. Впервые их получил в 1860 г. Б. Сен-Венан. Поэтому они носят название уравнений Сен-Венана.

Условия (6.23) являются, как это показано в главе IX, условиями интегрируемости уравнений (6.11) для тел как односвязных, так и многосвязных, т. е. условиями совместности шести уравнений Коши относительно трех функций ut v и w. Одновременно (6.23) являются необходимыми и достаточными условиями однозначности перемещений, но лишь для односвязных тел<

Случай неодносвязных тел рассмотрен в § 6.8.

В заключение параграфа отметим, что условия (6.23) в неко* торых случаях выступают как уравнения, а в остальных случаях кяк тождества. Если известны непрерывные функции ut у> wt то

I 6Л) ЖЕСТКИЙ ПОВОРОТ И ЧИОТАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 473 компоненты деформации £*, ...» у?* могут быть получены согласно (6.11) путем дифференцирования 以，и н 侬.Найденными таким образом функциями £*, ..., угх условия (6.23) удовлетворяются тождественно. В этом случае условия (6.23) используются лишь для контроля. -

Если же функции и, у, w не известны и ищутся компоненты напряжения и деформации, то условия (6.23) выступают как уравнения и именно как те дополнительные уравнения, которые совместно с уравнениями равновесия (5.59) (при учете (5.1)) позволяют раскрыть статическую неопределимость задачи механики сплошной среды. Разумеется, что для совместного использования уравнений (5.59) и (6,23) необходимо иметь зависимости, связывающие компоненты напряжений с компонентами деформаций, чтобы во всех уравнениях содержались одни и те же неизвестные величины. Такие зависимости отражают физическую природу материала и рассматриваются в главе VIL

§ 6.7< Жесткий поворот и чистая деформация

направлений этих эле-направлений этих эле-Основные понятия. Рассмотрим деформацию в окрестности точки Л деформированного тела. Деформация тела сопровождается перемещением точки А, изменением длин линейных элемен

направлений этих эле-

направлений этих эле-

тов, проходящих через нее, и изменением ментов. Будем интересоваться сейчас лишь поворотами этих элементов. Исключим из рассмотрения перемещение точки А и изменения длин линейных элементов, так как они не являются существенными при изучении их поворотов.

Характеристиками поворота ок- рестнрстн точки деформируемого тела являются величины

2s-瑞一篆(6.24)

Если предположить, что сущест

вует линейная зависимость углов по

ворота элементов от их угловой координаты относительно неподвижного элемента, то 2з*, 2s» и 2@ могут быть истолкованы как удвоенные углы поворота биссектрис углов, образованных элементами, проходящими через точку / и параллельными осям координат х, у, г.

Пусть имеется два ортогональных линейных элемента в окрестности точки А, направленных вдоль осей q и r2 (^i ||х, га||у) (рис. 6,9).

В результате деформации тела направления элементов гх и га повернутся и займут положения г； и г^

В § 6.2 было показано, что

dvаl諫，dvаl諫，а2 =а2 =диди

dv

аl諫，

dv

аl諫，

а2 =

а2 =

ди

ди

Угол сдвига ^ху равен

dv .

Y*尸衣+府;

2(0^ — удвоенный угол поворота биссектрисы — равен

2孤=%-a2 =尊一警.

В справедливости формулы легко убедиться. Положительные углы

Рис. 6.1D. К 'епределеиию поворота (ог: а) поворот без сдвига, б) сдвиг без поворота: / — биссектриса угла г^Аг^ (до поворота линейных элементов), 2 — биссектриса угла ,р4г； (после поворота лииейяых элементов), 3 — биссектриса углов 〃4r纟 и r^Ar^ (и до и после поворота линейных элементов).Рис. 6.1D. К 'епределеиию поворота (ог: а) поворот без сдвига, б) сдвиг без поворота: / — биссектриса угла г^Аг^ (до поворота линейных элементов), 2 — биссектриса угла ,р4г； (после поворота лииейяых элементов), 3 — биссектриса углов 〃4r纟 и r^Ar^ (и до и после поворота линейных элементов).

Рис. 6.1D. К 'епределеиию поворота (ог: а) поворот без сдвига, б) сдвиг без поворота: / — биссектриса угла г^Аг^ (до поворота линейных элементов), 2 — биссектриса угла ,р4г； (после поворота лииейяых элементов), 3 — биссектриса углов 〃4r纟 и r^Ar^ (и до и после поворота линейных элементов).

Рис. 6.1D. К 'епределеиию поворота (ог: а) поворот без сдвига, б) сдвиг без поворота: / — биссектриса угла г^Аг^ (до поворота линейных элементов), 2 — биссектриса угла ,р4г； (после поворота лииейяых элементов), 3 — биссектриса углов 〃4r纟 и r^Ar^ (и до и после поворота линейных элементов).

осг и а2 и угол ①? изображены на рис. 6.9. При повороте элемента А на угол «1 и неподвижности г2 биссектриса поворачива- 1 dv

ется на 丫^^号二 万衣，а при повороте элемента г2 на угол а2 и неподвижности гг биссектриса поворачивается на угол —晋== н — М 芻.Таким образом, угол поворота биссектрисы при повороте элементов『1 и г2 на углы % и а2 оказывается равным

1 dv 1

Отсюда приходим к формуле (6.24%.

