ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА

Названий книги известного американского ученого Клиффорда Трусделла не должно вводить читателя в заблуждение: по нашему мнению она адресована математически образованному читателю, который знаком, и не только в общих чертах, с механикой сплошных сред. Однако по содержанию и стилю изложения книга в первую очередь является учебником, а потому может быть прочитана и начинающим. ■ .

Цель, которую ставит перед собой автор, — представить механику сплошных сред как единое целое, а не собрание отдельных дисциплин (гидромеханики, теории упругости, теории пластичности и т. д.). Важную роль в достижении этой цели играют средства, а конкретнее — ясный, лаконичный, допускающий формализацию язык и удобный в обращении рабочий аппарат. Именно это отличает книгу К. Трусделла от других книг с аналогичными названиями.

Считая механику сплошной среды разделом математики, К. Трусделл использует те и только те понятия, которые допускают формализацию. При этом он опирается, главным образом, на аксиоматику Нолла. Характерным для книги является углубленный интерес к первичным элементам механики (телам, силам, движениям), описываемым с помощью формальных структур. Подробно обсуждаются такие понятия, как система отсчета и конфигурация, а также принцип независимости от системы отсчета, или принцип материальной объективности. Приводятся формулировки основных законов механики. Все это относится в одинаковой степени ко всем материалам, будь то жидкость, газ или твердое тело. Различие между материалами устанавливается теорией определяющих уравнений, изложение которой является одним из наиболее интересных моментов в книге. Важно подчеркнуть, что теория определяющих уравнений — это сводка необходимых ограничений и выяснение структуры оп-

ределяющих уравнений. Основным рабочим аппаратом здесь являются теоретико-групповые методы. Групповые представления лежат в основе определений различных общих типов материалов (жидкости, твердого тела, тела с внутренними связями), типов анизотропиями т. д. При этом выясняется необходимость строгого различения начальной и актуальной конфигураций.

В книге рассматриваются и некоторые специальные классы материалов с детальным исследованием конкретной структуры определяющих уравнений. Чрезвычайно изящно изложена, например, теория вискозиметрических течений жидкости. Конечно, большое внимание уделено упругим телам.

Видимо, нет нужды подробно пересказывать содержание книги, поскольку оно полно отражено в оглавлении. Однако нельзя не коснуться раздела, посвященного термомеханике. Здесь автор коренным образом отходит от традиционного изложения термодинамики, приняв за основу термодинамику в трактовке Колемана и его сотрудников. К достоинствам этой трактовки относятся обнаженность исходных посылок и простота описания понятий. Подробно обсуждаются первое и второе начала термодинамики, причем последнее принимается в форме неравенства Клаузиуса — Дюгема. Приводятся простые рассуждения, использующие понятие термодинамического процесса, которые позволяют получать из неравенства вполне точные соотношения. ' .

Не следует закрывать глаза на то, что изложение механики сплошных сред в этой книге идет вразрез со многими установившимися традициями и взглядами. Пожалуй, ни один автор не излагал еще механику сплошных сред столь смело и с так резко расставленными акцентами. Некоторые высказанные в тексте положения вызовут возражения специалистов, и во всяком случае книга не оставит читателя равнодушным: иногда она вызовет восхищение, а иногда чувство протеста. Несомненно, что ее следует прочитать и подумать над прочитанным.

Читателя, который собирается изучать механику сплошных сред по этой книге, следует предупредить, что устрашающие «приготовления» в большей части первой и третьей глав, набранные мелким шрифтом, при первом чтении можно опустить без ущерба для понимания остального.

■ предисловие редакторов перевода 'У

Книга написана вполне четко, хотя и требует от читателя напряженного внимания и даже «активного сотрудничества» с автором. Мы настоятельно рекомендуем читателю работать с карандашом, поскольку хорошее овладение аппаратом и методами, используемыми в книге, принесет ему большую пользу.

При переводе возникли некоторые затруднения с терминологией. В частности, К. Трусделл использует два термина: «deformation» и «strain», причем последний, как правило, в описательном смысле. Оба они переводились термином «деформация», но в тех случаях, когда термин «strain» употребляется в точном смысле, мы чаще всего переводим его как «мера деформации». Далее, термин «calory» переведен как «калория», хотя эта калория и не имеет ничего общего с традиционной калорией — единицей тепла, а имеет смысл энтропии. Перевести «calory» как «энтропия» оказалось невозможным ввиду протеста автора, высказанного в тексте.

Автор весьма внимательно отнесся к изданию русского перевода и прислал большое число исправлений и дополнений, которые все были учтены. ’

П. Л. Жилин, А. И. Лурье

Настаивая на том, что совершенное решение задачи должно удовлетворять требованию строгости доказательства, я хотел бы, с другой стороны, выступить против мнения о том, что лишь понятия анализа или даже одной лишь арифметики поддаются вполне строгому рассмотрению. Это мнение, защищаемое иногда и выдающимися умами, я считаю совершенно ошибочным. Такое одностороннее толкование требования строгости быстро привело бы к игнорированию притока нового материала извне и в конечном счете к отказу от понятий континуума и иррационального числа. А какой важный нерв, жизненно необходимый для математической науки, оказался бы перерезанным, если бы мы искоренили геометрию и математическую физику! Я полагаю, что напротив, откуда бы ни исходили математические идеи; из теории познания или из геометрии, из физики или ■ из других естественных наук, задача математики — исследовать принципы, лежащие в основе этих идей, и вывести эти принципы исходя из простой и полной системы, аксиом таким образом, чтобы точность новых понятий и их применимость для дедукции ни в коей мере не были меньше, чем у старых арифметических понятий.

Новым понятиям неизбежно соответствуют новые обозначения. Мы выбираем их так, чтобы они напоминали нам о явлениях, послуживших поводом для формирования новых понятий...

Часто, когда нам не удается решить математическую проблему, причина состоит'в том, что мы не овладели еще достаточно общей точкой зрения, с которой наша проблема представляется лишь отдельным звеном в цепи родственных проблем...

Убеждение, что любую математическую задачу можно решить, служит мощным стимулом для исследователя. Нам слышен вечный внутренний голос: Вот задача, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует Ignorabimus1)/...

Вейерштрасс говорил: «Конечная цель, которую всегда надо иметь в виду, заключается в том, чтобы понять основы... Однако, чтобы хоть' сколько-нибудь продвинуться . вперед в науках; нельзя, конечно, обойтись без исследования конкретных проблем.» Фактически для успешного изучения основ науки необходимо глубокое понимание ее специальных разделов. Заложить надежный фундамент здания способен лишь тот архитектор, которому во всем объеме и во всех подробностях известно его предназначение. .

Д. ГИЛЬБЕРТ

«Математические проблемы» - ■■

Второй международный конгресс математиков Париж, 1900

') «Ignorabimus (лат.) — «Мы не будем знать». Одна нз известных речей физиолога Э. Дюбуа-Реймона кончалась (в применении к некоторым невыясненным научным вопросам) восклицанием: «Ignoramus et ignorabimus!» — «Мы не знаем и не будем знать!». (Это замечание взято из предисловия П. С. Александрова к «Проблемам Гильберта» («Наука», М., 1969).); — Прим, ред. '

ПРЕДИСЛОВИЕ

■ Механике конечных 'систем точек и абсолютно твердых тел вполне законченная форма. была приданд Лагранжей в его книге «Mecanique analytique» *) 1788 г. В ней изложены лишь определенные аспекты рациональной механики, созданной великими предшественниками .Лагранжа, однако они представлены ■ строго систематически и притом как раздел математики: «Сеих ' qui aiment 1’Analyse verront avec plaisir la Mecanique en devenir une nouvelle branche...» 2) Физическая и прикладная стороны механики не рассматриваются. Предполагается, что тот, кто захочет применять и интерпретировать теорию или разбираться в трудностях и тайнах вопроса о ее положении среди связей между разумом и природой, должен сперва изучить ее. После этого приложения не поплывут ему сами в руки, но приобретенное знание даст ему инструмент для их эффективного моделирования или по крайней мере для классификации, описания и обучения уже известным приложениям. Последовательно оставляя приложения прикладникам, Лагранж ставил их на одну доску с теоретиками, цель которых — двигать дальше математику. И те и другие проходили одну и ту же школу и говорили на одном и том, же жаргоне. Это идущее от_времен детства братство сохраняется и поныне в той степени, в какой «вселенная» курсов механики исчерпывается дискретными системами и твердыми телами.

В 1788 г. механика деформируемых тел, которая по существу своему не только тоньше, красивее и величественнее, чем весьма

*) Есть русский перевод: Ж. Лагранж, Аналитическая механика, т. I. .Статика. Динамика, Пер. с франц. В. С. Гохмаиа, «Классики естествознания», 2-е изд., М„ 1950. — Прим. ред.

«Все любящие Анализ с удовольствием увидят, что механика стдла одним из его новых разделов...» (фран^. '

скудный частный случай, называемый «аналитической механикой», но и гораздо лучше подходит для моделирования реальных тел, была представлена лишь несколькими нетипичными, хотя и блестящими примерами. К сожалению, большинство из них укладывалось в схему Лагранжа; остальные же он обошел молчанием. В следующем веке были изучены другие блестящие примеры, основанные главным образом на представлениях Ньютона и Эйлера и непросто подгоняемые под схему Лагранжа. Однако они рассматривались порознь, в основном ради них самих и не привели к созданию какого-либо общего учения, хотя Коши дал глубокий и оригинальный синтез понят*ий напряжения и деформации. . .

Через сто лет после смерти Коши началось возрождение механики как целого, где. в качестве типичного тела берется деформируемый континуум и это тело описывается при помощи точно определенного понятия материала — понятия, которое до того оставалось физическим (или метафизическим) и туманным. Теперь это новое учение пригодно для того, чтобы его изучали и применяли математики, экспериментаторы и инженеры, пригодно для того, чтобы стать наряду со старой аналитической механикой элементом общего образования. Это учение могут понять и физики, если того пожелают. Подобно геометрии оно является частью математики.

Работая в такое время над учебником механики сплошной среды, я во многих отношениях последовал примеру Лагранжа. В моей книге дается лишь выборка из того, что было установлено в последние несколько десятилетий, очень многое в ней даже не упоминается. Эта выборка основана на критериях естественности, простоты и полезности для выявления общего метода и концепций системы. Так что это — короткая книга, предназначенная для тех читателей, которые уже знают, что приложения к различным задачам бесчисленны, а возможности дальнейшего математического изучения бесконечны. Как писал Лагранж, «On ne trouvera point de figure dans cet ouvrage. Le methodes que j’y expose, ne demandent ni constructions, ni raisonne- mens geometriques ou m6caniques, mais seulement des орёга- tions algebriques assujetties a une marche reguliere et uni-

forme.» *) В отношении данной книги это заявление столь же верно — или столь же неверно — как и в отношении книги Лагранжа. Конечно, многие доказательства легче понять, глядя на рисунок, и как преподающим, так изучающим следует обогатить это «последовательное» и «единообразное» изложение собственными набросками. Наконец — и в этом, возможно, состоит наибольшее различие между этой книгой и другими недавно появившимися книгами со сходными названиями—-мы следуем примеру Лагранжа, предполагая, что читатель получил стандартное элементарное образование в области современной ему математики), и не пытаемся предлагать какую-либо призрачную подмену такого образования или же потакать пресловутому нежеланию старцев учиться ничему новому. Вполне возможно, что эта книга покажется студенту проще, чем его преподавателю. .

В трех пунктах, однако, я уклоняюсь от образца Лагранжа. Во-первых, я оставляю читателю в качестве упражнений некоторые важные, хотя и небольшие куски рассуждений и некоторые иллюстрации к ним, поскольку мой опыт преподавания новой механики по мере того, как она пускала ростки и разрасталась, убедил меня, что для того, кто не воссоздал для себя и не впитал шаг за шагом математику, это учение окажется бесполезным. Во-вторых, лагранжево изложение наводило на предмет блеск полноты и законченности, который, как показало "время, во многом был показным. Я же в этой книге пытаюсь даже начинающему представить «классическую» механику такой, как она есть, — величественной совокупностью упорядоченных понятий и доказанных теорем, частью старых и даже

') «В работе нет ни одного рисунка. Методы,' которые я предлагаю здесь, не требуют геометрических или механических построений и рассуждений, нужно лишь последовательно проводить единообразные выкладки» (франц.)..'•

очень старых, а частью расположенных на границе известного, у входа в великие нерешенные проблемы и еще не очищенный опыт познания природы, какой ее видят глаза и чувствуют руки человеческие. В-третьих, из частого соотнесения основных идей и результатов фамилиям других авторов явствует, что себе я приписываю лишь малую долю излагаемого. В тб же время работы других авторов приводятся лишь в качестве возможных пособий для изучающего, а не для того чтобы указать источники, из которых заимствованы результаты.

В работах, приводимых в конце глав, читатель найдет изложение дальнейшего круга вопросов, тесно связанных с материалом основного текста; в работах, приводимых в подстрочных примечаниях, — всякие конкретные подробности, опущенные в тексте, контрпримеры, непосредственные обобщения и доказательства упоминаемых теорем из других разделов Математики..■

Наконец, я хочу поблагодарить тех, кто помог мне понять механику и закончить и отделать эту книгу. Самая большая моя благодарность Уолтеру Ноллу, а после него — М. Гуртйну, К. Вану, У. Вильямсу, Л. Соломону, Т. Токуоке, В. Йину, Р. Батре и Д. Юврару. Д-ру Батре я обязан, кроме того, за полную запись решений всех упражнений,

■К. Трусделл

«Иль Палаццетто*

Балтимор-

1 мая 1972

' Часть 1

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

■Глава I.

ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ

• ’ § 1. Рациональная механика

Рациональная.механика есть часть математики, которая поставляет и исследует логические модели для описания изменений положения и формы, претерпеваемых повседневно наблюдаемыми нами вещами. Она описывает также многое из того, что наблюдается в лабораториях, где профессионалы-ученые ставят эксперименты, или о чем судят по результатам таких наблюдений. , Например, всегда предполагается, что она служит основой, и притом единственной, для проектирования и управления научными приборами, относительно которых физики считают, что они дают решающие экспериментальные данные о том, что сама механика является лишь «приближенной» теорией природы. К числу объектов, представляемых механиков при помощи математических моделей, относятся животные и растения, горы и атмосфера, океаны и недра, вся среда, в которой мы живем, небесные тела, старые и новые, и те четыре «элемента», из которых, как считали древние, состоит все на свете: земля, вода, воздух и огонь. Как показывает ее название, механика представляет также механические устройства, изобретенные человеком: фонтаны и автомобили, мосты и фабрики, музыкальные инструменты и пушки, канализационные трубы и ракеты. Все это моделируется механикой, но моделируется грубо. Подобно любой другой ветви математики, механика выделяет и исследует общие черты представляемых ею явлений, отвлекаясь от большинства деталей. Как необходимо в любой науке, ставящей целью не только описывать, но и предсказывать, она пытается из всего многообразия и неодолимой сложности природы. отобрать простые вещи и установить связь между ними. Простота, хотя и не гарантирует успеха в некоторых областях механики, необходима. Сложная теория в механике, хотя и может оказаться на какой-то момент полезной для чего-то и для кого-то, не ведет к ясности и поэтому не выживает. Наконец, поскольку

наш опыт возрастает со временем и с ростом нашего мастерства, а прогресс математики дает нам возможность легко и четко использовать математические понятия й операции все большей и большей общности, механика не может быть замкнутой наукой, а должна или заключать в себе, или по. крайней мере быть обеспечиваемой средствами для улучшения и уточнения тех моделей, которыми она на данный момент располагает, а также для построения новых моделей. ■

Механика не изучает природные объекты непосредственно. Вместо них она рассматривает тела — математические понятия, полученные абстрагированием некоторых общих черт многих природных объектов. Одной из таких черт является масса, приписываемая каждому телу. Далее, тела всегда занимают некоторое место. Теория мест, называемая геометрией, была создана очень давно и, таким образом, пребывала наготове для применений ее в механике. Процесс изменения места, занимаемого телом, с течением времени называется движением тела. Описание движений, или кинематика, — это второе из оснований механики. Третье: движения тел воспринимаются как происходящие под воздействием или по крайней мере неразрывно связанные с действием сил. Четвертое: получение и потери тепла приводят к понятиям энергии, температуры и калории). ;

Итак, механика является математической моделью, или, лучше сказать, бесконечным классом моделей, для представления некоторых определенных аспектов природы. Кроме кинематики, которая принимается заранее, механика базируется на четырех подструктурах: теориях тел, сил, энергий и калорий, связанных с местом, временем и температурой. Эти подструктуры дают понятия, между которыми механика "должна установить связи. Существует Два типа таких связей: общие соотношения, имеющие силу для всех, тел, рассматриваемых данной ветвью механики, и частные, отличающие один класс тел от другого. Соотношениям первого типа отвечают две теории: статика, изучающая возможные состояния равновесия, и динамика, занимающаяся всякого рода движениями. Соотношения второго типа, выделяющие частные тела, называются определяющими.

В настоящей книге я не могу развивать всю механику из явных аксиом). Но чтобы достичь уровня, на котором мы смо-

жем формулировать и изучать определяющие соотношения, мы должны в общих чертах рассмотреть подструктуры механики. Я не буду пытаться развивать теории тел, сил, энергий и калорий на основе строгого и детального математического подхода, тем не менее следует отчетливо сформулировать определяющие их предположения и основные свойства.

Хотя дальнейшее изложение неполно и неформально, оно достаточно абстрактно. Читатель, довольствующийся принятием тел, событий, систем отсчета, движений, сил и энергий как само собой разумеющихся, может пропустить настоящую главу и перейти к следующей, с которой начинается формальное изложение механики сплошных сред традиционным образом. Традиционный подход к механике ни в коем случае не является неправильным,-однако он не удовлетворяет современным требованиям строгости и ясности. ‘

Тела вообще

Теда, с которыми имеет дело^Механика, бывают самых разных типов: точечные массы, занимающие в каждый данный момент времени лишь одну точку; абсолютно твердые тела, которые никогда не деформируются; струны, стержни и струи, которые являются одномерными; мембраны и оболочки, которые занимают собой лишь поверхности; жидкости и твердые тела, заполняющие пространство, и многое другое. Телам st, 58, Ч?, ..., 8? какого-нибудь одного из этих типов или нескольких из них можно приписать некоторую специальную структуру, называемую булевой алгеброй или дистрибутивной решеткой с дополнением. Читатель, знакомый с этой структурой, может сразу перейти к следующему параграфу. Здесь мы просто перечислим в том порядке, в каком они нам понадобятся, свойства, общие всем телам в любой теории механики, и докажем некоторые относящиеся к ним теоремы. -

Множество Й всех тел называется вселенной. В самом начале изложения любой ветви механики рассматриваемая вселенная четко указывается, в дальнейшем же предполагается, что заключение о данном частном виде вселенной читатель составит сам, исходя из контекста. Знак «=» означает тождество, «то же самое, что и». Если тело 58 является частью тела Я?, мы пишем 58 <^. Соотношение «-<» наделяет Й структурой частично упорядоченного множества, определяемой , известными аксиомами:'

Аксиома В1. 58 <58.’

Аксиома В2. (188<58)&(S8<88^88 = 58, ■■

Аксиома ВЗ. (^ <( ^ & (^ К ^) =^ ^ К ^-'

Другими словами, % есть часть самого себя, 58 не является частью никакой другой своей части, и если 58—часть ^, а ^ — часть 2), то ^ — часть SD. Аксиому В2 можно выразить , еще так: тело представляет собой наибольшую из своих собственных частей.,

Чтобы составить себе наглядное представление об этих соотношениях между телами, полезно рассмотреть случай, когда Q — множество всех открытых подмножеств эвклидовой плоскости, а в качестве -^ берется с (знак включения); в этом случае можно рисовать схематические чертежи, иллюстрирующие наши соотношения. Эта иллюстрация — всего лишь одна нз многих.-Другие примеры вселенных, применяемых в. механике, будут рассмотрены в следующем параграфе.

Если заданы тела % и ^, то совсем не обязательно одно из них является частью другого, но часто оба они являются частью некоторого третьего тела SX Такое тело 0 называется объемлющим для % и %. Если, далее, существует тело ^, являющееся объемлющим для ^ и ^ и вместе с тем являющееся частью любого ^ела, объемлющего Я и ^, то оно называется соединением % и %. Это соотношение между телами записывается следующим образом:

'^ = ^V^.(1.2-1)

Формально это равенство означает, что .

^<^, ^<^&^<2), ^<2>)=^&<2Х(1.2-2)

Таким образом, соединение ^ с ^ если оно существует, может- рассматриваться как „наименьшее" объемлющее для 58 и Я?, так как оно является частью любого тела, Объемлющего 58 и’ Я?. Аналогично, если

^<$, ^<^)&^<58, ^С^^^С^, (1.2-3)

мы пишем1

^ = ^д^(1.2-4)

и называем ^ наложением % и Я?. Наложение, если оно существует, представляет собой «наибольшую» общую часть ^ м^,' так как любая другая общая часть % и % является его частью. Заданные тела ^ и ^ могут не иметь наложения, либо соединения/ либо того и другого, но если они их имеют, то, очевидно,

98\1<в = <6\1 ^, ^К^^К^,(L2-5),

’^A^<^<^V^.. (1.2-5)2

Кроме того,.

'$<^^^^ = ^^^7^ = ^,(1.2-6)

откуда’■

ака = а\!$=S\(1.2-7) -

в последнем случае тривиальным образом существуют как наложение, так и соединение..

Упражнение 1.2.1. Докажите следующее соотношение (предполагается, что все указанные наложения и соединения существуют):

. ^C^^^AoiC^A^l&^VoiC^Voi). (1.2-8)

Если St— тела из какой-либо совокупности, принадлежность к которой указывается индексом i, берущимся из заданного множества к, то наложения и соединения 'тел этой совокупности определяются аналогичным образом и обозначаются через Д $t и V ^i- Например, наложение, .если существует, пред- lek ' lek■'..

ставляет собой тело, являющёеся частью каждого 58г и содержащее любое другое тело, обладающее этим свойством. Для трех тел иногда удобнее использовать более длинное обозначение $ А ^ А 3), при этом следует помнить, что порядок тел 58,. и 3 не имеет значения, как это видно из соотношений (5)1,2 и отражено в обозначениях для общего случая.

Чтобы увидеть, что при частичном упорядочении не гарантировано существование наложений и соединений, достаточно рассмотреть пример вселенной Q, состоящей нз всех непустых полуоткрытых интервалов (а, 6] и [с,- d) дейст- Вйтельных чисел, с отношением «(», понимаемым как включение в смысле 'теории множеств. Если ^ = [0, 2), # = (1, 4], ®=[3, 5), то $ и ^ являются общими частями бесконечного числа полуоткрытых интервалов. Но они не имеют соединения, так как если какой-то полуоткрытый интервал содержит все точки Ж и ^, то можно найти и более короткий, полуоткрытый интервал, для которого это тоже справедливо. То же самое можно сказать н о паре %, Ф. Тем не менее 98V 43 V Ф = [0, 5) принадлежит Q. Заметим, что 98 \/ 3) = 98 X/ % \9 3> =£ 98\} 3).

Упражнение 1.2.2. Если ^ А ^ и ^АФ существуют, то из существования (98 А '8’) Д 3> следует существование 98 А (% А S') и 98 А ^ А Ф» а также тождество

(93 А%) АФ = ЯА(% АФ^ЗЗ А% АФ.(1.2-9)

Если в Q существует тело О, такое, что

О <98V^eQ,(1.2-10)!

то такое тело в силу аксиомы В2 единственно. Оно называется нулевымтелом. Аналогичноесли в Q существует тело оо,

такое,что■

'9i<ooN#^eQ,(1.2-10)2

то такое тело единственно. Оно называется .всеобъемлющим те- ■ лом. 1.

Если Q не содержит нулевого или всеобъемлющего тел, мы можем формально присоединить их (любое из них или оба вме-

сте). Это делается точно так же, как к множеству действительных чисел присоединяются символы оо и — оо. Прежде всего мы вводим объекты О и оо и образуем множество йзй U {(?, оо), которое называется замкнутой вселенной, соответствующей Й. Затем мы" распространяем частичное упорядочение <( на замкнутую вселенную с помощью следующих правил:

^<^ V^gQ, ®<О=^^ = О У^еЙ, ^21^ ^<(00 V^gQ, со <^%^95=оо У^ей. ■

Легко проверить, что Й становится при этом частично упорядоченным множеством, что ограничение на Й‘отношения -< в Й совпадает с исходным соотношением <( на Q и что С* И оо Являются соответственно нулевым и всеобъемлющим телами вЙ.

Ясно, что в Й"

^fxO = C, ®\!О = &, ^Доо=$, ^Voo —оо. (1.2-12)

Любые два тела ^ и % в Й-имеют хотя бы одну общую часть, а именно О. Если они не имеют никаких других общих частей, то они называются отделенными (друг от друга). Таким образом, 95 и % отделены тогда и только тогда, когда

''^Д^ = ^.-(1.2-13)

Упражнение 1.2.3. Доказать, что.

(38 ^^•=O)&(3>^)^98 /\3 = О(1.2-14)

Полагай 3) = 98 и используя (7), показать, что единственной частью какого- либо тела, отделенной от него самого, является О. '

Далее, нам нужно иметь понятие «окружающего мира» для Данного тела ^.

Введем следующую аксиому.’.'■

Аксиома В4. Для любого тела 95 из й существует единственное тело 95е, называемое внешностью тела %, такое, что

■95^ = 0, 95х/д^ = ео.(1.2-15)

• Таким образом, 96е отделено от % и единственным телом, содержащим как %, так и 9^, является оо.

Пример, приведенный непосредственно перед упр. 1.2.2, показывает, что аксиому В4 нельзя вывести из аксиом В1—ВЗ, поскольку точки, лежащие вне интервала [О, 1), не образуют полуоткрытого интервала.

Упражнение 1.2.4. Доказать, что "

98^^98 = 9,(1.3-16)

' Полагая в (12)3, < S = О и сравнивая то, что получится, с (15), мы видим, что ■

■ бГ = оо, 00е = 0.(1.2-17)

Аналогично *

.(^)е = ^. '(1.2-18)

Далее, полагая в (14) ^8 = ^е, видим, что

.Ф<^ ^ФК^ = 0. .(1.2-19)

Теперь мы постулируем, что справедливо и обратное.

Аксиома В5. Единственными телами, отделенными от ^й, являются части тела &..

Хотя доказано1), что аксиома В5 не вытекает из аксиом В1—В4, никакого простого примера, иллюстрирующего этот факт, по-видимому, до сих пор ие известно.

Можно формально скомбинировать (19) с аксиомой В5 следующим образом:

^ = 0.(1.2-20)

Согласно (18), тогда■

■$<^4^ = 0.(1.2-21)

Если теперь в (20) заменить & на ^® и ^ на ^ и сравнить результат с (21), то мы получим"

а<9Р^^<ЗГ..(1.2-22)

Отсюда вытекает, что если существует V ^ь то существует

A W и.

lek ■-■

А (<»,)• = ( V ^\\О-2*23)

lek\iek ]•

а если существует Д &и то существует V k^if и - lek -lek

VW = (A^e.(1-2-24)

lek . V ^к /

Рассмотрение соответствующих рисунков делает очевидным и это утверждение, и доказательство следующей теоремы (в которой предполагается, что все встречающиеся наложения и соединения существуют).

’) Dilworth R. Р., Lattices with unique complements, Trans, Amer. Math, Soc.,51 (1945), 123-154..- '

20ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

§2

Теорема. Если'

s^ASK^, ^2A^<^ 2><&, Ф<^х\/ ^2,

(1.2-25)

то

ф<в.

(1.2-26)

доказательство. Согласно (25)1>2 и (20)

(^ А Я) А ^ = О, г = 1, 2.

(1.2-27)

Пусть 8 — какая-нибудь общая часть Ф и ^е:

8<Ф, 8<Ае.

(1.2-28)

Тогда согласно (25)3 8-<$. Пусть /,— какая-либо часть 8 и sd^-.

общая

^<8,. f.Ob / = 1, 2.

(I. 2-29)

Тогда f i •< $ и, следовательно,

^1*х^1 K®i i = 1, 2.'

(1.2-30)

Используя этот факт и (27), получаем из (14), что

_^лг = а

(1.2-31)

Но ^i «< 8 <( ^е, поэтому нй основании результатов упр. 1.2.3 fi = O. С учетом предположения (29) находим-.

■8/^=0, г = 1, 2.

(1.2-32)

Согласно же (20) ^z -< 8е и, следовательно,

^1 V *5^2 "X ^С •

(1.2-33)

Но согласно (25)4 и (28)]"

(1.2-34)

■ Следовательно, 8 <_8е, так что ввиду. (16)] 8 = 0. Таким образом, предположение (28) приводит к заключению, что Ф К ^ = О, и на основании (20) мы получаем (26). ■ ■

Эта теорема позволяет нам доказать закон дистрибутивности для булевой алгебры. Заметим прежде всего, что если существуют s^K&f s^fx^ и s4-x\J s^^ то

(^ \J ^ К® = ^х А ^) V ^г А ^) (I. 2-35)

при условии, что хотя бы одна из частей равенства существует. В самом деле, доказанная теорема говорит нам, что любое тело, являющееся частью как да, так и ^ V ^2> есть "также часть, любого тела* частями которого являются s^t/\S8

и ^2Л^- Таким образом, тело в правой части (35), если оно существует, содержит любую общую часть тел s^x\( si^ и 98. Так как по определению наложения оно тривиально является общей частью тел ^ V ^2 и 98, то оно есть (^х V ^^ N 98. Рассуждения в случае, когда предполагается, что существует тело в левой части, совершенно аналогичны.

Если заменить тела, входящие в. (35), их внешностями и воспользоваться (23) и (24), мы получим второй закон дистрибутивности: если существуют ^, V ^, ^V и ^{А^г, т0

(^1A^2)V^ = (^,V^)A(^2V^)(1.2-36)

при условии, что хотя бы одна из частей равенства существует. Беря в качестве six и ^2 в (35) si и ^е, мы видим, что если существуют si /\ 98 й ^е А 98, то

^==(^A^V(^eA^.(1.2-37)

Наконец, имеет место основная теорема разложения, позволяющая представить любое тело % 1<ак соединение любой из его частей ^ с некоторым единственным образом отделенным от нее телом ^:-

(^ = ^V^)&(^A^ = ^)e(^<^)&(^ = ^A^e). (1.2-38)

Для доказательства предположим сперва, что такое разложение существует. Тогда ^-<^ и согласно (20) и (18) 48 ■< ^е, т. е., согласно (6), Я? К sT = 4?. В силу (38)] и (35)

^A^e = (^V^)A^e = '

= (^A^e)V(^A^e)=(1.2-39)

= ^V^ = ^,

так что в одну сторону (38) доказано. Обратно, предположим, что ^-<^ и 48 = 98Ksie. Тогда si [\ 98 = si и (37) дает ^ = ^ V ^. Так как % <_ si*, отсюда следует, что si М8 = О. ■ Последняя аксиома о телах относится к существованию на- ложенйя.

Аксиома Вб. Для всех тел 98 и Я? наложение 98 М? существует.

В следующем параграфе мы увидим на примере, что аксиома Вб не является следствием аксиом В1 — В5. Приняв ее, можно опустить все делавшиеся до сих пор оговорки относительно существования наложения и соединений, так как, согласно (23), (^е A^)e = ^V 98.

Содержание аксиом В1— Вб можно выразить, сказав, что вселенная Q является булевой.алгеброй.

■§ 3. Примеры вселенных

' Мы построим здесь ряд систем, удовлетворяющих аксиомам В1— Вб и, следовательно, дающих возможные для механики вселенные. Во всех них Й — некоторый класс множеств, а в качестве «-<» выступает «о, т. е. знак включения, однако Л и V совпадают с П и U, символами пересечения н объединения, только в первом примере.

Пример 1. Пусть й состоит из всех подмножеств произвольного множества 96, и пусть <. есть отношение включения в смысле теории множеств, обозначаемое символом с. Тогда .$£ /\ 38 — з£ f\ 98, s<-V 38 = 3^X398, и ^/® —это дополнение множества st- в 96..' '

Если в этом примере 96 представляет собой конечное множество элементов, скажем Хъ Х2, .... Хп, то мы получаем вселенную классической аналитической динамики,. Тела {XJ называются «частицами» или «точечными массами», но й содержит еще и другие тела —не только О, но также №)U{^/}» .п

{X/} и {X/} U Ш и т. д. Конечно, оо = Ц {X,}. . i=l

' Пример 2. Пусть й состоит из всех замыканий открытых множеств в некотором топологическом пространстве, и пусть <( — включение в смысле теории множеств. Внешностью 98е тела 98 будет замыкание дополнения к 98. Наложение 98 и % не совпадает, вообще говоря, с их пересечением, а является замыканием пересечения их внутренностей 98 и ^:.

^A«?ein^.(1.3-1)

Таким образом, для любой совокупности тел 98i их соединение представляется в виде.

■va*=u^-<L3"2)

Если эта совокупность конечна, то соединение представляет собой просто объединение, но для бесконечных наборов тел это не всегда так.1.

Этот пример дает стандартную вселенную механики сплошной среды. Размерностям 1,2 и 3 соответствуют стержни, оболочки й обычные тела. В настоящей книге будут рассматриваться только последние.„.

■ В этой вселенной соединение бесконечной совокупности тел не обязательно являетсн их объединением. В самом деле, пусть топологическое про-

странство— это действительная прямая. Рассмотрим тела Я^ве^к, 1], к=* = 1, 2, 3 Тогда U#* = (0, 1], что не является телом, а согласно (2)

V»* —[0, 1].

Пример 3. Пусть й состоит из всех множеств некоторого эвклидова пространства, являющихся замыканием, областей, регулярных в смысле Келлога *), и пусть ч( — включение в смысле теории множества. Наложение определяется, как в примере 2. Аксиомы В1 —В5 удовлетворяются, но аксиома Вб нет.

Чтобы убедиться в последнем, достаточно заметить, что пересечение двух множеств с кусочно гладкими границами не обязательно будет иметь кусочно гладкую границу. Предположим, например, что в качестве элементов Q берутся подмножества плоскости. Пусть роль -< играет с, и пусть Я\ представляет собой замкнутый квадрат —1 ^ у ^ 0, 0 ^ х ^ 1, а Яг— это замыкание множества всех точек, для которых 0 < х < 1, —1 < у < xsinx~*. Хотя у Я1 н'Яг бесконечно много общих частей, они не имеют наложения.

Часто в механике сплошной среды было бы желательно использовать вселенную й, определяемую примером 3, поскольку ею допускается более естественный класс элементов, чем в примере 2, в случае когда речь идет об эвклидовом пространстве. Как следует из определения, «тела» этого типа можно отождествить с областями, к которым применима теорема о дивергенции для всех гладких векторных полей2). К сожалению, для этого конкретного вида вселенной строгая теория пока еще не разработана. Что трудности здесь существенны, можно видеть из только что приведенного примера, который показывает, что пересечение двух областей, в каждой из которых теорема о дивергенции справедлива, не обязательно дает область, обладающую этим свойством.

■ .§4. Масса'

. Для механики представляют интерес тела, обладающие массой, так сказать, «пассивные» тела, тела с массой. Тела с массой образуют непустой подкласс йм замкнутой вселенной Й, свойства которой были описаны в § 2^ Масса тела Я — это значение М (56) некоторой неотрицательной функции М, определенной иа йм:

*) Определение регулярных поверхностей и областей в эвклидовом пространстве см. в статье: Gurtin, «The linear theory of elasticity» в Fliigge’s «Handbuch der Physik» VI a/2, ed. C. Truesdell, Springer, 1973. [См. также подстрочное примечание на стр. 81. — Ped.]

Аксиома Ml. О < М ^ ^ оо ЧЯ е йм.'

Далее, принимается следующая

Аксиома М2.

^ G Од| =^ ЯР G Йм,

* Я^ Я2ейм=^Ях V^eQM.

Таким образом, внешности и соединения тел с массой также являются телами с массой1). В частности, О и оо — тела с массой. Так как (X V ЯгУ = Я\ Д #2, то из аксиомы М2 следует, что"

.Ях, Я2 ^ ^м ^^i А Я2 G 12^.(1.4-1)

Таким образом, наложение двух тел с массой есть тело с мае- сой. Кроме того, мы считаем, что масса аддитивна:

Аксиома М3. Если Ях и Я2—отделенные друг от друга тела с массой, то

М (Ях V #2) = М (^) + М №).

Следовательно,.

. M(t?) = 0, М(оо) = М(^ + М(^) V^sQ^. (1.4-2)

Масса, приписываемая бесконечному телу оо, не обязательно бесконечна. Если М (оо) = оо, то М(ЯГ) < оо ^М(^) = оо. Тело, масса которого равна нулю, называется телом нулевой массы. Таким образом, О, нулевое тело, является телом нулевой массы, но, конечно, могут быть и другие тела нулевой массы, т. е. М (Я) = 0 ^=> Я = О. Далее, согласно (1.2-38),-

st < Я ^ М (Я) = М (^) + М (Я Д st) > М (^). (1.4-3)

Упражнение 1.4.1. Доказать, что

М (58 V ^Х М (38) + М (^).(I. 4-4)

Хотя эти свойства выражают очевидные требования, связанные с понятием массы, для эффективного определения последней они недостаточны. Как хорошо известно, для получения удобной математической структуры, известной под названием теории меры, нужно сделать дальнейшие предположения. Мы будем считать лишь, что Q достаточно богато телами, чтобы содержать йм, но не будем пытаться построить меру па всем йм, так как в настоящее время нет вполне удовлетворительного способа для того, чтобы сделать это в общем виде.

Хотя теория меры выкристаллизовалась в результате анализа понятия масс и'электрического заряда, наряду с понятиями объема и площади, эта теория в ее теперешнем виде удовлетворительна лишь для случая двух последних, но не двух первых понятий. Конечно, масса как функция является некоторой мерой, но теория меры не достаточна для построения такой функции. Это связано с тем, что теория меры относится к множествам, а наложения Л и соединения V тел, как мы видели в § 1.3, вообще говоря, не совпадают с пересечениями П и объединениями U в алгебре множеств, даже в тех случаях, когда тела представляются множествами. Хорошая математическая теория массы должна быть полностью алгебраической теорией, в которой о телах предполагается только то, что' они удовлетворяют аксиомам В1—Вб (предпочтительно даже обойтись без последней) ). Отмеченный недостаток касается больше ясности и элегантности теории, чем приложений, поскольку, как мы увидим в гл. II, понятия конфигурации и движения позволяют нам использовать в механике сплошных сред обычную теорию борелевской меры. .

В дальнейшем мы будем предполагать, что QM достаточно богато множествами для того, чтобы можно было образовать обычным образом все борелевские множества 2) в некотором топологическом пространстве, и что М является сужением на QM некоторой меры, определенной на борелевских множествах этого пространства. Это предположение более ограничительно, чем может показаться на первый взгляд, так как если М является мерой, определенной на борелевских множествах, то она аддитивна на дизъюнктных объединениях. Наша же основная аксиома М3 требует лишь аддитивности на соединениях отдельных тел.

. Упражнение 1.4.2. Для вселенной примера 2 § 1.3 показать, что если У с djt и «4 е QM, то М (У”) = 0. .

Ясно, что при заданной неотрицательной массовой функции М функция КМ, где К — любая положительная постоянная, также представляет собой неотрицательную массовую функцию. Поэтому одному произвольно выбранному телу 98 ненулевой массы мы можем приписать любую массу, какую пожелаем, — отношение масс тел не зависит, от этого выбора. В физике приписание определенной массы какому-либо телу во вселенной называется «выбором единицы массы». ' .

В дальнейшем мы будем, рассматривать только йм, а не какую-либо большую вселенную й, и символ й будем использовать для обозначения йм, молчаливо исключая, таким образом, из нашего рассмотрения «немассивные» тела — тела, не обладающие массой. Наши предположения позволяют нам записать ■'М(^)= j dM ,(1.4-5)

при st s й, причем интеграл

.J fdM(1.4-6)

Может быть определен для любой непрерывной функции f.

Приписыванием массы непосредственно телам вселенной мы выражаем принцип сохранения массы.'

Сила .

Введение системы сил во вселенной й заключается в том, что каждой паре отделенных друг от друга тел из й ставится в соответствие вектор из некоторого конечномерного эвклидова пространства Уь■

Векторы обозначаются жирными буквами, скалярное произведение— точкой: v-w.■

■ Пусть (й X й)о —совокупность указанных пар. Первая аксиома о силах гласит:

Аксиома Fl. f; (й X й^-*^.

Вектор f(#, #) называется силой, с которой тело 48 воздействует на тело 38. Так как мы здесь рассматриваем й, а не й, парам тел, одно из которых есть оо или б*, никакой силы приписывать не нужно.

Далее, сила воздействия двух отделенных друг от друга тел на какое-либо третье, отделенное от них обоих, равна сумме сил воздействия каждого из них, а сила воздействия какого-либо тела на соединение двух тел, отделенных друг от друга и от данного тела, равна сумме сил воздействия на каждое из тел, т. е. функция f аддитивна по каждой из переменных:

Аксиома F2. f (^ V ^2, ^) = f №, ^) + f №- ^)-.

Аксиома F3. f (38, У, V «У — f (98, ^) + f (98, #2).

Подчеркнем, что обе эти аксиомы относятся к попарно отделенным телам ^i, ^ и ^.•■

Если f-g— скалярное произведение в Уь от M-g, где К > О, также представляет собой скалярное произведение. Выбор определенного К называется «выбором единицы силы».

Поскольку аксйбмы F2 и F3 допускают только нулевую силу взаимодействия между двумя телами, одно из которых есть нулевое тело, легко продолжить f с (QXQ)i на (QXQ)> Таким образом,.

ЦЗ», О)эЦ0, Л)=0, УЛ ей(1.5-1)

Выбор Л — оо или 38 — О здесь не исключается.

Так как аксиомы F2 и F3 являются утверждениями об аддитивности, мы можем немедленно сделать следующее тривиальное, но тем не менее важное заключение: если f] и f2 — системы сил на (Q X й)о, то и Xfj 4- Bf2, где А и В — любые действительные числа, также является системой сил.

Так как любое тело 98 ей отделено от своей внешности 98е, то аксиома F1 позволяет нам рассмотреть f (98, 98е) —■ силу, с которой воздействует на 98 его внешность 98е. Эту силу мы назовем результирующей силой, действующей на 98. Результирующие силы удовлетворяют основному тождеству

f (98, %) + f (^, %) - f(98,98е) + f(^, ^ - 8(98W, W^Y), (L 5-2)

отделенные (1.5-3)(1-5-4)отделенные (1.5-3)(1-5-4)справедливому для всех тар отделенных друг от друга тел 98 и ^ в Q. Чтобы доказать это тождество, предположим сначала, что <9 = 98®. В этом случае само утверждение (2) требует продолжения f на Q и тривиально Следует из (1). Если Же ^ ^ 98е, то продолжения f на Q не требуется, и следующее рассуждение проходит в 0 так же хорошо, как в Q, При условии, что у 98 и 98 V существуют внешности. Поскольку по предположению 98КЯ?—<?, из (1.2-20), (1.2-38) и (1.2-23) вытекает, что 98е можно следующим образом разложить на взаимно части:.'

отделенные (1.5-3)

(1-5-4)

отделенные (1.5-3)

(1-5-4)

98e = <^V(38V^)V W<9B\

По аксиоме F3 .

8(98, 98е) = 8 (98, <9)^-8 (98, (98\/^),-f^,^)^^, янц^, (gsx/^Y),

а по аксиоме F2'

f (98 V ^, (98 V ^Y) = f (98, (98 V ^Y) + f (У, (98 V W (1.5-5)

Прибавляя (1.5-4)i к (1.5-4)2 и. вычитая из получившейся суммы (1.5-5), получаем (1.5-2). ■

Если сила воздействия ^ на 98 равна по величине И противоположна по Направлению силе воздействия 98 на <8?, т. е.

8(98^) = -! (^,98) V(^,^)e(QXQ)a.(1-5-6)

то система сил-f называется попарно уравновешенной. Из (2) вытекает следующая

Теорема (Нолл). Система сил попарно уравновешена в том и только в том случае, когда результирующая сила. ^(98,98®), рассматриваемая как функция от %, аддитивна на отделенных ' телах из й..

Система сил, в которой результирующая сила для каждого тела равна нулю:

Ц98,9П = 0 V^eQ,(1.5-7)

.называется сбалансированной.Изпредыдущейтеоремысразу

■же вытекает-

Следствие (Нолл). Всякаясбалансированнаясистемасил

попарно уравновешена. -.

Как ясно из теоремы Нолла, утверждение, обратное этому ее следствию, неверно. Действительно, есть много несбалансированных систем сил, которые попарно уравновешены. Один важный случай такой системы приведен в качестве примера в конце настоящего параграфа, другой важный случай —это контактные силы в механике сплошных сред (см., § Ш. 1).

Раньше соотношение (6) в некоторых частных случаях выводилось из некой туманной «аксиомы», называемой законом «равенства действия н про. тиводействия», относительно которой считалось, что она выражает содержание третьего закона движения Ньютона: «Любому действию всегда отвечает ' противоположное н равное противодействие; иначе говоря, взаимные действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны». Если под «действием» Ньютон на самом деле понимал то, что мы здесь называем «силой», как это вне всякого сомнения явствует из его собственных слов, а также нз того контекста, в котором он нх употребляет, то приведенные выше рассуждения показывают, что эта аксиома эквивалентна аддитивности результирующих сил, независимо от возможных соотношений между силами и движениями,

" В этой книге история мехайнки как таковая не рассматривается. Формулировка Ньютона выше приведена дословно, чтобы дать возможность читателю самому решить, в какой мере она предвещает появление науки рациональной механнкн.

Аксиома F2 утверждает, кроме всего прочего, что силы воздействия внешности 98е тела 98 на взаимно отделенные части этого тела аддитивны:'

^i<^, ^2<Я^) =

.= f (^„ ^) + f (^2. ^)- (I. 5-8)

Этот факт наводит на мысль о том, что для любого данного тела 98 силы воздействия со стороны ^ на некоторую определенную совокупность частей тела 98 могут определять векторнозначную меру на 98, меру, которую можно формально запи-

сать следующим образом:■

' f(^, ^) = J dt^, где st-<$.(1.5-9) .

Было бы желательно развить абстрактную теорию интегрирования по отношению к системе сил на основе лишь приведенных выше аксиом и некоторых дальнейших допущений технического характера, но так как в настоящее время подобной общей теории не существует, мы просто предположим, что все наши системы сил принадлежат к этому типу:'

Аксиома F4. Для каждого % из Q функция f (•, ^) является векторнозначной мерой на &.,

Теорема. Если st и $ взаимно отделены, то f( -, Я) является мерой на st.•

Доказательство. Согласно (1.2-18) всякое тело % является внешностью для некоторого другого, а именно для ^. Согласно аксиоме F4, f(«,^) является мерой на ^. Если st и ^ отделены, то по аксиоме В5 st<^‘, справедливость нашей теоремы немедленно следует из аксиомы F4. ■

Фактически эта теорема является просто перефразировкой аксиомы F4.’

В этой книге мы будем исходить из предположения, уже упоминавшегося в конце § 1.4, что й является совокупностью множеств, которая, будучи обычным образом расширена, включит ’ в себя все борелевские множества. Таким образом, масса М является борелевской мерой или ее расширением типа меры Лебега. Мы будем предполагать также, что й = йм, исключая тем самым «немассивные» тела. Тогда с помощью обычной теории векторнозначных мер1) можно определить интегрирование по отношению к системе сил на (й X ^)о таким образом, чтобы удовлетворялась аксиома F4.1

Поэтому можно ввести интеграл Стильтьеса по мере f (•, ^е) от непрерывной действительной функции ф на ^. Этот интеграл мы будем обозначать через

.(1.5-10)

*) Последовательного изложения этой теории нет в учебниках: ее обычно принимают на веру. [Есть,, впрочем, глава VI «Векторное интегрирование» книги VI «Интегрирование» Н. Бурбаки («Наука», Москва, 1970). Правда, трактат Бурбаки нельзя считать учебником. — РедД Выбрав некоторый базис, векторнозначную меру можно рассматривать как упорядоченное конечное множество скалярных мер, так что свойства векторнозначных мер становятся очевидными.■

и называть «интегралом от ^ по f^e>.■

Например, если 98 — дискретное множество, состоящее из элементов Хх,

ХгХп, то-'

j ф ^=Sф (х,) f (х<- ^е)-' (к 5-1

я ■(=1

где Xt в правой части обозначает множество, состоящее из одного-единствен- ного элемента Xt- Такой вид имеют системы сил, используемые в аналятнче- ской динамике.'

Пусть

.w:^-»^f,(1.5-12)

так что w^JeFf, и пусть аеУь Тогда а • w представляетсобой скалярное поле на ® и интеграл J (a-w)df^e, если онсуществует, является линейной функцией от а. Итак, мы по-лучаем некоторое линейное преобразование пространства Уьзадаваемое выражением J (а • w^f^e. Обозначая транспониро-д।

ванное к этому преобразованию через J w ® dt^e, имеем

J w ® tZf^el1 а = [ (а • w)df#e.(1.5.13)

..9856■

следую-(1.5.14)следую-(1.5.14)След этого линейного преобразования записывается щнм образом:,

следую-

(1.5.14)

следую-

(1.5.14)

J W • df^e $ tr J W ® diле ■.

."98.98.

Например, если 98 — дискретное множество, состоящее из п элементов Хи то

/ ^-и^-^цх^^х^у 98•Z=1/ ^-и^-^цх^^х^у 98•Z=1(1.5-15)(1.5-15)

/ ^-и^-^цх^^х^у 98•Z=1

/ ^-и^-^цх^^х^у 98•Z=1

(1.5-15)

(1.5-15)

■ Итак, для случая, когда 98 — дискретное множество, мы имеем формулы (11) и (15). В аналитической динамике в качестве вселенной берется некоторая «система» таких дискретных наделенных массой элементов, называемых точечными массами (или массивными точками х^ч и одно отделенное от всех ннх тело 88, называемое «окружающим миром».

Таким образом,

XiN8B=»O, < = 1,2п.

oo=(V xjvU=i /oo=(V xjvU=i /SB.SB.(1.5-16)(1.5-16)

oo=(V xjv

U=i /

oo=(V xjv

U=i /

SB.

SB.

(1.5-16)

(1.5-16)

•) В оригинале mass-point. — Прим, ред.

Термии «тело» относится к подсовокупностям ' элементов X, и обычно не используется применительно к б. Я? или оо:

'59 = V Хь ''(1.5-17)

где 3$— некоторое подмножество множества целых чисел от 1 до п. Силы 1№, Х^ называются силами взаимодействия, а силы 1(59,Я?)—внешними силами. Положим

M^M^Xi), .

• ч^цхрх^ * * ь(ls-is)

. n=4xt.a?y

где / и / пробегают значения от 1 до п. Мы, естественно, предполагаем что М(Х;)>0> и Для удобства введем следующие чисто формальные определения:

't^.x^-n,

1и = ЦХрХ^=0,(1.5-19)

f(^, Я?)=0.'

Наконец, мы определяем полную систему сил требованием, чтобы удовлетворялись аксиомы Fl, F2 н F3. Таким образом, результирующая сила 1;, действующая на Xi, дается выражением

f( = f (Х„ X?) - f? + 5 Чр(Ь 5-20)

'./=1■

а результирующая сила, действующая на 58, — выражением

t(58, 59е) =2 №+ 5 f</V (1-5-21)

где З'^1 — дополнение к 3^ в множестве (1, 2, ..,, я). Двойная сумма дает результирующую силу взаимодействия тела 58 с другими телами, а одинарная сумма — результирующую внешнюю силу. Если 98 = [Хр ..., Х„), то 3"^ пусто и

f(58, 58е) — 2 fje.(1.5-22)

Если силы сбалансированы, то выполняется (6), так что, в частности

1ц^(1.5-23)

В этом случае (21) можно записать в виде

1(58, 58е) =- 5(1.5-24)

поскольку члены, на которые правая часть этого выражения отличается от правой части (21), попарно уничтожаются.

Далее, если Ли $’ — любые тела, необязательно отделенные- друг, от друга, то можно положить•'■;

•1(Л,») = 2(L5-25)

ieS^-

где 3$ н Эу — множества целых чисел, определяющие тела Ли ^ в соответствии с (17). Мы внднм, что н случае, когда Л н V взанмио отделены, эта функция сводится к функции 1, определяемой требованиями F2 н F3.

Сила 1 (Л, Л) воздействия тела Л на себя есть сила самовоздействия. тела Л. Если силы сбалансированы, то выполняется (24), н из (25) следует, что f (Л, Л) = 0: в сбалансированной системе сил, действующей во вселенной аналитической динамики, сила самовоздействия любого тела равна нулю. ’

• Упражнение 1.5-1. Используя (21), показать, что условия-

fZ + 2 41 = °-4/ = - 41*i”1.2п, .(1.5-26) -

как достаточны, так н необходимы для того, чтобы система сил была* сбалан- снрована. Следовательно, для сбалансированных систем- у

. . , ^п-6'(I. 5-27)

— полная внешняя сила, действующая на систему, равна нулю. Показать, что это условие, дополненное требованием обращения в нуль силы само-' воздействия каждого тела, недостаточно дли сбалансированности системы тел. -

Пока в этом параграфе ничего не было сказано об ограничениях на размерность пространства У и Для большей части клас-; сической механики силы суть трехмерные векторы, и в этой книге мы так их и будем рассматривать. .’..

ч ,§ 6. Мир событий. Системы отсчета -

В нашей повседневной жизни мы рассматриваем самихсебя и другие предметы как занимающие некоторые места, являющиеся точками в трехмерном пространстве, свойства которого раз и навсегда, заданы и не изменяются-от нашего присутствия или отсутствия. Далее, мы считаем, что воспринимаемые нами изменения в нас самих и в нашем окружении-происходят в определенные моменты времени, являющиеся точками одномерного пространства, совершенно не зависящего от пространства Meet. Совокупность мест- и моментов времени представляет собой то-; пологическое пространство, которое Мы называем миром собы-л тий 1У. Это — пространство, типичную точку е которого мы представляем в. виде упорядоченной пары (х, Г), где х — место, Г — , момент времени. "....- -

Мир событий — это чистый холст, иа котором можно рисовать картины природы, это глыба мрамора, из которой можно высекать статуи природы. Этот холст, эта глыба должны быть выбраны художником, прежде чем он примется за работу/ Они накладывают некоторые ограничении иа его искусство, ио никоим образом не определяют те картины или те статуи, которые он будет создавать.

Для мира событий классической механики мы принимаем, что места и моменты времени, используемые для представления событий, являются элементами эвклидовых пространств. Мы принимаем, далее, что размерность пространства мест равна трем, а пространства моментов времени — единице. Наконец, мы считаем структуру мира событий ТЛ такой, что этот мир может быть гомеоморфно ’) отображен на произведение мгновенного пространства мест 8^ и пространства моментов времени 8v.

(I. 6-1)(I. 6-1)$6: ТР-^ХВъ 0(e) = (x, Г).

(I. 6-1)

(I. 6-1)

Такое отображение ф мы будем называть системой отсчета.

Для целей классической механики систему отсчета представляют в виде абсолютно твердого тела, снабженного часами2). Описательные термины «наблюдатель» н «система отсчета наблюдателя» являются синонимами термина «система отсчета» во всем, что касается теории. Развивай дальше-эту удобную интерпретацию, мы будем иногда говорить, что «х ивлиетси местом, а Т— моментом времени события е,' наблюдаемого в системе отсчета ф», и другие фразы в таком же роде, однако глагол «наблюдать»,. равно как и существительное «наблюдатель», не входит в рассматриваемую математическую структуру.

Пространство времен 81 можно ориентировать. Одно из направлений называется положительным и считается идущим от - «прошлого» к «будущему».

Считан, что существует система отсчета, мы наделяем У определенной структурой. Если существует одно такое отображение, то существует и бесконечно много других, ио не все оии интересны. В § 9, приняв решение рассматривать в качестве систем отсчета лишь такие гомеоморфизмы- ф, которые ие-изменяют направление времени и сохраниют метрики в #з и &ь мы тем самым выделим ка^ подлежащую интерпретации часть структуры пространства У, оставляя в стороне другие возможные аспекты этой структуры. Пока же, однако, .мы будем, считать заданной одиу-едииствеииую систему отсчета ф и в терминах этой системы определим различные соотношении между телами у миром событий.

Мы можем ввести в пространстве #1 эвклидову систему координат. Координата t момента времени Т называется временем

*) Отображение ф топологического пространства 9* в топологическое пространство 41 гомеоморфн$>, если оио биективно (взаимно однозначно) и непрерывно и ■ если непрерывно обратное к нему отображение ф~*•

В § 10 будет определено, что такое жесткое движение Абсолютно твердое тело — это тело, которое может совершать только жесткие движения.

I Г ИНЕ №331 ( НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В*W < ОД НИ РУКИ И 2Х В ДВЕI Г ИНЕ №331 ( НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В*W < ОД НИ РУКИ И 2Х В ДВЕ| ВИ В ЛИО""W А

I Г ИНЕ №33

1 ( НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В*

W < ОД НИ РУКИ И 2Х В ДВЕ

I Г ИНЕ №33

1 ( НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В*

W < ОД НИ РУКИ И 2Х В ДВЕ

этого момента. Допускается лишь такое приписание времен моментам времени, которое сохраняет ориентацию 8Х- Ориентированное расстояние между моментами времени, которым соответствуют времена tx и t2, равно /2 — tv Оно называется временным ■ интервалом между этими моментами времени. Если такой интервал положителен, то о t2 говорят как о более позднем времени, чем tx, а о /1 — как о более раннем, чем t2.

’ Как хорошо понимали древние, любой человеческий опыт позволяет регистрировать только отношения временных интервалов, но не интервалы сами по себе. Наиболее общее преобразование пространства Sx, сохраняющее отношения временных интервалов, имеет вид

T^^T-T^L, (1.6-2)

где К — положительная постоянная, а То и L — некоторые заданные моменты времени. Выбор значения постоянной К называется в физике «выбором единицы времени», а выбор моментов'времени То и L — «выбором начала отсчета времени». Выбор единицы времени эквивалентен выбору одной из. тех направленных координатных систем в Sx, для которой временной интервал между некоторой фиксированной парой различных моментов времени равен заданному числу.

Обычно единица и начало отсчета времени считаются заданными заранее, и согласно этому выбору координат и метрики пространство $х отождествляется с действительной прямой 52. Это значит, что игнорируется различие между моментами времени; являющимися одномерными векторами, и временами, являющимися координатами моментов времени. В дальнейшем в этой книге мы будем следовать этому обычаю.

Далее мы будем опускать индекс 3 в обозначении пространства ^3 и писать просто S, а трансляционное пространство для пространства S будем обозначать через V. Термин вектор всегда будет относиться к элементу v из F, а 1 v | будет обозначать норму (длину) вектора v. Скалярное произведение векторов v и w в V будет обозначаться через V•w, а линейные преобразования пространства V в себя, которые мы будем называть тензорами над V, будут обозначаться жирными- буквами Т, S, .... Эвклидово расстояние между местами х и у в S будем обозначать через |х — у], так как х — у является вектором из V, который переводит у в х.

Если v • w — заданное в V скалярное произведение и если К > 0, то Kv • w также будет скалярным произведением, и такой переход от одного скалярного произведения к другому является в действительности наиболее общим, сохраняющим отношения расстояний в S. Как хорошо знали древние, только та-

кие отношения, но не расстояния сами по себе, могут регистрироваться в любом человеческом опыте.

Выбор положительной постоянной К называется" в физике «выбором единицы длины». Выбор единицы длины эквивалентен приписанию определенного расстояния некоторой данной паре различных мест в S.

Наиболее общим преобразованием Q пространства У, сохраняющим само скалярное произведение, является линейное преобразование

v — Qv,(1.6-3)

где тензор Q ортогонален1): ■

QQT = 1.(1.6-4)

Здесь 1 —■ единичный тензор.

Мировая линия К — это кривая 2) в ТУ, изображение которой в#Х$ пересекает 8 в каждый момент времени точно в одном месте, так что можно записать

К:(1.6-5)

где 9"—некоторый интервал вещественной прямой 91.

Мировая трубка — это совокупность мировых линий..

Пересечение событий из заданной мировой трубки с & в данный момент t представляет собой некоторое множество 3t, и для любых двух времен V и t" всякое место из Зг связывается мировыми линиями, принадлежащими этой мировой трубке, с одним или более местами из Зу. Итак, мировую трубку т можно рассматривать как отображение времен в множество всех подмножеств пространства S, которое обозначается через 2^:

т:x^ = 3t.(1.6-6)

•) Читатель должен вспомнить, что для того, чтобы преобразование, Q сохраняло скалярное произведение, в некотором векторном пространстве, т. е. для того, чтобы Q(u)-Q(v)=u-vy u, v, необходимо и достаточно, чтобы Q было тензором, удовлетворяющим условию (4). Из (4) сразу видно, что det Q = ±1. Если det Q = +1, то Q представляет собой поворот. Произвольный ортогональный тензор представляет собой либо поворот, либо произведение поворота на центральную инверсию —1, т. е. Q = ±R, где R — поворот, причем (вещественными) собственными числами Q могут быть лишь +1 и —1. Если, как мы везде предполагаем, dim ?° = 3, то 1 является собственным числом для любого R и соответствующее характеристическое пространство для него одномерно, за исключением случая, когда R= 1, Последнее утверждение — это знаменитая теорема Эйлера: любой отличный от тождественного поворот около некоторой точки является в действительности поворотом вокруг некоторой однозначно определенной прямой.

Ось преобразования Q — это собственное направление поворота R, такого, что Q = ±R.

г) Разумеется, под кривой понимается кусочно гладкое однопараметрическое семейство событий е = f(s), где s пробегает некоторый действительный интервал.

Пересечение мировых линий представляет столкновение либо порождение или уничтожение тел или элементов тел. В конкретных механических теориях подобные пересечения обычно полностью исключаются, либо допускаются лишь в качестве исключительных случаев, подчиненных специальным условиям.

Наш опыт согласуется с идеей о мировых линиях и мировых трубках. Мы представляем, что они проходят «сквозь» мир событий Ж по мере того, как идет время.

Таким образом, в данной книге мы будем (неформально) предполагать, что имеется единственное «абсолютное» или «неподвижное» мгновенное пространство мест S, и то, за чем мы наблюдаем, это — изменение места в этом пространстве. Однако, хотя некоторые авторы и заявляли, что мир событий в классической физике обязан быть миром такого типа, это не так. Как легко может убедиться читатель настоящей книги, любое утверждение классической механики сохраняет смысл, если сечения мира событий в различные моменты времени Т представляют собой различные трехмерные эвклидовы пространства 8 т, а не одно-единствениое фиксированное пространство 8. Чтобы наглядно представить себе, о чем идет речь, проще всего рассмотреть мир событий на единицу меиьшей размерности, так что мгновенное пространство представляет собой эвклидову плоскость, а X — стопку таких плоскостей, одна и только одна из которых пересекается в каждый момент времени данной мировой линией. Другой, отличный от этого, мир событий точно такого же вида можно построить, повернув каждую из наших плоскостей на некоторый угол около одной из ее точек, причем эти точка и угол свои для каждой плоскости, т. е. являются функциями момента времени. Ни одно из утверждений, высказываемых в классической механике, не зависит от выбора этих точек и углов, и поэтому никакой результат классической механики нельзя использовать для установления или опровержения какого-либо соотношения между мгновенными пространствами е г. Классическая механика не только не предписывает природе никакого абсолютного пространства, но вообще не требует существования никаких соотношений между бесконечно многими мгновенными пространствами 8т.

Движения

Отображение g вселенной Q в множество 2^ всех подмножеств мира событий Ж, '

g: Q-*^ (1.7-1)

называется движением, если ц(^) для каждого тела 98 из Q представляет собой мировую трубку. В этом определении мы продолжаем считать заданной некоторую систему отсчета ф. Таким образом, движение .можно иначе представить как отображение х множества Q X 9" в 2^:

X:QX^->2» (1.7-2)

где 9"— некоторый интервал вещественной прямой 52, например (—оо, /0). Значение х(Х0 отображения х> являющееся подмножеством пространства S, называется конфигурацией тела % в момент времени t. '

Как мы уже говорили, в дальнейшем мы будем рассматривать только тела, являющиеся множествами в некотором топологическом пространстве или некотором его расширении:

-^=(Х, У, ...}.(1.7-3)

Точки X, образующие тело 98, вплоть до недавнего времени называли «частицами», но чтобы избежать какого бы то ни было смешения с физикой, мы будем называть их телами-точками. Движение тела, состоящего из точек-тел, порождается движениями этих точек. Используя для обозначения этого более детализованного движения тот же символ х, мы напишем

Х: ^Х^-*^(1.7-4)

или, явно,.

х = Х№0, Хе^, teT.(1.7-5)

Словами: х является местом в 8, которое тело-точка X занимает в момент времени t при движении х- Далее, конфигурация ^ в момент времени t представляет собой множество мест, которые занимают составляющие это тело тела-точки:

-X^.^=W,t\ Хе^.(1.7-6)

Каждое тело-точка оказывается, таким образом, связанным с некоторой мировой линией, а мировые линии всех тел-точек тела 98 составляют мировую трубку тела %. Мы будем предполагать, что эти мировые линии не пересекаются, так что отображение Х^’ЛУ 98->х(58>^ является биективным. Это утверждение о невозможности двум различным телам-точкам находиться в одном месте в одно и то же время называют иногда аксиомой непроницаемости.

В механике принято, за исключением специально оговариваемых случаев, рассматривать только такие движения х> которые для каждого X дифференцируемы по t по крайней мере дважды, а часто и большее число раз, столько, сколько требуется. Произ' . ..(п)

водные от х п0 ^ обозначают через х> X, • •., X, так что, в ча.(1) ..(2)

стности, Х = Х. X — X» и значения этих производных называют скоростью х, ускорением х, ..., n-й скоростью х тела-точки X в момент времени t;.

•x = xkX,t\

x = x<X,t\..„(1.7-7)

■(л) (n)

х = Х(Х, t\

Легко показать, что для любого данного движения х скорости представляют собой векторы:

(п)

хеХ, п= 1,2,3 .(1.7-8)

причем по самому их определению эти векторы являются фактически значениями векторных полей, определенных на теле % в каждый момент времени't.■

Метрика в эвклидовом пространстве $ определяется заданием скалярного произведения в трансляционном пространстве V. Величины векторов х этим, однако, еще не определены — они зависят от выбора метрики в пространстве моментов времени. Мы выражаём этот факт, говоря, что «единицей для х является длина: (время) ».

Хотя для фиксированного тела-точки X отображение х(^>’) предполагается гладким, никаких ограничений на гладкость отображения х(’>0 ПРИ фиксированном t не накладывается. Для механики в ее наиболее общей форме х(*, 0 не обязательно даже должно быть взаимно однозначным отображением тел-точек на места в ^. Действительно, в примере, которым служит аналитическая динамика, движение х в каждый момент t сопоставляет конечному множеству точечных масс некоторое дискретное множество мест х<, но частное отображение х(‘,0 не всегда взаимно однозначно, так как при столкновении двух или большего числа точечных масс соответствующие мировые линии пересекаются, и возможно даже, что две мировые линии совпадают на целом интервале времени, а затем снова расщепляются и идут порознь. Однако, как мы увидим в следующей главе, в механике сплошных сред х предполагается гладким по обоим аргументам.

Конечно, в механике сплошных сред есть еще ударные волны, поверхности скольжения, отрыв и разрушение, но в настоящей книге они не рассматриваются..

Количество движения. Момент количества движения.Кинетическая энергия. Скорость совершения работы

Мы продолжаем считать заданной некоторую систему отсчета ф, в терминах которой описывается движение х тела Д см. (1.7-2). Векторные поля на 98, порождаемые движением х тела 98, приводят к некоторым аддитивным функциям множества, определяемым интегрированием по массе в пределах 98. Наиболее важные из них: количество движения тела 98

момент количества движения тела 9В относительно точки х0

М (^ х)хе ^ / (X - Хо) A X dMм (98; Х)£(1.8-2)

Й

и кинетическая энергия тела 98

’К(98; Z>| JlxMM.(1.8-3)

й

Из определения m, М и К видно, что для данного движения х данного тела 98 значения этих функций в данный момент времени / представляют собой соответственно вектор, антисимметричный тензор и скаляр.

Мы замечаем также, что

М (^; х)Хо = М (Я; х),. + (xt - Xq) A m (98; х).(1.8-4)

Во всех этих определениях и формулах заданное время / подразумевается, но в обозначениях не отражено.

Обозначая точкой сверху дифференцирование по времени для данного тела 98, мы видим, что

m (98; х) = J Z dM,

Й

М № Х)х0 = J (Z - Хо) A х dM,(1.8-5)

,й

K(^i) = J i-idM, 6й

в предположении, действующем во всей этой книге, если не оговорено противное, что ускорение х непрерывно на 98. Кроме того, в (5) г место Хо считается неподвижным в системе отсчета ф.

Упражнение 1.8.1. Пусть место х0 неподвижно, и пусть Xi(-)—произвольная местозиачиая дифференцируемая функция времени. Доказать, что

М (Ф Х)х„ = М ($; Х)х, + (xi (0 — х0) Л m (Я, X) + xi (О Л m (^, X) =

= f (X - xi) Л X dM + (X! (О - х0) Л m (Я, х).(I- 8-6)

й

Эти определения и соотношения приведены здесь для удобства ссылок в дальнейшем. Основные принципу механики связывают, как будет объяснено в § 12 и 14, скорости изменения т, М и К с силами, действующими на 98.

В § 5 мы ввели понятие системы сил и определили интегрирование на 98 по отношению к силам, действующим на части

40,■ Часть i. оыцие понятия§ 8

тела 98 со стороны его внешности 98е. Эта система сил может быть разной в разные моменты времени. Мы должны постоянно помнить об этом, хотя это и не отражено в обозначениях.

Силы являются элементами пространства V\, а скорости — элементами пространства "У. В дальнейшем мы будем предполагать, что dim^°f=3. Таким образом, пространство Т\ как пространство со скалярным произведением изоморфно пространству Т. Используя какой-нибудь конкретный изоморфизм, можно образовывать скалярные произведения векторов сил и векторов типа скоростей и ускорений. То, что изоморфизмов такого рода имеется бесконечно много, является отражением того факта, что единицы силы еще никак не связаны с единицами длины и вре- г мени. Фиксируя какой-либо изоморфизм, введем скорость совершения работы W системой сил f#e в движении х тела 98 следующим образом:''

^(^ZlW-(1-8-7)

Единица скорости совершения работы имеет вид (сила) X (длина) : (время).

Силы мыслятся как действующие йа тела. Когда эти тела совершают движения и, следовательно, занимают определенные конфигурации в S, силы переносятся в эти конфигурации неко- . торым специальным образом. Так как сами конфигурации зависят от выбора системы отсчета, то это относится также к любому переносу сил, действующих на тела, принимающие эти конфигурации. Следовательно, и определение (7) скорости совер- . шения работы зависит от данного частного выбора системы отсчета. В § 11 мы выдвинем в качестве основной аксиомы механики требование, чтобы такая зависимость W от выбора системы отсчета была лишь кажущейся, т. е. чтобы скорость совершения работы, хотя она и определена соотношением (7) в терминах системы отсчета ф, имела одно и то же значение во всех системах отсчета.

Так как ввиду выбранного изоморфизма мы можем по существу считать, что feF, то можно определить также тензорное произведение v ® f и внешнее произведение v Д f при условии, что ve У. В частности, антисимметричный тензор (х — х0) Л f называется «моментом системы сил f в х относительно места (точки) х0». Более общо, момент Fx, относительно точки х0 системы сил f^e, действующий на часть si- тела 98 в данном движении этого тела, определяется следующим образом:

FW ^\= J (X - х0) Л dt^.(1.8-8)

Хотя момент силы относительно точки есть только частный случай того, что принято называть моментом1), в этой книге оба термина будут рассматриваться как взаимозаменяемые.

Предпочтительно мы будем пользоваться более кратким.

Момент специального вида F (X $е)Ха называется результирующим моментом системы сил, действующих на $, относительно точки х0.

Момент системы сил, действующих на тело $, определяется в терминах конфигурации тела 98 при движении х в предположении, что выбрана определенная система отсчета ф. Этот момент представляет собой антисимметричный тензор размерности (сила) X (длина). Более общо, любой антисимметричный тензор такой размерности называется моментом, а моментозначная функция F(^8,^) пар тел называется системой моментов, если она удовлетворяет аксиомам, получающимся из аксиом F1—F4 заменой всюду f на F, Моменты, которые не являются моментами сил, иногда называют парами. Если все моменты являются моментами сил, как будет предполагаться в этой книге, то система моментов называется простой.

Важность моментов станет ясной в § 12. Пока же заметим лишь, что

F « 5ПХо = F (Я; ^)Х1 + (х, - хо) A f (Д ^),(I. 8-9)

т. е. в момент времени / разность между результирующими моментами относительно Xq и относительно Xi равна моменту в xi относительно х0 результирующей силы, действующей на Ж.

В § 5 мы определили сбалансированную систему сил как такую систему, в которой результирующая сила, действующая на каждое тело, равна 0. Из (9) видно, что если система сил сбалансирована, то момент, с которым она действует на любое тело, один и тот же относительно любого места.

Ввиду только что сказанного имеет смысл следующее опре-' деление. Моменты, создаваемые сбалансированной системой сил, сами называются сбалансированными, если результирующий момент для каждого тела равен нулю.

Более общим образом, к системе моментов применима теорема Нолла из ' § 5 с заменой нескольких слов, на основании чего мы можем заключить, что в сбалансированной системе моментов F (^, ®’) = — F f^, ^).

Как мы увидим в § 11, из основной аксиомы механики следует, что системы сил и моментов сбалансированы; в действительности она эквивалентна этому утверждению.

Во вселенной аналитической динамики, в которой любое рассматриваемое тело 98 является подмножеством множества, состоящего из п точечных

*) Напомним, что, например, в моментной теории упругости момент есть первичное понятие, определяемое независимо от сил. — Прим, рей,

масс Х«, мы имеем

m(#;z)= 2 Mi*i' teg „

(1.8-10)(1.8-10)м (Д; X) х0 = у (х, — Хо) Д MjX,, 58.

(1.8-10)

(1.8-10)

К№Х)=1^ Mj^p,

^(^х;^е)= 2 х1Г<Т+ 2 tu

(1.8-11)(1.8-12)(1.8-11)(1.8-12)(для получения последнего результата использованы (1.5-15) и (1.5-21));' здесь Xi в х(^о 0. а остальные обозначения те же, что были введены в § 5 в связи с рассмотрением аналитической динамики. Основной интерес пред- станляют следующие два частных случая соотношения (10)«. Первый случай: Я состоит из одного-единственного Xi. Тогда

(1.8-11)

(1.8-12)

(1.8-11)

(1.8-12)

Из (1.5-27)] видно, что если система сил сбалансирована, то «^ х; у = 0.

Второй случай: 58 совпадает со всей системой. Тогда соотношение (10)* сводится к следующему:

»(», v у- § х, f> - ^ х, ■ f„,(1.8-13)

где последнее равенство справедливо, если система снл сбалансирована. Таким образом, в общем случае скоро.сть совершения работы системой сил над динамической системой не равна нулю. .

Момент F (Я, ^) воздействия тела ^ на тело Я относительно Xq определяется формулой

(I. 8-14)(I. 8-14)F(^)Xo- 2 (х,-хо)А 2 ЧрtG% /G^

(I. 8-14)

(I. 8-14)

здесь Я и ^ не обязательно отделены друг от друга. Аналогично момент, с которым действует окружающий мир 86 иа точечную массу jp определяется формулой '

F(X,, ^^(Xj-^At,. (1.8-15)

Это определение согласуется с (8), и результирующий момент, действую щий на Я, представляется в виде.

Моментом самовоздействия тела 98 называется момент, с которым это тело действует само на себя. Согласно (14) он равен

'F(^,^)xo= 2 (^-^A s f/r(1.8-17)

В сбалансированной системе сил справедливо соотношение (1.5-24) и, следовательно,*

F (».»),, = у 2 (xi-xo)Afir(L8‘18)

i,ie=9.■

Если сила Хц, с которой X/ действует на X v параллельна вектору хг — Ху, который переводит место х^, занимаемое X р в место хг, занимаемое Xt, то силы взаимодействия называются центральными. Для центральных снл взаимодействия каждое слагаемое в сумме (18) обращается в иуль, так что имеет место■

Теорема (Пуассон). Для сбалансированной системы сил ро вселенной аналитической динамики момент самовоздействия каждого из тел равен нулю, если силы взаимодействия центральны..

В случае когда момент самовоздействия тела 98 обращается в нуль, результирующий момент (16) можно записать в виде

(

"\

f<+ 3.(L8-19)

!^Х /

т. e. результирующий момент, действующий на 98, равен сумме моментов результирующих сил, ■ действующих на точечные массы, которые образуют 98. В сбалансированной системе сил каждая из этих результирующих сил равна нулю, так что F(^l, ^е) = 0, т. е. система моментов сбалансирована.

Обратно, предположим, что система моментов сбалансирована. Тогда в силу аналога теоремы Нолла (1.5-6)

F (#, %\б = - F (‘К’, 98^(I. 8-20)

для всех взаимно отделенных тел 98 и 99. В частности, тогда

F(Xr^/)xo”-F(X/,X1)x,(L8-21)

т. е.■

(xi — х0) A fZy =(х; — Xq) Д fyr(I. 8-22)

Если силы сбалансированы, то, согласно (I. 5-23), получаем

(хг-Ху)Д1о=0,(1.8-23)

так что силы взаимодействия центральны. Суммируй рассуждения данного и предыдущего абзацев, видим, что имеет место следующая

Теорема (Нолл). Если система сил во вселенной аналитической динамики сбалансирована, то соответствующая система моментов сбалансирована тогда и только тогда, когда силы взаимодействия центральны.

Упражнение 1.8.2. Основываясь на (1.5-25), доказать, что в сбалансированной системе сил.

F <98, 98е1) + F (98, 9В) = 0.(I. 8-24)

Следонательно, система моментов сбалансирована тогда и только тогда, когда момент самовоздействия каждого тела равен нулю, откуда снова следует теорема Нолла.

Таким образом, в аналитической динамике сбалансированность моментов эквивалентна предположению, что силы взаимодействия центральны при условии, что система сил сбалансирована. Как должно быть ясио из рассуждений, приведших к теореме Нолла, никакого аналогичного сведения сбалансированности моментов к сбалансированности сил в случае более общих и типичных вселенных механики ожидать нельзя. В механике сплошных сред центральные силы, а на самом деле и силы взаимодействия любых видов никакой особой роли не играют, так что общий подход аналитической механики в этом случае нетипичен и почти бесполезен.

. Вектор положения данного места х в S — это вектор, который переводит некоторое заданное «начало» х0 в х. Таким образом, векторное поле положений р, соответствующее движению х, дается формулой

Р^Х —х0.(1.8-25)

Обычно начало х0 представляет собой некоторое фиксированное место. В этом случае производные по времени от р совпадают

с производными от самого движения: р = Х> Р = Х и т. д.

Центром масс тела Ж положительной массы M^Y находящегося в конфигурации х> называется то место, векгор положения р которого представляет собой среднее (относительно массы Af) векторов положения всех тел-точек, составляющих ^:

^)-«ир‘ш'■ <L8-26>

Конечно, центр масс р данного тела 98, вообще говоря, изменяется со временем, но мы не отражаем это в обозначениях. Хотя само р зависит от выбора «начального» места х0, его производная по времени р от этого выбора не зависит, и из (1) видно, что'

m^;^ = M^k^®Y(1.8-27)

Из сравнения этого выражения с (10) i вытекает следующая

Теорема (Кельвин & Тэйт). Количество движения тела 98 таково же, как и у массивной точки, имеющей ту же массу, что и 98, и двужущейся так, что она все время занимает положение центра масс тела 98.

.■§ 9. Замена системы отсчета

Пусть выбрана какая-либо система отсчета ф (см. § 6). Мы можем захотеть рассмотреть и другую систему отсчета ф*;

ф.

ф*;Т->§Х^-К

Так как оба эти отображения являются гомеоморфизмами, их композиция ф* = ф~х также представляет собой гомеоморфизм пространства ^Х(% на себя:

ф*оф-'_ $X5l->SX3L(1.9-2)

Мы не будем называть ф* системой отсчета, если смысл времени в ней не тот же самый, что в ф. Хотя это требование и естественно, его нелегко сформулировать. Пусть 9t — представленное в исходной системе отсчета ф множество событий, ' происходящих в некоторый момент времени t. Мы хотим, чтобы 9\ отобразилось на некоторое множество событий в другой системе ф*, происходящих в одно и то же время s по отношению к ф*. Это значит, что если *^ = ^, t), то ФЧ^ = {$, s) для некоторого действительного s. Можно показать), что тогда преобразование ф*оф~х имеет вид

«о-#--#-1 к о,(1М)

х" = 1(х,/), f-gw,''

т. е. время t* вполне определяется временем t, хотя для определения места х* могут потребоваться как время t, так и место х.

Далее, чтобы обеспечить желаемую интерпретацию, мы должны, если какая-то одна система отсчета ф уже задана, рассматривать только такие другие системы отсчета ф*, которые дают отображение (2), сохраняющее метрики в $ и 91 по отдельности, т. е., в нашей интерпретации, отображения, оставляющие инвариантными расстояния между местами и временные промежутки между моментами времени. Такие и только такие отображения называются заменами {изменениями) системы отсчета. При таком соглашении мы будем называть ф* ° ф-х заменой системы отсчета ф системой отсчета ф* (или переходом от системы ф к системе ф*).

Иногда мы будем говорить: «х* н х являются местами, в которых одно и то же событие происходит в системах отсчета ф* и ф соответственно». Можно надеяться, что изучающий сочтет это и подобные ему утверждения достаточными указаниями . для интерпретации описанной математической структуры в терминах физического опыта: Аналогично скорость тела-точки, определенная по отношению к системе отсчета ф, будет называться его скоростью в ф, и точно так же для всех других величин, определенных в терминах системы отсчета: ускорения, количества движения и т. д.

Согласно одной теореме геометрии), замену системы отсчета можно представить как трансляцию пространства 91, сочетаемую

с зависящим от времени ортогональным преобразованием пространства S'.

■ t* = t-Va, .

x* = x;(O + Q(O(x-xo); (L9'4)

здесь а — некоторое значение времени, Xq —функция от t, зна- ченийми которой являются места, Q — функция от t, значениями которой являются ортогональные тензоры над У, и Хд— некоторое фиксированное место. Рассматривая Хд и 0 как место и время некоторого фиксированного события, наблюдаемого в системе отсчета ф, мы интерпретируем х*(#)иакак место и время того же события, наблюдаемого в системе отсчета 0*. Далее, Q представляет собой поворот всех линий, проходящих через х0 при наблюдении в системе 0, в линии, проходящие через Хд при наблюдении в системе 0*. Значение QW тензора Q иногда называют относительной ориентацией системы ^* по отношению к ф в момент времени t. Если Q(/0) = l и х^(/0) = хи в некоторый момент /0, то про наши две системы отсчета говорят, что они совпадают. .

Из (4) видно, что данному событию, которому в системе ф приписываются определенные место и время (Xg, f), в некоторой другой системе ф* могут быть приписаны произвольные место х*(/) и время С. Вектор, переводящий фиксированное место Хо в „общее" место х в ф, поворачивается в У и переходит в вектор, переводящий xJ(O в соответствующее место х* в ф*, причем поворот один и тот же для всех мест х в любой данный момент времени.

При желании замену системы отсчета можно описать в терминах некоторого движения (§ 7). Если предположить, что тело ведет себя таким образом, что одна из его точек остается в покое в месте х в системе отсчета ф, то (4) представляет собой движение этой точки относительно системы отсчета ф*.

Упражнение 1.9.1. Доказать, что в (1.9-4) .можно в качестве постоянного места Хо в ф взять любое, какое мы пожелаем, нлн, если это предпочтительнее, можно подставить вместо него любую местозначную функцию времени Хд(-). Следовательно, класс всех замен систем отсчета образует группу.

Из (4)i видно, что определение «мировой линии» в § 6 не зависит от выбора системы отсчета.

Мы интерпретируем возможность изменения системы отсчета в том смысле, что два наблюдателя, выбравшие одинаковые единицы длины И времени, могут установить свои часы по-разному н могут совершать произвольные жесткие движения по отношению друг к другу — оба они будут одинаково правомочны описывать явления, представляемые классической механи-

кой, вне зависимости от того, являются их системы отсчета правыми или левыми. Следовательно, любое утверждение, сделанное одним из них, эквивалентно определенному утверждению, сделанному другим. Например, если задана функция f(x*,/*), то подстановка в нее равенств (4) приводит к некоторой определенной функции g(x, /), имеющей то же самое значение: ■

g(x, О^Нх*. О-.(1.9-5)

Любые две функции, связанные таким образом, рассматриваются как эквивалентные при заменах системы отсчета.

Замена системы отсчета индуцирует некоторое преобразование трансляционного пространства Т. В самом-деле, пусть ■'

v=Xj —х2.(1.9-6)

Тогда согласно (4)

v* = х‘ — х^ = Q (0 (х, - х2)—Q (О V.(1.9-7)

Аналогично замена системы отсчета индуцирует преобразование пространства тензоров над Т. Если wef и v е V и если w = Tv,(1.9-8)

где Т — некоторый тензор, то, согласно (7),.

. w* = Q (0 w = Q (О TQ (OV,(1.9-9)

т. е. w*=T*v*, где

T*=Q(0TQ(0t.(1.9-10)

Преобразования по точно таким же правилам индуцируются для векторнозначных и тензорнозначных функций времени v(/) и т(0-

Изменение системы отсчета (4) приводит также к изменению движения (1.7-5) тела-точки X, входящей в тело ^. Именно, в системе ф* место х*, занимаемое телом-точкой X в момент времени t*, дается соотношениями

х =х*(х, n=x;(0 + Q(0№ о-хо), . (1.9-11) t = / -|- д.

Мы будем рассматривать х* как то же самое движение, только наблюдаемое в ф*. Мы рассматриваем х0 и / как место и время, приписываемые в ф некоторому конкретному событию, и х’(/) и 1* как место и время, приписываемые тому же самрму событию в ф*. В случае необходимости подчеркнуть роль системы отсчета мы будем называть х движением тела Ж в ф, a X* — тем же самым движением тела $ в ф*, в объясненном выше смысле. Для преобразования (11), связывающего движение относительно ф с движением относительно ф*, мы будем употреблять то же название, что н для преобразования (4) образа 6 X 91 мира событий, а именно замена системы отсчета.

Если некоторое условие определяет векторы в терминах системы отсчета, причем само это условие не зависит от выбора системы отсчета, то оно даст нам векторы v* или v, в соответствии с тем, используется система ^* или 0, причем в общем случае эти два вектора не будут одинаковыми. Рассмотрим, например, условия (1.7-7) 1,2, которые определяют скорость и ускорение в любой системе отсчета:

(1.9-12)(1.9-12)хаХ, х* = Х*,х = Х, - х* = Г,

(1.9-12)

(1.9-12)

где точки во втором столбце обозначают дифференцирование по 1*, а движение %* в ф* связано с движением % в ф соотношениями (11). Следовательно,

?=^ (0 + Q (О i (X, 0 + Q (О (X (X, О - х0), (1.9-13)

где хо и Q — производные по времени от функций Хд и Q. Поэтому скорость х* в ф* связана со скоростью х в ф формулой

■ х* — Qx = хо + А (х* — х*),(1.9-14)

где ■'

- A = QQ= —Ат,(1.9-15)

причем для краткости мы пишем Q и Q вместо Q (0 и Q (/). Антисимметричный тензор А называется спином *) системы ф относительно системы ф*. В (11) мы рассматривали Хд(0 и/* как место и время, приписываемые в системе отсчета ф* событию, которому ф приписывает место х0 и время L Таким образом, значение функции Хо равно скорости изменения места Xj(Z) в $, приписываемого в системе ф* указанному событию. С другой стороны, согласно (13) скорость в ф* тела-точки, которое занимает место х0 в момент времени t, равна хо(О + + Q(Ox(Z",(xo. /), t), ЧТО СВОДИТСЯ К Хд(0 в том и только в том случае, когда это тело-точка покоится в ф2).

До сих пор мы считали относительную ориентацию Q известной дифференцируемой функцией t. Предположим, что вместо

' *) Старый термин «угловая скорость» постепенно выходит из употребления не только потому, что он состоит из двух слов, но также и потому, что он предполагает, что мы следим за углами, чего в общих рассмотрениях мы советуем лучше не делать. [Собственно, термин «угловая скорость» относится не к спину А, а к сопутствующему ему вектору to, определяемому условием А = to X 1 (здесь крест — символ векторного произведения, которое К. Трусделлом в его книге не используется). — Ред.]

То есть х = О,— Прим. ред.

этого нам известен спин А как функция от t, значениями которой являются антисимметричные тензоры. Мы предположим, что эта функция непрерывна. Рассматривая линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Y—AY = 0,(1.9-16)

мы видим прежде всего, что оно имеет единственное решение Y, такое, что Y(/q) принимает предписанное значение.

Упражнение 1.9.2. Показать, что если Z ^ ¥¥Т и ¥ удовлетворяет уравнению (16), то■

Z = AZ-ZA.(1.9-17)

Основываясь на теореме единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений, показать, что решение Y уравнения (16), ортогональное (т. е. являющееся ортогональным оператором) при / = to, будет ортогональным при всех I. ,

Проведенные рассуждения, завершенные предыдущим упражнением, приводят к следующей теореме.

Теорема. Пусть К — спин системы ф относительно системы ф* — является непрерывной функцией времени, и пусть для некоторого момента времени t0 задано значение относительной ориентации Q(0- Тогда заданием места х*(/), занимаемого в ф* в каждый момент времени t некоторым местом х0 в ф, определяется единственная замена системы отсчета.

Упражнение 1.9.3. Пусть А*—спин системы ф* относительно ф. Доказать, что

А* = —QTAQ.(1.9-18)

Более общо, если Qt и Q2 отвечают соответственно заменам системы ф на фх и системы ф\ на фг и если Q3 отвечает замене ф на фг, то

Qa = Q2Q1. А3 = А2 + ЦгА^^.(I. С-19)

Следовательно, если системы отсчета фг и фх в некоторый момент совпадают, то спин системы ф4 относительно ф равен сумме спина ф4 относительно фх и спина фх относительно ф в тот же момент.

Соотношения (19) часто выражают, говоря, что повороты мультипликативны, а спины аддитивны.

Тензор Q как ортогональный тензор над трехмерным векторным пространством имеет одно и только одно (вещественное) собственное число, равное либо +1, либо — 1, причем если Q=# ±1, то соответствующее собственное подпространство 1 одномерно. Это одномерное собственное подпространство тензора Q(0 называется осью вращения в момент времени t при рассматриваемой замене системы отсчета. Либо Q, либо — Q являются поворотом, т. е. ортогональным тензором R с detR = 1

Для любого вектора е, лежащего на указанной оси, Re = e. Углом поворота между системой отсчета со звездочкой и системой без звездочки называется выбранный в соответствующих пределах корень 6 уравнения cos 9 = -^ (trR(/) — 1). Далее, поскольку тензор А(£) антисимметричен, его нуль-пространство (ядро) состоит из одной прямой, за исключением тривиального случая, когда A(f) = 0. Эта прямая называется осью спина. Соответствующее собственное число тензора А(0 равно 0. Так как ААТ = QQT, то норма тензора А ’) та же самая, что и норма Q. Число j/^trAA1, т. е. | А 1/^2, называется угловой скоростью <в, с которой ф поворачивается по отношению к ф в момент времени t. ■

Упражнение I. 9.4. Доказать, что если ось поворота не зависит от времени t, то она является также осью спина. Следовательно, если угол поворота равен 0(0, то <в = |0(t)l-

Перейдем теперь к вычислению ускорения. Дифференцируя (14) по t, получаем с учетом (12)2 и (15) следующее соотношение между ускорением х* в ф* и ускорением х в ф:'

х* — Qx = Qx + х0 + А (х* — Xq) + А (х* — Хц) =.

= Хо + 2А(Xе - <) + (А - А2) (Xе - х;),(1.9-20)

где для краткости вместо Q(0, А(() и т. д. мы пишем соответственно Q, А и т. д. Первый член в правой части равен ускорению того места в ф*, которое соответствует месту хо в ф в момент времени t. Второй член,.называемый кориолисовым ускорением, представляет собой ускорение в ф*, отвечающее, согласно (14), скорости рассматриваемого тела-точки по отношению к х* в ф* и спину ф относительно ф*. Третий член состоит из двух частей, первая из которых, называемая эйлеровым ускорением, соответствует скорости изменения угловой скорости, а вторая, называемая центростремительным ускорением, выражает ускорение, вызываемое чистым переносом нашего тела- точки относительно ф*.

Упражнение I. 9.5. Полагая р —= х — х0, доказать, что для любого анти- снмметрнчного тензора А

-A=p-=v(-lp.A2p),(1.9-21)

где V — оператор градиента, и интерпретировать этот результат, используя понятие центростремительного ускорения. (Заметим, что А2 — симметричный

§ ioгл. i. тёла, силы, движения и энёргий51

тензор, для которого наша ось спина является нуль-пространством, а —(о2— единственным отличным от нуля собственным числом.)

Количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия подобным же образом зависят от выбора системы отсчета. Преобразования этих величин и скоростей их изменения, индуцируемые заменой системы отсчета, легко находятся подстановкой (14) и (20) в соответствующие формулы § 8.

Жесткое движение '

Движение тела называется жестким, если в некоторой системе отсчета ф* поле скоростей этого тела обращается в нуль. Такая система отсчета называется системой покоя для данного жесткого движения. Чтобы найти поле скоростей для жесткого движения в произвольной системе отсчета ф, достаточно подставить х* = 0 в соотношение (1.9-14), обобщенное в том отношении, что допускается зависимость хо от t, как в упр. 1.9.1. С учетом (1.9-15) мы приходим к следующей теореме. '

Теорема (Эйлер). Движение % жестко в том и только в том случае, когда его поле скоростей в какой-нибудь и, следовательно, в каждой системе отсчета ф имеет вид

х = х0 —QTx‘ — QTA(x‘— х*) = с + w(x —х0), (1.10-1) где х0 (0 — произвольное место в 8 в момент времени t, а с (/) и W (/) — соответственно некоторый вектор и некоторый антисимметричный тензор. -

Конечно, W = А*, и спин системы покоя фш относительно ф связан с А соотношением (1.9-18). Мы используем специальное обозначение W, чтобы напомнить читателю, что речь идет о частном виде движения тела, или, если угодно, о частной системе отсчета, тогда как А определено для любой пары систем отсчета вне связи с тем, какое движение тела может происходить относительно этих систем. Мы называем W спином жесткого движения. '

Нуль-пространство спина W(/) называется .осью жесткого движения в системе ф в момент времени t. Тела-точки, лежащие на линии,- проходящей через х0 и параллельной оси жесткого движения, движутся с одной и той же скоростью с(/).

В § 9 мы показали, что функция А единственным образом определяет функцию Q, если задано Q(/o). Согласно (1.9-18) можно тем же самым способом использовать функцию W для определения Q, что также хорошо видно, если записать'диффе- ренциальное уравнение (1.9-16) в виде

Y + YW = 0, (I. 10-2)

где подразумевается, что решение Y принимает значение Q(/o) при t = to.

Из (1)2 ясно, что вектор с(/) представляет собой скорость тела-точки, занимающего, в данный момент времени место х0 в ф, согласно же^ (1)ь с следующим образом выражается через функции х0 и Xq из (1.9-11) '

' . . c = x0-QTx;_ (1.10-3)

Таким образом, если определено Q и выбрано Xq, то функция с, в предположении, что она непрерывна, определяет xj с точностью до произвольного постоянного места. Если в качестве х0(/) выбрать место, занимаемое в ф определенным телом-точкой Хо> то его скоростью в- ф является хо^, а так как ф* — система покоя, то х* = 0, и тем самым мы приходим к заключению, с которого начали этот абзац. .

.Упражнение 1.10.1. Не используя общих понятий и построений предыду-, щих параграфов, а исходя непосредственно из (1) и беря в качестве Хо(О значение х№, 0 для некоторого тела-точки Хо, показать, что если рз и р> — векторы’ положения относительно хо тел-точек л2 и Х| в жестком движении в момент времени t, то рз-pi не зависит от времени. "

Итог вышеизложенному подводит следующая

. Теорема (Эйлер). Пусть движение некоторой точки Хо тела 98 задано в" ф дифференцируемой функцией времени, и пусть W — непрерывная функция времени, значениями которой являются антисимметричные тензоры. Выбор относительной ориентации Q(/o) в некоторый данный момент времени to определяет единственную систему покоя и, следовательно, единственное жесткое движение тела 98, соответствующее спину W. Если W = 0, то все точки 98 движутся с той же скоростью, что и точка XQ. В противном случае единственными точками, имеющими в момент времени t ту же скорость, что и Хй, являются точки, лежащие на однозначно определенной прямой, проходящей через место х0(/), занимаемое телом-точкой Хо, и параллельной оси спина W(/).

Грубо говоря, теорема Эйлера .утверждает, что жесткое движение тела 98 состоит в каждый данный момент времени из переноса 98 со скоростью, равной скорости любой какой-нибудь его точки, и поворота 98 вокруг определенной, вообще говоря за-* висящей от времени, оси, проходящей через эту точку. ■

Момент количества движения йри Жестком движении приобретает особенно простой вид, если его выразить через эйлеров тензор Е^ относительно хо, определяемый следующим образом:

Е„-f.p®’pM ' . (1.10-4)

где р представляет собой вектор положения (1.8-22) относительно хо'места х, занимаемого телом-точкой X. Так как тензор Ех, положительно определен и симметричен, он имеет по крайней мере одну тройку собственных векторов, называемых главными осями инерции тела 5В относительно хо при движении X, причем соответствующие собственные числа Ei положительны. Это утверждение известно как теорема Сегнера. Сумма Ei, или trEXo, называется полярным моментом инерции тела $ относительно Хо, а числа trEXo — Et, которые все положительны, — моментами инерции1) относительно z-й главной оси, проходящей через х0. Так как ЕХо есть тензор, не зависящий от выбора системы отсчета, то моменты инерции относительно главных осей являются скалярами, не зависящими от выбора системы отсчета, фактически — константами, характеристическими для тела 98 в конфигурации X. Эти константы и, конечно, сам эйлеров тензор Е,,. в общем случае действительно зависят от конфигурации X тела 98 и, таким образом, представляют свойства как самого тела, так и его движения.

В жестком движении вектор положения р(Х, О тела-точки X в системе покоя ф* не изменяется. Соответствующий тензор Е*„ поэтому постоянен во времени. Он определяется раз и навсегда распределением масс тела $ и конфигурацией этого тела в системе покоя ф*...

Упражнение 1.10.2. Доказать, что еслв S — постоянное тензорное поле, то

J р Л Sp dAf = E^S1 — SEX„.(1.10-5)

. Мы рассмотрим сначала случай, когда х0 = х* = 0. Тогда со- ■ гласно (3) с = 0 и подстановка (1)з в (1.8-2) дает с учетом (5) следующую теорему.

Теорема (Эйлер). Пусть тело 98 совершает жесткое движение, такое, что в системе отсчета ф одно из его тел-точек остается неподвижным на месте xq. Тогда

_- МЦЙ; Х)х =-Ex.W-WEx„(1.10-6)

Равным образом■#

"QM(£; Х)х, QT = БА + AEJ*,(1.10-7)

где Ех* вычисляется в системе покоя ф*.

о•

Упражнение 1.10.3. Показать, что для произвольных функций х0 (•) и *0 (• )_

«(^ Z^-MpAc-E.W-WE,,,

QM (58; X)xQT = Alp* Л (Qx0 - $ + Е*.А + АЕ^, (L *°"8) где р и р* — векторы положения центра масс относительно х0 в ф и х0 в ф" соответственно.

Даже если ни одно из тел-точек не пребывает в покое в системе ф, всегда можно за х(* принять центр масс тела 93 в ’ системе покоя ф\ Поэтому, хотя в общем случае х0 =/= 0, но, конечно, х* = 0, р* = 0 и р = 0, так что снова получаем (6) и (7).'

Второй из этих результатов особенно важен, так как тензор Ех«, вычисленный в системе покоя, не меняется со временем. - 1-

Рассмотрим теперь (6) и предположим, что вектор е направлен вдоль какой-нибудь из главных осей инерции в ф. Тогда Ех.е = 5ге и, "следовательно, (EXoW 4* WEX„) е = = (ЕХо 4-Eil)We. Так как тензор ЕХ„4-£П положительно определен, то для того, чтобы (ЕХо 4-ЁЛ) We = 0, необходимо и достаточно, чтобы We = 0. Аналогичные рассуждения применимы к е>а + ае;.. оо

Таким образом, имеет место следующая

Теорема. Если хо(/) — место, занимаемое некоторой точкой тела 93, покоящейся в системе ф, или же место, занимаемое в ф центром масс тела 93, то для всякой прямой, обладающей любыми двумя из трех следующих свойств, выполняется и третье;■-

Прямая является главной осью инерции, проходящей через х0(0-

Прямая является осью спина.

Прямая является осью момента количества движения относительно Xq(^) .'

Упражнение I. 10.4. Доказать, что

W=-QTAQ, W2 = QtA2Q.■(1.10-9)

Теперь мы вычислим поле ускорений для жесткого движения. Для этого можно, считая, что ф* представляет собой систему покоя для такого движения, положить х* = 0 в соотношении (1.9-20), обобщенном так, чтобы х0 разрешилось зависеть от t, но проще продифференцировать (1)2. Проделав это, восполь-

зовавшись (9), найдем

х=с+W(x-Xo) + (W + W2)(x-xo) =

= х0 + QT [- Xq + 2AxJ - (А - А2)(х* - х*)].(1.10-10)

Снова, предполагая сначала, что какое-то одно тело-точка тела 98 остается неподвижным" на месте Хо в 0 , вычисляем скорость изменения момента количества движения относительно этого места. После этого нужно лишь положить в (10) Хо = Xq = х0 = Xq = 0, подставить результат в (1.8-5) и воспользоваться (9). Таким образом получается следующая

Теорема (Эйлер). Пусть тело $ совершает жесткое движение, такое, что в системе отсчета ф какое-то из его тел-точек покоится на месте х0.

Тогда'.

(1.10-11)(1.10-11)М (98; Z)xo = - EXoW - WEX„ 4- E„W2 - W2EX„ QM (98; z)Xo QT=e;.a + ae;. 4- e;.a2 - a2e;..

(1.10-11)

(1.10-11)

Упражнение I. 10.5. Вывести (11), продифференцировав (7) с учетом того, что Е,. постоянно, и использовав затем (8)2.

о • .

Ось вращения, ие меняющаяся со временем, называется стационарной осью вращения. Если We = 0 и е = 0, то We = 0, так что к МХо можно применить по существу те же рассуждения, какие были применимы к МХо, и получить такое

Следствие (Эйлер); Пусть тело 98 совершает жесткое движение, и пусть в системе отсчета ф одно из его тел-точек покоится на месте хо. Тогда стационарная ось вращения является осью скорости изменения момента количества движения относительно хо в том и только в том случае, если она является главной осью инерции, проходящей через х0.

Упражнение I. 10.6. Показать, что в случае поворота вокруг стационарной оси вуль-пространство тензора W + W2 то же самое, что и у тензора W, а именно ось спина, н тем самым, завершить доказательство предыдущей теоремы.

Чтобы получить скорость изменения момента количества движения относительно места Xi в ф в случае, когда ни одно из тел-точек не предполагается покоящимся в ф, достаточно подставить (10)1 в (1.8-6). Таким образом, за х* принимается место, занимаемое в системе покоя ф* тем телом-точкой, положением которого в ф является х0(0> так что, согласно (3), c = Xq.

В результате находим

М (X Х)х = мр Л Хо + (х0 — X,) Л m (^, X) —

-E^W-WE^ + E^-W^E,,,(1.10-12)

где р — вектор положения центра масс относительно места Хо в $6. Даже если в данный момент • времени Хо и х, представляют собой одно и то же место, Xi так и остается фиксированным местом в ф, тогда как Хо в общем случае — движущееся место в ф. Если за хо(О принять положение в ф центра масс, что всегда можно сделать, то первый член в (12) обращается в нуль и х0 — xt = p, где р — вектор положения центра масс относительно фиксированного места ху в ф. Таким образом,.

м (X Х)Х1 = р Л щ (X X) - ЕХ1W - WEXo + Exow2 - W2EXo,

■. (1.10-13)

где Е — эйлеров тензор в ф относительно центра масс. Эта формула аналогична (11)ь но не столь проста. Она утверждает, что скорость изменения момента количества движения можно разложить на части, соответствующие переносу и повороту. Часть, отвечающая переносу, представляет собой момент вектора количества движения тел относительно фиксированного места Xi; это скорость изменения момента количества движения точечной массы, имеющей ту же массу, что и наше тело, и расположенной в его центре масс. Другая часть — это, согласно (И), скорость изменения момента количества движения тела, которое имеет те же форму и спин, но центр масс которого покоится в ф.

Упражнение I. 10.7 (Кёниг, Эйлер). Доказать, что кинетическая энергия тела, совершающего жесткое движение, дается формулой

ZC (59; X) = -1- Af I с Р ч- Mc-Wp + -ifr(wWTEXo). (1.10-14)

Если за х0(0 принимается место в ф, занимаемое центром масс тела 58 в момент времени I, то кинетическую энергию тела 58 можно следующим образом разложить на части, связанные с переносом и поворотом:.

К W X) = 1 М | х0 Р +1 tr (ААтЕ.у.(I. 10-15)

Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию массивной точки, масса которой М есть масса тела ^, движущейся со скоростью центра масс тела Ж. Второе слагаемое равно кинетической энергии, которая отвечала бы спину и форме тела %, если бы центр масс тела % покоился в ф.

11. Независимость от системы отсчета

Хотя все явления происходят в мире событий Ж’, они становятся доступными нашему изучению только через посредство некоторой системы отсчета $6, так как мы всегда описываем наши наблюдения в терминах места х и времени t. Сами по себе явления, конечно, не зависят от системы отсчета, но их описание в одной системе отсчета может отличаться от описания в другой.

Поэтому возникает вопрос, как связаны между собой утверждения, относящиеся к разным системам отсчета.

Во-первых, мы всегда можем высказать некоторое утверждение по отношению к одной системе отсчета $6, а затем просто перевести его в утверждение, относящееся к любой другой системе отсчета $6*. С одним из примеров этого мы уже сталкивались, рассматривая движение х тела 93. Если х задано по отношению к ф, то мы определяем х* в ф* посредством соотношения (1.9-11), что является попросту отражением нашего понимания понятий движения и замены системы отсчета. То же самое можно делать и с любыми другими величинами, которые мы считаем присущими миру событий. Основными примерами таких величин в механике служат, как мы увидим - в дальнейшем, масса, сила, момент, температура, внутренняя энергия и калория. Мы будем говорить, что такие величины не зависят от системы отсчета. Независимость от системы отсчета массы, силы и момента будет рассмотрена в следующем параграфе.

Во-вторых, и притом гораздо чаще, мы будем встречаться с некоторыми правилами, по которым каждой системе отсчета ставится в соответствие некоторая определенная функция. Сами по себе такие правила не зависят от системы отсчета в том смысле, что они равно применимы в любой системе отсчета. Мы уже встречались с подобными примерами, именно со скоростью и ускорением, которые вычислялись по движению согласно правилам, никак не связанным с системой отсчета и поэтому применимым в любой системе отсчета. Эти конкретные правила имели вид (1.9-12). Пользуясь ими, мы смогли выразить скорость и ускорение в ф* через скорость и ускорение в ф, при помощи, конечно, функций Q, х0 и Хц, задающих замену (1.9-4) системы ф на ф*. Полученные таким образом результаты выражаются соотношениями (1.9-14) и (1.9-20). Из них ясно, что скорость и ускорение, наблюдаемые в ф и ф*, не являются переводом на язык систем отсчета неких функций, определенных на мире событий Ж, ибо если бы это было так, то при замене системы отсчета их значения, являющиеся векторами, подвергались бы преобразованию, которое такая замена индуцирует в трансляционном пространстве Т пространства 8, а это последнее преобразование, как мы видели, дается соотношением (I. 9-7).

Так как в общем случае х* =/= Qxh х* ^ Qx, то мы говорим, что скорость и ускорение зависят от системы отсчета. Этот пример достаточен для уяснения того, что не зависящие от системы отсчета правила или определения могут приводить к величинам, зависящим от системы отсчета.

Конечно, некоторые правила, хотя и формулируемые в терминах, связанных с системой отсчета, на самом деле приводят к ве- z личинам, относящимся по своей сущности к Ж. Такие величины' мы будем называть не зависящими (или независимыми) от системы отсчета, потому что в принципе их можно было бы ввести абстрактно, не пользуясь какой-либо системой отсчета. Пусть некоторое правило задает в $6 и 56* скалярные поля Л и А* соответственно.

Если'

Д*(х*. Г) = Л(х,/),(МЫ)

когда (х*, t*) связано с (х, t) посредством (1.9-4), то мы будем говорить, что Л и Л* представляют собой не зависящий от системы отсчета скаляр. Допуская вольность, мы будем называть не зависящими от системы отсчета скалярами сами значения поля А, которые, конечно, являются числами, соотнесенными месту и времени в ф. Аналогично векторное поле v и тензорное поле Т будут называться не зависящими от системы отсчета, если соответственно

v*(x\f)-Q(0v(x, О,

Г(х*> O=Q(0T(x, 0Q(0T.'

где опять (х*,/*) связано с (х, t) посредством (1.9-4), a Q(0— относительная ориентация систем 0* и $6. Первое из этих требований утверждает, что v* и v — это один и тот же направленный отрезок, относящийся к одному и тому же событию, только наблюдаемый в разных системах отсчета. Второе, как мы видели в § 9, утверждает, что Т* и Т являются для одного и того же события одним и тем же преобразованием таких направленных отрезков. За подробностями читатель отсылается назад, к сказанному между (1.9-6) и (1.9-10).

Большинство полей, с которыми мы встречаемся в механике, зависит от системы отсчета. Примеры со скоростью и ускорением показывают, однако, что если ограничиться рассмотрением некоторой подгруппы у замен системы отсчета, то можно получить результаты типа (1) и (2). В таком случае можно сказать, что данный конкретный скаляр, вектор или тензор не зависит от системы отсчета в группе у. Например, из (1.9-20) следует, что х* = Qx для всех движений тогда и только тогда, когда Xq = 0 и А = 0, т. е. когда х* = const и Q = const. Эта

подгруппа замен системы отсчета, состоящая из тех замен, по отношению к которым ускорение не зависит от системы отсчета, называется группой галилеевых преобразований. Эти преобразования переводят друг в друга системы отсчета наблюдателей, движущихся по отношению друг к другу с постоянными скоростями и без какого бы то ни было изменения относительной ориентации. . -

Эпитет «галилеевы» просто традиционен и не должен рассматриваться как относящийся к чему-либо в работах знаменитого Галилея.

Упражнение 1.11.1. Доказать, что скорость m изменения количества движения тела $ прн движении % не зависит от системы отсчета в группе галилеевых преобразований.

Класс всех систем отсчета, которые можно получить из данной галилеевыми преобразованиями, называется галилеевым классом этой системы.

Далее, из (1.9-14) видно, что х* = Qx для всех движений тогда и только тогда, когда Xq= 0 и А = 0, г. е. когда хо и Q постоянны. Эта подгруппа галилеевой группы замен системы отсчета, состоящая из тех замен, при которых скорость не зависит от системы отсчета, называется группой постоянных жестких преобразований. Эти преобразования переводят друг в друга системы отсчета наблюдателей, покоящихся друг относительно друга. Класс всех систем, получаемых из какой-либо данной системы применением жестких преобразований, называется жестким классом этой системы. В § 9 жесткое движение было определено как движение, поле скоростей которого обращается в нуль в некоторой системе отсчета $6*. Теперь мы видим, что поле скоростей жесткого движения не зависит от места во всех системах отсчета, принадлежащих жесткому классу, определяемому системой $6*, и только в таких системах. В частности все системы покоя для жесткого движения получаются из любой данной изменениями системы отсчета, при которых Xg = const, Q = const. Как явствует из самого понятия жесткого движения, эти системы отсчета могут быть получены одна из другой с помощью не зависящих от времени переносов и поворотов. Такие системы также образуют подгруппу — класс покоя данного жесткого движения.

Упражнение 1.11.2. Доказать, что градиент не зависящего от системы отсчета скаляра есть не зависящий от системы отсчета вектор; что собственные числа, след и определитель не зависящего от системы отсчета тензора являются не зависящими от системы отсчета скалярами; что собственные векторы такого тензора являются не зависящими от системы отсчета векторами; что скалярное произведение двух не зависящих от системы отсчета векторов является не зависящим от системы отсчета скаляром и что тензорное произведение и внешнее произведение не зависящих от системы отсчета векторов являются не зависящими от системы отсчета тензорами.

Упражнение 1.11.3. Доказать, что ориеитироваииая единичная нормаль к поверхности является не зависящим от системы отсчета вектором.

В начале настоящего параграфа мы отмечали, что задание некоторой величины в одной данной системе отсчета всегда можно тривиально распространить таким образом, чтобы получилось определение соответствующей не зависящей от системы отсчета величины. В качестве иллюстрации этого факта мы теперь рассмотрим ускорение х в некоторой данной системе отсчета ф. Если положить’

а = X* - х5 — 2А (Г - xg) — (А — А2) (X* - xg), (I. 11-3)

где X* и X* представляют собой ускорение и скорость в «общей» системе, отсчета ф*, а А — спин ф относительно ф*, то ввиду (1.9-20) а будет не зависящим от системы отсчета векторным полем на ^, которое в данной частной системе ф представляет собой поле ускорений тела ^. Разумеется, оно является полем ускорений и во всех системах галилеева класса системы ф. Не зависящее от системы отсчета векторное поле а предста-. вляет основной интерес в динамике.-

. Аксиомы механики

Механика связывает движение тел с приписанными им массами, с силами, которые на эти тела действуют. Тела встречаются только в конфигурациях. Массы и силы могут быть поэтому как-то соотнесены с опытными данными, только если их приписывать конфигурациям тел. Значение массы тела представляет собой действительное число, и можно просто перенести это число на конфигурацию xWO- Однако, как мы видели в § 9, различным наблюдателям в общем случае тело $ представляется в различных конфигурациях, связанных одна с другой- соотношением замены системы отсчета (1.9-4). Нашим допущением о том, что величина массы является скаляром на $, уже подразумевается ее независимость от видимой конфигурации: масса не зависит от системы отсчета. Формально мы можем выразить этот факт в виде аксиомы:

Аксиома А1.

М* = М(1.12-1)

(обозначения те же, что и в § 11).

Мы удостаиваем А1 титула «аксиомы», поскольку именно таковою это утверждение являлось бы, если бы с самого начала избрать описание в терминах систем отсчета.

Фактически наблюдатели могут пользоваться разными единицами массы, но мы не будем здесь останавливаться на этом в сущности тривиальном осложнении.

Так как сила является вектором в Т— трансляционном пространстве пространства ^, — само введение сил предполагает предварительное введение систем отсчета1). Если силы имеют первичное значение, то соотнесение их конфигурациям тел не должно зависеть от наблюдателя. Силы, действующие на конфигурации тела SB в ф и ф* в соответствующие моменты времени / и t*, должны быть связаны преобразованием, индуцируемым в Т заменой системы отсчета ф на ф*. Другими словами, мы требуем, чтобы силы не зависели от системы отсчета. Формально это означает, что выдвигается следующая

Аксиома А2.

f* = Qf (1.12-2)

(здесь снова обозначения те же, что и в § 11; силы, вообще говоря, зависят от времени, но в обозначениях это не отражено).

Аксиома А1 является частью допущения, обычно называемого «принципом сохранения массы»; другая часть, утверждающая, что масса тела одинакова во всех конфигурациях, содержится в нашей аксиоме Ml § 4, согласно которой масса приписывается телам вне всякой связи с теми конфигурациями, которые они могут принимать. Аксиома А2 до недавнего времени во всех изложениях механики лишь подразумевалась из контекста и потому не имеет названия.

Все без исключения традиционные способы изложения оснований механики оставляют понятие силы затененным интуицией. ■ Иные даже питают иллюзию, что сила представляет собой выводимое понятие, существование которого вытекает из некоторых таинственных манипуляций с потенциальными функциями, вариационными принципами и магическими «б». В традиционных изложениях приходится делать какие-то предположения относительно сил, потому что ничто не получается из ничего, ио это молчаливые, если не вообще скрываемые, предположения. Современные воззрения на основания механики возвращаются к точке зрения Ньютона и Эйлера: сила является основным, априорным понятием в механике. Ньютон и Эйлер оставляли силы, как и многие другие вещи, в значительной мере неформализованными. Сегодня .мы применяем к механике метод Гильберта, принятый повсеместно в остальных разделах математики и состоящий в том, что всякий объект, который входит в математическую структуру, должен быть описан явными формальными аксиомами, устанавливающими математические свойства объекта, что позволяет доказывать теоремы об этом объекте. Если есть один такой аксиоматический базис, то имеется и бесконечное множество других. Базис, принятый в настоящей книге, тесно связан с идеями, которые неформально и успешно применяются инженерами уже более века, однако равно допустимы, конечно, и другие.

') Можно было бы, хотя пользы от этого мало, рассматривать ■ У как некоторое векторное пространство, заданное априори, а не обязательно как трансляционное пространство мгновенного пространства ^. В этом случае было бы трудно мотивировать независимость сил от системы отсчета.

Следует заметить, чтр аксиомы А1 и А2 требуют, чтобы наблюдателями в системах со звездочкой и без звездочки использовались одни и те же единицы массы и силы, точно так же, как единицы длины и времени остаются неизменными при замене системы отсчета. Конечно, при вполне общей формулировке, хотя и требуется, чтобы различные наблюдатели в принципе могли . использовать одни и те же единицы, т. е. выбирать одни и те же- метрики, в S, St и" У, не требуется, чтобы они обязательно делали это. Однако общность, достигаемая таким образом, только кажущаяся и не стоит тех осложнений, которые она вносит в математическую сторону дела на данном этапе. При желании этой общности можно достичь впоследствии, просто разрешив свободно изменять единицы во всех системах отсчета, раз уже тре- - бования независимости от системы отсчета удовлетворяются ? (если их вообще можно удовлетворить) при каком-то одном выборе единиц.',

Упражнение 1.12.1. Показать, что нз аксиомы А2 следует, что интеграл ' J (X —xQ)®<Zf^e не зависит от системы отсчета. В частности, не зависит , от системы результирующий момент.■

В более обшей системе механики, допускающей наряду с моментами сил . еще и пары, нужна дополнительная аксиома: моменты не .зависят от си- ■ стемы отсчета.

В § 5 было отмечено, что линейная комбинация Afi + Bfg двух систем сил fi и fj также представляет собой систему сил. . Если мы, что вполне естественно потребуем, чтобы скалярные коэффициенты А и В не зависели от системы отсчета, то аксиома А2 будет выполняться также для комбинаций Afi + Bf2. Таким ■ образом, и после наложения аксиомы А2 линейная комбинация двух систем сил представляет собой систему сил. Обратно, если - f и g — системы сил, то тривиальное разложение f = g + (f— g) . позволяет нам рассматривать f как сумму g и некоторой другой : системы сил. Чтобы оправдать это разложение, мы не можем ' просто взять в качестве g любую функцию, удовлетворяющую аксиомам сил, перечисленным в § 5. Нам, конечно. Надо еще : быть уверенными, что g не зависит от системы отсчета, поскольку аксиома А2 требует, чтобы все силы не зависели от си- - стемы отсчета..

Мы теперь в состоянии наложить требования, связывающие между собой силы и движения, или, более вольно выражаясь, установить роль сил в создании движений. А именно, введем еле- ■ г дующую аксиому.

Аксиома Нолла. При всяком соотнесении сил телам скорость совершения работы системой сил, действующих на каждое тело, не зависит от системы отсчета.

Формально:

Аксиома АЗ.,

W*=W.(1.12-3)

Здесь использованы обозначения (1.8-7) и (1.11-1). Предполагается, что (3) справедливо для всех тел 58, всех систем сил f и всех движений х-

В предположении, что выполняется аксиома А2, можно доказать, что эта аксиома Нолла является необходимым и достаточным условием для того, чтобы результирующая сила- и момент на каждом теле 58 обращались в нуль. В самом деле, применяя (1.8-7) и (1.9-14) к определению (1.5-15), мы видим, что для данных $ и х''

w—w = J (г. л;«-х • <ад= '

J [х5 + Q (X —Хо) - QX] • Qdf,e-J х. df^e =■

QTxJ • J df^e + tr QTQ j (X — Xo) 8 df^e =

QTXo • f (#, ^e) + у tr [QTQF (58; ^e)J. (I. 12-4)

Согласно аксиоме АЗ, правая часть этой цепочки равенств должна обращаться в нуль для всех способов выбора функций Q и Хо. Рассмотрим некоторый данный момент времени t и выберем Q так, чтобы Q(0 = 0. Так как Q(/)TXo(/) может быть любым вектором, аксиома АЗ требует, чтобы

f(#,^e) = 0. (1.12-5)

Раз так, то, применяя к (4) ту же аксиому АЗ, видим, что в пространстве антисимметричных тензоров тензор F^, ^е)Хо должен быть ортогонален каждому тензору вида Q (/)т Q (0. гДе тензор Q(t) ортогонален. Если W — антисимметричный тензор и Q(/) = eeV-tiw, то q^o)_ j и q^0) = w, так что Q(^o)TQ(^)= W. Таким образом, тензор F(^, ^е)Хо -должен быть ортогонален любому антисимметричному тензору. А так как тензор F (^, ^е)х< сам антисимметричен, отсюда следует, что

F(^, ^ = 0. ■ (1.12-6)

Обратно, выполнения соотношений (5) и (6) достаточно для справедливости аксиомы АЗ (аксиома А2 всегда предполагается выполненной). Таким образом, установлена следующая

Теорема (Нолл). Скорость совершения работы не зависит от системы отсчета тогда и только тогда, когда система сил и система моментов сбалансированы.

Для читателя, привыкшего к традиционному изложению механики, на- - помним здесь, что в рассмотрение включены все виды сил. Привычное и полезное разделение сил на «приложенные» и «силы инерции» будет проведено ■ в следующем параграфе.

Из приведенной здесь теоремы Нолла, приведенного в § 5 следствия Нолла и соответствующего ему результата для моментов, упомянутого в § 8, а также из аксиом А2 и АЗ вытекает .

Следствие (принцип действия и противодействия). Для лю-. бой пары отделенных тел ^ и ^.

(I. 12-7)(I. 12-7)Ц$, ^) = -f(^, ^,^^ ^)х, = -р(^ ^

(I. 12-7)

(I. 12-7)

В § 8 мы видели, что специальные допущения аналитической динамики сводят, если система сил предполагается сбалансированной, баланс моментов к утверждению о центральности сил. В более общих и типичных вселенных механики баланс моментов не зависит от баланса сил. Доказательство теоремы Нолла делает ясным, что баланс сил выражает инвариантность скорости совершения работы по отношению к переносам, а баланс моментов—- инвариантность скорости совершения работы по отношению к поворотам. Так как повороты и переносы могут при заменах системы отсчета выбираться независимо, нельзя ожидать наличия какой-либо связи между этими двумя принципами, за исключением вырожденных случаев. -

в нуль. Аналогично, если 98 состоит из двух частей, которые совершают каждая жесткое движение, но не с одним и тем же спином, то "1Р не будет, вообще говоря, равно нулю.

§ 13. Аксиомы инерции. Законы движения Эйлера

Итак, мы рассмотрели тот остов, тот каркас, на основе которого могут быть построены модели всех механических явлений: все тела во вселенной, совершающие движение в полном мире событий. По своей природе человеческий опыт никогда не может воспользоваться преимуществами такой всеобъемлющей картины, не говоря уже о том, чтобы охватить ее всю, ибо опыт человеческий ограничен некоторой частью мира событий и теми телами, которые занимают эту часть в пределах ограниченного периода времени. Это подмножество вселенной может быть малым, а интервал времени — коротким. Самое большее в это подмножество включаются все тела, существование, которых было установлено путем непосредственного наблюдения или путем умозаключений, интервал же времени — это тот период, на который распространяется непосредственно человеческий опыт или проницательность человеческого разума. Каковы бы ни были эти ограничения, какие-то ограничения необходимы, в противном случае мы не могли бы отделить некоторый класс исследуемых явлений от всех остальных, с тем чтобы строить модели для проведения экспериментов или модели дальнейшего развития природы.

С другой стороны," мы не можем просто игнорировать существование всех остальных тел в й, кроме некоторой подсовокупности, или «большой системы» 2, которую мы выделяем для изучения, поскольку эти остальные тела будут, вообще говоря, воздействовать с некоторыми силами на те, которые мы хотим рассматривать. Идея «изоляции» требует только, чтобы было необязательным знание сил, действующих между телами из исключенного множества тел, и движений этих тел. Если $е2 и если через 2е обозначить соединение всех тел, внешних по отношению к 2, то мы рассматриваем f(^, 2е) и не принимаем во внимание любые силы, с которыми могут воздействовать части 2е друг на друга, и любые движения, которые эти части могут совершать. ' '

Можно Также ограничить мир событий У и Пространство моментов времени, ио в классической механике этого не принято делать.

В классической механике в ее наиболее общей форме большая система 2 характеризуется двумя аксиомами инерции. Согласно первой из них, существует система отсчета 0, такая, что

любое тело, количество движение которого в этой системе остается постоянным во времени, не испытывает со стороны 2е никакого силового воздействия и обратно.

Аксиома 11. Существует система отсчета ф, такая, что если : на некотором открытом интервале времени m (X х) = const, то на этом интервале f(^, 2е) = О, и обратно. Согласно (1.8-27) эквивалентная формулировка такова; существует такая система отсчета, что центр масс р тела ^ движется прямолинейно с по- - стоянной скоростью относительно данной системы отсчета тогда - и только тогда, когда на тело ^ со стороны 2е не действует ни- 1 какой силы. Система отсчета, обладающая этим свойством, на- - зывается инерциальной системой, и первая аксиома инерции ут- * верждает, что инерциальная система существует.

Первая аксиома инерции, хотя она и говорит о существовании некоторой частной системы отсчета ф, сама по себе яв- г ляется не зависящим от системы отсчета утверждением, в котором выдвигаемое условие налагает ограничение на системы - отсчета, но не зависит от соотнесения их миру событий. Более - того, она не зависит от того, какая система сил рассматривается. „ Аксиома А2 утверждает, что все силы не зависят от системы отсчета. Поэтому вне зависимости от того, какова функция f, если • только она удовлетворяет аксиомам, налагаемым на системы сил, сила, действующая на 98 со стороны 2е, обращается в нуль = в одной системе отсчета тогда и только тогда, когда она обращается в нуль во всех системах отсчета.

/ = /2у2е./ = /2у2е.. Первую аксиому инерции можно выразить и по-другому. " Внешность 98й тела ^ можно разложить на две отделенные части: часть, состоящую из других входящих в 2 тел, отделенных - от 98, и часть, представляющую собой соединение всех тел из 2е:

/ = /2у2е.

/ = /2у2е.

(1.13-1) ;

Здесь 984 — та ^часть внешнего по отношению к $ тела, которая \ также является частью большой,системы 2, а 2е — это, конечно, ; внешность большой системы. Если $8- -< 98, то, согласно аксиоме F3 § 5,

f (^, 98е) = f (^, ^) + f (^, 2е),

где второе соотношение относится к векторнозначным мерам, которые указанные три системы сил определяют на 98 согласно аксиоме F4 §'5. Ввиду (1.8-8) имеем аналогичное разложение для

моментов относительно х0:

F(^, OX, = F(^, ^)х +F(^, 2е)х, №•),-("< + №•)„■ ,L,33,

В частности, для результирующей силы и результирующего момента имеем следующие разложения:

' f(^, ^e) = f(^, ^s) + f (^, 2е),

F(^, ^)xg = F(X rs)Xo + F(X 2e)xv (L ,3'4)

Первые члены в правых частях каждого из этих равенств зависят только от тел, входящих в большую систему 2, и потому в принципе доступны измерению и наблюдению. Мы называем эти члены приложенной к jg силой и приложенным к S3 силовым моментом, а соответствующие функции от S3 обозначаем через Г И F^:

fa (^) = f (SB, ^), Fa (^xa = F(SB, 9&\o.(1.13-5)

Хотя аксиому II можно рассматривать независимо от общих аксиом механики, изложенных в § 12, мы, конечно, хотим применять и эти аксиомы тоже. Тогда на основании теоремы Нолла из § 12 левые части (4)1 и (4)2 обращаются в нуль, так что соотношения (4) принимают вид

(I. 13-6)(I. 13-6)F Wx=-FF Wx=-Ffa(^) = -f (S3, 2е),(^, 2Х-

(I. 13-6)

(I. 13-6)

F Wx=-F

F Wx=-F

Соответственно аксиому II можно выразить следующим образом, при условии, что принимаются аксиомы А1 —АЗ § 12:

Существует система отсчета, по отношению к которой количество движения SB постоянно в том и только в том случае, когда на S3 не действует никакой силы.

Существует система отсчета, по отношению к которой центр масс тела S3 движется прямолинейно с постоянной скоростью в том и только в том случае, когда 98 — свободное тело.

Во втором утверждении термин свободное тело означает, конечно, такое тело 98, для которого fa (^) = 0.

Ньютон выдвинул в 1687 г. трн закона движения. Первый из них гласит: «Любое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока оно не будет вынуждено воздействующими на него силами изменить это состояние». В общей схеме современной механики эта аксиома не всегда справедлива, так как тело может быть подчинено внутренним или внешним ограничениям, не выражаемым при помощи понятия системы сил. Примером может служить не испытывающее никакого воздействия сил абсолютно твердое тело, обладающее спином относительно некоторой осн, проходящей через его центр масс; части такого тела.

которые также являются телами, движутся таким образом, что их центры - масс описывают окружности вокруг оси спина. Сам Ньютон никак ие уточнял ■ математических свойств тел или сил, так что о его намерениях делали за- ^ ключеиия читатели, причем по ходу времени различные читатели по-разному ; трактовали его слова. Нашу аксиому 11 можно рассматривать как одну из’ интерпретаций первого закона Ньютона.s*

В § 11 был определен галилеев класс как множество всех , систем отсчета, в группе преобразований которых друг в друга ускорение не зависит от системы отсчета. Если ускорение опре-. деленного тела-точки обращается в нуль в одной системе от-' счета, то оно обращается в нуль во всех системах отсчета, принадлежащих тому же галилееву классу. Поэтому на основании ' (1.8-27) количество движения тела постоянно в одной системе отсчета в том и только в том случае, когда оно постоянно во ’ всех системах отсчета того же галилеева класса. Таким образом, - окончательно: класс инерциальных систем является галилеевым^ классом. Соответственно аксиома И требует, чтобы если система - сил f такова,-что f(X 2е) = О в одной системе отсчета ф, то f*(X2e) = 0 в любой системе отсчета ф*, принадлежащей га- ■ лилееву классу системы ф. Это вовсе не накладывает на тела 98 и силы f ограничения, чтобы Ц98, 2е) #= 0.■

Согласно астрономическим наблюдениям, некоторые из наиболее удален- ^ ных звезд почти покоятся по отношению друг к другу. В приложениях при-' " пято ‘ относить к классу инерциальных систем отсчета системы, равномерно движущиеся относительно системы отсчета, в которой эти «фиксированные .звезды» неподвижны. В теории же просто предполагают, что инерциальные ■ системы отсчета существуют, и не входят в обсуждение вопроса о том, как _ эти системы надо интерпретировать в природе.“

■ Если какая-то система отсчета, удовлетворяющая аксиоме II, ,, задана, то можно спросить, какие силы действуют на тело 98, ’ совершающее по отношению к ней произвольное движение. Эти силы должны подчиняться следующим условиям:-

Так как f является функцией пар отделенных тел, то - Ц98, 2е) может зависеть от движения тел самое большее через посредство движения 98 и движения 2е.-

Так как мы ничего не знаем о природе тела 2е или о его -» движении, то сила 1№2е) должна зависеть только от ^ и его ■■ движения.. >

Для согласования с аксиомой И сила Ц98, 2е) должна обращаться в нуль, если т(98, х) = const.:

В основе классической механики лежит предположение, ко- - торое представляется наиболее простым, согласующимся с этими " тремя требованиями, а именно:•

Аксиома 12 (Эйлер). В инерциальной системе отсчета 2

f(^,2e) = -m(^; х).(1.13-7)4

До сих. пор единицы длины, времени, массы и силы были независимы, и аксиома II не требовала, чтобы существовало какое-либо соотношение между ними, так как она просто утверждает, что определенная сила обращается в нуль, когда обращается в нуль определенное ускорение. Но даже для того только, чтобы иметь право сформулировать аксиому 12, мы должны предположить, что силы могут быть выражены в механических единицах, — в частности, что размерность силы имеет вид (масса) X (ускорение), т. е. (масса) (длина) (время)-12.

Представляется, что истоком этого предположения явились не какой-либо определенный эксперимент или наблюдение, а то, что в первую очередь были осознаны силы специального вида, а именно веса. Со временем было установлено, что вес пропорционален массе, и на самом деле вначале силу (вес) и массу часто смешивали друг с другом. Тот ' факт, что единицы силы являются единицами именно того специального вида, который необходим просто для того, чтобы мы могли рассматривать аксиому 12 в качестве возможной гипотезы в теории явлений природы, этот факт должен быть доступен экспериментальной проверке).

Хотя, по-видимому, для проверки этого предположения никогда не было не только проведено, но даже предложено никакого эксперимента, оно принимается всеми. .

Аксиома 12 согласуется с аксиомой F4 § 5, поскольку, как показывает (I.8-5)i, скорость изменения количества движения некоторой части тела ^ является значением некоторой меры на %. Точнее, для гладких движений соотношение (I.8-5)i позволяет записать (7) в виде '

d^-'idM, .

. (dFse)xo = -(% - Хо) А х dM. Ц 1

Второе равенство следует из первого, потому что мы приняли (1.8-8), В более общей системе механики мы должны были бы ввести (8)2 или какую- нибудь другую аксиому независимо от (8)1.

Силы и моменты, даваемые соотношениями (8), называются инерционными). При условии, что система ф является инерциальной, это как раз те силы и моменты, которые действуют на тела большой системы 2 со стороны тел, находящихся вне 2,- каковы бы эти тела ни были. В случае когда вместо ф берется произвольная система ф*, мы полагаем, что неизвестные движения внешнего тела 2е преобразуются в соответствии с той же самой заменой системы отсчета ф на ф*, что и движения S. Поэтому вторая аксиома инерции, хотя она и относится к неко-' торому частному классу систем отсчета, сама по себе является

утверждением, не зависящим от Системы отсчета. Формулируя ее так, как мы это сделали, при помощи инерциальной системы отсчета, мы следуем традиции, но поступать так необязательно. Аксиома А2 § 12 утверждает, что все силы не зависят от системы отсчета. Таким образом, величина в левой части (8)1 не зависит от системы отсчета. Независимое от системы отсчета утверждение, которое сводится к (8)1 в случае инерциальной системы, имеет вид

df(SB, T.e') = — adM, (1.13-9) где а представляет собой то не зависящее от системы отсчета векторное поле над S3, которое в инерциальной системе отсчета сводится к х- Мы уже вычисляли а, см. (1.11-3). В остальной части книги мы будем, следуя традиции, молчаливо предполагать, что используемая система отсчета инерциальна, так что (8) выполняется.

В основе использования инерциальных систем отсчета лежит нечто большее, чем уважение к традиции. Существенной чертой классической механики является существование специальных систем отсчета, в которых соотношение между силами и движениями, которые ими вызываются, имеет особенно простой вид. Так как мы имеем эти удачные системы отсчета, было бы просто глупо ими не воспользоваться. Когда в целях интерпретации, для каких-то частных случаев, мы пользуемся некоторыми системами отсчета, не являющимися ииерциальнымя, как, например, в задачах, связанных с вращением Земли, мы сначала формулируем законы механики в инерциальной системе отсчета, а затем переходим к той системе, которой интересуемся. Таков традиционный подход, восходящий к Клеро и Эйлеру. В полной общности этот подход состоит в замене (8) на (9).

Если вспомнить, что из общих аксиом механики следует (6), то аксиома 12 показывает, что

fа ^ = га О, X), Fa ^Хо = М (,9В, Х)х1. (1.13-10) Для получения второго соотношения мы воспользовались (8)? Таким образом, приложенная к 9В сила равна скорости изменения количества движения тела 93 в инерциальной системе отсчета, а приложенный момент равен скорости изменения момента количества движения тела 96 в этой системе отсчета, причем как приложенный момент, так и момент количества движения берутся по отношению к месту х0, которое неподвижно в инерциальной системе отсчета.'Эти два утверждения называются законами движения Эйлера. Формальное изложение в остальной части книги основано на этих законах, а не на тех более общих идеях, от которых мы к ним пришли. Обычно мы будем записывать эти законы сокращенно: - .

fa = m, Fa = M. (1.13-11)

Как мы видели, в произвольной системе отсчета соотношение (8)1 должно быть заменено на (9). При соответствующей замене соотношения (8)2 следует

быть осторожными, так как в нем х0 является фиксированным местом в инерциальной системе координат. Окончательная общая форма законов Эйлера (10) такова:■

'fa (#) = J а dM,

*(I. 13-12)

Fa Wy. = J (х ~ М A a dM,

98

где уо — фиксированное место в некоторой инерциальной системе ф, Хо — соответствующее место в произвольной системе ф и а дается формулой (1.11-3). Правые части (12) равны скоростям изменения количества движения и' момента количества движения, только если система отсчета инер- циальна.

Возвращаясь к использованию инерциальной системы отсчета, что мы всегда будем делать дальше, заметим, что в силу (1.8-27) первый закон Эйлера (11)1 можно выразить через движение центра масс р тела

fa = Mp. .(1.13-13)

Таким образом, приложенная к телу сила равна массе этого тела, умноженной на ускорение его центра масс в инерциальной системе отсчета.

Последняя формулировка представляет собой один из старейших общепринятых принципов механики, который в явной или неявной формулировке вновь и вновь использовался в восемнадцатом веке. Его иногда рассматривают как выражение второго закона Ньютона; «Изменение движения пропорционально движущей силе и происходит в направлении прямой, вдоль которой эта сила действует».

В аналитической динамике система 5 обычно включает в себя лишь некоторую часть Я?о окружения Я? данной точечной массы, остальная часть считается находящейся вне 5:

a? = a?0VSe,(1.13-14)

так что

f? = f (Хр Я?) = f (Хр Я?о) + f (Хр 5е) = f? - М /хр (I. 13-15) где

f® ■ f (Хр Я?о),(1.13-16)

Сила f° называется внешней или извне приложенной силой, действующей на X#. Первый закон Эйлера (10)1, выраженный через эту силу и силы взаимодействия f<j, принимает вид".

