Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В настоящей книге объединены переводы двух статей известного итальянского математика Г. Фи- керы, написанных им для т. 6а/2 „Handbuch der Physik", вышедшего в 1972 г. Часть 1 представляет собой перевод статьи „Теоремы существования в теории упругости", часть 2— статьи „Граничные задачи теории упругости с односторонними ограничениями". Нам показалось уместным дать всей книге название первой из них, потому что оно точно отражает содержание книги: в первой статье теоремы существования доказываются при классических „двусторонних" ограничениях, во второй — аналогичные теоремы доказываются для задач теории упругости с „односторонними" ограничениями.
Автор рассматривает только линейные задачи и строит общую теорию сильно эллиптических систем; отсюда как частный случай получаются нужные результаты для теории упругости. В случае задач с двусторонними ограничениями выясняются дифференциальные свойства слабого решения как внутри области, так и на ее границе. В случае односторонних ограничений само существование слабого решения перестает быть тривиальным. Автор находит условия, при которых такое решение существует для некоторого класса абстрактных задач с односторонними ограничениями. Отсюда получаются условия существования
слабого решения известной задачи Синьорини, а также некоторых ее обобщений. Далее исследуются дифференциальные свойства этого решения внутри и на границе области.
Автор уделяет некоторое внимание задачам диффузии и динамическим задачам,связанным с теорией упругости. Он умел изложить на небольшом числе страниц, и притом с достаточной полнотой, обширный и важный материал. Это делает книгу интересной и полезной.
В заключение отметим с признательностью, что проф. Гаэтано Фикера принимал активное участие в подготовке русского издания. Он внимательно прочитал всю корректуру и внес ряд исправлений и улучшений.
Ленинград С. Михлин
ЧАСТЬ 1
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Тема этой статьи охватывает весьма значительную часть общей теории существования решений для линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Действительно, в задачах стационарной теории упругости, теории распространения волн в упругих средах, термодинамики сплошных сред необходимы теоремы существования для эллиптических, гиперболических и параболических уравнений, как линейных, так и нелинейных. Если даже ограничиться линейными задачами теории упругости, то и тогда надо рассматривать несколько разных типов дифференциальных уравнений.
В стационарных задачах мы встречаемся с системами второго порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами (однородные и неоднородные тела), со скалярными уравнениями второго порядка (например, в задачах Сен-Венана о кручении или в теории мембран), уравнениями четвертого порядка (равновесие тонких пластин), уравнениями восьмого порядка (равновесие оболочек). Для каждого из этих случаев надо рассматривать несколько краевых условий, соответствующих различным возможным физическим ситуациям. Далее, каждой стационарной задаче теории упругости отвечает динамическая задача, связанная с изучением колебаний в рассматриваемой упругой системе. Сверх того, в термодинамике сплошных сред требуется изучать некоторые задачи параболического типа, связанные с диффузией. Кроме всего этого, при исследовании материалов с памятью нужны теоремы существования для определенных
интегро-дифференциальных уравнений, впервые рассмотренных Вольтеррой.
Признаюсь, у меня возникли большие трудности при попытке уместить все это в статье предоставленного мне объема. Поэтому я даже не пытался включить сюда нелинейные задачи; к тому же задачи эти, по крайней мере в отношении теорем существования, еще далеки от окончательного разрешения. С другой стороны, теория существования решений для задач теории упругости, определенных односторонними связями, хотя и начала развиваться совсем недавно (см. [5, 6]), настолько важна, что я посвятил ей отдельную статью, которая следует за этой.
Что касается линейной теории, то я нашел более удобным вместо того, чтобы по отдельности рассматривать различные частные случаи, возникающие в теории упругости, охватить их все сразу в рамках теории сильно эллиптических линейных систем. Разумеется, еще лучше было бы развить более общую теорию эллиптических систем (сильная эллиптичность— частный случай простой эллиптичности), но, понятно, такую' программу невозможно было осуществить в рамках сравнительно короткой статьи. Тем не менее сильно эллиптические системы дают достаточную общность и позволяют получить большинство практически важных приложений. В связи с этими системами рассмотрены задачи о распространении и диффузии волн, а также интегро-дифференциальные уравнения. Для всех них установлены теоремы существования в. наиболее интересных случаях. Среди многочисленных приложений общей теории отметим здесь теорему существования для одной нестандартной краевой задачи, связанной с равновесием неоднородной.упругой среды.
Конечно, в эту статью включены не все из возникающих в приложениях задач — например, Ничего не говорится о внешних краевых задачах. Однако я полагаю, что читатель получит из общей теории, излагаемой ниже, достаточно информации, чтобы иметь возможность самому рассмотреть случаи, не рассмотренные здесь.
Предпосылки и обозначения
Мы постоянно будем пользоваться основными понятиями теории интеграла Лебега и функционального анализа. Чтобы ориентировать читателя, укажем, что понятия и результаты, которые будут использованы ниже, можно найти: 1) в первых шести главах книги [31], 2) в первых двух главах книги [16], 3) в третьей главе книги [14]. По ходу изложения мы будем ссылаться и на другие источники.
Через Хг будет обозначаться r-мерное декартово пространство, т. е. действительное векторное пространство упорядоченных наборов вещественных чисел х^^ хг),в котором расстояние между
V»V»\ х — у\ =\ х — у\ =2 ^i—yty /=12 ^i—yty /=1двумя точками х = (хь ..., хг) и у = (ух, . . ., уг) определяется формулой
V»
V»
\ х — у\ =
\ х — у\ =
2 ^i—yty /=1
2 ^i—yty /=1
Область в Хг — это связное открытое множество в Хг. Мультииндекс р — это r-мерный вектор с целыми компонентами, р = (рь ..., рг). Через | р | обозначается норма мультииндекса:
I р I = 2 р ■ или\/=i /I р I = 2 р ■ или\/=i /
I р I = 2 р ■ или\/=i /
I р I = 2 р ■ или\/=i /
какая именно норма выбрана в данном случае, бывает ясно из контекста. Вообще для «-мерного вектора и^Ци^ ..., и„) с п комплексными компонентами мы будем определять норму обычным способом:
/ п\7s
I U |= 2 I Ut Р .
\>=1/
Скалярное произведение двух «-мерных векторов « = («ь ..., ц„) и os (оо„) (оба с комплексными компонентами) будет обозначаться через «о:
п
WU = 2
если воспользоваться соглашением о суммировании по дважды входящему индексу, то ну = м^р,.
Пусть g— действительный r-мерный вектор, а р— мультииндекс с неотрицательными компонентами. Мы будем пользоваться следующими сокращенными обозначениями:
l' = 6f‘ ...V,- ($?=L если $,—р,—0).о—г^
ах J’* ... дх^
Если z = x + iy— комплексное число, то через z обозначается сопряженное число, т. е. г—х— iy. Пусть ° = (°/И (i=l> •••> m; / = 1> •••• «) — матрица размера rnXfz с комплексными элементами, а и — комплексный n-мерный вектор; под аи мы подразумеваем m-мерный вектор с компонентами (a^Uj, ..., amiUi\ Через а мы обозначаем матрицу, сопряженную к а, т. е. матрицу {а,/} размера п X tn Ц = \,..., п; 1 = 1, ..., т), где ait = aij. Если у— m-мерный вектор, то под аиу н уаи мы подразумеваем соответственно auv — (au) y = ailujyl’1 уаи = у(аи) = у{а{}й.1. Легко видеть, что аиу = иаи.
Если В — произвольное множество в Хг, имеющее внутренние точки, то через С6 (В) мы обозначаем класс всех комплексных n-мерных вектор-функций и^, обладающих непрерывными производными вплоть до порядка &(&^0) в В. Это значит, что каждая производная порядка ^ к существует во всех внутренних точках множества В и совпадает в этих точках с функцией, которая непрерывна на всем множестве В. Заметим, что, вообще говоря, надо было бы применять вместо С6 символ Ск, где явно указано число компонент вектора u^xY Однако у нас не возникнет никаких недоразумений, так как мы будем считать число п фиксированным. Читатель из контекста поймет, с каким классом Ск(В) он имеет дело. Если и — функция, определенная на множестве В из Хг, то supp и (носитель и) обцзначает
замыкание множества, на котором |«(х)|>0. Пусть А— некоторая область. Через СЙ(Д) мы обозначаем подкласс класса С6(Д), образованный финитными функциями, т. е. функциями с компактными в А носителями; через Ск— класс С(ХГ); через С*— подкласс класса Ск, образованный всеми финитными функциями. Пересечение всех классов СЙ(Д) будет обозначаться через С00 (Д). Через С°°(Д) мы обозначаем пересечение всех классов СЙ(Д). В случае когда А = Хг, мы будем писать просто С°° и С°°. Пусть В и Е — два множества из Хг, и пусть В — собственное подмножество в Е. Всюду далее мы будем считать, что если и^— функция, заданная на В, то она продолжается на все множество Е нулем: «(х) = 0 для х е Е \ В.
Регулярной областью называется ограниченная область А с кусочно-гладкой границей дА (это значит, что граница распадается на конечное число непере- крывающихся дифференцируемых (г—2)-мерных клеток1)); для любой функции иеСЦА) справедлива формула Гаусса — Грина:
I I ^ida = 0 А ‘ дА
[dx==dXi ... dxr, do — мера на гиперповерхности дА, v = (vt, ..., vr) — внутренняя нормаль, определенная во всех регулярных точках 5Д].
По ходу дела будут вводиться дополнительные предположения относительно гладкости границы регулярной области.
О
Функциональные пространства Нт и Нт
Пусть А—ограниченная область действительного декартова пространства Хг. Без ограничения общноста мы можем всюду в дальнейшем предполагать, что А
содержится в открытом квадрате Q: | хк |<л(&=1, ...,г), так как общий случай сводится к этому соответствующей заменой координат. Рассмотрим векторное пространство Ст (Л) [соответственно векторное пространство Ст(Л)] комплексных n-мерных вектор-функ- ций. Для любой пары векторов в этом пространстве определим следующее скалярное произведение:
(ы, х^щ = J Г? и 1Уи dx (0 ^ | s ] ^ m).(2.1)
А
Мы определим пространство Нт (Л) [соответственно пространство Ят(Л)] (или просто Нт [соответственно HmY в случае когда не может быть неясности) как гильбертово пространство, полученное в результате пополнения Ст (Л) [соответственно Ст(Л)[ по норме, отвечающей скалярному произведению (2.1).' Очевидно, что для т = 0 мы имеем Но (Л) = Но (Л) = = 3^(А). Функция и принадлежит Ят(Л) [соответственно Ят(Л)] тогда и только тогда, когда существует такая последовательность функций из С"1 (Л) [соответственно Ст(Л)]— пусть это будет последовательность {од(х)[, — что Ит ||оа(х) — и(х)|2</х = 0, &->оо *
•А
и, кроме того, существуют такие функции фДх) (0^)s|^/n) из S’2 (Л), что
Ит [ | Dsvk (х) —• ф5 (х) р dx = 0.
Функция фДх), которая, очевидно, не зависит от последовательности {о*}, называется сильной производной ЕЕи функции и от Нт^А^ [соответственно Ят(Л)], или, короче, s-производной от и.
Для любых иs Нт и we Нт справедлива формула интегрирования по частям:
J uDswdx — (— l)|s| J (D'u^wdx (0<|s|<m). (2.2) AA
Действительно, формула (2.2) справедлива, если заменить и на vk и w на zft, где о* е Ст (Д), а гкгСт (Л). Так как мы можем считать, что yh сходится к и в метрике Нт, a zk — к w . в метрике Нт, формула (2.2) получается при k->oo.
Заметим, что если w г Нт и ф® есть s-производная функции w, рассматриваемой как элемент пространства Нт, то ф5 есть также s-производная функции w, рассматриваемой как элемент из Нт. Это очевидным образом следует из (2.2).
Положим Сй = (2л)~г/2 J ue-ikxdx, Каждую функ- А
цию и из Нт можно разложить в тригонометрический ряд Фурье;
и (х) = (2л)"г/2 2 cketk\(2.3)
k=—ОО
причем ряд сходится в Ж2 (Л). Для | s | ^ т имеем также
D8и (х) = (2л)-г ^ ^ / ^^ e~Ult dx»6=—ООА
причем сходимость имеет место в S’2 (А). Предположим, что и е Нт, и воспользуемся формулой (2.2); мы получим
№(х)«(2л)"г/2 2 (j^s'ksckelfex. (2.4) 6=—ОО
Это значит, что для любой функции иг Нт ряд Фурье (2.3) можно дифференцировать почленно, если порядок дифференцирования не превышает т. Для ие Нт имеем
f|№Mx= у ОТ2|сйр.
АА=-оо
Для любого фиксированного v существуют два положительных числа р^’ и р|*>, такие, что'
P^|6pv< 2lW<p{W .
.Isl=v
[ltl-(6>+...+У‘].
Следовательно,
1 s |=v A
Мы будем обозначать через ||м||т,л норму элемента пространства Нт(А), в частности из Нт(А\ Там, где не может быть неясности относительно области, мы будем писать просто || и ||т.
Следующая лемма называется неравенством Пуанкаре..
Для любого ие Нт(А) 1
IWPm<c 2 fl^updx, (2.6)|#|*m А.
причем постоянная с зависит только от А (и от ш\
. Очевидно, что достаточно доказать (2.6) для m = 1; после этого общий случай получается по индукции. Обозначим г X «"Матрицу (ди^дх^ (Л=1, ..., г; ^==1, ..., п) через Du. Имеем
| с0 Р = (2л)-г| с0 Р = (2л)-гudx 2 = (2л)~г г-2udx 2 = (2л)~г г-2АА
| с0 Р = (2л)-г
| с0 Р = (2л)-г
udx 2 = (2л)~г г-2
udx 2 = (2л)~г г-2
А
А
< (2л)'г г-2 J | Du Р dx J | х f dx.
Отсюда-
ll«H?=flufdx+ pDu?dx< АА
^SlM’ + ^SlA.lW'C
j I Du? dx. A■j I Du? dx. A■< (2лГг-2 J|xpdx + —■—
j I Du? dx. A■
j I Du? dx. A■
Из (2.6) и (2.5) вытекает следующее утверждение.
II. Нормы || ulf и S I^MlCfeP в простран- о стве Нт эквивалентны.'
Рассмотрим теперь для любого us Hm (tn > 0) оператор З^т.и с областью определения Нт и областью значений Hi (с К т), который элементу и ставит в соответствие тот же самый элемент и, но рассматриваемый как элемент из Hi. Очевидно, что
Оо
9т>1 — линейный ограниченный оператор на Нт в Н^ Этот оператор будет называться вложением Нт в Hi.
Оо
III. Вложение 3^тЛ пространства Нт в Ht компактно..'
Пусть U — ограниченное множество в Нт. Тогда существует положительная постоянная L, такая, что
2 |Ap"*|cfep<L -
*= —ОО
для любого и е и» Отсюда следует, что
2 1бр'|С»р<4
и что этот последний ряд сходится равномерно, когда и изменяется в множестве U. Таким образом, оператор 3m> i переводит всякое ограниченное множество в множество с компактным замыканием ’), что и требовалось установить.
Пусть Л— регулярная область. Говорят, что функция и принадлежит D"^ (т>Ъ), если она принадлежит С”1-1 (Л) и если для заданной функции и существует разложение Л на конечное число непере- секающнхся регулярных областей) Л]Л5, такое, что иеСт(Л,) (/=1, ..., s). Если ueD"1^, то говорят, что и имеет кусочно-непрерывные производные порядка т. Можно доказать, что Dm^A) с Ят(Л). Обозначим через Дт(Л) подмножество в Dm (Л), состоящее из функций и, для которых supp«с Л. Ясно, что .Dm (Л) с Ят (Л).
Область Л называется собственно регулярной, если выполнены следующие условия: а) Л — регулярная область; 0) для любого х° е дА существует окрестность / точки х° (т. е. открытое’'множество, содержащее х°), такая, что множество 1 = 1 (\ А гомео- морфно замкнутому полушару В+: уг^0, |у|^1, эвклидова пространства Уг; этот гомеоморфизм переводит множество дЛ П / в множество уг — 0, у\ + • • • . ..+^-1^1; Y) вектор-функция у = у(х), которая гомеоморфно отображает J на В*, имеет кусочнонепрерывные первые производные (т. е. у(х)е е ^(А. д/)) и матрица Якобн ду]дх имеет положительный определитель, отграниченный от нуля всюду в I.
Отсюда следует, что обратная функция х = х(у), которая отображает В+ на J, имеет аналогичные свойства. '
IV (принцип выбора Реллиха). Если область Д собственно регулярна, то вложение Ут,1 пространства Нт в Hi (т> I) компактно.
Достаточно доказать эту теорему для случая т=\, 1 = 0. Пусть /ь ..., Iq— конечная система окрестностей, такая, как указано в пункте р), накрывающая границу ЗА области А. Положим 7 = ^11 ... U/g и предположим, что множество А\1 не пусто (в противном случае доказательство было бы только проще). Замкнутое множество А \ I содержится в А. Пусть /0 — любое открытое подмножество в А, содержащее А\1. Множества /0, ЦIq образуют открытое покрытие множества А.'
<7
Пусть 5 Фл W = 1 — разбиение единицы с неотри- л=о
цательными функциями фл, принадлежащими С” и такими, что supp <рл (х) с: Д, h = 0, ..., q.
я
^hдЧ^hдЧ2dx "р2dx "рПусть цеН^А). Имеем и = 2фл« и л=о
^hдЧ
^hдЧ
2
dx "р
2
dx "р
II Фл« 111 < J I Фл« Р dx + 2 j | и Р 2 АА к=\
+2Ki‘SKА+2Ki‘SKА2 dx<c||«||f.2 dx<c||«||f.
+2Ki‘SK
А
+2Ki‘SK
А
2 dx<c||«||f.
2 dx<c||«||f.
Если U — ограниченное множество в Нх (Д), то множество Uh функций <рл« (ug(7) является ограниченным множеством в ЯДДПД). Для h = 0 имеем UQ <= Нх Уо\_ Но из ограниченности U следует компактность Uo в Н0Ц0) (см. теорему 2. III).
Пусть теперь h > 0. Для простоты положим Ih = I. Для всякого меС'(/(]Д) положим й(z/) = «[х(z/)J.
Почти всюду В В+ дй ди dxh
Отсюда следует, что
P^^+S I|#f^ = P«P|17|^ + в+/=' в+ 1'1
с дх. дхь ди ди ду
+ У [dX<C1 и№
J ду. ду. дх. дхь дх1 "Ь
/=1 I 11R
Предположим теперь, что «(z/) = qpA[x(z/)]«[x(y)], где и — произвольная функция из подмножества U, ограниченного в Я; (Л); без ограничения общности мы можем предположить, что оно содержится в С1 (Я). В замкнутом шаре В; |у|^1 определим следующую функцию:
х [ й(у уг_и уЛ для уг>0,
I и(угyr-t, — уЛ для уг<0.
Функция й*(у) принадлежит Нх(В — 9BY Имеем II “* С в = 2Ц й И,, в+ ^2с,с|| и ||]. Поэтому из каждой последовательности {«„} е U мы можем извлечь подпоследовательность [йп6], сходящуюся в Яо(8). Это значит, что {«nft] сходится в 80(b+) и, следовательно, {фл«Яй} сходится в HQ(I П Л) = НйЦн П Л). Без сомнения, мы можем считать, что последовательность {п&} не зависит от h. Таким образом, мы получаем, что последовательность
“”А ~ ^ 4>hUnk
сходится в Я0(Л). Мы доказали, что оператор SV.Q, ограниченный_на С* (Л), компактен. Остается заце? тить, что С1 (Л) плотно в Н^А),
Пусть А— собственно регулярная область в пространстве Хт. Обозначим через т линейное преобразование, которое каждой функции ы еС” (Л) сопоставляет ее граничные значения та на дА. Положим
ш-1
II ти 1^-1, дА = 2 Jl^4"!2^ гп>\.
1*1=0 дА
Мы хотим доказать, что
II™ lLi,M<cll«lPm.II™ lLi,M<cll«lPm.(2.7)(2.7)
II™ lLi,M<cll«lPm.
II™ lLi,M<cll«lPm.
(2.7)
(2.7)
где с — постоянная, зависящая только от А (и от т). Достаточно доказать (2.7) в случае /и = 1. С этой целью мы рассмотрим открытое покрытие 70,/(, ..., Iqi введенное при доказательстве теоремы 2.IV, и соответствующее ему разбиение единицы 2ф*С0=1.
/1=0
дЧдЧ2dx ? (2.8)2dx ? (2.8)Неравенство (2.7) для m = 1 будет следовать из неравенств
дЧ
дЧ
2
dx ? (2.8)
2
dx ? (2.8)
j | q>hu fdo <с | j I фй« Pdx + ^ j
дА' Ай-0 А
(А = 1q).
Как и раньше, положим /Л = 7 (Л>0)_и рассмотрим гомеоморфизм, который отображает J = IП А на полушар 8+ эвклидова пространства (у, 0. определяемый неравенствами /^0, у^ + ... + У2_1 + ^2^1- Пусть г-1
D— (г—1)-мерный шар 1 = 0, |уР=2Уй^К т- е- fe=l
образ множества /Г)дД при гомеоморфизме множества J на В+. Пусть й(у, /) — функция, получающаяся из фд(х)ы(х) при этом же гомеоморфизме. Мы продолжим й(у, 0 вне В* в полупространство / >0, полагая й(у, 0 = 0 для /^0, |ур + 72>1. Для
любого t > 0 имеем о
'й^у, О) = й(у, t) + J iis(y, s') ds.
■t
Следовательно, i
J ] Й Vy, 0) Pdy <2 J | Й (y, t) ^dy + 2 J J | ut^.t) fdydt, DDOD
откуда
J I й ^y, 0) |2 dy < 2 J J | й (z/, 0 p dy dt +
DB+
+ 2 J J | DU ^dy dt. b+
Из этого неравенства, переходя обратно к координатам Xjхг, мы и получаем неравенство (2.8).
Из (2.7) следует, что оператор т можно распространить по непрерывности на все пространство Нт(А\ Тем самым для любого и определено множество тм = (фр} (O^jpl^/n—JX такое, что фре2'2(дЛ) и <ppaaDpu, если и е Ст (Л). Оператор т называется оператором граничных значений, а <рр рассматривается как граничное значение Dpu в обобщенном
О
смысле. Очевидно, что для и s Нт (Л) будет ти = 0, о --
т. е. любая функция из Нт(А) обращается на дА в нуль (в обобщенном смысле) вместе со всеми своими производными до порядка ^т— 1.
V. Если и е Cm~‘ (Л) П Нт (Л), то Dpu = 0 над А (0<\р\^.т—1) в классическом смысле.
Мы опустим нетрудное доказательство этого утверждения. Если и и и— две функции из Ст(Л) и 0<|р|^т> то, согласно формуле Гаусса — Грина, J uDpv dx + (—1)‘р 1 J фри) vdx-= ^ М^и, у) da, (2.9) ААдА
где М (и, у) — некоторый билинейный дифференциальный оператор порядка |р|—1 как относительно «, так и относительно у. Из (2.7) следует, что формула (2.9) справедлива также и тогда, когда функции и и у принадлежат Нт^А\ если только понимать граничные значения Dqu и Dqu (0<|<7|<|р|) в указанном выше обобщенном смысле.
Пусть х°— произвольная точка из X1, а 2 — единичная сфера |х|=1. Пусть Г — некоторое множество положительной меры на единичной сфере 2 и R— положительное число. Множество СХ(Г, R) таких точек х, что (х— х°)|х— х°|-1еГ, 0 <| х — х°|^^, будем называть конусом, а х° — вершиной этого конуса. Говорят, что область А пространства Хг удовлетворяет условию конуса, если для любой точки х° из А существует конус Сжо(Га, R) с вершиной в х°, который содержится в А, причем число R можно выбрать независимым от х°, а множество Гж« — конгруэнтным некоторому фиксированному множеству Г на 2.'
Не слишком сложно доказать, что собственно регулярная область удовлетворяет условию конуса.
VI (лемма Соболева). Если А — ограниченная область в пространстве Хг, удовлетворяющая условию конуса, то функции и, принадлежащие всякому пространству Нт (А) с т> г/2, непрерывны в А и
шах | ы К с || u ||т,(2.10)
где постоянная с зависит только от А (и от гп).
Чтобы получить доказательство леммы, достаточно установить неравенство (2.10) для любой функции и^Ст(АУ Пусть х° — произвольная точка из А. Обозначим через ф(х) действительную функцию из С”, удовлетворяющую следующим условиям: ф(х)=1 для | х — х° | < ^/2, ф (х) = 0 для | х — х° | > R. Имеем
RК
оо,
Проинтегрировав это тождество по множеству Г на единичной сфере, получим
откуда и следует неравенство (2.10)*).
<6'11«IL,
VII (первая лемма Эрлинга). Пусть Л— произвольная ограниченная область в Хг. Для любого е > 0 существует положительная постоянная с (г) (зависящая только от е, А и пг), такая, что для всех и г О
е Нт (Л) справедливо следующее неравенство-.
II «Нт-1 =^е|| ы||тН-с(е)|| ы||0.(2.11)
VIII (вторая лемма Эрлинга). Пусть А — собственно регулярная область в Хт. Для любого е > 0 существует положительная постоянная с (е) (зависящая только от 6, А и т), такая, что для всех не еНт(А) справедливо неравенство (2.11).
Пусть Вх, В2, В3— три комплексных банаховых пространства, удовлетворяющие соотношению Bt с сВ2сВ3. Предположим, что вложение S12 пространства Bi в В2 компактно, а вложение ^ пространства В2 в В3 непрерывно. Тогда для любого е > 0 существует положительная постоянная с (в), такая, что
II и|1в,^е|| иПв.Ч- с(е)|| и||Вз. (2.12)
Предположим, что (2.12) не выполняется для некоторого е > 0. Тогда для любого целого положительного числа п должен существовать элемент ип, такой, что || и„ ||В1 > в|| ип ||В1 + п|| ип ||В1. Положим у„ = || ип Ц"1 «„. Имеем || у„ ||в, > е + п|| ип ||в„ || у„ ||В1 = 1. Из последнего равенства следует, что || у„ ||В2 < А, где L не зависит от и; тогда из предыдущего неравенства вытекает, что lim || уп ||Вз — 0. Так как последовательность {у„} П->оо
компактна в В2> мы можем выделить из нее подпоследовательность {Угад}, сходящуюся в В2 к некоторому элементу у. В силу непрерывности сложения 9 ^ Vn^ -► у также и в В3. Следовательно, у =■ 0, так что неравенство | Unh |Вг > е невозможно.
Если взять Bi — Hm, B2 = Hm_i, В3 = Н0, то мы получим доказательство первой леммы Эрлинга; если взять Вх = Нт> B2=Hm_i, В3 = Но — доказательство второй леммы.
Линейные эллиптические системы.Внутренняя регулярность
Пусть А — область в Хг. Предположим, что в А заданы матрицы аДх) размера «Xя (0^|s|^v). Рассмотрим линейный матричный дифференциальный оператор Lu = as(х) 1Уи. Говорят, что такой оператор является эллиптическим оператором в А, если для любого действительного ненулевого вектора £ размерности г в любой точке области А выполняется условие
det 5 а5(Ж^0.
В дальнейшем мы для простоты будем предполагать, что матрицы аДх) определены во всем про' странстве Хг и что as (х) е С” (Хг\ Мы следующим образом определим оператор, сопряженный к оператору L\
L*U= 2 (-1)|5|Л8(^М«).
!#Н
Функция меЗ^А) называется слабым решением в области А системы дифференциальных уравнений Lu = f, где feS^A), если для любой функции
аеСк(А)
J uL'vdx = J fvdx.(3.1)
л' А
В дальнейшем мы будем предполагать, что область А ограничена [и что А содержится в кубе Q: | х* | < л (^=1, ..., г)], а также что оператор L эллиптичен в А.
Пусть и — слабое решение эллиптической системы дифференциальных уравнений Lu — fe области А. Пусть f — функция из Нт (А). Если х° — произвольная точка из А, то существует число б > 0, такое, что и е Hm+v (Г6) и
II “ t+v. г. < = (II f Ь. Г,. + II U t„-,. г„).
где Гр — шар с центром х6 и радиусом р, а с — положительная постоянная, зависящая только от L их0.
Положим
•L0(x, D) = 2 аДх)П\
I s |—v
L4x,D)= 2 НГ^Ш
Is 1=0
d)=2 аДх)п\s—v
Пусть x° — произвольная фиксированная точка из А. Пусть Г26 таково, что Г26 с А. Обозначим через ф (х) некоторую достаточно гладкую действительную функцию, равную единице в Ге и нулю вне Г26. Пусть у — произвольный комплексный вектор размерности п. Положим у = ф(х)е,6ху, где 1г— некоторый ненулевой вектор с целыми компонентами. Тогда
V —1
L* (х, D) у = <р (х) Ц (х, Иг) eikxy + 2 ^s (х) к5е1^у.
|s|-=0
Носители п X «-матриц Ф, (х) заключены в Г2в. В силу произвольности у мы получаем из (3.1)
V—1
L0(x°, z£) J <vue-lkx dx =— S ^J+
A| s |=0 A
+ | <pfe~ikxdx + J [^(x°, ZZ?)— L0(x, ik^ne-114* dx. AA
Так как LQ^, ik^^O (оператор L эллиптический!), то
V—1
| que~lkxdx = — ^ Zzs[Z.0(x°, ZA)]-1 J <bs^ue-ibxdx-\-
A| s |=0A
.+ [^ (x°, /&)]“' J <pfe~ikxdx +
A
+ [Ao (*°> Z/?)]-1 J [Ao (x°, ik) — Lti (x, ZA)] <pue-,llxdx.
A "
Положим [Lo(x°, ZA) — Lq^x, ik)A= S af(x)/zs, U = cpu '| 4 |=V
в Г26, U = 0 вне Г26. Пусть h — произвольный постоянный r-мерный вектор, отличный от нуля. Тогда
А
= - 2 АЧ^^0, ZA)]"'Jo,tze-^zZx +
|s |=0Л
+ [Lo (х°, ik)\ —pq— J <pfe~ikx dx + Л
+ 5 ksYW, ZZ?)]-'J aAx)U^x)e-‘kxdx. (3.2)
5 1=VA
Пусть | h | меньше, чем расстояние между Г2в и дА. Тогда
—m— J а, (х) U (х) е~1кх dx =
А
_ Г а» (х + А) I/ (х + А) - а? (х) и (х),^ .
—j|Л|е ах =
Q
= J а. (х + h) U. (x + W-^) е-m dx + Q
+ [и (Х) е-их dx.
Q
Обозначим через ск коэффициенты Фурье функции U и предположим, что ие//;(Г2б). Из (3.2) вытекает,
что
^e-ikx dx^e-ikx dx| к | < m
^e-ikx dx
^e-ikx dx
+ £{о(|„1(,+ ,оУ^±йр^^
+ О (| "* ^ + ^ ~ “s У- U (x) [)}(3.3)
(здесь О — символ Ландау). Производные порядка /+1 функций а,(х) ограничены (а5еС°°!), поэтому
| «il£+^d4 и (х)^_ о (II и(х) ||2 rJ.