Аналогично, удвоенные углы поворота биссектрисы угла между направлениями линейных элементов, параллельных осям у н z и осям г и х. соответственно равны 2s# и 2山»・

Можно рассмотреть два крайних случая. В первом из них (рис. 6.10, а) а2 = — аъ т. е. i〃/dg =二 io/dx, при этом

V^ = 17 +(~ Й) = 0- 23z = ^—(—劉=2雾

вследствие того, что и rv и & повернулись в одну и ту же сторону и на одинаковый угол. Вместе с тем поворот в плоскости 必 в окрестности точки Л произошел на ди1дх = в»

Рис. &11. Разложение деформации на чистую деформацию и поворот: а) картина поворота направлений 匕 и ~; 6) сдвиг без поворота (чистая деформация^Рис. &11. Разложение деформации на чистую деформацию и поворот: а) картина поворота направлений 匕 и ~; 6) сдвиг без поворота (чистая деформация^Vxa = -^— + -a, + g,久=0；Vxa = -^— + -a, + g,久=0；

Рис. &11. Разложение деформации на чистую деформацию и поворот: а) картина поворота направлений 匕 и ~; 6) сдвиг без поворота (чистая деформация^

Рис. &11. Разложение деформации на чистую деформацию и поворот: а) картина поворота направлений 匕 и ~; 6) сдвиг без поворота (чистая деформация^

Vxa = -^— + -a, + g,久=0；

Vxa = -^— + -a, + g,久=0；

в) .поворот беэ сдвига (жесткий поворот).в) .поворот беэ сдвига (жесткий поворот).УхуУху中+泣戶=%+7+凱中+泣戶=%+7+凱СЦ +&СЦ +&密+a2密+a2=0,=0,2222

в) .поворот беэ сдвига (жесткий поворот).

в) .поворот беэ сдвига (жесткий поворот).

Уху

Уху

中+泣戶=%+7+凱

中+泣戶=%+7+凱

СЦ +&

СЦ +&

密+a2

密+a2

=0,

=0,

2

2

2

2

У*у = 0, 叫=он — се* = dv/dx — ди/ду,

Во втором крайнем случае 仪扌二仪工，т. е. ди/ду — dv/дх, при 灯ом

Y*4=或+前=2衣， 2必=就丁 " = 0.

е. произошел сдвиг (рис. 6.10, б), биссектриса же угла между С и г? не повернулась. Таким образом, имеет место только- деформация (чистая деформация}f без жесткого поворота. В общем случае картину поворота элементов rt и г2 соответственно на углы а】и а2 всегда можно представить как сумму двух слагаемых (рис. 6.11), из коих одно характеризует чистую деформацию, а другое— жесткий поворот. В первом нЗ этих слагаемых

■ 2. Однородная деформация. Представление относительных смещений через поворот и чистую деформацию. Рассмотрим две точки 4 (х, у, г) и В (x + dx, y + dy, г + dz). Составляющий перемещения точки 5 относительно точки Л выражаются формулами

А〃 н 〃8 — %4 = (ид + d〃) - «д = dw =芻dx + ^ dy + ^ dz (uvw);

(6.25)

dx, dy и dz в этих формулах можно рассматривать как относительные координаты Е, т], & т. е. координаты точки В в случае» если точка 4 принята за начало отсчета; тогда.

a"=注+釧+款 他砌•(6.26)

Если относительные смещения суть линейные функции относительных координат, деформация называется однородной. Из (6.26) следует, что деформация малого элемента тела является однородной/

Имея уравнения (6.11) и (6.24), можем выразить девять производных составляющих перемещения через девять функций £»，坛，Y#外 Y”, Тех» &х,①外 &?• Действительно, ди/дх, dv/dy и dw/dz выражаем соответственно через %, % и % непосредственно из уравнений (6.11), Остальные производные находим путем попарного рассмотрения соответствующих уравнений из систем (6.11) и (6.24). Например, из двух уравнений

dv . ди о dv ди

7冲=近 +而，^^di^dyнаходим- dv 1. ди 1'

Аналогично находим и остальные производные.

В результате получаем

霏=勿， ^ = 4?w-®« 雾= ^Yzx + 3g (uvw) (хуг). (6.27)

Подставляя найденные производные ди/дх9 ..., dw/dz из (6.27) в (6.26), получим

厶〃 =з從 一 &n + %& + 密 Y*»n + у 匕上(〃网)(屯z)・(6.28)

Из (6.28) видно, что относительные перемещения образуются из перемещений при повороте элемента как абсолютно твердого тела и перемещений, обусловленных чистой деформацией (три последних слагаемых в каждой из формул (6.28)).

Матрицу 3-го' порядка, элементами которой являются девять производных х)第[(〃卩叫 xz/z], легко разложить на симметричнуюМатрицу 3-го' порядка, элементами которой являются девять производных х)第[(〃卩叫 xz/z], легко разложить на симметричнуюиикососимметричную.кососимметричную.Действительно, воспользовавшисьДействительно, воспользовавшисьзависи-зависи-мостями (6.27), имееммостями (6.27), имеемди 苏du 苏 dw 强ди 苏du 苏 dw 强

Матрицу 3-го' порядка, элементами которой являются девять производных х)第[(〃卩叫 xz/z], легко разложить на симметричную

Матрицу 3-го' порядка, элементами которой являются девять производных х)第[(〃卩叫 xz/z], легко разложить на симметричную

и

и

кососимметричную.

кососимметричную.

Действительно, воспользовавшись

Действительно, воспользовавшись

зависи-

зависи-

мостями (6.27), имеем

мостями (6.27), имеем

ди 苏

du 苏 dw 强

ди 苏

du 苏 dw 强

Первое, симметричное слагаемое представляет собой деформацию, второе, кососимметричное — поворот.

Преобразование компонентов жесткого поворота при повороте системы координатных осей. При переходе от одной прямоугольной системы координатных осей xyz к другой, аналогичной системе *必网 изменяются и компоненты жесткого поворота.

Можно показать, что

尸 士(@Л + ①严工 + ^zn^ 31 Уг 4)(1 2 3).(6.29)

Знак плюс берется в том случае, если системы осей xyz и 八？/工 имеют одинаковую ориентацию (обе правые или обе левые)» а минус— в случае различной ориентации систем.