= (1.13-17)

/=1.

в чем можно убедиться также, подставив (15) в (1.5-26)1. Уравнения такого вида часто называют «ньютоновскими», хотя нигде в трудах Ньютона они не встречаются.

1=11=1=42^=^';*_ (1.13-18)=42^=^';*_ (1.13-18)Упражнение 1.13.1 (Нолл). Показать, что аксиомы инерции в приложении к аналитической динамике не изменяют требования (1.5-23) и теоремы Нолла, приведенной в конце § 8. Таким образом, в аналитической динамике второй закон Эйлера эквивалентен (в предположении, что первый уже принят) утверждению о том, что силы взаимодействия центральны. Более того, для полной системы точечных масс

1=1

1=1

=42^=^

';*_ (1.13-18)

=42^=^

';*_ (1.13-18)

п■ ^(^-x^AfOi=i

здесь второе соотношение, выражающее принцип момента количества движения, является простым следствием (17) и (1.8-23). Это теоремы о количестве движения и о моменте количества движения в аналитической динамике.

Сравнение (18)1 с (13) показывает, что в инерциальной системе отсчета движение центра масс тела Я совпадает с движением точки, масса которой такая же, как у тела 3, расположенной в центре масс тела Я и подвергающейся воздействию результирующей силы, приложенной к Я. Таким образом, если мы не хотим зиать о движении какого-то тела ничего, кроме движения его центра масс, и если мы можем определить приложенную к этому телу силу, нам нет необходимости вникать в механику глубже, чем до уровня аналитической динамики. Этот факт в значительной мере объясняет прагматические успехи аналитической динамики. В частности, ее использование совсем не означает, что тело $ в действительности занимает не более чем дискретное множество точек пространства, оио означает лишь то, что наша любознательность вполне удовлетворяется определением движений такого множества точек. Стандартным примером здесь является Солнце с его планетами н кометами. Этот пример типичен в том отношении, что достаточность или недостаточность аналитической динамики для описания движений зависит от того, насколько глубоко мы намереваемся проводить исследование. Для некоторых задач или в некоторых тонких случаях бывает необходимо принять во внимание спии и даже форму тел, и тогда аналитическая динамика в том виде, как оиа представлена соотношениями (17), (1.5-23) й (1.8-23), оказывается уже недостаточной.

Из (13) видно, то движение центра масс любого тела определяется с точностью до произвольно задаваемых положения и скорости в какой-то момент времени, если результирующая сила, действующая на это тело, является известной функцией времени. Для случая жесткого движения тела можно сказать большее. Рассмотрим сначала случай, когда одно тело-точка х0 тела 38 в жестком движении остается в покое в инерциальной системе отсчета. Подстановка (1.10-11)2 в (11)2 Дает тогда дифференциальное уравнение Эйлера для жесткого движения

QFtQT == Е\А + АЕ% + Е**А2 - AV». (I. 13-19)

о хоо оо

Здесь F%—приложенный момент в системе покоя ф* относительно (постоянного) места Хо, занимаемого в ф* телом-точкой,

которое покоится на месте х0 в инерциальной системе ф. Так как Ех* — известный постоянный тензор, то, если результирую

щий момент Fx* известен, (19) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка для спина А системы покоя ф* относительно инерциальной системы ф.

Даже если никакое тело-точка не находится в покое в инерциальной системе отсчета, мы можем обратиться к (1.10-13), где место X! фиксировано в системе отсчета ф, которую мы считаем инерциальной, а х0(/) —место, занимаемое в ф в момент времени Г центром масс тела ^. На основании (11) и (1.8-9) мы имеем тогда'

R-P A f = Ft = - EX0W - WEX, + EXoW2 - W2EXo, (1.13-20)

или, эквивалентно,

Fx‘ = E*»A + AE*. + E>A2 - A2E> (1.13-21)

X1 xoо 0o’

где xo—место, занимаемое центром масс в системе покоя ф*. Это результат того же вида, что и (19), и его можно аналогично интерпретировать.■

Если предположить, что Fa* — непрерывная функция вре- о

мени, то существует единственное решение А уравнения (19), соответствующее любому заданному начальному значению А (/о), причем если это начальное значение антисимметрично, то, как читатель легко может проверить, это имеет место для А(/) при всех t. Приведенная в § 9 теорема дает условия, при которых спин А определяет относительную ориентацию Q. Аналогичные Соображения применимы к (21).

Все эти результаты подытоживает следующая

Теорема. Пусть тело 95 совершает жесткое движение, и пусть Е * — его эйлеров тензор в системе покоя относительно места хо-

х5. Предположим, что либо

А. Место хо в ф* занимает тело-точка, остающаяся в покое на месте Хо в инерциальной системе отсчета, либо

Б. Место хо в ф* занимает центр масс тела 95. При этом предположим, что место хо(О, занимаемое в инерциальной системе отсчета ф центром масс тела 95, известно, например в результате интегрирования (13).

Тогда задание начальной ориентации Q(A>) системы ф* относительно ф определяет единственную систему покоя ф* и, следовательно, единственное жесткое движение тела 95.

Грубо говоря, если одно тело-точка тела 95 остается в покое в инерциальной системе отсчета или если известно движение центра масс тела 95 относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то жесткое движение тела 95 определяется с точностью до несущественных констант заданием результирующего момента.

Эта теорема позволяет нам уточнить, если мы того желаем, бедную схему механики, доставляемую аналитической динамикой. Если мы довольствуемся рассмотрением движения какого- либо тела как жесткого, то мы можем найти это движение по результирующему моменту, если только установлено существование какой-нибудь неподвижной точки или определено движение центра масс. Для этого нам нужно знать о самом теле только его эйлеров тензор Ех* относительно соответствующего места х5 в системе покоя.

Как мы заметили выше, для применения механики точечных масс нам вовсе не нужно предполагать, что все тело 98 занимает одио-едииствеиное место; мы должны просто удовлетвориться нахождением движения центра масс тела 98, смирясь с тем, что нам останутся неизвестны движения, которые могут совершать остальные точки тела 98 относительно этого центра. Аналогично, чтобы применить теорию жестких движений, нам не нужно предполагать, что тело 98 способно совершать лишь такие движения; мы должны просто удовлетвориться выделением какой-нибудь одной конфигурации тела Ж и предположить, что по отношению к некоторой системе отсчета эта конфигурация остается иеизмеииой. Грубо говоря, аналитическая динамика и теория жестких движений определяют некие аспекты движений всех тел, вне зависимости от того, представляют собой эти тела точечные массы, либо абсолютные твердые тела или нет. *

Если мы оглянемся теперь назад на чисто кинематическое следствие о стационарных вращениях, приведенное в конце § 10, то, используя аксиомы инерции, сможем получить из него важное предложение механики. .

Ось свободного вращения — это прямая, сохраняющая свое направление в некоторой системе покоя и обладающая тем свойством, что относительно нее может совершать вращение тело, на которое не действует никакого результирующего момента по отношению к некоторой точке этой оси. Такая ось с необходимостью является стационарной осью вращения и, конечно, осью момента количества движения. Таким образом, имеет место следующая ■

Теорема (Эйлер). Оси свободного вращения, проходящие через центр масс тела или через тело-точку, покоящуюся в неко-

торой инерциальной системе отсчета, являются главными осями инерции. В частности, тело в некоторой данной конфигурации может свободно вращаться1) вокруг какой-либо прямой, только если эта прямая является одной из его главных осей инерции.

Так как тензор Ех симметричен, имеется либо ровно три таких оси, перпендикулярных друг другу, либо бесконечное множество осей. В последнем случае либо вообще всякая прямая служит главной осью инерции, либо главными осями инерции являются некоторая определенная прямая и все прямые из перпендикулярной к ней плоскости.

Упражнение 1.13.2 (Эйлер).. Пусть е, f, g— тройка ортонормированных собственных векторов тензора Е * в системе покоя ф и тело 98 вращается хо

вокруг главной оси инерции, определяемой вектором е, так что

A = efAg,(1.13-22)

где <о = | А |/]/^. Пусть х0 = х0 = а — некоторое место на этой оси. Доказать, что уравнение Эйлера (21) сводится к уравнению

. F<=FfAg.(1.13-23)

хо

где-

Р — 16>, / = £24-Дз,■(1.13-24)

Е2 и Е3—собственные числа эйлерова тензора Е ., соответствующие собствен'хо

ным векоторам 1 и g.■

§ 14. Энергия

В § 12 мы выдвинули требование независимости скорости совершения работы W от системы отсчета. В некоторой инерциальной системе отсчета эта скорость совершения работы имеет замечательную интерпретацию. Именно, если подставить (I. 13-8)1 в определение W (I. 8-7) и сравнить результат с (1.8-2), то мы увидим, что

W = P-K,(1.14-1)

где К — кинетическая энергия тела 95, a Р — мощность, т. е. скорость совершения работы силами, действующими на 95 со стороны одних лишь внешних по отношению к нему тел из большой системы 5:

P^i-dt^,^.(1.14-2)

-я

Мы упростили здесь запись, не выписав некоторые аргументы. Соотношение (1) утверждает, что скорость совершения работы W равна мощности сил, действующих на тело ^ со стороны его внешности в большой системе 2, за вычетом скорости возрастания кинетической энергии тела в некоторой инерциальной системе отсчета. Равным образом можно сказать, что скорость совершения работы инерционными силами равна — К.

Если в какой-то инерциальной системе отсчета вся производимая работа превращается в кинетическую энергию, т. е. Р = = К, то

U7 = 0.(1.14-3)

В таком случае употребляют термин механически совершенный. Этот термин может относиться к телу, системе сил или к движению— к чему нам удобно в данный момент его отнести. Условие (3) независимо от системы отсчета, так что оно может быть наложено на все тела, все движения или все системы сил, в какой угодно комбинации. В § 12 было доказано, что жесткое движение любого тела и все движения одной-единственной точечной массы механически совершенны. Это вытекает из аксиомы Нолла § 12 и не требует обращения к аксиомам инерции. Однако последние позволяют интерпретировать этот результат как утверждение о том, что в некоторой инерциальной системе отсчета скорость совершения работы силами, действующими на ^, балансируется увеличением кинетической энергии тела X

Более общо, действие сил не обязательно должно проявляться в движении, но может полностью или частично проявиться в производстве тепла; и обратно, нагревание тела может привести его в движение. Это можно видеть на примере сжатия газа поршнем или расширения газа, который движет поршень и, совершая работу, охлаждается. Бывают также ситуации, когда тело может нагреваться или охлаждаться без каких бы то ни было последующих эффектов, которые можно было бы опознать как движение. Существование такого типа нагрева наводит на мысль ввести понятия системы скоростей нагрева Q^,^ — скалярнозначной функции пар отделенных* тел, удовлетворяющей аксиомам точно того же вида, что и аксиомы F1 —F4 § 5, и внутренней энергии тела $— скалярнозначной функции Е^Х- Обе эти величины зависят в общем случае от времени, что мы не отразили в обозначениях. Результирующая скорость нагрева — это Q(XX), а представление о том, что тепло, втекающее или вытекающее из тела X накапливается внутри ^ или отнимается от него, находит свое воплощение в уравнении.

E^) = Q^, 98е).(1.14-4)

Обстоятельства, при которых справедливо это уравнение, называются энергетически совершенными.

Упражнение I. 14.1. В предположении, что справедливо (4), показать, что Ё представляет собой аддитивную функцию множеств в том и только в том случае, когда Q (^, ^) = — Q (^ ^) для всех пар отделенных тел 98 и 98.

Функции Ё и Q как определенные на телах и парах тел соответственно могут быть перенесены на конфигурации тел. Так как при рассмотрении энергии и тепла нет никаких оснований для предпочтения одной системы отсчета другой, предполагается, что Е и Q являются независимыми от системы отсчета скалярами. Точнее, по аналогии с аксиомами А1 —АЗ § 12 вводится

Аксиома EL

Е = Е, Q* = Q.(1.14-5)

Упомянутый выше пример связи между нагревом и действием сил показывает, что условия (3) и (4) в общем случае не выполняются. Этот пример наводит на мысль, что между W, Ё и Q существует какая-то связь, но не диктует никакого конкретного соотношения. Единицы для Q и, следовательно, согласно (4), для Е были введены сначала применительно к условиям, в которых силы и движения отсутствуют. Эти единицы называются «тепловыми» и все еще широко используются в настоящее время. Решающие эксперименты Джоуля и других показали, что, несмотря на разобщенность первоначальных представлений о нагреве с понятиями механики, скорость нагрева может быть измерена в единицах скорости совершения работы. Этим выражается принцип эквивалентности тепла и работы. Этот принцип наводит на мысль, что скорость нагрева Q и скорость совершения работы W можно рассматривать как факторы, совместно производящие энергию, и это последнее предположение называется предположением о балансе энергии *) или, иногда, первым законом термодинамики.

Аксиома Е2.

E = W-VQ.(1.14-6)

Здесь аргументы $, &, х и т. д. наших трех функций опущены для облегчения записи.

Скалярная функция2), которая согласно этой аксиоме должна обращаться в нуль, независима от системы отсчета, так как Ё, W и Q таковы^

Понятие инерциальной системы отсчета и тем более аксиомы инерции не играют в теории энергии никакой роли. Вводя понятие энергии после изложения принципов механики, мы лишь следовали историческому порядку; придерживаясь логического порядка от общего к частному, следовало бы ввести аксиомы Е сразу после аксиомы АЗ § 12.

Сопоставляя аксиомы Е с (4) и (3), мы видим, что понятия «механически совершенный» и «энергетически совершенный» эквивалентны.

Теории механически и энергетически совершенных движений или тел не типичны для общей механики: они позволяют изучать и определять результаты воздействия сил без указаний или даже упоминаний о нагреве, а результаты нагрева — без указаний или -даже упоминаний о силах. Примером первого может служить любое движение точечной массы или жесткое движение любого тела, поскольку, как мы видели в § 12, в обоих случаях всегда й? = 0. Примером второго служит классическая теория теплопроводности, в которой с самого начала предполагается, что Ё = Q. Если в этой теории принять, что все тела покоятся, то, очевидно, будет № = 0; но фактически эта теория в ее классической формулировке согласуется с аксиомами Е только при Й7 = 0.

В аксиоме Е2 аксиомы инерции И и 12 никак не используются, и ее можно ввести независимо от них. В инерциальной системе отсчета мы имеем соотношение (1) между мощностью Р системы сил в большой системе 2 и кинетической энергией К, так что аксиома Е2 дает ,

K-¥E = P^Q. (1.14-7)

Это Следствие аксиом инерции и баланса энергии будет исходным пунктом всех рассмотрений нагрева и энергии в данной книге.

Сумма К + Е называется полной энергией тела ^ в конфигурации х в момент времени t. Таким образом, уравнение (7) утверждает, что в инерциальной системе отсчета сумма- скорости нагрева тела ^ и мощности сил в большой системе, действующих на $, равна скорости увеличения полной энергии тела Ж.

Внутреннюю энергию ие следует смешивать с так называемой «потенциальной энергией», которая существует лишь для вполне определенных специальных видов систем сил. Этот термин имеет несколько различный смысл в разных конкретных теориях.

Для иллюстрации изберем аналитическую динамику. Исходя из соотношения (2) с учетом (1.13-16) и используя (1) и (1.8-13), находим

^xJ^+^f, =Р-П7=/<. (1.14-8) 1=1 \ /=! /

Теперь наложим ограничительное предположение, что приложенные извне силы f° и силы взаимодействия f,j следующим образом получаются из независимых от системы отсчета скалярных потенциальных функций Vo(x) и

Vm (у):

f°=-VK0(x)|

Здесь, как обычно, Хк — положение точечной массы Хк в момент времени ( при движении х и все индексы пробегают значения от 1 до п. По причинам, которые сейчас станут ясными, такая система сил называется консервативной.

Упражнение I. 14.2. Показать, что при изменении системы отсчета Ит (v) = Ут (у) тогда н только тогда, когда •) Ут (у) = Ут (| о |); следовательно, силы взаимодействия центральны. Интерпретировать это требование в терминах независимости от системы отсчета. Доказать, что если при изменении системы отсчета У0(х , х0) = У0(х, х0), где х0— некоторое фиксированное место, то сила 1; параллельна х; — х0, и обратно. Доказать, что аналогично У0(х* — х0, п ) = У0(х — Xq, п), где п — не зависящий от системы отсчета единичный вектор тогда и только тогда, когда t{ является суммой некоторого вектора, параллельного х — х0, и некоторого вектора, параллельного п.

Следуя • за данным движением, определим такие функции одного лишь времени:

У;(<; х) = Ко(хг),.

'V „(1.14-10)

X) — 1.

(0,i = /,

Следовательно,

Vtf?-x„

^ij = ^ji = - ^i1 xt ^ij1X/i■ (1.14-11)

для получения второго результата мы воспользовались (1.5-23).

Потенциальной энергией V системы сил вида (9) называют следующую функцию п мест уА и — п (я — 1) векторов v;m, I > m, m = 1, 2, ...:

пп ■

V «У»}- Ы) - 2 ^о(УО + 2 ^m Ы. (I. 14-12) Z-II, i=\

здесь для формального удобства положено Ут (0) = 0. В каком-либо данном движении х, если положить ytsx{ и v^ ^ х{ — Хр каждое слагаемое в (12) определяет, согласно (10), некоторую функцию от t, и мы таким образом получаем следующую функцию для рассматриваемого движения тела 93, включающего в себя все п точечных масс:

V (#-, t; X) = 2 Vt (1; Х) + j Vu (t; X).(1.14-13)

i=lI, i=\

Если это выражение продифференцировать по t и подставить в получившийси - результат (11), то мы найдем, что. ;

■ ■ Й = -2 xt. f”+ 2^к(1.14-Ц).

г=1 к /=1 /-

Сравнение с (8) дает следующую теорему энергии1.'

В аналитической динамике ,,

/C + V = const(1.14-15)

при условии, что система сил консервативна. Это значит, что сумма кинетиче- _ ской и потенциальной энергий всей системы при любом данном движении % $ имеет постоянное значение." .

Упражнение 1.14.3. Сформулировать и доказать соответствующую теорему для жесткого движения.>

Величину К + V иногда также называют «полной энергией» системы, но в данной книге мы сохраним это название лишь за К + Е. В случаях, когда " потенциальная энергия существует, мы не будем пытаться включить ее в Е. Внутренняя энергия Е вхрдит в некоторый общий закон механики и, следовательно, принадлежит ее основной структуре. Конечно, в некоторых частных а задачах мы можем обойтись даже без упоминания о внутренней энергии Е, | но она всегда в них присутствует по определению. В противоположность этому " потенциальная энергия V существует только в исключительных частных слу- “ чаях. Она представляет собой вспомогательную величину. Какой бы полезной . в описании важных частных систем и в решении важных частных задач она‘

ни была, в понятийную структуру рациональной механики как целого она.

не входит.■'

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)

W. МоИ, The foundations of classical mechanics in the light of recent advances in continuums mechanics, «The Axiomatic method, with Special Reference to Geometry and Physics» (Colloq. at Stanford, 1957), Amsterdam, North-Holland, 1959, 266—281. -

W. Noll, La mecanique classique, basee sur un axiome d’objectivite, «La Methode Axiomatique dans les Mecaniques Classiques et Modernes» (Colloq. International a Paris, 1955), Paris, Gauthier-Villars, 1963, 47—56.

W. Noll, Euclidian geometry and Minkowskian chronometry, Amer. Math. Monthly, 71 (1964), 129—144.-

W. Noll, The foundations of mechanics, «Non Linear Continuum Theories», Centro Internazionale Matematico Estivo, I Cielo 1965 (dir. C. Truesdell e G. Grioli), Ediz. Cremonese, Roma, 1966, 159—200. [Corrected reprint, Report Series 66—2, Dep. Math., Carnegi Inst, of Technology, Pittsburgh 1966.]'

M. E. Gurtin & W. 0. Williams, On the first law of thermodynamics, Arch. Rational Meeh. Anal., 42 (1971), 77—92.

Глава II

КИНЕМАТИКА

Тела, конфигурации, движения.

В § 1.4 мы условились, что под телом % мы будем понимать борелевское множество в некотором пространстве Q, на котором определена неотрицательная мера М, называемая массой. В действительности для большинства целей достаточно ограничиться применением термина «тело» к множествам, являющимся замыканиями открытых множеств. Элементы X из ^ называются телами-точками. В механике сплошных сред мы предполагаем, что ^ фактически гомеоморфно замыканию некоторой регулярной области1) пространства S. В § 1.7 мы определили движение х тела ^ как отображение множества ^ на область х№0 трехмерного эвклидова пространства 8 в момент t;

x = l^X,t\ Хе^, ts^.(П. Ы)

Образ х№0 отображения х в момент t мы называли конфигурацией тела ^ в момент t.'

Не следует смешивать конфигурации с самими телами, хотя тела доступны для нашего восприятия только в той или иной конфигурации. В аналитической динамике (§ I. 3, пример 1) тела дискретны и потому находятся во взаимно однозначном соответствии с числами 1, 2, ..,, п. Никто никогда не путает шестое тело с числом шесть или с тем местом, которое случается занять

*) Определение регулярной области можно найти в § IV. 9 многократно переиздававшейся книги О. Kellog «Foundations of potential theory». Примером регулярной области служит замыкание открытого множества, граница которого является объединением конечного числа поверхностей с непрерывно меняющейся нормалью, соединенных в вершинах или на правильных дугах. Правильная дуга — это непрерывно дифференцируемый образ замкнутого интервала. Граница регулярной области может содержать конечное число ребер и конических точек. -

В § 1. 4 мы пояснили, почему было бы полезным в механике более общее понятие тела, не имеющее пока адекватного математического выражения. Мы ограничиваемся в выборе образов тел замыканиями регулярных областей лишь ради облегчения изложения, чтобы можно было применять теорему .о дивергенции к конфигурациям тел, при условии, что поля, к которым мы хотим ее применить, достаточно гладкие. См. также частный случай, рассмотренный после примера 3 в § 1.3.

Обобщения теоремы о дивергенции на иные типы полей и областей обсуждаются в упомянутой выше книге Келлога (§ IV, 10— IV, 11).

шестому телу в момент /. Число шесть — это просто ярлык, прикрепленный к телу, и с тем же успехом можно было бы воспользоваться другими ярлыками. Аналогично этому в механике сплошной среды тело Ж может занимать бесконечно много различных областей, и ни одну из них не следует смешивать с самим телом.

Как и в § I. 2, мы будем называть подтела ^ данного тела $ его частями.■

В этой книге мы будем предполагать, что конфигурации рассматриваемых тел в различные моменты времени представляют собой ограниченные области пространства. Ценой некоторого усложнения техники можно включить в рассмотрение также и тела, заполняющие неограниченные области. Мы будем иногда рассматривать движение таких тел — например, в случае течения жидкости, заполняющей все пространство, — но при математическом описании будем сосредоточивать свое внимание на некоторой части 9 тела ^, конфигурации которой в некоторый конечный интервал времени остаются внутри ограниченной области. Если явно не будет указано противоположное, термин «тело» в дальнейшем изложении будет относиться только к таким частям.■

В § 1.7 мы условились также, что наши движения х дифференцируемы по t столько раз, сколько нужно, и определили ско- ...(п)

рость х, ускорение х и п-ю скорость х, n^ 1, как значения последовательных производных по времени:

х = х№ О,'

£=£(Л, О,...,(1.7-7)

(п)(п)

■х = х № О-

В большинстве случаев достаточно двух производных по времени, а в некоторых случаях и одной. Эти производные при любых фиксированных X и t являются векторами в V—трансляционном пространстве пространства S. Когда X пробегает тело '(п)

%, значения х образуют зависящее от времени векторное поле на Ж

В механике сплошной среды, к которой мы в последующем обратимся, предполагается, что движение х однозначно обратимо в каждый момент времени, т. е. что при каждом t функция х(1.0: ^->^ имеет обратную функцию х~'( •. 0=

Х = х~'М Vxex(M 4te&. (II. 1-2)

Кроме того, мы будем всегда предполагать, что X и X-1 — непрерывные функции своих аргументов. Таким образом, конфигурв-

ция некоторой (открытой) окрестности рассматриваемого тела- точки в любой момент времени есть открытое множество в трехмерном эвклидовом пространстве, и любое открытое подмноже:- ство конфигурации рассматриваемого тела есть образ открытого множества в X, являющегося окрестностью каждого тела-точки, в данное мгновение находящегося в этом (конфигурационном) подмножестве.".

Мы приняли, что М и t(-,^®) — борелевские меры на X. Поскольку функция х непрерывна, М и f можно также рассматривать как меры -на совокупности борелевских множеств множества х(^)-

Как было объяснено в примере 2 § 1.3, операции V и А булевой алгебры тел определяются в механике сплошной среды следующим образом:

^ V ^ = ^U^.(П. 1-3)

•ЯД^^Й- -(1.3-1)

где кружок обозначает взятие внутренности, а черта — замыкание. Эквивалентно

.х(т)-хДОих(П

■О О(II. 1-4)

х(»л»)=-х(»)Пх№

'§ 2. Плотность массы

Поскольку в механике сплошной среды тело X представляет собой замыкание открытого множества, оно содержит бесконечно много различных тел-точек X. Однако способ введения массы оставался до сих пор произвольным, и в принципе ее можно вводить полностью или частично дискретно. Первостепенный интерес в механике сплошной среды представляют массы, являющиеся абсолютно непрерывными функциями объема, который определяется как неотрицательная бсрелевская мера ’) в эвклидовом пространстве конфигураций ^.

Принять, что мера М абсолютно непрерывна, — это значит принять, что в любой конфигурации всякая часть ^, объем которой достаточно мал, имеет произвольно малую массу. Этим формально исключаются сосредоточенные массы, и аналитическая динамика не следует прямо как частный случай из механики сплошной среды (хотя эти два раздела механики и связаны всегда посредством соотношений, установленных в конце §1.13).

’) Поле измеримых по Лебегу множеств содержит множества меры нуль, не являющиеся борелевскими, но такие множества, по видимому, не представ- ляйт интереса в механике сплошной среды, так что достаточно борелевской меры.'

По теореме Радона — Никодима ) массу части .^ можно выразить через неотрицательную плотность массы рх (х, /):

М^ = / pxdV, ■- (II. 2-1)

X № п ■

где интеграл — это интеграл Лебега, и функция рх однозначно определена почти всюду2) в х№ 0- Ясно, что функция рх зависит от X и, как записано, интегрирование ведется по конфигурации Х^, /) части ^ тела Ж.

Существование плотности массы выражает связь между телом Я и конфигурацией Х(^?, (), которую оно занимает в момент времени t. Для подходящим образом выбранной последовательности вложенных друг в друга частей ^ (^ft+1 cz дк\ такой, что все $Рк имеют ровно одно общее тело-точку X и объем V ^94,1^ стремится к 0 при к -> оо, почти в каждом месте х плотность равна пределу отношения массы к объему:

р,(х. 0= 1^<^,„.2-2)

где, конечно, место х представляет собой конфигурацию тела- точки X в рассматриваемый момент времени t. Достаточно рассмотреть части ^ь, такие, что диаметр множества х(^*а>0 стремится к нулю.

Найдем соотношение между плотностями массы, отвечающими различным конфигурациям одной и той же части д. Имеем

М^ = J Рх,^= J pX2dV. (II. 2-3)

Xi (<^. ОХ2 f^, О

Обозначим через X отображение, переводящее xi в Х2- Допустим, что это отображение непрерывно дифференцируемо, и обозначим через / абсолютное значение его определителя Якоби:

. Z = |detVX|, (II. 2-4)

где V обозначает оператор градиента. По известной теореме интегрального исчисления)

J pXldK = J pX!ZdV(И. 2-5)

х. (^. ОXi (Л О

для любой части 9. Отсюда следует уравнение, связывающее эти две плотности:

Px/ = Pxi-(II. 2-6)

Ясно, что если в этом уравнении аргумент функций / и рХ1 в момент времени t обозначен, скажем, через X, то .аргументом функции рХ1 будет Х(Х). Это уравнение показывает, что плотность в одной из конфигураций определяет плотности во всех других.

Как и в § 1.4, на массивных частях ^ тела ^ определено интегрирование по массе. В механике сплошной среды предположение о том, что М представляет собой абсолютно непрерывную функцию V, позволяет нам заменить все определенные таким образом интегралы другими, берущимися по областям пространства 8. Таким образом,

^fdM = J pfdV.(II. 2-7)

j?х (^*. О

Здесь в левой части / обозначает j(X, t), а в правой f(x~*(x, /), Д). Возможен другой подход: мы можем начать с правой части и рассматривать f как обозначение f(x, /), тогда в левой части f обозначает f(x(X,/),/). Такая сокращенная-запись, общепринятая в механике сплошной среды, получит дальнейшее развитие в § 6.-

В этой книге мы будем всегда предполагать, что поле плотности массы рх непрерывно, а обычно даже, что оно является непрерывно дифференцируемой функцией места и времени всюду внутри конфигурации xW О в некотором интервале времени, содержащем рассматриваемый момент времени.

Отсчетная конфигурация. Деформация

Часто бывает удобно выбрать конфигурацию тела ^ в некоторый момент времени t в некотором воображаемом движении (не обязательно в изучаемом движении х) и относить все, что касается тела Ж и его движения, к этой конфигурации. Пусть

х(^) —такая конфигурация. Тогда отображение ' "Х = х(Х)(II. 3-1)-

определяет место X, занимаемое телом-точкой X в конфигурации х(9§У Поскольку это отображение по предположению обратимо,

Х = х-'(Х),(II. 3-2)

причем обе функции х и х-1 непрерывны. Следовательно, движение (II. 1-1) можно описать соотношением-

X = X (X-1 (X), о = Хх (X, 0.(П. 3-3);

Этим соотношением движение описывается как отображение х* отсчетной конфигурации х.(&) на актуальную конфигурацию" ^(58, t). Таким образом, движение рассматривается как отображение частей пространства на части пространства. Отсчетная, конфигурация вводится с тем, чтобы мы могли непосредственно - использовать аппарат эвклидовой геометрии.■

Не опасаясь путаницы, мы будем называть и само отображе- г ние х отсчетной .конфигурацией...

Выбор отсчетной конфигурации, подобно выбору системы ко- юрдинат, произволен. Отсчетная конфигурация, в качестве кото- ' рой можно взять произвольный гладкий образ данного тела, мо- ; жет даже не совпадать ни с одной из конфигураций, принимав- ' мых. телом в ходе его движения. Для каждого нового х в соотношении (3) появляется своя функция х*. Таким образом, однодвижение тела представляется бесконечно многими различными движениями частей пространства, по одному на каждый выбор; ж. При некотором выборе х мы можем получить особенно про- ‘ стое описание, также как в геометрии определенный выбор координат может привести к особенно простому уравнению для данной фигуры, но сама отсчетная конфигурация не имеет ничего 1 общего с теми движениями, для описания которых она исполь- '* зуется, равно как у системы координат нет ничего общего с са- - мыми геометрическими фигурами. Отсчетная конфигурация ' вводится для того, чтобы можно было использовать хорошо раз- " работанный математический аппарат из другой области матема- " тики. Здесь снова мы имеем аналогию с аналитической геомег- г рией, где координаты вводятся не потому, что они естественны или родственны геометрии, а потому, что они сразу же позво- ' ляют применить знакомый нам аппарат алгебры.-

Поскольку в обычной речи мы говорим, что тело „деформировано", если его „форма" меняется, мы будем называть 7 отображение х„ деформацией тела Ж по отношению к х. Зна- ■ чение хх Для данного момента времени / — это отображение х(^) на х№ 0- Мы будем называть это отображение дефор-

мацией в момент t. Мы будем также иногда говорить, что х(^) деформировано в конфигурацию /х(^, О, которую часто будем называть актуальной конфигурацией.

В обычной (английской) речи для обозначения изменения формы или некоторых его аспектов употребляется также слово strain. В этой книге мы не будем придавать этому слову какой- либо точный смысл, а время от времени будем пользоваться им описательно*).

Конечно, движение (II. 1-1) позволяет определить бесконечно много деформаций хх> по одной на каждую отсчетную конфигурацию х. Если и хХ| и Х„ ставятся посредством (3) в соответствие одному и тому же движению X тела X то мы будем говорить, что хх и Хх,— эквивалентные деформации тела 98. Иными словами, х, и Х„2 представляют одно и то же движение тела X но описываемое относительно различных отсчетных конфигураций X] и х2, точно так же, как в аналитической геометрии два различных уравнения могут описывать одну и ту же геометрическую фигуру в различных системах координат.

Описания движения

Есть четыре способа описать движение тела: материальный, отсчетный, пространственный и относительный. В силу наших предположений о гладкости) все эти способы эквивалентны.

В материальном описании мы рассматриваем непосредственно тела-точки X. Это описание соответствует тому единственному описанию, которое используется в аналитической динамике, где мы всегда говорим о первой, второй, ..., n-й массе. Для точности мы должны были бы говорить при этом о «массивной точке Xi с массой Мг», но обычно вместо этого говорят короче «масса I» или «тело М^ и т. д. В механике сплошной среды каждое тело 98 содержит бесконечно много тел-точек X. В материальном описании независимыми переменными являютря X и /, тело-точка и время. Хотя по своей сути материальное описание является наиболее естественным, в механике сплошной среды оно начало упоминаться лишь с 1951 г. и до сих пор не получило широкого распространения.

На протяжении некоторого времени термин «материальное описание» применялся для обозначения другого, более старого описания, часто с ним смешиваемого, — описания, к которому мы сейчас обратимся.

’) Тем не менее иногда термин strain используется в некотором точном смысле, и тогда он переводится как «мера деформации». — Прим. ред.

В отсчетном описании используется некоторая заранее выбранная отсчетная конфигурация х и движение х описывается ’ в терминах деформации Хх. Мы всегда должны иметь в виду, •* что х выбираем мы сами, что х— это просто некоторая конфигу-- рация, которую тело занимало или могло бы занимать, и что- всегда должна существовать возможность так сформулировать! предположения и уравнения, чтобы они были справедливы при i любом выборе х, хотя при некотором специальном выборе х, мо- ■ жет быть, и легче описать свойства деформации Хя, чем при дру-- гих. Любое движение имеет бесконечно много равноценных отсчетных описаний., В § 3 мы уже выразили этот факт по-дру-- гому, введя понятие экивалентных деформаций тела в данном. движении.-

В середине восемнадцатого века Эйлер ввел описание, кото- * рое в гидродинамике почему-то называется ^.лагранжевым». Это - частный случай отсчетного описания, при котором в качестве «метки» данного тела-точки X используются декартовы коорди-. наты положения X этого тела-точки в момент t = 0. Издавна . было ясно, что такой выбор меток произволен, и авторы работ" по основаниям гидродинамики часто отмечали, что существен-.' ные результаты должны быть и действительно являются независимыми от выбора начального момента времени, а некоторые замечали, что в качестве меток можно бы с тем . же успехом - взять параметры любой тройной системы поверхностей, движу- i щихся вместе с нашей субстанцией. Отсчетное описание, при ко- " тором в качестве независимых переменных берутся X и t, охватывает все эти возможности,?

Некоторая определённая форма отсчетного описания всегда , используется в теории упругости, и в лучших работах по классической гидродинамике, начиная с Эйлера и до наших дней, почти ' неизменно применяется отсчетное описание. Именно это описа- ., ние общепринято в современных работах по механике сплошной ь среды, и его мы и будем употреблять в этой книге.“

конфигурации х)конфигурации х)аргументахаргументахВ силу (II. 3-2) любую функцию F(X, /) можно заменить . функцией Fх(Х, t), принимающей те же значения при соответ- " ственных (для данной отсчетной X и X;

конфигурации х)

конфигурации х)

аргументах

аргументах

Р(Х, Г) = Р^-ЦХ\ 1) = РДХ, f).■(II.4-1)

Частный случай этого соотношения уже встречался нам в виде # (II.3-3). Далее,,«

dtF = diF~' (II. 4-2) ;

Мы будем пользоваться точкой сверху для обозначения времен- < ных производных от функций отсчетных переменных X, t. Таким г образом, дифференцируя (11.3-3) и используя определения

(1.7-7), мы видим, что для всех х.

. (п)(п)

х=Хх. Х = х„Х=хх,(II. 4-3)

где в правой части (п) сверху обозначает п точек.

При пространственном описании внимание сосредоточено на наличной конфигурации тела, на области пространства, занимаемой телом в данный момент. Это описание, введенное Даламбером, в гидродинамике называют эйлеровым. В качестве независимых переменных берутся положение х и время L В силу (II. 1-1) любая функция Р^Х,Ц может быть заменена некоторой функцией от х и t, принимающей те же значения при соответственных значениях аргументов X и х:

F (X, t) = F [х-1 (х, 0, /] ^ f (х, О, (П. 4-4) причем эта функция f единственна. Таким образом, имеется всего лишь одно пространственное описание данного движения (также как всего одно материальное), в то время как отсчетных описаний бесконечно много. При пространственном описании мы наблюдаем за тем, что происходит в фиксированной области пространства по мере того, как идет время. Это описание представляется идеально подходящим для изучения жидкостей,, где зачастую быстро деформирующаяся масса приходит неизвестно. откуда и уходит неизвестно куда, так что мы можем предпочесть рассматривать то, что происходит здесь и сейчас у нас на глазах. Однако пространственное описание, будучи удобным кинематически, становится неуклюжим в вопросах, касающихся принципов механики, поскольку в законы дйнамики входят величины, относящиеся на самом деле к телам, а не к пространственным областям, временно занимаемым телом. Некоторые соотношения, которые очевидны при материальном или отсчетном описаниях, требуют довольно вычурных рассуждений, если к ним подходить с чисто пространственной точки зрения, на которую иногда становятся специалисты по гидродинамике.

Согласно (4), значение любой функции тел-точек тела 58 в момент t дается также некоторым полем, определенным на конфигурации х(Х^)- Таким образом, например, мы получаем из (II. 1-2) поле скоростей и поле ускорений:

.. -....(п)(п)

х = х(х, 0, х = х(х, 0, .... х = х(х, /).(П.4-5)

. ..(«)

Здесь х, х и х фигурируют каждое в двух смыслах: как функции-поля и как их значения ').

■) Например, х слева означает производную по t, а справа — это единый символ; соотношение (II. 4-5) „ утверждает, что л-я скорость задана в данной точке как функция времени. — Прим. ред. -

В § 1.11 мы вычислили не зависящее от системы отсчета поле, значение которого а в инерциальной системе отсчета сводится к ускорению. В том виде, в каком оно определяется правой частью соотношения (I. 11-3), это поле определено на теле ^, но, конечно, мы можем превратить его в поле на конфигурации х(Х0- В соответствии с (5) мы обозначим это пространственное поле тем же символом а, что и его значение. Таким образом, а = а(х, 0 и'

а = х* - Хо - 2А (х* - xj) - (А - А2) (х* - х‘), (II. 4-6)

где х*, х* и х*—пространственные поля положения, скорости и ускорения в общей системе отсчета ф*, а А — спин инерциальной системы ф по отношению к ф*.

Четвертое описание — относительное — мы обсудим в § 8.

Градиент деформации '

Градиент функции х, называется градиентом деформации F ’):

F^F,(X, 0 = VXx(X,t).(II. 5-1)

Это — линейная аппроксимация' отображения (II. 3-3). Более точно, следовало бы называть ее градиентом деформации относительно х; но в том случае, когда, как обычно, раз и навсегда устанавливается одна-единствещная отсчетная конфигурация, не должно возникнуть путаницы от того, что мы не будем лишний раз напоминать себе, что уже сами понятия деформации и градиента деформации предусматривают использование некоторой отсчетной конфигурации. Если, как мы это можем сделать, мы выберем независимо координаты Ха и хт в отсчетной и в актуальной конфигурациях соответственно, так что движение (II.3-3) окажется записанным в координатной форме

xm = ^(.Xv, X2, X3, t), m=l, 2, 3, (II. 5-2)

то компонентами F будут просто девять частных производных от функций х™ по Х\ а именно .

F^ = x7a = dxaC(x\ X2, X3, /), т = \, 2, 3, а=1, 2, 3. (II.5-3)

В этой книге повсюду вводимые системы координат будут, если не оговорено противное, системами общего вида. Лишь изредка мы будем привлекать координатные представления для

') Не следует путать F или Fx с моментом F^ системы сил относительно х0.

доказательства результатов общего характера, но не было бы никакой потери логической строгости, если бы мы, как это делали ранее авторы работ по механике сплошной среды, записывали все в прямоугольных координатах. Дело в том, что абстрактные обозначения проще понять и с ними легче манипулировать— стоит лишь к ним привыкнуть, — и проводить доказательства, кроме тех особых случаев, в которых специальный выбор координат фактически диктуется самой задачей. В таких случаях, как мы позднее увидим, эти специальные координаты обычно криволинейны, а иногда даже неголономны *). Точнее говоря, разумно простая задача может быть связана с определенными направлениями и потому подсказывать использование некоторого частного базиса,,однако этот базис не обязательно должен оказаться естественным базисом какой-либо координатной системы. Таким образом, это в наших интересах — выражать все принципы нашей науки непосредственно через основные понятия, без усложняющего дело посредничества системы координат.

Возвращаясь к соотношению (II. 2-6), мы можем взять в нем Х2 = Х> Xi = x- в результате мы получим эйлерово уравнение для плотности при отсчетном описании

Р/ = РХ, (П. 5-4)

где р обозначает рх— плотность массы для актуальной конфигурации х, а

7 = | det F|. (II. 5-5)

В дальнейшем J будет использоваться именно в этом, определенном сейчас смысле, а не в более общем смысле (II. 2-4). Поскольку отображение х„ обратимо, det F имеет (при фиксированной отсчетной конфигурации х) одинаковый знак при всех X и t.

Уравнение (4) часто называют «лагранжевым уравнением неразрывности», однако это название вводит в заблуждение, поскольку уравнение (4) выполняется лишь пока деформация гладкая, но если деформация не дифференцируема (а тем более, если она не непрерывна), то 7 нельзя определить вовсе и уравнение (4) нельзя даже и записать, не говоря уж о том, чтобы его использовать. Очевидно, (4) — это ни больше нн меньше, как некоторая формула, определяющая актуальную плотность рх, коль скоро заданы градиент деформации и исходная плотность.

') Компоненты заданного векторного или тензорного поля" могут быть определены в любом поле базисов. Если эти базисы не нормальны ни к каким семействам поверхностей, то они называются неголономными. [Например, реперы главных осей тензора напряжений, вообще говоря, неголономны. — Ред.] Неголономные компоненты вполне позволяют определить или задать векторные и тензорные поля, одиако они не являются компонентами по отношению ни к какой координатной системе.

•Упражнение II. 5.1 (Эйлер). Используя формулу дифференцирования определителя, доказать, что*

j/J= div к,(П. 5-6)

где точкой сверху в левой части обозначена производная по времени н где divx— это дивергенция поля скорости (II. 4-5).

В соотношении (6) поле в левой части определено для отсчетного описания, а в правой части — для пространственногол Это соотношение устанавливает, что эти два поля в каждый мо-; мент времени имеют одинаковые значения соответственно для; положений X и х, связанных друг с другом посредством отсчет" ного описания движения (II. 3-3). Мы придем к менее тяжелое весным формулировкам, если будем в таких случаях считать^ что любое поле для отсчетного описания просто заменяется со-, ответствующим пространственным.;

Например, если мы продифференцируем (4) по времени, а, затем воспользуемся соотношением (6), то получим уравнение^ для плотности при пространственном описании Эйлера —Далам-. бераi

p + pdivx = 0,(II. 5-7)

где в соответствии с только что сформулированным соглашением мы обозначили через р й р пространственные поля со значе-^ ниями р(Х, 0 и р(Х, /) соответственно. Это уравнение имеет» в точности тот же смысл, что и уравнение (4); обратно, это пос-' леднее уравнение можно получить из (7), используя. (6) и ин-’ тегрируя.■”

Упражнение II. 5.2 (Лагранж). Рассматривая (7) как дифференциальной уравнение первого порядка для р в пространственном описании, проннтегри-, ровать его методом характеристик и получить (4).■

Упражнение 11.5.3 (Даламбер, Эйлер). Движение тела 38 называется изо-:, хорическим, если объем Vlxt^, 0) конфигурации любой части 9 тела St? остается постоянным во времени. Показать, что необходимым и достаточным',* условием изохоричности движения является выполнение любого из следующих% трех уравнений:

divx = 0, р = рх, / = 1.(II. 5-8)"

Упражненне II.5.4 (Даламбер). Показать, что если скорость- х всюду* параллельна одной и той же плоскости, то общее решение уравнения (8) i вы- " ражается через некоторую однозначную функцию тока q следующим образом::,

k=^q^i(II. 5-9)

здесь V обозначает операцию градиента в плоскости, а ± — поворот относи- _ Тельно нормали к этой плоскости на прямой угол против часовой стрелки.: Показать, что при каждом фикснрованиом t вектор х(х,/) касается кривой q(-, t) = const, проходящей через точку х.J

Упражнение II. 5.5. Пусть задано векторное поле v, определенное на X (^, /), н пусть мы хотим найти векторное поле vx, такое, что

J (ухпх)йА — J (v-n)M(II. 5-10)

эх (^)ах (^. П

для любой части ^ тела Я. Показать, что

v^zp-'v.(II. 5-11)

Материальные скорости измененияи градиенты при пространственном описании.Материальные поверхности. Кинематические границы

В механике сплошной среды нам приходится различать великое множество величин, и поэтому часто мы не можем допускать такую роскошь, как использовать для функции и для ее значения различные символы, что, вообще говоря, следует делать из соображений логической строгости. Если две функции различных переменных имеют одинаковое значение и если это значение служит для обозначения их обеих, то, когда приходится выполнять некоторые функциональные операции, не всегда ясно, какая из функций имеется в виду. Это различение, которое весьма существенно, осуществляется путем введения различных символов для дифференциальных операторов. В дальнейшем / и Gradf будут обозначать соответственно частную производную по времени и градиент функции G(X, 0. такой, что

f = G(X, 0,(II.6-1)

в то время как f и grad f будут обозначать соответственно частную производную по времени и градиент функции g(x, /), имеющей те же значения,-что G, а именно, в соответствии с (II. 3-3),

f = g(x, t) = G^4x,t), t>(II. 6-2)

Если мы применим правило дифференцирования сложной функции к равенству G(X, /) = g(xx (X,/),/), а затем обе функции G и g обозначим через }, то получим классические формулы Эйлера

(II. 6-3)(II. 6-3)= Г + (grad Г) ' х,f = К + (grad f) x,

(II. 6-3)

(II. 6-3)

где f — скалярная, a f — векторная функции, и аналогичное правило справедливо и для функций-тензоров. В частности, ускорение х выражается через поле скорости х(х,/) по формуле

Даламбера — Эйлера

■х = х' + (grad х) х.(II. 6-4)

Оператор «точка», определяемый соотношением (3), иногда называется материальной производной. Мы уже условились пользоваться точкой для обозначения производной по времени при отсчетном описании, и определение (3) построено так, чтобы эти два обозначения согласовывались друг с другом.

Аналогичным образом

Grad f = FT grad f.(II. 6-5)

Мы уже имели дело с частным случаем этих соотношений — соотношениями (II.5-6) и (II.5-7). Например, последнее из них в соответствии с (3)] может быть записано в следующем явном виде:

р'+ (grad р) • х + р div х = 0.(II. 6-6)

Обозначениями div и rot мы будем пользоваться только при пространственном описании. Обозначение Div будет применяться для дивергенции, образованной на основе оператора Grad, а не grad.‘

В § 2 мы говорили о переходе от интегрирования по массе в ^ к интегрированию по объему в ^. Если функция /(А, /) непрерывно дифференцируема по t, то теорема о дифференцировании интеграла по параметру дает

A ^fdM = ^ dtf dM.(II. 6-7)

Теперь мы можем воспользоваться соотношением (II. 2-7), чтобы преобразовать правую часть в интеграл по х (^, 0 • В соответствии с только что введенным соглашением об обозначениях, функция от х и t, значение которой при х~*(х> 0 равно dtf(X, /), обозначается через /. Таким образом,

-£$fdM=£ / pf dV = J pf dV.(II.6-8)

«^х(ЛЦ■х(^*. О

Более общим образом,

^JvaM=^ J „YdV- J »*dV,(II.6-9)

^X(-iM)X(^.i)

где Y обозначает тензорное поле любого порядка, a Y вычисляется по соответствующему правилу типа (3). (Промежуточное выражение, содержащее неопределенную операцию d]dt, следует рассматривать как более выразительную запись левой части.) Соотношение (9) столь часто используется в механике сплошной

среды, что рассматривается как нечто само собой разумеющееся без особых ссылок. Оно выражает скорость изменения во времени интеграла от V на теле % при движении этого тела в пространстве через интеграл по актуальной конфигурации х(Х^) тела SL'

Упражнение II. 6.1. Простым преобразованием соотношения (9) с использованием (И. 5-7) доказать теорему переноса Рейнольдса; для данной части 9* тела 98

~ J Т</У= J 'WdV-V J Vx-ntM. (II. 6-10)

Х(^Л)Х(^>йdxl^.i)

Всякая неподвижная поверхность g\ в отсчетной конфигу-. рации описывается уравнением вида /(X) = 0, так что

f = 0.-(II.6-11)

Обратно, если некоторая функция /(х, /) удовлетворяет уравнению (11), то поверхность f = 0 есть неподвижная поверхность В отсчетной конфигурации, если, конечно, X = хГ1 (х> 0 е х (^)- Геометрическое место точек такой поверхности 9” при ее переносе в пространстве вследствие движения тела 98 называется материальной поверхностью.

В соответствии с принятым нами соглашением мы обозначаем через f также такую функцию от х и (, которая в точке Х,(Х, 0 равна f (X); таким образом, необходимым и достаточным условием для того, чтобы геометрическое место точек f = 0 было материальной поверхностью, является условие (11), где теперь операция, указанная точкой, понимается в соответствии с (3)ь Поэтому при пространственном описании это условие превращается в условие Эйлера

r + (gradf).x = 0.' (II. 6-12)

Если обозначить через п ориентированный единичный вектор Нормали к поверхности f = 0, где f, конечно, обозначает такую функцию, что уравнение f(x,t) =0 определяет положение поверхности 9Р, то соотошение (12) можно переписать и по-другому, в виде

Sn = — ГА grad f|,(II.6-13)

где величина sn, называемая скоростью перемещения поверхности дР, есть скорость, с которой эта поверхность передвигается в пространстве в направлении своей нормали:■

$П = П'Х. .(II. 6-14)

Таким образом, условие Эйлера (12) устанавливает, что скорость перемещения поверхности дР в точке (х, /) совпадает со

скоростью, с которой тело-точка, занимающее сейчас (х,/), дви- t жется в направлении нормали к £7.■

Упражнение II. 6.2 (Лагранж). Используя лишь пространственное описа- ■ ние и рассматривая (12) как дифференциальное уравнение в частных произ- ■ водных для /, проинтегрировать его методом характеристик и дать интерпре-. : тацню полученного результата."

Кинематическая граница — это поверхность, которая все ? время разделяет две части тела ^, оДна из которых может быть и нулевым телом. Таким образом, кинематическая граница яв- ? ляется материальной поверхностью, причем’ верно и обратное. J1 Специальный термин «граница» введен для того, чтобы выде-i лять- какие-нибудь специальные материальные поверхности, « обычно те, которым с самого начала приписывается роль стенки ; или же какая-либо другая особая роль, например поверхности, f разделяющей две части с различными свойствами. Простейший з случай — это неподвижная стенка — поверхность /(х) = const. В соответствии с (13) мы имеем следующее необходимое и достаточное условие того, что такая поверхность является материальной и тем самым возможной кинематической границей:

n-x = 0.(II. 6-15)

Иными словами, поле скоростей должно быть касательно к стенке — как это и очевидно.

В некоторых случаях рассматривается более- сильное кинематическое условие — условие прилипания. Здесь налагается то ограничение, что тело движется вместе с кинематической границей:■

x = v,.(II.6-16)

где V — заданная скорость в месте х на границе в момент L В случае неподвижной стенки это условие принимает вид

х = 0.х = 0.(II. 6-17)(II. 6-17)Упражнение II. 6.3. Пусть поверхность 9, уравнением которой в Хя W О служит g(x,/) = 0, является образом поверхности ?,, уравнение которой в отсчетной конфигурации х(^) имеет вид G(X, t) = 0. С учетом принятых- в начале этого параграфа соглашений об обозначениях, показать: что орты нормалей п, и п к этим двум поверхностям связаны соотношением

х = 0.

х = 0.

(II. 6-17)

(II. 6-17)

„. 1 Srad g I ст_.

* |GradG|F ’

что скорость $х продвижения поверхности в. направлении нормали х(^) определяется соотношением

(II. 6-18)(II. 6-18)к ней вк ней в(II. 6-19)(II. 6-19)S“ | Grad G |

(II. 6-18)

(II. 6-18)

к ней в

к ней в

(II. 6-19)

(II. 6-19)

и что ■ ■

Определяемая соотношением (19) скорость sx называется скоростью распространения поверхности ^х в х (^). Если текущая конфигурация в данный момент совпадает с х(^), то соответствующая скорость распространения обозначается через s и называется собственной скоростью распространения У. В данной точке (х, /) это скорость, с которой поверхность перемещается в направлении собственной нормали относительно тела-точки, расположенного на ней в этот момент. *

Очевидно, собственная скорость распространения поверхности ЭР следующим образом связана со скоростью ее перемещения:

s = s„—nx; (II. 6-21)

| Grad G |I grad g || Grad G |I grad g |разумеется, эта формула представляет собой частный случай соотношения (20). Наконец, сопоставление с (20) показывает, что

| Grad G |I grad g |

| Grad G |I grad g |

(II. 6-22)

Замена отсчетной конфигурации

Пусть одно и то же движение (II. 1-1) рассматривается относительно сразу двух различных отсчетных конфигураций х, И Хг:

Хх : х (58) -» X (Я, f),

^ 1(П. 7-1)

X,; x2W->X(^ 0.

Конечно, градиенты деформации F, и Р2 в (X, f), вообще говоря, различны. Обозначим через X] и Х2 места, занимаемые телом-точкой X в конфигурациях Xj и х2:■

Х1 = х1(Х)1 X2 = x2(J).(II. 7-2)

Тогда, скажем,

Х2 = х2 [хГ* (Xi)] = X (XJ.(11.7-3)

Деформацию от конфигурации xi конфигурации х можно определить двумя путями: либо непосредственно, используя хХ1> либо переходя сначала к х2 с помощью X и затем—с помощью X,—к х- Таким образом, Хх,(ХР /) = X*a(X(Xi)* 0 VX^x,^); более лаконично,

. К = КоХ«(П.7:4)

где кружок обозначает композицию отображений.

4 Трусделл

Поскольку эти отображения связаны таким соотношением, градиенты — их линейные аппроксимации — связаны таким же образом:

. F^FaP,(II. 7-5)

где

.,P^VZ.(II. 7-6)

Конечно, соотношение (5) служит выражением правила дифференцирования сложной функции:

(II. 7-7)

где (Х“) — координаты места, занимаемого X в х,, (ХА) — координаты места, занимаемого X в х2, и предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

Актуальная конфигурация в качестве отсчетной

Чтобы некоторая конфигурация могла служить в качестве отсчетной, ей достаточно быть диффеоморфизмом1) тела ^. До сих пор мы использовали не изменяющуюся со временем отсчетную конфигурацию, но с тем же успехом можно использовать и меняющуюся. Таким образом любое движение может быть описано в терминах любого другого. Единственная изменяющаяся конфигурация, которую действительно полезно использовать в качестве отсчетной, — это актуальная конфигурация. Беря ее в качестве отсчетной, мы описываем прошлое и будущее такими, какими они представляются наблюдателю, неподвижному относительно тела-точки X, находящегося сейчас в месте х. Соответствующее описание называется относительным.

Чтобы понять, как строится такое описание, рассмотрим конфигурации тела в два момента времени t и т:

(II.8-1)(II.8-1)£ = х№ т),Х^х^, t).

(II.8-1)

(II.8-1)

Иными словами, § — это место, занимаемое в момент т телом- точкой, которое в момент t занимает место х:

I —Х[Х~'(х> О, ^^ХДХ, т).(II. 8-2)

Эта определенная только что функция х< называется относительной деформацией.

Иногда приходится вычислять относительную деформацию, в случае, когда движение задано лишь посредством простран

*) Диффеоморфизм — это дифференцируемый в обе стороны гомеомор

физм.

ственного описания поля скоростей

х = х(х, /).(II. 8-2)]

Согласно (1)1

dt§ = x(§, т)).(II. 8-3)

Поскольку правая часть — известная функция, мы имеем в результате дифференциальное уравнение, которое нужно проинтегрировать. Искомый интеграл § = х< (х, т) должен удовлетворять начальному условию

§U = Xf(x, t) = x.(II. 8-4)

• В случаях когда движение описывается соотношением (2), мы будем для обозначения величин, связанных с относительной деформацией хь использовать подстрочный индекс L Так, F«, определяемое соотношением

F^FJ^s gradxo(П. 8-5)

есть относительный градиент деформации. Конечно,

FJO = 1.(II. 8-6)

В силу (II. 7-5) в точке X

F(t) = Fz(t)F«).(II. 8.7)

В качестве неподвижной отсчетной конфигурации, относительно которой определяются F(r) и F(/), мы можем выбрать конфигурацию, занимаемую телом в момент t'.

Тогда (7) дает

F^ (т) = F< (т) Ff (/),(II. 8-8)

т. е, формулу, выражающую, как и (II. 7-5), просто правило дифференцирования сложной функции.

9. Растяжение и поворот

Поскольку деформация х„ обратима, ее градиент невырожден, так что по теореме Коши о полярном положении) его можно двумя способами представить с помощью ортогонального тензора R и положительно определенных симметричных тензоров U и V:

F=RU = VR,(II. 9-1)

где тензор R ортогонален, но не обязательно собственно ортогонален: RRT = 1, так что определитель det R равен +1 или —1 и в силу непрерывности R сохраняет для всех Хи t одно и то же значение. Таким образом, det U = det V = | det F| = J. Тензор R называется тензором поворота1); тензоры U и V, удовлетворяющие очевидному соотношению .

V = RURT, (II. 9-2)

называются соответственно правым и левым тензорами растяжения. Эти тензоры, как и само F, следует интерпретировать как выражающие соотношение между характеристиками данной конфигурации и их аналогами в отсчетной конфигурации. В чем именно это проявляется, мы как раз и собираемся показать.

Прежде всего, поскольку тензор U симметричен, он имеет по крайней мере одну ортогональную тройку главных осей; эти оси называются главными осями деформации2) в точке X в отсчетной конфигурации х(^). Точно также и V имеет ортогональную тройку главных осей, которые называются главными осями деформации в точке х в актуальной конфигурации х, (^, 0- В силу (2) U и V имеют общие собственные числа. Действительно, если Ог — собственный вектор тензора U, соответствующий собственному ЧИСЛу Uj, то

ие, = игег, (II. 9-3)

так что в силу (1) и (2)

V (ReJ = (RURT) (Re4) = и, (Re,). (И. 9-4)

Таким образом, поворот R переводит главные оси деформации в точке X в главные оси деформации в точке х. (Поскольку поворот R определен единственным образом, а главные оси деформации, вообще говоря, определены не однозначно, мы не можем воспользоваться .этим свойством поворота R для его определе-

ния.) Если вектор е, направлен вдоль i-й главной оси деформации в точке X в x(j^), то Vt есть отношение длины его образа Ге, в х»(^> О к длине самого вектора е/. Поэтому числа v< называются главными растяжениями. Поскольку U и V положительно определены, и,-> 0. В случае когда R=l, деформация в (X, 0 называется чистым растяжением. При чистом растяжении U = V, главные оси деформации в X и х совпадают и можно наглядно представлять себе, что деформация локально осуществляется путем растяжения элементов вдоль главных осей в отношениях иь и2, Уз- Если U = V = 1, то деформация называется поворотом в X, t. Теорема разложения Коши утверждает, что деформацию, локально соответствующую F, можно получить, осуществляя чистое растяжение вдоль трех подходящих взаимно ортогональных направлений е, с главными растяжениями и, и последующий, поворот этих направлений, или осуществляя сперва тот же самый поворот, а затем те же растяжения, но вдоль соответствующих новых направлений.'

Правый и левый тензоры Коши — Грина определяются следующим образом:

с = u2=ftf,

B = v2 =FFT = RCRT.(II. 9-5)

Хотя фундаментальное разложение (1) играет главную роль при доказательстве общих теорем, однако вычисление II, V и R в частных случаях может оказаться громоздким, поскольку при этом обычно требуется выполнить иррациональные действия. В то же время С и В вычисляются путем простого перемножения F и FT. Если, например; gum и ga^ — ковариантные и контрвариантные компоненты метрического тензора в произвольно выбранных системах координат в пространстве и в отсчетной конфигурации соответственно, то компоненты тензоров С и В равны1)■

•арар ° кт7

к ж(II. 9-6

В

мп ар'

= rar^g ,

где F^ = х*1 а = дхаХ^(Х\ X2, X3, t). Собственные числа тензоров С и В равны квадратам о2 главных растяжений. Главные ин-

варианты тензоров С и В ') даются формулами

I^trB = trC = t>2 + o2 + 4

II ^ 4 Ktr В)2 -tr В2] = 4 № С)2 - tr С2] =

,=У?У2 + У2У2 + У^,(И. 9-7)

III as det В = det С = J2 = и^.

Всякая симметрическая функция от У], у2 и у3 равна некоторой функции от I, II, III. '

■ Формулы, полученные до сих пор в этом параграфе, применимы к любому невырожденному тензору и не зависят от того факта, что F есть градиент деформации хх- Весьма часто, кроме того, не имеет значения и вид зависимости F от аргументов, однако при конкретных вычислениях эта зависимость, конечно, существенна. Примером такого вычисления является правило дифференцирования сложной функции (II. 8-7). Другой пример получим, если заметим, что из (7) и (II. 5-4) следует формула

.pjp = det U = det V = /ТТГ.(II. 9-8)

Более существенное использование дифференциальной природы F опирается на тот факт, что дхрГ£ = д^р- Примером этого служит следующее

Упражнение II.9.1. Доказать, что любая ортогольная деформация2) является либо жестким поворотом, либо композицией жесткого поворота с центральной инверсией.

' Если мы возьмем в качестве отправной величины относительный градиент деформации F<, определенный соотношением (II. 8-5), и применим к нему теорему о разложении, мы получим относительный поворот R/, относительные тензоры растяжения U< и ¥< и относительные тензоры Коши—Грина С< и В<:

.Fz = RzUf = V(R(, Ct = U?, В, = ¥?. (II. 9-9)

Упражнение II. 9.2. Исходя из (II. 8-7) доказать, что

С (т) = F (/)ТС( (т) F (О-"-' (II. 9-10)

*) Симметричные тензоры с одинаковыми главными инвариантами называются подобными; такие тензоры переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием (см. (5)г). Обратно, если два симметричных тензора переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием, то их главные инварианты совпадают, так что они подобны. Следовательно, левый и правый тензоры Коши — Грииа подобны.—Прим. ред.

В случае если деформация задана, тензоры В и С вычисляются по ней тривиально. Мы рассмотрим здесь два примера; оба они впоследствии окажутся нам полезными при изучении отдельных типов материалов.

При простом сдвиге каждая плоскость из некоторого семейства параллельных плоскостей смещается на расстояние, пропорциональное расстоянию между нею и определенной плоскостью семейства, в некотором направлении, лежащем в этой плоскости. Пусть выделенная плоскость — это плоскость X1 = 0, а направление сдвига совпадает с направлением координатной оси X2. Тогда простой сдвиг в прямоугольной системе координат Xх, X2,. X3 задается следующими компонентами деформации:

х'=Х',

х2 = Х2 + КХ1, (II. 9-11) х^Л3.

Постоянная К называется величиной сдвига.

Поскольку

1 0 0

[F] = К 1 0 ,

(II. 9-12)

0 0 I то

1 к о

[B] = [FFT] = К 1+/<2 0

001

1+К2 -К 0 [в-1]= -к 10, 001

(II. 9-13)

I = tr В = 3 + Д'2 = II = tr В-1, Ш = Ь

Упражнение II. 9.3 (Кельвин и Тэйт). При простом сдвиге главные растя, жения следующим образом выражаются через величину сдвига:

v3= 1+1кг + к"/1+4^ .

(II. 9-14)(II. 9-14)

(II. 9-14)

(II. 9-14)

уз ~ *•

Показать, что угол 0, на который должны повернуться главные оси деформации в x(j5), чтобы превратиться в главные оси деформации в Хх (#), опре-

деляется равенством

tge=lK.

Пример, иллюстрирующий использование систем криволинейных координат, дают следующие компоненты деформации в цилиндрических координатах:

r = VAR2-VB, Q^Q + DZ, z = FZ, AF = \, (II.9-15) где A, В, D и F—постоянные. Цилиндры R = const отображаются в цилиндры г = const, причем выбором постоянных А и В можно добиться произвольного сжатия или расширения, а также выворачивания этих цилиндров. В то же самое время в направлении оси цилиндров происходит растяжение, величина которого подобрана так, чтобы деформация "была изохорической. Наконец, плоскости Z = const поворачиваются относительно оси цилиндров на углы, пропорциональные их расстоянию от плоскости Z = 0. Таким образом,, на изохорическое расширение или сжатие цилиндров наложено кручение величины D/F.

Упражнение П. 9.4. Используя (6)2, показать, что

0 DF F2

Для вычисления (В~’^т обратить матрицу (2), либо сначала доказать, а затем использовать формулу

<В"1Хт=Х%Х»т§а6.(П.9-17)

В результате получить

0о ■

A2R2

Щв-’Ы!-

0 ■R2-ADR2 ’(II. 9-18)

0- ADR2 A (1 + D2R2^

1 = tr В = Skm Вьт = ^- + г2 (-^ + D2^ + F2

И = tr В"1 = §кт (В~\т = -^ + ^- + А2 (1 + D2R2), 111=1.''

Упражнение II. 9.5. При простом кручении А = F = 1, В = 0. Сопоставляя (16) и (13)ь показать, что простое кручение можно рассматривать как результат воздействия на каждый цилиндр R = const, разрезанный по образующей и развернутый в плоскость, простого сдвига величины DR.

Упражнение II. 9.6. Показать, что в обозначениях, использованных в § 6, | Grad /|2 = grad /• В grad f (11.9-19)

и, следовательно, (II. 6-18) можно записать в виде

1 у_.——F‘n.Кп • ВпАналогично (II. 6-20) принимает вид(Sn-n-i). V п • Вп1 у_.——F‘n.Кп • ВпАналогично (II. 6-20) принимает вид(Sn-n-i). V п • Впп_ =п_ =(II. 9-20)(II. 9-20)(II. 9-21)(II. 9-21)

1 у_.——F‘n.

Кп • Вп

Аналогично (II. 6-20) принимает вид

(Sn-n-i). V п • Вп

1 у_.——F‘n.

Кп • Вп

Аналогично (II. 6-20) принимает вид

(Sn-n-i). V п • Вп

п_ =

п_ =

(II. 9-20)

(II. 9-20)

(II. 9-21)

(II. 9-21)

. Предыстория

Пусть Т обозначает некоторую функцию времени, принимающую скалярные, векторные или тензорные значения. Часто нам будет желательно ограничиться рассмотрением Т лишь в настоящий момент и в прошлом. Для удобства, если настоящий момент времени обозначен через (, мы будем характеризовать прошедший момент t' положительной величиной s = t — f. Предыстория функции Т вплоть до момента / обозначается через ее значением является Ч^Цз):

Ч" = Ч^ (s) s= Ч1 (/— $), / фиксировано, s>0. (II. 10-1)

Для каждого ( предыстория 4rt определена на [0, оо). Как указывает само ее название, предыстория Чг‘— это часть данной функции, соответствующая настоящему моменту и прошлому. Предыстории играют важную роль в механике, поскольку будущее определяется именно настоящим и прошлым.

В пояснение обозначения (1) С#, например, есть предыстория правого относительного тензора Коши — Грина Ct вплоть до момента t.

. Скорость растяжения и спин

Для мгновенной производной по времени от некоторого тензора, определяемого относительной деформацией, например тензора Р<, мы введем следующее обозначение'):

Ft(O^W«)L-t = -&F?(s)|,_o;(И. 1Ы)

здесь X считается постоянным. Положим

G = Ft(0,

D = U((0 = Vt(/),(II. 11-2)

W = Rt(0-

Тензор D, называемый тензором скоростей растяжения, представляет собой скорость изменения растяжения данной конфигурации, причем сравниваются между собой растяжения в момент t4-е и в момент t в пределе при е->0. Подобным же образом тензор W, называемый спином, представляет собой скорость изменения поворота при переходе от данной актуальной конфигурации к конфигурации, занимаемой телом непосредственно перед ней или после нее. Поскольку тензор U< симметричен, симметричен и тензор D, являющийся производной U< по параметру:

DT = D,(II. 11-3)

однако в отличие от U< тензор D не является, вообще говоря, положительно определенным. Поскольку тензор D симметричен, его собственные числа вещественны и он имеет по крайней мере одну тройку ортогональных собственных векторов. Первые называются главными скоростями растяжения di = 1,2,3, а последние — главными осями тензора скоростей растяжения.

Если мы продифференцируем соотношение R/ (u) R<T (и) = 1 по и, положим и = / и воспользуемся равенством (2)<, то получим, что тензор W антисимметричен:

WT4-W = 0.(II. 11-4)

В соответствии со своим определением (2)] тензор G является скоростью изменения тензора F(, но это еще не все. Действительно, дифференцируя (II. 8-7). по т и полагая т = /, получаем

G = FF“'.(II. 11-5)

Дифференцируя (II. 5-1) по I, находим

F = Grad у, = (grad х) F;(II. 11-6)

последнее равенство ввиду (II. 5-3) следует из правила дифференцирования сложной функции. Подстановка в (5) дает

G = gradx.(II. 11-7)

Итак, тензор G, который мы определили равенством (2)ь является фактически пространственным градиентом скорости.

Если мы продифференцируем полярное разложение (II. 9-9)] по т и затем положим т = t, то получим, что

G = D4-W.(II. 11-8)

В этом результате, показывающем, что D и W суть симметричная и антисимметричная части градиента скорости, выражается фундаментальное разложение Эйлера — Коши — Стокса мгновенного движения на сумму чистого растяжения вдоль трех

взаимно перпендикулярных осей, вращения этих осей как твердого тела и переноса.

Конечно, мы могли бы определить G посредством равенства (7) как градиент скорости, a D и W посредством (8) как симметричную и антисимметричную части G. Тогда нам нужно было бы доказывать соотношения (2)2,4 как теоремы, чтобы интерпретировать G, W и D кинематически. Специалисты по гидродинамике обычно предпочитают проводить рассуждения как раз в такой последовательности.

Движения, для которых W = 0, называются безвихревыми. Они составляют основной предмет изучения классической гидродинамики. Движения, в которых W #= 0, называются вихревыми.

Поскольку тензор W антисимметричен, он может быть представлен1) с точностью до знака аксиальным вектором rotx, который в гидродинамике называют «завихренностью». В наше время представляется более удобным не вводить этот вектор, а применять сам тензор W. Мы будем использовать термин завихренность только для обозначения длины W «векторного инварианта» Wx тензора W:

№ = /2| W|=/-2tr W2. • (II. 11-9)

*) Поскольку в этой книге мы не используем трехмерный векторный анализ, нам достаточно будет лишь перечислить здесь несколько формул, чтобы помочь читателю сравнить наши формулировки с имеющимися в других работах. С этой целью мы фиксируем какую-нибудь прямоугольную декартову систему координат и будем предполагать, что все-другие системы координат имеют ту же ориентацию, что и эта. Тогда векторный инвариант Тх[в оригинале Gibbsian cross — «Гиббсов крест». — РедД тензора Т—это вектор, такой, что

Если тензор S антисимметричен, то

■^Х3 = 2^12’

Векторное произведение u X w двух векторов и и w определяется формулой u X w= ^ (u Л w)x = ^ (и ® w — w ® и)х, так что

(и X w)3 == «^2 — ГУ1«2, • • • •

Следовательно,

2Su = — Sx Хи.

Вихрь векторного поля V определяется через градиент V'v следующим образом:

rot v= — (7v)x,

так что

(rot v)3 = V2, 1 — 91,

Если W — спии и w = rot х, то

2Wu = w X и.

Другая важная скалярная величина — это скорость объемного расширения Е, определяемая следующим образом:

£ = //J = divx = trG = trD = -p/p; (11.11-10)

третье и четвертое равенства следуют из (7) и (8), а последние— из (II.5-7). Величина Е представляет-собой локальную скорость увеличения объема материальной области, отнесенную к единице объема. Заметим вновь, что необходимым и достаточным условием изохоричности движения является равенство Е = 0.

Поле скоростей жесткого движения дается соотношением (1.10-1). Беря от него градиент, получаем G = W. Таким образом, для жесткого движения D = 0, и спин, определенный для общего случая соотношением (2)4, сводится в случае жесткого движения к тому, что мы определили в § 1.10 как спин такого движения.

Упражнение II. ПЛ (Эйлер). Доказать обратное утверждение. А именно, рассматривая равенство D = 0 как дифференциальное уравнение для пространственного поля скоростей, интегрированием его получить (1.10-1).

Эти результаты можно подытожить в виде следующей теоремы: Выполнение условия D = 0 в некоторой области в некоторый момент необходимо и достаточно для того, чтобы движение в этой области в этот момент было жестким. Ввиду интерпретаций тензора D, данной сразу после его определения, эта теорема физически очевидна.

Ясно, что спин W, — вообще говоря, нечто совсем отличное от R, скорости изменения тензора поворота во времени. Это видно на следующих двух примерах.

При простом, сдвиговом течении декартовы компоненты скорости равны

’ ^1=0, Х2=ХХЬ Хз = 0 (11.11-11)

и каждое тело-точка движется по прямой линии, параллельной осн х2, однако, если х =^= 0, движение является вихревым. В простом вихре компоненты скорости в цилиндрической системе координат равны .

г —0, й = Цг\ z = 0 (11.11-12)

и каждое тело-точка стационарно вращается вокруг осн системы по окружности г = const, однако в случае / (г) = Кг*2 движение является безвихревым. Разница в кинематических смыслах R и W становится понятной из сравнения определений (II. 9-1) и (2)4, из которых ясно также, что оба эти тензора должны быть полезны при описании и классификации движений.

Аналогичным образом и скорость растяжения D обычно не совпадает со скоростью изменения U тензора растяжения U.

Дальнейший свет на соотношения между растяжением и скоростью растяжения и между поворотом и спином проливает следующее упражнение.

Упражнение II. 11.2 (Колеман & Трусделл; Э. & Ф. Коссера). Доказать, что

W = RRT + у R (UU~‘ - U~1 й) RT,

Z(II. 11-13)

D = R (UU-1 + и'“‘й) RT, C = 2FTDF,

где R и U имеют обычный смысл тензора поворота и правого тензора растяжения по отношению к фиксированной отсчетной конфигурации. Доказать, далее, что В |F=lI = 2D.

Можно определить также скорости изменения растяжения и поворота высших порядков.

Упражиеине II. 11.3. В качестве обобщения (1) и (2)i положим

(п).

G„ = F,«)-d2F( («)!„_,, н = 1-2 (II. 11-14)

Дифференцируя (II. 8-7) п раз по т и полагая т = t, доказать, что

(п) ,

■FF-'=G„,(11.11-15)

а потом, используя правило дифференцирования сложной функции, установить, ЧТО■■ ■

.-(п)

G„ = gradx.'(11.11-16)

Наиболее часто используемые скорости высшего порядка — это тензоры Ривлина — Эриксена Ап:

(п)

,А„-С#(0.(II. 11-17)

Здесь использовано обозначение (14). В частности, Ai = 2D.

Упражнение II. 11.4 (Дюпон, Ривлнн & Эриксен). Доказать, что

A„ = G„+gJ+2(”)g/TG„_/(II. Н-18)

/=1 -

и

.A„+1=A„ + A„G+(A„G)T.(II. 11-19)

Упражиеине II. 11.5 (Рнвлин). Дифференцируя повторно по т соотношение det Ci (т) = 1 и полагая затем т = t, показать, что при изохорическом движении

tr Ai — 0,

■trA2 = trAp(II. 11-20)

tr А3 = — 2 tr А^ + 3 tr (A2A])'

и вообще tr Ад есть линейная комбинация следов произведений, образованных из Аь А21 ..., Ап-ь.

Особенно простой вид градиент скорости G принимает на неподвижной стенке, к которой материал прилипает. Действительно, поскольку всякая линия, состоящая из тел-точек, лежащих на стенке, неподвижна, то не может происходить растяжения вдоль никакого направления, касательного к стенке; по той же самой причине ось спина должна быть касательной к стенке. Последний результат легко доказывается с помощью применения кельвиновского преобразования контурного интеграла в поверхностный («теоремы Стокса») к полю скоростей х:

| х • dx — J tr [W (dax A d6x)] da db, (II. 11-21)

где предполагается, что поверхность ^ задана параметрически уравнением х = х(а, Ь\ Для любой части si- поверхности, на которой х = 0, левая сторона этого равенства тривиальным образом обращается в нуль.. Поэтому на ^ .

tr [W (дах Л д6хЯ = 0.tr [W (дах Л д6хЯ = 0.(II. 11-22)(II. 11-22)

tr [W (дах Л д6хЯ = 0.

tr [W (дах Л д6хЯ = 0.

(II. 11-22)

(II. 11-22)

Упражнение II. 11.6. Показать, что из (22) следует, что ось тензора W лежит в плоскости, натянутой на дах и "дьх. Обозначив через п единичную нормаль к ^, показать, "что в том месте х на поверхности 91-. где скорость обращается в нуль, можно выбрать ортонормированный базис {n, е, 1}, такой, что е лежит на оси спина и,

W = ^IFnAf.(II. П-23)

■ Следовательно,

Wn =—^ Ш,Wf = yIFn,(11,11-24)

так что

.W = — n ® Wn + Wn ® п.' (II.-1-25)

Упражнение II. 11.7 (Беркер, Касуэлл, Трусделл). Используя интерпретацию градиента как производной по направлению, показать, что если к есть произвольный вектор в точке х, параллельный поверхности, на которой скорость обращается в нуль, то в этой точке х

Gk = 0.

(11. П-26)

Вывести отсюда, что в некоторой точке такой поверхности D = 5n®n + n® Wn + Wn ® n

и что главные скорости растяжения даются формулами *)-

(II. 11-27)

2Д, = 5 + f£2 + Г2 > 0,

(II. 11-28)(II. 11-28)Вг — D^ — 0,

(II. 11-28)

(II. 11-28)

2d8 = e-V"e2 + w4 <о.

’) Здесь Е и IF те же, что были использованы выше: Е = tr D, IF = V — 2 tr W2. — Прим. ped. ■

Однородные деформации

' Деформация %х по отношению к отсчетной конфигурации х называется однородной, если тела-точки, образующие прямолинейный отрезок в х(^), образуют прямолинейный отрезок и в х» (X 0- Согласно известной теореме элементарной геометрии, всякая такая деформация хх должна быть аффинной в любой момент L Таким образом, однородная деформация х имеет вид

Хх(Х, O = xo(O + F(O(X-Xo), detF(O¥=O, (II. 12-1)

где Хо — некоторое фиксированное место в х, х0 — местозначная функция времени, a F(/) —тензорная функция времени. Из (II. 5-1) видно, что F есть градиент деформации и что он в любой момент одинаков во всех местах. Этим объясняется наименование «однородная деформация».

Определенная таким образом однородная деформация относится к одному телу ^, занимающему все пространство 8. Чтобы не входить в детали, касающиеся неограниченных областей, мы всякий раз будем рассматривать только некоторую ограниченную часть тела $.

Деформация, однородная относительно хь вообще говоря, не является однородной относительно другой, отсчетной конфигурации Х2- Класс всех деформаций, однородных относительно хь совпадает с классом всех деформаций, однородных относительно Х2, тогда и только тогда, когда деформация X, переводящая Х] в Х2, однородна. Деформации, однородные относительно одной и той же конфигурации и, образуют подгруппу группы всех гладких движений.

Однородные деформации проще всего представлять себе как отображения одного векторного пространства в другое. Пусть гх обозначает поле векторов положений в х(^) по отношению к началу Хо, и пусть р обозначает поле векторов положений в хх W О п0 отношению к Хо(О- Тогда (1) можно записать, в виде

'P = Fpx,(II. 12-2)

где. F — функция одного только времени.

Пусть два данных вектора положения шх и пх переводятся отображением (2) в m и п соответственно. Тогда

m n = mx Си,,(II. 12-3)

где С — правый тензор Коши — Грина (П.9-5)ь который является симметричным и положительно определенным. Подобным

образом

т. • n. = m • B-In,(II. 12-4)

где В — левый тензор Коши — Грина (П.9-5)з. Все векторы, параллельные пх, увеличиваются в длине в одном и том же отношении. В частности, если п,— единичный вектор, то соответствующий ему, согласно (2), вектор п имеет в общем случае длину, отличную от 1. Это отношение длин называется растяжением У(п,) в направлении п,:■

= уПх . Си.,(II. 12-5)

Два ортогональных вектора шЛ и п» в н^) переводятся в общем случае в векторы m и и з Z„№ О, которые уже не ортогональны. Это. явление называется сдвигом, и существуют различные способы его описания. Одной из мер сдвига является угол. 6(П„щ,) между образами в х.(^, О двух единичных векторов и* и т» из х(^). Он удовлетворяет соотношению

cos 6(„х,п, • Cm.. (II. 12-6)

(М (Ш.)

Сфера | m. р = const в х(^) отображается в эллипсоид в х(Х /), а сфера |тр = const в /„[$() является образом эллипсоида в х^.

Упражнение II. 12.1 (Коши). Показать, что главные оси деформации, определенные в § 9, являются главными осями только что построенных эллипсоидов; что главные растяжения — это растяжения в направлениях этих осей и что эти главные растяжения являются экстремальными. Доказать, что главные оси не испытывают сдвига и что в общем случае эти линии — единственные, не испытывающие сдвига. Тем самым разложить однородную деформацию иа перенос и поворот, переводящий одну совокупность главных осей в другую, с последующими (или предшествующими) чистыми растяжениями вдоль этих осей.1

Термины «скорость растяжения» или «скорость сдвига» в общем случае относятся к скоростям изменения растяжения или сдвига соответственно, когда эти последние определены по отношению к актуальной конфигурации в качестве отсчетной. Мы можем рассмотреть скорости растяжения и сдвига подобным же образом, исходя из однородных деформаций. Дифференцирование соотношения (2) дает■

p = Fpx = GFpx = Gp;(II. 12-7)

мы воспользовались (II. 11-5) и. (2). Отсюда, используя (II. 11-8), получаем соотношение Эйлера■

Ipl-^”P’P==P-Dp,(II. 12-8)

где D — тензор скоростей растяжения; эквивалентная запись:

■»LI2'9>

где п — единичный вектор в направлении р. Таким образом, нормальная компонента п-Bn тензора D представляет собой отнесенную к единице длины скорость увеличения длины прямолинейного отрезка в х^), первоначально параллельного п в $\ эта величина называется скоростью растяжения в направлении п. Три главные скорости растяжения, которые были определены в § 11, представляют собой экстремальные скорости деформации.

Упражнение II. 12.2 (Эйлер). Показать, дифференцируя (6), что для двух ортогональных единичных векторов п, и m х

’-6(„.m)lF=1=2n.Dm,(И. 12-10)

и дать интерпретацию этого результата в терминах скоростей сдвига. '

Пусть теперь ф(Р| тх) обозначает угол между вектором положения р точки х по отношению к х0 в /(^, /) и единичным вектором ш» в x(jg). Тогда в силу (2)

| р |созф = тх • Fpx,(11.12-11)

где для простоты мы опускаем временно индекс (р, тх). Дифференцирование по / дает в силу (II. 11-15)

с°5ф -^-1 р |—I р |51пфф = тх • Fpx = mx • GFpx. (IL. 12-12)

Если мы теперь допустим, что значением поля рх является единичный вектор, ортогональный к шх, например пх> и затем возьмем в качестве отсчетной конфигурации актуальную, так что соответствующее значение поля р также будет равно п, то получим'

■Ф(п = —m-Gn.(11.12-13)

•in, m) ixz

Эта формула определяет угловую скорость, с которой прямолинейный отрезок в х(^), в данный момент параллельный п, поворачивается от неподвижного единичного вектора m в §. Аналогичным образом скорость, с которой прямолинейный отрезок в х(^), в данный момент параллельный т, поворачивается к неподвижному единичному вектору п, дается формулой

Ф<т.-П) |F=1 = + ” - Gm-(И. 12-14)

Складывая эти формулы и используя (II. 11-8), получаем •

+ „Л =n Wm, (11.12-15)

где W — спин. Таким образом, мы доказали фундаментальную теорему Коши:

Компонента n-Wm спина W, соответствующая ортогональным единичным векторам num, равна среднеарифметическому скоростей правосторонних поворотов прямой линии в а(^), в данный момент параллельной п, по отношению к направлению m в 8 и прямой линии в х(^9), параллельной в данный момент т, по отношению к направлению п в 8. •

В случае произвольного движения хх градиент деформации F дает локальное линейное приближение. Мы можем сказать, что деформация хх аппроксимируется с ошибкой порядка о(|Х— Хо|) в точке Хо из х(^), а следовательно, и в Хо из Хх(Х 0> однородным движением (1). Таким образом, полученные в этом параграфе результаты для однородных деформаций можно интерпретировать как результаты о локальной аппроксимации общего движения. Грубо говоря, результаты, верные для всех прямых при однородной деформации, верны для бесконечно малых отрезков при произвольной гладкой деформации.

Для справок мы приведем здесь также уравнения для полей скорости и ускорения при однородной деформации (1):

(II. 12-16)(II. 12-16)x = x0 + FF '(х — х0),x = x0+FF-I(x — х0).

(II. 12-16)

(II. 12-16)

То что эти поля даются аффинными функциями места, должно быть очевидно без вычислений, и в этом можно также удостовериться, взглянув на (II. 11-5) и (II. 11-13).

Обратно, допустим, что поле скоростей для некоторого движения является аффинным:

x = c(Z) + G(/)(x — х0), (II. 12-17)

где с и G — непрерывные функции. Тогда мы можем найти местозначную функцию х0 и тензорнозначную функцию F, такие, что

F — FG = 0, Xg — с = 0, (11.12-18)

причем эти функции определены единственным образом с точностью до выбора начальных значений Хо(0) и F(0). Из (II. 5-6) следует, что вне зависимости от того, каково G, якобиан /(/) не может обратиться в нуль, если 7(0) =# 0. Таким образом, преобразование F(Z) невырождено, если невырождено F(0). Поэтому движение тела $, соответствующее аффинному полю скоростей, представляет собой однородную деформацию любой конфигурации, занимаемой % в любой момент.

Скорости изменения интегралов по материальным линиям, поверхностям и областям

Часть пространства, занятая некоторым множеством тел-точек тела $, называется материальной. В большинстве случаев такая часть пространства меняется во времени. Таким образом, если мы определим интеграл от некоторого пространственного поля по материальной линии, поверхности или области, его значение будет в общем случае переменным по двум причинам: во- первых, потому что само поле меняется, и, во-вторых, потому что область интегрирования меняется вследствие движения тела $. "

Мы уже вычислили скорость изменения во времени интеграла от функции по материальной области и фиксировали результат в виде (II.6-8). Теперь обратимся к аналогичной задаче для материальных линий и поверхностей.

Как мы уже замечали, формулы, строго верные для однородных движений, служат лишь приближениями первого порядка для более общих движений. Поскольку на значение интеграла влияют лишь члены первого порядка, мы можем получить на этом пути точные формулы для скорости изменения интегралов во времени. Например, если <6— заданная кривая в х(^), то производная по времени от криволинейного интеграла вдоль её конфигурации х^-О получится, если положить, что скорость изменения dx элемента дуги dx равна Gdx, как это подсказывает (II. 12-7). Таким образом мы приходим к следующей формуле, принадлежащей Кельвину:

-^- J tdx = J [f-dx + f-(Gdx)]= J (f + GTf) • dx.

x«.h xir.O x ^,t)

(II. 13-1)

Упражнение П.13.1. Преобразуя криволинейные интегралы по хС^.О в интегралы вдоль неподвижной кривой @” в х(^), дать формальное доказательство формулы (1). ■

Упражнение П. 13.2. Используя (II. 12.7), вычислить скорость изменения объема материальной области при однородном движении н тем самым получить иное доказательство формулы (II. 6-8).

Аналогичным образом, обозначая через р Л Ч поле, значения которого равны внешнему пронзведению векторов положения пар тел-точек из xW 0> выводим из (II. 12-7), что

■^•(Р Л q) = (Ср) Л q + р Л (Gq) — G (р Л q) — (р Л q) GT. (II. 13-2)

Отсюда для скорости изменения поверхностного интеграла от антисимметричного тензора S по материальной поверхности У получаем формулу Лэмба

-^- J tr [S (дйх A д»х)1 da db ='

■х(^. О

= J tr[(s + SG + GTs)] (дйх A d6x) da db-, (II. 13-3) x (^. 0

здесь предполагается, что поверхность х ^S”. Л задана параметрическим уравнением х = х(а, 6).

§ 14. Изменение системы отсчета.' Независимость от системы отсчета

В § 1.6 было рассмотрено понятие системы отсчета, а в § 1.6 были исследованы преобразования, связанные с изменением системы отсчета. Движение (II. 1-1) тела 38 описывается по отношению к некоторой определенной системе отсчета 0; по отношению к другой системе отсчета 0* движение описывается, скажем, отображением.

х* = ХЧХ,О.(II. 14-1)

Мы рассматривали изменение системы отсчета (1.9-4) как соотношение, выражающее связь между местами и временами, (х, /) и (х*, /*) одного и того же события, как оно представляется различным наблюдателям. Таким образом, если (II. 1-1) и (1) должны выражать одно и то же движение тела, как оно видится наблюдателям в системах отсчета ф и ф* соответственно, то движения х и X* должны быть связаны соотношением (1.9-11), которое мы перепишем здесь в виде1)

•Х*(Х, f + a) = x5(0 + Q(0(X№ 0-Хо), (II.14-2)

где х0 и а — это место и время по отношению к ф некоторого выделенного события, хо(-) — некоторая местозначная функция, a Q — функция, значениями которой являются ортогональные тензоры.■

Если мы решим описывать движение, используя отсчетную конфигурацию х, то соответствующие деформации х* и хх будут связаны таким же образом:,

Х:(Х, < + a) = x;(0 + Q(0(Xx(X, О-хо). (II. 14-3)

В § I. II мы ввели понятие независимости от системы отсчета. Коротко говоря, скалярная функция места и времени не зависит от системы отсчета, если это на самом деле функция

’) Напомним, что Q зависит только от времени, но не от места. — Прим, ред.- s

самих событий, не зависящая от того, как введена система отсчета. Векторная функция независима от системы отсчета, если ее значения в ф* вызывают там перенос мест тех же самых событий, перенос мест которых в ф вызывают ее значения в ф Тензорная функция не зависит от системы отсчета, если она преобразует каждый вектор, не зависящий от системы отсчета, в вектор с тем же свойством. Как мы показали в § 1.11, формально эти три условия независимости от выбора системы отсчета имеют вид

F* = Fдля скаляров,

v*=Qvдля векторов,(II. 14-4)

T* = QTQT для тензоров (второго порядка),

где звездочками помечены величины, соответствующие системе ф*, a Q — ортогональный тензор, входящий в формулу замены системы отсчета (2).'■

В случае когда некоторая величина задается соотношением, справедливым во всех системах отсчета, условия типа (II. 14-4) могут выполняться или не выполняться. В § 1.9 мы вывели соотношение (1.9-15), связывающее скорости х и х*, вычисленные в системах ф и ф*. Этот результат показывает, что хи х не удовлетворяют условию (4)2 и, следовательно, скорость не является независимой ют системы отсчета. Действительно, (1.9-14) показывает, что спин А системы ф* относительно ф порождает в ф* скорость, фактически соответствующую движению твердого тела, которое покоится в системе ф* (см. § 1,10). Сходным образом соотношение (1.9-20), связывающее ускорениях и х' в ф и ф*, показывает, что ускорение не является независимым от системы отсчета. .

Теперь мы рассмотрим влияние изменения системы отсчета на величины, при определении.которых используется не только система отсчета, но и отсчетная конфигурация. Начнем с градиентов деформации. Поскольку определение (II. 5-1) применимо как в системе ф, так и в ф*, мы имеем

f^VX,(X,/), F^Vz^X, /). (II. 14-5)

Беря градиент соотношения (3), получаем

"'F* = QF.(II. 14-6)

Таким образом, градиент деформации не является независимым от системы отсчета.

Применяя соотношение (6) к полярному разложению (II. 9-1), мы видим, что'

R*U‘=QRU.■ (II. 14-7)

Так как тензор QR ортогонален и так как полярное разложение невырожденного тензора единственно, то

R* = QR, U* = U.(II. 14-8)

Следовательно,

V* = R*U*R*T = QRURtQt = QVQt. (II. 14-9)

Таким образом, мы показали, что V не зависит от системы отсчета, хотя F, R и U от нее зависят. Конечно, С* = С и B* = QBQT, как это немедленно получается применением (8)2 и (9)3 к определениям (II. 9-5).

Если мы продифференцируем (6) по времени, то най-дем, что

F* = QF + QF,(11.14-10)

но, согласно (II. 11-5), F = GF и F* = G*F*, так что

G*F* = QGF +QF = QGQF* + QQF*. (II. 14-11)

Поскольку тензор F* невырожден, на него можно сократить; используя разложение Эйлера — Коши — Стокса (II. 11-8), приходим к соотношению

D* + W* = Q(D + W)QT + A, (II. 14-12)

где А — спин (1.9-15) системы ф относительно системы ф*:

А = QQT = — Ат.(II. 14-13)

Так как разложение на симметричную и антисимметричную части единственно, то

' ■ D* = QDQT, W* = QWQT + A. (II. 14-14)

Эти формулы выражают теорему Зарембы Воровского:

' Скорость растяжения независима от системы отсчета, а спин в ф* есть сумма спина в ф и спина ф относительно ф*.

Это утверждение интуитивно ясно, поскольку изменение системы отсчета фактически налагает дополнительное жесткое движение, возможно с последующим отражением, а ни одно из этих двух преобразований не изменяет скоростей растяжения, хотя первое из них и поворачивает направления, в которых представляются происходящими эти растяжения. В соответствии с результатом упр. 1.11.2 главные скорости растяжения и главные оси тензора скоростей растяжения также независимы от системы отсчета.

Если мы продифференцируем (II. 9-10) п раз по т, а затем положим т = t и применим определение (II. 11-17), то получим

(п)

C = FTA„F,(11.14-15)

где Ап есть п-й тензор Ривлина — Эриксена. По теореме о полярном разложении (II. 9-1)

и *CU = RTAnR.(11.14-16)

Аналогично•

U,-'c,U,~1 = R*A*R*.(II. 14-17)

Немного выше мы показали, что- U*=U и С* = С; следова- (п)(п)

тельно, и С* = С, поэтому левые части (16) и (17) равны. Отсюда следует, что.

R*TA‘R*=RTA„R.(11.14-18)

Ввиду (8)i еды заключаем, что

A: = QA„QT.(II. 14-19)

Таким образом, тензоры Ривлина — Эриксена независимы от системы отсчета. Этот результат представляет собой обобщение первого утверждения теоремы Зарембы — Зоравского. Столь же просто обобщить и второе утверждение, но это обобщение уже не столь легко истолковать. .

Упражнение II. 14.1. Исходя нз (II. 8-7) н (6), доказать, что Uj не зависит от системы отсчета и. что■

R/ (Т) = Q (т) Rz (т) Q (1)т.(II. 14-20)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

’(работы общего характера)

NFTM'), §§ 15—25..

СЕТ, §§ 13—171 (исчерпывающее изложение кинематики в компонентной записи).

') Относительно используемых в списках литературы сокращении см. стр. 571. — Прим., рсд.

Глава HI

ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

§ 1. Силы и моменты. Законы динамики.Массовые силы и контактные силы

Подобно телам, движениям и массам, силы и моменты являются первичными элементами механики. Это математические величины, вводимые a priori, представляемые некоторыми сйм- волами и подчиненные математическим аксиомам, которые определяют их свойства и делают эти понятия ясными и полезными при описании механических явлений природы. Аксиомы для системы сил в общем случае были представлены в § 1.5; моменты были определены как моменты сил в § 1.8; общие аксиомы динамики, связывающие силы и моменты с движением, в которое они приводят данное тело, даны в § I. 12 и 1.13. В остальной части этой книги, исключая те места, где обсуждается независимость от системы отсчета, мы будем считать рассматриваемую систему отсчета ф инерциальной и будем строить динамику на эйлеровых законах динамики:

fa = m, Fa = M. - (1.13-11)

Иными словами, скорость увеличения количества движения тела равна приложенной к этому телу силе fa и скорость увеличения момента количества движения тела относительно точки х0 равна приложенному к нему моменту Fa, причем точка х0 неподвижна в инерциальной системе отсчета.

Мы начнем с того, что переформулируем эти законы в более явном виде, отнеся их к части 9s тела $ и конфигурации Х^), занимаемой ею в инерциальной системе ф: Этот явный вид, как следует немедленно из (1.13-6) и (1.13-8), таков:

(Ш.Ы(Ш.Ы' J pxdK = fa(^),xW

(Ш.Ы

(Ш.Ы

J (X — х0) А рх dV = Fa ^9^.

При этом мы должны всегда помнить, что, хотя это и не отражено в обозначениях, приложенная сила fa и приложенный момент Fa, равно как и,конфигурация,х(^)> могут зависеть от времени I. Таким образом, сила и момент, приложенные к 91, могут

быть выражены в виде интегралов по актуальной конфигурации 9. Как всегда, х — поле ускорений на X (59) и мы предполагаем, что оно ограничено.

В механике сплошной среды вводятся две различные системы сил: массовые силы f^ с которыми могут действовать друг на друга тела вне зависимости от того, находятся они в контакте или нет, и которые мы предполагаем связанными с массами тел, и контактные силы fc, с которыми тела воздействуют друг на друга через их общую поверхность контакта и которые предполагаются связанными с этой поверхностью, распределенными по ней и не зависящими от масс тел по обе стороны ее. А именно, предполагается, что приложенная сила есть сумма двух сил различного рода:

fa = f| + fc,(III. 1-2)

где

f|(^) = J pbdK,

X<?(Ш. 1-3)

J tax W dA;

dxW

здесь 9— произвольная часть тела Ж. Соответствующие моменты даются формулами

Гв(Лх, = J (х-Хо)ЛрЬ^,

(III. 1-4)(III. 1-5)(III. 1-4)(III. 1-5)X W

(III. 1-4)

(III. 1-5)

(III. 1-4)

(III. 1-5)

Fc (^ = f (X — ХО) л tax w dAдХ W

И

Как явствует из (3)ь приложенная массовая сила fl — абсолютно непрерывная функция объема ’). Ради краткости ее

’) Менее ограничительно считать силу f| (^) абсолютно непрерывной функцией массы, а не объема, тем более что это предпочтительнее с физической точки зрения. В самом деле, случай, когда р(х) не является ограниченной функцией, встречается довольно часто, например в динамике стержней и оболочек с сосредоточенными массами. Плотность Ь(х), напротив, всегда огра- ничена. Используя теорему о среднем, получаем из (3)i

*в W ™ J pbdV«=b(x0) JpdV=b(x0)M,xWх W

где xo e x(^), a M — масса части 9 тела 38. Последняя формула утверждает, что сила f| (^) — абсолютно непрерывная функция массы, — Прим. ред.

122 .Часть i. общие понятий • $ 1 плотность b по отношению к массе будет далее называться полем массовых сил или даже просто массовой силой. Более того, в этой книге мы ограничимся тем случаем, когда само b — заданная функция места и времени:

b = b(x, О- (III. 1-6)

Такие моля массовых сил называются внешними ’), поскольку они не зависят от того тела ^, на которое действуют. Обычно внешние массовые силы считают потенциальными:

b=-gradm, (III. 1-7)

причем потенциал б может быть однозначным или многозначным. Если b не зависит от t, то массовая сила называется стационарной. Стационарная потенциальная массовая сила называется консервативной. Если поле b постоянно во времени и пространстве, как это имеет место в случае силы тяжести для тел вблизи поверхности земли, то оно называется однородным полем тяготения').

В механике сплошной среды массовые силы представляют лишь второстепенный интерес; она занимается главным образом контактными силами, к которым мы сейчас и обратимся.

Согласно (3)2 результирующая контактная сила fc является абсолютно непрерывной функцией площади граничной поверхности дх(^)> на которой она действует. Поверхностная плотность tsxw называется полем усилий на дх^). Если это поле известно, то результирующая контактная сила определена и не зависит от того, что может происходить в точках, не лежащих на dx^Y В этом смысле поле усилий равнозначно действию на ^ внешних по отношению к 5s тел, соприкасающихся с 9*.

В предположении, что контактные силы именно таковы, и состоит принцип разрезания Эйлера — Коши:

Вообразим, что внутри области, занятой произвольным телом 38 в некоторый заданный момент времени, имеется замкнутая гладкая пленка. Тогда действие внешней по отношению к пленке прилегающей к ней части тела на внутреннюю часть равносильно действию некоторого поля векторов, определенного на этой пленке.

Конечно, в качестве этой пленки можно взять границу тела, внешность которого мы предпочитаем не уточнять. В этом слу-

. ’) Соотношение (6) не охватывает все внешние массовые силы. Например, Плотность силы, порождаемой электрическим или магнитным полем, есть функция от х н зависит от специфических свойств тела, на которое оно действует. Для целей данной книги достаточно соотношения (6).

чае принцип разрезания не дает интерпретации напряжений tax (^>. Напротив, напряжения на границе наибольшего рассматриваемого тела считаются известными из каких-либо иных соображений. Например, для того чтобы выразить тот факт, что к поверхности данного тела приложены заданные силы, не включая в теорию те тела, которые могли бы создавать эти силы, мы налагаем граничное условие на напряжения, задавая на данной граничной поверхности (^xW или <М#) напряжения tdx или некоторое связанное с ними поле. В других случаях мы мо-, жем на одной из таких поверхностей оставить напряжения tdx№ подлежащими определению, налагая граничное условие на положения— обычно задавая на dxW или d^w деформацию Хх (X) или некоторую производную от нее величину. В любом случае природа напряжений tax ^ на поверхности, охватывающей наибольшую часть тела, какую мы решили рассматривать, должна быть задана или определена условиями, лежащими вне рамок той общей теории, которую мы сейчас развиваем.

Если мы подставим (2) — (5) в закон Эйлера (1), то получим основные законы движения механики сплошной среды — с той общностью, с которой проводится рассмотрение в этой книге):

J pxdV = / tdxWdA+ / pbdV, X l^)<?X WX W

(III. 1-8)

J (x—x0)ApxdK = J (x —x0)AtdxWM+ J (x—x0)ApbdV x№dx№XW

для любых частей ^ всех тел нашей вселенной.

Как мы установили в § I. 13, все силы независимы от системы отсчета. В частности, независимы от системы отсчета контактные силы и массовые силы. Вследствие этого их плотности суть независимые от системы отсчета векторные поля):

b* = Qb, t5xW = QtdxW,(III. 1-9)

где Q — ортогональный тензор, входящий в формулу замены системы отсчета (II. 14-2).

Конечно, запись уравнений для количества движения и момента количества движения в виде (8) справедлива только в инерциальной системе координат. Чтобы получить соответствующую запись в произвольной системе отсчета, нужно только заменить ускорение х независимым от системы отсчета вектором а, сводящимся к ускорению в случае, когда система инерциальна. Этот вектор мы уже вычислили, он записан в виде (1.11-3). После этой замены интегралы в левых частях (8) становятся независимыми от системы отсчета, как и все четыре интеграла в правых частях.

Читатель, готовый принять эти уравнения, дополненные предположениями о гладкости b и taX(^» в качестве аксиом, может прямо перейти к следующему параграфу.

У более критически настроенного читателя могут возникнуть два возражения. Во-первых, результирующая контактная сила fc не определяет напряжений однозначно, поскольку к любому полю tgz<А которое удовлетворяет соотношению (3)2, мы можем прибавить Sn), где S — произвольное тензорное поле, такое, что div S = 0, и контактная сила fc останется той же. Во- вторых, неясно, как результирующая массовая сила fa и результирующая контактная сила fc связаны с общим понятием системы сил, представляющей собой функцию, определенную на парах отделенных тел, а не на одиночных телах. Для такого читателя мы закончим этот параграф исследованием), которое показывает, что классические допущения (3) и (4) являются теоремами, доказываемыми на основе предположений непрерывности, сформулированных в терминах современной теории систем сил, которую мы обрисовали в гл. I. А именно, рассматривая фиксированный момент t и не указывая его в обозначениях, мы будем допускать, что система сил, определенная на (Q X Q)o, есть сумма двух систем сил:

f(^, ^) = fB(^, ^Hfc^> ^. (ш- 1-1°) которые, мы будем называть системой массовых сил и системой контактных сил соответственно и которые будут различаться по своим математическим свойствам, подобранным так, чтобы отразить различие в их интерпретациях, данных сразу после соотношений (3). Все четыре аксиомы сил, изложенные, в § 1.5, предполагаются выполненными и для fB и для fc, а потому и для их суммы f.

В соответствии с общей теорией, изложенной в § 1.12, мы допустим, что система сил f сбалансирована. Согласно аксиомам инерции § 1.13 в f должна входить сила инерции. Поскольку эта функция — абсолютно непрерывная функция -объема), она должна составлять часть fe, а не fc. Таким образом, те величины, которые мы обозначили через Тв(^) и fc^), должны быть связанными с 1в и fc следующим образом:'

.tB(^, ^е) = 1в(^)- f pxdv,

1xw(III. 1-11)

fc(^, ^HcW.

Теперь мы сформулируем разумные условия на системы сил fa и fc, которые позволят нам, пусть и со значительными затруднениями, доказать, что из (11) следует, что fl^) и fc^) имеют форму (3). Предположения, которые мы сделаем, являются непосредственным выражением основных представлений о силах, которые действуют на тела благодаря наличию у них массы, и силах, действующих на тела ввиду наличия площадей контакта, а именно:.

Для любых отделенных друг от друга тел si и 48 существует такое положительное число К, что) -■

|fBW ^)\<KM(si),шт I 19)

■(Ш.

при. условии, что достаточно малы соответственно масса тела si и площадь общей границы тел ^ и ^ в /. Первое требование не связано с движением х; оно относится к самим телам, независимо от их конфигураций. Что касается второго требования, то, если оно выполняется для одной конфигурации х, оно выполняется и для любой другой, хотя, конечно, значение К может зависеть от х- Все возможные массовые силы, действующие на ^, в пределе) пропорциональны массе si, а все возможные контактные силы между si и ^ в пределе3) пропорциональны

площади разделяющей их границы. Доказать, что из этих допущений действительно следует представимость приложенных сил в виде (3), нелегко. Мы мало на что можем опереться сверх (12), фактически лишь на то, что

fB( •, ‘S’) и fc( •, ‘S’) — векторные меры, определенные на частях ^ любого тела ^, отделенного от 'S’.

Сумма fB + fc сбалансирована.

Первое из этих утверждений вытекает из теоремы, непосредственно следующей за аксиомой F4 § 1.5. Из второго утверждения не следует,- что какая-либо из систем сил fa и fc сбалансирована сама по себе. И действительно, в общем случае ни одна из них не может быть сбалансированной, поскольку если- бы одна из них была таковой, то результирующая сила fc(^) обращалась бы в нуль на каждой части ^, чем исключалась бы возможность того, что контактные силы дают вклад в движение тел, на которые они действуют.

В силу следствия Нолла из § 1.5 мы можем заключить на основании утверждения II, что система сил f Попарно уравновешена: " '

fB (^, V) + fc (^, ^ = - fB (^ ^) - fc (^, ^). (III. 1-13)

Второе важное свойство такого рода систем сил было фактически отмечено еще самим Коши. А именно, для частей 9 достаточно малого объема существует положительное число К, такое, что

[fc^, ^^KV^.(III. 1-14)

Это неравенство является непосредственным следствием неравенств (12), утверждения (II) и абсолютной непрерывности массы как функции объема. Из (12)2 мы видим также, что для семейства частей 9, таких, что К(х(^)) -*0, результирующая контактная сила, отнесенная к единице площади, стремится в

пределе к нулю:пределе к нулю:fc(^e)fc(^e)(III. 1-15)(III. 1-15)

пределе к нулю:

пределе к нулю:

fc(^e)

fc(^e)

(III. 1-15)

(III. 1-15)

Если, как это может случиться, А (дх^)) остается при этом предельном переходе отграниченной от.нуля, то

(III. 1-16)(III. 1-16)lim L (^, ^) = 0.

(III. 1-16)

(III. 1-16)

У(Х(^))->0

Возьмем сперва систему контактных сил fc. Мы докажем, что в силу предположения (12)2 fc(^, ^ зависит от тел и ‘S’ только через их поверхности контакта в X.

Лемма (Гуртин & Вильямс). Пусть ^st-,^ и (^,^) — пары отделенных тел; допустим, что si -^st и ^ ^^ и, далее, что конфигурации тел si и % имеют ту же общую часть границы, что и конфигурации тел si и 98 \■

^(^n^zW-^z^n^W,>(Ш. 1-17)

и что дх(з/) и dz(^), равно как dzW и дх^), одинаково ориентированы. Тогда■

fc (^, ^) = fc (^, ^).(III.1-18)

Доказательство. Положим

^^d^WlA^-M^WlA^ (Ш. Ы9)

и превратим У в поверхность, приписав ей ориентацию внешней нормали к дх^з£\ Вспоминая, далее, определения (II. 1-4) операций Ди V, положим

si = yj. A si, <6 ^98 ATS.. (III.1-20)

Из рассмотрения схематического чертежа представляется достаточно правдоподобным, что

9» = dx^V\dl^Y(Ш. 1-21)

за исключением может быть множества нулевой площади. В силу (12)2 контактная сила между телами, поверхность контакта которых имеет площадь 0, равна О. Таким образом, (21) показывает, что эффективная область контакта между si и % та же, что и между si и Т8. Следовательно, тело si Д ^е не может испытывать никакой контактной силы со стороны никакой части тела Т8, а з^ не может испытывать никакой контактной силы со стороны никакой части тела Т8, не являющейся одновременно частью тела ^. В частности,,

fc(X ^,Д^е) = 0, ТС(^Д й\ ^) = 0. (III.1-22) Приведем формальное доказательство утверждения (21), принадлежащее Вильямсу. Поскольку s4- и % входят в (21) симметричным образом, достаточно доказать, что d^-std П d-j^T?^ отличается от д’ на поверхность нулевой площади. Положим

54-* = ^ А Ж '(III. 1-23)

Тогда наше утверждение эквивалентно такому:

Д№(^,)ПдХ(^)) = 0,(III. 1-24)

поскольку X (31*) с X. (st), нбо st* К <£• Докажем (24) методом от противного. Положим

^ ^ дх W Л дх (?).(III. 1-25)

Ясно, что <М с дх М*). Допустим, что А (41) ^ 0. Тогда 41 содержит непустое открытое множество, и без потери общности мы можем принять, что само ^ открыто. Поскольку х к^Л — гладкое многообразие с границей, мы можем найти подмножество Jf* в X (сЛ*), открытое относительно X (^*) и содержащее 41. Поскольку также <М cz dX ( у4), то же рассуждение позволяет нам найти множество if с теми же свойствами по отношению к Зк Положим теперь-

Л’^Л”ПЛ4.■(III. 1-26)

Мы утверждаем, что Л5 имеет внутренние точки. Так как 41 лежит иа границе регулярных областей X М*) и х (Л)> мы можем выбрать окрестность точки х е 41, содержащую как внутренние, так и внешние точки множества X (•^е)> а также как внутренние, так и внешние точки множества х кзА- Мы можем выбрать эту окрестность настолько малой, чтобы та часть' ее, которая лежит и в X М) и в Х(^*)> лежала также И в Л” и в Л5*. Тогда эта окрестность содержит внутренние точки множества Л5. Но

. Л° cz х W П X

Таким образом#

^хМ)ПХ(^)==хМ~Лс>П.(III. 1-27)

Поскольку в силу определения (23) тела Л* тела Л* и <$ отделены, в правой части соотношения (27) стоит пустаи область. Однако Л4 ие пусто, так что мы получили противоречие. Мы пришли к этому противоречию, допустив, что (^) ф 0. Следовательно, А (41) = 0.

Установив соотношение (22), вернемся к главной линии доказательства леммы.~

Так как & = ^ V (^ А ^е) и % = % V (^ А ^ и так как функция fc биаддитивна на (□ X й)0> имеем

fc (^, ^ = fc (^ ^ V (^ А О + fc (^ А ^е, #) =

= fc(^, ^ + fc(X ^ A ^ + fc (^ А Я\ ^ =

= fc(.s£^). -(III. 1-28)

Здесь второй шаг следует из (22). Такое же рассуждение показывает, что

fc (^, ^) = fc Й, £),(III, 1.29)

откуда и вытекает утверждение леммы, g .

Мы воспользуемся этой леммой, чтобы выяснить природу функции fc. Будем называть подмножество несущего множества данной поверхности подповерхностью, если ему приписана та же ориентация, что и поверхности. Пусть У — произвольная подповерхность границы д-^'У конфигурации некоторого тела ^. Введем некоторую новую функцию, определенную на борелевских подмножествах Q подповерхности У. Заметим, что, поскольку

^’схС®’), Q есть борелевское подмножество в х(®’е)- Обозначим через Q такое борелевское подмножество в ^ что Q = = %№)»и положим

fS(^, ^)=fc($, ^).(III. 1-30)

Доказанная лемма обеспечивает корректность этого определения. Это означает, что если ^ — другое тело, такое, что ^ cz х W, то существует такое борелевское подмножество Q в ^е, что ^ = х($), и с помощью (19) мы приходим к заключению, что если в (30) использовать fc№, ^), то мы получим ту же функцию f^. Аналогичным образом, применяя нашу лемму, можно показать, что если Q — произвольное борелевское подмножество в Q, отделенное от %, то

fc(d,^ = fc(dAd^,^; (Ш.1-31)

Таким образом, новая функция f^, определенная на поверхностях и их подповерхностях соотношением (30), полностью определяет старую функцию fc, определенную на (QX^)o- Тем самым мы показали, что любая система контактных сил полностью определяется соответствующим образом выбранной функцией, имеющей своими аргументами поверхности и их подповерхности.

Поскольку по предположению fс (•, ^) представляет собой некоторую меру, определенную на подтелах тела ‘В*, функция fs(•, ^) представляет собой некоторую меру, определенную на подповерхностях поверхности 9. Из (30) следует, что если 9* — подповерхность для 9 и 3)—подповерхность для 9'\ то

fs^) = fs (2), 9').(Ill. 1 -32)

Условие (12)! принимает теперь вид

f®(0, д^^КА^,(III. 1-33)

где 3) <= 9 и А(3) достаточно мало. Привлекая теорему Радона — Никодима, мы видим, что существует такая почти всюду ограниченная плотность V, что

fS(0, ^) = jt^dA.(III. 1-34)

s

Кроме того, из (33) видно, что, если поверхности 9 и 9* имеют одинаковую ориентацию и 9' с: 9, то

k-V(III. 1-35)

б Трусделл

почти во всех точках д'. Возвращаясь теперь к определению (30) функции f|, мы можем интерпретировать соотношение (34) как следующую теорему:

Теорема о напряжениях (Гуртин & Вильямс). Пусть система сил fc на (Q X Q)o удовлетворяет условию (12)2. Тогда существует такая почти всюду ограниченная плотность t^, что

fc (М ^ = j t^ М,(III. 1-36)-

где g = Qi (st) П дх (^ и \.у = t^, если д' — подповерхность поверхности д.,

Полагая в этой теореме ^ = ^е, получим (3)2.■

Напомним, что g имеет ориентацию внешней нормали п к dx(^). Если V п>0, то усилие называется растягивающим; если V • п < 0, то сжимающим (давлением).

До сих пор мы не использовали предположение, что система сил сбалансирована. Опираясь на следствие (13) из этого предположения, мы можем доказать следующую теорему: •

Теорема о действии и противодействии (Нолл). Системы массовых и поверхностных сил попарно уравновешены:

fB(^, ^) = -fB(^, ^)

Доказательство. Пусть снова g обозначает поверхность контакта между взаимно отделенными телами st и *6. Из геометрии известно, что мы можем выбрать такие последовательности частей st^ и ^п тел st и ^ соответственно, что в пределе при п-*со объемы их конфигураций стремятся к нулю, но g все время сохраняется в качестве поверхности контакта. Формально:

st» < st, %. <%, g = di (stn) n dx № (HL 1-38) и поскольку в механике сплошной среды масса — абсолютно непрерывная функция объема (§ II. 2),

M)->0,W->0.(III. 1-39)

Лемма Гуртина — Вильямса показывает, что

W‘ (HI. 1-40)

Конечно, будучи частями взаимно отделенных тел st и %, st^ и &п также отделены. Поэтому мы можем подставить

в (13) s4-n вместо з<- и ^ вместо %. Используя затем (40), получим.

fBK- SQ +W ^)=-fB(^ ^J-W ^)- (III. 1-41)

При n-*oo обе массовые силы fB(^„, Я?^ и ^С^, ^„) стремятся к нулю в силу (12),, откуда и следует (37)2. Наконец, применяя (13), получаем (37),. g

Следствие. Если через —^ обозначить поверхность, имеющую то же несущее множество, что и 9, но противоположную ориентацию, то•

,t_^ = -U(III. 1-42)

Упражнение III.1.1. Используя теорему Лебега о призводной'), доказать, что (42) следует из (37) 2 и (36)."

Теперь мы можем обратиться к системе массовых сил. Опираясь на теорему Нолла из § 1.5 и соотношение (37),, мы заключаем, что результирующая массовая сила аддитивна на отделенных телах. Иными словами, если

fB’(^) = fB(^, ^е),(III. 1-43)

то*.

fg^V^^feG^ + fB^) V« «?)e(QXQ)0. (III. 1-44)

Согласно одной теореме Гуртина и Вильямса), такая функция, если она к тому же абсолютно непрерывна по отношению к объему, является сужением на х(^) некоторой борелевской меры, абсолютно непрерывной по отношению к объему. Мы можем для этой меры использовать то же обозначение fB. Из теоремы Радона — Никодима следует, что 1в имеет почти всюду ограниченную плотность btot:■

fB(^)= / pbtotdy.(III. 1-45)

xW

Согласно аксиомам инерции (§ 1.13) инерционные силы имеют (по отношению к массе) плотность —а, где а — не зависящий от системы отсчета вектор, который в инерциальной системе сводится к х. Поэтому, положив

b = btot + a,(III. 1-46)

получим (11)1 и, следовательно, также (8)ь В плотности b можно учесть эффекты массовых сил взаимодействия1), но в этой книге, как уже было сказано, никакие массовые силы, кроме внешних, не рассматриваются. Поскольку плотность btot ограничена почти всюду и поскольку мы предполагаем, что х в инерциальной системе отсчета ограничено почти всюду, то это же справедливо и для Ь..

"§ 2. Поле усилий.

Постулат Коши и теорема Нолла

Мы записали принципы сохранения количества движения и момента количества движения, используя поле усилий t^^ на границе дх(^) конфигурации любой части ^ тела

J pxdK = J tdxWdA + " J pbdV,X №dx l^)X W

J (x —Xo) A pxdV = х(Л

= / (x-xj Ataxw^+ J (x-XoMpbdy, (III. 1-8) «№x(^l‘

где мы продолжаем рассматривать некоторый определенный момент времени t, но не отражаем этого в обозначениях. Чтобы свести эти интегральные уравнения к эквивалентным полевым (дифференциальным) уравнениям, мы должны выразить поле усилий t^>, которое определено только на 91, через какие-то поля, определенные на открытом множестве, содержащем 9” внутри себя. Построением такого расширения мы сейчас и займемся.'’

Точка х на d^^Y очевидно, лежит также на границах di,^ бесконечно многих частей Q тела 9. Усилие t для этих различных поверхностей, имеющих х общей точкой, вообще говоря, зависит от поверхности ^. В предыдущем разделе мы показали, что, если 9”— подповерхность поверхности 9, то V-= V, но мы не установили никакого соотношения между V' и t^ для более общих пар поверхностей 9 и 9’, например для случая, когда рассматриваемая точка х— единственная общая точка 9' и 9. В классической механике сплошной среды Коши и его

последователей всегда предполагалось, что усилия на всех одинаковым образом ориентированных поверхностях с общей касательной плоскостью в точке х одинаковы. Иными словами, предполагалось, что t^ в точке х зависит от ^ только через посредство ориентированной нормали п к поверхности.^ в точке х:

V = t(x, п).V = t(x, п).(III.2-1)

V = t(x, п).

V = t(x, п).

Это — постулат Коши. Поверхность 9 ориентируется таким образом, что нормаль п к ней направлена наружу из xW, если 9 — часть di^. Таким образом, t(x, — п) —это усилие, действующее в точке х на всех поверхностях 9, касательных к dxW и образующих части границ тел, конфигурации которых лежат во внешности х(^е) конфигурации х(^)- В этом смысле t(x, п) —это усилие, оказываемое в точке х на тело ^ внешними по отношению к & телами, a t(x, — п) —это усилие, оказываемое в точке х телом ^ на внешние тела. '

В качестве тривиального следствия из (III. 1-42) получаем фундаментальную лемму Коши:

. t(x, — п)= — t(x, n).(III. 2-2)

Для тех читателей, которые не задержались, чтобы проследить доказательства теорем, приведенных в предыдущем параграфе, мы дадим здесь набросок собственных рассуждений Коши, с помощью которых он выводил утверждение (2) из своего постулата (1) и закона количества движения без использования (III. 1-42).

Доказательство. В силу (1) достаточно рассмотреть случай, когда 9— ориентированный диск достаточно малого радиуса с центром в х. Тогда —9— противоположно ориентированный диск. Допуская, что тел во вселенной Й достаточно, чтобы любой прямой круговой цилиндр достаточно малых радиуса и высоты являлся конфигурацией некоторого тела, выберем в качестве х(^) круговой цилиндр, ось которого нормальна к 9, разрезаемый точно пополам диском 9. Если высоту этого цилиндра обозначить через е, то V (% ($)) = еД (9). Мы допустим, что Ь —х ограниченно почти всюду. Применим уравнение количества движения (III. 1-8) к х(^) и затем перейдем к пределу при е->0, сохраняя неизменным диск 9, так что, конечно, и площадь его остается неизменной. Предел разности объемных интегралов равен 0, следовательно,

(III. 2-3)(III. 2-3)lim Г t(x, п)*/Д = 0. е-*° »х№»

(III. 2-3)

(III. 2-3)

(Конечно, этот результат есть частный случай результата (III. 1-16). Однако данное доказательство предназначено для читателя, пропустившего часть предыдущего параграфа, идущую вслед за соотношением (III. 1-9).)

При переходе к пределу п не меняется, но множество значений х, по которому берется интеграл, стягивается до дважды проходимого диска У. Если мы предположим, что t(-., п) — ограниченная почти всюду функция от х, то предел интеграла по боковой поверхности цилиндра равен нулю, поскольку площадь этой поверхности стремится к нулю. Таким образом, остается рассмотреть только пределы двух интегралов по У. Если мы допустим еще, что t(-, п) — непрерывная функция от х, то пределы этих интегралов будут в обоих случаях равны интегралам от предельных функций:

J [t (х, n) + t (х, - n)J dA = 0. (III. 2-4)

Поскольку ^ — произвольный достаточно малый диск, нормальный к п в точке х, отсюда и следует утверждение (2). ■

Читатель, готовый принять постулат Коши (1) и предположения о гладкости b — х и t, которые были сделаны в ходе доказательства фундаментальной леммы Коши, может переходить к следующему параграфу. С другой стороны, читатель, который проследил за рассуждениями, проведенными в предыдущем параграфе, заметит, что одно из этих предположений о гладкости является излишне сильным, тогда как справедливость второго уже была доказана в математической теории, опирающейся на (III. 1-12). Кроме того, и (3) есть частный случай (III. 1-16). Фактически, как мы сейчас увидим, справедливость постулата Коши можно получить как следствие закона количества движения и весьма умеренных предположений о гладкости.

Теорема (Нолл). Допустим, что контактная сила fG(^, ^), действующая на произвольную часть st тела $ со стороны отделенного от st тела %, определяется полем усилий V с помощью соотношения (III. 1-8),. Тогда постулат Коши (1) выполняется почти всюду на любой поверхности У, лежащей внутри xW. '

Доказательство. Мы предполагаем здесь, что сохраняют силу допущения (III. 1-12), так что мы можем использовать их основные следствия: лемму, выраженную соотношением - (III: 1-15), теорему об усилиях (III. 1-36) и существование ограниченной плотности массовой силы b — х. В соответствии со вторым из этих следствий и теоремой Лебега о производной почти

во всех точках поверхности ^

J t^ dA

Vw =,(III.2-5)

m-»oo A \

где ’Um — подходящим образом выбранная последовательность подмножеств поверхности 9, стягивающихся к х. Мы собираемся показать, что если 9" и 9 имеют общую ориентированную нормаль п в точке х и если и t^(x) и V(x) существуют, то

Их) = Ш(III. 2-6)

Общее значение этих двух функций ty и V в точке х есть тогда функция одного лишь п, это значение можно будет обозначить через t(x, п), и теорема Нолла будет доказана.

Если 9 и 9" вблизи х совпадают, то искомый результат тривиален. Если же нет, то вблизи регулярной точки х, общей для 9 и 9", мы опишем круговой цилиндр малого радиуса Дг, осью которого служит общая нормаль п, и обозначим часть ограниченной им области, лежащую между 9 и 9", через Д0. Обозначим, далее, цилиндрическую часть границы 5Д2) через Д^*, а части этой границы, общие с 9 и 9" соответственно, через Д^ и Д^. Как следствие закона количества движения и основных предположений (III. 1-12) относительно систем сил, встречающихся в механике сплошной среды, мы вывели соотношение (III. 1-15). Это соотношение является ключевым для последующих рассуждений.

Сперва предположим, что х — эллиптическая точка поверхности 9, 9" — касательная плоскость к 9 в точке х и соотношение (5) выполняется для поверхности 9 в х. Тогда не только поверхность 9 лежит вся по одну сторону от 9" вблизи точки х, но можно также построить параболоид вращения 9* с вершиной в х, имеющий 9" касательной плоскостью и такой, что при достаточно малых Дг соответствующий кусок поверхности 9 заключен между ним и плоскостью 9", к именно, если 2 = f(x, у) — уравнение поверхности 9 вблизи х в прямоугольных декартовых координатах, причем координатные оси х и у лежат в плоскости 9", а г — расстояние по нормали к этой- плоскости, то в точке х dxf^O, dxdJ^O, d^f^O, и если мы положим

К — max(d2f,.dxdyf, d^f), х? + у2 < кг2, (III. 2-7) то нужный нам параболоид описывается уравнением

+ A(III. 2-8)

Площадь цилиндрической части А^* границы 5AS) не больше, чем площадь части цилиндрической поверхности между плоскостью и параболоидом. Таким образом, при Ar-* О

. А (А^/*) ^ (2л Аг) •-^-К (Аг)2 = о (Аг2). (III. 2-9)

Аналогичным образом объем области AS) не боЛьше объема области, заключенной между У*, цилиндрической поверхностью и плоскостью. Следовательно, -

(III. 2-10)(III.2-11)(III. 2-12)(III. 2-13)(III. 2-10)(III.2-11)(III. 2-12)(III. 2-13)V (AS)) < у лК № = о

(III. 2-10)

(III.2-11)

(III. 2-12)

(III. 2-13)

(III. 2-10)

(III.2-11)

(III. 2-12)

(III. 2-13)

Конечно, '

А(А^') = л Аг2.

Упражнение III. 2.1. Доказать, что

Л (Лс^) = Л Аг2 + О (Аг2) н, следовательно,

'Л (д А2>) = 2л Аг2 + о (Аг2) при Лг->0,

V (Л2>) = о (Л (д Д2>)) при Аг > 0.

Этот последний результат позволяет нам применить (III. 1-15) к части 9s тела ^, занимающей AS). (Мы предполагаем, что во вселенной Q достаточно множеств, чтобы AS) независимо от величины Аг было конфигурацией некоторого тела.) Ориентируя касательную плоскость S' так, чтобы ее нормаль в точке х была направлена внутрь S’, заключаем, что почти для всех х на S’ . -

limдг-»оlimдг-»о(III. 2-14)(III. 2-14)7w( J ^ dA- J ^dA + J ^*^) = 0.д^гдл'м* '

limдг-»о

limдг-»о

(III. 2-14)

(III. 2-14)

В силу (9) и (13)1 предел третьего интеграла равен нулю, поэтому с учетом (И) и (12) мы видим, что

J^o Л (Aoi) J ts- dA = ^о д (д^') J t/dA, (III. 2-15)ДЛД^'

при условии, что какой-нибудь из пределов существует. Но значение предела в левой части по определению есть t^fx), так что приведенным рассуждением доказывается существование предела в правой части. Этот предел в правой части не зависит от выбора S’. Следовательно, 1^(х) одинаково для всех поверхностей S’, эллиптических в точке х, если для S’ в х выполняется условие (5)..

Упражнение III.2.2. Завершить доказательство теоремы Нолла, рассмотрев случай, когда х— седловая точка S, У или обеих поверхностей. ■

Фундаментальная теорема Коши.Существование тензора напряжений

Постулат Коши (III. 2-1) и его следствие — фундаментальная лемма Коши (III. 2-2) —позволяют нам определить характер зависимости поля усилий t от п. Именно, эта зависимость линейна, как утверждает

Фундаментальная теорема Коши.Если t(-, п)—непрерывная функция от х, то существует такое тензорное поле Т(-), что

t (х, n) = Т (х) n.(III. 3-1)

Сам Коши интепретировал эту теорему как утверждение, чго усилия на любых трех линейно независимых площадках, проходящих через данную тбчку, вполне определяют усилия на всех поверхностях вблизи данной точки. Действительно, пусть {е,} — какой-нибудь базис в пространстве V, так что п = п*е^ Соотношение (1) означает, что

t= Т(п‘е,) = пг(Теу) = п(1ь . (III. 3-2)

где ti — усилие на площадке с внешней нормалью е<. Значение Т(х) тензорного поля Т в месте х называется тензором напряжений, и утверждение фундаментальной теоремы Коши состоит в том, что существует поле тензора напряжений. Буква Т призвана напоминать о «растяжении»), поскольку п-Т(х)п>0 тогда и только тогда, когда усилие t(x) растягивающее. Соответственно тензор —Т иногда называют тензором давлений.

Коши доказывал свою теорему, применяя (III. 1-14) к тетраэдру, три из четырех граней которого взаимно перпендикулярны. Таким способом он вывел, что если е< — ортонормированный базис в точке х, то

з

Т = 2 t(x, еу) ® е,i=i

— утверждение, эквивалентное (2). Доказательство Коши, из которого просматривается и путь, которым можно прийти к открытию этой теоремы, вновь и вновь воспроизводится в учебниках. Здесь мы дадим доказательство, принадлежащее Ноллу), которое подобно доказательству Коши в том отношении, что опирается в основном на (III. 1-14), но отличается от него тем,

что использует два произвольных линейно независимых вектора, а не ортогональную тройку векторов.

Доказательство. Функция t(x, •) определена соотношением (III. 2-1) только для аргументов, являющихся единичными векторами. Мы можем следующим образом распространить это определение на все V'.

f I v 11 (х, уД v |) при v =т^ О,

t(x, v) = 'n (Ш.З-З)

. к '[0при v = 0. х *

Если Л>0иу^0, тов соответствии с (3)

t(x, Ду) = | Ду 11(х, Ду/| Ду |) = Д1 (х, v), (III. 3-4} и тот же результат тривиальным образом получается, если у —0 или Д = 0. Если Д < 0, то в силу (4) и фундаментальной леммы Коши (III. 2-2)

t (х, Av) = t(x, - ]Д |v) = [Д |t(x, -у) = Д1(х, v). (III. 3-5)

Таким образом, t(х, •) —однородная функция векторов.

Теперь мы хотим показать, что функция t(x, •) аддитивна: .t (х, У, +v2) = t(x, y,) + t(x, v2). (III. 3-6)

Если У! и v2 линейно зависимы, то (6) сразу следует из однородности t(x, •). Поэтому предположим, что Vi и v2 линейно независимы. Тогда проходящие через данную точку х0 плоскости ^х и ^2, нормальные соответственно к у, и v2, различны между" собой. Положим'

v3 = —(vi+v2)(III. 3-7)

и рассмотрим область ^, которая ограничена этими двумя плоскостями, плоскостью ^з, нормальной к у3 и проходящей через точку х0 + 8У3, и плоскостями 5% и ^5, параллельными плоскости, определяемой векторами Vj и v2 и находящейся на расстоянии б от х0. Мы предположим, что е и б достаточно малы, чтобы s4- было конфигурацией некоторой части тела ^, и обозначим через Wi часть плоскости ^ь являющуюся частью границы ^. Зафиксируем б и устремим е к нулю. Обозначая через Ai площадь Жь мы видим, что

'д^-^Дз, Л2 = -^-Д3, Д3 = О(е) при е->0. (Ш.3-8)К (^) = 181 у31Д3 = 2бД4 = 2бД5.

Положим

С = Г t(x, n)M(III. 3-9)

Из (8) и предположения о непрерывности t(-,n) следует, что з

с=УЦ^ [ t(x, +0(8) при е-0; (III.3-10) Z=1111/

здесь мы, используя фундаментальную лемму Коши (III. 2-2), включили интегралы по У4 и У5 в остаточный член. Воспользуемся теперь однородностью t(x, •). Применив (III. 2-5), получим, что■

з

-■С-^- 2 t(Xo, V/) При 8-^-0.(III. 3-11)

1=1

С другой стороны, в силу (III. 1-14) с-*0 при е->0. Значит, поскольку сумма в (11) не зависит от 8, она должна быть равной нулю:

з

St(Xo, Vi) = 0.(III. 3-12)

С учетом равенства (7) это означает, что t(x, •)—аддитивная функция в точке х0. Но любое однородное аддитивное отображение является тензором. Итак, мы показали, что t(x, v) = T(x)v, и если в этом результате ограничиться единичными векторами, то мы и получим фундаментальную теорему Коши (!).■•

, В формулировке фундаментальной теоремы Коши можно заменить «непрерывная» на «интегрируемая», но доказательство при этом становится гораздо более сложным').

Упражнение III.3.1. Доказать следующую теорему взаимности Коши: .

п • t (х, т) = m • t (х, n) Vm, пффТ = Тт. (III. 3-13)

Нормальная компонента n-t(x, п) называется нормальным усилием в точке х на поверхностях, единичные нормали к которым в точке х равны п, а касательная компонента t—(n;t)n называется касательным {сдвиговым) усилием на этих поверхностях. Из фундаментальной теоремы Коши (1) видно, что нормальное усилие — это нормальная компонента тензора Т:

. nt^n-Tn.(III. 3-14)

Если (и, е, f) —ортонормированный базис в точке х, то

t —(п • t)n = (е • Tn)e + (f • Tn)f. (III. 3-15)

Компоненты е-Tn и f-Tn касательного усилия называются соответственно касательными, {сдвиговыми) напряжениями в направлениях ей! соответственно.•

В силу фундаментальной теоремы Коши (1) мы можем следующим образом записать законы количества движения и момента количества движения (III. 1-8) 1,2 с помощью тензора напряжений Т:

J pxdV = J Tn<M + J pbdK,-

х vs*. h ах vs*. ох (Л О

/ (x-Xo)Ap^dK= •-(Ш.3-16)

xVS*. О

= J (х — Хо) Л (Tn) dA 4- J (х — Хо) Д pb dV.

ах (^ 0х^.П'"

Здесь мы вновь явно указываем время t. Именно в этой форме эти два принципа сохранения обычно используются в механике сплошных сред.

Поскольку все силы независимы от системы отсчета, при замене системы ф системой ф* мы имеем

t* = Qt, b* = Qb,(III.3-17)

где Q(0 определяет ориентацию ф* относительно ф в момент /. Как мы убедились в упр. 1.11.3, единичная нормаль п к поверхности в пространстве 8 не зависит от Системы .отсчета:

n* = Qn.(III. 3-18)

Фундаментальная теорема Коши (1) применима в ф* так же, как и в ф СледоватЬльно, Т преобразует независимые от системы отсчета векторы в такие же. Из рассуждений, использованных при выводе (1.9-10), вытекает, что тензор напряжений не зависит от системы отсчета:

(III. 3-19)(III. 3-19)Т‘ = QTQT.

(III. 3-19)

(III. 3-19)

Общее уравнение баланса

Интегральное соотношение (III. 3-16) 1, как и другие фундаментальные уравнения классической физики, имеет вид уравнения баланса:.

A fYdM = [ pYdV= [ Фп^Л+ f p^dV. (III.4-1)

<?x vs*. t)ax vs*, t)x vs*, i),

Здесь V и 2 — тензорные поля одинакового порядка, определенные на ^ и х^О соответственно, а Ф— тензорное поле на единицу большего порядка. Один тривиальный случай уже встречался нам ранее: принцип сохранения массы можно выразить в этой форме, приняв ЧГ=1,Ф = 0, 2 = 0. В общем случае мы

интерпретируем уравнение баланса (1) кай утверждение, что скорость возрастания «полного количества» Т в некоторой части 5 заданного тела может быть представлена как сумма двух слагаемых: притока через границу конфигурации и прироста во внутренних местах конфигурации. Если запись в форме (1) верна, то Ф называется потоком, величины Т, а 2 — ее поступлением *).

Уравнения баланса обычно применяются в двух специальных случаях —в областях, где соответствующие поля гладки, и вблизи разрывов определенного рода. Здесь мы рассмотрим первый случай. •

А именно, мы допустим, что поток Ф непрерывно дифференцируем внутри х(^*, О и непрерывен на d^^.t). Тогда к областям с гладкой границей можно применить преобразование Грина: ' '

J Фп</А= J div®dV. (III. 4-2) ах (^ о х i^. О -

Таким образом, общее уравнение баланса (1) принимает вид

J (pY-divO-p2)dV=0. (III. 4-3)

X ^- И - '

Далее, уравнение баланса считается справедливым для всех тел и, следовательно, для всех конфигураций всех частей g данного тела. Поэтому, в частности, (3) справедливо.для всех частей д, которые в момент t заполняют достаточно малые шаровые окрестности точек х внутри х(-^Д)- Если интеграл от непрерывной функции / по любой малой шаровой окрестности точки х равен нулю, то эта функция с^ма равна нулю в точке х. Конечно, верно и обратное, т. е. если функция f равна нулю во всех точках, то равен нулю и интеграл от нее по любой области, содержащейся в области ее определения, Таким образом, имеет место следующая

■ Теорема. Допустим, что уравнение баланса (1) выполняется для всех частей & тела $; тогда во всех внутренних точках тех подобластей в X(3i, f), где рТ, р2 и divФ непрерывны, •

pY = div Ф + pS. (III. 4-4)

Обратно, если соотношение (4) выполняется во всех внутренних точках некоторой области и если Ф- непрерывно на границе этой области, то в момент t для тела, занимающего эту область, выполняется общее уравнение баланса (1).