Обозначая через с' подходящую положительную постоянную, получаем
LU jx + h^-U (х) 1|2 <
/ / ( V I I и (X + А) — и (х) I2 .
^ с J J dj (х -f- A) D । АI j dx -f-
I | » I—Z Q
+ 2 f|P.1(x+ft)0-j^yti^-|,<i4. (3.4) 1*KZ Q'
+ 0+ 0
+ 0
+ 0
Если задано е > О, то возьмем сте, такое, что для любогоsс| s |=убудемиметь max|а5(х + Л)|<е.
|х+Л—*«|<2ag
Предположим, что 26 < иЕ и | h | < ие. В силу (3.4) можно выбрать е столь малое, что
+ оо2
<7^ 2 1^' J ^^=^e-^dx + fess—coQ
+00
+ c" 5 I^F-2 J - ^^j^j7™—e-<ftxdx , fee—00Q
где т,— любое наперед заданное положительное число, а с" — некоторая положительная постоянная. Поэтому из (3.2) и (3.3) видно, что для достаточно малых 6 И I Л |
Рассмотрим последовательно следующие h;
k = (t,00),Л = (0, /0)h = (0,0О
и перейдем к пределу при /->0. Получим
^2^ I k I2 <Z+1) I I2 = О (И и (х) ||=, Г26)
+ 0 [ 2 l^|2<1~v+,)| J vfe-^dxl2
Отсюда следует, что и е Ht+X (Гв), и теорема дока
зана.
II. Если и — слабое решение эллиптической системы дифференциальных уравнений Lu = f в А и если fsHm(A), где m>r)2, то и является решением системы и в классическом, смысле *). В частности, если feC” (Л), то и ие С” (Л).
Действительно, в силу леммы Соболева 2. VI и только что доказанной теоремы иеС^Л). Поэтому по формуле Гаусса — Грина .
J uL'y dx = J Luu dx■ A A
для любой функции ye С” (Л). Вычтем из этого равенства равенство (3.1) и воспользуемся произвольностью у; получим, что Lu = f. Если f еС°° (Л), то для любой точки хР е А будет ие Ht (Г6) с произвольным /; но, отсюда следует, что иеС”^А\
Предварительные результаты для доказательства регулярности в окрестности границы
Пусть и — функция из S’2 (Л) (А — ограниченная область в ^г). Мы будем говорить, что и имеет сильную производную Dpu в (смысле) S’2 (или, короче, сильную ^-производную), если существует последовательность функций {ofe} из Ст (Л)(т = | р |), такая, что последовательность {vfe} в ^(Л) сходится к и, а последовательности Dpyk сходятся в S’2 (Л) к некоторым функциям фр. Эти функции мы по определению будем считать сильными производными Dpu в (смысле) S’2. Так как - '
uDpy dx = ^—1)|р| |фро dx ' (4.1) А А
’) На самом деле условие f @ Нт (Л) с m > г/2 являете.*7 чересчур сильным. Применяя методы теории потенциала, можн* показать, что для выполнения условия ueCv (Л) достаточн* потребовать, чтобы функция f удовлетворяла условию Гбльдера.
для любой функции у е Ст (Л), то получается, что функции фр не зависят от выбора последовательности (v^]. Если ие Ят(Л) (т > 0), то и имеет сильные производные Dpu в S2 для всехО<|рКт. Если К— замкнутое подмножество в Л и если функция и обращается в нуль в Л \ К и имеет сильную производную Dpu в S’2, то эта производная также равна нулю в Л \ К, что сразу следует из (4.1). Формула (4.1) справедлива в этом случае для всех о еС” (Л). Поэтому ецли Л с: Q, то ряд Фурье для Dpu получается из ряда Фурье для и с помощью почленного применения оператора Dp.
Для произвольной точки №(х,, ..., хг) в пространстве Хг будем координаты хк с к = 1, ..., г— 1 обозначать через ук, а координату хг— через /. Точку (у,Ут—!1) (г — 1)-мерного эвклидова пространства
будем обозначать через у, а исходную точку х пространства Хг— в случаях, когда это целесообразно,— через (у, t). Пусть R—открытый параллелепипед в Хг, определенный неравенствами — л < ук < л (к = 1, ... ..., г — 1), 0 < t < л.■
Мы будем говорить, что функция о принадлежит множеству Са(/?) (где а — произвольное фиксированное положительное число, такое, что 0 < а < л), если: (1) neC”,(ii) о = О, в случае когда выполняется хотя бы одно из следующих условий: | у |> а, t > а. Замыкание множества С? (/?) в пространстве Нт^ будем обозначать через' H°m^R\ Пусть у^ — функция из Ca(,R\ Рассмотрим в пространстве Хг функцию
’ у (у, t)для />0,
«Чи» Й =«Чи» Й =т^(4.2)
«Чи» Й =
«Чи» Й =
2j ^у (л, — jt) для t < 0,
где числа kt являются решениями алгебраической системы
2! (-/)% = ! (6 = 0, ...,т).(4.3)
/=1
Легко видеть, что функция у* (у, t) принадлежит Ст и что ее носитель содержится в кубе Q: | хк | < <л (&=1г).Легко также проверить, что
11 Dpy* Р dx ^ с, 11 Dpy рdx, 0^|p|^m. (4.4)
QR
Здесь cp—постоянная, не зависящая от у. Если и е Нт (Я), то функция и, определенная формулами (4.2), (4.3), принадлежит Нт№- Действительно, если {ofe} е Са (Н) и последовательность {vfe} сходится к и в Hm(R), то последовательность (о!) в силу (4.4) сходится в пространстве Hm(.Q) и ее пределом является и*. Итак, из (4.4) следует, что
H«’llLQ<dl«CR,(4.5)
где С не зависит от и.
Если функция u^Hq(R) имеет все сильные ^-производные порядка т, то не Нт (R) для любого о', такого, что а < а' < л.
Из (4.4) следует, что функция и* имеет сильные ^-производные Dpu* (| р |= tri). Функция и* обращается в нуль вне некоторого замкнутого подмножества К куба Q. Поэтому если и разлагается в ряд Фурье вида
и"=(2л)~г/2 2 ckeik\ (4.6) fe= —ОО
то разложение в ряд Фурье для Dpu имеет вид
4-оо
Ори=(2лГг'2 £ RpXkpcketkx. (4.7) Й=—09-
Отсюда следует, что и е Hm (Q). Поскольку и обращается в нуль вне цилиндра | у | < о, | Л <о, то легко построить последовательность функций [ofe) класса Cm, сходящуюся к и в Hm(Q) и такую, что все suppo*
содержатся в цилиндре | у | < o', |t1 < о'. Но тогда ueH^R\
II. Если функция ueH°(R) имеет сильную ^-производную Ори = ф, а ф имеет сильную ^-производную Dq^ = ^, то и имеет сильную ^-производную DqDpu = DpDqu = ^.
Это сразу следует из (4.6) и (4.7).
Если функция ые<?2(Л) имеет в А некоторую сильную ^-производную, например Dpu, то мы будем просто писать Dpue $2 ^А\ Если их, ..., ип— компоненты n-мерной вектор-функции и, то под Пяи мы понимаем п^г—1)-мерную вектор-функцию с компонентами duhldyk (Л = 1п; Ь=\,...,г—1). Очевидно, что Dyu = {Dyuy.
III. Пусть не Hm(R). Для справедливости соотношения Dyu^ Hm(R) необходимо и достаточно, чтобы для произвольного отличного от нуля г-мер- ного вектора h = ^hx, ..., hr_x, 0) с | Л | < л — а выполнялось неравенство
II U (х + А) - и (х) 112.
где сх — постоянная, не зависящая от h. Если неравенство (4.8) выполняется, то
lliIi±TV^L“0(||D^ (4-9)
Докажем сначала достаточность. Из (4.5) и (4.8) вытекает, что
If ссх.(4.10)
I IUm, Q
Рассмотрим разложение функции и* в ряд Фурье (4.6) в Q. Из (4.10) видно, что .
| р 1=0 6=—ОО
где с2 нё зависит от h.
m 4-ооm 4-ооРассуждая так же, как при доказательстве теоремы 3.1, мы получим, что || Ояи Ц^, R < + оо. Соотношение (4.9) немедленно следует из неравенства | h |“2| elkh—1 f^&i + ... + &г-ь Предположим теперь, что D„ue HmVR\ Тогда D„u* е Hm(Q). Так как и обращается в нуль в некоторой полоске около dQ, то любая производная DpDUju (|р|^/п) от функции и допускает разложение в ряд Фурье, который получается просто почленным дифференцированием ряда (4.6).
m 4-оо
m 4-оо
Следовательно, ряд 5 S I & l2lp| I cJ2(^f+• •• ■
IР 1=0 к——ооIР 1=0 к——оо1 * 1—Л Ь 1 К i X 1
IР 1=0 к——оо
IР 1=0 к——оо
. .. +/г2-1) сходится. Но отсюда вытекает (4.11), а из (4.11)— неравенство (4.8).
IV. Пусть u^Hm(R), a DMue. Нm^R\ Положим h = (0, ..., ht, ..., 0), О <| ht | < а, 1<г. Тогда
lim h-*0lim h-*0u(x + h^ — и (Л)u(x + h^ — и (Л)
lim h-*0
lim h-*0
u(x + h^ — и (Л)
u(x + h^ — и (Л)
Доказательство легко получается с помощью разложения Фурье (4.6) для продолжения и* функции и.
V. Пусть ф е Hq (R) и Why е Н°(Л?) (й +1 р |^v, v^O), где wfep суть п(г—Уумерные вектор-функции. Предположим, что Эуф е ^ (R) и что для всех
v е Cv+1 (/?)
£о= 1*^Т^Х+X «>fep-^kDPyv\dx = O. RR U+)p|<v/
Тогда -^еЗЦК^ и
I4IL[8-=O(S«”,*-|6.«+«D«’|’1^).
Пусть m — любое положительное число, не меньшее чем v+ 1. Положим
Ф кУ* Л Для t >0,
Ф*(у. 0 =
m+ 1
2 А/Ф (у, — /0 для ^ < 0»
wkp(.y, 0для t>0.
Wkp (у, о =
m+1
5 Xjt-n^^Wfcpto* -ю для f<0, /=1
где к, удовлетворяют соотношениям
m+ I
2(-/Г'% = 1 (б=о, 1,.... v+i). /-=1
dx = 0.(4.12)dx = 0.(4.12)Пусть j е С°° (Q). Мы утверждаем, что
dx = 0.
(4.12)
dx = 0.
(4.12)
Действительно, имеем
т+1
Ef = £f + ^ ^ j Ф(У, /Oftv+ify, — t)dx + i-l R
m + 1
+ 2 ^^(-ir^'/^p^^W^'-O^” *+lpl<V /=1R
m+ 1
= 5f+ У ^/Г1 f Ф(У, f)ft^Ay, —trX)dx-V „
f _^8№33_
' 1AI HE БОЛЕЕ 1И КНИГИ В
mОДНИ РУКИ И 2Х 8 ДВЕ
+ 2 ^ГЧнГ^^.рМО^у.-Т'^х.
» + lp|<v/=lR
о == 0о == 0Положим, fo (У. 0 = — S ^/ (— /Т f ку* — ti ’), = f + to- Тогда Ef = Е (f + f0) = Ev, и [yffc (у, O](_o
о =
= 0
о =
= 0
2 Г. Фикера
(6 = 0, 1, .... v+ !)• Для любого целого положительного числа s положим у5(у, 0 = т1Юу(У> *— s-1) при />$-* и у’Ду, /) = 0 при / < s-1; здесь т) (/)—скалярная функция класса С6”, равная 1 на интервале (0, ст) и тождественно обращающаяся в нуль в некоторой левой окрестности точки л. Так как ys е Cv+1 (/?), то Eys = 0. С другой стороны, lim Eys = E0. Таким
S-> ОО
образом, равенство (4.12) доказано. Предположим теперь, что f = Г'+1<р^е11езс^, где ф—действительная функция из C°°(Q), тождественно равная 1 в цилиндре | у | < ст, 111 < а, у — произвольный постоянный «-мерный вектор, а 6 = ^,..., lr_v, т) не равно нулю. Из (4.12) получаем
tv+‘ j ^e-lkxdx — 2 J ^ W kae~Uxdx, Q0<|a|<v Q
где IFa (x) — функция из ^(QY Пусть cfe и \ак — коэффициенты Фурье для функций ф* и 17а соответственно. Имеем
I1Т11+ 2V+1|T||Z| I К
|Aj2v+2 I ITj^j2v+2
<^I^riYad + 2v+1|/||cft|.(4.13)
Так как D^'g$YQ\ то из (4.13) вытекает, что 2 ^l ck^ < + oo, т. e. что ^г g^QY Из (4.13) следует также, что | ^ ^ q = О (|| Wa (g, Q + fl D^* |gf Q), чем и завершается доказательство теоремы.
Предположим, что для любой пары г-мультиин- дексов р и q, таких, что O^fpl^m, 0^[^|^/и (m > 1), в пространстве X' определена комплексная матрица аР9(х) размера пХп и что apq^eC00. Пусть А — ограниченная область в Хг\ для иг Нт^ и у г Нт (Д) рассмотрим следующую билинейную
интегро-дифференциальную форму:
В (и, у) = J uPq (х) DQuDpy dx = J D^uupq (x) Dpy dx. AA
В этом пункте мы будем брать в качестве области А полушар S+: | у р + t2 < 1, / > 0. Введем теперь класс W функций, обладающих следующими свойствами:
W является ^амыканием в Нт^^ множества функций уоеС”(/?), для каждой из которых существует число р, 0 < р < 1, такое, что о0=0 при | х | > р.
Если у е W, то существует положительное число е, такое, что для вектора й=(йь .... кг_ъ 0), удовлетворяющего условию 0 < | h | < е, функция | h Г1 [у (х + А) — у (х)] е W.
Если заданы любые числа био, 0 < б < о< 1, а ф(х)— произвольная действительная функция класса С”, такая, что ф(х) = 1 для |х|<б и ф(х)=0 для | х | > о, то фу е W при у е W.
Существует положительная постоянная с0, такая, что для всех у е W справедливо неравенство
0, т
Re В (у, у) = Re J apq (х) DQyDpy dx s+ I Pl. I?l
>col|y|ts+. (4.U)
Пусть, далее, и и / удовлетворяют следующим предположениям:
^ иеНт^а^Н^ (v>0).
Если ф — функция с указанными выше свойствами, то фЦ е W.
Для любой функции у е W справедливо соотношение.
В (и, у) = (А у)0.
I. Пусть множество функций W удовлетворяет условиям (1) —(4), а и и f удовлетворяют предположениям (i) — (iii). Обозначим через б произвольное положительное число, меньшее 1, и через Ге — по-
лушар | у р + /2 < б2, / > 0. Пусть s s (sb ..., sr_j) — произвольный (г—\умультииндекс, такой, что |s|^ ^ v + т, и пусть функция и такова, что *) Dpu е еНт(Г?\ Тогда2)
ll^< r^^^f^l-. x+ + |l< s4 (4.15)
где Ci при каждом фиксированном s зависит только от apq и б.
Теорема справедлива для 1 s | = 0. Предположим, что она справедлива для | s | ^ А < v + m, и докажем ее для | s| = A + 1. Пусть Dy обозначает произвольную частную производную порядка к по переменным у. Так как ери принадлежит W (по предположению (11)), то, последовательно применяя условие (2) на множество W, лемму 4. IV, а также тот факт, что W является замкнутым подмножеством в Ят(2+), найдем, что D^u е W. Положим U (х) = D^u. Для и е IV П С” (R) и любого действительного вектора h = (Аь ..., hr_v, 0), такого, что 0 < | А | < 1—0,
/U(x + h)-U (х)\
= (-!)* ^ Ds sU + h) и (х + й) - ф (х) и toD^-pqDPu)dx== х+
= (-l)fe j ttpqD«^±^^^^DkDDvdx +
2 +
+ 2 И [ii',d-t1'+6,"1,+^-^^^^^ x 0<|/1<й-1 $+
X D^vdx.
') Под символом D’ мы подразумеваем —— .
Уду^ ... ду8/-
Здесь и в дальнейшем, если в норме 11/НА>Л значение h будет отрицательным, то норму надо понимать как 11/11о,д — нам нет нужды вводить здесь отрицательные нормы.
Значение выражений ^^ здесь очевидно. По предположению индукции и по лемме 4. III последний
интеграл имеет порядок
0(2 H^uL, г + П vllmV).
Предположим, что 0 < | А | < у (1 — а), а' = у(1+а);
мы получим тогда
(-1? J «„Л» 1WM^ DkyDpv dx =
s+s+I q' I <m I 4' I < niI q' I <m I 4' I < niDpy dx =Dpy dx =D7 <p (x + ft) D4"u (x + ft) — D1’ tp (x) Dq"u (x) |й|.D7 <p (x + ft) D4"u (x + ft) — D1’ tp (x) Dq"u (x) |й|.ар/ (* + ft) D-u (* + Й)-Ф toD^uto DPDky dx^
s+
s+
I q' I <m I 4' I < ni
I q' I <m I 4' I < ni
Dpy dx =
Dpy dx =
D7 <p (x + ft) D4"u (x + ft) — D1’ tp (x) Dq"u (x) |й|.
D7 <p (x + ft) D4"u (x + ft) — D1’ tp (x) Dq"u (x) |й|.
apq (x + Й) ф (x + ft) DqU (X + ft) —
-(-и* /-^’'‘'"'"^o^-
s+
Г Г »pq (x + Й) - aPq (x), . ,. _.„ , , , J
— J Dv [prj<p (x + A) Dqu (x + A)j X s+
XDpVdxA-0( 2 HO^L Г+11»М’\|sl<fc m • о у
= (-1? J apqDqu (x) <p (x) DPDkg ^Al-^-”^ dx + s+
=-(-!)' J ар?(х)Д7и(х)Др[Ф(х)^ °(x ^ —W]^+ s+
\|sl<6°/
’) Когда мы пишем просто || ||m, мы имеем в виду норму в S+•'1
Таким образом, мы доказали, что pjUU-V^-U ^\_
iai ’
= (-1)йв(ц, ф(х)^^^^-) +
+ 0/ 2 Н«1,Г+1МЛ
\|s|<»°/
Так как Вк ° ^ ~ ~ ° ^- s IF, то в силу предположения (iii)
Но тогда для любой функции о е IF имеем
„и (х + h) - и (х),. .
Взяв v = —1——гк—, получим в силу (4.14)
1Ц£±Ш-^1 = °( S l«“Lr;+lfb—.)•
\|s|<6/
Из этой оценки с помощью обычных рассуждений выводится утверждение теоремы.
Добавим теперь к определению класса IF еще одно условие:
Любая функция и из С“(Е+) принадлежит IF. Положим р = (0, .,., 0, /п).
VII. Если неравенство (4.14) справедливо для любой функции и е С” (S+), то det арр (х) ^= 0 для любого хе S+.
Мы докажем эту лемму ниже как следствие одного более сильного результата.
VIII. Пусть класс W удовлетворяет условиям (1) — (5), а и и f — предположениям (I) — (Hi). Для любых s и I, таких, что |s| + i^v + /n, функция и имеет сильную ^-производную —^'t ^и и 60 всяком Га (0 < б < 1). Существует постоянная Сг, зависящая только от apq и б, такая, что
| а»т*1 &VU if ^ с2 (ll f Н| s | + i-m, 2+ + II н Нт, х+) •
“«0. Г Г
Доказательство проводится по следующему плану. Сначала возьмем $ и I, такие, что | s | +1 v + m. Утверждение теоремы справедливо при Z = 0, |s|^ <v4-/n. Пусть Z > 0. Примем следующее предположение индукции:
(hi) наше утверждение справедливо для | s | + j ^ < v + m и i <i
и докажем теорему для |s| = 0, j = L
Затем, мы предположим, что наряду с (hj выполняется новое предположение индукции:
(h2) наше утверждение справедливо для |s| + Z^ ^v-j-m и | s К k,
и докажем, что теорема верна для | s | + I ^ v + m И I S 1 = 6+1-
Допустим, что выполнено предположение (h;). Возьмем <р(х) с описанными выше свойствами и положим U(х) = ф(х)и(х). Для любой функции иг
е С” (2+) имеем
в \U, v) = (-I)'-' J apq D'UD'v dx +s+
t-2л
+ S JX^rZWD'’"‘h-
ft=O 2 +
= (— l)i-‘-^^D^UD^dx^
s+
+°f S l^-DH «”<-■'
значение выражений p^ здесь ясно.
Мы можем, далее, написать, применяя обозначения, смысл которых очевиден из контекста:
В (и. —^ о) = / apqDquDp (Ф -^ п) dx + s+
+ S ^i,D‘"D,-$^ «<>=-+£+
I к | < tn
+ 2/ VftgSW-^i-ndx^
I к I<m 2+
|»[<pi
Используя введенное выше обозначение р, мы будем понимать под 2<й суммирование по всем р, в
парам мультииндексов р, q (0 ^ | р |^ т, 0 ^ | q | ^ т),
кроме пары р, р. Тогда
ГГam + i-t аШ-
«„-^о’ио’^х- „„-5—rUAL(l,+
Х+s+
+ ^^ J “р» ^Т D4UDPv dx = р- » s+
Из этой оценки видно, что
. dm+i 1 .. дто
J “^ ^m+'-1 dtm s+
s/+|<|<"1+<i<m+l-\s/+|<|<"1+<i<m+l-\д’-^rD«uд’-^rD«u+ llflUm l|v||m-!+ llflUm l|v||m-!
s
/+|<|<"1+<i<m+l-\
s
/+|<|<"1+<i<m+l-\
д’
-^rD«u
д’
-^rD«u
+ llflUm l|v||m-!
+ llflUm l|v||m-!
Нетрудно проверить, используя лемму 4. VII, что выполнены условия теоремы 4. V. Поэтому [/(т+ге е^2(2+) и
Допустим теперь, что в число предположений индукции наряду с (h,) входит и (h2). Мы только что доказали, что утверждение (h2) справедливо для 6 = 0. Докажем теперь это утверждение для | s | = к -}- 1,
Для любой производной Dsg с | s | = Ar + 1 имеемB^U, -^-D^Vt-Xf*1 J apq -^lDstiD4UDpvdx +s+
+2i^-^-D^UD^dx^
,+У^1<.?1+< 2+
= (-l)*+< J agg-^D^uD^dx^ s+
+2 I^M ii»ii^-i
' 1Стп*1
Применяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим
^(^ "S^^W’ ф-^-оЧ +
+ О ( V II—j-Dyul II v ||т_Л;
4 /<т+1-1<
\^q^DSgD4UDpydx =
2+f 8»*1~\ дт0
— JD«U dtm dX +
4/<m+i-l'/
Рассуждая так же, как и прежде, найдем, что
-^i-DgU eL2^) и'
чем теорема ц доказаначем теорема ц доказана
чем теорема ц доказана
чем теорема ц доказана
В качестве следствия теорем 4; VI и 4. VIII получаем:
IX. В предположениях теоремы 4. VIII справедливо неравенство.
Н^.г^М^+^Ь.**),
где при заданном v постоянная с зависит только от Upq U 6.
Сильно эллиптические системы
Матричный дифференциальный оператор L^x, D^ ^as(x)Ds (0^| s |^ v) называется сильно эллиптическим оператором в области А, если для любого действительного r-мерного вектора £, отличного от нуля, и для любого комплексного «-мерного вектора ц, отличного от нуля, мы имеем
Re ( 2 а$ (х) ^ЛЛ^ ^ 0.
\s=l V | ,/
Очевидно, что из сильной эллиптичности вытекает эллиптичность. Обратное неверно, как показывает пример оператора в пространстве л2.
В ограниченной области А рассмотрим матрицы apqW, (O^lpl^m, O^l^l^m) размерам Xй и положим
Q(x, g, n) = Re( 2 «р,мт^.\1р1, 1ч1=т )
где 8 — действительный r-мерный вектор, отличный от нуля, а ц—ненулевой комплексный «-мерный вектор. Предположим, что матричные _элементы apqW (IРI = ^j \q\=tn^ непрерывны в А. Тогда условие Q(x, 8, т]) > 0 для всех хе А эквивалентно такому условию:
Re( 2 ^M^nn^Pol^rinl2 (хеА), (5.1) МИ 141-т/
где р0 — некоторая положительная постоянная (а именно минимум величины Q (х, g, rj) на следующем компактном множестве: хе А, | g |= 1, | т] |= 1).
Предположим, что функции apq(x) для (|pl + + |<7|<2/п) измеримы и ограничены в А. Для любых и, уеНт^ положим
В(«, у) = 2 к—^Р^ \ dpqD4uDpydx.|ph klа
При сделанных выше предположениях относительно apq, если выполняется неравенство (5.1), то имеет место следующее утверждение, которое носит название неравенства Гординга.
Существуют две постоянные у0 и Ло (у0 > О, Ао^О), такие, что для любой функции х)еНт^
(-l^ReB^, y)>Vol|v^-^ol|vC (5.2)
Положим pk = (—l)|,|+maZs для |ZJ + |s|<2m. Можно написать
(—1)тВ(ц, y)=J apqD9uDpv dx + J $lsDsuDlv dx.AA
В первом интеграле суммирование ведется по |р| = = | q | = т, а во втором по IZ | +1 s | < 2/п, 0 ^| I | ^ т, 0^|s|^m. Здесь и в дальнейшем в течение всего доказательства мы будем использовать символ apq только для \p\ = \q\=m. При доказательстве теоремы рассмотрим три случая.
1-й случай*. apq = const, pZs = 0. Предположим, как всегда, что A cz Q. Применяя (2.3) и (2.4), получаем, что для v е Нт (Д)
ОрУ = (2пГг'2 S iWhpckelfex,fe= — ОО
ap,Z)»y = (2n)-r/2 S i\q^qapqcfeelfex.
fe=—ОО
В силу теоремы Парсеваля, неравенства (5.1) и теоремы 2. II имеем
(—l)m Re В(у, у) = 2 Re(aP9Wcc*)> fe= —ОО
>Ро JSjmc^Yollvllm.
Итак, в рассматриваемом частном случае неравенство (5.2) выполняется с Ао = О и Yo = PoC> гДе с — постоянная, зависящая только от А.
2-й случай; diam supp у < d0 (где d0— некоторое положительное число). Пусть x°esuppy. Имеем1)
Vo II у С < Re / »Pq W DqvDpv dx =
A
= Re J apq (x) DqvDpv dx + Re J pZs (x) DsvDlv dx + ад
+ Re J [aPg (x°) — apq (x)] DqvDpу dx — 'A
— Re j P;$ (x) DsvDlv dx^ (—l)m Re В (у, у) +
+ max 2l^PU°) —лРЛх)111011™ + ¥111^^ x s supp о p, q
где уо не зависит от x°.
Пусть d0 настолько мало, что выполняется неравенство•
тах У| QpqW — аР»М <TYo- xssuppo
Р. Q
Тогда 2-^011 у С^(—О'” ReB(y, о) + YiII о llmll у Ur Из этого неравенства и из леммы 2. VII и следует неравенство (5.2).
3-й случай; общий. Рассмотрим разбиение единицы в А
где фл(х)еС”, diam зиррфл(х) < 60, а 6о таково, что для | х*—х21< б0 выполняется неравенство2laP,(x‘)— !p'q
— apq (х2) | < у Yo- Имеем
(—l)"IB(y, y)-£ ^2hapqDqyDpu dx -V ^isDsyDlydx= h-ЛАA
= 2 J aPqDq^hyDPW dx + О (|| у IUII у IU-1). Л=1 A
В силу результата для 2-го случая
II Ф»у 11^ < Y2 Re J apqDq^hyDp^hv dx + у31| фЛу fg. А
Поэтому
(-1Г Re в (у, у) > ^ II у l^ - Ys II У 1g - Уб II у IU Иу Ur
Рассуждая так же, как во 2-м случае, получаем (5.2).
Доказанный результат допускает обращение, а именно, справедлива следующая теорема.
О
5. II. Если для любой функции ое Нт(А) выполнено неравенство (5.2), то для всех хе А справедливо (5.1).
Предположим, что (5.1) не выполняется. Тогда существуют х° е А, действительное ^ ^ 0 и т] ^= О, такие, что
Re( 5(5.3)
\1р|. Igl=m/
Для у е Нт (Д) имеем
Yoll «t < (-1)"* Re В (у, у) + Ло|| у |g <
< Re j apq (x°) DqvDpv dx + Re J [aPq (x) — apq (x0)] X
X DquDpu dx + Y1II У ||J| у ||OT_1 + Л,оII У |g. (5.4)
Пусть 60 таково, что для | х — х° | < So имеем Jj I apq (я)— pq
— aPq№ Ку Vo- Пусть /0 —шар |х — х01 < 50. Если зпррусДП/о, то в силу (5.4) и леммы 2.VII
II ” It < V/ Re / apq W DqvDpv dx + у8|| у |g. (5.5) A
Пусть ф (x) — действительная функция класса С", не равная тождественно нулю и такая, что зпррфс о: Д 0 /о- Положим у = ф (х) etx^xr\, где Л — действительное число. Имеем
IIV11^ = ^ | П р 2 (И2 / I ф (х) pdx + О (Л2"-);
'| р |=т А
Re J apq (х°) DpvDpv dx =
А
= Л2"* (Re apq (хО) ^^пц) J | Ф р dx + О (Л2"-1).
А
Следовательно, (5.5) противоречит (5.3).
Замечание. Из этой теоремы следует, что если справедливо (5.2), то, в частности, для любого хе А и любого £ ^= 0 должно выполняться соотношение
det 2ар„(х)^^0,
I р 1.1 q 1=ф
Тогда из (4.14) следует, что для'хе2+, § #= О det 5ар,(х)^^0.
IР Ь I 9 |=т
Полагая ^ = ... =^r_! = 0, |r — 1, мы получаем доказательство леммы 4. VII.
6. Общие теоремы существования
Рассмотрим теперь в пространстве Хг дифференциальный оператор L(x, D) = Dpapq^Dq (0^| р |^m, 0^| q |^m) и предположим для простоты, что комплексные «Хи-матрицы aPq ^ принадлежат классу С”. Пусть А — ограниченная область пространства Хг. Рассмотрим функциональное пространство V, удовлетворяющее следующим предположениям:
V является замкнутым линейным подпространством пространства Нт(Ау,
VzdH^AY
для любой функции уеУ справедливо неравенство
(-1)тРеВ(У, У)>у0||У||2т (Уо > 0).(6.1)
Пусть оператор L удовлетворяет условию (5.1), и пусть в качестве V взято пространство Нт^А\ Предположения (I) — (III) будут выполнены, если мы заменим оператор L оператором L0 = L + (—^TW, где Ло—постоянная, входящая в неравенство (5.2), а 7— тождественный оператор.
Пусть выполнены предположения (I) — (III); для всякой функции feH0(A^ существует одна и только одна функция и eV, такая, что
В (и, У) = J fu dxА
при всех ие V. Эта функция удовлетворяет неравенству II U 1^ <Y0-' Ilf 11g.