Из формул (6.29) следует, что ①*,①“ и <ог* при переходе от одной системы осей к другой изменяются, как проекции аксиального вектора, имеющего длину, равную

.3 = 1/磯+ 3力+延,

и направление, определяемое направляющими косинусами

Если со#, бд и (о? одновременно равны нулю в какой-либо прямоугольной системе координатных осей х, у, г, то на основании (6.29) они равны нулю и в любой другой системе осей 尤修工z「

i) Символ циклической перестановки [(xyz) uvw] обозначает, что в рамках каждого выражения (уравнения), получаемого вследствие применения циклической перестановки (xyz)t используется циклическая перестановка uvw, вследствие чего образуется девять выражений (уравнений). *

т, е. объемный элемент при этом в среднем не будет получать поворота относительно какой бы то ни было оси, проходящей через точку, в окрестности которой расположен объемный элемент. При этом под поворотом объемного элемента подразумеваем средний угол поворота всех линейных элементов, проходящих через точку тела и составляющих объемный элемент. Подробнее этот вопрос освещен в § 6.9.

Условие однозначности перемещенийдля многосвязных областей

Соблюдение условий совместности деформаций (6.23), как уже указывалось, гарантирует интегрируемость уравнений Коши (6.11) для любой области, рдносвязной и неодносвязной, но однозначность перемещений это соблюдение гарантирует лишь в телах односвязных. В неодносвязной области при соблюдении лишь условий Сен-Венана нельзя гарантировать однозначность перемещений. Действительно, совершая^ интегрирование по замкнутой

Рис. 6.12. К условиям одиозиачиости перемещений в неодносвязных областях; а) двухсвязная область; б) трехсвязная область.

кривой, пересекающей тот мысленный разрез, который превращает двухсвязную область в односвязную, начиная от точки М^ и возвращаясь в нее (рис. 6.12, а), имеем

" =£0 + §偿厶 + ^初 + ^厶)(uvw). (6.30)

Если интегралы по замкнутой кривой в (6.30) не равны нулю, * то перемещения в точке MQ неоднозначны. Можно показать, что если мысленно произвести разрез, превращающий двухсвязную область в односвязную, и если перемещения хотя бы двух точек, лежащих на противоположных краях разреза друг против друга, оказываются одинаковыми/ то и все остальные соответствующие точки краев разреза перемещаются одинаково, т. е. соблюдается совместность деформаций в целом для всего тела. Таким образом, в двухсвязном теле условие однозначности перемещений требует. не только выполнения условий Сен-Венана (6.23)., без чего нельзя

было бы и проинтегрировать уравнения Коши, но и выполнения равенств

§ 偿〃 +嚣％+ 雾 dz) = 0 (uvw). ■(6.31)

Если тело трехсвязное (рис, 6.12, б), число равенств, аналогичных (6<31), удваивается, так как приходится интегрировать по двум замкнутым кривым, пересекающим те мысленные разрезы, которые обращают трехсвязную область в односвязную. В случае л-связной области число условий, подобных (6.31), равно 3 (л — 1). Каждый новый замкнутый контур, по которому берутся интегралы (6.31), при сопоставлении его с уже рассмотренными, должен пересекать один новый мысленный разрез из числа разрезов, превращающих неодносвязную область в односвязную.

Элементы нелинейной теории деформации

Предварительные замечания. В настоящем параграфе дается более точное определение геометрических соотношений, имеющих место при деформации тела, нежели приведенные выше. Такое ° уточнение позволяет оценить характер ранее полученных зависимостей и ограничить область возможного их применения, т. е. область возможного применения классической (линейной) теории сплошной деформируемой среды (в частности, классический теории упругости).

Лишь при определенных условиях качественная разница между вводимыми в данном параграфе величинами и аналогичными введенными ранее становится столь незначительной, что ею можно пренебречь и перейти к той трактовке характера деформации, которая дана в предыдущих параграфах.

Некоторые зависимости и положения настоящего параграфа будут использованы при рассмотрении нелинейных в геометрическом смысле задач.

Изложение в данном параграфе в значительной мере основывается на главе 1 книги В. В. Новожилова «Теория упругости», Судпромгиз, 1958<

Относительная линейная деформация. Компоненты деформации. Отметим в теле до его деформации вдоль оси г (с направляющими косинусами /, ш и п в системе осей хуг) некоторый линейный элемент АВ, длина которого dr (рис. 6.13), а составляющие по осям х, у и г суть dx, dy и dz; при этом

/=否，"=万.(6.32)

В результате деформации тела тонки Л и В переместились и заняли новое положение в пространстве Лх и 5工,расстояние

между точками 力工 и 区 стало dru составляющие его в осях х, у н z суть dx1( dylt dzu а ось гъ на которой расположились точки Ai и Bi, характеризуется направляющими косинусами

?=需"=翁"'畸•(6.33)

Перемещения точек Л и В имеют составляющие 〃人,Уд, ®力 и %8, vB и wB. Относительная линейная деформация 】)

£，=%# =芻一1・(6・34)

Таким образом, для отыскания Ег необходимо найти выражение dri/dr. Очевидны следующие соотношения (рис. 6.13):

d^ = dx + 〃8— 〃 а(屯2)(〃иг^)・(6.35)

Последние два члена в каждом из равенств (6.35) представляют

Рис. 6.13. К определению линейноД относительной деформации вдоль направления г в окрестности точки А в геометрически нелинейной постановке.

собой составляющие относительных смещений точек В и Л, которые могут быть выражены формулами (6.25). Поэтому получаем из (6.35) следующие три равенства:

dxi = (l + 翁)dx +岩 d«+芻 dz (X*) (x也 1Z0 (“оз), (6.36) связывающие проекции произвольного линейного элемента после деформации тела с проекциями этого же элемента до деформации. Подставляя (6.36) в (6.33) и используя (6.32), получим

/'=[(1 + 翁)/ +瑞加+ ^ 幫]备(Imn) (и矶叫. (6.37)

i) Для относительной линейной деформации здесь введено новое обозначение в отличие от линейной теории, изложенной в предыдущих параграфах) где эта величина обозначена ег (формула (6.5)).

Из зависимости (/')2 + (т,)а + (^)2 = 1 следует:

[(1 + 靠)/ +雾 m +雾"『+ [芻 l + ^\+~^m + ^ ^ +

+ [需仆瑞+警讨=(祭У, или

[1 + 2c J /2 + [1 + 2 廟档 + [1 + 2c J n2 + 2eXylm + 2ey?mn + 2ezxtil =

=留，

где

& =而 + 彳[(17)+)+(r川，] w

ди . dv , ди ди . dv dv . dw dw (") (〃°W)・(6.38)

Учитывая, что /^十加窘+ 办2= 1, имеем

(芻У = 1 + 2 к，+ е 川 + & 欣 + exylm + еугтп + егхп1].