Дифференциальное уравнение (4) называется общим уравнением поля. При пространственном описании материальная производная Т вычисляется в соответствии с соотношением (II. 6-3) или одним из его обобщений.

Законы движения Коши

Теперь дадим локальную запись уравнений баланса количества движения и момента количества движения. Прежде всего, полагая Чг = х, Ф = Т и S = b, мы преобразуем (III. 4-1) в (III. 3-.16)1 и в силу (III. 4-4) получаем первый закон движения Коши"

рх — div Т + pb(III. 5-1)

как необходимое и достаточное условие того, что баланс количества движения соблюдается для всех подтел внутри области, в которой непрерывны рх, pb, Т и divT..

Уравнение (111.3-16)2 не удается преобразовать так непосредственно.'

Упражнение Л П.5.1. Доказать, что для любого непрерывно дифференцируемого тензорного поля S

J (х - хо) Д Sn dA = J [(х - х0) A div S + ST - s] dV, (Ш.5-2) дЛЛ

где SI — произвольная регулярная область.'

Если подставить (2) в (111.3-16)2 и предположить, что выполняется первый закон Коши, то мы получим в качестве необходимого и достаточногр условия баланса момента количества движения уравнение

.J (TT-T)dV = 0.(III.5-3)

х (Л О

Поскольку тензор Т непрерывен, отсюда следует соотношение

ТТ = Т.(III. 5-4)

Это — второй закон движения Коши: если выполняются, предположения, при которых имеют место первый закон и баланс количества движения, то баланс момента количества движения эквивалентен симметричности тензора напряжений. .

Законы Коши утверждают, что Тт —Т и рх—divT— pb обращаются в нуль в некоторой инерциальной системе отсчета. Поскольку эти величины независимы от системы отсчета в галилеевом классе любой заданной системы отсчета, они обращаются в нуль в одной из инерциальных систем в том и только в том случае, когда они обращаются в нуль во всех инерциальных системах отсчета (см. § 1.13),

Поскольку тензор Т независим от системы отсчета, то такова же и разность Тт — Т. Таким образом, второй закон Коши есть утверждение, не зависящее. от системы отсчета. Иными словами, он выполняется в одной системе отсчета в том и только в том случае, если он выполняется во всех системах.

Первый закон Коши в том виде, в каком он был сформулирован, не является независимым от системы отсчета, но его, конечно, можно сделать таковым, чуть видоизменив запись. Действительно, и -div Т и pb не зависят от системы отсчета, что отражает факт независимости от системы отсчета всех сил и масс. Ускорение х, однако, ие таково, о чем мы пространно говорили в § I. 9 и § I. 11. В соответствии с не зависящей от системы отсчета формулировкой аксиом инерции (§ 1.14) первый закон Коши в произвольной системе ф* принимает вид

' pa = div Т* + pb*. (III. 5-5) где

а = х* — Xq — 2А (х* — Xq) — (А — А2) (х*.— Xq), (1.11-3)

T* = QTQt, • ■ (III. 3-14)

b* = Qb; (III. 3-12)

здесь Q, x0 и xp — величины, определяющие замену системы отсчета (II. 14-2)’ А = QQT, а х* и х* —- поля скорости и ускорения относительно ф*.

Некоторые авторы предпочитают переносить члены, входящие в (1.11-3) со знаком минус, в правую часть первого закона Коши и называют их «силами» или «кажущимися силами». Согласно их точке зрения первый закон Коши в'форме (1) справедлив во всех системах отсчета, но к массовой силе Ь следует добавить силы, «порождаемые движением» системы наблюдателя по отношению к некоторой инерциальной системе. Поскольку получаются те же уравнения, эта точка зрения законна, но вряд ли удачна, поскольку она затемняет первичную природу систем отсчета и систем сил.

Еще раз напомним, что в этой книге всюду, за исключением тех мест, где обсуждаются вопросы независимости от системы отсчета, все рассматриваемые системы отсчета предполагаются инерциальными.

Два закона движения Коши были доказаны при помощи рассуждений, применимых только к внутренним точкам. На границе тела, не контактирующего ни с каким другим телом, эти рассуждения уже не имеют силы. •

Мы будем предполагать, что поле напряжений Т (х, t) непрерывно на замыкании Z^, I) конфигурации тела ^ в момент L Таким образом, второй закон (4) выполняется и на границе. Мы предположим также, что в граничных точках выполняется и первый закон (1) в смысле предела изнутри.

В некоторых новых теориях механики сплошной среды появляются тензоры напряжений, не являющиеся симметричными. В этих теориях либо допускаются моменты, не являющиеся моментами сил, либо плотность момента количества движения не есть просто момент плотности количества движения, либо имеют место оба эти обстоятельства. В этом курсе в качестве локальных формулировок принципов баланса количества движения и момента количества движения нам будет достаточно классических законов Коши, и упомянутые более общие идеи нам не понадобятся.

Поскольку тензор напряжений симметричен, он имеет спектральное разложение вида

з

1=2^0 6,,(III. 5-6)

где {е,} — подходящим образом выбранный ортонормированный базис. Собственные числа it называются главными напряжениями, а направления е< — главными осями (тензора) напряжений. Если все собственные числа различны, то главные оси определяются единственным образом; в противном случае Т имеет бесконечно много троек главных осей. В общем случае поле ортогональных троек не является полем естественных базисов некоторой криволинейной системы координат1), хотя, конечно, существует бесконечно много поверхностей, нормальных к каждому отдельному из векторов е< в любом месте х в момент t. На такой поверхности в точке х в момент ( нормальное усилие равно главному напряжению h, а все касательные напряжения равны нулю.

Упражнение III. 5.2. Напряженное состояние называется гидростатическим в х, если для всех п выполняются следующие условия:

11 (х, п) | не зависит от п, н n-t(x, п) сохраняет знак, (III. 5-7)

'п-/(х, п) не Зависит от n,(III.5-8)

t (х, п) параллельно п.’ (ГП. 5-9)

Показать, что в силу второго закона Коши любое из этих условий влечет за собой остальные и что

,Т = —р(х)1..(III. 5-10)

Какова связь между этими условиями, в случае когда тензор Т несимметричен? Здесь предполагается фиксированным некоторый определенный момент t, не указанный в числе аргументов.

■ Скорость с «вершения работы W системой сил была определена соотношением (1.8-7). В инерциальной системе IF выра-

жается через кинетическую энергию К и мощность Р— соотношением (1.14-1). Мощность (1.14-2) в механике сплошной среды — это скорость совершения работы контактными и массовыми силами:.

р= J х-Тп</Л+ J px-bdK. (III.5-11) dx^,t>Х(Л О

Упражнение III. 5.3 (Стокс). Доказать, что

W'= J w dV, '(III. 5-12)

Х(АО'

где скалярная функция w, называемая мощностью напряжений, определяется формулой■

w —tr(TG) —tr(TD).(Ш.5-13)

Используя это, показать, что при жестком движении w = 0, а также' что w = 0 при изохорическом движении в условиях гидростатического напряженного состояния. Убедиться, что w — скаляр, не зависящий от системы отсчета.

Упражнение III. 5.4. Положим

Рс =| х-ТиЙЛ.(III. 5-14)

ах (#■. О ,

Допустим, что поле массовых сил консервативно, и определим соответствующую потенциальную энергию У^, /) следующим образом)

Доказать, что и, следовательно,Доказать, что и, следовательно,V = J рб dV.X (^. ОP = PfV№ = рс - (К 4- у).V = J рб dV.X (^. ОP = PfV№ = рс - (К 4- у).(III. 5-15)(III. 5-16)(III. 5-17)(III. 5-15)(III. 5-16)(III. 5-17)

Доказать, что и, следовательно,

Доказать, что и, следовательно,

V = J рб dV.

X (^. О

P = PfV

№ = рс - (К 4- у).

V = J рб dV.

X (^. О

P = PfV

№ = рс - (К 4- у).

(III. 5-15)

(III. 5-16)

(III. 5-17)

(III. 5-15)

(III. 5-16)

(III. 5-17)

Вспоминая определение механически совершенного движения, данное в § 1.14, мы приходим к выводу, что в механически совершенном движении тела под действием консервативных массовых сил и поверхностных усилий, нормальных к скоростям в тех точках, где они действуют, соблюдается соотношение

К + У = const. (III. 5-18)

Результат, сформулированный в последнем упражнении, представляет собой теорему «сохранения (чисто) механической энергии». Лежащие в ее основе допущения выполняются в некоторых задачах классической механики сплошной среды, но не вообще. ■

'§ 6. Баланс энергии .

В § 1.14 был сформулирован и обсужден общий принцип баланса энергии. Этот принцип выражается аксиомой

E = W-VQ,(1.14-5)

где Е — внутренняя энергия тела 98 в момент t, W — скорость совершения работы силами, действующими на 98 в конфигурации т.к.98, tV a Q — скорость нагрева тела 98 в момент t. Все три величины Е, W и Q независимы от системы отсчета. .

Как было сказано в предыдущем параграфе, в механике сплошной среды W имеет вид (III. 5-12). Мы предположим, далее, что Е есть значение абсолютно непрерывной функции массы. Таким образом,

£(^)=Je<ZM = J pedK,(III.6-1)

где плотность в(х), называемая удельной энергией, — независимое от системы отсчета скалярное поле. Здесь и далее в этом параграфе мы рассматриваем фиксированный момент времени t, но не указываем этого в обозначениях.

Подобно тому как результирующая действующая на тело сила считается суммой абсолютно непрерывной функции массы и абсолютно непрерывной функции площади поверхности, мы будем предполагать в механике сплошной среды, что скорость нагрева Q есть сумма скорости объемного нагрева Qb и скорости контактного нагрева Qc:

Q = QB + QC,

QB(^) = f psdV,

xW(III. 6-2)

Qc (^) = J qdx dV.

dxW

Плотность s называется поступлением тепла, а плотность ^ax W — притоком тепла. Часто говорят, что первая из них представляет передачу тепла «излучением», а вторая — «теплопроводность».

‘ " Все, что было сказано о силах в механике сплошной среды, допускает перенос (и притом с упрощениями, поскольку речь идет уже не о векторах, а о скалярах) на скорость поступления тепла. Например, приток тепла qax^ можно рассматривать как первичную величину, или же можно доказывать. его суще-

ствование, привлекая на помощь допущения о соответствующего рода непрерывности Qb и Qc. Аналог теоремы Нолла из § III. 2 утверждает, что при весьма общих обстоятельствах

^х^М”^’ n)> (III. 6-3)

где п — ориентированная нормаль к д^^. Иными словами, приток тепла в точке х в момент t одинаков для двух поверхностей, касающихся друг друга в этой точке, как это принимал без доказательства Фурье и как это принимали все другие авторы вплоть до самого недавнего времени.

Аналогом фундаментальной теоремы Коши из § III. 2 является принцип теплового потока Фурье — Стокса:

q(x, n) = h(x) • n. (III. 6-4)

Он означает, что приток тепла есть линейная функция от п. Векторное поле h, определяющее в соответствии с (4) приток тепла, называется полем вектора теплового потока.

Подставляя (4) в (2), а затем полученное выражение, (1) и (III. 5-13) в (1.14-5), получаем форму записи принципа баланса энергии, удобную для механики сплошной среды:

4т Г edM = [ h • n dA + f (w + ps) dV, (III. 6-5) 8 ax (8, p г 18-. t)

где да — мощность напряжений, определенная соотношением (III. 5-14); на этот раз мы явно указали время /.

Уравнение (III. 6-5) имеет вид общего уравнения баланса (III. 4-1), поэтому в силу (III.4-4) оно локально эквивалентно в областях, где рё, ps, да и div h непрерывны, следующему дифференциальному уравнению (Фурье, Кирхгоф, К. Нейман):

рё = да + div h + ps. (III. 6-6)

Это уравнение представляет собой приведенное уравнение баланса энергии в механике сплошной среды, приведенное в том смысле, что оно справедливо при условии, что имеет место баланс количества движения, ибо это предполагалось при выводе соотношений (III. 5-12) и (III. 5-13).

Поскольку, как мы приняли в § 4.14, скорость поступления тепла Q независима от системы отсчета, таковы же и плотности q и s. Поэтому в силу (4) вектор теплового -потока h не зависит от системы отсчета. Следовательно, каждый отдельный член в уравнении энергии (6) независим от системы отсчета.

Для многих задач механики сплошной среды уравнение энергии не требуется, либо потому, что мы ограничиваемся лишь частичным исследованием, либо потому, что в рассматриваемом

частном случае силы и деформации можно определить без этого уравнения. Тем не менее, конечно, уравнение энергии выполняется и в этих случаях. В этой книге мы не будем к нему обращаться, пока не дойдем до § XV. 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ*(работы общего характера)

CFT, §§ 199—238. [Анализ напряжений, весьма полный для 1960 г., но сейчас представляющийся отчасти старомодным. Сопряжен с преодолением различных трудностей, возникающих нз-за попытки ограничиться рассмотрением одйих результирующих сил, оставляя за кулисами системы сил, порождающих эти результирующие.]

W. Noll, The foundations of classical mechanics in the light of recent advances in continuum mechanics, «The Axiomatic Method, with Special Reference to Geometry and Physics» (Colloq. at Stanford, 1957), Amsterdam, North- Holland, 1959, 266-281.

. Глава IV

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Динамические процессы

Движение % ставит в соответствие телу $ в момент / конфигурацию х(Х /). Для всякой точки х этой конфигурации тензор напряжений Т (х, /) определяет контактные силы в этой точке на всех гладких границах конфигураций частей 9 тела 98. В этом смысле телу в его. движении поставлено в соответствие поле напряжений Т. Упорядоченная пара (х, Т) называется динамическим процессом для тела 98, если выполнены уравнения количества движения и момента количества движения.

Во внутренних точках областей, в которых,х и Т достаточно гладки, уравнения количества движения и момента количества движения выражаются двумя законами движения Коши. Второй закон (III. 5-4) налагает требование симметричности напряжений. Первый закон (III. 5-1) связывает поле напряжений с ускорением х в инерциальной системе отсчета, при условии что поле массовых сил b известно. Мы будем считать поле Ь, которое описывает действие на тело 98 некоторых неконкретизируемых внешних тел, заданным. Хотя на практике в лабораториях и в повседневной жизни встречается лишь несколько специальных массовых сил, например сила тяжести, — а на деле при рассмотрении конкретных задач механики сплошной среды мы даже обычно ограничиваемся случаем Ь = О,— в принципе у нас нет способа как-то очертить класс всех возможных полей массовых сил. Поэтому во всех рассуждениях, относящихся к совокупности всех возможных движений тела, мы вынуждены считать, что b не подчинено никаким ограничениям. Каковы бы ни были х и Т, полеЬ, удовлетворяющее уравнению баланса, количества движения, определяется соотношением (III. 5-1) или, если система отсчета неинерциальна, соотношением (III. 5-5). Таким образом, первый закон Коши вообще не налагает никаких ограничений на х и Т.

В соответствии с этим всякая упорядоченная пара (х, Т}, состоящая из гладкого движения тела 98 и симметричного тензорного поля, определенного на xW^) Для каждого t, является динамическим процессом.

Динамический процесс определяется по отношению к некоторой системе отсчета 0. Поэтому нам, собственно, следовало бы говорить о (х, Т} как о «динамическом процессе в 0-», Допу-

стим, что мы перешли к другой системе отсчета ф*. У нас есть основания рассматривать движение %*, получаемое из % при помощи преобразования (1.9-11) как представление того же самого движения в системе ф*: .

х*=г№Л = х;(о + а(/)(Х№о-хо),

Р = t + а, "

где а, хи, х*(0 и Q (/) —заданные величины. Сходным образом, как мы уже видели в § III. 5, тензор напряжений Т — независимая от системы отсчета величина:

Г(х*, /*) = Q(/)T(x, 0Q(0T, (IV. 1-2)

где х* и /* определяются по х и / соотношениями (1). Наконец, если динамический процесс (X, Т) определяет в системе ф массовую силу Ь, то в уравнение баланса количества дви Кения для динамического процесса (X*, Т*) в ф* входит Ь*, определяемое формулой "

Ь*(хф, П = О(0Ь(х, 0, (IV. 1-3)

причем, конечно, подразумевается, что первый закон Коши выполняется в независимой от системы отсчета форме (III. 5-5). Таким образом, не только пара (X*, Т*) является динамическим процессом в ф*, но и соответствующая ему массовая сила Ь* та же самая (в смысле независимости от системы отсчета), что и массовая сила, необходимая для баланса процесса (%, Т) в ф. Итак, определение динамического процесса независимо от системы отсчета и процесс (X*, Т*) в ф* можно рассматривать как тот же самый процесс, что и (X, Т) в ф. Формально мы будем говорить, что (X*, Т*} есть процесс в ф*, эквивалентный процессу {X, Т} в ф, если эти два процесса связаны между собой соотношениями (1) и (2). •

Определяющие соотношения.Аксиомы Нолла - ■

Введенные до сих пор принципы и определения выражают свойства, общие для всех тел и движений. Разнообразие тел природы, обусловленное различием материалов, из которых образованы эти тела, отражено в теории определяющих соотношений.

В механике определяющее соотношение — это ограничение, налагаемое на силы, или движения, или на то и другое вместе. Говоря по-простому, приложенные к телу силы «вынуждают» его совершать некоторое движение, и это «вынужденное» движение оказывается различным в зависимости от природы тела.

В этом отношении некоторые определяющие соотношения тривиальны в том же смысле, в котором постоянная функция есть тривиальный частный случай функции. К такому тривиальному случаю относятся внешние массовые силы. Предположение, что рассматриваемая массовая сила является внешней, поскольку оно ограничивает класс массовых сил силами, не зависящими от движения тех тел, которые могут занимать часть пространства, где эти силы действуют, есть определяющее соотношение, однако это соотношение не того рода, каковой подлежит изучению в механике сплошной среды, где обычно мы просто предполагаем b = const или даже = 0, но зато детально анализируем различные реакции тел с различными видами контактных сил на эти тривиальные массовые силы.

Фактически единственные силы, представляющие интерес в механике сплошной среды, — это контактные силы. Как мы видели в § III. 3, они определяются полем тензора напряжений Т.

Точно так же, как в геометрии определяются различные фигуры как идеализации соответствующих важных форм в природе, в механике сплошной среды определяются различные идеальные материалы заданием соответствующих характерных соотношений между тензором напряжений и движением тела. Равно как и некоторые специальные фигуры, некоторые специальные материалы важны сами по себе, но больше пользы приносит изучение бесконечных классов геометрических объектов и бесконечных классов материалов, различаемых по свойствам симметрии и инвариантности. Обитая теория определяющих соотношений устанавливает те непреложные ограничения, которым должны удовлетворять эти соотношения, чтобы они могли служить математическим описанием наблюдаемого в природе поведения материалов. Затем в классе всех таких определяющих соотношений вводится некоторая разумная классификация и доказываются теоремы, характеризующие или описывающие соотношения из соответствующих классов.

Этот подход в точности тот же, что и в геометрии Эвклида, где после формулировки аксиом, которые должны выполняться для всех геометрических объектов, доказываются теоремы, характеризующие или связывающие между собой различные классы фигур. Однако поскольку механика — дисциплина куда более тонкая и сложная, чем геометрия, эта параллель не идет дальше и не распространяется ни на сами теоремы, ни даже на методы построения доказательств.

Как и любой другой раздел математики, механика сплошной среды имеет свои характерные методы и концепции. В основном онй были созданы Даниилом Бернулли; Эйлером, Коши, Стоксом, Максвеллом и Гюгонио, но лишь в последние годы они подверглись общему и тщательному анализу во всей своей совокупности и выковались в некое единое учение.

Дальнейшее изложение механики сплошной среды в этой книге проводится в рамках аксиом, сформулированных Ноллом

в 1958 г. Эти аксиомы, которые мы сейчас приведем, хотя они и далеко не являются самыми общими из рассматриваемых на сегодня, все же намного более общи, чем это необходимо для наших целей в этом вводном курсе. Однако они столь ясны и так легки для понимания, что более частные формулировки лишь затемнили бы их. "

Аксиома N 1. Принцип детерминизма. Напряженное состояние в конфигурации тела-точки X в момент t определяется предысторией %8 движения тела 9В вплоть до момента I:

Т (X (X, /), /) = ^ (X'; X, t).. (I V. 2-1)

Здесь $ обозначает отображение предысторий у/, тел:точек X и времен / на симметричные тензоры. Область определения для первого аргумента х' есть множество допустимых движений тела ^ (а не просто данного тела-точки Ху Область значений $ — некоторое подмножество множества симметричных тензоров. Отображение ^ будем называть определяющие отображением тела-точки X, а про само тело-точку X будем теперь говорить как про материальную точку тела 98, состоящего из материала, определяемого отображением $; соотношение (1) будем называть определяющим соотношением материала, определяемого О1- Отображение ^ — это не более и не менее как правило, которое для каждого тела-точки X и каждого времени t ставит в соответствие предыстории вплоть до времени t всякого мыслимого движения тела 98 однозначно определенный тензор напряжений Т(х(^, 0,0 в месте ^Х, ty занимаемом телом-точкой X в момент t. Когда X пробегает 98, значения отображения $ в момент времени t дают поле напряжений Т(х, 0, действующее на 98. Грубо говоря, прошлые и настоящая конфигурации тела 98 определяют поле напряжений, действующее на 98 в настоящей конфигурации. '

Введенное здесь понятие материала отражает то наблюдение общего характера, что многие естественные тела обладают памятью о своем прошлом, так что реакция на изменение формы иногда проявляется много времени спустя после самого изменения. По этой причине $ часто называют функционалом памяти. Конечно, не исключены и случаи, когда зависит от движения X лишь через посредство его значения в настоящий момент, что соответствует отсутствию памяти, или через посредство значений производных от х по времени в настоящий момент, что отвечает быстро затухающей памяти.

Как было сказано в § 1.6, в механике допускаются лишь системы отсчета, сохраняющие направление изменения времени. Ввиду этого обстоятель-

ства и определения (11.10-1) предыстории %* определяющее соотношение (1) учитывает направление изменения времени. Прошлое н настоящее движения определяют текущее напряженное состояние, одиако отсюда никоим образом, не следует, что настоящее и будущее движение также определяют текущее напряженное состояние. В реальных материалах прошлое образца ие может быть, вообще говоря, восстановлено по его настоящему и будущим состояниям, и математическая теория учитывает эту необратимость с самого начала.

Фактически необратимость в механике сплошной среды — это правило, а не исключение, и в изучении различных точных значений этого слова состоит одна из главных целей теории. В этом механика сплошной среды существенно отходит от традиций аналитической динамики, в типичных задачах которой, вроде приведенной выше в § 1.14, прошлое и будущее можно поменять местами.

Может оказаться, что соотношение (1) обратимо в том смысле, что дви- . жение х тела в свою очередь определяется предысторией Т* определенного на нем поля напряжений. Однако в общем случае это не так, поскольку в эйлеровой гидродинамике, определяемой приводимым ниже специальным определяющим соотношением (IV. 4-4), знание поля давлений , во всех местам для всех моментов времени ие дает о конфигурации х(^> 0 иных сведений, кроме распределения плотности массы р. Таким образом, обратного соотношения, выражающего х через Т1, вообще говоря, не существует.

Аксиома N 2. Принцип локального действия. Принципом детерминизма допускается влияние на напряжения в теле-точке X движений тел-точек Z, лежащих далеко от X. В свете представления о контактных силах естественно исключить действие на расстоянии как несовместимое со свойствами материалов. Поэтому мы примем в качестве второй определяющей аксиомы, что движение тел-точек, находящихся в некоторой конфигурации на любом фиксированном конечном расстоянии от X, можно не учитывать при подсчете напряжений в X. (Разумеется, в силу нашего предположения о гладкости х, если расстояние между телами-точками было однажды конечно, то оно всегда будет конечно.) Формально, если х и х— такие движения, что

Z'(Z, s) = Z<(Z, s) при s>0 и Ze^(X), (IV. 2-2) где Л’(Х) — некоторая окрестность тела-точки X, то

.№;Х,0 = ^Х'; X,tY - (IV. 2-3)

Аксиома N 3. Принцип материальной независимости от системы отсчета. Как мы уже отмечали, мы рассматриваем два эквивалентных динамических процесса как один и тот же процесс, наблюдаемый двумя различными наблюдателями. Мы считаем, что свойства материала подобным же образом не зависят от выбора наблюдателя. Поскольку определяющие соотношения предназначены выражать идеализированные свойства материалов, мы потребуем, чтобы они были независимы от системы отсчета. Иными словами, если уравнению состояния (1) у до в лет-

воряет динамический процесс {%, Т), то ему удовлетворяет и любой эквивалентный процесс {/*, Т }. Формально это означает, что определяющее отображение ^ в (1) должно удовлетворять тождеству

- Т* (X, t) = [X"*; X, Г] (IV. 2-4)

для всех Т*, X* и f, которые могут быть получены из Т, X и / преобразованиями вида (IV. 1-1) и (IV. 1-2).

Можно было бы предпринять некоторые шаги, чтобы как-то очертить класс всех определяющих отображений, удовлетворяющих аксиомам N1 — N3; однако в этой книге мы будем рассматривать только частный случай «простых материалов». К этому частному случаю, который все же является настолько общим, что охватывает все старые теории сплошной среды и большинство более новых, мы сейчас и обратимся.

Простые материалы

Аксиомы N 1 и N 2 устанавливают, что предыстория движения в произвольно малой окрестности, материальной точки определяет напряжения в конфигурации этой точки. При всяком / первое приближение для деформации %, вблизи точки X дается градиентом деформации F, (X, О, свойства которого мы рассматривали в § II. 5 и последующих параграфах. Таким образом, предыстория градиента Fx, которую мы будем обозначать через П(Х) или просто F', дает вблизи точки X первое приближение для предыстории X' при отсчетном описании деформаций X* тела ^. Если знания этого первого приближения достаточно, чтобы определить напряжения в X, то соответствующая материальная точка X называется простой. Формально, в этом частном случае соотношение (IV. 2-1) принимает вид

Т(х, /) = Т(Х,(Х, о, 0=®-(FiW’ X). (IV. 3-1)

Ясно, что принципы детерминизма и локального действия (аксиомы N1 и N2) при этом выполняются. Рассмотрим аксиому N3. . '

Отображение ®* называется реакцией по отношению к х. Если оно удовлетворяет аксиоме N3 — принципу материальной независимости от системы отсчета, то оно определяет некоторый простой материал, в противном случае — нет. Область определения для его первого аргумента, при фиксированном X, — это, множество всех предысторий обратимых тензоров, а область значений отображения ® — это множество всех симметричных

тензорных полей на актуальной конфигурации X, (^, /) тела ^ в 8. Иными словами, для данного момента / и для фиксированного места X в отсчетной конфигурации оно отображает предысторию невырожденной тензррной функции на симметричный тензор в месте х, занимаемом телом-точкой X в момент t.

Пусть, как и в § II. 7, X отображает отсчетную конфигурацию Xi на некоторую другую конфигурацию хг и Р = VX. Таким образом, Р есть заданная функция от X.

Подстановка (II. 7-5) в (1) дает.

®„(П1) = ®Х1(Г'Р),(IV. 3-2)

где в обозначениях опущено место X, занимаемое в х материальной точкой X. Таким образом, если мы положим для произвольной невырожденной предыстории F':.

®,1(F<) = ®„(F/P),(IV. 3-3)

то определяющее соотношение (1) примет вид

Т(х,/) = ©,, (F'(X), X),(IV.3-4)

где теперь F следует понимать как градиент Хх, в точке X, а х = Хх, (X, t\ Таким образом, Т в такой же мере определяется предысторией градиента деформации относительно х?, как и предысторией градиента деформации относительно хь Хотя реакция ®Xi — это, вообще говоря, не то же самое отображение, что и реакция ®,„ существование такого отображения есть факт, не зависящий от выбора отсчетной конфигурации. Поэтому, хотя в определении простого материала и упоминается отсчетная конфигурация, определение не зависит от ее выбора, и можно было бы сформулировать его, не пользуясь отсчетной конфигурацией.

В § II. 12 были определены и проанализированы однородные деформации. Исходя из любой обратимой тензорной функции F, можно построить предысторию некоторой однородной деформации F1. Исчерпывая класс предысторий однородной деформации, мы исчерпываем область определения отображения ®х (• , X). Таким образом, определяющее отображение для точки простого мате риала определяется для всех предысторий деформации тем, каково оно для предысторий однородной деформации. '

В экспериментальной механике основной упор делается на изучение однородных деформаций, и более сложные случаи деформирования обычно объясняют с их помощью. В этом отно- . Шении экспериментаторы склонны предполагать — хотя, несом-

ненно, не отдавая себе в этом отчета, — что всякий исследуемый в лаборатории материал может быть достаточно хорошо смоделирован некоторым простым материалом в смысле'математической теории. В этой книге мы иногда будем использовать слово «эксперимент» в некотором идеальном смысле. Вообразим эксперимент, в котором некое подтело, содержащее X, претерпело некий частный вид деформации с предысторией X, относительно отсчетной конфигурации х, и предположим, что после этого измерены получившиеся напряжения Т. Когда X* пробегает различные предыстории деформации, получаются различные значения Т. Мы будем понимать определяющие соотношения как выражение результата этих экспериментов. В этом смысле мы можем сказать, что материальная точка X проста, если исход всех экспериментов для нее определяется исходом всех экспериментов с деформациями, однородными вблизи X. В § 9, чтобы наметить идеальную экспериментальную программу, которая подсказывается этим фактом, мы определим однородные деформации, которые могут быть вызваны действием равномерно распределенных массовых сил.

Определение простого материала и его интерпретации не зависят от выбора отсчетной конфигурации х. Сами же реакции ©„ равно как и упомянутые сейчас эксперименты, не независимы от такого выбора. Движение, являющееся однородной деформацией конфигурации хь не есть однородная деформация конфигурации хг, если только сама конфигурация хг не получается посредством однородной деформации конфигурации хь Реакции ©,, и ©,, —это в общем случае различные отображения, каждое из которых однозначно определяется по другому формулой (3).

Далее в этой книге мы будем рассматривать только простые материалы. Если, как это обычно и будет, отсчетная конфигурация х выбирается раз и навсегда, мы будем1 записывать определяющее соотношение (1) простого материала в сокращенной форме

T=©(F'). (IV. 3-5)

Теория простых материалов охватывает все обычные чисто механические теории сплошной среды, изучаемые в работах по механике, физике, прикладной математике, технике и т. д. В § XV. 2 мы обобщим это определение с тем, чтобы учесть влияние нагрева и изменения температуры. В современных исследованиях по физике сплошной среды учитываются также электромагнитные и релятивистские явления, химические реакции и диффузии; в этой книге мы не будем ничего этого рассматривать.

Некоторые классические частные случаи.

Следствия из аксиомы независимости от системы отсчета

В этом параграфе мы введем определения некоторых специальных типов материалов, теория которых в прежние времена была основным предметом изучения в механике сплошной среды. Мы воспользуемся ими, чтобы проиллюстрировать мощь принципа материальной независимости от системы отсчета на приг мере ограничения весьма общего на первый взгляд класса гипотетических определяющих соотношений. Читатель, уже знакомый с классическими теориями или заинтересованный лишь в последовательном систематическом изложении механики сплошной среды, может пропустить этот параграф и сразу перейти к следующему.

Упругий материал определяется как материал, для которого. отображение ® из (IV. 3-5) сводится к функции g текущего значения градиента деформации F(X,/) независимо от значений F* (s, X) предыстории F* в прошлом, т. е. прн s > О

T = g(F,X),(IV. 4-1)

где g(-, X) —функция, отображающая обратимые тензоры F на симметричные тензоры Т. Однако не все такие функции определяют упругие материалы, поскольку сформулированный в § 2 как аксиома N3 принцип материальной независимости от системы отсчета выполняется, только если g имеет некоторый специальный вид,, который указывает следующая

Теорема (Селерье, Рихтер). Пусть полярным разложением градиента деформации F служит F = RU. Тогда. определяющее соотношение произвольного упругого материала имеет вид

T = Rg(U, X)RT,(IV. 4-2)

где g( •, X) отображает положительно определенные симметричные тензоры на симметричные тензоры. Верно и обратное-, любая такая функция g определяет по формуле (2) некоторый упругий материал.

Доказательство. Нам понадобится "аксиома N3 лишь в некоторой ослабленной форме. Действительно, поскольку F1 входит ■ в (1) только через F, которое есть F^O), нам ничего не нужно знать о предыстории ортогонального тензора Q8, упоминаемой в аксиоме N3, кроме ее текущего значения Qf(0), которое мы будем обозначать через Q. При изменении системы отсчета тензор F подчиняется правилу преобразования (II. 14-6). Таким

образом, согласно (IV. 2-4),

.g(QRU) = Qg(RU)QT,(IV. 4-3)

где мы опустили аргумент X, поскольку во всем доказательстве он остается постоянным. Тождество (3) должно выполняться для всех ортогональных тензоров Q и R и всех положительно определенных симметричных тензоров U. В частности оно должно выполняться, если мы возьмем Q = RT. Отсюда следует необходимость выполнения условия (2). Проверка его достаточности тривиальна. ■ .,

В том частном случае, когда g (U)= g (det U)l, уравнение (2) сводится в силу (II. 9-8) к

Т = -р(р)1,(IV. 4-4)

где р— поле давления, значение которого есть некоторая однозначная функция плотности. В этом случае материал называется упругой жидкостью или эйлеровой жидкостью. Значительная часть классической гидродинамики основана на этом определяющем соотношении. Движение жидкости обычно называется течением. Термин «течение» имеет также обиходное физическое значение, и чтобы согласовать обиходный язык с кинематикой, иногда способность жидкости течь относят за счет ее неспособности выдерживать в состоянии покоя касательные напряжения ни в какой конфигурации. В § 16 мы убедимся, что, хотя это свойство и является общим для всех простых жидкостей, его недостаточно, чтобы характеризовать их. Эйлерова жидкость обладает этим свойством с избытком, так как она не выдерживает касательных напряжений независимо от того, находится она в покое или движется.

Класс жидкостей, более общий, чем класс эйлеровых жидкостей, и не являющийся подклассом класса упругих материалов, можно определить функциональным соотношением вида

T = ^(G, р, х, х, t),(IV. 4-5)

где ^—функция, указанных пяти аргументов, первый из которых— это, как обычно, градиент скорости (II. 11-7). Сейчас мы убедимся, что в силу принципа материальной независимости от системы отсчета последние три аргумента должны быть исключены, а на функцию!) должны быть наложены дальнейшие ограничения. Действительно, аксиома N3 требует, чтобы для произвольного ортогонального тензора Q, являющегося функцией времени, произвольной местозначной функции хо(О произвольного места х0, и произвольной постоянной а при всех значениях

аргументов G, р, х, х, / удовлетворялось тождество

§ (G, р, х, х, /) = QT§ (D* + W*. р*, ?, х*, П Q =

= Q4)(QDQT + QWQT + А, р, Qx + ^ +

+ А (х — Хо), Хо + Q (х — х0), t + a) Q. (IV. 4-6)'

(Здесь мы использовали соотношения (II. 11-8), (II. 14-14), (1.9-11) и (1.9-14).) Рассмотрим некоторые фиксированные частные значения G, р, х, х, / и выберем такую функцию Q, что Q(/) = l, A = Q(/) = — W, такую функцию Xq, что Xq(/) = — — х — А (х — Xq), Xq (О = Хо — (х — Хо) и такую постоянную а, что a = — t. Тогда из (6) следует в качестве необходимого условия, что при любых значения^ аргументов отображения §

(G, р, х, х, 0 = 5 (О, р, 0, хо, 0), (IV. 4-7)

где Хо — произвольное фиксированное место. Таким образом, § оказывается функцией одних только D и р:

. I) (G, р, х, х, 0 = 5 (D, Р).(IV. 4-8)

. Грубо говоря, приведенное сейчас формальное рассуждение показывает, что, поскольку спин и скорость могут быть преобразованы путём подходящего преобразования системы отсчета и поскольку аналогичным образом любые время и место могут быть преобразованы в любые другие, эти аргументы не могут входить в независимое от системы отсчета определяющее соотношение класса, задаваемого соотношением (5). Но н это еще не все. Если мы подставим (8) обратно в (6), то получим соотношение■

I)(QDQT, р) = Qlj(D, р) QT.(IV. 4-9)

Это тождество должно выполняться для всех симметричных тензоров D и всех ортогональных тензоров Q. Обратно, если оно выполняется, то выполняется и (6). Таким образом, установлена следующая

Теорема (Нолл). Для того чтобы соотношение (5) удовлетворяло принципу материальной независимости от системы отсчета, необходимо, чтобы ^ сводилось к функции одних только D и р, а также удовлетворяло (9) как тождеству no Q u D.

Функция!), отображающая тензоры на тензоры и удовлетворяющая функциональному уравнению (9), называется изотропной. Теорема Нолла утверждает, что в смысле, который мы уточним в § 14, все материалы, определяющие соотношения которых принадлежат к классу (5), — это изотропные материалы.

Материал, задаваемый определяющим соотношением, принадлежащим к классу, определяемому условием (5) при дополнительном ограничении, что является аффинной функцией своего первого аргумента, называется линейно-вязкой жидкостью. По теореме Нолла такая жидкость должна иметь определяющее соотношение вида'

T = 5(D, р), •(IV.4-10)

где 9—афинная изотропная функция своего первого аргумента. В § VII. 3 мы решим функциональное уравнение (9) для случая функции, отображающей симметричные тензоры на симметричные тензоры, и сможем вывести из этого решения такое

Следствие (Коши). Каждая аффинная изотропная функция 5, отображающая симметричные тензоры на симметричные тензоры, имеет вид

§ (D) = (а + Р tr D) 1 + yD,(IV. 4-11)

где а, Р и у— постоянные. Обратно, всякая функция такого вида аффинна и изотропна.

Объединяя этот результат с предшествующей теоремой Нолла, мы получаем следующую теорему. .

Теорема. Определяющее соотношение линейно-вязкой жидкости имеет вид .

'Т = (—p + MrZ))l+2pD,(IV. 4-12)

где р, X и р — функции от р.

Теория, основанная на уравнении (12), называется теорией Навье — Стокса; при различных предположениях уравнение (12) или основные его частные случаи были выведены Навье, Коши, Сен-Венаном и Стоксом. Коэффициенты Лиц называются вязкостями жидкости. При жестком движении жидкости теория Навье — Стокса сводится к гидродинамике Эйлера, так что для определяемой этой.теорией жидкости имеет место явление «течения» в указанном выше смысле; а именно, в состоянии покоя такая жидкость способна выдерживать только гидростатические напряжения. При Л = ц = 0 линейно-вязкая жидкость превращается в упругую, и по этой причине упругие жидкости иногда называют «невязкими» или «совершенными».

Материал немного более общего вида, чем любой из введенных до сих пор в этом параграфе, получается в случае, когда функционал ® в (IV. 3-5) сводится к функции от F(X. /) и F(X, 0» линейной по F:

T = K(F,X)[F] = L(F,X)[G]; (IV. 4-13)

вторая запись следует из первой в силу (II. 11-5); аффинный оператор L определен на пространстве тензоров на Т. Такой материал называется линейно-вязким.

Упражнение IV. 4.1. Доказать, что соотношение (13) удовлетворяет принципу материальной независимости от системы отсчета тогда и только тогда, когда оно эквивалентно соотношению

TR = M(C, X) [Dr], ■ (IV. 4-14)

где М — аффинный оператор на пространстве симметричных тензоров над У, причем для любого тензора S ■

Sr = RtSR. ■ (IV. 4-15)

Больцмановская наследственная теория вязкоупругости получается, если допустить, что отображение ® в (IV. 3-5) может быть выражено как интеграл от s = 0 до s = оо._ И в этом случае принцип независимости от системы отсчета налагает некоторое ограничение на к'ласс отображений ®, но мы не будем сейчас заниматься приведением этого соотношения к независимому от системы отсчета виду. .

В теории Больцмана, как и в теории упругости, часто достигают дальнейшего упрощения ценой допущения, что | F — 11 или какая-нибудь другая «мера величины» тензора F* — 1 в некотором смысле мала. Приближения такого рода облегчают решение конкретныхзадач, но при построении общей теории они не столько помогают, сколько вносят путаницу.

Упражнение IV. 4.2. Доказать, что нет никаких других аффинных функций д, кроме кратных единичного тензора 1, для которых соотношение (1) удовлетворяло бы принципу независимости от системы отсчета. (Не смешивать это условие с условием, что функция g аффинна для положительно определенных симметричных аргументов!) Дать интерпретацию этого результата в терминах теории упругости.

Итак, в этом параграфе мы определили и назвали некоторые из давно известных и наиболее важных типов материалов. Мы также проиллюстрировали силу аксиомы материальной независимости от системы отсчета, показав, как она позволяет ограничить класс тех отображений, которые могут входить в определяющие соотношения. В следующем параграфе мы приведем более общее рассуждение такого рода — рассуждение, которое применимо ко всем простым материалам. '

Независимость от системы отсчета. .

Приведенные определяющие соотношений .

Согласно аксиоме N3, реакция ® должна быть такой, Чтобы определяющее соотношение (IV. 3-5) удовлетворяло принципу материальной независимости от системы отсчета. При изменении

системы отсчета (II. 14-3) градиент деформации F преобразуется по правилу (II. 14-6), и, следовательно, его предыстория Ff преобразуется по правилу -

' ■ F* ‘= а#Р#, (IV. 5-1)

где Q1 — предыстория ортогонального тензора Q, входящего в соотношение (II. 14-3), а тензор Т удовлетворяет соотношению (IV. 1-2). Следовательно, чтобы выполнялась аксиома N3, реакция ® должна быть такой, чтобы - .

®(Q'f') = Q(/)®(F')Q(/)t (IV. 5-2)

для всякой предыстории ортогонального тензора Q' и всякой предыстории невырожденного тензора FV Здесь Q(0 —текущее значение функции Q, так что Q*(0) = Q(0. Обратно, если выполняется соотношение (2), то выполняется и аксиома N3.

Следуя линии рассуждений, впервые проведенных Ноллом, мы можем разрешить уравнение (2) относительно ® раз и навсегда. Действительно, по теореме о полярном разложении (II. 9-1) F^R'l/, так-что (2) принимает вид

Q (/)т® (Q#R*U*) Q (0 == ® (Fz). (IV. 5-3)

Теперь мы можем выбрать предысторию ортогонального тензора Qf таким образом, чтобы Q# (s) = R' (s)t, 0^s<oo. Следовательно, Q(/) = R(0T и (3) превращается в

' ®(F) = R(0®(U9R(0T. ' (IV. 5-4)

Обратно, "легко показать, что если имеет место (4), то выполняется аксиома N3. ‘Нами доказана следующая

Теорема приведения (Нолл). Пусть ®— отображение предысторий положительно определенных тензоров на симметричные тензоры. Тогда всякое определяющее соотношение для простого материала имеет вид

T = R®(U')RT, (IV. 5-5)

и обратно, любое такое соотношение определяет некоторый простой материал.

Такая форма определяющего соотношения, без дополнительных ограничений на отображения, называется приведенной формой. ‘ .

Соотношение (5) показывает нам, что, в то время как предыстория растяжения IP простого материала может влиять на напряжения в данный момент любым образом, повороты в прош-

лом вообще не оказывают никакого влияния на текущее состояние материала. Текущее значение поворота R входит в (5) явно. Таким образом, приведенная форма позволяет нам при определении реакции на движение обойтись без рассмотрения поворотов. При желании мы можем рассматривать соотношение (4) как расширение отображения ® с области предысторий положительно определенных симметричных тензоров на всю область предысторий обратимых тензоров.

Приведенная форма позволяет также в принципе уменьшить необходимое число испытаний для экспериментального определения реакции ®. Действительно, рассмотрим предыстории с чистым растяжением без вращения (Rf=l). Если известно напряжение Т, соответствующее предыстории любого однородного чистого растяжения Uf, то мы имеем соотношение вида Т = =®(U/). В силу (5) мы тогда знаем Т для любых предысторий деформации. Можно поступить и по-другому: рассмотрим предыстории деформации с равным нулю спином: W = 0. Если задана некоторая предыстория U1, то можно, интегрируя (II. 11-13)1 с W = 0, определить R1. Если известны напряжения, соответствующие любой предыстории с равным нулю спином, то, подставляя соответствующие значения R в (5), мы вновь можем определить®. Таким образом, простые материалы можно охарактеризовать любым из следующих двух более экономных способов: материал прост тогда и только тогда, когда его реакция полностью определяемся заданием реакций на предыстории чистого однородного растяжения или на предыстории однородной деформации с равным нулю спином.

В полярном разложении (II. 9-1) введены две меры деформации О н V. Кинематика не дает никаких оснований для предпочтения одной из них другой. Мы видели (соотношение (4)), что использование U приводит к простой приведенной форме определяющего соотношения простого материала. При желании, ■ конечно, можно воспользоваться V вместо U. Поскольку Uf = = (R#)T V^, подстановка в (4) показывает, чго, используя V, мы, вообще говоря, не можем исключить предысторию поворотов R, т. е. применение V не приводит к простому результату. Есть много других тензоров, которые столь же подходят для измерения растяжения, как U и V. В старой литературе тот или иной из них называют тензором «деформации»1), но термин «деформация» ’) привел уже к такой путанице, что для нас будет благоразумнее вовсе избегать его.

Упражнение IV. 5.1. Показать, что если бы мы исходили из соотношения вида

Т (%, /) = ® (F\ X, х, х, /) (IV. 5-6)

*) В оригинале «strain». См. первое подстрочное примечание на стр. 87.— Прим, перев.

в качестве определения простого тела-точки, то в силу принципа материальной независимости от системы отсчета оно свелось бы к соотношению (IV. 3-1), бывшему нашим отправным пунктом (ср. анализ предположения (IV. 4-5) в § 4).'''

Упражнение IV. 5.2. Показать, что все приведенные формы, полученные в § 4, — это на самом деле частные случаи приведенной формы, указанной в предыдущем упражнении, с последующим приведением соотношения (IV. 3-3) к виду (IV. 3-5).

Существует бесконечно много других приведенных форм определяющего соотношения простого материала. Поскольку Cf = (UO^ одной из таких форм является

Т = RU U -1® (/С7) U -1 URT = F® (Cf) FT,(IV. 5-7)

где__

©(C^^U^S^cOu-1-(IV. 5-8)

В § II. 8 мы развили аппарат кинематики, позволяющий использовать актуальную конфигурацию в качестве отсчетной. Естественно задать вопрос, нельзя ли реакцию простого материала описать исключительно с помощью этого аппарата. Конечно, ответ отрицателен; анализ, принадлежащий Ноллу, показывает, насколько именно можно здесь продвинуться вперед, используя для записи определяющего соотношения Ft вместо F'. Чтобы проделать это, заметим, что из (II. 8-7) и (II. 9-1) вытекает, что при заданном X

F (т) = Rt (т) U, (т) R If) U ^.(IV. 5-9)

Следовательно,

F(T)«Rt(T)R(0(Uf(T)FU(0, (IV. 5-10)

где мы воспользовались обозначением (IV. 4-15) для операции поворота тензора К посредством тензора, обратного тензору актуального поворота R(()- Если ввести обозначение

Qf (s) = (R^ (s) R (() )т(IV. 5-11)

и положить в (10) т = t— s, то получим

QfF'=(Ut)R U (0.(IV. 5-12)

В силу требования (2) независимости от системы отсчета для всех Ф

©(F^Q^^fQ^QG).(IV. 5-13)

Если Qf взято в виде (11), то имеем Q(0 = R(0T> так что (12) и (13) дают

(IV. 5-14)(IV. 5-14)TR = ®((U0RU(()).

(IV. 5-14)

(IV. 5-14)

Для приложений более удобна эквивалентная запись, использующая С< и С(/):

TR = @((Ct)R; С (0).(IV. 5-15)

Приведенные формы (14) и (15) записи определяющих соотношений по Ноллу показывают, что невозможно полностью описать влияние предыстории деформации на напряжения с помощью градиента предыстории деформации по отношению к текущей конфигурации. Хотя таким образом и производится учет всей прошлой истории 0 < s < оо, вообще говоря, необходима некоторая фиксированная отсчетная конфигурация, чтобы учесть влияние деформации и поворота в данный момент. Это видно из того, что С(/) входит в качестве параметра в (15), a R(Z) — в величины, которые мы обозначили через TR и (Ct)R. (Конечно, относительный поворот Rt вообще никакого влияния не оказывает.) Грубо говоря, эти результаты показывают, что эффект памяти можно полностью.учесть, используя относительную деформацию, но для описания конечных деформаций1) нужна некоторая фиксированная отсчетная конфигурация, которую можно выбрать произвольно. Именно до сих пор и не дальше можно в общем случае продвинуться в осуществлении попытки избежать использования фиксированной отсчетной конфигурации при описании реакции простого материала.

Мы закончим этот раздел замечанием по поводу одного важного частного случая. Говорят, что для материальной точки имеется естественная конфигурация хо, если напряжения в ней обращаются в нуль, в случае когда некоторая окрестность этой точки покоится в состоянии хо во все времена в прошлом и в настоящий момент. Разумеется, в общем случае у материальной точки может и не быть такой конфигурации, как показывает пример эйлеровой жидкости, определенной соотношением (IV. 4-4), поскольку обычно давление р считается таким, что р(р)>0 при р #= 0, а исключительный случай р = 0 тривиален и не представляет никакого интереса. Если естественная конфигурация хо существует, то, выбрав ее в качестве отсчетной конфигурации, мы получим

'@(10 = 0,(IV. 5-16)

где 1' обозначает предысторию вплоть до момента t тензорной функции F, такой, что F(/) = l для всех времен t. В силу (2) отсюда следует, что

®(О0 = 0.(IV. 5-17)

й) В оригинале strain. — Прим, ред,

Таким образом, любой поворот, постоянный или произвольным, образом меняющийся во времени, переводит одну естественную конфигурацию в другую. Обратное неверно, поскольку материальная точка может иметь две естественные конфигурации, не получаемые одна из другой-поворотом. -

В этой книге мы не будем, вообще говоря, предполагать, что материалы обладают естественными конфигурациями.

Внутренние связи

До сих пор мы предполагали, что материал, когда на него действуют соответствующие силы, способен испытывать произвольную гладкую деформацию. Если на класс допустимых деформаций наложены априорные ограничения во внутренних точках конфигурации X, (.$,<), то говорят, что на материал наложены внутренние связи.

Простая связь выражается требованием, чтобы градиент деформации F удовлетворял уравнению вида

y(F) = 0,(IV. 6-1)

где у — не зависящая от системы отсчета скалярная функция.

Упражнение IV. 6.1. Доказать, что функция у не зависит от выбора системы отсчета тогда н только тогда, когда

Y(F) = y(U).(IV. 6-2)

Следовательно, простую связь можно записать в виде

Л(С) = 0,(IV. 6-3)

где X— некоторая скалярная функция, и каждое такое уравнение выражает не зависящую от системы отсчета простую связь. Далее, каждая не зависящая от системы отсчета внутренняя связь, эквивалентная (1), имеет вид f(X(C)) =0, где /—некоторая функция, обращающаяся в нуль-лишь при равном нулю аргументе.

Если мы продифференцируем соотношение (3) по времени для данного тела-точки, то получим.

X = tr[dcMC)C] = O,(IV. 6-4)

т. е., с учетом (II. 11 —13)3,

tr[FdcMC)FTD] = O(IV. 6-5)

для всех невырожденных F и всех симметричных D. Обратно, если соотношение (5) выполняется для рассматриваемого тела- точки во все моменты времени, то (3) получается из него интегрированием. Таким образом, соотношение (5) можно использовать в качестве другого общего выражения не зависящей от системы отсчета простой связи.<

Принцип детерминизма для простых материалов ' со связями . . •

Связи, поскольку проявление их состоит в исключении некоторых видов движения, должны осуществляться силами. Так как, по определению, связи неизменны, реализующие их силы не могут определяться самим движением или его предысторией. В частности, должны реализовываться соответствующими напряжениями простые внутренние связи, и определяющие соотношения простого материала со связями должны быть такими, чтобы допускать действие этих напряжений, независимое от предыстории деформации. •

В соответствии с этим принцип детерминизма для материалов со связями должен быть ослаблен, и ясно, что необходимое видоизменение этого принципа не может быть выведено из него самого, а должно быть введено как новая аксиома.

Предположительно существует много систем сил, которые могут создавать заданную связь. Простейшие из них —это те, работа которых равна нулю для любого движения, совместимого со связями. Поэтому в материале со связями мы будем считать такие не совершающие работы напряжения произвольными, в том смысле, что они не определяются предысторией движения. , .

Мы привели основания для того, чтобы принять следующую аксиому: .

Аксиома N 1С (принцип детерминизма для простых материалов со связями). Напряжения определяются предысторией движения лишь с точностью до произвольного тензора, который не совершает работы ни при каком движении, совместимом со связями. Иными словами, .

T = N + ®(F'), (IV. 7-1)

где N — тензор напряжений, для которого мощность напряжений равна нулю при любом движении, совместимом со связями; требуется, чтобы функция ® была определена только для таких аргументов Ff, которые совместимы со связями.

Здесь подразумевается, что N и ® могут зависеть от х н X. Тензор N не зависит от выбора отсчетной конфигурации х, поскольку в определяющем его условии она не используется.

Разность Т — N называется тензором определяющих напряжений. Аксиома Nlc служит обобщением аксиомы N1 § IV. 2 и сводится к ней, когда внутренних связей нет.

Проблема состоит теперь в отыскании N. Мощность напряжений w симметричного тензора напряжений Т в движении,

характеризуемом тензором скоростей растяжения D, дается формулой (III. 5-13). Поэтому нам надо найти общее решение уравнения

tr(ND) = 0,(IV. 7-2)

где D — произвольный симметричный тензор, удовлетворяющий условию (IV. 6-5). Далее, Fdc^(C)FT— симметричный тензор, а операция tr(AB) определяет скалярное произведение в пространстве симметричных тензоров над Т. Следовательно, тензор N, рассматриваемый как вектор в этом пространстве, должен быть ортогонален любому вектору D, ортогональному к FdcA(C)FT. Таким образом, N параллелен этому вектору:

N = ?FdcX(C)FT,(IV. 7-3)

где q.— произвольный скаляр. Это —общее решение уравнения (2).

Если имеется к связей V(C) = 0, / = 1, 2, ..., к, то

N = 2 q^dcX1 (С) FT.(IV. 7-4)

z=i

Приведенное здесь рассуждение применимо в одной отдельной точке материала. Обычно для всех точек тела устанавливаются одинаковые связи. В этом случае для каждой точки получится выражение вида (4), но при этом из теории не следует, что величины qt в (4) для различных точек должны быть связаны друг с другом каким-либо определенным образом. Чтобы получить определяющие соотношения, позволяющие находить решения конкретных задач, обычно предполагают, что каждый множитель qt образует гладкое поле <?<(%,/) в х(Х О- Подстановка этих выражений в (1) дает общее определяющее соотношение для простого материала, подчиненного к простым не зависящим от системы отсчета внутренним связям.

Определяющее напряжение ®(FZ) можно представить в приведенных формах, идентичных тем, которые были установлены в § IV. 4 для материала без связей.

Рассмотрим теперь несколько примеров внутренних связей.

Несжимаемость. Материал называется несжимаемым, если он может совершать только изохорические движения. В силу соотношений (II. 5-8)3 и (II. 9-7)9 соответствующая функция связи для несжимаемого материала имеет вид

Я (С) = det С —1.(IV. 7-5)

Поскольку

■FdcX(C)FT = FC"1FTdetC = l,(IV. 7-6)

из (3) вытекает, что

N = -pl,(IV. 7-7)

где р— произвольный скаляр. Таким образом, мы получили результат, установленный по существу Пуанкаре: в несжимаемом материале напряжения определяются по движению лишь с точностью до произвольного гидростатического давления.

Нерастяжимость. Если е, — единичный вектор в отсчетной конфигурации х, то, как мы видели в § II. 12, вектор е, в который он переводится при однородной деформации с градиентом F, равен Ее,. Поэтому функция связи, соответствующая материалу, нерастяжимому в актуальном направлении е, имеет вид

A(C) = |Fe,P-l=ex-Cex-l.(IV. 7-8)

Поскольку

М(С) = ех®ех,(IV. 7-9)

из (3) следует, что

N=^F(ex-® e,)FT = 9e®e, e = Fex. (IV. 7-10)

Так определенное N — это произвольное одноосное напряжение в направлении е. Мы заново получили результат, установленный впервые Адкинсом и Ривлиным: напряжения в материале, нерастяжимом в некотором направлении, определяются лишь с точностью до одноосного напряжения, действующего в этом направлении.

Абсолютная твердость. Материал называется абсолютно твердым, если он нерастяжим ни в каком направлении. В соответствии с только что установленным результатом напряжения в абсолютно твердом материале могут быть определены лишь с точностью до произвольного растягивающего усилия в каждом направлении. Поэтому напряжения в абсолютно твердом материале вовсе не зависят от движения. Это и не удивительно в свете того факта, установленного нами в § 1.13, что жесткое движение любого тела определяется независимо от того, какие могут в нем действовать напряжения.

Упражнение IV. 7.1. Получить аналоги приведенных форм (IV. 5-5), (IV. 5-7), (IV. 5-13) и (IV. 5-14) для несжимаемых материалов. Показать, что определяющее соотношение для' несжимаемого упругого материала имеет внд

T = -pl+ R@(U)RT. где J det U | = 1; (IV. 7-11) для несжимаемой упругой жидкости —

T = -pl;(IV. 7-12)

для несжимаемой линейно-вязкой жидкости —

T = -pl + 2pD, где trP = O.(IV.7-13)

Во всех трех случаях гидростатическое давление неопределимо в том смысле, что его можно задать независимо от предыстории движения. Показать, что верно и обратное: всякое соотношение одного из трех приведенных выше видов определяет соответственно несжимаемый упругий материал, несжимаемую упругую жидкость и несжимаемую линейно-вязкую жидкость.

Упражнение IV. 7.2 (теорема энергии классической гидродинамики). Замечая, что все движения несжимаемой упругой жидкости механически совершенны, и рассматривая случай, когда на тело Я действуют консервативные массовые силы, показать с помощью результатов упр. III. 5.4, что если на границе 9^98,1) давление всюду постоянно или скорость всюду направлена по касательной к границе, то ■

К 4-7 = const ■ (III. 5-18)

§ 8. Уравнения движения для простых тел

Тело %, все точки которого являются точками простого материала, называется простым телом. Чтобы получить функциональное уравнение движения простого тела, достаточно подставить соответствующее определяющее соотношение в первый закон Коши (III. 5-1). • ■

Для тела без связей определяющее соотношение имеет вид (IV. 3-5), так что уравнением движения будет ,

рх = div © (Fz) + pb. (IV. 8-1)

Мы считаем b заданным (в типичных случаях постоянным или нулевым) вектором, и тогда уравнение (1) превращается в условие на деформацию X,. В традиционных теориях это условие имеет вид дифференциального уравнения второго порядка по времени и пространственным координатам (по отдельности или по совокупности). В общем случае это — дифференциальнофункциональное уравнение, которое с учетом приведенной формы определяющего соотношения (IV. 5-5) никогда не является линейным относительно производных по пространственным координатам. Возможности современного анализа далеко не достаточны для того, чтобы подойти к общему решению краевых задач или задачи с начальными данными для таких уравнений. Тем не менее довольно много известно о частных решениях для специальных классов отображений ®, и остальная часть этой книги посвящена доказательству и объяснению этих известных в настоящее время теорем рациональной механики.

Как мы уже отмечали, тело со связями ни в коем случае не есть частный случай тела без связей. Наоборот, частным случаем является тело без связей. Поведение тела со связями не идентично поведению соответствующего, тела без связей, которое оказалось совершающим движение, согласующееся с этими свйзями. Если, например, предыстория деформации тела без Связей оказывается изохорической, то поле напряжений, дей-

ствующих на его актуальную конфигурацию, определяется этой предысторией. Для несжимаемого тела по определению не может быть никаких других предысторий деформации, кроме изохорических, но поля напряжений в таком теле никогда полностью не определяются деформациями, будучи определимыми лишь с точностью до произвольного поля гидростатического давления. Авторы работ по гидродинамике, говорящие о. «несжимаемых течениях», виновны в распространении не только скверного языка, но и заблуждения. Течение, очевидно, нельзя сжать. Течение может быть или не быть изохорическим, а жидкость может быть или не быть несжимаемой. Поведение несжимаемой жидкости в некотором, по необходимости изохорическом движении, вообще говоря, вовсе не такое, как поведение произвольной сжимаемой жидкости в том же изохорическом течении. ;

Класс возможных деформаций для тела со связями уже, чем для тела без связей. Этому ограничению класса возможных деформаций соответствует наличие некоторых произвольных напряжений, произвольных, в том смысле, что они не определяются предысторией деформации. Когда мы хотим определить, совместима или нет данная предыстория деформации тела, состоящего из точек со связями, с аксиомами механики и заданными массовыми силами, это наличие произвольных напряжений обеспечивает нам большую свободу, чем в случае тела без связей, при той же предыстории деформации и тех же массовых силах. Дело в том, что отдельная предыстория деформации, согласующаяся с. определенными внутренними связями, будет соответствовать бесконечно многим различным полям напряжений, если только она соответствует хотя бы одному. В общем, можно сказать, что, хотя для тел со связями возможны предыстории деформации из более ограниченного класса, зато решать задачи, относящиеся к этим предысториям, проще для тел со связями, чем для соответствующих тел без связей. Мы будем часто иллюстрировать этот очевидный, но важный факт.

Крайний случай представляют собой абсолютно твердые тела, для которых допустимые деформации сводятся к столь узкому классу, что напряжения, каковы бы они ни были, вообще не оказывают влияния на движение тела. Это движение может быть найдено путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся не чем иным, как выражением законов сохранения количества движения и момента количества движения для тела в целом, и совершенно неважно, каковы при этом могут быть воздействия одних подтел данного тела на другие.

Наиболее часто используемый тип тела со связями — это несжимаемое тело. Если подставить (IV. 7-7) в (IV. 7-1), а за-

тем то, что получится, в первый закон Коши, то мы придем к уравнению

р (х — b) = —grad р + div® (F(). (IV. 8-2)

Если считать b заданным, то F' для тела без связей должно удовлетворять уравнению (1), а для несжимаемого тела — уравнению (2). В первом случае к рассмотрению допускаются все поля F', и удается успешно решить лишь немногие задачи. Во втором случае допускаются лишь такие поля Ff, для которых det Ff = 1, а скалярное поле р можно подбирать таким образом, чтобы облегчить отыскание решения. Конечно, условие на само Движение теперь принимает вид

rot div ® (Ff) = rot [р (х — b)],(IV. 8-3)

т. е. является дифференциально-функциональным уравнением более высокого порядка, чем (1).

Чтобы проанализировать влияние этого различия, допустим, что поле массовых сил имеет потенциал, так что выполняется соотношение (III. 1-7). Если мы положим

,Ф^-^ + б,(IV. 8-4)

где б—потенциал массовых сил Ь, и предположим также, что плотность р равномерна (т. е. постоянна по пространству), то (2) примет вид' "

х = — grad ф + -~ div ® (Fz).(IV. 8-5)

Таким образом, р и б входят в уравнение движения лишь в комбинации, обозначенной через ф. Предположим теперь, что для данного несжимаемого простого тела (т. е. при заданной реакции ®) некоторая изохорическая предыстория деформации удовлетворяет уравнению (5) при некотором поле давления pi и поле массовых сил с потенциалом б], Пусть р2— произвольное однозначное скалярное поле, а б2— такое скалярное поле, что

А + Й2 = ^- + б,.(IV. 8.6)

В силу (4) уравнение движения (5) будет выполняться, если Pi и б] заменить на р2 и б2. Таким образом, мы получили следующую теорему, в сущности принадлежащую Эйлеру:

Если изохорическая предыстория деформации удовлетворяет уравнениям движения некоторого несжимаемого материала с равномерной плотностью при массовых силах, имеющих потенциал бь то она удовлетворяет уравнению движения того же ма-

териала под действием массовых сил с потенциалом юг, если только разность <о2 — й, однозначна.

В случае b = О единственные силы, приложенные к 98 извне,— это усилия на границе д%(Х /)• Таким образом, мы имеем такое следствие теоремы Эйлера:

Данное движение несжимаемого равномерно плотного тела 98 может происходить под действием поля массовых сил с однозначным потенциалом & в том и только в том случае, когда оно возможно для того же самого тела при воздействии одних только поверхностных усилий.

Поскольку для того, чтобы превратить решение задачи без массовых сил в-задачу с массовыми силами, имеющими однозначный потенциал, достаточно лишь подобрать соответствующее поле давления, а поле давления произвольно, мы мало что теряем в общности, полагая при рассмотрении задач для несжимаемых тел b = 0.

9. Однородные деформации простых тел без связей

Определяющее соотношение для простого тела без связей относительно отсчетной конфигурации и имеет вид

Т(Х, ^ = ®x(F^(X), X), (IV.9-1)

поэтому, как мы разъяснили в § 3, задание определяющего отображения простого тела лишь для всех предысторий деформации, однородных по отношению к х, уже определяет его реакцию на все вообще предыстории. Следовательно, в идеальном эксперименте нам достаточйо было бы подвергнуть тело из данного материала каждой деформации вида (см. § II. 12)

X = X, (X, о = Хо (0 + F (0 (X - Хо), det F (/) Ф 0, (IV. 9-2)

и зарегистрировать полученные напряжения. В результате мы бы определили реакцию ®х. Спросим теперь, возможно ли в принципе осуществление такой программы.

Можно ли вызвать движение по закону (2), если материал определяется соотношением (1)? Если можно распоряжаться массовыми силами Ь, входящими в первый закон Коши (III. 5-1), то ответ, конечно, положителен. Однако, хотя при рассмотрении всей совокупности динамических процессов мы не видим причин исключать какие-либо Ь, по-другому обстоит дело, когда нам приходится придумывать эксперименты, поскольку в лаборатории могут быть осуществлены лишь очень специальные виды массовых сил. Практически все, что мы можем создать, не

прибегая к электромагнитным силам, которые не затрагиваются в этой книге, это однородные поля b = const.

Спросим теперь, можно ли вызвать однородное движение (2) в теле, определяемом соотношением (1), приложив подходящие поверхностные усилия. Мы будем рассматривать эту проблему только для однородных тел.

Простое тело называется однородным, если существует такая отсчетная конфигурация х, называемая однородной конфигурацией, что реакция ®. не зависит от X, т. е. для всех обратимых аргументов F'

®ж(Р\ X) = ®.(F/, Y) VX,Yez(^). (IV.9-3)

Ясно, что в однородном простом теле при однородной предыстории деформации, начинающейся с некоторой однородной конфигурации, поле напряжений Т имеет одно и то же значение во всех местах, так что

div.T = 0.(IV. 9-4)

Вопрос, который мы теперь поставим, состоит в следующем: если b = const, можно ли задать граничные усилия так, чтобы вызвать однородную деформацию (2) простого тела относительно однородной конфигурации? Подстановка соотношения (4) в первый закон Коши (III. 5-1) дает условие

'pb = px.(IV. 9-5)

Это требование согласуется с движением (2) в том и, только в том случае, когда'

''F = 0, Xo=b.(IV. 9-6)

Следовательно,■"

F(O = Fo(1+/F1), xo(O = ^2b + /e + f, (IV. 9-7)

где Fq — произвольный невырожденный тензор, Fi — произвольный тензор, е — произвольный вектор и f—произвольная фиксированная точка.

Упражнение IV. 9.1. Доказать, что в таких движениях градиент скорости дается соотношением

‘G == F^ (1 + fF^-1 F^1.(IV. 9-8)

Из (7) видно, что в общем случае однородное движение (2) нельзя при b = const вызвать с помощью одних лишь поверхностных усилий. Возможен только специальный класс однородных движений, определяемых соотношением (7). Поэтому идеальная программа определения реакции ®« путем осуществления всех однородных деформаций, начинающихся с конфигу-

рации х, практически не осуществима. Это не означает, что нельзя найти другой метод определения ®.; просто метод однородных деформаций, использованный нами для интерпретации определения простого материала, не подходит для экспериментального отыскания ®х, если не использовать искусственные массовые силы.•

Что осталось от нашего анализа, так это частный класс однородных деформаций, который можно осуществить в любом однородном простом теле без внутренних связей, прикладывая подходящие усилия на границе. Иными словами, найден некоторый класс точных решений для всех однородных простых тел без связей. Эти частные решения обычно остаются невырожденными только на некотором конечном интервале времени. По предположению det F (0) = det Fo =^ 0. Тогда движение остается невырожденным только до тех пор, пока

■det(l+^)^ 0,(IV. 9-9)

т. е. на интервале времени (L, t+), содержащем нуль и таком, что—l/i нигде не является собственным значением для Fi. Поскольку Fi — произвольный (возможно, вырожденный) тензор, о его собственных значениях в общем случае сказать ничего нельзя. Не исключена и возможность того, что t_ = сю или /+ = +оо. Например, для изохорической деформации из этого класса'

|detF0|=l, detll+^FJ^l .(IV.9-10)

и интервал, на котором движение невырождено, есть (— со, -ф оо).

Упражнение IV. 9.2. Доказать, что движение изохоричио в том и только в том случае, когда.

|detFQ|=l, trF,=O, trF? = O, detFj=O. (IV.9-11)

На контрпримере показать, что F, не обязано равняться нулю.

Важным примером является движение при простом сдвиге, которое традиционно используется для иллюстрации каждой специальной теории в механике сплошной среды. Компоненты поля скоростей по отношению к прямоугольной декартовой системе координат даются соотношениями (11.11-11). В подходящим образом выбранной паре систем прямоугольных декартовых координат, одной для х(^) и другой для хх(^>0> компоненты деформации имеют вид

х'=Г,

.= Г +.(IV. 9-12)

^ = Г.

Поэтому

(IV. 9-13)

так что

(IV. 9-14)

и условия (11) выполнены. (В данном случае F?=0.) Следовательно, простое сдвиговое движение может происходить под действием одних лишь поверхностных усилий для любого однородного простого тела без связей.

Другим примером служит однородное чистое растяжение без вращения: R = 1, W = 0, U = U (/). Согласно (11.11-13) U должно удовлетворять дифференциальному уравнению

. йи = ий. (IV. 9-15)

Упражнение IV. 9.3. Доказать, что уравнение (15) выполняется тогда и только тогда, когда U имеет ортогональную тройку собственных векторов, не меняющуюся во времени. Таким образом,

з

U= 2»г(/)ег®ег (IV. 9-16) /=1

где ei — фиксированные взаимно ортогональные собственные векторы. Показать, что соответствующее однородное чистое растяжение происходит с постоянным ускорением в том и только в том случае, когда xg = const, а и, — положительные 'линейные функции t Доказать, что прямоугольный элемент с гранями, нормальными к е;, преобразуется в другой элемент такого же типа для любого времени t из интервала, на протяжении которого движение остается невырожденным. Показать, что такое движение изохоричио тогда н только тогда, когда оио сводится к состоянию покоя.

Эти два только что рассмотренные семейства движений представляют собой особенно интересные частные случаи того класса однородных движений, который, как мы доказали, может осуществляться в произвольных простых телах без внутренних связей под воздействием одних лишь подходящих усилий, приложенных на границе тела. Как мы сейчас убедимся, соответствующий класс решений для несжимаемых тел гораздо шире. ■

. Однородные деформации несжимаемых простых тел

Теперь мы определим все однородные деформации, которые могут быть вызваны консервативными массовыми силами и усилиями, приложенными по границе однородного несжимд^-

мого тела. При этом принимается, что в применении к несжимаемому телу термин «однородное» означает не только то, что реакция ®х не зависит от X, но также и то, что рх есть заданная постоянная. Отсчетная конфигурация х называется в этом случае однородной для X и мы будем рассматривать деформации, однородные именно относительно х.

Для того чтобы некоторый вид деформации был возможен для всех однородных несжимаемых тел под действием одних лишь потенциальных сил, эта деформация должна, в частности, быть возможной для однородных несжимаемых упругих жидкостей, определяющее соотношение которых имеет вид (IV.7-12). Теорема Кельвина1) утверждает, что такая деформация должна представлять собой течение, сохраняющее циркуляцию, и обратно, всякое течение, сохраняющее циркуляцию, может быть осуществлено таким способом в любой такой жидкости.

Действительно, подставляя (IV. 7-12) в первый закон Коши (III. 5-1) и полагая р = const, мы получаем уравнение Эйлера движения однородной несжимаемой идеальной жидкости

-gradф = x,• (IV. 10-1)

где ф определено соотношением (IV. 8-4). Таким образом, необходимое и достаточное условие существования решения ф состоит в том, что для некоторой однозначной функции £

'х = — grad £,'(IV. 10-2)

и если это условие выполнено, то ф = £ + й, где й — произвольная функция времени.■

Циркуляция 6 C^) по контуру 98 в х (#> 0 определяется выражением

■6 ^ = J х • dx.(IV. 10-3)

Упражнение IV. 10.1. (Кельвин). Доказать, используя (IV. 13-1), что если % есть образ в Zx (^, /) некоторого данного контура ^, в х (^), то

'Ё(«,) = J x-dx.(IV. 10-4)

В силу (4) условие (2) является необходимым и достаточным для того, чтобы Ё(^) =0 для всех таких %, и это доказывает теорему Кельвина.

Необходимым условием выполнения уравнения (2) является условие Даламбера — Эйлера,

grad х = (grad х)т.(IV. 10-5)

Это условие является также и достаточным в достаточно малой области. Согласно (11.11-15), оно эквивалентно условию

■•(FF-1)T — FF-1.‘ (IV. 10-6)

Для всех течений, сохраняющих циркуляцию, справедливы теоремы Бернулли и Гельмгольца, известные из классической гидродинамики.

Однако не все течения, сохраняющие циркуляцию, могут вызываться в произвольном однородном несжимаемом теле посредством одних лишь поверхностных усилий. В самом деле, допустим, что уравнение (2) выполняется. Тогда уравнение (IV. 8-5) принимает вид

ldiv®(F<) = -gradX,(IV. 10-7)

где "-■

Л = £ —ф + А,(IV. 10-8)

причем h — функция одного лишь времени.. Чтобы уравнение (7) удовлетворялось, необходимо выполнение условия

• grad div ®(Ff) = (grad div® (Ff))T,(IV. 10-9)

причем это условие является также и достаточным, если потенциал X, существование которого обеспечивается этим условием, однозначен. Мы видим, с учетом (IV. 8-4), что если имеют место соотношения (7) и (8), то.

р = р(£-Х-® + й).(IV. 10-10)

Таким образом, установлена следующая .

Теорема (Колеман & Трусделл). Пусть в некотором однородном несжимаемом простом теле под действием одних только поверхностных усилий может возникать определенное течение, сохраняющее циркуляцию. Тогда давление р, которое не определяется предысторией этого движения определяется с точностью до некоторой функции времени уравнением количества движения.

Эта теорема показывает, что, в то время как определяющее соотношение для тела-точки не . накладывает ограничений на давление, уравнение количества движения для тела в целом позволяет подойти вплотную к определению р для рассматриваемого класса деформаций, а именно деформаций, возможных в идеальной жидкости. Подстановка (10) в (IV. 7-7) и (IV. 7-1) дает

. т = -Р($-Л-б+й)1 + ®(Ff).(IV.10-11)

Потенциал ускорений £ известен, если известно рассматриваемое сохраняющее циркуляцию движение; потенциал X из-

вестей, если это течение удовлетворяет условию совместности (9) для данного однородного несжимаемого тела в данном движении; потенциал б задан. Тём самым полное напряженное состояние Т определено с точностью до гидростатического поля давлений рА, зависящего только от времени.

Только что приведенная теорема является более общей, чем это нам сейчас нужно, поскольку она относится ко всем течениям, сохраняющим циркуляцию. Чтобы применить ее к частному случае однородных деформаций, заметим прежде всего, что для любой предыстории однородной деформации условию (7) можно удовлетворить, положив X = 0. Таким образом, для того чтобы некоторая предыстория однородной деформации могла осуществляться во всех однородных несжимаемых телах под действием одних только надлежаще подобранных поверхностных усилий, необходимо и достаточно, чтобы для поля скоростей, соответствующего этой предыстории, сохранялась циркуляция. Поэтому нам достаточно определить те предыстории однородной деформации, для которых сохраняется циркуляция. Чтобы сделать это, заметим, что (6) превращается в дифференциальное уравнение второго порядка относительно тензора F, который теперь является функцией одного лишь времени. Если (6) имеет место, то, как легко проверить, используя (11.2-16)2, уравнение (2) дает

— С = (х — х0) • ^FF-1 (х — Xq)+ хо]« (IV. 10-12)

Мы доказали, таким образом, что однородная изохорическая деформация в любом однородном несжимаемом простом теле может происходить под действием одних лишь усилий на границах в том и только в■том случае, когда F удовлетворяет уравнению (6). Если (6) выполняется, то мы можем определить напряжения, подставляя (12) в (11):

T = p[(x-Xo)-(4-FF-’ (х — Хо)+ х0^ + б —/ij 1+® (f 0-

• (IV. 10-13)

При подстановке любого обратимого решения F уравнения (6) и любой местозначной функции Хо в уравнение (II. 2-1) получается некоторое допустимое течение. Последующая подстановка в (13) дает напряжения, необходимые, чтобы вызывать это течение в условиях, когда на тело действуют массовые силы с потенциалом б, который предполагается однозначным.

Если нам задана предыстория однородного растяжения U1, то можно положить в (II. 11-13) I W = 0 и проинтегрировать получающееся при этом обыкновенное дифференциальное уравнение относительно R. Таким способом можно определить пре-

дысторию поворота R\ для которой течение, соответствующее R<U<, является безвихревым. Как исстари показывается в работах по классической гидродинамике и как мы вскоре убедимся, в каждом безвихревом течении циркуляция скорости сохраняется. Если detU(Z) = 1, то в соответствии с доказанным выше результатом такое движение может быть вызвано в любом однородном несжимаемом теле путем приложения соответствующих усилий на его границах. Следовательно, выдвинутую нами вначале программу идеальных экспериментов можно осуществить для однородных несжимаемых тел, не прибегая к искусственным массовым силам (а фактически вовсе не используя массовых сил).

Этот результат можно получить и с более общих позиций следующим образом.

Упражнение IV. 10.2 (Коши). Доказать, что циркуляция сохраняется в том и только в том случае, когда

FTWF = Wo = const(IV. 10-14)

Следовательно, в каждом безвихревом течении циркуляция сохраняется, н в движении с сохраняющейся циркуляцией любая часть, совершающая в некоторый момент безвихревое движение, продолжает совершать такое движение и во все времена. ■.

Если мы подставим критерий Коши (14) в (II. 11-13)ь то найдем,что

R = RY,(IV. 10-15)

где

Y — ^lT'U - UU-I)+ U'^qU"1.(IV. 10-16)

Предположим теперь, что заданы однородное растяжение U и произвольный начальный спин Wo. Тогда Y—известная функция от t. Если U и Wo таковы, что Y непрерывно, то линейное дифференциальное уравнение первого порядка (15) определяет единственный поворот R(0, соответствующий любому заданному начальному повороту R(0). Тогда в однородном движении с F(/) = R(0U(0 циркуляция сохраняется. Учитывая ранее доказанную в этом параграфе теорему, мы можем подытожить наши последние результаты в виде следующей теоремы.

Теорема (Колеман & Трусделл). Прикладывая одни лишь подходящие поверхностные усилия, можно вынудить любое однородное несжимаемое тело испытывать любую желаемую предысторию однородного изохорического растяжения IK Соответствующая предыстория поворота R\ не зависящая от рода материала, получается из единственного решения уравнения (15), соответствующего заданным начальным значениям R(0) и Wo- И обратно, лишь те однородные деформации могут быть

получены во всех несжимаемых однородных телах при помощи приложенных на границе усилий и консервативных массовых сил с однозначным потенциалом, для которых R определяется по U, R(0) и Wo уравнением (15). -

Сделанное ранее утверждение относительно безвихревых движений следует отсюда как частный случай, соответствующий начальному значению Wo = 0, поскольку тогда в силу (14) W — 0. Предысторий безвихревых деформаций достаточно, чтобы построить сохраняющие циркуляцию деформации, .соответствующие всем возможным предысториям растяжения; однако предысторий чистого растяжения для этого, очевидно, недостаточно, поскольку R = 1 не является в общем случае решением уравнения (15).

Упражнение IV. 10.3. Доказать, что чистое растяжение сохраняет циркуляцию в том и только в том случае, когда ■

. UU—UU = const,. (IV. 10-17)

что является обобщением условия (IV.9-15). Следовательно, в общем случае, действуя одними лишь поверхностными усилиями, нельзя создать всякое однородное изохорическое чистое растяжение в произвольном однородном несжимаемом простом теле. К числу тех специальных случаев однородного изохорического чистого растяжения, которые могут быть созданы таким образом, относятся безвихревые движения, определяемые условием (IV. 9-16) с дополнительным ограничением Р1(0р2(0рз(0 = 1.

Как мы убедились в упр. IV. 9.3, единственным видом однородного изохорического чистого растяжения,. который может осуществляться для всех тел без внутренних связей под действием постоянных массовых сил, является состояние покоя. Упр. IV. 10.3 показывает, что в любом однородном несжимаемом теле любое однородное изохорическое безвихревое чистое растяжение может быть вызвано действием одних лишь поверхностных усилий, или еще произвольных потенциальных массовых сил. Этот результат, как и другие, полученные в этом параграфе, иллюстрирует разницу между системой напряжений в сжимаемом теле, испытывающем изохорическую деформацию, и в соответствующем несжимаемом теле при той же деформации. Для тела без связей изменения объема не имеют места потому, что напряжения устанавливаются строго определенным образом, причем, каким именно, однозначно определяется функ' ционалОм реакции. В несжимаемом теле никакая система сил не может вызвать никаких деформаций, кроме изохорической, и соответственно в этом случае имеется гидростатическое давление, произвольное в том смысле, что оно не определяется предысторией деформации.

В случае когда приложены заданные массовые силы, первый закон Коши накладывает ограничение на эти массовые силы, но не определяет их полностью: если некоторая определенная предыстория деформации вообще возможна для данного несжимаемого тела, то она может иметь место при бесконечно многих различных массовых силах и поверхностных усилиях.

Упражнение IV. 10.4. Пусть ® — реакция некоторого простого тела без связей S, и пусть" на изохорических предысториях деформации ® совпадает с реакцией некоторого несжимаемого простого тела Яй. Как отличается система напряжений, необходимая для того, чтобы вызвать некоторый простой сдвиг тела 33, от системы напряжений, необходимой, чтобы вызвать тот же простой сдвиг тела 93^

Внутренние связи, например условие несжимаемости, сужают класс возможных движений, но расширяют класс напряженных состояний, совместимых с теми движениями, которые могут иметь место. Поэтому теорию тел со связями развить значительно проще. Далеко идущие упрощения, вытекающие из предположения о несжимаемости материала, заметил и использовал Ривлин в своих основополагающих работах по нелинейной теории сплошной среды 1946—1955 гг. Большинство известных сейчас в явном виде решений относится к несжимаемым телам. -

Материальный изоморфизм

До сих пор мы рассматривали определяющие соотношения отдельного тела-точки или отдельного однородного тела, состоящего из точек, имеющих один и тот же функционал реакции относительно данной отсчетной конфигурации х. Когда мы можем сказать, что два тела-точки А] и А2 тела ^ состоят из одного и того же материала? Тогда, когда части тела Ж, близкие к Ai и к А2 соответственно, можно перевести в такие отсчетные конфигурации xi и х2, что любая последующая деформация приводит к одинаковым напряжениям в местах Xi и Х2, зани-' маемых телами-точками А] и А2. Таким образом, никакое экспериментальное измерение напряжений, порождаемых деформацией, не может нам сказать, отправляемся ли мы от части ^ вблизи А] в конфигурации хД^) или от части, прилежащей к А2 в конфигурации х2(^), где Х| = хДА(), Х2 = х2(А2). Эта интерпретация подсказывает также, что мы должны предполагать плотности рх и рк вблизи Ai и А2 равными и равномерными, что мы и будем делать.

Формализуя эти соображения, дадим следующее .

Определение (Нолл). Пусть ®х — реакция простого материала по отношению к отсчетной конфигурации х. Тела-точки Хх и А2

тела 58 называются материально изоморфными, если существуют такие отсчетные конфигурации xt и Х2, что pX| (XJ = р,2 (Х2) = const вблизи X, и Х2 и

®Х1 (Ff, Xi) = ®x,(F\ Х2)' (IV. 11-1)

для любой невырожденной тензорной предыстории Fz.

Это определение является формализацией нестрого описанных перед этим представлений, поскольку левая часть — это напряжение в месте, занимаемом телом-точкой Xt, когда тело $ испытывает по отношению к zi(58) деформацию с предысторией градиента деформации F', а правая часть—напряжение в месте, занимаемом телом-точкой Х2, когда тело 98> испытывает ту же самую деформацию относительно х2(^). Так как .соотношение (1) должно иметь место для всех F', мы можем перевести тело вблизи X] и вблизи Х2 в конфигурации, не различимые никаким измерением, описываемым теорией простых тел.

Если каждое тело-точка данного тела Ж материально изоморфно любому другому его телу-точке, то любая достаточно малая часть тела Ж имеет те же самые свойства, что и любая другая достаточно малая часть, и мы говорим, что тело единообразно. Это означает, что реакции тела ^ вблизи X] и Х2 одинаковы по отношению к подходящим отсчетным конфигурациям' Xi и х2, что реакции % вблизи Х2 и Х3 одинаковы по Отношению к подходящим отсчетным конфигурациям х' и Х3 и т. д. Однако может, и не быть единой для всего тела отсчетной конфигурации х(^), по отношению к которой все тела-точки имеют одинаковые реакции. Чтобы убедиться в наличии изоморфизма каждой пары тел-точек, может оказаться необходимым перед началом эксперимента разрезать (мысленно, конечно) тело на небольшие куски и переводить каждый кусок порознь в соответствующую конфигурацию. Эти куски не обязательно должны подходить друг к другу таким образом, чтобы из них можно было образовать конфигурацию всего тела SL

В том частном случае, когда изоморфизм всех точек единообразного тела может быть установлен с помощью одной отсчетной конфигурации х, тело называется однородным. Реакция ©х по отношению к этой специальной конфигурации х не зависит от X, так что это определение однородности на основе понятия материального изоморфизма эквивалентно тому, которое мы уже ввели ранее в § 9.

Каждое однородное тело едйнообразно, но обратное неверно. Тела единообразные, но неоднородные соответствуют, по-види- мому, тому, что в физике называют телами с «дефектами > ц

«дислокациями». Далее в этой книге мы будем рассматривать только однородные тела *).

Как мы убедимся в следующем параграфе, понятие материального изоморфизма можно использовать гораздо шире, нежели просто для определения однородности.

. Группа равноправности

Каждая точка) X тела ^ тривиальным образом материально изоморфна самой себе, но может существовать и нетривиальный изоморфизм точки X с самой собой. Мы будем исследовать' эту возможность с помощью некоторой произвольно выбранной отсчетной конфигурации хь и поскольку мы сейчас будем рассматривать лишь одно-единственное тело-точку X, мы не будем указывать ее в обозначениях. Из (IV. 11-1) получаем условие изоморфизма

®х, (F') = ®„ (Ff). (IV. 12-1)

Если нам удастся найти такую конфигурацию х2, отличную от хь что условие (1) выполняется для всех F(, то мы тем самым покажем, что реакция данного тела-точки X при деформациях относительно двух различных конфигураций Xj и х2 одна и та же. То есть, если пользоваться представлением об идеальных экспериментах, которое мы время от времени привлекаем, чтобы сделать наглядными теоретические утверждения, никакой эксперимент над частью тела ^ вблизи X не может различить Xi и х2. В этом случае мы говорим, что отсчетные конфигурации Xi и х2 равноправны) в точке X.

По самому их определению отображения, преобразующие одну из равноправных конфигураций в другую, образуют группу, которая определяется свойствами реакции ®». Таким образом, эта группа определяется, с одной стороны, определяющим соотношением в точке X и, с" другой стороны, заданием какой- нибудь одной (любой) из конфигураций х, которые переводятся друг в друга преобразованием из этой группы. Выбрав другую конфигурацию х, мы придем, вообще говоря, к другой группе отображений. Было бы естественно назвать группу, определяемую О», группой равноправности материала по отношению к х в точке X, однако это название (или равнозначное название

*) Общую теорию неоднородных единообразных тел, а также решение ряда частных задач можно найти в книге W. Noll, R. A. Toupin, С.-С. Wang, Continuum theory of inhomogeneities in simple bodies, New York, Springer, 1968.

«группа изотропии» ) обычно дают группе ^ градиентов таких отображений. Что эти градиенты тоже образуют группу, на сей раз по отношению к тензорному умножению, очевидно в силу правила композиции градиентов. (П.7-5). Поскольку конфигурации х, преобразуемые друг в друге элементами группы равноправности, имеют одинаковую плотность, градиенты этих соображений ввиду (П.5-8)з унимодулярны: detVX=±l. Таким образом, группа равноправности ^х конфигурации х в точке X —это подгруппа унимодулярной группы и

^С«,• (IV. 12-2)

состоящая из градиентов всех отображений, которые переводят х в равноправные конфигурации, а именно в другие отсчетные конфигурации, неотличимые от х- по результатам измерения напряжений, возникающих при деформации х.

Подставляя в (1) соотношение (IV. 3-3), мы находим, что элементы группы равноправности у„ — это унимодулярные тен-.. зоры Н, обладающие тем свойством, что для всех невырожденных тензорных предысторий F(•

®X(F'H) = @X(F'),(IV. 12-3)

и что, обратно, любой такой тензор Н является элементом группы ух.■

Упражнение IV. 12.1. Исходя непосредственно из соотношения (3), проверить тот факт, что множестно удовлетворяющих ему тензоров Н образует группу.•

В качестве части определения группы равноправности мы потребовали, чтобы элементы ее были унимодулярны. Мы сделали так, имея в виду последующие приложения, а не какие-либо возражения математического характера против более общих изоморфизмов. Рассматривая соотношение (3) для предыстории деформации, Е(/)ев1, соответствующей покою, мы видим, что если Н е ^,, то ®х ((Н”)') = ®х (19 для любых п — 1, 2, 3, .... где (Н«)| — предыстория постоянного тензора Н", а 1'—предыстория единичного тензора 1. Если | d$t Н | < 1, то этот результат и соотношение (11.5-4) показывают, что мы можем найти конфигурацию со сколь угодно большой плотностью, в которых материал можно удерживать в покое неограниченно долго при точно таких же напряжениях, какие требуются для поддержания, равновесия в конфигурации х. Если | det Н | > 1, то то же самое можно сказать относительно конфигураций с произвольно малой плотностью. Мате-

риалы с такими свойствами были бы довольно странными. В частности, к такому классу материалов не относится никакая эйлерова жидкость, для которой функция плотность — давление допускает обращение. В этой книге мы просто оставим вне поля зрения все Н, которые .удовлетворяют соотношению (3) и не являются унимодулярными. В то же время сделанные выше замечания могли бы послужить основанием для того, чтобы потребовать в качестве части определения простого материала, чтобы при соответствующих нм ®х уравнение (3) не допускало неунимодулярных решений1).

Элементы Н группы ух не обязаны быть ортогональными тензорами, хотя, конечно, могут быть таковыми. Поскольку 1 е^ для любой материальной точки и любой отсчетной конфигурации х, по крайней мере один из элементов группы ^х всегда ортогонален. Если ортогональный тензор Q е ух, то и QTe^x, поскольку ^ — группа; далее, QFf пробегает все невырожденные тензорные предыстории, когда их пробегает Ff. Поэтому, если H=Q, то соотношение (3) эквивалентно соотношению

®х (QW) = (QFf)-(IV. 12-4)

Возьмем в условии (IV. 5-2), которое выражает принцип независимости от системы отсчета, частную предысторию Q<== = Q(/) = Q. Это дает

®х (QF')= (Ж (F() QT.(IV. 12-5)

Последнее соотношение справедливо для всех Ff и всех ортогональных тензоров Q, тогда как соотношение (4) — только для тех Q, которые принадлежат ух. Комбинируя эти' два соотношения, получаем в качестве необходимого условия, которому должны удовлетворять все ортогональные элементы группы £„ соотношение'

Фж (QF'QT) = Q®x (Ff) QT.(IV. 12-6)

Упражнение - IV. 12.2. Доказать, что, обратно, если Q удовлетворяет соотношению (6), то Q е ух.

Таким образом, (6) представляет собой необходимое и достаточное условие принадлежности ортогонального тензора Q группе " равноправности.•'

Из (6) видно, что — 1 е ^х для всех материалов и всех х. Поскольку тензор —1 есть центральная инверсия, он не соответствует никакой физически осуществимой деформации; он просто выражает инвариантность свойств материала относи* тельно отражений отсчетной конфигурации). Поскольку — 1 е^, а ух — группа, то — НеухОН е^х. Таким образом, ух можно представить как прямое" произведение тривиальной группы, состоящей из 1 и —1, на группу ^+, все элементы которой имеют определитель 4-1:

ух={1, -1).®у + ,ух={1, -1).®у + ,(IV; 12-7)(IV; 12-7)

ух={1, -1).®у + ,

ух={1, -1).®у + ,

(IV; 12-7)

(IV; 12-7)

причем только элементы группы у+ соответствуют реально осуществимым деформациям. Собственно говоря, лишь те деформации х, градиенты которых являются элементами группы ^+, а не вообще элементами группы ух, и могут быть обнаружены экспериментально, однако формально удобнее включать в рассмотрение и тривиальную центральную инверсию и оперировать с целой группой ^х. Мы показали, таким образом, что {1, —1} —

это наименьшая возможная группа равноправности:

{1. -Vc^c».{1. -Vc^c».(IV. 12-8)(IV. 12-8)

{1. -Vc^c».

{1. -Vc^c».

(IV. 12-8)

(IV. 12-8)

Приведенные выше построения и результаты в этой их абстрактной форме принадлежат Ноллу, обобщившему более ранние и более частные понятия и результаты.

Любая подгруппа унимодулярной группы может быть группой равноправности материальной точки. Можно построить бесконечно много функций реакции®, соответствующих произвольной заданной унимодулярной подгруппе /, точнее, можно записать® в некоторой приведенной форме, не зависимой от системы отсчета и автоматически отвечающей всем материалам, имеющим данную группу равноправности, и только им). В последующих параграфах мы будем рассматривать только те у, которые чем-либо примечательны либо ведут к особенно простым представлениям для ®. В частности, мы воспользуемся развитым здесь аппаратом для того, чтобы определить понятия «изотропного тела», «твердого тела», «жидкости».

. Сопоставление между собой групп равноправности

■ . по отношению к различным конфигурациям

Группа равноправности ух в заданной материальной точке/ равно как и реакция 65» рассматриваемого материала, зависят от выбора отсчетной конфигурации х, Поскольку реакция ®К1 определяет реакцию ®х, для всех х2, то же самое должно быть справедливо и относительно ^ и ^ Так это и есть, и каждая из групп определяет другую по правилу, установленному Ноллом:

= (IV. 13-1)

Чтобы вывести это правило, мы просто применим (IV. 3-3) к обеим частям соотношения (IV. 12-3), заменив предварительно в нем х на xf

^(f'HP’^iMf'P-1), (IV. 13-2)

где P = VX, а X: Xj->x2. Когда F* пробегает все невырожденные тензорные предыстории, то и РФ-1 при любом заданном невырожденном тензоре Р также пробегает все множество регулярных невырожденных предысторий. Следовательно, соотношение (2) эквивалентно соотношению

©„(^РНР-1)»®,,^), (IV. 13-3)

которое имеет вид (IV. 12-3) с х, замененным на х2. Поскольку произведение PHP-1 унимодулярно, если унимодулярно Н, то каждое решение Н уравнения (IV. 12-3) соответствует унимо- дуляряому решению PHP-1 уравнения (3), и обратно. Правило (1) — сжатая запись этого факта. .

Тривиальным следствием соотношения (IV. 12.1) [или, если угодно, (1)] является то, что если хь и х2 равноправны, то они имеют одинаковые группы равноправности. '

Хотя элементы групп ^Х[ и ^Xj — унимодулярные тензоры, сами отсчетные конфигурации х, и х2 не обязательно должны иметь одинаковые плотности. В частности, если мы допустим, что х2 получается из Xj объемным расширением, то Р = КТ, где К Ф 0, так что Р—* = АГ—11, и из (1) следует, что /Xj = ^K. Таким образом, группа равноправности не. меняется при объемном расширении.

В соответствии с соотношением (1) можно ожидать, что, какова бы ни была группа ^Х(, при некотором выборе хг мы получим отличную от нее группу равноправности ^Xj. Таким образом, понятие равноправности является относительным, зави-

сящим от выбора отсчетной конфигурации. Возможно, однако, что ух = ^х при любом выборе xi и хг. В этом случае мы будем говорить, что материал в точке X является эгалитарным: никакая деформация не может уменьшить или расширить его группу равноправности. Достаточно одного взгляда на (1), чтобы найти две группы, соответствующие эгалитарным материалам:■

/ = {1, —1) или 9 = и.(IV. 13-4)

Согласно известной теореме теории групп1), унимодулярная группа является «простой». Это означает, что уравнение

^=Р^Р-1 VPe«(IV. 13-5)

не имеет других решений у, кроме тривиальных. Таким образом, группы (4) — единственно возможные для эгалитарных материалов. В § 16 мы познакомимся с одним важным следствием этого факта. Здесь же мы лишь отметим, что сам по себе этот факт неудивителен, и о нем легко можно было бы догадаться исходя из нашего физического опыта, поскольку этот факт означает, что лишь в материалах, для которых имеют место одни только тривиальные эквивалентности реакций либо же вообще все возможные эквивалентности, никакая деформация не может ни создать новых эквивалентностей, ни нарушить старые.

Изотропные материалы

Матерал изотропен, если его можно перевести в конфигурацию, никакой поворот которой не может быть обнаружен экспериментально. Рассмотрим некоторую определенную материальную точку X и дадим следующее формальное"

Определение (Коши, Нолл). Материал изотропен, если существует такая отсчетная конфигурация х, что '

^=3»,(IV. 14-1)

где о — полная ортогональная группа. Такая конфигурация х называется н е и с к аж е н н о й. '

Согласно этому определению любая ортогональная деформация конфигурации х переводит ее в равноправную. Из правила Нолла (IV. 13-1) видно, что для других конфигураций х' группа равноправности yv не обязательно должна содержать о. Иными словами, повороты конфигурации х' могут, вообще говоря, быть

’) См., например, Ж. Дьёдонне, Геометрия классических групп («Мир», 1974), гл. II, §2.

обнаружены, в отличие от поворотов неискаженной конфигурации х. Конечно, то же самое правило показывает, что ортогональная деформация ■) переводит одну неискаженную конфигурацию изотропного материала в другую, — факт, который является просто отражением определения изотропного материала, — и показывает сверх того, что изотропный материал имеет бесконечно много неискаженных конфигураций. '

Для изотропного материала соотношение (IV. 12-6) превращается из уравнения, которое надо разрешить относительно Q, в тождество, которому, удовлетворяют все Q; равным образом соотношению (IV. 12-3) удовлетворяют все ортогональные тензоры Н. В силу этого последнего соотношения значение Т не изменится, если мы заменим F* на F*Q, где Q — любой постоянный ортогональный тензор. В частности, мы можем заменить F* на F(RT, не изменив значения Т. Применим это преобразование к определяющему соотношению в приведенной форме (IV.5-15). При этом преобразовании F заменяется на FRT, т. е. RU заменяется на RURT. Это последнее произведение является положительно определенным и симметричным, и потому в его полярном разложении множитель, отвечающий повороту, равен 1. При этом С заменяется на RCRT, т. е. в силу (П.9-5)5 на В и в силу (11.9-10) -и (IV. 5-10) (C<)R заменяется на С$. Таким образом, из (IV. 5-15) в качестве приведенной формы Нолла определяющего соотношения изотропного материала получаем соотношение

Т = 91[С$;В], (IV. 14-2)

в которое, как и следовало ожидать, поворот не входит вовсе.

Далее, если Fz заменить на QFZQT, то, согласно (IV. 12-6), при произвольном Q тензор напряжений Т заменится на QTQT. При этой замене Ct и В, как легко убедиться, используя (II. 9-10) и (II. 9-5), заменятся на QC<(s)QT и QBQT. Таким образом, отображение 91 в (2) должно удовлетворять тождеству

9l[QCtQT; QBQT] = Q9i[Ct; B]QT (IV. 14-3)

для всякого ортогонального тензора Q, всякой положительно определенной симметричной тензорной предыстории С/ и всякого положительно определенного симметричного тензора В.

Отображение, удовлетворяющее этому требованию, называется изотропным. Таким образом, понятие изотропного отображения служит обобщением понятия изотропной функции (см.

') То есть деформация, градиент которой есть ортогональный тензор.— Прим. ред.

соотношение (IV. 4-9)). Обратно, если отображение 91 удовлетворяет тождеству (3), то соотношение. (2) есть определяющее соотношение изотропного простого материала, отнесенное к неискаженной конфигурации. Если используется отсчетная конфигурация, не являющаяся неискаженной, то уравнение состояния изотропного материала не может иметь вида (2), и в общем случае не выделяется сколько-нибудь заметной простотой.

Упражнение IV. 14.1. Проверить последовательно все шаги намеченного выше доказательства соотношений (2) и (3).

Соотношение (J) служит формальным воплощением естественного представления об изотропии, но оно выглядит более общим, чем есть на самом деле. Согласно одной из теорем теории групп, ортогональная группа является максимальной подгруппой унимодулярной группы1). Это означает, что если ^ — группа, удовлетворяющая условию о С: у ст и, то

либо у = о, либо у = «. (IV. 14-4) Таким образом, группа равноправности изотропного материала— это либо ортогональная группа, либо вся унимодулярная группа.

■ § 15. Твердые тела

Материал рассматривают как «твердый», если он обладает некоторой предпочтительной конфигурацией, в том смысле, что любое изменение его формы относительно этой конфигурации изменяет реакцию материала по крайней мере на некоторые из возможных последующих деформаций. Изменение формы представляет собой неортогональную деформацию. Таким образом, твердое тело обладает такой конфигурацией, по отношению к которой каждая неортогональная деформация поддается обнаружению с помощью некоторого последующего эксперимента. Таким образом, мы даем следующее формальное

Определение (Нолл). Материал называется твердым, если существует такая отсчетная конфигурация х, что ' ■

ухсо; (IV. 15-1)

такая конфигурация называется яе искаженной.

Согласно этому определению, никакая неортогональная деформация не принадлежит к группе равноправности ^х, если х — неискаженная конфигурация.

’) См., например, W. Noll, Proof of the maximally of the orthogonal group in the unimodular group, Arch. Rational Meeh. Anal., 18 (1965), 100—102.

Например, тверд материал, для которого /={1, — 1). Такой материал называется триклинным; он представляет собой пример кристаллического твердого тела в классическом смысле слова. Все классические кристаллографические группы, если их дополнить так, чтобы они включали преобразование — 1, соответствуют твердым телам. То же относится и к группам, определяющим «трансверсально изотропные» и «ортотропные» материалы, и ко многим другим.

Для твердых тел не было найдено никакой особенно простой формы определяющего соотношения.

Изотропное твердое тело — это, конечно, материал, который одновременно тверд и изотропен. Оба эти качества были определены в терминах существования некоторых специальных отсчетных конфигураций, каждую из которых мы назвали «неискаженной». Будем обозначать через х ту из них, которая используется при установлении «изотропности», а через х— ту, которая используется при определении «твердости», так что

(IV. 15-2)

' Связь между этими отсчетными конфигурациями раскрывается следующей теоремой..

Теорема 1.■

=(IV. 15-3)

Доказательство. Согласно последнему утверждению § 14, Либо ^ = о, либо ^ =«. Если 9 =«, тов силу (IV. 13-1) у-=и, поскольку (2)г противоречит этому заключению, нам остается лишь первая возможность: ^х = о. Следовательно, х представляет собой неискаженную конфигурацию и для твердого_тела.

По правилу Нолла (IV. 13-1) существует такое X: х-*х, что ^„=РоР-1 где P = VX. Если мы сможем найти такой ортогональный тензор R, что ^_ = RoR-1, то мы докажем теорему, поскольку единственной ортогонально сопряженной к о группой является сама группа о. То, что такое R существует, вытекает из более общего результата, сформулированного в следующем упражнении. ■

Упражнение IV. 15.1 (Колеман & Нолл). Пусть х и х* — две неискаженные конфигурации твердого тела и Р = УХ, где X: х->х*. Пусть, далее, полярное разложение Р имеет вид Р = RoUo. и пусть Q* и Q - элементы групп ух. и ух, соответствующие друг другу по правилу Нолла. Доказать, что..

Q* = R0QRT Uq = QtU0Q.■ (IV. 15-4)

Следовательно,

^х» = Ro^Ro *• (IV*. 1^-5)

т. е, группа ух» является ортогонально сопряженной к группе ух.

Возвращаясь к рассмотрению твердого тела в общем случае, заметим, что его группой равноправности по отношению к неискаженной конфигурации может быть любая подгруппа ортогональной группы. "

Однако заметное внимание привлекли лишь отдельные частные виды анизотропии. Это те виды, которые соответствуют тридцати двум кристаллическим классам, выделяемым по свойствам оптической симметрии, и еще два вида, отвечающих некоторым полученным искусственным путем материалам. Чтобы определить эти специальные симметрии, условимся обозначать через R, правый поворот на угол ф относительно оси, направленной вдоль вектора а, выберем какой-нибудь ортонормированный базис (i, j, к) и положим р = т=- (1 + j + к). В силу (IV. 12-7) нам достаточно лишь задать груп-

]/3 •

пу <р представляющую собой группу вращений.

Материал, для которого ^ + состоит из тензора 1 н всех вращений R^ при фиксированном к и всевозможных углах ф, называется трансверсально изотропным по отношению к к, .,

"Тридцать два кристаллических класса в нашей, чисто механической теории сводятся к одиннадцати. Их определения со стандартными кристаллографическими названиями приведены в следующей таблице. Направления единичных векторов 1, j, к называются кристаллографическими осями.

Наконец, материал называется ортотропным, если в „ входят отражения — Rp, — R”, — Rp Поскольку R”R” = Rj и (Rj2 / = R”, кристаллы, имеющие в таблице номера 3, 5, 6 и 7, являются ортотропными. В этой книге мы не будем иметь случая рассматривать кристаллы или другие материалы со специальными типами симметрии, кроме, конечно, изотропных материалов. Приведенные только что определения призваны лишь Помочь читателю донять, о чем идет речь, если соответствующие термины встретятся ему где- нибудь в другом месте. • '

Вновь возвращаясь к рассмотрению твердых тел в общем случае, отметим прежде всего, что лишь отдельные специальные конфигурации являются неискаженными. Действительно, если конфигурация х неискаженная, то, полагая P = VX, где X: х-*х*, мы имеем по правилу Нолла

^ = Р^Р'*. ^^о. (IV. 15-6)

Если Q — ортогональный тензор, то тензор PQP-1, вообще говоря, будет неортогональным. Таким образом, далеко не все конфигурации неискаженные.

Упражнение IV. 15.2. Применяя соотношение (5), показать, что группы равноправности, соответствующие различным неискаженным конфигурациям некоторого твердого тела, в общем случае различны и что неискаженные конфигурации анизотропного твердого тела в общем случае неравноправны.

7 Трусделл

Поря-

Кристаллический класс

Порождающие элементы ')

цок Груп-

группы у*

пы^

1

Триклинная система •

все классы

1

2

2

Моноклинная система

все классы

«2

4

3

Ромбическая система

все классы

8

4

Тетрагональная бистема

—

тетрагонально-дисфеиоидальная 1 тетрагонально-пирамидальная

8

тетрагонально-бипирамидальная J

5

тетрагонально-скаленоэдриче-

ская

дитетрагонально-пирамидальная

1

тетрагона льно-трапецоэдриче- ская

дитетрагональио-бипирамидаль-

Rk \ Ri

16

ная

6

Кубическая система

тетартоэдрическая |

24

диплоидальиаяJ

7

гексатетраэдрическая 1

1-11

гироэдрическая?

Vя Тл "о" Я

48

гексоктаэдрическая J

8

Гексагональная система

тригонально-пирамидальная |

тя

6

ромбоэдрическая1

Rk

9

дитригонально-пйрамидальная 1

, 2

тригоиальио-трвпецоэдрическая 1

R^, R? ”

12

гексагонально-скаленоэдрическая J

••'к

10

дитригоиально-бипирамидальная ]

гексагонально-пирамидальная >

12

гексагональио-бипирамидальиая J

И

дитригоиально-бипирамидальная дигексагоиально-пирамида льная гексагонально-трапецоэдриче-

ская

дигекс агоиально-бипирамидаль-

я?, «Iя

24

иая

‘) Элементы некоторого подмножества группы ^ называются порождающими элементами этой группы, если любой ее элемент может быть представлен в виде произведении их степеней.

Таким образом, мы можем поставить себе следующую задачу: найти максимальный класс деформаций X, которые переводят неискаженную конфигурацию х, определяемую данной группой ух, в другую неискаженную конфигурацию.

Для максимальной и минимальной групп равноправности ответ получить легко. В случае ^к= {1,—1}, как показано в § 13, все конфигурации являются неискаженными, так что все X обладают желаемым свойством. Во втором случае ответ на вопрос дает следующая . ■

Теорема 2. Для изотропного тела преобразование X переводит одну неискаженную" конфигурацию в другую тогда и только тогда, когда оно конформно'). -

Достаточность этого условия тривиально следует из теоремы, установленной в § 13. Необходимость же'Вытекает из следующей более общей теоремы.

Теорема 3 (Колеман & Нолл). Деформация X переводит одну неискаженную конфигурацию х твердого тела в другую неискаженную конфигурацию в том и только в том случае, когда характеристические пространства правого тензора растяжений Uo градиента деформации VX инвариантны относительно всех поворотов, входящих в группу равноправности ^х, .

Доказательство. В силу (4)2 любой элемент Q группы ^х коммутирует с Uo- Согласно одной теореме алгебры2) тензор Q обладает этим свойством тогда и только тогда, когда он оставляет характеристические пространства Uo инвариантными. ■

Упражнение IV. 15.3. Получить утверждение о достаточности в теореме 2 как следствие теоремы 3. •

Покажем теперь, как воспользоваться теоремой 3 для доказательства необходимости в теореме 2. Из теоремы 1 мы знаем, что если конфигурация х неискаженная, то ^х = о. Если 1 переводит х в другую неискаженную конфигурацию х, то по теореме 3 характеристические пространства тензора Uo — правого тензора растяжения, соответствующего градиенту деформации VX,— должны оставаться инвариантными при воздействии любого ортогонального тензора. Поэтому характеристическим пространством для Uo может быть только само У. Следовательно,

собственные числа тензора Uo все равны между собой, так что Uo = /С1 и, следовательно, VI = /CR.

Теорему 3 саму можно использовать для определения наиболее общего вида тензора Uo, совместимого с данной группой ^ в случаях, отличных от уже рассмотренных случаев изотропного и триклинного тел. Результаты для кристаллических твердых тел показаны в следующей таблице, принадлежащей Колеману и Ноллу. Числа в скобках — это номера специальных случаев аллотропии из таблицы на стр. 194.

Тип аллотропии

Ограничения на и0

Триклинная система (1)

никаких ограничений

Моноклинная система (2)

к — собственный вектор для Uo

Ромбическая система (3)

i, j, k — собственные векторы для Uo

Тетрагональная система (4, 5)

Гексагональная система (8— 11)

Трансверсальная изотропия

Uo = Л1 + Bk®k

Кубическая система (6, 7)

и0=Л1

§16. Жидкости

С жидкостями связаны различные физические представления. Одно из них состоит в том, что жидкость — это субстанция, которая может течь. Сам термин «течь» расплывчат. Одно из его значений — это просто деформироваться под напряжением; здесь жидкость ничем не отличается от любого другого не аб' солютно твердого материала. Другое значение связано с представлением о том, что действие постоянного напряжения приводит к постоянной скорости; это значение представляется весьма частным и применимым лишь с трудом и лишь к специальным видам течения. Еще одно значение — это неспособность находиться в равновесии под действием касательных напряжений. Формально в рамках теории простых материалов такое определение выглядело бы так:

Здесь $(!') = О, где 1* — предыстория, значения которой для всех моментов времени равны 1. Поскольку материал, определенный таким образом, может иметь какую угодно группу равноправности, включая и ту, которая была .уже, применена при определении твердого тела, это определение само по себе не годится в качестве критерия, позволяющего различить жидкость и твердое тело по их обычным реакциям. Наконец, жидкость рассматривается еще как материал, «не имеющий предпочтительной ориентации». Используя понятие о группах равноправности, мы можем реализовать эту несколько смутную идею следующим образом.

Определение. Жидкость есть эгалитарный материал, не являющийся твердым телом.

В § 13 мы показали, что для эгалитарного материала либо ^ —(1, — 1}, либо ^ = а. Первый случай, согласно данному в § 15 определению, соответствует твердому телу. Тем самым установлена следующая■

Теорема. Материал представляет собой жидкость в том и только в том случае, когда

Ух = «(IV. 16-2)

для всех х.

Из этой теоремы, а также из некоторых рассмотренных ранее теорем и определений вытекает ряд тривиальных следствий:

Каждая жидкость изотропна."

Любая конфигурация жидкости является неискаженной.

Материал эгалитарен тогда и только тогда, когда он представляет собой либо жидкость, либо триклинное твердое тело.

Материал изотропен в том и только в том случае, когда он представляет собой либо жидкость, либо изотропное твердое тело.’

Условие (2) было выдвинуто в качестве определения жидкости Ноллом, который, основываясь на этом определении, доказал следующую теорему.

Фундаментальная теорема о жидкостях. Всякая жидкость имеет определяющее соотношение вида '

Т = Я(С*;р),(IV. 16-3)

причем

St (QCiQT; р) = QSt (d; р) QT, (IV. 16-4)

и каждое такое изотропное отображение предысторий положительно определенных симметричных тензоров на симметричные

тензоры определяет некоторую жидкость. Сверх того,

®(f; р) = -р(р)1.(IV. 16-5)

Этот последний результат означает, что все жидкости в состоянии равновесия подчиняются законам эйлеровой гидростатики, согласно которым напряжения сводятся к одному гидростатическому давлению, зависящему только от плотности. В частности, для жидкости характерно явление «течения» в одном из указанных выше общепринятых смыслов, а именно: находясь в состоянйи покоя во все времена, в прошлом и в настоящий моменты, она ни в какой конфигурации не может выдерживать никаких сдвигающих напряжений. Как мы показали в начале этого параграфа, обратное неверно: материал, способный «течь» в этом смысле, может иметь какую угодно группу равноправности.'

Доказательство теоремы Нолла. Поскольку жидкость изотропна и любая ее конфигурация является неискаженной, мы можем воспользоваться соотношением (IV. 14-2) при любой отсчетной конфигурации х. Так как для жидкости тензор Т не может измениться при статической деформации из одной конфигурации в другую с той же плотностью, то зависимость от В (/) в соотношении (IV- 14-2) должна сводиться к зависимости от detB(0, или, что равнозначно, к зависимости от р. Тем самым установлена необходимость соотношения (3). Далее, реакциям должна удовлетворять соотношению (IV. 14-3), которое теперь свелось к (4). Для частного случая предыстории покоя С* = 1\ так что (4) дает

•Т = St (V; р) = Q® (V; р) QT = QTQT.(IV. 16-6)

Таким образом, в жидкости, которая всегда пребывала в покое, Т коммутирует с любым ортогональным тензором.

- Упражнение IV. 16.1. Показать, что если симметричный тензор S удовлетворяет условию QSQT=S VQ, то S = ^l.

Из результата этого упражнения следует необходимость* условия (5).

Упражнение IV. 16.2. Показать, что нз (3) и (4) следует, что у, = и для любых X.

Этими упражнениями доказательство теоремы Нолла завершено. ■'

Мы можем выразить полученные результаты следующим образом: определяющее соотношение для жидкости имеет вид

Т=-р(р)1+$(С,-1; р), (IV. 16-7)

121

где функционал 6 является изотропным и обращается в нуль, когда его аргументом является предыстория 0\ значение которой всегда равно 0.

Жидкость может реагировать на всю предысторию ее деформации в целом,, однако ее реакция не может быть различной в различных конфигурациях с одинаковой плотностью. Эти два внешне противоречивых свойства — способность помнить все прошлое и неспособность отличать одну конфигурацию от другой — уживаются в жидкости благодаря тому, что она реагирует на прошлое лишь постольку, поскольку оно отличается от постоянно меняющегося настоящего.

Жидкие кристаллы

Чтобы исчерпать все возможные типы простых материалов, мы будем любой материал, не являющийся твердым телом, называть жидким кристаллом. Для жидкого кристалла, следовательно, не существует такой отсчетной конфигурации х, что ^хс<>. Таким образом, группа равноправности по отношению к каждой отсчетной конфигурации содержит некоторые неортогональные элементы, т. е. всегда найдется изменение формы жидкого кристалла, которое нельзя обнаружить никаким экспериментом. В этом отношении .жидкий кристалл подобен жидкости, для которой никакие изменения формы без изменения плотности не поддаются обнаружению. Поскольку, однако, невозможно, чтобы ^х дэ о (иначе жидкий кристалл фактически’ был бы жидкостью), для неизотропного жидкого кристалла существуют также не сводящиеся к тождественному преобразованию повороты, которые поддаются обнаружению. Этим своим свойством жидкие кристаллы напоминают анизотропные твердые тела. -

Данное нами определение и результаты предыдущего параграфа показывают, что жидкий кристалл является жидкостью в том и только в том случае, когда он изотропен.

В этой книге мы не -будем интересоваться специальными свойствами жидких кристаллов *). . - .

’) Группы равноправности некоторых жидких кристаллов были определены и изучены Колеманом и Ваном (В. D. Coleman, Simple liquid crystals, Arch. Rational Meeh. Anal., 20 (1965), 41—58; C.-C. Wang, A general theory of subfluids, Arch. Rational Meeh. Anal., 20 (1965), 1—40).

He следует путать жидкие кристаллы, как они определены здесь, с «жидкими кристаллами» Эриксена, которые не являются простыми материалами. См. готовящуюся к публикации монографию Лесли (F, М. Leslie),

Движения с постоянными предысториями главныхотносительных растяжений

Механика сплошной среды (даже механика одних только простых материалов) охватывает столь обширный диапазон возможных типов поведения материалов, что мало что можно сказать, не опускаясь до частных случаев. В этой сложности механики сплошной среды отражается сложность самой природы, поскольку, лишь выделяя некоторые частные признаки явления, мы получаем возможность хотя бы дать ему название, не говоря уж о том, чтобы его описать. В механике простых материалов оказываются плодотворными два типа специализации: -

специализация материала,

специализация движения, испытываемого телом.

В непосредственно предшествующих данному параграфах мы привели примеры первой специализации. Определяющие соотношения жидкости или изотропного твердого тела очевидным образом проще общего определяющего соотношения, и мы можем ожидать, что решения задач для этих двух классов материалов проще, чем для анизотропных твердых тел или жидких кристаллов. За последнее столетие механика сплошной среды пошла значительно дальше по пути этой специализации и ограничила свое внимание материалами, определяемыми одной или двумя константами. В результате облегчилось решение широкого класса краевых задач — правда, облегчилось обманчиво, поскольку лишь изредка можно свести свойства естественных тел к одному или двум числам, помещаемым в справочниках.

Пример второго упрощения мы привели в § 9 и 10, где мы убедились, что можем определить раз и навсегда все однородные деформации, которые могут быть вызваны в произвольном однородном простом теле приложением на его границе подходящих усилий. Теперь мы определим и проанализируем некоторые специальные виды движений, в которых эффекты памяти, для простых материалов и для общих движений весьма разнообразные и сложные, не могут особенно развернуться, поскольку в таких движениях и запоминать-то почти нечего.

Рассмотрим, например, определяющее соотношение простой жидкости

Т = ^(С';Р).(IV. 16-3)

В том частном случае, когда р = const и С< есть одна и та же функция от s для всех t, напряжение оказывается для данной частицы постоянным во времени. Тело могло испытывать деформацию на протяжении всего своего прошлого, но когда каждое тело-точка, так сказать, оглядывается назад, вся после-

довательность прошлых деформаций по отношению к его нынешней конфигурации «представляется» ему не меняющейся.

Далее, поскольку принцип материальной независимости от системы отсчета (§ 5) запрещает появление прошлых вращений в определяющем соотношении и явным образом учитывает влияние текущего вращения, мы должны иметь возможность почти в той же степени упростить определяющее соотношение и в том несколько более общем случае, когда для некоторого ортогонального тензора Q(0

ti(s) = Q(/)ti(s)Q(0T, 0<s<oo. (IV. 18-1)

Здесь, конечно, Со обозначает С; при t = 0 . и Q(0)= 1. Такие движения были введены в рассмотрение Колеманом и были названы им материально застойными (substantially stagnant). В таком движении наблюдатель, расположившийся на движущейся частице, может выбрать свою систему отсчета таким образом, чтобы видеть за собой всегда одну и ту же предысторию деформации по отношению к текущей конфигурации. Собственные числа тензора C#(s) те же, что и у Co(s), хотя главные оси одного тензора могут произвольным образом поворачиваться относительно осей другого. Таким образом, хотя главные относительные растяжения и^ могут изменяться со временем /, это происходит таким образом, что их предыстории вплоть до момента / остаются неизменными:

^уу = / = 1, 2, 3, - оо < / < ОО. (IV. 18-2)

Согласно (2), материально застойные движения могут быть по-другому определены как движения с постоянными предысториями относительных главных растяжений.

Поскольку в формулировке этого свойства не используется никакой фиксированной отсчетной конфигурации, оно относится к самому движению, а не к какому-либо era описанию в виде некоторой деформации. Более того, в силу результата, полученного в упр. 1.11.2, это свойство является независимым от системы отсчета.

Теперь мы обратимся к чистой кинематике движений с постоянной предысторией главных относительных растяжений. Все такие движения характеризует следующая

Фундаментальная теорема (Нолл). Движение имеет постоянную предысторию главных относительных растяжений в том и только в том случае, когда существуют такие ортогональный тензор Q(i), скаляр х и постоянный тензор Мо, что

(IV. 18-3)(IV. 18-3)F0(t) = Q(t)^n»,Q(O)=l,|No|=L

(IV. 18-3)

(IV. 18-3)

■ Доказательство. Пусть, имеет место (1). Положим

H(s) = Со (- s) = Q Vf Ct (t - s) Q(0- (IV. 18-4)

В силу (II. 8-8)F((t) = Fo(t)Fo(O-1, так что

Q(0H(s)Q(0T = Cf(/-s) =

= [FoWT1 Со (/-s)F0 (/)"' =

-[FoWT'Hts-flFo (O'1. (IV. 18-5) Если положить

E(O = Q(OTFo(O,(IV. 18-6)

то (5) примет вид разностного уравнения

H(s-0 = E(0tH(s)E(0.(IV. 18-7)

Чтобы найти решение Н ($), продифференцируем (7) по t и доложим / = 0. Мы получим дифференциальное уравнение первого порядка.

— Н (s) = МТН (s) + Н (s) М, ' (IV. 18-8) где М = Е(0) и где точка означает дифференцирование по $. Единственным решением, для которого Н(0)=1, будет

■Н (s) = e~sMT6-sM. -(IV. 18-9)

Поскольку предыстории определены только для s ^ 0, последний результат установлен пока только для этой области. Тем не менее с .помощью разностного уравнения (7) можно определить Н($) также и для отрицательных $, причем из уравнения (7) видно, что Н зависит от $ аналитически. Поскольку правая часть уравнения (9) аналитична, принцип аналитического продолжения показывает, что при заданном Е(/) формула (9) дает единое решение для всех s. Подставив (9) в (7) и положив s = 0, получим.

Е (/) е-™ [Е (0 е-'м]т = 1.(IV. 18-10)

Отсюда следует, что Е (/) e~fM — ортогональный тензор, который мы обозначим через Q(0- В силу (6) имеем

Fo(O = Q(OQ(Oe<M.Fo(O = Q(OQ(Oe<M.(IV. 18-11)(IV. 18-11)

Fo(O = Q(OQ(Oe<M.

Fo(O = Q(OQ(Oe<M.

(IV. 18-11)

(IV. 18-11)

Если М = 0, то форма, предписываемая теоремой Нолла, тривиальным образом имеет место; при М^О она получится, если положить

x^l М |, N0 = 4m- (IV. 18-12)

(Из доказательства видно, что ортогональный тензор Q(0, входящий в представление (3), — это, вообще говоря, не тот же самый тензор, что входит в (1).)

Обратно, несложное вычисление показывает, что если выпол

предысториями главных относительных растяжений. ■

Упражнение IV. 18.1 (Нолл). Доказать, что в движении с предысторией главных относительных растяжений

постоянной

F< (т) = Q (т) Q (/)Т e*T-<*KN,'

(IV. 18-13)

где■'

4 N = Q (/) NgQ (/)Т, | N | = 1.

(IV. 18-14)

Кроме того, показать, что

С< (s) = е-$*мте-$хн,-

G=xN + Q(0Q(0T.

A[ = — C( (0) = x (N + NT),■'

A2 = 6/ (0) = x(NTA, + A,N) = x2 (2NTN + N2 + NT?), A3 = и (N^Aj + A2n), • • •».

A* = и (NTAfe-] + Ад—]N).

(IV. 18-15)

Здесь A*—k-й тензор Ривлина — Эриксена (11.11-17). Движение

с постоян-

няется (3), то наше движение есть движение с постоянными

ной предысторией относительных главных растяжений изохорично в том и только в том случае, когда•

• trNo=O (IV. 18-16)

и, конечно, также tr N = 0. .

Эти результаты позволяют легко продемонстрировать крайне частный характер движений с постоянными предысториями главных относительных растяжений. Он виден из следующего утверждения.

Следствие (Ван). ПредьСстория относительной деформации С{ (s) для движения с постоянной предысторией относительных главных растяжений'полностью определяется первыми тремя тензорами Ривлина — Эриксена. ■ ■

Иными словами, если даны три тензора АД/), А2(/), А3(/), то они могут быть тремя первыми тензорами Ривлина — Эриксена, соответствующими не более чем одной предыстории относительной деформации С; ($), удовлетворяющей условию (1).

Доказательство основано на одной простой лемме. Пусть S — симметричный тензор, a W — антисимметричный тензор в трехмерном пространстве. Без потери общности можно считать

матрицы этих тензоров имеющими вид

[S] =

а

0

0

0 ь

0

0 0 с

, [W] =

0

— X

— у

X у 0 z -z 0

. (IV. 18-17)

Тогда

0

(а-

Ь)х

(а — с) у

[SW-WS]

=

(а

(а

— 6) X

— с) у {Ь —

)

-c)z

(6 — с) Z

0

|. (IV. 18-18)

Следовательно, S и W коммутируют б том и только в том случае, когда.-

(а —6)х = 0, (а — с)у = 0, (6 — c)z = 0. (IV. 18-19)

Поэтому, если S имеет различные собственные числа, то он не

коммутирует ни с одним антисимметричным тензором, отличным от 0. Если а = b #= с, то S коммутирует с W тогда и только тогда, когда у = z = 0. Если а = b = с, то S коммутирует со всеми W.

Теперь докажем следствие Вана, разобрав ряд отдельных случаев. Допустим сперва, что собственные числа тензора А] различны. Если тензорам Aj, Аг, А3 могут соответствовать два

и N, чтои N, чтодвижения с постоянными предысториями главных относительных растяжений, то в силу (15)4,6 существуют также тензоры N

и N, что

и N, что

(IV. 18-20)(IV. 18-20)N + Nt = N + Nt,NtA! +AIN = NTAI +A]N.

(IV. 18-20)

(IV. 18-20)

Согласно первому из этих равенств, тензор N — N антисимметричен; согласно второму, N —N коммутирует с Ah Значит, по лемме N — N = 0.Согласно первому из этих равенств, тензор N — N антисимметричен; согласно второму, N —N коммутирует с Ah Значит, по лемме N — N = 0.Предположим теперь, что собственных числа. Тогда в базисеаПредположим теперь, что собственных числа. Тогда в базисеаAi имеет ровно два различных подходящем ортонормированномAi имеет ровно два различных подходящем ортонормированном[AJ =[AJ =00000 0а 00 b0 0а 00 bа#= Ь.а#= Ь.(IV. 18-21)(IV. 18-21)

Согласно первому из этих равенств, тензор N — N антисимметричен; согласно второму, N —N коммутирует с Ah Значит, по лемме N — N = 0.

Согласно первому из этих равенств, тензор N — N антисимметричен; согласно второму, N —N коммутирует с Ah Значит, по лемме N — N = 0.

Предположим теперь, что собственных числа. Тогда в базисе

а

Предположим теперь, что собственных числа. Тогда в базисе

а

Ai имеет ровно два различных подходящем ортонормированном

Ai имеет ровно два различных подходящем ортонормированном

[AJ =

[AJ =

0

0

0

0

0 0

а 0

0 b

0 0

а 0

0 b

а#= Ь.

а#= Ь.

(IV. 18-21)

(IV. 18-21)

Случай 1. Пусть в том же самом базисе

[А2] =[А2] =«00 о « о«00 о « о(IV. 18-22)(IV. 18-22)

[А2] =

[А2] =

«00 о « о

«00 о « о

(IV. 18-22)

(IV. 18-22)

Наиболее общий вид тензора N, удовлетворяющего условию (15)4; дается с учетом (21) формулой

У2У2(IV. 18-23)(IV. 18-23)

У

2

У

2

(IV. 18-23)

(IV. 18-23)

Ввиду (21) и (22)

(IV. 18-24)

Поскольку а =/= Ь, из (15)б и (22) следует, что

(IV. 18-25)(IV. 18-25)и = а2, v = b2, у = 0, г = 0.

(IV. 18-25)

(IV. 18-25)

Упражнение IV.18.2. Используя (23) я (25), показать, что N коммутирует с NT, и отсюда с помощью (15)], з вывести, что

(IV. 18-26)(IV. 18-26)С$ ($)=е-$А,.

(IV. 18-26)

(IV. 18-26)

Случай 2. Пусть представление (22) не имеет места. Снова, если тензорам Аь А2, А3 соответствуют два движения с постоянными предысториями главных относительных растяжений, то существуют такие N и N, что выполняется соотношение (20). Поскольку N — N — антисимметричный тензор, который коммутирует с тензором Aj, имеющим вид (21), приведенная в начале доказательства лемма показывает, что

[N — N] =[N — N] =0— х0— хх 00 00 0х 00 00 0(IV. 18-27)(IV. 18-27)Но в силу (15)8 такжеНо в силу (15)8 также

[N — N] =

[N — N] =

0

— х

0

— х

х 0

0 0

0 0

х 0

0 0

0 0

(IV. 18-27)

(IV. 18-27)

Но в силу (15)8 также

Но в силу (15)8 также

NtA2 + A2N = NTA2 + A2N, (IV. 18-28)

так что N — N коммутирует с А2.

Упражнение IV. 18.3. Учитывая, что (22) не имеет места, доказать, что N = N в случае 2. Наконец, доказать, что (26) выполняется и в случае А] = al н тем самым завершить доказательство следствия Вана. ■

Таким образом, три данных тензора А]((), А2(0, А3(() могут быть тензорами Ривлина — Эриксена, соответствующими не более чем одному движению с постоянной предысторией С< (s) главных относительных растяжений. С другой стороны, в общем случае -три произвольных симметричных тензора не являются первыми тремя тензорами Ривлина — Эриксена никакого движения вообще, не говоря уже о движениях с постоянными предысториями главных относительных растяжений, ибо эти тензоры (в общем случае) не удовлетворяют условиям совместности, выражающим тот факт, что они могут быть выведены из некоторого поля скоростей в некоторой области. Мы не будем заниматься этими условиями, поскольку нас интересует, как упростить определяющее соотношение, когда уже известно, что движение имеет такой специальный вид. ,

Теорема Нолла, очевидно, никак не связана с размерностью пространства, в то время как в следствии Вана существенно используется трехмерность.

Теорема Нолла (3) подсказывает следующее инвариантное подразделение всех движений с постоянными предысториями главных относительных растяжений на три взаимно исключающих друг друга типа:

No = O. Такие движения называются вискозиметрическими течениями.•

No = O, но No^= 0.

Тензор No не является нильпотентным ). '

Движения типов 1 и 2 являются изохорическими, поскольку tr No = 0.

Существуют интересные примеры всех трех типов движения, но чаще всего встречаются в приложениях движения простейшего типа — вискозиметрические течения-.. Мы изучим их подробнее в следующей главе. "*

Упражнение IV. 18.4. Доказать, что в произвольном движении с постоянной предысторией главных относительных растяжений

‘A2-Af = x2(NTN-NNT)(IV. 18-29)

н, следовательно, что

tr А2 = tr А2 = 2х2 (1 + tr N2).(I V. 18-30)

Таким образом, в внскозиметрическом течении

x2 = ltr A2 = ltr А2.(IV. 18-31)

Приведенная форма определяющего соотношениядля простого материала в движении с постоянной предысториейотносительных главных растяжений

В силу следствия Вана любую информацию, которую можно получить из С< (s) в движении с постоянной предысторией относительных главных растяжений, можно получить также из Ai(0, Аз (0 и А3(/). Поэтому в таких движениях любой функционал от Ct (s) равен некоторой функции от А, (/), А2(/), А3(/). Следовательно, если речь идет лишь о движениях с постоянными предысториями главных относительных растяжений, общее соотношение (IV. 5-15) может быть заменено соотношением

T(/)R = f [A,(0r, A2(/)r, A3(0r, С(<)]; (IV. 19-1)

где f— функция; обозначение SR было введено в § 4, см. (IV. 4-15). Материал, определяющее соотношение которого имеет вид (1), называется материалом дифференциального типа сложности 3 *). Согласно (1), имеет место следующая

Теорема (Ван). В классе движений с постоянными предысториями главных относительных растяжений простой материал нельзя отличить от материала дифференциального типа сложности 3. Иными словами, никакие экспериментальные результаты, полученные для движений с постоянными предысториями относительных главных растяжений, не позволяют отличить простой материал общего вида от материала дифференциального типа сложности 3.

Как мы увидим в следующем параграфе, специальные течения, чаще всего используемые для описания свойств природных жидкостей, относятся как раз к рассматриваемому в этом параграфе классу движений и, следовательно, лишь в очень ограниченной мере могут служить для изучения физических реакций этих жидкостей.

Изотропный материал дифференциального типа (см. § VI.1) называется материалом Ривлина — Эриксена. Для него соотношение (1) принимает вид

Т(0 = ПА,(0, А2(0, Аз(0, В(01, (IV. 19-2) а в случае, когда изотропный материал — жидкость,

КОр(р)1 + №(/), А2(0, А3 (0, Р), (IV. 19-3) причем в каждом из этих двух соотношений функция f изотропна в том смысле, что для всех симметричных Ац Aj, А3, В и

всех ортогональных Q

f (QAPQT, QA2Qt, QA3Qt, QBQt или p) =

= Qf(A„ A2, A3, В или p)QT. (IV. 19-4)

К этому функциональному уравнению сводится в рассматриваемой ситуации уравнение (IV. 14-3). Более того, для жидкости f (0, 0, 0, р) = 0. ■

Соответствующие определяющие соотношения для несжимаемых материалов читатель легко выпишет сам.

Эти результаты допускают двоякое истолкование. С одной стороны, они позволяют нам легко решать различные частные задачи для движений с постоянными предысториями относительных главных растяжений. Сколь бы сложной ни была реакция материала в общем случае, для этих частных движений мы можем ограничиться рассмотрением простых определяющих соотношений. С другой стороны, полученные результаты показывают нам, что наблюдения над этим классом течений не могут сказать нам особенно много о материале, поскольку подавляющая часть сложностей реакции материала не сможет проявиться..,

В § VI. 1 мы рассмотрим материалы дифференциального типа более подробно, а пока в следующей главе воспользуемся установленными сейчас результатами, чтобы получить некоторые специфические решения, относящиеся к вискозиметриче- ским течениям простых жидкостей.

По определению, в вискозиметрическом течении No = 0, так что в силу (IV. 18-14) и (IV. 18-15)

Д3 = А4= ... =0.(IV. 19-5)

Поэтому в вискозиметрическом течении простую жидкость нельзя отличить от жидкости Ривлина — Эриксена сложности 2. Это будет отправным пунктом наших исследований в следующей главе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)

NFTM, §§ 26—30.'

■ W. Noll, A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media, Arch. Rational Meeh, Anal., 2 (1958), 197—226. (Воспроизведено в «Continuum Mechanics, II. The Rational Mechanics of Materials», ed. C. Truesdell, N. Y., Gordon & Breach, 1965, и в «Continuum Theory of Inhomogeneities in Simple Bodies», N. Y., Springer, 1968.)

B. D. Coleman & W. Noll, Material symmetry and thermostatic inequalities in finite elastic deformations, Arch. Rational Meeh. Anal., 15 (1964), 87—111,

Часть 2.

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ

'Глава V

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ

Система напряжений • при внскозиметрическом течении несжимаемой жидкости

Из теорем Нолла и Вана, сформулированных и доказанных в последних двух параграфах предыдущей главы, следует, что в вискозиметрическом течении определяющее соотношение несжимаемой жидкости сводится к определяющему соотношению некоторой жидкости Ривлина — Эриксена сложности 2:

Т = -р1+0(А„ А2),(V. 1-1)

причем

. 0(QAiQt,QA2Qt) = Q0(A„ A2)QT (V. 1-2)

для всех симметричных тензоров А! и А2 и всех ортогональных тензоров Q. Кроме того, тензоры А! и А2 для вискозиметри- ческих течений имеют специальный вид, а именно

A1=x(N + Nt), A2 = 2x2NtN, А„ = 0 при п>3, (V. 1-3) где тензор N, являющийся в общем случае функцией места и времени, удовлетворяет ограничениям

N2 = 0, trN = O, | N |= 1.■ (V. 1-4)

В своих знаменитых исследованиях Ривлин нашел точные решения уравнений движения для ряда важных вискозиметри- ческих течений обширного класса нелинейных жидкостей и дал их интерпретацию. Здесь мы будем следовать более позднему и более общему изложению проблемы в целом, данному Колеманом и Ноллом. Прежде всего мы определим наиболее общее напряженное состояние, совместимое с определяющим соотношением (1) при вискозиметрическом течении, характеризуемом соотношениями (3) и (4).