Билинейная форма B^w, у) непрерывна в V X V, поэтому существует линейное ограниченное отображение Т из V в V, такое, что B(w, v) = (w, Tv)m для всех ay, oeV, Так как | (у, Tv)m | = | В(у, у) |^у0|| и ||^д, то || Ти ||m> Yolf у 11m- Пусть Т^У) множество значений оператора Т. Для любого w^ Ту^ положим ф(ш) = — (/, у)о> гДе у — та единственная функция из V, для которой w=Tu. Мы имеем | ф (w) | ^ || f ||э || у ||т ^ ^ у”11| f ||q|| w ||т. Но это значит, что ф(т) есть анти- линейный ограниченный функционал, определенный на ТУ), такой, что II ф 11^ у^11| f ||0. Мы можем продолжить ф на все пространство V таким образом, чтобы продолженный функционал Ф имел ту же самую норму. С другой стороны, так как V — гильбертово пространство, то существует функция и е V, такая, что Ф(у) = (u, у)т для всех уеУ и||и||т = = 11ФII ^ Y^1 II f lb- Единственность такой функции и очевидна, поскольку если В (и, у) = О для любого уе V, то 0 = | В(и, и) |>Уо11«С‘).
' Определим теперь линейное пространство °Цу, обладающее следующими свойствами:
°Иу есть линейное подпространство в У;
если us^, то ие Н2т(В) для любой области В, такой, что ВсА, и Lue HQ (Д).
для любых уеИи т^у имеем В (и, у) = = (Lu, у)0.
Рассмотрим задачу
(Р) Lu = f (f^H0(A)), и^Шу.
II. Если выполнены предположения теоремы 6.1, то существует одно и только одно решение задачи (Р).
Очевидно, что если и есть решение задачи (Р), то и есть также решение задачи из теоремы 6.1.
*) Следует заметить, что при доказательстве этой теоремы были использованы лишь предположения (I) и (III). Предположение (II; будет использовано позднее. '
Обратно, если и есть решение этой последней задачи, то и является слабым решением уравнения Lu — f (это легко устанавливается с помощью интегрирования по частям). Но тогда и является и решением задачи (Р) (в силу теоремы 3.1).
III. Пусть форма B(u,v) симметрична в V (т. е. В (и, v) = B(v, и) для и, ое И). В предположениях теоремы 6.1 функционал I (о)=(—1)жу [S (о, о)— — Re(f, o)ol имеет абсолютный минимум в V и минимизирующей функцией является решение задачи (Р).
Если и есть решение задачи (Р), а о — произвольная функция из У, то /(о) — /(«)=(—1)т-|-.В(и— и и — и), откуда все и следует.
Условием, достаточным для того, чтобы форма В (и, о) была симметрична в У, является формальная самосопряженность L. Под этим мы подразумеваем, что apq (х) = (—I)1 р 1+19 'aqp (х) для Любой пары мультииндексов р, q. В таком случае L*(x, D) = L(x, D).
Рассмотрим теперь задачу
(Рх) Lu-HT^u-^eH^, u^<Uv,
где X — некоторое комплексное число. Допустим, что выполняются предположения (I) — (III). Для любой функции фЕ Но (Л) обозначим через Оф решение задачи (Р) с f = (—1)тф; G есть линейное отображение из Но (Л) в V. Предположим, что ф есть решение следующей задачи:
Ф — ХСф = (—I)"1 f, ф е Но (Л). (6.2)
Тогда и = Сф является решением задачи (Рк). Обратно, если и есть решение задачи (PJ, то ф = (—l)m Lu есть решение задачи (6.2). Если рассматривать G как оператор из Но (Л) в Но (Л), то он компактен в предположении, что область Л собственно регулярна^
(см. теорему 2. IV). Но тогда мы можем применить к задаче (6.2) теорию Рисса — Фредгольма уравнений с компактными операторами. Таким образом, получается следующая теорема.
IV. Задача (PJ имеет дискретное (т. е. пустое, конечное или счетное) множество собственных значений параметра Х\ каждое из этих собственных значений имеет конечную кратность, и множество собственных значений не имеет конечных предельных точек. Если X не является собственным значением, то задача (Рх) имеет единственное решение для любой функции fe Н0(А). Если X является собственным значением, то решение существует тогда и только тогда, когда (f, фй)0 = О (А = 1, ..., /), где фи ..., ф; — множество всех собственных функций уравнения Ф — Хбф ■= 0; здесь G* — оператор, сопряженный к G, причем G рассматривается как оператор из Н0(А) в Н0(А).
Надо заметить, что если X является собственным значением, то собственные функции задачи (Рх) совпадают с собственными функциями задачи (6.2). Если форма В (и, у) симметрична на V, то для ф и ф из Н0(А) имеем (ф, С?ф)0 = (— I)"1 В(С?ф, Оф) = (—l)m X X В (Оф, Оф) = (бф, ф)0; таким образом, О — симметричный оператор в Н0(А). Кроме того, в силу предположения (III) (ф, Оф)0 = (—1)"*В(Оф, Оф) ^YoII Оф ||^, т. е. О — неотрицательно определенный оператор1); фактически он даже положительно определен, ибо из Оф = 0 следует ВОф = (—1)тф —0.
V. Если форма В (и, и) симметрична на V, то для задачи (PJ существует возрастающая последовательность положительных собственных значений, стремящихся к + оо. Множество всех собственных функций задачи^) является полной системой в Н0(А).
Мы скажем, что область А в точке х° границы дА имеет гладкость Cv (или, короче, С^-гладка), если у точки х° существует окрестность /, обладающая следующими свойствами: (i) существует гомеоморфизм класса Cv, отображающий множество / = /ЛД на замкнутый полушар S+: | у р +t2 ^ 1,_/ ^ 0 в г-мер- ном пространстве (у, /); (ii) множество IП дА отображается при этом на (г— 1)-мерный шар f = 0, ( у |^ 1.
Область А обладает гладкостью Cv (или, короче, Сч-гладка^, если она имеет гладкость Cv в любой точке границы.
Предположим, что А имеет гладкость С00 в некоторой точке хй границы дА, и допустим, что кроме предположений (I) — (Ш), для пространства V выполняется еще следующее дополнительное предположение:
(IV),». Если заданы некоторая действительная функция ф(х) класса С” с носителем, заключенным в /, а также некоторая функция ое V, то функция -ф(х)у(х) принадлежит У, а класс W всех функций Ф к (£)] у [* (£)] (Ф s С” (/), у е V, х = х (£) — гомеоморфизм класса С” из S+ в /} обладает свойствами (1) и (2), введенными в п. 4.
Легко доказать, что этот класс W обладает также свойством (3) п. 4. Далее, если в качестве функционала В (у, у), который фигурирует в формуле (4.14), взять функционал, который получается из В (у, у) (для каждой функции у е V с носителем в /) с помощью гомеоморфизма х = х(^ класса С°°, то мы увидим, что W удовлетворяет также условию (4). Условие (5) тоже удовлетворяется, ибо V зэ Нт(А).
Нетрудно проверить, что, взяв V = Нт (Д) или V = Нт (Д), мы получим пространство, удовлетворяющее условию (IV)*».
Из результатов о регулярности, полученных в п. 3 и 4, можно вывести следующие теоремы о регулярности.
VI. Пусть А имеет гладкость С°° в точке х° е дА. Если V удовлетворяет предположениям (I) — (III) и (IV),. и fe Hv_2m (Л) ), то решение задачи (Р) принадлежит пространству Н„(В) для любой области В, такой, что В cz Д П (Л U /); п-ри этом существует положительная с, такая, что
ll“6.«<c(llfl!,-,^, + ll"t.,)-
Если А имеет гладкость С” и условие (IV),- удовлетворяется в каждой точке х°гдА, то ueeHv(A) и существует положительная постоянная с, такая, что II и liv, а ^ СИ / llv—2m, а- Если А имеет гладкость С”, условие (Г/),, выполняется в каждой точке х° е дА и feC”(A), то и г С” (А).
VII. Если А имеет гладкость С”, условие (IV),. выполняется для любой точки х°гдА, а и является собственной функцией задачи (PJ (г. е. Lu—(—l)mZu= = 0, ueUy), то ueG”^.
Действительно, так как Lu е Нт (Л), то не В3т(Л); но тогда £иеВ3т(Л), а значит, иг В5т(Л), и т. д.
Если V=Hm(A), А С”-гладка и fe Hv_2m(A), где v > у + т — 1, то функции и, о которых идет речь в теоремах 6. VI и 6. VII, принадлежат С"1-1 (Л) (согласно теореме 2. VI) и удовлетворяют граничным условиям Дирихле Dpu = 0 (0^|р|^/п—I) в классическом смысле.
Если ^ЕЯ,_2т(Л) с v>y + 2m—I, А имеет гладкость С” и условие (IV) ,= выполняется для всех х°гдА, то иеС2т-1(Л). В этом случае и удовлетворяет тождеству Грина с произвольной функцией игНт(Ау.
В (и, у) = J kLu^ у dx + J М {и, у) da,
А дА
где М (и, у) — некоторый билинейный дифференциальный оператор порядка 2m—1 относительно и и пг — 1 относительно у. Из того факта, что и е 4ZV, следует, что ' .
J М (и, у) do = 0 (6.3) ЗА
для всех у е V. Во многих (встречающихся в приложениях) случаях уравнения (6.3) позволяют охарактеризовать граничные условия, которым удовлетворяет и.
Предположим теперь, что А— собственно регулярная область, и рассмотрим пространство £Tm_j (5Д), образованное векторами ту, где у пробегает Нщ^АУ Норма в 9~т-\ (5Л) была введена в п. 2. Пусть D(w, z)— билинейный непрерывный функционал на ^*m-i (дЛ) X 9"ш-1 (5Л). Пусть у — линейное ограниченное отображение из Ят(Л) в Тт_х (5Л). Положим Ф(и, у) = £)(уи, ту) + В (и, у). Пусть V— подпространство в Нт^АУ удовлетворяющее предположениям (I) и (II). Допустим, что D и В таковы, что
(ПГ) (-I)"1 Re[D(yy, ту) + В (у, у)] >у'|| у ^ (у' > 0).
Легко проверить, что теория, связанная с теоремами 6.1—6. V, сохраняет силу, если мы в соответствующих утверждениях и определениях заменим билинейную форму В (и, у) на Ф(и, у).
Что же касается теоремы о регулярности в окрестности границы, то для того чтобы развить для этого более общего случая теорию, аналогичную теории, развитой в п. 4, требуется наложить некоторые дальнейшие условия на D. Просмотрев еще раз доказательства теорем 4. VI и 4. VIII, читатель сможет сам сформулировать предположения относительно D, которые надо сделать для того, чтобы эти результаты оставались верны и в нашем более общем случае.
Динамические задачи
Рассмотрим теперь в (г + 1)-мерном эвклидовом пространстве переменных xh ..., хп t цилиндр Е = А XI, где А — некоторая область в Хг, а / — открытый интервал (О, Г). Мы будем рассматривать в Е задачи с начальными и граничными условиями для уравнения (—l)'"-lLu— utt = f, где L— оператор, описанный в предыдущем пункте, с коэффициентами ар,(х), зависящими от х. Мы будем заниматься лишь „С”-теорией“. Поскольку эта теория дает наибольшую гладкость неизвестной функции и, она представляется наиболее полезной для приложений. Однако, используя теорию сильно эллиптических операторов, развитую в предыдущем пункте, можно было бы построить для динамических задач теорию, в которой допускаются более общие области и исходные данные.
Пусть А — ограниченная область в Хг, имеющая гладкость С”, a L — матричный дифференциальный оператор с коэффициентами класса С”, рассмотренный в п. 6. Пусть V — подпространство, рассмотренное в том же пункте, удовлетворяющее предположениям (I) —(III) и (IV)*» (последнему — для всех xQ е дЛ) *). Предположим, кроме того, что
(V) Билинейная форма В (u, v) симметрична на V.
Мы будем рассматривать следующую задачу:
(Pz<) Пусть даны f (х, /) е С°° (Е), g0 (х) е С°° (Л) и gx (х) е С” (Л); требуется найти функцию u^x,f)e е С” (В), удовлетворяющую дифференциальному уравнению (—l)m-1 Lu — utt — f (х, 0 в Е, принадлежащую пространству <UV и такую, что u(x, O)=go(x), щ(х, 0)= = gi(xY
■) Надо заметить, что это — довольно строгие ограничения на V. Например, ими исключаются смешанные граничные условия. Однако эти более общие задачи можно было бы рассмотреть в „не-С”-теории“.
Тот факт, что и(х, f) е <UV для любого tel, эквивалентен выполнению условия (6.3) для всех tel и у eV.
Обозначим через Л?^Лг^ ... ^Л1 ^ ... последовательность собственных значений задачи (Рх) (каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность). Пусть {оА(х)}—соответствующая полная ортонормированная последовательность собственных функций.
7.1. Решение задачи (Р„) единственно. Необходимые и достаточные условиядля существования решения таковы-.
g0(x)eq/v, gv^e<Uv,
L*gM~ 2 (_l)M-DL/-^2ft_2(Xj ^eouv, * ‘(7.1)
L3 gx (X) ~ 2 (-I)41"” ° L^f^ (x, 0) e =UV
(/=1, 2, ...).
Если условия (7.1) выполняются, то решение дается следующим рядом:
м (х, 0 = (go- у»)о cos W + Л?1 (gi, уа)о sin Л6/ —
г sinXb(f —т) г]
-J Ч-drjf& т)и6(Ю^ УбИ. (7.2)
0k , А'
Положим Uk (/) = (и (х, О, У6 (х))0, Fk (f) = (f (х, f), yk (x))0. Если и является решением задачи (Р«), то мы имеем
(Ln, Уб)0=В(«, У^ = В<ик, и^и, Lvk)0=(-l)mK2kUk(t). Тогда Uk^^xXufe(tW-Ffe^, Uk(^) = {gQ, у^й, ^а(О) = (gp Уб)0- Этим доказана единственность решения и, кроме того, установлено, что если решение существует, то оно дается формулой (7.2). В силу (6.3),
если ц(х,/) является решением_ задачи (P/z), то и^х, /) для любого s и любого tel принадлежит ^к. Но тогда g0 е ^v, gve<Uv. Имеем
аи = (-\Г-' Lu-f(x, t\
С помощью последовательных дифференцирований получаем
= (—1)/(т~11 L*u - 2 (-i/'-^-i) L^fг6=ir
откуда видно, что функции
Lyti-2(-l)M,n-1,L/-6/(26-2
и
6=11
принадлежат °U,V для всех t^I. Если положить Z = О, то мы получим условия (7.1). Пусть теперь выполнены условия (7.1). Мы утверждаем, что ряд (7.2) дает решение задачи (Р«). Пусть G— оператор, введенный в п. 6, а р — любое фиксированное целое положительное число. Элементарные вычисления и рассуждение по индукции показывают, что (7.2) можно переписать в виде
и (х, О = 2 «^Р Ф Uh (X) + 2(-DA Gh [^-2 Q, П],
где
«MO=(-Om,P+1)(bP+1g0-
р\
-S(-l)*"’-"LW-1f^.2(£,O), Ml) ^- V
6=1/о
/р-1\ ■
+ (_l)mp0)( Ufe^ х
'6=1/ О
х4^-+(-1Г' f ^^F>ri4^dT.
Но kk
Пусть s и q — соответственно индекс и мультииндекс, такие, что s + |^|^p. Для любого /, для которого к?2 < 1, имеемПусть s и q — соответственно индекс и мультииндекс, такие, что s + |^|^p. Для любого /, для которого к?2 < 1, имеемтт<+р<+рJ 2 DstWfep(t)Dqxv^J 2 DstWfep(t)Dqxv^оо6=1+1110, АTil Z+p6=1+1110, АTil Z+pо Цд=/+1 т 1+ро Цд=/+1 т 1+рВdt =lo. лi+pВdt =lo. лi+p= »J £ ^^Mk^dt^cx 2 ^Х О fc=Z+l4—1 + 1" /Р\= »J £ ^^Mk^dt^cx 2 ^Х О fc=Z+l4—1 + 1" /Р\х и^-у^-х^-ч^^^о), 0&(ох и^-у^-х^-ч^^^о), 0&(о22•- 'ft—I>/р-1\+ Up£l°)-у^'ft-1/Оs-1 Г•- 'ft—I>/р-1\+ Up£l°)-у^'ft-1/Оs-1 Го2о2
Пусть s и q — соответственно индекс и мультииндекс, такие, что s + |^|^p. Для любого /, для которого к?2 < 1, имеем
Пусть s и q — соответственно индекс и мультииндекс, такие, что s + |^|^p. Для любого /, для которого к?2 < 1, имеем
т
т
<+р
<+р
J 2 DstWfep(t)Dqxv^
J 2 DstWfep(t)Dqxv^
о
о
6=1+1110, А
Til Z+p
6=1+1110, А
Til Z+p
о Цд=/+1 т 1+р
о Цд=/+1 т 1+р
В
dt =
lo. л
i+p
В
dt =
lo. л
i+p
= »J £ ^^Mk^dt^cx 2 ^Х О fc=Z+l4—1 + 1
" /Р\
= »J £ ^^Mk^dt^cx 2 ^Х О fc=Z+l4—1 + 1
" /Р\
х и^-у^-х^-ч^^^о), 0&(о
х и^-у^-х^-ч^^^о), 0&(о
2
2
•- 'ft—I>
/р-1\
+ Up£l°)-у^
'ft-1/О
s-1 Г
•- 'ft—I>
/р-1\
+ Up£l°)-у^
'ft-1/О
s-1 Г
о
2
о
2
А—О О
где с и сх — некоторые положительные постоянные.
Таким образом, и принадлежит^ Яр(Е) для любого р и, следовательно, иеС”(Е\ Теперь мы в состоянии проверить прямым вычислением, что заданная формулой (7.2) функция и(х, t) является решением задачи (Ри). '
С помощью тех же самых методов можно получить оценки, из которых следует непрерывная зависимость решений задачи (Рм) от данных этой задачи. Мы выпишем явно лишь простейшую из этих оценок; J J I и^х, 0 I2dx< J | goto fdx + ХГ2 J | gx to l2^ +
AAA
t
-vxr2t / dt J|f(x,OP^. 0 A
Она непосредственно вытекает из (7.2).
Задачи диффузии
Пусть Л, L, В и V удовлетворяют предположениям предыдущего пункта. Рассмотрим следующую задачу.
(Р() Пусть даны f (х, t) ^ С^Е) и g0 (х) е С” (Л); найти функцию Цх,()еС”(Е\ удовлетворяющую в Е дифференциальному уравнению (—I)"1-1 Lu — ut = = f(x,f), принадлежащую для всех t г. I пространству QZV и такую, что и (х, 0) = g0 (х).
Решение задачи (Р,) единственно. Необходимые и достаточные условия для существования решения таковы-.
g0(x)sQZv,
^g^-^i-l^^L^f^^x, 0)e^Zv (8.1) &=i1
0=1, 2, ...).
Если условия (8.1) выполняются, то решение дается следующим рядом:
Цх, 0 = 2*=1Цх, 0 = 2*=1(бо» «kV — J е w)^о(бо» «kV — J е w)^оук(х).(8.2)ук(х).(8.2)
Цх, 0 = 2
*=1
Цх, 0 = 2
*=1
(бо» «kV — J е w)^о
(бо» «kV — J е w)^о
ук(х).
(8.2)
ук(х).
(8.2)
Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 7.1, и нет необходимости его повторять. Заметим только, что из (8.2) легко получается оценка
t
j | и(х, 0 № < J | go№ ^x + Z J di J | f (х, 0 Мх.
АА0 А
Интегро-дифференциальные уравнения
Применим теперь теорию общих сильно эллиптических операторов к исследованию интегро-дифференциальных уравнений, которые возникают, например,
при изучении материалов ) „с памятью". Впервые такие уравнения рассмотрел, около шестидесяти лет назад, Вольтерра, в частности в связи с классическими задачами теории упругости.
Мы сделаем относительно Л, L, В и V те же самые предположения, что и в п. 7 и 8, но отбросим предположение (V) — результаты настоящего пункта справедливы и тогда, когда форма В (и, и) не симметрична на V.
Мы будем обозначать через W(Е) класс комплексных «-мерных вектор-функций ш(х,/), определенных на Е, обладающих следующими свойствами:
для всякого фиксированного tel функция о>(х,/) принадлежит С” (Л);
все производные D^wix, t) (|р|^0) принадлежат С° (Е).
Заметим, что функция w принадлежит W(Е) тогда и только тогда, когда для любого v выполнены следующие два условия: w^x, IjeHjA при произвольном фиксированном tel и lim||ty(x, t) — w(x, ^o)IIv,a=O.
Действительно, очевидно, что если we W(Е), то эти условия выполняются. Обратно, если шеНДА^ для любого V, то w(x, t) е С” (Л). Пусть I — целое число, такое, что / > г/2. В силу теоремы 2. VI
Ш"™),, — iO"*!,, , J < с л w (х, о — ™>(х, 1») 1,„, л + + I (О'-”")».*
чем и доказана непрерывность Dpw в Е.
Пусть КаУ> ^ (0 ^1 а | ^ 2/п) — комплексная матрица размера п Xя, непрерывная в / Х^- Рассмотрим следующую задачу:
(Рк) Пусть дана функция ^х, t)eW (Е); требуется найти функцию и^х, t)eW(£), удовлетворяющую в Е интегро-дифференциальному уравнению
0,2m t
Lu (х, 0+2 j К-a (О г) Dau (х, т) dx = f (х, О |а| О
и такую, что ukx.t^e^y для всех tel.
Существование и единственность решения задачи (Рк) следуют из теории интегральных уравнений типа Вольтерры в банаховом пространстве. Пусть S— комплексное банахово пространство и ^(0т) — функция, значения которой являются линейными ограниченными операторами в S. Пусть эта функция К (0 т) непрерывна в Z X Л и пусть и (0 и h kt^ — функции со значениями в S, непрерывные в I. Тогда интегральное уравнение Вольтерры )
о(0=/^(0 T)v(T)dr + /i(0(9.1)
о
имеет одно и только одно решение и, непрерывное в Z; при этом и является пределом последовательности {v&(0}» сходящейся равномерно в Z; эта последовательность получается с помощью метода последовательных приближений:
t
vQ (О = h kt).vk (t) = / к kt. T) X)k_x (t) dx + h {t).
0
Сходимость последовательности (уй(0) и единственность решения доказываются точно так же, как и в классическом скалярном случае.
Мы можем применить эти общие результаты к доказательству следующей теоремы.
. Задача (Рк) имеет одно и только одно решение.
Пусть G — тот же оператор, что и в предыдущих пунктах. Мы утверждаем, что задача (Рк) имеет решение тогда и только тогда, когда существует функция ф(х, 0 s (£), удовлетворяющая уравнению
О, 2m t
(-о” ф (х, о + £ JX ^т) °а° [»& т>] dT=f ^ ^
Действительно, если и является решением задачи (Рк), то ф (х, 0 = (—ХТ Lu удовлетворяет уравнению (9.2). Обратно, если ф (х, /) удовлетворяет уравнению (9.2), то и(х, /) = G [ф(g, 01 есть решение задачи (Р^). Рассмотрим произвольное пространство ЯДЛ) с v^2/n и положим S = Hv (A), v (0 = ф(х, /)> h (t) = (—l)mf (х, /),
0, 2m
к (t, т) V (т) = (-1)"1 2 Ka (L т) DaG [ф (g, т)].
I а |
Тем самым (9.2) сводится к (9.1). Следовательно, (9.2) имеет одно и только одно решение, принадлежащее Н„ (Л) для любого tel и такое, что Нт||ф(х, f)—ф(х, ^о)llv.л = 0- Так как v произвольно, то ф е W (5).
Классические граничные задачи для скалярного эллиптического оператора 2-го порядка
В этом пункте мы будем рассматривать только действительные функции. Пусть L — линейный эллиптический оператор 2-го порядка (с действительными коэффициентами):
[а‘/ W ^-] + bt (х) -^ + си,
(а,Дх) = а/г(х); a^x)^, >0].
Мы будем предполагать, что коэффициенты atj, bt, с принадлежат классу С”. Пусть А — ограниченная
область, обладающая гладкостью С°°. Мы рассмотрим для оператора L некоторые классические граничные задачи. При этом мы ограничимся лишь случаем „С”-теории“, предоставляя читателю самому возможность вывести результаты для других случаев из общих результатов п. 6.
Задача Дирихле. Дана функция f(x)e е С” (Д); требуется найти функцию ueC” (Д), такую, что Lu — f в А и и = 0 на дА.
Возьмем в задаче (Р) из п. 6 в качестве V пространство Ht (Д). Чтобы можно было применить теоремы 6. II и 6. VI, нам нужно установить неравенство (6.1), т. е. доказать, что
— В(о, о) =
=(ЮЛ)
ил^ ил I\ *у J
для любой функции ysHt(A\ Неравенство (10.1) справедливо, если
(10.2)
В силу теоремы 6. IV, если для решения задачи Дирихле справедлива теорема единственности, то справедлива и теорема существования. Единственность имеет место не только тогда, когда выполняется (10.2), но также и тогда, когда с(х)^0 в А. Действительно, в этом случае для любого решения однородного уравнения Lu = 0 имеем | и(х) | ^ ^ шах | м(х) | (принцип максимума}, откуда следует хедА
единственность решения задачу Дирихле ').
(Н)_3адача Неймана. Дана функция f(x)^ е С” (Д); требуется найтй функцию иеС” (Д), такую.
4ToLu = fe A, a^ViUx^O на дА [v= (v^ ..., vr) — единичный вектор внутренней нормали к 5Л].
Рассмотрим задачу (Р), взяв в качестве V пространство Нх (Л). Положим
Предположим, что для хе А выполнены следующие условия: az/^;-> Pol ^ I2, I 6; К р, (г = 1, ...Г г), — с^р^. Тогда для любого ие//,(Л) имеем, если
только р2 достаточно велико,
дидх.дидх.— В(у, y)>J (po^fjr)2 ~Pil у 12
дидх.
дидх.
A Z=I '1 'Z=I
+ p2l vl^dx^Collylli.
Так же, как в предыдущем случае, мы можем сделать вывод, что единственность влечет за собой существование. Уравнение (6.3) в нашем случае принимает вид
J уа^^до^О.
ЗА
Это соотношение должно выполняться для всех v г Нх (Л). Но тогда azyvz«x/ = 0 на дА.
Рассмотрим частный случай L = Д2 = ^ уу. В этом случае форма В (и, у) =— J yXjyXldx симА
метрична. Следовательно, решение существует тогда и только тогда, когда (f, <р)0 = 0, где qp— решение однородной задачи Д,ф = О» в A, qp, v, = 0 на дА. Поэтому для оператора Лапласа Д2 задача Неймана имеет решение тогда и только тогда, когда (^ 1)о = О.
Пусть Zs^, ...Д)— некоторый действительный единичный вектор, определенный на дА, принадлежащий классу С”, если рассматривать его как функцию точки х, изменяющейся в дА. Следующую граничную задачу называют задачей с косой производной для оператора L:•
Lu = f в А,(10.3)
■^ = 0 на дА.(10.4)
При дополнительном предположении Av > 0 эта задача известна как
Регул ярна я задача с косой производной. Пусть pit—произвольные функции из С” (Л), такие, что pit =— pti. Оператор L можно записать в виде
, д Г ди 1 , о ди ,
др »
где а;/= а;/+ р(/, 0, = ^ + -^. Функции рм возможно выбрать таким образом, чтобы
а^ — рА, (/=1г),(10.5)
где р — некоторая определенная на дА положительная функция класса С°°.
Положим на дА
Pt/ = ^ акк ЬЛ/ — V/A,) vAv6 — а^^ + a^v,')
и продолжим эти функции на Л так, чтобы продолженные функции принадлежали С”(Л) и выполнялось, условие pi} = — р//. При этом условие (10.5) выполняется с р = (Av)-1 а^уд.
*) Это определение функций р^, которое проще предложенного в [7], было подсказано мне X. Вейнбергером.
3 Г. Фикера
Рассмотрим теперь для «, у г Нх (Д) билинейную форму; •
х Г до ди . „ ди ,) ,
В(«, у)=]+ 5-+УУИ рх-
Предположим, что с < 0 в Д. Пусть р0, рх, р2— положительные числа, такие, что а^х)^ ^р0| £ I2 для любого х е Д, | Pf К pi (г = 1, ..., г), — с ^ р2. Тогда
-В(у, у)>/(ро2|^|2-Д х f=l 1'г—ри у i2i=l-В(у, у)>/(ро2|^|2-Д х f=l 1'г—ри у i2i=lдидх(дидх(+ Рг1 У I2]+ Рг1 У I2]dx.dx.
-В(у, у)>/(ро2|^|2-
Д х f=l 1'
г
—ри у i2
i=l
-В(у, у)>/(ро2|^|2-
Д х f=l 1'
г
—ри у i2
i=l
дидх(
дидх(
+ Рг1 У I2]
+ Рг1 У I2]
dx.
dx.
Следовательно, если р2 достаточно велико, то — В(у, у)^с011у112 Для всех у^В^Д). Отсюда следует, что существует функция ие Нх (Д), удовлетворяющая уравнению В (и, y) = (f, у)0 для любого у е V га Нх (Д). Применяя_результаты о регулярности, заключаем, что иеС” ^А\ В силу (10.5) имеем
В (и, у) = J (В«) у dx + J Ур -^- da.АдА -
Поэтому ввиду произвольности у функция и является решением задачи_(10.3), (10.4). С другой стороны, решение «еС”(Д) регулярной задачи с косой производной существует, если имеет место единственность. Единственность имеет место, если с(х)<0 в Д- Действительно, пусть Lu = 0 в Ди duldk = 0 на дА. Тогда функция и в силу теоремы Жиро и Хопфа *) не может иметь на дА ни максимума, ни минимума, если она не постоянна. Так как
| «(х) | ^ шах | и |, с < 0,хедА
то должно быть « = 0 в А.
Предположим теперь, что д^ и д2А— два непере- секающихся подмножества границы дА, такие, что если точка х° принадлежит dkA (k = 1, 2), то окрестность / точки х°, которая вводилась при рассмотрении С“-гладкости границы дА, можно выбрать так, чтобы ГЛ дА cz дкА. Кроме того, мы предположим, что д,А=дА \ д2А. Пусть X—единичный вектор класса С”, определенный на дА (такой вектор уже вводился, когда мы рассматривали задачу с косой производной). Пусть X удовлетворяет на дА условию регулярности Xv > 0.
Следующая задача известна как
Смешанная граничная задача:
Lu = f в А, и = 0 на дхА, -^~ = 0 на д2А.
Здесь в качестве пространства V мы можем взять замыкание в пространстве Нх (Д) подмножества в С1 (Д), состоящего из функций, обращающихся в нуль на с^Д. Для любой точки х°, лежащей на ^iД или д2А, выполняется условие (IV),. п. 6 с v = oo.
Мы будем использовать для Lu то же самое представление, что и з задаче с косой производной, с коэффициентами az/, удовлетворяющими условию (10.5). С помощью таких же рассуждений, как и в задаче с косой производной, мы получим, что — В(у, у) ^с0|| у ||f для всех о eV, если —с^р^ а р2 достаточно велико. В этом случае мы имеем единственное решение граничной задачи, соответствующее сделанному выше выбору пространства V. Решение задачи допускает регуляризацию в окрестности произвольной точки ДД или д2А. Поэтому решение и обладает следующими свойствами регулярности:
(1) ыеС”(Д)ПЯ,(Д),
(ii) «еС°°(ДиМ11М).