Обозначив выражение в квадратных скобках символом 厶 получим

(患)=1+2'・(6・39)

Сопоставляя (6.34) с (6.39), будем иметь

(E「+l)z=i+2f,Е； + 2Е「一 2f = 0・

Отсюда.

Е, = — 1 + У 1+2/.(6.40)

Формула (6.40) дает точное значение относительной линейной деформации.

Если учесть формулы (6.11) и (6.27), то (6.38) можно представить в следующем виде:.

&==% + }[或+ 份 Yxy + s，+ 傅力*—SJ口，

(“).(6.41)(“).(6.41)&y = Уху + £* (у Уху — S, + (扌 Y#g + s, % +

(“).(6.41)

(“).(6.41)

+ 停 Vex — @g)伶 Yyz + & J

Таким образом, зная величины е^, ©,,・・♦， ^ в некоторой прямоугольной системе координатных осей xyzt по формулам (6.39) и (6.40) можно найти относительную линейную деформацию в любом направлении. Поэтому величины еХ9 ..., ezx логично назвать компонентами деформации в точке.

16 А, П. Филин

При ех = 0, ...» е?* = 0 тело не деформируется, н, наоборот, при отсутствии де^рмации тела е* = 0,ezx — 0. Величины же е*,・・., Yz*， рассматриваемые в линейной теории как компоненты деформаций, получают новую трактовку и интерпретируются, с уточненных позиций, не как компоненты, а как некоторые параметры.

.Преобразование компонентов деформации при переходе от одной системы осей к другой. Можно показать, что при переходе от одной системы отрогональных осей xyz к другой аналогичной системе x^Zy компоненты е*, .,., ezx изменяются в соответствии с законом, свойственным для компонентов симметричного тензора второго ранга:

е〃 = eJl + eyml+柒呜 + e^-jn^e^m^ + ezMi,

&收=2 (分厶勾 + 0网“2 + 柒％闯 + еху (1^ + l2m^) +(х^^) (123),

+ ^z (m^ + т2п^ + егх (n^ + ^ .

(6.42)

I11

1 e = ~2 exy ey "2" eyz .

I 1

~2 〃* 2 @? °z

Тензор 冗 имеет следующие инварианты:

厶(l)=6* + % + % = & + 62 + &,

厶（吗=厶（吗=1歹ё刘1歹ё刘в0侈2 +ё263 + ^1>в0侈2 +ё263 + ^1>万旬z万旬z/ 3 (Те)=/ 3 (Те)==6侈2ё3,=6侈2ё3,

厶（吗=

厶（吗=

1

歹ё刘

1

歹ё刘

в0侈2 +ё263 + ^1>

в0侈2 +ё263 + ^1>

万旬z

万旬z

/ 3 (Те)=

/ 3 (Те)=

=6侈2ё3,

=6侈2ё3,

где elt & и ea — главные значения тензора Те.

Относительные линейные деформации элементов, параллельных осям X, у, Z, и сдвиги между ними. Геометрическая интерпретация компонентов деформации. Относительная линейная деформация элементов, первоначально параллельных одной из координатных осей, определяется формулами

(xyz).(xyz).(6.43)

(xyz).

(xyz).

Формулы (6.43) получены из (6.40) с учетом того, что при г^х /= 1, /п = 0, п = 0, при гIIу / = 0, /и=1, п = 0 и при г || г / = 0, /71 = 0, п= 1.

Можно установить геометрический смысл компонентов ел, еу и е?; для этого разложим Е*, Еу, E# по формуле бинома Ньютона： Е* = — 1 + 1 + 彳• 2е* — -~ (2е*)2 + / (^)3 —...=

—^ +寸—… Сч/2)・ (6・44)

Из формул (6.43) и (6.44) видно, что компоненты %, eyt ez, входя в состав выражений линейных относительных деформаций EXi Еу, Ezt характеризуют последние; в этом заключается геометрический смысл компонентов деформации е*, еу и %•

Можно установить геометрический смысл и компонентов exyt еуг^ егх. Для этого необходимо определить изменение угла при де&)рмацнн тела между двумя линейными элементами АВ и АС, пересекающимися в точке Л под произвольным углом. Пусть направление rj элемента АВ до деформации тела характеризуется направляющими косинусами /^ тх и nit а после деформации тела — направляющими косинусами /；, /и； и 孔;.Направление же гц элемента АС до деформации — косинусами /2> 加纟 и п2, а после деформации — /^ /и],欣.Угол 2 между элементами АВ и АС до деформации определится из формулы аналитической геометрии

cos 窃=/厶 + + 孔能 2,

а после деформации — из формулы

cos 令'=/"； + т^ + 川区.cos 令'=/"； + т^ + 川区.(6.45)(6.45)

cos 令'=/"； + т^ + 川区.

cos 令'=/"； + т^ + 川区.

(6.45)

(6.45)

Если направляющие косинусы каждого из элементов определить по формулам (6.37), то после простых преобразований по

лучимCOS0' =(i+Eq)；i + E，u)лучимCOS0' =(i+Eq)；i + E，u)[cos 窃 + 2 (е/“2 + еуШ^ + ezn^ +

лучим

COS0' =(i+Eq)；i + E，u)

лучим

COS0' =(i+Eq)；i + E，u)

+ 莪y &m2 + 厶恤)+ eyz (m^ + m^ + ezx (〃厶 + 孔厶)]■

Если элементы АВ и АС параллельны соответственно осям х и у, то

А =2 ], 加1 = О,’ Л-J == 0j /2==。，加2== 1 j /ig==。；cos *0*=== 0j

%— 1+_ 1 + утт^；

поэтому

еy = cos 伊了" + 2&)(1+2^(ху2) (&(T&)(6.46)

储 &[ У —новые углы между линейными элементами, первоначально параллельными осям х и у, у и zt z и х.