Согласно (1) и (3),

T = -pl-f-f(x, N),(V.1-5)

Из формул (3) легко следует, что функциональное уравнение (2) для 0 эквивалентно следующему функциональному уравнению для f:

f(±x, ± QNQT) = Qf(x, N)QT, (V. 1-6)

где знаки <+> или «—» берутся в обоих местах одинаковыми. Обращаясь вновь к уравнению (1), мы можем следующим образом описать инвариантность, утверждаемую функциональным уравнением (6): замена х на ± х и N на ± QNQT, где Q — произвольный ортогональный тензор, приводит к замене! на QTQT.

В силу (4) мы можем выбрать такой базис, что '

ООО

[N] =[N] =1 О1 ОО ОО ОО ОО О(V. 1-7) .(V. 1-7) .

[N] =

[N] =

1 О

1 О

О О

О О

О О

О О

(V. 1-7) .

(V. 1-7) .

Базис, по отношению к которому [N] имеет такой специальный вид, в общем случае изменяется во времени и от места к месту в поле течения; он не обязательно должен быть естественным базисом какой-либо координатной системы.

Результаты, которые мы выведем, следуют из только что приведенных алгебраических формул, однако их проще усмотреть на одном частном, случае. А именно,, рассмотрим стационарное сдвиговое течение, задаваемое в подходящим образом выбранной системе прямоугольных декартовых координат компонентами скорости .-

Xi = 0, х2—-и(хх\ х3 = 0.(V. 1-8)

Упражнение V. 1.1. Показать, используя (II. 8-3) и (II. 8-5), что для течения (8)

F, (т) = 1 + (т - <) xN =- е<т—Охи,(V. 1-9)

причем N в выбранном координатном базисе имеет вид (7), а

■ и = у' (Xi).(V. 1-10)

В этом примере вискозиметрического течения частицы жидкостей движутся по прямым с постоянной скоростью, и единственная отличная от нуля главная скорость растяжения равна V2X. Принято называть х скоростью сдвига, причем не только в частном случае (10), но и для любых вискознметрических течений. Результаты, которые мы сейчас получим, справедливы для всех вискозиметрических течений, но мы воспользуемся частным случаем (8) для их описания и обоснования. '

Прежде всего следует ожидать, что отражение относительно плоскости течения не меняет систему. напряжений. Чтобы убе-

литься в этом, возьмем Q, для которого

IQ1 =IQ1 =1 оО -1 о о1 оО -1 о о'о о-1'о о-1(V.1-11)(V.1-11)

IQ1 =

IQ1 =

1 о

О -1 о о

1 о

О -1 о о

'о о

-1

'о о

-1

(V.1-11)

(V.1-11)

и выберем в (6) знаки «+». В силу (7) QNQT = N. Соотношение (6) утверждает, что то же самое преобразование переводит Т в QTQT. Однако ввиду (11)

Г<11> Т<12> -7(13>

[QTQT] =[QTQT] =(V.1-12)(V.1-12)•7(22)-7(23)

[QTQT] =

[QTQT] =

(V.1-12)

(V.1-12)

••7(33)

где Т{ji} — компоненты тензора Т по отношению к тому базису, в котором N и Q записываются в виде (7) и (11). Таким образом, чтобы имело место равенство QTQT = Т, необходимо, чтобы

Т<13> = 0, 7(23) = 0.Т<13> = 0, 7(23) = 0.(V.1-13)(V.1-13)

Т<13> = 0, 7(23) = 0.

Т<13> = 0, 7(23) = 0.

(V.1-13)

(V.1-13)

В силу (5) остальные компоненты тензора Т +р1 относительно того же базиса суть функции только от х:

7(12) = т(х),

7(11)-7(33) = ст,(х),(V. 1-14)

7 (22) — 7 (33) = ст2 (х)..

Если мы предпочитаем инвариантную запись, без упоминания базиса, то можно написать, объединяя (14), (5) и (6):

S = Т + pl = t(x)(N + NT) + ^ (х) NTN + ст2(х) NNT, (V. 1-15)

причем р не определяется определяющим соотношением. ’

Поскольку р не определяется по х н N, функции ст» и о2 определены лишь с точностью до некоторой величины, не зависящей от х. Действительно, из (14) видно, что 7(33) можно приписать при каком-нибудь одном х (например, при х = 0) какое угодно значение, если речь идет лишь об определяющем соотношении.

В специальных теориях несжимаемых материалов принято «нормировать» р требованием, чтобы р = —*/atr Т. В теории несжимаемых жидкостей Навъе — Стокса это условие тривиально следует из (IV. 4-12). В общей теории это соотношение не вытекает из определяющего соотношения, и его нельзя наложить принудительно, поскольку в силу (15)

tr S = tr Т — Зр = ст, (х) + ст2 (х).(V. 1-16)

Мы можем, конечно, потребовать, чтобы р = —Vatr Т при х=0, а именно мы можем, воспользовавшись свободой в выборе функ-

ций Ст] и ст2, потребовать, чтобы

(V. 1-17)(V. 1-17)а, (0) = а2(0) = 0,

(V. 1-17)

(V. 1-17)

однако такое требование не есть необходимая часть теории и не всегда удобно.

Все, что мы в этом отношении можем вывести из (15), так это равенство

р = —7(33).(V.1-18)

Рассмотрим теперь отражение относительно плоскости, нормальной к скорости. Мы ожидаем, что такое отражение, которое сводится к замене и на —и, должно изменять знак касательного напряжения 7(12), оставляя все нормальные напряжения 7(11), 7(22), Т(33) неизменными. В соответствии с этим мы .возьмем в (6) знаки минус и выберем Q так, чтобы .

[Q] =[Q] =Согласно (7), В силу (13)Согласно (7), В силу (13)[QTQT] =[QTQT] =1 о о 0-10 0 О 11 о о 0-10 0 О 1— qnqt = n.— qnqt = n.7(11) -7(12).7(22)7(11) -7(12).7(22)(V. 1-19)(V.1-20)(V.l-21)(V. 1-19)(V.1-20)(V.l-21)

[Q] =

[Q] =

Согласно (7), В силу (13)

Согласно (7), В силу (13)

[QTQT] =

[QTQT] =

1 о о 0-10 0 О 1

1 о о 0-10 0 О 1

— qnqt = n.

— qnqt = n.

7(11) -7(12)

.7(22)

7(11) -7(12)

.7(22)

(V. 1-19)

(V.1-20)

(V.l-21)

(V. 1-19)

(V.1-20)

(V.l-21)

Далее, функциональное уравнение (6) требует, чтобы в результате замены х на — хи N на — QNQr тензор Т переходил в QTQr. Мы видим из (21), что при выборе Q в виде (19) изменение знака х переводит 7(12) в — 7(12), а остальные напряжения оставляет неизменными. Поэтому из (14) вытекает, что'

— т(—х) = т(х), а, (— х) = о, (х), а2(—х) = ст2(х). (V. 1-22)

Таким образом, т — нечетная функция скорости сдвига, тогда как ст| и а2 — четные функции. Из (22), следует, что если функция т непрерывна при х = 0, то

т(0) = 0.(V. 1-23)

Упражнение V. 1.2. Доказать, что-если выполнены соотношения (15) и (22), то имеют место соотношения (5) и (6).

Результат этого упражнения показывает, что требования независимости от системы отсчета и материальной симметрии не - накладывают дальнейших ограничений на распределение на- • пряжений в вискозиметрическом течении.

Упражнение V. 1.3. Выписать определяющее соотношение жидкости Ривлина — Эриксена сложности 2 в виде, приводящем к произвольно заданным функциям Т, О1 И 02. *

Результат этого последнего упражнения показывает, что сохранявшийся до сих пор уровень общности не был излишним. Таким образом, мы можем в заключение сказать, что изучение уравнения (15) с учетом требований (22)—это не более и не менее как изучение всех возможных вискозиметрических течений всех простых несжимаемых жидкостей.

Вискозиметрические функции. ' Эффекты нормальных напряжений

В предыдущем параграфе мы показали, что система напряжений в произвольной несжимаемой простой жидкости при произвольном вискозиметрическом течении определяется соотношением (V. 1-15), причем соответствующие функции т, сп и о2 подчинены условиям (V. 1-22).

Функции т, си и аг называются вискозиметрическими функциями простой жидкости, определяющее соотношение которой сводится в вискозиметрическом течении к (V. 1-15). Они однозначно определяются определяющим соотношением жидкости. Очевидно, однако, что бесконечно много различных жидкостей обладают тем же набором этих трех вискозиметрических функций. Поэтому эксперименты, в которых предусматривается вискозиметр ическое течение, далеко не достаточны в общем случае для различения одной жидкости от другой.

В том частном случае, когда поле скоростей определяется соотношениями (V. 1-8), базис, по отношению к которому тензор N имеет вид (V. 1-7), представляет собой естественный базис фиксированной декартовой системы координат, и соотношения (V. 1-14) допускают интерпретацию в терминах декартовых координат. В еще более частном случае, когда

е(х1) = хх|, х = const, (V. 2-1)

движение (V. 1-8) .сводится к простому сдвиговому течению (11.11-11). Такое движение, как уже было показано, может происходить под действием одних лишь поверхностных усилий в любом простом материале, сжимаемом или несжимаемом, значит, и подавно оно может быть вызвано без приложения массовых сил в любой однородной несжимаемой жидкости. В этом случае система напряжений (V. 1-14) допускает непосредственную интерпретацию. А именно, т(х)—это то сдвигающее напряжение, которое должно быть приложено в плоскости Xi = const, чтобы вызвать течение. Нормальное усилие на той же самой площадке равно T’(ll), а нормальное усилие в пло-

скости течения равно Т(33\ Ввиду наличия в (V. 1-1) члена —pl значение любого одного из этих двух усилий (но не обоих сразу) может быть выбрано произвольно. Если мы хотим оставить площадки хз = const свободными от напряжений, то Г(33> = 0 и (V. 1-14) дает

7(11> = о,(х), Г(22) = о2(х). (V.2-2)

Таким образом, в плоскости Xi = const должно быть приложено постоянное нормальное усилие, величина которого определяется природой жидкости, и то же самое относится к нормальному усилию на площадках хг = const, нормальных к потоку. Необходимость существования этих нормальных усилий представляет собой один из примеров так называемых эффектов нормальных напряжений. В частности, (2) показывает, что одних касательных напряжений недостаточно для того, чтобы вызвать простое сдвиговое течение. Помимо них необходимы еще надлежащие, вообще говоря неравные между собой, нормальные усилия, определяемые природой жидкости.

Функции oi и ст2 называются функциями разностей нормальных напряжений, а т — функцией касательных напряжений. Вводят еще функцию сдвиговой вязкости ц, определяемую следующим образом:

^^=^-, х^О. (V.2-3)

В большинстве представляющих интерес случаев жидкость такова, что т(х) = О(х) при х->0 и можно определить ц (0) как Пт р (х). Если величина р (0) существует, то она назы-

И->0

вается константой сдвиговой вязкости или естественной сдвиговой вязкостью жидкости.

Несколько вольно мы будем иногда называть и эти три функции р, ©1 и ©г вискозиметрическими функциями, предполагая, что читатель будет все время иметь в виду, что, в то время как функция т существует для каждой жидкости, для которой вообще возможно вискозиметрическое течение, использование значения р(0) возможно лишь при дальнейших предположениях, которые мы только что сформулировали.

Место классической теории вискозиметриисреди других теорий

Классическая теория вискозиметрии основана на определяющих соотношениях Навье — Стокса (IV. 7-13) для несжимаемой жидкости.

Упражнение V. 3.1. Показать, что, согласно теории Навье — Стокса, функция сдвиговой вязкости постоянна и ее постоянное значение равно естествен-

ной вязкости;■

ц (х) = ц (Э) = const,(V. 3-1)

а разности нормальных напряжений тождественно равны нулю:

- oi (х) ' = а, (х) . 0.• (V. 3-2)

Рассмотреть соответствующие утверждения для жидкостей Навье — Стокса без внутренних связей, имеющих определяющее соотношение (IV. 4-12).

Конечно, для читателя должно быть очевидным, что обратное утверждение неверно: если вискозиметрические функции заданы соотношениями (1) и (2), то отсюда отнюдь не следует определяющее соотношение (IV. 4-12).

Формулы (1) и (2) определяют классическую, или навье- стоксову теорию вискозиметрии. Если мы примем навье-стоксо- ву теорию вискозиметрии, то мы еЩе не обязаны принимать навье-стоксову теорию жидкостей для течений общего вида, поскольку к частным вискозиметрическим функциям вида (1) и (2) приводят и многие другие определяющие соотношения для жидкостей.'

В общем случае, если предположить, что т, oi и о2 имеют три непрерывные производные при х = 0, то из (V. 1-19) и (V. 1-21) следует, что

.т (х) — цох + p.jx3 + О (х5),

ffj (х) = s,x2 + О (х4),(V.3-3)

02 (х) = S2X2 + О (х4),

где цо, Hi, si и s2 — постоянные. Конечно, рю = ц(0). Таким образом, эффекты второго порядка по х— это эффекты нормальных напряжений, тогда как отклонение от классической прямбй пропорциональности между скоростью сдвига и сдвигающим напряжением представляет собой эффект третьего порядка по х. Грубо говоря, можно ожидать, что отклонения от классического поведения, описываемого соотношением (1), будут для Hi и 02 наблюдаться при меньших скоростях сдвига, чем для т. Еще более грубо, можно ожидать, что эффекты нормальных напряжений будут проявляться в диапазоне скоростей сдвига, в котором поведение сдвигающих напряжений будет оставаться классическим. .

Слово «ожидать» здесь относится к уверенности, с которой экспернмеита- торы обычно предполагают, что экспериментальные функции дифференцируемы несколько раз. Сама по себе теория не дает никаких оснований для предположения (3).

В примере, использовавшемся до сих пор для интерпретации наших результатов, функция и из соотношения (V. 1-8) предполагалась аффинной. Как мы увидим в следующем параграфе.

такой профиль скорости может существовать в любой несжимаемой жидкости, находящейся под действием произвольных потенциальных массовых сил, в частности в жидкости, следующей теории Навье — Стокса. Мы видели уже, что система напряжений, необходимая для того, чтобы вызвать такое течение, своя для каждой жидкости.

В случае же когда профиль скорости и в соотношении (V. 1-8) не является аффинным или когда, как это и бывает в общем случае, базис, по отношению к которому N имеет вид (V. 1-7), вращается, у нас нет оснований ожидать,, что вискози- метрическое течение возможно, если не приложены подходящим образом подобранные неконсервативные силы. В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые частные случаи стационарных вискозиметрических течений, в которых динамические уравнения удовлетворяются при b = 0. Как мы увидим, распределение скоростей по линиям тока будет, вообще говоря, иным, чем то, которое предписывается навье-стоксовой теорией вискозиметрии. -

Динамические условияв основных вискозиметрических течениях

Напряженное состояние, соответствующее вискозиметриче- скому течению несжимаемой простой жидкости, определяется соотношением (V. 1-15). Вискозиметрические функции т, сп и 02 однозначно определяются определяющими соотношениями и потому одинаковы для всех вискозиметрических течений данной жидкости. В общем случае х и N — функции места и времени. Скорость сдвига х — скаляр, a N — тензор, причем такой, что | N | = 1, N2 = О и, следовательно, tr N = 0. Ортонормирован- ный базис, по отношению к которому тензор N представляется матрицей специального вида (V. 1-7), может изменяться во времени и от места к месту и не обязательно должен быть естественным базисом какой-либо системы координат. Скаляр р, равный в этом специальном базисе —7X33), не определяется предысторией деформации. В общем случае, если не приложены подходящим образом подобранные массовые силы Ь, напряжения (V. 1-15) не будут удовлетворять первому закону Коши (III. 5-1), выражающему баланс количества движения. Как мы убедились в § IV. 8, чтобы определить, совместимо ли некоторое течение однородного несжимаемого тела с произвольным полем консервативных сил, достаточно рассмотреть случай b = 0, соответствующий тем частным течениям, которые могут быть вызваны приложением одних лишь подходящих поверхностных усилий.

J 4гл. v. общая теория вискозиметрий217

Одно такое вискозиметрическое течение было уже рассмотрено, а именно прямолинейное сдвиговое течение, определяемое соотношением (V. 1-8), в том частном случае, когда выполняется соотношение (V. 2-1). Этот случай не типичен в том отношении, что одно и то же поле скоростей может существовать во всех жидкостях. Обычно, как мы увидим ниже, поле скоростей, удовлетворяющее заданным динамическим условиям, зависит от вида вискозиметрических функций.

Пример 1. Сдвиговое течение. Мы найдем сейчас наиболее общее стационарное сдвиговое течение вида (V. 1-8), которое может быть вызвано в однородной жидкости, имеющей вискози- метрические функции т, О] и а2, действием поверхностных усилий и консервативных массовых сил. Для стационарного сдвигового течения базис, по отношению к которому тензор N имеет специальный вид (V. 1-7), — это естественный базис используемой координатной системы, и N = const. Как было показано в упр. V. 1.1, скорость сдвига х определяется по профилю скорости следующим образом: х = ^(xj.

Воспользуемся первым законом Коши, переписав его в виде

divS — pgradф = px,(V. 4-1)

где S — тензор определяющих напряжений, а ф определено соотношением (IV. 8-4). Для сдвигового течения х = 0, и в силу (V. 1-10) и (V.1-15) S является функцией только от хь Следовательно, (1) сводится к следующей системе дифференциальных уравнений:-

dx,S(ll> — р5х,Ф = 0,

dX1S(12) — рд^ф = О,(V. 4-2)

'Р^л^Ф = 0.

Последнее уравнение показывает, что ф не зависит от х3. Из первых двух, поскольку S — функция только от %ь вытекает, что

дх2ф = 0, дхДх2ф = 0.(V. 4-3)

Следовательно, ф — аффинная функция от х2:

РФ = — ах2 +^(^1) + й(0,(V. 4-4)

где а — постоянная, называемая удельной движущей силой течения, а к и h — произвольные функции. Подстановка выражения (4) в (2)2 и интегрирование дают

Т (1-2) = 5 (12) = -axx-Vc,(V.4-5)

где с = const. Таким образом, вне зависимости от профиля скорости и касательное напряжение должно быть аффинной функцией от Хь Далее; касательное напряжение, соответствующее данной удельной движущей силе, должно быть одним и тем же для всех жидкостей; оно не зависит от вида определяющего соотношения. Подстановка выражения (4) в (2)1 с последующим интегрированием дает

S<11) = A(Xj) + &,(V.4-6)

где b = const.

Обратно, если выполнены соотношения (4) — (6), то выполняются и динамические уравнения (2).

Полную систему напряжений можно подсчитать следующим образом. Прежде всего в силу (6) и (4), а также (IV.8-4)

7(11) = S(11) — р = S(11) —- (р + рй) + рй =

= ах2 + b + рй — h (О,(V. 4-7)

где й — потенциальная массовая сила, как в (III. 1-7). Поскольку дх2[Г(11) — рй] = а, постоянную а можно интерпретировать также как градиент поля Т (11)— рй в направлении потока. Далее, в силу этого результата и (V. 1-14)

7(22) = (7(22) — 7(H)) + 7(11) =

= о2(х) —^М + аХг + б + рй —А(0,„

7(33) = (7(33) — 7(11)) + 7(11) =(V.4-8)

= — Oj (х) + йх2 + 6 + рй — h (0.

Нормальные напряжения даются этими формулами при любом виде функции и и при х, определяемом соотношением (V. 1-10). Из (5) и (V. 1-14)1 получаем дифференциальное уравнение для функции и:

т(х) = т[и'(х,)] = — axx-Vc.(V. 4-9)

Распределение и(Х]) определяется интегрированием уравнения (9) после того, как заданы произвольные постоянные а и с. Таким образом, профиль скоростей и, который до сих пор был произвольным, определяется с точностью до трех произвольных постоянных функцией касательных напряжений т. Эта большая определенность является следствием баланса количества движения, в предположении, что могут действовать лишь консервативные массовые силы. Наиболее важной из трех задаваемых постоянных является а, удельная движущая сила.

Если мы примем а = 0 и допустим, что функция т имеет обратную, то из (9) следует, что х = const, и мы вновь приходим к результатам, уже полученным для простЬго сдвигового течения. Предыдущее изложение показывает, что простое сдвиговое

течение — это единственное прямолинейное сдвиговое течение вида (V. 1-8), которое может иметь место, если удельная движущая сила а = 0, при условии, что массовые силы консервативны, а функция т обратима.

Как мы уже видели в § 9, рассматривая этот вопрос с другой точки зрения, стационарное сдвиговое течение дает некое универсальное решение, деформацию, которую можно создать в любом однородном йесжимаемом жидком теле (фактически в любом несжимаемом простом теле) путем приложения одних лишь поверхностных усилий. Если, однако, а О, то, как показывает соотношение (9), профиль скорости и будет различным для разных жидкостей. Таким образом, другие прямолинейные сдвиговые течения, если они вообще возможны, не будут универсальными решениями для несжимаемых жидкостей. '

Теперь мы подробно рассмотрим основной частный случай.

Пример 2. Течение в канале. Мы ищем решение, описывающее течение материала, прилипающего к неподвижным бесконечным пластйнкам Xi = ±d, где d > 0. Таким образом, мы1 требуем, чтобы для профиля скорости выполнялись условия

u(d) = u(-d) = 0.(V. 4-10)

Допустим, что функция т допускает обратную функцию, которую мы обозначим через £. Тогда из (9) следует, что

Х = и'(х1) = ?(-ах1 + с);(V.4-11)

заметим, что £ — обязательно нечетная функция. Проинтегрируем последнее уравнение, потребовав при этом выполнения условий (10). Мы получим

d

j?(-ax+c)dx = 0.(V.4-12)

—d

Замена переменной интегрирования дает d

J ^(ах + c)dx = 0.(V. 4-13)

'—d.

Поскольку £— нечетная функция, складывая (12) и (13), приходим к равенству.

d

J [£ (ах + с) — С (ах — с)] dx = 0.(V. 4-14)

—d’

Допустим еще теперь, что функция т непрерывна. Поскольку она допускает обратную, она строго монотонна, также как и $.

Поэтому если с #= 0, то подинтегральное выражение либо положительно во всех точках отрезка [—d, d], либо отрицательно во всех его точках, так что соотношение (14) не может иметь места. Таким образом, необходимо, чтобы с = 0, и этого также достаточно, чтобы условие (10) выполнялось. Следовательно, функция касательного напряжения т (в предположении, что она непрерывна и обратима) определяет единственный для данного канала профиль скорости

а

-у (*1) = J t(ay)dy.(V.4-15)

Однако в противоположность случаю стационарного простого сдвигового течения профиль скорости в общем случае вовсе не тот, который дается теорией Навье — Стокса. Действительно, если функция сдвиговой вязкости — константа, то £(у) = = (1/н)у и из (15) следует, что

d'

.ciydy=-^(d2-x^ (V.4-16)

— классический параболический профиль. Обратно, если выполняется соотношение (16)2, то из (15) видно, что £ —линейная функция, и получается классическая линейная зависимость (IV. 3-1)1 для функции сдвиговой вязкости.

Расход D, представляющий собой объем жидкости, проходящей через единицу ширины канала в единицу времени, вычисляется так: '.

.dd dad•

D= I y(x)dx = 2 I dx I ^(ay)dy = -^- j yt(y}dy. (V.4-17)

—d0 x0

Обратно, если известен расход D (a, d) как функция от а и d, то из (17) получаем

%^^ = ^=-^дДа?О\(V.4-18)

Таким образом, зная для данного канала расход D в некоторой области значений движущей силы а, мы можем однозначно определить функцию касательных напряжений т в соответствующей области. В частности классическая формула

справедлива тогда и только тогда, когда функция сдвиговой вязкости линейна. '

Профиль скорости, расход и функция касательных напряжений определяются друг через друга и на них никак не -влияют функции нормальных напряжений сп и аг. Если выполняется формула (19), то это еще не дает никаких оснований ожидать, что выполняются и остальные классические формулы. Поэтому классические вискозиметрические измерения; относящиеся к одной лишь сдвиговой вязкости, мало что позволяют сказать об исследуемой жидкости. Если в некотором частном случае получается какая-либо классическая формула, например (19), этого не только недостаточно, чтобы показать, что исследуемая жидкость подчиняется определяющему соотношению Навье — Стокса1, но и недостаточно даже, чтобы установить применимость навье-стоксовой теории вискозиметрии. Необходимы дополнительные измерения. В рассматриваемом выше случае в силу соотношения (7) нормальные усилия на стенках канала Xi = ±d не отличаются от тех, которые получаются по классической теории: Однако в соответствии с (8) напряжения, действующие в плоскости течения (Хз = const) и на площадках, нормальных к направлению течения (хг= const), могут быть совершенно иными. Поскольку эти нормальные усилия с трудом Поддаются интерпретации, мы обратимся сейчас к рассмотрению другого класса течений, для которого эффекты нормальных напряжений более отчетливы.

Пример 3.- Винтовое течение в общем случае. Рассмотрим поле скоростей, имеющее в цилиндрической системе координат г, 0, г компоненты

г = 0, 6 = со (г), z=u(r),' (V.4-20)

где со и и — некоторые функции. Каждая жидкая частица1) остается на фиксированной цилиндрической поверхности г = = const, на которой она описывает винтовую линию, шаг которой одинаков для всех частиц, лежащих на одной цилиндрической поверхности. Течения такого типа называются винтовыми. Положим

/(г) = о'(г), Цг) = и'(Д(V.4-21)

Упражнение V. 4.1. Доказать, что винтовое течение является течением с постоянной предысторией главных относительных растяжений и что

и = V"r4 (г)8 + № (г) . .•(V.4-22)

Пусть е<(х), i= 1, 2, 3 — ортонормированный базис в точке к, орты которого касаются координатных линий, и пусть’

ц = eb i2 — ае2 + Рез, 1з — — ре2 + аез,(V. 4-23)

•) В оригинале fluid-point (по образцу body-point). — Прим. ред.

где

а=^/И. ₽ = -^(г). ^ 4-^=1.(V.4-24)

Доказать, что тензор Мо имеет в базисе h представление (V. 1-7).

В соответствии с результатами этого упражнения для компонент Т^кт) тензора Т относительно базиса и, 12, 1з справедливы формулы (V. 1-14);■■

Т(12) = т(х), Г(13) = 0, Г(23) = 0,"_

Т(11) — Т(33) = <г1 (х), Т (22) — Т (33) = а2 (х). {V> 2 }

Физические компоненты тензора Т в цилиндрических координатах суть его компоненты относительно ортонормированного базиса ej. Обозначая эти компоненты через Т'(гг), Г(г0) и т. д., находим:_.

Т (г0) = е, • Тег = ^ • (aTi2 - pTi3) = аТ (12) — рТ (13),

Т (0z) = е2 - Те3 = (ai2 - Р13) • (рТ12 + aTi3) =(V. 4-26)

= ар (Г (22) - Т (33)) + (а2 - р2) Т (23)

и т. д. Используя эти соотношения и соотношения (25), мы можем выразить систему напряжений через вискозиметрические функции:

Т (гО) = ar (х), Т {г г) = рт (х), Т (0z) = ара2 (х),

Т {гг) — Т (zz) = ^ (х) — Р2а2(х),

.Т (00) - Т (zz) = (а2 - р2) а2 (х).(4'27)

Остается теперь выяснить, можно ли выбрать функции f и h таким образом, чтобы сделать эти напряжения совместимыми с первым законом Коши в случае, когда массовые силы консервативно.' ■

Упражнение V. 4.2. Доказать, что, поскольку тензор определяющих напряжений S зависит только от г, для винтового движения несжимаемой жидкости первый закон Коши записывается так:

drS {rr} + у (S (rr) — S (66)) — рдгф = — pro3, rdrS (гб) + 2S (гб) - р^еф = О,(V. 4-28)

drS {rz) + yS (rz) — рд2ф ■ 0.

Следовательно,

дг ^Т (гО)) = — rd, дг (rT {rz)) = — га, Т (гг) = рб + к (г, О + az + d6,(V. 4-29)

drMr, 0+ у (Г (rr)-T (00))--рпо*

где and — произвольные постоянные.

Интегрирование первых двух из этих уравнений дает

(V.4-30) v(V.4-30) vГ<г0> = ^-4,

(V.4-30) v

(V.4-30) v

Г(г2) = А_-,

где 6 и с — произвольные постоянные. Эти уравнения совместимы с (27)1-2 в том и только в том случае, когда

т(х) = у, х = С(у),(V. 4-31)

где

V - Y (г) = /(^г - 4/ + (у ~ "ТУ •(V. 4-32)

В этом случае в силу (27)112

Т (г9)1/ сd \

(V.4-33)(V.4-33)°т(х)-у(г«2

(V.4-33)

(V.4-33)

О _ т (rz)—

Рт (х)у\ г2 / "

Наконец, из (24) и (21) видно, что

w_i=^=lSL^_«yw_i=^=lSL^_«y(V.4:34)(V.4:34)

w_i=^=lSL^_«y

w_i=^=lSL^_«y

(V.4:34)

(V.4:34)

Когда четыре постоянные a, b, с, d заданы, у, согласно (32), становится известной функцией от г. Следовательно, чтобы течение удовлетворяло уравнению баланса количества движения, функции о» и и, входящие в выражение для поля скоростей (20), должны определяться с точностью до шести произвольных постоянных функцией 5, обратной к функции сдвиговых напряжений т. И обратно, если ш и и удовлетворяют условиям (34), то в жидкости, для которой функцией касательных напряжений служит т, винтовое движение можно вызвать, прилагая подхо

дящие усилия на границе.

Упражнение V. 4.3. Используя (27), (29) и (31), доказать, что

Г (rr)- T(2z)=91(r)-P2d2(r),■

Т (66) - Т ^zz^ = (а2 - Р2) а2 (г),(V. 4-35)

Т (гг) = рй + J { у [а2а2 (г) — Hi (г)] — рг<о2 (г)} dr+az+d8 + g (t) где ■-

'^(r)=or/[S(vW)L ‘ = ’>2,(V. 4-36)

a функции £ (у) и у (г) определяются соотношениями (32) и (31)2 соответственно.■.

Посмотрим, что дают эти результаты в применении к двум важным частным случаям.-

Пример ЗА. Течение между вращающимися цилиндрами. ПоЛожим в уравнении (34) 6 а = b = 0. Тогда р = 0, и мы можем положить в (20) и = 0. Частицы жидкости движутся по концентрическим окружностям с угловыми скоростями ю(г), определяемыми соотношением (34)4. В силу (35) 3 для того, чтобы радиальное напряжение Т^гг) было однозначным, необходимо, чтобы d = 0. В силу (32)•

Y(r) = ^-.(V.4-37)

Теперь легко раскрыть смысл единственной оставшейся произвольной постоянной с. Момент F относительно какой-либо точки оси наших цилиндров, действующий на единицу длины цилиндрической поверхности г = const, дается выражением F = = (2лг)гТ(г9), равным, согласно (30)*], 2лс. Таким образом, . с = Fj2n. Этот момент F должен быть подобран таким образом, чтобы цилиндрические поверхности г = Ri и г = R2 двигались с заданными угловыми скоростями Й; и Й2: ■

£0(2?,) = й„ ш(/?2) = й2.(V. 4-38) '

Согласно (34)],.•

OZ-CS,— J 71^4'’(V-4-ЗД).

Течение такого типа часто называют куэттовским течением. Такое течение приближенно реализуется в вискозиметрах обыч- . ного типа, в которых измеряется зависимость момента, прило- жеиного к одному из цилиндров, от разности угловых скоро- ; стей. Соответствующее теоретическое соотношение имеет вид ; (39). Если обратить это соотношение, то получается завися- „ мость функции £, обратной к функции сдвиговой вязкости т, от F при данном значении й2 — Йь

Согласно теории Навье — Стокса, в точках поверхности z = const действует почти одинаковое давление, когда й = О и рю2 пренебрежимо мало. В то же время из (35) видно, - что в общем случае нормальное усилие Т^гг^ является функцией г. Если мы не можем приложить такое усилие, например на верхней поверхности жидкости в куэттовском вискозиметре, то эта верхняя поверхность не сможет остаться плоской. Трудно определить форму свободной поверхности или хотя бы решить, будет ли жидкость подниматься или опускаться у той или иной цилиндрической стенки. Не очевидно, что этот эффект определяется одними лишь вискозиметрическими функциями, и эта общая задача не решена даже для линейно-вязкой жидкости, если не считать того тривиального случая, когда центробежное ускорение не учитывается. В недавно завершенном большом мемуаре Фосдик и Джозеф1), опираясь на более частные результаты Серрина, применяют метод возмущения области, отправляясь от состояния покоя или жесткого вращения. Фосдик и Джозеф рассматривают жидкость Ривлина — Эриксена 4-го порядка. (Ср. с упр. VI. 1.4 ниже.) Они обнаружили, что в тех пределах, до которых доведен их анализ, решение задачи определяется видом вискозиметрических функций, и для того, чтобы жидкость поднималась на внутреннем цилиндре при малых скоростях вращения, достаточно, чтобы выполнялось условие 3«i + 2аз > 0. Если это условие записать через вискозиметри- ческие функции, оно примет вид Зщ + ог/х2 > 0 при достаточно малых х.

Упражнение V. 4.4. Пусть область течения ограничена свободной поверхностью z = const, на которой действует постоянное Атмосферное давление ро- Условие равновесия суммарных сил приводит к требованию

Pi'.

2л | У (zz) тйт = — рол (/?2 — Я?)-(V. 4-40)

Rx■

Используя это соотношение, вычислить g в формуле (35) 3. Обозначая избыток ро над нормальным давлением —Т (гг) через N, показать, что м—р^ м+1 [„ (с (^-)) - «, (t (^))]+^ << (: (^)).

(V. 4-41)

Пример ЗВ. Течение в круглой трубе. В качестве второго частного случая винтового течения мы рассмотрим теперь течение вдоль цилиндрической трубы бесконечной длины, предполагая, что на стенках трубы выполняется условие прилипания. Положим в (34) с = d = 0, так что а = 0, и, чтобы скорость

’) R. L. Fosdick, D. D. Joseph, The free surface of a liquid between cylinders rotating at different speeds, Arch, Rational Meeh, Anal,, 47,

оставалась конечной при г = О, возьмем также 6 = 0. Тогда в силу (32)

у(г) = уга’(У. 4-42)

где а —удельная движущая сила. Из (34) мы получаем профиль скорости

иМ-Щ^ау)^,(V.4-43)

Г

где R — радиус трубы. Если функция $ линейна, то профиль скорости параболический:

«(r) = -^-(^2-r2),(V.4-44)

и обратно, если для данного R профиль скорости параболический при любом а, то функция сдвигового напряжения линейна. В общем случае расход D дается формулой

Л Л-Л

D (a, R) = 2л J г dr J 5 CMdy = nj г1^ CM dr. (V. 4-45) Or0

Если £ — линейная функция, то выражение для расхода принимает вид

D(a,R^ = ^-.(V. 4-46)

Это знаменитая формула Гагена — Пуазейля или закон четвертой степени. Легко усмотреть, что и обратно выполнения этого закона достаточно, чтобы функция касательных напряжений была линейной. Заметим, однако, что если соотношение (46) выполняется, то не может быть уверенности даже в том, что справедлива навье-стоксова теория вискозиметрии, поскольку функции нормальных напряжений не оказывают влияния на расход и потому их нельзя определить по расходной характе-' ристике.

Наличие нормального радиального напряжения Т'(гг), отличного в общем случае от других нормальных напряжений, позволяет предположить, что струя жидкости по выходе из длинной трубы будет стремиться раздаться или же сократиться в диаметре.

Предлагались различные соотношения между вискозиметри- ческими функциями, достаточные для того, чтобы жидкость при - выходе расширялась, но эти соотношения были основаны на различных гипотезах о характере течения у выхода, а все эти гипотезы были раскритикованы,

Пример 4. Другие вискозиметрические течения. Существуют и другие интересные примеры винтовых течений. Были изучены такие два типа вискозиметрических течений: закручивание, определяемое в цилиндрических координатах полем скоростей

r = 0, 0 = «)(z), 2 = 0, (V.4-47)

п течение в зазоре между конусом и плоскостью, определяемое в сферических координатах полем скоростей

г = 0, 0 = 0, ф = ш(0). (V.4-48)

Поскольку это вискозиметрические течения, систему напряжений для них легко выразить через вискозиметрические функции. Однако ни одно из этих течений не может точно удовлетворить динамическим уравнениям, если на жидкость не действуют непотенциальные массовые силы. Чтобы эти движения приближенно удовлетворяли первому закону Коши при b = 0, необходимо допустить, что ускорениями можно пренебречь, а для случая течения в зазоре между конусом и плоскостью еще нужно допустить, что углы 0 лежат в очень малом интервале вблизи 0 = л/2.

В любом вискозиметрическом течении тензор S полностью определяется х, N и тремя вискозиметрическими функциями т, <л и а2- Таким образом, все явления во всем классе вискозиметрических течений простым образом связаны друг с другом. Единственная проблема состоит в том, чтобы подобрать х и N таким способом, чтобы сделать течение возможным при потенциальных массовых силах. В этом параграфе мы подробно рассмотрели два специальных класса вискозиметрических течений, для которых такой подбор можно осуществить точно, и указали на два других, в отношении которых известно, что существует приближенное решение. Во всех этих случаях N и х зависят от вида функции т, но at и <72 на них не влияют. Пример простого сдвигового течения показывает, что поле скоростей может вообще не зависеть от вискозиметрических функций, однако это вырожденный случай1).

’) Класс стационарных вискозиметрических течений, совместимых с потенциальными массовыми силами для всех жидкостей, весьма узок. Он был найден Пипкином (А. С. Pipkin, Controllable viscometric flow. Quarterly Appl. Math., 26 (1968), 87—100). Полезнее более обширная категория течений, которые Пипкин называет частично управляемыми; это стационарные вискозиметрические течения, в которых нормальные напряжения удается уравновесить гидростатическим полем давления вне зависимости от того, каковы с, и а2. Все вискозиметрические течения, рассмотренные выше, относятся к этому типу. См. также W.-L. Yin & А. С. Pipkin, Kinematics of viscometric flows, Arch. Rational Meeh. Anal., 37 (1970), 111—135.

Невозможность стационарного прямолинейноготечения в трубах '

В § 2 была найдена наиболее общая форма напряжений, которые могут существовать в простой жидкости, совершающей вискозиметрическое течение. В § 4 было показано, что некоторые классы стационарных вискозиметрических течений оказываются динамически возможными без привлечения неконсервативных массовых сил. Для жидкостей этих классов линии тока такие же, как и для жидкости Навье —Стокса при тех же обстоятельствах, но распределение скоростей в них, определяемое функцией сдвиговых напряжений жидкости, оказывается иным. • ■ ’

До сих пор известно лишь немного примеров течений с неподвижными или движущимися простым образом границами, для которых уравнения Навье — Стокса легко решаются. Почти все они соответствуют вискозиметрическим течениям. Тривиальные случаи по существу исчерпываются теми, которые были рассмотрены (или по крайней мере кратко охарактеризованы) в предыдущем параграфе, где мы делали упор на теорию Навье — Стокса, только чтобы противопоставить специфическое поведение навье-стоксовой жидкости Поведению жидкостей более общего вида при тех же обстоятельствах. Следующий наиболее легко исследуемый класс течений — это течение в бесконечно длинной трубе, поперечное сечение которой si представляет собой односвязную плоскую область. Обычно начинают с предположения, что движение происходит без ускорения по прямым, направленным вдоль единичной нормали к к сечению six . '

x = v(p)k, где v(p) = 0 при р г dsi\ . (V. 5-1)

здесь р — вектор положения точки в плоскости. Предполагается, таким образом, что частицы жидкости движутся с постоянной скоростью по прямым, параллельным стенкам трубы. Как легко показать и как мы скоро покажем, предположение (1)1 совместимо с уравнениями Навье — Стокса при условии, что и удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных производных, причем это уравнение имеет единственное решение, соответствующее граничному условию (1)2. Таким образом, существует единственное решение, соответствующее прямолинейному течению. Является ли оно и вообще единственным решением задачи о течении в трубе — это вопрос куда более трудный, не решенный в настоящее время даже в теории Навье — Стокса.

Теперь мы попытаемся в том же духе подойти к решению задачи для произвольной несжимаемой жидкости. Мы покажем.

что в общем случае стационарное прямолинейное течение не существует.. Для доказательства достаточно рассмотреть частный случай, изученный Эриксеном, который и открыл этот замечательный факт. Конечно, одного контрпримера уже достаточно для опровержения общего утверждения. Однако с помощью аппарата, развитого в предыдущих параграфах, проще понять, почему именно никакое прямолинейное течение в общем случае невозможно, и охарактеризовать те специальные случаи, когда такое течение п^ожет существовать. Приводимый здесь анализ принадлежит Ноллу.

Пусть семейство линий 0 = const в нашем сечении ^ ортогонально к семейству изотах (линий постоянной скорости) у = = const, так что соотношения.

.*i = ^(P), ^2 = 2, x3 = 0(p),(V. 5-2)

где z— расстояние от некоторого фиксированного сечения и где

'V0.Vy = O,(V.5-3)

определяют некоторую систему координат в трехмерном пространстве. (Поскольку в этом параграфе встречаются лишь функции места х, нет нужды использовать для обозначения оператора градиента более длинное обозначение «grad».) Ковариантные и контрвариантные компоненты ghm и gftm единичного тензора имеют вид

g'' = gu (Vy f, g” = г22 = 1, g33 = g^' = (VO)2. (V. 5-4)

Поле скоростей (1) соответствует движению

.x = X + to(p)k,(V.5-5)

и, следовательно, градиент деформации дается формулой

F = 1 + /М, где М = k ® Vy.(V.5-6)

Поскольку. М2 = 0,- выполняется условие Нолла (IV. 18-3) и, согласно определению, данному в конце § IV. 18, наше течение является вискозиметрическим.

Упражнение V.5.I. Доказать, что .■

x = |Vv|(V.5-7)

и что тензор N в ортонормированием базисе, образованном ортами, касательными к координатным линиям, имеет представление (V. 1-7).

В силу последнего результата мы можем применить формулы (V. 1-14) и получить компоненты тензора напряжений в только что введенном ортонормированием базисе

Т (<ог) = т (х), . Т (zO) = О, Т <У0) = О,

Г<уу)-7’(66> = а,(х),(V.5-8)

r(zz)- Г (00) = <у2(х),

где т, ^ и а2 — вискозиметрическйе функции жидкости. Пусть i и j —единичные векторы в направлениях Vo и V6, так что

Vy = ix(V.5-9)

и ".

Т = T{vz} (i ® k + k ® i) + 7’(yy)(i ®i) +'

+ r<zz>(k®k) + r<ee>(j® j).(v.5-10)

Заменяя j ® j в последнем члене на 1 — i ® i — k ® к и используя (8), находим, что

Т = (ri + o2k) ® k + k ® ri + xi ®-^-i + Г (66) 1, (V.5-11)

где аргументом функций т, oj и а2 является х. Последний член полем скоростей не определяется.

Упражнение V.5.2. Беря градиент от тождества (Vo)2 = x2 и используя тот факт, что Wo — симметричный тензор, показать, что

xVx = xV(xi)i.(V.5-12)

Используя также тождество

" div (u ® v) = (Vu) v + и divv,(V.5-13)

показать, что■

divT = kdiv(pVD) + VDdiv^Vo)+-^-Vx + vr (66), (V.5-14) где ц — функция сдвиговой вязкости (V.2-3)..

Если положить

А = Г (66) 4- J-^-dx-рй, (V.5-I5) ТО■

. VA = V7’(66)4--^1-Vx4-pb,(V.5-16)

где 6 = —V6. Соответственно первый закон Коши (III.5-1) запишется так:..

k div (pVv) 4- Vy div (-^- Vy) 4- Nh = 0.(V. 5-17)

В силу этого результата VA не зависит от z. Поэтому А имеет вид

A = za4-5(P),(V.5-I8)

где а = const, неиия:

и уравнение (V.5-I7) распадается на два урав-

и

, div(p(x) Vy) = — a(V.5-19)

Vv div (-^-Vy) 4-^ = 0.(V.5-20)

Согласно второму уравнению, g постоянно вдоль изотах у = const, т. е. g^p') = f (у(р)), и уравнение (20) принимает вид

div(^Vy) = -m(V.5-21)

Для любой жидкости вискозиметрические функции ц и »i определяются определяющим соотношением и потому могут рассматриваться как заданные. Следовательно, мы вывели два нелинейных дифференциальных уравнения (19) и (21), которым должна удовлетворять одна функция у. При попытках найти одну функцию у, удовлетворяющую этим двум условиям, функцию f мы можем выбирать по собственному произволу.

В некоторых частных случаях действительно эти два уравне- ■ ния для у делаются совместными при подходящем выборе f. Если, например, жидкость такова, что

oj (х) = сх2ц (х),(V. 5-22)

где с — некоторая постоянная, то при выборе f (у) — са (21) становится идентичным (19). Этот случай охватывает теорию Навье — Стокса, для которой с = 0, и вообще любую теорию, основанную на определяющем соотношении, из которого следует, что oi а- 0.

В теории Навье — Стокса уравнение (19) превращается в уравнение цАу — —а, где ц.— сдвиговая вязкость, а а — удельная движущая сила, причем обе эти величины — заданные постоянные. Это эллиптическое уравнение в частных производных имеет единственное решение, удовлетворяющее граничному условию (1)г. В работах по теории Навье — Стокса детально исследуются свойства решений для различных сечений ^, но мы здесь не будем углубляться в этот предмет, сделаем лишь одно замечание относительно важного, хотя и очень простого частного случая.'

Для эллиптического сечения

-J + -p-=’. =>b,(V. 5-23)

решением поставленной задачи в рамках теории Навье — Стокса будет

(V.5-24)

2ц (с2 + 62) \ с2 62/''

мы предполагаем, конечно, что ц > 0. В том, что (24) — действительно решение, можно убедиться подстановкой, а теорема единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами говорит нам, что это н единственное решение.

Пример теории Навье — Стокса показывает, что два условия (19) и (21) могут быть совместными. В случае когда это имеет

место, постоянная а допускает простую интерпретацию, как показывает следующее

Упражнение V. 5.3. Доказать, что если уравнения (19) н (21) совместны, то

Т (zz) — рю = za + <т2 (к) — J "^и" dx + f (о)(V. 5-25)

и, следовательно,.

dz\T (zz) — рй] = a.(V.5-26)

Таким образом, а — удельная движущая сила.

' Более общим образом, мы ожидаем, хотя это и не доказано, что уравнения (19) самого по себе достаточно, чтобы при заданной функции сдвиговой вязкости ц определить единственное решение у, удовлетворяющее граничным условиям. Если это так, то такое у в общем случае не будет удовлетворять уравнению (21). Здесь опять-таки имеются исключения. Если линии и = const представляют собой концентрические круги или параллельные прямые; то х есть функция от у и уравнение (21) удовлетворяется всегда. Эриксен) показал, что если ц — аналитическая функция и условие (22) не выполнено, то всегда существуют такие решения уравнения (19), для которых (21) не выполняется, и он высказал гипотезу, что фактически (19) и (21) совместны тогда и только тогда, когда либо выполнено условие (22), либо х есть функция и. Исходя из этого он выдвинул вторую гицотезу: для того чтобы в трубе могло существовать прямолинейное течение произвольной простой жидкости, сечение этой трубы должно быть либо кругом, либо круговым кольцом. Совсем недавно Серрин и Фосдик) доказали, построив контрпример, что первая гипотеза Эриксена ошибочна, но ни в одном из найденных случаев кривые у = const не являются замкнутыми, и во всех этих случаях класс рассматриваемых жидкостей сильно ограничен. Серрин и Фосдик доказали также, что вторая гипотеза Эриксена справедлива в предположении, что р — аналитическая функция, хц —- возрастающая, а р/х— убывающая функции. Остается открытым вопрос, справедлив ли этот результат при более слабых допущениях.

Итак, стационарное прямолинейное течение в трубе возможно для произвольной несжимаемой жидкости, только если сечение имеет специальную форму, а для произвольного сечения — только если жидкость принадлежит к специальному типу.

Эриксен высказал, далее, гипотезу, что в общем слу,чае существует непрямолинейное течение. Об отклонении от классического распределения скоростей обычно говорят как о вторичном течении. Вторичное течение в данном случае — это компонента скорости, нормальная к образующим трубы, в результате которой движение - жидкости происходит по спиралевидным линиям.

Сразу видно, что расчет такого течения должен, быть затруднительным. Действительно, если мы допустим, что функцию сдвигового напряжения т и функцию нормального напряжения О1 можно разложить в ряд по х, например вида (V. 3-2), то при х-*0 условие (22) всегда удовлетворяется с точностью до членов второго порядка по х. Поэтому эффект несовместности должен быть по крайней мере третьего порядка относительно некоторого параметра, малость которого обеспечивает малость скоростей сдвига. Естественно ожидать, что таким параметром может служить удельная движущая сила. К сожалению, до сих пор неизвестно никакого общего метода решения этой задачи. В следующей главе мы получим решение для некоторого частного класса жидкостей, предположив, что существуют решения,' представимые в виде степенных рядов по некоторому параметру а, который можно интерпретировать как удельную движущую силу. Мы увидим, что в общем случае действительно возникают вторичные течения, имеющие порядок а4.’

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .

(работы общего характера)

NFTM, §§ 104—118.‘

D. Coleman, Н. Markovitz, W. Noll, Viscometric flows of non-Newtonlan fluids, Berlin — Heidelberg — N. Y., Springer, 1966..

Truesdell, The meaning of viscometry in fluid mechanics, Annual Reviews of Fluid Mechanics, 6 (1974).

Глава VI

НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИТЕЧЕНИЯ РЯДА СПЕЦИАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Жидкости Ривлина—Эриксена

Принцип локального действия утверждает, что на напряжения в теле-точке X не влияет предыстория движения других тел-точек, за исключением тех, которые принадлежат произвольно малой окрестности точки X; однако допускается влияние сколь угодно далекого прошлого. Таким образом, в общем случае материальная точка может иметь сколь угодно «длинную» память. В вискозиметрических течениях (гл. V) или, вообще, в течениях с постоянными предысториями главных относительных растяжений (§ IV. 18, IV. 19) эта память — какова бы она ии была — не имеет возможности существенно проявиться, и по этой причине многие частные задачи для этих течений легко поддаются решению. Есть и другой путь отыскания задач, поддающихся исследованию: вместо того чтобы сужать класс движений, выделить класс материалов. Ввиду того что долгая память порождает очевидные трудности, естественно взять для изучения класс материалов, в которых на напряжения в точке X влияет лишь предыстория движения на произвольно коротком интервале [t, < + 6) прошлого, где 6 — некоторое положительное число. Материалы такого типа называются материалами с инфинитезимальной памятью.

Предыстория движения до любого заданного момента в прошлом не имеет значения для определения напряжений в таком материале в текущий момент.

Наиболее важными из материалов с инфинитезимальной памятью являются те простые материалы, в которых напряжения в точке определяются первыми п производными градиента деформации F в точке X. Такой материал называется материалом дифференциального типа, ап — его сложностью. Определяющее соотношение такого материала имеет вид

(п) (rt—1).

T = f(F, FF, F),• (VI. 1-1)

где f—отображение п + 1 тензорных аргументов на симметричные тензоры; аргумент X не выписан.

Принцип материальной независимости от системы отсчета приводит к следующей приведенной форме определяющего со-

отношения материала дифференциального типа сложности п;

TR —б(Аь А?А„, С),(VI. 1-2)

где g — функция, переводящая наборы из п + 1 симметричных тензорных аргументов в симметричные тензоры, Аг — r-й тензор Ривлина — Эриксена (11.11-17), а обозначение SR определено формулой (IV. 4-15).

Упражнение VI. 1.1 (Нолл). Конкретизируя соответствующим образом соотношение (IV. 5-15) или непосредственно используя принцип независимости от системы отсчета, доказать соотношение (2).

В случае, когда материал дифференциального типа изотропен, он называется твердым телом Ривлина — Эриксена или жидкостью Ривлина — Эриксена сложности п соответственно тому, является ли его группой равноправности группа о для некоторой отсчетной конфигурации или группа « для всех отсчетных конфигураций, в согласии с определениями, данными в § IV. 15-16. Определяющие соотношения в этих двух частных случаях имеют вид

. Т = ^(АЬ А2, .... А„, В)(VI. 1-3)

и

Т = 5(АЬ А2, .... А„, р)(VI. 1-4)

соответственно. Первое из них выполняется только при условии, что тензор Коши — Грина В вычислен по отношению к неискаженной конфигурации твердого тела; второе верно всегда. В обоих случаях функция^ изотропна в том смысле, что1)

^(QAjQ1, QA2Qt, .... QA„QT, QBQT или p) =

= Q^(Ab A2, .... А„ В или p)QT (VI. 1-5)

для всех аргументов функции I) и всех ортогональных тензоров Q.

Стандартным образом выписываются соответствующие результаты для несжимаемых материалов.

Упражнение VI. 1.2. Конкретизируя соотношения (IV. 14-2) и (IV. 14-3) применительно к телам Ривлина — Эриксена или непосредственно исходя из соотношения (2), вывести (3)—(5),

*) Приводимое далее равенство — это определение изотропной функции. — Прим. ред.

Для функционального уравнения (5) известно общее решение ) ^, но нам оно не понадобится. В частном случае жидкости сложности 2 общее решение имеет вид

Т = — pl —|— а. А] -|- а2Аг 4~

-+ азА1 + а4А2 + а5 (А, А2 + А2А,) +

.+ а6 (А2А2 + А2А2) + а7 (А, А2 + А2А,) +.

+ а8(А2А2 + А2А2).(VI. 1-6)

Здесь коэффициенты р, «1, агав — функции плотности и следующих скалярных инвариантов тензоров А] и А2:

tr Аь tr Ai, tr Аь ' trAz, trAi, tr Аз,

•trAjA^ trAjAl trA?Ab 1гА?Аг. (VI. 1-7)

Коэффициенты ai, аг, ..., as определены неоднозначно, и лишь в специальных случаях существуют соотношения, выражающие один из них как однозначную функцию остальных2). Для несжимаемой жидкости сохраняется то же представление,

но р уже произвольно, и к тому же tr Ai = 0 и tr Ai = tr Аг в силу (II. 11-20)2, так что коэффициенты аь а2, ..., «8 суть функции лишь 8, а не 10 скалярных аргументов.

Как мы убедились, в конце § IV. 19 в вискозиметрических течениях поведение простой жидкости нельзя отличить от поведения соответствующим образом подобранной жидкости Ривлина— Эриксена сложности 2. По-другому это можно сказать так: подходящим выбором коэффициентов аь а2, ..., а8 мы можем согласовать (6) с любыми тремя вискозиметрическими функциями (ср. упр. V. 1.3). В следующем упражнении этот результат подтверждается явным вычислением и сверх того показывается, что вискозиметрические функции не определяют однозначно жидкость Ривлина — Эриксена сложности 2. Таким образом, поведение жидкости такого типа в вискозиметрических течениях не определяет ее уравнение состояния единственным образом.

Упражнение IV. 1.3 (Ривлин, Марковиц). Доказать, что в внскозиметри- ческом течении функции аг десяти аргументов (7) равны некоторым функциям аг от скорости сдвига х; что аг—четные функции и что вискозиметрические функции жидкости следующим образом связаны с функциями аг:

- и = а, + 2х2а6 4-4х4а7, щ = х2 (2а2 + «з + 4х2а4 + 4х2а6 + 8х4а8),(VI. 1-8)

<т2 = х2ад.

Доказать также, что для описания общего поведения простых жидкостей в вискозиметрийеских течениях достаточно рассмотреть случай, когда а4 = ад = ... = а8 = 0, а коэффициенты аь а2 и аз являются функциями лишь от tr Ар Иными словами, определяющее соотношение частного вида

Т = — pl 4* ®]А| 4* а2А2 4- ®зАр(VI. 1-9)

где р, аь а2 и а3 — функции только от р и tr А,, достаточно для представления наиболее общей системы напряжений, которая может существовать в простой жидкости при вискозиметрическом течении. И обратно, вискозимет- рнческие • функции однозначно определяют зависимость трех коэффициентов Ор а2 и а3 от trAp Действительно, поскольку х = "^/"-^-trA^, мы можем положить

(Ар р) = f (х, р).

Получим

а^т/х, а2 =-g (а2 — 5i)/x2, а3 = а2/х2. (VI. МО)

Подставляя эти выражения в (VI. 1-9), придем к определяющим соотношениям Для жидкости порядка 2 с вискозиметрическими функциями т, ffi и <т2.

Когда мы займемся изучением движений, которые не являются вискозиметрическими течениями, мы, как уже отмечалось в начале этого параграфа, будем в общем случае выну-

ждены принять, что жидкость не обладает длительной памятью. Однако даже для жидкостей Ривлина — Эриксена, как это мож- мо судить по примеру соотношения (6) с его восемью материальными функциями, будут возникать большие математические трудности. Если еще больше специализировать вид определяющих соотношений, то мы рискуем потерять само явление, которое хотим изучать. Если, например, мы возьмем частный случай (10), которого достаточно для описания вискозиметри- ческих течений во всей их общности, то увидим, что при 2аг + аз, пропорциональном аь выполняется условие (V. 5-22) и прямолинейное течение возможно в трубах произвольного поперечного сечения. Так, в частности, будет обстоять дело, если мы положим функции ац аг и аз равными любым постоянным.

Эти соображения указывают на потребность в некотором систематическом методе классификации жидкостей Ривлина — Эриксена по категориям с уменьшающимся сходством реакций. Существует много таких систем. Здесь мы рассмотрим одну из них, основанную на формальной процедуре разложения. В § XIII. 7 мы покажем, что можно истолковать получаемые при этом результаты с помощью некой теоремы аппроксимации; пока же мы будем рассматривать эту процедуру как чисто формальную.

Итак, предположим, что задано какое-нибудь одно частное движение х(Х0 некоторого тела. Растягивая масштаб времени в г раз, построим однопараметрическое семейство замедленных движений•

X(r)(X, 0 = Х(Х, rt), где г > 0. (VI. 1-11)

Иными словами, если тело-точка X находилось при движении х в месте х в момент t, то при замедленном движении ^ оно достигнет этой точки лишь к моменту t]r. Мы будем рассматривать предельный переход при г-*0, так что при движении ^ тело-точка X будет двигаться по той же траектории, что и при движении х, но со скоростью, всюду уменьшенной в одно и то же число раз г.

Будем для обозначения величии, вычисляемых исходя из Х(г|, (п)

использовать верхний индекс (г). Для n-й скорости (х) получаем х(г)^^Х<г) = /х;(VI. 1-12)

следовательно, в силу (II. 11-14)

"Gv„=rnGn.(VI. 1-13)

Таким образом, согласно (II. 11-17) мы получаем для тензоров Ривлина — Эриксена А(пг) замедленного движения

А1.'1(VI. 1-14)

Возвращаясь к определяющему соотношению (4) жидкости Ривлина-—Эриксена сложности п, мы теперь специализируем его, сделав следующие дальнейшие допущения:■

Функция I) — многочлен от аргументов Ар А2Ап.

Для замедленного движения %|г) функция $ есть многочлен степени п по г.

Определенная таким специальным образом жидкость сложности п называется жидкостью п-го порядка. Будем считать движение х заданным и не меняющимся и построим по нему замедленные движения ^. Тогда при г—>0 определяющее соотношение для жидкости п-го порядка аппроксимирует общее определяющее соотношение жидкости сложности п с ошибкой порядка O(rn+1); конечно, здесь существенно первое допущение, что — многочлен.

Например, из (6) видно, что в то время как определяющим соотношением для жидкости сложности 1 служит

Т = -р1 Ч-аД + a2Af,(VI. 1-15)

где р, а, и а2 — произвольные функции от tr Ар tr Af, tr А^ и р, определяющим соотношением для жидкости порядка 1, поскольку оно должно иметь первый порядок по г в замедленном движении Xм. в силу (14) будет 1

Т^-р+уМгА,)! +цА„ (VI.1-16)

где р, X и ц — функции только от р. Если жидкость несжимаема, то соотношение (16) сводится к ’

. Т = -р1+цА„(VI. 1-17)

где р неопределено в том смысле, что оно не определяется движением, а р— постоянная. Эти два соотношения представляют собой определяющие соотношения для жидкостей Навье — Стокса — в первом случае без внутренних связей, во втором — несжимаемой. Таким образом, жидкость первого порядка — это жидкость Навье — Стокса. Таким" же образом мы можем убедиться в том, что упругая жидкость — это жидкость нулевого порядка..

Точно тем же методом мы можем выписать, отправляясь от (6) и (7), определяющее соотношение для жидкости второго

порядка без внутренних связей:

Т = (- р +1A tr А, + <z10 tr А2 + а20 tr А^ + а30 tr А3) 1 +

+ (р + ап tr Ai) Ai + а1А2 + а2Ан (VL 1-18)

где р, А, р, а|0, агэ, а30, ап, а, и с^- функции от р.

Поскольку для несжимаемого материала члены, коэффициентами при которых служат А и ап, обращаются в нуль и поскольку, кроме того, напряжения в нем определены с точностью до произвольного гидростатического давления р и потому члены, коэффициенты при которых суть аю, «го, азо, можно включить в р, — для несжимаемой жидкости второго порядка мы имеем просто

Т = - pl + рА, + а,А2 + а2А2, (VI. 1-19) где р, а] и а2 — постоянные.

Упражнение VI. 1.4. Используя для упрощения результатов соотношение (11.11-20), показать, что определяющее соотношение для несжимаемой жидкости четвертого порядка имеет вид

Т = — pl + Si + S2 + S3 + S4,(VI. 1-20)

где

Si = Po*i> 82 = а1А2 + а2Ар

S3 = Pi Аз + Рг (АгА] + А|А2) + Рз (tr Аг) At,

84 ~ YiA4 + Y2 (АзА1 + А1Аз) + УзА2 + У4(А2А1 + А1Аг) +

+ Y? (<г Аг) А2 + Ye (tr Л2) Л? + [v7 tr Аз + У8 «г (Mi)] ар(VI. 1-21)

где ро, аь а2, Pt, р2, Рз. Yi, УгYe — постоянные.

В только что приведенной формуле имеем для замедленных движений Х(г)

Sft = O(r*) при r-*.0.(VI. 1-22)

Таким образом, напримёр, S3 — это как раз то, что нужно добавить к Si + S2, чтобы получить из определяющего соотношения для жидкости порядка 2 определяющее соотношение для жидкости порядка 3.

Упражнение VI. 1.5. Показать, используя (IV. 18-15), что для течений с постоянными предысториями Главных относительных растяжений мы можем использовать в качестве коэффициента замедления г скорость сдвига х. Исходя из, этого факта, показать, что для вискозиметрических течений

St = xp(N + NT),

S2 = х2 [2atNTN + а2 (N + NT)2],

S3 = 2х3(р2 + Рз) (N + NT),

S4 = х4 [4 (у3 + у4 + Ys) NTN + 2у6 (N + NT)2].

причем вискозиметрические функции даются формулами

Ц = Цо + 2 (Рг + Рз) X2,

■От = (2«1 + а2) х2 + [4 (Уз + Y< + Ys) + 2у6] х*. (VI. 1-24)

а2 = <т2х2 -|- 2YeX4.

В общем случае вискозиметрические функции жидкости п-го порядка представляют собой многочлены по х степени не выше п. Поскольку в общей теории жидкостей вискозиметрические функции вовсе не обязаны быть полиномиальными, с помощью модели жидкости n-го порядка ни при каком п нельзя описать все результаты, относящиеся к вискозиметрическим течениям. Этот факт должен способствовать уяснению различия между порядком и сложностью; действительно, как мы уже видели в упр. VI. 1.3, теория жидкостей сложности 2 уже включает в себя наиболее общую теорию вискозиметрических течений. Оба термина «сложность» и «порядок» призваны указывать, что мы имеем дело с результатом процесса аппроксимации; чем ниже сложность жидкости, тем меньшего порядка производные от поля скорости нужны, чтобы определить напряжения в жидкости. В то же время, чем ниже порядок жидкости, тем медленнее течения, адекватно описываемые ее уравнением состояния. С другой стороны, следует помнить, что предложенные процессы-.аппроксимации никак не обоснованы, а служат лишь в качестве наводящих соображений, более того, они вовсе и не необходимы нам, чтобы иметь возможность рассматривать жидкости порядка п или сложности п, ибо такие жидкости удовлетворяют всем общим требованиям механики сплошной среды и потому могут быть предметом изучения сами по себе. В частности, жидкость Навье — Стокса и упругая жидкость, являющиеся жидкостями порядков 1 и 0 соответственно, не обязательно должны рассматриваться как аппроксимации чего-то более общего, но заслуживают рассмотрения и как независимые объекты, образчики того, какой может быть жидкость. Таким образом, классическая гидродинамика, которая всегда ограничивалась рассмотрением только этих двух жидкостей, представляет собой, хотя и специальную, но точную теорию.

Переходя в соотношениях (24) к частному случаю жидкости второго порядка, мы видим, что вискозиметрические функции такой жидкости даются формулами

Р = Ро, .-

О] = (20] 4- а2)х2,■ (VI. 1-25)

а2 = а2х2,

Сравнение с (19) показывает, что если некоторый набор из трех вискозиметрических функций совместим с теорией жидко-

стей второго порядка, то такая жидкость определяется им однозначно. Таким образом, определяющее соотношение для несжимаемой жидкости второго порядка определяется поведением такой жидкости в вискозиметрических течениях. Эти результаты и подавно справедливы для жидкости Навье — Стокса. Первоначально вискозиметрические задачи рассматривались лишь потому, что считалось, что результатов вискозиметрических экспериментов достаточно, чтобы определить все физические характеристики несжимаемой жидкости, так что по крайней мере в принципе вискозиметрические данные могут служить основой для последующего описания всех движений жидкости, получающегося уже с помощью одной лишь математики. С одного взгляда на (24) ясно, что в общем случае дело обстоит не так. Например, вискозиметрическими функциями жидкости третьего порядка определяется значение суммы р2 + Рэ, но не р2 и р3 порознь, и по этим функциям ничего вообще нельзя сказать о Рь Действительно, коэффициент Pi в (21 )3 стоит при тензоре А3, который обращается в нуль в вискозиметрическом течении, так что в принципе, если интересоваться значением Рь нужно рассматривать течения, в которых А3 + 0. Эти соображения указывают на ограничения, присущие модели жидкости второго порядка и ее частному случаю, жидкости Навье —Стокса.

Упражнение VI. 1.6 (Беркер). Используя (11.11-19), (11.11-24) и (II. 13-6), показать, что во всех точках неподвижной стенки, на которой выполняется условие прилипания, .

Аг = 2En + 2Wn,

А[Г — (4Е2 + IV2) n + 4£Wn, (VI. 1-26) А2п = (25' + 4£2 + IV2) n + 2£Wn + 2W'n, .

где Е — объемное расширение, a W — спин. (Не следует считать ось спина стационарной.) Вывести отсюда, что усилия, действующие на несжимаемую жидкость второго порядка на такой неподвижной стенке, равны

t — [— Р + («1 + «2^ ^21 n + 2|i Wn + 2a,W'n =

= [—р + («i + as) IF2] n — pFf — aj (IFf)', (VI. 1-27)

где f — единичный вектор, идущий в направлении, которое получается поворотом вектора завихренности относительно вектора п на прямой угол против часовой стрелки.

Формула Беркера (27) служит еще одной иллюстрацией специальной природы несжимаемых жидкостей второго порядка. Сдвиговое усилие, действующее со стороны такой жидкости на неподвижную стенку, оказывается в установившемся движении таким же, какое создавала бы жидкость Навье — Стокса с той же сдвиговой вязкостью ц при движении с тем же спином. Конечно, отсюда отнюдь не следует, что в некоторой краевой за-

даче значения постоянных ai и аг действительно не влияют иа касательные напряжения: эти постоянные входят в уравнения движения и потому могут приводить при одних и тех же краевых условиях к различным полям скорости и Потому различным полям спина.

Вторичное течение при движении несжимаемой жидкости в прямой трубе. Предварительные соображения

Как мы убедились в § V. 5, произвольная несжимаемая жидкость может совершать стационарное прямолинейное движение в прямой трубе, только если ее сечение имеет специальную форму, а при произвольном сечении это возможно лишь для некоторых специальных типов жидкости. Как жидкость Навье — Стокса, так и жидкость второго порядка принадлежат к этому специальному типу, поскольку их вискозиметрические функции удовлетворяют соотношению (V. 5-22).

Если произвольная жидкость движется под действием градиента давления по прямой трубе, ограниченной цилиндрической поверхностью, отличной от пары параллельных плоскостей или соосных круглых цилиндрических поверхностей, то можно ожидать, что установится некоторое стационарное течение; однако это движение не может быть прямолинейным. Напомним, что компонента скорости, нормальная к образующим цилиндрической граничной поверхности, называется вторичным течением. По-видимому, простейшее такое поле скоростей имеет вид

х = у(р) k + и (р),

где х = 0 при р е д^, div и = 0;

здесь ^ — плоское сечейие трубы, к — единичный вектор иор< мали к нему, р — вектор положения в ^ и и(р) — вектор, лежащий в ^. Ищется решение, для которого вторичное течение во всех сечениях одно и то же.

В настоящее время расчет вторичных течений в трубах произвольного сечения представляется неразрешимой задачей. Можно надеяться, что при стремлении движущей силы к нулю возникает некоторое семейство замедленных движений, однако никакой теоремы такого рода доказать пока не удалось. Не располагая руководящими указаниями общей теории, мы допустим, что существует решение одного частного вида и рассчитаем его. Именно, мы допустим, что поле скоростей может быть разложено в ряд по степеням движущей силы и что жидкость достаточно хорошо описывается определяющим соотношением для жидкости Ривлина — Эриксена некоторого достаточно высокого порядка. Мы покажем, что хотя для жидкости третьего

порядка действительно невозможно стационарное прямолинейное движение, но все-таки скорость вторичного течения пропорциональна не а3, а а4. Для жидкости четвертого порядка расчет уже настолько сложен, что мы рассчитаем вторичное течение лишь с ошибкой О (а5).

После того как в 1956 г. Эриксен высказал гипотезу о существовании вторичных течений, Грин и Ривлин немедленно рассчитали такое течение для потока в трубе эллиптического сечения по некоторой частной модельной теории. Формальный, но общий метод, был разработан Ланглуа и Ривлином. Этот метод с упрощениями, предложенными Ноллом, мы и опишем в следующем параграфе.

Здесь же мы сделаем некоторые замечания об общих условиях, которым удовлетворяет течение (1).

Допустим, что сечение ^ односвязно. Поскольку div и = О, в силу (II. 5-9) существует однозначная функция тока q, такая, что u = (V</)1,■ (VI. 2-2)

где V обозначает пространственный градиент, a w1 — вектор, получаемый из нормального к к вектора w поворотом относительно к на прямый угол против часовой стрелки. (Таким образом, (w1)1 =— w.) Условия, выражающие прилипание на дгФ, имеют вид

9 = 0, dnq = O,(VI. 2-3)

где дп — производная по нормали.

Поскольку из (1) следует, что

G = gradx = k ® Vo + Vu,(Vl.2-4)

для ускорения мы получаем

. x=Gx = (u • Vy)k + (Vu)u.(VI. 2-5)

(n)

хСкорость п-то порядка х, ее градиент G„ и n-й тензор Ривлина— Эриксена Кп не зависят от времени и не меняются от сечения к сечению. Поэтому

(VA„)k = 0,■ (VI. 2-6)

и рекуррентная формула для тензоров Ривлина — Эриксена (11.11-19) принимает вид

A„+1 = (VA„)u + A„G+(A„G)T. (VI. 2-7)

Так как для всех сечений предыстория движения одинакова, то одинаковы и определяющие напряжения, и в силу (5) то же относится и к ускорению х. Таким образом, согласно первому закону Коши (III. 5-1)

5zgradv = 0,(VI. 2-8)

где <р = р/р +-й, to — потенциал массовых сил, z — координата в направлении к. Интегрирование уравнения (8)' показывает, что

РФ = —az+ ? (р),. (VI. 2-9)

где t,— функция, подлежащая определению, а а — постоянная, удельная движущая сила, которую мы будем рассматривать как определяющий параметр задачи. Мы будем предполагать, что й не зависит от z, так что фактически удельная движущая сила — единственный фактор, вызывающий продвижение жидкости по трубе.■

Чтобы рассмотреть дальнейшие следствия первого закона Коши, воспользуемся следующим разложением тензора напряжений:'

S = T+pl=M(k®k) + t®k + k®t + n; (VI. 2-10) здесь N — скалярное поле, t — векторное поле, нормальное к к, а П — тензор над двумерным пространством векторов, нормальных к к. В силу (10) и (9)

Т(zz) = - р + N = N (р) + az - £ (р) + ри (р), (VI. 2-11) а в силу (5) для двух остальных компонент первый закон Коши (III. 5-1) дает

div 14- а = ри • Vu,

div П — Vg = р (Vu) и.(VI. 2-12)

Вторичное течение жидкости третьегоили более высокого порядка в прямой трубе

Допустим, что поля жидкостей и напряжений разлагаются в ряды по степеням а, имеющие ненулевые радиусы сходимости:_

и = 2 arvr,Г=1

и = 2 агип где ur = (V^)1,

ОО(VI. 3-1)

.'г—1

Граничные условия на ds4- таковы:

vr = 0, qr = 0, dnqr = 0.(VI. 3-2)

Из (VI. 2-4) мы находим

G = 2 аг (к ® Vor + Vur).(VI. 3-3)

г=1

Однако подсчет Gn при п >• 1 становится затруднительным, поскольку приходится неоднократно перемножать ряды. Например, из (1)2, (3) и (VI. 2-7) видно, что уже для А2 получится очень длинное выражение. К счастью, для данной задачи полные ряды нам не нужны, и мы сумеем показать путем последовательного подсчета, что многие члены обращаются в нуль.

Заметим прежде всего, что вообще, как очевидным образом показывает подстановка рядов (1) в (VI. 2-7),

A„ = O(an) при а-» О,(VI. 3-4)

т. е. при а—>0 тензоры Ривлина — Эриксена убывают по крайней мере так же быстро, как они убывают в соответствии с (VI. 1-13) для семейства замедленных движений с коэффициентом замедления а. Следовательно, напряжения, получаемые на основе определяющих соотношений для жидкости порядка п, отличаются от напряжений для произвольной жидкости Ривлина— Эриксена на величину, которая для течений рассматриваемого класса имеет порядок O(an+1), а может быть, даже менее. ■

В соответствии с этим мы определим теперь первые несколько коэффициентов в разложениях (1), подставляя эти разложения в определяющее соотношение для жидкости n-го порядка, подставляя затем результат в уравнение количества движения (VI. 2-12) и приравнивая после этого нулю коэффициенты при последовательных степенях а. На r-м шаге мы получим систему уравнений в частных производных и граничные условия для отыскания функций ит и ur.

Шаг 1. Решение для жидкости Навье—Стокса. Из (3) видно, что

A] = G + GT = a [k ® Vo, + Vo, <8 к + VU[ + (VuJ7] + О (а2). .

■(VI. 3.5)

Согласно (VI. 1-19)

Т + pl = р0А, + О (а2).(VI. 3-6)

Сравнение (5) и (6) показывает, что

t = apoVU] + О (а2),(VI 3 7)

n = ap0[VU1 + (VU1)T] + O(a2).1’

Мы будем, конечно, предполагать, что р0 У= 0. Поскольку u . Vv = О (а2) и (Vu) и = О (а2), подстановка этих выражений в (VI. 2-12) и приравнивание нулю коэффициентов при а в обоих членах дают

(VI. 3-8)(VI. 3-8)РоАо^ — 1,Ро div [VUi + (VuJT] = V^.

(VI. 3-8)

(VI. 3-8)

Первое из этих условий есть уравнение Пуассона; вместе с граничным условием t>i (р) = 0 при р е dsi- это уравнение определяет в ^ единственное решение «ь Это — точное и полное решение задачи для жидкости первого порядка, а именно навье- стоксово решение, но мы должны еще посмотреть, что дает уравнение (8)2.'

Чтобы решить его, заметим прежде всего, что если q = ^(р) и u = (V<7)±, .то'

div[Vu + (Vu)T] = (VA<7)±.(VI. 3-9)

Согласно (1)3, u1 = (V^1)±, так что (8)2 принимает вид

p0(V А^,)1 = V^j.(VI. 3-10)

Если мы применим к этому уравнению операцию поворота ± и возьмем затем дивергенцию, то получим.

'РоАА^^О.(VI. 3-11)

Поскольку* это — бигармоническое уравнение, оно имеет единственное решение <71, для которого q\ и dnq\ обращаются в нуль на д^. Это решение есть qx = 0. Следовательно, щ = 0, и из (10) вытекает, что = const.

Таким образом, на первом шаге с ошибкой порядка О (а2) мы получаем навье-стоксово решение задачи:

РФ = — аг + const + О (а2).

Конечно, если бы мы решили считать навье-стоксово определяющее соотношение точным, то нашли бы, что остаточные члены, тождественно равны нулю. Однако в рассматриваемой здесь более общей теории жидкостей порядка п именно подсчет этих поправочных членов приводит к объяснению вторичных течений.

Шаг 2. Решение для жидкости второго порядка.

Упражнение VI. 3.1. Полагая

-

xi - | V011

(VI. 3-13)

и используя (12)], (VI. 2-4) и (VI. 2-7), показать, что

A2 = a2[(Vo[ ® Vo,) + х2 (k® к)] + О (а3),

(VI. 3-14)

А2 = 2a2VO] ® V»! + О (а3)

и, следовательно,

Но До2 = 0, ц0Д ^q1 = 0,

(VI. 3-15)

так что

о2 = 0, ^2 = 0, и2 = 0

(VI. 3-16)

И

х = avtk + О (а3).

(VI. 3-17)

Таким образом, поле скоростей, получаемое по теории Навье — Стокса, дает решение нашей задачи с точностью до О (а3). Для жидкостей второго порядка, как отмечалось в предыдущем параграфе, прямолинейное течение возможно, поскольку выполняется условие (VI. 5-22). Фактически поле скоростей навье-стоксова решения дает точное решение и для жидкости второго порядка — поправочные члены в (14) и (17) тождественно обращаются в этом случае в 0. Конечно, для того чтобы то же самое течение в жидкости второго порядка имело место, в ней должны действовать нормальные усилия, которых не дает теория Навье — Стокса.

Шаг 3. Приближенное решение -для жидкости третьего порядка. Учитывая (16), получаем из (3)

G = ак <8 (Vu, + aVu2) + О(а3). (VI. 3-18)

Если мы подставим этот результат, (14)г и (16)2 в (VI.2-7), то найдем,что

А3 = О(а5).(VI. 3-19)

Аналогичным образом мы можем усилить соотношение (14), после чего оно приобретет вид

0 W.) + x=(k0 k)J + О(<?),

A, = 2a!Vo,®Vo, + О(а<).' '1

Упражнение VI. 3.2. Подставляя эти результаты в (VI. 1-19) и сравнивая то, что получится с (VI. 2-10), показать, что

t — ардУо, + a3[p0Vo3 + 2 (Р2 + Р3) x^Vo,] + О(а4),^ ^

П = а2 (2а, + a,) (Vo, ® Vo,) + a3p0[Vu3 + (Vu3)T)l + О (а1).

В силу (16) мы имеем u = O(a3), Vo = 0(a), так что u-Vo = O(a4), (Vu)u = O(a6). (VI. 3-22)

Таким образом, в динамических уравнениях (VI. 2-12) вклады правых частей того же порядка, что и ошибки, если учитывать лишь члены вплоть до третьего порядка по г.

Упражиеиие VI. 3.3. Подставляя (21) и (22) в (VI. 2-12), показать, что

Но До3 = — 2 (Р2 + Рз) div (| Vo, Р Vo,), г(VI- 3-23)

Цо div [Vu3 + (Vu3)Tl = Vgs.

Отправляясь от (23) г и проводя рассуждения, аналогичные тем, которые привели от (8)г к (И), доказать, что

роЛЛ<7з = О.(VI. 3-24)

Уравнение (23)i представляет собой уравнение Пуассона, и оно имеет единственное решение од, удовлетворяющее гранич-

ному условию Уз(р) =0 при ре<М Поскольку правая часть уравнения (23) i определяется навье-стоксовым решением У1 и материальным коэффициентом (₽2+₽з)/ро, решение у3 зависит от тех же величин. Бигармоническое уравнение (24) имеет одно и только одно решение q3, удовлетворяющее на д^ условиям q3 = 0, dnq3 = 0, и этим решением является <73 = 0. Поэтому и3 = 0, и

.х = [аУ](р) + а3У3(р)]к + О (а4), (VI. 3-25)

где У1 однозначно определяется формой сечения ^, а у3 — формой сечения и величиной (р2 + Рз)/цо-

Шаг 4. Приближенное решение для жидкости четвертого порядка. Результат, полученный на втором шаге и выражаемый соотношением (17), является для жидкости второго порядка точным решением, если просто отбросить в нем поправочный член. В то же время результат, который мы только что получили, для общей жидкости третьего порядка является лишь приближенным. Действительно, если мы попытаемся согласовать поле скоростей (25) без поправочного члена с теорией жидкости третьего или четвертого порядка, то не сможем этого сделать. Функция сдвиговой вязкости такой жидкости дается формулой (VI. 1-24), и мы находиме

И (х) Vy = {р0 + 2 (р2 + р3) [а^ + 2a4Vy, • Vo3 +

+ а61 Vy3 Pl) (aVy, + a3Vy3) =

= poaVy, + poa3Vy3 + 2 (p2 + pa) AfVy, + О (а5), (VI. 3-26)

где ошибка О (а5) обращается в нуль в том и только в том случае, когда Рг + Рз = 0, т. е. когда ц = цо.

Беря дивергенцию от (26) и используя (23) 2 и (8)1, мы видим, что

div (ц. (х) Vy) = — а + О (a5),(VI. 3-27)

где снова поправочный член обращается в нуль лишь для некоторых частных значений uv, что соответствует специальным формам сечения, или для жидкостей, у которых рг + Рз = 0. Чтобы могло происходить стационарное прямолинейное движение с полем скоростей у, должно выполняться условие (V. 5-19). В силу (27) это условие выполняется в рассматриваемом случае только с точностью до членов О (а5). Таким образом, в общем случае стационарное прямолинейное движение в трубе жидкости третьего порядка, строго говоря, невозможно. В этом смысле решение (25), которое дается нашей формальной процедурой на третьем шаге, является не точным, а приближенным. Конечно, то, что стационарное прямолинейное движение возможно для

частного случая жидкостей третьего порядка, для которых р2 + рз = 0, мы могли бы заметить и с самого начала, поскольку для таких жидкостей выполняется соотношение (V. 5-22).

Упражнение VI. 3.4. Используя (23), (VI. 2-4) и (VI. 2-7), показать, что

А2 = ae(Vo, 8 Vo, + х,к 8^) +,

+ a4 [Vo, 8 Vo3 + Vo3 (g Vo, + 2 (Vo, • Vo3) (k 8 k)] + О (а5)>

Аг = 2a2Vo, 8 Vo, + 2а4 (Vo, 8 Vo3 + Vo3 8 Vo,) + О (а5),....

о л Л/I V 1. О"2О)

А2 = 4а4х^о, 8 Vo, + О (а6),

tr А2= 2агх® + 4a4Vo, • Vo3 + О (а5),•

Аз = О (а5), А4 = О (а«).

Вывести отсюда, что

t = а (...)’+а3 (...) + a4p0Vo4 + О (а5),

П = а2 (...) + a4 {p0[Vu4 + (Vu4)Tl+•

+ (2а, 4- a2)(Vo3 8 Vo, + Vo, 8 Vo3) + yxfvo, 8 Vo,} + Ota5)/^1'3 "^

Y — < (уз + Y4 + Ys +-^ Уз).(VI. 3-30)

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы найти следствия из динамических уравнений (VI. 2-12) с точностью до О(а4). С этой целью подставим (25) в левые части этих уравнений. Поскольку, как мы теперь знаем,.и = О(а4), мы видим, что

u-Vu = O(a5), (Vu) и = О (a8), (VI. 3-31)

так что правые части уравнений (VI. 2-12) обращаются в нуль. Таким образом, ускорениями можно пренебречь даже на четвертом шаге, и получаемое нами решение — это решение для «медленного течения» в том смысле, что мы могли бы с самого начала пренебречь ускорением, знай мы только, что так можно делать. (Как мы уже показали, для жидкостей первого и второго порядка ускорения точно равны нулю.)

Упражнение VI. З.б. Показать, что

Цо До4 =• 0,

Цо div [vu4 + (Vu4)T] + (2a, + a2) div [Vo3 8 Vo, + Vo, 8 Vo3] + (VI. 3-32) '+ у div [x2Vo, 8 Vo,] — Vg4 = 0.

Показать, далее, что o4 = 0, и преобразовать (32)2 к виду

р0Д ^qt =» б (Vo,)1 • V div [(Vo,)2 Vo,],(VI. 3-33)

где

6^ y--^(2a,+ a2)(p2 + p3).(VI. 3-34)

Наконец, показать, что для жидкости четвертого порядка условие 6 = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы она могла совершать прямолинейное течение при любой форме сечения $Ф.

Поскольку (33) представляет собой неоднородное бигармо- ническое уравнение относительно у4, оно имеет единственное решение, определяемое правой частью, т. е. навье-стоксовой скоростью г>1 и константой б, представляющей собой определенную комбинацию 9 из 14 вязкостей порядков 1, 2, 3 и 4. Если не считать жидкостей, для которых 6 = 0, или сечений, для которых (Vo!)1 • V div [(VO])2 VvJ = 0, то решение q^ уравнения (33) не обращается тождественно в нуль. Поэтому в общем случае вторичное течение появляется на четвертом шаге описанного здесь процесса разложения. Результат при этом- имеет вид

х = (ЙУ1 + А3) k + a4-(V<74)i + О (a5), (VI. 3-35)

где функции г>1, и3 и qA однозначно определяются сечением ^ и вязкостями порядков с первого по четвертый, причем ни одна из этих функций не обращается тождественно в нуль, разве только для специальных, течений или специальных жидкостей.

Использованный нами процесс дает на каждом шаге единственное решение. Для некоторых весьма специальных видов жидкостей, как мы видели, процесс кончается после некоторого конечного числа шагов и дает для них, таким образом, точное решение задачи. Из метода решения ясно, что это решение — единственное в классе многочленов по а, но остается еще возможность, что есть другие решения той же краевой задачи, не представимые в виде многочленов.

Это замечание нелишне даже для случая навье-стоксовой жидкости, поскольку многие, опираясь на экспериментальные данные, полагают, что для больших а кроме классического стационарного решения должно быть бесконечно много нестационарных решений. В настоящее время математического доказательства этой гипотезы нет. Еще труднее, естественно, эта проблема для жидкости общего вида, поскольку нет причин ожидать, что формальные ряды по степеням а обрываются, и нет доказательства, что они сходятся для некоторого интервала значений а или в каком-либо смысле представляют собой решение задачи.

При любой попытке точного изучения механики сплошной среды возникают математические трудности самого высокого порядка, и удивительно не то, сколь немногие задачи получили убедительное решение, а то, что вообще хоть некоторые из них были решены. . ' '

Вторичное течение в прямой трубе.Обсуждение вопроса .

Как мы отметили в начале 4-го шага, вторичное течение возникает даже в жидкостях 3-го порядка, если ₽2 + ₽з =/= О, поскольку при Yi = ¥2 = Уз — Yi —Ys —Тб = О (VI. 3-34) дает, вообще говоря, ненулевое значение для 6 и потому в случае сечения общего вида не обращающуюся в нуль функцию вида qv Единственное исключение составляют случаи, когда 2ai .+ «2 = 0 или ₽2 + рз = 0. В первом для жидкости второго порядка в силу (VI. 1-24) 2 имеем щ = 0; во втором в силу (VI. 1-24) 1 ц = цо и <Ti пропорционально х2. В обоих этих случаях выполняется специальное соотношение (V. 5-22), так что возможно прямолинейное движение. Однако в общем случае соотношение (VI.3-35), если в нем О(а5) и у заменить нулями, не дает точного решения. '

Возвращаясь вновь к общим результатам предыдущего параграфа, верным с точностью до членов О (а5) в формальных рядах, мы видим, что несмотря на то, что вычисления были длинными, результаты получились простые. Первый член yt — это поле скоростей для жидкости Навье — Стокса, однозначно определяемое как решение уравнения Пуассона (VI. 3-8) i при граничном условии yj = О на ds4-. Имея уь мы легко можем определить у3 из уравнения Пуассона (VI. 3-23) i с граничным условием Уз = 0 на ds4-. Если, однако, нас интересует только вторичное течение, то мы можем перейти непосредственно к полю скоростей и4, функция тока которого получается как решение неоднородного бигармонического уравнения (VI. 3-33) с граничными условиями <74 = 0, d„94 = 0 на ds4-.

Пусть ур у3 и 94— решение для жидкости с ц0= 1, fe + 03 = 1, 6= 1 в некоторой системе единиц. Тогда решение для жидкости С 14 произвольными ВЯЗКОСТЯМИ Цо. «1» «2. Рр ₽2> Рз> Yl> Y2Ye дается формулами

0!=-i-0i, п3 = -МАаг, <74 = ^94- (VI. 4-1) НоНоНо

Картина линий тока вторичного течения дается кривыми 94 = = const. Поскольку они совпадают с линиями 94 = const, картина вторичного течения одинакова для всех жидкостей е цоб =/= 0. Из (VI. 3-35) ясно, что течение имеет в общем случае винтовой характер, при котором частицы движутся вдоль трубы по траекториям, напоминающим спирали. В отличие от картины вторичного течения самой по себе, шаг спиралей меняется от жидкости к жидкости и зависит также от удельной движущей силы а. То же относится и к распределению скоростей на ли-

ниях тока и тем усилиям, с которыми труба должна действовать на жидкость, чтобы поддерживалось течение.

Как мы убедились в § V. 5, стационарное прямолинейное течение жидкости в трубе — это вискозиметрическое течение, но в общем случае оно невозможно, если не приложены некоторые неконсервативные массовые силы. В предыдущем анализе определено с точностью до О(а5) течение, которое действительно может осуществиться в жидкости n-го порядка, когда на нее действует одна лишь удельная движущая сила а. Это течение не является вискозиметрическим. Тем не менее, .как показывают результаты следующего упражнения, оно полностью определяется вискозиметрическими функциями жидкости. .

Упразднение VI. 4.1. Используя вискозиметрические функции (VI. 1-24) для жидкости 4-го порядка, показать, что Оз — возмущение продольной скорости — определяется для любого сечения величиной

ц" (О)/2цо,(VI. 4-2)

а величина б, определяющая вторичное течение, дается формулой

(VI. 4-3)(VI. 4-3)о^1 (0) о" (0) р" (0)

(VI. 4-3)

(VI. 4-3)

=244рэ ‘ '

Полученные результаты имеют, таким образом, двоякое значение. Во-первых, картина течения отлична от той, которую дает теория Навье — Стокса. Во-вторых, для описания возникающих невискозиметрических течений достаточно информации,, полученной при исследовании вискозиметрических течений.

Конечно, для навье-стоксовой жидкости и для жидкости второго порядка все течения определяются вискозиметрической информацией, и. первоначально цель вискозиметрии состояла в том, чтобы установить полностью природу жидкости и, следовательно, определить в принципе все течения, которые она может совершать. Для жидкостей общего вида вторичные течения в трубах представляют собой тот единственный известный до сих пор случай, когда результаты экспериментов с вискозиметрическими течениями позволяют в принципе описать явления, которые не могут иметь места в вискозиметрических течениях. Отметим, что функция Ог, не оказывающая никакого влияния на возможность или невозможность существования прямолиней: ного течения в случае жидкостей третьего или более высокого порядка, никак не влияет и на действительно возникающее течение.

Поскольку теория дифференциальных уравнений в частных производных, с которыми мы столкнулись на последовательных этапах расчета, достаточно общеизвестна, мы вправе после проведенного исследования считать проблему расчета вторичных

течений в теории жидкостей n-го порядка разрешенной с точностью до членов О (а5). Наши результаты можно проиллюстрировать на примере течения в эллиптической трубе. Выше уже было получено навье-стоксово решение, см. (V. 5-24); для Oi оно дает

у> 2цэ (с2 + й2) \ с2 + *2 л (v i.

Упражнение VI. 4.2. (Грии & Ривлин). Показать, что для эллиптической трубы соотношение (VI. 3-33) принимает внд

^^ = б ^^^(VI. 4-5)

Вывести отсюда, что функцией тока вторичного течения служит

Д / у2 «<2\ 2

<74 = -^ ~+^-(VI. 4-6)

. Но \с 6/

где•

4 (с2 + 62)3 (5с4 + 6с262 + 564) 1 v '

Часто выдвигаётся возражение, что методы возмущений на самом деле мало проясняют существо вопроса, ибо, поскольку они никогда не отходят далеко от того, что было известно ранее, они могут описывать лишь ситуации, в существенном совпадающие с классическими. Задача о вторичном течении в прямой трубе служит одним из немногих примеров, когда метод возмущений дал нечто действительно новое. Правда, при а—*О результирующее поле скоростей стремится к классическому. Однако наличие стационарной компоненты скорости (сколь бы малой она ни была), нормальной к направлению основного потока, порождает винтовые линии тока. Поэтому нельзя сделать положения частиц жидкости сколь угодно близкими к классическим положениям, делая а произвольно малым. Правда, чем меньше а; тем на большей длине трубы нужно следить за частицей, чтобы усгановить отличие от результатов классической теории, но если мы будем смотреть в бесконечную трубу, то увидим проекции линий тока в виде замкнутых кривых, не зависящих от а.

Большинство наиболее впечатляющих проявлений «нелинейной вязкости» было впервые обнаружено на опыте, а позднее оказалось, что их более или менее легко охватить любой достаточно общей теорией. Эриксеновское вторичное течение в некруглых трубах— самое важное из явлений, которые были предсказаны теоретически прежде, чем были обнаружены экспериментально. .

Нестационарное прямолинейное течениенесжимаемой жидкости второго порядка

Рассмотрим теперь некоторые зависящие от времени сдвиговые течения несжимаемой жидкости второго порядка, определяющее соотношение которой имеет вид (VI. 1-19), где ц, ai и «2 — постоянные. Конечно, мы будем предполагать, что сдвиговая вязкость ц положительна. На характер решений оказывает большое влияние знак коэффициента аь Есть серьезные основания принять предположение, что

. О] < 0.(VI. 5-1)

При интерпретации результатов мы будем считать, что это неравенство выполняется. В предельном случае теории Навье — Стокса ai = 0.

Заметим, что —ai/p имеет размерность времени. Таким образом, можно ожидать, что у жидкости второго порядка будет как-то проявляться наличие собственного временного масштаба. И действительно, в тех специальных течениях, которые мы сейчас рассмотрим, проявятся некоторые эффекты существования такого собственного времени. Конечно, эти эффекты должны исчезать в частном случае теории Навье — Стокса, поскольку в этой теории нет никакого характеризующего материал параметра, имеющего размерность времени.

Рассмотрим поле скоростей нестационарного сдвигового течения _

■Х] = 0, X2 = u(xh t), х3 = 0.(VI. 5-2)

Это течение можно рассматривать как движение жидкости между двумя параллельными пластинками Х[ = const, которые как-то движутся параллельно друг другу. Предполагается, что На пластинках выполняется условие прилипания. Подстановка этого поля скоростей в (VI. 1-19) с последующей подстановкой в уравнение первого закона Коши (III. 5-1) приводит к следующему линейному дифференциальному уравнению относительно и(х, 0 (мы пишем х вместо Xi):

рд^и + 0,5^0 + с (0 = р^у.(VI. 5-3)

Упражнение VI. 5.1 (Колеман & Нолл, Тинг). Проверить этот результат. Дать интерпретацию с(/) как движущей силы.

Коэффициент аг в (3) не входит. Если ai = 0, то уравнение (3) сводится к уравнению теплопроводности с источником с (/), точно так же, как и для жидкости Навье — Стокса, в теории которой сдвиговые течения вида (2) занимают важное место как один из немногих классов течений, для которых легко находятся точные решения. Эти решения важны для иллюстрации процессов зарождения, роста и распада пограничного слоя

на плоской поверхности. Для жидкости второго порядка с а, =/= =# 0 поле скоростей и(х, /) отличается от того, которое получается из уравнений Навье— Стокса. Более того, мы уже должны решать уравнение не второго, а третьего порядка; можно ожидать, что оно имеет более широкий класс решений.

Марковиц и Колеман заметили, что частным решением урав- - нения (3) является

у = Ve~ax cos(<o/— bx\(VI. 5-4)

где

а = -i / Р® /1।/ Рё /1 IО

Г 2gV/l+^^l+^/ V 2аД/1+^1+62/’

(VI. 5-5)

р<0 / Ig \ _ , / pg /1g \ .

V 2р. Vyi+65*1+g2/ V 2аЛ/!+^1+g2/

здесь g = акв/ц, и вторая запись в каждом из случаев применима тогда и только тогда, когда ai ^= 0. Можно считать, что это решение описывает стоячую гармоническую волну,- возбуждаемую колеблющейся бесконечно плоской пластинкой х = 0 в жидкости, заполняющей полупространство х ^ 0 и прилипающей к пластинке. Если ai = 0, то

^^/з^- (VI. 5-6)

Это результат теории Навье — Стокса: коэффициент поглощения а и коэффициент фазового сдвига b равны между собой и пропорциональны V®» так что чем выше частота колебаний, тем слабее волны на больших расстояниях от приводящей жидкость в движение пластинки.

Если же ai С 0, то поведение жидкости оказывается совершенно иным.

(VI. 5-7)(VI. 5-7)Упражнение VL5.2 (Трусделл). Проверить соотношение (5) и показать, что при g = — 1/V3 коэффициент поглощения достигает максимума

(VI. 5-7)

(VI. 5-7)

«тах^ - 8с11 •

„2°тах®сгИ„2°тах®сгИпосле чего спадает до нуля. Показать, что соответствующая частота <Bcrit связана с а^ах следующим образом:

„2

°тах

®сгИ

„2

°тах

®сгИ

(VI. 5-8)

и что максимальная скорость сдвига определяется соотношением

ХтахМ-^а’+б8 =V

(VI. 5-9)

Результаты этого упражнения показывают, что ввиду наличия ненулевого значения ai появляется критическая частота cocrit, которой нет в теории Навье — Стокса. По сравнению с навье-стоксовой жидкостью той же сдвиговой вязкости ц жидкость второго порядка испытывает меньший сдвиг при том же возбуждении, но зато сдвиговое движение, которое возникает, распространяется в удаленные части жидкости с меньшим затуханием.

Колеман, Даффин и Мизел обнаружили, что все сдвиговые течения жидкости второго порядка, для которой выполняется неравенство (1), неустойчивы в смысле, который мы сейчас разъясним. Мы рассмотрим только случай, когда c^t) = 0.

Заметим сперва, что функция специального вида

гдегдеv = Ае п sin -7-х, аv = Ае п sin -7-х, а(VI. 5-10)(VI. 5-10). ц2п2л2. ц2п2л2(VI. 5-11)(VI. 5-11)

где

где

v = Ае п sin -7-х, а

v = Ае п sin -7-х, а

(VI. 5-10)

(VI. 5-10)

. ц2п2л2

. ц2п2л2

(VI. 5-11)

(VI. 5-11)

есть решение уравнения (3), обращающееся в нуль на плоскостях х = 0 и х = d и не ограниченное при t —► оо, при условии, что■

'n>V-2——.(VI. 5-12)

Г — О1 л''

Это решение описывает нарастающие колебания жидкости, заключенной между двумя параллельными неподвижными стенками х = 0 и х = d. . ’

Пусть теперь u(x,Z)—ограниченное решение уравнения (3) для канала 0 ^ х ^ d для всех времен t. Положим '

о^о + еА'зт-^х.(VI. 5-13)

Тогда о* также является решением уравнения (3), причем

I u*(x, 0)-и(х, 0)|<в.'(VI.5-14)

Далее, решение u*(x,/) неограничено при t-»oo. Следовательно, если для жидкости, заключенной между двумя неподвижными пластинками х = 0 и х = d, для некоторого начального распределения скоростей и(х, 0) существует ограниченное решение и(х, /)> то для другого начального поля скоростей и*(х, 0), отличающегося от и(х, 0) на произвольно малую величину, существует бесконечно много неограниченных решений. В этом смысле внутреннее трение, присущее жидкости второго порядка, может не гасить, а усиливать колебания,.

9 Трусделл

Из только что доказанной теоремы о неустойчивости ясно, что жидкость второго порядка не дает хорошей модели для описания общего поведения реальных жидкостей. Тем не менее, мы привели доводы в пользу того, что жидкость второго порядка можно рассматривать как улучшенную (в смысле последовательных приближений) модель по сравнению с моделью навье- стоксовой жидкости. Как это согласовать?

На самом деле здесь нет противоречия. Теория Навье — Стокса появляется на первом этапе построения приближенных решений для замедленных движений. Кроме того, на протяжении вот уже более века она дает прекрасные результаты для многих (хотя и не для всех) физических жидкостей. Для медленных течений, в пределе, модель жидкости второго порядка обеспечивает лучшее приближение, чем модель Навье — Стокса. Но этот факт не дает никаких оснований для того, чтобы считать, что она дает лучшее приближение , для течений общего вида.

Во-первых, возможно, что для некоторых частных физических жидкостей теория Навье—Стокса в действительности является точной. Тогда ai = «2 = 0, и приведенные выше возражения против модели жидкости второго порядка отпадают. Однако объяснение такого рода опирается на гипотезы относительно результатов эксперимента и потому не может приниматься всерьез.

Во-вторых, использованная формальная процедура построения приближений относится лишь к определяющему соотношению самому по себе и не дает никаких обоснований вытекающим из него дифференциальным уравнениям движения. Если разность а(х)—6(х) мала, то это не означает еще, что мала разность о/(х)— Ь'^ (если бы это было так, то на основании того факта, что отец выше сына, мы могли бы заключить, что он и растет быстрее). И обратно, малые члены в дифференциальном уравнении не обязательно оказывают малое влияние на решение. ' -

В-третьих, процесс построения приближений путем разложения в ряды часто приводит к появлению последующих членов, которые дают лучшее приближение в некотором узком диапазоне ценой ухудшения приближения в широком диапазоне. Например, у касательной в данной точке к монотонной дифференцируемой функции с самой функцией то общее свойство, что она также монотонна. В каждой своей точке касательная сохраняет это главное свойство аппроксимируемой функции, хотя ошибка аппроксимации может быть большой. Второе приближение по Тейлору — парабола, — конечно, лучшее, чем касательная, вблизи точки аппроксимации, но на удалении от нее намного хуже, даже другого знака либо при +оо, либо при

—оо. Аналогичным образом, любая пара прямых у = к, |Z>|^1, достаточно хорошо аппроксимирует функцию z/ = sinx: несмотря на то, что только две из них касаются хотя где-либо этой кривой, все они сохраняют два из основных ее свойств, а именно периодичность с тем же самым периодом (среди всех прочих) и ограниченность с теми же границами сверху и снизу. Никакое полиномиальное приближение и, следовательно, никакое конечное число членов в тейлоровском приближении не обладают ни одним из этих свойств. Эти примеры показывают, что в неограниченных областях грубое первое приближение может давать лучшую общую картину, чем любое приближение более высокого порядка, каким бы совершенным ни было оно вблизи некоторой отдельной точки. ..

'СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(работы общего характера)

NFTM, §§ 120—123.-

W. Е. Langlois & R. S. Rivlin, Slow steady-state flow of visco-elastic fluids through non-circular tubes, Rendiconti di Mat., 22 (1963), 169—185.

C Pipkin & R. S. Rivlin, Normal stresses in flow through tubes of non. . circular cross-sections, Z. Angew. Math. Phys., 14 (1963), 738—742'.

T. W. Ting, Certain non-steady flows of second-order fluids, Arch, Rational Meeh. Anal., 14 (1963), 1—26..

H. Markowitz & B. D. Coleman, Incompressible second-order fluids. Advances in Appt. Meeh., 8 (1964), 69—101..

H. Markovitz & B. D. Coleman, Nonsteady helical flows of second-order fluids, Physics of Fluids, 7 (1964), 833—841.

C. Truesdell, Natural time of a visco-elastic fluids: its significance and measurement, Physics of Fluids, 7 (1964), 1134—1142.

D. Coleman, F. J. Daffin & V. J. Mfzel, Instability, uniqueness and nonexistence theorems for the equation uf = «z* — u«tx on a strip, Arch. Rational Meeh. Anal., 19 (1965), 100—116.

Часть 3

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Глава VII

УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ

Определение упругого материала и упругого тела

Если материал покоится и все время находился в состоянии покоя, то предыстория деформации постоянна для каждого тела-точки:

F*(X; s) = F(X). ' (VII. 1-1)

Следовательно, в этом классе предысторий все, что определяется с помощью F', определяется и с помощью F. В частности, определяющее соотношение (IV. 3-1) простого материала сводится к следующему:

- T = ex(F, X), - (VII. 1-2)

где функция gx(-, X), отображающая обратимые тензоры на симметричные тензоры, представляет собой реакцию материала по отношению к конфигурации х. Материал, определяющее соотношение которого имеет вид (2) для любых предысторий деформации, а не только для предысторий, относящихся к состоянию покоя, называется упругим. В таком материале напряжения в каждом теле-точке однозначно определяются текущей деформацией относительно произвольной фиксированной отсчетной конфигурации.

Сказанное означает, что класс простых материалов неотличим от класса упругих материалов с помощью статических экспериментов. Иначе говоря, статическая теория упругости — это одновременно статика простых материалов (статика здесь рассматривается как частный случай динамики, а не как независимая дисциплина). •

Тело, все точки которого «сделаны» из упругого материала, называется упругим телом.

Во многих книгах формулируется «принцип Даламбера» как правило получения динамических уравнений из статических посредством добавления «сил инерции». Что касается рассматриваемого случая, то статические урав-

нения для любого простого материала имеют вид div g„ + pb = 0. Добавление «сил инерции» дает div g„ + pb = рх. Эти динамические уравнения справедливы только для упругих материалов. Если бы был верен этот популярный «принцип Даламбера», то.все простые материалы должны были бы быть упругими и ие могли бы существовать такие вещи, как материалы с памятью. В частности, всякая жидкость была бы упругой и даже теории Навье — Стокса была бы запрещена этим «законом» механики.

В определении (2) используется конкретная отсчетная конфигурация х, однако любая другая конфигурация дала бы то же самое. В самом деле, применяя (IV. 3-3) к случаю упругого материала, мы видим, что

9jF, X)-gJFP, X), (VII. 1-3)

где Р.— градиент деформации, которая отображает конфигурацию %( в х2. Поскольку Р есть заданная функция от X, определение упругого материала, хотя на первый взгляд в нем существенно используется конкретная отсчетная конфигурация, на самом деле не зависит от нее. Действительно, как показывает (3), реакция упругого материала различна при различных выборах х, однако если известно поведение упругого материала относительно одной отсчетной конфигурации, то его поведение относительно любой другой конфигурации явно определяется правилом (3).

Аналогично для несжимаемых упругих материалов имеем

Т = — pl + g(F), | detF |= 1, (VIL 1-4)

где, как обычно в дальнейшем, в том числе и для упругих тел без внутренних связей, аргумент X и нижний индекс х опускаются.

Как мы показали в § IV. 4, определяющее соотношение (2) удовлетворяет принципу материальной независимости от системы отсчета тогда и только тогда, когда оно приводится к виду

T = Rg(U)RL (IV. 4-2)

Таким образом, реакция упругого материала на произвольные деформации однозначно определяется его реакцией на одни только чистые деформации и влияние поворота R на напряжения явно выделено.

Хотя верно, конечно, что приведенная форма (2) является лишь частным случаем приведенной формы, полученной ранее для произвольных простых материалов, ее можно- также получить с помощью простого непосредственного привлечения некоего «принципа инвариантности», нвляющегося частным случаем принципа материальной независимости от системы отсчета. В самом деле, как читатель легко проверит, для того, чтобы быть в состоянии вывести (IV. 4-2) из (2), достаточно потребовать, чтобы определяющее соотношение было одним и тем же в системах отсчета, ие находящихся в движении

одна относительно другой. Для таких систем отсчета тензор Q в (1.9-11) яи- ляется постоянным ортогональным тензором. Независимость от системы отсчета в подгруппе не зависящих от времени замен системы отсчета называется эвклидовой инвариантностью. Представимость в виде (IV. 4-2) необходима и. достаточна для того, чтобы определяющее соотношение (2) было эвклидово-инвариантным.

При решении конкретных задач полезны и другие приведенные формы, конечно, эквивалентные (2); некоторые из них мы будем выводить по мере надобности.

Упругий материал, подобно любому другому, может быть твердым телом или жидким кристаллом. Если он изотропен, но не является твердым телом, то, разумеется, он представляет собой жидкость. Как мы показали в § IV. 4, определяющее уравнение упругой жидкости имеет вид

Т = —р(р)1, (IV. 4-4)

в то время как для несжимаемой упругой жидкости, как мы показали в § IV. 7,

Т = —pl, (IV. 7-12)

где р не определяется деформацией. Упругие жидкости интенсивно изучают в гидродинамике, аэродинамике, метеорологии, океанологии, геофизике и космологии. Несмотря на большую важность этих жидкостей для инженеров во многих конкретных приложениях, они слишком специальны, чтобы представлять интерес для этой книги, разве что мы будем использовать их время от времени для иллюстрации общих принципов.

Конфигурация, свободная от напряжений, называется естественной конфигурацией. Если такая конфигурация существует, то ее можно использовать в качестве отсчетной, так что

9(1) = 0. (VII. 1-5)

В приложениях, относящихся к твердым телам, принято считать, хотя часто это и не обязательно, что упругий материал действительно имеет естественную конфигурацию. С другой стороны, в механике жидкости обычно принимаются такие предположения, которые обеспечивают выполнение неравенства р(р)>0 при р > 0. Из (II. 5-4) видно, что если рх=/=0 для некоторой отсчетной конфигурации х, то р ^ 0 для любой конфигурации, которую можно получить гладкой деформацией конфигурации х. Следовательно, такие жидкости не имеют естественной конфигурации. В этой книге мы не будем предполагать, что материал имеет естественную конфигурацию; все исключения специально оговариваются.

В дальнейшем в этой книге, если не оговорено противное, мы будем рассматривать только однородные упругие тела и будем

предполагать, что отсчетная конфигурация х выбрана так, что она представляет собой однородную конфигурацию данного тела. Таким образом, функции, обозначенные через 9 или дх, являются функциями одного только F. .

В теории упругости принято использовать слово «деформация» (strain) лишь для описания нежестких деформаций *) тела и говорить о «малой» или «бесконечно малой» деформации (strain), когда тензор F в некотором смысле близок к 1, а все иные деформации называть «большими» или «конечными». В § IX. 1 мы придадим точный смысл терминам «бесконечно малая деформация» (deformation) и «бесконечно малый тензор деформации» (deformation). Как мы уже замечали на стр. 87, иногда мы будем употреблять слово «деформация» (stram), может быть с эпитетами «большая» или «малая», и в нестрогом разговорном смысле.

Дифференциальные уравненияи граничные условия в теорий упругости

В задачах, относящихся к нежидким упругим материалам, часто полезно вести описание с начала до конца по отношению к некоторой одной отсчетной конфигурации. Имея это в виду, запишем результирующую контактную силу, действующую на Ч^У в виде интеграла от вектора усилий t, по границе дх(^) тела 9 относительно отсчетной конфигурации х:

1с(Я = J tdA = J LdA; (VIL2-1)

мы опускаем в обозначениях время t. ■

Таким образом, вектор tx параллелен вектору t, нс его величина устанавливается в соответствии с локальным изменением площади:

'(VH.2-2)

где обозначения относятся к местам, соотносимым друг другу деформацией: х=хх (X)- На основании фундаментальной теоремы Коши (III. 3-1) существует тензор Тх(Х), такой, что

t,==Kn. = ^-^-Tn,(VII. 2-3)

где Пк — единичный вектор внешней нормали к ди (9) в X.

Упражнение VII. 2.1. Пользуясь теоремами дифференциальной геометрии показать, что

(VIL2'4)

То есть деформаций, градиент которых отличен от единичного тензора.— Прим. ред. ''.

Результат этого упражнения показывает, что

K = JT(F-*)t, T = J"*KFT. (VIL 2-5)

Тензор Т„ называется тензором напряжений Пиолы.

Можно предпочесть просто определить Тх формально с помощью (5) 1 и затем проверить, что (2) выполняется и тем оправдать определение. Этот метод, несмотря на то что его непросто мотивировать, имеет то преимущество, что позволяет избежать повторного обращения к фундаментальной теореме Коши.

Хотя тензоры Т и L оба служат для определения усилий, действующих на каждую часть тела, ни один из них не определяет другой, пока не указан градиент F деформации от конфигурации х к текущей конфигурации х,- Тензор напряжений Коши Т полностью выражает текущие усилия и только их, а тензор напряжений Пиолы Тх выражает те же самые усилия, только когда задан градиент F.

Упражнение VII. 2.2. Доказать, что законы Коши (III. 5-1) и (III. 5-4) в терминах тензора Тх принимают следующий вид:

DivTx+pxb = pX. T^^Fy, (VII. 2-6)

Где прописное «D» в «Div» служит для того, чтобы напоминать, что здесь Тх рассматривается как функция от Х и 1. Дифференциальное уравнение (6)1 должно удовлетворяться внутри отсчетной конфигурации х(й?); предполагается, что определяющее уравнение материала таково, что (6)2 удовлетворяется тождественно.

В терминах тензора напряжений Пиолы определяющее уравнение (VII. 1-2) упругого материала принимает вид

L = ^(F>X) = ^(F),(VII. 2-7)

где во втором выражении мы опускаем в записи х и X. Функциональное уравнение (IV. 4-3), выражающее независимость от системы отсчета, переходит в уравнение

$(QF) = Q$(F),. (VIL 2-8)

которое должно выполняться для произвольных ортогональных Q и произвольных обратимых F.

Подстановка определяющего уравнения (7) в (6) дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет деформация Хх упругого материала во всех внутренних точках X конфигурации х(^);

Div^(F, X) + pxb = px.(VII.2-9)

Более явным образом, -пусть координатная запись (7) соотношения имеет вид

T.ma = VkFy ^(VII.2-10)

Положим

Атр^д^т^ ИЛИ A (F, X)^M(F),Р(VII.2-11)

9ms^Xa^ma• ■

Тензор четвертого ранга А называется тензором упругости рассматриваемого упругого материала. Так как Р^ = дх^ (Xs, t^a = х£, р, т0 координатная запись уравнения (9) имеет вид

V^a^ + ^ + pA^P^, (VII.2-12) где х£о. р обозначает вторую ковариантную производную1). Если используются прямоугольные декартовы координаты, то £«;ГШ№ О- (VII. 2-13) Для однородного тела qm = 0. В дальнейшем мы будем рассматривать только однородные тела и будем записывать (12) в сокращенном виде

A[GradF] + Pltb = Pltxx. (VII. 2-14)

Читатель, конечно, будет помнить, что оператор А, как это ясно из (11), является сам функцией от F и X и что он зависит также от выбора х. Уравнение, которое мы записали в различных формах (9), (12) и (14), известно как общее дифференциальное уравнение теории упругости."

Обратимся теперь к граничным условиям, которым, как можно ожидать, удовлетворяет решение общего дифференциального уравнения. Задание места х, в которое переходит при деформации граничная точка X конфигурации х, составляет граничное условие для перемещений:-

Хх(Х, t) = (заданная функция от X и 0 при X е ^ <= дх (.$).

. (VII. 2-15)

Труднее сформулировать соответствующее граничное условие для усилий. Мы хотим найти деформацию, вызываемую приложением заданных сил к данному телу в конфигурации х. Бес

’) Вторая ковариантная производная х^ а. ресть тензор третьего ранга, который в прямоугольных декартовых координатах имеет вид (13). Подробности, которые в этой книге ие понадобятся, изучающий может найти в CFT, § Арр. 20.'.

смысленно указывать усилия, действующие на дх(^?) в ее теку* щей конфигурации дхх(^), поскольку сама эта конфигурация %х, вообще говоря, неизвестна. Если мы просто укажем усилия, действующие на границе дх($) в отсчетной конфигурации для то произведенная деформация в общем случае сместит точку приложения усилия и исказит поверхность, так что такое указание может не отвечать никакому реальному" представлению о приложении заданных сил. Обычно берут такое граничное условие для усилий;

^x(F, Х)пх = (заданная функция от X и О при Хе^сдиД *(VII. 2-16)

где пх — внешняя нормаль к дх^ в X. В этом условии, предписывающем усилия tx, выражена стратегия постановки четко определенной граничной задачи. Этим граничным условием, согласно (2), определяется направление усилия t в том неизвестном месте, куда X отображается при деформации, но не его величина, которая зависит от неизвестного изменения площади, вызываемого деформацией. Для того чтобы наглядно представить себе, как работает это условие, предположим, что заданные усилия действуют на дх^) и что в процессе деформации направления этих усилий сохраняются неизменными, но их величины изменяются в отношении dA W/dA (х). Это и будет заданная сила, действующая на единицу начальной площади.

Хотя могут представлять интерес другие граничные условия, мы не будем их рассматривать в этой книге.

Типичная статическая граничная задача классического типа заключается в нахождении решения хх уравнения (14), в случае, когда х(^) —данное множество тел-точек X, А — заданная функция обоих своих аргументов, Ьх и рх — заданные функции от X на х(^), когда дх (^) = 9’1 U S^ и когда должны удовлетворяться граничные условия (15) и (16) с независящими от времени граничными данными.'

В типичной динамической граничной задаче с начальными данными классического типа задаются вдобавок к указанным выше граничным условиям начальные положения и скорости каждого тела-точки. Обычно само X берется в качестве начального положения тела-точки X и х(Х, 0) задается для всех Хех (^).■

Дифференциальные уравнения (14) и граничные условия (15) и (16) известны в принципе с середины прошлого столетия и во всех деталях с конца его, но их очевидная сложность приводила к тому, что до недавнего времени все попытки их строгого исследования оканчивались неудачей. Хотя теория упруго*

сти является действительно классической теорией, большинство относящихся к ней основных теорем было получено в последние двадцать лет.

Неединственность решения в общем случае.Существование и единственность решенийдля малых нагрузок и смещений

В настоящее время в теории упругости неизвестна какая бы то ни было общая теорема единственности.

Несомненно, что без каких-либо ограничений никакое утверждение о единственности не может быть справедливо. Рассмотрим, например, упругий материал, заключенный между двумя концентрическими цилиндрами. Оставляя внутреннюю цилиндрическую границу неподвижной, повернем внешнюю границу против часовой стрелки на 180°, так что каждая точка на этой границе перейдет в диаметрально противоположную. Можно ожидать, что при этом материал, заключенный внутри, подвергнется некоторой гладкой деформации. Если бы вместо этого тот же самый поворот границы был сделан по часовой стрелке, то точки внешней границы испытали бы то же самое смещение, однако внутренние точки, будучи вытягиваемы по часовой стрелке, а не против, испытали бы, конечно, отличное от предыдущего смещение. Более общим образом, если мы рассмотрим граничные значения X, (X), соответствующие телу-точке X, расположенному на внешнем цилиндре, которые получаются в результате поворота на угол 0, то увидим, что поворотам на углы 0 + 2лп, где п — любое целое число, соответствуют одни и те же граничные значения, в то время как значения У,(Х) в случае, когда X — внутренняя точка, должны сильно зависеть от п. Подобный пример легко строится и со сферической оболочкой. Нельзя ожидать, что какая бы то ни было разумная теория упругости будет давать единственное решение такой статической граничной задачи с заданными перемещениями.

Переходя теперь к статической граничной задаче с заданными усилиями, рассмотрим чашу в виде полусферы, сделанную из изотропного упругого материала, в ее естественной конфигурации. На краях чаши, равно как и . на обеих полусферических ее границах усилия равны нулю. Опыт учит нас, что такую чашу, если она имеет не очень толстые стенки, можно вывернуть наизнанку и она будет оставаться в этой вывернутой форме прн отсутствии каких бы то нн было усилий на всей ее границе, несмотря на то что внутренние напряжения уже будут, существовать. Никакая хорошая теория упругости конечных деформаций не должна исключать такое выворачивание. Фактически

одна из центральных задач как раз и заключается в том, чтобы вычислить вывернутую форму согласно теории. Следовательно, требование единственности при любых условиях решения статической граничной задачи с заданными усилиями представляется нежелательным.

Такая точка зрения может быть подкреплена другим примером. Мы действительно ожидаем единственности в одном случае, а именно при однородном растяжении или сжатии стержня, подвергнутого одноосному нагружению растягивающими напряжениями t или давлением —t. Однако, согласно (VII. 2-16), в граничной задаче с заданными усилиями задаются не эти усилия /, а усилия t* на единицу площади в отсчетной конфигурации х. Пусть растягивающие усилия tx действуют наружу по плоским торцам стержня в конфигурации х. Существуют две различные деформированные конфигурации хх. соответствующие поставленному условию. В одной из них усилия tx по-прежнему действуют во внешние стороны, как растягивающие, на деформированные торцы; в другой — торцы поменялись местами после поворота стержня на угол 180°, и, Поскольку направления усилий фиксированы, усилия стали сжимающими. Актуальные усилия t различны в этих двух случаях, поскольку в одном случае площадь торцов будет уменьшаться, а в другом — увеличиваться. Мы ожйдаем, что каждая из этих задач должна иметь в точности одно однородное1) решение. Кроме того, классическая теория продольного изгиба стержней Заставляет нас ожидать, что если /х достаточно велико, то наша задача должна иметь еще и неоднородные решения, соответствующие сжатию. Наконец, явление образования шейки наводит на мысль, что могут быть также неоднородные' решения, соответствующие достаточно большим растягивающим усилиям.

Эти примеры показывают, что мы не можем в общем случае ожидать единственности решения типичной граничной задачи классического типа. С другой стороны, в некоторых случаях единственности следует ожидать. Например, если заданные функции t, и /, в соответствующих частях границы <3х(^) всюду достаточно малы, то надо ожидать, что существует самое большее одно решение, для которого всюду [F — 11 соответственно мало. Таким образом, следует полагать, что должна быть одна и только одна форма упругого тела при условии, что на его границе заданы небольшие нагрузки или смещения. Аналогично решение типичной граничной задачи, если оно существует, должно быть локально единственным в том смысле, что не должно существовать никакого другого всюду близкого к нему, ■ ■ ■

’) То есть не зависящее от положения сечения стержня. — Прим. ред.

Такого рода общая, но слабая теорема единственности должна иметь место, однако до сих пор не найдена адекватная формулировка такой теоремы, не говоря уже о доказательстве.

Одна теорема существования и единственности была доказана Стоппелли ) для специального класса статических граничных задач с заданными усилиями. Полагая b и tx фиксированными функциями положения в х(^?) и <3х(^) соответственно, он рассматривает массовые силы eb и граничные усилия etx и доказывает, что для достаточно малых е существует единственное решение, если только нагрузка не имеет оси равновесия. (Если система сил, эквивалентная 0, может быть повернута на любой угол относительно некоторой оси и при этом останется эквивалентной 0, то эта ось называется осью равновесия. Для такой системы нагрузок, очевидно, поворот не изменяет напряженного состояния, и поэтому нельзя ожидать единственности деформаций.) Стоппелли доказал, далее, что решение есть аналитическая функция от е и, следовательно, может быть найдено методом степенных рядов. Для граничной задачи с заданными перемещениями соответствующая теорема была получена Ван Бюреном2), и притом в более сильной форме, поскольку в его теореме малое перемещение границы может быть общим, необязательно полученным из данного, фиксированного, умножением на множитель е.

Теоремы Стоппелли и Ван Бюрена выявляют роль статической классической теории упругости при бесконечно малых деформациях как приближения для общей теории и способы усовершенствования этого приближения, но они не проясняют положения в задачах с большими деформациями.

Изотропные упругие материалы

Как было показано выше, в общем случае определяющие соотношения изотропных материалов имеют приведенную форму (IV. 14-2), при ограничении (IV. 14-3). Применяя эти результаты

к частному случаю упругого материала, определенного при помощи (VII. 1-2), мы получаем следующую теорему:

Простой материал представляет собой изотропный упругий материал тогда и только тогда, когда относительно некоторой отсчетной конфигурации его определяющее соотношение имеет вид

Т = f (В),. (VIL 4-1)

где f удовлетворяет функциональному уравнению

f(QBQT) = Qf(B)QT(VII. 4-2)

для всех ортогональных Q и всех симметричных В. Обратно, если справедливы (1) и (2), го отсчетная конфигурация является неискаженной. _

Упражнение VII.4.1 (Рихтер). Не обращаясь к общим теоремам § IV. 14, доказать, что (VII. 1-2) эквивалентно (1) и (2) тогда и только тогда, когда упругий материал Изотропен и отсчетная конфигурация неискажена.

Как мы договорились в § IV. 4, функции, удовлетворяющие (2), называются изотропными. Мы уже использовали, приведя его без доказательства, представление (IV. 4-11) для частного случая аффинной изотропной функции. Докажем теперь знаменитую теорему о представлении Ривлина — Эриксена.

Теорема (Ривлин & Эриксен). Функция f (А), значения и аргументы которой представляют собой симметричные тензоры над п-мерным векторным пространством, изотропна тогда и только тогда, когда она имеет представление вида .

'.D = f (А) = Фо1+ ФЛ + ... + Ф^А"-1, (VII. 4-3)

где ф( — изотропные скалярные функции от А:

" ф< (QAQT) = ф( (А).(VII. 4-4)

Доказательство. Следующее доказательство предложено Серрином и Ноллом. Пусть е—собственный вектор тензора А; выберем в качестве Q отражение относительно плоскости, нормальной к е:■

Qe = — е, Qf = f, если Ье = 0. (VII. 4-5)

Тогда QAQT = A и из (3) вытекает, что QDQT = D. Следовательно,•

Q(De) = D(Qe) = —De,(VII. 4-6)

т. е. Q преобразует De в противоположный вектор. В силу (5) так может быть тогда и только тогда, когда вектор De параллелен е: '

De = de.(VII. 4-7)

Таким образом, е. является также собственным вектором тензора D.

Пусть аь а2, ..., ат—различные собственные числа тензора А с соответствующими им единичными собственными-векторами eb q2em>, т<.п. Векторы е,- представляют собой ортонормированные собственные векторы тензора D. Пусть di — соответствующие им собственные числа, которые не обязательно должны быть различными. Рассмотрим следующую линейную систему для величин ф0, фЬ ..., фт-ь

^ = ФО + ФА + Ф2а1+ ••• + фт-1аб'*’^=1> 2- -1’ W.

(VI 1.4-8)

Определитель этой системы, от нуля, поэтому существуют данных d^ и ак\ например,Определитель этой системы, от нуля, поэтому существуют данных d^ и ак\ например,равный П (“./ —аб), отличен/< А'равный П (“./ —аб), отличен/< А'единственные решения ф< дляединственные решения ф< для

Определитель этой системы, от нуля, поэтому существуют данных d^ и ак\ например,

Определитель этой системы, от нуля, поэтому существуют данных d^ и ак\ например,

равный П (“./ —аб), отличен/< А'

равный П (“./ —аб), отличен/< А'

единственные решения ф< для

единственные решения ф< для

(VII. 4-9)

Упражнение VII. 4.2. Используя теорему о спектральном представлении, показать, что

(VII. 4-10)(VII. 4-10)D = <pol+q>iA+ ... + фт-1А/п~1.

(VII. 4-10)

(VII. 4-10)

Поскольку ф,- — функция собственных чисел тензора А и поскольку QAQT имеет те же самые собственные числа, что и А, то (4) удовлетворяется. "

Если собственные числа тензора А все различны, то т = п и доказательство завершено.' Если нет, то мы можем выбрать фт = фт+1 = ... = фп_] = 0, и опять доказательство соотношения (3) завершено, однако этот выбор функций ф, только один из возможных: они определены не однозначно. ■

Функции ф,- в общем случае не обладают какими бы то ни было свойствами гладкости, которые может иметь f(A). Скажем, если функция f (А) непрерывна, то фг не обязательно будут непрерывными.

Упражнение VII. 4.3. Доказать, что скалярная функция ф( удовлетворяет соотношению (4) тогда и только тогда, когда

Ф.-Ф.^'г-" ••'«)• (VII. 4-11)

где /1, U, .... 1п — главные инварианты тензора А, т. е. элементарные симметричные функции собственных чисел аь агап:

1\— #1 + а2 ++= <Г А,

1з =0^2 + а^з + •-• + а1аП + а^аз + ••• + аП— 1аП=

'_} |(|гА).-1г ,V,L4■|2,

In а а । а2 ... ап ^ d et Аф

(В этом упражнении тензор А не обязан быть симметричным; а< обозначают п корней у, возможно кратных или комплексных, характеристического уравнения det (A —yl) = 0.)<.

Возвращаясь к теории упругости, мы получаем теорему о представлении для определяющего уравнения (1), отнесенного к неискаженной конфигурации:

Т= Nol+^6+N2B2. (VII. 4-13)

В силу уравнения Гамильтона — Кэли В3 — IB2 + ПВ — ПИ = 0, где I, II и III — главные инварианты тензора В, мы можем представить (13) в другой форме:

Т = 201 4-DjB + D^B-'.(VII. 4-14)

Коэффициенты реакции Ко□_; в этих представлениях являются функциями инвариантов I, II и III.'

Эти представления определяющего соотношения были впервые получены еще Рейнером, хотя важный частный случай был открыт задолго до того Фингером. Ни одни из этих авторов ие рассматривал функции общего вида (1), и их рассуждения ие были прототипом тех, которые служат для общего доказательства.•

Как тривиальные следствия только что доказанного результата получаются следующие два утверждения:

В изотропном упругом материале каждая главная ось меры деформации в х (^, 0 есть также главная ось тензора напряжений. Напряжения в неискаженной конфигурации изотропного упругого тела всегда гидростатические.

Разумеется, главная ось тензора напряжений в общем случае может не быть главной осью меры деформации, как показывает пример определяющего соотношения (IV. 4-4) упругой жидкости..

Из (14) видно, что для того, чтобы некоторая неискаженная конфигурация была и естественной конфигурацией, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты реакции Dr относительно этой конфигурации удовлетворяли соотношению

□0(3, 3, D + ЭДЗ, 3, П + Э-НЗ, 3, 1) = 0. (VII. 4-15)

Результат предыдущего упражнения показывает, что даже если одна неискаженная конфигурация представляет собой естественную конфигурацию, другие в общем случае не будут таковыми. Действительно, напряжения в неискаженной конфигурации, полученной в результате объемного расширения с В = £1 из отсчетной конфигурации, определяются соотношением

Т = р0(ЗА, ЗА^ + ЗДЗ&.ЗА2, А^ + З^ЗА, 3&2, А3)] 1, (VII. 4-16)

и нет никаких оснований полагать, что эти напряжения обращаются в нуль при А #= 1. Пример упругой жидкости с положительной функцией давления р показывает, что изотропный упругий материал может не иметь никакой естественной конфигурации.„

Собственные числа it тензора Т называются главными напряжениями. В изотропном материале, согласно (13), они связаны с главными растяжениями у, так:

^=К0+М+М^Чуру2,Уз), • (VII. 4-17)

где i = 1, 2, 3.■,'

Упражнение VII. 4.4. Три функции /i(Vi,V2, Уз) неотрицательных аргументов определяют упругий материал при помощи соотношений (17) тогда и только тогда, когда существует функция 7(1, т], £), такая, что

i (М. £) = <($. ?. П).

.tx = i (оь п2, из),

/2 = t («2, оз. »i)>(VII. 4-18)

'.<3 = i (о3, о,, о2).

Если мы подставим полярное разложение F = VRB(vn.2-5)p то получим.

■Тх = (/TV-1) R,.(VII. 4-19)

В изотропном упругом материале, как мы доказали, Т и V-1 соосны, так что тензор TV-1 симметричен. Собственные числа симметричного тензора /TV-1 даются формулой

Tt = v{v2v3^-, t = l,-2, 3. (VII. 4-20)

Эти числа называются главными силами системы напряжений по отношению к х, поскольку они отвечают той же самой результирующей силе на единицу площади поверхности в отсчетной конфигурации, что и порождаемая главными напряжениями, действующими на соответствующую площадь в текущей

конфигурации. Иногда числа Т^ называют техническими напряжениями или номинальными напряжениями.

Если мы подставим (1) в первый закон Коши (III.5-1), то получим дифференциальное уравнение движения для изотропных тел

F^p, Врч. m + pbk=p5c\(VII. 4-21)

где

f^ =9вр^кт^-f^ =9вр^кт^-(VII. 4-22)(VII. 4-22)

f^ =9вр^кт^-

f^ =9вр^кт^-

(VII. 4-22)

(VII. 4-22)

Здесь независимыми переменными являются х и t. Таким образом, для изотропных тел имеется пространственное описание, естественное и простое, как в классической гидродинамике. Тензор F наряду с А представляет собой один из тензоров, называемых тензором упругости материала.

Компоненты относительно ортонормированной тройки собственных векторов тензора В* (которые, конечно, являются также собственными векторами тензора Т) называются, главными компонентами. Примерами главных компонент служат главные растяжения v{ и главные напряжения tt, и соотношение (17) демонстрирует упрощения, которые часто достигаются в результате использования главных компонент. '

Разумеется, читатель, наученный на опыте классической ошибки в тео- рин упругости бесконечно малых деформаций, не станет ожидать, что главные компоненты будут в общем случае компонентами по отношению к какой- нибудь системе координат. ’

Упражнение VII.4.5 (Трусделл & Тупин). Типичные главные компоненты тензора F таковы:

F(11 Н) = д^,,

F^ 122) = д^,, ... ’

—yasr, если 01 ^ о2,

F(1212) =F(1212) =(VII. 4-23)(VII. 4-23)2^-*!)

F(1212) =

F(1212) =

(VII. 4-23)

(VII. 4-23)

- ^^ ~^l). есЛИ 01 = 02-

а компоненты всех других типов равны нулю. Интерпретировать 9 отличных от нуля главных коэффициентов упругости как касательные модули при растяжении и секущие модули при сдвиге. ’

Для несжимаемого изотропного упругого материала, согласно (VII. 1-4) и (3), можно записать уравнения, соответствую-

щие (13) и (14), в виде -■

T = -pl + М1В + М2В2 =,

,(VII. 4-24

= —pl+D1B + D-1B-,V ’

где р произвольно, а Мь ...,□_] —функции от I и II, причем допустимы только такие деформации, для которых det В = 1.

Определяющие уравнения рассматриваемого типа были получены впервые Ривлиным. Они сыграли важную роль в период возрождения механики сплошной среды в конце 1940-х годов. •

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)

NFTM, §§ 43 - 50

IRE, §§ HI. 1 —III.3.

Глава VIII

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ. ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

§ 1. Нормальные усилия при простом сдвиге

В § IV. 9.10 были изучены однородные движения однородных простых тел. Из представленных там результатов следует как частный случай, что в любом данном однородном простом теле любая статическая однородная деформация, совместимая с внутренними связями, наложенными на это тело, может поддерживаться действием одних только граничных усилий. С помощью такой деформации можно перевести тело из любой однородной конфигурации в любую другую.

В качестве примера рассмотрим простой сдвиг величины К:

х' = Х\ хч- = Х2 + КХ\ х3 = Х3. (II. 9-1)

Как мы увидим в § IX. 3, при бесконечно малой упругой деформации из естественной конфигурации простой сдвиг может быть вызван приложением пропорционального ему напряжения сдвига у том же направлении. При конечной деформации изотропного упругого тела такое простое описание эффектов уже невозможно, поскольку одно лишь напряжение сдвига никогда не может произвести простой сдвиг.

Для того чтобы найти напряжения, требуемые для осуществления простого сдвига (II. 9-1) в теле без внутренних связей, подставим в (VII. 4-14) компоненты тензоров В и В-1, задаваемые соотношением (II. 9-13). Если мы определим функции Dr от К2 следующим образом: .

X(К2)^ЗДЗ + К2, З + К2, 1), г = 0, 1, -1, (VIII. 1-1)

то найдем, что

[Т] = (Do + D, + D-,) [ 1 ] + К Cd, - D-,)[Т] = (Do + D, + D-,) [ 1 ] + К Cd, - D-,)о 1 оо 1 о1 о о1 о оо ооо оо+ №D.+ №D.0 0 о0 0 оо о1 о о оо о1 о о о+ №□-!+ №□-!1 о о ООО ООО1 о о ООО ООО(VIII. 1-2)(VIII. 1-2)

[Т] = (Do + D, + D-,) [ 1 ] + К Cd, - D-,)

[Т] = (Do + D, + D-,) [ 1 ] + К Cd, - D-,)

о 1 о

о 1 о

1 о о

1 о о

о о

о

о о

о

+ №D.

+ №D.

0 0 о

0 0 о

о о

1 о о о

о о

1 о о о

+ №□-!

+ №□-!

1 о о ООО ООО

1 о о ООО ООО

(VIII. 1-2)

(VIII. 1-2)

В частности, соотношение между напряжением сдвига Г(12) и величиной сдвига К имеет вид .

Г(12) = КД(К2), (УШ. 1-3) где

(УШ. 1-4)

Таким образом, как и следовало ожидать, Т(12) есть нечетная функция от К, и любая такая функция совместима с теорией, основанной на (VIII. 4-14). Функция Д — это обобщенный модуль сдвига материала в данной неискаженной конфигурации, используемой в качестве отсчетной. Классический модуль сдвига ц = ц(0). Если коэффициенты реакции Dr дифференцируемы в точке (3,3,1), то '

р, (К2) = р + О (К2) при /<->0. (VIII. 1-5)

Поэтому любое отклонение от классической пропорциональности напряжения сдвига величине произведенного им сдвига представляет собой эффект по крайней мере третьего порядка малости по сравнению с последним. .

Упражнение VIII. 1.1. Используя (II.9-14), показать, что модуль сдвига р следующим образом выражается через главные напряжения h и главные растяжения о< при простом сдвиге *

■ . й = 4—(VIII. 1-6) fl — .

Для упругой жидкости р(№) = 0 при всех К. Хотя и неизвестно, может ли какой-нибудь материал, не являющийся жидкостью, удовлетворять этому условию, при истолковании наших результатов мы будем исключать из рассмотрения все такие материалы, молчаливо предполагая в дальнейшем, что р (К2) > 0 для любого К.

Возвращаясь к (2), мы видим, что для поддержания простого сдвигд напряжением сдвига, было бы необходимо, чтобы D^D-^O и, следовательно, в силу (4) чтобы р (№) = 0. Это означает, что напряжение сдвига также должно было бы обратиться в нуль. Другими словами, выражение для реакции, следующее из теории бесконечно малых деформаций, не может быть точным ни для какого изотропного упругого материала с не обращающимся в нуль модулем сдвига. В общем случае для того, чтобы произвести сдвиг, нужно приложить нормальные усилия в плоскостях сдвига Х3 = const, сдвиговых плоскостях Xi = const, и нормальны^ плоскостях Ха = const.