Если dД = d1ДUd2Д, то и принадлежит С°°(Д); в противном случае единственными точками, где функция и может оказаться не С°°-гладкой, являются точки множества дД \ (с^Д U <Э2Д). С помощью стандартных рассуждений проверяется, что на ^iД и д2А выполняются соответствующие граничные условия.
Мы предоставляем читателю самостоятельно получить результаты, относящиеся к динамическим задачам и задачам диффузии, а также к задачам для материалов с памятью, связанным со скалярным эллиптическим оператором второго порядка. Это можно сделать, применив к этим частным случаям общую теорию, развитую в п. 7—9.
Равновесие тонкой пластинки
В классической теории равновесия тонких пластин ищутся решения определенных граничных задач для итерированного оператора Лапласа с двумя действительными переменными х, у;
А А Ад4« . о д4«. d4u
Д4ы — Д2Д2и — дх, + 2 дх2 ду2 4- ду4 ,
при этом рассматриваются различные граничные условия. Предположим, что А—ограниченная плоская область гладкости С00. В теории тонких пластин рассматриваются следующие граничные условия на dД:
и = 0,(11.1)
^ + ст№_1^ = 0,(11.3)
dv2 \ ds2 р dv Jх '
-^-Д2« + (1 —=(11.4)
dv 2 1 '* ds dv dsx '
Здесь v — единичный вектор внутренней нормали к dД; d/ds обозначает дифференцирование по длине Дуги (длина дуги отсчитывается против часовой стрелки); 1/р — кривизна dД; ст—постоянная, такая, что — 1 < ст < 1. Рассмотрим дифференциальное
уравнение
M = f. (Н.5)
где и и f— действительные функции. Граничная задача (11.5), (11.1), (11.2) соответствует задаче о равновесии для пластины, заделанной по краю. Граничные условия (11.1) и (11.3) отвечают пластине, опертой по краю. Граничные условия (И.З) и (11.4) означают, что та часть границы, где они выполняются, свободна. Мы ограничимся рассмотрением задачи (11.5), (11.1), (П.2) и смешанной граничной задачи для частично заделанной пластинки, т. е. для случая, когда условия (11.1) и (11.2) выполняются на некоторой части дхА границы дА, а условия (11.3) и (11.4)— на части д2А, причем djA и д2А— такие же части границы дА, какие рассматривались в п. 10. Мы предоставляем читателю самому применить общую теорию к другим граничным задачам, например к смешанной задаче для случая, когда часть границы дА заделана, часть оперта, а часть свободна. В качестве билинейной формы для задачи (11.5), (11.1), (Н.2) мы берем
\ М ®2и д2и । о д2и д2и . д2и д2х>\..
5 (“, у) — J 9хг 9хг + 2 9х ду дх ду + ду2 ду1 ) dx dy. А
Подпространством V пространства Я2(Л), которое надо рассматривать в этом случае, будет Н2(А). Неравенство (6.1) сводится к неравенству'(2.6) с m = 2. Таким образом, В (у, и)^с0||у|^ (уеЯ2(Л)). Все предположения (I) — (III), (IV)X„ (для любого х?едА) п. 6 выполнены, так что справедливо следующее утверждение.
Если fsC°°(A), то граничная задача (11.5), (11.1), (11.2) имеет одно и только одно решение, принадлежащее С” (Л).
Что касается упомянутой выше смешанной граничной задачи (т. е. случая, когда заданы условия (11.1), (Н.2) на д,А и условия (11.3), (11.4)
на д^А), то полезно заметить, что для и и у, принадлежащих С” (Д), мы имеем
f Г 5 л\ д d2u 1 ,
у v— Д2« + (1 — ст) -а- д j ds —
J L dv 2 1 '’ ds ov ds J
9Л f du Г d2u ./ d2u 1 du \1 ,
—-5— TV + 0 "WT «S =
J ov I dv2 \ ds2 p ov /J
dA
H
d2u d2v . ,„ „ \ d2u d2u ■ d2u d2u , dx2 dx2 ' '°' dx dy dx dy ' dy2 dy2
Г d2u d2u . d2u d2v 1) , , Г ., ,1 ex
+ 0 tvtv + w wWdxdy — у \.udxdy. (11.6) 1 L dx2 dy2 1 dy2 dx2 Jr 9 J 49''
В качестве пространства V возьмем теперь подпространство в Я2(Д), состоящее из функций, удовлетворяющих условиям (11.1), (Н.2) на дхА. Положим
п/\Г152“52уI/OОХ52“д2°I ^2“Э20 .
В(и,у)— J|дх2дх2+ (22ст)9х9удхд-\т ду29у2 +
А
Г d2ud2u ,d2ud2v 1 1, .
L dx2dy2 +dy2dx2 J jdx dy‘
В силу предположения — 1 < a < 1 имеем
В (и, у)^с(ст) ^ ^\Dpu^dxdy.|р|=2 А
Постоянная с (ст) зависит только от ст. Чтобы доказать неравенство (6.1), достаточно установить, что существует постоянная ct > 0, такая, что для любого и е V■
(И.7)(И.7)У j 1 Dpv fdxdy >^11 dI§.
(И.7)
(И.7)
Ip I—2 л
Предположим, что (11.7) не выполняется. Тогда существует последовательность (у„) е V, такая, что
11^112=1,(И.8)
^ ^DpanNxdy<^.(11.9)
I р 1—2 А .
Мы можем предполагать, что последовательность {у„) сходится в Я] (А) (теорема 2. IV). Тогда в силу (11.9) она сходится и в Я2(Д) и предельная функция имеет сильные вторые производные, равные нулю в А. Отсюда легко следует, что у является многочленом степени 1 *).
*) Пусть и е Нт И) и Dsu = 0 при | s | = т. Для любой функции w е С” (Л) имеем
J Dsu Dsw dx = (—l)m J uDsDsw dx = 0. AA
Так как оператор Lw = DsDsw эллиптический, то из теоремы 3. II вытекает, что и е С” (Д) и, следовательно, и является многочленом степени т — 1.
Отметим еще следующую лемму, которая будет применяться в дальнейшем.
Пусть А — собственно регулярная область. Для любой функции ueHmW (m^l), такой, что
А справедливо неравенствоА справедливо неравенствоJ D'udx = 0, 0 ^ | s | ^ m — 1,
А справедливо неравенство
А справедливо неравенство
ft<4<c ^ jl^ulMx (ОО).
|s|=m А
Предположим, что это неравенство не справедливо. Тогда существует последовательность {ы*"*} функций из Ят(Д), такая, что
Мы можем предполагать, что последовательность {и^} сходится в Нт— 1 (Д) (теорема 2. IV). Пусть и —ее предел в Нт—х (Д). Имеем
Но тогда последовательность {и1”1} сходится к и в HmW и Dsu = 0 при | s | = т. Отсюда следует, что и — многочлен степени т—1, который удовлетворяет условиям
««^-1,4=’./о^ = 0. И<т,
что невозможно.
Так как у s V, то у = 0 в А. Но это противоречит соотношению (11.8). Итак, неравенство (6.1) доказано, и выполняются предположения (I) — (III) п. 6. Значит, для всякого у g V существует одно и только одно решение игУ уравнения В (и, у) = (/, у)0. Предположение (IV),, выполняется для x°ed^ и х° s д2А, поэтому не С”(Ди<5Ии<52Л). Применяя формулу (11.6), получаем, что и является решением нашей смешанной задачи.
Смешанная граничная задача (11.5); (11.1), (11.2) на ВЗ; (11.3), (11.4) на д2А с feC”^A) имеет одно и только одно решение, принадлежащее
С” (Л U 5, A U д2Л) П Н2 (Л) Л С» (Л).
Тот факт, что иг С°(Л), является следствием леммы 2. VI.
Мы предоставляем читателю самому сформулировать результаты для различных частных случаев задач (PJ, (Р»), (Р() и (Рк), например для случая закрепленной пластинки.
12. Граничные задачи равновесия в линейной теории упругости
Здесь рассмотрим классические граничные задачи линейной теории упругости в случае неоднородного анизотропного тела. Для того чтобы охватить одновременно оба представляющих физический интерес случая (плоский и трехмерный), удобно изучать эти задачи в произвольном пространстве Хг. В этом пункте мы будем иметь дело с r-мерными вектор- функциями и, у, f, ... с действительными компонентами. Положим .
(г, Л=1, ..., г), дх. I х'
Рассмотрим упругий потенциал
1,г 1, г
IV (х, е) = 2 S а<л. ik {х) бц^ь»i^h j^k
Предполагается, что действительные функции а1А, ,* принадлежат классу С°° и что W (х, е) является по* ложительно определенной квадратичной формой относительно г (г + 1 )/2 переменных гш (1 ^z^A^r) для любой фиксированной точки хеХ'. Мы можем считать, что а/А,/6 (х)^а;6,;/!(х). Положим для произвольных значений 1, ..., г индексов i, h, j, к
«ih. ik to> «М. Ik to,
если
если
z’^A, z > А,
!
i
< A; i < ^ к".
' А, /
aih.ihW =
а-th, кi W,
если
z ^ А,
i
> А;
«■ht,kAxV
если
z > А,
/
> А;
^^ih, jk to>
если
i = k.
/
= к.
Имеем aihtlk(x) = ajk,th(x)^aM, ik^aih,ki{x\ Кроме того,
^(х, в) = у2а^,кв<кв/к = у2а1к>/к^-^. (12.1)
Следует заметить, что квадратичная форма а1к, !кт\1кх\1к не является, вообще говоря, положительно определенной; как функция г2 действительных переменных т]гл (z, к = \, ..., г) она является лишь неотрицательно определенной формой. Положительной она будет лишь на подпространстве г2-мерного пространства переменных т]гл, определяемом соотношениями т^ = т^р
Особый интерес представляет случай, когда
aih, ]к to 3 ^ij^hk + ^ik^hj + (v ^^ih^jk, (12.2)
где v —некоторая постоянная. Это случай классической линейной теории упругости для однородного изотропного тела. Так как в этом случае мы имеем W (е) = eiAeZA + 2~' (v — 1) в,гелл, то форма W положительна тогда и только тогда, когда v>r~’(r — 2).
Пусть А— ограниченная область в Хг; мы будем предполагать, что она имеет гладкость С”. Уравнения равновесия для упругого тела, естественная форма .которого совпадает с А, имеют следующий
вид:
» ^-F(x..) + f,-0 «Л.(12.3)
Возможны три рода граничных условий, соответствующие трем основным задачам теории упругости. Мы рассмотрим только однородные условия.
Первая граничная задача (тело закреплено на границе):
и = 0 на дА.(12.4)
Вторая граничная задача (тело свободно на границе):
tt (и) a vA W (х, е) = 0 на дА (12.5) d8ih
(v — единичный вектор внутренней нормали к dAY
Третья граничная задача (смешанная граничная задача):
и = 0 на 5^,(12.6)
/(и) = 0 на д2А,(12.7)
где di Д и д2А— подмножества дА, введенные в п. 10.
Можно было бы рассмотреть и другие граничные задачи. Например, задачи, в которых р компонентам вектора и и г— р компонентам вектора /(и) предписывается заданное значение на дА. Однако мы ограничимся тремя указанными выше случаями, предоставив читателю самому исследовать другие граничные задачи для уравнений (12.3).
Уравнения (12.3) можно записать в виде
д Гди.■^[WM ^ + ^1=0.д Гди.■^[WM ^ + ^1=0.(12.3')(12.3')
д Гди.
■^[WM ^ + ^1=0.
д Гди.
■^[WM ^ + ^1=0.
(12.3')
(12.3')
Чтобы доказать существование и единственность решения задачи (12.3), (12.4), нам надо установить справедливость неравенства (6.1) для любой функции реЯДД). Неравенство (6.1) в рассматриваемо^
частном случае принимает вид г, ди, ди.частном случае принимает вид г, ди, ди.fuV. OVjо
частном случае принимает вид г, ди, ди.
частном случае принимает вид г, ди, ди.
/ Щм^дГаГ^х^оЦо^ (veH^A)). (12.8)
В силу (12.1) неравенство (12.8) эквивалентно неравенству
+(yG^№ (12-9)
Л 1 и '** '
A I. hA I. hкоторое известно как первое неравенство Корна. Неравенство же (12.9) получается немедленно, если воспользоваться разложением в ряд Фурье функций и, и применить теорему Парсеваля. Таким образом, мы приходим к следующей теореме.
A I. h
A I. h
Если feC”(A), то существует одно и только одно решение граничной задачи (12.3), (12.4), принадлежащее С°°(Д).
Заметим, что в силу (12.8) для любого х^ А, любого отличного от нуля действительного £ и любого отличного от нуля г] мы имеем alh, !k (х) ^^■Пг'П/ > О (см. теорему 5.II). Таким образом, вследствие положительности упругого потенциала W (х, е) система уравнений теории упругости сильно эллиптическая.
Докажем теорему существования и единственности для задачи (12.3), (12.5). Рассмотрим систему
дди,
"э^ aih. Ik W "g^ РоЩ + h = 0,
(12.10)(12.10)где pg — произвольная фиксированная положительная постоянная. Сначала мы докажем теорему существования для задачи (12.10), (12.5). Легко видеть, что для этого надо доказать следующее неравенство (второе неравенство Корна):
(12.10)
(12.10)
J + dx +/1 у ^х^С2,,у|1? (12Л1) л >' hIfД
для всех ueH, (Д). Доказательство этого неравенства совсем не тривиально. Здесь мы приведем по
возможности простое доказательство, для чего предположим, что область А удовлетворяет сильному условию конуса;
Пусть С0(Г5, 7?) (s=l, ..., 7)— конусы с вершиной в начале координат, и пусть Г5 — открытые множества на сфере |х|=1. Существует такое покрытие А открытыми множествами 1Х, ..., Iq, что для любого хе А ПЛ конус СХ(Г6, R) содержится в А.
Справедлива следующая теорема о втором неравенстве Корна.
Если ограниченная область А удовлетворяет сильному условию конуса, то для любой функции v^Hx{A) выполняется неравенство (12.11).
Пусть {/} — множество открытых шаров, удовлетворяющих условиям:_
центр х шара J лежит в А;
(п) радиус шара J меньше */2 R;
(Ш) шар 7 содержится в одном из открытых множеств 15.
Пусть 7Ь /2, .... Jm — конечное покрытие мно- m
жества А шарами из (/}, и пусть 2ф1М^1—
оо
разбиение единицы с фйеС” и зиррфйе 7Й (А = 1, ...,/п). Обозначая через /* дифференцирование по х6, имеем
m•
/ УЦкУЦк ^Х = 5 J ^hV4kVUkdx = J ^hPi^lk^h0^ jk^^ Ah=l АА
= J ^ЫкУ^к1кУ1 ^Х 2 | ФдФ^й^^^й dX.
АА
(12.12)
Предположим, что для любой функции v<=Ht(A) и любого h доказано, что существует такая постоянная с4 > 0, что
г
J ^hViXkWiXkdx^c^ J [(фдоО.й + (Фйуб)/,]2dx.
(12.13)(12.13)АI, к А
(12.13)
(12.13)
Если ПОЛОЖИТЬ
III У2 111= 2 J ^llh + Vhll^dx + / I У l2^,МЛА
то из (12.12) и (12.13) будет следовать, что II о II, ^ ^с5Шу2111; но это и есть то неравенство (12.11), которое требуется доказать. Положим 4)^1 = ut. При наших предположениях относительно А имеем Нt (А) = С” (А) [замыкание множества С” (А) берется в топологии Нх (Л)]'), мы можем предполагать, что ыгеС”^Л). Положим /й = /, Г5=Г. Для любого xe/f] А
«(<)= j мрр(р. a>)pdp= | иукук^^—т^^^— dp, оо
(12.14)
где о—любая фиксированная точка из множества Г на единичной сфере, а р = \у— х |. Пусть ф(о) действительная функция, принадлежащая классу С” как функция точки о на единичной сфере Q и такая, что
зпррфеГ, | ф(й)(/ю = 1.
Умножая (12.14) на ф(а>) и интегрируя по Г, получаем
“W = J иУнук“W = J иУнуксх (Г, RIсх (Г, RI(уй - хн) Мк ~ хк)\у-х\г(уй - хн) Мк ~ хк)\у-х\гф(ф(У — XI Л — х|У — XI Л — х|^dy.^dy.
“W = J иУнук
“W = J иУнук
сх (Г, RI
сх (Г, RI
(уй - хн) Мк ~ хк)\у-х\г
(уй - хн) Мк ~ хк)\у-х\г
ф(
ф(
У — X
I Л — х|
У — X
I Л — х|
^dy.
^dy.
Из соотношения
2«//й6 = (Нцк + Ukll)[h + ^l(h + uh;i)ik — (Мд.'й + Мб/й);,
*) См. (1], стр. 11.
следует, что/г,(х) = J [е/й//1(у) + е/Л/А(у)—еЛА/г(у)]Х сх (Г, R)
Л |у- *1 V\ly —Х|/ у Положим
Mhkky\у_ху 1|Ч|у-х|/’
«г (х) = J е№/й (z/) Mhk (у — х) dy;
Сх (Г, R)
Р/(х) = J eth(kky)Mhkky — x)dy;
С, (Г, R)
Yz (х) = J 6Wl (у) Mhk(y — х) dy; cxff. Ю
Н 1ки кУ-х^ = -^ Мкк (У — х\,
Уд Н ihk к,У х) = Sfk ку хУ
Тогда
JLOz(x)= j ЫкщН)hkky — х^ dy =
СХ(Г,Ю
= Пт J 6tklhку) H№ky — x)dy =
^“^(Г, К)\СХ(Г, в)
= — Пт je/fc (z/) -^- Иfhk кУ — x)dy —
е'*°Сх1Г, №\СХ(Г, 8)h
— lim f 8tk кх + ее») Н/кк (<о) <йк d<a =
8->0 '
= —Нт J 8ikky)Slkky — x)dy — й"*°сх<г, Д)\С,(Г. е)
— 8Ift(x) J Hlhkk<a)tohdto.
Положим S$W = Sjk (t) для е^|7|^/? и S$(O = O как для 0<] t1< е, так и для |/|>/?. Мы считаем, что А содержится в кубе | хк | < у (& = 1, ..., г). Предполагая, что е<6(#) = 0 для у, лежащих вне А, имеем
^7W = j е1к^8!к(у — x)dy = СХ(Г, Д)\СХ(Г, е)
= I eik^S^^y — x^dy.
Поэтому
J F^ (x) eUx dx=j eik (y) eisy dy J S^(О е~ы dt.
QQQ
С другой стороны,
J S% (f) e"lst dt=^ xtk (to) do / ^1 dp, QГе
где т/6(ю)— некоторая функция класса С” на Q, такая, что
8иррт/йеГ,| xfk (to)t/to = 0.
г
Таким образом, для s=/=0
ГГГ e-iP|s|a_ -p|s|
J Sfk (0 e lst dt=\ xjk (to) dto J —dp,
QГe
гдеа = |з| ‘so. Элементарными рассуждениями устанавливается, что )
<10^.<10^.» -fprs|a _ е-р | si
<10^.
<10^.
Jfd»
e
где постоянная с6 не зависит от е и s. Отсюда следует, что
J S^kt)e"tstdt
Q
где с7 не зависит от s. Следовательно,
/ l^'/’WNx^-^r 2 2 ^ eik(y)e"ls«dyU.
Jfc=l s=—oo Q
(12.15)
Для любого xe J П А
11m F$ (х) = — aZ// (x) — eik (x) J H№ (co) coh da,
поэтому из неравенства (12.15) вытекает в силу хорошо известной теоремы теории интегрирования (леммы Фату) *), что
^Л, /ПЛ ^^Wlo, А
Аналогично получаются оценки для Р; и yZ- откуда и следует неравенство (12.11).
Замечание. Обычно второе неравенство Корна записывают в таком виде:
J уМкиИкdx ^ со / (% + °*/0 (°^ + уыА dx (12116> АА
для любой функции иеН1(А'), такой, что ^(у11к-у^ = 0-(12.17)
А
Докажем, что неравенство (12.16) вместе с дополнительным условием (12.17) эквивалентно неравенству (12.11). Для простоты мы сделаем дополнительное предположение, что область А собственно регулярна.
Пусть справедливо неравенство (12.11); предположим» что существует последовательность ^'еН, (Л), такая, что (12.17) выполняется, но
/ У$Жdx=[> ^ J (у% + у%)(у® + у$)dx = °- А А
Мы можем считать, что j y<rt>dx = 0, а потому
А можем считать, что последовательность у^ сходится в Но(А) к некоторому вектору у (см. подстрочное примечание на стр. 71 и теорему 2.IV). Положим 8^=2 1 (У% + Уб$. Имеем |[ у(п+р) _ yW ||2 ^
4 2 || 8<"+Р) - в$ ||2 + II У(«+Р) - flw нА
Таким образом, последовательность {v(n)} сходится к v также ив/f, (Л). Так как У1(к + Ук(1 = 0, то должно быть v = a+ Вх, где a—постоянный вектор, а В — кососимметрическая матрица размера гХг1). Из условий (2.17) следует, что В = 0 и, следовательно,
v = 0,v = 0,21^4= '•21^4= '•что противоречит соотношению
v = 0,
v = 0,
21^4= '•
21^4= '•
Предположим теперь, что при выполнении условия (12.17) справедливо неравенство (12.16). Обозначим через Ht (Л) подпространство в Нх (Л), определенное равенством I ydx = 0. Возьмем такую норму
А
в Ht (Л): |у ^ = (у£/й’ у</й)0- Пусть R— ортогональное
*) Пусть w — вектор из С” (Д). Поскольку у1]к + У6Д — °- то / yt^ilkkA-XB^ dx = 0.
А
Оператор Lt (ш) = wi/kk + w^h (‘"Iг) эллиптический, и из теоремы 3.II следует, что огеС°°(Д). Поэтому ui(hk + + «кри = °- откуда ollhk = 0. Но тогда о, = a, + blhxh. Равенства Оцк + окц влекут за собой равенства bih=— ЬкГ
дополнение в Нх (Л) подпространства Vo, определенного равенством (12.17). Всякий вектор уеЯ,(Л) представим в виде у = у0 + р, где у0е Ио, ре R. Легко видеть, что р = а+ Вх, где В — кососимметрическая матрица размера гХг. Предположим, что в HV(A) существует такая последовательность {у(">}, что
|v(">|i=l, lim + п-> оо \i, к /
Имеем |у<"> £ + 1 Р1"*^ — Ч р(п) = у(п) — у'">, но тогда II Р(п* lg<21| у<"> |g + 21| у<"> |g, откуда следует, что || р<"> |g< ^с,о, где с10 не зависит от п. С другой стороны, имеем И p("Hli ^ ^н IIР^* 11о с постоянной сп, не зависящей от п. Поэтому мы можем считать, что последовательность {р(п,| сходится в Hi (Л). Применяя (12.16), получим, что {о^я)} сходится в Нх (Л). Следовательно, последовательность {у<"'| сходится в Hi(AY Предельная функция у должна удовлетворять соотношениям
Mi = i, 2ll8ifc^ + i|y|g=o.
Но это невозможно.
Вернемся теперь к граничной задаче (12.10), (12-5). Легко видеть, что всякая С'-гладкая область удовлетворяет ограниченному условию конуса; поэтому наша граничная задача имеет только одно решение класса С°° в Л. Наш дифференциальный оператор является формально самосопряженным. Поэтому в С°°(Л) решение системы дифференциальных уравнений
диди(12.18)(12.18)5ди,
ди
ди
(12.18)
(12.18)
-g^ yaih. Ik (*) -^] — PoUt + Kut + fl = 0
с граничными условиями (12.6) существует тогда и только тогда, когда
(12.19)(12.19)J fiPidx = O;
(12.19)
(12.19)
А
здесь р — решение системы (2.18) с ft=0, принадлежащее С” (Л). В случае когда к = р0, единственными принадлежащими С°° (Л) решениями этой однородной системы являются
р; = а, + 6,АхА, (12.20) где сц и blh — произвольные постоянные, такие, что bih = Ьы.
III. Пусть f —функция из С” (Л). Граничная задача (12.3), (12.5) имеет решение из С” (Л) тогда и только тогда, когда f удовлетворяет условиям разрешимости (12.19), где р дается формулой (12.20).
Что касается существования и единственности решения для граничной задачи (12.3), (12.6), (12.7), то здесь мы возьмем в качестве V подпространство в Нх (Л), образованное теми функциями из Нх (Л), которые обращаются в нуль на д,Л. Мы можем рассмотреть второе неравенство Корна для о е V и рассуждать так же, как и в случае предыдущей граничной задачи. В рассматриваемом случае смешанной задачи мы получим следующую теорему.
IV. Для feC^A) существует одно и только одно решение смешанной граничной задачи (12.3), (12.6), (12.7), принадлежащее С”(Л U дхЛ Ц д2Л) f) Нх (Л).
Стоит заметить, что решения рассмотренных нами первой, второй и третьей граничных задач — это именно те решения, которые требуются в математической теории упругости, так как они минимизируют функционал энергии
J [IF (х, е) — и^йх А
соответственно в классах функций НХ(А), Нх (Л) и V (см. теорему 6. III). Заметим также, что теоремы существования для задач (PJ, (Рн), (Р#), (Рк) дают теоремы существования в задачах о собственных значениях, о распространении волн упругости, в задачах диффузии и вязкоупругости в линейной теории упругости.
Задачи равновесия для неоднородной среды
Пусть Л— область гладкости С1, а 2] и S2— два непересекающихся подмножества дА, такие, что ^А = Sj (J ^2- Пусть £ некоторое множество, содержащееся в Л и удовлетворяющее следующему условию: S6 (J S (6=1,2) является границей некоторой регулярной области Ак, содержащейся в А, причем Aj П Л2 = 0. Предположим, что А имеет гладкость С” в любой точке х° е S, U 22 и что> кроме того, окрестность / точки х° g S, (соответственно точки х° s S2), фигурирующая в определении С”-гладкости области А в точке х°, такова, что / П 22 = 0 (соответственно / П 21 = 0) и Z П 2 = 0. Предположим также, что для любого х° s S существует окрестность / точки х°, такая, что
/ не пересекается с SiU22;
множество /ПЛ^ (6 = 1, 2) С”-гомеоморфно замкнутому полушару В+: |y|2 + Z2^l в г-мерном пространстве (у, /);
множество /П5Л6 (6=1, 2) отображается при этом гомеоморфизме на (г—1)-мерный шар / = 0, IsKi; г
если £ = ю6(х) |^s= (у, f)— гомеоморфизм, отображающий /рЛ6 на S+], то /П5Л| = /П<5Л2 иограничение а>,(х) на /П^Л, должно совпадать с ограничением о2(х) на /П5Л2.
Предположим, что Л, и Л2 — области, занимаемые двумя упругими телами (в своем естественном состоянии). Пусть Ww (х, е) (6 = 1, 2) — упругий потенциал того тела, которое занимает область Ак. Мы ^удем предполагать, что W№ (х, е) удовлетворяет условиям, наложенным на W (х, е) в предыдущем пункте. Пусть aW (х) — функции класса С”, представляющие собой коэффициенты для области Ак.
Мы можем считать, что А есть область, занимаемая некоторым неоднородным упругим телом в своем естественном состоянии. Коэффициенты упругости
для Л имеют, вообще говоря, разрыв вдоль 2. Для этого неоднородного тела ставится следующая задача равновесия.
(HP) Даны функции ^еС”(А1,) (6=1, 2); требуется найти функцию и, удовлетворяющую условиям-.
«е Я, (Л) П С” (Л, U 2i U 2) П С” (Л2 U 22 U 2) П ПС» (Л);
(И) и удовлетворяет дифференциальным уравнениям
_jL^_^>(x, еН^ = ^ в А, (6 = 1,2);
на Sj и 22 функция и удовлетворяет граничным условиям первой, второй или третьей краевых задач, рассмотренных в п. 12;
если мк — единичный вектор внутренней нормали к Лй в точке 2, то и в каждой точке 2 удовлетворяет граничным условиям
<Ж(1) m ।пх
■^rv»+"^^0 (t-1’---'). о3-1)
Для конкретности мы предположим, что граничные условия, которым решение и должно удовлетворять на 2, и 22, таковы:
WW (х, е) = 0 на 2„ Vft(х, е) = 0 на 22.
OeihOBih
(13.2)
Читатель сам легко сообразит, как надо видоизменить последующие рассуждения, чтобы рассмотреть другие граничные условия на 2] U 22.
Положим егй(«) = 2-1 («</й + «й/<). Далее, для и, ое е Hi (Л) положим
В (и, у)= J а&/й(я)е/й(«)в,6(у)</х +
А,
+ I аша^еиАи^61к ^dx. ' Л2
Пусть р0 — некоторая положительная постоянная. Из второго неравенства Корна следует, что для любой функции о е Нх (А)
5(о, и) + р0|М;;>у01М? (y6>0).(13.3)
Поэтому существует одна и только одна функция и е Нх (А), такая, что
В (и, о) + Ро (и, у)0 = (fW, х)\ л, + (П у)0- Л1 (13.4)
(см. доказательство теоремы 6.1). Из общей теории, развитой в п. 3 и 6, следует, что и принадлежит С” (Aj и^ОПС^Аги^г) и удовлетворяет в Ак (^=1, 2) дифференциальным уравнениям
а на 2] и 22— граничным условиям (13.2).
Пусть х° — некоторая точка из 2 и и— произвольный r-мерный вектор из С”(/). Обозначим через w® (ёеВ+) 2г-мерный вектор с компонентами У^соГ1®]^---’ М®Г'®]> и1 [ю2-1 (£)]М0^1 ^)]-
Для v е С” (/) имеем
1.2г 1,г
В (у, у)4-Ро1|у^ =J22«2Д, М ® wtikw}lk d? + 5+ i. i Л. 6
"1, 2r
+ J ^ ^jWiWjd^Btw, w), s+ l' /
где aih, jk, P/у суть функции класса С”. Из (13.3) и (13.4) вытекает, что
B<w, ау)>Уо11гу|11,в+.
В (й, да) = (f, да)0 в+ (дае W),где й и f определяются очевидным образом, a Wесть замыкание в Ht(j3+) многообразия функций,
пробегаемого w, когда у пробегает С°° (/). Легко видеть, что W удовлетворяет предположениям (1)—(5) п. 4. В соответствии с теорией, развитой в этом пункте, мы заключаем, что й есть функция класса С” в любом полушаре /^0, I у р + ^2 ^ д (0<6<1). Возвращаясь к и, видим, что и принадлежит С^Д,^), С”(Д2и5) и С°(Д). Применяя тождество Грина и используя произвольность у, мы делаем из (13.4) вывод, что и удовлетворяет на 2 граничным условиям (13.1).
Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы существования для второй граничной задачи в предыдущем пункте, мы получаем следующий результат.