16*,

Формулы (6.46) могут быть представлены в следующем виде: = sin <pw ]/(1 +2^)(1+^) (хуг).

Здесь ср*»,屮弊，Ф^ — углы, на которые изменились первоначально прямые углы между направлениями х и у (хуг).

Таким образом, компоненты exyt eyz, ezx характеризуют изменение угхов в процессе деформации между направлениями, проходящими через рассматриваемую точку параллельно осям *, у и z.

Подчеркнем, что полученные уравнения, связывающие компоненты перемещений и деформаций (6.38), являются нелинейными, в связи с чем интегрирование такой системы оказывается очень сложной задачей, не идущей ни в какое сравнение с простой задачей интегрирования уравнений (6.11), аналогичных по смыслу уравнениям (6.38) в случае малой деформации. При решении конкретных задач в общих формулах компонентов деформации мыслимы те или иные упрощения, вытекающие из относительного порядка величин1 входящих в выражения компонентов.

Изобразим зависимости (6.36), учитывая (6.27):

厶1 = (1 + %) d* + (4— 8,匈 + (у 力* + s,或 (^у^ (xyz) •

(6.47)

Если рассматривать линейный элемент, параллельный до деформации оси %, то dy = dz = 0, и проекция этого элемента после деформации на ту же ось изобразится в виде

отсюдаотсюдаd%i = (1 + %) dx;

отсюда

отсюда

d.q — dxdx

Итак, е* является относительной линейной деформацией проекции на ось х линейного элемента^ который до деформации был параллелен этой оси.

Аналогичен смысл величин еу и %. Что касается величин 丫*冷 Tyz и yzx, то для них в условиях нелинейных зависимостей (6.3Й) или (6.41) геометрическую интерпретацию дать затруднительно.

Геометрическая интерпретация величин <о*, Sy, со^， В. В. Новожилов дал следующую геометрическую трактовку величинам ①％, ①и и Ог. Бесконечно малый объемный элемент, мысленно выделенный из тела до его деформации, в результате деформации тела характеризуется в окончательном положении деформацией и поворотом. При этом под поворотом объемного элемента вокруг некоторой оси подразумевается среднее значение поворота, испытываемого всем множеством линейных элементов, принадлежащих данному объему и проходящих через рассматриваемую точку. Под углом поворота элемента относительно оси подразумевается угол,

«составляемый проекциями этого элемента до и после деформации на плоскость, перпендикулярную оси.

Обозначив углы поворота объемного элемента относительно ■осей х, у и z (т. е. средний угол поворота всех линейных элементов» составляющих объемный элемент) соответственно 中*,中修 и *фг, В. В. Новожилов в результате ряда выкладок получил следующие зависимости:,

tg也=—з* ..."= • .•的 z).

У (1+打)(1、 + 8»- 7幅z

Из них видно, что со*,(0р и д пропорциональны тангенсам угловИз них видно, что со*,(0р и д пропорциональны тангенсам углов

Из них видно, что со*,(0р и д пропорциональны тангенсам углов

Из них видно, что со*,(0р и д пропорциональны тангенсам углов

Рис. 6.14. К отысканию элемента, не изме* няющего своего направления (элемент оста* ется параллельным первоначальному положе* нию) при деформации..Рис. 6.14. К отысканию элемента, не изме* няющего своего направления (элемент оста* ется параллельным первоначальному положе* нию) при деформации..поворота объемного элемента •относительно осей *, у и z.

Рис. 6.14. К отысканию элемента, не изме* няющего своего направления (элемент оста* ется параллельным первоначальному положе* нию) при деформации..

Рис. 6.14. К отысканию элемента, не изме* няющего своего направления (элемент оста* ется параллельным первоначальному положе* нию) при деформации..

k =颠=%= dx dy — dzk =颠=%= dx dy — dz1+з.(6.48)1+з.(6.48)Элементы, не меняющие направления при деформации. Можно показать, что через любую точку деформируемого тела проходит хотя бы один линейный элемент, не меняющий своего направления в результате .деформации тела «рис. 6.14). Для такого элемента соблюдаются пропорции

k =颠=%= dx dy — dz

k =颠=%= dx dy — dz

1+з.

(6.48)

1+з.

(6.48)

Подставляя (6.47) в (6.48), деля обе части равенств на dr и учитывая (6.32), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(lmti)t(lmti)t(е* — Е0 / + (扌 уху — со, т + (J yzx +(о, п = 0 (xyz)

(lmti)t

(lmti)t

которая в сочетании с уравнением 12-^^ + ^= 1, связывающим направляющие косинусы /, /и и п искомого направления, позволяет найти /, m и п по схеме, аналогичной схеме отыскания главных направлений деформаций, т. е. путем решения уравнения

е^—Ег

歹 Yxg —3

у Y"+9g

у Уху + 力

Ед —Ер

1

彳 Y”一 s#

=0.

(6.49)

1 ^Угх^^у

1 , ~2 Y"+8*

Так как элементы, симметричные относительно главной диагонали, здесь не являются одинаковыми, уравнение имеет, вообще

говоря, лишь один вещественный корень. В частных случаях могут быть и все три корня вещественными. Итак, имеется хотя бы один линейный элемент, проходящий через рассматриваемук> точку, направление которого не меняется в процессе деформации; в частном случае таких направлений три (отметим, что они не являются взаимно ортогональными).

Если же со* =(0у = 3 = 0, то матрица определителя получается симметричной относительно главной диагонали, и, таким образом^ в этом случае все три корня уравнения (6.49) вещественны и три неповорачивающихся линейных элемента взаимно ортогональны. Ортогональность этих элементов следует из того, что при со* = =соу ==(ог = 0 (6.49) и уравнение для отыскания 6上,е2 и е§ оказываются аналогичными, и законы преобразования как ех)..., егх„ так и е*,・・・,у?х получаются одинаковыми. Вместе с тем главные элементы тензора Тв ортогональны. Коль скоро три элемента были взаимно ортогональными до деформации, а в процессе деформации не поворачивались, следовательно, они остались взаимно ортогональными и в результате деформации, а это означает, что направ* ления этих элементов являются главными направлениями деформации. ■

Итак, в случае соблюдения равенств со* =①亨=①^ = ° существует три взаимно ортогональных неповорачивающихся линейных элемента, проходящих через точку тела и совпадающих с главными направлениями деформации.