На основании (2) эти усилия легко записываются следующим образом:

т (33) т ,„2х Зо+Э^З-,

(VIII. 1-7)(VIII. 1-7)Г (11) —Г (33)'

(VIII. 1-7)

(VIII. 1-7)

К23-1 ’

Т (22) - Т (33) _б

К23

Для того чтобы получить эти результаты, не нужно предполагать, что изотропный упругий материал имеет естественную конфигурацию. '

Случай, когда все три нормальных усилия равны или даже когда 7(11) = 7(22), невозможен, поскольку тогда из (7) и (4). опять следовало бы, что ц ^К^ = 0 для каждого К, т. е. имел бы место случай, который мы условились исключать из рассмотрения. Таким образом, самое большее два из трех нормальных усилий, требуемых для того,' чтобы произвести простой сдвиг, могут совпадать друг с другом. Фактически из (7) и (3) вытекает следующее универсальное соотношение, связывающее между собой три компоненты тензора Т независимо от того, каковы коэффициенты реакции Dr:'

7(22)-7(11) = /<7 (12).(VIII. 1-8)

Соотношения такого типа могут служить для проверки применимости всей теории в целом: если в некотором данном случае (8) не удовлетворяется, то никаким выбором коэффициентов реакции 5Г в (VII. 4-14) нельзя подвести рассматриваемый случай под теорию изотропных упругих материалов.

Упражнение VIII. 1.2. Пусть N н Т— нормальное н касательное усилия в деформированной конфигурации в плоскости' Хг = const. Доказать, что

(1 + К2) 7 =/( (Г (22) — Г (1 1)) + (1 —/С2) Г (1 2),

(1+/<2)^ = Г(22)-2/СТ(12)+/<2Г(1 1).1 L

Следовательно, универсальное соотношение (8) можно представить в виде КТ{1 2) = 0 + К2) (Т (I 1)-V).(VIII. 1-10)

В случае когда К мало, N « 7(11). Однако если N = 7(11), то мы опять заключаем, что 7(12)= 0. Таким образом, строго говоря, невозможно, чтобы два нормальных усилия 7(11) и N были равны друг другу. Более общо, если коэффициенты реакции 5Г дифференцируемы в отсчетной конфигурации, то

5, (Л2)=5г(о) + о (л2), (Vin. 1-п)

поэтому в силу (7) различие нормальных усилий представляет собой в общем случае эффект второго порядка относительно величины сдвига. Существование этих различий называется эффектом Пойнтинга.

Давным-давно, используя очень специальный вариант теории упругости, Пойнтинг пришел к формулам, подобным (7). (Предыдущий анализ показывает, что достаточно произвольный выбор упругой реакции, положенный Пойнтингом в основу его исследований, не влияет на общий характер результата, который необходимо имеет место в любой независимой от системы отсчета теории изотропных упругих материалов.) А именно, Пойнтинг вывел, что если бы к кубику были приложены напряжения сдвига без этих нормальных усилий, то его грани сблизились бы или разошлись иа величину, пропорциональную К?.

Среднее растягивающее напряжение равно

Itr Т =[т + 1(3! + З^)] К2. (VIII. 1-12)

Наличие такого растягивающего напряжения называется эффектом Кельвина. Если неискаженная отсчетная конфигурация является естественной конфигурацией, то в силу (2)

(VIII. 1-13)(VIII. 1-13)30(0) + d1(0) + 5_,(O) = 0.

(VIII. 1-13)

(VIII. 1-13)

Если при этом справедливо (11), то 1гТ = О(/(2).

Кельвин получил результаты такого типа исходя из очень частного варианта теории. Ои вывел, что, и обратно, если бы мы хотели получить гидростатическое напряжение, соответствующее (12), то изотропное тело в условиях сдвига стремилось бы сжаться или расшириться, в соответствии со знаком правой части (12), соразмерно квадрату величины сдвига. '

Хотя выводы Кельвина и Пойитиига не строги, последние исследования в той или иной мере подтвердили их.

Поскольку простой сдвиг изохоричен, он может быть осуществлен также в несжимаемых телах, хотя требуемые для этого напряжения будут несколько отличаться от напряжений, которые вызывают такую же деформацию в упругом теле без внутренних связей. Согласно (VII. 4-24) и (И. 9-13),

О О

(VIII. 1-14)(VIII. 1-14)О О

(VIII. 1-14)

(VIII. 1-14)

О О

где ц опять определяется формулой (4) и 3Г = 3Г(К^2) = = 5Г(3 + К2, 3 + К2)- Условие баланса сил div Т = 0 приводит

к требованию ро = const. Поскольку материал несжимаем, эффект Кельвина уже не может иметь места. Зато вследствие произвольности давления р0 расширяется множество возможных проявлений эффекта Пойнтинга. Давление р0 можно подобрать так, чтобы на любом одном из семейств плоскостей Xt = const, Х2 = const, х2 = const или Х3 = const отсутствовали нормальные усилия. Например, если мы выберем ро = 0, то 7(33)= 0. В этом случае

Ц^_ = зх. (VIII. 1-15)

Эти соотношения позволяют дать непосредственную интерпретацию коэффициентам реакции. Таким образом, опять 7(11)т^ =5^7(22), и поскольку справедливо (10), то 7(11)=^ N.

Хотя простой сдвиг представляет собой наиболее подробно изученный вид статической однородной деформации, важны и другие случаи, особенно простое растяжение и равномерное объемное расширение. Более важным, чем любой отдельный случай, является тот факт, что всякую однородную статическую деформацию можно осуществить в произвольном однородном упругом теле посредством приложения одних только подходящих поверхностных усилий, если только деформация, о которой идет речь, не исключается внутренними связями, которые может иметь тело. Поля деформаций, которые можно задать заранее, не решая никаких дифференциальных уравнений, подсказывают программу экспериментов для выяснения определяющих соотношений для напряжений. Поскольку любая однородная деформация соответствует некоторым усилиям на границе тела, нужно только как-нибудь произвести деформацию и затем измерить усилия, требуемые для ее поддержания. Таким образом были составлены эмпирические таблицы значений □] и □-! для некоторых резин, в предположении, что эти резины несжимаемы.

Упражнение VIII. 1.3. Получить и проанализировать решения для случая простого растяжения как для тел без внутренних связей, так и для несжимаемых тел. •

Универсальные деформации в общем случае

Как мы установим в упр. IX. 3.2, в классической теории бесконечно малых упругих деформаций статическая деформация изотропного упругого тела, подвергнутого действию одних усилий на границе, описывается уравнением Навье

GradDivu + aAu = 0, (VIII. 2-1) где a — коэффициент в определяющем уравнении, а и — вектор смещения-.

U = X,(X)-X. ' (VIII. 2-2)

§ 2 ГЛ. Vni. УНЙбЁРсАЛьнЫЁ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 281

Следовательно, решение и данной конкретной граничной задачи, вообще говоря, зависит от а:

(VIII. 2-3)(VIII. 2-3)u = u (X, а).

(VIII. 2-3)

(VIII. 2-3)

Другими словами, соответствующие заданным граничным условиям смещения во внутренних точках тела для одного материала в общем случае будут отличаться от смещений для дру-, гого материала. Для того чтобы некоторое поле смещений и(Х) было возможно для всех материалов, каково бы ни было значение а, согласно (1), необходимо и достаточно, чтобы

В таком случае три компоненты векторного поля и должны удовлетворять шести дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка.

Когда число уравнений илн других условий, которые должны удовлетворяться в точке, превышает число неизвестных функций, задачу часто называют «переопределенной». Хотя широко распространено мнение, что переопределенные системы не имеют решений, оно остается только мнением, не больше. В действительности дело обстоит не так, чему легко привести примеры1); «число» условий представляет собой психологическое, а не логическое понятие.

Конечно, уравнениям (4) удовлетворяет тривиальное распределение смещений u = const, но ему также удовлетворяют и некоторые нетривиальные распределения, например все решения задачи Сен-Венана о кручении.

В механике сплошной среды деформацию называют универсальной для данного класса материалов, если она может быть осуществлена во всех материалах этого класса, подвергнутых действию подходящим образом подобранных поверхностных усилий. При этом поля массовых сил b предполагаются одинаковыми, поскольку если бы полем b можно было распоряжаться, то все деформации были бы универсальными, и изучать их было бы не проще, чем строить общую теорию. Обычно, когда рассматривают универсальные решения, b принимается равным 0. В этом различии между массовыми силами и контактными силами проявляется общий опытный факт, заключающийся в том, что массовые'силы нельзя выбирать по желанию, а поверхностные усилия можно, во всяком случае в- широких пределах.

Универсальные деформации представляют собой наиболее важный вид деформаций, поскольку нам не надо знать конкретные свойства материала для того, чтобы быть уверенными в том, что в нем можно произвести все такие деформации, лишь бы он принадлежал рассматриваемому классу. Теория упругости для бесконечно малых деформаций является типичным случаем. Мы можем найти решения, которые удовлетворяют уравнениям (4), а следовательно, также и (1), не зная а. Поверхностные усилия, требуемые для того, чтобы осуществить эти решения в данном конкретном теле, будут каким-то специальным образом зависеть от а. Сравнивая поверхностные усилия, приложенные в опыте, с усилиями, вычисленными для универсальной деформации с произвольным значением а, можно определить наиболее подходящее значение а для тела, с которым проводился опыт. Деформацию, которая не является универсальной, едва ли можно использовать для определения свойств материала путем такого •сравнения, поскольку реакция материала, например определяемая величиной а, должна быть известна заранее для того, чтобы можно было решить граничную kзадачу, о которой идет речь, с тем чтобы определить, какая Иа самом деле будет деформация.■.

Универсальные статические деформации простых телбез внутренних связей и изотропных упругих тел

Полученные в § IV. 9 результаты показывают, что для класса однородных простых тел без внутренних связей, на которые не Действуют массовые силы, все однородные предыстории дефор-

маций' без ускорений представляют собой универсальные деформации. Тем более этот результат применим к изотропным упругим телам.

Ограничивая" класс рассматриваемых материалов, можно расширить класс универсальных деформаций, как это видно иа примере теории упругости при бесконечно малых деформациях. Поэтому естественно поставить вопрос, могут ли деформации, не входящие в только что упомянутые классы, быть универсальными решениями для всех однородных изотропных упругих тел. Для изотропного упругого тела, отнесенного к неискаженной конфигурации, согласно (VII.4-14), уравнение равновесия имеет в случае b = О вид

div (Dol +31В + Э-1В~) = 0. (VIII. 3-1)

При универсальной деформации тензор В должен удовлетворять этому уравнению тождественно относительно функций Dr Если мы выполним дифференцирование и положим коэффициенты при 30, diD0, dnD0, ..., дщЗ-! равными нулю, то мы получим 12 условий, которым должны удовлетворять 6 компонент тензора В. Кроме того, этот тензор должен быть положительно определенным и должен определяться .по полю деформаций согласно формуле B==FFT, гдeF = VZx. В результате получается еще больше условий. Эриксен доказал1), что В = = const представляет собой единственный тензор, удовлетворяющий всем этим условиям: единственно возможными универсальными статическими деформациями однородного изотропного упругого тела являются однородные деформации.

Универсальные статические деформации изотропныхнесжимаемых упругих тел

Результаты § IV. 10 показывают, что для несжимаемых однородных простых тел, подвергнутых действйю любой системы потенциальных массовых сил, все однородные предыстории деформации, сохраняющие циркуляцию, являются универсальными решениями. Тем более этот результат применим к несжимаемым изотропным упругим телам, однако в этом случае такими деформациями класс универсальных статических деформаций не исчерпывается. Согласно (VII.4-24), выполняться должно такое условие:

— gradp + div (DjB + D-tB-1) = 0 (VIII. 4-1)

при любом выборе коэффициентов 3j и Э-р Следовательно, rot div (3jB + 3-jB"1) = 0.(VIII. 4-2)

Если мы распишем это уравнение и приравняем нулю коэффициенты при 2Ь di2i, diD дпЭ-i, то получим опять 12 условий, да теперь еще тензор В должен удовлетворять условию det В = 1. Разумеется, ■ В = const является решением, однако существует и много других, и их открытие (первым такое открытие сделал Ривлин в конце 1940-х годов) привело к большому оживлению в теории упругости при конечных деформациях. Эти решения в несколько обобщенном и расширенном виде мы теперь и опишем.

- Если предположено, что деформация некоторого частного вида является универсальной, то простого вычисления достаточно для того, чтобы проверить, так это или не так на самом деле. Ниже перечислены пять семейств деформаций (каждое из которых зависит от нескольких постоянных Л, В, С и т. д.), которые, как теперь известно, являются универсальными для однородных изотропных тел. В этом перечне прописные буквы обозначают координаты относительно неискаженной отсчетной конфигурации: X, У, Z — прямоугольные декартовы координаты; R, 0. Z— цилиндрические полярные; R, 0, Ф — сферические полярные. Малые буквы обозначают координаты относительно деформированной конфигурации: х, у, z; г, 0, z; г, 0, <р, с обычным значением. В каждом случае в перечне указано отображение x = Z,(X), записанное в компонентах относительно указанных систем координат..

Семейство 1. Изгиб, растяжение и сдвиг прямоугольного параллелепипеда:•

г = УЖ, Q = BY, z = 4q-BCY, где AB=^0. (VIII. 4-3)

Семейство 2. Выпрямление, растяжение и сдвиг сектора круглой цилиндрической трубы:'

х = ^АВ^, у=4в* 2=4 + ^, где ЛВ^О. (VIII. 4-4)

Семейство 3. Вдавливание или выворачивание, изгиб, кручение, растяжение и сдвиг сектора круглой. цилиндрической трубы:..

г = КМЧ75, 9 = C0-\-DZ, z=E0 + FZ, где A(CF~DE)=i.

'•(VIII. 4-5)

Семейство 4. Вдавливание и выворачивание сектора сферической оболочки:

■г=(±я3 + л)1/3, е = ±0, ф=ф. (Vin.4-6)

Семейство 5. Вдавливание, растяжение и сдвиг кругового цилиндра:,

r = AR, G = B\ogR + CQ, z = DZ,r№ A^CD^. (VIII. 4-7)

Изучающий без труда проверит, что эти пять семейств деформаций на самом деле являются универсальными для однородных несжимаемых тел. В каждом случае он может определить из первого закона Коши поля давлений, совместимые с равновесием, и, используя (VII. 4-24), вычислить все компоненты тензора напряжений. В следующем параграфе мы подробно проследим этапы доказательства для некоторых важных частных случаев.

■ Эриксен *) попытался определить все виды статических универсальных деформаций для однородных несжимаемых тел и доказал, что семейства 1—4 «почти» исчерпывают их. В его анализе оставались неисследованными две возможности. Одна из них такова: главные растяжения постоянны, а локальное вращение R нет, тензоры grad div В и grad div В-1 симметричны, но не обращаются в нуль. Семейство 5, которое было обнаружено десять лет спустя после того, как было опубликовано исследование Эриксена, принадлежит как раз к этому второму типу. Если существуют другие универсальные деформации, то они также должны быть второго типа, поскольку другой из случаев, не обследованных Эриксеном, как было доказано), невозможен. ’

Приведенные выше семейства деформаций важны потому, что на. примере полей напряжений, необходимых для того, чтобы их произвести, видно, как взаимодействуют различные типы деформаций. В теории упругости при бесконечно малых деформациях напряжения, соответствующие смещению, равному сумме двух смещений, представляют собой сумму напряжений, требуемых для того, чтобы произвести каждое смещение в отдельности. В теории упругости при конечных деформациях, конечно, принцип суперпозиции нарушается. .Рассмотренные семейства универсальных деформаций как раз и позволяют понять, каким образом ' этот принцип нарушается в некоторых случаях; мы увидим это в следующем параграфе.

' *) J. L Ericksen, Deformations possible In every isotropic, incompressible, perfectly elastic body, Z. angew. Math. Phys., 5 (1954), 466—489.

Примеры универсальных деформацийдля изотропных несжимаемых тел

Семейство 3, несомненно, является самым интересным. В качестве иллюстрации метода мы подробно рассмотрим наиболее важный частный случай деформаций, входящих в это семейство, а именно случай, когда нет сдвига в угловом направлении (С = 1) и нет сдвига образующих цилиндра (£= 0):

r = VAR2 + B, Q=e + DZ, z = FZ, где 4F = 1. (II.9-15)

Деформации из этого подсемейства представляют собой вдавливание или выворачивание, кручение и растяжение кругового цилиндра. Для них мы вычислили в упр. II. 9.3 компоненты Вкт и (B-X\hro. Компоненты тензора определяющих напряжений Т + pl получим, подставив (II.9-16) и (II.9-18) в (VII.4-24).

Поскольку здесь нам не нужны пока полные результаты, отметим только три факта, относящихся к этим компонентам:

(VIII. 5-1)(VIII. 5-1)T + pl=f(r),T<re) = T(rz) = o.

(VIII. 5-1)

(VIII. 5-1)

Покажем теперь, что если компоненты напряжений имеют такой вид, то мы можем выбрать р таким образом, чтобы сделать систему напряжений Т совместимой с первым законом Коши (III. 5-1) в случае b = 0. Действительно, в цилиндрических координатах этот закон записывается так:

д,Г<гг)+1(Г(гг)-Г<ее» = О,

дер = 0, (VIII. 5-2)

д2Р = 0.

Следовательно, р = р(г) и

Т (rr) = - J 7 ('■'•>-7 W dr. (vni. 5-3)

Обратно, если удовлетворяется (3) и если р = р(г), то система напряжений является уравновешенной при действии одних лишь усилий на границе. Следует отметить, что (3) сводится к определению р^, когда f в (1)1 известно. Однако мы предпочитаем рассматривать последнее соотношение как исключающее полностью р из зддачи. Поскольку тензор Т, как теперь показано, представляет собой функцию только от г, соотношение (3) можно представить еще в таком виде:

(VIII. 5-4)(VIII. 5-4)г(ее)=(гг.<гг)Г.

(VIII. 5-4)

(VIII. 5-4)

Упражнение VIII.5.1. Доказать, что результирующее нормальное усилие N на части торцевой плоскости г = const, ограниченной окружностями г = и н г = г2, определяется соотношением

.Г,

N = nr»T (гг) £ + л J (2Т (zz) — Г (rr) — Г (00)) г dr. (VIII. 5-5) г,

Выбор постоянной интегрирования в (3) позволяет нам сделать какой-нибудь один цилиндр, скажем г = гх или г = Га, свободным от усилий, однако в общем случае не более чем один. Согласно (5), в общем случае невозможно произвести деформацию без приложения определенных нормальных растягивающих напряжений в плоскостях 2 = const, и эти напряжения, вообще говоря, имеют ненулевую результирующую N.

Теперь, после того как мы определили р и показали, что наша деформация является универсальной, мы можем вычислить все - напряжения, подставив (II. 9-16) и (II. 9-18) в (VII. 4-24). Напряжения сдвига определяются непосредственно 7'<е2> = ОТ(^Э1--^-3_1). (VIII. 5-6) Явные формулы получаются также, например, Для Т^гг\— — 7(00) и для TCzz') — T(rr). Чтобы вычислить Т^гг), мы подставляем предыдущее выражение в правую часть (3). ■

Теперь проиллюстрируем результаты на наиболее Важных частных случаях.

Случай 1. Кручение и растяжение сплошного цилиндра. Положим В = 0, г\ = Ri = 0, в (1) и выберем постоянную интегрирования в (3) так, чтобы Т(гг} = 0 при R = R2. Тогда деформация представляет собой кручение D]F, наложенное на продольное растяжение F в сплошном цилиндре со свободной от напряжений поверхностью. Результирующий крутящий момент Т и результирующее нормальное растягивающее усилие N на плоских торцах определяются согласно (6) и (5) формулами:

riRi

^ - ^ f гТ <20) - 2лг dr = -^ / (□, - -р D-J R3 dR, оо.

N = 2n(F-^ ^-l^RdR-(VIII. 5-7)

.' ох

•Rt

--^/ ^-^-^dR.

.о

Поскольку, как видно из (11.9-18)4,7. аргументами функций Di и □_, являются I и II, каждая из величин Т, N представляет

собой сумму двух функций от F и D, ни одна из которых не является (функцией только от F или только от D. Правда, первый интеграл в выражении для N обращается в нуль, если исчезает растяжение (F=l), а второй интеграл обращается в нуль, если исчезает кручение (D = 0), но в общем случае каждый из них является функцией как от F, так и от D. Таким образом, невозможно разделить нормальное растягивающее напряжение на часть, определяемую кручением, и часть, определяемую растяжением.

Упражнение VIII. 5.2. Доказать, что -

Пт 4 лц/?^,

(VIII. 5-8)(VIII. 5-8)О->0, F->1 D 21

(VIII. 5-8)

(VIII. 5-8)

Нт р — 3|лл/?о о->о, f->.i г — I

и истолковать эти результаты.

С помощью (7) решаются три важные задачи. В задаче Кулона мы отыскиваем соотношение между крутящим моментом и углом закручивания для малых углов закручивания. Поэтому мы считаем F фиксированным, a D устремляем к 0. Если положить .

тото□r(^)^3r^+4- 4^2F\ '(VIIL5-9)

то

то

(VIII. 5-10)(VIII. 5-10)т (F) = Him DjF — 2 л^2 (Э1 ■ р 3-1),

(VIII. 5-10)

(VIII. 5-10)

^(F)^lim N = ^dF-lA^v -yD-l

No(F) представляет собой результирующее растягивающее усилие, необходимое для того, чтобы произвести удлинение F в случае, когда отсутствует кручение, а т(Е) — это модуль кручения при удлинении F, соответствующем No. Обе величины являются довольно простыми функциями от F, если известны коэффициенты реакции Dr. Один важный результат можно получить, не зная Dr, а именно . '

t(F)t(F)^ ^ pip^ ^ pip(VIII. 5-11)(VIII. 5-11)

t(F)

t(F)

^ ^ pip

^ ^ pip

(VIII. 5-11)

(VIII. 5-11)

Это изящное универсальное соотношение Ривлина можно рассматривать как решение задачи Кулона для кругового цилиндра из несжимаемого изотропного упругого материала. Если каким- либо способом, например эмпирически, определено N0(F), то

§ 6- Гл. viii. УнйвейсАльнЫё деформаЦйи изотропных ТеЛ 289

можно вычислить t(F). Результаты опытов на растяжение дают нам возможность предсказать результаты опыта на кручение. Именно теоремы такого типа, связывающие одно явление с другим, ценятся в механике сплошной среды выше всех других.

В задаче Пойнтинга мы отыскиваем удлинение, которое происходит вследствие кручения цилиндра со свободными торцами. Для того чтобы получить решение, исходя из (7), мы считаем D фиксированным, полагаем ^ = 0 и решаем (7) относительно F. Неизвестно, существует ли решение в общем случае, но для малых углов закручивания оно существует.

Упражнение VII 1.5.3. Доказать, что -

F — 1D^o №)!F — 1D^o №)!1 в2/'Ц-^_1(1)12^4р1 в2/'Ц-^_1(1)12^4р(VIII. 5-12)(VIII. 5-12)

F — 1

D^o №)!

F — 1

D^o №)!

1 в2/'Ц-^_1(1)

12^4р

1 в2/'Ц-^_1(1)

12^4р

(VIII. 5-12)

(VIII. 5-12)

Результат этого упражнения также имеет большое значение для теории. Во-первых, он показывает, что при малых кручениях растяжение пропорционально квадрату угла закручивания. Во-вторых, было много попыток вычислить величину эффекта Пойнтинга, используя частные и необоснованные предположения, в рамках понятий теории упругости при бесконечно малых деформациях. В этой теории для изотропных несжимаемых материалов существует, однако, один-единственный модуль упругости, а именно ц. Точный и общий результат (12) показывает, что любая такая попытка безусловно обречена на провал, поскольку необходим не один модуль, а два, ц и D-i(l). Таким образом, невозможно правильно описать эффект Пойнтинга, не выходя за рамки теории бесконечно малых деформаций. В-третьих, (12) предсказывает, что кручение твердого цилиндра из несжимаемого изотропного упругого материала приводит к удлинению, еслиЗ-i (1)<И> и укорочению, если □-!(!)> > р. Эксперименты по однородным деформациям резиновых полосок дают значения 3_i(I, II), отрицательные для всех значений I и II. Поэтому мы ожидаем, что цилиндры из тех же самых резин, всегда будут удлиняться при кручении; так и происходит, что и наблюдал Пойнтинг в 1913 г.

В некоторых книгах для инженеров можно найти такое соображение, идущее от Юнга н Максвелла: если идеализированно представлять себе стержень в виде пучка идеально гладких нерастяжнмых проволочек, то он всегда будет укорачиваться при закручивании. Ни Юнг, ни Максвелл не утверждали, что эта модель хороша. Если стержень моделировать как пучок проволок, то этн проволоки не являются идеально гладкими, они передают друг другу как нормальные, так и касательные усилия, и единственный известный путь для вычисления влияния таких неизвестных усилий заключается в том, чтобы забыть о проволочках и решать задачу с помощью настоящей теории упру* гости. Результат для несжимаемых материалов выражается соотношением (12). Это соотношеине показывает, что нет никаких априорных основа-

ний ожидать тот или другой знак; но оно дает нам возможность связать между собой два класса экспериментов. Данные, взятые из экспериментов по однородным деформациям, дают возможность предсказать удлинение* и притом не только качественно, но и количественно. Опять мы имеем дело с результатом того типа, которые и призвана давать механика сплошных сред.

В заключение мы рассмотрим чистое кручение, иолагая F = 1. Сравнение (6) с (VIII. 1-4) дает.

T^-Dr^WY(VIII. 5-13)

где Д— обобщенный модуль сдвига. Этот результат придает конкретность распространенному интуитивному представлению о том, что кручение «эквивалентно» или «аналогично» сдвигу, поскольку напряжение сдвига при кручении определяется только модулем сдвига. Аналогично модуль кручения определяет результирующий крутящий момент согласно (7)2. Хотя интуиция здесь и не подвела, ее триумф на этом и кончается. В материале без внутренних связей модуль сдвига хорошо определяется потому, что простой сдвиг представляет собой универсальное решение. Согласно' теореме Эриксена, изложенной в предыдущем параграфе, кручение не является универсальным решением для материалов без внутренних связей. Поэтому мы в общем случае для материалов без внутренних связей не можем даже определить модуль кручения.

Случай 2. Выворачивание. Выворачивание — весьма естественная проблема для изучения ее в теории упругости. Если бесконечно длинный полый цилиндр вывернуть наизнанку, то он примет некоторую вывернутую форму, возможно опять форму кругового цилиндра, при нулевых усилиях на его поверхностях. Задача ■ для трубы с внутренним и наружным радиусами /?1 и R2, где Ri < R2, состоит в том, чтобы определить возможные значения радиусов гх и г2, для которых усилия обращаются в нуль. Тривиальным решением является Г] = Rb r2 = R2. Если также существует решение, такое, что Г] >• г2, то оно соответствует выворачиванию. Для того чтобы решить эту задачу, мы обратимся к (II. 9-15) и положим D = 0, оставляя А й В подлежащими определению. Выберем постоянную интегрирования в (3) так, чтобы Т(гг)=0 при R = Rx. Условие, выражающее, что Т(гг) = 0 при R = R2, имеет вид

Ri■

°= J №Tw "^Л31-^3"1]^^0' (VIIL5'14) ' Rt

Второе уравнение получится, если положить N = 0 в соответствующем частном случае соотношения (5).

Упражнение VIII.5.4 (Ривлин). Доказать, что условие N = 0 принимает вид•

Ri

f ri' Л2^22 I л^ + в\-

°~ J |ДЛ#2 + ВЛа + R2+

Ri.-

- ' + ( ^У” - 2л + Л^В ) D-] R dR- (VHL 5"15)

Решая уравнения (14) и (15), находим А и В. Решение, для которого А <; 0, если оно. существует, представляет собой выворачивание. Соответствующее удлинение равно F = 1/Л. Известно, что в некоторых частных случаях такое решение существует.

Упражнение VIII. 5.5 (Ривлин). Вычислить явно F для того частного случая, когда Dj представляет собой положительную постоянную, а П-i = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)

NFTM, §§ 54-60 и 91.

IRE гл, IV.

Глава IX

ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Бесконечно малые деформации

Вектор смещения и(Х, О относительно конфигурации х — это вектор, сдвиг (смещение) на который переводит место X из х в место х из X, в момент /:•

u (X, /) ^ х - X = Хх(Х, 0 - X. (IX. 1-1)

Функция и называется полем смещений, а ее градиент — градиентом смещений,■

H = Vu = F —1.. (IX. 1-2)

Вводить смещения в механике сплошных сред полезно, только если как смещения, так и нх градиенты малы в каком-нибудь смысле.

Раз дано некоторое поле смещений и, мы можем построить семейство полей смещений ей и рассмотреть связанные с ним величины в пределе при е->0. Мы будем использовать индекс е для обозначения величин, определяемых по полю ей. Так,

HE = V(eu) = eH.(IX. 1-3)

Тогда

U| = FjFe = (l + еН)т(1+ еН)=1+е(Н + Нт)+О(е2), (IX. 1-4) так что•

UE = l+le(H + HT) + O(e?). (IX. 1-5)

Поскольку полярное разложение тензора Fe имеет вид Fg = =reue, из (5) видно, что.

RE = l+le(H-HT) + O(ez). (IX. 1-6)

Поэтому, если мы положим

Е^1(Н + НТ), R=1(H-HT)(IX.1-7)

й будем писать — для обозначения равенства с точностью до О (в2), то

ие=1 + еЁ=Уе,

Re=l+eR,

Rj = 1 — eR.(IX. 1-8)

Таким образом, тензоры Ё и R характеризуют бесконечно малые меру деформации и поворот соответственно.

Формулы (8) показывают, что если е достаточно мало, то точное полярное разложение F8 = R8U8 = V8Re приближенно заменяется аддитивным разложением Н8 на симметричную и антисимметричную части: H8 = Ee + Re. Теория, в которой удерживаются только члены наинизшего ненулевого порядка по е, называется теорией бесконечно малых деформаций. Другие деформации, например те, которые мы рассматривали прежде и будем рассматривать вскоре опять, называются конечными.

Упражнение IX. 1.1. Доказать, что

Je=l + etrE(IX. 1-9)

и, следовательно, что при бесконечно малых деформациих tr Е представляет собой приращение единицы объема.

Упражнение IX. 1.2. Используя результаты § II. 12 или иным способом, показать, что при бесконечно малой деформации удлинение t>(nj— 1 отрезка материальной линии с единичным касательным вектором п дается соотношением

ц(п)-1 = п-Еп;(IX. 1-10)

что угол сдвига Т(т П),т. е. угол, на который материальные линии с ортогональными единичными касательными векторами тип поворачиваются одна относительно другой, дается соотношением

T(m, n) = 2m • Ёп(IX. 1-11).

и что ось вращения представляет собой ось тензора R и угол поворота ра- вен^|К|.

Определения (7) имеют смысл для деформаций любого вида, однако только в пределе при е->0 тензоры Е и R допускают интерпретации в терминах растяжения, сдвига или поворота, указанные в предыдущем упражнении.

Можно придумать и другие рациональные способы построения приближенных теорий. Например, иногда полезно рассматривать меры деформации, которые малы, даже если смещения и повороты не малы, — скажем, рассмотреть семейство деформаций, определяемое соотношением 2Ё8 = в (С — 1), и, считая U фиксированным, произвести разложение в ряд по степеням в и удержать только члены низшего ненулевого порядка.

Как мы видели в § II. 7, градиенты последовательных конечных деформаций составляются путем умножения (композиции). Однако если мы налагаем друг на друга смещения, то их градиенты складываются, т. е. если и = U] + и2, то Н = Hj + Нг- Этот простой факт не имеет полезной интерпретации, за исключением случая, когда обе деформации бесконечно малые:

НЕ = ЁЕ + Re = Н|Е + Н2е = Ё1е + RIe + Ё2е + R2e. (IX. 1-12)

Разделение этих тождеств на симметричную и антисимметричную части дает

(IX. 1-13)(IX. 1-13)Ее = Е]е 4" Е2е,Re = Rie + Rze-

(IX. 1-13)

(IX. 1-13)

Таким образом, сложение мер деформации, соответствующих двум последовательным бесконечно малым деформациям, приводит к мере деформации, соответствующей результирующей бесконечно малой деформации, и аналогичное утверждение справедливо для поворотов.-.

Определяющее уравнение для бесконечно ; малых деформаций упругого материала

Рассмотрим приведенную форму (VII. 4-2) определяющего уравнения упругого материала и предположим теперь, что реакция в* Дважды непрерывно дифференцируема при U = 1. Будем продолжать использовать символ = для обозначения равенства с точностью до О(е2) при бесконечно малых деформациях. Для семейства смещений ей, согласно (IX. 1.8) ь имеем

8-(U) = 8-(1 + еЕ + О(е2)) = То + еЬ[Ё],(IX. 2-1)

где Lx — линейное отображение симметричных тензоров в симметричные тензоры и Т0 = 8х(1) — поле напряжений Коши в теле, если оно действительно занимает отсчетную конфигурацию х. Часто тензор То называют начальным напряжением. Запишем явно:

.U = du6>(U)|u=1.(IX. 2-2)

Подстановка (1) и (IX. 1-8)2 в (IV. 4-2) дает

Т — (1 + 8R)(T0 + eU [Ё]) (1 - eR) =

= То+ e(RT0 - T0R + МЁ]). (IX. 2-3)

Проведенный анализ показывает, что для заданного семейства полей смещений ей в упругом материале, реакция дх которого

дважды непрерывно дифференцируема при F = 1, напряжения достаточно ■ хорошо аппроксимируются с помощью (3), если е достаточно мало. Таким образом, определяющее уравнение для бесконечно малых деформаций дается законом Коши

T=T0 + RT0-T0R + U[E],(IX. 2-4)

где То — поле напряжений Коши в конфигурации х, относительно которой рассматриваются бесконечно малые смещения.

Упражнение IX. 2.1. Доказать теорему Пуассона — Коши (1829): Определяющее уравнение'"

-T = f(H),(IX. 2-5)

где f — аффинная функция и область значений аргумента Н ограничена бесконечно малыми деформациями, не зависит от системы отсчета тогда и только тогда, когда оно сводится к (4). (Здесь (VII. 4-2) не принимается в качестве исходного соотношения, поэтому не обязательно выполняется (2) и начальное напряжение То не обязательно соответствует упругим деформациям относительно какой-нибудь другой конфигурации.)

Упражнение IX. 2.2. Доказать, что закон Коши (4) с помощью тензора напряжений Пиолы Тх записывается следующим образом:

Tx = (l+trE)T0 + RT0-T0E+Lx[E].(IX. 2-6)

Согласно закону Коши (4) приращение напряжений, которое происходит вследствие бесконечно малой деформации, представляет собой сумму двух приращений, одно из которых зависит только от поворота, другое — только от меры деформации. Первое, равное RT0 — T0R. зависит от начального напряжения То, а в остальном одинаково для всех упругих материалов. Последнее, равное Lx[E], зависит только от меры деформации..■

Тензор четвертого порядка Lx называется тензором линейной упругости (или просто линейной упругостью) упругого материала относительно конфигурации х. Конечно, один и тот же материал имеет различные тензоры линейной упругости относительно различных конфигураций х. Все тензоры линейной упругости материала определяются его точным определяющим уравнением, поскольку правило (2) справедливо для любой отсчетной конфигурации и реакции дх для различных отсчетных конфигураций х связаны между собой посредством (VII. 1-3).

Поскольку Lx представляет собой линейное преобразование, которое переводит симметричные тензоры в симметричные тензоры, то, используя обычный изоморфизм, мы можем рассматривать его как тензор в шестимерном векторном пространстве. Таким образом, он. имеет не более чем 36 различных компонент. Этот очевидный факт должен выражаться с помощью

некоторых условий симметрии, если мы возвращаемся к рассмотрению L как тензора четвертого ранга в обычном трехмерном векторном пространстве. А именно, если в компонентной записи-

(и[Ё])%т=Л*тр%9,(IX.2-7)

то 81 постоянная Lkmpq связаны соотношениями симметрии

jjtmpq __ jjnkpq __ jjimpq(IX 2*8)

В работах по линейной теории упругости принято, далее, считать, что

Lk”pq = LS,km,(IX. 2-9)

т. е. если L рассматривается как тензор в шестимерном векторном пространстве, то предполагается, что он симметричен:

lI —U ■(IX. 2-10)

Некоторое время мы не будем налагать это дополнительное условие, поскольку оно не нужно в тех случаях, которые мы сейчас рассмотрим. Поэтому мы отложим до §§ XII. 6—XII. 13 объяснение того, что оно означает.

■ Заметим лишь, что, как показывает приводимое ниже упражнение, достаточно сильное предположение о симметрии может обеспечить выполнение условия (10).

- В частном случае, когда упругое тело изотропно, соотношение (4) сводится к соотношению

Т =-pl+ Ap(trE)l+ 2црЁ, (IX.2-11)

где р, Хр и р,р — постоянные. Это представление можно полу: чить конкретизацией соотношения (VII. 4-14) непосредственным применением (VII. 4-3) или простым независимым рассуждением, относящимся к (4). Постоянные Хр и рр —это постоянные Ламэ для неискаженной конфигурации, соответствующие гидростатическому давлению р.

Упражнение IX. 2.3. Записать (11) в шестимерной форме, как относительно главного базиса, так и в общем случае, и затем доказать, что (10) справедливо для тензоров Lz специального вида, соответствующего (11).

. Основанием для рассмотрения теорий бесконечно малых деформаций, конечно, является то, что они проще в математическом отношении, чем точная теория. Как мы видели в § 1, если бесконечно малое смещение является результатом последовательного осуществления двух других, то соответствующие повороты и меры деформации получаются сложением друг с другом двух последовательных поворотов и мер деформации

■ соответственно. Согласно закону Коши (4) приращение Т — То также линейно относительно R и Е. Таким образом, если и = = Ui + и2, где щ и и2 — бесконечно малые смещения, то приращение напряжений, соответствующее и, представляет собой сумму приращений напряжений, соответствующих составляющим поворотам и мерам деформации R^ R2, Ej и Е2. Это свойство упругих материалов при бесконечно малых деформациях часто называют законом суперпозиции.

Классическая теория упругости ■ при бесконечно малых деформациях

В классической теории, которой посвящены почти все научные работы девятнадцатого века н учебники для инженеров двадцатого века, предполагается, что упругий материал имеет естественную конфигурацию, и рассматриваются только бесконечно малые деформации относительно этой конфигурации. В этом случае соотношения (IX. 2-4) и (IX. 2-6) сводятся к соотношению

Т=Ъ=ЦЁ], (IX. 3-1)

где отсутствие индекса х у L отражает тот факт, что результаты не справедливы больше для произвольной отсчётной конфигурации, а справедливы только для естественной конфигурации.

Несмотря на то что, как неоднократно отмечалось в этой книге, классическая теория упругих жидкостей тривиально включается как частный случай в общую теорию упругости, классическая теория упругости при бесконечно малых деформациях с самого начала исключает из рассмотрения все жидкости, кроме некоторых особых, поскольку жидкость в общем случае не имеет естественной конфигурации. Как показывает (1), для бесконечно малых деформаций относительно естественной конфигурации тензоры напряжений Коши и Пиолы совпадают. С первого взгляда на (IX. 2-4) и (IX. 2-6) видно, что никакого такого совпадения двух тензоров напряжения не может быть, если отсчетная конфигурация не является естественной конфигурацией.

Многие результаты, приводимые в книгах по классической теории, можно легко распространить на случай бесконечно малых деформаций относительно произвольной конфигурации с более общим определяющим уравнением (IX. 2-4). В компонентной записи .

(IX. 3-2)(IX. 3-2)T^^L^Epq.

(IX. 3-2)

(IX. 3-2)

Здесь 81 постоянных Lhmvq подчинены условиям симметрии (IX. 2-8), которые сводят число различных из них не более чем к 36. В классической теории принимается, что они удовлетворяют вдобавок условию (IX. 2-9), поэтому различных из них не более чем 21.

В том частном случае, когда упругое тело изотропно и естественная конфигурация является также и неискаженной конфигурацией, соотношение (1) сводится к соотношению

Т = Ц1гЁ)1+2цЁ; (IX. 3-3) это можно вывести несколькими путями, например полагая р = 0 в (IX. 2-10). Индекс р у X и ц опущен для того, чтобы отметить, что р = 0.

Постоянные Ламэ X и рдля естественной конфигурации легко истолковать непосредственно. Во-первых, при бесконечно малом простом сдвиге величины К

Ё —y/<(m®n + n®m) (IX. 3^4) для подходящей ортонормированной пары ш, п. Тогда (3) дает

Т — рЛ(m ® n-j-n ® m) (IX. 3-5) — напряжения чистого сдвига величину цК- Таким образом, р— это отношение напряжений сдвига к величине производимого ими сдвига. Поэтому р. называется модулем сдвига. Во- вторых, при бесконечно малом объемном расширении, которое увеличивает единицу объема на d,

~ Ё = уЛ, (IX. 3-6) и (3) дает

• Т = — pl, где р = — (х +-f-p,^. (IX.3-7) 2 "

Таким образом, А, + ур,— это отношение давления к объем- 2

ному сжатию, которое оно производит. Поэтому X-j-ур, называется модулем объемного сжатия.

Упражнение IX. 3.1. Показать, что эти результаты могут быть получены применением разложений Типа (IX. 1-8) к точным решениям для однородных деформаций, найденным в § VIII. 1. ■

Для изотропного материала, модули сдвига и объемного сжатия которого не обращаются в нуль, соотношение (3) можно легко обратить. В самом деле,

tr Т = (ЗЛ 4-2р) tr Ё, (IX. 3-8)

следовательно, eiv[~3rU-<trT), + T]' ' |1Х'3'91 ■ В состоянии простого растяжения величины t в направлении единичного вектора п

T = /(n®n),(IX. 3-10)

поэтому (9) дает

Ё = е/ [n ® n — v(e ® е + f ® f)], (IX. 3-11)

К П, Иц (ЗЯ + 2|л)К П, Иц (ЗЯ + 2|л)v =v =Я2 (Я + р) ‘Я2 (Я + р) ‘(IX. 3-12)(IX. 3-12)где е и f — любые ортонормированные векторы в плоскости, нормальной '

К П, И

ц (ЗЯ + 2|л)

К П, И

ц (ЗЯ + 2|л)

v =

v =

Я

2 (Я + р) ‘

Я

2 (Я + р) ‘

(IX. 3-12)

(IX. 3-12)

растягивающего она называетсярастягивающего она называетсяе есть отношениек произведенномуе есть отношениек произведенномуприложенногорастяжению;приложенногорастяжению;Постоянная напряжения модулем растяжения или модулем Эйлера (или модулем Юнга) материала. Постоянная v есть отношение поперечного укорочения к продольному растяжению; она называется коэффициентом Пуассона.,

растягивающего она называется

растягивающего она называется

е есть отношениек произведенному

е есть отношениек произведенному

приложенногорастяжению;

приложенногорастяжению;

Возвращаясь теперь к рассмотрению материала с произвольной труппой равноправности, мы можем получить дифференциальные уравнения движения для упругого тела, подставив определяющее соотношение (1) в первый закон движения Коши, для которого мы выберем форму (VII. 2-6) i:.

Div {L [Ё]} + p«b = p,u,(IX. 3-13)

или

у Div {L[Grad u + (Gradu)1]} + p„b = p„u. (IX. 3-14)

Поскольку L, px и b — заданные функции от X, то (14) представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно смещения и. Для однородного тела (14) имеет в компонентной записи такой вид:’.

1 Lk,np<1 (ир, qm + uq, pm) + ^bk = pxd?u6. (IX. 3-15)

Граничное условие для усилий (VII. 2-16) теперь принимает вид ЦЁ]Пх = (заданная функция от X и t) при X е ^2 с да (^), "(IX. 3-16)

а граничное условие для перемещений на ^сдх^) в общем случае формулируется как задание там и.

Упражнение IX.3.2 (Навье, Пуассон, Коши). Показать, что для однородного изотропного тела уравнение (13) допускает эквивалентные записи

-’■ |л Ди + (X + р) Grad Div. и + pxb=^pxii,

(X + 2ц) Grad Div и — ц Rot Rot и + pxb = рхи.

Налагая на постоянный тензор L дополнительные ограничения, которые мы обсудим в § X. 1, можно, хотя это далеко не просто, доказать теоремы существования, единственности и регулярности для типичной граничной задачи с начальными данными и типичной статической граничной задачи классической теории упругости бесконечно малых деформаций. Без этих ограничений в общем случае типичная граничная задача не имеет решения. ".•

Сформулированный в конце § 2 закон суперпозиции может быть обобщен ввиду линейности дифференциального уравнения (15) и граничных условий для перемещений и усилий. А именно, для данного тела в данной естественной конфигурации любая линейная комбинация решений также является решением. Поэтому весьма общие задачи могут быть разбиты на более простые задачи, которые можно решить по отдельности, и затем сложение решений этих более простых задач друг с другом даст искомое решение. Например, для того чтобы исследовать задачу о совместном кручении и растяжении цилиндра, мы решаем задачи о кручении й растяжении отдельно и затем складываем решения; в силу закона суперпозиции решение комбинированной задачи есть сумма решений двух отдельных задач. Таким образом, кручение и растяжение не оказывают влияния друг на друга, в рамках классической теории бесконечно малых деформаций. В частности, бесконечно малое растяжение не изменяет модуль кручения. Как мы видели при рассмотрении задачи. Кулона в § VIII.5, никакое подобное разделение воздействий невозможно, если либо угол закручивания, либо растяжение велики. Хотя закон суперпозиции свидетельствует об аналитической простоте и удобстве классической теории бесконечно малых деформаций, в равной мере он свидетельствует об ограниченности этой теории как модели механического поведения материалов..

Соотношение линейной теории упругости ■и общей теории упругости

' Ва Многих случаях для приложений желательно изучить влияние бесконечно малой деформации, наложенной на конфигурацию х, которая получена из другой конфигурации хо посредством известной деформации с градиентом Fo и соответ-

ствующими напряжениями Коши То. Например, х0 могла бы быть однородной естественной неискаженной' конфигурацией твердого тела. Тогда х была бы в общем случае неоднородной и искаженной конфигурацией. Задача здесь заключается в том, чтобы вычислить тензор, линейной упругости L, как функцию реакции д^.

Если мы обозначим через F* градиент деформации из х0 в Тх„ то

F* = FF0 = (H-f-1)FO, (IX. 4-1)

где Fo —градиент деформации из х0 в х. Если в качестве отсчетной конфигурации используется х0, то тензор напряжений Пиолы Тх, в х определяется соотношением

T„(F0)^fx0(F0),T„(F0)^fx0(F0),(IX. 4-2)(IX. 4-2)

T„(F0)^fx0(F0),

T„(F0)^fx0(F0),

(IX. 4-2)

(IX. 4-2)

поэтому согласно (VII. 2-5)2

(IX. 4-3)(IX. 4-3)То = -^^(Ро)РоТ = |.(1),гх6

(IX. 4-3)

(IX. 4-3)

T^(F*) = f,0[(H + l)F0] = f„(F0) +A..(F0)[HF0],

где А» представляют собой тензор упругости А, определяемый, согласно (VII. 2-11)1|2, при использовании х0 в качестве отсчетной конфигурации. Следовательно,

T=-^-Tx0(F*)F,t =

■ -• Т^М^) + A..(Fo)[HFo] ) FoT(HT + 1) =

rx rx,

= (To + -^ A^(Fo)[HFo]FoT)(HT + 1) = (IX. 4-4)

= (1 - tr E) To (HT + 1) +A„ (Fo) [HF0] Fo* =

= To - (tr E) To + T0HT + -^ Ax,(Fo)[HFo]Fot.

Сравнение с (IX. 2-4) показывает, что

U[61 = T0E - (tr Ё) To - RT0 + £- Ax,(F0)[HF0] Fj. (IX. 4-5)

Эта формула выражает тензор линейной упругости Lx относительно х1 через тензор напряжений То в х и тензор упругости A*,(Fo) относительно х0, вычисленный в х.

Не очевидно, что тензор L^ [Е], определяемый формулой (5), симметричен; не очевидно даже, что Lx—функция одного только Е, однако на самом деле это имеет место, как показывает следующее упражнение.

Упражнение IX.4.1. Дифференцируя тождество (VII. 2-8), которое выражает принцип материальной независимости от системы отсчета, получить тождество, которому удовлетворяет L„ в силу своего определения (IX. 2-2). Вывести отсюда, что Lx, определяемое согласно (5), на самом деле ие зависит от R и что Lx [Е] представляет собой симметричный тензор.

Если ио — однородная конфигурация однородного тела, то и в общем случае не обязательно будет таковой. Точнее, если градиент Fo деформации из ио в и неоднороден, .то тензор упругости Lx, определяемый формулой (5), в общем случае будет функцией от X, даже если Lx не является функцией от X. Если ио — неискаженная конфигурация упругого твердого тела, то, очевидно, и в общем случае не будет таковой, что также ясно из (5). Если ио — естественная конфигурация, так что выполняется (IX.3-1), то в общем случае и не будет естественной конфигурацией, и тензор напряжений Т — То, соответствующий бесконечно малой деформации из конфигурации х, зависит не только от меры деформации Е, но также и от поворота R. Эти простые и очевидные факты иногда излагают так, что это ведет к заблуждению. Говорят, например, что сильно деформированное упругое тело «теряет» свою однородность, изотропность и т. д. или даже что оно «не является больше упругим».

' Если упругое тело изотропно и отсчетная конфигурация хо является неискаженной,- то тензор линейной упругости L* может быть вычислен в явном виде. Хотя этот явный вид можно получить, конкретизируя (5), легче начинать заново с соотношения (VII. 4-14) для напряжений.’ '

.Упражнение IX.4.2. (Грин & Ривлин & Шилд, Трусделл). Пусть В — левый тензор Коши—Грина для деформации из неискаженной конфигурации изотропного материала в конфигурацию, в которой тензор напряжений равен, скажем, То, так что.

То = 3q1 + 3[В + D—jB *.(IX. 4-6)

Доказать, что при последующей бесконечно малой деформации '

Т = То + НТ0 + Т0Нт - 2 [D0E + 3-1 (ЕВ-1 + В~1 В)J +

+2 2!(ита+ш?пгН +

Fs=t—I

+ "^tr (BE) - Hl|^ tr (B-'E)} Br, (IX.4-7) где .1, II, 111 —главные инварианты тензора В,

Основные приложения этих результатов относятся к случаю, когда Fo соответствует' однородной деформации однородного изотропного тела из естественной конфигурации. При этом □0+ □] + □—1 = 0, если 1 = 11 = 3, III = 1 и тензор В постоянен. Наиболее важным из полученных здесь конкретных результатов является общее решение Грина — Шилда задачи Кулона для однородного изотропного тела: найти соотношение между крутящим моментом и бесконечно малым углом закручивания и сопутствующие бесконечно малое удлинение и растягивающую силу для цилиндра произвольного односвязного поперечного сечения, который растянут вдоль образующих, возможно очень сильно, из естественной конфигурации. Однородная мера деформации, соответствующая упомянутому растяжению и вдоль направления Х3, такова:

х, = аоХц х2 = ауХ2, х3 = уХ3, (IX. 4-8) где а определяется условием, что поперечные усилия обращаются в нуль так, чтобы поверхность цилиндра была свободной от усилий. Изучающий должен был вывести и проанализировать это условие в процессе выполнения упр. VIII. 1-3. Предполагается, что налагаемое кручение — это кручение сен-вена- новского типа:.

ut = — ех2х3, «2 = ех,х3, w3 = еФ (хр х2), (IX. 4-9) где е— угол закручивания — мал.

Упражнение IX. 4.3. Доказать, что решение вида (9) возможно тогда и только тогда, когда.

(IX. 4-10)

где <р— функция депланации при кручении Сен-Венана для данного поперечного сечения.

Результат (10) сводит решение задачи Кулона к решению задачи Сен-Венана о кручении в классической теории. Соответствующие, вычисления длинны, но стандартны. Оказывается, что модуль кручения т(и) имеет следующий вид:'

т (v) s ^- = »W (у2 3, - a^v-^-O [/0 - а2 (/0 - So)], (I X. 4-11)

где So — жесткость кручения поперечного сечения для естественной конфигурации и /о — полярный момент инерции поперечного сечения относительно его центра тяжести. Результирующее нормальное усилие N, связано с т(у) посредством равенства

(IX. 4-12)(IX. 4-12)N _ 1 - а2А, Т (в)«2Р2 Zo —«2(/д —So) *

(IX. 4-12)

(IX. 4-12)

где Ло — площадь поперечного сечения. Нижний индекс «0» показывает, что величины, к которым он приписан, являются величинами для естественной конфигурации до приложения растяжения о. Результаты (11) и (12) стоит сравнить с соответствующими им соотношениями (VIII. 5-12) и (VIII. 5-13) для несжимаемого цилиндра кругового поперечного сечения.

Общий характер поведения а как функции от о неизвестен. Если мы предположим, что представляется правдоподобным, что сжимаемый цилиндр утолщается, то а > 1 при и < 1. Известно, что So •</о, если поперечное сечение не является кругом. Поэтому, согласно (12), т(и) = 0, когда а(и) принимает значение, такое, что

’ Az^, (IX. 4-13)

т. е. достаточное сжатие сводит к нулю сопротивление цилиндра кручению. ‘

Итерационное решение граничной задачис заданными усилиями

Обычный подход к нелинейной задаче — возмущение соответствующей линейной задачи. В теории упругости метод разложения в ряды был введен стандартным образом Синьорини в связи с граничной задачей с заданными усилиями, Соотношение для напряжений в теории упругости, до сих пор использовавшееся в формах (VII. 1-2) и (VII.2-7), записывается теперь в эквивалентной форме

(IX. 5-1)(IX. 5-1)(IX. 1-2)(IX. 1-2)ТХ = 1(Н),

(IX. 5-1)

(IX. 5-1)

(IX. 1-2)

(IX. 1-2)

где Н —градиент смещений:

.' H=Vu = F-l.

Далее, принимается, что t — аналитическая функция от Н и что отсчетная конфигурация и является естественной конфигурацией. Поэтому для достаточно малых | Н |

Tx = l(H)=Sl$(H),з=1Tx = l(H)=Sl$(H),з=1(IX. 5-2)(IX. 5-2)

Tx = l(H)=Sl$(H),з=1

Tx = l(H)=Sl$(H),з=1

(IX. 5-2)

(IX. 5-2)

где f, — однородный многочлен степени s. Принимается также, что массовые силы Ь и поверхностные усилия tx задаются как функции от X и t в и(^) и на дх(^) соответственно и что Эти функции, кроме того, аналитически зависят от пара-

метра е;

Ь = 2 е”Ь„ в х (^),"J1(IX. 5-3)

tx = 2 entx„ на dx (ST);

в этих выражениях коэффициенты Ь„ и txn являются заданными функциями от X и t. В общем случае нет нужды конкретизировать параметр е, однако в конкретных приложениях принято в качестве него выбирать какую-нибудь специальную представляющую интерес величину, такую, как удлинение или угол закручивания.

Мы ищем решение граничной задачи с заданными усилиями (3), представляющее собой аналитическую функцию от е:

u=5e"u„.(IX. 5-4)

Если такое решение существует, то

Н = 5 e"Hn, где Н„ = Vu„.(IX. 5-5)

П=1

Согласно (2), тогда

К = 5 Is IS erH J = 2 е"Т.„ (Н1Н2, ..., Н„), (IX. 5-6) 5=1\Г=1/5=1

где функции Тхпмогут быть выражены явно через функции 1$. Например,.

Т„=1(Н,),(IX. 5-7)

где I] —некоторая линейная функция.

Упражнение IX. 5.1. Доказать, что

ЧИН,)—L[E],(IX. 5-8)

где L — тензор линейной упругости относительно естественной конфигурации х (^р. (IX. 3-1)).

Точный вид функций Тхп сейчас не важен. Существенно только, что если положить

Ё„^1(Н„ + Н9.(IX. 5-9)

то, согласно (8) и (6),

Ь„ - L [Ё„] + К (Н1( Н2, ..., Н„_,), (IX. 5-10)

где ^п — функция, которую нет нужды знать точно для последующего, хотя конечно, мы можем ее вычислить, если пожелаем. Таким образом, бесконечно малая мера деформации Еп, соответствующая n-му члену разложения тензора Н, входит отдельно от других и точно таким же способом, каким Е входит в соотношение для напряжений в теории бесконечно малых деформаций.•

Поскольку и = х, то, согласно (VII. 2-6), мы можем записать первый закон движения Коши в виде

Div Т, + р,Ь = рХ = PxU.(IX. 5-11)

Подставляя (6), (3)ь (5) и (10) в это последнее уравнение и приравнивая члены с одинаковыми степенями е и поступая аналогично с граничным условием (VII. 2-16) для усилий, мы получим следующую итерационную систему для последовательного определения un:

'Div L [Ёп] + p.bn = p,u„ в x (^),

-,.(IX. 5-12)

L [E„] n, = txrt на dx(^),

где

PxK = pxbn + Div^„(Hi, H2H„-i),-

t:„=txn-b„(H1, h2, .... H„_i)n„• (xi.5-13)

n= 1, 2, 3

Если n = 1, то система (12) сводится к системе уравнений (IX.3-14) и (IX.3-16), которые дают решение граничной задачи с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций при Ui = u иЬ( = Ь. Для произвольного п (12) имеет тот же самый вид, за исключением того, что и заменяется на и„, b на Ь„ и tx на t;„. Таким образом, представляется, что решение граничной задачи с заданными усилиями в теории конечных деформаций, удовлетворяющее предположениям (2), (3) и (4), сводится к решению п граничных задач с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций, первая из которых представляет собой соответствующую классическую граничную задачу для того же самого тела. Нагрузки для задачи n-го порядка равны Ь„ и ti„. Согласно (13), это не просто п-е члены разложения данных нагрузок (3); это определенные функции от решений Up u2, u3, ..., Un-p полученных на предыдущих п—1 стадиях процесса.

Вообще методы возмущений дают решения только для задач, несущественно отличающихся от линейных. Теория упругости здесь не является исключением. Рассмотрим, например, статическую задачу, когда Ь = 0 и t, = 0. При этом задача,

определяемая соотношениями (12) и (13), сводится для каждого п к соответствующей задаче теории бесконечно малых деформаций. Согласно теореме единственности этой теории, un = 0 для каждого и. Следовательно, единственное решение, получаемое по методу возмущений, это тривиальное решение, хотя верная и общая теория конечных деформаций" позволила бы рассмотреть задачу выворачивания, в которой существуют по крайней мере два решения для Ь = 0 и tx = 0 и нетривиальная задача заключается в том, чтобы определить вывернутую форму. Вернемся, однако, к рассмотрению результатов, которые дает метод возмущений..

В задаче о равновесии и = 0 и поэтому итерационная задача, определяемая соотношениями (12) и (13), представляет особые трудности. В теории бесконечно малых деформаций необходимым для существования решения граничной задачи с заданными усилиями является условие, что приложенные нагрузки Ь и L образуют уравновешенную систему, т. е. результирующая сила и результирующий момент сил, действующих на х(^) от этих ' нагрузок, должны равняться нулю. В противном случае решения не существует. В теории бесконечно малых деформаций этот факт означает не более чем предостережение, что если мы попробуем поставить граничную задачу с заданными усилиями, когда приложенные нагрузки не уравновешены, то мы не найдем решения. Аналогично в общей теории нагрузки должны быть уравновешены, чтобы решение граничной задачи с заданными усилиями могло существовать. Поэтому мы принимаем, что b и t, уравновешены в х(^) и, следовательно, согласно (3)" brt и t*n уравновешены в х(^) для каждого п. Однако эти нагрузки не являются нагрузками для итерационной задачи, определяемой соотношениями (12) и (13). Эти последние нагрузки суть bn и t^, зависящие от щ, игип-ь Таким образом, для того чтобы задача (12) — (13) имела решение un, необходимо, чтобы соответствующее' условие удовлетворялось для решения un-i, найденного на предыдущем этапе..

Упражнение IX. 5.2. Показать, что результирующая сила, вызываемая нагрузками (13), равна нулю.

Согласно результату этого упражнения, единственным условием совместности для задачи n-го порядка остается условие, что результирующий момент от нагрузок bi и tin должен равняться нулю. Для того чтобы задача в точной теории имела решение, необходимо, чтобы для любой фиксированной точки х0 в X (^).

J (х-Хо) A МА+ / р(х —Хо) Abt/У = 0, (IX. 5-14)

или эквивалентно

J кК - хо) Л МА + J рДХ, - ХО) Л Ь^У = 0. (IX. 5-15) дх (^)х (^),

Так как Х = Х + и и и неизвестны, это условие не может быть использовано сразу в качестве критерия для задания нагрузок tx и Ь.

Упражнение IX. 5.3 (Да Сильна). Если результирующая сила, вызываемая нагрузками tx и Ь, равна нулю, то существуют по крайней мере четыре различных поворота, которые переводят х и конфигурацию х*, в которой результирующий момент нагрузки относительно любой точки Хо обращается в нуль:

j (Х-Х0)Л txdA + j px(X-X0)Abdo=0. (IX. 5-16) Ox* ОДx* ОД'

Поскольку поворот отсчетной конфигурации сохраняет любое важное свойство, которым может обладать конфигурация, как, например, быть естественной, неискаженной или однородной, то мы по существу не потеряем общности, если примем, что конфигурация х выбрана так, чтобы (16) имело место. Итак, мы примем, что данные нагрузки таковы, что они не вызывают ни результирующей силы, ни результирующего момента, действующих на х(^). Разумеется, это совсем не то же самое, что условие (14), которое содержит неизвестную деформацию х*> а не данное место X.

Вычитание (16) из (15) дает '

JuAt,M+/p,uAbdK = 0. (IX. 5-17) в*. одх од

Подставляя ряды (3) и (4) в (17) и приравнивая нулю коэффициент при каждой степени е, мы получим условия совместности Синьорини.

т-1

2 [ / um-9 A txq dA + J р^^ АЬ^у]=0, m = 2, 3, .... <7=1 .д*(в)x (даJ

'(IX. 5-18)

Итак, для того чтобы уравнения (12) и (13) были разрешимы для не зависящего от времени смещения un, необходимо, чтобы постоянные смещения tip u2u„_1 удовлетворяли условиям (18).-

Условия (18) были выведены как необходимые и достаточные условия того, что нагрузки, действующие на данное тело в конфигурации х, уравновешены. Мы ожидаем по аналогии, что Они должны быть формальными условиями того, что последова-

тельные задачи (12) и (13), соответствующие бесконечно малым деформациям, совместны. Так оно и есть. '

Упражнение IX. 5.4. Доказать, что эффективные - нагрузки tn, Ьп, определяемые согласно (13), уравновешены тогда и только тогда, когда имеет место (18).

В теории бесконечно малых деформаций решение граничной задачи с заданными усилиями, если оно существует, единственно лишь по отношению к бесконечно малым поворотам. Так, если un(X)—решение системы (12), то решением будет также un + Wn (X — Хо) + const, где Wn — любой постоянный антисимметричный тензор. В общей теории упругости не следует ожидать никакой подобной неопределенности, ибо произвольный поворот тела как целого в общем случае не сохраняет равновесие моментов. Чтобы согласовать эти факты, Синьорини предложил определять Wn с помощью условия совместности (18). Если существует лишь единственный поворот Wn, то неопределенность поворота устраняется.

Итак, предположим, что найдены решения uh u2, ..., up_, задачи (12), (13) при п= 1,2, ..., р—1, такие, что условия совместности (18) удовлетворяются при т = 2, 3, ..., р. Тогда система (12) совместна при п = р. Пусть ир— какое-нибудь частное решение. Положим.

■ р

RpsSf J “инАМЛ + J Pxup+1_g A b_ dV .

0=1 |_9x W* (^).

(IX. 5-19)

Антисимметричный тензор Rp определяется через заданные нагрузки (3) и функции ub u2up. Поскольку up —частное решение системы (12), любое другое решение имеет, вид up-|-Wp (X — Хо) + const, где Wp — постоянный антисимметричный тензор. Задача заключается теперь в том, чтобы определить Wp таким образом, чтобы условие совместности (18) удовлетворялось при n = p-V\. Используя обозначёние (19), это условие можно переписать в виде

J (w, (х - X,)) Д t., dA + J р, (W, (X - X,)) л Ь, dVR„. 9х (Я)х Й)-

(IX.5-20) Если положить.

А(1)^ J(X-X0)®t„dA+ fp„(X-X0)® bjdy, (IX. 5-21) 9* (4)* (Л) .

то мы видим, что тензор А(1) симметричен в силу нашего предположения (16). Поэтому условие (20) принимает вид

WPA(I) + A(I)WP= —Rp.(IX. 5-22)

Тензор A(i) называется астатической нагрузкой, соответствующей нагрузкам txi, Ьь Всякая линия, обладающая тем свойством, что поворот конфигурации х($) относительно нее на любой угол, при фиксированных t,i и bi приводит к уравновешенной системе сил в х^), называется осью равновесия для этих нагрузок в х^.

Упражнение IX. 5.5. Доказать, что ось равновесия для нагрузок в x(i@) существует тогда и только тогда, когда

det(A(1) - 1 tr А(1)) = 0,(IX. 5-23)

и что линейное уравнение (22) имеет единственное решение Wp тогда и только тогда, когда

det(A(1) - 1 tr А(1)) #=0.(IX. 5-24)

Проведенный до сих пор анализ, завершающийся результатами предыдущего упражнения, показывает, что справедлива следующая

Теорема совместности и единственности Синьорини. Пусть нагрузки txi, bi не обладают осью равновесия. Тогда

Если существует решение общей граничной задачи с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций, то существуют решения щ, U2, ... итерационной системы (12), (13).

Если справедлива классическая теорема единственности для граничной задачи с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций, то решения Нь иг, ... единственны с точностью до жестких перемещений.

Если нагрузки обладают осью равновесия, то нарушается (24) и (21) может иметь более чем одно решение Wp или не иметь ни одного решения, и это тонкий вопрос. Ясно, что если ось равновесия существует, то нельзя ожидать, что нагрузки определяют единственное решение, поскольку повороты относительно этой оси вполне могут перевести тело из' одной конфигурации в другую, подвергнутую действию точно тех же самых сил и, следовательно, неотличимую от первой.

§ 6. Приложения метода возмущений

Метод Синьорини был переформулирован Ривлином и Топа- коглу в терминах, быть может более легких для истолкования. Они предположили, что поскольку шаг от любого этапа к следующему мал, то.для достаточно малых е различие между последовательными решениями эквивалентно влиянию ряда сил,

которое компенсируется приложением смещений, соответствующих, согласно теории бесконечно малых деформаций, противоположным им силам. Этой идее они придали строгий смысл, и с ее помощью были найдены некоторые частные решения. Наиболее важные из них относятся к теории второго порядка для изотропных материалов.

Упражнение IX. 6.1. Доказать, что с учетом членов второго порядка в Е' соотношение для напряжений для изотропных материалов принимает вид'

— ^ — 11 + 2Е 4- (4- — tr (ННГ) + О312 + а4П ) 1 + а61Ё + ННГ + а6Ё2.

(IX. 6-1) где

Е=-1(Н + НГ), I=tr Е, 2II = (tr Ё)2-tr Е2-

Безразмерные постоянные аз, а4, аз и аз называются упругими постоянными второго порядка изотропного упругого материала по отношению к естественной конфигурации, принятой в качестве отсчетной.

Используя указанный выше метод, Ривлин вычислил общее решение задачи Пойнтинга для. цилиндра произвольного поперечного сечения. Пусть для поперечного сечения цилиндра до деформации площадь, жесткость при кручении в классическом смысле и полярный момент инерции равны Ло, So и /0 соответственно, и пусть е — угол закручивания. Ривлин показал, что тогда среднее изменение объема й—1, соответствующее растяжению и—1, производимому кручением величины , е, определяется соотношением'

где.

2(X + |i) ’

р"^2[-(1-2а)а4 + (1-о)а6]. (IX. 6-3)

Из (2) нельзя вывести никакого общего заключения о знаке. Приводит кручение к удлинению или укорочению, это зависит от величины, безразмерного модуля р".

Аналогично и величина эффекта Кельвина определяется упругими постоянными второго порядка. Можно показать, что для круговой цилиндрической трубы относительное изменение объема, вызываемое кручением на е, равно’

'^ = Л62р"' (^ + 1$,(IX. 6-4)

где Ro и Ri — начальные внутренний и наружный радиусы и

Г = - 4 + 16(1+а) К3 - 4а - 4а2)“4 + ^ + 2а- 2)а«Ь

''‘ (IX. 6-5)

Получаются эти результаты довольно просто, хотя и очень длинно. Детали вычисления не представляют интереса, а результаты имеют большое значение. Они полностью объясняют основные эффекты второго порядка в теории упругости и показывают, что величины этих эффектов не могут быть выражены -через классические модули X и ц или одна через другую,-Безразмерные постоянные 0" и £"' определяются отношением Х/ц и двумя упругими постоянными второго порядка. Из формул (2)—(5) видно, что эксперименты по измерению удлинения и объемного расширения второго порядка достаточны для определения постоянных «4 и Об в материале, для которого известно о. .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)

По вопросам, рассмотренным в главе

NFTM, §§ 63—70 и 93.

IRE, §§ VII. 2 й VII. 3?.

A. Signorini, Transformazioni termoelastiche finite. I, II, Annali di Matematica Pure Appl., 22 (1943), 33—143; 30 (1949), 1—72.

A. E. Green & R. T. Shield, Finite extension and torsion of cylinders, Phil. Trans. Royal Soc. London, A224 (1951), 47—86. (Воспроизведено в «Continuum Mechanics IV, Problems of Non-Linear Elasticity», N. Y. etc., Gordon & Breach, 1965.)

R. S. Rivlin, The solution of problems in second order elasticity theory, J. Rational Meeh. Anal., 2 (1953), 53—81. (Воспроизведено в «Continuum Mechanics IV. Problems in Non-Linear Elasticity, N. Y., etc., Gordon & Breach, 1965.)

R. S. Rivlin & C. Topakoglu, A theorem in the theory of finite elastic deformation, J. Rational Meeh. Anal., 3 (1954), 581—589.

По классической теории упругости при бесконечно малых деформациях.

А. Е. Н. Love, A treatise on the mathematical theory of elasticity, 4th ed., Cambridge Univ. Press, 1934; книга неоднократно переиздавалась.

M. Е. Curtin, The linear theory of elasticity, Flugge’s «Handbuch dec Physik», VI a/2, ed. C. Truesdell, Berlin, etc., Springer, 1972.

G. Fichera, Existence theorems in elasticity, там же. [Эта статьи переведена на русский изык в виде части 1 книги: Г. Фикера. Теоремы существовании в теории упругости, «Мир», М., 1974.]-

G. Fichera, Problems of elasticity with unilateral constraints, там же. [Эта . статьи переведена на русский изык в виде части 2 только что указанной книги.]

L. Solomon, Some classic problems of elasticity, скоро выйдет в свет в «Springer Tracts in Natural Philosophy».'

Глава X

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВАВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Роль дополнительных неравенств в теории упругости

■при бесконечно малых деформациях

Как уже упоминалось, на тензор линейной упругости L в соотношении (IX. 3-1) для напряжения в классической теории бесконечно малых деформаций из естественной конфигурации принято налагать дополнительные ограничения. Это, во-первых, условие

L = Lr,(IX. 2-10)

уменьшающее максимальное число независимых компонент тензора L с 36 до 21, и условие

. tr(L[E]E) > 0 при Ё ^= 0.■(X. 1-1)

Запись неравенства (1) в компонентах имеет вид■

L EfemEpq > 0, если не все Ers равны 0.(X. 1-2)

Если справедливо (IX. 2-10), то условие (1) означает, что при любой нежесткой бесконечно малой деформации из естественной конфигурации производится положительная работа. Мы будем ссылаться на (1) как на С-неравенства..

Упражнение X. 1.1. Показать, что для изотропных материалов С-иера- венства эквивалентны утверждению о том, что модули сдвига и объемного сжатия оба положительны (см. § IX. 3):•

ц>0, ЗЛ + 2ц > 0.(X. 1-3)

Условия (IX. 2-10) и (1) достаточны для того, чтобы типичная граничная задача имела решение для достаточно гладких областей и данных и чтобы это решение было устойчивым и единственным по крайней мере по отношению к бесконечно малым поворотам. Если эти условия ослабить, решение уже не будет существовать для некоторых областей и некоторых данных,

С-неравенства (3) для изотропных материалов могут быть обоснованы пятью способами, три из которых уже были упомянуты:

Несколько более слабое условие ц(ЗХ + 2ц)>0 необходимо и достаточно в общем случае для существования и единственности решения типичной граничной задачи,

С-неравенства достаточны для того, чтобы решение было устойчивым, как будет показано ниже в упр. XII. 2.2.

С-неравенства можно «оправдать» при помощи правдоподобных псевдотермодинамических рассуждений о произведенной работе1). .

С-неравенства достаточны для того, чтобы скорости, соответствующие всем типам волн, были действительными и ие равными нулю, как мы увидим в § XI. 8.

С-неравенства эквивалентны правдоподобным требованиям на классы статических мер деформаций. Одно из таких обоснований может быть получено на основании_ результата упр. X. 1.1. Более общим образом, (IX. 3-3) дает

tr Т = (ЗХ + 2ц) tr Е и п • Тш = 2цп • Еш, если п • m = 0. (X. 1-4) Следовательно, С-неравеиства необходимы и достаточны для того, чтобы любая деформация сдвига приводила к напряжению сдвиг-а того же знака и чтобы объем локально увеличивался или уменьшался в соответствии с тем, положительно или отрицательно среднее значение трех нормальных растягивающих напряжений (ср. с результатами упр. IX. 1.1 и IX. 1.2).

Согласно (4), для того чтобы вывести, что должно выполняться (3), нет необходимости рассматривать все бесконечно малые деформации. Достаточно потребовать, чтобы при каком- нибудь простом сдвиге (IX. 3-4) соответствующее напряжение сдвига было бы того же знака, что и деформация сдвига, и чтобы при каком-нибудь объемном расширении (IX. 3-6) соответствующие напряжения были бы того же знака, что и изменение объема.

Потребность в дополнительных неравенствахв общей теории упругости

Предыдущие рассмотрения показывают, что для того, чтобы получить правдоподобные результаты на основе любой теории упругости, необходимы дополнительные неравенства некоторого вида. Недостаточно потребовать просто, чтобы каждая функция реакции дх, определяемая в общей теории согласно (VII. 1-2), была функцией, приводящей к неравенствам (X. 1-1) при бес

’) См., например, §§ 13 и 14 в книге R. V. Southwell, Ап introduction to the theory of elasticity for engineers and physicists, 2nd ed., Oxford, Oxford University Press, 1941. На самом деле этот довод есть попросту словесная перефразировка теоремы об устойчивости Кирхгофа, указанной выше в качестве второго пункта. В этом вопросе, даже в трактатах, достоверных в других отношениях, имеется тенденция смешивать достаточность и необходимость; см., например, § 65 книги Love А. Е. Н., A Treatise on the Mathematical theory of elasticity, 4th ed., Cambridge, University Press, 1927.

конечно малых деформациях из естественной конфигурации. В таком материале еще было бы возможно, чтобы стержень, будучи нагружен достаточно большой растягивающей силой, укорачивался бы или чтобы шар, будучи подвергнут большому гидростатическому давлению, расширялся. Помимо (X. 1-1) должно налагаться еще некоторое дополнительное неравенство, од- надо вопрос о том, каким должно быть это неравенство, остается открытым для исследований и дебатов.

Обоснования 1 и 2 никак нельзя применить непосредственно. Как мы видели в .§ VII. 3, нежелательна безоговорочная единственность решения смешанной граничной задачи, поэтому не подходит никакое слишком сильное дополнительное условие, приводящее к ней. Одна из основных задач теории конечных упругих деформаций состоит в том, чтобы вывести критерий неустойчивости, поэтому никакое чересчур сильное условие, обеспечивающее устойчивость всех решений, не подходит для того, чтобы принять его в качестве общего. Что же касается обоснования 3, то уже для того только, чтобы дать его формулировку, имеющую термодинамический характер, требуются дополнительные понятия, которых нет в чисто механической теории. Поэтому тем более ничего нельзя доказать в теории упругости на основе термодинамики, хотя в действительности имеются достаточные основания рассматривать, что мы и будем делать позднее в этой книге, теорию, которая опирается на. специальные предположения о влиянии изменения температуры, равно как и изменения формы.

Обоснование 4 мы также рассмотрим позднее при изложении теории конечных деформаций, однако даже в теории бесконечно малых деформаций оно не адекватно, поскольку (X. 1-1)- лишь достаточно, но не необходимо для того, чтобы скорости волн были действительны и отличны от нуля. Например, как мы увидим в § XI. 8, для изотропных материалов необходимыми и достаточными условиями служат более слабые неравенства ц > 0, Х + 2ц>0. Таким образом, обоснование 4 никак нельзя развить в адекватное основание для получения априорного неравенства. ■

В следующих параграфах мы рассмотрим варианты, которые может принимать обоснование 5 в теории конечных деформаций.

Некоторые простые статические неравенства

Мы будем рассматривать изотропный упругий материал в неискаженной конфигурации. Возьмем соотношение для напряжений в виде (VII.4-7), выражающем главные напряжения /, как функции главных растяжений vft:

^ = Myi> уз> уз), i = l, 2,3. (Х.3-1)

Можно пойти по другому пути — использовать главные силы Т,-, определяемые согласно (VII. 4-20), и получить

~Т^Т^Оь »2, »з). 1=1. 2, 3; .(Х.3-2)

разумеется, каждая из совокупностей трех функций tt и Tt определяет другую.•

Если мы фиксируем два главных растяжения, а третье будем увеличивать, то естественно ожидать, что нужно прикладывать растягивающее напряжение; если же мы уменьшаем третье главное растяжение, то мы ожидаем, что должно прикладываться давление. Эти ожидания можно выразить в виде неравенств Т-Е *) (или Т-Е-неравенств') для растягивающих напряжений и удлинений:

(П - г,) (о? - »,) > о или Л - /,) (о? - 0<) > 0, если у/ = у/ при j =# i, z = l, 2, 3,(X. 3-3)

где '

T*^Tl^\, »2, Оз), tlsti^Vb 02, Оз).

Эти два неравенства эквивалентны друг другу.

Естественно поставить вопрос, являются ли соотношения (1) и (2) ) обратимыми. Ясно, что соотношения (1) в общем случае не могут быть таковыми, ибо они никогда не обратимы в частном случае упругой жидкости. Поскольку в такой жидкости всегда h = t2 = is, то значения Ui, U2, Уз не могут однозначно определяться по заданным значениям /,; фактически лишь произведение У^гУз определяется по (,. Для (2), однако, положение иуое. Нет никаких экспериментальных оснований возражать против требования, чтобы главные растяжения однозначно определялись главными силами Т,.

Упражнение X. 3.1. Идеальный газ — это такая упругая жидкость, для которой в определяющем уравнении (IV. 4-4) давление пропорционально плотности:'

р = Кр, К >0.'(Х.3-4)

Доказать, что для идеального газа соотношения (2) обратимы при любых аргументах Vi, 02, Уз.

В общем случае, если соотношения (2) обратимы, так что

»1 = Уг(Л, Т2, Г3),(Х.3-5)

то мы будем говорить, что удовлетворяется YFS-условие, где IPS — сокращение для „invertibility of force-stretch” (обратимость сил — растяжений).

’) От tension-extension. — Прим. ред.

Если выполняется (5), то естественно требовать, чтобы уве- личепие одной из главных сил Т{ при фиксированных остальных приводило к увеличению соответствующего растяжения. Таким образом, если писать п< = »1(77, Л, Тз), то

(Tt — Ti)(v*t — »i) > 0, если T*j = Tj при j =# i, i = l, 2, 3.

(X. 3-6)

Эти условия, связывающие удлинения и растягивающие напряжения, назовем неравенствами Е-Т) (или Е-Т-неравенствами).

Неравенства Е-Т и Т-Е связаны с эффектами изменения одного растяжения и одной силы, при фиксированных двух других. Когда мы сравниваем два главных растяжения, или когда мы сравниваем две главные силы, естественно ожидать, что большая сила соответствует большему растяжению. Неравенства Бейкера — Эриксена В-Е утверждают, что

(^ ~* hHyi ~* °/) > О ПРИ v< ^ °/, i=l, 2, 3, (X. 3-7)

а неравенства упорядоченных сил О-F) утверждают, что

.(Т{ — Т^хн — Vj) > 0 при Oi=#yj, i = l, 2, 3. (X. 3-8)

Эти две совокупности неравенств не эквивалентны и нет никаких видимых оснований для того, чтобы предпочесть одну другой. Ясно, что В-Е-неравенства не могут удовлетворяться в упругой жидкости, поскольку ta = tb независимо от того, Каковы могут быть Ui; O-F-неравенства могут удовлетворяться в жидкости, как показывает следующее упражнение. .

Упражнение X. 3.2. Доказать, что в идеальном газе O-F-иеравенства удовлетворяются при любых аргументах Vi, 02, »з.

Некоторая связь между В-Е- и O-F-неравенствами имеется. Можно показать, что для любых значений /i справедлива одна из импликаций O-F^B-E или B-E^O-F, но не обе вместе.

Упражнение X. 3.3. Пусть □ ,— коэффициенты реакции в представлении (VII. 4-14); Е-неравенствами называются следующие неравенства:

□о < 0, Dj > о, □-! < 0.(X. 3-9)

(Е-неравенства никогда не удовлетворяются для упругой жидкости, поскольку для нее 30 = 0.) Доказать, что

E=>B-E&O-F.(Х.3-10)

Буква Е призвана напоминать об эмпирическом (empirical) характере этих неравенств, хотя экспериментальные данные, оправдывающие этот термин,

существуют, по-видимому, только для несжимаемых материалов, для которых (9)1 бессмысленно, а (9)2,3 относятся к определяющему соотношению (VII. 4-24)2.

Наконец, предположим, что все три растяжения равны О[ = и2 = у3 = и. Согласно (VII. 4-18), ti = t2=t3 = t, где / = /(и), и также Tv = Тг = Т3 —Т, где Т = T(v) = и2/(и). Если неискаженная конфигурация является естественной, так что ^(1) = 0, то правдоподобно выглядит требование о том, чтобы для увеличения объема было необходимо растягивающее напряжение, а для уменьшения — сжимающее, т. е.

/(V — 1)> 0, Т(о —1)>0. (Х.3-11)

Эти два условия эквивалентны. Однако если неискаженная - конфигурация не является естественной, то более общие условия

(Г-0(и*-и)>0, (П-Т)^* —о)>0 ‘ (Х.3-12)

уже не эквивалентны. Мы будем называть последнее из них неравенством Р-С *) (или Р-С-неравенством) для давления и степени сжатия.

Упражнение X.3.4 (Брэгг & Колеман). Доказать, что для состояния- растяжения нз (12) i следует (12)г, в то время как для состояния сжатия Имеет место обратная импликация. Доказать, что в упругой жидкости (12)i сводится к утверждению о том, что давление р представляет собой возрастающую функцию от р'^ и, следовательно, от р, в то время как (12)г сводится к утверждению о том, что р~’^р(р)—возрастающая функция от р, т. е.

Р^>^р- (Х<3",3)

Этот последний результат показывает, что Р-С-неравенство, будучи применено к жидкостям, налагает сильное и не всегда правдоподобное ограничение на функцию давления р. Неравенство (13) требует, чтобы сжимаемость газа не обращалась в нуль, пока не обратится в нуль давление. Это имеет место для идеальнрго газа (упр. X. 3.1 и X. 3.2) и в более общем случае для «политропной» жидкости, а именно жидкости, имеющей определяющее уравнение р = /Cpv, к > 0, у ^ 1, но не для жидкости, способной изменять фазу, например жидкости Ван дер Ваальса. Таким образом, Р-С-нёравенство представляет собой слишком сильное ограничение для того, чтобы налагать его На все упругие материалы.

§ з М, x. дополнительные неравенства в Теории упругости 3tg

Упражнение X. 3.5. Доказать, что предыдущие условия принимают в теории бесконечно малых деформаций следующие формы:

Т-Е:IFS:Е-Т:O-F, В-Е, Е:Р-С:Т-Е:IFS:Е-Т:O-F, В-Е, Е:Р-С:(Х.3-14)(Х.3-14)X 4- 2ц > О,ц(ЗХ + 2ц) Ф О,И (ЭХ + 2ц)-

Т-Е:

IFS:

Е-Т:

O-F, В-Е, Е:

Р-С:

Т-Е:

IFS:

Е-Т:

O-F, В-Е, Е:

Р-С:

(Х.3-14)

(Х.3-14)

X + ц ''

ц > О,

ЗХ + 2ц > 0.

Все предыдущие условия, за исключением IFS, утверждают, что некоторая специальная функция, полученная конкретизацией соотношения для напряжений, является монотонно возрастающей. Они наводят на мысль, что более общим образом мы могли бы требовать, чтобы преобразование (2) от главных растяжений и( к главным силам Т, было монотонно:

3

2 (fl — TiHul — Ui) > 0 при «к^Ук, k — 1,2,3. (X. 3-15) i=i .

Это неравенство называется (дС^уусловием *). Удостоверимся, что оно включает в себя как частный случай ряд условий, которые были предложены для изучения как имеющие некоторое правдоподобное обоснование.

Предположим, что и» = иб, за исключением случая, когда b = а. Тогда выполняется Т-Е-неравенство (3).

Если ut =# и/ для любого I, то невозможно, чтобы Л = = Tj для всех I. Таким образом, выполняется IFS-условие (5).

В силу IFS-условия мы можем подставить (5) в (15), откуда следует (6).'

Пусть л(!) обозначает некоторую перестановку чисел 1, 2, 3. Согласно (VII. 4-18) и (VII. 4-20), перестановка троек и, вызывает такую же перестановку троек Tt, т. е. если и} = ия то 1*1 = Тя№ Следовательно, (15) дает в частном случае

з

2 (^ w - т№к (о - »i) > о. (х.з-16)

Если мы возьмем в качестве л (г) перестановку, меняющую местами / и k при фиксированном /, то (16) сводится к (8).

Из (VII. 4-18) и(УП.4-20) следует," что если ut = и2 = и^ то Ti = Т2= Та, так что (15) сводится к (12).•

То, чТо мы доказали, можно схематически представить в виде следующей теоремы Нолла и Трусделла АТупина:

GCN0=> Т-Е & IFS & Е-Т & O-F & Р-С. (X. 3-17)

Таким образом, GCNo-условие достаточно для того, чтобы имели место все неравенства, которые мы упоминали выше в качестве правдоподобных, за исключением В-Е-неравенства. В общем случае обратить приведенную выше импликацию нельзя.

Упражнение X. 3.6 (Трусделл & Тупин). Положим •

I .^ди/Г(Х.3-18)

Доказать, что GCNo-условие означает, что матрица Ц7аь!! неотрицательно определена. Более сильное условие, что эта матрица положительно определена, называется GTOq-условием. Ясно, что GCNq" =ф GCNo. Доказать, что

GCN^T-E+ & IFS+& Е-Т+ &O-F+ & Р-С, (X. 3-19)

Где Т-Е+, IFS* и Е-Т+ — условия, несколько более сильные, чем Т-Е, IFS и Е-Т соответственно, определяемые следующим образом:

Vi>0- ^И^И*0- дт«1>°-(X. 3-20)

Доказать, далее, что если

Iab = Jba>(X. 3-21)

То

■C&IFS+&T-E+&E-T+^GCN0+,(X. 3-22)

где С обозначает (X. 1-3). Доказать также,что четыре условия в левой части независимы, т. е. построить специальные определяющие соотношения, для которых бы удовлетворялись три, а не все четыре условия.

Этот последний результат особенно значителен. В теории бесконечно малых деформаций имеют место все семь (совокупностей) неравенств, рассмотренных в этом параграфе, и все они следуют из С-неравенств, как это можно видеть на основании несколько усиленного результата упр. X. 3.5:

С ф Т-Е+ & IFS+ & Е-Т+ & O-F & В-Е & Е & Р-С. (X. 3-23)

Таким образом, для семи неравенств, которые мы рассматривали, из одного из них следуют шесть остальных при условиях, когда применима теория бесконечно малых деформаций. Фактически, теория бесконечно малых деформаций предполагает существование естественной конфигурации и потому легко показать, что С O(P-C&0-F, или В-Е, или Е). С другой стороны, в общей теории изотропных упругих материалов, даже если (21) имеет место, первые три совокупности неравенств справа в (23) не зависят друг от друга и от С. Если имеют место все четыре совокупности, то мы можем коротко выразить этот факт, налагая удобное и простое GCNo^-условие, которое

в свою очередь достаточно для того, чтобы выполнялись неравенства О-F и Р-С, чего в общем случае нельзя сказать о неравенствах В-Е или Е.

Резюмируем: для материалов с естественной конфигурацией GCNo" -условие эквивалентно четырем правдоподобным неравенствам С, IFS+, Т-Е+ и Е-Т+. В частности, оно включает в себя как частный случай обычное неравенство С теории бесконечно малых деформаций.. Однако это условие представляется слишком сильным для материалов, не имеющих естественной конфигурации.

Упражнение X. 3.7 (Трусделл & Тупни). Используя (VII.4-23), показать, что■

Т-Е+ ф>Р(П11)>0&Р (2222) > 0 & F (3333) > О, (X. 3-24) а

В-Е OF (1212) >0&Р(2323) > 0 & F (3131) > 0.(X. 3-25)

§ 4. GCN-неравенство .

В § X. 1 мы видели, что для того, чтобы получить результаты классической теории бесконечно малых деформаций, справедливой для малых деформаций из естественной конфигурации требуется некоторое дополнительное неравенство. С другой стороны, как мы видели в § VII. 3, мы не можем слепо следовать образцу чистой математики и налагать чересчур сильные условия, достаточные для того, чтобы обеспечить безоговорочную единственность решения граничной задачи с заданными перемещениями и с заданными усилиями, поскольку такая единственность при больших деформациях была бы точно так же неподходящей, как и нарушение этой единственности при малых деформациях-. Во всяком случае, сейчас это предостережение излишне, поскольку общие дифференциальные уравнения теорий упругости лежат за пределами области, для которой аналитикам удалось построить полезную теорию. В- предыдущем параграфе мы изучали возможность наложить требование, чтобы преобразование от главных растяжений к главным силам в изотропном материале было монотонным. Теперь мы рассмотрим соответствующее условие для упругих материалов, имеющих произвольную группу равноправности.

Возможное обобщение условия (Х.3-15) заключается в требовании, чтобы было монотонным преобразование от .градиента деформации F к тензору напряжений Пиолы Т,:

'tr{(T:-Tx)(F*T-FT)} >0,(Х.4-1)

если только не выполняется равенство F* = F. Здесь мы ис. пользуем соотношение для напряжений в форме (VII. 2-7):

T, = ^(F)(VII. 2-7)

11 Трусделл

и пишем Tx = ^(F‘). Однако, как показывает следующее упражнение, условие (1) может быть справедливо для определяющего соотношения, удовлетворяющего принципу материальной независимости от системы отсчета, только если это соотношение имеет очень специальный вид.

Упражнение X.4.1 (Хилл). Предположим, что F* = QF, где Q — ортогональный теизор. Используя (VII. 2-8), показать, что условие (1) сводится тогда к следующему условию:

tr [(Q — 1) Т (QT — 1)]> 0 при Q^l.(Х.4-2)

Доказать, что для того, чтобы (2) было справедливо для всех ортогональных Q, необходимо и достаточно, чтобы

^>0, 12>0, h>0,(X. 4-3)

а для того, чтобы (2) было справедливо для всех Q, ортогональных в соб-. ственном смысле, или для всех бесконечно малых поворотов, необходимо и достаточно, чтобы"

?1 + ^2>0, /г + ^з^О! /з4*^1>0-(X. 4-4)

В частности, неравенство (1) никогда не может быть справедливо при чистом повороте естественной конфигурации..

Результаты предыдущего упражнения показывают, что неравенство (1) представляет собой условие, не зависящее от системы отсчета, лишь при некоторых определенных видах напряженного состояния, даже не связанных с естественной конфигурацией. Колеман и Нолл предложили, в несколько более специальном контексте, ослабить ограничение, исключив повороты, т. е. считать, что допустимы только градиенты деформаций F*, которые получаются из F с помощью чистого растяжения F* = SF, где тензор S положительно определен и симметричен. Обобщенное условие Колемана — Нолла GCN представляет собой следующее дополнительное неравенство для функции реакции X):■.

tr ДО (SF) - $ (F)] [(SF)T - FT]} > 0,. (X. 4-5)

если S — произвольный положительно определенный симметричный тензор, отличный от 1.•

Теперь мы рассмотрим следствия, которые имели бы место, если бы это неравенство было принято. Прежде всего рассмотрим бесконечно малую деформацию из отсчетной конфигурации. Тогда F = l, То = ^(1) и S = l + E, Где Ё — тензор бесконечно малой меры деформации, Е ^ 0. Условие (5) принимает вид

.tr {(I, - То) Ё} = tr {Ао [ЁIЁ) > 0 при Ё ^ 0, (X. 4-6)

где Ао — тензор упругости (VII.2-11)2, вычисленный при F = 1. Таким образом, GCN-условие утверждает, что удельная работа; совершаемая при любой отличной от нуля бесконечно малой чистой мере деформации, должна быть положительна. Никаких требований на значения работы напряжений при деформациях, сопровождающихся поворотами, не накладывается. . '

Итак, чтобы рассмотреть только чистые меры деформации, мы положим R = 0 в (IX.2-6) и подставим результат в (6). Мы получим таким образом

tr Ё tr (Т0Е) - tr (Т0Ё2) + tr (L [Ё] Ё) > 0 при Ё ^ 0. (X. 4-7)

Если отсчетная конфигурация представляет собой естественную конфигурацию, то То = 0 и (7) сводится к классическому дополнительному неравенству (X. 1-1). Итак, для бесконечно малой деформации из естественной конфигурации GCN-условие представляет собой не более и не менее, как классическое требование положительности работы напряжений при любой нежесткой деформации. Более общим образом, тензоры упругости L и напряжений То должны быть такими, чтобы более сложная квадратичная форма в левой части (7) была положительно определенной. Ввиду (IX. 2-2) и того обстоятельства, что То = = ^(1), это — требование па реакцию и ее первую производную при F = 1. -

Теперь мы конкретизируем GCN-условие для произвольной деформации изотропного упругого материала из неискаженной конфигурации при двух градиентах деформации F и F* в которые входят один и тот же поворот R, а кроме того коммутирующие между собой левые меры деформации V и V*:

. F* = V*R, F = VR, VV*=fV*V. (X. 4-8)

Тогда F* = SF, где S = V*V~V Поэтому F* и F представляют собой специальную пару аргументов, очень специальную пару, к которой применимо (5).

Упражнение X.4.2. Используя (VII. 2-5), показать, что

(Т* - Т.) (f’t - FT) = (,FW-X - /TV"-1) (V* - V). (X. 4-9)

Поскольку тензоры V и V* коммутируют, они имеют общую совокупность ортонормированных главных направлений с собственными числами о, и ор и поскольку материал изотропен, эти направления являются также главными направлениями для J*T*V*—1 и JTV"1 с соответствующими собственными числами

И*

Т1 и Ть Следовательно, в силу (9) мы получаем

3•

tr [(т: - т,) (f*t - ft)] = 2 №- та (У; - yj (х. 4-ю) (=1

при специальном выборе (8) пары F*. F. Разумеется, мы можем выбрать произвольные положительные числа Уь иг, Уз, »*, Уг, уз и найти коммутирующие тензоры V и V*, для которых они являются собственными числами. Достаточно, чтобы V и V* были соосны. GCN-условие (5) означает, что левая часть (10) должна быть положительна. Таким образом, мы установили, что‘.

GCN=^GCN0 для изотропных материалов. (X. 4-11)

Следовательно, GCN-условие покрывает и обобщает GCNq- условие, выяснение следствий которого составило значительную часть содержания предыдущего параграфа.

Поскольку специальная пара аргументов была именно так подобрана, чтобы можно было довести до конца рассуждения, нельзя ожидать, что нам удастся обратить импликацию (11), и действительно, как мы увйдим в следующем параграфе, обратная импликация неверна.

-§ 5. Дифференциальная форма GCN-условия

В § X. 3 мы рассмотрели матрицу ||/оь11 и выразили с ее помощью условие, достаточное для справедливости GCNo-условия. Среди результатов упр. X. 3.6 имеются два дифференциальных условия: (1) для того чтобы выполнялось GCNo-условие, необходимо, чтобы ^JabZaZb > 0 пр и всех Za, и в качестве частичного обращения (2), если 270ь2а2ь > 0 при всех ненулевых Za, то GCNo-условие выполняется. Мы рассмотрели также более сильное дифференциальное неравенство, названное GCNo"-условием. Теперь мы установим соответствующую пару дифференциальных неравенств для более общего GCN-условия.

Полагая, что D — произвольный ненулевой симметричный тензор, определим F(u) формулой.

•F (u) = (1 + uD) F;,(Х.5-1)

здесь и — действительный параметр. Тогда F(0)=F h для достаточно малых |и| тензор 1 + uD симметричен, положительно определен и не равен 1. Следовательно, пара F, F(u) подходит для применения (X. 4-1). Поэтому, если положить

f (u) = tr {(DF)T^[F(u)]},(Х.5-2)

то GCN-условие (X. 4-5) будет означать, что

“[/(“) — f (0)1 > 0..

(X. 5-3)

Следовательно, ^(0)^0. Далее, согласно (VII.2-11)2 и

(1)

f4u) = tr {(DF)T A (F (м)) [DF]},

(Х.5-4)

поэтому

г'Г (0) = Г1 tr {(DF)T A (F) [DF]} = J-'X.V^dX

(X. 5-5)

Соответственно если мы положим

' В^^ГХ'гМР»,

(X. 5-6)

то условие f' (0)>0 примет вид

BfempqDfetnDpq>Q,

(X. 5-7)

или, в бескоординатной записи

•tr[B[D]D}>0

(X. 5-8)

для всех симметричных тензоров D. Это дифференциальное неравенство, впервые выведенное Тупином и Бернштейном, является необходимым, по не достаточным для того, чтобы выполнялось GCN-условие.

GCN+-z/cлoвuв представляет собой более сильное неравенство

tr[B[D]D}>0(X. 5-9)

для всех отличных от нуля симметричных тензоров D. Естественно ожидать, что •

GCN+=^GCN, (X. 5-10)

и это верно, как было показано Трусделлом и Тупином. Принадлежащее Ноллу доказательство этого фдкта состоит в следующем. Мы считаем заданными тензор F и симметричный положительно определенный тензор S, отличный от 1. Полагаем D = S—1 и определяем F(u) и f(u) согласно (1) и (2). '

Упражнение Х.5.1. Доказать, что если 0<«^1, то тензор 1 + uD обратим, а тензор D (1 + «О) симметричен. Следовательно, DF = = D (1 -J- uD)—1 F н

Г («) = tr {[D (1 + «D)-1 F («)] TA (F («)) [D (1 + wD)-1 F («)]}. (X. 5-11)

GCN+-условие (9), примененное при аргументе F(u) и с D замененным на D(l-f-uD)-1, эквивалентно утверждению, что Н«)>0, если 0<и^1. Интегрирование дает f(l)— f(0)>0. Согласно .(2), это есть GCN-условие, чем утверждение (10) и установлено, .

Если рассматривать симметричные тензоры как векторы в 6-мерном пространстве, то (9) означает, что tr(B[D]D) представляет собой положительно определенную квадратичную форму от таких векторов.

Возвращаясь теперь к рассмотрению изотропных материалов, мы получаем простую статическую интерпретацию GCN+- условия. .

Упражнение X. 5.2 (Трусделл & Тупин). Доказать, что для изотропных материалов

В»”*р‘7 = ТЫд»-Т6‘76” + 2РШр$В‘?® (Х.5-12)

где F —тензор упругости (VII.4-22). Используя (VII.4-23), показать, что 6 X 6-матрица тензора В разбивается в главных компонентах на четыре 3 X 3-блока следующим образом:

[В] =

Уд^Ь^ab О1Ог»3

0

,(Х.5-13)

0

diag (Лг)

где 1аь определяется согласно (X. 3-18) н'

U- — tA (on 4"1.

Л, =~ ~ ^ + ^- ■ • • •(X. 5-14)

Следовательно,'.

GCN+ О GCNo"& (Лг> 0), г = 1, 2, 3.(X. 5-15)

Доказать, что

Е=^Лг>0, г = 1,2,3,(X. 5-16)

где Е-неравенства определяются согласно (X. 3-9).•

Результат (15) показывает, что GCN+-ycлoвиe эквивалентно четырем более простым условиям: GCNo" и Лг > 0. Неравенство GCNo" подробно обсуждалось в § X. 3. Три неравенства Лг>0 истолковать труднее, но (16) дает простое условие, достаточное для того, чтобы они выполнялись. То же самое условие, согласно (X.3-10), достаточно также для справедливости В-Е-не- равенств..

В настоящее время вопрос о нахождении надлежащего дополнительного неравенства для всех упругих материалов следует считать открытым, если вообще разрешимым. Тем не менее GCN- и ОСЙ+-условия имеют важное значение, поскольку они оказываются достаточными для доказательства различных важных и полезных теорем, которые неверны, если не использовать какое-нибудь из неравенств такого рода. Некоторые из этих теорем мы приведем в последующих параграфах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы- общего характера)

NFTM, §§ 51—53.' -

IRE, §§ III.71—III.9.

М. Baker & J. L. Ericksen, inequalities restricting the form of the stress deformation relation for isotropic solids and Reiner-Rivilin fluids, I. Washington Acad. Sci., 44 (1954), 33—35. (В'оспроизведено в «Continuum Mechanics III. Foundations of Elasticity Theory», N. Y., Gordon & Breach, 1965.).

Truesdeii, Das ungeloste Hauptproblem der endlichen Elastizitatstheorie, Z. Angew. Math. Meeh., 36 (1956), 97—103. (Перевод на английский имеется в только что упомянутой книге «Continuum Mechanics III».).

Truesdeii & R. A. Toupin, Static grounds for inequalities in finite elastic strain. Arch. Rational Meeh. Anal., 12 (1963), 1—33._

D. Coleman & W. Noll, Material symmetry and thermostatic inequalities in finite elastic deformation, Arch. Rational Meeh. Anal, 15 (1964), 87—111.-

Глава XI

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН

- § 1. Лемма Адамара

Пусть 9— часть границы некоторой области, которую мы будем обозначать через й?+, и пусть х —точки на 9. Говорят, что поле V гладко в 9+, если: оно непрерывно дифференцируемо в Й2+; для любой точки х на 9 функции V и dxV имеют внутренние пределы V+(x) и ^^(х) и функция Чг+ дифференцируема по любому пути 9, лежащему на 9. Лемма Адамара утверждает, что для гладкого поля У для предельных функций V+ и d^V выполняется теорема о полном дифференциале, т. е. если некоторый путь задается параметрическим уравнением х = х(/), O^/^l, то

Т+' = (а+Т).х',(XI/1-1)

где штрих обозначает производную функции, зависящей только от /. Поле Т может быть скалярным, векторным или тензорным. Результат (1) записан в форме, подходящей для скаляров; в других случаях нужно очевидным образом видоизменить запись.

Обычное доказательство теоремы о полном дифференциале основывается на аппроксимации пути 9 между точками Xi и х2 на 9 с помощью ломаной со звеньями, параллельными векторам некоторого ортонормированного базиса. В двумерных пространствах существуют два таких ступенчатых пути1), в трехмерных пространствах их шесть, и в n-мерных п\. Если Xj и х2— достаточно близкие друг к другу точки на ориентированной поверхности 9, то по крайней мере один из этих связывающих их ступенчатых путей располагается целиком по одну сторону от 9, независимо от того, какова размерность пространства, в котором лежит 9. Стандартное рассуждение, примененное к этому пути, и дает лемму Адамара.

Упражнение XI. 1.1. Доказать лемму Адамара для случая, когда Y — скаляр.

’) Имеются в виду пути с числом звевьев, равным размерности пространства. — Прим. ред.■

Сингулярные поверхности. Теорема Максвелла

Пусть ориентированная поверхность 9 представляет собой часть общей границы, разделяющей две области 5?+ и 9,_, в каждой из которых поле У гладко. В этом случае предполагается, что в каждой точке х на 9 существуют (не обязательно равные между собой) оба внутренних предела У+ и У-, и также оба предела дхУ и д^У.

Скачки функций У и <ЭХУ определяются как разности этих пределов:

[4/j = iF_y. [дхУ]^дхУ-д;У. (XI. 2-1)

Эти скачки представляют собой функции положения на 9. Говорят, что поверхность 9 сингулярна относительно У, если здин или оба скачка отличны от нуля. Таким образом, сингулярная поверхность 9— это поверхность, где нарушается свойство непрерывности или дифференцируемости, но в то же время больше, чем просто это, поскольку поле У должно удовлетворять определенным требованиям гладкости вблизи поверхности 9 и на ней самой.■

Скачки, возможные вдоль сингулярной поверхности, имеют строго регламентированный вид. Поскольку [У] — дифференцируемая функция от х на 9, то, применяя лемму Адамара к У+ и У" и вычитая один результат из другого, получим.

[Ч"] = [дхУ] х'.(XI. 2-2)

Это основное условие совместности Адамара, которое связывает возможный скачок производной дхУ со скачком самой функции У. Мы записали его в форме, соответствующей случаю, когда У — скаляр. Аналогичные результаты имеют место, когда У — вектор или тензор.

Важное следствие получается, когда поле У непрерывно, т. е. [У] - 0. Тогда (2) дает

.[5хУ].х^0(XI. 2-3)

для всех путей на 9. Поскольку, выбирая р'азличные пути х на поверхности 9, проходящие через какую-нибудь точку этой поверхности, мы можем сделать так, чтобы вектор х' был любым вектором, лежащим в касательной плоскости, то (3) означает, что

[дхУ]=ап,(XI. 2-4)

где п — вектор нормали к 9, а а — некоторое поле" определенное на 9. Этот результат известен как

Теорема Максвелла. Скачок градиента непрерывного поля нормален к сингулярной поверхности.

Чтобы уточнить знак а, удобно принять соглашение, что нормаль п направлена от к 3?+.

Соотношение (4) соответствует скалярному полю Y. Если Y—векторное поле, то множитель пропорциональности становится вектором а и правая часть (4) должна быть записана в виде а <8> п.

Предположим теперь, что 9— сингулярная поверхность для вторых производных поля Y. Тогда в силу тех же соображений, которые привели к (3), мы видим, что в каждой точке х на 9Р [^V] х'= 0(XI. 2-5)

для всех путей х = x?(Z) на 9. Следовательно, для всякой точки х нуль-пространство симметричного тензора [дхЧ1*] содержит касательную плоскость к 9 в х- Поэтому

[^Yj = ап ® п.(XI. 2-6)

В (4) и (6) нормаль п есть просто любой вектор, нормальный к 9. Различные выборы п приводят, конечно, к различным коэффициентам а, однако характер результата один и тот же.

Множитель а называется амплитудой, соответствующей выбору п. В случае когда а — вектор, сингулярность называется продольной, если а||п, и поперечной, если а ± п. Произвольная Сингулярность не принадлежит ни к тому, ни к другому типу.

Если поверхность 9 расположена в метрическом пространстве, то естественно выбрать в качестве п единичную нормаль, единственную в силу принятого нами соглашения, и этот выбор определит единственную амплитуду а или а. Однако, как мы увидим сейчас же, В наиболее интересных случаях такой выбор Невозможен.

Сингулярные поверхности для движения

Рассмотрим движение, представленное как деформация конфигурации х:

х = хДХ, 0.(II. 3-3)

Поверхность 9* в отсчетной конфигурации х или ее образ 9 в текущей конфигурации х» называется сингулярной поверхнот стью п-го порядка, если она сингулярна по отношению к неко.- торой «-производной от Хх, а все производные меньшего по? рядка существуют и непрерывны в некоторой области, содержащей внутри себя 9„. Допускается движение поверхности 9* в отсчетной конфигурации. Более того, мы рассматриваем лиш^

такие сингулярные поверхности, которые существуют в течение некоторого промежутка времени. Поэтому их можно рассматривать как поверхности в 4-мерном пространстве, точками которого являются пары (х, И, и в этом пространстве можно применять условие Адамара (XI. 1-1).

Сингулярные поверхности порядков 0 и 1 называются сильными; к ним относятся ударные волны, вихревая пелена, разрывы и поверхности контакта двух тел. Сингулярные поверхности порядка 2 и выше называются .слабыми. Математическая теория сингулярных поверхностей порядка 1 хорошо развита, но в этой книге не будет рассматриваться. Относительно сингулярных поверхностей порядка 0 нельзя доказать практически ничего определенного.

Условие совместностидля слабых сингулярных поверхностей

Для того чтобы применить условие на скачке (XI. 2-6) к сингулярной поверхности второго порядка, возьмем V =х«- Чтобы упростить анализ, мы рассмотрим сингулярную поверхность ^х, уравнение которой имеет, скажем, вид f(X, f) = О, как трехмерную поверхность в четырехмерной области x(^)XSr, где 9 — пространство времени, и, далее, рассмотрим дх как оператор частного дифференцирования в этом пространстве. Поскольку компоненты, соответствующие X и t, интерпретируются по-разному, мы различаем их в обозначении, записывая четырехмерный вектор как упорядоченную пару (v, и) и четырехмерный тензор как упорядоченную тройку (Т, t, w). В качестве нормали п в (XI. 2-6) можно было бы взять (Gradf, f), но если мы еще разделим на |Grad/|, то получим величину, проще поддающуюся интерпретации, а именно

' п = (пи, — s„\ (XI. 4-1)

где пх — единичная нормаль к сингулярной поверхности Л в х(^), направленная в сторону увеличения f в момент времени t, и где скалярная величина sx, определяемая согласно (II. 6-19), есть скорость распространения поверхности S’* относительно х(^). Аналогично !) '

dxXx —(Grad F, F, х). (Xt 4-2)

Поскольку значения функции х* по-прежнему принадлежат трехмерному пространству, то амплитуда а в (XI. 2-6) представляет собой трехмерный вектор, который мы обозначим здесь через ах.■.

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сделать подстановку V = X, в (XI. 2-6). Разделение на временные и пространственные части приводит к теореме совместности Гюгонио

- [Grad Grad хх] = [Grad F] = а, <8> пх ® пх,

[Grad хх|= [F] = — sxax ® л,, (XI. 4-3) [z,[ = sx

С помощью (II. 6-22) и (II. 6-18) мы можем записать теорему Гюгонио в улучшенной форме:

[ Grad F] = а 0 FTn 0 FTn,

= — sa 0 FTn,(XI. 4-4)

■[x]=s2a;

здесь s — собственная скорость распространения, п — единичная нормаль к ^ в текущей конфигурации х,(Х 0 и где a] Grad f |2= = ax|gradfp.„

■ Поскольку как s, так и [х] определены без использования какой-либо отсчетной конфигурации х, то, согласно (4)з, амплитуда а, удовлетворяющая (4), тоже не зависит от х и, следовательно, может быть названа собственной амплитудой сингулярной поверхности^- Конечно, если п — единичная нормаль к 5Р, то нормалью будет и —п, и собственная скорость распространения, соответствующая этому второму возможному выбору нормали, равна —s.

Сингулярная поверхность, которая покоится относительно тела, является материальной поверхностью; поверхность, которая распространяется, называется волной. Необходимое и достаточное условие существования волны состоит в том, что s #= 0. Разумеется, скорость s может обращаться в нуль в не-

минах одних тензоров, не зависят от координат. С другой стороны, можно было бы заметить, что в произвольных координатах вторая ковариантная производная Г^. у отличается от частной производной д-^рь на величину, которая непрерывна на сингулярной поверхности второго порядка, так что К₽] = М-

Поэтому, если бы мы- пожелали, то могли бы использовать всюду в рассуждениях и произвольные координаты. См. CFT, § 175 и § Арр. 20.

который момент времени, не будучи равной нулю всегда. Из (4) видно, что если з = О, то F и % должны быть непрерывны; таким образом, единственно возможными разрывами на материальной сингулярной поверхности второго порядка являются разрывы поля Grad F. Волны второго порядка называются волнами ускорения, поскольку они несут ненулевой скачок ускорения; обратно, разрыв ускорения не может постоянно разделять две части тела, а должен распространяться по нему.

В общем случае условие (4)1 называется геометрическим условием совместности, поскольку оно выражает предположение о том, что разрыв распределен гладко по поверхности О’ в любой момент времени. Условия (4)2, з называются кинематическими условиями совместности, поскольку они выражают предположение о том, что развитие разрыва во времени происходит гладко. Единичная нормаль п в случае волны называется волновой нормалью.

Мы можем взять в качестве х текущую конфигурацию. Тогда F = G и F = l, поэтому (4)2 принимает вид

= —sa®n(XI. 4-5)

и, следовательно, скачки скорости растяжения, скорости расширения и спина даются формулами

[2D] = — з(а ® п + п ® а),.

[£]=-зап,(XI. 4-6)

[2W] = — за А п..

Второе и третье из этих равенств выражают теорему Вейнгартена — Адамара: Волна ускорения переносит ненулевой скачок градиента скорости, нормальная компонента вектора —за представляет собой скачок скорости расширения, а тангенциальная его компонента — это скачок спина. Следовательно, продольная волна ускорения оставляет неизменной скорость расширения, а переносит ненулевой скачок спина. Наконец, в изохорическом движении все волны ускорения обязательно поперечные, а в движении, которое всегда является безвихревым, могут существовать только продольные волны ускорения. Таким образом, в изохорическом безвихревом движении вообще не могут существовать никакие волны ускорения. Поэтому никого не должно удивлять то обстоятельство, что в книгах по классической гидродинамике не упоминаются волны во внутренней области потенциального течения несжимаемой жидкости.

Упражнение XI.4.1 (Адамар). Показать, что из теорем Гюгонно, Вейнгартена и Адамара следует, что в упругой жидкости прохождение волны ускорения ие нарушает справедливости теоремы'Лагранжа—Кошн о сохранении безвихревого течения (упр. IV. 10.2).

Зз4 часть 1 Некоторые вопросы теории упругости § 6

Упражнение XL 4.2 (Адамар). Показать, что на сингулярной поверхности порядка р, где р ^ 2, геометрические н кинематические условия совместности имеют вид

[(Grad)p-1 F] = ах ® пх ® ... ® пх (р множителей),

[(Grad)”-2 F] = sxax ® пх ® ... ® пх (р — 1 множителей), (р)

[zJ=(-MPa-<XL4"7)

Общий баланс на сингулярной поверхности.

Баланс количества движения

В§ III. 4 мы рассмотрели общее уравнение баланса

~j VdM = J pYdE= J Фп^ + / P^dV (III. 4-1) x^, /)dxG^.t)xKS\6

И показали, что это уравнение локально эквивалентно дифференциальному уравнению (III. 4-4) в областях, где деформация и поля, фигурирующие в этом общем уравнении, достаточно гладки. Теперь мы найдем соответствующее условие, вытекающее из общего уравнения баланса, для случая, когда область Х(^*> 0 пересечена слабой сингулярной поверхностью ^, в предположении, что 9Р сингулярна также по отношению к V и Ф, а функция (рТ)'— р2 почти везде ограничена. Нашим результатом будет теорема Кочина:

s[pV] + [Ф] n = 0.(XI. 5-1)

Мы записали результат в форме, относящейся к случаю, когда Y — скаляр; читатель легко запишет соответствующие соотношения для векторов и тензоров.

Для доказательства удобно записать (III. 4-1) в виде, в котором явно учитывается скачок Т на Z С этой целью мы получим сначала модифицированную форму теоремы Рейнольдса о переносе (II. 6-10), применив эту теорему в ее исходной формулировке к областям х(^ь 0 и х(^2, 0, чьей общей границей является S’, и затем сложив результаты.

Упражнение XL5.1 (Томас). Только что намеченным методом показать, что

A J VdV = J VW + J Vx. n dA - J (YJ sn dA, (XI.5-2)

X (^ PX W ИЭХ (^, t)&

где sn — скорость смещения (11.6-14) поверхности 9”,

Если мы подставим (2) в (III.4-1), то получим уравнение баланса в виде

J [(pV)' - pS] dV + J [р’Г^-^-ФпПА - J [pl^dA^O.

X^Mjdx(^. П<5"■

(XI. 5-3)

Упражнение XI. 5.2. Завершить доказательство теоремы Кочина, при* меняя (3) к части ^, такой, что х (^, О содержит У внутри себя, н стяги» вая затем ^кУ, так что <?Х (^ /)-*^11(— У)- Таким образом,

j [pVx ■ n - pVs„ + ®n] dA = О,(XI. 5-4)

откуда следует (1). Сформулировать точные условия гладкости, дОстаточ» ные для того, чтобы прошло это доказательство.

' Как мы видели в § III. 5, для того чтобы выразить баланс количества движения, мы должны взять Y = х, Ф = Т и 2 = b в общем уравнении баланса (III. 4-1). Та же подстановка в теорему Кочина приводит к условию Пуассона

[T]n = 0.(XI. 5-5)

Таким образом, на слабой сингулярной поверхности, на которой поле массовых сил b непрерывно, баланс количества движения имеет место тогда и только тогда, когда вектор усилий непрерывен. В частности, если напряжения гидростатические (см. упр. III. 5.2), то давление р непрерывно на слабой сингулярной поверхности.

Упражнение XI. 5.3 (Гюгонно). С помощью теоремы Максвелла и определяющего соотношения Эйлера (IV. 4-4) доказать, что в упругой жидкости все волны ускорения являются продольными и их скорость распространения определяется соотношением

s» = p4pY,(XI. 5-6)

предполагается, что [Ь] = 0."

Упражнение XI. 5.4 (Дюгем). Используя условие Пуассона (5), теорему Вейнгартена — Адамара и определяющее соотношение (IV. 4-12), показать, что теория Навье — Стокса для жидкостей не допускает волн ускорения, если р >’0, X + 2р > 0 (оправдание этих неравенств будет дано в упр. XIII. 6.1). Используя (XI. 4-7), наметить рассуждения, с помощью которых можно показать, что волны всех порядков, больших чем 2, также недопустимы.

Для того чтобы выполнялось условие Пуассона (XI. 5-5), конечно, достаточно, чтобы тензор напряжений был непрерывен:

[Т] = 0, или [К]=0.(XI. 5-7)

Эти два условия эквивалентны в силу (VII.2-5). В этом случае мы можем применить теорему Максвелла (XI.2-4) кТх.С учетом выбора (XI. 4-2) для четырехмерной нормали мы получим

тогдатогда[Grad Тх] = А ® пх,[Тх] = — SxA.

тогда

тогда

(XL 5-8)(XL 5-8)Амплитуду А можно исключить, тензорно умножая второе соотношение на Пх и подставляя результат в след первого соотношения:

(XL 5-8)

(XL 5-8)

Sx[DivTx] = - [Тх]Пх. (XI. 5-9)

С другой стороны, мы знаем из первого закона движения Коши в форме (VII.2-6), что если b непрерывно на 9, то

' [DivTx] = pJxl=PxsX, " (XI. 5-10) где второе равенство следует из (XI. 4-3). Тем самым установлена следующая

Лемма (Гуртин). На сингулярной поверхности второго порядка, на которой как массовые силы, так и напряжения непрерывны, .

[t]nx = -pXax. (XI.5-11)

Упражнение XI. 5.5 денным выше, показать порядка р, где р > 2,Упражнение XI. 5.5 денным выше, показать порядка р, где р > 2,(Гуртин). Используя рассуждения, подобные привес помощью (XI. 4-7), что на сингулярной поверхности

Упражнение XI. 5.5 денным выше, показать порядка р, где р > 2,

Упражнение XI. 5.5 денным выше, показать порядка р, где р > 2,

<Р-1)

[Тх]"х = Р»(-МР+ ах

(XI. 5-12)(XI. 5-12)Если в лемме Гуртина (И) мы выберем в качестве отсчетной конфигурации текущую конфигурацию, то получим соотношение .

(XI. 5-12)

(XI. 5-12)

[t]n = —ps3a,(XL 5-13)

посредством которого амплитуда выражается непосредственно через [Т].'

Упражнение XI. 5.6. Получить теорему Гюгонио (6) и результаты упр. XI. 5.4 как следствие (13) и (XI. 4-6)а.

Слабые волны в упругом теле.Акустический тензор

Записывая определяющее соотношение теории упругости с помощью тензора напряжения Пиолы Тх

Tx = ^(F),Tx = ^(F),(VII. 2-7)

Tx = ^(F),

Tx = ^(F),

мы видим, что если функция реакции I) непрерывна, то непрерывен и тензор Тх, и мы можем применить лемму Гуртина (XI. 5-11). Кроме того, дифференцируя (VII. 2-7) по /, мы по-

лучаем

Тх = A[[F]] = А[ —sxax ® Пх],(XI.6-1)

где второе равенство следует из (Х1.4-3)2. Подстановка в (XI. 5-11) приводит к условию распространения

'АА = рЛХ;(XI. 6-2)

мы сократили на множитель s„, предполагая тем самым, что сингулярная поверхность представляет собой волну, и ввели Ах как такой тензор, для которого

Ахах = А [ах ® nx] nx.(XI. 6-3)

Поскольку правая часть (4) — линейная функция от ах, то операция, обозначенная через Ах, линейна, что уже отражено в записи. Тензор Ах называется относительным акустическим тензором для волны, нормаль к которой в х(^) есть щ. Тензор Ах представляет собой в общем.случае функцию от F и X, и он определяется явно через тензор упругости А упругого материала. В покомпонентной записи

А-,.ьт = А Ь тП-каП^.(XI. 6-4)

Обычно легче интерпретировать результаты, когда все выражено через волновую нормаль и, собственную скорость S и собственную амплитуду а. Такое выражение для Ах легко получить из (2).'

Упражнение XI. 6.1. Пусть F(X,/) =f(x,/) = const — уравнения сингулярной поверхности. Полагая

и замечая, что

Аа = ^-А[а® FTn]FTn,(XI. 6-6)

Акт = ^-А^Е\Е!№показать, что условие распростраиения можно записать в виде.

Аа = рзЧ.._ (XI. 6-7)

Результат этого последнего упражнения дает наиболее часто используемую форму соотношения между амплитудами и скоростями всех возможных волн. Тензор А, который вообще является функцией от F и X, также как и от п, называется акустическим тензором, соответствующим волновой нормали и в том месте хх(Х, 0, где градиент деформации равен F. Когда

мы хотим подчеркнуть роль волновой нормали, мы пишем А(п), а не А. Направления собственных векторов А (и) называются акустическими осями для волновой нормали п, а соответствующие собственные числа А(п)—акустическими числами.

Предыдущие результаты подытоживает

Теорема Френеля — Адамара. Каждая собственная амплитуда а волны ускорения с волновой нормалью п должна быть собственным вектором тензора А(п); собственная скорость распространения s, соответствующая этой амплитуде, определяется с точностью до знака тем обстоятельством, что соответствующее акустическое число ps2 равно

- ps2 = a.A(n)a (XL6.8) I а I

Квадраты скоростей распространения удовлетворяют кубическому уравнению

(ps2)3 - Ia (ps2)2 + Haps2 - Ша = О, (XI. 6-9)

где 1д, Па и Шд — главные инварианты тензора А(п).

Таким образом, собственные скорости и направления возможных амплитуд, переносимых волной с волновой нормалью п, строго регламентированы функцией реакции I) упругого тела и деформацией, которой подвержено это тело. Далее," в том случае, когда известно конкретное значение амплитуды, оно определяет посредством (8) точно две возможные скорости распространения: +s и —s. Волны, переносящие скорости и амплитуды, которые не удовлетворяют условию распространения (7), не могут существовать. Если а — амплитуда, то амплитудой является и Ka при любом К. Поэтому только направление амплитуды, но не ее величина, ограничено условием распространения. ■

Упражнение XI. 6.2 (Трусделл). Используя (XI. 5-12), показать, что собственные амплитуды а и скорости распространения s всех слабых волн удовлетворяют одному и тому же условию распространения, а именно (7).

Упражнение XI. 6.3 (по существу Пуассон). Используя общую теорию, изложенную в § IX. 2, показать, что скорости и амплитуды бесконечно малых свободных плоских синусоидальных колебаний около однородной конфигурации удовлетворяют условию распространения (7).

Поскольку условие распространения (7) выражает свойства, общие многим видам малых возмущений, принято называть основанную на нем теорию акустической и говорить, несколько вольно, о любой волне, описываемой ею, как о звуковой волне. Этим объясняется то, что мы уже добавляли эпитет «акустический» к различным величинам. Собственные скорости распространения слабых волн часто называются скоростями звука.

Акустические оси и числа, соответствующие данной волновой нормали п, зависят от тензора упругости упругого материала, который в свою очередь зависит не только от конкретного места в хЛХО, н0 также и от деформации, которой подвергнуто упругое тело ^.

При сохранявшейся до сих пор общности мало что определенного можно сказать о знаках и кратностях акустических чисел и множестве акустических осей. Полученные условия представляют собой лишь необходимые условия. Если они удовлетворяются, то из этого совсем не следует, что волна действительно может существовать. Трудности здесь связаны не только с вопросом о совместимости скоростей волн и амплитуд с данной формой волны в данном теле, подвергнутом данной деформации, но даже с тем, что скорости s не обязательно действительны, а, конечно, мнимая или комплексная скорость волны не имеет никакого смысла.

В последующих параграфах мы увидим, что ряд простых результатов можно получить,"когда функция реакции I) удовлетворяет некоторым дополнительным дифференциальным тождествам или неравенствам.

. § 7. Симметричность акустического тензора.Гиперупругие материалы

Из (XI. 6-4) или (XI. 6-6) видно, что если тензор упругости А симметричен в следующем смысле:

Л“ P = AS“(XI. 7-1)

То акустический тензор А(п) симметричен для любого п:

А(п) = А(п)т.(XL 7-2)

Упражнение XI. 7.1. Показать, что это условие эквивалентно такому:

Bkmpq _ Bpqkm)(XI. 7-3)

где тензор В определен согласно (X. 5-6).

Симметричности А(п), разумеется, достаточно для того, Чтобы существовала по крайней мере одна тройка ортогональных акустических осей и чтобы акустические числа А(п) были действительны.

Согласно (VII. 2-11)1 условие (1) необходимо и достаточно для того, чтобы функция § была градиентом функции а от F и X:

Т. = РЛ^(Г> Х) = рА°; (XI. 7-4)

Вторую, более короткую запись мы и будем обычно использовать. По причинам, которые выяснятся в § XII. 7, такая функ-

ция о называется функцией запасенной энергии, а упругий материал, имеющий такую функцию, называется гиперупругим. Раньше при построении теории упругости, как правило, ограничивались этим случаем, однако мы будем использовать предположение (4) только тогда, когда оно необходимо для того, чтобы вывести какое-нибудь свойство, которое без этого предположения не имеет места. Суммируя предыдущие результаты, мы получаем следующую теорему:

Теорема (Адамар). В гиперупругом теле существует по крайней мере одна ортогональная тройка акустических осей для любой волновой нормали, и соответствующие акустические числа действительны.

Поскольку акустическое число, соответствующее данной акустической оси, равно ps2, где s— собственная скорость распространения любой волны, которая может переносить амплитуду, направленную вдоль этой оси,-и двигаться в направлении п, то симметричности А(п) самой по себе недостаточно для того, чтобы гарантировать, что любая скорость будет действительна, поскольку акустические числа могут быть равны нулю или отрицательны. Остается возможным случай, когда нет никакой действительной скорости, удовлетворяющей (XI. 6-7), и когда, таким образом, не могут существовать никакие волны. В следующем параграфе мы рассмотрим дополнительные неравенства, достаточные для того, чтобы гарантировать, что некоторые или все скорости s, полученные из условия распространения (XI. 6-7), будут действительными, в оставшейся же части этого параграфа мы будем дальше анализировать следствия из' симметричности А(п) самой по себе.

Можно доказать теорему, являющуюся частичным обращением теоремы Адамара, однако уже с использованием принципа материальной независимости от системы отсчета, который мы не привлекали до сих пор в нашем рассмотрении волн.

Прежде всего заметим, что сравнение (X. 5-6) и (Х1.6-6)2 показывает сразу, что‘.

Afemk^ = BfePm4npnq." (XI. 7-5)

Требование независимости от системы отсчета налагает требования симметрии на В, как показано в следующем упражнении.

Упражнение XI. 7.2 (Тупин & Бернштейн). Показать, что из принципа материальной независимости от системы отсчета вытекает требование, чтобы тензор В, определенный согласно (Х.5-6), удовлетворял тождествам

“gkmpqQmkpq _„ gkp-pmq _ gmpjkq^

gkmpq — gkmqp =_ gkp-pmq __ gkqfmp,(XI. 7-6)

gkmpqgmkqp = gkpjmqgmqjhp^

Следовательно, необходимое и достаточное условие того, что Т = О, имеет

видвидgkmpq _ gmkpq __ ^kmqp^gkmpq _ gmkpq __ ^kmqp^(XI. 7-7)(XI. 7-7)

вид

вид

gkmpq _ gmkpq __ ^kmqp^

gkmpq _ gmkpq __ ^kmqp^

(XI. 7-7)

(XI. 7-7)

Из (5) видно, что тензор А(п) симметричен тогда и только

(XI. 7-8)(XI. 7-8)тогда, когда

(XI. 7-8)

(XI. 7-8)

(Вкрт<'-Втрк‘,>)прп[, = 0.

Для того чтобы это условие выполнялось для каждого п, необходимо и достаточно, чтобы разность Bhvmi — Bm?k<i была антисимметрична относительно р и q:

(XI. 7-9)(XL 7-10)(XI. 7-11)(XI. 7-9)(XL 7-10)(XI. 7-11)Qkpmqgmpkq । gkqmp gmqkp _ q Перестановка индексов дает

(XI. 7-9)

(XL 7-10)

(XI. 7-11)

(XI. 7-9)

(XL 7-10)

(XI. 7-11)

gpkqm gqkpm । gpmqkgqmpk _ q

Складывая (9) и (10), получаем ftkmpq |, RPkqmgmqkp ' gqmpk _

gmpkq ftpmqk । gqkpm gkqmp

Упражнение XL 7.3 (Бернштейн). Используя тождества (6), показать, что (11) сводится к (3).

Таким образом, доказана

Теорема Бернштейна, обратная к теореме Адамара. Если тензор А(п) симметричен для всех п, то материал гиперупруг.

Разумеется, остается возможность, что тензор А (и) симметричен для некоторого п, не будучи таким для всех п, и в § 9 мы встретимся с подобными примерами.

§ 8. Последовательности различных дополнительныхнеравенств

С одного взгляда на формулу, которая определяет скорости s, соответствующие известной амплитуде а, а именно на фор

мулу •

(XI. 6-8)(XI. 6-8)9 а • А (п) аpS2 = —-5-2-

(XI. 6-8)

(XI. 6-8)

видно, что для того, чтобы для всех волн скорости были действительными, достаточно выполнения следующего неравенства: a-A(n)a>0 Va #= О, Vn. (XI.8-1)

С помощью (XI. 6-4) мы можем записать это условие непосред- ственнр через тензор упругости _А:

Ak6ahamb„bft > 0 Va ^ 0, Vb #= 0, (XI. 8-2) Uup* X/

или, в бескоординатной записи,

tr [A(F)[а ® Ь](а ® Ь)т) > 0 Va #= О, Vb #= 0. (XI. 8-3)

Оператор К, удовлетворяющий этому условию, называется сильно эллиптическим (или S-E-оператором)1). Это условие налагает ограничение только на симметричную часть оператора А. Эквивалентным образом это S-E-условие можно выразить с помощью оператора В:

Bk^akbmapbq > 0, tr[B(F)[a®b](a®b)T}>0,Bk^akbmapbq > 0, tr[B(F)[a®b](a®b)T}>0,Va #= 0, Vb #= 0. (XL 8-4)Va #= 0, Vb #= 0. (XL 8-4)

Bk^akbmapbq > 0, tr[B(F)[a®b](a®b)T}>0,

Bk^akbmapbq > 0, tr[B(F)[a®b](a®b)T}>0,

Va #= 0, Vb #= 0. (XL 8-4)

Va #= 0, Vb #= 0. (XL 8-4)

S-E-условие легче интерпретировать в случае, когда антисимметричная часть оператора А обращается в нуль. Объединяя ряд результатов двух предыдущих параграфов, мы получаем следующую теорему. .

Теорема (Адамар). В каждом месте некоторой области, где тензор упругости гиперупругого тела сильно эллиптичен, существует для каждой волновой нормали п по крайней мере одна ортогональная тройка акустических осей, и слабая сингулярная поверхность, соответствующая любой акустической оси, представляет собой волну.

S-E-условие, поскольку оно предписывает акустическим числам быть положительными, запрещает не только мнимые скорости волн, но также и равные нулю скорости. В частности, невозможны слабые материальные сингулярные поверхности: каждая слабая сингулярность должна распространяться.

Теорема была сформулирована для некоторой области, поскольку возможно, что S-E-условие для одних значений F справедливо, а для других нет. Таким образом, если в одной части деформированного упругого тела S-E-условие удовлетворяется, то не обязательно то же должно быть и в остальных частях. Разумеется, S-E-условие, поскольку оно является дополнительным, может быть наложено на тензор упругости A(F) для всех F, и в этом случае утверждение теоремы Адамара справедливо при всех возможных деформациях тела. Наиболее подходящим примером здесь служит, как мы вскоре увидим, классическая линейная теория.

Сравнивая условие (4) с GCN+-ycлoвиeм (X. 5-9), мы видим, что оба они имеют вид

' tr{B[G]GT}>0 (XI; 8-5)

*) От strongly elliptic. —Прим. ред.

для всех тензоров G определенного вида, а именно:

GCN+ — для всех симметричных ненулевых G, z-^j 8-6) S-E — для всех ненулевых G вида а ® Ь. '

Это обстоятельство наводит на мысль, что S-Е и GCN+ представляют собой несравнимые условия: ни одно из них не влечет другое, и можно показать примерами, что это действительно, так. Принятие условия для всех ненулевых G означало бы, конечно, что выполняются как S-Е, так и GCN+. Но, как было, показано в другом контексте в § 4, такое требование недопустимо, поскольку не зависящее от системы отсчета определяющее соотношение может удовлетворять ему лишь для специальных видов напряженных состояний.

Несколько более слабым, чем S-E-условие, является условие Адамара (или Н-условие)

tr{B[G]GT}>0(XI. 8-7)

для всех G вида а ® Ь. Если выполняется Н-условие, то никакое акустическое число не может быть отрицательным, хотя; может быть равным 0. Таким образом, Н-условие допускает слабые материальные сингулярные поверхности, а в остальном формулировка теоремы Адамара не изменяется. Как мы видели в § X. 5, при выполнении GCN-условия неравенство (7) справедливо для всех симметричных G.

Упражнение XI. 8.1. Используя результат, приведенный в упр. XI. 7.1, показать, что в естественной конфигурации

(XI. 8-8)(XI. 8-8)GCN+=^S-E,GCN=^H.

(XI. 8-8)

(XI. 8-8)

В § X. 4 мы показали, что для бесконечно малых деформаций из известной конфигурации условия GCN+ и GCN сводятся к одному и тому же условию, которое представляет собой типичное дополнительное неравенство теорли бесконечно малых деформаций. В этой теории, конечно, каждая конфигурация является приближенно естественной конфигурацией. Поэтому сочетание (8) с теоремой Адамара приводит к типичному результату теории бесконечно малых деформаций, принадлежащему по существу Френелю:

Для любой волновой нормали существует ортогональная тройка акустических осей, и соответствующие акустические числа положительны.

Как мы уже отмечали, волны, вообще говоря, не являются ни продольными, ни поперечными. Как GCN+-, так и S-E-усло- рия достаточны для того, чтобы по крайней мере одна волновая

нормаль п допускала продольную амплитуду. В "самом деле, в (6) любое из условий позволяет нам взять G = a ® а, где а 0; следовательно,

' n-A(n)n>0 Vn. (XI. 8-9)

Про материал, удовлетворяющий этому условию, которое слабее, чем любое из условий GCN+ или S-Е, говорят, что он обладает положительной продольной упругостью. Само по себе (9) гарантирует, и это тривиально, что если п — амплитуда, то соответствующее акустическое число положительно, однако в- действительности имеет место сильная

Теорема (Фёдоров, Стиппс, Трусделл). Для материала, обладающего положительной продольной упругостью, по крайней мере одна продольная амплитуда удовлетворяет условию распространения (XI. 6-7), и соответствующее акустическое число положительно.

Доказательство. В силу предположения (9) мы можем положить ‘

т<">-№ТГ (XL81°)

и заключить, что единичный вектор m(n) образует острый угол с п. Следовательно, m(n) отображает поверхность единичной сферы саму на себя и ни одну точку не переводит в противоположную, Поскольку А(п)п — не обращающийся в нуль1) полином относительно п, так определенное отображение непрерывно. Согласно теореме о неподвижной точке2), любое такое отображение имеет неподвижную точку. Таким образом, существует единичный вектор nz, такой, что m(nz) = nz. Согласно (10) A(nz)nz||nz, поэтому nz— продольная амплитуда. ■

Для гиперупругого материала S-E-условие обеспечивает существование ортогональной тройки акустических осей, всех с положительными акустическими числами. Отсюда вытекает

Следствие (Трусделл). Во всяком месте, где выполняется S-E-условие, имеется по крайней мере одна волновая нормаль, для которой продольная амплитуда и две ортогональные поперечные амплитуды удовлетворяют условию распространения; соответствующие акустические числа положительны.

В месте, где Т = 0, в действительности имеются по крайней мере три различные, волновые нормали, которые допускают

’) При ненулевых значениях аргумента. — Прим. ред.

2) См., например, теорему 8.7 на стр. 132 книги: Bourgin D. G., Modern Algebraic Topology, New York, MacMillan, 1963 [или теорему 3.2 на стр. 12 книги: Ху Сы-цзян, Теория гомотопий, «Мир», М., 1964. — РедД.

продольные амплитуды1). Так обстоит дело, в частности, в классической линейной теории, поскольку, как мы видели, классическое дополнительное неравенство влечет S-E.

§ 9. Слабые волны в изотропных материалах

Мы уже вывели специальную форму первого закона движения Коши для однородных изотропных материалов:

FfemPX’m + p6fe = px\(XI. 4-21)

где F определяется согласно (VII. 4-22). Легко показать или непосредственно рассматривая это уравнение, или при помощи подстановки в (XI. 7-5), что акустический тензор А(п) для изотропного материала дается формулой

А'т^^^тцВ^ПгПр.(XI. 9-1)

В главных осях, конечно,-

[B] = diag(4 и2, и2).' (XI. 9-2)

Пусть единичный вектор п имеет главные компоненты cos 0Ь cos 62 и cos 0з. Воспользовавшись (1), (2) и формулами (VII. 4-23) для главных компонент тензора F, мы без труда вычислим главные компоненты тензора А(п):

А <11) (п) = (d10g ^ cos2 0, + 4=4 и2 cos2 02 +

+ 4^Hcos2 03, (XI. 9-3) yi —•

А <12)(п) = 14 /, + 4—4 yi] cos е, COS 02, ... . .V1 — р2 J ■

Мы предполагаем, что в этих выражениях главные растяжения различны, поскольку мы используем «верхний» из двух вариантов формулы (VIL4-23)s. Читатель может легко сделать поправки, необходимые, если две или более из компонент и< равны между собой.