Задача (HP) имеет решение тогда и только тогда, когда
J ^^ + J ^ptdx = 0, АА,
где pt даются формулой (12.20); рг является единственными решениями однородной задачи ^т- е. задачи с Р = 0, Ре=0).
Теорема 13.1 легко обобщается на случай, когда тело А состоит из п упругих тел с различными упру-' гими свойствами. Легко также указать вариационный принцип, соответствующий задаче (HP).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Agmon S., Lectures on elliptic boundary value problems, Princeton, N. J. — Toronto — New York — London, D. V. Nostrand Co. Inc., 1965.
Ehrling G„ On a type of eigenvalue problem for certain elliptic differential operators, Math. Scand., 2 (1954).
Fichera G., Sull'esistenza e sul calcolo delle soluzioni del problem! al contorno, relativi aU’equilibrio di un corpo elastico, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, s. Ill, 4 (1950).
Fichera G., Lezioni sulle trasformazioni lineari. 1st. A^at. Univ, Trieste (Edit. Veschi), 1954.
Fichera G., The Signorini elastostatics problem with ambiguous boundary conditions, Proc, oi the Int. Symp. «Applications of the theory of functions in continuum mechanics», vol. 1, Tbilisi, sept. 1963.
Fichera G., Problemi elastostatici con vincoli unilateral!: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno, Mem. Acc. Naz. Lincei, s. VIII, 7 (1964), № 5.
Fichera G., Linear elliptic differential systems and eigenvalue problems, Lecture notes in mathematics, vol. 8, Berlin — Heidelberg— New York, Springer, 1965.
Fredholm J., Solution d’un ргоЫёте fondamental de la theorie de Telasticite, Ark. Mat. Astron., Fys., 2, 28 (1906).
Friedrichs К. O., Die Randwert- und Eigenwert-Probleme aus der Theorie der elastischen Flatten, Math. Ann., 98 (1928).
Friedrichs К. O., On the boundary value problems of the theory of elasticity and Korn’s inequality, Ann. Math., 48 (1947).
Fubini G., Il principio di minimo e i teoremi di esistenza per i problemi al contorno relativi alle derivate parziali di ordine pari, Rend; Cire-Mat. Palermo (1907).
Girding L., Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations, Math. Scand., 1 (1953).
Gobert J., Une inegalite fondamentale de la theorie de Telasti- cite. Bull. Soc. Roy. Set. Liege, 3—4 (1962).
Halmos P. R„ Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity, New York, Chelsea Publ. Comp., 1951.
Халмош П., Теория меры, ИЛ, М., 1953.
Хилле Э., Филлипс Р. С., Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962.
Йон ’) Ф., Плоские волны и сферические средние, ИЛ, М„ 1958.
Korn A., Solution generate du ргоЫёте d’equilibre dans la theorie de Telasticite dans le cas ou les efforts sont donnes a la surface, Ann. Toulouse Univ. (1908).
Korn A., Uber einige Ungleichungen, welche in der Theorie der elastischen und elektrischen Schwingungen eine Rolle spielen, Bull. Intern., Cracov. Akad. umiejet (Classe Sci. Math, rat.), 1909.
Купрадзе В. Д., Методы потенциала в теории упругости, Физматгиз, М., 1963.
Lauricella G., Alcune applicazioni della teoria delle equazioni funzionali alia Fisica-Matethatica, Nuovo Cimento, s. V, 13 (1907).
Lax P., On Cauchy’s problem for hyperbolic equations and the differentiability of solutions of elliptic equations. Comm. Pure Appl. Math., 8 (1955).
Lichtenstein L., Uber die erste Randwertaufgabe der Elasti- zitatstheorie, Math. Z., 20 (1924).
') Теперь пишут Джон. — Прим. ped.
Marcolongo R., La teoria delle equazioni integral! e le sue applicazioni alia Fisica-Matematica, Rend. Acc. Naz. Lincei, s. V, 16 (1907), N 1..
Михлин С. Г., Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Физматгиз, М.,_1962.
Miranda С., Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, Ergeb. der Mathem., H. 2, Berlin — Gottingen — Heidelberg, Springer, 1955.
Nirenberg L„ Remarks on strongly elliptic partial differential equations, Comm. Pure Appl. Math,., 8 (1955).
Nirenberg L., On elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Norm Sup. Pisa, s. HI, 13 (1959).
Payne L. E„ Weinberger H. F., On Korn's inequality, Arch. Rat. Meeh. Anal., 8 (1961).
Picone M., Sur un probleme nouveau pour [’equation lineaire aux derivees partielles de la theorie mathematique classique de I’dlasticite, Colloque sur les equations aux derives partielles, CBRM, Bruxelles, May 1954.
Рисе Ф., Секефальви-Надь, Лекции по функциональному анализу, ИЛ, М., 1954.
Schechter М., A generalization of the problem of transmission, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, s. HI, 15 (1960).
Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., ЛГУ, 1950.
Volterra V.. Sulle equazioni integro-differenziali della teoria dell’ elastic(ta,Rend. Acc. Naz. Lincei, s. V, 18 (1909).
Weyl H„ Das asymptotische Verteilungsgesetz der Elgen- schwingungen eines beliebig gestalteten elastischen Kdrpers, Rend. Circ. Mat., Palermo, 39 (1915).
ЧАСТЬ 2
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИС ОДНОСТОРОННИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
В первой части рассматривались краевые задачи теории упругости в случае, когда граничные условия, дополняющие уравнения равновесия, соответствуют двусторонним ограничениям, наложенным на упругое тело. В этой части будут рассмотрены математические задачи, которые возникают при наложении односторонних ограничений. В п. 6 ч. 1 показано, что вопрос о существовании решения у „двусторонних задач" сводится к решению системы уравнений вида
В (и, у) = F (у), и eV, уу е У, (1) где В (и, у) — ограниченная билинейная форма в Н X Н. (Н — некоторое гильбертово пространство), F — линейный функционал, а V — замкнутое линейное подпространство в Н. Этн уравнения в случае, когда форма В симметричная, а пространство Н действительное, легко получаются из условия, что функционал энергии
3(и) = 1в(и, v)-F(v)
принимает при у = и наименьшее значение на V.
В случае односторонних ограничений многообразие V не является замкнутым линейным подпространством в Н. Оно является некоторым замкнутым выпуклым множеством в Н. Условие того, что функционал 3 (v) имеет минимум в некоторой точке и множества V, приводит в этом случае к неравенствам
В (и, v — и) ^ F (у — и), и е V, уо г V, (2)
которые легко сводятся к (1), когда V является линейным подпространством в Н.
Чтобы, как и в случае двусторонних ограничений, обеспечить удовлетворительную математическую базу для исследования односторонних задач теории упругости, мы в первых двух пунктах построим абстрактную теорию функциональных неравенств типа (2), причем рассмотрим не только симметрические билинейные формы В (и, у), но и несимметрические. Эти задачи мы будем называть абстрактными односторонними задачами.
Абстрактные односторонние задачи.Симметрический случай
Пусть Н — некоторое действительное гильбертово пространство. Какобычно, будем обозначать через (и, у) скалярное произведение в //, а через || и || — норму вектора и в Н. Пусть В (и, у)— симметрическая билинейная ограниченная форма на НХН. Как хорошо известно из элементарной теории гильбертовых пространств, существует один и только один симметрический ограниченный линейный оператор Т из Н в Н, такой, что В (и, и^ = 1Ти, у) для любых и и у из Н. Пусть N (Г)— ядро оператора Т, т. е.
М(Г)^{у; Г(у) = 0}.
Линейное подпространство N (Т) является также ядро м неотрицательной квадратичной формы В (и, у), т. е.
^(7’) = {y; В (о, у) = 0}.
Пусть Q — оператор ортогонального проектирования пространства Н на ядро формы 5 (у, у). Положим P = I — Q (/ — тождественный оператор).
Мы примем следующие предположения.
Предположение полукоэрцитивности:
В (о, у) >с ||Ру ||2 ^иеН,(1.1)
где с — некоторая положительная постоянная, не зависящая от у.
Ядро квадратичной формы В (и, о) конечномерно.
Пусть F(o) — ограниченный линейный функционал на Н, а V — некоторое замкнутое выпуклое1) множество в Н.
Рассмотрим функционал
3^ = 1. В(и, о) -Г^о).
Вектор и из V, на котором 3 (о) принимает свое минимальное значение в V, существует тогда и только тогда, когда существует решение односторонней задачи
В (и, о — u)> F(v — и), ueV,\p)GV. (1.2)
Если ЭД имеет минимум при и = и и задано произвольное о s V, то функция от / (O^/^l), определяемая формулой g(t) = 3 (и 4-t(o — и)), имеет минимум при t = 0. Условие g'(0)>0 в точности совпадает с условием (1.2). Обратно, если (1.2) выполняется для любого oeV, то
3(D) — 3(и) = 3[и + (о — и)] — 3(и) =
= В (и, v — и) — F (о — и) + -^ В (о — и, v — и) > 0.
Заметим, что при доказательстве этой леммы мы использовали только условие В(о, о)^0.
Пусть U —подмножество в Н, содержащее хотя бы один ненулевой элемент. Для каждого и s U, и=^0, рассмотрим множество неотрицательных чисел t, такое, что /||и|Г' и содержится в U. Через р(и, U) будем обозначать верхнюю грань этого множества, т. е.
р (и, U) = sup {/; и е U, и=^0, Ци И""1 и г Щ.
*) Напомним, что V называется выпуклым множеством, если из O| е V, о2 е V следует ti»! + t2v, е V для любых <ь t2, таких, что 0<^<1 (t = 1,2), /|+(2 = 1. Через V (“о) мы обозначаем множество всех о, для которых о + и0 s V.
Если Т— отображение из Н з Н, a U — множество в Н, то через Т [(/] мы будем обозначать образ U при отображении Т.
Пусть N(F) — ядро функционала F, т. е.
N^F)»^; F(v) = 0V
Положим
L = N^ fl мт.
N(T) = L®L1.
Пусть Q — оператор ортогонального проектирования Н на L. Положим P = I — Q. Пусть, далее, Qt — оператор ортогонального проектирования Н на Lx.
LIL Функционал 3 (и) имеет абсолютный минимум. в V, если существует такое utte V, что выполняются следующие условия;
(i) Е(р)<0 для peN(T)nV^}, p{QlP, QANm Л И(«о)]} = + оо.
(п) Множество P[L(u0)] замкнуто.
Положим Q = I — P. Так как L является подпространством в N (Т), имеем Q < Q и, следовательно, Р>Р. Обозначим через I нижнюю грань (конечную или бесконечную) значений 3 (и) на V.
Пусть ^иД — минимизирующая последовательность для 3 (у) на V, т. е.
Ит 3 ки^ = г, ип г V. П -> ОО
Положим zn=un—u0. Последовательность ^zn] является минимизирующей для функционала ^(йу+ыо), те s V (и0). Предположим, что нам удалось доказать, что последовательность ^Pzn) содержит ограниченную подпоследовательность. Тогда мы сможем выделить подпоследовательность, которую мы снова будем обозначать через (zn}> такую, что {Pz„[ будет слабо сходиться к некоторому предельному элементу. Этот предел должен принадлежать Р[И(«0)], так как последнее множество замкнуто и ^выпукло и, следо- . вательно, слабо замкнуто. Пусть Pz — слабый предел
последовательности ^Ргп\. Поскольку F (Qo) = 0, то 9 (гп + «о) = 9 (Pzn + u0).
С другой стороны, так как форма В (о, о) полунепрерывна снизу относительно слабой сходимости ') и так как можно считать, что zeV (u0), имеем
i = lim 9 (Pzn + и^^З (Pz + u0) = ^ (z + u0) > L П->со
Полагая u = z-\-uQ, получаем, что ue V h3(u) = L Таким образом, нам осталось доказать, что из последовательности [Pz„| можно выделить ограниченную подпоследовательность. Положим стп = ||Ргп|| и предположим, что lim ап= + оо. В силу (1.1)
П -> со
с \\Pzn IP < В (z„, z„) = 23 (и„) - 23 (u0) +
+ 2B(z„)-2B(«0, z^. (1.3)
Положим wn — o~lzn. Обозначив через cv соответствующую постоянную, получаем
с<3п \\Pwn ||2 < С1 + 2(|| F || +1| T HI, u01|) an|| Pwn ||,
откуда следует, что lim ||РйУ„ || = 0. n -> OO
Так как Q(=P— P — оператор проектирования, ортогональный к Р, то
||Р^||2=|| P®n||2 + l|Q№lP=l.
*) Предположим, что В (и, v) = (Tu, о) — симметрическая ограниченная билинейная форма и В (о, о)^0. Пусть {шл} слабо сходится к w. Имеем В (wn, wn) = В (w, ш) + 2В (w, шп — w) + + В (ten — w, wn — ajY Поскольку B(wn~ w, wn — ш)^0 и lim (Tw, wn — ш) = 0, то lim В (ton, tun) ^ В (to, ш). Конечно, П->оо .п>«
предположение о симметричности формы здесь несущественно. Действительно, если форма В (и, о) не симметрическая, то можно применить наше рассуждение к симметрической форме */2 (В (и, v) + B (о, «)}.
Далее, Qxwne N(Г) и из {ш„} можно в силу предположения (II) извлечь подпоследовательность, которую мы по-прежнему будем обозначать через (ш„), такую, что {Qizyn} сильно сходится к некоторому вектору р, принадлежащему Qi [W (7')]; при этом ||р||=1. Имеем z„gV (u0). Кроме того, |0] s V (u0). Поэтому для любого t > 0 и достаточно больших п будет twne V («о).
Тогда tPwn е P[V (u0)] н в силу условия (ii)
/р = lim tPwn e P [ V (u0)J.
П-><»
Пусть p' — вектор из V (u0), такой, что Pp' = p. Имеем p' = p + (p'—p), peQj [W(T)], p'—ре^ЛН?)]; таким образом, p's N (T) Л У(u^ и /*‘(р) = /*‘(р) + + F(p'-p) = F(p')<0.
Из (1.3) получаем
con II Pwn II2 < ^3 (un) - 3 (Uo)] + 2F (P^ +
+ 2F (Qxwn) — 2B (ы0, Pwn), что невозможно, ибо нижний предел левой части неотрицателен, а верхний предел правой части отрицателен.
Замечание. Если множество N (Т) П У («о) огра-^ ннчено (и выполняется условие (ii)), то минимум существует для любого заданного F. В частности, это условие выполняется, если множество V ограничено. В этом случае в условии (1.1) уже нет надобности, требуется только 5 (о, о)>0. Действительно, если V ограничено, то любая минимизирующая последовательность ограничена и, следовательно, слабо компактна.
III. Если 3^ имеет минимум на У, то для любого uQeV и любого р, такого, что
ре АГ (ПЛ у («о), pfQiP.Q^^tnnV'M^ 4-00, должно быть F (р) < 0.
Пусть р(0 таково, что Q1p(/) = /Q1p, р(/)е N (Г) П V (и0), t > 0. В силу (1.2) В (и, р (/) + «о— ы) ^ >F[p(#) + «o—“L Так как Г[р(О] = ^(р) ^ 0, то IF (р) С В (и, и0) — В (и, и) + F (и — иэ), откуда F (р) < 0.
Эта теорема показывает, что условие (i) теоремы 1.III необходимо для существования минимума. Приведем теперь пример, показывающий, что условие (ii) также существенно для справедливости теоремы.
Пусть Н — двумерное пространство, а у, и у2 — два ортогональных единичных вектора в Н. Положим В (и, и) = (и, у,). Пусть V — выпуклое множество, определяемое условиями
0 < (у, у,) < 1,(у, у2) [ 1 — (у, yj] > (у, у,).
Предположим, что
F(v) = а (и, yj + b(v, у2), причем а^1. Ядро N (Г) определяется условием (у, у1) = 0. Как бы ни было выбрано «э, множество ^(Г) f) V(«o) состоит из векторов р, для которых (р, У1) = 0, (р, у2)^ст, где ст — постоянная, зависящая от и0. Если b 0, то условие F^ < 0 может выполняться только в том случае, когда
(«о. У2)[1 —(«о. «1)1 = («о» «1)-
В этом случае В(р)<0 эквивалентно b < 0. Если b < 0, то пространство L совпадает с [0} и, как легко установить элементарными рассуждениями, функционал ^ (у) имеет минимум на V. Если 6 = 0, то пространство L есть пространство (у, у^ = 0. В этом случае множество Р[И(и0)] определяется условиями
(у, у2) = 0, — а2 ^ (у, yj < 1 — а2
и не замкнуто, т. е. условие (ii) теоремы 1.Ш нарушается. Легко видеть, что в этом случае 3 (у) не имеет минимума иа V.
V. Если для любого w^P[H] существует ре е N (Г), такое, что w + р е V, и если F (р) = 0 для
любого p^N(TY то 3 (у) имеет минимум па V и вектор и, минимизирующий 3 (v) на V, минимизирует 3 (у) и на всем Н.
Существование векторов и и м0, минимизирующих 3(у) соответственно на V и на всем Н, следует из теоремы 1.П.
Пусть реЛ^Т) и Рмо + peV. Имеем
3 ^ = 3 ^ = 3 (Рщ + р) > 3 ки\
Следовательно, 3 (и) = 3 (иа).
.V. Если и минимизирует 3^ на V, то вектор Ри однозначно определяется функционалом F. Любой другой вектор и', минимизирующий 3 (у) на V, задается формулой и' = « + р, где р— вектор из N (Т), такой, что У7 (р) = О, и + р s V.
Пусть и — решение односторонней задачи (1.2), т. е. вектор, минимизирующий 3 (v) на V. Пусть и' — решение односторонней задачи
В(и', и— u'^F'lu — u'Y u’gV^dgV, (1.4) где F' — некоторый линейный ограниченный функционал. Из (1.2) и (1.4) вытекает, что
В (и, и — и)^ F (и' — uY
В (и', и — и')^ F' (и — и'\, следовательно,'
В (и — и', и — и'^ ^Р(щ — и') — F' (и — и') и в силу (1.1)
clIPu — Pu'lMF — Л111« — «'II,(1-5)
4то в случае F = F' влечет за собой Ри = Ри'. Если и' минимизирует 3 (у) на V, то Ри — Ри' и и' = и + р. Так как 3 (и') = 3 (и) — F (р), то F(p) = 0. Обратно, если известно, что и' = и + р и р удовлетворяет условиям, указанным в теореме, то и' минимизирует 3^ на V.
Г. Фикера
Абстрактные односторонние задачи.Несимметрический случай
В этом пункте мы сохраняем все предположения, сделанные относительно в (и, у), У и F в п. 1, но не будем больше предполагать, что форма В (и, у) симметрическая. Как и в п. I, через Q мы обозначаем оператор ортогонального проектирования Н на ядро квадратичной формы В (у, у), и полагаем P — I — Q. Таким образом, В(и, у)— ограниченная билинейная форма на Н X Н, удовлетворяющая предположениям (I) и (II) п. 1, V— замкнутое выпуклое множество в Н, F— ограниченный линейный функционал на Н.
Запишем В (и, у)==(Ги, у), где Т — некоторый ограниченный линейный оператор из Н в Н. Мы будем обозначать через Т* оператор, сопряженный к Т, т. е. линейный ограниченный оператор, определенный условием
(Ги, у) = (м, Г*у), \ju,yeH.
Имеем
В (у, у) = (Ту, у) = (7”у, у)=у((Т -J- 7”) у, у).
Так как форма В (у, у) неотрицательна, то ее ядро совпадает с ядром N ^Т-\-Т*^ симметрического оператора Т + 7”; кроме того,
М(Т) = М(Г)сМ(Т+ Г).
Мы будем теперь рассматривать одностороннюю задачу (1.1) при этих более общих предположениях относительно В.
Обозначим через К(Т) ортогональное дополнение к N (Т) в пространстве N (Т 4- Г*), т. е.
N(?V n = NtT)®K(T).
Следующая теорема является обобщением теоремы 1. III на случай несимметрической формы В (и, у). Как и в п. 1, полагаем
L = N(F)RN(T), N(T) = L®Lf>
Q, Р, Qi имеют тот же смысл, что и в п. 1.
Односторонняя задача
В (и, и— u)^F(u— и), и е V, уи g V (2.1)
для формы В (и, и) (не обязательно симметрической) имеет решение и, если существует мое V, такое, что удовлетворяются условия".
F (р) < 0 для р s W (Г) f) 7 (н0), р№р, Ql[^(T)n^(Mo)D=+«>.
Множество Р [ И(«о)] замкнуто.
(Ш) Пусть Qo — оператор ортогонального проектирования Н на К (Т). Для любого р е N (Т + Т*) П V (щ), такого, что Qop^= 0 и
р {(Qo + Qi) р, (Qo + Qi) [^ (7 + Г) n v («0)11 = + оо, существует вектор ир е V, для которого
Р{р) + В(р, ур)<0.
Пусть / — вектор из Н, такой, что F(u) = (f, и), >fv^H.
Рассмотрим одностороннюю задачу
(и, w — и) >(f, w — и), и s Р [ V («0)Ь yt0 е Р [У (м0)].
(2.2)
Это частный случай задачи, разобранной в теореме 1. И, когда В (и, и) = (и, о) и в качестве гильбертова пространства берется пространство Р[Я], а в качестве выпуклого множества — P[7(«0)L В этом случае ядро квадратичной формы есть {0}, и решение существует для любого заданного f. Это решение единственно, и в рассматриваемом частном случае формула (1.5) принимает вид
ll«-^KII/-gll;(2.3)
4е
здесь х — решение односторонней задачи1
(X, Щ)— x)^(,g, w — х\ х е Р[У (и0)],ушеР[У(и0)].
Обозначим через Rf решение и односторонней задачи (2.2).
Для любого положительного целого числа п положим Тп = Т + п-Ч. Рассмотрим одностороннюю задачу
(T„C,^-a>(f-Tu0,ry-a,
~_•(2.4)
geP[l/(u0)L V®eP[P(u0)]. v ’
Пусть Л — положительная постоянная. Мы можем записать (2.4) в следующем виде:
(С, ГУ - й X? - Л^ + V - ^«0, - й,
£^Р[И(«о)1, V^^^IK^oM-
Поэтому решение задачи (2.4) существует тогда и только тогда, когда существует решение £ уравнения
^ = R^-XT£-V^-XTuQ\ ^Р[У(и0)]. (2.5)
■ Положим Snt,=R(^—ZT^+Xf —^ЛТио) и будем рассматривать Sn как отображение из Р[И(и0)] в Р[И(«о)]. В силу (2.3)
II S„£ — S„xН^ II (/— Л,Г„) (^-x)||<||/-XTJH^-k||.
Легко видеть, что при X < 2д-11| Тп ||~2 мы будем иметь || / — ATJIC 1. Таким образом, отображение Sn — сжимающее, и уравнение (2.5) имеет одно и только одно решение.
Обозначим через zn единственное решение задачи (2.4). Предположим, что мы доказали, что последовательность {zre} содержит ограниченную подпоследовательность. Тогда мы можем извлечь из |zn} слабо сходящуюся подпоследовательность, которую Мы снова будем обозначать {zj. Пусть Pz— слабый
предел последовательности {z„}. Мы можем считать, что 2гУ(и0\ Положим и = г + и0. Учитывая, что форма (Гу, и) полунепрерывна снизу относительно слабой сходимости, и полагая Р(у— о0) = ау(уе У), получаем
(Го, у — о) = (Tz, (у — о0) — (о — Оо)) + (Го0, у — о) == (ГРг, w — Рг) + (Го0, у — о)>
> — minlim(Tzn, zn — w) + (Ти0, v — u)^ п-*оо
>— lim Щ — Ти0, 2п—ш) — ^-(2п, zn — ty)| +
4- (Го0, у — о) = (f — Ти0, w — Pz) + (Го0, у — о) = = (f—Го0, ут-oq — г) + (Гоа, у — o) = (f, у—о).
Таким образом, нам осталось доказать, что {z„| содержит ограниченную подпоследовательность. Положим ffn = ||zre|| и допустим, что lim or„ = -f-oo.
П->оо
Полагая w = P(v — о0) (уе У), получаем из (2.4)
с II Pzn II2 < (z„, Г и — Г’Оо) + ^ (2п, У — Оо) +
+ (f — Го0, 2п) — (f— Ти0, У — и^.
Цоложим xn = a~1zn. Тогда
СОп || Рхп II2 < ап <Хп> T'U - ТХ} + Т" kXm У-и^А- А-Оп^—Ти0, хп) — ^ — Тий,у — о0).(2.6)
Следовательно, lim || Рхп || = 0.
Далее, P=P + Q0+Qi> где Р, Qo, Q, — взаимно ортогональные операторы проектирования. Поэтому
l|Px„|P + ||QoxJP + ||Q1xnIP=l.
Таким образом, мы можем извлечь из {х„} подпоследовательность (которую будем по-прежнему
обозначать через {х„}), такую, что
lim Qt^Xn == РоG А- ^Т^, lim QtXn = р, g L^, п->ооП->00
1|Ро1Р + 11Р11Р=1.1 ' ’
Положим p = po + pi. Так как
tp = lim txn (t > 0)
n->00
и txne. Р[И(«о)] для достаточно больших п, то /ре eP[^(uo)]. Пусть р' —вектор из V (и0), такой, что Рр' =р. Имеем р' = р4-(р'— р). Поскольку ре еЬ^К^Л и p'-peL, то р' е N (Т + Г) П V (и0). Если ро = 0, то р'е ^(ЛП Е(и0). Из (2.7) следует, что р^О и, следовательно, P(Pi)=P(pi) + F(p' — Pi) = = F (р') < 0. Но тогда
lim (f + Tv, QoXn + Qtxn) < 0.(2.8)
П->оо
Если p0 #= 0, to Qop' ^ 0; полагая у = yP', получаем (f. P/) + (T*yP', p')<P- Поэтому
(A P) + (T’yP-, p) = (f, p) + (7"yP', p) + (A p' — P) +
+ (yps T(p' -P)) = (f, P') + (Гур-, p') < 0
и неравенство (2.8) сохраняется и в этом случае, если положить у = ур- =
Полагая в неравенстве (2.6) и = ур/, если р0 ^ 0, и беря в качестве у произвольный фиксированный вектор из V, если р0 = 0, получаем
c<rnl|PXn|p<(Px„, T*v — Ги^ + -^ (хп, у —и0) +
4* кРхп> f — Ти0) + (Qoxn 4* QiXn, f 4* T y) —
— ■^(f— Tu0, v — a0),
что невозможно, ибо нижний предел левой части неотрицателен, а верхний предел правой части отрицателен,
Замечание. Если множество N (Т + 7”) Л V (и0) ограничено и выполнено (ii), то односторонняя задача (2.1) имеет решение при произвольном заданном F. В частности, это условие выполняется, если множество V ограничено. В этом случае в условии (1.1) нет надобности, достаточно, чтобы было В (у, у)^0. Действительно, если V ограничено, то последовательность {z„} слабо компактна.
Следующая теорема устанавливает необходимость условия (1) теоремы 2.1.
II. Если односторонняя задача (2.1) имеет решение и, то для любого и0 е V и любого р, такого, что
peN^VW И, р {Q1P, (^ [У (Г) Л V (ио)]} - + оо,
должно быть F(p) < 0..'
Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы 1.III. .
Что касается условия (ii), то тот же самый пример, что и в симметрическом случае, показывает^ что если это условие отбросить, то теорема становится неверной.
Относительно условия (Ш) мы можем утверждать только следующее:
III. Если для любого иое V и для некоторого р е N (Т + Т*) П V (и0), удовлетворяющего условиям
QoP ^ 9,
Р {(Qo + QJ р, (Qo + QO [^ (Г + Г) Л («о)!} = +
(2.9) выполняется неравенство
. Е(р)4-В(р, у)>0(2.10)
для любого и eV, то односторонняя задача (2.1) не имеет решения.
Предположим противное, т. е. что задача (2.1) имеет решение и. Пусть для любого t > О
(Qo + Q.)p(O = HQo4-Q1)p, p^eN(T-vnn V (и0).
Тогда
(Ги + Ги, р (0 + «0 — и) >
>tW«, p(t)) + (f Аг Ги, ий-и).
то мы заключаем, чтото мы заключаем, чтоТак как Tp(t) + Гр^ = О,^-А-Ги, p(O) = f(f + Ги,р),
то мы заключаем, что
то мы заключаем, что
откудаоткуда(Ти, и0 —и) —(f, Яд —«)>/(/+Ги, р),
откуда
откуда
(f+ Ги, р) = F (р) + В (р, и)<0;
но это противоречит неравенству (2.10).
IV. Если и — решение односторонней задачи (2.1), то вектор Ри однозначно определяется функционалом F.
Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 1.V, получаем неравенство (1.5), а тем самым и доказательство теоремы 2. IV.
V. Если форма В (у, у) коэрцитивна на Н, т. е.
с ||у 1Р^ В (у, у), ^еН,
то односторонняя задача (2.1) имеет только одно решение для любого заданного F. Если обозначить через G(F) решение односторонней задачи (2.1), то G есть отображение Н* (сопряженного к Н пространства) в V, удовлетворяющее условию Липшица.
При сделанных нами предположениях задача (2.1) имеет решение для любого FeH'. Так как Р = 1, неравенство (1.4) дает
с||и — u'lKHF — Hl.
откуда и следует единственность, а также неравенство
HG^-G^IKe-ll^-ril.
Замечание. Для единственности решения односторонней задачи (2.1) достаточно, чтобы квадратич-
ная форма В (и, о) была положительной формой на Н. Действительно, если и и и' — два решения задачи (2.1), то В (и, и'— и) ^ Р(и'— и) и В (и', и — и')> ^ F (и — и'). Поэтому В (и — и', и — и') =^ 0, откуда и = и'.
Односторонние задачи для эллиптическихоператоров
Пусть Л —некоторая ограниченная область евклидова пространства Хг, а В (и, и) — билинейная форма, рассмотренная в п. 5 ч. 1:
В(и, и) = (—1)т 2 (—^p^ap^x)D<,uDpvdx.tph |?| А
Мы предположим здесь, что элементы п X «-матриц apq суть действительные ограниченные измеримые функции в Л; и и и — действительные «-мерные вектор-функции, принадлежащие пространству Нт(А\ которое мы теперь считаем действительным гильбертовым пространством').
Пусть Н — некоторое замкнутое линейное подпространство в Нт(А\ Предположим, что ограничение нашей билинейной формы на Н X Н удовлетворяет предположениям (I) и (II) п. 1 и 2.
(I) Обозначим через Р оператор проектирования Н на ортогональное дополнение ядра формы В (и, о) (ограниченной на НХН). Существует положительная постоянная с, такая, что
R(o, о) >с|| Ри IL Vue Я.
(Н) Ядро В (о, и) конечномерно.
Пусть V— некоторое замкнутое выпуклое множество в Н. Мы можем применить теорию п. 1 н 2 к этому частному случаю и установить теоремы
J) Мы используем понятия и обозначения, введенные в ч. 1.
существования для односторонней задачи
(-1F 2 MVP^aPqWD4uDp(v — u)dx> Ipl.HIА
^F(v~u), nsV, Vye=V, (3.1)
где F — некоторый заданный ограниченный линейный функционал на Н. Допустим, что выполняются еще такие предположения:
(III) Замкнутое множество V содержит Нт^А\ (IV) Дифференциальный оператор
L(x, D^-VT DpapqDq ^\p\^m, 0 ^ | </1 ^ m)
эллиптичен для всех хе А.