Картина деформации в окрестности точки и общая картина деформации тела. Картина деформации окрестности точки тела в соответствии с линейными зависимостями (6.47), связывающими проекции линейного элемента до и после деформации, характеризуется тем, что прямолинейный бесконечно малый элемент в процессе деформации занимает новое положение, но остается прямолинейным, бесконечно малая плоская площадка занимает новое положение, но остается плоской. Если два таких линейных элемента до деформации были параллельными, то параллельными они остаются и после деформации; параллельные до деформации грани объемного бесконечно малого элемента остаются параллельными и после деформацииг). Разумеется, все это справедливо лишь в случае рассмотрения бесконечно малой области в окрестности точки, так как иначе зависимости (6.47) перестают иметь силу. Вследствие сказанного бесконечно малый параллелепипед при деформации превращается, вообще говоря, в иной, но все же параллелепипед, элемент в виде бесконечно малого шара в резуль-

1) Сказанное вытекает из того, что, как известно из аналитической геометрии, при линейных преобразованиях прямые остаются прямыми, плоскости—плоскостями, параллельные — параллельными. Отметим, что при линейных преобразованиях поверхность второго порядка превращается в другук> поверхность тоже второго порядка.

тате деформации, вообще говоря, приобретает форму эллипсоида. При этом объемный элемент получает поступательное перемещение и поворот как жесткое целое. В результате поворота элементы, совпадающие с главными направлениями деформации, поворачиваясь, остаются взаимно ортогональными. Наконец, элемент, кроме того, испытывает чистую деформацию» состоящую в относительных изменениях длин линейных элементов вдоль главных направлений деформаций, характеризующихся величинами £尼：

J = — 1 +)/ 1 +甌 伍=L 2, 3).

Итак, деформация тела в некоторой его точке характеризуется компонентами еХ9 电，统，戏打 * &*, из коих первые три связаны с относительными линейными деформациями вдоль трех взаимно ортогональных направлений, параллельных осям xt у и zr а три последних связаны с изменениями углов, т. е. со сдвигами между этими направлениями.

Вместе с тем, говоря о деформации тела в целом, мы характеризуем ее перемещениями точек тела и поворотами элемента тела вблизи этих точек. Так, например, •

деформацию балки характеризуют прогибами ее оси и углами поворота элементов балки. Перемещение элемента, заштрихованного на рис. 6.15, и поворот этого элемента, т. е. величины и и З, характеризуют известным образом деформацию балки.

Таким образом, говоря о деформации тела, следует различать деформацию его в целом, которая главным образом характеризуется перемещениями и поворотами, и деформацию бесконечно малого объемного элемента, которая характеризуется изменением длин линейных элементов, входящих в его состав, и сдвигами {изменением углов между этими линейными элементами).

В § 6.1 отмечалось, что линейная теория деформаций основана на предположении об относительной жесткости тела. Как уже указывалось там, под этим подразумевается малость перемещений точек по сравнению с размерами тела. Сейчас, уточняя, добавим, что под этим подразумевается и малость углов поворота элементов тела по сравнению с единицей. Итак, относительная жесткость тела понимается нами в смысле малости перемещений 上)и поворотов. При этом малыми (по сравнению с единицей) оказываются

1) Так как перемещения являются величинами, имеющими размерность длины, судить об их малости можно лишь при сопоставлении с линейными раз* мерами тела. *

и относительные удлинения и относительные сдвиги в пределах малых элементов тела.

.Напротив, условие малости относительных удлинений и сдвигов (по сравнению с единицей) в пределах малых элементов тела еще не означает малости перемещений и поворотов. В этом легко убедиться, рассматривая изгиб тонкого стержня (табл. 1.3, строка 3).

Таким образом, ограничение величины перемещений и поворотов является ограничением более жестким, чем ограничение величины удлинений и сдвигов в пределах малого элемента.

В ряде случаев имеют место большие повороты элементов и малые сдвиги (например, в изгибаемых балках, пластинах, оболочках); тогда направление линейных элементов в теле после деформации в основном определяется поворотом, а не сдвигом, в связи с чем последним можно пренебречь по сравнению с первым. Такого рода упрощение в теории изгиба балок, пластин и оболочек широк» используется. Заметим, что, несмотря на различие в порядке величин жестких поворотов и сдвигов, те и другие могут считаться малыми по сравнению с единицей.

Итак, линейная теория деформаций применима при малости перемещений (по сравнению с размерами тела) и малости угло» поворота (по сравнению с единицей), влекущими за собой ма* л ость относительных линейных и угловых деформаций. В нелинейной теории деформаций в самом общем случае считается, что перемещения не малы по сравнению с линейными размерами тела, углы жесткого поворота элементов не малы по сравнению с единицей, относительные линейные и угловые деформации (сдвиги} тоже не малы по сравнению с единицей. В частных случаях нелинейной теории какие-то из упомянутых величин оказываются малыми, тогда теория становится проще.