Главная волна — это волна, волновая нормаль которой направлена вдоль главной оси растяжения. Например, мы можем в качестве п взять единичный вектор ni вдоль оси с номером 1,

*) Этот результат был доказан Колоднером (I. Kolodner, Existence of longitudinal waves in anisotropic media, J. Acoust. Soc. Amer., 40 (1963), 730—731). To, что его доказательство основано на (XI. 7-7) и поэтому проходит на самом деле лишь при Т = 0, было замечено в статье: Truesdell С., Comment on longitudinal waves, J. Acoust. Soc. Amer., 43 (1968), 170,

так что его компонентами будут (1,0,0). Тогда (3) дает

Л(11>(п1) = дюкоА,

А<22)(п1) = о|-4214. (XI. 9-4)

Л(12)(п,) = 0 .

Поскольку тензор [A(ti|)] Диагоналей в этой системе отсчета, доказана, следующая .

Теорема (Трусделл). Главные оси растяжения являются также акустическими осями для главных волн.

Поскольку главные оси растяжения взаимно ортогональны, имеется одна продольная акустическая ось и по крайней мере две поперечные. Если, как обычно принимается, продольное акустическое число отличается от обоих поперечных акустических чисел, то каждая главная волна в изотропном материале является или продольной, или поперечной. В исключительном случае, который, по-видимому, не представляет никакого интереса, условию распространения удовлетворяют еще дополнительные амплитуды, которые не являются ни поперечными, ни продольными. (Читателю следует, между прочим, вспомнить, что, хотя для изотропного материала главная ось растяжения представляет собой также главную ось напряжений, обратное неверно, поэтому было бы неправильно предположить, что каждая волна, нормаль к которой направлена вдоль главной оси напряжений, является главной волной.)

Скорости главных волн можно вычислить сразу из (4) и (XI. 6-9). Первый раз возьмем саму нормаль П| в качестве амплитуды, и пусть $п будет скоростью соответствующей продольной волны. Тогда

'ps^n, ■ A(n1)nl = A(ll)(n,) = dlogp/1. (XL 9-5)

Второй раз положим амплитуду равной поперечному единичному вектору П2, скажем, с компонентами (0,1,0), и пусть S12 будет скоростью соответствующей поперечной волны. Тогда

рз?2 = п2. А (п.) п2 = А (22) (п.) = о? . (Х1.9-6) .— °2

Эти формулы, которые впервые были получены Эриксеном, выражают скорости главной волны непосредственно через касательные модули растяжения вдоль трех главных осей и секущие модули сдвига в трех перпендикулярных к ним плоскостях. В общем случае имеется 9 различных квадратов скоростей волны Sgb..

Упражнение XI. 9.1 (Трусделл). Доказать, что в случае, когда давление р(р) производит объемное расширение с растяжением у из естественной конфигурации, девять квадратов скорости волны сводятся к двум. Обозначив через sx скорость поперечной волны и через $ц скорость продольной волны, доказать, что

' »^^(К, + 2уЧ

V 5<XL 9"7)

so = у^Г (Ki + 2”2*2)+ р'(р)>

где Нг — коэффициенты реакции в соотношении для напряжений (VII. 4-13). Конкретизируя эти результаты для случая бесконечно малой деформации из естественной конфигурации, вывести теорему Пуассона — Кристоффеля

2 р 2 Л + 2р2 р 2 Л + 2р(XI. 9-8)(XI. 9-8)

2 р 2 Л + 2р

2 р 2 Л + 2р

(XI. 9-8)

(XI. 9-8)

Более общим образом показать, исходя из (7) без всяких ограничений, что

(XI. 9-9)(XI. 9-9)^4<+р'(р>-

(XI. 9-9)

(XI. 9-9)

Ввиду (XI. 5-6) последний результат показывает, что в изотропном упругом, твердом теле, которое подвергнуто действию гидростатического давления и в котором распространяются поперечные волны, скорость продольных волн всегда больше, чем в жидкости, имеющей ту же самую функцию давления.

Упражнение XI. 9.2 (Эрнксен & Тупнн). Доказать, что для изотропных материалов

S-E =^ Т-Е& В-Е.(XI. 9-10)

Упражнение XI. 9.3. Показать, что в некоторых отсчетных конфигурациях, а именно в любой неискаженной конфигурации

А (п) = (А, + р) n ® п + pl,(XI. 9-11)

где X и р — коэффициенты Ламэ для бесконечно малой деформации из этой конфигурации, и отсюда вывести опять теорему Пуассона — Кристоффеля.

список ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)

NFTM, §§ 71—78 и 90.

IRE, гл. VI.

J. Hadamard, Legons sur la propagation des ondes, Paris, Hermann, 1903.

J. L. Ericksen, On the propagation of waves in isotropic incompressible perfectly elastic materials, /. Rational Meeh. Anal., 2 (1953), 329—337,

(Воспроизведено в «Continuum Mechanics IV. Problems of Non-linear Elasticity», ed. C. Truesdell, N. Y., Gordon & Breach, 1965.)

R. A. Toupin & B. Bernstein, Sound waves in deformed perfectly elastic materials Acousto-elastic effect, J. Acoust. Soc. Amer., 33 (1961), 216—225. (Воспроизведено в только что упомянутой книге «Continuum Mechanics IV».)

С. Truesdell, General and exact theory of waves in finite elastic strain, Arch. Rational Meeh. Anal., 8 (1961), 263—296. (Воспроизведено в упомянутой книге «Continuum Mechanics IV» и в «Wave Propagation in Dissipative Materials», N. Y., Springer, 1965.)■

P. J. Chen, Wave motion in solids, Fltigge’s «Handbuch der Physik», YIa/3, ed. C. Truesdell, Berlin etc., Springer, 1972,

Глава XII

УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА

Тождество Кирхгофа- Устойчивость -

В классической теории бесконечно малых деформаций единственность доказывается обычно с помощью тождества, полученного Кирхгофом. Само это тождество легко обобщается на случай конечных деформаций. Мы начнем с дифференциального уравнения равновесия, которое следует из (VII. 2-6) ь а именно уравнения

Div Ти + рхЬ = О,(XII. 1-1)

где определяющее соотношение имеет вид

К = $(F).(VII. 2-7)

Мы предполагаем, как обычно, что упругое тело Ж отнесено к отсчетной конфигурации х ^ и F = V ^х, и пусть, как обычно, соответствующие усилия и положения на границе дк^ после деформации обозначаются через t, и х. Используя в качестве основной отсчетную конфигурацию х(^), другую конфигурацию тела ^, подвергнутого действию массовых сил Ь* при граничных условиях ti и х* и при напряжениях Пиолы T, = 9(F*), обозначим через х* = Х,(Х). Тогда, конечно, тоже

DivT; + p,b* = 0.(XII. 1-2)

Упражнение XII. 1.1 (по существу Кирхгоф). Вычитая (1) из (2) и интегрируя по х (^), доказать, что

/ Px(b*-b)-(x;-xx)dV+ J (x:-x,).(t:-t,)dA =

"= J 1г{(т: -Tx)(F‘T-FT)}dV. (XII. 1-3)

Если обе конфигурации Хх и Хх соответствуют одним и тем же массовым силам, то b* = b в х(^), и если обе конфигурации соответствуют одним и тем же смешанным граничным условиям для усилий и перемещений, то на дх(^) или Z2 = Z„ или t» = tK.

Таким образом, левая часть (3) обращается в нуль, поэтому 0 = J tr {(т: - Т») (F*T - FT)) dV. (XII. 1-4)

В теории бесконечно малых деформаций из естественной конфигурации условия, которые обеспечивают положительность подинтегральной функции в правой части, если F* и F отличаются не только поворотом, налагаются дополнительно. Отсюда следует, что два поля деформаций отличаются друг от друга самое большее поворотом.

Упражнение ХП. 1.2 (Кирхгоф). Используя дополнительное неравенство (X. 1-1), подробно доказать утверждения, сделанные в двух последних фразах.

В классической теории бесконечно малых деформаций каждое решение устойчиво в смысле, который мы вскоре определим. Устойчивость этого типа, поскольку она имеет место автоматически, почти тривиальна. Когда мы пробуем, однако, подойти к исследованию понятия устойчивости вообще, оказывается, что трудно не только исследовать, но в первую очередь даже точно определить его. Наиболее, по-видимому, естественная идея заключается в том, чтобы равновесную конфигурацию Х(^) тела ^ считать устойчивой, если это тело, будучи чуть деформировано из х(^), само по себе возвращается к х(^) через достаточно большое время или по крайней мере мало отклоняется от х(^) в течение всего последующего времени. Это понятие, несмотря на свою привлекательность, нечетко, поскольку ничего не говорится о силах или связях, которые действуют на ^ в течение его малой деформации из х(^) и после нее, однако очевидно, что различные распределения сил и связей приводят, вообще говоря, к различному поведению. Дело не только в этом. Для того чтобы такой критерий стал эффективным, должно быть известно определяющее соотношение для 38 в произвольном движении, однако опыт с реальными телами показывает, что устойчивость равновесной конфигурации часто слабо связана со спецификой реакции тела на характер изменения деформации во времени.

Наиболее раннее исследование устойчивости, которое было выполнено Архимедом, относится к твердым телам, погруженным в то, что мы теперь называем несжимаемой упругой жидкостью, и никак не использует представления о движении. В аналитической динамике систем, подвергнутых действию консервативных внешних сил и сил взаимодействия (см. § 1.14), известная теорема Дирихле сводит динамическое понятие устойчивости к статическому понятию, правда, силами и ценой полного пренебрежения такими эффектами, как трение между

телами системы и внешнее трение, поскольку в этой теории ограничиваются только консервативными силами. Никакая теорема такого рода не известна в настоящее время даже для простейших классических теорий сплошных тел. На самом деле имеются интересные контрпримеры, которые показывают, что никакое соотношение такого рода и не может быть справедливо в общем случае. Однако большинство классических исследований устойчивости покоится на том или ином статическом критерии.

В этой книге мы не будем затрагивать никаких общих концептуальных проблем, касающихся понятия устойчивости1), а для определенности примем и рассмотрим одно конкретное статическое определение, которое включает в качестве частных случаев довольно большое число определений, предложенных и изученных в прошлом. Таким образом, я не претендую на то, что это математическое определение отражает полностью и без исключений физическое понятие устойчивости, и тем. более я не утверждаю, что нельзя было бы предложить какое-нибудь другое определение. Вместо этого — и особенно потому, что в технической литературе в рассуждениях, связанных со словом «устойчивость», есть много неясного, если не сомнительного или даже ошибочного, — я хочу на примере показать изучающему, какого рода результаты могут быть строго получены из анализа явного и точного определения. В соответствии с по существу консервативной и традиционной точкой зрения, приводимой всюду в этой книге, выбранное частное определение представляет собой классическое определение, хотя в свете недавно опубликованных или проводимых сейчас исследований это определение может оказаться в конце концов просто условным и второстепенным.

В § X. 4 мы рассмотрели одно общее требование к знаку подинтегрального выражения, а именно

■ tr((T: -K)(F,T-FT)} >0, VF’^F, (Х.4-1) и мы отказались от него потому, что ему не может удовлетворять никакое определяющее соотношение, не зависящее от системы отсчета, за исключением особых специальных видов напряженного состояния. Рассуждения, приведенные там в порядке возражения, относятся только к парам деформаций, отличающихся друг от друга на поворот или инверсию: F* =.

') Эти проблемы подробно обсуждаются и всесторонне освещаются в полном и превосходном обзоре известных в настоящее время теорем об устойчивости и относящихся сюда различных определении: Knops R. & Wilkes Е. М„ Theory of Elastic Stability, Encyclopedia of Physics, VIa/3, ed. C. Truesdell Berlin, etc,, Springer, 1972, J

= QF, где Q — ортогональный тензор. Мы можем обойти эти 'возражения, отказавшись от рассмотрения таких пар деформаций и требуя, кроме того, выполнения неравенства только в среднем, а не в каждой точке. Мы будем говорить, что конфигурация Хи (^) упругого тела $ с соотношением для напряжений (VII. 2-7) устойчива по Адамару, если

J tr №(F*)-^(F)][F*T-FT]}dV^0 (XII. 1-5)'

для всех F*, где, конечно, F = VXx, и сверхустойчива по Адамару, . если

j tr {ft (F*) - I) (F)] [F*T - FT]) dV > О (XII. 1-6)

для всех F*, которые не имеют вида QF для некоторого ортогонального тензора Q. Это условия только на ^, I) и Хх, по-' скольку мы не требуем, чтобы рассматриваемые две деформации уравновешивались одними и теми же полями массовых сил. Для наших целей здесь не будет никакой потери общности, если взять х и X, одинаковыми. Тогда приведенные два условия примут вид

Jtr([^(F)-^(l)HFT-l])dF>0 (XII. 1-7)

и

■/ tr {[^ (F) — ^ (1)] [FT — 1]} dV > О (XII. 1-8)

соответственно, причем первое должно выполняться .для всех невырожденных F, а последнее — для всех невырожденных и неортогональных F. Если, однако, мы захотим потребовать, * чтобы все вообще конфигурации или все конфигурации в пределах некоторого определенного класса были устойчивы или сверхустойчивы по Адамару, то формулы (7) и (8) становятся неудобными для использования, поскольку нам в них надо тогда писать ^х вместо I) и требовать затем, чтобы они были справедливы для всех х. В рассмотрениях такого типа предпочтительнее использовать одну-единственную конфигурацию х, выражать наши условия в форме (5) и (6) и требовать, чтобы первое выполнялось для всех пар F, F* или чтобы второе выполнялось для всех пар таких, что тензор F*F-1 не ортогонален.

Несмотря на их формальное сходство, устойчивость и сверхустойчивость по Адамару представляют собой несравнимые понятия. Устойчивость не влечет сверхустойчивости, поскольку для неортогонального F допускается «=», согласно (7); в ка-

ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 3S3 честве примера достаточно рассмотреть материал, который имеет две естественные конфигурации, не получающиеся одна из другой чистым поворотом1). Сверхустойчивость не влечет устойчивости, поскольку (7) представляет собой утверждение о всех невырожденных F, в то время как (8) не налагает совсем никаких условий на те F, которые ортогональны.

Условие сверхустойчивости дает возможность нам начать зондирование вопроса о единственности, поскольку оно почти несовместимо с необходимым условием (4), которому должны удовлетворять любые две статические деформации данного упругого тела, соответствующие одним и тем же граничным условиям и массовым силам. В самом деле, из (6) следует, что соотношение (4) не может выполняться, если только не окажется, что для некоторого ортогонального тензора Q имеет место равенство F* = QF. Можно показать, что ортогональная деформация обязательно однородна и, таким образом, представляет собой произведение жесткого поворота на ±1. Мы установили следующую теорему:

Теорема. Если конфигурация х^) сверхустойчива при определенных граничных условиях на усилия и перемещения, то любые две статические деформации х*(^), соответствующие граничным условиям и одному и тому же полю массовых сил, должны получаться одна из другой при помощи жесткого поворота.

Схематически:

о . статическая единственностьсверхустойчивость^ с точностыо до поворота.

.Немного сделано в отношении представлений об устойчивости, за исключением частного случая бесконечно малых деформаций, к которому мы и обратимся.

Устойчивость по отношениюк бесконечно малым деформациям

Когда допускаются лишь бесконечно малые деформации, предыдущие рассмотрения становятся менее ограничительными и более полезными. Возьмем в качестве отсчетной ту конфигу-

’) Эта возможность может показаться чистой абстракцией тем, чья «интуиция» основывается только на представлениях о бесконечно малых деформациях,. одиако ее легко наглядно представить себе исходя из молекулярной модели. Например, если мы совершаем сдвиг бескоиечиой одиоатомиой кубической кристаллической решетки иа прямой угол, то решетка переходит сама в себя, поэтому, если напряжения в ней представляют собой межмолекулярные взаимодействия и если напряжение первоначально равнялось нулю, то оно должно стать опять нулевым после сдвига,

рацию, устойчивость которой будем изучать, скажем к. Тогда мы можем положить Fq = 1 в общем линейном определяющем соотношении (XI. 4-3) и получить

Тх = То + Ао[Н],(XII. 2-1)

где Ао = Ах(1) и Н —градиент бесконечно малой деформации из х(^); таким образом, F=1 и F*=14-H, поэтому

tr {(Тк - То) (F‘T - FT)) = tr {Ao [Н1 Нт) = AoiMuU^ (XII. 2-2)

где и —вектор бесконечно малого перемещения.

Если

J tr (А0[Н] Нт} dK^ (Г(XII. 2-3)

для градиента Н любого поля перемещений и, которое совместимо с поставленными граничными условиями для усилий и перемещений, то конфигурацию и(^) будем называть устойчивой по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям при рассматриваемых граничных условиях. Это определение подсказывается соотношением (XII. 1-5) и представляет собой предельную форму, которую оно принимает При бесконечно малых деформациях (ср. с § IX. 1). Поэтому полная бесконечно малая работа усилий, требуемых для того, чтобы вызвать бесконечно малую деформацию, совместимую с граничными условиями в такой конфигурации, по меньшей мере столь же велика, как и работа, которая потребовалась бы, если бы мы смогли произвести ту же самую деформацию при исходных нагрузках.

Очевидно:

„устойчивость по Адамару

устойчивость _^по отношению к бесконечно (XII. 2-4) по Адамарумалым деформацияМ1

однако обратное, вообще говоря, неверно.

Аналогично, если

j tr {Ао[Н]Нт} dV>0(XII. 2-5)

для всех Н, отличных от чистых поворотов, т. е. для всех Н, которые не антисимметричны, то конфигурация х(^) называется сверхустойчивой по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям.

Как частный случай теоремы, сформулированной в конце § XII. 1, или с помощью простого непосредственного рассуждения, основанного на (5), может быть получена следующая основная

Теорема единственности (Эриксен & Тупин, Хилл):

„.статическая един-

сверхустоичивость по Адамаруственность по отно- /VTT о

по отношению к бесконечно ^ шению к бесконечно (ХП.2-6) малым деформацияммалым поворотам..

Упражнение XII. 2.1. Показать, что деформация, градиент которой антисимметричен, является постоянной, и, исходя из этого, построить доказательство импликации (6), основанное непосредственно на (5).

Таким образом, конфигурация, для которой нарушается единственность решения статической граничной задачи, не может быть сверхустойчива по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям, хотя она может быть устойчива по Адамару по отношению к таким деформациям.

Упражнение XII, 2.2. Показать, что дополнительное неравенство (X. 1-2) достаточно для того, чтобы естественная конфигурация была как устойчива, так и сверхустойчнва по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям. Исходя из этого, вывести классическую теорему единственности Кирхгофа.

Упражнение XII. 2.3. Доказать, что если b = 0, то дифференциальным уравнениям для бесконечно малой деформации удовлетворяют синусоидальные колебания и (х, /) = U (х) sin tot, где <о/2л— частота. Такне колебания называют свободными, если.

. J U • (Тх — То) nx tM = 0.(XII. 2-7)

d*W'

Так будет, например, если граница dx(jS) свободна от усилий. Доказать, что если конфигурация х(^5) устойчива по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям, то в свободном колебании со2 ^ 0, и если х(^) сверхустойчнва по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям, то со2 > 0.

Основная теорема Адамара

Условия устойчивости и сверхустойчивости по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям имеют интегральную форму. Естественно попытаться связать их с локальными неравенствами.

В § X. 5 мы рассмотрели GCN+-ycлoвиe. Если мы используем нижний индекс 0 для обозначения величин, вычисленных при F=l, то согласно (X, 5-6) имеем А0=В0. Таким образом, ОСМ+-условие (X. 5-9) можно записать в виде

tr(A0[D]D]>0(XII. 3-1)

для всех симметричных ненулевых D. Это условие не может обеспечить устойчивость или сверхустойчивость, поскольку оно

вообще не дает никакой информации, касающейся тех Н, которые не симметричны. Оно приводит к ограниченной теореме единственности, а именно:

никакая смешанная статическая граничная

г + задача не может иметь двух решений, отли-.

^чающихся на бесконечно малую чистую меру

деформации.,

Доказательство непосредственно следует из (XII. 1-3). Более важный результат обратного типа представляет основная теорема Адамара об устойчивости:

устойчивость по Адамару по отношению_.„ ,у„ „ „, к бесконечно малым деформациям =^н. (All. d-d)

Здесь Н обозначает неравенство Адамара:

(XI. 8-7)(XI. 8-7)tr {А0[а ® Ь] (а ® Ь)т} >0

(XI. 8-7)

(XI. 8-7)

для всех векторов а и Ь. Эта замечательная теорема утверждает, что для того, чтобы конфигурация и(^) была устойчивой по отношению к бесконечно малым деформациям для любой смешанной граничной задачи, локальное неравенство (XI. 8-7) должно выполняться в каждой точке.

Доказательство1) (Нолл, Ван). Прежде всего заметим, что если как поле и, так и его градиент Н обращаются в нуль на дх (^), то и, рассматриваемое как дополнительно наложенное бесконечно малое смещение, совместимо с любыми данными граничными условиями для перемещений и усилий, которым удовлетворяет конфигурация и(^), устойчивость которой исследуется. Поэтому условие, выведенное из (XII. 2-3) для любого конкретного и этого типа, будет необходимым условием для устойчивости по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям. В связи с этим рассмотрим бесконечно малые смещения вида

и = фи0, (XII. 3-4)

кое, чтокое, чтогде <р — скалярное поле с компактным носителем в к(^), та

кое, что

кое, что

(XII. 3-5)(XII. 3-5)Ф(ХО) = 1

(XII. 3-5)

(XII. 3-5)

в некоторой произвольной отсчетной точке Хоек(^), а и0 = = и(Х0)—некоторый произвольный ненулевой постоянный век-

*) формулировка Адамара относилась к граничным условиям для перемещений для гиперупругих тел, и его доказательство было неполно. Первое доказательство утверждения Адамара было дано Каттанео. Общая теорема и ее первое доказательство принадлежат Ноллу (NFTM, § 68 bis), Другое доказательство см, в IRE, § III, 8В. . -

тор. Поскольку смещение (4) ио предположению тождественно обращается в нуль вблизи дх(^), его градиент

H = (Grad<p)u0(xh.3-6)

обращается в нуль на дх(^) и, следовательно, усилия; соответствующие и, также обращаются в нуль на дх(^). Таким образом, поля и, определяемые согласно (4), можно подставить в (XII.2-3), с тем чтобы получить необходимые условия устойчивости для всех трех типичных граничных задач. Результат будет иметь вид

J Grad q>-SGrad ф</У>0,(XII. 3-7)

х(^)

где S — симметричное тензорное поле, определяемое формулой SaP = 4 UkV + я6 V) UoV.(XII. 3-8)

Положим

S0 = S(X0).(XII. 3-9)

Мы утверждаем, что Н-неравенство (XI. 8-7) эквивалентно утверждению, что тензор So неотрицательно определен для каждого вектора и0 и каждого места Хо в х^). Докажем этот факт.

Поскольку предполагается, что компоненты' А^^ непрерывны, непрерывным будет и S. Поэтому для любого данного положительного е существует окрестность Л® точки Хо, такая, что

тензор So — S(X)4-el неотрицательно ,YTT - m определен VX е К. (Xll.d-lU)

Подстановка (10) в (7) дает

0^ j (Grad <р • So Grad ф 4- e(Grad ф)2) dV (XII. 3-11) при условии, что носитель функции ф содержится в окрестности Jf, Воспользуемся декартовой системой координат ХА, начало которой расположено в Хо, а оси направлены вдоль трех ортогональных собственных векторов тензора So. Тогда имеем 0^ j" (Gradф • SoGradф 4-е(Gradф)2] dK =

з

= STsa + е) J t ^ T <1Г dX2 dX\ (ХП.3-12) A=I \I

где Si, «2, $з — собственные числа тензора So.

Для того чтобы завершить доказательство, нам надо только показать, что'

sA>0, Л = 1» 2,,3.(XII. 3-13)

Чтобы в этом убедиться, допустим, ^то f(x) — произвольная функция класса С”, носитель которой содержится в интервале (—1,1) и значение которой при х = 0 равно 1. Положим

1а = J f (х)2 dx > О,-11а = J f (х)2 dx > О,-11

1

а = J f (х)2 dx > О,

-1

1

а = J f (х)2 dx > О,

-1

р= J [f(x)]2dx>0. (XII. 3-14)

-1.

Далее, для любого 6>0 определим функцию f&(x) формулой

(XII. 3-15)

Тогда значение f6 при х = 0 по-прежнему равно 1, однако носитель ^ содержится в интервале (—6,6); далее, мы имеем

№=4ЦтУ(ХЙ.3-16)

Таким образом,

J[f6(x)l2dx = 6 Jf(^)2d(^.) = a6(XII.3-17)

-8-I■

И 8. "1'

j ЩюМЧ j [r (f)]*tf (-5-) —-5- <XH.3-18) -8-1

Выберем функцию ф в (4) следующим образом:

Ф(Г, X2, ^^f^txx^kW (ХП.З-Г9)

где 6], 6г, 63 достаточно малы, так что прямоугольный параллелепипед, центр которого находится в Хо и ребра которого параллельны координатным осям и имеют длины 26ь 26г и 26з соответственно, содержится в окрестности Л®. Очевидно, ф принадлежит классу С” и принимает значение 1 в начале координат Хо. При таком выборе ф (17) и (18) дают .

-I (-^^dX'dXW — a^-^, (XII. 3-20)

х (й)

и аналогичные выражения получаются для А = 2, 3. Подстановка (20) в (12) даёт .

0 < «2Р {^ + 8) ^ + (S2 + 8) ^- 4- (S3 4- 8) ^ }. (XII. 3-21)

Поскольку это неравенство должно выполняться для всех достаточно малых положительных 6Ь 62, 63 и е, ясно, что все три собственных числа 8д должны быть неотрицательны. ■

В силу результатов о распространении волн, приведенных в § XI. 8, теорема Адамара означает, что в конфигурации, устойчивой по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям для любой смешанной граничной задачи, все акустические числа неотрицательны. Отсюда следует, что в случае, когда акустический тензор симметричен, так что имеется по крайней мере одна тройка ортогональных акустических осей, в каждой точке конфигурации, устойчивой по Адамару, существуют для любой данной волновой нормали по крайней мере три взаимно ортогональные амплитуды с тремя действительными скоростями распространения. Одна или более из этих скоростей могут обращаться в нуль.'

-■ § 4. Однородные конфигурации

В общем случае Ао является функцией положения в х(^9). Если х— однородная конфигурация, то, конечно, тензор Ао постоянен и неравенство Адамара (XI. 8-7) становится одним- единственным требованием, а не бесконечным набором их. Для этого случая Ван Хофом была доказана обратная теорема, а именно:

устойчивость по Адамару по отношению к беско- ' Н'Ф'нечно малым деформациям для задачи с задан- (XII. 4-1) ными перемещениями.

Подобным же образом_

сверхустойчивость по Адамару по отношению

S-Е^к бесконечно малым деформациям для задачи (XII. 4-2) с заданными перемещениями..

Доказательство слишком сложно для того, чтобы его приводить здесь *).

Браудер доказал для сильно эллиптических систем с постоянными коэффициентами, что

единственность ^существование, (XII. 4-3) опять-таки для задачи с заданными перемещениями. Этот результат применим, в частности, к случаю бесконечно малых деформаций из однородной конфигурации:

') L. Van Hove, Sur 1’extension de la condition de Legendre du calcul des. variations aux integrates multiples a plusieurs fonctions inconnues, Proc. Kort. Nederl. Ahad. Wet., 50 (1947), 18—23.'

Таким образом, мы имеем следующую цепочку теорем для граничной задачи с заданными перемещениями при бесконечно малых деформациях из однородной конфигурации:

сверхустой- единствен- существование

S-Е =ф чивость поф ность (Эрик-Ф (Браудер). (XII. 4-4) Адамару сен & Тупин) (Ван Хоф) .

Разумеется, на каждом шаге налагаются требования гладкости. Они не детализируются здесь, поскольку мы даем не более чем схему результатов. Теорема существования и единственности1) для граничной задачи с заданными перемещениями в классической теории бесконечно малых деформаций содержится в (4), поскольку классическое априорное неравенство влечет Б-Е-не? равенство, как мы видели с более общей точки зрения в § XI. 8.

Влияние бесконечно малых поворотов

Упражнение XII. 5.1, Доказать, что условие устойчивости по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям (XII.2-3) можно представить также в следующей форме:

J (tr [т0 (ER + RE +RTR)] + tr (В [Ё] E))dV>0, (XII. 5-1) * (й)■

где Е и R — тензоры бесконечно малой меры деформации и поворота, а В определяется согласно (X. 5-6).

В естественной конфигурации То = 0, и согласно (X. 5-8) GCN-условие достаточно для устойчивости по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям. В напряженном состоянии никакое подобное заключение не справедливо. Рассмотрим, например, чистый поворот: Е = 0. Согласно (1) для устойчивости по Адамару необходимо, чтобы

J tr(RT0RT)d7>0.(XII. 5-2)

х(й)

Поэтому, если■

■tr(RT0RT)<0 для некоторого R, (XII. 5-3)

то -для любого материала такая конфигурация не может быть устойчива по Адамару по отношению к бесконечно малым де

*) Общая проблема существования и единственности в теории бесконечно малых деформаций рассматривается в работе: Fichera G., Existence theorems in elasticity, Fliigge’s Handbuch der Physik, VIa/2, ed. C. Truesdell, Berlin, etc., Springer, 1972. [Эта статья переведена на русский язык в качестве части 1 книги: Г, Фикера, Теоремы существования в теории упругости, «Мир», М., 1974.]

формациям. Это условие с противоположным неравенством уже было проанализировано в упр. X. 4.1. Если ^i + ^2 < О, то (3) выполняется для любого поворота относительно оси 3 и (2) нарушается. Например, стойка, подвергнутая действию давления по двум ее торцам, всегда неустойчива, если принят критерий (1) всерьез. Согласно этому определению, стержень Эйлера неустойчив при любых нагрузках.

Неустойчивость этого типа- была обнаружена давно, но отбрасывалась как тривиальная. Критические нагрузки вычисляли с использованием специальных классов деформаций, которые считались допустимыми, однако никакое конкретное правило выбора этих классов не было установлено. Рациональный критерий для исключения поворотов этого рода дал Битти1). А именно в определении устойчивости он ограничил класс допустимых деформаций теми, для которых выполняется условие равновесия моментов. Он показал, что все основные результаты теории устойчивости остаются в силе, если наложить это условие на моменты.

Упражнение XII. 5.2. Доказать, что если нагрузки не имеют оси равновесия (упр. XI. 5.2), то условие на моменты исключает все чистые повороты в критерии устойчивости для граничной задачи с заданными усилиями, но если ось равновесия имеется, то допускаются повороты относительно нее, и только такие повороты.

На основе этого определения устойчивости Битти и другие получили строгие оценки критических нагрузок. -

Функция запасенной энергии гиперупругого материала

В §Х1.7 был определен гиперупругий материал как упругий материал, акустический тензор которого А(п) симметричен для каждого направления п в каждой конфигурации:

А(п) = А(п)т.(XI. 7-2)

В таком материале напряжения Пиолы Тх имеют потенциал о, который называется функцией запасенной энергии; '

L = PAo(F).(XL 7-4)

Это эквивалентно, согласно (VII.2-5)2, соотношению

T = pdFo(F)FT.(XII. 6-1)

Теперь мы рассмотрим некоторые формальные аспекты теории гиперупругости, которые определяют ее особое положение в механике. Позднее в этой главе мы представим некоторые

*) Beatty М. L., Some static and dynamic implications of the general theory of elastic stability, Arch. Rational Meeh. Anal., 19 (1965), 167—188.

теоремы, которые могут служить оправданием для наложения ограничения, что упругий материал является гиперупругим.

Условие независимости свойств материала от системы отсчета для упругого материала имеет вид '■

^(QF) = Q^(F)(VII. 2-8)

для всех невырожденных F и всех ортогональных Q. С помощью (XI. 7-4) это условие можно выразить через функцию запасенной энергии а:

dFo(QF) = QdFo(F).(XII. 6-2)

Интегрирование дает

a(QF)-o(F) = f(Q),(XII. 6-3)

где / — произвольная скалярная функция. Поскольку, однако, напряжения' зависят только от градиента о, можно, не теряя общности, положить /(Q)= 0. Тогда (3) примет вид

a(QF) = a(F),(XII. 6-4)

означающий, что о — не зависящий от системы отсчета скаляр. Обратно, если выполняется (4), то выполняется и соотношение (VII. 2-8), гарантирующее (XII. 6-1). Мы показали, что скалярная функция а может быть функцией запасенной энергии гиперупругого материала тогда и только тогда, когда она не зависит от системы отсчета, с точностью до несущественного аддитивного членах].'

Упражнение XII. 6.1. Доказать, что

' о (F) = о (U) = о (С)(XII. 6-5)

н'

Т = pF [dFo (F)]T.(XII. 6-6)

- Упражнение XII. 6.2 (Нолл). Доказать, что если о не зависит от системы отсчета, то тензор Т, определяемый согласно (1), симметричен. Доказать, что если Т симметричен и определяется согласно (1), то Т (и, следовательно, также о) не зависит от системы отсчета. Дать интерпретацию этого результата, показывающего, что для гиперупругих материалов следующие три требования эквивалентны:

независимость функции реакции ф от системы отсчета, незавнснмость функции запасенной энергии с от системы отсчета, симметричность напряжений, задаваемых определяющим соотношением.

*) Из (3) ясно, что f(Q) = <t(Q) — а(1). Используя компактность ортогональной группы, Нолл доказал, что a(Q) = о(1). Таким образом, «несущественный аддитивный член» f(Q) на самом деле равен 0. См. § 16 статьи: Noll W., On the continuity of the solid and fluid states, J. Rational Meeh. Anal., 4 (1955), 3—81. (Воспроизведено в «Continuum Mechanics. II. The Rational Mechanics of Materials», ed. C. Truesdell, N. Y., Gordon & Breach, 1965.)

§ 7. Мощность напряжений в гиперупругом материале

В § III. 5 мы показали, что w, объемная плотность результирующей скорости совершения работы в теле, для которого, выполняются уравнения количества движения и момента количества движения, равна мощности напряжений: ,

ro = tr(TG) = tr(TD). . (HI. 5-13)

Согласно (XII. 6-6) мы получаем, что в гиперупругом материале

• 1У = р1г[<Эр<г(Р)ЕтСт]=.

= ptr[dFo(F)FT(FF-,)T]='

= ptr[dFff(F)Fr] =

'=ра.\(XII. 7-1)

Этим результатом объясняется выбор названия «функция запасенной энергии» для а, поскольку материальная производная по времени а от этой функции представляет собой скорость совершения работы напряжениями на единицу массы.

Определим полную запасенную энергию S формулой

■ S = J ро dV.(XII. 7-2)

* х W. о..

Из (1) следует, что

U7 = S. .(XII. 7-3)

Подстановка в (III. 5-17) дает теорему энергии для гиперупругих тел.

K; + v -VS = Pc= J x-TndS, (XII.7-4) ■ax ts$. о

где, конечно, подразумевается, что тензор Т в правой части выражен через а согласно (XII.6-1).

Упражнение XII. 7.1. Доказать, что каждая упругая жидкость гнпер- упруга, н показать, что для таких жидкостей функция запасенной энергии дается соотношением.

a = -J-^-dp.(XII. 7-5)

Упражнение XII. 7.2. Показать, что любой изотропный упругий материал является гнперупругнм при бесконечно малых деформациях из ненскаженной конфигурации, в следующем точном смысле:

Т = pd~a = д~ (ро),(XII. 7-6)

где. . -

pa = - pl +1 (A + 2ц) Р - 2ц II;(XII. 7-7),

в этом выражении р, X и ц — коэффициенты из (XL 2-11), а I и II обозначают первый и второй главные инварианты тензора Е. Показать, что удовлетворяется (1).

В том нестрогом смысле, который ясен из этого упражнения, говорят, что изотропные материалы являются «гиперупругими при бесконечно малой деформации» Легко предъявить определяющие соотношения, задающие специальные изотропные упругие твердые тела, которые не являются гиперупругими. Действительно, как показывает следующее упражнение, членов второго порядка уже достаточно для того, чтобы выявить это различие.

Упражнение XII. 7.3 (Шэн). Показать, что изотропный материал является гиперупругим с точностью до членов третьего порядка при бесконечно малой деформации тогда и только тогда, когда упругие постоянные второго порядка в (XI. 6-1) удовлетворяют соотношению

р (а4 + а6) = 2 {X - р). (XII. 7-8)

Две группы равноправности

Пусть ^ —группа равноправности гиперупругого материала относительно некоторой отсчетной конфигурации. Если Н е а, то, согласно (IV. 12-3) и (XII. 6-1),

dfO(F)FT = [dpo(FH)](F, H)T = [dFo(FH)] HTFT (XII. 8-1) для произвольного F. Сокращая на FT и интегрируя, получим, что

- o(F) = o(FH) + f(H) (XII.8-2) для всех F. Подстановка F = 1 дает f(H) = o(l)-a(H). Следовательно, (2) принимает вид

o(F) = a(FH) + o(l)-o(H). (XII. 8-3) Обратно, дифференцирование этого уравнения дает (1). Таким образом, установлена следующая

Теорема (Трусделл). Не^ тогда и только тогда, когда для всех обратимых тензоров F выполняется соотношение (3).

Напомним, что ^ представляет собой группу всех изохорических деформаций, которые нельзя отличить друг от друга с помощью экспериментов, в которых измеряются напряжения. Определим теперь уа как группу всех изохорических деформаций, которые нельзя отличить друг от друга с помощью экспериментов, в которых измеряется запасенная энергия а. Формально: Н е тогда и только тогда, когда

o(F) = a(FH) (XII. 8-4)

для всех невырожденных F.

Если (4) удовлетворяется при некотором Н, то мы можем положить F = 1 и получить о (1)=о(Н).'

Следовательно, (3) также удовлетворяется, откуда •

fcCf(XII. 8-5)

Далее, согласно (XII.6-4), o(Q) = о{1). Следовательно, для ортогональных Н условия (3) и (4) равносильны. Таким образом, ортогональные подмножества групп у и уа совпадают между собой:.-

9 П ° = to П о*

Эти результаты справедливы для любой отсчетной конфигурации. Если материал представляет собой твердое тело, то существует отсчетная конфигурация, для которой уСо. Согласно (5), тогда и у6 с». Следовательно, у П » = у и уа П о=уа> и в силу (6) у = уа. Если материал представляет собой жидкость, то o(F) = f (detF), поэтому (4) удовлетворяется для всех Н, и опять отсюда Следует, что t~ to- Тем самым доказана следующая

Теорема- (Трусделл).. Для гиперупругого твердого тела или жидкости группы равноправности t и to совпадают между собой.

Для жидкого кристалла, вообще говоря, у =# уа. Другими словами, существуют деформации жидкого кристалла, которые нельзя различить с помощью измерения напряжений, но можно различить с помощью измерения функции запасенной энергии. Однако это свойство не характеризует жидкие кристаллы, поскольку для некоторых из них тоже у = уст.

Минимум функции запасенной энергии

Если Н Gy, то (XII. 8-3) удовлетворяется, в частности, когда F = H-1. Следовательно,

'а(Н"')-а(1) = а(1)-а(Н). (XII. 9-1)

Если тензор Н ортогонален, то а(Н) = а(1) и это уравнение сводится к тождеству 0 = 0. Если о(Н) > о(1), то о(Н-1)^!), а .если a(H)<a(l), то a(H"‘)>a(l). Предположим теперь, что функция запасенной энергии имеет минимум в том смысле, что a(F) > a(l), когда тензор F не ортогонален. В таком случае может не быть ни одного не ортогонального Н, удовлетворяющего (1). При минимуме градиент а обращается в нуль и, следовательно, обращается в нуль Т в силу (XII. 6-1). Тем самым доказана

Основная теорема о гиперупругих твердых телах (Трусделл). Если функция запасенной энергии имеет минимум в некоторой конфигурации, то материал представляет собой твердое тело, а эта конфигурация представляет собой его неискаженную естественную конфигурацию.

Таким образом, существование строгого минимума с влечет за собой существование естественной конфигурации, которая, конечно, единственна с точностью до поворота. Обратное, однако, несправедливо. Если не наложено никаких дополнительных условий, то естественная конфигурация не обязательно соответствует минимуму энергии н, следовательно, не обязательно единственна.

Неравенство Колемана*- Нолла.

Колеман и Нолл предложили такое неравенство:

' о (SF) — o(F) — tr [(S — 1) Е(дро(Е))т] > 0 (XII. 10-1) для всех положительно определенных симметричных тензоров S, отличных от 1. Мы назвали его C-N-условием. Оно утверждает некоторого рода выпуклость функции o(F) и эквивалентно, согласно (XI. 7-4), неравенству

о (SF) — о (F) — J- tr {[(SF)T - FT] №1 > 0. (XII. 10-2)

Если мы поменяем SF и F местами и прибавим получающееся неравенство к (2), то мы увидим, что справедливо (X. 4-S). Обратно, если (Х.4-5) справедливо в достаточно большой области пространства обратимых тензоров, то мы можем соединить SF и F в этом пространстве тензоров линией, каждая точка которой отличается от F на чистое растяжение:

' SF = F + u (SF — F),0<и<1, . (XII. 10-3)

где -

S = (1-U)1+«S .(XII. 10-4)

— положительно определенный и симметричный тензор. Тогда o(SF) — a(F) — tr [(SF — Р)тдРц(Е)]=•

i

= J ^ ° <§F> du - tr [(SF - F)T dFo (F)] =-

0'

1

= J [tr [(SF - F)Tdp(SF)l - tr [(SF—F)Tdpff (F)]} du = 0

1

= J_ Jtr((SF-F)T№(SF)-^(F)]}-^., (XII. 10-5)

Если выполняется GCN-условие (X. 4-5), то подинтегральное выражение в лоследнем интеграле положительно на (0,1]. Следовательно, имеет место (1). Доказана следующая

Теорема (Трусделл & Тупин). В гиперупругом материале

C-N^GCN,(XII. 10-6)

если при этом подразумевать, что «=>» относится ко всем парам F, SF, в то время как<и^=ъ относится к парам, которые могут быть соединены линией (3), на которой выполняется GCN- условие.

Если материал имеет естественную конфигурацию, то мы можем взять ее в качестве отсчетной конфигурации и вывести из (1), что*

a(S)>a(l),' (XII. 10-7)

если тензор S положительно определен, симметричен и не равен 1. Поскольку ff(F) = ff(U) согласно (XII. 6-5), мы доказали, что..

в естественной конфигурации

' C-N => функция запасенной энергии (XII. 10-8) имеет строгий минимум. '

Этот результат, который получен Колеманом и Ноллом, представляет собой дополнение к основной теореме о твердых телах. Обе теоремы вместе показывают, что

„ только твердые тела могут иметь

естественные конфигурации.(All. iu-yj

Мы должны, однако, напомнить, что в то время как основная теорема является совершенно общей, C-N-условие — это дополнительное неравенство, достоинства которого до сих пор являются предметом обсуждения.

Упражнение XII. 10.1 (Колеман & Нолл). Доказать, что в изотропном упругом материале функция запасенной энергии может быть представлена как функция главных растяжений:-

a (F) = a (vb ь2, р3).(XII. 10-10)

Доказать, далее, что

GCNo^ функция д выпукла(XII. 10-11)

и что

С-М^функция б выпукла.(XII. 10-12)

Рассмотрев частный случай, когда

Р.6 (ор о2> о3) = К [у (о? + о2 + 03) - (fj + о2 + °з)]> (XIL |0"13)

показать, что утверждение, обратное к (12), неверно; при этом использовать тот следующий из (X. 5-8) и (X. 5-13) (ср. X. 5-15) факт, что

GCN=>GCN0&(Ar>0).(XII. 10-14)

§11. Виртуальная работа граничных усилий

Рассмотрим теперь гладкое однопараметрическое семейство отображений хх отсчетной конфигурации х(Л) на пространственные области:

х = Хх (X, г),х = Хх (X, г),Г1<Г<г2.Г1<Г<г2.(XII. 11-1)(XII. 11-1)

х = Хх (X, г),

х = Хх (X, г),

Г1<Г<г2.

Г1<Г<г2.

(XII. 11-1)

(XII. 11-1)

Поскольку г не обязательно должно быть временем, такое семейство называется виртуальным движением. Производная

(XII. 11-2)(XII. 11-2)Й = дДх(Х, г)

(XII. 11-2)

(XII. 11-2)

называется виртуальной скоростью. Если в действительности г представляет собой время, то х сводится к той скорости, для которой мы до сих пор резервировали это обозначение. В упругом теле ^ усилия L(X, г) на дх (^) определяются по (1) с помощью определяющего уравнения (VII. 2-7). Виртуальная работа, совершаемая этими усилиями в виртуальном движении, по определению равна

Г2

IFi2 =/ vkdA\dr.(XII. 11-3)

ri хд* 1$)/

Термин «виртуальный» служит для того, чтобы напоминать нам, что Г12 в общем случае не представляет собой полную работу, совершенную в каком-нибудь движении. Мы здесь никак не использовали уравнение количества движения, и движение (1) не обязательно должно совпадать с каким-нибудь возможным движением для 98 при приложении некоторой специальной массовой силы. В самом деле, если мы попытаемся под г подразумевать время, то (1) даст нам ускорение хх> и первый закон Коши в форме (VII. 2-9) определит тогда единственную массовую силу Ь, при которой это движение окажется совместным с уравнением количества движения. Эта массовая сила будет в общем случае совершать работу, а эта работа никак не включается в виртуальную работу W12, которая определена с помощью (3).

Движение, в котором из тела «извлекается» неограниченное количество работы, иногда называется «вечным движением второго рода», и теоремы о виртуальной работе иногда истолковываются как якобы доказательства того, что такие движения не могут происходить. В действительности же, поскольку №12 в общем случае не является работой, совершенной в движении, удовлетворяющем общим законам механики, никакие утверждения о ней не имеют явного отношения к возможности или невозможности вечного движения второго рода.

Однородные виртуальные деформации однородных тел

Градиент виртуального движения х* (см- XII. 11-1) может быть назван виртуальным градиентом деформации. Мы будем обозначать его через F. Если. F не зависит от X, то мы будем говорить, что виртуальное движение однородно. В этом частном случае мы рассматриваем виртуальное движение из и в г2 как кривую F(r), идущую из точки F(n) в точку F(r2) в пространстве несингулярных тензоров F. Если F(ri)=F(r2), то виртуальное движение называется замкнутым. Если упругое тело однородно, хто Тх также не зависит от X, поэтому DivT»=0, и (XII. 11-3) дает

Га

Wl2=U J Div(Tlz)^dr =п \* №/

г2

= V^^ J tr(TxF)dr =

F(r2)

(XII. 12-1)(XII. 12-1)= V^^ J tr(TldF),Fin)

(XII. 12-1)

(XII. 12-1)

где У(х(^)) обозначает объем конфигурации х(^) и где последний интеграл представляет собой криволинейный интеграл вдоль пути из F(n) в F(r2).

В последующем мы будем предполагать, что отсчетная конг фигурация выбрана так, что det F > 0.

Теоремы о работе

На основании (XII. 12-1) с учетом известных результатов о криволинейных интегралах может быть сформулирована

Первая теорема о работе. Для однородного упругого тела следующие три утверждения эквивалентны:

Виртуальная работа граничных усилий неотрицательна в любом замкнутом однородном движении.

Виртуальная работа граничных усилий одинакова в любых двух однородных виртуальных движениях с одними и теми же начальными и конечными градиентами деформаций.

Материал является гиперупругим, и в однородном виртуальном движении из F (rj в F (г2)

V12-Af(^la(F(r2))-a(F(rf))], (XII. 13-1)

где М(^)— масса тела 5В, а а — функция запасенной энергии.

Мы должны отметить, что для гиперупругого тела в действительном движении, т. е. в таком движении, которое удовлетворяет первому закону движения Коши, объемный интеграл от рхо, вообще говоря, не дает полной совершенной работы. Работа F12 может быть вычислена по формуле (XII. 12-1) ь которая больше не сводится к (XII. 12-1)2 (ср. родственный результат (XII. 7-1)).

Всякая попытка интерпретировать эту теорему исходя из действительной работы, даже совершенной в однородном движении, обречена на провал. В таком движеинн divT = 0, поэтому х = Ь. Поскольку в Wit не учитывается работа, совершенная силой Ь, то для того, чтобы Ц712 представляла собой действительную работу, необходимо в общем случае, чтобы Ь = О, откуда х = 0. Значит, F(r) = F0(l+rF1), поэтому такому движению соответствует прямая линия в пространстве обратимых тензоров. Поскольку нет замкнутых прямых линий и самое большее одна прямая линия соединяет две данные различные точки, утверждения 1 н 2 теоремы просто неприменимы, а в утверждении 3 никогда не выполняются предпосылки.

Вторая теорема о работе (Удескини, Каприоли). Если упругое тело имеет однородную конфигурацию х, такую, что виртуальная работа, совершаемая в каждом однородном движении из х, не отрицательна, то материал является гиперупругим, его функция запасенной энергии имеет слабый минимум в х и х представляет собой естественную конфигурацию.

Доказательство. Пусть градиент деформации F взят относительно х, так что F = 1, и допустим, что кривая ^ соответствует некоторому замкнутому однородному виртуальному движению, выбранному по нашему желанию. Если точка F = 1 не лежит на ^, то мы можем соединить ее некоторым путем 9s с какой-нибудь точкой Fo, лежащей на ^. Тогда кривая 9 + ^ — 91 соответствует замкнутому однородному виртуальному движению из х обратно в х.. По предположению для этого движения 1Г12 ^ 0. Однако в силу свойства аддитивности интегралов И?12 для этого движения совпадает с Wt2 для одного ^. Таким образом, выполняется утверждение 1 первой теоремы о работе. Согласно утверждению 2 материал является гиперупругим, и в силу (1) предположение второй теоремы о работе принимает вид

a(F)>a(l).(XII. 13-2)

Отсюда видно, что dF<T(F) = 0, когда F = l. Следовательно, X — естественная конфигурация. Я

Вторая теорема о работе дает энергетический критерий — достаточное условие того, что существует естественная конфигурация, а также функция запасенной энергии. Неравенство (2) слабее, чем (XII. 10-7): не доказано, что минимум строгий, да он и не может быть таким, как показывает результат следующего упражнения. '

Упражнение XII. 13.1. Доказать, что функция запасенной энергии

'а(Р)=к(у-1У(XII. 13-3)

не удовлетворяет условию (XII. 10-7), но удовлетворяет (2) и определяет упругую жидкость с естественной,конфигурацией.

Пусть теперь W12 представляет собой виртуальную работу, соответствующую однородному виртуальному движению из F(n) в F(r2), когда, не принимая во внимание определяющее уравнение, мы сохраняем Тх равным некоторому фиксированному значению TJ. Согласно (XII. 12-1)■

^2 = V(x(^))tr {т:Т[Р(г2) —F(r,)]). (XII. 13-4)

Если К равно ^(F(fi)), т. е. начальному значению, то W2 представляет собой виртуальную работу, соответствующую „замороженной", „мертвой" нагрузке1) (ср. § XII. 1 и XII. 2).

Третья теорема о работе (Колеман). Следующие два утверждения эквивалентны для упругого тела, деформируемого из однородной конфигурации-..

В любом движении, начало и конец которого получаются друг из друга растяжением, не сводящимся к тождественному преобразованию,■

1Г12 > 1^12.(XII. 13-5)

Тело является гиперупругим, и его функция запасенной энергии удовлетворяет C-N-неравенству (XII. 10-1).

Доказательство. Прежде всего заметим, что для замкнутого движения U7*2 = 0 согласно (4), а согласно (5) Wi2">Wx2. Следовательно, в любом замкнутом движении IFi2 ^ 0. Согласно первой теореме о работе материал является гиперупругим. В силу (1), (4) и (XI.7-4) предположение (5) принимает вид:■_-

o(F)-o(F)>tr {(F-F)dFa(F)T}, (XII. 13-6)

если F = SF, где S — положительно определенный симметричный тензор, отличный от 1. Но это и есть неравенство Колемана—Нолла (XII. 10-1). ■

Теорему Колемана можно интерпретировать в терминах ограниченной устойчивости и ограниченной выпуклости. Предположение (5) обеспечивало бы даже больше (иа самом деле гораздо больше), чем устойчивость, если бы не ограничение Р(г2)= 8Е(п). Аналогично (XII. 10-1) без этого ограничения означало бы, что функция a(F) является выпуклой. Теорема Колемана служит для того, чтобы дать обоснование принимаемого в статике предположения, что упругий материал является гиперупругим И' удовлетворяет C-N-неравенству.

. Теоремы о работе в теории упругости не имеют ничего общего с термодинамикой. Хотя они и относятся к энергии, но никак не затрагивают понятий тепла и температуры. Невозможно доказывать термодинамические теоремы, не вводя сначала термодинамику; т. е. необходимо ввести еще какие-то величины и предположения, прежде чем можно будет установить какую-нибудь связь между существованием функции запасенной энергии и «вторым законом термодинамики». Основы термодинамики для некоторых рассмотрений в теории гиперупругости будут даны ниже, в § XV. 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)

NFTM, §§ 82—85 и 87.

IRE, §§ III. 4—III. 6.

Часть 4 ■

ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ

Глава XIII

ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ

Статика и теория упругости. .Представления о затухающей памяти

Как мы видели в § VII. 1, статическая теория упругости и статика простых материалов — это одно и то же. Напряжения в упругом материале определяются соотношением

T = gjF, х) (хш. Ы)

независимо от того, каким образом текущая конфигурация х* получилась из отсчетной конфигурации х с течением времени. Результат точно такого же типа справедлив для любого простого тела, которое все время покоилось. ■

Когда мы рассматриваем реальное тело, мы никогда не можем быть уверены, что оно всегда покоилось. Наоборот, мы каждый раз имеем основания предполагать, что никакое тело не находилось в состоянии покоя от начала мира, и в практике приведения теории в соответствие с действительностью мы применяем статическую теорию к телам, которые мы сами двигали и, быть может, деформировали несколько дней или часов или даже секунд тому назад. То обстоятельство, ■ что статическая теория так широко применима, служит свидетельством существования другого свойства материалов — затухающей памяти. Материалы, встречающиеся в природе, «забывают» деформацию, которую они претерпели достаточно давно, какова бы она ни была, и ведут себя так, как будто они всегда покоились.

Именно свойство затухающей памяти реальных материалов делает теорию упругости весьма полезной и широко применимой теорией, несмотря на то что она совсем не учитывает многие очевидные свойства реальных материалов, такие, как вязкость, ползучесть, релаксация. Ее применимость не ограничивается только статическим случаем. В случае движений и переменных деформаций теория упругости также часто дает правильное представление о некоторых аспектах поведения некоторых ре-

альных материалов. Достаточно, чтобы время, потребное для того, чтобы данный материал забыл о своем прошлом, было мало по сравнению с временным масштабом рассматриваемого явления. Насколько велико это время, зависит от материала, предыстории его деформации и явления, которое изучается. ■

После того как мы поняли эти простые вещи, мы видим, что затухающая память представляет собой свойство, которое можно выразить математически с помощью функции реакции ® простого материала. Внутри теории, разумеется, затухающая память должна быть определена. В механике существует много возможных определений затухающей памяти, так же как существует много различных понятий гладкости в функциональном анализе. Для моделирования различных физических тел могут подходить различные виды затухающей памяти, и теоремы, которые верны, если принято одно определение затухающей памяти, не всегда совпадают с теоремами, к которым мы придем, приняв другое определение.

Прежде чем сформулировать то конкретное определение затухающей памяти, которым мы будем пользоваться в этой книге, мы отметим, в какой степени некоторые классические теории отражают или не отражают то, для чего в повседневной жизни было бы уместно такое название. С точки зрения того, о чем мы только что говорили, сами упругие материалы довольно необычны и нетипичны. В литературе имеется ряд высказываний о памяти упругого материала, большинство из которых правильно, но вводит , в заблуждение. Обычно говорят, что упругий материал имеет идеальную память в отношении своей отсчетной конфигурации и не помнит ни о какой другой. Это утверждение верно в' том смысле, что мы всегда можем вычислить напряжения, когда мы не знаем ничего больше, кроме деформации хх отсчетной конфигурации х, однако оно вводит в заблуждение в том смысле, что оно не отражает произвольности этой конфигурации, в качестве которой может быть взята конфигурация, которую материал занимал тысячу лет тому назад, или микросекунду назад, или не занимал никогда вообще. Если мы выбираем в качестве отсчетной конфигурацию, занятую телом в некоторый фиксированный момент to, то мы вправе сказать, что упругий материал' не проявляет никаких воспоминаний о том, что с ним происходило в более ранние времена. .

В этом смысле упругий материал забывает о своем прошлом так резко, что его можно было бы характеризовать как материал, имеющий не затухающую, а мгновенно исчезающую память. Кроме того, он забывает и все то, что с ним происходит досле момента t0. Такая «рассеянность» не представляет собой

тот вид памяти, который мы обычно рассматриваем как «затухающую», скорее, это память особого, вырожденного рода. Поскольку в качестве момента to мы можем выбрать любой момент, за исключением настоящего времени, — фактически при желании можно взять даже некоторый момент из будущего,— мы не можем найти в частном случае упругого материала никакой основы, на которой можно было бы создать более общее представление о затухающей памяти. ' .

Жидкость Навье — Стокса, характеризуемая определяющим соотношением (IV. 4-12), проявляет затухающую память иного рода. Влияние самой по себе деформации носит рудиментарный характер, выражаясь лишь в возможной зависимости коэффициентов р, X и ц от р, преобладающим же является влияние мгновенной скорости изменения деформации. Для того чтобы вычислить F или G и таким образом определить напряжения, нам надо знать деформацию в течение некоторого промежутка времени вблизи t или, что. сводится к тому же, мгновенное поле скорос/ей. Если мы поддерживаем F постоянным в течение как угодно малого промежутка времени, то тензор напряжений равен —р(р)1 и не изменяется. В этом смысле жидкость Навье — Стокса имеет инфинитезимальную память. Эта жидкость реагирует только на деформации, которым она подвергал-ась в момент, непосредственно предшествующий рассматриваемому, и ни на какие другие, и полностью забывает те деформации, которым она подвергалась любое конечное время тому назад, сколи бы недавно это ни происходило.

Многие другие материалы имеют инфинитезимальную память почти такого же рода. Примерами служат линейно-вязкий- материал, определенный соотношением (IV. 4-13), материалы дифференциального типа, определенные соотношением (VI. 1-1), и материалы Ривлина — Эриксена — частный случай этих последних.

Материалы с инфинитезимальной памятью не могут служить для моделирования явления, обычно называемого релаксацией напряжений. Если мы растянем кусок замазки, то почувствуем «начала ее сопротивление, но когда мы подержим ее в растянутой конфигурации, то заметим, что для этого требуется все меньшее и меньшее усилие, пока наконец оиа не будет оставаться растянутой без всякого усилия с нашей стороны. По мере того как проходит время после того, как произведена деформация, память замазки об этой деформации, если судить по напряжениям, становится все слабее и в конце концов делается совсем незаметной. В жидкости Навье — Стокса или любом материале дифференциального типа напряжения в только что описанном опыте исчезали бы немедленно, в тот же самый момент, как прекратилось бы деформирование. Класс теорий, в

которых имеет место медленная релаксация напряжений, должен быть достаточно узким, чтобы не допускать материалы дифференциального типа.

Эти примеры должны были сделать полностью ясным, что ограничение, которое мы введем в следующем параграфе с тем, чтобы моделировать релаксацию напряжений и связанные с нею явления, действительно является ограничением, а не общим свойством, относящимся ко всем определяющим соотношениям.

\

Медленно затухающая память

Возвращаясь к определяющему соотношению (IV. 3-5) простого материала, а именно

'’ T = @(Ff),(IV. 3-5)

мы прежде всего остановимся на различии между статической (и, следовательно, упругой) реакцией и всеми остальными. Подобно тому как f1 обозначает предысторию вплоть До момента / произвольной функции f, определенной на (—оо,4-оо), мы обозначаем предысторию постоянной функции f, значение которой всегда равно а, через ас:

acts) = a, 0<s<oo.(XIII.2-1)

Таким образом, F(/)c представляет собой постоянную предысторию (или предысторию-константу'), соответствующую текущему значению F(() градиента деформации F в X. Для того чтобы вообще можно было рассматривать статический случай, мы должны предположить, что если F1 — предыстория, принадлежащая области определения Ф реакции ®, то для каждого з из [0, оо] постоянная предыстория (F^s.))0 также принадлежит Ф. То есть мы предполагаем, что можно задать и получить ответ на следующий вопрос: каковы были бы напряжения, если бы тело вблизи X всегда находилось в конфигурации, которую оно действительно занимало в предыстории F( в момент t — з? Значение ®(F(0c)реакции ® представляет собой напряжения, которые соответствуют пребыванию в состоянии покоя в конфигурации, полученной из х при деформации, градиент которой равен F(Z). Эти статические напряжения соответствуют именно данной конфигурации. В упругом материале напряжения всегда представляют собой статические напряжения: для всех F( из Ф

® (F() = ® (F(/)с) = ® (F(0),(XIII. 2-2)

§ 2 гл. xni. Принципы затухающей памяти 377 и на этом основании статические напряжения в любом простом материале, иногда называют упругими напряжениями, в то время как все остаточные, если таковые остаются,—.неупругими напряжениями. Основная идея затухающей памяти состоит в требовании, что, когда предыстория F1 близка к постоянной предыстории F (0е, напряжения ® (Fz) близки к статическим напряжениям ®(F(0c). Другими словами, малое отклонение от постоянной предыстории F(0c вызывает напряжения, лишь немного отличающиеся от упругих напряжений, которые соответствуют F(f)c. Понятия «малости» и «близости» уточняются с помощью топологии. Когда введены топологии, можно в точном смысле говорить о непрерывности, и в качестве необходимого условия для затухающей памяти мы получаем, таким образом, точную и общую аксиому непрерывности:

Реакция ® непрерывна в каждой постоянной предыстории F(/)c из 9).

Как следует интерпретировать «непрерывность» физически, зависит от топологий, исходя из которых она определена.

Конечно, норма |А| тензора А, например тензора напряжений или градиента деформаций, определяется, как обычно, формулой |A|=j^trAAT, и два тензора А и В близки друг к другу, если норма |А — В| мала. Однако предыстории представляют собой функции, заданные на {0, оо), и топология линейного пространства таких функций / может быть задана введением некоторой нормы или полунормы1) ||f||. Различные выборы нормы или полунормы приводят к различным интерпретациям общей аксиомы. Например, если мы рассматриваем упругий материал и считаем его реакцию функцией от F—1, то при выборе ||F< — 1|| = |F(/)—11 эта аксиома тривиально удовлетворяется для каждого упругого материала, реакция которого представляет собой функцию, непрерывную при F=l. Однако выбор такой полунормы не был бы полезен в теориях материалов с памятью, поскольку он никак не учитывает значений F‘(s) при з>0. Аналогично жидкость Навье — Стокса удовлетворяет нашей аксиоме при выборе || Fz — 1[|=| F(/) —

•) Полунорма || II—это функция, определенная на векторном пространстве У н принимающая неотрицательные действительные значения, такая, что

|| Лх || => | Л | ||х|| Ухе Г, УЛей,

II х + у II ^ || х || + || у || Ух е У, Уу е Г.

Первое из этих соотношений показывает, что ||0|| — 0, но из него не вытекает, что 0 — единственный вектор, полунорма которого равна 0. Полунорма называется нормой, если

||х||-0^х = 0.

— 1 | +1 F |, однако эта полунорма не годится для более общих материалов по той же причине. Мы ожидаем, что для материала с «долгой» памятью значительное различие в возможных значениях F‘(s), по крайней мере для малых значений аргумента з, будет приводить к значительно различающимся напряжениям в момент времени t. Наложение на такой материал условия непрерывности относительно любой из только что упомянутых полунорм привело бы к исключению того самого явления, которое эта теория должна описывать.

Таким образом, выбор полунормы или нормы является существенным. Для того чтобы сделать нашу аксиому применимой для моделей материалов с длительной памятью, нам следует выбрать полунорму, значение которой нетривиально зависит от всей функции F( в целом, а не только от ее поведения в окрестности точки s = 0. При этом следует учитывать события из далекого прошлого с меньшим весом, чем недавние события, но не тривиальным образом.

Колеман и Нолл первыми ввели понятие затухающей памяти в рассматриваемую систему понятий и дали конкретное и важное, определение, или «принцип» затухающей памяти в механике сплошной среды. Их идеи породили большую и важную литературу. В этой книге мы сможем дать не более чем краткий очерк некоторых наиболее простых аспектов этой проблематики.

' § 3. Забывающие меры. Запоминание.

• Слабая затухающая память

Мы сосредоточим сначала внимание на тензорных функциях, которые суммируемы относительно некоторой меры Лебега—• Стилтьеса р на действительной прямой 5?, и положим

ЦАй= 1/ J |A(s)Fdp.(ХШ.3-1)

г я

Мера ц известным образом порождается действительной неубы-. вающей функцией а:

o(s — 0)==а(з), ', , „

и(ХШ. 3-2

ц|[а, 6)] = о(6)-о(а)'’

для любых действительных чисел а и Ь. Мы хотим рассматривать только предыстории, которые представляют собой функции, заданные на [0, оо), и в качестве первого шага к понятию затухающей памяти мы наложим требование, что все прошлое будет вносить только конечный вклад в полунормы ограниченных пре-

дысторий. А именно назовем меру р забывающей мерой, еелие(з)яяО при s^O,

lim o(s^ = M < оо,(XIII. 3-3)

s->eo

Отсюда следует, что перенесение любого интервала прямой бесконечно далеко в прошлое уменьшает его меру до 0:

lim ц {[а + с, & + с)}=0.(XIII. 3-4)

С->оо

Полунорму (1), вычисленную по мёре, удовлетворяющей условию (3), будем называть соответствующим этой мере запоминанием предыстории А. Совокупность предысторий А, для которых норма ||А|| конечна, образует функциональное пространство, являющееся подпространством пространства всех предысторий, измеримых относительно' р. Это подпространство называется пространством предысторий с конечным запоминанием. Оно включает в себя все ограниченные измеримые предыстории и, в частности, все постоянные предыстории F(f)°. Мы будем предполагать, что раз и навсегда установлена определенная забывающая мера ц, и будем иметь в виду, что наши результаты зависят от выбора этой меры. Мы будем, далее, предполагать, что область определения ® реакции ® из (IV. 3-5) представляет собой связное подмножество пространства предысторий с конечным запоминанием относительно ц. Наконец, мы уже сформулировали предположение о том, что Ф включает в себя все постоянные предыстории F(OC в тех случаях, когда F(F) = = F*(s) для некоторого F* из Ф и некоторого s из [0, оо), так что t' = t — s.

Остановимся теперь на время и вернемся к (1). Мы видим два очевидных случая, в которых норма ||А|| будет мала. Первым является случай, когда модуль |A(s) | мал для всех s; вторым — случай, когда большие значения |A(s)| принимаются лишь на множествах малой меры. Иными словами, для того чтобы предыстория деформации имела малое запоминание,.достаточно, чтобы эта предыстория была всегда почти постоянной малой предысторией или чтобы большие отклонения от постоянной предыстории, которые, возможно, имели место, были сосредоточены в интервалах времени, имеющих малую меру. Грубо говоря, материал находится в состоянии почти покоя долгое время, хотя, быть может, в далеком прошлом он и подвергался сильной деформации или же подвергался большой деформации только в течение коротких промежутков времени, в течение которых функция а мало менялась. При этом ясно, что множества меры 0 можно отбрасывать.

Хотя возможны и другие случаи, при которых запоминание ||А|| мало, два только что описанных случая, как мы можем ожидать, как раз соответствуют обстоятельствам, которые не должны сильно влиять на напряжения в материале с длительной затухающей памятью. С другой стороны, поскольку мы можем построить функции А и А*, которые отличаются одна от другой только на сколь угодно малом интервале (0, е) и тем не менее имеют сколь угодно сильно отличающиеся производные при s = 0, забывающие меры не являются достаточно общим инструментом для того, чтобы послужить в качестве основы для теории такого рода затухающей памяти, какую проявляют жидкости Навье—'Стокса или любые другие материалы дифференциального типа.

Таким образом, ограничивая впредь наше внимание в этой главе материалами, которые удовлетворяют аксиоме непрерывности для топологии, полученной на основе забывающей меры, мы сознаем, что результаты будут применимы только к специальному, хотя и довольно широкому классу материалов.

Определение (Ван). Материал имеет слабо затухающую память, если он удовлетворяет аксиоме непрерывности с непрерывностью, определенной при помощи забывающей меры*.

T==®(F<) = e(F^)) + o(l) при иF'_F(0с||-*О, (ХШ.3-5) где'

g(F^))^@((F(0)c).(XIII. 3.6)

Таким образом, при условии, что запоминание разности предыстории Ff и постоянной предыстории F(/)° достаточно мало, напряжения представляют собой приблизительно упругие напряжения, соответствующие F(Z).'

В частности, в упругом материале остаточный член в (5)1 тождественно равен нулю; поэтому для того, чтобы (5) было справедливо, необходимо, чтобы забывающая мера была такой, что.

||Ft_F(/)=||=D.(XIII. 3-7)

Обратно, если при таком определении запоминания (5) справедливо с остаточным членом, равным нулю, то материал является упругим. Функция а, которая определяет забывающую меру такого рода, представляет собой единичный Скачок при s = 0:

f 0 при s^O,"(s)= 1(XIII. 3-8

'( 1 при s > 0.'

Всякий раз, когда мы будем далее в этой главе предполагать, что материал имеет слабо затухающую память, мы должны

помнить, что тем самым выбирается некоторая функция а. Наложение дальнейших требований на а, как мы это будем делать постепенно, сужает класс материалов, к которым применимы наши результаты.

§ 4. Релаксация напряжений

Постоянное продолжение fM в момент to функции f, заданной на (—оо, оо), представляет собой функцию, которая совпадает с / вплоть до момента to и остается после этого постоянной:

(f (ОU(4>)(f (ОU(4>)при — ОО < t < tQ,при — ОО < t < tQ,при t ^ t0.при t ^ t0.(XIII. 4-1)(XIII. 4-1)

(f (О

U(4>)

(f (О

U(4>)

при — ОО < t < tQ,

при — ОО < t < tQ,

при t ^ t0.

при t ^ t0.

(XIII. 4-1)

(XIII. 4-1)

Таким образом, предыстория /^ функции fM вплоть до некоторого момента t, большего, чем to, определяется следующим образом:

f t при 0 s t —10,

/'(«) = „ / 7 / (XIII. 4-2) • (8 — (/ — t0)) при S > t — t0. v

Явление релаксации напряжений моделируется утверждением о том, что если некоторая окрестность материальной точки X поддерживается в состоянии покоя достаточно давно, то напряжения в X приближаются к значению, котдрое они имели бы, если бы эта окрестность находилась в состоянии покоя всегда.

Теорема о релаксации напряжений (Колеман & Нолл). Для любого фиксированного момента времени t и для любой предыстории градиента Ff из 3) предыстория постоянного продолжения F(t0} также принадлежит 3) и предел ®(F(<„}) при t0->— оо существует и представляет собой статические напряжения, соответствующие v^ty.

Hm (F^) = ©(F(0е) = g (F(0). (XIII. 4-3) t»-*—eo

Можно показать с помощью контрпримеров, что слабо затухающая память, как она была определена в предыдущем параграфе, не обеспечивает справедливости теоремы о релаксации напряжений. Нужно дополнительное предположение. Достаточно, чтобы меры множества времен не увеличивались при перенесении их в прошлое: если 9"—борелевское подмножество полупрямой [0, оо), а > 0 и

(XIII. 4-4)

ТО

■ц^Хн^).(XIII. 4-5)

Мы можем легко построить забывающие меры, которые удовлетворяют этому дополнительному требованию и меры, которые ему не удовлетворяют. Например, оно удовлетворяется в случае, когда функция а, фигурирующая в (XIII. 3-2) и (XIII. 3-3), дифференцируема всюду, за исключением, быть может, 8 = 0, и имеет монотонную производную. В дальнейшем мы будем предполагать, что всякая забывающая мера удовлетворяет неравенству (5)..

Доказательство теоремы о релаксации напряжений (Ван). Покажем прежде всего, что если FzeS), то F{f0) — (F (/0))с ^ ^ для каждого t, большего, чем /0. Положим ^ = [0, сю). Ясно, что тензорная функция Ff {/0) измерима на У, поскольку измерима функция F\ Возьмем какое-нибудь положительное число N и положим

f 0,■ если |Fz(s)-F(/0)P<^,

я^)=11 Fz(s)-F(/0)p-^ если | Fz(s)—F(/o) Р>^. (XIIL4"6)

Поскольку рУ = М < оо, мы можем, как бы мало ни было е, выбрать N таким большим, чтобы

•f Д dp < в,(XIII. 4-7)

ибо в противном случае функция Fz — F (/0)с не могла бы иметь конечное запоминание. Далее, модуль | F^j — (F (<0))с | измерим, и поэтому из определений (2) и (6) следует, что для любого измеримого множества 9".

/ | F{% - (F (< |2 du = J N du + / [ | F{^ - (F (Q)c |2 - Д] dp < <rгг

<r<r.

^Jwdp+Jzfdp^■

^(Л + в. .' (XIIL 4-8)

Следовательно,

(XIIL 4-9)(XIIL 4-9)J I Fpj"—(F (А>))с Г dp ^ МИ + в,

(XIIL 4-9)

(XIIL 4-9)

так что F{te} — (F (/0))с е Ф. Поскольку (F (/0))г е Ф, отсюда следует, что Р^еФ. Таким образом, значение О (FpJ определено.

Далее,

p{s: |F{Vj(s) — F(M| ^ 0)<p((t—to, оо))-*() при t-* со;

(XIII. 4-10)

утверждение о стремлении к нулю следует из (XIII. 3-4). Следовательно,

I F{<0) (s) — F (to) |-* 0 по мере при t-*<x>. (XIII. 4-11)

Если для заданного положительного числа £ мы положим

^-t. - {s: | F^ (s) - F(t0) |2 > & (XIII. 4-12) то согласно (11) мы видим, что для заданного £ и любого положительного числа t] можно найти такое число т, что

цШ<Ч(XIII. 4-13)

при t — tQ^m. Возьмем

Р = 7Р t=T.(XIII. 4-14)

Тогда в силу (8)4, (13) и (14)

/^-(FWfdp-

s*

■ = f |f(\)-(focNh+ f ^^-(F^rP^C .

<J^ + f [f{V-(F(M)c|2^<

CCM+^ + eC

<3e(XIII. 4-15)

при условии, что t достаточно велико. Следовательно,

1^о}-(Р(Го))с|[->0 при t—»оо.(XIII. 4-16)

Теорема теперь сразу следует из предположения о том, что Материал имеет слабо затухающую память. ■

Просматривая доказательство, мы видим, что предположение (5) было использовано в двух местах, в каждом из которых его можно было бы ослабить добавлением оговорки «для достаточно больших значений а», и доказательство все равно проходило бы.

Таким образом, чтобы получить теорему о релаксации напряжений для очень широкого класса предысторий деформации, мы наложили на забывающую меру условие, выражаемое неравенством . (5), или чуть более слабое условие. Как показывает следующее упражнение, мы можем получить эту теорему, вовсе не используя этого неравенства,, если мы условимся вместо этого ограничить рассматриваемый класс предысторий деформации.

Упражнение XIII.4.1 (Ван). С помощью теоремы Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла ) доказать теорему о релаксации напряжений, не используя предположения (5), но предположив дополнительно, что выполняется любое нз следующих трех условий:

функция F* ограничена всюду, за исключением множества меры нуль;

F1 является неубывающей функцией от s;

(Hi) — для некоторого положительного т функция F1 ограничена всюду в интервале [0, т), за исключением множества меры нуль, н является неубывающей на интервале (т, оо).

Теперь мы рассмотрим важный частный случай импульса деформации, определяемого следующим образом:

( Fпри( >

F(0= ii/t(XIII.4-17)

'приг <Го-

При этой предыстории деформации материал поддерживается в какой-то фиксированной конфигурации до определенного момента времени (о, когда оно внезапно деформируется в другую конфигурацию и остается там навсегда. Поскольку момент (0, в который происходит импульс, и величина F этого импульса полностью определяют предысторию F( в классе импульсов деформации, из определения (IV. 3-5) простого материала сразу видно, что реакция сводится к функции только аргументов F и 1-10:

T = g(F,/ —(0) при Z>f0. (XIII.4-18)

Таким образом, при импульсе деформации любой простой материал ведет себя подобно упругому материалу, за исключением того, что реакция g зависит от времени. До сих пор все это никак не было связано с затухающей памятью. Если материал к тому же имеет затухающую память, то мы видим из теоремы о релаксации напряжений, что

g(F, t — /o)-*9(F) при f0-> —оо, (XIII. 4-19)

т. е. если импульс деформации произошел достаточно давно, то напряжения должны быть близки к статическим напряжениям. Этот факт, впервые установленный Ривлиным при помощи более сложных рассуждений, мы здесь получаем как результат простейшего применения теории затухающей памяти в смысле Колемана — Нолла.

Как мы уже говорили и иллюстрировали на примере теоремы о релаксации напряжений, интерпретация и полезность непрерывности и других свойств регулярности сильно зависят от выбора забывающей меры. Колеман и Мизел *) занимались общим вопросом об определении классов мер, полезных для теорий затухающей памяти. Они выдвинули следующие постулаты:

Если F* имеет конечное запоминание, то это же справедливо для F{/j при t > tQ. Кроме того, если запоминание разности Ff« — Gf° равно нулю, то нулю равно и запоминание разности F{tj — G{t0). - '

Если Ff° имеет конечное запоминание, то это же справедливо для Ff при t < ty.

Каждая постоянная предыстория имеет конечное запоминание.

Предполагая только, что предыстории F' принадлежат некоторому банахову функциональному пространству и ц— положительная регулярная борелевская мера на [0, оо), они доказали, что из этих трех постулатов следует, что

ц({0)) = Д ^ О,

ц ((а, 6)) = J к (s) dsц ((а, 6)) = J к (s) ds(XIII. 4-20) при 0 < а < Ъ < оо,

ц ((а, 6)) = J к (s) ds

ц ((а, 6)) = J к (s) ds

где J ...ds обозначает интеграл Лебега и плотность к локально суммируема и почти всюду положительна. Такая мера ц имеет, как говорят, «атом» при s = 0 и только там. Таким образом, для таких мер запоминание предыстории F' имеет вид

II Ff ||2 — Д| F(/) р + / A:(s)| F# (s) рrfs, (XIII. 4-21) о, •

’) Coleman В. D. & Mizel V. J., Norms and semi-groups in the theory of fading memory, Arch. Rational Meeh. Anal., 23 (1966), 87—123, и в более общем виде: On the general theory of fading memory, там же, 29 (1968),

13 Тпусделл

где Д — положительная постоянная. Функция к называется за- бывателем1) или функцией влияния. Запоминание в форме (21) было введено в качестве постулата Колеманом и Ноллом в их статье 1960. г., в которой дана первая математическая трактовка общего понятия затухающей памяти и которая послужила основой многих более поздних работ в этой области и стимулом для всех них. В дальнейшем мы будем использовать именно (21) и будем говорить о материалах, для которых оно дает соответствующую забывающую меру, как о материалах, имеющих затухающую память Колемана — Нолла.

Затухающая память более высокого порядка

Полученные в последнем параграфе результаты показывают, что мы находимся на правильном пути. Теорема о релаксации напряжений — вот что мы ожидаем получить при определенных ограничениях на свойства материала, или на предыстории деформации, или и на то и на другое. Если бы мы не получили этого на основе нашего определения затухающей памяти, то наш подход был бы неудачен. Удостоверившись в правильности пути, мы можем обратиться к вопросу о том, как вычислить второе приближение для определяющего уравнения, если мы не удовлетворены первым, или упругим, приближением, выражаемым с помощью (XIII. 3-5). Более высокие приближения получаются способом, сводящимся к разложению реакции ® в ряд Тейлора в окрестности предыстории, соответствующей состоянию покоя. Однако классическая теорема Тейлора относится к функциям, а мы здесь- имеем дело с более общими отображениями. Я приведу некоторые результаты, не' входя в подробности.

Принцип затухающей памяти п-го порядка заключается в предположении, что при постоянной предыстории (F(/))c реакция © п раз дифференцируема по Фреше. Дифференцирование по Фреше функционалов представляет собой обобщение дифференцирования функций, и предположить, что отображение п раз дифференцируемо по Фреше, это все равно, что предположить существование для него соответствующего п-членного разложения Тейлора с остаточным членом.

Точнее, в рассматриваемом случае

п

Т = в (Ff) = © (F ^ + 2 ©i (Fz - F m + о (IIFz - F (0е II"),

'<=1(XIII. 5-1)

где ®, — ограниченные однородные полиномиальные отображения) степени I, зависящие от переменной F(f).

Подобно разложению Тейлора, которое дает представление функции /(х) в виде суммы однородных полиномиальных функций х1" степеней 0, 1, ..., п и с ошибкой, которая стремится к нулю быстрее, чем х”, разложение Фреше заменяет данное отображение ® суммой более простых отображений с ошибкой, которая стремится к нулю быстрее, чем n-я степень запоминания ||F1 — (F(<))cll разности между истинной предысторией градиента Ff и соответствующей постоянной предысторией (F(Z))C. Разложение Тейлора в том виде, в каком мы его только что привели, не дает никакой информации относительно значений f(x) в отдельных точках х, оно показывает нам, что если мы выберем любую последовательность х,-, такую, что |хг|->0, то ошибка, фигурирующая в приближенной формуле, стремится к нулю быстрее, чем |х,|п. Аналогично разложение Фреше (1) ничего не говорит нам о значениях ©(F1) для конкретных предысторий градиента Fz. Оно показывает, что если мы строим последовательность или семейство предысторий градиента, запоминание разностей между которыми и постоянной предысторией стремится к нулю, то мы можем определить некоторую сумму однородных полиномиальных отображений степени не выше п, которая отличается от ® на величину, стремящуюся к нулю быстрее, чем и-я степень этого запоминания.

Таким образом, всякий раз, используя предположение b том, что материал удовлетворяет принципу n-го порядка, мы будем строить семейства F*, такие, что || F; — F (0е II -* 0. Необходимость в этом была показана в предыдущем параграфе при доказательстве теоремы о релаксаций напряжений (XIII. 4-3). Эта теорема утверждает, что для частного семейства F{«0) предысторий, определенных для данной предыстории градиента Ff согласно (XIII. 4-2), напряжения становятся приблизительно равными упругим напряжениям, соответствующим F(/), если

•) Пусть 41 н У — нормированные векторные пространства с нормами || || н | | соответственно. Отображение ф, из 41 X 41 X • ■ • X 41 V сомножителей) в У называется ограниченной i-линейной формой, если оно линейно по каждому из своих аргументов и если существует постоянная К, такая, что

t — /о достаточно велико. Что значит «достаточно велико», зависит от трех вещей: истинной предыстории градиента Ff, конкретного материала, определяемого с помощью функции реакции О, и конкретного градиента F(0. вблизи которого вычисляется приближение. Для того чтобы этот факт стал очевиден, рассмотрим один случай, когда Fz (s) = const, и другой случай, когда ® а 0. В обоих этих случаях ошибка равна нулю для всех to. Аналогично свойство затухающей памяти более высокого порядка ничего не говорит нам о влиянии только движения- или только материала. Оно показывает нам, как построить более простые определяющие уравнения, которые будут пригодны асимптотически для определенных классов материалов при определенных семействах предысторий деформаций.

Теория линейной вязко-упругости

■при конечных деформациях

Если принимается, что материал имеет затухающую память 1-го порядка, то (XIII. 5-1) аппроксимирует отклонение от упругих напряжений с помощью ограниченного линейного функционала. Совокупность всех предысторий деформаций с конечным запоминанием образует гильбертово пространство, и по теореме Фреше — Рисса 1) каждый ограниченный линейный функционал в гильбертовом пространстве допускает представление в виде скалярного произведения. Чтобы применить эту теорему в нашем случае, мы предполагаем, что рассматривается затухающая память типа Колемана — Нолла, и получаем согласно (XIII. 4-21), что

Т = д(F ^ + f й ($) К (F (Д s) [Ff (s) - F (f)J ds + о (|| Ff - F ^ (D, о

-(XIII. 6-1)

где ядро К — тензор четвертого ранга, такой, что

pK(F(O, s\?ds< оо. . (XIII.6-2) о’

До сих пор в этой главе мы использовали неприведенные определяющие соотношения, которые, вообще говоря, не удовлетворяют принципу материальной независимости от системы отсчета. Если мы просто пренебрежем поправочным членом в (1),

то получим приближенное определяющее уравнение, которое зависит от системы отсчета и не может точно описывать поведение никакого материала. Устранить этот недостаток легко, к сожалению, слишком легко, поскольку есть бесконечно много способов это сделать. Все, что надо сделать, — это начать с приведенного определяющего соотношения и провести процесс аппроксимации, аналогичный тому, который мы применяли к не- приведенным соотношениям.' Например, если мы начнем с (IV. 5-15), то получим

TR = I(C(0) + /A(s)K(C(0, S)[d(S)R-lc(S)]t/s + о

. +o(|d-lc|), (XIII.6-3) где, конечно, ядро К не совпадает с ядром в (1). Если мы теперь пренебрежем поправочным членом, то получим соотношение, не зависящее от системы отсчета, которое можно использовать для задания специального воображаемого материала. Это специальное определяющее соотношение было впервые получено почти таким же способом Колеманом и Ноллом, которые назвали основанную на нем теорию линейной теорией вязкоупругости при конечных деформациях.

Слово «линейный» относится здесь к зависимости напряжений от прошедшей предыстории Ct — 1 относительной деформа-- ции. Природа памяти материала линейна в том смысле, что неупругие напряжения, соответствующие предыстории деформации, приводящей к относительному правому тензору Коши — Грина С/, представляют собой сумму неупругих напряжений, соответствующих любым двум предысториям деформации, сумма относительных правых тензоров Коши — Грина которых равна С/. От текущего тензора деформации С(/) напряжения могут зависеть произвольным образом.' Колеман и Нолл заметили, что выбор в качестве исходной любой другой из бесконечного, множества приведенных форм для общего определяющего соотношения также приводил бы тем же самым способом к линейному результату, но другому. Поскольку теория, которая линейна при одной мере деформации1), например С(, может быть нелинейной при другой мере, например U(, то получаемые таким образом теории конечных деформаций, вообще говоря, отличаются одна от другой, но, разумеется, все они согласуются друг с другом в смысле аппроксимации (1), т. е. напряжения, соответствующие, согласно этим теориям, семейству предысторий градиента F, такому, что || F* — F (0е II ~> 0, асимптотически равны между собой.

Медленное движение и материалы Ривлина— Эриксена

Один способ построения семейства предысторий градиента с малым запоминанием связан с введением понятия медленного движения.* Существует большая, запутанная и все растущая литература по вопросу о медленном движении в гидродинамике, которое как прежде, так и теперь является излюбленной темой для всякого рода туманных догадок. Первое точное понятие медленного движения было дано Колеманом и Ноллом, которые ввели определение замедленного движения;

^ГЧХ, t^ = X(X, rt\ где г > 0. (VI.1-11)

Исходя из данной предыстории градиента F', мы строим семейство предысторий градиента, проходя одну и ту же последовательность конфигураций со все меньшими скоростями. Интуитивно ясно, что, когда коэффициент замедления г стремится к нулю, запоминание замедленной предыстории также будет стремиться к нулю при условии, что эта предыстория гладкая. Нам нужно оценить скорость этого стремления.

Если Ci(s) имеет п непрерывных производных при s = 0, то по теореме Тейлора

С' (s) - 1 = 2 Т-АД/) + VUt, s), (XIII. 7-1)

где А/ — это /-й тензор Ривлина — Эриксена, определенный формулой (II. 11-17), и .

| Rn(f, s)| = o(s") при s-*0 и фиксированном t. (XIII.7-2)

Аналогичный результат справедлив и для замедленного движения. Однако мы уже видели, что

А^ = /А/.(VI. 1-14)

Следовательно,

Ct ^ (S) - 1 = 21^11 А/ (0 + Rn* V, s), (XIII. 7-3) где теперь-

Rn’(s, ^) | = о (rns") при rs->0 и фиксированном t. (XIII. 7-4)

Теорема Колемана — Нолла о замедлении утверждает, что если исходная предыстория градиента F' имеет конечное запоминание, то для забывающей меры типа (XIII. 4-21) остаточный член R^' в (3) имеет произвольно малое запоминание при

г->0. Точнее,г->0. Точнее,II Rn * II = 0 (Н при г-»0.II Rn * II = 0 (Н при г-»0.(XIII. 7-5)(XIII. 7-5)

г->0. Точнее,

г->0. Точнее,

II Rn * II = 0 (Н при г-»0.

II Rn * II = 0 (Н при г-»0.

(XIII. 7-5)

(XIII. 7-5)

Хотя величина ошибки Rn может, согласно (4), становиться все больше и больше при фиксированном г и $-> оо, т. е. в далеком прошлом, забывающая мера нивелирует влияние любого такого роста на величину запоминания и приводит к тому же самому порядку для ЦсУ’!, который имел бы место, если бы оценка (4) была равномерна по г. Это далеко не очевидно. Хотя результат (5) просто сформулировать, его трудно доказать. Это одна из двух или трех наиболее трудных теорем во всей механике сплошных сред.

Мощная теорема Колемана — Нолла о замедлении дает нам возможность построить удивительно простую последовательность аппроксимаций для определяющего уравнения простого материала при замедленных движениях. Сначала запишем (XIII. 5-1) в форме, приведенной так, чтобы удовлетворить принципу материальной независимости от системы отсчета. Например, п

TR = 9 (С (0) + S ^ ((су - 1) + о (I (су - 1 Г). (ХШ. 7-6) 1=1

где ${ — ограниченное однородное полиномиальнбе отображение степени i, зависящее от переменной С(1). Затем подставим в это соотношение разложение (3). Непосредственный, но длинный и скучный расчет порядков величины запоминания последовательных членов приводит к замедленному определяющему соотношению Колемана — Нолла для напряжений TW в замедленном движении

T,^ = g(C) + SL/i/2.../ft(C)[A^, А'/УА^Ц-оИ

при г-»0.(XIII. 7-7)

I^/i^ ••• ^к^п,I^/i^ ••• ^к^п,(XIII. 7-8)(XIII. 7-8)Здесь для упрощения записи опущен аргумент t; L/^... lfe -— полилинейная функция своих к аргументов; суммирование проводится по всем индексам, таким, что

I^/i^ ••• ^к^п,

I^/i^ ••• ^к^п,

(XIII. 7-8)

(XIII. 7-8)

/1 + /2 + • • • + ik = И-

Поскольку А/^/А/, правая часть (7) за вычетом поправочного члена представляет собой многочлен степени п относительно г. . •

На первый взгляд (7) представляется невозможным результатом. Мы начали с аппроксимации неупругих напряжений значениями ограниченного линейного отображения. Конечно, зна-

чение отображения зависит от аргумента, который представляет собой функцию — полную предысторию градиента от $ = 0 до s= оо. Однако (7) показывает, что для определения значения отображения в этом случае ‘нам не надо ничего знать о предыстории, за исключением того, что происходило в сколь угодно малом интервале, предшествующем рассматриваемому моменту, поскольку тензоры Ривлина — Эриксена получаются взятием производной по времени в рассматриваемый момент и полилинейные операторы L^.../ зависят только от текущего градиента деформации. Итак, каким-то образом длительнейшую память, простирающуюся бесконечно далеко в прошлое, можно приближенно заменить введением в расчет достаточного количества производных по времени, вычисленных в рассматриваемый момент. Мы знаем, что так быть не может. Все прошлое нельзя уравнять никаким количеством производных в рассматриваемый момент. Это обстоятельство отражено в поправочном члене; хотя в (7) он записан в виде о(гп), мы не должны забывать, что этот член представляет отображение, аргументом которого служит предыстория градиента. Результат, выражаемый соотношением (7), является асимптотическим. Это результат не об одном движении, а о семействе движений. Он говорит нам, что если задано любое движение, то, достаточно замедлив его, можно оправдать аппроксимацию определяющего функционала замедленного движения суммой полилинейных функций от производных по времени заданного движения в рассматриваемый момент. Смысл процесса замедления заключается в тОм, что любая «крутая» деформация все дальше и дальше отодвигается в прошлое, которое материал плохо помнит, и все больше и больше увеличивается влияние гладкой части предыстории вблизи рассматриваемого момента.

Согласно замечательной теореме (7), общее определяющее уравнение материала с длительной памятью аппроксимируется в достаточно замедленном движении уравнением для некоторого специального материала с инфинитезимальной памятью. Оглядываясь на § VI. 1, мы видим, что вместо того, чтобы рассматривать там жидкости Ривлина — Эриксена, мы могли бы легко задать материал дифференциального типа порядка (или степени) п. Если бы мы так и сделали, то могли бы теперь интерпретировать теорему Колемана — Нолла как утверждение, что определяющее соотношение любого заданного простого материала можно аппроксимировать определяющим соотношением некоторого материала дифференциального типа степени п с ошибкой порядка о(гп) при г—*0. Как мы отмечали в § 3, материалы дифференциального типа не обладают затухающей памятью, выражаемой через забывающую меру. Теорема Колемана—Нолла показывает, что, несмотря на это, в смысле за-

медления они служат асимптотическими аппроксимациями для всех материалов, которые имеют такую память. '

В § VI. 1 мы записали явно определяющие соотношения для жидкостей степеней 1, 2, З.и 4. Сейчас мы остановимся, для того чтобы отметить более общие виды соотношений, вытекающие из (7), для материалов, не обязательно изотропных. Если п = 0, то (7) дает '

Т(П R = 9(C) + о(1) при г->0, ' (ХНЕ 7-9) т. е. в достаточно замедленном движении напряжения в любом материале с затухающей памятью приближенно равны напряжениям в упругом материале. Эта теорема, будучи по форме подобной теореме о релаксации напряжений (XIII.4-3), относится к упругому семейству предысторий: медленным движениям, а не постоянным продолжениям. В случае п = 1 соотношение (7) дает

Tm = 0(C) + V(C)[A(1r)R] + o(r) при г-»0, (XIII.7-10) где тензор четвертого ранга V представляет собой тензор вязкости. Материал, определяемый при помощи (10) с отброшенным поправочным членом, называется линейно-вязким; мы встречались с ним раньше и получили для него*приведенное определяющее соотношение (IV. 4-14), которому (10) с отброшенным поправочным членом эквивалентно. Согласно, результатам Колемана и Нолла, в замедленных движениях линейно-вязкий материал служит асимптотическим вторым приближением для простого материала с затухающей памятью, выражаемой через забывающую меру. z

В частности, на этом пути определяющие соотношения Эйлера и Навье — Стокса для жидкостей появляются в качестве соответственно первого и второго приближений для произвольных простых жидкостей. В § VI. 1 мы выписали соотношения, дающие три следующие приближения для частного случая несжимаемой жидкости. ■

Следует быть осторожными и не относить к теореме Колемана — Нолла о замедлении результаты более сильные, чем те, которые они сформулировали и доказали. Эта теорема дает приближенные определяющие соотношения, а не приближенные решения конкретных граничных задач или задач с начальными условиями. Решение конкретных задач предполагает дифференцирование определяющего соотношения и затем интегрирование получающихся уравнений движения или равновесия -для определения деформации х*> соответствующей конкретным силам, приложенным к конкретному телу. Если две функции отличаются на малую величину, то их производные могут отли-

чаться на большую, и если производные двух функций отличаются на малую величину, то сами функции совсем не обязательно аппроксимируют друг друга. Вопрос о построении или использовании приближенных дифференциальных уравнений, приводящих к приблизительно одинаковым решениям, чрезвычайно сложен даже в простейших классических теориях, поэтому читатель не будет удивлен, если узнает, что этот вопрос совсем не изучался применительно к весьма общим материалам, рассматриваемым в этой книге.

Бесконечно малые деформации

Другое приложение теории затухающей памяти можно получить, строя семейства смещений, которые соответствуют малым мерам деформации в течение всего прошлого. Как и в § IX. 1, мы полагаем'

.H=Vu = F-l,(IX. 1-2)

.Ё=1(Н + НТ), R^1(H-HT) (IX. 1-7)

и через е обозначаем наименьшую верхнюю грань норм градиента смещения Н, соответствующих всем деформациям, которым подвергался материал:. . '

е= sup | H^s) |.(XIII. 8-1)

's>0’

Мы будем рассматривать далее семейство предысторий градиента, такое, что е->0..

Упражнение XIII. 8.1. Доказать, что■

С^ (s) - 1 = 2 [ Е (/ - s) - Е (01 + о (в2) = О ^ (XIII. 8-2)

и что, следовательно, то же самое справедливо, если С* заменить на (c|)R’

Таким образом, как и ожидалось, |С< — 1с| = о(е) при е->0, поэтому мы можем подставить (2) в (XIII. 6-3) и получить

TR = I(C) + 2 J/i(s)K(C,s)[EU-s)-E(s)]ds+o(8). (XIII. 8-3) о

Это, однако, еще не все, поскольку ядро К (С, s) в случае бесконечно малых деформаций можно упростить.

Упражнение XIII. 8.2 (Колеман & Нолл). Доказать, что’

С (/) = 1 + 2Ё (/) + о (в2) = 1 + О (в),

_(XIII. 8-4)

R(/) = l + R(/) + o(e2) = 1 + 0(8),

и что, следовательно, (3) принимает вид

Т (0 - То = R (/) То - ToR (/) + (L + М (0)) [Е (/)] +

+ J М (s) [Е U - s)J ds + о (в), (XIII. 8-5) о

где'

То = 6(1),

М (з) = — 2 J й (z) К (1, z) dz.(XIII.8-6)

о

В этих результатах То — тензор напряжений в отсчетной конфигурации, a M(s)— так называемая функция релаксации напряжений. В случае когда М = О, (5) сводится, если отобро- сить поправочный член, к (IX. 2-4) — определяющему уравнению'для бесконечно малой упругой деформации из напряженной конфигурации,-поэтому L представляет собой тензор линейной упругости. Когда То = 0, отсчетная конфигурация является естественной конфигурацией и (5) сводится, если опять отбросить поправочный член, к определяющему уравнению Больцмана теории вязко-упругости при бесконечно малых деформациях, о которой мы упоминали в § IV. 4 и которая издавна изучалась как самостоятельная теория.

В отличие от теорци материалов дифференциального типа степени п теория Больцмана не может служить в качестве примера теории, пригодной при общих деформациях, поскольку она не является не зависящей от системы отсчета. Подобно линейной теории упругости бесконечно малых деформаций, теория Больцмана представляет собой лишь приближенную теорию. Линейная теория упругости служит общим первым приближением для бесконечного множества различных достаточно гладких теорий конечных упругих деформаций. В этом смысле теория Больцмана есть обобщение теории упругости, поскольку она представляет собой общее первое приближение для бесконечного множества различных достаточно гладких теорий материалов с памятью при бесконечно малых деформациях.

Отношение к классическим теориям

Мы установили четыре различные роли, в которых разнообразные классические теории материалов выступают по отношению к теории простых материалов Нолла.

В качестве специальных материалов. Упругий материал и линейно-вязкий материал представляют частные случаи, примеры возможного поведения материалов для всех предысторий

деформаций. Аналогично многие вязко-упругие материалы, как дифференциального типа, так и интегрального типа, например, материалы, описываемые с помощью линейной теории вязкоупругости при конечных деформациях или ее очевидных обобщений, в которых фигурируют суммы повторных интегралов по прошедшему промежутку времени, — все это возможные, но частные примеры. Жидкости Эйлера представляют собой частный случай всех этих материалов. Теория Больцмана и теория упругости при бесконечно малых деформациях не относятся сюда, ибо они не являются теориями, независимыми от системы отсчета при больших деформациях.

Как теории, пригодные при специальных видах деформаций. А именно, при статических деформациях все простые материалы ведут себя подобно упругим материалам.

При медленных движениях. А именно, определяющее уравнение любого заданного простого материала с затухающей памятью Колемана —Нолла порядка п аппроксимируется определяющим уравнением некоторого материала дифференциального типа сложности п. В частности, при п = 0 получается упругий материал, при п= 1— линейно-вязкий материал. Для изотропных материалов соответствующим частным случаем является материал Ривлина — Эриксена сложности п. Таким образом, например, определяющие соотношения Эйлера и Навье — Стокса представляют собой общие соответственно первое и второе приближения определяющих уравнений для всех жидкостей при достаточно замедленном движении. '

При бесконечно малых деформациях. Теория Больцмана, предназначенная для учета начальных напряжений в соответствии с (XIII.8-5), служит общим первым приближением определяющих уравнений для всех материалов с затухающей памятью Колемана — Нолла первого порядка, подверженных деформациям, которые малы сейчас и всегда были достаточно малы.

Приближения, указанные в третьем и четвертом пунктах, если их слепо применять к частным задачам, вообще говоря, могут привести к противоречивым результатам для одного■и того же материала. Согласно первому из них, напряжения определяются достаточным числом производных деформации в рассматриваемый момент. Согласно последнему, для того чтобы определить текущие напряжения, необходимо провести интегрирование по всему прошлому. Оба результата являются приближенными, и обстоятельства, когда они применимы, различны. Вообще говоря, теории дифференциального типа годятся при медленных движениях, в то время как теории интегрального типа годятся при малых мерах деформации.

Никакие утверждения обратного плана не доказаны и не могут быть доказаны. Теории дифференциального типа могут

применяться при быстрых деформациях и хорошо описывают реакцию некоторых реальных тел, как, по-видимому, уравнения Навье — Стокса хорошо описывают обычные реальные жидкости; теории интегрального типа могут применяться при больших деформациях. Важность теории Колемана и Нолла в ее позитивном характере. Она показывает, что классические определяющие .уравнения для сплошной среды должны быть справедливы при некоторых широких условиях как асимптотические аппроксимации для гораздо более общих видов реакции материала. Эта теория не отрицает возможность того, что эти определяющие уравнения, быть может, справедливы и в более общих ситуациях.

Область применимости приближенных формул остается неясной в каждом из наших двух случаев. Мы знаем только, что, выбирая достаточно малый коэффициент замедления г в первом случае или достаточно малую верхнюю грань е во втором случае, мы можем получать сколько угодно близкие аппроксимации. Что означает «достаточно малые», зависит от материала и от предыстории градиента, выбранной в качестве исходной. Вместо того чтобы попытаться оценить область применимости аппроксимации, иногда бывает легче ее улучшить. Приведенные выше методы дают возможность легко получить более высокие аппроксимации, поправки к классическим определяющим уравнениям. Один такой пример мы привели в § VI. I, а следствия из него обсуждены в последующих параграфах гл. VI.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)-

NFTM, §§ 38—41.. ■

D. Coleman & W. Noll, An approximation theorem for functionals, with applications in continuum mecnanics, Arch. Rational Meeh.-Anal., 6 (1960), 355—370. (Воспроизведено в «Continuum Mechanics II. The Rational Mechanics of Materials», ed. C. Truesdell, N. Y., Gordon & Breach, 1965.) B. D. Coleman & W. Noll, Foundations of linear viscoelasticity, Reviews

Modern Phys., 33 (1961), 239—249.

D. Coleman & W. Noll, Simple fluids with fading memory, Proc. Inti. Sympos. Second-Order Effects, Haifa (1962), 1964.

C.-C. Wang, Stress relaxation and the principle of fading memory, Arch. Rational Meeh. Anal., 18 (1965), 117—126.

C.-C. Wang, The principle of fading memory, Arch. Rational Meeh. Anal., 18 (1965), 343—366.■

D. Coleman & F. M. Greenberg & M. E. Gurtin, Waves in materials with memory. V. On the amplitude of accelration waves and- mild discontinuities, Arch. Rational Meeh. Anal., 22 (1966), 333—354; cm. § 7.

D. Coleman, On retardation theorems, Ar.ch. Rational Meeh. Anal., 43 (1971), 1—23.

Часть 5

ТЕРМОМЕХАНИКА

.Глава XIV

ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Скорость подвода тепла и температура

До сих пор мы рассматривали чистую механику, в которой силы появляются только как реакции на движения. Фактически всеобщим является обратное утверждение, а именно что движения возникают только благодаря действию сил, тогда как повседневный опыт показывает нам, что и явления, отличные от движения, могут порождать действующие на тела силы. Нагревая массу воздуха, мы заставляем ее оказывать большое давление на сосуд, в котором она заключена, а нагревая неравномерно различные части куска железа, мы можем заставить его изменить свою форму. .

Таким образом, если даже нас интересует теория, отображающая лишь те явления внешнего мира, которые связаны с движением тел под воздействием приложенных сил, то чтобы построить такую теорию, мы должны включить в ее математическую структуру понятия скорости подвода тепла и температуры. Мы вправе ожидать, что, имея их, мы моделируем и столь же нам знакомое явление изменения температуры тела под действием деформирования. ■ .

В гл. I читателю было представлено формальное абстрактное построение принципов кинематики и механики. Использованные там понятия — это понятия того же рода, которые встречаются в курсе механики для инженеров и физиков, хотя и более общие. Читателю не нужно было переучиваться, а нужно было только тщательно отобрать, подчистить и обобщить уже знакомые ему понятия. С термодинамикой дело обстоит по- иному. Понятийная система, лежащая в основе рациональной термодинамики, не столь известна, как элементы рациональной механики. По этой причине я счел разумным включить в книгу главу, отличную по характеру от остальных глав книги. А именно, читатель найдет здесь изложение некоторых вопросов, обычно включаемых в курсы физики, но не нашпигованное метафизи-

кой и не затемненное совершенно неизбежйой нестрогостью математических построений и мешаниной основных понятий, традиционной для термодинамики. Сами понятия и образуемую ими логическую структуру я представляю и упорядочиваю таким образом, который легко обобщается на случай сплошных сред. Эта глава имеет две цели: для тех, кто никогда не изучал термодинамики, изложить простой частный случай общей теории, которой посвящена следующая глава, а для тех, кто изучал ее традиционным образом, связать то, что они уже знают, с современной системой представлений, используемой в дальнейшем изложении. Читатель, не заинтересованный ни в том, ни в другом, может сразу перейти к § XV. 2.

Скорость подвода тепла не имеет явной связи.с механическим понятием энергии. Однако, как более столетия тому назад было установлено важными опытами Джоуля, то, что в повседневном опыте ощущается как увеличение количества тепла, всегда может быть измерено в единицах работы. Поэтому стало возможным ввести «энергию» как сумму совершенной работы и прироста количества тепла. В § I. 14 мы выразили эту идею в общей форме как аксиому баланса энергии: Для каждого тела 98 в любой момент времени t*

£ = r + Q,(1.14-6)

где Е — внутренняя энергия тела 98, W — собственная скорость совершения работы силами, действующими на X a Q — скорость подвода тепла к телу 98. В рамках механики собственную скорость совершения работы следует интерпретировать следующим образом: в инерциальной системе отсчета

"W = P-K,(LI4-1)

где Р—мощность системы сил, приложенных к X определяемая соотношением (1.14-2), а К — кинетическая энергия тела 98.

Если проинтегрировать (1.14-6) по некоторому интервалу времени, то получим

Е^-Е^ = / Wdt^- J Qdt. (XIV. 1-1) ' <i.

Первый интеграл в правой части представляет собой собственную работу, совершенную в интервале времени [^, t2Y а второй — приращение количества тепла за тот же интервал времени. В частности, если тело X неподвижно относительно некоторой инерциальной системы при t = t\ и t — t2 и если Е^ = ЕЦ\^Х то совершенная внешними силами работа равна

взятому с обратным знаком приросту количества тепла:

■^Pdt = -^Qdt(XIV. 1-2)

<iг

Большинство экспериментальных подтверждений аксиомы баланса энергии относится к этому частному случаю.

В термодинамике состояние тела в данный момент времени задается, наряду с кинетическими величинами, такими, как положения и массы или плотности, также и температурой или полем температур. Подобно тому как расстояния измеряются маркированным условным образом стержнем, который мы привыкли, считать недеформируемым, температуры измеряются -условным, образом маркированными трубочками со ртутью или с воздухом, которые мы привыкли считать подчиняющимися определенным закднам расширения. (Можно изобрести и построить и более тонкие инструменты для обоих видов измерений.) Шкала термометра, равно как и шкала мерного метра, является произвольной. Шкалу любого термометра, используемого для класса явлений, встречающихся в повседневной жизни и обычно называемых «классическими», можно распространить до таких низких значений, которые никогда нельзя наблюдать ни при каких измерениях ни над какими телами. Иными словами, в любой температурной шкале имеется наибольшая йижняя грань. Если этой грани приписано значение 0, то температурная шкала называется абсолютной. Для обозначения абсолютной температуры мы будем пользоваться буквой 6:

о<е<оо.(xiv. 1-з)

Единица измерения температуры остается произвольной, и температуру в отличие от количества тепла нельзя выразить в механических единицах.

Сколь бы важным ни было существование абсолютной температуры для физики, в термодинамике оно лишь удобно в том отношении, что позволяет нам при желании производить деление на 0 без всяких оговорок. В частности, часто бывает формально удобнее пользоваться холодностью1) Ф, определяемой как величина, обратная к 0:,-

6^.(XIV. 1-4)

Скорость подвода тепла и температура играют в термодинамике разную роль. Последняя образует часть описания условий, в которых находится тело, или его состояния. Первая же

*) Обычно говорят «обратная температура». — Прим, перед.

представляет собой количественную характеристику, определяемую по предыстории состояния некоторым определяющим соотношением. Чтобы сделать это различение плодотворным, мы должны ввести третью и последнюю величину, специфическую для термодинамики, а именно калорию.

Специальным теориям калории, относящимся к частному случаю калории, называемому «энтропией», уже свыше ста лет, однако они чаще всего нетипичны и слабо освещают путь к современной термодинамике сплошной среды, которая была создана в последнем десятилетии. Чтобы связать старые и, несомненно, известные результаты с современной .системой представлений, мы в последующих трех параграфах будем рассматривать только тот частный случай, когда тело характеризуется механически и геометрически конечным набором параметров — например, его объемом или массами составляющих его частей. Само по себе движение, таким образом, непосредственно не учитывается, так что эту теорию можно было бы назвать «чистой» термодинамикой, точно так же как теория, развитая в предыдущих главах этой книги, представляет собой чистую механику.

Читатель, который не нуждается в рассмотрении этого вырожденного случая, может опустить остальную часть этой главы и прямо перейти к следующей, в-которой развивается современная термомеханика сплошной среды.

Аксиома диссипации. Калория.Однородные процессы

Работа и энергия могут быть превращены в тепло, но для каждого данного тела 98 существует предельное значение скорости, с которой тепло может превращаться в энергию без совершения механической работы. Обозначим эту наименьшую верхнюю грань через В. Аксиома (или принцип') диссипации гласит:

Ё-W^B, (XIV. 2-1) или, эквивалентно,

Q^B. (XIV. 2-2)

Мы можем назвать В тепловой гранью. Для данного тела ^, на которое действуют заданные силы, все четыре величины, входящие в (1) и (2), являются функциями времени. Если известно В (/), то аксиома диссипации утверждает, что не все E(t), W (f) и Q(f), удовлетворяющие равенству (I..14-6), являются допусти-' мыми. Поскольку соотношение (2) ограничивает Q(/) сверху, а не снизу, оно не запрещает осуществления сколь угодно высоких скоростей превращения энергии и работы в тепло, поскольку

при этом Q < 0, однако устанавливает ограничение на превращение тепла в работу и энергию.

Тепловая грань В зависит от вида тела и от температуры; следовательно, в отличие от наибольшей нижней грани для температуры она является не универсальной величиной, а величиной, связанной с определяющими соотношениями материала.

Чтобы проиллюстрировать эти понятия и их применение, рассмотрим некоторый класс тел, с которыми происходят однородные процессы, т. е. изменения условий, в которых находятся эти тела, адекватно описываются конечным числом вещественных функций времени — «параметров», один из которых — температура. Остальные, которые мы будем обозначать через Ti, Ys, Y3, ..., Ya или, сокращенно, Y, мы не будем уточнять. Примером однородного процесса, от которого и пошло название таких процессов, является однородная деформация .сплошной среды (§ 11.12) в однородном температурном поле. В этом примере в качестве Y выступают 9 компонент тензора F, определяющие конфигурацию хх с точностью до несущественных постоянных. В некоторых приложениях достаточно рассматривать не все 9 компонент, а только некоторые функции этих компонент. В старых книгах по термодинамике фигурирует главным образом тот частный случай, когда в качестве параметра используется одна-единственная функция det F;- в этом случае, коль скоро масса тела задана, Y сводится к объему V(xx (X /))• Дру- гой пример системы параметров Y мы имеем в случае тела, являющегося смесью к частей, которые деформируются совместно и могут обмениваться массой через посредство химических реакций; в этом случае некоторые из Y, представляют собой «глубины реакций».

В этом параграфе нам не потребуется никакая конкретная интерпретация Y.

Определим ситуацию Х^ как упорядоченную пару

Х(/) = (¥(/), 6(0), — оо</<оо. (XIV. 2-3) Функция X, которую мы будем называть процессом, отображает ту последовательность обстоятельств, в которых может находиться тело Ж, и рассматривается как достаточное для целей теории их описание. Иногда мы будем говорить, что процесс X находится в ситуации Х(/) в момент t. Из соображений формального удобства мы будем предполагать, что ситуации представляют собой векторы в векторном пространстве 9 размерности /г+1.

Принцип термодинамически допустимого детерминизма для однородных процессов утверждает, что W, Q, Е и В определяются предысторией соответствующей ситуации: для всех до-

статочно гладких предысторий 1, значения которых лежат в данной односвязной области Ф векторного пространства Ф,

(XIV. 2-4)предысто- (1.14-6) ивиду. Во-(XIV. 2-4)предысто- (1.14-6) ивиду. Во-Wlt)^^^), QW-й^, ' £(0 =6(V), В(0=«(П

(XIV. 2-4)

предысто- (1.14-6) и

виду. Во-

(XIV. 2-4)

предысто- (1.14-6) и

виду. Во-

где отображения SB, &, ® и 33 таковы, что для всех рий Л/ выполняются соотношения баланса энергии принципа диссипации (XIV. 2-2).

Приведем принцип диссипации к более простому

первых, заметим, что в силу (1.14-6) мы можем однозначно выразить любую из величин 2В, О. и ® через две другие. Мы будем исключать таким образом Q. Во-вторых, вводя калорию Н посредством соотношения

. H^tQ^^Bdt, - (XIV. 2-5)

что можно сделать в силу (XIV. 1-3), мы сводим неравенство диссипации к виду ■)'

.№>Q.(XIV. 2-6)

Это неравенство называется неравенством Клаузиуса.

Начальный момент времени /о входит в определение как параметр, но интереса он не представляет, поскольку Н, как показывает само определение, имеет смысл лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Определим свободную энергию F следующим образом:

(XIV. 2-7)(XIV. 2-7)р=Е-ен.

(XIV. 2-7)

(XIV. 2-7)

Тогда из (6) и (1.14-5) мы получим приведенное неравенство диссипации:

F-W-VH^O,(XIV.2-8)

и обратно, из (8) можно получить (6). Термин «приведенное» указывает на то, что мы с помощью уравнения баланса энергии исключили Q.

Подводя итог этого «приведения», мы можем сформулировать следующий аффективный принцип термодинамически допустимого детерминизма ):

. IV = 2B(X<),

F=3(K). (XIV. 2-9)

h=№y

где отображения 2В, 3 и $ таковы, что для всех предысторий V, принадлежащих области их определения, выполняется приведенное неравенство диссипации (8).

Отображения ЭВ, 3 и $ представляют собой реакции трех' величин—IV, F и Н соответственно; они определяют некоторое" термодинамическое тело в том и только в том случае, когда тождественно по X* удовлетворяют неравенству (8).

Упражнение XIV. 2.1. Провести подробно только что описанное кратко приведение.

Главная задача термодинамики состоит в том, чтобы определить для заданного класса отображений и заданного класса предысторий общее решение неравенства (8).

В § XIV. 5 мы дадим решение этой задачи в простейших случаях. Прежде чем сделать это, мы посвятим следующие два параграфа тому, чтобы связать данное изложение с традиционными способами рассмотрения элементарных задач о тепле и температуре.

Калория Н определяется теми математическими свойствами, которые мы ей приписали. Она соответствует одному из тех понятий, которые физики называют «энтропией»." Обычно при рассмотрении энтропии пространно (как правило, Выходя за рамки имеющейся формальной структуры и углубляясь в метафизику) пытаются как-то мотивировать или, как это иногда представляется, «определить» понятие энтропии.

Как мы видели, существование тепловой грани В легко усмотреть из повседневного опыта. Однако в практику термодинамики В входит лишь через посредство калории Н, определяемой через В соотношением (XIV. 2-5). Именно Н, а не В легко обобщить на случай долей, как мы это увидим в гл. XV. Калория— это новая основная величина, свойства которой лежат в основе термодинамики. По сути дела, термодинамика представляет собой теорию калории..

Циклы. Оценка коэффициента полезного действия по Карно — Клаузиусу — Кельвину •

Циклом называется процесс, который начинается и кончается в одной и той же ситуации:

. ад=ад, . (xiv. 3.-1) где мы обозначаем через tv и ^ начальный и конечный моменты времени.

Циклы используются для моделирования действия тепловых машин, в которых некоторое тело 93 переводится из одной ситуации в другую путем добавления тепла, а затем путем оТвода тепла переводится обратно в ту же ситуацию; если тело имеет надлежащие определяющие соотношения, то, проходя цикл, оно совершает работу над окружающими его телами. Тем самым 93 превращает в работу часть поглощенного им тепла. Проводя тело подходящего рода вновь и вновь через такой цикл, можно совершить любое требуемое количество работы при условии, что подводится достаточное количество тепла. Различные виды циклов служат при этом моделями различных тепловых -машин, рабочие вещества которых представляются в этих моделях термодинамическими телами. .

Поскольку собственная скорость совершения работы № есть скорость, с которой производится работа над телом 93, собственная работа U, производимая телом 93 за цикл, определяется формулой '

U = -^Wdt. (XIV. 3-2)

Таким образом, в силу (1.14-1)

u = - ^Pdt-VK^-KVtx\ (XIV.3-3) ti ■

где К—кинетическая энергия тела ^. Если по завершении цикла она вновь принимает начальное значение или если К пренебрежимо мало, то собственная работа, совершенная телом 90, сводится к — J Pdt, т. е. (ко всей) работе, совершенной телом 93. '

Пусть ^"+ и ^-.обозначают множества тех моментов времени на протяжении цикла, в которые соответственно Q > 0 и Q < 0. Определим поглощенное тепло С+ и выделившееся

тепло С- следующим образом:

С+ » J Q dt, С'^ — ^Q dt; (XIV. 3-4) jа—

Очевидно, fa

'C+=1J(|Q| + Q)d/>O,

\(XIV. 3-5)

С~=у J(|Q|-Q)d/>0.

Интегрируя соотношение баланса энергии (1.14-6) от t\ до ta, приходим к следующему соотношению между выделившимся и поглощенным теплом:-

С" = С+ -U -^Е,(XIV. 3-6)

А£^£(У -ЕЩ.А£^£(У -ЕЩ.(XIV. 3-7)(XIV. 3-7)где АЕ — приращение, которое получает Е после того, как пройден цикл:

А£^£(У -ЕЩ.

А£^£(У -ЕЩ.

(XIV. 3-7)

(XIV. 3-7)

Коэффициент полезного действия (к. п. д.) е^ тела ^ в данном цикле *) определяется как отношение совершенной телом собственной работы к поглощенному количеству тепла:

e^-UlC*.e^-UlC*.(XIV. 3-8)

e^-UlC*.

e^-UlC*.

Конечно, мы предполагаем здесь, что С+ > 0, поскольку при С+ = 0 нельзя получить ничего сколько-нибудь интересного ни для теории, ни для приложений.

Воспользуемся теперь неравенством Клаузиуса (XIV.2-6), чтобы получить знаменитую оценку коэффициента полезного действия, которую дали (исправляя более раннюю оценку Карно) Клаузиус и Кельвин, причем они объявили ее установленной, основываясь на словесных рассуждениях с воображаемыми процессами, опирающихся на несформулированные и неуточнен- ные допущения относительно последствий обращения направления действия машины.

Обозначим через Ащщ и Атах точную нйжнюю грань и точную верхнюю грань значений А в цикле и допустим, что О < ■Отах < оо. Поскольку |QI + Q>0, I QI — Q > О, сразу

видно, что

у/ »(IQI + Q)^>»m!nC+,\(XIV. 3-9)

у p(IQ|-Q)^<^maxC’.

Вычитая второе неравенство из первого и затем используя неравенство Клаузиуса (XIV. 2-6), находим

»minC+ - »maxC~ < J »Q dt < ЬН, (XIV. 3-10)

\н = H (t2) - H (t^.(XIV. 3-11)

Подставим в (10) выражение (6) для С~, разделим результат на ОтахС+ и получим таким образом для величины eg, определяемой соотношением (8), следующую основную оценку (Трусделл):•

е^ < 1 - -^ - Л£ - °min АЛ, (XIV. 3-12) бщахС

Где, КОНеЧНО, Omin == Оглах» 0тах =‘O’min.

Укажем теперь условие, достаточное для того, чтобы третий член правой части этого общего неравенства был неотрицательным, и тем самым получим знаменитую оценку коэффициента полезного действия Карно — Клаузиуса — Кельвина:

Если определяющие соотношения тела ^ таковы, что в силу них в рассматриваемом цикле

. ДЕ-0ш1пДЯ>0,(XIV. 3-13)

и если в этом цикле 0т1п > 0 и С+ > 0, то,

е^< 1--|^-< 1.(XIV. 3-14)

Существенное условие (13) не формулируется явным образом в стандартных руководствах по термодинамике, хотя, по-види- мому, и содержится в числе неявно делаемых там допущений.

С -^ 6т!пС^ бщахС -^ 6т!пС^ бщахМы замечаем, что если \Н ^ 0, то ввиду (10)

С -^ 6т!п

С^ бщах

С -^ 6т!п

С^ бщах

(XIV. 3-15)

В цикле, в котором Н не возрастает, отношение выделившегося количества тепла к поглощенному не может быть меньше отно- щенид наименьшей температуры к наибольшей.

В большинстве прежних теорий частных типов тел Е и Н считаются функциями одной только ситуации: Е^ = ^,^к^Д\ Н^ = ^(к\^\ Конечно, При определяющих соотношениях такого рода ЛЕ = 0 и ^Н = 0, так что условие (13) выполняется. Мы будем рассматривать такие тела в § 5 и 6. В .§ XV. 8 мы убедимся, что для некоторого определенного типа циклов соотношение (13) выполняется также для широкого класса материалов с памятью, хотя для них в общем случае ЛЕ ^ 0 и Л/7 =# 0, и для многих циклов, но не для всех. Таким образом, оценка (14) выполняется весьма часто, хотя и далеко не всегда.

Эта оценка показывает, что эффективность тепловых машин ограничена не только из-за несовершенства их конструкции и изготовления, но и в силу самой их природы. При данной минимальной температуре 9mm наивысший возможный коэффициент полезного действия достигается увеличением 9тах настолько, насколько это возможно. Поскольку вне зависимости от того, каковы 9min и Вщах, ея < 1, в циклическом процессе с любым телом 9$ невозможно превратить в работу все поглощаемое телом тепло. Видно также, что максимальный коэффициент полезного действия не зависит от того, какие изменения претерпевает тело в цикле. На увеличение верхней границы для коэффициента полезного действия влияет только различие температур, а не величина изменений Т. На этот результат не влияет не только природа к параметров Yj, совокупность которых обозначена нами через Y, но и само их число к.

Приведенное нами рассуждение показывает, конечно, что оценка (14) справедлива, но она не доказывает, что установленная выше оценка сверху является наилучшей. Фактически, как мы покажем в следующем параграфе, для тел, из определяющих соотношений которых следуют неравенства (13), эта оценка является наилучшей.

Некоторые специальные процессы. Цикл Карно

Обратимся теперь к доказательству того, что только циклы специального рода, называемые циклами Карно, позволяют достичь верхней границы в оценке Карно — Клаузиуса — Кельвина (XIV.3-14). До этого определим некоторые специальные виды процессов и отметим некоторые их свойства.

Для данного тела происходящий с ним процесс называется

адиабатическим, изокалорическим, изотермическим.адиабатическим, изокалорическим, изотермическим.если при всех /если при всех /Q =0,

адиабатическим, изокалорическим, изотермическим.

адиабатическим, изокалорическим, изотермическим.

если при всех /

если при всех /

Н = const, (XIV. 4-1)

9 = const,

Первое и третье названия являются традиционными, и их, как и многие из терминов, используемых в механике, следует считать освященными длительным применением, хотя часто они недостаточно точны или ведут к недоразумениям. Если некоторый процесс является изотермическим для одного тела, то он является изотермическим для всех тел, однако будет или нет данный • процесс адиабатическим (или изокалорическим) для данного определенного тела, зависит от определяющих соотношений этого тела.

Адиабатический процесс — это такой процесс, при котором скорость подвода тепла равна нулю, так что уравнение баланса энергии (1.14-6) сводится к утверждению о сохранении механической энергии:

.' E = W.(XIV. 4-2)

В силу (XIV. 2-6) и (XIV. 1-3)

Я>0(XIV. 4-3)

— в адиабатическом процессе калория не уменьшается.

Изотермический процесс — это процесс, в котором темпера тура постоянна. Из (XIV. 2-6) видно, что при этом

H^-H^>^Qdt(XIV. 4-4)

— в изотермическом процессе прирост калории на единицу холодности не меньше, чем полный приток тепла к телу.

Изокалорический процесс, как показывает его название,— это процесс, в котором калория остается постоянной1). Для такого процесса неравенство (XIV. 2-6) сводится к неравенству

Q<0,(XIV. 4-5)

так что в силу (1.14-6)

E<W(XIV. 4-6)

— в изокалорическом процессе тепло не может быть подведено к телу, хотя может быть отведено от него, и результирующая совершенная над телом работа должна быть не меньше приращения его внутренней энергии. '

Теперь обратимся вновь к оценке Карно—Клаузиуса — Кельвина для коэффициента полезного действия тепловой машины (XIV. 3-14) и спросим себя, может ли быть достигнута устанавливаемая ею верхняя граница. Допустим с самого начала, что ■

Д£ = 0, АД<0, (XIV. 4-7)

поскольку иначе нельзя получить никакого определенного результата. Из (7)1 и (XIV. 3-6) видно, что

U=C* — C',. (XIV. 4-8)

так что (XIV. 3-6) дает

(XIV.4-9)

Таким образом, чтобы■

е =1_ЛЛД-,(XIV. 4-10)

ущах необходимо и достаточно, чтобы

=(XIV. 4-11)

Итак, в цикле с максимальным коэффициентом полезного действия выделившееся тепло и поглощенное тепло находятся в таком же отношении, как и минимальная и максимальная температуры. Далее, в силу (XIV. 3-10)

0<АЯ,0<АЯ,(XIV. 4-12)

0<АЯ,

0<АЯ,

что в сравнении с нашим допущением (7) 2 показывает, что

АЯ = 0АЯ = 0(XIV. 4-13)

АЯ = 0

АЯ = 0

— а цикле с максимальным коэффициентом полезного действия калория не приобретается и не теряется. Обращаясь вновь к (XIV. 3-10), видим, что

' 0 = J QQdt = J 6Qdt-V ^Qdt. (XIV. 4-14) ■ fi 5"+ т- .

Оценка (XIV. 3-9) дает теперь

«тшС+ < / «pQ dt = - J OQ dt < »maxC'. (XIV. 4-15)

Ввиду (11) левая и правая часть равны между собой, так что вместо обоих знаков «^» должны стоять знаки « = »:

«т1пС+ = / ^Qdt, - J OQd/ = OmaxC-. (XIV. 4-16)

^Из (XIV. 3-4) и (XIV. 3-9) теперь сразу видно, что для почти всех времен должно выполняться одно из следующих соотно-

шений:

Q(0=0,

Q(0>0 и 9 = 9max,(XIV. 4-17)

Q(0<0 и 6 = emln.

Иными словами, чтобы достигался максимальный коэффициент полезного действия, процесс почти во все моменты времени должен быть либо адиабатическим, либо изотермическим при минимальной температуре, сопровождающимся отводом тепла от рабочего тела, либо изотермическим при максимальной температуре, сопровождающимся поглощением тепла рабочим телом. Цикл такого рода называется циклом Карно. Мы доказали следующую теорему:

Пусть 9min и 9тах — заданные различные положительные температуры. Тогда единственным циклом, в котором выполняется условие (7) и достигается максимальной результирующий коэффициент полезного действия 1 — Этш/Отах, является цикл Карно.

Карно ввел такой цикл, чтобы описать действие машины, в которой рабочее тело приводится в контакт с большим нагревателем и поглощает тепло при постоянной температуре Вшах; затем изолируется и получает возможность продолжать расширяться адиабатически, пока его температура не упадет до температуры холодильника 0mm; затем приводится в контакт с этим холодильником до тех пор, пока не отдаст ему такое количество тепла, что, когда его снова изолируют, то при адиабатическом сжатии температура его поднимается вновь до Отах и восстановится начальный объем. При такой интерпретации 58 представляет собой некоторую массу жидкости, например воздуха или пара, а в качестве Г берется объем V области, занятой телом 58.

Определение адиабатического процесса связано с определяющими соотношениями. Поэтому цикл, являющийся циклом Карно для одного тела ^, не обязательно будет циклом Карно для другого, и нет даже уверенности в том, что в случае произвольных определяющих уравнений данного тела вообще можно организовать цикл Карно.

Мы показали, что цикл Карно —это единственный цикл, в котором может быть достигнут максимальный при данном отношении 9min/9max коэффициент полезного действия. Из (13) мы можем вывести еще одно необходимое условие того, что это максимальное значение действительно достигается:

0 = ДЯ = ^Hdt-V J Н dt-V J Н dt, (XIV. 4-18) S"+^г~<г°

где ^°—множество моментов времени в цикле, для которых Q = 0. Далее, на ^+, как показывает (17), О = ^щт, так что

(XIV. 2-6) дает

H>ftmtnQ>0.

(XIV. 4-19)

Допустим теперь, что в действительности Й > AminO на некотором подмножестве множества tF+, имеющем положительную меру. Тогда

/ Нdt > »mln J Q dt = »mlnC+.(XIV. 4-20)

■7-+<T+

Конечно, в силу (17) и (XVI. 2-6)

(XIV. 4-21)(XIV. 4-21)J Hdt>-^mixC'.

(XIV. 4-21)

(XIV. 4-21)

Складывая (20) и (21) и используя затем (11), получим

(XIV. 4-22)(XIV. 4-22)(XIV. 4-23)(XIV. 4-23)‘J Hdt-V / Я^>0.

(XIV. 4-22)

(XIV. 4-22)

(XIV. 4-23)

(XIV. 4-23)

'■ <г+<г™

Следовательно, ввиду (18)

'^Hdt<0.

Но согласно (XIV. 2-6) Я^О на tF0, так что неравенство (23) невозможно. Таким образом, допущение, что Н > dmlnQ на подмножестве положительной меры множества tF+, не может выполняться. Следовательно,

^ = '0,minQ почти всюду на 9"*, (XIV. 4-24)

так что

J Я<Я = От1пС+.(XIV. 4-25)

"<г+

Точно таким же образом мы можем доказать, что

H = ^maxQ почти всюду на 9", (XIV. 4-26) так что.-'

J Н dt = - W.(XIV. 4-27)

поэтому в силу (18)

J Hdi = 0.(XIV. 4-28)

Но, как мы уже отмечали, Й>0 на 9"°; значит, для того чтобы (28) выполнялось, необходимо, чтобы

Н = 0 почти всюду на 9^. (XIV. 4-29)

Иными словами, адиабатические участки цикла Карно максимального коэффициента полезного действия являются изокало- рическими.

С учетом (17) мы можем подытожить соотношения (24), (26) и (29) в виде одного утверждения

9H = Q, (XIV. 4-30) или, эквивалентно,

Q = B. (XIV. 4-31)

Упражнение XIV. 4.1. Доказать, что если тело может совершить цикл Карио, для которого выполняются соотношения (7), (13) и (30)-, то коэффициент полезного действия такого цикла выражается формулой (10).

Тем самым доказана следующая

Теорема о цикле Карно (Трусделл). Если выполняется предположение (7), то единственные циклы, при которых для тела $ могут быть достигнуты максимальные коэффициенты полезного действия, возможные при данном отношении температур 9mm/6max, — это циклы Карно, соответствующие этим температурам. Чтобы это значение коэффициента полезного действия достигалось, необходимо и достаточно, чтобы почти всюду Q = = 9Й и чтобы КН = 0.

В той части, которая касается необходимости, условие КН = 0 можно опустить, ибо для цикла Карно оно является следствием соотношений (30) и (11). В части, касающейся достаточности, его опустить нельзя, ибо цикл Карно, в котором КН < 0 и 9Й = Q, не удовлетворяют условию (11) и, следовательно, не удовлетворяет (10), когда КЕ = 0.

Если цикл Карно является для тела ^ возможным процессом и если ^ удовлетворяет условиям (7) и (30), то коэффициент полезного действия определяется соотношением (10), т. е. для всех таких тел коэффициенты полезного действия во всех циклах Карно, соответствующих данному соотношению 0min/6max, одинаковы. В частности, коэффициент полезного действия не меняется при изменении параметров Г в ходе цикла. В этом от-

*) Классическая формулировка здесь гласила бы: «чтобы цикл Карио был обратим». Поскольку термины «обратимый» и «необратимый» подсказывают лишь такую интерпретацию, которая бесплодна и ведет к недоразумениям, я избегаю их. Читатель, предпочитающий пользоваться ими, может просто говорить «обратимый» всякий раз, как в альтернативе «^» имеет место «=», и говорить «необратимый», когда имеет место «<».

ношении мы подтвердили утверждение авторов старых работ по термодинамике о том, что коэффициент полезного действия (10) не зависит от рода рабочего вещества и размеров машины. На деле они, по-видимому, и рассматривали лишь тела такого рода.

Будут или не будут выполнены основные условия (7), зависит от вида- определяющих соотношений для тела %. Конечно, достаточным является условие, что Е и Й представляют собой значения функций только от текущей ситуации:

Е = 6(Х), Н=§^\ (XIV. 4-32)

поскольку тогда ЛЕ = 0, КН = 0 для любого цикла.

В следующих двух параграфах мы рассмотрим два класса определяющих соотношений, для которых (32) имеет место' Для первого класса, как будет доказано, выполняется также и (30), и, следовательно, существует бесконечно много термодинамических тел, для которых цикл Карно может быть проведен с максимальным коэффициентом полезного действия. Таким образом, для получения максимального коэффициента полезного действия мы можем • не только использовать весьма много различных циклов Карно для одного и того же тела, но. и весьма много различных тел. В § 6 мы убедимся, что есть материалы, которые удовлетворяют условиям (32), но никогда не удовлетворяют условиям (30), так что для них ни в одном цикле никогда не достигается максимальный коэффициент полезного действия, соответствующий данному отношению температур.

Первый пример: классические «уравнения состояния»

Чтобы проиллюстрировать жесткие ограничения, которые приведенное неравенство диссипации (XIV. 2-8) налагает на определяющие соотношения, мы в качестве первого примера выберем для изучения «пробный» класс определяющих соотношений, в которых свободная энергия F и калория Н являются функциями текущего значения ситуации:

F = №, H = $(k\ (XIV. 5-1)

Такие соотношения в термодинамике прошлого столетия называли «уравнениями состояния». Мы предположим далее, что собственная скорость совершения работы W является линейной функцией от скорости изменения вектора Т:

H7 = -Stoa(X)Ya. (XIV. 5-2) а=1

Это допущение также является общепринятым в старых работах, в которых обычно кинетическая энергия не учитывается, так что IV — Р— механической мощности в инерциальной системе. Коэффициенты 6и называются термодинамическими давлениями, и соотношение (2) обычно выводится с помощью элементарных рассуждений относительно некоторой специальной механической задачи. В действительности такие рассуждения, если в них попытаться учесть и К, покажут, что для типичных механических систем W не будет иметь форму (2).

В формулировку начальных допущений (1) и (2) входят k + 2 функций ситуации X, а именно 8, ф и ба. Согласно принципу термодинамически допустимого детерминизма, сформулированному в § 2, эти функции должны быть такими, чтобы удовлетворялось приведенное неравенство диссипации (XIV.2-8) для всех предысторий М. Таким образом,

(XIV. 5-3)(XIV. 5-4)(XIV. 5-3)(XIV. 5-4)Ш + #) 6 + 2 (ЭтЗ + ®а) Та < 0.

(XIV. 5-3)

(XIV. 5-4)

(XIV. 5-3)

(XIV. 5-4)

а=1

Эквивалентно,

А(Х). Х<0,

где компонентами (^ + 1)-мерного вектора А являются

(XIV. 5-5)(XIV. 5-5)Ao — (^eS + ^Х

(XIV. 5-5)

(XIV. 5-5)

Ла = рга5 + 6а),а=1, 2, .... к.

Мы еще не наложили никаких ограничений на функции 8, ф и ба. Мы будем предполагать, что они определены на связном открытом множестве ситуаций, на котором все они непрерывны, а 3 к тому же непрерывно дифференцируемо. Если Хо—ситуация, принадлежащая этой области их определения, a Xi— произвольная другая ситуация, то мы можем следующим образом определить процесс X:

(XIV. 5-6)(XIV. 5-6)... (^0>ОО < / ^ /0,

(XIV. 5-6)

(XIV. 5-6)

I ^0 + (^ — ^о) ^1» ^0 ^ ^ ^ ^0 + А,

где h — некоторое положительное число; еыи h достаточно мало, то все ситуации, через которые проходит процесс X, попадают в область определения функций 3, % и 6а. Поскольку для этого процесса X = Хь условие (4) приводит к требованию

Следовательно,Следовательно,А(Хо).Х]^О VX0, X].А(Хо).Х]^О VX0, X].А(Х0) = 0 VXo.А(Х0) = 0 VXo.(XIV. 5-7)(XIV. 5-8)(XIV. 5-7)(XIV. 5-8)

Следовательно,

Следовательно,

А(Хо).Х]^О VX0, X].

А(Хо).Х]^О VX0, X].

А(Х0) = 0 VXo.

А(Х0) = 0 VXo.