Дополнительно предположим, что aPq{х)еС°°(А) и F(y) = (f, у)0‘) для любого оеНт^А\ где f— некоторая функция из H^^AY
Справедливы следующие теоремы.
При сделанных выше предположениях, если функция и является решением односторонней задачи (3.1), то она принадлежит Н^^^В) для любой области В, такой, что В cl А, и удовлетворяет в А системе дифференциальных уравнений Lu = f.
Если у s С°° (А) и t — произвольная положительная постоянная, то в силу (3.1) tB^u, и)—В(и, и)^ ^ЦЬ °)о— (А UY- Поскольку / произвольно, отсюда следует, что В (и, v) = (f, у)0, и после интегрирования по частям мы получаем
J uL*v dx — ^ fv dx. АА
Поэтому наше утверждение следует из теоремы 3.1 ч. 1.
5 (А °б°значает скаляРное произведение в Но (А) =
II. Пространство N (Т) состоит из всех функций р, таких, что
£р = 0, ре^.')(3.2)
Действительно, заметим, что аеМСП тогда и только тогда, когда р удовлетворяет условиям
В(р, у) = 0, реН, Уи^Н.
Поэтому из результатов п. 6 ч. 1 следует, что peN(T) тогда и только тогда, когда р удовлетворяет условиям (3.2).
Имеет место аналогичный результат, характеризующий функции р, принадлежащие N (Т -ф Г). Действительно, проходят те же самые рассуждения, но уже применительно к симметрической билинейной форме В (и, у)фВ(у, и). В результате получим, что пространство N(T -ф Г*) состоит из решений уравнения Lu-VL*u = 0, принадлежащих некоторому подпространству 0Гн пространства Н; оператор L* имеет вид и^^-ХТО^О», где ар<! -1)’р1+1‘71^.
Пусть А'— некоторое открытое подмножество в А. Функциональное пространство Hm (А7) мы можем рассматривать как подпространство в Нт(А), если предположим, что каждая функция и из НтХЛ^ продолжена нулем на все множество А: и — 0 на А \ А'.
Допустим, что вместо (III) выполнено более слабое предположение
(ПГ) Выпуклое множество V содержит Нт (А7).
Если оставить неизменными остальные предположения об эллиптичности оператора L и о гладкости функций apq и f (или по крайней мере их ограничений на А7), то теорема 3.1 все еще остается справедливой, если только в ее формулировке заменить А на А'.
Предположим теперь, что область А имеет гладкость С°° в точке х° границы дА (см. ч. 1, п. 6). Пусть /0 — некоторая окрестность точки х", содержащая
окрестность / точки х°, фигурирующую в определении гладкости класса С°°. Пусть 70— класс функций v, определенных на всем пространстве Хг, носитель которых содержится в /0. Для всякого подмножества В в Хг через V0(B) мы будем обозначать класс функций на В, которые получаются ограничением на В функций и е= Vo.
Допустим, что
Vo (Л) — замкнутое линейное подпространство В HJA
7оИП/о)^Ят(ЛП/о);
■ (iii) для любого иг 7о(АП/о) справедливо неравенство
В (у, и) Уо1| у И^. д (Vo>O);(3.3)
(iv) для класса 70(А) справедливо предположение (IV)X« п. 6, ч. 1.
Рассмотрим, далее, предположение
(III") Выпуклое множество V содержит подпространство 70(А).
Заметим, что в силу (ii) из предположения (III") следует предположение (III') (с А' = АП7о), а в силу (3.3) — предположение (IV) (для области АП70) (см. теорему 5. II ч. 1).
Предположим, что apq г С” (Л7) и что для любого о е Уо (А) мы имеем F (о) = (/, и)0, где f — некоторая функция из BV(A). Справедлива следующая теорема.
III. При сделанных выше предположениях всякое решение и односторонней задачи (3.1) принадлежи^ H2m+v(B) для любой области В, такой, что В с А П (A U 7)-
Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 3.1, мы получим, что В (и, о) — (/, и)о для любого уе V0(A). Поэтому наше утверждение следует из теоремы 6. VI ч. 1.
Теорема 3.1 и аналогичная теорема, соответствующая случаю, когда вместо предположения (III) делается предположение (ПГ), представляют собой результаты, касающиеся внутренней регулярности
решения и, в то время как в теореме 3. III речь идет о регулярности и в окрестности границы. Конечно, эти теоремы получены при сильном предположении, что множество V содержит линейные подпространства, которые позволяют воспользоваться результатами теории регуляризации, построенной для линейных задач. Если это предположение не выполняется, то, как мы увидим позже, теорию регуляризации построить значительно труднее, а решение, вообще говоря, имеет весьма слабую степень регулярности, даже если исходные данные задачи очень гладкие.
Замечание. Предположим, что существует такое решение и задачи (3.1), что В (и, u) = F(u). Тогда теорема 3.1 [соответственно (3. III)] останется справедливой для такого решения, если заменить предположение (III) [соответственно (ПГ)] более слабым предположением: выпуклое множество V содержит замкнутый шар || zw || ^ е (е > 0) пространства Нт(А) [соответственно У0И)].
Доказательство легко получается с помощью небольшой модификации доказательства теоремы 3.1.
Общее определение выпуклого множества V
Рассмотрим теперь три варианта определения выпуклого множества V, которые позволяют охватить все односторонние задачи, обычно возникающие в теории упругости.
Пусть ФЛ(х, 20, 2h ..., 2J (А=1, .... I) — действительная функция, определенная для хеХ' и для любых векторов г0, ..., zs. Мы предположим, что векторы 20, ..., zs таковы, что для всякой «-мерной вектор-функции уеС00^) мы можем рассматривать функции
ФЛ [х, у (х), ..., Dpy (х), ... ],
0<| р |^т.
Допустим, что каждая из функций Фл непрерывно зависит от переменных х, г0, ..., zs. Кроме того,
предположим, что для ^ ^ 0, /2 ^ 0, ^ + ^ = 1 и для любых X, Z^, . . ., gW, z®, ,.., z®
Фй(х, ^>4-^^^04-^))^
^aVx, z^Ч1’)*^^ г»^).
Фй(х, 00)<0.(4Л)
Пусть И — замкнутое линейное подпространство в Hm(A\ Ah— некоторое измеримое подмножество в А и cph(x) (h = 1, ..., /) — неотрицательные измеримые функции в Ah.
Наш первый вариант определения V такой:
(а) V — множество всех функций v из Н, для которых почти всюду в Ah
Ф„[х, у (х), ..., Dpv(x), .. .]<<р„(х) {h — 1, ..., I).
(4.2)
Из (4.1) следует, что V непусто и выпукло. Пусть \оп\—сходящаяся (в топологии пространства //т(Д)) последовательность функций из V и у — предел этой последовательности. Так как из {уге} можно извлечь подпоследовательность (которую мы по-прежнему будем обозначать через {vn}), такую, что 1Орига} сходится к Dpo почти всюду в А, то ясно, что функция у удовлетворяет условию (4.2), т. е. принадлежит V. Таким образом, V замкнуто. Мы можем поэтому применить к билинейной форме В (и, у) и выпуклому множеству V теорию, построенную в предыдущих пунктах. В частности, если мы выберем 1 = 1,
. Ф, (х, у, .. ., Dpy, ...) = 2 I Dpo I2,
IpI
возьмем At = А и предположим, что функция Ф1(х) ограничена в А, то получим ограниченное замкнутое выпуклое множество V. В этом случае односторонняя задача (3.1) имеет решение для любого заданного F.
Рассмотрим теперь второй вариант определения для выпуклого множества 7. Предположим, что область А собственно регулярна (ч. 1, п. 2), и пусть ^(х, г) (А=1, ..., Г)— некоторые действительные функции, заданные для хедА и любых векторов 2. Пусть вектор 2 имеет столько компонент, сколько нужно для того, чтобы можно было рассматривать функции ■
^^[х, ти(х)] (/г=1, ..., 7)-
где и(х) есть «-мерная вектор-функция, принадлежащая С^^А), а т — оператор граничных значений, определенный в п. 2 ч. I. Мы предположим, что границу М можно разложить на конечное число не- перекрывающихся дифференцируемых (г— 1)-клеток ') и что функции ^(х, 2) непрерывны, когда х изменяется в пределах одной из этих клеток, а 2 изменяется произвольным образом. Предположим, кроме того, что для /, ^0, t2 ^0, tx + /2 = 1 и Для произвольных х, 2<*), г<2) справедливы неравенства
У„ (х, tv^ + t2z^ < t^ (х, 2(0) + t^ (x, z^,
^.Дх, 0)<0.
Пусть H — некоторое замкнутое линейное подпространство в //т(Л), 2Й (h = 1, ..., Г) — подмножество границы 5Л, составленное из неперекрывающихся
*) Напомним определение дифференцируемой (г — 1)-клетки. Пусть х = х (/)^e[xi (/)хг (/)] —действительная г-мерная вектор-функция, определенная в замкнутой области Тг-1: 0^ </,<1 (/ = 1г - 1), 0 <6 + ... +/f-i<l в (г- 1)- мерном пространстве, удовлетворяющая следующим условиям: (1) функция х = х (/) принадлежит С"(7'г—*) (п>1); (И) матрица Якоби dx/dt имеет раит (г — I) в любой точке множества Г'-1; (Ш) отображение х = х(/) взаимно однозначно в Tr-V. Множество Г значений функции х = х (f) является по определению дифференцируемой (г — ХУклеткой класса Сп. Множество всех точек Г, соответствующих границе dTr-v области Tr-V, называется границей <ЗГ клетки Г. Говорят, что две (г ■— 1)-клетки не перекрываются, если их общими точками могут быть разве только точки нх границ.
дифференцируемых (г—1)-клеток, и фй(х)—неотрицательная измеримая функция на 2Л.
Определим множество V следующим образом.
(Р) V есть множество всех функций о из И, таких, что почти всюду ) на 2Д
У [х, то (х)] < фй (х) (А = 1Г\ (4.3)
Также как и в случае (а), легко проверить, что множество V непусто, замкнуто и выпукло.
Третий вариант определения мы получим, взяв просто пересечение двух выпуклых множеств, отвечающих определениям (а) и (0) соответственно.
(у) V — множество всех функций из Н, удовлетворяющих одновременно условиям (4.2) и (4.3).
Пересечение двух замкнутых выпуклых множеств замкнуто и выпукло, поэтому указанными свойствами обладает и только что определенное множество V.
Односторонние задачи для упругого тела
Пусть А— ограниченная область в Хг‘, мы будем предполагать, что она собственно регулярна и что ее границу дА можно разложить на конечное число неперекрывающихся (г—1)-клеток класса С" (п^1). Пусть А представляет собой естественную форму некоторого r-мерного упругого тела, которое мы будем обозначать той же буквой А. Применяя обозначения п. 12 ч. 1, мы для любой пары r-мерных векторов и, v из Нх(А') рассмотрим билинейную форму
В (и, и) = j ath, jk (х) UiihVjik dx,A
где функции ath- /& (x) те самые, что были введены в п. 12 ч. 1; они удовлетворяют условиям, сформулированным в этом пункте. Пусть f — некоторый г-мер- ный вектор, принадлежащий Но (Л), g— некоторый r-мерный вектор из ^(дЛ) и функционал энергии,
связанный с телом А, имеет вид
гдегде^(о) = |в(о, о) — F(о),
где
где
F (о) = J fiVt dx 4- J g^ da.AdA
Пусть, далее, Фй(х; z0; z,) (Л=1/)—действи
тельная функция, зависящая от r-мерного вектора х, /•-мерного вектора z0 и г2-мерного вектора zp определенная во всем (2г 4- г2)-мерном евклидовом пространстве и непрерывная в каждой точке (х; z0; Z|).
Мы предположим, что для функций Фй выполнено условие (4.1), т. е. что для 0, /2^0, ^4-/2=1 и для любого набора х, zW, zj”, z®, z®>
<<,фц»: 4»; г<")+<,»,(« ^г»).
Ф» (x; 0; 0) <0.
Пусть <рЛ(х) — некоторая неотрицательная ограниченная измеримая функция, заданная в подобласти Ah области А.
Мы предположим, что данное упругое тело подчиняется следующим внутренним ограничениям-.
ФА(х; о; о^^^п^ФА(х; о; о^^^п^(5.1)(5.1)
ФА(х; о; о^^^п^
ФА(х; о; о^^^п^
(5.1)
(5.1)
почти всюду в Ah (/г = 1, ..., I).
Пусть ^(х, z) (Л = 1I')— некоторая дей
ствительная функция, определенная для хедАи для всех r-мерных векторов г. Пусть эта функция непрерывна, когда х изменяется в любой (г—1)-клетке границы 54, az — в r-мерном евклидовом пространстве. Кроме того, потребуем, чтобы для <1^0, ^2^0, ^4-^=1, для каждого хейЛ и для любых z(1) и z® рыполнялись неравенства
^(х, ;,z<" 4-^<2,)<^iVft(x, z<'))4-^A(x, z®), •^(х,0)<0.
Пусть ^h^h—X,..., Г) — подмножество границы дА, составленное из неперекрывающихся (г — 1)-клеток, на которые разлагается дА, и чрА (х) — некоторая неотрицательная ограниченная измеримая функция на 2Й.
Упругое тело должно удовлетворять следующим условиям, на границе-.
Ч^ (х, ту) < фй (х) (5.2)
почти всюду на 2Й (А = 1...., Г).
Пусть Н— некоторое замкнутое линейное подпространство в Н^А").
В классической теории упругости ставится такая весьма общая задача.
Требуется минимизировать функционал S^ (у) на подмножество У пространства Н, состоящем из всех функций у, удовлетворяющих условиям (5.1) и (5.2).
Задача имеет следующий физический смысл: ищется состояние равновесия для упругого тела, подверженного действию объемных сил f и поверхностных сил g, а также удовлетворяющего некоторым двусторонним ограничениям,, наложенным на допустимые смещения (требуется, чтобы они принадлежали пространству Я), и односторонним ограничениям (5.1) и (5.2).
Необходимо заметить, что ограничения (5.1) и (5.2), которые называются здесь односторонними, могут в некоторых частных случаях оказаться двусторонними; мы покажем это ниже на одном интересном примере.
Поставленная здесь задача, хотя и является весьма общей задачей теории упругости, есть частный случай теории, развитой в предыдущих пунктах. Выпуклое множество V является здесь множеством, определенным условием (у) предыдущего пункта. Конечно, поскольку мы не исключаем из рассмотрения случаев V = 0 или 1 = 0, могут получаться такке множества, определенные условиями (а) или (Р). Если I = Т = 0, то получаются задачи, описанные в п. 12 ч. 1.
Особенно важен случай: / = 0, /'==1; xVt(x,z) = = — v (х) 2 (где v(x)— единичный вектор внутренней нормали к дА\, 2, = 2 (некоторое подмножество гра-
ницы дЛ, состоящее из неперекрывающихся (г—1)- клеток); ф|(х) = 0; g = 0 на 2; Н = Нх (Л). Одностороннее ограничение принимает при этом вид
V/V, ^ 0 почти всюду на 2.
Этот частный случай, известный в настоящее время в литературе как задача Синьорина, отвечает задаче о равновесии упругого тела, естественная форма которого поддерживается жесткой поверхностью 2 без трения. В дальнейшем мы в подробностях разберем эту задачу.
Предположим, теперь, что / = 2, /' = 0. Пусть 2 — некоторое подмножество границы дА, образованное неперекрывающимися (г— 1)-клетками. Положим g = 0 на 2. Пусть Н — подмножество в Нх (Л), состоящее из тех принадлежащих НХ^А) функций, которые обращаются в нуль на 5Л. Положим
Ф| (х; v; од, ..., У/г) = — Ф2 (х; и; vz и/г) = ytlt,
Л| = Л2 = А и ф| (х) = ф2 (%) = 0. В этом случае два односторонних ограничения (5.1) эквивалентны одному двустороннему ограничению Ущ = 0 в Л. Это условие несжимаемости для упругого тела А. Таким образом, речь идет теперь о задаче равновесия для несжимаемого упругого тела, закрепленного на данной части 2 его границы и подверженного действию заданных поверхностных сил ф на оставшейся части границы и заданных объемных сил f в Л. Теорема 1.Ш сразу дает теорему существования для минимума У (у) в этом частном случае.
Другие примеры односторонних задач
. Задача Синьорина для скалярного эллиптического оператора второго порядка. Пусть А—область, рассмотренная в п. 10 ч. 1, и пусть В (и, и)—билинейная форма, введенная в примере III того же пункта. При тех предположениях, которые были там сделаны, имеем — В (и, и)^с0|| и |^. Положим Н = Нх (Л), а в качестве V возьмем выпуклое множество, определенное
неравенством у^О на дА. Для любой функции f е Яо (Д) существует одно и только одно решение односторонней задачи
^f(y — u)dx, и eV, VveK (6.1) А
В рассматриваемом случае выпуклое множество V удовлетворяет предположению (III) п. 3. Поэтому иеН2(В) для любой области В, такой, что BczA, и удовлетворяет в А дифференциальному уравнению
d^P' d^] + Pid^ + CM + ^ = 0'
Предположим теперь, что tie Я2(Д)). Из (6.1) легко выводится, что —В (и, и) = (f, и)0, —В (и, у) ^ ^(Л v)0. Кроме того, имеем [см. ч. 1, п. 10, (III)]
В (и, у) = — J fv dx-\- J ур ^ do. А8А
Следовательно,
Jyp-^-do<0, ^up^-da = 0. алал
Из произвольности у вытекает, что и почти всюду на дА удовлетворяет условиям
п ди , п ди пм>0, -^<0, м-^- = 0.
Если эти условия выполняются на всей границе дА, то они приводят к следующим сомнительным гра-
яичным условиям *):_
г и > 0,г и = О,
либо 1 дип либо | ди / п
I дХ “ U’I дХ U‘
Мембрана, закрепленная на границе и растягиваемая телом заданной формы. Пусть А — ограниченная область в Хг. Положим
5 (и, и) = J uiiV/idx(6.2)
А
(и, v — действительные функции). Пусть ф (х) — непрерывная функция, заданная в А, принимающая на дА неположительные значения. Предположим, что Я = = Н\ (Л), и определим замкнутое множество V условием и^ф в Д.)
Существует одно и только одно решение и односторонней задачи
J иц (уц — и/,) dx ^ 0. А
Функция и минимизирует на множестве V интеграл Дирихле .
J вцУц dx.
А
В случае когда г —2, функция и дает состояние равновесия мембраны (которая в естественном состоянии занимает область Л), если мембрана растянута телом, имеющим заданную форму ф(х).
Задача упруго-пластического кручения. Эта задача приводит к односторонней задаче для
*) Граничные условия такого вида были впервые поставлены Сииьориии в его задаче теории упругости. Он предложил термин „сомнительные" (ambiguous) граничные условия, потому что заранее не известно, какая именно комбинация граничных условий осуществляется в данной точке границы для решения и этой задачи.
ограниченной области А в X'. И в этом случае билинейная форма 5 (и, и) также дается формулой (6.2). В качестве Н снова берется Ht (Л). Замкнутое выпуклое множество V определяется условием
| пцпц К а,
где а — некоторая положительная постоянная. Из общей теории мы знаем, что существует одно и только одно решение односторонней задачи
J иц(уц— Уц)дх">Ь J (и — u^dx, л л
где b— заданная постоянная. Функция и минимизирует на множестве V функционал
УнУр dx — bУнУр dx — bydx.
УнУр dx — b
УнУр dx — b
Заделанная пластинка, частично опертая в некоторой подобласти. Пусть А — некоторая ограниченная область плоскости х, у и 5 (и, и)— билинейная форма, определенная в п. 11 ч. 1, применявшаяся там при доказательстве теоремы 11.1. Положим Н^Н2(А). Пусть Ао — некоторая подобласть области А и V— замкнутое выпуклое множество, определенное условием и^О на /1а. Существует одно и только одно решение и односторонней задачи
Г ( ^2Ц ^ <У “) I О ^2“^2 <У ~ “) I
J \ дх2 дх2дх ду дх ду *"
А
+ ^г 52^"^ УХЙ>^ f(y — u)dxdy
У — некоторая функция из //0М))- Функция и минимизирует на V функционал
1 Г ( ( д2р \2 . п / <Э2р \2/ <Э2р \21 , , Г f , ,
-тг 1+ 2\dxdy — fvdxdy.
2 J ( \ дх2 / 1\ дх ду ) 1 \ ду2) J 9'°
лА
Заметим, что если в этом примере До есть собственная подобласть области А, то выпуклое множество V удовлетворяет условию (IIГ) п. 3 для любой области А' с А \ До (если такие области существуют). Тогда иг H^VA'), если ^^(Д7), и A4u = f в А’. Кроме того, если дА имеет гладкость С00 в точке х°, то выполняется предположение (III") п. 3 (в качестве Vo надо взять /У2(Д П^о)') при условии, что множество 10 можно выбрать лежащим на конечном расстоянии от До. Отсюда следует, что и в окрестности точки х®. будет иметь гладкость, соответствующую гладкости f.
(V) Контактная задача для упругого тела. Пусть А — область, рассмотренная в п. 5, а В (и, и) — билинейная форма, определенная в настоящем пункте; Н может быть одним из следующих трех пространств: Нх (Д), Hv (Д), Н^ = {и; и е Нх (Д), у = 0 на 2} (2 — некоторое подмножество границы дА, состоящее из (г—1)-клеток, образующих дА).
Пусть функция ф(в), зависящая от симметрического тензора e=(eZjl}, непрерывна для всех в, выпукла относительно е и такова, что д>(0)<0.
Пусть, далее, V— замкнутое выпуклое подмножество в Н, состоящее из всех функций у, таких, что
ф[...,2 (v pt -f- Ущ), ... ] ^ 0 почти всюду в А.
Ядро N (Т) квадратичной формы В (у, у) состоит из всех жестких перемещений) вида р = а + Сх, принадлежащих Н (где а — постоянный r-мерный вектор, С — кососимметрическая матрица размера гХ^). Мы предположим, что в А выполняется второе неравенство
Корна; отсюда следует, что справедливо предположение (I) п. 1 *).
Пусть R— пространство всех жестких перемещений. Имеем М(Г) = Р(\Н. Определим А (у) так же, как и в п. 5, и возьмем ^ = 0 на дА, если H = HV (А), и g = 0 на дА \ S, если H = Ht. Для существования минимума функционала 9 (у) на У необходимо, чтобы F (р) = 0 для любого
Если L, Q и Р определены так же, как в п. 1, и если мы примем и0 = 0, то получим L = R f| Н и Р[К]сК Отсюда и из теоремы 1.II следует, что ^(у) имеет минимум на V. Минимизирующая функция определяется однозначно с точностью до вектора, принадлежащего R(\H.
Надо заметить, что RftH ф {0} только в случае, когда Д = //|(4).
7. Теорема существования для обобщеннойзадачи Синьориии
Рассмотрим теперь задачу, поставленную в п. 5, при более специальных предположениях относительно функций ФА, Wh, фА, фА. А именно, мы сделаем следующие предположения:
ФА (х; z0; z,) — непрерывная функция от (х; z0; z,) при любых значениях этих переменных;
Фй(х; z0; zj для любого хе Хг является выпуклой функцией от (z0; z,);
(Hi) ФА(х; z0; z,) для любого хе Хг является однородной функцией степени 1 от (z0; z,).
Отсюда следует, что для любых Л^О, /2^0 Фа(х;/,2<<) + /22«); /,z<» + /22®)<
< /,ФА (х; z<-; 2Ф) + ЦФ, (х; z^; z^(7.1)
и, кроме того,
ФЛ(х;0;0) = 0.
Сделаем, далее, аналогичные предположения относительно ТЛ (х; z):
^(х; z) есть непрерывная функция от (х; z), когда х изменяется в пределах каждой (г—1)-клетки границы дА, a z пробегает все пространство г-мер- ных векторов;
Фл(х, z) для любого хе дА является выпуклой функцией от z;
^(х, z) для любого хедА является однородной функцией степени 1 от z.
Для /] ^0, t2^0 имеем
Ч^х.^^г^СЛ^х, z^Ht^x, Z^,4fA(x, 0) = 0.
Пусть Н совпадает с пространством Н^А), a 2—подмножество границы дА, которое уже рассматривалось при постановке задачи Синьорини в п. 5. Пусть, далее, Ah (h—\, ..., /) — подобласть А, a 2А— подмножество в 2, составленное из (г — ^-клеток границы дА.
Определим замкнутое подмножество V как множество всех функций Я] (Л), таких, что
ФА (х, v, О/], ..., V/r) ^ 0 почти всюду в ЛА (А = 1/),
(7.3)
Ту, (х, то)^0 почти всюду на 2а(А=1, ..., 1'\ (7.4)
Пусть 5 (u, v) — билинейная форма, рассмотренная в п. 5. Имеем
В (v, v)> Cf J (vz// + v//Z) (vw + Vj/i) dx (ct > 0). A
Ядро формы В (и, v) есть пространство /? жестких перемещений. Пусть Q — оператор проектирования Нх (Л) на R. Для любого вектора v е Hi (Л), такого, что Qy = 0, как легко видеть, имеют место равенства
J vdx = 0, J (vz// —v/;z)dx = O. АА
Если мы предположим, что в А выполняется второе неравенство Корна ’), то из замечания, сделанного в п. 12 ч. 1, и из подстрочного примечания на стр. 71 следует, что В (у, о) удовлетворяет предположению (I) п. 1. Так как пространство R конечномерно, предположение (II) также выполняется.
Рассмотрим теперь множество R'= R ПИ. Пусть R — подмножество в R', состоящее из всех двусторонних векторов из R':
/?* = {р; ре R', ре /?ф-ре RY
Легко проверяется, что R* является линейным пространством. Пусть
!еНй^, g£^ V^ = dA\^.
Под обобщенной задачей Синьорини мы будем понимать следующую одностороннюю задачу:
В(и, и — и)^ ^ f(y-u)dx-\- J g (v — и)de, ЛS*
.usV, Vu s V. (7.5)
Эта задача эквивалентна задаче минимизации функционала
3 (у) = ~£ В (у, у) — J fvdx — J gvda ЛX*
на И. Легко видеть, что задача Синьорини является частным случаем этой более общей задачи.
I. Если для любого веР/
К(р)= Jfp^+ J gpde^O, (7.6) А2*
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда ре R*, то обобщенная задача Синьорини
имеет решение. Если и является решением задачи (7.5), то любое другое решение и' дается формулой u'=u-Vp, где р — жесткое перемещение, такое, что ^(р) = 0, и + р е V.
Мы можем применить теорему 1.II, считая ио=О. Нам достаточно показать, что если Q есть оператор проектирования Н^А^ на R*. а Р — 1 — Q, то множество Р[У] замкнуто. Для у е У имеем в силу (7.1) Ф^х\Рх); (Pv^it..., (Pv)lr) ^ ФЛ (х; у; ид .... у/г)+
Ч-Ф^м — Qu; (—Qu\v .... (—Qy)/r)<0почти всюду в Л* (А = 1, ..., /);
аналогичным образом из (7.2) получаем, что
^(х; тРу) <0почти всюду на 2д(А = 1, ..., V\
Это значит, что Р[И]сИ. Следовательно, P[V] замкнуто. Утверждение, касающееся единственности, следует из 1.VII.
Отметим явно один частный случай теоремы 1. IV. Пусть Р = I — Q..
II. Если для любого w е Р[Я,(Л)| существует р е R,' такое, "что w + р е V, и если Р (р) = О для любого ре R, то решение односторонней задачи (7.5) существует.
Теорема о регуляризации:внутренняя регулярность
Здесь мы рассмотрим одну теорему о регуляризации, которая при соответствующих предположениях гарантирует некоторую регулярность решения односторонней задачи в окрестности внутренней точки х° области А. Рассмотрим билинейную форму вида
3 (и, у) = J [аАб (х) ищЩк + pft (X) u;hy + А
■+РИ^)иу/^ + у(х)мо) dx, (8.1)
где А — ограниченная область в Xr, п X «-матрицы ahlt принадлежат С2(Л), матрицы Рд принадлежат С'(Л)'), матрицы РА, у измеримы и ограничены в Л и, кроме того, ■
«лл W = «лл (XY
Предположим, что существует решение и односторонней задачи
В (и, о — u)^F(v — и\ не V, Vo е И, (8.2) где V — некоторое замкнутое выпуклое множество в пространстве Я, (Л) («-мерных действительных вектор- функций) и F^— ограниченный линейный функционал на Я, (Л), такой, что для любого сеН^А1)
.F (v) = J fy dx
А
с f^H0(AY
Примем следующие предположения:
Если у — произвольная функция из V, а ср— неотрицательная скалярная функция класса С”, то функция фо принадлежит V.
Существует подобласть Е области А, такая, что
с || у 1Р^В(у, у), VyeH^E) (с > 0).
Пусть yeV, supp исЕ и у таково, что supp у (х + у') с Е. Тогда у (х + z/) s V.
Заметим, что эти условия выполняются для обобщенной задачи Синьорини, если дополнительно предположить, что функции ФА не зависят от х и Zj, а являются функциями лишь от z0.
1. Решение и односторонней задачи (8.2) принадлежит Я2(/) для любого I, такого, что I с: Е. Для
’) На самом деле, как мы сейчас увидим, теорема, которую мы собираемся доказывать, остается справедливой и при более слабых ограничениях на эти матрицы (причем даже проходит то же самое доказательство).
всякого х° е Е существует такое д > О, что Г«еЕ и
где Гр — шар с центром х?еЕ и радиусом р, а с0 — положительная постоянная, зависящая только от коэффициентов билинейной формы (8.1) и от х°.
Заметим прежде всего, что в силу наших предположений относительно V имеем В (и, и) = F (и), В (и, v)>F(v) (Vv е И). Если ф — скалярная функция класса С”, такая, что 0^ф^1, то
В (и, фи) ^ F (фи),5 (и, (1 — ф) и) ^ F (и) — F (ф и).