Таблица 6.1

Перемещения

Повороты

Удлинения

Сдвиги

Примечания

не малы

не малы

не малы

не малы

Самый общий случай нелинейной теории деформации

не малы

не малы

малы

малы

Нелинейная теория деформации гибких элементов (гибкие стержни, гибкие пластины, гибкие оболочки)

ие малы

малы

малы

малы

Один из частных случаев нелинейной теории (повороты являются величинами иного порядка малости, нежели параметры £*,... * • • » Yzx)

Линейная теория деформации

малы

малы

малы

малы

В табл. 6.1 показаны некоторые частные случаи теории, соответствующие различным комбинациям порядков величин перемещений, поворотов, относительных линейных и угловых деформаций. Могут быть и иные частные случаи, в том числе и такие, при которых, например, малыми оказываются не все повороты или не все повороты, принимаемые малыми, превосходят параметры

Относительное изменение объема. В нелинейной теории иным оказывается и выражение для относительного изменения объема. Исходим из того, что масса элемента вблизи точки деформируемого тела в процессе деформации не меняется, т. е. что

pdxdy dz^= Pxdxidy^Zi, $\ p dx dy dz = \\, 9idxxdyidzu (6.50)

где V — объем тела до деформации, Vx — объем, в который преобразован V в процессе деформации тела, р и рх — плотности тела до и после деформации в объеме V и Vi соответственно. При этом

/ = *+〃,!/i = y + vf4 = 2+ 叽

Относительное изменение объема

а —心题业1 — dx dy dz _ d/dy1dzi( _ p 〔 /ar、

°一~ axdydz J(b.bl)

Интеграл, стоящий в правой части равенства (6.50)2, может быть представлен в координатах xyz:

.ф-次>,ф-即-切需>>.ф-次>,ф-即-切需>>Q =Q =№ Pidx為 1dzi = N pm dx dy dz, где

.ф-次>,ф-即-切需>>

.ф-次>,ф-即-切需>>

Q =

Q =

Сопоставляя (6.36) с выражениями для- dxit dylt d~:

办1 =符厶 + 符e^ + 翁С^ (xyz),(6.53)

можем определитель D представить так：

1+黑

0〃

W

би

亦

dv

dv

Q =

游

t ду

dw

dw

戏

1+五

Тогда, подставляя (6.52) в (6.50), получим

Е (pi。一 р) dx dy dz = 0・

Интеграл (6.53) должен быть равен нулю при любом 匕 следовательно,

Р1П-Р = О, 奸口.(6.54)

Сопоставляя (6.54) с (6.51), получаем

^ = 0-1,(1+切2=02,

или, после преобразований,

I +2е*еХуе£Х

(1+0)2=1+2@e" . -,

/*^yz1 + 也名

Раскрывая определитель, учитывая выражения инвариантов тензора Те и имея в виду обозначение главных относительных линейных деформаций (£\, £2> Ез), получим.

(1 + 仆户=(1 + 2莪)(1 + 2电)(1 + 2eJ + 2exyeyzezx — (1 + 2e*) e% —

-(1 + 2q)邑“ 一(1 + 2%)。力=1 + 2厶(Tj + 4厶(TJ + 8厶(TJ・ Отсюда

曾=]/ 1 下2/?(Те) + 4厶(Те) + 8厶(Tj - 1 -

=ма +%)4 +羽)(т+03)- и+£i)(i+邑)а+%)- к

Упрощения, вносимые в общие зависимости нелинейно你 теории.•

Малая деформани я. В случае малых деформаций^ т. е. в случае, когда можно пренебречь компонентами ?*, еу, ег> exyf eyzr ezx по сравнению с единицей и квадратами этих компо* нентов по сравнению с их первыми степенями, из формул (6.44) и (6.46) получаем

е*, е*“ ~ cos 廿=sin 屮皿 ~ 屮皿(xyz) (,&,,&fri&/ff}. (6.55>

В условиях малой деформации компоненты ext еу и е2 отождествляются с соответствующими относительными линейными деформациями, а компоненты exyt еуг и %* —с соответствующими, сдвигами.

Относительное изменение объема в этом случае

仆~ £\ + £'2 +е3 = д + &+& = 6* + 电 + 勺.

Здесь учтены (6.55) и выражение первого инварианта тензора Т^

Мал ость деформации и поворотов. Дальнейшие упрощения оказываются возможными, если малы не только деформации, но и углы поворота. В этом случае, пренебрегая квадратами углов поворота, можно показать, что

(xyz).

При этом, пренебрегая в (6.41) углами поворота и компонентами деформации по сравнению с единицей, получаем приближенные формулы для компонентов деформации：

e* ~ % +歹(爲 +①力 еху ~ ?*" 一①#働(不步).

Подчеркиваем, что здесь как е*, ..., угх, так и(о^,①切 必名 малы по сравнению с единицей, однако сами они не одного порядка малости, поэтому сохранены квадраты и произведения величин

Зу, co名 наряду с первыми степенями е*,..・,丫名*.

Как уже отмечалось выше применительно к наиболее общим формулам, мыслимы различные варианты упрощений, обусловленные частными особенностями задачи.

Кл ассическа я (линейная) теор и я. Если углы поворота малы и можно пренебречь как их произведениями, так и квадратами по сравнению с е*, ..., 丫名”，то уравнения нелинейной теории переходят в уравнения классической механики сплошной среды:

e*«»e* =后，e^ ~、*9=而事忘(xyz) (uvw).

В этом случае е*, ..., угх приобретают более простой геометрический смысл, установленный в §§ 6.2 и 6.3. Тензор Т© переходит в тензор Те.

При больших деформациях главные оси тензора Тв являются главными осями деформации, т. е. между линейными элементами, проходящими через рассматриваемую точку тела и совпадающими с этими осями, в процессе деформации тела сдвигов нет, а относительные линейные деформации вдоль этих направлений обладают свойством экстремальности; тензор Те также обладает главными осями, но не совпадающими с главными осями тензора Те, и, таким образом, они не являются главными осями деформации, т. е. сдвиги между линейными элементами, проходящими через рассматриваемую точку тела и совпадающими с главными направлениями тензора Те, не равны нулю.

Главным направлениям тензора Т8 соответствует равенство нулю величин

I ди泳 加ди .'

Y*尸后+石，加=& +石， "* =方+ "，

492 ^ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ [ГЛ. VE

которые в общем случае не являются углами сдвига. Вдоль главных направлений тензора Тв испытывают экстремум его элементы

加

которые в этом случае не являются относительными линейными деформациями.

Если есть возможность перейти к линейным зависимостям,, то главные оси тензора Т8 несущественно отклоняются от главных осей тензора Т^, т. е. от главных осей деформации; поэтому в случае малой деформации можно считать, как это и было сделано в § 6.5, что главные оси тензора Те представляют собой главные оси деформации.