(XIV. 5-7)

(XIV. 5-8)

(XIV. 5-7)

(XIV. 5-8)

Поэтому в силу (5),

§ == ~ <5д5,'

- я1 о к (XIV. 6-9) ;

Юо = _ dra8, а = 1, 2, ..., к. '*

Подстановка этих необходимых условий обратно в (3)-показы- - вает, что они являются также и достаточными и что в (3) всегда ? имеет место « = » и никогда «<». Таким образом, установлена ; следующая,

Теорема о термодинамическом потенциале. Для того чтобы " «.уравнения состояниям (1) и (2) удовлетворяли принципу тер- * модинамически допустимого детерминизма, необходимо и достаточно, чтобы свободная энергия была термодинамическим потенциалом в смысле соотношений (9). Для таких тел тепловая грань достигается в каждом процессе1'):

Q = 8 = 0§(XIV. 5-10) »

и процесс адиабатичен тогда и только тогда, когда он изокало- . ричек. Кроме того,.;

дг^^дейа, а=1, 2, ..., k. (XIV. 5-11) I

Заметим, что (11) есть условие интегрируемости для §. Условия такого рода в термодинамике без особого к тому основания обычно называются «соотношениями Максвелла».

В частности одна-единственная функция § однозначно on- ’■ ределяет k + 1 функций $ и йа. Поскольку и Н и F суть значения функций только от К, то и £ обладает тем же свойством. Поэтому в любом цикле kE = 0, kH = 0, и, согласно теореме, * доказанной в § 3, для тел этого класса в цикле может достигаться коэффициент .полезного действия; не превосходящий " 1 — 9min/6max- Более того, согласно теореме, доказанной в § 4, ■ для тел. этого класса в циклах Карно (и ни в каких других) дей- - ствительно достигается коэффициент полезного действия 1 — • — втш/Отят. Таким образом, эффективность всех тел этого класса ‘ при данном отношении температур одинакова..

Теорема о термодинамическом потенциале со всеми ее вариантами, следствиями и приложениями почти исчерпывает со- ■_ держание обычных книг по термодинамике. Результат этот при- * надлежит по существу Клаузиусу, но наш способ получения его отличен от способа Клаузиуса...

Специалисты по термодинамике прошлого века, и в том числе Клаузиус, начинали с соотношения (2) или какого-нибудь его частного случая и пред-

') В традиционной формулировке для этого класса тел все процессы обратимы.■.

полагали, далее, что скорость подвода тепла Q есть линейная' функция скорости изменения ситуации:

Q = Кт (X) е + 2 Ly (X) r0. (XIV. 5-12) a=i °.

Коэффициент Ку представляет собой теплоемкость при постоянном Г, а коэффициент Ly — скрытую теплоту по отношению к Те. В нашей теории мы получаем этот результат непосредственно из (10) г и допущения (1)г; кроме того,.

Kr = ed6S, Lya = %dy^.(XIV. 5-13)

Таким образом, если мы рассматриваем теплоемкость и скрытые теплоты, удовлетворяющие соотношению (12), как величины, определяемые из опыта, то мы можем сформулировать эмпирический критерий существования функции ф:

дтКт = 05е (LrJ^ а = 1,2k. (XIV. 5-14)

Конечно, это другая запись условия интегрируемости (11).

Если мы положим @ = 8 + ®©> так чт0 E = *S^, то в силу (9) мы убеждаемся также, что•

Ку = d6@, Lya = йа + ду^, а = 1, 2к. (XIV. 5-15)

Как показывает следующее упражнение, эти формулы в сочетании с (13) дают еще одно соотношение, имеющее непосредственное отношение к эксперименту.,

Упражнение XIV. 5.1. Доказать, что

Lya=ed6toa, а = 1,2к.(XIV.5-16),

Соотношение, которое определяет <ов как функцию от X, обычно рассматривается как тепловое свойство, наиболее просто определяемое в эксперименте.' Из (16) видно, что эта функция одиозначио определяет скрытые теплоты Ly . Этот результат является, конечно, следствием двух независимых предположений: что неравенство Клаузиуса удовлетворяется тождественно и что данный класс тел описывается «уравнениями состояния» (1) и (2). Если соотношение (16) не имеет места, то однб из этих допущений (но ие обязательно оба) не подтверждается. Классики получали результаты, эквивалентные этим, используя различные правдоподобные рассуждения для того, чтобы вывести, что Е и Н действительно представляют собой значения функций от X и что выполняется некоторое соотношение, эквивалентное (10).,

Если

к

Q^K-W+^Lz ша,(XIV.5-17)

а=1°■

то коэффициенты К~ и L~ называются соответственно теплоемкостью при постоянном давлении и скрытой теплотой по отношению к шо.

Упражнение XIV. 5.2. Показать, что

кк

^ - ^r = - S № Ча. Lya = 2 ЕйдтЙь. (XIV. 5-18)

Возвращаясь к соотношению (15), мы можем вывести из. него теорему, принадлежащую по существу Клаузиусу:'

• Необходимое и достаточное условие того, что внутренняя энергия является функцией только температуры, состоит в том, чтобы каждая скрытая теплота равнялась' соответствующему термодинамическому давлению-.

&a = LY ^E — l^Y •(XIV.5-19)

а

По сути дела, первое из условий принималось в качестве аксиомы Р. Майером. Эта аксиома гласит, что все тепло, «скрытое» в 56, может быть использовано для совершения работы. Клаузиус и некоторые другие пионеры термодинамики предполагали, что в изотермическом процессе все добавляемое тепло переходит в совершенную работу, т. е. Р + Q = 0 при 0 = const В рамках современной теории, основанной на балансе энергии, это предположение эквивалентно (19)г (в пренебрежении кинетической энергией), так что утверждение Майера следует считать эквивалентным предположению Клаузиуса. Другая эквивалентная форма соотношения (19)г будет получена в следующем упражнении.

Упражнение XIV. 5.3. Доказать, что

@=-д»(Ш(XIV. 5-20}

так что ..'•

8Т® = -де ^&а\(XIV. 5-21)

Следовательно, чтобы внутренняя энергия была функцией от температуры: Е = 6(9), необходимо и достаточно, чтобы

&a = fa-m9.(XIV. 5-22)

Используя (16), показать, что toa = LT в том и только в том случае, когда Выполняется соотношение (22), и тем самым снова вывести теорему Клаузиуса (19)."

Термодинамический-газ 58 в смысле весьма частной теории, рассматриваемой в этом параграфе, определяется как еще более частный случай, когда Г сводится к единственному параметру V, интерпретируемому как объем, занимаемый газообразным телом $. Соответствующее термодинамическое давление 6 интерпретируется как давление в смысле эйлеровой гидродинамики. (В силу (2) это означает, что W = Р— действительной мощности — и скорость изменения кинетической энергии не учитывается. В § 6 мы убедимся, что при более тщательном рассмотрении на основе гидродинамики кинетическая энергия соответствующим образом учитывается.)

Упражнение XIV. 5.4. Доказать, что если над термодинамическим газом Совершается адиабатический процесс, то.

й-у^б)^,(XIV. 5-23)

Где у — отношение теплоемкостей:

^KcJKw(XIV. 5-24)

Упражнение XIV. 5.5 (Дюгем). Доказать, что для термодинамического газа б = б (V, Н) н

(XIV. 5-25)(XIV. 5-25)36 35 dF —7 3V "

(XIV. 5-25)

(XIV. 5-25)

Идеальный газ — это термодинамический газ, подчиненный дополнительному условию, что он удовлетворяет классическим газовым законам, выведенным Таунли, Пауэром и Амонтоном:

6У = Я0,(XIV. 5-26)

или, эквивалентно,

б = орб,(XIV. 5-27)

где R— постоянная, а = R/M, М— масса тела ^. Из (20) и (22) видно, что

Е = 6^, KV = &(Q), Lv = a, (XIV. 5-28) и (18) сводится к знаменитому соотношению, предложенному Р. Майером и доказанному Клаузиусом:

Ka — Kv = R.(XIV. 5-29)

Из (23) и (26) следует, что для идеального газа в адиабатическом процессе .

5/6 + yV/V=0,0/0 = (1 -y)V/V, (XIV. 5-30)

где у, определенное соотношением (24), является функцией только от 0. Таким образом, в адиабатическом процессе объем связан с температурой следующим образом:

в

где 90 и Vo — постоянные.

Из соотношения (29) ясно, что теплоемкости либо обе постоянные, либо обе непостоянные. Для идеального газа с постоянными теплоемкостями соотношение (31) сводится к закону адиабатического изменения Пуассона;

у

V0V-1 = const, 69 7-1 = const, 5Vv = const. (XIV. 5-32)

Кроме того, конечно,

Е = КА(XIV. 5-33)

если только мы условимся, что Е = 0 при 9 = 0.

Мы нсследовалн адиабатические процессы, опираясь непосредственно на их определение, и нигде не использовали тот факт, входящий в утверждение фундаментальной теоремы, что для рассматриваемых в данном параграфе

частных случаев определяющих соотношений адиабатический процесс является обязательно изокалорическим.

Поэтому легко понять, каким образом теорема, выражаемая соотношением (32), могла бы быть получена (как это и было на самом деле!) до того, как была создана классическая термодинамика.

Нетрудно подсчитать калорическую функцию идеального газа. Прежде всего, нз (11) и (21) видно, что

=(XIV. 5-34)

причем это функция только от V; в то же время (13) i показывает, что

^ = ^./CF;(XIV. 5-35)

в силу (28) это функция только от 9. Следовательно,

6

е = /?1п v+ J ^ (6)-у- + const.(XIV. 5-36)

В случае когда теплоемкости постоянны, квадратуры легко выполняются, и получающееся выражение можно преобразовать к виду

Отсюда видно, что соотношения (31) и (32) справедливы для изокалориче- ских процессов. Только этого мы и могли ожидать, поскольку для рассматриваемого в этом параграфе класса тел понятия «адиабатический» и «изо- калорический», как было показано, эквивалентны.

Упражнение XIV. 5.6 (Планк). Отказавшись от допущения (2), допустим, что для каждого процесса к .

^ (0 = - S б» W ^« (0.(XIV. 5-38)

а=1

т. е. что W — по-прежнему линейная функция от У, ио термодинамические, давления ие обязательно являются функциями от ситуации. Определим энтальпию X и свободную энтальпию 7. следующим образом:

к X ^ £ + У йдГд, а=1

г = х - о//.

(XIV. 5-39)

так что

Е + Z = F + X.

(XIV. 5-40)

Доказать, что

к х^ен+^&аха, а=1

к

(XIV. 5-41)

ZC-H9+’^ ^а, а=1

и истолковать эти неравенства.

Упражнение XIV. 5.7 (Рич). В условиях теоремы о термодинамическом потенциале (9) допустим, что каждая нз функций 8. © н 6а является обратимой функцией от любого из ее аргументов 0, Т„ Y?, .... Yj. Доказать, что тогда £ = @ (Я, Г), X = I (Я, ®) и 2 = 3 (6, ®) и что каждая из этих трех функций также явлиется термодинамическим потенциалом в том смысле, что•

0 = + дн®, б„ = - дг @,

6 = днХ. Га = дй^,. (XIV. 5-42)

я = -дез,го = дйо3.

Упражнение XIV. 5.8. Рассмотрим внешне более общий класс определяющих соотношении•

ft

ir = 6(X) - Ssawra,0=1•

ft

F = 8 (X) - 2 "о (М f«.(XIV. 5-43)

■0=1

. й

я = 5(Х)- ^лН^

0=1-

и сделаем единственное допущение, что -W обращается в нуль, когда Y = const, так что й(Х) ^ 0. Используя приведенное неравенство диссипации, показать, что ла = 0, т)0 = 0 и соотношения (9) являются по-прежнему наиболее общими термодинамически допустимыми определяющими соотношениями..

.§ 6. Второй пример: линейное трение

Существование классических потенциалов, как мы только что видели,1 является следствием не каких-либо общих термодинамических идей, а того, что в качестве отправной точки был взят, весьма специальный класс определяющих соотношений (XIV.6-1) и (XIV.6-2). Если мы возьмем несколько более общий класс определяющих соотношений, то уже не получим классических формул. А именно учтем эффект «линейного трения», для чего теперь будем считать давление йо уже не функцией одного только Г, а линейной функцией от Г с коэффициентами, которые являются функциями ситуации:

й

йа = б°а.(е, Г)+ Ss^e,Т)гь. (XIV.6-!)

В то же время мы сохраним в прежнем виде калорические уравнения состояния (XIV. 5-1). Величины й°(0, Y), являющиеся значениями функций йа при Т = 0, могут быть названы «равновесными давлениями», а йа&— «давлениями трения».

Подстановка в приведенное неравенство диссипации (XIV. 2-8) дает'

йк ■

(де5 + Ф) ё + 2 (Ч + дг 5) та + 2 б^Л > 0. (XIV. 6-2)

Теперь нам надо найти решение неравенства (2). Поскольку коэффициенты при 0, Ya и YaY6 — функции только от 6 и У и поскольку мы можем построить термодинамический процесс, в котором 2^ + 2 величин 6, Ya, 6 и Y6 принимают любые угодные нам значения в момент / (при условии лишь, что 6 > 0), это неравенство имеет вид

,2 Aixt 4“ 2 AtixtXj ^ 0(VIV. 6-3)

для всех Хк, где А, и Ац— постоянные. Пусть Хк — некоторые заданные числа; тогда неравенство (3) должно оставаться справедливым после замены их на аХк, где a — любая постоянная. Поэтому для всех а~

а2Л,х< + а22л</х/х/<0.(XIV. 6-4)

Это квадратичное неравенство выполняется для всех а тогда и только тогда, когда коэффициент прй а равен нулю, а коэффициент при а2 неположителен. Конечно, (2 AjXi = 0 Vx;) О О(Л/ = 0 для всех 1\ Таким образом, мы вывели следующие необходимые условия:- •

Л^О, 2Лг/х,х/<0.(XIV. 6-5)

Обратно, если выполнены соотношения (5), то выполняется и неравенство (3).

Применение этих результатов к неравенству (2) показывает, что это неравенство эквивалентно соотношениям

■£> = ~М,

(XIV. 6-6)(XIV. 6-6)й2 = -<эг&

(XIV. 6-6)

(XIV. 6-6)

■к

2 йа6(6, Y)YaYb<0-а, Ь=Л•

Объединяя все эти результаты, мы видим, что $ снова является потенциалом для § и равновесных давлений й°, но не находится ни в каком соотношении с давлениями трения ®аъ. Таким Образом, функция свободной энергии уже не задает все определяющие соотношения материала, поскольку давления трения йа6 независимы от нее. Со своей стороны давления трения не произвольны. Для каждого значения ситуации квадратная

матрица ЦйабН должна быть отрицательно полуопределенной. Обратно, если имеют место соотношения (6), то принятые нами . определяющие соотношения удовлетворяют приведенному неравенству диссипации для каждого дифференцируемого процесса. Поэтому в (6)3 не обязательно должно осуществляться равенство, и действительно, в общем случае равенство здесь не имеет места. Следовательно, определяющее соотношение (1), лишь немногим более общее, чем классическое (XIV.5-2), охватывает тела, для которых скорость подвода тепла оказывается ниже предельного значения В, и адиабатический процесс не яв-. ляется уже в оби^ем случае изокалорическим.

Упражнение XIV. 6.1 (Трусделл). Показать, что тепловая грань В является значением следующей функции 5В от 0, У, 0 и Г:• .

-. к

8 = 0£ = - (3^) ё + 5 (д6б“) fa(XIV. 6-7)

и'

к

£ = 8 + 2 Sa6 (0, Г) Г0Г6.(XIV. 6-8)

.а, Ь*1

Результат этого упражнения позволяет нам разбить тела, определяющие соотношения которых попадают в класс (1), на три различные категории:

Подкласс 1. Матрица || е>аь II отрицательно определена. Тогда Q = В в том и только в том случае, когда У = 0, т. е. когда •ситуация не изменяется, за исключением, быть может, температуры.

Подкласс 2. Матрица -|| &аъ II отрицательно полуопределена, но не равна II 0 ||. Тогда Q = В в некоторых из процессов, для которых Y ^ 0, но не во всех таких процессах. .

Подкласс 3. || &аь II = II О II- Тут Q — В всегда; такие тела — это как раз тела, рассмотренные в предыдущем параграфе.

Обращаясь вновь к циклу Карно, описанному в § 4, мы видим, что для тел, рассматриваемых в данном параграфе, соотношения (XIV. 4-7)1 и (XIV. 4-13) справедливы по предположению, а (XIV. 4-30) в общем случае несправедливо. Поскольку условие Г = 0 для цикла Карно не может выполняться, для тел подкласса 1 мы имеем Q <_ В и, следовательно,

Таким образом, ни для какого тела подкласса 1 в цикле Карно не может быть достигнут максимальный коэффициент полезного

действия цикла. Как и следовало ожидать, линейное трение снижает потенциальную эффективность рабочего тела.

Упражнение XIV.6.2 (Трусделл). Пусть Lt обозначает работу, совершаемую давлениями трения &ц прн обходе некоторого цикла. Показать, что в этом цикле

(XIV. 6-10)

Утах \/

Упражнение XIV. 6.3 (Трусделл). Пусть задан некоторый цикл. Определим по нему класс замедленных процессов по аналогии с (VI. 1-11). Доказать, что

L^ = rLt (XIV. 6-11)

и, следовательно, при г->0 коэффициент полезного действия цикла Карно стремится К 1 — 6mtn/6max.

'§ 7. Классическая газовая динамика.

Теории Эйлера — Адамара и Стокса — Дюгема

Уже давно стало ясно, что, поскольку с помощью' нагрева можно заставить тело деформироваться, механика сплошной среды должна строиться с учетом температуры как одной из независимых переменных в определяющих соотношениях. Соответственно этому в гидродинамике давление принимается функцией не только плотности, но и температуры, и определяющее соотношение Эйлера' (IV.4-4) заменяется соотношением

.Т = —р(р, 6)1;(XIV. 7-1)

для линейно-вязкой жидкости вязкости X и р, рассматриваются как функции плотности и температуры, так что (IV. 4-12) заменяется на.

т = [—р(р, е) + Л(р, e)trD]l + 2p(p, e)D, (XIV. 7-2)

и температура вводится в определяющее соотношение (VII. 1-2) теории упругости

T = 9X(F, 0).(XIV. 7-3)

Конечно, во всех трех случаях дополнительной независимой переменной, не указываемой явно, может быть также отсчетное положение X.

Сама запись этих уравнений свидетельствует о том, что понятие температуры обобщено. Здесь через 6 мы обозначим уже не скаляр, а скалярное поле, значение которого в месте х в момент / равно температуре в этом месте в этот момент:

'е = е(х, о>о.(XIV.7-4)

При этом обобщении увеличивается на единицу число полей, подлежащих 'отысканию при решении некоторой задачи, но не увеличивается число регламентирующих их условий. Чтобы определить поле температур, нужны дополнительные общие условия сверх тех, которые получаются из уравнений количества движения и момента количества движения. Естественно искать эти условия в термодинамике. В механике сплошной среды прошлого столетия механика сопрягалась с термодинамикой однородных процессов посредством требования, чтобы в частном случае, когда поля F и 0 сводятся к функциям одного лишь времени /, определяющие соотношения механики сплошных сред были совместимы с соотношениями частного вида, рассмотренными в § 5, или, несколько более общим образом, с соотношениями, намеченными в § 6.

Чтобы проиллюстрировать этот подход, мы рассмотрим динамику невязких газов, определяемых соотношением (1).

Из (III. 5-12) и (III. 5-13) сразу находим, что для однородного движения.•

,W = — pEV = -pV.(XIV. 7-5)

Это соотношение превращается в частный случай соотношения (XIV. 5-2), если допустить, что

.р(р, е)=й(б, v).(XIV. 7-6)

Поскольку в однородных движениях М = pV и М = const, для некоторого данного тела любая функция от V может быть представлена как функция от р, так что соотношение вида (6) является возможным. Оно утверждает, что' термодинамическое давление равно механическому.

Поскольку из определяющего соотношения Эйлера (1) следует, что* функция р определена для всех движений, если она известна для однородных движений, общность нашего результата не пострадала от того, что мы рассматривали лишь однородные движения.

Конечно, в течениях общего вида р и 0 суть значения переменных во времени полей, а не функций одного лишь времени. Чтобы перенести на случай полей все термодинамические соотношения § 5, мы сначала должны выразить их через величины, которые могут быть значениями полей. Чтобы сделать это, поделим ' каждую из величин на М — массу тела, совершающего однородное движение. Например,■

К 1ЕНFQ-х

м =, bs —, ns—, ф = —= е —т]6 (XIV. 7-7)

М рМ 1 М ’ т М1''

и т. д. Плотности е, q и ф называются соответственно плотностями внутренней энергии, калории и свободной энергии; и на-

зывается удельным объемом. Соотношения для потенциалов (XIV. 5-9), записанные для случая термодинамического газй в этих величинах, принимают вид

т| — — дб*ф, й = — дУф,(XIV. 7-8)

где -ф = -ф(0, v). Эквивалентные соотношения (XIV. 5-42)112 принимают вид,_

6 —дт)в, й — — дУ8 = й (т], р), (XIV. 7-9)

где 8 = e(v, ц). Если мы введем теплоемкости ху и хе иа единицу массы соотношениями -

(XIV.7-10)

то соотношения (XIV. 5-13)j и (XIV.5-15)1 запишутся так:

■ Xy==6deTi = de8,(XIV. 7-11)

где Т| = Т|(6, и), 8 — 8(6, о) = 8 (и, Т|) и т. д.

/ До тех пор пока мы ограничиваемся однородными движениями газа, эти соотношения представляют собой просто иную запись тех, которые были получены в § 5. Однако, записанные в таком виде, они уже независимы от вида движения. Поэтому, если теория, представленная в § 5, Должна быть совместима с соотношением (1) для всех однородных движений, то должны в общем случае существовать такие поля е, т|, ф и т. д., что справедливы формулы (8)— (11) и т. д. Грубо говоря, классическая газовая динамика, которую можно назвать теорией Эйлера — Адамара, использует полевые аналоги всех соотношений теории однородных процессов в термодинамических газах.'

Чтобы определить температуру движущегося газа, мы обратимся к выражающему баланс энергии дифференциальному уравнению, уже записанному в общем виде под номером (III.6-6). Подставляя в него (5), в силу |7)2 и (II.5-7) получим

’P8 = -p^-+divh + ps.(XIV^7-12)

Ввиду (9) и (6) это уравнение преобразуется к виду

p6T] = divh + ps.(XIV. 7-13)

(XIV.7-|4) •(XIV.7-|4) •Чтобы продвинуться дальше, надо сформулировать определяющее соотношение для h и задать $. Чаще всего, хотя вовсе не всегда, предполагается, что газ не способен проводить тепло $ что нет внутренних источников тепла. Тогда (13) сводится к

(XIV.7-|4) •

(XIV.7-|4) •

.Т)=о

— плотность калории постоянна для каждой точки жидкости. Течения такого рода называются изокалорическими. Если для них распределение плотности калории равномерно в некоторый момент времени, то оно равномерно всегда. Течения, для которых справедливо это более сильное допущение, называются го- мокалорическими. Именно эти течения обычно изучают в аэродинамике чистых газов.

До Адамара чаще всего предполагалось, что газовые потоки гомотер- мичньи 0 = const по пространству. Такие течения, вообще говоря, возможны только, если жидкость проводит тепло. Действительно, в частном случае идеального газа, поскольку е = е(0), мы можем воспользоваться соотношением (11)2 и записать (12) в виде уравнения

(XIV. 7-15)(XIV. 7-15)рх^О = — р div х + div h + ps.

(XIV. 7-15)

(XIV. 7-15)

которое превращается в дифференциальное уравнение для Температуры, если движение известно и если выбрано некоторое определяющее соотношение для h. Примером такого определяющего соотношения может служить закон теплопроводности Фурье

h = xgrad0,(XIV. 7-16)

где х(0) — положительный скаляр, называемый теплопроводностью. Таким образом, для идеального Теплопроводящего газа уравнение (15) принимает вид'■

рхуё = — р div х 4- div (х grad 0) + ps. (XIV. 7-17)

Для гомотермического течения мы получаем из (6) функцию, которая выражает давление как функцию одной только плотности; для гомокалори- ческого течения мы получаем такую функцию Из (9)з. Эти две функции различны. В обоих случаях справедлива теорема Кельвина о циркуляции, по-' скольку она требует лишь существования соотношения, выражающего р и функции от р, вне зависимости от того, каково именно это соотношение.

Аналогично для этих двух случаев теорема Гюгонно (XI. 5-6) определяет скорость звука, причем в каждом случае свою:

^le-const—^ S^l^onst”^-.(XIV. 7-18)

где ш определяется соотношением (9). Выражая в (XIV. 5-25) V через р, мы убеждаемся, что.

■■й.^0"51 ^?.(XIV. 7-19)

° ie=const

Эти результаты чаще всего применяются К идеальному совершенному Газу. Для такого газа в гомотермическом течении Соотношение (XIV. 5-27)" дает

■р = Кр, где К = а9' (XIV. 7-20)

(ср. С упр. X. 3.1), а в случае нзокалорнческих Течений, при условии что теплоемкости постоянны, мы можем применить закон Пуассона (XIV. 5-32):

Р^Кр*.(XIV. 7-21)’

Соответствующие скорости звука можно записать сразу:

Subnet—f. SN^const-Vy.(XIV. 7-22)

Обратимся вновь к линейно-вязким жидкостям, определяющее уравнение которых имеет вид (2). И в этом случае тоже мы можем потребовать, чтобы это уравнение согласовывалось с термодинамикой однородных процессов.

Упражнение XIV. 7.1. Доказать, что для однородных процессов теория линейно-вязких жидкостей сводится к частному случаю теории линейного трения, рассмотренной в § 6.

Из результата этого упражнения следует, что необходимые и достаточные условия согласования определяющих уравнений с теорией однородных процессов бывают двух родов. Во-первых, соотношения (XIV. 6-6) i, 2 при этом эквивалентны соотношениям (6) и (8) или (9). Во-вторых, (XIV. 6-6) 3 при этом принимает вид -

tr[(X(trD)l+2цО)О]>0, VD. (XIV. 7-23)

Упражнение XIV. 7.2 (Стокс, Дюгем). Доказать, что неравенство (23) эквивалентно неравенствам

Ц > О, ЗХ + 2ц > 0. (XIV. 7-24)

4 '

Показать, что X + 2ц ц 0, н как следствие получить, что одно из этих двух дополнительных неравенств, используемых в упр. XI. 5.4, оказывается излишним в силу сформулированных здесь термодинамических условий.

Теория, основанная на определяющем соотношении (2) при дополнительных условиях ц > 0, (24) 2, (6) и (8) или (9), называется теорией вязких жидкостей Стокса — Дюгема.

Если мы еще примем, что определяющее соотношение для теплового потока имеет вид закона Фурье (16) при дополнительном условии х > 0, то возникающая при этом теория носит название теории вязких теплопроводящих жидкостей Стокса — Дюгема — Фурье.

Эта теория демонстрирует ту наибольшую, фактически предельную степень общности, которой, по-ридимому, можно достичь, занимаясь профессией гидродинамика. Те, кто посвятил себя этой профессии, называют все остальные жидкости словами, содержащими приставку «не».

Мы достаточно подробно обсуждали необходимость дополнительных неравенств в линейной теории упругости и теории конечных упругих деформаций.. Не меньше необходимы они и в теории линейно-вязких жидкостей, поскольку без них из теории могло бы вытекать, что вязкость помогает, а не препятствует продолжению состояния движения или что теплопроводность не способствует, а мешает перетоку тепла из более горячих мест в более холодные. В традиционном изложении эти дополнительные неравенства получаются из следующих двух постулатов, первый из которых относится только к вязкости, а вто-

рой — только к теплопроводности: .

tr[(T-pl)D]>0 VD,

.w да(XIV. 7-25)

h-grad 9^ О V grad 9.''

Как уже было показано, первый из них является в случае линейно-вязкой жидкости следствием термодинамики однородных процессов, и мы привели его к виду неравенства Стокса — Дю- гема (23). Второй постулат получить таким сцособом нельзя, поскольку он относится к неоднородным полям температуры. Если принять этот постулат в качестве дополнительного требования, то из (16) видно, что он эквивалентен условию

.х>0,(XIV. 7-26)

а это неравенство всегда предполагается выполненным.

Издавна полагают, что неравенство (26) или, более общим образом, (25) 2 должно быть обосновано в какой-либо термодинамической теории (как это имеет место в соответствующих частных случаях с (25) i). Все эффекты «диссипации», а не только потери механической работы должны описываться достаточно полной термодинамической теорией.

В действительности классические предположения (25), по- видимому, всегда справедливы при тех обстоятельствах, в которых они должны применяться. Никакое явление, которое считается адэкватно описываемым теорией Стокса — Дюгема — Фурье, не дает оснований сомневаться в них. Таким образом, этими неравенствами можно воспользоваться, как это и было действительно сделано четверть века тому назад, чтобы мотивировать некую более общую аксиому необратимости. По этому пути мы пойдем в следующей главе.

* СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(работы общего характера)

Truesdell, Rational thermodynamics. A course of lectures on selected topics, N. Y„ McGraw-Hill, 1969.

Truesdell, The tragicomical history of classical thermodynamics. 1822—1854, Arch.. Hist. Ex. Sci., в печати.

W. A. Day, On the conversion of heat into mechanical work, J. Math. Anal, Appl., 27 (1969), 210—224.

Truesdell, The efficiency of a homogeneous heat engine, J. Math. Phys. Sci. (Madras), в печати.

Глава- XV

ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Энергетика сплошных сред. Термодинамика: внутренняя диссипация .

'и неравенство Клаузиуса — Дюгема

Термодинамику Однородных 'процессов легко объединить с механикой сплошных сред таким образом, чтобы обе они стали частными случаями единой охватывающей их обеих термомеханической' теории. Уравнение баланса энергии по-прежнему имеет вид

E = W-VQ,(1.14-6)

но для сплошных сред Е представляет собой аддитивную функцию множества:.

'E^=^6dM« j pedV,(III.6-1)

*#*xv^.h

где плотность е называется удельной внутренней энергией; скорость подвода тепла Q представляет собой сумму контактного подвода тепла и объемного подвода тепла:

.Q^= / hndA + J psdV; . (XV. 1-1)

Эх (^. П ■ XW)',

здесь векторное поле h — это тепловой поток, скалярное поле s — интенсивность источников тепла (ср. (III. 6-4) и (III.6-2)),. a W — собственная скорость совершения работы — имеет вид №(^) = J wdV,(III. 5-12)

х (^. о Где■■'

w = tr(TD).(III. 5-13)

Общая основа для таких рассмотрений была заложена в § I. 14, а указанные формулы были получены в § III. 5 и III. 6. В § III. 6 было найдено полевое уравнение, локально эквивалентное (1.14-6), в предположении, что выполняется уравнение количества движения, а именно уравнение

рё = w + divh + ps.(III. 6-6)

В этих выражениях имеется в виду некоторый фиксированный момент времени t, хотя он и не указывается явно; начиная с этого момента мы будем указывать время в числе аргументов.

Температура 6 оказывается уже не функцией одного только времени, а зависящим от времени определенным на х(^>0 независимым от системы отсчета скалярным полем, принимающим положительные значения '

е = е(х, /)>о. (XV. 1-2)

Как правило, мы будем это поле считать гладким.

В механике сплошных сред мы обычно предполагаем, что калория Н аддитивна по отношению к соединению отделенных тел'), так что' ,

. н^, t)=^4dM= j p4dK. (XV. 1-3) - . ^ х v»- ^

Скалярное поле т) называется плотностью калории).

Неравенство диссипации (XIV. 2-6) теперь в общем случае не имело бы смысла, поскольку 9 — значение поля, а Й и Q— значения аддитивных функций множеств. Не нужно особой гё- ниальности, чтобы предложить множество возможных способов распространения (XIV. 2-6) на случай сплошных сред; некоторые из этих способов были изучены. В этой книге мы примем в качестве одной-единственной нашей термодинамической аксиомы одно такое обобщение, называемое неравенством Клаузиуса— Дюгема. Чтобы мотивировать эту аксиому, мы сперва рассмотрим два более частных утверждения относительно диссипации, называемые соответственно неравенством Планка и неравенством Фурье. Читателю, который склонен принять неравенство Клаузиуса — Дюгема без всякой мотивировки, следует прямо перейти к следующему параграфу.

Согласно (1) плотность скорости подвода тепла Q на единицу массы равна (divh + ps)/p, а согласно (3) плотность Н на единицу массы равна rj. В принципе можно было бы подумать, что надлежащим обобщением соотношения (XIV. 2-6) на случай сплошных сред является соответствующее неравенство для этих плотностей '

■ • б>0, (XV. 1-4) где 6 — внутренняя диссипация—представляет собой разность между скоростью увеличения местной плотности калории на

*) Поскольку скорость подвода тепла Q, выражаемая теперь соотношением (1), является суммой функции, аддитивной по отношению к соединению тел, и функции, аддитивной по отношению к объединению их границ, то требование, чтобы допускало обобщение и соотношение (XIV. 2-6), означало бы, что допускаются источники калории как на границах, так и внутри тел, и такая более общая калория иногда действительно вводится.

единицу холодности и местной скоростью подвода тепла:

б = 6т] -l(divh + ps),(XV. 1-5)

или, в силу (III. 6-6),■

б=ет]-(ё-у),(xv. 1-6)

так что 6 представляет собой разность между скоростью увеличения плотности калории в расчете на единицу холодности и скоростью роста той части удельной энергии, которая не порождается собственной работой. Утверждение (4) о том, что внутренняя диссипация не может быть отрицательной, представляет собой неравенство Планка.

Материал, для которого во всех движениях 6 = 0, называется совершенным 1). Для совершенного материала уравнение энергетического баланса (III. 6-6) расщепляется на два уравнения. Эти уравнения можно получить, полагая в (5) и (6) 6 = 0, а если оба эти уравнения справедливы, то (III. 6-6) следует из них тривиально. Как мы увидим, некоторые из наиболее распространенных классических теорий относятся к совершенным материалам. Для них неравенство Планка выполняется по определению. Сверх того, в силу (5) приток тепла на единицу массы для совершенного материала составляет 6т).

Читатель, который ознакомился с обсуждением классической газовой динамики в § XIV. 7, увидит, сопоставив (5) с (XIV.7-13), что в теории Эйлера— Адамара 6 = 0 всегда, так что Газ Эйлера — Адамара — это совершенный газ. Как показывает следующее упражнение, линейно-вязкая жидкость не является совершенным материалом.'

Упражнение XV. 1.1. Показать, что в газовой динамике Стокса—Дюгема рб = Л (tr D)2 + 2ц tr D2(XV. 1 -7)

и поэтому неравенства Стокса — Дюгема (XIV. 7-23) эквивалентны требованию, чтобы для всех полей скорости выполнялось неравенство Планка. Показать, что если ц > 0 н ЗА + 2ц > 0, то в любом нежестком движении 5 > 0, а если ц > 0 и ЗА + 2ц = 0, то б обращается в нуль тогда и только тогда, когда движение сводится к чистому расширению.

Результат этого упражнения указывает на путь интерпретации термодинамических неравенств. В теории линейно-вязких

*) В •§ 1.14 был введен термин «механически совершенвый». Применительно к механике сплошной среды механически совершенным был бы материал, для которого w = 0. Поскольку таковы только абсолютно твердые тела и несжимаемые упругие жидкости, понятие «механического совершенства» в механике сплошной среды бесполезно. Материалы, которые мы здесь называем «совершенными», не являются, вообще говоря, «механически совер- шеинымн»..

жидкостей мы могли бы считать, что вязкость X и ц могут быть заданы произвольно или «определены из эксперимента». Тогда неравенство Планка позволило бы подразделить все поля скорости на два класса: те, для которых 6 ^ 0, и те, для которых 6 < 0, причем последние по предположению не допускаются. Специалисты по гидродинамике понимают неравенство Планка в другом смысле: они настаивают на дом, что все поля скорости по предположению возможны вне зависимости от того, наблюдали ли мы их когда-нибудь или можем ли мы их создать или нет, а потому вязкости А и ц должны быть такими, чтобы б ни при каком значении D не становилось отрицательным. Иными словами, в гидродинамике соответствующий частный случай неравенства Планка всегда рассматривается как условие, которому тождественно должно удовлетворять определяющее соотношение, тождественно в том смысле, что определяющее соотношение должно удовлетворять ему для всех процессов, принадлежащих области его определения. В этом отношении современная термодинамика следует традициям классической гидродинамики и развивает их.

Результат упр. XI. 1.1 интерпретируется как моделирующий один из самых обычных, повседневно встречающихся случаев необратимости: чтобы изменить форму некоторой массы жидкости, над ней нужно совершить работу, и эта работа теряется, поскольку наша масса жидкости никогда не возвращается самопроизвольно к своей прежней форме, совершая при этом работу над окружающими телами. Столь же привычную необратимость явлений природы мы наблюдаем и в случае теплопроводности. Уравнение баланса энергии не связывает скорость подвода тепла с температурой, однако в реальной действительности мы наблюдаем, что температура в различных местах со временем стремится более или менее выровняться, если только нет какого-либо источника илц стока энергии. Само по себе тепло всегда перетекает от более горячих мест к более холодным и никогда — в обратном направлении. В этом состоит содержание неравенства Фурье: ■

> - h-grad6>0. (XV. 1-8)

В классической теории теплопроводности это неравенство принимают без каких бы то ни было раздумий.

Неравенство Планка и Фурье относятся к различным явлениям: работе, совершаемой напряжениями при деформировании тела, и потоку тепла, взятого самого по себе. В реальной действительности эти два явления обычно взаимосвязаны, поскольку изменение формы тела обычно приводит к изменению его температуры (хотя иногда лишь к небольшому), а измене-

ние температуры тела обычно изменяет его реакции на деформирование.

. Более чем столетие успешного развития по отдельности теорий. теплопроводности и вязкости, в которых с самого начала исключалась связь между деформацией и нагревом (за исключением того, что допускалась зависимость некоторых характеризующих материал коэффициентов от температуры), не должно нас сбить с толку и побудить рассматривать неравенство Планка или неравенство Фурье как всеобщие. Нет, они образуют лишь краеугольные камни для построения общей теории путем индуктивного обобщения успешно применяемых частных теорий.

Посмотрим теперь, что будет, если выполняются оба эти знакомые нам неравенства. Мы можем их сложить при условии, что они записаны в одинаковых единицах. Внутренняя диссипация 6 имеет размерность скорости изменения во времени энергии единицы массы, и мы будем записывать неравенство Фурье в величинах той же размерности, в частности не зависящих от единицы измерения температуры. С помощью (2) мы можем тогда записать неравенства Планка (4) и Фурье (8) в виде

рд>0, aOh • grades О, (XV. 1-9) где а —безразмерная постоянная, а выражения в левых частях имеют теперь обе одинаковые размерности.

Складывая эти два неравенства, получим

. ' p6 + aOh-grad0>O. (XV. 1-10)..

Это неравенство является 'следствием пары неравенств Планка и Фурье, однако эти неравенства из него не следуют. Тем не менее большинство доводов (если не все), которые дает опыт в подтверждение этих неравенств, на самом деле свидетельствуют и в пользу (Ю), поскольку из этого неравенства следует, что 6^0, если h-grad0 = O, и h-grad9^0, если 6 = 0. В классических теориях теплопроводности и вязких жидкостей рассматриваются (в основном) эти два частных случая, так что их прагматические достижения с равным успехом можно рассматривать как довод в пользу одного лишь более слабого неравенства (Ю), а не двух отдельных неравенств 6^0 и h-grad 0^0.

Упражнение XV. 1.2. Показать, что в теорий лниейно-вязких теплопрово-, дящих жидкостей Стокса—Дюгема — Фурье неравенство (16) эквивалентнц неравенствам (4) и (8).

Теперь мы посмотрим, какие следствия вытекают из нера-^ венства (10). Из (9) и определения (5) величины 6 следует тождество

(рб + Oh • grad 0) = pf| — djv (Oh) — Ops. (XV. 1-11)

Проинтегрируем это соотношение по конфигурации х(^>0 и получим, используя соотношение (II. 6-8) и теорему о дивергенции, интегральное тождество

Н^,^- J eh-ndA- J »psdV =

Ox (S'.0 x (Л й

= | У(рб + УЬ. grad6)dV. (XV. 1.12) х^.Й

Если неравенство (10) справедливо для всех положительных а, то оно, в частности, справедливо при а= 1, и'мы получаем из (12) неравенство Клаузиуса — Люгема

Н^,^> j ah-ndA+ j »psdV. (XV.1-13) ax t^. <) x (S', О

Обратно, если это интегральное неравенство справедливо для всех гладких-движений, всех гладких полей Oh и Ops и всех частей 5s, то оно эквивалентно каждому из (и, следовательно, совокупности) следующих двух неравенств, справедливых в каждой точке поля:

— рбд ^ h • grad 6,

. . ч л (XV. 1-14) pf] ^ div (6h) + Ops. v

Конечно, эти неравенства эквивалентны друг другу. Таким образом, неравенство Клаузиуса — Дюгема в общем случае является менее ограничительным, чем неравенства Планка и Фурье, вместе взятые, поскольку из него следует (10) только для одного значения а, а именно а= 1. Не исключено, что при некоторых частных определяющих соотношениях неравенство (10) может следовать из неравенства Клаузиуса — Дюгема для всех положительных а; в этом случае неравенство Клаузиуса — Дюгема (14) дает не больше и не меньше информации, чем два отдельных классических неравенства (4) и (8), как мы уже видели на примере в упр. (XV. 1.2).

Упражнение XV. 1.3. Проверить, что если поле температуры сводится к фуикцнн одного только времени, то все уравнения этого параграфа сводятся к нх аналогам в теории однородных процессов (гл. XIV) и, в частности, (14) сводится к неравенству Клаузиуса (XIV. 2-6).

Неравенство Клаузиуса — Дюгема — это единственная Термодинамическая аксиома1), которую мы будем использовать в этой книге. В следующем параграфе мы начнем рассмотрение ее следствий.

■) Предлагались н более общие аксиомы и системы представлений. Например, можно ввести две холодности Ус и Ув, по одной для каждой

Согласованный детерминизм в термомеханикесплошной среды. Простые термомеханические материалы

Итак, в качестве термодинамической аксиомы в этой книге принято неравенство Клаузиуса — Дюгема

■H^.f» J »h ndA+ J »psdK. (XV. 1-14)

.ах (<Р, ОX (<Р. о

Эта аксиома утверждает, что плотности hn и ps скорости подвода тепла после умножения на холодность & превращаются в соответствующие плотности для нижней границы скорости прироста плотности калории. Конечно, мы сохраняем и все аксиомы механики сплошной среды, сформулированные и проанализированные в гл. III. Мы будем называть эту систему объединения механики и термодинамики термомеханикой, а основанные на ней теории — термомеханическими.

Неравенство Клаузиуса — Дюгема мы будем использовать только в формах, из которых скорость объемного подвода тепла s исключена при помощи уравнения энергетического баланса. Одна из таких форм — соотношение (XV. 1-15) ь Чтобы получить другую такую форму из (XV. 1-15)2, удобно ввести плотность свободной энергии ф:

ф = е-п0.(XIV. 7-7)

С учетом (III. 6-6) легко видеть, что

9 div (Oh) + p(s — 64) — р (ф + т)9) — да — till • grad 9. (XV. 2-1)

Таким образом, из (XV. 1-15)2 мы получаем следующее приведенное неравенство диссипации-.

. р (ф + т]9) — да — ^h • grad 9 < 0. (XV. 2-2)

Мы можем представить это неравенство более компактно, введя надлежащую векторную запись, определенную по отношению к отсчетной конфигурации х. А именно будем рассматривать каждую пару значений Fo и 90 функций F и 9 как элемент десятимерного векторного пространства:

"a = (F0, 90),•(XV. 2-3)

плотности, как предлагали Гуртин и Вильямс (М. Е. Gurtin & W. О. Williams, Ап axiomatic foundation for continuum thermodynamics, Arch. Rational Meeh. Anal., 26 (1967), 83—117). Еще большая общность достигается, если в интеграле (13) плотность Oh-n заменить на ф-n, где ф— новая «определяющая» завненмая переменная, не обязательно пропорциональная У нли h, как было предложено Мюллером (1. Miiller, On the entropy inequality, Arch. Rational Meeh. Anal., 26 (1967), 118—141). Оба эти обобщения существенны в некоторых областях, но в этой книге они не нужны.

и будем использовать символ X для обозначения функции времени, значения которой суть такие векторы:

X = (F, 9), X(f0) = a. ' (XV. 2-4)

(XV. 2-5)(XV. 2-5)Аналогичным образом положим

(XV. 2-5)

(XV. 2-5)

*-(Т„/р.. -Ч).

Будем обозначать точкой и скалярное произведение в этом десятимерном векторном пространстве. Из (Ш.5-13) и (VII. 2-5) легко следует, что

' т)9 — -^w= — т • X. * (XV. 2-6)

Таким образом, мы можем записать приведенное неравенство диссипации (3) в более компактном виде

л — т-Х — а-ц^О,л — т-Х — а-ц^О,(XV. 2-7)(XV. 2-7)

л — т-Х — а-ц^О,

л — т-Х — а-ц^О,

(XV. 2-7)

(XV. 2-7)

где л = ф, т и X определены соотношениями (5) и (4)ь а о и ц — любые трехмерные векторные функции, такие, что о • ц = = (p9)-1h • grad 9. Однако этим не исчерпываются возможности выбора величин л, т, X, о и ц, для которых справедливо соотношение (7). Три особенно полезных набора значений приведены в следующей таблице:

Л

к

т

а

1.

■ф

(F. 6)

у Grad е

/ 1 т)

— hx Р»

2.

8

(F. П)

у Grad в

Рх

3.

-п

(F, в)

■1 Grade

Т ^р.е1*’ е/

В этой таблипе Grad 9 обозначает градиент температуры по отношению к отсчетной конфигурации:

Grad 9 = FT grad 9,(XV. 2-8)

а h» соотносится с h примерно таким же образом, как тензор напряжений Пиолы Т» с тензором напряжений Коши Т, а именно •hx = ZF’’h.(XV. 2-9)

Упражнение XV. 2.1. Проверить, что при любом из этих трех способов выбора переменных (3)^(7).

Упражнение XV. 2.2. Показать, что соотношение (XV. 1-5) эквивалентно соотношению . ' *

6^ = J-Divhx + s + 6. . (XV. 2-10)

Мы будем называть наборы значений л, X и т. д., указанные в строках 1, 2, 3 таблицы, соответственно первым, вторым и третьим стандартными способами интерпретации приведенного неравенства диссипации в механике сплошной среды. Они не являются единственно полезными способами интерпретации. В некоторых теориях трехмерных континуумов с внутренней структурой, а также в теориях стержней и оболочек выполняется приведенное неравенство диссипации в форме (7), но векторные пространства, в которых лежат значения X и ц, имеют размерности, отличные от 10 и 3. Более простым примером служит теория «уравнений состояния» § XIV. 5; подробнее об этом примере говорится в приведенном ниже упражнении.

Упржнение XV. 2.3. Показать, что если W имеет вид (XIV. 5-2), где йо — произвольные функции времени, а не просто функции от одного X, то неравенство (XIV. 2-8) принимает вид (7) при четырех различных способах интерпретации л и'Х и т. д. Отсюда для тел, подчиняющихся: «уравнениям состояния», получить (XIV. 5-42) без использования функциональных преобразований. .

В дальнейшем при нашем изучении термомеханики мы будем опираться на абстрактное неравенство (7). Дадим следующие наименования его членам. Прежде всего назовем ситуацией упорядоченную пару векторов (а, Ь) из двух конечномерных векторных пространств. Их размерности нигде не участвуют в рассуждениях, и читатель не будет сбит с толку тем, что мы будем использовать одну и ту же точку для обозначения двух различных скалярных произведений — одного в пространстве векторов а и другого в пространстве векторов Ь. Процессом будем называть упорядоченную пару X, ц функций времени, значения которых представляют собой ситуации: Х(/) = а, Д(/) = Ь. Мы будем описывать соотношение между ними, говоря,- что процесс (X, ц) находится в ситуации (а, Ь) в момент I. Чтобы облегчить описание, мы будем иногда называть b термическим градиентом, сохраняя термин «температурный градиент», Как и прежде, за grad 0. Различная роль функций X и ц ясна из вида левой части соотношения (7), которая является линейной по X и ц. Мы будем называть т термомеханическим натяжением, а о, несколько вольно, тепловым потоком. Наконец, скаляр л мы будем называть накоплением.

Положив

(XV. 2-11)(XV. 2-11)д = т • X — л,

(XV. 2-11)

(XV. 2-11)

мы можем интерпретировать б как внутреннюю диссипацию в обобщенном смысле и записать приведенное неравенство диссипации (7) в эквивалентной форме

op>-d. (XV. 2-12)

Из (11) видно, что б может иметь различные значения при различных интерпретациях переменных. При первом и втором стандартных способах интерпретации б в точности равно внутренней диссипации, выражаемой соотношениями (XV. 1-5) и (XV. 1-6). При третьем стандартном способе интерпретации оно> равно той же величине, поделённой на 6. При других способах интерпретации оно будет иметь другие значения.

Теперь мы можем описать общую теорию термомеханических материалов, которая включала бы и чисто механическую теорию § IV. 2, и термодинамическую теорию однородных процессов, представленную в § XV. 2. Поскольку изложение для общего случая весьма громоздко, мы удовлетворимся здесь рассмотрением частного случая простых термомеханических материалов. Овладев этим частным случаем, читатель при желании сам легко произведет все обобщения.

Принцип термодинамически согласованного детерминизма. Накопление л, термо механическое натяжение т и тепловой поток в определяются предысторией ситуации:

T^ = %(k‘,A (XV. 2-13) 0(0 = ®^,^),

причем на определяющие отображения ф, $ и ® налагается, требование, чтобы они удовлетворяли приведенному неравенству диссипации (7) для каждой предыстории (к1, ц'), принадлежащей их общей области определения, при условии, что существует производная k(t).

Мы будем называть ^Д и ® реакциями определяемого ими материала. Очевидным образом обобщая чисто механическую теорию, изложенную в § IV. 3, мы будем называть термомеханические материалы такого рода простыми. Подразумевается,, что в обе части соотношений (13) входит переменная X, но мы не пишем ее здесь, поскольку все наше последующее рассмотрение будет относиться к отдельной материальной точке. Предварительное условие, чтобы к было дифференцируемым в рассматриваемый момент t, не ограничивает области определения реакций лищь дифференцируемыми Предысториями,, а. просто

отражает тот факт, что само неравенство (7) не имеет смысла, если Х(0 не существует.•

Из (13) и (11) следует, что и внутренняя диссипация 6 определяется предысторией ситуации:

Ц0 = ^к\ А(XV. 2-14)

где■

©(V, р^Ж^, ^.к^--^^^*, ^ (XV. 2-15)

Принцип термодинамически согласованного детерминизма имеет двоякое значение. Во-первых, он выделяет возможный класс (13) определяющих соотношений. Этот класс охватывает как частные случаи и чисто механические соотношения § IV. 3, и чисто термодинамические соотношения § XV. 2. Во-вторых, этот принцип требует, чтобы три реакции ^, Ж и ® были такими, чтобы тождественно удовлетворялось приведенное неравенство диссипации. Как в этом втором аспекте, так и в первом, наш принцип является обобщением более частного принципа, сформулированного в § XIV. 2 для однородных процессов. Его общность также более чем достаточна для.того, чтобы охватить классическую теорию термоупругости и газовую динамику Стокса — Дюгема — Фурье, рассмотренную нами в § XIV. 7.

Принцип термодинамически согласованного детерминизма налагает на материал ограничение, чтобы для всех процессов, для которых выполняется соотношение энергетического баланса, выполнялось и неравенство Клаузиуса — Дюгема. Само уравнение баланса энергии не налагает никаких ограничений на материалы или процессы, поскольку если над телом из данного материала должен производиться данный процесс, то из (III.6-6) определяется единственным образом та величина подвода энергии s, которая необходима (и достаточна), чтобы имел место баланс энергии. Если, как это обычно предполагается в приложениях, и определяющие соотношения материала, и подвод тепла s известны, то уравнение (III. 6-6), конечно, превращается в ограничение на процессы, которые могут происходить. Иными словами, выбор определенного материала и определенной величины подвода тепла приводит, как и следует ожидать, к- тому, что приходится ограничивать внимание процессами весьма частного вида.'.

Хорошими иллюстрациями ко всем’ сделанным замечаниям служат теория теплопроводности Фурье и классическая гидродинамика вязкой жидкости (§ XIV. 7). Рациональная термодинамика идет — применительно к общим классам материалов — по пути, давно известному для этих двух частных случаев.

Упражнение XV. 2.4. Используя соответствующие наборы л, X, р, t и <7, проверить утверждения предыдущих параграфов.

Выше были введены термины «первый, второй и третий стандартные способы интерпретации» в связи с величинами л, X, ц, г и а. Мы распространяем их очевидным образом на определяющие соотношения (13).

Отправляясь от соотношений (13) при какой-либо специальной интерпретации переменных, мы можем построить общую теорию материалов, двигаясь по пути, уже проложенному для случая чистой механики в предшествующих главах этой книги, включая определения единообразности, однородности, материальной симметричности, а также определения специальных классов материалов. Затем можно найти приведенные определяющие функционалы, удовлетворяющие различным возникающим требованиям. Конечно, анализ при этом оказывается более сложным, чем в случае чисто механической теории. Например, каждая из трех реакций $, $ и ® имеет свою собственную группу равноправности, и группа равноправности материалов определяется как наибольшая общая подгруппа этих трех групп. Кроме того, a priori сам класс преобразований, фигурирующий в определении группы равноправности, зависит от физической интерпретации векторов X и р и в общем случае не представляет собой просто группу унимодулярных_ преобразований трансляционного пространства <8. В этой книге мы не будем углубляться в эти подробности. Вместо этого мы тщательно рассмотрим термодинамический аспект проблемы, а именно ограничения, налагаемые неравенством Клаузиуса — Дюгема на реакции ^, Ж, ®. Прежде чем рассмотреть этот вопрос в общем виде, мы рассмотрим до конца хотя и главный и центральный, но особенно простой случай — случай термоупругих материалов.

Читатель заметил, что аргументы всех трех определяющих функционалов в (13) одинаковы, а именно V и ц/. Достигаемая при этом общность может оказаться излишней, как показывает частный случай, рассмотренный в упр. XIV.-6.2. Там показано, что условие согласования с неравенством Клаузиуса — Дюгема приводит соотношение (XIV. 5-42) к менее симметричной форме, в которой члены, пропорциональные Т, исчезают из определяющих функций для F и Н, хотя и сохраняются в выражении для W. Как мы убедимся в последующих параграфах, этот пример является типичным.

Правило равноприсутствия устанавливает, что, выбирая для изучения некоторый допустимый класс определяющих соотношений, теоретик должен выбирать для всех этих соотношений одни и те же независимые переменные.

И (13) и (XIV. 5-42) удовлетворяют этому правилу.

Правило равноприсутствия представляет собой не физический закон, а максиму, которой должен руководствоваться теоретик. В каждом частном случае ему легко следовать, н на этом его роль для данного случая кончается. Это правило предостерегает теоретика, что ради сохранения физического смысла ему не следует принимать в качестве предположения то, что может

быть доказано, ну а то, что недоказуемо, не должно и предполагаться. Например, если теоретику нужно построить модель теплопроводности в деформированном теле, он не должен делать произвольное допущение, что напряжения могут быть определены по одним лишь градиенту деформации и температуре. Поскольку он знает, что на тепловой поток влияет градиент температуры, он должен с самого начала допустить возможность его влияния и напряжения. В простейших теориях, как мы увидим в следующем параграфе, этот частный случай взаимовлияния оказывается невозможным. Часть задачи теоретика и состоит в том, чтобы построить доказательство этого, а не скользить по поверхности проблемы, без необходимости принимая в качестве аксиомы то, что в действительности является теоремой. Фактически простой пример того, как действует этот принцип, мы уже привели в упр. XIV. 6.2, где было показано, что класс определяющих соотношений (XIV. 5-42) не уже и не шире, чем класс, - задаваемый калорическими уравнениями состояния. Однако ни этот пример, ни пример из следующего параграфа ие являются вполне типичными,. поскольку некоторые из мырлимых взаимосвязей могут оказаться невозможными по соображеияям, связанным с материальной симметрией. Пример такого рода встретится нам в § 4. ■

В теориях, в которых отображения $, $ и ® не вырождаются в простые функции от Х(1) н |*(0> эффекты типа упомянутых сейчас ие отделяются друг от друга. Это обстоятельство будет проиллюстрировано в § 5 и 6. Таким образом, знакомое по классическим примерам расщепление эффектов может оказаться лишь приближенным, и, скажем, достаточно тонкие эксперименты на материалах с памятью могли бы обнаружить напряжения, возникающие вследствие наличия температурного градиента. И это не дикая выдумка, а трезвое следование физической теории, поскольку уже более столетия известно, что такие напряжения следуют из кинетической теории разреженных газов Максвелла. ■

Правило равноприсутствия неоднократно доказывало свою ценность при исследовании новых классов определяющих соотношений; однако оно не нужно при анализе теорий, которые ему уже удоилетворяют. Поэтому оно иам не понадобится в этой книге, посвященной уже разработанным и следующим этому правилу теориям.

Прежде чем исследовать общие следствия принципа термодинамически согласованного детерминизма, мы изучим частный случай, в котором отображения ф, $ и ®, входящие в (13), представляют Собой просто функции текущей ситуации. Как мы сейчас убедимся, эта теория, называемая теорией термоупругости, весьма проста. . . ■

Термоупругость.

Будем называть материал термоупругим, если отображения $, $ и ® в (XV. 2-13) сводятся к функциям от текущих значений X и р:

л = р(Х, р),

r = t(X, р),(XV.3-1)

'"о = 8 (X, р)..

Такое наименование объясняется тем обстоятельством, что при трех стандартных способах интерпретации, определенных таблицей из предыдущего параграфа, в случае, когда температура постоянна во времени и пространстве, второе соотношение (1) сводится к определяющему соотношению (VII. 2-7) упругого материала, а если выбрать и поддерживать постоянной некоторую деформацию (например, жесткую), то третье соотношение принимает вид классического соотношения теории теплопроводности. Классическая теория «уравнений состояния», изложенная в § XIV. 5, также представляет собой некоторый частный случай, а именно случай, когда векторы рис совсем отсутствуют и внутренняя диссипация исключается с самого начала. Термоуйругий материал и сам является весьма специальным, поскольку он не проявляет эффектов памяти. В классе термомеханических материалов он занимает положение, во многом сходное с положением, занимаемым упругим материалом в классе простых материалов в рамках чисто механической теории. -

Впервые термоупругий материал был проанализирован на основе неравенства Клаузиуса —Дюгема в мемуаре Колемана и Нолла, открывшем термомеханику, как она понимается и излагается в этой книге. Некоторые шаги в этом направлении были впервые сделаны Грином и Адкинсом. Анализ, который мы дадим", как по внутреннему содержанию результатов, так И по методу эквивалентен анализу Колемана и Нолла, развитому в последовавшей, сразу же работе Колемана и Мизела, хотя наше изложение является более компактным, а возможные приложения шире.

Подставим (1) в приведенное неравенство диссипации (XV. 2-7). Предполагая функцию to дифференцируемой и используя правило дифференцирования сложной функции, получим ' .

' (^).-Д + (^-'<)-Х-в-ц<0. (XV.3-2)

Этому неравенству должны удовлетворять все допустимые процессы (X, ц). Напомним, что общая область определения функций to, 1и в представляет собой некоторое множество ситуаций; будем предполагать это множество открытым и связным.

Рассмотрим некоторую ситуацию (а, Ь) и заметим, что, поскольку любая соседняя ситуация также лежит внутри нашей области определения, любой процесс, начинающийся в ситуации (а, Ь) и соединяющий ее с некоторой достаточно близкой ситуацией, является допустимым. К числу таких процессов принадлежит И локальное линейное продолжение (Хр рт) любого

процесса, находящегося в момент /о в ситуации (а, Ь), а именно

Xi (0^{Xi (0^{а+^-МЬН (О,Ь + (# — М mа+^-МЬН (О,Ь + (# — М m— ОО < / < /0, /о ^ t < t^ + к, — оо<К1й, ta^t <. tQ-^ к— ОО < / < /0, /о ^ t < t^ + к, — оо<К1й, ta^t <. tQ-^ к(XV. 3-3)(XV. 3-3)

Xi (0^{

Xi (0^{

а+^-МЬ

Н (О,

Ь + (# — М m

а+^-МЬ

Н (О,

Ь + (# — М m

— ОО < / < /0, /о ^ t < t^ + к, — оо<К1й, ta^t <. tQ-^ к

— ОО < / < /0, /о ^ t < t^ + к, — оо<К1й, ta^t <. tQ-^ к

(XV. 3-3)

(XV. 3-3)

для некоторого положительного к. Векторы 1 и m произвольны. Постоянная к может зависеть от 1 и ш. Для достаточно малых к процесс (3) проходит только через ситуации, лежащие в области определения функций р, t и 6.

Найдем теперь необходимые условия, которым должны удовлетворять функции р, t и 5, рассматривая неравенство (2) для одних лишь линейных процессов. Пусть (а,Ъ)—какая-либо ситуация, в которой некоторый процесс находится при t = to. Зафиксируем эту ситуацию в последующих рассуждениях и рассмотрим процесс (3) для несколько больших значений t. Тогда (2) принимает вид ,

М • m -^ (&р -1) • 1 -ё • (Ь + (/-/0)т)<О, (XV. 3-4) где коэффициенты 5ир, dxp —t и 4 —функции только от ситуации, вычисляемые для ситуации (а + (/— МО, (Ы-(^ —Мт).

Сделаем теперь следующее допущение: функции 5,.t, д^ и дхр непрерывны (напомним, что область определения этих функций — открытое связное множество).

В силу этого предположения мы можем устремить t к t0. В результате получим из (4)

. (дцрЬт-Ндхр-^М-З.-Ь^О, (XV. 3-5)

где коэффициенты при m, 1 и Ь, поскольку это непрерывные функции, вычисляются для ситуации (а, Ь).'

Положим 1 = 0. Тогда (5) требует, чтобы постоянный вектор дцр был таким, что его скалярное произведение с любым вектором m ограничено. Следовательно, ■

d„p = O.. (XV. 3-6)

Подставляя это в (5), получим таким же рассуждением, что ^p-i = 0,(XV. 3-7)

а подставив это в (5), получим ■

«•b>0.(XV. 3-8)

Во всех этих рассуждениях функции d^p, dxP, i и в вычисляются для произвольной ситуации (а, Ь). Следорательно, эти

результаты справедливы для всех ситуаций. Обратно, выполнения трех условий (6) — (8) тривиальным образом достаточно для того, чтобы приведенное неравенство диссипации выполнялось для всех дифференцируемых процессов.

Дадим теперь интерпретацию полученных результатов. Прежде всего соотношение (6) устанавливает, что V независимо от р.

л = р(Ч(XV. 3-9)

Далее, соотношение (7) показывает, что t представляет собой градиент функции V и потому также не зависит от р:

т = *(Х), t = dK^.(XV. 3-10)

Это—теорема о термодинамическом потенциале теории термоупругости. Подстановка этих результатов в (XV. 2-11) дает

6 = 0(XV. 3-11)

в теории термоупругости внутренняя диссипация равна нулю. Наконец, в силу (8) или (XV. 2-13)

3-р>0(XV. 3-12)

ни для какой ситуации (X, р) тепловой поток 3(Х, р) не может образовать тупой угол с вектором р.

С учетом определяющего соотношения (1)3 неравенство (12) показывает, что скалярная функция от р, значение которой при фиксированном X равно 3 (X, р) • р, имеет минимум при р = 0. Следовательно, если мы допустим, что функция 3 дифференцируема по р при р = 0, то градиент функции 3 (X • р) • р при р = 0 будет обращаться в нуль.

Упражнение XV. 3.1 (Пипкин & Ривлин). Показать, что

ё(К, 0)=0.(XV. 3-13)

Это следствие из теоремы о потенциале устанавливает, что если термический градиент обращается в нуль, то и тепловой поток обращается в нуль. Это иногда называют «отсутствием пьезокалорического эффекта». Кроме того, поскольку при р = 0 выражение 3(Х, р) • р имеет минимум, градиент 3 по р должен быть здесь положительно полуопределенным. Это означает, что если мы следующим образом введем тензор хо, называемый тензором равновесной проводимости;

*о^<Ш р)^,(XV. 3-14)

то по доказанному тензор равновесной проводимости положительно полуопределен.

Чтобы понять смысл этих результатов, выразим их применительно к трем случаям, указанным в таблице из предыдущего параграфа. Результат (11) имеет одинаковый вид для всех трех случаев; он устанавливает, что термоупругий материал является совершенным. И соотношение (13) имеет одинаковую интерпретацию для-всех трех случаев: в теории термоупругости справедливо неравенство Фурье. Мы можем выразить это неравенство и с помощью более известной формы определяющего соотношения: '.

h = ^(F, 0, grade).(XV.3-15)

Определим соответствующий тензор равновесной проводимости следующим образом:’

Ко = dgrade 5 (F, 0, grad 0) Igrad 9=0. (XV. 3-16)

Из (12), (13) и из замечаний, следующих за этими соотношениями, вытекает, что

■^(F, 0, grad0) < grad 0^0 Vgrade,

^(F, 0, 0) = 0,(XV. 3-17)

тензор Ко положительно полуопределен.

В том виде, в каком записаны соотношения (15) — (17), мы рассматриваем 0 как независимую скалярную переменную, Однако результаты имели бы тот же самый вид, если бы в качестве такой переменной вместо 0 мы выбрали р или в.

Реальные различия возникают при применении трех стандартных способов интерпретации к соотношениям (9) и (10); соответствующие результаты представлены ниже:

ф = Г(F, 0),Тх = Pj,dFf (F, 0),т) = —def(F, 0),(XV.3-18)

в = е (F,_ г]),Тж = pxdFe (F, т]),0=d^t (F, г]),(XV. 3-19)

n = ^ (F, е),Тк = - Рх0 dF5 (F,8),1 = д$ (F, 8).(XV. 3-20)

При интерпретации этих результатов следует помнить, что они получаются с несколько различных исходных позиций. Чтобы получить строчку 1, мы допускаем, что ф, Тх и г]— значения непрерывных функций от F и 0 и что первая из этих функций непрерывно дифференцируема. Чтобы получить вторую строчку, мы делаем аналогичные предположения в отношении F и т), а при получении строчки 3 — относительно F и е. В том виде, в каком эти предположения сформулированы, они не являются эквивалентными, но для достаточно гладких функций их можно согласовать между собой.

Упражнение XV. 3.2. Сформулировать предположения относительно глад- костн, достаточные для того, чтобы результаты, полученные при трех стан-- дартных методах интерпретации, были эквнваленгными. Заметим, что в силу (XV. 1-2) соотношения (19)з н (20)з разрешимы относительно т) и е соответственно.

Упражнение XV. 3.3. Вспоминая, что для совершенного материала рбт) представляет собой объемную плотность скорости подвода тепла, дать определения теплоемкостей и скрытых теплот в расчете на единицу массы Кр И Lp для гермоупругого материала и доказать, что '

Kp=-ew(F, 6),

£F=-6dFd9f(F,6)T = -Adet(F,6)T. (XV. 3-21)

В классической линейной теории термоупругости ограничивают свое внимание малыми градиентами температуры и малыми отклонениями от данной ситуации (Fo, 0о) - Соответствующее определяющее соотношение для напряжений Можно получить, линеаризуя (18)г по F—1. В результате, конечно, получается в точности закон Коши (IX. 2-4), с тем лишь отличием,, что линейный тензор упругости Lx зависит от 0о как от параметра. Если мы допустим, что D— непрерывная функция от F и 0 в (Fo, 0о), и положим

.^lF-Fo| + ie-0o| + lgrad0|, (XV.3-22)

то в соответствии с (17) получим'

h = Ко (Fq> ©о) grad 0 + о (£) при ^->0. (XV. 3-23) В классической линейной теории термоупругости аксиоматически принимаются определяющие соотношения (IX. 2-4) с зависящим от температуры' тензором Lx, а также (23) без поправочного члена. Таким образом, определяющие соотношения классической линейной теории термоупругости служат приближением первого порядка для развитой только что общей теории термоупругости. В этом приближении напряжения возникают Только вследствие Деформации, а тепловой Поток — вследствие градиента температуры. Такое классическое разделение эффектов является лишь приближенным: оно появляется потому, что мы ограничились малыми изменениями F, 0 и grad 0.

Проведенный анализ служит примером плодотворности правила равноприсутствия, на котором основана вся теория термоупругости в том виде, в каком она здесь развита.

Сравнивая соотношения (18) 2 и (19)2 с определяющим соотношением (XI. 7-4) гиперупругого материала, мы убеждаемся в их поразительном сходстве. Если температура 0 сохраняет постоянное Во времени значение для каждой точки X термоупругого материала, то процесс (F, 0) называется изотермиче-

ским. Для такого процесса (18)2 сводится к частному случаю соотношения (XI. 7-4). Подобным же образом, если плотность калории постоянна во времени для каждой точки термоупругого материала, то процесс (F, т]) называется изокалорическим. В этом случае соотношение (19)2 превращается в частный случай соотношения (XI.7-4). Таким образом, мы доказали следующую классическую теорему о потенциале, принадлежащую по существу (и по частям) Грину, Кирхгофу, Кельвину и Фойгту:

В изотермическом процессе напряжения в термоупругом материале таковы же, как в гиперупругом материале, для которого

a = f(F, 0(Х)), (XV. 3-24)

а в изокалорическом процессе — таковы же, как в гиперупругом материале, но таком, для которого

o = e(F, n(X)). (XV. 3-25)

■Те, кого запутала нечеткость и неупорядоченность представлений традиционной термодинамики — т. е. фактически почти все, — иногда неправильно понимают эту теорему, считая, что она дает «термодинамическое доказательство существования функции запасенной энергии», т. е. того, что все упругие материалы являются гиперупругими. Ничего подобного. Во-первых, существование функции запасенной энергии представляет собой чисто механическое условие, относящееся ко всем полям деформации, а не только к тем, которые соответствуют определенным температурным и калорическим условиям. Во- вторых, чтобы вывести (24) и (25), нам пришлось принять допущения термодинамического характера, а теория упругости представляет собой чисто механическую теорию, в которой температура или плотность калории даже и не упоминаются; a fortiori с помощью термодинамики мы не можем ничего доказать относительно теории' упругости. В-третьих, функции, о которых доказано, что они ведут себя как запасенная энергия, являются различными в различных процессах для одного и того же термоупругого материала, тогда как функция запасенной энергии гиперупругого материала определена однозначно с точностью до аддитивной постоянной. Таким образом, эта теорема ставит в соответствие данному термоупругому материалу не один гиперупругий материал, а бесконечное множество. В-четвертых, и это наиболее важно, нет никаких причин предполагать, что деформация общего вида будет изотермической, либо изокалорической, так что, если бы эта классическая теория и была применима к теории упругости, мы не знали бы в общем случае, когда ее можно применять.

Мы можем заметить также, что, даже если термоупругий материал однороден, соответствующие гиперупругие материалы неоднородны, за исключением тех случаев, когда 6(Х) или Г|(Х) сводятся к функциям, постоянным на w^SSY Процессы такого рода называются соответственно гомотермическими и гомокалорическими.

Мы трижды называли эту теорему «классической». Однако способ, каким она сформулирована и доказана, связан с весьма недавними представлениями термомеханики материалов. Различие состоит в следующем: мы доказали, что ^ермоупругий материал является совершенным, а традиционное рассмотрение гиперупругости или термоупругости начинается с предположе-

ния о том, что дело обстоит таким образом. Мы доказали также, что ф и Т независимы от grade, а в традиционном подходе и эта независимость предполагается. Детали станут яснее, если проработать следующее упражнение.

- Упражнение XV. 3.4. Определив термоупругнй материал при помощи следующих двух условий: «энергетического уравнения» 6 = 0 и определяющих соотношении вида

ф=|(Р, 6), Tx = i(F, 6), (XV. 3-26) доказать, что при изотермических деформациях термоупругнй материал гиперупруг и а = f, Доказать, что если вместо (26) мы предположим, что

е = е (F, n). Тх = t (F, ц), (XV. 3-27) то при изокалорических деформациях также термоупругий материал гиперупруг и а = е.

Заметим, что «определяющие» соотношения (26) и (27) равносильны между собой лишь при некоторых дополнительных предположениях. Поэтому классический способ рассуждений, намеченный в предыдущем упражнении, недостаточен сам по себе, чтобы получить свойства отдельного термоупругого материала. В прежних работах обычно принимали дополнительное предположение 6 = д^, заявляя при этом, что оно «доказывается в термодинамике». Конечно, при таком предположении наряду с соотношением ф = е —1)6 наши два соотношения равносильны между собой.

Упражнение XV. 3.5 (Трусделл & Нолл). Определим термоупругий материал определяющими соотношениями вида (26), дополненными предположением, что h =5(F, 6, grad 6). Показать, что' при этом неравенства Планка и Фурье удовлетворяются тогда и только тогда, когда выполняется неравенство Клаузиуса — Дюгема, и что неравенство Планка сводится к 6 = 0.

Предположения, делаемые в этих двух упражнениях, являются менее общими, чем те, которые делались в этом параграфе раньше, в следующем отношении: предполагается, что grad 9 не оказывает влияния на значения Тх, ф и ц при условии, что F и 0 известны. Если мы предпочитаем разделить эти эффекты с самого начала, то неравенство Клаузиуса — Дюгема становится эквивалентным неравенствам Фурье и Планка, причем последнее берется в ограничительной форме, 6=0, т. е. в форме констатации того факта, что материал является совершенным. Как и другие примеры, приведенные в этой книге ранее, этот пример показывает, что, ограничиваясь рассмотрением достаточно узкого класса определяющих соотношений, можно выводить друг из друга принципы, которые в общем случае независимы.

Существует один частный вид термоупругих материалов, являющихся г-иперупругими при любых деформациях; это пьезотропные материалы.

В таких материалах напряжения определяются только деформациями, а температура — только плотностью калории, так

что если взаимодействие между деформационными и тепловыми эффектами и имеется, то оно связано лишь с. влиянием граничных условий на решение уравнения энергетического баланса. Пьезотропные материалы, вырожденные в термодинамическом отношении, были популярны у специалистов по гидродинамике первой половины нашего века; некоторые из псевдотермодина- мических рассуждений, которые даже и сейчас бытуют в литературе, посвященной приложениям, покоятся на использовании (обычно неявном) свойств этого специального и нетипичного класса материалов.

. Читатель может прояснить для себя этот вопрос, проработав следующее упражнение. При этом следует вспомнить, определение упругого материала (VII. 1-2) и строго его придерживаться.

Упражнение XV. 3.6. Термоупругнй материал называется пьезотропным, если его удельная энергия представляет собой сумму функции от градиента деформации и функции от плотности калории:

.8 - 8 (F, п) - ekln (F) + etherm (n).(XV. 3-28)

Показать, что это определение эквивалентно такому:

^=f(F.6)“fkln(F) + ftherm(6h(XV. 3-29)

Используя (19)2 нлн (18)2, доказать, что термоупругий материал является упругим в том и только в том случае, когда он пьезотропен, причем в этом случае он гиперупруг и его функция запасенной энергии а определяется соотношением

o = fkin(F)~ekln(F).(XV. 3-30)

Кроме того,

ПKherm^. в =4егт(П). ,(XV. 3-31)

так что для пьезотропного материала плотность калории представляет собой не более чем формальный параметр, вводимый вместо температуры. Показать, что для пьезотропного материала уравнение баланса энергии приводится к виду

'pXpd = div h + ps,(XV. 3-32)

где xF — теплоемкость при постоянном градиенте деформации, даваемая в общем случае соотношением (21)ь а в данном случае являющаяся функцией от одного 9.

Уравнение такого типа лежит в основе теории теплопроводности Фурье. Таким образом, для пьезотропных материалов теорию Фурье можно согласовать с термомеханнческой теорией термоупругостн. Движение в теории Фурье считается заданным (обычно это состояние покоя), так что уравнение (32) с учетом соответствующего определяющего соотношения для h превращается в дифференциальное уравнение для одной только температуры.

Упражнение XV. 3.7. На примере идеального газа показать, что термоупругий материал, для которого'

не обязательно является пьезотропным. Использовать этот факт для того, чтобы выяснить различие между уравнением (33) и соответствующим ему в теории идеального газа уравнением (XIV. 7-17).

Большее значение, чем рассмотренные сейчас приложения, имеет общий результат, опирающийся на соотношение (1) и сформулированный нами как теорема о термодинамическом потенциале. Мы рассмотрим его сейчас применительно к первому стандартному способу интерпретации. Следуя правилу равно- присутствия, мы допустили возможность того, что напряжения, плотность калории и плотность свободной энергии могут зависеть как от градиента деформации, так и от градиента температуры, поскольку от последнего, как известно, зависит тепловой поток. Затем мы доказали, что из неравенства Клаузиуса — Дюгема, принимаемого в качестве требования, которому тождественно должны удовлетворять определяющие соотношения, следует невозможность такой зависимости. Таким образом, то разделение эффектов, которое имеется в теории, является не просто предположением, а математически доказанным фактом. Более того, показано, что независимые функции, выражающие зависимость напряжения и плотность калории от градиента деформации и температуры, однозначно определяются как частные производные от плотности свободной энергии. Этим сильно ограничивается эмпирическая неопределенность всей теории. Эксперименты, которые определяют зависимость ф от F и 9, автоматически определяют также, согласно теории термоупругости, зависимость от них Т и т). Наконец, отдельные неравенства Планка и Фурье, которые мы рассматривали в § 1, как образующие каждое в своей области часть экспериментальной основы, позволяющей принять неравенство Клаузиуса — Дюгема в качестве обобщения их обоих, оказались порознь следующими в теории термоупругости из неравенства Клаузиуса — Дю- гема. - '

Мы задержались на термоупругости, поскольку она дает пример наиболее понятных рассуждений и результатов термомеханики. Как мы убедимся в следующем параграфе, мы не можем ожидать столь многого от материалов более общего вида. '

Материалы дифференциального типа

Все определения специальных материалов, рассматривавшиеся нами в первых главах книги, легко обобщить таким образом, чтобы, они были применимы к термомеханическим материалам. Например, материал дифференциального типа сложности

(1,0) определяется определяющими соотношениями вида

(XV. 4-1)(XV. 4-1)л = р(к, к, |1), r = f(k, к, ц), а = %(к, к, |i).

(XV. 4-1)

(XV. 4-1)

Это — следующее возможное продвижение в общности после термоупругих материалов, определенных соотношением (XV,3-l)b Очевидно, что когда функции fr, t и 5 линейны по к, материалы сложности 1 оказываются обобщением на термодинамический случай линейно вязких материалов, определенных соотношением (IV. 4-13). На материалах сложности 1, впервые проанализированных в важном мемуаре Колемана и Мизела, достаточно хорошо видны те большие трудности, с которыми приходится сталкиваться, покинув классическую область термоупругости.

Подставив (1) в приведенное неравенство диссипации (XV. 2-7), мы получим неравенство'

(д; р) • к + ftp) • |1 + ^ -t) • к - 3 • ц < 0, (XV. 4-2)

где коэффициенты при к, ц, к и ц имеют в качестве аргументов функции к, к и ц. Реакции р, t и 3 должны быть подчинены таким ограничениям, чтобы неравенство (2) выполнялось тождественно для всех процессов, принадлежащих к области определения реакций.

Чтобы получить какой-нибудь определенный результат, предположим, что общая область определения функций V, t и 3 представляет собой связное открытое множество. Поэтому возможно не только локальное линейное продолжение (XV. 3-3), но и локальное квадратичное продолжение процесса X, а именно

г k(0,—oo<t<t0,

ku==| a + (f-/0)l + 4(#-^)2u, t0<t<t0+k, ^V'4-3)

где к — некоторое положительное число.

Здесь, как и прежде, а = Х(/о), точка (а, 1, Ь)—некоторая внутренняя точка области определения реакций, а и — произвольный вектор. Мы сохраним неизменными предположения предыдущего параграфа, заметив лишь, что термины «непрерывный» и «непрерывно дифференцируемый» относятся теперь также к зависимости от аргумента X в (1).

Рассматривая некоторую текущую ситуацию (а, Ь), подставим (3) и (XV. 3-3)г в (2). Получим

(д^ • р) • и + (дцр) • m + (dxP — i) • П + (# - W u] -

'— в -[Ы-U — /0)ш]<0. (XV.4-4)

Аргументами коэффициентов являются значения функций 1 и ц, даваемые при t> t0 соотношениями (3) и (XV. 3-3) 2. В пределе при t-*ta мы получим из (4)

(^ • р) • и + (д„р) • m + (dxp -1) -1 - 8 • b <0, (XV. 4-5) где в силу наших предположений, аргументами коэффициентов являются теперь а, 1 и Ь. Для данных значений этих трех аргументов неравенство (5) должно выполняться тождественно по и и т. Следовательно,

•дх-р —0, d„p = O. .(XV. 4-6)

Таким образом,

л = р(Х),(XV. 4-7)

и неравенство (5) сводится к следующему остаточному неравенству:■

(^p — i). X —8-ц<0.(XV. 4-8)

Реакции р, t и 8 должны быть такими, чтобы неравенство (8) выполнялось для всех дифференцируемых процессов, значения которых лежат в их области определения.

Определим теперь функцию равновесного натяжения t0 как сужение функции t в случае, когда X и р обращаются в нуль:

t0(X) = t(X, 0, 0).(XV. 4-9)

Функцией диссипативного натяжения tn назовем избыток t над t0:

tDst-10.(XV. 4-10)

Тогда, конечно, остаточное неравенство (8) можно записать - в виде •

(dxp — to) • X - tD • X — 8 • р < 0.’(XV. 4-11)

Возвращаясь к необходимому условию (5), мы видим, что в силу (6), (7) и (10) оно сводится к

- (dxp —t0)-l —tD-l-8.b<0, (XV. 4-12)

где аргументом первого коэффициента является а, а аргументами коэффициентов tD и .8 служат (а, 1, Ь). Чтобы получить более слабое необходимое условие, положим в (12) Ь = 0 и

$4

I = Ле, где Л > 0. Деля результат на Л, получим

[дхр (а) — to (а)] • е — in (а, Ле, 0) • е < 0.(XV. 4-13)

Зафиксируем теперь единичный вектор е и перейдем в (13) к пределу при Л-> + 0. Поскольку функция i непрерывна, то и функция t0, являющаяся ее сужением, также непрерывна, а следовательно, непрерывна и функция tn. Поскольку in (а, 0, 0) — 0 согласно (10), то in (а, Ле, 0)—>0 при Л—>0. Поэтому в пределе (13) дает■

[d^(a)-io(a)].e<O.(XV. 4-14)

Так как е — произвольный единичный вектор, то

io = dA(XV. 4-15)

т. е. функция плотности свободной энергии представляет собой потенциал для одной только функции равновесного натяжения.

Мы доказали, таким образом, что для того, чтобы определяющие соотношения (1) удовлетворяли приведенному неравенству диссипации, необходимо, чтобы они приводились к виду

л = р(Х),■ (XV. 4-7)

т = ^(X) + iD(X, Л, #л), iD(X, 0, 0) = 0,(XV.4-16)

-tD-X<§p.(XV. 4-17)

Читатель легко покажет, что этого также и достаточно для того, чтобы выполнялось приведенное неравенство диссипации (XV.2-7). Таким образом, остаточное неравенство (17) представляет собой единственное условие, которому должны удовлетворять функция диссипативного натяжения tn и функция теплового потока в. Функция плотности свободной энергии р не накладывает на них никаких ограничений. .

Рассуждение, подобное проделанному при выводе соотношения (XV.3-13), показывает здесь, что'

6(Х, 0,0) = 0, тензор х0 положительно полуопределен, (XV. 4-18) где тензор равновесной проводимости хо определяется по аналогии с (XV. 3-14), а именно

xos^»(X, А, У) 1х=о, до-

полученные нами результаты содержат в себе не только разви1ую в § XIV. 6 теорию «линейного трения» в однородных процессах, но и классическую газовую динамику § XIV. 7, хотя и не воспроизводят всех деталей, относящихся к этим случаям.

Чтобы двигаться дальше, обратимся к первому стандартному способу интерпретации, при котором л = ф, X = (F, 0), ц = в-1 Grad 0, а натяжение т = (Тх/рх, — rj). Сверх того мы ограничим допустимый класс определяющих соотношений (1), полагая, что 0 не входит в. число независимых переменных. Таким образом, независимыми переменными будут F, 0, F и grad0. В этом случае остаточное неравенство (8) принимает вид

(def + Ю 0 + f (F, О, F, grad 0) < О, (XV. 4-19)

где T| = ^(F, 0). Знакомое нам уже рассуждение показывает, что первый член тождественно равен нулю. Таким образом, плотность калории определяется из того же «.уравнения состоя* ния», что и в теории термоупругости.

Результаты, полученные нами до сих пор, подытоживаются следующими уравнениями, записанными с помощью тензора напряжений Коши Т, градиента скорости G и теплового потока h:

4> = f(F. 0)..

n=-def(F, 0),'

' Т = р [dFf (F, 0)] FT + 6D (F, 0, G, grad 0), (XV. 4-20)h = ^(F, 0, G, gradO),

0tr(gDG) + ^grad0>O,

с дополнительными соотношениями-следствиями

■ gD(F, 0, 0, 0) = 0,

'5(F, 0, 0, 0) = 0,(XV, 4-21)

тензор Ко положительно полуопределен,

где тензор Ко определен по аналогии с (XV. 3-16).

Можно было бы ожидать, что дц будет обращаться в нуль при обращении в нуль G, т. е. Qd (Г, 9, 0, grad 0) = 0. Однако дело не обязательно обстоит таким образом; как показывает следующее упражнение. Приводимый в нем пример представляет некоторый интерес, поскольку показывает, какие тепловые потоки и напряжения встречаются (наряду со многими другими) в газовой динамике разреженных газов в соответствии с кинетической теорией.

Упражнение XV. 4.1. Рассматривая определяющие соотношения

0n — v grad0® grad0,

(XV. 4-22) = х grad 0 + aD grad 9,

где D — тензор скоростей растяжения, а х, v и а — функции от 0 и р, доказать, что остаточное неравенство (20)« выполняется в том и только в том случае, когда

х>0, 0v + a>O. '(XV.4-23)

Полученные нами результаты показывают, что как только в определяющие соотношения наряду с пространственными градиентами включаются в качестве независимых переменных временные производные, большинство классических эффектов расщепления пропадает. Температурные градиенты могут вызвать напряжения даже в неподвижном теле, а деформация может влиять на характеристики теплопроводности тела. Поскольку эффекты такого рода наблюдаются редко, проведенное до сих пор рассмотрение следует дополнить анализом, дающим более конкретные результаты. Например, в силу (21) мы можем ожидать, что для семейства движений, для которых grad9->0 и G->0, функция fln должна быть приблизительно линейной по D, а I)— приблизительно линейной по grad0. Однако, прежде чем обратиться к вопросам такого приближения, мы воспользуемся принципами материальной независимости от системы отсчета и материальной симметрии, которые покуда не упоминались при рассмотрении термомеханики. Роль этих принципов, мы проиллюстрируем сейчас на простом примере..*

Для каждой из реакций f, бо и можно определить группу равноправности. В случае когда каждая из этих трех групп оказывается унимодулярной группой, мы будем называть материал, определяемый соотношениями (20), термомеханической жидкостью сложности 1. С помощью приемов, которые должны были уже стать второй натурой для каждого, кто дочитал книгу до этого места, может показать, что для такой жидкости соотношения (20)_1—4 приводятся к виду•

ф = |(е, 9),

Л = — 5ef (и, 0),,

т = - W) 1 + 6D (и, D, 0, grad 9), (XV- 4"24)

h = ^(v, D, 9, grad0).

Здесь v» l/p, D — тензор скоростей растяжения, функции gD и 1) изотропны, 6D(r> 0» 6» 0) = 0> $(и, 0» 9, 0) = 0, К0 = х1 и х^0.

(XV. 4-25)(XV. 4-25)С помощью известных теорем можно получить соответствующие представления для функций бо и I). Чтобы проиллюстрировать их, достаточно выписать результат, для теплового потока:.

(XV. 4-25)

(XV. 4-25)

' 'h = [$ol + ^D + ^D^gradO,

где скалярные коэффициенты ^г являются функциями от е, 6, trD, tr D2, trD3, | grad 6 f, | grad 6 • D grad 6 |, | grad 6 • • D2grad6|. Отметим еще, что xi^^u, 9» 0, О, 0, О, 0, 0).

Таким образом, даже после обращения к принципу материальной независимости от системы отсчета и в частном случае материала с максимально возможной степенью симметрии из термомеханики не следует в .общем случае такое расщепление эффектов температурных градиентов и деформаций, которое предполагалось авторамй работ классического направления. Однако из дальнейшего допущения о том, что реакции h и Т аф- финны по D и grad 6, такое расщепление, действительно, уже следует. В силу (21)1,2 функция I) может быть аффинной, только если она линейна, а i может быть аффинной, только если во линейна. Из (25) сразу видно, что если линейна, то единственно возможное определяющее соотношение для h — это закон Фурье, а именно (XIV. 7-16). Таким же образом, на основе не выписываемого здесь аналога соотношения (25) для диссипативных напряжений легко показать, что единственный случай, когда функция вп линейна, — это случай, когда выполняется классическое определяющее соотношение теории Стокса — Дю- гема (XIV. 7-2).

Если бы эти результаты представляли собой все, к чему мы стремились, то путь наш оказался бы кружным, поскольку почти все, что мы смогли доказать таким способом, можно было бы вывести прямо из определения жидкости, не обращаясь к термодинамическим принципам. В том, что дело обстоит именно так, читатель легко убедится, проследив за замечаниями, сделанными после (24), и ограничив рассмотрение линейными функциями. Единственное, что, по-видимому, добавила термомеханика,— это выражение равновесных напряжений через функцию плотности, свободной энергии f— результат, который с тем же успехом можно было бы получить и с помощью классического, хотя и несколько прозаического, требования, чтобы полученные результаты находились в согласии с теорией однородных процессов, изложенной нами в § XIV. 7. ,

Такое заключение было бы чересчур поспешным. Поскольку термомеханическое рассмотрение налагает значительные ограничения на нелинейные определяющие соотношения, оно с помощью различных процессов аппроксимации дает возможность определить, каким образом начинают терять силу классические эффекты разделения после того, как мы выходим за пределы классической области линейных соотношений. А именно на этом пути могут быть определены наименьшие в том или ином смысле члены, описывающие такое нелинейное взаимодействие. Соответствующие примеры читатель найдет в статье Колемана ц Мь- зела, указанной в конце главы, '

Материалы с квазиупругим поведением

Из сказанного в предшествующих параграфах видны трудности, возникающие, когда материал обладает инфинитезимальной памятью. Трудности другого рода, причем в некоторых отношениях легче преодолимые, возникают для материалов с длительной памятью. В этом параграфе мы займемся примером, для которого все расчеты являются простыми, хотя смысл результатов осознать довольно трудно. В следующем параграфе мы рассмотрим случай более абстрактный и более сложный математически, но более просто поддающийся истолкованию.

Теория затухающей памяти Колемана — Нолла определяется в терминах запоминания выражением (XIII. 4-20), в котором при t = t0 эффекты, связанные с текущим градиентом деформации F(/o) и его значениями в прошлом Ff«(s), s > 0, четко разделяются. Чтобы облегчить обсуждение различия этих эффектов, обозначим сужение функции Ff° на открытый интервал (0, оо) через F+ и будем называть его прошлой предысторией тензора F. Таким образом, предыстория F#« может быть формально задана упорядоченной парой (F (/о), F+), где первый член есть постоянная, а второй — функция, определенная для положительных вещественных значений аргумента.

Конечно, если предыстория Ff« непрерывна при $ = + 0, то текущее значение F (/0) однозначно определяется по F+, а именно равно F+(+0). Если, однако, мы хотим допускать предыстории, имеющие скачок при текущем значении времени, то мы можем рассмотреть семейство предысторий, имеющих одну и ту же прошлую предысторию F+, но различные текущие значения F(/o). Такое семейство соответствует изменению в паре (F(/o), F+) члена F(/o) при сохранении неизменным F+. Из (XIII. 4-20) ясно, что если одна из таких предысторий имеет конечное запоминание, .то и все остальные тоже. Это позволяет нам рассматривать эффект, изменения текущего значения предыстории F (/0), оставляя прошлую предысторию F+ неизменной.

Далее, если Fj" и Рг* — два члена этого семейства предысторий, то разность между их запоминаниями дается простым выражением _ .

iF^-F^l^IF.^-FaMI. (XV. 5-1)

Аналогичные соображения можно применить и к самим определяющим уравнениям. Для некоторых материалов область определения реакций содержит все предыстории (f(/0), F+), соответствующие данному частному F+. Тривиальным примером является упругий материал, для которого реакция являет?#

функцией только от F(/o), так что F+ не влияет на напряжения вообще. Нетривиальным примером служит больцманова теория вязкоупругости и ее обобщение — теория конечных вязко-упругих деформаций Колемана — Нолла, для которой определяющее соотношение имеет вид (XIII. 6-3) с поправочным членом,, равным нулю. В этой теории мы можем рассматривать некоторую частную прошлую предысторию F+ и различные, выбираемые независимо, текущие значения F (/0) и можем спросить, как изменяются напряжения при изменении F(/o).

До сих пор мы рассматривали фиксированный момент времени /о- Предположим теперь, что на некотором конечном интервале tQ ^ t < tQ + h, где h > 0, известна и фиксирована некоторая определенная предыстория F*. Используя t как параметр, мы можем построить однопараметрическое семейство предысторий (F(0, F+), в котором F(/) задается произвольно и не обязательно равно F+(-f-O), Чтобы пояснить это, используем в качестве примера особенно простой случай больцманов- ской теории бесконечно малых деформаций, а именно тот, в котором ядро не зависит от текущей деформации: -

Т (0 = К [Ё (0] + / L (s) [Ё+ (s)] ds, (XV. 5-2) о

где К — постоянный тензор, значения функции L суть тензоры четвертого ранга, а Е —тензор бесконечно малых деформаций. Для семейства (Ё (О, Ё+), поскольку Ё+ — фиксированная функция, интеграл в определяющем соотношении (.2) сводится к функции от одного только t, ибо подинтегральное выражение задано. Первый член остается данной функцией от Ё(/). Таким образом, в классе предысторий, в котором для каждого момента t некоторая малая часть прошлой предыстории Ё+ фиксирована и только текущее значение Ё(/) меняется, соотношение (2) сводится к соотношению

T = 6(F(0, О- (XV.5-3)

Функция g в общем случае не является реакцией никакого материала, поскольку она зависит от F+ как от параметра, причем параметра, который мы условились фиксировать. Таким образом, б определяется двумя различными факторами: во-первых, реакцией материала ® и, во-вторых, частной прошлой предысторией F+, которая рассматривается как заданная функция от t. Задание различных прошлых предысторий F+ приводит при одной и той же реакции ® к различным функциям б-

Небольшое размышление позволяет понять, что те же соображения применимы к любому материалу, определяемому реакцией ®, область определения которой достаточно велика, чтобы наряду с (Fi(/), F+) ей принадлежало также и (F2(0, F+); в то же время в общем случае характер зависимости результатов от независимых переменных F (/) и F+ будет более сложным.

Соотношение (3) формально таково же, как и определяющее соотношение воображаемого упругого материала с зависящей от времени реакцией (конечно, настоящего такого материала быть не может, поскольку явная зависимость реакции материала от времени запрещается принципом материальной независимости от системы отсчета). Поэтому возникает искушение пройтись по всей динамической теории упругости и видоизменить каждую теорему, учитывая наряду с зависимостью от времени через посредство F и явную зависимость от времени. Сделать это легко, но к истолкованию получаемых при этом результатов следует подходить с великой осторожностью. Особенности проявляются, как это всегда бывает при рассмотрении материалов с затухающей памятью, в связи с вопросами гладкости. Чтобы эффективно использовать теорию упругого материала,, мы предполагаем, что его реакция g является непрерывно дифференцируемой функцией от F при каждом данном значении аргумента Fo из ее области определения; во всяком случае мы ограничиваем наше внимание только такими аргументами, чтобы иметь возможность подставлять выражения для поля напряжения в уравнения баланса энергии и т. д. Поскольку это допущение относится непосредственно и единственно к свойствам материала, его легко понять, и оно вряд ли может быть отвергнуто. '

Однако, когда мы обращаемся к (3), дело обстоит совсем по-другому, потому что функция g не только выражает определяющее соотношение, а зависит еше от прошлой предыстории F+. Поэтому любое предположение о гладкости накладывает ограничения не только на материал, но и на предысторию деформации, которую он претерпевает. Следуя Вану и Боуэну, мы будем говорить, что поведение материала для предыстории F* в момент t является квазиупругим, если функция g в соотношении (3) непрерывно дифференцируема по F и t при значениях аргументов (F^O),/). Давая такое определение, мы предполагаем, конечно, что если данная частная предыстория (F^O), F+) принадлежит области определения реакции материала д, то ей принадлежат и все предыстории (F*(/), F+), 'для которых величина |F*(/)—Ff (0) | достаточно мала.

Таким образом, мы следим за определенным телом-точкой X, пока оно испытывает предысторию деформации Ff, и сравниваем значение ее реакции в момент / с тем, какое имело бы место для предысторий с тем же самым прошлым F+, но несколько иным текущим значением F(0-

В общем случае нелегко определить, является ли поведение материала с данной реакцией ©квазиупругим для данного класса предысторий. Конечно, поведение упругого материала тривиальным образом квазиупруго для всех предысторий. Нетривиальный пример дает определяющее соотношение (3). Каждый материал такого рода обладает квазиупругим поведением для любой достаточно гладкой1) предысторий Е(.

Никоим образом не все материалы обладают квазиупругим поведением. В материалах дифференциального типа, например в жидкости Навье — Стокса, напряжения определяются производными от F по времени в данный момент. Таким образом, чтобы рассматривать подобные определяющие' соотношения, мы должны ограничить свое внимание такими предысториями деформации, которые являются непрерывными функциями времени. Если бы нам как-то и удалось избежать этого ограничения, было бы нарушено условие гладкости, заложенное в определении квазиупругой реакции. В теории Навье — Стокса малые изменения F и / не обязательно приводят к малым изменениям Т, определяемого' F — величиной, независимой от F и / в данное мгновение. Таким образом, теория квазиупругого поведения не дает в качестве частных случаев результаты, полученные'в предыдущем параграфе. Как и затухающая память того или иного типа, квазиупругое поведение является не общим свойством материалов, а скорее отличительным качеством важного специального класса материалов при достаточно гладких процессах. .

Приведенные до сих пор в этом параграфе замечания и определение были сформулированы в терминах одной лишь механики, и их вполне можно было бы включить в гл. XIII. Однако их легко, слегка изменив слова, применить к термомеханике, в которой они более полезны и для которой все это и было, введено.

') Условия, при которых можно дифференцировать по параметру интегралы Лебега по интервалу (0, со), редко приводятся в элементарных книгах. Теорему такого рода можно найти в § 246 книги: Е. W. Hobson, The theory of functions of a real variable, v. 2, 2nd ed., Cambridge, 1926 [или в книге: M. Лоэв, Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962 — РедД. '

Аналогичные рассмотрения можно провести и для теории конечных вязко-упругих деформаций Колемана — Нолла, но это сложнее, поскольку ядро интегрального оператора зависит от F(f). .

Мы будем рассматривать частную предысторию к1, р/ как функцию от t и воспользуемся определяющими уравнениями (XV. 2-11), чтобы определить из них функции возможных текущих состояний Х(0, р (0 и времени t таким же образом, как (3) получается из (2):

л(0=р(Х(0, ЩО, О,

T(0 = i(X(0, МО, 0, (XV. 5-4) М0=8(Х(0, МО, о.

Если р, i и § — непрерывно дифференцируемые функции всех трех своих переменных при Х^О), ^(О), t, то говорят, что простой термомеханический материал в момент t для предыстории X', р' характеризуется квазиупругим поведением. Высказанные ранее замечания и предостережения относятся также и к этому случаю. В частности, функции р, i и 8 зависят от Х^, pf+, причем эти последние в последующем считаются фиксированными. Используя термин «квазиупругое поведение», мы надеемся, что читатель помнит, что он относится не только к материалу, но и к определенному классу процессов. Именно по этой причине мы используем слово «поведение», поскольку слово «реакция» в этой книге относится к определяющему отображению, определяющему материал раз и навсегда.

В соответствии с принципом термодинамически согласованного детерминизма, изложенным в § 2, функции р, i и в должны быть таковы, чтобы приведенное неравенство диссипации (XV. 2-7) выполнялось для всех t и всех таких аргументов, что ситуация Х(/), МО является значением некоторого процесса из области определения реакций ф, $ и ®. Предположим, что (Х(0,М0) представляет собой внутреннюю точку множества всех значений процессов. Тогда значения всех локальных линейных продолжений (XV. 3-3) для достаточно малых к лежат в областях определения функций ф, $ и ®, так что мы можем воспользоваться в точности теми же рассуждениями, что и в § 3. Единственное различие состоит в том, что теперь функции р, i и 8 зависят от t. Таким образом, эти функции для данного процесса зависят от t как явно, так и неявно. В. соответствии с этим вместо (XV 3-4) мы получим теперь такое неравенство, которое должно тождественно удовлетворяться функциями р, i и 8:

д,р + (дцр) • m + (длр — i) • 1 — 8 • (Ь + (* — 0)т)<0. (XV.5-5)

Упражнение XV. 5.1 (Ваи & Боуэи). Показать, что соотношение (5) удовлетворяется в том и только в том случае, когда

я = Р(Х, О-

(XV. 5-6)(XV. 5-6)т = ахр (X, О,д = -д(Р(х,о,М^. <Х^(х, и, <). и.

(XV. 5-6)

(XV. 5-6)

Результаты (6) следуют непосредственно из рассуждений, приведенных в § XV. 3. Сами формулы оказываются отчасти другими. .

Прежде всего, функция накопления р не зависит от ^ и служит потенциалом для функции натяжения!. Далее, из (6) видно, что внутренняя диссипация 6 также не зависит от ц и фактически представляет собой значение скорости уменьшения плотности свободной энергии при постоянном X. Это утверждение является обобщением соответствующего утверждения теории термоупругости в двух отношениях: в теории термоупругости, во-первых, плотность свободной энергии не может изменяться, если не изменяется ситуация, и, во-вторых, внутренняя диссипация равна нулю. -

Это второе отличие можно проиллюстрировать иа примере, который подсказывается соотношением (2), а именно

00

л = р (X, О — к • X (О + J 1 (s) • (xf+ (s) - Х^ (0)) ds, (XV. 5-7) о

где к — вектор, а 1 — векториозиачиая функция веществеииого переменного. В подиитегральном выражении мы написали Х^_ вместо Xf, чтобы напомнить читателю, что мы рассматриваем предысторию Х( как пару (X (/), Х^,). Даже при постоянном продолжении (§ XIII. 4), определяемом как предыстория с постоянным Х(1) = Х^( + 0) при X превосходящем некоторое определенное значение (о, интеграл в (7), вообще говоря, зависит от X Из (6)з мы находим для внутренней диссипации в этом частном случае выражение '

. б = — J 1 (з) • (Х< (s) - X (/ + 0)) ds, (XV. 5-8) где мы считаем предысторию Х^ достаточно гладкой и где Х*+ (з) ■ X (/ — з), О < з < оо. Таким образом, б — действительно функция от t, причем в общем случае ие нулевая. При увеличении t от t0 до /0 + А материал „помнит1* частное прошлое значение Х( как происшедшее в прошлом за h единиц времени до этого, поскольку Х<б+А (з0 + А) =Х<0 (за). Вклад этого частного значения в л (!) берется согласно (7) с множителем 1 (з0 + Л), а ие с множителем 1 (з0).

Аналогичные результаты справедливы в теории конечных вязко-упругих деформаций. Эти результаты — отнюдь не искусственные математические до-

строения, они описывают возможное поведение материала; однако они оказываются намного более сложными, поскольку текущее значение Х(/) входит не только в линейный член, ио и в подинтегральное выражение. Соответственно затрудняется и интерпретация результатов. ■

Естественно, имея в виду представление о затухающей памяти, мы не ожидаем, что материал может приобретать энергию в результате того, что он помнит о прошлом. Поэтому мы ожидаем, что при постоянном продолжении плотность внутренней энергии и плотность свободной энергии будут убывать, или в крайнем случае оставаться неизменными, а плотность калории будет возрастать или в крайнем случае оставаться неизменной. И действительно, так оно и есть. Возвращаясь к неравенству (6)4, мы видим, что его левая часть не зависит от ц, так что оценка, выражаемая этим неравенством, должна оставаться справедливой для всех значений ц Полагая g = 0, мы, таким образом, получаем из (6)3

d>0. (XV. 5-9)

Чтобы вывести этот результат, мы не использовали никакой частной функции р, как это имеет место в (6), и не предполагали, что материал имеет затухающую память в каком-нибудь из смыслов, рассматривавшихся в гл. XIII. Напротив, мы доказали (9), используя лишь предположение о квазиупругой реакции материала и неравенство Клаузиуса — Дюгема, — ничего больше. Итак, для материалов с квазиупругим поведением, выполняется неравенство Планка; оно выражает тот факт, что, когда текущая ситуация не меняется, функция накопления не увеличивается.

Таким образом, для рассматриваемых нами сейчас материалов и процессов неравенство Клаузиуса— Дюгема приводит к появлению некоторого рода затухающей памяти для накопления. Несколько вольно мы можем сказать, что —д^ представляет собой скорость, с которой функция накопления забывает свою прошлую предысторию. .

Поскольку функция натяжения t определяется функцией накопления У с помощью соотношения (6)2, и для натяжения должна существовать своего рода затухающая память; однако природа этой затухающей памяти неясна.

• Возвращаясь вновь к (6)4, заметим, что это неравенство устанавливает неположительную оценку снизу для ст-ц, причем в общем случае эта оценка отлична от 0. Таким образом, для материалов, характеризующихся квазиупругим поведением, неравенство Фурье в общем случае не имеет места. При положительной внутренней диссипации вектор теплового потока может образовывать некоторый тупой угол с вектором термического градиента, но та же диссипация ограничивает сверху произве-

дение длин этих векторов. А именно, если этот тупой угол равен £, то в силу (6)4

I”II и К т^г =- (XV. 5-10)

Чем быстрее накопление забывает прошлую предысторию, тем большей величины тепловой поток может быть направлен не по термическому градиенту, а против него.

Поскольку для материалов с квазиупругим поведением неравенство Фурье в общем случае не выполняется, a fortiori для этих материалов неравенство Клаузиуса — Дюгема не сводится к двум различным и не связанным друг с другом классическим неравенствам, хотя одно из них и следует из него.

Эти результаты станут более конкретными, если Мы отнесем их к первой стандартной интерпретации, определенной в §2. Тогда, во-первых, (6) i превратится в . ,

' $ = f(F, 6, 0, . (XV. 5-11)

т. е. плотность свободной энергии не зависит от текущего значения градиента температуры. Во-вторых, (6)2 примет вид

, (XV. 5-12), (XV. 5-12)T,=px<W’ 8> 0,т) = —def(F, 6, О-

, (XV. 5-12)

, (XV. 5-12)

Таким образом, и напряжения, и плотность калории тоже не зависят от текущего значения градиента температуры, и, как в теории термоупругости, функция плотности свободной энергии является потенциалом как для реакции напряжений, так и для калорической реакции. Мы должны напомнить, что f не выражает определяющее соотношение, а является функцией, значения которой совпадают со значениями некоторого определяющего отображения, когда задана и сохраняется неизменной некоторая прошлая предыстория. Наличие в качестве аргумента у f переменного / учитывает эффекты памяти в материале, претерпевающем определенную предысторию, деформации и градиента температуры. В этом смысле соотношение (12) устанавливает, что эффекты памяти для плотности свободной энергии однозначно определяют эффекты памяти для напряжений и плотности калории.

В-третьих, мы можем записать (6)3 в форме

d = —dtf(F, В,/), (XV. 5-13) откуда видно, что реакция .внутренней диссипации также определяется реакцией плотности свободной энергии и также не зависит от текущего значения градиента температуры. В-четвертых, справедливо неравенство Планка, и его мо^кно

рассматривать как утверждение, что если градиент деформации и температура материала с квазиупругим поведением сохраняются постоянными, то плотность свободной энергии не может возрастать. Наконец, остаточное неравенство (6)4 означает теперь, что

h • grad 6 > рбдД (X, 0.(XV. 5-14)

Если не принимать во внимание плотность свободной энергии, то тепло может перетекать из более холодных в более горячие места, но не без предела1).

. При использовании второй и третьей стандартных интерпретаций мы получим вместо (11) и (12)■

e = e(F, п» 0» П = № е,/),

Т, = РЛС (F, п. 0 = - РхеМ (F. е, 0. (XV. 5-15) e-ed^tF, Т), 0» у^ЗеНР. 8, /).

В этих выражениях каждый символ имеет тот же смысл, что и во всех других местах, где он встречается. Однако, когда мы начинаем вычислять 6 по общему правилу (6)3, нужно различать между собой результаты, получаемые при использовании различных функций накопления. Не указывая этого различия в обозначениях, мы будем использовать символ б при всех трех , стандартных способах интерпретации, понимая под этим, что б определяется соотношением (XV. 1-5). Тогда

( б = - dtf (F, в, 0 = - d(e (F, п, 0 = Ш (F, в, /). (XV. 5-16)

Таким образом, при втором стандартном способе интерпретации неравенство Планка (9) утверждает, что если градиент деформации и плотность калории постоянны, то плотность внутрен- • ней энергии не может возрастать, а при третьем стандартном способе интерпретации — что если градиент деформации и плотность внутренней энергии постоянны, то плотность калории не может убывать.

Формальная аналогия, существующая между результатами, полученными при трех стандартных способах интерпретации, не должна привести нас к мысли, что эти три способа эквивалентны, или что их можно сделать эквивалентными, введя дополнительно умеренные допущения относительно гладкости. Если данный материал ведет себя квазиупруго для некоторого класса предысторий при одном способе интерпретации, то этого может и не быть при других способах. Это замечание отражает

*) В рассматриваемом случае правая часть (14) могла бы быть отрицательной, откуда и следует высказанное утверждение. — Прим, реф

упомянутую уже трудность, внутренне присущую теории квази- упругого поведения: совсем не ясно, существует ли для данного определенного материала, характеризуемого данными’ определенными реакциями, какой-либо класс предысторий, порождающих квазиупругое поведение.

Наконец, мы должны помнить, что во всех результатах, относящихся к материалам, проявляющим квазиупругое поведение, выбрана и считается фиксированной определенная прошлая предыстория Х^, р^. В общем случае две соседние материальные точки не претерпевают одинаковых прошлых предысторий. Таким образом, даже в однородном теле функция £ для материальной точки X будет, вообще говоря, отличаться от функции £ для материальной точки Y (в предположении, что движение всего тела задано). Понятие квазиупругого поведения позволяет нам эффективно рассматривать то, что происходит с отдельной материальной точкой, но не дает ни малейшего представления, о том, как сравнивать величины, связанные с двумя различными материальными точками одного тела.

Теория квазиупругого поведения легко и эффективно приводит к формально определенным результатам, однако предыдущие замечания показывают, что этим диапазон применимости этих результатов еще не определяется, хотя и нетрудно построить частные примеры, для которых квазиупругое поведение действительно осуществляется.

'Могла бы прийти мысль искать такие примеры среди материалов с затухающей памятью Колемана — Нолла, определенной для класса определяющих соотношений (XV. 2-11).

Однако было показано на примере1), что для таких материалов неравенство Планка не обязательно выполняется. Таким образом, для материалов с затухающей памятью Колемана — Нолла не обязательно проявляется квазиупругое поведение. ■

Тот факт, что функция £ для одной прошлой предыстории данного материала не связана каким-либо очевидным образом с функцией' £ для другой прошлой предыстории, делает если не' невозможным, то затруднительным решение важной проблемы установления связей между термомеханикой и термостатикой. Хотелось бы думать, что если прошлая предыстория Х^, р^ сводится к предыстории-константе ((Х^+О))0, (р+(-|-0)с)), то функция накопления V сведется к функции только от X — функции, которую можно было бы отождествить с соответствующей функцией накопления'классической термостатики. Теория квазиупругого поведения не дает нам такой возможности, хотя,

•) Coleman В. D. & Gurtin М. Е„ Equipresence and constitutive equations for rigid heat conductors, Z. Angew. Math. Physik, 18 (1967), 199—208).

конечно, из нее тривиально следует, что если £ окажется не зависящим от /, то получатся все результаты теории термоупругости. ■

Колеман в своих замечательных исследованиях по термодинамике материалов с памятью начал с подкласса простых термодинамических материалов, в которых независимыми переменными определяющих соотношений являются F1, 0f, grad 6. В предположении, что эти материалы обладают затухающей памятью Колемана —• Нолла, он ие только доказал результаты, аналогичные (И) — (14), и неравенство Планка, но и показал, что вся классическая теория термостатики (по существу, теория «уравнений состояния» § XIV. 4) следует из его результатов как частный случай. Всякая теорема такого рода заслуживает названия теоремы Колемана. Понятие квазиупругого поведения позволяет нам доказать лишь половину, и притом более, простую, теоремы Колемана. ■

В следующих параграфах мы будем рассматривать понятие, на первый взгляд более общее и значительно более абстрактное, чем понятие квазиупругого поведения, но в то же время достаточно частное и явное, чтобы с его помощью можно было вывести теорему Колемана.

Теорема Колемана для материаловс мгновенно-упругой реакцией.

Термодинамический потенциал

В трех предыдущих параграфах мы привели теоремы Колемана для трех различных классов материалов. Для всех трех классов материалов существенным моментом доказательства было существование некоторого «цепного правила» (правила дифференцирования сложной функции), при помощи' которого материальную производную по времени л от накопления л можно было выразить как аффинную функцию независимо изменяющихся производных по времени от ситуации. Мы видели также, что характер результата определяется характером этого цепного правила. В термоупругих материалах л равно линейной комбинации X и ц,в материалах дифференциального типа — линейной комбинации X, X и ц; в материалах с квазиупругим поведением это аффинная функция, отличная, вообще говоря, от линейной комибнации X и ц, Для каждого из этих трех классов соответствующее цепное правило позволило нам доказать, исходя из принципа термодинамически согласованного детерминизма, что функция накопления V является потенциалом для части или для всех натяжений, и сделать некоторые определенные заключения относительно отсутствия или наличия внутренней диссипации и допустимых направлений вектора тепло-

вого потока. В частности, было установлено, что разделение эффектов деформации и температуры (при классическом подходе просто предполагаемое) действительно имеет место в большей или меньшей степени, зависящей от рассматриваемого класса определяющих соотношений. Как вторая, так и третья рассмотренные нами теории содержали в качестве частного случая первую, но ни одна из них не была частным случаем другой. Третья теория, теория квазиупругого поведения, возникшая на основе теории материалов с длительной памятью, страдает тем недостатком, что изучаемые ею класс процессов и класс реакций оказываются весьма неконкретными, хотя определенные свойства их и удается установить.

Теперь мы выведем теорему Колемана для четвертого класса материалов, который был введен Гуртиным и который мы назовем классом материалов с мгновенно-упругой реакцией. Эти материалы образуют подкласс класса всех простых материалов с длительной памятью; они будут определены шестью явно сформулированными аксиомами, налагающими ограничения на реакции $, $ и @, входящие в (XV. 2-13).

В этом параграфе мы сформулируем три из этих шести аксиом. Но прежде изложим их содержание. Во-первых, они требуют следующего: если некоторая ситуация может быть достигнута в процессе, принадлежащем области определения реакций материала, то и любое локальное линейное продолжение этого процесса принадлежит этой области определения. Во-вторых, в них требуется, чтобы для любого процесса значения соответствующих ему реакций (которые, конечно, являются функциями времени t) были непрерывны справа для любого /о, т. е. при /-►/о + О. В-третьих, накопление л должно быть дифференцируемым как функция времени, а его производная должна быть аффинной функцией от скорости изменения ситуации, и притом аффинной, функцией, коэффициенты которой суть непрерывные функции времени. Читатель, который тщательно проследил за обсуждением квазиупругого поведения в предыдущем параграфе, сразу поймет из этого грубого описания, что из таких аксиом воспоследуют результаты, аналогичные (XV. 5-5), аналогичные в том отношении, что реакция накопления $ будет однозначно определять реакции $ и ® натяжения и внутренней диссипации, хотя, конечно, эти реакции и не будут, вообще говоря, частными производными некоторой функции от X, ц и t. Теперь мы перейдем к изложению формальной теории в абстрактных терминах.

Будем рассматривать определяющие соотношения простого термодинамического материала (XV. 2-13) и обозначим через 3) множество процессов (X, р), образующих общую область определения реакций ф, $ и ®. Локальные линейные продолжения

(к,, gm) некоторого процесса от его текущей ситуации (а, Ь) уже были определены соотношениями (XV. 3-3). Мы предполагаем теперь, что если (X, g)— такой процесс из 5), что Х(/0)=а, g(/(j) = b, то и каждое из его линейных продолжений (Хр gm) от ситуации (а, Ь) для f<f0 + & для достаточно малых к (^ может зависеть от (I, ш)) принадлежит Ф. Итак, наша первая аксиома такова:

Аксиома 1 (локального замыкания). Множество Ф замкнуто по отношению к локальному линейному продолжению.

Аксиома эта звучит иевииио, ио оиа оказывается весьма ограничительной. Прежде всего, в силу ее иаш класс процессов должен быть весьма обширным, поскольку требуется, чтобы от любой ситуации, которой может достичь некоторый процесс из S, отходило бесконечно много процессов, принадлежащих S. Далее, из-за нее мы не можем ограничить рассмотрение лишь теми процессами, которые очень «хороши» — гладки, либо очень «плохи». Действительно, предположим, что некоторый процесс очень плох вплоть до момента 1. Аксиома 1 требует, чтобы начиная с этого времени, хотя бы и недолго, отображения SP, $ и ® оставались определенными для бесконечно многих линейных (а значит, чрезвычайно гладких) процессов, продолжающих исходный. Пусть, напротив, некоторый процесс был весьма гладким (даже, скажем, сохранял постоянное значение) вплоть до момента t. Тогда аксиома 1 требует, чтобы !{?, Ж и ® оставались определенными для бесконечного множества процессов, не имеющих даже производной в момент t.

Это последнее замечание показывает, что аксиомой 1 исключаются материалы дифференциального типа, простейшие из которых рассматривались в § 4, поскольку их реакции ие определены для процессов, для которых не существует X.

Пусть Ф*— множество всех предысторий процессов. Формально'

Ф* = ((X*, g*): 370, такое, что X* = Х‘« и g^g11, где (X, р,)гФ^.

(XV. 6-1)

Эквивалентно, если (X*, g") е ф‘, то существует такой процесс (X, g) е Ф, что Х#« = X*, g<a — g* Для некоторого /0. Элементами множества Ф' являются функции, определенные на [0, оо), причем X(/0) = Х#«(0) = X*(0) и т. д., где /0—-то самое, которое входит в определение X*. g*. В силу аксиомы 1 для любых 1 и m при некотором к локальное линейное продолжение (Хр gm) е Ф. Конечно,'

Х{. = Х*, g^ = g*,(XV. 6-2)

ty (0) = X* (0), g^ (0) = g* (0)(XV. 6-3)

и при t0<t </0 + к■'

Аксиома 2 (непрерывности справа). Для любого процесса из Ф значения реакций ф, $ и ® представляют собой функции, непрерывные справа.

И эта аксиома, как и первая, может показаться безобидной, но и она на самом деле весьма ограничительна. Согласно аксиоме 1, из каждой ситуации, которой может достичь некоторый процесс из ®, исходит бесконечное множество процессов, имеющих в ней разрывные производные по времени и остающихся в S. Такие процессы в лучшем случае представляют собой слабые разрывы в смысле теории сингулярных поверхностей (гл. XI), а возможно, и более сильные сингулярности. Аксиома 2 требует, чтобы даже когда материал подвергается таким сингулярным процессам, значения трех его реакций оставались непрерывными справа. Большое изменение (X, ц.) в момент / вызывает лишь малое изменение значений л, t и в вблизи t. Конечно, таким поведением характеризуются тривиальным образом термоупругие материалы, и в этом одна из причин, по которым мы решили связать с определяемыми сейчас материалами слова «мгновенно-упругая реакция». Для материалов же дифференциального типа, проявляющих свойство, обычно обозначаемое словом «вязкость», характерно как раз обратное.

Аксиома 3 (цепное правило). Значение л реакции накопления является дифференцируемой функцией времени. Существуют отображения D^, D^ и Dt^ с областью определения Ф*, значения которых являются функциями, непрерывными справа; так что если существует (X, я), то

л ф = D$ (X1, я') • X (0 4- м (^ я') • Я (0 + М ^, я').

(XV. 6-5)

Использованные здесь обозначения D^, D^ и Dt4^, подсказанные теорией квазиупругого поведения, указывают на то, что коэффициенты, ими обозначаемые, являются частными производными от ^ в некотором обобщенном смысле. Важно, что отображения D^, D^ и Dt^ определяются отображением $. Если их значения непрерывные, а не только непрерывные справа функции времени, то для такого процесса, в котором X и я испытывают в некоторый определенный момент скачки [X] и [я], из соотношения (5) следует, что -

[Л]=^(Х', я')* Й Ч^Ш я') - [я]. (XV. 6-6)

Таким образом, на слабой особенности скачок накопления представляет собой линейную комбинацию скачков X и я, и это свойство отображения ^ дает дополнительное основание для того, чтобы применять для описания рассматриваемых материалов термин «мгновенно-упругая реакция».

' Произвольное данное отображение ^ может удовлетворять или не удовлетворять аксиоме цепного правила. В своих великолепных новаторских исследованиях по термодинамике материалов ^ памятью Колеман предполагал, что ф подчиняется

принципу затухающей памяти Колемана — Нолла порядка 1, и ограничил зависимость ф от предыстории р; термического градиента зависимостью лишь от р(/)—текущего термического градиента. Для этого случая и для- определенного класса предысторий X он доказал цепное правило в форме (5). Последующие исследователи рассматривали цепные правила более сложного вида1). Здесь мы просто постулируем, что имеет место цепное правило (4), и изучаем его следствия.

Прежде всего, коэффициенты-отображения D^, D^ и Dt^ определены на ЗУ однозначно. Действительно, предположим, что точно теми же свойствами обладает тройка отображений D,$, D^ и Df$. Тогда соотношение (5) выполнялось бы и с этими коэффициентами вместо D^, D^ и О<$. Если (X*, р‘)е0‘, то существует такой процесс (X, р), что Х/“ = Х‘, pf« = p*. Согласно аксиоме 1, локальное линейное продолжение (XV. 3-3) процесса (Х^, р1») при t0<t <t0-V к также принадлежит ЗУ. Поэтому мы можем подставить (Х|«, р^) в соотношение (5), за- писаннное для обоих наборов коэффициентов, вычесть один результат из другого и таким образом получить с учетом (4), что

+ РЛ(ЧЮ-°Л(Х{. ^)]-т +

. + [^Ф (Xf. ^) - ВДЙЙ = О VI, т (XV. 6-7)

при условии, что to < t < to + к. В силу аксиомы 3 значение каждой из величин в квадратных скобках является непрерывной справа функцией от t. Выполняя в (7) предельный переход при <->-/о + О, в соответствии с (3) ],2 находим, что

■[ОД (X*, р’) - ОД(Х‘, р*)] • I +

+ [ОД (X’, р‘) - D^tX Ю1 • m +

+ [D^ (X*, р’) -Dt^X р*)] = О VI, m. (XV. 6-8)

Поскольку 1 и т — произвольные векторы, три величины в квадратных скобках обращаются в нуль. Поскольку (X*, р‘) — произвольный элемент из ЗУ, три отображения-коэффициента Дхф. D^ и D^ определены однозначно.

Почти столь же элементарным рассуждением доказывается

Теорема о термодинамическом потенциале. Если ф, $ и® удовлетворяют аксиомам 1—3, то принцип термодинамически согласованного детерминизма требует, чтобы

' Д^ = О,

■ $ = D^, (XV. 6-9) ®(V, ц,)'.ц(/)>Р^(Х<, ^).

Обратно, любые три отображении ф, $ я ®, удовлетворяющие этим соотношениям, удовлетворяют также принципу термодинамически согласованного детерминизма.

Доказательство не должно составить труда для того, кто проследил как за проведенным выше доказательством единственности, так и за обсуждением теории термоупругости в § 3. Вычислив вначале -ф для локального линейного продолжения (Х^, Цт), подставим затем результат в приведенное неравенство диссипации (XV. 2-7). Переходя к пределу при /->-/с4-0, обратимся к аксиомам 2 и 3, чтобы получить, что пределы значений коэффициентов являются значениями этих коэффициентов для произвольно выбранной предыстории (Xf", ц<0). Дальнейшее рассуждение проводится в точности так же, как и в теории квази- упругой реакции в предыдущем параграфе. '

Критически мыслящий читатель заметит, что все рассуждения о необходимых условиях основаны на использовании лишь локальных линейных продолжений, так что для их вывода было бы достаточно допустить существование цепного правила только для таких процессов. В полной мере цепное правило нужно лишь при доказательстве того, что условия (9) являются не только необходимыми, но и достаточными для того, чтобы приведенное неравенство диссипации выполнялось тождественно.

Упражнение XV. 6.1. Дать подробное доказательство теоремы.

Обратимся теперь к истолкованию полученных результатов. Соотношение (9)2 утверждает, что реакция накопления ф является потенциалом для реакции натяжения:

т = О^(Х', ц'). (XV. 6-10)

Поскольку О^ф однозначно определяется отображением $ и поскольку значения обоих этих отображений определяются предысторией (X', ц#), то, грубо . говоря, влияние памяти на натяжение определяется влиянием памяти на накопление. Более точно, по определяющему соотношению для накопления однозначно устанавливается определяющее соотношение для натяжения. . •

Далее, согласно (9), термический градиент ц в некотором смысле выпадает из определяющих соотношений для лит. Трудно одновременно правильно и наглядно сформулировать,

в каком именно смысле. Вероятно, наилучшее истолкование получится, если подставить (9)1 и (9) 2 в соотношение цепного правила (5) и его следствие (6):

. „(/) = $ (V, р'). X (7) + D$ (X', р'), „

IAV • 1) [л]=Ж(Х‘, р'МХЬ

Последнее соотношение показывает, что на слабом разрыве скачок накопления пропорционален скачку X и не зависит от того, каков скачок р. Поскольку это именно то, что имеет место для термоупругого материала, мы усматриваем здесь еще один повод для наименования «мгновенно-упругая реакция». Соотношение (11)1 допускает аналогичное истолкование применительно к гладким процессам, но дело осложняется наличием члена DtW, р').

Однако этот член без труда поддается истолкованию. Подставляя (11)1 в (XV. 2-15), мы видим, что

® = -D^. (XV. 6-12) Таким образом, — D^Q»1, Pf) = 6 — внутренней диссипации, как этого и можно было ожидать на основании соответствующего результата теории квазиупругого поведения (XV. 5-5) 3. Подстановка в (9)3 приводит к соотношению (XV. 2-12) и тем самым дает второе доказательство того, что выполнения условий (9) достаточно для выполнения приведенного неравенства диссипации. .

До сих пор результаты оказывались весьма похожими на соответствующие результаты теории квазиупругого поведения, однако сейчас мы подходим к месту, где появляются отличия: в общем случае мы не можем сделать вывод, что выполняется неравенство Планка. Действительно, мы можем положить в (9)3 р(/) = 0 и получить

S = $(X', р^^Х), (XV.6-13) так что в те моменты, когда процесс находится в ситуациях с нулевым термическим градиентом, неравенство Планка выполняется, но в других ситуациях оно может не выполняться.

Конечно, имеются частные случаи, в которых из (13) следует, что 6^0 всегда. Именно здесь начинают проявляться различия, связанные с более частными допущениями, делавшимися ранее в термодинамике и сохраненными в первом варианте теории Колемана. Во всех этих теориях предполагается, что ф зависит от р1 только через р(/), так что (XV. 2-13) i принимает вид

л(0 = Ж р(0). (XV. 6-14)

Упражнение XV. 6.2. Доказать, что при определяющем соотношении вида (14) из аксиомы’ цепного правила (5) вытекает, что

5^ ^, И W) = d^ (tf, р) |^ (().(XV. 6-15)

Согласно результату этого упражнения, мы можем истолковать соотношение (9), выражающее теорему о термодинамическом потенциале, как требование о том, чтобы ф было полностью независимо от ц(0- Следовательно, ©, поскольку оно определяется ^, также независимо от ц(/). Таким образом, левая часть соотношения (13) не зависит от ц(/) и потому можно, не ограничивая общности, придать ц(() значение 0. Итак, из предположения (14) следует, что (13) сводится к

.d = ©(X')>0.(XV. 6-16)

Мы видим, что для частного случая материалов, определяемых соотношением (14), неравенство Планка есть следствие неравенства Клаузиуса—Дюгема. Поэтому более общее неравенство (13) согласуется с любыми экспериментальными обоснованиями, которые есть у классических теорий и их недавних обобщений. Это неравенство показывает нам также, что мгновенно-упругая реакция не обязательно влечет за собой квазн- упругое поведение.

Упражнение XV. 6.3. Путем подходящего выбора переменных показать, что теоремы, доказанные в этом параграфе, содержат в качестве частных случаев все результаты, полученные в § XIV. 5 для классических уравнений состояния и в § 3 для теории термоупругости, но не покрывают результатов, относящихся к линейному трению (§ XIV. 7) и материалам дифференциала ного типа (§4).

§ 7. Теорема Колемана для материалов с мгновенно-упругой реакцией.■

Термостатика как частный случай

Вторая и более глубокая часть теоремы Колемана относится к соотношению между термостатикой и термомеханикой. Под «термостатикой» понимается теория, в которой сравниваются мыслимые состояния равновесия, причем «равновесие» определяется как процесс-константа, обычно такой, в котором градиент температуры равен нулю. Поскольку в термостатике никаких изменений во времени нет, к ней нельзя непосредственно применить принципы термомеханики. В прошлом столетии были предложены специальные принципы термостатики, и они были использованы для построения теории, в которой, например, натяжение в некоторой ситуации может быть определено путем сопоставления значений плотности свободной энергии для соседних ситуаций. Формально результаты при этом были такими же, как и полученные нами в § 3 для теории термоупругости.

при том делаемом с самого начала дополнительном предположении, что р — 0. Сверх того утверждалось, что при равновесии в определенной ситуации различные термостатические функции имеют наибольшие или наименьшие значения, возможные для некоторого класса процессов, заканчивающихся в. этой ситуации. Поскольку тогда не существовало никакой оформившейся теории термомеханики, ничего определенного нельзя было доказать относительно процессов, не являющихся константами, так что авторы работ классического направления вынуждены были прибегать к утверждениям, не имеющим математического обоснования. Конечно, иногда им удавалось вывести чисто математически одни такие утверждения из других. "

Здесь не место говорить подробнее о дефектах прежних попыток построить термодинамику процессов. Вместе этого я хочу подчеркнуть выдающуюся заслугу Колемана, доказавшего, что для простых материалов с затухающей памятью определенного рода все результаты классической термостатики могут быть выведены из термомеханики. Колеман рассматривал материалы, в которых реакции ф, Ж и ® зависят от р( только через р (/) и зависят от V с затухающей памятью Колемана — Нолла. Здесь мы будем следовать абстрактному и более общему подходу, принадлежащему Гуртину; некоторые из рассуждений по существу те же, что у Колемана.

Мы сохраним аксиомы 1—3 предыдущего параграфа и добавим одну аксиому, которая позволит нам дать определение равновесных реакций. А именно, вспоминая определение предыстории-константы ас (§ XIII. 2) и постоянного продолжения Хц, (§ XIII. 4), примем следующую аксиому.

Аксиома 4 (о процессах-константах). Множество 2) замкнуто по отношению к постоянным продолжениям; множество S)* содержит все предыстории-константы, которые имеют значения, когда-либо принимавшиеся каким-либо процессом.

Эта аксиома позволяет нам задавать такие вопросы:

Каким будет значение накопления некоторой материальной точки после того, как она участвовала в некотором заданном процессе (X, р) вплоть до момента t, а затем на все время остается в ситуации (Х(/),р(0)?

Каким было бы значение накопления некоторой материальной точки, находящейся теперь в ситуации (а, Ь), если бы она всегда находилась в этой ситуации?

В частности, эта аксиома позволяет нам определить равновесные реакции р и t следующим образом:

р(а, Ь) = ф(ас, Ьс),

t (a, b) = $ (ас, bc) (XV. 7-1)

для любой ситуации (а, Ь), через которую когда-либо проходит какой-либо процесс из Ф. (Конечно, мы ожидаем, что при процессах-константах внутренняя диссипация отсутствует, и действительно, из (XV.6-5) и (XV.6-12) видно, что ©(ас, Ьс) = 0, Va, b.) Значения р(а, Ь) и i(a, b) представляют собой соответственно значения накопления и натяжения, определяемые процессом (ас, Ьс), который во все моменты времени находится в ситуации а, Ь. Мы рассчитываем, что именно функции р и t окажутся связанными формулами классической термостатики, по крайней мере для некоторого подходящего класса ситуаций (а, Ь).

Можно было бы, конечно, так определить отображения ф и Ж, чтобы они имели для предысторий-констант совершенно иные значения, чем для любых предысторий, отличных от констант. Тогда, поскольку утверждения теоремы из предыдущего параграфа основаны на использовании лишь предысторий-констант, мы Не могли бы ожидать от них никаких следствий в отношении р и t. Естественно, мы ищем некоторое связующее звено в представлении о затухающей- памяти и потому принимаем такую аксиому. .

Аксиома 5 (о релаксации накопления). Для любого процесса (X, ц) и любого момента времени t0 ■ .

Jim ф (^о), ц^) = Р (X (У, ц (/„)). (XV. 7-2)

Иными словами, мы предполагаем, что если достаточно долго удерживать материальную точку в данной ситуации, то значение накопления в ней приближается к тому значению, которое оно имело бы, будь эта точка всегда в этой ситуации. Наша аксиома утверждает наличие некоторой слабой формы затухающей памяти.

В своей первопроходческой работе Колеман доказал результат вида (2) по ходу дела, опираясь на предположение, что для ф проявляется затухающая память Колемана — Нолла. Читатель, проследивший за доказательством теоремы о релаксации напряжений из § XIII. 4, легко заметит, что для того, чтобы соотношение (2) выполнялось с требуемой в настоящем изложении степенью общности, достаточно иметь затухающую память несколько более общего вида.

В традиционном определении равновесия требуется, чтобы термический градиент обращался в нуль: ц = 0. Согласно (XV. 6-13), для таких ситуаций выполняется неравенство Планка. Для построения термостатики нужно именно это, а не предыдущее условие. Поэтому мы ослабим классическое определение следующим образом: ситуация (а, Ь) равновесна, если

внутренняя диссипация никогда не оказывается отрицательной при постоянном продолжении любого процесса (X, ц), находящегося в момент /0 в ситуации (а, Ь):

' ©Wm. ^})>0, (XV. 7-3)

где t > 0. Мы можем выразить это и по-другому: (а, Ь) представляет собой равновесную ситуацию в том и только в то.и случае, когда 4юбой процесс, оканчивающийся в этой ситуации в момент t, порождает затем только неотрицательную внутреннюю диссипацию. Действительно, переходя в (3) к пределу при t -> t0 + 0, мы видим в силу предположения о непрерывности из аксиомы (3), что ■

©(V’, р,0)>0 (XV. 7-4)

для всех процессов, для которых X (/0) = а, р ^ = b. Обратное утверждение тривиально, поскольку (Х«.), ред) есть процесс, находящийся в момент t0 в ситуации (а, Ь).

Конечно, для постоянного продолжения (Хр,}, р(«„}) мы имеем Х(0 = 0 при t>t0, так что из (XV.6-11) и (XV.6-12) получаем

M0 = ~©(XUhU (XV. 7-5)

Таким образом, эти две равносильные формы определения равновесной ситуации с тем же успехом можно было бы представить в терминах скорости убывания функции накопления.

Учитывая неравенство диссипации в окончательном виде (XV. 6-9) з, мы можем теперь заметить, что если ®(Х*, р/) • Ь = 0 для каждого процесса (X, р), находящегося в ситуации (а, Ь) в момент t, то (а, Ь) — равновесная ситуация. В частности, ситуация (а, 0) всегда равновесна, если только некоторый процесс из 35 находится в ней в какой-нибудь момент. Таким образом, использованное здесь определение равновесной ситуации содержит как частный случай обычное, но не совпадает с ним.

У нас могут быть причины рассматривать лишь некоторое подмножество $ множества всех равновесных ситуаций. Для последующих рассуждений достаточно, чтобы 8 было связным открытым подмножеством ситуаций (а, Ь), содержащим ситуации (а, 0). Такое подмножество 8 нужно, чтобы имело смысл говорить о производных равновесной реакции р. Сейчас мы подготовлены к тому, чтобы сформулировать нашу заключительную аксиому: .

Аксиома 6 (о гладкости равновесных реакций). Равновесная реакция накопления р дифференцируема в 8.

Теперь мы можем сформулировать и доказать вторую половину теоремы Колемана:

. Теорема о согласованности с термостатикой. Если (a, b) s г <8, то

и для всех процессов (X, р), таких, что (X (/), р (/)) е ^, р(Х(О)<ф(Х<, р')." (XV. 7-7)

Эта теорема утверждает, что накопление в равновесной ситуации является функцией от одного только а и не зависит от термического градиента Ь, что равновесная реакция накопления р является потенциалом для реакции натяжения при равновесии и что среди всех процессов, заканчивающихся в данной равновесной ситуации, процессу, который все время находился в этой ситуации, соответствует наименьшее возможное значение накопления в этой точке. Мы скажем еще кое-что относительно последнего обстоятельства в конце параграфа, а пока обратимся к доказательству теоремы.

Доказательство. Пусть (X*, р") — произвольный элемент из Ф*, такой, что (Х*(0), р*(0))е^. Тогда для некоторого момента /0 и некоторого процесса (X, р) из Ф имеем Х*’ = Х* и р<о = р*. По аксиоме 4 постоянное продолжение (X^j, р((,}) процесса (X, р) также принадлежит Ф, и так как (X (/0), р (/0)) е <8, из (5) и (3) следует, что при t">tQ.

9 « р*) = ф (Х&}, р^) > ф (Х^}, pf#e}). (XV. 7-8) Перейдем теперь к пределу при /->оо. По аксиоме 5 получим

ф (X*. р*) > р (X (/0), р ^." (XV. 7-9)

С точностью до обозначений мы получили искомый результат (7) с одним лишь отличием: пока не доказано, что р сводится к функции от одного только а.

Чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что если (a, b) s #, то

[дар(а, Ь)-ед(ас, Ьс)] • 1<0 VI,

[дьр (а, Ь) - ед (ас, Ьс)] • m < 0 Vm. (XV‘ 7‘10)

Действительно, из этих неравенств следует, что обе величины в квадратных скобках равны нулю. Таким образом, значения двух отображений D^ и Дцф для предыстории-константы (ас, Ьс), значение которой совпадает с равновесной ситуацией (а, Ь), являются значениями соответствующих частных производных от равновесной реакции накопления р в этой ситуации, а тогда утверждение теоремы следует из соотношений (XV. 6-9) 1,2 и определений (1).

Мы докажем неравенство (10)ь предоставив читателю самому провести аналогичное доказательство неравенства (10)2. Пусть (а, Ь)е^, (ас, Ьс) — соответствующий процесс-константа, (а^, Ьс)~ . линейное продолжение этого процесса с параметрами (1, 0) в момент времени / = 0, а ((а^у, Ьс) — предыстория этого продолжения. Применение к этому процессу цепного правила (XV. 6-5) дает

Аф((а^, b=) = D^((a?y, b^ .1 + D^((a^, bc). (XV.7-11)

В частном случае 1 = 0 это соотношение, как мы уже отмечали ранее в этом параграфе, превращается в.

АФ(ас, Ьс) =0.(XV. 7-12)

По. аксиоме 3 значения как Охф, так и 0$ всегда представляют собой функции, непрерывные справа. Поэтому, переходя в (11) к пределу при /->4-0, -мы находим с учетом (12), что .

(XV. 7-13)(XV. 7-14)(XV. 7-13)(XV. 7-14)' ОД (ас, Ьс) • 1 = lim ф ((a=V, Ьс)1.

(XV. 7-13)

(XV. 7-14)

(XV. 7-13)

(XV. 7-14)

Положим теперь

А^[^р(а, Ь)-ОД(ас, bc)] • 1.

В силу (13) и определения (1)! отображения р

А = limА = limt->+ot->+oр (а + Л, b) — у (a, b) ^(af/, bc) - SJ? (ас, .' t. tр (а + Л, b) — у (a, b) ^(af/, bc) - SJ? (ас, .' t. t= lim <->+o= lim <->+oьс)ьс)(XV. 7-15)(XV. 7-15)

А = lim

А = lim

t->+o

t->+o

р (а + Л, b) — у (a, b) ^(af/, bc) - SJ? (ас, .' t. t

р (а + Л, b) — у (a, b) ^(af/, bc) - SJ? (ас, .' t. t

= lim <->+o

= lim <->+o

ьс)

ьс)

(XV. 7-15)

(XV. 7-15)

Поскольку множество $ открыто, для данного 1 мы можем найти такое положительное А, что (а + /1, Ь) е $ при 0 ^ t < h, и мы можем считать это h настолько малым, что ^а^у, b)eS\ Далее, так как

(а=у (0) = а + Л, 0 < / < А, (XV. 7-16)

из (9) мы получаем, что при 0^/ < А

р(а + Л, Ь)<ф((а=у, Ьс).р(а + Л, Ь)<ф((а=у, Ьс).(XV. 7-17)(XV. 7-17)

р(а + Л, Ь)<ф((а=у, Ьс).

р(а + Л, Ь)<ф((а=у, Ьс).

(XV. 7-17)

(XV. 7-17)

Из (15) следует, что А^0 VI, чем доказательство теоремы о согласованности с термостатикой' и закончено. ■ ■

Только что доказанная теорема показывает, что для материалов с мгновенно-упругой реакцией классическая термостатика является следствием термомеханической теории, основанной на неравенстве Клаузиуса — Дюгема.

Мы изложили теорему о согласованности абстрактно, не относя ее к какому-либо способу интерпретации. Обычным образом выписываются результаты в формах, соответствующих трем стандартным способам интерпретации. Например, исходные предположения записываются для этих трех интерпретаций соответственно в видах ' •

ф — ^Р', 9', (Grade/), в — б^, т/. (Grade/), ' (XV. 7-18) T) = §(F,) в', (Grade/).

Формулы становятся весьма длинными, и читатель, который хочет взглянуть на них, может сделать это, возвратившись к теории квазиупругой реакции (§ 5) и заменив f, е и соответственно на $, 6 и ф, а затем др на Dp, дв на 2)е и т. д. Конечно, при этом читатель должен ограничиться лишь теми результатами, которые имеют аналоги среди результатов данного параграфа; неравенство Планка к их числу не относится.

Единственное, что мы сами здесь выпишем, — это три интерпретации неравенства (7).

Первая:'

f(F(f), е(0)<№, 9(, (Grade/) (XV. 7-19)

наименьшая плотность свободной энергии, которую некоторая материальная точка может иметь в ситуации (Fo, 90), соответствует тому случаю, когда она все время находилась в этой ситуации.

Вторая:

е (F (0, т| (0) < ® (Г'» т/. (Grad 9/) (XV. 7-20)

наименьшая плотность внутренней энергии, которую некоторая материальная точка может иметь в ситуации (Fo, Ло). соответствует тому случаю, когда она все время находилась в этой ситуации..

Третья:.

.^(F(0, e(0)>§(F,1 в*. (Grade/) (XV.7-21)

наибольшая плотность калории, которую материальная точка может иметь в ситуации (Fo, во), соответствует тому случаю, когда она все время находилась в этой ситуации.

Эти утверждения могут быть использованы в качестве формулировок трех экстремальных принципов классической термостатики. Как и следовало ожидать, предыстория градиента температуры ни в каких своих аспектах никак не влияет на определение этих трех экстремальных значений.

16 ТпиГПРПЛ

Приведенные выше интерпретации экстремальных принципов не являются единственными возможными. В подходе Гиббса рассматривается не материальная точка, а тело и сравниваются все стационарные поля, определенные на этом теле, без какого бы то ни было использования представлений о процессе. '

Читатель не должен забывать сделанное нами предостережение о том, что, хотя все три теоремы об экстремальности формально являются частными случаями одного и того же неравенства (7), они основаны на разных предположениях о гладкости. Предположения, ведущие к первой из них, относятся к 8, ведущие, ко второй — к @, а ведущие к третьей — к $. В общем случае эти три группы предположений не будут эквивалентны друг другу. В одном отношении, однако, их можно объединить, если сделать общее допущение об обратимости равновесных реакций f, е и К В этом случае придание постоянных значений любой из пар (F, 9), (F, т]) и (F, е) означает одно и то же. Материальную точку, для которой имеет место такая предыстория, можно назвать термомеханически зафиксированной. Тогда мы можем сказать, что если равновесная реакция материальной точки достаточно гладка, то эта материальная точка, будучи тёрмомеханически зафиксированной в равновесной ситуации, имеет наибольшие плотности свободной энергии й внутренней энергии и наименьшую плотность калории из всех, которые она когда-либо сможет иметь в такой ситуации. Внешне в этом утверждении совсем не учитывается градиент температуры, однако на самом деле это не так, поскольку оно относится к равновесной ситуации, а определение равновесной ситуации накладывает определенные ограничения на значение grad 9 и в большинстве приложений приводит фактически к требованию grad 9 = 0.

Сам Колеман в своем исследовании Материалов с памятью продвинулся дальше теоремы, доказанной нами в этом параграфе. Он установил существование взаимосвязи между термостатикой и термодинамикой медленных процессов. А именно он показал, что материал с затухающей памятью Колемана — Полла следует уравнениям термостатики в предельном случае замедления любого данного процесса (§ VI. 1 и XIII.7). Тем самым он выявил роль теории термоупругости как приближенной теории для случая очень медленных движений всех материалов из некоторого обширного класса. Читатель, внимательно прочитавший § XIII. 7, увидит в этом результате обобщение на случай термодинамики теоремы Колемана — Нолла о роли теории упругости по отношению к простым материалам с затухающей памятью в чистой механике. За подробностями читатель отсылается к мемуарам Колемана, указанным в конце главы.

Теорема Колемана для материаловс мгновенно-упругой реакцией.

III. Следствия, относящиеся к циклическим процессам

Вернемся к абстрактной теории и применим теорему Колемана, изложенную в двух предыдущих параграфах, к некоторым специальным циклическим процессам. Это циклические процессы, являющиеся продолжениями процесса-константы, идущего от равновесной ситуации (см. § 7). Другими словами, если /1 — время начала цикла, а /2— время его конца, то

(X (/), ц (/)) = (а, Ь) прн — оо < t < /р'

X(f2) = a, '(XV. 8-1)

(а, ц (/2)) G #.

Не обязательно, чтобы ц(#2) = Ь, хотя, как мы уже говорили в предыдущем параграфе, в большинстве приложений требование b = О входит в качестве составной части в определение равновесной ситуации. Для того, что мы собираемся доказать, нег необходимости, чтобы при t\<t<t2 ситуация (Х(/), р(/)) была равновесной.

Для циклов определенного сейчас вида обозначим через Ал приращение л после обхода цикла:

Ал = л (/2) - л (/,).(XV. 8-2)

В силу (XV. 7-6),.,

.лв) = р(а).(XV. 8-3)

Поскольку Х(/2) = а, а из, (XV. 7-7) вытекает, 'что

л (/2) = ф (Х\ ^) > р (X (/2)) = р (а). (XV. 8-4)

Следовательно,-

Ал>0.- (XV. 8-5)

Это неравенство выражает собой первое следствие относительно циклических процессов: В циклическом процессе, служащем продолжением процесса-константы от равновесной ситуации, функция накопления не может убывать. Поскольку нигде не требуется, чтобы /2 —1\ было наименьшим периодом циклического процесса, мы можем применить это следствие к любому числу повторений циклического процесса, при том одном условии, что первое из них является продолжением процесса-константы. .

Наиболее интересны приложения этого результата не к теории деформируемых сплошных сред, а к теории однородных процессов, Изложенной р § XIV. 1—3. В этой теории процессы имеют характер рассматриваемых здесь

процессов по одному X; и отсутствует; неравенство Клаузиуса — Дюгема эквивалентно неравенству Клаузиуса, и потому каждая ситуация, в которой находится какой-либо процесс, обязательно является равновесной.

В пределах класса тел, определяемого соотношениями (XIV. 2-9), тела, обладающие мгновенно-упругой реакцией, оказываются частным случаем тел, определенных в § 6. Выяснение деталей, касающихся установления соответствия между переменными, мы предоставляем произвести читателю в упр. XV. 2.4 и XV. 6.2. Понимая под л вначале Е, а затем Н, мы можем на основании первого следствия относительно циклических процессов прийти к заключению, что в любом цикле, продолжающем процесс-константу, внутренняя энергия не может убывать, а плотность калории не может возрастать, т. е. выполняется соотношение (XIV. 3-13). Таким образом, классическая оценка (XIV. 3-14) выполняется для всех тел с мгновенно-упругой реакцией, если рассматриваемый цикл является продолжением процесса-константы.

При истолковании этого результата мы должны предполагать, что рабочее тело было в бездействии до момента пуска машины. Для тел, следующих «уравнениям состояния», требование такого рода не нужно, но коэффициент полезного действия для рабочего тела с памятью будет в общем случае зависеть от предыстории того процесса, который совершало тело до того, как его вынудили совершать цикл. Понятно, что прн некоторых процессах в теле может запасаться энергия и оно может «выдать» коэффициент полезного действия, превосходящий классический.

Обращаясь вновь к общему классу материалов с мгновенноупругой реакцией, рассмотрим теперь циклы несколько более специального вида, для которых мы предполагаем не только, что имеет место (1), но также и что каждая из проходимых ситуаций является равновесной:

(X (0, н (0) s £ - оо < t < t2. (XV. 8-6)

Интегрируя (XV. 6-11), от /, до t2, получим

Ал = л (/2) - л (О =" / $ (^, ^) - X (0 ^ + J D$ (X*, f?) dt <

C J $ (X', F?) • X (0 dt; (XV. 8-7)

здесь второй шаг следует из (XV. 6-12) и предположения о том, что каждое из значений процесса (Л, ц) представляет собой равновесную ситуацию и потому удовлетворяет соотношению (XV. 7-4).

В силу (5) мы получаем следующее второе следствие относительно циклических процессов: В цикле, продолжающем процесс-константу и проходящем только через равновесные ситуации,

| т (/) • ЦГ^>0. (XV. 8-8)

Интеграл, положительность значения которого здесь утверждается, представляет собой своего рода обобщенную работу. Чтобы понять смысл следствия, выпишем его выражения при трех стандартных способах интерпретации.

При первом способе имеем

(XV. 8-9)(XV. 8-9)

(XV. 8-9)

(XV. 8-9)

или, эквивалентно,

(XV.8-10)(XV.8-10)

(XV.8-10)

(XV.8-10)

(XV. 8-12)(XV. 8-12)где ty— мощность напряжений.

(XV. 8-12)

(XV. 8-12)

При втором стандартном способе интерпретации получаем

из (8)

[(f + фоо,

(XV. 8-11)

а при третьем

0,0,

0,

0,

Три интегральных неравенства (10)—(12) утверждают неотрицательность трех видов обобщенной полной работы в циклических процессах, продолжающих процесс-константу и проходящих только через равновесные ситуации. Их проще истолковывать в тех частных случаях, когда соответственно 6 = 0, f) = 0, ё = 0. Тогда первые два условия дают

(XV. 8-13)

а третье

(XV. 8-14)

Подинтегральное выражение в (13) представляет собой работу, совершаемую напряжениями в единицу времени, в расчете на единицу массы, или удельнуюхмощность напряжений. Мы можем выразить этот результат в сйлу следующего дополнительного

следствия-. В циклическом процессе, продолжающем процесс- константу, ■проходящем только через равновесные ситуации и являющемся изотермическим или изокалорическим, удельная работа, совершаемая напряжениями, для каждой материальной точки неотрицательна.-

Если бы мы захотели такими же словами ойисать соотноше- . ние (14), нам пришлось бы назвать «удельной мощностью напряжений» на ю/р, a ty/(p6).

Возможно, интереснее применение соотношения (12) к изотермическим процессам, для которых получаем

.Де — е^-е^Х J — dt. (XV.8-15)

В частных теориях определяющие соотношения таковы, что из них следует, что для цикла Ае = 0, и тогда (15) сводится к (13).

В более общей теории неравенство (15) означает, что увеличение плотности внутренней энергии в изотермическом цикле не может превзойти полной работы напряжений. Иными словами, количество энергии, запасенное в теле-точке в любом изотермическом цикле, не может превзойти работы, совершаемой в этом теле-точке за цикл. С учетом (III. 6-6) мы видим, что (15) эквивалентно неравенству

■tn'. .

.J (-divh + sjdXO.(XV.8-16)

В тех теориях, в которых пренебрегают теплопроводностью, из этого неравенства следует, что в изотермическом цикле к телу нельзя подвести тепло — факт, который можно установить и проще. В общей теории неравенство (16) представляет собой некоторую оценку эффектов теплопроводности.

Наше дЬполнительное следствие в случае однородных процессов (§ XIV. 2-3) соответствует классическому утверждению, что «вечное движение второго рода невозможно». При таком движении из тела извлекают работу, заставляя его совершать цикл при постоянной температуре или постоянной Плотности калории..

, В прежней термодинамике в формулировках результатов относительно циклических процессов на эти процессы не налагалось никаких специфических ограничений. Здесь же мы потребовали, чтобы процесс был постоянен до момента 6 и проходил только через равиовесиые ситуации. Второе из этих требовании такого рода, что при расплывчатости прежних подходов его просто нельзя было усмотреть; первое требование отражает характер той затухающей памяти, которой мы наделяем материал ’согласно аксиоме 5 предыдущего параграфа..

.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ '

(работы общего характера)

С. Truesdell, Rational thermodynamics. A course of lectures on selected topics, N. Y., McGraw-Hill, 1969.,

W. A. Day, The thermodynamics of simple materials with fading memory, Springer Tracts on Natural Philosophy, vol. 22, Berlin, etc., - Springer, 1972. ТРусский перевод: У. Дэй, Термодинамика простых сред с памятью, «Мир», М., 1974.].-■

D. Coleman & W. Noll, The thermodynamics of elastic materials with heat conduction and viscosity, Arch. Rational Meeh. Anal., 13 (1963), 167—178.

D. Coleman & V. Mizel, Existence of caloric equations of state in thermodynamics, J. Chemical Physics, 40 (1964), 1116—1125.

D. Coleman, Thermodynamics of materials with memory, Arch. Rational Meeh. Anal, 17 (1964), 1—46. (Сводное изложение этой и последующей статей даио в NFTM, § 96 bis.)

В. D. Coleman, Thermodynamics, strain impulses and viscoelasticity, Arch. Rational Meeh. Anal., 17 (1964), 230—254.

Глава XVI

Распространение волн в диссипативныхматериалах

Определения. Общие принципы

Теория слабых волн -в том виде, в каком она рассматривалась нами в теории упругости (гл. XI), легко обобщается на случай термомеханических теорий. Предполагается, что читатель помнит определения и основные теоремы, связанные с сингулярными поверхностями (§ XI. 1-4). В термомеханике определение каждого типа волн должно быть дополнено путем присоединения некоторого условия на специфически термодинамические переменные. Мы сделаем это, потребовав, чтобы на сингулярной поверхности порядка п температура 6 и ее производные по пространству и времени до (п— 2)-го порядка включительно существовали и были непрерывными и чтобы разрыв, имеющий место на поверхности, происходил таким образом, чтобы к предельным значениям (п—1)-х производных была применима лемма Адамара. В частности, на волне порядка 2 или выше мы имеем по определению.

[е] = о,(XVI. i-i)

а по теореме Максвелла (XI. 2-4)

[Grad 6[ = 0п,

(XVI. 1-2)

где пх — единичная нормаль к сингулярной поверхности в конфигурации х(^), Sx—скорость распространения в х(^?), а 0 — скаляр. Таким образом, амплитуда волны имеет в данном месте и в данный момент две компоненты: кинематический вектор амплитуд ах, свойства которого были определены в гл. XI, и скаляр 0, который можно назвать термической амплитудой. Такое определение — это не совсем то же,, что простое утверждение, что поверхность сингулярна по отношению к (Grad 6, 0), поскольку мы не исключаем возможности того, что '0 = 0, хотя требуем, чтобы ах =# 0.

Точно так же как в § XI. 5 мы Применяли теорему Кочина (XI. 5-4) к уравнению количества движения, чтобы получить условия Пуассона, мы можем теперь применить ее к уравнению

баланса энергии (III. 6-5) при обычных предположениях о гладкости. В результате получим условие Фурье

[hln = 0,(XVI. 1-3)

или в эквивалентной форме

[Ьх]Пх = 0.(XVI. 1-4)

Таким образом, тепловой поток через поверхность слабого разрыва непрерывен, хотя поле тепловых потоков может и не быть непрерывным.

В большинстве термомеханических теорий определяющие соотношения имеют такой вид, чтобы в соответствии с ними на сингулярной поверхности порядка 2

[Тх]=0, [т)1 = 0, [61 = 0. (XVI. 1-5)

и

[Grad 0] =0=Ф [hx] = 0.(XVI. 1-6)

В последующих параграфах мы убедимся, что эти четыре условия действительно выполняются в тех специальных теориях, которые мы будем рассматривать. Сейчас мы покажем, что если они выполняются, то из них легко получаются простые соотношения, связывающие между собой кинематические и термическую амплитуды.

Сперва напомним, что из (5)1 следует лемма Гуртина

[Tx]nx = -pxS^ax(XI. 5-11)

в предположении, что [Ь] = 0, которое мы всюду ниже будем считать выполненным. Выведем аналогичное соотношение 'для теплового потока. Вычисляя скачок выражения (XV. 2-10), получаем в силу (5)з и (1)

■^(Divhxl = 0 hl(XVI. Г-7)

при условии, которое мы всюду ниже будем считать выполненным, что [s[ = 0.

Упражнение XVI. 1.1. Действуя в той же последовательности, что и в § XI. 5, показать, что

[hl = 0=7 [ hx ] . nx = - pxesx[T)L(XVI. 1-8)

Имея в своем распоряжении описанный выше набор средств, перейдем теперь к рассмотрению природы волн порядка 2 в телах, состоящих из некоторых специальных диссипативных материалов.

Нас будут особенно интересовать сингулярные поверхности двух специальных видов: те, для которых■

Ы=0, [Gradr]]=0,(XVI. 1-9)

называемые гомокалорическими, и те, для которых

[0]=О, [Grade] =0,(XVI. 1-10)

называемые гомотермическими.

В силу (1), (5)2 и теоремы Максвелла (XI.2-4) из соотношений (9) и (10)2 следуют соответственно соотношения . (9) i и (Ю)ь Указанные названия выбраны потому, что соответствующие условия тривиальным образом выполняются, когда т] и 0 суть определенные всюду поля, постоянные во все моменты времени.".■

Волны в термоупругих материалах

Во всем, что относится к термоупругим материалам, мы отсылаем читателя к § XV. 3; чтобы сделать изложение конкретным, мы воспользуемся первой стандартной интерпретацией и потому будем опираться на соотношения (XV.3-18). Из них сразу видно, что условия (XVI. 1-5) выполнены, а определяющее соотношение (XV. 3-45) обеспечивает выполнение условия (XVI. 1-6). Таким образом, справедливы все результаты, приведенные в предыдущем параграфе: в частности, мы можем ис- пользов.ать (XI.5-11) и (XV. 1-8)2. - -''

Дальше мы будем действовать точно так же, как в § XI. 6 при изучении слабых волн в упругих телах. Дифференцируя (XV. 3-18)2 по времени, получим

tx = A[F] + pxB0,(XVI. 2-1)

где. _.

.A = p,dpf, B = dedFf.(XVI. 2-2)

Отметим, что А, будучи второй производной от скаляра по тензору, является симметричным тензором четвертого порядка:

Л ^ = ^Qf^f^ = ж(XVI. 2-3)

В соответствии с их определениями А и В являются функциями только от F и 0 и потому не испытывают скачка на поверхности слабой сингулярности-. Таким образом,

.[T,]=A[[F]1 + B[0],(XVI. 2-4)

так что

1Тх]Пх = АЦР]]Пх + Впх[0Ь (XVI.2-5)

Теперь подставим в это соотношение различные выведенные уже выражения для скачков временных производных через амплитуды, а именно (XI. 5-11) для [TxJnx, (XI. 4-3)i для [^] и (XVI. 1-2)2 для [6]. Мы получим

(Ах - Рх^) а, + р BLX = О, (XVI. 2-6)

A xfem\— АктЛ-^а^^’A xfem\— АктЛ-^а^^’(XVI. 2-7)(XVI. 2-7)где ах—кинематическая амплитуда, 0 — термическая амплитуда, sx—скорость распространения в отсчетной системе и

A xfem\— АктЛ-^а^^’

A xfem\— АктЛ-^а^^’

(XVI. 2-7)

(XVI. 2-7)

L, = Bnx.

Ах - Ах.Ах - Ах.При получении соотношения (6) мы сократили на множитель sx и, следовательно, предположили, что рассматриваемая сингулярная поверхность представляет собой волну. Из соотношений (7) видно, каким образом Ах и Lx зависят от единичной нормали к сингулярной поверхности в отсчетной системе (не указываемой нами в обозначениях). Наиболее важно то обстоятельство, что для любого пх тензор А, симметричен;

Ах - Ах.

Ах - Ах.

(XVI. 2-8)

Теперь мы можем аналогичным образом исследовать скачок т]. Согласно (XV. 3-18)з

ri = -tr(BTF) + Ce,(XVI. 2-9)

где В определяется соотношением (2)2, а

С = -д2^ = ^(XVI. 2-10)

(последнее выражение следует из (XV. 3-21)1). Поэтому в силу (XI. 4-3)4 и (XVI. 1-2)2

(XVI. 2-11)(XVI. 2-11)[л ] = Sx (Lx • ах — С0).

(XVI. 2-11)

(XVI. 2-11)

Соотношения (6) и (11) являются центральными результатами. Они показывают, что, когда волна распространяется в термоупругом теле, ее скорость и амплитуда в общем случае не удовлетворяют тому простому условию распространения, которое для упругого тела дает теорема Френеля — Адамара \(§Х1.6).

В двух частных случаях, однако, получается просгое условие ’распространения. Первый случай — это гомотермическая волна ,с термической амплитудой 0 = 0. При этом (6) принимает вид

(Ах Px^xl) Их 0.(Ах Px^xl) Их 0.(XVI. 2-12)(XVI. 2-12)

(Ах Px^xl) Их 0.

(Ах Px^xl) Их 0.

(XVI. 2-12)

(XVI. 2-12)

Поэтому Ах называется гомотермическим акустическим тензором. Для гомокалорической волны левая часть соотношения (11) обращается в нуль, и можно вычислить термическую амплитуду:

C@ = L,-ax.(XVI. 2-13)

Соотношение (10), связывающее С с теплоемкостью, показывает, что можно ожидать, что С > 0, хотя нет никакого термодинамического принципа, из которого следовало бы, что это должно быть именно так. Мы просто предположим, что xF > 0, и тогда получим из (6) теорему Дюгема:

(А.-рХ1)а. = 0,(XVI. 2-14)

где

р е

A. = A. + -^-U® U.(XVI. 2-15)

Соотношение (15) имеет ту же классическую форму, что и (12), но с другим тензором Ах, называемым гомокалорическим акустическим тензором. Этот тензор также симметричен:

AJ = А„(XVI. 2-16)

Все эти результаты подытоживает

Теорема Френеля — Адамара — Дюгема. В термоупругом теле амплитуды и скорости распространения гомотермических и гомо- калорических волн удовлетворяют уравнениям распространения того же вида, что и для гиперупругого материала. Акустическими тензорами для этих двух случаев являются соответственно А, и А.; компоненты этих тензоров даются формулами

A-^km = P^dfkdF mf (F, 6) П,аМ,

“ 9(XVI. 2-17)

A xftm “ Pxdftdf^C (F, T)) ПжаП*р.а p

Оба эти тензора симметричны; друг с другом они связаны соотношением (15).

Последнее утверждение этой теоремы еще не было доказано, и его доказательство мы предлагаем провести читателю в качестве упражнения.

Упражнение XVI. 2.1. Доказать (17)г-

Упражнение XVI. 2.2. Конкретизируя соотношение. (15) применительно к случаю термоупругой жидкости, доказать, что из него следует (XVI. 5-25).

Поскольку оба акустических тензора А» и А» симметричны, акустические числа для гомотермических и гомокалорических волн вещественны. Кроме того, соотношение Дюгема (15) показывает, что если гомотермические акустические числа положительны, то положительны и гомокалорические, хотя обратное не обязательно верно. Далее, гомокалорические и гомотермические акустические оси в общем случае отличаются друг от друга. Читатель, который помнит содержание § XI. 6 — 9, легко даст истолкование этих утверждений, а также посмотрит, что получается в частном случае изотропных материалов.

Установленные здесь результаты относительно волн в термоупругих телах во многом таковы, как и следовало ожидать на основе классической теоремы о потенциале, изложенной в § XV. 3, хотя их и нельзя вывести из этой теоремы. Они позволяют нам наглядно представлять два специальных случая распространения волн в термоупругих телах с помощью ассоциированных с ними гиперупругих тел. Наличие такой связи позволяет непосредственно переносить на гомотермические и гомокалорические волны общие теоремы о волнах из теории гиперупругости. С другой стороны, это мало помогает при расчетах каких-либо специфических характеристик, поскольку ассоциированные гиперупругие тела Оказываются различными для разных значений Виц, причем обычно неоднородными, даже если термоупругое тело -однородно. Если только 0 и ц не постоянны всюду, ассоциированное гиперупругое тело будет в общем случае своим в каждой точке конфигурации термоупругого тела.

В общем случае нет причин ожидать, что термоупругая волна попадает в один из рассмотренных здесь специальных классов. Для других типов волн мы должны подставить определяющее. соотношение для теплового потока в (XVI. 1-8) и получить Таким образом дальнейшие ограничения на амплитуды. Одним из скачков будет при этом [GradO], его нужно будет связать с термической амплитудой и ее градиентом на сингулярной . поверхности. Мы, однако, не будем заниматься этими сложными вопросами. Вместо этого мы сейчас убедимся, что в двух частных случаях термоупругих тел волны тех типов, которые мы уже исследовали, являются единственно возможными.

Прежде всего назовем термоупругое тело не проводящим тепла (или, короче, непроводящим'), если тепловой поток h для него равен 0. Соотношение (XVI. 1-7) показывает, что тогда [т]]= 0. Таким образом, в непроводящем теле каждая ■слабая волна является гомдкалорической. Именно благодаря этому простому факту (обнаруженному нами в весьма частном случае) гомокалорическую скорость звука в газе стали рассмат-

ривать как величину, подлежащую сравнению с экспериментальными данными.

Далее, чтобы рассмотреть эффекты теплопроводности, применим условие Фурье (XV. 1-4) к значению реакции теплового потока ^ в отсчетной системе:

[^(g+IgD-^CgH-n^o' (XVL2-18)

Здесь опущены аргументы F и 0 как не играющие никакой роли в рассуждении, котороё мы собираемся провести, и Grad0 обозначен через g. Поскольку на поверхности слабой сингулярности выполняется соотношение (XVI. 1-1), мы можем воспользоваться соотношением (XVI. 1-2)] и получить

' 0nx-[^(g+0nx)-^(g)] = O, (XVI. 2-19)

где 0 — термическая4 амплитуда сингулярной поверхности. До сих пор наше рассмотрение носило общий характер. Назовем теперь материал определенно-проводящиМ, если для него

m.[^(g;+m)-^(g)] = 0^m = 0. (XVI. 2-20) Так как пх —единичный вектор, соотношение (19) может иметь место для определенно-проводящего материала в том и только в том случае, если 0 = 0. В силу (XVI. 1-2) такая сингулярная поверхность гомотермична. Тем самым доказана следующая

Теорема о волнах в определенно-проводящих материалах (Трусделл, Колеман & Гуртин). Все волны в термоупругих on- ределенно-проводящих материалах являются гомотермическими.

Смысл понятия определенно-проводящего материала, возможно, проще ухватить, если сформулировать его в терминах проводимости К, определяемой следующим образом:

K=de^(F, 0, g), (XVI. 2-21)

где теперь g = grad0. В том частном случае, когда g = 0, К сводится к Ко — равновесной проводимости, определенной соотношением (XV. 3-16). В § XV. 3 мы показали, что тензор Ко должен быть положительно-полуопределенным. Если мы наложим более сильное ограничение, потребовав, чтобы тензор К был положительно определенным для всех значений аргумента g, то условие (20) выполняется и материал является опреде- ленно-проводящим. .

Волны в материалах с памятью

В телах из материалов с памятью существует масса возможностей в отношении волн. В некоторых частных видах материалов с инфинитезимальной памятью возможны лишь волны

сугубо специального характера, либо волны вообще невозможны. Читатель, проделавший упр. XV. 5.4, легко убедится, что в теории жидкостей Навье — Стокса не могут, даже на мгновение, существовать слабые волны. С другой стороны, в других материалах с подобной же инфинитезимальной памятью могут распространяться волны всех типов, как показывает следующее упражнение.

Упражнение XVI. 3.1. Уравнение в частных производных, описывающее малые поперечные колебания струны с линейным трением, имеет вид -

од^и — Тд^и-Кд^,(XVI. 3-1)

где О, Т и К — постоянные, причем К > 0. Найти -решения, соответствующие волнам произвольного порядка, и показать, что точно так же, как и для струны без трения, скорость распространения всех этих волн равна ± УТ[<5-

Длительная память часто оказывается совместимой с распространением волн. Весьма простой и очевидный пример дает теория квазиупругого поведения, изложенная в § XV. 5. Из соотношения (XV. 5-5), записанного применительно к первому стандартному способу интерпретации, видно, что все предположения, сформулированные в § 1, выполняются. Единственным условием, нетривиальным образом отличающимся от соответствующего условия термоупругости, является равенство [6] = 0, однако оно является простым следствием соотношения (XV. 5-5)з- Когда мы переходим к различным деталям, рассмотренным в § 2, нужно аккуратно учитывать зависимость от t в соотношении (XV. 5-5). Например, вместо (XVI. 2-1) мы получим из (XV. 5-11)1'

tx = A [F] + рхВ6 + pxd#dFf.(XVI. 3-2)

Однако, поскольку ^dFf, будучи непрерывной функцией от F, 6 и /, не претерпевает разрыва на волне, мы снова получаем соотношение (XVI. 2-4), равно как и все другие результаты § 2.

Установленные только что результаты позволяют сильно расширить область, в которой применима теория волн в гиперупругих материалах. В обширном классе материалов с длительной памятью соотношение между скоростями и амплитудами гомо- термических и гомокалорических волн оказывается в точности таким же, каким оно было бы в некотором гиперупругом теле. Каково именно это тело, зависит от тела-точки и предысторий деформации и температуры, им испытываемых. Поэтому все, чего мы можем -ожидать от такого подхода, — это качественная картина, а не детальное описание.'

’ Существует также абстрактная теория материалов с мгновенно-упругой реакцией. В ней приходится вводить еще аксиомы, кроме тех, которые были сформулированы в § XV. 6, hq

даже и при дополнительных аксиомах в этой теории не доказано, что гомртермический и гомокалорический акустические тензоры симметричны..

Значительно более конкретные результаты такого рода были получены ранее Колеманом, Гуртином и их сотрудниками в теории материалов с затухающей памятью Колемана — Нолла. Ими проведены великолепные явные расчеты роста и затухания волн различных типов и форм при распространении их по телу.

В настоящее время имеется обширная термомеханическая литература о распространении волн; чтобы воздать ей должное, потребовался бы целый трактат. Некоторые из основных работ указаны ниже.

. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ(работы общего характера)

Р. J. Chen, Growth and decay of waves in solids, Flugge’s «Handbuch der Physik», VIa/3, ed. C. Truesdell, Berlin, Springer, 1972.

Truesdell, Rational thermodynamics. A cours of lectures on selected topics, N. Y., McGraw-Hill, 1969, лекция 4.

D. Coleman & M. E. Gurtin & I. Herrera, Waves in materials with memory. I. The velocity of one-dimensional shock and acceleration waves, Arch. Rational Meeh. Anal., 19 (1965), 1—19. (Эта статья, как и три последующие, воспроизведена в «Wave Propagation in Dissipative Materials», N. Y., Springer, 1965.)

D. Coleman & M. E. Gurtin, Waves in materials with memory. If. The velocity of one-dimensional shock and acceleration waves. Arch. Rational Meeh. Anal., 19 (1965), 239—265.

D. Coleman & M. E. Gurtin, Waves in materials with memory. III. Thermo. dynamic influence on the growth and decay of acceleration waves, Arch.

Rational Meeh. Anal., 19 (1965), 266—298. .

D. Coleman & M. E. Gurtin, Waves in materials with memory, IV. Thermodynamics and the velocity of general acceleration waves, Arch. Rational Meeh. Anal., 19 (1965), 317—338..

D. Coleman & J. Greenberg & M. E. Gurtin, Waves in materials with memory. V. On the amplitude of acceleration waves and mild discontinuities, Arch. Rational Meeh. Anal., 22 (1966), 333—354.

Приложение I

ОБЩАЯ СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ

Типы букв приводятся в том порядке, в котором они появляются в книге. В отдельных параграфах иногда встречаются отклонения от описываемой ниже общей системы обозначений.

Рукописные прописные буквы: з^ $, %, ..., ЗВ, бУ, SB — обозначают тела, множества, области пространства, кривые и поверхности.

Светлые курсивные буквы, как прописные, так и строчные: А, В, С, ... ..., X, Y, Z, а, Ь, с, ..., х, у, z — обозначают скаляры и скалярные функции. Сюда относятся и компоненты векторов и тензоров относительно данных базисов. Исключение: X обычно обозначает тело-точку. Замечание: / всегда обозначает время.

Жирные прямые строчные буквы: а, bu, v — обозначают векторы и векторные функции, за исключением букв х, у, z, которыми обозначаются места. Буква п всегда обозначает ориентированный единичный вектор нормали к поверхности.

Жирные греческие строчные буквы: ф, X, т, ... — в гл. I обозначают отображения, отличные от функций векторов. Буква х всегда обозначает отображение тела на отсчетную конфигурацию (§11. 3). В гл. XV буквами X, ц, т, ... обозначаются функции времени, значения которых представляют собой многомерные векторы, встречающиеся в термомеханике. Замечание: буква х употребляется всегда для обозначения движения илн деформации тела.

Жирные прямые прописные буквы: А, В, ..., U, V, W — обозначают линейные преобразования (тензоры второго ранга) в конечномерных (обычно 3-мерных) векторных пространствах. Исключение: X и Y — это всегда места в отсчетной конфигурации. Замечание: тензоры Q И R всегда ортогональны, W всегда антисимметричен; F — это всегда обратимый тензор, который можно интерпретировать как градиент деформации.

Светлые греческие строчные буквы используются для обозначения четырех различных видов величин:

углов, скоростей изменения углов и некоторых других скоростей;

скалярных потенциалов;

скалярных модулей или характеризующих материалы скалярных функций действительного переменного;■.

начиная с гл. XIV — термодинамических переменных или функций; например, 0 всегда обозначает температуру, а О — обратную к ней холодность.

Исключения:

р — всегда плотность (§ II. 2);.

е — или плотность энергии (§ III. 6), или скалярный параметр, который устремляется к нулю;

6 — или скалярный параметр, который может быть сделан сколь угодно малым, или, начиная с гл. XIV, внутренняя диссипация.

Готические буквы, как прописные, так и строчные, светлые или жирные обозначают определяющие отображения (реакции). Светлые буквы: в, Ь, с, ... ..., 81, ®, G, ... — используются, если значения отображений суть скаляры; жирные: я, Ь, сЯ, 89, 6, ...,—если эти значения суть векторы или тензоры..

Рукописные строчные буквы обозначают группы тензоров; о—это всегда полная ортогональная группа,- и — полная унимодулярная группа, у — некоторая подгруппа группы и.

". Древнееврейскими буквами 8 (алеф), 5 (бет) обозначаются коэффи

циенты реакции для изотропного упругого материала (§ VII. 4).

Светлые греческие прописные буквы 0, Ф используются для обозначения некоторых углов в отсчетной,конфигурации, но, начиная с гл. XIV, — главным образом для обозначения функций времени, описывающих свойства однородного тела в термодинамике.

■ Жирные прямые прописные буквы с чертой внизу: А, В, С, L — обозначают тензоры ранга выше двух над трехмерным векторным пространством.

Индексы

Нижние и верхние индексы используются стандартным образом. Нескольких примеров будет достаточно для пояснения, хотя приводимый ниже перечень далеко не исчерпывающий.■

' Если- а, А и А обозначают в соответствйи со сказанным выше векторы или тензоры, то а<, Л^ и Л;трд обозначают их компоненты относительно данного базиса. Какой именно базис рассматриваетси, всегда указывается. В случае криволинейных координат изредка употребляются обычные обозначения контравариантных и ковариантных компонент,' например а, и а*.

Физические компоненты, т. е. компоненты относительно ортонормироваи- ного базиса, векторы которого направлены по осям координат, обозначаются индексами в угловых скобках: Г (rr), Т (66) и т. п.

Греческие, строчные индексы относятся к системам координат в отсчетной конфигурации х. Например, F^ — компонента тензора F, соответствующая системам координат хк и №. При этом обе системы координат могут быть криволинейными. .■

Жирный индекс каппа, например в выражениях ^х и Ах, напоминает читателю, что используется отсчетная конфигурация х.

Индексы, набранные прямым шрифтом, представляют собой специальные пометы; например, индексы min и шах имеют очевидный смысл, R обозначает «повернутый», с — «постоянный», Т — «транспонированный» и т. п. Нижний индекс при символе д указывают переменную, по которой производится дифференцирование, например 60 — частная производная по 0.

В термомеханнческом контексте нижние индексы иногда указывают переменную, которая считается постоянной. Например, Кг —удельная теплоемкость при Г = const.

Точка сверху всегда обозначает дифференцирование по времени. Например, х—это скорость, а х — поле скоростей,

Приложение II

НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫАЛГЕБРЫ, ГЕОМЕТРИИ И АНАЛИЗА

А. Алгебра

Векторные пространства, базисы. Все векторные пространства, рассматриваемые в этой книге, — это конечномерные, обычно трехмерные, пространства над полем действительных чисел. Их элементы обозначаются прямыми жирными строчными буквами а, Ь, ..., u, v, w, а действительные коэффициенты при них обозначаются курсивными светлыми буквами а, Ь, ..., А, ВНулевой вектор обозначается через 0.

Множество векторов (ub u2, ..., iim) линейно зависимо, если существуют такие числа а1, а2, ..., ат, не равные нулю одновременно, что

o*U| + а2и2 + - • ■ + a um = 0.

В противном случае множество векторов линейно независимо. Выражение, стоящее в левой части приведенного выше равенства, называется линейной комбинацией векторов Ui, u2, ..., um. Множество векторов, являющихся ли- иейными комбинациями векоторов ub и2um, образует подпространство, натянутое на векторы Ui, u2um или порожденное этими векторами.

Размерность п векторного пространства — это число векторов, входящих в наибольшее линейно независимое множество, порождающее все пространство. Размерность всякого подпространства «-мерного пространства не" превосходит п. (Конечно, в этой книге неявно встречаются и бесконечномерные векторные пространства, элементами которых являются функции, но формально они не рассматриваются.).

В «-мерном пространстве каждое заиумероваииое множество (еь е2 ..., ея)', состоящее из п линейно независимых векторов, порождает все про- странство’и поэтому называется базисом. Если и — произвольны^ вектор, то

и = и1 е р.

причем числа и1, и2, ..., и” однозначно определены. В этом выражении, как и всюду ниже в аналогичных случаях, подразумевается суммирование от 1 до « по повторяющимся вверху и внизу индексам. Числа и» называются компонентами1) вектора и относительно базиса (еь е2, ..., еп).

Если (еь е2, ..., еп) — какой-нибудь другой базис, то, конечно, вектор и имеет относительно него, вообще говоря, другие компоненты:

u = и^ ej.

Пусть Л{ — компоненты вектора ек относительно базиса (ер е2еп);

ek = ^1е/> k = 1. 2, ...» п..

Аналогично

.е^Л'е,.

’) Или координатами. — Прим. ред.

Из однозначности разложения по элементам базиса легко вытекает, что

Следовательно, компоненты вектора и относительно двух базисов выражаются друг через друга по формулам

й’= А ,ти’п, и^ — Лдй4.

Лица, предпочитающие вычислительные процедуры абстрактным конструкциям, могут рассматривать этот закон преобразования компонент как определение векторов. А именно, они могут характеризовать вектор заданием его компонент относительно некоторого базиса, а затем использовать закон преобразования для вычисления компонент относительно любого другого базиса. Иными словами, они могут отправляться от перечней упорядоченных наборов из п чисел (и1, и2, ..., и”), («*, й2, ..., йп)..., ассоциируемых с различными базисами, а затем сказать, что различные наборы из п чисел являются компонентами одного и того же вектора, если они связаны между собой нашим законом преобразования.

Линейные отображения. Отображение L векторного пространства У в векторное пространство У называется линейным, если

L (au + bv) = aL (и) + 6L (v)

для любых векторов и и v из V и любых чисел а и Ь. Произведение aL линейного отображения L на число а и сумма двух отображений L и М определяются соответственно формулами

(aL) (u) = a(L(u)),

(L + М) (и + v) = L (и + v) + М (и + v).

Легко показать, что

(L + М) (и + v) = (L + М) (и) + (L + М)(у).

Ядром (или нуль-пространством") линейного отображения L называется множество всех векторов, которые L переводит в 0. Образом отображения L называется множество всех векторов вида L(u). Эти два ’ множества являются подпространствами пространств У* и У соответственно, причем

dim (ядро L) + dim (образ L) = dim У*.

где dim У* — размерность пространства V.

Если dim У1 = dim У, то для линейного отображения L может существовать обратное отображение. Каждое из следующих утверждений дает необходимые и достаточные условия для существования обратного отображения: L взаимно однозначно; L отображает У1 на У, ядро L состоит из одного 0. Обратное отображение, если оно существует, снова, является обратимым линейным отображением. Ойо обозначается через L-1 и удовлетворяет соотношениям L-'L = LL*1 = 1.

Тензоры. Линейное отображение векторного пространства в себя называется тензором (второго порядка). Для тензоров результат применения к вектору записывается как произведение: Lu a L(u).

Отображение, которое переводит любой вектор в 0, есть тензор; этот тензор называется нулевым и обозначается тем же символом 0. Тождественное отображение также есть тензор; он называется единичным тензором и

обозначается через 1. Таким образом, для всех векторов и

0и = 0, 1и = и.

Тензор, который преобразует каждый вектор в противоположный, называется центральной инверсией и обозначается через —I:'

(-l)v = -v.

Композиция тензоров L и М также является тензором; его обозначают через ML и называют произведением тензоров L и М. Множество всех тензоров образует алгебру относительно введенных операций aL, L + М и LM. Как правило, LM #= ML. Если LM = ML, то говорят, что тензоры L н М коммутируют (или перестановочны). Как это принято для алгебр, вместо (— 1)L. или, что то же самое, вместо (—1)L, пишут — L Разумеется, 0L = 0L = 0,- однако если ML = 0, то ни М, ни L не обязаны равняться 0.

Степени тензора L определяются следующим образом:

.L°^l, L'^L, L2=LL и т. д.

Отсюда вытекают правила возведения в степень:

LL=L =LL> (aL) = а L * (L ) =L

при m^O и n ^ 0..■

Если Lm = 0 для некоторого положительного целого т, но Lp ^ 0 при 0 < р < т, то тензор L называется нильпотентным класса tn. Существуют нильпотентные тензоры классов 1, 2, 3, ..., п, ио нильпотентных тензоров больших классов не существует. Другими словами, если Ln+I #= 0, то тензор L не нильпотентеи.■

Тензор L обратим, если существует такой тензор L-1, называемый обратным к L, что.

LL-1 =L“IL=1.

Очевидно, что I-1 = 1 и (—I)*1 = —1. Тензор 0 не является ни обратимым, ни нильпотентным. Необратимые тензоры иногда называют вырожденными.

Произведение двух обратимых тензоров обратимо, также как и произведение обратимого тензора на любое число, отличное от нуля, при этом (aL)-1 = a-'L*1. Если тензор L обратим, то

(l-T-OlT1

и правила возведения в степень распространяются на отрицательные показатели.

. Если (еь ег, ..., еп)—базис нашего векторного пространства, то формулами ",

Le4 = Llej

однозначно определяются числа L^, которые называют компонентами тензора L относительно выбранного базиса. Матрица ЦдЦ’из этих компонент называется матрицей тензора L относительно базиса (ei, е2, .... еп) и

обозначается через [LJ. Таким образом,

l\ ... l^

Разумеется, [aL] = a [LJ. Матрица произведения LM равна произведению матрицы тензора М на матрицу тензора L:

При любом выборе базисаПри любом выборе базиса(LM/z = L^M1(LM/z = L^M1[0] =[0] =ОООООООО001 О1 О0 .0 .ОООО-10.О - 1 .-10.О - 1 .ОООО- Ш =- Ш =, [-Ц =, [-Ц =ооооооооооО ОО О-1-1Еслитак, какЕслитак, какбазисыбазисы(ei, е2е„)(ei, е2е„)и (ец е2,и (ец е2,указано в п. 1, то компоненты I?iуказано в п. 1, то компоненты I?i.... е„) связаны между собой к и Lpq тензора L относительно.... е„) связаны между собой к и Lpq тензора L относительноэтих базисов однозначно определяют друг друга по следующим законам преобразования:■этих базисов однозначно определяют друг друга по следующим законам преобразования:■' тР_ дРди! fl = д^дрцк Lq— AlAqLi’ ^j АкА1ьт*' тР_ дРди! fl = д^дрцк Lq— AlAqLi’ ^j АкА1ьт*

При любом выборе базиса

При любом выборе базиса

(LM/z = L^M1

(LM/z = L^M1

[0] =

[0] =

О

О

О

О

О

О

О

О

0

0

1 О

1 О

0 .

0 .

О

О

О

О

-10.

О - 1 .

-10.

О - 1 .

О

О

О

О

- Ш =

- Ш =

, [-Ц =

, [-Ц =

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

О О

О О

-1

-1

Если

так, как

Если

так, как

базисы

базисы

(ei, е2е„)

(ei, е2е„)

и (ец е2,

и (ец е2,

указано в п. 1, то компоненты I?i

указано в п. 1, то компоненты I?i

.... е„) связаны между собой к и Lpq тензора L относительно

.... е„) связаны между собой к и Lpq тензора L относительно

этих базисов однозначно определяют друг друга по следующим законам преобразования:■

этих базисов однозначно определяют друг друга по следующим законам преобразования:■

' тР_ дРди! fl = д^дрцк Lq— AlAqLi’ ^j АкА1ьт*

' тР_ дРди! fl = д^дрцк Lq— AlAqLi’ ^j АкА1ьт*

Множество всех тензоров *) векторного пространства размерности п изоморфно векторному пространству размерности п. Этот изоморфизм сохраняет операции, названные для обоих рассматриваемых множеств сложением и умножением на числа. Нулевой вектор 0 является образом нулевого тензора 0 при этом изоморфизме. ' ’

Для построенного таким образом векторного пространства размерности п2 можно совершенно так же, как и выше, рассмотреть его линейные отображения в себя. Если М — такой тензор, то его компоненты М^ относительно базиса (еь е2, ..., ет) можно найти с помощью данных выше определений. При изменении базиса эти компоненты преобразуются следующим образом:

Mprs = А1А=АгкА1$М!Х

ЦО I Ц К о / I

Правила подобного типа в свою очередь могут быть использованы для ■эквивалентного определения тензоров высших порядков2) через их компоненты.

Тшзоры рангов, больших двух, используются в этой книге только в некоторых специальных случаях. Относящиеся к ним рассмотрения могут пониматься или абстрактно, нли в терминах компонент, как предпочитает чита; ■ тель. '

,4. Определитель тензора. Определитель матрицы, компоненты которой

равны L^, можно определить следующим образом:■

где e<iZ2“‘zi равняется 1, если последовательность й, i2, ..., it получена из последовательности 1, 2I четной перестановкой, —1, если нечетной перестановкой, и 0 в остальных случаях. Если L — тензор, то определители его- матриц ||L^|| имеют одно и то же значение независимо от выбора базиса (ei, е2, ..., еп). относительно которого вычисляются компоненты тензора. Это общее значение называется определителем тензора:

det L^det || A^fe ||.

Ясно, что

det (LM) = (det L) (det M) = det (ML), det (aL) = a det L и, конечно же, det 1=1, det (— 1) = (— 1)”.

Тензор ■ L обратим тогда и только тогда, когда det L #= 0. Обратимые тензоры образуют группу относительно умножения.'

Тензор L называется унимодулярным, если detL=±l. Унимодулярные тензоры образуют подгруппу группы обратимых тензоров. Эта подгруппа называется унимодулярной группой и обозначается через и.

Эвклидовы пространства. Векторные пространства, встречающиеся в этой книге, снабжены скалярным произведением, обозначаемым точкой. Норма, или 'длина, вектора |и| следующим образом определяется через, скалярное произведение:

.|u|^Ku-u.

Векторы и и v ортогональны (или перпендикулярны) друг другу, если

и • v = 0.

Единственным вектором, ортогональным ко всем векторам, является 0. Более того, если для вектора и произведение u-v ограничено при всех V, то и = 0. Далее,

1U • V I ^ I U | I v|,|u + v|<lu| + |v|.

В первом неравенстве, называемом неравенством Коши, знак «=» имеет место тогда и только тогда, когда векторы и и v линейно зависимы.

Множество всех векторов, перпендикулярных к заданной совокупности векторов, образует подпространство. Это подпространство называется ортогональным дополнением к подпространству, натянутому на заданные векторы, Само векторное пространство есть прямая сумма любого своего подпространства и его ортогонального дополнения. Это значит, что каждый вектор и можно представить в виде суммы однозначно определенных вектора из выбранного подпространства н вектора из ортогонального дополнения.

Если g — линейная числовая функция, определенная на всем векторном пространстве, то существует такой единственный вектор f, что

g (и) = f • и.

Это утверждение есть теорема представления ) для линейных числовых функций.

Если (ец еп) — некоторый базнс, то можно однозначно определить новый базнс (е1, е2, .... е"), потребовав выполнения условий

е/ е —.

Базнс (е1, е2е") называется взаимным (иля дуальным) по отношению к исходному базису. Равенства "и = и^е/ и и = и,е^

эквивалентны соответственно равенствам,

к к и = е • ц, = eft • и. ■

Компоненты Uk называются контравариантными, а компоненты «а—ковариантными компонентами вектора и относительно базиса (еь егеп). Выражение произведении u-v через компоненты таково:

' t i■

U • V = U О/ = UjV .

Базнс (в], ег, ..., еп) называется ортонормированным, если

.(1 при /= 1г,

ер-еб = О/б = < при у #= 6.

Базис ортонормнрован тогда и только тогда, когда он совпадает со своим взаимным: Соответствующие контравариантные и ковариантные компоненты относительно ортонормированного базиса совпадают между собой, поэтому при использовании ортонормированного базиса говорят просто о компонентах.'

Тензорные произведения. Тензорным произведением векторов а и b называется тензор а® Ь, определяемый равенством

(a® b) и = (и • Ь) а, или в компонентах‘

(а ® Ь)/ = а1Ь].

Если (ер е2еп) и (fIt f2, ..., fn) — базисы нашего векторного пространства, то множество тензорных произведений

е/ ® Ч

образует базис пространства тензоров:

L=L^6ey® fft.

Числа L называются контравариантными компонентами тензора L относительно этого базиса. Обычно в качестве fft выбирают ек. Тогда

L = ике; ^ек = ике; ® efc = Цке! ® е6 = L^e1 ® ек.

Здесь Ык — те же самые числа, которые раньше были названы компонентами тензора L относительно базиса (еь ег, .... еп) и точно так же обозначены. Эти числа называют также смешанными компонентами относительно указанного базиса н взаимного с ним. Аналогично числа Lk называются смешанными компонентами относительно базиса (е1, е2, ..., е”) и взаимного с ним. Числа Lik и LT4 называют соответственно контравариантными и кова-

риантными компонентами тензора L относительно базиса (еь ег, .... ея). Если базис ортонормирован, то Uh = L’k = L/J = Ljk-

. Заметим, что,

1 = ву 0 е; = е7 0 е^

Введение тензорных произведений позволяет дать другой метод определения тензоров. Например, если использовать символ а 0 Ь 0 с для обозначения линейного отображения заданного векторного пространства в пространство тензоров (второго ранга), определяемого равенством

(а 0 Ь 0 с) d = (с • d) (а 0 b) Vd, ■

то можно доказать, что произведения е; 0 е^ 0 ек элементов базиса исходного векторного пространства образуют базис Множества линейных отображений указанного вида. Другими словами, если N — произвольное линейное отображение данного векторного пространства в пространство тензоров (второго ранга), то его можно представить в виде

N = M<7*ej0e/0efc,

причем компоненты №к подчинены следующему закону преобразования: Ni!fe=AllAimAfeqN,m('.

Так определенные тензоры имеют ранг три, однако изложенный метод позволяет определить тензоры любого ранга.

Транспонирование. Симметричные и антисимметричные тензоры, проекторы. Для любой билинейной числовой функции В (u, v), определенной для всех векторов и и v, существует такой единственный тензор L, что

.В (u, v) = и • Lv. ■

Это утверждение есть теорема представления для билинейных функций. Пусть тензор L определен указанным путем по функции В. Мы можем определить другой тензор Lt, называемый транспонированным к L, потребовав выполнения равенства

В (v, и) = и ■ LTv.

Имеют место соотношения

■(L+M)T = LT +Мт,

(LM)T = MTLT,

(l^l,

(а 0 Ь)т = b 0 а.

Если тензор L обратим, то и тензор LT обратим, причем

'(lT1 = (L-,)T.

Для смешанных компонент имеем

атук=ц1.

В терминах матриц это значит, что [LT] = [L]T, если компоненты взяты относительно ортонормированного базиса; однако в общем случае [LT] ^ [L]T. Разумеется,,

^ = Ь1к. ^fk = LM, _•

т. е. матрицы контравариантных и ковариантных компонент тензора LT транспонированы к соответствующим матрицам тензора L

Тензоры S и W, для которых

. s = ST, W = - WT,

Называются соответственно симметричными и антисимметричными. Эти определения следующим образом записываются с помощью компонент:

W)k = - WM, W,k — - WM, Wfk = - wfer

Множество всех симметричных тензоров изоморфно Ч-2п(п + 1)-мерному подпространству пространства всех тензоров; множество антисимметричных тензоров изоморфно подпространству размерности Чап(п — 1). Базисами этих двух подпространств служат соответственно следующие наборы линейных комбинаций тензорных произведений векторов базиса (еь е2еп):.

е,®е; + е;®ег i</, и

л е, Д е^ i < /,.

где.’

а Л Ъ = а ® Ь — Ь ® а.

Тензор а Л Ь называется внешним произведением векторов а н Ь. Конечно, он антисимметричен.

, Каждый тензор L единственным образом представляется в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:.

■ L = S+W, где S = 1(L + LT), W = 1(L-LT).

Ортогональные тензоры. Отображение Q эвклидова пространства в себя называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение:

Q (и) • Q (v) — и • V.

Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Q есть обратимый тензор, такой, что

'Q“‘ - QT;1

следовательно, det Q =■ ± I.

Если det Q = 1, то тензор Q называется собственно ортогональным Или поворотом. Центральная инверсия —1 ортогональна; она является поворотом в том и только том случае, когда п четно. Если п нечетно, то одни из тензоров Ci,Q — поворот, а другой — произведение поворота на центральную инверсию.■

Ортогональные тензоры образуют собственную подгруппу группы и, называемую (полной) ортогональной группой о, а повороты образуют собственную подгруппу ортогональной группы.

Следы, скалярное произведение тензоров. След tr L тензора L однозначно определяется следующими двумя условиями:' след является скалярной линейной функцией, определенной на множестве всех тензоров, и

tr (и ® V) = U • V.■

Отсюда следует, что,

.tr L = Lfj = Lj1 = trLT;

другими словами, след тензора совпадает со следом любой из матриц, составленных из его смешанных компонент. Конечно, tr 1 = п, tr 0 = 0.

Скалярное произведение L • М тензоров L и М определяется следующим образом:

LMstr(CMT) = ML.

Это определение превращает Множество всех тензоров L, рассматриваемое как векторное пространство размерности п2, в эвклидово пространство. Норма |L| тензора L определяетси через скалярное произведение обычным образом:

.|L|^/TT==/trLLT;

в компонентах:

L-М — L^M^.\с\=УТ^Л.

Инвариантные подпространства, проекторы, собственные векторы, собственные числа. Если тензор L отображает некоторое подпространство в себя, то говорят, что это подпространство инвариантно относительно L. Для каждого тензора L инвариантными подпространствами служат: всё пространство, тривиальное подпространство {0}, образ L и ядро L. Кроме того, L может иметь и.другие инвариантные подпространства.

Теизор Е называется проектором, если он ндемпотентен: Е2 = Е. Проектор Е называется ортопроектором, если он симметричен: Ет = Е. Для всякого проектора Е существует такой базис, в котором

..0

011

00

0

0

где число единиц равно размерности нивариантного подпространства теизора Е. Если Е — ортопроектор, то такой базис можно выбрать ортонормироваи- ным.

Для любого числа / ядро тензора L — И является инвариантным подпространством для L. Оно называется собственным подпространством тензора L, отвечающим числу I, а его размерность — кратностью числа / для L. Число / называется собственным числом (нли собственным значением) тензора L, если выполнено одно из приводимых ниже эквивалентных условий (а тогда и нее они):

Существует такой ненулевой вектор и, что.

Lu = /и.

Собственное подпространство тензора L, отвечающее числу I, содержит ненулевой вектор.

Кратность числа / для L отлична от нуля.

Элементы собственного подпространства называются собственными векторами, соответствующими заданному собственному числу. Собственное число просто, если его кратность равна 1, т. е. если его собственное подпространство одномерно. Множество всех собственных чисел тензора L называется его спектром. По определению числа, образующие спектр, различны. Характеристическим уравнением для тензора L называется уравнение

р _ цп-v ^ 1г1п-1 _ ... ±/„ = 0,

в котором знаки — и + чередуются, а коэффициенты Ц, называемые главными инвариантами тензора L, определяются следующим образом:

к\ тхтг...тк /)<2•

По определению d^ ^ ...тк равняется 0, если какой-либо из верхних или нижних индексов повторяется или если множества верхних и нижних индексов не совпадают; во всех остальных случаях это выражение равно ±1 в соответствии с четностью и нечетностью перестановки, необходимой для приведения нижних индексов в тот же порядок, в каком стоят верхние индексы. Хотя на первый взгляд определение /л зависит от выбора базиса, в действительности так получаемые числа /л одни и те же во всех базйсах. Ясно, что

/i=trL,•

1п =■ det L

Характеристическое уравнение для L является алгебраическим уравнением п-й степени с действительными коэффициентами. Над полем комплексных чисел оно имеет ровно п корней /|, /2, ..., 1п; они называются характеристическими корнями тензора L. Если некоторый корень имеет алгебраическую кратность к, то он входит к раз в последовательность к> к, ..., I». Комплексные корни попарно сопряжены. Величина К равна сумме всевозможных различных произведений характеристических корней к, состоящих из к сомножителей *). Например, при п = 3

к = к + к + к» „

I? = кк + кк + кк«'

А = ккк-

Каждое собственное число тензора L является характеристическим корнем, и каждый действительный характеристический корень является собственным числом. Кратность собственного числа совпадает с его алгебраической кратностью. Если п нечетно, то L имеет по крайней мере одно собственное число, однако при четном п у L вообще может не быть собственных чисел.

Теорема Гамильтона — Кэли утверждает, что тензор L удовлетворяет своему характеристическому уравнению:

L" - AL"-1 + - - - ± 41 = 0.

Спектральное разложение симметричных тензоров. Каждый симметричный тензор S имеет по крайней мере одно собственное число. Фактически наименьшее и наибольшее собственные числа smln и Smax являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции u-Su, рассматриваемой лишь на множестве всех единичных векторов. Каждый характеристический корень симметричного тензора есть действительное число и потому является собственным числом. Собственные подпространства симметричного тензора попарно ортогональны. Любой вектор можно представить как линейную комбинацию векторов, каждый из которых принадлежит одному (и, разумеется, только одному, если это не 0) собственному подпространству тензора S...

Если Sj, s2, ..., sp— спектр тензора S, то существует такое однозначно определенное множество проекторов Еь Е2Ер, что

Е^Е/ = 0 при к ф I,'

р

■5е6 = 1,

's = 2 ч^ь-- ■

6=i

Следовательно, существует по крайней мере один ортонормированный базис (ei, egеп), каждый член которого является собственным вектором для S:

Sez = s^p Z = 1, 2п.

где s< — собственное значение тензора S, причем число повторений значения Sj равно его кратности. Такой базис называется главным. Матрица компонент тензора S относительно главного базиса диагональна, а именно

[S] =

S] 0 ... 0

0 S2

0... S„

где вновь число повторений каждого собственного значения равно его. кратности.

Для того чтобы два симметричных тензора S и Т имели одинаковые собственные числа одной и той же кратности, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой ортогональный тензор Q, что

.T = QSQT.■

Если это условие выполнено, то S н Т имеют один и те же инвариантные подпространства. Ортогональный тензор Q перестановочен с симметричным тензором S тогда и только тогда, когда собственные подпространства тензора S инвариантны относительно Q.

Положительно определенные тензоры. Симметричный тензор S называется положительно определенным, если

u-Su>0 при и^О,

и неотрицательно определенным, если

и • Su ^ О для всех векторов и.

Для любого тензора L тензоры LLT и LTL неотрицательно определены. Если тензор L обратим, то тензоры LLT и LTL положительно определены. Симметричный тензор положительно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны, и неотрицательно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны.

Для всякого неотрицательно определенного тензора S существует такой неотрицательно определенный тензор Т, что Т2 = S. Этот тензор обозначается через "j/s" н называется квадратным корнем из S. Собственные значения тензора V^S являются неотрицательными квадратными корнями из собственных значений тензора S.

Полярное разложеине. Всякий обратимый тензор L можно представить в виде

L = QS=TQ,

где тензор Q ортогонален, тензоры S и Т положительно определены и симметричны н

Т = QSQT.

Тензоры Q, S и Т однозначно определяются тензором L.

Строение ортогональных тензоров. В этой книге нам понадобятся сведения об ортогональных тензорах только в трехмерном векторном пространстве. При п = 3 центральная инверсия —1 является ортогональным тензором, но не' поворотом. Каждый ортогональный тензор Q есть либо поворот R, либо произведение —R поворота R на —1. Таким образом, строение ортогональных тензоров полностью определяется строением поворотов.

Поворот R,. не равный 1, называется нетождественным. Нетождественный поворот имеет одно и только одно собственное число, а именно 1. Соответствующее ему собственное подпространство одномерно, оно называется осью поворота R. Еслр обозначить через е один из двух единичных векторов этой оси, то существует бесконечно много ортонормированных базисов (ец ег, е), таких, что

Rei =■ cos 9е[ — sin 0е2,

Re2 = sin 0в! + cos 0е2,Re = е,

где 0^0^2л. Угол 0, однозначно определяемый векторами е и е1( называется углом поворота R вокруг оси е, отсчитанным от ер Матрица поворота R относительно базиса ер е2, е такова:

I

cos 0 sin 0 0

— sin 0 cos 0 0

О 01

Если Q = — R, то ось поворота R называется осью поворота Q к угол- поворота R называется углом поворота Q.

В. Геометрия

Точечные эвклидовы пространства. Хотя в этой книге имеются упоминания о довольно общих пространствах, единственной конкретно используемой геометрией является геометрия эвклидова пространства.

Множество 8 элементов х, у является n-мерным точечным эвклидовым пространством '), если оно снабжено структурой, определяемой следующими аксиомами, в которых фигурирует п-мерное векторное эвклидово пространство У:'

Каждый вектор «еУ отображает 8 на себя:

и (х) е 8.

Композиция отображений ину есть отображение, соответствующее сумме векторов и + у:

.(и + у) (х) = и (у (х)).

Для данных точек х и у существует и притом только один вектор и, для которого

и(х)==у.

Элементы пространства 8 называются точками. Векторное пространство У называется трансляционным пространством для 8, а его элементы — трансляциями2) 8. Трансляции можно представлять себе как стрелки; если начало стрелки и поместить в х, то конец ее укажет и(х). Поэтому мы говорим, что и переносит х в у; разумеется, —и переносит у в х.

Вторая аксиома, с учетом первой, утверждает, что результат последовательного выполнения сначала переноса у, а затем переноса и совпадает с результатом выполнения переноса и + у; таким образом, это аксиома о результирующем перемещении (правило параллелограмма), известная из элементарной геометрии и механики; ею подсказывается обозначение , ■x-f-u=u(x)..

Таким образом, знак плюс используется как для обозначения сложения векторов, так и для обозначения действия векторов на точки. С помощью аксиомы 3 можно распространить эту интерпретацию далее, введя обозначение у — х для того единственного вектора и, который отображает х в у:

У — X = U.

Тем самым определена разность точек, причем

■.■ X + (у — х) = у.

Пусть 4Z — подпространство пространства У. Под подпространством пространства 8, параллельным QZ, мы будем понимать такое непустое множество точек й", что если разность х — у e4Z, то обе точки х и у одновременно принадлежат или не принадлежат ^. Два подпространства 8, параллельные одному и тому же подпространству У, называются параллельными друг другу. Размерность подпространства 9" равна размерности подпространства 41, определяющего 9". Одномерные подпространства называются прямыми, двумерные — плоскостями, а (п — 1) -мерные — гиперплоскостями. Конечно, в случае и = 3 плоскости н гиперплоскости представляют собой одно и то же.

Каждая точка у из 9" может быть представлена в виде

У = Уо + и,

■) Или аффинным эвклидовым пространством. — Прим, ред,

2) А также сдвигами, переносами. — Прим. ред.

где у0 — произвольно выбранная точка из У, а и — некоторый вектор нз °И. ' В частности, уравнение прямой можно записать в виде

У = Уо + $е,

где е — некоторый ненулевой вектор, a s меняется от — оо до оо.

Расстояние, конгруэнция. Расстояние между точками х и у — это длина вектора и, который переносит х в у, т. е..

|х-у|.-

Легко видеть, что эта функция пары точек удовлетворяет аксиомам метрики и, в частности, аксиоме треугольника

I х — У I + I у — Z I > I X — Z |.

Отображение а пространства 8 иа себя называется конгруэнцией •), если оно сохраняет расстояния. Теорема представления для конгруэнций утверждает, что каждой конгруэнции а пространства 8 соответствует такой од-' нозиачно определенный ортогональный тензор Q в Т, что ■ '

a(x) = a(x0) + Q(x —х0)

для каждой пары точек хо и х. Таким образом, каждую конгруэнцию можно рассматривать как результат. последовательного выполнения (в любом порядке) переноса произвольно выбранной точки и однозначно определенного ортогонального преобразования векторов, переносящих эту точку в остальные точки пространства.

Топология, фигуры. Топология в эвклидовом пространстве определяется обычным образом с помощью метрики |х — у]. Определения сфер, кубов, параллелепипедов, открытых н замкнутых множеств, окрестностей, внутренностей, замыканий и границ, как эти понятия используются в этой книге, можно найти в любом учебнике по элементарной геометрии.

С. Анализ.

Пределы, порядки. В точечном эвклидоиом пространстве имеется метрика; аналогично -норма разности векторов илн тензоров, |и — v| или [Т — S|, является метрикой. В терминах топологий, определяемых этими метриками, стандартным образом определяются непрерывность, сходимость, пределы, ограниченность, компактность и т. д. Обычные теоремы' анализа вроде критерия Коши, теорем о покрытии, теоремы о наибольшем и наименьшем значениях на компактном множестве легко распространяются на случай пространства 8 и наших векторных пространств.

Символы, порядка малости О и о для действительных функций действительного переменного определяются следующим образом. Если существует такая константа К, что для всех х, достаточно близких к а,'

fW<Kg(x),'

■ то пишут

f = °(g) при х->а.

Если

—> 0 при х->а,g().

то пишут

f = О (g) при X -> а.

Утверждение о непрерывности функции / в точке х = а можно записать так:z

f (^) = f («) + о (1) при х->-а.

Эти определения легко распространяются на случай числовых функций, аргументами которых служат точки (эвклидова пространства), векторы или тензоры. Сходные определения имеют смысл для функций, значениями которых являются векторы или тензоры. Для таких функций мы пишем о и О вместо о и О. ..'

Дифференцирование. Пусть f—функция действительного переменного t, значениями которой являются точки или векторы. Ее производная f(Z) в t определяется следующим образом: если существует такой вектор g, что

■f U + S) = f (О + sff + о («) при s -> О,

то говорят, что функция f дифференцируема в t, и называют g производной функции f в /. Стандартное обозначение производной таково:

f(0 = 8- '.

Таким образом, производная f(0—это линейная функция, которая аппроксимирует функцию /(/+■)—/(/) вблизи t. Для функций, значениями которых являются тензоры, можно использовать аналогичные определение и обозначение..

Имеются простые правила взаимодействия операции дифференцирования и других операций. Некоторые из этих правил приведены ниже в вольной записи, в которой можно спутать функции с их значениями:

(и ® v)' = и ® v + и ® V,

- (LM)- = Lm + LM,.

(lT)—(L)Т,.

(Lm)‘= 2 ^“'LL"*-*,6=1

(L-')‘= -L-ILL-1 (если L~1 существует).

Если Q — функция^ значениями которой являются ортогональные тензоры, то значениями функции QQT являются антисимметричные тензоры.

Градиенты. Функция f, отображающая точки «-мерного точечного эвклидова пространства в векторы /«-мерного пространства, называется векторным полем. Говорят, что векторное поле дифференцируемо в точке х, если существует такое линейное отображение Vf(x) «-мерного векторного пространства в /«-мерное векторное пространство, что

f (х + u) = f (х) -f- Vf (х) (и) + о (и) при и > о.

Это отображение Vf(x) называется градиентом поля f в х. Градиент, если он существует, определяется формулой■

„ f (х + au) — f (х)_.. . . .

■11m ——!‘— = Vf (х) (ц).

а-»0а

' Два частных случая заслуживают быть отмеченными особо. Во-первых, если m = п, то Vf (х) является тензором и вместо Vf (х) (и) пишут Vf (х) и.

Во-вторых, если т = 1, то поле f называется скалярным полем, поскольку . можно рассматривать f как обычную числовую функцию. В силу теоремы представления для числовых функций векторного аргумента Vf(x)(u) равняется скалярному произведению некоторого вектора на вектор и. В этом смысле мы можем сказать, что градиент скалярного поля в точке является вектором. Обозначая этот вектор снова через Vf(x), мы имеем

f (х + и) = f (х) + Vf (х) • и + о (и).

Аналогичные определения могут быть даны и для векторных или тензорных функций точек.-

Укажем некоторые правила взятия градиента от произведений различных типов:"

V Vg) = fVg + g^f,

V (f • g) = (Vf)Tg + (Vg)Tf,

■V (fg) = g ® Vf + fVg.'

Имеется- также цепное правило взятия градиента от сложной функции. Если fog обозначает композицию функций g и f, то это правило символически можно записать так:

- v (f 0 g) (Vf og) Vg.

Например, если x отображает точки в точки и / — скалярная функция точек, то

Vf(X) = (VX)T Vf.

Другие дифференциальные операторы. Второй, или повторный, градиент— это оператор взятия градиента от градиента. Он обозначается через V2. Если f принимает числовые значения, то значения V2f являются симметричными тензорами...

Дивергенция div и лапласиан Д, действующие на векторных и скалярных полях соответственно, определяются следующим образом:'

.div f = tr Vf,. -

Д/ a div Vf = tr V2f.

Легко видеть, что div (LTa)-есть числовая линейная функция векторного ар-, гумента а. Поэтому можно определить дивергенцию div L тензора L требованием выполнения равенства .

а • div L =■ div(LTa).

Отметим следующие правила для вычисления дивергенции произведений: div (fg) = g • Vf + f div g,

. div (Lg) =» (div LT) • g + tr (LVg).

Координаты. Декартово (или арифметическое) п-мерное- пространство— это n-мерпое векторное пространство, элементами которого являются упорядоченные наборы из п действительных чисел

■(X1, X2, ..., хп),

причем сложение и умножение на числа определяются как соответствующие операции над элементами х*.

Системой координат на открытом множестве «-мерного эвклидова пространства называется всякое взаимно однозначное отображение этого множества в декартово n-мерное пространство, граднеит которого обратим, а вто-

рой градиент непрерывен. Если х — отображение с такими свойствами, то х(х)=(х* (х), х2(х)хя (х)),

где х* — скалярное поле, имеющее ту же степень гладкости, что и х. Число хк (х) называется й-й координатой точки х в системе координат х. Если х обозначает отображение, обратное к х, то.

х* (х (х1, х2Xя)) =■ х6, к =■ 1, 2, ..., п.

для всех наборов (х1, х2, ..., х”), которые лежат в области определения отображения х. Положим

** ■ Vx* em = д^х (х‘, х2, ..., х"),_

где Э^т обозначает частную производную по хт от действительной функции п действительных переменных х1, х2х". Вектор е* (х) нормален в точке х к координатной поверхности хк (у) = const, проходящей через х. Вектор ет (х) касателен к m-й координатной кривой, проходящей через точку'х; эта кривая состоит из тех близких к х точек, у которых все координаты, кроме хт, равны соответствующим координатам точки х.

дх дгдх дг. Множества векторов (е* (х), е2 (х)е” (х)) и (et (х), ег (х), ..., е„ (х)) являются взаимными базисами для •трансляционного пространства пространства S. Базис (в] (х), Сг (х)еп (х)) называется естественным базисом . системы координат х в точке х, а базис (е* (х), е2 (х)е" (х))— взаимным естественным базисом в той же точке. Когда точка х пробегает область определения отображения х, возникают векторные поля естественных базисов и их взавмных базисов. В общем случае эти базисы не являются ортонорми- рованными. Если координатные поверхности взаимно перпендикулярвы, то координатные кривые перпендикулярны к координатным поверхностям, так что векторы е* и ел параллельны, однако в общем случае не равны. Поле естественных базисов ортонормировано тогда н только тогда, когда оно постоянно; в этом случае координаты называются (прямоугольными) декартовыми. Числовые значения декартовых координатных полей можно интерпретировать как расстояние от п фиксированных взаимно перпендикулярных гиперплоскостей или как расстояния, измеряемые параллельно п фиксированным взаимно перпендикулярным прямым, в зависимости от желания. В трехмерном пространстве часто используются две другие системы. Цилиндрические координаты (г, 9, z) — это соответственно расстояние от точки х до некоторой прямой, называемой осью; угол ме'жду фиксированной плоскостью, проходящей через ось, и плоскостью, проходящей через ось и точку х; и расстояние от х до фиксированной плоскости, перпендикулярной оси. Следовательно,'

дх дг

дх дг

= «?.= «?.■ дх . дх 2 ве^-д7 = е' ев = -д9=ге-

= «?.

= «?.

Сферические координаты (г, 9, <р) — это соответственно расстояние от точки х до фиксированной точки (центра); угол между плоскостями, проходящими через ось, проходящую через центр; и угол между осью и прямой, проходящей через х и центр. Следовательно, .

дх . дх 2 е дх 9 .

Контравариантные, ковариантные и смешанные компоненты относительно системы координат. Значение v(x) векторного поля в точке х является вектором н потому имеет однозначно определенные компоненты относительно любого базнса и, в частности, относительно естественного и взаимного естественного базисов системы координат х. Таким образом.

6к

v — овек = о^е®.

Скалярные поля о1, у2у" называются контравариантными компонентами поля v относительно системы координат х; аналогично поля У], у2, ..., у» называются ковариантными компонентами поля v относительно этой системы. Когда ясно, какая система координат имеется в виду, обычно говорят просто о контравариантных и ковариантных компонентах.

Ковариантные н контравариантные компоненты метрики g^m и gkm— это скалярные поля, определяемые следующим образом:'

так чтотак чтобкт^Ч^т' ^т = «=к.ет,m к kmbi

так что

так что

4 = 8hme ’ e =8 em, gtfeel=Vt.

Для цилиндрических координат

1 0 010 0II 8km II “0 г2 00 0 1, 11гы|| =0 ^ 00 0 11 0 010 0II 8km II “0 г2 00 0 1, 11гы|| =0 ^ 00 0 111для сферических координат "для сферических координат "1001|8шН =0г2000г2 sin2 61001|8шН =0г2000г2 sin2 6\\gkm 11 =\\gkm 11 =ОООО70О -V sin2 6г2ОО70О -V sin2 6г2

1 0 0

10 0

II 8km II “

0 г2 0

0 0 1

, 11гы|| =

0 ^ 0

0 0 1

1 0 0

10 0

II 8km II “

0 г2 0

0 0 1

, 11гы|| =

0 ^ 0

0 0 1

1

1

для сферических координат "

для сферических координат "

1

0

0

1|8шН =

0

г2

0

0

0

г2 sin2 6

1

0

0

1|8шН =

0

г2

0

0

0

г2 sin2 6

\\gkm 11 =

\\gkm 11 =

О

О

ОО

70

О -V sin2 6

г2

ОО

70

О -V sin2 6

г2

С помощью компонент метрики легко связать между собой ковариантные

и контравариантные компоненты одного и того же векторного поля v:

о6 ^ gkty^ у^ _ g^yk.

Аналогичные определения и правила справедливы для компонент тензорных полей, например

Ьы - ghPLpl = gplLkp = gkP^LPt. -

Пусть х и х — две системы координат. Тогда координаты точки х относительно этих систем функционально связаны:■-

х6 (х) = fk (х1, х1хп)>

'& (х) = g! (х‘> х2x^Y- -

Пусть (е, (х), е2 (х), ..., еп (х)) — естественный базис системы координат х в точке х. Из определения естественного базиса следует, что )

em = d_mx(g1 (х1,1..., хп)g”(x‘х”)) =

■= p.fex (х1х”)j d_mgk (х1х”)=

= CW)'efc-

Поэтому если мы положим

^m — 8_mgk

(выражение в правой части обычно записывают как дхк/дхт), то из законов преобразования п.А. 1 можно вывести связи между компонентами различных типов в разных системах координат. Например, если компоненты вектора 11 относительно двух данных систем координат помечаются чертой или тильдой соответственно, то - .

и в= —'—и1, и.=—-и,,дх1 к дхк 1

и аналогично для тензоров.

ар agT afk agsар agT afk agsЭти законы преобразования использовались в старой литературе для.определения векторных н тензорных полей. Например, возможно такое определение: числовые функции A4iHi и -А4/; называются компонентами относительно систем координат х и х тензора четвертого порядка (дважды, контравариант- ного и дважды ковариантного), если они связаны между собой следующими равенствами:

ар agT afk ags

ар agT afk ags

. .дхр дх^ дх4 дх1

где функции, стоящие в левой части, вычисляются при значении аргумента х(х), а функции в правой части—-при значении х(х). Другие подходы к тензорам более высокого порядка, чем 2, упомянутые в п.п. А. 4—5, также непосредственно распространяются на случай тензорных полей.

Как бы ни были выбраны определения, несомненно, что конкретные вычисления выполнять наиболее просто с помощью законов преобразований. Например, очевидно, что для прямоугольных декартовых координат gkm = = 6km = gkm. Поэтому ковариантные компоненты метрики gkm в произвольной системе координат х получаются следующим образом:

■ п'

§кт = 9 _кХ*д _тх^6,, = У а.кх‘д.тх1,х х Чх х

где прямоугольные декартовы координаты х4 предполагаются заданными как функции от координат х*:

хг = f* (х1, х2, .. м хп).,

Например, в цилиндрических координатах

.■ X1 =Х=ГСО5 0,■

х2 = у = г sin 6,

■х3 = г.

гдё мы пишем (г, 0, г) вместо х1, х1, 3?. Поэтому по указанным выше формулам тривиально вычисляются матрицы llgtmll и ||g',m|| для цилиндрических координат. Аналогично компоненты любых векторов и тензоров относительно произвольной системы координат стандартным образом вычисляются по их компонентам в прямоугольной декартовой системе координат.

Тензоры ранга выше двух встречаются в этой книге редко. Читатель, незнакомый с техникой манипулирования ими, может следить за всеми рассмотрениями, относя их к компонентам в прямоугольной декартовой системе координат. .

Физические компоненты относительно' ортогональной системы координат. Векторам и тензорам, встречающимся в физических задачах, обычно приписаны физические размерности. Например, скорость имеет размерность длины, деленной на время. Компоненты поля скоростей относительно данной системы координат не обязаны иметь ту же самую размерность, поскольку размерности различных членов естественного базиса обычно не являются все одинаковыми. Например, в цилиндрических координатах вектор ег безразмерен, вектор е0 имеет размерность длины, а вектор е® — размерность, обратную размерности длины. В физических задачах часто бывает желательно иметь возможность интерпретировать каждую компоненту вектора в тех же терминах, что и сам вектор, и по этой причине вводят физические’ компоненты. Для ортогональной системы координат эти компоненты определяются однозначно как компоненты относительно следующего ортонормированного поля базисов: t '

Это ортонормированное поле базисов в каждой точке касается координатных Кривых и перпендикулярно к координатным поверхностям. Физические компоненты обозначаются с помощью соответствующих индексов, помещенных на строке и заключенных в ломаные скобки, например:

о (г), о(9), о (г).

Аналогичные обозначения используются и для тензоров, например: •

Т (rr), Т (г9) и т. д.

В некоторых задачах оказывается полезным брать компоненты относительно базисного поля, элементы которого не пропорциональны естественному базису никакой системы координат. Такие поля базисов называются неголо- номными, и тот же эпитет прилагается к компонентам, вычисленным в таких базисах. Пример такого рода встречается в § V. 4 основного текста. В этом частном примере базис ортонормИровэнный.

Символы Кристоффеля. Для всякой системы координат по определению существуют и являются' непрерывными тензорными полями градиенты Г«) ее естественного базиса:

Г^) = Ve., i = 1, 2п.'

Смешанные компоненты Г^у этих тензорных полей, т. е.

называются символами Кристоффеля данной системы координат. Можно доказать, что -■

Г^/^ГД.

И ЧТО.

dx!ei=Ti iek‘

Далее, символы Кристоффеля следующим образом вычисляются по компонентам метрики gk$ и gqr рассматриваемой системы координат:

Г?/ = ^ gk\9jgpl + dxigp} - dxPgtiy

Можно показать, что символы Кристоффеля системы координат тожде- ■ ственно равны нулю тогда и только тогда, когда система координат прямоугольная декартова.'

Ковариантные производные, дифференциальные операторы. Если f— векторное поле, то его градиент Vf является тензорным полем. Компоненты тензора Vf всех четырех возможных типов называются ковариантными производными поля f. Они записыйаются следующим образом:

f\m = efe-(Vf) em,

ffc, m — e6 • (Vf) em, fk’m — et • (Vf) em,.

f*. m = e*. (Vf) em''

Таким образом, каждая ковариантная производная—это скалярное поле.

Чтобы выразить ковариантные производные поля f через его компоненты, заметим прежде всего, что

'. ’ Vf = V(/Pep) = ep®VfP + ^Vep.

Следовательно,.

f» m = е* • (ер ® VfP + ^(р)) е„ - д^ + рг^

■ Аналогично.

Ковариантные производные равны соответствующим частным производным тогда и только тогда, когда система координат прямоугольная декартова.

Сходные результаты справедливы для тензоров любых рангов. В-частности, ковариантные производные всех тензоров сводятся к соответствующим частным производным, если система координат прямоугольная декартова.

С помощью ковариантных производных или символов- Кристоффеля можно вычислить значения всех дифференциальных операторов. Например:

(divL)* = Lkm, m = -U „ (Vg£tm) + LPmTpkm,

где g =detgPq.'

Для получения соответствующих выражений в физических компонентах наиболее простой путь состоит в том, чтобы вывести их сначала в контрава- риантных илн ковариантных компонентах, что является стандартной процедурой, а затем обратит^ результат. Для примера запишем здесь физические компоненты дивергенции симметричного тензора L в цилиндрических

координатах:

(div L) (г) = drL (rr) + у d0L (rO) ^ dzL (rz) + LMzlM

(div L) (») = drL (rO) + у d6L (90) + dzL (Oz) + у L (rO),

(div L) (z) = dzL (rz) + у d0L (0z) + dzL (zz) +yL (rz)

а в сферических координатах

(div L) (r) = дл (rr) + у d0L (rO) + y^y d^L (лр) +

+ у (2L (rr) —L(^)—L (фф) + L (rO) ctg 0),

(div L) (0) = drL (9r) + у d0L (00) + —d^L (0Ф) +

+ у [(L (00) - L (фф)) ctg 0 + 3L (rO)], (divL) (ф)=дгГ(фг) +ydq)L (фО) + ^-.^ ДфГ (фф) +

+ ^ (3L (rq>) + 2£ (Оф) ctg 0).

Приложение III

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

• Упражнения, решение которых непосредственно ясно из указаний, данных в тексте, сюда не включены..

Для доказательства первого утверждения воспользуйтесь (I. 2-5)3, аксиомой ВЗ и определением наложения; для доказательства второго — (I. 2-5)4 и определением соединения.

По предположению мы можем взять

3\з$ЬЛ ^2 ^ ^ Л®, ^3 = (38 Л ^ Л ®. поскольку все три правые части существуют. По определению наложения

■ Уз<У, Уз <”5, У3<®.

Теперь предположим, что

'. . 88 < У, зе < %, зе < ®.'

Тогда опять по определению наложения.

зв<ух, зе<уг, зе<Уз.

Таким образом, Уз является частью тел 38, ^ и ®\ кроме того, любая часть 36 тел У, % и ® является частью тела Уз. По определению наложения трёх тел тогда'-

У ^ % Л ® = У %.

Из этого последнего соотношения мы видим, что-

Уз < 38, Уз<^ К®.

Предположим теперь, что

‘^ < 38, °Ц<<6 К®.

Поскольку У К^ 8\® существует, то

"°Ц<у Кс6'К® = Уг. :

Определение наложения показывает, /что•

Уз = ^ Л (^ Л Ф¥■■

Используйте (I. 2-8), и (1.2-10)2.

Используйте (I. 2-8),, (1.2-15)! и (I. 2-10)2.

Воспользуйтесь (1.2-37) для того, чтобы записать BY С как соединение отделенных тел. Затем используйте аксиОму М3, (1.4-3) и аксиому Ml (если понадобится),

дЛ =д(Л A ddl. Воспользуйтесь (1.3-1) для того, чтобы показать, что д(у£)=0. Искомый результат следует из (1.4-2)!, (1.4-3) и аксиомы Ml..

Достаточность ясна, поскольку из (1.5-26) следует, что сила f (^, 98е\ определяемая формулой (1.5-21), раина 0. Для доказательства необходимости следует переписать (1.5-21) так, чтобы включить (1.5-20) в качестве одного из множителей, и изять ^ = {%]}, {X t» Х2} и т. д. Если Я{ХЬ Х2), т0 из условия обращения в нуль собственной силы иытекает, что f12 = — fl2. Поскольку f1 = fi+fi2> это не означает, что f,=0.

Соотношение (1.8-6)] получается просто дифференцированием (1.8-4). Для вывода! соотношения (1.8-6)2 воспользуйтесь определением момента М (^; Х)Х[, с тем чтобы вычислить М (^, Х)Х[ и остальные члены.

Запишите F (^, 58е) + F (^, ^) и явном виде и используйте (1.5-26).

• 1.9.1. Скажем,

x*=x£(0 + Q(0 (x-xg),

■.= Xq (0 + Q (0 (х — Хо (0 + Х0 (0 — Х0),

= Xq (t)'+ Q (О (X (0 — х0) + Q «) (х — х0 (<)),-

■= Xq (0 + Q (Z) (х — Хо (0).

Поскольку преобразование такого рода, равно как и преобразование t* = = 1 + а, сохраняет метрику (и 8 и 91 соответственно), оно определяет замену системы отсчета. Для доказательства группового свойства воспользуйтесь тем фактом, что ортогональные тензоры образуют группу.

. 1.9.2. Продифференцируйте равенство Z = YY1 и примените (1.9-16) и (1.9-15). Уравнению (1.9-17) удовлетворяет Z(l) = 1; в силу' теоремы единственности это — единственное решение, удовлетворяющее условвю Z(/o) = 1.

Тензор А* образуется из-тензора Q* который входит и формулу обращения (1.9-4). Так как Q = QT, отсюда следует (1.9-18)., Для того чтобы вывести (1.9-19), распишите уравнения для наших трех замен системы отсчета. Далее, А3 = Q3Qj; после упрощений с учетом (I. 9-19)] получаем (1.9-19)2. Если Фз и ф2 совпадают и некоторый момент, то Q2 = qJ = 1 в этот момент.'. ■

Если е — единичный вектор иа оси вращения, то Qe = ± е. Следовательно, Qe + Qe = ± е, т. е. ■'

Ae + (Q+l)e=0.

Таким образом, если е = 0, то Ае=0. Соотношение между ® и 6 можно доказать, используя явное представление ортогональных компонент поворота в трехмерном пространстве:

I

cos 6 — sin 6 0■

sin 0 cos 6 0 ,■

001■

Где 0 —угол поворота и базисный вектор е, лежит на оси вращения.

Г. 10.1. Соотношение (I. 10-1)2 показывает, что х0 = с. Следовательно, P, = Wpr /=1, 2. 'Вычислите d/dt (pt • р2) в воспользуйтесь равенством W = -WT.'

Используйте (L8-2)i, (1.10-1)2, (1.10-5) и тот факт, что с = const.. Для того чтобы получать (1.10-8)2, заметьте, что Q (а Л Ь) QT = Qa Д Qb, и воспользуйтесь (I. 10-3) и (I. 10-7).'•'

10.4. Используйте соотношение W = — QTAQ.

Если е = 0, то We = 0 тогда и только тогда, когда (W + W2) е = 0.

Используйте (1.8-3), ' (1.10-1) и (I.J0-4) и получите (1.10-14).

Если х0(/) выбрано, как указано, то х0 (t) = с и р = 0. Соотношение (1. 10-15) получается посредством небольших преобразований в третьем члене в (1.10-14)..

Поскольку при преобразованиях Талидея x* = Qx и М* = М, то (1.8-5)( показывает, что m* —Qm.'

, 1.11.2. Первое утверждение сразу следует из цепного праввла. Четвертое утверждение доказывается следующим образом в силу (1.11-2):

det Т* — det (QTQT) = (det Q) (det T) (det QT) — det T.

Раз это так, то det (Т — Л) не зависит от системы отсчета, каково бы ни было число 1. Следовательно, Т* и Т имеют одни и те же характеристические корни. Значит, они имеют один и тот же след и одни и те же собственные числа. Если е — собственный вектор, соответствующий собственному значению t, то■

Те = /е,

откуда■

. (QTT*Q)e-te'

и, следовательно, .' Т* (Qe) = / (Qe)..'

Таквм образом, Qe представляет собой соответствующий собственный вектор тензора Т*..

Данную гладкую поверхность можно вложить в гладкое семействе поверхностей $ = const, где / — не зависящий от системы отсчета скаляр. Далее, в силу, результатов упр. 1.11.2 как УД так и | Vf | не зависят от системы отсчета, а потому, конечно, и п = Vf/| У/1 тоже. Более хорошее доказательство можно дать, записав уравнение отдельной поверхности в виде

х —x0 = f(a, 6),

где а в' 6 — параметры. Для любых а и 6 левая часть представляет собой вектор, не зависящий от. системы отсчета, поэтому векториозиачиая функция f ие завесит от системы отсчета. Соответственно dof и d»f не зависят от системы отсчета. Они определяют касательную плоскость в точке (а, Ь). Подпространство, нормальное к этой касательной плоскости, содержит точво два едвввчных вектора. Проведенное построение показывает, что оба они не зависят от свстемы отсчета.

Используйте аксиому А2 и результаты упр. 1.11.2.

Мы замечаем, что (1.5-23) справедливо, когда система сил сбалансирована. Поскольку, аксиомы инерции, как они применяются в аналитической динамике, сопряжены с требованием сбалансированности сил, они не нарушают условия (1.5-23).

Заметьте, что f Д g=0. Спектральное разложение для Е*» имеет ВНД..

Е « = Е^® е + E2f ® f + E3g ® g.хо'

Легко показать, что

■■е‘а2-А2Е**=0

Аохо

н

, Е\а+ АЕ\ = <в(Е2 + E3)f Д g.■

хо хо

Таким.образом, (1.13-21) сводится к (I. 13-23).

Скорость подвода тепла Q удовлетворяет тождеству типа (I. 5-2). ,

•1.14.2. То, что Km(v‘) = Vm (v) ^ Vm (v) = Vm( | v |), следует из теоремы Коши [NFTM, стр. 29]. Поэтому, согласно (1.14-9), имеет место соотношение’

которое показывает между прочим, что силы взаимодействия центральны. Таким образом, требование независимости от системы отсчета приводит к тому, что консервативные силы взаимодействий обязательно центральны. Далее,

Ио (х‘. хо) - ^о (х> хо) <=> 7о (х' хо) = '''о (I х * хо I )•

Следовательно, вектор f®, определяемый формулой (1.14-9)1, параллелен х( — xfl. Искомый результат следует отсюда немедленно, если заметить, что

Ио(х*-4 п‘)=К0(х-х0, п),

К6 (х — х0, п) = Ио (| х — х01, (х — хэ) • п).

14.3. В покоящейся системе отсчета для данного жесткого движения К = 0 и К = const. Поскольку К + К не зависит от системы отсчета, (1.14-15) выполняется тривиальным образом.

5.1. Присоединенным adj L к тензору L называется тензор, компоненты которого суть алгебраические дополнения элементов матрицы [L], Имеет место равенство

L adj L = (det L) 1,

так что если "тензор L обратим, то adj L = (det L) L~*. Легко показать, что если L является дифференцируемой функцией параметра 1, то

(detL)"=tr (L adj L) = det L tr (LL—I),.

причем в последнем равенстве предполагается, что тензор L обратим. Полагаем L= F и, используя цепное правило, показываем, что F = GF. (В действительности эта формула эквивалентна приводимой ниже формуле (II. 11-5), яиляющейси простым частным случаем результатов, которые будут получены в§ П. 8.)

5.2. (Более легкая задача того же рода приведена ниже в качестве упр. II. 6.2.) Рассмотрим линейное уравнение в частных производных

^dz-t,(D

;=о'

где Ро, Рь .... Рп, R— заданные функции от х0, xtхп. Характеристики уравнения (L) — это интегральные кривые системы

. dX) dxtdZ

pa - pt =

Характеристический интеграл — это такая функция fi(x0, xtxn, Z), что ft = const на каждой характеристической кривой. Формально утверждение теоремь! Лагранжа состоит в том, что если fi, fa, ..., fn—любые « функционально независимых характеристических интегралов системы (С), то общее уравнения (L) имеет вид 'х

• Flh.ltf„, Z)=0.

Чтобы рассмотреть аналог уравнения (II. 5.7) для «-мерного случая, будем писать t вместо Хо, обозначим (хь х2, ..., хп) через х и положим Z ва sslnp. Тогда Ро = 1, Р, = xt н в силу (II. 5.6) R =—//Л Следовательно, п уравнений системы (С) можно записать в виде dx = x dt, так что а семейств характеристических кривых даются траекториями тел-точек. Таким образом, х^1 обозначает п характеристических интегралов; («-|-1)-й интеграл можно получить, интегрируя соотношение dt = dZ]R = = —(d In p/d In J^dt, В результате интегрирования получим pJ. Таким образом, общее решение уравнения (II. 5.7) имеет вид

л(х-',ру)^о,

что совпадает с (II. 5.4).■.

Замечание. Метод характеристик для линейных уравнений в частных производных первого порядка был изобретен Лагранжем на основе рассмотренного здесь примера и примера II. 6.2; оба эти примера возникли в гидродинамике. Тривиальное обобщение частного случая (II. 5-7) с трехмерного на «-мерный случай было получено Лиувиллем; это и есть то единственное из нескольких утверждений, называемых физиками «теоремой Лиувилля в статистической механике», которое имеет какое-то отношение к Лиувиллю.

Строгое рассмотрение. нелокальной теории Лагранжа довольно сложно; в современных книгах по теории дифференциальных • уравнений его совсем опускают. Ясное и точное изложение локальной теории можно найти в гл. IX второго тома «Курса анализа бесконечно малых» Ш. де ла Валле-Пуссена (7-е изд.’, Louvain — Paris, 1937) •).

II. 5.3. По теореме интегрального исчисления, использованной при выводе соотношении (II. 2-5), объем конфигурации Xi(^0 дается формулой

J dV = J ■ J dV.

X, t) X2 (d1. t)

*) Есть русский перевод, выполненный в основном со 2-го французского издания (ГТТИ, М. — Л., 1933). Там глава про дифференциальные уравнения в частных производных выступает под номером XVIII. — Прим. ред.

Условие изохоричности движения, таким образом, локально эквивалентно условию J = 1. Чтобы довести дело до конца, следует воспользоваться соотношениями (II. 5-6) и (II. 5-7).

5.4. Для плоского движения уравнение (II. 5-8)1 принимает вид ■

д*х + М = 0,-

где х и у — прямоугольные декартовы координаты, ахи р-^ соответствующие компоненты поля скоростей. Это необходимое и достаточное условие того, что в односвязиой области существует такая однозначная функция q, что

* = — duq, ■

У — dxq,

а это совпадает с (II. 5-9). (Доказательство того, что q однозначна для широкого класса миогосвязных областей, можно найти в CFT § 161.) Очевидно, x-V^ = 0, так что линии тока нормальны к нормалям к плоскости и являются кривыми qV»O = const.

5.5. nt dA (x) = ez/Jfc dxf dxk = гц^Д dXa dX6.■

(Интерпретация этого закона преобразования дана в § II. 13.) Этот результат следует из сопоставления двух частей соотношения (II. 5-10).

6.1. Использовать метод, объясненный в тексте, записав '

J Vd7= J (V/p)prf7.'

х I*. О - х (Л О

Другой способ:.■

-I VdV- /.

"X (Л t) * W.

поскольку конфигурация х фиксирована,

A. J VJdV= J WdV-,

•-1#1)* I#1)

воспользовавшись затем теоремой о дивергенции, получить соотношение в требуемой форме."

II.6.2, В отношении метода характеристик см. упр. II. 5.2. В настоящий момент R = 0 и f — неизвестная функция. Таким образом, общее решение есть

F^.f^O,

так что тела-точкн X, лежащие на поверхности /(х, О = const в какой-то момент времени, лежат на ней всегда.

IL 6*3. Заметим, что

и

. g (х, /) - g (Х71 (X, 0, /) = G (X, о =. О

Grad G (X, /) FT grad g

”x = | Grad G (X, 0 I “ I Grad G (X, I)| ’

После небольшого упрощения отсюда получается (II. 6-18). Если 9, не является материальной поверхностью; то в различные времена на ^ будут лежать различные тела-точкн. Конечно, (II. 6-19)—это просто следствие из (II. 6-14). Чтобы получить (II. 6-20), используйте (II. 6-3)1 и (II. 6-12).

11,9.1. С (т) = FT (т) F (т). Используйте соотношение (II. 8-7) и произведите упрощения.

II. 9.2. Главные растяжения о являются корними уравнении

det (В—о21)= 0;

В — RCRT,

cos 6 sin 6

[R] = — sin 6 cos 6

о

0

0 0

1

поскольку система главных осей вращается относительно осн x,.

11.9.3.

II ga§ II =

1 0 0

0Z

R2 0

0 0 0

1

0

0

llg“₽ll=

0

R-1

0

0

0

1

И Т, д.

9.4. Вычислите физические компоненты тензора В, используя соотношение■■,'

Vgkkgmm

(суммирование по повторяющимся индексам не производится!) и сравните их с (II. 9-13)1..

9.6. При выводе соотношения (II. 9-19) используйте (II. 6-5) и (11.9-5)2..*

П.1. Уравнение D = 0 эквивалентно системе шести уравнений в частных производных

^(It, т) — у (Ч т + *т, k) = 01.-

Проинтегрируйте эту систему.■

11.2. G = dwF(«)F-1 (О | #. Воспользуйтесь полярным разложением для F (и) и F (I), а затем выполните указанное дифференцирование и получите•

G = RR-1 + RUU-1R-1.'

Это можно записать в виде

D + W = RR-1 + у R (UU"1 - U-*U) RT +1 R (UU”1 + U~*u) RT.

Используя единственность разложения тензора в сумму симметричного и антисимметричного тензоров, получите (II. 11-13). Последнее соотношение следует из соотношений В = FFT и F lF==1 = G.

11.4. Чтобы получить (11.11-18), используйте правило Лейбница при дифференцировании произведения Р<(т)тР<(т)' Чтобы получить (II. 11-19), докажите сперва, что

■(„) т■

С — FTAnF.

(Способ доказательства этой формулы изложен ниже, в § II. 14, где она имеет номер (11.14-15).) Следовательно,

С = FTA„+ ,F = F~AnF + FTA„F + FTA„F. ■

Теперь воспользуйтесь (II. 11-5).

11.5. В упр. II. 5.1 была приведена формула для производной от определителя обратимого тензора. Дифференцирование ее дает

(det L)“ = (det L) [tr LL"1 - ( LL-1)2] + (det L)' tr (LL-1), (det L)"' = (det L) tr [LL-1 - 3LL-,LL-1 + 2 (LL-1)3] +

.+ (detL)'(...) +(detL)”(.b.)

и т. д. Если L — такой обратимый тензор, что всегда detL=l, то эта соотношения сводятся к'

tr [LL-1 — (LL-1)2] = О,

tr [и-1 - зи-Чь-1 + 2 (а-1)3] = 0

и т. д. Для случая изохорического движения мы можем вместо L подставить С<(и). Полагая и = / и используя определение (11.11-17), получим (11.1120)2,3- В формуле для (detL)<n> член с производной по времени наивысшего порядка равен (detL)tr(LL ), откуда и следует общее утверждение теоремы..

11.6. Покажите сначала, что ось дахЛ^х нормальна к плоскости, определяемой векторами дах и дьх. Поскольку. скалярное произведение в пространстве тензоров определяется как tr(AB), соотношение (11.11-22) устанавливает, что тензоры W и дах Д с^х ортогональны друг другу. Поэтому оси их перпендикулярны, т. е. е — ось.тензора W — лежит в плоскости, определяемой дах и дьх. В соответствии с первым утверждением этого решения вектор е есть ось тензора nA I, так что

W=llTnAf, .

откуда уже просто получить (II. 11-24)..

12.1. Эллипсоид в х (^) описывается концами векторов шх, таких, что const = |m|2=| Fmx-Fmx | = mx-Cmx. ■

Пусть ej, e2, ё3 — ортонормнрованная система единичных собственных векто- рои- тензора С, так что Cey = t^e;-, где V/ — главное растяжение, соответствующее е;-. Пусть координаты вектора тх по отношению к этому базису будут т1. Тогда приведенное выше уравнение принимает вид

.з

.■^ (у^)2 у2 = const.

•(=1'

Поэтому главные оси эллипсоида являются главными осями деформации в точке X, а длины полуосей обратно пропорциональны квадратам соответствующих главных растяжений. Экстремальные свойства главных растяжений находятся в обратном соответствии с экстремальными свойствами длин радиусов-векторов точек эллипсоида.

То, что ие происходит скашивания главных осей, равносильно утверждению cos0(e^ е = dij, которое немедленно следует из (II. 12-6).

Поскольку (II. 12-1) можно записать в виде

Хх (X, 0 = Хо + (х0 (0 - X») + R (/) U (О (X - X») =

.=X3 + (x3(/)-X3)+V(OR(/)(X-Xo),

последнее утверждение получается сразу применением (II. 9-4).

12.2. Продифференцируйте соотношение (II. 12-6), записав его предварительно в виде

18.1.J tdx = J I(x, O-F(k, t\dX, •- ■

xlk.t) „(Г)

а в правой части можно выполнить дифференцирование под знаком инте-, грала..

13.2. Объем 7 тетраэдра, имеющего вершинами х0 (/) и концы векторов рр р2 и рз, выражается через компоненты р*а следующим образом: ,

V = ®11кР1Р2Рз- Следовательно,

V = еi/а [огР1РзРз + ОМРгРз + СгР’РгРз] = (*г G) 7.

13.3. Поскольку на нашей поверхности х = 0, то на ней S = dtS, так что если поверхность S стациоиариа, то локальным эквивалентом соотношения (II. 13-3) будет (II. 13-4). Это последнее соотношение утверждает, что скалярное произведение тензора G (е Д f) — (G (е Д f))T на произвольный антисимметричный тензор равно нулю. Отсюда следует (П.13-6). Полагая в (II. 13-5) G = D + W и применяя полученное соотношение-к п, получим после упрощений с использованием (II. 1 Г-23) и (11.11-24)

e-Dn = 0, IDn = — у 17.

Поскольку иа нашей поверхности скорость, обращается в нуль, а поверхность эта стационарна, скорость растяжения во всех направлениях равна нулю. Иначе говоря, е • de = I • Df = е • Df = 0. Следовательно, De = 0 и n - Dn = £. Отсюда получаем равенство

D = £n ® п — у 17 (n ® f + f ® п),

которое с учетом (II. 11-24) можно представить в виде (II. 13-6). Поскольку De = 0, вектор е является главной осью растяжения, соответствующее главное растяжение равно нулю и detD = O. Второй главный инвариант тензора D равен —74172. Таким образом, после сокращения на D характеристическое уравнение для тензора D принимает вид

jj2_ED-74W2 = 0;

его решениями служат (II. 13-7)ьз.

14.1. В силу (II. 8-7) и (II. 14-6)

F; (т) = F* (т) (F* (I))"' = Q (т) F (т) F"1«) Q Vf - Q (т) F( (т) Q (/)т.

Следовательно,- ■

R? (т) и; (т)= Q(t) R( (т) Q (/)TlQ(f) U( (т) Q (ОЧ

Отсюда в силу единственности полярного разложения и следует (II. 14-18).

1.1. В силу (III. 1-37) и (III. 1-38)2

J t¥dA = - J t_YdA. t-Y

По теореме Лебега о производной ty = — t_y почти всюду.

2.1. Выберем Дг таким образом, чтобы А (До(Х А (До(') + А (До(*). Тогда ввиду (1П.2.И) и (III. 2.9)2 справедливо (III.2-12). Следовательно,

А (д Д2>) — А (Д^) + А (Д^*) + А ^Л^,

7 (Д0) = о (Дг3) при Дг -* 0.

2.2. Пусть Т' — плоскость, касающаяся 9 и Т и точке х, и пусть в декартовых прямоугольных координатах (х, у, г) с осями х и у и плоскости 9' и осью z, перпендикулярной к 9', локальные представления поверхностей 9s и 9 вблизи х имеют иид z = f (х, у) и z = g (х, у). Выберем Аг так, чтобы при х2 + у2 ^ Аг2 поверхности S’ и Г лежали обе между двумя параболоидами z = ± К (х2 + у2), где '

K = max(|^|, | W|, |^|, |^|, | WI’ |^|).

Затем используйте ту же самую процедуру, что и выше.

3.1. Требуемый результат непосредствеиио следует из (III. 3-1) и определения транспонирования.

5.1. Докажите тождество

div (v ® S) = v® div S + (Vv) ST,

затем выделите антисимметричную часть, положите v = х — х0 и примените теорему о дивергенции.■

III. 5.2. По-видимоМу, проще всего последовательно доказать (не полагая Т симметричным),-что (111.5-8)^(111.5-9)^(111.5-10)^(111.5-7), а потом доказать, что если Т = Тт, то (Ш.5-7)^ (III. 5-10).

III. 5.3. Используйте (1.14-1), (III. 5-11), теорему о дивергенции (III. 5-1) и (И. 6-8). Для жесткого движения D = 0. В изохорическом движении tr D = 0.■'- ■" "

III.5.4. Воспользуйтесь соотношением (11.6-9)2 в случае (ПК 5-15) и (III. 1-7) в случае (III. 5-11). После небольшого упрощения получчте (III. 516), а затем уже легко получить (III. 5-17) и (III. 5-18).•

IV. 4.1. Следуйте методу, использованному при доказательстве соотношения (IV. 4-2).--

IV. 4.2. Если ge (IV. 4-1) —аффинная функция от F, то ■

T = al+PF,

где аир — константы. Покажите, что для того, чтобы это определяющее соотношение удовлетворяло принципу материальной независимости от системы отсчета, необходимо, чтобы Р = 0. (.Замечание: Т = al + PV тоже удовлетворяет этому принципу, но правая часть не является аффинной функцией от F.)

IV. 6.1. Соотношения (IV. 6-2) и (IV. 6-3) получаются непосредствеиио. Независимое от системы отсчета ограничение, «эквивалентное» (IV. 6-1), имеет вид ц(С) — 0, причем ц обращается в нуль только тогда, когда А обращается в нуль. Это утверждение логически эквивалентно последней фразе упражнения. (Отметим, что не утверждается, что Ц и А функционально зависимы, хотя, конечно, может быть и так.).

IV. 7.2; Поскольку t = — рп, последнее утверждение сразу следует из результата, установленного в упр. IV. 5.4. Более общим образом (III. 5-17) переходит в

'К + V «= Рс = — J рх • n dV,

W. О

Если р = const на дх (l?, 0> то правая часть принимает вид

— р J div xdV,.

x^.h

а это выражение равно нулю в силу изохорнчности движения.

IV. 9.1. Требуемый результат сразу следует из (II. 11-5) и (IV. 9-7),.

IV. 9.2. det F (/) = det [Fo (1 + ZF,)] = det Fo det (1 + /F,).

det (1 +. /F,) = 1 + / (tr FJ + 1 /2 [(tr F,)2 - tr F2] + /3 det F„

поскольку второй главный инвариант тензора S равен ^ [(tr S)2 — tr S2].

IV. 9.3. Пусть и, (О и е; (/) —собственные числа и соответствующие собственные векторы тензора U. Заметим, что UU = UU ФФ 6t = 0. Тем самым подучено (IV. 9-16). Запишите далее (IV. 9-2) в виде

з

X = х0 (0 + 2 ui (0 ёг ® ez (X - Х„)

<=1

и выведите отсюда требуемый результат. Направим оси координат по векторам et и назовем «блоком» область, ограниченную плоскостями Xi = ±а<. Докажите, что блок деформируется в блок. Поскольку уже доказано, что р, = щ + bit, где а, > 0 и bt > 0, движение будет изохорическим в том и только том случае, если

з

Д(а, + А,0—1 V/.

Это условие выполниется тогда и только тогда, когда 0,0203 = 1. 6, = 0.

т •1••

IV. 10.1. Воспользуйтесь соотношением G х = —grad (х • х).

IV. 10.2. Пусть параметрическое представление в X* материальной поверхности с текущей конфигурацией ut бсть х = х(о, Ь). Используя (11.11-21), получаем

® (М) = J tr [FTWF (daX Л d6X)] da db,xT1 w,

откуда и следует (IV. 10-14).

IV. 10.3. Для вдетого растяжения R = 0, R = l. Далее воспользуйтесь (II. 11-13), и (IV. 10-14).

IV. 10.4. Для простого тела без связей Т = © (F^), а для соответствующего несжимаемого простого тела Т = р (6 — й) 1 + © (Fz); Fz дается соотношением (IV. 9-43). Для тела без связей каждая из компонент тензора Т определяется единственным образом. Для несжимаемого тела

функция Л произнольиа. Если, скажем, 6 = 0, то за счет выбора h можно придать любому одному из усилий Т (хх), Т {уу) и Т (га) любое значение, которое пожелаем, например нуль.-

IV. 12.1. Если Hj, Н2 е ^х, то .

. ®x(F/HiH2) = ®x(F%) = ®x(f'),

причем первое равенство следует из того, что Н2е ух, а второе —из того что Н] е ^х. Таким образом, Н^ед,. Аналогичными рассуждениями устанавливается выполнение других аксиом группы.

IV. 12.2. Поскольку ®х удовлетворяет аксиоме N3, ®x(QFz) = Q@x(f/)QT.

Отсюда н из (IV. 12-6) следует, что QTe ^х..

IV. 15.1. Согласно правилу Нолла Q* = PQP-1, что можно записать в виде■.

Q*RoUo = RoQQTU0Q.

Далее воспользуйтесь единственностью полярного разложения.

15.2. Поскольку в общем случае ?^ °, ух не есть инвариантная подгруппа группы о. Таким образом, в общем случае ^х (=RyxR-1) не будет совпадать с ^х.

15.3. Воспользуйтесь теоремой 2 с U0 = KL

IV. 16.1. Используйте тот факт, что необходимым и достаточным-условием перестановочности S и Q является инвариантность характеристических подпространств тензора S прн действии тензора Q.

IV. 16.2. Заметьте, что х входит в (IV. 16-3) только через px/J.

IV. 18.1. Чтобы получить (IV. 18-13), подставьте (IV. 18-3) в (II.8-8). Остальные соотношения легко следуют нз определений (II. 11-2) и (II. 11-17). Соотношение (IV. 18-16) вытекает из того, что условие tr G = 0 необходимо и достаточно для изохоричиости. ■

IV. 18.2. Если А и В коммутируют, то еАев = еА+в.

18.3. Наиболее общий вид А2 та^ов:

и а b

[А2] =[А2] =a v с b с ф

[А2] =

[А2] =

Помня, что (22) не выполняетси, покажите, что тензор А2 коммутирует с тензором N — N, задаваемым формулой (IV. 18-27), в том и только том случае, когда х = 0. Если Aj = al, то в силу леммы Aj коммутирует с любым антисимметричным тензором. Поэтому (N — N1) Aj = Aj (N — NT). Используя (IV. 18-15)3, покажите, что NNT = NTN, и затем получите (IV. 18-26).

18.4. Получите (IV. 18-29), используя (IV. 18-15)4,7. Теперь (IV. 18-30) получается применением (IV. 18-4)2.

1.1. Выведите из (II. 18-3), (II. 8-5) и (V. 1-8), что

■F, (т) = 1+(т -/) иЧхО N.

Ввиду (V. 1-4)] это эквивалентно (V. 1-9).■

■ V. 1.2. Сравнивая (V. 1-15) н (V. 1-5), получаем

f (х, N) = т (х) (N + NT) + а, (х) Nt?4 + а2 (х) NNT, . после чего (6) легко проверяется.

. V. 1.3. Конкретизировать результаты предыдущего упражнения для случая fo = р = const, Ft = F2 = 0. Для ' навье-стоксовой жидкости без связей р превращается в функцию плотности, но по-прежнему Oj = а2 = 0.

V. 4.1. Проинтегрируйте (V. 4-20), используя (II. 8-3) н (II. 8-4). Чтобы подсчитать физические компоненты тензора F/ (т) по отношению к базисам |ег (?)) и |e;(x)j, следует вычислить .величины е; (g) Ft (£) е^ (х). Поскольку базисы (ег (|)} н (ef (х)} ортонормнрованы, существует такая ортогональная тензорная функция Q, что е; (g (т)) = Q (т) ё( (х). Таким образом,

е, (6) • Ff (т) е, (х) = Q (т) ег (х) • F, (т) е, (х) = ег (х) • Q (t)tF, (т) е, (х).

Далее, покажите, что Fo (г) = Q (т) (I + txN0), где

ООО

No = а 0 0

■р о о

в базясе [ег(х)}.’.-

" Воспользовавшись теоремой Нолла, найдите матрицу тензора No в базисе (eft). Записав (V. 4-23) в виде i& = Refe, подсчитайте матрицу No относительно базиса {1д}.•''

V. 4.2. Выражения для физических компонент div Т см. в конце приложения II.'

V. 4.4. В этом упражнении массовая сила берется равной нулю. Проинтегрируйте по частям, а затем подставьте в результат выражения (V. 4-35)j, (V. 4-35) з и (V. 4-37), положив C = F/4n. В итоге получитсяV. 4.4. В этом упражнении массовая сила берется равной нулю. Проинтегрируйте по частям, а затем подставьте в результат выражения (V. 4-35)j, (V. 4-35) з и (V. 4-37), положив C = F/4n. В итоге получится+ p(^|-r2)rto2(r)]dr.+ p(^|-r2)rto2(r)]dr.

V. 4.4. В этом упражнении массовая сила берется равной нулю. Проинтегрируйте по частям, а затем подставьте в результат выражения (V. 4-35)j, (V. 4-35) з и (V. 4-37), положив C = F/4n. В итоге получится

V. 4.4. В этом упражнении массовая сила берется равной нулю. Проинтегрируйте по частям, а затем подставьте в результат выражения (V. 4-35)j, (V. 4-35) з и (V. 4-37), положив C = F/4n. В итоге получится

+ p(^|-r2)rto2(r)]dr.

+ p(^|-r2)rto2(r)]dr.

V. 4.5. Положим Ь = 0 и возьмем z = 0 в выходном сечении. Используя соотношения ..

.R ''

'— p»TtR2 — 2л J Г (zz) |2==0 г dr

о

и (V.4-35)i.2> получаем

g W = ^ Ро +-^ j^ ^ J~r 61 (уа^-2г&2 fyar^dr.

5.1. Соотношение (V.5-6) можно записать в виде F = 1 + /N, где N = МД М | и х = |М| = /(М^0. Отсюда после упрощений получаем (V, 5-7). Пусть (е^ — ортонормированиый базис, векторы которого каса- тельиы к координатным Кривым:'

1еГМе/1 = -Щт1еГМе/|- .

Упростите это выражеиве, используя (V. 5-6) 2.

5.2. Воспользуйтесь (V. 5-9) и примените метод, указанный в тексте. Учтите, что 1, т, Qi и а2 не зависят от z, а к фиксировано..

5.3. Чтобы получить (V. 5-25), используйте (V. 5-8)8, (V. 5-15) и (V.5-18).'

1.1. Проще воспользоваться конкретизацией соотношения (IV. 5-15), поскольку зависимость от С< просто заменяется на зависимость от производных д£с( («) |и=#, к — 0, 1п.

1.2. Чтобы получить результат непосредственно, можно действовать следующим образом. Для изотропных материалов Т не изменяется, если Fz заменить на FZQ, ^де Q — не изменяющийся во времени ортогональный тензор. Возьмем, в частности, jQ = RT, где R — поворот, входящий в полярное разложение -тензора F (/). При такой замене компонентом-поворотом тензора FRT в его полярном разложении будет 1, А^ заменяется на Ап, а С на В. Отсюда следует (VI. 1-3). Теперь легко получить (VI. 1-4); соотио- шеиие же (VI. 1-5) выражает требование независимости от системы отсчета.

1.3. Из теории, изложенной в гл. V, явствует, что для вычисления вискозиметрических функций в общем случае достаточно рассмотреть простой сдвиг (II. 11-11). Для него ' ■

0x0

2х2

[А,] =

х 0 0

; [а2] =

0

ООО

0

О О О О

О О

а совокупность скаляров (VI. 1-7) имеет вид

О,2х2,0,'

2х2,4х4,8х®,

О,2х4,0,4х®.

Вычисление величины (VI. 1-В) производится непосредственно, так же как и остальная часть упражнения.

VI. 1.4. Соберите, как это сделано в (VI. 1-18), члены порядка- г® и И в (VI. 1-6) и (VI. 1-7), учитывая (VI. 1-14) в тот факт, что члены типа (trAj)l, (tr Ai)l и т. д. можно включить в р.

1.5. Сравнивая (IV. 18-15) с (VI. 1-13), установите, что в качестве фактора замедления можно взять скорость сдвига х. Получите (VI. 1-23), подставляя (V. 1-2) в (VI. 1-21). Вычислите (VI. Ь20) и, сопоставив результат с (V. 1-15), получите (VI. 1-24)..

1.6. Соотношение (VI. 1-26)1 следует из (II. 13-6). Аналогичным образом получается (VI. 1-26)г. Используя (И. 11-19), (II. 11-24) и (VI. 1-26)1,2, получите (VI. 1-26)з. Воспользовавшись (VI. 1-19), вычислите усилия и упростите результат при помощи (VI. 1-26).

3.1. Вычислите Ар исходя из (VI. 3-5) и используя то обстоятельство, что Ui = 0. Приведенное выражение для Аг следует из (VI. 2-7), (VI. 35), (VI. 3-3) и равенства и, = 0. Вычислите А! с помощью (VI. 3-3) с точностью до членов о(а3) и найдите t в П, сравнивая (VI.2-10) и (VI. 1-20). Примените (VI. 2-12), чтобы получить (VI. 3-15), и выведите (VI. 3-16) и (VI. 3-17) таким же образом, как и на шаге 1.

VI. 3.5. Чтобы доказать (VI. 3-32) и (VI. 3-33), используйте по существу тот же метод, что и в трех предыдущих упражнениях. При установлении искомого результата примените (V. 5-22). В силу (VI. 1-24)1,2 6 обращается в нуль в том и только том случае, когда

(2а, + а2) х2 4- Д- (2а, + а2) (Р2 + Рз) х4 =°2 х2ц. *

НоНо-

4.1. Согласно (VI. 3-23), из определяется величиной 2(02 + Рз)/Мо- (Чтобы получить (VI. 4-2), следует воспользоваться соотношением (VI. 1-24).) Диалогичным образом получается (VI. 4-3).

4.2. Соотношение (VI. 4-5) устанавливается при помощи прбстого, хотя и длинного рассуждения. Этот вопрос обсуждается в NFTM, стр. 503.

5.1. Вычислите G = gradх, исходя из (VI.5-2), и тем самым определите А] и. Ар Воспользуйтесь (II. 11-18), чтобы найти Аг. Подставьте (VI. 1-19) в (III.5-1). Используя эти результаты, докажите, что р.= = —с(/)х2 + f (Xi)- Таким образом, получим (VI. 5-3), причем с(/) будет движущей силой, если Ь = 0.•.

5.2. Проверка делается просто. Затем покажите, что £ = -1//3 есть решение уравнения д£а2 = 0, причем оно соответствует максимальному значению а2. Из (VI. 5-4) явствует, что

Иглах И = Vv | max = V 'Vа1 + 62 -

вне зависимости от того, каковы а и Ь. Поэтому (VI.5-9)2 следует из (VI. 5-5).:’

2.1. В декартовых прямоугольных координатах

dA (х) nt = bz/6 dx1 dx4 = etikFlaF^ dXa dX^.

Воспользуйтесь соотношением

и доведите дело до конца.

JJ. 2.2. Сперва докажите тождество Div (/F-*) = 0, а затем, пользуясь им, покажите, что DivTx = JdivT.

II. 4.1. Отправляясь от (IV. 4-1), предположим, что ^х эо. Тогда VQ g (F) = g (FQ) = g (VRQ).

Выбор Q = RT показывает, что g (F) =• g (V). Поскольку как Т, так н V не зависят от системы отсчета, должно выполняться соотношение

g(QVQT) = Qg(V)QT,

которое эквивалентно (VII. 4-2).

Обратво, предположим, что (VII. 4-1) и (VII. 4-2) справедливы для некоторой конкретной конфигурации х. Если F заменяется на FQ для некоторого ортогонального Q, то В заменяется на FQ (FQ)T, которое опять есть В. Поэтому согласно (VII. 4-1) замена F на FQ оставляет Т неизменным. Определение группы равноправности показывает, что Q е ^х. Таким образом, ^х =о о.

II. 4.2. Относительно базиса из своих единичных собственных векторов elt е2ет тензор D имеет спектральное разложение

т

О-^^б®^-

6=1

Подставляя для dfe выражения нз (VII. 4-8) н замечая, что еА —собственные векторы дли А, получаем mт

В = Ф02е6®еб + Ф1 SaA®efe + 6=16=1

тin

+ ф2 2 4е6 ® е6 + Фт—1 2 ^"^б ® е6 = 6=16=1

= фо1 + ф^ + Ф2А2 4- ... +фт_1А'"-1.

II. 4.3. Рассмотрим сначала произвольный тензор А. Его характеристические корни аь а2, . • •, а„ представляют собой п корней алгебраического уравнения det (А— al) = 0, а числа 1, —h, 4-/2, .... ±/« суть коэффициенты этого уравнения. Таким образов характеристические корни и главные инварианты однозначно определяют друг друга. Следовательно, достаточно выяснить, обязательно лн изотропные функции являются функциями характеристических корней. (Характеристические корни могут быть комплексными, хотя главные инварианты, конечно, — действительные числа.)

Далее, QAQT имеет те же самые характеристические корни, что и, А. Следовательно, если f(A) = g(ab a2an), то f — изотропная функция. Однако если А и В имеют одни и те Же характеристические корни, то из этого, вообще говоря, не следует, что 3Q, такое, что B=QAQT. Таким образом, для произвольных тензоров А функции характеристических корней не обязательно исчерпывают класс изотропных скалярных функций.

Предположим теперь, что два симметричных тензора А и В имеют одни и те же характеристические корни ai, a2, ..., a„. Каждый характеристический корень представляет собой собственное число, и как А, так и В имеют

соответствующие главные базисы {е,} и {Гл}:

Аву = а^р BfA = а^к..

Пусть Q — единственный ортогональный тензор, который переводит базис {е/} в базис (fA):

Qe, = vr

Тогда

QAey = a^Qe^ = a^fy = Bfy = BQer

Следовательно, QA=BQ. Поэтому условие совпадения множества характеристических корней у А и у В достаточно в случае симметричных тензоров А и В для того, чтобы B = QAQT- Таким образом, скалярная функция, аргументом которой служит симметричный тензор, изотропна в том и только том случае, когда она представляет собой функцию характеристических корней,, или, что равносильно, функцию главных инвариантов.

VII. 4.4. Пусть имеет место соотношение (VII. 4-17). Из того факта, что коэффициенты суть симметричные функции от Vi, о2 и Оз, сразу следует (VII.4-18). Чтобы доказать обратную импликацию, заметим, что (VII.4-18)2,з,4 =ФТ =9(V) и собственные векторы тензора Т остаются неизменными, если V заменяется на QVQT. •.

Поэтому д—изотропная функция от V. Так как B=V2, то (VII. 4-1) н (VII. 4-2) иыполняются.

VII. 4.5. Согласно (VII. 4-22) н (VII. 4-13),-

'-/?^ = двР5(*о96т+*1вЫ+*2(52)6М1)-(*)

Обозначим через 1Г главные инварианты тензора В. Воспользуйтесь следующими легко устанавливаемыми формулами: ,.

.5#р^0 дКр д1к '’

. dBpq ” дВРЧ *

ah dBpq

= gpq,

5/2 ав^

-hg^-B”•

позаботившись о том, чтобы заменить В на 1/2(В + Вт) в (*), прежде чем выполнять дифференцирование. Получите (VII. 4-23), используя уравнение

5*г д8г , 9»г (Л ,..2^ 1 8*г _.2„2"

dt^57 j 57257g

• VIII. 1.1. Записывая (VIL 4-14) в виде■

'= 50 + 51О2 + SJ^f2, i — 1. 2, 3,

3r=5r (оР о2, о3), г=»0, 1, — I,-

и используя (II. 9-14), покажите, что

Таким образом, (VIII. 1-6) следует из (VIII. 1-4).

VIII. 1.2. Деформация (11.9-14) переводит плоскость Хг = const в плоскость

'Хг = КХх = const.

Единичные векторы нормали п и касательной т к этой плоскости имеют компоненты"

п = (+ к (1 + К2\А ± (1 + к2)-71, о),т = (± (1 + кт'к. ± к (1 + КТ'11. QX

Чтобы получить (VIII. 1-9), воспользуйтесь соотношениями ^^n•Tn и T=t.Tn.

VIII. 1.3. При простом растяжении вдоль оси 3

I

av200'

0ао20,

00о2

где постоянная v — заданное растяжение, а а — постоянная, которая должна * быть определена. [Поперечное сжатие равно (1 — av)/(v—1)]. Если для материала без внутренних связей.мы примем

. S, (и2, a2) = Dr ((1 + 2а2) о2, (2 +. a2) a2v4, aV),

то из (VII. 4-14) получим, что

' Г (11) = Г (22) = So + aVD! + а-2ц-23„„ г (зз) = 50 + v2^ + o-iS-!..

Для того чтобы эти напряжения удовлетворяли условиям равновесия, необходимо и достаточно, чтобы b = 0. Условие^того, что все плоскости, параллельные оси 3, свободны от усилий, имеет вид Г (11) = Т (22) = 0. Йз этого уравнения должно определяться а как функция от и. В настоящее время неизвестно, существует или нет решение в общем случае, однако разумные предположения о гладкости функций 5Г обеспечивают существование решения для значений и, близких к 1. Подстановка этого решения для a в выражение для Г (33) приводит к соотношению между величиной растяжения и растягивающим напряжением.

Для несжимаемых материалов никакой неопределенности в результате нет, поскольку для изохоричности деформации необходимо и достаточно, чтобы a = v-3^2. Полагаем

■■ 3r (v) s 3r (2v-1 + к2, 2о + V2).

в (VII. 4-24) и получаем'.

Г (11) = Г (22)'= — р0 + v-^ + S-p .

Г (33) = - Ро + v22f + tHb-p

где Ро — постоянная, если принять, как мы это сделаем, что Ь = 0. Условие Г (11) = 7(22) =0 однозначно определяет ро и позволяет выражение для Т (33) привести к следующему виду: • ■

г (зз>-(,•-!) 5,+ (-!--.) 5.,.

5.1. V = 2n [ T(zz)rdr =

= 2л J (Г (zz) - Т (гг)) г dr + 2л J Т (rr) г dr.

Проинтегрируйте второй член по частям и используйте (VIII. 5-2) ь

VIII. 5.2. Предположим, что функции 2Г равномерно непрерывны для значений D и г, лежащих вблизи 0 и 1 соответственно. Тогда предельный переход и интегрирование можно поменять местами..'

VIII.5.3. Соотношение (VIII. 5-7) при N = 0 показывает, что F->1 при Z)->-0. Следовательно,

F — 11F3—1ттггйпг =» -х- пт ——F — 11F3—1ттггйпг =» -х- пт ——D "о WFy = 3 Д D2D "о WFy = 3 Д D2

F — 11F3—1

ттггйпг =» -х- пт ——

F — 11F3—1

ттггйпг =» -х- пт ——

D "о WFy = 3 Д D2

D "о WFy = 3 Д D2

Далее используйте (VIII. 5-7), положив N = 0 и приняв предположения предыдущего упражнения..

VIII. 5.4., Положите в (VIII. 5-5) Т (гг) = 0 при г = R\, г = R2. Вычислите Т (гг) —7(00) и Т (zz) —Т(гг), подставляя выражения из (11.9-16) н (II. 9-18) в (VII.4-24)2. Затем упростите (VIII. 5-5).

VIII. 5.5. В этом частном случае квадратура в (VIII. 5-15) легко выполняется:

Значение BF находится из соотношения (VIII. 5-14), записанного применительно к рассматриваемому случаю:•"

причем тривиальный корень BF = 0 исключается. Покажите, что при таком соотношении это уравнение имеет ровно один корень и что этот корень удовлетворяет неравенству — R^ <BF < — Rp .

IX. 1.1. Согласно (IX. 1-4)2 и (IX. l-7)i, vb u2, Уз — собственные значения тензора Ue— и вь е2, е3— собственные значении тензора Е — связаны между собой следующим образом:

ог = 1 + еер I = 1, 2, 3.

Далее воспользуйтесь соотношением 1Е = OiO2o3. Последнее утверждение непосредственно следует нз (II. 2-2) и (II. 5-4).'.

IX. 1.2. Чтобы получить (IX. 1-10), упростите (И. 12-5), используя

(IX. 1-4)2 и (IX. 1-7)]. Подставив т (m, n) = -у« — 0(n т) в (И. 12-6) и вспомнив, что п-т=0, после небольших выкладок получим (IX. 1-11). Согласно (IX. 1-6) и (IX. 1-7). ~

Ree = е + Re,

поэтому Re = 0 Rge = е. Для того чтобы вычислить угол, нам надо вычислить член порядка е2 в (IX 1-6). Из (IX. 1-4) легко вытекает, что

.Re = l+ eR + ye2R2+О(в3).

Следовательно, '

cos 6 = 1 —£- О2 + О (в4),

но, кроме того,"

cose=l(tr Re-1) = j^ + O + leStr^-lj+Ote1),

значит, 02 = -i-e21 R |2 + О (в3)."

IX. 2.1. По предположению

f(H) = T0 + e(H),(.)

где fl— линейная функция, которая переводит тензоры в симметричные тензоры. Используйте инвариантность соотношения (*) относительно бесконечно малых поворотов; таким образом, Q в (II. 14-2) принимает вид 1 + eR, где RRT = 1. (В лииеаризоваииой ■ теории определяющие уравнения, вообще говоря, удовлетворяют требованию независимости от системы отсчета • лишь с точностью до О (в2).)

IX.2.2. Подставьте в (VII.2-5)] выражения для I, Т и F из (IX. 1-9), (IX. 2-4) и (IX. 1-2) и произведите упрощения.

IX. 3.1. Поскольку мы рассматриваем бесконечно малые деформации, аргумент функции 2Г в (VIII. 1-1) сводится к (3,3,1). Так как отсчетная конфигурация является естествеииой, то (VIII. 1-2) сводится к (IX. 3-5).

IX. 3.2. Для изотропных материалов

Lkmpq = ХЬктЬрч + р (б^б"1’ + ^Ч^тр^

(вспомните, что L удовлетворяет (IX. 2-8)). Ввиду тождества

rot rot u = Grad Divu — Au

(IX. 3-17)i и (IX 3-17)2 эквивалентны.

4.1. Тождество (VII. 2-8) означает, что-•

'§ (F) = FA (FTF).

Дифференцирование обеих частей по F и использование определения (VII. 211)1 дают

.. A^-g^^g^F^b.

A^H^F» а = НЬДГ 4- Скг*тН” .

где-

’ъ™™ 2р . „ „ „ <ЭА“^

Поркольку как А, так и С симметричны,

^kmpq _ ^mkpq = ^kmqp

«fempqu ^kmpq-_'

и, следовательно, С Hqp = С Eqp. Остальное легко.

4.2. Используя (IX. 4-1), вычислите В*, В*-1 и три инварианта 1*, II*, III* (ср. (II.9-7)) тензора В* с точностью до членов порядка О(|Н|2). Можно воспользоваться теоремой Гамильтона — Кэли (см. приложение II, п. All). Предположив, что функции 2Г дважды дифференцируемы в конфигурации х, выразите Dr (I*. II*. Ill*) через функции 1r (I, II, III) и их производные. Подставьте результат в (VII. 4-14) и произведите упрощения.

4.3. Вычислите тензор То, соответствующий деформации (IX. 4-8). Вычислите Н и Е, соответствующие наложенной деформации (IX. 4-9). Покажите, что уравнения равновесия в отсутствие объемных сил удовлетворяются тогда и только тогда, когда'

Пусть граница <9j# поперечного сечения st призмы определяется уравнением f (яр *2) = ^ («уХц ovX2) = 0.

После того как произошла .деформация (IX. 4-9), компоненты единичной внешней нормали п к <3%(^) определяются соотношениями.

СП] = F., ] — ezF, 2,

.. Опг = F, 2 + ezF, ь■

Gn3 = в (х», F,! — xtF, 2),.

Условие того, что поверхность призмы свободна от усилий, т. е.

' .(Т-То)п = О,

с точностью до первого порядка по е имеет вид

(Ф, ।' — *2) F, ] + (Ф,; + Xj) F, 2 =■ а(2)

Поскольку F,, и F,2— компоненты нормали к границе'в деформированной отсчетной конфигурации х(^), соотношения (1) и (2) означают, что Ф представляет собой классическую функцию кручения для поперечного сечения si- в х. Теперь, используя (IX. 4-8), уже просто вывести (IX. 4-10).

5.1. Опираясь на тот факт, что ts — однородный многочлен степени s> покажите, что

■■ T^l^HJ + Ote»).

Сравнение с (IX. 3-1) приводит к (IX. 5-8).

5.2. Согласно (IX. 5-13) н теореме о дивергенции,

J р,ь*^+ J ^л- J p.W J *х/л.'

■ х№д*(^).»№дх(&}

Для равновесия данной системы нагрузок требуется, чтобы

J Pxb„^+ J ^Л"Л .

Ц®MS64

5.3. Пусть'

А = J (X — Xg) ® tx<ZA + J Рх (X — Хо) ® b dF. (1) axW*W.

Отметим, что (обращение в нуль результирующего момента нагрузок относительно Хо) О А = Ат. Поворот относительно Хо переводит вектор X — Хо в Q (X — Хо). После поворота (1) примет вид А* = А*Т. (Обращение в нуль результирующего момента после того, как совершен поворот) ^ А* = А*т, т. е.'..

QA = ATQT.,(2)

Пусть- А = PS представляет собой полярное разложение тензора А, где Р~*=РТ, S = ST и тензор S положительно полуОпределен. Тогда (1) переходит ‘в-.

QPS = SPTQT.

Таким образом, решение (1) имеет внд Q = PT нли —Рт в зависимости от того, detP = + l или —1. Если теперь положить B = AQ, то В симметричен и, следовательно, имеет действительные характеристические корни. Любой поворот R относительно осн, проходящей через Хо параллельно собственным векторам тензора В, перестановочен с В, н, следовательно, RQ представляет собой решение уравнения (2) всякий раз, когда Q — решение. Поскольку В имеет три линейно независимых собственных вектора, (2) имеет по крайней мере четыре решения.