Следовательно, В (и, фи) = Г (фи). Зафиксируем х°е Е, и пусть д > 0 таково, что Г25 с Е. Пусть ф(х) — скалярная функция класса С”, такая, что ф (х)^0, ф (х)=1 для | X — Х° | ^д И ф (х) = О ДЛЯ I X — Х° ] > (3/2) д. Положим [J (х) = ф (х) и (х). Применяя такие же рассуждения, как в ч. 1, легко установить, что для 0<|z/|^d/2
^U (х) — У (х — у) — У (х + у)
I1УI2
и (х + у) - и (х)1у1и (х + у) - и (х)1у1
и (х + у) - и (х)
1у1
и (х + у) - и (х)
1у1
Далее, если g е С2 (Л),
2g (х) У (х) — g (х — у) У (х — у) — g (х + у) У (х + у)I У I2
2U (х) —U (х — у) — U (х + у)I У I2
где с2 зависит от С2-нормы функции g^x\ Напомним, что если функция от у
ограничена постоянной с3, то норма || U ||21Л конечна II U Иг.д ^с4с3. Имеем для 0 ^| ^ |^д/2
В[67(х + у)-67(х), Щх + у)-Щх^ =
= 2В[и(х), ф (х) £7 (х)] — 2B[u(x), ф(х)67(х— у)]+
+ j {«Лй W [ U ]h {X-\- у)—U !h (х)] [ U! к (X + у) — U]k (х)]— Л
— 2аЛЙ (х) ulh (х) [ф (х) и (х)]/Л. +
+ 2aftft (х) u!h (х) [ф (х) U (х — у^ +
+ рЛ № (х + у) - U,h (x)][U (х + у)-U (х)] -
— 2рА (х) u/h (х) ф (х) U (х) + 2рй (х) н/д (х) ф (х) U (х — у)+ + РА (х)[17(х+ у) —^х)]^ (х + у) uih (х)] —
—2р' (х) и (х) [ф (х) U (х)1/Л4-2р' (х) и (х) [ф (х) U (х—у)^ + v(x)[67(x + y)-67(x)][67(x + y)-67(x)]-
— 2у (х) U (х) U (х) + 2у (х) U (х) U (х — у)} dx. (8.3) Положим
X (у) = В [ U (х + у) - U (х), U (х + у) - U (х)].
Учитывая, что
В [ы(х), ф2 (х) и (х)] —
= (ф (х) / (х), и (х))0 — В [и (х), ф (х) Ф (х — у) и (х — у)] < < —(ф(х)^(х), и^х — у))о, получаем из (8.3) неравенство, которое мы коротко запишем так: Л(у)<ц(у). С другой стороны, А(у) = = А(—у) + а(у), где
<г(у)= J {[«Ай(х — у) — аАА(х)] [67 (х —у) — U (х)]/д X
АX[67(x-y)-6Z(x)]/ft +
+ [pft (X—У)—Рл WH67 (х-у)-(/ (x)]/h[C/(x-y)-67(x)]+ + [Pft (X—у)—р' (х)j [ и (х—у)—и (х)] [ 67 (х—у)—67 (х)]/д4- + [V(x—у)—V (х)][6/ (х—у)—U (х)] [6/ (х—у)—6/ <x^dx.
Следовательно, к (y)<2-i [ц (у) + ц (—у)*+ a (у)]. Если положить Ф (х) = <р (х) f (х), то это последнее неравенство после простых преобразований дает
В\Щх + y)-U (х), U (х + у) - U (х)]<
<(Ф(х), SU^-U^x-y^-Mx-Yy^-V
+ J {[ф/д (х + у)«(х + у) — ф/а И « (х)] X
А
X X^-hk (х + У) Ufk (X 4- у) «АА (х) U)к (х)] +
+ Ф/а ^ ulh W [йА6 (х — у) U (х — у) +
+ «Л6 (х + у) U (х 4- у) — 2аЛА (х) U (х)] —
1«аа (X — у) — аЛА (х)] ulh (х) ([ф (х) и (х — у^ —
[ф (х) и (х)]/6) — [а/,6 (х + у) — ahk (х)] u(h (х) X
X ([ф (X) и (х + у)]/6 - [ф (х) и (х)]/6) —
l«At (х—У) + «аа (х+у)—2аЛ6 (х)] и^ (х) [ф (х) U (х)]/6 + + 2 1 [а^ (х — у) + анк (х + у) — 2aft6 (х)] U/а (х) U/а (х) + + ^Чн (х) [<7/А (х + у) - <7/а (х)] [<7 (х + у) - U (х)] + + 2“'рЛ (х) \Ulh {х-у)- Ulh (х)] \U (х - у) - U (х)] + + Ра (х) <Р (х) U/a (х) [(7 (х — у) + U (х + у) — 2U (х)] + + 2~1 р' (х)[6/ (х + у) - U (x)][U/h (х + у) - Ulh(х)] + + 2-’р' (х) [^ (х - у) - U (х)] \Uih (х-у)- Ulh (х)] - - [р; (х + у) U {x+y)^'h (х) U (х)] \Ulh (х+у)-77/а (х)] + + Ра ^ ^/н М “ М [^ (х — У) + <7 (х + У) — 2{7 (х)] + + 2-’V (х)[/7 (х + у)- U (x)][t/ (х + у) - U (х)] + + 2’\ (х) [6/ (х - у) - U (х)] VU (х - у) - U (х)] + + Y (х) U (х) [6/ (х-у) + U kx-Vy^U (х)]) dx + 2-'а (у).
Обозначая через рх, р^, . . . положительные постоянные и через || || нормы, относящиеся к области
Л, имеем дЛя 0<|у|^б/2
III У IIIIIII У IIII
+ ^ “ I. г„ l-^^Jf^l + Р’1 “ ®-'.. +
+ 2 SUP । ahk И ~ а1* (У 11 ° '* + \y?.U ^ |t • (8Л)
h, 6 ■ 62»
Мы можем выбрать б так, чтобы•
г
2 sup | ato (х) — ato (g) | < с..
A. ft х.^Г,,'
Теперь утверждение теоремы становится простым ; следствием неравенства (8.4).
Теорема о регуляризации:регулярность в окрестности границы
Метод, примененный в предыдущем пункте, можно обобщить так, чтобы получить результаты, касающиеся регулярности решения в окрестности регулярных точек границы области А.
Рассмотрим билинейную форму, заданную формулой (8.1), и наложим на матрицы ahb, рА, Р', уА те же условия, что в п. 8.’
Пусть х° — некоторая точка границы дА; предположим, что А имеет в х° гладкость С3. Это значит, что существует окрестность / точки х°, такая, что множество 1 = 1П А можно с помощью гомеоморфизма класса С3 отобразить на r-мерный полушар ! S+: lyl2-)-^^!) />0 в r-мерном пространстве (у, /) таким образом, что множество /П^Л отобразится на (/*—1)-мерный шар ^ = 0, |у|^1.
Как и в п. 8, предположим, что существует решение односторонней задачи (8.2), и пусть для любой функции игН^А) с supp о с / функционал F^u)
допускает представление
F^ = j fodx.
где feH0(_A\
Теперь мы сделаем следующие предположения.
Если у— произвольная функция из V, аф— неотрицательная скалярная функция класса С*6, то функция фо принадлежит V.
Имеет место неравенство
сП у||2<В(у, у), УуеВ^Л), supp у с / (с > 0).
Пусть х=х(^)=х(у, t)—гомеоморфизм класса С3 из 2+ в J, Е— образ полушара 2+: lyf-H2^» /^0 при этом гомеоморфизме, и пусть у eV, supp у с Е и у таково, что supp у fx(g + у)] с 2+. Тогда у [х (£ + у)] е V.
Решение и односторонней задачи (8.2) удовлетворяет в ЛП/ дифференциальному уравнению
кЧ^1к - Мп + №,к - Y« + f = 0.(9.1)
Если U — подмножество в 2+, то через x^U^ мы будем обозначать его образ при гомеоморфизме
х = х(^.
1. Существует б > 0, такое, что Г? с2+, иг е//2[х(Г?)] и
Н“ С х(г6+) со (и f Но, * (г+) + II “ С. X (г2у):
здесь Ге" — полушар l.yf + ^^d2, / > 0, а сй — положительная постоянная, зависящая только от коэффициентов билинейной формы (8.1) и от х°.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 8.1. Сначала мы должны, используя гомеоморфизм х = х^, преобразовать билинейную форму В(и, у) для случая у, такого, что supp у с Е. Мы
Б Г. Фикера
получим билинейную форму
В(м, и)— J (аы«Л + М/^ + ₽й««/а+Y«o)^- х+
Начиная с этого места, мы в точности следуем доказательству теоремы 8.1 с той только разницей, что теперь вектор у должен быть параллелен гиперплоскости 7 — 0. Таким образом, мы приходим к неравенству (8.4). Однако в рассматриваемом случае ограниченность нормы
II U (х + У) - U (х) |Р
Гу1 Hi'
позволяет утверждать лишь то, что все вторые производные от U, за исключением Utt, принадлежат S^(2+). Но и удовлетворяет дифференциальному уравнению (9.1), которое в силу предположения 2) эллиптично (что видно, если записать это уравнение в переменных y,t\, следовательно, Uu^. ^2(2+), и теорема доказана..
Замечание. При доказательстве теоремы 8.1 мы считали, что под знаком интеграла в билинейной форме (8.1) имеется член Ра и vih. Этот член можно было бы устранить с помощью интегрирования по частям. Поскольку, однако, в случае теоремы 9.1 от этого члена избавиться нельзя, мы сохранили его и при доказательстве предыдущей теоремы.
В случае обобщенной задачи Синьорини, при условии что ФЛ не зависят otz^, предположения, сделанные в этом пункте, выполняются, если (1) ни одна из областей Ah (h=l/) (см. п. 7) не пересекается с J; (11) для любого h (h= 1, ..., /') либо подмножё- ство 2h не пересекается с 7 П ЗА, либо же функция Ч^х, z) не зависит от х (для хе/П^Л).
В исходной задаче Синьорини вопрос о функциях ФА не встает, так как 7 = 0; условие (11), касающееся функций Ч^, не выполняется, если х°е2, так как /'—1, Чг1 =— v(x) 2,2^2. Однако можно преодо-
леть это затруднение, введя на множестве Е ортогональную систему единичных векторов Vj (х), ..., vr (х), таких, что 1) vz (х) е С2 (5) (i = 1, ..., г); 2) vr (х) = v (х) для xe/f]M. Если дА в точке х° имеет гладкость С3, то построение такой системы векторов тривиально. Для любого иеН11А') и для хеЕ положим и(х) = = «1 (х) v< (х). Пусть
Чк^У^-УЧ^ ^1 = ХИ
— матрицы1), введенные в п. 12 ч. 1 при рассмотрении задач теории упругости, которые в этой части упоминались в п. 5. Если supp и с Е, то
ahkUlhUlk = ahfeViUiih-VjUj^ + а^йц^^и , +
+ ahk^ ilh^iVjV j(k + ^k^llh^l^llkUj.
Определим теперь матрицы aAA, ₽А, 0'А, у следующим образом:
ЧквУЧ№\> К^УЧ^^ик}’ ^УЧн^А
V = (aAftv</hv//6).
Если через й и и обозначить r-мерные векторы с компонентами ййг и б1( ..., иг, то при supp и с Е имеем
В {и, о) = J (аА6й/А5/А 4- рАй/А5 + РАйо/А + уйо) dx, А
а ограничение, наложенное на решение задачи Синьо- рини, принимает вид — Зг(х)^0(хе/П<ЗД). Поэтому указанное выше условие (и) удовлетворяется, и мы можем применить теорию регуляризации, развитую в этом пункте.
Исследование задачи Синьорини
Мы примем следующие предположения относительно регулярной ограниченной области Л.
Границу дА можно разложить на конечное число неперекрывающихся (г— 1)-клеток класса С”. Пусть это будут клетки Гь ..., Г,.
Для каждой точки х е дА можно задать единичный вектор р(х) так, чтобы он был непрерывной функцией от х на дА и был всегда направлен внутрь области А, а вектор — р(х) направлен внутрь дополнения к А. Обозначим через со угол (заключенный между 0 и л), который вектор ц(х) образует с единичным вектором внутренней нормали v(x). Мы должны иметь О^со^соо<л/2 в каждой точке х множества Гб\дГ6(А=1</), где дГ6 —граница Г6.
Обозначим через х = xk(/) параметрическое представление клетки Гй, т. е. отображения Гй на 7’г~1 (см. подстрочное примечание на стр. 111). Требуется, чтобы p[x*(0]s С”(Тг-‘).
Существует положительное число Zo, такое, что для любого Л, удовлетворяющего условию 0 < Л^Л0, множество значений функции у = х + Хц(х) при изменении х на дА целиком содержится в Л и находится во взаимно однозначном соответствии с дА.
Легко доказать, что иВ условий 1) — 4) следует, что область А собственно регулярна.
Рассмотрим в области А задачу Синьорини. Положим
S^nu^u.-.ur,- (q'^qY.
Пусть
leH^A), ge^fT) (Г = дЛ\2).
Из теории, построенной нами в предыдущих пунктах, вытекает следующая теорема.
ЮЛ. Положим
В {и, у) = j а№ (х) м/лу/t dx, А
F (у) = J fo dx + j gv da,
A2*
где №) = {а/д <д} — тензор упругих констант (см. ч. 1, п. 12). Пусть V — выпуклое множество, образованное всеми функциями из H^A), такими, что у (x)v(x)^O на дА ’). Пусть R' = RV\V и R* — подмножество в R', образованное всеми двусторонними перемещениями). Для существования минимума функционала 3 (у) = = 2~’S(y, у) — F (у) на V необходимо, чтобы выполнялось условие
F(p)<0, ^peR'. (10.1)
Если это условие выполняется в сильном смысле, т. е. если знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда ре R*, то 3 (у) имеет абсолютный минимум на И. При этом минимизирующая функция и в области А удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
(а^и^ь A* f = 0. (10,2)
Если feC”^, то иеС°°(А). Если q'<q, х? е е= I\\dl\(& = q'-Y 1, ..., q) и g[xft (x)] e С” (Т^'Х ro «е С-(В) для любой области В, такой, что Sc Л П п (Ли/), где I — соответствующим образом выбранная окрестность точки х®,) и функция и на dAV\I удовлетворяет граничным условиям
. a<A(«)vA=gz [»</(«) = — aiMhUjiA.
Если об1 г Г6 \ дГй(&=1, ..., q'), то иеН2(А П Z)), где I — соответствующим образом выбранная окрестность точки х°, и функция и на дА(\1 удовлетворяет
*) Конечно, как всегда для функций из Нх (Л), имеется в виду, что неравенство и (x)v(x)>0 выполняется почти всюду.
следующим сомнительным граничным условиям:
(10.3)(10.3)(ЮЛ)(ЮЛ)u^t = О, либо Qth (u) VtVh > О,
(10.3)
(10.3)
(ЮЛ)
(ЮЛ)
Oih («) ViTh = о,
Щ"»1 > О,
либо ' Oih(u) vtvA = O,a in («) ^гч = °.
где % — произвольный вектор, касательный к 2 в точках дА П /.
Условия (10.3) выражают тот факт, что в условиях равновесия упругое тело в точках дА f] 1 опирается на поверхность 2 и, следовательно, реакция поверхности имеет неотрицательную компоненту по направлению внутренней нормали. Любая тангенциальная компонента такой реакции равна нулю, так как по предположению трение о поверхность отсутствует. С другой стороны, если выполняются условия (10.4), то это означает, что в состоянии равновесия тело отходит от опорной поверхности и она вообще не действует на тело.
Очевидно, априори неизвестно, какой из двух наборов условий, (10.3) или (10.4), выполняется в заданной точке поверхности 2. Отсюда и (предложенный Синьорини) термин „сомнительные граничные условия" (см. стр. 116—117).
Все факты, указанные в формулировке теоремы, являются очевидными следствиями теории, построенной в предыдущих пунктах. Чтобы доказать, что на дА П /, где 7 — соответствующим образом выбранная окрестность регулярной точки х° е 2, выполняются сомнительные условия (10.3), (10.4), надо повторить, чуть обобщив, рассуждения, которые применялись при исследовании примера (1) п. 6. Таким образом, устанавливается, что почти всюду на дЛП/ выполнены условия
utNi > 0, alkN^ > 0, aih'iiN1tulNi = 0, alh"»tXh = 0. (10.5)
Функции щ, о1к определены почти всюду, поэтому мы можем, соответствующим образом доопределив эти функции на множествах нулевой меры’), считать, что соотношения (10.5) выполняются во всех точках множества дЛП/- Тем самым мы получаем, что на 5Лр/ выполняются сомнительные условия (10.3), (10.4).
В следующей теореме содержатся сведения глобального характера о воздействии поддерживающей поверхности 2 на упругое тело.
И. На а-кольце) {B\z борелевских подмножеств множества В можно определить действительную неотрицательную меру y(S), такую, что если и минимизирует функционал 3 (и) на V, то для любого УеЯ1(Л)ЛС°(Ли2) '
| ct^td.^ = В^и, у)— F(y). (10.6)
*) Конечно, в случае г<3 мы должны позаботиться только О ФУНКЦИЯХ Gift.
Сингулярное множество этой меры у содержится в множестве
О'
и<5Гй, 6=1
а производной Лебега от у является функция csih{u)vtNh.
Обозначим через W линейное многообразие, состоящее из действительных функций w, определенных почти всюду на 2 и таких, что для любого w почти всюду на S справедливо равенство и» = о^, где у = Я1 (А) П С° (A U 2). Положим
Ф (цу) = В (и, у) — F (у).(Ю.7)
Значение линейного функционала Ф определяется формулой (10.7) однозначно для любой функции »s W. Действительно; если у е Hi (А) (] С° (A (J 2) и ® = yzvz почти всюду на 5, то, поскольку у — у является двусторонним перемещением из V (т. е. как у — у, так и у — у принадлежат У), мы имеем В (и, у) — F (у) = = В(и, у) — F(v).
Пусть Ах (0 < X <Ло) — область, ограниченная поверхностью, которую описывает точка х = £ + Лр (£), когда § пробегает дА. Пусть ф(х)— действительная функция класса С"*, равная нулю в Ах, и единице вне Ах0/2. Положим
ую (х) =
_( р(£)Ф(*) Для x = g-f-Xp(g), ^едА, 0<Л<Л0,
I 0 для х е Ах,.
Если Ло достаточно мало, то функция у°(х) определена всюду в А и принадлежит В1(А)ПС°(А1)2). Кроме того, на дА мы имеем y?v< cos и0 > 0.
Мы можем предположить, что любая функция tyeU7 совпадает на ГЙ(Д= 1д')с некоторой непре
рывной функцией ®fe. Будем обозначать через max |ovfe | максимум функции | wk | на Г^ и положим J?(m) = = max (max |®i |, ..., max \ ®q-1). Рассмотрим банахово
пространство W, которое получается пополнением W по норме Д (w). На любом множестве ГЙ(А=1, ... ..., q'^ имеем для всех w е U7
Л (ш) cos шеЛ (ш) cos шеУ°М vf(x)<(x)cy(x)<У°М vf(x)<(x)cy(x)<^ (го) COS Wq^ (го) COS Wq0° (х) V, (х)0° (х) V, (х)
Л (ш) cos ше
Л (ш) cos ше
У°М vf(x)<(x)cy(x)<
У°М vf(x)<(x)cy(x)<
^ (го) COS Wq
^ (го) COS Wq
0° (х) V, (х)
0° (х) V, (х)
и, следовательно,
|Ф(оОК|Ф(оОК^[В(«, У°)-В(У°)]^).^[В(«, У°)-В(У°)]^).
|Ф(оОК
|Ф(оОК
^[В(«, У°)-В(У°)]^).
^[В(«, У°)-В(У°)]^).
Таким образом, Ф является непрерывным функционалом в W. С другой стороны, если ®eW и су^О на 2, то в силу (10.7) Ф(су)^0._Из классических теорем функционального анализа вытекает, что существует такая неотрицательная мера у, для которой справедлива формула (10.6).
Пусть х°е rft \ дГА, / — соответствующим образом выбранная малая окрестность точки х°, такая, что и принадлежит H^AV\I\ и у— функция из Н; (Л) П С (/). Для функции су, соответствующей именно этой о, имеем в силу (10.2)
Ф (су) = В («, с) - F (с) = - J (aAAU/AvA) у da =
дА
= / (y/V/)[a1A(M)vzvA]da. дА
Отсюда следует, что множество сингулярности меры у д'■
должно содержаться в (J 5Г6 и что производная Ле- 6=1
бега меры у есть a<A(M)vzvA.
Физический смысл меры у очевиден: у (В) представляет собой интенсивность глобальной реакции, с которой опорная поверхность S действует на все множества В. Эта реакция может иметь концентрированнее напряжения только ца множествах, образованные
сингулярными точками 2; в окрестности регулярной точки 2 никаких концентраций возникнуть не может ’).
Теперь мы хотим рассмотреть еще один тонкий вопрос, касающийся задачи Синьорини. Как мы видели, условие (10.1) достаточно для существования решения и задачи Синьорини, если оно выполняется в сильном смысле, т. е. если знак равенства в (10.1) имеет место тогда и только тогда, когда pER*. Мы докажем, что в одном частном случае, имеющем первостепенное значение для механики, строгое условие и необходимо для существования решения. Это приведет нас к замечательной механической интерпретации этого условия.
Возьмем г = 3 и предположим, что опорная поверхность 2 связная и плоская. Можно считать, что 2 есть некоторая ограниченная область_плоскости х3 = 0. Кроме того, мы предположим, что А \ 2 лежит в полупространстве х3 > 0. Линейное пространство жестких перемещений образовано векторами р, такими, что
Pi = ах + 62х3 — бз^г» Р2= а2 + Ь3хх —bxx3,
Рз = а3 + bix3 — b2xh
где Оц а2, а3, Ьх, Ь2, Ь3 — постоянные. Вектор р принадлежит R' тогда и только тогда, когда
а3 + 6^2 — Ь2хх > 0 для (xb х2) е 2.(10.8)
Мы можем считать, что ось х3 пересекает множество 2 \ <32. Отсюда следует, что а3 ^ 0. Для любой действительной интегрируемой функции w положим
/^(«О = J fhw dx 4- J ghw do (A = 1, 2, 3). A2*
1) Это утверждение было высказано в виде гипотезы советским математиком Г. И. Баренблаттом во время семинара, который автор проводил в Московском университете в 1969 г.
Условие (10.1) эквивалентно следующим условиям:
f1(l) = JF2(l) = 0, F2(x,)-F,(x2) = 0,
(10.9) a3F3 (1) - 62 [F3 (х.) - Fv (x3)] + bx [F3 (x2) - F, (x3)] < 0.
Последнее неравенство должно выполняться для а3, 62 и 6Ь удовлетворяющих условию (10.7). Отсюда следует, что
^з(1) <0.
Если здесь имеет место знак равенства, то из (10.8) и (10.9) вытекает, что F3 (х^ — Fx (х3) = 0, F3(x2) — — Ё2(х3) = 0, т. е. приложенная система сил оказывается уравновешенной. Такая задача заведомо имеет решение, потому что она сводится к классической задаче, состоящей в том, что задаются объемные силы и всюду на дА поверхностные силы, причем эти заданные поверхностные силы обращаются в нуль на S (см. теоремы 1.VI и 7. II).
В дальнейшем мы будем исключать случай уравновешенных систем сил, приложенных к телу.
Тогда мы должны иметь
^(1X0.
Из (10.9) выводим соотношение
Fv (1) [F3 (х2) - F2 (х3)] + F2 (1) [^ (х3) - F3 (х,)] + '
+ ^з(1)[/72(х1)-Р1(х2)] = 0.
Так как вектор {^(l), ^(l), F3(l)} не обращается в нуль, то, как мы знаем из элементарной механики1), наша система сил эквивалентна одной равнодействующей ортогональной плоскости х3 = 0, направленной вниз и приложенной в произвольной
*) См. [25], стр. 36-37.
точке центральной оси системы. Центральной осью является прямая х, = х°, х2 = х%, где
U) f3 to) — Fl to) „о _ ^з to) — Fl to) Fa№ ’ Л(1) ' ■ .
Пересечение всех замкнутых полуплоскостей, содержащих 2, мы будем называть выпуклой оболочкой 2 и обозначать через К (2). Множество К (2) очевидно замкнуто и выпукло. Полуплоскость, ограниченная прямой а3 + 6^2—b2xv = 0, а3> 0, содержит 2 тогда и только тогда, когда выполняется условие (10.8). Таким образом, последнее из неравенств (10.9) выражает тот факт, что множество К |2) содержит точку (х®, х®у Обратно, если К (2) содержит точку (х^, х®) и если система приложенных сил эквивалентна одной равнодействующей, ортогональной плоскости х3 = 0 и направленной вниз, то выполняются условия (10.9), а с ними и неравенство (10.1).
Докажем теперь следующее утверждение.
III. Пусть справедливо неравенство (10.1). Для того чтобы оно было справедливо в сильном смысле, необходимо и достаточно, чтобы центральная "ось приложенной системы сил пересекала множество К (2) в некоторой внутренней точке.
Если точка (х®, х®) внутренняя для К (2), то она является внутренней для любой полуплоскости, содержащей 2. Отсюда следует, что последнее из неравенств (10.9) является строгим для а3, Ь\, Ь2, удовлетворяющих неравенству (10.8), при условии, что а/> 0. Таким образом, неравенство (10.1) выполняется в строгом смысле. Обратно, пусть выполнено (10.1). Если бы мы имели (х®, х®) е дК (2), то мы могли бы рассмотреть прямую а3 -ф Ьхх2 — 6^1 = 0 (а3 > 0), проходящую через точку (х®, х®) и такую, что одна из полуплоскостей, которые имеют эту прямую в качестве границы, содержит К (2)г (конечно, это будет полупло-
скость а3 + 6iX2 — Z>2xi^0) )• Жесткое перемещение pi = = б^з, Рг = — б^з, р3 = а3 + 6^2 — 62^i принадлежит R' и является односторонним. Однако для этого перемещения в (10.1) имеет место знак равенства.
Из этой леммы следует, что случай, когда условие (10.1) выполняется, но не в строгом смысле, представляет собой предельный случай, когда центральная ось пересекает /((S) на границе.
Мы докажем, что в этом предельном случае решение задачи Синьорини не существует. Этим будет доказана необходимость выполнения условия (10.1) в сильном смысле для существования решения задачи Синьорини.
IV. Если условие (10.1) выполняется, но центральная ось приложенной системы сил пересекает К (S) в некоторой точке границы, то функционал 3 (о) не имеет минимума на V.
Пусть р® = о® + 6®х3 — 63х2, р0 = а® + 6®х, —6®х3, р® = а® + ^2 ~ ^xi есть принадлежащее R' одностороннее перемещение, такое, что .
J fiP°idx+ J g{p°{do = 0, А 2*
и пусть Л — прямая на плоскости х3 = 0, заданная уравнением р° = 0. Тогда в силу (10.9) (х°, х°)е Л. Заметим, что пересечение X с К^ непусто.
Предположим, что существует решение и задачи Синьорини. Тогда u° = u + p° также будет решением этой задачи (см. теорему 7.1). Поскольку р° > 0 в 2 \ (X П 52), то и® > 0 почти всюду на 2 \ (X П 52). Пусть z — точка из 2 \ (Л, П 52), D6 (z) — трехмерный шар с центром в точке z и радиусом д, находящийся на положительном расстоянии от X П 5S, и пусть феС [B«(2)l- Мы можем так определить положительное число / (d, г), чтобы для 1t1 < t (d, г) функция и0 -}- to принадлежала V. Отсюда видно, что ^(и0 + to) имеет минимум при / = 0. Тогда В (u, tv) — F (а>) = 0. Поэтому мера у, определенная в теореме 10. II, такова, что у(В) = 0 для любого борелевского множества В из 2, содержащегося в D6(z\ Следовательно, мера у сингулярна, и множество сингулярности должно содержаться в X fl 5S.
Заметим, что мера у не может тождественно равняться нулю, так как из (10.6) при У] = 0, у2 = 0, у3 = 1 вытекает, что
у(ХП52) = -В3(1)>0.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Если существует решение задачи Синьорини, то реакция опорной поверхности сосредоточена на линейном множестве X П 52.
Для любого у g Н; (Л) П С° (Л (J 2) положим
^о (у) = у 5 (у> у) — В (у) — f у3 dy. a a as
Поскольку В (u, u) = F(u) и в силу (10.6)
J у3 <Zy = В (и, у) — F (у), а а аг то
3о (у) — 3 (и) > В (и — v, и — у) > 0.
Пусть р—некоторая положительная постоянная, большая, чем диаметр области А. Положим
с,-О,O2-U,03 = 10gl0g |ро(х)|2 + х2 + 6•
Для 0 < б < 1 имеем у6 е С” (Л). С другой стороны,
'lim^o^®^— 00> ^[у6] ^^М*
б-»0
Это показывает, что функции и, минимизирующей функционал 3 (у) на V, существовать не может.
Исторические и библиографические замечания, касающиеся теорем существования в теории упругости
В задачах механики и физики теоремы существования представляют большой интерес, так как они дают рациональный способ проверять адекватность теории (которая сводит, в некоторую математическую схему факты и явления физического мира), не зависимый от соображений физического правдоподобия и не связанный с проведением экспериментов. К сожалению, очень часто теоремы существования — это наиболее трудная часть теории.
Что касается классической линейной теории упругости для однородных изотропных тел, то здесь первая теорема существования была получена для первой краевой задачи Фредгольмом [8] *) в качестве приложения открытых им фундаментальных теорем об интегральных уравнениях. Ту же задачу и тоже с использованием теории интегральных уравнений Фредгольма рассматривали также Лауричелла [21], Марколонго [24] и позже Лихтенштейн [23].
Чтобы применить теорию интегральных уравнений к первой краевой задаче (задаче Дирихле), нужно рассмотреть классическую систему дифференциальных уравнений теории упругости как однородную систему с неоднородными граничными условиями и представить решение в виде потенциала двойного слоя, соответствующего фундаментальной матрице решений, которую для этой системы дифференциальвых уравнений построили лорд Кельвин [14] и Сомильяна [40].
Этот подход полностью аналогичен подходу, применяемому в теории потенциала для гармонических функций (см. [13], [12]). Настоящие трудности возникают тогда, когда мы пытаемся
■) Номера в жирных квадратных скобках отсылают к списку литературы, помещенному в конце ч. 1, в тонких—к списку Литературы в конце этой части.
применить тот же метод к решению второй краевой задачи в классической теории упругости. По аналогии с гармоническими функциями надо было бы представить решение в виде потенциала простого слоя, как это делается для второй краевой задачи в теории гармонических функций (задачи Неймана) (см. [13], [12]).
К сожалению, система интегральных уравнений, которая получается при этом, не будет системой типа Фредгольма. Действительно, ядра этих уравнений не являются абсолютно интегрируемыми, и соответствующие интегралы имеют смысл, только если пЬнимать их как сингулярные интегралы Коши.
Непонимание этого обстоятельства ввело в заблуждение ряд авторов, которые считали получающиеся уравнения уравнениями типа Фредгольма. Остановимся несколько подробнее иа этом вопросе.
Рассмотрим оператор классической теории упругости для случая г = 3. Мы запишем этот оператор в виде (см. ч. 1, п. 12)
L tu = Uq^-V аик!М,
где <г — постоянная, большая */з- В дополнение к этому оператору рассмотрим граничный оператор tu, который дает значение сил на границе, соответствующее смещению и,
■4 Iй = “и^к + ^k^i + (“fc/ivfc - WiV
В ограниченной замкнутой области А справедлива теорема взаимности Бетти:
J (и^о — OjtiU) da + J (UiLtv — VjLiU) dx = 0, . (11.1) дЛ_ Л
аналогичная формуле Грина для оператора Лапласа:.
J (и -^— о -^-) da + J (иД2о — оД2и) dx = 0.