В. Новожилов обратил внимание на несовершенство терминологии теории деформации среды, согласно которой линейная теория называется теорией малых деформаций, а нелинейная — теорией конечных деформаций. На самом деле картина выглядит следующим образом. И в линейной и в нелинейной теориях деформации конечные и обычно одного порядка в обеих теориях. Разница состоит лишь в том, что в линейной теории пренебрегают влиянием поворотов на относительные линейные деформации и на сдвиги, а нелинейная теория учитывает это влияние.

Так, например, величины удлинений (укорочений) и сдвигов как при изгибе тонкой пластины, так и при изгибе толстой пластины могут быть одинаковыми, однако в первом случае пра・ вомочной оказывается лишь нелинейная теория, а во втором случае удовлетворяет точности и линейная теория.

Условия совместности деформаций в нелинейной теории очень сложны; они могут быть выведены только с использованием тензорного анализа. Поэтому здесь их не рассматриваем.

Глава VII

ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГОДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Предварительные замечания

В двух предыдущих главах рассматривались закономерности напряженного и деформированного состояний, присущие любой сплошной среде. Эти закономерности были установлены независимо от того, как среда сопротивляется оказываемым на нее воздействиям.

В главе V рассматривалось только равновесие тела или его элемента, в связи с чем зависимости этой главы имеют статическую природу. В главе VI анализировалась геометрическая или, иначе, кинематическая сторона вопроса деформации тела. Напряжения и деформации -оставались между собою не связанными. Вместе с тем установление такой связи необходимо. Без этой связи системы уравнений (5.59) и (6.23) совместно использованы быть не могут и, таким образом, не может быть раскрыта механическая (в частности, статическая) неопределимость напряжений в сплошной среде. Установление зависимостей между напряжениями и деформациями необходимо и при получении формулы для потенциальной энергии деформации, а также при рассмотрении энергетических законов, которым подчиняется твердое деформируемое тело. -

Связь между напряжениями и деформациями определяется природой сопротивления тела деформациям и, таким образом, имеет физический характер. Современное состояние науки пока не позволяет вскрыть исчерпывающим образом и изобразить в математической форме взаимосвязи между отдельными частицами тела (молекулами или атомами) при его деформации. Приходится довольствоваться интегральным эффектом сопротивления тела деформациям, обнаруживаемым экспериментальным путем при испытаниях образцов. Эксперимент позволяет установить

зависимость между напряжениями и деформациями в виде кривой в системе осей напряжение—деформация при определенных условиях, в частности при тех или иных температуре и режиме нагружения. Сопротивление тела деформации описывается без вскрытия физических причин явления, т. е. отражается лишь внешняя картина последнего. Подобное изучение» как уже отмечалось, называется феноменологическим, внешнеописательным. Однако, несмотря на феноменологический характер данных, характеризующих физическую сторону вопроса, этих данных достаточно для построения математической теории той или иной среды.

В упругом теле каждый из компонентов напряжений является, вообще говоря, какой-то функцией компонентов деформаций:

о* н fi (&, ^yt • • • > %*), (7・1)

*^ZX ^ fe {^х> ^yt • • • > &rx),,

Большой практический интерес представляет область малых деформаций, при которых зависимости (7.1) линейны:

= Сц% 十《 ・♦ + Cie

(7.2)

Тг* = Cqi&x + ・・・ + Сбб ~2 Yz*・

Эти зависимости для многих материалов хорошо согласуются с опытными данными, получаемыми при испытании образцов.

Уравнения (7.2) по аналогии с линейной зависимостью между напряжением и деформацией, обнаруженной из опыта над линейно напряженным образцом Р. Гуком и носящей его имя, называются уравнениями обобщенного закона Тука. Аналогично можно было бы представить эти зависимости и в форме, при которой каждый из компонентов деформации выражен линейно через все компоненты напряжений:

^х = 5цал- + • • • + S16T^X,-

! (7・3)

~2 Yz* = $610* + ・• • + S66Tz

Коэффициенты Q； и S“ являются постоянными, характеризующими упругие свойства материала, и носят название упругих постоянных. При этом коэффициенты С〃 называют упругими жесткостями, a Sq —упругими податливостями. Чем больше С〃・, тем (при неизменности деформации) большими оказываются напря-

$ 7.2] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ТРЕХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ 495 жения, т. е. тем жестче тело. Чем больше Si/f тем (при неизменности напряжений) больше деформации, т. е. тем податливее тело.

Зависимости (7.2) и (7.3) могут быть представлены в матричной форме:'

а = Се,(7.2‘)

е = Sot(73)

где

(Си ... cie11(Sv …Sie

II &i •・• GeIIII Sei .•• 5ee

—матрицы упругих жесткостей и податливостей.

Если зависимости (7.1) в конкретной задаче нелинейны, ее называют физически нелинейной. Термин физическая нелинейность отражает то, что нелинейность заключена в физических уравнениях, дающих связь между напряжениями и деформациями. В отличие от этого, как уже было' показано в главе VI (§ 6.9), нелинейность м血ет возникнуть и из уточненного рассмотрения геометрической стороны деформации тела. Такого рода нелинейность носит название геометрической нелинейности.

Один и тот же материал в различных условиях, а также различные материалы в одинаковых условиях ведут себя по-разному. Устанавливаемые в опыте зависимости между напряжениями и деформациями характеризуются многообразными особенностями. Существует раздел механики, одной из целей которого является изучение деформации материала и описание ее при помощи уравнений, имеющих, как и уравнения (7.1), физическую природу и связывающих напряжения и деформации и (или) их производные по времени. Этот раздел механики называется реологией. Поведение материала, описываемое законом Гука, является простейшим. Во многих случаях физические уравнения, или, как их называют иначе, реологические уравнения, имеют значительно более сложную природу.

В настоящей главе после подробного обсуждения линейно упругой среды (тело Гука) приводятся краткие сведения из реологии о других средах (телах) и даются соответствующие им реологические уравнения.

Уравнения обобщенного закона Гука для трехосного растяжения (сжатия) изотропного телаJ)