<МА,
В силу этого многие исследователи стали считать, что оператор tu в теории упругости играет ту же роль, что оператор da/dv в теории потенциала. Но надо заметить, что если вместо tu мы рассмотрим более общий оператор t (w, X), задаваемый формулой
Ч (u; X) = uMkNb + аи^ + X (ик,^к - ukikxty
где X—произвольная постоянная, то соотношение взаимности (11.1) примет вид■
J \uit^ (v, X) — Vjti (и, X)] da + J VutLio — viLiu) dx = Q.
aAд
Поэтому t (u; X) с не меньшим правом, чем tu, может играть в теории упругости ту же роль, что оператор нормальной производной в теории потенциала. С точки зрения теории интегральных уравнений Фредгольма оператор, который ведет себя так же. как нормальная производная в теории потенциала, должен обладать'следующим свойством. Пусть граница дА является поверхностью Ляпунова (т. е. поле ее нормалей удовлетворяет условию Гёльдера). В результате применения рассматриваемого оператора к фундаментальной матрице Сомильяиы
f 1, о д2| х — у | I .. .
тг 6ц — -rm—i—г —л—5г v> 1 ^ 1| 2, 3) — у\ 42(1+о) дх(дх^ )
должны получиться ядра й;;(х, у), которые имеют фредгольмову особенность, т. е. удовлетворяют условию hqlx, у) = = О (| х —- у |°~2), 0<а ^ 1. Нетрудно видеть, что так будет тогда и только тогда, когда Х = о(2 + о)-1. К сожалению, в случае теории упругости мы имеем Х=1. Отсюда следует, что метод Фредгольма можно применять ко второй краевой задаче только в случае, если рассматривается граничный оператор / [и; а (2 + о)-1], лишенный физического смысла. Этот случай и был изучен Лауричеллой (21 ], который называл /[и; о (2 + а)-*] оператором псевдонапряжений.■
. Подлинную вторую краевую задачу для теории упругости исследовал Корн [18], работа которого очень длинна и очень сложна для понимания. В этой работе применяются интегральные уравнения и в первый раз (см. также [19]) появляются нераиенства, которые сейчас известны под названием неравенств Кориа (см. ч. 1, п. 12). ФрЯЯрихс в статье [10], цитируя Корна, пишет: „Автор настоящей статьи не сумел проверить доказательство Корна для второго случая". Бернштейн и Тупэн в своей работе [I] о неравенствах Корна, приводя высказывание Фридрихса, добавляют: „Вместе с иим мы признаемся, что не сумели проследить до конца изложение Кориа".
Спустя несколько лет Г. Вейль [35] предпринял попытку применить при исследовании второй краевой задачи теории упругости интегральные уравнения Фредгольма, получаемые с помощью так называемого антенного потенциала. Однако прй этом им были сделаны некоторые предположения, справедливость которых в общем случае до сих пор не установлена.
Необходимо отметить, что независимо от этого статья Г. Вейля представляет огромный интерес для теории упругости благодаря проведенному в ней исследованию асимптотического распределения собственных значений в задачах теории упругости.
Долгое время не было существенного прогресса в изучении граничных задач теории упругости для случая г > 2. С другой стороны, для случая г = 2 было получено много важных результатов, в основном в работах Н. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа и других математиков грузинской школы. При этом применялись
методы теории комплексного переменного и теории сингулярных интегральных уравнений на кривой (см. обширную библиографию в [34)).
В 1947 г. Фридрихе опубликовал важную работу [10], касающуюся r-мериых задач теории упругости. Ои дал первое удовлетворительное доказательство второго неравенства Корна (доказательство первого неравенства почти тривиально), а также новые доказательства существования решения для первой и второй граничных задач классической теории упругости и для связанных с ними задач иа собственные значения. Его метод основан на вариационном подходе [таким же методом Фридрихе в 1928 г. доказал теорему существования для случая заделанной пластинки (см. [9])]; используя технику усреднения, он доказал также внутреннюю регулярность решений.
В 1950 г. в работе [3] с помощью методов функционального анализа были даны новые доказательства теорем существования для 1-й и 2-й граничных задач теории упругости и впервые была получена теорема существования для 3-й граничной (смешанной) задачи. Здесь стоит кратко напомнить метод, примененный в работе [3] для доказательства этой теоремы. Для простоты мы рассмотрим случай оператора Лапласа. Мы введем также некоторые упрощения в изложение и будем применять более современный язык, чем в работе [3].
Пусть А — ограниченная область в X8, граница дА которого, являющаяся гиперповерхностью Ляпунова, распадается иа две открытые гиперповерхности Si и S2 с общей границей dSi = dS2, ие имеющие никаких других общих точек. Мы будем рассматривать Si (i = 1, 2) как открытие в дА множества. Пусть существует область А', ограниченная гиперповерхностью Ляпунова дА', такай, что А'=>А, дА' Л дА = Si, и пусть Я2( — подпространство в Я1 (Л), полученное замыканием линейного многообразия всех действительных функций о е С1 (Л) с supp о Л 21 = 0. Пусть б — некоторая функция, удовлетворяющая условию Гёльдера на S2. Мы хотим доказать, что существует одна и только одна функция и, такая, что
и еН^ П С2 (Л) Л С» (Л - 5S]) Л С- (Л U S2), |^ е С° (S2),
Д2и = 0 в Л, Дт- = б на S2,1д'»1
^uli01ldx+ ^и^ = 0 (ygeH^. А =2
Пусть й — функция, удовлетворяющая условиям:
й е С2 (Л) Л С1 (Л),
Д2й = 0 в А, = 6 на S2.
Такую функцию легко построить, соответствующим образом продолжив б на дА и решив получившуюся задачу Неймана в А. Введём в пространстве Hi (Л) новое скалярное произведение ((и, о)) = j u/zo/z dx.
'А
Будем отождествлять функции из Hi кА1), отличающиеся лишь на постоянную, и обозначим через <%> возникающее при этом гильбертово пространство. Мы можем рассматривать Н-^ как подпространство в 36. Пусть «—ортогональная проекция 2 на Н^. Для любой функции о е Н^ имеем
J «цОц dx — J йцОц dx = — J об da. (П-2) AAS,
О
Если мы возьмем произвольную функцию q? е С°° (Л) и положим о (х) = j $ (х, у) ф (у) dy,(11.3)
А*
где 3 (х, у) — функция Грииа задачи Дирихле для оператора Д2, построенная для области А', то будем иметь
— I об da = I «/Zo/Z dx = — J u-^- da — J «ф dx.
’ s2 лs2A
В силу произвольности ф легко получаем, что
6 (у) « (у) = J б (х) 3 (х, у) dax — ^ и (х) ^- $ (х, у) dax, (11.4) S2s2
где 6 (у) = 1 при у е А, 0(у) = 0 при у е А' \Л. Из равенства (11.4), применяя стандартные рассуждения теории потенциала (соотиошеиия скачков), легко получить, что й является решением нашей задачи. Если и° — другое решение той же задачи, то, поскольку для всех oeHy
J и^ o/z dx = — J об da,
As,
из (11.2) вытекает, что и0 = и ’).
’) Заметим, что используя метод, который был применен в [3] (и которому следовал Купрадзе [20] при изучении смешанных задач), можно избежать введения области А' и соответствующей функции Грина 3 (х, у) и еще более упростить до-
Этот подход не был применен в ч. 1, так как его трудно обобщить на эллиптические системы более высокого порядка с переменными коэффициентами. Одиако этот более ранинй подход имеет то преимущество перед подходом, примененным в ч. 1, что он не требует таких строгих ограничений иа дА.
Через год после того, как была опубликована статья [3], появилась заметка Д. М. Эйдуса [7] о смешанной задаче теории упругости. Надо отметить, что вообще советские математики очень активно занимались вопросами существования решений для классической теории упругости. Кроме упомянутых выше работ грузинской школы, отметим здесь работы С. Л. Соболева [39], С. Г. Михлина [31], С. Я. Когаиа [15], Е. Н. Никольского [35], касающиеся обобщения иа уравнения теории упругости альтернирующего метода Шварца, и в особенности работы С. Г. Мнх- лииа и В. Д. Купрадзе. Первый нз этих двух авторов рассмотрел задачи теории упругости с нескольких различных точек зрения. В своей монографии [32] ои, кроме упомянутого выше метода Шварца, рассматривает вариационный подход, а также делает обзор результатов, полученных в этой области советскими и некоторыми западными авторами. В монографии [25] Михлии применяет свою теорию многомерных сингулярных интегралов к уравнениям теории упругости. Эта теория, начало которой было положено работами Трикоми [43] и Жиро [10], была завершена Михлиным и явилась исходным пунктом современной теории
казательство рассматриваемой теоремы существовании. А имеиио, вместо того чтобы рассматривать функцию о (х), заданную формулой (11.3), возьмем
о (х) = ф (х) j а (х, у) ф (у) dy,
Агде.
s(x ^_П2л)"1 loglx~^l Д™ г = 2,I [(2 — г) <ог]-| | х — у |2~г для г > 2.
Здесь <йг — мера (г — 1)-мериой единичной сферы в Хт, ф (х) в С”, а ф (х) — функция класса С”, такая, что если х° — точка, не лежащая иа Sb то ф (х) = 1 для | х — х° К в и ф (х) = 0 для |х - х« | > 2е, где е — такое положительное число, что шар
| х — х°| < 2е ие пересекается с Si. Нетрудно видеть, что для у в Г2 имеет место представление
6 (у) U (у) = J б (х) а (х, у) dax — J и (*)-^ s (*. У) da, + Л (у), s.nrs>nre '
.(11.5)
где h (у) — гармоническая функция в Ге. Применяя (11.5) вместо (11,4), можно получить те же самые выводы.
псевдодифференциальных операторов. В монографии [25] Михлину удалось решить систему сингулярных интегральных уравнений, возникающую при решении второй граничной задачи классической теории упругости в случае, когда решение представляется в виде потенциала простого слоя. Аналогичные результаты почти одновременно получил Купрадзе [20]. Он также применяет теорию Михлина для решения jrofl же системы сингулярных интегральных уравнений.
Среди других результатов Купрадзе, относящихся к рассматриваемой тематике, отметим его работы о динамических задачах и о задачах для неоднородной среды [20], [15—22].
Задача равновесия для неоднородной упругой среды (упругого тела, составленного из двух однородных изотропных тел. с различными. постоянными Ламе) была впервые поставлена Пиконе [33], который предложил метод ее численного решения. Этой задаче посвящены работы Лнонса [28] и Кампанато [2]. Случай анизотропных тел с общими свойствами упругости впервые исследован в статье, составившей ч. 1 этой книги. В этой статье использован современный подход к граничным задачам для сильно эллиптических операторов. Это дало возможность впервые с большой общностью рассмотреть динамические задачи, а также задачи диффузии и интегро-дифференциальные задачи. Нет сомнения, что аналитическое исследование задач теории упругости много способствовало современному развитию теории дифференциальных уравнений. Например, исследования, касающиеся неравенств Корна, были одними из первых примеров исследований, связанных с понятием коэрцитивности, столь важным теперь. В этой свизн, кроме уже упомянутых работ Фрндрихса и Бернштейна и Тупэна, отметим еще работы Кампанато [3], [4], особенно интересные тем, что в ннх содержатся примеры, когда иеравеиства Корна перестают быть справедливыми, а также замечательную работу Пейна и* Вейнбергера [29], где в случае сферы получена наилучшая оценка для второго неравенства Корна, а для некоторого класса, областей дано новое доказательство неравенства. К сожалению, результаты этой работы не имеют столь широкой области применимости, как утверждают авторы Неравенству Корна посвящена также работа Гобера [13]. -
Одностороннюю задачу в теории упругости впервые рассмотрел Синьорини [37] еще в 1933 г. Он вторично изложил свою теорию более полным образом в 1959 г. в работе [38]. В этой работе поставлена задача, известная теперь как задача Снньо- рцнн. Эта задача была исследована н решена в статье [6], отданной в печать в сентябре 1963 г. и опубликованной в 1964 г. Результаты статьи [6] были анонсированы в [8] (февраль 1963), [5] и [9]. Эти результаты, хотя н относится к некоторой частной задаче теории упругости, в своей абстрактной части немедленно обобщаются на случай абстрактной односторонней задачи для симметрической полукоэрцитнвной билинейной формы, рассматриваемой в некотором конусе.
Теорема существования и единственности, доказанная в [6], была примером теоремы существования и единственности для
односторонней задачи, связанной с дифференциальным оператором.
Более чем через год Стампаккья [41] исследовал односторонние задачи, связанные с несимметрическими коэрцитивными билинейными формами. Вследствие требования коэрцитивности случай, рассмотренный Стампаккьей, не покрывает случая, разобранного в работе [6]. Действительно, как показано в последней работе, именно отсутствие коэрцитивности делает задачу сложной, тогда приходится решать тонкий вопрос об условиях совместности.
Если билинейная форма коэрцитивна, то в симметрическом случае задача становится почти тривиальной. Несимметрический случай с помощью простых рассуждений сводится к симметрическому. Эти рассуждения приведены в работе [30]; в них исполь- зуетсн подходящим образом подобранное сжимающее отображение. Мы применили эти рассуждения в начале доказательства теоремы 2.1 настоящей статьи.
Авторы работы [30] рассматривают также случай несимметрической некоэрцитивной билинейной формы. В приидтой ими абстрактной схеме они в точности воспроизводят то, что было сделано в [6] в контексте теории упругости, и получают в этой своей схеме результаты, аналогичные результатам работы [6]. Доказательство ограниченности последовательности, с помощью которой строится решение их одиостороиией задачи, в значительной степени подсказано доказательством ограниченности аналогичной последовательности в [6]. К сожалению, непосредственная имитация результатов работы [6] (отиосищихся к некоторому определенному выпуклому множеству) для случая общего выпуклого множества, рассматриваемого авторами работы [30], дает вследствие гораздо более сложной геометрической природы произвольного выпуклого множества лишь практически мало пригодные результаты. Действительно, если результаты работы [30] применять, скажем, для решения односторонних задач с некоэрцитивными формами, то иа исходные данные задачи приходится налагать усдовия совместности даже тогда, когда в этом нет никакой необходимости.
В настоящее время литература по односторонним задачам все растет и растет1). Что касается абстрактной теории, то здесь больше всего рассматриваются различные обобщения на нелинейные операторы. Эти вопросы наиболее привлекают чистых математиков. В то же время проведено исследование ряда конкретных частных задач и изучены соответствующие вопросы регуляризации. Хотя я и полагаю, что абстрактная теория, построенная в этой работе, позволяет с достаточной степенью общности изучать односторонние задачи, связанные с линейными операторами прикладной математики, я отдаю себе отчет в том, что теория регуляризации еще очень далека от той общности, которую оиа имеет в случае двусторонних задач. Результаты о регуляризации,
*) Библиографию по этому предмету см. в книге [29].
изложенные в настоящей работе для основных дифференциальных операторов, являются наиболее общими из известных в настоящее время результатов для линейных операторон.
Что касается специальных задач теории упругости, то после задачи Синьорини одна из первых одиосторониих задач в теории упругости была поставлена Прагером в [36]. Эта задача рассматривалась в п. 6 (пример (V)) настоящей статьи. Одностороннюю задачу для мембраны исследовали Леви [26] и позже Левн и Стампаккья [27]. Задачи упруго-пластического кручения изучались Тингом [42], Дюво и Лаишоном [24] и Лаишоном [23]. Теория упруго-пластического кручения подробно изложена в статье Тинга в томе VIa/З настоящей энциклопедии. Задачу Синьорнии для упруго-пластического случая (т. е. для материалов с памятью) рассмотрел Дюво [5]. Гриоли [11] и Дюво [6] исследовали задачи теории упругости для случая, когда имеется трение об ограничивающую поверхность. Об односторонних статических задачах идет речь в работе Моро [33]. Он рассмотрел ряд абстрактных и конкретных вопросов, относящихся к односторонним задачам.
Мы говорили только о задачах, связанных с линейной теорией упругости. Хотя односторонние задачи н не принадлежат непосредственно к области линейного анализа и многие вопросы для них еще не решены, их удалось включить в общую схему. Для случая нелинейной теории упругости этого сделать не удается. По части теорем существования здесь имеются отдельные результаты для конкретных задач, ио ничего такого, что бы могло послужить основой для общей теории. Создание такой теории будет, по-виднмому, одной нз задач прикладного анализа в ближайшем будущем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Bernstein В., Toupin R. A., Korn inequalities for the sphere and circle. Arch. Rat. Meeh. Anal., 6 (1960).
Campanato S., Sul problema di M. Picone relativo all’equi- librio di un corpo elastico incastrato, Ricerche di Matem., 6 (1957).
Campanato S., Sui problemi al contorno per sistemi di equa- zioni differenziali lineari del tipo dell’elasticitA. I, II, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, s. Ill, 13 (1959).
Campanato S., Proprieta di taluni spazi di Banach connessi con la teoria dell’elasticitS, Ann. Scuola Norm Sup. Pisa, s. Ill, 16 (1962).,
Duvaut G., Probleme de Signorini en viscoelasticite' lineaire, C. R„ 268 (1969).
Duvaut G., Probleme de Signorini en viscoSlasticite lineaire, continus, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Nice, 1970.
Эйдус Д. M., О смешанной задаче теории упругости, ДАН, 76 (1951), № 2, 181—184.
Fichera G., Sul problems elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno, Rend.. Accad. Naz., Lincel, s. Vlll, 34 (1963)..
Fichera G., Un teorema generate di semicontinuita per gli integral! muttipti e sue applicazioni alia fisica-matematica, Atti del Convegno Lagrangiano, Acc. Sci. Torino, 1963.
Giraud G„ Equations й integrates principales, Ann. Sci. Ecole Norm. Super., 51 (1934).
Grioli G., Problem! d’integrazione e formulazione integrate del probtema fondamentate dell’elastostatica, Simposio intern, sulle Applicazioni delta Analisi alia Fisica Matematica, Ca- gliari-Sassari, 1964, Roma, Edit. Cremonese, 1965.
Гюнтер H. M., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, ГТТИ, М., 1953.
Ketlog О. D., Foundations of potential theory, Bertin, Springer, 1929, N. Y., F. Ungar, 1946.
Kelvin, Lord (W. Thomson), Note on the integration of the equations of equilibrium of an elastic solid, Cambridge & Dublin Math. J. (1848).
С. Я. Коган, О рейейии пространственной задачи теории упругости альтернирующим методом Шварца, ИАН, сер. геофиз.. 3 (1956), 307—319.
Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории установившихся упругих колебаний, У МН, 8 (1953), № 3, 21—74.
Купрадзе В. Д„ Некоторые новые теоремы об уравнении колебания и их применения в граничных задачах. Труды Тби- лисск. ун-та, 25а (1944).
Купрадзе В. Д„ К теории граничных задач для неоднородных упругих тел, Сообщ. АН Груз. ССР, 22 (1959), № 4, 401—408.
Купрадзе В. Д., О краевых задачах теории упругости для кусочио-неодиородных тел, Сообш,. АН Груз. ССР, 22 (1959), № 5, 521—528.
Купрадзе В. Д., О краевых задачах теории упругости для кусочно-неодиородиых тел, Сообш. АН Груз. ССР, 22 (1959), № 3, 265—271.
Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения, ГТТИ, М., 1950.
Купрадзе В. Д., Dynamical problems in elasticity (from Progress in solid mechanics), v. 3, Amsterdam, North Holland, 1963.'
Lanchon H., Solution du probleme de torsion Stastoptastique d’une barre cylindrique de section quetconque, C. R., 269
Lanchon H., Duvaut G., Sur la solution du probleme de torsion 61astoplastique d’une barre cylindrique de section quel- conque, C. R., 264 (1967).
Levi-Civita T., Amaldi U., Compendio di meccanica razionale, II, Edlz. N. Zanichetti, 1938.
Lewy Hn On a variational problem with inequalities on the boundary, /. Math. Meeh., 17 (1968).
Lewy Н., Stampacchia G., On the regularity of the solution of a variational inequality. Comm. Pure Appl. Math., 22 (1969).
Lions J. L., Contribution a un probleme de M. Picone, Ann. Matem. para e appl., s. IV, 16 (1955).
Lions J. L., Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires, Paris, Dunod Gauthier-Villars, 1969.
Lions J. L„ Stampacchia G., Variational inequalities, Comm. Pure Appl. Math., 20 (1967).
Михлии С. Г., Об алгоритме Шварца, ДАН, П (1951), № 4, 569—571.
Михлин С. Г., Проблема минимума квадратичного функционала, ГТТИ, М. — Л., 1952.
Moreau J. J., La notion de sur-potential et les liasons unila- terales en elastostatique, Proc, of the 12th Intern. Congress of Appl. Meeh., Stanford, 1968.
Мусхелишвили H. И., Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике, изд. 3-е, «Наука», М., 1968.
Никольский Е. Н„ Алгорифм Шварца в задаче теории упру' гости о напряжениях, ДАН, 135 (1960), № 3, 549—552.
Prager W., Unilateral constraints in mechanics of continua, Atti del Convegno Lagrangiano, Acc. Sci., Torino, 1963.
Signorini A., Sopra alcune question! di elastostatica, Atti Sop. Itai, per Progresso delle Scienze, 1933.
Signorini A., Questioni di elasticity non linearizzata о semi- linearizzata, Rend, di Matem. e delle sue appl., 18 (1959).
Соболев С. Л., Алгорифм Шварца в теории упругости, ДАН, 4(13) (1936), 235—238.
Somigliana С., Sopra 1’equilibrio di un corpo elastico isotropo, Nuovo Cimento, 3 (1885).
Stampacchia G., Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes, C. R., 258 (1964).
Ting T. W., Elastic-plastic torsion problem, II, Hl, Arch. Rat. Meeh. Anal., 25 (1967); 34 (1969).
Tricomi F., Equazioni integral! contenenti il valor principale di un integrate doppio, Matti. Z., 27 (1928).
Агмон (Agmon S.) 87
Амальдн (Amaldi U.) 152
Кори (Коги А.) 88, 145 Купрадзе В. Д. 8, 147, 148, 149,
Баренблатт Г. И. 138
Бернштейн (Bernstein В.) 145,
149, 151
Вейль Г. (Weyl Н.) 89, 145
Вейнбергер (Weinberger Н. F.)
65, 89. 149
Векуа И. Н. 145
Водьтерра (Volterra V.) 8, 60, 89
Лакс (Lax Р.) 88
Лаишон (Lanchon НЗ 151, 152
Лауричелла (Lauricella G.) 88, 143, 145
Леви (Lewy Н.) 151, 152, 153'
Леви-Чивита (Levi-Civita Т.) 152.
Лионе (Lions J. L.) 149, 153
Лихтенштейн (Lichtenstein L.) 88, 143
Гобер (Gobert J.) 88, 149
Гордннг (Carding L) 88
Гриоли (Grioli G.) 151, 152
Гюнтер Н. М. 152
Дюво (Duvaut G.) 151, 152
Джои (John F.) 88
Жиро (Giraud G.) 148, 152
Йои (John F. )88
Кампаиато (Campanato S.) 149, 151
Келлог (Kellog О. D.) 152
Кельвин (Lord Kelvin (W. Thomson)) 143, 152
Коган С. Я. 148, 152
Кондрашов В. И. 22
Марколоиго (Marcolongo R.) 89, 143
Миранда (Miranda С.) 89
Михлин С. Г. 6, 89, 148, 149, 153
Моро (Moreau J. J.) 151, 153
Мусхелишвили Н. И. 145, 153
Никольский Е. Н. 148, 153
Ниренберг (Nirenberg L.) 89
Пейн (Payne L.) 89, 149
Пиконе (Picone М.) 89, 149
Прагер (Prager W.) 151, 153
Рисе (Riesz F.) 89
Секефальви-Надь (Szokefalvi-
Nagy В.) 89
Сииьоринн (Signorini А.) 117, 149, 153
Соболев С. Л. 22, 89, 148, 153
Сомильяна (Somigliana С.) 143, 153
Стампаккья (Stampacchia G.)
150, 151, 153
Фредгольм (Fredholm J.) 88, 143
Фридрихе (Friedrichs К. 0.) 88, 145, 146, 149
Фубини (Fubini G.) 88
Тииг (Ting Т. W.) 151, 153
Трикоми (Tricomi F.) 148, 153
Тупэн (Toupin R. А.) 145, 149,
151
Халмош (Halmos Р. R.) 88
Хилле (Hille Е.) 88
Шехтер (Schechter М.) 89
Фикера (Fichera G.) 5, 6, 87, 88, 152
Филлипс (Phillips R. S.) 88
Эйдус Д. М. 148, 151
Эрлинг (Ehrling G.) 87
абстрактная односторонняя задача 91
борелевское о-кольцо 135
вершина конуса 21
вложение 15
внутренние ограничения 113
вторая граничная задача 74
— лемма Эрлинга 22
второе неравенство Кориа 75 выполняется в сильном смысле
(о неравенстве) 133
выпуклая оболочка 140
выпуклое множество 92
гладкость Cv 52
граница клетки 11
граничные условия Дирихле 53
сомнительные 116—117
двустороннее перемещение 133
двусторонние ограннчеиия 114 дифференцируемая клетка 111
естественная форма 73
Жесткое перемещение 119
аедеча абстрактная односто-
роННЯЯ 91
— граничная вторая 74
первая 74
смешанная 67
.третья 74
— Дирихле 63
— контактная для упругого тела 119
— Неймана 63
— равновесия 85
— с косой производной 65
регулярная 65
— Снньорини 115
обобщенная 122
— упруго-пластнческого кручения 117
- (HP) 85
- (Р) 49
- (Ре) 61
- (Р.) 59
- (Р«) 55
- (PJ 50
клетка 111
контактная задача для упругого тела 119
конус 21
лемма Соболева 21
— Эрлинга вторая 22
первая 22
мера 135
— сингулярная 135
минимизирующая последовательность 93
мультииндекс 9
не перекрываются (о клетках) 111
неравенство Гордннга 44
— Корна второе 75
первое 75
— Пуанкаре 14
область 9
— регулярная И
— собственно регулярная 16
— С'-глалкая 52
обобщенная задача Синьорини 122
ограннчення внутренние 113
— двусторонние 114
— односторонние 114
односторонние ограничения 114
оператор граничных значений 20
— псевдонапряжеиий 145
— сильно эллиптический 43
— сопряженный 23
— эллиптический 23
открытое покрытие 17
в S’2 28
— ^-производная 28
сильно эллиптический оператор 43
сильное условие конуса 76
сингулярная мера 135
сингулярное множество 135
слабое решение 24
смешанная граничная задача 67
собственно регулярная область 16
сомнительные граничные условия 116—117
сопряженный оператор 23
третья граничная задача 74
упругий потенциал 72
условие конуса 21
сильное 76
— несжимаемости 115
условия на границе 114
первая граничная задача 74
— лемма Эрлинга 22
первое неравенство Кориа 75 перемещение двустороннее 133 — жесткое 119.
поверхность Ляпунова 145
предположение полукоэрцитивности 91
принцип выбора Реллнха 17
— максимума 63
производная Лебега меры 135
разложение Лебега 135
регулярная задача с косой производной 65
— область 11
сильная производная 12
формальная самосопряженность 50
формула Гаусса — Грина И
фундаментальная матрица Со- мнльяны 145
функционал энергии 83, 90
центральная ось 140
эллиптический оператор 23
С'-гладкая область 52 ^-производная 12 о-кольцо 135 — борелевское 135
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Часть 1- Теоремы существования в теории упругости . . .7
Предпосылки и обозначения 9
Функциональные пространства Нт и Нт . .11
Линейные эллиптические системы. Внутренняя регулярность 23
Предварительные результаты для доказательства регулярности в окрестности границы . . . 28
Сильно эллиптические системы 43
Общие теоремы существования 48
Динамические задачи 55
Задачи диффузии 59
Интегро-диффереициальиые уравнения . . . . 59
Классические граничные задачи для скалярного эллиптического оператора 2-го порядка . . . 62
Равновесие тонкой пластинки 68
Граничные задачи равновесия в линейной теории упругости 72
Задачи равновесия для неоднородной среды . 84
Список литературы 87
Часть 2. Граничные задачи теории упругости с односторон- ■
ними ограничениями 90
Абстрактные односторонние задачи. Симметрический случай. 91
Абстрактные односторонние задачи. Несимметрический случай 98
Односторонние задачи для эллиптических операторов . . . .. . 105
Общее определение выпуклого множества У . 109
Односторонние задачи для упругого тела . . 112
.Другие примеры односторонних задач . . . . 115
Теорема существования для обобщенной задачи Синьорини120
Теорема о регуляризации: внутренння регулярность .. . . 123
Теорема о регуляризации: регулярность в окрестности границы128
Исследование задачи Синьорини132
Исторические и библиографические замечания, касающиеся теорем существования в теории упругости143
Список литературы151
Именной указатель154
Предметный указатель.. . 156
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЫ
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Г. Фикера
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Редактор В. И. Авербух Художник В. М. НовоселоваХудожественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Варисова Корректор А. Я. Шехтер
Сдано в набор 28/1 1974 г.Подписано к печати 10/VI 1974 г.
Бумага тип. №2 84X108'/,,. бум. л. 2,50 Усл. печ. л. 8,40 Уч.-изд. л. 7,62
Изд. № 1/7264 Цена 57 коп. Зак. 57
Издательство «Мир», Москва, 1-й Рижский пер., 2
' Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении СоколовойСоюзполиграфпрома при Государственном комитете СоветаМинистров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект. 29
*) Через аА^А мы обозначаем элемент матрицы ahk, стоящий на пересечении t-й строки и /-го столбца. Таким образом, аАА = = ajh.ik.
6*
ВИВЛИОТЖА
КОЛО*ЗА
ОСКОР^А
HANDBUCH DER PHYSIK.
Band 6a/2
EXISTENCE THEOREMSIN ELASTICITY
BOUNDARY VALUE PROBLEMSOF ELASTICITY
WITH UNILATERAL CONSTRAINTS
By
GAETANO FICHERA
SPRINGF.R-VERLAGBERLIN-HEIDELBERG-NEW YORK
1972
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА .МАТЕМАТИКА
Г. ФИКЕРА
Теоремысуществованияв теории упругости
Перевод с английского
Т. Д. ВЕНТЦЕЛЬ Под редакцией С. Г. МИХЛИНА
583660583660
583660
583660
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
1974 МОСКВА
УДК 517.9 + 53-9.8
Настоящее издание содержит две статьи известного итальянского математика Г. Фикеры, внесшего большой вклад в теорию-уравнений с частными производными и теорию упругости. Эти статьи фактически составляют единое целое — современное изложение математических основ теории упругости.
В первой статье („Теоремы существования в теории упругости") задачи теории упругости излагаются с точки зрения теории сильно эллиптических систем. Автор не ограничивается статикой, ио исследует и некоторые нестационарные задачи. Вторая статьи („Граничные задачи теории упругости с односторонними ограничениями") посвящена новой проблематике — вариационным задачам теории упругости с односторонними краевыми условиями. Здесь особое место занимает так называемая обобщенная задача Сииьорини. Г. Фикера дает ряд теорем существования и несуществования и исследует регулярность решения как внутри области, так и вблизи границы.
Книга представляет интерес как для специалистов в области механики сплошной среды, так и для математиков. Оиа будет ' полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов.
Редакция литературы по математическим паукам
ф ” и— 19—74 © Перевод на русский язык, „Мир", 1974
041 (01)—74